Outline

BAB 7. Integral

Program Studi Teknik Mesin

Fakultas TeknikUniversitas Muhammadiyah Jember

June 18, 2019

Outline

1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral

Integral

Pengertian

MATEMATIKA LANJUT

1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral

Integral

Pengertian

Integral

Y Y ′ Y”

Turunan Turunan

Integral

Figure: Anti turunan

Secara umumjika y ′ = dy

dx atau dy = y ′dx maka∫

dy = y =∫

y ′

Dapat ditulisUntuk y ′ = F (x) + c, maka y ′ = F ′(x) dan dapat ditulis∫

F ′(x)dx = F (x) + c

Integral

Pengertian

Integral

Y Y ′ Y”

Turunan Turunan

Integral

Figure: Anti turunan

Secara umumjika y ′ = dy

dx atau dy = y ′dx maka∫

dy = y =∫

y ′

Dapat ditulisUntuk y ′ = F (x) + c, maka y ′ = F ′(x) dan dapat ditulis∫

F ′(x)dx = F (x) + c

Integral

Rumus dasar

MATEMATIKA LANJUT

1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

1. Integral bentuk aljabar∫axndx = a

n+1 xn+1 + c (dengan n 6= −1) dan∫ 1

x =∫

x−1dx = lnx + c

2. Integral fungsi trigonometri

1∫

cosx dx = sinx + c2

∫sinx dx = −cosx + c

3∫

sec2x dx = tanx + c4

∫cosec2x dx = −cotx + c

5∫

secxtanx dx = secx + c6

∫cosecxcotanx dx = −cosecx + c

3. Bentuk exponen∫ax dx = ax

ln a + c, logaritma :∫ a logx dx = 1

xln a + c

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x2 − 4x) dx =

2∫(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x2 − 4x) dx =

2∫(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =

Integral

Rumus dasar

Rumus dasar

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x2 − 4x) dx =

2∫(10x3 + 30x2 − 16x + 5) dx =

Integral

Sifat

MATEMATIKA LANJUT

1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral

Integral

Sifat

Sifat

Sifat1

∫{f (x)± g(x) dx =

∫f (x) dx +

∫g(x) dx

2∫

k f (x) dx = k∫

f (x) dx

3∫ b−a f (x) dx = −

∫ ab f (x) dx

4∫ b−a f (x) dx +

∫ cb f (x) dx =

∫ c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2∫ 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat1

∫{f (x)± g(x) dx =

∫f (x) dx +

∫g(x) dx

2∫

k f (x) dx = k∫

f (x) dx

3∫ b−a f (x) dx = −

∫ ab f (x) dx

4∫ b−a f (x) dx +

∫ cb f (x) dx =

∫ c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2∫ 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat1

∫{f (x)± g(x) dx =

∫f (x) dx +

∫g(x) dx

2∫

k f (x) dx = k∫

f (x) dx

3∫ b−a f (x) dx = −

∫ ab f (x) dx

4∫ b−a f (x) dx +

∫ cb f (x) dx =

∫ c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2∫ 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat1

∫{f (x)± g(x) dx =

∫f (x) dx +

∫g(x) dx

2∫

k f (x) dx = k∫

f (x) dx

3∫ b−a f (x) dx = −

∫ ab f (x) dx

4∫ b−a f (x) dx +

∫ cb f (x) dx =

∫ c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2∫ 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat1

∫{f (x)± g(x) dx =

∫f (x) dx +

∫g(x) dx

2∫

k f (x) dx = k∫

f (x) dx

3∫ b−a f (x) dx = −

∫ ab f (x) dx

4∫ b−a f (x) dx +

∫ cb f (x) dx =

∫ c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2∫ 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat1

∫{f (x)± g(x) dx =

∫f (x) dx +

∫g(x) dx

2∫

k f (x) dx = k∫

f (x) dx

3∫ b−a f (x) dx = −

∫ ab f (x) dx

4∫ b−a f (x) dx +

∫ cb f (x) dx =

∫ c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2∫ 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat1

∫{f (x)± g(x) dx =

∫f (x) dx +

∫g(x) dx

2∫

k f (x) dx = k∫

f (x) dx

3∫ b−a f (x) dx = −

∫ ab f (x) dx

4∫ b−a f (x) dx +

∫ cb f (x) dx =

∫ c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2∫ 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Sifat

Sifat

Sifat1

∫{f (x)± g(x) dx =

∫f (x) dx +

∫g(x) dx

2∫

k f (x) dx = k∫

f (x) dx

3∫ b−a f (x) dx = −

∫ ab f (x) dx

4∫ b−a f (x) dx +

∫ cb f (x) dx =

∫ c−a f (x) dx

ContohTentukan integral dari soal berikut

1∫(6x4 − 12x + 4x − 1) dx =

2∫ 3

1 (9x + 6) dx =

Integral

Teknik pengintegralan

MATEMATIKA LANJUT

1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa1

∫x(3x − 1) dx =

2∫(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusiBentuk linier

∫(ax + b)n dx = 1

a .1

n+1 .(ax + b)n+1 + c

1∫(3x + 4)4 dx =

2∫(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:

∫4x(x2 + 9)5 dx= dan

∫sin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa1

∫x(3x − 1) dx =

2∫(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusiBentuk linier

∫(ax + b)n dx = 1

a .1

n+1 .(ax + b)n+1 + c

1∫(3x + 4)4 dx =

2∫(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:

∫4x(x2 + 9)5 dx= dan

∫sin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa1

∫x(3x − 1) dx =

2∫(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusiBentuk linier

∫(ax + b)n dx = 1

a .1

n+1 .(ax + b)n+1 + c

1∫(3x + 4)4 dx =

2∫(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:

∫4x(x2 + 9)5 dx= dan

∫sin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa1

∫x(3x − 1) dx =

2∫(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusiBentuk linier

∫(ax + b)n dx = 1

a .1

n+1 .(ax + b)n+1 + c

1∫(3x + 4)4 dx =

2∫(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:

∫4x(x2 + 9)5 dx= dan

∫sin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa1

∫x(3x − 1) dx =

2∫(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusiBentuk linier

∫(ax + b)n dx = 1

a .1

n+1 .(ax + b)n+1 + c

1∫(3x + 4)4 dx =

2∫(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:

∫4x(x2 + 9)5 dx= dan

∫sin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

a. Cara biasa1

∫x(3x − 1) dx =

2∫(x + 1)(3x − 5) dx =

b. Cara subtitusiBentuk linier

∫(ax + b)n dx = 1

a .1

n+1 .(ax + b)n+1 + c

1∫(3x + 4)4 dx =

2∫(sin2x + cos5x) dx =

Bentuk komposisi fungsi dan trigonometri. Bentuk umumnya:∫F [g(x)].g′(x) dx . cara: misal u = g(x) dan du = g′(x)dx di dapat :∫F (u) du. contoh:

∫4x(x2 + 9)5 dx= dan

∫sin3xcosx dx =

Integral

Teknik pengintegralan

Teknik pengintegralan

c. Integral parsial (pertemuan minggu depan)Bentuk umum integral parsial:

∫u dv = uv −

∫v du. Contoh:∫

3x .cos2x dx =

Integral

Penerapan integral

MATEMATIKA LANJUT

1 IntegralPengertianRumus dasarSifatTeknik pengintegralanPenerapan integral

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

L2

x = a x = b x = c

L1

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)

1 L1 =∫ b

a y dx

2 L2 = −∫ c

b y dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

L2

x = a x = b x = c

L1

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)

1 L1 =∫ b

a y dx

2 L2 = −∫ c

b y dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

L2

x = a x = b x = c

L1

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas x)

1 L1 =∫ b

a y dx

2 L2 = −∫ c

b y dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

y = c

L1

L2

y = a

y = b

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y )

1 L1 =∫ b

a x dy

2 L2 = −∫ c

b x dy

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

y = c

L1

L2

y = a

y = b

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y )

1 L1 =∫ b

a x dy

2 L2 = −∫ c

b x dy

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

y = c

L1

L2

y = a

y = b

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah (berdasarkan batas y )

1 L1 =∫ b

a x dy

2 L2 = −∫ c

b x dy

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Y1 = f (x)

x = a x = b

Y2 = g(x)

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah diantara 2 kurva

1 L =∫ b

a (y1 − y2) dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Y1 = f (x)

x = a x = b

Y2 = g(x)

Figure: Menghitung luas daerah

a. Menghitung luas daerah diantara 2 kurva

1 L =∫ b

a (y1 − y2) dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Y = f (x)

x = a x = b

Figure: Menghitung volume benda putar

b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu x

1 v =∏∫ b

a y2 dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Y = f (x)

x = a x = b

Figure: Menghitung volume benda putar

b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu x

1 v =∏∫ b

a y2 dx

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

X

y = b

y = a

X = f (y)

Y

Figure: Menghitung volume benda putar

b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu y

1 v =∏∫ b

a x2 dy

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

X

y = b

y = a

X = f (y)

Y

Figure: Menghitung volume benda putar

b. Menghitung volume benda putar diputar 360◦ sumbu y

1 v =∏∫ b

a x2 dy

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Contoh1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,

x = 1 dan x = 3 !2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garis

y = 3x + 4 !

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Contoh1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,

x = 1 dan x = 3 !2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garis

y = 3x + 4 !

Integral

Penerapan integral

Penerapan integral

Contoh1 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 sumbu x ,

x = 1 dan x = 3 !2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan garis

y = 3x + 4 !

Integral

Penerapan integral

Thank You