SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

CNH2G4/ KOMPUTASI NUMERIK

TIM DOSEN

KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT

11

2

Pendahuluan

Persamaan Differensial :

Gabungan dari fungsi yang tidak diketahui denganturunannya.

Kategori Persamaan Differensial :

– PD Biasa :

Persamaan Differensial yang hanya memiliki satu variabelbebas.

Berdasarkan turunan tertinggi yang dimiliki, PDB dikategorikan menjadi :

▪ PDB Orde 1 : turunan tertingginya adalah turunan pertama

▪ PDB Orde 2 : turunan kedua merupakan turunan tertinggi

▪ PDB Orde 3 : turunan ketiga merupakan turunan tertingginya.

▪ Dan seterusnya

– PD Parsial

Persamaan Differensial yang memiliki lebih dari satuvariabel bebas.

11/20/2017

3

Pendahuluan (Cont.)

Contoh Persamaan :

dyx y

dx

Turunan dilambangkan dengan : dy/dx atau f’(x) atau y’, sedangkan fungsi yang tidak diketahui dilambangkan dengankeberadaan variabel terikatnya.

seperti contoh di atas, maka :

Turunan dilambangkan dengan dy/dx dan fungsi yang tidak diketahui diwakili dengan variabel y.

11/20/2017

4

Pendahuluan (Cont.)

22' yxy

Kategorikan : (PD / bukan PD / PDP / PDB ?)

02 2 yyxdx

dy

)2(3)(''' xSinyxCosyy

''1'2'''2 yyy

2

22

2

2

)1()(3y

ux

x

utxSin

t

u

4)(' 2 xxxf

)(;173' 53 tfytty

1. PDB orde 1

2. PDP

3. Bukan PD

4. PDB orde 2

5. PDB orde 3

6. Bukan PD

7. PDP

8. PDB orde 1

yxxyey

u

x

u

6

2

2

2

2

11/20/2017

5

Pendahuluan (Cont.)

Solusi PDB :

– solusi analitik : salah satunya dengan teknik integral

– solusi numerik : menggunakan metode hampiran.

Solusi Numerik :

mencari nilai fungsi di xr+1, dimana r menunjukkan jumlahlangkah atau iterasi.

Langkah/iterasi memiliki jarak yang sama (h)

xr = x0 +rh; r = 0,1,2,…,n

11/20/2017

6

PDB Orde Satu

Bentuk baku PDB orde satu :

Contoh :

Metode penyelesaian :

– Euler

–Heun

– Runge-Kutta

'( ) ' ( , )dy

f x y f x ydx

yx

yxyyyyy

xy

xy

xyyyxyy

2'1)1(;'2

2

100'1)0(;100'2

11/20/2017

7

Metode Euler

Bentuk baku :

Penurunan

– Deret Taylor : uraikan y(xr+1) disekitar xr

– Dipotong sampai orde 1:

– Karena y’(xr) = f(xr,yr) dan xr+1-xr = h, maka :

rhxx

xyy

yxyyxfyxfdx

dy

r

rr

0

00

)(

)();,(')('

...)(''!2

)()('

!1

)()()(

2

111

rrr

rrr

rr xyxx

xyxx

xyxy

1

2

111 );(''

!2

)()('

!1

)()()(

rr

rrr

rrrr xtxty

xxxy

xxxyxy

nrhOyxhfxyxy rrrr ,...,2,1,0);(),()()( 2

1

11/20/2017

8

Metode Euler (Cont.)

Penurunan secara geometris :

f(x,y) adalah persamaan differensial yang dapatdigambarkan sebagai gradien garis singgung di titik (x,y).

Garis singgung ditarik menyinggung titik (x0,y0) untukmenemukan nilai y(x1), pada titik (x1,y1) ditarik lagi garisyang menyinggung titik tersebut dengan fungsi f(x,y) untukmendapatkan f(x2) dan seterusnya.

11/20/2017

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y(x)

dy/dx

(x1,y1)

(x0,y0)

(x2,y2) (x3,y3

) (x4,y4)

(x5,y5)

(x6,y6)

(x7,y7)

(x8,y8)

Metode Euler (Cont.)

11/20/2017

10

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.5 1

y(x)

yrYr+1 sejati

Yr+1 hampiran

Yr sejati

AB

C

galat

h

),(

),(

),()('

1

1

1

rrrr

rrrr

rrrrr

yxhfyy

yyyxhf

h

yy

AB

BC

x

yyxfxym

Metode Euler (Cont.)

11/20/2017

11

Metode Euler (Cont.)

Galat

–Galat Pemotongan

sebanding dengan kuadrat ukuran langkah

–Galat Kumulatif

)()(''2

1 22 hOtyhEp

)(2

)('')()(''

2

)()(''

2)(''

2

1 22

2

1

hOthyab

tyhh

abyy

nhtyhE

n

r

kumulatif

11/20/2017

12

Metode Euler (Cont.)

Contoh Soal :

Diketahui dy/dx =x + y ; y(0) = 0. Berapa y(0.1) dengan

langkah h = 0.02 dan h = 0.05, jika diketahui fungsi asli adalah

y(x) = ex-x-1, langkah mana yang lebih teliti ?

h = 0.05

x = 0 y(0) = 0

x = 0.05 y(0.05) = 0 + 0.05(0+0) = 0

x = 0.1 y(0.1) = 0 + 0.05(0.05+0) = 0.0025

h = 0.02

x = 0 y(0) = 0

x = 0.02 y(0.02) = 0 + 0.02(0+0) = 0

x = 0.04 y(0.04) = 0 + 0.02(0.02+0) = 0.0004

x = 0.06 y(0.06) = 0.0004 +0.02(0.04+0.0004) = 0.001208

x = 0.08 y(0.08) = 0.001208 +0.02(0.06+0.001208) = 0.00243216

x = 0.1 y(0.1) = 0.00243216 + 0.02(0.08+0.00243216) = 0.0040808032

y(0.1) = e0.1-0.1-1=0.005170918

Langkah h = 0.02 lebih teliti

11/20/2017

13

Metode Heun

Merupakan perbaikan metode Euler.

Solusi Euler dijadikan solusi perkiraan awal dan diperbaikidengan metode Heun.

Perbaikan gradien yang digunakan merupakan rata-rata gradien dari 2 titik yang ada.

11/20/2017

14

Metode Heun (Cont.)

Dari satu titik awal (xr,yr), iterasi dan gradien didapatkanperkiraan nilai y(xr+1) selanjutnya (xr+1,yr+1) besertagradiennya.

Dari dua gradien yang adadicari rata-ratanya kemudiandigunakan untuk menghitungkembali nilai y(xr+1).

Misal :

– Awal iterasi dimiliki (x0,y0) dan f(x0,y0)

– Kemudian digunakan untukmenghitung y(x1) dandidapatkan f(x1,y1)

– Hitung kembali y(x1) dengangradien (f(x0,y0)+f(x1,y1)/2

),(

)),(),((2

1,(

),();,(

),(

),();,(

1

0

11)

0

11

0

11

0

1

rrrr

rrrrrr

rrrr

rrrr

rrrr

yxfhyy

yxfyxfyxf

yxfyx

yxhfyy

yxfyx

atau ditulissekaligus sebagaiberikut

1 1( , ) ( , ( , ))2

r r r r r r r r

hy y f x y f x y hf x y

11/20/2017

15

Metode Heun (Cont.)

Secara geometris :

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0.5 1

y(x)

yr_euler

yr_heun

f(xr,yr)

f(xr+1,yr+1)

frat(xr,yr)

(xr,yr)

(xr+1,yr+1)

11/20/2017

16

Metode Runge-Kutta

Bentuk umum Runge Kutta Orde n:

yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + … + ankn

Dengan a1,a2,a3, …,an adalah konstanta

k1 = hf(xr,yr)

k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)

k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)

k4 = h(f(xr+p3h,yr+q31k1+q32k2+q33k3)

…

kn = h(xr+pn-1h,yr+qn-1,1k1+qn-1,2k2+…+qn-1,n-1kn-1)

Galat

– Per langkah Runge Kuta orde n : O(hn+1)

– Kumulatif orde n :O(hn)

11/20/2017

17

Orde 1

k1 = hf(xr,yr)

yr+1 = yr + a1k1 ; a1 = 1

didapat

yr+1 = yr + hf(xr,yr) Metode Euler

Galat :

Per langkah : O(h2)

Kumulatif : O(h)

MetodeRunge Kutta (Cont. )

11/20/2017

18

Orde 2

k1 = hf(xr,yr)

k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)

yr+1 = yr + a1k1 + a2k2

Dengan penurunan rumus yang sudah ada didapatkan :

a1 = 1-a2 = 1-t

p1 = 1/(2a2) = 1/(2t)

q11 = 1/(2a2) = 1/(2t)

Artinya ada tak berhingga formula orde dua.

Dengan a1=a2 = ½, q11 = 1 , p1 = 1

k1 = hf(xr,yr)

k2 = h(f(xr+h, yr+k1)

yr+1 = yr + ½ (k1 + k2) Metode Heun

MetodeRunge Kutta (Cont. )

11/20/2017

19

Orde 3

k1 = hf(xr,yr)

k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)

k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)

yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + a3k3

dengan menggunakan penurunan rumus yang ada didapatkan :

k1 = hf(xr,yr)

k2 = h(f(xr+1/2 h, yr+1/2 k1)

k3 = h(f(xr+h,yr-k1+2k2)

yr+1 = yr + 1/6( k1 + 4k2 + k3)

MetodeRunge Kutta (Cont. )

11/20/2017

20

Orde 4

k1 = hf(xr,yr)

k2 = h(f(xr+p1h, yr+q11k1)

k3 = h(f(xr+p2h,yr+q21k1+q22k2)

k4 = h(f(xr+p3h,yr+q31k1+q32k2+q33k3)

yr+1 = yr + a1k1 + a2k2 + a3k3 + a4k4

dengan menggunakan penurunan rumus yang ada didapatkan :

k1 = hf(xr,yr)

k2 = h(f(xr+1/2 h, yr+1/2 k1)

k3 = h(f(xr+1/2h,yr+1/2 k2)

k4 = h(f(xr+h,yr+k3)

yr+1 = yr + 1/6( k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

MetodeRunge Kutta (Cont. )

11/20/2017

THANK YOU