TURUNAN FUNGSI (3)

Turunan Fungsi ImplisitFungsi implisit adalah fungsi yang berbentuk f (x,y)= 0 atau f(x,y)=c. Maka cara mencari dy/dx dari fungsi implicit adalah sebagai berikut:Untuk memudahkan pemahaman , maka akan langsung diberikan beberapa

contoh.

Contoh:

1) x2 + y2= 25 (fungsi Implisit)

dydx

=2 x+2 y dydx

=0

2 x+2 y dydx

=0

2 y dydx

=−2 x

dydx

=−2 x2 y

dydx

=−xy

2) jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0

tentukan

dydx

dan d2 ydx2

di titik

x=3y=2

Jawab :

x2 + y2 – 2x – 6y + 5 =0

2x + 2y

dydx

−2−6 dydx

=0

(2y - 6)

dydx =2 – 2x

52

2 (y-3)

dydx =2(1-x)

dydx =

1−xy−3

di (3,2)

dydx

=−2−1

=2

d2 ydx2 = d

dx ( 1−xy−3 )

=( y−3 )(−1)−(1−x )(1)

dydx

( y−3 )2

¿(3− y )−(1−x )

dydx

(2−3)2

¿(3−2)−(1−3 ) .2(2−3)2

¿1−(−2)2

1=5

3) f(x,y)= x + xy2 – x sin y

(atau, x + xy2 = x sin y)

cari

dydx dan

d2 ydx2

Jawab : (Coba sendiri yah, buat latihan .... )

Penurunan dengan Bantuan Logaritma

Untuk menurunkan Fungsi yang berpangkat Fungsi, dapat digunakan penurunan

dengan bantuan logaritma.

Jika diketahui z = f(u,v)= uv, dimana u,v adalah fungsi dalam x maka

dfdx dapat

dicari dengan 2 cara:

1. z = uv

53

ln z = ln uv

ln z = v ln u

diturunkan ke-x:

1z

dzdx

=dvdx

. ln u+vu

dudx

dzdx

=uv (dvdx

ln u+vu

dudx )

2. z = uv

z = eln uv

=ev ln u

dzdx

=ev lnu ( dvdx

ln u vu

dudx )

uv( dvdx

lnu+ vu

dudx )

contoh:

Diketahui z = xx

Cara pertama:

z = xx

ln z = ln xx

ln = x ln x

1z

dzdx

=1 . ln x+ xx

dzdx =xx (ln x +1)

Cara kedua:

z = xx

z = eln X X

=ex ln x

dzdx

=ex ln x(1 ln x+ xx )

e x ln x ( ln x+1 )xx ( ln x+1 )

54

TURUNAN FUNGSI (4)

Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter

x= f ( t )y=g ( t ) t = parameter

dydx

= limΔx−0

ΔyΔx

= limΔt−0

Δy / ΔtΔx / Δt

=limΔt−0

Δy / Δt

limΔt−0

Δx / Δt=dy /dt

dx /dt

Jika

dydx

= y '

dydt

=Y¿

dxdt

=X¿

y’=

Y¿

X¿

maka

d2 ydx2 = d

dx (dy

dtdx

dt)= d

dt (dy

dtdx

dt) . dt

dx

=

dxdt

d2 ydt 2−

dydt

d2 xdt2

1dx

dt

( dxdt )

2

= y = { { {x} cSup { size 8{ cdot } } {y - {}} cSup { size 8{ cdot cdot } } {y} cSup { size 8{ cdot } } {x} cSup { size 8{ cdot cdot } } } over { left ( {x} cSup { size 8{ cdot } } right ) rSup { size 8{3} } } } } { ¿ y '= y

¿

x¿

Contoh:

1) x= 2 – t

y=t2 – 6t + 5

55

maka y’ =

dydx

= y¿

x¿

dxdt

= y¿=2 t−6

dxdt

=x∘=−1

y '=dydx

=2 t−6−1

=6−2t=2 (2−t )+2

= 2x+2

= 2(x+1)

Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah Lebih Dari Satu

Secara umum jika diketahui z adalah funsi dari u1, u2, u3, …, un, dan u1, u2,

u3, …, un adalah fungsi dari x, maka

dzdx

= ∂ z∂ u1

.du1

dx+ ∂ z

∂u2.

du2

dx+. . .+ ∂ z

∂ un.dun

dx

∂ z∂u = derifatif parsiil pertama dari z ke u

artinya peubah lain kecuali u dianggap konstan.

Contoh:

z = x2+y3+x2y3

dzdx

=z '=2 x+3 y2 dydx

+2 xy 3+3 y2 x2 dydx

∂ z∂ x

=zx=2 x+2 xy3

∂ z∂ y

=zy=3 y2+3 y2 x2

56

2)

x=t−sin ty=1−cos t 0<t<

x∘=dx

dt=1−cos t

y∘=dy

dt=sin t

y '=sin t1−cos t

=sin ty

sin t dinyatakan dalam y

y= 1 – cos t

cos t = 1 – y (sin2t + cos2t = 1)

sin t = √1−cos2 t

√1−(1− y )2=√1−(1−2 y+ y2)

√1−1+2 y− y2=√2 y− y2

y’=

1y √2 y− y2

57

TURUNAN FUNGSI: BEBERAPA APLIKASI (5)

FUNGSI NAIK DAN TURUN

Definisi :

Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan

bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 < x2 yang

terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) .

Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan

bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 > x2 yang

terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) .

Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1.

Skema :

x0-h x1 x0 x2 x0+h

x0-h x1 x0 x2 x0+h

Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Dalil :

fs turun

fs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naikfs naik

fs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turunfs turun

58

Jika f ' ( x0) > 0 y = f (x) naik di x = x0

f ' ( x0) < 0 y = f (x) turun di x = x0

f ' ( x0) = 0 titik stasioner dari fungsi f tercapai

f } } \( x rSub { size 8{0} } \) `<`0} {¿¿¿ maka titik (x0 , f(x0)) titik maksimum

f } } \( x rSub { size 8{0} } \) `>`0} {¿¿¿ maka titik (x0 , f(x0)) titik minimum

Contoh :

f ( x )=2 x4−4 x2+3

Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsi f

Jawab :

f (x) = 2x4 – 4x2 + 3

f’ (x) = 8x3 – 8x

= 8x (x2 – 1)

f” (x) = 24x2 – 8

Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0

f’ (x) = 8x (x2 – 1) = 0

= 8x (x+1) (x-1) = 0

x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1

f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1

-1 0 1

f” (0) = -8 < 0 maka (0, 3) titik maksimum

f” (1) = 16 > 0 maka (1, 1) titik minimum

- + - +

59

f” (-1) = 16 > 0 maka (-1, 1) titik minimum

Sebelum mempelajari soal-soal lebih lanjut, akan diberikan terlebih dahulu

teorema-teorema yang mendukung fungsi naik maupun fungsi turun.

Teorema Uji Keturunan Kedua untuk Kecekungan

Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua pada selang I (terbuka)

1. Jika f } } \( x \) `>`0} {¿ ¿¿ Grafik f cekung ke atas pada I

2. Jika f } } \( x \) `<`0} {¿ ¿¿ Grafik f cekung ke bawah pada I

Definisi Titik Belok (Ekstrim)

f fungsi kontinu pada selang terbuka I a ∈ I . Titik (a , f (a )) dikatakan titik belok

jika dipenuhi 2 syarat berikut :

1. Terdapat perubahan kecekungan dari grafik fungsi f disekitar x = a

2. Terdapat garis singgung pada grafik fs f di (a , f (a ))

Contoh :

f ( x )=5 x3−3x5+2

f ' ( x )=−15 x4+15 x2=0

x2(15−15 x2 )

(a) Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah

(b) Tentukan semua titik ekstrimnya

Jawab :

f ( x )=5 x3−3 x5+2 , x ∈ R

f ' ( x )=15 x2−15 x4 , x ∈ R

f } } \( x \) ``=30 x - 60 x rSup { size 8{3} } ~,`x` func `R} {∈ ¿¿¿

= −60 x ( x2−1

2)

60

= −60 x ( x+ 1

2 √2) (x−12 √2

x1=0 x2=−12 √2 x3=

12 √2

f (0)=2 ;f (−1

2 √2)=2−78 √2

;f ( 1

2 √2 )=2+ 78 √2

0

−12 √2

12 √2

x<−12 √2 −1

2 √2< x<0 x>12 √2

(a) f cekung ke atas :

(−n , −12 √2) ; (0 , 1

2 √2)f cekung ke bawah :

(−12 √2 , 0) ; ( 1

2 √2 , n)

(b) Karena f”(x) ada di x ∈ R dan disekitar x=− 1

2 √2 , x=0 , x=12 √2

ada perubahan kecekungan, maka titik ekstrimnya

(− 12 √2 , 2−7

8 √2) ; (0 , 2 ) ; ( 12 √2 , 2+ 7

8 √2)

TitikEkstrim

TitikEkstrim

TitikEkstrim

+ + - - + + - -

61

Garis singgung dan Garis Normal

Untuk menentukan garis singgung suatu kurva, dapat menggunakan teorema-

teorema berikut ini :

a. Teorema Rolle

Misalkan f memenuhi syarat :

a) Kontinu pada selang tertutup (a, b)

b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)

c) f (a) = f (b)

Maka terdapat suatu c ∈ (a , b ) Э f’ (c) = 0

(Teorema ini menjamin adanya titik-titik pada grafik f(x) dimana f’ (x) = 0

atau garis singgung mendatar).

Skema :

f’(c) = 0

f (c)

f

f (a) = f (b)

a c b

Gambar 3.2. Skema Teorema Rolle.

b. Teorema Nilai Rata-rata

Misalkan f memenuhi syarat :

d) Kontinu pada selang tertutup (a, b)

e) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)

Maka terdapat suatu c ∈ (a , b ) sehingga f ' (c )=

f (b )− f (a )b−a

(Teorema ini menjamin adanya titik pada f yang garis singgung // dengan ruas

garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dengan (b, f(b)).

62

Skema :

f’(c)

f (c)

f (b)

f (a)

a c b

b – a

Gambar 3.3 Skema Teorema

Nilai Rata-rata.

c. Teorema, Rumus Tayor

Misal fungsi f mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang

memuat titik x dan x0 , maka f(x) dapat diuraikan dalam bentuk :

f(x)= f ( x0)+

f ' ( x0 )1!

( x−x0 )+ f \( x rSub { size 8{0} } \) } over {2!} } \( x - x rSub { size 8{0} } \) rSup { size 8{2} } +~ dotsaxis ~+{}} {¿¿¿

f (n)( x0 )n!

( x−x0)n+

f (n+1 )(c )(n+1)!

( x−x0 )n+1

c terletak antara x dan x0 .

Dapat ditulis :

f ( x )=Pn( x )+Rn (x )

Dimana :

Pn(x) = suku banyak Taylor berderajad n

Rn(x) =

f (n+1 )(c )(n+1 )!

( x−x0 )n+1

= suku sisa uraian Taylor

Contoh :

Deretkan dengan R. Talyor f(x) = sin x di x0 = 0

(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))(b, f (b))

63

Jawab :

f(x) = sin x f (0) = 0

f’(x) = cos x f’(0) = 1

f”(x) = -sin x f”(0) = 0

f3(x) = -cos x f3(0) = -1

f4(x) = sin x f4(0) = 0

f5(x) = cos x f5(0) = 1

f(x)= f (0)+

f ' (0)1!

x+ f \( 0 \) } over {2!} } x rSup { size 8{2} } +~ dotsaxis } { ¿¿ ¿

= 0+1 .x+0+

(−1 )3 !

x3+ ⋯

= x− x3

3 !+ x5

5 !− ⋯

Deret Taylor dimana x0 = 0 dinamakan Deret Mac Laurin.

Contoh :

Diket : f(x)=x3-9x2+15x-5

Tentukan semua titik ekstrimnya.

Jawab:

f'(x) = 3x2-18x+15

Stasioner jika f'(x) = 0, maka 3x2-18x+15 =0 atau x2-6x+5 = 0.

Sehingga (x-5)(x-1)=0, x1 = 5, x2 = 1.

f''(x) = 6x – 18 , maka f''(5) > 0, dan f''(1) < 0.

Jadi ekstrim minimum terjadi di titik (5, 12) dan ekstrim maksimum di titik

(1,-12).

64

Bentuk-bentuk Tidak TertentuYang dinamakan bentuk-bentuk tak tertentu adalah bentuk-bentuk berikut:

00

; ∞∞ ; 0 .∞ ; ∞−∞ ; 1∞ ; 00 ; ∞0

Aturan dari de l’ Hospital :

1. Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan sebanyak n kali

disekitar x = a.

f (a )= f ' (a )=f \( a \) =` dotsaxis `=f rSup { size 8{ \( n - 1 \) } } \( a \) =0} { ¿

g(a )=g ' (a)=g \( a \) =` dotsaxis `=g rSup { size 8{ \( n - 1 \) } } \( a \) =0} { ¿Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak nol, maka :

limx→a

f ( x )g ( x )

=f (n)(a)g(n)( a)

2. Kecuali untuk bentuk

00 , aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai untuk

bentuk ∞∞ .

f (a )= f ' (a )=f \( a \) = dotsaxis =f rSup { size 8{n - 1} } \( a \) = infinity } {} # g \( a \) =g' \( a \) =g (a)=⋯=gn−1(a )=∞ ¿Sedang f (n) (a) dan g (n) (a) salah satu atau keduanya tidak tak berhingga, maka

:

limx→a

f ( x )g ( x )

=f (n)(a)g(n)( a)

Contoh:

1.lim

x→ 2

x2−x−22−x →

00

= lim

x→ 2

2 x−1−1

=−3

2.lim

x→ 0

sin x2

sin2 x →00

= lim

x→ 0

2 x cos x2

2 sin x cos x →00

65

= lim

x→ 0

2 x cos x2

sin 2 x →00

= lim

x→ 0

2 cos x2−(2 x ) (2 x )sin x2

2cos2 x

=

2. 12

=1

3.lim

x→∞

x2+x3 x2+1→

∞∞

= lim

x→∞

2 x+16 x →

∞∞ =lim

x→∞

26=1

3

=

limx→∞

2 xx

+ 1x

6 xx

=26=1

3

Contoh:

1.lim

x→ Π2

ln( x−Π2)

tan x=

limx→ π

2

1x−π /2sec2 x =

limx→ π

2

cos2 xx−π /2 =

limx→ π

2

1/2(cos2 x+1)x−π /2 =

limx→ π

2

1/2(−2 sin 2 x )1 = 0

2.limx→0

ex−1x2

= limx→0

ex

2 x=lim

x→0

ex

2=1/2

3.lim

x→∞

x2

ℓx−1

= limx→∞

2 xex

= limx→∞

2e x

=0

66

DAFTAR PUSTAKA

[1] Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus S., Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi, Ghalia Indonesia, Jakarta, 1995

[2] Frank Ayres, Differential and Integral Calculus 2/ed, McGraw-Hill Book Company, NewYork, 1978.

[3] Leithold, L ., 1972, The Calculus with Analitic Geometry, Harper International Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.

[4] Martono, K., 1970, Modern Control Engineering, Prentice-Hall., Englewood Cliffs, New Jersey.

Kreyzig, E., 1983, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley and Sons, Inc, Canada.

67