LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL … 4 4 h 0 Definisi turunan (rumus) Misal fungsi f memetakan x...
Transcript of LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL … 4 4 h 0 Definisi turunan (rumus) Misal fungsi f memetakan x...
Matematika15.wordpress.com
1 King’s Learning Be Smart Without Limits
LEMBAR AKTIVITAS SISWA – DIFFERENSIAL (TURUNAN)
Nama Siswa : ___________________
Kelas : ___________________
Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013):
3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau
konteks lain dan menerapkannya.
3.22 Menurunkan aturan dan sifat turunan fungsi aljabar dari aturan dan sifat
limit fungsi.
3.23 Memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah dunia nyata dan
matematika yang melibatkan turunan dan memeriksa kebenaran langkah-
langkahnya.
3.24 Memahami konsep turunan dan menggunakannya untuk menganalisis
grafik fungsi dan menguji sifat-sifat yang dimiliki untuk mengetahui fungsi
naik dan fungsi turun.
3.25 Menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi untuk menentukan gradien garis
singgung kurva, garis tangen, dan garis normal.
3.26 Memahami konsep dan sifat turunan fungsi terkait dan menerapkannya
untuk menentukan titik stasioner (titik maximum, titik minimum dan titik
belok).
3.27 Menganalisis bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta
menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan masalah
maximum dan minimum.
4.16 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam
memecahkan masalah nyata tentang turunan fungsi aljabar.
4.18 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam
memecahkan masalah nyata tentang fungsi naik dan fungsi turun.
4.19 Merancang dan mengajukan masalah nyata serta menggunakan konsep dan
sifat turunan fungsi terkait dalam titik stasioner (titik maximum, titik
minimum dan titik belok).
4.20 Menyajikan data dari situasi nyata, memilih variabel dan
mengomunikasikannya dalam bentuk model matematika berupa persamaan
fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam
memecahkan masalah maximum dan minimum.
A. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN)
Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju
perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f ’(x).
a)ha(
)a(f)ha(f
x
y
h
)a(f)ha(f
x
y
Limitkan kedua ruas (perubahan h mendekati nol)
)a('fh
)a(f)ha(flim
x
ylim
0h0h
f’(a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
Contoh :
f(x) = 4x + 1 f’(2) = …….
f’(2)= h
)2(f)h2(flim
0h
= h
)12.4()1)h2(4(lim
0h
= h
h4lim
h
91h48lim
0h0h
= 44lim0h
Definisi turunan (rumus)
Misal fungsi f memetakan x ke y atau y = f(x), x sebagai variabel
bebas dan y sebagai variabel terikat. Turunan y = f(x) terhadap x
adalah:
Notasi turunan
Notasi lain dari turunan: d
dx f(x) atau
df
dx atau
dy
dx
Contoh:
Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut terhadap x.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
2 King’s Learning Be Smart Without Limits
B. ATURAN-ATURAN DARI TURUNAN (RUMUS-RUMUS)
Jika U dan V adalah fungsi dalam x, sedangkan k dan n adalah
konstanta, maka dari definisi turunan diperoleh rumus sebagai
berikut:
No y atau f(x) y’ atau f ’(x) atau
𝐝𝐲
𝐝𝐱
1 k (konstanta) 0
2 kx k
3 xn n. xn−1
4 k.xn k.n. xn−1
5 U ± V (Penjumlahan/pengurangan
fungsi) U’ ± V’
6 Un n. U n – 1
. U’
7
U.V (perkalian antara fungsi) U’.V + U.V’
U.V.W
U’.V.W +
U.V’.W +
U.V.W’
8 U
V (Pembagian antara fungsi)
U′ . V − U.V′
V2
9
y = f(u) dan u = g(x)
dy
dx=
dy
du.
du
dx
(Aturan Berantai)
y = f(u) , u = g(v) , dan v =
h(x)
dy
dx=
dy
du.
du
dv.
dv
dx
10 (fog)(x) = f(g(x)) (komposisi
fungsi) f‘ (g(x)) . g’(x)
Langkah-langkah penyelesaian turunan:
Perhatikan soal apakah soal perlu disederhanakan atau
dijabarkan
Perhatikan bentuknya: apakah U + V, Un, U.V,
U
V, turunan
berantai, atau komposisi fungsi. Kemudian gunakan
rumus yang sesuai dan rumus dasar (1 – 4)
Contoh:
Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut:
a. f(x) = 3. x23
b. f(x) = x3− 3x2+2x
x
c. f(x) = (6x – 3) (5x + 2)
d. f(x) = 4x
x−5
e. f(x) = x2 + 3
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
3 King’s Learning Be Smart Without Limits
Latihan 1
1.
Jawab:
2.
Jawab:
3.
Jawab:
4.
Jawab:
5.
Jawab:
6. Jawab: 7. Jawab: 8.
Jawab:
9.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
4 King’s Learning Be Smart Without Limits
10.
Jawab: 11. Jawab: 12. Jawab: 13. Jawab:
14.
Jawab: 15.
Jawab: 16. Jawab:
Matematika15.wordpress.com
5 King’s Learning Be Smart Without Limits
17. Jawab: 18.
Jawab: 19. Jawab:
C. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA
1. Menetukan Gradien Garis Singgung
Dik:
P = titik singgung
g = garis singgung
h = garis normal (garis yang tegak lurus (⊥) dengan garis singgung)
Jika kurva y = f(x) disinggung garis g di titik (x1,y1), maka
gradien garis singgung g adalah:
Persamaan garis singgung g melalui melalui titik tersebut
adalah:
Persamaan garis normal atau garis h melalui titik P(x1,y1) dan
tegak lurus garis g adalah:
Contoh:
Tentukanlah gradien garis singgung kurva f(x) = x2 + 3x = 4 pada
titik (2,14).
Jawab:
Contoh:
Tentukanlah persamaan garis normal kurva y = 3x2 – 4x dititik (1,-
1).
Jawab:
m = f ‘ (x1) atau m = 𝑑𝑦
𝑑𝑥
x = x1
y – y1 = m(x – x1)
y – y1 = −1
m (x – x1)
Matematika15.wordpress.com
6 King’s Learning Be Smart Without Limits
1. Sifat-sifat gradien garis singgung
Jika: garis g ≡ y = mx + c1
Garis h ≡ y = mx + c2
Garis g // h (sejajar) → mg = mh
Garis g ⊥ h (tegak lurus) → mg = −1
mh
Contoh:
Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 1
4 x
2 = x – 4 yang
tegak lurus dengan garis -2x – 6y + 7 = 0
Jawab:
Latihan 2
1.
Jawab: 2.
Jawab: 3. Jawab:
4.
Jawab: 5.
Jawab:
6.
Jawab:
7.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
7 King’s Learning Be Smart Without Limits
8.
Jawab:
9.
Jawab:
10.
Jawab:
11.
Jawab:
12.
Jawab:
13.
Jawab:
14.
Jawab:
15.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
8 King’s Learning Be Smart Without Limits
16.
Jawab:
17.
Jawab:
18.
Jawab:
19.
Jawab:
20.
Jawab:
21.
Jawab:
22.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
9 King’s Learning Be Smart Without Limits
D. FUNGSI NAIK, FUNGSI TURUN, DAN STASIONER
1. Fungsi Naik
Garis singgung membentuk sudut
lancip dengan sb x positip maka
tangen sudutnya positif atau gradien
(m) > 0 dimana m = f‘ (x) maka syarat
fungsi naik adalah :
2. Fungsi Turun
Garis singgung membentuk sudut
tumpul dengan sumbu x positip maka
m < 0 maka syarat fungsi turun adalah :
Contoh:
Jawab:
3. Titik Stasioner
Titik stasioner adalah titik tempat fungsi berhenti naik atau turun untuk
sementara (titik bergradien sama dengan nol)
Garis singgung sejajar sb x maka gradien m = 0 maka syarat titik
stasioner adalah :
dari f’(x) = 0 akan diperoleh nilai–nilai x
Mis : x1 dan x2 maka :
f(x1) dan f(x2) disebut nilai stasioner (nilai kritis)
[x1, f(x1] dan [x2,f(x2)] disebut titik stasioner (titik kritis)
4. Jenis-jenis titik Stasioner
TITIK A TITIK STASIONER MAX
Koord. Titik max [x1, f(x1)]
f(x1) = nilai max
Syarat :
TITIK B TITIK STASIONER MIN
Koord. Titik min [x2, f(x2)]
f(x2) = nilai min
Syarat :
TITIK C TITIK STASIONER BELOK
Koord. Titik belok [x3, f(x3)]
f(x3) = nilai belok
Syarat :
Langkah penyelesaian :
1. Syarat stasioner f’(x) = 0
2. Substitusi. x1 dan x2 pada f”(x)
f”(x) < 0 (max)
f”(x) > 0 (min)
3. Titik belok : f”(x) = 0
f ‘ (x) > 0
f ’ (x) < 0
f’(x) = 0
f” (x1) < 0
f” (x2) > 0
f’’ (x) = 0
Matematika15.wordpress.com
10 King’s Learning Be Smart Without Limits
Contoh:
Jawab:
Contoh:
Latihan 3
1.
Jawab:
2.
Jawab:
3. Jawab: 4. Jawab: 5. Jawab:
Matematika15.wordpress.com
11 King’s Learning Be Smart Without Limits
6.
Jawab: 7. Jawab: 8. Jawab: 9. Jawab:
10. Jawab: 11. Jawab: 12. 13. Jawab:
Matematika15.wordpress.com
12 King’s Learning Be Smart Without Limits
14.
Jawab: 15.
Jawab: 16.
Jawab: 17. Jawab:
18. Jawab: 19. Jawab: 20.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
13 King’s Learning Be Smart Without Limits
E. PENERAPAN TURUNAN
Contoh:
Contoh:
Contoh:
Latihan 5 1.
Jawab: 2. Jawab: 3. Jawab:
Matematika15.wordpress.com
14 King’s Learning Be Smart Without Limits
4. Jawab: 5. Jawab: 6. Jawab:
7.
Jawab: 8. Jawab:
"Fokus pada kelebihanmu.. bukan kekuranganmu”