April 15, 2023

Bab 5Suku Banyak

PersamaanSuku

Banyak

BentukUmum

OperasiAljabar

Nilai SukuBanyak

MenentukanFaktor

menggunakan

Suku Banyak

Pembagian

Teorema Sisa

Penyelesaian

Penjumlahan,Pengurangan,dan Perkalian

Teorema

Faktor

Jumlah danHasil Kali

Akar

mempelajari

April 15, 2023

1. Tentukan koefisien-koefisien persamaan

3x3 – 2x2 + 5x + 1 = 0. Berapa suku tetapnya?

2. Sederhanakanlah (5x + 2)2 + (2x – 1)2.

3. Tentukan penyelesaian dari

a. x2 – 4x + 3 = 0;

b. 2x2 – x – 3 = 0;

c. 6x2 – x – 2 = 0.

4. Tentukan faktor-faktor dari (x2 + 2x + 1)(2x2 + 3x – 2) = 0.

April 15, 2023

1. Pengertian Suku Banyak, Derajat, Koefisien, dan Suku Tetap

Bentuk umum suku banyak:

Misalkan f(x) adalah suku banyak dengan variabel x.

f(x) = anxn+ an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a0

dengan n adalah derajat suku banyak.

Dalam hal ini, an, an – 1, an – 2, ... a0 berturut-turut adalah

koefisien dari xn, xn – 1, xn – 2, ..., x0.

Ingat x0 adalah suatu konstanta. Dalam hal ini, x0 = a0.April 15, 2023

Contoh:

Tentukan derajat, koefisien, dan suku tetap dari suku banyak 4x3 –

2x2 + x + 3.

Jawab

Suku banyak f(x) = 4x3 – 2x2 + x + 3.

Suku dengan pangkat tertinggi adalah 4x3 sehingga derajat

f(x) adalah 3.

Koefisien x3 diperoleh dari 4x3, yaitu 4.

Koefisien x2 diperoleh dari –2x2, yaitu –2.

Koefisien x diperoleh dari x, yaitu 1.

Suku tetap adalah 3.

April 15, 2023

2. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak

Suku sejenis adalah suku yang memiliki derajat x yang

sama. Misalnya, 3x2 sejenis dengan –x2 tetapi tidak sejenis dengan 3x3, –2x5 sejenis dengan 5x5, dan x6 sejenis dengan –2x6.

Contoh:

Misalkan diketahui f(x) = –4x3 + 2x2 – 7x + 6 dan

g(x) = 2x3 – x2 + 5x – 5. Tentukan f(x) + g(x).

Jawab:

f(x) + g(x) = (–4x3 + 2x2 – 7x + 6) + (2x3 – x2 + 5x – 5)

= (–4x3 + 2x3) + (2x2 + (–x2) + (–7x + 5x) +

(6 + (–5))

= –2x3 + x2 – 2x + 1

April 15, 2023

3. Perkalian Suku Banyak

Perlu diingat bahwa dalam bilangan berpangkat berlaku sifat:

am × an = am+n

ContohTentukan hasil perkalian dari suku banyak berikut.(2x – 3)(x + 2)Jawab:Cara 1: (Dengan sifat distributif)(2x – 3)(x + 2) = 2x(x + 2) – 3(x + 2 = 2x2 + 4x – 3x – 6

= 2x2 + x – 6Cara 2: (Dengan skema)

(2x – 3)(x + 2) = 2x2 + 4x – 3x – 6 = 2x2 + x – 6

April 15, 2023

4. Kesamaan Suku Banyak

Dua suku banyak memiliki kesamaan jika keduanya berderajat

sama dan koefisien dari variabel dengan pangkat yang

bersesuaian adalah sama.

Misalkan:

f(x) = anxn+ an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a0

g(x) = bnxn+ bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ... + b0

Fungsi f(x) sama dengan g(x), dinotasikan f(x) = g(x), jika dan

hanya jika

an = bn, an – 1 = bn – 1, ..., a0 = b0.

April 15, 2023

Contoh:

Diketahui suku banyak px2 + qx + r sama dengan

4x2 – 3x + 10. Tentukan nilai-nilai p, q, dan r.

Jawab:

Karena kedua suku banyak sama maka

px2 + qx + r = 4x2 – 3x + 10.

Dengan demikian, diperoleh

px2 = 4x2 p = 4

qx = –3x q = –3

sehingga r = 10.

April 15, 2023

1. Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Substitusi

Misal diketahui suatu fungsi f(x) = 2x2 + 3x – 4.

Bagaimana cara menentukan nilai f untuk x = 3?

Dengan subtitusi x = 3, diperoleh

f(x) = 2x2 + 3x – 4

f(3) = 2(3)2 + 3(3) – 4

= 2(9) + 9 – 4

= 18 + 9 – 4 = 23

Hal ini dapat diperluas untuk x = k dan f(x) merupakan

fungsi sebuah suku banyak.

April 15, 2023

2. Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Cara Sintetik

Perhatikan metode sintetik berikut.

Misalkan f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0.

Kita ubah f(x) menjadi f(x) = (a3x2+ a2x+ a1)x + a0

= (( a3x + a2 )x + a1)x + a0

Bentuk f(x) = ((a3x + a2)x + a1)x + a0 disebut bentuk bagan. Nilai suku

banyak untuk x = k adalah

f(k) = ((a3k + a2)k + a1)k + a0.

Jika persamaan terakhir dituliskan dalam bentuk skema atau sintetik,

tampak seperti berikut.

April 15, 2023

April 15, 2023

Tanda ” ” berarti kalikan dengan k.

Hasil penjumlahan secara vertikal paling akhir merupakan nilai

f(k).

+

k a3

a3

a2

a3k

a3k + a2

(a3k + a2)k

(a3k + a2)k + a1

((a3k + a2)k + a1)k

a1 a0……….. (koefisien)

.... (hasil kali dengan k)

((a3k + a2)k + a1)k + a0 = f(k)

Contoh:

Tentukan nilai f(x) = 5x4 – 4x3 + 2x2 + 10x + 5, untuk x = 3.

Jawab:

Perhatikan bahwa f(x) = 5x4 – 4x3 + 2x2 + 10x + 5.

f(3) = 5(34) – 4(33) + 2(32) + 10(3) + 5

= 350

Nilai f(3) dapat juga dihitung dengan cara sintetik berikut.

April 15, 2023

5 11 35 115

3

350 = f(3)

15 33 105 345

5 -4 2 10 5

+

1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian

Kalian tentu sudah pernah mempelajari pembagian dengan cara bersusun. Misalkan kita akan menghitung 412 : 7.

58 → hasil bagi

7 412 → bilangan yang dibagi

35

62

56

6 → sisa pembagian

Jadi, hasilnya dapat kita tuliskan sebagai berikut.

April 15, 2023

Pembagi →

2. Konsep Habis Membagi dan Modulo (Pengayaan)

a. Habis Membagi (Keterbagian)

Pada pembagian 15 : 5, bilangan 5 habis membagi 15, ditulis

5 | 15. Habis membagi artinya sisanya nol. Pada pembagian

14 : 5, bilangan 5 tidak habis membagi 14, ditulis 5 | 14.

14 : 5 = 2 sisa 4 dapat ditulis 14 = 2 × 4 + 4.

1) Keterbagian oleh 2, 4, dan 8

2|p, jika p merupakan bilangan genap.

4|p, jika 2 digit terakhirdari p habis dibagi 4.

8|p, jika 3 digit terakhir dari p habis dibagi 8.

April 15, 2023

2) Keterbagian oleh 3, 6, dan 9

3|p, jika jumlah digit dari p habis dibagi 3.

6|p, jika P merupakan bilangan genap dan jumlah digit dari p habis dibagi 3.

9|p, jika jumlah digit dari p habis dibagi 9.

3) Ketebagian oleh 11

11|p, jika jumlah (+) dan (–) secara selang-seling dari digit p habis dibagi 11.

4) Keterbagian oleh 99

99|p jika jumlah kelompok 2 digit dari kanan p habis dibagi 99.

Sifat keterbagian

1) Jika a|b dan b|c maka a|c.

2) Jika ab|c maka a|c dan b|c.

April 15, 2023

Contoh:

Tunjukkan bahwa

a. 3.316 habis dibagi 4;

b. 34.848 habis dibagi 99.

Jawab:

a. Sifat habis dibagi 4 adalah dua digit terakhir habis dibagi 4.

3.316 → dua digit terakhir adalah 16, sedangkan 16 habis dibagi 4.

Jadi, 3.316 habis dibagi 4 atau 4 | 3.316.

b. Sifat habis dibagi 99 adalah jika jumlah kelompok dua digit dari

kanan bilangan itu habis dibagi 99.

34.848 dikelompokkan dua digit dari kanan 3 48 48.

48 + 48 + 3 = 99. Kalian tahu, bahwa 99 | 99. Jadi, 34.848 habis

dibagi 99 atau 99 | 34.848. April 15, 2023

b. Modulo

Suatu sistem bilangan yang sering digunakan adalah bilangan modulo 10, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.Misal: Bilangan 32 dalam modulo 10, ditulis

32 (mod 10) 32 = 3 × 10 + 2 (mod 10).

Contoh:

Tentukan sisa pembagian 47 oleh 10.

Jawab:

Sisa pembagian 47 oleh 10 47 (mod 10)≅ ≅ 4 × 10 + 7 (mod 10)

≅ 4 × 10 (mod 10) + 7 mod (10)

≅ 0 (mod 10) + 7 mod (10)

≅ 7 mod (10)

Jadi, sisa pembagian 47 oleh 10 adalah 7.April 15, 2023

3. Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)

Cara Bersusun:

Misalkan suku banyak f(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 3 dibagi x – 2.

4x2 + x + 4 hasil bagi

x – 2 4x3 – 7x2 + 2x + 3 (1)

4x3 – 8x2 (2)

x2 + 2x (3)

x2 – 2x (4)

4x + 3 (5)

4x – 8 (6)

11 (sisa) (7)

April 15, 2023

Keterangan:

(1) 4x3 dibagi dengan x, hasilnya adalah 4x2.

(2) 4x2 dikalikan dengan (x – 2) menghasilkan 4x3 – 8x2.

(3) 4x3 – 7x2 dikurangi 4x3 – 8x2, yaitu x2. Kemudian,

ambilkan 2x sehingga terbentuk x2 + 2x; x2 dibagi x,

hasilnya x.

(4) x dikalikan (x – 2) menghasilkan x2 – 2x.

(5) x2 + 2x dikurangi x2 – 2x, hasilnya 4x. Kemudian, ambil

angka 3; 4x dibagi x, hasilnya 4.

(6) 4 dikalikan dengan (x – 2), hasilnya 4x – 8. Kemudian,

4x + 3 dikurangi 4x – 8 menghasilkan 11.

(7) Ketika derajat sisa lebih kecil daripada derajat pembagi,

proses dihentikan.

April 15, 2023

211

)44(2

3274 223

x x x

x

x xx

Dari langkah-langkah tersebut, kita dapat menuliskansebagai berikut.

4x3 – 7x2 + 2x + 3 = (x – 2) (4x2 + x + 4) + 11

suku banyak yang dibagi pembagi × hasil bagi sisa

Suku banyak yang dibagi, f(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 3,

Pembaginya, p(x) = x – 2

Hasil bagi, H(x) = 4x2 + x + 4

Sisanya, S = 11

Secara umum, dapat diperoleh bentuk f(x) = p(x) H(x) + S.

April 15, 2023

Dari uraian dan contoh di atas, dapat dibuat suatu

algoritma pembagian suku banyak dengan (x – k) sebagai

berikut.

April 15, 2023

Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x – k) hasil

baginya H(x) dan sisanya S maka berlaku

f(x) = (x – k) H(x) + S

b. Cara Horner

Langkah-langkah menentukan pembagian suku banyak

dengan (x – k) menggunakan cara Horner:

April 15, 2023

1) Suku banyak ditulis dalam urutan pangkat menurun

tanpa ada pangkat yang tidak ditulis. Jika ada pangkat

yang tidak ditulis dalam soal, tuliskan dengan

memberi koefisien 0 untuk pangkat tersebut.

2) Nilai nol pembagi dicari, yaitu x – k = 0 atau x = k.

3) Tuliskan koefisien-koefisien suku banyak f(x) dan

gunakan cara bagan untuk menyelesaikannya.

4) Kalian telah mengetahui bahwa f(x) dapat dinyatakan

dengan f(x) = (x – k) H(x) + S.

Jika kita substitusikan x = k pada f(x) maka diperoleh

f(k) = (k – k) H(k) + S f(k) = S.

Jadi, sisa pembagian suku banyak itu adalah S = f(k).

Contoh:

Jika f(x) = 4x3 + 5x2 + 6x – 10 dibagi dengan (x – 3),

tentukan hasil bagi dan sisa pembagian menggunakan

cara Horner.

April 15, 2023

Jawab

f(x) = 4x3 + 5x2 + 6x – 10 dibagi (x – 3).

x – 3 = 0 atau x =3.

Bagan cara Horner dituliskan sebagai berikut. ← eksponen f(x)

← koefisien-koefisien f(x)

← hasil kali dengan 3

x2 x b0

H(x)

H(x) = 4x2 + 17x + 57

S = 161

Jadi, 4x3 + 5x2 + 6x – 10 = (x – 3)(4x2 + 17x + 57) + 161.

x3 x2 x a

4 5 6 -10

4 17 57

3

161 = S

12 51 171 +

April 15, 2023

4. Pembagian Suku Banyak dengan (ax + k)a. Cara Bersusun

Teorema:

April 15, 2023

Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b), hasil baginya

H(x), dan sisanya S maka dapat dituliskan sebagai

f(x) = (ax + b) H(x) + S

b. Cara Horner

Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) hasil

baginya H(x) dan sisanya maka suku banyak

itu dapat dituliskan:

f(x) = (ax + b) H(x) + S.

a

bfS

Contoh:

Tentukan hasil pembagian f(x) = 3x4 – 2x2 + x – 3 jika dibagi

(3x + 1) dengan cara Horner.

Jawab:

f(x) = 3x4 – 2x2 + x – 3 dibagi dengan 3x + 1.

Pembagi (3x + 1) kita samakan dengan nol sehingga diperoleh

3x + 1 = 0 atau x =

April 15, 2023

April 15, 2023

koefisien-koefisien f(x)

eksponen f(x)

hasil kali dengan -1

Jadi, diperoleh H(x)

dan sisa pembagian

Dengan demikian, dapat dituliskan

April 15, 2023

5. Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c; a ≠ 0

Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax2 + bx + c), hasilnya

H(x), dan sisanya S(x) maka berlaku

f(x) = (ax2 + bx + c)H(x) + S(x)

Sisa pembagian S(x) berderajat satu sebab pembaginya

berderajat dua dan dapat dituliskan dalam bentuk umum

S(x) = px + q

p dan q adalah koefisien sisa pembagian.

April 15, 2023

Contoh:

Diketahui f(x) = 3x4 + 10x3 – 8x2 + 3x + 1 dibagi dengan

(x2 + 3x – 1). Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari

pembagian tersebut.

Jawab:

Kita akan menggunakan cara bersusun untuk menentukan

hasil bagi dan sisa pembagian.

April 15, 2023

(3x4 dibagi x2, hasilnya 3x2)

3x4 + 9x3 – 3x2 - (hasil kali 3x2 (x2 + 3x – 1)

x3 – 5x2 + 3x (x3 dibagi x2, hasilnya x)

x3 + 3x2 – x - (hasil kali x(x2 + 3x – 1)

–8x2 + 4x + 1 (dibagi x2, hasilnya –8)

–8x2 –24x + 8 - (hasil kali –8(x2 + 3x – 1)

28x – 7 (sisa pembagian)

H(x) = 3x2 + x – 8

S(x) = 28x – 7

Jadi, 3x4 + 10x3 – 8x2 + 3x + 1 = (x2 + 3x – 1)(3x2 + x – 8) + (28x –7).

xxxxxx 13810313 2342

April 15, 2023

3x + x – 8

1. Teorema Sisa dengan Pembagi Berbentuk (x – k)

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan (x –

k) maka sisa pembagiannya adalah S = f(k).

Bukti:

Karena f(x) adalah suku banyak, f(x) = (x – a) H(x) +S

adalah identitas maka f(x) = (x – a) H(x) + S.

Untuk x = k, persamaan di atas berubah menjadi

f(k) = (k – k) H(k) + S

f(k) = 0 × H(k) + S

Jadi, diperoleh f(k) = S atau S = f(k). ............ (terbukti)

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan sisa dari pembagian suku banyak berikut.

3x4 – 5x3 + 6x2 – x + 2 dibagi x – 2

Jawab:

f(x) = 3x4 – 5x3 + 6x2 – x + 2

(x – 2) berarti x – 2 = 0 atau x = 2.

Menurut teorema sisa, S = f(k) atau S = f(2).

Substitusi x = 2 ke persamaan f(x) diperoleh

S = f(2)

= 3(2)4 – 5(2)3 + 6(2)2 – 2 + 2

= 32

Jadi, sisa pembagian itu adalah S = 32.

April 15, 2023

a

bfS

2. Teorema Sisa dengan Pembagi Berbentuk (ax + b)

Dari pembagian cara Horner, telah diketahui bahwa

pembagian f(x) dengan pembagi berbentuk (ax + b)

memberikan sisa .

a

bfS

April 15, 2023

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) maka sisa pembagiannya adalah

3. Teorema Sisa dengan Pembagi Berbentuk (x – a)(x – b)

Menurut algoritma pembagian suku banyak dengan

pembagi (x – a)(x – b) maka f(x) dapat dituliskan sebagai

berikut.

f(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)

S(x) = px + q, p dan q merupakan koefisien sisa pembagi.

April 15, 2023

Langkah-Langkah:

a. Pembagi berderajat dua difaktorkan menjadi (x – a)(x – b).

b. Algoritma pembagian f(x) oleh (x – a)(x – b) ditulis

f(x) = (x – a)(x – b)H(x) + px + q .................................... (1)

c. Tentukan f(a) dan f(b) dengan menyubstitusikan nilai x = a dan

x = b ke persamaan (1) sehingga diperoleh

f(a) = pa + q .................................................................... (2)

f(b) = pb + q ..... .............................................................. (3)

Persamaan (2) dan (3) membentuk sistem persamaan linear

dalam variabel p dan q.

d. Tentukan nilai p dan q dari sistem persamaan itu sehingga

akan diperoleh S(x) = px + q.

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan sisa dari (3x4 – 2x3 + 4x2 – 10) dibagi (x2 + x – 12).

Jawab:

a. Pembagi x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3) x = –4 dan x = 3

b. Substitusi x = –4 dan x = 3 ke persamaan f(x) = 3x4 – 2x3 + 4x2 – 10.

1) sisa f(–4) = 3(–4)4 – 2(–4)3 + 4(–4)2 – 10 = 950;

2) sisa f(3) = 3(3)4 – 2(3)3 + 4(3)2 – 10 = 215.

c. Dari persamaan pembagian f(x) dengan (x + 4)(x – 3), diperoleh

f(x) = (x + 4)(x – 3) H(x) + (px + q) …………………………………….. (1)

1) Substitusikan x = –4 ke persamaan (1) sehingga diperoleh

f(–4) = (–4 + 4)(–4 – 3) H(–4) + p(–4) + q

950 = –4p + q ............................................................................. (2)

2) Substitusikan x = 3 ke persamaan (2) sehingga diperoleh

f(3) = (3 + 4)(3 – 3) H(3) + p(3) + q

215 = 3p + q ............................................................................... (3)

April 15, 2023

d. Dari persamaan (2) dan (3), dapat kita tentukan nilai p dan q.

–4p + q = 950

3p + q = 215

––––––––––– –

–7p = 735 atau p = –105

Substitusikan p = –105 ke persamaan (3) maka akan

diperoleh q = 530.

Dengan menyubstitusikan nilai p = –105 dan q = 530 ke S(x)

= px + q, diperoleh sisa pembagian S(x) = –105x + 530.

April 15, 2023

1. Pengertian Teorema Faktor

April 15, 2023

f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya

jika f(k) = 0.

f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya

jika

Contoh:

Tunjukkan bahwa (x – 3) merupakan faktor dari

f(x) = 3x3 – 8x2 + x – 12.

Jawab:

Dengan menggunakan teorema faktor untuk menunjukkan

(x – 3) merupakan faktor dari f(x) maka cukup ditunjukkan

bahwa f(3) = 0.

f(3) = 3(3)3 – 8(3)2 + 3 – 12

= 81 – 72 + 3 – 12

= 0

Karena f(3) = 0 maka (x – 3) merupakan faktor dari

f(x) = 3x3 – 8x2 + x – 12.

April 15, 2023

2. Menentukan Faktor-Faktor Linier dari Suku Banyak

Contoh:

Tentukan faktor-faktor dari suku banyak

2x4 – 5x3 – 8x2 + 17x – 6.

Jawab:

Diketahui suku banyak f(x) = 2x4 – 5x3 – 8x2 + 17x – 6.

Suku tetap dari f(x) adalah –6.

Faktor-faktor bulat dari 6 adalah ±1, ±2, ±3, dan ±6.

Dengan menggunakan cara Horner, faktor bulat x = k diuji

satu per satu sampai ditemukan faktor pertama (x – k) yang

memberikan nilai f(k) = 0.

April 15, 2023

a. Untuk x = 1

(x – 1) adalah faktor dari f(x) dan diperoleh hasil bagi

H1(x) = 2x3 – 3x2 – 11x + 6.

b. Selanjutnya, diuji x = –1 pada H1(x).

Karena sisa = 12 ≠ 0 maka (x + 1) bukan merupakan faktor f(x).

x4 x3 x2 x a0

2 -3 -11 6 0 = sisa

2 -3 -11 6 +

2 -5 -8 17 -6

1

x3 x2 x b0

2 -3 -11 6

2 5 6 12 = sisa

-1

2 5 6 +

April 15, 2023

c. Uji untuk x = 2 pada H1(x)

Karena sisa = –12 ≠ 0 maka (x – 2) bukan merupakan

faktor f(x).

d. Uji untuk x = –2 pada H1(x)

Karena sisa S = 0 maka (x + 2) merupakan faktor dari f(x) dan diperoleh hasil bagi H2(x) = 2x2 – 7x + 3.

x3 x2 x b0

2 -3 -11 6

2 1 -9 -12 = sisa

2 4 2 -18 +

x3 x2 x b0

2 -3 -11 6

2 -7 3 0 = sisa

-2

4 -14 -6 +

April 15, 2023

Jika telah diperoleh hasil bagi H2(x) berderajat dua,

pengujian faktor-faktor ±1, ±2, ±3, dan ±6 dihentikan.

Dengan demikian, hasil yang telah diperoleh adalah

f(x) = (x – 1)(x + 2)(2x2 – 7x + 3).

Suku banyak berderajat dua 2x2 – 7x + 3 kita faktorkan

sehingga diperoleh 2x2 – 7x + 3 = (2x – 1)(x – 3).

Jadi, hasil pemfaktoran f(x) adalah

f(x) = 2x4 – 5x3 – 8x2 + 17x – 6 = (x – 1)(x + 2)(x – 3)(2x – 1).

April 15, 2023

Untuk f(x) suku banyak dan k bilangan real, pernyataan-

pernyataan berikut ekuivalen.

1. (x – k) adalah faktor dari f(x).

2. x = k adalah penyelesaian atau akar dari persamaan

dari f(x) = 0.

3. x = k adalah pembuat nol dari f(x).

4. (k, 0) adalah koordinat titik potong grafik f(x) dengan

sumbu X.

April 15, 2023

1. Menentukan Akar-Akar Rasional Suatu Persamaan Berderajat Tinggi

Teorema Rasional Nol:

Jika f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a0 memiliki

koefisien-koefisien bulat dan (dengan p dan q tidak

memiliki faktor prima yang sama) merupakan pembuat

nol rasional f(x) maka p haruslah faktor dari a0 dan q

faktor dari an.

Contoh:

Diketahui f(x) = 3x4 + 3x3 – 2x2 + 13x – 8 = 0. Gunakan

teorema rasional nol untuk mendaftar semua akar

rasional yang mungkin.

April 15, 2023

q

p

Jawab:Diketahui f(x) = 3x4 + 3x3 – 2x2 + 13x – 8 = 0.

Suku tetap a0 = –8 dan koefisien pangkat tertinggi a4 = 3.

Semua bilangan bulat p merupakan faktor dari a0 = –8,

yaitu ±1, ± 2, ±4,±8, dan q adalah faktor dari a4 = 3,yaitu ±1 dan ±3.Semua akar rasional yang mungkin dari

persamaan f(x) adalah , yaitu ±1, ±2, ±4, ±8, , ,

, dan .

Suatu persamaan suku banyak f(x) = 0 berderajat nmemiliki paling banyak n buah faktor.

3

2

3

8

3

4

q

p

3

1

April 15, 2023

2. Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Berderajat

Tinggi

a. Persamaan Suku Banyak f(x) = 0 Berderajat Dua

1) Bentuk umumnya ax2 + bx + c = 0, dengan akar-akarnya

x1 dan x2.

2) Jumlah akar-akarnya, x1 + x2

3) Hasil kali kedua akar, x1x2

April 15, 2023

b. Persamaan Suku Banyak f(x) = 0 Berderajat Tiga

1) Bentuk umumnya ax3 + bx2 + cx + d = 0, dengan akar-

akar x1, x2, dan x3.

2) Jumlah akar-akar, x1 + x2 + x3

3) Jumlah hasil kali dua akar, x1x2 + x1x3 + x2x3

4) Hasil kali ketiga akar x1x2x3

April 15, 2023

c. Persamaan Suku Banyak Berderajat Empat

Bentuk umumnya ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, dengan akar-akarnya x1, x2, x3, dan x4, berlaku sebagai berikut.

1) Jumlah akar-akar, x1+x2+x3+x4

2) Jumlah hasil kali dua akar,

x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4

3) Jumlah hasil kali tiga akar,

x1x2x3 + x1x2x4 + x2x3x4 + x1x3x4

4) Hasil kali keempat akar, x1x2x3x4

a

c

a

e

a

d

April 15, 2023

a

b