Post on 05-Feb-2018
Analisis Vektor
Pendahuluan
1.1 SKALAR DAN VEKTOR
Skalar • Hanya mempunyai besar
• Contoh : massa, volume, temperatur, energi
Vektor • Mempunyai besar dan arah
• Contoh : gaya, kecepatan, percepatan
Medan skalar • Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang
• Contoh : EP = m g h
Medan vektor • Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang
• Contoh : F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az
1.2 ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
• Metoda jajaran genjang
• Metoda poligon
A
B C = A + B
B
A
C = A + B
A
- B
D = A - B
D = A – B = A + (- B)
Perkalian titik
Hasilnya skalar A
Proyeksi B pada A
AB
B
Proyeksi A pada B
ABcosAB
cosBABA
AB
AB
Perkalian Silang
Hasilnya vektor
ABasinBABA NAB
A
AB
A B
B
aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)
1.3 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN
Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat x, y dan z
P(x, y, z)
• Contoh : P(1, 2, 3) Q(2, - 2, 1)
Vektor
• dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan ax, ay dan az
• Contoh : r = x + y + z = x ax + y ay + z az
• vektor posisi dari sebuah titik dalam ruang
• Vektor Posisi
zyxP
zyxP
aa2a2r
a3a2ar
• Vektor antara 2 titik
zyx
zyxQPPQ
a2a4a
a)31(a)22(a)12(rrR
• Titik asal O(0, 0, 0)
• Bidang x = 0 (bidang ZOY)
y = 0 (bidang ZOX)
z = 0 (bidang XOY)
Elemen Luas (vektor)
dy dz ax dx dz ay dx dy az
Elemen Volume (skalar)
dx dy dz
Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesian
zzyyxx
yzzyxzzxxyyx
zzyyxx
oo
B2
z
2
y
2
x
2
z
2
y
2
x
zzyyxxzzyyxx
BABABABA
0aaaa0aaaa0aaaa
1aa1aa1aa
090cos10cos
B
BaBBBBAAAA
B,AcosBABA
aBaBaBBaAaAaAA
• Proyeksi vektor A pada vektor B
B
A
AB
Proyeksi A pada B
BB a)aA(
Contoh Soal 1.1
Diketahui tiga buah titik A(2, 5, - 1), B(3, - 2, 4) dan C(- 2, 3, 1). Tentukan :
a). RAB RAC
b). Sudut antara RAB dan RAC
c). Proyeksi vektor RAB pada RAC
Jawab :
899,44416R660,825491R
20)2)(5()2)(7()4)(1(RR
a2a2a4Ra5a7aR
ACAB
ACAB
zyxACzyxAB
zyx
zyx
AC
ACAC a408,0a408,0a816,0
899,4
a2a2a4
R
Ra
o
ACAB
ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(
20
RR
RRcos
Proyeksi RAB pada RAC :
)a665,1a665,1a330,3
)a408,0a408,0a816,0(08,4
a)]408,0)(5()408,0)(7()816,0)(1[(a)aR(
zyx
zyx
ACACACAB
Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesian
A
AB
A B
B
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA
zzyyxxzzyyxx aBaBaBBaAaAaAA
190sin00sin
ABasinBABA
oo
NAB
yzxzy
xzyzxxyzyx
zzyyxx
aaaaa
aaaaaaaaaa
0aa0aa0aa
zxyyxyzxxzxyzzy a)BABA(a)BABA(a)BABA(BA
Contoh Soal 1.2 :
Sebuah segitiga dibentuk oleh A(2, - 5, 1), B(- 3, 2, 4) dan C(0, 3, 1).
Tentukan :
a). RBC RBA
b). Luas segitiga ABC
c). Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang segitiga
Jawab :
899,44416R660,825491R ACAB
zyx
zyx
zyx
BABC
a26a6a24
a)]5)(1()7)(3[(a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(
375
313
aaa
RR
944,172
888,35
2
26624
2
RRABC
222BABC
zyx
zyx
N a725,0a167,0a669,0888,35
a16a6a24a
1.4 SISTEM KOORDINAT SILINDER
Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat , dan z
P(, , z)
Transformasi sistem koordinat
zzzz
x
ytgsiny
yxcosx
SilinderKartesianKartesianSilinder
1
22
Contoh Soal 1.3 :
Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50o, 2). Hitung jarak
dari A ke B.
Jawab :
Untuk menentukan jarak dari A ke B, titik B harus terlebih
dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian.
x = cos = 4 cos (–50o) = 2,571
y = sin = 4 sin (–50o) = - 3,064
z = z = 2
79,63)064,6()571,0(R
a3a064,6a571,0
a)12(a)3064,3(a)2571,2(R
222AB
zyx
zyxAB
Vektor
dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan
zzz aAaAaAAa,a,a
Vektor satuan dalam arah dan tergantung pada posisinya di dalam ruang
Transformasi vektor
a a az
ax cos - sin 0
ay sin cos 0
az 0 0 1
Silinder Kartesian
Silinder Kartesian
yx
x
asinacosa:Vertikal
asinacosa:Horisontal
Contoh Soal 1.4 :
Nyatakan vektor
dalam sistem koordinat silinder di titik A(2, 3, 5).
Jawab :
Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk
menghitung sudut di titik A, yaitu :
zyx a4a2a4R
o11 3,562
3tg
x
ytg
a a az
ax cos = 0,555 - sin = - 0,832 0
ay sin = 0,832 cos = 0,555 0
az 0 0 1
z
z
a4a438,4a556,0
a4)a555,0a832,0(2)a832,0a555,0(4R
Bidang = konstan (permukaan silinder)
= konstan (bidang datar melewati
sumbu-z)
z = konstan (bidang datar tegak lurus
sumbu-z)
• Elemen Luas (vektor)
zaddaddadzd
dzdd
• Elemen volume (skalar)
Contoh Soal 1.5
Sebuah silinder berjari-jari 2 m dan tingginya 5 m. Hitung sebagian dari luas permukaan
silinder tersebut
1.5 SISTEM KOORDINAT BOLA
Titik
• dinyatakan dengan 3 buah koordinat r, , dan :
P(r, , )
x
ytgcosrz
zyx
zcossinsinry
zyxrcossinrx
BolaKartesianKartesianBola
1
222
1
222
Transformasi Koordinat
• Contoh Soal 1.5 :
• Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat
bola. Jawab :
o11
o1
222
1
222222
6,711
3tg
x
ytg
3,38099,5
4cos
zyx
zcos
099,5431zyxr
4z3y1x)4,3,1(B
)6,71,3,38,099.5(B
6,713,38099,5r
oo
oo
Vektor
• dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan :
• Vektor satuan tergantung pada posisinya di dalam ruang
aAaAaAAa,a,a rrr
ar a a
ax sin cos cos cos - sin
ay sin sin cos sin cos
az cos - sin 0
Bola Kartesian
Transformasi Vektor
zyxr
x
acosasinsinacossina:Vertikal
asinacoscosacossina:Horisontal
Contoh Soal 1.6 :
Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4).
Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B.
Jawab :
B(1, 3, 4) = 38,3o = 71, 6o
ar a a
ax sin cos
sin 38,3o cos 71,6o
(0,620)(0,316) = 0,196
cos cos
cos 38,3o cos 71,6o
(0,785)(0,316) = 0,248
- sin
- sin 71,6o
- 0,949
ay sin sin
sin 38,3o sin 71,6o
(0,620)(0,949) = 0,588
cos sin
cos 38,3o sin 71,6o
(0,785)(0,949) = 0,745
cos
cos 71,6o
0,316
az cos
cos 38,3o
0,785
- sin
- sin 38,3o
- 0,620
0
zr
z
r
zyxAB
a213,2a608,1a651,7
a)]0(7)316,0(4)949,0([
a)]629,0(7)745,0(4248,0[a)]785,0(7)588,0(4196,0[
a7a4aR
• Bidang r = konstan (kulit bola)
= konstan (selubung kerucut)
= konstan (bidang datar melewati sumbu-z)
• Elemen Luas (vektor)
• Elemen Volume (skalar)
ardrdadrdsinraddsinr r2
ddrdsinr2