VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c...

15
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 134 VEKTOR a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OA a ; OB b maka OA AB OB AB OB OA AB b a a u b dan c v d maka a c a c u v b d b d Contoh : Tentukan nilai x dan y dari Jawab : Jadi nilai x = - 18 dan y = - 1 ½ b. Panjang Vektor Misal a u b , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus 2 2 u a b Untuk 1 1 ( , ) Ax y dan 2 2 ( , ) Bx y maka panjang vector 2 2 2 1 2 1 : ( ) ( ) AB AB x x y y Misal vector u = li + mj + nk atau Panjang vector satuan dari u adalah 1. Vektor satuan biasa disebut dengan e ditentukan dengan Contoh : Diketahui Tentukan Vektor satuan v Bab 20

Transcript of VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c...

Page 1: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

134

VEKTOR

a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor.

OA a

; OB b

maka OA AB OB

AB OB OA

AB b a

au

b dan

cv

d maka

a c a cu v

b d b d

Contoh :

Tentukan nilai x dan y dari

Jawab :

Jadi nilai x = - 18 dan y = - 1 ½

b. Panjang Vektor

Misal a

ub

, maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus

2 2u a b

Untuk 1 1

( , )A x y dan 2 2

( , )B x y maka panjang vector

2 2

2 1 2 1: ( ) ( )AB AB x x y y

Misal vector u = li + mj + nk atau

Panjang vector satuan dari u adalah 1. Vektor satuan biasa disebut dengan e ditentukan

dengan

Contoh :

Diketahui

Tentukan Vektor satuan v

Bab 20

Page 2: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

135

Jawab :

Vektor satuan v adalah

c. Perkalian vector dengan scalar.

a. Secara geometris.

Jika k R dan u suatu vector , maka perkalian vector u dengan bilangan real k

ditulis sebagai c k u . Panjang vector c dama dengan k kali panjang vector u

- Jika k > 0 , maka vector c searah dengan vector u

- Jika k < 0 , maka vector c berlawanan arah dengan vector u

b. Secara Non Geometris

Jika k R dan a

ub

maka a ka

k u kb kb

Contoh :

Jika 3 1 -5

, dan c=2 0 4

a b , Tentukan panjang u = a + b - c

Jawab :

u = a + b – c

= 3 1 -5 9

-2 0 4 6

2 29 ( 6) 117 3 13u

d. Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan Dan Pengurangan

i) Jika a

ub

dan c

vd

, maka 2 2

( ) ( )a c

u v u v a c b db d

ii) Jika a

ub

dan c

vd

, maka 2 2

( ) ( )a c

u v u v a c b db d

iii)

2 2

2 cosu v u v u v

2 2

2 cosu v u v u v

iv)

v u v u v

u

- v

u

u-v

Page 3: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

136

e. Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Arah suatu vector hasil penjumlahan.

sin sin( ) sin

u v u v

Arah suatu vector hasil pengurangan

sin sin( ) sin

u v u v

Contoh :

Diketahui , maka besar sudut antara

vector a dan b adalah ….

f. Rumus Pembagian Ruas Garis

Jika O adalah sutu titik yang diketahui dan P adalah titik pada ruas garis AB sehingga

AP : PB = m : n, maka :

nOA mOB na mbOP p

m n m n

Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB maka :

1 1( ) ( )

2 2O P O A O B p a b

Jika 1 1 2 2

( , ), ( , ), ( , )p p

A x y B x y P x y terletak pada ruas garis AB , sehingga AP : PB = m :

n, maka :

1 2 1 2 dan p p

nx mx ny myx y

m n m n

Jika P titik tengah ruas garis AB, maka :

v u v u v

u

B

m

A

P

n

Page 4: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

137

1 2 1 2

1 1( ) dan (

2 2p px x x y y y

Sebuah titik P disebut membagi AB didalam dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB

= m : n dengan m > 0 dan n > 0

Sebuah titik P disebut membagi AB diluar dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB =

m : - n dengan m > 0 dan n > 0

g. Perkalian vector

. . cosa b a b .

, ( , )a b

cos a ba b

= 1 1 2 2 3 3. . .a b a b a b

Jika ( ) .0

90 a b a b 0

lancip maka .a b 0

tumpul maka .a b 0

h. Proyeksi Vektor

Vektor c hasil proyeksi a pada b

Proyeksi scalar .a b

cb

Proyeksi vector 2

..

a bc b

b

Hubungan antar Vektor :

a. Jika vector u dan v kolinear ( segaris ) maka u = m v

a

b

c

A

P

- n

m

B

Page 5: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

138

Titik A , B dan C dikatakan segaris Kolinear jika AB = m BC dengan m scalar /

bilangan real

b. Vektor u , v dan w bukan vector nol, tidak kolinear dikatakan coplanar ( sebidang )

dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n , sedemikian

sehingga w = mu + nv

SOAL LATIHAN :

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a. 1200 b. 900 c. 600 d.450 e.300

2. Diketahui 2a , 9b , 5ba . Besar sudut antara vector a dan vector b

adalah …. a. 450 b.600 c.1200 d.13500 e.1500

3. Besar sudut antara

4

2

3

a dan

3

3

2

b adalah ….

a. 180° b.90° c.60° d.30° e.0°

4. Jika 2a , 3b , dan sudut ( b,a ) = 120°, maka ....b2a3

a. 5 b.6 c.10 d.12 e.13

5. Diketahui 3a , 1b , 1ba . Panjang vector a + b = ….

a. 3 b. 5 c. 7 d.2 2 e.3

6. Diketahui 6a , ( a – b )( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan

b adalah ….

a. 6

b.4

c.3

d.2

e.3

2

7. Garis g melalui A(2, 4, -2 ) dan B(4, 1, -1 ) , sedang garis h melalui C(7, 0, 2) dan D(8,

2, -1). Besar sudut antara g dan h adalah …

a. 00 b. 0

30 c. 045 d. 0

60 e. 090

8. Segitiga ABC dengan koordinat A(2,1,4) ,B(-1, 2, 3) dan c(1, -1 , 2) . Nilai sin CAB =

a. 1

10910

b.1 0

1 1 c.

1110

11 d.

1109

11 e.

1110

10

9. Jika 2 7a b dan a.b = 4 maka ...a b

a. 2 7 b. 2 6 c. 2 3 d. 2 5 e. 2 2

10. Bila sudut antara 2 4 4 dan 3 5a i j k q i j k maka cos =…

a. 3

7 b.

5

21 c.

8

21 d.

5

23 e.

38

48

11. Besar sudut antara vector adalah ……

a. 6

b. 4

c.3

d.2

e.3

2

Page 6: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

139

12. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal ____

AB

pada ____

AC adalah ….

a. kj b. ki c. ji d. kji2

1 e. ji2

1

13. Diketaui vector kjia 443 , kjib 32 , dan kjic 534 . Panjang proyeksi

vector cba pada )( adalah ….

a. 3 2 b.4 2 c.5 2 d.6 2 e.7 2

14. Diketahui (2, 1,1), ( 1,1, 1)u v Vektor w yang panjangnya 1, tegak lurus pada u

dan tegak lurus pada v adalah …

a. (0, 0, 1) b. 2 2

(0, , )2 2

c. 2 2

(0, , )2 2

d. 2 1 2

( , , )3 3 3

e. 2 1 2

( , , )3 3 3

15. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal dari vector

4

3-

2

v terhadap vector

1-

2

1-

u ,

maka w =….

a.

3

1-

1

b.

2-

1-

0

c.

2

1

0

d.

2

4-

2

e.

2-

4

2-

16. Diketahui vector

2

x

1

a ,

1-

1

2

b , dan proyeksi a pada b adalah 6

2. Sudut antara a

dan b adalah α, maka cos α = ….

a. 63

2 b.

3

1 c.

3

2 d.

6

2 e.

3

6

17. Rasio sustu deret geometri tak hingga adalah , suku pertama deret

itu merupakan hasil kali scalar vector dan . Jumlah

deret geometri tak berhingga tersebut = …

a. b. c. d. 2 e. 4

18. Panjang proyeksi orthogonal vector kjpia 3 , pada vector kpjib 2 3

adalah 3

2. Nilai p = ….

a. 3 b.2 c.3

1 d.– 2 e.– 3

19. Diketahui koordinat titik A (3, 5, 2) , B(-1, 0, 3) dan C ( 4, -2 , -5) . Jika Z merupakan

titik berat segitiga ABC , maka koordinat titik Z sdalah ….

a. ( 2 , -1 , 0) b. ( 2 , 1 , 0) c. ( 2 , 1 , 1) d. ( 1 , 2 , 1) e. ( 1 , 0

, 2)

20. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan

AB : BC = ….

a. 1 : 2 b.2 : 1 c.2 : 5 d.5 : 7 e.7 : 5

21. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1

: 3. Panjang ____

PB = ….

a. 15 b. 81 c. 90 d. 121 e. 153

Page 7: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

140

22. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika uCA dan vCB ,

maka PQ = ….

a. u-v3

1 b. u

3

1-v c. u

6

1-v

3

1 d. v

3

1-u

6

1 e. v

3

1u

6

1

23. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = …. a. 13 b.11 c.5 d.– 11 e.– 13

24. Diketahui vector kjiu 642 dan kjiv 422 . Proyeksi vector orthogonal u pada

v adalah

a. kji 1284 b. kji 844 c. kji 422

b. d. kji 32 e. kji 2

25. Jika A(-1, 5, 4) , B(2, -1, -2) , C(3, p, q) terletak pada satu garis lurus , maka nilai p dan

q berturut-turut adalah …

a. –3 dan –4 b. –1 dan –4 c. –3 dan 0 d. –1 dan 0 e. 3 dan

0

26. Jika sudut antara a dan b adalah 060 dan 2a dan 5b maka nilai a.(a+b) = …

a. 5 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

27. Jika

1 1 0

1 , 2 , 4

1 1

a b c

x

dan a.(b+c)=a.a. Nilai x adalah …

a. –11 b. –10 c. 8 d. 10 e. 11

28. Diketahui Balok OABC.DEFG dengan OA=a , OD = d dan OC = c , K perpotongan

antara DF dan GE dan L perpotongan antara BE dan AF, maka vector KL = …

a. 1

( )2

a d b. 1

( )2

a d c. 1

( )2

c d d. 1

( )2

c d e.

1( )

2a c

29. Jika 4, 6a b dan sudut antara a dan b adalah 60 0 , maka nilai a b

a. 1

132

b. 13 c. 11

132

d. 2 19 e. 3 13

30. Jika diketahui 3 2p i j k dan 3 5q i j k , maka ( ).( )p q p q adalah ….

a. 13 b. 2 3 c. 2 3 d. –11 e. –21

31. Jika 2, . 4a a b dan sudut antara a dan b sama dengan 1

4, maka ...b

a. 4 2 b. 3 2 c. 2 2 d. 2 e. 1

22

32. Ditentukan 2 3a i j xk dan 4 5b i j k . Jika a tegak lurus b , maka nilai x

adalah …

a. 1 b. 2 c. –1 d. –2 e. 0

33. Diketahui vector dan vector , jika proyeksi scalar orthogonal vector u

pada arah vector v sama dengan setengah panjang vector v, maka nilai p adalah …

Page 8: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

141

a. -4 atau -2 b. -4 atau 2 c. 4 atau -2 d. 8 atau -1 e. -8 atau 1

Soal – soal vector Ujian Nasional

Materi Pokok : Sudut antara dua vektor

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = ….

a. 1200

b. 900

c. 600

d. 450

e. 300

2. Diketahui 2a , 9b , 5ba . Besar sudut antara vector a dan vector b

adalah ….

a. 450

b. 600

c. 1200

d. 13500

e. 1500

3. Besar sudut antara

4

2

3

a dan

3

3

2

b adalah ….

a. 180°

b. 90°

c. 60°

d. 30°

e. 0°

4. Jika 2a , 3b , dan sudut ( b,a ) = 120°, maka ....b2a3

a. 5

b. 6

c. 10

d. 12

e. 13

5. Diketahui 3a , 1b , 1ba . Panjang vector a + b = ….

Page 9: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

142

a. 3

b. 5

c. 7

d. 2 2

e. 3

6. Diketahui 6a , ( a – b )( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan

b adalah ….

a. 6

b. 4

c. 3

d. 2

e. 3

2

Materi Pokok : Proyeksi vector

7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal ____

AB

pada ____

AC adalah ….

a. kj

b. ki

c. ji

d. kji

2

1

e. ji

2

1

8. Diketahui vector kjia 443 , kjib 32 , dan kjic 534 . Panjang proyeksi

vector cba pada )( adalah ….

a. 3 2

b. 4 2

c. 5 2

d. 6 2

e. 7 2

Page 10: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

143

9. Diketahui vector kjiu 642 dan kjiv 422 . Proyeksi vector orthogonal u pada

v adalah ….

a. kji 1284

b. kji 844

c. kji 422

d. kji 32

e. kji 2

10. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal dari vector

4

3-

2

v terhadap vector

1-

2

1-

u ,

maka w =….

a. 3

1-

1

b. 2-

1-

0

c. 2

1

0

d. 2

4-

2

e. 2-

4

2-

11. Diketahui vector

2

x

1

a ,

1-

1

2

b , dan proyeksi a pada b adalah 6

2. Sudut antara a

dan b adalah α, maka cos α = ….

a. 63

2

b. 3

1

c. 3

2

Page 11: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

144

d. 6

2

e. 3

6

12. Panjang proyeksi orthogonal vector kjpia 3 , pada vector kpjib 2 3

adalah 3

2. Nilai p = ….

a. 3

b. 2

c. 3

1

d. 2

e. 3

Materi Pokok : Perbandingan garis

13. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan

AB : BC = ….

a. 1 : 2

b. 2 : 1

c. 2 : 5

d. 5 : 7

e. 7 : 5

14. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1

: 3. Panjang ____

PB = ….

a. 15

b. 81

c. 90

d. 121

e. 153

15. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika uCA dan vCB ,

maka PQ = ….

a. u-v

3

1

b. u

3

1-v

Page 12: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

145

c. u

6

1-v

3

1

d. v

3

1-u

6

1

e. v

3

1u

6

1

16. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = ….

a. 13 b.11 c.5 d.11 e.13

Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q (2, -3, 2), dan R(-1, 0, 2). Besar sudut

PRQ=………

a. 120º b. 90º c. 60º d. 45º e. 30º

Jawab :

= Q - R = (3, -3, 0)

= P – R = (1, 1, 2)

. =

3 – 3 +3 =

0 =

90º =

2. Diketahui = , = , = . Besar sudut antara vektor dan vector adalah ……

a. 45º b. 60º c. 120º d. 135º e. 150º

Jawab :

( ( =

+ + 2. + = 5

2 + (2 = -6

= =

GOD IS MY SAFIOR

Page 13: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

146

= 135º

3. Besar sudut antara dan adalah……

a. 180º b. 90º c. 60º d. 30º e. 0º

Jawab:

Cos =

=

=

=

Cos = 0

= 900

4. Jika =2, =3, dan sudut ( )= 1200, maka = . . . .

a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13

( (

5. Diketahui , panjang vector

a. b. c. d. e. 3

Jawab:

- 2

1 = 3 + 1 - 2

=

6. Diketahui ( .( dan ( Besar sudut antara vector dan

adalah . . .

a. b. c. d. e.

Jawab:

6 – (6 . ) = 3

- 6 . = -3

=

=

7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0), dan C(0, 2, 2).Proyeksi

Orthogonal pada adalah. . .

a. b. c.- d. e.-

Jawab:

= B – A = (2, 2, 0)

Page 14: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

147

= C – A = (0, 2, 2)

=

= . (0, 2, 2)

= (0, 1, 1)

8. Diketahui vector = 3 , 2 .Panjang

Proyeksi vector (

a. b. c. d.6 e. 7

Jawab:

( = (5 ,-5, -1)

= (4, -3, 5)

I I =

=

= .

= = 3

9. Diketahui vector

pada adalah . . .

a. b. c.

d. e.

Jawab:

= .

= = .

= .

= .

=2 . =

10.Jika adalah vector proyeksi orthogonal dari vector = terhadap vector =

,maka = …

a. b. c.

d. e.

Jawab:

.

= . (-1, 2, -1)

= (-1, 2, -1)

= (2, -4, 2)

11. diketahui vector = , , dan proyeksi pada adalah . Sudut antara dan

adalah a, maka …..

a. b. c. d. e.

Jawab :

=

=

2 = x

*

Page 15: VEKTOR Bab 20 - " Vidyagata" SMA Negeri 6 Malang ... · PDF fileProyeksi Vektor c Vektor c hasil proyeksi a pada b ... dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono

148

2 + 2 – 2 =

=