Post on 31-Aug-2018
ANALISIS PEUBAH GANDA(MULTIVARIATE ANALYSIS)
PENGENALAN MATRIKS
DEPARTEMEN STATISTIKADR. IR. I MADE SUMERTAJAYA, MSI
Definisi Matriks
Susunan angka-angka di dalam kotak yang
dibagi ke dalam baris dan kolom.
Misalkan terdiri dari n baris dan p kolom,
maka matriks tersebut berdimensi n x p.
contoh :
1055
7012
291
543
Matriks Putaran
Diperoleh dengan cara menukar baris dan
kolomnya, dinotasikan dengan A’.
contoh :
642
531'A
65
43
21
A
Matriks Simetrik
Jika A = A’ maka A adalah matriks simetrik
095
972
521
Matriks Diagonal
Jika matriks n x n yang semua unsur
nondiagonalnya bernilai nol, disebut matriks diagonal.
700
000
005
Matriks Khusus
- matriks identitas
- matriks nol
- matriks segitiga
Kebebasan Linier
Sekumpulan vektor kolom atau baris tak nol dikatakan bebas linier jika tidak ada satupun
yang bisa dituliskan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya.
1110
49
31
Pangkat Matriks
Banyaknya baris atau kolom pada matriks itu yang bersifat bebas linier.
pada matriks di atas berpangkat r(A)=2
Matriks Singular dan Nonsingular
Matriks A n x n dikatakan singular jika
semua baris atau kolomnya saling bebaslinier.
Kebalikan Matriks
Untuk matriks persegi A, jika berlaku
AB = BA= I, maka B adalah matriks
kebalikan dari A, dinotasikan A-1.
49
31A
23
1
23
923
3
23
4
1A
Normal Vektor Euclidian
Sebuah vektor a berukuran n x 1 memiliki
panjang yang didefinisikan sebagai :
aa'
Dan vektor normal dari a =a/√a’a
memiliki norma √22+12+22 =3
2
1
2
a
3
23
13
2
2
1
2
3
1b
Jarak Euclid antar Dua Vektor
Jika dua buah vektor a dan b berukuran n
x 1 maka jarak euclid:
)()'(),( bababad
4
1
6
2
3
5
b
a
3)42()13()65(),( 222 bad
Vektor dan Matriks Ortogonal
Dua buah vektor berukuran n x 1 dikatakan ortogonal satu sama lain jika a’b=0.
5
9
5
a
1
0
1
b
Sebuah matriks A berukuran n x n adalah
matriks ortogonal jika A’A=AA’=I.
6
20
3
16
1
2
1
3
16
1
2
1
3
1
A
Akar Ciri dan Vektor Ciri
Untuk matriks A berukuran n x nmaka pasangan-pasangan(λ1,x1),…,(λn,xn) dikatakan sebagaipasangan akar ciri dan vektor ciriyang ortonormal jika berlaku:
Ax1= λ1x1
:
:
Axn= λnxn
Atau memenuhi det(Ax – λIx)=0
Penguraian Spektral dari Sebuah Matriks Simetrik
A=PΛP’
dengan A adalah matriks simetrik n x n, P adalah suatu matriks ortogonal dan Λ adalah matriks
diagonal. P=(x1|x2|…|xn) dan Λ=diag(λ1,…, λn)
Determinan Matriks
yaitu perkalian dari seluruh akar ciri dari matriks
persegi n x n A, |A|= λ1x….x λn
Teras Matriks
teras dari matriks A n x n, tr(A) adalah penjumlahan semua akar cirinya.
tr(A)= λ1+ ….+λn , yang sebanding dengan jumlah dari semua unsur diagonal utamanya.
Bentuk Kuadratik
Misal A adalah matrik berukuran n x n dan
x adalah vektor peubah berukuran n x 1 maka:
n
i
n
j
jiij xxaAxx1 1
'
nnnnnnnnn xxaaxxaaxaxa 11,,1212112
22
111 )(...)(...
Bentuk itu adalah bentuk kuadratik dari x.
Contoh:
111
124
321
A
3
2
1
x
x
x
x
323121
2
3
2
2
2
1 2462' xxxxxxxxxAxx
maka
Matriks Definit dan Semidefinit Positif
Matriks simetrik berukuran n x n bersifat:
-definit positif jika
x’Ax > 0 untuk sembarang vektor x ≠
0
-semidefinit positif jika
x’Ax ≥ 0 untuk sembarang vektor x ≠ 0
Akar Kuadratik Matrik Semidefinit Positif
A=matrik semidefinit positif, diperoleh matriks ∆ atas U sehingga
A=U’U (penguraian Cholesky)
Akar kuadrat dari matrik simetrik:
A=PΛP’=(PΛ1/2P’)(PΛ1/2P’)=A1/2A1/2
dimana P matrik ortogonal dan Λmatriks diagonal.
Perkalian KroneckerPerkalian Kronecker C denganD dinotasikan
DCYaitu dengan mengalikan setiap unsur matriks C dengan matriks D, dan kemudian membuat matriks gabungannya.contoh:
2311
1140
4301
C
7
3
1
D
142177
6933
2311
77280
33120
1140
282107
12903
4301
DC
MATRIKS DALAM MULTIVARIATE
Untuk banyaknya pengamatan(observasi) sebesar n danbanyaknya peubah sebesar p,matriks datanya dituliskan
'
:
'
'
......
:...::
...
...
2
1
1
22221
11211
nnpn
p
p
x
x
x
xx
xxx
xxx
X
1'1
1
:
1
1
...
:...::
...
...
1
:
21
22221
11211
2
1
Xn
x
xxx
xxx
xxx
n
x
x
x
x
pnpp
n
n
p
pp
pp
pppp
p
s
s
s
D
Xn
IXn
S
sss
sss
S
:00
:...::
0...0
0...0
'111
'1
1
...
:...::
...
22
11
21
)(
21
11211
1...
:...::
...1
...
......::
...
1...00
:...::
0...1
0
0...01
21
112
22
2
11
1
11
1
2211
12
1111
11
22
11
21
)(
pp
p
pppp
pp
pp
p
pp
p
pp
p
pp
pp
rr
rr
ss
s
ss
s
ss
s
ss
s
ss
s
ss
s
R
s
s
s
D
R = D-1/2SD-1/2 atau
S = D1/2RD1/2
Jika vektor a dikalikan terhadap X sehinggamembentuk kombinasi linier dari X, maka
Rataan (a’X) =
Ragam (a’X) = a’Sa
Ragam (a’X dan b’X) = a’Sb
xa'
Partisi Matriks
)2(
)1(
1
1
)1(
:
:
x
x
x
x
x
x
x
p
q
q
px
ppqppqp
pqqqqqq
qpqqqqq
pqq
pxpn
ssss
ssss
ssss
ssss
S
...|...
:...:|:...:
...|...
...|...
:...:|:...:
...|...
1,1
,11,1,11,1
1,1
11,1111
)(
2221
1211
|
|
|
ss
ss
q
q
qp
qp
TERIMAKASIH