Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah

1Mat2-Unpad

2

Sistem KoordinatSistem Koordinaty

x

P(x,y)

Kuadran IKuadran II

Kuadran III Kuadran IV

y

x

y

z

x

P(x,y,z)

Oktan 1

R3(Ruang) R2(Bidang)

Mat2-Unpad

3Mat2-Unpad

4

Permukaan di Ruang (RPermukaan di Ruang (R33))

Ax By Cz D

Jejak di bidang XOY, z = 0

Jejak di bidang XOZ, y = 0

Jejak di bidang YOZ, x = 0

1. Bidang

Bentuk umum:

Cara menggambar permukaan: tentukan jejak(perpotongan permukaan dengan bidang XOY,XOZ,YOZ)

Ax By D Ax Cz D

By Cz D

(garis lurus)

(garis lurus)

(garis lurus)

Mat2-Unpad

5

Gambar bidang 3 4 2 12x y z

Mat2-Unpad

6

2 2 2 2 , 0x y z a a

2 2 2x y a Jejak di bidang XOY, z = 0

Jejak di bidang XOZ, y = 0

(lingkaran)

2 2 2x z a (lingkaran)

Jejak di bidang YOZ, x = 0 2 2 2y z a (lingkaran)

2. Bola

Persamaan umum bola :

Mat2-Unpad

7

Gambar BolaGambar Bola

Z

x

y

7Mat2-Unpad

8

3. Elipsoida2 2 2

2 2 21 , , , 0

x y za b c

a b c

2 2

2 21

x y

a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Elips

2 2

2 21

x z

a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Elips

2 2

2 21

z y

c b Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Elips

Bentuk umum :

Mat2-Unpad

9

Gambar ElipsoidaGambar Elipsoida

Z

x

y

Mat2-Unpad

10

2 2 2

2 2 21 , , , 0

x y za b c

a b c

2 2

2 21

x y

a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Elips

2 2

2 21

x z

a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbola

2 2

2 21

y z

b c Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbola

4. Hiperboloida berdaun satu

Bentuk umum :

Mat2-Unpad

11

Gambar Hiperboloida Berdaun SatuGambar Hiperboloida Berdaun Satu

Z

x

y

Mat2-Unpad

12

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

2 2

2 21

x y

a b Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Hiperbola

2 2

2 21

x z

a c Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbola

2 2

2 21

y z

b c Jejak di bidang YOZ, x = 0 , tidak ada jejak

Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips

5. Hiperboloida Berdaun dua

Bentuk umum :

Mat2-Unpad

13

Gambar Hiperboloida Berdaun DuaGambar Hiperboloida Berdaun Dua

Z

x

y

Mat2-Unpad

14

2

2

2

2

b

y

a

xz

2

2

2

2

b

y

a

xz

2 2 2

2 2 20

x y z

a b c

6. Paraboloida Elips :

7. Paboloida Hiperbola :

8. Kerucut Elips :

Mat2-Unpad

15

GambarGambarZ

x

y

z

x

y

Z

x

y

Paraboloida Elips

Paraboloida Hiperbola

Kerucut ElipsMat2-Unpad

16

Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah• Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang

mengaitkan setiap pasangan (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)Notasi : f : A R

(x,y) z = f(x,y)Contoh:

2 212. ( , ) 36 9 4

3f x y x y

2

22

23. ( , )

2

y xf x y

x y

2( )A R

2 21. ( , ) 3 2f x y x y

Mat2-Unpad

17

Daerah Asal (Daerah Asal (DDff) dan Daerah Nilai () dan Daerah Nilai (RRff))

2( , ) ( , )fD x y R f x y R

Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari

( , ) ( , )f fR f x y x y D

2 212. ( , ) 36 9 4

3f x y x y

3. ( , ) (1 )f x y x y

2 21. ( , ) 3 2f x y x y

Berupa daerah di bidang

Mat2-Unpad

18

Jawab :Jawab :

x

y

2.2 2 21

( , ) 36 9 43fD x y R x y R

2 22( , ) 1

4 9

x yx y R

x

y

2

3

2 2 2

2

1. ( , ) | 3 2

( , )

fD x y R x y R

x y R

(seluruh daerah di bidang)

2 2 2( , ) 36 9 4 0x y R x y

2 2 2( , ) 9 4 36x y R x y

Mat2-Unpad

19

x

y

23. ( , ) (1 )fD x y R x y R

= {(x,y) R2|x 0 dan (1–y)0 atau x 0 dan (1–y)0}

= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1}

2( , ) (1 ) 0x y R x y

Mat2-Unpad

20

LatihanLatihan

2

22

21. ( , )

2

y xf x y

x y

2. ( , )1

xf x y

y

3. ( , ) 2y

f x yx

Tentukan dan gambarkan domain dari fungsi berikut:

Mat2-Unpad

21

Grafik Fungsi Dua PeubahGrafik Fungsi Dua Peubah• Grafiknya berupa permukaan di ruang

Z=f(x,y)

Df

x

y

z

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengantepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbu zakan memotong grafik tepat di satu titik.

Mat2-Unpad

Mat2-Unpad 22

23

ContohContoh

Paraboloida elips2 2

1 13 2

x yz

Z

x

y

Z

x

y

3

3

Gambarkan grafik

2 21. ( , ) 3 2f x y x y

2 212. ( , ) 36 9 4

2f x y x y

2

2 2 2

14 9 9

x y z

2 2 24 36 9 4z x y

elipsoida

Mat2-Unpad

24

LatihanLatihan

1. x2 + y2 = 42. y = x2

3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 14. 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 365. z =4

Gambarkan grafik dari :

2 26. ( , ) 3f x y x y

Mat2-Unpad

25

Turunan ParsialTurunan ParsialDefinisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah.

0

( , ) ( , )( , ) limx

h

f x h y f x yf x y

h

2. Turunan parsial pertama f terhadap y (x dianggap konstan):

0

( , ) ( , )( , ) limy

h

f x y h f x yf x y

h

1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y dianggap konstan):

,x

f zf

x x

y

z

y

ff y

Notasi lain :

Mat2-Unpad

26

Contoh:Contoh:

4 21. ( , )f x y x y xy

Tentukan fx dan fy

Jawab :

3 21. 4 ;xf x y y

2 22. ( , ) cos( )f x y y x y

2 22. 2 sin( )xf xy x y

)sin(2)cos( 22222 yxyyxf y

4 2yf x xy

Mat2-Unpad

27

LatihanLatihan I I

31. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy

cos2. ( , )y t

xf x y e dt

Tentukan fx dan fy

33. ( , ) cos( ) sin(2 )f x y x x y y xy

4. ( , ) tan 2yf x y e x

3 2 35. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y

Mat2-Unpad

Mat2-Unpad 28

LatihanLatihan II II

Tentukan Fx dan Fy

1. f(x,y) =ln(x2 – y2)

2. f(x,y) = xey – sin(x/y) + x3y2

3. f(x,y) = x2sin(xy2)

4. f(x,y) = ycos(x2 + y2)

29

Definisi: Misalkan f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah,

maka

0

( , , ) ( , , )limxh

f x h y z f x y zf

h

2. Turunan parsial pertama f terhadap y (x,z konstan):

0

( , , ) ( , , )limyh

f x y h z f x y zf

h

1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y,z konstan):

3. Turunan parsial pertama f terhadap z (x,y konstan):

0

( , , ) ( , , )limzh

f x y z h f x y zf

h

Mat2-Unpad

30

LatihanLatihan

21. ( , , ) 3f x y z xy y z xz

2. ( , , ) cos( ) 2f x y z x y z xy

Tentukan fx, fy dan fz

23. ( , , ) secyf x y z xe z

24. ( , , ) ln( )xyzf x y z e x y z

Mat2-Unpad

31

Turunan Parsial KeduaTurunan Parsial Kedua2

2( , )xx

f ff x y

x x x

2

2( , )yy

f ff x y

y y y

2

( , )xy

f ff x y

y x y x

2

( , )yx

f ff x y

x y x y

Mat2-Unpad

32

ContohContohTentukan

Jawab :

2 3 3( , )f x y xy x y , , ,xx xy yx yyf f f f dari

2 2 33xf y x y 36xxf xy

3 22 3yf xy x y

2 22 9xyf y x y

2 22 9yxf y x y

32 6yyf x x y

Mat2-Unpad

33

LatihanLatihanTentukan , , ,xx xy yx yyf f f f dari

31. ( , ) cos( ) sin 2f x y x x y y xy

2. ( , ) sin 3 cos 2f x y x y

2 23. ( , ) ln( )f x y x xy y 2

4. ( , )x y

f x yxy

2 25. ( , ) sin cosx yf x y e y e x

Mat2-Unpad

34

Arti Geometris Turunan Parsial PertamaArti Geometris Turunan Parsial Pertama

z

x

y

(a, b)

s),(

),(),(lim

0yxf

h

yxfyhxfm x

h

Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbu x positif

Mat2-Unpad

35

z

x

y (a, b)

s0

( , ) ( , )lim ( , )yh

f x y h f x ym f x y

h

Kemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbu y positif

Arti Geometris Turunan Parsial PertamaArti Geometris Turunan Parsial Pertama

Mat2-Unpad

36

0..

dx

dy

y

F

dx

dx

x

FFdy x

Fdxy

Fungsi Implisit

(i) Jika ( , ) 0F x y bentuk implisit dari ( )f x y maka

(ii) Jika ( , , ) 0F x y z bentuk implisit dari ( , )f x y z maka

0...

x

z

z

F

x

y

y

F

x

x

x

F Fz xFx

z

0...

y

z

z

F

y

y

y

F

y

x

x

F Fz y

Fyz

Mat2-Unpad

37

Contoh :

dx

dy1. Tentukan dari 3 2 410 0x x y y

2. Tentukan z

x

dari 3( , , ) sin( ) 0y zF x y z x e y x z

Jawab :2

2 3

(3 2 )1.

( 40 )

Fdy x xyxFdx x y

y

2

3

32.

( cos( ))

y z

y z

Fz x exFx x e y x z

z

Mat2-Unpad

38

Aturan RantaiAturan Rantai

Misalkan x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di tdan z = f(x,y) terdirensialkan di (x(t), y(t))Maka z = f(x(t), y(t)) dapat didiferensialkan di t dan didefinisikan sebagai

dz z dx z dy

dt x dt y dt

Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka

i z z x z y

s x s y s

ii z z x z y

t x t y t

Mat2-Unpad

39

ContohContoh

1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukan dw

dt

Jawab: dw w dx w dy

dt x dt y dt

3 2 2 22 (3 ) 3 (2 )xy t x y t

3 2 3 2 3 2 2 22 ( ) (3 ) 3( ) ( ) (2 )t t t t t t

3 6 2 6 4 112 3 3 2 12t t t t t t t

Mat2-Unpad

40

ContohContoh2. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2s+7t dan y = 5st,

z

t

Jawab:

6 .7 2 .5z z x z y

x y st x t y t

tentukan z

s

dan

6 .2 2 .5z z x z y

x y ts x s y s

242(2 7 ) 50z

s t s tt

212(2 7 ) 50z

s t sts

Mat2-Unpad

41

LatihanLatihan

1. Tentukandw

dt(dalam t)

2. Tentukan w

t

2 2

. ; sin , sinx yb w e x s t y t s

2 2. ln ; ,s

a w x y x x y s tt

2 3 2. sin( ) ; , ,c w xyz x t y t z t

. sin sin ; 3 , 2x yb w e y e x x t y t

2 2. ; cos , sina w x y y x x t y t

Mat2-Unpad

42

Vektor GradienVektor GradienDefinisi:Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2 Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D

didefinisikan sebagai

ˆ ˆ( , ) ( , ) ( , )x yf x y f x y i f x y j

adalah vektor satuan arah sumbu x,y positif

Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)

ˆ ˆ,i j

Definisi

Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah

ˆˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zf x y z f x y z i f x y z j f x y z k

adalah vektor satuan arah sumbu x,y,z positif.ˆˆ ˆ, ,i j kMat2-Unpad

43

ContohContohTentukan ( , )f x y

dan ( 1, 1)f

dari ( , ) xyf x y x e

( , ) xy xyxf x y e xye

Jawab :

2( , ) xyyf x y x e

( 1, 1) 2xf e e e

( 1, 1)yf e

2ˆ ˆ( , ) xy xy xyf x y e xye i x e j

ˆ ˆ( 1, 1) 2f e i e j

Jadi:

Mat2-Unpad

44

LatihanLatihanA. Tentukan f

dari

2

1. ( , )x y

f x yx y

2 22. ( , ) lnf x y x y

3 24. ( , ) sinf x y x y

5. ( , ) ln( )f x y xy x y

B. Tentukan f

di titik yang diberikan2 21. ( , )f x y x y xy

3 2 32. ( , ) ln( 4 )f x y x xy y

2

3. ( , )x

f x yy

di P (–2,3)

di P (–3, 3)

di P (2, –1)

23. ( , , ) x zf x y z x y e 26. ( , ) secyf x y x e z

Mat2-Unpad

45

Bidang SinggungBidang Singgung• Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan

F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada

0 0 0( , , )f x y z

Teorema:Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan

bidang singgung di titik adalah : 0 0 0( , , )x y z

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z

Untuk permukaan ( , ) ( , , ) ( , )z f x y atau F x y z f x y z

Persamaan bidang singgung di 0 0 0( , , )x y z adalah :

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( )x yz z f x y x x f x y y y

0 0 0( , , )x y z

Mat2-Unpad

46

Definisi :

Garis normal permukaan S di Po adalah garis yangmelalui 0 0 0( , , )x y z dan searah vektor normal bidang singgung

pada S di Po yaitu :

0 0 0 0( ) ( , , )X r t t F x y z

atau

0 0 0 0( , , )xx x tF x y z

0 0 0 0( , , )yy y tF x y z

0 0 0 0( , , )zz z tF x y z

Mat2-Unpad

47

ContohContoh1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal

permukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3)

Jawab: Misalkan

ˆˆ ˆ( , , ) 2 2 4f x y z x i y j z k

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah

ˆˆ ˆ(1,2,3) 2 4 12f i j k

2(x – 1) + 4(y + 2) + 12 (z – 2) = 0

2x + 4y + 12 z = 46

2 2 2( , , )F x y z x y z

Mat2-Unpad

48

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

x = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12t

2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal

Permukaan di (1, 2, -5)

Jawab:

2( , ) 2 2 3xf x y x y y

( , ) 2 6yf x y x xy

(1,2) 2 4 12 6xf

(1,2) 2 12 10yf

2 2( , ) 2 3 2f x y x xy xy

Mat2-Unpad

49

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah

5 (1,2)( 1) (1,2)( 2)x yz f x f y

5 6( 1) 10( 2)z x y

6 10 21x y z

1 6 , 2 10 , 5x t y t z t

Mat2-Unpad

50

LatihanLatihan1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal

permukaan

a. x2 + y2 – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y = ex cos z di titik (1, e, 0)c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d. z= 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1)

2. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 dan x2+y2+z2 – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). (yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama).

Mat2-Unpad

Mat2-Unpad 51

3. Tentukan semua titik pada permukaan z = x2 – 2xy – y2 – 8x + 4y, dimana bidang singgung mendatar

4. Tentukan sebuah titik pada permukaan z = 2x2 + 3y2 dimana bidang singgung sejajar terhadap bidang 8x – 3y – z = 0

5. Perlihatkan bahwa permukaan x2 + 4y + z2 = 0 dan

x2 + y2 + z2 – 6z + 7 = 0 saling menyinggung di titik (0, -1, 2); yakni perlihatkan bahwa mereka

mempunyai bidang singgung yang sama di (0, -1, 2)

52

Nilai Ekstrim Fungsi Dua PeubahNilai Ekstrim Fungsi Dua Peubah

Definisi:

Misalkan fDyx ),( 00

jika

),()( 00 yxfi disebut nilai maksimum global dari f pada Df ,

, maka:

fDyxyxfyxf ),(),(),( 00

),()( 00 yxfii disebut nilai minimum global dari f pada Df ,

jika fDyxyxfyxf ),(),(),( 00

),()( 00 yxfiii disebut nilai ekstrim global dari f pada Df ,jika ia merupakan nilai maksimum global atauminimum global.

Jika (i) dan (ii) hanya berlaku untuk bola buka yang berpusat di (x0,y0), maka nilai yang diperoleh disebut maksimum lokalatau minimum lokal. Mat2-Unpad

5353Mat2-Unpad

Kalkulus2-Unpad 54

55

Di mana nilai ekstrim muncul?Di mana nilai ekstrim muncul?

• Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis

• Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu– Titik-titik batas Df

– Titik Stasioner

– Titik Singular

0),(0),(0),(),( 00000000 yxfdanyxfyxfyx yx

)adatidak),(( 00 yxf

Mat2-Unpad

56

Uji Nilai Ekstrim LokalUji Nilai Ekstrim Lokal

• Untuk menguji apakah di titik stasioner terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0),

dan

0),( 00 yxf

maka

200000000 ),(),(.),(),( yxfyxfyxfyxDD xyyyxx

1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 yxf xx

2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan 0),( 00 yxf xx

3. f(x0,y0) bukan nilai ekstrim jika D<0 ((x0,y0) titik pelana)4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan

Mat2-Unpad

57

ContohContoh1. Tentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya, dari

Jawab :

fx(x,y) = 8x3 – 2x fy(x,y) = 6yfxx(x,y) = 24x2 – 2 fyy(x,y) = 6

fxy(x,y) = 0

Titik kritis (stasioner) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu

8x3 – 2x=0 2x (4x2 – 1)=0 x=0 , x =± ½

6y =0 y = 0

Jadi titik-titik kritisnya (titik stasioner) adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0)

224 32),( yxxyxf

Mat2-Unpad

58

Titik stasioner

fxx fyy fxy D Keterangan

(0,0)– 2

6 0–12

f(0,0) bukan nilai ekstrim

(½, 0) 4 6 0 24 f(1/2,0) nilai minimum lokal

(-½, 0) 4 6 0 24 f(-1/2,0) nilai minimum lokal

Uji nilai ekstrim lokal dengan D :

Jadi nilai minimum lokal8

1)0,

2

1( f dan

8

1)0,

2

1( f

Titik (0,0) merupakan titik pelana.

Mat2-Unpad

59

LatihanLatihan

Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari

a. f(x,y) = x3+y3-6xyb. f(x,y) = xy2 –6 x2 – 6y2

c. f(x,y) = x2 +4 y2 – 2x+8y – 1d. f(x,y) = 3x3 +y2 – 9x + 4y

yxxyyxfe

42),(.

yyxyxyxff 44),(. 32

323),(. 2 xyxyyyxfg

2933),(. 233 yxyyxyxfh

Mat2-Unpad

Kalkulus2-Unpad 60

Metoda LagrangeMetoda Lagrange

0),(),(),( 000000 yxgdanyxgyxf

dengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange

),(),(),( 000000 yxhyxgyxf

dengan (x0,y0) titik kritis, , µ pengali langrange

g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0

• Untuk memaksimumkan/meminimumkan f (x0,y0)

terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan sistem persamaan:

• Untuk memaksimumkan/meminimumkan f (x0,y0)

terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0) selesaikan sistem persamaan:

Kalkulus2-Unpad 61

Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari1. f(x,y)= x2 – y2 + 1 pada lingkaran x2+y2=1

Jawab:

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange :

),(),( yxgyxf

0),( yxgdan

yaitu:2x = 2x …….(1)

– 2y = 2y …….(2)

x2+y2 = 1 ……..(3)

jyixyxf ˆ2ˆ2),(

jyixyxg ˆ2ˆ2),(

Contoh

Kalkulus2-Unpad 62

Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama-sama nol, sehingga

Untuk x 0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2)di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1 x = ± 1

Untuk y 0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1)di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2=1 y = ± 1

Jadi titik-titik kritisnya : (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)

f(1, 0) = 2,

f(-1, 0) = 2

f(0, 1) = 0,

f(0,-1) = 0

maka titik kritis : (1,0) dan (-1,0)

maka titik kritis : (0,1) dan (0,-1)

2. Tentukan nilai minimum global dari

Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),

523),,( zyxzyxf

terhadap kendala 049),,( 22 zyxzyxg

Jawab:

kjigkjif ˆˆ8ˆ18;ˆˆ2ˆ3

),(),( yxgyxf

0),( yxg

049

1

82

183

22

zyx

y

x

(1)

(3)

(2)

(4)

Kalkulus2-Unpad 63

Substitusi ke (4), didapat4

1,

6

11 yxKarena

2

1z

Sehingga nilai minimumnya adalah:

2

1,

4

1,

6

1Jadi titik kritis :

2

14

2

1,

4

1,

6

1

f

Kalkulus2-Unpad 64

Kalkulus2-Unpad 65

LatihanLatihanGunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari

1.f(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0

2.f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1

3.f(x,y) = 4x2 – 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1

4.f(x,y,z) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y – 2z = 12