2. Peubah Acak

download 2. Peubah Acak

of 31

Transcript of 2. Peubah Acak

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    1/31

    Peubah Acak dan

    Distribusinya

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 1

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    2/31

    Ciri-ciri Eksperimen AcakO Dapat dilakukan berulang-ulang

    O Dapat diestimasi

    O

    Bisa diukurO Hasilnya tidak bisa ditebak

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 2

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    3/31

    Ruang Sampel dan Kejadian

    ORuang sampel, S

    Event (kejadian)

    S= { , , ... , }

    E = { , }

    Populasi

    SampelRuang Sampel Diskrit

    Ruang Sampel Kontinu

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 3

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    4/31

    Pemetaan (Fungsi)

    A B

    A B

    1. Fungsi titik

    2. Fungsi himpunan

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 4

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    5/31

    Peubah Acak

    O Peubah acak, merupakan suatu pemetaan dari ruangsampel ke bilangan riil .

    :X S R

    x

    Ruang Sampel S Himpunan Bil.Riil

    X

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 5

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    6/31

    Contoh

    O Percobaan pelemparan sebuah dadu

    S= { , , ... , }

    X= { 1 , 2 , , 6 }

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 6

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    7/31

    Keuntungan Peubah AcakO Merepresentasikan suatu masalah ke

    dalam titik real.

    O Dapat dipetakan.O Lebih mudah dalam penulisan.

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 7

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    8/31

    Jenis Peubah Acak

    Peubah Acak Diskrit

    : ( )

    i

    s X s x E S

    himpunan terhitung , berhingga

    atau tak berhingga, dan

    1 2, ,...x x

    Peubah Acak Kontinu

    Domain dari peubah acaknya adalah

    bilangan riil.

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 8

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    9/31

    Contoh TipePeubah AcakX

    Diskrit

    X= 1, jika mempunyai 1 komputer

    = 2, jika mempunyai 2 komputer

    = 3, jika mempunyai 3 komputer

    Mempunyaikomputer

    Jarak dari

    rumah

    ke kampus

    X menyatakan jarak dari rumahke kampus dalam km Kontinu

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 9

    Contoh Peubah Acak

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    10/31

    Fungsi peluang

    DiskritP(X= x),

    disebut juga sebagai

    fungsi massa peluang (f.m.p).

    Kontinuf(x),

    disebut juga sebagai

    fungsi kepadatan peluang (f.k.p).

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 10

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    11/31

    X: S R

    Diskrit Kontinu

    1x

    P X x

    t x

    F x P X x

    f t

    1. P(X=x) 0

    2.

    3. P(X=x)= f(x)

    4.

    1. f(x) 0,xR

    2.

    3. P(a

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    12/31

    Grafik Fungsi Peluang

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    0.4

    0.45

    1 2 3 4

    P(X=x)

    x

    f(x)

    x

    Luas di bawah grafik = 1

    Diskrit Kontinu

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 12

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    13/31

    Fungsi Distribusi

    O Fungsi distribusi Fdari peubah acakX

    O Sifat-sifat :

    1. 0F(x) 1

    2. Ffungsi yang monoton tidak turun,

    3.

    4.

    5. Fkontinu dari kanan.

    lim ( ) 1x

    F x

    lim ( ) 0x

    F x

    lim ( ) ( )x a

    F x F a

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 13

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    14/31

    Contoh 1Dipelajari keadaan mood dari sepasang mahasiswa

    (laki-laki dan perempuan). Jika mood tersebut diamatiberdasarkan paras masing-masing mahasiswa dandimisalkan hanya ada dua kategori (mood baik & tidak).

    Misalkan peubah acaknya (T) adalah banyaknya

    mahasiswa yang bermood baik. Tentukan :a. Ruang sampel.

    b. Fungsi massa peluang dari peubah acak T.

    c. Fungsi distribusi peubah acak T dan gambarkan.Maka

    Jawaba. Ruang sampel : S = {,, , }, dengan = baik, = tidak.

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 14

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    15/31

    Ilustrasi Contoh

    P(T= t)Ruang Sampel

    2

    01

    T

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 15

    T = # mahasiswa yang bermood baik = { 0, 1, 2 }

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    16/31

    a. Fungsi massa peluang P(T=t) adalah:

    Grafik f.m.p dari T :

    1/ 2, 1

    ( ) 1/ 4, 0,2

    0, yang lain

    t

    P T t t

    t

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 16

    0 1 2

    1/4

    1/2

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    17/31

    b. Untuk menentukan F(t)perlu dihitung F(t)untuksemuanilai riil.

    Ambil t < 0 sebarang, maka F(t) = P(T< t) = 0Ambil t = 0, maka F(0) = P(T 0)

    = P(T < 0) + P(T = 0)

    = 0 + P(T = 0) =

    Ambil 0< t

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    18/31

    Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka fungsi

    distribusiF(t) dapat dinyatakan sebagai berikut :

    SelanjutnyaF(t) dapat digambarkan sebagai grafik di bawah ini:

    0, 0

    1/ 4, 0 1( )

    3/ 4, 1 2

    1, 2

    t

    tF t

    t

    t

    0

    1

    F(t)

    1t

    206/02/2013MA2082 Biostatistika 18

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    19/31

    Contoh 2

    Misalkan kesalahan dalam pengukuran volume isi botolcoca cola antara -1/2 ml s/d 1/2 ml. Dianggap setiappengisian oleh mesin tidak akan kurang dan tidak akanlebih dari ml. JikaYadalah peubah acak volume isicoca cola yang kurang atau lebih.

    Tentukan :

    a. Peluang mesin melakukan kesalahan pada pengisian

    botol kurang dari ml dan lebih dari 1/5 ml.

    b. Peluang mesin melakukan kesalahan dalam pengisian

    botol lebih dari 0,2 ml.

    c.F(y) dan gambarkan.

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 19

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    20/31

    Jawab

    Diketahui Ymenyatakan volume kesalahan mesinmengisi botol coca cola (ml).

    1 12 4

    1/ 2 1/5

    1/ 21

    2

    1 1 1 1

    4 5 5 4

    0 1 0 1

    7 10 0

    10 4

    28 10 18

    40 40

    P Y P Y P Y

    dy dy dy dy

    1 11,

    ( ) 2 2

    0, yang lain

    yf y

    y

    a.

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 20

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    21/31

    b.

    1152

    12

    0,2 1 0,2

    11

    5

    1 0 1

    7 3

    1 0 10 10

    P Y P Y

    P Y

    dy dy

    1

    2

    12

    ( )

    0 1

    1

    2

    y

    y

    F y f y dy

    dy dy

    y

    c.

    F(y)

    - y

    1

    Fungsi distribusi :

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 21

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    22/31

    Ekspektasi

    O Ekspektasi dari Xadalah nilai harapan dari X.

    O Definisi Ekspektasi :

    ( ), jika peubah acak diskrit[ ]

    ( ) , jika peubah acak kontinu

    semua xxP X x XE X

    xf x dx X

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 22

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    23/31

    O ekspektasig(x) didefinisikan sebagai:

    OJikag(x) = Xp, maka E[Xp] disebut momen ke-p,tetapi jikag(x) = (X-a)p disebut momen ke-p disekitar a.

    O Umumnya diambil a = = E[X] atau rataanX(momen ke satu)

    ( ) ( ), jika peubah acak diskrit

    [ ( )]

    ( ) ( ) , jika peubah acak kontinu

    semua x

    g x P X x X

    E g x

    g x f x dx X

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 23

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    24/31

    Sifat Ekspektasi

    O Bila Y = aX + b, a dan b tetapan, makaE(Y) = E(aX+b) = aE(X)+b

    O Bila Xsuatu peubah acak dang suatu

    fungsi bernilai riil, maka:

    2

    2

    ( ( ) ) ( ), jika peubah acak diskrit

    ( ( ) ) ( ) , jika peubah acak kontinu

    semua x

    g x P X x X

    g x f x dx X

    Var(g(x)) =

    =

    2[( ( ) ) ]E g x

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 24

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    25/31

    Variansi

    oJika diambilg(x) = (X-)2, maka E[(X-)2 ]disebut variansi variabel acak X.

    o Definisi Variansi dari X :2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    ( ) [( ) ]

    [ 2 ]

    [ ] [2 ] [ ]

    [ ] 2 [ ]

    [ ]

    [ ] ( [ ])

    Var X E X

    E X X

    E X E X E

    E X E X

    E X

    E X E X

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 25

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    26/31

    Sifat Variansi

    O Bila Y = aX + b, a dan b tetapan, makaVar(Y) = a2Var(X)

    O Bila Xsuatu peubah acak dang suatu

    fungsi bernilai riil, maka:

    2

    2

    ( ( ) ) ( ), jika peubah acak diskrit

    ( ( ) ) ( ) , jika peubah acak kontinu

    semua x

    g x P X x X

    g x f x dx X

    Var(g(x)) =

    =

    2[( ( ) ) ]E g x

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 26

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    27/31

    Contoh 3

    MisalXadalah kesalahan dalam pengukuran untuksuatu diameter baut (dalam mm). Jika ditetapkanfungsi peluang sbb:

    Tentukan:

    a. Rataan dan variansi dari kesalahan

    pengukuran di atas.b. Jika dibangun Y = 4X + 3, tentukan rataan

    dan variansi dari Y ini.

    2

    , 1 2

    ( ) 30, yang lain

    xx

    f xx

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 27

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    28/31

    Jawab

    2 2

    1

    24

    1

    E3

    1

    3 4

    1 516 1

    12 4

    xX x dx

    x

    2 2

    22 22

    1

    25

    1

    Var E E

    5

    3 4

    1 25

    3 5 16

    1 32 1 25 11 25

    3 5 5 16 5 16176 125 51

    80 80

    0,6375

    X X X

    xx dx

    x

    a. Rataan dariX b. Variansi dariX

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 28

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    29/31

    E E 4 3

    4E 3

    54 3 5 3 8

    4

    Y X

    X

    2

    Var Var 4 3

    4 Var +Var 3

    16(0,6375) 0

    10,2

    Y X

    X

    b.

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 29

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    30/31

    Latihan

    1. Pada ujian psikotes, seorang mahasiswamengerjakan 100 soal pilihan ganda dengan asal

    menebak, jika peluang menjawab benar adalah

    . Tentukan rata-rata banyaknya soal yang dapat

    dijawab dengan benar?

    Jelaskan alasannya.

    1. Jika

    maka nilai F(2,5) = ......

    1/ 3 , 1,2,3( )

    0 , yang lain

    xP X x

    x

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 30

  • 7/29/2019 2. Peubah Acak

    31/31

    3. Suatu uang logam diberi beban yang lebih

    berat sehingga kemungkinan muncul muka duakali lebih besar dari pada belakang. Bila uang

    tersebut dilantunkan tiga kali.

    a. Tentukan distribusi peluangnya.

    b. Carilah distribusi kumulatif peubah acakXyang menyatakan banyaknya muka yang

    muncul dan gambarkan grafiknya

    c. Tentukan P(1 X< 3) dan P(X> 2)

    06/02/2013MA2082 Biostatistika 31