Fungsi Dua Peubah*Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Sistem KoordinatOktan 1R3(Ruang) R2(Bidang) Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Permukaan di Ruang (R3)Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, y = 0 Jejak di bidang YOZ, x = 0 1. BidangBentuk umum:Cara menggambar permukaan: tentukan jejak(perpotongan permukaan dengan bidang XOY,XOZ,YOZ)(garis lurus)(garis lurus)(garis lurus)Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Gambar bidang Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, y = 0 (lingkaran) (lingkaran)Jejak di bidang YOZ, x = 0 (lingkaran)2. BolaPersamaan umum bola :Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Gambar Bola*Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*3. ElipsoidaJejak di bidang XOY, z = 0 , berupa ElipsJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa ElipsJejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa ElipsBentuk umum :Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Gambar ElipsoidaMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa ElipsJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa HiperbolaJejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbola4. Hiperboloida berdaun satuBentuk umum :Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Gambar Hiperboloida Berdaun Satu Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa HiperbolaJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa HiperbolaJejak di bidang YOZ, x = 0 , tidak ada jejakJejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips 5. Hiperboloida Berdaun duaBentuk umum :Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Gambar Hiperboloida Berdaun Dua Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*6. Paraboloida Elips :7. Paboloida Hiperbola :8. Kerucut Elips :Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*GambarZ x yz x yZ x yParaboloida ElipsParaboloida HiperbolaKerucut ElipsMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Fungsi Dua PeubahDefinisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)Notasi : f : A R (x,y) z = f(x,y)Contoh:

Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari Berupa daerah di bidangMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Jawab :xy2.xy23(seluruh daerah di bidang)Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*xy= {(x,y) R2|x 0 dan (1y)0 atau x 0 dan (1y)0}= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1}Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*LatihanTentukan dan gambarkan domain dari fungsi berikut:Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Grafik Fungsi Dua PeubahGrafiknya berupa permukaan di ruangZ=f(x,y)DfxyzKarena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengantepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbu zakan memotong grafik tepat di satu titik.Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*ContohParaboloida elipsZ x yZ x y33Gambarkan grafik 2elipsoidaMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Latihanx2 + y2 = 4y = x22x + 2y + 4z = 8 , di oktan 19 z2 + 9x2 + 4y2 = 36z =4Gambarkan grafik dari :Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Kurva Ketinggianz = f(x,y) z = k adalah kurva ketinggian.

Jadi, kurva ketinggian adalah proyeksi dari perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY.Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Contoh: Untuk k = 0 titik (0, 0)Untuk k = 1 elipsUntuk k = 2 elipsUntuk k = 4 elipsk=2k=4xy1. Gambar kurva ketinggianJawab:Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Untuk k = -2 parabolaUntuk k = 0 parabolaUntuk k = 2 parabolaUntuk k = 4 parabolak=0k=-2k=2k=4xyJawab:Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Latihan IGambarkan kurva ketinggian z = k dariMat2-Unpad

Mat2-Unpad

Mat2-Unpad*Latihan IIGambarkan kurva ketinggian z = k dari1. Z = x2 + y, k = -4, -1, 0, 1,42. Z = y sinx, k = -2, -1, 0, 1, 23. Z = ( x2 + y) / (x + y2) , k = 0,1,2,4

Mat2-Unpad

*Turunan ParsialDefinisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah.

Turunan parsial pertama f terhadap y (x dianggap konstan):

1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y dianggap konstan):Notasi lain :Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Contoh:Tentukan fx dan fyJawab :Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Latihan ITentukan fx dan fyMat2-Unpad

Mat2-Unpad

Mat2-Unpad*Latihan IITentukan Fx dan Fy1. F(x,y) =ln(X2 Y2)2. F(x,y) = xey sin(x/y) + x3y23. F(X,Y) = X2SIN(XY2)4. F(X,Y) = YCOS(X2 + Y2)

Mat2-Unpad

*Definisi: Misalkan f(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah, maka

Turunan parsial pertama f terhadap y (x,z konstan):

1. Turunan parsial pertama f terhadap x (y,z konstan):3. Turunan parsial pertama f terhadap z (x,y konstan):Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*LatihanTentukan fx, fy dan fz Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Turunan Parsial KeduaMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*ContohTentukan Jawab :dariMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*LatihanTentukan dariMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Arti Geometris Turunan Parsial Pertama (a, b) sKemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbu x positifMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*z x y (a, b) sKemiringan garis singgung di titik (x,y,z)dalam arah sumbu y positifArti Geometris Turunan Parsial PertamaMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Vektor GradienDefinisi:Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2 Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D didefinisikan sebagaiadalah vektor satuan arah sumbu x,y positifNotasi lain: grad f(x,y), del f(x,y) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalahadalah vektor satuan arah sumbu x,y,z positif.Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*ContohTentukandandariJawab :Jadi:Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*LatihanA. TentukandariB. Tentukandi titik yang diberikandi P (2,3) di P (3, 3) di P (2, 1) Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Aturan RantaiMisalkan x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di tdan z = f(x,y) terdirensialkan di (x(t), y(t))Maka z = f(x(t), y(t)) dapat didiferensialkan di t dan didefinisikan sebagaiMisalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), makaMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*ContohMisalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukanJawab:Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Contoh2. Misalkan z = 3x2 y2 dengan x = 2s+7t dan y = 5st, Jawab:tentukan danMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Latihan1. Tentukan(dalam t)2. TentukanMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Fungsi Implisit(i) Jika bentuk implisit dari maka(ii) Jika bentuk implisit darimakaMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Contoh :1. Tentukan dari2. Tentukan dariJawab :Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Turunan BerarahMisalvektor satuan dengan pangkal di P0(x0, y0) P0Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*atauNilai z di Q adalah makaJika s0, maka diperolehJika jarak ke P adalah s, makaP0Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Definisi : Jika f(x,y) mempunyai turunan parsial dan vektor satuan sebarang, maka turunan berarah f di titik dalam arah adalah :Perhatikan bahwa:sudut antara Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*ContohJawab:1. Tentukan turunan berarah fungsi di titik P(1,1) dalam arah vektorSehingga turunan berarah f di (1,1) adalah:Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*ContohJawab:2. Tentukan suatu vektor dalam arah mana fungsibertambah paling cepat di P(2,-1) dan berapa laju perubahan dalam arah ini.Agar bertambah paling cepat searah.*Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

Karena searahmaka vektor satuannya Lajunya =*Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*LatihanTentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor a. f(x,y) = y2 lnx , P(1, 4), b. f(x,y) = xey yex , P(0, 0),c. f(x,y) = e xy , P(1, 1), d. f(x,y) = x/(x+y) , di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)Tentukan suatu vektor satuan dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah inia. f(x,y) = ey sin x , P(5/6,0)b. f(x,y) = 4x3y2 , P(1,1)c. f(x,y) = 1x2y2 , P(1,2)Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Bidang SinggungDefinisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada Teorema:Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik adalah :

Untuk permukaan Persamaan bidang singgung di adalah :Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Definisi :Garis normal permukaan S di Po adalah garis yangmelalui dan searah vektor normal bidang singgungpada S di Poyaitu :atauMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Contoh1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3)Jawab: Misalkan Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah2(x 1) + 4(y + 2) + 12 (z 2) = 0 2x + 4y + 12 z = 46 Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Jadi persamaan parameter garis normal adalahx = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12t2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalPermukaan di (1, 2, -5)Jawab:Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Jadi persamaan parameter garis normal adalahJadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalahMat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Latihan1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaana. x2 + y2 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y = ex cos z di titik (1, e, 0)c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d. z= 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1)2. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 dan x2+y2+z2 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). (yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama).Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

Mat2-Unpad*Tentukan semua titik pada permukaan z = x2 2xy y2 8x + 4y, dimana bidang singgung mendatar4. Tentukan sebuah titik pada permukaan z = 2x2 + 3y2 dimana bidang singgung sejajar terhadap bidang 8x 3y z = 0Perlihatkan bahwa permukaan x2 + 4y + z2 = 0 dan x2 + y2 + z2 6z + 7 = 0 saling menyinggung di titik (0, -1, 2); yakni perlihatkan bahwa mereka mempunyai bidang singgung yang sama di (0, -1, 2)

Mat2-Unpad

*Nilai Ekstrim Fungsi Dua PeubahDefinisi:Misalkan jikadisebut nilai maksimum global dari f pada Df ,, maka:disebut nilai minimum global dari f pada Df ,jikadisebut nilai ekstrim global dari f pada Df ,jika ia merupakan nilai maksimum global atauminimum global.Jika (i) dan (ii) hanya berlaku untuk bola buka yang berpusat di (x0,y0), maka nilai yang diperoleh disebut maksimum lokalatau minimum lokal.Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

**Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Di mana nilai ekstrim muncul?Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis

Titik Kritis ada 3 (tiga), yaituTitik-titik batas DfTitik Stasioner

Titik Singular Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Uji Nilai Ekstrim LokalUntuk menguji apakah di titik stasioner terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0), danmaka1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan3. f(x0,y0) bukan nilai ekstrim jika D

*Contoh1. Tentukan titik kritis, nilai ekstrim dan jenisnya, dariJawab :fx(x,y) = 8x3 2xfy(x,y) = 6yfxx(x,y) = 24x2 2fyy(x,y) = 6fxy(x,y) = 0Titik kritis (stasioner) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu8x3 2x=02x (4x2 1)=0x=0 , x = 6y =0y = 0Jadi titik-titik kritisnya (titik stasioner) adalah (0, 0), (, 0) dan (-,0)Mat2-Unpad

Mat2-Unpad

*Uji nilai ekstrim lokal dengan D :Jadi nilai minimum lokaldanTitik (0,0) merupakan titik pelana.Mat2-Unpad

Titik stasionerfxxfyyfxyDKeterangan(0,0) 26012f(0,0) bukan nilai ekstrim(, 0)46024f(1/2,0) nilai minimum lokal(-, 0)46024f(-1/2,0) nilai minimum lokal

Mat2-Unpad

*Latihan Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, daria. f(x,y) = x3+y3-6xyb. f(x,y) = xy2 6 x2 6y2c. f(x,y) = x2 +4 y2 2x+8y 1d. f(x,y) = 3x3 +y2 9x + 4yMat2-Unpad

Mat2-Unpad