Post on 02-Mar-2019
Analisa Numerik 1
Chapra, Steven C; Canale, Raymond P; Metode Numerik Untuk
Teknik, dengan penerapan pada komputer pribadi; UI Press, 1991.
Referensi :
Company, WS Dorn and Mc Cracken; Numerical Methods with
fortran IV; Case Study; John Wiley & Son, 1972
ANALISA NUMERIK
Analisa Numerik 2
Prosedur rumit
Metode numerik
Prosedur lebih mudah
Kesalahan/error
Masalah matematika
Metode analitis
Komputer
Tidak terselesaikan
BAB I PENDAHULUAN
Analisa Numerik 3
Metode numerik melibatkan suatu pendekatan (aproksimasi) sehingga
akan timbul kesalahan (error) yang meliputi :
• kesalahan pembulatan (round-off error)
• kesalahan pemotongan (truncation error)
Misal speedometer mobil menunjukkan angka antara 48 dan 49 km/jam
Kecepatan mobil tersebut mungkin adalah 48,6 atau 48,7 km/jam
Hal ini karena keterbatasan speedometer dimana hanya dua digit angka
pertama yang dapat dipakai secara meyakinkan
Tidak dapat dikatakan dengan pasti bahwa mobil bergerak dengan
kecepatan 48,7642 km/jam
Angka signifikan : digit tertentu yang dapat dipakai secara meyakinkan
PENDEKATAN DAN KESALAHAN
ANGKA SIGNIFIKAN
Analisa Numerik 4
Beberapa angka nol tidak selalu termasuk angka signifikan karena mereka
diperlakukan sekedar menempatkan sebuah titik desimal, misal
0,00001845; 0,0001845; 0,001845 semua memiliki empat angka signifikan
Jika angka nol dipakai di bagian ekor bilangan besar, tidak jelas berapa
banyak nol yang signifikan. Misal 45.300 dapat memiliki 3, 4 atau 5 angka
signifikan tergantung apakah harga nol telah diketahui dengan yakin
Ketidakpastian ini dapat diatasi dengan notasi ilmiah :
4,53 x 104 memiliki 3 angka signifikan
4,530 x 104
4,5300 x 104
memiliki 4 angka signifikan
memiliki 5 angka signifikan
Akurasi mengacu pada dekatnya angka pendekatan atau pengukuran
terhadap harga sebenarnya Inakurasi atau ketidak akuratan didefinisikan
sebagai simpangan sistematis dari kebenaran
AKURASI DAN PRESISI
Analisa Numerik 5
• Jumlah angka signifikan yang menyatakan suatu besaran
Presisi mengacu pada :
• Penyebaran dalam bacaan berulang dari sebuah alat ukur
Kesalahan pemotongan dihasilkan sewaktu aproksimasi digunakan untuk
menyatakan suatu prosedur matematika eksak, sedangkan
Kesalahan pembulatan dihasilkan bila angka-angka aproksimasi
digunakan untuk menyatakan angka-angka pasti
Hubungan antara hasil eksak dan aproksimasi :
Harga sebenarnya = pendekatan + kesalahan
Sehingga kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan
antara yang sebenarnya dan aproksimasi :
Et = harga sebenarnya - aproksimasi
DEFINISI KESALAHAN
Analisa Numerik 6
Et menyatakan harga pasti dari kesalahan dan subscript t menunjukkan
kesalahan sebenarnya. Untuk memperhitungkan besaran yang dievaluasi
dengan menormalisasikan kesalahan terhadap harga sebenarnya :
sebenarnya harga
kesalahan fraksional relatifKesalahan
Kesalahan relatif dalam bentuk prosen :
%100sebenarnya harga
sebenarnyakesalahan
t
Alternatif untuk menormalisasi kesalahan dengan menggunakan taksiran
terbaik dari harga sebenarnya terhadap aproksimasi itu sendiri :
%100iaproksimas
iaproksimaskesalahan a
Analisa Numerik 7
Dimana subscript a menunjukkan bahwa kesalahan dinormalisasi
terhadap sebuah harga aproksimasi. Tetapi dalam aplikasinya penentuan
taksiran kesalahan tanpa adanya harga sebenarnya yang telah diketahui,
sehingga dipakai metode iterasi dengan suatu aproksimasi sekarang
berdasarkan aproksimasi sebelumnya.
%100iaproksimas
iaproksimaskesalahan a
Kesalahan relatif dalam bentuk prosen :
Tingkat kesalahan dapat bertanda positip atau negatip. Positip jika
aproksimasi lebih kecil dari harga sebenarnya, demikian sebaliknya.
Untuk itu diberlakukan harga absolut yang dibandingkan dengan
toleransi praspesifikasi sehingga komputasi diulangi sampai :
sa kasipraspesifi eransiadalah tol dimana a
Analisa Numerik 8
Kesalahan-kesalahan juga dapat dihubungkan dengan jumlah angka
signifikan pada pendekatan, sehingga dapat dijamin bahwa hasilnya
adalah betul hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.
%105,0 2
s
n
Keterbatasan komputer menyimpan sejumlah angka signifikan selama
perhitungan. Misal jika menyimpan 7 angka maka p = 3,141592
Pembulatan yang dilakukan pada perhitungan manual juga
menghasilkan kesalahan sehingga dipakai aturan pembulatan
Aturan pembulatan :
5,6723 5,67 3 angka signifikan
10,406 10,41 4 angka signifikan
KESALAHAN PEMBULATAN
Analisa Numerik 9
KESALAHAN PEMOTONGAN Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi
pengganti prosedur matematika eksak
Yaitu jumlah kesalahan pemotongan dan kesalahan pembulatan
Untuk mengurangi kesalahan pemotongan dilakukan dengan mengurangi
langkah prosedur matematisnya.
Untuk mengurangi kesalahan pembulatan dilakukan dengan menambah
jumlah angka signifikan
Kesalahan juga dapat disebabkan oleh :
• Kekeliruan yang disebabkan kegagalan fungsi (malfunction) komputer
• Kesalahan formulasi karena model matematis yang tidak sempurna
• Ketidakpastian data
KESALAHAN NUMERIK TOTAL
Analisa Numerik 10
Metode Akolade adalah metode yang menggali fakta bahwa fungsi
berdasar jenisnya akan berubah tanda di sekitar suatu harga akar. Dalam
hal ini dibutuhkan dua tebakan awal untuk akar. Terdiri dari :
Dalam problem matematika banyak dijumpai persamaan :
f(x) = ax2 + bx + c = 0
Dengan rumus kuadratik untuk mencari akar persamaan :
a
acbbx
2
42
• metode grafik
• metode bagi dua
• metode posisi salah atau palsu
• metode inkremental dan penentuan tebakan awal
BAB II METODE ALOKADE
Analisa Numerik 11
Yaitu metode penyelesaian suatu fungsi f(x) = 0 dengan menggambarkan
grafik fungsi tersebut dan mengamati dimana fungsi memotong sumbu x,
yang memberikan pendekatan kasar akarnya.
1.0
1.0
f(x)
57.0Akar
Misal pendekatan dari f(x) = e-x – x. Harga-harga dihitung :
x f(x)
0.0 1.000
0.2 0.619
0.4 0.270
0.6 - 0.051
0.8 - 0.351
1.0 - 0.632
Grafiknya :
Terlihat bahwa f(x) berganti tanda pada
kedua sisi yang berlawanan dari akar
2.1. METODE GRAFIK
Analisa Numerik 12
Dari grafik terlihat fungsi memotong sumbu x di antara 0.5 dan 0.6.
Diambil taksiran kasar 0.57. Keabsahannya diuji dengan memasukkan
harga taksiran ke persamaannya.
f(0.57) = e-0.57 – 0.57 = -
0.0045
mendekati nol
Harga sebenarnya jika dihitung secara numerik adalah 0.56714329
Keuntungan metode grafik :
• menyediakan taksiran kasar
• memahami sifat-sifat fungsi untuk menghindari kesalahan pemahaman
Kerugiannya :
• kurang presisi
• keterbatasan pada kondisi khusus, misalnya permasalahan akar ganda
dan fungsi-fungsi diskontinu
Analisa Numerik 13
Pada umumnya, jika f(x) riil dan kontinu dalam interval dari xl hingga
xu, serta f(xl) dan f (xu) berlainan tanda yakni f(xl) f(xu) < 0 maka
terdapat sekurang-kurangnya satu akar riil di antara interval tersebut.
Metode bagi dua, disebut juga pemotongan biner (binary chopping),
pembagian dua (interval halving) atau metode Bolzano, menggunakan
cara membagi interval menjadi dua bagian. Kalau suatu fungsi berubah
tanda pada interval, maka harga fungsi di tengahnya dievaluasi.Letak
akar ditentukan berada di tengah-tengah sub interval. Proses ini diulangi
dengan memperhalus perolehan taksiran (memperkecil interval).
Metode bagi dua ini merupakan teknik yang cukup baik untuk
menentukan akar-akar, tetapi proses yang harus dilalui cukup panjang.
Tetapi dibanding dengan metode grafik, hasil yang diperoleh menjadi
lebih baik.
2.2. METODE BAGI DUA
Analisa Numerik 14
Langkah 2 : Taksiran pertama akar xr ditentukan oleh : 2
ulr
xxx
Langkah 3 : Evaluasi letak akar dengan :
a. Jika f(xl) f(xr) < 0, akar terletak pada sub interval pertama,
maka xu = xr, dan lanjutkan ke langkah 4.
b. Jika f(xl) f(xr) > 0, akar terletak pada sub interval kedua,
maka xl = xr, dan lanjutkan ke langkah 4.
c. Jika f(xl) f(xr) = 0, akar = xr, hentikan komputasi
Langkah 4 : Hitung taksiran baru akar dengan : 2ul
r
xxx
Langkah 5 : Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat. Jika ya
hentikan komputasi, jika tidak kembali ke langkah 3.
Langkah 1 : memilih taksiran terendah xl dan tertinggi xu untuk akar
agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Periksa dengan
menerapkan persamaan f(xl) f(xu) < 0.
Algoritma metode bagi dua
Analisa Numerik 15
Contoh : Tentukan akar dari f(x) = e-x – x dengan metode bagi dua
Solusi : Dari metode grafik, akar terletak antara 0 dan 1. Interval awal
dapat dipilih xl = 0 dan xu = 1. Taksiran awal akar :
5,02
10 rx
Lalu kita hitung :
f(0) f(0,5) = (1) (0,10653) = 0,10653
Harga akar sebenarnya adalah 0,56714329…. sehingga kesalahannya :
Et = 0,56714329 – 0,5 = 0,06714329
Atau dalam bentuk relatif :
%8,11%10056714329,0
06714329,0
t
Yang lebih besar dari nol, dan tidak terjadi perubahan tanda pada
intervalnya. Karena itu akar terletak antara x = 0,5 dan 1.
Analisa Numerik 16
Batas bawah diganti dengan xl = 0,5 dan dilakukan iterasi kedua :
75,02
15,0 rx %2,32t
Iterasi diulangi untuk taksiran akar yang lebih baik. Misal iterasi ketiga :
f(0,5) f(0,75) = - 0,030 < 0
Karena itu akar terletak antara 0,5 dan 0,75 :
xu = 0,75 625,02
75,05,0 rx %2,10t
f(0,5) f(0,625) = - 0,010 < 0
Karena itu akar terletak antara 0,5 dan 0,625 :
xu = 0,625 5625,02
625,05,0 rx %819,0t
Iterasi ke empat :
Proses ini diulangi lagi untuk mendapatkan taksiran yang lebih baik
Analisa Numerik 17
Metode ini mengembangkan metode grafik dan bagi dua. Hal ini dilakukan
dengan menggabungkan titik-titik dengan sebuah garis lurus. Perpotongan
garis dengan sumbu x menyatakan sebuah taksiran perbaikan dari akar.
Penempatan kembali kurva dengan garis lurus memberikan suatu “posisi
salah” dari akar-akar. Metode posisi salah (method of false position) atau
regula falsi (bahasa Latin) juga dinamakan metode interpolasi linier.
f(x) f(xu)
f(xl)
xr
xl
xu
x
Perpotongan garis lurus dengan
sumbu x dapat ditaksir :
ur
u
lr
l
xx
xf
xx
xf
Atau diselesaikan menjadi :
)()( ul
ulu
urxfxf
xxxfxx
2.3. METODE POSISI SALAH ATAU PALSU
Analisa Numerik 18
Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode posisi salah.
Solusi : dimulai dengan tebakan awal xl = 0 dan xu = 1.
Iterasi pertama :
xl = 0 f(xl) = 1
xu = 0 f(xu) = - 0,63212 6127,0
)63212,0(1
)10(63212,01
rx
Kesalahan relatif sebenarnya dapat ditaksir oleh :
%0,8%10056714329,0
6127,056714329,0
t
Iterasi kedua dengan f(xl) f(xu) = - 0,0708. Akar terletak di sub interval
pertama dan xr menjadi batas atas untuk iterasi berikutnya, xu = 0,6127.
xl = 0 f(xl) = 1
xu = 0,6127 f(xu) = - 0,0708
xr = 0,57219
%89,0t
Iterasi tambahan dapat dilakukan untuk mendapat taksiran yang lebih baik.
Analisa Numerik 19
Metode ini didasarkan pada formula yang membutuhkan sebuah harga
tunggal dari x, atau dua harga yang tidak perlu mengurung akar.
Pokok bahasan dalam metode ini :
1. Iterasi Satu Titik Sederhana
2. Newton – Raphson
3. Secant
4. Akar Ganda
Metode ini mengatur kembali fungsi f(x) = 0 sedemikian sehingga x
berada di ruas kiri persamaan :
x = g(x)
Transformasi ini dapat dikerjakan dengan manipulasi aljabar atau dengan
penambahan sederhana x ke kedua ruas persamaan semula. Misal
x2 – 2x + 3 = 0 dimanipulasi menjadi x = (x2 + 3)/2
BAB III METODE TERBUKA
3.1. ITERASI SATU TITIK SEDERHANA
Analisa Numerik 20
Dengan memberikan satu tebakan awal pada akar xi, persamaan x = g(x)
dapat digunakan untuk menghitung taksiran baru xi+1, seperti dinyatakan
oleh rumus iterasi :
xi+1 = g(xi)
Dengan taksiran kesalahan :
%100
1
1
i
iia
x
xx
Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode iterasi satu titik
sederhana
Solusi : fungsi dipisahkan secara langsung dan dinyatakan dalam bentuk :
ix
iex
1
Dimulai dengan tebakan awal x0 = 0, persamaan iterasi ini diterapkan
untuk mendapatkan :
Analisa Numerik 21
%t
%aIterasi, i
xi
0
0
100,000
1
1,000000
76,300
100,00
2
0,367879
35,100
171,8
3
0,692201
22,100
46,90
4
0,500473
11,800
38,30
5
0,606244
6,890
17,40
6
0,545396
3,830
11,20
7
0,579612
2,200
5,90
8
0,560115
1,240
3,48
9
0,571143
0,705
1,93
10
0,564879
0,399
1,11
Terlihat bahwa iterasi memberikan taksiran yang lebih mendekati harga
akar sebenarnya (0,56714329), dengan tingkat kesalahan semakin rendah
Analisa Numerik 22
Metode ini banyak digunakan dan merupakan interprestasi geometrik
(metode alternatif yang didasarkan pada deret Taylor).
f(x)
f(xi)
Kemiringan = f '(xi)
0x
i+1x
ix
xi - x
i+1
f(xi) - 0
Turunan pertama pada xi adalah
ekuivalen terhadap kemiringan :
1
'0
)(
ii
i
i xx
xfxf
Yang dapat dirubah menjadi :
)('1
i
i
ii xf
xfxx
Yang disebut formula Newton -
Raphson
3.2. METODE NEWTON - RAPHSON
Analisa Numerik 23
Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode Newton – Raphson
dengan tebakan awal x0 = 0.
Solusi : turunan pertama fungsi tersebut adalah f’(x) = -e-x – 1, yang
dapat disubstitusikan bersama ke formula Newton – Raphson :
11
ixi
ix
ii e
xexx
Dimulai dengan tebakan awal x0 = 0, persamaan iteratif ini dapat
digunakan untuk menghitung :
Iterasi, i
xi
t %
0
0
100
1
0,500000000
11,8
2
0,566311003
0,147
3
0,567143165
0,000022
4
0,567143290
< 10-8
Terlihat bahwa pendekatan
ini konvergen secara lebih
cepat ke akar sebenarnya.
Kesalahan relatif berkurang
lebih cepat daripada metode
sebelumnya
Analisa Numerik 24
Metode ini kadang berlaku kurang baik pada kondisi tertentu, misalnya
kasus akar ganda. Bahkan seringkali juga mengalami kesulitan (fungsi
konvergen secara perlahan) dalam menangani suatu akar sederhana.
Contoh : Tentukan akar positip dari f(x) = x10 – 1 menggunakan metode
Newton – Raphson dengan tebakan awal x = 0,5.
Solusi : formula Newton – Raphsonnya :
9
10
110
1
i
i
iix
xxx
Iterasi, i
xi
0
0,5
1
51,65
2
46,485
3
41,8365
4
37,65285
5
33,887565
Hasil perhitungan :
Terlihat bahwa setelah taksiran kasar
pertama, teknik tersebut konvergen
pada akar sebenarnya, tetapi terjadi
secara perlahan
Kelemahan metode Newton - Raphson
Analisa Numerik 25
Metode Newton – Raphson juga mengalami kesulitan pada evaluasi
turunan fungsi karena pada beberapa kasus, turunan fungsi sulit dilakukan.
Untuk itu fungsi didekati dengan suatu diferensiasi terbagi hingga.
f(x)
f(xi)
f(xi-1
)
xi-1
xi
x
ii
ii
i xx
xfxfxf
1
1')(
)(
Persamaan ini disubstitusikan ke
formula Newton – Raphson :
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
i xfxf
xxxfx
Persamaan ini adalah formula
metode Secant. Metode ini
memerlukan dua taksiran awal.
3.3. METODE SECANT
Analisa Numerik 26
Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode Secant, taksiran
awal x-1 = 0 dan x0 = 1.
Solusi : Iterasi pertama : x-1 = 0 f(x-1) = 1,0000
x0 = 1 f(x0) = - 0,63212
6127,0)63212,0(1
)10(63212,01
1
x |t| = 8,0 %
Iterasi kedua : x0 = 1 f(x0) = -0,63212
x1 = 0,6127 f(x1) = - 0,07081
|t| = 0,58 %
Kedua taksiran
sekarang berada pada
ruas akar yang sama x2 = 0,56384
Iterasi ketiga : x1 = 0,6127 f(x1) = -0,07081
x2 = 0,56384 f(x2) = - 0,00518
|t| = 0,0048 % x3 = 0,56717
Terlihat bahwa iterasi semakin mendekati harga sesungguhnya 0,56714329
dengan tingkat kesalahan yang rendah
Analisa Numerik 27
Sebuah akar ganda berhubungan dengan suatu titik dimana sebuah fungsi
menyinggung sumbu x. Misalnya dari persamaan :
f(x) = x3 – 5x2 + 7x – 3 = (x - 3)(x - 1)(x - 1)
Terdapat akar ganda karena satu harga x membuat kedua suku berharga nol.
Atau akar tripel dari persamaan :
f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 = (x - 3)(x - 1)(x - 1)(x – 1)
Pada kasus ini metode Newton – Raphson dimodifikasi menjadi :
iii
ii
iixfxfxf
xfxfxx
"'
'21
Contoh : Tentukan akar f(x) = x3 – 5x2 + 7x – 3 dengan metode
Newton – Raphson standar dan modifikasi dengan taksiran awal x0 = 0.
3.4. AKAR GANDA
Analisa Numerik 28
Solusi : turunan pertama fungsi adalah f’(x) = 3x2 – 10x + 7, dengan
metode standar :
7103
3752
23
1
ii
iii
iixx
xxxxx
Yang dapat diselesaikan secara iterasi untuk :
i
xi
t %
0
0
100,0
1
0,428571429
57,0
2
0,685714286
31,0
3
0,832865400
17,0
4
0,913328983
8,7
5
0,955783293
4,4
6
0,977655101
2,2
Hasil di atas konvergen secara linier ke arah harga sebenarnya yaitu 1,0.
Analisa Numerik 29
Untuk metode yang dimodifikasi, turunan kedua adalah f”(x) = 6x –10,
dan hubungan iterasinya adalah :
)106)(375()7103(
)7103)(375(2322
223
1
iiiiii
iiiii
iixxxxxx
xxxxxxx
Yang dapat diselesaikan secara iterasi untuk :
i
xi
t %
0
0
100
1
0,105263158
11
2
1,003081664
0,31
3
1,000002382
0,00024
Hasilnya konvergen secara kuadratik.
Analisa Numerik 30
Kita juga dapat memakai kedua metode ini untuk mencari akar tunggal
pada x = 3. Dengan tebakan awal x0 = 4, diperoleh hasil :
i
Standar, t
Modifikasi, t
0
4 (33 %)
4 (33 %)
1
3,4 (13 %)
2,636363637 (12 %)
2
3,1 (3,3 %)
2,820224720 (6,0 %)
3
3,008695652 (0,29 %)
2,961728211 (1,3 %)
4
3,000074641 (2,5 x 10-3 %)
2,998478719 (0,051 %)
5
3,000000006 (2,0 x 10-7 %)
2,999997682 (7,7 x 10-5 %)
Terlihat bahwa kedua metode konvergen dengan cepat, dengan metode
standar yang lebih efisien.
Analisa Numerik 31
Metode ini menggunakan teknik eliminasi (menghilangkan) yang tidak
diketahui pada suatu persamaan aljabar linier simultan yang memiliki
bentuk umum :
a11x1 + a12x2 + … + a1n xn = c1
a21x1 + a22x2 + … + a2n xn = c2
an1x1 + an2x2 + … + ann xn = cn
Metode ini menuntut pemahaman tentang matrik dan operasinya,
misalnya tentang determinan, minor-minornya, dan lain-lain.
BAB IV ELIMINASI GAUSS
Analisa Numerik 32
Yaitu metode untuk menyelesaikan persamaan simultan yang berjumlah
3. Termasuk di dalamnya metode grafik, aturan Cramer dan eliminasi
yang tidak diketahui.
Dimisalkan dua persamaan umum sebagai berikut :
a11x1 + a12x2 = c1 a21x1 + a22x2 = c2
Kedua persamaan dapat diselesaikan untuk x2 :
12
11
12
112
a
cx
a
ax
22
21
22
212
a
cx
a
ax
Persamaan-persamaan tersebut dalam bentuk garis lurus. Garis-garis ini
dapat digambarkan di koordinat cartesian dengan x1 sebagai absis dan
x2 sebagai ordinat. Harga-harga x1 dan x2 pada perpotongannya
menyatakan solusinya.
4.1. PENYELESAIAN PERSAMAAN BERJUMLAH SEDIKIT
4.1.1. Metode Grafik
Analisa Numerik 33
Contoh : gunakan metode grafik untuk menyelesaikan :
3x1 + 2x2 = 18 - x1 + 2x2 = 2
Solusi : penyelesaian persamaan di atas untuk x2 :
x2 = (-3/2)x1 + 9 x2 = (1/2)x1 + 1
8
6
4
2
0
X2
2 4 6 X1
3X1 +
2X2 = 18
-X 1 + 2X 2
= 2
Solusi :
x1 = 4; x
2 = 3
Perpotongan dua garis terjadi pada x1 = 4
dan x2 = 3, yang merupakan solusinya
Hasil ini dapat diuji dengan memasukkan
harga-harga ini ke persamaan awal, yaitu :
3(4) + 2(3) = 18
- 4 + 2(3) = 2
3x1 + 2x2 = 18
- x1 + 2x2 = 2
Hasil-hasilnya ekuivalen terhadap
ruas kanan persamaan
Untuk sistem persamaan simultan yang terdiri dari 3 persamaan maka
diperlukan sistem koordinat tiga dimensi untuk solusi grafiknya.
Analisa Numerik 34
Aturan ini menyatakan bahwa setiap yang tidak diketahui dalam sistem
persamaan aljabar linier dapat dinyatakan sebagai suatu fraksi dari dua
determinan, penyebut D dan pembilang yang diperoleh dari D, dengan
mengganti kolom dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui dengan
konstanta-konstanta c1, c2, … , cn. Misalnya, x1 dapat dihitung sebagai :
D
aac
aac
aac
x 33323
23222
13121
1
Contoh : gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan :
0,3x1 + 0,52x2 + x3 = - 0,01
0,5x1 + x2 + 1,9x3 = 0,67
0,1x1 + 0,3x2 + 0,5x3 = - 0,44
4.1.2. Aturan Cramer
Analisa Numerik 35
Solusi : determinan D dapat ditulis sebagai :
0022,0
5,03,01,0
9,115,0
152,03,0
D Sehingga :
9,140022,0
5,03,044,0
9,1167,0
152,001,0
1
x 5,290022,0
5,044,01,0
9,167,05,0
101,03,0
2
x
8,190022,0
44,03,01,0
67,015,0
01,052,03,0
3
x
Aturan ini tidak praktis untuk banyak
persamaan karena kesulitan perhitungan
determinan secara manual.
Analisa Numerik 36
Metode ini dilakukan dengan cara mengalikan persamaan-persamaan
dengan konstanta agar satu yang tidak diketahui akan dieliminasi
sewaktu kedua persamaan digabungkan. Hasilnya adalah sebuah
persamaan tunggal yang dapat diselesaikan untuk yang tidak diketahui
selebihnya. Harga ini dapat dimasukkan ke dalam persamaan awal
untuk menghitung variabel lainnya.
Ditinjau dua persamaan :
a11x1 + a12x2 = c1 dikalikan a21 menjadi a11a21x1 + a12a21x2 = c1a21
a21x1 + a22x2 = c2 dikalikan a11 menjadi a21a11x1 + a22a11x2 = c2a11
Dilakukan pengurangan untuk mengeliminasi x1 agar memenuhi :
a22a11x2 – a12a21x2 = c1a21
4.1.3. Eliminasi Yang Tidak Diketahui
Analisa Numerik 37
Persamaan tersebut dapat diselesaikan menjadi :
21122211
1212112
aaaa
cacax
Solusi ini dimasukkan ke persamaan awal untuk mendapatkan :
21122211
2121221
aaaa
cacax
Kedua solusi ini secara langsung mengikuti aturan Cramer :
21122211
212221
2221
1211
222
121
1aaaa
caac
aa
aa
ac
ac
x
21122211
211211
2221
1211
221
111
1aaaa
acca
aa
aa
ca
ca
x
Analisa Numerik 38
Contoh : gunakan eliminasi yang tidak diketahui untuk menyelesaikan :
3x1 + 2x2 = 18
- x1 + 2x2 = 2
Solusi :
4)1(2)2(3
)2(2)18(21
x
3)1(2)2(3
18)1()2(32
x
Bandingkan solusi di atas dengan contoh pada metode grafik.
Eliminasi yang tidak diketahui dapat dikembangkan untuk sistem lebih
dari dua atau tiga persamaan. Tetapi akan terjadi kesulitan perhitungan
jika dilakukan secara manual.
Analisa Numerik 39
Metode eliminasi Gauss naif tidak mencegah kondisi-kondisi yang dapat
mengakibatkan kesalahan perhitungan, misalnya pembagian dengan nol.
Tinjau lagi persamaan simultan berbentuk umum :
a11x1 + a12x2 + … + a1n xn = c1
a21x1 + a22x2 + … + a2n xn = c2
an1x1 + an2x2 + … + ann xn = cn
Langkah 1 : Eliminasi ke depan dengan membagi persamaan pertama
dengan koefisien yang tidak diketahui pertama. Langkah ini disebut
normalisasi dan dimaksudkan untuk membuat koefisien berharga 1.
Langkah 2 : Substitusi ke belakang dengan mengalikan persamaan yang
telah dinormalisasi dengan koefisien pertama dari persamaan kedua.
Kedua langkah diulangi untuk penyelesaian selanjutnya.
4.2. ELIMINASI GAUSS NAIF
Analisa Numerik 40
3333231
2232221
1131211
caaa
caaa
caaa
333
22322
1131211
""
'''
ca
caa
caaa
x3 = c3”/a33”
x2 = (c2’ – a23’x3)/a22’
x1 = (c1 – a12x2 – a13x3)/a11
Eliminasi ke depan
Substitusi ke belakang
Analisa Numerik 41
Contoh : gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan :
3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85
0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3
0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4
Gunakan 6 angka signifikan selama perhitungan.
pers. 1
pers. 2
pers. 3
Solusi :
3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85 dibagi 3 (koef. pertama)
x1 – 0,333333x2 – 0,0666667x3 = 2,61667 dikali 0,1 (koef. kedua)
0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3 pers. 2
0,1x1 – 0,033333x2 – 0,0066667x3 = 0,261667
hasil
pengurangan
7,033333x2 – 0,293333x3 = -19,5617
pers. 1
pers. 4
Analisa Numerik 42
x1 – 0,333333x2 – 0,0666667x3 = 2,61667 dikali 0,3 (koef. ketiga)
hasil
0,3x1 – 0,999999x2 – 0,02x3 = 0,785
0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4 pers. 3
pengurangan
-0,19x2 + 10,02x3 = 70,615 pers. 5
7,033333x2 – 0,293333x3 = -19,5617 pers. 4
hasil
-0,19x2 + 0,007924x3 = 0,528444
-0,19x2 + 10,02x3 = 70,615
dibagi 7,033333
dikali –0,19
pengurangan
10,012x3 = 70,0843
x3 = 7,00003
Analisa Numerik 43
Hasil perhitungan x3 disubstitusikan ke persamaan 4 :
7,033333x2 – 0,293333x3 = -19,5617
7,033333x2 – 0,293333(7,00003) = -19,5617
x2 = -2,5
Hasil perhitungan x2 dan x3 disubstitusikan ke persamaan 1 :
3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85
3x1 – 0,1(-2,5) – 0,2(7,00003) = 7,85
x1 = 3,00
Hasil perhitungan dapat dibandingkan dengan solusi eksak, dimana terjadi
sedikit kesalahan karena pembulatan :
x1
x2
x3
Gauss
3 -2,5 7,00003
Eksak
3
-2,5
7
Analisa Numerik 44
1. Pembagian dengan nol. Hal ini mungkin terjadi pada suatu sistem
persamaan dimana salah satu koefisien (misal koefisien x1 pada
persamaan pertama) berharga nol.
2. Kesalahan pembulatan, seperti terlihat pada contoh sebelumnya.
3. Sistem kondisi timpang, dimana perubahan kecil pada koefisien
akan berakibat perubahan besar pada solusinya.
Perbaikan dapat dilakukan dengan :
1. Penggunaan angka signifikan lebih banyak.
2. Pemutaran atau pengaturan kembali persamaan untuk memudahkan
perhitungan
3. Penskalaan, jika menghadapi masalah teknik yang berhubungan
dengan besaran yang bernilai tinggi.
4. Penerapan faktor koreksi
4.3. KELEMAHAN METODE ELIMINASI
Analisa Numerik 45
3333231
2232221
1131211
caaa
caaa
caaa
*100
*010
*001
3
2
1
c
c
c
Metode ini adalah variasi eliminasi
Gauss. Perbedaanya adalah sebuah
yang tidak diketahui dieliminasikan
dari setiap persamaan lainnya daripada
hanya dari persamaan berikutnya.
Tidak perlu dilakukan substitusi ke
belakang untuk mendapatkan
solusinya. Bentuk matriknya adalah :
*
*
*
33
22
11
cx
cx
cx
BAB V GAUSS-JORDAN, MATRIKS
INVERSI DAN GAUSS-SEIDEL
5.1. METODE GAUSS-JORDAN
Analisa Numerik 46
Contoh :, gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan
persamaan yang sama :
3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85
0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3
0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4
Solusi : dirubah dalam bentuk matriks :
4,71102,03,0
3,193,071,0
85,72,01,03
Normalisasi baris pertama dengan membagi dengan elemen pivot, 3 :
4,71102,03,0
3,193,071,0
61667,20666667,00333333,01
Analisa Numerik 47
Suku x1 dieliminasikan dari baris kedua dengan mengurangkan 0,1 kali
baris pertama dari baris kedua. Dengan cara yang sama, mengurangkan
0,3 kali baris pertama dari baris ketiga akan mengeliminasi suku x1 dari
baris ketiga :
6150,700200,10190000,00
5617,19293333,000333,70
61667,20666667,00333333,01
Selanjutnya normalisasikan baris kedua dengan membaginya dengan
7,00333 sehingga didapat :
6150,700200,10190000,00
79320,20418848,010
61667,20666667,00333333,01
Analisa Numerik 48
Reduksi suku x2 dari persamaan pertama dan ketiga memberikan :
0843,700200,1000
79320,20418848,010
52356,20680629,001
Baris ketiga dinormalisasikan dengan membaginya dengan 10,0120 :
00003,7100
79320,20418848,010
52356,20680629,001
Suku x3 direduksi dari persamaan pertama dan kedua, memberikan :
00003,7100
50001,2010
00000,3001
Analisa Numerik 49
Metode ini menerapkan metode Gauss-Jordan dengan menggunakan
prinsip operasi matriks inversi.
100
010
001
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
[A] [I]
1
33
1
32
1
31
1
23
1
22
1
21
1
13
1
12
1
11
100
010
001
aaa
aaa
aaa
[A]-1 [I]
5.2. METODE MATRIKS INVERSI
Analisa Numerik 50
Contoh :, gunakan eliminasi Gauss-Jordan dengan menggunakan matriks
inversi untuk menyelesaikan persamaan yang sama :
3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85
0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3
0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4
Dapatkan solusi dengan mengalikan [A]-1 dengan vektor di ruas kanan
[C] = [7,85 -19,3 71,4]
Solusi : perluas matriks koefisien dengan sebuah matriks koefisien :
100102,03,0
0103,071,0
0012,01,03
][
A
Analisa Numerik 51
Gunakan a11 sebagai elemen pivot, normalisasikan baris pertama dan
gunakan untuk mengeliminasi x1 dari baris-baris lainnya :
100999999,00200,10190000,00
010333333,0293333,003333,70
00333333,00666667,00333333,01
Selanjutnya a22 digunakan sebagai elemen pivot dan x2 dieliminasi dari
baris-baris lainnya :
10270142,010090,00121,1000
0142180,000473933,00417061,010
0004739329,0333175,0068057,001
Akhirnya a33 digunakan sebagai elemen pivot dan x3 dieliminasikan dari
baris-baris lainnya :
Analisa Numerik 52
0998801,000269816,00100779,0100
00418346,014223,00051644,0010
00679813,000492297,0332489,0001
Sehingga inversi matriksnya :
0998801,000269816,00100779,0
00418346,0142293,00051644,0
00679813,000492297,0332489,0
][ 1A
Inversi dikalikan matriks ruas kanan untuk mendapatkan solusi :
x1 = 7,85(0,332489)-19,3(0,00492297)+71,4(0,00679813) = 3,00041181
x2 = 7,85(-0,0051644)-19,3(0,142293)+71,4(0,00418346) = -2,48809640
x3 = 7,85(-0,0100779)-19,3(0,00269816)+71,4(0,0998801) = 7,00025314
Analisa Numerik 53
Metode ini menggunakan cara iteratif. Misal ditinjau sekumpulan n
persamaan [A][X] = [C].
Jika semua elemen diagonal tidak nol, persamaan pertama diselesaikan
untuk x1, persamaan kedua untuk x2, dan seterusnya menurut :
11
131321211
a
xaxaxacx nn
22
232312122
a
xaxaxacx nn
33
323213133
a
xaxaxacx nn
nn
nnnnnn
na
xaxaxacx
11,2211
5.3. METODE GAUSS SEIDEL
Analisa Numerik 54
Selanjutnya proses solusi dimulai dengan tebakan awal untuk setiap harga
x. Cara paling mudah adalah memberi semua harga x dengan nol dan
dimasukkan ke persamaan pertama untuk mendapatkan harga x1 = c1/a11.
Contoh :, gunakan eliminasi Gauss-Jordan dengan menggunakan matriks
inversi untuk menyelesaikan persamaan yang sama :
3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85
0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3
0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4
Ingat bahwa solusi sebenarnya adalah x1 = 3, x2 = -2,5 dan x3 = 7.
Harga baru ini bersama dengan harga-harga nol lainnya dimasukkan ke
persamaan kedua untuk x2. Proses ini dilakukan sampai persamaan ke n.
Setelah itu kembali ke persamaan pertama dan mengulangi seluruh
prosedur sampai solusinya konvergen dan cukup dekat dengan harga
sebenarnya. Hal ini dicek dengan menghitung tingkat kesalahan.
Analisa Numerik 55
Solusi : selesaikan tiap persamaan untuk yang tidak diketahui pada
diagonal :
3
2,01,085,7 321
xxx
7
3,01,03,19 312
xxx
10
2,03,04,71 213
xxx
Dengan menganggap bahwa x2 dan x3 adalah nol, x1 dapat dihitung :
616666667,23
85,71 x
Harga ini bersama x3 = 0 dipakai untuk menghitung x2 :
794523810,27
)616666667,2(1,03,192
x
Analisa Numerik 56
Iterasi pertama diselesaikan dengan memasukkan harga-harga x1 dan x2
untuk menghitung x3 :
005609524,710
)794523810,2(2,0)616666667,2(3,04,713
x
Iterasi kedua dilakukan dengan harga-harga baru sehingga didapat :
x1 = 2,990556508
x2 = -2,499624684
x3 = 7,00029081
|t = 0,31 %
|t = 0,015 %
|t = 0,0042 %
Terlihat bahwa solusinya semakin konvergen terhadap hasil
sebenarnya. Iterasi tambahan dapat dilakukan untuk mendapatkan
hasil lebih baik.
Analisa Numerik 57
Formula ini adalah perencanaan integrasi numerik yang paling umum,
didasarkan pada strategi penggantian sebuah fungsi yang rumit atau
data yang ditabulasikan dengan beberapa fungsi aproksimasi yang
mudah diintegrasikan :
b
c n
b
c dxxfdxxfI )()(
Dimana fn(x) adalah sebuah polinomial berbentuk :
fn(x) = a0 + a1 + … +an-1xn-1 + anx
n
Metode ini terdiri dari bentuk tertutup dan terbuka, dimana dalam
bentuk tertutup data-data awal dan akhir dari batas integrasi telah
diketahui, sedangkan dalam bentuk terbuka batas-batas integrasi
diperluas di luar batas data yang disediakan.
BAB VI FORMULA INTEGRASI
NEWTON COTES
Analisa Numerik 58
Aturan ini adalah formula pertama integrasi tertutup Newton-Cotes,
yang bersesuaian dengan kasus polinomial orde pertama :
b
a
b
a dxxfdxxfI )()( 1
Sebuah garis lurus dapat dinyatakan sebagai :
)()()(
)()(1 axab
afbfafxf
Luasan di bawah garis lurus ini adalah suatu taksiran harga integral f(x)
antara batas-batas a dan b :
dxaxab
afbfafxf b
c
)(
)()()()(1
6.1. ATURAN TRAPESIUM
Analisa Numerik 59
Hasil integrasinya adalah aturan trapesium berikut :
2
)()()(
bfafabI
Secara geometrik aturan trapesium
adalah ekuivalen dengan aproksimasi
luas trapesium di bawah garis lurus f(a)
dan f(b). Luas trapesium adalah tinggi
dikali rata-rata alas. Tetapi dalam kasus
ini, tinggi dan alas posisinya terbalik,
sehingga :
f(x)
f(a)
f(b)
xa b
alas
alas
tinggi
lebar
tinggi
tinggi
I = lebar x tinggi rata-rata
= (b-a) x tinggi rata-rata
Dimana tinggi rata-rata sama dengan
rata-rata harga fungsi pada titik-titik
ujung, atau [f(a) + f(b)]/2
Analisa Numerik 60
Kesalahan ini dapat dijelaskan secara grafis. Misal integrasi numerik
dari persamaan f(x) = 0,2 + 25x – 200x2 + 675x3 –900x4 + 400x5, dari
a = 0 sampai b = 0,8.
Solusi : harga-harga fungsi :
f(0) = 0,2
Gambar grafiknya :
f(x)
0,4
0,80 x
f(0,8) = 0,232
Taksiran integral
kesalahan Terlihat bahwa kesalahan
yang terjadi sangat besar
karena luas di bawah garis
lurus mengabaikan porsi
penting integral di atasnya.
6.1.1. Kesalahan Aturan Trapesium
Analisa Numerik 61
Aturan ini dikembangkan untuk
memperbaiki akurasi dengan cara membagi
interval integrasi dari a ke b menjadi
sejumlah segmen dan menerapkan metode
tersebut ke setiap segmen. Semakin banyak
segmennya, semakin baik hasilnya.
f(x)
x
f(x)
xx0
x2
x1
x3
x0
x2
x1
x3
x5
x4
Bentuk umum solusi integralnya :
n
xfxfxfabI
n
ini
2
)()(2)()(
1
10
lebar tinggi rata-rata
6.2. ATURAN TRAPESIUM SEGMEN BERGANDA
Analisa Numerik 62
Aturan ini menggunakan aturan trapesium dengan segmentasi yang
lebih halus dan polinomial dengan orde yang lebih tinggi. Hal ini
dilakukan dengan memberikan titik tambahan antara f(a) dan f(b) dan
menghubungkan ketiga titik dengan parabola.
f(x)
x
Gambar di samping adalah aturan
Simpson 1/3. Jika kurva dihubungkan
dengan 4 titik maka berlaku luas di
bawah persamaan kubik yang
mengikuti aturan Simpson 3/8.
6.2.1. Aturan Simpson 1/3. Aturan Simpson 1/3 merupakan integrasi tertutup Newton-Cotes kedua,
yang melibatkan polinomial orde kedua.
6.3. ATURAN SIMPSON
Analisa Numerik 63
Persamaan umum aturan Simpson 1/3 :
210 43
xfxfxfh
I
6
4 210 xfxfxfabI
Atau dapat pula dinyatakan sebagai :
dimana h = (b – a)/2
dimana a = x0, b = x2 dan x1 = (b+a)/2 adalah titik tengah antara a dan b.
Seperti halnya aturan trapesium, aturan ini dapat diperbaiki dengan
penerapan segmen yang lebarnya sama yaitu h = (b – a)/n.
lebar tinggi rata-rata
6.3.1. Aturan Simpson 1/3 Segmen Berganda
Analisa Numerik 64
Persamaan umumnya :
n
xfxfxfxf
abI
n
in
n
jji
3
)()(2)(4)(
)(
1
5,3,1
2
6,4,20
lebar tinggi rata-rata
Aturan ini merupakan formula integrasi tertutup ketiga Newton-Cotes
yang melibatkan polinomial orde ketiga.
Persamaan umumnya :
)(338
33210 xfxfxfxf
hI
dengan h = (b - a)/3
6.3.1. Aturan Simpson 3/8 Segmen Berganda
Analisa Numerik 65
8
)(33 3210 xfxfxfxfabI
Atau dapat pula dinyatakan sebagai :
lebar tinggi rata-rata
f(x)
x0
Dalam aplikasinya kita sering
dihadapkan pada kondisi yang
tidak ideal seperti segmen-segmen
yang berukuran tidak sama
Permasalahan ini dapat diatasi
dengan penggunaan beberapa
metode secara bersama-sama.
Aturan 1/3
Aturan 3/8
Aturan 1/3
6.4. INTEGRASI DENGAN SEGEMN TIDAK SAMA
Analisa Numerik 66
f(x)
x0
f(x)
x0
Aturan Trapesium memiliki tingkat
kesalahan yang cukup tinggi.
Kuadratur Gauss memperbaiki metode
ini dengan jalan menempatkan dua
buah titik pada kurva integrasi secara
bijaksana. Dari dua buah titik ini
didapat sebuah garis lurus dengan
luasan di bawahnya yang dapat
mengimbangi tingkat kesalahan.
Persamaan umumnya :
)(2
)(2
bfab
afab
I
Yang ekuivalen dengan aturan
trapesium
Trapesium
Kuadratur
Gauss
6.5. KUADRATUR GAUSS