Integral trigonometri:

1. sin n x dx dan cos n x dx

- Bila n ganjil: pisahkan 1sin sin sinn nx x x dan gunakan 2 2sin cos 1x x .

- Bila n genap: gunakan rumus setengah sudut:

2 1

sin (1 cos 2 )2

x x dan 2 1

cos (1 cos 2 )2

x x

2. sin cos x m nx dx - salah satu dari m atau n ganjil

- m dan n genap

3. sin cos x , sin sin x , cos cos x mx n dx mx n dx mx n dx

xnmxnmnxmx

xnmxnmnxmx

)cos()cos(2

1sinsin

)sin()sin(2

1cossin

xnmxnmnxmx )cos()cos(2

1coscos

Contoh: Tentukan dxxx 43 cossin

, dyyy 4coscos

Substitusi yang merasionalkan:

1. Integran yang memuat bentuk irrasional:n ax b

Substitusi u = n ax b lalu ubah integran menjadi bentuk rasional

/nx u b a dan cari du.

Contoh: Tentukan 3 x x dx .

2. Integran yang memuat bentuk irrasional:2 2 2 2 2 2, ,a x a x x a

Untuk jenis yang kedua dapat dilihat bahwa perubahan bentuk integran akan

mengarah pada penggunaan ketaksamaan phytagoras

(a). 2 2 2 2 2cos sina t a a t untuk bentuk

2 2a x .

Gunakan substitusi sinx a t sehingga diperoleh

2 2 2 2 2 2 2sin cos cosa x a a t a t a t dengan pembatasan 22

t .

Misal: 2 2 2 2cos ( sin ) cos cos cos a x dx a t d a t a t a t dt a t dt

Selesaikan bentuk akhir dengan teknik sebelumnya lalu kembalikan ke x dengan

1sinx

ta

.

(b).2 2 2 2 2sec tana t a a t untuk bentuk

2 2a x .

Gunakan tanx a t sehingga diperoleh

2 2 2 2 2 2 2tan sec seca x a a t a t a t dengan pembatasan 22

t .

(c).2 2 2 2 2tan seca t a t a untuk bentuk

2 2x a .

Gunakan secx a t sehingga diperoleh

2 2 2 2 2 2 2sec tan tanx a a t a a t a t dengan 2/,0 tt

Untuk mengembalikan ke peubah x akan diperoleh 1sin

xt

a

atau

1tanx

ta

Masalah muncul apabila kita mendapatkan bentuk 1cos cos sin

xt

a

,

1sin sin cosx

ta

atau lainnya. Gunakan segitiga berikut ini yang cocok dengan masing-masing substitusi

Kiri: a

xa

a

xt

221sincoscos

.

x

2 2a x

t

x

a 2 2a x

2 2a x

a

sin

sin

x a t

xt

a

cos

cos

x a t

xt

a

tan

tan

x a t

xt

a

t t

a

x

Kanan: a

xa

xaaa

xt

22

22

1

/

1tansecsec

.

Contoh: Tentukan

2

29

xdx

x

Integral Fungsi Rasional

1. Faktorisasi penyebut menjadi bentuk linier dan kuadrat yang tidak dapat diuraikan

lagi.

Contoh: Penyebut 3 2 28 16 ( 4)x x x x x

2. Apabila pada penyebut ada faktor yang berlainan, misal (x-a)(x-b) didekomposisi

menjadi: 1 21

( )( ) ( ) ( )

A A

x a x b x a x b

Koefesien 1 2,A A diperoleh dari penyamaan penyebut. Prosesnya akan diterangkan

kemudian.

3. Untuk tiap faktor yang berbentuk ( )kax b dekomposisi menjadi bentuk

1 2

2( ) ( ) ( )

k

k

BB B

ax b ax b ax b

4. Untuk tiap faktor berbentuk 2( )max bx c dekomposisi menjadi bentuk

1 1 2 2

2 2 2 2( ) ( ) ( )

m m

m

D x ED x E D x E

ax bx c ax bx c ax bx c

Contoh: 3 2

1

8 16dx

x x x