PRODI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

2015

Muhammad Hilal Sudarbi • NIM: 1401051028 • Semester : IV

Kuis

Fisika Matematika II

Muhammad Hilal Sudarbi | 2

KUIS FISMAT 2

Soal

1. Ujilah konvergensi dari deret berikut, ∑ (2𝑛𝑛!)

3𝑛𝑛(𝑛𝑛!)2∞𝑛𝑛=1 .

Penyelesaian

∑ (2𝑛𝑛!)3𝑛𝑛(𝑛𝑛!)2

∞𝑛𝑛=1 ,maka 𝑎𝑎𝑛𝑛 = (2𝑛𝑛!)

3𝑛𝑛(𝑛𝑛!)2 ; 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 = (2𝑛𝑛+1)!

3𝑛𝑛+1(𝑛𝑛+1)!2

Sehingga, ∑ (2𝑛𝑛!)3𝑛𝑛(𝑛𝑛!)2

∞𝑛𝑛=1 = lim

𝑛𝑛→∞�𝑎𝑎𝑛𝑛+1𝑎𝑎𝑛𝑛

�

= lim𝑛𝑛→∞

�(2𝑛𝑛+1)!

3𝑛𝑛+1(𝑛𝑛+1)!2(2𝑛𝑛!)

3𝑛𝑛(𝑛𝑛!)2�

= lim𝑛𝑛→∞

� (2𝑛𝑛+1)!× 3𝑛𝑛(𝑛𝑛!)2 3𝑛𝑛+1(𝑛𝑛+1)!2 × (2𝑛𝑛!)

�

= lim𝑛𝑛→∞

� (2𝑛𝑛!)×(1!)× 3𝑛𝑛×(𝑛𝑛!)2 3𝑛𝑛×3×(𝑛𝑛!)2×(1!)× (2𝑛𝑛!)

�

= lim𝑛𝑛→∞

� (1!) 3×(1!)

�

= 13

Karena hasil ujinya adalah 13, maka ∑ (2𝑛𝑛!)

3𝑛𝑛(𝑛𝑛!)2∞𝑛𝑛=1 adalah

konvergen.

Soal

2. Tentukanlah deret McLauren dari 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒tan𝑥𝑥 sampai pada suku ke-4,

dan ujilah interval konvergensinya.

Penyelesaian

a) Deret McLauren

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒tan𝑥𝑥

Sehingga, 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒tan𝑥𝑥; 𝑓𝑓′(0) = 1

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒tan𝑥𝑥; 𝑓𝑓′′(0) = 1

𝑓𝑓′′′(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒tan𝑥𝑥; 𝑓𝑓′′′(0) = 1

Muhammad Hilal Sudarbi | 3

𝑓𝑓4(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒tan𝑥𝑥; 𝑓𝑓4(0) = 1

Maka diperoleh, 𝑒𝑒tan𝑥𝑥 = 𝑒𝑒tan 𝑥𝑥 + (𝑥𝑥−0)1!

𝑒𝑒tan𝑥𝑥 + (𝑥𝑥−0)2

2!𝑒𝑒tan𝑥𝑥 +

(𝑥𝑥−0)3

3!𝑒𝑒tan 𝑥𝑥 + (𝑥𝑥−0)4

4!𝑒𝑒tan𝑥𝑥

= 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

2!+ 𝑥𝑥3

3!+ 𝑥𝑥4

4!

= 𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑛𝑛!

Jadi, deret McLauren 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒tan𝑥𝑥 adalah 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

2!+ 𝑥𝑥3

3!+ 𝑥𝑥4

4! atau 𝑥𝑥

𝑛𝑛

𝑛𝑛!.

b) Interval dari deret McLauren

Dari penyelesaian pada (a)) diketahui bahwa deret McLauren 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

𝑒𝑒tan𝑥𝑥 adalah 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2

2!+ 𝑥𝑥3

3!+ 𝑥𝑥4

4! atau 𝑥𝑥

𝑛𝑛

𝑛𝑛!.

Maka, 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑛𝑛! ; 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥

𝑛𝑛+1

(𝑛𝑛+1)!

Sehingga akan diperoleh, lim𝑛𝑛→∞

�𝑎𝑎𝑛𝑛+1𝑎𝑎𝑛𝑛

� = lim𝑛𝑛→∞

�𝑥𝑥𝑛𝑛+1

(𝑛𝑛+1)!𝑥𝑥𝑛𝑛𝑛𝑛!

�

= lim𝑛𝑛→∞

� 𝑥𝑥𝑛𝑛+1𝑛𝑛!

𝑥𝑥𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)!�

= lim𝑛𝑛→∞

|𝑥𝑥|

= |𝑥𝑥|

Maka interval konvergensinya diberikan oleh |𝑥𝑥| < 1.

Soal

3. Tentukanlah interval konvergensi dari ∑ (−1)𝑛𝑛(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛

𝑛𝑛∞𝑛𝑛=1 .

Penyelesaian

∑ (−1)𝑛𝑛(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛

𝑛𝑛∞𝑛𝑛=1 ,maka 𝑎𝑎𝑛𝑛 = (−1)𝑛𝑛(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛

𝑛𝑛 ;

𝑎𝑎𝑛𝑛+1 = (−1)𝑛𝑛+1(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛+1

𝑛𝑛+1.

Sehingga, ∑ (−1)𝑛𝑛(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛

𝑛𝑛∞𝑛𝑛=1 = lim

𝑛𝑛→∞�𝑎𝑎𝑛𝑛+1𝑎𝑎𝑛𝑛

�

Muhammad Hilal Sudarbi | 4

= lim𝑛𝑛→∞

�(−1)𝑛𝑛+1(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛+1

𝑛𝑛+1(−1)𝑛𝑛(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛

𝑛𝑛

�

= lim𝑛𝑛→∞

�(−1)𝑛𝑛+1(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛+1𝑛𝑛𝑛𝑛+1 (−1)𝑛𝑛(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛

�

= lim𝑛𝑛→∞

�(−1)𝑛𝑛(−1)(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛𝑛𝑛+1 (−1)𝑛𝑛(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛

�

= lim𝑛𝑛→∞

�(−1)(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛𝑛𝑛+1

�

= �(−1)(𝑥𝑥+1)∞∞+1

�

= 1

Jadi, interval dari ∑ (−1)𝑛𝑛(𝑥𝑥+1)𝑛𝑛

𝑛𝑛∞𝑛𝑛=1 adalah 𝑥𝑥 < 1.