BAB 1INTEGRAL LIPAT DAN TRANSFORMASI KOORDINAT

Dalam fisika kita sering kali perlu menghitung berbagai besaran fisika total sebagai contoh massa total benda dan bila rapat massanya diketahui pusat massa, momen lembam (inersia), medan listrik yang ditimbulkan suatu distribusi muatan, dan lain sebagainya. Dalam hal benda nya berdimensi 2 atau tiga. Hitungan kita umumnya melibatkan integral lipat.Pada bab ini akan disajikan defenisi integral lipat serta beberapa teorema, contohnya perhitungan dan penerapannya dalam fisika. Perhitungan integrasi suatu integral lipat dapat dilakukan dengan merumuskan ulang sebagai suatu integral berulang, atau bertahap. Sebagai contoh, untuk menghitung massa pelat datar (berdimensi 2), integral lipatnya disebut integral lipat dua. Dirumuskan sebagai integral dua-tahap di mana kita melakukan dua kali integrasi. Dalam bab ini kita akan membahas mengenai integral lipat dua dan integral lipat tiga serta transformasi koordinat pada variabel integrasi, guna memudahkan perhitungan integral lipat, yang memperkenalkan faktor determinan Jaccobi. Khususnya akan dibahas transformasi koordinat silinder, koordinat kartesis ke polar, untuk persialan dua dimensi, ke koordinat silinder serta bola untuk persoalan tiga dimensi.1.1 DEFENISI INTEGRAL LIPAT DUAContoh Persoalan fisika menghitung massa total m suatu pelat datar berhingga ( berdimensi dua ) dengan distribusi massa tak seragam misalkan geometrinya berupa suaatu daerah terbatas d dalam bidang kartesis xy dalam rapat massa atau massa persatuan luas pada setiap titik x, y adalah = f (x, y)

GAMBAR 1.1 Daerah D pada bidang xy dengan elemen daerah kecil. 1Kita akan menghitung dahulu nilai hampiran bagi massa totalnya. Untuk itu daerah pelat B kita bagi Dalam n buah elemen daerh kecil () dan memilih sebuah titik wakil di dalam daerah (i = 1,2,3n) maka massa setiap elemen daerah i adalah : (1.1)Dengan adalah luas elemen daerah ., maka massa total pelat D adalah : (1.2)Jika elemen daerah dibuat sekecil mungkin sehingga maka dapat meningkatkan jumlah elemen daerah n . Jika kita memilih berbentuk petak dengan sisi dan , maka , dan dalam keadaan limit sebagai berikut : ( 1.3 )Limit pada ruas kanan, jika ada dilambangkan oleh : ( 1.4)Disebut dengan integral lipat dua dari fungsi terhadap daerah D.Tiga sifat integral lipat dua dapat dibuktikan dengan defenisi limit :1. Jika f = dan dua fungsi terdefenisikan pada daerah D maka : ( 1.5)2. Jika c sebuah tetapan, maka : ( 1.6)3. Jika D merupakan gabungan daerah D1 dan D2 atau D1 , atau D= D1 D2 , dengan D1 D2 = C, Sebuah kurva batas, maka : ( 1.7)

1.2 INTEGRAL BERULANG DUA Untuk menghitung integral lipat dua, kita dapat menggunakan prosedur integral lipat ke integral berulang. Pertama akan kita batasi pada daerah normal yang didefenisikan sebagai berikut :Defenisi 1.2Suatu daerah D disebut normal terhadap :a) Sumbu x, jika garis tegak lurus sumbu-x hanya memotong dua kurva batas D yang fungsi koordinatnya y = y1(x), dan y = y2(x) tak berubah bentuk.b) Sumbu y, jika setiap garis tegak lurus sumbu y hanya memotong dua kurva batas D yang fungsi koordinatnya x = x1(y), dan x = x2(y)Untuk memperoleh kesan gambarnya, perhatikan daerah D1 dan D2 pada gambar 1.2. Daerah D1 normal terhadap sumbu x dan D2 normal terhadap sumbu y

(a) (b)GAMBAR 1.2 a) Daerah D1 normal terhadap sumbu x, (b) Daerah D2 normal terhadap sumbu y.Suatu daerah D dapat terjadi tidak normal terhadap sumbu-x maupun pada sumbu-y. Dalam hal seperti itu, Daerah D dibagi kmenjadi beberapa subdaerah normal. Sebagai contoh, pada gambar 1.3 derah D tak normal terhadap-x maupun terhadap-y namun subdaerah D1 ,D2, D3 normal terhadap sumbu-x, begitu juga terhadap sumbu-y

GAMBAR 1.3 Daerah D tak normal terhadap sumbu-x dan sumbu-y . Sub daerah D1 ,D2, D3 normal terhadap sumbu-xSekarang tinjaulah pelat D yang normal terhadap sumbu-x seperti pada gambar 1.2a,dengan tepi bawah dibatasi oleh kurva y = y1(x) dan tepi atas oleh y = y2(x), sedangkan tepi kiri dan kanannya masing-masing oleh garis tegak x = a dan x = b (b >a,bilangan tetap), secara ringkasnya :

Jika rapat pelat D adalah f(x,y), maka integral lipat dua

Yang menyatakan massa totalnya, dihitung secara bertahap, melalui defenisi limit, sebagai berikut :a) Ambil titik (x1 , 0) pada sumbu-x dengan x1b) Tarik garis x = x1 kemudian tinjau sebuah lempeng tegak dengan sumbu x= x1, tebal x1, dalam daerah D yang disebut lempeng ke ic) Hitung massa tiap petak (i,j) pada koordinat (x,y) dalam lempeng ke-I yaitu : mi j = f(x1,y1) x1, y1 d) Hitung massa total lempeng ke-i sebagai jumlah massa seluruh lempeng dalam D yaitu :( y1 0)e) Massa total pelat adalah limit jumlah massa seluruh lempeng dalam D yaitu : (1.8)ngan x1 dan y1 0f) Limit jumlah berulang diruas kanan mendefenisikan integral berulang (1.9)Jika D normal terhadap sumbu-y, integral lipat duanya dihitung sebagai limit jumlah semua lempeng datar penyusun daerah D. jika daerah D bilangan tetap), maka integral lipat d dalam bentuk integral berulang dua adalah: (1.10)

Cara menghitung integral berulang persamaaan (1.9) dan (1.10) :1. Hitung integral taktentu dalam kurung terhadap y denngan memperlakukan x sebagai tetapan. Hasilnya adalah suatu fungsi primitip dalam y :

2. Sisipkan batas atas dan batas bawahnya, mka akan kita peroleh :

3. Integrasi fungsi g(x) pada langka (2), dari x=a s/d b, maka hasil akhirnya :

Langka perhitungan yang sama, dengan menggantikan x dan y juga berlaku bagi integral berulang pada persamaan (1.10)

Contoh 1.1Hiunglah integral lipat 2 berikut:

Penyelesaian :

Contoh 1.2Hitunglah integral lipat 2 pada contoh (1.1) dengan mengintegrasikan dahulu terhadap variable x, kemudian terhadap yPertama gambarkan dulu daerah integrasi Dxy integrasi lipat 2 pada contoh (8.1). Dari batas integrasinya akan terbaca bahwa Dxy adalah daerah Antara sumbu-x dan parabola-y = x2yang terletak Antara garis x=0 dan x =1 seperti pada gambar dibawah ini

Gambar 1.4 daerah integrasi D contoh (8.1) dan (8.1)1) Selidiki apakah daerah Dxy normal terhadap sumbu y.Karena garis normal terhadap sumbu-y hanya memotong kurva diatas dikiri dan x=1 dikanan untuk seluruh daerah Dxy, maka ia normal terhadap sumbu-y.2) Jika ya, lanjutkan ke langkah 3, jika tidak maka bagi Dxy atas sejumlah minimal daerah normal terhadap sumbu-y dan selanjutnya lanjutkan langkah ke tiga.3) Tarik garis sejajar sumbu-x,kurva potong pada ruas kiri adalah batas bawah , sedangkan pada ruas kanan adalah batas atas. Karena garis normal sumbu-y memotong batas ruas kiri pada parabola y= x2 maka batas bawahnya adalah x1 = dan batas atasnya adalah x2 = 1 Maka integral berulangnya dapat kita hitung yaitu :

INTEGRAL LIPAT -2 SEBAGAI VOLUMEjika Z = f(x, y) adalah sebuah persamaan permukaan pada integral lipat-2 :dan (1.11)Adalah volume ruang tegak Antara daerah D pada bidang xy dengan permukaan Z = f(x, y),seperti pada gambar 1.5 dibawah ini :

GAMBAR 1.5 Volume ruang Antara permukaan Z = f(x, y) dan bidang DxyContoh :

Menyatakan volume bagian ruang tegak Antara daerah D pada bidang xz, dengan permukaan y = f (x, z).Perhatian :Karena volume geometris bernilai positif, maka jika suatu bagian ruang memiliki nilai-nilai integral volume negative ia harus diubah dahulu menjadi positif, yaitu dengan mengambil nilai mutlaknya. Jadi, jika D = D1D2, dengan D1danD2 adalah subdaerah normal D, dan dalamD1: z 0, maka :1 dan2Volume geometrisnya :

Contoh 1.3Hitunglah volume bagian ruang silinder parabolic dalam kuadran pertama, yang alasnya dibatasi bidang xy dan penutupnya atas dibatasi oleh bidang Penyelesaian:Langkah-langkah penyeselesainnya :1. Gambarkan terlebih dahulu silinder parabolic dan bidang datar . Kurva perpotongan masing-masing permukaan dengan bidng xy adalah : parabola ( silinder ) dan garis lurus ,sketsa yang ditanyakan adalah seperti yang diperlihatkan pada gambar 1.6a2. Cirikan permukaan S dan rumuskan persamaan eksplisitnya z = f(x,y)Dimana permukaan S adalah permukaan atas bagian ruang yang ditanyakan. Dalam hal ini dapat kita lihat s adalah bagian bidang datar jadi persamaan eksplisitnya terhadap bidang ( x,y )

GAMBAR 1.6 (a) Volume bagian ruang contoh 1.3 (b) Daerah integrasi Gambar 1.6 a dan normal terhadap sumbu-x, gambar 1.6b 3. Tentukan daerah integrasi Dxypada bidang xy Berdasarkan sketsa bagian ruang pada gambar 1.6 daerah Dxypada bidang xy (z=0) ,yang dibatasi oleh sumbu-y positip, parabola C : dan garis lurus L : sketsa dimensi duanya diperlihatkan pada gambar 1.6 b garis lurus L memotong parabola C dititik P (1,1/2 ) dan sumbu -y di Q ( 0,1)4. Rumuskan integral berulang dan hitung hasilnyaKarena Dxymaka kita integrasikan dahulu terhadap variable. Tarik garis tegak lurus sumbu-x, maka dari perpotongan kedua kurva batas, dapat kita lihat bahwa batas bawah integrasi terhadap-y adalah dan batas atasnya garis y= - x +1. Karena semua daerah terletak pada garis x=0 dan 1 maka kedua nilai ini lah berturut-turut menjadibatas atas dan batas bawah terhadap variable-x Jadi volume integral dapat dihitung :

Contoh 1.4Hitunglah volume bagian silinder 2ay =0 yang diiris permukaan oleh permukaan silinder parabolic Penyelesaian:Karena sketsa gambar ruangnya, V, bertumpang tindih, maka untuk kejelasan,maka harus kita gambarkan proyeksinya pada bidang yz, seperti tamapak pada gambar 1.7a. Permukaan atas dibatasi oleh helai z =, dan sisi tegaknya oleh silinder 2ay =0 atau , yang sumbunya melewati titik (0,a,0) dan berjari-jari a

GAMBAR 1.7 a) proyeksi volume bagian ruang contoh 1.4 pada bidang yz (b) Daerah integrasi Karena relative terhadap bidang xy (z=0), bagian ruang ats dan bawah simetris, maka volume V adalah dua kali volume bagian ruang atas. S adalah permukaan batas atas bagian ruang V, yaitu permukaan silinder :. Sedangkan alas Dxy adalah irisan silinder dengan bidang z = 0, yaitu bidang lingkaran (yang diperlihatkan pada gambar 1.7b). Jadi, volume bagian ruang yang dihitung adalah :

Daerah integrasi Dxynormal terhadap sumbu x dan sumbu y. Karena Integrasi terhadap variable y dahulu memberikan fungsi g(x) yang rumit, kita integrasikan dahulu terhadap variable x. Batas bawahnya separuh lingkaran : X1 = - dan atas X2= , terhadap variable y batas bawah dan batas atasnya berturut-turut adalah 0 dan 2a. Maka :

1.3 TRANSFORMASI VARIABEL INTEGRALRumus integral lipat dua: (1.13)Untuk mempermudah mengerjakan integral lipat dua dapat mengubah variabel integrasi x dan y atau bisa bilang dengan metode subsitusi pada integral tunggal. Rumus integral tunggal dapat dituliskan: Penggunaan variabel baru u melalui subsitusi: (1.15a)Ada tiga hal pengalihan integral tunggal pada persamaan 1.14:a) Pengalihan selang (daerah) integrasiSelang integrasi dalam terpetakan ke selang integrasi baru dalam b) Pengalihan elemen diferensial dx, menjadi: (1.15b)

dengan faktor skala atau Jacobi c) Pengalihan fungsi integral menjadi: (1.15c)Jadi, perubahan variabel integral (1.15a), mengalihkan integral (1.14) terhadap variabel x ke integral terhadap variabel baru u: (1.16)Elemen diferensial adalah elemen luas daerah dalam bidang xy, sehingga luas adalah besar vektor luas yaitu: (1.17)dengan dan x operator hasilkali silang. Dalam pernyataan vektor, integral lipat persamaan (1.13) berbentuk: (1.18)Dapat dilakukan perubahan variabel atau transformasi koordinat dari sistem ke sistem menurut persamaan transformasi: (1.19)Maka, setiap elemen diferensial vektor bertransformasi menjadi:

(1.20)

dengan masing-masing adalah vektor satuan dalam arah pertambahan positif dan pada sistem koordinat Elemen luas dalam koordinat menjadi:

= atau (1.21)dengan (1.22)adalah Faktor Jacobi yang bersangkutan.Transformasi koordinat pada persamaan (1.19) terdapat transformasi invers, yaitu: (1.23)dengan Faktor Jacobian bersangkutan adalah: (1.24)Karena elemen luas takberubah, maka:

Jika: (1.25)Perubahan variabel integrasi yang lazim digunakan adalah transformasi koordinat kartesian ke polar , melalui persamaan transformasi: (1.26a)dengan transformasi invers: (1.26b)Faktor Jacobi yang bersangkutan adalah: (1.27a) (1.27b)Sesuai dengan hubungan pada persamaan (1.25).Pada nilai faktor Jakobi Titik ini disebut dengan Titik Singuler Koordinat Polar Contoh 1.5 Gunakan koordinat polar untuk menghitung integral lipat dua berikut:

dengan adalah daerah pada kuadran I dalam bidang yang dibatasi oleh sumbu sumbu dan lingkaran Penyelesaian:

dimana: maka koordinat polar maka dapat diperoleh persamaannya:

Gambar Daerah Integrasi .

GAMBAR 1.8 (a) Daerah Integrasi soal 1.4 dan (b) Petanya Secara sekilas, dibatasi oleh tiga kurva, yaitu:

yang diperlihatkan pada gambar 1.8a. karena faktor jacobi, bernilai nol di titik maka untuk menghindari kesinguleran ini, dapat dibentuk kurva batas ke-4, , berupa lingkaran:

dan pada akhirnya mengambil limit Gambar peta daerah integrasi Untuk menggambarkan peta daerah pada bidang , dapat dipetakan masing-masing kurva batas, lalu daerah batas yang diperoleh.

Pada bidang adalah parameter kurva Jadi, adalah selang terbuka pada sumbu .

adalah parameter kurva pada bidang Karena, , maka Jadi, adalah penggal garis sejajar sumbu , yang memotong sumbu di Koordinat polar untuk integral lipat dua menjadi:

Contoh 1.6Pada integral:

Dilakukan pemisalan untuk merubah variabel:

Kemudian hitunglah integralnya dalam variabel dan .Penyelesaian:Mengikuti langkah penyelesaian pada contoh 1.5, kita hitung terlebih dahulu adalah Faktor Jacobinya:

Jadi, integralnya akan menjadi:

Daerah integrasinya dalam bidang adalah yang dilukiskan pada gambar 1.9a. kurva batasnya ada tiga buah yaitu: ketiga titik potongnya adalah Persamaan masing-masing kurva adalah:

Pemetaannya pada bidang kita tentukan dengan menggunakan transformasi invers:

Peta kurva yang berkaitan adalah:

ketiga kurva tersebut dalam bidang diperlihatkan pada gambar 1.9b, yang berpotongan dititik: Daerah adalah yang diarsir.

GAMBAR 1.9 (a) Daerah integrasi Dxy soal 1.6, dan (b) petanya Duv.

Karena daerah intergrasi Duv normal terhadap sumbu u maupun v, maka dengan memilih kenormalan terhadap sumbu u misalnya, kita dapat diperoleh Rumus Integral Berulang:

Contoh 1.7Diketahui daerah Dxy pada kuadran I bidang xy dibatasi oleh kurva-kurva . Hitunglah:

dengan melakukan perubahan variabelyang memudahkan.Penyelesaian:Pertama, kita gambarkan dahulu daerah integrasi Dxy :

GAMBAR 1.10 (a) Daerah integrasi Dxy, (b) petanya Duv

Batas-batas kurvanya adalah:

dengan Keempat titik potongnya adalah : (lihat gambar 1.10a).Misalkan, Peta daerah pada bidang dapat dicirikan melalui peta masing-masing kurva batas seperti yang telah dilakukan 1.5 dan 1.6. Maka dapat diperoleh:

Dengan keempat titik potong yang bersangkutan adalah : (lihat gambar 1.10b). adalah sebuah daerah empat persegi panjang. Faktor Jacobi bagi transformasi diatas akan kita cari dari inversnya. Maka diperoleh:

Jadi, Faktor Jacobi transformasinya adalah:

Integral dibawah transformasi diatas, akan menjadi:

Dengan demikian, maka diperoleh integralnya adalah:

1.4 INTEGRAL LIPAT TIGAUntuk menentukan massa sebuah benda tiga dimensi terbatas V (Bola, Kerucut, atau benda takberaturan lainnya), yang memiliki rapat massa tidak sama . Untuk menghitung massa totalnya, pertama volume benda dapat kita bagi atas sejumlah elemen volume kecil yaitu: (lihat gambar 1.11)

GAMBAR 1.11 Volume ruang integrasi V, dengan elemen volume kecil .Kemudian, pilih sebuah titik wakil ( dalam setiap elemen volume . maka massa elemen volume ke-1 dapat dituliskan:

Dengan menjumlahkan terhadap seluruh elemen volume, dan mengambil limit untuk , maka diperoleh massa total benda adalah:

Jika limit diruas kanan ada, maka dapat kita tuliskan sebagai integral lipat tiga terhadap volume V benda: (1.30)Sifat-sifat integral lipat tiga adalah sebagai berikut:1) Kelinearan: (1.31)2) Jika (suatu permukaan), maka: (1.32)

INTEGRAL BERULANGSuatu volume integrasi V adalah normal terhadap bidang koordinat xy, jika sebuah garis yang ditarik tegaklurus terhadap bidang xy memotong dua permukaan yang masing-masing persamaan permukaannya . Jadi integrasi V dapat dituliskan sebagai berikut: (1.33)Dengan adalah proyeksi gabungan permukaan pada bidang xy, dan z disebut dengan variabel takbebas permukaan. V normal terhadap bidang yz, persamaan kedua permukaan yang dipotong garis normal bidang yz akan berbentuk x = x (y, z); sedangkan terhadap bidang xz, persamaan permukaannya akan berbentuk y = y (x, z).Misalkan integral lipat liga (1.30) normal terhadap bidang xy. Maka, dapat diperoleh rumus perhitungan sederhana: (1.34)dengan kedua batas integral sebagai fungsi x dan y berkaitan dengan persamaan permukaan batas atas , dan batas bawah .Jadi, integral lipat tiga dapat dihitung sebagai berikut. Pertama, perlakukan x dan y tetap, maka dihitung integral biasanya: (1.35)Kedua, dihitung integral lipat dua: (1.36) adalah proyeksi gabungan permukaan atas , dan batas bawah

Contoh 1.8Hitunglah integral lipat tiga dengan dan V adalah bagian ruang dalam aktan pertama, yang bagian atasnya dibatasi oleh bidang .Penyelesaian:

GAMBAR 1.12 (a) Volume integrasi V, (b) Daerah Integrasi Dxy.

Jadi,

Misalkan integral parsial , maka diperoleh:

Contoh 1.9Hitunglah integral lipat tiga jika V adalah volume ruang antara permukaan kerucut parabolik dan bidang Penyelesaian:Pertama buat sketsa volume V yang dibatasi oleh permukaan dan

GAMBAR 1.13 (a) Volume Integrasi V, (b) Daerah integrasi .Keduanya berpotongan pada sebuah kurva yang koordinat x dan y nya terletak pada lingkaran:

Volume V pada bidang xy dibatasi dengan permukaan , Sehingga integral berulang lipat tiga adalah:

Integral lipat dua diatas memiliki koordinat polar yang berpusat di (-1, -1):

Dalam koordinat polar (, integral lipat dua diatas menjadi:

1.6 BESARAN FISIKA SEBAGAI INTEGRAL LIPATJika adalah rapat massa benda yang menempati volume ruang V, maka dapat dituliskan rumusnya sebagaqi berikut: (1.37)Jika adalah jarak elemen massa dalam elemen volume ke garis L, seperti gambar. 1.14, maka momen lembam (inersia) nya ke sumbu L adalah:

GAMBAR 1.14 Momen Lembam benda V terhadap sumbu LMomen lembam benda secara keseluruhan terhadap sumbu L adalah: (1.38)Jika L adalah sumbu-z, maka , dan momen lembam yang bersangkutan ditulis kedalam persamaan: (1.39a)yang menyatakan momen lembam benda terhadap sumbu-z. Dengan cara yang sama maka diperoleh: (1.39 b, c)Momen massa benda ini terhadap masing-masing bidang koordinat didefinisikan sebagai: (1.40)dan koordinat pusat massanya, (X, Y, Z), dapat dituliskan: (1.41)dimana M adalah massa total benda pada persamaan (1.37).

1.7 INTEGRASI DALAM KOORDINAT SILINDER DAN BOLAPerhitungan integral lipat tiga, sama seperti integral lipat dua. Integral lipat tiga dapat kita tuliskan ke dalam persamaan: (1.42)Untuk memperoleh bentuk teralihkannya dibawah transformasi koordinat: (1.43)Hubungan transformasi elemen volume dalam sistem koordinat dengan dalam sistem koordinat Elemen volume , dapat dipandang sebagai mhasilkali tripel skalar: (1.44)dengan , dan seterusnya.Transformasi koordinat pada persamaan (1.43), masing-masing vektor diferensial koordinat bertransformasi menjadi:

(1.45)

Sisipkan pernyataan vektor (1.45) ke dalam hasilkali tripel skalar (1.44), maka melalui utak-atik aljabar vektor hasilkali silang dan titik sederhana, maka diperoleh: (1.46)dengan: (1.47)Adalah determinan matriks Jacobi, atau faktor Jacobi transformasi koordinat (1.43). Jika faktor Jacobi J tidak nol, maka transformai koordinat (1.43) memiliki invers dan berlaku:

Jadi, jika fungsi integral beralih menjadi:

Maka, integral lipat tiga (1.42) bertransformasi menjadi: (1.48)dengan peta volume subruang V dalam sistem koordinat .

SISTEM KOORDINAT SILINDERSistem koordinat silinder merupakan perluasan sistem koordinat polar dalam bidang , kedalam ruang tiga dimensi. Jika adalah koordinat sebuah titik dalam sistem koordinat kartesis, maka dalam koordinat silinder ini, koordinat dicirikan seperti yang diperlihatkan pada gambar 1.15. Disini adalah koordinat polar proyeksi tegak titik pada bidang , yaitu , sedangkan z adalah koordinat z titik P dalam sistem koordinat kartesis.

GAMBAR 1.15Dari gambar 1.15, diperoleh hubungan antara koordinat kartesis dan silinder :

(1.49) Dalam sistem koordinat silinder ini, ketiga permukaan berikut memiliki pernyataan yang sederhana, yaitu:(i). Silinder berjari-jari dengan sumbu simetri : ,(ii). Bidang yang memuat sumbu-,(iii). Bidang yang memotong tegak lurus sumbu-dengan , dan adalah tetapan.Faktor Jacobi bagi transformasi koordinat (1.49) diatas, dapat dihitung langsung, maka hasilnya adalah: (1.50)Jadi, elemen volume dV dalam sistem koordinat kartesis dan silinder berkaitan melalui hubungan: (1.51)

Contoh 1.10Hitunglah massa total dan koordinat z pusat massa benda yang menempati volume didalam kerucut eliptik:

Jika rapat massanya , sebuah tetapan. Gunakanlah koordinat silinder.Penyelesaian:Massa total benda adalah:

Untuk menggunakan koordinat silinder, maka transformasi koordinatnya adalah:

Sehingga persamaan kerucut tersederhanakan menjadi:

Pada gambar 1.16, terlihat volume V normal terhadap bidang , dengan permukaan batas bawah adalah permukaan kerucut eliptik dan bidang sebagai batas atasnya.

GAMBAR 1.16 Benda dalam volume bagian ruang V

Jadi, integral berulang massa benda adalah:

Untuk menghitung koordinat z pusat massa benda ini menurut persamaan (1.41), kita harus menghitung terlebih dahulu momen massanya terhadapnya bidang . Dengan cara yang sama, maka diperoleh:

Jadi, koordinat Z pusat massa benda, menurut persamaan (1.41) adalah:

SISTEM KOORDINAT BOLAUntuk menghitung integral lipat tiga menjadi lebih sederhana apabila digunakan sistem koordinat bola dengan mengambil titik asal O sebagai pusat simetri, maka sebuah titik P dengan koordinat kartesis dalam sistem koordinat bola yang dicirikan oleh tiga koordinat , dengan berdimensi jarak, sedangkan adalah besaran sudut. Dari gambar 1.17, diperoleh hubungan antara koordinat Kartesis dan bola :

(1.52)

GAMBAR 1.17

Dalam sistem koordinat bola ini, ketiga permukaan berikut memiliki pernyataan yang sederhana, yaitu:a) Bola berjari-jari R dengan pusat di O: b) Bidang yang memuat sumbu-z: ,c) Kerucut dengan puncak di O dan bersumbu-z: .dengan adalah tetapan.Faktor Jacobi bagi transformasi koordinat (1.52) diatas, dapat dihitung langsung. Maka hasilnya dapat dipereoleh sebagai berikut: (1.53)Jadi, elemen volume dV dalam sistem koordinat Kartesis dan bola berkaitan melalui hubungan: (1.54)

Contoh 1.11Sebuah volume benda dibatasi oleh permukaan kerucut dan permukaan bola . Dengan menggunakan system koordinat, hitunglah:a) Volumenyab) Koordinat z pusat massanya, jika massa jenisnya = c, sebuah tetapan

Penyelesaiaan :Persamaan permukaan bola dan keerucut dengan menggunakan koordinat bola ( r ). Penyisipan transformasi koordinat (1.52) kedalam persamaan permukaan bola kita dapatkan r =a , sedangkan untuk permukaan kerucut di dapatkan persamaan tan = p, atau = arctan p = ( lihat gambar 1.18)

GAMBAR 1.18 Benda dalam volume bagian V,a) Volumenya diperoleh : V =Pembuktian :Bila , maka bendanya berbentuk separuh volume bola. Volumenya geometrisnya sesuai dengan hasil di atasb) Koordinat Z pusatmassa benda diberikan oleh Z = Mxy / M . Mxy adalah momen massa terhadap bidang xy :

Sedangkan M adalah massa total benda :

Maka,Z = Mxy / M = 3a

Soal-soal1. Hitunglah integral lipat dua berikut terhadap y terlebih dahulua) b) 2. Integrasikan integral lipat dua pada soal nomor 1 terhadap variable x terlebih dahulu, dengan menggambarkan dahulu daerah integrasinya3. Hitunglah integral-integral berikut :a) b) c) Dengan memilih terhadap variable mana yang akan diintegrasikan terlebih dahulu.4. Integrasi masing-masing fungsi f(x,y) berikut terhadap daerah yang diberikan :a) F)x,y) = terhadap daerah segitiga yang dibatasi oleh garis x=0,y=0 dan 2x +3y =1b) F(x.y) = x/y terhadap daerah yang dibatsi oleh garis garis y=x, y=2x, x=1 dan x=2Transformasi koordinat5. Hitunglah integral lipat dua fungsi f(x,y) terhaap daerah yang diberikan dengan menggunakan transformasi koordinat yang diusulkan.-a) F(x,y) =1/ (1+terhadap daerah yang dibatasi oleh lemniskat ( -( = 0 ( gunakanlah koordinat polar)b) F(x,y) = terhadap daerah dalam kuadran pertama yang dibatasi oleh hiperbola xy =1,xy=4 dan garis y = x+1, y = x+3 ( gunakan transformasi koordinat u = xy, v = y-x).INTEGRAL LIPAT TIGA6. Hitunglah volume ruang dalam oktan pertama yang dibatasi oleh ketiga bidang koordinat pada permukaan 2x + 3y + 6z =127. Hitunglah volume ruang didalam kerucut a(b-c) = b dan silinderyang dibatasi oleh bidang z =08. Hitunglah : dengan V adalah bagian kerucut , yang terletak antara bidang z = 0 dan z = 49. Sebuah benda padat dalam oktan pertama yang dibatasi oleh ketiga bidang koordinat dan bidang x + y + z = 2. Jika rapat massanya hitunglah massa total dan koordinat pusat massanya.10. Hitunglah momen lembam Ix dari benda yang dipotong dari bola oleh silinder 11. Hitunglah momen lembam terhadap sumbu-z dari benda yang dibatasi oleh bola r = a dan dibawahnya oleh kerucut

c

yi

d

D2

X = x2(y)

X= x1(y)

X

Y

o

D1

D2

D3

Y=y2(x)

Y =y1(x)

X = x2 (y)

X = x1 (y)

X

O

Y

X

Y

o

Y = x2

Dxy

F (x,y )

S

X

O

Y

Z

Y = X^2

X

O

Y

Z

(a)

O

X

Y

(b)

Y = X^2

2X + 4Y = 4

O

y

z

a

za

(a)

x

y

a

Dxy

(b)

y

2

Dxy

2

x

(a)

/2

2

C1

C4

C2

r

C3

Dr

(b)

y

y = x

x

(a)

Dxy

y = 1 - x

O

v

u = v

u

(b)

Duv

O

y

C1

C2

Dxy

C4

C3

x

0

(a)

v

u

0

(b)

Duv

2

16

1/2

4

z

y

x

(a)

2x + 3y + z 2 = 0

o

y

x

x

(b)

y = (-2x +2) / 3

o

L

m

r (Xk, Yk, Zk)

z

y

x

z

y

x

x

r

y

z

P

P (x, y, z) (r, , z)

h

z

o

y

x

z

r

z

x

o

y

y

x

P(x, y, z) (r, , )

Y

Z

X

i

xi

Xi +xi

yi +yi

yi

Y

X

o

X

Y

Y = y1(x)

Y = y2(x)

D1

a

b

xi