Fisika Matematika
92
SUSIANA (120210102020)(5) PRETY ENGESTIANA (120210102058) (17) RAFIDATUL ANISA (120210102064) (20) SISCAWATI RIZKI L. (120210102085) (23)
-
Upload
novida-ismiazizah -
Category
Documents
-
view
106 -
download
20
description
Fisika Matematika
Transcript of Fisika Matematika
SUSIANA (120210102020)(5)PRETY ENGESTIANA (120210102058)(17)RAFIDATUL ANISA (120210102064)(20)SISCAWATI RIZKI L. (120210102085)(23)
TRANSFORMASI INTEGRAL
Dengan integrasi ini, suatu fungsi yang semula merupakan fungsi t akan berubah menjadi fungsi s, dimana
Transformasi ini akan mengubah fungsi waktu f(t) ke fungsi kompleks F(s)
Transformasi Laplace sebuah fungsi waktu didenisikan sebagai :
dtetfsFtf st
.)()()]([0
L
js
)]([ tfL
Carilah transformasi laplace dari sebuah fungsi waktu, jika f(t)=1
Diket : f(t)=1Ditanya : L[f(t)]Jawab :
ssFtf
ssFtf
es
es
sFtf
es
sFtf
dtesFtf
dttfesFtf
st
st
st
1)()]([
10)()]([
11)()]([
1)()]([
1)()]([
)()()]([
0
0
0
0
L
L
L
L
L
L
Carilah transformasi laplace dari fungsi-fungsi berikut :
1.Jika2.Jika3.Jika
atetf )(atetf )(
tietf )(
1.
atetf )(
assFtf
ase
ase
assFtf
eas
dtedteesFtf
dttfesFtf
asas
tastasatst
st
1)()]([
1.1
011
)()]([
1)()]([
)()()]([
0)()(
0
)(
0
)(
0
0
L
L
L
L
2. atetf )(
assFtf
ase
ase
assFtf
eas
dtedteesFtf
dttfesFtf
asas
tastasatst
st
1)()]([
1.1
011
)()]([
1)()]([
)()()]([
0)()(
0
)(
0
)(
0
0
L
L
L
L
3. tietf )(
issFtf
ise
ise
issFtf
eis
eis
sFtf
eis
dtedteesFtf
dttfesFtf
isis
tististist
st
1)()]([
1.1
011
)()]([
11)()]([
1)()]([
)()()]([
0
0)()(
0
)(
0
)(
0
0
L
L
L
L
L
Carilah transformasi laplace dari Jawab :Berdasarkan hubungan EulerMaka :
ttf cos)(
)sin(cos.
bibeeeee
aiba
ibaiba
bibeibe
bibibe
bibibe
cos2
sincos
sincos
2cos
2cos
tietietmaka
ibeibeb
0)()(
0
)(
0
)(
0
)(
0
)(
00
00
)(
1
)(
1
2
1][cos
)(
1
)(
1
2
1][cos
2
1][cos
2
1][cos
2
1][cos
)()(2
1][cos
sisi
tistsi
tistsi
tisttist
tisttist
titi
esi
esi
t
eis
esi
t
dtedtet
dtedtet
dteedteet
eet
L
L
L
L
L
LLL
0)()(
)(
1
)(
1
isis e
ise
is
Lanjutan
2222
22222222
)(
2
2
1][cos
)1(
2
2
12
2
12
2
1][cos
))((
)()(
2
111
2
1][cos
10
10
2
1][cos
s
s
s
st
s
s
si
s
sisisi
st
issi
siis
issit
issit
L
L
L
L
gbfatbgtaf
dttgebdttfeatbgtaf
dttbgedttafetbgtaf
dttbgtafetbgtaf
stst
stst
st
LL L
L
L
L
)]()([
)()()]()([
)()()]()([
)()()]()([
0 0
0 0
0
Carilah transformasi laplace dariJawab:
)31()( 2tetf
2
3131
2
103
1031
2
1
2
13
1131
2
13
13
131
.31.3131
)()(
2
2
002
0
)2(
00
)2(
0
2
0
2
0
22
0
sse
sse
es
es
es
es
e
es
es
dtees
e
dteedteee
dttfesFf
t
t
t
ststststt
tst
st
tt
st
L
L
L
L
LLL
L
Transformasi laplace dari suatu fungsi dapat dilihat sebagai berikut:
Jika
Tranformasi laplace dari integrasi suatu fungsi diatas adalah :Dengan mengingat
t
makadxxftf0
1 .)()(
'',
''
)(
vuuvuvmaka
vuuvuv
vduudvuvd
)(
)(
1
0
1
xfdu
dxxfu
misalt
s
ee
sv
dtedvst
st
st
1
0
)()()([ dtetfsFtf stL
Maka
s
sFsFtf
dxxfes
sFtf
dxxfs
ee
sdxxfe
sdxxfsFtf
dxxfs
ee
sdxxfsFtf
dtedxxfdtetfsFtf
st
st
stst
t
stt
st
)()()]([
)(1
00)()]([
)(1
.)(1
.)()()]([
)(1
.)()()]([
)()()()]([
1
1
0
1
0
00
0
1
0
1
1
000
1
0 0 0
1
L
L
L
L
L
Transformasi laplace dari suatu diferensiasi dapat dilihat sebagai berikut:
Jika maka transformasi laplacenya adalah :
Dengan mengingat
dt
tdftf
)()( 1
0
1
0
)()()()( dte
dt
tdfdtetfstf ststFL
'',
''
)(
vuuvuvmaka
vuuvuv
vduudvuvd
dt
tdfdu
tfu
misal
)(
)(
1
1
s
ee
sv
dtedvst
st
st
1
Maka dapat diselesaikan
0
)(1
0)()()( dt
ste
dt
tdfdt
stetfsFtfL
)0()()(
)()0().(
)()0(
1)(
)(1)0(0)(
)(1).0().()(
)(.).()(
11
11
11
0
11
0
10
11
0
1
0
1
fssdt
tdf
dt
tdffssF
dt
tdff
ssF
dtdt
tdfe
ss
fsF
dtdt
tdfe
ss
ef
s
efsF
dtdt
tdf
s
e
s
etfsF
st
st
stst
FL
L
L
Jadi transformasi laplace dari suatu diferensiasi adalah
Untuk turunan yang lebih tinggi : Jika
Jika
)0()()(
fssdt
tdf
FL
)0(')0()()()(
)( 1112
2
fsfsssdt
tfdtf FF
)0(")0(')0()()()(
)( 1112
13
31
3
fsffssssd
tfdtf FF
Jika suatu fungsi f(t) mengalami pergeseran sebesar a ke arah sumbu -t positif, maka persamaan fungsinya akan berubah menjadi
Maka transformasi laplace dari fungsi yang tergeser adalah
Dengan mengganti peubah integrasinya dari t menjadi
Maka didapat :
)( atf
0
dta)ef(ta)f(t stL
dtd
dtd
at
0
)( at
Maka persamaan diatas dapat diubah menjadi :
)()]([
)()]([
)()]([
)()]([
0
0
0
)(
sFeatf
defeatf
deefatf
defatf
as
sas
sas
as
L
L
L
L
Jika suatu fungsi dalam skala yang lebih besar f(at), maka transformasi laplace dari bentuk ini adalah
dengan mengganti adtd
at
a
sF
adef
aatf
a
defdteatfatf
a
s
a
sst
)(1)(
1)]([
)()()]([
0
00
L
L
a
sst
a
ddt
1
)(tf )]([)( tfsF L
t
ate
atte
tsin
s
1
2
1
s
as 1
2)(
1
as
22 s
tcos22 s
s
)(tf )]([)( tfsF L
atsinh 22 as
a
atcosh
nt 1
!ns
n
22 as
s
atnet 1)(
1 nas
)(t 1
1. Buktikan bahwa transformasi laplace dari 2. Dengan menggunakan tabel transformasi
laplace, Tentukan transformasi laplace dari
22][sin
s
tL
tttf 3cos53sin2)(
1. Berdasarkan hubungan euler
biibeibe
bibibe
bibibe
sin2
sincos
sincos
)sin(cos
.
bibaeibae
ibeaeibae
)(21
2sin
2sin
tietieii
tietietmaka
i
ibeibeb
22
00
0
)(
0
)(
0 0
)()(
0
)()(
0
0 0
0
2
2
1][sin
)()(
))((
2
1][sin
11
2
1][sin
1111
2
1][sin
11
2
1
2
1][sin
2
1).(.
2
1][sin
)(2
1.sin][sin
)()]([
s
i
it
isis
isis
it
isisit
eis
eis
eis
eisi
t
eis
eisi
dtedtei
t
dteei
dteeeei
t
dteeei
dtett
dtetftf
tistististis
tsitsisttistti
sttitist
st
L
L
L
L
L
L
L
L
2.
9
563cos53sin2)]([
9
5
9
63cos53sin2)]([
35
3
323cos53sin2)]([
523cos53sin2)]([
]3[cos5]3[sin23cos53sin2)]([
][cos
][sin
3cos53sin2)(
2
22
2222
2222
22
22
s
stttf
s
s
stttf
s
s
stttf
s
s
stttf
tttttfs
st
st
tttf
LL
LL
LL
LL
LLLL
L
L
4
4
4
4
4
4
41
4]4[
]4
1[]4[
)0()]}([{]4[
)0()()]([
4
0.44
44
sss
s
s
s
s
se
es
se
fese
fssFtfdt
d
t
t
tt
L
L
LL
L
Untuk merepresentasikan sinyal aperodik (dipandang sebagai sinyal periodik dengan periode tak hingga).
Untuk merepresentasikan sinyal aperodik (dipandang sebagai sinyal periodik dengan periode tak hingga).
Metode untuk mengubah gelombang dalam domain waktu menjadi domain frekuensi
Metode untuk mengubah gelombang dalam domain waktu menjadi domain frekuensi
)(
dtetfF tj
Deret Fourier EksponensialDeret Fourier Eksponensial Transformasi FourierTransformasi Fourier
Deret Eksponensial
tjn
T
T
tjn
tjn
T
T
tjn
edtetftf
edtetfT
tf
0
0
0
0
0
0
0
0
..)(2
1)(
.)(1
)(
0
2
2
2
20
00
2 dimana
T
dtetfF
deFdedtetftf
tj
tjtjtj
)()(
)(2
1)(
2
1)(
)(menuju diperbesar 0T
d sehingga kecilsemakin maka diperbesar T 00
SEHINGGA DIDAPAT :SEHINGGA DIDAPAT :
)()()(
)()(2
1)( 1
tfFdtetfF
FFdeFtf
tj
tj
Diketahui grafik fungsi f(t) sebagai berikut, hitunglah transformasi Fourier dari F(ω):
5
0-1 1
f(t)
sin10)(
sin10)(
sin25
)(
5)(
5)(
5)(
)()(
11
1
1
1
1
F
j
jF
jj
F
j
eeF
dteF
dteF
etfF
jj
tj
tj
tj
1. KELINIERAN1. KELINIERAN
)()()()(: maka
)()(dan )()(:jika
2121
2211
BFAFtBftAfF
FtfFFtfF
2. PEMBALIKAN2. PEMBALIKAN
)()()()(
:
)()( maka )( jika
FdeffFtfF
bukti
FtfFFtfF
j
t- dimana
3. SIMETRIS3. SIMETRIS
detFf
deFtf
deFtf
fFtfF
tj
tj
tj
)()(2
:makakan dipertukar dan t jika
)()(2
)()(2
balik) asi(transform : bukti
)(2f(t)F maka )( jika
4. PERGESERAN WAKTU4. PERGESERAN WAKTU
)(
)(
)()(
:
)(T)-f(tF maka )( jika
)(
Fe
daeafe
dteTtfTtfF
bukti
FeFtfF
Tj
ajTj
aTj
Tj
aTt
dtda
Ttamisal
:
5. PERGESERAN FREKUENSI5. PERGESERAN FREKUENSI
)(
)(
)(
)()(
:
)()( maka )()( jika
)(
)(
11
tfe
daeaF
deF
deFtf
bukti
tfeFFtfFF
tj
ajt
taj
tj
tj
a
dwda
a
: dimana
6. PENSKALAAN
6. PENSKALAAN
)(1
)(
)(
:
)(1
f(at)F maka )( jika
aj-
aj-
aF
a
a
df
dtfatfF
FtfF
bukti
aF
aFtfF
a
ddt
at
at
: dimana
tjte tj sincos
Diperoleh hasil sebagai berikut:1.Transformasi fourier sinus2.Transformasi fourier cosinus
Diperoleh hasil sebagai berikut:1.Transformasi fourier sinus2.Transformasi fourier cosinus
Dari teorema integral Fourier disebutkan bahwa, jika f (t) ganjil atau genap, maka g() juga ganjil atau genap. Dengan menyisipkan :
Jika f(t) adalah sebuah fungsi ganjil, dimana fs adalah pasangan transformasi dari gs maka berlaku:
0
0
sin)(2
)(
))(sin(2
)(
tdttfg
dtgtf
ss
ss
TRANSFORMASI FOURIER SINUS
Jika f (x) adalah sebuah fungsi genap, dimana fs adalah pasangan transformasi dari gs maka berlaku:
tdttfg
tdgtf
cc
cc
cos)(2
)(
cos)(2
)(
0
0
TRANSFORMASI FOURIER COSINUS
Carilah Transformasi Fourier cosinus dari :
x
xc xf01
0{)(
0,sin)1
(2
)]0)[(sin1
(2
)]0sin)[(sin1
(2
sin)1
(2
cos12
cos)(2
)(
|0
0
0
t
tdt
tdttfg cc
1. Diketahui grafik fungsi f(t) sebagai berikut, hitunglah transformasi Fourier dari F(ω):
5/4
0-1 1
f(t)
x
xc xf01
0{)(
2. Carilah Transformasi Fourier sinus dari :
3. Carilah fs (t)bila diketahui :
0
2
1
0
sin)( tdttf s 2
21
10
2
sin5)(
2
sin5)(
sin24
5)(
4
5)(
4
5)(
4
5)(
)()( 1.
11
1
1
1
1
F
j
jF
jj
F
j
eeF
dteF
dteF
etfF
jj
tj
tj
tj
)cos1)(1
(2
)1)[(cos1
(2
)]0cos)[(cos1
(2
cos)1
(2
sin12
sin)(2
)( 2.
|0
0
0
t
tdt
tdttfg ss
3. Ruas kanan dan kiri dikalikan dengan agar diperoleh gs ():
2
0
22
21
20
sin)(2
tdttf s
2
21
10
)(sg
22
21
20 2
21
10
)2cos2cos1(2
)2cos2cos2cos1(2
)cos2(cos4
)1(cos2
)cos2(cos4
)0cos(cos2
)cos2
(2
)cos1
(2
sin2
22
sin22
sin)(2
)(
||2
1
1
0
2
1
1
0
0
ttt
tttt
ttt
tt
ttt
tt
tt
tt
tdtd
tdgtf ss
OlehPrety Engestiana
12021010205817
Merupakan salah satu sifat transformasi yang digunakan untuk mencari fungsi f(t) dari perkalian fungsi-fungsi F(s).
Bentuk persamaan umum konvolusi, yaitu:
)()()( 21
0
21 sFsFdftft
Misalnya diketahui fungsi dan Kemudian di transformasikan ke fungsi t, menjadi
Variabel t diganti σ dan τ, menjadi:
Dimisalkan σ+ τ =t, diperoleh σ =t-τ dan dσ=dt, ketika σ=0, maka t= τ; ketika σ= ∞,maka t= ∞, shg
)(1 sF )(2 sF
dttfedttfesFsF stst )()()()( 2
0
1
0
21
dfedfesFsF ss )()()()( 2
0
1
0
21
0 0
21)(
21 )()()()( ddffesFsF s
0
2121 )()()()(
t
st ddtftfesFsF
dtdftfesFsFt
tst
0
21
0
21 )()()()(
0
2121 )()()()(
t
st ddtftfesFsF
dapat diketahui bahwa integral berikut adalah konvolusi.[note:variabel dapat disesuaikan dgn soal]
dftfLsFsF
dtdftfesFsF
dtdftfesFsF
t
tst
t
tst
0
2121
0 0
2121
0
21
0
21
)()()(
)()()(
)()()()(
)()()( 21
0
21 sFsFdftft
1. Gunakan konvolusi untuk menyelesaikan transformasi balik dari
2. Tentukanlah ketikadan
1
62 s
)()( 21 sFsF xexf 31 )(
xexf 22 )(
1. diketahui:
Ditanya: Jawab:
Diperoleh ;Ditransformasi laplace invers menjadi
;, lalu masukkan ke bentuk
persamaan umum konvolusi.
1
6)(
2
ssF
?...)(1 sFL
)1(
1
)1(
16
)1)(1(
6
1
6 112
1
ssL
ssL
sL
)1(
1)(1
ssF
)1(
1)(2
ssF xexf )(1
xexf )(2
)()()( 21
0
21 sFsFdxxtfxft
Menjadi:
Jadi transformasi laplace invers dari fungsi menggunakan konvolusi adalah
tt
tttt
tt
txt
txt
txxt
txtx
txtxxx
ees
L
eeee
eee
eedxeedxee
dxeeedxeeee
tftfsFsFLs
L
331
6
2
6
2
6
2
1
26
226
2666
666
)()(6)()(61
6
21
.20.2.2
0
2
0
2
0
00
)(
21211
21
1
6)(
2
ssF
tt ee
sL 33
1
62
1
2. Diketahui :
Ditanya:Jawab:
Jadi, nilai
xx exfexf 22
31 )(;)(
?...)()( 21 sFsF
tttttx
xxt
txt
t txtxxtx
t
eeeeeedxeesFsF
dxeeedxeesFsF
dxxtfxftftfsFsF
2320
2
0
221
0 0
223)(2321
0
212121
)1()()(
)()(
)()()()()()(
tt eesFsF 2321 )()(
1. Gunakan konvolusi untuk menentukan transformasi Laplace invers dari fungsi–fungsi berikut:a. b.
c.
2. Buktikanlah transformasi Laplace invers dari fungsi adalah
2)(
1
as
9
92 ss
221 )(;)( xxfxxf
ab
eetf
btat
)())((
1)(
bsassF
1a. Diketahui:ditanya: jawab: ;maka
inversnya Masukkan ke bentuk pers. Umum konvolusi
Menjadi,
2)(
1)(
assF
?...)(1 sFL
)(
1
)(
1
)(
1)(
2 asasassF
)(
1)()( 21 as
sFsF
atetftf )()( 21
t
dxxtfxftfsFL0
211 )()()()(
Jadi, transformasi Laplace invers dari fungsi
dengan menggunakan konvolusi adalah
at
attatt
at
tat
txaaat
taxatax
txtaax
t
tesFL
texedxe
dxeedxee
dxeeedxee
dxxtfxftfsFL
)(
]0[][1
)()()()(
1
0
0
0
0
0
)(
00
)(
0
211
2)(
1)(
assF
attesFL )(1
1b. Diketahui: Ditanya: Jawab: Dengan melihat tabel sifat transformasi laplace
L15,yaitu
dengan ;maka diperoleh
)9(
9)(
2
sssF
?...)(1 sFL
39
92
a
a
xaxtfsFL 3cos1cos1)()(1
1c. Diketahui: ditanya:jawab:
Kemudian, masukkan fungsi-sungsi di atas ke dalam bentuk umum persamaan konvolusi, menjadi...
221 )(;)( xxfxxf
?...)()()( 211 xfxfsFL
2222
1
2)()(
)(
xxttxtxtf
xxf
Jadi,
44444444
4433222
0
4
0
3
0
22
0
3
0
2
0
2
0
322
0
22
0
2121
12
1
1212
386
43
2
2
04
1
4
10
3
1
3
120
2
1
2
1
4
1
3
12
2
1
2
2)2(
)()()()(
tttttttt
ttttt
xxtxt
dxxdxxtxdxt
dxxtxxtdxxxttx
dxxtfxfxfxf
ttt
ttt
tt
t
421 12
1)()( txfxf
2. diketahui:
ditanya: buktikan hasil dari Jawab:diperoleh
Dan transformasi laplace inversnya adalah
Masukkan ke dalam bentuk persamaan umum konvolusi, berikut:
))((
1)(
bsassF
ab
eetfsFL
btat
)()(1
t
dxxtfxfsFLtf0
111 )()()()(
)(
1)(;
)(
1)( 21 bs
sFas
sF
btat etfetf )(;)( 21
Jadi, transformasi Laplace invers dari fungsi
dengan menggunakan konvolusi adalah .
TERBUKTI..!
Jadi, transformasi Laplace invers dari fungsi
dengan menggunakan konvolusi adalah .
TERBUKTI..!ab
eetf
ba
ee
ba
ee
ba
e
ba
ee
ba
eedxee
dxeeedxee
dxxtfxfsFLtf
btat
btbtatbt
tbabt
batbabt
txbabt
txbabt
tbxbtax
txtbax
t
)(
1
)()()()(
)(0)()(
0
)(
0
)(
00
)(
0
111
))((
1)(
bsassF
ab
eetf
btat
)(
Konvolusi digunakan dalam transformasi laplace dengan menggunakan sifat apabila dalam fungsi y terdapat perkalian dari dua fungsi [ G(p)H(p) ]. Persamaan konvolusi dapat ditentukan dengan mngambil contoh persamaan sebagai berikut,
0,'" '00 yytfCyByAy
pFfLCYBpYYAp 2
pFCBppAY 2
pFCBpAp
Y
2
1
CBpAp
pT
2
1
T(p) tersebut dapat disebut juga fungsi transfer dan juga dapat ditulis sebagai berikut,
bpappT
1
Contoh Soal
Selesaikan persamaan differensial berikut menggunakan konvolusi integral!
0,23 '00
'" yyeyyy t
Jawab:teyyy 23 '"
teLyyyL 23 '"
teLYpYYp 232
teLppY 232
teLpp
Y
23
12
teLpp
Y
21
1
tbtat
eLab
eeLY
ttt
eLee
LY
12
2
ttt
eLee
LY
1
2
ttt eLeeLY 2
Dimana persamaan konvolusi ialah
t
gy0
tt
tt
eeth
daneegMaka 2,
dth
Sehingga,
dthgyt
0
deeey tt
0
2
t
tt eey0
d
deeyt
t 10
eey t t0
00 eetey tt
10 tt etey
1 tt eteyttt eetey 2
.1 0,65 '00
3'" yyeyyy t
.2 0,43 '00
2'" yyeyyy t
JAWABAN
.1teyyy 3'" 65
teLyyyL 3'" 65
teLYpYYp 32 65
teLppY 32 65
teLpp
Y 32 65
1
teLpp
Y 32 65
1
teLpp
Y 3
23
1
tbtat
eLab
eeLY 3
ttt
eLee
LY 323
32
ttt
eLee
LY 323
1
ttt eLeeLY 323
Dimana persamaan konvolusi ialah
dthgyt
0
333
23,
tt eeth
daneegMaka
Sehingga,
deeey tt
33
0
23
t
tt eey0
33 d
deeyt
t 10
3
t
t deey0
3 1
eey t3 t0
03 0 eetey tt
103 tt etey
13 tt etey
ttt eetey 323
.2 teyyy 2'" 43
teLyyyL 2'" 43
teLYpYYp 22 43
teLppY 22 43
teLpp
Y 22 43
1
teLpp
Y 2
14
1
tbtat
eLab
eeLY 2
ttt
eLee
LY 24
41
ttt
eLee
LY 24
5
ttt
eLee
LY 24
5
Dimana persamaan konvolusi ialah
ttt
eLee
LY 24
55
dthgyt
0
222
4
55,
teteth
danee
gMaka
Sehingga,
deee
y tt
22
0
4
55
deeey tt
22
0
4
5
1
deeyt
tt 0
2232
5
1
deeeyt
t 0
232
5
1
deeeyt
t 0
232
5
1
t
t eeey0
232
2
1
3
1
5
1
00232
2
1
3
1
2
1
3
1
5
1eeeeey ttt
2
1
3
1
2
1
3
1
5
1 232 tt eeey
6
3
6
2
2
1
3
1
5
1 232 ttt eeey
6
5
2
1
3
1
5
1 232 ttt eeey
ttt eeey 24
30
5
10
1
15
1
