Bab I Deret Pangkat

I.1 Pendahuluan (Deret Geometri)

Banyak kasus solusi masih fisis sangat sulit

Masih berharap ada solusi alternatif

Solusi pendekatan (proklamasi)

Solusi ini muncul dalam bentuk deret

Perhatikan deret bilangan :

(i) 1, , , , (ii) a, ar, ar2, ar3, ar4

Bilangan di atas membentuk barisan geometri

If (i) dijumlahkan

1 + + + + + ………….(1)

Disebut deret

Penjumlahan dilakukan tanpa henti dinyatakan tiga titik dibelakang disebut tak

hingga (infinite series)

(1) Ditulis dalam bentuk

a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …………(2)

(a = 1 dan r = 2/3 )

Deret geometri

Sn = a + ar + ar2 + ….. + ar n-1 ……..(3)

(4)Sn = a

Jika n , maka

S = Sn . (5)

Deret hanya mempunyai jumlah berhingga jika hanya │r│< 1

I.2 definisi dan Notasi

Banyak deret tak hingga bukan deret geometri cs:

(i) 1 + 4 + 9 + 16 + ……

(ii) + + + + ……….

(iii) + - + ………

Secara umum deret- deret tersebut ditulis

a1 + a2 + a3 + …… + an + ……..

atau dalam bentuk notasi

Sebagaimana deret geometri didefinisikan Sn

Sn =

Or disebut jumlah parsial

S = Sn disebut jumlah dari deret

Konvergen dan divergen.

- Jika s berupa satu nilai tertentu = disebut konvergen

- Jika s tidak berupa satu nilai tertentu = disebut divergen

Cs

Teliti (selidiki) jumlah s dari pers

1 + 4 + 9 + 16 + …… =

Jwb

Untuk n S maka n2

Dmk

S = dikatakan jumlah s tidak ada (karena bukan bilangan ttt, ingan s bukanlah bilangan

Deret divergen

Cs

Tentukan an dan selidiki jumlah deret S dari deret :

1 – 1 + 1 – 1 +1 – 1 + ….

Jwb

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ….. =

Dmk

S dapat nol atau satu karena itu S tidak tertentu dan deret dikatakan divergen.

Uji konvergensi

o Uji pendahuluan dinyatakan

Suatu deret =

Adalah

Divergen jika suku tak hingga deret tersebut tidak menuju nol. Dengan kata lain:

Jika maka deret divergen

Contoh 3:

Tentukan konvergensi deret 1 + 4 + 16 +... (menggunakan uji pendahuluan)

Jawab: dari contoh 1 kita dapatkan ɑn = n2 mx

ɑn = n2 =

Demikian deret divergen (seperti contoh 1 )

Contoh 4: tentukan deret konvergen

1 + +

Jawab : suku ke- n deret tersebut adalah ɑn = sehingga

ɑn =

Maka deret apa...?

Ingat, uji pendahuluan hingga dapat menyimpulkan

Jika ɑn dan tidak mengatakan apa-apa

Jika ɑn = 0karena itu diperlukan cara pengujian yang lain

uji integral:

menyatakan

deret konvergen jika berhingga berhingga dan divergen jika tak

hingga =

CS 5. Tentukan konvergensi deret

Jawab : suku ke n deret

,u=

=

Disimpulkan diret divergen

CS 6 Tentukan konvergen deret pada contoh 4 menggunakan uji integral

Jawab: Suku an=

= ln

=

Divegen

CS 7 : Tentukan konvergen deret

Jawab :

Uji integral tidak bisa menentukan konvergensi deret tersebut kita selidiki

dengan uji pendahuluan

Kedua uji tersebut tidak dapat menetukan konvergensi

Sehingga perlu uji yang lain

Uji banding (the comparison test)

Dalam uji banding terdapar dua deret yaitu :

1.Deret yang akan di tentukan konvergensinya :

2.Deret yang diketahui konvergensinya:

Uji banding menyatakan :

Jika konvergen dan

Jika divergen dan

Jika yang tersebut adalah kebalikan dari keduanya maka uji banding tidak dapat

memberikan kesimpulan apa – apa.

CS 8 Selidiki konvergensi deret pada contoh 7 dengan uji banding

..............................................

Dari soal contoh 7:

...............................

Untuk n berlaku ln n < n atau

Karena divergen maka divergen

CS 9 : tentukan konvergen deret persamaan (6 (ii))

Jawab: uji banding: kesulitan mencari pembandingya

Uji integral: tidak sederhana (integral no simple)

Uji pendahuluan : memberikan dn = 0 tidak dapat ditentukan penentukan

konvergennya.

Misalkan adalah perbandingan atau rasio antara suku ke (n+1) dan suku ke-

n

dan untuk n besar 5 elkah

Jika :

deret konvergen

konvergen tidak diketahui

deret divergen

CS 10: tentukan konvergensi deret (contoh 9)

Jawab: suku ke (n+1) dan ke n deret diatas:

Sehingga

Demikian deret

CS.11: tentukan konvergensi deret:

Jawab:

Karena deret tersebut konvergen

Contoh-contoh diatas di bahas deret dengan suku positif

Now

Deret bolak-balik (alternating series)

(8)

(9)

Uji konvergensi bolak-balik dilakukan sebagai berikkut:

Deret bolak-balik konvergen jika < dan

Tentukan konvergen deret

Jelas bahwa

Jadi deret konvergen tetapi deret positifnya divergen, deret seperti ini disebut deret konvergen

bersyarat. Jika keduanya (+,-) konvergen maka disebut konvergen mutlak.

Deret Pangkat

Dua deret pertama pada persamaan (6)

i.

ii.

iii.

Ditulis

(10)

Perhatikan contoh dereet berikut:

a.

b.

c.

Seperti masalah sebelumnya tentang konvergen deret. Karena deret pangkat

diekspansi dlam variabel x, persoalannya penentuan selang konvergensi (dengan uji

rasio)

Tentukan selang konvergensi deret:

Jawab: suku ke n deret bersangkutan adalah:

Maka

Dan

Deret akan konvergen jika

Selang konvergen:

Telah selidiki

Konvergen

X=-1 deret menjadi

PR

Tentukan daerah konvergen deret:

Deret Fungsi

Bahas fungsi

Misal

F (x)= cos x ...................................................(I)

Punya ekspansi

Cos x=

Langkah ke dua tentukan koefisien .........................(II)

(if x=0, ruas kiri ke kanan

Kedua suku di differensialkan, diperoleh

Pada x=0 kedua suku terdeferensiasi

Didefferensialkan lagi

f”

Diperoleh

Pada x=0 -1=

Differensial lebih lanjut x=0

Diperoleh

0=5.4.3.2

Secara umum

Demikian

X=0

......................(12)

Prosedur diatas digeneralisasi sebagai berikut

fungsi f(x) diekspansi sekitar x=0

F (x)=f (0)+ f’(x)

disebut deret Maclaurin, mirip bentuk khusus dari deret

Taylor

......................................(13)

Nyatakan funsi ex dalam deret

Jawab: pada x=0 , e0=1

Karena ......................................(x)

Maka

............................................(xx)

Substitusi (x) => (xx) ke dalam persamaan 12

Karena itu cos x konvergen untuk semua x

Beberapa fungsi dasar dalam bentuk cuspansi deret

untuk semua

untuk semua

untuk semua

untuk -1

untuk -1 <x

Deret binomial, q mirip bilangan real (+,-)

CS 16.

Benda bermassa m diikat tali sepanjang l dan ditahan gaya F untuk. Tentukan gaya

perbandingan untuk dalam ekspansi

Jawab:

F=T sin

W= T cos

Dengan q=

Demikian:

Pemakaian kompensasi numerik

Solusi aproksmasi, semakin dekat aproksmasi dan sesungguhnya

makin absah solusi tersebut

tapi

solusi eksak tidak diketahui keabsahannya

maka

solusi aproksmasi bersifat terkaan

untuk itu perlu

konsep “nilai sisa” Rn(x) sebagai selisih antara nilai sesungguhnya fungsi dan jumlah

dari n+1 suku dari deret tayllor fungsi :

.........................(15)

Untuk deret konvergen

Nilai sisa Rn(x) diatas diberikan oleh:

Misal suku dalam kurung kanan persamaan (15)adalah Pn (x) maka

................(17a)

.

...............(17b)

Jika Pn (x) dipakai untuk menaksir f(x) dengan kesalahan atas taksiran tersebut adalah

CS. 17

Hitung cos 33,60 dalam deret seperti suku ke-4 dan taksir pula kesalahannya.

Jawab: uraian deret Taylor cos x sampai suku ke-4

Ambil b=300 maka x-b=

Cos 33,60=cos 300

Kesalahan taksiran R1 (33,60) R2 (22,60)=