Catatan Kuliah :

Fisika Matematika I

Muhammad Fauzi Mustamin

𝛁

\𝒊𝒏𝒇𝒕𝒚 press

2015

Muhammad Fauzi Mustamin

Catatan Kuliah: Fisika Matematika 1

Edisi Pertama

\𝑖𝑛𝑓𝑡𝑦 press ©2015

KATA PENGANTAR

Ilmu Fisika merupakan ilmu mendasar dengan tujuan mendeskripsikan bagaimana alam semesta

bekerja. Berbagai fenomena alam kemudian diformulasikan ke dalam Matematika untuk mencari

tahu deskripsi tersebut secara terperinci. Hasil perincian ini kemudian dikembangkan menjadi

berbagai bidang keteknikan yang memfokuskan pada salah satu cabang ilmu Fisika. Bahkan

penjabaran ilmu Fisika tidak jarang diterapkan dalam pemecahan masalah-masalah sosial-politik.

Buku ini merupakan kumpulan catatan kuliah saat mengikuti mata kuliah Fisika Matematika I di

program studi Fisika, Universitas Hasanuddin. Terinspirasi dari hadits Rasulullah, “Ikatlah ilmu

dengan menuliskannya”, saya memulai sedikit demi sedikit menuliskan bahan perkuliahan.

Setelah satu tahun berlalu, buku ini akhirnya bisa saya rampungkan meskipun masih jauh dari

kata sempurna untuk menjelaskan luasnya samudera Fisika Matematika.

Kepada dosen-dosen pengajar; Prof. Wira Bahari Nurdin dan Dr. Tasrief Surungan, serta teman-

teman sekelas pada mata kuliah Fisika Matematika semester ganjil 2014, saya mengucapkan

banyak terimakasih atas berbagai inspirasi saat perkuliahan.

Bagi teman-teman, para pembaca sekalian, saran dan feedback selalu dinanti di

muhammadfauzim@gmail.com.

Makassar, September 2015

Muhammad Fauzi Mustamin

DAFTAR ISI

1. Kalkulus Vektor .........................................................................................................................1

1.1 Diferensial Vektor ..................................................................................................................1

1.2 Integral Vektor .......................................................................................................................2

1.3 Kurva Ruang ..........................................................................................................................3

1.4 Operasi Vektor .......................................................................................................................5

1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola .....................................................................................8

1.6 Integral Kalkulus ..................................................................................................................11

2. Deret ..........................................................................................................................................15

2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen ..................................................................................15

2.2 Uji Konvergen Suatu Deret ..................................................................................................15

2.3 Deret Selang Seling ..............................................................................................................17

2.4 Deret Pangkat .......................................................................................................................18

2.5 Deret Taylor .........................................................................................................................18

3. Bilangan Kompleks ..................................................................................................................21

3.1 Dasar Bilangan Kompleks ....................................................................................................21

3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks ...........................................................................................22

3.3 Representasi Polar ................................................................................................................25

3.4 Teorema de Moivre ..............................................................................................................26

3.5 Fungsi Hiperbolik .................................................................................................................28

4. Deret Fourier ............................................................................................................................30

4.1 Kondisi Dirichlet ..................................................................................................................30

4.2 Koefisien Fourier ..................................................................................................................31

4.3 Fungsi Diskontinu ................................................................................................................32

4.4 Fungsi Non-Periodik ............................................................................................................32

4.5 Deret Fourier Kompleks .......................................................................................................33

4.6 Teorema Parseval .................................................................................................................34

5. Transformasi Fourier ..............................................................................................................35

5.1 Pengantar Transformasi Fourier ...........................................................................................35

5.2 Fungsi Delta Dirac (𝛿) .........................................................................................................36

5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap ..........................................................................................38

6. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................................................39

6.1 Persamaan Diferensial Orde I...............................................................................................39

6.2 Persamaan Diferensial Orde II .............................................................................................42

7. Transformasi Laplace ..............................................................................................................48

7.1 Definisi .................................................................................................................................48

7.2 Fungsi Elementer ..................................................................................................................48

7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace ..................................................50

7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial ..............................................................51

Daftar Pustaka .............................................................................................................................54

1

1. KALKULUS VEKTOR

Sebagaimana diketahui bersama, kalkulus merupakan alat yang sangat penting dalam

pendeskripsian berbagai kuantitas fisis. Pada tingkatan sekolah menengah tentu telah

diperkenalkan dasar dari kalkulus; diferensial, integral, dan berbagai materi berkaitan dengan hal

tersebut. Perbedaan mendasar dari kalkulus pada kuantitas skalar, kalkulus vektor, sesuai

namanya, mengolah berbagai vektor dengan menggunakan prinsip kalkulus. Hal ini mengingat

banyaknya kuantitas fisis berupa vektor, misalnya sebaran medan magnet pada sebuah muatan

listrik, kecepatan alir fluida, dan masih banyak lagi fenomena alam lain yang dalam

pendeskripsiannya menggunakan kalkulus vektor.

1.1 Diferensial Vektor

Misalkan sebuah vektor 𝐚 yang terdiri dari fungsi skalar dengan variabel 𝑢. Kita dapat

menuliskan vektor tersebut sebagai 𝐚(𝑢). Misalnya pada kordinat kartesian, 𝐚(𝑢) = 𝑎𝑥(𝑢)𝐢 +

𝑎𝑦(𝑢)𝐣 + 𝑎𝑧(𝑢)𝐤.

Perubahan kecil pada vektor 𝐚(𝑢) menghasilkan perubahan ∆𝑢 sehingga ∆𝑎 = 𝑎(𝑢 + ∆𝑢) −

𝑎(𝑢). Diferensial dari 𝐚(𝑢) terhadap 𝑢 didefinisikan :

𝑑𝐚

𝑑𝑢= 𝑙𝑖𝑚

∆𝑢→0

𝐚(𝑢 + ∆𝑢) − 𝐚(𝑢)

∆𝑢 (𝟏. 𝟏)

Gambar 1.1 Skema diferensial vektor.

2

Pada kordinat kartesian, diferensial vektor (𝑢) = 𝑎𝑥(𝑢)𝐢 + 𝑎𝑦(𝑢)𝐣 + 𝑎𝑧(𝑢)𝐤 :

𝑑𝐚

𝑑𝑢=

𝑑𝑎𝑥

𝑑𝑢�̂� +

𝑎𝑦

𝑑𝑢�̂� +

𝑎𝑧

𝑑𝑢�̂� (𝟏. 𝟐)

Pada vektor komposit, setiap vektor atau skalar dapat berupa fungsi dari variabel 𝑢. Dengan

mengasumsikan 𝐚 dan 𝐛 adalah vektor terdiferensiasi terhadap skalar 𝑢 dan bahwa 𝜙 adalah

fungsi skalar terdiferensiasi terhadap 𝑢 :

𝑑

𝑑𝑢(𝜙𝐚) = 𝜙

𝑑𝐚

𝑑𝑢+

𝑑𝜙

𝑑𝑢𝐚 (𝟏. 𝟑𝐚)

𝑑

𝑑𝑢(𝐚 ∙ 𝐛) = 𝐚 ∙

𝑑𝐛

𝑑𝑢+

𝑑𝐚

𝑑𝑢∙ 𝐛 (𝟏. 𝟑𝐛)

𝑑

𝑑𝑢(𝐚 × 𝐛) = 𝐚 ×

𝑑𝐛

𝑑𝑢+

𝑑𝐚

𝑑𝑢× 𝐛 (𝟏. 𝟑𝐜)

Dari persamaan (1.1), dapat dilihat saat ∆𝑢 → 0, perubahannya terhadap 𝑎 akan sangat kecil.

Sehingga diperoleh persamaan :

𝑑𝐚 =𝑑𝐚

𝑑𝑢𝑑𝑢 (𝟏. 𝟒)

Sebagai pemisalan adalah perubahan yang sangat kecil dari vektor posisi sebuah partikel pada

selang waktu :

𝑑𝐫 =𝑑𝐫

𝑑𝑡𝑑𝑡 = 𝐯𝑑𝑡

Dengan 𝐯 adalah kecepatan partikel.

1.2 Integral Vektor

Kita ketahui bahwa intgerasi merupakan invers dari diferensiasi. Beberapa poin penting dalam

integrasi :

(i) Integral dari vektor atau skalar memiliki perlakuan yang sama dengan integral biasa.

(ii) Tetapan dari integrasi haruslah sama dengan sifat alami integral.

3

Misalnya, jika 𝐚(𝑢) = 𝑑 [𝐀(𝑢)] 𝑑𝑢⁄ menghasilkan integral (𝑢) :

∫ 𝐚(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐀(𝑢) + 𝐛 (𝟏. 𝟓)

Dimana 𝐛 adalah konstanta vektor. Jika ditetapkan batas dari 𝑢 = 𝑢1 sampai = 𝑢2 :

∫ 𝐚(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐀(𝑢2) + 𝐀(𝑢1)𝑢1

𝑢2

(𝟏. 𝟔)

1.3 Kurva Ruang

Sebuah kurva 𝐶 pada ruang dapat dideskripsikan dengan vektor 𝐫(𝑢) terhubung dengan titik

awal 𝑂 dari sebuah sistem kordinat menuju sebuah titik pada kurva. Karena variasi 𝑢, vektor

tersebut akan terus bergerak sepanjang kurva. Pada kordinat kartesian :

𝐫(𝑢) = 𝑥(𝑢)𝐢 + 𝑦(𝑢)𝐣 + 𝑧(𝑢)𝐤 (𝟏. 𝟕)

Dengan 𝑥 = 𝑥(𝑢), 𝑦 = 𝑦(𝑢),dan 𝑧 = 𝑧(𝑢) merupakan persamaan parameter dari kurva tersebut.

Gambar 1.2 Tangen satuan �̂�, normal �̂� dan binormal �̂� terhadap kurva 𝐶 pada titik 𝑃.

Kurva ruang juga dapat direpresentasikan dengan 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑧 = 𝑔(𝑥), yang dapat dikonversei

seperti persamaan parameter :

𝐫(𝑢) = 𝑢𝐢 + 𝑓(𝑢)𝐣 + 𝑔(𝑢)𝐤 (𝟏. 𝟖)

4

Sebuah kurva terkadang dideskripsikan dengan formasi parametrik dengan vektor 𝐫(𝑠), dimana

parameter 𝑠 adalah panjang garis sepanjang kurva diukur dari titik tetap. Untuk kurva yang

dideskripsikan dengan 𝐫(𝑢), perubahan vektor yang sangat kecil :

𝑑𝐫 = 𝑑𝑥𝐢 + 𝑑𝑦𝐣 + 𝑑𝑧𝐤 (𝟏. 𝟗)

Hasil kuadratnya memberikan :

(𝑑𝑠)2 = 𝑑𝐫. 𝑑𝐫 = (𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2 + (𝑑𝑧)2

Sehingga didapatkan :

(𝑑𝑠

𝑑𝑢)

2

=𝑑𝐫

𝑑𝑢.𝑑𝐫

𝑑𝑢

yang dapat diformasi ulang menjadi jarak antara dua titik pada kurva 𝐫(𝑢), dengan 𝑢 = 𝑢1 dan

𝑢 = 𝑢2 :

𝑠 = ∫ √𝑑𝐫

𝑑𝑢.𝑑𝐫

𝑑𝑢

𝑢1

𝑢2

𝑑𝑢 (𝟏. 𝟏𝟎)

Jika kurva 𝐶 dideskrippsikan dengan 𝐫(𝑢), pada setiap titik di kurva terebut, 𝑑 𝐫 𝑑𝑢⁄ merupakan

seuah tangen vektor dari 𝐶 pada titik tersebut, dengan arah 𝑢 meningkat. Pada kasus khusus

dimana parameter 𝑢 adalah panjang 𝑠 sepanjang kurva, 𝑑 𝐫 𝑑𝑠⁄ adalah satuan vektor tangen dari

𝐶 dan dinotasikan �̂�.

Vektor satuan �̂� = �̂� × �̂�, tegak lurus terhadap permukaan datar �̂� dan �̂� disebut sebagai binormal

terhadap 𝐶. Vektor �̂�, �̂�, dan �̂� membentuk sistem kordinat kartesian tangan-kanan pada setiap

titik di 𝐶.

Secara ringkas, �̂�, t̂, dan �̂� serta diferensiasinya terhadap 𝑠 saling berhubungan, hubungan ini

disebut juga dengan formula Frenet-Serret :

𝑑�̂�

𝑑𝑠= 𝜅�̂�,

𝑑�̂�

𝑑𝑠= 𝜏�̂� − 𝜅�̂�,

𝑑�̂�

𝑑𝑠= −𝜏�̂� (𝟏. 𝟏𝟏)

5

1.4 Operator Vektor

Proses diferensiasi dapat dilakukan pada medan skalar dan medan vektor yang memiliki aplikasi

sangat luas dalam dunia fisika. Medan skalar secara sederhana dapat diperhatikan pada tekanan

dalam fluida dan potensial elektrostatis akibat adanya sebuah muatan listrik. Adapun medan

vektor berhubungan dengan hal tersebut adalah kecepatan vektor dalam fluida serta medan

listrik.

Dalam penjabaran tersebut diperlukan operator vektor. Operator terpenting penerapannya adalah

mencari gradien dari medan skalar serta mencari divergen dan curl dari medan vektor. Operator

ini menggunakan konsep diferensiasi. Operator vektor 𝛁 atau sering disebut del atau nabla

memiliki peran sentral pada pembahasan ketiga operator vektor tersebut. Pada kordinat kartesian

didefinisikan :

𝛁 ≡ 𝐢𝜕

𝜕𝑥+ 𝐣

𝜕

𝜕𝑦+ 𝐤

𝜕

𝜕𝑧 (𝟏. 𝟏𝟐)

Penjabaran selanjutnya memfokuskan pada sifat matematis dari operator vektor tersebut.

1.4.1 Gradien sebuah Medan Skalar

Gradien dari medan skalar 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) didefinisikan :

grad 𝜙 = 𝛁𝜙 = 𝐢𝜕𝜙

𝜕𝑥+ 𝐣

𝜕𝜙

𝜕𝑦+ 𝐤

𝜕𝜙

𝜕𝑧 (𝟏. 𝟏𝟑)

Secara matematis, grad 𝜙 merupakan medan vektor yang setiap komponennya diturunkan satu

kali secara parsial terhadap 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧).

Secara umum, perubahan 𝜙 terhadap jarak 𝑠 pada arah :

𝑑𝜙

𝑑𝑠= 𝛁𝜙. �̂� (𝟏. 𝟏𝟒)

yang disebut sebagai turunan berarah.

Dapat dilihat bahwa

𝑑𝜙

𝑑𝑠= |𝛁𝜙|𝑐𝑜𝑠𝜃

6

dengan 𝜃 merupakan sudut antara vektor �̂� dan 𝛁𝜙 yang ditunjukkan pada gambar 1.3.

Gambar 1.3 Sifat geometri 𝛁𝜙, 𝑃𝑄 merupakan nilai 𝑑𝜙/𝑑𝑠 pada arah �̂�.

Sifat menarik lain, 𝛁𝜙 merupakan vektor normal pada permukaan 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐 pada setiap

titik, seperti ditunjukkan pada gambar 1.3. Jika �̂� normal satuan permukaan dengan arah

𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) meningkat, maka gradien juga sering dituliskan

𝛁𝜙 ≡𝜕𝜙

𝜕𝑛�̂� (𝟏. 𝟏𝟓)

dimana 𝜕𝜙

𝜕𝑛≡ |𝛁𝜙| adalah perubahan 𝜙 pada arah �̂� dan disebut sebagai turunan normal.

1.4.2 Divergen

Secara sederhana, divergen dapat dianggap sebagai kuantitas pengukuran dari seberapa banyak

medan vektor menyebar (divergen) atau menyusut (konvergen) pada sebuah titik.

Divergen dari medan vektor 𝐚(𝑥, 𝑦, 𝑧) didefinisikan :

div 𝐚 = 𝛁. 𝐚 =𝜕𝑎𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑎𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑎𝑧

𝜕𝑧 (𝟏. 𝟏𝟔)

dimana 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 dan 𝑎𝑧 merupakan komponen dari vektor 𝐚. Jelas terlihat bahwa 𝛁. 𝐚

menghasilkan sebuah medan skalar.

7

Selanjutnya, jika suatu medan vektor 𝐚 merupakan diferensiasi dari medan skalar, 𝐚 = 𝛁𝜙, maka

𝛁. 𝐚 akan membentuk 𝛁. 𝛁𝜙 atau 𝛁2𝜙, dimana

𝛁2 ≡𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2 (𝟏. 𝟏𝟕)

yang disebut Laplacian dan muncul pada persamaan diferensial parsial.

1.4.3 Curl

Curl dari sebuah medan vektor 𝐚(𝑥, 𝑦, 𝑧) didefinisikan :

curl 𝐚 = 𝛁 × 𝐚 = (𝜕𝑎𝑧

𝜕𝑦−

𝜕𝑎𝑦

𝜕𝑧) 𝐢 + (

𝜕𝑎𝑥

𝜕𝑧−

𝜕𝑎𝑧

𝜕𝑥) 𝐣 + (

𝜕𝑎𝑦

𝜕𝑥−

𝜕𝑎𝑥

𝜕𝑦) 𝐳 (𝟏. 𝟏𝟖)

dimana 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 dan 𝑎𝑧 merupakan komponen dari vektor 𝐚. Hasil dari sisi sebelah kanan

persamaan tersebut didapatkan dari proses determinan :

𝛁 × 𝐚 = ||

𝐢 𝐣 𝐤𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧

|| (𝟏. 𝟏𝟗)

Untuk medan vektor 𝐯(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang mendeskripsikan kecepatan lokal pada setiap titik di dalam

sebuah fluida, 𝛁 × 𝐯 adalah pengukuran kecepatan sudut dari fuida pada daerah sekitar titik

tersebut. Jika sebuah kincir air kecil ditempatkan di dalam fluida tersebut, maka kincirnya akan

berotasi pada daerah 𝛁 × 𝐯 ≠ 𝟎, sementara kincirnya tidak akan berotasi pada daerah 𝛁 × 𝐯 = 𝟎.

Sebagai rangkuman hasil kombinasi dari ketiga operator vektor, tabel 1.1 menyajikan hal

tersebut.

Tabel 1.1 Rangkuman kombinasi operator vektor

8

1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola

Pendeskripsian fenomena fisis tidak hanya diekspresikan dalam kordinat kartesian. Dalam

berbagai situasi, kordinat sistem lain lebih mendasar, seperti kordinat silinder dan kordinat bola.

Seperti fluida dalam pipa pendeskripsiannya lebih alami menggunakan kordinat silinder, ataupun

muatan listrik dalam ruang pendeskripsiannya lebih alami dengan kordinat bola.

1.5.1 Kordinat Silinder

Posisi titik 𝑃 pada kordinat kartesian 𝑥, 𝑦, 𝑧 dapat diekspresikan dalam kordinat silinder 𝜌, 𝜙, 𝑧

seperti terlihat pada gambar 1.5, dimana :

𝑥 = 𝜌 cos 𝜙 , 𝑦 = 𝜌 sin 𝜙 , 𝑧 = 𝑧 (𝟏. 𝟐𝟎)

Gambar 1.4 Kordinat silinder 𝜌, 𝜙, 𝑧

dan 𝜌 ≥ 0, 0 ≤ 𝜙 < 2𝜋 dan − ∞ < 𝑧 < ∞. Posisi vektor dari titik 𝑃 kemudian dapat ditulis

𝐫 = 𝜌 cos 𝜙 𝐢 + 𝜌 sin 𝜙 𝐣 + 𝑧 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟏)

dimana, dengan melakukan diferensial parsial 𝐫 terhadap 𝜌, 𝜙 dan 𝑧 lalu membagi dengan setiap

modulusnya didapatkan vektor pada kordinat silinder

�̂�𝜌 = 𝐞𝜌 = cos 𝜙 𝐢 + sin 𝜙 𝐣 (𝟏. 𝟐𝟐𝐚)

�̂�𝜙 =1

𝜌𝐞𝜙 = − sin 𝜙 𝐢 + cos 𝜙 𝐣 (𝟏. 𝟐𝟐𝐛)

�̂�𝑧 = 𝐞𝑧 = 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟐𝐜)

9

Perpindahan sangat kecil 𝑑𝐫 dari titik 𝑃 memenuhi

𝑑𝐫 =𝜕𝐫

𝜕𝜌𝑑𝜌 +

𝜕𝐫

𝜕𝜙𝑑𝜙 +

𝜕𝐫

𝜕𝑧𝑑𝑧

= 𝑑𝜌�̂�𝜌 + 𝜌𝑑𝜙�̂�𝜙 + 𝑑𝑧�̂�𝑧 (𝟏. 𝟐𝟑)

Elemen volume dari kodinat silinder diperoeh dengan mengkalkulasi bidang paralelipiped sangat

kecil, didefinisikan oleh vektor 𝑑𝜌�̂�𝜌, 𝜌𝑑𝜙�̂�𝜙 dan 𝑑𝑧�̂�𝑧:

𝑑𝑉 = |𝑑𝜌�̂�𝜌 ∙ (𝜌𝑑𝜙�̂�𝜙 × 𝑑𝑧�̂�𝑧)| = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 (𝟏. 𝟐𝟒)

Gambar 1.5 Elemen volume kordinat silinder

Perubahan kordinat ini juga memengaruhi operator vektor. Tabel 1.2 merangkum operator vektor

dalam kordinat silinder.

Tabel 1.2 Opertor vektor dalam kordinat silinder

10

1.5.2 Kordinat Bola

Posisi titik 𝑃 dalam kordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙 dapat diamati pada gamba 1.6, dimana

𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 , 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 (𝟏. 𝟐𝟓)

Gambar 1.6 Kordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙

dengan 𝑟 ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 dan 0 ≤ 𝜙 < 2𝜋. Posisi vektor 𝑃 dapat dituliskan sebagai

𝐫 = 𝑟 sin 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙𝐢 + 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 𝐣 + 𝑟 cos 𝜃 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟔)

Vektor satuannya, kembali dapat ditelusuri dengan melakukan diferensial parsial terhadap

𝑟, 𝜃, dan 𝜙, lalu membaginya dengan modulus tiap vektor

�̂�𝑟 = sin 𝜃 cos 𝜙 𝐢 + sin 𝜃 sin 𝜙 𝐣 + cos 𝜃 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟕𝐚)

�̂�𝜃 = cos 𝜃 cos 𝜙 𝐢 + cos 𝜃 sin 𝜙 𝐣 − sin 𝜃 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟕𝐛)

�̂�𝜙 = − sin 𝜙 𝐢 + cos 𝜙 𝐣 (𝟏. 𝟐𝟕𝐜)

Perpindahan sangat kecil vektor tersebut pada kordinat bola

𝑑𝐫 = 𝑑𝑟�̂�𝑟 + 𝑟𝑑𝜃�̂�𝜃 + 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙�̂�𝜙 (𝟏. 𝟐𝟖)

Elemen volume pada kordinat bola merupakan volume dari paralelipiped sangat kecil yang

memenuhi

𝑑𝑉 = |𝑑𝑟�̂�𝑟 ∙ (𝑟𝑑𝜃�̂�𝜃 × 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙�̂�𝜙)| = 𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 (𝟏. 𝟐𝟗)

11

Gambar 1.7 Elemen volume kordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙

Perubahan kordinat ini tentu juga memengaruhi perubahan operator vektor. Tabel 1.3

merangkum perubahan operator vektor untuk kordinat bola.

Tabel 1.3 Operator vektor pada kordinat bola, dengan Φ medan skalar dan 𝐚 medan vektor.

1.6 Integral Kalkulus

1.6.1 Integral Garis

Integral garis secara umum memiliki persamaan

∫ 𝐚 ∙ 𝑑𝐫𝑏

𝑎

(𝟏. 𝟑𝟎)

12

Gambar 1.8 Visualisasi integral garis

dimana 𝐚 merepresentasikan fungsi vektor dan 𝑑𝐫 adalah vektor perpindahan untuk elemen kecil,

dengan integralnya dilakukan sepanjang titik 𝑎 sampai titik 𝑏. Saat integrasinya dilakukan untuk

lintasan tertutup, 𝑎 = 𝑏, maka bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai integral tertutup

∮ 𝐚. 𝑑𝐫 (𝟏. 𝟑𝟏)

Esensi dari integral garis ini, kita melakukan perkalian skalar vektor dari 𝐚 dengan vektor

perpindahan elemen kecil 𝑑𝐫 sepanjang lintasan. Bagi fisikawan, bentuk paling sering dijumpai

adalah integral garis persamaan kerja oleh sebuah gaya, 𝑊 = ∫ 𝐅. 𝑑𝐫.

Integral garis untuk beberapa kasus memiliki keunikan, dimana integral garis antara dua titik

tidak bergantung pada lintasan yang dilalui. Medan vektor dengan karakteristik tersebut disebut

konservatif. Sebuah vektor 𝐚 dengan diferensial parsial berhubungan pada daerah 𝑅 dikatakan

konservatif jika dan hanya jika memenuhi beberapa syarat berikut.

(i) Integral ∫ 𝐚 ∙ 𝑑𝐫𝐵

𝐴, dengan 𝐴 dan 𝐵 berada pada daerah 𝑅, tidak bergantung pada

lintasan 𝐴 ke 𝐵. Dapat dikatakan bahwa ∮ 𝐚 ∙ 𝑑𝐫 pada lintasan tertutup adalah nol.

(ii) Terdapat fungsi nilai tunggal 𝜙 dari posisi, dimana 𝐚 = 𝛁𝜙.

(iii) 𝛁 × 𝐚 = 0.

(iv) 𝐚 ∙ 𝑑𝐫 merupakan diferensial eksak.

Kasus lain terjadi untuk menghubungkan integral garis dan integral bidang. Integral garisnya

dapat dihubungkan dengan luas daerah cakupan dengan menggunakan teorema Green untuk

bidang memenuhi

13

∮ (𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦)

𝐶

= ∬ (𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦)

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦 (𝟏. 𝟑𝟐)

terlihat hubungan integral garis sepanjang lintasan 𝐶 terhadap integral lipat dua dengan luas 𝑅.

1.6.2 Integral Permukaan

Integral permukaan secara umum memiliki persamaan

∫ 𝐚. 𝑑𝐒

𝑆

(𝟏. 𝟑𝟑)

Gambar 1.9 Visualisasi integral permukaan

dimana 𝐚 merupakan fungsi vektor dan 𝑑𝐒 merupakan elemen kecil luas, dengan arah tegak lurus

dengan permukaan. Saat permukaannya tertutup, maka persamaannya dapat dituliskan sebagai

integral tertutup

∮ 𝐚. 𝑑𝐒 (𝟏. 𝟑𝟒)

Jika 𝐚 mendeskripsikan aliran fluida (massa persatuan luas persatuan waktu), maka ∫ 𝐚 ∙ 𝑑𝐒

merepresentasikan massa total persatuan waktu yang melewati permukaan atau lebih sering

disebut sebagai flux.

Lebih detail, elemen luas dapat dituliskan

𝑑𝐒 = �̂�𝑑𝑆 (𝟏. 𝟑𝟓)

dimana �̂� merupakan normal satuan permukaan.

14

1.6.3 Integral Volume

Integral volume memiliki persamaan umum

∫ 𝜙 𝑑𝑉

𝑉

(𝟏. 𝟑𝟔)

dengan 𝜙 fungsi skalar dan 𝑑𝑉 elemen volume kecil, dimana untuk kordinat kartesian 𝑑𝑉 =

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧.

Misalnya 𝑇 adalah densitas suatu bahan, maka ∫ 𝑇𝑑𝜏 merepresentasikan massa total.

1.6.4 Teorema Divergence

Teorema divergence menghubungkan flux total dari medan vektor yang menyebar dari

permukaan tertutup 𝑆 menuju integrasi divergence dari medan vektor volume tertutup 𝑉.

Ungkapan matematis dari teorema divergence memenuhi

∫ 𝛁 ∙ 𝐚 𝑑𝑉

𝑉

= ∮ 𝐚.

𝑆

𝑑𝑺 (𝟏. 𝟑𝟕)

1.6.5 Teorema Stokes

Teorema Stokes menghubungkan integral dari curl dari medan vektor sepanjang sebuah

permukaan terbuka 𝑆 dengan integral garis dari medan vektor sekitar lintasan 𝐶 yang

menghubungkan permukaan. Ungkapan matematis teorema Stokes memenuhi

∫ (𝛁 × 𝐚)

𝑆

∙ 𝑑𝐒 = ∮ 𝐚 ∙ 𝑑𝐫

𝑪

(𝟏. 𝟑𝟖)

15

2. DERET

Banyak situasi fisika yang kita sajikan dalam bentuk deret. Sebuah deret dapat berupa

penjumlahan berhingga ataupun penjumlahan tak hingga dari sekumpulan angka. Secara umum,

penjumlahan dari 𝑁 bagian dari sebuah deret dapat ditulis :

𝑆𝑁 = ∑ 𝑢𝑛

𝑁

𝑛=1

= 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢𝑁 (𝟐. 𝟏)

Jenis deret berhingga, berarti nilai 𝑁 mencapai angka tertentu. Sedangkan untuk deret tak hingga

nilai 𝑁 = ∞. Dalam dunia fisika, banyak kejadian alam yang memenuhi konsep deret tak

berhingga. Atas dasar ini, pembahasan selanjutnya akan fokus pada deret tak hingga.

2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen

Dalam pembahasan deret untuk menganalisa keadaan fisis, perlu diperhatikan bahwa kita akan

menjumlahkan sekian banyak angka yang jumlahnya tak berhingga. Sesuai dengan persamaan

(2.1), karena deretnya tidak berhingga :

𝑆∞ = ∑ 𝑢𝑛

∞

𝑛=1

= 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢∞ (𝟐. 𝟐)

Atau juga dapat dicari engan menggunakan konsep limit :

𝑆 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑆𝑛 (𝟐. 𝟑)

Jika nilai 𝑆 menuju sebuah angka tertentu deretnya dikatakan deret konvergen. Sementara jika 𝑆

menuju ±∞, deretnya dikatakan sebagai deret divergen.

2.2 Uji Konvergen Suatu Deret

2.2.1 Nilai Mutlan dan Konvergensi Deret

Secara umum, deret tak hingga ∑ 𝑢𝑛 dapat memiliki bagian kompleks dan pada kasus khusus

terdiri dari nilai positif dan negatif. Untuk sebuah deret, kita dapat mengasumsikan deret lain

16

∑|𝑢𝑛| yang setiap bagiannya merupakan nilai absolut dari deret awal ∑ 𝑢𝑛 yang hendak dicari.

Setiap bagian dari deret mutak tersebut akan menghasilkan nilai positif.

Jika deret ∑|𝑢𝑛| konvergen, maka deret ∑ 𝑢𝑛 juga konvergen, dan ∑ 𝑢𝑛 dapat dikatakan sebagai

deret konvergen mutlak. Untuk deret konvergen mutlak, setiap bagiannya dapat disusun ulang

tanpa mempengaruhi konvergensi dari deret tersebut.

Jika deret ∑|𝑢𝑛| divergen namun deret ∑ 𝑢𝑛 konvergen, deretnya dikatakan konvergen

kondisional. Untuk deret konvergen kondisional, jika urutan bagiannya diubah, maka akan

berpengaruh pada deret semula, sehingga tidak jelas, apakah deretnya konvergen atau divergen.

2.2.2 Konvergensi Deret Positif

Deret positif merupakan deret yang semua bagiannya terdiri dari bilangan konstan positif. Untuk

meguji konvergensitas suatu deret positif, ada beberapa cara yang dapat dilakukan :

1. Uji Awal

Uji awal digunakan untuk mendeteksi apakah deret tersebut sudah pasti divergen. Untuk deret

∑ 𝑢𝑛 dikatakan konvergen jika hasilnya menuju nol saat 𝑛 menuju tak hingga.

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑢𝑛 = 0

Jika kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka deretnya sudah pasti divergen. Namun, meski telah

terpenuhi, deretnya juga bisa berupa deret divergen, sehingga membutuhkan pengujian yang lain

untuk membuktikan.

2. Uji Banding

Uji banding merupakan pengujian paling mendasar dalam menguji konvergensi suatu deret.

Misalkan kita memiliki dua deret, ∑ 𝑢𝑛 dan ∑ 𝑣𝑛 dan kita mengetahui bahwa salah satunya deret

konvergen. Sehingga jika setiap bagian 𝑢𝑛 pada deret awal kurang dari atau sama dengan bagian

dari deret 𝑣𝑛, untuk setiap 𝑛 yang lebih besar dari nilai tetap 𝑁 yang bisa bervariasi setiap deret,

deret awal ∑ 𝑢𝑛 juga merupakan deret konvergen.

Dengan kata lain, jika ∑ 𝑣𝑛 konvergen dan

𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛, untuk 𝑛 > 𝑁

17

Maka deret ∑ 𝑢𝑛 juga konvergen.

Namun jika ∑ 𝑣𝑛 divergen dan 𝑢𝑛 ≥ 𝑣𝑛 untuk setiap 𝑛 yang lebih besar untuk nilai tetap, maka

∑ 𝑢𝑛 merupakan deret divergen.

3. Uji Perbandingan d’Alembert

Jika sebuah deret ∑ 𝑢𝑛 dan didefinisikan :

𝜌 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

(𝑢𝑛+1

𝑢𝑛) (𝟐. 𝟒)

Berlaku hubungan, jika 𝜌 < 1 deretnya konvergen; jika 𝜌 > 1 deretnya divergen; jika 𝜌 = 1

maka deretnya bisa konvergen mapun divergen.

4. Uji Integral

Misalkan terdapat sebuah fungsi 𝑓(𝑥) yang secara monoton menurun sepanjang 𝑥 lebih besar

dari niali tetap 𝑥0 dan untuk 𝑓(𝑛) = 𝑢𝑛. Deret ∑ 𝑢𝑛 konvergen jika integral pembandingnya

berhingga :

∫ 𝑓(𝑥)∞

1

𝑑𝑥 (𝟐. 𝟓)

Namun jika integralnya tak hingga, maka deretnya dikatakan deret divergen.

2.3 Deret Selang Seling

Deret selang seling dapat ditulis sebagai :

∑(−1)𝑛+1𝑢𝑛

∞

𝑛=1

= 𝑢1 − 𝑢2 + 𝑢3 − 𝑢4 + 𝑢5 − ⋯ (𝟐. 𝟔)

Syarat deret selang-seling konvergen adalah

1. Limit dari harga mutlak suku 𝑢𝑛 adalah 0.

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

|𝑢𝑛| = 0

2. Deret selang-seling haruslah deret yang monoton turun untuk setiap suku mutlaknya.

18

|𝑎𝑛+1| < |𝑎𝑛|

Jika setiap suku dalam deret diambil harga mutlaknya, kita peroleh deret baru yang sema

bagiannya positif. Deret ini disebut deret mutlak, yang bisa bersifat konvergen ataupun divergen.

2.4 Deret Pangkat

Formasi umum dari deret pngkat adalah :

𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ (𝟐. 𝟕)

Dimana 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …. Meruakan konstanta. Deret tersebut secara umum sering muncul dalam

fisika dan sangat berguna, untuk |𝑥| < 1, bagian seanjutnya deret tersebt dapat menjadi sangat

kecil dan diabaikan.

Dengan menggunakan uji perbandingan d’Alembert, kita dapat melihat bahwa 𝑃(𝑥) konvergen

mutlak jika :

𝜌0 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛𝑥| = |𝑥| 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞|𝑎𝑛+1

𝑎𝑛| < 1

Atau dapat ditulis :

|𝑥| <1

𝜌 (𝟐. 𝟖)

Konvergensi dari 𝑃(𝑥) bergantung pada nilai 𝑥, dimana daerah 𝑥 bergantung pada nilai 𝜌.

1. Jika 𝜌 = 0, deretya konvergen untuk semua nilai 𝑥.

2. Jika 𝜌 = ∞, deretnya konvergen hanya untuk nilai 𝑥 = 0.

3. Jika −1 𝜌⁄ < 𝑥 < +1 𝜌⁄ , deretnya konvergen untuk daerah 𝑥 antara −1 𝜌⁄ sampai +1 𝜌⁄ .

2.5 Deret Taylor

Ekspansi Taylor merupakan alat yang sangat berguna untuk menjabarkan deret pangkat dari

sebuah fungsi. Dengan mengasumsikan fungsi 𝑓(𝑥) memiliki sebuah turunan ke-𝑛 yang kontinu

pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, kemudan mengintegralkanya sebanyak 𝑛 :

19

∫ 𝑓(𝑛)(𝑥1)𝑥

𝑎

𝑑𝑥1 = 𝑓(𝑛−1)(𝑥1)|𝑥𝑎

= 𝑓(𝑛−1)(𝑥) − 𝑓(𝑛−1)(𝑎)

∫ 𝑑𝑥2

𝑥

𝑎

∫ 𝑓(𝑛)(𝑥1)𝑥2

𝑎

𝑑𝑥1 = ∫ 𝑑𝑥2

𝑥

𝑎

[𝑓(𝑛−1)(𝑥2) − 𝑓(𝑛−1)(𝑎)]

= 𝑓(𝑛−2)(𝑥) − 𝑓(𝑛−2)(𝑎) − (𝑥 − 𝑎)𝑓(𝑛−1)(𝑎)

∫ 𝑑𝑥3

𝑥

𝑎

∫ 𝑑𝑥2

𝑥3

𝑎

∫ 𝑓(𝑛)(𝑥1)𝑥2

𝑎

𝑑𝑥1 = ∫ 𝑑𝑥3

𝑥

𝑎

[𝑓(𝑛−2)(𝑥3) − 𝑓(𝑛−2)(𝑎) − (𝑥 − 𝑎)𝑓(𝑛−1)(𝑎)]

= 𝑓(𝑛−3)(𝑥) − 𝑓(𝑛−3)(𝑎) − (𝑥 − 𝑎)𝑓(𝑛−2)(𝑎) −(𝑥 − 𝑎)2

2!𝑓(𝑛−1)(𝑎)

Dengan mengintegralkan sebanyak 𝑛 kali, didapatkan formasi :

∫ 𝑑𝑥𝑛

𝑥

𝑎

… ∫ 𝑓(𝑛)(𝑥1)𝑥2

𝑎

𝑑𝑥1

= 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) − (𝑥 − 𝑎)𝑓′(𝑎) −(𝑥 − 𝑎)2

2!𝑓′′(𝑎) − ⋯ −

(𝑥 − 𝑎)𝑛−1

(𝑛 − 1)!𝑓𝑛−1(𝑎)

Dengan melakukan pengurutan ulang, didapatkan nilai (𝑥) :

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎)𝑓′(𝑎) +(𝑥 − 𝑎)2

2!𝑓′′(𝑎) + ⋯ +

(𝑥 − 𝑎)𝑛−1

(𝑛 − 1)!𝑓𝑛−1(𝑎) + 𝑅𝑛 (𝟐. 𝟗)

Dimana 𝑅𝑛 merupakan pengintegralan 𝑛 kali :

𝑅𝑛 = ∫ 𝑑𝑥𝑛

𝑥

𝑎

… ∫ 𝑓(𝑛)(𝑥1)𝑥2

𝑎

𝑑𝑥1 (𝟐. 𝟏𝟎)

𝑅𝑛 dapat ditulis dengan menggunakan konsep integral kalkulus :

∫ 𝑔(𝑥)𝑥

𝑎

𝑑𝑥 = (𝑥 − 𝑎)𝑔(𝜉) (𝟐. 𝟏𝟏)

Dengan 𝑎 ≤ 𝜉 ≤ 𝑥. Dengan mengintegralkan 𝑛 kali, didapatkan suku sisa :

𝑅𝑛 =(𝑥 − 𝑎)𝑛

𝑛!𝑓(𝑛)(𝜉) (𝟐. 𝟏𝟐)

Saat fungsi 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑅𝑛 = 0, nilai 𝑓(𝑥) kemudian menjadi deret Taylor :

20

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎)𝑓′(𝑎) +(𝑥 − 𝑎)2

(𝑛 − 𝑎)!𝑓′′(𝑎) + ⋯ +

(𝑥 − 𝑎)𝑛−1

(𝑛 − 1)!𝑓𝑛−1(𝑎) (𝟐. 𝟏𝟑)

Atau disederhanakan menjadi :

𝑓(𝑥) = ∑(𝑥 − 𝑎)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

𝑓(𝑛)(𝑎) (𝟐. 𝟏𝟒)

Deret Taylor yang didapatkan mendefinisikan nilai fungsi pada titik 𝑥, yang merupakan bagian

dari nilai fungsi dan turunannya pada titik 𝑎. Ini merupaan ekspansi pangkat dari perubahan

variable, atau 𝑥 − 𝑎. Definisi ini dapat memperjelas deret Taylor dengan menggunakan formasi

alternative, menggantikan 𝑥 dengan 𝑥 + ℎ dan 𝑎 dengan :

𝑓(𝑥 + ℎ) = ∑ℎ𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

𝑓(𝑛)(𝑥) (𝟐. 𝟏𝟓)

Jika dipilih 𝑎 = 0, ekspansi Taylor di atas berubah menjadi ekspansi Mclaurin :

𝑓(𝑥) = ∑(𝑥)𝑛

𝑛!

∞

𝑛=0

𝑓(𝑛)(0) (𝟐. 𝟏𝟔)

21

3. BILANGAN KOMPLEKS

3.1 Dasar Bilangan Kompleks

Perhatikan persamaan kuadrat berikut :

𝑧2 − 4𝑧 + 5 = 0 (3.1)

Solusinya dapat dicari dengan menggunakan persamaan akar persamaan kuadrat :

𝑧1,2 = 2 ±√−4

2 (3.2)

Setiap persamaan kuadrat selalu memiliki dua solusi dan tentunya juga berlaku untuk persamaan

(3.2). Bagian kedua dari persamaan sebelah kanan disebut bagian 𝑖𝑚𝑎𝑗𝑖𝑛𝑒𝑟 karena memilii akar

dari sebuah bilangan negative, sementara bagian pertamanya disebut bagian 𝑟𝑖𝑙. Solusi totalnya

merupakan jumlah antara bagian ril dan bagian imajiner yang disebut dengan bilangan kompleks.

Fungsinya dapat dilihat dari gambar di bawah.

Gambar 3.1 Grafik persamaan kuadrat 𝑧2 − 4𝑧 + 5 = 0

Persamaan umum dari bilangan kompleks disimbolkan sebagai 𝑧, yang merupakan gabungan

dari bagian ril 𝑥 dan 𝑖 dikalikan bagian imajiner 𝑦 :

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑗 (3.3)

22

Dengan 𝑖 digunakan sebagai symbol dari akar -1. Bagian ril 𝑥 dinotasikan dengan ℜ𝑧 sementara

bagian imajiner 𝑦 dinotasikan sebagai ℑ𝑧.

Pada contoh di atas, √−4 = 2√−1 = 2𝑖, sehingga solusi yang kita dapatka adalah :

𝑧1,2 = 2 ±2𝑖

2= 2 ± 𝑖

Dengan 𝑥 = 2 dan 𝑦 = ±1.

Persamaan bilangan kompleks biasa ditulis dengan bentuk :

𝑧 = (𝑥, 𝑦)

Dimana komponen dari 𝑧 bisa umpamakan berada pada koordinat kartesian. Plot fungsi tersebut

disebut diagram Argand.

Gambar 3.2 Diagram Argand

3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks

3.2.1 Modulus, Argumen dan Konjugat Kompleks

Modulus dari bilangan kompleks 𝑧 dinotasikan sebagai |𝑧| dan didefinisikan :

|𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2 (3.4)

Sehingga modulus dapat diartikan sebagai jarak sebuah titik dar titik pada diagram Argand.

Argumen dari bilangan kompleks 𝑧 dinotasikan dengan arg 𝑧 dan didefinisikan :

23

arg 𝑧 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑦

𝑥) (3.5)

Dapat pula dilihat bahwa arg 𝑧 adalah sudut yang menghubungan titik asal sampai 𝑧 pada

diagram Argand dengan sumbu-𝑥 positif. Menurut hasil konvensi, arah berlawanan jarum jam

adalah positif.

Gambar 3.3 Representasi modulus dan arg bilangan kompleks 𝑧

Sementara konjugat kompleks, didenotasikan sebagai 𝑧∗, dimana jika 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka 𝑧∗ =

𝑥 − 𝑖𝑦. Secara umum, konjugat kompleks 𝑧 adalah nilai yang sama dengan besar 𝑧 yang jika

dikalikan dengan 𝑧 menghasilkan hasil ril.

Gambar 3.4 Hubungan geometri konjugat bilangan kompleks

Hal ini dapat diuktikan, misalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka jika dikalikan dengan konjugat kompleksnya

akan menghasilkan :

𝑧𝑧∗ = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) = 𝑥2 − 𝑖𝑥𝑦 + 𝑖𝑥𝑦 − 𝑖2𝑦2 = 𝑥2 + 𝑦2 = |𝑧|2

Kompleks konjugat juga dapat dipandang sebagai refleksi dari 𝑧.

24

3.2.2 Operasi Matematika

Penjumlahan dalam bilangan kompleks pada kordinat kartesian sama persis dengan penjumlahan

biasa :

𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1) + (𝑥2 + 𝑖𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2) (3.6)

Untuk perkalian :

𝑧1𝑧2 = (𝑥1 + 𝑖𝑦1)(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = (𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2) + 𝑖(𝑥1𝑦2 + 𝑦1𝑥2) (3.7)

Perkalian dari suatu bilangan kompleks memenuhi aturan komutatif dan asosiatif :

𝑧1𝑧2 = 𝑧2𝑧1 (3.8)

(𝑧1𝑧2)𝑧3 = 𝑧1(𝑧2𝑧3) (3.9)

Produk dari perkalian bilangan kompleks juga menghasilkan hubungan :

|𝑧1𝑧2| = |𝑧1||𝑧2| (3.10)

𝑎𝑟𝑔(𝑧1𝑧2) = 𝑎𝑟𝑔𝑧1 + 𝑎𝑟𝑔𝑧2 (3.11)

Untuk bilangan kompleks 𝑧 yang dikalikan dengan ±1 dan ±𝑖, menghasilkan suatu pola yang

menarik. Ketika mengalikan 𝑧 dengan kesatuan (yang memiliki argument nol) memberikan 𝑧

yang tetap dikedua modulus dan argument.

Adapun dengan mengalikan −1 (argumennya 𝜋) mengakibatkan rotasi, sepanjang sudut 𝜋, dari

garis yang menghubungkan titik asal dengan 𝑧 pada diagram Argand. Sama halnya dengan

mengalikan 𝑖 atau −𝑖 yang menghasilkan putaran 𝜋 2⁄ atau −𝜋 2⁄ .

Gambar 3.5 Pola menarik saat menglikan bilangan kompleks dengan ±1 dan ±𝑖

25

Sementara untuk operasi pembagian, misalkan diketahui bilangan kompleks 𝑧1 dan 𝑧2, jika

keduanya dibagi akan membentuk formasi :

𝑧1

𝑧2=

𝑥1 + 𝑖𝑦1

𝑥2 + 𝑖𝑦2 (𝟑. 𝟏𝟐)

Untuk mendapatkan hasil yang terpisah antara bagian ril dan kompleksnya, kita kalikan dengan

rasio kompleks konjugat dari pembagi atau dalam persamaan (3.12) adalah 𝑧2 :

𝑧1

𝑧2=

(𝑥1 + 𝑖𝑦1)(𝑥2 − 𝑖𝑦2)

(𝑥2 + 𝑖𝑦2)(𝑥2 − 𝑖𝑦2)=

𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2

𝑥22 + 𝑦2

2+ 𝑖

𝑥2𝑦1 − 𝑥1𝑦2

𝑥22 + 𝑦2

2 (𝟑. 𝟏𝟑)

Sama halnya dengan perkalian, pembagian bilangan kompleks juga menghasilkan beberapa

persamaan yang sesuai dengan persamaan (3.10) dan (3.11) :

|𝑧1

𝑧2| =

|𝑧1|

|𝑧2| (𝟑. 𝟏𝟒)

arg (𝑧1

𝑧2) = arg 𝑧1 − arg 𝑧2 (𝟑. 𝟏𝟓)

3.3 Representasi Polar

Sebuah alternative untuk memetakan bilangan kompleks adalah dengan menggunakan kordinat

polar (𝑟, 𝜃), yang memenuhi persamaan :

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 , atau 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2, 𝜃 = tan (𝑦

𝑥) (𝟑. 𝟏𝟔)

Dengan melakukan subtitusi pada persamaan umum bilangan kompleks pada kordinat kartesian,

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, diperoleh persamaan :

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 𝑟 sin 𝜃 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 (𝟑. 𝟏𝟕)

Dimana 𝑒𝑖𝜃 merupakan persamaan euler yang sesuai definisi :

𝑒𝑖𝑛𝜃 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟏𝟖)

26

Gambar 3.6 Representasi polar bilangan kompleks 𝑧

Penyederhanaan representasi dari modulus dan argument merupakan salah satu alas an

menggunakan kordinat polar. Sudut 𝜃 secara konvensional terletak pada −𝜋 < 0 ≤ 𝜋, namun

karena rotasi 𝜃 adalah sama dengan rotasi 2𝑛𝜋 + 𝜃, dengan 𝑛 adalah bilangan bulat, didapatkan

persamaan umum bilangan kompleks :

𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 ≡ 𝑟𝑒𝑖(𝜃+2𝑛𝜋) (𝟑. 𝟏𝟗)

Jika kita memiliki dua buah bilangan kompleks dengan formasi polar, 𝑧1 = 𝑟1𝑒𝑖𝜃1 dan 𝑧2 =

𝑟2𝑒𝑖𝜃2, jika dikalikan :

𝑧1𝑧2 = 𝑟1𝑟2𝑒𝑖(𝜃1+𝜃2) (𝟑. 𝟐𝟎)

Sementara untuk pembagian :

𝑧1

𝑧2==

𝑟1

𝑟2𝑒𝑖(𝜃1−𝜃2) (𝟑. 𝟐𝟏)

3.4 Teorema de Moivre

Kita tahu bahwa (𝑒𝑖𝜃)𝑛

= 𝑒𝑖𝑛𝜃, sehingga sesuai dengan persamaan euler didapatkan :

(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑛 = cos 𝑛𝜃 + sin 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟐𝟐)

Hasil ini disebut teorema de Moivre dan sering digunakan dalam maniulasi bilangan kompleks.

Manipulasinya anatara lain; mencari identitas trigonometri, mencari akar ke-𝑛 suatu besaran.

27

3.4.1 Mencari Identitas Trigonometri

Misalkan kita ingin mencari bentuk pangkat dari cos 𝜃 dan sin 𝜃,

cos 3𝜃 + 𝑖 sin 3𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)3 = (cos3 𝜃 − 3 cos 𝜃 sin2 𝜃) + 𝑖(3 sin 𝜃 cos2 𝜃 − sin3 𝜃)

Metode ini juga dapat digunakan untuk mencari ekspansi pangkat dari cos 𝑛𝜃 dan sin 𝑛𝜃 untuk

setiap 𝑛 bilangan bulat.

𝑧𝑛 +1

𝑧𝑛= (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 + (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)−𝑛

𝑧𝑛 +1

𝑧𝑛= cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 + cos(−𝑛𝜃) + 𝑖 sin(−𝑛𝜃) = 2 cos 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟐𝟑)

Dan

𝑧𝑛 −1

𝑧𝑛= (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 − (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)−𝑛

𝑧𝑛 +1

𝑧𝑛= cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 − cos(−𝑛𝜃) + 𝑖 sin(−𝑛𝜃) = 2𝑖 sin 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟐𝟒)

3.4.2 Mencari Akar ke-𝒏

Persamaan 𝑧2 = 1 memiliki solusi 𝑧 = ±1. Dengan menggunakan konsep bilangan kompleks,

kita dapat menyelesaikan persamaa umum dari 𝑧𝑛 = 1. Ingat bahwa persamaan tersebut

memiliki 𝑛 buah solusi. Persamaan 𝑧𝑛 dapat ditulis ulang :

𝑧𝑛 = 𝑧2𝑖𝑘𝜋

Dengan 𝑘 adalah bilangan bulat sembarang dan dengan melakukan penyederhanaan kita

dapatkan :

𝑧 = 𝑧2𝑖𝑘𝜋 𝑛⁄ (𝟑. 𝟐𝟓)

Sehingga, solusi untuk 𝑧𝑛 = 1 adalah :

𝑧1,2,….,𝑛 = 1, 𝑒2𝑖𝜋 𝑛⁄ , … , 𝑒2𝑖(𝑛−1)𝜋 𝑛⁄

Dengan 𝑘 nilainya mulai dari 0,1,2, … , 𝑛 − 1.Nilai 𝑘 yang semakin besar tidak memberi solusi

baru karena akarnya telah berulang untuk 𝑘 = 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, dan seterusnya.

28

Misalna mencari solusi dari 𝑧3 = 1, sesuai persamaan (4.25) kita dapatkan :

𝑧 = 𝑒2𝑖𝑘𝜋 3⁄

Selanjutnya, solusinya didapatkan dengan memasukkan nilai 𝑘, 𝑧1 = 𝑒0𝑖 , 𝑧2 = 𝑒2𝑖𝜋 3⁄ , 𝑧3 =

𝑒4𝜋𝑖 3⁄ . Ketika memasukkan nilai 𝑘 yang lebih besar, misalya 3, 𝑧4 = 𝑒6𝑖𝜋 3⁄ = 1 = 𝑧1. Sehingga

terbukti hanya terdapat tiga buah solusi untuk 𝑛 = 3.

Gambar 3.7 Representase geometri solusi 𝑧𝑛 = 1

3.5 Fungsi Hiperbolik

Fungsi hiperbolik merupakan analogi kompleks dari fungsi trigonometri. Memiliki hubungan

yang mirip dengan fungsi trgonometri, baik dari identitas maupun kalkulusnya.

Terdapat dua fungsi fundamental, cosh 𝑥 dan sinh 𝑥, yang masing-masing merupakan mirip

dengan 𝑐𝑜𝑠𝑥 dan 𝑠𝑖𝑛𝑥. Fungsi tersebut didefinisikan dengan relasi :

cosh 𝑥 =1

2(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) (𝟑. 𝟐𝟔)

sinh 𝑥 =1

2(𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥) (𝟑. 𝟐𝟕)

Dengan fungsi tersebut, leih jauh dapat dicari hubungan dari fungsi hiperbolik lain untuk tanh 𝑥,

sech 𝑥, csch 𝑥, dan coth 𝑥.

29

Sesuai dengan persamaan euler, kita mendapatkan :

cos 𝑖𝑥 =1

2(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥)

sin 𝑖𝑥 =1

2(𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)

Sehingga didapat hubungan yang sangat jelas antara fungsi hiperbolik dengan fungsi

trigonometri :

cosh 𝑥 = cos 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟐𝟖)

𝑖 sinh 𝑥 = sin 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟐𝟗)

cos 𝑥 = cosh 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟑𝟎)

𝑖 sin 𝑥 = sinh 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟑𝟏)

30

4. DERET FOURIER

Fenomena periodik seperti gelombang, gerak harmonis, atau gaya-gaya berulang lain

dideskripsikan dengan fungsi berulang. Deret dan transformasi Fourier merupakan media yang

menjadi dasar untuk memecahkan berbagai fenomena berulang tersebut.

4.1 Kondisi Dirichlet

Deret Fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan suatu fungsi yang tidak dapat dilakukan

dengan ekspansi Taylor. Agar fungsi 𝑓(𝑥) memenuhi kriteria deret Fourier, maka deret tersebut

harus memenuhi kondisi Dirichlet :

(i) Fungsinya harus periodic

(ii) Bernilai tunggal dan kontinu, kecuali mungkin pada nilai berhingga tertentu.

(iii) Memiliki hanya satu titik maksimum dan minimum pada satu periode.

(iv) Integral sepanjang periode |𝑓(𝑥)| harus konvergen.

Gambar 4.1 Sebuah contoh fungsi yang dapat direpresentasikan dengan deret Fourier

Deret Fourier terdiri dari fungsi sinus dan kosinus. Esensi dari hal ini adalah sinus merupakan

fungsi ganjil sementara kosinus merupakan fungsi genap, dimana keduanya merupakan fungsi

periodik.

31

Setiap bagian pada deret Fourier saling ortogonal, setiap satu periode. Setiap bagiannya

memenuhi sifat matematis berikut :

∫ sin (2𝜋𝑟𝑥

𝐿)

𝑥0+𝐿

𝑥0

cos (2𝜋𝑝𝑥

𝐿) 𝑑𝑥 = 0 untuk semua 𝑟 dan 𝑝 (𝟒. 𝟏)

∫ cos (2𝜋𝑟𝑥

𝐿)

𝑥0+𝐿

𝑥0

cos (2𝜋𝑝𝑥

𝐿) 𝑑𝑥 = {

𝐿 untuk 𝑟 = 𝑝 = 01

2𝐿 untuk 𝑟 = 𝑝 > 0

0 untuk 𝑟 ≠ 𝑝

(𝟒. 𝟐)

∫ sin (2𝜋𝑟𝑥

𝐿)

𝑥0+𝐿

𝑥0

sin (2𝜋𝑝𝑥

𝐿) 𝑑𝑥 = {

0 untuk 𝑟 = 𝑝 = 01

2𝐿 untuk 𝑟 = 𝑝 > 0

0 untuk 𝑟 ≠ 𝑝

(𝟒. 𝟑)

dengan 𝑟 dan 𝑝 merupakan bilangan bulat lebih besar atau sama dengan nol.

Ekspansi Fourier dari fungsi 𝑓(𝑥) memiliki bentuk umum :

𝑓(𝑥) =𝑎0

2+ ∑ [𝑎𝑟 cos (

2𝜋𝑟𝑥

𝐿) + 𝑏𝑟 sin (

2𝜋𝑟𝑥

𝐿)]

∞

𝑟=1

(𝟒. 𝟒)

dimana 𝑎0, 𝑎𝑟 , dan 𝑏𝑟 merupakan koefisien Fourier.

4.2 Koefisien Fourier

Untuk fungsi periodik 𝑓(𝑥) dengan periode 𝐿, koefisien Fourier memenuhi persamaan :

𝑎𝑟 =2

𝐿∫ 𝑓(𝑥)

𝑥0+𝐿

𝑥0

cos (2𝜋𝑟𝑥

𝐿) 𝑑𝑥 (𝟒. 𝟓)

𝑏𝑟 =2

𝐿∫ 𝑓(𝑥)

𝑥0+𝐿

𝑥0

sin (2𝜋𝑟𝑥

𝐿) 𝑑𝑥 (𝟒. 𝟔)

dimana 𝑥0 adalah nilai sembarang namun sering diambil sebagai 0 atau −𝐿/2. Penjabaran

formula ini dapat dilakukan dengan mengalikan 𝑓(𝑥) pada persamaan (𝟒. 𝟒), dengan cos(2𝜋𝑝𝑥/

𝐿), lalu mengintegralkan sepanjang satu periode penuh terhadap 𝑥. Hasil dari tahap tersebut,

kemudian diselesaikan dengan menggunakan persamaan (𝟒. 𝟏), (𝟒. 𝟐), dan (𝟒. 𝟑).

Fungsi yang simetri atau asimetri pada titik awal dapat mempermudah perhitungan dari koefisien

Fourier. Fungsi dengan 𝑥 ganjil tidak memiliki bagian kosinus dan semua koefisien 𝑎 bernilai

32

nol. Sebaliknya, fungsi dengan 𝑥 genap tidak memiliki bagian sinus dan semua koefisien 𝑏

bernilai nol. Karena deret Fourier dengan fungsi ganjil atau genap hanya menyisakan setengah

koefisien untuk menjabarkan perilaku keseluruhan periode, perhitungan deret Fourier akan

menjadi lebih mudah.

4.3 Fungsi Diskontinu

Ekspansi deret Fourier juga dapat diimplementasikan untunk fungsi diskontinu pada selang

tertentu. Hasil ekspansinya sendiri tidak lah diskontinu dan nilain dari fungsi 𝑓(𝑥) hasil ekspansi

akan bernilai setengah antara nilai batas atas dan nilai batas bawahnya.

Pada titik diskontinu, representasi deret Fourier akan meampaui nilainya. Lebih banyak bagian

digabungkan, posisi nilai lampauannya menyebabkan fungsi ekspansi bergerak mendekati

diskontinu, tidak akan pernah hilang meskipun terdapat takberhingga bagian. Hal ini dikenal

sebagai fenomena Gibbs.

Gambar 4.2 Konvergensi deret Fourier fungsi setengah gelombang, dengan (a) satu bagian, (b)

dua bagian (c) tiga bagian, dan (d) 20 bagian dengan 𝛿 menunjukkan lampauan fungsi.

4.4 Fungsi Non-Periodik

Deret Fourier dapat pula digunakan untuk mengekspansi suatu fungsi non-periodik pada selang

tertentu. Hasil dari selang tersebut kemudan diterapkan kepada selang lain sehingga membentuk

suatu fungsi ekspansi periodik.

33

Misalnya mencari deret Fourier 𝑓(𝑥) = 𝑥2 pada selang −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. Dari gambar 4.3 terlihat

periodenya 4. Catat juga bahwa fungsinya merupakan fungsi genap, mengakibatkan bagian 𝑏𝑟

bernilai nol dan menyisakan bagian kosinus.

Gaambar 4.3 Fungsi 𝑥2 dengan selang −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.

Dengan persamaan (𝟒. 𝟓), dimana 𝐿 = 4 didapatkan

𝑎𝑟 =2

4∫ 𝑥2

2

−2

cos (2𝜋𝑟𝑥

4) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2

2

0

cos (𝜋𝑟𝑥

2) 𝑑𝑥

= [2

𝜋𝑟𝑥2 sin (

𝜋𝑟𝑥

2)]

2

0−

4

𝜋𝑟∫ 𝑥

2

0

sin (𝜋𝑟𝑥

2) 𝑑𝑥

=16

𝜋2𝑟2(−1)𝑟

adapun untuk 𝑎0,

𝑎0 =2

4∫ 𝑥2𝑑𝑥

2

−2

= ∫ 𝑥2𝑑𝑥2

0

= [1

3𝑥3]

2

0=

8

3

Hasil akhir untuk 𝑓(𝑥), sesuai persamaan (𝟒. 𝟒), didapatkan

𝑓(𝑥) =4

3+

16

𝜋2∑

(−1)𝑟

𝑟2

∞

𝑟=1

cos (𝜋𝑟𝑥

2) untuk − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2

4.5 Deret Fourier Kompleks

Dari pelajaran bilangan kompleks, bentuk 𝑒𝑖𝑟𝑥 = cos 𝑟𝑥 + 𝑖 sin 𝑟𝑥. Secara sepintas, terlihat

bagian kosinus dan sinus muncul sekaligus. Hal ini membuat penyederhanaan deret Fourier.

Deret Fourier dalam bentuk kompleks memiliki persamaan:

34

𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑟

∞

𝑟=0

exp (2𝜋𝑖𝑟𝑥

𝐿) (𝟒. 𝟕)

dengan koefisien Fourier:

𝑐𝑟 =1

𝐿∫ 𝑓(𝑥) exp (−

2𝜋𝑖𝑟𝑥

𝐿)

𝑥0+𝐿

𝑥0

𝑑𝑥 (𝟒. 𝟖)

yang dapat diturunkan dengan mengalikan 𝑓(𝑥) pada (𝟒. 𝟕) dengan exp (−2𝜋𝑖𝑝𝑥

𝐿) dan

mengintegralkannya, serta dengan memperhatikan relasi ortogonal:

∫ exp (2𝜋𝑖𝑟𝑥

𝐿) exp (−

2𝜋𝑖𝑝𝑥

𝐿)

𝑥0+𝐿

𝑥0

𝑑𝑥 = {𝐿 , 𝑟 = 𝑝0 , 𝑟 ≠ 𝑝

(𝟒. 𝟗)

Koefisien kompleks dari deret Fourier memiliki hubungan:

𝑐𝑟 =1

2(𝑎𝑟 − 𝑖𝑏𝑟)

𝑐−𝑟 =1

2(𝑎𝑟 + 𝑖𝑏𝑟)

Untuk 𝑓(𝑥) real, maka 𝑐−𝑟 = 𝑐𝑟∗, atau biasa disebut sebagai kompleks konjugat dari 𝑐𝑟.

4.6 Teorema Parseval

Teoream Parseval beguna dalam menghubungkan koefisien Fourier dengan fungsi yang

dideskripsikannya. Bentuk umumnya:

1

𝐿∫ |𝑓(𝑥)|2

𝑥0+𝐿

𝑥0

𝑑𝑥 = ∑ |𝑐𝑟|2

∞

𝑟=−∞

= (1

2𝑎0)

2

+1

2∑(𝑎𝑟

2 + 𝑏𝑟2)

∞

𝑟=1

(𝟒. 𝟏𝟎)

Persamaan tersebut menyatakan penjumlahan dari modulus kuadrat dari koefisien deref Fourier

kompleks memiliki nilai yang sama dengan |𝑓(𝑥)|2 dalam satu periode. Teorema Parseval biasa

digunakan dalam penjumlahan deret.

35

5. TRANSFORMASI FOURIER

5.1 Pengantar Transformasi Fourier

Transformasi Fourier merepresentasikan fungsi terdefinisi pada interval takberhingga dan tidak

periodik. Dengan kata lain, transformasi Fourier merupakan generalisasi dari deret Fourier yang

merepresentasikan fungsi periodik. Misalkan untuk sebuah fungsi dengan periode 𝑇 dapat

direpresentasikan sebagai deret Fourier kompleks

𝑓(𝑡) = ∑ 𝑐𝑟𝑒2𝜋𝑖𝑟𝑡/𝑇

∞

𝑟=−∞

= ∑ 𝑐𝑟𝑒𝑖𝜔𝑟𝑡

∞

𝑟=−∞

(𝟓. 𝟏)

Saat periode 𝑇 menuju tak terhingga, frekuensi quantum, ∆𝜔 = 2𝜋/𝑇 menjadi sangat kecil dan

spektrum frekuensi yang diizinkan 𝜔𝑟 menjadi kontinu. Penjumlahan tak terhingga berbentuk

deret Fourier menjadi sebuah integral, dan koefisien 𝑐𝑟 menjadi fungsi kontinu dengan variabel

𝜔, dimana persamaannya

𝑐𝑟 =1

𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑒−2𝜋𝑖𝑡𝑢/𝑇

𝑇/2

−𝑇/2

𝑑𝑡 =∆𝜔

2𝜋∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑟𝑡

𝑇/2

−𝑇/2

𝑑𝑡 (𝟓. 𝟐)

Substitusi ke persamaan (𝟓. 𝟏), didapatkan bentuk

𝑓(𝑡) = ∑∆𝜔

2𝜋∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑟𝑡

𝑇/2

−𝑇/2

𝑑𝑡 𝑒𝑖𝜔𝑟𝑡

∞

𝑟=−∞

(𝟓. 𝟑)

sampai disini, 𝜔𝑟 masih merupakan fungsi diskrit 𝑟 yang nilainya 2𝜋𝑟/𝑇.

Untuk memudahkan imajinasi, perhatikan gambar 5.1. Setiap titik pada kurva merupakan alur

dari 𝑐𝑟 𝑒𝑖𝜔𝑟𝑡 sebagai fungsi dari 𝑟 dan jelas bahwa (2𝜋/𝑇)𝑐𝑟 𝑒𝑖𝜔𝑟𝑡 memberikan luas dari persegi

panjang (garis putus-putus) ke-𝑟. Saat 𝑇 menuju ∞, maka ∆𝜔 (= 2𝜋/𝑇) menjadi sangat kecil,

lebar dari persegi panjang akan menuju nol dan, dari definisi matematis dari integral,

∑∆𝜔

2𝜋𝑔(𝜔𝑟)𝑒𝑖𝜔𝑟𝑡

∞

𝑟=−∞

→ 1

2𝜋∫ 𝑔(𝜔𝑟) 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔

36

Gambar 5.1 Hubungan bagian Fourier untuk fungsi periode 𝑇 dan integral Fourier dari suatu

fungsi

dimana

𝑔(𝜔𝑟) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑟𝑡𝑇/2

−𝑇/2

𝑑𝑡

Sehingga persamaan (𝟓. 𝟑) menjadi

𝑓(𝑡) =1

2𝜋∫ 𝑑𝜔

∞

−∞

𝑒𝑖𝜔𝑡 ∫ 𝑑𝑡∞

−∞

𝑓(𝑡) 𝑒−𝑖𝜔𝑡 (𝟓. 𝟒)

Hasil ini dikenal dengan teorema inversi Fourier.

Transformasi Fourier dari 𝑓(𝑡) kemudian didefinisikan

𝑓(𝜔) =1

√2𝜋 ∫ 𝑓(𝑡) 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

∞

−∞

(𝟓. 𝟓)

dengan inversnya

𝑓(𝑡) =1

√2𝜋∫ 𝑓(𝜔) 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔

∞

−∞

(𝟓. 𝟔)

5.2 Fungsi Delta Dirac (𝜹)

Fungi delta Dirac dapat divisualisasikan sebagai pulsa sangat tajam (waktu, ruang, densitas, dsb)

yang memproduksi sebuah efek dengan magnitude tertentu.

Fungsi 𝛿-Dirac memiliki sifat

𝛿(𝑡) = 0 untuk 𝑡 ≠ 0 (𝟓. 𝟕)

37

namun secara fundamental sifatnya memenuhi

∫ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑎) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑎) (𝟓. 𝟖)

menghasilkan selang integasi pada titik 𝑡 = 𝑎; selain itu integralnya sama dengan nol. Hal ini

mengarahkan pada dua hasil lebih lanjut

∫ 𝛿(𝑡)𝑏

−𝑎

𝑑𝑡 = 1 untuk setiap 𝑎, 𝑏 > 0 (𝟓. 𝟗)

dan

∫ 𝛿(𝑡 − 𝑎)𝑑𝑡 = 1 (𝟓. 𝟏𝟎)

memberikan selang integasi 𝑡 = 𝑎.

Sifat lain dari fungsi delta Dirac antara lain

𝛿(𝑡) = 𝛿(−𝑡), 𝛿(𝑎𝑡) =1

|𝑎|𝛿(𝑡), 𝑡𝛿(𝑡) = 0 (𝟓. 𝟏𝟏)

Fungsi yang mirip dengan delta Dirac adalah fungsi Heaviside

𝐻(𝑡) = {1 untuk 𝑡 > 00 untuk 𝑡 < 0

(𝟓. 𝟏𝟐)

namun fungsi ini diskontinu pada 𝑡 = 0. Hubungannya dengan fungsi delta Dirac

𝐻′(𝑡) = 𝛿(𝑡) (𝟓. 𝟏𝟑)

Dari teorema inversi Fourier, persamaan (𝟓. 𝟒), dapat dilihat hubungannya dengan fungsi delta

Dirac

𝛿(𝑡 − 𝑢) =1

2𝜋∫ 𝑒𝑖𝜔(𝑡−𝑢)𝑑𝜔

∞

−∞

(𝟓. 𝟏𝟒)

Adapun transformasi Fourier dari fungsi 𝛿 secara sederhana

𝛿(𝜔) =1

√2𝜋∫ 𝛿(𝑡) 𝑒−𝑖𝜔𝑡

∞

−∞

𝑑𝑡 =1

√2𝜋 (𝟓. 𝟏𝟓)

38

5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Jika 𝑓(𝑡) ganjil atau genap, teorema inversi Fourier dapat disajikan dalam bentuk berbeda.

Untuk fungsi ganjil, didapatkan teorema inversi Fourier

𝑓(𝑡) =2

𝜋∫ 𝑑𝜔

∞

0

sin 𝜔𝑡 {∫ 𝑓(𝑢)∞

0

sin 𝜔𝑢 𝑑𝑢}

menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil

𝑓�̃�(𝜔) = √2

𝜋∫ 𝑓(𝑡)

∞

0

sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 (𝟓. 𝟏𝟔)

𝑓(𝑡) = √2

𝜋∫ 𝑓�̃�(𝜔)

∞

0

sin 𝜔𝑡 𝑑𝜔 (𝟓. 𝟏𝟕)

Untuk fungsi genap, didapatkan teorema inversi Fourier

𝑓(𝑡) =2

𝜋∫ 𝑑𝜔

∞

0

cos 𝜔𝑡 {∫ 𝑓(𝑢)∞

0

cos 𝜔𝑢 𝑑𝑢}

menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil

𝑓�̃�(𝜔) = √2

𝜋∫ 𝑓(𝑡)

∞

0

cos 𝜔𝑡 𝑑𝑡 (𝟓. 𝟏𝟖)

𝑓(𝑡) = √2

𝜋∫ 𝑓�̃�(𝜔)

∞

0

cos 𝜔𝑡 𝑑𝜔 (𝟓. 𝟏𝟗)

39

6. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

6.1 Persamaan Diferensial Orde I

Persamaan diferensial merupakan kelompok dari persamaan yang mengandung derivatives.

Sesuai dengan namanya, persamaan diferensial biasa (PDB) hanya mengandung turunan biasa

(tidak mengandung turunan parsial) dan mendeskripsikan hubungan antara variable tidak

bebasnya, dengan variable bebasnya. Orde dari PDB secara sederhana mengacu pada orde

tertinggi dari turunannya (derivatives). Persamaan yang hanya mengandung 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ disebut PDB

orde satu. Untuk persamaan yang mengandung 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2⁄ disebut PDB orde 2, dan seterusnya.

6.1.1 Bentuk Umum

Persamaan diferensial biasa dengan derajat satu hanya mengandung komponen 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁄ untuk

suatu fungsi x dan y. dan dapat ditulis dalam dua bentuk umum :

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐴(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐵(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 (𝟔. 𝟏)

dimana 𝐹(𝑥, 𝑦) = −𝐴 (𝑥, 𝑦) 𝐵⁄ (𝑥, 𝑦), dan 𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐴(𝑥, 𝑦), 𝐵(𝑥, 𝑦), secara umum dapat berupa

fungsi x dan y.

6.1.2 Persamaan Variabel Pisah

Persamaan variable pisah merupakan persamaan yang dapat dengan sederhana dituliskan dalam

bentuk :

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) (𝟔. 𝟐)

Dimana 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑦) adalah fungsi dari x dan y, termasuk juga dalam kasus 𝑓(𝑥) atau 𝑔(𝑦)

adalah sebuah konstanta. Dengan melakukan pengaturan ulang, persamaan tersebut dapat ditulis

kedalam bentuk integral

∫𝑑𝑦

𝑔(𝑦)= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (𝟔. 𝟑)

yang solusinya didapat dengan menyelesaikan persamaan tersebut.

40

6.1.3 Persamaan Eksak

Persamaan diferensial eksak memenuhi bentuk umum

𝐴(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐵(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, dimana 𝜕𝐴

𝜕𝑦=

𝜕𝐵

𝜕𝑥 (𝟔. 𝟒)

Persamaan 𝐴(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐵(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 dapat dituliskan dalam variable 𝑑𝑈(𝑥, 𝑦), atau dengan kata

lain

𝑑𝑈 =𝜕𝑈

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑈

𝜕𝑦𝑑𝑦 = 𝐴𝑑𝑥 + 𝐵𝑑𝑦

sehingga terlihat hubungan

𝐴(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑈

𝜕𝑥 (𝟔. 𝟓)

𝐵(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑈

𝜕𝑦 (𝟔. 𝟔)

Dengan merujuk pada persamaan diferensial eksak, 𝑑𝑈(𝑥, 𝑦) = 0, sehingga memiliki solusi

𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑐. Dimana 𝑐 disini dapat dicari dengan menyelesaikan salah satu dari dua persmaan

diatas, dimana hasilnya adalah solusi dari persamaan diferensial eksak.

𝑈(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝐴(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐹(𝑦) (𝟔. 𝟕)

Dimana untuk 𝐹(𝑦) dapat ditemukan dengan menurnkan persamaan 𝑈(𝑥, 𝑦) diatas terhadap 𝑦,

kemudian melakukan penyamaan dengan persamaan 𝐵 =𝜕𝑈

𝜕𝑦.

6.1.4 Persamaan Linear

Persamaan diferensial linear dapat ditulis dalam bentuk sederhana :

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) (𝟔. 𝟖)

Persamaan tersebut dapat dirubah menjadi persamaan eksak dengan mengalikan factor

pengintegralan. Faktor pengintegralan disini hanya berupa fungsi x semata.

41

Dengan memisalkan faktor pengintegralan 𝜇(𝑥, 𝑦), persamaan umum PDB linear menjadi

𝜇(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑃(𝑥)𝑦 =

𝑑

𝑑𝑥[𝜇(𝑥, 𝑦)𝑦] = 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑄(𝑥)

yang dengan melakukan pengintegralan,

𝜇(𝑥, 𝑦)𝑦 = ∫ 𝜇(𝑥, 𝑦)𝑄(𝑥)

faktor pengintegralan 𝜇(𝑥, 𝑦) dapat ditemukan dengan melihat bahwa :

𝑑

𝑑𝑥(𝜇𝑦) = 𝜇

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦

𝑑𝜇

𝑑𝑥= 𝜇

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝜇𝑃𝑦,

yang memberikan hubungan sederhana :

𝑑𝜇

𝑑𝑥= 𝜇(𝑥)𝑃(𝑥)

𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥

Sehingga penyelesaian umumnya memenuhi persamaan

𝑦 = 𝑒−∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑄(𝑥)𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥 (𝟔. 𝟗)

6.1.5 Persamaan Bernoulli

Bentuk umum persamaan Bernouli adalah :

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦𝑛, dengan 𝑛 ≠ 0 atau 1 (𝟔. 𝟏𝟎)

PDB Bernoulli merupakan kasus khusus dari PDB linear, tapi PDB Bernoulli ini tidaklah linear.

Hal ini disebabkan karena adanya 𝑦𝑛 . Namun, PDB Bernoulli dapat diubah menjadi PDB linear

dengan melakukan pemisalan sebuah variable baru 𝑣 = 𝑦1−𝑛 yang mengakibatkan 𝑑𝑣 =

(1 − 𝑛)𝑦−𝑛𝑑𝑦.

𝑑𝑦 =𝑦𝑛

(1 − 𝑛)𝑑𝑣

42

dimana dengan menggantikan dy pada persamaan sebelumnya didapatkan :

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ (1 − 𝑛)𝑃(𝑥)𝑣 = (1 − 𝑛)𝑄(𝑥) (𝟔. 𝟏𝟏)

yang merupakan bentuk PDB linear. Tentu saja, solusinya dicari dengan metoda PDB linear.

6.1.6 Persamaan Homogen

Persamaan diferensial homogen merupakan PDB yang dapat ditulis :

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐵(𝑥, 𝑦)= 𝐹 (

𝑦

𝑥) (𝟔. 𝟏𝟐)

dimana 𝐴(𝑥, 𝑦) dan 𝐵(𝑥, 𝑦) merupakan fungsi homogen dengan derajat yang sama. Sebuah

fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) homogen dengan derajat n jika, untuk setiap 𝜆, memenuhi

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆𝑛𝑓(𝑥, 𝑦)

Misalnya, jika 𝐴 = 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 dan 𝐵 = 𝑥3 − 𝑦3, kita lihat bahwa A dan B merupakan fungsi

homogen dengan derajat 3. Secara umum, untuk fungsi dengan bentuk A dan B, keduanya

merupakan fungsi homogen, dan dengan derajat yang sama. Kita menjumlahkan setiap pangkat

dari x dan y pada bagian A dan B untuk menjadi sama. Sisi kanan dari PDB homogen dapat

ditulis sebagai fungsi y/x. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi

𝑦 = 𝑣𝑥, sehingga

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑣 + 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 𝐹(𝑣)

Ini kemudian merupakan PDB variabel pisah dan dapat langsung diintegralkan

∫𝑑𝑣

𝐹(𝑣) − 𝑣= ∫

𝑑𝑥

𝑥 (𝟔. 𝟏𝟑)

6.2 Persamaan Diferensial Orde II

6.2.1 Persamaan Diferensial Linear Secara Umum

Bentuk umumnya :

𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎(𝑛−1)(𝑥)

𝑑(𝑛−1)𝑦

𝑑𝑥(𝑛−1)+ ⋯ + 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)

43

Saat 𝑄(𝑥) = 0, persamaannya disebut homogen, sebaliknya, persamaannya disebut tidak

homogen. Solusi umum untuk persamaan diferensial linear, mengacu pada persamaan diatas,

akan mengandung n buah konstan.

Kasus paling umum yang sering dijumpai dalam masalah fisika adalah persamaan diferensial

linear orde dua. Karena itu, buku ini memfokuskan untuk kasus PD Linear orde dua :

𝐴(𝑥)𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝐵(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝐶(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)

Dimana 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥) dan 𝐶(𝑥) adalah sebuah fungsi yang kontinu. Persamaan ini biasa digunakan

untuk mempelajari gerak dari sebuah pegas.

6.2.2 PD Linear Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan

Seperti di awal pembahasan, saat 𝑄(𝑥) = 0, persamaannya menjadi homogen. Bentuk umunya :

𝐴(𝑥)𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝐵(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝐶(𝑥)𝑦 = 0

Dua fakta dasar membantu kita untuk dapat memecahkan solusi untuk persamaan di atas.

Pertama adalah jika kita mengatahui dua solusi 𝑦1(𝑥) dan 𝑦2(𝑥) untuk persamaan tersebut,

kombinasi linearnya juga merupakan solusi :

𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑦1(𝑥) + 𝑐2𝑦2(𝑥)

Dengan 𝑐1 dan 𝑐2 adalah suatu konstanta tertentu. Hal ini dapat dibuktikan dengan melakukan

subtitusi 𝑦1(𝑥) dan 𝑦2(𝑥) pada persamaan yang menghasilkan nilai 0 dan menurunkan 𝑦(𝑥) dua

kali lalu melakukan subtitusi pada persamaan awal.

Fakta lain yang membuat kita mampu memecahkan solusi persamaan ini adalah, solusi

umumnya berupa kombinasi linear dari dua solusi linear yang independen 𝑦1(𝑥) dan 𝑦2(𝑥). Ini

berarti antara 𝑦1(𝑥) dan 𝑦2(𝑥) bukanlah merupakan kelipatan antara satu sama lain. Lebih

jelasnya, fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 merupakan fungsi tidak bebas secara linear, tapi

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥 merupakan fungsi bebas secara linear.

Secara umum tidak mudah mencari solusi khusus untuk PD linear orde dua. Namun saat

koefisiennya, 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥) dan 𝐶(𝑥) adalah sebuah konstanta, hal tersebut dapat dengan mudah

44

dilakukan. PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan akan memiliki formula

sebagai berikut :

𝐴𝑦′′ + 𝐵𝑦′ + 𝐶𝑦 = 0 (𝟔. 𝟏𝟒)

Dengan 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah konstanta dan 𝐴 ≠ 0.

Solusi persamaan di atas adalah sebuah fungsi y, teerdiri dari sebuah konstanta dikalikan dengan

turnuan keduanaya (𝑦’’) ditambah dengan kontastanta lain yang dikalikan dengan turunan

pertamanya (𝑦’) yang ditambah lagi dengan konstanta kemudian dikalikan dengan (𝑦)

menghasilkan 0. Kita mengatahui bahwa fungsi eksponensial 𝑦 = 𝑒𝑟𝑥 (dengan 𝑟 adalah

konstanta) memiliki turunan sebuah konstanta yang dikalikan dengan dirinya sendiri 𝑦′ = 𝑟𝑒𝑟𝑥.

Adapun turunan keduanya 𝑦′′ = 𝑟2𝑒𝑟𝑥. Dengan melakukan substitusi dengan persamaan diatas :

𝐴(𝑟2𝑒𝑟𝑥) + 𝐵(𝑟𝑒𝑟𝑥) + 𝐶(𝑒𝑟𝑥) = 0

atau :

(𝐴𝑟2 + 𝐵𝑟 + 𝐶)𝑒𝑟𝑥 = 0

Tapi 𝑒𝑟𝑥 tidak pernah 0, sehingga 𝑦 = 𝑒𝑟𝑥 adalah solusi untuk PD linear homogen orde dua

dengan koefisien konstan, dengan r adalah akar-akar dari persamaan :

𝐴𝑟2 + 𝐵𝑟 + 𝐶 = 0 (𝟔. 𝟏𝟓)

Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari persamaan 𝐴𝑦′′ + 𝐵𝑦′ + 𝐶𝑦 = 0.

Nilai 𝑟 bisa didapatkan dengan cara pemfaktoran, namun tidak jarang juga menggunakan rumus

akar persamaan kuadrat :

𝑟1,2 =−𝐵 ± √𝐵2 − 4𝐴𝐶

2𝐴

Dimana kita dapatkan tiga kasus yang bergantung pada diskriminan 𝐵2 − 4𝐴𝐶.

Kasus pertama, saat 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0. Kasus ini, akar-akar 𝑟1 dan 𝑟2 merupakan persamaan yang

berbeda. Sehingga 𝑦1 = 𝑒𝑟1𝑥 dan 𝑦2 = 𝑒𝑟2𝑥 adalah dua solusi linear yang bebas dari persamaan

𝐴𝑦′′ + 𝐵𝑦′ + 𝐶𝑦 = 0. Sehingga solusi umumnya dapat ditulis :

45

𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟1𝑥 + 𝑐2𝑒𝑟2𝑥 (𝟔. 𝟏𝟔)

Kasus kedua, saat 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 0. Pada kasus ini r1 = r2. Sehingga akar-akarnya real dan sama.

Kita misalkan akar-akar sama ini dengan 𝑟. Sehingga, rumus akar persamaan kuadrat :

𝑟 =−𝐵

2𝐴 sehingga 2𝐴𝑟 + 𝐵 = 0

Dari syarat-syarat tersebut, didapatkan solusi untuk PD linear homogen orde dua dengan

koefisien konstan dan akar-akar yang sama memberikan :

𝑦 = 𝑐1𝑒𝑟𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒𝑟𝑥 (𝟔. 𝟏𝟕)

Kasus ketiga, saat 𝐵2 − 4𝐴𝐶 < 0. Pada kasus ini, r1 dan r2 terdiri dari bilangan kompleks. Kita

dapat menuliskan :

𝑟1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 dan 𝑟2 = 𝛼 − 𝑖𝛽

Dimana 𝛼 dan 𝛽 adalah bilangan real (𝛼 = −𝐵 (2𝐴)⁄ dan 𝛽 = √𝐵2 − 4𝐴𝐶 (2𝐴)⁄ ), sehingga

dengan menggunakan persamaan Euler :

𝑒𝑖𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃

Solusi yang kita dapatkan menjadi :

𝑦 = 𝐶1𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥 + 𝐶2𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑥

= 𝐶1(𝑒𝛼𝑥𝑒𝑖𝛽𝑥) + 𝐶2(𝑒𝛼𝑥𝑒−𝑖𝛽𝑥)

= 𝐶1𝑒𝛼𝑥(cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥) + 𝐶2𝑒𝛼𝑥(cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥)

= 𝑒𝛼𝑥(𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝑖𝐶1 sin 𝛽𝑥 + 𝐶2 cos 𝛽𝑥 − 𝑖𝐶2 sin 𝛽𝑥)

= 𝑒𝛼𝑥((𝐶1 + 𝐶2) cos 𝛽𝑥 + 𝑖(𝐶1 − 𝐶2) sin 𝛽𝑥)

atau disederhanakan

𝑦 = 𝑒𝛼𝑥(𝑐1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐2 sin 𝛽𝑥) (𝟔. 𝟏𝟖)

Dengan 𝑐1 = 𝐶1 + 𝐶2 dan 𝑐2 = 𝑖(𝐶1 − 𝐶2). Formula ini memberikan semua solusi yang

dibutuhkan untuk persamaan diferensial.

Rangkuman solsui untuk persamaan diferensial 𝐴𝑦′′ + 𝐵𝑦′ + 𝐶𝑦 = 0

46

6.2.2 PD Linear Tidak Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan

Formasi umum dari persamaannya adalah :

𝐴𝑦′′ + 𝐵𝑦′ + 𝐶𝑦 = 𝑄(𝑥)

Dimana A, B, dan C adala suatu konstanta dan G adalah fungsi kontinu. Kita tahu bentuk

homogennya adalah :

𝐴𝑦′′ + 𝐵𝑦′ + 𝐶𝑦 = 0

Solusi umum dari persamaan linear tidak homogen adalah :

𝑦(𝑥) = 𝑦𝑐(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥) (𝟔. 𝟏𝟗)

Dengan 𝑦𝑝(𝑥) adalah solusi khusus dari persamaan linear orde dua tidak homogen dengan

koefisien konstan.

Salah satu metode menyelesaikan persamaan jenis ini, pertama-tama, kita ilustrasikan sebuah

persamaan :

𝐴𝑦′′ + 𝐵𝑦′ + 𝐶𝑦 = 𝑄(𝑥)

Dimana 𝑄(𝑥) adalah sebuah polynominal. Masuk akal ketika kita menebak bahwa terdapat

solusi partikular 𝑦𝑝 yang merupakan polynominal dengan derajat yang sama dengan 𝑄 karena

jika 𝑦 adalah polynominal, maka 𝐴𝑦′′ + 𝐵𝑦′ + 𝐶𝑦 juga merupakan polynominal. Kemudian

dilakukan subtitusi 𝑦𝑝(𝑥) sebuah polynominal kedalam persamaan tersebut dan menentukan

koefisiennya.

Misalkan 𝑄(𝑥) adalah sebuah polynominal 𝑥2, kita dapat mencari solusi khususnya dengan

formasi :

𝑦𝑝(𝑥) = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 (𝟔. 𝟐𝟎)

Kemudian melakukan diferensiasi sebanyak dua kali, lalu subtitusikan hasilnya pada persamaan

awal untuk mencari koefisien.

47

Adapun ketika Q(x) adalah sebuah fungsi dengan formasi 𝐶𝑒𝑘𝑥 dengan C dan k adalah konstanta,

kita menggunakannya solusi percobaan dengan formasi sama

𝑦𝑝(𝑥) = 𝐴𝑒𝑘𝑥 (𝟔. 𝟐𝟏)

karena turunan dari 𝑒𝑘𝑥 adalah suatu konstanta yang dikalikan dengan 𝑒𝑘𝑥.

Jika 𝑄(𝑥) adalah fungsi yang terdiri dari 𝐶 cos 𝑘𝑥 dan 𝐶 sin 𝑘𝑥, dengan memperhatikan aturan

penurunan terhadap sinus dan kosinus, kita ambil sebagai solusi percobaan partikular adalah

fungsi dengan formasi :

𝑦𝑝(𝑥) = 𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝐵 sin 𝑘𝑥 (𝟔. 𝟐𝟐)

Kasus lain, ketika 𝑄(𝑥) merupakan hasil dari suatu fungsi yang didahuli oleh sebuah variabel,

kita mengambil solusi percobaan partikular yang sesuai dengan fungsi tersebut. Misalkan :

𝑦′′ + 2𝑦′ + 4𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥

Kita mencoba solusi khususnya :

𝑦𝑝(𝑥) = (𝐴𝑥 + 𝐵) cos 3𝑥 + (𝐶𝑥 + 𝐷) sin 3𝑥

48

7. TRANSFORMASI LAPLACE

7.1 Definisi

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Meski

berbeda dan menjadi alternatif untuk variasi parameter dan koefisien yang tidak ditentukan,

metode Laplace bermanfaat secara terpisah untuk masukan bagian yang hanya terdefinisi

sebagian, periodic, ataupun impulsive.

Transformasi Laplace 𝑓(𝑠) dari fungsi 𝐹(𝑡) didefinisikan :

𝑓(𝑠) = 𝐿{𝐹(𝑡)} = ∫ 𝐹(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

(𝟕. 𝟏)

yang merupakan bentuk umum integral biasa. Karena bentuk integral, sifat-sifat dari integral

juga berlaku untuk transformasi Laplace ini. Misalnya :

𝐿{𝑎𝐹(𝑡) + 𝑏𝐺(𝑡)} = 𝑎𝐿{𝐹(𝑡)} + 𝑏𝐿{𝐺(𝑡)} (𝟕. 𝟐)

7.2 Fungsi Elementer

Sebagai pengantar transformasi Laplace, mari kita mengaplikasikannya untuk beberapa fungsi

elementer. Untuk setiap kasus, kita asumsikan 𝐹(𝑡) = 0 untuk 𝑡 < 0. Jika

𝐹(𝑡) = 1, 𝑡 > 0

transformasi Laplacenya menjadi :

𝐿{1} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

=1

𝑠, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘𝑠 > 0

Contoh lain,

𝐹(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡, 𝑡 > 0

49

transformasi Laplacenya menjadi :

𝐿{𝑒𝑘𝑡} = ∫ 𝑒𝑘𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

=1

𝑠 − 𝑘, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘𝑠 > 𝑘

Dari dua bentuk diatas, transformasi Laplace untuk fungsi hiperbolikus 𝑐𝑜𝑠ℎ dan 𝑠𝑖𝑛ℎ dapat

diketahui. Kita tahu,

cosh 𝑘𝑡 =1

2(𝑒𝑘𝑡 + 𝑒−𝑘𝑡), sinh 𝑘𝑡 =

1

2(𝑒𝑘𝑡 − 𝑒−𝑘𝑡) ,

transformasi Laplacenya menjadi :

𝐿{cosh 𝑘𝑡} =1

2(

1

𝑠−𝑘+

1

𝑠+𝑘) =

𝑠

𝑠2+𝑘2 ,

𝐿{sinh 𝑘𝑡} =1

2(

1

𝑠−𝑘−

1

𝑠+𝑘) =

𝑘

𝑠2+𝑘2 ,

Dimana keduanya terpenuhi untuk 𝑠 > 𝑘.

Hal tersebut juga dapat dibuktikan untuk mencari transofmasi dari cos 𝑘𝑡 dan sin 𝑘𝑡, dimana :

𝐿{cos 𝑘𝑡} =𝑠

𝑠2+𝑘2,

𝐿{sin 𝑘𝑡} =𝑘

𝑠2+𝑘2,

Keduanya berlaku untuk 𝑠 > 0.

Fungsi elementer lain yang juga sering digunakan, adalah 𝐹(𝑡) = 𝑡𝑛, yang transformasi

Laplacenya :

𝐿{𝑡𝑛} = ∫ 𝑡𝑛𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0,

dengan menyelesaikan bentuk integral tersebut, didapatkan :

𝑓(𝑠) =𝑛!

𝑠𝑛+1 untuk 𝑠 > 0 dan 𝑛 > −1.

Dari beberapa persamaan di atas, setiap transformasi memiliki variabel 𝑠 pada pembagi,

sehingga muncul sebagai pangkat negative. Dari definisi awal transformasi Laplace dan syarat

keadaannya, dapat kita lihat bahwa jika 𝑓(𝑠) adalah sebuah transformasi Laplace, 𝑙𝑖𝑚𝑠→∞

𝑓(𝑠) = 0.

50

Suatu hal penting dari fakta ini adalah jika 𝑓(𝑠) bersifat asymptotis untuk nilai 𝑠 yang besar

sebagai pangkat positif dari 𝑠, tidak ada transformasi invers yang memenuhi persamaan tersebut.

7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace

Secara umum, fungsi Heaviside merupakan fungsi diskontinu yang nilainya nol untuk bagian

negative dan nilainya satu untuk bagian positif. Misalkan fungsi Heaviside kita definisikan

sebagai 𝑢(𝑡 − 𝑘),

𝑢(𝑡 − 𝑘) = {0, 𝑡 < 𝑘,1, 𝑡 > 𝑘,

(𝟕. 𝟑)

Gambar 7.1 Contoh grafik fungsi Heaviside

dimana transformasi Laplace dari fungsi tersebut adalah :

𝐿{𝑢(𝑡 − 𝑘)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

𝑘

=1

𝑠𝑒−𝑘𝑠

Misalnya sebuah grafik signal 𝐹(𝑡) dengan tinggi 𝐴 saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 𝑡0, dengan

menggunakan fungsi Heaviside, signal tersebut dapat direpresentasikan sebagai :

𝐹(𝑡) = 𝐴[𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 𝑡0)].

Transformasi Laplacenya menjadi :

𝐿{𝐹(𝑡)} =1

𝑠(1 − 𝑒−𝑡0𝑠).

Penggunaan lebih lanjut pada persamaan diferensial akan berguna dengan menggunakan konsep

fungsi Delta Dirac. Transformasi dari fungsi Delta Dirac :

𝐿{𝛿(𝑡 − 𝑡0)} = ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝛿(𝑡 − 𝑡0)∞

0

𝑑𝑡 = 𝑒−𝑡0𝑠, untuk 𝑡0 > 0 (𝟕. 𝟒)

51

Gambar 7.2 Grafik fungsi Delta Dirac

Untuk 𝑡0 = 0 perlu diperhatikan, karena fungsi Delta Dirac berpengaruh pada distribusi

kesimetrian dan definisi integral dari transformasi Laplace teerdestriksi untuk 𝑡 ≥ 0. Hasil yang

konsisten dari transformasi Laplace, didapatkan ketika urutan delta pada jangkauan 𝑡 ≥ 𝑡0, yang

hasilnya :

𝐿{𝛿(𝑡)} = 1

Fungsi delta ini sering disebut fungsi impulse karena sangat berguna dalam mendeskripsikan

gaya impulsive, yakni gaya yang terjadi pada waktu yang singkat.

7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial

Salah satu fungsi dari transformasi Laplace adalah untuk menyelesaikan solusi dari persamaan

difrensial. Transformasi Laplace menjadikan persamaan diferensial yang dianalisis

ditransformasi ke ruang Laplace menjadi fungsi 𝑓(𝑠). Fungsi terebut dapat dirubah bentuknya

menjadi aljabar sederhana, lalu melakkukan transformasi balik fungsi tersebut sehingga

didapatkan solusi dengan variabel asal fungsi.

Gambar 7.3 Diagram alir penggunaan transformasi Laplace untuk diferensial

52

Misalkan transformasi Laplace untuk fungsi (𝑡) :

𝐿{𝐹′(𝑡)} = ∫𝑑𝐹(𝑡)

𝑑𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

∞

0

(𝟕. 𝟓)

Dengan melakukan integral parsial :

𝐿{𝐹′(𝑡)} = 𝑒−𝑠𝑡𝐹(𝑡) |∞0

+ 𝑠 ∫ 𝐹(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞

0

= 𝑠𝐿{𝐹(𝑡)} − 𝐹(0)

Untuk turunan dengan orde dua, didapatkan :

𝐿{𝐹′′(𝑡)} = 𝑠2𝐿{𝐹(𝑡)} − 𝑠𝐹(0) − 𝐹′(0) (𝟕. 𝟔)

Dari pemaparan tersebut, transformasi laplace untuk turunan dengan orde lebih tinggi akan

mengikuti pola :

𝐿{𝐹𝑛(𝑡)} = 𝑠𝑛𝐿{𝐹(𝑡)} − 𝑠𝑛−1𝐹(0) − ⋯ − 𝐹(𝑛−1)(0) (𝟕. 𝟕)

Setelah mendapatkan fungsi dari 𝑓(𝑠), persamaan tersebut diolah dengan operasi aljabar

sederhana kemudian melakukan transformasi balik untuk mendapatkan nilai 𝑓(𝑡) yang kembali

pada variabel awal :

𝐿−1{𝑓(𝑠)} = 𝑓(𝑡)

Transformasi balik Lapace ini dikaji lebih dalam dengan teorema konvolusi. Misalkan 𝐿{𝑓(𝑡)} =

𝑓(𝑠) dan 𝐿{𝑔(𝑡)} = 𝑔(𝑠), transformasi balik dari hasil kalinya :

𝐿−1{𝑓(𝑠)𝑔(𝑠)} = 𝑓 ∗ 𝑔 (𝟕. 𝟖)

Dimana 𝑓 ∗ 𝑔 adalah konvolusi dari fungsi 𝑓 dan 𝑔 yang memenuhi persamaan :

𝑓 ∗ 𝑔 = ∫ 𝑓(𝑠)𝑔(𝑡 − 𝑠)𝑑𝑠𝑡

𝑜

(𝟕. 𝟗)

Adapun penerapan transformasi laplace pada integral :

𝐿 [∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑜

] = ∫ 𝑑𝑡∞

𝑜

𝑒−𝑠𝑡 ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑜

= [−1

𝑠𝑒−𝑠𝑡 ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

𝑡

𝑜

] 0 + ∫1

𝑠𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡

∞

𝑜

Bagian pertama pada ruas kanan diabaikan, sehingga :

53

𝐿 [∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑡

𝑜

] =1

𝑠𝐿[𝑓(𝑡)] (𝟕. 𝟏𝟎)

Bentuk lain, ketika kita memiliki fungsi konvergen bervariabel :

𝑓(𝑥) = ∫ 𝑒−𝑥𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡∞

0

Dengan mengubah urutan integrasinya dapat dilihat bahwa :

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

𝑠

= ∫ 𝑑𝑥∞

𝑠

∫ 𝑑𝑡𝑒−𝑥𝑡𝑓(𝑡)∞

0

= ∫ 𝑒−𝑥𝑡𝑓(𝑡)

𝑡𝑑𝑡

∞

0

= 𝐿 [𝑓(𝑡)

𝑡] (𝟕. 𝟏𝟏)

Dari berbagai penjabaran tentang transformasi Laplace di atas, berikut adalah table transformasi

Laplace untuk fungsi-fungsi standard.

Tabel 7.1 Daftar Transformasi Laplace beberapa fungsi

54

DAFTAR PUSTAKA

[1]. K. F. Riley, M. P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and

Engineering, 3rd Ed., Cambridge University Press, London, (2006)

[2]. G. B. Arfken, H. J. Weber, F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th Ed.,

Elsevier, Walthman, (2013)

[3]. T.Surungan, Fisika Matematika, Vol. 1, Lembaga Kajian dan Pengembangan Pendidikan

Universitas Hasanuddin, Makassar, (2012)