BAB 1 PERUMUSAN MATEMATIKA DARI MASALAH-MASALAH FISIKA …

1

BAB 1PERUMUSAN MATEMATIKADARI MASALAH-MASALAH FISIKA DAN KIMIA

1.1 PendahuluanDalam penyelesaian masalah-masalah fisika dan kimia seringdijumpai bahwa pendekatan secara matematis merupakan jalan terbaikuntuk mendapatkan hasil yang diinginkan. Salah satu keuntunganpendekatan matematis adalah diperolehnya gambaran yang bersifatkuantitatif. Gambaran kuantitatif ini dapat mempermudah pemahamanyang lebih mendalam terhadap masalah-masalah yang ditinjau danjuga mempermudah pencarian penyelesaian masalah yang dihadapi.

Penyusunan masalah-masalah fisika dan kimia secara matematismelalui tiga tahapan dasar, yaitu:1. Menjabarkan masalah-masalah (atau fenomena-fenomena) fisika

dan kimia ke dalam bahasa matematika, sehingga diperolehpersamaan matematis yang dapat mendekati peristiwa yangditinjau (model matematis).

Tujuan instruksional khusus: Mengingatkan kembali tentang hukum-hukum kekekalan, per-

pindahan, dan keseimbangan. Mengingatkan kembali tentang neraca massa dan energi Memperkenalkan langkah-langkah perumusan masalah dalam

teknik kimia ke dalam bahasa matematik.

Tujuan instruksional umum:Setelah mengikuti pokok bahasan (PB) ini mahasiswa dapatmengaplikasikan hukum-hukum kekekalan dalam membuat peru-musan matematik dari persoalan fisika dan kimia.

2

2. Menyelesaikan persamaan matematis yang diperoleh.3. Menginterpretasikan hasil yang didapatkan.

Tipe persamaan matematis yang diperoleh (persamaan aljabar,persamaan diferensial, persamaan beda hingga, dll.) akan tergantungbaik pada sistem dari peristiwa yang ditinjau maupun pada detailmodelnya.

Penyusunan persamaan matematis memerlukan pemahamanteori-teori dasar dari peristiwa yang dihadapi, pemahaman konsep-konsep matematika, dan kemam-puan melakukan asumsi-asumsi.Asumsi-asumsi ini adalah untuk menentukan batasan-batasan modelyang harus selalu diingat saat mengevaluasi hasil yang diperoleh.Dalam menyusun model matematis dari suatu fenomena fisika dankimia digunakan hukum-hukum dasar fisika dan kimia, yaitu1) Hukum-hukum kekekalan: kekekalan massa

kekekalan energi kekekalan momentum

2) Hukum-hukum perpindahan (persamaan-persamaan kecepatan) Proses fisika: Perpindahan massa

Perpindahan panas Perpindahan momentum

Proses kimia: Kinetika kimia3) Hukum-hukum kesetimbangan: Kesetimbangan fase

Kesetimbangan kimia

1.2 Hukum-Hukum Kekekalan1.2.1 Neraca MassaNeraca massa total untuk suatu sistem dalam tiap satuan waktuadalah:

sistemdalamdimassaakumulasilaju

sistemdarikeluarmassalaju

sistemdalamkemasukmassalaju

(1.1)Satuan dari persamaan ini adalah massa per waktu. Jadi besarnya lajumassa masuk atau keluar sistem dapat didekati dengan persamaan:

3

Fm (1.2)

dimana m adalah laju alir massa, adalah densiti fluida dan Fadalah laju alir volumetris. Hanya ada satu persamaan neraca massatotal untuk satu sistem.

Bila massa terdiri dari banyak komponen (kimia, fase) dan tidakterjadi reaksi kimia, yaitu tidak terjadi perubahan suatu komponenmenjadi komponen lainnya, maka massa tiap-tiap komponen adalahtetap, sehingga neraca massa komponen dapat disusun seperti Pers.(1.1). Tetapi bila terjadi reaksi kimia di dalam sistem, massa dari tiap-tiap komponen akan bertambah jika komponen tersebut merupakanproduk reaksi atau berkurang jika komponen tersebut adalah reaktan.Oleh karena itu, neraca massa komponen i dapat ditulis sebagaiberikut:

kimiareaksikarenasistemdalamdi timbulyang

komponenmassalaju

sistemdarikeluarkomponenmassalaju

sistemdalamkemasukkomponenmassalaju

iii

sistemdalamdikomponenmassaakumulasilaju

kimiareaksikarenasistemdalamdi terpakaiyang

komponenmassalaju

i

i

(1.3)Satuan persamaan ini adalah massa komponen i per satuan waktu. Jadibesarnya laju massa komponen i masuk atau keluar sistem dapatdidekati dengan persamaan:

laju massa komponen i FCi (1.4)

dimana Ci adalah konsentrasi komponen i. Persamaan (1.3) dapat jugaditulis dalam bentuk singkat, yaitu:

asi L. akumulsi L. genera L. keluarL. masuk (1.5)Pada keadaan tunak, akumulasi adalah nol.

4

Aliran massa masuk dan keluar sistem bisa secara konveksi(karena badan aliran) dan secara molekular (karena difusi). Hanya adasatu persamaan neraca massa komponen untuk setiap komponendidalam sistem. Jika ada n komponen didalam suatu sistem, ada npersamaan neraca massa komponen untuk sistem tersebut. Namun,satu persamaan neraca massa total dan n persamaan neraca massakomponen tidak linearly independent, karena jumlah dari tiap-tiapmassa komponen sama dengan massa total. Oleh karena itu, untuksistem dengan n komponen hanya mempunyai n persamaan neracamassa yang linearly independent. Biasanya, digunakan satupersamaan neraca massa total dan 1n neraca massa komponen.Misal, untuk sistem biner (dua komponen), ada satu neraca massatotal dan satu neraca massa komponen.

1.2.2 Neraca EnergiNeraca energi untuk suatu sistem adalah:

lingkungandarisistemdalamkepanaspenambahanlajunet

sistemdarikeluarenergilaju

sistemdalamkemasukenergilaju

sistemdalamdi

energiakumulasilajulingkungan terhadapsistemoleh

dilakukanyangkerjalajunet (1.6)

Energi disini bisa dalam berbagai bentuk, beberapa diantaranya adalahenergi dalam, energi kinetik, energi potensial, energi mekanik, danpanas. Dalam bidang teknik kimia, bentuk persamaan neraca energiyang banyak dijumpai adalah persamaan energi panas.

Besarnya laju panas yang masuk atau keluar sistem secarakonveksi (aliran) dapat didekati dengan persamaan:

Catatan: bila suatu komponen terpakai di dalam sistem, “+generasi” diganti dengan “ deplesi” dalam Pers. (1.5).

5

TCmQ p (1.7)

dimana Q adalah laju perpindahan panas, Cp adalah kapasitas panasdan T adalah temperatur.

1.2.3 Neraca MomentumNeraca momentum untuk suatu sistem adalah:

sistempadabekerjayanggaya-gayajumlah

sistemdarikeluarmomentumlaju

sistemdalamkemasukmomentumlaju

sistemdalamdi

momentumakumulasilaju (1.8)

Gaya-gaya ini bisa berupa gaya tekanan dan gaya gravitasi.

Contoh 1.1.Suatu tangki yang mula-mula berisi cairan dengan tinggi 0hdikosongkan dengan mengalirkan cairan melalui orifice yangada di dasar tangki. Laju alir volumetris cairan keluar adalah

).( 21hkFF Tangki berbentuk silinder dengan diameterdalam 50 cm.a) Jabarkanlah model matematis yang menyatakan tinggi cairan

sebagai fungsi waktu.b) Bila det21,34 25cmk dan ,400 cmh berapa waktu

yang diperlukan agar tangki tersebut kosong?

Penyelesaian:

Anggap: A = konstan, = konstan

6

Gambar 1.1. Pengosongan tangki.

a) Neraca massa total:

asi L. akumul L. keluarL. masuk

dtVdF )(0

karena dan A konstan, persamaan di atas menjadi:

dtdhAhk 21

integrasikan persamaan di atas dari 0t hingga t dan dari0hh hingga h, menghasilkan

210

212 hhtAk

(1.9)

221

0 2

t

Akhh (1.10)

b) Dari Pers. (1.9) diperoleh

21210

2 hhkAt

h0

F

7

bila tangki kosong berarti ,0V atau ,0h sehinggadiperoleh

210

2 hkAt

222 cm5,1963)50(44

DA

menit1,12detik726)40(21,34

5,19632 21

t

Jadi waktu yang diperlukan untuk mengosongkan tangki adalah12,1 menit.

Contoh 1.2.Sebuah tangki silinder mula-mula berisi larutan garam denganvolume 400 liter yang konsentrasinya 50 gr/liter. Air dialirkanke dalam tangki dengan laju alir 5 liter/men dan campurantersebut diaduk dengan sempurna. Berapa konsentrasi garamkeluar tangki sebagai fungsi waktu, bilaa) Laju alir larutan keluar adalah 5 ltr/men?b) Laju alir larutan keluar adalah 4 ltr/men?

Penyelesaian:

Gambar 1.2. Tangki Pengenceran

Fi = 5 lt/menair

C = …?

F

8

Anggap: = konstan Pengadukannya cukup sempurna, sehingga konsentrasi

larutan keluar sama dengan konsentrasi larutan dalamtangki

a) Bila 5F ltr/men.Neraca massa total:


dtVdFFi

)(

dtVdFFi (1.11)

0dtdV (1.12)

400konstan V ltr (1.13)

Catatan: Dengan menganggap konstan pada Pers. (1.11), inimenyatakan bahwa net laju alir volumetris samadengan laju perubahan volume.

Neraca massa komponen garam:


dtCVdCFCF gi

)(

dtdCV

dtdVCC 5 (1.14)

9

substitusikan Pers. (1.12) dan (1.13) ke dalam Pers. (1.14),didapatkan:

180ln KtC (1.15)

Kondisi awal (K.A.): pada 50,0 Ct gr/ltr. Dari K.A. danPers. (1.15), diperoleh .50ln1 K Persamaan (1.15) menjadi

50ln80ln tC

8050 teC (1.16)

b) Bila 4F ltr/men.Neraca massa total:


dtdV

45

1dtdV (1.17)

2KtV (1.18)

K.A.: pada 400,0 Vt ltr. Dari K.A. dan Pers. (1.18)didapatkan 4002 K . Persamaan (1.18) menjadi

400 tV (1.19)

Neraca massa komponen garam:asi L. akumul L. keluarL. masuk

10

dtCVdC )()4()05(

dtdCV

dtdVCC 4 (1.20)

Substitusikan Pers. (1.17) dan (1.19) ke dalam Pers. (1.20)

dtdCtC )400(5

Integrasikan persamaan ini, didapatkan

CKt lnln)400ln(5 3 (1.21)

K.A.: pada 50,0 Ct gr/ltr. Dengan menggunakan K.A. inidiperoleh harga ).40050ln(ln 5

3 K Persamaan (1.21)menjadi

5

40040050

t

C

Contoh 1.3.Tinjau suatu tangki yang dilengkapi dengan heater sepertiditunjukkan pada Gambar 1.3. Cairan masuk ke dalam tangkidengan laju alir Fi (ft3/men) dan temperatur Ti (oC), dimanacairan tersebut dipanaskan dengan steam. Laju panas yangdiberikan oleh steam adalah Q. Laju alir cairan keluar tangkiadalah F (ft3/men). Pengadukan sempurna sehingga temperaturcairan di dalam tangki seragam dan temperatur cairan keluarsama dengan temperatur di dalam tangki. Turunkan persamaandiferensial yang menggambarkan temperatur cairan sebagaifungsi waktu.

11

Penyelesaian:

Gambar 1.3. Pemanasan cairan di dalam tangki.

Anggap: Temperatur steam konstan di dalam coil Luas permukaan tangki (A) konstan. Densiti () dan kapasitas panas (cp) cairan tidak banyak

berubah dengan perubahan temperatur.

Neraca massa total:L. masuk L. keluar = L. akumulasi

dthAdFFi

)( (1.22)

karena A dan konstan, Pers. (1.22) menjadi

dtdhAFFi (1.23)

Neraca panas total:

L. masuk L. keluar L. panas dari steam = L. akumulasi

dtTchAd

QTcFTcF ppipi

)(

Fi

Ti

F

12

dtThdA

cQTFTF

pii

)(

dtdhAT

dtdThA

cQTFTF

pii

(1.24)

Substitusikan Pers (1.23) ke dalam Pers. (1.24), menghasilkan

dtdThA

cQTTF

pii

)( (1.25)

atau dapat juga ditulis dalam bentuk

pi

ii

chAQT

hAFT

hAF

dtdT

(1.26)

1.3 Hukum-Hukum PerpindahanPersamaan-persamaan kecepatan mencakup dua bidang pokok, yaitu,fisis (peristiwa perpindahan) dan kimiawi (kinetika kimia). Peristiwaperpindahan terdiri dari perpindahan momentum, energi, dan massa.Mereka diperlukan untuk menggambarkan laju perpindahan antarasistem dan lingkungan. Kinetika kimia dibutuhkan untuk meng-gambarkan laju reaksi kimia yang berlangsung di dalam suatu sistem.

1.3.1 Perpindahan MomentumPerpindahan momentum dapat dibagi dalam dua mekanismeperpindahan, yaitu, perpindahan momentum secara molekular dansecara konveksi. Perpindahan momentum secara molekular dapatterjadi disebabkan oleh adanya gaya tarik menarik antar molekul yangmenimbulkan tegangan geser, dan dapat dinyatakan dengan hukumNewton untuk viskositas, yaitu,

13

dxdvz

zx (1.27)

dimana: zx = tegangan geser, yaitu gaya yang bekerja per satuanluas sejajar dengan arah z, atau

= fluksi perpindahan z-momentum ke arah x = viskositas fluida

zv = kecepatan fluida ke arah z

Persamaan (1.27) hanya berlaku untuk fluida Newtonian.Perpindahan momentum karena konveksi (aliran) dapat

dinyatakan dengan:

2zz vAvmP (1.28)

dimana: P = laju perpindahan momentumm = laju alir massaA = luas penampang yang tegak lurus dengan arah aliran

1.3.2 Perpindahan PanasDalam subbab ini dibahas dua mekanisme perpindahan panas, yaitu,konduksi dan konveksi (aliran dan antar fase). Perpindahan panaskonduksi (secara molekular) adalah perpindahan panas pada mediayang tidak bergerak dimana panas berpindah karena getaran molekuldari satu molekul ke molekul lainnya. Besarnya laju perpindahanpanas konduksi dapat dinyatakan dengan hukum Fourier:

dxdTk

AQq (1.29)

dengan: Q = jumlah panas yang dipindahkan per satuan waktuq = fluksi panas, yaitu, jumlah panas yang dipindahkan

14

per satuan waktu per satuan luas.A = luas permukaan perpindahan panask = koefisien konduksi panas/konduktivitas panasT = suhux = posisi/jarak.

Perpindahan panas antar fase misalnya terjadi antara per-mukaan padatan dengan fluida disekitarnya. Fluksi panasnya dapatdinyatakan dengan hukum pendinginan Newton:

)( sf TThAQq (1.30)

dimana: h = koefisien perpindahan panasfT = suhu fluida

sT = suhu permukaan padatan

Gambar 1.4. Perpindahan panas dari permukaan padatanke fluida )( fs TT .

Besarnya laju perpindahan panas konveksi (aliran) dapat didekatidengan Pers. (1.7) atau

TCvAQq p (1.31)

Jumlah panas yang dipasok oleh coil/jacket ke cairan di dalam tangki

Ts

fluida

Q

padatanTf

15

adalah:

)( TTAUQ c (1.32)dengan: U = koefisien perpindahan panas keseluruhan antara

coil/jacket dan cairanA = luas total permukaan perpindahan panasTc = temperatur coil/jacket

1.3.3 Perpindahan MassaPerpindahan massa yang dibahas dalam buku ini adalah perpindahanmassa secara difusi (molekular), perpindahan massa antar fase, danperpindahan massa karena konveksi. Perpindahan massa secara difusidisebabkan oleh adanya gradien konsentrasi. Besarnya lajuperpindahan massa difusi dapat dinyatakan dengan hukum FickPertama, yaitu:

dxdcDN A

A (1.33)

dimana: NA = laju perpindahan massa A tiap satuan luasD = koefisien difusicA = konsentrasi komponen A

x = jarak

Untuk perpindahan massa antara permukaan antar fase danfluida disekitarnya dapat didekati dengan persamaan:

)( fAsAAA cckN (1.34)

dimana: Ak = koefisien perpindahan massa

fAc = konsentrasi komponen A pada permukaan antar fase

sAc = konsentrasi komponen A pada bada fluida

16

Perpindahan massa karena konveksi dapat dinyatakan dengan

AzA cvN (1.35)

dimana: zv = kecepatan fluida dalam arah z.

1.3.4 Kinetika KimiaKinetika kimia merupakan studi mengenai laju dan mekanismedimana satu komponen kimia diubah menjadi komponen lainnya. Lajuadalah massa (dalam mol) dari suatu produk yang dihasilkan ataureaktan yang dipakai per satuan waktu. Dalam pemodelan seringkaliberhadapan dengan reaktor-reaktor kimia, karena itu kita harusfamiliar dengan hubungan-hubungan dasar dan terminologi yangdigunakan dalam menggambarkan kinetika (laju reaksi) dari reaksikimia.

1. Hukum Aksi MassaTinjau reaksi kimia homogen irreversibel umum berikut ini:

a A + b B c C + d D (1.36)

Bila A diambil sebagai basis perhitungan dan Pers. (1.36) dibagidengan koefisien stoikhiometri dari komponen A, diperoleh

DadC

acB

abA (1.37)

Dari Reaksi (1.37) terlihat bahwa untuk setiap mol A yang dikonsumsi,ac mol C yang terbentuk. Dengan kata lain:

laju pembentukan Cac

(laju pengurangan A)

17

dtdn

ac

dtdn AC

Dengan cara yang sama, hubungan antara laju pembentukan D danlaju pengurangan A adalah

dtdn

ad

dtdn AD

Hubungan ini secara umum dapat ditulis:

dtdn

ddtdn

cdtdn

bdtdn

aDCBA

1111 (1.38)

Laju reaksi keseluruhan r didefinisikan sebagai laju perubahanmol dari suatu reaktan atau produk akibat reaksi kimia per satuanvolum per koefisien stoikhiometri komponen:

dtdn

Vr j

j11 (1.39)

dimana: r = laju reaksi per satuan volumeV = volume dari campuran reaksi

j = koefisien stoikhiometri dari komponen j; ambil positifuntuk produk dan negatif untuk reaktan

jn = mol komponen jBila reaksi terjadi pada volume konstan dan karena ,jjj Vnc maka Pers. (1.39) menjadi:

dtdc

r j

j1 (1.40)

Hukum aksi massa mengatakan bahwa laju reaksi kimia rberubah dengan temperatur (karena k tergantung pada temperatur) dankonsentrasi reaktan pangkat bilangan tertentu. Kecepatan reaksi dari

18

Pers. (1.36) dapat dinyatakan dengan:

BAn cckr (1.41)

dimana: nk = ko nstanta kecepatan reaksi order n, tidak tergantungpada konsentrasi, tetapi tergantung pada temperatur

cA = konsentrasi komponen AcB = konsentrasi komponen B = order reaksi terhadap A = order reaksi terhadap B

n = = order reaksi keseluruhanPada umumnya, konstanta dan tidak sama dengan koefisien

stoikhiometri a dan b. Konstanta dan dapat berupa bilanganpecahan.

Satuan dari konstanta laju reaksi k tergantung pada order reaksi.Hal ini karena laju reaksi r selalu mempunyai satuan yang sama (molper satuan waktu per satuan volum).

2. Pengaruh Temperatur Persamaan ArrheniusPengaruh temperatur terhadap laju reaksi spesifik k biasanyamengikuti persamaan Arrhenius,

RTEeAk (1.42)

dimana: k = laju reaksi spesifikA = faktor preexponentialE = energi aktivasi; menunjukkan ketergantungan

temperatur terhadap laju reaksi, yaitu, makin besar E,makin cepat kenaikan k dengan naiknya temperatur

T = temperaturR = konstanta gas

Jika dalam suatu reaktor, reaksi dikendalikan oleh perpindahan massadan laju reaksi kimia, maka dalam model matematika kedua pengaruhtersebut harus dimasukkan.

19

Contoh 1.4.Sebuah sirip tembaga mempunyai panjang L penampangnyasegitiga (lihat Gambar 1.5). Pada bagian dasar tebalnya W dantemperaturnya dipertahankan konstan TB. Temperatur udara Ta

dan terjadi kehilangan panas dari sirip ke udara sekitarnyasecara konveksi. Koefisien perpindahan panas antara permukaansirip dan udara adalah h Btu/(jam ft2 oF). Bagaimanakahhubungan antara temperatur sirip, T, dan jarak dari dasar, L-x?

Penyelesaian:Anggap keadaan tunak, dan ambil elemen volum setebal x(lihat Gambar 1.6). Perpindahan panas terjadi secara konduksidan konveksi (antar fase).Neraca panas pada keadaan tunak:

0 si L. genera L. keluarL. masuk

002

AqAqAq cxxxkxxk (1.43)

Gambar 1.5. Sirip lurus dengan penampang tidak seragam.

SuhubadankonstanTB

W

L

Z

udara, Ta

20

Gambar 1.6. Elemen volum dan arah perpindahan panas padasirip.

Tanda negatif karena arah perpindahan panas dibalik dan notasi

xx artinya “dihitung pada xx .” Karena perpindahan

panas secara konveksi (antar fase) terjadi di dua tempat, yaitu,bagian atas sirip dan bagian bawah sirip, maka luasnya harusdikali dengan dua. Luas penampang yang tegak lurus arahperpindahan panas, xA , adalah:

zwAx 1 (1.44)

sedangkan:Lx

Ww1

xL

Ww 1 (1.45)

Jadi, Pers. (1.44) menjadi

xzL

WAx (1.46)

xkqxxkq

L

x

W

x x = 0

qc

qc

w1

21

Luas A pada konveksi (antar fase) adalah:

xsec

seczxzA (1.47)

Substitusikan Pers. (1.46) dan (1.47) ke Pers. (1.43), diperoleh

0sec2)( cxkxxk qzxqxz

LWqxxz

LW

Dengan membagikan persamaan ini dengan ,zx kemudianambil limit untuk x mendekati nol, didapatkan

0sec2)( cx qqxdxd

LW (1.48)

Menurut hukum Fourier,

dxdTkqk

tanda positif karena arah perpindahan panas dibalik, dan hukumpendinginan Newton, ),( ac TThq maka Pers. (1.48)menjadi:

0)(sec2

aTTh

dxdTxk

dxd

LW

bila konduktivitas panas k konstan, maka

x

22

0)(sec22

2

aTTWk

LhdxdT

dxTdx (1.49)

Persamaan (1.49) merupakan persamaan Bessel dan penyele-saiannya dibahas dalam Bab 3.

Contoh 1.5.Turunkan persamaan diferensial yang menggambarkan profilkomposisi di dalam packed bed tube reactor. Packed tube inimerupakan reaktor katalitik heterogen yang digunakan untukmereaksikan komponen A dengan reaksi

A Produk,

bedvolum-waktumol

AA ckr

menjadi produk pada kondisi isothermal. Difusi sepanjangsumbu dikendalikan oleh persamaan hukum Fick, dan paraleldengan perpindahan karena konveksi yang disebabkan olehkecepatan superficial .ovPenyelesaian:

zzAN

zAN

zzz

z

0z

23

Neraca massa pada keadaan tunak:

0... generasiLkeluarLmasukL 0

zArAcvANAcvAN AzzAozzAzAozA

Bagikan persamaan ini dengan volume dari elemen volum, ,zAdan ambil limit untuk z mendekati nol, menghasilkan

0 AA

oA ck

dzdcv

dzdN (1.50)

Menurut hukum Fick fluksi molar adalah

dzdcDN A

eA

Dengan menyisipkan AN ini ke Pers. (1.50), menghasilkan

02

2

Ae

A

e

oA cDk

dzdc

Dv

dzcd

(1.51)

Persamaan ini merupakan persamaan diferensial biasa linier order dua.

Contoh 1.6.Reaksi reversibel yang diberikan berikut ini

A B C

berjalan dalam suatu reaktor batch pada kondisi volume dansuhu konstan. Pada keadaan mula-mula hanya ada satu mol Adan setiap waktu t ada nA, nB, dan nC mol dari A, B, dan C.Tentukan perilaku )(tnA yang digambarkan oleh PDB orderdua.

k1

k2

k3

k4

24

Penyelesaian:

Net laju pengurangan A adalah:

BAA ckckr 21 (1.52)

Net laju pengurangan B adalah:

CBBAB ckckckckr 4321 (1.53)

Net laju pembentukan C adalah:

CBC ckckr 43 (1.54)

Neraca massa komponen:

akumulasiLgenerasiLkeluarLmasukL .... (1.55)

Untuk reaktor batch tidak ada aliran masuk dan keluar reaktor,sehingga Pers. (1.55) menjadi

generasiLakumulasiL .. (1.56)

Komponen A: Vrdt

VcdA

A )(

BAA nknk

dtdn

21 (1.57)

Komponen B: Vrdt

VcdB

B )(

CBBAB nknknknk

dtdn

4321 (1.58)

25

Komponen C: Vrdt

VcdC

C )(

CBA nknk

dtdn

43 (1.59)

Dari Pers. (1.58) didapatkan:

)()( 4321 CBBAB nknknknk

dtdn

(1.60)

Substitusikan Pers. (1.57) dan (1.59) ke dalam Pers. (1.60),menghasilkan

dtdn

dtdn

dtdn CAB

CAB dndndn bila diintegrasikan diperoleh

000 CBACBA nnnnnn (1.61)

Karena 10 An dan ,000 CB nn maka Pers. (1.61) menjadi

1 CBA nnn (1.62)

Diferensialkan Pers. (1.57) terhadap t,

dtdn

kdt

dnk

dtnd BAA

212

2

(1.63)

Substitusikan dtdnB dengan Pers. (1.58)

26

CBAAA nkknkkknkk

dtdnk

dtnd

423222112

2

)(

Dengan menggantikan Cn dengan Pers. (1.62) diperoleh

422432422112

2

)()( kknkkkknkkkkdt

dnkdt

ndBA

AA

Eliminasikan Bnk2 dalam persamaan ini dengan Pers. (1.57),menghasilkan

4242413143212

2

)()( kknkkkkkkdt

dnkkkkdt

ndA

AA

(1.64)

Ini merupakan persamaan diferensial linier order dua dengankoefisien konstan.

1.4 Hukum-Hukum KesetimbanganHukum thermodinamika kedua merupakan dasar untuk persamaan-persamaan yang menjelaskan kondisi-kondisi dari suatu sistem bilakondisi kesetimbangan berlaku.

1.4.1 Kesetimbangan KimiaKriteria kesetimbangan untuk reaksi kimia adalah

n

jjjv

10 (1.65)

dimana: jv = koefisien stoikhiometri dari komponen j, tanda negatif

27

untuk reaktan dan positif untuk produkj = potensial kimia dari komponen j.

Namun dalam aplikasinya, kesetimbangan suatu reaksi kimia biasanyadinyatakan dalam konstanta kesetimbangan. Misal, tinjau suatu reaksikimia fase-gas reversibel berikut ini

a A + b B c C + d D (1.66)

Pada keadaan kesetimbangan ada suatu persamaan matematis yangmenghubungkan konsentrasi satu komponen dengan komponenlainnya dalam satu fasa, yaitu

bB

aA

dD

cC

CCCCK

(1.67)

dimana K adalah konstanta kesetimbangan dan Ci adalah konsentrasikomponen i.

1.4.2 Kesetimbangan FasaKesetimbangan antara dua fasa terjadi bila potensial kimia dari tiap-tiap komponen adalah sama dalam kedua fasa:

IIj

Ij (1.68)

dimana: Ij = potensial kimia komponen j dalam fase IIIj = potensial kimia komponen j dalam fase II

Ada beberapa persamaan matematis yang menghubungkan komposisisuatu fase dengan fase lainnya dalam keadaan kesetimbangan.Diantaranya adalah:

Hukum Raoult. Cairan yang mengikuti hukum Raoult disebut cairanideal

k1

k2

28

PPx

ysjj

j (1.69)

dimana sjP adalah tekanan uap komponen murni j. Tekanan uap

hanya merupakan fungsi temperatur. Ketergantungan ini seringdigambarkan dengan persamaan Antoine

j

jj

sj CT

BAP

ln (1.70)

Relatif volatiliti. Relatif volatiliti komponen i terhadap komponen jdidefinisikan

jj

iiji xy

xy (1.71)

Untuk sistem biner, relative volatiliti BA adalah

)1()1( AA

AABA xy

xy

dengan menyusun kembali diperoleh

,)1(1 A

AA x

xy

BA (1.72)

Harga K. Rasio penguapan kesetimbangan atau harga K digunakansecara luas, terutama pada industri petroleum.

PP

xy

Ksj

j

jj (1.73)

Koefisien aktivitas. Untuk cairan non ideal, hukum Raoult mestidimodifikasi untuk memperhitungkan ketidakidealan dalam fase cair.

29

PPx

ysjjj

j

(1.74)

dimana j adalah koefisien aktivitas untuk komponen j. Koefisienaktivitas sama dengan satu bila komponen adalah ideal.

Untuk kesetimbangan cair-cair, hubungan antara kedua fasedapat dinyatakan dengan persamaan

IIi

Ii

iD xxK (1.75)

dimana: iDK = Koefisien distrbusi komponen iIix = fraksi mol komponen i dalam fase IIIix = fraksi mol komponen i dalam fase II

Contoh 1.7.Suatu alat seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.7 digunakanuntuk ekstraksi kontinyu asam benzoat dari toluen meng-gunakan air sebagai pelarut (solvent). Kedua aliran diumpankanke dalam tangki pencampur dimana keduanya diaduk sempurna,dan kemudian dialirkan ke tangki pemisah dimana terjadipemisahan menjadi dua lapisan. Lapisan atas adalah lapisantoluen dan lapisan bawah adalah lapisan air. Kedua lapisandikeluarkan dari tangki pemisah sendiri-sendiri. Laju alircampuran toluen+asam benzoat masuk tangki pencampuranadalah R m3/det dengan konsentrasi C kg/m3 asam benzoat danlaju alir air masuk tangki pencampuran adalah S m3/det. Lajualir lapisan toluen dan air keluar tangki pemisah masing-masingR dan S m3/det. Konsentrasi asam benzoat dalam lapisan toluenadalah x kg/m3 dan dalam lapisan air adalah y kg/m3. Keduaaliran yang keluar dari tangki pemisah selalu dalamkesetimbangan satu dengan yang lainnya, dan dapat dinyatakansecara matematis dengan

30

xmy

dimana m adalah koefisien distribusi. Tentukan rumusan bagianasam benzoat yang terekstrak.

Penyelesaian:Persoalan ini dapat diilustrasikan seperti dalam Gambar 1.8,dimana dua buah tangki digabung menjadi satu tahap.

Gambar 1.7. Mixer settler satu tahap

Gambar 1.8. Ekstraksi satu tahap

Toluen+

asam benzoat

Toluen+

asam benzoat air+

asam benzoat

air

R m3/det toluen R m3/det toluen

S m3/det air S m3/det airy kg/m3 as. benzoatair

C kg/m3 as. benzoatair

x kg/m3 as.benzoatair

31

Anggap: semua laju alir adalah mantap; karena kedua aliran

masuk dan keluar tahap dengan laju yang sama. toluen dan air tidak saling campur (immiscible).

Neraca massa asam benzoat pada keadaan tunak:

0 L. keluarL. masuk

0)( ySxRCR (1.76)

Hubungan kesetimbangan antara x dan y adalah

xmy (1.77)

Eliminasikan y pada Pers. (1.76) dengan Pers. (1.77),menghasilkan

SmRCRx

(1.78)

dan sisipkan persamaan ini kedalam Pers. (1.77) diperoleh

SmRCRmy

(1.79)

Jadi, bagian asam benzoat yang terekstrak adalah

SmRSm

SmRCRCRmS

CRySE

)(

(1.80)

BilaSm

R (1.81)

Persamaan (1.80) menjadi

11

E (1.82)

32

yaitu bagian asam benzoat yang terekstrak dalam kelompoktanpa dimensi . Bila ,12RS ,81m dan ,1C maka

4,012)81(

1

RR

Rx

dan

05,012)81(1)81(

RR

Ry

dan bagian asam benzoat yang terekstrak adalah

%60%1001

)05,0)(12(

RR

CRySE

Contoh 1.8.Kerjakan kembali Contoh 1.7, namun sekarang jumlah tahapyang digunakan untuk ekstraksi asam benzoat dari toluen adalahdua tahap. Masing-masing tahap masih terdiri dari dua tangki,yaitu tangki pencampuran dan tangki pe-misah, dengan alirancounter-current. Sistem aliran ditunjukkan pada Gambar 1.9.

Gambar 1.9. Ekstraksi dua tahap

Penyelesaian:Anggapan yang dibuat sama dengan pada Contoh 1.7.Hubungan kesetimbangan antara x dan y, Pers. (1.82), masihberlaku untuk tiap-tiap tahap, yaitu

11 xmy dan 22 xmy (1.83)

Tahap 1 Tahap 2

R , x2R , x1

S, y2

R , C

Sy = 0

Sy1

33

Neraca massa asam benzoat pada keadaan tunak untuk tahap 1:

0 L. keluarL. masuk

0)()( 112 ySxRySCR (1.84)

Neraca massa asam benzoat pada keadaan tunak untuk tahap 2:

0 L. keluarL. masuk

0)()0( 221 ySxRxR (1.85)

Eliminasikan 1x dan 2y pada Pers. (1.84) dan (1.85)menggunakan Pers. (1.83), menghasilkan

m

SmRyxSmCR 12 (1.86)

dan

)(21 SmRxRmy (1.87)

Substitusikan Pers. (1.87) ke dalam Pers. (1.86), didapatkan

m

SmRSmRxRmxSmCR )(22

222

2

2 SmSmRRCRx

(1.88)

Dari Pers. (1.87) diperoleh

2221)(SmSmRR

SmRCRmy

(1.89)

34

Bagian asam benzoat yang terekstrak adalah:

2221 )(

SmSmRRSmRSm

CRySE

(1.90)

Bila pembilang dan penyebut pada ruas kanan Pers. (1.90)dibagi dengan 22 Sm , menghasilkan

1

1

22

2

SmR

SmR

SmR

E

11

11

2

E

11

3

2

E (1.91)

Dengan menggunakan harga numerik yang sama dengan Contoh1.7, yaitu, ,12RS ,81m dan 1C didapatkan 211,02 xdan ;066,01 y dan bagian asam benzoat yang terekstrakadalah

%2,79%1001

)066,0)(12(1

R

RCRyS

E

Jadi asam benzoat yang terekstrak dengan menggunakan duatahap lebih besar dibandingkan dengan menggunakan satu tahappada kondisi yang sama.

35

1-5 RangkumanFormulasi peristiwa fisika dan kimia kedalam bahasa matematisdilakukan dengan menggunakan hokum-hukum dasar fisika ataukimia. Hukum-hukum dasar tersebut adalah

1. Hukum-hukum kekekalan kekekalan massa kekekalan energi kekekalan momentum

2. Hukum-hukum perpindahan perpindahan massa perpindahan energi perpindahan momentum

3. Hukum-hukum kesetimbangan kesetimbangan fisika kesetimbangan kimia

Formulasi peristiwa-peristiwa fisika dan kimia secara matematisini melalui tiga tahapan dasar, yaitu:

1. Penjabaran permasalahan fisika dan kimia kedalam bahasamatematis, sehingga diperoleh persamaan matematis yangmendekati peristiwa yang ditinjau (model matematis).

2. Penyelesaian model matematis (persamaan aljabar,persamaan diferensial, persamaan beda hingga, dll). Analitis Numeris

3. Interpretasi hasil

1.6 Soal-soal1.1. Kerjakan kembali Contoh 1.7. Namun, jumlah tahap yang

digunakan untuk ekstraksi asam benzoat dari toluen adalah tigatahap. Masing-masing tahap masih terdiri dari dua tangki, yaitu

36

tangki pencampuran dan tangki pemisah, dengan aliran counter-current.

1.2. Tangki A mula-mula berisi 500 ltr air. Larutan garam yangkonsentrasinya 40 gr/ltr mengalir kedalam tangki A dengan laju10 ltr/men. Larutan garam yang keluar dari tangki A masuk ketangki B dengan laju 10 ltr/men. Ke dalam tangki B jugaditambahkan make up larutan garam yang konsentrasinya 40gr/ltr dengan laju 2 ltr/men. Laju alir larutan keluar tangki Badalah 12 ltr/men. Tangki B mula-mula diisi dengan larutangaram sebanyak 400 ltr dengan konsentrasi 5 gr/ltr. Anggapkedua tangki tersebut diaduk sempurna sehingga konsentrasigaram didalam tangki sama dengan konsentrasi keluar tangki.Tentukan(a) Konsentrasi garam keluar tangki B pada waktu 1 jam(b) Waktu yang diperlukan agar konsentrasi garam pada tangki

A sama dengan konsentrasi garam pada tangki B.

1.3 Suatu tangki berisi 100 ft3 air. 2 ft3 larutan garam dengankonsentrasi 1 lb/ft3 garam dialirkan ke tangki setiap menit dancampuran tersebut dijaga homogen dengan pengadukan. Alirankeluar tangki dengan kecepatan 1 ft3/menit. Berapakahkonsentrasi larutan garam keluar tangki pada saat volumelarutan garam dalam tangki 150 ft3.

1.4 Dua buah tangki berpengaduk dihubungkan secara seri se-pertiyang ditunjukkan pada gambar di bawah ini:Kedua tangki tersebut digunakan untuk melarutkan bahan Bdengan pelarut air. Air masuk ke tangki dengan laju alir volume10 L/menit dan larutan yang keluar dari tangki pertama dantangki ke dua juga dengan laju alir volume yang sama, yaitu 10L/menit. Bila pada keadaan mula-mula tangki hanya berisi airsaja (anggap ukuran tangki pertama dan kedua sama dengankapasitas 100 L):

37

a) Hitung konsentrasi larutan B yang keluar dari tangki ke duasebagai fungsi waktu

b) Berapa waktu yang diperlukan agar konsentrasi B yang keluardari tangki ke dua sudah mencapai 0.3 kg/L.

c) Bila kondisi b) telah tercapai, berapa lama waktu yangdiperlukan untuk mencapai konsentrasi 0.2 kg/L, bila laju alirair dan larutan keluar tangki tetap 10 L/menit.

GlossariumHukum kekekalan massa dikenal juga sebagai hukum Lomonosov-Lavoisier adalah suatu hukum yang menyatakan massa dari suatusistem tertutup akan konstan meskipun terjadi berbagai macam prosesdi dalam sistem tersebut(dalam sistem tertutup Massa zat sebelum dan

Bahan B2 kg/menit Air

10 L/menit

Bahan B1kg/menit

10 L/menit

10 L/menit

38

sesudah reaksi adalah sama (tetap/konstan) ). Pernyataan yang umumdigunakan untuk menyatakan hukum kekekalan massa adalah massadapat berubah bentuk tetapi tidak dapat diciptakan atau dimusnahkan.Hukum kekekalan energi adalah salah satu dari hukum-hukumkekekalan yang meliputi energi kinetik dan energi potensial. Hukumini adalah hukum pertama termodinamika. Hukum Kekekalan Energi(Hukum I Termodinamika) berbunyi: "Energi dapat berubah dari satubentuk ke bentuk yang lain tapi tidak bisa diciptakan ataupundimusnahkan".Momentum merupakan hasil kali antara massa benda dengankecepatan gerak benda tersebut. Jadi momentum suatu benda selaludihubungkan dengan massa dan kecepatan benda.Kinetika kimia atau kinetika reaksi mempelajari laju reaksi dalamsuatu reaksi kimia.Kesetimbangan kimia adalah keadaan di mana kegiatan kimia ataukonsentrasi reaktan dan produk tidak memiliki perubahan dari waktuke waktu.Hukum Raoult menyatakan bahwa tekanan uap dari suatu larutanideal tergantung tekanan uap dari setiap komponen kimia dan fraksimol komponen dalam larutan.

Daftar Pustaka

1. Mickley, H. S., T. S. Sherwood, and C. E. Reed, 1975, AppliedMathematics in Chemical Engineering, McGraw-Hill BookCompany, New York

2. Rice, R. G. and D. D. Do, 1995, Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers, John Wiley & sons, Inc., NewYork.

39

BAB 2REVIEWPERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Dalam kalkulus telah dipelajari bagaimana mencari turunan dxdydari suatu fungsi ).(xfy Misalnya, jika axey , maka

axeadxdy . Dengan menggantikan axe dengan y, menghasilkan

yadxdy (2.1)

Tujuan instruksional umum: Mengingat kembali tentang persamaan diferensial biasa. Mengidentifikasi tipe, order, dan linierity persamaan diferensial

biasa. Mengindentifikasi cara penyelesaian persamaan diferensial biasa.

order satu dan dua linier

Tujuan instruksional khusus: Mahasiswa dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa

eksak Mahasiswa dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa

order satu linier. Mahasiswa dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa

order dua linier dengan koefisien konstan.

40

Permasalahannya sekarang adalah ”bukan bagaimana menentukanturunan dari fungsi )(xfy ?” Tetapi masalahnya adalah “jikadiberikan persamaan diferensial (PD) seperti Pers. (2.1), bagaimanacara menentukan fungsi )(xfy ?”

2.1 Definisi dan Klasifikasi Persamaan DiferensialSuatu persamaan yang mengandung turunan-turunan dari suatuvariabel terikat terhadap satu atau lebih variabel-variabel bebasdisebut persamaan diferensial. Persamaan diferensial dapatdiklasifikasikan berdasarkan tipe, order, dan linieriti.

Klasifikasi Berdasarkan Tipe: Jika suatu persamaan hanyamengandung turunan-turunan biasa dari suatu variabel terikat terhadapsatu variabel bebas disebut persamaan diferensial biasa (PDB).Contohnya:

2yydxdy

062

2

ydxdy

dxyd

Dalam contoh ini, y disebut variabel terikat dan x disebut variabelbebas.

Suatu persamaan yang mengandung turunan-turunan parsialdari suatu variabel terikat terhadap lebih dari satu variabel-variabelbebas disebut persamaan diferensial parsial (PDP). Contohnya:

2

2

xc

tc

02

2

2

2

yT

xT

41

Klasifikasi Berdasarkan Order: Order suatu PD, baik PDB maupunPDP, adalah order dari turunan tertinggi dalam persamaan tersebut.Sedangkan derajat suatu PD adalah pangkat tertinggi dari turunanorder tertinggi yang terdapat dalam PD setelah PD tersebutdirasionalkan dan dibulatkan. Contohnya:

05 ydxdy

(order satu, derajat pertama)

032

2

ydxdy

xdx

yd (order dua, derajat pertama)

xeydxdy

dxyd

453

2

2

(order dua, derajat pertama)

23

2

2

1

dxdy

dxyd

(order dua, derajat kedua)

Klasifikasi Berdasarkan Linieriti dan NonlinieritiPersamaan diferensial biasa order n adalah linier bila dapat ditulisdalam bentuk

,)()()()( 11

1

10 xgyadxdy

xadx

ydxa

dxyd

xa nnn

n

n

n

0)(0 xa (2.2)

Fungsi-fungsi )(,,)(,)( 10 xaxaxa n disebut koefisien-koefisienPD, dan )(xg disebut suku non homogen. Bila koefisien-koefisientersebut adalah fungsi-fungsi konstan, PD dinamakan mempunyaikoefisien-koefisien konstan. Persamaan disebut homogen bila

0)( xg dan non homogen bila .0)( xg Dari persamaan di atas

42

ter-lihat dua sifat karakteristik dari PD linier: Variabel terikat y dan semua turunan-turunannya adalah derajat

satu, yaitu, pangkat dari tiap-tiap suku yang melibatkan y adalah 1. Masing-masing koefisien hanya tergantung pada variabel bebas x.

Persamaan diferensial biasa yang tidak dapat ditulis dalambentuk umum di atas dinamakan PDB nonlinier. Misalnya:

022

2

ydxdy

xdx

yd(2.3a)

0sin2

2

ydx

yd(2.3b)

02

2

ydxdy

dxyd

y (2.3c)

Ketiga persamaan ini adalah PDB order dua nonlinier, karena padaPers. (2.3a) pangkat dari y bukan satu, pada Pers. (2.3b) terdapatfungsi nonlinier dari y; yaitu ysin , dan pada Pers. (2.3c) koefisientergantung pada variabel terikat y.

2.2 Persamaan Diferensial Biasa Order SatuBentuk umum persamaan diferensial (PD) order satu dan derajat satuadalah

0),(),( dyyxNdxyxM (2.4)

2.2.1 PD Dengan Variabel-Variabel TerpisahPada umumnya PD order satu dapat direduksi dengan manipulasialjabar menjadi bentuk:

0)()( dyygdxxf (2.5)

43

Persamaan ini dikatakan “terpisah” karena variabel x dan y terpisahsatu sama lainnya, sehingga x hanya ada pada koefisien dx dan yhanya ada pada koefisien dy. Penyelesaian umumnya adalah

Cdyygdxxf )()( (2.6)

dimana C adalah konstanta integrasi.

2.2.2 Reduksi Menjadi Variabel-Variabel TerpisahKadang-kadang pemisahan variabel tidak kelihatan dengan segera,tetapi dapat dilakukan berdasarkan pengalaman. Ada beberapa bentukPD yang dapat direduksi menjadi variabel-variabel terpisah,diantaranya adalah:

0)()()()( 1221 dyygxfdxygxf (2.7)dan

0)()( ygxfdxdy (2.8)

Penyelesaian umum Pers. (2.7) dapat diperoleh denganmengalikan persamaan tersebut dengan )()(1 22 ygxf untukmemisahkan variabel-variabel dan kemudian diintegrasikan:

Cdyygygdx

xfxf

)()(

)()(

2

1

2

1 (2.9)

Penyelesaian umum Pers. (2.8) dapat diperoleh denganmengalikan persamaan tersebut dengan )(ygdx kemudiandiintegrasikan:

Cyg

dydxxf )()( (2.10)

44

Jadi proses penyelesaian suatu persamaan yang dapatdipisahkan seringkali meliputi perkalian dengan faktor pengintegral,yaitu faktor pengali sehingga PD dapat dipisahkan.

Contoh 2.1.Selesaikan PD berikut: 0)1()9( 2 dyxydxyx

Penyelesaian:PD di atas dapat direduksi menjadi PD variabel terpisah denganmengalikan dengan faktor pengintegral ,)1)(9(1 2 xy hasilnya adalah

091 2

y

dyyx

dxx

Dengan mengintegralkan persamaan ini menghasilkan

12 )9ln(

21)1ln( Cyxx

Ada berbagai bentuk ekivalen yang dapat ditulis untukpenyelesaian umum:

Cyxx ln)9ln()1ln(22 2 ,

dimana 12ln CC

xey

xC 22

2

9)1(

Contoh 2.2.Selesaikan PD berikut ini:

AA Ck

dtdC

1 (2.11)

45

Penyelesaian:Bila Pers. (2.11) dikalikan dengan faktor pengintegral ,ACdtdiperoleh

dtkCdC

A

A1

CtkCA lnln 1

)exp( 1 tkCCA

Kadang-kadang sangat dianjurkan menggunakan konstantaintegrasi dalam bentuk logaritma bila sebagian besar hasil integrasidalam bentuk logaritma.

2.2.3 Persamaan HomogenDefinisi umum dari suatu fungsi homogen x dan y derajat n adalah“gantikan x dengan tx dan y dengan ty, dan sederhanakan persamaantersebut. Jika hasilnya merupakan fungsi asli dikalikan dengan tn,maka fungsi tersebut adalah homogen derajat n.”

Dalam bentuk simbolis, fungsi ),( yxf disebut homogenderajat n jika ),( tytxf ),,( yxft n dimana t adalah sembarangbilangan selain nol.

Contoh 2.3.Apakah fungsi yxeyyyxxyxf lnln),( 22

homogen?

Penyelesaian:Untuk menjawab pertanyaan ini, gantikan x dengan tx dan ydengan ty, menghasilkan

46

ytxteytytytxtxttytxf lnln),( 2222

yxeytytyxtxt lnln 22

yxeyyyxxt lnln 22

),( yxft

Jadi fungsi tersebut adalah homogen derajat satu.Persamaan diferensial


disebut homogen bila ),( yxM dan ),( yxN merupakan fungsi-fungsi homogen berderajat sama. Dengan menggunakan transformasi

vxy atau vyx , maka PD Homogen dapat direduksi menjadi PDdengan variabel terpisah.

Contoh 2.4.Selesaikan PD berikut:

0)( 22 dyyxdxyx (2.13)

Penyelesaian:Persamaan ini adalah homogen, karena seluruh suku-suku dalamkoefisien dari tiap-tiap diferensial adalah derajat dua. Karena itusubstitusikan

vxy , dvxdxvdy

dan Pers. (2.13) menjadi

47

0)()( 2222 dvxdxvxvdxxvx0)21( 2 dvxvdxv

Bila persamaan ini dikalikan dengan faktor pengintegral)21(1 2vx , meng-hasilkan

021 2

v

dvvx

dx

Dengan mengintegrasikan tiap-tiap suku persamaan di atas,diperoleh

12 )21(ln

41ln Cvx

Gantilah v dengan xy untuk mendapatkan kembali variabelsemula.

,ln2lnln 2

224 C

xyxx

dimana 14ln CC

Cyxx 224 2

2.2.4 Persamaan EksakBentuk umum PD order satu dan derajat satu adalah


Umumnya suatu penyelesaian ada bila diferensial eksak

0),( yxd (2.15)

48

Integrasi persamaan ini menghasilkan1),( Cyx (2.16)

Jika fungsi tersebut ada, maka dengan menggunakan aturan rantaidiferensial total adalah

0

dy

ydx

xd (2.17)

Namun, bagaimana kita menggunakan informasi ini untuk menen-tukan y sebagai fungsi x? Sebenarnya, petunjuk dalam menemukanadanya penyelesaian eksak terletak pada sifat fungsi kontinyu, yaitu

yxxy (218)

Dengan membandingkan Pers. (2.14) dan Pers. (2.17), didapatkan

xyxM

),( (2.19)

dan

yyxN

),( (2.20)

Dengan menggunakan sifat fungsi kontinyu, Pers. (2.18), maka syaratperlu dan cukup agar ada adalah

xN

yM

(2.21)

Jadi, Pers. (2.14) dikatakan eksak bila memenuhi persamaan berikut.Langkah-langkah penyelesaian Persamaan Eksak adalah:

1. Integrasikan ),( yxM , Pers. (2.19), terhadap x dengan menjaga ykonstan. Hasilnya adalah

49

)(),( yFdxyxMy (2.22)

dengan )( yF adalah konstanta integrasi dari fungsi y saja.2. Tentukan )( yF dari Pers. (2.20), dengan menyisipkan Pers. (2.22)

kedalam Pers. (2.20),

),()(),( yxNdy

ydFdxyxMyy y

atau

y

dxyxMy

yxNdy

ydF

),(),()( (2.23)

1. Integrasikan Pers. (2.23), diperoleh

dydxyxMy

yxNyFy

),(),()( (2.24)

2. Jadi, penyelesaian umumnya diperoleh dengan menyisipkan Pers.(2.24) ke dalam Pers. (2.22).

Contoh 2.5.Buktikan bahwa

0)23()63( 22 dyyxdxxyx (2.25)

adalah eksak dan tentukan penyelesaian umumnya.

Penyelesaian:

xyxx

yxM 63),( 2 (2.26a)

50

)23(),( 2 yxy

yxN (2.26b)

Persamaan (2.25) adalah eksak, karena

xNx

yM

6

Integrasikan ),( yxM terhadap x dengan menjaga y konstan,diperoleh

)(3)63( 232 yFyxxdxxyxy

(2.27)

Sisipkan persamaan ini ke dalam Pers. (2.26b),

)23()](3[ 223 yxyFyxxyy

ydy

ydF 2)(

Dengan mengintegrasikan persamaan ini, didapatkan

22)( CyyF

Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam Pers. (2.27),menghasilkan

2223 3 Cyyxx (2.28)

Persamaan (2.28) bukan merupakan bentuk penyelesaian umum.Karena juga sama dengan konstanta sembarang C1. Denganmenggabungkan konstanta-konstanta sembarang tersebutmenghasilkan penyelesaian umum, yaitu

51

Cyyxx 223 3 , dimana 21 CCC

2.2.5 Persamaan Linier Order SatuBentuk umum PD linier order satu adalah

)()( xQyxPdxdy

(2.29)

dimana P(x) dan Q(x) adalah konstanta-konstanta atau hanya fungsi x.Bila Pers. (2.29) dikali dengan faktor pengintegral, yaitu ),(xIdiperoleh

)()()()()( xQxIyxPxIdxdyxI (2.30)

Jika kita dapat mengetahui faktor pengintegral, ),(xI sehingga ruaskiri Pers. (2.30) merupakan turunan dari persamaan tertentu, makakita dapat langsung meng-integrasikan persamaan tersebut. Sekarangmarilah kita coba menentukan ).(xI Perhatikan diferensiasi berikutini

ydx

xdIdxdyxIyxI

dxd

)()()( (2.31)

Bandingkan hasil diferensiasi ini dengan ruas kiri Pers. (2.30). Kitalihat bahwa suku pertama sama dan agar suku kedua juga identik,maka

)()()( xPxIdx

xdI (2.32)

Bila persamaan ini diselesaikan diperoleh

dxxP

eCxI)(

)(

Karena kita tidak perlu faktor pengintegral yang lebih umum, maka

52

kita pilih C sama dengan satu sehingga faktor pengintegralnyamenjadi

dxxPxI )(exp)( (2.33)

Jadi, penyelesaian umum Pers. (2.29) adalah

)()()(

)(1

xICdxxQxI

xIy (2.34)

Contoh 2.6.Selesaikan PD linier berikut ini

xeydxdy 32

Penyelesaian:

2)( xP , )2(exp2exp xdxI

Jadi, penyelesaian umumnya adalah

xxx

x eCdxee

ey 2

22 31

xxx eCdxeey 22 3

xx eCey 23

Contoh 2.7.Selesaikan PD berikut

RAR cktkck

dtdc

2101 )exp(

53

Penyelesaian:Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk

)exp( 1012 tkckckdt

dcAR

R

2)( ktP , )exp(exp)( 22 tkdtkxI

Jadi penyelesaian umumnya adalah

)exp()exp()exp(

)exp(1

21012

2 tkCdttkcktk

tkc AR

)exp(])exp[()exp( 212201 tkCdttkktkck A

)exp(])exp[()exp( 212212

01 tkCtkktkkk

ck A

)exp()exp( 2112

01 tkCtkkk

ck A

2.2.6 Persamaan BernoulliBentuk umum Persamaan Bernoulli adalah

nyxQyxPdxdy )()( ; (2.35)

Bila Pers. (2.35) dibagi dengan ,ny diperoleh

)()( 1 xQyxPdxdyy nn (2.36)

54

Persamaan (2.36) dapat direduksi menjadi persamaan linier denganmensubstitusikan:

nyz 1 ,dxdyyn

dxdz n )1(

Dengan mensubstitusikan harga-harga ini ke dalam Pers. (2.36),menghasilkan

)()1()()1( xQnzxPndxdz

(2.37)

Persamaan (2.37) merupakan persamaan linier order satu danpenyelesaiannya sama dengan sub bab sebelumnya.

2.2.7 Persamaan RiccatiPersamaan Riccati adalah PD nonlinier. Bentuk umum persamaannya:

)()()( 2 xRyxQyxPdxdy

(2.38)

Bentuk khusus yang sering muncul adalah bila 1)( xP

)()(2 xRyxQydxdy

(2.39)

Transformasikan variabel y dengan

dxdu

uy

1 (2.40)

2

22

2 11

dxdu

udxud

udxdy (2.41)

55

Suku nonlinier pada Pers. (2.39) dapat dihilangkan denganmenyisipkan Pers. (2.40) dan Pers. (2.41) ke dalam Pers. (2.39),menghasilkan

0)()(2

2

uxRdxduxQ

dxud (2.42)

Ini merupakan persamaan diferensial linier order dua dengan koefisientidak konstan. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode deretFrobenius atau fungsi Bessel.

Contoh 2.8.Dalam suatu reaktor batch dengan volume konstan berlangsungreaksi seri berikut:

A B C

Konsentrasi A mula-mula adalah ,0AC sedangkan konsentrasiB dan C mula-mula adalah nol. Laju reaksi per satuan volumereaktor dinyatakan dengan

,1nAA Ckr m

BnAB CkCkr 21

Tentukan konsentrasi B sebagai fungsi waktu untuk kasusberikut ini:

a) ,1n 2mb) ,1n 1m

Penyelesaian:

a) Untuk 1n dan 2m . Dari neraca massa didapatkan:

AA Ck

dtdC

1 (2.43)

1k 2k

56

221 BA

B CkCkdt

dC (2.44)

Penyelesaian Pers. (2.43) adalah

)exp( 1 tkCCA (2.45)

Konstanta integrasi C ditentukan dari kondisi awal. Dari K.A.didapatkan .0ACC Persamaan (2.45) menjadi

)exp( 10 tkCC AA (2.46)

Substitusikan CA ini ke dalam Pers. (2.44)

22101 )exp( BA

B CktkCkdt

dC

Bila kedua ruas dibagi dengan k2 dan waktu diganti dengan,2 tk didapatkan

2

10

2

12 expkkC

kkC

ddC

ABB (2.47)

Persamaan ini identik dengan bentuk khusus dari persamaanRiccati. Bandingkan Pers. (2.47) dengan Pers. (2.39),didapatkan

,0)( Q

2

10

2

1 exp)(kkC

kkR A

Tansformasikan CB dengan

57

ddu

uCB

1 (2.48)

2

22

2 11

d

duud

udud

dCB (2.49)

Dengan mensubstitusikan Pers. (2.48) dan (2.49) ke dalam Pers.(2.47) diperoleh

0)(exp)(

2

10

2

12

2

u

kkC

kk

dud

A (2.50)

Ini adalah PD order dua linier.b) Untuk 1n dan 1m . Dari neraca massa didapatkan:

AA Ck

dtdC

1 , persamaan (2.43)

BAB CkCk

dtdC

21 (2.51)

Penyelesaian Pers. (2.43) adalah

)exp( 10 tkCC AA , persamaan (2.46)

Substitusikan persamaan ini ke dalam Pers. (2.51), kita dapatkan

)exp( 1012 tkCkCkdt

dCAB

B (2.52)

Ini adalah persamaan linier order satu. Coba anda selesaikansendiri, hasilnya adalah

58

)]exp()[exp( 2112

01 tktkkk

CkC A

B

(2.53)

Namun, seringkali diinginkan hubungan antara CA dan CB,sehingga kita dapat menggunakan pendekatan yang berbeda,yaitu dengan membagi Pers. (2.51) dengan (2.43)

A

B

A

B

CC

kk

dCdC

1

21 (2.54)

Ini merupakan persamaan homogen, substitusikan

AB CvC ,A

AA

B

dCdvCv

dCdC


vkk

dCdvCv

AA

1

21

A

A

CdC

vkk

dv

11

1

2

CCvkk

A

kkk

12

1

111

2 (2.55)

K.A. pada ,0t 0AA CC dan 0BC , sehingga 0v .Dari K.A. dan Pers. (2.55) didapatkan .1 0ACC Persamaan(2.55) menjadi

1)12(

01

2 11

kk

A

A

CCv

kk

59

1)12(

01

2 11

kk

A

A

CCv

kk

Gantikan v dengan ,AB CC didapatkan

1)12(

012

1 1kk

A

A

A

B

CC

kkk

CC (2.56)

2.3 Persamaan Diferensial Linier Order DuaBentuk umum PD linier order dua adalah

)()()( 012

2

xfyxadxdyxa

dxyd

(2.57)

Persamaan (2.57) ini adalah persamaan nonhomogen. Bila 0)( xf ,Pers. (2.57) menjadi persamaan homogen.

Dalam bagian ini, kita hanya mempelajari kasus-kasus dengankoefisien konstan, yaitu a0 dan a1 adalah konstanta. Prosedur penye-lesain Pers. (2.57) adalah sebagai berikut:1. Pertama diset 0)( xf . Persamaannya tereduksi menjadi

persamaan homogen. Penyelesaiannya disebut penyelesaiankomplementer atau homogen, dinotasikan dengan )(xyc .

2. Selesaikan PD bila 0)( xf . Penyelesaiannya disebutpenyelesaian partikulir, dinotasikan dengan )(xy p .

3. Penyelesaian lengkap adalah: )()( xyxyy pc .Pertama kita membahas persamaan homogen. Untuk persamaan

linier homogen jelas terlihat bahwa gabungan dari tiap-tiappenyelesaian juga merupakan suatu penyelesaian, asalkan tiap-tiappenyelesaian adalah linearly independent dengan penyelesaian lainnya.Maksud linearly independent adalah suatu penyelesai-an tidak dapat

60

diperoleh dari penyelesaian lain dengan mengalikan penyelesaiantersebut dengan suatu konstanta. Misalnya, penyelesaian

)2exp(11 xCy adalah linearly independent dengan)3exp(22 xCy , karena kita tidak dapat mengalikan y2 dengan suatu

konstanta untuk mendapatkan y1. Namun, penyelesaian 23 6 xy

adalah tidak linearly independent dengan 24 2 xy , karena jelas

terlihat bahwa y3 dapat diperoleh dengan mengalikan y4 dengan 3.Jadi, untuk persamaan homogen order dua dan linier

penyelesaian umumnya adalah

)()( 2211 xyCxyCyc (2.58)

Penyelesaian partikulir (yp) juga harus linearly independentdengan tiap-tiap penyelesaian komplementer (yc), agar yp dapatdigabungkan dengan yc. Bila tidak, maka yp dapat menghasilkankembali salah satu dari penyelesaian komplementer, sehingga tidakada informasi baru yang ditambahkan ke hasil akhir.

2.3.1 Penyelesaian KomplementerBentuk PD linier order dua homogen dengan koefisien konstan

0012

2

yadxdya

dxyd (2.59)

Anggap penyelesaian komplementer dari Pers. (2.59) adalah

)exp(rxCyc (2.60)

dimana C adalah konstanta integrasi dan r adalah akar karakteristik(atau eigenvalue) dari persamaan. Diferensialkan Pers. (2.60) dua kaliterhadap x. Sisipkan yc tersebut dan turunan-turunannya ke dalam Pers.(2.59), menghasilkan

61

0)exp()( 012 rxararC (2.61)

Bila 0C maka tidak ada penyelesaian dan )exp(rx tidak bolehnol. Jadi per-samaan ini dipenuhi bila

0012 arar (2.62)

Persamaan (2.62) disebut persamaan karakteristik untuk Pers. (2.59).Karena Pers. (2.62) adalah persamaan kuadrat, maka hanya ada duaakar. Ada tiga macam akar dari persamaan kuadrat:

1. Akar-akarnya real dan berbeda2. Akar-akarnya sama3. Akar-akarnya bilangan komplek dan berbeda.

Bila akar-akarnya real dan berbeda, katakanlah r1 dan r2, makapenyelesaian umum Pers. (2.59) adalah

)exp()exp( 2211 xrCxrCyc (2.63)

Untuk akar-akar yang agak rumit, katakanlah bar 1 danbar 2 , seringkali penyelesaiannya ditulis dengan menggunakan

fungsi hiperbolik, supaya lebih mudah dalam menentukan konstanta-konstanta integrasi dengan menggunakan kondisi batas.

2)exp()exp()(cosh bxbxbx

(2.64)

2)exp()exp()(sinh bxbxbx

(2.65)

Jadi, penyelesaian di atas dapat ditulis dalam bentuk

)exp()exp()exp( 21 bxCbxCaxyc

62

2

)exp()exp()(2

)exp()exp()()exp( 2121bxbxCCbxbxCCaxyc

)(sinh)(cosh)exp( 43 bxCbxCaxyc (2.66)

Bila akar-akarnya sama, katakanlah rrr 21 , makapenyelesaian umum Pers. (2.59) adalah

)exp()( 21 xrxCCyc (2.67)

Pada Pers. (2.67) penyelesaian kedua dikali dengan variabel bebas x,agar penyelesaiannya linearly independent.

Bila akar-akarnya bilangan kompleks, katakanlah ibar 1

dan ibar 2 , maka penyelesaian umum Pers. (2.59) adalah

)exp()exp()exp( 43 bxiCbxiCaxyc (2.68)

Bentuk penyelesaian ini sama sekali tidak efektif untuk tujuankomputasi, karena itu perlu dimasukkan bentuk yang lebih efektifdengan menggunakan formula Euler, yaitu

xixe xi sincos (2.69)

Dengan mensubstitusikan Pers. (2.69) ke dalam Pers. (2.68)menghasilkan

)sin(cos)sin(cos)exp( 43 bxibxCbxibxCaxyc bxiCCbxCCax sin)(cos)()exp( 4343

)sincos()exp( 21 bxCbxCaxyc (2.70)

dengan 143 CCC dan .)( 243 CiCC

63

Contoh 2.9.Selesaikan PD berikut ini

062

2

ydxdy

dxyd

Penyelesaian:Persamaan karakteristik (PK) dapat diperoleh denganmenggantikan 22 dxyd dengan 2r dan dxdy dengan r,sehingga

062 rr

0)3)(2( rr

21 r dan 32 r

Karena akarnya real dan berbeda, maka penyelesaian umumnyaadalah

)3exp()2exp( 21 xCxCy

Contoh 2.10.Selesaikan persamaan order dua berikut ini

0962

2

ydxdy

dxyd

Penyelesaian:Persamaan karakteristiknya

0962 rr0)3( 2 r

32,1 r

64

Karena akarnya sama, maka penyelesaian umumnnya adalah

)3exp()( 21 xxCCyc

Contoh 2.11.Selesaikan PD berikut ini

0522

2

ydxdy

dxyd

Penyelesaian:Persamaan karakteristiknya

0522 rr

iiir 21;212

422

)54(422,1

Karena akarnya imajiner dan berbeda, maka penyelesaianumumnya adalah

xCxCxyc 2sin2cos)exp( 21

2.3.2 Penyelesaian PartikulirBentuk PD linier order dua dengan koefisien konstan adalah

)(012

2

xfyadxdya

dxyd

(2.71)

Penyelesaian umum dari Pers. (2.71) merupakan jumlah daripenyelesaian komplementer dan penyelesaian partikulir, yaitu

65

)()( xyxyy pc (2.72)

Penyelesaian komplementer, )(xyc , telah kita pelajari, sekarang kitaakan membahas metode umum untuk menentukan integral partikulir,

).(xy p

Ada tiga metode yang umum digunakan untuk menentukan)(xy p :

1. Metode Undetermined Coefficients.2. Metode Invers Operator.3. Metode Variasi Parameter.

Dua metode pertama hanya dapat digunakan untuk PD dengankoefisien konstan, sedangkan metode ketiga dapat digunakan baikuntuk koefisien konstan maupun koefisien tidak konstan.

1. Metode Undetermined CoefficientsMetode ini digunakan secara luas, juga mudah dikerjakan. Tahappertama adalah mengasumsi bentuk awal dari penyelesaian partikuliryp dengan koefisien-koefisiennya belum diketahui. Koefisien-koefisien yang belum diketahui ini ditentukan dengan menyisipkanbentuk awal penyelesaian partikulir yp dan turunan-turunannya kedalam persamaan diferensial. Untuk PD order dua diperlukan dua kalidiferensiasi, sedangkan untuk PD order n diperlukan n kalidiferensiasi (suatu kelemahan dari metode ini). Kemudian ditentukankoefisien-koefisiennya sehingga memenuhi persamaan diferensial.Jika berhasil, maka kita telah mendapatkan penyelesaian partikulir yp.Jika koefisien-koefisiennya tidak dapat ditentukan, ini artinya kitatidak mendapatkan penyelesaian dari bentuk yang diasumsikan tadi.Jadi kita perlu memodifikasi asumsinya dan kita coba lagi.

Sebagai pedoman dalam mengasumsi bentuk awal daripenyelesaian partikulir yp adalah dengan melihat fungsi )(xf danhasil diferensial berulang dari fungsi ).(xf Berdasarkan pengamatanpada fungsi )(xf dan turunan-turunannya, maka kita dapatmenyarankan bentuk integral partikulir dengan koefisien-koefisienyang belum diketahui.

66

Contoh 2.12.Tentukan penyelesaian umum dari PD linier order dua berikutini

xeydxdy

dxyd 22

2

332 (2.73)

Penyelesaian:Pertama adalah menentukan penyelesaian komplementer denganmenset 0)( xf . Persamaan karakteristik dari persamaanhomogen di atas adalah

0322 rr

0)1)(3( rr

31 r dan 12 r

Karena akarnya real dan berbeda, penyelesaian komple-menternya adalah

)exp()3exp( 21 xCxCyc (2.74)

Untuk membangun bentuk integral partikulir, kita harusberpedoman pada fungsi )(xf dan hasil diferensial berulangdari fungsi ).(xf Bila order dari PD adalah dua, maka kitaharus mendiferensialkan hingga dua kali fungsi )(xf tersebut.Dalam contoh ini ).2exp(3)( xxf Turunan pertama dankedua dari fungsi tersebut tetap fungsi eksponensial, yaitu

).2exp( x Oleh karena itu, bentuk integral partikulir yangdiusulkan adalah fungsi eksponensial itu sendiri dikali dengansuatu koefisien, yaitu

)2exp( xBy p (2.75)

67

dimana B adalah koefisien yang akan ditentukan. Caranyadengan mendiferen-sialkan yp ini dua kali terhadap x, kemudiansisipkan Pers. (2.75) dan turunan-turunannya ke dalam Pers.(2.73), kita dapatkan

)2exp(3)2exp(3)2exp(4)2exp(4 xxBxBxB

1B

Penyelesaian partikulirnya adalah

)2exp( xy p (2.76)

Jadi penyelesaian lengkapnya adalah

)2exp()exp()3exp( 21 xxCxCy (2.77)

Contoh 2.13.Selesaikan PD linier order dua berikut ini

22

2

2 xydxdy

dxyd

(2.78)

Penyelesaian:Persamaan karakteristik dari persamaan homogen di atas adalah

022 rr

0)2)(1( rr11 r dan 22 r

Penyelesaian komplementernya adalah

)2exp()exp( 21 xCxCyc (2.79)

68

Perhatikan bahwa turunan pertama dan kedua dari 2)( xxf adalah x2 dan 2, sehingga kita dapat membentuk integralpartikulirnya berupa gabungan linier dari )(xf dan turunan-turunannya dikali dengan suatu koefisien, yaitu

012

2 AxAxAy p (2.80)

dimana koefisien-koefisien A2, A1, dan A0 akan ditentukan.Diferensialkan yp ini dua kali terhadap x. Kemudian sisipkan yp

dan turunan-turunannya ke dalam Pers. (2.78), menghasilkan

201

22122 )(2)2(2 xAxAxAAxAA

201212

22 )22()22(2 xAAAxAAxA (2.81)

Untuk memenuhi Pers. (2.81) kita harus menyamakan tiap-tiapkoefisien dari polinomial tersebut antara ruas kiri dan ruaskanan persamaan, sehingga didapatkan

koefisien 2x : 12 2 A 212 A

koefisien x : 022 12 AA 2121 AA

konstanta : 022 012 AAA

431

21

21)2(

21

210

AAA

Jadi penyelesaian partikulirnya adalah

43

21

21 2 xxy p (2.82)

69

Dan penyelesaian lengkapnya adalah

23

21)2exp()exp( 2

21 xxxCxCy (2.83)

Contoh 2.14.Tentukan penyelesaian umum dari PD linier order dua berikutini

xydxdy

dxyd 2cos322

2

(2.84)

Penyelesaian:Penyelesaian komplementer sama dengan contoh sebelumnya.Sekarang perhatikan turunan pertama dan kedua dari

xxf 2cos)( , yaitu x2sin dan .2cos x Karena dari fungsi)(xf dan hasil turunan berulang muncul suku cosinus dan

sinus, maka bentuk integral partikulir yang disarankan adalah

xBxAy p 2sin2cos (2.85)

dimana A dan B adalah koefisien-koefisien yang akan dicari.Diferensialkan yp ini dua kali terhadap x, diperoleh

xBxAdx

dy p 2cos22sin2 ,

xBxAdx

yd p 2sin42cos42

2

.

Kemudian sisipkan yp dan turunan-turunannya ini ke dalam Pers.(2.84), meng-hasilkan

xxBAxBA 2cos32sin)62(2cos)26( (2.86)Berikutnya samakan tiap-tiap koefisien dari x2sin dan x2cosantara kedua sisi Pers. (2.86).

70

koefisien x2cos : 326 BA (2.87a)koefisien x2sin : 062 BA (2.87b)

Dengan menyelesaikan secara simultan Pers. (2.87) diperoleh

209

A dan203

B

Sehingga penyelesaian partikulirnya adalah

)2cos32(sin203 xxy p (2.88)

Jadi penyelesaian lengkapnya adalah

)2cos32(sin203)2exp()exp( 21 xxxCxCy (2.89)

Beberapa kesimpulan yang dapat diambil dari contoh-contoh diatas mengenai bentuk standard integral partikulir dirangkum dalamTabel 2.1.

Tabel 2.1. Bentuk standard integral partikulir.

Bentuk )(xf Bentuk integral partikulirEksponensial xreA xreBPolinomial 01

11 AxAxAxA n

nn

n 01

11 BxBxBxB n

nn

n

(beberapa harga iAboleh sama dengan nol)

Trigonometri rxArxA cossin 21 rxBrxB cossin 21

(harga 1A atau 2Aboleh sama dengan nol)

Bila suku nonhomogen )(xf merupakan jumlah dari fungsi-fungsidi atas (fungsi eksponensial, polinomial, dan trigonometri), maka

71

bentuk integral partikulir juga merupakan jumlah dari bentuk standardmasing-masing integral partikulirnya. Bila )(xf merupakan hasilkali dari fungsi-fungsi di atas, maka bentuk integral partikulirnya jugamerupakan hasil kali dari masing-masing bentuk standard integralpartikulir tersebut.

Namun, bila salah satu suku pada penyelesaian komplementersama dengan salah satu suku pada fungsi ),(xf maka bentukstandard integral partikulir seperti pada Tabel 2.1 tidak dapatdigunakan langsung, karena nantinya penyelesaian partikulir tidaklinearly independent dengan penyelesaian komplementer. Oleh karenaitu, bentuk integral partikulirnya harus dimodifikasi. Caranya: Bentukstandard integral partikulir seperti pada Tabel 2.1 dikalikan denganvariabel bebas, bila hasilnya masih sama dengan salah satupenyelesaian komplementer, maka harus dikalikan lagi denganvariabel bebas, sehingga bentuk integral partikulirnya tidak sama lagidengan salah satu penyelesaian komplementer.

Kadangkala koefisien yang ingin dicari tidak dapat ditentukan.Bila hal ini terjadi maka kita harus mengalikan lagi bentuk integralpartikulirnya dengan variabel bebas, dan begitu seterusnya hinggakoefisien tersebut dapat ditentukan.

Contoh 2.15.Tentukan penyelesaian komplementer dan partikulir dari PDberikut ini

)2exp(652

2

xydxdy

dxyd

(2.90)

Penyelesaian:Pertama kita set ruas kanan Pers. (2.90) sama dengan nol,sehingga persamaan karakteristiknya adalah

0652 rr

0)2)(3( rr

72

31 r dan 22 r

Penyelesaian komplementernya adalah

)2exp()3exp( 21 xCxCyc (2.91)

Perhatikan salah satu suku pada penyelesaian komplementer inisama dengan fungsi ),(xf yaitu ).2exp( x Sehingga kita tidakboleh langsung mencoba bentuk standard integral partikulir,yaitu ),2exp( xBy p karena nantinya yp ini tidak linearlyindependent dengan salah satu suku penyelesaian komplementer.Oleh karena itu kita harus mencoba memodifikasi yaitu denganmengalikan yp standard dengan variabel bebas, sehinggamenjadi

)2exp( xxBy p (2.92)

Sekarang jelas terlihat bentuk integral partikulir ini sudahlinearly independent dengan penyelesaian komplementer.Diferensialkan Pers. (2.92) dua kali terhadap x, menghasilkan

)2exp(2)2exp( xxBxBy p

)2exp(4)2exp(4 xxBxBy p

Kemudian substitusikan yp dan turunan-turunannya ini ke dalamPers. (2.90), kita dapatkan

)]2exp(10)2exp(5[)]2exp(4)2exp(4[ xxBxBxxBxB )2exp()2exp(6 xxxB

)2exp()2exp( xxB

1B

Sisipkan harga B ini ke dalam Pers. (2.92), diperoleh

73

)2exp( xxy p (2.93)

Penyelesaian lengkapnya adalah

)2exp()2exp()3exp( 21 xxxCxCyc (2.94)

2. Metode Invers OperatorMetode ini dibangun dari operator diferensial Heaviside, yangdidefinisikan dengan

dxdyy D (2.95)

dimana D adalah operasi elementer dxd . Operator ini mengikutihukum-hukum aljabar tertentu, dan letaknya harus selalu sebelumsuatu fungsi yang akan dioperasikan. Turunan kedua, ketiga, danseterusnya dari operator D ini dapat ditulis dengan

2

22D)D(D

dxydyy (2.96)

3

332 D)D(D

dxydyy (2.97)

n

nn

dxydy D (2.98)

Karena operator D merupakan operator linier, maka operator D dapatdijumlahkan dan difaktorkan, misalnya

0)3D(9D6D96 222

2

yyyyydxdy

dxyd

Hukum-hukum dasar yang berlaku untuk operator D adalah:

74

(a) Hukum Distributif.Hukum ini menyatakan bahwa

ACABCBA )( (2.99)

Operator D mengikuti hukum distributive

yyyy 6D5D)6D5D( 22 (2.100)

(b) Hukum KomutatifHukum ini menerangkan tentang aturan pertukaran operasi, yaitu

BAAB (2.101)

Pada umumnya operator D tidak mengikuti hukum ini, karena jelasbahwa

DD yy (2.102)

Namun, operator D dapat bertukar kedudukan sesamanya, karena)3D)(2D()2D)(3D( (2.103)

(c) Hukum AsosiatifHukum ini menjelaskan mengenai aturan urutan operasi, yaitu

CABBCA )()( (2.104)

Secara umum hukum ini tidak berlaku untuk operator D, karena

yxyx )D()(D (2.105)sebab kita tahu bahwa

.D)D()(D yxyxyx (2.106)

Namun, operator D berasosiatif sesama mereka sendiri

75

yy DD)()D(D (2.107)

Bila operator D digunakan dalam bentuk invers, maka ada duaaturan yang perlu diperhatikan.

Operasi terhadap eksponensial. Diferensial )exp(rx adalah

xrxr ere )(D (2.108)

xrxrxr eree 22 )D(D)(D (2.109)

xrxrxr eree 323 )D(D)(D

xrnxrnxrn eree )D(D)(D 1 (2.110)

Bila persamaan-persamaan ini dijumlahkan, menghasilkan

xr

rP

nxr

P

n errrre )()DDDD()(

32

)D(

32

atauxrxr erPeP )()D( (2.111)

dengan )D(P dan )(rP adalah persamaan polinomial dalam D danr. Persamaan ini merupakan Aturan 1.

Operasi terhadap hasil kali dengan eksponensial. Bentuk keduadalam mengunakan operator D adalah operasi terhadap hasil kalifungsi )(xf dengan eksponensial. Diferensial dari hasil kali )(xfdan )exp(rx adalah

)()D()()(D))((D xfreerxfxfeexf xrxrxrxr (2.112)

)]()(D[D))((D2 xfrxfeexf xrxr

76

)()()()()()( 22 xfrDexfrDerxfrDDe rxrxrx (2.113)

)()D()()D2(D))((D 3223 xfrexfrrDeexf xrxrxr

)()D())((D xfreexf nxrxrn

(2.114)Bila operator-operator D ini dijumlahkan, menghasilkan

)()D())(()D( xfrPeexfP xrxr (2.115)

Kita dapat menyimpulkan bahwa operasi polinomial D terhadap hasilkali xrexf )( akan menghasilkan pergeseran eksponensial ke bagiandepan dikali dengan operasi polinomial )D( r terhadap )(xf .Bentuk ini merupakan Aturan 2.

Jadi ada dua aturan penting dalam menggunakan operator D ini,yaitu:

1. Aturan 1: xrxr erPeP )()D( (2.111)

2. Aturan 2: )()D())(()D( xfrPeexfP xrxr . (2.115)

Invers Operator.Kita tahu bahwa integrasi merupakan invers dari diferensiasi.

)()(D)( xfdxxfdxxfdxd

(2.116)

Hal ini menyatakan bahwa

)(D)(1)( 1 xfxfD

dxxf (2.117)

Jadi, operasi )(D 1 xf menyatakan integrasi terhadap x, sedangkan)(D xf menyatakan diferensiasi terhadap x. Integrator, 1D , dapat

77

diperlakukan seperti besaran aljabar lainnya, asalkan mengikutiaturan-aturan aljabar seperti yang disebutkan di atas.

Ada dua aturan yang berlaku untuk invers operator.

Aturan 1 Invers Operator:Pada umumnya polinomial D, P(D), yang terdapat dipenyebut dapatdioperasikan berdasarkan Aturan 1 [Pers. (2.111)].

xrxr erP

eP

)(

1)D(

1 (2.118)

Bila 0)( rP aturan ini tidak dapat digunakan. Keadaan ini terjadikarena salah satu fungsi )(xf sama dengan salah satu suku padapenyelesaian komplementer.

Aturan 2 Invers Operator:Kesulitan di atas dapat diatasi dengan menggunakan Aturan 2 [Pers.(2.115)]. Jika 0)( rP , jelas bahwa P(D) mengandung akar samadengan r; misal kita dapat memfaktorkan P(D) dengan

)D(1

)D(1

)D(1

grP

(2.119)

Untuk n akar yang sama, persamaan ini dapat ditulis

)D(1

)D(1

)D(1

grP n (2.120)

Dari Pers. (2.120) terlihat g(D) tidak mengandung akar r, jadi Aturan1 dapat digunakan. Namun, kita harus memodifikasi operasi

nr)D(1 bila dioperasikan terhadap exp(rx). Polinomial D, P(D),yang terdapat dalam penyebut dapat juga dioperasikan berdasarkanAturan 2 [Pers. (2.115)].

78

)()D(

1])([)D(

1 xfrP

eexfP

xrxr

(2.121)

Jika nrP )D()D( ,

)()D(

1])([)D(

1 xfeexfr n

xrxrn

(2.122)

)()1( xfD n artinya integrasi n kali terhadap )(xf .

Contoh 2.16.Ulangi Contoh 2.12, tentukan penyelesaian partikulir denganmenggunakan metode invers operator.

Penyelesaian:Persamaan diferensialnya

xeydxdy

dxyd 22

2

332

Dengan menggunakan operator D dan memfaktorkannyadiperoleh

xpp eyDDyDD 22 3)3)(1()32(

xp e

DDy 23

)3)(1(1

Kita dapat menggunakan Aturan 1 secara langsung, karena2r , didapatkan

xxp eey 223

)32)(12(1

79

Bandingkan hasil ini dengan Pers. (2.76). Terlihat jelaskecepatan dan efisiensi dari metode ini dibandingkan denganmetode sebelumnya, yaitu metode undetermined coeffocients.

Contoh 2.17.Tentukan penyelesaian partikulir pada Contoh 2.15 denganmenggunakan metode invers operator.

Penyelesaian:Persamaan diferensialnya adalah

)2exp(652

2

xydxdy

dxyd

Dengan menggunakan operator D bentuk integral partikulirnyaadalah

xpp eyDDyDD 22 )3)(2()65(

xp e

DDy 2

)3)(2(1

Jika kita langsung menggunakan Aturan 1 diperoleh.0)1)(0()( rP Jadi dalam contoh ini kita harus hati-hati

karena tidak boleh langsung menggunakan Aturan 1. Untukmengatasi agar 0)( rP , pertama kita gunakan Aturan 1terhadap faktor yang tidak menghasilkan nol, yaitu ;)3D( kemudian kita gunakan Aturan 2 untuk operasi )2exp( xdengan ).2D( Tahap pertama adalah

11

)2(1 2

x

p eD

y

80

Kemudian kita gunakan Aturan 2 dengan 1)( xf ,

1)22(

12

D

ey xp

112 D

ey xp

xp exy 2

Bandingkan hasilnya dengan Pers. (2.93).

Invers operator terhadap fungsi trigonometriFungsi trigonometri seperti xsin dan xcos dapat didekati denganformula Euler,

xixe xi sincos (2.123)Dari Pers. (2.123) terlihat bahwa bagian Real dari xie adalah xcosdan bagian Imajiner adalah xsin

xe xi cos)(Re (2.124)

xe xi sin)(Im (2.125)

Jadi, bila xcos atau xsin muncul dalam fungsi ),(xf kita dapatmenggunakan metode invers operator untuk mendapatkan integralpartikulir.

Contoh 2.18.Ulangi Contoh 2.14, tentukan penyelesaian partikulir denganmenggunakan metode invers operator.

Penyelesaian:Persamaan diferensialnya

81

xydxdy

dxyd 2cos322

2

Dengan menggunakan operator D bentuk integral partikulirnyaadalah

xyDD p 2cos3)2( 2

xi

p eDD

y 22 3

21Re

xi

p eii

y 22 22)2(

3Re

xip e

ii

iy 2

2626

263Re

xi

p eiy 2

40618Re

)2sin2(cos

2039Re xixiy p

xxixixy p 2sin

2032cos

2032sin

2092cos

209Re

Dengan mengambil bagian Realnya saja maka penyelesaianpartikulirnya adalah

)2cos32(sin203 xxy p

Bandingkan hasil ini dengan Pers. (2.88).

82

Pada umumnya metode invers operator ini tidak disarankanuntuk hasil kali fungsi seperti ,cos bxx ,cos)exp( xx dan lain-lain,karena sulit dalam mengekspansi operator dalam bentuk deret.

2.4 RangkumanPersamaan diferensial dapat juga diklasifikasi berdasarkan tipe, orde,dan linieriti. Klasifikasi berdasarkan tipe: persamaan diferensial dapatdibagi menjadi dua, yaitu:

1. Persamaan diferensial biasa2. Persamaan diferensial parsial

Klasifikasi berdasarkan orde: persamaan diferensial terdiri-dariorde satu, dua, dan seterusnya sampai orde n. Orde dari persamaandiferensial ditentukan berdasarkan turunan tertinggi dalam persamaantersebut, sedangkan derajat dari suatu persamaan diferensialditentukan berdasarkan pangkat dari turunan tertinggi dalampersamaan tersebut.

Klasifikasi berdasarkan linieriti dan non-linieriti: persamaandiferensial biasa dapat dikatakan linier orde n bila dapat ditulis dalambentuk:

,)()()()( 11

1

10 xgyadxdy

xadx

ydxa

dxyd

xa nnn

n

n

n

0)(0 xa

Sedangkan persamaan diferensial biasa yang tidak dapat ditulis dalambentuk di atas dikatakan persamaan diferensial non-linier.

Persamaan diferensial biasa orde satu dapat diklasifikasikandalam bentuk:

1. Persamaan diferensial dengan variable-variabel terpisah.

2. Persamaan homogeny.

83

3. Persamaan eksak

4. Persamaan linier orde satu

5. Persamaan Bernoulli

6. Persamaan Riccati.

Persamaan diferensial linier orde dua mempunyai bentuk umumsebagai berikut:

)()()( 012

2

xfyxadxdyxa

dxyd

Persamaan ini adalah persamaan diferensial linier orde dua non-homogen. Bila f(x) = 0 persamaan di atas menjadi persamaanhomogen. Bila ao dan a1 adalah konstanta dan persamaan tersebutmenjadi persamaan diferensial linier orde dua dengan koefisienkonstan yang penyelesaian umumnya adalah gabungan daripenyelesaian koomplementer dan penyelesaian partikulir. Persamaankarakteristik untuk persamaan di atas adalah persamaan kuadrat dalambentuk r (persamaan 2.62), maka hanya ada dua akar. Ada tiga macamakar dari persamaan kuadrat, yaitu:

1. Akar-akarnya real dan berbeda.2. Akar-akarnya sama.3. Akar-akarnya bilangan komplek dan berbeda.

Penyelesaian partikulir secara umum dapat diselesaikan dengantiga metode, yaitu:

1. Metode undetermined coefficient.2. Metode Invers Operator.3. Metode variasi parameter.

84

2.5 Soal-Soal2.1. Selesaikan persamaan eksak berikut ini:

(a) 0)2()1( 2 dyexdxyexye xx

(b) 0)cos()sin( dyexyedxyey yxx

2.2. Tentukan penyelesaian persamaan homogen berikut ini

(a)yx

yxxydxdy 222

(b)yxyx

dxdy

23 22

2.3. Selesaikan persamaan diferensial berikut ini

(a) 02 32 yyxdxdyx

(b) yedxdy x 32

2.4. Tinjau suatu reaksi kimia order dua dengan reaksi sebagaiberikut:

XQP Anggap konsentrasi mula-mula P dan Q masing-masing adalahp dan q, dan )(tx adalah konsentrasi X pada waktu t. Lajureaksinya adalah

))(( xqxpdtdx

dengan adalah suatu konstanta.(a) Jika ,0)0( x tentukan konsentrasi X pada waktu t.

85

(b) Bila qp dan ,0)0( x tentukan konsentrasi X padawaktu t.

2.5. A holding tank designed to accept the effluent from a smallchemical plant operates such that the flow from the tank, q, isproportional to ).( hbqh The feed to the tank is intermittent,but the flow rate is constant at 80 ft3/sec when liquid does enter.The cylindrical tank is 30 ft in diameter and 10 ft deep.(a) Derive the mathematical description for this situation and

express h as a function of the inlet flow qf, b, t, the tank areaA, and the initial height of liquid h0.

(b) b is found experimentally to be equal to 8 ft2/sec when thetank drain valve is fully open. If the tank is initially emptyand the drain valve open, how long can the feed stream flowinto the tank before it overflows?

(c) If the flow rate of the feed stream is doubled, how long willit take for an initially empty tank to overflow if the drainvalve is fully open?

(d) If the tank contains 8 ft of liquid when the drain valve isopened, how long will it take for the level to reach 4 ft withno liquid entering?

(Diambil dari “Introduction to ChemicalEngineering Analysis” by T. W. F. Russell and

M. M. Denn, John Wiley & sons, Inc., NewYork, 1972. Problem 4.4)

2.6. A tall, cylindrical tank is being filled, from an initially emptystate, by a constant inflow of q liters/sec of liquid. The flat tankbottom has corroded and sustains a leak through a small hole ofarea A0. If the cross-sectional area of the tank is denoted the byA, and time-varying height of liquid is ),(th then:(a) find the dynamic relationship describing tank height, if the

volumetric leak rate obeys Torricelli’s law,)(200 thgAq (g is gravitational acceleration).

86

(b) determine the relationship to predict the final steady-stateliquid height in the tank.

(c) define ,xx separate variables and deduce the implicitsolution for h:

(d)

gh

AA

hgAqq

gAAqt

22

2ln

0020

(e) sketch the curve for h versus t, and compare with the casefor a nonleaking tank.

(Diambil dari “Applied Mathematics and Modelingfor Chemical Engineers” by R. G. Rice and D.

D. Do, John Wiley & sons, Inc., New York,1995. Problem 2.12)

2.7. A tank contains 100 gal of brine with 50 lbm of dissolved salt.Pure water runs into the tank at a rate of 2 gal/min, while theeffluent flows into a second tank which is initially empty at arate of 3 gal/min. The second tank is emptied at a constant rateof 2 gal/min. Develop the mathematical description that wouldenable you to compute the concentration of salt in the secondtank as a function of time. Solve the equation if you are familiarwith linear first-order differential equations.

(Diambil dari “Introduction to ChemicalEngineering Analysis” by T. W. F. Russell and

M. M. Denn, John Wiley & sons, Inc., NewYork, 1972. Problem 4.17)

2.8. The reversible set of reactions represented by

A B C

is carried out in a batch reactor under conditions of constant

k1

k2

k3

k4

87

volume and temperature. Only one mole of A is present initially,and any time t the moles are NA, NB, NC. The net rate ofdisappearance of A is given by

BAA CkCkr 21 and for B, it is

CBBAB CkCkCkCkr 4321

The net rate of production of C is given by

CBC CkCkr 43

(a) Show that the behavior of )(tN A is described by thesecond order ODE

4242413143212

2

)()( kkNkkkkkkdt

dNkkkkdt

NdA

AA

One initial condition for the second order equation in part (a) is1)0( AN ; what is the second necessary initial condition?

(b) Find the complete solution for )(tN A , using the conditionsin part (b) to evaluate the arbitrary constants of integration.

(Diambil dari “Applied Mathematics and Modelingfor Chemical Engineers” by R. G. Rice and D.

D. Do, John Wiley & sons, Inc., New York,1995. Problem 2.6*)

GlossariumPersamaan diferensial (PD) adalah persamaan yang mengandungturunan-turunan dari suatu variabel terikat terhadap satu atau lebihvariabel-variabel bebas.Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan yang

88

mengandung turunan-turunan dari suatu variabel terikat terhadap satuvariabel bebas.Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yangmengandung turunan-turunan dari suatu variabel terikat terhadap lebihdari satu variabel bebas.Derajat dalam persamaan diferensial adalah pangkat dari turunantertinggi yang terdapat dalam PD setelah PD tersebut dirasionalkan.Orde dalam persamaan diferensial turunan tertinggi yang terdapatdalam PD setelah PD tersebut dirasionalkan.PDB linier adalah PDB yang memenuhi bentuk pada persamaan(2.2).PDB non-linier adalah PDB yang tidak memenuhi bentuk padapersamaan (2.2)Persamaan diferensial biasa homogen adalah PD yang mempunyaifungsi-fungsi M(x,y) dan N(x,y) homogen berderajat sama.Persamaan diferensial biasa eksak adalah PD yang memenuhipersyaratan pada persamaan (2.21).Persamaan diferensial linier order satu adalah PD yang mempunyaibentuk umum seperti pada persamaan (2.29).Persamaan diferensial Bernoulli adalah PD yang mempunyai bentukumum seperti pada persamaan (2.35).Persamaan diferensial linier order dua adalah PD yang mempunyaibentuk umum seperti pada persamaan (2.57).

Daftar Pustaka

1. Boyce, W. E. and R. C. DiPrima, 2001, Elementary DifferentialEquations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons,Inc., New York.

2. Rice, B. J. and J. D. Strange, 1994, Ordinary DifferentialEquations with Applications, 3rd Ed., Brooks/Cole Publishing

89

Company, California.


4. Russel, T.W.F. and Denn, M.M. 1972. Introduction to ChemicalEngineering Analysis” John Wiley & sons, Inc., New York, 1972.

90

BAB 3PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)BIASA DENGAN METODE DERET DANFUNGSI-FUNGSI KHUSUS

Pada Bab 2 kita telah mempelajari prosedur sistematik dalammembangun penyelesaian persamaan diferensial linier order duadengan koefisien konstan. Pada dasarnya, penyelesaian komplementerberbentuk fungsi eksponensial; yaitu exp(rx), dan fungsi inimerupakan representasi dari deret pangkat, yaitu

Tujuan instruksional umum: Mengingat kembali tentang deret pangkat. Memperkenalkan tentang titik biasa dan singular. Mengaplikasikan metode Frobenius dalam penyelesaian PD biasa Mengaplikasikan persamaan Bessel dalam penyelesaian PD biasa Mengaplikasikan fungsi-fungsi khusus untuk menyelesaikan PD

biasa.

Tujuan instruksional khusus: Mahasiswa dapat mengaplikasikan deret untuk menyelesaikan PD

biasa Mahasiswa dapat menerapkan Persamaan Bessel untuk

menyelesaikan PD biasa Mahasiswa dapat mengaplikasikan Persamaan Bessel yang dimo-

difikasi untuk menyelesaikan PD biasa Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat fungsi Bessel

91

0

3322

!!3!21)exp(

n

nn

nxrxrxrrxrx (3.1)

Oleh karena itu, dalam bab ini kita akan membahas penyelesaianpersamaan diferensial linier order dua dengan menggunakan deretpangkat. Penyelesaian dengan deret ini dapat juga digunakan untukpersamaan diferensial dengan koefisien tidak konstan (variabel). Idedasar dari metode ini sama dengan metode undetermined coefficients;yaitu dengan mengasumsikan bahwa penyelesaian persamaandiferensial tertentu mempunyai ekspansi deret pangkat, dan kemudiankita berusaha menentukan koefisien-koefisien agar memenuhipersamaan diferensial tersebut.

Tetapi, sebelum kita melihat bagaimana deret pangkat dapatdigunakan dalam menentukan penyelesaian persamaan diferensial,terlebih dahulu kita lihat secara ringkas beberapa sifat dasar dari deretpangkat.

3.1 Review Deret PangkatBentuk deret tak berhingga berikut ini

0

002

02010 )()()()(n

nn

nn xxaxxaxxaxxaa

(3.2)

disebut deret pangkat disekitar titik x0, dengan a0, a1, a2, , an, disebut koefisien-koefisien dari deret pangkat dan x0 adalah pusat darideret atau titik dimana deret akan diekspansi. Deret pangkat dalamPers.(3.2) dikatakan konvergen pada titik x bila

0

0 )(limn

nnn

xxa

itu ada (berhingga) pada x, kalau tidak ada disebut divergen. Deret

92

pangkat dalam Pers. (3.2) dikatakan konvergen absolut pada titik xjika deret

0

00

0 )(n

nn

n

nn xxaxxa

konvergen. Jadi, bila suatu deret konvergen absolut maka deret itupasti konvergen juga, namun tidak berlaku sebaliknya.

Untuk setiap deret pangkat ada suatu bilangan R yang harganyalebih besar atau sama dengan nol ( 0R ), yang disebut dengan jari-jari konvergensi, dengan sifat ini bahwa deret dalam Pers. (3.2)konvergen absolut bila ,0 Rxx dan divergen bila .0 Rxx Bila deret konvergen pada semua harga x, maka .R Namun,bila deret konvergen hanya pada x0, maka .0R Deret bisakonvergen atau bisa divergen bila ,0 Rxx lihat Gambar 3.1.

Jadi bila kita dapat menentukan harga R, maka rentangkonvergensi dari suatu deret dapat diketahui, yaitu

)()( 00 RxxRx (3.3)

Gambar 3.1. Interval konvergensi deret pangkat

Juga kita dapat menganalisa titik-titik ujung dari rentang konvergensisecara terpisah untuk mengetahui konvergensi dari deret dalam Pers.(3.2)

x0 R x0

Deretdivergen

Deretkonvergen absolut

Deretdivergen

x0 + R

Deret bisakonvergen atau divergen

93

Salah satu metode yang sangat berguna dalam mengujikonvergensi absolut dari suatu deret adalah test rasio. Test inididefinisikan dengan

nn

nn

nn

n

n xxaxxa

uu

)()(

limlim0

1011

01

01lim xxRa

axxn

n

n

(3.4)

dimana un dan un+1 berturut turut adalah suku ke-n dan ke-(n+1), dan

1

lim

n

n

n aaR (3.5)

Bila 1 deret adalah konvergen; bila 1 deret adalahdivergen; dan bila 1 maka test gagal, maksudnya perilaku derettidak dapat ditentukan dengan test ini dan harus dicari metodepengujian lainnya.

Contoh 3.1.

Tentukanlah jari-jari konvergensi dari deret berikut

0 1n

n

nx (3.6)

Penyelesaian:

Dengan menggunakan test rasio didapatkan

xnnx

xn

nx

nn

n

n

21lim1

2lim

1

Jadi deret dalam Pers. (3.6) konvergen absolut bila .1x Ini

94

menandakan jari-jari konvergensi .1R Oleh karena itu, dapatdisimpulkan bahwa deret tersebut konvergen absolut jika

,11 x dan divergen bila ;1x atau jika 1x dan.1xKita dapat menguji titik-titik ujung dari rentang

konvergensi secara terpisah, yaitu pada 1x dan .1xPertama kita amati pada 1x deret menjadi

41

31

211

11

0n n

Ini merupakan deret harmoni positif dan suku ke-n tidakmendekati nol dengan n , jadi deret tersebut adalahdivergen. Dan pada titik ujung yang lain, yaitu pada 1xderet menjadi

41

31

211

1)1(

0n

n

n(3.7)

Deret ini berkurang suku demi sukunya dan suku ke-n mendekati noldengan n , jadi deret tersebut adalah konvergen, tetapi tidakkonvergen absolut. Deret dalam Pers. (3.7) dikatakan konvergenbersyarat pada .1x Jadi deret pangkat dalam Pers. (3.6) adalahkonvergen untuk .11 x

Perlu diingat bahwa dalam interval konvergensi, deret pangkatdapat diperlakukan seperti fungsi kontinyu lainnya, misal dapatdidiferensialkan atau diintegralkan suku demi suku dari deret tersebut.Deret hasil diferensiasi atau integrasi dijamin konvergen danmempunyai jari-jari konvergensi yang sama dengan deret pangkat asli.

Bila )(xf dan )(xg masing-masing merupakan deretpangkat, maka dalam interval konvergensi deret-deret tersebut dapatditambahkan atau dikurangkan suku demi suku, yaitu

95

0

0 ))(()()(n

nnn xxbaxgxf (3.8)

Deret-deret pangkat tersebut juga dapat dikalikan, yaitu

00

00

00 )()()()()(

n

nn

n

nn

n

nn xxcxxbxxaxgxf (3.9)

dimana .022110 babababac nnnnn Selanjutnya, bila,0)( 0 xg deret pangkat dapat dibagi, yaitu

0

0 )()()(

n

nn xxd

xgxf (3.10)

Koefisien dn dapat diperoleh dengan menyamakan koefisien-koefisiendalam hubungan yang ekuivalen,

00

00

00 )()()(

n

nn

n

nn

n

nn xxbxxdxxa

n

n

n

kknk xxbd )( 0

0 0

(3.11)

Bila deret

0

00

0 )()(n

nn

n

nn xxbxxa (3.12)

untuk setiap x. Maka nn ba untuk setiap n. Bila ruas kanan Pers.(3.12) sama dengan nol maka 0na untuk semua n.

3.2 Titik Biasa dan SingularBentuk umum persamaan diferensial linier homogen order dua adalah

96

0)()()( 012

2

2 yxAdxdyxA

dxydxA (3.13)

dengan ),(0 xA ),(1 xA dan )(2 xA adalah koefisien-koefisien daripersamaan diferensial. Misal koefisien-koefisien A0, A1, dan A2

semuanya polinomial yang tidak mempunyai faktor umum, maka titikx0 dikatakan titik biasa (ordinary) dari Pers. (3.13) bila .0)( 02 xANamun, jika ,0)( 02 xA maka x0 dikatakan titik singular. Titiksingular bisa bilangan kompleks.

Bila koefisien-koefisien dari persamaan diferensial bukan dalambentuk polinomial, maka kita perlu memodifikasi definisi titik biasadan singular. Untuk tujuan ini bagikan Pers. (3.13) dengan )(2 xAsehingga persamaan diferensial menjadi dalam bentuk normal, yaitu

0)()(2

2

yxqdxdyxp

dxyd (3.14)

dimana )()()( 21 xAxAxp dan .)()()( 20 xAxAxq Titik x0 dikatakan titik biasa bila kedua fungsi )(xp dan )(xq

adalah analitik, artinya bahwa mereka kedua-duanya dapat diekspansidalam deret pangkat dan konvergen disekitar titik x0. Jika satu ataukedua fungsi tersebut tidak dapat diekspansi dalam deret pangkatdisekitar titik x0, maka x0 dikatakan titik singular.

3.3 Penyelesaian Deret Disekitar Titik BiasaJika x0 merupakan titik biasa dari persamaan diferensial

)()()()( 012

2

2 xfyxAdxdyxA

dxydxA (3.15)

maka penyelesaiannya dapat dinyatakan dalam

97

0

0 )(n

nn xxay (3.16)

Untuk menyelesaikan Pers. (3.15), kita sisipkan Pers. (3.16) danturunan-turunannya ke dalam Pers. (3.15), dan fungsi )(xfdiekspansi ke dalam deret Maclaurin (atau deret Taylor). Kemudianharga an ditentukan dengan menyamakan koefisien-koefisien daripangkat x yang sama. Untuk persamaan diferensial order dua, a0 dana1 adalah konstanta-konstanta sembarang, dan an ditentukan untuk

.2n

Contoh 3.2.

Selesaikan persamaan diferensial berikut

042

2

ydx

yd (3.17)

dengan menggunakan deret pangkat disekitar .0x

Penyelesaian:

Bandingkan persamaan ini dengan Pers. (3.13), diperoleh,1)(2 xA ,0)(1 xA dan ;4)(0 xA dengan demikian setiap

titik adalah titik biasa. Anggap x terletak dalam jari-jarikonvergensi dari deret pangkat dan penyelesaiannya berbentuk

0n

nn xay (3.18)

dengan a0 dan a1 adalah konstanta-konstanta sembarang, yangakan konvergen untuk semua harga x. Diferensialkan Pers.(3.18) dua kali terhadap x, didapatkan

98

0

1

n

nn xan

dxdy

Kita lihat suku pertama dari deret tersebut adalah nol, jadiindeks n harus mulai dari 1.

1

1

n

nn xan

dxdy (3.19)

dan

2

22

2

)1(n

nn xann

dxyd (3.20)

Karena suku pertama adalah nol, maka indeks n mulai dari 2.Dengan mensubstitusikan y dan y dalam Pers. (3.17) denganPers. (3.18) dan (3.20), diperoleh

04)1(02

2

n

nn

n

nn xaxann

Untuk menggabungkan kedua deret tersebut, kita perlu menulisulang deret pertama sehingga indeks dari pangkat x sama. Jadidalam deret pertama, kita merubah indeks penjumlahan ndengan 2n dan n mulai dari nol. Kita dapatkan

04)2)(1(00

2

n

nn

n

nn xaxann

atau

0]4)2)(1[(0

2

n

nnn xaann (3.21)

Indeks penjumlahan n adalah dummy variable, seperti variabeldalam suatu integrasi, sehingga kita dapat merubahnya tanpa

99

mempengaruhi harga penjumlahan. Persamaan (3.21) dipenuhiuntuk semua harga x, jadi koefisien dari xn harus sama dengannol,

04)2)(1( 2 nn aann

)2)(1(4

2 nn

aa nn , n 0, 1, 2, . (3.22)

Persamaan ini disebut hubungan rekursi. Pada Pers. (3.22),setiap persamaan dihubungkan dengan dua persamaansebelumnya. Karena Pers. (3.17) adalah persamaan diferensialorder dua maka ada dua konstanta sembarang, yaitu a0 dan a1.Jadi bila a0 diketahui maka an dapat ditentukan untuk semua xgenap, dan bila a1 diketahui maka an juga dapat ditentukanuntuk semua x ganjil. Pertama kita lihat untuk koefisien-koefisien genap,

!22

24 0

20

2aaa ,

!42

!22

434

434 0

40

22

4aaaa

,

!62

!42

654

654 0

60

44

6aaaa

,

Untuk koefisien-koefisien ganjil,

!32

324 1

21

3aaa

,

!52

!32

544

544 1

40

23

5aaaa

,

100

!72

!52

764

764 1

60

45

7aaaa

,

Sisipkan koefisien-koefisien ini ke dalam Pers. (3.18),menghasilkan

514

404

312

202

10 !52

!42

!32

!22 xaxaxaxaxaay

716

606

!72

!62 xaxa

Dengan mengelompokkan deret-deret yang melibatkan a0 dan a1,diperoleh

!6)2(

!4)2(

!2)2(1

642

0xxxay

!72

!52

!32 765432

1xxxxa

Deret-deret tersebut dapat ditulis dalam bentuk kompak sebagaiberikut

0

12

00

2

0 !)12()2()1(

!)2()2()1(

n

nn

n

nn

nxb

nxay (3.23)

dengan .210 ab Ini adalah penyelesaian Pers. (3.17) dalambentuk deret pangkat yang linearly independent. Deret pangkattersebut dapat diuji konvergensinya dengan rasio test. Kita dapatmengenal bahwa deret pertama dan kedua dalam Pers. (3.23)masing-masing adalah sebagai x2cos dan ,2sin x sehinggaPers. (3.23) dapat ditulis dengan

101

xbxay 2sin2cos 00 (3.24)

Contoh 3.3.

Gunakan deret pangkat untuk menyelesaikan persamaandiferensial berikut ini

xeydx

yd 2

2

(3.25)

dengan kondisi awal: 1)0( y dan 0)0( y .

Penyelesaian:

Persamaan ini mempunyai titik biasa disemua titik, dan anggappenyelesaiannya berbentuk

0n

nn xay (3.26)

Turunan pertama dan kedua dari Pers. (3.26) adalah

1

1

n

nn xan

dxdy (3.27)

dan

2

22

2

)1(n

nn xann

dxyd (3.28)

Persamaan (3.27) mulai dari 1n , karena suku pertama darideret tersebut adalah nol. Dan Pers. (3.28) mulai dari ,2nkarena suku pertama dan kedua dari deret tersebut adalah nol.Deret Maclaurin dari )exp( x adalah

102

0 !)1(

n

nnx

nxe (3.29)

Dengan menyisipkan Pers. (3.26), (3.28) dan (3.29) ke dalamPers. (3.25), diperoleh

002

2

!)1()1(

n

nn

n

nn

n

nn n

xxaxann

Agar deret-deret ini dapat digabungkan, maka deret pertamaperlu ditulis ulang untuk menyamakan indeks dari pangkat x.Gantikan indeks penjumlahan n dengan 2n , didapatkan

0!)1()2)(1(

02

n

nn

nn xn

aann

Persamaan ini dipenuhi bila

0!)1()2)(1( 2

naann

n

nn

atau

)1)(2(!)2()1(

2

nna

na n

n

n , n 0, 1, 2, (3.30)

Dengan menset n 0, 1, 2, 3, dalam hubungan rekursi di atasdiperoleh

!2!21 0

2aa

!3!31

23!31 11

3aaa

103

!4!2!21

341

!41

34!41 002

4aaaa

!5!3!31

451

!51

45!51 113

5aaaa

!6!61

!4561

!61

56!61 004

6aaaa

!7!71

!5671

!71

67!71 115

7aaaa

Dengan demikian, penyelesaian umumnya adalah

5140312010 !5!4!3!3

1!2!2

1 xaxaxaxaxaay

7160

!7!71

!6!61 xaxa

Dengan mengelompokkan deret-deret tersebut dalam suku a0, a1,dan lainnya, didapatkan

53

1642

0 !51

!31

!61

!41

!211 xxxaxxxay

76327

!71

!61

!31

!21

!71 xxxxx

atau

104

642

0 !61

!41

!211 xxxby

753

1 !71

!51

!31 xxxxb

5432

!51

!41

!31

!211

21 xxxxx (3.31)

dengan )21(00 ab dan ).21(11 ab Sebelummemasuk-kan kondisi awal ke Pers. (3.31), kita lihat bahwadiferensial terhadap x adalah

!77

!55

!331

!66

!44

!22 642

1

53

0xxxbxxxby

!55

!44

!33

!221

21 432 xxxx (3.32)

Dengan memasukkan kondisi awal, yaitu 1)0( y dan0)0( y , ke dalam Pers. (3.31) dan (3.32), diperoleh

21

0 b

21

1 b

Oleh karena itu, Pers. (3.31) menjadi

642

!61

!41

!211

21 xxxy

753

!71

!51

!31

21 xxxx

105

5432

!51

!41

!31

!211

21 xxxxx

Deret-deret ini dapat ditulis dalam bentuk kompak sebagaiberikut

00

12

0

2

!)1(

21

!)12()1(

21

!)2()1(

21

n

nn

n

nn

n

nn

nx

nx

nxy

yang dikenal dengan

)sin(cos21 xexxy

Contoh 3.4.

Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan menggunakanderet pangkat

053)1( 2

22 y

dxdyx

dxydx (3.33)

Kondisi awalnya adalah 0)0( y dan 1)0( y .

Penyelesaian:

Koefisien dari Pers. (3.33) adalah polinomial maka singularitasterjadi bila ,01 2 x atau .1x Oleh karena itu, 0xmerupakan titik biasa. Anggap bentuk penyelesaiannya adalah

0n

nn xay (3.34)

Turunan pertama dan kedua dari Pers. (3.34) adalah

106

1

1

n

nn xan

dxdy (3.35)

2

22

2

)1(n

nn xann

dxyd (3.36)

Dengan menyisipkan y dan turunan-turunannya ke dalam Pers.(3.33), menghasilkan

053)1()1(01

1

2

22

n

nn

n

nn

n

nn xaxanxxannx

atau

22

2 )1()1(n

nn

n

nn xannxann

05301

n

nn

n

nn xaxan

Indeks penjumlahan dari deret kedua dan ketiga dapat dirubahagar mulai dari 0n , karena deret kedua adalah nol untuk

0n dan 1n sedangkan deret ketiga nol untuk .0nKemudian tiga deret terakhir dapat digabungkan menjadi

0]53)1([)1(02

2

n

nn

n

nn xannnxann

atau

0)54()1(0

2

2

2

n

nn

n

nn xannxann

Agar deret-deret ini dapat digabungkan, maka indeks dalamderet pertama harus digeser untuk menyamakan indeks dari

107

pangkat x. Gantikan indeks penjumlahan n dengan 2n ,didapatkan

0])54()2)(1[(0

22

n

nnn xannann


0)54()2)(1( 22 nn annann

atau

nn anna

25

2 , n 0, 1, 2, . (3.37)

Dengan mengiterasi Pers. (3.37) untuk n 0, 1, 2, 3, , diper-oleh

25 0

2aa

34 1

3aa

815

25

43

43 002

4aaaa

158

34

52

52 113

5aaaa

Penyelesaian umumnya adalah

5140312010 15

88

153

42

5 xaxaxaxaxaay

Dengan mengelompokkan deret-deret tersebut dalam suku a0

108

dan a1, didapatkan

53

142

0 158

34

815

251 xxxaxxay

(3.38)Dengan memasukkan kondisi awal 0)0( y ke dalam Pers.(3.38), menghasilkan

00 a

Sehingga Pers. (3.38) menjadi

53

1 158

34 xxxay (3.39)

Bila Pers. (3.39) didiferensialkan terhadap x, diperoleh

42

1 3841 xxay (3.40)

Dengan memasukkan kondisi awal 1)0( y ke dalam Pers.(3.40), menghasilkan

11 a

Jadi penyelesaian umumnya adalah

53

158

34 xxxy

3.4 Metode FrobeniusKita tidak dapat menyelesaikan persamaan diferensial dengan deretpangkat disekitar titik singuler. Namun, modifikasi deret pangkatdapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan disekitar titik

109

singuler tertentu. Tinjau bentuk umum persamaan diferensial linierhomogen order dua berikut ini

0)()()( 012

2

2 yxAdxdyxA

dxydxA (3.41)

Dengan membagi persamaan tersebut dengan )(2 xA , diperolehpersamaan dalam bentuk normal

0)()(2

2

yxqdxdyxp

dxyd (3.42)

dimana )()()( 21 xAxAxp dan .)()()( 20 xAxAxq

Persamaan (3.42) dikatakan singuler pada titik x0 jika baik(atau kedua-duanya)

)(lim0

xpxx

atau

)(lim0

xqxx

. (3.43)

Dengan kata lain, suatu titik x0 dikatakan singuler jika fungsi )(xpatau )(xq atau kedua fungsi tersebut tidak dapat diekspansi dalamderet pangkat disekitar titik x0.

Titik singuler dapat dikelompokkan dalam titik singuler regulerdan titik singuler irreguler. Titik singuler x0 dikatakan reguler jikakedua

)()(lim 00xpxx

xx

dan )()(lim 2

00xqxx

xx

(3.44)

ada (berhingga) pada .0xx Sebaliknya, titik x0 dikatakanirregular. Dengan kata lain, titik singuler x0 dikatakan reguler jikakedua fungsi

)()( 0 xpxx dan )()( 20 xqxx (3.45)

dapat diekspansi dalam deret pangkat disekitar titik x0. Jika tidakdapat diekspansi titik tersebut dikatakan irregular.

110

Jika x0 merupakan titik singuler reguler dari Pers. (3.41), makapenyelesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk

0

00

00 )()()(n

rnn

n

nn

r xxaxxaxxy , 00 a (3.46)

Deret ini disebut deret Frobenius dengan indeks r. Indeks r ini tidakmesti suatu bilangan bulat. Adapun prosedur penyelesaian Pers. (3.41)adalah sebagai berikut:

1. Anggap penyelesaiannya dalam bentuk deret Frobenius, Pers.(3.46).

2. Sisipkan deret Frobenius dan turunan-turunanya ke dalampersamaan diferensial dan sederhanakan.

3. Set koefisien dari pangkat )( 0xx terkecil sama dengannol. Persamaan yang diperoleh disebut persamaan indicial,dan tentukan harga-harga r. Pada umumnya persamaanindicial berupa persamaan kuadrat. Jadi ada dua akar daripersamaan indicial, yaitu r1 dan r2, yang dikenal denganpangkat singulariti.

4. Untuk setiap harga r, tentukan koefisien-koefisien an denganmenggunakan hubungan rekursi.

Dengan menggunakan deret Frobenius dalam menyelesaikanPers. (3.41), maka dapat dipastikan bahwa penyelesaian pertamaselalu ada, umumnya untuk akar persamaan indicial yang lebih besar.Namun, dalam mendapatkan penyelesaian kedua yang linearlyindependent akan tergantung pada sifat dari akar-akar persamaanindicial, yaitu r1 dan r2. Ada tiga kasus yang terjadi dalampermasalahan ini:

Kasus I. Harga r berbeda dan selisihnya bukan bilangan bulat(do not differ by an integer)

Kasus II. Harga r sama

111

Kasus III. Harga r berbeda dan selisihnya bilangan bulat(differ by an integer); ada dua keadaan dalam kasusini, yang ditunjukkan dalam Kasus IIIa dan IIIb.

3.4.1 Kasus I: Akar-akarnya berbeda dan selisihnya bukanbilangan bulat

Bila ,21 Nrr dengan N adalah bilangat bulat (yaitu,2,1,0 N ), selalu akan menghasilkan dua penyelesaian yang

linearly independent dalam bentuk

0

11 )()( 1

n

nn

r xraxxy (3.47)

0

22 )()( 2

n

nn

r xraxxy (3.48)

Koefisien-koefisien )( 1ran dan )( 2ran masing-masing dihitungpada harga akar r1 dan r2. Karena y1 dan y2 adalah linearly independent,maka penyelesaian umumnya adalah

)()( 21 xyxyy (3.49)

Contoh 3.5.

Tentukan penyelesaian umum dengan deret disekitar 0x daripersamaan diferensial berikut ini

02)1(2 2

2

ydxdyx

dxydx (3.50)

Penyelesaian:

Bila persamaan ini dirubah dalam bentuk normal seperti Pers.(3.42), didapatkan

112

xxxp

21)( dan

xxq 1)(

Jelas terlihat bahwa pada 0x adalah titik singuler, karena

xxxp

xx 21lim)(lim

00, dan

xxq

xx

1lim)(lim00

.

Juga dapat dibuktikan bahwa titik 0x adalah titik singularreguler, karena

21

21lim)(lim

00

xxxxpx

xx, dan

01lim)(lim 2

0

2

0

xxxqx

xx.

Anggap penyelesaian deretnya berbentuk

0n

rnn xay (3.51)

Diferensialkan Pers. (3.51) dua kali terhadap x, didapatkan

0

1)(n

rnn xarn

dxdy (3.52)

0

22

2

)1)((n

rnn xarnrn

dxyd (3.53)

Dengan menyisipkan y dan turunan-turunannya ke dalam Pers.(3.50), diperoleh

113

0

1

0

1 )()1)((2n

rnn

n

rnn xarnxarnrn

02)(00

n

rnn

n

rnn xaxarn

Dengan menggeser indeks dalam deret ketiga dan keempat darin menjadi 1n , kemudian menggabungkannya dengan duaderet pertama menghasilkan

0)3()122)((1

11

0

1

n

rnn

n

rnn xarnxarnrn

Jika satu suku pertama dikeluarkan dari deret pertama dankemudian deret-deretnya digabungkan, didapatkan

1

10 )122)([()12(

nn

r arnrnxarr

0])3( 11

rnn xarn (3.54)

Dengan menyamakan koefisien dari pangkat x terkecil, 1rx ,sama dengan nol menghasilkan persamaan indicial

0)12( 0 arr (3.55)

karena 00 a , maka

0)12( rr

01 r dan 212 r

Karena akar-akarnya berbeda dan 21 rr bukan bilangan bulat,kita dapat memperoleh dua penyelesaian yang linearly

114

independent dari Pers. (3.50) dalam bentuk deret Frobenius,seperti Pers. (3.47) dan (3.48).

Substitusikan suku pertama dalam Pers. (3.54) denganPers. (3.55), diperoleh

0])3()122)([(1

11

n

rnnn xarnarnrn


0)3()122)(( 1 nn arnarnrn

)122)(()3( 1

rnrnarna n

n , n 1, 2, 3, . (3.56)

Persamaan ini merupakan hubungan rekursi. Bila ,01 rrmenghasilkan

)12()3( 1

nnana n

n (3.57)

Iterasi dari formula an diperoleh

1n , 01 2 aa

2n ,332

012

aaa

3n , 03 a

Karena ,03 a maka 0na untuk .3n Jadi penyelesaianpertama adalah

33

22101 )( xaxaxaaxy

115

03

2 2000 xaxaa

321

2

0xxa (3.58)

Untuk penyelesaian kedua yang linearly independent ambil212 rr , menghasilkan hubungan rekursi, dari Pers. (3.56)

12

112

5

)12(2)25(

2)()(

nn

n bnn

nnn

bnb (3.59)

Disini digunakan nb (pengganti na ) untuk membedakanpenyelesaian kedua dengan penyelesaian pertama.

Untuk 1n ,232

3 001

bbb

2n ,4054

1 012

bbb

3n ,168076

1 023

bbb

Jadi penyelesaian kedua adalah

)()( 2210

212 xbxbbxxy

30200

021

1680402xbxbxbbx

3221

0 16801

401

211 xxxxb

Akhirnya, penyelesaian umum dari Pers. (3.47) adalah

116

3221

0

2

0 16801

401

211

321 xxxxbxxay

3.4.2 Kasus II: Akar-akarnya samaBila akar-akar persamaan indicial sama, ,21 rr jelas bahwaprosedur yang digunakan di atas hanya akan menghasilkan satupenyelesaian dalam bentuk deret Frobenius, yaitu penyelesaianpertama. Penyelesaian kedua dapat diperoleh dengan menganggapbahwa dua akar tersebut berbeda dan mengambil limit untuk akarkedua mendekati akar pertama melalui variabel r. Penyelesaianlengkap untuk akar-akar berbeda dapat ditulis

),(),( 2010 rxubrxuay (3.60)

),(),(),()( 120100 rxurxubrxuba

12

12120100

),(),()(),()(

rrrxurxurrbrxuba (3.61)

Dengan menganggap konstanta-konstanta

Aba 00 dan Brrb )( 120


12

12

121),(),(

lim),(rr

rxurxuBrxuAyrr

11),(

rrruBrxuAy

(3.62)

Persamaan (3.62) merupakan penyelesaian lengkap untuk kasus akar-akar persamaan indicial sama.

117

Metode lain dalam mendapatkan penyelesaian kedua, ),(2 xydalam kasus akar-akar persamaan indicial sama adalah denganpersamaan

dx

xy

dxxpxyxy 2

112 )]([

)(exp)()( (3.63)

Contoh 3.6.

Selesaikan persamaan diferensial berikut

022

2

ydxdy

dxydx (3.64)

dengan metode Frobenius disekitar titik .0x

Penyelesaian:

Dengan memasukkan deret Frobenius

0n

rnn xay (3.65)

dan turunan-turunannya, Pers. (3.52) dan Pers. (3.53), ke dalamPers. (3.64), didapatkan

0

1

0

1 )()1)((n

rnn

n

rnn xarnxarnrn

020

n

rnn xa

Dengan menggeser indeks dalam deret ketiga dari n menjadi1n , diperoleh

118

02)(1

11

0

12

n

rnn

n

rnn xaxarn

Jika satu suku pertama dikeluarkan dari deret pertama, persamaannyamenjadi

0]2)[(1

11

2120

n

rnnn

r xaarnxra (3.66)

Dengan menset koefisien 1rx sama dengan nol, menghasilkanpersamaan indicial

020 ra

karena 00 a , maka ,02 r sehingga .021 rr Bila koefisien1rnx dalam Pers. (3.66) diset sama dengan nol menghasilkan

hubungan rekursi

02)( 12 nn aarn

21

)(2

rnaa n

n , n 1, 2, 3, (3.67)

Karena pada penyelesaian kedua menurut Pers. (3.62) memerlukanturunan terhadap r, sekarang kita tidak akan menggantikan harga

0r ke dalam formula rekursi (3.67). Bila ,1n Pers. (3.67)menjadi

20

1 )1(2

raa

Untuk mendapatkan hubungan umum antara an dan a0, dapat ditulisdalam bentuk perkalian berikut ini

119

0

1

3

2

2

1

10 aa

aa

aa

aa

aa

n

n

n

n

n

nn

2222 )1(2

)2(2

)1(2

)(2

rrnrnrn

2222 )1()2()1()(2)1(

rrnrnrn

nn

(3.68)

Fungsi ),( rxu dapat diperoleh dengan memasukkan Pers. (3.68)kedalam deret umum (3.65), diperoleh

022220 )1()2()1()(

2)1(),(n

rnnn

rrnrnrnxarxu

(3.69)

Bila 0r , )0,(xu merupakan penyelesaian pertama dari Pers.(3.64), yaitu

0222201 1)2()1(

2)1()0,(n

nnn

nnnxaxuy

020 )!(

2)1(n

nnn

nxa (3.70)

Penyelesaian kedua dapat diperoleh dari Pers. (3.62), yaitu

12

rrruy

0022220 )1()2()1()(

2)1(

rn

rnnn

rrnrnrnx

rb

(3.71)

Disini digunakan b0 untuk membedakan dari penyelesaian pertama.Diferensial Pers. (3.71) dapat diselesaikan dengan menggunakan dua

120

hubungan:

(i) xrnx rn ln)(exp (3.72)

(ii) )()()()()()( 1321 rfrfrfrfrfrg kk (3.73)

Untuk mendiferensialkan hasil kali fungsi seperti pada Pers. (3.73)dapat menggunakan properti logaritma, yaitu

1321 lnlnlnlnlnln kk fffffg (3.74)

Persamaan ini dapat didiferensialkan satu per satu

1321 lnlnlnlnln)(ln kk fffffdrdg

drd

(3.75)

dimana

drdg

gg

drd

1)(ln

dan

1

11

11

1)(lnff

drdf

ff

drd

,

2

22

22

1)(lnff

drdf

ff

drd

, dst.

sehingga Pers. (3.75) dapat ditulis menjadi

1

1

2

2

1

1)(k

k

k

k

ff

ff

ff

ffrg

drdg

(3.76)

Anggap

121

2222 )1()2()1()()(

rrnrnrnxrg

rn

121 nn ffff (3.77)

dan bandingkan Pers. (3.77) dengan Pers. (3.73), didapatkan (mulaidari fungsi yang terkecil)

21 )1(1)(r

rf

,rf

f

12

1

1

22 )2(1)(

rrf

,

rff

22

2

2

23 )3(1)(r

rf

,rf

f

32

3

3

2)(1)(

rnrf n ,

rnff

n

n

2

xrnxrf rnn ln)(exp)(1 , x

ff

n

n ln1

1

Sisipkan persamaan-persamaan ini kedalam Pers. (3.71),menghasilkan

0222202 )1()2()1()(

2)1(n

rnnn

rrnrnrnxby

0

ln23

22

21

2

r

xrnrrr

122

0222202 1)2()1(

2)1(n

nnn

nnnxby

x

nln2

32

222

0202 )!(

2)1(lnn

nnn

nxxby

02

11

01

31

211

)!(2)1(

n

nnn

nnxb (3.78)

Fungsi penjumlahan parsial, fungsi di dalam kurung pada deret keduaPers. (3.78), dikenal dengan deret Harmoni

nn 1

31

211)( (3.79)

Dengan menganggap

,0)0( ,1)1( ,211)2( ,

31

211)3( dst., (3.80)

maka untuk menjadikan deret kedua Pers. (3.78) tetap mulai dari0n , gantikan n dengan 1n . Sehingga penyelesaian kedua

menjadi

0202 )!(

2)1(lnn

nnn

nxxby

0

2

122

0 11

31

211

]!)1[(2)1(

n

nnn

nnxb

123

Untuk memudahkan pemahaman deret Harmoni dalam persamaan diatas ditulis dengan

0

1

12

122

00

2021

]!)1[(2)1(

)!(2)1(ln

n

n

k

nnn

n

nnn

knxb

nxxby (3.81)

atau

0202 )!(

2)1(lnn

nnn

nxxby

31

211

)!3(16

211

)!2(84 2

3

2

2

0xxxb

320

020 27

2234)!(2)1(ln xxxb

nxxb

n

nnn

(3.82)

Penyelesaian lengkap dari Pers. (3.64) adalah

020

020 )!(

2)1(ln)!(2)1(

n

nnn

n

nnn

nxxb

nxay

32

0 272234 xxxb

320

0200 27

2234)!(2)1()ln( xxxb

nxxbay

n

nnn

Penyelesaian kedua juga dapat ditentukan dengan menggunakanPers. (3.63). Namun, sebelumnya persamaan diferensial (3.64)dirubah dulu ke dalam bentuk normal (standard), menjadi

124

0212

2

yxdx

dyxdx

yd (3.83)

Persamaan (3.63) adalah

dx

xy

dxxpxyxy 2

112 )]([

)(exp)()(

Dengan membandingkan Pers. (3.83) dengan persamaan diferensialnormal diperoleh

xxp 1)( , xdx

xdxxp ln1)(

x

xdxxp 1)lnexp()(exp

Jadi,

21

12 )]([)()(

xyxdxxyxy (3.84)

Dengan menguraikan y1 tanpa menggunakan konstanta integrasi,didapatkan

321 9

221 xxxy

Bila dikuadratkan menghasilkan

3221 9

40641 xxxy

dan bila hasil ini dibagi oleh satu

125

322

1

940641

1)(

1

xxxy

Jika ruas kanan persamaan ini dibagi, didapatkan

322

1 91841041

)(1 xxx

y

Dengan menyisipkan persamaan ini ke dalam Pers. (3.84), diperoleh

dxxx

xyy 2

12 91841041

32

1 2718454ln xxxxy

3232

01 2718454

9221ln xxxxxxbxy

32

01 272234ln xxxbxy

Bandingkan hasil ini dengan metode sebelumnya, Pers. (3.82).

3.4.3 Kasus III: Akar-akarnya berbeda dan selisihnyabilangan bulat

Anggap bahwa 21 rr dan ,21 Nrr dimana N adalah bilanganbulat positif (yaitu N 1, 2, 3, ). Dalam kasus ini kita selalumendapatkan satu penyelesaian dalam deret Frobenius, yaitupenyelesaian pertama, dengan menggunakan akar r1 yang lebih besar.Sedangkan penyelesaian kedua dapat diperoleh baik denganmenggunakan Pers. (3.63) ataupun prosedur yang sama dengan KasusII, yaitu

126

221 ),()(),( rrrxurrr

BrxuAy

(3.85)

Namun, dalam Kasus III ini ada dua masalah yang timbul padahubungan rekursi untuk koefisien .Na Pertama, ketika harga akar rterkecil dimasukkan ke dalam formula rekursi akan menghasilkankoefisien Na tak berhingga. Untuk hal ini penyelesaian kedua dapatdiperoleh dari Pers. (3.85). Kedua, bila indeks harga r terkecildimasukkan ke dalam hubungan rekursi, maka koefisien Na tidakdapat ditentukan. Dalam hal ini koefisien Na diperlakukan sebagaisuatu konstanta integrasi sebagaimana yang dilakukan untuk a0, danpenyelesaian lengkap baik y1 dan y2 dapat diperoleh denganmenggunakan harga akar terkecil r2, dengan mengambil a0 dan Nasebagai dua konstanta integrasi sembarang.

Contoh 3.7.

Gunakan metode Frobenius untuk menyelesaikan persamaandiferensial berikut disekitar titik .0x

02

2

ydx

ydx (3.86)

Penyelesaian:

Anggap penyelesaiannya berbentuk

0n

rnn xay (3.87)

Dengan menyisipkan Pers. (3.87) dan turunan-turunannya, Pers.(3.52) dan (3.53), ke dalam Pers. (3.86) menghasilkan

127

0)1)((00

1

n

rnn

n

rnn xaxarnrn

Dengan menggeser indeks dalam deret kedua dari n menjadi1n , diperoleh

0)1)((1

11

0

1

n

rnn

n

rnn xaxarnrn

dan bila satu suku pertama dari deret pertama dikeluarkan,kedua deret tersebut akan mulai dari n yang sama, yaitu ,1nkemudian dapat digabungkan menjadi

0])1)([()1(1

11

10

n

rnnn

r xaarnrnxarr (3.88)

Persamaan indicial diperoleh dengan menyamakan koefisien1rx sama dengan nol,

0)1( 0 arr


0)1( rr

sehingga akar-akarnya adalah 11 r dan .02 r Dan bilakoefisien 1rnx dalam Pers. (3.88) juga diset sama dengan nol,diperoleh hubungan rekursi

0)1)(( 1 nn aarnrn

atau

)1)((1

rnrnaa n

n , n 1, 2, 3, (3.89)

128

Akar-akar persamaan indicial di atas adalah berbeda danselisihnya 121 Nrr , yaitu bilangan bulat positif. Dengandemikian bila harga akar terkecil, yaitu ,02 r dimasukkan kedalam Pers. (3.89), ada dua kemungkinan yang terjadi untukkoefisien .1aaN Untuk 1n dan ,0r hubungan rekursi(3.89) menjadi

0)101)(01(

001

aaa

Namun, untuk harga akar yang lebih besar, yaitu ,11 rhubungan rekursi (3.89) tetap berlaku.Bila ,1n hubungan rekursi (3.89) menjadi

rraa

)1(0

1

Hubungan antara an dan a0 adalah

0

1

3

2

2

1

10 aa

aa

aa

aa

aa

n

n

n

n

n

nn

)2)(1(1

)1)((1

rnrnrnrn

rrrnrn )1(1

)3)(2(1

rrrnrnrnrn

n

2222 )1()3()2()1)(()1(

(3.90)

Bila ,1r Pers. (3.90) menjadi

)1()2()2()1())(1()1(

22220

nnnnaa n

n

129

!!)1()1(

nn

n

(3.91)

Jadi penyelesaian pertamanya adalah

0

10

1 !!)1()1(

n

nn

nnxay

)!3)(!4()!2)(!3()!1)(!2(

432

0xxxxa

432

0 1441

121

21 xxxxa

Fungsi ),( rxu dapat diperoleh dengan memasukkan Pers. (3.90)kedalam deret umum (3.87), diperoleh

1

22220

)1()3()2()1)(()1(

),(n

rnn

rrrnrnrnrnxbrxu

(3.92)

Disini digunakan b0 untuk membedakan dengan penyelesaianpertama. Penyelesaian kedua ditentukan dengan menggunakanPers. (3.85)

222 ),()( rrrxurrr

y

0),(

rrxurr

(3.93)

Substitusikan ),( rxu dalam Pers. (3.93) dengan Pers. (3.92),didapatkan

130

012222

02 )1()3()2()1)((

)1(

rn

rnn

rrnrnrnrnxb

ry

(3.94)

Misal,

2222 )1()3()2()1)(()(

rrnrnrnrnxrg

rn

(3.95)

Diferensiasi persamaan ini terhadap r dilakukan seperti padacontoh sebelumnya, yaitu

1

1

2

2

1

1)(n

n

n

n

ff

ff

ff

ffrg

drdg

dimana:

21 )1(1)(r

rf

,rf

f

12

1

1

22 )2(1)(

rrf

,

rff

22

2

2

23 )3(1)(r

rf

,rf

f

32

3

3

)(1)(

rnrf n ,

rnff

n

n

1

xrnxrf rnn ln)(exp)(1 , x

ff

n

n ln1

1

Sisipkan persamaan-persamaan ini ke dalam Pers. (3.94),

131

menghasilkan

1222202 )1()3()2()1)((

)1(n

rnn

rrnrnrnrnxby

0

ln13

22

21

2

r

xrnrrr

122220 )1()3()2()1(

)1(n

nn

nnnnxb

x

nln1

32

222

nnnxb

nnxxb

n

nn

n

nn

21

31

211

!)1(!2)1(

!)1(!)1(ln

10

10

(3.96)

Agar deret-deret ini mulai dari ,0n gantikan n dengan 1n

0

11

02 !!)1()1(ln

n

nn

nnxxby

)1(21

31

211

!!)1(2)1(

0

11

0 nnnxb

n

nn

0

11

02 !!)1()1(ln

n

nn

nnxxby

)1(211

!!)1(2)1(

10

11

0 nknnxb

n

kn

nn

(3.97)

132

0

11

02 !!)1()1(ln

n

nn

nnxxby

61

211

!2!32

411

!22

21

!12 32

0xxxb

320

0

11

0 185

45

!!)1()1(ln xxxb

nnxxb

n

nn


0

11

00

10

!!)1()1(ln

!!)1()1(

n

nn

n

nn

nnxxb

nnxay

32

0 185

45 xxxb

Contoh 3.8.

Selesaikan persamaan diferensial berikut dengan metodeFrobenius disekitar titik .0x

02)3(2

2

ydxdyx

dxydx (3.98)

Penyelesaian:Anggap penyelesaiannya berbentuk

0n

rnn xay (3.99)

Dengan mendiferensialkan deret ini dua kali terhadap x,kemudian menyisipkan y dan turunan-turunannya tersebut kedalam Pers. (3.98), diperoleh

133

0

1

0

1 )()3()1)((n

rnn

n

rnn xarnxxarnrn

020

n

rnn xa

0)2()4)((00

1

n

rnn

n

rnn xarnxarnrn

Dengan menggeser indeks dalam deret kedua dari n menjadi1n , didapatkan

0)3()4)((1

11

0

1

n

rnn

n

rnn xarnxarnrn

dan dengan mengeluarkan satu suku pertama dari deret pertama,persamaannya menjadi

0)3()4)(()4(1

11

10

n

rnnn

r xarnarnrnxarr

(3.100)Bila koefisien 1rx diset sama dengan nol, diperoleh

0)4( 0 arr

karena ,00 a maka didapatkan akar-akarnya adalah 41 rdan .02 r Bila koefisien 1rnx dalam Pers. (3.100) jugadiset sama dengan nol menghasilkan hubungan rekursi

0)3()4)(( 1 nn arnarnrn

atau

1)4)((3

nn arnrn

rna , n 1, 2, 3, (3.101)

134

Bila ,0r

0)4(3 a

nnnan

(3.102)

Untuk ,1n

001 32

)3()1(2 aaa

2n : 012 61

)2()2(1 aaa

3n : 0)1()3(

023

aa

4n :00

)0()4(1

34 aa

Karena selisih akar-akar persamaan indicial adalah,421 Nrr yaitu bilangan bulat positif, dan 4aaN

tidak dapat didefinisikan, maka a4 dianggap sebagai suatukonstanta integrasi. Penyelesaian lengkap untuk kasus ini dapatdiperoleh dengan hanya menggunakan akar persamaan indicialyang terkecil, yaitu .0r

Iterasi hubungan rekursi (3.102) untuk 5n :

Untuk :5n 445 52

)1()5(2 aaa

6n : 456 101

)2()6(3 aaa

7n : 467 1052

)3()7(4 aaa


135

)( 77

66

55

44

33

2210 xaxaxaxaxaxaxaaxy r

Karena a4 dianggap sebagai suatu konstanta integrasi, makamulai dari 4n konstanta integrasi ditulis dalam term a4. Jadi,penyelesaiannya adalah

7654

42

0 1052

101

52

61

321 xxxxaxxay

3.5 Fungsi-Fungsi KhususAda beberapa bentuk khusus dan nama tertentu dari persamaandiferensial biasa dengan koefisien variabel dimana penyelesaiannyasering ditabulasi di dalam handbook matematika. Beberapa bentukdiantaranya adalah

0)( 222

22 ypx

dxdyx

dxydx (3.103)

0)(])1([)1( 2

2

ynbndxdyxba

dxydxx (3.104)

0)1(2)1( 2

22 ynn

dxdyx

dxydx (3.105)

Persamaan ini berturut-turut disebut persamaan Bessel order p,polinomial Jacobi order n, dan persamaan Legendre order n. Karenapersamaan Bessel seringkali ditemui dalam bidang Teknik Kimia,maka untuk selanjutnya kita hanya akan mempelajari persamaanBessel dan penyelesaiannya.

3.5.1 Persamaan BesselPersamaan diferensial (3.103) dikenal sebagai persamaan Bessel order

136

p, dimana p adalah konstanta positif atau nol )0( p . Penyelesaiandari persamaan Bessel order p dinamakan fungsi Bessel order p.

Karena 0x merupakan titik singuler reguler dari persamaanBessel, kita tahu bahwa sekurang-kurangnya ada satu penyelesaiandalam bentuk deret Frobenius

0n

rnn xay . (3.106)

Dengan mendiferensialkan persamaan ini dua kali terhadap x,kemudian memasukkan y dan turunan-turunanya ke dalam Pers.(3.103), diperoleh

0

2

00)()1)((

n

rnn

n

rnn

n

rnn xaxarnxarnrn

00

2

n

rnn xap

Dengan menggeser indeks dalam deret ketiga dari n menjadi 2n ,didapatkan

0]))([(2

20

2

n

rnn

n

rnn xaxaprnrn

dan bila dua suku pertama dikeluarkan dari deret pertama, kedua derettersebut akan mulai dari n yang sama, yaitu ,2n kemudian keduaderet tersebut dapat digabungkan

rr xaprxapr 11

220

22 ])1[()(

0])[(2

222

n

rnnn xaaprn (3.107)

Dengan menyamakan koefisien dari pangkat x terkecil, rx , samadengan nol menghasilkan persamaan indicial

137

0)( 022 apr

karena 00 a , maka

022 pr pr 1 dan pr 2 (3.108)

Selisih antara dua akar persamaan indicial, 21 rr , adalah p2 danjenis penyelesaiannya akan tergantung pada sifat harga p.

Harga 1a diperoleh dengan menyamakan koefisien rx 1

sama dengan nol.

0])1[( 122 apr

0)1)(1( 0 aprpr (3.109)

Karena pr dan 0p , maka ,01 pr namun untuk kasuskhusus bila 2

1p dan 21r , .01 pr Oleh karena itu,

untuk memenuhi Pers. (3.109)

01 a (3.110)

Dan bila koefisien rnx dalam Pers. (3.107) juga diset sama dengannol, diperoleh hubungan rekursi

0])[( 222 nn aaprn

atau

))((2

prnprnaa n

n

, n 2, 3, 4, (3.111)

Dari Pers. (3.111) terlihat bahwa bila ,01 a maka.0753 aaa Jadi semua koefisien ganjil sama dengan nol,

sehingga kedua penyelesaian Pers. (3.103) hanya terdiri dari fungsigenap. Dengan demikian, n diganti dengan m2 dan hubunganrekursinya menjadi

138

)2)(2(22

2 prmprmaa m

m

, m 1, 2, 3, (3.112)

Penyelesaian pertama untuk ,pr dan karena m adalahbilangan bulat positif, penyebut dari persamaan diatas tidak akanmenjadi nol untuk setiap harga m. Jadi hubungan rekursi untuk pr adalah

)(2)22(2 22222

2 pmma

pmmaa mm

m

(3.113)

Untuk 1m ,

)1(220

2 paa

Hubungan antara ma2 dan 0a adalah

0

2

42

22

22

2

0

2

aa

aa

aa

aa

m

m

m

mm

)1(21

)1(221

)1)(1(21

)(21

2222 pppmmpmm

)1(21

)1)(1(21

)(21

222 ppmmpmm

)1)(2()1()1)(2()1(

pppp

!)(!2!)1(

2 pmmp

m

m

atau dapat juga ditulis

139

)1(!2)1()1(

20

2

pmm

paa m

m

m (3.114)

dimana )1( p adalah fungsi Gamma (akan dibahas dalam Bab 4).Penyelesaian pertama persamaan Bessel adalah

0

22

01 )1(!2

)1()1(m

pmm

m

xpmm

pay

pm

m

mp x

pmmpay

2

001 2)1(!

)1()1(2

pm

m

m xpmm

Cy

2

011 2)1(!

)1( (3.115)

Fungsi Bessel jenis pertama order p didefinisikan dengan

pm

m

m

px

pmmxJ

2

0 2)1(!)1()( (3.116)

Jadi penyelesaian pertama Pers. (3.103) adalah

)()( 11 xJCxy p (3.117)

Bentuk penyelesaian kedua, untuk ,pr tergantung apakahharga p bilangan bulat atau bukan, dan ada tiga kemungkinanpenyelesaiannya, yang sesuai dengan kasus pada metode Frobenius.

1. Kasus I (2p bukan bilangan bulat maupun nol)Dalam hal ini penyelesaian kedua diperoleh dari penyelesaian pertamadengan menggantikan p pada Pers. (3.117) dengan .p

)()( 22 xJCxy p (3.118)

140

dimanapm

m

m

px

pmmxJ

2

0 2)1(!)1()( (3.119)

Jadi, penyelesaian lengkap persamaan Bessel (3.103) adalah

)()( 21 xJCxJCy pp (3.120)

2. Kasus II (p 0)Persamaan (3.103) menjadi

022

22 yx

dxdyx

dxydx (3.121)

Persamaan ini disebut persamaan Bessel order nol. Penyelesaianpersamaan ini kembali ke Pers. (3.108) dan ambil harga ,0pdiperoleh

02 r

yang mana mempunyai akar-akar sama, yaitu, .021 rrDengan memasukkan 0p ke dalam Pers. (3.116),

didapatkan

m

m

m xm

xJ2

020 2)!(

)1()(

(3.122)

Persamaan (3.122) merupakan fungsi Bessel jenis pertama order nol.Penyelesaian pertama persamaan Bessel order nol adalah

)()( 011 xJCxy (3.123)

Hubungan rekursi untuk 0p diperoleh dari Pers. (3.112), yaitu

141

222

2 )2( rmaa m

m

(3.124)

Bila ,1m

20

2 )2(

r

aa

Sehingga hubungan antara ma2 dan 0a adalah

2220

2

)2()22()2()1(

rrmrma

a mm

(3.125)

Dengan menggunakan metode Frobenius untuk kasus akar-akar rsama, dalam hal ini ,021 rr penyelesaian kedua didapatkan dari

02

),(

rrrxuy

dimana

0

222

20

)2()22()2()1(

),(m

rmm

rrmrmxbrxu

(3.126)

dan hasilnya adalah

0

2

20021

31

211

2)!()1(ln)(

m

mm

mx

mxxJby

(3.127)

dimana seperti sebelumnya

m

k kmm

1

1131

211)( (3.128)

142

harga untuk 0m dianggap .0)0( Karena itu agar deret keduadari Pers. (3.127) dapat mulai dari 0m , gantikan m dengan 1m ,menghasilkan

0

1

1

22

2

1

0021

2!)1()1(ln)(

m

m

k

mm

kx

mxxJby (3.128)

Pernyataan dalam kurung kurawal Pers. (3.128) merupakan bentukNeumann dari penyelesaian kedua, tetapi bentuk yang seringdigunakan dan ditabulasikan adalah bentuk Weber. Bentuk Weberdidapatkan dengan jalan menambahkan )()2ln( 0 xJ kedalambentuk Neumann dan hasilnya dikalikan dengan 2 .

)1(

2!)1()1(2)(

2ln2)(

22

02

1

00

mxm

xJxxYm

m

m

(3.129)

dimana: )(0 xY bentuk Weber dari fungsi Bessel jenis kedua ordernol konstanta Euler, yang didefinisikan

665215577,0ln131

211lim

m

mm (3.130)

1

1

11

131

211)1(

m

k kmm (3.131)

Penyelesaian kedua adalah

)(022 xYCy (3.132)

dan penyelesaian lengkap Pers. (3.121):

)()( 0201 xYCxJCy (3.133)

143

3. Kasus III (p bilangan bulat)Bila 1m , hubungan rekursi (3.112) menjadi

)2)(2(0

2 prpraa

sehingga hubungan antara ma2 dan 0a adalah

)22)(22)(2)(2()1(

0

2

prmprmprmprma

a mm

)2)(2(1

prpr

(3.134)

Bila pr disubstitusikan ke dalam hubungan rekursi(3.112) didapatkan

)22(222

2 pmmaa m

m

Untuk ,1m .2 a Oleh karena itu penyelesaian kedua Pers.(3.103) diperoleh dengan menggunakan metode Frobenius untukKasus III. Hasilnya adalah

)(22 xYCy p (3.135)

dengan

pmp

mpp

xmmpxJxxY

21

0 2!!)1(1)(

2ln2)(

)()(2!)(!

)1(12

0pmmx

pmm

pm

m

m

(3.136)

dimana seperti sebelumnya

144

mm 1

31

211)(

harga untuk 0m dianggap ,0)0( dan

pmpm

131

211)( (3.137)

)(xYp adalah bentuk Weber dari fungsi Bessel jenis kedua order p.Bila ,0p jumlah dari suku kedua Pers. (3.136) dianggap samadengan nol, dan Pers. (3.136) tereduksi menjadi Pers. (3.129).

Penyelesaian lengkap Pers. (3.103) adalah

)()( 21 xYCxJCy pp (3.138)

3.5.2 Persamaan Bessel Yang DimodifikasiBentuk lain dari persamaan diferensial yang dapat diselesaikandengan bantuan fungsi Bessel adalah

0)( 222

22 ypx

dxdyx

dxydx (3.139)

Persamaan ini diperoleh dari persamaan Bessel (3.103) denganmenggantikan x dengan ix, dimana 12 i . Penyelesaian Pers.(3.139) dapat ditulis sebagai berikut:

Bila p bukan bilangan bulat maupun nol, maka

)()( 21 ixJCixJCy pp (3.140)

Bila 0p atau bilangan bulat, maka

)()( 21 ixYCixJCy pp (3.141)

145

Pada persamaan diferensial order dua dengan koefisien konstanapabila persamaan pembantu mempunyai akar-akar kompleks, makapenyelesaian komple-menternya lebih baik dinyatakan dalam fungsi-fungsi trigonometri yang riil daripada dinyatakan dalam fungsi-fungsieksponensial yang kompleks. Misal, akar-akar persamaankarakteristik: biam 1 dan biam 2 . Fungsi komplementer-nya adalah

xbiaxbiac eCeCy )(

2)(

1

2)(

2)( 2121

ibxibxibxibxax eeCCeeCCe

bxCbxCe ax sincos 43

Dalam masalah ini daripada menggunakan fungsi-fungsi Besseldengan variabel kompleks, lebih baik mendefinisikan fungsi Besselyang dimodifikasi dengan variabel riil, sehingga Pers. (3.140) dan(3.141) dapat dinyatakan dalam bentuk riil.

Fungsi Bessel yang dimodifiksi jenis pertama order pdidefinisikan sebagai ,)(xI p yaitu

0

2

!)1(!2)()(

m

pm

pp

p pmmxixJixI (3.142)

Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis kedua order pdidefinisikan sebagai ,)(xK p yaitu

)()(2

)( 1 ixYiixJixK ppP

p (3.143)

pmp

m

m

pp

px

mmpxIxxK

21

0

1

2!!)1()1(

21)(

2ln)1()(

146

)()(!)(!

2)1(21

0

2

pmmpmm

xm

pmm

(3.144)

Bila ,0p jumlah dari suku kedua Pers. (3.144) dianggap samadengan nol.

Jadi, penyelesaian umum Pers. (3.139) adalah Bila p bukan bilangan bulat maupun nol, maka

)()( 21 xICxICy pp (3.145)

Bila 0p atau bilangan bulat, maka

)()( 21 xKCxICy pp (3.146)

3.5.3 Bentuk Umum Persamaan BesselBentuk umum persamaan Bessel dapat ditulis

0)1()2( 2222

22 yxbxrabdxc

dxdybxax

dxydx rrsr

(3.147)

Persamaan ini dapat direduksi menjadi persamaan Bessel (3.103)dengan jalan mentransformasikan variabel-variabelnya.Dengan meng-gambarkan )(xZ p sebagai salah satu dari fungsi Bessel, makapenyelesaian umumnya dapat ditulis

sp

sp

rxba

xsd

ZCxsd

ZCexy

r

212

1

(3.148)

dimana

147

cas

p

2

211 (3.149)

Jenis fungsi-fungsi Bessel yang timbul tergantung pada karaktersd 21)( dan harga-harga p.

1. Jika sd adalah riil dan

0p atau bukan bilangan bulat, maka pp JZ dan

pp JZ .

0p atau bilangan bulat, maka pp JZ dan pp YZ .

2. Jika sd adalah imajiner dan

0p atau bukan bilangan bulat, maka pp IZ dan

pp IZ .

0p atau bilangan bulat, maka pp IZ dan pp KZ .

Contoh 3.8.

Selesaikan persamaan berikut ini

0)21( 222

22 yx

dxdyx

dxydx (3.150)

Penyelesaian:

Dengan menyamakan persamaan ini dengan bentuk umumpersamaan Bessel, Pers. (3.147), diperoleh

koefisien dxdy : rbxa 221 ; 21,0 ab

148

koefisien y: rrs xbxrabdxcx 22222 )1( ;

dipenuhi bila: sdc ,,0 2 . Dari Pers. (3.149) dida-patkan

102

)21(11 2

p (bilangan bulat)

12

sd

(bilangan riil)

sehingga pp JZ , dan pp YZ . Jadi, penyelesaian Pers.(3.150) adalah

)()( 12112

)21(1

xYCxJCxy

)()( 1211 xYCxJCxy

3.5.4 Sifat-Sifat Fungsi BesselSebagaimana fungsi-fungsi trigonometri, fungsi Bessel juga mem-punyai sifat-sifat dan hubungan-hubungan, meskipun tidak banyakyang diketahui. Dalam sub bab ini hanya beberapa sifat penting sajayang dibahas, yaitu, perilaku fungsi Bessel, sifat-sifat diferensial, dansifat-sifat integral.

Perilaku Fungsi Bessel

Bila harga x kecil ,)0( x fungsi Bessel cenderung sama denganlimit suku pertama saja. Penyelesaian pendekatannya adalah

149

)1(21)(

pxxJ

p

pp ;)1(

2)(p

xxJpp

p

(3.151)

dan untuk order bilangan bulat dan nol,

pp

p xpxY

!)1(2)( )0( p (3.152)

xxY ln2)(0 (3.153)

Tabel 3.1. Harga-harga numerik dari fungsi Bessel order nol

x )(0 xJ )(0 xY )(0 xK

0.0 1,000 000 0,5 0,938 470 -0,444 519 0,924 4191,0 0,765 198 0,088 257 0,421 0241,5 0,511 828 0,382 449 0,213 8062,0 0,223 891 0,510 376 0,113 8942,5 -0,048 384 0,498 070 0,062 3483,0 -0,260 052 0,376 850 0,034 7403,5 -0,380 128 0,189 022 0,019 599

4,0 -0,397 150 -0,016 941 0,011 1604,5 -0,320 543 -0,194 705 0,006 4005,0 -0,177 597 -0,308 518 0,003 6915,5 -0,006 844 -0,339 481 0,002 139

6,0 0,150 645 -0,288 195 0,001 2446,5 0,260 095 -0,173 242 0,000 7267,0 0,300 079 -0,025 950 0,000 4257,5 0,266 340 0,117 313 0,000 2498,0 0,171 651 0,223 521

8,5 0,041 939 0,270 2059,0 -0,090 334 0,249 9379,5 -0,193 929 0,171 211

10,0 -0,245 936 0,055 671

150

Fungsi-fungsi Bessel yang dimodifikasi untuk harga x kecil adalah

)1(21)(

pxxI

p

pp ;

)1(2)(

pxxI

pp

p

(3.154)

ppp xpxK !)1(2)( 1 )0( p (3.155)

xxK ln)(0 (3.156)

Oleh karena itu,

bila 0p , 1)0()0( 00 IJ (3.157)

bila 0p dan bilangan bulat,

0)0()0( pp IJ (3.158)

bila 0p dan bukan bilangan bulat, )0()0( pp IJ (3.159)

Fungsi Bessel )(xYp dan )(xK p untuk harga x kecil )0( x akanmenjadi tak berhingga pada titik asal untuk semua harga p. Jika

,0p tak berhingga disebabkan pangkat x negatif; jika ,0p takberhingga disebabkan suku .ln x Jadi untuk setiap harga p

)0()0( pp KY (3.160)

Untuk harga x besar, fungsi Bessel yang dimodifikasiberperilaku dengan tipe eksponensial dan tidak tergantung pada order(p dapat bilangan bulat atau nol).

xexI

x

p 2)( (3.161)

151

xexK x

p 2)(

(3.162)

Namun, untuk harga x besar, fungsi Bessel )(xJ p dan )(xYp

beroskilasi dengan periode 2 .

Tabel 3.2. Harga-harga numerik dari fungsi Bessel order satu

x )(1 xJ )(1 xY )(1 xI )(1 xK0.0 0,000 000 0,000 000 0,5 0,242 268 -1,471 472 0,257 894 1,656 4411,0 0,440 051 -0,781 213 0,565 159 0,601 9071,5 0,557 937 -0,412 309 0,981 666 0,277 388

2,0 0,576 725 -0,107 032 1,590 637 0,139 8662,5 0,497 094 0,145 918 2,516 716 0,073 8913,0 0,339 059 0,324 674 3,953 4 0,040 1563,5 0,137 378 0,410 188 6,205 8 0,022 239

4,0 -0,066 043 0,397 926 9,759 5 0,012 4834,5 -0,231 060 0,300 997 15,389 2 0,007 0785,0 -0,327 579 0,147 863 24,335 6 0,004 0455,5 -0,341 438 -0,023 758 38,588 2 0,002 326

6,0 -0,276 684 -0,175 010 61,342 0,001 3446,5 -0,153 841 -0,274 091 97,735 0,000 7807,0 -0,004 683 -0,302 667 156,039 0,000 4547,5 0,135 248 -0,259 129 249,584 0,000 265

8,0 0,234 636 -0,158 060 399,8738,5 0,273 122 -0,026 169 641,6209,0 0,245 312 0,104 315 1030,9159,5 0,161 264 0,203 180 1658,453

10,0 0,043 473 0,249 015 2670,988

152

24cos2)(

px

xxJ p (3.163)

24sin2)(

px

xxYp (3.164)

dimana p dapat sembarang harga riil termasuk bilangan bulat maupunnol. Perilaku oskilasi ini menyebabkan )(xJ p dan )(xYp melewatinol (disebut penol )(xJ p ) dan ini dipisahkan oleh untuk x besar.Harga beberapa fungsi Bessel order nol dan satu ditabulasi dalamTabel 3.1 dan Tabel 3.2. Beberapa penol )(xJ p dan )(xYp

ditabulasi dalam Tabel 3.3 dan Tabel 3.4.

Tabel 3.3. Penol untuk ;)(xJ n Harga-harga x yang menghasilkan0)( xJ n

n = 0 n = 12,4048 3,83175,5201 7,01568,6537 10,1735

11,7915 13,323714,9309 16,470618,0711 19,615921,2116 22,7601

Fungsi Bessel order 21 diperoleh dengan cara menyelesaikan

beberapa suku pertama dari deret (3.116).

xx

xJ sin2)(21

(3.165)

xx

xJ cos2)(21 (3.166)

153

Dengan cara yang sama diperoleh untuk

xx

xI sinh2)(21

(3.167)

xx

xI cosh2)(21 (3.168)

Tabel 3.4. Penol untuk ;)(xYn Harga-harga x yang menghasilkan0)( xYn

n = 0 n = 10,8936 2,19713,9577 5,42977,0861 8,5960

10,2223 11,749213,3611 14,897416,5009 18,043419,6413 21,1881

Sifat-Sifat Diferensial

Dengan mendiferensialkan deret-deret (3.116), (3.136), (3.142),dan (3.144) suku demi suku, dapat dibuktikan bahwa

KZxZx

IYJZxZxxZx

dxd

pp

pp

pp

,)(

,,,)()(

1

1

(3.169)

IZxZx

KYJZxZxxZx

dxd

pp

pp

pp

,)(

,,,)()(

1

1

(3.170)

154

KZxZxpxZ

IYJZxZxpxZ

xZdxd

pp

pp

p

,)()(

,,,)()()(

1

1

(3.171)

Dengan menggunakan hubungan recurrence , Pers. (3.171) dapat jugaditulis dalam bentuk

IZxZxpxZ

KYJZxZxpxZ

xZdxd

pp

pp

p,)()(

,,,)()()(

1

1

(3.172)

Sifat-Sifat Integral

Dengan mengintegrasikan deret-deret (3.116), (3.136), (3.142), dan(3.144) suku demi suku, dapat dibuktikan bahwa

CxZxdxxZx pp

pp )(1)(1

, IYJZ ,, (3.173)

CxKxdxxKx pp

pp )(1)(1

(3.175)

CxIxdxxIx pp

pp

)(1)(1

(3.176)

Properti orthogonaliti sangat diperlukan dalam penyelesaianpersamaan diferensial parsial dengan metode pemisahan variabel.Karena harga )(xJ p dan )(xI p berhingga pada titik asal (origin),integral orthogonaliti fungsi Bessel hanya ada untuk dua fungsitersebut.

x

pp dttZtZt0

)()(

155

)()()()( 1122 xZxZxZxZxpppp

, IJZ ,

(3.177)

dan jika , menghasilkan

x

pppp xZxZxZxdttZt0 11

22

2 )()()(2

)( , IJZ ,

(3.178)Fungsi Bessel Order Negatif

Tabel fungsi Bessel hanya diberikan untuk order nol dan order positif,fungsi Bessel order negatif dapat dihitung dari hubungan rekursi(3.179) hingga (3.181). Dengan menyisipkan Pers. (3.172) kedalamPers. (3.171) didapatkan

)()(2)( 11 xZxZxpxZ ppp

, YJZ , (3.179)

)()(2)( 11 xIxIxpxI ppp

, (3.180)

)()(2)( 11 xKxKxpxK ppp

, (3.181)

Jika p bilangan bulat atau nol, substitusikan ke dalam Pers.(3.116) dan dengan menggunakan sifat-sifat fungsi gamma diperoleh

)()1()( xJxJ pp

p (3.182)

Dengan cara yang sama didapatkan

)()1()( xYxY pp

p (3.183)

)()( xIxI pp (3.184)

156

)()( xKxK pp (3.185)

Contoh 3.9.

Pada Contoh 1.4 persamaan diferensial yang dihasilkan darianalisis aliran panas melalui dan dari sirip telah diturunkan.Persamaannya adalah:

0sec22

2

yWk

Lhdxdy

dxydx (3.186)

dimana: x = jarak dari ujung sirip, fty = aTT T = temperatur lokal sirip pada x

Ta = temperatur udara sekitarnya, 100oFh = koefisien perpindahan panas dari permukaan luar

sirip ke udara sekitarnya, 2 BTU/jam ft2 oFk = konduktivitas thermal sirip, 220 BTU/jam ft oFL= panjang total sirip, 1 ft

W = tebal sirip pada sirip, 121 ft = sudut setengah dari ujung siirip, sec = 1

Bila temperatur pada Lx adalah 200oF, tentukan

a) Temperatur sirip sepanjang x.

b) Laju perpindahan panas dari sirip ke udara sekitarnya.

Penyelesaian:

a) Dengan mengalikan Pers. (3.186) dengan x diperoleh

02

22 yx

dxdyx

dxydx (3.187)

dengan

WkLh sec2

(3.188)

157

Bila Pers. (3.187) dibandingkan dengan Pers. (3.147) didapatkan

koefisien dxdy : rxba 21 0;1 ba

koefisien y: rrs xbxrabxdcx 222 )1(

21;0 sc d

Dari Pers. (3.149) diperoleh:

00202

211

22

ca

sp

dan

isd

2221

(imajiner)

Sehingga pp IZ dan pp KZ . Jadi penyelesaian Pers.(3.187) adalah

xKCxICTTy a 22 0201 (3.189)

Konstanta-konstanta integrasi C1 dan C2 diperoleh dari kondisibatas.

K.B. 1: pada ,0x T berhingga

K.B. 2: pada ,1 Lx T 200oF

Dari Pers. (3.189) dan K.B. 1 didapatkan

berhingga )0()0( 0201 KCIC

karena ~)0(0 K dan 1)0(0 I , maka agar jawabannyaberhingga C2 harus sama dengan nol )0( 2 C . Persamaan

158

(3.189) tereduksi menjadi

xICTT a 201 (3.190)


218,01220

121122

sehingga Pers. (3.190) berubah menjadi

xICTT a 934,001 (3.191)

Dengan memasukkan K.B. 2 ke dalam Pers. (3.191) didapatkan

)934,0(100200 01 IC

)230,1(100 1C

2,811 C


xIT 934,02,81100 0 (3.192)

Temperatur sirip sepanjang x ditabelkan pada tabel berikut ini:

x x934,0 xI 934,00T, oF

0,0 0,000 1,000 181,20,2 0,417 1,043 184,80,4 0,590 1,089 188,50,6 0,722 1,134 192,20,8 0,832 1,180 195,91,0 0,934 1,230 200,0

b) Panas yang dipindahkan dari sirip ke udara sekelilingnyadapat ditentukan dengan dua cara. Pertama, dengan

159

pendekatan langsung, yaitu dengan mengintegrasipersamaan laju perpindahan panas lokal

A

a

A

a xzdTThdATThQ00

)sec2()()(

L

a dxTTzh0

)(sec2 (3.193)

Eliminasi (T Ta) dalam Pers. (3.193) dengan Pers. (3.190),menghasilkan

L

dxxIzhCQ0 01 )2(sec2 (3.194)

Integral dalam Pers. (3.194) ditentukan dengan menggunakanPers. (3.173) dan dengan mentransformasikan x 2 .

L L

dIdxxI0

2

0 00 )(21)2(

LI

2

01 )(21

)2(1 LIL

L

(3.195)

Jadi, laju perpindahan panas dari sirip ke udara adalah:

)2(sec2

11 LI

LzLhCQ

(3.196)

Cara kedua adalah dengan menggunakan fakta bahwa padakeadaan mantap panas yang berpindah ke sirip secara konduksipada Lx sama dengan panas yang berpindah dari sirip keudara.

160

LxdxdTzWkQ

(3.197)

Diferensialkan Pers. (3.190) terhadap x, menghasilkan

)2(01 xIdxdC

dxdT

)(2

01

I

ddC (3.198)

Diferensial pada ruas kanan Pers. (3.198) ditentukan denganmenggunakan Pers. (3.169) dan dengan mentransformasikan

x 2 .

)2()(2

11

11 xI

xCIC

dxdT

)2(11 LI

LC

dxdT

Lx

Substitusikan persamaan ini ke dalam Pers. (3.197)

)2(11 LI

LCzWkQ (3.199)

Eliminasikan kW dalam Pers. (3.199) dengan Pers. (3.188),menghasilkan

)2(sec2

11 LI

LzLhCQ

161

3.6 RangkumanPenyelesaian persamaan diferensial biasa dapat juga diselesaikandengan menggunakan metode deret dan fungsi-fungsi khusus. Deretpangkat adalah salah satu metode penyelesaian persamaan diferensiallinier orde dua dengan koefisien konstan atau koefisien tidak konstan.

Ada beberapa bentuk khusus dari persamaan diferensial biasa dengankoefisien variabel. Beberapa bentuk khusus diantaranya adalahpersamaan Bessel orde p, polynomial Jacobi orde n, dan persamaanLegendre orde n. Bentuk khusus dari masing-masing persamaantersebut adalah sebagai berikut:

0)( 222

22 ypx

dxdyx

dxydx

0)(])1([)1( 2

2

ynbndxdyxba

dxydxx

0)1(2)1( 2

22 ynn

dxdyx

dxydx

3.7 Soal-Soal

3.1. Selesaikan persamaan diferensial berikut ini

22

2

xydx

yd , 00 x

3.2. Buktikan bahwa 0x adalah titik singuler reguler daripersamaan

0)1(23

2

22 yx

dxdyx

dxydx

162

dan buktikan bahwa penyelesaian umumnya adalah

0

22

0 !)32(2)1()1(6)(

n

nnn

nxnxaxy

2

221

0 !)32)(1(2)1(

4121

n

nnn

nnnxxxb

GlossariumDeret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan.Titik biasa adalah apabila koefisien dari PD pada persamaan (3.13)A2(xo) ≠ 0Titik singular adalah apabila koefisien dari PD pada persamaan(3.13) A2(xo) = 0Ferdinand Georg Frobenius (26 Oktober 1849 – 3 Agustus 1917)adalah seorang ahli matematika berkebangsaan Jerman, kontribusinyayang sangat terkenal adalah teori dari persamaan diferensial dan grouptheory.Friedrich Wilhelm Bessel (22 Juli 1784 – 17 Maret 1846) adalahseorang ahli matematika dan astronomi berkebangsaan Jerman, dansystematizer of the Bessel functions (which were discovered by DanielBernoulli).Fungsi Bessel, dalam matematika, pertama sekali didefinisikan olehahli matematika Daniel Bernoulli dan digeneralisasi oleh FriedrichBessel, adalah canonical solutions y(x) of Bessel's differentialequation

163

Daftar Pustaka


2. Rice, B. J. and J. D. Strange, 1994, Ordinary DifferentialEquations with Applications, 3rd Ed., Brooks/Cole PublishingCompany, California.


164

BAB 4FUNGSI-FUNGSI INTEGRAL

Integrasi suatu persamaan diferensial (PD) biasanya menghasil-kanfungsi-fungsi elementer, seperti: eksponensial, trigonometri,hiperbolik, polinomial, dan logaritmik yang menunjukkan hubunganantara variabel terikat (y) dan variabel bebas (x). Namun, sering jugaterjadi bahwa hasil integrasi dari suatu PD dalam bentuk integral,dimana integral ini tidak dapat diperoleh dalam bentuk tertutup(closed). Biasanya, bentuk integral ini dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi baru, misalnya, fungsi kesalahan (error), fungsi gamma, dll.,dan hasilnya dapat ditentukan dari tabel.

4.1 Fungsi Kesalahan (Error Function)Fungsi ini sering dijumpai dalam teori probabilitas, distribusi waktutinggal, konduksi panas, dan perpindahan massa secara difusi, yangdidefinisikan dengan integral

Tujuan instruksional umum:Memperkenalkan fungsi-fungsi integral. Seperti Error Function,Fungsi Gamma, dan Fungsi Beta

Tujuan instruksional khusus: Mahasiswa dapat mengaplikasikan Error Function. Mahasiswa dapat mengaplikasikan Fungsi Gamma Mahasiswa dapat mengaplikasikan Fungsi Beta

165

x

dzzxerf0

2 )exp(2)(

(4.1)

Pada Pers. (4.1) z merupakan dummy variable. Dummy variabledalam integrand digunakan untuk mencegah kemungkinan kesalahandalam mendiferensialkan ).(xerf Faktor 2 dimasuk-kansehingga diperoleh

1)( erf (4.2)

4.1.1 Sifat-sifat fungsi kesalahan:1. Bila didiferensialkan:

xk

ddxdkxerf

dxd

0

2 )exp(2)(

(4.3)

Untuk mendiferensialkan integral menggunakan formulaLeibnitz, yaitu

dxt

txfdt

datafdt

datafdxtxfdtd ta

ta

ta

ta

)(

)(1

12

2

)(

)(

2

1

2

1

),(),(),(),(

(4.4)

Dengan membandingkan ruas kanan Pers. (4.3) dengan Pers.(4.4) diperoleh

,0)(1 ta ,)(2 kxta

xt , x , )exp(),( 2txf


166

xk

dx

kkxkxerfdxd

0

22 )][exp(0])(exp[2)(

])(exp[2 2kxk

(4.5)

2. Bila diintegralkan

Integral )( xkerf dapat dilakukan dengan integral parsial.

?)( dxkxerf

misal: )( xkerfu dxdv

dxxkkdu ])(exp[2 2

xv

dxxkxkxkerfxdxxkerf ])(exp[2)()( 2

22 )(])(exp[1)( kxdxkk

xkerfx

Cxkk

xkerfx ])(exp[1)( 2

Jadi,

Cxkk

xkerfxdxxkerf ])(exp[1)()( 2

(4.6)

dimana C adalah konstanta integrasi.Persamaan (4.6) kadang-kadang ditabelkan dalam simbol

“ )(xerfi ”, dimana i adalah integral, dengan ,1 C sehinggadiperoleh

0)0( erfi (4.7)

167

Fungsi lain yang berhubungan dengan fungsi kesalahan yangkadang-kadang ditabelkan adalah “fungsi kesalahan komplementer”(complementary error function) yang didefinisikan dengan:

x

dzzxerfxerfc )exp(2)(1)( 2

(4.8)

Tabel 4.1 menyajikan beberapa definisi dan harga dari fungsikesalahan.

Tabel 4.1. Fungsi kesalahan

1.

x

xdzzdzzxerf )exp(21)exp(2)( 2

0

2

2. )()( xerfxerf

3. 0)0( erf

4. 1)( erf

5. 1,)exp(2)(0

2 idzzixierfx

6.

x


Untuk tujuan komputasi pendekatan berikut ini dapat digunakanuntuk menghitung )(xerf (Zhang dan Jin, 1996):

)exp()(1)( 255

44

33

221 xtatatatataxerf (4.9)

dimana:

168

xpt

11

3275911,0p 421413741,13 a 7105,1

254829592,01 a 453152027,14 a

284496736,02 a 061405429,15 a

Tabel 4.2 mengilustrasikan beberapa harga ).(xerf

Tabel 4.2. Harga-harga fungsi kesalahan

x )(xerf x )(xerf

0 0,00000000 1,1 0,880205040,01 0,01128348 1,2 0,910314040,05 0,05637212 1,3 0,934008060,1 0,11246297 1,4 0,952285260,2 0,22270246 1,5 0,966105270,3 0,32862668 1,6 0,976348460,4 0,42839242 1,7 0,983790470,5 0,52050002 1,8 0,989090450,6 0,60385619 1,9 0,992790330,7 0,67780118 2,0 0,995322140,8 0,74210086 2,5 0,999592970,9 0,79690808 3,0 0,999977901,0 0,84270069 1,00000000

169

4.2 Fungsi Gamma

Fungsi gamma )(n didefinisikan dengan

0

1)( dxexn xn , 0n (4.10)

konvergen bila .0n x adalah dummy variable karena harga integraltertentu tersebut bebas terhadap x. Variabel x digunakan hanya untukmenyatakan fungsi yang akan diintegrasi. Sebagai contoh, ambil kasuskhusus untuk .1n Jadi,

1)1(0)1(00

0 xx edxex (4.11)

yang mana bebas terhadap x.Sifat-sifat fungsi gamma dapat diturunkan dengan menginte-

gralkan Pers. (4.10) secara parsial.

0

1)( dxexn xn

misal: 1 nxu dxedv x

dxxndu n 2)1( xev

0

2

0

1 )1()( dxexnexn xnxn

0

1)1()1()100( dxexn xn

)1()1( nn

Jadi,

)1()1()( nnn , 1n (4.12)

Persamaan (4.12) dapat dikembangkan untuk harga n bilangan bulatpositif.

170

)1()1()( nnn

)2()2)(1( nnn

)3()3)(2)(1( nnnn

)1()1)(2()3)(2)(1( nnn

!)1( n

Jadi,

!)1()( nn (4.13)

Persamaan (4.10) dapat juga dikembangkan menjadi:

00

1)1()1( dxexdxexn xnxn

misal: nxu dxedv x

dxxndu n 1 xev

0

1

0)1( dxexnexn xnxn

0

1)100( dxexn xn

)(nn

Jadi,

)()1( nnn (4.14)

atau

nnn )1()(

(4.15)

Sebenarnya harga fungsi gamma yang ditabelkan biasanya

171

terletak dalam kisaran ,21 n lihat Tabel 4.3.

Catatan:1. Untuk n bilangan bulat positif dapat menggunakan Pers. (4.13).2. Untuk n bilangan pecahan positif dapat menggunakan Pers. (4.12)

atau Pers. (4.15).

Integral yang didefinisikan pada Pers. (4.10) tidak berlakuuntuk harga n negatif, tetapi fungsi gamma dari harga negatif dapatdiperoleh dengan mengembangkan Pers. (4.12), yaitu:

)1()1(

)1()()1(

nnn

nnn (4.16)

proses ini diulangi hingga fungsi gamma pada sisi ruas kanan mempu-

Tabel 4.3. Harga-harga fungsi gamma

n )(n n )(n

1,00 1,00000000 1,50 0,886226931,01 0,99432585 1,55 0,888868351,05 0,97350427 1,60 0,893515351,10 0,95135077 1,65 0,900116821,15 0,93304093 1,70 0,908638731,20 0,91816874 1,75 0,919062531,25 0,90640248 1,80 0,931383771,30 0,89747070 1,85 0,945611181,35 0,89115144 1,90 0,961765831,40 0,88726382 1,95 0,979880651,45 0,88566138 2,00 1,00000000

nyai argumen yang terletak dalam kisaran 1 hingga 2. Namun, bila

172

0n atau bilangan bulat negatif, fungsi gamma adalah tak berhingga.Contoh, bila ,1n dari Pers. (4.16) diperoleh:

01

0)1()0(

Gamma setengah )( 21 dapat juga dihitung secara analitik

dengan menggunakan Pers. (4.10).

0 0

211)21(2

1 )( dxexdxex xx (4.17)

Akar kuadrat negatif dari ruas kanan Pers. (4.17) dapat dihilangkandengan substitusi:

2zx 0,0 zx

dzzdx 2 zx ,

Pers. (4.17) menjadi:

0

22

1 )exp(2)( dzz (4.18)

Karena sisi ruas kanan merupakan bentuk dari fungsi kesalahan, makaPers. (4.18) dapat ditulis

)()exp(2)(0

22

1 erfdzz (4.19)

Contoh 4.1.

Hitunglah .)29(

Penyelesaian:

Persamaan (4.12):

173

)1()1()( nnn

)27(27)29(

)25(25

27

)21(21

23

25

27

421357

atau dapat juga ditulis:

421

21357)4(

Jadi, untuk n bilangan bulat positif dapat ditulis:

n

nnnn2

)1)(3()52)(32)(12()( 21

(4.20)

Contoh 4.2.

Hitunglah

a) )6( c) )8,3(

b) )25,0( d) )7,0(

Penyelesaian:

a) Dari Pers. (4.13):

!)1()( nn

12012345!5)6(

174

b) Dari Pers. (4.15) dan Tabel 4.3:

nnn )1()(

62560992,325,0

90640248,025,0

)25,1()25,0(

c) Dari Pers. (4.12) dan Tabel 4.3:

)1()1()( nnn

)8,1()8,1)(8,2()8,3(

)93138377,0)(8,1)(8,2(

694174,4

d) Dari Pers. (4.16) dan Tabel 4.3:

)1()1(

)1()()1(

nnn

nnn

27367,421,0

89747070,0)13,0)(3,0(

)13,0()13,0(

4.3 Fungsi Beta

Fungsi beta mengandung dua argumen, dan didefinisikandengan

1

0

11 )1(),( dxxxnmB nm , 0,0 nm (4.21)

Substitusikan: yx 1 dydx

175

limit-limit integrasi: 1,0 yx 0,1 yx

sehingga Pers. (4.21): menjadi:

0

1

11 )()1(),( dyyynmB nm

1

0

11 )1( dyyy mn

),( mnB (4.22)

dimana y dalam Pers. (4.22) adalah dummy variable. Jadi,

),(),( mnBnmB (4.23)

Bentuk-bentuk lain fungsi beta:

Substitusi: ddxx cossin2sin 2

2

0

1212 cossin2),(

dnmB nm (4.24)

Substitusi: ayx

a nmnm dyyay

anmB

0

111 )(1),( (4.25)

Substitusi:y

yx

1

0

1

)1(),( dy

yynmB nm

m

(4.26)

Hubungan fungsi beta dan gamma adalah:

176

)()()(),(

nmnmnmB

(4.27)

Contoh 4.3.

Hitunglah

a) 1

0

23 )1( dxxx c) 2

0

65 cossin

dxxx

b)

5

2 )5)(2( xxdx

Penyelesaian:

a) Dengan membandingkan dengan Pers. (4.21), diperoleh4m dan .3n Jadi,

601

!6!2!3

)7()3()4()3,4()1(

1

0

23

Bdxxx

b) Misalkan: 2 xy (atau xy 5 )

2 yx dydx

Batas integrasi: 2x , 0y

5x , 3y

3

0

21213

0

5

2)3(

)3()5)(2(dyyy

yydy

xxdx

(4.28)Dengan membandingkan Pers. (4.25) dan (4.28), didapatkan

,21,3 ma dan .21n Jadi,

)1()()(),(3)3( 2

12

13

0 21

2112121 2

12

1Bdyyy

177

c) Dengan membandingkan dengan Pers. (4.24), diperoleh3m dan .27n Jadi

2

7,321cossin

2

0

65 Bdxxx

)]27(3[)27()3(

21

)()(!2

21

21

21

23

25

27

29

211

21

21

23

25

6938

4.4 RangkumanIntegral suatu persamaan diferensial dapat menghasilkan integraldalam bentuk tidak tertutup. Bentuk integral seperti ini biasadinyatakan dalam bentuk fungsi-fungsi baru, seperti error function,Gamma function, dan Beta function. Bentuk integral dari fungsi-fungsi diatas masing-masing adalah sebagai berikut:

x

dzzxerf0

2 )exp(2)(

0

1)( dxexn xn

1

0

11 )1(),( dxxxnmB nm

178

4.5 Soal-soal:

4.1 The complementary error function can be expressed as

x


We wish to develop an asymptotic expression for erfc (x), valid forlarge arguments.

a. Use integration by parts to show

x

x

xdzz

zxedzz )exp(

21

2)exp( 2

22

2

b. Repeat this process again on the new integral to get

x

x

xdzz

zxedzz

z)exp(1

43

4)exp(

21 2

432

2

2

4.2. The Beta function can be expressed in alternative form bysubstituting

22 cos1;sin tt

a. Show that 2/

0

12112 cossin2),(

dyyxB ynx

b. Now, use the substitution 2cost , repeat the in (a) and therebyprove

),(),( xyByxB

4.3. Evaluate the derivative of Gamma function and see

179

0

1 )(ln)()( dtettdx

xdx tx

and then show that at x = 1

)1(

where = 0.5772 is Euler’s constant

)ln(1...41

31

211lim n

nn

(Problem taken from “Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers” by R. G.Rice and D. D. Do, John Wiley & sons, Inc.,New York, 1995.Problem 4.3, 4.4, and 4.6)

GlossariumIn mathematics, the error function (also called the Gauss errorfunction or probability integral) is a special function (non-elementary) of sigmoid shape which occurs in probability, statisticsand partial differential equations. It is defined as:

x

dzzxerf0

2 )exp(2)(

In mathematics, the beta function, also called the Euler integral of thefirst kind, is a special function defined by

180

In mathematics, the Gamma function (represented by the capitalGreek letter Γ) is an extension of the factorial function, with itsargument shifted down by 1, to real and complex numbers. It isdefined as:

0

1)( dxexn xn

Daftar Pustaka

1. Rice, R. G. and D. D. Do, 1995, Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers, John Wiley & sons, Inc.,New York.

2. Zhang, S. and J. Jin, 1996, “Computation of Special Functions”,John Wiley and Sons, New York.

1

0

11 )1(),( dxxxnmB nm

181

BAB 5PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

5.1 PendahuluanPersamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial(PD) yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas. Order suatu PDPadalah order turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan itu.Contohnya

yxyx

u

2

2

(5.1)

dimana u adalah variabel terikat; x dan y adalah variable bebas.Persamaan (5.1) adalah PDP order dua.

Pada umumnya, bila u merupakan fungsi dari beberapa

Tujuan intruksional umum: Mahasiswa dapat membedakan antara persamaan diferensial

parsial (PDP) dan persamaan diferensial biasa. Mahasiswa dapat membedakan antara kondisi awal dan batas. Mahasiswa dapat menjelaskan metode penyelesaian PDP secara

analitik.

Tujuan intruksional umum: Mahasiswa dapat menggunakan teknik-teknik penyelesaian PDP

secara analitik. Mahasiswa dapat menentukan kondisi awal dan kondisi batas. Mahasiswa dapat menggunakan kondisi awal dan kondisi batas

182

variabel nxxx ,,, 21 yang dapat ditulis dalam bentuk

),,,( 21 nxxxfu

maka dengan menggunakan aturan rantai diferensial total u adalah

nn

dxxfdx

xfdx

xfdu

22

11

Perlu diperhatikan bahwa saat mengintegralkan turunan-turunanparsial, misalnya )( 1xf seluruh variabel bebas lainnya,

nxxx ,,, 32 harus dijaga konstan.Kita ketahui bahwa untuk turunan biasa, integral 0)( dxdy

menghasilkan )(xy konstan. Namun, untuk turunan-turunan parsialharus diperhitungkan properti-properti yang tersirat.

0

txy

)(tgy

subscript t menunjukkan bahwa variabel bebas t konstan selamadiferensial terhadap x. Jadi, dalam hal ini pengganti menambahkansuatu konstanta sembarang harus ditambahkan suatu fungsi sembarangdari variabel bebas yang dipertahankan konstan selama integrasi.

Klasifikasi dan Karakteristik Persamaan LinierPersamaan diferensial parsial linier order dua umum dapat dinyatakan

Sy

zRyxzQ

xzP

2

22

2

2

(5.2)

dimana P, Q, R hanya tergantung pada x dan y, sedangkan Stergantung pada x, y, z, xz , .yz Suku-suku yang meliputiturunan kedua merupakan salah satu hal penting, karena suku-sukutersebut memberikan dasar untuk mengklasifikasikan tipe PDP.

183

Dengan menganalogikan dengan tatanama yang digunakan untukmenggam-barkan bagian konis, Pers. (6.2) dapat ditulis sebagaiberikut:

dcybxyax 22 2 (5.3)

Persamaan (5.3) dapat diklasifikasikan untuk koefisien-koefisienkonstan bila P, Q, dan R masing-masing berharga a, b, dan c.Diskriminan untuk koefisien-koefisien a, b, dan c konstan adalah

acb 42 (5.4)Bila,

0 :persamaan eliptik (5.5)

0 :persamaan parabolik (5.6)

0 :persamaan hiperbolik (5.7)

Contoh-contoh tipikal yang sering terjadi dalam Teknik Kimia adalah:hukum kedua Fick untuk difusi

2

2

xcD

tc

termasuk dalam persamaan parabolik, karena ,0dan,0, cbDasehingga .0 Hukum Newton untuk gerakan gelombang

2

2

2

2

yu

tu

termasuk dalam persamaan hiperbolik, karena ,0,1 ba dan,c sehingga .0 Persamaan Laplace untuk konduksi panas

02

2

2

2

yT

xT

184

termasuk dalam persamaan eliptik, karena ,1dan,0,1 cbasehingga 0 .

Persamaan diferensial parsial linier homogen order dua seringkali terjadi. Bila ,0S Pers. (5.2) dikatakan PDP homogen.

5.2 Kondisi-Kondisi Batas dan AwalHasil integrasi dari PDP akan mengandung beberapa konstantaintegrasi, dimana jumlah konstanta-konstanta ini sama dengan orderdari PDP tersebut. Konstanta-konstanta integrasi dapat ditentukan dari“kondisi batas,” yaitu, pernyataan dari fenomena-fenomena fisik padaharga-harga yang ditentukan dari variabel bebas. Ada tiga tipe kondisibatas dan awal yang sering timbul di dalam setiap permasalahan.

1. Fungsi yang ditetapkan pada harga batasPada tipe ini, harga variabel terikat ditetapkan disepanjang titik-titikpada batasan tertentu. Misalnya, untuk ),( xtT

(i) pada ,0t )(xfT (5.8)

(ii) pada ,0x )(xgT (5.9)

Persamaan (5.8) termasuk kondisi awal, yang dapat ditulis untuk),( xtT

)(),0( xfxT (5.10)

Ini berarti pada waktu sama dengan nol, temperatur T sepanjang xterdistribusi menurut fungsi ).(xf Adakalanya, variasi waktu jugadapat terjadi pada harga batas, seperti

)()0,( tgtT (5.11)

Kondisi batas pada kedua contoh ini merupakan kondisi batas non-homogen. Namun, jika harga batasnya adalah suatu konstanta, misal

185

0)0,( TtT (5.12)

maka kondisi batas tersebut dapat diubah menjadi homogen denganmendefinisikan suatu variabel baru ,0TT sehingga menghasil-kan

0)0,( t (5.13)

2. Turunan fungsi yang ditetapkan pada harga batasPada umumnya, yang termasuk dalam tipe kedua ini adalah bila fluksipanas (misalnya) diketahui namun temperatur permukaan tidakdiketahui, maka fluksi panas dapat dihubungkan dengan gradientemperatur. Misalnya,

pada ,0r 0

rT (5.14)

pada ,Rr QrTk

(5.15)

Persamaan (5.14) adalah kondisi simetris yang hampir selalu munculdalam sistem koordinat silinder dan bola. Tipe kedua ini dapat jugaterjadi pada pemanasan atau pendinginan suatu permukaan, atau padapermukaan dinding yang diisolasi. Persamaan (5.15) terjadi padakondisi dimana dinding pipa dipanaskan secara elektrik, panas yangmasuk merata dan konstan. Untuk dinding pipa yang diisolasi, fluksipanas cenderung nol, sehingga kondisi batasnya dapat ditulis

pada ,Rr 0

rTk

0

rT (5.16)

Persamaan (5.14) dan (5.16) merupakan kondisi batas homogen,sedangkan Pers. (5.15) merupakan kondisi batas non-homogen. Tidak

186

mungkin mengubah kondisi batas (5.15) menjadi kondisi homogenuntuk T.

3. Fungsi campuran pada harga batasTipe ketiga ini terjadi pada interface padat-fluida, dimana fluksi panasdapat dihubungkan dengan selisih antara temperatur pada interfacedan fluida. Misalnya,

pada ,Rr )( fTThdrdTk (5.17)

Sisi ruas kanan Pers. (5.17) merupakan hukum pendinginan Newton.Persamaan (5.17) merupakan kondisi batas homogen. Denganmendefinisikan fTT ( fT harganya ditetapkan dan konstan),menghasilkan

pada ,Rr hr

k

(5.18)

Persamaan (5.18) merupakan kondisi batas homogen juga.Kadang-kadang kondisi campuran ini timbul dari neraca

integro-differential. Kondisi ini paling sering muncul dalam studiperpindahan massa saat material melewati suatu permukaan batas baikmemasuki permukaan tersebut maupun keluar. Andaikan suatu reaktorbatch digunakan untuk mengektraks minyak dari biji-bijian berporidengan suatu pelarut tertentu. Anggap biji-bijian tersebut berbentukbola dengan jari-jari R. Laju perpindahan massa dari padatan kepermukaan bola berpori dapat ditentukan dari hukum Fick.

RrA r

trxDAmN

),(

rtRxDRmN A

),()4( 2 (5.19)

dimana D adalah difusivitas efektif, x adalah konsentrasi solut dalam

187

biji-bijian, m adalah jumlah biji-bijian. Dari neraca massa minyak didalam fase solven didapatkan

rtRxDRm

dtdcV

),()4( 2 (5.20)

dimana V adalah volume solven, dan c adalah konsentrasi solut dalambadan cair (solven). Jika solven mula-mula tidak mengandung minyak,maka integrasi Pers. (5.20) menghasilkan

dtr

tRxV

DRmtct

0

2 ),()4()( (5.21)

pada ., cxRr

Untuk PDB, jumlah kondisi batas dan awal yang diperlukansama dengan jumlah konstanta integrasi yang dihasilkan. Sedangkanjumlah konstanta-konstanta integrasi dari suatu penyelesaian PD samadengan order PD. Namun, aturan ini tidak sesuai untuk PDP. Tinjausuatu PDP berikut ini:

rcr

rrD

zcv A

AA 1

0

rc

rrcD

zcv AA

AA 1

2

2

0 (5.22)

Jumlah kondisi batas yang diperlukan untuk Pers. (5.22) adalah duauntuk r (katakanlah, pada 0r dan Rr ) dan satu untuk z(misalnya, pada 0z ). Dari Pers. (5.22) terlihat bahwa banyaknyakondisi batas yang diperlukan adalah jumlah order dari tiap-tiapturunan parsial. Tetapi aturan ini tidak berlaku, misalnya, jikapenyelesaian yang dicari dalam time-periodic, yaitu kondisi awal tidakdiperlukan, yang diperlukan adalah kondisi-kondisi pada batasan-batasannya (katakanlah pada 0r dan Rr ).

Kisaran variabel-variabel bebas dapat terbuka (tak berhingga)

188

ataupun tertutup (berhingga). Bila kisaran untuk setiap variabel-variabel bebas tertutup, maka persamaan tersebut digolongkan dalam“masalah harga batas”. Jika kisaran dari sembarang variabel bebasterbuka, persamaan tersebut digolongkan dalam “masalah hargaawal”. Klasifikasi ini mempengaruhi pemilihan metode penyelesaian.

5.3 Penyelesaian Khusus Persamaan Diferensial Parsial

Umumnya tidak ada metode analitis yang khusus untukpenyelesaian PDP. Penyelesaian PDP pada dasarnya merupakan suatucara coba-coba, yaitu menerka bentuk dari penyelesaian khusussehingga PDP akan tereduksi menjadi satu atau lebih persamaandiferensial biasa (PDB). Kemudian penyelesaian PDB tersebutdigabungkan dimana harus memenuhi kondisi-kondisi batas dan PDPasal. Jika ini ternyata tidak mungkin, berarti terkaannya salah danharus dicoba lagi.

Ada beberapa metode penyelesaian PDP, diantaranya adalahmetode penyatuan variabel, metode pemisahan variabel, dantransformasi Laplace.

5.3.1 Metode Penyatuan VariabelMetode penyatuan variabel kadang-kadang dinamakan dengantransformasi similaritas. Tatanama ini timbul dari cara memilihvariabel penyatu. Tujuan dari metode ini adalah ingin menyatukanvariabel-variabel bebas ke dalam variabel tunggal baru, sehingga PDPtereduksi menjadi PDB. Teknik ini hanya dapat digunakan untukkasus-kasus dengan variabel bebasnya tak berhingga, misalnya,

,0 t ,0 x dan hanya cocok untuk satu tipe kondisi batasatau awal sehingga menghasilkan satu penyelesaian khusus.

189

Contoh 5.1.

Selesaikan persamaan konduksi panas satu dimensi berikut ini:

tT

xT

2

2

(5.23)

Penyelesaian:

Bentuk variabel penyatu (variabel yang menyatukan variabel-variabel bebas) yang disarankan adalah:

)(tx

(5.24)

dimana )(t adalah jarak penetrasi, yaitu yang menggambar-kan jarak dari permukaan saat perubahan temperatur terjadi.Anggap penyelesaian Pers. (5.23) adalah:

)(),( ftxT (5.25)

Bila Pers. (5.25) didiferensialkan secara parsial terhadap x dan t,diperoleh

ddf

txddf

xT

)(1

)(1

2

2

tddf

xxT

xxT

xdtd

dfd

)(

1

2

2

2 )(1

dfd

t (5.26)

190

dan

dttd

tx

ddf

tddf

tT )(

)(2

(5.27)

Eliminasi x dari Pers. (5.27) dengan Pers. (5.24), didapatkan

dttd

tddf

tT )(

)(

(5.28)

Substitusikan Pers. (5.26) dan (5.28) ke Pers. (5.23), menghasil-kan

dttdt

ddf

dfd )()(2

2

(5.29)

Kedua sisi Pers. (5.29) harus merupakan fungsi saja. Olehkarena itu, variabel t harus dihilangkan. Agar variabel t hilang,maka harus diset

2)()(

dttdt

(5.30)

Konstanta 2 dipilih adalah untuk menyederhanakan PDB yangterbentuk. Integrasikan Pers. (5.30)

)(

0 02)()(

t tdttdt

tt 4)( (5.31)

Persamaan (5.24), variabel baru sebenarnya, menjadi

tx

4

(5.32)

191

Substitusikan Pers. (5.30) ke dalam Pers. (5.29)

022

2

d

dfd

fd (5.33)

Persamaan (5.33) dapat diintegrasikan dua kali, pertama denganmengambil

ddfp , 2

2

dfd

ddp

Persamaan (5.13) tereduksi menjadi

02 pddp

Integrasikan persamaan ini, menghasilkan

)exp( 21

C

ddfp (5.34)

Jadi sekarang jelas terlihat alasan pemilihan konstanta 2 padaPers. (5.30). Integrasikan sekali lagi Pers. (5.34),

0 2

21 )exp()( CdCf (5.35)

Dalam Bab 4 telah dijelaskan tentang definite integral, yaitu,fungsi kesalahan yang bentuknya serupa dengan integral di atas

0

2 )exp(2)( dzzerf (5.36)

Jadi, )(f dapat ditulis dalam bentuk

23 )()( CerfCf (5.37)

192

atau

23 4),( C

txerfCtxT

(5.38)

Dimana C3 dan C2 adalah konstanta-konstanta sebarang, yangdapat ditentukan dengan memasukkan kondisi batas ke Pers.(5.38).

Contoh 5.2.

Sebuah plat datar yang lebarnya tak terhingga dipertahankanpada temperatur konstan .oT Plat pada ujung tak terhinggadicelupkan dalam fluida mengalir dengan densiti konstan padatemperatur 1T . Koordinat diambil pada tepi plat. Distribusikecepatannya: yv x ( = konstanta) dan .0 zy vvPerpindahan panas secara molekular hanya ke arah-y.Konduktivitas thermal, k, dan kapasitas panas, pC , fluidadianggap konstan. Tentukan distribusi temperatur dalam fluidadan koefisien perpindahan panas antara fluida dan plat. Anggapkeadaan tunak.

Penyelesaian:

Neraca panas pada keadaan tunak:

0).().( keluarpanasLmasukpanasL

0

konduksikonveksikarenakarena

konduksikonveksikarenakarena

0 yyyxxpyyxp QTCmQTCm

193

y

xpx yTzxkTzyCv

0

yy

xxpx yTzxkTzyCv

0

yyy

xxxpx yT

yTzxkTTzyCv

Bila, kedua ruas persamaan di atas dibagi dengan ,zyxkemudian diambil limit untuk 0x dan 0y , diperoleh

yT

yk

xTCv px

2

2

yT

yCk

xT

p

(5.39)

atau

2

2

yT

yA

xT

(5.40)

dimana:

pCkA (5.41)

Kondisi batasnya:

pada ,0,0 yx 1TT (5.42)

pada ,, xxy 1TT (5.43)

pada ,,0 xxy 0TT (5.44)

194

Untuk menyederhanakan kondisi batas temperatur diubah dalambesaran tak berdimensi , yaitu:

maksimumtemperaturselisihposisisuatuadamperatur pselisih te

10

1

TTTT

(5.45)

)( 10 TTT (5.46)

2102 )( TTT


xyyA

2

2

(5.47)

dengan kondisi batasnya:

pada ,0,0 yx 0 (5.48)pada ,, xxy 0 (5.49)

pada ,,0 xxy 1 (5.50)

Anggap penyelesaian Pers. (5.47) adalah:

)(),( fyx (5.51)

variabel penyatu yang disarankan sama seperti sebelumnya,yaitu

)(xy

(5.52)

Dengan cara yang sama seperti pada Contoh 5.1 didapat,)9()( 31xAx sehingga Pers. (5.52) menjadi

195

31)9( xAy

(5.53)

Diferensiasikan Pers. (5.51) secara parsial terhadap y dan x:

31)9(1xAd

dfyd

dfy

(5.54)

yxAddf

dd

yyy

312

2

)9(1

2

2

32)9(1

dfd

xA (5.55)

dan

32

32

)9(9)9()31(

xAyAxA

ddf

xddf

x

ddf

xxAy

1

)9(31

31

Eliminasi y dari persamaan di atas dengan Pers. (5.53),diperoleh

ddf

xx

3(5.56)

Dengan menyisipkan Pers. (5.55) dan (5.56) ke dalam Pers.(5.47), menghasilkan

ddf

xdfd

xAxAA

3)9(

1)9( 2

2

3231

196

03 22

2

d

dfd

fd (5.57)

Persamaan (5.57) dapat diintegrasikan dengan mengambil

ddfp , 2

2

dfd

ddp

sehingga Pers. (5.57) tereduksi menjadi

03 2 pddp

Integrasikan persamaan ini, menghasilkan

dp

dp 23

)exp( 31

C

ddfp (5.58)

Integrasikan sekali lagi Pers. (5.58) menghasilkan

0 2

31 )exp(),()( CdCyxf (5.59)

Kondisi batasnya:

pada ,0,0 yx , 0 (5.60)

pada ,, xxy , 0 (5.61)

pada ,,0 xxy 0 , 1 (5.62)

Tidak ada suatu metode khusus untuk memasukkan kondisibatas, tergantung dari persamaannya sehingga didapatkanpersamaan yang sederhana, dan kondisi batas yang dimasukkantidak mesti berurutan.

197

Dari Kondisi Batas (5.62) dan Pers. (5.59) didapatkan:

0

0 23

1 )exp(1 CdC 12 C


0

31 1)exp(),( dCyx (5.63)

Dari kondisi batas (5.60) dan Pers. (5.63), diperoleh

0

31 1)exp(0 dC

0

31

)exp(

1

dC (5.64)


1)exp(

)exp(),(

0

3

0

3

d

dyx

0

3

0 0

33

)exp(

)exp()exp(

d

dd

0

3

3

10

1

)exp(

)exp(),(

d

d

TTTTyx (5.65)

Integral pada penyebut ruas kanan Pers. (5.65) dapat diperolehdalam suku fungsi gamma, sebagaimana yang telah dibahaspada Bab 4.

198

misal: 3t

ddt 23 ,

dttdtd 322

31

31

0 0

323

31)exp( dtted t

0

131

31 dtte t

34

31

31 (5.66)

Dengan menyisipkan Pers. (5.66) ke dalam Pers. (5.65),diperoleh

)34(

)exp( 3

10

1

d

TTTT (5.67)

Koefisien perpindahan panas antara fluida dan plat didefinisikandengan hubungan

konveksikonduksi qq

)( 010

TThyTk

y

(5.68)

Dari Pers. (5.46):

)( 10 TTT

yTT

yT

)( 10 (5.69)

199

Substitusikan Pers. (5.54) ke dalam Pers. (5.69):

f

xATT

yT

3110 )9(1)( (5.70)

Dengan menyisipkan Pers. (5.58) dan (5.64) ke Pers. (5.70),menghasilkan

0

3

3

3110)exp(

)exp()9(

1)(

dxATT

yT (5.71)

Eliminasikan integral pada Pers. (5.71) dengan Pers. (5.66)

)34()exp(

)9(1)(

3

3110

xATT

yT

(5.72)

Dari kondisi batas (5.62) dan Pers. (5.72):

)34(1

)9( 3110

0

xATT

yT

y

Substitusikan persamaan ini ke Pers. (5.68)

)()34(

1)9(

)(1031

10 TThxA

TTk

31)9(1

)34( xAkh

31

9)34(

xkCkh p

(5.73)

200

5.3.2 Fungsi-Fungsi Orthogonal dan Persamaan Sturm-LiouvilleSebelum membahas metode pemisahan variabel untuk penyelesaianPDP terlebih dahulu diperkenalkan dengan fungsi-fungsi orthogonal.Metode pemisahan variabel biasanya menghasilkan penyelesaianberupa penjumlahan tak berhingga dari sekumpulan fungsi-fungsiyang berhubungan. Sifat orthogonal ini sangat bermanfaat dalammenentukan konstanta-konstanta dari sekumpulan fungsi-fungsitersebut.

Dua fungsi )(xm dan )(xn dikatakan orthogonal terhadapfungsi pembobot (weighting function) )(xr pada kisaran dari ahingga b jika

b

a nm dxxxxr 0)()()( , (untuk nm ) (5.74)

dimana m dan n bilangan bulat positif. Bila nm maka integraldalam Pers. (5.74) tidak akan sama dengan nol.

Contoh 5.3.

Buktikan bahwa fungsi xmsin dan xnsin adalah orthogonalterhadap satu (unity) dalam kisaran x0 , untuk m dan nbilangan bulat.

Penyelesaian:

Dari identitas trigonometri

xnmxnmxnxm )cos()cos(sinsin2 (5.75)

dan integrasi dalam kisaran yang diberikan untuk 1)( xr ,didapatkan

201

00 0)cos()cos(sinsin2 dxxnmdxxnmdxxnxm

(5.76)

00)sin(1)sin(1 xnm

nmxnm

nm

0

jika nm , dari Pers. (5.76) diperoleh

0 0 0

2 2cos)(sin2 dxxmdxdxxm

002sin

21 xmm

x

Jadi,

nm

nmdxxnxm

bila

bilasinsin

0

20

(5.77)

dan

nm

nmdxxnxm

bila

bilacoscos

0

20

(5.78)

Sifat orthogonaliti ini sangat berguna, namun ini hanya adapada PDB tertentu, yang disebut persamaan Sturm-Liouville. Denganmembandingkan persamaan tertentu dengan persamaan umum Sturm-Liouville akan diperoleh fungsi pembobot )(xr .

202

Persamaan Sturm-LiouvilleSetiap persamaan diferensial biasa linier order dua yang dapat ditulisdalam bentuk umum

0)()()(

yxrxq

dxdyxp

dxd (5.79)

dimana adalah suatu konstanta dan p, q, r adalah fungsi x,dikelompokkan dalam tipe Sturm-Liouville.

Untuk setiap fungsi-fungsi p, q, dan r, penyelesaian Pers.(5.79) untuk y akan tergantung pada . Oleh karena itu, bila diambilsekumpulan harga-harga discrete ,n maka penyelesaian-penyelesaian yang berhubungan )(xy n akan didapat. Andai untukdua harga berbeda, katakanlah m dan n , penyelesaiannya adalah

)(xy m dan .)(xy n Masing-masing harga ini harus memenuhiPers. (5.79), sehingga

0)()()(

nnn xrxq

dxdxp

dxd

(5.80)

0)()()(

mmm xrxq

dxdxp

dxd

(5.81)

Tujuan utama adalah untuk menurunkan kondisi orthogonaliti Pers.(5.74) dan kondisi batas yang sesuai. Untuk melakukannya, kalikanPers. (5.80) dengan m , dan Pers. (5.81) dengan n , dan kurangkankedua persamaan tersebut menghasilkan

0)()()(

mnmnm

nn

m xrdx

dxpdxd

dxdxp

dxd

Integrasikan persamaan ini terhadap x dari a hingga b, menghasilkan

203

dxdx

xdxpdxddxxr mb

a

b

a nmnmn

)()()()(

dxdx

xdxp

dxd nb

a m

)(

)(

(5.82)

Jelas terlihat bahwa ruas kiri hampir sama dengan Pers. (5.74).Dengan menghitung masing-masing integral pada ruas kanan secaraparsial, diperoleh

dxdx

ddx

dxpdx

dxpdxxrb

a

b

anm

b

a

mnmnmn

)()()()(

dxdx

ddx

dxpdx

dxp mb

an

b

a

nm

)()(

b

a

nm

mn dx

ddx

dxp

)( (5.83)

Jadi fungsi-fungsi )(xn dan )(xm , yang berhubungan dengan duaharga berbeda ( n dan m ), akan menjadi orthogonaliti jika sisi ruaskanan Pers. (5.83) adalah nol. Sisi ruas kanan akan sama dengan noljika sembarang dua dari tiga kondisi batas homogen dimasukkan.

i. ax atau b, 0y 0 mn

ii. ax atau b, 0dxdy 0

dxd

dxd mn

iii. ax atau b, yNdxdy m

mn

n Ndx

dNdx

d

, .

204

5.3.3 Metode Pemisahan VariabelMetode pemisahan variabel merupakan suatu metode yang paling luaspenggunaannya dalam matematika terapan. Strategi dari metode iniadalah memecahkan variabel terikat sebanyak variabel bebas, dimanamasing-masing variabel terikat hanya mengandung satu variabel bebassaja; akibatnya, akan menghasilkan sekumpulan PDB. Karena hanyapersamaan-persamaan linier yang sesuai dengan metode ini, makadengan jelas prinsip-prinsip superposisi dapat dipakai. Ini berartibahwa sederetan penyelesaian PDB dapat dijumlahkan untukmenghasilkan penyelesaian lengkap. Kumpulan persamaan-persamaanini akan menimbulkan konstanta-konstanta integrasi dengan jumlahtak berhingga. Permasalahan yang timbul sekarang adalah bagaimanamenentukan konstanta-konstanta integrasi yang jumlahnya takberhingga. Masalah ini dapat diselesaikan, untuk kondisi-kondisi batashomogen, dengan menggunakan suatu kondisi yang disebutorthogonaliti. Sifat-sifat fungsi orthogonal akan dapat menghitungkonstanta-konstanta integrasi satu per satu.

Berikut ini akan didemonstrasikan pemakaian metode inidengan contoh praktis.

Contoh 5.4.

Suatu slab mempunyai panjang dan lebar (arah y dan z) takterhingga. Temperatur mula-mula adalah 1T , kedua permukaanslab tersebut didinginkan tiba-tiba menjadi temperatur 0T . Tebalslab 2R. Bagaimana hubungan antara temperatur terhadap waktudan posisi dalam slab sesudah proses pendinginan? Ambilsistem koordinat pada salah satu permukaan slab.Penyelesaian:

Neraca panas pada elemen volum:

).().().( akumulasiLkeluarLmasukL

205

Anggap: k, , pC = konstan.

Gambar 5.1. Slab tak terhingga.

TCxAdtdAqAq pxxxxx

Bila kedua ruas dibagi dengan xA , kemudian diambil limitx menuju nol, menghasilkan

tTCq

x px

)(

Dengan menggunakan hukum Fourier, ,xTkqx didapatkan

tT

xT

2

2

(5.84)

dimana

pCk

(5.85)

Kondisi batas untuk sistem ini adalah:

2 R

xdx

zx

206

K.A.: Temperatur disemua tempat pada keadaan awal adalah1T

1)0,( TxT (5.86)

K.B.1: Temperatur pada 0x setiap saat dijaga konstan 0T

0),0( TtT (5.87a)

K.B.2: Temperatur pada Rx 2 setiap saat dijaga konstan 0T

0),2( TtRT (5.87b)

K.B.3: Temperatur disemua tempat pada t adalah 0T

0),( TxT (5.87c)

Dari Pers. (5.87) terlihat bahwa kondisi batas adalah non-homogen. Jadi, untuk menghomogenkan kondisi batastemperatur T diubah menjadi besaran tak berdimensi , yaitu

01

0

TTTT

(5.88)

)( 01 TTT

2012 )( TTT

Persamaan ini disubstitusikan ke dalam Pers. (5.84),menghasilkan

tx

2

2

(5.89)

Kondisi batasnya menjadi

K.A.: 1)0,( x (5.90)

207

K.B.1: 0),0( t (5.91a)

K.B.2: 0),2( tR (5.91b)K.B.3: 0),( x (5.91c)

Sekarang terlihat kondisi batasnya sudah homogen. Strategiyang digunakan dalam metode pemisahan variabel adalahmereduksi PDP menjadi PDB. Metode ini memerlukan duafungsi, karena dalam contoh ini mengandung dua variabel bebas,yang menggambarkan penyelesaian )(xf dan )(tg . Variabel

)(xf hanya tergantung pada posisi x, dan )(tg hanyatergantung pada waktu t. Ada beberapa kemungkinanpenggabungan variabel-variabel ini untuk membangun .),( txBiasanya menggunakan hasil kali fungsi-fungsi, yaitu

)()(),( tgxftx (5.92)

Persamaan ini harus memenuhi Pers. (5.89) dan kondisibatas/awal, yaitu Pers. (5.90) dan (5.91). Diferensialkan Pers.(5.92) secara parsial terhadap x dan t,

)(tgdxdf

x

gdx

fdtgdxdf

dxd

xxx

2

2

2

2

)( (5.93)

dan

dtdgxf

t

)( (5.94)

Substitusikan Pers. (5.93) dan (5.94) dalam Pers. (5.89)

tddgf

dxfdg 2

2

(5.95)

208

Variabel-variabel terikat dapat dipisahkan dengan membagi Pers.(5.95) dengan gf , menghasilkan

tddg

gdxfd

f

11

2

2

(5.96)

Walaupun sekarang variabel bebas sudah terpisah, tetapipersamaan tersebut belum dipisahkan satu sama lainnya agarmereka dapat diselesaikan secara terpisah. Ruas kiri Pers. (5.96)tidak tergantung pada t dan harganya konstan pada setiap saat,sedangkan ruas kanan Pers. (5.96) tidak tergantung pada x danharganya juga konstan pada setiap posisi. Dengan demikian,jelas kedua sisi Pers. (5.96) harus sama dengan suatu konstantayang sama, katakanlah 2 . Konstanta 2 ini dapat berupabilangan riil, positif atau negatif, nol atau imajiner. SehinggaPers. (5.96) menjadi

22

2 11

td

dggdx

fdf

(5.97)

Dari Pers. (5.97) diperoleh dua PDB, yaitu

022

2

fdx

fd (5.98)

dan

02 gtd

dg (5.99)

Persamaan (5.98) dan (5.99) merupakan PDB linier dengankoefisien konstan dan penyelesaiannya:

a) Untuk 02 Dari Pers. (5.98):

209

022

2

fdx

fd

Persamaan karakteristiknya:

022 m im 2,1

Jadi penyelesaian Pers. (5.98) adalah

xCxCxf sincos)( 21 (5.100)

Dari Pers. (5.99):

02 gtd

dg

Persamaan karakteristiknya:

02 m 2m

Jadi penyelesaian Pers. (5.99) adalah

)exp()( 23 tCtg (5.101)

Penyelesaian umum untuk 02 adalah

)()(),( tgxftx

)exp()sincos( 2321 tCxCxC

)exp()sincos( 254 txCxC (5.102)

b) Untuk 02 Persamaan (5.98) menjadi

02

2

dx

fd

210

integrasikan dua kali terhadap x, diperoleh

76)( CxCxf (5.103)

dan Pers. (5.99) menjadi

0td

dg

8)( Ctg (5.104)

Penyelesaian umum untuk 02 adalah:

)()(),( tgxftx

876 )( CCxC

109 CxC (5.105)

Karena Pers. (5.98) dan (5.99) adalah persamaan-persamaanlinier, maka dengan jelas prinsip superposisi dapat dipakai,sehingga penyelesaian lengkap dari Pers. (5.89) adalah

1092

54 )exp()sincos(),( CxCtxCxCtx

(5.106)

Dari K.B.3 dan Pers. (5.106), diperoleh

10954 )exp()sincos(0 CxCxCxC

10900 CxC

persamaan ini dipenuhi bila 09 C dan 010 C . Persamaan(5.106) menjadi

)exp()sincos(),( 254 txCxCtx (5.107)

Dari K.B.1 dan Pers. (5.107), didapatkan

211

)exp()0sin0cos(0 254 tCC 04 C

Persamaan (5.107) tereduksi lagi menjadi

)exp(sin),( 25 txCtx (5.108)

Dari K.B.2 dan Pers. (5.108):

)exp()2sin(0 25 tRC

5C tidak boleh sama dengan nol, karena bila 05 C tidak adajawabannya. Jadi persamaan diatas dipenuhi bila

02sin R

,2 nR ,2,1,0n

Rn2 , ,2,1,0n (5.109)


t

Rn

RxnCtx 2

22

5 4exp

2sin),( (5.110)

Dari K.A. dan Pers. (5.110),

RxnC

2sin1 5

Ini menunjukkan bahwa harga 5C tidak hanya satu untukmemenuhi kon-disi awal tersebut. Jadi jawaban paling umumdari tipe ini dapat diperoleh dengan superposisi penyelesaianpartikulir Pers. (5.110).

212

tR

nR

xnAtxn

n 2

22

1 4exp

2sin),( 5.111)

Kemudian K.A. digunakan kembali, yaitu

RxnA

nn 2

sin11

(5.112)

Permasalahan sekarang adalah menentukan berapaharga An. Harga An yang memenuhi Pers. (5.112) dapatditentukan dengan menggunakan properti-properti fungsiorthogonal. Dengan membandingkan Pers. (5.98) denganpersamaan umum Sturm-Liouville (5.79) didapatkan

1)()( xrxp , 0)( xq , dan ,2 maka Pers. (5.98)adalah tipe Sturm-Liouville. Kondisi batas (5.91a) dan (5.91b)adalah bentuk yang sesuai dengan (i) dan dengan demikianfungsi )2sin( Rxn adalah orthogonal terhadap 1)( xrdalam kisaran 0 hingga 2R. Properti orthogonal inidimanfaatkan dengan mengalikan kedua sisi Pers. (5.112)dengan fungsi )2sin( Rxm , dan hasilnya diintegrasikan dari0 hingga 2R. Jadi,

dxRxnA

Rxmdx

Rxm

nn

RR

1

2

0

2

0 2sin

2sin

2sin

(5.113)

Integral jumlah sama dengan jumlah dari integral, maka Pers.(5.113) menjadi

dxRxn

RxmAdx

Rxm R

nn

R

2sin

2sin

2sin

2

01

2

0

(5.114)

213

Dari properti orthogonal diperoleh bahwa integral pada ruaskanan Pers. (5.114) adalah nol, kecuali untuk kasus nm . Bila

nm , maka

dxRxnAdx

Rxn R

nn

R

2

0

2

1

2

0 2sin

2sin (5.115)

Hasil integrasi ruas kanan Pers. (5.115) adalah R (dari Pers.(5.77)). Persamaan (5.115) menjadi

RAdxRxn

n

R

2

0 2sin

R

xndRxn

nA

n

n 22sin2

0

,)1(12 nn n

A

,3,2,1n (5.116)

Substitusikan Pers. (5.116) kedalam Pers. (5.111), menghasilkan

2

22

1 4exp

2sin)1(12),(

Rtn

Rxn

ntx

n

n

atau

2

22

101

0

4exp

2sin)1(12

Rtn

Rxn

nTTTT

n

n

(5.117)

214

5.4 RangkumanPersamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yangmempunyai lebih dari satu variabel bebas. Secara analitik persamaandiferensial parsial dapat diselesaikan dengan menggunakan metodepenyatuan variabel, metode pemisahan variabel, dan transformasiLaplace. Hasil dari penyelesaian persamaan diferensial parsial sangatditentukan oleh kondisi awal dan kondisi batas. Kondisi awal dankondisi batas merupakan pernyataan dari fenomena fisik pada harga-harga yang ditentukan dari variabel bebas. Ada tiga tipe kondisi awaldan kondisi batas yang biasanya muncul dalam suatu permasalahan,yaitu:

1. Fungsi yang ditetapkan pada harga batas.2. Turunan fungsi yang ditetapkan pada harga batas.3. Fungsi campuran pada harga batas.

5.5 Soal-Soal

5.1. Penyelesaian Pers. (5.89) dalam Contoh 5.4 dengan metodepemisahan variabel adalah

1092

54 )exp()sincos(),( CxCtxCxCtx

Tentukan konstanta-konstanta integrasi (C4, C5, C9, dan C10)dengan menggunakan kondisi awal dan kondisi batas berikut ini:

K.A.: pada ,0t ,xx 1

K.B.1: pada ,0x ,tt 0

K.B.2: pada ,2Rx ,tt 0

5.2. We have seen in Example 10.2 (CVD Reactor) that conditions ofshort contact time (or short penetration) can lead to considerablesimplifications, to produce practical results. Consider the case ofheat transfer for laminar tube flow, under conditions of short

215

contact time. Ignoring axial conduction, the steady-state heatbalance was shown for parabolic velocity profile

rTr

rrzT

Rrv 112

2

0

where thermal diffusivity is .pCk For short penetrationfrom a wall of temperature TW, we introduce the wall coordinate

,rRy so that the conduction term close to the wall isapproximately

2

21yT

rTr

rr

And the velocity close to the wall is

Ryvvz 04

(a) By analogy with the CVD-reactor problem (Example 10.2),use the combined variable

31

049

vzR

y

)()( fTT W

and show that, for a liquid entering at T0

0

3

0

)exp()34(

1 dTTTT

W

W

(b) By defining the flux at the wall as

216

00

yy

Tkq

we can define a local heat transfer coefficient based on theinlet temperature difference, so let

)()( 000 WTTzhq

hence, show that

3120

31

0

34)94()(

zR

kCvzh p

(c) Define the average heat transfer coefficient using

L

dzzhL

h0 00 )(1

and thus show the dimensionless result

31

PrRe62.1Nu

LD ;

34985.1

62.1

31

where

,Nu 0

kDh

,Re 0

Dv

,PrkC p

RD 2

This result, after leveque (1928), compares reasonably wellwith experiments. The multiplicative constant has beenadjusted based on experimental data to give a value 1.86.

217

(Problem taken from “Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers” by R. G.Rice and D. D. Do, John Wiley & sons, Inc.,New York, 1995. Problem 10.23)

5.3. As a design engineer, you are asked by your boss to design awetted wall tower to reduce a toxic gas in an air stream down tosome acceptable level. At your disposal are two solvents, whichyou can use in the tower; one is nonreactive with the toxic gasbut is cheap, whereas the other is reactive and quite expensive.In order to choose which solvent to use, you will need toanalyze a model to describe the absorption of the toxic gas intothe flowing solvent (see Fig. 5.1).

(a) For the nonreactive solvent, derive from first principles themass balance equation for the absorbed toxic gas into thesolvent and show

2

22

1xC

zCxvmaks

D

(b) What are the boundary conditions for the mass balanceequation obtained in part (a).

(c) For the reactive solvent, derive from the first principles themass balance for the absorbed toxic species and the solventfollows first order kinetics.

CkxC

zCxvmaks

2

22

1 D

(d) Assuming that you have obtained the solution for thedistribution of absorbed concentration of the toxic species,obtain a formula to calculate the mass flux (mole/area-time)into the falling film as a function of z.

218

0

)(

xx

CzN D

Next, for a falling film of length L and width W, obtain aformula the mass transfer (moles/time) into the film.

Mass flux

L

x

Ldz

xCWdzzNW

00

0)( D

(e) For a given length and width and a given flow rate of liquid,which solvent do you expect to give higher absorption rateand why?

(Problem taken from “Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers” by R. G.Rice and D. D. Do, John Wiley & sons, Inc.,New York, 1995. Problem 10.12*)

5.4. Metode tabung kapiler untuk menentukan difusivitas cairanbiner telah dilaporkan dalam Mickley dkk. (1957). Tabungkapiler panjangnya L, salah satu ujungnya tertutup, ujung yanglainnya terbuka, mula-mula berisi larutan A dengan konsentrasiC0. Kapiler tersebut diletakkan dalam posisi tegak dengan ujungterbuka menghadap ke atas. Kemudian solven murni (B)dialirkan secara perlahan dan kontinyu melewati ujung kapilerterbuka. Setelah waktu tertentu, , kapiler tersebut dikeluarkandan larutan A sisa dianalisa komposisinya, untuk menentukanberapa banyak solut A yang telah terekstrak. Percobaan inidilakukan beberapa kali pada harga berbeda. Konsentrasi Apada ujung kapiler terbuka dianggap selalu nol.

Anggap difusivitas tidak terlalu banyak berubah terhadapkomposisi (sebe-narnya difusivitas rata-rata dihitung sesuaidengan komposisi rata-rata antara keadaan awal dan akhir).

Kondisi awal dan batas adalah:

pada ,0t 0CC A

219

pada ,0z 0zAN

pada ,Lz 0AC

dimana NAz adalah fluksi difusi A yang dinyatakan denganhukum Fick I, yaitu:

dzdCN A

ABzA D

waktuluasmol

dengan DAB adalah difusivitas biner untuk sistem A-B.

(a) Buat neraca massa transient dari A dan buktikan bahwa

2

2

zdC

tC A

ABA

D

(b) Selesaikan persamaan dalam bagian (a) denganmenggunakan metode pemisahan variabel, dan buktikanbahwa

Lzn

nCtzC

n

n

A 2)12(cos

)12()1(4

),(1

10

2

22

4)12(exp

Ltn ABD

(c) Fraksi solut A yang sisa (setelah percobaan) dihitung denganpersamaan

dzC

tzCL

RL A

00

),(1

buktikan bahwa R adalah

220

2

22

122 4

)12(exp)12(

18L

tnn

R AB

n

D

(Soal ini disadur dari “Applied Mathematics andModeling for Chemical Engineers” by R. G.Rice and D. D. Do, John Wiley & sons, Inc.,New York, 1995. Problem 10.193)

GlossariumPersamaan Diferensial Parsial adalah persaman diferensial yangmengandung lebih dari satu variable bebas.Persamaan Diferensial Parsial linier orde dua adalah persamaandiferensial parsial yang mempunyai bentuk seperti pada persamaan(5.2)Kondisi Awal adalah kondisi pada waktu mula-mula 0tt padasuatu peristiwa fisika atau kimia dari kondisi tersebut diperoleh satuset persamaan matematika.Kondisi Batas adalah ilustrasi dari peristiwa-peristiwa fisika ataukimia pada harga-harga yang ditentukan dari variable bebas. Kondisibatas diperlukan untuk menetukan konstanta-konstanta integrasi.

Daftar Pustaka


2. Jenson, V. G. and G. V. Jeffreys, 1977, Mathematical Methods inChemical Engineering, 2nd ed., Academic Press., London.

3. Mickley, H. S., T. S. Sherwood, and C. E. Reed, 1975, Applied

221

Mathematics in Chemical Engineering, McGraw-Hill BookCompany, New York.

4. Rice, B. J. and J. D. Strange, 1994, Ordinary DifferentialEquations with Applications, 3rd Ed., Brooks/Cole PublishingCompany, California.


6. Sediawan, W. B. dan A. Prasetya, 1997, Pemodelan Matematisdan Penyelesaian Numerik dalam Teknik Kimia, Penerbit ANDI,Yogyakarta.

7. Zhang, S. and J. Jin, 1996, “Computation of Special Functions”,John Wiley and Sons, New York.

222

BAB 6TRANSFORMASI LAPLACE

6.1 PendahuluanIde dari suatu transformasi merupakan suatu gagasan yang sangatpenting di dalam matematika dan di dalam memecahkan masalah padaumumnya. Bila kita berhadapan dengan suatu masalah yang sulit,seringkali ide-ide baik yang digunakan adalah dengan merubahmasalah tersebut dengan berbagai cara menjadi suatu masalah yanglebih mudah, setelah itu masalah yang telah ditransformasikantersebut diselesaikan, dan kemudian penyelesaian yang didapatkan

Tujuan Intruksional Umum:Setelah mengikuti pokok bahasan (PB) dari mata kuliah inimahasiswa dapat mengaplikasikan dasar-dasar TransformasiLaplace dan Transformasi Laplace Invers.

Tujuan Intruksional Khusus:1. Setelah mengikuti PB ini mahasiswa dapat

menggunakan Transformasi Laplace dari fungsisederhana dan sifat-sifat Transformasi Laplace.

2. Setelah mengikuti PB ini mahasiswa dapat meng-gunakan Transformasi Laplace Invers.

3. Setelah mengikuti PB ini mahasiswa dapat meng-aplikasikan Transformasi Laplace dalam menyelesaikanpersamaan deferensial biasa.

.

223

dikembalikan ke masalah orisinal. Salah satu contoh dari proses iniadalah ide tentang logaritma. Ide ini digunakan untuk membantuperhitungan. Misal, masalah perkalian yang rumit, denganmenggunakan ide ini kita dapat mentransformasikannya ke dalammasalah penjumlahan, kemudian dilakukan penjumlahan, dan setelahitu jawaban tersebut ditransformasikan kembali ke dalam masalahaslinya. Proses yang bergerak dari hasil transformasi kembali ke hasilaslinya disebut transformasi invers. Misalnya, kita tahu bahwa inversdari transformasi logaritma adalah transformasi eksponensial.

y = loga x

Di dalam kalkulus dasar juga kita telah mempelajari bagaimana suatuintegral tertentu dapat dengan mudah diselesaikan dengan merubahvariabel-variabelnya, yaitu dengan mentransformasikan, katakanlah,suatu integral dalam bentuk x menjadi dalam bentuk integral yanglebih sederhana dalam variabel lainnya, katakanlah u. Kemudianbentuk integral yang lebih sederhana dalam variabel u diselesaikan,dan hasilnya dikembalikan lagi dalam variabel x. Jadi, filosofi dalammelakukan transformasi untuk menyelesaikan suatu masalah dapatdinyatakan secara sederhana: 1. Transformasi; 2. Selesaikan; dan 3.Invers.

Dalam bab ini kita akan mempelajari suatu tipe khusus daritransformasi integral yang disebut transformasi Laplace. Transformasiini akan berguna bagi kita karena dapat menghilangkan turunan-turunan dari persamaan diferensial dan menggantikannya denganpersamaan aljabar.

fx

xy aaa log

xy alogf-1

224

6.2 Definisi Transformasi Laplace

Misalkan )(tf merupakan suatu fungsi kontinyu dari variabel bebas tuntuk 0t , maka transformasi Laplace dari )(tf didefinisikandengan:

0)()()]([ dttfesFtf tsL (6.1)

Simbol L disebut operator transformasi Laplace. Transformasi

Laplace dari )(tf dikatakan ada apabila integral (5.1) konvergenuntuk beberapa harga s, bila tidak konvergen maka transformasiLaplacenya tidak ada. Perhatikan bahwa setelah kita mengintegrasikanterhadap t, hasilnya akan mempunyai parameter s didalamnya—yaitu,integral tersebut merupakan suatu fungsi parameter s, sehingga kitadapat menulis ).()]([ sFtf L

6.2.1 Transformasi Laplace dari Beberapa Fungsi Sederhana

1. Bila konstanta)( Ctf

)10()(][00

s

CesCdtCesFC tstsL

sC (6.2)

2. Bila ttf )(

0)(][ dttesFt tsL

misal: tu dtedv ts

225

dtdu tses

v 1

0200

1)00(111][ tststs ess

dtes

ets

tL

)10(12

s

2

1s (6.3)

3. Bila nttf )(

0)(][ dttesFt ntsnL

Kita dapat menyelesaikan integral ini dengan memisalkan:

tsu ; dtsdu

sehingga

0 01

11][ duues

duss

uet nun

nunL

)1(11

ns n

1

!

nsn

(n = bil. bulat positif) (6.4)

4. Bila taetf )(

0

)(

0)(][ dtedteesFe tastatstaL

226

0

)(1 taseas

)10(1

as

as

1 (6.5)

Dengan cara yang sama diperoleh untuk

ase ta

1][L (6.6)

5. Bila tatf cos)(

0cos)(][cos dttaesFta tsL

Integral tersebut dapat diselesaikan dengan integral parsial.

misal: tau cos dtedv ts

dttaadu sin tses

v 1

sehingga

00sincos1][cos dttae

satae

sta tstsL

0sin)10(1 dttae

sa

sts

Untuk menyelesaikan integral tersebut, kita dapat menggunakanintegral parsial lagi

misal: tau sin dtedv ts

227

dttaadu cos tses

v 1

00cossin

11][cos dttae

satae

ssa

sta tstsL

][cos)00(1

2

2

2 atsa

sa

sL

sat

sa 1][cos1 2

2

L

2222

21][cosas

sas

ss

ta

L (6.7)

Metode lain:

Formula Euler: taitae tai sincos

00Recos][cos dteedttaeta taitstsL

0

)(1Re taiseais

)10(1Reais

aisais

ais1Re

222Reais

ais

22 ass

228

Hasilnya sama dengan Pers. (6.7). Dengan cara yang sama diperolehuntuk

22][sinas

ata

L (6.8)

Transformasi Laplace dari beberapa fungsi sederhana diberikan dalamTabel 6.1.

Tabel 6.1. Transformasi Laplace dari beberapa fungsi sederhana

No. )(tf )(sF

1. C 0ssC

2. t 012 s

s

3.nt 0)1(

1 s

sn

n

positifbulatbil.!1 n

snn

4. tae asas

1

5. 1!0,!

net tan

asas n 1)(

1

6. tacos 022

sas

s

7. tasin 022

sas

a

8. tacosh asas

s

22

9. tasinh asas

a

22

229

6.2.2 Beberapa Sifat Penting Transformasi Laplace

1. Sifat Linier

Jika C1 dan C2 adalah konstanta-konstanta sembarang, sedangkan)(1 tf dan )(2 tf adalah fungsi-fungsi dengan transformasi

Laplacenya masing-masing )(1 sF dan )(2 sF , maka

)]([)]([)]()([ 22112211 tfCtfCtfCtfC LLL

)()( 2211 sFCsFC (6.9)

Hasil ini dapat diperluas untuk lebih dari dua fungsi.

2. Sifat Pengubahan Skala

Jika )()]([ sFtf L , maka

asF

ataf 1)]([L (6.10)

Bukti:

0)()]([ dtatfeatf tsL

Untuk menyelesaikan integral ini, kita misalkan:

atu ; dtadu

sehingga

0

)( )(1

)]([ duufea

atf uasL

asF

a1

230

Contoh 6.1.

Carilah ].[cos taL

Penyelesaian:

Misalkan: ttf cos)(

)(1

][cos 2 sFs

st

L

maka

2222

2

22

11)(

1][cosas

sas

asaas

asa

ta

L

3. Transformasi Laplace dari Turunan

Transformasi Laplace dari turunan pertama didefinisikan:

L

00

)()()(tdfedt

dttdfe

dttdf tsts

Integral tersebut diselesaikan dengan integral parsial,

misal: tseu )(tdfdv

dtesdu ts )(tfv

sehingga

L

00)()(

)( dttfesetfdt

tdf tsts

)]([)}0(0{ tfsf L

)0()( fsFs (6.11)

231

Transformasi Laplace dari turunan kedua didefinisikan:

L

dttdf

dedtdt

tfde

dttfd tsts )()()(

02

2

02

2

dapat digunakan integral parsial untuk menyelesaikan integral ini

misal: tseu

dttdfddv )(

dtesdu tsdt

tdfv )(

L dtdt

tdfesedt

tdfdt

tfd tsts

)()()(

002

2

sdt

df

)0(0 L

dt

tdf )(

dtdffsFss )0(

)]0()([

)0()0()(2 ffssFs (6.12)

dimana )0(f dan )0(f adalah harga fungsi dan turunannya padavariabel bebas sama dengan nol.

Prosedur ini dapat dikembangkan hingga turunan ke-n, yangmemerlukan )1( n kondisi awal.

L )0()0()0()()( 121

nnnnn

n

ffsfssFsdt

tfd (6.13)

Seperti kita ketahui, transformasi Laplace dari turunan

232

membutuhkan kondisi-kondisi awal dari fungsi dan turunan-turunansuksesifnya. Ini berarti bahwa hanya masalah-masalah kondisi awaldapat diselesaikan dengan transformasi Laplace. Secara implisit jugamenyatakan bahwa turunan fungsi-fungsi yang ditinjau hanya berlakuuntuk fungsi kontinyu. Jika tidak kontinyu, maka transformasiLaplace dari turunan harus dimodifikasi untuk memperhitungkanketidak-kontinyuannya.

Transformasi dari turunan dapat digunakan untuk mendapatkantransformasi Laplace dari suatu fungsi tanpa menggunakan prosedurintegrasi.

Contoh 6.2.

Carilah ].[ taeL

Penyelesaian:

Misalkan: ,)( taetf 1)0( f

taeatf )(

)0()()]([ fsFstf L

1)]([][ tfsea ta LL

1][)( taeas L

ase ta

1][L

Bandingkan hasil ini dengan Pers. (6.5).

233

Contoh 6.3.

Hitunglah ].[cos taL

Penyelesaian:

Misalkan: ,cos)( tatf 1)0( ftaatf sin)( , 0)0( f

taatf cos)( 2

)0()0()()]([ 2 ffssFstf L

0)1(][cos]cos[ 22 satstaa LL

satas ][cos)( 22 L

22][cosas

sta

L

Hasil yang diperoleh sama dengan cara integrasi, Pers. (6.7).

4. Sifat Perkalian Dengan t

Kadang-kadang berguna untuk mendiferensialkan transformasiLaplace terhadap variabel kontinyu s. Jika,

0)()()]([ dttfesFtf tsL

maka diferensial )(sF terhadap s adalah

0)(

)( dttfedsd

dssdF ts (6.14)

234

Diferensial pada ruas kanan Pers. (6.14) dapat dilakukan denganmenggunakan formula Leibnitz, diferensial dibawah tanda integral,yaitu

dxa

axfdadu

aufdadu

aufdxaxfdad au

au

au

au

)(

)(

11

22

)(

)(

2

1

2

1

),(),(),(),(

(6.15)

Bandingkan ruas kanan Pers. (6.14) dan Pers. (6.15), didapatkan

)(),(0)(1 tfeaxfausa ts

)(2 audtdx

Sehingga, Pers. (6.14) menjadi

dts

tfeds

sdF ts

0

)]([00

)(

dttfte ts

0)(

)]([ tftL

Jadi

dssdFtft )(

)]([ L (6.16)

Prosedur ini dapat dikembangkan hingga turunan ke n dari)(sF terhadap s, menghasilkan

n

nnn

dssFdtft )(

)1()]([ L (6.17)

Persamaan (6.17) merupakan sifat perkalian dengan nt .

235

Contoh 6.4.

Hitunglah ].sin[ tatL

Penyelesaian:

Misalkan: tatf sin)(

)(][sin 22 sFas

aat

L

berdasarkan Pers. (6.16), diperoleh

22222 )(2]sin[

assa

asa

dsdatt

L

Proses diferensiasi terhadap s memberikan suatu teknikpenyelesaian untuk Persamaan Diferensial Biasa dengan koefisien-koefisien berubah. Dari Pers. (6.17) diketahui bahwa

n

nnntsn

dssFddttftetft )(

)1()()]([0

L

karena itu, transformasi Laplace dari hasil kali turunan dapat ditulis

n

n

m

mm

n

nm

dttfd

dsd

dttfdt )()1()( LL (6.18)

Bila 1m dan ,1n maka

dttdf

dsd

dttdft )()1()( LL

)0()( fsFsdsd

236

0)()( sF

dssdFs

Jadi,

)()()( sFds

sdFsdt

tdft

L (6.19)

Proses ini dapat diselesaikan lebih lanjut seperti yang ditabulasikandalam tabel berikut ini:

Tabel 6.2. Transformasi Laplace dari hasil kali diferensial

)(tf )()]([ sFtf L

dttdft )(

)()(

sFds

sdFs

dttdft )(2

dssdF

dssFds )()(

2

2

2

2 )(dt

tfdt )0()(2)(2 fsFs

dssdFs

2

22 )(

dttfdt )(2

)(4

)(2

22 sF

dssdF

sds

sFds

5. Transformasi Laplace dari Integral

Transformasi Laplace dari suatu fungsi integeral didefinisikan:

dtdzzfedttfttst

000)()(L (6.20)

dimana telah digunakan dummy variable untuk integral dalam kurungsiku. Ini dapat diintegrasikan secara parsial:

237

misalkan: t

dzzfu0

)(

t

dzzfdtd

dtdu

0)(

menurut formula Leibnitz diperoleh:

,)( dttfdu

dtedv ts tses

v 1

sehingga

00

00)(1)(1)( dttfe

sdzzfe

sdttf tsttst

L

)]([100 tfsL

ssF )(

Jadi, bila ),()]([ sFtf L maka

ssFdzzf

t )()(

0

L (6.21)

Contoh 6.5.

Carilah

tdzza

0cosL

238

Penyelesaian:

Misal: ,cos)( tatf

)(][cos 22 sFas

sat

L

maka,

22220

11cosasas

ss

dzzat

L

6. Pembagian Oleh t

Jika ),()]([ sFtf L maka

sduuF

ttf

)()(L (6.22)

Bukti:

Misalkan:ttftg )(

)(

)()( tgttf , )]([)]([ tgttf LL

Dari Pers. (6.16) didapatkan transformasi Laplace dari ruas kananpersamaan di atas.

dssdGsF )(

)(

ssduuFsdG )()(

s

duuFGsG )()()(

239

karena ,0)(lim

sGs

maka

s

duuFsG )()(

Jadi,

sduuF

ttf

)()(L (6.23)

asalkan ttft

)(lim0

ada.

Contoh 6.6.

Hitunglah

ttsinL .

Penyelesaian:

Misalkan: ttf sin)( , )(1

1][sin 2 sFs

t

L

1

1cos

limsin

limsin

lim)(

lim0000

t

tdtd

tdtd

tt

ttf

tttt ada

maka

sdu

utt

ttf

11sin)(

2LL

s

utg )(1

240

)()( 11 stgtg

)(2

1 stg

stg 11

7. Teorema Shifting

Teorema ini sangat berguna dalam menentukan transformasi dari suatutipe fungsi eksponensial dan juga dalam melakukan transformasiinvers. Teorema shifting dapat dinyatakan sebagai berikut:

“Jika transformasi Laplace )(tf adalah ),(sF maka

transformasi Laplace dari )(tfe ta adalah ),( asF

dimana a adalah konstanta berhingga. Yakni, perkalian)(tf dengan tae mempengaruhi pergeseran asal

(origin) s menjadi )( as .”

Teorema ini dapat ditulis secara matematis sebagai berikut:

Jika ),()]([ sFtf L maka

)()]([ asFtfe ta L (6.24)

Bukti:

0)()]([ dttfeetfe tatstaL

0

)( )( dttfe tas

)( asF

241

Contoh 6.7.

Tentukan ].cos[ tbe taL

Penyelesaian:

Misalkan: tbtf cos)(

)(][cos 22 sFbs

stb

L

Karena itu, dengan teorema shifting diperoleh

22)(]cos[

basastbe ta

L

Hasil ini dapat dibuktikan dengan cara integrasi, yaitu

0cos]cos[ dttbeetbe tatstaL

0

)(Re dte tbias

0

)(

Rebias

e tbias

bias

10Re

biasbias

bias1Re

222)(Re

biasbias

22)( basas

242

6.3 Transformasi Laplace Invers

Definisi:

Jika transformasi Laplace suatu fungsi )(tf adalah )(sF , yaitu jika),()]([ sFtf L maka )(tf disebut transformasi Laplace invers dari

)(sF dan secara simbolis dapat ditulis:

)]([)( 1 sFtf L (6.25)

dimana 1L disebut operator transformasi Laplace invers.

6.3.1 Beberapa Sifat Penting Transformasi Laplace Invers

1. Sifat Linier

Teorema 1: Jika C1 dan C2 adalah konstanta-konstanta sembarang,sedangkan )(1 sF dan )(2 sF adalah transformasi

Laplace dari )(1 tf dan )(2 tf , maka

)]([)]([)]()([ 21

211

122111 sFCsFCsFCsFC LLL (6.26)

)()( 2211 tfCtfC

2. Teorema Shifting

Teorema 2: Jika )()]([1 tfsF L , maka

)()]([1 tfeasF taL (6.27)

243

Contoh 6.8.

Tentukan

20446

21

sssL .

Penyelesaian:

16)2(8)2(6

20446

21

21

ss

sss LL

III

sss

16)2(42

16)2(26 2

12

1 LL (6.28)

16)2(2

21

ssI L

16)2(2)( 2

s

ssF ,16

)2( 2

sssF

)()]2([ 21 tfesF t L

)(16

22

1 tfes

s t

L

tetf t 4cos)( 2

16)2(4

21

sII L

16)2(4)( 2

s

sF ,16

4)2( 2

ssF

244

)()]2([ 21 tfesF t L

)(16

4 22

1 tfes

t

L

tetf t 4sin)( 2

Jadi,

teess

s tt 4sin247cos6204

46 222

1

L

)4sin4cos3(2 2 tte t

3. Sifat Pengubahan Skala


ktf

kskF 1)]([1L (6.29)

Contoh 6.9.

Tentukan

3696

21

sL .

Penyelesaian:

Misal:36

6)( 2

ssF

366)]([ 2

11

ssF LL

ttf 6sin)(

245

3696)3( 2

s

sF

331)]3([1 tfsFL

36

sin31

3696

21 t

sL

t2sin31

4. Transformasi Laplace Invers dari Turunan


)()1()()]([ 1)(1 tftds

sFdsF nnn

nn

LL (6.30)

Contoh 6.10.

Carilah

222

1

)( assL .

Penyelesaian:

Misal: 22

1)(as

sF

22

11 1)]([as

sF LL

ata

tf sin1)(

246

22222 )(21)(ass

asdsd

dssdF

Jadi,

)()(1 tftds

sdF

L

atat

ass sin

)(2

2221

L

atat

ass sin

2)( 2221

L

5. Sifat Perkalian Dengan s

Teorema 5: Jika )()]([1 tfsF L dan 0)0( f , maka

)()]([1 tfsFs L (6.31)

Contoh 6.11.

Carilah

22

1

assL .

Penyelesaian:

Misal: 22

1)(as

sF

22

11 1)]([as

sF LL

247

ata

tf sin1)(

0)0( f

22)(as

ssFs

dttdfsFs )()]([1 L

atatdtd

aass cos)(sin1

221

L

Perluasan ke dalam bentuk )]([1 sFs nL , dengan n = 2, 3, ,dapat juga dilakukan.

6. Sifat Pembagian Dengan s


t

dhhfssF

0

1 )()(L (6.32)

Contoh 6.12.

Carilah

3

1

)1(1

ssL .

Penyelesaian:

Misal: 3)1(1)(

s

sF

248

3

11

)1(1)]([

ssF LL

tettf 2

21)(

3)1(1)(

sss

sF

t h dheh

ssF

0

21

21)(L

t hth dhehehss 00

23

1 221

)1(1L

t htht dheehet

00

2 2021

thtt eetet0

2 20221

22221 2 ttt eetet

)1(1 221 tte t

Perluasan ke dalam bentuk ])([1 nssFL , ,,3,2 n dapat jugadilakukan.

Contoh 6.13.

Carilah

)4(1

21

ssL .

249

Penyelesaian:

Misal:4

1)( 2

ssF

41)]([ 2

11

ssF LL

ttf 2sin21)(

)4(1)(

2

ssssF

t

dhhssF

0

1 2sin21)(L

thss 02

1 2cos41

)4(1

L

)2cos1(41 t

6.4 Metode-Metode Untuk Menentukan Transformasi LaplaceInvers

Ada beberapa cara untuk menentukan transformasi Laplace invers,diantaranya adalah:

1. Penggunaan tabel2. Metode-metode yang menggunakan teorema di atas3. Metode pecahan parsial4. Metode konvolusi5. Metode deret

250

6. Metode residu; teori ini merupakan suatu metode yang sangatampuh dalam menentukan transformasi Laplace invers secaralangsung.

6.4.1 Metode Pecahan Parsial

Seringkali transformasi Laplace invers muncul dalam bentuk faktor.Misalnya:

)()()(

sQsPsF (6.33)

dimana )(sP dan )(sQ adalah polinomial, dengan derajat polinomial)(sP lebih kecil dari derajat polinomial ).(sQ

Misal polinomial )(sQ berbentuk:

a. )())(()( 21 nbsbsbssQ

dengan nbbb ,,, 21 adalah akar-akar dari polinomial ).(sQPersamaan (5.33) menjadi:

)())(()()(

21 nbsbsbssPsF

n

n

bsA

bsA

bsA

2

2

1

1 (6.34)

Ada tiga kemungkinan untuk menentukan nAAA ,,, 21 .

1. Faktor tunggal )( bs

2. Faktor ganda nbs )( 3. Faktor kompleks

251

1. Faktor Tunggal )( bs

bsAsF

)( (6.35)

Konstanta A dapat diperoleh dengan

)}()({lim bssFAbs

(6.36)

2. Faktor Ganda nbs )(

11

11

)()()()(

bsA

bsA

bsA

sF nn

nn

(6.37)

Konstanta-konstanta 11 ,,, AAA nn dapat diperoleh dengan

})()({lim n

bsn bssFA

(5.38)

nk

k

bskn bssFdsd

kA )()(lim

!1

, 1,,2,1 nk (6.39)

Tetapi bila faktor gandanya berbentuk ,)( nbsa makakonstanta-konstan-ta 11 ,,, AAA nn diperoleh dengan

})()({lim)(

n

absn bsasFA

(6.40)

nk

k

abskkn bsasFdsd

kaA )()(lim

!1

)(

, 1..,,2,1 nk (6.41)

Konstanta-konstanta 11 ,,, AAA nn juga dapat diperoleh dengan

menyelesaikan pecahan-pecahan dan menyamakan koefisien daripangkat-pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang diperoleh.

252

b. ncsbsasQ )()( 2

Persamaan (6.33) menjadi:

ncsbsasPsF

)()()( 2

)()()( 211

1211

2 csbsaBsA

csbsaBsA

csbsaBsA

nnn

nnn

(6.42)

Konstanta-konstanta 11 ,,, AAA nn dan 11 ,,, BBB nn

diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-pecahan tersebut danmenyamakan koefisien-koefisien dari pangkat yang sama dari keduaruas persamaan yang diperoleh.

Contoh 6.14.

Tentukan

6163

21

sssL .

Penyelesaian:

6163)( 2

ss

ssF

236163

2

sB

sA

sss

(6.43)

Metode 1:

Dengan mengalikan kedua ruas Pers. (6.43) dengan,)2)(3( ss didapatkan

253

)3()2(163 sBsAs (6.44)

BAsBA 32)(

Koefisien s: BA3

AB 3

Konstanta: BA 3216

)3(3216 AA

A525 5A dan 2B

Jadi,

212

315

6163 11

21

sssss LLL

tt ee 23 25

Metode 2:

Menggunakan rumus (6.36),

52163

lim)3()2)(3(

163lim

33

sss

sssA

ss

2)2()2)(3(

163lim

2

s

sssB

s

Dengan menggunakan harga-harga ini didapatkan hasil yangsama dengan Metode 1.

254

Metode 3:

Sedikit modifikasi dari Metode 2, gunakan Pers. (6.44). Untukmenentukan A set 3s dan untuk menentukan B set .2s

3s : )0()5(169 BA

5A

2s : )5()0(166 BA

2B

Contoh 6.15.

Carilah

)1()1(32

2

21

ssssL .

Penyelesaian:

1)1(1)1()1(32 3

221

2

2

sA

sA

sA

ssss

(6.45)

11

32lim)1()1()1(

32lim2

1

22

2

12

s

sssssssA

ss

22

2

11 )1()1()1(

32lim!1

1 sssss

dsdA

s

1

32lim

2

1 sss

dsd

s

2

2

1 )1()32()1)(22(

lims

sssss

255

21

23)1(

)1()1(32lim 2

2

13

sssssA

s

Jadi,

11

23

)1(1

11

21

)1()1(32 1

211

2

21

sssssss LLLL

ttt eete 23

21

Metode 2:

Dengan mengalikan kedua ruas Pers. (6.45) dengan,)1()1( 2 ss didapatkan

2321

2 )1()1()1)(1(32 sAsAssAss

Untuk menentukan A2 set 1s dan untuk menentukan A3 set.1s

1s : )0()2()0(2 321 AAA

12 A

1s : )4()2()0(6 321 AAA

233 A

Metode ini gagal untuk menentukan A1. Untuk menentukan A1

dipilih satu harga sembarang yang tidak membuat semua harga

256

sama dengan nol, tetapi dipilih yang menghasilkan harga-hargatersebut kecil.Misal 0s :

)1()1()1(3 321 AAA

2313 1 A

21

1 A

Dengan menggunakan harga-harga ini didapatkan hasil yangsama dengan Metode 1.

Contoh 6.16.

Carilah

)22)(3(1

21

ssssL .

Penyelesaian:

223)22)(3(1

22

ssCsB

sA

ssss (6.46)

Dengan mengalikan kedua ruas dengan ,)22)(3( 2 sssdidapatkan

)3)(()22(1 2 sCsBssAs (6.47)

)32()32()( 2 CAsCBAsBA

Koefisien 2s : BA0

AB (6.48)

257

Koefisien s: CBA 321 (6.49)

Konstanta: CA 321

321 AC

(6.50)

Substitusikan Pers. (6.48) dan (6.50) ke dalam Pers. (6.49),menghasilkan

AAA32

31321

54A


54B


51C

Jadi,

2214

51

31

54

)22)(3(1

211

21

sss

sssss LLL

1)1(1

53

1)1()1(

54

31

54

21

211

sss

sLLL

tetee ttt sin53cos

54

54 3

258

)sin3cos4(51

54 3 ttee tt

6.4.2 Metode Konvolusi

Dalam menyelesaikan masalah-masalah dengan transformasi Laplaceseringkali terjadi bahwa transformasi akhir dari persamaan merupakanhasil kali dua transformasi yang dapat diidentifikasi dengan mudah,namun ini sukar diselesaikan dalam bentuk penjumlahan. Bila initerjadi, transformasi Laplace invers dapat dilakukan dengan metodekonvolusi.

Jika )()()( sHsGsF dan invers dari masing-masingdiketahui, yaitu )(tg dan ,)(th maka invers dari hasil kali diberikandengan integral konvolusi. Secara matematis dapat ditulis dengan

)]()([)( 1 sHsGtf L

uu

duuhutgduuthug00

)()()()( (6.51)

Kedua bentuk ini menunjukkan bahwa integral konvolusi adalahsimetris.

Contoh 6.17.

Carilah

22

21

)1(ssL .

259

Penyelesaian:

Misal:1

)( 2

sssG dan

1)( 2

sssH

ts

ssGtg cos1

)]([)( 211

LL

ts

ssHth cos1

)]([)( 211

LL

t

duututf0

)(coscos)(

t

dutut0

)2(coscos21

t

tutu0

)2(sin21cos

21

ttt sincos21

6.5 Aplikasi Transformasi Laplace Pada Persamaan DiferensialBiasa

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikanpersamaan diferensial biasa (PDB). Karena transformasi Laplacemerupakan operator linier, maka transformasi ini tidak sesuai untukmasalah-masalah non-linier. Selain itu metode ini hanya sesuai untukmasalah harga awal. Dalam sub bab ini akan dibahas penggunaantransformasi Laplace untuk menyelesaikan PDB.

260

Contoh 6.18.

Gunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan masalahharga awal berikut ini

teydtdy 2 , 2)0( y

Penyelesaian:

Pertama kita melakukan transformasi Laplace pada kedua sisidari persamaan diferensial di atas:

][ 2teydtdy

LL

dengan menggunakan sifat linier dari transformasi Laplace, ruaskiri persamaan di atas dapat ditulis dengan

][][ 2teydtdy

LLL

Kita telah menghitung transformasi Laplace dari turunan pertamadan fungsi eksponensial. Dengan menggunakan Pers. (6.5) dan(6.11) menghasilkan

21)()}0()({

s

sYysYs

Kemudian, dengan memasukkan kondisi awal dan denganmengumpulkan suku-suku yang sejenis didapatkan

2522

21)()1(

ss

ssYs

)2)(1(52)(

ss

ssY (6.52)

261

Dengan menggunakan fraksi pecahan kita dapat menulis Y(s)dalam bentuk

21)2)(1(52)(

s

Bs

Ass

ssY

dengan mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan),2)(1( ss didapatkan

)1()2(52 sBsAs

Dengan menset ,1s didapatkan

)0()1(3 BA

3A

Set :2s )1()0(1 BA

1B


21

13)(

sssY

Dengan menggunakan transformasi Laplace invers, menghasilkan

21

13)( 11

ssty LL

tt ee 23

Persamaan ini merupakan penyelesaian dari masalah harga awaldi atas.

262

Contoh 6.19.

Selesaikan persamaan diferensial order dua berikut ini

tydtdy

dtyd sin522

2

, .1)0(,1)0( yy

Penyelesaian:

Seperti pada contoh sebelumnya, pertama kita melakukantransformasi Laplace pada kedua sisi persamaan diferensial,

][sin5][22

2

tydtdy

dtyd LLLL

15)(2)}0()({)}0()0()({ 2

2

ssYysYsyyssYs

Kemudian, masukkan harga-harga kondisi awal dan kumpilkansuku-suku yang sejenis, menghasilkan

152)()2( 2

2

sssYss

)1)(2(32)( 22

23

sssssssY (6.53)

Ruas kanan Pers. (6.53) dapat ditulis dalam bentuk fraksi pecahanberikut ini

121)1)(2(32

222

23

sDCs

sB

sA

ssssss

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan ini dengan),1)(2)(1( 2 sss didapatkan

263

)1)(1()1)(2(32 2223 ssBssAsss

)2)(1)(( ssDCs

Untuk menentukan A set 1s dan untuk menentukan B set.2s

1s : )0)(()0()2)(3(1 DCsBA

61A

2s : )0)(()5)(3()0(5 DCsBA

31B

Untuk menentukan harga C dan D masing-masing dipilih satuharga sembarang yang tidak membuat semua harga sama dengannol, tetapi dipilih yang menghasilkan harga-harga tersebut kecil.Misal set 0s untuk menentukan harga D dan set 1s untukmenentukan harga C.

0s : )2)(1()1)(1()1)(2(3 DBA

D2)1(31)2(

613

23

D

1s : )1)(2)(()2)(2()2)(1(3 DCBA

DCBA 22423

23)2(2

31)4(

61)2(3 C

264

21C


11

23

121

231

161)( 22

ss

sss

sY

Jadi penyelesaian persamaan diferensial order dua di atas adalah

11

23

121

21

31

11

61)( 2

12

111

sss

ssty LLLL

ttee tt sin23cos

21

31

61 2

Dari contoh-contoh ini kita dapat melihat bahwa transformasiLaplace dapat digunakan dalam menyelesaiakan persamaandiferensial linier tunggal dengan kondisi awal. Transformasi Laplacejuga dapat digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaandiferensial dengan koefisien konstan. Pertama kita harusmentransformasikan sistem persamaan diferensial menjadi sistempersamaan aljabar. Kemudian, kita selesaikan sistem persamaanaljabar tersebut. Akhirnya, dengan menggunakan transformasi Laplaceinvers terhadap fungsi-fungsi penyelesaian akan menghasilkanpenyelesaian dari sistem persamaan diferensial.

Contoh 6.20.

Selesaiakan sistem persamaan diferensial order satu berikut

yxdtdx 5 (6.54a)

265

yxdtdy 54 (6.54b)

dengan kondisi awalnya adalah 1)0( x dan .2)0( y

Penyelesaian:

Dengan menggunakan transformasi Laplace pada kedua sisi darikedua persamaan di atas, Pers. (6.54), menghasilkan

)(5)()0()( sYsXxsXs

)(5)(4)0()( sYsXysYs

Sekarang, masukkan kondisi awal dan sederhanakan persamaanyang dihasilkan, didapatkan

1)(5)()1( sYsXs (6.55a)

2)()5()(4 sYssX (6.55b)

Kedua persamaan ini, Pers. (6.55), dapat diselesaikan secarasimultan. Misalnya, kita dapat mengeliminasi variabel )(sYdengan mengalikan Pers. (6.55a) dengan )5( s dan Pers.(6.55b) dengan 5, kemudian kedua hasil persamaan tersebutdijumlahkan,

)5()()5(5)()5)(1( ssYssXss

10)()5(5)(20 sYssX

)5(10)(20)5)(1( ssXss

20)5)(1(5)(

ss

ssX

266

2565)( 2

ssssX (6.56)

2222 4)3(3

4)3(8)(

s

ss

sX (6.57)

Dengan menggunakan transformasi Laplace invers, didapatkan

22

122

11

4)3(3

4)3(42)]([

ss

ssX LLL

tetetx tt 4cos4sin2)( 33 (6.58)

Dengan menyisipkan )(sX dari Pers. (6.56) ke dalam Pers.(6.55b), menghasilkan

256

542)()5( 2 ssssYs

)256)(5(204

52)( 2

ssss

ssY (6.59)

Karena penyebut pada suku kedua dari ruas kanan Pers. (6.59)mengandung term kuadratik yang tidak dapat difaktorkanmenjadi faktor linier, maka suku kedua tersebut harusdidekomposisi secara fraksi parsial, yaitu

2565)256)(5(204

22

ss

CsBs

Asss

s

Bila kedua ruas dari persamaan ini dikali dengan),256)(5( 2 sss didapatkan

)5)(()256(204 2 sCsBssAs

267

set 5s : )0)(()253025(40 CsBA

2A

0s : )5)(()25(20 CA

)25)(2(205 C

6C

1s : )4)(()20(24 CBA

24)4)(6()20)(2(4 B

2B


25662

52

52)( 2

sss

sssY

22 4)3()3(2

s

s

Transformasi Laplace invers dari persamaan ini, menghasilkan

22

11

4)3(32)]([

sssY LL

tety t 4cos2)( 3

Jadi, penyelesaian dari Pers. (6.54) adalah

tetetx tt 4cos4sin2)( 33

tety t 4cos2)( 3

268

Cara lain: )(ty dapat juga diperoleh dengan menyisipkanpenyelesaian ),(tx Pers. (6.58), ke dalam persamaan pertamadari sistem persamaan diferensial orisinal, Pers. (6.54a):

xdtdxty )(5

tetetetedtd tttt 4cos4sin24cos4sin2 3333

tetetete tttt 4sin44cos34cos84sin6 3333

tete tt 4cos4sin2 33

tety t 4cos10)(5 3

tety t 4cos2)( 3

Contoh 6.21.

Selesaikan sistem persamaan diferensial order dua berikut

0332

2

ydtdy

dtxd (6.60a)

tetydt

xd 32

2

(6.60b)

dengan kondisi awalnya adalah ,0)0( x ,2)0( x dan .0)0( y

Penyelesaian:

Dalam masalah ini, kita tidak perlu merubah sistem persamaan diatas menjadi suatu sistem dari empat persamaan diferensial orderpertama. Karena metode transformasi Laplace dapat digunakanlangsung terhadap turunan-turunan dengan order lebih tinggi

269

melalui Pers. (6.13), dalam masalah ini dengan Pers. (6.12).Dengan menggunakan transformasi Laplace pada kedua sisi darikedua persamaan di atas, Pers. (6.60), menghasilkan

0)(3)0()(3)0()0()(2 sYysYsxxssXs

22

)1(1)(3)0()0()(

s

sYxxssXs

Dengan menyisipkan kondisi awal dan menyederhanakanpersamaan yang dihasilkan, didapatkan

2)()1(3)(2 sYssXs (6.61a)

22

)1(12)(3)(

s

sYsXs (6.61b)

Bila persamaan pertama kurang persamaan kedua akanmenghasilkan

2)1(1)(3

s

sYs

2)1(31)(

ss

sY (6.62)

22 )1(1)1(31

sC

sB

sA

ss

Bila kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan ,)1( 2ssdidapatkan

sCssBsA )1()1(31 2

set 0s : )0()0()1(31 CBA

270

31A1s : )1()0()0(31 CBA

31C

1s : )1()2()4(31 CBA

)31(2)34(31 B

31B

Jadi, Pers. (6.62) dapat ditulis menjadi

2)1(31

13131)(

ssssY (6.63)

Transformasi Laplace invers dari persamaan ini adalah

2

11

)1(1

111

31)]([

ssssY LL

tt etety 131)( (6.64)

Kemudian, sisipkan Pers. (6.63) ke dalam Pers. (6.61a) untukmendapatkan ),(sX

2

2

)1(31

13131)1(32)(

sssssXs

1112

ss

)1(112)( 232

ssss

sX (6.65)

271

1)1(1

22

sF

sE

sD

ss

Bila kedua ruas persamaan ini dikalikan dengan ),1(2 ssdidapatkan

2)1()1(1 sFssEsD

set 1s : )1()0()0(1 FED

1F

0s : )0()0()1(1 FED

1D

1s : )1()2()2(1 FED

1221 E

1E


111112)( 232 sssss

sX

11111)( 23

ssss

sX

Transformasi Laplace inversnya adalah

11111)]([ 23

11

sssssX LL

tetttx 121)( 2

272

Jadi, penyelesaian dari Pers. (5.40) adalah

tetttx 121)( 2

tt etety 131)(

6.6 RangkumanTransformasi Laplace adalah tipe khusus dari transformasi integral.Transformasi ini sangat berguna karena dapat menghilangkan tuturan-turunan dari persamaan diferensial dan menggantikannya denganpersamaan aljabar. Transformasi Laplace dapat didefinikan sebagaiberikut:

Sifat-sifat penting Transformasi Laplace adalah sebagai berikut:1. Sifat linier.2. Sifat pengubah skala.3. Transformasi Laplace dari turunan.4. Sifat perkalian dengan t.5. Transformasi Laplace dari integral6. Teorema shifting.

Transformasi Laplace Invers adalah Transformasi Laplace suatufungsi f(t) yang menghasilkan F(s), secara matematis dapat ditulisseperti berikut: f(t) disebut Transformasi LaplaceInvers dar F(s) dan dapat ditulis sebagai berikut:


).()]([ sFtf L

)()]([1 tfsF L

273

Ada beberapa cara menentukan Transformasi Laplace Invers, di-antaranya adalah

1. Penggunaan tabel.2. Metode-metode yang menggunakan teorema.3. Metode pecahan parsial.4. Metode konvolusi.5. Metode deret.6. Metode residu.

6.7 Soal-soal

6.1 Tentukan fungsi )(tf dari transformasi Laplace

a. 3)1(1ss

b.)4)(1( 22 ss

s

6.2 Buktikan bahwa transformasi Laplace dari complementaryerror function adalah sebagai berikut

L setaerfc sa /)4/(

6.3 A cascade of equivolume CSTRs are connected in series andunder linier kinetics to deplete species A in

productsADenoting )(tCn as the composision of A leaving the nth reactor,the material balance is

k

274

nnnn kVCqCqC

dtdCV 1

a. Introduce pertubation variables of the type

)(ˆ)( tCCtC nnn

and show that

1ˆˆ

ˆ nn

n CCdtCd

where

qkVq

;qkV

V

b. Take Laplace transforms and show that

c. Solve the linear of the finite difference equation byassuming a solution of the form

nn rAsC )()(ˆ

and show that

n

n ssCsC

1

)(ˆ)(ˆ0

1)(ˆ

)(ˆ 1

ssC

sC nn

275

where )(ˆ0 sC denotes the transform of the composition

perturbation entering the first reactor.

d. For the case of two reactors, show that the exitperturbation is

)/exp()/exp(1)(ˆ

02

2

tttCtC

where

10

GlossariumTransformasi Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakanpermasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dankeluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domainpengamatan ke domain pengamatan yang lain. Dalam matematikajenis transformasi ini merupakan suatu konsep yang penting sebagaibagian dari analisa fungsional, yang dapat membantu dalammelakukan analisa sistem invarian-waktu linier. Transformasi Laplacedari suatu fungsi f(t), yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan sebagai:


Dalam matematika, the inverse Laplace transform dari F(s) adalahfungsi f(t) yang didefinisikan sebagai

)()]([1 tfsF LIn mathematics, the (exponential) shift theorem is a theorem aboutpolynomial differential operators (D-operators) and exponentialfunctions. It permits one to eliminate, in certain cases, the exponentialfrom under the D-operators. The theorem states that, if P(D) is apolynomial D-operator, then, for any sufficiently differentiable

276

function y (baca di Bab 2),

There is a similar version of the shift theorem for Laplace transforms(t < a):

)()]([ asFtfe ta L

Daftar Pustaka

1. Boyce, W. E. and R. C. DiPrima, 2001, Elementary DifferentialEquations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc.,New York.

2. Kresyszig, E., 1993, Advanced Engineering Mathematics, 7th Ed.,John Wiley & sons, Inc., New York.


4. Ricardo, H.J., 2009, A Modern introduction to DifferentialEquations, 2nd Ed., Elsevier Academic Press, Canada.

5. Zill, D.G., 2005, First Course in Differential equations withModeling Applications, 8th Ed., Brooks/Cole-Thompson LerningInc. Canada.

277

INDEX

A

Antoine · 28

B

Bessel · 22, 56, 138, 139, 142,143, 145, 147, 148, 149, 150,151, 152, 153, 154, 155, 157,158, 164, 165, 166

D

Daftar Pustaka · 39, 91, 166, 183,225, 282

Derajat · 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49,84, 255

Deret · 94, 95, 97, 98, 99, 103, 104,105, 108, 113, 164, 165

deret pangkat · 93, 94, 95, 97, 98, 99,100, 101, 104, 108, 112, 113

E

Eksak · 49, 50Error Function · 168

F

Fungsi Beta · 178Fungsi Gamma · 172Fungsi Kesalahan · 168FUNGSI-FUNGSI In · 167

G

Glossarium · 38, 90, 165, 183, 224,275

H

Harga batas · 188, 189, 190, 192,218

Harga K · 29Homogen · 17, 37, 43, 46, 47, 48,

59, 61, 62, 68, 69, 85, 86, 90, 99,112, 187, 188, 189, 190, 207, 208,210, 211

Hukum Asosiatif · 76Hukum Distributif · 76Hukum Komutatif · 76Hukum Raoult · 28, 39Hukum-hukum kekekalan 2, 36

kekekalan energi ·2kekekalan mass · 2kekekalan momentum ·2

Hukum-hukum kesetimbangan· 3, 36

Hukum-hukum perpindahan · 2,36

I

Invers Operator · 78, 79

K

Kekekalan energi · 2, 36, 39Kekekalan massa · 2, 36, 38

278

Kesetimbangan fase · 3Kesetimbangan kimia · 3, 39Koefisien aktivitas · 29Komplementer · 61, 62, 66, 68, 71,

73, 74, 79, 93, 148, 170Kondisi batas · 63, 160, 188, 189,

190, 191, 192, 196, 198, 201, 203,206, 207, 208, 210, 211, 218, 219

Konvergensi · 94, 95, 96, 97, 101

L

Linier · 24, 27, 42, 43, 52, 53, 55,56, 58, 59, 60, 61, 62, 66, 68, 69,70, 71, 75, 84, 85, 90, 91, 93, 99,112, 164, 186, 187, 206, 208, 213,214, 224, 265, 270, 272, 278, 279,281

M

Metode Frobenius · 112Metode Invers Operator · 67, 75,

86Metode Pemisahan Variabel ·

208Metode Penyatuan Variabel ·

192

O

Operasi terhadap eksponensial· 77

Order · 42, 44, 52, 60, 158, 185

P

Partikulir, · 61, 66, 67, 68, 74Perpindahan massa · 2, 15, 16

Perpindahan momentum · 2, 13Perpindahan panas · 5, 14, 15, 19,

21, 22, 159, 162, 196, 202Perpindahan panas · 2, 14, 15, 20,

196Persamaan Arrhenius · 19Persamaan diferensial · 2, 11, 22,

24, 27, 36, 41, 44, 56, 67, 84, 85,86, 90, 93, 94, 99, 100, 102, 104,108, 112, 113, 115, 120, 127, 129,135, 138, 147, 148, 157, 159, 164,165, 167, 181, 185, 192, 206, 218,224, 228, 264, 265, 267, 269, 270,273, 274, 278

Persamaan diferensial parsia ·184

Persamaan eliptik · 186, 187Persamaan hiperbolik · 187Persamaan parabolik · 187Persamaan Sturm-Liouville ·

204, 206

R

Rangkuman · 35, 84, 164, 181,218, 277

Relatif volatiliti · 29

S

Sifat-Sifat Diferensial · 156Sifat-Sifat Integral · 157Soal-soal · 36 86, 164 181, 218

279

T

Teorema Shifting · 245, 247Transformasi Laplace · 228,

229, 232, 233, 235, 241, 247,

279

250, 254, 264, 270, 273, 276,277, 278, 281· 226

U

Undetermined Coefficients ·67

BAB 1 PERUMUSAN MATEMATIKA DARI MASALAH-MASALAH FISIKA …

Documents

Transcript of BAB 1 PERUMUSAN MATEMATIKA DARI MASALAH-MASALAH FISIKA …