Post on 26-Feb-2018
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
1/22
MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK, MODEL ELEKTRON
BEBAS TERKUANTISASI DAN PITA ENERGI
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Pengantar Fisika Zat Padat
Disusun oleh :
AJI SAPUTRA
NIM 120210102069
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2016
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
2/22
BAB I. PENDAHULUAN
1.1 Latar B!a"a#$
Fisika zat padat adalah ilmu yang mempelajari secara spesifik mengenai
kristal dan elektron didalam kristal. Pengetahuan tentang kristal mulai ditekuni
pada awal abad ke-! yang diikuti dengan ditemukannya difraksi sinar-". #ogam
merupakan salah satu dari sekian banyak macam-macam zat padat. #ogam
memegang peranan penting dalam kehidupan manusia$ misalnya besi dalam
produksi otomobil$ tembaga untuk penghantar listrik dan lain-lain. %mumnya
logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi$ kerapatan tinggi$ kondukti&itas listrik
baik$ kondukti&itas termal baik dan daya refleksi tinggi. 'elah diketahui banyak
sifat fisik yang dimiliki dari logam tidak hanya logam sederhana$ namun juga
berkaitan dengan model elektron bebas. (enurut model ini$ elektron &alensi dari
suatu unsur atom menjadi elektron konduksi dan bergerak bebas pada keseluruhan
&olume logam. )ahkan ketika logam memiliki model elektron bebas$ distribusi
pengisian elektron konduksi menggambarkan kekuatan potensial elektrostatik dari
inti ion. *egunaan dari model elektron bebas pada dasarnya merupakan sifat yang
bergantung pada sifat kinetik dari elektron konduksi.
Penjelasan mengenai sifat logam dalam hal ini gerak elektron bebas telah
lama dikembangkan sebelum ditemukannya mekanika kuantum. 'eori klasik
memiliki beberapa keberhasilan$ terutama penurunan dari +ukum ,hm dan
hubungan antara daya hantar listrik dan panas. 'eori klasik tidak dapat
menjelaskan kapasitas panas dan kelemahan sifat kemagnetan yang dimiliki
elektron konduksi. +al ini bukan merupakan kegagalan dari model elektron
bebas$ tetapi kegagalan pada fungsi distribusi klasik (awell/. 0elanjutnya adalah
kesulitan dengan model klasik. Dari banyak jenis percobaan mengenai elektron
konduksi dari logam yang dapat bergerak secara bebas pada banyak lintasan lurus
atom$ tubrukan elektron konduksi terjadi satu sama lain atau bahkan tubrukan
dengan inti atom. Pada temperatur rendah$ lintasan bebas antar atom akan
sepanjang 12lebih dari cm/. (engapa zat yang terkondensasi secara transparan
akan menjadi elektron konduksi3 0ifat inilah yang dibahas pada 4sas Pauli. 5as
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
3/22
Fermi elektron bebas akan menjelaskan bagaimana elektron bebas pada gas
dengan menggunakan 4sas Pauli.
Penelitian pada elektron dalam logam terus berlanjut untuk mencari solusi
dan menyempurnakan dari kekurangan penelitian-penelitian sebelumnya. %ntuk
itu perlu kita mengetahui bagaimana perkembangan teori elektron dalam logam
mulai dari model elektron bebas klasik$ model elektron bebas terkuantisasi dan
teori pita energi.
1.2 R%&%'a# Ma'a!a(
)erdasarkan latar belakang diatas$ maka rumusan masalah yang dapat
diambil untuk penelitian ini adalah sebagai berikut :1. )agaimana teori model elektron bebas klasik3
2. )agaimana teori model elektron bebas terkuantisasi3
). )agaimana teori pita energi3
1.) T%*%a#
)erdasarkan latar belakang dan rumusan masalah diatas$ penelitian ini
bertujuan untuk :
. (enjelaskan teori model elektron bebas klasik.
6. (enjelaskan teori model elektron bebas terkuantisasi.
7. (enjelaskan teori pita energi.
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
4/22
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 T+r M+-! E!"tr+# Ba' K!a'"Pada tahun !11 Drude berpostulat bahwa logam adalah terdiri atas pusat-
pusat cores/ ion positif dengan elektron &alensi yang bebas bergerak di antara
pusat-pusat ion tersebut. 8lektron-elektron &alensi tersebut dibatasi untuk
bergerak di dalam logam akibat adanya gaya tarik elektrostatis antara pusat-pusat
ion positif dengan elektron-elektron &alensi tersebut. (edan listrik di seluruh
bagian dalam logam ini dianggap konstan$ dan gaya tolak antara elektron-elektron
tersebut diabaikan. 'ingkah laku elektron-elektron yang bergerak di dalam logam
dianggap sama dengan tingkah laku atom atau molekul di dalam gas mulia.
*arena itu$ elektron-elektron ini juga dianggap bebas dan sering disebut gas
elektron bebas. Dan teori yang membahas gas elektron bebas ini sering disebut
model gas elektron bebas. 9amun demikian$ sesungguhnya gas elektron bebas
adalah dalam beberapa hal berbeda dengan gas biasa. Perbedaan pertama adalah
bahwa gas elektron bebas adalah bermuatan negatif$ sedangkan molekul-molekul
dari gas biasa adalah netral. *edua$ konsentrasi elektron bebas dalam gas elektron
bebas adalah jauh lebih besar dari pada konsentrasi molekul dalam gas biasa.
8lektron &alensi sering juga disebut sebagai elektron konduksi dan juga
mematuhi prinsip Pauli. 8lektron-elektron ini bertanggung jawab atas hantaran
arus listrik di dalam logam. *arena elektron-elektron konduksi bergerak di dalam
medan elektrostatis serbasama uniform/ yang ditimbulkan oleh pusat-pusat ion$
maka energi potensialmereka tetap konstan dan sering dianggap sama dengan
nol. 4rtinya keberadaan pusat-pusat ion diabaikan. Dengan demikian$ energi
elektron konduksi sama dengan energi kinetiknya saja. Dan juga karena gerakanelektron konduksi dibatasi hanya di dalam logam$ maka energi potensial sebuah
elektron di dalam logam adalah lebih kecil dari pada energi potensial sebuah
elektron yang berada tepat diluar permukaan logam. Perbedaan energi potensial
ini berfungsi sebagai penghalang dan menyebabkan elektron-elektron di dalam
logam tidak dapat keluar meninggalkan permukaan logam tersebut. ,leh karena
itu$ dalam model gas elektron bebas$ gerakan dari elektron-elektron bebas di
dalam sebuah logam adalah sama dengan gerakan sebuah gas elektron bebas di
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
5/22
dalam sebuah kotak energi potensial. 8lekton konduksi yang kita bicarakan
sekarang ini adalah elektron konduksi di dalam logam yang belum diberi sumber
tegangan beda potensial/.
Dengan mengacu pada postulat Drude$ yaitu gas elektron bebas bertingkah
seperti gas mulia$ pada tahun !1! +. 4. #orentz berpostulat bahwa elektron-
elektron yang menyusun gas elektron bebas dalam keadaan ekuilibirum mematuhi
statistika (awell-)oltzmann. *edua postulat ini sering dipadukan dan sering
disebut Teori Drude-Lorentz. Dan karena teori ini didasarkan pada statistika klasik
(awell-)oltzmann$ teori ini pun disebut Teori Klasik. (odel elektron bebas
klasik tentang logam mengambil asumsi sebagai berikut :a *ristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif yang
membentuk kisi kristal/ dan elektron yang bebas bergerak dalam &olume
kristal.
b 8lektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas$ yang masing-masing
bergerak secara acak dengan kecepatan termal seperti molekul dalam gas
ideal tidak ada tumbukan$ kecuali terhadap permukaan batas/.
c Pengaruh medan potensial ion diabaikan$ karena energi kinetik elektron bebas
sangat besar.d 8lektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial di
permukaan batas.
(eskipun teori ini bersifat klasik$ namun teori ini telah berhasil digunakan
untuk menjelaskan beberapa sifat logam. 0ebagai contoh$ teori ini berhasil
membuktikan keabsahan hukum ,hm. Di samping itu$ karena elektron bebas
dapat dengan mudah bergerak di dalam logam$ beberapa logam menunjukkan
adanya kondukti&itas listrik dan kondukti&itas panas yang tinggi. 9amun
demikian$ ratio antara kondukti&itas listrik ;/ terhadap kondukti&itas panas
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
6/22
fungsi akar kuadrat dari temperatur$ T $ dimana ' = temperatur. Padahal
sesungguhnya$ resisti&itas listrik merupakan fungsi linier dari temperatur.
*egagalan lainnya adalah tentang kapasistas panas elektron konduksi dan
suseptibilitas paramagentik elektron konduksi. 'eori ini gagal menjelaskan
kapasitas panas elektron konduksi dan suseptibilitas paramagentik elektron
konduksi. *apasitas panas dan suseptibilitas paramagnetik yang dihitung oleh
teori ini adalah lebih besar dari pada nilai-nilai yang diamati secara eksperimen.
2.2 T+r M+-! E!"tr+# Ba' Tr"%a#t'a'
0ommerfeld memperlakukan elektron &alensi elektron konduksi/ yang
bebas bergerak itu secara kuantum mekanik$ yaitu dengan cara menggunakan
statistika kuantum Fermi-Dirac$ dan bukannya statistika klasik Maxwell-
Boltzmann. *arena itu$ tingkat-tingkat elektron di dalam kotak energi potensial
ditentukan dengan menggunakan statistika kuantum. 0elanjutnya marilah kita
bahas 5as 8lektron )ebas di kotak satu dimensi. (isalkan 0ebuah elektron yang
bermassa m bebas bergerak di dalam kristal satu dimensi yang panjangnya #.
8lektron tersebut tidak dapat meninggalkan kristal akibat adanya potensial
penghalang yang sangat tinggi pada permukaan kristal. Dengan demikian$
masalahnya menjadi adalah sama dengan sebuah elektron yang bergerak di dalam
kotak energi potensial satu dimensi yang biasa digambarkan oleh sebuah garis
yang dibatasi oleh energi potensial penghalang yang tingginya tak-hingga$ seperti
ditunjukkan pada 5ambar . 8nergi potensial di dalam kotak kita misalkan sama
dengan nol$ sehingga kita memiliki >/ sebagai berikut :
V(x )=0untuk0
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
7/22
5ambar . *otak energi potensial satu dimensi yang tingginya tak-hingga. *ita
misalkan sebuah elektron yang bermassa m ditempatkan di dalam
kotak tersebut. Fungsi gelombang dan tingkat energinya ditentukan
dari persamaan 0chrodinger.
dimana 8nmenyatakan energi kinetik elektron yang berada pada tingkat ke-n$ >
menyatakan energi potensial elektron$ dan @n menyatakan fungsi gelombang
elektron di tingkat ke-n. *arena di dalam kotak energi potensial > = 1$ maka
persamaan ? menjadi :
d2n
dx2+
2m
2(En )n=0 A/
0olusi umum untuk persamaan A/ di atas memiliki bentuk :
n (x )=A sinkx+B coskx B/
dimana 4 dan ) adalah konstanta sembarang yang dapat ditentukan dari syarat
batas. Persamaan A/ dapat ditulis secara lebih sederhana sebagai berikut :d
2n
dx2+k2n=0 C/
Dengan demikian kita dapat melihat bahwa nilai k harus sama dengan :
k=2mEn
2 2/
*arena kedalaman kotak ini adalah tak-hingga$ maka kita tidak mungkin
menemukan elektron di luar kotak. +al ini berarti bahwa di luar kotak @n/ = 1.
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
8/22
0edangkan pada = 1 dan = #$ @n/ harus kontinyu. Dengan demikian$ pada
= 1 persamaan B/ menjadi :0=0+B cos0
atau ) = 1. adi Fungsi gelombang yang kita peroleh dari persamaan B/ di atas
adalah :
n (x )=A sinkx !/
'etapi karena untuk = # pun @n/ = 1$ maka dari persamaan !/ kita peroleh0=A sin kL
atau sin k# = 1. +al ini berarti bahwa :
k# = nE
atau k = nE#. 1/
Disini n = $ 6$ 7$ ?$ GG 'etapi k = 6EHn. adi dari persamaan 1/ kita dapat
menulis
6EHn= nE#. /
atau
# = nHn6 6/
Dengan demikian persamaan !/ dapat kita tulis sebagai berikut :
n (x )=A sin (n/L)x 7/
Persamaan / ini merupakan fungsi gelombang elektron di dalam sebuah kotak
energi potensial yang tingginya tak-hingga. 8nergi kinetik elektron yang berada di
tingkat ke n dapat kita hitung dari persamaan 2/ dan 1/ di atas. +asilnya adalah
sebagai berikut :
En=
2
2m (n
L)2
=n2
2
2
2m L2 ?/
*arena=
h
2 $ maka persamaan ?/ dapat kita tulis sebagai berikut:
En= 2
2m (nL)
2
= n2
2
2
2m L2 = n
2
h
2
8m L2 A/
Dari persamaan A/ kita lihat bahwa tingkat energi 8n/ elektron yang berada di
dalam kotak energi potensial yang kedalamannya tak hingga adalah terkuantisasi
dan bergantung pada n6untuk # tertentu.
ika fungsi gelombang yang ditunjukkan oleh persamaan 7/ dinormalisasi$ maka
kita dapat menentukan nilai A=2
L
.
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
9/22
adi fungsi gelombang yang dinyatakan oleh persamaan 7/ di atas dapat kita
tulis secara lengkap sebagai berikut :
n (x )=2
Lsin(n/L)x B/
Persamaan B/ menyatakan fungsi gelombang yang sudah di normalkan. 4rtinya$
total peluang untuk menemukan partikel di dalam kotak itu akan sama dengan
atau 11I/. (odel elektron bebas terkuantisasi mengambil asumsi sebagai
berikut :
a. *ristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip
yang membentuk kisi kristal/ dan elektron bebas yang bergerak dalam&olume kristal.
b. 8lektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum$ yaitu mempunyai
energi terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli$ yang secara menyatu
dirangkum dalam ungkapan rapat elektron
dn = n8/ d8 = f8/ g8/ d8.
c. Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron
bebas sangat besar.
d. Pada permukaan batas antara logam dan &akum yang mengelilinginya
terdapat suatu potensial penghalang J yang harus diloncati oleh elektron bebas
paling energetik pada suhu '=1 * energi 8F/ untuk dapat meninggalkan
permukaan batas logam.
2.) T+r Pta E#r$
0etiap padatan mengandung elektron. *ristal menjadi insulator jika salah
satu pita energinya terisi atau kosong$ sehingga tidak ada elektron yang berpindah
dalam medan listrik. 0ebuah kristal menunjukkan reaksi seperti metal jika salah
satu pita terisi sebagian$ sekitar 1 dan !1 persen bagian. *ristal adalah
semikonduktor jika satu atau dua pita memiliki bagian tipis atau kosong.
%ntuk memahami perbedaan antara insulator dan konduktor$ kita harus
memperluas model elektron bebas untuk menghitung periodisitas kisi-kisi
padatan. *ita akan menemui hal lain yang sungguh luar biasa yang dimiliki
elektron di dalam kristal.
Model Elektron Bebas Terdekat
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
10/22
(odel elektron bebas memenuhi jumlah distribusi yang pada dasarnya terus
menerus berawal dari nol hingga tak terhingga. 'elah diketahui bahwa:
k=
2
2m(kx
2+ky2+kz
2) C/
Dimana$ untuk kondisi batas periodik sebuah kubus berukuranL$
kx , ky , kz=0;2
L ;
4
L K G..
Fungsi gelombang elektron bebas$ persamaannya sebagai berikut
k( )=exp ( !k . ) ;
yang mewakili gelombang berjalan dengan momentum "= k
0truktur pita merupakan sebuah kristal yang seringkali dapat menjelaskan
model elektron bebas terdekat karena pita elektron diperlakukan sebagai pengusik
oleh potensial periodik pada inti ion saja. Lefleksi )ragg merupakan ciri khas
penyebaran gelombang dalam kristal. Lefleksi )ragg gelombang elektron dalam
kristal adalah penyebab celah energi. Melah energi dapat menentukan secarasignifikan dalam penentuan apakah zat padat merupakan insulator ataukah
konduktor.
*ondisi )ragg k+G/6=k6 untuk gelombang difraksi gelombang &ektor
dalam satu dimensi.
k=
1
2#=n
a
dimana #=2 na adalah kisi resiprokal &ektor dan n adalah bilangan
bulat. Lefleksi pertama dan celah energi pertama terbentuk padak=
a . Pada
bagian ini k di antaraa adalah zona )rillouin kisi. Melah energi lainnya
terjadi untuk nilai bilangan nlainnya.
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
11/22
Fungsi gelombang pada k=
a bukanlah gelombang berjalan ep
!x
a / atau ep !
x
a / elektron bebas. Dimana nilai khusus untuk kfungsi
gelombang membuat persamaan bagian perjalanan gelombang untuk bagian kanan
dan kiri.
Pernyataan tidak terikat waktu direpresentasikan oleh gelombang berdiri.
*ita dapat menuliskan persamaan dua gelombang berdiri yang berbeda dari
gelombang berjalanexp (
!kx
a )
yaitu :
+ = epix!a/ N ep-ix!a/ = 6 cos x!a/K 2/
= epix!a/ - ep-ix!a/ = 6isin x!a/. !/
Asal Mula Celah Energi
5elombang berdiri diberi tanda N/ atau -/ bergantung kepada
berubah atau tidak nya gelombang tersebut ketika - disubstitusikan pada .
*edua gelombang berdiri tersebut terbentuk dari jumlah yang sama dari
gelombang berjalan ke arah kiri dan kanan.
"N/ = O+ O6 cos6x!a 61/
5ambar 7a menggambarkan &ariasi dari energi potensial elektrostatis dari
sebuah elektron konduksi di dalam medan positif dari ion inti. on ini menyangga
muatan positif karena atom terionisasi di dalam logam$ dengan elektron &alensi
yang diambil untuk membentuk pita konduksi. 8nergi potensial dari elektron di
dalam medan ion positif adalah negatif sehingga gaya diantara elektron tersebut
adalah tarik menarik.
%ntuk gelombang berdiri yang lain$ kemungkinan kerapatanya adalah :
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
12/22
"-/ = O O6 sin6x!a 6/
dimana fokus dari elektron terpisah dari ion inti.
Besarnya Celah Energi
Fungsi panjang gelombang pada batas wilayah )rillouin zonek=
a
adalah 2cos
x
a dan2sin
x
a dinormalisasikan pada satuan panjang atau
garis. (isalkan besar energi potensial elektron dalam kristal pada titik adalah :
%(x)=%cos 2x
a 66/
Perbedaaan energi orde pertama antara dua gelombang berdiri dinyatakan oleh :
+
dx%(x )
E&=0
1
67/
cos2
(2xa)( x /asin 2 x /a)=%dx%cos E&=2
6?/
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
13/22
Dapat dilihat bahwa celah sama dengan komponen Fourier dari potensial kristal.
Fungsi Bloch
Fungsi )loch membuktikan bahwa solusi untuk persamaan 0chrodinger
pada potensial periodik harus berbentuk:
k( )=%k( ) exp(!k . ) 6A/
Dimana %kr/ mempunyai periode kristal lattice dengan %kr/ = %kr N'/ dengan
' adalah &ektor sisi translasi. Persamaan diatas mengungkapkan teorema )loch :
Fungsi #igen dari persamaan gelom$ang untuk potensial periodik
mempun%ai hasil dari $idang gelom$ang eksp& 'ik & r( )ungsi waktu *k 'r(
dengan periodisitas kisi kristal&
Fungsi gelombang one-elektronpada persamaan disebut fungsi bloch dan
dapat didekomposisikan dalam jumlah gelombang berjalan. Fungsi )loch dapat
dikumpulkan dalam bentuk gelombang paket-paket mewakili elektron elektron
yang menyebar secara bebas melalui medan potensial dari inti ion.
'eorema )loch &alid jikak nondegenerasi yaitu ketika tidak ada
fungsi gelombang dengan energi yang sama dan &ektor gelombangnyak .
8nergi potensial piriodik di a dengan %/ =% N sa/ dimana s adalah bilangan
bulat.
%ntuk mencari solusi persamaan gelombang dapat dibantu oleh garis
simetri cincin sehingga:
(x+a )='(x ) 6B/
dimana M konstan$ sehingga disekitar cincin adalah
(x+(a )=(x )='((x) 6C/
*arena (x ) harus bernilai tunggal. M adalah satu dari akar dari kesatuan atau
'=exp( !2 sx(a ); s=0,1,2,) , (1
*ita gunakan persamaan diatas
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
14/22
(x )=%k(x ) exp( !2 sx(a ) 62/Model Kronig Penney
Potensial periodik dari persamaan gelombang dapat dipecahkan dalam fungsi
dasar sQuare-well array seperti gambar dibawah. Persamaan gelombangnya
adalah:
2
2m
d2
dx2+%(x )= 6!/
Dimana %/ adalah energi potensial dan R adalah nilai energi eigen.
Pada daerah 1 S S a dimana %=1$ fungsi eigen adalah kombinasi linier
=A * !+x+B*!kx 71/
Pada bidang gelombang berjalan kekiri dan kanan dengan energi
=2+
2
2m 7/
Pada daerah b S S1 dengan solusi pembatasnya dalam bentuk=' *x+-*x , 76/
Dengan
%0=2
2
2m 77/
*ita membutuhkan solusi yang lengkap untuk mendapatkan bentuk )loch.
Dengan demikian$ solusi pada daerah a S x S a N $harus dihubungkan dengan
solusi dalam daerah$SxS 1 dengan teorema )loch:
aSxS a N $/ =
-$SxS 1/ eikaN $/ 7?/
*onstanta, B . Ddipilih sehingga dan d dxkontinu padax=
1 danx= a. 'erdapat kondisi batasan mekanika kuantum yang luar biasa dalam
masalah yang melibatkan sumur potensial kuadrat. Padax= 1$
, + B + . + D K
iK, B/ = /'. D(
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
15/22
Padax 0 a untuk a/ ke bawah sawar sampai '-$($
,eiKa+ Be-iKa0 '.e-/$+ De/$( eik'a + $(K 7A/
iK',eiKa Be-iKa( 0 /'.e-/$ De/$( eik'a+$( 7B/
Persamaan C/ sampai 61/ memiliki solusi hanya jika determinan
koefisien, B . Dhilang$ atau jika
T/1 K1/6/KU sinh /$sinKaN cosh /$ cosKa= cos k'a + $( 7C/
+asilnya menjadi sederhana jika kita melambangkan potensial dengan
fungsi delta periodik yang didapatkan ketika kita melalui limit $= 1 dan *2= V$
sedemikian sehingga /1
$a!1 =3$ besaran terbatas. Pada limit /SS K dan /$ SS
. 0ehingga 6a/ berkurang menjadi
'3!Ka( sinKaN cosKa = cos ka 72/
LentanganKagar persamaan ini memiliki solusi pada 5ambar A$ untuk kasus 3 0
76. 9ilai energi yang sama di plot pada 5ambar B. >ektor gelombang k dari
fungsi )loch merupakan indeks yang penting.
Persamaan Gelombang Elektron pada Potensial Periodik
Lata-rata bentuk yang diharapkan sebagai solusi persamaan 0chrWdingerterjadi jika &ektor gelombang terletak pada batas daerah$ yaitu k 0 !a. (isalkan
*'x(merupakan energi potensial elektron kisi linier dari konstanta kisi a. *ita
ketahui bahwa energi potensial in&arian pada translasi kisi kristal: *'x(= *'x +
a(. Fungsi in&arian pada translasi kisi kristal diperluas menggunakan deret Fourier
dalam &ektor kisi resiprok G. Deret Fourier untuk energi potensial sebagai
berikut:
%(x)=
#%
#*
!#x
7!/
9ilai koefisien *G untuk potensial kristal sebenarnya bergantung pada
pengurangan secara cepat dengan peningkatan besaranya G. %ntuk potensial
coulomb lugas *Gberkurang menjadi G6.
*ita inginkan energi potensial *'x(untuk menjadi fungsi real:
%(x)=#>0
%#(*!#x+*!#x )=2
#>0
%#cos#x?1/
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
16/22
%ntuk meyakinkan$ diasumsikan bahwa kristal simetris sekitarx 0 1 dan *2= 1.
Persamaan gelombang sebuah elektron dalam kristal adalah
= 4
$ dimana . merupakan +amiltonian dan 4merupakan nilai egen. 0olusi
disebut fungsi eigen atau fungsi orbital atau )loch. 0ecara eksplisit$
persamaan gelombangnya adalah
( 12m"2+%(x ))(x )=( 12m"2+# %#*!#x)(x )= (x ) ?/
Fungsi gelombang x/ dinyatakan sebagai penjumlahan deret Fourier
semua nilai &ektor gelombang yang dilegalkan oleh adanya kondisi batas$
sehingga
=
k
'(k)*!kx$ ?6/
Dimana k real. *ita menuliskan indeks k sebagai subskrip G dengan sama
baiknya$ seperti Gk/.
*umpulan nilai kmemiliki bentuk 6nL$ karena nilai-nilai ini memenuhi
kondisi batas periodik selama panjangL. 0ifat translasi x/ dideterminasikan
oleh teorema )loch
'idak semua set gelombang &ektor2 n
L termasuk Fourier yang
merupakan perluasan salah satu fungsi )loch. ika salah satu &ektor gelombang k
termasuk dalam @$ maka semua &ektor gelombang lainnya di Fourier merupakan
perluasan @. ika salah satu &ektor gelombang k termasuk dalam @$ maka semua
&ektor gelombang lainnya di Fourier merupakan perluasan @ hal ini akan
memiliki bentuk k+# $ dimana 5 adalah &ektor kisi resiprokal.
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
17/22
*ita mendapatkan bahwa @ sebagai fungsi gelombang yang berisi sebuah
komponen k sebagai k atau sama dengan k+# . >ektor gelombang
berjalank+# di atas 5 yang dibatasi subset dari set 2n/L $
*ita biasanya harus memilih sebuah label untuk fungsi )loch bahwa k
yang terletak dalam zona )rillouin pertama. 0ituasi ini berbeda dengan masalah
phonon. Permasalahan elektron seperti permasalahan difraksi sinar- karena
medan elektromagnetik ada dimana-mana dalam kristal dan tidak hanya pada ion.
%ntuk menyelesaikan persamaan gelombang$ substitusi 6A/ dalam 6?/
untuk mendapatkan satu set persamaan aljabar linear untuk koefisien Fourier.
Persamaan energi kinetik
1
2m"
2(x )=
1
2m (!ddx )2
(x )=2
2m
d2
dx2=
2
2m
k
k2'(k)*!kx ?7/
Dan persamaan energi potensial
(# %# *
!#x
)(x )=# k %#*
!#x
'(k)*!kx
??/
Persamaan gelombang diperoleh sebagai jumlah
k
2
2mk
2'(k) *!kx+
#
k
%# '(k)*!( k+# )x=
k
'(k)*!kx ?A/
0etiap komponen Fourier harus memiliki koefisien yang sama pada kedua
sisi persamaan. 0ehingga
?B/
Dengan notasi /k=2
k2/2m
Pita Energi dan Energi Elektron dalam Atom
Dalam suatu susunan atom terisolasi kumpulan atom di
dalamnya mempunyai jarak antaratom yang tidak berhingga
(/k )'(k)+#
%# '(k# )=0
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
18/22
besarnya. Energi elektron dalam setiap atom bersifat diskrit, dan
sesungguhnya atom dalam keseluruhannya bukanlah merupakan
suatu sistem sis. Tingkat energi atom yang diskrit tersebut
dinamakan tingkat 1s, 2s, 2p dan seterusnya. Setiap atom
merupakan sistem tersendiri, tanpa interaksi dengan atom lain.
Atom yang terisolasi ini, masingmasing memiliki banyak
keadaan elektron yang sama energinya. Apabila kemudian jarak
antaratom berkurang, maka mulai terjadi interaksi antaratom
dan fungsi gelombang elektron mulai saling bertindihan. !nteraksi
tersebut menyebabkan harga energinya berubah. Se"ara
keseluruhan atom tersusun menjadi satu sistem sis dan harus
mengikuti kaidah yang menyangkut sistem sis. #isalnya, prinsip
$auli yang melarang dua elektron atau lebih mempunyai harga
energi yang tepat sama. %leh karena itu terjadi pelebaran dari
harga diskrit energi elektron &atom terisolasi' menjadi harga pita
energi elektron. (erdasarkan prinsip larangan, tiap tingkat energi
tersedia bagi dua elektron dengan spin berla)anan. %leh karena
itu pita energi suatu *at padat yang terdiri dari + atom akan
tersedia + tingkat energi atau paling banyak boleh berisikan 2+
elektron. arena + besar sekali, yakni , maka tingkattingkat
energi tersebut saling merapat satu sama lain membentuk pita
energi. $ita energi terdiri dari kumpulan tingkat energi yang
memiliki jarak antartingkat berdekatan sangat ke"il sehinggadistribusinya kontinu. #isalnya, lebar pita energi - e memiliki
jarak antartingkat berdekatan e. /adi pada suatu kristal
terdapat banyak pita energi yang masingmasing sesuai dengan
tingkat energi atom penyusun kisi tersebut. #isalnya, tingkat
energi 1s, 2s, dan 2p masingmasing menimbulkan pita 1s, 2s,
dan 2p.
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
19/22
$erhatikanlah "ontoh kristal 0ithium dalam gambar berikut.
Setiap atom 0i mengandung tiga elektron, yaitu 2 elektron
mengisi sel 2s dan 1 elektron dalam sel 2s &tidak penuh'. $ita 2s
dan 2p masingmasing mempunyai kapasitas 2+ dan +
elektron. Terlihat bah)a lebar pita bertambah saat konstanta kisi
menge"il. /uga, untuk aao &dimana ao adalah radius (ohr
seharga 3,-4 5' pelebaran pita 2s dan 2p mulai o6erlap, dan
"elah antara keduanya melenyap sehingga terbentuk pita
tunggal dengan kapasitas 7+. Tetapi pita tunggal ini hanya
berisikan + elektron yang berasal dari pita 2s saja, atau hanya
seperdelapan dari kapasitasnya. arena pita 6alensinya hanya
terisi sebagian, maka kristal 0i termasuk kelompok logam.
$itapita energi memang berke"enderungan o6erlap satu
sama lain. Selain pita 2s dan 2p seperti di atas, pita yang
berke"enderungan o6erlap adalah 4s dan 4p yang berkapasitas
7+8 9s, 4d dan 9p yang berkapasitas 17+8 -s, 9d dan -p yang
berkapasitas 17+8 s, 9f, -d dan p yang berkapasitas 42+8 serta
:s, -f, d dan:p yang berkapasitas 42+. Sebagai "ontoh berikut
disajikan unsur )olfram &;'.
Dalam sistem periodik unsur ; termasuk golongan !A dan
memiliki nomor atom :9 dengan kongurasi elektron .
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
20/22
bisa berperan sebagai hole. #eskipun pada dasarnya bentuk
solusi fungsi gelombang menuruti teorema (lo"h, namun dalam
meme"ahkan persamaan S"hrodinger, dengan pendekatan
tentang model potensial berkala, memberikan berbagai metode,
antara lain sebagai berikut.
a. Metode L.,5 'linear 6om$ination o) atomi6 or$itals( dimana spektrum
energi elektron dalam *at padat diperoleh dengan
mengandaikan adanya sedikit tumpangtindih dari potensial
atom yang terpisah. $otensial atom yang begitu kuat
menyebabkan elektron hanya bergerak di sekitar atom yang
bersangkutan. #odel ini merupakan pendekatan kasar
terhadap pita sebelah dalam, yaitu pita 4d logam transisi.b. Model elektron hampir $e$as dimana diandaikan bah)a potensial
berkala agak rendah8 atau dimana tumpangtindih dari
potensial atom sangat besar. arena potensial begitu lemah,
maka elektron berperilaku seperti elektron bebas dan model ini
dibahas dengan metode perturbasi. #odel ini merupakan
pendekatan kasar terhadap pita 6alensi logam sederhana,
seperti +a, , Al dan lainlain.". Metode sel '6ellular method( yang dikembangkan oleh ;ignerSeit*.
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
21/22
BAB III. KESIMPULAN
(odel elektron bebas klasik tentang logam mengambil asumsi sebagai
berikut : / kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif
yang membentuk kisi kristal/ dan elektron yang bebas bergerak dalam &olume
kristal$ 6/ elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas$ yang masing-masing
bergerak secara acak dengan kecepatan termal seperti molekul dalam gas ideal
tidak ada tumbukan$ kecuali terhadap permukaan batas/$ 7/ pengaruh medan
potensial ion diabaikan$ karena energi kinetik elektron bebas sangat besar$ ?/
elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial dipermukaan batas.
8lektron sebagai partikel kuantum harus memenuhi :/ prinsip eksklusi
larangan/ Pauli$ yaitu setiap keadaan elektron dengan energi tertentu hanya dapat
ditempati oleh dua buah elektron dengan spin yang berlawanan$ 6/ probabilitas
menempati suatu keadaan tertentu sesuai dengan statistik Fermi-Dirac.
Pita energi adalah kumpulan garis pada tingkat energi yang sama akan
saling berimpit dan membentuk pita. 'ingkat-tingkat energi pada digambarkan
dengan cara yang sama dengan atom tunggal. nteraksi antar atom pada kristal
hanya terjadi pada elektron bagian luar sehingga tingkat energi elektron pada orbit
bagian dalam tidak berubah. )erdasarkan asas Pauli$ dalam suatu tingkat energi
tidak boleh terdapat lebih dari satu elektron pada keadaan yang sama$ maka
apabila ada elektron yang berada pada keadaan yang sama akan terjadi pergeseran
tingkat energi sehingga tidak pernah ada garis garis energi yang bertindihan.
7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)
22/22
DAFTAR PUSTAKA
*ardiawarman$ 61?.Modul 7 Fisika 8at 3adat. )andung : %P.*elas ). 617.3ita #nergi. (alang : %ni&ersitas 9egeri (alang.
*rane$ *enneth. 6112.Fisika Modern. akarta : % Press.
#esmono$ 4lbertus D.$ 61B.#lektron Be$as dalam Logam. ember : %nej.
Prasetyowati$ Lita. 616.3ita #nergi. Xogyakarta : %9X.
0antika$ 5ede D.$ 61?. Model #lektron Be$as dalam Logam. Denpasar :
%ndiksha.