120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)

7/25/2019 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)

1/22

MODEL ELEKTRON BEBAS KLASIK, MODEL ELEKTRON

BEBAS TERKUANTISASI DAN PITA ENERGI

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Pengantar Fisika Zat Padat

Disusun oleh :

AJI SAPUTRA

NIM 120210102069

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2016


2/22

BAB I. PENDAHULUAN

1.1 Latar B!a"a#$

Fisika zat padat adalah ilmu yang mempelajari secara spesifik mengenai

kristal dan elektron didalam kristal. Pengetahuan tentang kristal mulai ditekuni

pada awal abad ke-! yang diikuti dengan ditemukannya difraksi sinar-". #ogam

merupakan salah satu dari sekian banyak macam-macam zat padat. #ogam

memegang peranan penting dalam kehidupan manusia$ misalnya besi dalam

produksi otomobil$ tembaga untuk penghantar listrik dan lain-lain. %mumnya

logam memiliki sifat kekuatan fisik tinggi$ kerapatan tinggi$ kondukti&itas listrik

baik$ kondukti&itas termal baik dan daya refleksi tinggi. 'elah diketahui banyak

sifat fisik yang dimiliki dari logam tidak hanya logam sederhana$ namun juga

berkaitan dengan model elektron bebas. (enurut model ini$ elektron &alensi dari

suatu unsur atom menjadi elektron konduksi dan bergerak bebas pada keseluruhan

&olume logam. )ahkan ketika logam memiliki model elektron bebas$ distribusi

pengisian elektron konduksi menggambarkan kekuatan potensial elektrostatik dari

inti ion. *egunaan dari model elektron bebas pada dasarnya merupakan sifat yang

bergantung pada sifat kinetik dari elektron konduksi.

Penjelasan mengenai sifat logam dalam hal ini gerak elektron bebas telah

lama dikembangkan sebelum ditemukannya mekanika kuantum. 'eori klasik

memiliki beberapa keberhasilan$ terutama penurunan dari +ukum ,hm dan

hubungan antara daya hantar listrik dan panas. 'eori klasik tidak dapat

menjelaskan kapasitas panas dan kelemahan sifat kemagnetan yang dimiliki

elektron konduksi. +al ini bukan merupakan kegagalan dari model elektron

bebas$ tetapi kegagalan pada fungsi distribusi klasik (awell/. 0elanjutnya adalah

kesulitan dengan model klasik. Dari banyak jenis percobaan mengenai elektron

konduksi dari logam yang dapat bergerak secara bebas pada banyak lintasan lurus

atom$ tubrukan elektron konduksi terjadi satu sama lain atau bahkan tubrukan

dengan inti atom. Pada temperatur rendah$ lintasan bebas antar atom akan

sepanjang 12lebih dari cm/. (engapa zat yang terkondensasi secara transparan

akan menjadi elektron konduksi3 0ifat inilah yang dibahas pada 4sas Pauli. 5as


3/22

Fermi elektron bebas akan menjelaskan bagaimana elektron bebas pada gas

dengan menggunakan 4sas Pauli.

Penelitian pada elektron dalam logam terus berlanjut untuk mencari solusi

dan menyempurnakan dari kekurangan penelitian-penelitian sebelumnya. %ntuk

itu perlu kita mengetahui bagaimana perkembangan teori elektron dalam logam

mulai dari model elektron bebas klasik$ model elektron bebas terkuantisasi dan

teori pita energi.

1.2 R%&%'a# Ma'a!a(

)erdasarkan latar belakang diatas$ maka rumusan masalah yang dapat

diambil untuk penelitian ini adalah sebagai berikut :1. )agaimana teori model elektron bebas klasik3

2. )agaimana teori model elektron bebas terkuantisasi3

). )agaimana teori pita energi3

1.) T%*%a#

)erdasarkan latar belakang dan rumusan masalah diatas$ penelitian ini

bertujuan untuk :

. (enjelaskan teori model elektron bebas klasik.

6. (enjelaskan teori model elektron bebas terkuantisasi.

7. (enjelaskan teori pita energi.


4/22

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 T+r M+-! E!"tr+# Ba' K!a'"Pada tahun !11 Drude berpostulat bahwa logam adalah terdiri atas pusat-

pusat cores/ ion positif dengan elektron &alensi yang bebas bergerak di antara

pusat-pusat ion tersebut. 8lektron-elektron &alensi tersebut dibatasi untuk

bergerak di dalam logam akibat adanya gaya tarik elektrostatis antara pusat-pusat

ion positif dengan elektron-elektron &alensi tersebut. (edan listrik di seluruh

bagian dalam logam ini dianggap konstan$ dan gaya tolak antara elektron-elektron

tersebut diabaikan. 'ingkah laku elektron-elektron yang bergerak di dalam logam

dianggap sama dengan tingkah laku atom atau molekul di dalam gas mulia.

*arena itu$ elektron-elektron ini juga dianggap bebas dan sering disebut gas

elektron bebas. Dan teori yang membahas gas elektron bebas ini sering disebut

model gas elektron bebas. 9amun demikian$ sesungguhnya gas elektron bebas

adalah dalam beberapa hal berbeda dengan gas biasa. Perbedaan pertama adalah

bahwa gas elektron bebas adalah bermuatan negatif$ sedangkan molekul-molekul

dari gas biasa adalah netral. *edua$ konsentrasi elektron bebas dalam gas elektron

bebas adalah jauh lebih besar dari pada konsentrasi molekul dalam gas biasa.

8lektron &alensi sering juga disebut sebagai elektron konduksi dan juga

mematuhi prinsip Pauli. 8lektron-elektron ini bertanggung jawab atas hantaran

arus listrik di dalam logam. *arena elektron-elektron konduksi bergerak di dalam

medan elektrostatis serbasama uniform/ yang ditimbulkan oleh pusat-pusat ion$

maka energi potensialmereka tetap konstan dan sering dianggap sama dengan

nol. 4rtinya keberadaan pusat-pusat ion diabaikan. Dengan demikian$ energi

elektron konduksi sama dengan energi kinetiknya saja. Dan juga karena gerakanelektron konduksi dibatasi hanya di dalam logam$ maka energi potensial sebuah

elektron di dalam logam adalah lebih kecil dari pada energi potensial sebuah

elektron yang berada tepat diluar permukaan logam. Perbedaan energi potensial

ini berfungsi sebagai penghalang dan menyebabkan elektron-elektron di dalam

logam tidak dapat keluar meninggalkan permukaan logam tersebut. ,leh karena

itu$ dalam model gas elektron bebas$ gerakan dari elektron-elektron bebas di

dalam sebuah logam adalah sama dengan gerakan sebuah gas elektron bebas di


5/22

dalam sebuah kotak energi potensial. 8lekton konduksi yang kita bicarakan

sekarang ini adalah elektron konduksi di dalam logam yang belum diberi sumber

tegangan beda potensial/.

Dengan mengacu pada postulat Drude$ yaitu gas elektron bebas bertingkah

seperti gas mulia$ pada tahun !1! +. 4. #orentz berpostulat bahwa elektron-

elektron yang menyusun gas elektron bebas dalam keadaan ekuilibirum mematuhi

statistika (awell-)oltzmann. *edua postulat ini sering dipadukan dan sering

disebut Teori Drude-Lorentz. Dan karena teori ini didasarkan pada statistika klasik

(awell-)oltzmann$ teori ini pun disebut Teori Klasik. (odel elektron bebas

klasik tentang logam mengambil asumsi sebagai berikut :a *ristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif yang

membentuk kisi kristal/ dan elektron yang bebas bergerak dalam &olume

kristal.

b 8lektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas$ yang masing-masing

bergerak secara acak dengan kecepatan termal seperti molekul dalam gas

ideal tidak ada tumbukan$ kecuali terhadap permukaan batas/.

c Pengaruh medan potensial ion diabaikan$ karena energi kinetik elektron bebas

sangat besar.d 8lektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial di

permukaan batas.

(eskipun teori ini bersifat klasik$ namun teori ini telah berhasil digunakan

untuk menjelaskan beberapa sifat logam. 0ebagai contoh$ teori ini berhasil

membuktikan keabsahan hukum ,hm. Di samping itu$ karena elektron bebas

dapat dengan mudah bergerak di dalam logam$ beberapa logam menunjukkan

adanya kondukti&itas listrik dan kondukti&itas panas yang tinggi. 9amun

demikian$ ratio antara kondukti&itas listrik ;/ terhadap kondukti&itas panas


6/22

fungsi akar kuadrat dari temperatur$ T $ dimana ' = temperatur. Padahal

sesungguhnya$ resisti&itas listrik merupakan fungsi linier dari temperatur.

*egagalan lainnya adalah tentang kapasistas panas elektron konduksi dan

suseptibilitas paramagentik elektron konduksi. 'eori ini gagal menjelaskan

kapasitas panas elektron konduksi dan suseptibilitas paramagentik elektron

konduksi. *apasitas panas dan suseptibilitas paramagnetik yang dihitung oleh

teori ini adalah lebih besar dari pada nilai-nilai yang diamati secara eksperimen.

2.2 T+r M+-! E!"tr+# Ba' Tr"%a#t'a'

0ommerfeld memperlakukan elektron &alensi elektron konduksi/ yang

bebas bergerak itu secara kuantum mekanik$ yaitu dengan cara menggunakan

statistika kuantum Fermi-Dirac$ dan bukannya statistika klasik Maxwell-

Boltzmann. *arena itu$ tingkat-tingkat elektron di dalam kotak energi potensial

ditentukan dengan menggunakan statistika kuantum. 0elanjutnya marilah kita

bahas 5as 8lektron )ebas di kotak satu dimensi. (isalkan 0ebuah elektron yang

bermassa m bebas bergerak di dalam kristal satu dimensi yang panjangnya #.

8lektron tersebut tidak dapat meninggalkan kristal akibat adanya potensial

penghalang yang sangat tinggi pada permukaan kristal. Dengan demikian$

masalahnya menjadi adalah sama dengan sebuah elektron yang bergerak di dalam

kotak energi potensial satu dimensi yang biasa digambarkan oleh sebuah garis

yang dibatasi oleh energi potensial penghalang yang tingginya tak-hingga$ seperti

ditunjukkan pada 5ambar . 8nergi potensial di dalam kotak kita misalkan sama

dengan nol$ sehingga kita memiliki >/ sebagai berikut :

V(x )=0untuk0


7/22

5ambar . *otak energi potensial satu dimensi yang tingginya tak-hingga. *ita

misalkan sebuah elektron yang bermassa m ditempatkan di dalam

kotak tersebut. Fungsi gelombang dan tingkat energinya ditentukan

dari persamaan 0chrodinger.

dimana 8nmenyatakan energi kinetik elektron yang berada pada tingkat ke-n$ >

menyatakan energi potensial elektron$ dan @n menyatakan fungsi gelombang

elektron di tingkat ke-n. *arena di dalam kotak energi potensial > = 1$ maka

persamaan ? menjadi :

d2n

dx2+

2m

2(En )n=0 A/

0olusi umum untuk persamaan A/ di atas memiliki bentuk :

n (x )=A sinkx+B coskx B/

dimana 4 dan ) adalah konstanta sembarang yang dapat ditentukan dari syarat

batas. Persamaan A/ dapat ditulis secara lebih sederhana sebagai berikut :d

2n

dx2+k2n=0 C/

Dengan demikian kita dapat melihat bahwa nilai k harus sama dengan :

k=2mEn

2 2/

*arena kedalaman kotak ini adalah tak-hingga$ maka kita tidak mungkin

menemukan elektron di luar kotak. +al ini berarti bahwa di luar kotak @n/ = 1.


8/22

0edangkan pada = 1 dan = #$ @n/ harus kontinyu. Dengan demikian$ pada

= 1 persamaan B/ menjadi :0=0+B cos0

atau ) = 1. adi Fungsi gelombang yang kita peroleh dari persamaan B/ di atas

adalah :

n (x )=A sinkx !/

'etapi karena untuk = # pun @n/ = 1$ maka dari persamaan !/ kita peroleh0=A sin kL

atau sin k# = 1. +al ini berarti bahwa :

k# = nE

atau k = nE#. 1/

Disini n = $ 6$ 7$ ?$ GG 'etapi k = 6EHn. adi dari persamaan 1/ kita dapat

menulis

6EHn= nE#. /

atau

# = nHn6 6/

Dengan demikian persamaan !/ dapat kita tulis sebagai berikut :

n (x )=A sin (n/L)x 7/

Persamaan / ini merupakan fungsi gelombang elektron di dalam sebuah kotak

energi potensial yang tingginya tak-hingga. 8nergi kinetik elektron yang berada di

tingkat ke n dapat kita hitung dari persamaan 2/ dan 1/ di atas. +asilnya adalah

sebagai berikut :

En=

2

2m (n

L)2

=n2

2

2

2m L2 ?/

*arena=

h

2 $ maka persamaan ?/ dapat kita tulis sebagai berikut:

En= 2

2m (nL)

2

= n2

2

2

2m L2 = n

2

h

2

8m L2 A/

Dari persamaan A/ kita lihat bahwa tingkat energi 8n/ elektron yang berada di

dalam kotak energi potensial yang kedalamannya tak hingga adalah terkuantisasi

dan bergantung pada n6untuk # tertentu.

ika fungsi gelombang yang ditunjukkan oleh persamaan 7/ dinormalisasi$ maka

kita dapat menentukan nilai A=2

L

.


9/22

adi fungsi gelombang yang dinyatakan oleh persamaan 7/ di atas dapat kita

tulis secara lengkap sebagai berikut :

n (x )=2

Lsin(n/L)x B/

Persamaan B/ menyatakan fungsi gelombang yang sudah di normalkan. 4rtinya$

total peluang untuk menemukan partikel di dalam kotak itu akan sama dengan

atau 11I/. (odel elektron bebas terkuantisasi mengambil asumsi sebagai

berikut :

a. *ristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip

yang membentuk kisi kristal/ dan elektron bebas yang bergerak dalam&olume kristal.

b. 8lektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum$ yaitu mempunyai

energi terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli$ yang secara menyatu

dirangkum dalam ungkapan rapat elektron

dn = n8/ d8 = f8/ g8/ d8.

c. Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron

bebas sangat besar.

d. Pada permukaan batas antara logam dan &akum yang mengelilinginya

terdapat suatu potensial penghalang J yang harus diloncati oleh elektron bebas

paling energetik pada suhu '=1 * energi 8F/ untuk dapat meninggalkan

permukaan batas logam.

2.) T+r Pta E#r$

0etiap padatan mengandung elektron. *ristal menjadi insulator jika salah

satu pita energinya terisi atau kosong$ sehingga tidak ada elektron yang berpindah

dalam medan listrik. 0ebuah kristal menunjukkan reaksi seperti metal jika salah

satu pita terisi sebagian$ sekitar 1 dan !1 persen bagian. *ristal adalah

semikonduktor jika satu atau dua pita memiliki bagian tipis atau kosong.

%ntuk memahami perbedaan antara insulator dan konduktor$ kita harus

memperluas model elektron bebas untuk menghitung periodisitas kisi-kisi

padatan. *ita akan menemui hal lain yang sungguh luar biasa yang dimiliki

elektron di dalam kristal.

Model Elektron Bebas Terdekat


10/22

(odel elektron bebas memenuhi jumlah distribusi yang pada dasarnya terus

menerus berawal dari nol hingga tak terhingga. 'elah diketahui bahwa:

k=

2

2m(kx

2+ky2+kz

2) C/

Dimana$ untuk kondisi batas periodik sebuah kubus berukuranL$

kx , ky , kz=0;2

L ;

4

L K G..

Fungsi gelombang elektron bebas$ persamaannya sebagai berikut

k( )=exp ( !k . ) ;

yang mewakili gelombang berjalan dengan momentum "= k

0truktur pita merupakan sebuah kristal yang seringkali dapat menjelaskan

model elektron bebas terdekat karena pita elektron diperlakukan sebagai pengusik

oleh potensial periodik pada inti ion saja. Lefleksi )ragg merupakan ciri khas

penyebaran gelombang dalam kristal. Lefleksi )ragg gelombang elektron dalam

kristal adalah penyebab celah energi. Melah energi dapat menentukan secarasignifikan dalam penentuan apakah zat padat merupakan insulator ataukah

konduktor.

*ondisi )ragg k+G/6=k6 untuk gelombang difraksi gelombang &ektor

dalam satu dimensi.

k=

1

2#=n

a

dimana #=2 na adalah kisi resiprokal &ektor dan n adalah bilangan

bulat. Lefleksi pertama dan celah energi pertama terbentuk padak=

a . Pada

bagian ini k di antaraa adalah zona )rillouin kisi. Melah energi lainnya

terjadi untuk nilai bilangan nlainnya.


11/22

Fungsi gelombang pada k=

a bukanlah gelombang berjalan ep

!x

a / atau ep !

x

a / elektron bebas. Dimana nilai khusus untuk kfungsi

gelombang membuat persamaan bagian perjalanan gelombang untuk bagian kanan

dan kiri.

Pernyataan tidak terikat waktu direpresentasikan oleh gelombang berdiri.

*ita dapat menuliskan persamaan dua gelombang berdiri yang berbeda dari

gelombang berjalanexp (

!kx

a )

yaitu :

+ = epix!a/ N ep-ix!a/ = 6 cos x!a/K 2/

= epix!a/ - ep-ix!a/ = 6isin x!a/. !/

Asal Mula Celah Energi

5elombang berdiri diberi tanda N/ atau -/ bergantung kepada

berubah atau tidak nya gelombang tersebut ketika - disubstitusikan pada .

*edua gelombang berdiri tersebut terbentuk dari jumlah yang sama dari

gelombang berjalan ke arah kiri dan kanan.

"N/ = O+ O6 cos6x!a 61/

5ambar 7a menggambarkan &ariasi dari energi potensial elektrostatis dari

sebuah elektron konduksi di dalam medan positif dari ion inti. on ini menyangga

muatan positif karena atom terionisasi di dalam logam$ dengan elektron &alensi

yang diambil untuk membentuk pita konduksi. 8nergi potensial dari elektron di

dalam medan ion positif adalah negatif sehingga gaya diantara elektron tersebut

adalah tarik menarik.

%ntuk gelombang berdiri yang lain$ kemungkinan kerapatanya adalah :


12/22

"-/ = O O6 sin6x!a 6/

dimana fokus dari elektron terpisah dari ion inti.

Besarnya Celah Energi

Fungsi panjang gelombang pada batas wilayah )rillouin zonek=

a

adalah 2cos

x

a dan2sin

x

a dinormalisasikan pada satuan panjang atau

garis. (isalkan besar energi potensial elektron dalam kristal pada titik adalah :

%(x)=%cos 2x

a 66/

Perbedaaan energi orde pertama antara dua gelombang berdiri dinyatakan oleh :

+

dx%(x )

E&=0

1

67/

cos2

(2xa)( x /asin 2 x /a)=%dx%cos E&=2

6?/


13/22

Dapat dilihat bahwa celah sama dengan komponen Fourier dari potensial kristal.

Fungsi Bloch

Fungsi )loch membuktikan bahwa solusi untuk persamaan 0chrodinger

pada potensial periodik harus berbentuk:

k( )=%k( ) exp(!k . ) 6A/

Dimana %kr/ mempunyai periode kristal lattice dengan %kr/ = %kr N'/ dengan

' adalah &ektor sisi translasi. Persamaan diatas mengungkapkan teorema )loch :

Fungsi #igen dari persamaan gelom$ang untuk potensial periodik

mempun%ai hasil dari $idang gelom$ang eksp& 'ik & r( )ungsi waktu *k 'r(

dengan periodisitas kisi kristal&

Fungsi gelombang one-elektronpada persamaan disebut fungsi bloch dan

dapat didekomposisikan dalam jumlah gelombang berjalan. Fungsi )loch dapat

dikumpulkan dalam bentuk gelombang paket-paket mewakili elektron elektron

yang menyebar secara bebas melalui medan potensial dari inti ion.

'eorema )loch &alid jikak nondegenerasi yaitu ketika tidak ada

fungsi gelombang dengan energi yang sama dan &ektor gelombangnyak .

8nergi potensial piriodik di a dengan %/ =% N sa/ dimana s adalah bilangan

bulat.

%ntuk mencari solusi persamaan gelombang dapat dibantu oleh garis

simetri cincin sehingga:

(x+a )='(x ) 6B/

dimana M konstan$ sehingga disekitar cincin adalah

(x+(a )=(x )='((x) 6C/

*arena (x ) harus bernilai tunggal. M adalah satu dari akar dari kesatuan atau

'=exp( !2 sx(a ); s=0,1,2,) , (1

*ita gunakan persamaan diatas


14/22

(x )=%k(x ) exp( !2 sx(a ) 62/Model Kronig Penney

Potensial periodik dari persamaan gelombang dapat dipecahkan dalam fungsi

dasar sQuare-well array seperti gambar dibawah. Persamaan gelombangnya

adalah:

2

2m

d2

dx2+%(x )= 6!/

Dimana %/ adalah energi potensial dan R adalah nilai energi eigen.

Pada daerah 1 S S a dimana %=1$ fungsi eigen adalah kombinasi linier

=A * !+x+B*!kx 71/

Pada bidang gelombang berjalan kekiri dan kanan dengan energi

=2+

2

2m 7/

Pada daerah b S S1 dengan solusi pembatasnya dalam bentuk=' *x+-*x , 76/

Dengan

%0=2

2

2m 77/

*ita membutuhkan solusi yang lengkap untuk mendapatkan bentuk )loch.

Dengan demikian$ solusi pada daerah a S x S a N $harus dihubungkan dengan

solusi dalam daerah$SxS 1 dengan teorema )loch:

aSxS a N $/ =

-$SxS 1/ eikaN $/ 7?/

*onstanta, B . Ddipilih sehingga dan d dxkontinu padax=

1 danx= a. 'erdapat kondisi batasan mekanika kuantum yang luar biasa dalam

masalah yang melibatkan sumur potensial kuadrat. Padax= 1$

, + B + . + D K

iK, B/ = /'. D(


15/22

Padax 0 a untuk a/ ke bawah sawar sampai '-$($

,eiKa+ Be-iKa0 '.e-/$+ De/$( eik'a + $(K 7A/

iK',eiKa Be-iKa( 0 /'.e-/$ De/$( eik'a+$( 7B/

Persamaan C/ sampai 61/ memiliki solusi hanya jika determinan

koefisien, B . Dhilang$ atau jika

T/1 K1/6/KU sinh /$sinKaN cosh /$ cosKa= cos k'a + $( 7C/

+asilnya menjadi sederhana jika kita melambangkan potensial dengan

fungsi delta periodik yang didapatkan ketika kita melalui limit $= 1 dan *2= V$

sedemikian sehingga /1

$a!1 =3$ besaran terbatas. Pada limit /SS K dan /$ SS

. 0ehingga 6a/ berkurang menjadi

'3!Ka( sinKaN cosKa = cos ka 72/

LentanganKagar persamaan ini memiliki solusi pada 5ambar A$ untuk kasus 3 0

76. 9ilai energi yang sama di plot pada 5ambar B. >ektor gelombang k dari

fungsi )loch merupakan indeks yang penting.

Persamaan Gelombang Elektron pada Potensial Periodik

Lata-rata bentuk yang diharapkan sebagai solusi persamaan 0chrWdingerterjadi jika &ektor gelombang terletak pada batas daerah$ yaitu k 0 !a. (isalkan

*'x(merupakan energi potensial elektron kisi linier dari konstanta kisi a. *ita

ketahui bahwa energi potensial in&arian pada translasi kisi kristal: *'x(= *'x +

a(. Fungsi in&arian pada translasi kisi kristal diperluas menggunakan deret Fourier

dalam &ektor kisi resiprok G. Deret Fourier untuk energi potensial sebagai

berikut:

%(x)=

#%

#*

!#x

7!/

9ilai koefisien *G untuk potensial kristal sebenarnya bergantung pada

pengurangan secara cepat dengan peningkatan besaranya G. %ntuk potensial

coulomb lugas *Gberkurang menjadi G6.

*ita inginkan energi potensial *'x(untuk menjadi fungsi real:

%(x)=#>0

%#(*!#x+*!#x )=2

#>0

%#cos#x?1/


16/22

%ntuk meyakinkan$ diasumsikan bahwa kristal simetris sekitarx 0 1 dan *2= 1.

Persamaan gelombang sebuah elektron dalam kristal adalah

= 4

$ dimana . merupakan +amiltonian dan 4merupakan nilai egen. 0olusi

disebut fungsi eigen atau fungsi orbital atau )loch. 0ecara eksplisit$

persamaan gelombangnya adalah

( 12m"2+%(x ))(x )=( 12m"2+# %#*!#x)(x )= (x ) ?/

Fungsi gelombang x/ dinyatakan sebagai penjumlahan deret Fourier

semua nilai &ektor gelombang yang dilegalkan oleh adanya kondisi batas$

sehingga

=

k

'(k)*!kx$ ?6/

Dimana k real. *ita menuliskan indeks k sebagai subskrip G dengan sama

baiknya$ seperti Gk/.

*umpulan nilai kmemiliki bentuk 6nL$ karena nilai-nilai ini memenuhi

kondisi batas periodik selama panjangL. 0ifat translasi x/ dideterminasikan

oleh teorema )loch

'idak semua set gelombang &ektor2 n

L termasuk Fourier yang

merupakan perluasan salah satu fungsi )loch. ika salah satu &ektor gelombang k

termasuk dalam @$ maka semua &ektor gelombang lainnya di Fourier merupakan

perluasan @. ika salah satu &ektor gelombang k termasuk dalam @$ maka semua

&ektor gelombang lainnya di Fourier merupakan perluasan @ hal ini akan

memiliki bentuk k+# $ dimana 5 adalah &ektor kisi resiprokal.


17/22

*ita mendapatkan bahwa @ sebagai fungsi gelombang yang berisi sebuah

komponen k sebagai k atau sama dengan k+# . >ektor gelombang

berjalank+# di atas 5 yang dibatasi subset dari set 2n/L $

*ita biasanya harus memilih sebuah label untuk fungsi )loch bahwa k

yang terletak dalam zona )rillouin pertama. 0ituasi ini berbeda dengan masalah

phonon. Permasalahan elektron seperti permasalahan difraksi sinar- karena

medan elektromagnetik ada dimana-mana dalam kristal dan tidak hanya pada ion.

%ntuk menyelesaikan persamaan gelombang$ substitusi 6A/ dalam 6?/

untuk mendapatkan satu set persamaan aljabar linear untuk koefisien Fourier.

Persamaan energi kinetik

1

2m"

2(x )=

1

2m (!ddx )2

(x )=2

2m

d2

dx2=

2

2m

k

k2'(k)*!kx ?7/

Dan persamaan energi potensial

(# %# *

!#x

)(x )=# k %#*

!#x

'(k)*!kx

??/

Persamaan gelombang diperoleh sebagai jumlah

k

2

2mk

2'(k) *!kx+

#

k

%# '(k)*!( k+# )x=

k

'(k)*!kx ?A/

0etiap komponen Fourier harus memiliki koefisien yang sama pada kedua

sisi persamaan. 0ehingga

?B/

Dengan notasi /k=2

k2/2m

Pita Energi dan Energi Elektron dalam Atom

Dalam suatu susunan atom terisolasi kumpulan atom di

dalamnya mempunyai jarak antaratom yang tidak berhingga

(/k )'(k)+#

%# '(k# )=0


18/22

besarnya. Energi elektron dalam setiap atom bersifat diskrit, dan

sesungguhnya atom dalam keseluruhannya bukanlah merupakan

suatu sistem sis. Tingkat energi atom yang diskrit tersebut

dinamakan tingkat 1s, 2s, 2p dan seterusnya. Setiap atom

merupakan sistem tersendiri, tanpa interaksi dengan atom lain.

Atom yang terisolasi ini, masingmasing memiliki banyak

keadaan elektron yang sama energinya. Apabila kemudian jarak

antaratom berkurang, maka mulai terjadi interaksi antaratom

dan fungsi gelombang elektron mulai saling bertindihan. !nteraksi

tersebut menyebabkan harga energinya berubah. Se"ara

keseluruhan atom tersusun menjadi satu sistem sis dan harus

mengikuti kaidah yang menyangkut sistem sis. #isalnya, prinsip

$auli yang melarang dua elektron atau lebih mempunyai harga

energi yang tepat sama. %leh karena itu terjadi pelebaran dari

harga diskrit energi elektron &atom terisolasi' menjadi harga pita

energi elektron. (erdasarkan prinsip larangan, tiap tingkat energi

tersedia bagi dua elektron dengan spin berla)anan. %leh karena

itu pita energi suatu *at padat yang terdiri dari + atom akan

tersedia + tingkat energi atau paling banyak boleh berisikan 2+

elektron. arena + besar sekali, yakni , maka tingkattingkat

energi tersebut saling merapat satu sama lain membentuk pita

energi. $ita energi terdiri dari kumpulan tingkat energi yang

memiliki jarak antartingkat berdekatan sangat ke"il sehinggadistribusinya kontinu. #isalnya, lebar pita energi - e memiliki

jarak antartingkat berdekatan e. /adi pada suatu kristal

terdapat banyak pita energi yang masingmasing sesuai dengan

tingkat energi atom penyusun kisi tersebut. #isalnya, tingkat

energi 1s, 2s, dan 2p masingmasing menimbulkan pita 1s, 2s,

dan 2p.


19/22

$erhatikanlah "ontoh kristal 0ithium dalam gambar berikut.

Setiap atom 0i mengandung tiga elektron, yaitu 2 elektron

mengisi sel 2s dan 1 elektron dalam sel 2s &tidak penuh'. $ita 2s

dan 2p masingmasing mempunyai kapasitas 2+ dan +

elektron. Terlihat bah)a lebar pita bertambah saat konstanta kisi

menge"il. /uga, untuk aao &dimana ao adalah radius (ohr

seharga 3,-4 5' pelebaran pita 2s dan 2p mulai o6erlap, dan

"elah antara keduanya melenyap sehingga terbentuk pita

tunggal dengan kapasitas 7+. Tetapi pita tunggal ini hanya

berisikan + elektron yang berasal dari pita 2s saja, atau hanya

seperdelapan dari kapasitasnya. arena pita 6alensinya hanya

terisi sebagian, maka kristal 0i termasuk kelompok logam.

$itapita energi memang berke"enderungan o6erlap satu

sama lain. Selain pita 2s dan 2p seperti di atas, pita yang

berke"enderungan o6erlap adalah 4s dan 4p yang berkapasitas

7+8 9s, 4d dan 9p yang berkapasitas 17+8 -s, 9d dan -p yang

berkapasitas 17+8 s, 9f, -d dan p yang berkapasitas 42+8 serta

:s, -f, d dan:p yang berkapasitas 42+. Sebagai "ontoh berikut

disajikan unsur )olfram &;'.

Dalam sistem periodik unsur ; termasuk golongan !A dan

memiliki nomor atom :9 dengan kongurasi elektron .


20/22

bisa berperan sebagai hole. #eskipun pada dasarnya bentuk

solusi fungsi gelombang menuruti teorema (lo"h, namun dalam

meme"ahkan persamaan S"hrodinger, dengan pendekatan

tentang model potensial berkala, memberikan berbagai metode,

antara lain sebagai berikut.

a. Metode L.,5 'linear 6om$ination o) atomi6 or$itals( dimana spektrum

energi elektron dalam *at padat diperoleh dengan

mengandaikan adanya sedikit tumpangtindih dari potensial

atom yang terpisah. $otensial atom yang begitu kuat

menyebabkan elektron hanya bergerak di sekitar atom yang

bersangkutan. #odel ini merupakan pendekatan kasar

terhadap pita sebelah dalam, yaitu pita 4d logam transisi.b. Model elektron hampir $e$as dimana diandaikan bah)a potensial

berkala agak rendah8 atau dimana tumpangtindih dari

potensial atom sangat besar. arena potensial begitu lemah,

maka elektron berperilaku seperti elektron bebas dan model ini

dibahas dengan metode perturbasi. #odel ini merupakan

pendekatan kasar terhadap pita 6alensi logam sederhana,

seperti +a, , Al dan lainlain.". Metode sel '6ellular method( yang dikembangkan oleh ;ignerSeit*.


21/22

BAB III. KESIMPULAN

(odel elektron bebas klasik tentang logam mengambil asumsi sebagai

berikut : / kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positif

yang membentuk kisi kristal/ dan elektron yang bebas bergerak dalam &olume

kristal$ 6/ elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas$ yang masing-masing

bergerak secara acak dengan kecepatan termal seperti molekul dalam gas ideal

tidak ada tumbukan$ kecuali terhadap permukaan batas/$ 7/ pengaruh medan

potensial ion diabaikan$ karena energi kinetik elektron bebas sangat besar$ ?/

elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial dipermukaan batas.

8lektron sebagai partikel kuantum harus memenuhi :/ prinsip eksklusi

larangan/ Pauli$ yaitu setiap keadaan elektron dengan energi tertentu hanya dapat

ditempati oleh dua buah elektron dengan spin yang berlawanan$ 6/ probabilitas

menempati suatu keadaan tertentu sesuai dengan statistik Fermi-Dirac.

Pita energi adalah kumpulan garis pada tingkat energi yang sama akan

saling berimpit dan membentuk pita. 'ingkat-tingkat energi pada digambarkan

dengan cara yang sama dengan atom tunggal. nteraksi antar atom pada kristal

hanya terjadi pada elektron bagian luar sehingga tingkat energi elektron pada orbit

bagian dalam tidak berubah. )erdasarkan asas Pauli$ dalam suatu tingkat energi

tidak boleh terdapat lebih dari satu elektron pada keadaan yang sama$ maka

apabila ada elektron yang berada pada keadaan yang sama akan terjadi pergeseran

tingkat energi sehingga tidak pernah ada garis garis energi yang bertindihan.


22/22

DAFTAR PUSTAKA

*ardiawarman$ 61?.Modul 7 Fisika 8at 3adat. )andung : %P.*elas ). 617.3ita #nergi. (alang : %ni&ersitas 9egeri (alang.

*rane$ *enneth. 6112.Fisika Modern. akarta : % Press.

#esmono$ 4lbertus D.$ 61B.#lektron Be$as dalam Logam. ember : %nej.

Prasetyowati$ Lita. 616.3ita #nergi. Xogyakarta : %9X.

0antika$ 5ede D.$ 61?. Model #lektron Be$as dalam Logam. Denpasar :

%ndiksha.

120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)

Documents

Transcript of 120210102069_aji Saputra (Tugas Paper)