Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan di Suatu Titik
Definisi 1 Misalkan f terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Fungsi fkontinu di a jika
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎
Perhatikan bahwa definisi ini secara implisit memerlukan tiga hal untuk dipenuhi agar f kontinu di a:1. f(a) terdefinisi (yaitu, a berada di domain f)2. lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 ada
3. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎
Contoh 1
Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi f. Di mana sajakah f tidak kontinu? Mengapa?PEMBAHASAN Fungsi f tidak kontinu di 1 karena tidak terdefinisi di x = 1. Fungsi f tidak kontinu di 3 karena limitnya tidak ada. Fungsi f juga tidak kontinu di 5 karena
lim𝑥𝑥→5
𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≠ 𝑓𝑓 51 2 3 4 5 x
y
0
Latihan 1
Misalkan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2−9𝑥𝑥−3
, 𝑥𝑥 ≠ 3. Bagaimana f didefinisikan di x = 3 agar f kontinu di 3?
Kontinu dari Kiri dan dari Kanan
Definisi 2 Suatu fungsi f kontinu dari kanan di a jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎
Dan f kontinu dari kiri di a jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎−
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎
Contoh 2
Untuk setiap bilangan bulat 𝑛𝑛, fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 (lihat gambar di samping) kontinu dari kanan tetapi tidak kontinu dari kiri karena
lim𝑥𝑥→𝑛𝑛+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑛𝑛+
𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 = 𝑓𝑓 𝑛𝑛 1 2 3 x–1
y
0
1
Kekontinuan pada Interval
Definisi 3 Suatu fungsi kontinu pada interval jika fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan dalam interval tersebut. (Jika f terdefinisi hanya pada satu sisi titik ujung, maka yang dimaksud kontinu pada titik ujung tersebut berarti bahwa kontinu dari kiri atau kontinu dari kanan.)
Contoh 3
Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥2 kontinu pada selang [–1, 1].PEMBAHASAN Jika –1 < a < 1, maka dengan menggunakan teorema-teorema limit
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
1 − 𝑥𝑥2
= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
1 − 𝑥𝑥2
= 1 − 𝑎𝑎2
= 𝑓𝑓 𝑎𝑎Sehingga, berdasarkan definisi, f kontinu di a jika –1 < a < 1.
Pembahasan
Dengan menggunakan perhitungan yang serupa, diperoleh
lim𝑥𝑥→−1+
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 −1 , dan
lim𝑥𝑥→1−
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 1
sehingga f kontinu dari kanan di –1 dan kontinu dari kiri di 1. Akibatnya, berdasarkan Definisi 3, f kontinu pada [–1, 1].
–1 1
1
y
x0
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥2
Operasi-Operasi Fungsi
Teorema 4 Jika f dan g kontinu di a dan jika c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di a.1. f + g 2. f – g 3. cf4. fg 5. f/g, jika g(a) ≠ 0
Pembuktian
Bukti Kelima bagian dari Teorema 4 dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema-teorema limit. Misalkan di sini kita akan membuktikan bagian pertama. Karena f dan g kontinu di a, maka
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 , dan
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑎𝑎 .
Sehingga,lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥
= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥
= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥
= 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + 𝑔𝑔 𝑎𝑎Hal ini menunjukkan bahwa f + gkontinu di a.
Fungsi-Fungsi Kontinu
Teorema 5 Jenis-jenis fungsi berikut kontinu di setiap bilangan dalam domainnya.• Fungsi polinomial• Fungsi rasional• Fungsi akar• Fungsi trigonometri
Latihan 2
Di interval-interval mana saja fungsi berikut kontinu?
𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 − 4
Teorema Limit Fungsi Komposit
Teorema 6 Jika f kontinu di b dan lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏, maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑏𝑏 . Dengan kata lain
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑔𝑔 𝑥𝑥
Secara khusus, jika g kontinu di a dan f kontinu di g(a), maka fungsi komposit 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 kontinu di a.
Latihan 3
Dimanakah fungsi berikut kontinu?
𝐹𝐹 𝑥𝑥 =1
𝑥𝑥2 + 7 − 4
Teorema Nilai Tengah
Teorema 7 Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] dan misalkan N sembarang bilangan di antara f(a) dan f(b), dimana f(a) ≠ f(b). Maka ada bilangan c di dalam (a, b) sedemikian sehingga f(c) = N.
a bc1 c2 c3
N
f(a)
f(b)
0 x
y
Latihan 4
Tunjukkan bahwa ada akar persamaan x4 + x – 3 = 0 di antara 1 dan 2.
#HaveANiceDay
Top Related