ZASTOSOWANIE MATEMATYKI I EKONOMETRII W ZARZĄDZANIU

ZASTOSOWANIE MATEMATYKI I

EKONOMETRII W ZARZĄDZANIU

WARSZAWA 2009

Podręcznik opracowany w oparciu o materiały dydaktyczne stanowiące dorobek i własność Wyższej Szkoły Zarządzania /

Polish Open University

Wydawca: PRET S.A. Wszelkie prawa zastrzeżone. Publikacja ani jej części nie mogą być w żadnej formie i za

pomocą jakichkolwiek dostępnych środków technicznych reprodukowane bez zgody wydawcy.

ISBN 83-89428-08-3

© Copyright by Wyższa Szkoła Zarządzania / Polish Open University

Zastosowanie matematyki i ekonometrii w zarządzaniu Wstęp

Wyższa Szkoła Zarządzania / Polish Open University © 2009 PRET S.A.

Wszystkie prawa zastrzeżone

3

WSTĘP Słowo matematyka budzi grozę u wielu osób. Przyczyn tego jest wiele: niezbyt szczęśliwie skonstruowany program nauczania zarówno w szkole podstawowej, jak i średniej, nie pokazujący wyraźnie, jak bardzo matematyka związana jest z życiem codziennym, specyfika uczenia się tego przedmiotu i wreszcie popularna wśród uczniów (i często też studentów) postawa – nielubienie matematyki jest w dobrym tonie. Dla wielu matematyka, a raczej jej brak, staje się jednym (często głównym) z kryteriów wyboru kierunku studiów. Upowszechnienie się wszelkiego rodzaju kalkulatorów i komputerów utwierdziło sporo osób w przekonaniu o zbyteczności matematyki. Oczywiście oba urządzenia ułatwiają nam życie, niemniej jednak dobrze jest mieć przeświadczenie o tym, iż to, co „wypluje” kalkulator czy komputer, jest wynikiem prawdopodobnym, a tego nie uda nam się osiągnąć bez znajomości matematyki „od kuchni”. I co jest jeszcze ważniejsze, aby w pełni wykorzystać program komputerowy, taki jak na przykład Excel, należy przygotować (ustawić) zadanie do rozwiązania, udzielić komputerowi instrukcji, co ma zrobić, i to w języku zrozumiałym dla komputera, i dopiero wtedy nacisnąć ENTER. Pierwsze dwa kroki bez znajomości matematyki mogą być trudne, a w wielu przypadkach po prostu niemożliwe do wykonania.

Obecnie matematyka wykorzystywana jest w bardzo wielu dziedzinach, nawet w tych, w których nikt by się tego nie spodziewał. W ekonomii i zarządzaniu matematyka znajduje coraz większe zastosowanie. Rozwijają się takie dziedziny, jak: ekonomia matematyczna, ekonometria czy matematyka finansowa. Coraz większym zainteresowaniem cieszą się też wspomniane dziedziny wśród matematyków. Celem tego podręcznika jest przedstawienie pojęć i metod matematyki, które będą wykorzystane w trakcie nauki innych przedmiotów i które mogą się okazać pomocne w zarządzaniu firmą. Podręcznik nie ma pełnym opracowaniem tego, co każdy parający się biznesem wiedzieć powinien. Są w nim podane przykłady problemów, które pojawiają się w trakcie zarządzania, wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również metod, które przy rozwiązywaniu tego typu problemów mogą być użyteczne. Opisywane metody, oprócz metod statystycznych, są również podstawą ekonometrii – badanie modeli ekonometrycznych bez matematyki nie jest możliwe. Tych, których zainteresuje poruszana tematyka i zapragną poszerzyć swoją wiedzę, odsyłam do literatury. Wśród licznych opracowań znajdziecie również pozycje, które mogą być wykorzystane w celu pogłębienia wiedzy ze statystyki i ekonometrii.

Zastosowanie matematyki i ekonometrii w zarządzaniu Rozdział I: Preliminaria



4

ROZDZIAŁ I: PRELIMINARIA

Podstawowym pojęciem matematyki jest pojęcie zbioru. Możemy przyjąć, iż jest to pojęcie pierwotne, to znaczy nie wymagające definiowania. Każdy wie, czym jest zbiór, i każdy może podać szereg przykładów: zbiór studentów Wyższej Szkoły Zarządzania, zbiór firm w Warszawie, Krakowie i Legnicy, różne zbiory liczbowe itp. Zbiory przyjęto oznaczać wielkimi literami alfabetu A, B, C,... (kropki oznaczają, iż można używać wszystkich pozostałych liter). O zbiorach była mowa na zajęciach z Technik Analitycznych w Biznesie, kiedy to poruszano temat prawdopodobieństwa. Pojawiło się wówczas pojęcie przestrzeni zdarzeń elementarnych – zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, oraz pojęcie zdarzenia – podzbioru przestrzeni zdarzeń elementarnych.

Drugim pierwotnym pojęciem jest pojęcie należenia do zbioru – a∈A czytamy: „element a należy do zbioru A” lub „a jest elementem zbioru A”. Elementy zbioru przyjęto oznaczać małymi literami.

Jeśli zbiór A składa się ze skończonej liczby elementów, jak mówimy, jest zbiorem skończonym, to zapisujemy go następująco:

A = {a1

,..., a n }.

Jeśli zbiór A jest nieskończony, to możemy go zapisać następująco:

A = {a 1 , a 2 ,...}.

Najbardziej uniwersalnym zapisem zbioru jest: A = {a: a ma taką to a taką własność}.

Przykładowo A = {a: a jest studentem Wyższej Szkoły Zarządzania}, co oznacza, iż A jest zbiorem wszystkich studentów Wyższej Szkoły Zarządzania. Powiemy, iż dwa zbiory A i B są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają dokładnie te same elementy. Na przykład {a,b,c} = {b,c,a} (można powiedzieć, iż kolejność elementów zbioru nie jest istotna i patrzeć na zbiór {a,b,c} jak na worek z trzema literami a, b i c w środku).

Jeśli A i B są zbiorami, to możemy ich użyć do zdefiniowania nowych zbiorów: • A∪B zwanego sumą zbiorów A i B, • A∩B zwanego iloczynem lub częścią wspólną zbiorów A i B, • A−B zwanego różnicą zbiorów A i B.




5

Zbiory te definiuje się następująco: • A∪B to zbiór tych elementów, które należą do zbioru A lub zbioru B, i nic więcej. • A∩B to zbiór tych elementów, które równocześnie należą do zbioru A i do zbioru B, i nic

więcej. • A−B to zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, i nic

więcej.

Przykład. Jeśli do zbioru A należą Ania, Jacek i Wacek, a do zbioru B Jacek, Zosia i Frania, to do zbioru A∪B należą Ania, Jacek, Wacek, Zosia i Frania, do zbioru A∩B należy tylko Jacek, a do zbioru A−B należy Ania i Wacek.

Zbiory rozpatrywane w matematyce to głównie zbiory liczbowe. Zbiór liczb naturalnych, oznaczany N, to zbiór wszystkich liczb 0,1,2,... . Liczby te można dodawać i mnożyć. Niestety odejmowanie tych liczb nie zawsze jest możliwe (zakładamy chwilowo, iż inne liczby nie istnieją), wynik odejmowania 2-5 nie jest liczbą naturalną, są też kłopoty z dzieleniem tych liczb. Aby uniknąć pierwszej niedogodności, wprowadzono liczby całkowite, tj. liczby ...,-2,-1,0,1,2,... . Zbiór tych liczb oznacza się literą Z. Te liczby można odejmować bez żadnych ograniczeń, można je mnożyć i dodawać, ale z dzieleniem w dalszym ciągu jest kłopot. Z tym sobie poradzono, wprowadzając liczby wymierne. Zbiór tych liczb przyjęto oznaczać literą Q.

Liczby wymierne, tzn. ułamki (na razie rozpatrujemy jedynie ułamki zwykłe, a będą jeszcze dziesiętne), zdefiniowane zostały jako wyrażenia:

mn

,

gdzie m jest liczbą całkowitą, a n liczbą naturalną różną od 0.

Sens tego wyrażenia: podziel liczbę m przez liczbę n, m:n. Tak więc:

- 243

= -8, a

2:7 to właśnie 27

.

Ułamki można przedstawiać w postaci dziesiętnej, czyli jako tzw. ułamki dziesiętne. Jeśli przeprowadzimy eksperyment, używając kalkulatora lub jeszcze lepiej wykonując dzielenie pisemnie, to przekonamy się, iż albo ułamek zwykły można zamienić na ułamek dziesiętny

skończony, np. 25

= 0,4, albo też proces dzielenia nigdy się nie zakończy, np. 13

= 0,333... .

To, co otrzymamy w ostatnim przypadku, nazywa się ułamkiem dziesiętnym okresowym o okresie 3 – trójka jest tą liczbą, która powtarza się nieskończoną ilość razy. Zapiszemy to w postaci: 0,(3).

Inne przykłady ułamków dziesiętnych okresowych to: 1,357(28) = 1,357282828.., -2,1234235(3678) = -2,1234235367836783678.... .




6

Regularność liczb wymiernych rozumianych jako ułamki dziesiętne skończone lub okresowe pozwala domyślać się istnienia liczb innych niż wymierne, reprezentowanych przez ułamki dziesiętne nieskończone, nieokresowe. Są to tak zwane liczby niewymierne. Z punktu widzenia szarego człowieka, czy nawet człowieka biznesu, liczby takie to czysta abstrakcja – nikt ich nie widział, patrząc na wyświetlacz kalkulatora lub ekran komputera. Niemniej jednak liczby takie istnieją i bez nich wiele pojęć matematycznych, w tym również wielce użytecznych dla zajmujących się zarządzaniem, nie byłoby możliwych do wprowadzenia. Przykładami liczb niewymiernych są: liczba π ≈ 3,1415629635... , używana, gdy chcemy obliczyć pole koła, oraz liczba 2 ≈ 1,4142136... , wyrażająca długość przekątnej kwadratu o boku 1.

Liczby wymierne wraz z liczbami niewymiernymi tworzą zbiór liczb rzeczywistych oznaczany literą R. Zbiór ten ma interpretację geometryczną w postaci osi liczbowej.

Osią liczbową nazywamy linię prostą (przypuśćmy przez chwilę, iż jest to linia pozioma), każdemu punktowi, której przypisano liczbę rzeczywistą w ten sposób, iż przemierzając prostą z lewa na prawo, liczby przypisywane kolejnym punktom rosną. Przyporządkowanie liczb punktom jest ponadto takie, iż każdemu punktowi odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista, a każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt. Liczbę rzeczywistą odpowiadającą danemu punktowi nazywamy współrzędną tego punktu.

Przedziałami skończonymi, lub krótko przedziałami, nazywamy zbiory liczb rzeczywistych określone następująco (a i b oznaczają tutaj liczby rzeczywiste):

[a,b] = {x: x∈R i a≤x≤b} [a,b) = {x: x∈R i a≤x<b} (a,b] = {x: x∈R i a<x≤b} (a,b) = {x: x∈R i a<x<b}.

Przedziałami nieskończonymi nazywamy następująco określone zbiory liczb rzeczywistych:

(-∞, a] = {x: x∈R i x≤a}

(-∞, a) = {x: x∈R i x<a}

[b, +∞) = {x: x∈R i b≤x}

(b, +∞) = {x: x ∈R i b<x}.




7

Ilustrację geometryczną tych przedziałów przedstawia kolejny rysunek.

Zastosowanie matematyki i ekonometrii w zarządzaniu Rozdział I: Układy równań liniowych



8

ROZDZIAŁ II: UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

W wielu przypadkach rozwiązanie problemu biznesowego sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.

Przykład. Produkujemy karmę dla zwierząt – mieszankę kukurydzy, owsa i otrębów. Jednostka każdego ze składników dostarcza protein, tłuszczu i błonnika w ilościach umieszczonych w tabeli poniżej. Przykładowo: wartości z pierwszej kolumny: 0,25 0,4 0,3 oznaczają, iż jedna jednostka kukurydzy dostarcza 0,25 jednostki protein, 0,4 jednostki tłuszczu i 0,3 jednostki błonnika.

Kukurydza Owies Otręby Proteiny 0,25 0,4 0,2 Tłuszcz 0,4 0,2 0,3 Błonnik 0,3 0,2 0,1 Chcemy uzyskać odpowiedź na pytanie:

Ile jednostek każdego ze składników należy użyć, aby wyprodukowana karma zawierała 22 jednostki protein, 28 jednostek tłuszczu i 18 jednostek błonnika?

Niech x oznacza szukaną liczbę jednostek kukurydzy, y szukaną liczbę jednostek owsa, a z szukaną liczbę jednostek otrąb. Ponieważ chcemy, by w produkowanej karmie znalazły się 22 jednostki protein, to:

0,25x + 0,4y + 0,2z = 22.

chcemy też by w produkowanej karmie znalazło się 28 jednostek tłuszczu: 0,4x + 0,2y + 0,3z = 28

oraz 18 jednostek błonnika: 0,3x + 0,2y + 0,1z = 18.

Aby odpowiedzieć na pytanie, musimy znaleźć takie wartości x,y,z, które spełniają wszystkie trzy równania, to znaczy rozwiązać układ równań:

0,25x + 0,4y + 0,2z = 22 0,4x + 0,2y + 0,3z = 28

0,3x + 0,2y + 0,1z = 18. Łatwo sprawdzić, iż x = 40, y = 15, z = 30 jest rozwiązaniem tego układu. Co więcej, jest to jedyne rozwiązanie.

Zacznijmy od przypomnienia pewnych pojęć i faktów. Równanie liniowe, a dokładniej równanie liniowe n zmiennych, to każde równanie postaci:

a1 x1 + a 2x 2 + .... + a n x n = k,

gdzie a1, a2, ..., an i k są liczbami rzeczywistymi (stałe). Rozwiązaniem równania liniowego n zmiennych jest ciąg liczb s1, s2, ..., sn taki, że:

a1 s1 + a 2s 2 + .... + a n s n = k.




9

Przykład. Ciąg 1, 2, 3 jest rozwiązaniem równania liniowego 3x + 2y + z = 10, ponieważ:

3 × 1 + 2 × 2 + 3 = 10.

Zajmijmy się układami, w których liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.

Rozważmy układ dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych. Takie układy są najmniej skomplikowane. Łatwo zrozumieć metody ich rozwiązywania, a także poczynić (i zrozumieć) pewne uwagi, które będą mogły być przeniesione na układy równań liniowych o większej liczbie równań i niewiadomych.

Przypomnijmy, iż z każdym równaniem liniowym o dwóch niewiadomych można skojarzyć jego wykres na płaszczyźnie, który ma układ współrzędnych składający się z tych punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie. Wykres każdego takiego równania jest linią prostą. Tak więc, jeśli mamy układ dwóch równań liniowych o dwóch niewiadomych, to rozwiązanie takiego systemu ma geometryczną interpretację w postaci punktu przecięcia prostych będących wykresami równań tworzących układ. Mogą mieć miejsce trzy przypadki: 1. Dwie proste przecinają się dokładnie w jednym punkcie. W tym przypadku układ ma jedno

rozwiązanie – współrzędne punktu przecięcia (rys. a). 2. Dwie proste są różne i równoległe – nie mają wspólnych punktów. W tym przypadku

układ nie ma rozwiązania (rys. b). 3. Wykresy obu równań są identyczne (to jedna i ta sama prosta). W tym przypadku układ ma

nieskończenie wiele rozwiązań (rys. c).

a.




10

b.

c.

Uwaga. Równanie liniowe o trzech niewiadomych opisuje płaszczyznę w przestrzeni z układem współrzędnych.

Reasumując. Układ równań liniowych może mieć jedno rozwiązanie, może wcale nie mieć rozwiązania, może też mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Uwaga ta dotyczy również układów równań liniowych, w których mamy więcej niż dwa równania lub więcej niż dwie niewiadome.

Metody rozwiązywania układów równań. Przypomnijmy trzy takie metody na trzech kolejnych przykładach.

Przykład. Rozwiążemy układ równań: 2x + 3y = 7

x - y = 1 metodą podstawiania. Krok 1. Równanie x - y = 1 przekształcamy do postaci:

x = 1 + y.




11

Krok 2. W równaniu 2x + 3y = 7 zastępujemy x przez 1 + y i otrzymujemy:

2(1 + y) + 3y = 7. Krok 3. Porządkujemy otrzymane równanie:

2(1 + y) + 3y = 7 2 + 2y + 3y = 7

2 + 5y = 7. Krok 4. Rozwiązujemy otrzymane równanie:

2 + 5y = 7 5y = 5

y = 1.

Krok 5. Biorąc pod uwagę, iż x = 1 + y oraz y =1, otrzymujemy x = 2.

Rozwiązanie układu równań to: x = 2, y = 1. To, co sprawia trudność w stosowaniu tej metody, to odpowiedź na pytanie, która z niewiadomych występujących w układzie równań zostanie wyrażona w terminach pozostałych niewiadomych i które z równań układu zostanie w tym celu użyte. W rozpatrywanym przypadku była to niewiadoma y i wykorzystano drugie z równań układu.

Przykład. Rozwiążemy teraz ten sam układ równań: 2x + 3y = 7

x - y = 1

metodą eliminacji niewiadomych.

Krok 1. Mnożymy obie strony równania x - y = 1 przez 3 i otrzymujemy układ: 2x + 3y = 7

3x - 3y =3. Krok 2. Dodajemy równania stronami:

2x + 3y + (3x - 3y) = 7 + 3. Krok 3. Porządkujemy:

2x + 3y + (3x - 3y) = 7 + 3. 2x + 3y + 3x - 3y = 7 + 3

5x +0y = 10 5x =10.

Niewiadoma y została wyeliminowana. Krok 4. Rozwiązujemy otrzymane równanie:

5x =10 x = 2.

Krok 5. Biorąc pod uwagę, iż x - y = 1 oraz x = 2, otrzymujemy y = 1.




12

Także i w tym przypadku zastosowanie metody może sprawiać trudności – należy zdecydować, którą z niewiadomych chcemy wyeliminować. Zanim przejdziemy do kolejnej metody rozwiązywania układu równań, dokonajmy pewnej obserwacji. Popatrzmy na rozważany układ równań

2x + 3y = 7

x - y = 1 i zauważmy, iż oba równania są tak samo „uporządkowane” wyraz z x:

2x + 3y = 7 x - y = 1,

wyraz z y:

2x + 3y = 7

x - y = 1, znak równości:

2x + 3y = 7 x - y = 1,

i wreszcie stałe: 2x + 3y = 7

x - y = 1. W takim przypadku łatwo zaważyć, iż układ równań wyznacza i jest wyznaczany przez tablicę współczynników:

2 3 7

1 -1 1 Znaczy to, iż mając uporządkowany w powyższym sensie układ równań liniowych, możemy taką tablicę liczbową wypisać, a z drugiej strony dysponując taką tablicą, możemy wypisać jeden i tylko jeden układ równań liniowych). Tablice tego rodzaju noszą w matematyce nazwę macierzy. Z każdą macierzą związany jest jej wymiar, tzn. ilość wierszy i kolumn macierzy. W naszym przypadku macierz, tak zwana macierz współczynników układu,

− 111

732

jest macierzą 2x3, ma bowiem 2 wiersze i 3 kolumny.

Z macierzy współczynników możemy tworzyć inne macierze, którymi posłużymy się w rozwiązywaniu naszego układu. Będą to:




13

– macierz główna układu:

A =

−11

32

– macierz:

Ax =

11

37

– macierz:

Ay =

11

72

Każdej macierzy kwadratowej, a więc też każdej z macierzy A, Ax, Ay, można przypisać liczbę zwaną wyznacznikiem macierzy. Liczba ta ma głęboki sens matematyczny, ale nie będziemy się zajmować tym zagadnieniem. Nie będzie też formalnej definicji wyznacznika, ograniczymy się jedynie do sposobu jego obliczania i to, w tym miejscu, tylko do przypadku macierzy 2x2. Policzymy wyznacznik macierzy A. Oznaczamy go detA.

detA = det

−11

32 = 2×(-1) - 3×1 = -2-3 = -5

Podobnie:

detAx = det

11

37 = 7×(-1) - 3×1 = -7 - 3 = -10

I jeszcze:

detAy = det

11

72 = 2×1 - 7×1 = 2 - 7 = -5

Teraz do rozwiązania układu równań możemy użyć wzorów Cramera: x = detAx/ detA, y = detAy / detA.

W przypadku rozpatrywanego wcześniej układu, dla którego zostały policzone wartości potrzebnych wyznaczników:

x = -10/(-5) = 2 y = -5/(-5) = 1.




14

Zastosowanie wzorów Cramera do rozwiązywania układów równań może wydać się skomplikowane (jak to często bywa z nowymi zagadnieniami), ale tak naprawdę oprócz niezbyt skomplikowanych rachunków (można użyć kalkulatora, a jeszcze lepiej arkusza kalkulacyjny typu Excel) nie ma w tym nic trudnego.

Uwaga 1. Liczenie wyznacznika jest nieco bardziej skomplikowane w przypadku macierzy kwadratowych (tyle samo wierszy, co kolumn) o wymiarach większych niż 2x2.

Wzory Cramera mogą być również stosowane do układów równań liniowych, w których liczba niewiadomych jest równa liczbie równań i jest większa od dwóch. Zainteresowani mogą zajrzeć do zalecanej literatury.

Uwaga 2. Układy równań liniowych (i nie tylko) mogą być rozwiązywane przy pomocy Solvera arkusza kalkulacyjnego Excel.

Zajmiemy się teraz układami, w których liczba równań jest różna od liczby niewiadomych. Przypadek 1. Liczba równań jest większa od liczby niewiadomych. Przykładem takiego układu jest układ:

2x + 3y = 7

x - y = 1

x + y = 5. Przypomnijmy, iż każde równanie liniowe opisuje prosta na płaszczyźnie. Rozwiązanie układu równań to współrzędne punktu przecięcia prostych opisanych równaniami tego układu. W przypadku układu trzech równań z dwoma niewiadomymi rozwiązaniem tego układu są współrzędne punktu przecięcia trzech prostych. Idea rozwiązania rozważanego układu jest następująca: znajdujemy punkt wspólny dwóch prostych i sprawdzamy, czy trzecia prosta też przez ten punkt przechodzi. Mamy zatem następującą metodę rozwiązywania układu równań liniowych, w którym liczba równań jest większa od liczby niewiadomych:

• Krok 1. Wybieramy, w sposób dowolny, spośród równań układu tyle równań, ile jest niewiadomych

• Krok 2. Rozwiązujemy tak otrzymany układ równań. W przypadku, gdy okaże się, iż rozwiązania nie ma, kończymy pracę stwierdzeniem, iż cały układ nie ma rozwiązania.

• Krok 3. Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązanie spełnia pozostałe równania układu pierwotnego. Jeśli tak, to mamy rozwiązanie układu, w przeciwnym przypadku układ rozwiązania nie ma.

Rozwiążmy początkowy układ równań:

2x + 3y = 7




15

x - y = 1

x + y = 5. Krok 1. Mamy trzy równania i dwie niewiadome. Wybieramy dwa równania. Biorąc pod uwagę, iż wcześniej rozwiązaliśmy układ równań składający się z dwóch pierwszych równań rozpatrywanego układu, wybieramy pierwsze i drugie równanie:

2x + 3y = 7 x - y = 1.

Krok 2. Wiemy już, jakie jest rozwiązanie ostatniego układu: x = 2, y = 1. Krok 3. Sprawdzamy, czy x = 2, y = 1 spełnia równanie trzecie, tj. x + y = 5

2 + 1 = 5.

Nie jest to prawda, tak więc układ równań (trzech z dwoma niewiadomymi) nie ma rozwiązania.

Przypadek 2. Liczba równań jest mniejsza od liczby niewiadomych. Za przykład posłuży nam następujący układ:

x + y + z = 5 2x -y + z = 8.

Jak wiadomo, równania układu opisują dwie płaszczyzny. Płaszczyzny te mogą: – przecinać się, ale nie być identyczne – w tym przypadku mają one nieskończenie wiele

punktów wspólnych (jest to prosta) i współrzędne każdego punktu wspólnego dla obu płaszczyzn są rozwiązaniem układu równań,

– być identyczne – w tym przypadku również układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań,

– być równoległe – brak punktów wspólnych, brak rozwiązania układu równań. Podsumowując, układ równań liniowych, w którym liczba równań jest mniejsza niż liczba niewiadomych, albo ma nieskończenie wiele rozwiązań, albo nie ma ich wcale.

ZADANIA

Zadanie 1. Firma BICYKL produkuje dwa modele rowerów: model A i model B. Model A wymaga 2 godzin montażu, model B – 3 godzin montażu. Części do modelu A kosztują $18 na jeden rower, w przypadku modelu B jest to $27. Firma dysponuje 34 godzinami na produkcję rowerów oraz kwotą $335 dziennie. Ile sztuk rowerów każdego rodzaju należy produkować w jednym dniu, aby wykorzystać wszystkie możliwe pieniądze i cały dostępny czas? Jeśli nie jest to możliwe, wyjaśnij dlaczego.

Zadanie 2. Firma produkuje mrożone zestawy warzyw sprzedawanych w jednokilogramowych opakowaniach. Zestaw „włoski” zawiera: 0,3 kg cukini, 0,3 kg brokułów i 0,4 kg marchwi,




16

zestaw „francuski” to: 0,6 kg brokułów i 0,4 kg marchwi, a zestaw „orientalny”: 0,2 kg cukini, 0,5 kg brokułów i 0,3 kg marchwi. Firma dysponuje 16 200 kg cukini, 41 400 kg brokułów i 29 400 kg marchwi. Ile zestawów każdego rodzaju powinno być produkowanych, aby zużyć cały surowiec?

Zadanie 3. Aby uzyskać niezbędne fundusze na rozwój firmy, zaciągnięto kredyty bankowe w wysokości 25 000 zł. W przypadku części kredytu stopa procentowa wynosiła 13%, stopa procentowa w przypadku drugiej części, większej o 2000 zł od pierwszej, wynosiła 14%. Oprocentowanie całej reszty pożyczonych pieniędzy wyniosło 12%. Odsetki w skali roku wyniosły 3.240 zł. Jakie kwoty pieniędzy zostały pożyczone na 12%, 13%, 14%?

Zastosowanie matematyki i ekonometrii w zarządzaniu Rozdział III: Macierze



17

ROZDZIAŁ III: MACIERZE Pojęcie macierzy pojawiło się w rozdziale dotyczącym rozwiązywania układów równań liniowych. Wykorzystaliśmy macierze do „magazynowania informacji” dotyczącej układu równań liniowych. Nie jest to jednak jedyne zastosowanie tych tablic, które zyskują na znaczeniu w dziedzinach zarządzania i naukach społecznych. Dzieje się tak, ponieważ dostarczają wygodnego sposobu porządkowania i prezentacji danych, a także ułatwiają operowanie nimi. Przykład wykorzystania macierzy do prezentacji danych znajduje się poniżej, przykład na zastosowanie macierzy do opracowania danych, przytoczony zostanie później.

Przykład. Producent mebli wytwarza sofy i fotele w trzech wariantach: A, B i C. Firma ma trzy magazyny w: Gdańsku, Warszawie i Rzeszowie. W sierpniu, do każdego z magazynów zostaje wysłanych 10 sof typu A, 12 sof typu B, 5 sof typu C, 15 foteli typu A, 20 foteli typu B, 8 foteli typu C.

Chcąc zaprezentować dane, możemy to zrobić następująco: Sofy 10 typu A 12 typu B 5 typu C

Fotele 15 typu A 20 typu B 8 typu C lub też

Typ A B C

Sofy 10 12 5 Rodzaj mebla Fotele 15 20 8

Pamiętając o tym, iż liczby w każdym wierszu odnoszą się do typu mebli, a liczby w każdej kolumnie odnoszą się do modelu (A,B,C), tę samą informację możemy zapisać w postaci macierzy:

M =

81215

51210

Przypomnijmy na przykładach pojęcie wymiaru macierzy.

a. Macierz

A =

75

54

23

jest macierzą 3x2, tzn. ma trzy wiersze i dwie kolumny.




18

b.

B =

−

−

123

012

235

jest macierzą 3x3 c. C = [1 6 3 4] jest macierzą 1x4 d.

D =

−

2,1

4

23,0

3

jest macierzą 4x1.

Macierz, w której liczba wierszy i kolumn są takie same nazywa się macierzą kwadratową, np. macierz B.

Macierz, w której liczba wierszy jest równa 1, nazywa się wektorem wierszowym (albo wektorem wierszem), np. macierz C.

Macierz, w której liczba kolumn jest równa 1, nazywa się wektorem kolumnowym (albo wektorem kolumną), np. macierz D.

Mówimy, iż dwie macierze są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam wymiar, a odpowiednie elementy są identyczne.

Tak więc macierze:

A =

01

23 B =

01

23

są równe, natomiast macierze:

C =

10

23 B =

01

23

równe nie są.




19

Macierze można dodawać. Aby to można było zrobić, macierze muszą mieć ten sam wymiar. Oto przykład:

A + C =

01

23 +

10

23 =

++

++

1001

2233 =

11

46

Uwaga. W wyniku dodawania dwóch macierzy otrzymujemy macierz tego samego wymiaru co macierze dodawane. Obojętne jest natomiast, w jakiej kolejności dodajemy macierze, krótko mówiąc, dodawanie macierzy jest przemienne.

Podobnie jak w przypadku dodawania liczb, dla dowolnej liczby a, a + 0 = a, tak i w przypadku macierzy, jeśli do macierzy A dodamy macierz tego samego wymiaru (ten warunek musi być spełniony, aby macierze można było dodać) i o wszystkich elementach 0, to otrzymamy macierz A.

Macierze można mnożyć przez liczby. Mnożenie macierzy przez liczbę polega na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez tę liczbę.

Przykład.

5 ×

01

23 =

××

××

0515

2535 =

05

1015

(-1) ×

01

23 =

−

−−

01

23

Macierze można też mnożyć (macierz przez macierz). Ta operacja jest bardziej skomplikowana. Pomnożenie macierzy X przez macierz Y jest możliwe tylko w przypadku gdy liczba kolumn macierzy X jest równa liczbie wierszy macierzy Y. Na przykład, macierze X i Y przedstawione niżej mogą być pomnożone:

X =

651

432 Y =

9

8

7

Aby pomnożyć te macierze, wykonujemy następujące działania:




20

Krok 1. Mnożymy elementy pierwszego wiersza macierzy X przez odpowiednie elementy pierwszej kolumny macierzy Y i dodajemy wyniki:

651

432

9

8

7

2 × 7 + 3 × 8 + 4 × 9 = 74.

Otrzymana liczba jest elementem występującym w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie macierzy XY.

Krok 2. Mnożymy elementy drugiego wiersza macierzy X przez odpowiednie elementy pierwszej kolumny macierzy Y i dodajemy wyniki:

651

432

9

8

7

1 × 7 + 5 × 8 + 6 × 9 = 101.

Otrzymana liczba jest elementem występującym w drugim wierszu i pierwszej kolumnie macierzy XY. Macierz:

XY =

651

432

9

8

7

=

101

74

Proszę zwrócić uwagę na to, iż mogliśmy pomnożyć macierz X przez macierz Y nie możemy natomiast pomnożyć macierzy Y przez macierz X – liczba kolumn macierzy Y jest różna od liczby wierszy macierzy X. Krótko mówiąc, mnożenie macierz nie jest przemienne. Uwaga. Arkusz kalkulacyjny Excel stwarza możliwość mnożenia macierzy – funkcja MACIERZ.ILOCZYN. Przykład. Usługowa firma budowlana buduje trzy typy domów A, B i C z możliwością dwóch rodzajów wykończeń – tradycyjnego i nowoczesnego. Macierz P przedstawia liczbę domów każdego typu w nowoplanowanej dzielnicy, w której znajdzie się 100 domów. Ilość zewnętrznych materiałów wykończeniowych zależy głównie od rodzaju wykończenia. Te dane znajdują się w macierzy Q. Cement jest mierzony w metrach sześciennych, drewno w setkach metrów desek (deski zestandaryzowane), cegły w tysiącach sztuk, dachówki w metrach kwadratowych. Macierz R zawiera koszt w złotych jednostki każdego materiału.

P= Tradycyjny Nowoczesny Typ A 0 30 Typ B

10 20




21

Typ C 20 20

Q = Cement Drewno Cegła Dachówki Tradycyjny 10 20 0 20 Nowoczesny 50 1 20 20

R = Cena jednostkowa Cement 80 Drewno 720 Cegła 240 Dachówki 100

Jaki jest koszt potrzebnych materiałów dla każdego typu domu? Rozwiązanie. Aby obliczyć koszt każdego typu domów, znajdziemy najpierw iloczyn macierzy PQ, który dostarczy informacji, ile materiału każdego rodzaju potrzebne jest do budowy każdego z typów.

PQ =

2020

2010

300

2020150

2002010

= Cement Drewno Cegła Dachówki 1500 30 600 600 Typ A 1100 220 400 600 Typ B 1200 420 400 800 Typ C

Teraz pomnożymy macierz PQ przez macierz R (cen jednostkowych) i uzyskamy koszt całkowity materiałów zewnętrznych potrzebnych na każdy typ domu. (PQ)R =

8004004201200

6004002201100

600600301500

100

240

720

80

=

Koszt 345.600 Typ A 402.400 Typ B 574.400 Typ C




22

Całkowity koszt materiałów na planowane domy typu A wynosi 345.600 zł, na domy typu B 402.400 zł, a na domy typu C 574.400 zł. Uwaga. Do wyznaczenia iloczynów macierzy została wykorzystana funkcja Excela MACIERZ.ILOCZYN.

Podobnie jak w przypadku mnożenia liczb, dla dowolnej liczby a, a↑1 = 1a = a, tak i w przypadku macierzy, ale tylko kwadratowych, jeśli macierz A pomnożymy przez macierz kwadratową I, która na przekątnej ma same jedynki, a oprócz tego zera, i ma odpowiedni wymiar (ten warunek musi być spełniony, żeby macierze można było dodać), to otrzymamy macierz A. Macierz I nazywana jest macierzą jednostkową

A =

100010001

Przykładowa macierz jednostkowa I wymiaru 3x3.

I jeszcze jedna analogia z działaniami na liczbach. Jeśli a jest liczbą różną od zera, to istnieje odwrotność a-1. Jest to taka liczba, iż a a-1 = 1. W przypadku macierzy, można dla danej kwadratowej macierzy A, mówić o macierzy odwrotnej do macierzy A, a więc o macierzy A-

1. Macierz A-1 można określić tylko dla macierzy, której wyznacznik jest różny od zera. Spełniony jest następujący warunek:

A-1A = A A-1 = I.

Jest wiele sposobów pozwalających dla danej macierzy A wyznaczyć macierz odwrotną A-1, o ile istnieje. Można też, w celu wyznaczenia macierzy odwrotnej do danej, posłużyć się funkcją Excela MACIERZ.ODW. Mnożenie macierzy, macierz odwrotną i własności mnożenia macierzy można wykorzystać do rozwiązywania układów równań (liczba równań jest taka sama, co liczba niewiadomych). Zanim powiemy, jak to zrobić, popatrzmy raz jeszcze na układ równań liniowych.

Gdy była mowa o układach równań liniowych, zwróciliśmy uwagę na fakt, iż każdy (uporządkowany) układ równań wyznacza macierz. Układ:

2x + 3y = 7 x - y = 1

wyznacza macierz współczynników:

− 111

732

a z tej macierzy można wyodrębnić macierz główną układu:

A =

−11

32




23

Przez X oznaczmy wektor kolumnę:

X =

y

x

Przez C oznaczmy wektor kolumnę (wyrazów wolnych), w tym wypadku prawych stron układu równań:

C =

1

7

Utwórzmy tak zwane równanie macierzowe – niewiadomą jest wektor X (tzn. jego współrzędne x i y):

AX = C, tj.

−11

32

y

x =

1

7

−

+

yx

yx 32 =

1

7

Macierze są równe, gdy mają identyczne elementy w odpowiadających sobie kolumnach i wierszach. Wracamy do wyjściowego układu równań, bo to jest sens równości dwóch ostatnich macierzy (wektorów).

Reasumując. Każdy układ równań liniowych można zapisać w sposób macierzowy. Układ:

0,25x + 0,4y + 0,2z = 22 0,4x + 0,2y + 0,3z = 28

0,3x + 0,2y + 0,1z = 18 może być zapisany w postaci:

1,02,03,0

3,02,04,0

2,04,025,0

=

z

y

x

=

18

28

22

tj. w postaci AX = C, gdzie A jest macierzą główną układu, X wektorem kolumną (elementami są niewiadome) i C wektorem kolumną (kolumna wyrazów wolnych).




24

Jeśli teraz weźmiemy pod uwagę macierzową wersję układu równań:

AX = C, to rozwiązanie, polegające na znalezieniu wektora kolumny X, może wyglądać następująco:

1. Znajdujemy macierz A-1. Jeśli przy znajdowaniu A-1 z wykorzystaniem Excela, pojawi się informacja o błędzie, to będzie to oznaczało, iż wyznacznik macierzy głównej układu jest równy 0 i w konsekwencji układ albo jest sprzeczny (nie ma rozwiązania), albo ma rozwiązań nieskończenie wiele. Aby odpowiedzieć na pytanie, który z tych przypadków ma miejsce, należy użyć innej metody.

2. Mnożymy równanie obustronnie przez A-1 i otrzymujemy:

A-1AX = A-1C.

3. Korzystamy teraz z równości A-1A = I, I jest tutaj macierzą jednostkową:

IX = A-1C. 4. Korzystamy z własności macierzy jednostkowej I i otrzymujemy:

X = A-1C. Równanie rozwiązane. Macierz A-1C znajdujemy, posługując się Excelem – funkcja MACIERZ.ILOCZYN.

ZADANIA Zadanie 1. Na podstawie przykładu 1. odpowiedz na pytania. Ile należy zamówić materiału każdego rodzaju? Jaki jest koszt całkowity materiałów zewnętrznych?

Zadanie 2. Firmy Gumiak i Trampka mają swoje sklepy w województwie małopolskim i mazowieckim. Gumiak sprzedaje półbuty po 160 zł para, sandały po 80 zł para i szpilki po 230 zł para. Firma Trampka sprzedaje te same rodzaje butów po 170 zł, 120 zł i 200 zł para. Połowę sprzedaży w województwie mazowieckim stanowią półbuty, 1/4 sandały i 1/4 szpilki. W Małopolsce proporcje sprzedaży przedstawiają się następująco: półbuty 1/5, sandały 1/5, szpilki 3/5: a) wypisz macierz 2x3 P, w której znajdą się ceny obuwia obu firm z podziałem na rodzaje, b) wypisz macierz 3x2 F, w której znajdzie się informacja na temat, jaka część obuwia

danego typu jest sprzedawana w każdym z województw, c) tylko jeden z iloczynów macierzy PF lub FP jest sensowny. Odpowiedz, który. Znajdź ten

iloczyn i wyjaśnij sens jego elementów.

Zastosowanie matematyki i ekonometrii w zarządzaniu Rozdział IV: Programowanie liniowe



25

ROZDZIAŁ IV: PROGRAMOWANIE LINIOWE W wielu rzeczywistych sytuacjach pojawiają się nierówności – zakład produkcyjny nie może wyprodukować więcej niż 12 jednostek produkcji w ciągu jednej zmiany, pracownicy działu marketingu muszą przeprowadzić wywiady co najmniej z setką osób, aby uzyskać wiarygodną informację na interesujący ich temat. Nierówności liniowe postaci ax + by < c (lub ≤, ≥ lub > zamiast <) są wykorzystywane w metodzie nazywanej programowaniem liniowym, aby zoptymalizować (znaleźć największą lub najmniejszą) wartość danej wielkości w konkretnej sytuacji.

Pytanie, na które będziemy się starali odpowiedzieć w tym rozdziale brzmi:

Jak przedsiębiorstwo może określić wielkość produkcji każdego z wytwarzanych produktów, by spełnić wszystkie wymagania produkcji?

Zaczniemy od przypomnienia sposobu rozwiązywania nierówności liniowych z dwoma niewiadomymi. Rozwiązanie takiej nierówności można przedstawić graficznie na płaszczyźnie z układem współrzędnych jako półpłaszczyznę złożoną ze wszystkich tych punktów, których współrzędne spełniają daną nierówność. Rozwiążemy nierówność 4x - 3y < 12.

Krok 1. Zastępując nierówność równaniem (zmieniamy znak nierówności na znak równości), otrzymujemy:

4x - 3y = 12. Krok 2. Otrzymane równanie liniowe opisuje prostą na płaszczyźnie z układem współrzędnych. Rysujemy tę prostą. W tym celu wystarczy znaleźć dwa punkty położone na prostej, tj. punkty, których współrzędne spełniają równanie prostej.

Jeden z punktów znajdujemy, przyjmując, iż jego odcięta x = 0, i wyliczając z równania odpowiadającą mu wartość y.

x = 0 4 × 0 - 3y = 12 Skąd otrzymujemy y = - 4. Współrzędne pierwszego punktu leżącego na prostej wynoszą x = 0 i y = - 4. Punkt drugi wyznaczymy podobnie. Teraz przyjmiemy, iż y = 0, i wyznaczymy z równania odpowiadającą mu wartość x.

y = 0 4x - 3 × 0 = 12

Otrzymujemy x = 3. Współrzędne drugiego punktu leżącego na prostej wynoszą: x = 3 i y = 0.




26

Narysowana prosta dzieli płaszczyznę na dwie części – półpłaszczyzny. Jedna z tych półpłaszczyzn jest graficznym rozwiązaniem nierówności.

Krok 3. Wybieramy, kierując się wygodą, tak zwany punkt testowy. Jest to dowolny punkt, który nie leży na narysowanej prostej. Dogodnym punktem testowym będzie w tym przypadku początek układu współrzędnych, tj. punkt o współrzędnych x = 0 i y = 0. Krok 4. Sprawdzamy, czy współrzędne punktu testowego spełniają nierówność, podstawiając w nierówności za x 0 i za y 0. Otrzymujemy:

4 × 0 - 3 × 0 < 12

0 < 12. Jest to prawda. A zatem graficznym rozwiązaniem nierówności 4x - 3y < 12 jest półpłaszczyzna, do której należy punkt o współrzędnych (0,0), niezawierająca brzegu! ze względu na znak silnej nierówności występujący w rozwiązywanym zagadnieniu.




27

Przejdźmy teraz do rozwiązywania układów nierówności liniowych (o dwóch niewiadomych). Rozwiązaniem takiego układu jest zbiór wszystkich par liczb, które spełniają wszystkie nierówności układu. Schemat rozwiązywania układu nierówności może wyglądać następująco: 1. Rozwiązujemy pierwszą z nierówności w sposób opisany powyżej. 2. Rozwiązujemy drugą z nierówności, ale z jej graficznego rozwiązania bierzemy tylko ten

fragment, który zawiera się w rozwiązaniu nierówności pierwszej i to właśnie jest rozwiązanie pierwszych dwóch nierówności.

3. Rozwiązujemy trzecią z nierówności, ale z jej graficznego rozwiązania bierzemy tylko ten fragment, który zawiera się w rozwiązaniu pierwszych dwóch nierówności, i to jest rozwiązanie pierwszych trzech nierówności.

Kolejne kroki wykonujemy, aż wyczerpie się lista nierówności. W wyniku zastosowania tej procedury uzyskujemy graficzne rozwiązanie układu nierówności.

Rozwiązywanie układu nierówności liniowych prześledzimy, rozwiązując następujące przykładowe zadanie. Gospodarstwo rolne zamierza zająć się hodowlą gęsi i świń, przy czym wszystkich hodowanych zwierząt nie może być więcej niż 16, w tym gęsi nie więcej niż 10. Utrzymanie gęsi kosztuje 20 zł, świni 60 zł. Właściciel gospodarstwa dysponuje kwotą 720 zł i jest zainteresowany maksymalizacją zysku. Zysk z 1 gęsi wynosi 24 zł, a z 1 świni 80 zł.

Rozwiązując to zadanie, pokażemy, jak rozwiązuje się układ nierówności liniowych dwóch zmiennych, będzie to również przykład wykorzystania metody programowania liniowego.

Zacznijmy od zapisania informacji występującej w zadaniu:




28

Gęsi Świnie Razem Liczba hodowanych x y ≤ 16 Koszt hod. 1 szt. 20 zł 60 zł ≤ 720 zł Zysk na 1 szt. 24 zł 80 zł

Zmienne x i y, oznaczające w tym przypadku, nieznane liczby gęsi i świń, nazywamy zmiennymi decyzyjnymi. Możemy teraz zapisać konieczne ograniczenia wynikające z zadania.

Liczba gęsi i świń nie może być ujemna, tak więc: x ≥ 0 i y ≥ 0.

Nie więcej niż 10 gęsi oznacza: x ≤ 10

Łączna liczba zwierząt: x + y ≤ 16

Koszt hodowania x gęsi, 20 zł za gęś, wynosi 20x złotych, koszt hodowania y świń, 60 zł za świnię, wynosi 60y złotych. Ponieważ dostępnych jest 720 zł, to:

20x + 60y ≤720. Po podzieleniu nierówności obustronnie przez 20 otrzymujemy nierówność:

x + 3y ≤36.

I jeszcze formuła pozwalająca właścicielowi gospodarstwa wyliczyć zysk z: z = 24x + 80y.

Możemy teraz sformułować w języku matematycznym pytanie właściciela: ile których zwierząt hodować, by uzyskać maksymalny zysk? Pytanie brzmi: dla jakich wartości zmiennych x i y spełniających nierówności:

x ≥ 0

y ≥ 0 x ≤ 10

x + y ≤ 16 x + 3y ≤ 36.

z = 24x + 80y osiąga wartość największą? Funkcję z nazywamy funkcją celu. Zaczynamy od rozwiązania układu nierówności.

Krok 1. Rozwiązaniem pierwszej nierówności, x ≥ 0, jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odcięte są nieujemne.




29

Krok 2. Rozwiązaniem drugiej nierówności, y ≥ 0, jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których rzędne są nieujemne. Zatem rozwiązaniem układu złożonego z pierwszych dwóch nierówności jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odcięte i rzędne są nieujemne.

Krok 3. Rozwiązaniem trzeciej nierówności, x ≤ 10, jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odcięte są nie większe od 10. Zatem rozwiązaniem układu złożonego z pierwszych trzech nierówności jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które znajdują się w obszarze zielonym zakreskowanym z lewa na prawo w dół.




30

Krok 4. Rozwiążemy teraz czwartą nierówność, x + y ≤ 16, stosując wcześniej opisaną metodę.

Zastępujemy nierówność x + y ≤ 16 równaniem x + y = 16. Rysujemy prostą, którą równanie to opisuje. W tym celu wystarczy znaleźć dwa punkty położone na prostej, tj. punkty, których współrzędne spełniają równanie prostej. Jeden z punktów znajdujemy, przyjmując, iż jego odcięta x = 0, i wyliczając z równania odpowiadającą mu wartość y.

x = 0 0 + y = 16

Skąd otrzymujemy y = 16. Współrzędne pierwszego punktu leżącego na prostej wynoszą x = 0 i y = 16.

Punkt drugi wyznaczymy podobnie. Teraz przyjmiemy y = 0 i wyznaczymy z równania odpowiadającą mu wartość x.

y = 0 x + 0 = 16 Otrzymujemy x = 16. Współrzędne drugiego punktu leżącego na prostej wynoszą x = 16 i y = 0. Prosta przechodząca przez wyznaczone punkty znajduje się na rysunku poniżej.




31

Wybieramy teraz punkt testowy. Dogodnym punktem testowym będzie w tym przypadku początek układu współrzędnych, tj. punkt o współrzędnych x = 0 i y = 0.

Sprawdzamy, czy współrzędne punktu testowego spełniają nierówność, podstawiając w nierówności za x 0 i za y 0. Otrzymujemy:

0 + 0 ≤ 16. Jest to prawda. A zatem graficznym rozwiązaniem nierówności x + y ≤ 16 jest półpłaszczyzna, zawierająca brzeg! ze względu na znak słabej nierówności występujący w rozwiązywanym zagadnieniu, do której należy punkt o współrzędnych (0,0). Zatem rozwiązaniem układu złożonego z pierwszych czterech nierówności jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które znajdują się w obszarze zielonym zakreskowanym z lewa na prawo w dół i z lewa na prawo w górę. Krok 5. Rozwiążemy teraz czwartą nierówność, x + 3y ≤ 36, stosując wcześniej opisaną metodę. Zastępujemy nierówność x + 3y ≤ 36 równaniem x + 3y = 36. Rysujemy prostą, którą równanie to opisuje. W tym celu wystarczy znaleźć dwa punkty położone na prostej, tj. punkty, których współrzędne spełniają równanie prostej. Jeden z punktów znajdujemy, przyjmując, iż jego odcięta x = 0, i wyliczając z równania odpowiadającą mu wartość y.

x = 0 0 + 3y = 36

Skąd otrzymujemy y = 12. Współrzędne pierwszego punktu leżącego na prostej wynoszą x = 0 i y = 12.

Punkt drugi wyznaczymy podobnie. Teraz przyjmiemy y = 0 i wyznaczymy z równania odpowiadającą mu wartość x.

y = 0 x +3 × 0 = 36 Otrzymujemy x = 36. Współrzędne drugiego punktu leżącego na prostej wynoszą x = 36 i y = 0. Prosta przechodząca przez wyznaczone punkty znajduje się na rysunku poniżej.




32

Wybieramy teraz punkt testowy. Dogodnym punktem testowym będzie w tym przypadku początek układu współrzędnych, tj. punkt o współrzędnych x = 0 i y = 0. Sprawdzamy, czy współrzędne punktu testowego spełniają nierówność, podstawiając w nierówności za x 0 i za y 0. Otrzymujemy:

0 +3 × 0 ≤ 36.

Jest to prawda. A zatem graficznym rozwiązaniem nierówności x + 3y ≤ 36 jest półpłaszczyzna, zawierająca brzeg! ze względu na znak słabej nierówności występujący w rozwiązywanym zagadnieniu, do której należy punkt o współrzędnych (0,0). Zatem rozwiązaniem układu złożonego z pierwszych czterech nierówności jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które znajdują się w obszarze zielonym zakreskowanym z lewa na prawo w dół, z lewa na prawo w górę i poziomo.

Lista nierówności została wyczerpana. Rozwiązaniem układu nierówności jest zielony pięciokąt zakreskowany z lewa na prawo w dół, z lewa na prawo w górę i poziomo. Obszar ten nazywany jest obszarem rozwiązań dopuszczalnych, tzn. współrzędne każdego punktu spełniają ograniczenia wynikające z tematu zadania. Chcemy wybrać spośród tych punktów te, dla których funkcja zysku z osiąga największą wartość.

Przypuśćmy, nie zwracając uwagi na warunki określone w zadaniu, iż właściciel chce osiągnąć zysk 1600 złotych. Korzystając ze wzoru na funkcję zysku

z = 24x + 80y, podstawiając za z 1600, otrzymujemy: 1600 = 24x + 80y.

Jest to równanie prostej i, jak łatwo sprawdzić, prosta ta przechodzi przez punkty o współrzędnych x = 0, y = 20 oraz x = 200/3, y = 0.




33

Niektóre punkty tej prostej, te o obu współrzędnych nieujemnych, mają sensowną interpretację. Na przykład punkt x = 0, y = 20. Fakt należenia punktu o takich współrzędnych do prostej 1600 = 24x + 80y oznacza, iż jeśli właściciel gospodarstwa zdecyduje się hodować (x) 0 gęsi i (y) 20 świń, to jego zysk wyniesie 1600 złotych. Problem w tym, iż nie jest to możliwe. Punkt o współrzędnych x = 0, y = 20 nie znajduje się w obszarze rozwiązań dopuszczalnych. Co więcej, żaden punkt prostej nie należy do obszaru rozwiązań dopuszczalnych. Krótko mówiąc, właściciel gospodarstwa nie może osiągnąć 1600 złotych zysku – nie pozwalają mu na to ograniczenia. A może 1200 złotych zysku byłoby osiągalne? Powtarzamy całe rozumowanie. Korzystając ze wzoru na funkcję zysku z = 24x + 80y, podstawiając za z 1200, otrzymujemy:

1200 = 24x + 80y.

Jest to równanie prostej i, jak łatwo sprawdzić, prosta ta przechodzi przez punkty o współrzędnych x = 0, y = 15 oraz x = 50, y = 0. Patrząc na rysunek 10, widzimy, iż i ta prosta nie ma punktów wspólnych z obszarem rozwiązań dopuszczalnych.

Gdyby rozważyć zysk 720 złotych, to otrzymalibyśmy równanie:

720 = 24x + 80y,

a prosta o tym równaniu przechodziłaby przez punkty x = 0, y = 9 oraz x = 30, y = 0.




34

Tym razem prosta ma dużo punktów wspólnych z obszarem rozwiązań dopuszczalnych, jest to na przykład punkt x = 0, y = 9. A zatem właściciel gospodarstwa może osiągnąć 720 złotych zysku, hodując 9 świń (i 0 gęsi), ale czy jest to zysk maksymalny, jaki może osiągnąć? Zauważamy też, iż wszystkie trzy proste o równaniach 1600 = 24x + 80y, 1200 = 24x + 80y i 720 = 24x + 80y są równoległe. Poza tym im większa lewa strona równania (rozważany zysk), tym wyżej położona jest prosta. A zatem szukanie odpowiedzi na pytanie: ile i jakich zwierząt należy hodować, by osiągnąć maksymalny zysk, sprowadza się do odpowiedzi na pytanie o to, dla jakiej największej wartości z (zysku) prosta o równaniu z = 24x + 80y będzie miała punkt wspólny z obszarem rozwiązań dopuszczalnych. Jeśli będziemy teraz zwiększać zysk, od 720 złotych poczynając, to będziemy uzyskiwać coraz wyżej położone proste, które będą miały coraz mniej punktów wspólnych z obszarem rozwiązań dopuszczalnych. W skrajnym przypadku taka prosta może mieć jeden punkt wspólny z tym obszarem. Krótko mówiąc, jeśli z* oznacza maksymalny zysk, to prosta o równaniu:

z* = 24x + 80y

będzie przechodziła przez jeden z wierzchołków zielonego zakreskowanego wielokąta.

Możemy przyjąć teraz następującą regułę:

Jeśli funkcja celu osiąga wartość maksymalną (minimalną), to wartość ta jest osiągana w jednym z wierzchołków obszaru rozwiązań dopuszczalnych.

To znaczy, iż winniśmy wykonać następujące działania: 1) wyznaczyć współrzędne wszystkich wierzchołków obszaru rozwiązań dopuszczalnych, 2) znaleźć wartość funkcji celu (w naszym przypadku zysku), 3) wybrać ten punkt (znaleziony w 1), w którym wartość funkcji celu jest największa.

W naszym przypadku obszar rozwiązań dopuszczalnych ma 5 wierzchołków.




35

Współrzędne wierzchołków: – wierzchołek 1 x = 10, y = 0 – wierzchołek 2 x = 0, y = 0 – wierzchołek 3 x = 0, y = 12 – współrzędne wierzchołków 4 i 5 należy wyznaczyć.

Wierzchołek 4 jest punktem przecięcia dwóch prostych o równaniach x + y = 16 oraz x + 3y = 36. Współrzędne punktu przecięcia tych prostych to rozwiązanie układu równań:

x + y = 16

x + 3y = 36. Układ rozwiążemy metodą eliminacji niewiadomych. Pierwsze równanie mnożymy obustronnie przez -1 i otrzymujemy:

-x - y = -16

x + 3y = 36. Dodajemy równania stronami:

-x - y + x + 3y = - 16 + 36.

Porządkujemy:

2y = 20

y = 10. Z pierwszego z równań wyliczamy wartość x odpowiadającą y = 10

x + 10 = 16 x = 6.

Wierzchołek 4 ma współrzędne x = 6, y = 10.




36

Wierzchołek 5 jest punktem przecięcia dwóch prostych o równaniach x + y = 16 oraz x = 10. Zatem y = 6. Wierzchołek 5 ma współrzędne x = 10, y = 6.

Przechodzimy do kolejnego kroku i wyliczamy wartość funkcji zysku w punkach wierzchołkowych obszaru (wielokąta) rozwiązań dopuszczalnych: – wierzchołek 1 x = 10, y = 0 z = 24 × 10 + 80 × 0 = 240

– wierzchołek 2 x = 0, y = 0 z = 24 × 0 + 80 × 0 = 0 – wierzchołek 3 x = 0, y = 12 z = 24 × 0 + 80 × 12 = 960

– wierzchołek 4 x = 6, y = 10 z = 24 × 6 + 80 × 10 = 944

– wierzchołek 5 x = 10, y = 6 z = 24 × 10 + 80 × 6 = 720

Funkcja zysku przyjmuje największą wartość (960) w wierzchołku 3. Tak więc właściciel gospodarstwa, aby osiągnąć maksymalny zysk powinien hodować 12 świń i nie hodować gęsi. Zysk, jaki w tym przypadku uzyska, wyniesie 960 złotych.

Wykorzystana w rozwiązaniu metoda graficzna może być stosowana do rozwiązywania innych zadań podobnego typu. Jedynym ograniczeniem jej jest liczba zmiennych decyzyjnych – dopuszcza się tylko dwie zmienne. W przypadku, gdy zmiennych decyzyjnych jest więcej, stosować można tak zwaną metodę simpleks, która nie będzie omawiana w tym opracowaniu (zainteresowani mogą zajrzeć do literatury), lub ... komputer, np. Solver Excela. W tym ostatnim przypadku, zanim będziemy mogli „nacisnąć Enter”, należy przetłumaczyć na język nierówności liniowych wszystkie ograniczenia, a także określić funkcję celu. Tego, niestety, komputer nie potrafi.

Druga ważna uwaga. Zadania rozważanego typu, w których należy znaleźć wartość największą (najmniejszą) funkcji celu (funkcja liniowa!), przy danych (znowu: liniowych!) ograniczeniach, może nie mieć rozwiązania, ale też może mieć nieskończenie wiele rozwiązań – wystarczy, aby prosta, którą w graficznym rozwiązaniu „przesuwaliśmy w górę”, była równoległa do któregoś z boków obszaru rozwiązań dopuszczalnych.

ZADANIA

1. Wyprodukowanie x precli kosztuje K(x) = 0,3x + 20, przychód wynosi R(x) = 0,8x, gdzie K(x) i R(x) podane są w dolarach. a) Przy jakiej ilości produkcji przychód i koszty są równe? b) Jaki jest dochód ze sprzedaży 100 precli? c) Ile precli trzeba wyprodukować i sprzedać, aby uzyskać dochód w wysokości 500

dolarów? 2. Planowanie produkcji. Producent artykułów biurowych wyrabia dwa rodzaje spinaczy:

standartowe i bardzo duże. Zrobienie 1000 standartowych spinaczy wymaga 1/4 godziny przy maszynie do cięcia i 1/2 godziny przy maszynie formującej. 1000 dużych spinaczy zajmuje po1/3 godziny na obu maszynach. Producent ma dostęp do maszyny do cięcia




37

przez 4 godziny dziennie, a do maszyny formującej przez 6 godzin dziennie. Ile każdego rodzaju spinaczy może zrobić?

3. Inwestycje. Jan Kowalski planuje zakup udziałów dwóch firm. Udziały jednej firmy kosztują 128 zł za udział i przynoszą dywidendy w wysokości 4,80 zł za udział. Udziały drugiej firmy kosztują 92 zł za udział i przynoszą dywidendy 5,60 zł za udział. Jan ma 40.000 zł do wydania i chce zarobić w dywidendach 2160 zł. Ile udziałów każdej z firm powinien kupić?

4. Produkcja. Indianie Waputi robią plecione koce, dywany i spódnice. Każdy koc wymaga 24 godzin przędzenia wełny, 4 godziny farbowania wełny oraz 15 godzin plecenia. Dywany wymagają odpowiednio: 30, 5 i 18 godzin, zaś spódnice odpowiednio: 12, 3 i 9 godzin. Jeśli mamy odpowiednio 306, 59 i 201 godzin na przędzenie, farbowanie i plecenie, ile każdego z produktów można wyprodukować?

5. Dystrybucja. Rafineria oleju w Tulsie sprzedaje 50% swojego wydobycia dystrybutorowi z Chicago, 20% dystrybutorowi z Dallas i 30% dystrybutorowi z Atlanty. Inna rafineria, z Nowego Orleanu, sprzedaje 40% dystrybutorowi z Chicago, 40% dystrybutorowi z Dallas i 20% dystrybutorowi z Atlanty. Trzecia rafineria w Ardmore sprzedaje tym samym dystrybutorom 30%, 40% i 30% swojej produkcji. Trzej dystrybutorzy otrzymali odpowiednio 219000, 192000 i 144000 litrów oleju. Ile oleju wyprodukowano w poszczególnych rafineriach?

6. Zarządzanie czasem. Cukiernia piecze zarówno ciasta, jak i ciastka. Każdy wypiek 1 porcji ciast wymaga 2 godzin w pieczenia i 3 godzin dekorowania. Każda porcja ciastek potrzebuje 1 1/2 godziny w pieczenia oraz 2/3 godzin dekorowania. Piec jest dostępny przez 15 godzin dziennie, a pokój do dekorowania tylko przez 13 godzin. Zapisz układ nierówności wynikających z treści zadania, a następnie rozwiąż go graficznie.

7. Firma produkuje 2 rodzaje pizzy: specjalną i podstawową. Specjalna ma dodatki: ser, pomidory i inne warzywa. Podstawowa ma tylko ser i pomidory. Firma sprzedaje dziennie przynajmniej 6 sztuki specjalnej i 4 sztuki podstawowej. Koszt warzyw (włączając pomidory) wynosi 2 zł za sztukę specjalnej i 1 zł za sztukę podstawowej. Nie więcej niż 32 zł może być wydane dziennie na warzywa (włączając pomidory). Ser użyty na jedną pizzę specjalną kosztuje 5 zł, a ser na jedną pizzę podstawową kosztuje 4 zł. Firma nie może wydać więcej niż 100 zł dziennie na ser. Zapisz system nierówności, a następnie rozwiąż go graficznie.

8. Dochód. Ile sztuk rożnych rodzajów pizzy powinna firma z zadania 7 zrobić, aby zmaksymalizować dochód, jeśli specjalna kosztuje 20 zł za sztukę, a podstawowa 15 zł za sztukę.

9. Finanse. Bank podjął decyzję o przeznaczeniu kwoty co najwyżej $25000000 na pożyczki dla osób prywatnych oraz komercyjne. Każdy milion dolarów pożyczki komercyjnej wymaga wypełnienia dwóch długich ankiet, podczas gdy pożyczka 1 miliona dolarów osobie indywidualnej wymaga wypełnienia 3 długich ankiet. Bank nie może przyjąć więcej niż 72 ankiety w tym czasie. Bank powinien dawać przynajmniej 4 razy więcej na pożyczki pod dom niż na pożyczki komercyjne. Z powodu wcześniejszych postanowień przynajmniej $10000000 będzie użyte na oba rodzaje pożyczek. Bank zarabia 12% na pożyczkach pod dom i 10% na pożyczkach komercyjnych. Jaka kwota powinna być przeznaczona na każdą z tych pożyczek, aby zmaksymalizować wpływy banku?

10. Mieszanie nasion. Mieszanka nasion traw Topgrade Turf zawiera trzy rodzaje nasion: Bermuda, Bluegrass i żyto. Ceny za kilogram wynoszą odpowiednio: 0,20 zł, 0,48 zł oraz 0,60 zł. W każdej mieszance musi być przynajmniej 20% nasion Bluegrass, a ilość nasion




38

Bermuda nie może przekraczać 2/3 ilości nasion żyta. Aby pokryć aktualne zamówienia, firma musi wyprodukować 5000 kilogramów mieszanki. Ile każdego rodzaju nasion powinno być użyte by koszt był jak najniższy?

11. Transport. Producent popularnego komputera (PC) ma zamówienia od dwóch sprzedawców. Sprzedawca D1 chce przynajmniej 32 komputery, a sprzedawca D2 chce przynajmniej 20 komputerów. Producent może wypełnić zamówienia z jednego z dwóch magazynów W1 lub W2. W1 ma 25 komputerów do dyspozycji zaś W2 ma 30. Koszt (w dolarach) przesłania jednego komputera do sprzedawcy z magazynu podano poniżej.

sprzedawca D1 D2 magazyn W1 $14 $12 W2 $12 $10

Jak powinny być wypełnione zamówienia, aby zminimalizować koszty?

12. Produkcja. Stanisław Nowak sprzedaje w swoim sklepie trzy artykuły: A, B oraz C. Zakup jednostki A związany jest z kosztami zakupu w wysokości 20 złotych, koszty sprzedaży to 4 złote i 8 złotych to koszty doręczenia do klienta. W przypadku artykułu B koszty wynoszą odpowiednio: 12, 8 i 4 złote, a za każdą jednostkę C koszty wynoszą odpowiednio 24, 8 i 20 złotych. Dochód ze sprzedaży jednej jednostki A wynosi 8, z B 12, a z C 12 złotych. Ile Nowak powinien zamówić towaru każdego rodzaju, aby zmaksymalizować swój dochód, jeśli może przeznaczyć 4800 złotych na koszty kupna, 3200 złotych na koszty sprzedaży oraz 2000 złotych na koszty transportu?

13. Koszty produkcji. Tomacik produkuje puszkowane całe pomidory i sos pomidorowy. W tym sezonie firma ma do dyspozycji 3.000.000 kilogramów pomidorów na produkcję tych dwóch produktów. Aby zaspokoić zapotrzebowanie klientów, firma musi wyprodukować co najmniej 80.000 kilogramów sosu oraz co najmniej 800.000 kilogramów pomidorów w puszkach. Koszt wyprodukowania 1 kilograma sosu wynosi 3.25 złotego, a pomidorów w puszce 4 złote. Wymogi pracy przewidują przeznaczenie minimum 110000 osobogodzin na produkcję. Każda puszka sosu wymaga 3 minut pracy jednego robotnika, a każda puszka pomidorów wymaga 6 minut pracy jednego robotnika. Ile kilogramów pomidorów powinien Tomacik użyć do produkcji poszczególnych przetworów, aby zminimalizować koszty? Dla uproszczenia przyjmujemy, iż produkcja y1 kilogramów pomidorów w puszce oraz y2 kilogramów sosu pomidorowego wymaga y1+ y2 kilogramów pomidorów.

Zastosowanie matematyki i ekonometrii w zarządzaniu Rozdział V: Funkcje



39

ROZDZIAŁ V: FUNKCJE

Pojęcie funkcji jest jednym z podstawowych pojęć matematyki. Ograniczymy się tutaj wyłącznie do funkcji liczbo-liczbowych. Przez funkcję liczbo-liczbową f, lub po prostu funkcję, rozumiemy przyporządkowanie każdej liczbie x z pewnego zbioru D liczb rzeczywistych dokładnie jednej liczby rzeczywistej y. Zapisujemy to:

y = f(x). Liczbę x ze zbioru D nazywamy argumentem funkcji f lub zmienną niezależną, y nazywamy wartością funkcji f dla zmiennej x. Zbiór D nazywany dziedziną funkcji f. Za przykład funkcji mogą służyć rozważane w poprzednim rozdziale ciągi. Ciąg a 1 , a 2 ,...,a n ,... to zbiór wartości funkcji, której dziedziną jest zbiór {1,2,...}, a a n jest wartością tej funkcji dla zmiennej n, tj. a n = f(n). A oto inne przykłady.

Przykład 1. Koszt produkcji jednorodnej jest funkcją wielkości produkcji. Każdej wielkości produkcji odpowiada ściśle określony jej koszt. Jeśli przez x oznaczymy wielkość produkcji, a K oznaczać będzie odpowiadający jej koszt, to ostatnie stwierdzenie możemy zapisać:

K = K(x). Funkcję tę nazywamy funkcją kosztu produkcji. Przykład 2. Funkcja kosztu jednostkowego k. Jeśli wyprodukowanie x jednostek kosztuje

K(x), to wyprodukowanie jednej jednostki kosztuje xxK )( , a zatem jeśli k(x) oznacza koszt

wyprodukowania jednej jednostki przy wielkości produkcji x jednostek, to:

k(x) = xxK )( .

Przykład 3. Jeśli przyjmiemy, iż wszystkie czynniki wpływające na popyt na dane dobro są z wyjątkiem ceny stałe, to popyt jest funkcją ceny. To znaczy, iż jeśli przez p oznaczymy cenę towaru, a przez q popyt na ten towar, to:

q = f(p).

Funkcje określać można w różny sposób. Analityczny sposób przedstawiania funkcji polega na tym, iż zależność funkcyjna wyraża się wzorem:

y = f(x), gdzie f(x) jest wyrażeniem zależnym od zmiennej x i być może innych (stałych) parametrów.

Przykładowo: f(x) = 3x + 7, f(x) = (ax - b) 2 – a i b są tutaj wielkościami stałymi (parametrami).




40

Tabelaryczne przedstawienie funkcji polega na zestawieniu wartości zmiennej niezależnej x oraz zmiennej zależnej y, które otrzymano na drodze doświadczalnej w wyniku obserwacji lub za pomocą obliczeń. Metoda tabelarycznego przedstawiania funkcji, choć w zastosowaniach ekonomicznych używana najczęściej, nie jest metodą najlepszą – w tabeli podane są tylko niektóre wartości argumentu i odpowiadających im wartości funkcji.

Przykład 4. Następująca tablica zawiera rezultaty badania zależności kosztu produkcji K(x) od ilości x wytworzonej produkcji.

Ilość produkcji (w tonach)

Koszt produkcji (w tys. zł)

x K(x) 1 128 2 200 3 290 4 360 5 423 6 470

Rozważmy jeszcze jeden przykład przedstawienia tabelarycznego. Przedstawmy tabelarycznie funkcję zadaną wzorem y = 3x + 1.

x y = 3x + 1 -2 -5 -1 -2 0 1 1 4 2 7 3 10

Zauważmy, iż każdy wiersz tabeli to para liczb – (wartość argumentu, wartość funkcji dla tego argumentu), a zatem par postaci (x, f(x)). Zbiór wszystkich takich par (par utworzonych dla wszystkich wartości x z dziedziny funkcji) nazywamy wykresem funkcji:

y = f(x). Wykres funkcji często bywa przedstawiany graficznie na płaszczyźnie z układem współrzędnych. Przez układ współrzędnych rozumiemy dwie prostopadłe osie liczbowe przecinające się w punkcie, któremu na obu osiach odpowiada liczba 0. Jedną z nich, zazwyczaj poziomą, oznaczamy X i nazywamy osią odciętych, przyjmując na niej kierunek dodatni na prawo od punktu 0. Drugą, pionową, oznaczamy Y i nazywamy osią rzędnych, przyjmując kierunek dodatni w górę od punktu 0. Jednostki na osiach można przyjąć zarówno takie same, jak i różne – w zależności od potrzeb.




41

Każdy punkt P płaszczyzny z układem współrzędnych wyznacza parę liczb (a,b) nazywanych współrzędnymi punktu P. Pierwszą z liczb otrzymujemy, prowadząc przez punkt P prostą prostopadłą do osi odciętych aż do jej przecięcia z tą osią – liczba przyporządkowana punktowi przecięcia na osi x to liczba a. Liczba b to liczba przyporządkowana punktowi przecięcia osi rzędnych i prostej do niej prostopadłej przechodzącej przez punkt P. (Patrz rysunek wyżej). Prawdą jest też, iż i każda para liczb wyznacza dokładnie jeden punkt płaszczyzny. Możemy zatem teraz utożsamiać wykres funkcji y = f(x) ze zbiorem punktów płaszczyzny o współrzędnych (x,f(x)). Rysunek poniżej przedstawia wykres funkcji z przykładu 4.

Funkcja y = 3x + 2 jest przykładem funkcji rosnącej. Formalnie funkcja rosnąca to każda taka funkcja f, która spełnia następujący warunek:

dla dowolnych wartości x 1 i x 2 z dziedziny funkcji f, jeśli x 1 < x 2 to f(x 1 ) < f(x 2 ).

Funkcję rosnącą łatwo rozpoznać patrząc na jej wykres – wykres pnie się w prawo w górę. Podobnie definiuje się funkcję malejącą. Musi ona spełniać następujący warunek:

dla dowolnych wartości x 1 i x 2 z dziedziny funkcji f, jeśli x 1 < x 2 , to f(x 1 ) > f(x 2 ).

Przykładem funkcji malejącej jest funkcja y = -x +2. A oto jej wykres:




42

Wykres funkcji malejącej opada w prawo w dół.

Oba typy funkcji, malejąca i rosnąca, są przykładami kolejnego rodzaju funkcji – tzw. funkcji różnowartościowej. Funkcję f nazywamy funkcją różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek:

dla dowolnych wartości x 1 i x 2 z dziedziny funkcji f, jeśli x 1 ≠ x 2 , to f(x 1 ) ≠ f(x 2 ),

tzn. rożnym wartościom argumentu odpowiadają różne wartości funkcji.

Przykładem funkcji, która nie jest różnowartościowa jest funkcja y = x 2 - 1 o wykresie przedstawionym na rysunku poniżej.

Funkcja ta nie jest ani rosnąca, ani malejąca. Zauważmy jednak, iż jeśli wartość argumentu x znajduje się w przedziale (-∞, 0), to funkcja jest malejąca, natomiast dla x z przedziału (0,+∞) funkcja jest rosnąca. Mówimy w takim przypadku, iż funkcja jest przedziałami rosnąca i przedziałami malejąca. Inny przykład wykresu funkcji tego typu przedstawia kolejny rysunek.




43

Funkcja o takim wykresie jest rosnąca w każdym z dwu przedziałów (- ∞,a) i (b,+∞) oraz malejąca w przedziale (a,b).

5.1. PRZYKŁADY FUNKCJI A oto najczęściej spotykane w zastosowaniach ekonomicznych funkcje, ich wykresy i krótkie omówienie.

1. Funkcja liniowa – funkcja w postaci: y = ax + b.

Jest to najpopularniejsza, najprostsza i zarazem najważniejsza ze wszystkich funkcji. Wykresem każdej takiej funkcji jest linia prosta (stąd też i nazwa). Dwa przykłady funkcji tego typu pojawiły się już wcześniej. Współczynnik a nazywany jest współczynnikiem kierunkowym prostej. W przypadku gdy jest on dodatni, funkcja liniowa jest rosnąca (im większy, tym szybciej funkcja rośnie, tzn. wykres jest bardziej stromy). Gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny to funkcja y = ax + b jest malejąca. Jeśli a = 0, to funkcja przybiera postać y = b – wartości tej funkcji nie zależą od wartości argumentu funkcji. Funkcja taka nazywa się funkcją stałą. Poniżej przedstawione są wykresy funkcji liniowej y = ax + 1 dla rożnych wartości współczynnika kierunkowego a.




44

Jeśli wybierzemy dwa dowolne punkty na wykresie funkcji liniowej y = ax + 1, np. (x 1 ,

ax 1 + b) oraz (x 2 , ax 2 + b), to iloraz 12

12

x- x)(ax - b)+ (ax b+ = a. Uwagę tę wykorzystamy

później, gdy będzie mowa o ilorazie różnicowym funkcji.

Uwaga 1. Funkcje liniowe są często używane jako funkcje popytu i podaży. Na ogół wzrost ceny powoduje spadek popytu, ale też wzrost podaży. Z drugiej strony, gdy popyt na dane dobro wzrasta, to wzrasta też jego cena, powodując spadek podaży.

Mimo iż ekonomiści uważają cenę za zmienną niezależną, to rysując wykresy, umieszczają tę zmienną na osi pionowej, podczas gdy wszyscy inni dla zmiennej niezależnej wykorzystuje oś poziomą. Uwaga 2. W ekonomii przez koszt marginalny rozumie się szybkość zmian funkcji kosztów K(x), gdzie x jest wielkością produkcji. W przypadku gdy funkcja kosztów jest funkcją liniową, koszt marginalny jest równy współczynnikowi kierunkowemu tej funkcji. Koszt marginalny określa koszt wyprodukowania jednej dodatkowej jednostki produkcji. W przypadku liniowej funkcji kosztów jest on stały.

2. Funkcje wielomianowe wykorzystywane są w analizie kosztów produkcji. Są to funkcje zadawane wzorami następującej postaci:

y = a 0 + a 1 x + … + a n x n ,

gdzie n oznacza liczbę naturalną, a 0 , a 1 ,...,a n są liczbami rzeczywistymi, zaś a n jest różne od 0. Mówimy o takiej funkcji, iż jest funkcją wielomianową stopnia n. Przykładem funkcji wielomianowej stopnia 2 jest wspomniana już funkcja:

y = x 2 - 1,




45

zwana też funkcją kwadratową. Ograniczymy się do krótkiego omówienia funkcji kwadratowych. Funkcja kwadratowa jest to funkcja zadana wzorem:

y = ax 2 + bx + c,

gdzie, tak jak i wyżej a,b,c są liczbami rzeczywistymi oraz a ≠ 0. Krzywą, która jest wykresem funkcji kwadratowej, nazywamy parabolą. Jej kształt zależy od współczynnika a. Jeśli a> 0, to parabola jest otwarta do góry (skierowana ramionami do góry), a jeśli a< 0, to jest otwarta w dół (skierowana ramionami w dół). Patrz wykresy niżej.

Charakterystyczne punkty wykresu funkcji kwadratowej, tzn. współrzędne wierzchołka paraboli (xw , yw ), czyli punktu najniżej położonego na paraboli, dla a 2 > 0, oraz najwyżej położonego na paraboli, dla a 2 < 0), jak również współrzędne x 1 i x 2 punktów przecięcia paraboli z osią odciętych (to jest wartości argumentu, dla których funkcja przyjmuje wartość 0) można wyznaczyć w oparciu o wzory:

xw = -a

b2

yw = - a

acb4

42 −

x 1 = a

acbb2

42 −−− x 2 =

aacbb

242 −+−

.

Zauważmy, iż dla pewnych wartości a,b,c wyrażenia określające x 1 i x 2 nie mają sensu. Jest tak w przypadku, gdy pod pierwiastkiem pojawi się wielkość ujemna, tj. kiedy b 2 - 4ac < 0. W tym przypadku parabola nie przecina osi odciętych i jest położona całkowicie nad – gdy a > 0, lub całkowicie pod osią odciętych – gdy a < 0.




46

3. Funkcja wykładnicza jest wykorzystywana do opisu tendencji rozwojowej. Jest to funkcja dana wzorem:

y = a x ,

gdzie a jest liczbą rzeczywistą większą od zera. Dziedziną tej funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Jest to funkcja rosnąca, gdy a > 1, malejąca, gdy a < 1 i stała w przypadku a = 1. Wykresy funkcji wykładniczej przedstawione są poniżej.

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja:

y = e x ,

gdzie, przypomnijmy, e ≈ 2,71. 4. Funkcja logarytmiczna y = log a x , gdzie a jest liczbą rzeczywistą dodatnią różną od 1. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Funkcja ta jest rosnąca, gdy a > 1, i malejąca, gdy 0 < a < 1. Wykres funkcji logarytmicznej przedstawiony jest na poniższym rysunku.

Krzywa niebieska – wykres funkcji y = log2x, krzywa różowa – wykres funkcji y = log0,5x. Ciekawą własność funkcji logarytmicznej i wykładniczej przedstawiają następujące równości:

log a a x = x oraz a xalog = x.




47

5. Funkcja logistyczna. Jest to funkcja dana wzorem

y = cxbea

−+1,

gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Dziedziną tej funkcji jest zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których mianownik wyrażenia z prawej strony znaku równości jest różny od zera. Funkcja logistyczna jest funkcją rosnącą, wykres przedstawia rysunek poniżej.

6. Funkcje Tornquista – są to funkcje będące szczególnymi przykładami tzw. funkcji homograficznych, a używane są do opisu zależności pomiędzy wielkością wydatków na zakup a wielkością dochodu. Są to funkcje trzech typów. 1) Funkcja Tornquista pierwszego typu opisuje zależność pomiędzy wydatkami y w gospodarstwach domowych na dobra podstawowe i wielkością dochodu x na członka rodziny. Funkcja ta jest dana wzorem następującej postaci:

y = abx

x+

,

gdzie a > 0, b > 0 oraz, zgodnie z interpretacją, x > 0. Wykres wygląda następująco:




48

2) Funkcja Tornquista drugiego typu opisuje zależność pomiędzy wydatkami y w gospodarstwach domowych na dobra wyższego rzędu i wielkością dochodu x na członka rodziny. Funkcja ta jest dana wzorem następującej postaci:

y = abxcx

+− ,

gdzie a > 0, b > 0, c > 0 oraz, zgodnie z interpretacją, x > c (dla 0 < x ≤ c przyjmujemy, iż funkcja przyjmuje wartość 0). Wykres wygląda następująco:

3) Funkcja Tornquista trzeciego typu opisuje zależność pomiędzy wydatkami y w gospodarstwach domowych na dobra luksusowe i wielkością dochodu x na członka rodziny. Funkcja ta jest dana wzorem następującej postaci:

y = axbxcx

+− ,

gdzie a > 0, b > 0, c > 0 oraz, zgodnie z interpretacją, x > c (dla 0 < x ≤ c przyjmujemy, iż funkcja przyjmuje wartość 0). Wykres wygląda następująco:

Wszystkie trzy typy funkcji Tornquista są przykładami funkcji rosnących. Należy pamiętać, iż dziedzinę każdej z funkcji tworzą wszystkie liczby rzeczywiste dodatnie.




49

5.2. GRANICA FUNKCJI

Podobnie jak w przypadku ciągów, tak i w przypadku funkcji można rozważać pojęcie granicy. Pytając o granice funkcji y = f(x) w punkcie x 0 chcemy wiedzieć, co dzieje się z wartościami funkcji, jeśli wartości argumentu funkcji są bliskie x 0 . Granicę funkcji definiuje się następująco.

Definicja. Mówimy, iż funkcja y = f(x) ma granicę g, gdy wartości argumentu dążą do x 0 lub krócej, iż funkcja y = f(x) ma granice g w (punkcie) x 0 , i zapisujemy:

( ) gxfxx

=→ 0

lim

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {x n }, którego elementy należą do dziedziny funkcji f, takiego iż lim x n = x 0 oraz x n ≠ x 0 , ( ) gxf nx

=∞→

lim .

Mówić też będziemy, iż funkcja y = f(x) ma granice w punkcie x 0 , mając na myśli to, iż istnieje taka liczba g, która jest granicą funkcji f w punkcie x 0 .

Uwaga. Granice funkcji bada się również w przypadku, gdy wartość zmiennej x zmierza do +∞, tzn. x rośnie nieograniczenie, oraz gdy x zmierza do -∞.

Przykład 5. Obliczmy granicę funkcji y = x 2 + 1 w punkcie 1, tj. lim (x 2 + 1). Funkcja y = x 2 + 1 jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych (tzn. dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych). Budujemy dowolny ciąg {x n } Nn ∈ , taki iż 1lim =

∞→ nxx i

x n ≠ 1. Widzimy, iż odpowiedni ciąg wartości funkcji {x n2 + 1} jest zbieżny do 2. Zatem

( ) 21lim 2

1=+

→x

x.

Przykład 6. Rozpatrzmy funkcję:

-3x + 1 dla x ≥ 0 f(x) =

x - 1 dla x < 0

i zbadajmy jej granicę w 0. Jeśli weźmiemy ciąg x n = 1

1+n

, to oczywiście 0lim =∞→ nx

x , x n ≠

0. Łatwo też zauważyć, iż 111

13lim =

+

+−

∞→ nn. Biorąc natomiast jako ciąg {x n } Nn ∈ ciąg

{-1

1+n

} Nn ∈ , otrzymamy 11)1

1(3lim −=

−

+−−

∞→ nn. Zauważamy, iż dla dwu różnych




50

ciągów wartości argumentu zbieżnych do 0 odpowiadające im ciągi wartości funkcji mają różne granice. Zatem funkcja y = f(x) nie ma granicy w 0.

Przykład 7. Obliczmy granicę funkcji y = 2)2(

1−x

w punkcie 2. Zauważmy, iż jeśli

wybierzemy dowolny ciąg { x n } Nn ∈ taki, iż 2lim =∞→ nx

x ,

to ciąg {x n -2} Nn ∈ będzie dążył do 0, a zatem ( )

02

1lim 2 =−∞→

nn x

.

Ostatni przykład ilustruje jeszcze jedno pojęcie – pojęcie granicy jednostronnej.

Definicja. Mówimy, iż funkcja y = f(x) ma granicę prawostronną g w (punkcie) x0, i zapisujemy:

( ) gxf nxn

=+→ 0

lim

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {x n }, którego elementy należą do dziedziny funkcji f, takiego iż 0lim xxnn

=∞→

oraz x n > x 0 , 0lim xxnn=

∞→, ( ) gxf nn

=∞→

lim .

Definicja. Mówimy, iż funkcja y = f(x) ma granicę lewostronną g w (punkcie) x 0 , i zapisujemy:

( ) gxf nxn

=−→ 0

lim .

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu {x n }, którego elementy należą do dziedziny funkcji f, takiego iż 0lim xxnx

=∞→

oraz x n < x 0 , ( ) gxf nx=

∞→lim .

W przypadku funkcji z przykładu 6 możemy powiedzieć, iż prawostronna granica tej funkcji w 0 jest równa 1, natomiast lewostronna w 0 jest równa -1.

Uwaga. Ostatnie stwierdzenie jest prawdziwe. Jednak na podstawie rozumowania przedstawionego w przykładzie 6, możemy jedynie wysnuć przypuszczenie co do istnienia granicy lewo- i prawostronnej. Pojęcia granicy funkcji w punkcie i granic jednostronnych tej funkcji w tym samym punkcie łączy poniższe twierdzenie.

Twierdzenie. Funkcja y = f(x) ma granice g w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ta ma w punkcie x 0 granicę lewostronną oraz prawostronną i granice te są sobie równe.

W przypadku funkcji wykorzystywanych przez metody wspomagania zarządzania obliczanie ich granic nie będzie sprawiało trudności, przynajmniej w tych punktach, w których te funkcje są określone. To znaczy, iż jeśli x 0 należy do dziedziny funkcji f(x), to lim f(x) = f(x 0 ). Funkcję o takiej własności nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x 0 .




51

Definicja. Funkcję y = f(x) nazywamy funkcją ciągłą w x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy:

1) x 0 należy do dziedziny funkcji f(x);

2) ( )xfxx 0

lim→

istnieje;

3) ( ) ( )00

lim xfxfxx

=→

.

Przykład 8. Funkcja z przykładu 6 nie jest funkcją ciągłą w 0, ponieważ nie jest spełniony warunek 2 definicji funkcji ciągłej. Funkcja ta jest ciągła w każdym x 0 ≠ 0.

Definicja. Funkcję y = f(x) nazywamy funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.

Przykład 9. Funkcje: liniowa, wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna i Tornquista są funkcjami ciągłymi. Patrząc na wykresy funkcji z przykładu 9 można zauważyć, iż wykres każdej z nich jest linią ciągłą, tzn. linią, którą można narysować bez odrywania ołówka od kartki papieru. Jest to ważna własność funkcji ciągłych, mająca praktyczne zastosowanie. Często zdarza się, iż musimy znaleźć taką wartość x 0 argumentu funkcji f, dla której ta funkcja przyjmuje wartość 0. Często też znalezienie dokładnej wartości takiego x 0 nie jest możliwe i należy użyć metod przybliżonych. Wówczas pomocna okazuje się ciągłość funkcji. Przypuśćmy, iż mamy ciągłą funkcję y = f(x), przedział [a,b] jest zawarty w dziedzinie tej funkcji, f(a) < 0 i f(b) > 0.

Każda linia ciągła łącząca punkty (a,f(a)) i (b,f(b)) wykresu funkcji y = f(x) musi przeciąć w co najmniej jednym punkcie oś odciętych, a zatem istnieje co najmniej jedno x 0 takie, iż f(x 0 ) = 0. Jeśli podzielimy przedział [a,b] punktem a 1 na dwie równe części, to może się zdarzyć, że: 1) f(a 1 ) = 0 – mamy to, czego szukaliśmy (jest mało prawdopodobne, iż tak się zdarzy),




52

2) f(a 1 ) > 0 – w tym przypadku przedział [a,b] zastąpimy przedziałem [a, a 1 ], 3) f(a 1 ) < 0 – w tym przypadku przedział [a,b] zastąpimy przedziałem [a 1 , b].

Zarówno w przypadku 2, jak i 3 otrzymamy przedział dwukrotnie krótszy od wyjściowego [a,b] i taki, iż na końcach przedziału funkcja f przyjmuje wartości różnych znaków i znów możemy go podzielić na pół punktem a 2 , dla którego: 1) f(a 2 ) = 0 – mamy to, czego szukaliśmy albo 2) f(a 2 ) > 0 – w tym przypadku przedział [a,b] zastąpimy przedziałem [a, a 2 ], albo 3) f(a 2 ) < 0 – w tym przypadku przedział [a,b] zastąpimy przedziałem [a 2 , b].

Kontynuując tę procedurę, albo znajdziemy poszukiwaną wartość x 0 , albo też znajdziemy tak mały przedział, do którego poszukiwane x 0 należy, iż każdy z końców tego przedziału będzie wystarczająco blisko poszukiwanego x 0 , tzn. każdy z końców przedziału da nam przybliżoną wartość x 0 .

Wróćmy do granic funkcji. Interesować będziemy się teraz zagadnieniami dwóch typów:

1) co dzieje się z wartościami funkcji, jeśli wartości argumentu tej funkcji zbliżają się do punktu, w którym funkcja nie jest określona – czyli pytaniem o lim f(x), w przypadku gdy x 0 nie należy do dziedziny funkcji, oraz

2) co się dzieje z wartościami funkcji, gdy wartości argumentu rosną nieograniczenie.

Przykład 10. Rozpatrzmy funkcję y = 8265

2

2

−++−

xxxx . Dziedziną tej funkcji jest zbiór tych

wszystkich liczb rzeczywistych, dla których mianownik przyjmuje wartości różne od 0 (to oznacza, iż do dziedziny tej funkcji nie należą 2 i -4).

8265

lim 2

2

2 −++−

→ xxxx

x =

)4)(2()3)(2(lim

2 +−−−

→ xxxx

x = lim

43

+−

xx = - 1

6

8265

lim 2

2

4 −++−

−→ xxxx

x =

)4)(2()3)(2(lim

4 +−−−

−→ xxxx

x = lim

43

+−

xx .

Jeśli teraz x jest bliskie –4, to licznik ostatniego wyrażenia jest bliski -7, natomiast mianownik będzie bliski 0, przy czym jeśli x < -4 to mianownik będzie ujemny, a jeśli x > -4,

to mianownik będzie dodatni. Możemy zatem powiedzieć, iż granica 8265lim 2

2

4 −++−

−→ xxxx

x

lewostronna w -4 jest równa +∞, natomiast granica prawostronna w -4 jest równa -∞.

Funkcja y = 8265

2

2

−++−

xxxx

nie ma granicy w punkcie -4.

Przykład 11. Zbadajmy zachowanie się funkcji z przykładu 10 dla rosnących nieograniczenie

wartości zmiennej x, tj. ustalmy, czy 8265lim 2

2

−++−

+∞→ xxxx

x istnieje i, jeśli istnieje, jaka jest. Mamy:




53

lim 8265

2

2

−++−

xxxx = lim 22

22

:)82(:)65(

xxxxxx

−++− = lim

2

2

821

651

xx

xx

−+

+− = 1,

ponieważ x rośnie nieograniczenie, to x5 ,

2

6x

, x2 , 2

8x

dążą do 0.

Przykład 12. Obliczmy 82

65lim 2 −++−

∞→ xxx

x

8265lim 2 −+

+−∞→ xx

xx

= xxx

xxx :)82(

:)65(lim 2 −++−

∞→ =

xx

xx 82

65lim

−+

+−

∞→ = 0.

Ponieważ dla bardzo dużych wartości x licznik ostatniego wyrażenia -5+ x6 jest bardzo bliski

-5, można przyjąć, iż jest stały, natomiast mianownik x + 2 - x8 jest bardzo duży. Zatem

wartość całego wyrażenia jest bliska 0.

Przykład 13. Obliczmy 8265lim 2

3

−++−

∞→ xxxx

x

8265lim 2

3

−++−

∞→ xxxx

x =

22

23

:)82(:)65(lim

xxxxxx

x −++−

∞→ =

2

2

821

65

lim

xx

xxx

x−+

+−

∞→ = +∞.

Ponieważ dla dużych wartości x mianownik 1 + x2 - 2

8x

jest bliski 1, można przyjąć, iż jest

stały, natomiast licznik jest bardzo duży i rośnie wraz ze wzrostem x.

5.3. POCHODNA FUNKCJI

Zajmiemy się teraz rozwiązaniem poniższego problemu:

Problem 1. W przedsiębiorstwie przemysłowym o jednorodnej produkcji zależność kosztu produkcji K(x) od ilości produkcji x jednostek określa funkcja:

K(x) = xxx 12331 23 +− (x ≥ 0),




54

a zależność dochodu D(x) przedsiębiorstwa ze sprzedanej produkcji od ilości produkcji x jednostek określa funkcja:

D(x) = 12x - x 2 (x ≥ 0).

Znaleźć taką wielkość produkcji, żeby zysk był maksymalny. W tym przypadku zysk:

Z(x) = D(x) - K(x).

Z matematycznego punktu widzenia należy znaleźć taką wartość zmiennej x, dla której funkcja Z(x) przyjmuje wartość największą. W tym celu należy doprecyzować pewne pojęcia i zbudować aparat, który pozwoli znaleźć szukaną wartość zmiennej x.

Rozpatrzmy funkcję y = f(x) oraz dwa różne punkty x 1 i x 2 należące do dziedziny tej funkcji. Różnice x 2 - x 1 nazywamy przyrostem zmiennej x liczonym od punktu x 1 i oznaczamy ∆x. Zauważmy, iż jeśli x 1 < x 2 , to ∆x > 0, a jeśli x 1 > x 2 , to ∆x < 0. Różnicę f(x 2 ) - f(x 1) nazywamy przyrostem funkcji f liczonym od punktu x 1 , odpowiadającego przyrostowi ∆x zmiennej x. Przyrost ten oznaczamy ∆f(x). Wyrażenie:

xxf

∆∆ )( =

x- x ) f(x - ) f(x

12

12

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji y = f(x) w punkcie x 1 . Iloraz ten określa średnią prędkość zmian wartości funkcji w przedziale [x 1 , x 2 ].

Przykład. Dana jest funkcja f(x) = 3x2. Obliczyć wartość ilorazu różnicowego tej funkcji, gdy wartość x wzrośnie od 1 do 2.

W danym przypadku x 1 = 1 i x 2 = 2. Wartości funkcji w tych punktach to f(x 1 ) = f(1) = 3 i f(x2) = f(2) = 12. Przyrost funkcji ∆f(x) = f(x 2 ) - f(x 1 ) = 12 - 3 = 9, przyrostem zmiennej x liczonym od punktu x 1 jest ∆x = x 2 - x 1 = 2 - 1 = 1. Zatem iloraz różnicowy jest równy:

xxf

∆∆ )( =

19 = 9.

Jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowego, gdy punkt x 2 dąży do x 1 , to granicę tę

nazywamy pochodną funkcji w punkcie x1 i oznaczamy f’(x) 1x lub dx

xdf )( 1x lub

dxdy

1x .

Zatem:

f’(x) 1x = x- x

) f(x - ) f(xlim

12

12

12 xx →.

O funkcji, która ma pochodną w punkcie x 1 , mówimy, iż jest funkcją różniczkowalną w x 1 . Jeżeli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w każdym punkcie przedziału (a,b), to mówimy, iż




55

funkcja f jest różniczkowalna w przedziale (a,b). Obliczanie pochodnej funkcji f nazywamy też różniczkowaniem funkcji f. Mając daną funkcję y = f(x) oraz punkt x 1 należący do dziedziny funkcji, możemy określić nowe przyporządkowanie: punktowi x 1 możemy przyporządkować pochodną funkcji f w punkcie x 1 . Ponieważ pochodna funkcji f w punkcie x 1 jest określona jednoznacznie (dokładniej: dla każdego x 1 z dziedziny funkcji istnieje nie więcej niż jedna pochodna funkcji f w x 1 ), przyporządkowanie to jest funkcją, którą oznaczamy y = f’(x) (dziedzina tej funkcji może być inna (mniejsza) niż dziedzina funkcji y = f(x), patrz przykład niżej). Możemy zatem mówić o pochodnej funkcji y = f’(x). Pochodną tej funkcji nazywamy drugą pochodną funkcji y = f(x) i oznaczamy y = f’’(x).

Przykład. Rozpatrzmy funkcję y = x. Ostatni napis -x to wartość bezwzględna z x i określony jest następująco: x = x, gdy x ≥ 0 oraz x = -x, gdy x < 0. Dziedziną funkcji wartość bezwzględna z x jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Iloraz różnicowy funkcji

y = x w punkcie 0 potrzebny do wyznaczenia pochodnej w 0 będzie równy 2

2

xx

= 1, jeśli

x 2 > 0, to granica prawostronna ilorazu różnicowego w 0 jest równa 1, oraz 2

2

xx−

= -1, jeśli

x 2 < 0, to granica lewostronna ilorazu różnicowego w 0 jest równa -1. Ponieważ granice prawo- i lewostronna są w 0 różne, a więc iloraz różnicowy nie ma granicy w 0, co oznacza, iż pochodna funkcji y = x w 0 nie istnieje. Prawdą jest, iż dla x > 0 pochodna funkcji y = x jest równa 1, a dla x < 0 pochodna funkcji y = x jest równa -1. Tak więc dziedziną pochodnej funkcji wartość bezwzględna z x jest zbiór liczb rzeczywistych bez zera.

Uwaga. Przypuśćmy, iż wyruszamy samochodem w podróż z miasta A, a funkcja y = f(x) mówi nam, jak daleko od miasta A znajdujemy się po x godzinach podróży. Przy takiej

interpretacji iloraz różnicowy funkcji x- x

) f(x - ) f(x

12

12 daje nam średnią prędkość, z jaką

podróżujemy między godziną x 1 a godziną x 2 . f(x 2 ) - f(x 1 ) to droga jaką przebyliśmy w czasie x 2 - x 1 . Prędkość tę możemy przyjąć za przybliżoną wartość prędkości w momencie x 1 (prędkości wskazywanej przez szybkościomierz). Im bliższe x 1 jest x 2 tym przybliżenie rzeczywistej prędkości jest lepsze. Granicą ilorazu różnicowego, jaką jest pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x 1 , jest rzeczywista, tzn. pokazywana przez szybkościomierz, prędkość w momencie x 1 .

Iloraz różnicowy ma również inną interpretację. Jest on mianowicie współczynnikiem kierunkowym prostej przecinającej wykres funkcji y = f(x) w punktach (x 1 , f(x 1 )) oraz (x 2 , f(x 2 )) (jest to tak zwana prosta sieczna). Patrz rysunek poniżej.




56

Jeśli będziemy z punktem x 2 zmierzać do punktu x 1 , to prosta sieczna będzie przybliżać się do prostej stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie (x 1 , f(x 1 )), tj. takiej prostej, która zachowuje się tak względem wykresu funkcji, jak prosta styczna do okręgu zachowuje się względem okręgu – ma z nim dokładnie jeden punkt wspólny (w okolicy punktu (x 1 , f(x 1 ))) i „dobrze do wykresu przylega”. Patrz rysunek.

Tak więc pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x 1 jest współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie (x 1 , f(x 1 )). Zauważmy teraz, iż jeśli funkcja y = f(x) jest rosnąca w przedziale (a,b) i x 1 jest dowolnym punktem tego przedziału, to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x 1 , f(x 1 )) jest dodatni, a więc pochodna funkcji w każdym punkcie tego przedziału jest dodatnia. Jeśli natomiast funkcja y = f(x) jest malejąca w przedziale (a,b) i x 1 jest dowolnym punktem tego




57

przedziału, to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x 1 , f(x 1 )) jest ujemny, a więc pochodna funkcji w każdym punkcie tego przedziału jest ujemna. Okazuje się, iż prawdziwe są również wynikania przeciwne, tzn. jeśli pochodna funkcji y = f(x) jest dodatnia we wszystkich punktach przedziału (a,b), to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca, jeśli natomiast pochodna funkcji y = f(x) jest ujemna we wszystkich punktach przedziału (a,b), to funkcja f jest w tym przedziale malejąca. Odnotujmy to raz jeszcze jako twierdzenie.

Twierdzenie. Niech y = f(x) będzie funkcją różniczkowalną w przedziale (a,b). Wówczas: • funkcja y = f(x) jest rosnąca w przedziale (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy f’(x) > 0 dla

każdego x takiego, iż a < x < b. • funkcja y = f(x) jest malejąca w przedziale (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy f’(x) < 0 dla

każdego x takiego, iż a < x < b.

Twierdzenie to stanowi podstawę do rozwiązania postawionego problemu. Najpierw musimy sprecyzować pewne pojęcia i poczynić pewne obserwacje.

Definicja. Mówimy, iż funkcja y = f(x) osiąga w punkcie x 0 maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy wartość funkcji w punkcie x 0 jest większa od wartości funkcji w pewnym przedziale (a,b) takim, że: a < x < b, tzn. istnieje takie ε > 0, iż dla każdego x takiego, iż x 0 - ε < x < x 0 + ε i x ≠ x 0 f(x 0 ) > f(x).

Definicja. Mówimy, iż funkcja y = f(x) osiąga w punkcie x 0 minimum lokalne wtedy i tylko wtedy gdy wartość funkcji w punkcie x 0 jest mniejsza od wartości funkcji w pewnym przedziale (a,b) takim, że: a < x < b, tzn. istnieje takie ε > 0, iż dla każdego x takiego, iż x 0 - ε < x < x 0 + ε i x ≠ x 0 f(x 0 ) < f(x).

Poniższy rysunek ilustruje oba pojęcia. Punkty x 0 , x 2 są punktami, w których funkcja osiąga maksimum lokalne, natomiast x 1 i x 3 są punktami, w których funkcja osiąga minimum lokalne.




58

Zwróćmy uwagę na ostatni rysunek. Punkty c, x 0 , x 1 , x 2 x 3 , d wyznaczają przedziały

(c, x 0 ), (x 0 , x 1 ), (x 1 ,x 2 ), (x 2 , x 3 ), (x 3 , d). Funkcja y = f(x) jest rosnąca w przedziałach (c, x 0 ), (x 1 ,x 2 ) i (x 3 , d), a więc jej pochodna w tych przedziałach jest dodatnia, oraz malejąca w przedziałach (x 0 , x 1 ) i (x 2 , x 3 ), a zatem jej pochodna w tych przedziałach jest ujemna. Proste styczne do wykresu funkcji w punktach o odciętych x 0 , x 1 , x 2 x 3 są poziome, co oznacza, iż współczynniki kierunkowe tych prostych są równe 0, a to z kolei oznacza, iż pochodna funkcji przyjmuje w tych punktach wartość 0. Zbierzmy te wszystkie obserwacje na rysunku.

Zauważmy, iż w punkcie, w którym funkcja osiąga maksimum lokalne, pochodna funkcji jest równa 0, na lewo od każdego takiego punktu pochodna jest dodatnia, a na prawo ujemna. W punktach, w których funkcja przyjmuje minimum lokalne, pochodna funkcji jest równa 0, na




59

lewo od każdego takiego punktu pochodna jest ujemna, a na prawo dodatnia. Prawdziwe jest poniższe twierdzenie.

Twierdzenie. Niech y = f(x) będzie funkcja różniczkowalna w przedziale (a,b), a < x 0 < b. Wówczas:

• funkcja y = f(x) ma maksimum lokalne w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f’(x 0 ) = 0, oraz gdy istnieją takie c i d, iż a < c < x 0 , x 0 < d < b, f’(x) > 0 dla x z przedziału (c, x 0 ) oraz f’(x) < 0 dla x z przedziału (x 0 , d);

• funkcja y = f(x) ma minimum lokalne w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f’(x 0 ) = 0, oraz istnieją takie c i d, iż a < c < x 0 , x 0 < d < b, f’(x) < 0 dla x z przedziału (c, x 0 ) oraz f’(x) > 0 dla x z przedziału (x 0 , d).

Twierdzenie to pozwala na rozwiązanie postawionego problemu pod warunkiem, że: 1) umiemy obliczać pochodne funkcji typu występującego w problemie;

2) umiemy rozwiązywać równania (f’(x) = 0). Możemy przyjąć, iż poradzimy sobie z 2), a zatem żeby rozwiązać postawiony problem wystarczy nauczyć się znajdować (obliczać) pochodne funkcji.

Jak znaleźć pochodną funkcji y = f(x)? Korzystając z definicji.

Przykład. Obliczymy pochodną funkcji f(x) = x 2 w punkcie x 1 = 1. Utwórzmy iloraz

różnicowy rozpatrywanej funkcji w punkcie 1: 11

2

22

−−

xx . Obliczamy teraz granicę ilorazu

różnicowego, gdy x 2 zmierza do 1, tj.

11

lim2

22

1 −−

→ xx

x =

1)1)(1(

lim2

22

1 −+−

→ xxx

x = ( ) 21lim 21

=+→

xx

.

Tak więc pochodna funkcji f(x) = x 2 w punkcie 1 jest równa dwa.

Pochodną można też obliczyć, nie przyjmując konkretnej wartości dla x 1 , tzn. obliczyć pochodną funkcji po prostu w punkcie x 1 . Iloraz różnicowy naszej funkcji w punkcie x 1 to:

12

21

22

xxxx

−− .

Zatem pochodna funkcji:

f’(x) x1 =

12

21

22

1

limxxxx

xx −−

→ =

12

1212 ))((lim

1 xxxxxx

xx −+−

→ = ( ) 112 2lim

1

xxxxx

=+→

.

Pochodna funkcji f(x) = x 2 w punkcie x 1 jest równa 2x 1 i wobec dowolności x 1 możemy napisać f’(x) = 2x.




60

Znajdowanie pochodnych funkcji bezpośrednio z definicji pochodnej, choć wykonalne, nie musi być (i najczęściej nie jest) tak proste, jak to pokazuje powyższy przykład. W praktyce przy obliczaniu pochodnych definicję wykorzystuje się do obliczenia pochodnych funkcji prostych (w potocznym tego słowa znaczeniu), natomiast pochodne funkcji skomplikowanych obliczamy w oparciu o znane (już) pochodne funkcji prostych, stosując odpowiednie reguły.

Lista pochodnych funkcji prostych:

0. (a)’ = 0, a oznacza tutaj dowolną, ale ustaloną liczbę rzeczywistą (krótko mówiąc, pochodną funkcji stałej jest 0).

1. f(x) = x n , n jest liczba rzeczywistą, f’(x) = nx n - 1 .

2. f(x) = e x , gdzie, przypomnijmy, e ≈ 2,71, f’(x) = e x .

3. f(x) = lnx f’(x) = x1 .

Reguły (a oznacza wielkość stałą, tzn. a jest dowolną, ale ustaloną liczbą rzeczywistą).

1. Wzór na pochodną funkcji pomnożonej przez stałą: (af(x))’ = af’(x).

Przykład. (3 e x )’ = 3 (e x )’ = 3 e x .

2. Wzory na pochodną sumy i różnicy dwu funkcji:

(f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x) oraz

(f(x) - g(x))’ = f’(x) - g’(x).

Przykład. (x 3 + x 2 )’ = (x 3 )’+ (x 2 )’ = 3 x 2 + 2x

(2x - lnx)’ = (2x)’ - (lnx)’ = 2(x)’ - x1 = 2 -

x1 .

3. Wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji: (f(x)g(x)) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

Przykład. ((x 3 + x 2 )lnx)’ = (x 3 + x 2 )’lnx + (x 3 + x 2 )(lnx)’ =

= (3 x 2 + 2x)lnx + (x 3 + x 2 )x1 .

4. Wzór na pochodną ilorazu dwu funkcji

()()(

xgxf )’ = 2))((

)(')()()('xg

xgxfxgxf −




61

Przykład.

(1332

−+

xx )’ = 2)13(

)'13)(32()13()'32(−

−+−−+x

xxxx = 2)13())'1()'3)((32()13)()'3()'2((

−−+−−+

xxxxx =

2)13(3)32()13(2

−+−−

xxx .

5. Wzór na pochodną funkcji złożonej f(g(x))’ = f’(g(x))g’(x).

Uwaga. Ostatni wzór jest najtrudniejszym w zastosowaniu wzorem. Aby go stosować, należy dobrze rozumieć, czym jest funkcja złożona. W celu wyjaśnienia tego pojęcia posłużymy się przykładem:

Przykład. Rozpatrzmy funkcję h(x) = (x + 1) 2 . Zgodnie z definicją funkcji jest ona przyporządkowaniem - konkretnej wartości zmiennej x (np. x = 2) przyporządkowuje ona liczbę h(x) (w naszym przypadku, x = 2, będzie to (2 + 1) 2 = (3) 2 = 9). Przyporządkowanie to można wykonać w dwu etapach, najpierw przyporządkować liczbie x liczbę x + 1, oznaczmy ją z (u nas x = 2 przyporządkujemy z = 2 + 1 = 3), a w drugim etapie możemy wykorzystać przyporządkowanie, które liczbie z przyporządkuje z 2 (u nas z = 3 przyporządkuje 9). Nazwijmy pierwsze z tych przyporządkowań g, tj. w pierwszym etapie liczbie x przyporządkowujemy z = g(x), drugie z przyporządkowań oznaczmy f, tj. w drugim etapie liczbie z przyporządkowujemy f(z), a zatem g(x) przyporządkowujemy f(g(x)). Obliczmy teraz pochodną funkcji h(x) = (x + 1) 2 .

h’(x) = ((x + 1) 2 ) = [ (z 2 )’ = ((g(x)) 2 )’] = 2(x + 1) (x + 1) 2 .

5.4. ROZWIĄZANIE PROBLEMU 1. Przypomnijmy nasz problem.

Problem 1. W przedsiębiorstwie przemysłowym o jednorodnej produkcji zależność kosztu produkcji K(x) od ilości produkcji x jednostek określa funkcja:

K(x) = 31 x 3 - 3x 2 + 12x (x ≥ 0),

a zależność dochodu D(x) przedsiębiorstwa ze sprzedanej produkcji od ilości produkcji x jednostek określa funkcja:

D(x) = 12x - x 2 (x ≥ 0). Znaleźć taką wielkość produkcji, żeby zysk był maksymalny. W tym przypadku zysk:

Z(x) = D(x) - K(x).




62

Z matematycznego punktu widzenia należy znaleźć taką wartość zmiennej x, dla której funkcja y = Z(x) przyjmuje maksimum lokalne. Posłużymy się w tym celu wcześniej sformułowanym twierdzeniem. Dla ułatwienia powtórzmy je.

Twierdzenie. Niech y = f(x) będzie funkcją różniczkowalną w przedziale (a,b), a < x 0 < b. Wówczas: • funkcja y = f(x) ma maksimum lokalne w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f’(x 0 ) = 0,

oraz istnieją takie c i d, że: a < c < x 0 , x 0 < d < b, f’(x) > 0 dla x z przedziału (c, x 0 ) oraz f’(x) < 0 dla x z przedziału (x 0 , d).

• funkcja y = f(x) ma minimum lokalne w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f’(x 0 ) = 0, oraz istnieją takie c i d, że: a < c < x 0 , x 0 < d < b, f’(x) < 0 dla x z przedziału (c, x 0 ) oraz f’(x) > 0 dla x z przedziału (x 0 , d).

Aby móc zastosować twierdzenie, obliczymy pochodną funkcji zysku: Z(x) = D(x) - K(x) =

= (12x - x 2 ) - (31 x 3 - 3x 2 + 12x) = 12x - x 2 -

31 x 3 + 3x 2 - 12x = 2x 2 -

31 x 3 .

Z’(x) = (2x 2 - 31 x 3 )’ = (2x 2 )’ - (

31 x 3 )’ = 2(x 2 )’ -

31 (x 3 )’ = 4x -

31 3x 2 = 4x - x 2 .

Znajdujemy teraz te wartości x, dla których Z’(x) = 0, rozwiązując równanie:

Z’(x) = 0, tj.

4x - x 2 = 0

4x - x 2 = x(4 - x) = 0 , a zatem x = 0 lub x = 4. Pierwsza z otrzymanych wartości nie jest dla nas interesująca z wiadomych powodów. Zajmiemy się drugą z wartości.

Aby zobaczyć, w jakim przedziale pochodna jest dodatnia, a w jakim ujemna, popatrzmy na szkic wykresu Z’(x). Patrz rysunek niżej.




63

Zauważmy, że: Z’(x) > 0 dla 0 < x < 4 (dla tych wartości x wykres pierwszej pochodnej znajduje się nad osią odciętych) oraz F’(x) < 0 dla 4 < x. Zwróćmy uwagę na to, iż dziedziną funkcji Z(x) jest zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych – tak zostało przyjęte. Zbiór ten jest również dziedziną Z’(x). Zatem Z’(4)= 0 oraz dla wszystkich wartości zmiennej x < 4 (i większych np. od 2) Z’(x) > 0, a dla x > 4 Z’(x) < 0. W oparciu o cytowane twierdzenie możemy stwierdzić, iż funkcja Z(x) ma maksimum lokalne w punkcie x = 4. Oznacza to, iż zysk będzie maksymalny przy poziomie produkcji 4 (np. 4 tys. ton). Problem został rozwiązany.

Metodę znajdowania tych wartości zmiennej x, dla których funkcja y = f(x) przyjmuje minimum bądź maksimum lokalne, można zmodyfikować. Podstawową ideę modyfikacji przedstawimy graficznie. Na jednym rysunku pokazano (patrząc z góry na dół) wykres funkcji y = f(x) oraz, poniżej, szkic wykresu pierwszej pochodnej tej funkcji y = f’(x). Na drugim rysunku wykres drugiej pochodnej funkcji y = f(x), tj. y = f’’(x).




64

Zauważmy, iż tam, gdzie funkcja y = f(x) ma maksimum, prawdą jest, iż nie tylko pierwsza pochodna tej funkcji zachowuje się, tak jak to opisano w twierdzeniu, ale druga pochodna w punkcie x 0 jest ujemna. W punkcie, w którym funkcja ma minimum lokalne, druga pochodna jest dodatnia. Prawdziwe jest poniższe twierdzenie.

Twierdzenie. Niech y = f(x) będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną (tzn. funkcją, która ma drugą pochodną) w przedziale (a,b), a < x 0 < b. Wówczas: • funkcja y = f(x) ma maksimum lokalne w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f’(x 0 ) = 0

oraz f’’(x 0 ) < 0; • funkcja y = f(x) ma minimum lokalne w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f’(x 0 ) = 0

oraz f’’(x 0 ) > 0.

Teraz rozwiązanie problemu mogłoby wyglądać nieco inaczej. Po znalezieniu wartości zmiennej x, dla której Z’(x) = 0, obliczamy drugą pochodną funkcji Z(x), tj. pochodną pierwszej pochodnej Z’(x)

Z’’(x) = (4x - x 2 )’ = (4x )’- (x 2 )’ = 4(x )’- 2x = 4 -2x,

a następnie obliczamy Z’’(4) (4 było wartością zmiennej x, dla której pierwsza pochodna przyjmowała wartość 0), Z’’(4) = 4 – 2 × 4 = 4 – 8 = -4. Zatem Z’(4) = 0, Z’’(4) < 0, a więc funkcja Z(x) osiąga maksimum dla x = 4.




65

5.5. PRZYKŁADY

Zajmiemy się teraz zastosowaniem tego czego nauczyliśmy się do tej pory. Zacznijmy od następującego zadania:

Zadanie 1. Naszkicować wykres funkcji logistycznej:

y = xe−+ 312 .

Wykres funkcji tego typu pojawił się już wcześniej w nieco innym kontekście, teraz wszystkie informacje potrzebne do jego narysowania otrzymamy w sposób uporządkowany.

• Zauważmy, iż rozpatrywana funkcja określona jest dla dowolnego x, a więc jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

• Nasza funkcja nie przyjmuje wartości 0, ponieważ licznik wyrażenia definiującego funkcję jest stały ( = 2).

• Zarówno licznik, jak i mianownik wyrażenia są dodatnie (e - x > 0 dla każdego x), zatem funkcja przyjmuje tylko dodatnie wartości.

• Dla x = 0 funkcja przyjmuje wartość 031

2−+ e

= 031

2e+

= 31

2+

= 42 =

21 – jest to rzędna

punktu przecięcia wykresu funkcji z osią rzędnych.

• Jeśli wartość zmiennej x rośnie nieograniczenie, to -x zmierza do -∞, tj. ∞→x

lim (-x) = -∞.

Wtedy e - x dąży do 0, tj. ∞→x

lim e - x = 0. Zatem:

∞→xlim xe−+ 31

2 = 12 = 2.

Fakt ten oznacza, iż dla dużych wartości zmiennej x wartości funkcji są bliskie 2.

• Jeśli wartość zmiennej x maleje nieograniczenie (tzn. x dąży do -∞), to – x zmierza do ∞, tj.

∞→xlim (-x) = ∞. Wtedy e - x dąży do ∞, tj.

∞→xlim e - x = ∞. Zatem

∞→xlim (1 + e - x ) = ∞.

∞→xlim xe−+ 31

2 = 0.

To z kolei oznacza, iż dla wartości „bliskich -∞” wartości funkcji są bliskie 0. Obliczymy pochodną badanej funkcji, co pozwoli nam wyznaczyć przedziały, w których funkcja jest rosnąca, oraz przedziały, w których jest malejąca. Stosujemy wzór na pochodną ilorazu i pochodną funkcji złożonej (w przypadku pochodnej funkcji e-x):




66

( xe−+ 312 )’ = 2)1(

)'1(2)1()'2(x

xx

eee

−

−−

++−+ = 2)1(

))'()'1((2)1(0x

xx

eee

−

−−

++−+ =

2)1())(0(2

x

x

ee

−

−

+−+−

=

2)1(2

x

x

ee

−

−

+

Ponieważ, jak już to zauważyliśmy, e - x > 0 dla każdego x, to pierwsza pochodna funkcji jest dodatnia dla każdego x. Zatem funkcja logistyczna jest funkcją rosnącą – wynika to z pierwszego przytoczonego twierdzenia.

A oto wykres:

Zadanie 2. Na podstawie danych statystycznych ustalono, iż pomiędzy kosztem jednostkowym kp a mocą produkcyjną x pewnego przedsiębiorstwa zachodzi zależność:

kp = x

4500 + 1,3.

Natomiast między kosztem transportu k t jednostki wytworzonej produkcji a mocą produkcyjną x zachodzi zależność:

k t = 0,05x + 0,15.

Określić optymalną moc produkcyjną przedsiębiorstwa.

Łączny koszt jednostkowy produkcji i transportu wynosi:

k(x) = k p + k t = x

4500 + 1,3 + 0,05x + 0,15 = 4500x -1 +1,3 + 0,05x + 0,15.

Obliczamy pierwszą pochodną, mamy:

k’(x) = -4500x - 2 + 0,05.




67

Pochodna k’(x) = 0, gdy:

-4500x - 2 + 0,05 = 0, tj.

4500x - 2 = 0,05

4500 = 0,05x 2

x 2 = 05,0

4500

x 2 = 90000,

skąd x = 90000 = 300 lub x = - 90000 = -300. Druga wartość x nie jest dla nas interesująca ze względu na interpretację, zajmiemy się więc pierwszą. Obliczmy drugą pochodną funkcji k(x):

k’’(x) = (-4500x - 2 + 0,05)’ = 9000x - 3

k’’(300) = 9000(300) - 3 = 3000

1 > 0.

Ponieważ k’(300) = 0, k’’(300) > 0, oznacza to, iż funkcja k(x) osiąga minimum lokalne dla x = 300. Zatem łączny koszt jednostkowy produkcji i transportu jest minimalny (funkcja k(x) ma minimum lokalne) przy mocy produkcyjnej 300 jednostek.

Zadanie 3. Roczne zapotrzebowanie winiarni na wino typu Cabernet wynosi Q = 1800 butelek. Właściciel może stosować różną politykę zakupu wina. Może na przykład kupić je na początku roku na cały rok lub też może nabywać wino w mniejszych partiach. Częstsze zakupy pociągają za sobą zmniejszenie kosztów magazynowania i oprocentowania funduszy zamrożonych w zapasach. Z drugiej strony powoduje to zwiększenie kosztów związanych z realizacja tych zakupów. Należy wyznaczyć optymalną liczbę zakupów wina w ciągu roku, jeżeli koszt k s , związany z magazynowaniem jednej butelki wina w ciągu roku wynosi 10 gr, a koszt k z , związany z realizacją każdego zakupu, 10 zł, przyjmując za kryterium optymalności łączny koszt magazynowania i realizacji zakupów. Optymalną wielkością partii zakupu będzie zakup takiej partii wina, dla której łączny koszt magazynowania i realizacji zakupów będzie najmniejszy. Oznaczmy wielkość partii zakupu wina przez x. Przypuśćmy, iż zakup będzie dokonywany w n równych odstępach czasu w ciągu roku. Oznacza to, iż wielkość partii zakupu wynosi:

x = nQ ,

skąd:

n = xQ .

Zakładając, iż zużycie wina jest równomierne, średni zapas wina w magazynie wynosi:

2x =

nQ2

.

Roczny koszt magazynowania wynosi:




68

2x k s =

nQ2

k s .

Koszt realizacji zakupu wynosi nk z .

Zatem łączny koszt magazynowania i realizacji zakupów wynosi:

y = 2x k s + nk z =

2x k s +

xQ k z =

2x k s + Q k z x - 1 .

Wobec tego, iż Q =1800, k s = 0,1 zł, k z = 10 zł, otrzymujemy:

y = 2x 0,1+ 18000x -1 =

20x + 18000x - 1 = 0,05x + 18000x - 1 .

Należy teraz wyznaczyć x w taki sposób, aby koszt magazynowania i realizacji zakupów był najmniejszy. Oznacza to, iż rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia minimum funkcji y ze względu na x. Obliczamy pierwszą pochodną funkcji y. Mamy:

y’ = 0,05 - 18000x - 2 .

y’ =0 jeżeli

0,05 - 18000x - 2 = 0,

skąd:

x = 05,0

18000 lub x = -05,0

18000 .

Druga z otrzymanych wartości nie interesuje nas z powodu interpretacji x (liczba butelek wina nie może być ujemna).

Obliczamy drugą pochodną y’’. Mamy:

y’’ = -36000x - 3 .

y’’ > 0 dla każdej dodatniej wartości zmiennej x, a więc w szczególności dla x =

05,018000 , zatem funkcja y osiąga minimum dla x =

05,018000 = 600. Tak więc optymalna

liczba zakupów wynosi:

n = xQ =

6001800 = 3.

Niech y = f(x). W zastosowaniach ekonomicznych występują jeszcze trzy pojęcia, w określeniu których występuje pochodna funkcji y = f(x). Są to:

– elastyczność funkcji Ey określona następująco:

Ey = yx

dxdy .




69

Elastyczność funkcji określa w przybliżeniu procentowy przyrost funkcji (wzrost lub spadek) odpowiadający przyrostowi zmiennej niezależnej o 1%. – przyrost względny funkcji f(x) w przedziale (x 0 ,x 1 ) lub średnie tempo wzrostu funkcji f(x)

w przedziale (x 0 ,x 1 ) jest to wielkość definiowana następująco:

)()()(

0

01

xfxfxf −

,

– tempo wzrostu funkcji f(x) w punkcie x 0 definiuje się jako:

)()('

0

0

xfxf .

A oto przykłady ilustrujące wprowadzone pojęcia.

Przykład. Przypuśćmy, iż popyt P na dane dobro jest funkcją ceny x. Niech:

P(x) = x2 .

Wtedy:

P’(x) = (x2 )’ = (2x - 1 )’ = -2x - 2

i

EP = Px

dxdP =

Px P’(x) =

x

x2

(-2x - 2 ) = 2

2x (-2x - 2 ) = -1.

Oznacza to, iż ze wzrostem ceny o 1% popyt maleje o 1%.

Przykład. Przypuśćmy, iż zależność popytu od dochodu wyraża się funkcją Tornquista:

y = 3

2+xx ,

gdzie x oznacza dochód, a y popyt. W tym przypadku mamy:

y’ = (3

2+xx )’ = 2)3(

)'3(2)3()'2(+

+−+x

xxxx = 2)3(2)3(2

+−+

xxx

= 2)3(6+x

.

Zatem

Ey = yx y’ =

32+xx

x2)3(

6+x

= 3

3+x

.

W tym przypadku, w odróżnieniu od poprzedniego przykładu, elastyczność funkcji popytu nie jest stała. Dla dochodu x = 1000, Ey ≈ 0,3%, tj. wzrost dochodu o 1% spowoduje wzrost popytu o 0,3%. Natomiast dla dochodu x = 2000, Ey ≈ 0,15%, tj. wzrost dochodu o 1%, spowoduje wzrost popytu o 0,15%.




70

Przykład. Model wzrostu gospodarczego Harroda ma postać:

D(t) = D(0) et

mi

, gdzie:

D(t) – oznacza dochód narodowy w roku t,

D(0) – dochód narodowy w roku wyjściowym,

i – stopę inwestycji produkcyjnych, m – współczynnik majątkochłonności, określający wielkość produkcyjnego majątku trwałego przypadającego na jednostkę dochodu narodowego. Przyjmujemy, iż i oraz m są stałe.

Obliczmy D’(t):

D’(t) = mi D(0) e

im

t.

Dla i = 0,12 i m = 3 tempo wzrostu gospodarczego:

)()('

tDtD =

mi =

312,0 = 0,04 = 4%.

Oznacza to, iż dochód narodowy wzrośnie w danym roku o 4% w porównaniu z dochodem narodowym w roku poprzednim.

Zastosowanie rachunku różniczkowego (tzn. tej części matematyki, w której mówi się o pochodnych i je wykorzystuje) w ekonomii nosi nazwę rachunku marginalnego lub programowania marginalnego. Głównym pojęciem rachunku marginalnego jest pojecie krańcowości. Pojęcie to jest identyczne z pojęciem pochodnej. Tak więc koszt krańcowy to pochodna funkcji kosztu, popyt krańcowy to pochodna funkcji popytu, utarg krańcowy to pochodna funkcji utargu, itp. Ponieważ pochodna funkcji mówi nam, jak szybko funkcja się zmienia, jeśli więc weźmiemy pod uwagę koszt (jako funkcję poziomu produkcji) marginalny dla pewnego poziomu x, to będzie on reprezentował koszt produkcji x + 1 jednostki.

Przykład. Koszt krańcowy. Przypuśćmy, iż koszt, w setkach dolarów, wyprodukowania x tysięcy beczek napoju wynosi:

K(x) = 4x2 + 100x +500. Znajdziemy koszt krańcowy dla x = 10 i x = 20.

Znajdujemy pochodną funkcji K(x):

K'(x) = (4x2 + 100x +500)' = (4x2 )' + (100x)' + (500)' = 8x + 100. Dla x = 10, K(10) = 8 × 10 + 100 =180. Zatem przy produkcji 10 tysięcy beczek napoju, wyprodukowanie dodatkowego tysiąca podniesie koszty o 18.000 dolarów. Dla x = 20, K(20) = 8 × 20 + 100 =260. Zatem przy produkcji 20 tysięcy beczek napoju wyprodukowanie dodatkowego tysiąca podniesie koszty o 26.000 dolarów.




71

Zauważmy, iż koszt wyprodukowania dodatkowego tysiąca beczek z napojem wzrasta wraz ze wzrostem poziomu produkcji.

Przykład. Przychód krańcowy. Do sformułowania problemu będziemy potrzebowali funkcji popytu p = f(x), która wiąże ilość x danego produktu, który konsumenci zamierzają kupić, z ceną tego produktu p (cena w złotych). Niech p = (50000 - x)/25000. Wtedy przychód R wynosi:

R(x) = xp = x(50000 - x)/25000. Znajdziemy i zinterpretujemy przychód krańcowy dla x = 10000.

Zauważmy, że: R(x) = xp = (50000x - x2)/25000 = (50000x - x2) × 1/25000.

Mamy teraz: R'(x) = ((50000x - x2) × 1/25000)' = (50000x - x2)' × 1/25000 = ((50000x)' - (x2)') × 1/25000 =

(50000 - 2x) × 1/25000. Dla x = 10000:

R'(10000) = (50000 - 2 × 10000) × 1/25000 = 1,2. Przy sprzedaży na poziomie 10000 jednostek przychód związany ze sprzedażą dodatkowej jednostki wyniesie 1,20 zł.

5.6. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Omawiając poszczególne funkcji, nie odpowiedzieliśmy na pytanie: skąd się one biorą. W tej sekcji poruszymy właśnie to zagadnienie.

W tej części dowiecie się Państwo, jak przewidzieć przyszłość. Dowiecie się, jak na podstawie dostępnych danych dotyczących kształtowania się poziomu interesującego nas zjawiska w czasie odpowiedzieć na pytanie: a czego możemy się spodziewać za rok albo za dwa lata?

Zajmijmy się następującym przykładem:

Przykład. Poniższa tabela zawiera dane dotyczące przewidywanej długości życia kobiet w Stanach Zjednoczonych.

Numer obserwacji, x Rok urodzenia Przewidywany czas życia yx 1 1950 71,3 2 1960 73,1 3 1970 74,7 4 1980 77,4 5 1990 78,8

Health, United States,1998, Center for Disease Control




72

Interesuje nas, jaka będzie przewidywana długość życia kobiety urodzonej w 2010 roku. Odpowiemy również na pytanie, jaka była przewidywana długość życia kobiety urodzonej w 1920 roku. Zaczynamy od przedstawienia danych na wykresie (to zawsze jest dobry początek, jeśli tylko sporządzenie wykresu jest możliwe). Wykres, który sporządza się w takich sytuacjach, jest wykresem punktowym i nazywa się diagramem rozrzutu. A oto jak postępujemy:

Patrząc na wykres, widzimy, iż punkty układają się wzdłuż prostej. Wydaje się więc, iż przewidywana długość życia amerykańskiej kobiety może w sposób liniowy zależeć od roku, w którym się urodziła. Naszym celem jest znalezienie funkcji liniowej, której wykres najlepiej pokrywa się z punktami diagramu rozrzutu. Ponieważ nie powinno to być sprawą subiektywną, powinniśmy przyjąć stosowne kryterium lub metodę postępowania. Kryterium, w tym przypadku, nosi nazwę kryterium najmniejszych kwadratów, a metoda nazywa się metodą najmniejszych kwadratów. Oznaczmy przez (x,yx), x = 1,...,5 (np. (1, y1 ) = (1, 71,3), (3, y3 ) = (3, 74,7)) pary utworzone przez wielkości występujące w jednym wierszu tabeli. Szukamy funkcji liniowej Yx = mx + b, to znaczy, iż szukamy parametrów m i b takich, żeby: jeśli dx oznacza:

dx = │ Yx - yx│= │ mx + b - yx│, x = 1,2,3,4,5, d 2

1 + d 22 + d 2

3 + d 24 + d 2

5 było jak najmniejsze. Ostatnie wyrażenie to suma kwadratów, stąd też i nazwa kryterium oraz związanej z nim metody. Ostatni warunek oznacza, iż szukamy takich m oraz b, by wyrażenie:

(m × 1 + b - y1)2 + (m × 2 + b - y2)2 + (m × 3 + b - y3)2 + (m × 4 + b - y4)2 + (m × 5 + b - y5)2

przyjęło wartość najmniejszą. Znalezienie takich m i b jest możliwe, aczkolwiek wymaga zastosowania zaawansowanych metod matematyki (opisane są w rozdziale: Funkcje wielu zmiennych). My możemy posłużyć się programem Excel. Współczynnik kierunkowy m szukanej funkcji liniowej znajdujemy, posługując się funkcją NACHYLENIE, natomiast parametr b – funkcją ODCIĘTA.




73

Poniżej widzimy okno funkcji NACHYLENIE, kolejne wartości zmiennych y' (Tabela wyżej) znajdują się w arkuszu Excela w komórkach C41 do C50, numery obserwacji w komórkach B41 do B50.

I jeszcze okno funkcji ODCIĘTA.

Funkcją, której wykres najlepiej, w myśl kryterium najmniejszych kwadratów, dopasowany jest do punktów diagramu rozrzutu, jest funkcja:

Y = 1,93x + 69,27.

A oto wykres:




74

Otrzymaną funkcję możemy teraz wykorzystać zarówno do prognozowania, jak i do określenia stanu przeszłego, istniejącego przed rozpoczęciem obserwacji. W obu przypadkach należy być świadomym tego, iż nasze przewidywania dadzą nam wartość przybliżoną (tak jak i punkty niebieskie wykresu – zaobserwowane, oraz różowe – „wyliczone”, nie pokrywają się). Powinniśmy też pamiętać, iż im dalej będziemy wybiegali w przyszłość lub cofali się w przeszłość tym mniej winniśmy być pewni, iż nasze przewidywania się sprawdzą. Wracamy do zadania. Pytanie o przewidywaną długość życia kobiety urodzonej w 2010 roku to pytanie o wartość funkcji Y = 1,93x + 69,27, dla x = 7 (gdybyśmy kontynuowali obserwacje przewidywanej długości życia kobiety, to w roku 2010 wypadłaby 7 obserwacja). Tak więc:

Y = 1,93 × 7 + 69,27 = 82,78 ≈ 82,8.

Uzyskaliśmy odpowiedź na pierwsze z pytań. Przewidywana długość życia kobiety urodzonej w 2010 roku wyniesie około 82,8 lat.

Odpowiemy teraz na pytanie: jaka była przewidywana długość życia kobiety urodzonej w 1920 roku. Jeśli obserwacja o numerze 1 dotyczyła roku 1950, to obserwacja 0 dotyczyłaby roku 1940, obserwacja -1 roku 1940, obserwacja -2 roku 1930 i obserwacja -3 roku 1920. Tak więc:

Y = 1,93 × (-3) + 69,27 = 63,48 ≈ 63,5. Mamy odpowiedź na drugie z pytań, przewidywana długość życia kobiety urodzonej w 1920 roku, wynosiła około 63,5 roku.

ZADANIA 1. Sprzedaż. Sprzedaż małej firmy wynosiła $27000 w drugim roku działania i $63000 w

piątym roku. Niech y będzie sprzedażą firmy w x-tym roku działania. Przypuśćmy, iż zależność wielkości sprzedaży od roku działania firmy jest funkcją liniową.

a) Znajdź wzór tej funkcji postaci y = mx + b. b) Korzystając z odpowiedzi do podpunktu a, ustal, ile lat musi minąć zanim sprzedaż

przekroczy $100000. 2. Wzrost liczby pasażerów linii lotniczych. Poniższa tabelka przedstawia przybliżony wzrost

liczby pasażerów linii lotniczych (w milionach) na niektórych z najszybciej rozwijających się lotniskach USA w latach 1992 i 2005.

Airport 1992 2005 Harrisburg Intl. 0,7 1,4 Dayton Intl. 1,1 2,4 Austin Robert Mueller 2,2 4,7 Milwaukee Gen. Mitchell Intl. 2,2 4,4 Sacramento Metropolitan 2,6 5,0 Fort Lauderdale-Hollywood 4,1 8,1 Washington Dulles Intl. 5,3 10,9 Greater Cincinnati Airport 5,8 12,3




75

a) Wyznacz funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkty (0,7; 1,4) i (5,3; 10,9).

b) W 1992 r. 4,9 mln pasażerów korzystało z Raleigh- Durham International Airport. Korzystając z funkcji z podpunktu a, oblicz przybliżoną liczbę pasażerów korzystających z tego lotniska w 2005 roku i porównaj tę liczbę z liczbą 10,3 mln pasażerów przewidywaną przez Federal Aviation Administration.

3. Popyt i podaż. Dane są funkcje popytu S i podaży D na cukier.

p = S(q) = 1,4q - 0,6 p = D(q) = - 2q + 3,2,

gdzie p jest ceną za kilogram, a q jest ilością w tysiącach kilogramów.

a) Narysuj wykresy tych funkcji w jednym układzie współrzędnych.

b) Znajdź cenę, przy której popyt i podaż są takie same. 4. Koszt koszuli. Hung Seng sprzedaje bawełniane koszule na bazarach. Marginalny koszt

wyprodukowania 1 koszuli wynosi 14 złotych. Całkowity koszt produkcji 60 koszuli wynosi 1200 złotych, a cena sprzedaży 9 złotych.

a) Znajdź funkcje liniowa kosztu produkcji koszuli Hung Senga. b) Ile koszul musi wyprodukować i sprzedać, by nie ponieść strat?

c) Ile koszuli musi wyprodukować i sprzedać, by zarobić 2000 złotych? 5. Koszt marginalny kawy. Właściciel kawiarni zauważył, iż koszt przyrządzenia 100

filiżanek kawy wynosi 44,06 złotego, podczas gdy koszt przyrządzenia 400 filiżanek wynosi 160,48 zł. Przyjmij, iż koszt K(x) jest funkcją liniową, gdzie x jest liczbą filiżanek przyrządzonego napoju. a) Znajdź równanie K(x).

b) Znajdź całkowity koszt przyrządzenia 1000 filiżanek kawy. c) Znajdź całkowity koszt przyrządzenia 1001 filiżanki kawy.

d) Znajdź marginalny koszt przyrządzenia 1001 filiżanki. e) Jaki jest koszt marginalny jednej filiżanki?

6. Sprzedaż chleba. Sklepy sprzedające świeże pieczywo nie zawierające konserwantów są ulokowane w wielu małych centrach handlowych w USA i stale się rozwijają. Firma Saint Louis Bread Company (teraz zwana Panera Bread) przyznaje się do wzrostu sprzedaży o 5000% w ciągu pierwszych pięciu lat działalności.

a) Przypuśćmy, iż sprzedaż w 1991 wynosiła $100000. Ile by wynosiła w 1996, gdyby rosła w takim tempie?

b) Niech 1991 odpowiada x = 1. Zapisz 2 uporządkowane pary odpowiadające sprzedaży w 1991 i 1996.

c) Przyjmując, iż sprzedaż wzrastała liniowo, napisz równanie liniowej funkcji sprzedaży dla tej firmy.

d) Jeśli sprzedaż nadal będzie wzrastać w takim tempie, to kiedy osiągnie $20000000? 7. Import do USA z Chin. USA są największym rynkiem dla eksportu Chin. Import z Chin

wzrósł z około 8 bilionów dolarów w 1988 do 39 bilionów dolarów w 1995. Ten wzrost




76

był mniej więcej liniowy. Użyj podanych par danych, by napisać równanie liniowe, które opisuje ten wzrost w imporcie przez ostatnie lata. Niech x = 88 odpowiada 1988 i x = 95 odpowiada 1995.

8. Pensja lotników. Reklama Northwest Airlines opublikowana w „The New York Times” mówiła, iż pensja pilota linii Northwest jest liniową funkcją czasu. W 1992 roku wynosiła ona $120000. W 1997 roku pensja wynosiła $165000. Znajdź funkcję liniową P przedstawiającą pensję pilota, jako funkcję czasu x, gdzie x = 0 odpowiada to rok 1990.

9. Przychód ze sprzedaży x telewizorów dany jest wzorem: R(x) = 1000(1 - x/500)2.

Znaleźć przychód marginalny dla następujących danych dotyczących sprzedaży: a) 500,

b) 600, c) 700.

Zinterpretować otrzymane wyniki.

10. Przypuśćmy, iż mamy daną funkcję kosztów produkcji pewnego wyrobu: C(x) = 0,002x2 - 9x + 4000.

Znaleźć wielkość produkcji (wartość x), dla której koszt jednostkowy jest najmniejszy.

11. Przewiduje się, iż każde miejsce w restauracji przyniesie dochód 20 zł, jeśli liczba miejsc będzie pomiędzy 60 a 80 włącznie. Z drugiej strony dochód z jednego miejsca będzie spadał o 20 groszy na każde miejsce powyżej 80:

a) Znajdź taką liczbę miejsc, by osiągnąć największy dochód.

b) Jaki jest największy możliwy dochód? 12. Jaką decyzję należy podjąć w przypadku propozycji podpisania następującego kontraktu:

a) Twoja firma oferuje dostawę 300 stołów w cenie 360 złotych za stół. W przypadku zamówienia przekraczającego 300 stołów, oferujemy upust na całe zamówienie w wysokości 1 zł za każdy dodatkowy stół.

b) Znajdź wartość największego możliwego kontraktu.

13. Przypuśćmy, iż mamy wyprodukować rocznie 400000 mikserów. Składowanie jednego miksera przez rok kosztuje 4 złote, przygotowanie linii do produkcji serii mikserów kosztuje 2000 złotych. Znaleźć liczbę mikserów produkowanych w jednej serii, przy której łączne koszty składowania i przygotowania produkcji będą najmniejsze.

14. Określić wymiary prostopadłościennego pudła o podstawie kwadratowej, bez górnej podstawy (tzn. otwartego od góry) i o objętości 32 m3, tak żeby pudło to miało możliwie najmniejszą powierzchnię (chodzi o minimalne zużycie materiału). 15. Sklep sprzedaje 980.000 kartonów pewnego produktu rocznie. Roczny koszt składowania jednego kartonu wynosi 2 złote, koszt związany ze złożeniem zamówienia wynosi 20 złotych. Znaleźć liczbę kartonów, które powinny być zamawiane jednorazowo, aby zminimalizować łączne koszty zakupów i składowania.

Zastosowanie matematyki i ekonometrii w zarządzaniu Rozdział VI: Elementy rachunku całkowego



77

ROZDZIAŁ VI: ELEMENTY RACHUNKU CAŁKOWEGO

6.1. CAŁKA OZNACZONA

Niech będzie dana funkcja ciągła y = f(x) określona w przedziale domkniętym [a,b]. Załóżmy, iż funkcja f jest w tym przedziale dodatnia, tj. dla każdej wartości argumentu x z przedziału [a,b] f(x) > 0. Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).

Uwaga. Przedstawiony na rysunku wykres jest wykresem funkcji rosnącej. Jest to dodatkowe założenie o funkcji f przyjęte wyłącznie dla wygody. Oznacza to, iż wszystko, co zostanie powiedziane później, odnosi się również i do funkcji nie spełniających tego dodatkowego założenia.

Naszym celem jest obliczenie pola powierzchni figury, tzw. trapezu krzywoliniowego, ograniczonej wykresem funkcji y = f(x), osią odciętych oraz prostymi x = a i x = b. Figura ta na rysunku jest zakreskowana.

Pierwszy pomysł, jaki przychodzi nam do głowy, to znalezienie przybliżonej wartości poszukiwanego pola powierzchni. Możemy zastąpić trapez krzywoliniowy zwykłym trapezem, zastępując wykres funkcji y = f(x) odcinkiem prostej łączącym punkty (a,f(a)) oraz (b,f(b)). Patrz rysunek niżej.




78

Pole powierzchni tego trapezu jest równe:

2)()( bfaf + (b - a).

Zauważmy, iż jest to również pole prostokąta, którego podstawą jest odcinek [a,b], a

wysokością średnia arytmetyczna wartości funkcji w punktach a i b, tj. 2

)()( bfaf + .

Ponieważ funkcja f jest ciągła w [a,b], to istnieje taka wartość zmiennej x, nazwijmy ją c, że:

2)()( bfaf +

= f(c).

Jeżeli tak przybliżona wartość pola powierzchni nie jest dla nas wystarczająca, to możemy uzyskać lepsze przybliżenie, dzieląc przedział [a,b] na cztery równe części punktami x 1 , x 2 , x 3 , które wraz z punktami a i b oraz wykresem funkcji y = f(x) wyznaczą cztery trapezy krzywoliniowe. Patrz rysunek niżej.




79

Teraz każdy z mniejszych trapezów krzywoliniowych można, tak jak i w sytuacji przed podziałem, zastąpić prostokątem, którego podstawa ma długość równą jednej czwartej długości przedziału [a,b], a wysokość jest równa wartości funkcji y= f(x) w pewnym punkcie c i małego przedziału. Patrz rysunek niżej.

Przybliżoną wielkość pola powierzchni P trapezu krzywoliniowego da nam suma pól powierzchni małych prostokątów, tj.:

P ≈ (x 1 - a)f(c 1 ) + (x 2 - x 1 )f(c 2 ) + (x 3 - x 2 )f(c 3 ) + (b - x 3 )f(c 4 ).

Ponieważ długości przedziałów, na które podzieliliśmy przedział [a,b], są równe, to:

x 1 - a = x 2 - x 1 = x 3 - x 2 = b - x 3 = 4

ab −

i




80

P ≈ 4

ab − (f(c1 ) + f(c 2 ) + f(c 3 ) + f(c 4 )).

Jeśli i to przybliżenie nie jest dla nas wystarczające, to podzielimy przedział [a,b] na więcej, powiedzmy n, równych przedziałów, wybierając w każdym z nich punkt c i .

Podział przedziału [a,b] na mniejsze przedziały pozwoli nam, tak jak i poprzednio, podzielić cały trapez krzywoliniowy na mniejsze, a te z kolei zastąpić odpowiednimi prostokątami. W tym przypadku, rozumując podobnie jak poprzednio, otrzymamy:

P ≈ n

ab − (f(c 1 ) + f(c 2 ) + f(c 3 ) +... + f(c n )).

Im większe n, tzn. na im więcej małych przedziałów podzielimy przedział [a,b], tym bliżej

prawdziwej wielkości P będzie n

ab− (f(c 1 ) + f(c 2 ) + f(c 3 ) +... + f(c n )). Tak więc

prawdziwa wartość P będzie równa:

lim n

ab− (f(c 1 ) + f(c 2 ) + f(c 3 ) +... + f(c n )).

Ostatnie wyrażenie nazywamy całką oznaczoną funkcji y = f(x) od a do b i oznaczamy

∫b

a

dxxf )( . Zatem:

∫b

a

dxxf )( = lim n

ab− (f(c 1 ) + f(c 2 ) + f(c 3 ) +... + f(c n )).

Liczbę a nazywamy dolną granicą całkowania, liczbę b nazywamy górną granicą całkowania, a funkcję y = f(x) nazywamy w tym wypadku funkcją podcałkową. Uwaga. Całka oznaczona ma też i inne niż pole powierzchni interpretacje.




81

1. Jeśli f(x) oznacza prędkość wskazywaną przez szybkościomierz samochodu w momencie x, to pole prostokąta o podstawie [x i ,x i -1] będzie reprezentowało przybliżoną długość drogi – czas × średnia prędkość = (x i - x i -1) × f(c i ) – przebytej przez samochód w czasie od x i -1 do

x i . Całka oznaczona ∫b

a

dxxf )( będzie natomiast równa całkowitej (i dokładnej) drodze

przebytej przez samochód w czasie od chwili a do chwili b. 2. Jeśli f(x) ilość (np. w litrach) paliwa wpompowywanego do zbiornika w momencie x, to

∫b

a

dxxf )( reprezentuje ilość paliwa, jaka zostanie dostarczona w czasie od chwili a do chwili

b.

3. Wydajność pracy danego pracownika na ogół nie jest stała w ciągu dnia pracy – jest ona funkcją czasu. Jeśli wydajność pracownika w chwili x wynosi f(x) jednostek produkcji na

godzinę, to ∫8

0

)( dxxf reprezentować będzie ilość jednostek wyprodukowanych przez

pracownika w ciągu ośmiogodzinnego dnia pracy. Funkcja y = f(x) nazywa się w tym przypadku funkcją wydajności pracy. Dla danego pracownika funkcję taką można wyznaczyć, posługując się metodami statystycznymi.

Jak obliczać wartości całek oznaczonych? Można to robić, korzystając z definicji całki oznaczonej, aczkolwiek nie jest to wygodne. Dlatego też w praktyce korzysta się z twierdzenia Newtona-Leibniza zwanego podstawowym twierdzeniem analizy matematycznej (tj. rachunku różniczkowego i całkowego). Twierdzenie to stanowi swego rodzaju instrukcję do obliczania całek oznaczonych. Mówi ono, że:

jeśli chcesz obliczyć ∫8

0

)( dxxf , to:

1. znajdź dowolną funkcję y = F(x), taką iż F’(x) = f(x), 2. oblicz F(a) i F(b),

3. ∫8

0

)( dxxf = F(b) - F(a).

Funkcja y = F(x) nazywa się funkcją pierwotną funkcji y = f(x) lub całką nieoznaczoną funkcji y = f(x) i oznacza:

∫ dxxf )( .

Zauważmy, iż funkcja pierwotna danej funkcji nie jest określona jednoznacznie, np. zarówno y = x 2 , jak i y = x 2 + 5 są funkcjami pierwotnymi funkcji y = 2x (każda funkcja postaci y = x 2 + c, gdzie c jest stałą, jest funkcją pierwotną funkcji y = 2x).




82

Przykład. Zastosujemy powyższe instrukcje do obliczenia ∫2

0

2xdx . Całka ta reprezentuje pole

powierzchni obszaru pod wykresem funkcji y = x i nad przedziałem [0,2]. Jest to trójkąt prostokątny (patrz rysunek niżej) i pole jego powierzchni możemy policzyć, nie używając całki – jest ono równe 4.

Funkcja y = F(x) w tym przypadku, to na przykład funkcja F(x) = x 2 . Mamy teraz F(0) = 0, F(2) = 4 i

∫2

0

2xdx = 4 - 0 = 4.

Przykład. Wydajność pracy robotnika mierzona w jednostkach produktu na godzinę zmienia się w ciągu dnia i w chwili x wynosi f(x) = 24x - 3x 2 . Określić produkcję wykonaną przez robotnika:

a) w ciągu ośmiogodzinnego dnia pracy; b) w ciągu piątej godziny pracy.

W przypadku a) produkcja wyraża się całką oznaczona

∫ −8

0

2 )324( dxxx .

Funkcją pierwotną funkcji podcałkowej jest funkcja y = 12x 2 - x 3 . Mamy teraz:

∫ −8

0

2 )324( dxxx = (12×8 2 - 8 3 ) - (12×0 2 - 0 3 ) = 256.

Zatem robotnik wyprodukował w ciągu dnia pracy 256 jednostek produktu. W przypadku b) produkcja będzie wyrażać się całką oznaczoną:

∫ −5

4

2 )324( dxxx .

Korzystając jeszcze raz z twierdzenia Newtona-Leibniza, biorąc jako funkcję pierwotną funkcji podcałkowej funkcję y = 12x 2 - x 3 , otrzymujemy:

∫ −5

4

2 )324( dxxx = (12×5 2 - 5 3 ) - (12×4 2 - 4 3 ) = 47.

Zatem w ciągu piątej godziny pracy robotnik wyprodukował 47 jednostek produktu.

6.2. CAŁKA NIEOZNACZONA Umiejętność znajdowania funkcji pierwotnej jest ważna nie tylko ze względu na wykorzystanie jej do obliczania całek oznaczonych, ale także z innych powodów, które poznamy później.




83

W tych przypadkach, z którymi mieliśmy do czynienia do tej pory znalezienie funkcji pierwotnej nie było trudne – można się było jej domyśleć, wykorzystując doświadczenie zdobyte przy obliczaniu pochodnych funkcji. Błędem jest przypuszczać, iż i w bardziej skomplikowanych przypadkach też będzie to łatwe. W wielu przypadkach jest to bardzo trudne, zdarza się, iż jest to wręcz niemożliwe.

Chcąc znaleźć całkę nieoznaczoną (tzn. funkcję pierwotną) danej funkcji, będziemy, podobnie jak to miało miejsce w przypadku znajdowania pochodnych, posługiwać się całkami znanych, nieskomplikowanych funkcji i, stosując reguły, obliczać całki funkcji bardziej skomplikowanych. We wzorach poniżej a i C oznaczają stałe, tj. ustalone liczby rzeczywiste.

∫ dxxn = 11

1

nx Cn

+++ , ( n ≠ -1)

∫ dxx1 = lnx + C

∫ dxex = e x + C

Reguły całkowania:

∫ dxxaf )( = a ∫ dxxf )(

∫ + dxxgxf ))()(( = ∫ dxxf )( + ∫ dxxg )(

∫ − dxxgxf ))()(( = ∫ dxxf )( - ∫ dxxg )(

∫ dxxgxf )(')( = f(x)g(x) - ∫ dxxgxf )()(' (reguła całkowania przez części)

∫ dxxgxgf )('))(( = ∫ duuf )( , gdzie u = g(x) (reguła całkowania przez podstawianie).

W poniższych przykładach ilustrujemy zastosowanie pierwszych trzech reguł.

Przykłady.

∫ dxx23 = 3 ∫ dxx2 = 3× )31( 2 Cx +

∫ + dxex x )( 5 = ∫ dxx5 + ∫ dxex = 216

61 CeCx x +++ = )(

61

216 CCex x +++

dxex

x )21( −∫ = ∫ dxx1 - 2 ∫ dxex = lnx+C 1 - (2e x + C 2 ) = lnx- 2e x + (C 1 - C 2 )

Zastosowanie reguły całkowania przez części i reguły przez podstawianie jest bardziej skomplikowane.

Przykład. Całkowanie przez części. Obliczymy:




84

∫ dxxe x .

Niech f(x) = x, g’(x) = e x . Mamy wtedy f’(x) = 1 i g(x) = e x . Korzystając z reguły całkowania przez części, otrzymujemy:

( ∫ dxxgxf )(')( = f(x)g(x) - ∫ dxxgxf )()(' )

∫ dxxex = xe x - ∫ dxex = xe x - e x + C.

Uwaga. Stałą C możemy dodać po zakończeniu całego procesu całkowania.

Przykład. Całkowanie przez części. Obliczymy:

∫ xdxx)(ln .

Oznaczmy f(x) = lnx, g’(x) = x. Mamy wtedy f’(x) = x1 i g(x) = 2

21 x . Korzystając z reguły

całkowania przez części, otrzymujemy:

∫ xdxx)(ln = (lnx)x - ∫ 2

211 x

xdx = (lnx)x - ∫ dxx

2 = (lnx)x - ∫ xdx

21 =

= (lnx)x - 2

21

21 x + C = (lnx)x - 2

41 x + C.

Przykład. Całkowanie przez podstawianie. Obliczmy:

∫ xdxex 22

.

Korzystamy z reguły:

∫ dxxgxgf )('))(( = ∫ duuf )( , gdzie u = g(x).

Niech u = g(x) = x 2 , f(x) = e x . Wtedy g’(x) = 2x , f(g(x)) = e x 2 i f(u) = e u . Mamy teraz:

∫ xdxex 22

= ∫ e duu˛ = e u + C = e x 2 + C.

Uwaga. Dwukrotnie skorzystaliśmy z faktu, iż u = g(x), i otrzymaliśmy pierwszą i trzecią równość.

Przykład. Całkowanie przez podstawianie. Obliczmy:

dxx 2)12( 3∫ + .

Niech u = g(x) = 2x+1, f(x) = x 3 . Wtedy g’(x) = 2, f(g(x)) = (2x+1) 3 i f(u) = u 3 . Mamy teraz:

dxx 2)12( 3∫ + = ∫ duu 3 = 4

41 u + C = 4)12(

41

+x + C.




85

6.3. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Zajmiemy się teraz poniższym zadaniem.

Zadanie. Funkcje popytu Q d i podaży Q s dla pewnego dobra mają postać:

Q d = α - βP

Q s = -γ +δP,

gdzie α, β, γ, δ są ustalonymi, dodatnimi liczbami rzeczywistymi, P jest ceną danego dobra. Wartość P, dla której popyt jest równy podaży, tj. Q d = Q s , nazywamy ceną równowagi i oznaczamy P r . Cenę równowagi można wyznaczyć, rozwiązując równanie Q d = Q s , jest ona równa:

debegaalPr +

+= .

Jeśli cena P jest rożna od ceny równowagi, to będzie się zmieniać w czasie. Będą się tez zmieniać popyt Q d i podaż Q s . Używając języka matematycznego powiemy, iż P, Q d i Q s są funkcjami czasu, tj. P = P(t), Q d = Q d (t), Q s = Q s (t). Nasze założenie, ze cena P jest różna od ceny równowagi, można wyrazić następująco: P(0) ≠ P r . Załóżmy, iż stopa zmian cen (szybkość zmian cen P’) jest proporcjonalna do nadwyżki popytu nad podaża, tzn.:

P’(t) = )( sd QOjdtdP

−= ,

gdzie j > 0 jest stałą, tzw. współczynnikiem dostosowania. Korzystając z określenia Q d i Q s otrzymujemy:

=−= )( sd QOjdtdP

j(α - βP + γ - δP) = j(α + γ) - j(β + δ)P,

skąd:

dtdP + j(β + δ)P = j(α + γ),

tj.

P’(t) + CP(t) = D,

gdzie C = j(β + δ), D = j(α + γ). Otrzymane równanie opisujące związek pomiędzy funkcją P(t) i jej pochodną P’(t) jest przykładem równania różniczkowego.

Równania różniczkowe to równania, w których niewiadomą jest funkcja i w których występuje pochodna tej funkcji. Przykłady równań różniczkowych pojawiły się, gdy opisywaliśmy całkę nieoznaczoną – ażeby obliczyć:

∫ dxxf )( ,

należało znaleźć taką funkcję F(x), dla której F’(x) = f(x) – równanie różniczkowe, i to najprostszy jego typ.




86

Zanim rozwiążemy zadanie, rozpatrzymy kilka przykładów równań różniczkowych.

Przykład. Rozwiązać równanie:

3y 2 y’ - x = 0, (tutaj y jest funkcją x).

Pamiętając, iż y’ = dxdy otrzymujemy:

03 2 =− xdxdyy ,

skąd, mnożąc równanie obustronnie przez dx, otrzymujemy:

xdxdyy =23 .

Kolejny krok postępowania podajemy bez matematycznego uzasadnienia ale, nieformalnie, można rozumować tak: dwie „funkcje” są równe, a zatem ich funkcje pierwotne też są równe (dokładniej: różnią się o stała). Tak więc:

xdxdyy ∫∫ =23 .

Całkując, otrzymujemy:

22

13

21 CxCy +=+ ,

skąd:

1223

21 CCxy −+=

lub

Cxy += 23

21 , gdzie C = C 2 - C 1 jest stałą (tą stałą, o którą funkcje się różnią),

i wreszcie otrzymujemy rozwiązanie:

3 2

21 Cxy += .

Rozwiązaniem równania jest nieskończenie wiele funkcji – tyle, ile jest stałych C, a tych jest tyle, ile liczb rzeczywistych (każda liczba rzeczywista może być użyta jako C). Jest to tak zwane rozwiązanie ogólne równania różniczkowego. Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego otrzymamy, biorąc za C konkretną liczbę, np. C = 1. Wtedy rozwiązaniem szczególnym będzie:

3 2 121

+= xy .

Równanie, które rozwiązaliśmy, jest przykładem równania różniczkowego o rozdzielonych zmiennych, to znaczy takiego równania, które można przekształcić do postaci:




87

g(y)dy = f(x)dx.

Innym przykładem równania różniczkowego o rozdzielonych zmiennych jest równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach:

y’ + ay = 0. W tym równaniu y jest funkcją zmiennej x, tj. y = y(x).

Przykład. Rozwiązać równanie:

y’ + ay = 0.

Podstawiając w równaniu y’ = dxdy otrzymujemy:

dxdy + ay = 0.

Odejmujemy stronami ay, otrzymując:

dxdy = -ay.

Mnożymy obustronnie przez dx i dzielimy przez y. Otrzymujemy:

ydy = -adx

lub

dyy1 = -adx.

Całkujemy obustronnie:

∫ ∫ −= adxdyy1 ,

skąd:

lny + C 1 = -ax + C 2

lny = -ax + C 2 - C 1 = C (patrz komentarz w poprzednim przykładzie).

Korzystając z definicji funkcji logarytmicznej, mamy:

y = e - +ax C = e - ax e C .

Ponieważ C jest dowolną stałą, to e C jest również stałą, tyle iż stałą dodatnią. Możemy zatem zapisać rozwiązanie równania w postaci:

y = D e - ax ,

gdzie D jest dowolną stałą dodatnia (D = eC , C dowolna stała (liczba rzeczywista)).

Równanie różniczkowe:

P’(t) + CP(t) = D,




88

którego rozwiązanie nas interesuje, jest przykładem równania różniczkowego liniowego niejednorodnego. Kolejny przykład pokazuje sposób rozwiązania tego typu równania.

Przykład. Rozwiązać równanie: y’ + 2y = 3.

Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego składa się z dwóch etapów. Etap 1. Znajdujemy rozwiązanie równania liniowego jednorodnego, które powstaje z równania y’ + 2y = 3 przez zastąpienie 3, występującej z prawej strony znaku równości, zerem (0). Mamy zatem rozwiązać równanie:

y’ + 2y = 0. Będziemy postępować, tak jak przy rozwiązywaniu równania z przykładu poprzedniego.

Zastępujemy y przez dxdy , otrzymując:

dxdy + 2y = 0.

Mnożymy równanie obustronnie przez dx i otrzymujemy:

dy + 2ydx = 0 i dalej:

dy = -2ydx. Dzielimy teraz równanie obustronnie przez y:

dxdyy

21

−= .

Całkując obustronnie otrzymujemy:

dxdyy

21−= ∫∫ ,

skąd

lny+C 1 = -2x + C 2

i

lny = -2x + C 2 - C 1 ,

tj.

lny = -2x + C.

Korzystając z definicji logarytmu naturalnego (ln), otrzymujemy:

y = e Cx+−2 , tj.:




89

y = e - +2x C i y = - e - +2x C .

Jest to rozwiązanie ogólne równania y’ + 2y = 0.

Etap 2. Znajdujemy szczególne rozwiązanie równania y’ + 2y = 3, rozwiązanie, które jest funkcją stałą, tj. takiej funkcji y = A, A stała, iż y’ + 2y = 3. Podstawiając w równaniu A za y i 0 za y’ (pochodną ze stałej jest 0), otrzymujemy:

0 + 2A = 3,

skąd dostajemy: A = 1,5.

Tak więc funkcja y = 1,5 jest szczególnym rozwiązaniem równania y’ + 2y = 3. Ogólne rozwiązanie równania y’ + 2y = 3 jest sumą funkcji (rozwiązań) otrzymanych w etapie 1. i etapie 2. Zatem rozwiązaniem równania y’ + 2y = 3 jest funkcja y = e - +2x C + 1,5 i y = - e - +2x C + 1,5.

6.4. RÓWNANIA RÓŻNICOWE Zjawiska ekonomiczne obserwowane są w tak zwanych dyskretnych momentach czasu, to znaczy raz na rok, raz na miesiąc, raz dziennie – tak na przykład obserwuje kursy walut czytelnik prasy codziennej. W oparciu o te dane specjaliści konstruują funkcje ciągłe, często nawet różniczkowalne, które opisują zmienność badanego zjawiska. Takie postępowanie umożliwia wykorzystanie zarówno narzędzi rachunku różniczkowego (pochodnych) i rachunku całkowego (całek), jak również innych technik matematycznych. Celem tego rozdziału jest przedstawienie na przykładach możliwości, jakie stwarza analiza dyskretna. W wielu przypadkach „wersja dyskretna” może dostarczyć informacji, której poszukują ekonomiści, bez konieczności przejścia do postaci ciągłej.

Innym ważnym powodem, dla którego warto zrozumieć podejście dyskretne do zagadnień ekonomicznych, jest natura komputerów. Z nielicznymi wyjątkami, komputery przeprowadzają swoje operacje, posługując się metodami dyskretnymi. Tak więc znajomość tych metod jest cenna nie tylko dla tych, którzy chcą zrozumieć istotę programowania, ale też, a może przede wszystkim dla tych, których zadaniem jest interpretacja tego, co komputer „wyprodukuje”.

Przypuśćmy, iż interesuje nas podaż na pewne dobro na rynku. Zapisujemy wielkości podaży w kolejnych miesiącach i otrzymujemy w ten sposób ciąg wartości:

y0, y1, y2, ... , yn . Zdefiniujemy pierwsze przyrosty zmiennej (funkcji) y w następujący sposób:

Δ yt = yt+1 - yt , gdzie yt oznacza wartość zmiennej y w okresie t, zaś yt+1 wartość zmiennej y w okresie, który następuje bezpośrednio po okresie t. W naszym przypadku wartości te mogą oznaczać wielkość podaży, na przykład, yt w maju, a yt+1 w czerwcu.




90

Podobnie można zdefiniować drugie przyrosty zmiennej y, Δ2 yt, jako: Δ2 yt = Δ yt+1 - Δ yt .

Biorąc pod uwagę definicje pierwszych przyrostów zmiennej y, otrzymujemy:

Δ2 yt = Δ yt+1 - Δ yt = = (yt+2 - yt+1) - (yt+1 - yt) =

= yt+2 - 2yt+1 + yt.. I ogólnie, definiujemy n-ty przyrost zmiennej y, następująco:

Δn yt = Δn-1 yt+1 - Δn-1 yt . Co jest równe:

Δn yt = Δn-1 yt+1 - Δn-1 yt = yt+n - nyt+n-1 + ... + (-1)n yt Możemy teraz zdefiniować równanie różnicowe n-tego rzędu.

Równaniem różnicowym n-tego rzędu nazywamy każdy związek postaci: F(t, yt, Δ yt , ... , Δn yt) = 0.

Albo też, biorąc pod uwagę przytoczone wcześniej równości: F(t, yt, yt+1 , ... , yt+n ) = 0.

Ponieważ tak postawiona definicja nie jest zbyt jasna, kilka przykładów: • Δ yt - 1 = 0 jest równaniem różnicowym pierwszego rzędu (równoważnie yt+1 - yt = 1),

• Δ yt+5 - 2yt = 0 jest równaniem różnicowym piątego rzędu, • Δ yt+1 - 0,1 yt = 0 jest równaniem różnicowym pierwszego rzędu (równoważnie yt+1 - yt =

1), • [Δ yt]2 - 3 yt + t4 = 0 jest równaniem różnicowym pierwszego rzędu.

Uwaga. Jeśli to tylko będzie wygodne, będziemy posługiwać się wersją równania różnicowego, w której nie występuje symbol Δ. Oznacza to, iż zamiast rozpatrywać równanie Δ yt - 1 = 0, możemy zacząć od równoważnego mu równania yt+1 - yt = 1.

Uwaga. Mówimy równanie, myślimy rozwiązanie równania. W przypadku równania różnicowego jest to funkcja y(t) zmiennej t (wzór określający wartość y dla każdego momentu czasu, t = 0, 1, 2, ...), która spełnia dane równanie różnicowe i jest zgodna ze wszystkimi warunkami początkowymi. To znaczy: dla t = 0, 1, 2, ... , n y(t) = yt zaobserwowanej wartości zmiennej y.

Naszym głównym celem nie jest prezentacja metod rozwiązywania równań różnicowych ze wszelkimi szczegółami. Chodzi przede wszystkim o pokazanie, w jakich sytuacjach takie równania mogą być stosowane. Niemniej jednak warto zobaczyć, jak rozwiązuje się przykładowe, nieskomplikowane równania, kierując się zdrowym rozsądkiem.

Przykład 1. Znajdziemy rozwiązanie równania Δ yt - 1 = 0 przy warunku początkowym y0 = 7. Dogodniej będzie zapisać równanie w innej, równoważnej postaci:

Δ yt = 1.




91

Biorąc pod uwagę definicję pierwszej różnicy, Δ yt = yt+1 - yt , równanie można zapisać następująco:

yt+1 - yt = 1 albo też:

yt+1 = yt + 1 Możemy teraz, opierając sie na ostatnim równaniu, wywnioskować, że:

y1 = y0 + 1 y2 = y1 + 1 = (y0 + 1) + 1 = y0 + 2 × 1

y3 = y2 + 1 = (y0 + 2 × 1) + 1 = y0 + 3 × 1

y4 = y3 + 1 = (y0 + 3 × 1) + 1 = y0 + 4 × 1

Można, patrząc na powyższy ciąg równań wypisać ogólną postać równań z tego ciągu

yt = y0 + t × 1 lub

yt = y0 + t Biorąc pod uwagę warunek początkowy y0 = 7, otrzymujemy:

yt = 7 + t Ostatnie równanie pozwala wyznaczać wartości funkcji y dla dowolnego t = 0, 1, 2, .... , spełnia warunek y0 = 7. Zatem rozwiązaniem równania Δ yt - 1 = 0 z warunkiem początkowym y0 = 7 jest funkcja y(t) = 7 + t. Przykład 2. Rozwiążemy równanie różnicowe Δ yt+1 - 0,1 yt = 0. Także w tym przypadku rozważać będziemy zmodyfikowaną, w sposób równoważny, wersję równania:

Δ yt+1 = 0,1 yt

yt+1 - yt = 0,1 yt yt+1 = 1,1 yt .

Przyjmując kolejno za t 0, 1, 2, itd. otrzymujemy:

y1 = 1,1 y0 y2 = 1,1 y1 = 1,1 (1,1 y0) = (1,1)2 y0

y3 = 1,1 y2 = 1,1 ((1,1)2 y0 ) = (1,1)3 y0 y4 = 0,1 y3 = 1,1 ((1,1)3 y0 ) = (1,1)4 y0

…………………………………………….. I tutaj również można zaobserwować regułę, w myśl której powstają kolejne równania:

yt = (1,1)t y0. Rozwiązaniem równania Δ yt+1 - 0,1 yt = 0 jest funkcja y(t) = (1,1)t y0. Rozwiązując równanie, nie przyjęliśmy żadnych warunków początkowych. Otrzymane rozwiązanie ma więc charakter rozwiązania ogólnego. Jeśli zatem w którymś momencie będziemy chcieli nałożyć warunek początkowy, y0 = c (wartość stała), będzie to możliwe – w sposób podobny do zastosowania w poprzednim przykładzie.




92

Uwaga. Podobny przykład rozważa w swojej książce A.C. Chiang (Podstawy ekonomii matematycznej, PWE, Warszawa 1994, s. 550). Rozpatruje równanie Δ yt+1 = -0,1 yt, otrzymując rozwiązanie y(t) = (0,9)t y0, uzupełnia je następującym komentarzem:

„Przykładowi temu możemy nadać pewien sens ekonomiczny. W prostej analizie mnożnikowej pojedynczy wydatek inwestycyjny w okresie 0 będzie wymagać kolejnych wydatków, co z kolei przyniesie zmienne wielkości przyrostu dochodu w następnych latach. Używając y na oznaczenie wzrostu dochodu, mamy: y0 = wielkość inwestycji w okresie 0, ale następne przyrosty dochodu będą zależne od krańcowej skłonności do konsumpcji (MPC). Jeśli MPC = 0,9 i jeśli dochód z każdego okresu jest konsumowany jedynie w następnym okresie, to 90% yo zostanie skonsumowane w okresie l, co daje przyrost dochodu w okresie 1 równy y1 = 0,9y0. Podobnie rozumując, możemy znaleźć y2 = 0,9y1 itd. Widzimy, iż są to podane powyżej wyniki procedury iteracyjnej. Innymi słowy, mnożnikowy proces generowania dochodu może być opisany równaniem różnicowym, np.: yt+1 = -0,1 yt,, a rozwiązanie, takie jak: y(t) = (0,9)t y0, pokaże, jaka będzie wielkość wzrostu dochodu w każdym okresie t.”

Zauważmy, iż w przykładzie 2. stała -0,1 nie była istotna. Gdybyśmy rozpatrzyli równanie różnicowe postaci Δ yt+1 - C yt = 0, to rozwiązaniem takiego równania byłaby funkcja y(t) = At y0, gdzie A jest stałą zależną wyłącznie od stałej C.

Przykład 3. Jeszcze jeden ogólny przykład równania różnicowego pierwszego rzędu. Równanie:

yt+1 + ayt = c,

gdzie a i c są stałymi. Jest to tak zwane równanie liniowe niejednorodne. W przypadku, gdy stała c występująca z prawej strony równania jest równa zero, tj. w przypadku równania postaci yt+1 + ayt = 0, mamy do czynienia z równaniem liniowym jednorodnym. (Przykładami równań liniowych jednorodnych są równania z Przykładów 1 i 2).

Rozwiązanie równania yt+1 + ayt = c składa się z dwóch etapów: Etap 1. Znajdujemy rozwiązanie równania jednorodnego yt+1 + ayt = 0.

Etap 2. Znajdujemy „jakieś” (dowolne), tzw. szczególne rozwiązanie równania: Rozwiązaniem równania yt+1 + ayt = c jest suma rozwiązań uzyskanych w etapie 1 i etapie 2.

Realizujemy etap 1. Równanie yt+1 + ayt = 0, a raczej równoważne temu równanie, yt+1 = -ayt jest równaniem podobnym do równania rozwiązywanego w przykładzie 2. (tam równanie Δ yt+1 - 0,1 yt = 0 było równoważne równaniu yt+1 = 1,1 yt). Postępując podobnie otrzymamy rozwiązanie równania:

yt+1 + ayt = 0. Jest nim funkcja yetap1(t) = (-a)ty0, w tym przypadku y0 oznacza dowolną stałą.

Realizujemy etap 2. Mamy znaleźć dowolne, jedno rozwiązanie równania yt+1 + ayt = c. Możemy próbować zgadnąć, zaczynając od najprostszych funkcji. Spróbujmy najprostszej możliwości, czyli sprawdźmy funkcję stałą y(t) = k. Dla każdego t, yt = k. Podstawiamy do równania:




93

yt+1 + ayt = c

k + ak = c. Przekształcając otrzymane równanie (niewiadomą teraz jest k) otrzymamy:

k (1 + a) = c Aby wyliczyć, czemu się równa k, należałoby podzielić równanie obustronnie przez 1 + a. To jest możliwe tylko w przypadku, gdy 1 + a ≠ 0 tj. a ≠ -1. Jeśli tak jest to:

k = c/(1 + a)

i, w tym przypadku, funkcja yetap2(t) = c/(1 + a) jest rozwiązaniem równania yt+1 + ayt = c. W sytuacji, gdy a = -1 (wyznaczenie stosownego k nie jest możliwe) postępujemy inaczej. Zauważmy, iż nasze równanie ma teraz postać:

yt+1 - yt = c.

Sprawdźmy funkcję y(t) = kt, gdzie k jest pewną stałą. Wtedy y(t + 1) = k(t + 1) i podstawiając do równania yt+1 - yt = c, otrzymujemy:

k(t + 1) - kt = c kt + k - kt = c

k =c. Tak więc w przypadku gdy a = -1, rozwiązaniem równania yt+1 + ayt = c jest funkcja yetap2(t) = ct. Możemy teraz powiedzieć, iż rozwiązaniem równania yt+1 + ayt = c jest (suma rozwiązań uzyskanych w etapie 1. i etapie 2.) funkcja:

1. y(t) = yetap1(t) + yetap2(t) = (-a)ty0 + c/(1 + a), gdy a ≠ -1.

2. y(t) = yetap1(t) + yetap2(t) = (-a)ty0 + ct, gdy a = -1.

Opisana w przykładzie 3 metoda rozwiązywania równania różnicowego pozwala rozwiązać każde równanie różnicowe postaci:

Ayt+1 + Byt = C, gdzie A jest różne od zera. Po podzieleniu obu stron ostatniego równania przez A, otrzymujemy równanie:

yt+1 + B/Ayt = C/A

równanie podobne do równania, którego rozwiązaniem zajmowaliśmy się w przykładzie 3. W celu ilustracji zastosowania równań różnicowych w analizie ekonomicznej, przytoczymy modelu rynku dla jednego dobra, znany jako model pajęczyny (cobweb model). Ten przykład również pochodzi z opracowania A.C. Chiang (Podstawy ekonomii matematycznej, PWE, Warszawa 1994, s. 559). W tym, co poniżej Qs,t oznacza wielkość podaży w okresie t, Qd,t oznacza wielkość popytu w okresie t, a Pt cenę na interesujące nasz dobro w okresie t.

Rozważmy sytuację, gdy producent musi podjąć decyzję dotyczącą poziomu produkcji na jeden okres przed sprzedażą. Sytuacja taka ma miejsce w produkcji rolniczej, gdzie siewy poprzedzają zbiory i sprzedaż o pewien dosyć długi okres. Załóżmy, iż decyzja dotycząca wielkości produkcji jest podejmowana w okresie t na podstawie występującej wtedy ceny Pt. Ponieważ produkcja będzie gotowa do sprzedaży dopiero w okresie t+ 1, więc będzie




94

wpływać nie na Qs,t, ale na Qs,t+1. Mamy teraz funkcję opóźnionej podaży (lagged supply) (Przyjmujemy tu milczące założenie, iż cała produkcja z danego okresu będzie wystawiona na – sprzedaż i żadna jej część nie zostanie zmagazynowana. Takie założenie jest odpowiednie w przypadku szybko psujących się produktów albo w sytuacji, gdy nie jest możliwe gromadzenie zapasów (...)):

Qs,t+1 = S(Pt) lub równoważnie – w wyniku cofnięcia indeksu czasowego o jeden okres:

Qs,t = S(Pt-1). Gdy taka funkcja podaży współdziała z funkcją popytu postaci:

Qd,t = D(Pt),

wynikają z tego interesujące dynamiczne struktury cen.

Przyjmując liniowe wersje tej (opóźnionej) funkcji podaży i (nieopóźnionej) funkcji popytu i zakładając, iż w każdym momencie cena rynkowa jest zawsze ustalona na poziomie oczyszczającym rynek, otrzymujemy model rynku złożony z następujących trzech równań:

Qd,t = Qs,t

Qd,t = α - β Pt (α, β > 0) Qs,t = -γ + δ Pt-1 (γ, δ >0)

Podstawiając dwa ostatnie równania do pierwszego, można model sprowadzić do pojedynczego równania różnicowego pierwszego rzędu:

β Pt + δ Pt-1 = α + γ ".

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

Pt = (P0 - (α + γ)/( β + δ))(-δ/β)t + (α + γ)/( β + δ), t = 0, 1, 2, ..., gdzie P0 reprezentuje cenę początkową danego dobra.

Inne przykłady zastosowań równań różnicowych w ekonomii można znaleźć w cytowanej książce A.C. Chiang.

Zastosowanie matematyki i ekonometrii w zarządzaniu Rozdział VII: Funkcje wielu zmiennych



95

ROZDZIAŁ VII: FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Jeśli koszt wyprodukowania jednej sztuki wynosi 10 zł, to koszt produkcji x sztuk C(x) wynosi:

C(x) = 10x.

W przypadku, gdy firma produkuje dwa wyroby, przy czym koszt wyprodukowania jednej sztuki wyrobu pierwszego wynosi 10 zł, a jednej sztuki wyrobu drugiego 15 zł, to, zakładając, iż produkowane jest x sztuk wyrobu pierwszego i y sztuk wyrobu drugiego, koszt produkcji wyraża się wzorem:

C(x,y) = 10x + 15y. W tym przypadku powiemy, iż koszt produkcji jest funkcją dwóch zmiennych x i y.

W tym rozdziale zajmiemy się właśnie takimi funkcjami. Jednym z celów będzie rozwiązanie poniższego problemu.

Problem. Firma produkuje dwa wyroby: I i II. Cena jednostkowa wyrobu I wynosi a złotych, zaś wyrobu II b złotych. Ceny te są stałe. Niech x oznacza poziom produkcji wyrobu I, zaś y poziom produkcji wyrobu II. Funkcja R przychodu firmy wyraża się wzorem:

R(x,y) = ax + by. Funkcja kosztu C dla tej firmy jest równa:

C(x,y) = 2x2 + xy + 2y2. Funkcja zysku P:

P(x,y) = R - C = ax + by - 2x2 - xy - 2y2. Celem jest znalezienie takich poziomów produkcji wyrobów I i II, przy których zysk będzie maksymalny. Mówiąc inaczej trzeba znaleźć takie wartości x i y, dla których funkcja P(x,y) osiągnie maksimum.

Zanim przystąpimy do rozwiązywania problemu, dobrze byłoby go zrozumieć.

Z pojęciem funkcji jednej zmiennej związane było pojęcie wykresu funkcji. W matematyce wykres funkcji y = f(x) jest rozumiany jako zbiór wszystkich możliwych do utworzenia par (x,f(x)), przy czym x należy do dziedziny funkcji f. Każda taka para liczb określa punkt na płaszczyźnie z układem współrzędnych. Stąd też wykres funkcji utożsamiany jest ze zbiorem punktów płaszczyzny, a w przypadku „miłych” funkcji, z krzywą (parabolą, hiperbolą, prostą, itp.). W przypadku funkcji dwóch zmiennych również można mówić o wykresie. Przez analogię można powiedzieć, iż wykres funkcji dwóch zmiennych z = F(x,y), to zbiór wszystkich możliwych do utworzenia trójek (liczb) postaci (x,y,F(x,y)). Do interpretacji takich trójek liczbowych nie wystarczy płaszczyzna z układem współrzędnych, potrzeba układu odniesienia składającego się z trzech osi współrzędnych. Układ taki można otrzymać, zaczynając od płaszczyzny z układem współrzędnych. Do tego tworu dodajemy jeszcze jedną oś liczbową prostopadłą do wyjściowej płaszczyzny i przechodzącą przez punkt (0,0) (na dodawanej osi 0 znajdować winno się w też w tym punkcie). Na rysunku poniżej pokazany




96

jest jeden z możliwych takich układów wraz z kilkoma punktami reprezentującymi trójki liczb (wypisane przy każdym z punktów):

Popatrzmy, jak wyznaczyć punkt odpowiadający trójce liczb (2, -4, 3). Zaczynamy od punktu oznaczonego 0 i idziemy dwie jednostki wzdłuż dodatniej osi x. Następnie 4 jednostki w lewo, równolegle do osi y i wreszcie trzy jednostki w górę równolegle do osi z. Liczby 2, -4, i 3 nazywamy współrzędnymi punktu. 2 to tzw. współrzędna x-owa, -4 to współrzędna y-owa i 3 to współrzędna z-owa.

Pewne wyobrażenie o tym, jak mogą wyglądać wykresy funkcji dwóch zmiennych, dają przestrzenne mapy (lub ich fragmenty). Rysowanie wykresów takich funkcji nie jest zadaniem łatwym, chyba iż użyjemy specjalnych programów komputerowych. Możemy je także rysować czy też wyobrażać sobie, jak wyglądają w oparciu o pewne ich „ślady”, podobnie jak to robimy, patrząc na mapę fizyczną i wyobrażając sobie górę w oparciu o poziomice na mapie.

Przykład 1. Narysujemy wykres funkcji:

z = x2 + y2. Popatrzmy najpierw jaki ślad zostawia wykres rozpatrywanej funkcji na płaszczyźnie wyznaczonej przez osie y i z. Płaszczyzna ta składa się z punktów, których x-owa współrzędna jest równa 0. To, co „zostaje” z naszej funkcji, to:

z = y2. Jest to równanie paraboli na płaszczyźnie wyznaczonej przez osie y i z. Na rysunku poniżej parabola czerwona. Podobnie znajdujemy przecięcie wykresu funkcji z płaszczyzną wyznaczoną przez osie x i z. Ta ostatnia składa się z punktów o y-owej współrzędnej równej 0. W tym przypadku otrzymujemy:




97

z = x2.

Jest to równanie paraboli na płaszczyźnie wyznaczonej przez osie x i z. Na rysunku poniżej parabola niebieska.

Teraz dokonamy „cięć” wykresu płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny wyznaczonej przez osie x i y. Płaszczyzny takie składają się z punktów o stałej współrzędnej z-owej. Krzywe, które będziemy w wyniku takich cięć otrzymywać, noszą nazwę poziomic). Przecinając wykres płaszczyzną z = 1, otrzymujemy okrąg o równaniu:

x2 + y2 = 1, tnąc płaszczyzną z = 2, okrąg:

x2 + y2 = 2, płaszczyzną z= 3, okrąg:

x2 + y2 = 3.




98

Nanosząc otrzymane „ślady przecięć” na jeden rysunek, możemy sobie wyobrazić, iż wykresem funkcji:

z = x2 + y2

jest powierzchnia podobna kształtem do połówki skorupki jajka (jajko przecinamy płaszczyzną prostopadłą do osi symetrii). Jest to tak zwana paraboloida obrotowa, fragment której przedstawiony jest na rysunku poniżej. Zauważmy, iż na powierzchni tej istnieje punkt położony najniżej (wysokość punktu wskazuje współrzędna z-owa), to znaczy, iż funkcja nasza osiąga minimum (w szczególności jest to minimum lokalne). Minimum to jest przyjęte dla x = 0 i y = 0.




99

Jedno z zastosowań poziomic w ekonomii związane jest z funkcją produkcji. Funkcja produkcji z = f(x,y) jest to funkcja wyrażająca ilość z produkowanego dobra jako funkcję zmiennych x i y, gdzie x oznacza ilość pracy (liczbę zatrudnionych), a y wielkość kapitału (w stosownych jednostkach) potrzebnych do wyprodukowania z jednostek. W przypadku gdy funkcja produkcji jest postaci z = Axay1-a, gdzie A jest stałą oraz 0<a<1, funkcję taką nazywamy funkcją produkcji Cobba-Douglasa.

Przykład 2. Funkcja produkcji Cobba-Douglasa. Znajdziemy poziomicę funkcji produkcji z = x2/3y 1/3 dla produkcji 100 jednostek.

Podstawiając za z w równaniu funkcji produkcji 100, otrzymujemy:

100= x2/3y 1/3

100/( x2/3) = y 1/3. Podnosimy obustronnie równanie do potęgi trzeciej otrzymujemy:

y = 1003/x2 = 1000000/ x2. Równanie to, zwane równaniem izokwant czynników, opisuje zależność, którą winny spełniać ilość pracy i wielkość kapitału, aby produkcja wyniosła 100 jednostek.

Wróćmy do ogólnych uwag dotyczących funkcji dwóch zmiennych. Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, możemy mówić o lokalnym maksimum i lokalnym minimum takiej funkcji. Odwołując się do wykresu, lokalne maksimum możemy, potocznie, określić jako „szczyt” na powierzchni będącej wykresem funkcji. Natomiast lokalne minimum to „niecka” (zagłębienie). Można też mówić o największej i najmniejszej wartości funkcji dwóch zmiennych, ale te wartości nie będą nas na ogół interesowały z tych samych powodów, o których była mowa w przypadku funkcji jednej zmiennej. W przypadku funkcji dwóch zmiennych ograniczymy się do sformułowania metody pozwalającej wykrywać maksima i minima lokalne funkcji dwóch zmiennych. Będzie nam do tego potrzebne pojęcie pochodnej cząstkowej funkcji dwóch zmiennych. Ograniczymy się jedynie do praktycznej definicji pochodnej cząstkowej, tzn. do sposobu jej obliczania. Zainteresowanych definicją formalną odsyłamy do literatury.

Mając funkcję z = f(x,y), np. z = x2 + y 2, możemy z niej tworzyć funkcje, każda jednej zmiennej. Będą to na przykład funkcje:

• z = x2 + 2 2,

• z = 12 + y 2,

• z = x2 + (-3,2)2, itp. Można też przyjąć, iż np. y jest stałe, i traktować funkcję z = x2 + y 2, jako funkcję jednej zmiennej x. Można też przyjąć, iż x jest stałe, i traktować funkcję z = x2 + y 2, jako funkcję jednej zmiennej y. Możemy teraz podać definicję, z formalnego punktu widzenia niepoprawną, ale praktycznie użyteczną, pochodnej cząstkowej funkcji z = f(x,y). Pochodną cząstkową względem zmiennej x funkcji z = f(x,y) nazywamy funkcję dwóch zmiennych, oznaczaną fx(x,y), która powstaje z funkcji f(x,y) w następujący sposób:




100

traktujemy funkcję f(x,y) jako funkcję jedynie zmiennej x (myślimy o y jako o stałej) i obliczamy zwykłą pochodną tej funkcji.

Pochodną cząstkową względem zmiennej y funkcji z = f(x,y) nazywamy funkcję dwóch zmiennych, oznaczaną fy(x,y), która powstaje z funkcji f(x,y) w następujący sposób:

traktujemy funkcję f(x,y) jako funkcję jedynie zmiennej y (myślimy o x jako o stałej) i obliczamy zwykłą pochodną tej funkcji.

Przy obliczaniu pochodnych cząstkowych korzystać będziemy z listy pochodnych funkcji podstawowych funkcji jednej zmiennej. Reguły pozwalające obliczać pochodne cząstkowe są takie same (prawie takie same), jak w przypadku zwykłych pochodnych funkcji jednej zmiennej.

Obliczmy przykładowo pochodną cząstkową względem zmiennej x funkcji f(x,y) = x2 + y 2 fx(x,y) = (x2 + y 2)' = (x2 )' + (y 2)' = 2x + 0 = 2x (y traktujemy jak stałą!).

Teraz obliczymy pochodną cząstkową względem zmiennej y tej samej funkcji: fy(x,y) = (x2 + y 2)' = (x2 )' + (y 2)' = 0 + 2y = 2y (x traktujemy jak stałą!).

Jeszcze jeden przykład.

Obliczymy obie pochodne cząstkowe funkcji g(x,y) = x2 ey: gx(x,y) = (x2 ey) ' = (x2)' ey + x2 (ey )' = 2x ey + x2 0 = 2x ey (y traktujemy jak stałą!)

gy(x,y) = (x2 ey)' = (x2)' ey + x2 (ey )' = 0 ey + x2 ey = x2 ey (x traktujemy jak stałą!).

Obliczanie pochodnych cząstkowych nie wydaje się być zbyt skomplikowane.

Pochodne cząstkowe funkcji f(x,y), niezależnie względem której ze zmiennych obliczone, są funkcjami dwóch zmiennych. Wobec tego, jest sens mówić o pochodnych cząstkowych tych pochodnych, czyli o pochodnych cząstkowych drugiego rzędu.

f(x,y)

fx(x,y) fy(x,y)

(fx)x(x,y) (fx)y(x,y) (fy)x(x,y) (fy)y(x,y).

Przykładowo (fx)y(x,y) to pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji f(x,y), która powstaje w następujący sposób: 1. Obliczamy pochodną cząstkową względem zmiennej x funkcji f(x,y) i otrzymujemy

fx(x,y). 2. Obliczamy pochodną cząstkową względem zmiennej y funkcji fx(x,y) i otrzymujemy

(fx)y(x,y).




101

Cały proces obliczania pochodnych cząstkowych można kontynuować obliczając pochodne cząstkowe trzeciego rzędu (będzie ich 8), czwartego rzędu (16) itd. Na szczęście w przypadku funkcji, z którymi możecie się zetknąć (fx)y(x,y) = (fy)x(x,y).

Wróćmy do przykładów i obliczmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji:

f(x,y) = x2 + y 2 , fx(x,y) = 2x, zatem (fx)x(x,y) = (2x)' = 2

(fx)y(x,y) = (2x)' = 0 (x traktujemy jak stałą!) fy(x,y) = 2y, zatem

(fy)x(x,y) = (2y)' = 0 (y traktujemy jak stałą!) (fy)y(x,y) = (2y)' = 2.

Powtórzmy teraz obliczenia dla funkcji g(x,y) = x2 ey gx(x,y) 0 = 2x ey (y traktujemy jak stałą!)

więc: (gx)x(x,y) = (2x ey)' = 2 ey(x)' = 2 ey

(gx)y(x,y) = (2x ey)' = 2x(ey)' = 2x ey gy(x,y) = x2 ey,

zatem: (gy)x(x,y) = (x2 ey)' = ey(x2)' = 2x ey

(gy)y(x,y) = (x2 ey)' = x2 (ey)' = x2 ey.

Jesteśmy teraz gotowi do sformułowania instrukcji znajdowania maksimów i minimów lokalnych funkcji dwóch zmiennych funkcji f(x,y).

Krok 1. Obliczamy pochodne cząstkowe funkcji f(x,y): fx(x,y) i fy(x,y). Krok 2. Znajdujemy wszystkie wartości x, y, dla których równocześnie fx(x,y) = 0 i fy(x,y) = 0, tzn. rozwiązujemy układ równań:

fx(x,y) = 0

fy(x,y) = 0. Oznaczmy przez x*, y* rozwiązanie tego układu (układ może mieć kilka rozwiązań.

Krok 3. Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f(x,y): (fx)x(x,y), (fx)y(x,y), (fy)x(x,y), (fy)y(x,y).

Krok 4. Obliczamy wartości pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji f(x,y) dla x*, y*,

tj. (fx)x(x*, y*), (fx)y(x*, y*) [ = (fy)x(x*, y*)], (fy)y(x*, y*). Krok 5. Obliczamy W = (fx)x(x*, y*)(fy)y(x*, y*) - ((fx)y(x*, y*))2.

Jeśli w > 0, to Jeśli (fx)x(x*, y*) > 0, to funkcja f(x,y) ma minimum lokalne w punkcie x*, y*




102

Jeśli (fx)x(x*, y*) < 0, to funkcja f(x,y) ma maksimum lokalne w punkcie x*, y*.

Zilustrujemy na przykładzie zastosowanie powyższej metody. Poszukamy maksimów i minimów lokalnych funkcji f(x,y) = x2 + y 2. Krok 1. został już w tym przypadku wykonany. fx(x,y) = 2x , fy(x,y) = 2y.

Krok 2. Rozwiązujemy układ równań: fx(x,y) = 0

fy(x,y) = 0, to jest:

2x = 0 2y = 0.

Otrzymujemy rozwiązanie: x = 0, y = 0. Są to wartości argumentów funkcji f, dla których funkcja może (ale nie musi) przyjmować wartość lokalnie najmniejszą lub największą.

Krok 3. Ten krok też już został zrealizowany: (fx)x(x,y) = 2

(fx)y(x,y) = 0 (fy)x(x,y) = 0

(fy)y(x,y) = 2. Krok 4. Wyznaczone w kroku 2 wartości x*, y*, to x*= 0, y* = 0.

Znajdujemy: (fx)x(x*, y*) = (fx)x(0,0) = 2

(fx)y(x*, y*) = (fx)y(0,0) = 0 (fy)x(x*, y*) = (fy)x(0,0) = 0

(fy)y(x*, y*) = (fy)y(0,0) = 2. Krok 5. Obliczamy wartość W.

W = (fx)x(x*, y*)(fy)y(x*, y*) - ((fx)y(x*, y*))2 W = 2 × 2 - (0)2 = 4

W > 0, (fx)x(0,0) = 2 >0, a zatem dla x = 0 i y = 0 funkcja f(x,y) = x2 + y 2 osiąga minimum lokalne. To jest zgodne ze wcześniej dokonaną obserwacją.

Jesteśmy teraz gotowi do rozwiązania postawionego na początku tego rozdziału problemu. Przypomnijmy go.

Problem. Firma produkuje dwa wyroby: I i II. Cena jednostkowa wyrobu I wynosi a złotych, zaś wyrobu II b złotych. Ceny te są stałe. Niech x oznacza poziom produkcji wyrobu I, natomiast y poziom produkcji wyrobu II. Funkcja R przychodu firmy wyraża się wzorem:

R(x,y) = ax + by.

Funkcja kosztu C dla tej firmy jest równa: C(x,y) = 2x2 + xy + 2y2.




103

Funkcja zysku P:

P(x,y) = R - C = ax + by - 2x2 - xy - 2y2. Celem jest znalezienie takich poziomów produkcji wyrobów I i II, przy których zysk będzie maksymalny. Należy znaleźć takie wartości x i y, dla których funkcja P(x,y) osiągnie maksimum.

Przystępujemy do realizacji naszej metody pięciu kroków.

Krok 1. Znajdujemy pochodne cząstkowe funkcji P(x,y). y traktujemy jak stałą i obliczamy Px(x,y):

Px(x,y) = (ax + by - 2x2 - xy - 2y2)' =

= (ax)' + (by)' - (2x2 )' - (xy)' - (2y2)' =

= a + 0 - 4x - y - 0 Px(x,y) = a - 4x - y.

Teraz x traktujemy jak stałą i obliczamy Py(x,y): Py(x,y) = (ax + by - 2x2 - xy - 2y2)' =

= (ax)' + (by)' - (2x2 )' - (xy)' - (2y2)' = = 0 + b - 0 - x - 4y

Py(x,y) = b - x - 4y.

Krok 2. Rozwiązujemy układ równań: Py(x,y) = 0

Py(x,y) = 0, tj.

a - 4x - y = 0 b - x - 4y = 0.

Mnożymy drugie z równań układu przez -4 i otrzymujemy: a - 4x - y = 0

-4b + 4x + 16y = 0. Dodajemy równania stronami i porządkujemy:

a - 4x - y + (-4b + 4x + 16y) = 0 + 0

a - 4x - y -4b + 4x + 16y = 0

a -4b + 15y = 0. Wyliczamy y:

15y = 4b - a y = (4b - a)/15.




104

Do pierwszego równania układu, a - 4x - y = 0, wstawiamy wyliczone y i wyznaczamy odpowiadające mu x:

a - 4x - y = 0

a - 4x - (4b - a)/15 = 0 (15a - 60x)/15 - (4b - a)/15 = 0

(15a - 60x - 4b + a)/15 = 0 15a - 60x - 4b + a = 0

16a - 60x - 4b = 0 60x = 16a -4b

x = (16a -4b)/60 x = (4a -b)/15.

Krok 2 został zakończony. Funkcja P(x,y) = ax + by - 2x2 - xy - 2y2 może osiągać ekstremum (minimum albo maksimum) lokalne dla:

x* = (4a -b)/15 y* = (4b - a)/15.

Krok 3. Obliczamy (Px)x(x,y), (Px)y(x,y), (Py)x(x,y), (Py)y(x,y):

(Px)x(x,y) = (a - 4x - y)' = (a)' - (4x)' - (y)' = -4, (Px)y(x,y) = (a - 4x - y)' = (a)' - (4x)' - (y)' = -1,

(Py)x(x,y) = (b - x - 4y)' = (b)' - (x)' - (4y)' = -1, (Py)y(x,y) = (b - x - 4y)' = (b)' - (x)' - (4y)' = -4.

Krok 4. Pochodne cząstkowe drugiego rządu funkcji P są stałe, zatem w szczególności:

(Px)x(x*, y*) = (Px)x((4a -b)/15, (4b - a)/15) = -4, (Px)y(x*, y*) = (Px)y((4a -b)/15, (4b - a)/15) = -1,

(Py)x(x*, y*) = (Py)x((4a -b)/15, (4b - a)/15) = -1, (Py)y(x*, y*) = (Py)y((4a -b)/15, (4b - a)/15) = -4.

Krok 5. Znajdujemy wartość W:

W = (Px)x(x*, y*)(Py)y(x*, y*) - ((Px)y(x*, y*))2

W = (-4) × (-4) - (-1)2 = 16.

Przechodzimy do konkluzji W> 0, (Px)x(x*, y*) = -4 < 0, a zatem funkcja:

P(x,y) = ax + by - 2x2 - xy - 2y2 osiąga maksimum lokalne dla x = (4a -b)/15 i y = (4b - a)/15. Oznacza to w odniesieniu do naszego problemu, iż największy zysk firma osiągnie, produkując x = (4a -b)/15 jednostek




105

wyrobu I i y = (4b - a)/15 jednostek wyrobu II. Jeśli przyjmiemy przykładowo cenę wyrobu I, a = 55 tys. złotych i cenę wyrobu II, b = 70 tys. złotych, wówczas poziom produkcji wyrobu I wyniesie x = (4 × 55 -70)/15 = 10 jednostek, a wyrobu II y = (4 × 70 - 55)/15 = 15 jednostek. Problem został rozwiązany.

I jeszcze jeden przykład.

Produkujemy prostopadłościenne pudełka metalowe o pojemności 1000 cm3 i myślimy o zminimalizowaniu kosztów produkcji. Ponieważ zleceniodawca nie określił wymiarów pudełek, chcemy je tak dobrać, by ich powierzchnia, a tym samym ilość zużytej do produkcji blachy, była jak najmniejsza. Szukamy zatem takich wymiarów x – długość, y –szerokość i z – wysokość pudełka, dla których pole powierzchni całkowitej:

A = 2xy + 2xz + 2yz

będzie najmniejsze. A zatem, szukamy takich x, y, z, dla których funkcja: A(x,y,z) = 2xy + 2xz + 2yz

osiąga minimum lokalne. Zauważmy, iż otrzymana funkcja jest funkcją trzech zmiennych, a zmienne te są ze sobą związane – objętość pudełka ma wynosić 1000 cm3, a więc:

xyz = 1000. Ostatni warunek pozwala wyliczyć z w terminach x i y:

z = 1000/(xy) = 1000x-1y -1, podstawiając wyrażenie dla z w definicji funkcji A otrzymujemy:

A(x,y,z) = 2xy + 2x1000x-1y -1 + 2y1000x-1y -1 A(x,y) = 2xy + 2000y -1 + 2000x-1.

Zadanie sprowadza się teraz do znalezienia minimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych, a więc znowu będziemy realizować metodę pięciu kroków.

Krok 1. Znajdujemy pochodne cząstkowe funkcji A(x,y).

y traktujemy jak stałą i obliczamy Ax(x,y): Ax(x,y) = (2xy + 2000y -1 + 2000x-1)' = (2xy)' + (2000y -1 )' + (2000x-1)' =

= 2y + 0 + 2000(x-1)' = 2y + 2000 (-1) x-1-1 = 2y -2000 x-2. Teraz x traktujemy jak stałą i obliczamy Ay(x,y):

Ay(x,y) = (2xy + 2000y -1 + 2000x-1)' = (2xy)' + (2000y -1 )' + (2000x-1)' = = 2x + 2000(y-1)' + 0 = 2x + 2000 (-1) y-1-1 = 2x -2000 y-2.

Krok 2. Rozwiązujemy układ równań:

Ay(x,y) = 0 Ay(x,y) = 0,

tj.




106

2y -2000 x-2 = 0

2x -2000 y-2= 0. Dzielimy każde z równań obustronnie przez 2 i otrzymujemy:

y -1000 x-2 = 0 x -1000 y-2= 0.

Wyznaczamy w tym celu y z pierwszego z równań: y = 1000 x-2

i wstawiamy do drugiego równania: x -1000 y-2= 0

x -1000 (1000 x-2)-2= 0

x -1000 × 1000-2 x4= 0

x -1000-1 x4= 0. Rozkładamy na czynniki:

x(1 -1000-1 x3) = 0. Ostatnie równanie jest spełnione, gdy x = 0. Ten przypadek nas nie interesuje – pudełko, którego jeden z wymiarów ma 0 cm, miałoby objętość 0 lub

1 -1000-1 x3 = 0.

Mnożymy obustronnie przez 1000 i przekształcamy: (1 -1000-1 x3 ) 1000 = 0 × 1000

1000 -1000-1 x3 × 1000 = 0

1000 -x3 = 0.

Rozkładamy na czynniki: (10 - x)(100 + x + x2) = 0.

Wyrażenie 100 + x + x2 jest zawsze różne od zera (proszę sprawdzić – wyróżnik tego trójmianu jest ujemny), a zatem ostatnie równanie jest równoważne równaniu 10 - x = 0, tj. x = 10. Odpowiadającą mu wartość y wyznaczamy z równania:

y = 1000 x-2

y = 1000 × 10-2

y = 10.

Krok 2 został zakończony. Funkcja A(x,y) = 2xy + 2000y -1 + 2000x-1 może osiągać ekstremum (minimum albo maksimum) lokalne dla x* = 10 i y* = 10.

Krok 3. Obliczamy (Ax)x(x,y), (Ax)y(x,y), (Ay)x(x,y), (Ay)y(x,y):

(Ax)x(x,y) = (2y -2000 x-2)' = (2y)' -(2000 x-2)' = 0 -2000 (x-2)' = -2000 (-2) x-2-1 = 4000 x-3 (Ax)y(x,y) = (2y -2000 x-2)' = (2y)' -(2000 x-2)' = 2 - 0 = 2

(Ay)x(x,y) = (2x -2000 y-2)' = (2x)' -(2000 y-2)' = 2 - 0 = 2




107

(Ay)y(x,y) = (2x -2000 y-2)' = (2x)' -(2000 y-2)' = 0 -2000 (y-2)' = -2000 (-2) y-2-1 = 4000 y-3.

Krok 4. Obliczamy wartości pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji A(x,y) dla x*, y* tj. (Ax)x(x*, y*), (Ax)y(x*, y*) [ = (Ay)x(x*, y*)], (Ay)y(x*, y*):

(Ax)x(10,10) = 4000 × 10-3 = 4000 × 1/1000 = 4

(Ax)y(10,10) = 2 (Ay)x(10,10) = 2

(Ay)y(10,10) = 4000 × 10-3 = 4000 × 1/1000 = 4.

Krok 5. Obliczamy W = (Ax)x(x*, y*)(Ay)y(x*, y*) - ((Ax)y(x*, y*))2 W = 4 × 4 - (2)2 = 16 - 4 = 12

Przechodzimy do konkluzji W> 0, (Ax)x(x*, y*) = 12 > 0, a zatem funkcja:

A(x,y) = 2xy + 2000y -1 + 2000x-1 osiąga minimum lokalne dla x = 10 i y = 10. Oznacza to, iż najmniejszą powierzchnię ma pudełko metalowe o długości x = 10 cm, szerokości y = 10 cm. Wysokość z pudełka wyznaczamy z warunku:

z = 1000x-1y -1. Wstawiając x = 10 cm, y = 10 cm, otrzymujemy z = 10 cm. Tak więc pudełkiem prostopadłościennym o danej objętości 1000cm3 i najmniejszym polu powierzchni, a tym samym najmniejszej ilości materiału potrzebnego do zbudowania takiego pudełka, jest pudełko sześcienne o wymiarach 10 cm × 10 cm × 10 cm.

Zastosowanie matematyki i ekonometrii w zarządzaniu Literatura



108

LITERATURA 1. A.C. Chiang, Podstawy ekonomii matematycznej, PWE, Warszawa 1994.

2. J. Jóźwiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1995. 3. J. Dubnicki, J. Kłopotowski, T. Szapiro, Analiza matematyczna – podręcznik dla

ekonomistów, Warszawa 1987.

4. A. Goryl, Z. Jedrzejczyk, K. Kukuła, J. Osiewalski, A. Walkosz, Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach.

5. Z. Helwig, Zarys ekonometrii, PWE, Warszawa 1994.

6. J. Jóźwiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1995. 7. H. Kryński, Matematyka wyższa z elementami zastosowań w ekonomii, PWN, Warszawa

1977. 8. W. Sadowski (red), Zarys ekonometrii i programowania matematycznego, PWN,

Warszawa 1985. 9. M. Sobczyk, Statystyka, PWN, Warszawa 1996.

ZBIÓR ZADAŃ do wykładu

„MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU”

109

ZBIÓR ZADAŃ

do wykładu


WARSZAWA 2009



110



Spis treści



111

Spis treści WSTĘP .......................................................................................................................................... 112 Rozdział 1: Algebra Liniowa............................................................................................................ 113 Rozdział 2. Wartość pieniądza w czasie, równania rekurencyjne ........................................................ 129 Rozdział 3: Funkcje jednej zmiennej ................................................................................................ 140 Rozdział 4: Pochodne ...................................................................................................................... 147 Rozdział 5: Całki............................................................................................................................. 161 Rozdział 6: Funkcje wielu zmiennych ............................................................................................... 170



WSTĘP



112

WSTĘP

Każdy z 6 rozdziałów zaczyna się od teoretycznego wprowadzenia ilustrowanego

rozwiązanymi przykładami, po czym pojawią się zadania do rozwiązania. Wszystkie pojęcia

występujące po raz pierwszy zostały podkreślone. Zadania opisujące realną rzeczywistość

zostały oznaczone gwiazdką *. Zakończenie przykładu/definicji zostało oznaczone • .



ROZDZIAŁ 1: ALGEBRA LINIOWA



113

ROZDZIAŁ 1: ALGEBRA LINIOWA Wektorem nazywamy ciąg liczb ),...,,( 21 nxxx , np. (5,6,7), (10,1,0,15) itp. Wektory można

dodawać i mnożyć przez dowolną liczbę rzeczywistą, to jest:

(1) ),...,,( 21 nxxx + ),...,,( 21 nyyy = ),...,,( 2211 nn yxyxyx +++

(2) ),...,,(),...,,( 2121 nn xxxxxx αααα = .

Np. (5,6,7) jako koszyk dóbr na wyspie Hula Gula może oznaczać 5 jabłek, 6 bananów i 7

pomidorów. •

Przykład 1. Anna zakupiła koszyk dóbr (5,6,7), zaś jej narzeczony kupił koszyk (4,7,3).

(a) Ile dóbr łącznie kupili? Ani siostra kupiła 2 razy większy koszyk dóbr niż narzeczony Ani.

(b) Jaki to był koszyk?

Rozwiązanie

(a) Zgodnie ze wzorem (1) kupili łącznie (5,6,7) + (4,7,3) = (9,13,10) dóbr;

(b) Zgodnie ze wzorem (2) Ani siostra kupiła koszyk )6,14,8()3,7,4(2 = . •

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów ),...,,( 21 nxxx oraz ),...,,( 21 nyyy nazywamy

(3) ∑=

=

+++==⟩⟨ni

innii yxyxyxyxyx

12211 ..., .

Jeśli x = ),...,,( 21 nxxx jest koszykiem dóbr, zaś y = ),...,,( 21 nyyy jest wektorem ich cen, to

iloczyn skalarny wyraża koszt zakupu koszyka x. •

Przykład 2. Załóżmy, że na wyspie Hula Gula każde jabłko kosztuje 2 hulany, każdy banan 3

hulany, zaś każdy pomidor 4 hulany. Ile kosztuje koszyk narzeczonego Ani?

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem (3), koszyk narzeczonego Ani można kupić za

4112218)4,3,2(),3,7,4( =++=⟩⟨ hulanów. •

W finansach wektor (5000,4000,7000) może oznaczać wydatki poniesione przy zakupie akcji

firm A, B, C za odp. 5000zł, 4000zł, 7000zł. Taki wektor nazywamy portfelem. Gdyby






114

inwestor sprzedał krótko (to znaczy, pożyczył i sprzedał) akcje firmy B za 15 tys. zł, zaś kupił

akcje firm A i C za odp. 5000zł, 10000zł, to portfel P „wyglądałby” następująco:

P = (5000, -15000, 10000) i nie wymagałby własnego kapitału!

Portfel P nazwiemy arbitrażowym dla inwestora, którego horyzont inwestycyjny wynosi T

dni, jeśli (i) P nie wymaga własnego kapitału; (ii) niezależnie od scenariusza (tego, co się

stanie po T dniach od dziś) zysk z P będzie 0≥ ; (iii) przynajmniej w jednym scenariuszu

zysk będzie > 0 zł.

Jeśli P = ),...,,( 21 nxxx jest portfelem Kowalskiego, R = ),...,,( 21 nrrr wektorem stóp zwrotu z

inwestycji „1”, „2”, …, „n” w które Kowalski zainwestował odp. 1x zł, 2x zł, …, nx zł to zysk

z portfela P jest iloczynem skalarnym

(4) ∑=

=

=⟩⟨ni

iiirxRP

1

, .

Przykład 3. Załóżmy że niedługo odbędą się wybory parlamentarne w Polsce. Jedynymi

partiami które mają realne szanse na objęcie władzy po wyborach są PiS oraz PO. Specjaliści

szacują że jeśli wygra PiS, to w okresie jego rządów stopy zwrotu z inwestycji w

nieruchomości wyniosą 30%, w bony skarbowe 5%, zaś w akcje spółek wchodzących do

indeksu WIG20 będą równe -10%, a więc wektor stóp zwrotu wyniesie

−=

10010,

1005

,10030PiSR . Jeśli wygra PO, to w okresie jego rządów wektor stóp zwrotu będzie

równy

−

=10020,

1005,

10010POR . Udowodnij że portfel P = (4000, -9000, 5000) jest

arbitrażowy.

Rozwiązanie

Sprawdźmy czy spełnione są warunki (i)-(iii) z definicji portfela arbitrażowego. Warunek (i)

jest spełniony gdyż. P nie wymaga własnego kapitału. Jest możliwy tylko scenariusz # 1 gdy

wygra PiS oraz scenariusz # 2 gdy wygra PO. Aby dowieść (ii), obliczmy zysk z P w każdym

z 2 scenariuszy. Korzystamy ze wzoru (4), otrzymując

(5) 2505004501200100

105000100

59000100304000, =−−=

−

+

−

=⟩⟨ PiSRP zł,

(6) 1501000450400100205000

10059000

100104000, =+−−=

+

−

−

=⟩⟨ PORP zł,






115

co kończy dowód ponieważ warunek (iii) jest również spełniony. •

Macierzą nazywamy każdy prostokątny układ liczb, np.

(7)

−

−=

9051046837502

A ,

−−−−=874112003

60100B .

Macierz A składa się z 3 wektorów - wierszy o tej samej długości równej 4, jak również

składa się z 4 wektorów – kolumn o tej samej długości równej 3. Dodawanie dwóch macierzy

określa się tak jak dodawanie dwóch wektorów, to znaczy „po współrzędnych”, o ile macierze

te mają taką samą ilość wierszy i kolumn jak np. macierze A i B. Łatwo sprawdzić że

−−−

−=+

17791268015102

BA .

Iloczyn 2 macierzy C i D określamy w bardziej skomplikowany sposób, mianowicie aby

pomnożyć macierz C przez D, mnożymy stosując wzór (3) każdy wiersz C przez każdą

kolumnę D, a więc np.

gdy np.

=

314183

C ,

=

522231

D , to

=×

29123021

DC .

Uwaga 1. Zauważmy że nie nie da się pomnożyć macierzy A przez B ponieważ wiersze A są

dłuższe niż kolumny B. Mnożenie macierzy (o ile jest wykonalne) jest bardzo proste w

Excelu, wystarczy zaznaczyć tyle wierszy ile ma macierz A oraz tyle kolumn ile ma B, a

następnie skorzystać z funkcji MACIERZ.ILOCZYN •

Przykład 3. (jeszcze raz)

Zamiast obliczać dwa iloczyny (5) i (6), pomnożymy macierz R przez P, gdzie

(8)

−

−=

2,005,01,01,005,03,0

R ,

−=50009000

4000P ,

otrzymując te same wyniki

−

−2,005,01,01,005,03,0

=

−

150250

50009000

4000 •






116

Podobnie jak wśród liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia gdzie istnieje liczba 1 o tej

własności że 1x = x = x1, tak i wśród macierzy z działaniem mnożenia istnieje macierz

“jedynkowa” (oznaczana dalej przez J) która spełnia

(9) JA = A oraz AJ = A , gdzie

=

100

010001

L

LLLL

L

L

J

Większość macierzy A ma element odwrotny (macierz odwrotną) oznaczaną przez 1−A o tej

własności że

(10) A( 1−A ) = J = 1−A (A) .

Rozważmy równanie macierzowo – wektorowe Ax =b, czyli

(11)

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

K

KKKK

L

K

21

22221

11211

nx

xx

M2

1

=

mb

bb

M2

1

,

które jest układem m równań liniowych z n niewiadomymi

(12)

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++

=+++

...

......

2211

22222121

11212111

M

Gdy m = n (macierz jest stopnia m), do rozwiązania tego układu równań potrzebne będzie

pojęcie wyznacznika. Wyznacznik obliczamy poprzez Excel, albo za pomocą rozwinięcia

Laplace’a według dowolnego wiersza albo dowolnej kolumny w następujących krokach.

1. Jeśli A = [ ]a , to jej wyznacznik det(A) = a;

2. Zakładając że potrafimy obliczać wyznaczniki wszystkich macierzy kwadratowych

stopnia k-1, pokażemy jak obliczyć wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej stopnia

k za pomocą rozwinięcia Laplace’a według 1-go wiersza:

det(A) = det

kkkk

n

k

AAA

AAAAAA

K

KKKK

L

K

21

22221

11211

=

∑=

++++ −++−+−=−k

ikk

kii

i WAWAWAWA1

111

121221

111111

111 )1(...)1()1()1( ,






117

gdzie ijW = det(B ij ), przy czym B ij jest podmacierzą A, która powstaje z A po skreśleniu

i-ego wiersza oraz jej kolumny macierzy A. •

Przykład 4. Oblicz det(A) = det

1001110001100011

za pomocą rozwinięcia Laplace’a według 1-go

wiersza.

Rozwiązanie

det(A) =

−

=++××−+××−

101110010

det100110011

det001)1(1)1( 123

112 WW , czyli

det(A)=det(B)-det(C). Aby obliczyć det(B), zastosujemy rozwinięcie Laplace’a według 3-go

wiersza (gdyż w 3-im wierszu jest tylko jeden element różny od zera). Wcześniej

skorzystamy ze wzoru det

dbca

= bcad − , który powstaje z rozwinięcia według 1-go

wiersza: det

dbca

= cbadWcWa −=××−+××− ++12

2111

11 )1()1( . Zatem,

det 110111011

det)1(00)( 33 =×−×=

−++= +B . Aby obliczyć )det(C , zastosujmy

rozwinięcie Laplace’a według 1-go wiersza, otrzymując )det(C = 0+ (-1) det 111110

=+

,

stąd det(A) =1- 1 = 0. •

Powróćmy teraz do równania (11) gdy m = n. Jeśli det(A) ≠ 0, to równanie Ax = b ma dla

dowolnego b rozwiązanie

(13) bAx 1−= . •

Przykład 5. Rozważmy układ 3 równań z 3 niewiadomymi:

0115,0125,113

3

2

1

xxx

=

1000

.






118

Obliczając przy użyciu dostępnej w Excelu funkcji MACIERZ.ODW macierz 1−A ,

otrzymujemy 1−A =

−−

−−

242331231

, a więc

3

2

1

xxx

=

−−

−−

242331231

1000

=

−

203020

,

co oznacza iż 20,30,20 321 ==−= xxx ; wcześniej upewniamy się za pomocą funkcji

WYZNACZNIK.MACIERZY że det(A) ≠ 0 co gwarantuje iż 1−A istnieje. •

Uwaga 2 Jeśli macierz A pomnożymy przez kolumnowy wektor x (por. (11)), oznacza to że

1-a kolumna A mnożona jest przez 1x , 2-a kolumna A mnożona jest przez 2x , itd. a

następnie dodawane są do siebie tak otrzymane kolumny. Stosując tę własność do przykładu

5, będziemy mieć

(14) -20

=

+

+

1000

05,05,1

20111

30123

. •

Aby wyjaśnić kiedy istnieje jedno (lub więcej) rozwiązań układu równań (12) gdy ilość

niewiadomych jest inna niż ilość równań, potrzebne będą 2 poniższe pojęcia.

Powiemy że wektor e jest liniowo zależny od wektorów kbbb ,...,, 21 , jeśli istnieją takie liczby

kλλλ ,...,, 21 że zachodzi równość e = kkbbb λλλ +++ ...2211 . Równanie (14) pokazuje że

wektor

1000

jest liniowo zależny od wektorów

123

,

111

,

05,05,1

.

Powiemy że wektory kbbb ,...,, 21 są niezależne jeśli żaden z nich nie jest liniowo zależny od

pozostałych. Rząd macierzy A, oznaczany zwykle przez rz(A), jest maksymalną ilością

liniowo niezależnych kolumn macierzy A. Wiadomo że:

(a) rz(A) = maksymalnej ilości liniowo niezależnych wierszy;

(b) Macierz kwadratowa stopnia k ma rząd równy k wtedy i tylko wtedy gdy det(A) ≠ 0.

•






119

Przykład 6. Oblicz rząd macierzy C=

1001105,01205,113

. Otóż, rz(C)< 4 na mocy (a).

Oznaczając przez B podmacierz składającą się z 3 pierwszych kolumn C, wnioskujemy iż

rząd(B) =3 ponieważ det(B)=0,5 0≠ . Dowodzi to iż rz(C) ≥ 3, co pokazuje że rz(C)=3. •

Powróćmy teraz do równania Ax = b gdy m ≠ n. Ma ono 1≥ rozwiązanie wtedy i tylko wtedy

gdy rz(A) = rz(A,b).

Przez minor stopnia k macierzy C o m wierszach i n kolumnach, gdzie k ≤ min(m,n),

rozumiemy wyznacznik podmacierzy kwadratowej k×k powstałej z macierzy C przez

skreślenie (m-k) wierszy i (n-k) kolumn. Wiadomo że rząd dowolnej macierzy m×n równy

jest stopniowi największej podmacierzy kwadratowej o minorze ≠ 0.

Rozważmy macierze C =

151312114321

i D =

154133122111

. C i D są podobne do siebie gdyż

kolumny D zostały utworzone z wierszy C, jak również wiersze D zostały utworzone z

kolumn C. Mówimy że D jest macierzą transponowaną w stosunku do C na odwrót, co

zapisujemy jako TCD = , TDC = .

Przez przekształcenia elementarne macierzy A rozumiemy:

1. pomnożenie dowolnego wiersza (bądź kolumny) A przez niezerową stałą;

2. zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy lub dwóch dowolnych kolumn;

3. dodanie do dowolnego wiersza (bądź kolumny) innego wiersza (bądź kolumny)

pomnożonego przez stałą.

Wymyślono metodę eliminacji Gaussa-Jordana która przekształca dowolną macierz A za

pomocą przekształceń elementarnych do takiej macierzy B która na swej głównej przekątnej

lub na jej części jest macierzą jednostkową stopnia k i której rząd jest równy k. Ponieważ

przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu, to rz(A) = rz(B) = k.






120

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana:

1. Bierzemy pod uwagę 1-szą kolumnę (i=1). Jeśli na 1-ym (i-ym) miejscu tej kolumny

występuje liczba równa zero, to zamieniamy kolumny miejscami tak aby po zamianie na

1-ym (i-ym) miejscu znalazła się liczba a różna od zera.

2. Możemy więc przyjąć że na 1-ym (i-ym) miejscu kolumny 1-ej (i-ej) stoi liczba a ≠ 0.

Dzielimy 1-y (i-y) wiersz przez a.

3. Stosując przekształcenie elementarne #3, doprowadzamy do tego że kolumna 1-a

(i-a) mieć będzie zera na wszystkich pozostałych miejscach innych niż miejsce 1-e

(i-e) gdzie stoi 1.

4. Przechodzimy do kolejnej kolumny (zwiększamy i o 1) i do punktu 1.

5. Postępujemy zgodnie z tą metodą aż dojdziemy do jednej z 2-óch sytuacji:

(a) cała macierz A przekształci się w macierz jednostkową;

(b) w pierwszych t kolumnach i t wierszach, gdzie t ≤ min(m,n) powstała macierz

jednostkowa, zaś kolejne wiersze lub kolumny zawierają same zera. •

Przykład 7. Zastosujemy metodę Gaussa-Jordana dla

211121112

, przyjmując następujące

oznaczenia. Aby doprowadzić 1-ą kolumnę do postaci wektora a, mnożymy

a=

001

, A=

2111215,05,01

, B=

2115,05,105,05,01

, C=

5,15,005,05,105,05,01

, D=

2/32/103/1105,05,01

, b=

010

,

E=

2/32/103/1103/101

, F=

3/4003/1103/101

, G=

1003/1103/101

, H=

1003/110

001.

wiersz 1-y przez 0,5 otrzymując macierz A. Od wiersza 2-go odejmujemy wiersz 1-y

otrzymując B. Od wiersza 3-go odejmujemy wiersz 1-y, otrzymując C. Aby doprowadzić

kolumnę 2 do postaci b, mnożymy wiersz 2 przez 2/3 otrzymując D. Od wiersza 1-go

odejmujemy wiersz 2-i pomnożony przez ½, otrzymując E. Wreszcie, od wiersza 3-go

odejmujemy wiersz 2-i pomnożony przez ½, otrzymując F. Aby przekształcić kolumnę 3-ą do






121

postaci

100

, mnożymy wiersz 3 przez ¾, otrzymując G. Od wiersza 1-go odejmujemy

wiersz 3-i pomnożony przez 1/3, otrzymując H. i w końcu od wiersza 2-go odejmujemy

wiersz 3-i pomnożony przez 1/3, dochodząc do macierzy J.

Zadania do samodzielnego rozwiązania z rozdziału 1

Zadanie 1

Korzystając z definicji, oblicz (i) 2a – 4b + 3c – d; (ii) 3b – 2c + 4d; (iii) 5a + 3b – 6c +

7d, gdzie

a =

531

, b =

−

−

702

, c =

−49

0, d =

− 503010

.

Zadanie 2

Korzystając z definicji, oblicz (i) 2a – 4b + 3c – d; (ii) 3b – 2c + 4d; (iii) 5a + 3b – 6c +

7d, gdzie

a =

153

, b =

−

−

702

, c =

−13

8, d =

− 403010

.

Zadanie 3

Stosując mnożenie odpowiedniej macierzy przez odpowiedni wektor oblicz

(i) 2a – 4b + 3c – d; (ii) 3b – 2c + 4d; (iii) 5a + 3b – 6c + 7d, gdzie wektory

a, b, c, d dane są w zadaniu 1.

Wskazówka: zobacz Uwagę 2

Zadanie 4

Stosując mnożenie odpowiedniej macierzy przez odpowiedni wektor oblicz

(i) 2a – 4b + 3c – d; (ii) 3b – 2c + 4d; (iii) 5a + 3b – 6c + 7d, gdzie wektory

a, b, c, d dane są w zadaniu 2.

Wskazówka: zobacz Uwagę 2.

Zadanie 5

Załóżmy że na wyspie Gula Hula każde jabłko kosztuje 4 gulany, każdy banan 3 gulany, zaś

każdy pomidor 2 gulany. Ile gulanów kosztuje koszyk zakupów (6,7,6)?






122

Zadanie 6

Na wyspie Amazonka każde jabłko kosztuje 4 amazony, każdy banan 3 amazony, zaś każdy

pomidor 3 amazony. Ile amazonów kosztuje koszyk owoców (6,7,8)?

Zadanie 7

Załóżmy że niedługo odbędą się wybory parlamentarne w Polsce. Jedynymi partiami które

mają realne szanse na objęcie władzy po tych wyborach są tylko dwie partie: PiS oraz PO.

Specjaliści szacują że jeśli wygra PiS, to w okresie jego rządów stopy zwrotu z inwestycji w

nieruchomości wyniosą 20%, w bony skarbowe 5%, zaś w akcje spółek wchodzących do

indeksu WIG20 będą równe -5%. Jeśli z kolei wygra PO, to w okresie jego rządów wektor

stóp zwrotu z wymienionych powyżej 3 lokat kapitału będzie równy

−

=10020,

1005,

10010POR .

Udowodnij że portfel P = (10000, -24000, 14000) jest arbitrażowy.

Zadanie 8

Główny ekonomista BRE Banku zbadał 3 scenariusze rozwoju gospodarczego dla Polski na

rok 2010. Oszacował że w scenariuszu 1-ym stopy zwrotu z inwestycji w nieruchomości

wyniosą 25%, w bony skarbowe 5%, zaś w akcje spółek wchodzących do indeksu WIG20

będą równe -7%. W scenariuszu 2-im stopy zwrotu z inwestycji w nieruchomości wyniosą

20%, w bony skarbowe 5%, zaś w akcje spółek wchodzących do indeksu WIG20 będą równe

-5%. W scenariuszu 3-im wektor stóp zwrotu z wymienionych powyżej 3 lokat kapitału

będzie równy

−

10025,

1005,

10015 . Sprawdź który z portfeli P = (5000, -11000, 6000) oraz

P =(10000, -24000,14000) jest arbitrażowy.

Zadanie 9

Ministerstwo Finansów opracowało prognozę rozwoju gospodarczego dla Polski na rok 2010.

Rozważyło 4 scenariusze pod kątem inwestycji w nieruchomości, bony skarbowe oraz indeks

WIG 20. Tabela poniższa ilustruje wyniki prac Ministerstwa Finansów. nieruchomości bony WIG 20 Scenariusz I -0,15 0,05 0,25 Scenariusz II -0,1 0,05 0,2 Scenariusz III 0,2 0,05 -0,05 Scenariusz IV 0,18 0,05 -0,08

Który z poniższych 4-ech portfeli (10000, -24000,14000); (6000,-12000,6000); (12000,-

24000,12000); (11000,-24000,13000) jest arbitrażowy i dlaczego?






123

Zadanie 10

Biznesman Ababski zainwestował na pewien okres 5 tys. zł w fundusz nieruchomości,

100 tys. zł w bony oraz 10 tys. zł w akcje(czyli łącznie 115 tys. zł). Wiadomo że pełne stopy

zwrotu z tego okresu w nieruchomości, bony i akcje dane będą w przypadku rządów PiS-u i

PO odp. przez wektory (1,05; 1,05;1,37) oraz (0,95; 1,05;1,42). Sąsiad Ababskiego wybrał

portfel Z=(10000; -20000; 10000). Wykonując mnożenie odp. macierzy i wektorów,

odpowiedz na następujące pytania:

(a) Czy portfel Ababskiego Y = (5 000; 100 000; 10 000) jest bez ryzyka?;

(b) Jeśli Y jest bez ryzyka, to ile będzie wart po roku?

(c) Jaką stopę zwrotu uzyska Ababski z Y?

(d) Której partii życzy zwycięstwa sąsiad Ababskiego?

(e) Czy jego portfel Z jest arbitrażowy?

Odpowiedzi: (a) Y jest bez ryzyka ponieważ Y będzie wart tyle samo w obu scenariuszach;

(b) Y będzie wart 123950zł; (c) 7,78%; (d) PiS; (d) tak.

Zadanie 11

Biznesmen Centarski rozważając dwa scenariusze zainwestował na pewien okres 5 tys. zł w

fundusz nieruchomości, 100 tys. zł w bony oraz 10 tys. zł w akcje. Wiadomo że pełne stopy

zwrotu z tego okresu (holding period returns) z nieruchomości, bonów i akcji dane są w

scenariuszu 1 przez wektor (1,10; 1,05;1,27), zaś w przypadku scenariusza 2 przez wektor

(0,95; 1,05;1,37). Biznesmen Dentarski wybrał portfel D=(10 000; -20 000; 10 000).

Wykonując mnożenie odpowiednich macierzy i wektorów, odpowiedz na następujące

pytania:

(a) Czy portfel Centarskiego C = (5 000; 100 000; 10 000) jest bez ryzyka?;

(b) Jeśli C jest bez ryzyka, to ile będzie wart po roku?

(c) Jaką stopę zwrotu uzyska Centarski z portfela C?

(d) Który scenariusz jest korzystniejszy dla Dentarskiego?

(e) Czy jego portfel D jest arbitrażowy?

Odpowiedzi: (a) C jest bez ryzyka ponieważ C będzie wart tyle samo w obu scenariuszach;

(b) C będzie wart 123200zł; (c) 6,96%; (d) scenariusz 1; (d) tak.

Zadanie 12

Biznesmen Efarski rozważając dwa scenariusze zainwestował na pewien okres 25 tys. zł w







124

zwrotu z tego okresu z nieruchomości, bonów i akcji dane są odp. w scenariuszu 1-ym i 2-im

przez wektory (1,05; 1,05;1,295) i (0,95; 1,05;1,42). Wykonując mnożenie odpowiednich

macierzy i wektorów, odpowiedz na następujące pytania:

(a) Czy portfel Efarskiego E = (25 000; 90 000; 20 000) jest bez ryzyka?;

(b) Jeśli E jest bez ryzyka, to ile będzie wart po roku?

(c) Jaką stopę zwrotu uzyska Entarski z portfela E?

Odpowiedzi: (a) E jest bez ryzyka ponieważ E będzie wart tyle samo w obu scenariuszach; (b)

E będzie wart 146650zł; (c) 8,63%;

Zadanie 13

Biznesmen Fafarski rozważając dwa scenariusze zainwestował na pewien okres 25 tys. zł w


zwrotu z tego okresu z nieruchomości, bonów i akcji dane są odp. w scenariuszu 1-ym i 2-im

przez wektory (1,10; 1,05;1,27) oraz (0,95; 1,05;1,52). Wykonując mnożenie odpowiednich

macierzy i wektorów, odpowiedz na następujące pytania:

(a) Czy portfel Fafarskiego F = (25 000; 90 000; 20 000) jest bez ryzyka?;

(b) Jeśli F jest bez ryzyka, to ile będzie wart po roku?

(c) Jaką stopę zwrotu uzyska Fafarski z portfela F?

Odpowiedzi: (a) E jest bez ryzyka ponieważ E będzie wart tyle samo w obu scenariuszach; (b)

E będzie wart 146650zł; (c) 8,63%;

Zadanie 14

Oblicz det(A) = det

4001130001200011

za pomocą rozwinięcia Laplace’a według 4-ej kolumny i

jeśli wyznacznik A jest różny od zera oblicz macierz odwrotną do A przy użyciu Excela.

Zadanie 15

Oblicz det(B) = det

4100031000211001

za pomocą rozwinięcia Laplace’a według 4-go wiersza i

jeśli wyznacznik B jest różny od zera oblicz macierz odwrotną do B przy użyciu Excela.






125

Zadanie 16

Udowodnij iż poniższe wektory są liniowo niezależne

0001

,

0010

,

0100

,

1000

Zadanie 17

Udowodnij iż poniższe wektory są liniowo niezależne

0004

,

0030

,

0200

,

1000

Zadanie 18

Pokazać że jeśli B jest macierzą kwadratową stopnia m to rz(B) m≤ . (a) Podaj przykład

macierzy C stopnia 2 takiej że rz(C) < 2; (b) Podaj przykład macierzy D stopnia 3 takiej że

rz(D) < 3.; Podaj przykład macierzy E stopnia 4 takiej że rz(E) = 4.

Zadanie 19

Uzasadnij że transponując dowolną macierz C dwukrotnie otrzymamy macierz wyjściową, to

znaczy, CC TT =)( .

Zadanie 20

Pokaż że dla dowolnej macierzy A zachodzi równość: rz(A) = rz(A T ).

Zadanie 21

Kowalski planuje zakup x udziałów (jednostek uczestnictwa w PIONIER) oraz y udziałów

(akcji) TP S.A. Dziś jednostka uczestnictwa kosztuje 138zł, zaś akcja TP 62zł. Dywidendy

wynoszą odpowiednio 7,80zł oraz 3,60zł. Jak Kowalski powinien rozdysponować swym

kapitałem w wysokości 40 tys. zł aby uzyskać 2160zł z dywidend? Z danych tych wynika że

mamy następujący układ równań do rozwiązania: 138 x + 62 y = 40 000; 7,8 x + 3,6 y =

2300. Rozwiąż ten układ.

Zadanie 22

Indianie Apacze wyrabiają koce, dywany i spódnice. Każdy koc wymaga 48 godz. przędzenia

wełny, 8 godz. farbowania, 15 godz. plecenia. Każdy dywan wymaga 60 godz. przędzenia, 10

godz. farbowania oraz 18 godz. plecenia. Każda spódnica wymaga 24 godz. przędzenia, 6

godz. farbowania oraz 9 godz. plecenia. Ile koców (x), dywanów (y) i spódnic (z)






126

wyprodukują Indianie jeśli poświecą na przędzenie 612 godz., na farbowanie 118 godz. zaś na

plecenie 201 godz.? Informacje powyższe prowadzą do układu równań liniowych:

48x + 60y + 24z = 612 (czas przeznaczony na przędzenie),

8x + 10y + 6z = 118 (czas przeznaczony na farbowanie),

15x + 18y + 9z = 201 (czas przeznaczony na plecenie).

Rozwiąż ten układ równań.

Zadanie 23

Restauracja przygotowuje 3 rodzaje surówek: włoskie, francuskie i orientalne. Surówka

włoska składa się z 0,3kg kabaczków, 0,3kg brokuł oraz 0,4kg marchwi. Surówka francuska

składa się z 0,6kg brokuł oraz 0,4kg marchwi, natomiast surówka orientalna składa się z

0,2kg kabaczków, 0,5kg brokuł, 0,3kg marchwi. Restauracja posiada w magazynie 8 100kg

kabaczków, 20 700kg brokułów i 14 700kg marchii. Ile zestawów surówek włoskich,

francuskich i orientalnych jest w stanie przygotować aby zużyć dokładnie wszystkie zapasy w

magazynie?

Zadanie 24

Restauracja oferuje 3 rodzaje porcji surówek. Ile powinna przygotować porcji surówek

francuskich, włoskich i węgierskich aby suma ich ilości była jak największa zużywając nie

więcej jak 371 dkg marchwi, nie więcej jak 283 dkg buraków oraz nie więcej jak 571

jednostek cebuli, wiedząc ze w jednej porcji surówki francuskiej występuje 4 dkg marchwi, 7

dkg buraków i 12 dkg cebuli. Ponadto, w jednej porcji surówki włoskiej występuje 5 dkg

marchwi, 3 dkg buraków i 2 dkg cebuli, zaś w jednej porcji surówki węgierskiej znajduje się

2 dkg marchwi, 4 dkg buraków i 6 dkg cebuli.

Wskazówka: do znalezienia rozwiązania warto wykorzystać Solver

Surówka francuska Surówka włoska Surówka węgierska marchew 4 5 2 buraki 7 3 4 cebula 12 2 6






127

Zadanie 25

(a) Rozstrzygnij które z poniższych macierzy kwadratowych mają pełny rząd:

B=

211121112

; C=

−−

−−

412316115

; D=

2010411063143211111

; E=

1001110001100011

Zadanie 26

Udowodnij że rz(F) = rz(G ) = 3, gdzie F =

001125,01235,113

, G =

002142226623

Zadanie 27 Uzasadnij że

(i) rz(H) 2≥ , rz(K) 2≥ ; gdzie

H =

1789543033096303

, zaś macierz K =

−−− 112102042202842

.

(ii) rz(H) ≤ 3; rz(J) ≤ 3;

(iii) rz(H) = 2; rz(J) = 2 ;

Zadanie 28

Udowodnij że jeśli C i D są macierzami odwracalnymi (istnieją macierze 1−C i 1−D ) to

macierz CD jest odwracalna oraz 111)( −−− = CDCD .

Zadanie 29

Jak zmieni się wyznacznik macierzy kwadratowej jeśli przestawimy najpierw dwie kolumny a

następnie dwa wiersze.

Zadanie 30

Dla jakich x wyznacznik poniższej macierzy będzie równy zero?

−−

21122

34xx

x .

Wskazówka: skorzystaj z „Szukaj wyniku”






128

Zadanie 31

Oblicz wyznacznik macierzy A =

1001110001100011

stosując metodę eliminacji Gaussa-Jordana i

uwzględniając własności wyznaczników (1)-(6) podane w tym podręczniku.

Zadanie 32

Znajdź ogólny wzór na n-tą potęgę macierzy B, gdzie

−1011

dla n = 1, 2, 3, …,

Wskazówka: Skorzystaj z Excela

Zadanie 33

Wykorzystując „Szukaj wyniku” oblicz wyznacznik macierzy

A =

xx

xx

111111111111

.



ROZDZIAŁ 2: WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE, RÓWNANIA REKURENCYJNE



129

ROZDZIAŁ 2. WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE, RÓWNANIA REKURENCYJNE (a) wartość kapitału zainwestowanego dziś po N okresach inwestycyjnych (np. latach,

kwartałach, miesiącach, itp.)

(1) NrKK )1(01 += ,

gdzie 1K = kapitał końcowy (po N okresach); 0K = kapitał początkowy.

Przykład 1. Student dostał stypendium na 3 lata studiów. Może być ono płatne jednorazowo

dziś w wysokości 18 000zł lub na koniec 3-go roku studiów w wysokości 22 000zł.

Rentowność bonów Skarbu Państwa wynosi 6%.

(a) Co doradziłbyś studentowi, wiedząc że właśnie wrócił z „Work&Travel” i ma już dziś

wystarczające środki finansowe na 3-letnie studia;

(b) Jaka kwota dziś jest ekwiwalentem 22 000zł za 3 lata?

Rozwiązanie

(a) Obliczmy przyszłą (za 3 lata) wartość 18 000zł. Ze wzoru (1) wynika iż będzie to kwota

21438)06,01(18000 31 =+=K zł. Wynika stąd że student powinien zdecydować się na

stypendium płatne za 3 lata, czyli na kwotę 22 000zł.

(b) Zgodnie ze wzorem (1), należy rozwiązać równanie

1847022000191,122000)06,01( 3 =⇔=⇔=+ xxx zł. •

Renta = ciąg identycznych płatności następujących po sobie na koniec okresu 1, 2, 3, …, k

(dla pewnego k). Okresem może być dzień, tydzień, miesiąc, kwartał, rok, itp.

Podamy teraz wzór na dzisiejszą wartość (PV) renty płacącej x zł na koniec każdego okresu,

gdy stopa dyskontowania strumienia pieniędzy za każdy okres równa jest r :

(2) PV = krx

rx

rx

rx

)1(...

)1()1(1 32 +++

++

++

+=

+− −

rrx

k)1(1 .

Podamy również wzór na przyszłą wartość (FV) renty płacącej x zł na koniec każdego okresu,

gdy stopa zwrotu za każdy okres równa jest r:

(3) FV = x [ ]

−+=+++++++++ −−−

rrxrrrr

kkkk 1)1(1)1(...)1()1()1( 321 .






130

Przykład 2. Student otrzymał stypendium płatne na koniec każdego z 36 miesięcy jego

studiów. Wysokość stypendium = 500zł, rentowność bonów skarbowych 6%.

(a) Ile jest warte dziś to stypendium?

(b) Jaki jest ekwiwalent wartości tego stypendium za 3 lata?

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem (2),

PV = 500

−=

+− −−

005,0)005,1(1500

)06,0())06,0((1(1 36

121

36121

= 16 436zł,

chociaż nominalna wartość tego stypendium równa jest 500zł×36= 18 000zł. Natomiast

przyszła wartość (FV) za 3 lata równa jest

(4) FV = PV(1+0,005) 36 = 16 436(1,1967) = 19 669zł .

Gdyby student każde 500zł inwestował w bony skarbowe, to zgodnie ze wzorem (3)

posiadałby kwotę

(5) FV = 500

−005,0

1)005,1( 36

= 500 19669005,0

11967,1=

− zł. •

Fakt 1 Przyszła wartość każdej renty = przyszłej wartości dzisiejszej wartości tej renty. •

Przykład 3. Wygrana w Toto Lotku daje ci albo 200 000zł dziś albo (do wyboru przez ciebie)

11 000zł na początku każdego roku twojego życia. Jeśli nie masz długów, a banki oferują ci

5% rocznie z tytułu odsetek, którą opcję byś wybrał wiedząc że będziesz żył jeszcze (a) 25

lat; (b) 40 lat; (c) nigdy nie umrzesz?

Rozwiązanie

(a) Należy obliczyć dzisiejszą wartość strumienia wypłat z wygranej w Toto Lotka. Na

strumień ten składa się kwota 11 000zł dziś plus „renta” płatna przez 25 lat (po raz 1-y za rok)

w wysokości 11 000zł. Stosujemy wzór (2) otrzymując

PV = 11 000 15503305,0

)05,1(1 25

=

− −

zł ,

co łącznie z kwotą 11 000zł płatną dziś stanowi 166 033zł. Wybieramy więc opcję 200 000zł

płatne dziś;

(b) Rozumujemy analogicznie, otrzymując






131

PV = 11000 18875005,0

)05,1(1 40

=− −

zł,

co łącznie z kwotą 11 000zł płatną dziś stanowi 199 750zł, a więc minimalnie mniej niż

200 000zł które mamy zagwarantowane. Zauważmy iż żyjąc 41 lat, wybralibyśmy „rentę”

zamiast jednorazowej wypłaty w wysokości 200 000zł gdyż wówczas

PV = 11000 19023805,0

)05,1(1 41

=

− −

zł,

co łącznie z kwotą 11 000zł płatną dziś stanowiłoby kwotę 201 238zł> 200 000zł.

(c) Gdybyśmy żyli „wiecznie”, to dzisiejsza wartość tej renty byłaby równa 11 000zł + 220

000zł = 231 000zł, co wynika z faktu 2. •

Fakt 2 Dzisiejsza wartość (PV) renty wiecznej płacącej na koniec każdego okresu x zł, gdy

stopa dyskontująca za okres równa jest r wynosi

(6) PV = ==05,0

11000rx 220 000 zł w przypadku (c).

Przykład 4. Ile pieniędzy (X) powinno się zdeponować w banku który płaci 7% rocznie żeby

móc wycofywać po 10 000zł każdego roku przez 30 lat?

Rozwiązanie

Stosujemy wzór (2), otrzymując

PV =10 000

− −

07,0)07,1(1 30

= 124 090zł ,

co oznacza iż dzisiejszą wartością renty jest 124 090zł. •

Podamy teraz wzór na wartość przyszłą 1K kapitału początkowego 0K gdy bank stosuje

kapitalizację ciągłą:

(7) rTeKK 01 = ,

gdzie r = nominalna stopa oprocentowania kapitału, T = czas inwestowania wyrażony w

latach. Oznacza to np. że 1 dzień zapiszemy jako T = 1/365.






132

Przykład 5. Kwota 8000zł została zdeponowana w banku z oprocentowaniem 7%. Znajdź

wartość depozytu po roku gdy kapitalizacja ma miejsce (a) raz w roku; (b) raz na miesiąc; (c)

każdego dnia; (d) w każdej chwili.

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem (1):

(a) 1K = 8000(1+0,07) 85601 = zł;

(b) 1K = 8000[1+(0,07/12)] 857812 = zł;

(c) 1K = 8000[1+(0,07/365)] 01,8580365 = 0zł;

(d) 107,01 8000 ×= eK = 8000(2,71828 07,0 )= 8580,065 zł. •

bayy tt += −1 nazywamy równaniem rekurencyjnym (różnicowym), gdzie t oznacza czas, np.

numer okresu. Równanie to mówi iż wartość pewnej zmiennej y w chwili/ okresie t zależy od

wartości tej zmiennej w chwili/okresie ją poprzedzającym zgodnie ze wzorem podanym

powyżej. Przykładem równania różnicowego 1-go rzędu jest 31 += −tt yy , 143 1 −= −tt yy dla

wszystkich liczb naturalnych 0≥t . Każde takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań

ponieważ każda wartość początkowa 0y generuje dokładnie jedno rozwiązanie. Np. równanie

143 1 −= −tt yy z z warunkiem początkowym 100 =y określa jednoznacznie rozwiązanie: 10,

16, 34, 88, itd. (porównaj przykład 1 gdzie podane jest pełne rozwiązanie tego równania).

*yyt = nazywamy rozwiązaniem stałym równania bayy tt += −1 jeśli y* spełnia to

równanie, to znaczy, y* = ay* + b. Łatwo sprawdzić iż y* dane jest wzorem y* = a

b−1

. Na

przykład, równanie 143 1 −= −tt yy ma stałe rozwiązanie y* = =−

−31

14 7.

Fakt 3 Warunek początkowy 0y oraz dowolne równanie bayy tt += −1 w jednoznaczny

sposób określają rozwiązanie:

(8) tt ayyyy *)(* 0 −+= , y* =

ab−1

.






133

Przykład 6. Rozwiążmy równanie 143 1 −= −tt yy z warunkiem początkowym .100 =y

Zgodnie z (8), rozwiązaniem jego jest tty 3)710(7 −+= z czego wynika iż =1y 7+9 =16;

=+= 2772y 34; =+= 8173y 88; =+= 24374y 250.

Przykład 7. Pan Kowalski przepracował 40 lat zarabiając miesięcznie brutto średnio 3600zł z

czego 30% było odprowadzane na jego konto w OFE które zarządzało pieniędzmi w sposób

pasywny kupując obligacje lub bony lub deponując w banku w zależności od tego która z 3

powyższych inwestycji była w danym momencie najlepsza. Uzyskana w ten sposób

rentowność w skali roku (po uwzględnieniu inflacji) wynosiła zaledwie 2,5%. Kowalski ma

prawo dysponować swym kapitałem emerytalnym w powyższy sposób po przejściu na

emeryturę. Biorąc pod uwagę że Kowalski będzie jeszcze żył 9 lat,

(a) oblicz jaką kwotą będzie dysponował w realnych pieniądzach w momencie przejścia na

emeryturę, oraz

(b) oblicz jaką będzie miał emeryturę brutto aby po 9 latach pozostało mu zgodnie z jego

życzeniem na koncie emerytalnym 300 tys. zł. Zakładamy że rachunek emerytalny

przynosić będzie roczne zyski 3% po uwzględnieniu inflacji (stosując powyższą pasywną

metodę inwestowania).

Rozwiązanie

Na emerytalne konto p. Kowalskiego wpływać będzie co miesiąc przez 40 lat 30% z kwoty

3600zł, tj. 1080zł. Pieniądze te przynosić będą miesięcznie zysk równy 1/12 z 2,5%, czyli

0,208%. Przyszła wartość (FV) takiego strumienia pieniędzy po 40 latach wynosić będzie w

realnych pieniądzach

(9) 292.88900208,0

1)00208,1(1080480

=−

=FV zł .

Kwota ta uszczuplana przez wypłacaną co miesiąc emeryturę będzie oprocentowana 3% w

skali roku, czyli 0,25% w skali miesiąca (po uwzględnieniu inflacji). Równanie różnicowe

podające wielkość posiadanego przez Kowalskiego majątku w miesiącu t, licząc czas od

momentu przejścia na emeryturę, wyglądać będzie następująco:

(10) xyy tt −= −10025,1 ,

gdzie x oznacza emeryturę brutto. Wiemy że 292.8890 =y oraz 000.300108 =y . Na mocy (8),

tt

xxy )0025,1(0025,0

292.8890025,0

−

−−+

−−

= , czyli






134

(11) tt xxy )0025,1(]400292.889[400 ×−+= .

Skoro 000.300108 =y = ×−+ ]400292.889[400 xx 1,309523, więc 300.000 = 400x

+1.164.549– 523,81x, czyli 123,81 x = 864.549.Ostatecznie x = 6982,91zł. •


Zadanie 34

Wiedząc że ciąg Fibbonacci’ego określony jest wzorem 21 −− += nnn aaa , 11 =a , 12 =a ,

oblicz 20-y i 30-y wyraz tego ciągu.


Zadanie 35

Wiedząc że ciąg Fibbonacci’ego określony jest wzorem 21 −− += nnn aaa , 11 =a , 12 =a ,

oblicz 40-y i 50-y wyraz tego ciągu.

Zadanie 36

Wiedząc że podstawa logarytmu naturalnego e = n

n)11lim( + , oblicz 10-e i 20-e przybliżenie

tej liczby , czyli 10-y i 20-y wyraz powyższego ciągu.


Zadanie 37

Wiedząc że podstawa logarytmu naturalnego e = n

n)11lim( + , oblicz 30-e i 40-e przybliżenie

tej liczby , czyli 30-y i 40-y wyraz powyższego ciągu.


Zadanie 38*

Oblicz wartość garażu jeśli wynajmowanie garażu przynosi jego właścicielowi 500zł

miesięcznie, zaś inwestycje w obligacje dają 6% rocznie.

Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru na wartość renty wieczystej

Zadanie 39*

Zdeponowanie jakiej kwoty gwarantuje wypłatę 300 000zł w rocznych równych ratach przez

25 lat jeśli oprocentowanie tej lokaty(inwestycji) wynosi 5%?

Zadanie 40*

Jaką minimalną kwotę należy zdeponować aby móc przez 15 lat wybierać z konta po 12000 zł

na koniec każdego roku, jeśli oprocentowanie tej lokaty wynosi 7%?






135

Zadanie 41*

Jaką minimalną kwotę należy zdeponować aby móc przez 15 lat wybierać z konta po 1000 zł

na koniec każdego miesiąca, jeśli oprocentowanie tej lokaty wynosi 6%?

Zadanie 42*

W ciągu 2,5 lat początkowa kwota depozytu K zł przy kapitalizacji ciągłej i oprocentowaniu

nominalnym 6% wzrosła do 44 tys. zł. Oblicz K.

Zadanie 43*

W ciągu 5 lat początkowa kwota depozytu K zł przy kapitalizacji ciągłej i oprocentowaniu

nominalnym 6% wzrosła do 88 tys. zł. Oblicz K.

Zadanie 44 *(Zarządzanie wielkością zatrudnienia)

Pewna firma zatrudnia aktualnie 4000 osób, którzy wypracowują w ciągu każdego roku

8 000 000 godzin. W związku z przechodzeniem na emerytury, zwalnianiem się z pracy oraz

redukcją ilości godzin pracy przez osoby w starszym wieku, ogólna liczba przepracowanych

godzin w tym przedsiębiorstwie zmniejsza się w ciągu roku o 5 %. Mając to na względzie,

zarząd postanowił zatrudniać każdego roku nowe osoby w takiej ilości aby odpowiadająca im

liczba roboczogodzin zwiększała się o E tys. w skali każdego roku.

(a) Jakie powinny być E aby w przyszłości firma utrzymywała zatrudnienie na poziomie

8 000 000 godzin w ciągu roku; roku;

(b) Jakie powinny być E i aby zatrudnienie w kolejnych latach ustabilizowało się na poziomie

8 400 000 roboczogodzin?

Odpowiedzi: (a) E > 400; (b) E > 420.

Zadanie 45 (Zapasy złota w Polsce)

Polska miała 32000 kg złota w 1990 r. Każdego roku połowa posiadanego złota była

zużywana, zaś 6000 kg było produkowane.

(a) Ile złota będzie w Polsce w roku 2010?

(b) Na jakim poziomie ustabilizuje się poziom zapasów złota w przyszłości?

Odpowiedzi: (a) 12000,05 kg; (b) 12000 kg

Zadanie 46

Słowacja miała 23000 kg złota w 1990 r. Każdego roku 40% posiadanego złota była


(a) Ile złota będzie w Słowacji w roku 2010?

(b) Na jakim poziomie ustabilizuje się poziom zapasów złota w przyszłości?






136

Zadanie 47

Słowenia miała 36000 kg złota w 1990 r. Każdego roku 60% posiadanego złota była


(a) Ile złota będzie w Słowenii w roku 2011?

(b) Na jakim poziomie ustabilizuje się poziom zapasów złota w przyszłości ?

Zadanie 48

Komisarz Unii Europejskiej do spraw rolnictwa zarządza między innymi nadwyżką pszenicy

która aktualnie wynosi 30 000 ton i przetrzymywana jest w okolicach Strasburga. Niestety,

myszy zjadają corocznie 5% pszenicy. Doradź pani komisarz:

(a) ile pszenicy powinny dokładać każdego roku kraje członkowskie UE aby po 10 latach

zapasy wynosiły 32 000 ton;

(b) do jakiego poziomu będą w takim przypadku dążyć zapasy pszenicy w przyszłości?;

(c) jeśli kraje członkowskie UE będą dokładać co roku tylko 1 200 ton, po ilu latach zapasy

pszenicy skurczą się do poziomu 27 000 ton?;

(d) jaki będzie graniczny poziom zapasów w takim scenariuszu?

Odpowiedzi: (a) 1750 ton; (b) 35000 ton; (c) 13,5 lat; (d) 24000 ton.

Zadanie 49

Komisarz Unii Europejskiej do spraw rolnictwa zarządza nadwyżką żyta która aktualnie

wynosi 40 000 ton i przetrzymywana jest w okolicach Strasburga. Niestety, myszy zjadają

corocznie 6% żyta. Doradź pani komisarz:

(a) ile żyta powinny dokładać każdego roku kraje członkowskie UE aby po 10 latach zapasy

wynosiły 44 000 ton;

(b) do jakiego poziomu będą w takim przypadku dążyć zapasy żyta w przyszłości?;

(c) jeśli kraje członkowskie UE będą dokładać co roku 1 500 ton, wyjaśnij czy, i jeśli tak, to

po ilu latach zapasy żyta skurczą się o 25%?;

(d) jaki będzie graniczny poziom zapasów w takim scenariuszu?

Zadanie 50

Załóżmy iż Funlandia charakteryzuje się „samowystarczalną” ekonomią, a więc taką gdzie

wszystkie towary i usługi kupowane i sprzedawane w Funlandii zostały w niej wytworzone

oraz ponadto Funlandia nic nie eksportuje(w literaturze anglojęzycznej taka gospodarka

nazywa się „closed economy”). Niech tY oznacza PKB w roku t, tC konsumpcję w roku t, zaś






137

tI inwestycje w Funlandii w roku t, przy czym Funlandia konsumuje połowę tego co

wytwarza, tj.

tt YC21

= , ttt ICY += .

Wiadomo ponadto iż PKB w każdym następnym roku jest proporcjonalny do poziomu

inwestycji z poprzedniego roku, tj. tt kIY =+1 , gdzie 2≠k . Pokaż że

(a) PKB spełnia równanie rekurencyjne I-ego rodzaju; oraz

(b) znajdź warunek konieczny i dostateczny aby PKB wzrastał rok do roku;

(c) znajdź warunek konieczny i dostateczny aby PKB malał rok do roku.

Odpowiedzi: (b) k > 2; (c) k < 2.

Zadanie 51 (Wyznaczanie ceny na towar w zależności od popytu i podaży)

Funkcje popytu )( pq D i podaży )( pq S dane są wzorami )( pq D = 3 – p, )( pq S = p, gdzie p

jest ceną rozpatrywanego towaru. Załóżmy że cena początkowa towaru 0p = 1 jest mniejsza

niż cena równowagi (łatwo sprawdzić że cena równowagi p* = 1,5) oraz że cena tp w okresie

t zależy od inflacji r, od ceny 1−tp oraz od popytu i podaży w okresie bezpośrednio

poprzedzającym w następujący sposób

)]()([)1( 111 −−− −++= tS

tD

tt pqpqkprp , rk > .

(a) Udowodnij że cena tp dąży do wartości granicznej ⇔2

1 rk +< .

(b) Pokaż że cena graniczna jest większa od ceny równowagi.

Wskazówka: pokaż że cena graniczna jest większa niż 1,5 ale mniejsza niż 3.

Zadanie 52*

Pan Kowalski pracował od 25 do 65 roku życia w dużym mieście w Polsce gdzie średnia

długość życia dla mężczyzn wynosi 73 lata. Zarabiał średnio 4000zł brutto z czego 30% było

odprowadzane na jego przyszłą emeryturę, przy czym połowa tej kwoty pochodziła z jego

pensji, zaś druga połowa była wpłacana przez pracodawcę. Załóżmy że te 30% było

przekazywane panu Kowalskiemu, który kupował albo bony skarbowe albo deponował

pieniądze w banku w zależności od tego która z tych 2 inwestycji przynosiła w danym okresie

największy zysk. Przez 40 lat zatrudnienia średnia rentowność w skali roku z portfela p.

Kowalskiego (po uwzględnieniu inflacji) wynosiła od 1.2% do 3.6 %. Po przejściu na

emeryturę zgromadzone pieniądze będą reinwestowane przez p. Kowalskiego w taki sam






138

sposób jak przez ostatnie 40 lat, przynosząc średnio (po uwzględnieniu inflacji) 2.4% w skali

roku.

Na podstawie powyższych danych:

(a) powiedz jakiej kwoty w realnych pieniądzach powinien pan Kowalski oczekiwać w

momencie przejścia na emeryturę?;

(b) oblicz na jak wysoką emeryturę będzie mógł liczyć dożywając do 73 roku;

(c) oblicz na jak wysoką emeryturę będzie mógł liczyć aby po 8 latach, czyli w wieku 73 lat,

odchodząc z tego świata pozostawił po sobie na koncie emerytalnym 200 tys. zł. jako

prezent dla wnuczków;

(d) porównaj (w zależności od scenariusza) jego przychody netto na „emeryturze bez

prezentu” w stosunku do średnich przychodów netto w okresie gdy był aktywny

zawodowo; porównaj również przychody netto na „emeryturze z prezentem” w stosunku

do średnich przychodów netto w okresie gdy Kowalski był aktywny zawodowo.

Zadanie 53*

Pani Kowalska pracowała od 25 do 60 roku życia i oczekuje że będzie jeszcze żyć do 79 roku

(tyle wynosi średnia krajowa dla kobiet w Polsce). Kowalska zarabiała średnio miesięcznie

(brutto) 3600zł z czego 30% (1080 zł) było odprowadzane na jej specjalne konto emerytalne.

Zarządzała tym kontem sama, kupując albo bony skarbowe albo deponując pieniądze w

banku. Załóżmy że przez 35 lat jej zatrudnienia średnia rentowność w skali roku z jej portfela

(po uwzględnieniu inflacji) wynosiła od 1.2% do 3.6%. Po przejściu na emeryturę

zgromadzone pieniądze będą reinwestowane przez nią w taki sam sposób jak przez ostatnie

35 lat, przynosząc średnio (po uwzględnieniu inflacji) jedynie 2.4% w skali roku.


(a) powiedz jakiej kwoty w realnych pieniądzach powinna pani Kowalska oczekiwać na

swym koncie emerytalnym w momencie przejścia na emeryturę?;

(b) oblicz na jak wysoką „emeryturę bez prezentu” będzie mogła liczyć dożywając do 79

roku;

(c) oblicz na jak wysoką emeryturę z prezentem dla wnuczków w wysokości 300 tys. zł

będzie mogła liczyć dożywając do 79 roku;

(d) porównaj (w zależności od scenariusza) przychody netto na „emeryturze bez prezentu” w

stosunku do średnich przychodów netto w okresie gdy pani Kowalska była aktywna






139

zawodowo; Jednocześnie porównaj przychody netto na „emeryturze z prezentem” w

stosunku do średnich przychodów netto w okresie jej zatrudnienia.

Zadanie 54*

Pani Potocka pracowała od 25 do 60 roku życia i oczekuje że będzie jeszcze żyć do 80 roku.

Zarabiała średnio miesięcznie (brutto) 4000zł z czego 30% było odprowadzane na jej konto

emerytalne. Sama zarządzała tym kontem kupując albo bony skarbowe albo deponując

pieniądze w banku. Przez 35 lat jej zatrudnienia średnia rentowność w skali roku z jej

portfela (po uwzględnieniu inflacji) wynosiła od 1% do 4%. Po przejściu na emeryturę

zgromadzone pieniądze będą reinwestowane przez nią w taki sam sposób jak przez ostatnie

35 lat, przynosząc średnio (po uwzględnieniu inflacji) jedynie 2.5% w skali roku.


(a) powiedz jakiej kwoty w realnych pieniądzach powinna pani Potocka oczekiwać na swym

koncie emerytalnym w momencie przejścia na emeryturę?;

(b) oblicz na jak wysoką „emeryturę bez prezentu” będzie mogła liczyć dożywając do 80

roku;

(c) oblicz na jak wysoką emeryturę z prezentem dla wnuczków w wysokości 250 tys. zł

będzie mogła liczyć dożywając do 80 roku;

(d) porównaj (w zależności od scenariusza) przychody netto na „emeryturze bez prezentu” w

stosunku do średnich przychodów netto w okresie gdy pani Kowalska była aktywna

zawodowo; Jednocześnie porównaj przychody netto na „emeryturze z prezentem” w

stosunku do średnich przychodów netto w okresie jej zatrudnienia.



ROZDZIAŁ 3: FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ



140

ROZDZIAŁ 3: FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ Funkcje liniowe są postaci y = ax + b, gdzie a oraz b są dowolnymi liczbami naturalnymi.

Na przykład, y = 2x + 3; y = -x + 3; y = -x + 5, itp.

Funkcja y = f(x) jest rosnąca (malejąca) jeśli wraz ze wzrostem argumentu x wzrasta (maleje)

y, to znaczy, jeśli 12 xx > to =2y f( 112 )()( yxfx => (f( )( 2x < )( 1xf ). Gdy a > 0 (a < 0), to y

= ax + b jest rosnąca (malejąca).

Funkcje kwadratowe są postaci cbxaxy ++= 2 , np. 62 ++−= xxy , 32 +−= xxy . Dla

każdej funkcji kwadratowej określmy acb 42 −=∆ . Dla 62 −−= xxy współczynnik

25)6(14)1( 2 =−××−−=∆ > 0.

Fakt 1 Gdy 0>∆ , to miejsca zerowe funkcji cbxaxy ++= 2 dane są wzorami

(1) a

bxa

bx2

,2 21

∆+−=

∆−−= .

Wielomiany stopnia n (będące uogólnieniem funkcji kwadratowych) są postaci

(2) y = W(x) = 012

22

21

1 ... axaxaxaxaxa nn

nn

nn ++++++ −

−−

− ,

np. y = 41523260 3457 −+−+− xxxxx jest wielomianem stopnia 7.

Funkcje wykładnicze xay = (nazwa ich pochodzi stąd że zmienna niezależna x występuje w

wykładniku) są określone dla ∞<<∞− x . Są rosnące gdy a > 1 oraz malejące gdy 0< a < 1.

Zachodzą wzory:

(3) yxyx aaa ×=+ ; y

xyx

aaa =− ; 10 =a .

Przykład 1. Ilość bakterii po każdym podziale komórkowym na 2 części rośnie według wzoru

f(n) = n2 . Jeśli podział dokonuje się co godzina, to po 10 godzinach z jednej bakterii

powstanie f(10) = 1024210 = bakterii, a po 20 godzinach będzie f(20) =

000.10002222 1010101020 >×== + bakterii. •

Funkcje potęgowe y = x N , np. y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = x 4 , y = x 5 . Nazwa ich pochodzi

stąd że zmienna niezależna x występuje w potędze. Każdy wielomian jest sumą funkcji

potęgowych (jednomianów) pomnożonych przez współczynniki liczbowe.

Funkcje trygonometryczne Najbardziej znanymi są y = sin(x) oraz y = cos(x).






141

g(x) nazwiemy funkcją odwrotną względem f(x) i oznaczać będziemy przez f )(1 x− jeśli

g[f(x)] = x oraz f[g(x)] = x , czyli

(4) xxff =− )]([1 , xxff =− )]([ 1 .

Funkcję odwrotną do f(x) = xe nazwiemy logarytmem naturalnym z x i oznaczamy przez

ln(x). Stąd

(5) ln[ xe ] = x oraz xe x =)ln( .

Funkcją odwrotną do y = f(x) =ax + b jest funkcja liniowa abx

axf −=− 1)(1 . Na przykład,

gdy f(x) = 5x+1, to 51

51)(1 −=− xxf .

Logarytm naturalny y = ln(x) jest uniwersalną funkcją wśród wszystkich funkcji

logarytmicznych y = xalog ponieważ

(6) axxa ln

lnlog = ,

co oznacza że wystarczy mieć w kalkulatorze lub w telefonie komórkowym funkcję

ln(x) aby za pomocą wzoru (6) być w stanie obliczyć logarytm z każdej liczby x przy

dowolnej podstawie a > 0. Na przykład,

51ln61ln61log 51 = ;

2ln3ln3log 2 = ;

3ln2ln2log 3 = ; itp.

Ponadto, ze wzoru axxax eea lnln )( == wynika że mając w kalkulatorze jedną tylko funkcję

wykładniczą xe , jesteśmy w stanie obliczać wartości xa .

Przykład 2. (a) oblicz 32 ; (b) która liczba jest większa: Π)(e czy e)(π ?

Rozwiązanie

(a) 32.32 2..1)69.0)(73.1(2ln33 ==== eee ; (b) 1.23)()( 14.3 ==Π ee ;

2.22)()()()( 1.3)144.1(71.2)(ln ==== Π eee eeπ , a więc ππ )()( ee < . •

Przypominamy iż balog równy jest takiej liczbie c że cab = . Np. 31000log10 = gdyż

1000)10( 3 = ; 481log 3 = ponieważ 8134 = . Zachodzą wzory:

(7) yxxy aaa loglog)(log += ; yxyx

aaa logloglog −=

; xbx ab

a log)(log =






142

Przykład 3. Oblicz liczbę l , gdzie 2log320log10log 555 −+=l .

Rozwiązanie

25log2)5(log8

200log8log200log)2(log)2010(log 52

55553

55 ====−=−×=l .

Przykład 4. Populacja Ziemi P(x) = (0.008306312)(1.013716) x , gdzie x = czas mierzony w

latach począwszy od roku 1000. (a) ilu ludzi żyło w roku 1100?; (b) ilu ludzi żyło w roku

1200?; (c) ilu ludzi żyło w 1700 r.?; (d) ilu ludzi żyło w 2000 r.?; (e) kiedy na Ziemi będzie

żyło 10 mld ludzi (zakładamy że nie będzie konfliktu zbrojnego na wielką skalę)?

Rozwiązanie

Podstawiając do wzoru na P(x) uzyskujemy odpowiedzi na pytania (a)-(d), mianowicie, (a)

P(1100) = 26.751 osób; (b) P(1200) = 104.465 osób; (c) P(1700) = 94.868.132 osoby; (d)

P(2000) = 5.649.509.233 osoby; (e) Na pytanie to można odpowiedzieć przy pomocy Excela

wykonując te same kalkulacje dla roku 2001, 2002, itd. aż np. do 2100 r. Wówczas

zobaczymy że w 2042 r. populacja na Ziemi będzie liczyć P(2042) = 10.011.412.936 osób.

Inną metoda jest rozwiązanie równania

(8) P(x) =(0.008306312)(1.013716) x = (10) 10

które zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy (w skrócie: ⇔ ) 10)10(429.120)013716.1( =x .

Logarytmując lewą i prawą stronę (8) przy podstawie 1.013716, otrzymujemy

⇔×= )10120429(log)013716.1(log 7013716.1013716.1

x )013716.1ln(

)10120429ln(17×

=×x , czyli

204201362279.0

8169.27≈=x , co oznacza że w 2042 roku będzie 10 mld ludzi na Ziemi. •

Przykład 5. (obliczanie decybeli)

Niech I 0 oznacza intensywność ledwo słyszalnej fali dźwiękowej, równej jak się okazuje,

10 16− watów na 1 cm 2 . Niech x oznacza intensywność fali dźwiękowej pochodzącej z

dowolnego źródła, np. od silnika lodówki. Poziom wywołanego tym dźwiękiem hałasu

mierzymy wg wzoru L(x) = 10 log10 )(0Ix w jednostkach nazywanych decybelami. Dodajmy

że poziom hałasu jaki odpowiada szeptaniu wynosi 20 decybeli, natomiast poziom hałasu

wywołanego zwykłą rozmową dwóch ludzi wynosi 65 decybeli. Oblicz ile razy intensywność






143

fali dźwiękowej wywołanej rozmową 2-óch ludzi (y) jest większa od intensywności fali

dźwiękowej wywołanej szeptaniem (x).

Rozwiązanie

Z treści zadania wiemy że 10 log10 ( 65)0

=Iy oraz 10 log10 ( 20)

0

=Ix . Zatem,

log 10 ( 5,6)0

=Iy oraz log 10 ( 2)

0

=Ix , a więc 5,6

0

10=Iy oraz 2

0

10=Ix . Dzieląc przedostatnią

równość przez ostatnia otrzymujemy 5,410=xy = 31623.


Zadanie 55

Udowodnij iż funkcja y = f(x) = x + 4 jest rosnąca.

Zadanie 56

(a) Udowodnij iż funkcja y = - 3x + 4 jest malejąca; (b) Udowodnij iż funkcja

y = 3x – 5 jest rosnąca.

Zadanie 57

Wyprodukowanie x precli kosztuje K(x) = 0,45x +30, przychód ze sprzedaży precli dany jest

funkcją R(x) = 0,75x. (a) Kiedy zysk będzie równy 0?; (b) Jaki jest zysk (strata) ze sprzedaży

x precli?; (c) oblicz zysk ze sprzedaży 100 precli; (d) Dla jakiego x zysk wyniesie 500?

Zadanie 58

Wyznacz funkcję odwrotną do funkcji:

(a) y = f(x) = 3x + 4; (b) y = f(x) = -3x + 4; (c) y = f(x) = -3x – 4; (d) y = f(x) = 3x – 4

Zadanie 59

Udowodnij że 152log62log 6252 =× ; 152log12log 1252 =× ; 177log55log 5577 =× .

Zadanie 60

Oblicz liczbę l , gdzie 8ln)3/1(3ln +=l .

Zadanie 61*

Równanie )ln(135,34974,4)ln( sw += przedstawia zależność pomiędzy wagą (w) a

wysokością (s) zdrowego człowieka w pozycji siedzącej. Znajdź wagę Kowalskiego którego

wysokość w pozycji siedzącej wynosi (a) 1m; (b) ½ m.






144

Zadanie 62*

Populacja Indii liczy 1150 mln ludzi, zaś w Chinach żyje 1330 mln ludzi. W którym roku

populacje zrównają się jeśli przyrost naturalny netto w Indiach wynosi 1.4%, podczas gdy w

Chinach przyrost ludności jest ujemny i wynosi - 0.2%.

Odpowiedź: Po 9 latach i 51 dniach populacje w obu krajach zrównają się.

Zadanie 63

(a) oblicz 53 ; (b) oblicz 35 (c) która liczba jest większa: 7)6( czy 6)7( ; która liczba jest

większa: 714 czy 144 ?

Zadanie 64

Populacja owadów dana jest wzorem w O(x) = (0.93)(1.04) x , gdzie x = czas mierzony w

dniach. Ilu będzie owadów po (a) 1 miesiącu? (b) 2 miesiącach?; (c) 3 miesiącach? (d) 6

miesiącach?; (e) po ilu miesiącach będzie 3511 owadów?

Zadanie 65

Populacja nietoperzy dana jest wzorem w N(x) = (0.95)(1.05) x , gdzie x = czas mierzony w

dniach. Ilu będzie owadów po (a) 1 miesiącu? (b) 2 miesiącach?; (c) 3 miesiącach? (d) 6

miesiącach?; (e) po ilu miesiącach będzie 6192 owady? (f) po ilu miesiącach będzie 26759

owadów?

Zadanie 66

Która populacja będzie liczniejsza: czy populacja owadów po 7 miesiącach czy populacja

nietoperzy po 6 miesiącach?

Zadanie 67*

Geolog Charles Richter określił wielkość trzęsienia Ziemi wzorem I10log , gdzie I oznacza

intensywność trzęsienia Ziemi wyrażoną jako amplituda sejsmografu położonego 100 km od

epicentrum trzęsienia Ziemi. Amplituda wyrażona jest w mikronach(1 mikron = 410− cm).

Trzęsienie Ziemi w San Francisco w 1989 r. miało wielkość 6,9 w skali Richtera. Z kolei

trzęsienie Ziemi w San Francisco w 1906 r. było 25 razy bardziej intensywne. Jaką miało

wielkość w skali Richtera?

Zadanie 68*

Jaka była amplituda trzęsienia Ziemi w San Francisco w 1989 r. wyrażona w mikronach? Ile

to było metrów?

Wskazówka: przeczytaj treść poprzedniego zadania.






145

Zadanie 69*

Jeśli trzęsienie Ziemi w miejscowości A miało wielkość 5,9 w skali Richtera, zaś trzęsienie w

San Francisco w 1989 r. miało wielkość 6,9, to ile razy amplituda trzęsienia Ziemi w San

Francisco była większa od amplitudy trzęsienia Ziemi w miejscowości A?

Zadanie 70*

Jeśli trzęsienie Ziemi w miejscowości B miało wielkość 4,9 w skali Richtera, zaś trzęsienie w


Francisco była większa od amplitudy trzęsienia Ziemi w miejscowości B?

Zadanie 71*

Jeśli trzęsienie Ziemi w miejscowości C miało wielkość 3,9 w skali Richtera, zaś trzęsienie w


Francisco była większa od amplitudy trzęsienia Ziemi w miejscowości C?

Zadanie 72*

Oblicz poziom hałasu lodówki w decybelach wiedząc że intensywność fali dźwiękowej

wywołanej pracą silnika lodówki wynosi 10 11− .

Zadanie 73*

Oblicz poziom hałasu maszyny do pisania (w decybelach) wiedząc że intensywność fali

dźwiękowej wywołanej pisaniem na maszynie wynosi 410− .

Zadanie 74*

Oblicz poziom hałasu silnika samolotu (w decybelach) stojąc w odległości 30 metrów od

niego, wiedząc że intensywność fali dźwiękowej wywołanej pracą tego silnika wynosi 210 .

Zadanie 75*

Jaka jest różnica w poziomach hałasu dwóch dźwięków mierzonych w decybelach, z których

jeden ma intensywność fali dźwiękowej 100 razy większą niż drugi?

Zadanie 76*

Jaki jest stosunek intensywności 2-óch fal dźwiękowych z których jedna, ta bardziej

hałaśliwa, ma poziom hałasu większy o 100 decybeli od tej drugiej fali?

Zadanie 77*

Ucho ludzkie z trudem rozróżnia 2 dźwięki z których jeden ma poziom hałasu większy od

drugiego o 0,6 decybela (przy mniejszej różnicy rozróżnienie nie jest możliwe). Jaki jest

stosunek intensywności obu tych fal dźwiękowych?






146

Zadanie 78*

Nowotwór ma zazwyczaj kształt kuli, której powierzchnia boczna w cm 2 wynosi

)(4)( 2rrS π= , gdzie r jest promieniem kuli. Po chemioterapii powierzchnia boczna

nowotworu zmniejszyła się o 75%. Jak zmniejszył się promień r tego nowotworu?

Zadanie 79*

Amerykańscy lekarze szacują że ilość chorych na chorobę Alzheimera w USA w ciągu 60 lat

od roku 1990 jest określona wzorem

7745,37575,11261,13346,00277,0)( 234 ++−+−= tttttf , 60 ≤≤ t ,

gdzie f(t) wyrażona jest w mln osób, zaś t jest mierzone w dekadach, przy czym t=0

odpowiada 1990 r. (a) Ilu ludzi będzie chorych na tę chorobę w 2009 r? (b) Ilu ludzi będzie

chorych na tę chorobę w 2030 r?

Zadanie 80*

Stężenie tlenku węgla w powietrzu z powodu dużych ilości spalin samochodowych dane jest

wzorem 3/2)(01,0)( xxg = , gdzie x jest ilością samochodów w tys. sztuk w danym rejonie.

Wiedząc że 6442,0)( 2 ++= tttf określa ilość samochodów za t lat w tys. sztuk: (a) Znajdź

wzór na stężenie tlenku węgla w powietrzu C(t) po t latach; (b) Oblicz jakie będzie to stężenie

po 6 latach.

Zadanie 81*(spacer czy bieg?)

Konsumpcja tlenu w mililitrach na 1 kg wagi w ciągu 1 minuty w przypadku biegnącego x

km/godz wynosi g(x)=33x+30, 6 < x < 15, zaś w przypadku idącego dana jest

wzorem 203,55,8)( 2 ++= xxxf , 0 < x < 15. (a) Przy jakiej prędkości x konsumpcja tlenu

jest taka sama w przypadku biegnącego jak i idącego? (b) Jaki jest poziom konsumpcji tlenu

dla x = x ? (c) Jak się zmienia konsumpcja tlenu w obu przypadkach gdy prędkość x

marszu/biegu przekracza x ?



ROZDZIAŁ 4: POCHODNE



147

ROZDZIAŁ 4: POCHODNE Rozważmy jakąkolwiek funkcję y = f(x) pokazującą jak wartość zmiennej zależnej y zależy

od wartości zmiennej niezależnej x. Aby dać odpowiedź na pytanie ile razy szybciej zmieni

się wartość y (zmianę tę oznaczamy przez y∆ ) w stosunku do zmiany x-a ( )x∆ startując z

punktu ),( 00 yx gdzie )( 00 xfy = , badamy wyrażenie

(1) xy

∆∆ , gdzie )()( 00 xfxxfy −∆+=∆ , 0xxx −=∆ .

Np. jeśli x = czas zaś y reprezentuje drogę jaką przejechaliśmy dziś samochodem do chwili x,

to xy

∆∆ oznacza średnią prędkość z jaką jechaliśmy samochodem pomiędzy godziną 0x , a

godziną xx ∆+0 , np. pomiędzy 14.05 a 14.06. Aby odpowiedzieć na pytanie z jaką

prędkością jechaliśmy o godz. 14:05, musimy wprowadzić pojęcie pochodnej funkcji y = f(x)

w punkcie 0xx = , to znaczy,

(2) x

xfxxfxfy∆

−∆+==

)()(lim)('' 00

0 gdy 00 xxxx →−=∆ .

Gdy y = f(x)= ax +b, ∞<<∞− x , to pochodna tej funkcji w dowolnym punkcie

0xx = będzie równa a ponieważ

axxa

xbaxbxxaxf =

∆∆

=∆

+−+∆+= lim

][])([lim)(' 00

0 .

Zatem, pochodną funkcji y = 5x+8 jest 5; pochodną funkcji y = -4x+2 jest -4, itp. Podobnie

można pokazać, że gdy f(x) = 2x , to xxf 2)(' = oraz ;3)'( 23 xx = 34 4)'( xx = , itp. a nawet że

(3) 1)'( −= AA Axx (gdzie A jest dowolną liczbą rzeczywistą),

np. (x 45 5)' x= ; (x 89 9)' x= , 221 1)(1)'(

xxx −

=−= −− , itp. Zgodnie z tym samym wzorem (3) dla

A = 0.5 mamy

(4) xxx

xxx2

15.05.0)(5.0)'()'( 5.05.05.0 ===== − ponieważ A

A

xx 1

=− .

Teraz podamy 3 ważne reguły różniczkowania dowolnych funkcji. Oto one:

(5) );(')(')]'()([ 2121 xfxfxfxf +=+

(6) );(')(')]'()([ 2121 xfxfxfxf −=− )(')]'([ xafxaf = .






148

Wzór (5) czytamy w ten sposób że pochodna sumy 2-óch funkcji jest równa sumie

pochodnych. Wzór (6) czytamy w analogiczny sposób, natomiast ostatni z 3-ech powyższych

wzorów czytamy w ten sposób że pochodna funkcji a razy większej niż f(x) jest a razy

większa od pochodnej funkcji f(x). •

Przykład 1. ( xxxxxxxx 643011)'35 351024611 +−+=+−+ . Stosując wzory (3), (4)

obliczamy x

xxx

xxxxxx 21652

4165)'42( 242435 +−+=+−+=+−+ .

Oto kolejne wzory na pochodne funkcji:

(7) [sin’(x)] = cos(x) ; [cos’(x)] = - sin(x) ; [ln’(x)] = x1 ; xx ee =)'( .

Zatem, [ 910x + 3sin(x) – 2ln(x)]’ = 90x 8 + 3cos(x) - x2 .

Oto kolejne reguły różniczkowania funkcji, czyli obliczania ich pochodnych:

(8) )(')()()(')]'()([ 212121 xfxfxfxfxfxf += ,

(9) 22

2121

2

1

)]([)(')()()('

')()(

xfxfxfxfxf

xfxf +

=

Zastosujmy ten wzór dla tg(x) =)cos()sin(

xx , otrzymując

)(cos

1)(cos

)(cos)(sin)(cos

)sin()(sin(0cos()cos(')cos()sin()(' 22

22

2 xxxx

xxxxx

xxxtg =

+=

−−=

=

Ostatnią regułą różniczkowani jest różniczkowanie funkcji złożonej

(10) )]([))(( xgfxgf =o ,

której przykładami są np. sin( )13 ++ xx , ln[2x+sin(x)], itp. W przypadku funkcji

sin( )13 ++ xx mamy do czynienia z funkcjami f(x) = sin(x) oraz g(x) = 13 ++ xx . W

przypadku funkcji ln[2x+sin(x)] mamy do czynienia z funkcjami f(x) = ln(x) oraz g(x) =

2x+sin(x). Pochodna funkcji złożonej dana jest wzorem

(11) )('))((')()'( xgxgfxgf =o .

Zastosujmy ten zwór do 2-óch ostatnio rozważanych funkcji otrzymując:

[sin( )]'123 ++ xx =cos(( )23)(12 23 +++ xxx ;






149

tg()]sin([cos

)cos(4)]cos(4[)]sin([cos

1)]'sin([ 42

33

424

xxxxxx

xxxx

++

=++

=+ .

Uwaga: 2-ą pochodną określamy jako pochodną 1-ej pochodnej, to jest,

)]'('[)("" xfxf = ,

3-ą pochodną określamy jako pochodną 2-ej pochodnej, to jest, )]'(''[)(''' xfxf = , itd. Jeśli y

= f(x)= 253 24 +− xx , to xxxfy 1012)('' 3 −== , 1036)('''' 2 −== xxfy ,

xxfy 72)('''''' == , .72)('''''''' == xfy , itd.

Najprostsze zastosowania pochodnych są rezultatem wzoru

(12) ε+∆+=∆+ xxfxfxxf )(')()( 000

prawdziwego dla dowolnego punktu 0x , z czego wynika wzór na przybliżoną wartość funkcji

f(x) dla x = xx ∆+0 leżącego w pobliżu 0x :

(13) xxfxfxxf ∆+≈∆+ )(')()( 000 .

Wzór ten ma częste zastosowania w sytuacji gdy znana jest nam wartość )( 0xf , a chcemy

obliczyć wartość f(x) w punktach x leżących blisko .0x •

Przykład 2. f(x) = x , 250 =x ; 1=∆x ; chcemy obliczyć 26 znając 25 ;

Rozwiązanie

Ze wzorów (13), (4) wynika 26 = f(26) ≈ f(25) + +=× 251)25('f 1252

1× =

1.51.05 =+ ponieważ na mocy (4) x

x2

1)'( = . •

Fakt 1. Jeśli y’=f’(x) < 0 dla ),( bax ∈ , to f(x) maleje na odcinku (a,b). •

Fakt 2. Jeśli y’=f’(x) > 0 dla ),( bax ∈ , to f(x) rośnie na odcinku (a,b). •

Przykład 3. Pokazać że y = ln(x) jest funkcją rosnącą dla ∞<< x0 .






150

Rozwiązanie

Wystarczy pokazać że dla ∞<< x0 pochodna y = ln(x) jest większa od zera. Na mocy (7)

ln’(x) = 01>

x z uwagi na to że x > 0. •

Przykład 4. Pokazać, że funkcja y = 5143 −+ xx jest rosnąca na ( ),∞∞− .

Rozwiązanie

Wystarczy pokazać, że jej pochodna jest dodatnia dla ),( ∞−∞∈x . Ale tak jest gdyż

043043' 22 >+=−+= xxy , co kończy dowód. •

Fakt 3

(a) Funkcja y = f(x) ma minimum w punkcie x = 0)(' 00 =⇔ xfx oraz 0)('' 0 >xf ; (b)

Funkcja y = f(x) ma maksimum w punkcie x = 0)(' 00 =⇔ xfx oraz 0)('' 0 <xf ; (c) jeśli

0)(' 0 =xf oraz 0)('' 0 =xf , to w dalszym ciągu nic nie wiemy. •

Przykład 5. Niech y =f(x) = 11232 23 +−+ xxx . W których punktach funkcja ta osiąga

maksimum i minimum? Jakie to są wartości?

Rozwiązanie

01266)(' 2 =−+= xxxf jest funkcją postaci 02 =++ cbxax . Z rozdziału 3 wiemy że

)(' xf = 0 wtedy i tylko wtedy gdy

(14) a

bx21

∆−−= ,

abx

22∆+−

= gdzie acb 42 −=∆ .

W naszym przypadku a = 6, b = 6, c = -12, a więc 324=∆ , 18324 ==∆ . Zatem

212

1861 −=

−−=x , 1

12186

2 =+−

=x . Aby odpowiedzieć na pytanie w którym z tych 2

punktów f(x) osiąga maksimum, a w którym minimum, obliczmy

(15) 612)'1266()('' 2 +=−+= xxxxf

i w konsekwencji 0186)2(12)2('' <−=+−=−f czyli w 21 −=x funkcja y =f(x) =






151

11232 23 +−+ xxx osiąga maksimum. Skoro )1(12)1('' =f 0186 >=+ , to y =f(x) =

11232 23 +−+ xxx osiąga minimum w 12 =x . Obliczmy teraz lokalne maksyma i minima.

wartość f(x). Zauważmy że f(-2) = 21 oraz f(1) = -6.

Funkcję y = f(x) nazwiemy wypukłą jeśli

(16) 2

)()(2

2121 xfxfxxf +≤

+ dla dowolnych 21 , xx .

Fakt 5 (a) Funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy gdy odcinek łączący dowolne 2 punkty

leżące na wykresie y =f(x) leży nad wykresem;

(b) Funkcja jest wypukła wtedy i tylko wtedy gdy 0)('' ≥xf dla każdego x. •

Funkcję y = f(x) nazwiemy wklęsłą jeśli

(17) 2

)()(2

2121 xfxfxxf +≥

+ dla dowolnych 21 , xx .

Fakt 6 (a) Funkcja jest wklęsła wtedy i tylko wtedy gdy odcinek łączący dowolne 2 punkty

leżące na wykresie y =f(x) leży pod wykresem;

(b) Funkcja jest wklęsła wtedy i tylko wtedy gdy 0)('' ≤xf dla każdego x. •

Powstaje pytanie dla jakich x funkcja y =f(x) = 11232 23 +−+ xxx jest wklęsła, a dla jakich

wypukła. Wystarczy sprawdzić dla jakich x zachodzi 0)('' ≤xf , a dla jakich 0)('' ≥xf .

Otóż, 2/10120612)('' −≤⇔≤+⇔≤+= xxxxf (f(x) jest wtedy wklęsła), zaś

2/10612)('' −≥⇔≥+= xxxf (f(x) jest wtedy wypukła). •

Koszt krańcowy jako pochodna. Niech )(xCS = koszty stałe przy produkcji x sztuk wyrobu

finalnego(czyli gotowego do sprzedaży); )(xCZ = koszty zmienne przy produkcji x sztuk

wyrobu finalnego; Zatem, C(x) = )(xCS + )(xCZ jest kosztem całkowitym przy produkcji x

sztuk. Kosztem marginalnym nazywamy różnicę C(x+1)–C(x), czyli koszt wyprodukowania

(x+1)-go wyrobu finalnego. Ponieważ

)(')()(lim1

)()1( xCx

xCxxCxCxC=

∆−∆+

≈−+ gdy 0→∆x ,






152

pochodna C’(x) kosztów całkowitych traktowana jest jako koszt marginalny (koszt

krańcowy). Jeśli Z(x) = zysk ze sprzedaży x produktów finalnych, to Z(x+1)-Z(x) nazywamy

zyskiem marginalnym (krańcowym). W praktyce przyjmujemy iż zysk marginalny = Z’(x).

Jak znaleźć optymalny poziom produkcji wyrobów w firmie produkcyjnej oraz optymalny

poziom ilości usług w firmie świadczącej usługi?

Zasada Optymalności

Załóżmy że firma sprzedaje x produktów A po cenie p zł za sztukę, ponosząc koszty

całkowite C(x). Wówczas jej zysk Z(x)=px-C(x) osiąga maksymalną wartość w x wtedy i

tylko wtedy gdy Z’( x )=0 oraz Z’’( x )< 0, czyli C’( x ) = p(krańcowy koszt produkcji A

równy jest cenie sprzedaży A) oraz C’’( x ) > 0(funkcja kosztów jest wypukła w otoczeniu

punktu x .

Przykład 6. Oblicz maksymalny zysk firmy gdy cena sprzedaży produktu finalnego wynosi

$610, zaś koszty całkowite C(x) 32 )3/1(3070800 xxx +−+= .

Rozwiązanie

Najpierw wyznaczymy optymalny poziom produkcji x dla którego zgodnie z zasadą

optymalności będziemy mieć C’( x ) = 610 oraz C’’( x ) > 0. W tym celu rozwiążmy

C’(x) = [ 32 )3/1(3070800 xxx +−+ ]’= 6106070 2 =+− xx ,

przy pomocy ∆ . W ogólnym przypadku acb 42 −=∆ , a więc tym razem

∆ 5760)540)(1(4)60( 2 =−−= , 76=∆ , 82

76601 −=

−=x , 68

27660

2 =+

=x .

Ponieważ C’’(x) = -60+2x, to C’’(68) > 0 to przy produkcji (i sprzedaży) 68 sztuk produktu

finalnego osiągniemy lokalne maksimum. Dla x = -8 zachodzi C’’(-8) < 0, co oznacza że zysk

osiąga wtedy lokalne minimum. Z drugiej strony, x = -8 możemy od razu odrzucić gdyż

poziom sprzedaży na poziomie -8 nie ma sensu ekonomicznego. Jedyne lokalne maksimum

jest globalnym maksimum i rozwiązaniem naszego problemu. Przychód ze sprzedaży 68

sztuk będzie wynosił 68($610) = $41480, zaś koszty produkcji C(68) = 14490, co daje

optymalny (maksymalny) zysk w wysokości Z(68) = 41480-14490 = 26989 zł. Elastycznością

przeciętną pE funkcji f(x) na przedziale [ ], 00 xxx ∆+ nazywamy liczbę

(18)

∆−∆+=

xx

xfxfxxfE p :

)()()(

0

00 .






153

Jest to stosunek (iloraz) względnego przyrostu wartości funkcji f(x), czyli )(

)()(

0

00

xfxfxxf −∆+

do względnego przyrostu x, czyli do xx∆ . Wadą definicji (18) jest to że długość przedziału z

którego wylicza się przeciętną wartość elastyczności nie jest w ogóle określona! W związku z

tym, każdy obliczający elastyczność w oparciu o wzór (18) otrzyma inny wynik!

Elastycznością E[f( 0x )] funkcji f(x) w punkcie 0x nazywamy granicę elastyczności

przeciętnych na przedziałach [ ], 00 xxx ∆+ gdy x∆ 0→ . Jest to więc liczba która nie zależy

od długości przedziału; dana jest ona wzorem

(19) )(

)(')(

)()(lim)(

0

00

0

0000 xf

xxfxf

xx

xfxxfxEf =×∆

−∆+= .

Jeśli f(x) przedstawia popyt na dobro w zależności od ceny x, to E[f(x)] nazywamy

elastycznością cenową popytu. Jeśli f(x) przedstawia popyt na dobro w zależności od

zarobków (dochodów), to E[f(x)] nazywamy elastycznością dochodową popytu . •

Przykład 7. Funkcja Tornquista I-go rodzaju bx

axxT+

=)(1 przedstawia popyt na dobro I-ej

potrzeby. Zgodnie z (9),

0)()(

)()(

)'()()'(')(' 2221 >+

=+

−+=

++−+

=

+=

bxab

bxaxbxa

bxbxaxbxax

bxaxxT ,

czyli popyt rośnie wraz ze wzrostem dochodu. Elastyczność dochodowa popytu

(20) )(

)()()(

)(')(

00

002

001

00101 bx

bax

bxxbx

abxT

xxTxET+

=+

+==

maleje ze wzrostem dochodu 0x , przyjmując najwyższą wartość 1 gdy 0x = 0.


Zadanie 82

Pokazać że funkcja y = 15123 −+ xx jest rosnąca na ( ),∞∞− .

Zadanie 83

Pokazać że funkcja y = - 993 +− xx jest malejąca na ( ),∞∞− .






154

Zadanie 84*

Niech y będzie wagą niemowlaka w wieku x miesięcy wyrażoną w uncjach. Ustalono że dla

pewnej liczby 0>c , zachodzi związek: )66,1()5,341ln()ln( −=−− xcyy gdy 90 ≤≤ x .

Pokaż że (a) y(x) jest funkcja rosnącą; (b) Znajdź wiek kiedy niemowlak zyskuje najwięcej na

wadze.

Zadanie 85*

Psychologowie wykryli że miarą zdolności dziecka do uczenia się w wieku do 4 lat jest

funkcja 105)ln(3

5)(+−

=xxx

xf dla 421 ≤≤ x . W którym wieku dziecko uczy się

najszybciej?

Zadanie 86*

Przez płatną drogę przejeżdża dziennie 24000 samochodów, każdy płacąc 10 zł za przejazd.

Przeprowadzona wśród kierowców ankieta pokazała że za każdą podwyżką opłaty za przejazd

o 15 gr nastąpi spadek korzystających z tej drogi samochodów o 300 sztuk. Przy jakiej cenie

przychód z opłat drogowych będzie największy?

Zadanie 87*

Współczynnik r(t) wykorzystania łóżek hotelowych (occupancy rate) w miesiącu t w hotelu

Cudny Ląd dany jest wzorem 559

2003

108110)( 23 ++−= ttttr , 110 ≤≤ t , gdzie t = 0

odpowiada styczniowi. Z kolei, miesięczne przychody w tys. zł Cudnego Lądu zależą od

współczynnika r wykorzystania łóżek wg wzoru: 23

509

50003)( rrrR +−= .

(a) W jakich miesiącach współczynnik r(t) osiąga maksymalną wartość?

(b) W jakim miesiącu przychody osiągną maksymalną (minimalną) wartość?

Zadanie 88

Oblicz przybliżoną wartość 50 oraz 80 stosując wzór (13).

Zadanie 89*

Zoologowie znają wzór 3/2kWS = na powierzchnię boczną S zwierzęcia w metrach

kwadratowych w zależności od wagi W w kg, gdzie k jest stałą zależną od gatunku

zwierzęcia(np. k = 0,1 w przypadku konia). (a) Jeśli waga konia wynosi 300 kg, zaś błąd






155

pomiaru jego wagi równy jest 1kg, znajdź procentowy błąd jaki powstać może przy

obliczaniu jego powierzchni bocznej; (b) Wykorzystując wzór (13) znajdź w przybliżeniu ten

błąd.

Zadanie 90*

Psychologowie wykryli że ilość czasu w sekundach potrzebnych do zapamiętania n

wypisanych kolejno informacji wynosi 44)( −= nnnf . (a) Oblicz ten czas dla n= 85; (b)

Wykorzystując wzór (13) oblicz ile czasu w przybliżeniu zajmie zapamiętanie kolejnych 5

informacji, a następnie oblicz f(90).

Zadanie 91

Niech y =f(x) = 557143 23 +−+ xxx . W których punktach funkcja ta osiąga maksimum i

minimum? Dla jakich x funkcja y = f(x) jest wypukła (wklęsła)?

Zadanie 92

Niech y =f(x) = 557143 23 ++− xxx . W których punktach funkcja ta osiąga maksimum i

minimum? Dla jakich x funkcja y = f(x) jest wypukła (wklęsła)?

Zadanie 93*

WHO szacowała że funkcja 2857,2000476,440357,32083,0)( 23 +++−= ttttf , 120 ≤≤ t ,

określała liczbę dzieci na całym świecie w tys. sztuk zarażanych wirusem HIV przez swoją

matkę, gdzie t jest mierzone w latach począwszy od roku 1990 dla którego t =0. Gdyby ten

wzór był prawdziwy dla 200 ≤≤ t czyli do 2010 r. (a) oblicz ile dzieci będzie w ten sposób

zarażonych w roku 2009? (b) Kiedy liczba zainfekowanych HIV-em dzieci przez własne

matki osiągnie poziom największy/najmniejszy w okresie 1990-2010?

Zadanie 94*

Wskaźnik cen (CPI) w USA zmieniał się w latach 1990-2000 zgodnie ze wzorem

10032,0)( 23 ++−= tttI , 0 ≤ t ≤ 10, gdzie t = 0 odpowiada 1990 r. W którym roku ceny rosły

(a) najszybciej ? (b) najwolniej?

Zadanie 95*

252525,0300

)(2

+++

=t

tttP określa puls długodystansowca t sekund po rozpoczęciu biegu.

(a) Jaki jest puls 10 sek, 60 sek i 2 minuty po rozpoczęciu biegu?

(b) Jak szybko zmienia się ten puls 10 sek, 60 sek i 2 minuty po rozpoczęciu biegu?

(c) Na jakim poziomie stabilizuje się ten puls?






156

Zadanie 96*

Firma „Zdrowie” produkująca jogurt ponosząc koszty w wysokości C(x) = 43 +x generuje

przychody R(x) = xxx −15 , 50 ≤≤ x , gdzie x jest mierzone w tysiącach litrów, zaś C(x) i

R(x) są mierzone w setkach złotych. (a) Znajdź wzór na krańcowy zysk )(xmZ oraz oblicz

)1(Zm ; (b) Pokaż że 0)4( =Zm i zinterpretuj ten wynik.

Zadanie 97*

Firma „Zdrowe Pieczywo” produkująca specjalny chleb ponosi koszty w wysokości C(x) =

13

++

xx generuje przychody R(x) = x , 150 ≤≤ x .

(a) Znajdź x dla którego zysk równy jest zero;

(b) Pokaż że krańcowy zysk )(xmZ nigdy nie jest równy zero;

(c) Zinterpretuj ten wynik.

Zadanie 98*

Firma „Ekologiczna Farba” produkująca farbę do malowania domów na zewnątrz ponosi

koszty w wysokości C(x) = 31215 xx −+ tys. zł., generując przychody R(x) = x445 tys.

zł., 20 ≤≤ x , gdzie x jest wyrażone w tys. litrów.

(a) Znajdź takie x dla którego krańcowy koszt równy jest krańcowemu przychodowi, czyli

)()( xmxm RC = ;

(b) Zinterpretuj ten wynik.

Zadanie 99

Znajdź tę wartość x która minimalizuje koszty całkowite C(x) = x

x 295050 + dla x >0.

Zadanie 100

Jeżeli C(x) jest funkcją kosztów całkowitych przy produkcji x sztuk artykułu A, p jest ceną

sprzedaży artykułu A, to zysk z produkcji i sprzedaży x sztuk produktu A wynosi P(x) = px –

C(x).(a) Jeśli C(x) = cx, c < p, wyznacz maksymalny zysk, o ile taki istnieje; (b) Jeśli C(x) =

(x-1) 22 + , wyznacz maksymalny zysk.






157

Zadanie 101

Firma OKAZJA planuje zainwestować 500 tys. zł na okres 4 lat, kupując najpierw akcje

pewnej firmy paliwowej, a następnie chcąc nie stracić uzyskanych z tej lokaty zysków,

zdecydowała że sprzeda te wszystkie akcje i kupi za uzyskane pieniądze bony skarbowe za

które jest niewielki, choć pewny, zysk. Z analizy jej specjalistów, z których większość

pochodzi z WSZ-POU, wynika że jeśli zamiana akcji na bony nastąpi w roku t, 0 < t < 4, to

całkowity zysk z tej 4-letniej inwestycji wyniesie tttP 3)20(18)( −= , 0 < t < 4. Zbadaj czy

firmie OKAZJA opłaca się sprzedać akcje i kupić bony w okresie tych 4 lat. Jeśli tak, w jakim

momencie powinna to uczynić?

Zadanie 102*

Firma MOKOTOWSKIE NIERUCHOMOŚCI potrafi zdobyć pieniądze na swój rozwój,

płacąc tylko 5% odsetek za pożyczone pieniądze. Następnie pożycza klientom pieniądze na

zakup nieruchomości w Warszawie żądając x % odsetek, gdzie x > 5. Jej zespół specjalistów

będących absolwentami WSZ-POU ustalił że kwota pieniędzy którą firma będzie w stanie

pożyczyć klientom na x % wyrażona w mln zł jest odwrotnie proporcjonalna do 2x .

(a) Jaki oprocentowanie pożyczki dla klientów zmaksymalizuje zysk firmy?

(b) Jaką kwotę pieniędzy firma ta powinna zdobyć aby zmaksymalizować swój zysk?

Zadanie 103

Firma ma stałe koszty 5000zł. Jeśli wyprodukuje w ciągu dnia x sztuk produktu A na

sprzedaż, to dzienne koszty roboczogodzin oraz zużytych materiałów wyniosą 3x. Ponadto,

dzienny koszt utrzymania sprzętu równy jest 2500000/2x . Znajdź takie x dla którego

dzienne całkowite koszty przypadające na jednostkę produktu A są minimalne.

Zadanie 104

Firma ABC jest pośrednikiem w sprzedaży produktu D. W ciągu roku sprzedaje 1000 sztuk

tego produktu, bez sezonowych zmian w popycie na ten produkt.. Kiedy nie ma na składzie

produktu D, firma ABC zamawia (kupuje celem odsprzedaży) x sztuk tego produktu.

Magazynowanie jednostki produktu D kosztuje rocznie b zł, zaś opłata transakcyjna

jednorazowego zakupu wynosi c zł. Jakie powinno być x aby minimalizować łączny koszt

magazynowania i opłaty transakcyjnej?

Wskazówka: Przeciętny poziom produktów D w magazynie wynosi x/2, zaś ilość zamówień

produktów D wynosi w ciągu roku 1000/x.






158

Zadanie 105*

Farmer spod Grójca k/Warszawy zamierza zatrudnić x osób do zrywania pomidorów których

jest około 84400 w jego ogrodzie. Jeden „zrywacz”(picker) potrafi zebrać 422 pomidory w

ciągu godziny, za co otrzymuje zapłatę w wysokości 15 zł. Jednocześnie, farmer płaci 25 zł za

godzinę kierownikowi nadzorującemu cała akcję zrywania pomidorów oraz musi zapłacić

związkom zawodowym do których należą zatrudnione osoby po 10zł od każdego

zatrudnionego do zrywania pomidorów.

(a) Ile osób powinien zatrudnić farmer aby minimalizować koszty zbioru pomidorów?

(b) Jaki jest ten minimalny koszt?

Zadanie 106*

Linie lotnicze LOT oferują czarterowy przelot z Krakowa do Londynu i z powrotem za cenę

która zależy od ilości uczestników. Dla x uczestników koszt jednego biletu w obie strony

wynosi (1000–2x) zł. Dla jakiego x przychód ze sprzedaży będzie maksymalny?

Zadanie 107*

W XVI i XVII wieku handlarze w Linz (Austria) sprzedawali wino w beczkach o różnych

wysokościach i szerokościach, ustalając cenę za beczkę w dość dziwaczny sposób. Robili

mianowicie otwór w pustej beczce dokładnie w środku jej wysokości, a następnie wkładali

przez ten otwór kij tak głęboko w beczkę jak to jest możliwe. Cena za beczkę pełną wina

zależała w sposób wprost proporcjonalny od długości zanurzonego w winie kija bez względu

na to czy beczka była „długa” i „wąska”, czy też „niska” i „szeroka”.

(a) Przy jakich rozmiarach beczki wino było najtańsze?

(b) Przy jakich rozmiarach beczki wino było najdroższe?

Zadanie 108

Miesięczny popyt na pieczywo w rodzinie pana Adamsa (w kg) dany jest wzorem

3004,12)(1 +

=x

xxT . Oblicz elastyczność dochodową popytu gdy dochód na jednego członka w

rodzinie Adamsa wynosi 1200 euro miesięcznie.

Zadanie 109*

(a) Znajdź wzór na elastyczność cenową popytu na opony firmy Titan Tire Co. gdy popyt na

nie wyrażony w tys. sztuk (x) zależy od ich ceny p w dolarach w następujący sposób

px −= 144 ;

(b) Oblicz te elastyczności gdy p = 63, p = 96, p = 108.






159

Zadanie 110

Miesięczny popyt na pieczywo w rodzinie pana Adamskiego (w kg) dany jest przez funkcję

Tornquista I-go rodzaju 100

13)(1 +=

xxxT . Oblicz elastyczność dochodową popytu gdy dochód

Kowalskiego wynosi 1400 zł miesięcznie. Zinterpretuj ten wynik.

Zadanie 111*

PKB dla pewnego kraju w Afryce w latach 1992-2000 opisany był wzorem:

604,22,0)( 23 ++−= tttG ; 80 ≤≤ t , gdzie t =0 odpowiada 1992 r. Załóżmy iż ten wzór jest

słuszny również w okresie 2001-2009.

(a) Oblicz wielkość PKB w 2009 r.

(b) W jakich latach PKB wzrastał, a w jakich spadał?

Zadanie 112

Funkcja Tornquista II-ego rodzaju określona wzorem y = abxcx

+− dla x > c oraz y = 0 dla

0 < x ≤ c, opisuje zależność pomiędzy wydatkami y w gospodarstwach domowych na dobra

wyższego rzędu i wielkością dochodu x przypadającego na jednego członka rodziny, gdzie

a > 0, b > 0, c > 0. Oblicz elastyczność dochodową popytu w zależności od dochodu

przypadającego na jednego członka rodziny.

Zadanie 113 Wydatki miesięczne na dobra wyższego rzędu w każdej rodzinie mieszkającej w

województwie małopolskim wynoszą y = 800300700

+−

xx dla x > 700 oraz y = 0 dla

0 < x ≤ 700 w zależności od dochodów miesięcznych x w tej rodzinie. Oblicz elastyczność

dochodową popytu w rodzinie pana Adamskiego mieszkającego pod Krakowem, której

dochód miesięczny przypadający na jednego członka rodziny wynosi 1700 zł.


województwie mazowieckim wynoszą y = 900300800

+−







160

0 < x ≤ 800 w zależności od dochodów miesięcznych x w tej rodzinie. Oblicz elastyczność

dochodową popytu w rodzinie pana Babalskiego w której dochód miesięczny przypadający na

jednego członka rodziny wynosi 2100 zł.


województwie mazowieckim wynoszą y = 900300800

+−


0 < x ≤ 800 w zależności od dochodów miesięcznych x w tej rodzinie. Oblicz miesięczny

poziom nasycenia dobrami wyższego rzędu w województwie mazowieckim i małopolskim z

treści zadania 4. Który poziom jest wyższy?

Zadanie 116*

Koncentracja lekarstwa (w miligramach na cm 3 ) we krwi pacjenta t godzin po jego zażyciu

wynosi 12

)( 3

2

+=

tttC , 0≤ x ≤ 4.

(a) W jakim okresie koncentracja lekarstwa w organizmie wzrasta, a po jakim maleje?

(b) Czy funkcja C(t) jest wklęsła/wypukła?

Zadanie 117*

Stężenie brązowego dwutlenku azotu w powietrzu, który uszkadza i osłabia oddychanie,

mierzymy za pomocą indeksu PSI (pollutant standard index), w majowe dni w Long Beach

(USA) definiuje się wzorem 28)5,4(25,01

136)( 2 +−+

=t

tA , gdzie 0≤ t ≤ 11, przy czym t =0

odpowiada godzinie 7 rano, zaś t =11 godzinie 18-ej.

(a) Kiedy stężenie osiąga swoje maksimum i jaka jest wtedy jego wartość?

(b) Kiedy stężenie jest najmniejsze i jaka jest wtedy jego wartość?

(c) Kiedy stężenie wzrasta, a kiedy zmniejsza się?



ROZDZIAŁ 5: CAŁKI



161

ROZDZIAŁ 5: CAŁKI

Niech y= f(x) będzie funkcją ciągłą lub mającą tylko skończoną ilość punktów nieciągłości.

F(x) nazwiemy funkcją pierwotną względem f(x) jeśli F’(x) = f(x), zapisując ją jako F(x)

= ∫ dxxf )( . Znajdowanie funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem. Przykłady całek

nieoznaczonych (gdyż tak się te całki nazywają)

(1) ∫ = cdx0 ponieważ (c)’= 0; (2) gdy 1−≠n , to ∫ dxx n = 1

11 +

+nx

n+ c;

(2a) ∫ += cxxdx 221 (dla n = 1); ∫ ∫ +== cxdxdx1 (dla n = 0);

(2b) ∫ += cxdxx 23

32 )( (dla n = ½ ); (2c) gdy n = -1, to ∫ ∫ +==− cxdx

xdxx )ln(11 ;

(2d) ∫ += cxdxx 3312 )( (dla n = 2); (3) ∫ += cxdxx )sin()cos( ;

(4) ∫ +−= cxdxx )cos()sin( ; (5) ∫ += cedxe xx ; Reguły całkowania:

(I) ∫ ∫= dxxfadxxaf )()( ; (II) ∫ ∫ ∫+=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ;

(III) ∫ ∫ ∫−=− dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ; zatem

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ++−=+

−

=+−=+− cxxxxxxdxdxxdxxdxxx 5

32

565

312

5161526]526[ 35352424

(IV) ∫ ∫−= dxxgxfxgxfdxxgxf )'()()()()()'( (całkowanie przez części)

Zadanie 1 Oblicz całkę I = ∫ dxx)ln( .

Rozwiązanie: Ponieważ ln(x)’= x1 , stosujemy regułę (IV) otrzymując

I = ∫ ∫ ∫ ∫ +−=−=−== cxxxdxxxdxxxxxdxxxdxx )ln(1)ln()'(ln()ln()ln()'()ln( . •

Zadanie 2 Oblicz całkę I= ∫ dxxx )cos(

Rozwiązanie: Ponieważ sin(x)’=cos(x), stosujemy regułę (IV) otrzymując

I = cxxxdxxxxxdxxdxxx ++=−==∫ ∫ ∫ )cos()sin(1)sin()sin()'sin()'sin( . •



ROZDZIAŁ 5: CAŁKI



162

Zadanie 3 Oblicz całkę ∫= dxxeI x1 .

Rozwiązanie: Ponieważ xx ee =)'( , stosujemy regułę (IV) otrzymując

∫ ∫−== dxexxedxexI xxx )'()'(1 = )1( −=−=− ∫ xeexedxexe xxxxx . •

Nazwa całka oznaczona pochodzi stąd że oznaczone są granice a i b całkowania f(x) na

przedziale [a,b]; a więc

(6) ∫ −=b

a

aFbFdxxf )()()( ,

gdzie F(x) jest funkcją pierwotną względem f(x). Całka oznaczona wyraża pole figury

pomiędzy wykresem funkcji f(x) a osią poziomą X nad przedziałem [a,b]. •

Zadanie 4 Oblicz pole pod sinusoidą nad odcinkiem [0,π ]

Rozwiązanie: Na mocy (6) i (4) pole pod wykresem sinusoidy równe jest

∫ =−−=−=−−−=−=π

πππ0

2)1(1)cos()0cos()]0cos([)cos()0()()sin( FFdxx .



ROZDZIAŁ 5: CAŁKI



163

Zadanie 5

Oblicz pole „listka” pod wykresem funkcji y (x)= x1 nad odcinkiem [1,3].

Rozwiązanie

Na mocy (6) i (2c), pole listka równe jest ∫ =−=−=3

1

0986.100986.1)1ln()3ln(1 dxx

.

Fakt 1 Koszt całkowity )(xK cał jest całką z kosztu krańcowego )(xK krań :

(7) ∫= dxxKxK krańcał )()( ;

Zadanie 6 Koszt krańcowy przy produkcji x opon wynosi 209.04.010)( xxxK krań +−= ,

koszty stałe = 2000zł. Oblicz koszty całkowite )(xK cał oraz koszt przeciętny

wyprodukowania 1 opony.

Rozwiązanie

∫ ∫ ++−=+−== cxxxdxxxdxxKxK krańcał 322 03.02.010]09.04.010[)()( . Koszty stałe

= 2000)0( == cK cał , zatem )(xK cał = ++− 32 03.02.010 xxx 2000. Stąd koszt

przeciętnyx

xxx

xKxKcał

prze 200003.02.010)()( 2 ++−== •

Zadanie 7 Właściciel chce sprzedać 15 szt. towaru. Przychód krańcowy ze sprzedaży x sztuk

równy jest f(x) = 2)1(2+x

tys. zł. Wyznacz cenę towaru i przychód całkowity.



ROZDZIAŁ 5: CAŁKI



164

Rozwiązanie

Funkcja przychodu całkowitego ∫= dxxPxP krańcał )()( na tej samej zasadzie co

∫= dxxKxK krańcał )()( . Zatem ∫ ++

−=+

= cxdxx

xPcał

12

)1(2)( 2 ponieważ c

x+

+−

12 jest

funkcją pierwotną względem 2)1(2+x

. Ponieważ cP cał ++

−=

1152)15( oraz

cP cał ++

−=

102)0( , stąd przychód całkowity ze sprzedaży 15 sztuk wynosi

)0()15( całcał PP − = 815

81 )2()( =+−−+− cc tys. zł. Cena 1 sztuki musi być więc równa

81

815

151

15)0()15(

==− całcał PP tys. zł = 125zł. •

Fakt 2 Jeśli znamy tempo (szybkość) napływu towaru do magazynu w chwili x jako f(x), to

wielkość zapasów utworzona w okresie [a,b] wynosi:

(8) ∫=b

a

dxxfZ )( .

Fakt 3 Przeciętna wartość funkcji f(x) na przedziale [a,b] wynosi

(9) I = ∫−

b

a

dxxfab

)(1 .

Zadanie 8 Jeśli ilość towarów w magazynie w tys. sztuk w chwili x wynosi f(x) = sin(x), to

jaka jest przeciętna ilość towarów w magazynie w przedziale czasu [0,π ].

Rozwiązanie

I = ∫ ∫=−

π π

ππ 0 0

)sin()sin(0

1 dxxdxx . Ale I = F( )0() F−π , F(x)=π

)cos(x− . Ponieważ

cos 1)( −=π , cos(0) = 1, to I = F( )0() F−π =ππ1)1( −

−−− 637.02

≈=π

tys. sztuk. •

Zadanie 9 Oblicz prawdopodobieństwo że czas oczekiwania (X) na taksówkę będzie dłuższy

niż 2 minuty a krótszy niż 5 minut, przyjmując że średni czas oczekiwania wynosi 6 min.



ROZDZIAŁ 5: CAŁKI



165

Rozwiązanie

Wiedząc że funkcja gęstości rozkładu wykładniczego jest postaci xexf λλ −=)( , gdzie

61=λ w tym przypadku, obliczamy całkę I = ∫

−5

2

)61

(

61 dxe

x, która daje odpowiedź na

postawione wyżej pytanie. Ponieważ I = F(5) – F(2), gdzie funkcją pierwotną jest

xexF 6

1

)(−

−= . Ostatecznie, I = -0,4346 - -0,71653 =0,282 = 28,2%.


Zadanie 118

Oblicz całkę ∫= dxxeI x1

Zadanie 119

Oblicz całkę ∫= dxexI x22 .

Zadanie 120

Oblicz 3I = ∫ dxex x3 .

Zadanie 121

Obliczyć całkę ∫ +++ dxexxx x]1[ 32 .

Zadanie 122

Obliczyć całkę ∫ dxexw x)( , gdzie w(x) = a + bx + c(x) 32 )(xd+ .

Zadanie 123

Oblicz pole „listka” pod wykresem funkcji y (x)= x1 nad odcinkiem [1,3].



ROZDZIAŁ 5: CAŁKI



166

Zadanie 124

Udowodnij, że „listek” pomiędzy krzywą w kolorze czerwonym a krzywą w kolorze

niebieskim (nad odcinkiem [0,1]) ma pole 1/3.

Zadanie 125

Szybkość netto napływu towarów w chwili x mierzona w tys. sztuk wynosi f(x) = 2 x .

Oblicz ile zapasów przybyło w okresie [1,16].

Zadanie 126

Szybkość netto napływu towarów w chwili x mierzona w tys. sztuk wynosi f(x) = +2x 2 x .

Oblicz ile zapasów przybyło w okresie [1,9].

Zadanie 127

Załóżmy że v(t) = prędkość samochodu który rozpoczyna swą trasę w chwili 0 z punktu 0 na

osi X i jedzie wzdłuż osi X 10 godzin dana jest wzorem 210)( tttv −= , 100 ≤≤ t .

(a) Wyznacz położenie samochodu w godzinie t;

(b) W jakich momentach czasu przyspieszenie samochodu wynosić będzie zero?

(c) Kiedy prędkość będzie największa/najmniejsza?



ROZDZIAŁ 5: CAŁKI



167

Zadanie 128*

Załóżmy iż przychód ze sprzedaży 1-go kg mydła wynosi 3$, zaś krańcowy przychód dany

jest wzorem xxmR 02,04)( −= dla 4001 ≤≤ x .

(a) Jaki jest przychód z tytułu sprzedaży 30 kg mydła?

(b) Wyznacz x dla którego krańcowy przychód równy jest 0;

(c) Jaki jest przychód ze sprzedaży x kg mydła?

(d) Jaki poziom sprzedaży mydła maksymalizuje przychód?

(e) Oblicz ten maksymalny przychód.

Zadanie 129*

Załóżmy że koszt wyprodukowania pierwszych 2 kg mydła jest równy 10,98$, zaś koszt

krańcowy dany jest wzorem xxmC 1,03)( −= dla 301 ≤≤ x .Wyznacz koszt całkowity

wyprodukowania 30 kg mydła.

Zadanie 130*

Pociąg jedzie 100 km/godz. Gdy nagle motorniczy zauważa krowę na szynach w odległości x

km od czoła pociągu (x jest nieznaną wielkością dla maszynisty). Naciska pedał hamowania,

powodując że pociąg zaczyna poruszać się ruchem jednostajnie opóźnionym. Po 2 minutach

zatrzymuje się 1 cm przed zdumioną krową, która będąc w stanie szoku nie wykonała

żadnego ruchu. Jak daleko od krowy był pociąg gdy kierowca zaczął hamować?

Zadanie 131*

Firma budowlana FINEZYJNE KAFELKI planuje produkcję kafelków Emanel na sezon

2010/2011. Kształt kafelka jest kwadratowy, kolor biały z wyjątkiem środka koloru szarego w

kształcie listka którego brzegi dane są funkcjami 3 x oraz 3x , 10 ≤≤ x .Który kolor

przeważa w każdym kafelku?

Zadanie 132*

Krańcowy przychód liczony w tys. zł ze sprzedaży x tys. kg fasoli dany jest wzorem

Rm (x)1

5+

=x

. (a) Wyznacz przychód całkowity ze sprzedaży R(x); (b) Pokaż że R(x) jest

sensowną funkcją przychodu, tzn. jest malejącą i wklęsłą.

Zadanie 133*

Żarówka przepala się średnio po 800 godzinach świecenia. Oblicz prawdopodobieństwo że

nowozakupiona żarówka przepali się pomiędzy 800-ą a 900-ą godziną świecenia.



ROZDZIAŁ 5: CAŁKI



168

Zadanie 134

Kserokopiarka pracuje średnio bez psucia 400 godzin. Jakie jest prawdopodobieństwo że

zepsuje się pomiędzy 100-ą a 300-ą godziną pracy?

Zadanie 135*

Oblicz prawdopodobieństwo że czas oczekiwania (X) na taksówkę będzie dłuższy niż 3

minuty a krótszy niż 6 minut, przyjmując że średni czas oczekiwania wynosi 7 min.

Zadanie 136*

W pewnym kraju przewidywany statystycznie czas g(t) życia kobiet urodzonych w roku t (t =

0 odpowiada 1900 r.) zmienia się zgodnie ze wzorem 9,0)09,11(45218,5)('

ttg

+= . Wiedząc że w

1900 r. oczekiwany czas życia dla kobiety wynosił 50,02 lat, oblicz ile lat (statystycznie

ujmując) będzie żyła kobieta urodzona w tym kraju w roku (a) 1950; (b) 1980; (c) 2010?

Zadanie 137*

Liczba telewidzów nowego programu przygotowanego w 2004 r. dla nastolatków wzrasta w

tempie 3/1)5,02(3)( −+= ttf mln przez rok, 61 ≤≤ t . Wiedząc że w 2004 r. widzów było 3/2)5,2( mln, oblicz ilu telewidzów tego programu TV (a) było w 2007 r.; (b) będzie w 2010

r.?

Zadanie 138*

Pacjent w szpitalu ma wstrzykiwaną dożylnie glukozę w stałym tempie r mg/min. Wiadomo

że w takim przypadku poziom glukozy we krwi A(t) wzrasta w tempie atertA −= )()(' , gdzie

stała a > 0 zależy zarówno od tempa w jakim nadmiar glukozy jest usuwany z krwi oraz od

szybkości metabolizmu pacjenta. Przyjmując że A(0) =0,

oblicz jaki będzie poziom glukozy (a) 1 min; (b) 2 min; (c) 10 min po rozpoczęciu

wstrzykiwania glukozy.

Zadanie 139*

Zgodnie z badaniami US Census Bureau, liczba Amerykanów w wieku 45-54 lat wynosiła w

1990 r. dokładnie 25 mln i wzrasta corocznie w tempie

3467,110833,0019,000933,0)( 23 +−+= ttttR mln. Ilu Amerykanów w tej kategorii

wiekowej przybędzie w USA (a) pomiędzy rokiem 1990 a 2000? (b) pomiędzy rokiem 2000 a

2010?



ROZDZIAŁ 5: CAŁKI



169

Zadanie 140*

Grupa Amerykańskich biologów szacuje że populacja wielorybów N(t) w roku t (rok 2000

odpowiada t =0) wynosi N(t) = 6001023 23 +−+ ttt , 100 ≤≤ t . Oblicz średnią ilość

wielorybów w przeciągu ostatnich 10 lat, tzn. w okresie 2000-2010.

Zadanie 141*

Przypomnijmy iż wzór F = 1,8C+32 pokazuje związek między temperaturą w skali

Fahrenheita a Celsjusza. Butelka białego wina która stała w temperaturze pokojowej 68 stopni

w skali F została umieszczona w lodówce o godz. 16-ej, gdzie zaczęła się ochładzać w tempie

f(t) te 6,0)(18 −= stopni F na godz. Do jakiej temperatury ochłodzi się to białe wino (a) do godz.

19-ej? (b) o ile stopni się ochłodzi do godz. 18-ej?

Zadanie 142*

Nowy właściciel salonu sprzedaży samochodów VW przewiduje że w związku z jego nowa

polityką marketingową sprzedaż samochodów w jego salonie w ciągu najbliższych 5 lat

będzie wzrastać w tempie tetf 3,0)()( = tys. samochodów w skali roku, podczas gdy

dotychczasowe tempo wzrostu sprzedaży samochodów w tym salonie wynosiło 2/35,05)( ttg += tys. samochodów w skali roku. Ile więcej samochodów zostanie sprzedane

w tym salonie w ciągu najbliższych 5 lat jeśli oczekiwania nowego właściciela się spełnią?



ROZDZIAŁ 6: FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH



170

170


Pisząc ),...,,( 21 nxxxfz = mamy na myśli funkcję n zmiennych. Gdy z = produkcja

traktorów, 1x = siła robocza (zatrudnienie) wyrażana w roboczogodzinach, 2x = majątek firmy,

to ),( 21 xxfz = jest przykładem funkcji 2 zmiennych. Gdy cba xxAxz 321= , gdzie z = popyt

na dobro A (szynkę), 1x = cena 1 kg szynki, 2x = cena 1 kg dobra substytucyjnego, 3x = dochód

konsumenta, to mamy przykład funkcji Cobb’a-Douglasa. Np. 32115 xxxz = (A= 15, a

= 21 , b =1, c = ½) lub 3

2218 xxxz = (tym razem A = 8, a = 1, b = 2, c = ½ ).

Niech =),,( 321 xxx koszyk dóbr składający się np. z 1x kg chleba, 2x kg sera, 3x kg warzyw,

zaś ),,( 321 xxxu = 322

1 102 xxx + określa użyteczność koszyka ),,( 321 xxx . Przez użyteczność

krańcową dobra 1 przy poziomie konsumpcji ),,( 321 xxx rozumiemy przyrost użyteczności z

tytułu zwiększenia ilości dobra 1 o jedną sztukę, to jest,

u ),,(1

),,(),,1(),,(),,1( 321

1

321321321321 xxx

xuxxxuxxxuxxxuxxx

∂∂

≈−+

=−+ ,

gdzie

(1) 1

3213211321

1

),,(),,(lim),,(

xxxxuxxxxuxxx

xu

∆−∆+

=∂∂ gdy 01 →∆x

nazywa się pochodną cząstkową funkcji ),,( 321 xxxu względem 1-ej zmiennej. Analogicznie,

użyteczność krańcowa dobra 2( lub 3) jest w przybliżeniu równa pochodnej cząstkowej

użyteczności względem 2-ej (3-ej) zmiennej.

Przykłady obliczania pochodnych cząstkowych: gdy 32 32),( yxyxu −= , to

xxu 4=

∂∂ ; 29y

yu

=∂∂ ; gdy u(x,y,z) = xzyzx 102 32 + , to 34xyz

xu

=∂∂ +10z; 322 zx

yu

=∂∂ ;

xyzxzu 106 22 +=

∂∂ ; gdy u(x,y,z) = 8 2/32 )(zyx -11 4y , to 2/3)(16 zyx

xu

=∂∂ ;

32/32

44)(4 yyzx

yu

−=∂∂ ; yzx

zu 212=

∂∂

Zadanie 1 Oblicz krańcową użyteczność dobra „1” i „2” przy wyborze koszyka (10,4) gdy

u 222

121 102),( xxxxx += .






171

171

Ponieważ w dowolnym punkcie ),( 21 xx mamy 21211

4),( xxxxxu

=∂∂ , zatem

1604104)4,10(1

=××=∂∂xu . Podobnie, krańcowa użyteczność dobra „2”równa jest

102),( 2121

2

+=∂∂ xxxxu , a zatem 21010)10(2)4,10( 2

2

=+×=∂∂xu . •

Twierdzenie 1 Jeśli funkcja wielu zmiennych ),...,,( 21 nxxxfz = osiąga minimum lub

maksimum w punkcie ),...,,( 21 nxxx , to w tym punkcie wszystkie pochodne cząstkowe się

zerują:

(2) 0),...,,x( 211

=∂∂

nxxxf ; 0),...,,x( 21

2

=∂∂

nxxxf ; … 0),...,,x( 21 =

∂∂

nn

xxxf .

Niech y = f ),( 21 xx jest funkcją produkcji zależną od czynników produkcji „1” i „2” jakimi są

miesięczna ilość roboczogodzin oraz wartość majątku trwałego przypadająca na jednego

zatrudnionego. Aktualnie produkcja odbywa się przy nakładach ( 1x , )2x . Załóżmy iż nakłady

roboczogodzin zwiększymy o 1x∆ godzin w ciągu miesiąca, zaś majątek trwały pozostanie

ten sam co był. Krańcową produkcyjność czynnika produkcji „1” (roboczogodzin) przy

nakładach ( 1x , )2x określa się jako

),( 211

xxxf

∂∂ = ),(

),(),(limlim 211

1

21211

1

xxKPx

xxfxxxfxy

=∆

−∆+=

∆∆ gdy 01 →∆x .

gdzie y = f ),( 21 xx jest funkcją produkcji. •

Zadanie 2 Oblicz )2,30(1KP , )2,30(2KP dla funkcji produkcji y = f ),( 21 xx = 2211 402 xxx + .

Rozwiązanie

2

11 )2(402)2,30()2,30( +=

∂∂

=xfKP =162; 48002)30(80)2,30()2,30(

22 ==

∂∂

=xfKP .

Tak więc, zwiększenie nakładów czynnika produkcji „1” z 30 do 31 (np. zwiększenie ilości

pracowników z 30 do 31 osób) zwiększy produkcję o 162 sztuki, itd. •






172

172

Załóżmy iż zmniejszymy nakłady 1x o 1x∆ , zwiększając nakłady 2x o taką wielkość 2x∆

aby produkcja pozostała ta sama, to znaczy, ),(),( 212211 xxfxxxxf =∆+∆− . Wówczas 1

2

xx

∆∆

nazwiemy techniczną stopę substytucji czynnika produkcji „1” przez czynnik produkcji „2”,

czyli TSS określimy jako liczbę

(3) TSS ),( 21 xx = lim),(

),(

),(),(

212

211

212

211

1

2

xxxf

xxxf

xxKPxxKP

xx

∂∂∂∂

−=−

=∆∆ .

Zadanie 3 Dla funkcji produkcji jak w zadaniu 2, oblicz TSS przy nakładach czynników

produkcji (30,2).

Rozwiązanie

Na mocy wzoru (3) oraz obliczeń poczynionych w zadaniu 2 będziemy mieć

TSS = -0.033754800

162=

− ,

co odczytujemy w następujący sposób: jeśli zmniejszymy nakład czynnika produkcji „1” o

1x∆ jednostek, to aby utrzymać produkcję na tym samym poziomie powinniśmy zwiększyć

nakłady czynnika „2” o )( 12 xTSSx ∆=∆ = 0.03375 ( )1x∆ . •

Postawienie problemu

Firma wytwarza produkt A w y egzemplarzach, zużywając 2 (lub więcej) czynników

produkcji w ilościach 1x , 2x (np. 1x roboczogodzin, 2x kg surowców), co prowadzi do

równania ),( 21 xxfy = . Cena sprzedaży finalnego produktu = p zł. Jednostkowe koszty

czynników produkcji wynoszą odp. 1w zł oraz 2w zł. Zatem

zysk firmy = przychody ze sprzedaży – koszty produkcji, czyli

(4) zysk = 22112121 ),(),( xwxwxxpfxxz −−= .

Stosując bezpośrednio twierdzenie 1 dla funkcji zysku ),( 21 xxz otrzymujemy

(2’) 0),(),( 1211

211

=−∂∂

=∂∂ wxx

xfpxx

xz ; 0),(),( 121

121

1

=−∂∂

=∂∂ wxx

xfpxx

xz ;

Twierdzenie 2 Jeśli ( *2

*1 , xx ) są optymalnymi nakładami czynników produkcji (a więc takimi

które prowadzą do maksymalnego zysku), to






173

173

(5) 1*

2*

11 )x,(x wpPK =× ; 2*

2*

12 ),( wpxxPK =× ,

czyli rynkowa wartość krańcowej produkcji i-go (i =1 lub i =2) czynnika produkcji ( pPK i × )

przy optymalnych nakładach ( *2

*1 , xx ) powinna być równa jednostkowemu kosztowi i-go

czynnika ( iw ).

Zadanie 4 Każdego dnia firma zużywa 1x = 500 roboczogodzin oraz 2x = 36 kg surowców.

Produkcja y = f( 1x , 2x ) = 21 xx , cena sprzedaży wyrobu finalnego p = 6zł. Jednostkowe

koszty czynników produkcji wynoszą odp. 281 =w zł/godz , 1702 =w zł /kg. Sprawdź czy

aktualne nakłady czynników produkcji są optymalne. Jeśli nie, wyznacz optymalne nakłady

( *2

*1 , xx ).

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw krańcową produkcyjność roboczogodzin(1-go czynnika produkcji)

6)36,500()36,500()(

)36,500()36,500( 21

21

11 ==

∂∂

=∂∂

= xx

xxxfPK ,

a następnie krańcową produkcyjność surowców (2-go czynnika produkcji)

41.6712500)36,500(

2)36,500(

)()36,500()36,500(

2

1

2

21

22 ===

∂

∂=

∂∂

=x

xx

xxxfPK .

Ponieważ równości (5) nie zachodzą ( 283666)x,(x *2

*11 ≠=×=× pPK oraz

170250667.41),( *2

*12 ≠=×=× pxxPK ), musimy zmienić nakłady tych 2 czynników

produkcji rozwiązując 286)x,(x *2

*11 =×PK ; 1706),( *

2*

12 =×xxPK , czyli 2862 =×x ;

17062 2

1 =×x

x . Otrzymujemy iż 264.441 =x , =2x 21.8. Oznacza to że badana firma

zużywa zbyt dużo surowców(zamiast 36 kg powinno być 22 kg) i roboczogodzin (zamiast

500 roboczogodzin powinno być 265).


Zadanie 143

Oblicz krańcową użyteczność dobra „1” i „2” przy wyborze koszyka (11,5) gdy

u 21222

121 93,2),( xxxxxxx ++= .






174

174

Zadanie 144

Oblicz krańcową produkcyjność )8,10(1KP , )8,10(2KP dla funkcji produkcji y = f ),( 21 xx = 2

211 402 xxx + .

Zadanie 145

Oblicz krańcową użyteczność dobra „1” i „2” przy wyborze koszyka (10,8) gdy

u =),( 21 xx 2211 402 xxx + .

Zadanie 146

Oblicz krańcową produkcyjność )5,11(1KP , )5,11(2KP dla funkcji produkcji y = f ),( 21 xx =

21222

1 93,2 xxxxx ++ .

Przykład 147

Dla funkcji produkcji jak w zadaniu 125, oblicz TSS przy nakładach czynników produkcji

(10,8).

Przykład 148

Dla funkcji produkcji jak w zadaniu 127, oblicz TSS przy nakładach czynników produkcji

(11,5).

Przykład 149

Każdego tygodnia firma zużywa 1x = 1200 roboczogodzin oraz 2x = 100 kg surowców.

Produkcja y = f( 1x , 2x ) = 21 xx , cena sprzedaży wyrobu finalnego p = 6 zł. Jednostkowe



( *2

*1 , xx ).

Przykład 150

Każdego miesiąca firma zużywa 1x = 5000 roboczogodzin oraz 2x = 400 kg surowców.

Produkcja y = f( 1x , 2x ) = 21 xx , cena sprzedaży wyrobu finalnego p = 7 zł. Jednostkowe



( *2

*1 , xx ).

Zadanie 151

Niech z = f(x,y) = βα yx będzie funkcją produkcji Cobba-Douglasa ( )0,0 >> βα gdzie x

reprezentuje wielkość zaangażowanego w firmie kapitału, zaś y wielkość siły roboczej. Pokaż






175

175

że spełnione są następujące zależności, które w przypadku (b) i (c) są równaniami

różniczkowymi cząstkowymi:

(a) f(tx,ty) = βα +t f(x,y); (b) xx

zz

α=

∂∂1 oraz

yyz

zβ

=∂∂1 ; (c) z

yzy

xzx )( βα +=

∂∂

+∂∂ .

Zadanie 152

Dla funkcji produkcji z zadania 150 wypisz równania cząstkowe

xx

zz

α=

∂∂1 ;

yyz

zβ

=∂∂1 ; z

yzy

xzx )( βα +=

∂∂

+∂∂

Zadanie 153

Dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa z = f(x,y) = 5,123xy wypisz równość (a) z zadania 151

oraz pokaż jak wyglądają równania cząstkowe xx

zz

α=

∂∂1 ;

yyz

zβ

=∂∂1 ;

zyzy

xzx )( βα +=

∂∂

+∂∂ , które są spełnione na mocy zadania 151.

Zadanie 154

Dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa z = f(x,y) = βα yx , przez krańcową produkcyjność

kapitału rozumiemy ),( yxxf

∂∂ , zaś przez krańcową produkcyjność siły roboczej rozumiemy

),( yxyf

∂∂ . Gdy f(x,y) = 3/22/160 yx , znajdź takie pary (x,y) dla których krańcowa

produkcyjność kapitału równa jest krańcowej produkcyjności siły roboczej.

Zadanie 155*

Agencja turystyczna Odyseja Travel Agency ma miesięczny budżet na promowanie się w

wysokości 20 tys $. Specjaliści od marketingu z POU ustalili że jeśli Odyseja wyda x $ na

promowanie się w prasie, zaś y $ na promowanie się w TV, to jej miesięczne przychody ze

sprzedaży biletów wyniosą 4/34/130),( yxyxf = $. Jakie będą miesięczne przychody jeśli

Odyseja wyda (a) 5000 $ na promowanie się w prasie oraz 15000 $ na promowanie się w TV?

(b) 4000 $ na promowanie się w prasie oraz 16000 $ na promowanie się w TV?

Zadanie 156*

Firma Country Desks produkuje biurka z obracającym się blatem w wersji wykończonej i

częściowo wykończonej. Tygodniowy popyt na x biurek w wersji wykończonej oraz na y

biurek w wersji niewykończonej w zależności od ich cen sprzedaży p i q spełnia równania






176

176

yxp 1,02,0200 −−= ; yxq 25,01,0160 −−= . (a) Oblicz jaki jest tygodniowy przychód ze

sprzedaży obu wersji biurek R(x,y); (b) Oblicz R(100,60) oraz R(60,100).

Zadanie 157*

Amerykańskie banki obliczyły że jeśli klient wziął pożyczkę hipoteczną x dolarów na y lat ze

stałym oprocentowaniem r w skali roku, to jego miesięczna rata płatności powinna wynieść

])12/1(1[12),,( 12 yr

xrryxf−+−

= dolarów. (a) Oblicz miesięczną płatność z tytułu zakupu

domu za 100 tys $ przez okres spłaty 30 lat z oprocentowaniem 8% (10%); (b) To samo

pytanie gdy okres spłaty pożyczki trwa tylko 20(15) lat.

Zadanie 158

Wykorzystując wiedzę z rozdziału 2, udowodnij że amerykańskie banki poprawnie obliczyły

miesięczna ratę płatności z tytułu kredytu hipotecznego.

Zadanie 159

Powiemy że para funkcji u(x,y) oraz v(x,y) spełnia równania Cauchy-Riemanna jeśli:

yx vu = oraz xy vu −= , czyli ),(),( yxyvyx

xu

∂∂

=∂∂ oraz ),(),( yx

xvyx

yu

∂∂

−=∂∂ .

Pokaż że poniższe pary funkcji spełniają równania Cauchy-Riemanna:

(a) 22 yxu −= , xyv 2= ; (b) )cos(yeu x= , )sin( yev x= ;

Zadanie 159

Powiemy że funkcja z = z(x,y) spełnia równanie Laplace’a jeśli 02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yz

xz . Pokaż że

funkcje z = 4224 6 yyxx +− oraz z = ln( )22 yx + spełniają równanie Laplace’a.

Zadanie 160

Pokaż na przykładzie że jeśli funkcje u(x,y) i v(x,y) spełniają równania Cauchy-Riemanna, to

u(x,y) i v(x,y) spełniają też równanie Laplace’a.

Zadanie 161

Udowodnij że jeśli funkcje u(x,y) i v(x,y) spełniają równania Cauchy-Riemanna, to u(x,y) i

v(x,y) spełniają też równanie Laplace’a.

Zadanie 162






177

177

Produktywność jednego z krajów leżących w Ameryce Południowej wynosi

)20),( 4/14/3 yxyxf = , gdzie dysponuje x jednostkami roboczogodzin oraz y jednostkami

kapitału.

(a) Oblicz krańcową produktywność roboczogodzin oraz krańcową produktywność kapitału

gdy x =256, y =16;

(b) Czy rząd tego kraju powinien zachęcić zagraniczny kapitał do kolejnych inwestycji, czy

zwiększyć zatrudnienie?

Zastosowanie matematyki i ekonometrii w zarządzaniu Spis treści



178

178

SPIS TREŚCI WSTĘP .............................................................................................................................................. 3 Rozdział I: PRELIMINARIA .............................................................................................................. 4 Rozdział II: UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH ................................................................................. 8 Rozdział III: MACIERZE ................................................................................................................. 17 Rozdział IV: PROGRAMOWANIE LINIOWE .................................................................................. 25 Rozdział V: FUNKCJE ..................................................................................................................... 39

5.1. PRZYKŁADY FUNKCJI..................................................................................................................... 43 5.2. GRANICA FUNKCJI .......................................................................................................................... 49 5.3. POCHODNA FUNKCJI....................................................................................................................... 53 5.4. ROZWIĄZANIE PROBLEMU 1. ........................................................................................................ 61 5.5. PRZYKŁADY ..................................................................................................................................... 65 5.6. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW.................................................................................. 71

Rozdział VI: ELEMENTY RACHUNKU CAŁKOWEGO................................................................... 77 6.1. CAŁKA OZNACZONA....................................................................................................................... 77 6.2. CAŁKA NIEOZNACZONA ................................................................................................................ 82 6.3. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE .......................................................................................................... 85 6.4. RÓWNANIA RÓŻNICOWE ............................................................................................................... 89

Rozdział VII: FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH ............................................................................... 95 LITERATURA ............................................................................................................................... 108 ZBIÓR ZADAŃ.............................................................................................................................. 109

WSTĘP .................................................................................................................................................... 112 Rozdział 1: Algebra Liniowa..................................................................................................................... 113 Rozdział 2. Wartość pieniądza w czasie, równania rekurencyjne................................................................ 129 Rozdział 3: Funkcje jednej zmiennej ......................................................................................................... 140 Rozdział 4: Pochodne ............................................................................................................................... 147 Rozdział 5: Całki ...................................................................................................................................... 161 Rozdział 6: Funkcje wielu zmiennych ....................................................................................................... 170

ZASTOSOWANIE MATEMATYKI I EKONOMETRII W ZARZĄDZANIU

Documents

Transcript of ZASTOSOWANIE MATEMATYKI I EKONOMETRII W ZARZĄDZANIU