UJM 1 (1) (2012)UNNES Journal of Mathematicshttp://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm

© 2012 Universitas Negeri SemarangISSN 2252-6943

Info Artikel Abstrak

Abstract

APLIKASI FUZZY LINEAR PROGRAMMING DALAM OPTIMALISASIPRODUKSIAgus Wayan Yulianto , Hardi Suyitno, dan MashuriJurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Semarang, IndonesiaGedung D7 lantai 1 Kampus Sekaran, Gunungpati, Semarang, 50229

Sejarah Artikel:Diterima Januari 2012Disetujui Februari 2012Dipublikasikan Mei 2012

PT Nyonya Meneer merupakan suatu badan usaha yang bergerak dalam bidangproduksi yang memproduksi berbagai macam jenis jamu. Permasalahan dalamartikel ini adalah bagaimana aplikasi fuzzy linear programming dalammengoptimalkan produksi jamu dan menentukan biaya optimum pada PTNyonya Meneer Semarang. Berdasarkan hasil penelitian disimpulkan bahwapermasalahan pada PT Nyonya Meneer dapat dimodelkan dengan fuzzy linearprogramming. Banyak jamu yang harus diproduksi PT Nyonya Meneer denganmodel fuzzy linear programming adalah jamu galian singset sebanyak 597,929 kg,jamu singkir angin sebanyak 745,63 kg, jamu ngeres linu sebanyak 3974,41 kg,dan jamu awet ayu sebanyak 1864,1 kg dengan total produksi sebanyak 7182,069kg dengan nilai keanggotaan ( ) = 0,50933. Biaya hasil perhitungan denganmodel fuzzy linear programming sebesar Rp 221.543.733,45, model upper sebesarRp 222.666.495,22, dan realisasi pada PT Nyonya Meneer sebesarRp222.666.751,30. Berdasarkan ketiga hasil perhitungan biaya tersebut dapatdisimpulkan bahwa biaya produksi model fuzzy linear programming kurang daribiaya produksi model upper dan realisasi biaya produksi PT Nyonya MeneerSemarang.

Alamat korespondensi:E-mail: math_agus@yahoo.co.id

Kata Kunci :Fuzzy linear programmingproduksi jamuoptimalisasi

PT Nyonya Meneer is an enterprise which is engaged in the production of whichproduces different types of herbs. Problems in this thesis is how the application offuzzy linear programming in optimizing the production of herbal medicine anddetermine the optimum cost in the PT Nyonya Meneer Semarang. Based on theresults of the study concluded that the PT Nyonya Meneer problems can bemodeled by fuzzy linear programming. Many herbs are to be produced by PTNyonya Meneer fuzzy linear programming models are for jamu galian singset597.929 kg, jamu singkir angin 745.63 kg, jamu ngeres linu 3974,41 kg, and jamuawet ayu 1864,1 with total production 7182.069 kg with a membership value( ) = 0.50933. The cost of the calculation results with the fuzzy linearprogramming models of Rp 221,543,733.45, upper models of Rp 222,666,495.22,and the realization of the PT Nyonya Meneer Rp222.666.751, 30. The third isbased on cost calculations can be concluded that the cost of production of fuzzylinear programming models is less than the cost of production and realization ofthe upper model of the production cost of PT Nyonya Meneer Semarang.

9

AW Yulianto dkk. / UNNES Journal of Mathematics 1 (1) (2012)I. Pendahuluan

Saat ini setiap perusahaan dituntutuntuk dapat bergerak dengan cepat, efektif, danefisien. Penilaian keberhasilan suatu perusahaandapat dilihat dari kualitas dan kuantitas produkyang dihasilkan oleh perusahaan tersebut. Olehkarena itu setiap perusahaan selalu memerlukansuatu pengoptimalan dalam menghasilkanproduk yang baik untuk dapat dipasarkan, dimana dalam hal produksi tersebut harusmemperhatikan sumber daya yang tersediaseperti ketersediaan bahan baku, kapasitasmesin dan waktu.

Fuzzy logic merupakan cabang ilmumatematika yang baru ditemukan beberapatahun yang lalu dan memiliki konsep yangsederhana. Berbagai masalah dalam kehidupansehari-hari khususnya dalam produksi erathubungannya dengan ketidakpastian. Atas dasarinilah Zadeh (1965) berusaha memodifikasiteori himpunan, di mana setiap anggotanyamemiliki derajat keanggotaan yang bernilaikontinu antara 0 sampai 1. Himpunan inilahyang disebut sebagai himpunan fuzzy (fuzzy set)yang hubungannya dengan fuzzy logic telahdigunakan pada lingkup domain permasalahanyang kompleks. Fuzzy Linear programming adalahprogram linear yang dinyatakan dengan fungsiobjektif dan fungsi kendala yang memilikiparameter fuzzy dan ketidaksamaan fuzzy.Tujuan dari Fuzzy Linear programming adalahmencari solusi yang dapat diterima berdasarkankriteria yang dinyatakan dalam fungsi objektifdan kendala. Menurut Bector & Chandra(1997:60), fuzzy linear programmingdiklasifikasikan menjadi empat, yaitu:

(1) masalah program linear denganpertidaksamaan fuzzy dan fungsi objektif tegas;(2) masalah program linear denganpertidaksamaan tegas dan fungsi objektif fuzzy;(3) masalah program linear denganpertidaksamaan fuzzy dan fungsi objektif fuzzy;(4) masalah program linear dengan sumber dayafuzzy dan koefisien fuzzy, juga yang dimasukkansebagai masalah program linear denganparameter fuzzy, yaitu unsur-unsur c, b, dan Aadalah bilangan fuzzy.

PT. Nyonya Meneer adalah perusahaanyang memproduksi jamu tradisional jawa.Produk PT. Nyonya Meneer sebagian besarmerupakan produk untuk kepentingan wanita(70%). Terdapat 254 merek meliputi bermacam-macam produk berbentuk pil, kapsul, serbuk,

dan cairan yang terbagi dalam tiga jenis, yaituuntuk perawatan tubuh, kecantikan, danpenyembuhan. Produk ini meliputi minumankesehatan temulawak, awet ayu, jamu habisbersalin, buste cream, amurat, dan rheumener.

II. MetodePengumpulan data pada skripsi ini

diperoleh dengan melakukan penelitian padaPT. Nyonya Meneer Semarang yang beralamatdi jalan Raya Kaligawe Km. 4 Semarang. Datayang diambil antara lain data biaya produksi,komposisi jamu, persediaan bahan baku,pesanan, dan kapasitas produksi bulan Agustus2011. Data yang sudah dikumpulkanselanjutnya dianalisis berdasarkan teori yangada dan khususnya yang berkaitan dengan fuzzylinear programming. Langkah-langkah yangditempuh adalah sebagai berikut.(1) Pemodelan matematika

Langkah-langkah dalam pemodelanmatematika adalah sebagai berikut.

(a) menyusun tabel; (b) menentukanvariabel keputusan; (c) menentukan fungsikendala; dan (d) menentukan fungsi tujuan.(2) Menentukan Solusi Model

Model yang fuzzy linear programmingdiselesaikan dengan menggunakan PendekatanWerner. Langkah-langkah dalam penyelesaianini adalah sebagai berikut.

(a) Menentukan variabel-variabelsebagaimana yang telah dimodelkan; (b) Datayang telah dimasukkan kemudian diprosesfuzzyfikasi dan perhitungannya menggunakanprogram Lindo; (c) Diperoleh hasil akhir,berupa data fuzzy; (d) Dilakukan prosesdefuzzyfikasi dan perhitungannya menggunakanprogram Lindo; (e) Menginterpretasi hasil akhiryang diperoleh.(3)Program Lindo

Langkah-langkah dalam menentukanpenyelesaian program linear denganmenggunakan program Lindo adalah sebagaiberikut.

(a) Membuka program Lindo; (b)Memasukkan data ke dalam lembar kerja Lindoyang bersesuaian dengan fungsi tujuan danfungsi kendala; (c)Mencari penyelesaian daripersamaan yang telah dimasukkan; (d)Membaca terjemahan hasil solusi yangdiperoleh dari output Lindo untuk menjawab

AW Yulianto dkk. / UNNES Journal of Mathematics 1 (1) (2012)

10

permasalahan yang ada.

III. Hasil Dan Pembahasan

4.1. Fuzzy LogicBerbagai masalah dalam kehidupan

sehari-hari khususnya dalam produksi erathubungannya dengan ketidakpastian. Gunamenggambarkan keadaan kehidupan sehari-hariyang tidak pasti maka muncul istilah fuzzy, yangpertama kali dikemukakan oleh Zadeh (1962).Atas dasar inilah Zadeh (1965) berusahamemodifikasi teori himpunan, di mana setiapanggotanya memiliki derajat keanggotaan yangbernilai kontinu antara 0 sampai 1. Himpunaninilah yang disebut sebagai himpunan fuzzy(fuzzy sets).

Fuzzy sets adalah sebuah himpunan yangdi dalamnya terdapat elemen yang mempunyaiderajat keanggotaan yang berbeda-beda. Ide inibertolak belakang dengan himpunan, karenakeanggotaan dari himpunan tidak akan menjadianggota kecuali jika keanggotaannya penuhpada himpunan ini. Menurut Kusumadewi danPurnomo (2010:3), pada himpunan tegas (crisp),nilai keanggotaan suatu item x dalam himpunanA, yang ditulis dengan , memiliki duakemungkinan sebagai berikut.

(1) Satu (1), yang berarti bahwa suatuitem menjadi anggota dalam suatu himpunan;atau

(2) Nol (0), yang berarti bahwa suatuitem tidak menjadi anggota dalam suatuhimpunan.

Pada himpunan fuzzy nilai keanggotaanterletak pada interval 0 sampai 1. Apabila xmemiliki nilai keanggotaan fuzzy , berarti xtidak menjadi anggota himpunan A, demikianpula apabila x memiliki nilai keanggotaan fuzzyberarti x menjadi anggota penuh padahimpunan A. Keanggotaan fuzzy denganprobabilitasmemiliki kemiripan. Kemiripantersebut menimbulkan kerancuan. Keduanyamemiliki nilai pada interval [0,1], namuninterpretasi nilainya sangat berbeda antarakedua kasus tersebut. Keanggotaan fuzzymemberikan suatu ukuran terhadap pendapatatau keputusan, sedangkan probabilitasmengindikasikan proporsi terhadap keseringansuatu hasil bernilai benar dalam jangka panjang.

Fungsi keanggotaan (membershipfunction) adalah suatu kurva yang menunjukkanpemetaan titik-titik input data ke dalam nilai

keanggotaannya (sering juga disebut denganderajat keanggotaan) yang memiliki intervalantara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapatdigunakan untuk mendapatkan nilaikeanggotaan adalah melalui pendekatan fungsi.Menurut Kusumadewi dan Purnomo (2010:8),ada beberapa fungsi yang dapat digunakanuntuk memperoleh nilai keanggotaan, yaitu:(1) Representasi Linear

Kenaikan himpunan dimulai pada nilaidomain yang memiliki derajat keanggotaan nol(0) bergerak ke kanan menuju ke nilai domainyang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi.

Fungsi Keanggotaan:

(2) Representasi Kurva SegitigaKurva Segitiga ditandai oleh adanya

tiga parameter (a, b, c) yang akan menentukankoordinat x dari tiga sudut.

Fungsi Keanggotaan:

(3) Representasi Kurva TrapesiumKurva Trapesiumpada dasarnya seperti

11

AW Yulianto dkk. / UNNES Journal of Mathematics 1 (1) (2012)bentuk segitiga, tetapi ada beberapa titik yangmemiliki nilai keanggotaan 1.

Fungsi keanggotaan:

4.2. Fuzzy Linear programmingFuzzy linear programming merupakan

salah satu aplikasi dari fuzzy sets theory dalampembuat keputusan yang pertama kalidikenalkan oleh Zimmermann (1978).

DefinisiBentuk fuzzy linear programming secara

umum didefinisikanMax

dengan fungsi kendala

(1)dengan

dan adalah suatu derajat fungsilinear.Pendekatan Werner

Model umum dari a linear programmingwith fuzzy inequalities and crisp objective functionadalah (Bector & Chandra. 2005:62):

Max cxh.m

(2)dengan merupakan bentuk fuzzy

dari “≤” yang menginterpretasikan “kurang dariatau sama dengan”.

Persamaan (2) adalah bentuk umumdari fuzzy linear programming dengan sumber

(nilai ruas kanan) yang bernilai fuzzy. Diberikansuatu toleransi yang diperbolehkan

untuk ditambahkan pada persamaan ke idengan sumber bi, kemudian fuzzy inequality

ditetapkan sebagai ,dimana. Dengan kata lain, fuzzy constraint

didefinisikan sebagai suatu fuzzy setsdengan fungsi keanggotaan sebagai berikut.

Dengan i = 1, 2, ..., m.Untuk dimisalkan ,kemudian masalah (2) setara denganMax cxh.m (4)substitusikan fungsi keanggotaandengan masalah (4), diperoleh (Bectordan Chandra, 2005:62):Max cxh.m

yang mana setara dengan masalahprogram linear yang standar dengan .

Oleh sebeb itu, masalah fuzzy linearprogramming bisa diselesaikan dengan cara yangdigunakan dalam masalah pada crisp linearprogramming. Disini, mungkin perlu dicatatbahwa hasil yang diperoleh memiliki solusioptimal untuk setiap .4.3. Fuzzyfikasi

Proses fuzzyfikasi merupakan prosesuntuk mengubah variabel non fuzzy (variabelnumerik) menjadi variabel fuzzy (variabellinguistik).

Werner (1987) mengusulkan metodeberikut untuk menyelesaikan masalah ini,fungsi tujuan harus berbentuk bilangan fuzzykarena pertidaksaman kendala bernilai fuzzy.Lebih lanjut, untuk membangun fungsikeanggotaan untuk fungsi tujuan, Werner(1987) menyarankan untuk memecahkan duamasalah program linear yaitu menghitung nilailower bound (batas bawah) dan upper bound (batasatas) dari inisialisasi awal variabel keputusandan batasan. Untuk menghitung nilai lowerbound dan upper bound ini dapat diselesaikandengan menggunakan metode simpleks.

12

AW Yulianto dkk. / UNNES Journal of Mathematics 1 (1) (2012)Batas bawah dari nilai optimal

dinotasikan dengan ZL, didapat dari pemecahanprogram linear berikut.

Batas atas dari nilai optimal dinotasikandengan ZIJ, didapat dari pemecahan programlinearberikut(Sutapa,2000:30-31).

dengan pi adalah toleransi yangdiberikan pada kendala ke­i (i=1, 2, ...m).4.4. Defuzzyfikasi

Keputusan yang dihasilkan dari prosespenalaran masih dalam bentuk fuzzy, yaituberupa derajat keanggotaan keluaran. Hasil iniharus diubah kembali menjadi varibel numeriknon fuzzy melalui proses defuzzyfikasi.

Setelah diperoleh nilai ZL dan ZIJ dapatdibuat fungsi keanggotaan untuk fungsiobyektif.

Fungsi kendala dan fungsi objektif yangdiwakili oleh fungsi keanggotaan pada (3) dan(5), maka dalam menyelesaikan masalah tujuanganda dapat menggunakan metode min maks.

Substitusikan persamaan (3) dan (5) kepersamaan (6). Dan dapat disimpulkan bahwamasalah fuzzy linear programming padapersamaan (2) dapat diselesaikan denganmenyelesaikan masalah program linear standarberikut (Wang, 1997:385).

4.5. PembahasanData yang digunakan dalam penelitian

ini diperoleh dari PT Nyonya Meneer Semarangyang merupakamn data pada bulan Agustus2011 yang meliputi data biaya produksi,komposisi jamu, persediaan bahan baku,pesanan, dan kapasitas produksi. Datapersediaan bahan baku dinyatakan dalamsatuan kilogram. PT Nyonya Meneer masihbisa memungkinkan melakukan penambahanpada persediaan bahan baku. Hal tersebutterjadi karena melihat produksi periode-periodesebelumnya terjadi kerusakan packing jadiperusahaan memungkinkan penambahan bahanbaku dan produksi guna memenuhi pesananyang ada. Penambahan bahan baku tidakmelebihi 1% dari data yang ada. Data pesananjenis jamu dinyatakan dalam satuan kilogram.Produksi jamu pada PT Nyonya MeneerSemarang disesuaikan pada data pesanan yangada. Tetapi dalam kenyataannya perusahaanselalu melakukan penambahan produksi sebesar5% dari data pesanan untuk mengantisipasikerusakan packing4.5.1. Fuzzyfikasi

Proses fuzzyfikasi ini dilakukan untukmendapatkan nilai dari model lower dan modelupper yang dibentuk. Model-model matematikatersebut diselesaikan dengan bantuan programLindo.a. Model lower

Model lower dari masalah tersebutadalah sebagai berikut:

Fungsi tujuanMaxKendala Persediaan bahan baku

Kendala Pesanan Jamu

13

AW Yulianto dkk. / UNNES Journal of Mathematics 1 (1) (2012)

Kendala kapasitas produksi

Kendala non-negatif.

b. Model upperModel upper dari masalah tersebut

adalah sebagai berikut.Fungsi TujuanMaxKendala Persediaan bahan baku

Kendala Pesanan Jamu

Kendala kapasitas produksi

Kendala non-negatif.

4.5.2. DefuzzyfikasiSetelah diperoleh nilai fuzzy dari fungsi

tujuan, selanjutnya dibentuk model fuzzy linearprogramming sebagai berikut.

Maksimumkan :h.m.

IV.SimpulanBerdasarkan perhitungan model fuzzy

linear programming dengan menggunakanprogram Lindo diperoleh hasil sebagai berikut.

a. Banyaknya produksi jamu galiansingset adalah 597,929 kg; b. Banyaknyaproduksi jamu singkir angin adalah 745,63 kg;c. Banyaknya produksi jamu ngeres linu adalah3974,41 kg; d. Banyaknya produksi jamu awetayu adalah 1864,1 kg.

Berdasarkan perhitungan diperoleh nilai= 0,5093 yaitu derajat keanggotaan dari fungsi

tujuan yang mengandung arti penambahanproduksi cukup dilakukan sebanyak

=37,789 kg.Biaya hasil perhitungan dengan model

fuzzy linear programming adalah sebesar Rp221.543.733,45, model upper sebesar Rp222.666.495,22, dan realisasi biaya produksipada PT Nyonya Meneer sebesar Rp222.666.751,30. Berdasarkan ketiga hasilperhitungan biaya tersebut dapat disimpulkanbahwa biaya produksi model fuzzy linearprogramming kurang dari biaya produksi modelupper kurang dari realisasi biaya produksi PTNyonya Meneer Semarang.

Penambahan bahan baku yangsebaiknya dilakukan maksimal hanya 0,5% daribahan baku yang tersedia karena dengan

14

AW Yulianto dkk. / UNNES Journal of Mathematics 1 (1) (2012)penambahan bahan sebanyak itu sudah dapatmemenuhi pesanan. Adapun rinciannya sebagaiberikut.

• Penambahan bahan baku jahesebanyak 5,76 kg.

• Penambahan bahan baku temulawaksebanyak 10,64 kg.

• Penambahan bahan baku lengkuassebanyak 2,12 kg.

• Penambahan bahan baku kunirsebanyak 2,86 kg.

• Penambahan bahan baku kencursebanyak 2 kg.

• Penambahan bahan baku temu hitamsebanyak 2,53 kg.

• Penambahan bahan baku pulosarisebanyak 1,35 kg.Daftar PustakaBector, R.C. & Chandra S. 2005. Fuzzy MathematicalProgramming and Funzzy MatrixGames.Germany: Springer-Verlag BerlinHeidelberg.Kusumadewi, S. & Hari P. 2010. Aplikasi Logika Fuzzyuntuk Pendukung Keputusan. Yogyakarta:Graha Ilmu.Sutapa, Nyoman. 2000. Jurnal TeknikIndustri.Masalah Program Linear FuzzyDengan Fungsi Keanggotaan Linear.UniversitasKristen Petra.Vol. 2, NO. 1. Halaman 28-33.Wang, L. X. 1997.A Course in Fuzzy Systems andControl.United State: Prrentice-Hall, Inc.Werner, B. 1987.Fuzzy Sets and Systems.AnInteractive Fuzzy Programming System.Vol. 23.Page: 131-147.Zadeh, L. A. 1965. Information and Control.FuzzySets.Vol. 8. Page: 338-353.Zadeh, L. A. 1962. Proceedings of the IRE.FromCircuit Theory to System Theory.Vol. 8. No.5Page: 856-865.Zimmermann, H. J. 1978. Fuzzy Sets andSystems.Fuzzy Programming and LinearProgramming with Several Objective Function.Vol. 1. Page: 45-55