UNIVERSITATEA DIN PITESTI

SCOALA DOCTORAL¼A DE MATEMATIC¼A

SISTEME ITERATIVE DE FUNCTII, GENERALIZATE SIPOSIBIL INFINITE

TEZ¼A DE DOCTORAT

REZUMAT

Conduc¼ator stiinti�cLector. univ. dr. habil. Alexandru MIHAIL

DoctorandSilviu-Aurelian URZICEANU

2019

1

CUPRINS

INTRODUCERE.....................................................................................4

CAPITOLUL I........................................................................................9

PRELIMINARII

Spatiul codurilor generalizat....................................................................9Compunerea generalizat¼a a functiilor.....................................................10Spatiul metric (Xm; dmax)......................................................................10Puncte �xe pentru functii f : Xm ! X..................................................11Pseudo-metrica Hausdor¤-Pompeiu.......................................................12Sisteme iterative de functii, generalizate si posibil in�nite....................12

CAPITOLUL II.....................................................................................14

SISTEME ITERATIVE DE FUNCTII, GENERALIZATE SI POSIBILINFINITE, CONSTITUITEDINGENERALIZ¼ARI ALE '-CONTRACTIILOR

Puncte �xe pentru unele clase de functii f : Xm ! X...........................15Clase speciale de sisteme iterative de functii, generalizate si posibil in�-

nite..............................................................................................................17Operatorul HS asociat sistemului iterativ de functii, generalizat si posibil

in�nit S.......................................................................................................18Propriet¼atile operatorului HS ................................................................18Proiectia canonic¼a asociat¼a unor sisteme iterative de functii, generalizate

si posibil in�nite, se poate prezenta ca un punct �x...................................19Exemple.................................................................................................20

CAPITOLUL III....................................................................................22

SISTEME ITERATIVE DE FUNCTII GENERALIZATE, POSIBILINFINITE, CONSTITUITE DIN FUNCTII AFINE

Sisteme iterative de functii, generalizate, posibil in�nite, constituite dinfunctii a�ne.................................................................................................23Rezultatele principale............................................................................25Exemple.................................................................................................27

CAPITOLUL IV....................................................................................28

2

GIIFS-uri CONSTITUITEDINTR-OMULTIME FINIT¼ADEELEMENTE

Sisteme iterative de functii, generalizate si posibil in�nite, constituitedintr-un num¼ar �nit de functii a�ne de�nite pe spatii normate �nit dimen-sionale.........................................................................................................28Un nou algoritm pentru generarea imaginii atractorului unui sistem it-

erativ de functii, generalizat si posibil in�nit, care este constituit dintr-unnum¼ar �nit de functii..................................................................................30Exemplu.................................................................................................33

BIBLIOGRAFIE....................................................................................35

3

INTRODUCERETeoria multimilor fractale reprezint¼a o ramur¼a modern¼a a analizei mate-

matice care se a�¼a în plin¼a dezvoltare si care are puternice leg¼aturi cu multealte domenii ale matematicii, precum topologia (vezi [12]), teoria m¼asurii(vezi [14]) si analiza real¼a. Conceptul de multime fractal¼a, introdus de B.Mandelbrot (vezi [30] si [31]), descrie o multime cu dimensiunea Hausdor¤neîntreag¼a. Astfel de multimi au un aspect gra�c frânt, cu variatii bruste,care le si d¼a numele si care le diferentiaz¼a net de curbele si suprafetele declas¼a C1. Pe de o parte, printre exemplele clasice de multimi fractale putemaminti multimea triadic¼a a lui Cantor si curba lui Koch, pe de alt¼a parte,exist¼a anumite functii ale c¼aror gra�ce reprezint¼a multimi fractale dintre careamintim functia lui Weierstrass si pe cea a lui Lebesgue.

Un pas important în dezvoltarea teoriei multimilor fractale l-a constituitarticolul [20] avându-l drept autor pe John E. Hutchinson, care a introdusconceptul de atractor al unui sistem iterativ de functii (pe scurt IFS). În plus,un astfel de atractor (numit si fractal Hutchinson-Barnsley) este autosimilar,adic¼a p¼arti ale multimii sunt asemenea cu întreaga multime. Cel care acontribuit din plin la popularizarea acestei teorii (prin ra�narea studiilor luiP. Moran -vezi [55]-) este M. Barnsley (vezi [2] si [3]).

Exist¼a mai multe directii de generalizare ale notiunii de IFS. Un rolaparte, din punctul de vedere al prezentei lucr¼ari îl joac¼a conceptul (intro-dus de R. Miculescu si A. Mihail - [51] si [54]) de sistem iterativ de functiigeneralizat (pe scurt GIFS). Dac¼a în cazul teoriei lui Hutchinson se consid-er¼a contractii din spatiul metric complet X în el însusi, în cazul sistemeloriterative de functii generalizate se au în vedere contractii de�nite pe Xm cuvalori în X, unde m 2 N� poart¼a numele de ordinul sistemului. F. Strobin(vezi [72]) a demonstrat c¼a pentru orice m 2 N�, m � 2, exist¼a o submultimea planului care este atractorul unui GIFS de ordin m, dar pentru care nu ex-ist¼a nici un GIFS de ordin m� 1 al c¼arui atractor s¼a �e aceast¼a submultime.Acest lucru dovedeste c¼a puterea de descriere a multimilor fractale de tipHutchinson-Barsley sporeste prin utilizarea GIFS-urilor. De asemenea rezul-tatele [32] si [55] marcheaz¼a o alt¼a diferent¼a calitativ¼a între cele dou¼a notiuni.Diferitele generaliz¼ari ale notiunii de GIFS se pot g¼asi în [6], [7], [58], [71] si[73]. Mai mult, m¼asura Hutchinson asociat¼a unui sistem iterativ de functii ge-neralizat a fost studiat¼a în [36], [37], [52], [57] si [70].

4

Motivatia alegerii temei prezentei teze este dat¼a de faptul c¼a studiul sis-temelor iterative de functii, generalizate si posibil in�nite, se înscrie în efor-tul actual de generalizare a teoriei multimilor fractale de tip Hutchinson-Barnsley.

Lucrarea este structurat¼a în patru capitole. Primul capitol contine otrecere în revist¼a a principalelor elemente folosite în lucrare. Mai precis, seprezint¼a spatiul codurilor generalizat, compunerea generalizat¼a a functiilor,spatiul metric (Xm; dmax), consideratii privind punctele �xe ale functiilor f :Xm ! X, pseudo-metrica Hausdor¤-Pompeiu, precum si conceptul de sistemiterativ de functii, generalizat si posibil in�nit (notat, pe scurt, GIIFS).Pe de o parte, reamintim c¼a o directie de extindere a teoriei clasice a

lui Hutchinson privind sistemele iterative de functii a fost dezvoltat¼a de R.Miculescu si A. Mihail prin introducerea si studierea sistemelor iterative defunctii generalizate - pe scurt GIFS-uri- (vezi [51] si [54]). Pe de alt¼a parte,reamintim c¼a în lucrarea [50] proiectia canonic¼a asociat¼a unui sistem iterativde functii (posibil) in�nit este prezentat¼a ca un punct �x, în dou¼a situatii: a)functiile constitutive ale sistemului sunt uniform Meir-Keeler; b) spatiul met-ric asociat sistemului este compact si sistemul este constituit dintr-o multime�nit¼a de functii. În cel de al doilea capitol (care re�ect¼a continutul arti-colelor [47] si [77]) combin¼am aceste dou¼a directii de cercetare prin studiereasistemelor iterative de functii, generalizate si posibil in�nite, constituite dingeneraliz¼ari ale '-contractiilor. Mai precis, dat un sistem iterativ de functii,generalizat si posibil in�nit S = ((X; d); (fi)i2I), de ordin m, construim unoperator HS : Cm ! C, unde C = ff : ! X j f este continu¼a si m¼arginit¼agcare se înzestreaz¼a cu metrica uniform¼a, iar reprezint¼a spatiul codurilorgeneralizat. În continuare se prezint¼a unele rezultate care furnizeaz¼a conditiisu�ciente (asupra functiilor constitutive ale sistemului) pentru ca operatorulHS s¼a �e continuu, contractie, '-contractie, Meir-Keeler, contractiv sau '-max-contractie generalizat¼a. Finalul capitolului contine rezultate care arat¼ac¼a proiectia canonic¼a asociat¼a unor anumite tipuri de sisteme iterative defunctii, generalizate si posibil in�nite, S se poate prezenta ca un punct �x allui HS , precum si o serie de exemple.

Conceptul de sistem topologic auto-similar a fost introdus de A. Kameyama(vezi [24]) dup¼a cum urmeaz¼a: Un spatiu topological compact Hausdor¤ Kse numeste multime topologic¼a auto-similar¼a dac¼a exist¼a functiile continuef1, f2, ..., fN : K ! K, unde N 2 N, si o surjectie continu¼a � : � ! K

5

astfel încât diagrama�

� i! �� # # �K !

fiK

este comutativ¼a pentru orice i 2 f1; :::; Ng, unde � = f1; :::; NgN� estespatiul codurilor unui IFS format din n functii si � i(!1!2:::!m!m+1:::) =i!1!2:::!m!m+1::: pentru orice !1!2:::!m!m+1::: 2 �. Perechea (K; (fi)i2f1;:::;Ng)se numeste sistem topologic auto-similar. El a ridicat urm¼atoarea întrebare:dat un sistem topologic auto-similar (K; (fi)i2f1;:::;Ng), exist¼a o metric¼a pe Kcompatibil¼a cu topologia de pe K astfel încât toate functiile fi s¼a �e con-tractii în raport cu aceast¼a metric¼a? R¼aspunsul a�rmativ la întrebarea luiKameyama în cazul multimilor auto-similare generate de transform¼ari a�neale lui Rm dat de R. Atkins, M. Barnsley, A. Vince si D. Wilson (vezi [1])a fost extins de R. Miculescu si A. Mihail (vezi [42]) prin înlocuirea lui Rmcu un spatiu Banach arbitrar (X; k:k) si a multimii f1; :::; Ng cu o multimearbitrar¼a I.

În cel de al treilea capitol (care are la baz¼a continutul articolului [76])continuând directia de cercetare prezentat¼a anterior, introducem notiuneade sistem iterativ de functii, generalizat, posibil in�nit, constituit din functiia�ne (pe scurt AGIIFS). Vom îmbun¼at¼ati rezultatele prezentate anterior prinjusti�carea faptului c¼a, pentru un AGIIFS S, urm¼atoarele a�rmatii suntechivalente:a) S este hiperbolic.b) Exist¼a o functie de comparatie ' astfel încât S este '-hiperbolic.c) S are atractor.d) S este strict topologic contractiv.e) S este uniform punctual �brat.f) lim

n!1max�2n

npkA�k < 1.

În �nalul capitolului se prezint¼a o serie de exemple.

Cel de-al patrulea capitol este dedicat cazului în care GIIFS-ul este con-stituit dintr-un num¼ar �nit de elemente. Mai precis, în prima parte a acestuicapitol, ar¼at¼am c¼a, în cazul în care AGIIFS-ul S = ((X; k:k); (fi)i2I) are pro-prietatea c¼a I este �nit¼a si X este �nit dimensional, lista a�rmatiilor echiva-lente din rezultatul anterior poate � l¼argit¼a prin ad¼augarea urm¼atoarelora�rmatii:

6

g) S este topologic contractiv.h) S este Meir-Keeler hiperbolic.i) S este non-antipodal.În a doua parte a capitolului vom prezenta un algoritm (numit algoritmul

cu gril¼a) care permite generarea imaginii atractorului unui GIIFS constituitdintr-un num¼ar �nit de elemente. Se compar¼a acest algoritm cu cel de-terministic care a fost propus de F. Strobin si colaboratorii s¼ai (vezi [23]).Algoritmul deterministic const¼a în alegerea unei multimi �nite de punctec¼areia i se aplic¼a functiile constitutive ale sistemului, obtinându-se astfel onou¼a multime. Fiec¼aruia dintre aceste noi puncte i se aplic¼a din nou functiileconstitutive ale sistemului. Continuând acest procedeu ne vom apropia deatractorul sistemului. Ideea principala a algoritmului cu gril¼a este de a simpli-�ca algoritmul deterministic prin divizarea, la �ecare pas, a spatiului în carelucr¼am, în subspatii mici si de a alege, în �ecare dintre ele, un singur punct.Exemplele furnizate arat¼a c¼a desi algoritmul deterministic genereaz¼a ima-ginea atractorului utilizând un num¼ar mult mai mare de puncte în compara-tie cu algoritmul cu gril¼a, claritatea imaginii celui din urm¼a este superioar¼a.

Lista rezultatelor originale continute în prezenta tez¼a:a) proiectia canonic¼a asociat¼a unor anumite tipuri de sisteme iterative

de functii, generalizate si posibil in�nite, constituite din generaliz¼ari ale '-contractiilor, se poate prezenta ca punct �x al unui operator asociat sis-temului; astfel d¼am un r¼aspuns partial problemei deschise ridicat¼a în ultimulparagraf al lucr¼arii [50];b) stabilirea unor conditii echivalente pentru ca un sistem iterativ de

functii, generalizat, posibil in�nit, constituit din functii a�ne, s¼a posedeatractor; astfel obtinem o generalizare a rezultului din [42] care, la rânduls¼au generalizeaz¼a rezultatul din [1];c) prezentarea unui nou algoritm (numit algoritmul cu gril¼a) care permite

generarea imaginii atractorului unui sistem iterativ de functii, generalizat,constituit dintr-un num¼ar �nit de elemente; acest algoritm se dovedeste a �mai performant decât algoritmul deterministic propus în [23].

Rezultatele originale cuprinse în aceast¼a tez¼a au fost prezentate comu-nit¼atii matematice astfel:Au acceptul de publicare urm¼atoarele articole:- Silviu-Aurelian Urziceanu, Alternative characterizations of AGIFSs hav-

ing attractor, Fixed Point Theory;

7

- Silviu-Aurelian Urziceanu, Possibly in�nite generalized iterated functionsystems comprising '-max contractions, Studia Universitatis Babes-BolyaiMathematica.

Am publicat, în colaborare cu R. Miculescu, articolul The canonical pro-jection associated with certain possibly in�nite generalized iterated functionas a �xed point, J. Fixed Point Theory Appl., (2018) 20:141.Am publicat, în colaborare cu R. Miculescu si A. Mihail, articolul A new

algorithm that generates the image of the attractor of a generalized iteratedfunction system, Numerical Algorithms.

În cadrul conferintei International Conference on Mathematics and Com-puter Science (MACOS 2016), Brasov, Romania, 2nd Edition, vineri 9 sep-tembrie 2016, am sustinut conferinta cu titlul Alternative characterizationsof AGIFSs having attractor.În cadrul conferintei 23 rd International Conference on Di¤erence Equa-

tions and Applications (ICDEA 2017), Timisoara, Romania, joi 27 iulie 2017,am sustinut conferinta cu titlul On AGIIFSs having attractor.În cadrul conferintei 4 th International Conference on Numerical Analysis

and Approximation Theory (NAAT 2018), Cluj-Napoca, Romania, sâmb¼at¼a 8septembrie 2018, am sustinut conferinta cu titlul Possibly in�nite generalizediterated function systems comprising '-max contractions.

Multumesc celor care au f¼acut posibil¼a elaborarea acestei lucr¼ari. Înprimul rând domnului lector univ. dr. habil. Alexandru Mihail, conduc¼a-torul stiinti�c al acestei lucr¼ari pentru ajutorul pe care l-am primit de-alungul perioadei studiilor mele doctorale si nu numai. De asemenea dorescs¼a-i multumesc si domnului profesor univ. dr. habil. Radu Miculescu pen-tru sfaturile si încuraj¼arile primite în perioada elabor¼arii prezentei lucr¼ari.Multumirile mele se îndreapt¼a si c¼atre membrii întregului colectiv al Depar-tamentului de Matematic¼a si Informatic¼a al Universit¼atii din Pitesti pentruatmosfera propice creat¼a si, nu în ultimul rând, c¼atre colegii din Scoala Doc-toral¼a ale c¼aror expuneri mi-au îmbun¼atatit si l¼argit cunostintele.Familia mea a reprezentat un substantial ajutor moral si cadrul f¼ar¼a de

care nimic trainic nu poate lua �int¼a.

8

CAPITOLUL IPRELIMINARIISpatiul codurilor generalizat

Notiunea de spatiu al codurilor generalizat a fost introdus¼a de A. Mihail(vezi [48]). Un concept echivalent, a c¼arui utilizare este mai facil¼a si care estedatorat matematicienilor polonezi F. Strobin si J. Swaczyna (vezi [74]), va �prezentat în cele ce urmeaz¼a.

Fie m 2 N� si I o multime arbitrar¼a. Vom de�ni inductiv multimile 1,2, ..., k, ... astfel 1 = I si

k+1 = k � k � :::� km ori

pentru orice k 2 N�.

Vom considera, de asemenea, urm¼atoarele multimi:

= 1 � 2 � :::� k � :::

si

k = 1 � 2 � :::� k,unde k 2 N�.

Pentru i 2 f1; 2; :::;mg, k 2 N, k � 2 si � = �1�2:::�k 2 k, unde�2 = �21�

22:::�

2m 2 2, ..., �k = �k1�k2:::�km 2 k, vom considera

�(i) = �2i�3i :::�

ki 2 k�1.

Pentru � 2 si i 2 f1; 2; :::;mg, de�nim �(i) 2 în mod similar.

De�nitia 1.1. se numeste spatiul codurilor generalizat.

Remarca 1.1. devine un spatiu metric complet dac¼a este înzestrat cumetrica d descris¼a de

d(�; �) =Xk2N

Ckdk(�k; �k),

9

pentru orice � = �1�2:::�i�i+1:::, � = �1�2:::�i�i+1::: 2 , unde dk(�k; �k) =�1, �k 6= �k0, �k = �k

si C este o constant¼a �xat¼a din (0; 1).

Spatiul metric (Xm; dmax)

Dat un spatiu metric (X; d) si m 2 N�, vom înzestra Xm cu metrica ddmaxde�nit¼a de

ddmax((x1; :::; xm); (y1; :::; ym)) = maxfd(x1; y1); :::; d(xm; ym)g,

pentru orice (x1; :::; xm); (y1; :::; ym) 2 Xm. Dac¼a nu este pericol de confuzie

vom nota ddmax cu dmax.

Dat un spatiu metric (X; d) si m 2 N�, vom de�ni inductiv spatiile X1,X2, ...., Xk, ... în modul urm¼ator:

X1 = X �X � :::�Xm ori

= Xm

si

Xk+1 = Xk �Xk � :::�Xkm ori

pentru orice k 2 N�.

Vom înzestra, utilizând metoda inductiei matematice, Xk cu metrica dkmaxpentru orice k 2 N�, unde dkmax este asociat¼a lui (Xk�1; d

k�1max).

Remarca 1.2. Xk este izometric cu Xmkînzestrat cu metrica dmax

pentru orice k 2 N�. Ca atare, pe viitor, vom identi�ca pe Xk cu Xmk.

Remarca 1.3. În cazul în care X este un spatiu normat înzestrat cunorma k:k, Xm se poate înzestra cu norma k:kmax de�nit¼a de

k(x1; :::; xm)kmax = maxfkx1k ; :::; kxmkg,

pentru orice (x1; :::; xm) 2 Xm.

Compunerea generalizat¼a a functiilor

10

Fie spatiul metric (X; d), m 2 N� si o familie de functii (fi)i2I , undefi : X

m ! X pentru orice i 2 I. Vom de�ni inductiv o familie de functii

ff� : Xk ! X j � 2 kg pentru orice k 2 N�, în modul urm¼ator:i) Pentru k = 1, familia este (fi)i2I .ii) Dac¼a functiile f�, unde � 2 k, au fost de�nite, atunci

f�(x1; x2; :::; xm) = f�1(f�(1)(x1); :::; f�(m)(xm))

pentru orice � = �1�2:::�k�k+1 2 k+1 si orice (x1; x2; :::; xm) 2 Xk+1 =

= Xk �Xk � :::�Xkm ori

.

Remarca 1.4. Familia de functii introdus¼a mai sus constituie o gener-alizare natural¼a a compunerilor de functii.

Puncte �xe pentru functii f : Xm ! X

Fie X o multime nevid¼a, m 2 N� si functia f : Xm ! X. Vom de�niinductiv o familie de functii f [k] : Xmk ! X, k 2 N�, în modul urm¼ator:i) f [1] = f ;ii) presupunând c¼a f [k] a fost de�nit¼a, atunci

f [k+1](x1; :::; xm) = f(f[k](x1); :::; f

[k](xm)),

pentru orice (x1; :::; xm) 2 Xmk � :::�Xmk

m ori= Xmk+1

= Xk+1.

De�nitia 1.2. Fie X o multime nevid¼a, m 2 N� si o functie f : Xm !X. Un element x al lui X se numeste punct �x al functiei f dac¼a f(x; :::; x) =x.

Lema 1.1. În cadrul prezentat anterior, avem:

f [p+q](x1; :::; xmp+q) = f [p](f [q](x1; :::; xmq); :::; f [q](xmp+q�mq+1; :::; xmp+q)) =

= f [q](f [p](x1; :::; xmp); :::; f [p](xmp+q�mp+1; :::; xmp+q)),

pentru orice p; q 2 N�, (x1; :::; xmp), :::, (xmp+q�mp+1; :::; xmp+q) 2 Xmp,

(x1; :::; xmq), :::, (xmp+q�mq+1; :::; xmp+q) 2 Xmq.

11

Propozitia 1.1. În cadrul prezentat anterior, dac¼a f [n] are un unic punct�x, unde n 2 N�, atunci f are un unic punct �x. Mai mult, f [n] si f [k] auacelasi unic punct �x pentru orice k 2 N�.

Pseudo-metrica Hausdor¤-Pompeiu

Dat spatiul metric (X; d), vom considera:

- Pb(X) = fN � X j N este nevid¼a si m¼arginit¼ag- Pcl;b(X) = fN � X j N este nevid¼a,închis¼a si m¼arginit¼ag- Pcp(X) = fN � X j N este nevid¼a si compact¼ag.Pentru x 2 X, " > 0 si A;B 2 Pb(X), vom considera:

- d(x;A)def= inf

a2Ad(x; a)

- B(A; ")def= fx 2 X j d(x;A) < "g = [

a2AB(a; ")

- B[A; "]def= fx 2 X j d(x;A) � "g

- d(A;B)def= sup

x2Ad(x;B):

De�nitia 1.3. Functia h� : Pb(X)� Pb(X)! [0;1) dat¼a de

h�(A:B) = maxfd(A;B); d(B:A)g,

este o pseudo-metric¼a pe Pb(X) care poart¼a numele de pseudometrica Hausdor¤-

Pompeiu. Restrictia lui h� la Pcl;b(X) � Pcl;b(X) este o metric¼a ce poart¼anumele de metrica Hausdor¤-Pompeiu si care va � notat¼a cu h.

Propozitia 1.2 (vezi 26.1, pagina 44 din [29]). Dac¼a spatiul metric(X; d) este complet, atunci spatiile metrice (Pcp(X); h) si (Pcl;b(X); h) suntcomplete.

Cititorul interesat poate g¼asi mai multe detalii privind (pseudo) metricaHausdor¤-Pompeiu în lucrarea [69].

Sisteme iterative de functii, generalizate si posibil in�nite

De�nitia 1.4. Un sistem iterativ de functii, generalizat si posibil in�nit,de ordin m 2 N� este o pereche S = ((X; d); (fi)i2I), unde (X; d) este unspatiu metric, fi : Xm ! X este continu¼a pentru orice i 2 I si familia

12

de functii (fi)i2I este m¼arginit¼a (i.e. [i2Ifi(B) este m¼arginit¼a pentru orice

B 2 Pb(X)m).Functia FS : (Pcl;b(X))m ! Pcl;b(X), dat¼a de

FS(B1; :::; Bm) = [i2Ifi(B1 � :::�Bm),

pentru orice (B1; :::; Bm) 2 (Pcl;b(X))m, se numeste operatorul fractal asociat

sistemului S.Dac¼a FS are un unic punct �x, atunci el se numeste atractorul lui S si

se noteaz¼a cu AS .

Remarca 1.5. Dac¼a multimea I este �nit¼a, atunci FS((Pcp(X))m) �Pcp(X) si facem conventia de a nota functia (B1; :::; Bm) 2 (Pcp(X))m !FS(B1; :::; Bm) 2 Pcp(X) tot cu FS. Dac¼a FS este operator Picard, atunciAS 2 Pcp(X).Observam ca în de�nitia lui FS putem renunta la considerareaoperatorului de închidere.

De�nitia 1.5. Un sistem iterativ de functii, generalizat si posibil in-�nit S = ((X; d); (fi)i2I) admite proiectie canonic¼a dac¼a, pentru orice � =�1:::�i::: 2 , multimea \

k2Nf�1:::�k((AS)k) const¼a într-un unic element notat

x�. În acest caz, functia � : ! X dat¼a de �(�) = x� pentru orice � 2 ,se numeste proiectia canonic¼a asociat¼a sistemului S.

Fie S = ((X; d); (fi)i2I) un sistem iterativ de functii, generalizat si posibilin�nit de ordin m 2 N� si n 2 N�. Putem considera un nou GIIFS (de ordinmn), anume Sn := ((X; d); (f�)�2n).Cu precizarea c¼a, pentru orice k 2 N�, prin Xk întelegem spatiul Xk

corespunz¼ator spatiului metric (Pcl;b(X); h), functia FSn : (Pcl;b(X))mn !

Pcl;b(X) este dat¼a de FSn(B1; :::; Bm) = [�2n

f�(B1; :::; Bm), pentru orice

(B1; :::; Bm) 2 Xn.

13

CAPITOLUL II

SISTEME ITERATIVE DE FUNCTII,GENERALIZATE SI POSIBIL INFINITE,CONSTITUITEDINGENERALIZ¼ARIALE'-CONTRACTIILORDatorit¼a importantei notiunii de IFS au fost elaborate diverse generaliz¼ari

ale acestui concept.Una dintre directiile de generalizare const¼a în studiul sistemelor consti-

tuite dintr-o multime in�nit¼a de functii. Studiul acestora a fost initiat de H.Fernau (vezi [15]) si continuat de I. Chitescu, R. Miculescu si L. Ioana (vezi[5]), D. Dumitru (vezi [8]), D. Dumitru, L. Ioana, R. Sfetcu si F. Strobin (vezi[10]), D. Dumitru si A. Mihail (vezi [11]), G. Gwózdz-×ukowska si J. Jachym-ski (vezi [17]), M.R. Hille (vezi [19 ]), L. Jakszlas (vezi [22]), M. Klimek siM. Kosek (vezi [26]), K. Lesniak (vezi [27]), G.B. Lewellen (vezi [28]), S.L.Lipscomb (vezi [29]), R.D. Mauldin si M. Urbánski (vezi [34] si [35]), F.Mendivil (vezi [36]), R. Miculescu si L. Ioana (vezi [38]), R. Miculescu si A.Mihail (vezi [39], [40], [41] si [53]), A. Mihail (vezi [49]), N.A. Secelean (vezi[59], [60], [61], [62], [63], [64], [65], [66], [67], [68], [69] si [70]), T. Szarek si S.Wedrychowicz (vezi [75]) si K.R. Wiks (vezi [78]). Mention¼am c¼a în studiulpropriet¼atilor topologice ale acestor sisteme un rol central îl joac¼a spatiulcodurilor si proiectia canonic¼a (vezi [13], [18] si [25]).O alt¼a directie de generalizare este dat¼a de sistemele constituite din '-

max-contractii (vezi [16]).În acest capitol (care re�ect¼a continutul articolelor [47] si [77]) combin¼am

aceste dou¼a directii de cercetare prin studierea sistemelor iterative de functii,generalizate si posibil in�nite, constituite din generaliz¼ari ale '-contractiilor.Mai precis, dat un sistem iterativ de functii, generalizat si posibil in�nitS = ((X; d); (fi)i2I), de ordin m, construim un operator HS : Cm ! C, undeC = ff : ! X j f este continu¼a si m¼arginit¼ag se înzestreaz¼a cu metricauniform¼a, iar reprezint¼a spatiul codurilor generalizat. În continuare seprezint¼a unele rezultate care furnizeaz¼a conditii su�ciente (asupra functiilorconstitutive ale sistemului) pentru ca operatorul HS s¼a �e continuu, con-tractie, '-contractie, Meir-Keeler, contractiv sau '-max-contractie general-izat¼a. Finalul capitolului contine rezultate care arat¼a c¼a proiectia canonic¼a

14

asociat¼a unor anumite tipuri de sisteme iterative de functii, generalizate siposibil in�nite, S se poate prezenta ca un punct �x al lui HS , precum si oserie de exemple.

Puncte �xe pentru unele clase de functii f : Xm ! X

De�nitia 2.1. Fie (X; d) un spatiu metric si m 2 N�. O functie f :Xm ! X se numeste contractie dac¼a exist¼a C 2 [0; 1) astfel încât

d(f(x); f(y)) � Cdmax(x; y),

pentru orice x; y 2 Xm.

De�nitia 2.2. O functie ' : [0;1) ! [0;1) se numeste functie decomparatie dac¼a satisface urm¼atoarele propriet¼ati:i) este cresc¼atoare;ii) este continu¼a la dreapta;iii) '(t) < t pentru orice t > 0.

De�nitia 2.3. Fie (X; d) un spatiu metric, m 2 N�si ' o functie decomparatie. O functie f : Xm ! X se numeste '-contractie dac¼a

d(f(x); f(y)) � '(dmax(x; y)),

pentru orice x; y 2 Xm.

De�nitia 2.4. Fie (X; d) un spatiu metric, m 2 N�si ' o functie decomparatie. O functie f : Xm ! X se numeste '-max contractie general-izat¼a dac¼a exist¼a p 2 N� astfel încât

d(f [p](x); f [p](y)) � '(maxfmax�2Fpi

d(f [i](x�); f[i](y�)) j i 2 f0; 1; 2; :::; p� 1gg),

pentru orice x; y 2 Xmp, unde Fp

i = f� : f1; 2; :::;mig ! f1; 2; :::;mpgg,

iar pentru x = (x1; x2; :::; xmp); y = (y1; y2; :::; ymp) 2 Xmp, avem x� =

(x�(1); :::; x�(mi)) si y� = (y�(1); :::; y�(mi)).

De�nitia 2.5. Fie (X; d) un spatiu metric, m 2 N�si ' o functie decomparatie. O functie f : Xm ! X se numeste Meir-Keeler dac¼a pentru

15

orice " > 0 exist¼a �" > 0 astfel încât d(f(x); f(y)) < ",pentru orice x; y 2

Xm cu proprietatea c¼a dmax(x; y) < "+ �".

Lema 2.1. Fie (X; d) un spatiu metric, m 2 N�si ' o functie de com-paratie. Atunci orice '-contractie f : Xm ! X este Meir-Keeler.

De�nitia 2.6. Fie (X; d) un spatiu metric si m 2 N�. O functie f :Xm ! X se numeste contractiv¼a dac¼a d(f(x); f(y)) < dmax(x; y),pentru

orice x; y 2 Xm, x 6= y.

Teorema 2.1 (vezi Teorema 19, [9]). Fie (X; d) un spatiu metric sim 2 N�. Orice functie Meir-Keeler f : Xm ! X are un unic punct �x x0 sisirul (f [n](x; :::; x))n2N� converge la x0 pentru orice x 2 X.

De�nitia 2.7. Fie (X; d) un spatiu metric si m 2 N�. O familie defunctii fi : Xm ! X, i 2 I, se numeste uniform Boyd-Wong dac¼a pentruorice " > 0 exist¼a �"; �" > 0 astfel încât

d(fi(x); fi(y)) < "� �",

pentru orice i 2 I si orice x; y 2 Xm având proprietatea c¼a dmax(x; y) <

"+ �".

Remarca 2.1. Conceptul introdus în de�nitia anterioar¼a se g¼aseste în[9] sub numele de familie uniform Meir-Keeler. Asa cum referentul anonimal lucr¼arii [47] a sugerat, având în vedere Teorema 7 din [21], terminologiade familie uniform Boyd-Wong este mult mai potrivit¼a.

De�nitia 2.8. Fie (X; d) un spatiu metric si m 2 N�. O familie defunctii fi : Xm ! X, i 2 I, se numeste uniform echicontinu¼a dac¼a pentruorice " > 0 exist¼a �" > 0 astfel încât

d(fi(x); fi(y)) < ",

pentru orice i 2 I si orice x; y 2 Xm având proprietatea c¼a dmax(x; y) < �".

Teorema 2.2. Fie (X; d) un spatiu metric complet, ' : [0;1)! [0;1)o functie de comparatie, m; p 2 N�si f : Xm ! X o functie continu¼a astfelîncât

d(f [p](x); f [p](y)) � '(maxfmax�2Fpi

d(f [i](x�); f[i](y�)) j i 2 f0; 1; 2; :::; p� 1gg),

16

pentru orice x; y 2 Xmp.

Atunci:a) Exist¼a un unic � 2 X astfel încât f(�; :::; �) = �.b) În ipoteza suplimentar¼a c¼a f este m¼arginit¼a pe submultimile m¼arginite

ale lui Xm, avem limk!1

f [k](xk) = � pentru orice B 2 Pb;cl(X) si orice xk 2Bm

k, convergenta �ind uniform¼a în raport cu xk.

Clase speciale de sisteme iterative de functii, generalizate siposibil in�nite

Teorema 2.3. Orice sistem iterativ de functii, generalizat si posibil in-�nit, S = ((X; d); (fi)i2I), unde spatiul metric (X; d) este complet, care areproprietatea c¼a exist¼a o functie de comparatie ' astfel încât toate functiilefi sunt '-contractii, are atractor (i.e. exist¼a o unic¼a multime AS 2 Pcl;b(X)astfel încât FS(AS ; :::; AS) = AS) si admite proiectie canonic¼a. În plus,AS = �().

Teorema 2.4. Orice sistem iterativ de functii, generalizat si posibil in-�nit, S = ((X; d); (fi)i2I), unde spatiul metric (X; d) este complet, care areproprietatea c¼a familia de functii (fi)i2I este uniform Boyd-Wong, are atrac-tor si admite proiectie canonic¼a.

Teorema 2.5. Fie S = ((X; d); (fi)i2I) un sistem iterativ de functii,generalizat si posibil in�nit, de ordin m 2 N� si p 2 N astfel încât

d(f�(x); f�(y)) � '(maxfmax�2Fpq

d(f�(x�); f�(y�)) j � 2 q; q 2 f0; 1; :::; p�1g),

pentru orice x; y 2 Xmp. Atunci:

a) exist¼a o unic¼a multime AS 2 Pb;cl(X) astfel încât FS(AS ; :::; AS) = AS,i.e. S are atractor.b) lim

n!1F[n]S (Bn) = AS pentru orice B 2 Pb;cl(X) si orice Bn = (Bn1 ; :::; Bnmn) �

Bmn, cu Bni 2 Pb;cl(X) pentru orice i 2 f1; 2; :::;mng.c) pentru orice � = �1:::�n::: 2 , multimea \

n2Nf�1�2:::�n(AS ; :::; AS) are

un unic element notat a�, deci S admite proiectie canonic¼a.d) pentru orice � = �1:::�n::: 2 , B 2 Pb;cl(X) si orice Bn = (Bn1 ; :::; Bnmn) �

Bmn, cu Bni 2 Pb;cl(X) pentru orice i 2 f1; 2; :::;mng, avem lim

n!1f�1�2:::�n(Bn) =

fa�g si convergenta este uniform¼a în raport cu � si cu multimea B.

17

Operatorul HS asociat sistemului iterativ de functii, generalizatsi posibil in�nit S

Dat un sistem iterativ de functii, generalizat si posibil in�nit S = ((X; d); (fi)i2I)de ordin m, putem considera operatorul HS : Cm ! C dat de

HS(g1; :::; gm)(�) = f�1(g1(�(1)); :::; gm(�(m))),

pentru orice g1; :::; gm 2 C si orice � = �1�2:::�k::: 2 , unde spatiul metric

(C; du) este descris astfel:

C = ff : ! X j f este continu¼a si m¼arginit¼ag

si

du(f; g) = sup�2

d(f(�); g(�))

pentru orice f; g 2 C.

Remarca 2.2.i) Dac¼a (X; d) este complet, atunci (C; du) este complet.ii) HS este bine de�nit, i.e. HS(g1; :::; gm) este continu¼a si m¼arginit¼a

pentru orice g1; :::; gm 2 C.

Propriet¼atile operatorului HS

Propozitia 2.1. Pentru orice sistem iterativ de functii, generalizat siposibil in�nit, S = ((X; d); (fi)i2I) (de ordin m 2 N�) cu proprietatea c¼afamilia de functii (fi)i2I este uniform echicontinu¼a, operatorul HS este con-tinuu.

Propozitia 2.2.�) Pentru orice sistem iterativ de functii, generalizat si posibil in�nit,

S = ((X; d); (fi)i2I) de ordin m 2 N�, avem lip(HS) � supi2I

lip(fi). În

particular, dac¼a supi2I

lip(fi) < 1, atunci operatorul HS este contractie (deci

HS este Meir-Keeler - vezi Lema 2.1).�) Pentru orice functie de comparatie ' si orice sistem iterativ de functii,

generalizat si posibil in�nit, S = ((X; d); (fi)i2I) de ordin m 2 N�, astfel încât

18

toate functiile fi sunt '-contractii, operatorul HS este '-contractie (deci HSeste Meir-Keeler - vezi Lema 2.1). ) Pentru orice sistem iterativ de functii, generalizat si posibil in�nit,

S = ((X; d); (fi)i2I) de ordin m 2 N�, astfel încât familia de functii (fi)i2Ieste uniform Boyd-Wong, operatorul HS este Meir-Keeler.�) Pentru orice sistem iterativ de functii, generalizat si posibil in�nit,

S = ((X; d); (fi)i2I) de ordin m 2 N�, astfel încât I este �nit¼a si toatefunctiile fi sunt Meir-Keeler, operatorul HS este Meir-Keeler.

Propozitia 2.3. Pentru orice sistem iterativ de functii, generalizat siposibil in�nit, S = ((X; d); (fi)i2I) de ordin m 2 N�, astfel încât I este �nit¼asi toate functiile fi sunt contractive, operatorul HS este contractiv.

Propozitia 2.4. Fie S = ((X; d); (fi)i2I) un sistem iterativ de functii,generalizat si posibil in�nit, de ordin m 2 N� si p 2 N astfel încât

d(f�(x); f�(y)) � '(maxfmax�2Fpq

d(f�(x�); f�(y�)) j � 2q ; q 2 f0; 1; :::; p�1g),

pentru orice x; y 2 Xmp. Atunci HS este '-max contractie generalizat¼a.

Proiectia canonic¼a asociat¼a unor sisteme iterative de functii,generalizate si posibil in�nite se poate prezenta ca un punct �x

Teorema 2.6. Pentru un sistem iterativ de functii, generalizat si posibilin�nit, S = ((X; d); (fi)i2I), unde (X; d) este complet, exist¼a o unic¼a functie�0 2 C astfel încât:a) HS(�0; :::; �0) = �0;b) lim

n!1H[n]S (f; :::; f) = �0, pentru orice f 2 C,

dac¼a este satisf¼acut¼a una dintre conditiile urm¼atoare:i) exist¼a o functie de comparatie ' astfel încât toate functiile fi sunt

'-contractii (în particular dac¼a supi2I

lip(fi) < 1);

ii) familia de functii (fi)i2I este uniform Boyd-Wong;iii) I este �nit¼a si toate functiile fi sunt Meir-Keeler.

Remarca 2.3. În acord cu Theorem 3.1 din [73], dac¼a i) este satisf¼acut¼a,pentru orice g1; :::; gm 2 C, sirul (gk)k2N, de�nit de gm+k = HS(gk; gk+1:::; gk+m�1),converge la �0.

19

Propozitia 2.5. În cadrul teoremei anterioare, avem �0() = AS .

Propozitia 2.6. În cadrul propozitiei anterioare, �0 este proiectia canon-ic¼a asociat¼a lui S.

Teorema 2.7. Fie S = ((X; d); (fi)i2I) un sistem iterativ de functii,generalizat si posibil in�nit, de ordin m 2 N� si p 2 N astfel încât

d(f�(x); f�(y)) � '(maxfmax�2Fpq

d(f�(x�); f�(y�)) j � 2q ; q 2 f0; 1; :::; p�1gg),

pentru orice x; y 2 Xmp.

Atunci exist¼a o unic¼a functie � 2 C astfel încât:a) HS(�; :::; �) = � si �() = AS.b) lim

n!1H[n]S (fn) = � pentru orice B 2 Pb;cl(X) si fn = (fn1 ; :::; f

nmn) 2

Cmn

B , unde CB = ff : ! B j f este continu¼ag este înzestrat cu normauniform¼a, convergenta �ind uniform¼a în raport cu B.c) � este proiectia canonic¼a asociat¼a lui S.

Exemplul 1. Având ca surs¼a de inspiratie lucrarea [9], vom considerasistemul iterativ de functii, generalizat si posibil in�nit S = ((X; d); (fn)n2N)de ordin 2, unde X = [0; 1], d este metrica euclidian¼a si functiile fn : [0; 1]�[0; 1]! [0; 1] sunt date de

fn(x; y) =1

2n+2(x+ y) +

1

2n+1,

pentru orice n 2 N, x; y 2 [0; 1]. Atunci:

i) familia de functii (fn)n2N este uniform Boyd-Wong deoarece lip(fn) � 12

pentru orice n 2 N;ii) operatorul HS : C2 ! C actioneaz¼a în modul urm¼ator:

HS(g1; g2)(�) =1

2�1+2(g1(�

12�

13:::�

1k:::) + g2(�

22�

23:::�

2k:::)) +

1

2�1+1,

pentru orice g1; g2 2 C si orice � = �1�2:::�k::: 2 , unde �k = �1k�2k 2 kcu �1k; �

2k 2 k�1;

iii) AS = [0; 1] deoarece [0; 1] = [n2N[ 12n+1

; 12n] = [

n2Nfn([0; 1]� [0; 1]) =

FS([0; 1]; [0; 1]);

20

iv) 0 =2 [n2Nfn(AS � AS), deci operatorul de închidere care intervine în

de�nitia lui FS nu poate � omis.

Exemplul 2. Fie S = (([0; 1]; d); ff; gg) un GIFS (de ordin 2), unde deste distanta uzual¼a pe [0; 1] si f; g : [0; 1]2 ! R sunt descrise de f(x; y) =12(x� x2

2+ y � y2

2) si g(x; y) = 1� f(1� x; 1� y), pentru orice x; y 2 [0; 1].

S este un GIFS de ordin 2 format din ' contractii care nu sunt contractii.Deoarece f([0; 1]� [0; 1]) = [0; 1

2] si g([0; 1]� [0; 1]) = [1

2; 1], concluzion¼am c¼a

AS = [0; 1].

Exemplul 3. Fie X = [0; 1] [ ( [n2N�

f4n; 4n + 1g) înzestrat cu distantaeuclidian¼a.Fie functiile f; g : X ! X descrise astfel:

f(x) =

8<:x3, x 2 [0; 1]0, exist¼a n 2 N� astfel încât x = 4n

1� 1n+3, exist¼a n 2 N� astfel încât x = 4n+ 1

si

g(x) =

8<:x3+ 2

3, x 2 [0; 1]

0, exist¼a n 2 N� astfel încât x = 4n1� 1

n+3, exist¼a n 2 N� astfel încât x = 4n+ 1

.

Consider¼am GIFS-ul (de ordin 1) S = (X; ff; gg). S este Meir-Keelerdar nu este Boyd-Wong si S nu este '-contractiv.

21

CAPITOLUL III

SISTEME ITERATIVEDEFUNCTII, GEN-ERALIZATE, POSIBIL INFINITE, CONSTI-TUITE DIN FUNCTII AFINEConceptul de sistem topologic auto-similar a fost introdus de A. Kameyama

(vezi [24]) dup¼a cum urmeaz¼a: Un spatiu topological compact Hausdor¤ Kse numeste multime topologic¼a auto-similar¼a dac¼a exist¼a functiile continuef1, f2, ..., fN : K ! K, unde N 2 N� si o surjectie continu¼a � : � ! Kastfel încât diagrama

�� i! �

� # # �K !

fiK

este comutativ¼a pentru orice i 2 f1; 2; :::; Ng, unde � = f1; :::; NgN� estespatiul codurilor unui IFS format din n functii si � i(!1!2:::!m!m+1:::) =i!1!2:::!m!m+1::: pentru orice !1!2:::!m!m+1::: 2 �. Perechea (K; (fi)i2f1;2;:::;Ng)se numeste sistem topologic auto-similar. El a ridicat urm¼atoarea întrebare:dat un sistem topologic auto-similar (K; (fi)i2f1;2;:::;Ng), exist¼a o metric¼a peK compatibil¼a cu topologia de pe K astfel încât toate functiile fi s¼a �e con-tractii în raport cu aceast¼a metric¼a? R¼aspunsul a�rmativ la întrebarea luiKameyama în cazul multimilor auto-similare generate de transform¼ari a�neale lui Rm dat de R. Atkins, M. Barnsley, A. Vince si D. Wilson (vezi [1]) afost extins de R. Miculescu si A. Mihail (vezi [42]) prin înlocuirea lui Rm cuun spatiu Banach arbitrar (X; k:k) si a multimii f1; 2; :::; Ng cu o multimearbitrar¼a I. Vezi de asemenea [43] si [44].Continuând directia de cercetare prezentat¼a anterior, introducem noti-

unea de sistem iterativ de functii, generalizat, posibil in�nit, constituit dinfunctii a�ne (pe scurt AGIIFS). Vom îmbun¼at¼ati rezultatele prezentate an-terior prin justi�carea faptului c¼a, pentru un astfel de sistem S, urm¼atoarelea�rmatii sunt echivalente:a) S este hiperbolic (vezi De�nitia 3.3).b) Exist¼a o functie de comparatie ' astfel încât S este '-hiperbolic (vezi

De�nitia 3.4).c) S are atractor (vezi De�nitia 3.7).d) S este strict topologic contractiv (vezi De�nitia 3.9).

22

e) S este uniform punctual �brat (vezi De�nitia 3.5).f) lim

n!1max�2n

npkA�k < 1 (vezi De�nitia 3.2).

Asa cum am mentionat anterior, acest rezultat le generalizeaz¼a pe celedin [1], [42] si [76].În plus, prezent¼am dou¼a corolarii care furnizeaz¼a a�rmatii echivalente cu

cele de mai sus.

Sisteme iterative de functii, generalizate, posibil in�nite, con-stituite din functii a�ne

De�nitia 3.1. Dat un spatiu Banach (X; k:k), o familie de functii(fi)i2I , unde fi : Xm ! X, se numeste m¼arginit¼a dac¼a [

i2Ifi(B) este m¼arginit¼a

pentru orice submultime m¼arginit¼a B a lui Xm.

De�nitia 3.2. Un sistem iterativ de functii, generalizat, posibil in-�nit, constituit din functii a�ne (pe scurt AGIIFS), de ordin m 2 N�,este o pereche S = ((X; k:k); (fi)i2I), unde (X; k:k) este un spatiu Banach(fi)i2I este o familie de functii m¼arginit¼a cu proprietatea c¼a pentru oricei 2 I, exist¼a bi 2 X si un operator liniar m¼arginit Ai : Xm ! X ast-fel încât fi = Ai + bi. Functia FS : (Pb;cl(X))

m ! Pb;cl(X), dat¼a deFS(B1; :::; Bm) = [

i2Ifi(B1; :::; Bm) pentru orice (B1; :::; Bm) 2 (Pb;cl(X))

m,

se numeste operatorul fractal asociat sistemului S.

Remarca 3.1. M¼arginirea familiei de functii (fi)i2I care apare în de�nitiade mai sus este echivalent¼a cu m¼arginirea multimilor fbi j i 2 Ig si fkAik ji 2 Ig.

Dat un AGIIFS S = ((X; k:k); (fi)i2I) de ordin m 2 N� si n 2 N�, intro-ducem un nou AGIIFS (de ordin mn) Sn := ((X; d); (f�)�2n). S¼a remarc¼amc¼a FSn : (Pb;cl(X))

mn ! Pb;cl(X) este dat de

FSn(B1; :::; Bm) = [�2n

f�(B1; :::; Bm),

pentru orice (B1; :::; Bm) 2 Xn.

De�nitia 3.3. Un AGIIFS S = ((X; k:k); (fi)i2I) se numeste contractivdac¼a exist¼a C 2 [0; 1) astfel încât kAik � C pentru orice i 2 I. Un astfel de

23

sistem se numeste hiperbolic dac¼a exist¼a o norm¼a kj:jk pe X echivalent¼a cuk:k astfel încât AGIIFS-ul ((X; kj:jk); (fi)i2I) este contractiv.

De�nitia 3.4. Dat¼a o functie de comparatie ' : [0;1) ! [0;1),spunem c¼a AGIIFS-ul S = ((X; k:k); (fi)i2I) este '-contractiv dac¼a fi este'-contractie generalizat¼a pentru orice i 2 I., Un astfel de sistem se numeste'-hyperbolic dac¼a exist¼a o norm¼a kj:jk pe X echivalent¼a cu k:k astfel încâtAGIIFS-ul ((X; kj:jk); (fi)i2I) este '-contractiv.

Remarca 3.2. Clasa AGIIFS-urilor contractive este o subclas¼a a claseiAGIIFS-urilor '-contractive.Într-adev¼ar, dac¼a AGIIFS-ul S = ((X; k:k); (fi)i2I) este contractiv (si

C 2 [0; 1) este astfel încât kAik = lip(fi) � C pentru orice i 2 I), atunciel este de asemenea '0-contractiv, unde '0 : [0;1) ! [0;1) este dat¼a de'0(t) = Ct pentru orice t 2 [0;1).

De�nitia 3.5. Un AGIIFS S = ((X; k:k); (fi)i2I) (de ordin m) senumeste punctual �brat dac¼a pentru orice � = �1�2:::�i�i+1::: 2 exist¼ax� 2 X astfel încât lim

n!1f�1�2:::�n(y; :::; y) = x� pentru orice y 2 X. Un ast-

fel de sistem se numeste uniform punctual �brat dac¼a este punctual �brat sipentru orice submultime m¼arginit¼a B a lui X si orice " > 0 exist¼a nB;" 2 Navând proprietatea c¼a kf�1�2:::�n(x1; :::; xmn)� x�k < " pentru orice n 2 N,n � nB;", x1; :::; xmn 2 B si � = �1�2:::�i�i+1::: 2 .

De�nitia 3.6. Spunem c¼a AGIIFS-ul S = ((X; k:k); (fi)i2I) are atractordac¼a exist¼a un (unic) element A 2 Pb;cl(X) astfel încât:i)

FS(A; :::; A) = A;

ii)limk!1

F[k]S (B; :::; B) = A,

pentru orice B 2 Pb;cl(X).

De�nitia 3.7. Dat un spatiu normat (X; k:k), vom numi corp convex omultime convex¼a din Pb;cl(X) care are interiorul nevid.

De�nitia 3.8. Un AGIIFS S = ((X; k:k); (fi)i2I) se numeste topologiccontractiv dac¼a exist¼a un corp convex K al lui X astfel încât

FS(K; :::;K) ��K.

24

Un astfel de sistem se numeste strict topologic contractiv dac¼a exist¼a uncorp convex K al lui X având proprietatea c¼a

�k:k(FS(K; :::;K); X rK) > 0,

unde �k:k(A;B) = infa2A;b2B

ka� bk pentru orice A si B submultimi ale lui

(X; k:k).

Dac¼a �k:k(A;B) > 0, undeA siB submultimi ale spatiului normat (X; k:k),atunci A �

�X rB (vezi [42]).

Remarca 3.3. Dac¼a K este un corp convex, atunci K�K este o vecin¼a-tate m¼arginit¼a, balansat¼a si convex¼a a lui 0.

De�nitia 3.9 (vezi [1]). Dat un spatiu normat X, un corp convex centralsimetric K al lui X si k:kK norma Minkowski asociat¼a lui K, de�nimmetrica Minkowski pe X prin regula dK(x; y) = kx� ykK.

S¼a remarc¼am c¼a K reprezint¼a bila unitate în raport cu k:kK .

Propozitia 3.1 (vezi Propozitia 5.6 din [1]). Dat un spatiu normat(X; k:k) si un corp convex K al lui X, dK si metrica dE, descris¼a de reguladE(x; y) = kx� yk, sunt echivalente.

Rezultatele principale

Teorema 3.1. Dat un AGIIFS S, urm¼atoarele a�rmatii sunt echivalente:1. S este hiperbolic.2. Exist¼a o functie de comparatie ' astfel încât S este '-hiperbolic.3. S are atractor.4. S este strict topologic contractiv.5. S este uniform punctual �brat.6. lim

n!1max�2n

npkA�k < 1.

7. Exist¼a n 2 N� astfel încât max�2n

npkA�k < 1.

Corolar 3.1. În cazul în care pentru AGIIFS-ul S = ((X; k:k); (fi)i2I)avem bi = 0 (i.e. S este constituit din functii liniare, urm¼atoarele a�rmatiisunt echivalente:

25

1. S este hiperbolic.2. Exist¼a o functie de comparatie ' astfel încât S este '-hiperbolic.3. A = f0g este atractorul lui S.4. S este strict topologic contractiv.5. S este uniform punctual �brat.6. lim

n!1max�2n

npkA�k < 1.

Corolar 3.2. Pentru orice AGIIFS S = ((X; k:k); (fi)i2I), urm¼atoarelea�rmatii sunt echivalente::1. Exist¼a n 2 N� astfel încât Sn este hiperbolic.2. Exist¼a n 2 N� si o functie de comparatie ' astfel încât Sn este '-

hiperbolic.3. Exist¼a n 2 N� astfel încât Sn are atractor.4. S are atractor.5. Exist¼a n 2 N� astfel încât Sn este strict topologic contractiv.6. lim

n!1max�2n

npkA�k < 1.

Remarca 3.4. Conditiile echivalente din cele dou¼a corolarii sunt deasemenea echivalente cu cele din Teorema 3.1.

Exemplul 1. Fie T : c0 ! c0 operatorul liniar dat de

T ((xn)n2N) = ((1�1

n+ 2)xn)n2N,

pentru orice (xn)n2N 2 c0def= f(xn)n2N � R j lim

n!1xn = 0g, unde c0 este

înzestrat cu k:k1.Fie S = ((c0; k:k1 ); f) un GIFS de ordin 2, unde f : (c0)2 ! c0 este dat¼a

def((xn)n2N; (yn)n2N) =

1

2T ((xn)n2N) +

1

2T ((yn)n2N),

pentru orice (xn)n2N; (yn)n2N 2 c0.S este topologic contractiv dar nu este strict topologic contractiv si nu

este uniform punctual �brat dar este punctual �brat si � : ! c0 este 0.

Exemplul 2. Fie (X; k:k) spatiu Banach si T : X ! X astfel încâtexist¼a m 2 N� cu proprietatea c¼a m kTk < 1. Fie de asemenea (ai)i2I ofamilie m¼arginit¼a de elemente din X.

26

Vom considera GIIFS-ul S = ((X; k:k); (fi)i2I) de ordin m, unde fi :Xm ! X este dat de

fi(x1; :::; xm) = T (x1) + :::+ T (xm) + ai,

pentru orice x1; :::; xm 2 X. Pentru n 2 N�, avem c¼a

f�1�2:::�n(x1; :::; xmn) =

mnXi=1

T n(xi) +

nXl=1

T l�1(

ml�1Xj=1

a�l;j),

pentru orice �1�2:::�n 2n , x1; :::; xmn 2 X si

�(�) =Xl�1

T l�1(ml�1Xj=1

a�l;j),

pentru orice � 2 .

27

CAPITOLUL IV

GIIFS-uri CONSTITUITEDINTR-OMULTIMEFINIT¼A DE ELEMENTEAcest capitol este dedicat cazului în care GIIFS-ul este constituit dintr-un

num¼ar �nit de elemente. În acest sens vom prezenta dou¼a tematici, anumevom studia astfel de sisteme constituite din functii a�ne de�nite pe spatiinormate �nit dimensionale si vom prezenta un nou algoritm pentru generareaimaginii atractorului unui astfel de sistem ( care se bazeaz¼a pe [46]).

Sisteme iterative de functii, generalizate si posibil in�nite, con-stituite dintr-un num¼ar �nit de functii a�ne de�nite pe spatii nor-mate �nit dimensionale

În cazul în care AGIIFS-ul S = ((X; k:k); (fi)i2I) are proprietatea c¼aI este �nit¼a si X este �nit dimensional, lista a�rmatiilor echivalente dinrezultatele anterioare poate � l¼argit¼a asa cum arat¼a Teorema 4.2.

De�nitia 4.1. Un AGIIFS S = ((X; k:k); (fi)i2I), astfel încât (X; k:k)este �nit dimensional si I este �nit¼a, se numeste Meir-Keeler dac¼a fi esteMeir-Keeler pentru orice i 2 I. Un astfel de sistem se numeste Meir-Keeler hiperbolic dac¼a exist¼a o norm¼a kj:jk pe X astfel încât AGIIFS-ul((X; kj:jk); (fi)i2I) este Meir-Keeler.

De�nitia 4.2. Dat un spatiu normat X de dimensiune m 2 N�, un corpconvex K din X si u 2 Sm�1 - sfera unitate din X -, de�nim

Au := Au(K) = f(p; q) 2 (Hu \ @K)� (H�u \ @K)g

si

A := A(K) = [u2Sm�1

Au,

unde perechea (Hu; H�u) este constituit¼a din hiperplanele perpendiculare peu.Spunem c¼a (p; q) este o pereche de puncte antipodale în raport cu K dac¼a

(p; q) 2 A.

28

De�nitia 4.3. Dat un spatiu normat (X; k:k), m 2 N� si un corp con-vex K, o functie f : Xm ! X se numeste non-antipodal¼a în raport cuK dac¼a (f(x1; :::; xm); f(y1; :::; ym)) =2 A(K) atunci când f(K; :::K) � Ksi ((x1; :::; xm); (y1; :::; ym)) 2 A(Km). Un AGIIFS S = ((X; k:k); (fi)i2I),astfel încât (X; k:k) este �nit dimensional si I este �nit¼a, se numeste non-antipodal dac¼a fi este non-antipodal¼a în raport cu un corp convex K pentruorice i 2 I.

De�nitia 4.4. Dat un spatiu normat X de dimensiune m 2 N�, un corpconvex K al lui X si u 2 Sm�1 - sfera unitate din X -, de�nim diametrullui K în directia u astfel:

D(u) = maxfkx� yk2 j x; y 2 K astfel încât

exist¼a � 2 R cu proprietatea c¼a x� y = �ug.

Remarca 4.1. Maximul din de�nitia anterioar¼a este atins pentru opereche de puncte apartinând @K -bordul topologic al lui K- deoarece K�Keste convex¼a si compact¼a si k:k2 este continu¼a.

De�nitia 4.5. Dat un spatiu normat X de dimensiune m 2 N�, uncorp convex K al lui X si u 2 Sm�1 - sfera unitate din X -, de�nim Du =f(p; q) 2 @K � @K j D(u) = kq � pk2g si D = [

u2Sm�1Du. Spunem c¼a

(p; q) 2 Du este o pereche de puncte diametrale în directia lui u si c¼a D estemultimea de perechi de puncte diametrale ale lui K.

Teorema 4.1 (vezi [1]). Dat un spatiu normat �nit dimensional X si uncorp convex K al lui X, multimea perechilor de puncte antipodale ale lui Kcoincide cu multimea perechilor de puncte diametrale K, i.e. A = D.

Theorema 4.2 . Dat un AGIIFS S = ((X; k:k); (fi)i2I) astfel încât(X; k:k) este �nit dimensional si I este �nit¼a, urm¼atoarele a�rmatii suntechivalente:1. S este hiperbolic.2. Exist¼a o functie de comparatie ' astfel încât S este '-hiperbolic.3. S are atractor.4. S este strict topologic contractiv.5. S este uniform punctual �brat.

29

6. S este topologic contractiv.7. S este Meir-Keeler hiperbolic.8. S este non-antipodal.

Exemplul. Fie S = ((R2; k:k2); f) un GIFS de ordin 2, unde f : (R2)2 !R2 este dat¼a de

f(x; y) = B(x+ y),

pentru orice x; y 2 R2, cu B = ( 0 1116

0). În k:k2, S nu este contractiv, dar

este uniform punctual �brat, deci exist¼a o norm¼a în care s¼a �e contractiv(conform Teoremei 4.2).

Un nou algoritm pentru generarea imaginii atractorului unuisistem generalizat iterativ de functii, generalizat si posibil in�nit,care este constituit dintr-un num¼ar �nit de functii

În [23], Strobin si colaboratorii s¼ai prezint¼a patru algoritmi pentru gener-area imaginii atractorului unui sistem generalizat iterativ de functii posibilin�nit care este constituit dintr-un num¼ar �nit de functii, unul dintre ei �indcel deterministic.În aceast¼a sectiune prezent¼am un nou algoritm (numit algoritmul cu gril¼a)

pe care îl vom compara cu cel deterministic. Rezultatele se bazeaz¼a pe lu-crarea [46].Algoritmul deterministic const¼a în alegerea unei multimi �nite de puncte

c¼areia i se aplic¼a functiile constitutive ale sistemului, obtinându-se astfel onou¼a multime. Fiec¼aruia dintre aceste noi puncte i se aplic¼a din nou functiileconstitutive ale sistemului. Continuând acest procedeu ne vom apropia deatractorul sistemului.Ideea principala a algoritmului cu gril¼a este de a simpli�ca algoritmul

deterministic prin divizarea, la �ecare pas, a spatiului în care lucr¼am, însubspatii mici si de a alege, în �ecare dintre ele, un singur punct.

I. Prezentarea algoritmilor

Pentru (x1; ::::; xM) 2 RM , vom folosi urm¼atoarea notatie:

[(x1; ::::; xM)] = ([x1]; ::::; [xM ]).

30

În cele ce urmeaz¼a

S = (([0; D]M ; d); ff1; :::; fLg),

unde L;M 2 N si d este distanta euclidian¼a pe RM , va � un GIIFS de ordin

p � 2 (deci fi : ([0; D]M)p ! [0; D]M pentru orice i 2 f1; :::; Lg) constituitdin contractii.

Vom folosi urm¼atoarele notatii:� maxflip(f1); :::; lip(fL)g

not= C < 1

� � = pM .Vom considera urm¼atoarele functii:� FS : (Pcp([0; D]M))p ! Pcp([0; D]

M) descris¼a de

FS(K1; :::; Kp) = f1(K1; :::; Kp) [ ::: [ fL(K1; :::; Kp),

pentru orice K1; :::; Kp 2 Pcp([0; D]M)

� GS : Pcp([0; D]M)! Pcp([0; D]M) descris¼a de

GS(K) = FS(K; :::;K),

pentru orice K 2 Pcp([0; D]M).

� (nk)k2N� un sir de numere naturale.Pentru o multime �nit¼aK0 2 Pcp([0; D]M), vom folosi urm¼atoarele notatii:� Ak

not= G

[k]S (K0), unde k 2 N

��Ak

not= f D

nk[nkDfl(u1; :::; up)] j u1; :::; up 2

�Ak�1, l 2 f1; :::; Lgg,unde k 2 N�

si�A0 = K0

� DpM

nk

not= "k,unde k 2 N.

S¼a reamintim algoritmul deterministic pentru generarea imaginii atrac-torului unui GIIFS constituit dintr-o familie �nit¼a de contractii (vezi [23]).

Programul pseudocod pentru algoritmul deterministic

Read initially de�ned objects: constants: L;M , �nite set: K0 2 Pcp([0; D]M),mappings: f1; :::; fL, variables: k;D0.Initial values: D0 := K0.

31

For k from 1 to m� 1D1 := GS(D0)D0 := D1.

Print Dm.

Programul pseudocod pentru algoritmul cu gril¼a

Read initially de�ned objects: constant: L; M , �nite set: K0 2 Pcp([0; D]M),mappings: f1; :::; fL, sequence: (nk)k, variables: k;D0.Initial values: D0 := K0.

For k from 1 to m� 1D1 := f Dnk [

nkDfl(u1; :::; up)] j u1; :::; up 2 D0; l 2 f1; :::; Lgg

D0 := D1.Print Dm.

II. Complexitatea celor doi algoritmi

A. Complexitatea algoritmului deterministic este descris¼a de functia Cc :(0;1)! R dat¼a de

Cc(") = (x0L1

p�1 )(1")log 1

C(p)

,

pentru orice " > 0.

B. Cazul algoritmului cu gril¼a

Vom nota cu yk num¼arul punctelor calculate pân¼a la pasul k în cadrulalgoritmului cu gril¼a. Deoarece yk+1 � L(nk)

� pentru orice k 2 N�, pân¼a

la pasul N , trebuie s¼a calcul¼am cel mult LNPk=1

(nk)� = L(D

pM)�

NPk=1

( 1"k)�

puncte. Avem

h(�Ak; AS) � "k + C"k�1 + C2"k�2 + :::+ Ck�2"2 + Ck�1"1 + CkD

pM ,

pentru orice k 2 N�.

Prin urmare suntem condusi la urm¼atoarea problem¼a: pentru N si " > 0astfel încât

"

cN�D

pM > 0, s¼a se determinam într-o prima etapa minimul

functiei f : [0;1)N ! [0;1) dat¼a de

f("1; :::; "N) =NXk=1

(1

"k)�,

32

pentru orice "1; :::; "N 2 [0;1), cu leg¼atura

"N + C"N�1 + C2"N�2 + :::+ C

N�2"2 + CN�1"1 + C

NDpM = "

si apoi sa alegem un N care sa minimizeze valoarea obtinuta.

Complexitatea algoritmului cu gril¼a este descris¼a de functia Cg : (0;1)!R dat¼a de

Cg(") = (1

")pM(1� C

��+1 )���1.

Remarca 4.2. Algoritmul cu gril¼a este mai e�cient decât cel determin-istic deoarece

lim"!0">0

Cg(")Cc(")

= lim"!0">0

(1")pM

(x0L1

p�1 )(1")log 1

C(p)= 0.

Exemplu

În aceast¼a sectiune vom prezenta unul dintre exemplele din teza. Mention¼amc¼a am considerat nk = k2.Fie S = (([0; 1]2; d); ff1; f2g), unde, pentru x = (x1; y1) si y = (x2; y2),

avem

f1(x; y) = (0; 5x1 � 0; 5y1 + 0; 001x2 + 0; 45; 0; 5x1 + 0; 5y1 + 0; 001y2 � 0; 05)

si

f2(x; y) = (0; 2x1 + 0; 01x2 + 0; 14y2 + 0; 147; 0; 2y1 + 0; 01y2 + 0; 105).

Figura 1 este obtinut¼a utilizând algoritmul deterministic, iar �gura 2 esteobtinut¼a utilizând algoritmul cu gril¼a.

33

Figura 1

Ambii algoritmi au rulat timp de doua minute. Cel deterministic a par-curs cinci pasi iar cel cu gril¼a 22 de pasi.Figura 1 este constituit¼a din 22

5= 4294967296 puncte, iar �gura 2 din

aproximativ 217800 de puncte.

34

Figura 2

35

BIBLIOGRAFIE[1] R. Atkins, M. Barnsley, A. Vince si D. Wilson, A characterization

of hyperbolic a¢ ne iterated function systems, Topology Proc., 36 (2010)189�211.[2] M.F. Barnsley, Fractals everywhere, Academic Press Professional,

Boston, 1993.[3] M.F. Barnsley and S. Demko, Iterated function systems and the global

construction of fractals, Proc. Roy. Soc. London A, 399 (1985) , 243-275.[4] F. Browder, On the convergence of successive approximations for non-

linear functional equations, Indag. Math., 30 (1968), 27�35.[5] I. Chitescu, L. Ioana si R. Miculescu, Type A sets and the attractors

of in�nite iterated function systems, Results. Math., 66 (2014), 511-524.[6] D. Dumitru, Generalized iterated function systems containing Meir-

Keeler functions, An. Univ. Bucur., Mat., 58 (2009), 109-121.[7] D. Dumitru, Attractors of in�nite iterated function systems containing

contraction type functions, An. Stiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi, Mat. N.S.,59 (2013), 281-298.[8] D. Dumitru, Arcwise connected attractors of in�nite iterated function

systems, An. Univ. Ovidius Constanta, seria Matematic¼a, 22 (2014), 91-98.[9] D. Dumitru, Contraction-type functions and some applications to

GIIFS, An. Univ. Spiru Haret, Ser. Mat.-Inform., 12 (2016), 31-44.[10] D. Dumitru. L. Ioana, R. Sfetcu si F. Strobin, Topological version of

generalized (in�nite) iterated function systems, Chaos Solitons Fractals, 71(2015), 78-90.[11] D. Dumitru si A. Mihail, A su¢ cient condition for the connectedness

of the attractors of in�nite iterated function system. An. Stiint. Univ. Al.I. Cuza Iasi Ser. Nou¼a, Mat., 55 (2009), 87�94.[12] G.A. Edgar, Measure, Topology and Fractal Geometry, 2nd ed.,

Springer-Verlag, 2008.[13] K.J. Falconer, The geometry of fractal sets, Cambridge University

Press, Cambridge, 1986.[14] K.J. Falconer, Fractal geometry-Mathematical Foundations and Ap-

plications, John Wiley, 1990[15] H. Fernau, In�nite iterated function systems, Math. Nachr., 170

(1994), 79-91.[16] F. Georgescu, R. Miculescu si A. Mihail, A study of the attractor

of a '-max-IFS via a relatively new method, J. Fixed Point Theory Appl.,

36

(2018) 20:24, https://doi.org/10.1007/s11784-018-0497-6.[17] G. Gwózdz-×ukowska si J. Jachymski, The Hutchinson-Barnsley the-

ory for in�nite iterated function systems, Bull. Australian Math. Soc., 72(2005), 441-454.[18] M. Hata, On the structure of self-similar sets, Jpn. J. Appl. Math.,

2 (1985), 381-414.[19] M.R. Hille, Remarks on limits sets of in�nite iterated function sys-

tems, Monatsh. Math., 168 (2012), 215�237.[20] J.E. Hutchinson, Fractals and self similarity, Indiana Univ. Math.

J., 30 (1981), 713-747.[21] J. Jachymski si I. Józwik, Nonlinear contractive conditions: a com-

parison and related problems. Banach Center Publ., 77, Polish Acad. Sci.,77 (2007), 123-146.[22] L. Jaksztas, In�nite iterated function systems depending on a para-

meter, Bull. Pol. Acad. Sci. Math., 55 (2007), 105-122.[23] P. Jaros, ×. Maslanka si F. Strobin, Algorithms generating images of

attractors of generalized iterated function systems, Numer. Algorithms, 73(2016), 477-499.[24] A. Kameyama, Distances on topological self-similar sets and the

kneading determinants, J. Math. Kyoto Univ., 40 (2000), 603-674.[25] J. Kigami, Analysis on fractals, Cambridge Univ. Press, 2001.[26] M. Klimek si M. Kosek, Generalized iterated function systems, mul-

tifunctions and Cantor sets, Ann. Polon. Math., 96 (2009), 25-41.[27] K. Lesniak, In�nite iterated function systems: a multivalued ap-

proach, Bull. Pol. Acad. Sci. Math., 52 (2004), 1-8.[28] G.B. Lewellen, Self-similarity, Rocky Mt. J. Math., 23 (1993), 1023-

1040.[29] S. L. Lipscomb, Fractals and universal spaces in dimension theory,

Springer Verlag, 2009.[30] B. Mandelbrot, Fractals, forms, chance and dimension, Freeman, San

Francisco, 1977.[31] B. Mandelbrot, The fractal geometry of nature, Freeman, San Fran-

cisco, 1982.[32] ×. Maslanka si F. Strobin, Scattered compact spaces are attractors of

generalized iterated function systems, Winter School in Abstract Analysis,section Set Theory & Topology, January 27 - February 3, Hejnice, CzechRepublic.

37

[33] J. Matkowski, Integrable solutions of functional equations, Diss.Math., 127 (1975), 68 pp.[34] R. D. Mauldin, In�nite iterated function systems: theory and appli-

cations, Progr. Probab., vol.37 (1995), Birkhäuser Verlag Basel/Switzerland,91-110.[35] D. Mauldin si M. Urbanski, Dimensions and measures in in�nite

iterated function systems, Proc. London Math. Soc., 73 (1996), 105-154.[36] F. Mendivil, A generalization of IFS with probabilities to in�nitely

many maps, Rocky Mt. J. Math., 28 (1998), 1043-1051.[37] R. Miculescu, Generalized iterated function systems with place de-

pendent probabilities, Acta Appl. Math., 130 (2014), 135-150.[38] R. Miculescu si L. Ioana, Some connections between the attractors of

an IFS S and the attractors of the sub-IFSs of S, Fixed Point Theory Appl.,2012, 2012:141.[39] R. Miculescu si A. Mihail, Lipscomb�s space !A is the attractor of an

in�nite IFS containing a¢ ne transformations of l2(A), Proc. Amer. Math.Soc., 136 (2008), 587-592.[40] R. Miculescu si A. Mihail, Lipscomb�s L(A) space fractalized in lp(A),

Mediterr. J. Math., 9 (2012), 515-524.[41] R. Miculescu si A. Mihail, The independence of p of the Lipscomb�s

L(A) space fractalized in lp(A), Topol. Appl., 160 (2013), 241-250.[42] R. Miculescu si A. Mihail, Alternative characterization of hyperbolic

a¢ ne in�nite iterated function systems, J. Math. Anal. Appl., 407 (2013)56�68.[43] R. Miculescu si A. Mihail, On a question of A. Kameyama concerning

self-similar metrics, J. Math. Anal. Appl., 422 (2015), 265-271.[44] R. Miculescu si A. Mihail, Remetrization results for possibly in�nite

self-similar systems, Topol. Methods Nonlinear. Anal., 47 (2016), 333-345.[45] R. Miculescu si A. Mihail, A generalization of Matkowski�s �xed point

theorem and Istr¼atescu�s �xed point theorem concerning convex contractions,J. Fixed Point Theory Appl., 19 (2017), 1525-1533.[46] R. Miculescu, A. Mihail si S. Urziceanu, A new algorithm that

generates the image of the attractor of a generalized iterated function system,acceptat in Numerical Algorithms. doi: 10.1007/s11075-019-00730-w[47] R. Miculescu si S. Urziceanu, The canonical projection associated

with certain possibly in�nite generalized iterated function systems as a �xedpoint, J. Fixed Point Theory Appl., (2018), 20: 141. https://doi.org/10.1007/s11784-018-0618-2.

38

[48] A. Mihail, The shift space for recurrent iterated function systems,Rev. Roum. Math. Pures Appl., 53 (2008), 339-355.[49] A. Mihail, A neccessary and su¢ cient condition for connectivity of

the attractor of in�nite iterated function systems, Rev. Roumaine Math.Pures Appl., 55 (2010), 147-157.[50] A. Mihail, The canonical projection between the shift space of an IFS

and its attractor as a �xed point, Fixed Point Theory Appl., 2015, Paper No.75, 15 pp.[51] A. Mihail si R. Miculescu, Applications of Fixed Point Theorems in

the Theory of Generalized IFS, Fixed Point Theory Appl. Volume 2008,Article ID 312876, 11 pages doi: 10.1155/2008/312876.[52] A. Mihail si R. Miculescu, A generalization of the Hutchinson mea-

sure, Mediterr. J. Math., 6 (2009), 203�213.[53] A. Mihail si R. Miculescu, The shift space for an in�nite iterated

function system, Math. Rep. Bucur., 61 (2009), 203-213.[54] A. Mihail si R. Miculescu, Generalized IFSs on Noncompact Spaces,

Fixed Point Theory Appl. Volume 2010, Article ID 584215, 11 pages doi:10.1155/2010/584215.[55] P. Moran, Additive functions on intervals and Hausdor¤ measure,

Proc. Camb. Phil. Soc., 42 (1946), 15-23.[56] M. Nowak, Topological classi�cation of scattered IFS-attractors, Topol-

ogy Appl., 160 (2013), 1889-1901.[57] E. Oliveira, The Ergodic Theorem for a new kind of attractor of a

GIFS, Chaos Solitons Fractals, 98 (2017), 63�71.[58] E. Oliveira si F. Strobin, Fuzzy attractors appearing from GIFZS,

Fuzzy Set Syst., 331 (2018), 131-156.[59] N.A. Secelean, Countable iterated function systems. Far. East J.

Dyn. Syst., 3 (2001), 149�167.[60] N.A. Secelean, Any compact subset of a metric space is the attractor

of a CIFS, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 92 (2001), 77-89.[61] N.A. Secelean, The invariant measure of a countable iterated function

cystem, Seminarberichte aus dem Fachbereich Mathematik, Band 73 (2002),3-10.[62] N.A. Secelean, The Hausdor¤ dimension and the similarity in case

of countable iterated function system, Seminarberichte aus dem FachbereichMathematik, Band 73 (2002), 41-52.[63] N.A. Secelean, Some continuity and approximation properties of a

countable iterated function system, Math. Pannon., 14 (2003), 237-252.

39

[64] N.A. Secelean, The fractal interpolation for countable systems ofdata, Beograd University, Publikacije Electrotehn., Fak., ser. Matematika,14 (2003), 11-19.[65] N.A. Secelean, Parameterized curve as attractors of some countable

iterated function systems, Arch. Math. Brno, 40 (2004), 287�293.[66] N.A. Secelean, Generalized countable iterated function systems, Filo-

mat, 25 (2011), 21-36.[67] N.A. Secelean, Continuous dependence on a parameter of the count-

able fractal interpolation function, Carpathian J. Math., 27 (2011), 131-141.[68] N.A. Secelean, The existence of the attractor of countable iterated

function systems, Mediterr. J. Math., 9 (2012), 61-79.[69] N.A. Secelean, Countable Iterated Function Systems, Lambert Aca-

demic Publishing, 2013.[70] N.A. Secelean, Invariant measure associated with a generalized count-

able iterated function system, Mediterr. J. Math., 11 (2014), 361-372.[71] N.A. Secelean, Generalized iterated function systems on the space

l1(X), J. Math. Anal. Appl., 410 (2014), 847-858.[72] F. Strobin, Attractors of generalized IFSs that are not attractors of

IFSs, J. Math. Anal. Appl., 422 (2015), 99-108.[73] F. Strobin si J. Swaczyna, On a certain generalisation of the iterated

function system, Bull. Aust. Math. Soc., 87 (2013), 37-54.[74] F. Strobin si J. Swaczyna, A code space for a generalized IFS, Fixed

Point Theory, 17 (2016), 477-493.[75] T. Szarek si S. Wedrychowicz, The OSC does not imply the SOCS

for in�nite iterated function systems, Proc. Amer. Math. Soc., 133 (2005),437-440.[76] S. Urziceanu, Alternative characterizations of AGIFSs having at-

tractor, Fixed Point Theory, sub tipar.[77] S. Urziceanu, Possibly in�nite generalized iterated function systems

comprising '-max contractions, Stud. Univ. Babes-Bolyai Math., sub tipar.[78] K.R. Wiks, Fractals and hyperfractals, Lectures Notes in Mathemat-

ics 1492, Springer-Verlag, Berlin, 1991.

40