UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATE ATICAS ESCUELA PROFESIONAL DE MATE...

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICAS

ALGEBRA

presentado por:

Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado

LAMBAYEQUE – PERU

2014

Dedicatoria

Para mis padres, Martha y Elıas; pa-

ra mi adorable esposa, Flor Angela

y para los mas grandes tesoros de mi

vida, mis hijas Alessandra Anghely

y Stefany Grace.

PREFACIO

VISION GENERAL

Una de las situaciones mas dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en ma-

tematica es la de tratar de explicar su labor profesional.

La respuesta a esta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la mas

variable ındole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfaccion personal, sin buscar

sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento consustancial a

la naturaleza humana y siendo la matematica lenguaje universal, esta debe cultivarse como contribu-

cion al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos pueblos comprender su propia

y particular realidad. Tambien se estima necesario que todos los paıses, especialmente aquellos en

desarrollo, cultiven las disciplinas basicas para ası poder lograr independizarse cientıfica, tecnologica

y economicamente.

Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que pese a

ser la matematica la mas comun de las ciencias, en el sentido de que esta presente y es utilizada por

todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado de popularidad; mucha gente

tiene sentimientos de aprension, disgusto e incluso miedo a la matematica.

Aun considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el muy

relevante papel que juega nuestra disciplina en la formacion integral de cada ciudadano; de manera

privilegiada, la matematica aporta a esta formacion capacitando a las personas para tomar decisiones en

la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar ideas originales; esto se logra por

ejemplo a traves de desarrollar la capacidad de abstraccion, de ensenar a relacionar objetos o situaciones

diversas, de desarrollar la intuicion; en fin, la matematica ayuda a desarrollar una mentalidad crıtica

y creativa.

Es entonces muy preocupante que sea la mas desconocida de las ciencias para el ciudadano medio;

es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matematico, o, mas generalmente, el analfabetismo

cientıfico.

El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introduccion,

a nivel elemental y basico, de una parte de las matematicas sumamente util y aplicable a casi todas

las ramas del saber “El Algebra”.

De la experiencia de dictar cursos, ponencias y diplomados sobre Algebra es que surgieron apuntes

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4 Algebra Walter Arriaga Delgado

de clase que, despues de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transformandose hasta optar la

forma que ahora presentamos, con la intencion de que sirva como texto guıa que inicie al alumno en

esta fascinante rama de las matematicas.

Objetivo

El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los estudiantes

de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porque y transmitirles el entusiasmo y gusto

por el estudio de las matematicas y a la vez proporcionar al lector una herramienta de consulta, dando

la informacion basica para la resolucion de estas, ası como reforzar la comprension de los temas y

conceptos por medio de una amplia gama de ejercicios resueltos y propuestos. El texto se ha disenado

para brindarle una comprension solida e intuitiva de los conceptos basicos, sin sacrificar la precision

matematica.

Aplicaciones

Una de mis metas fue convencer a los estudiantes de la importancia del Algebra en sus campos de

estudio. Ası, este libro pretende implementar el estudio de las aplicaciones del Algebra a la Geometrıa,

Fısica, Quımica, Biologıa, Economıa, etc.

CARACTERISTICAS

Caracterısticas pedagogicas

En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, se a incluıdo varios aspectos

pedagogicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva acerca del Algebra.

Problemas resueltos y propuestos

Aquı destacamos la importancia crıtica de adquirir destreza en la resolucion de problemas. En los

ejemplos resueltos ensenamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas antes de que empiecen a

resolverlos.

Los estudiantes aprenden matematicas viendo ejemplos completos y claros. Estos varıan desde

muy simples a muy difıciles y compete al docente escoger aquellos mas adecuados para sus alumnos y

proponer otros.

El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba su aptitud.

El autor

Capıtulo 1:

DEFINICIONES BASICAS

1.1. Definicion de ALGEBRA

Es una parte de la Matematica que estudia a las cantidades en su forma mas general posible,

empleando numeros y letras. Tiene por objeto simplificar, generalizar y resolver lo referente a

cantidades desconocidas, utilizando ecuaciones y operaciones adecuadas para llegar a un resul-

tado

1.2. Esquema del desarrollo historico de la Matematica

Siglos L A. C.

Pueblos Primitivos: Medir y contar fueron las primeras actividades matematicas del hombre primitivo. El

trueque la forma de comercio rudimentario que utilizaron. Haciendo marcas en los troncos de los arboles

lograban la medicion del tiempo y el conteo de animales que poseıan. Aparece el concepto de numero,

origen de la Aritmetica.

Siglos LI - VI A.C - (anos 5000 - 500)

• Babilonios: Los pueblos mesopotamicos representaban los numeros con marcas en forma de cuna de

acuerdo con su tipo de escritura. Tablillas cuneiformes descifradas hace poco tiempo, documentan

la contribucion de estos pueblos a la ciencia matematica. Representaban los numeros con marcas:

una marca para el 1; dos marcas para el 2 y ası hasta el 9.

• Asirios y Caldeos: Figuran en estos documentos, conocimientos del Teorema de Pitagoras; operacio-

nes algebraicas con ecuaciones de segundo grado; tablas de potencias de segundo y tercer grado; uso

de las fracciones, (usaban como unico denominador el 60). Todo ello requiere un gran dominio de la

matematica elemental. No supone esto una concepcion abstracta de la ciencia. Para hacer multipli-

caciones utilizaban tablas de cuadrados y la regla siguiente: “el producto de dos numeros es igual al

cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su semidiferencia”. Los conocimientos geometricos

de los Babilonios no forman un sistema; son conocimientos aislados. Dividieron el cırculo en 360

partes iguales, fundamento del sistema sexagesimal que usaron. La rueda, aplicacion del cırculo, es

creacion de estos pueblos. Sabıan dividir la circunferencia en 6 partes iguales por lo que se supone

que conocieron el triangulo equilatero.

• Egipto: Encontramos los primeros vestigios del desarrollo de una ciencia matematica. Sus exigencias

vitales, sujetas a las periodicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionar la ARITMETICA

y la GEOMETRIA.

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1650 A.C.

Escriba Ahmes (hijo de la luna): Copia de una obra anterior un valioso documento matematico, uno de los

mas antiguos que se conocen con el nombre de papiro de Rhind, por ser este su descubridor; el documento

se encuentra en el Museo Britanico. En el se detallan unos 80 problemas con sus soluciones, entre las

cuales estan las ecuaciones de segundo grado.

Siglos VII-VI A.C (Anos 640-535)

Thales de Mileto - griego: Nacido en la ciudad de Mileto. El primero y mas famoso de los 7 sabios de

Grecia, primer filosofo jonico, primer geometra, “Padre de las matematicas griegas”. Recorrio Egipto

donde realizo estudios poniendose en contacto con los misterios de la religion egipcia. Se le atribuye el

haber predicho el eclipse de sol en el ano 585, y el haber realizado la medicion de las piramides mediante

las sombras que proyectan. Fue el primero en dar una explicacion de los eclipses. En geometrıa el Teorema

de Thales es universalmente conocido.

S. VII A.C

India: El Sulva Sutra, documento de “reglas relativas a la ciencia” en el que se enuncian notables soluciones

a problemas geometricos relacionados con la construccion de templos y altares. De estos documentos se

conservan tres versiones; una de ellas lleva el nombre de Apastamba. En esta version encontramos la

proposicion geometrica que indica que el cuadrado construido sobre la diagonal de un rectangulo es igual

a la suma de los cuadrados construidos sobre dos lados adyacentes. Aparecen tambien reglas para construir

un cuadrado equivalente a un rectangulo dado; o construir un cuadrado igual a la suma de otros dos. Sabıan

que el cuadrado construido sobre la diagonal de otro es igual al doble de este. Conocıan el Teorema de

Pitagoras no solo para el caso 3-4-5, sino en general (15-36-39;12-16-20; 5-12-13; 8-15-17; 15-20-25; 12-35-

37). Sabıan calcular con muy alta precision aun cuando no usaban el mecanismo actual. Sin embargo la

contribucion mayor de los hindues a la matematica la encontramos en el sistema de numeracion decimal

posicional.

Siglo VI A.C (Anos 585 -500).

Pitagoras - griego: Celebre filosofo nacido en Samoa y muerto en Metaponte. Realizo sus primeros estudios

en su ciudad natal; viajo por Egipto y otros paıses de Oriente. Fundo la Escuela de Crotona que era una

sociedad secreta de tipo polıtico religiosa la “orden de los Pitagoricos”. Hizo del numero el principio

universal por excelencia. En geometrıa es famoso su teorema, que relaciona los lados de un triangulo

rectangulo.

Siglos V - IV A.C, (Anos 408 -335)

Eudoxio - griego: Oriundo de Cnido, estudio con Platon. Matematico y astronomo, viajo por Egipto, Sicilia

e Italia. La Teorıa de las proporciones procura poner claridad en los problemas del infinito matematico,

Es de su autorıa el metodo de exhaucion para la demostracion de ciertas propiedades.

Anos 427 - 347 A.C.

Platon - griego: Uno de los mas grandes filosofos de la antiguedad, alumno predilecto de Socrates, dio a

conocer las doctrinas del maestro y las suyas propias en los famosos Dialogos. Viajo por el mundo griego y

recibio la influencia de sabios y matematicos. Fundo la Academia en cuyo frontispicio hizo escribir “Nadie

entre aquı si no sabe Geometrıa”. Se discuten aquı los fundamentos y los metodos matematicos.

Anos 450 - A.C.. . .

Hipocrates de Quıo - griego: Aprendio geometrıa en Atenas. Su obra mas importante se relaciona con dos

problemas famosos de la antiguedad: la cuadratura del cırculo y duplicacion del cubo. Se le atribuye la

introduccion del metodo de razonamiento matematico por reduccion al absurdo.

Siglos IV - III A.C. (Anos 365 -275)

Euclides - griego: Autor de “Los Elementos” tratado cientıfico que se mantuvo incolume hasta el siglo

XIX. Ocupo la catedra de Matematica en “El Museo”, centro docente creado por Ptolomeo I (General de

Alejandro Magno). Establecio un metodo riguroso para la demostracion geometrica. En su GEOMETRIA

Walter Arriaga Delgado Algebra 7

el postulado fundamental sostiene: Por un punto exterior a una recta solo puede trazarse una paralela a

la misma y solo una.

Siglo III A.C (Anos 287 -212)

Arquımedes - griego: Nacido en Siracusa (Sicilia). Se le considera el sabio mas grande de la antiguedad.

Murio asesinado por una soldado romano. Entre sus trabajos cientıficos encontramos respuesta a: volumen

de la esfera; determinacion del valor de pi; sobre los conoides y esferoides; sobre las espirales; sobre la

cuadratura de la parabola. Fue autor de innumerables inventos mecanicos: el tornillo sin fin; la rueda

dentada; el espejo parabolico; etc. Fundo la Hidrostatica al descubrir el principio que lleva su nombre.

Anos 280 - 192 A.C.

Eratostenes - griego: Sabio Alejandrino nacido en Cirene, se ocupo de matematica, geografıa y filologıa.

Bibliotecario de Alejandrıa, determino cientıficamente la longitud del meridiano terrestre. Se le debe el

metodo matematico para hallar numeros primos, llamado Criba de Eratostenes.

Anos 250 - ...

Apolonio de Pergamo - griego: Pertenecio a la Escuela de Alejandrıa y enseno en Pergamo. De su obra

se conserva un unico tratado: “las Conicas”, en ocho libros, uno de los cuales se perdio. Apolonio estudia

las propiedades de estas curvas. Con Apolonio termina la llamada Epoca de oro de la matematica griega.

Siglo II D.C (Anos 100 - 178)

• Claudio Ptolomeo - egipcio: Nacido en Ptolemais (Egipto), vivio en Alejandrıa. Astronomo, ma-

tematico, fısico y geografo. Su Sintaxis Matematica (Almagesto) sintetiza y ordena los conocimiento

astronomicos de los griegos, se utilizo en las Universidades hasta el Siglo XVIII. Su sistema geocentri-

co domino la astronomıa durante 14 siglos, hasta la aparicion de Copernico.

• Heron de Alejandrıa - griego: Matematico, fısico e inventor. Se le atribuye la invencion de gran

numero de aparatos mecanicos muy ingeniosos. Entre sus obras podemos mencionar: Geometrıa;

Metrica; Dioptra; Neumatica, etc. En trigonometrıa la formula de Heron permite calcular el area de

un triangulo en funcion de sus lados.

Siglo IV - V, D.C. (Anos 325 - 409)

Diofanto - griego: Matematico de Alejandrıa. Autor de una “Aritmetica” en 13 libros de los cuales se

conservan 6, coleccion de problemas con soluciones simbolicas que podrıan calificarse de algebraicas. Es

el primero en enunciar una teorıa clara sobre las ecuaciones de primer grado. Ofrecio ademas la formula

para la solucion de la ecuacion de 2o grado. Ejercio considerable influencia sobre Viete.

(Anos 370 - 415)

Hypatia - griega: Excepcional mujer, hija del filosofo y matematico Teon. Nacio en Alejandrıa, estudio en

Atenas. En Alejandrıa fundo una Escuela donde enseno las doctrinas de Platon y Aristoteles. Uno de

los ultimos matematicos griegos, se distingue por los comentarios realizados a las obras de Apolonio y

Diofanto. Murio asesinada barbaramente.

Siglo V. (Anos 499 - ...)

Aryabhatta - hindu: Su obra mas conocida es el “Aryabhatiya” escrita en verso sobre temas de astronomıa

y matematica. En la seccion destinada a la ganitapada o matematica se dan los nombres de las potencias

de diez hasta el decimo lugar; se formula un conjunto de instrucciones para calcular raıces cuadradas y

cubicas de numeros enteros y se dan reglas para el calculo de areas. Descubre para el calculo de la longitud

de la circunferencia el numero 3.1416 que hoy llamamos pi. Trata tambien las progresiones aritmeticas y

da problemas sobre interes compuesto. El mayor avance presentado es el sistema de numeracion posicional

decimal. En trigonometrıa se introduce un concepto equivalente a la funcion seno de un angulo; se dan

ası los senos de angulos menores o iguales a 90o para 24 intervalos angulares iguales a tres trescuartos de

grado cada uno. Debemos tener en cuenta sin embargo que los matematicos hindues no daban nunca las

explicaciones de sus calculos ni las demostraciones de sus reglas.


Siglos VI - VII (Anos 588 - 660)

Brahmagupta - hindu: Astronomo y matematico, alumno de Aryabhatta, autor del “Brahmasphuta-

siddhanta”; en dos capıtulos de esta obra, encontramos: soluciones generales para ecuaciones cuadraticas;

una solucion general de la ecuacion lineal diofantica; una solucion para la ecuacion indeterminada de

segundo grado llamada de Pell. En geometrıa establecio varios teoremas sobre superficie de figuras planas.

Se le atribuye conocimiento de las reglas algebraicas para operar con numeros negativos y la regla de los

signos para la multiplicacion.

Siglos IX - X (Anos 850 - ...)

Al-Khuwarizmi - arabe: Nacido en Khuwarismi, Matematico y astronomo es uno de los mas grandes sabios

del Islam. Vivio en Bagdad, trabajo en la Biblioteca del califa Al-Mamun. En su obra encontramos la

notacion posicional de los hindues y el uso de un sımbolo para el cero. El termino algoritmo, deriva de su

nombre. La voz ALGEBRA se halla en el tıtulo de una de sus obras. Da solucion numerica e ilustracion

geometrica de ciertas ecuaciones de segundo grado. La funcion seno de la trigonometrıa, creada por

los matematicos hindues, fue utilizada por primera vez en sus tablas astronomicas. Escribio tambien

“Aritmetica”.

Anos 858 - 929

Al -Battani - arabe: Nacido en Battan (Iran). Astronomo y Matematico, realizo importantes estudios

astronomicos. Rectifico las Tablas de Tolomeo. En matematica, su contribucion fue el Teorema del coseno

para triangulos esfericos.

Siglo XI - XII (Anos 1029 - 1087)

Arzaquel o Al-Zargali- espanol: Astronomo y matematico, nacido en Cordoba (Espana) confecciono las

famosas “Tablas Toledanas” de observaciones y calculos astronomicos, fundamento de las “Tablas Alfon-

sinas”.

Anos 1045 - 1130

Omar Khayyam - persa: Poeta, matematico y astronomo Como matematico hizo una clasificacion de las

ecuaciones algebraicas de primero, segundo y tercer grado y dio una solucion geometrica de las ecuaciones

cubicas, aplicando secciones conicas.

Anos 1140 - ...

Bhaskara - hindu: Vivio en la ciudad de Ujanin. Astronomo y matematico dirigio un observatorio as-

tronomico. Compuso en verso su obra “Siddhanta shiromani”, que trata principalmente de astronomıa,

pero dos de sus capıtulos se dedican a matematica: el VijaGanita, y el Lilavati. Ellos contienen numeroso

problemas sobre ecuaciones lineales y cuadraticas; medidas de areas; progresiones aritmeticas y geometri-

cas; raıces; ternas pitagoricas y otros.

Siglos XII -XIII (Anos 1175-1250)

Fibonacci o Leonardo de Pisa - italiano: No era un erudito, pero por sus continuos viajes en Europa y el

Cercano Oriente, obtuvo informacion muy importante sobre diversas cuestiones matematicas. Introdujo

en el mundo occidental, la numeracion india y arabiga. En su libro ”Liber Abacci”(1202) explica los

procedimientos para hacer calculos mercantiles. Es famosa la sucesion de Fibonacci.

Anos 1235 - 1315

Raimundo Lulio - espanol: Nacido en Palma de Mallorca, llamado “el Doctor Iluminado”, por su dedicacion

a la propagacion de la fe. Su “Arte Magna” enuncia procedimientos para demostrar automaticamente

cualquier verdad, es una especie de matematica universal Fue martirizado y murio en 1315, la iglesia lo

beatifico.

Siglo XIV - XV

Es el fin de la Edad Media, en Occidente se produce una lenta transformacion ideologica que se extiende

por varias generaciones. El individuo aspira a la libertad de pensamiento, de opinion y de creencia. El


proceso de transformacion se ve acelerado por la aparicion de la imprenta (1400-1468). Se traducen y se

imprimen numerosas obras de sabios griegos y la matematica comienza a separarse de la filosofıa.

Siglos XV - XVI (Anos 1445 - 1514)

Luca Pacioli - italiano: Nacido en Toscana. Matematico escribio un tratado que resumıa todos los cono-

cimientos de su epoca en esta especialidad “Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportio-

nalita”. En ella se encuentra un avance respecto al simbolismo algebraico y a la matematica comercial.

Anos 1499 - 1557

Nicolas de Tartaglia - italiano: Nacido en Brescia, fue uno de los mas destacados matematicos de su epoca.

Hallo un metodo para solucionar las ecuaciones de tercer grado, y sostuvo una polemica con Cardano sobre

quien fue el primero en descubrir dicha solucion.

Anos 1501 - 1576

Girolamo Cardano - italiano: Matematico, medico y astronomo nacido en Pavia. Publico en su “Arte

Magna” (1545) la formula que Tartaglia descubriera para la solucion de las ecuaciones cubicas, y que se la

comunico bajo la promesa de no darla a conocer. En dicha obra se incluye tambien la solucion de Ferrari

a las ecuaciones de cuarto grado. Analizo las relaciones entre coeficientes y raıces de una ecuacion.

Anos – 1580

Bombelli, Raffaele - italiano: Matematico nacido en Bolonia, algebrista famoso del siglo XVI. Su “Tratado

de Algebra” (1572) incorpora por primera vez la idea de los numeros complejos y da algunas reglas para

operar con ellos. Con este descubrimiento resuelve el caso irreducible de la ecuacion de tercer grado. Otro

aporte fue el estudio completo de las ecuaciones cuarticas, con un metodo general para su resolucion.

Siglos XVI - XVII (Anos 1540 -1603)

Francois Viete - frances: Nacido en Fontenay-le-Comte, polıtico y militar que tenıa como pasatiempo

favorito las matematicas, puede considerarsele como el fundador del ALGEBRA moderna al introducir

la notacion algebraica. Dio formulas para la solucion de las ecuaciones de 6o grado; resolvio ecuaciones

numericas de hasta 45o completo el desarrollo de la Trigonometrıa de Ptolomeo; calculo pi con 9 decimales.

Anos 1550-1617

John Neper - escoces: Baron de Merchiston (nacio y murio en ese castillo, cerca de Edimburgo), dedicado

en sus ratos de ocio al cultivo de los numeros. Descubrio el principio que rige a los logaritmos y publico la

primer tabla en 1614. Tuvo una discusion con Burgi sobre quien habıa sido el primero en trabajar con

logaritmos. Fue amigo de Henry Briggs, profesor del Gresham College de Londres, que trabajo con los

logaritmos en base 10 y publico su primer tabla en 1624. En matematica se conocen como analogıas de

Neper las proporciones que se pueden establecer entre los elementos de un triangulo esferico cualquiera;

la regla de Neper en trigonometrıa, permite resolver los casos de triangulos esfericos rectagulos.

Anos 1596 - 1650

Renato Descartes - frances: Filosofo y matematico, nacio en Normandıa, fue soldado y recorrio Hungrıa,

Suecia e Italia. La reina Cristina de Suecia lo invita a su corte, para que le de clases de matematica. Se lo

considera el primer filosofo de la edad moderna y sistematiza el metodo cientıfico. Es el primero en aplicar

rigurosamente el algebra a la geometrıa, creando ası la GEOMETRIA ANALITICA. Murio en Suecia.

Ideo el sistema de coordenadas llamado cartesiano.

Anos 1593-1662

Gerard Desargues - frances: Arquitecto e Ingeniero militar Los conceptos e ideas expuestos en su tratado

sobre las conicas “Brouillon-Proyect”, forman parte de la Geometrıa Proyectiva. Conocido es el Teorema

de Desargues.

Anos 1598-1647

Cavalieri Bonaventura - italiano: Nacio en Milan, fue jesuita y matematico, enseno en Bolonia. Se lo

considera precursor del calculo infinitesimal. Su obra “Geometrıa de los indivisibles” aparece en 1635.


Anos 1601 - 1665

Pierre Fermat - frances: Nacio en Beaumont-de-Lomage y murio en Castres. Matematico que estudio a los

matematicos griegos. Hizo aportes muy importantes a la teorıa de los numeros, al algebra, al analisis y a

la geometrıa analıtica. Fundo la moderna teorıa de los numeros, o ARITMETICA SUPERIOR. Expuso

teoremas fundamentales del calculo de probabilidades. Se conoce como ultimo teorema de Fermat el

que sostiene que: con numeros naturales, no es posible hallar 4 numeros tales que xn + yn = zn, cuya

demostracion aun no a sido hallada.

Anos 1623 - 1662

Blas Pascal - frances: Nacido en Clermont-Ferrand, matematico, fısico y teologo, De naturaleza enfermi-

za, a los 12 anos - segun la hermana - habıa demostrado las 32 proposiciones de Euclides; siendo aun

nino, escribio el “Ensayo sobre las conicas”; a los 16 anos inventa la maquina aritmetica que construye

en 1643; simplifico la geometrıa Proyectiva; dio junto con Fermat los primeros teoremas del calculo de

Probabilidades. Son conocidas las siguientes cuestiones: caracol de Pascal; recta de Pascal; triangulo de

Pascal.

Anos 1630 - 1677

Isaac Barrow - ingles: Matematico y Teologo fue maestro de Newton sobre el que influyo notablemente.

Ideo el llamado triangulo diferencial o triangulo caracterıstico para la determinacion de las tangentes a

las curvas planas, que inspiro el concepto de derivada de Newton.

Anos 1654 - 1705)

Jacques Bernoulli I - suizo: Enseno matematica en Basilea, fundo el moderno calculo de variaciones.

Estudio la curva elastica, la catenaria, y la espiral logarıtmica. Invento el calculo exponencial y escribio uno

de los primeros tratados sobre el calculo de probabilidades: “Ars conjectandi”.

Anos 1661 - 1704

L’Hopital, Guillaume Francois Antoine - frances: Matematico, discıpulo de Juan Bernoulli y autor de la

primera obra sistematica sobre Analisis infinitesimal. El Teorema de L’Hopital, permite calcular el lımite

de ciertos tipos de expresiones indeterminadas.

Siglos XVII - XVIII (Anos 1642 - 1727)

Isaac Newton - ingles: El mas grande de los matematicos ingleses. Su libro “Principia Mathemathica”basta

para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matematicas. Descubrio simultaneamente con

Leibnitz el Calculo diferencial y el Calculo integral. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que

lleva su nombre. Segun Leibnitz “Si se considera la matematica creada desde el principio del mundo hasta

la epoca en que Newton vivio. Lo que el realizo fue la mejor mitad”.

Anos 1646 - 1716

Leibnitz, Gottfried Wilhelm - aleman: Nacido en Leipzig. Filosofo. Jurisconsulto y matematico “la mente

mas universal de su epoca”, domino toda la ciencia. Viajo por Francia, Inglaterra y Holanda; en Hannover

fue Bibliotecario y consejero del duque de Brunswick. Descubrio simultaneamente con Newton el Calculo

diferencial y el Calculo integral, desarrollo el Analisis combinatorio, invento las coordenadas polares y el

sistema binario de numeracion. Murio en Hannover.

Anos 1667 - 1748

Jean Bernouli I - suizo: Hermano y discıpulo de Jacques. Enseno en Groningen (Holanda) y sucedio a su

hermano mayor en la catedra de Basilea. Contribuyo grandemente a la difusion del calculo infinitesimal.

Fue el maestro de Euler. Es conocida la ecuacion diferencial de primer orden llamada de Bernouli.

Anos 1685 - 1731

Taylor, Brook - ingles: Matematico y cientıfico, cultivo la Fisica, la Musica y la Pintura. Fue discıpulo de

Newton, y se dio a conocer en 1708 al presentar en la “Royal Society” un trabajo acerca de los centros de

oscilacion. Su obra fundamental “Metodos de los incrementos directos e inversos” contiene los principios


basicos del calculo de las diferencias finitas. En el Algebra Elemental conocemos el Teorema de Taylor,

cuya consecuencia es el Teorema de Mac Laurin.

Siglo XVIII (Anos 1707 - 1783)

Euler Leonard - suizo: Nacido en Basilea, fue alumno de Juan Bernouli. Matematico excelente, durante

12 anos gano el premio anual que ofrecıa la Academia de Parıs sobre diversos temas cientıficos. Federico

El Grande lo llamo a Berlın Catalina de Rusia lo llevo a San Petersburgo donde trabajo incesantemente.

Sistematizo el calculo infinitesimal unificando las escuelas de Newton y de Leibniz. Son conocidas: la

formula de Euler (eix = cosx + i senx), que para x = π resulta: eiπ + 1 = 0; funciones de Euler son las

funciones a y a que se utilizan en analisis matematico; se llama relacion de Euler la que vincula las caras,

aristas y vertices de un poliedro cualquiera. Los ultimos 17 anos de su vida estuvo totalmente ciego.

Anos 1704 - 1752

Cramer, Gabriel - suizo: Matematico, autor de un trabajo en que explica las causas de la inclinacion de las

orbitas de los planetas. Es autor ademas de la regla que lleva su nombre, para la solucion de un sistema

de ecuaciones lineales.

Anos 1717 - 1783

D′Alembert, Jean Le Rond - frances: Nacio y murio en Parıs. Matematico, fısico y filosofo, hijo ilegıtimo

abandonado por sus padres en el atrio de la capilla de Saint Jean Le Rond. Estudio matematica por su

cuenta. En 1747 publica una memoria sobre las cuerdas vibrantes, da la ecuacion diferencial que lleva

su nombre y la integra. Ası funda la teorıa de las ecuaciones en derivadas parciales. Junto con Diderot

elabora la “Enciclopedia” en la que trata del calculo diferencial y las conicas. Fue secretario perpetuo de

la Academia Francesa. Puede considerarsele junto con Rousseau, precursor de la Revolucion.

Siglos XVIII - XIX (Anos 1736 - 1813)

Lagrange, Jose Luis - italiano: Nacio en Turin, murio en Paris. Se intereso por la matematica al leer un

elogio del calculo infinitesimal de Halley. Fue nombrado profesor a los 19 anos y organizo la Academia

de Ciencias de Torino; a los 23 anos es miembro de la Academia de Berlin, cuya seccion de Fısica y

Matematica dirigio durante 20 anos. Estudio la teorıa de las formas cuadraticas y demostro el celebre

Teorema de Bachet de Meziriac (todo entero puede descomponerse en la suma de no mas de cuatro

cuadrados). Investigo las ecuaciones indeterminadas de segundo grado con dos incognitas. Independizo el

calculo de variaciones de la geometrıa. En su obra maestra “Mecanica Analıtica”, aplica el analisis y el

calculo de variaciones. Su contribucion al Algebra se encuentra en la memoria que escribio en Berlın hacia

1767 “Sobre la resolucion de las ecuaciones numericas”. Fue amigo de Napoleon que lo nombro Senador.

Anos 1746 - 1818

Monge, Gaspar - frances: Nacido en Beaune, fue Ministro de Marina durante la Revolucion . Posteriormente

Napoleon lo envıa a Italia, Egipto y Siria. Fue el creador de la Geometrıa descriptiva. A el se deben varios

teoremas sobre ecuaciones en derivadas parciales y capıtulos de geometrıa diferencial. Sus “Lecciones de

geometrıa Descriptiva” y “Aplicacion del Analisis a la geometrıa” son de 1794.

Anos 1749 - 1827

Laplace, Pierre Simon - frances: Nacio en Beaumont-en-Auge. Matematico, fue profesor en el Colegio

Militar de Parıs. Su “Teorıa analıtica de la probabilidades” (1812) es la primera exposicion sistematica

del Calculo de probabilidades.

Anos 1752 - 1833

Legendre, Adrien Marie - frances: Nacido en Parıs. Es un matematico cuyos trabajos mas importante se

relaciona con las integrales elıpticas y la teorıa de numeros, con su ley de reciprocidad cuadratica. Su obra

principal “Tratado de las funciones elıpticas y las integrales eulerianas”. Fue el iniciador de la Teorıa de

las formas, de las que desarrollo las cuadraticas, binarias y ternarias.

Anos 1768 -1830

Fourier, Jean Baptiste Joseph - frances: Matematico y Fısico teorico nacido en Auxerre y muerto en


Parıs; quedo huerfano a los 8 anos de edad. Enseno en la Escuela Normal y en la Politecnica. Acompano a

Napoleon Bonaparte a Egipto y fue Secretario del Instituto del Cairo Su principal obra es “Teorıa analıtica

del calor”; propone aquı su celebre ecuacion diferencial de propagacion del calor. Ademas contribuye con

el desarrollo de una funcion en serie trigonometrica o Serie de Fourier y propone un metodo matematico

para la solucion de numerosos problemas de vibraciones y ondulaciones.

Anos 1777 -1855

Gauss, Karl Friedrich - aleman: Nacio cerca de Brunswick y murio en Gotinga. Matematico, Fısico y

Astronomo, se lo suele llamar Prıncipe de la matematica. Nino prodigio aprendio a contar antes que a

hablar. En su tesis de doctorado (1799) demostro por primera vez el Teorema fundamental del algebra. Dio

unidad y amplitud a la Teorıa de los numeros. En su obra maestra “Disquisiciones Aritmeticas” inventa

el concepto de numeros congruentes modulo p; descubrio la ley de reciprocidad cuadratica; sistematizo la

teorıa de los numeros complejos. En analisis investiga las funciones de variables complejas; descubre

la doble periodicidad de las funciones elıpticas. En geometrıa introduce las coordenadas curvilineas (o

gaussianas). Crea de esta manera la geometrıa intrınseca. Creo la Geometrıa diferencial; la teorıa de las

representaciones conformes y emprendio el estudio de la Topologıa; el metodo de los mınimos cuadrados;

la Campana de Gauss o curva normal de errores.

Anos 1781-1848

Bolzano, Bernhard - aleman: Matematico nacido en Praga, fue sacerdote catolico. Es uno de los iniciadores

de la fundamentacion rigurosa del Analisis mediante su aritmetizacion . Formulo el concepto de funcion

continua y sus teoremas fundamentales. Las modernas teorıas del infinito hallan tambien en Bolzano un

precursor. Expuso sus originales concepciones en las “Paradojas del Infinito”.

Anos 1781-1840

Poisson, Simeon Denis - frances: Fısico matematico nacido en Pithiviers. Ingreso en la escuela Politecnica

donde llego a suceder a Cauchy. Fue el primer profesor de Mecanica de la Sorbona. Estudio la celebre

ecuacion diferencial en derivadas parciales que lleva su nombre. Pertenecio a la escuela que introdujo

el rigor en el analisis. En su obra “Investigacion sobre la probabilidad de los juicios” (1837), expuso la

distribucion que lleva su nombre.

Anos 1789 - 1857

Cauchy, Agustin Louis - frances: Matematico nacido en Parıs, formulo rigurosamente el calculo infinite-

simal a partir del concepto de lımite; estudio las funciones de variables compleja. Nos lego la formula de

Cauchy; el principio de convergencia de Cauchy para una sucesion; el problema de Cauchy: el Teorema de

Cauchy, etc. Su vida estuvo sometida a los azares de su tiempo (revoluciones y contra revoluciones) . No

acepto el cargo en la Academia por no tener que jurar ante la Revolucion. Fue profesor de matematica en

Turin. Comenzo la creacion sistematica de la teorıa de grupos, imprescindibles en la matematica moderna.

Dio su definicion del concepto de funcion.

Anos 1793 - 1856

Lobatchewski Nicolas - ruso: Matematico, estudio en la Universidad de Kazan de la que fue posteriormente

Profesor, Decano de la Facultad de Matematica y Rector. Combate la idea de Kant del espacio y establece

la relatividad de esta nocion. Combate la geometrıa de Euclides, que se mantenıa intacta por mas de 22

siglos. Es el creador junto con Bolyai de las GEOMETRIA NO EUCLIDIANAS y pude considerarsele

como el precursor de la Teorıa de la Relatividad.

Anos 1802 - 1829

Abel, Niels Henrik - noruego: Matematico que vivio durante toda su vida en extrema pobreza. Trato de

abrirse paso entre los matematicos del continente, pero no lo logro. Obtuvo con Jacobi el Gran Premio de

Matematica del Instituto de Francia, por su trabajo sobre funciones elıpticas. Fue uno de los mas grandes

algebristas del siglo XIX. Demostro el Teorema General del Binomio. Llevo a cabo la demostracion de la

imposibilidad de resolucion de las ecuaciones de 5o grado. Murio desconocido.


Anos 1802-1860

Bolyai, Janos - hungaro: Matematico que a los 22 anos escribio su “Ciencia absoluta del Espacio” (1832)

donde expone un sistema geometrico completo que prescinde del postulado de las paralelas de Euclides

Bolyai demuestra ası que dicho postulado es independiente de los demas, y que basta reemplazar alguno o

todos los postulados de Euclides para obtener nuevas geometrıas, todas logicamente verdaderas. De este

modo demostro la inutilidad de los esfuerzos de su padre (Wolfgang - 1775 - 1856) por demostrar dicho

postulado con ayuda de los demas.

Anos 1804 - 1851

Jacobi, Karl Gustav - aleman: Matematico, Profesor en la Universidad de Berlın y Koenigsberg, comparte

con Agel el Gran Premio del Instituto de Francia por su trabajo sobre funciones elıpticas. Fue el primero

en aplicar estas funciones a la teorıa de numeros. Su obra sobre ecuaciones diferenciales inicia una nueva

etapa en la Dinamica. Es famosa en este campo la ecuacion de Hamilton-Jacobi. Ideo la forma sencilla de

los determinantes que se estudian hoy en el Algebra.

Anos 1811- 1832

Galois, Evariste - frances: Despues de realizar estudios en un Liceo, ingresa a la Escuela Normal de Parıs.

Acusado de peligroso republicano va a parar a la carcel. No fue la unica vez que estuvo en prision. Acabado

de salir muere de un pistoletazo a los 21 anos de edad. A pesar de esta corta vida dejo una estela profunda

en la historia de la matematica. Es el creador de la teorıa de grupo y autor de la demostracion del Teorema

que lleva su nombre sobre resolucion de las ecuaciones de primer grado.

Anos 1815 -1864

Boole, George - ingles: Nacio en Lincoln (Inglaterra) y murio a los 49 anos en Ballintemple (Irlanda).

Estudio algebra por su cuenta, ası como los trabajos de Laplace y Lagrange que llegaron a ser mas tarde

las bases para sus primeros papeles matematicos. Desde los 16 anos se gano la vida con la ensenanza y en

1849 fue nombrado Profesor Universitario en Cork. Publico alrededor de 50 escritos. Recibio la medalla

de la Real Sociedad por su aplicacion de metodos algebraicos para la solucion de ecuaciones diferenciales.

Boole redujo la logica a un algebra simple, elaborando ası la llamada Logica Booleana, que tiene una

amplia aplicacion en comunicaciones telefonicas y en el diseno de computadoras. Su obra principal es

“Investigacion de las leyes del pensamiento en las que se fundan las teorıas matematicas de la logica y de

la probabilidad”.

Anos 1815-1897

Weierstrass, Karl Wilhelm Theodor - aleman: Matematico, maestro de escuela y mas tarde Profesor de

la Universidad de Berlın. Puede considerarsele como el padre del Analisis moderno. En sus primeras

investigaciones abordo el problema de los numeros irracionales. Luego se dedico el resto de su vida al

estudio de las funciones de variables complejas y de variables reales. Su nombre es inseparable del de su

discıpula Sonia Kovalewski, valiosa matematica rusa.

Anos 1826-1866

Riemann, Bernhard - aleman: Matematico nacido en Selasca, discıpulo de Gauss. Se inicio en Gotinga co-

mo estudiante de filologıa y teologıa. Sus contribuciones se relacionan con: a) Teorıa de numeros; estudio el

problema de la distribucion de los numeros primos. b) Teorıa de las funciones; Estudio las funciones de

variables complejas; establecio el ”plano multiple.o superficie de Riemann; estudio las funciones algebrai-

cas, funciones elıpticas y funciones abelianas. c) Geometrıa; Su memoria “Sobre las hipotesis que sirven de

fundamento a la geometrıa” establece la diferencia entre espacio infinito e ilimitado que tuvo importancia

en el desarrollo de la Teorıa de la Relatividad. d) Series trigonometricas; expone su teorıa de la integracion

en la cual considera funciones acotadas con infinitos puntos de discontinuidad. e) Topologıa; sus trabajos

se refieren al genero de las superficies. A los 40 anos fallecio en Italia, donde se habıa trasladado buscando

un clima mas favorable para curar su tuberculosis.

Siglos XIX - XX Anos 1842-1913

Weber, Heinrich - aleman: Matematico nacido en Heidelberg. Autor de importantes trabajos sobre teorıa


de los numeros , analisis matematico y calculo diferencial. Sus obras principales son: “Manual de Algebra”

y “Enciclopedia elemental de Matematica”.

Anos 1845-1918

Cantor, George - ruso: Matematico nacido en San Petersburgo, vivio alli hasta 1856 fecha en que su familia

se radica en Alemania. En sus ultimos anos tuvo que ser internado en el manicomio de Halle, donde murio.

Sus primeros trabajos se relacionan con las series trigonometricas y las teorıas de los numeros irracionales.

Trabajo en colaboracion con Dedekind. En 1872 demostro que los numeros trascendentes son de un tipo de

infinitud mayor que el de los numeros algebraicos; de aquı deriva su aritmetica transfinita. Posteriormente

elaboro su celebre teorıa de conjuntos. Entre las consecuencias mas notables de las teorıas de Cantor se

encuentra la referente a la existencia de distintos tipos y jerarquıas de infinitud. Su influencia se nota en

el Analisis Moderno, en la Topologıa abstracta y en los estudios epistemologicos modernos.

Anos 1854 -1912

Poincare, Jules-Henri - frances: Matematico que estudio en la Escuela Politecnica de Parıs. Fue Profesor

de Analisis Matematico en Caen, luego es nombrado Profesor de Mecanica y Fisica Experimental en la

Facultad de Ciencias de Parıs. Independientemente de sus contribuciones a la matematica es un verdadero

divulgador de los metodos cientıficos. Circulan por todo el mundo sus obras “Ciencia e Hipotesis” y “Valor

social de las Ciencias”. Es importante su trabajo sobre las ecuaciones fuchsianas.

Anos 1858 - 1947

Plank, Max - aleman: Matematico y Fisico, recibio el premio nobel de Fısica de 1918. Sus estudios se

desarrollaron alrededor de las relaciones entre el calor y la energıa. Llevo a cabo la renovacion de la Fısica

al introducir su famosa teorıa de los “quanta” basada en la discontinuidad de la energıa radiante. La base

de la Fısica moderna es la “constante universal de Plank”. En sus trabajos se unen maravillosamente la

Fısica y la Matematica. Alemania creo el Instituto de Fısica Max Plank.

Anos 1879 - 1955

Einstein Albert - aleman: Matematico y Fısico, Profesor del Instituto Politecnico y de la Universidad de

Zurich. Director de la Seccion de Fısica del Instituto Emperador Guillermo. Recibio en 1921 el premio

Nobel de Fısica, por sus trabajos acerca de la Teorıa de la Relatividad del tiempo, que modifica la Teorıa

de Gravitacion universal de Newton. Trabajando con otros cientıficos de diversas nacionalidades en la

Universidad de Prınceton logro la desintegracion del atomo, base de la Bomba Atomica.

Anos 1862-1943

Hilbert, David - aleman: Matematico nacido en Koenigsberg y muerto en Gotinga. Su obra abarca gran

parte de los campos en que se divide la matematica moderna. Sus trabajos se relacionan con: la teorıa de los

cuerpos; ecuaciones integrales; sistemas de infinitas ecuaciones con infinitas incognitas. Fue el iniciador y el

impulsor del movimiento de axiomatizacion de la matematica moderna. Su obra principal “Fundamentos

de la Geometrıa” (1899). En analisis introdujo los llamados “espacios de Hilbert” y en general los espacios

abstractos. Fue el creador de la llamada Metamatematica.

Anos 1871-1956

Borel, Emile - frances: Matematico nacido en Aveyron. Realizo numerosos trabajos en el campo del

Analisis Matematico: teorıa de funciones; suma de series divergentes; teorıa de conjuntos y calculo de

probabilidades. Sus libros: “Coleccion Borel”, “tratado de calculo de Probabilidades”, “El azar”, “El

espacio y el tiempo”, etc.

Anos 1875-1941

Lebesgue, Henri Leon - frances: Matematico nacido en Beauvais. Prosiguio con los trabajos de Cantor

relacionados con la Teorıa de Conjuntos. Creo la nueva teorıa de la integracion que lleva su nombre.

Contribuyo tambien en las Teorıas de las Series Trigonometricas.

Siglo XX (Anos 1903- ...)

Neumann, John Von N.: Matematico Norteamericano nacido en Budapest (Hungrıa). Sus trabajos sobre


Logıstica matematica, Teorıa de Conjuntos, Teorıa Cuantica, Operadores, etc. lo situan entre los primeros

investigadores de esta ciencia. Fue Profesor de Fisica-Matematica en el Instituto de Altos Estudios de

Princeton.

Anos 1935 - ...

Bourbaki, Nicolas - frances: Es este un nombre supuesto para un movimiento de matematicos franceses

que entendieron que el desarrollo matematico en esa epoca, estaba estancado. Las investigaciones desarro-

lladas bajo este nombre colectivo presenta una coleccion completa de la matematica en forma moderna:

estructuras fundamentales y teorıas levantadas sobre ellas. En 1939 comenzaron a aparecer los “Elementos

de Matematicas” en fascıculos. Sus iniciadores fueron: Andre Weil; Henri Cartan; Jean Dieudonne; Claude

Chevalley; Laurent Schwarz y otros. Aparecieron hasta ahora unos 30 volumenes.

1.3. Origen del Algebra

1.3.1. Introduccion.

Algebra, rama de las matematicas en la que se usan letras para representar relaciones aritmeticas.

Al igual que en la aritmetica, las operaciones fundamentales del algebra son adicion, sustraccion,

multiplicacion, division y calculo de raıces. La aritmetica, sin embargo, no es capaz de generalizar

las relaciones matematicas. El algebra, por el contrario, puede dar una generalizacion que cumple las

condiciones del teorema: a2 + b2 = c2.

El algebra clasica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza sımbolos en vez de numeros es-

pecıficos y operaciones aritmeticas para determinar como usar dichos sımbolos. El algebra moderna

ha evolucionado desde el algebra clasica al poner mas atencion en las estructuras matematicas. Los

matematicos consideran al algebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan

o relacionan. Ası, en su forma mas general, se dice que el algebra es el idioma de las matematicas.

1.3.2. El origen del Algebra.

Los babilonios desarrollaron tecnicas y metodos para medir y contar, impulsados en parte por la

necesidad de resolver problemas practicos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo

de las tecnicas cartograficas. Entre las tablillas babilonicas descubiertas se han encontrado ejemplos

de tablas de raıces cuadradas y cubicas, y el enunciado y solucion de varios problemas puramente

algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuacion cuadratica.

Un examen cuidadoso de las tablillas babilonicas muestra claramente que mediante esos calculos sus

autores no solo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros mas abstractos y artificiales,

y que lo hacıan para desarrollar tecnicas de solucion y ejercitarse en su aplicacion.

Uno de ellos, en terminos modernos, dice: He sumado el area del cuadrado con los dos tercios del

lado del cuadrado y el resultado es

7

12


Se requiere hallar la longitud del lado del cuadrado. En cuanto que, hasta la mitad del siglo XIX, el

algebra se ocupo principalmente de resolver ecuaciones de este tipo, puede decirse que fue en Babilonia

donde tuvo su origen esta ciencia.

Fueron los arabes quienes le dieron a la nueva ciencia de plantear y resolver ecuaciones un nombre:

aljabr. La nueva civilizacion que surgio en la penınsula arabiga en la primera mitad del siglo VII,

habrıa de transformar muy pronto la vida de gran parte del mundo habitado de entonces. Menos de

un siglo despues de la captura de La Meca por Mahoma en el ano 630 d.C., el ejercito islamico habıa

convertido a las tribus politeıstas dcl Medio Oriente y usurpado al imperio bizantino los territorios de

Siria y Egipto. La conquista de Persia se completo hacia el ano 641 d.C. Los sucesores de Mahoma,

los califas, primero establecieron su capital en Damasco pero, tras cien anos de guerras, el califato se

dividio en varias partes.

La fundacion en 766 d.C. por parte del califa al - Mansur de Bagdad como la nueva capital de

su califato, significo cl comienzo de una etapa mas tolerante del islamismo y permitio el desarrollo

intelectual de sus habitantes. Su sucesor, el califa Harun al - Rashid, quien goberno entre 786 y

809, establecio en Bagdad una biblioteca en la que se reunieron manuscritos provenientes de varias

academias del Cercano Oriente, algunas de las cuales habıan sido establecidas por miembros de las

antiguas academias de Atenas y Alejandrıa que tuvieron que cerrarse a raız de la persecucion de los

romanos. Un programa de tradt4cciones al arabe de textos clasicos de la matematica y ciencia de los

griegos y los hindues era una de las actividades del Bayal al-Iliktna (Casa dc la sabidurıa), un instituto

de investigaciones que fundara cl califa al - Ma’ mun y que funciono durante mas de 200 anos.

Muhammmad ibn Musa al - Khwarizmi, un miembro del Bayal al-Hikma fue el autor de varios

tratados sobre astronomıa y matematicas, entre ellos uno dc los primeros tratados islamicos acerca

del algebra. Fue gracias a la traduccion al latın de su libro acerca del sistema de numeracion hindu,

Algorithmi de numero indorum, que Europa Occidental conocio ese novedoso sistema de numeracion.

Su obra mas importante, sin embargo, fue su tratado de algebra que, con el tıtulo Ilisab al-/abra

wal- muqabala (La ciencia de la reduccion y confrontacion) probablemente significaba la ciencia de las

ecuaciones.

El Algebra de Muhammad contiene instrucciones practicas para resolver ciertas ecuaciones lineales

y cuadraticas. ”Lo que la gente quiere, dice el autor, cuando realiza sus calculo.., es un numero”. Ese

numero no es mas que la solucion de una ecuacion.

Otro importante algebrista arabe fue Omar Khayyam (1048-1131), mejor conocido en Occidente

por su Rubaiyat, una coleccion de unos 600 poemas. Fue el el primero en hacer una clasificacion

sistematica de la ecuaciones cubicas y resolver algunas de ellas.

La contribucion de los algebristas islamicos de los siglos Xl y XII en el desarrollo del algebra

habrıa sido mas notoria si no hubiera tardado tanto en ejercer su influencia en Europa, donde, un poco

despues, el algebra habrıa de consolidarse definitivamente.


1.3.3. Historia del Algebra.

La historia del algebra comenzo en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver

ecuaciones lineales (ax = b) y cuadraticas (ax2 + bx = c), ası como ecuaciones indeterminadas como

x2 + y2 = z2, con varias incognitas. Los antiguos babilonios resolvıan cualquier ecuacion cuadratica

empleando esencialmente los mismos metodos que hoy se ensenan.

Los matematicos alejandrinos Heron y Diofante continuaron con la tradicion de Egipto y Babilo-

nia, aunque el libro Las aritmeticas de Diofante es de bastante mas nivel y presenta muchas soluciones

sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difıciles. Esta antigua sabidurıa sobre resolucion de

ecuaciones encontro, a su vez, acogida en el mundo islamico, en donde se la llamo “ciencia de re-

duccion y equilibrio”. (La palabra arabe aljabr que significa ‘reduccion’, es el origen de la palabra

algebra). En el siglo IX, el matematico al-Jwarizmi escribio uno de los primeros libros arabes de algebra,

una presentacion sistematica de la teorıa fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones

incluidas. A finales del siglo IX, el matematico egipcio Abu Kamil enuncio y demostro las leyes fun-

damentales e identidades del algebra, y resolvio problemas tan complicados como encontrar las x, y, z

que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2. En las civilizaciones antiguas se

escribıan las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas solo ocasionalmente; sin embargo, en la

edad media, los matematicos arabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incognita x,

y desarrollaron el algebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los sımbolos modernos. Esta

algebra incluıa multiplicar, dividir y extraer raıces cuadradas de polinomios, ası como el conocimiento

del teorema del binomio. El matematico, poeta y astronomo persa Omar Khayyam mostro como ex-

presar las raıces de ecuaciones cubicas utilizando los segmentos obtenidos por interseccion de secciones

conicas, aunque no fue capaz de encontrar una formula para las raıces. La traduccion al latın del Alge-

bra de al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matematico italiano

Leonardo Fibonacci consiguio encontrar una aproximacion cercana a la solucion de la ecuacion cubica

x3 +2x2 + cx = d. Fibonacci habıa viajado a paıses arabes, por lo que con seguridad utilizo el metodo

arabigo de aproximaciones sucesivas.

A principios del siglo XVI los matematicos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Car-

dano resolvieron la ecuacion cubica general en funcion de las constantes que aparecen en la ecuacion.

Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontro la solucion exacta para la ecuacion de cuar-

to grado y, como consecuencia, ciertos matematicos de los siglos posteriores intentaron encontrar la

formula de las raıces de las ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo

XIX el matematico noruego Niels Abel y el frances Evariste Galois demostraron la inexistencia de

dicha formula.

Un avance importante en el algebra fue la introduccion, en el siglo XVI, de sımbolos para las

incognitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la

Geometrıa (1637), escrito por el matematico y filosofo frances Rene Descartes se parece bastante a un

texto moderno de algebra. Sin embargo, la contribucion mas importante de Descartes a las matematicas


fue el descubrimiento de la geometrıa analıtica, que reduce la resolucion de problemas geometricos a

la resolucion de problemas algebraicos. Su libro de geometrıa contiene tambien los fundamentos de

un curso de teorıa de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamo la regla de los signos

para contar el numero de raıces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuacion. Durante

el siglo XVIII se continuo trabajando en la teorıa de ecuaciones y en 1799 el matematico aleman Carl

Friedrich Gauss publico la demostracion de que toda ecuacion polinomica tiene al menos una raız en

el plano complejo (vease Numero (matematicas): Numeros complejos).

En los tiempos de Gauss, el algebra habıa entrado en su etapa moderna. El foco de atencion se

traslado de las ecuaciones polinomicas al estudio de la estructura de sistemas matematicos abstractos,

cuyos axiomas estaban basados en el comportamiento de objetos matematicos, como los numeros com-

plejos, que los matematicos habıan encontrado al estudiar las ecuaciones polinomicas. Dos ejemplos de

dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los siste-

mas numericos, aunque tambien difieren de ellos de manera sustancial. Los grupos comenzaron como

sistemas de permutaciones y combinaciones (vease Combinatoria) de las raıces de polinomios, pero

evolucionaron para llegar a ser uno de los mas importantes conceptos unificadores de las matematicas

en el siglo XIX. Los matematicos franceses Galois y Augustin Cauchy, el britanico Arthur Cayley y

los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las cuaternas

fueron descubiertas por el matematico y astronomo irlandes William Rowan Hamilton, quien desa-

rrollo la aritmetica de los numeros complejos para las cuaternas; mientras que los numeros complejos

son de la forma a + bi, las cuaternas son de la forma a+ bi+ cj + dk.

Despues del descubrimiento de Hamilton, el matematico aleman Hermann Grassmann empezo a in-

vestigar los vectores. A pesar de su caracter abstracto, el fısico estadounidense J. W. Gibbs encontro en

el algebra vectorial un sistema de gran utilidad para los fısicos, del mismo modo que Hamilton habıa

hecho con las cuaternas. La amplia influencia de este enfoque abstracto llevo a George Boole a escribir

Investigacion sobre las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la logica basica.

Desde entonces, el algebra moderna tambien llamada algebra abstracta ha seguido evolucionando; se

han obtenido resultados importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas de las

matematicas y en muchas otras ciencias.

1.3.4. Un poquito mas de la historia del algebra

¿Sabıas que el algebra que se estudia en secundaria es muy antigua?

Aquı encontraras algunos pasajes de su historia. Desde el siglo XVII aC. los matematicos de

Mesopotamia y de Babilonia ya sabıan resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Ademas

resolvıan tambien, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incognitas En el siglo

XVI aC. los egipcios desarrollaron un algebra muy elemental que usaron para resolver problemas

cotidianos que tenıan que ver con la reparticion de vıveres, de cosechas y de materiales. Ya para

entonces tenıan un metodo para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el “metodo de


la falsa posicion”. No tenıan notacion simbolica pero utilizaron el jeroglıfico hau (que quiere decir

monton o pila) para designar la incognita. Alrededor del siglo I dC. los matematicos chinos escribieron

el libro Jiu zhang suan shu (que significaEl Arte del calculo), en el que plantearon diversos metodos

para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, ası como sistemas de dos ecuaciones con dos

incognitas. Con su abaco (suan zı) tenıan la posibilidad de representar numeros positivos y negativos.

En el siglo II, el matematico griego Nicomaco de Gerasa publico su Introduccion a la Aritmetica y

en ella expuso varias reglas para el buen uso de los numeros.

En el siglo III el matematico griego Diofanto de Alejandrıa publico su Aritmetica en la cual, por

primera vez en la historia de las matematicas griegas, se trataron de una forma rigurosa no solo las

ecuaciones de primer grado, sino tambien las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy

elemental al designar la incognita con un signo que es la primera sılaba de la palabra griega arithmos,

que significa numero. Los problemas de algebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos

mas tarde serıa ”la teorıa de ecuaciones”. A pesar de lo rudimentario de su notacion simbolica y de

lo poco elegantes que eran los metodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores

del algebra moderna.

En el siglo VII los hindues habıan desarrollado ya las reglas algebraicas fundamentales para manejar

numeros positivos y negativos.

Siglo IX. Epoca en la que trabajo el matematico y astronomo musulman Al-Jwarizmi, cuyas obras

fueron fundamentales para el conocimiento y el desarrollo del algebra. Al - Jwarizmi investigo y escri-

bio acerca de los numeros, de los metodos de calculo y de los procedimientos algebraicos para resolver

ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabra algoritmo que, usada

primero para referirse a los metodos de calculos numericos en oposicion a los metodos de calculo con

abaco, adquirio finalmente su sentido actual de “procedimiento sistematico de calculo”. En cuanto a

la palabra algebra, deriva del tıtulo de su obra mas importante, que presenta las reglas fundamentales

del algebra, Al-jabr wal muqabala.

En el siglo X vivio el gran algebrista musulman Abu Kamil, quien continuo los trabajos de Al-

Jwarizmi y cuyos avances en el algebra serıan aprovechados en el siglo XIII por el matematico italiano

Fibonacci.

Durante este mismo siglo, el matematico musulman Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre

los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la Arithmetica de

Diofanto.

En 1202. Despues de viajar al norte de Africa y a Oriente, donde aprendio el manejo del sistema

de numeracion indoarabigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, publico el Liber Abaci

(Tratado del Abaco) obra que en los siguientes tres siglos fue la fuente principal para todos aquellos

estudiosos de la aritmetica y el algebra.

En el siglo XV, el matematico frances Nicolas Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de

los numeros negativos, introdujo ademas una notacion exponencial muy parecida a la que usamos hoy


en dıa, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos.

En 1489 el matematico aleman Johann Widmann d′Eger invento los sımbolos “+” y “−” para

sustituir las letras “p” y “m” que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (mas) y minus (menos)

que se utilizaban para expresar la suma y la resta.

En 1525, el matematico aleman Christoph Rudolff introdujo el sımbolo de la raız cuadrada que

usamos hoy en dıa: Este sımbolo era una forma estilizada de la letra r”de radical o raız.

Entre 1545 y 1560, los matematicos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta

de que el uso de los numeros imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones

de segundo, tercero y cuarto grado.

En 1557 el matematico ingles Robert Recorde invento el sımbolo de la igualdad, =.

En 1591 el matematico frances Francois Viete desarrollo una notacion algebraica muy comoda,

representaba las incognitas con vocales y las constantes con consonantes.

1.3.5. Crucigrama algebraico

Un crucigrama es un juego que consiste en adivinar, mediante breves indicaciones, las palabras

que corresponden a una serie de casillas colocadas cruzandose horizontal y verticalmente en un dibujo.

Aquı encontraras un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendras que resolver 17 ecuaciones de

primer grado. ¡Anımate!

Verticales Horizontales

1) 3x + 2 = 32 3) 7x - 4 = 171

2) x/5 = 16 4) 8x - 920 = 7,080

3) 2x + 8 = 440 6) 1/2x + 8 = 88

5) 2x - 9 = x + 18 7) 5x = 35,745

8) 9x + 9 = 900 10) 4x - 4 = 3x + 6

9) 1/4x - 2 = 250 11)5/2 x + 40 = 500

13) x/3 - 11 = x - 233 12) x/9 - 43 = 1,000

15) x + 5 = 2x - 80 14) x/7 - 5 = 0

16) 5x - 4x + 3x + 8 = 8

¿Que tal, resulto divertido?

1.3.6. Magia con algebra

¿Te gusta hacer trucos de magia?

¿Has probado al hacerlos con un poco de algebra?

En lugar de sombrero de mago necesitaras una hoja de papel y en lugar de varita magica un lapiz.

¿Listo?

Vamos a hacer la prueba con uno a ver que tal funciona:

a. Piensa un numero


Figura 1.1: Crucigrama

b. Al numero que pensaste sumale el numero que sigue.

c. Al resultado del paso anterior sumale 9.

d. Divide el resultado entre 2

e. A lo que quedo restale el numero que pensaste.

¡El numero que quedo es 5!. ¿Impresionado? Veamos en donde quedo el algebra:

Nosotros no sabemos cual es el numero que pensaste. Es una incognita ası que le llamaremos x.

Ahora hay que sumarle el numero que sigue, o sea, x+1. Ası la suma que se hace es x+(x+1) = 2x+1.

Ahora hay que sumar nueve, ası que tenemos que hacer 2x + 1 + 9 que es igual a 2x + 10. Hay que

dividir el resultado entre 2. Veamos pues: (2x+10)/2 = x+5 Y, finalmente, hay que restar el numero

que habıas pensado. Es decir hay que resolver: x + 5 − x . Pero curiosamente el resultado de esta

operacion da 5. Ası que el numero que te quedo es 5. ¿Te sorprende?

Aquı encontraras mas trucos algebraicos, puedes ponerlos a tus amigos, a tu familia. Pero lo mas

importante es que descubras por que funcionan, es decir que practiques un poco el algebra.

Truco 1:

En una caja o en un frasquito guarda 20 cositas iguales, pueden ser canicas, clips, cerillos, frijoles,

en fin, lo que se te ocurra. Pıdele a alguien que piense un numero entre el 1 y el 9. Saca de la caja el

numero de cositas que tu amigo penso. Cuenta cuantas cositas quedaron dentro de la caja. Tiene que

haber quedado un numero de dos dıgitos. Suma esos dos dıgitos y saca de la caja el numero de cositas

que obtuviste de sumar los dos dıgitos. Saca de la caja dos cositas mas.

Repite este truco 3 veces mas ¿Que esta pasando? Intenta explicarlo.

Truco 2:


Piensa un numero. Multiplıcalo por 5. Suma 8 al resultado. A lo que quedo, restale 3. Divide entre

5 el resultado del paso anterior. A lo que quedo resta el numero que pensaste en un principio. El

numero que quedo es el 1

Explica que es lo que paso.

Truco 3:

Esta vez el truco lo vas a hacer tu. En los renglones vacıos, escribe las instrucciones adecuadas

para que se cumpla el truco.

Piensa un numero. Multiplıcalo por 7. Este renglon te toca a ti. A lo que te quedo resta el numero

que pensaste al principio.

Te quedo el numero 1.

Truco 4:

Escribe el numero del mes en que naciste. Por ejemplo, si es junio el 6, si es noviembre el 11, etc.

Multiplica ese numero por 2. A lo que quedo, sumale 5. A lo que quedo, multiplıcalo por 50. A lo que

quedo sumale tu edad actual (no la que vas a cumplir este ano, la que tienes en este momento, hoy).

Al numero que quedo hay que restarle 250, en el resultado de la resta, las decenas y las unidaddes

representaran la edad de la persona, las centenas y los millares, el mes de nacimiento.

Intenta explicar que sucede.

¿Te gustaron los trucos?

¿Por que no inventas los tuyos propios?

1.3.7. Al - Jwarizmi

Figura 1.2: Al - Jwarizmi

Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al - Jwarizmi fue uno de los mejores matematicos arabes de la

Edad Media. Si bien no sabemos mucho acerca de su vida privada, conocemos a profundidad su obra


matematica que afortunadamente llego a nosotros gracias a las traducciones al latın que de ella se

hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento.Al - Jwarizmi vivo del ano 780 al 835. Nacio en

una ciudad llamada Jwarizm que actualmente se llama Jiva y esta en Uzbekistan.

Vivio en la corte del califa Abdula al - Mamun quien habıa fundado una academia de ciencias

que se llamaba “La Casa de la Sabidurıa” en la que trabajaban los mejores cientıficos y matematicos,

entre ellos, por supuesto, Al - Jwarizmi. De esta academia salio la primera expedicion que realizaron

los arabes para calcular la circunferencia de la Tierra y en la que se realizaron varios experimentos de

navegacion y observaciones astronomicas. Al - Jwarizmi fue un miembro muy activo de esta expedicion.

En la “Casa de la Sabidurıa” se desempeno como bibliotecario, matematico y astronomo y escri-

bio varios textos, fundamentalmente de matematicas.

El mas importante de todos ellos es, sin duda, “Al - jabar wa′l Muqabala”, que es un tratado sobre

como plantear y resolver ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza ası:

Este interes por la ciencia, con la que Ala ha dotado al califa Al - Mamun, caudillo de los creyentes, me

ha animado a componer esta breve obra sobre el calculo por medio del algebra, en la que se contiene

todo lo que es mas facil y util en aritmetica, como por ejemplo todo aquello que se requiere para calcular

herencias, hacer repartos justos y sin equıvocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con

terceros, todo aquello en donde este implicada la agrimensura, la excavacion de pozos y canales, la

geometrıa y varios asuntos mas.

Con el paso de los siglos los matematicos reconocieron que la obra de Al - Jwarizmi era tan

importante que se hicieron varias traducciones al latın, que era el idioma en el que se escribıa la

ciencia en la Europa de esa epoca.

Para finales del siglo XVI nadie tenıa dudas ya: Al - Jwarizmi era el verdadero padre del algebra.

UTILIDAD:

Los conocimientos son indispensables en el desarrollo de los curso tales como: La geometrıa, trigono-

metrıa, geometrıa analıtica, calculo diferencial e integral, etc.

SIMBOLOS QUE SE UTILIZAN EN EL ALGEBRA:

Los sımbolos que se utilizan en el algebra son los numeros y las letras.

Los numeros se utilizan para representar cantidades conocidas y las letras se utilizan para representar

toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Para las cantidades conocidas, se emplea generalmente las primeras letras del alfabeto : a, b, c, ....

Para las cantidades desconocidas, emplearemos generalmente las ultimas letras del alfabeto : ... , x, y, z.

Si una letra representa diferentes valores, entonces se emplea la misma letra afectada de comillas o

subındices. a′ , a′′ , ... , se lee “a prima” ; “a segunda” ; ... a1, a2 , ... , se lee “a sub uno” ; “a sub

dos” ; ...

SIGNOS:

Signos de operacion u operadores matematicos:

SIMBOLO OPERACION RESULTADO

+ Adicion Suma

− Sustraccion Resta

. Multiplicacion Producto

÷ Division Cociente

()n Potenciacion Potencia

n√

Radicacion Raız

Cuadro 1.1: Signos de operacion u operadores matematicos

SIGNOS DE RELACION:

= Para valores

≡ Para polinomios

<> Comparacion algebraica entre polinomios

> Menor que

< Mayor que

SIGNOS DE COLECCION:

Son sımbolos que se utilizan para separar o agrupar expresiones . Estos son:

( ) Parentesis

{ } Llave

[ ] Corchete

−→ Barra de vinculo

Indice general

Prefacio 3

1. DEFINICIONES BASICAS 5

1.1. Definicion de ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Esquema del desarrollo historico de la Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Origen del Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2. El origen del Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3. Historia del Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.4. Un poquito mas de la historia del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.5. Crucigrama algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.6. Magia con algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.7. Al - Jwarizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Introduccion 5

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 31

2.1. Definicion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Termino algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Terminos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4. Clasificacion de las expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5. Teorıa de exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 55

3.1. Definicion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2. Grados en operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Polinimios especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1. Polinomio Homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

25


3.3.2. Polinomio Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.3. Polinomio Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.4. Polinomio Entero en x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.5. Polinomio monico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.6. Polinomios identicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.7. Polinomios equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.8. Polinomio identicamente nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4. Valor numerico de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. MULTIPLICACION ALGEBRAICA 75

4.1. Adicion y sustraccion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2. Multiplicacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. DIVISION ALGEBRAICA 97

5.1. Definicion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2. Metodo clasico o division normal: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3. Metodo de coeficientes separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4. Metodo de Guillermo Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5. Metodo de Paolo Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.6. Teorema del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.7. Divisibilidad algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.8. Cocientes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6. FACTORIZACION 125

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3. Criterios de factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3.1. Criterio del factor comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3.2. Criterio del factor comun por agrupacion de terminos . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3.3. Criterio de las identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3.4. Criterio de las aspas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.3.5. Criterio de los divisores binomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.3.6. Criterio de los artificios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7. MAXIMO COMUN DIVISOR. MINIMO COMUN MULTIPLO. FRACCIONES

ALGEBRAICAS 145

7.1. Maximo Comun Divisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.2. Mınimo Comun Multiplo MCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


7.3. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

7.4. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8. POTENCIACION 161

8.1. Factorial de un numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.1.1. Numero combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.1.2. Coeficiente binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.2. Analisis combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.2.1. Principios fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.2.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.2.3. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.2.4. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.3. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

9. RADICACION 181

9.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.2. Clasificacion de los radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

9.3. Radicales Dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

10.MATRICES Y DETERMINANTES 197

10.1. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.1.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10.1.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

10.1.3. Orden de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

10.1.4. Igualdad de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

10.1.5. Matrices Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

10.1.6. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

10.1.7. Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

10.1.8. Transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.1.9. Matriz simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.1.10.Matriz antisimetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.1.11.Matriz involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.1.12.Matriz nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.1.13.Matriz idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.1.14.Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

10.1.15.Matriz hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.1.16.Matriz antihermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

10.1.17.Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215


10.1.18.Matriz positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.2.1. Algo de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

10.2.2. Calculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

10.2.3. Propiedades Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

10.2.4. Menores y Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

10.2.5. Calculo de Determinantes por Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

10.3. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.3.1. Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.3.2. Adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.3.3. Metodo de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.4. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

10.5. Otras matrices importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

11.ECUACIONES 239

11.0.1. Historia de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

11.0.2. Clasificacion de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

11.0.3. Ecuaciones de primer grado con una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

11.0.4. Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

11.0.5. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

11.0.6. Ecuacion Cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

11.0.7. Ecuacion Cuartica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

11.0.8. Ecuacion Bicuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11.0.9. Ecuacion Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11.0.10.Planteamiento de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

12.INECUACIONES 275

12.0.11.Desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

12.0.12.La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

12.0.13.Inecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

12.0.14.Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

12.0.15.Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

12.0.16.Inecuaciones polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

12.0.17.Inecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

12.0.18.Ecuaciones e inecuaciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

12.0.19.Inecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

12.0.20.Inecuaciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

12.0.21.Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283


12.1. Valor Absoluto y Maximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12.1.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12.1.2. Maximo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

13.LOGARITMOS 299

13.1. Historia de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

13.2. Propiedades generales: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

13.3. Propiedades operativas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

13.3.1. Cologaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

13.3.2. Antilogaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

13.3.3. Logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

13.4. Inecuaciones logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

14.FORMULARIO 315

Bibliografıa 338

Indice de Materias 338

Capıtulo 2:

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Objetivos:

z Clasificar una expresion algebraica segun la naturaleza de los exponentes y segun el numero

de terminos.

z Capacitar para reconocer los exponentes de cocientes, productos, potencias o raıces enesimas.

z Aplicar la relacion de base a base y exponente a exponente en la resolucion de las ecuaciones

exponenciales.

2.1. Definicion:

Es un conjunto de numeros y letras relacionadas entre sı por las distintas operaciones fundamen-

tales (Adicion, Sustraccion, Multiplicacion, Division, Radicacion y Potenciacion), en forma finita y sin

variables como exponentes.

Ejemplo 2.1.1.

5x2y3 −3√x7z2

y5+

3yz√x

Constante: Es aquella magnitud que adquiere un valor fijo, en el estudio o desarrollo de un fenomeno

matematico y esta representado (no siempre) por las primeras letras del abecedario a, b, c, ... etc.

Variable: Es aquella magnitud que no presenta un valor fijo, en el estudio o desarrollo de un fenomeno

matematico y esta representado (no siempre) por las ultimas letras del abecedario x, y, z, w, ... etc.

Notacion Matematica: Es aquella representacion simbolica de una expresion matematica que nos

permite diferenciar a las variables de las constantes.

2.2. Termino algebraico

Es la mınima expresion algebraica en la que sus elementos se encuentran relacionadas por las

operaciones de multiplicacion, division, potenciacion y radicacion.

31


P (x, y) = 5ax2 + 2bxy + 3cy2

constantesvariables

nombre

generico

Figura 2.1: Notacion matematica

En un termino algebraico se distinguen las siguientes partes:

1. Coeficiente (incluyendo el signo).

2. Variables o parte literal.

3. Los exponentes de las variables

7x2y3

coeficiente

parte literal (variables)

exponente

Figura 2.2: Partes de un termino algebraico

2.3. Terminos semejantes

Son aquellos que tienen la misma parte literal, afectadas de los mismos exponentes.

Ejemplo 2.3.1.

5x3yz5; −0, 5x3yz5;√3x3yz5; −1

4x3yz5 ; son terminos semejantes.

Dos terminos se pueden sumar o restar si son semejantes, para lo cual se resta o se suma los

coeficientes y se escribe la misma parte literal.

Ejemplo 2.3.2.

9x5y2; −3x5y2; x5y2; son terminos semejantes

Sumando y restando se tiene:

9x5y2 − 3x5y2 + x5y2 = 7x5y2

2.4. Clasificacion de las expresiones algebraicas

I. Segun la naturaleza de los exponentes: Una expresion algebraica puede ser:

1. Expresion Algebraica Racional (EAR): Son aquellas cuyas variables estan afectadas por

exponentes enteros. Estas a su vez pueden ser:

1.1 Expresion Algebraica Racional Entera (EARE): Cuando los exponentes de sus

variables son enteros positivos, incluyendo el cero (Z+0 enteros no negativos).

1.2 Expresion Algebraica Racional Fraccionaria (EARF): Cuando los exponentes de

sus variables son enteros negativos (Z−).

2. Expresion Algebraica Irracional (EAI): Son aquellas cuyas variables estan afectadas por

exponentes fraccionarios (Q).

Nota: Toda expresion que no cumple con estas condiciones se le conoce con el nombre de ex-

presion no algebraica o Trascendente (ET).

Expresion

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

E. Algebraica

8

>

>

>

<

>

>

>

:

E. A. Racional

8

<

:

E. A. R. Entera

E. A. R. Fraccionaria

E. A. Irracional

E. Trascendental

Observacion 2.4.1. Para clasificar expresiones matematicas en primer lugar estas deben sim-

plificarse lo mayor posible, llevando sus variables al numerador y a partir de allı analizar sus

exponentes.

Ejemplo 2.4.1.

Vea la tabla 2.1

II. Segun el numero de terminos: Una expresion algebraica puede ser:

1. Monomio: Expresion algebraica de un termino.

2. Multinomio: Expresion algebraica de dos o mas terminos:

Polinomio

Un polinomio es una expresion algebraica racional entera. Cuando los coeficientes son reales, se dice

que es un polinomio en R.

Monomio : Expresion algebraica racional entera de un solo termino.

Binomio : Es el polinomio de dos terminos.

Trinomio : Es el polinomio de tres terminos.


3x4y − 2x+ log 3 EARELos exponentes que afectan a las variables son

enteros positivos.

x1/2 − 5xy2 + 3√2x EAI Al menos un exponente es fraccion.

x−3y2 +5

x+ 1EARF Al menos un exponente es entero negativo.

47 + 2 3

√x EAI Al menos un exponente es fraccion.

2x3x−1 + 2x2y−7 ETPresenta variable en el exponente. Se le conoce

tambien como ET del tipo exponencial.

5x√2 + 3x2y3 − 4 ET

√2 no es ni entero ni racional. ET del tipo

exponencial.

4x7y5 − 5x−2 log x3 + 4xy ET

Existe una variable afectada por un logarit-

mo. Se le conoce tambien como ET del tipo

logarıtmico.

x2 cos(xy) + 4y3 ET

Existe una variable afectada por una funcion

trigonometrica. Se le conoce tambien como ET

del tipo trigonometrico.

1 + x+ x2 + x3 + x4 + ... ET Tiene infinitos terminos.

P (x, y) = 3x2y5z−3 + 2xy√z EARE

Las variables que se consideran son x e y, pues

z es automaticamente una constante.

Cuadro 2.1: Clasificacion de las expresiones algebraicas

Notacion:

P (x) : Es un polinomio que tiene una sola variable x.

P (x, y) : Es un polinomio que tiene dos variables x, y.

Nota: Todo polinomio es un multinomio.

Ejemplo 2.4.2.

1. P (x, y) = x2y − 5x2y2 + 3xy3 Trinomio

2. M(x, y, z) = 2xy2z3 Monomio

3. P (x, y) = 4x7y2 − x5y3 Binomio

4. R(x) = a0 + a1x+ a2x2 Trinomio

5. P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + ...+ an−1x+ an Polinomio en x de grado n donde a0 es el

coeficiente principal y an es el termino independiente.


2.5. Teorıa de exponentes y radicales

Si a es un numero real diferente de cero, n ∈ N, se define

a0 = 1

an = a.a.a.a.....a| {z }

n veces

donde, a = base, n = exponente, an = n-esima potencia de a.

Teoremas de exponentes:

Sean a, b ∈ R, m, n, p ∈ Z+

E1. Multiplicacion de bases iguales

aman = am+n

E2. Division de bases igualesam

an= am−n , a 6= 0

E3. Potencia de un producto

(a, b)n = anbn

E4. Potencia de un cociente�

a

b

�n

=an

bn, b 6= 0

E5. Potencia de potencia�

am�n

= amn =

�

an�m

E6. Potencia de potencia (potencias sucesivas)��

am�n�p

= amnp

E7. Exponente negativo

a−1 =1

a, a 6= 0

E8. Exponente negativo

a−n =1

an, a 6= 0

E9. Exponente negativo de una fraccion�

a

b

�−n=

�

b

a

�n

, a 6= 0, b 6= 0

Teoremas de radicales:

Sean a, b, m, n, p ∈ R, m 6= 0 , n 6= 0, p 6= 0

R1. Raız de un producton√ab = n

√a n√b

R2. Raız de un cociente

n

É

a

b=

n√a

n√b, b 6= 0

R3. Raız de raızmÈ

n√a = mn

√a

R4. Raız de raız (raıces sucesivas)p

q

mÈ

n√a = pmn

√a

R5. n√a = a1/n

R6. n√am = am/n = ( n

√a)m

R7. n√am

p= amp/n

R8. am. n√ap = n

√amn.ap

En estos teoremas, ningun radicando debe ser negativo cuando n es par

Casos especiales:


C1.mq

xrnÈ

ysp√zt = mnp

È

xrnp.ysp.zt

C2.n

É

xnq

xnÈ

x . . . n√x

| {z }

m radicales

=

nm

s

x

nm − 1

n− 1

C3.

É

x3q

x24È

x3 . . .n√xn−1 =

n!√xn!−1

Leyes de signos para exponentes y radicales:

(+)(+) = + (+)(−) = − (−)(+) = − (−)(−) = +(+)

(+)= +

(+)

(−)= − (−)

(+)= − (−)

(−)= +

[+]par = + [+]impar = + [−]par = + [−]impar = −par√+ = + impar

√+ = + par

√− = no es real impar

√− = −

Observacion 2.5.1.

En el campo de los numeros, no existe raıces de ındice par para cantidades negativas.

En los ejercicios, salvo excepciones, solo se considerara el valor de las raıces de ındice par para

cantidades positivas.

Las expresiones 2n y (2n−1), representan cantidades pares e impares respectivamente (∀n ∈ N)

2.6. Ecuaciones exponenciales

Es una igualdad entre dos expresiones que contienen a la variable como exponente.

Propiedades:

EE1. Si ax = ay ⇒ x = y ⇔ a > 0 y a 6= 1

EE2. Si ax = bx ⇒ a = b ⇔ a > 0 y b > 0

EE3. Si xx = aa ⇒ x = a

EE4. Si x√x = a

√a ⇒ x = a

EE5. Si ax = by ⇒ x = y = 0, para todo a, b ∈ R.

Formas indeterminadas:

FI1.mq

xnmÈ

xn m√xn . . .∞ = m−1

√xn

FI2.m

q

xn ÷ mÈ

xn ÷ m√xn ÷ . . .∞ = m+1

√xn

FI3.

É

n(n+ 1) +q

n(n+ 1) +È

n(n+ 1) + . . .∞ = n+ 1


FI4.

É

n(n+ 1)−q

n(n+ 1)−È

n(n+ 1)− . . .∞ = n

FI5. n√n

n√n

n√n...∞

= n

FI6. xxx...∞

= n ⇒ x = n√n


✍ EJERCICIOS RESUELTOS 1.

SOL: Expresiones algebraicas y teorıa de exponentes 2.1.

1. Si la expresion:

W (x, y, z) =xn+1 n+1

È

y5

z3−n

es racional entera. Calcular “n”.a) 5 b) 4 c) 1d) 2 e) 3

Solucion

Si W (x, y, z) =xn+1 n+1

È

y5

z3−n, entonces redu-

ciendo se tiene

W (x, y, z) = xn+1y5/(n+1)zn−3

de donde:n+ 1 ≥ 0 ⇒ n ≥ −1n− 3 ≥ 0 ⇒ n ≥ 3ahora intersectamos:

−1 3• •

luego los valores enteros que se encuentranen la interseccion son:

n = {3, 4, 5, 6, 7, . . .}

pero5

n+ 1tiene que ser entero, y el unico

valor que cumple es 4.

Por lo tanto n = 4

Alternativa: b

2. Si la expresion:

xn−3 5n+5√x15 yn+1 n+1

√z6

√n+1È

x3√n+1

es racional entera. Calcular “2n“.a) 6 b) 4 c) 2d) 8 e) 10

Solucion

Reduciendo la expresion se tiene:

xn−3x3

n+1 yn+1z6

n+1

x3

n+1

= xn−3yn+1z6

n+1

de donde:n− 3 ≥ 0 ⇒ n ≥ 3n+ 1 ≥ 0 ⇒ n ≥ −1ahora intersectamos:

−1 3• •


n = {3, 4, 5, 6, 7, . . .}

pero6

n+ 1tiene que ser entero, y el unico

valor que cumple es 5.

Por lo tanto 2n = 10

Alternativa: e

3. Hallar la suma de todos los valores de “n”que hacen que la expresion:

5xn−3 + 3( 3√x)n − 2x7−n + 1

sea racional enteraa) 6 b) 1 c) 9d) 3 e) 5

SolucionReduciendo la expresion se tiene

5xn−3 + 3xn3 − 2x7−n + 1

de donden− 3 ≥ 0 ⇒ n ≥ 37− n ≥ 0 ⇒ −n ≥ −7 ⇒ n ≤ 7ahora intersectamos:

3 7• •



n = {3, 4, 5, 6, 7}

comon

3tiene que ser entero entonces n de-

be ser un numero multiplo de 3 y los valoresque cumplen son 3 y 6, por lo tanto la sumade estos valores es 9

Alternativa: c

4. Si 4−9−8−9−x−1

=3√2

2. El valor de “x” es:

a) 2 b) 8 c) 4d) 5 e) 3

Solucion

4−9−8−9−x−1

=3√2

2

(22)−9−8−9−x−1

=21/3

2

2−2×9−8−9−x−1

= 2−2/3

−2× 9−8−9−x−1

=−2

3

9−8−9−x−1

= 3−1

(32)−8−9−x−1

= 3−1

3−2×8−9−x−1

= 3−1

−2× 8−9−x−1

= −1

8−9−x−1

= 2−1

(23)−9−x−1

= 2−1

2−3×9−x−1

= 2−1

−3× 9−x−1

= −1

9−x−1

= 3−1

(32)−x−1

= 3−1

3−2×x−1

= 3−1

−2× x−1 = −1

x−1 = 2−1

x = 2

Alternativa: a

5. Calcular A = m2+2

s

9m2+2 + 9(3m

2)

6m2+2 + 4(2m2)a) 9 b) 6 c) 1/3d) 3/2 e) 2/3

Solucion

A =m2+2

Ì

9m2+2 + 9(3m

2)

6m2+2 + 4(2m2)

=m2+2

Ì

(3× 3)m2+2 + 32(3m

2)

(3× 2)m2+2 + 22(2m

2)

=m2+2

s

3m2+2 × 3m

2+2 + 3m2+2

3m2+2 × 2m2+2 + 2m2+2

=m2+2

Ì

3m2+2(3m

2+2 + 1)

2m2+2(3m

2+2 + 1)

=m2+2

s

3m2+2

2m2+2

=3

2

Alternativa: d

6. Si x1/x = 3, x ∈ R+. Reducir

M =5(3x) + 7(x1/x) + (3x)2

42 + 10(3x) + 2x2

a) 2 b) 1/2 c) 1/4d) 5/8 e) 12

SolucionSi x1/x = 3 ⇒ x = 3x luego:

M =5(3x) + 7(x1/x) + (3x)2

42 + 10(3x) + 2x2

=5x+ 7× 3 + x2

42 + 10x + 2x2

=x2 + 5x+ 21

2(x2 + 5x+ 21)

=1

2

Alternativa: b

7. Simplificar: E =

�

bbÈ

bbb2�bb−b2

indicando el exponente de b.a) 0 b) bb c) b

d) bbb

e) 1


Solucion

E =

�

bbÈ

bbb2�bb−b2

= bbb

2×bb−b2

bb

= bbb

bb

= b

luego el exponente de b es 1

Alternativa: e

8. Si: C =

x+1

v

u

u

u

u

u

u

u

u

t

a√a

x+1

Ï

a√a

x+1

Ì

a√a...

Calcular E = (Cx+2)(Cx+2)(C

x+2)

...

a) a√a b) ax+2 c) a

d) 1 e) a√a

x+2

SolucionDada la expresion

C =

x+1

v

u

u

u

u

u

u

u

u

u

t

a√a

x+1

Ï

a√a

x+1

Ì

a√a...

elevamos a la (x+ 1) ambos miembros

Cx+1 =a√a

x+1

Ï

a√a

x+1

Ì

a√a...

luego se tiene que:

Cx+1 =a√a

C⇒ Cx+2 = a

√a

y reemplazando en la expresion E se tiene:

E = a√a

a√a

a√a

...

= a

Alternativa: c

9. Simplificar: E = x−y

Ê

xx−y + yx−y

xy−x + yy−x

a) xy b) x c) y/xd) x/y e) 1

SolucionHaciendo el cambio de variable a = x − y,entonces:

E = x−y

s

xx−y + yx−y

xy−x + yy−x

= a

Ê

xa + ya

x−a + y−a

=a

Í

xa + ya

1

xa+

1

ya

=a

Í

xa + ya

xa + ya

xaya

= a√xaya

= xy

Alternativa: a

10. Si aaaa+aa

a

= 256, hallar aaaa−aa

a

a) 2 b)√2 3 c) 4

d)√2 e) 1/2

Solucion

aaaa+aa

a

= 256

aaaaaa

aa

= 256�

aaaa�aa

aa

= 44

de donde aaaa

= 4, luego:

aaaa−aa

a

= aaaa+

�

−aaa�

= aaaaa−aa

a

=

�

aaaa�a−aa

a

=

�

aaaa�

1

aaaa

= 41/4

=√2


Alternativa: d

11. Si ba = aa = 2. Calcular: E = bababa

a) 2 b) 4b c) 4d) 8 e) 16

Solucion

E = bababa

= baba2= ba(ba)a = ba2a = b(aa)2

de donde

E = 4b

Alternativa: b

12. Hallar “x” si: xx6=

√2√2

a)√2 b) 3

√2 c) 2

√2

d)√2−1

e) 4√2

Solucion

xx6

=√2

√2

�

xx6�6

=�√

2

√2�6

�

x6�x6

=�√

2� 6√2

�

x6�x6

=�√

2� 3×2

√2

�

x6�x6

=�

√23�

√23

de donde se tiene que

x6 =√2

3

y simplificando se obtiene que: x = 4√2

Alternativa: e

13. Resolver

(

xy = yx

x3 = y2e indicar un valor

de “x”a) 1/2 b) 9/2 c) 9/4d) 3/2 e) 0

SolucionEn la ecuacion x3 = y2 despejamos y

obteniendose y = x3/2 y reemplazandoen la primera ecuacion se tiene:

xy = yx

xx3/2

= (x3/2)x

xx3/2

= x3x/2

x3/2 =3x

2

x1/2 =3

2

x =9

4

Alternativa: c

14. Resolver x

r

2

x+ 1= (x + 1)x+2 y dar el

valor de W =√2− x+ 3

a) 4 b) 1 c) 3d) 2 e) 5

Solucion

x

Ê

2

x+ 1= (x+ 1)x+2

x

Ê

2

x+ 1

!x

=�

(x+ 1)x+2�x

2

x+ 1= (x+ 1)x

2+2x

2 = (x+ 1)x2+2x(x+ 1)

2 = (x+ 1)x2+2x+1

2 = (x+ 1)(x+1)2

de donde x+ 1 =√2, entonces x =

√2 − 1

y reemplazando se tiene que: W =√2−x+

3 =√2− (

√2− 1) + 3. Por lo tanto W = 4

Alternativa: a

15. Resolver: 6√x

12√x=

r

1

2a) 162 b) 166 c) 163

d) 16−12 e) 16−2

Solucion

Alternativa: d


CAP 01: Expresiones algebraicas y teorıa de exponentes 2.1.

1. Si la expresion:

W (x, y, z) =xn+1 n+1

È

y5

z3−n

es racional entera. Calcular “n”.a) 5 b) 4 c) 1d) 2 e) 3

2. Si la expresion:

xn−3 5n+5√x15 yn+1 n+1

√z6

√n+1È

x3√n+1

es racional entera. Calcular “2n“.a) 6 b) 4 c) 2d) 8 e) 10

3. Hallar la suma de todos los valores de “n”que hacen que la expresion:

5xn−3 + 3( 3√x)n − 2x7−n + 1

sea racional enteraa) 6 b) 1 c) 9d) 3 e) 5

4. Si 4−9−8−9−x−1

=3√2

2. El valor de “x” es:

a) 2 b) 8 c) 4d) 5 e) 3

5. Calcular: A = m2+2

s

9m2+2 + 9(3m

2)

6m2+2 + 4(2m2)a) 9 b) 6 c) 1/3d) 3/2 e) 2/3

6. Si x1/x = 3, x ∈ R+. Reducir:

M =5(3x) + 7(x1/x) + (3x)2

42 + 10(3x) + 2x2

a) 2 b) 1/2 c) 1/4d) 5/8 e) 12

7. Simplificar: E =

�

bbÈ

bbb2�bb−b2

indicando el exponente de b.a) 0 b) bb c) b

d) bbb

e) 1

8. Simplificar: E = x−y

Ê

xx−y + yx−y

xy−x + yy−x

a) y/x b) x c) xyd) x/y e) 1

9. Si: C =

x+1

v

u

u

u

u

u

u

u

u

t

a√a

x+1

Ï

a√a

x+1

Ì

a√a...

Calcular E = (Cx+2)(Cx+2)(C

x+2)

...

a) a b) ax+2 c) a√a

d) 1 e) a√a

x+2

10. Si aaaa+aa

a

= 256, hallar: aaaa−aa

a

a) 2 b)√2 3 c) 4

d)√2 e) 1/2

11. Si ba = aa = 2. Calcular: E = bababa

a) 2 b) 4b c) 4d) 8 e) 16


√2√2

a)√2 b) 3

√2 c) 2

√2

d)√2−1

e) 4√2

13. Resolver:

(

xy = yx

x3 = y2e indicar un valor

de “x”a) 1/2 b) 9/2 c) 9/4d) 3/2 e) 0

14. Resolver x

r

2

x+ 1= (x + 1)x+2 y dar el

valor de: W =√2− x+ 3

a) 4 b) 1 c) 3d) 2 e) 5

15. Resolver: 6√x

12√x=

r

1

2a) 162 b) 166 c) 163

d) 16−12 e) 16−2

16. Resolver: (x− 1)2x−2 =

√2

2a) 16/17 b) 17/16 c) 16d) 1/16 e) 16−2

17. Resolver:

�

1

4

�

�

1

2

�4x

= 0,7071 . . .

a) −1/2 b) 2 c) 1/4

d) 1 e) 1/2

18. Si xx = x+ 1. Calcular:

W = xxxÈ

(x+ 1)x+1

a) 1 b) x−1 c) x

d) x+ 1 e) x− 1

19. Resolver el sistema:8

>

<

>

:

�

x

y

�

x

y = x

x

y−1

3√x =

√y

dando el valor de 8x+ 4ya) 36 b) 40 c) 45d) 60 e) 32

20. Si x =q

2 +È

2 +√2 + . . .; ademas A =

x6 + x3. Hallar el valor de:

E =

q

A+È

A+√A+ . . .

a) 2 b) 4 c) 8d) 9 e) 3

21. Si se cumple que:AA2

= RR8= II

−1/2= GG−1/4

= 2.Hallar: A2 +R8 +R16 + I +A4 + 4

√G+A6

a) 32 b) 54 c) 64d) 48 e) 16

22. Si la expresion:

s

x2√xm

4√x3(m+1)

es racional en-

tera, el valor de “m” es:a) −2 b) −5 c) 2d) 8 e) −3

23. Si nxn+1y2−n es racional entera, clasificar:

M(x, y) = 1−n2È

n−1xn+4y3n

a) EAI b) EAREc) EARF d) Exponenciale) Matricial

24. Determinar los posibles valores de “a” paraque la expresion sea EARE.E(x, y, z) =

√8xa−2y + 25z4−am+ 81/3xaz

a) {2, 3, 4} b) {2, 4, 6} c) {0, 1, 2}d) {1, 2, 3} e) {3, 4, 5}

25. Calcular:

P =

3

É

2 +q

42−È

42−√42− . . .

4

É

8 +q

56 +È

56 +√56 + . . .

a) 4 b) 2 c) 5d) 1 e) 3

26. Simplificar: E =813

n

Ì

�

3È

51233n+1�33n

a) 7 b) 8 c) 6d) 5 e) 4

27. Si ab = bb = 16. Calcular: E = a√b

a)√2 b) 2

√2 c) 4

d) 2 e) 4√2

28. Simplificar: E =

√22√2 −

√2√2

È

2√2 − 1

a)1

2 b)

√2√2

2c)

√2√2

d)1

4e)

1√2

29. Simplificar:

2

4

x3+8

s

2x2+3x+4

x√32x

2

3

5

x+2

a) 2 b) 8 c) 4d) 1/2 e) 16

30. Simplificar: x

Ê

92x + 138x

69x + 46x

a) 1 b) 5 c) 3d) 2 e) 4

31. Al resolver la ecuacion: xx0,5

= 16√0,5 “x”

tiene la forma 4n, luego el valor de “n” es:a) −4 b) −8 c) −16

d) −12 e) −10

32. Resolver: 32−x = x−2+x

a) 2 b) 1/2 c) 1/3d) 3 e) 1/3 y 2



1. Senalar V o F segun corresponda:

El exponente de aa en aa3es 3.

x√3 − 34x2 no es E.A.

Siempre se cumple que a−1 =1

a(a+ b)n = an + bn

a) VFFF b) FVFF c) FFFFd) FVVF e) VVVF

2. Si xxxx+xx

x

= 27. Hallar:

E = xxxx+xx

x−2xx

x

a)√3 b) 3

√9 c) 1

d) 3√2 e) 3

√3

3. Clasificar:

"

�

x−x−3�x√x�

x−x−2�

√x#

1−2√x3

a) EARE b) EAI

c) EARF d) Exponenciale) Trascendente

4. Simplificar: E =�

xxÈ

xxx2�xx−x2

a) x b) x3 c) 1d) x2 e) x4

5. Se sabe que “N” es independiente de x,segun esto. Calcular:

N = xm+9È

(2x)2m+1(3x)2m−1

a) 1 b)√6 c) 3

d)

√6

648e) 1/6

6. Resolver:5x+1 + 5x+2 + 5x+3 + 5x+4 = 780

√5

a) 0.25 b) 0.5 c) 0.1d) 0.15 e) 0.2

7. Hallar: A =3q

E +3È

E + 3√E + . . .

donde E =

q

60È

60√60 . . .

a) 1 b) 5 c) 3d) 2 e) 4

8. Calcular x en: xx2−1

=1√2

a) 28 b) 24 c) 2−8

d) 2−4 e) 26

9. Hallar

�

4

3

�2x−1si: 163

2x= 84

2x

a) 1 b) 1/2 c) 2d) φ e) 3

10. Si abc = 2 7√2. Calcular:

q

aÈ

b√c

q

bÈ

c√a

q

cÈ

a√b

a) 1 b) 1/3 c) 3d) 2 e) 1/2

11. Luego de realizar las operaciones indicadas

en:

2/3√x6/9

È

x√x

4√x3

Clasificar la expresion

resultante:a) EARF b) EAREc) EAI d) Exponenciale) Matricial

12. La raız cuadrada de:

Q =�

0,0625−0,125−0,25−0,5

�2−6

es:

a) 16 b) 4−1 c) 32d) 64 e) 4

13. Simplificar:

M =3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4

3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4

a) 3 b) 1 c) 243d) 1/3 e) 81

14. Si: x−22−x

= 2. Hallar x√x

a) 1/2 b) 1/4 c) 2

d) 4 e)√2

15. Al reducir: E =

È

x3√x3

3È

x23√x2

obtenemos una

expresion de la forma:a2√xb2 . Hallar a+ b.

a) 6 b) 7 c) 8d) 13 e) 12


16. Sean P =q

42 +È

42 +√42 + . . .∞

Q =4È

P + 9 + 4√P + 9 + . . .∞

Determinar: E = 3È

4(Q4 −Q)

a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

17. Si la expresion:�

x2y17�

x2(x3y4)2z−5�3

z20�2

es semejante con xaybzc.Hallar: E =

√a+ b+ c

a) 1 b) 18 c) 8d) 15 e) 12

18. Resolver: (x+ 1)(x+1)(x+1)...

= 3a) 3

√3 b) 3

√3 + 1 c) 3

√3− 1

d)√3− 1 e)

√3 + 1

19. Si: xxm2

= m2. Determinar “x”

a) m2m−2b) m−2m

−2c) m2

d) m−2m2

e) m2m2

20. Reducir:

5

"

a

Ê

9a + 19a

45a + 95a

#

+ 7

2

4

b

s

21b + 45b

7b + 15b

3

5

a) 12 b) 36 c) 46d) 22 e) 26

21. Si−2q

xn−3È

xn −1/2√xn = x4

−8−3−1

.Calcular: 8n+ 10a) 6 b) 4 c) 3d) 1 e) 8

22. Reducir:356595 · · · (3n)5253545 · · ·n5

; n > 1

a) 32n b) 5 c) 32d) 243 e) 243n

23. Simplificar:�

256√2√

2 (1−√

8 )�

√1/2

21/2

a)√2 b) 2 c) 4

d)√8 e) 1

24. Simplificar:

E =2x+1 + 2x+2 + 2x+3 + 2x+4

2x−1 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4

a) 32 b) 1 c) 8d) 2 e) 1/16

25. Reducir: E =

3

É

x4q

x33È

x4√x3

4

É

x3q

x24È

x3√x2

y dar el

exponente de “x”a) 72/13 b) 19/72 c) 13/36d) 13/72 e) 1/6

26. Cuantas veces “x” es “y”; si:

x =

�

1

4

�−8−9−4−2−1

; y = 64−81−16−2−1

a) 2 b) 0.125 c) 0.5d) 0.25 e) 4

27. Resolver:

�

2

3

�2x−3�94

�9x−4−�

27

8

�8x� 8

27

�27

= 0

a) 5/2 b) 13/2 c) 23/2d) 21/2 e) 19/2

28. Resolver: n

Ê

xn + an

(ab2)n + xn= b−1

a) b b) a c) abd) a/b e) b/a

29. Simplificar:

E =n√3−n + 2n + n

√2−n + 3n

n√6n + 1

∀n ∈ N− {1}a) 5/6 b) 1/5 c) 2d) 3 e) 5

30. Si: 4x = 2(14)x + 3(49)x.

Calcular: W = (7 x√3)(7

x√3)

a) 1 b) 256 c) 9

d) 4 e)√2√2

31. Resolver: x2x2x6

= 3a) 3

√3 b) 6

√3 c) 9

√3

d)√3 e) 3



1. Senale Verdadero(V) o Falso(F), segun co-rresponda:

x√3 + xy2 − 3 no es E.A.

El exponente de ab en la expresion ab2

es 2.x3

3+ 0,5x− tan 30 es EARE.

1 + x2 + x4 + . . .+ x2i + . . . es E.A.

a) VFFF b) VFVF c) VFVVd) FFVV e) FVVV

2. Calcular el valor de E = xxy; si se cumpleque: 2x × 3y = 24 ; 2y × 3x = 54.a) 3 b) 243 c) 9d) 81 e) 27

3. Si: xxx=

√2 ; calcular E =

h

x√2ixx+xx

a)√2 b) 4 c) 2

d) 2√2 e) 8

4. Si se cumple que:

(

x81y = yx

xx = yy

ademas: x 6= y; calcular x2.

a)1√3

b)√3 c)

3√3

d) 3√3 e)

√2

3

5. Calcular “x” en:

2x

Ì

x2x√x2x−1

−2x√x

=8È

x2x.x√4

a)√8 b) 2 c) 4

d)√2 e) 8

6. Sabiendo que: x =13È

a√13

con a = 13√13; hallar el valor de:

�

x13�x

13√13

+ x13x13√13

+�

xx13√13

�13

a) 13 b) 39 c) 26d) 42 e) 65

7. Resolver xxx4+4

= 256, y dar el valor de:E = xx

2

a) 1/4 b) 4 c) 8d) 1/2 e) 2

8. Resolver: (0,5)−3−2−1

= (0,125)−x−3

a) 1 b) 3 c)√3

d)

√3

3e) 9

9. Calcular: P = (0,25)(16)4√2 (0,0625)(0,125)(0,5)

a) 4 b) 2 c) 1

d) 8 e)√2

10. Si: 3(16x) + 36x = 2(81x)

Calcular: W =�

1

x

�

�

1

x

�

�

1

x

�

a) 2 b) 3 c) 12d) 16 e) 27

11. Resolver: xx2= 16

r

1

8

a) 2√2 b)

1

2√2

c)1√2

d) 2 e) 1/2

12. Resolver:

�

5

7

�2x−5=

�

49

25

�3x+2

a) 2 b) 4 c) 5/7d) 1/4 e) 1/8

13. Si: p = abt; q = abm; r = abn; b 6= 0;a 6= 0. Determinar: pm−nqn−trt−m.a) 3 b) 5 c) 1d) 6 e) 7

14. Indicar el equivalente de:

W =

2

4

√21+ 1√

2 +√21− 1√

2

√2 +

√21− 2√

2

3

5

√2

a)√2 b)

√2−1

c)√2−3

d) 2−1 e) 2

15. La suma de los valores de n para queM(x, y) = (n+3)xn−7+x2yn−(n−2)y10−n

sea una expresion racional entera es:a) 33 b) 37 c) 32d) 34 e) 30


16. Calcular el valor de:

E =

Ê

2

É

2

q

2 · · ·È

2√22−x

| {z }

“n” radicales

si ademas: x = 2n+1

a) 1 b) 1/2 c) 2d) 1/4 e) 4

17. Hallar la relacion entre “m” y “n” si:

�

m

n

�m+n� n

m

�m−n

�

n

m

�m+n�m

n

�m−n =

�

n

É

m

n

�m

a) m = n b) mn = 1c) 2m = n d) m+ n = 2e) 2n =

√m

18. Resolver:

(

(x+ y)2y−x = 3x−y√x+ y =

√12

y dar el va-

lor de E = xya) 7 b) 5 c) 35d) 2 e) 28


nÊ

�

3È

844n+1�44n

a) 2 b) 16 c) 4d) 8 e) 64

20. Si m = n√n, efectuar y reducir:

E =

2

6

4

nm−1

Ì

n√nnm+n−1

nm√n

3

7

5

3nm

m+ 1

a) nn b) 3n c) nd) n3 e) n2n

21. Encontrar la suma de los exponentes de “x”e “y” al efectuar:

M =5

É

x9

q

y 5È

x 9√y . . .∞

a) 3/2 b) 5/22 c) 5/11

d) 6/5 e) 5/3

22. Resolver: zr

2

z + 1= (z + 1)2+z

a)√2 + 1 b) 2

√2− 1 c)

√2

d) 2√2 e)

√2− 1

23. Simplificar:

W =

"

m+n+p√x(mn)−1x(np)−1x(mp)−1

m−1+n−1+p−1√xmn xnp xmp

#q

donde q =mnp

1−m2n2p2

a) 1 b) xmnp c) xd) xmnp−1 e) xmnp+1

24. Hallar el valor de E = ab donde:

a =nq

xn−1nÈ

xn−1 · · · n√xn−1

| {z }

n radicales

b =n

É

nq

nÈ

· · · n√x

| {z }

n radicales

a) x b) n√x c) xn

d) x2n e) x2

25. Reducir: E =

�

x−x−x−x−x�

xx−x√

x

a) x b) xx c) x−x

d) 1/x e) x2x

26. Determinar “n” si:

xn+1 3(n+1)√x6 yn−2z5/(n+1)

(n+1)1/2È

x2√n+1

es una EAREa) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

27. Si m = nx. Cual es el equivalente de:

E =

2

6

6

6

6

4

( nm )m/n

s

nn/m

Ê

�

m

n

�

m√mn

xx√x x2+1

3

7

7

7

7

5

mmn

a) m/n b) n/m c) mm

d) mn e) 1



1. Clasifique la expresion siguiente:

P (x, y, z) =5x4y3

2z−3−

√2x1/3y2

−3√x2

− π

3y8z−6

a) EARE b) EARF

c) EAI d) Exponenciale) Trascendente

2. Clasificar la siguiente expresion:

E =x−4

−2y−2

−4z−4

−2

(xyzw−16)−2−4

a) EAI b) Trascendentec) EARE d) Exponencial

e) EARF

3. Si xx = 2; calcular el valor de: xx1+2x1+x

a) 232 b) 264 c) 216

d) 24 e) 218

4. Si la expresion W (x, y, z) =xn+1 · n+1

È

y5

z3−nes racional entera. Calcular: “n”.a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 1

5. Hallar “x” en: 3225x−1

= 5√2

3√5x+3

a) 0,2 b) 0,3 c) 1/2d) 0,6 e) 3/2

6. Dada la siguiente sucesion: x1 =√8;

x2 =È

8√8; x3 =

q

8È

8√8; · · ·

Calcular: E =x25 · x221x4 · x20

a) 60 b) 64 c) 61d) 2 e) 1

7. Calcular la mas simple expresion por la que

hay que multiplicar a:3q

x5È

x27√x4 para

que sea racional entera.

a)105√x51 b)

105√x53 c)

105√x37

d)105√x49 e)

105√x52

8. Sabiendo que los terminos:(2a+ c)x3b−1ya+c ;(2b− a)xc+8y3b+c ;(3b+ 2c)xb−cy2c+9

Son semejantes. ¿Cual es el valor de la

suma de los coeficientes de los terminosanteriores?a) 9 b) 5 c) 7d) 6 e) 8

9. Hallar “n” si:1/3È

x21/3√x2 · · ·n radicales = x2184

a) 6 b) 8 c) 7d) 9 e) 10

10. Hallar el equivalente de:

�

2x+1 + 3(2x+2) + 5(2x+3) + 10(2x)

4x−1 + 28(4x−2)

�−1

a) 2x+5 b) xx−7 c) 2

d) 2x−5 e) 32

11. Resolver:7

r

87

É

87q

8 · · · 7È

23√2 = xx−1

a) -1/4 b) 1/2 c) 1d) -1/2 e) 1/4

12. Determinar A+BC, si:

A =5 + 5 + 5 + · · · (3x sumandos)

3x+2 − 3x+1 − 3x

B =2n+2 − 2n−2

2n+1 + 2n−1; C =

22n+2 + 2n+2

22n−2 + 2n−2

a) 27 b) 26 c) 29d) 28 e) 25

13. Si se cumple que 222 + 210 = 1024a.

Calcule: 2222 −

È

(22)4 a

a) 0 b) 222

c) −16

d) 212 e) 224

14. Sabiendo que:A = axay8zb; B = bxm−3y4b−mz3 ;C = qxyq−2zm−a; son terminos semejantes,indicar el resultado de efectuar A+B + Ca) 14xy8z3 b) 20xyz c) 16x2y2z2

d) 17xyz4 e) 15x3y3z3

15. Si: 2x

r

�

1

4

�x

= 16, entonces (x+ 1)x+1 es:

a) 2 b) 0 c) -1d) φ e) 1


16. Calcular: xx2−1

=1√2

a) 28 b) 2−8 c) 24

d) 2−4 e) 26

17. Si los terminost1(x, y) =

�

a2(a+ b) + 3�

xa2−1yb+3

t2(x, y) =�

ab− a3 − 4�

x2(a−1)y4√b−1

son semejantes. Hallar la suma de sus coefi-cientesa) 0 b) 4 c) 8d) 6 e) 7

18. Si “a” es la solucion de la ecuacion4x = 2(14)x + 3(49)x; entonces el valor de:

A = (7 a√3)(7

a√3) es:a) 3 b) 6 c) 4d) 5 e) 7

19. Si xx = (0, 2)0,08. Calcular: E = (25x+2)50x

a) 9 b) 2 c) 7d) 3 e) 1

20. El valor aproximado de:

É

3

q

9È

27√81 . . .

es:a) 7 b) 6 c) 8d) 9 e) 5


6

v

u

u

u

u

u

u

u

u

t

x49y14

6

Ï

x49y14

6

Ì

x49y14

. . .∞a) xy b) x7y2 c) x2y3

d) x2y7 e) xy2

22. Simplificar:

xx−x

+ x−xx

x−x−x + xxx

!

xx

1− x2x,

si x > 0a) x2 b)

√x c) x3

d) 1 e) x

23. Hallar el valor de “x” en: 28x−2

= 44x+1

a) 2 b) 4 c) 9

d) 6 e) 3

24. Al simplificar:

2

6

6

6

6

4

x2/3y−1/2

yx−1�

xy−2

yx−1

�1/2

3

7

7

7

7

5

3

. Se obtiene:

a) x2 b) 2x c) x/2d) x e) 1/x

25. Resolver:0, 2x−0,5

5√5

= 0, 04x−1

a) 0,2 b) −2 c) 3/2d) 3 e) 5−1

26. Simplificar:(0, 3)0,4(0, 2)0,2(0, 9)0,3(0, 4)0,4

10√0, 001

a) 0, 3 b) 0, 6 c) 0, 4d) 0, 5 e) 0,7

27. Reducir:�

2n

r

1

n2

�8n �1/8

É

�

8√n2n

�

4n +

�

8√n4n

�

2n

�

a) 32 b) 64 c) 128d) 512 e) 256

28. ¿Que valor mınimo debe tener “n” para que:

x3q

x−13È

x−1 3√x−n sea EARF

a) 27 b) 15 c) 42d) 12 e) −1

29. La expresion:n−xq

mxÈ

x(n−1m)(1+x−1)−1(1+x)

Se puede clasificar como:a) EARE b) EARFc) EAI d) b y ce) Trascendente

30. El exponente final de “x” al simplificarh

xx√xx+1

i −x√x, es:

a)√x b) x2 c) 1

d) x e) x+ 1

31. Si la expresion

s

x2√x√

x3es equivalente a xn.

Entonces xn+1/n es:a) EARE b) EAIc) EARF d) Exponenciale) Trascendente

32. Sia8x+6

a2x−5= ax−4, a 6= 0. Entonces el valor

de E = (0, 25)2x+5, es:a) −4 b) −3 c) 1/3d) 1/4 e) 4



1. Indicar V o F segun corresponda:

Terminos semejantes son aquellos quetienen la misma parte literal afectadosde iguales exponentes.

Las expresiones cuyas variables estanafectadas por exponentes fraccionarios,se denominan expresiones algebraicasracionales.

Toda expresion algebraica racionalfraccionaria, se caracteriza porque exis-te al menos una variable en el denomi-nador, pero afectado de un exponenteentero positivo.

Una combinacion de constantes y va-riables unidas entre sı por las opera-ciones fundamentales en un numero li-mitado de veces; a condicion de que elexponente y el ındice de la raız seannumeros racionales, se llama expresiontrascendente.

a) VFFV b) VFVF c) FVVFd) FVFV e) VVFF

2. Luego de reducir:

A =x2x − 5xx + 6

(xx+1 − 2x)(xx − 3)+ 10

La expresion algebraica que resulta es:a) Trascendente b) EAREc) EAI d) Exponenciale) EARF

3. Luego de reducir:�

xx + 1

xx+1 + x

�−1−1; x 6= −1.

La expresion que resulta es:a) EARF b) EAIc) EARE d) Exponenciale) Trascendente

4. Hallar el mınimo valor de n2 + m2 sila expresion: E(x, y) = 3mxn−5ym−3 +n n√nxny6−m + 3

√2x3y4 es racional entera.

a) 34 b) 8 c) 30d) 100 e) 101

5. Si los terminos:t1 = (2m+ a− n)xm−nza−5 yt2 = (n2+5)x2nyn−5, son semejantes. Hallar

el coeficiente de: t1 + t2.a) 5 b) 15 c) 80d) 60 e) 90

6. Sean las expresiones A =√

3

Í

2√3 +

√6√3

√6√3+ 3√3

y B =�

1

3

�−(1/4)(1/8)3−1

. Calcular AB

a) 1 b)√2 c)

√3

d) 2 e)√6

7. Si xn+3 = (2x)n = (4x)n−1, calcule el valorde n+ x.a) 11 b) 3 c) 9d) 7 e) 5

8. Si abba

= a√2, hallar a/b

a) 1 b)√2 c) 2

d) 1/2 e) 4

9. Si ab = bb2= 3, hallar E = abab

ab

a) 27a b) ab2 c) 27d) a e) 3

10. Reducir a su mınima expresion�

x96 + x48y30 + y60

x48 − x24y15 + y30− (y30 + x24y15)

�

x−24

a) x15 b) x21 c) x18

d) x24 e) x12

11. Si aaaa+aa

a

= 256. Hallar aaaa−aa

a

a) 4√2 b)

√2 c) 2

√2

d) 3√2 e)

√2−1


√2√2

a)√2 b) 3

√2 c) 2

√2

d)√2−1

e) 4√2

13. Hallar “a” si se cumple que aa3= 2

√3√3

a)√3 b) 4

√3 c) 6

√3

d) 3 e) 1/3

14. Simplificar:

W =3 +

�

3q

4 + 3È

4 + 3√4 + · · ·

�2

1 +�

3q

4 + 3È

4 + 3√4 + · · ·

�−1


a) 4 b) 2 c) 6d) 8 e) 10

15. Cuantos radicales existen en el primermiembro para que se cumpla la siguiente

igualdad

É

xq

xÈ

x . . .√x = x16383/16384

a) 10 b) 11 c) 12d) 14 e) 13

16. Reducir

M =n

É

xnn2q

xn3 n3È

xn6 n4√

xn10. . . n rad

a) n b) xn c) x−1

d) x e) 1

17. Si�

33x−x√x5

3�xxx

= nn4y xx

x= a.

Calcular (n+ a).a) 2/3 b) 3 c) 5/3d) 1/3 e) 10/3

18. El valor deW = (ax)x(a2x)2x(a3x)3x(a4x)4x . . . n facto-res. sabiendo que

a =x2É

2n+1q

n+1È

n√729

a) 2 b) 9 c) 3d) 6 e) 27

19. Si xayb = 777a y xbya = 777b.Hallar x

√xyy.

a) 777√777 b) 49 c)

√7

d) 7 e) 7777


W =50X

k=1

n−1

s

k1−n + (k + 1)1−n

kn−1 + (k + 1)n−1

a) 51/50 b) 49/50 c) 1d) 50/51 e) 50/49

21. Sabiendo que a√b b√a =

8È

27√2. Hallar el va-

lor de E = a2 + b2.a) 15 b) 10 c) 13d) 11 e) 14

22. Al resolver xx =14√2, el valor de x es:

a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8d) 2 e) 1/16

23. Determine x en: 2x√2−1

= 16, el valor de xes:

a) 2 b) 1 c) −1/2d) −2 e) 1/2

24. Hallar x en: xx16

= 8√2.

a) 16√2 b) 8

√2 c) 4

√2

d)√32 e)

√8

25. Hallar el valor de a2 + b2 en:

a−b

s

b√aab

a√abb

= 34/3.

a) 13 b) 8 c) 4d) 10 e) 2

26. Al simplificar la siguiente expresion�

xx√xx2x+xxx

�

11+x1−x

el exponente final de

xx es:a) x b) xx−1 c) xx

d) x−1 e) 1

27. Determinar el valor de:

W =

3

s

1

24

Ê

3

45

r

5

6

3

s

3

24

Ê

5

35

r

4

5

3

s

3

44

Ê

5

45

r

2

3a) 2/3 b) 2 c) 3/5d) 4/3 e) 1

28. Si de la ecuacion 2316x

= 512; se obtiene“x1” y de la ecuacion 54x−3 + 52 = 26, seobtiene “x2”. Calcular: x1 + x2.a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) 1/4

29. Resolver la siguiente ecuacion:4x+

12 − 3x+

12 = 3x−

12

a) 1/2 b) 8 c) 10d) 4 e) 2

30. Hallar la relacion entre: “a” y “b” si se tiene

que:

b√aa(b+1) bb2−a

aa bb=

1√2

a) a = b b)a = 4b c) a = 2bd) b = 2a e) a = 3b

31. Sea A =

�

2n

r

1

n2

�8n

, Reducir:

K =�

1/8È

(8√n2n)4/n + (

8√n4n)2/n

�

A

a) 32 b) 256 c) 128d) 64 e) 512



1. Calcular el valor de “x” en:

x

Ê

xx + 16x

64x + xx= 0, 5

a) 2 b) 32 c) 8d) 16 e) 4

2. Calcular el valor de: a

�

aa+1

aa−1

�

; si a−a =1

3

a) 2√3 b)

√3 c) 4

√3

d) 5√3 e)3

√3

3. Reducir: A = n2√x

n2√x3

n2√x5 . . . “n” radi-

calesa) n

√x b) n2√

x c) x

d) xn e) 1

4. Simplificar la expresion:

M =

2

6

6

6

4

x

x+ 1

x + x

x− 1

x

x+ x

x− 2

x

3

7

7

7

5

x

a) x b) x√x c) xx

d) 1 e) 1/x

5. Encuentre el valor de n6 si: nn3=

√3È√

3

a) 3√3 b) 6

√3 c)

√3

d) 3 e) 2√3

6. Efectuar la siguiente suma:

M =nX

k=1

p−k

s

xp−k + 1

xk−p + 1

a) x(p− n) b) nx c) xpn

d) xp e) xpn

7. Si abcd = n. Calcular:

É

a

q

bÈ

c√d ·

É

bq

cÈ

d√a ·É

c

q

dÈ

a√b ·É

dq

aÈ

b√c

a) n b) n0 c)16√n13

d)15√n13 e)

16√n15

8. Hallar W = (x · y)2, si se cumple que:

x√y · y

√x =

12È

12√2 · 18

√3.

a) 210 b) 198 c) 216d) 30 e) 6

9. Determinar el valor de “a” en:

x+1

Ê

ax+1 + 32x+2

34x+4 + ax+1=

1

3

a) 27 b) 9 c) 18d) 3 e) 36

10. Hallar “x” en: x = x16−1Ê

1√2

a) 24 b) 2−1 c) 2−8

d) 2−128 e) 232

11. Si�

xxx+3� �

x2xx+2�

= aa1−aa , a que es equi-

valente�

a−1�−(a−1)

x−x

a) 1 b) x2 c) xx+1

d)√x e) x

12. Si se cumple a√b b√a =

√3√3, hallar:

E = a− ba)

√3 b) 3 c) 1/3

d) 1 e) 0

13. Si se cumple x−x−2

= 2, hallar el valor de x

a)√2 b) 2 c)

r

1

2d) 1 e) 1/2

14. Si se cumple xyyx = 5√5, hallar el valor

de: E = (xy)3

a) 125 b)√5 c) 25

d) 225 e) 5√5

15. Si se cumple que: 5x+5x+1+5x+2+5x+3 =

19500, entonces el valor de:�

x− 1

2

�−1, es:

a) −1 b) 2 c) −2

d) 1 e) 0

16. Al simplificar:

12xy

y2 − 2xy + 4x2+ 3

�

8x3 − y3

8x3 + y3

�

�

2y

y − 2x− 1

�

,

se obtiene:a) 3 b) −3 c) 2d) 1 e) −1


17. Al resolver las ecuaciones:(0, 008)−1/x = 5(2y − 7)(2y−7) = 3125La diferencia positiva entre los valores realesde x e y es:a) 0 b) 4 c) 1d) 2 e) 3


É

x3q

x24È

x3 . . .n√xn−1

r

3

É

4q

5È

. . .n√x−1

a) 1 b) xn c) xd) xn

ne) n

√x

19. Sabiendo que a+ b = 2, reducir:

R =

É

(aaa)a2 �

a−a2a�ab

a) 1 b) 4 c) 8d) 2 e) 16

20. Sabiendo que:

y =

�

n+1

Ê

n+1

É

nq

nÈ

(256)(324)

�

con n ∈ Z+. Hallar el valor de:E = y(y2)4(y3)9(y4)16

| {z }

n−factoresa) 2

√2 b) 6

√3 c) 4

√2

d) 12√2 e) 9

√3

21. Si E = n

Ê

2n3n + 2n5n + 3n5n

2−n + 3−n + 5−n, hallar

E + 2

8a) 8 b) 4 c) 3d) 2 e) 6

22. Si x = 260/7 y E = 3

s

x 5√x√x. Entonces EE es:

a) 63 b) 1 c) 262d) 125 e) 256


q

4È

4√4 . . .

3

Ñ

16

3

Î

16

3

s

16...

a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

24. Hallar “m”, si el exponente final de x en:

3

s

xm−1 4√xm

6√x5m−4

, es la unidad:

a) 8 b) 2 c) 3d) 1 e) 4

25. Calcular: t =

È

(144)(1996) 3√1996 4

√1996

12 12√1996

a) 1994 b) 1995 c) 1d) 1996 e) 12

26. En la ecuacion: 16√x − 256 = (60)4

√x, el

valor de√x√x, es:

a)√8 b) 27 c)

√2

d) 16 e) 4

27. Si aa = 224 ; bb = 318, hallar ab−a

a) 512 b) 256 c) 216d) 81 e) 8

28. Efectuar:

E =�−1

8

�−3−1

+�

1

16

�−4−1

+�

− 1

32

�−5−1

a) −6 b) −4 c) −2d) 0 e) 2

29. El valor de E =

r

2

3− 0, 6

r

2

3−√

0, 6

, esta com-

prendido entre:a) 5 y 10 b) 0 y 1 c) 10 y 20d) 1 y 2 e) 2 y 3

30. Resolver:��

xx−x�x�x

= x√

1/8

a)√2 b) 2 c) 1/4

d) 2−1 e) 1/10

31. Hallar x en: xx16

= 8√2.

a) 4√2 b) 16

√2 c) 8

√2

d)√32 e)

√8

32. Al simplificar la expresion:

E =

"

9√9

9√81�

−9√91− 9√9

�

99√

97

#

3√81

2

se obtiene:a) 9

√9 b) 9 c) 9

√81

d) 3√9 e) 3

Capıtulo 3:

GRADOS DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

Objetivos

z Definir y estudiar los polinomios bajo un caracter funcional.

z Entender claramente la definicion de grado de un polinomio, para ver con facilidad las opera-

ciones del mismo.

z Estudiar el valor numerico para ası garantizar la definicion de una cierta expresion matema-

tica.

El aprendizaje de las Matematicas se realiza en ocasiones de forma excesivamente compartimentada,

no se ve el edificio, sino cada piso. Por ello, a veces, cuando se aborda el estudio de los polinomios

suele pensarse solo como una herramienta para abordar el trabajo y resolucion de ecuaciones. Sin

embargo, podemos observar su continuo uso en el Calculo y la Geometrıa donde es habitual el empleo

de “formulas”.

La aplicacion de formulas en situaciones en las que las dimensiones son desconocidas, y que por

tanto obliga a la abstraccion y notacion con variables, conduce a la necesidad de calcular y simplificar

expresiones algebraicas, en particular polinomios.

3.1. Definicion:

Se denomina grado a la caracterıstica relacionada con los exponentes de las variables de una

expresion algebraica. Se distinguen dos tipos de grados: Grado Absoluto (GA) y Grado Relativo (GR).

Para un monomio:

Grado Relativo: Es el exponente que afecta a la variable indicada.

Grado Absoluto: Es la suma de los exponentes que afectan a todas las variables indicadas.

Ejemplo 3.1.1. Dado el monomio M = 3x4y6z10 , se tiene que:

55


GR(x) = 4, GR(y) = 6 , GR(z) = 10 , GA = 20

Para un polinomio:

Grado Relativo: Es el mayor exponente que afecta a la variable seleccionada en toda la expresion.

Grado Absoluto: Es el grado absoluto o simplemente grado, del termino de mayor grado en dicho

polinomio.

Ejemplo 3.1.2. Dado el polinomio P (x, y) = 7x7y2 − 3x4y6 + 5x5y3, se tiene que:

GR(x) = 7, GR(y) = 6, GA = 10.

Nota:

El grado de una constante numerica no nula es cero.

P(x) = 0 es el unico polinomio cuyo grado no esta definido.

Representacion general de polinomios de acuerdo al grado

Considerando la variable “x” y las constantes a, b, c y d tal que a 6= 0, tenemos :

Polinomio de grado cero: a

Polinomio de grado uno: ax+ b

Polinomio de grado dos: ax2 + bx+ c

Polinomio de grado tres: ax3 + bx2 + cx+ d......

Polinomio de grado n: anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + . . . . . . + a1x+ a0

3.2. Grados en operaciones con polinomios

Sean los polinomios P (x) de grado m, y Q(x) de grado n (con m > n), entonces:

Nota:

El grado se define como el exponente de la variable de coeficiente no nulo.

Si no se especifica el tipo de grado se sobreentendera que se refiere al grado absoluto.

3.3. Polinimios especiales

3.3.1. Polinomio Homogeneo

Es aquel polinomio cuyos terminos tienen el mismo grado absoluto. A este grado comun se le

denomina grado de homogeneidad.


Operacion Procedimiento Grado

P (x)±Q(x)

Cuando se suman o retan dos o mas polinomios el grado

del polinomio resultante esta determinado por el mayor

grado de P y Q.

m

P (x).Q(x)Cuando se multiplican dos o mas polinomios sus grados

se suman.m+ n

P (x)

Q(x)Cuando se dividen dos polinomios sus grados se restan. m− n

[P (x)]kCuando el polinomio esta afectado por un exponente k,

el grado queda multiplicado por el exponente.m.k

kÈ

P (x)Cuando el polinomio esta afectado por una raız de ındice

k, el grado queda dividido por k.

m

k, k 6= 0

Cuadro 3.1: Grados en operaciones con polinomios

Ejemplo 3.3.1. P (x, y, z) = x3 − 6x2y + 7xy2 − 9y3

Es un polinomio homogeneo de grado 3

3.3.2. Polinomio Ordenado

Con respecto a una variable, un polinomio esta ordenado si los exponentes de esta variable lo estan

ya sea en forma ascendente o descendente.

Ejemplo 3.3.2. P (x, y) = x5y−x3y2+xy3, es un polinomio ordenado en forma descendente respecto

a “x” y en forma ascendente respecto a “y”.

3.3.3. Polinomio Completo

Con respecto a una variable un polinomio es completo, si existen todos los exponentes de dicha

variable, desde el exponente 0 hasta el grado del polinomio.

Teorema 3.3.1. Si un polinomio P (x) es completo, entonces el numero de terminos es igual a su

grado aumentado en 1, es decir:

NT = GA + 1

Ejemplo 3.3.3. P (x) = 2x + 3x2 + x3 − 5, es un polinomio completo de tercer grado con cuatro

terminos.

Teorema 3.3.2. Si un polinomio es completo y ordenado respecto a una variable, se tiene que los

grados relativos a esa variable de dos terminos consecutivos difieren en la unidad.

Teorema 3.3.3. Si un polinomio P (x, y) es completo, homogeneo y ordenado entonces el numero de

terminos es igual a su grado aumentado en 1, es decir:

NT = GA + 1

3.3.4. Polinomio Entero en x

Es aquel que depende unicamente de la variable “x”, siendo sus coeficientes numeros enteros.

Ejemplo 3.3.4. P (x) = 3x3 + 2x2 − 1, es un polinomio entero en “x” de tercer grado.

3.3.5. Polinomio monico

Es aquel polinomio entero en “x”que se caracteriza por que su coeficiente principal es igual a la

unidad.

Ejemplo 3.3.5. P (x) = x5 − 5x+ 8, es un polinomio monico de quinto grado.

3.3.6. Polinomios identicos

Son aquellos cuyos terminos semejantes poseen el mismo coeficiente.

Ejemplo 3.3.6.

Sean P (x) = ax3 + bx2 + c y Q(x) = mx3 + nx2 + p polinomios identicos

Si P (x) ≡ Q(x), se cumplira que: a = m, b = n y c = p

3.3.7. Polinomios equivalentes

Son aquellos polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor numerico para un mismo

sistema de valores asignados a sus variables.

Ejemplo 3.3.7. Dados los polinomios

P (x, y) = (x+ y)2 + (x− y)2 Q(x, y) = 2(x2 + y2)

Notese que: P (x, y) y Q(x, y) son equivalentes y denotamos: P (x, y) <> Q(x, y)

3.3.8. Polinomio identicamente nulo

Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la variable.

Ejemplo 3.3.8. Si P (x) = ax4 + bx+ c es identicamente nulo, se cumplira que: a = b = c = 0 y se

representa por P (x) ≡ 0


3.4. Valor numerico de un polinomio

Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le asigna un determinado valor a su variable.

Ejemplo 3.4.1.

Si P (x) = x3 − 5x2 + 4, entonces

P (1) = (1)3 − 5(1)2 + 4 = 0

P (−2) = (−2)3 − 5(−2)2 + 4 = 6

Nota: En la expresion P (x+ 2, 2y − 1) = 5x− 7y, las variables son x+ 2 y 2y − 1.

Teorema 3.4.1. La suma de los coeficientes del polinomio P (x) es P (1), es decir,

X

coef. de P (x) = P (1)

El termino independiente del polinomio P (x) es P (0), es decir

T.I. de P (x) = P (0)



SOL: Grado de expresiones algebraicas 3.1.

1. Si la siguiente expresion:

A(x) =

�

(xn−2)3x2n−3�2

x4

�

(xn)2x4�2

Se reduce a un monomio de segundo grado,hallar el valor de na) 2 b) 4 c) 3d) 1 e) 5

Solucion

A(x) =

�

(xn−2)3x2n−3�2

x4

�

(xn)2x4�2

=(x5n−9)2x4

(x2n+4)2

=x10n−14

x4n+8

= x6n−22

Para que A(x) = x6n−22 sea de segundo gra-do, haremos 6n− 22 = 2, de donde n = 4

Alternativa: b

2. En el polinomioP (x) = (1 + 2x)n + (1 + 3x)n

La suma de coeficientes excede en 23 altermino independiente segun ello establecerel valor de verdad de las siguientes proposi-ciones:

I. El polinomio P (x) es de 2o grado.

II. La suma de sus coeficientes es 25.

III. El termino cuadratico de P (x) es 12x2

a) VVV b) FVV c) VFVd) FFV e) VVF

SolucionDado el polinomio

P (x) = (1 + 2x)n + (1 + 3x)n

y segun dato del problema:

X

de coef. = 23 + TI

P (1) = 23 + P (0)

3n + 4n = 23 + 2

3n + 4n = 52

de donde n = 2. Luego el polinomio serıa:

P (x) = (1 + 2x)2 + (1 + 3x)2

P (x) = 13x2 + 10x+ 2

por tanto los valores de verdad para las pro-posiciones son VVF

Alternativa: e

3. Si se sabe que: F (x) = −x2 + x+m yG(x) = x+3. Hallar el mayor valor de “m”de tal manera que: F (G(F (2))) = −1a) -1 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

SolucionSi F (x) = −x2 + x+m, entonces

F (2) = m− 2

ahora como G(x) = x+ 3, entonces:

G(F (2)) = G(m− 2) = m− 2 + 3 = m+ 1

ademas:

F (G(F (2))) = −1

F (m+ 1) = −1

−(m+ 1)2 + (m+ 1) +m = −1

m2 = 1

de donde m = ±1. Por lo tanto el mayorvalor de “m” es 1

Alternativa: c


4. Si el polinomio P (x, y) = (a2 +1)xa2+2ya +

(a + 1)x2a−1ya2−1 es homogeneo, hallar la

suma de sus coeficientesa) 22 b) 16 c) 11d) 13 e) 4

SolucionSi el polinomio P (x, y) = (a2 +1)xa

2+2ya +(a + 1)x2a−1ya

2−1 es homogeneo, entoncesse cumple que:

a2 + 2 + a = 2a− 1 + a2 − 1

de donde a = 4. Por lo tanto:

X

coef. = a2 + 1 + a+ 1 = 22

Alternativa: a

5. Si al sumar H(x) y P (y, z) se obtiene unpolinomio homogeneo, dondeH(x) = ax(a+1)bba

P (y, z) = y(a−1)ab2b + 6zb

a+4

Calcular: aÈ

b(a+ 1) ; ab 6= 0

a) 1 b) 3 c) 4d) 2 e) 6

SolucionAl sumar H(x) y P (y, z) se obtiene un po-linomio de la forma:

ax(a+1)bba + y(a−1)ab2b + 6zb

a+4

este polinomio, por dato del problema, debeser homogeneo, entonces:

(a+ 1)bba = (a− 1)a(b2)b = ba+4

de donde b = a− 1 y b2 = a+1, luego

b2 − b− 2 = 0

(b− 2)(b+ 1) = 0

obteniendose b = 2 y b = −1, sin embargob 6= −1, puesto que si b = −1 ⇒ a = 0, y es-to contradice al dato del problema (ab 6= 0),en consecuencia b = 2 y a = 3. Por lo tantoaÈ

b(a+ 1) = 3√2× 4 = 2

Alternativa: d

6. Hallar el valor de a33 +2

a99, si el polinomio:

P (x) = (a3 + b− c− 10)xa6+ (c− b+ 9)xa

9

es identicamente nulo.a) 1 b) 3 c) 0d) 4 e) 2

Solucionsi el polinomio:

P (x) = (a3 + b− c− 10)xa6+ (c− b+ 9)xa

9

es identicamente nulo, entonces se tiene que:

c− b+ 9 = 0

de donde b− c = 9, ahora reemplazando en:

a3 + b− c− 10 = 0

se tiene que a3+9−10 = 0, de donde a = 1,por lo tanto

a33 +2

a99= 1 + 2 = 3

Alternativa: b

7. Calcular el valor de m+ n con la condicionde que el polinomio:

P (x, y) = x2m+n−4ym+n+2 +

x2m+n−3ym+n+1 + x2m+n−2ym+n

sea de grado absoluto 28 y la diferencia delos grados relativos a x e y sea igual a 6.a) 17 b) 15 c) 13d) 9 e) 10

SolucionPor simple inspeccion se observa que elpolinomio P (x, y) es homogeneo, luego3m+ 2n − 2 = 28 de donde:

3m+ 2n = 30

Ademas:GRx = 2m+ n− 2GRy = m+ n+ 2y como GRx−GRy = 6, entonces:2m+✚n− 2− (m+✚n+2) = 6, obteniendosem = 10 y reemplazando en la ecuacion ante-rior se tiene n = 0, por lo tanto m+ n = 10

Alternativa: e


8. Un polinomio P (x) monico de 3er gradoadopta el mismo valor numerico para x =−1, x = −2, x = −3. Si la suma de los coe-ficientes de P (x) es 105. Determine dichopolinomio.a) x3 − x2 − 11xb) x3 + 6x2 + 11x+ 6c) x3 + 6x2 + 11x+ 87d) x3

e) x3 + 11x2 + 93

Solucion

P (x) = a(x+ 1)(x+ 2)(x + 3) + b

como P (x) es monico, entonces a = 1, luego:

P (x) = (x+ 1)(x+ 2)(x + 3) + b

ademas la suma de coeficientes P (1) = 105

P (1) = 2× 3× 4 + b = 105

de donde b = 81, de esta manera se tiene:

P (x) = (x+ 1)(x+ 2)(x + 3) + 81

desarrollando tenemos:

x3 + 6x2 + 11x+ 87

Alternativa: c

9. Dado el polinomio P (x, y) = 2xaya+1 +5x2aya+3 −axa−6ya+7+7x2aya+2 que poseegrado absoluto 33. Calcular el GRx y GRyrespectivamente.

a) 20 ; 17 b) 10 ; 23 c) 10 ; 11d) 20 ; 12 e) 14 ; 10

SolucionComparando los grados de cada termino

2xaya+1

| {z }

2a+1

+5x2aya+3

| {z }

3a+3

− axa−6ya+7

| {z }

2a+1

+7x2aya+2

| {z }

3a+2

como el GA = 33, entonces 3a + 3 = 33, dedonde a = 10, luego:GRx = 2a = 20GRy = a+ 7 = 17

Alternativa: a

10. Hallar a+ b+ c en la identidad:ax3 + bx2 + cx ≡ 12 + 22 + 32 + . . .+ x2

a) 0 b) 4 c) 2d) 1 e) 3

Solucion

ax3 + bx2 + cx ≡ 12 + 22 + 32 + . . .+ x2

ax3 + bx2 + cx ≡ x(x+ 1)(2x + 1)

6

6ax3 + 6bx2 + 6cx ≡ 2x3 + 3x2 + x

comparando se tiene que:

a =1

3, b =

1

2, c =

1

6

por lo tanto: a+ b+ c =1

3+

1

2+

1

6= 1

Alternativa: d


CAP 02: Grado de expresiones algebraicas 3.1.

1. Si la siguiente expresion:

A(x) =

�

(xn−2)3x2n−3�2

x4

�

(xn)2x4�2

Se reduce a un monomio de segundo grado,hallar el valor de na) 2 b) 4 c) 3d) 1 e) 5

2. En el polinomioP (x) = (1 + 2x)n + (1 + 3x)n

La suma de coeficientes excede en 23 altermino independiente segun ello establecerel valor de verdad de las siguientes proposi-ciones:

I. El polinomio P (x) es de 2o grado.

II. La suma de sus coeficientes es 25.

III. El termino cuadratico de P (x) es 12x2

a) VVV b) FVV c) VFVd) FFV e) VVF

3. Si se sabe que: F (x) = −x2 + x+m yG(x) = x+3. Hallar el mayor valor de “m”de tal manera que: F (G(F (2))) = −1a) -1 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

4. Si el polinomio P (x, y) = (a2 +1)xa2+2ya +


suma de sus coeficientesa) 22 b) 16 c) 11d) 13 e) 4

5. Si al sumar H(x) y P (y, z) se obtiene unpolinomio homogeneo, dondeH(x) = ax(a+1)bba

P (y, z) = y(a−1)ab2b + 6zb

a+4

Calcular: aÈ

b(a+ 1) ; ab 6= 0

a) 1 b) 3 c) 4d) 2 e) 6

6. Hallar el valor de a33 +2

a99, si el polinomio:

P (x) = (a3 + b− c− 10)xa6+ (c− b+ 9)xa

9

es identicamente nulo.a) 1 b) 3 c) 0d) 4 e) 2

7. Calcular el valor de m+ n con la condicionde que el polinomio:

P (x, y) = x2m+n−4ym+n+2 +

x2m+n−3ym+n+1 + x2m+n−2ym+n

sea de grado absoluto 28 y la diferencia delos grados relativos a x e y sea igual a 6.a) 17 b) 15 c) 13d) 9 e) 10

8. Un polinomio P (x) monico de 3er gradoadopta el mismo valor numerico para x =−1, x = −2, x = −3. Si la suma de los coe-ficientes de P (x) es 105. Determine dichopolinomio.a) x3 − x2 − 11xb) x3 + 6x2 + 11x+ 6c) x3 + 6x2 + 11x+ 87d) x3

e) x3 + 11x2 + 93

9. Dado el polinomio P (x, y) = 2xaya+1 +5x2aya+3−axa−6ya+7 +7x2aya+2 que poseegrado absoluto 33. Calcular el GRx y GRyrespectivamente.a) 20 ; 17 b) 10 ; 23 c) 10 ; 11d) 20 ; 12 e) 14 ; 10

10. Hallar a+ b+ c en la identidad:ax3 + bx2 + cx ≡ 12 + 22 + 32 + . . . + x2

a) 0 b) 4 c) 2d) 1 e) 3

11. En el polinomio: P (x) = 6ax5a + 5ax4a +4ax3a+3ax2a+20axa+ a. Calcular el valorde a, si se cumple que la suma de coefi-cientes es igual a su termino independienteincrementado en 76.a) 4 b) 2 c) 1d) 3 e) 5

12. Calcular la suma de coeficientes del polino-mio completo y ordenadoP (x) = axa + bxb + cxc + dxd + abcd


con a 6= b 6= c 6= da) 24 b) 44 c) 10d) 14 e) 34

13. Si: P (x) = x(ax2 + bx+ c)− 2x(bx2 + cx+d) + 2d − 1, es identicamente nulo. Hallar:acd√abcd

a) −2 b) 1 c) 2d) 3 e) 5

14. Si: P (x) = xP (H(x) +G(x)) = 4x+ 6P (H(x)− 2G(x)) = x+ 12Hallar H[G(2)]a) 8 b) 10 c) 20d) 12 e) −8

15. Si el polinomio completo es de (4+a) termi-nos, donde P (x) = 2ax2a+(2a+1)x2a−1+(2a+ 2)x2a−2 + . . ..Hallar el valor de “a”.a) 0 b) 4 c) 1d) 3 e) 2

16. En base a los polinomios identicos:P (x) = (m− 5)x2n−1 + (n− 3)xn−2

Q(x) =p

4xn−2 + (3−m)x7

Establecer el valor de verdad de las propo-siciones:

La suma de sus coeficientes es 0

Son de grado 7

El valor dem

n2 + p2es 0,125

a) VVF b) VVV c) VFVd) VFF e) FVV

17. En un polinomio homogeneo, ordenado ycompleto en x e y, la suma de los grados ab-solutos de todos sus terminos es 156. ¿Cuales su grado de homogeneidad?a) 8 b) 13 c) 11d) 10 e) 12

18. Dados los polinomios identicosP (x) = 2(mx+ n)2 +mx2 − 2nQ(x) = 4(9x2 + 8x+ p)Hallar m+ n+ p con m > 0a) 6 b) 12 c) 7d) 15 e) 20

19. Hallar el grado absoluto de:

P (x, y, z) = (a+b)2+c2È

x7a2y6bcz2ac

si:a

a+ b=

b

b+ c=

c

c+ a

a) 3 b) 51 c) 16d) 2 e) 7

20. Si P (x) = 1 + 2 + 3 + . . .+ x

Hallar:P (x− 1)P (x)

P (x2 − 1)

a) 1/3 b) 3 c) 1d) 1/2 e) 2

21. Sean P (x) = xP [F (x) +G(x)] = 3x+ 4P [F (x)−G(x)] = x− 2Determinar E = F [G(1)]a) 8 b) 9 c) 7d) 10 e) 11

22. En el monomio:M(x, y, z) = xa+b−1yb−a+3z2a−b+5

GRx=10, GRy=8. Hallar GRza) 7 b) 10 c) 8d) 6 e) 3

23. Dados los polinomios P (x) y Q(x) tales que

el grado de P 2(x)Q(x) y deP 3(x)

Q(x)son 27

y 23 respectivamente. Entonces el grado deQ3(x)

P (x)es:

a) 14 b) 12 c) 11d) 13 e) 15

24. La suma de coeficientes del polinomio ho-mogeneoP (x, y) = 2axb

5+2a − 5aby218+ 3bxb

a+7es

a) −24 b) 24 c) −16d) 16 e) 12

25. Indicar el grado del polinomio:P (x) =

�

5x2 − x+ 3�n

(xn − x+ 3)n (nx +

9)n−1. Si su termino independiente es 729a) 7 b) 5 c) 6d) 9 e) 3

26. Calcular a+ b+ c+ d si:x4 + 3x2 − 5 ≡ (x− 2)4 + a(x− 2)3 + b(x−2)2 + c(x− 2) + da) 11 b) 102 c) 12d) 13 e) 14



1. Sea el polinomio homogeneoP (x, y, z, w) = xa+b+c + yb+c+d − 3zc+d+a +2wd+a+b

Calcular E =a2 + b2 + c2 + d2

aba) 0 b) 4 c) 2d) 8 e) 1

2. En el polinomio homogeneo, completo y or-denado P (x, y) = x4n−1 + x4n−2y + ... +xy4n−2 + y4n−1 se verifica que la suma delos grados absolutos de sus terminos es 240.Hallar el grado de homogeneidad.a) 4 b) 60 c) 4n

d) 16 e) 15

3. Si Q(x) es lineal y ademas:Q(2) = − 6, Q(3) = 2Q(4). Hallar Q(5)a) 1 b) −1 c) 0d) −2 e) 2

4. Si E =

2

4

s

(x3 − x5)n · (x2 − 3)n2

(x3 + 3)n + (x− 2)12

3

5 · x12

es de grado 68. Si n > 4, determinar na) 7 b) 9 c) 11d) 13 e) 19

5. En la expresion: M =�

3

4

�7

x6y9z10

Determine el valor de:

E =GRx ·GRy ·GRz

GAM

a) 15 b) 16 c) 19d) 21.6 e) 20

6. El polinomio P (z) = (cz + b)(zn + 1) esmonico. Si P (2) + 34 = b+ 4 = c, hallar elvalor de “n”.a) 2 b) 5 c) 3d) 4 e) 1

7. Hallar “n”, si el monomio:

M(x) =

�

(xn−2)3 · x2n−3�2 · x4

[(xn)2 · x4]2es de segun-

do grado.a) 2 b) 9 c) 6d) 8 e) 4

8. Calcular la suma de coeficientes del po-linomio completo y ordenado P (x) =axa+ bxb + cxc + dxd + abcd, siendo a, b, c yd diferentes entre sıa) 14 b) 24 c) 34

d) 44 e) 10

9. Dada la expresion algebraica:

E(x, y, z) =�

3

2

�

x6y3 +�

3

4

�1/2

x16y2z −x3z2y

Calcular: M =GRx− (GRy +GRz)

GAEa) 11/19 b) 16 c) 19/11d) 11 e) 21/19

10. Si P (x), Q(x), R(x) son polinomios talesque: GA(P )=10; GA(Q)=8; GA(R)=4.

Hallar el grado de:P 2R

Q2

a) 6 b) 14 c) 10d) 8 e) 12

11. Hallar la suma de coeficientes y el terminoindependiente del producto: P (x) = (4x2 −5x+ 2)3(2x4 + 5x− 2)2(3x + 5). Luego darcomo respuesta su cociente en ese orden.

a) 1/5 b) 5/4 c) 288d) 540 e) 6/5

12. Si los polinomios:P (x) = ax2 + (b− 1)x+ c+ 1Q(x) = 3x2 + 6x+ 12son identicos, hallar: c− (a+ b)a) 4 b) −1 c) 2d) 3 e) 1

13. En la expresion: M =5 3

É

27�

x6 5È

y9�10

z7

7x10y3 3√z

Determine el valor de

E =GRx.GRy.GRz

GAM

a) 2 b) 3 c) 4d) 15 e) 10

14. Si P (x) es de 5o grado; Q(x) es de 4o gradoy R(x) es de 3o grado, hallar el grado de:


E =

s

(P 4 −Q3)R3

PQ(P −Q)2

a) 5 b) 4 c) 6d) 3 e) 7

15. Dados los polinomios P (x) y Q(x), dondelos grados de los polinomios: P 2(x)Q(x) yP 3(x)

Q(x)son 27 y 23 respectivamente, enton-

ces el grado deQ2(x)

P (x)es:

a) 5 b) 6 c) 8d) 4 e) 7

16. En el polinomio:P (x− 2) = (x+ 2)3 − 3(x− 1) +mx+ 5se cumple que la sumatoria de coeficientes yel termino independiente suman 200; segunello establecer el valor de verdad de cadauno de las proposiciones.

El termino independiente del polino-mio es 129.

La suma de sus coeficientes es 71

P (2) = 63 + 4

a) VFV b) FFV c) VVFd) VFF e) VVV

17. En el siguiente polinomio:P (x) = 3x3a−9 + xa+b−3 + b(x2)4b+a−c

es completo y ordenado crecientemente. Cal-cular “a+ b+ c”a) 1 b) 15 c) 6d) 3 e) 10

18. Si el polinomio: P (x, y) = (a2 + 1)xa2+2 +


suma de sus coeficientes.a) 16 b) 13 c) 8d) 11 e) 22

19. Si la expresion: (3x2 + 6x − 7)(nx + 4) −m(3x2 + x+1)−n(3x3 − 11) es equivalentea 51x2 + 19x+ 3. Hallar m+ n.a) −7 b) 7 c) −11d) 11 e) 13

20. Si los polinomios:P (x) = (bxa + c)2

Q(x) = (16x2 + d)x2 + 9son equivalentes, indicar el mayor valor de

(a+ b+ c+ d)a) 42 b) 54 c) 28d) 33 e) 16

21. Dada la expresion algebraica

E(x, y, z) = 3mx4− 5

7x3y5z2+21/3x7y3z4−

0, 25nx4yz8 Calcular:

M =GAE

GRx+GRy −GRz

a) 3 b) 3.5 c) 4.5d) 5 e) 7

22. Determine el mayor grado relativo de unade sus variables.P (x, y) = x3k−1yk − 2x2k−3y2k + xk−3y3k

de donde GAP = 15.a) 11 b) 15 c) 13d) 14 e) 12

23. Si . . . xayb+2 +A+ xbya+2 . . . son termi-nos de un polinomio homogeneo de grado8, completo y ordenado en orden crecienterespecto a la variable x. Hallar la parteliteral del termino A.a) x2y6 b) x3y6 c) x3y5

d) x4y5 e) x4y4

24. Si P (x) = xn+1 + x3n+2 + xn+3 + 5 es poli-nomio completo, hallar “n”.a) 0 b) −2 c) 1d) −1 e) 3

25. Hallar un termino de g(x), tal que se verificala identidad para todo n ∈ N

x(16x2 + 25) + 40x2 + n ≡ xg2(x) + 3

a) 3 b) 25x c) 40xd) 4x e) 16x2

26. Hallar m + n, si el polinomio P (x) =m(x2 −nx+1)(x2 +mx+1)−nx4− x2− 1es identicamente nuloa) −1 b) 2 c) 1d) −2 e) 3

27. En la siguiente igualdad: ax2 + 32x + 55 =b(x+ c)2 + d(x+ b)2 + c(x+ d)2. Calcular elvalor de:abc(c + 1) + abd(b+ 1) + acd(d + 1)

b+ c+ d

a) 16 b) 17 c) 55d) 32 e) 71



1. Dados los polinomios P (x) y Q(x) de los

que se sabe que: 3È

P (x)Q(x) es de cuartogrado, [P (x) ÷ Q(x)]2 es de octavo grado.¿Cuanto vale el grado de P (x) +Q3(x)?a) 4 b) 12 c) 8d) 64 e) 72

2. Si el polinomio ordenado decreciente y com-pleto:P (x) = x2a+1 + 2xb+3 − 3xc+2 + . . .posee 2c terminos. Hallar a+ b+ c.a) 6 b) 13 c) 12d) 9 e) 14

3. Para ciertos valores particulares de “m” y

“n” la expresion M(x, y) =xmyn

x2y+√xnym

resulta un polinomio homogeneo. Calculemn − nm.a) 2 b) 1c) 0 d) −1e) Hay dos correctas

4. Si los polinomios:P (x, y) = xayb+1 + xcyd−3

Q(x, y) = xa+1yb + x4−ay3−b

son identicos, calcular: (a+ b+ c+ d)a) 10 b) 9 c) 8d) 11 e) 12

5. Se tiene: 2(1/4)n= 4(1/2)

n

P (x, y) = x1−n3+ 2xn

2y − 6y2n

2

¿Cuantas de las siguientes caracterısticaspresenta P (x, y)?

Homogeneo

Ordenado en “x” e “y”

Completo en “x” e “y”

Ordenado en “x” y completo en “y”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) ninguna

6. Si el polinomio P (x, y) = (10 − m)x2y +nxy2 + 5x2y − 2xy2 es identicamente nulo,hallar mn.a) 15 b) 225 c) 125d) 30 e) 300

7. Si f(x+ y) = f(x) + f(y); ∀ x, y Z+

f(1) = 6. Hallar f(3)a) 1 b) 3 c) 6d) 15 e) 18

8. Si P (x) es identicamente nulo, hallar “a−b”en P (x− a) = b(x+ 2) + a(x+ 3) + 2a) −5 b) −1 c) −4d) −2 e) −3

9. Conociendo que ax2 + bx + c ≡ (mx + n)2.

Hallar el valor de: E =b2 + ac

b2 − 3aca) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

10. Si f(x) =3x

x− 1, hallar f(2x) en terminos

de f(x).

a)3f(x)

f(x) + 3b)

6f(x)

f(x)− 3

c)6f(x)

f(x)− 2 d)6f(x)

f(x) + 3

e)1

f(x)

11. Dada la siguiente identidad:(2x+5)7 − (x− 1)7 ≡ (x2 +9x+18)A(x) +ax+ b dondeA(x) = a0x

5 + a1x4 + . . .+ a5 ∧ a0 6= 0

determinar a+b

6.

a)2

3(47 + 1) b)

2

3(47 − 1)

c)3

2(47 + 1) d)

3

2(47 − 1)

e) 4325

12. Determinar E = (a+ b+ c)a+c, siP (x) = . . . + xa+c + 7x2a−b + 8xc−3 +9xa+b+c+3 + . . . es completo y ordenadodescendentemente.a) 1 b) 0 c) −2d) 2 e) −1

13. Hallar el coeficiente de

M =�

1

2

�n

9mx3m+2ny5m−n, cuyo grado ab-


soluto es 20 y el grado relativo a “x” es 14.a) 81/8 b) 16/81 c) 81/16d) 9/16 e) 8/16

14. El monomio:P (x, y) = 5mnxm−nyp − n

√p x5y2m+n

posee grado absoluto igual a 21. Indique sucoeficiente.a) 241 b) 240 c) 221

d) 245 e) 441

15. Indique el valor de verdad de las proposicio-nes:

P (x3) = x12 + 12 es de cuarto grado.

Si P (1) = 9, entonces el coeficienteprincipal de P (x2 + 1) es 9.

Si P (x, y) = 9x3y4z2 entonces el gradode P (x, y) es 9.

a) VVV b) FFV c) VFVd) VFF e) FFF

16. Del polinomioP (x, y) = 5xa+3yb−2z7−a + xa+2yb−3

se sabe que GAP = 11; GRx−GRy = 5.Calcular el valor de: E = 4a− ba) 10 b) 15 c) 20

d) 25 e) 30

17. Determine el grado del polinomio:

P (x) = (2xn − 1)3 + 4x+ 2n

si la suma de la suma de sus coeficientes consu termino independiente es numericamenteigual a 20.a) 6 b) 12 c) 15d) 3 e) 9

18. Siendo P (x) un polinomio que cumple larelacion P (x+ 1) = x2 + P (x)Indicar el valor para: P (10)− P (7).a) 54 b) 89 c) 194d) 225 e) 121

19. En el polinomio:P (x, y) = xm+2ny7+n + xm+ny10+n +xm+3ny9+n el grado respecto a “x” es 15.Ademas los grados relativos “x” e “y” sonproporcionales a los numeros 5 y 4 respec-tivamente. Halle el grado absoluto.a) 26 b) 27 c) 29d) 30 e) 31

20. Si el polinomio: P (x) = (ab − ac + n2)x4 +(bc− ab+ 6n)x2 + (ac− bc+ 9)es identicamente nulo.

Calcular W =a−1 + c−1

b−1a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

21. Si el polinomio P (x) = a(x + 2)2 + b(x +3)2 − (2x + 3)2 + c es identicamente nulo.Hallar el valor de: L = c

√a− b

a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

22. Sabiendo que el polinomio:P (x) = (ax + b)(x − 1) + c(x2 + x + 1) esidentico a 2x2 + 5x− 1. Calcular a+ b− ca) −1 b) 0 c) 2d) 3 e) 1

23. De un polinomio completo y homogeneode grado 40 se han tomado tres terminosconsecutivos ordenados decrecientementerespecto a “y” tal como se muestra:

. . .+ xayb+20 + T + xbyn + . . .

.Hallar el termino T indicando el gradorelativo respecto a “y”.a) 32 b) 31 c) 30d) 28 e) 29

24. Si el polinomio P (x) toma un valorconstante “c” para todo valor de x, don-de: P (x) = ax2 − (x + a)(x + b). Calculeseel valor de E = a2 + b2 + c2.a) 3 b) 29 c) 12d) 5 e) 4

25. Halle el grado del resultado de efectuar:P (x) = (3x− 2)m(mx3 − 1)2(x2 + x−m)2

sabiendo que su termino independiente es(−800)a) 11 b) 17 c) 13d) 15 e) 19

26. En el polinomio completo y ordenadoP (x) = xb

2+aa+a + 2xaa+2a + 3x2a+26 +

4xc5−1 + ...+ n. Calcular:

n

a+ b+ ca) 3 b) 5 c) 4d) 2 e) 6

1. Si los polinomios:P (x) = a(x− 2)3 + b(x− 2)2 + c(x− 2) + dQ(x) = x(x+ 1)(x+ 2)son identicos.

Calcular el valor de:

�

b+ c

a+ d

�

a) 2/5 b) 7/5 c) 4/5d) 3/5 e) 9/5

2. Si el polinomio: M(x, y) = (a + b − c −d2)x2 + (b − de)xy + 9(b + c − a − e2)y2 esidenticamente nulo, calcular:

S =d2

b+

9b

e2+

6a

ca) 15 b) 9 c) 18d) 13 e) 16

3. En el polinomio homogeneo:P (x, y, z) = (xy)3a

b−a+ yb

a−b+ 2zc

Calcular a+ b+ c.a) 4 b) 5 c) 7d) 9 e) 15

4. Dado el polinomio: P (2x−3) = (2x+3)4m+2(12x − 6)2m + (2x+ 1)2m

Calcular “m”, si su termino independientees igual a 1600.a) 1 b) 7 c) 0d) 3 e) 2

5. Determinar el grado del polinomio P (x) sa-biendo que el grado P 2(x).Q3(x) es igual a21; ademas el grado de P 4(x).Q2(x) es iguala 22.a) 2 b) 5 c) 7d) 3 e) 1

6. Hallar el grado de: P (x) = (x3 + 1)(x10 +1)(x29 + 1)...(x1002 + 1)a) 1002 b) 3045 c) 3054d) 2045 e) 3025

7. Calcular abc en el polinomio:P (x) = (a + 3)(x − 1)(x + 2) + (b − 2)(x −1)(x+ 10) + (c− 2)(x+ 2)(x + 10)si este se anula para mas de dos valores di-ferentes atribuidos a su variable.a) 12 b) −8 c) −2d) 0 e) −12

8. El polinomio 3x2y2 +√2xy3 − 4x4y es in-

completo ¿Cual de los siguientes polino-mios habrıa que sumarle para lograr queeste completo?a) x4 + y3 b) x3 + y3 c) x3 + y4

d) x3 + y5 e) x5 + y3

9. Tenemos un polinomio P (x) ordenado ycompleto de grado 6n. Al suprimir todos losterminos de exponente par, incluyendo eltermino independiente, quedan 81 terminos¿Cuanto vale “n”?a) 27 b) 82 c) 81d) 41 e) 24

10. Hallar n de tal forma que la expresion:3

q

3xn2 ÷�

2n√x−2,5

�

+ nx(n2+3)/3 sea de

grado 7/3. Luego respecto al valor de n sepuede afirmar:a) 2, 1 < n < 2, 5 b) 4 < n < 5c) 0, 5 < n < 1 d) 1, 5 < n < 2, 2e) 3 < n < 4

11. Si la expresion:(a+ b)2

6√xa−b − ab

4√xa+b + (b− a)x;

puede reducirse a monomio, este monomioes:a) 5x b) 15x c) 18xd) 10x e) 6x

12. Calcular la suma de coeficientes delsiguiente trinomio racional enteroQ(x, y) = (a− 4)x9−a + axa−2ya/4 + y19−2a

a) 10 b) 12 c) 17d) 15 e) 13

13. Encontrar el polinomio cuadratico F (x) queverifica:

F (x+1√2) + F (x− 1√

2) ≡ 6x2 + 8x+ 5

para luego indicar la suma de sus coeficien-tes:a) 2 b) 1 c) 8d) 9 e) 13

14. Si P (xxx+ 2n+ 1) ≡ 6xx

x+ 12n

P [F (x)] ≡ 24x+ 12Proporcionar el valor de: F (n − 1).a) 4n− 1 b) 2n c) 4n − 2d) 2n− 2 e) 4n


15. Hallar “m” para que la expresion:

M = 3

s

xm−1 4√xm

6√x5m−4

, sea de sexto grado.

a) 40 b) 48 c) 34d) 44 e) 24

16. Hallar el grado de la expresion:

E = 4ax3È

4+23√

4+2 3√4+...∞

a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 9

17. Calcular el valor de x/y en el monomio:

M =3√ax+yby+6

a2/3b1−ysi es de segundo grado res-

pecto de “a” y es de septimo grado absoluto.a) 5/3 b) 4/3 c) 2d) 1/3 e) 2/3

18. Si en el polinomio:P (x, y) = 4xm+n−2ym−3z7+8xm+n+5ym−4+7xm+n−6ym+2 se verifica que la diferenciaentre el GRx y GRy es 5 , ademas el menorexponente de “y” es 3. Hallar su grado ab-soluto.a) 13 b) 11 c) 17d) 15 e) 18

19. Dados los polinomios: P (x) y Q(x), se sabe

que los polinomios: P (x)Q5(x) yP 5(x)

Q2(x)son

de grado 13 y 11 respectivamente. Hallar elgrado de P 2(x)Q(x)a) 8 b) 7 c) 9d) 10 e) 11

20. Sabiendo que P y Q son dos polinomios talque Gr(P ) = 5 y Gr(Q) = 3; entonces indi-car el valor de verdad de las siguientes afir-maciones

Grado de (È

P 2 +Q2) = 8

Grado de (P 2Q2 +Q2) = 22

Grado de (P 2 +Q2)2 = 20

a) VVV b) FVF c) FFFd) FFV e) VVF

21. Calcular la suma de coeficientes del poli-nomio homogeneo: P (x, y) = 3pxn

2−5y12 +5(p − q)xpyq + (13q + 4)xn

2y3n−14

a) 542 b) 452 c) 544d) 245 e) 454

22. Dado el polinomio homogeneoP = 3a4 − 2a2b2 +5ab3. Determinar el poli-nomio que debe agregarse a “P” para que elpolinomio resultante sea un polinomio ho-mogeneo y completo, tal que la suma de suscoeficientes sea 16 y su valor numerico paraa = 2 y b = 1 sea 88a) 3a3b+ 14b4 b) 6a3b− 10b4

c) 3a3b+ 6b4 d) 3a3b− 5b4

e) 4a3b+ 6b4

23. Si el polinomio definido por:P (x) = (n− 2)xn−9 + (n− 3)xn−8 + (n− 4)xn−7+. . . es ordenado y completo. Entoncesel numero de terminos esa) 14 b) 3 c) 7d) 15 e) ilimitado

24. Calcular el termino independiente del poli-nomio:P (x−1) = (3ax−4a)2+(3x−4)2a−x2+4;a ∈ Z. Sabiendo que es la cuarta parte de lasuma de coeficientesa) 8 b) 2 c) 4d) 16 e) 32

25. Si (a, b, c) ∈ N y P (x) = a(xa +1)b(cx+ 2)c

es un polinomio completo de 85 terminos,cuyo termino independiente es 72 y su coefi-ciente principal es 243, entonces el valor de(a+ b+ c) es:a) 19 b) 23 c) 2d) 21 e) 81

26. Sabiendo que el polinomio:P (x) = (ax + b)(x − 1) + c(x2 + x + 1), esidentico a 2x2 + 5x− 1. Calcular a+ b− ca) −1 b) 1 c) 2d) 0 e) 3

27. Si: P (x) = (a + 1)2xb2−73 + (b− 6)xb−4 + b

y Q(x) = (p2 − 1)xb−4 + (a2 + 9)x8 + a+ 5son identicos, entonces el valor de: a+ b+ pa) 12 b) 25 c) 35d) 45 e) 15

28. H(x) = b7x7+b3x

3+b2x+3. Si H(−4) = 4,calcule: H(4)a) 6 b) 4 c) 2d) 0 e) −6



1. Determine el valor de “n” para que el mo-

nomio3

s

xn−3 4√x3n

4√xn

sea de 2◦ grado.

a) 8 b) 6 c) 9d) 3 e) 4

2. Si P (x+ 2) = 5x+ 2 y P (F (x)) = 10x + 2.Hallar F (5)a) 6 b) 8 c) 10d) 14 e) 12

3. Calcular f(7) + 1, sabiendo que f(3) = 1 yademas f(2x− 1) = f(2x+ 1)− x+ 1a) 1 b) 2 c) 5d) 4 e) 3

4. Si a, b, c son numeros naturales diferentes decero. Determinar el grado absoluto de:

M(x, y, z) =xa+b+cyabc

abc√xyz x0,5

donde a > b > c ; a ≤ 3a) 11 b) 13 c) 14d) 12 e) 10

5. Se tiene 3 polinomios enteros en “x”, P (x);Q(x); R(x). Se sabe que la suma de los gra-dos de Q(x) y R(x) excede en 10 unidadesal grado de P (x). Ası mismo el grado de

4È

P 2QR es 10 y el grado de:(PQ)3

R4es 34.

Determine la diferencia de los grados deQ(x) y P (x).a) 0 b) 1 c) 3d) 2 e) 5

6. Calcular la variacion que experimenta:P (x) = x3 + 40x + 5. Cuando “x” varıadel valor (−2) al valor (−1).a) Disminuye 47 b) Aumenta 47c) Aumenta 27 d) Disminuye 27e) No varıa

7. Si P (x+ 2) = 6x+ 1;P [F (x)] = 12x− 17. Hallar F (10)a) 3 b) 15 c) 17d) 21 e) 19

8. Si el grado del siguiente monomio

M(x) = 8x65q

15x43È

2xm√3xm; es 9 calcu-

lar “m”.a) 16 b) 18 c) 22d) 20 e) 24

9. Hallar el valor de “n” si el grado del mono-

mio P (x) =

n

É

x n

q

x nÈ

x n√nx

n

É

nq

nÈ

n√xn3−n

es 144

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5d) 1/2 e) 3

10. Cuantas letras se deben tomar para que elgrado absoluto del monomio: a2b6c12d20 . . .,sea 1360a) 10 b) 11 c) 12d) 15 e) 13

11. Calcular la suma de coeficientes de:P (x) = (x− 2)11 + (x− 3)2 + (x− 1)5 + 10a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16

12. Calcular el termino independiente de:P (x) = (x−7)2−(x−2)5+(x−3)(x+2)−3a) 70 b) 15 c) 100d) −3 e) 72

13. Dados los polinomios P (x) y Q(x), se sabe

que los polinomios: P (x).Q5(x) yP 5(x)

Q2(x),

son de grado 13 y 11 respectivamente. Ha-llar el grado de P 2(x).Q(x)a) 7 b) 9 c) 8d) 11 e) 10

14. Hallar la suma de coeficientes del polino-mio: P (x, y, z) = a3xa

b − b2yba+ abza

a−bsi

es homogeneo.a) 68 b) 60 c) 50d) 70 e) 74

15. Hallarm

n, si el polinomio:

P (x, y) = xmyn(2x2m+1 + 7y54n+1)7 es ho-mogeneo.a) 9 b) 18 c) 36d) 27 e) 45


16. Un polinomio monico de tercer grado P (x),adopta el mismo valor numerico para x = 3,x = −1, x = −2; si la suma de coeficienteses 100. Hallar su termino independiente.a) 105 b) 106 c) 108d) 109 e) 115

17. Calcular a + b + c + d + m + n en la iden-tidad: 5xa+2ya+1 − 3x2bya+3 ≡ mxayc−2 +nxd+1y5−a siendo el primer polinomio ho-mogeneo:a) 13 b) 14 c) 17d) 16 e) 15

18. Dado el polinomio de 14 terminos, completoy ordenadoP (x) = xn+4 + · · · + xa−1 + xa−2 + xa−3

calcular√na− 2

a) 2 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

19. Si el polinomioP (x) = 3x3a−b+5x2a+7x3b+c+8xa+b+c+· · ·es completo y ordenado en forma descenden-te, calcule el valor numerico de:W = (a2 + b2 + c2)b+c

a) 14 b) 12 c) 10d) 2744 e) 196

20. La suma de coeficientes del polinomio ho-mogeneo:P (x, y) = 2axb

5+2a − 5aby218+ 3bxb

a+7es:

a) 12 b) 16 c) −16d) −24 e) 24

21. En el polinomio homogeneo: P (x, y) =x4n−1 + x4n−2y + . . . + xy4n−2 + y4n−1 quetambien es completo y ordenado se verificaque la suma de los grados absolutos de losterminos es 240. Hallar su grado de homo-geneidad.a) 4 b) 15 c) 16d) 60 e) 4n

22. Si P�

xxx−1/2

�

= nx+ n2x2 + n3x3 + · · ·| {z }

“n” terminos

Calcular: P

�

1

n(n√

n)−1

�

a) 1 b) n+ 1 c) 1/nd) 2 e) n

23. Si el polinomio: P (x) = (4a + 2)x2a−30 +(4a)x2a−29 +(4a− 2)x2a−28 + . . . es comple-

to y ordenado. ¿Cual es su grado?a) 32 b) 31 c) 30d) 33 e) 29

24. Senale cuantas proposiciones son verdade-ras:

Un polinomio completo no siempre es-ta ordenado

Un polinomio ordenado no siempre es-ta completo

Un polinomio completo de grado “n”,siempre tiene “n+ 1” terminos

Un polinomio ordenado de grado 8,siempre tiene 9 terminos

Un polinomio completo puede estar or-denado

a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) 5

25. Sean:P (x) = (xm−2 + xm−1 + xm + 1)(xn−2 +xn−1 + xn − 1)Q(x) = (1− nxn + xn+1)(xm−1 − xm + 1)2

Si el grado absoluto de P (x) y Q(x) es10 y 15 respectivamente. Calcule el gra-do absoluto de la siguiente expresion:[(mxm + nxn −m− n)3(xm − nx+m)4]1/2

a) 12 b) 14 c) 13d) 17 e) 10

26. En el polinomio: P (x, y) = 2mxa2−2y4 +

4(m− n)xmyn + (10n − 1)xa2y2a−6,

es homogeneo. Calcule el grado de homoge-nidad.a) 12 b) 18 c) 17d) 15 e) 19

27. Si el polinomio P (x) = qx3+√p+ 6x2m−6+

3√5n+ 8x5m+n−19 +

�

m

4+ 2

�

xp+n−3,

es completo y ordenado en forma descen-dente. Hallar 3

√q si la suma de coeficientes

es m+ n+ p.a) 4 b) 1 c) 2d) 3 e) −1

28. Si el polinomio ordenado decreciente y com-pleto: P (x) = x2n+1 +2xα+3 − 3xm+2 + . . ..Posee “2m” terminos. Hallar “α”a) 5 b) 3 c)7d) 9 e) 11



1. Sea:P (x) = nxn+(n−1)xn−1+ . . .+2x2+x+msi sus coeficientes suman 63 y P (0) = n− 2,calcular la suma de coeficientes de:S(x) = mxm+(m−1)xm−1+. . .+2x2+x+na) 56 b) 46 c) 36d) 26 e) 16

2. Si el polinomio: P (x, y, z, w) = axab+byc

a+

cz√c√

c

+ w(ab)a , es homogeneo. Hallar lasuma de coeficientes de P (x, y, z, w)a) 18 b) 25 c) 22d) 20 e) 27

3. En el siguiente polinomio homogeneo, cal-cular la suma de coeficientes: P (x, y, z, w) =

axaa − 5acy(b

2)b2

+ 4bczca1/2b

+ 3c2w256

a) 9 b) 7 c) 4d) 12 e) 14

4. Determinar el valor de “k” para que los po-linomios:P (x, y) = 5(x4+y4)+30x2y2+20xy(x2+y2)Q(x, y) = k(x+ y)(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3)sean equivalentes:a) 5 b) 4 c) 6d) 7 e) 8

5. Si se cumple que:m

x− 1+

n

x− 2+

p

x− 3≡

x2 − 10x+ 13

(x− 1)(x− 2)(x − 3). El valor de

E = 6m+ 3n+ 2p es igual a:a) 10 b) 12 c) 15

d) 13 e) 9

6. Si los polinomios definidos por:P (x, y) = (x+ y)5 − x5 − y5

Q(x, y) = mx2(x+ y) + 2mxy(x3 + y3)son equivalentes, hallar “m”a) 2 b) 5 c) 4

d) 6 e) 7

7. Si el polinomio: Q(x) = a(x + 2)2 + b(x +3)2 − (2x + 3)2 + c es identicamente nulo.Hallar el valor de L = c

√a− b

a) 0 b) 1 c) 4d) 3 e) 2

8. Si el polinomio: P (x) = (x2 − x + 3)(a −b)+ (x2−x+4)(b− c)+ (x2+x+5)(c− a).Se anula para mas de un valor. Hallar:

R =b+ c

aa) 3 b) 4 c) 2d) 0 e) 8

9. Sea P (x) = (a3−7)x5+ax2+a2+1 un po-linomio monico; (a ∈ R). Hallar el terminoque no depende de la variablea) 5 b) 10 c) 17d) 26 e) 2

10. ¿Cual es la variacion que experimentaP (x), cuando “x” varia de −2 a −4, si:

P (x) =x

1− 1

x

a) Disminuye en −68/15b) Aumenta en 28/15c) Aumenta en −68/15d) Disminuye en 28/15e) No varıa

11. La relacion F (x − 3m− n

5) = F [F (x)] −

2F�

7x

m

�

+ 8 con F (m) =2m+ n

5;

m 6= 0 se verifica para un polinomio F (x).Hallar F (7)a) 7 b) 4 c) 8d) 9 e) 10

12. Si: P (x) =x

1 + x; F (x) =

1

1 + x;

G(x) = x y ademas P{F [G(x)]} =1

10.

Calcular xa) 5 b) 10 c) 4d) 16 e) 8

13. Hallar el GA de la expresion:

M =x√2n 16(1/2)

36√yn

�

n+1√xx4 x9 . . . xn2

�

12n+1

a) 4n b) 3n c) 2nd) 1 e) n


14. Se tiene un polinomio de 4to grado cuyasuma de coeficientes es 5 y el termino inde-pendiente es 2.Ademas P (x − 1) − P (x) = P (x + 1) + x.

CalcularP (0)P (−1)P (1) + P (2)

P

coef− TIa) 22 b) 23 c) 24d) 25 e) 70/3

15. ¿Cuantos factores han de tomarse para quela expresion:P (x) = (x2+1)(x6+2)(x12+3) . . . , tal queP (x) sea de grado 572a) 16 b) 15 c) 14

d) 11 e) 12

16. Un polinomio monico de tercer grado P (x),adopta el mismo valor numerico para x = 3,x = −1, x = −2 ; si la suma de coeficienteses 105. Hallar su termino independiente.a) 108 b) 111 c) 109d) 110 e) 115

17. Sean los polinomios: P (x), Q(x) y R(x)cuyos grados son (4n + 3), (6n − 1) y(2n), respectivamente, tal que, el grado[P 3(x)R(x) + P 2(x)Q(x) − R6(x)] es 107.

Hallar el grado de: E = 3

s

3Q2(x)P (x)

4R(x)

a) 22 b) 55 c) 26d) 44 e) 33

18. En la expresion:

M =5 3

q

27(x6 5È

y9)10z7

7x10y3 3√z

Determine el valor de: E =GRxGRyGRz

GAa) 2 b) 3 c) 4d) 10 e) 15

19. Siendo P (x) un polinomio que cumple larelacion P (x + 1) = x2 + P (x), indicar elvalor de P (10) − P (7)a) 194 b) 54 c) 89d) 121 e) 225

20. Determine el termino central del polinomioP (x) = nx + (n − 1)x2 + (n − 2)x3 + · · · +2xn−1 + xn, sabiendo que la suma de coefi-cientes es 153.a) 5x8 b) 6x9 c) 9x3

d) 9x9 e) 8x9

21. Si P (x) es un polinomio definido por:P (x) = (4x9+3)n(x2+3x3+1)n−2(2x9+3)tal que su grado es 27. Hallar la suma deltermino independiente y el coeficiente prin-cipal.a) 75 b) 59 c) 73d) 72 e) 74

22. Hallar el grado del polinomio: P (x) =(x44 + 1)(x110 + 2)(x176 + 3)(x242 + 4) . . .20 factores.a) 13430 b) 610 c) 13440d) 671 e) 13420

23. Calcular abc en la identidad18x3 + 21x2 + 8x+ 1 ≡ a(2x+ 1)a(cx+ a)b

a) 3 b) 1 c) 6d) 2 e) 12

24. Sea A = yz2 − 16

�

1 +1

8x

�

, ademas P (x) =

x�

Ax+ y − 4

x

�

+ zynes identicamente nu-

lo. Calcular: yzn

a) 4 b)√2 c) 2

d) 16 e) 8

25. Si: P (x, y) = (abc + 16)xa2yb

3 − (bc +a)xb

3yc

c+ (b − c)xa

2yc

ces un polinomio

identicamente nulo. Calcular: a+ b+ ca) 8 b) 6 c) 2d) 0 e) 4

26. Si el termino independiente y el coeficienteprincipal del plinomio:P (x) = (x2 − 3x + 5)(6xn − x + n)(2x4 +x2 + n+ 1)(10xn−1 − 5xn − 1), son iguales.Hallar “n”, si n > 1a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

27. Sean los polinomios P , Q, R y H, que cum-plen: P (x− 3) = Q(x+ 2) +R(x− 3)H(x) = P (x− 1) +Q(x+ 4). Sabiendo quelos terminos independientes de P y R son5 y 4 respectivamente. Calcular la suma decoeficientes de H(x).a) −7 b) 5 c) 4d) 3 e) 6

Capıtulo 4:

MULTIPLICACION ALGEBRAICA

Objetivos

z Saber aplicar la propiedad distributiva para multiplicar polinomios.

z Conocer el manejo de los productos notables por ser de suma importancia en la simplifica-

cion y factorizacion.

Dentro del calculo algebraico es frecuente la transformacion de una expresion algebraica en otras

equivalentes, cuando estas permiten algunas reducciones y/o simplificaciones, estas transformaciones

reciben el nombre de operaciones algebraicas.

4.1. Adicion y sustraccion de expresiones algebraicas

Es la operacion que consiste en sumar o restar terminos semejantes (Simplificacion de terminos

semejantes), y se procede de la siguiente manera:

Se suman algebraicamente los coeficientes

Se escribe la misma parte literal.

4.2. Multiplicacion de expresiones algebraicas

Es la operacion que consiste en hallar una expresion denominada producto P (x), a partir de otras

dos expresiones llamadas multiplicando M(x) y multiplicador N(x); de modo que:

M(x).N(x) = P (x)

Propiedades:

El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores.

75


El termino independiente del producto es igual al producto de los terminos independientes de

los factores.

Ejemplo 4.2.1.

Se tienen los polinomios:

P (x) = 3x5 − 2x2 + 5; Q(x) = 6x7 − 2x5 − 3; R(x) = 4x3 + 2

Luego tenemos que:

Grado [P (x).Q(x).R(x)] = 5 + 7 + 3 = 15.

Termino independiente del producto T.I. = (5)(3)(2) = 30.

4.3. Productos notables

Para poder entender sobre los productos notables, es esencial que se tenga un dominio regular

de las operaciones basicas del algebra elemental. Esto es, suma, resta, multiplicacion y division de

polinomios. Resultara mas o menos facil entender un producto notable si se tiene nociones de que es

un producto, y que el producto es el resultado de la multiplicacion de dos o mas factores.

Definicion 4.3.1. Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expre-

siones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccion, sin verificar la multiplicacion

que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicacion simplifica y sistematiza la resolucion de muchas multi-

plicaciones habituales.

Los mas importantes son:

1. Cuadrado de un binomio (Trinomio cuadrado perfecto)

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer termino mas (o menos) el doble del

producto del primer termino por el segundo mas el cuadrado del segundo termino.

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

a

b

a b

a2

b2

ba

ab

Figura 4.1: Ilustracion grafica del cuadrado de un binomio

Nota: (a− b)2n = (b− a)2n para todo n ∈ Z


Teorema 4.3.1.

Todo trinomio de la forma ax2 + bx+ c es cuadrado perfecto si y solo si: b2 = 4ac

2. Suma por su diferencia (Diferencia de cuadrados)

El producto de de la suma de dos terminos por su diferencia es igual a el cuadrado de la primer

termino menos el cuadrado del segundo.

(a+ b)(a− b) = a2 − b2

(an + bn)(an − bn) = a2n − b2n

a

b

a b

(a+ b)(a− b)

a

a2

b2

Figura 4.2: Ilustracion grafica de una diferencia de cuadrados

3. Cubo de un binomio

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 Forma desarrollada

(a+ b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Forma abreviada

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3 Forma desarrollada

(a− b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b) Forma abreviada

4. Binomio por trinomio (Suma y diferencia de cubos)

(a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3

(a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3

5. Suma y diferencia de potencias n-esimas

(a+ b)(an−1 − an−2b+ an−3b2 − · · · + bn−1) = an + bn

(a− b)(an−1 + an−2b+ an−3b2 + · · · + bn−1) = an − bn

6. Cuadrado de un trinomio

(a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc Forma Desarrollada

(a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+ ac+ bc) Forma Abreviada


(a+ b− c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab− 2ac− 2bc

(a− b+ c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab+ 2ac− 2bc

(a− b− c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab− 2ac+ 2bc

(a− b− c)2 = (b+ c− a)2

a

b

c

a b c

a2

b2

ba

ab

ac

ca

bc

cb

c2

Figura 4.3: Ilustracion grafica del cuadrado de un trinomio

7. Cubo de un trinomio

(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b+ a2c+ b2a+ b2c+ c2a+ c2b) + 6abc (FD)

(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b)(a+ c)(b+ c) (FA)

(a+ b+ c)3 = 3(a+ b+ c)(a2 + b2 + c2)− 2(a3 + b3 + c3) + 6abc (FA)

(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(ab + ac+ bc)− 3abc (FA)

8. Producto de binomios con un termino comun

El producto de dos binomios con un termino comun es igual a el cuadrado del termino comun

mas el producto de la suma de los terminos no comunes por el termino comun mas el producto

de los termino no comunes.

(x+ a)(x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab

(x− a)(x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab

(x+ a)(x+ b)(x+ c) = x3 + (a+ b+ c)x2 + (ab+ ac+ bc)x+ abc

(x− a)(x− b)(x− c) = x3 − (a+ b+ c)x2 + (ab+ ac+ bc)x− abc

9. Identidades de Legendre

(a+ b)2 + (a− b)2 = 2(a2 + b2)

(a+ b)2 − (a− b)2 = 4ab

(a+ b)4 − (a− b)4 = 8ab(a2 + b2)

10. Identidades de Lagrange


(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax+ by)2 + (ay − bx)2

a x

b y

(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax+ by + cz)2 + (ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2

a x

b y

c z

11. Identidades de Argand

(x2 + x+ 1)(x2 − x+ 1) = x4 + x2 + 1

(x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

(x2m + xmyn + y2n)(x2m − xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n

12. Identidades auxiliares

a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ac) (Equiv. de Gauss)

a3 + b3 + c3 − 3abc =1

2(a+ b+ c)

�

(a− b)2 + (a− c)2 + (b− c)2�

(a+ b+ c)3 + 2(a3 + b3 + c3) = 3(a+ b+ c)(a2 + b2 + c2) + 6abc

(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(a2 + b2 + c2)− 3abc

(a− b)3 + (b− c)3 + (c− a)3 = 3(a− b)(b− c)(c− a)

(a+ b)4 + (a− b)4 = 8ab(a2 + b2)

(a+ b)(a+ c)(b+ c) + abc = (a+ b+ c)(ab + bc+ ca)

Nota 4.3.1. Existe una ingeniosa formula para representar un cubo como diferencia de dos

cuadrados:

a3 =

�

a(a+ 1)

2

�2

−�

a(a− 1)

2

�2

13. Igualdades condicionales

Si a+ b+ c = 0 entonces:

Si a2 + b2 + c2 = ab+ ac+ bc entonces a = b = c

Si a3 + b3 + c3 = 3abc entonces a = b = c o a+ b+ c = 0

Si (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 entonces (a+ b+ c)2n+1 = a2n+1 + b2n+1 + c2n+1


⊛ a2 + b2 + c2 = −2(ab+ ac+ bc).

⊛ a3 + b3 + c3 = 3abc.

⊛ a4 + b4 + c4 = 2�

a2b2 + a2c2 + b2c2�

.

⊛ a5 + b5 + c5 = −5abc(ab + ac+ bc).

⊛�

a2 + b2 + c2�2

= 2�

a4 + b4 + c4�

.

⊛ (ab+ ac+ bc)2 = a2b2 + a2c2 + b2c2.

⊛

�

a2 + b2 + c2

2

��

a3 + b3 + c3

3

�

=a5 + b5 + c5

5.

⊛

�

a2 + b2 + c2

2

��

a5 + b5 + c5

5

�

=a7 + b7 + c7

7.

Cuadro 4.1: Igualdades condicionales



SOL: Productos notables 4.1.

1. Si a3 + b3 = 279; a+ b = 3. Hallar: a− b

a) 13 b) 11 c) 9d) 7 e) 12

Solucion

a3 + b3 = 279

(a+ b)(a2 − ab+ b2) = 279

3(a2 − ab+ b2) = 279

a2 − ab+ b2 = 93

a2 + b2 = 93 + ab

ademas:

a+ b = 3

(a+ b)2 = 9

a2 + 2ab+ b2 = 9

a2 + b2 = 9− 2ab

luego:93 + ab = 9− 2ab

obteniendose:

ab = −28

ahora, reemplazando se tiene:

a2 + b2 = 65

Por otro lado:

E = a− b

E2 = (a− b)2

= a2 − 2ab+ b2

= 65 + 2× 28

= 121

Por lo tanto: E = 11

Alternativa: b

2. Calculara− c

d− b+

b− c

d− a. Sabiendo que:

(a+ b+ c+ d)2 = 4(a+ b)(c+ d)

a) 0 b) 6 c) 4

d) 8 e) 2

SolucionEn la ecuacion:

(a+ b+ c+ d)2 = 4(a+ b)(c+ d)

hacemos los cambios de variable:

x = a+ b ; y = c+ d

entonces:

(x+ y)2 = 4xy

x2 + 2xy + y2 = 4xy

(x− y)2 = 0

de donde: x = y, luego:

a+ b = c+ d

obteniendose:

(

a− c = d− b

b− c = d− a

Por lo tanto:

a− c

d− b+

b− c

d− a= 1 + 1 = 2

Alternativa: e

3. Hallar a4 − b4, si:

a =È

3 +√5 +

È

3−√5

b =È

3 +√5−

È

3−√5

a) 106 b) 76 c) 96d) 84 e) 86

Solucion

a =È

3 +√5 +

È

3−√5

a2 = 6 + 2È

(3 +√5)(3−

√5)

a2 = 10


ademas:

b =È

3 +√5−

È

3−√5

b2 = 6− 2È

(3 +√5)(3 −

√5)

a2 = 2

luego

a4 − b4 = (a2 + b2)(a2 − b2) = 12× 8 = 96

Alternativa: c

4. Calcular:

�

a+ b+ c

b+ c

�3

+

�

b− a+ c

b+ c

�3

−

6�

a

b+ c

�2

+ 8

a) 10 b) 14 c) 8d) 12 e) 16

SolucionHaciendo b+ c = x, se tiene:

�

x+ a

x

�3

+�

x− a

x

�3

− 6�

a

x

�2

+ 8

�

1 +a

x

�3

+�

1− a

x

�3

− 6�

a

x

�2

+ 8

1 + 3�

a

x

�

+ 3�

a

x

�2

+�

a

x

�3

+ 1− 3�

a

x

�

+

3�

a

x

�2

−�

a

x

�3

− 6�

a

x

�2

+ 8

Reduciendo se obtiene el valor de 10

Alternativa: a

5. Si

�

a

b

�n

+

�

b

a

�n

= 62. Hallar:

x = 3

Ê

an + bn√anbn

a) 1 b) 6 c) 4d) 2 e) 8

Solucion

x = 3

s

an + bn√anbn

x3 =an + bn√

anbn

x3 =an

an/2bn/2+

bn

an/2bn/2

x3 =�

a

b

�n/2

+

�

b

a

�n/2

elevando al cuadrado se tiene:

(x3)2 =

"

�

a

b

�n/2

+

�

b

a

�n/2#2

x6 =�

a

b

�n

+ 2�

a

b

�n/2 � b

a

�n/2

+

�

b

a

�n

x6 = 62 + 2

x6 = 26

de donde x = 2

Alternativa: d

6. Si x = 3√3 ¿Cual es el valor de: (x + 3)3 +

3(x+ 1)3 − 3(x+ 2)3 − x3

a) 3√3 b) 6 c) 3 3

√3

d) 9 e) 27

Solucion

(x+ 3)3 = x3 + 9x2 + 27x + 27 (4.1)

(x+ 1)3 = x3 + 3x2 + 3x+ 1 (4.2)

(x+ 2)3 = x3 + 6x2 + 12x+ 8 (4.3)

luego haciendo: (4.1)+3(4.2)−3(4.3) −x3

(x+ 3)3 + 3(x+ 1)3 − 3(x+ 2)3 − x3 =

��x3 +✟✟9x2 +✟✟27x+ 27 +✟✟3x3 +✟✟9x2 +✚✚9x+ 3−

✟✟3x3 −✟✟✟18x2 −✟✟36x− 24−��x3 = 6

Alternativa: b

7. Si: ab+ ac+ bc = −8

(a+ b)2 + (a+ c)2 + (b+ c)2 = 16Calcular:

E = a2b−1c−1 + b2c−1a−1 + c2a−1b−1

a) −2 b) 1 c) −3d) 2 e) 3

SolucionReduciendo la ecuacion:

(a+ b)2 + (a+ c)2 + (b+ c)2 = 16

a2+2ab+b2+a2+2ac+c2+b2+2bc+c2 = 16

2(a2 + b2 + c2 + ab+ ac+ bc) = 16

a2 + b2 + c2 − 8 = 8


a2 + b2 + c2 = 16

ademas:

(a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+ ac+ bc)

reemplazando se tiene

(a+ b+ c)2 = 16 + 2(−8) = 0

de dondea+ b+ c = 0

por otro lado tenemos:

E = a2b−1c−1 + b2c−1a−1 + c2a−1b−1

=a2

bc+

b2

ac+

c2

ab

=a3 + b3 + c3

abc

=3✟✟abc

✟✟abc

por lo tanto E = 3

Alternativa: e


2−1�

a+ b

a− b− 2(a2b+ ab2 + b3)

a3 − b3

�

.

Si a =È√

2 +√3 ; b =

È√2−

√3

a) 2 b)√2 c) 1/2

d)√12 e)

√3

SolucionSimplificando primero la expresion:

2−1�

a+ b

a− b− 2(a2b+ ab2 + b3)

a3 − b3

�

1

2

�

a+ b

a− b− 2b(a2 + ab+ b2)

(a− b)(a2 + ab+ b2)

�

1

2

�

a+ b

a− b− 2b

(a− b)

�

=1

2

Alternativa: c

9. Hallar el valor numerico de:(a+ b)[(a + b)2 − 2ab+ (a− b)2]− 2b3

Para a = 3√3; b = 2 3

√3−

√2 + 1

a) 6 b) 18 c)√2

d)√3 e) 3

SolucionSimplificando primero la expresion:

(a+ b)[(a+ b)2 − 2ab+ (a− b)2]− 2b3

(a+ b)[(a + b)2 + (a− b)2 − 2ab]− 2b3

(a+ b)[2(a2 + b2)− 2ab]− 2b3

2(a+ b)(a2 − ab+ b2)− 2b3

2a3 +✚✚2b3 −✚✚2b

3 = 2a3

y reemplazando se tiene: 2a3 = 2× 3 = 6

Alternativa: a

10. Si

�

a

b

�2

+

�

b

a

�2

= 18. Calcular:

E =

�

a

b

�2

−�

b

a

�2

a) 4√5 b) 2

√5 c) 4

√2

d) 8√5 e) 2

√2

SolucionSe sabe por diferencia de cuadrados que:

E =

��

a

b

�

+

�

b

a

��

a

b

�

−�

b

a

��

hagamos m =a

b+

b

ay n =

a

b− b

a

m =a

b+

b

a

m2 =

�

a

b+

b

a

�2

=�

a

b

�2

+ 2 +

�

b

a

�2

= 20

de donde m2 = 20, luego m = 2√5

por otro lado:

n =a

b− b

a

n2 =

�

a

b− b

a

�2

=�

a

b

�2

− 2 +

�

b

a

�2

= 16

de donde m2 = 16, luego n = 4Por lo tanto E = mn = 8

√5

Alternativa: d


CAP 03: Productos notables 4.1.

1. Si a3 + b3 = 279; a+ b = 3. Hallar: a− ba) 13 b) 11 c) 9d) 7 e) 12

2. Calculara− c

d− b+

b− c

d− a. Sabiendo que:

(a+ b+ c+ d)2 = 4(a+ b)(c+ d)a) 0 b) 6 c) 4d) 8 e) 2

3. Hallar a4 − b4, si:

a =È

3 +√5 +

È

3−√5

b =È

3 +√5−

È

3−√5

a) 106 b) 76 c) 96d) 84 e) 86

4. Calcular:

�

a+ b+ c

b+ c

�3

+

�

b− a+ c

b+ c

�3

−

6�

a

b+ c

�2

+ 8

a) 10 b) 14 c) 8d) 12 e) 16

5. Si

�

a

b

�n

+

�

b

a

�n

= 62. Hallar:

x = 3

Ê

an + bn√anbn

a) 1 b) 6 c) 4d) 2 e) 8

6. Si x = 3√3 ¿Cual es el valor de: (x + 3)3 +

3(x+ 1)3 − 3(x+ 2)3 − x3

a) 3√3 b) 6 c) 3 3

√3

d) 9 e) 27

7. Si: ab+ ac+ bc = −8(a+ b)2 + (a+ c)2 + (b+ c)2 = 16Calcular:

E = a2b−1c−1 + b2c−1a−1 + c2a−1b−1

a) −2 b) 1 c) −3d) 2 e) 3


2−1�

a+ b

a− b− 2(a2b+ ab2 + b3)

a3 − b3

�

.

Si a =È√

2 +√3 ; b =

È√2−

√3

a) 2 b)√2 c) 1/2

d)√12 e)

√3

9. Hallar el valor numerico de:(a+ b)[(a+ b)2 − 2ab+ (a− b)2]− 2b3

Para a = 3√3; b = 2 3

√3−

√2 + 1

a) 6 b) 18 c)√2

d)√3 e) 3

10. Si

�

a

b

�2

+

�

b

a

�2

= 18. Calcular:

E =

�

a

b

�2

−�

b

a

�2

a) 4√5 b) 2

√5 c) 4

√2

d) 8√5 e) 2

√2

11. Hallar el valor de:

�

x2 + y2 + z2�2

x4 + y4 + z4

Si x+ y + z = 0a) 1 b) 2 c) −1d) 4 e) 0, 5

12. Si (p + q + r − s)(p + q − r + s) =(r + s+ p− q)(r + s− p+ q)

Calcular: E =p2 + q2

r2 + s2

a) 0 b) 3 c) 2d) 5 e) 1

13. Dadas las siguientes ecuaciones:(x− a)2 + (x− b)2 − 2(x−m)(x− n) = 0(x−m)2 + (x− n)2 − 2(x− a)(x− b) = 0Calcular el valor numerico de:

E =a2 + b2 +m2 + n2

ab+mna) 6 b) 4 c) 2d) 3 e) 7

14. Sabiendo que xn + x−n = 18.

Hallar

Ê

xn − 1√xn

a) 2 b) 6 c) nd) 4 e) 1

15. Si a4 + b4 = 14 y a+ b =√6

Calcular M = a2 + b2 + (a+ b)2

a) 12 b) 9 c) 8d) 10 e) 11

16. Si se cumple4

x+ y=

1

x+

1

y. Calcular el


valor de: M =2x+ y

2x+ 2y− 3y

4x+

2x+ 5y

7ya) 2 b) 1 c) xd) 4 e) y

17. Efectuar: N = (a+ b+ c)2 + (a+ b− c)2 +(b+ c− a)2 + (c+ a− b)2

a) a+ b+ c b) a2 + b2 + c2

c) 4 d) 2abc

e) 4(a2 + b2 + c2)

18. Si: a+ b+ c = 7a2 + b2 + c2 = 17a3 + b3 + c3 = 43

Calcular N =a+ b+ c

a−1 + b−1 + c−1a) 1 b) 1/2 c) 21/4d) 2 e) 1/4

19. Dada las condiciones:a+ b+ c = 1a2 + b2 + c2 = 9a3 + b3 + c3 = 1

Calcular: M =a3

bc+

b3

ca+

c3

ab; abc 6= 0

a) −33/4 b) 1 c) 1/4d) 1 e) 12/3

20. Si xy = 1 y x; y > 0; x, y ∈ R

Calcular: N = x

Ê

y2 + 1

x2 + 1+ y

s

x2 + 1

y2 + 1

a) 4 b) 1 c) 3d) 2 e) 5

21. Si a 6= b 6= 0, simplificar:

2

6

6

4

a+ b

a− b− a− b

a+ ba+ b

a− b+

a− b

a+ b

3

7

7

5

�

(a+ b)2 − 2ab

4

�

a) a/2 b) ab/2 c) ab/4d) (a+ b)/2 e) b/2

22. Si x, y 6= 0. Reducir:�

1

xy+ 2

�2

+ 2

�

1

x2y2− 4

�

+

�

1

xy− 2

�2

�

2

xy+ 1

�2

− 2

�

4

x2y2− 1

�

+

�

2

xy− 1

�2

a) x2y2 b) xy c)4

xy

d)1

xye)

1

x2y2

23. Six2

y− y2

x= 3(x − y); x, y 6= 0. Hallar el

valor de: R =4�

x18 + y18�

(x3y3)3

a) 0 b) 15 c) 8d) 6 e) 1/4

24. Si |a| 6= 1. Simplificar:

1√a2 − 1

�

a+√a2 − 1

a−√a2 − 1

− a−√a2 − 1

a+√a2 − 1

�

a) 4a b) a2 c) ad) a4 e) 2a

25. Si x+ x−1 =√5.

Calcular: C =x10 + 1

x4(x2 + 1)a)

√5− 1 b) 5

√5 c) 14

√5

d) 5 e)√5 + 1

26. Para x 6= y 6= z. Simplificar:z3(x− y)3 + x3(y − z)3 + y3(z − x)3

(x− y)3 + (y − z)3 + (z − x)3

a) x+ y + z b) xyz c) 3xyz

d) 6xyz e) 2(x+y+z)


√x+

√y +

√z

4√xy + 4

√xz + 4

√yz

Si:È

x−√yz+

È

y −√xz+

È

z −√xy = 0

a) −2 b) 2 c) 5d) 3 e) 1

28. Suponga que se cumple las siguientes con-diciones: x+ y + z = 2 ;

xy + xz + yz =√2√2√

2...

.Entonces el valor de:

T =

�

x100 + y100 + z100

100

��

x99 + y99 + z99

99

�

�

x98 + y98 + z98

98

�

. . . (x+ y + z) serıa:

a) −5 b) 3 c) 0d) −1 e) 2

29. Si a = 1 +√8 ; b = 2 − 4

√2 ; c =

√8 − 3.

Calcule el valor de:

I =�

a3 + b3 + c3�

�

a

bc+

b

ac+

c

abab+ ac+ bc

�

a) −6 b) 1 c)√6

d) 6 e) 0



1. Si el polinomio

P (x) =

�

a3 + b3 − a− b

a+ b+ 1

�

x3+

abx2 + ax + b es monico de segundo grado,hallar a3 + b3 y dar como respuesta suvalor mınimoa) 1 b) −2 c) −3d) 2 e) 3

2. Si x + x−1 = (0,5)−1. Calcular el valor de:A = x−1+ x−2+x−3 + . . .+x−n+ x+x2 +x3 + . . .+ xn

a) 2 b) 4n c) 1/4nd) 1/2n e) 2n

3. Si a3− b3 = m y a− b = n. ¿Cual es el valorde ab?

a)m3 − n

3nb)

m− n2

3nc)

m− n3

3n

d)m2 − n2

3ne)

m− n

3n

4. Si a3 + b3 + c3 = 3 y a2 + b2 + c2 = 2calcular el valor de:

W =(a+ b+ c)(2 − ab− ac− bc)

1− abca) 3 b) 1/3 c) 8d) 5 e) 6

5. Si (x+ y)2 = 2(x2 + y2), hallar el valor de:

E =5x4 − y4

x2y2+

2x2 + 3y2

5xy+

4y

3x+ y

a) 1 b) 3 c) 7d) 6 e) 9

6. Si m+ n+ p = mnp, entonces

W =x�

m√xn+p +

n√xm+p +

p√xm+n

�

xmn + xmp + xpnes:

a) xmn b) 1 c) xmp

d) xnp e) xmnp

7. Si x = 12√m+ 1, calcular: (x2 + 1)(x4 −

x2 + 1)(x2 + x+ 1)(x2 − 1)(x2 − x+ 1)−ma) 2 b) 3 c) −2d) −1 e) 0

8. Sia

x9+

x9

a= 7, hallar:

E = 4

É

a

x9+

4

Ê

x9

aa) 5 b) 3 c)

√5

d)√3 e) 7

9. Si se cumple xxx

= 1212130

, calcular:

E =È

x+ 6√x− 9−

√x− 9

a) 3 b) 4 c) 2d) 5 e) 6

10. Si w, b, v, r ∈ R, tal que w2 + b2 = 16 yademas v2+r2 = 4. Calcule el maximo valorentero que puede asumir wv + br + 8.a) 64 b) 8 c) 4d) 16 e) 20

11. Si xy = b;1

x2+

1

y2= a, el valor de (x+y)2 es:

a) 2b+ a2 b) b(ab+ 2) c) (b+ 2a)2

d) ab e) a/b

12. Si w4 +1

w4= 7; y w 6= 1 el valor de

A = w − 1

w+ 1

a) 5 b) 4 c) 3d) 1 e) 2

13. Sabiendo que a + b = ab = 5 el valor de

M =a2 + b2 + 5

a3 + b3 + 10es

a) 1/2 b) 1 c) 1/3d) 3 e) 2

14. Al simplificar la expresion A2−4B2, donde:

A =

�

x

y+

y

x

�2

+

�

x

y− y

x

�2

y

B =

�

x

y

�2

−�

y

x

�2

se obtiene:

a) 16 b) 10 c) 8d) 11 e) 13

15. Al reducir la expresion109È

( 4√a+ 1)( 4

√a− 1)(

√a+ 1)(a + 1)− a2

resultaa) −4 b) 3 c) −2d) −1 e) 2


16. Hallar el valor numerico de: W = x6−6x4+9x2 + 2 para x =

3È√

7 +√6 +

3È√

7−√6

a) 26 b) 30 c) 28

d) 32 e) 36

17. Si a+ b = 3, ab = 3. Calcular:E = a+ a2 + a3 + a4 + b4 + b3 + b2 + ba) 0 b) 1 c) −2d) 3 e) −3

18. Si (x− y)2 + (x− z)2 + (y − z)2 = 0. Deter-minar el valor de:

E = 3

Ê

x+ 2y

2x+ y+

4

Ê

x2 + y2

2xz

a) 1 b) 0 c) 2

d) 3√3 e) 4

√2

19. Si x =È

2 +√3 +

È

2−√3,

y =È

3 + 2√2 +

È

3− 2√2.

El valor de A =È

x4 + y4 es:

a) 10 b) 20 c) 42d) 16 e) 56

20. Si se verifica que a−1 + b−1 + c−1 = 0;abc 6= 0 y ademas a4b4 + b4c4 + a4c4 = 162,

el valor de E =1

abc(a+ b+ c)es:

a) 1/3 b) 9 c) 3d) 1/9 e) 27

21. Si 4(x4 + 1) = 5x2, x 6= 0, entonces el valor

de G =�

x+1

x

�2

es:

a) 2/3 b) 13/4 c) 3/4d) 3/2 e) 2

22. Si (x+y+2z)2+(x+y−2z)2 = 8(x+y)z. Ha-

llar: E =

�

x− y

z − y

�3

+�

y − z

z − x

�3

+�

x+ y

2z

�3

a) 0 b) 1 c) 3d) 5 e) 10

23. Sea f(x) = ax2 + bx + c, un trinomio cua-

drado perfecto. Calcular E =8b2

aca) 2 b) 4 c) 32d) 8 e) 64

24. Reducir:(x2 + x+ 1)2 − 2(x4 + x2 + 1) + (x2 − x+ 1)2

(x2 +√3)2 + 2(x4 − 3) + (x2 −

√3)2

a) x−2 b) x c) x−1

d) 1 e) x−3

25. Si a + b = 3√3 y a − b = 3

√2. Hallar

E = 4ab(a2 + 3b2)(b2 + 3a2)a) 4 b) 12 c) 10d) 5 e) 18

26. Simplificar

E =

�

n+ 2− 2

n

�2

+�

n− 2− 2

n

�2

− 8

n2

n2

�

�

n+1

n

�2

−�

n− 1

n

�2�

a) n b) 1/2 c) n2

d) 1 e) 2

27. Si ab = 3√100− 3

√10+1 y a2+b2−1 = 3

√10.

Calcular: E = (a− b)4 − (a+ b)4

a) 22 b) −44 c) 33d) 66 e) −88

28. Sea la expresion: E = 14x(x − 1) − x2(x −1)2 + (x − 2)(x + 3)(x − 4)(x + 1) − 24 Alsustituir x por y + 1 en E se obtiene:a) E2 + 1 b) E − 1 c) No varıad) E2 + 1 e) (E − 1)2

29. Simplificar:3yz + 2

(x− y)(x− z)+

3xz + 2

(y − x)(y − z)+

3xy + 2

(z − x)(z − y)a) 3 b) y c) zd) x e) −3

30. Reducir la expresion: F = 1 + (a + 1)(a −1)[(a2 + 1)(a4 + 1)(a8 + 1) . . . n factores]a) a2

n+1 b) a2n

c) a2n+1

d) a2n+1

e) a2n−1

31. Si 4(a+ b+ c) = a3+ b3+ c3 = 24. Calcular:E = (a+ b)(a+ c)(b+ c)a) 2 b) 64 c) 16d) 4 e) 216

32. Reducir E = (x − y + z)2 − (x + y − z)2 +(z − x− y)2 − (z − x+ y)2

a) 4x(y − z) b) 4z(x+ y) c) 4y(z − x)d) 2x(y + z) e) 4z(x− y)



1. Indique el valor de verdad de las siguientesproposiciones:

El grado del polinomio producto, esigual a la suma de los grados de lospolinomios factores.

El termino independiente del polino-mio producto, es igual al producto delos terminos independientes de los fac-tores.

El coeficiente principal del polinomioproducto, es igual al producto de loscoeficientes principales de los factores.

El coeficiente principal es el mayor coe-ficiente de los terminos de un polino-mio.

a) VVVV b) VVVF c) VFVFd) FVVF e) FFFV

2. Hallar el valor de:W = [5833 + 2173 + (2400)(583)(217)]1/3 .a) 400 b) 500 c) 600d) 700 e) 800

3. Hallar el valor de “x” en:(12346)2 − (24691)2

(12344)2 − (24689)2=

3x+ 2

3x− 2.

a) 12123 b) 37037 c) 12345

d) 12321 e) 54321

4. Sixy

x2 + y2=

√5

5, entonces el valor de:

E =

�

x

y

�4

+

�

y

x

�4

es:

a) 7 b) 2 c) 5d) 1 e) 9

5. Si ab = 1; ax2n + bx−2n = 258, hallar el

valor de: W =

s

xn√a x2n −

√b

a) 1/2 b) 2 c) 4d) 1/4 e) 1/16

6. El valor entero de k que hace que el trino-mio (k + 1)x2 + (5k − 3)x + 2k + 3, sea uncuadrado perfecto es:a) 2 b) 3 c) −3d) −2 e) 7

7. El area de un cuadrado de lado (a+ b) es 8veces el area de un triangulo de base “a” yaltura “b”. Calcular:

E =(a+ b)4 − (a− b)4

(4a2 + b2)2 − (4a2 − b2)2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

8. Sabiendo que a > b, ademas:

3

É

a

b+ 3

r

b

a= 3; calcular

É

a

b−r

b

aa) 5 b) 44 c) 4

d) 32 e) 64

9. El valor de:E = 2[4× 10× 82× . . . (n factores) + 0,5]es equivalente a:a) 32

nb) 4n + 1 c) 8n + 1

d) 8n − 1 e) 23n

10. Si: x = 3

s

1 +3√14

5√5+ 3

s

1− 3√14

5√5, Calcular

E = 5x3 + 3x+ 1a) 7 b) 8 c) 9

d) 11 e) 10

11. Si a =√2; b =

√8; c =

√18 calcu-

lar: W =√A2 −B, donde A = a2 + b2 +

c2+ab+ac+bc y B = (a+b+c)2(a2+b2+c2)a) 18 b) 22 c) 20d) 24 e) 26

12. Si x+ y + z = 0. Hallar:

E =(3x+ y)3 + (3y + z)3 + (3z + x)3

(3x+ y)(3y + z)(3z + x)a) 1 b) 2 c) 5d) 4 e) 3

13. Si x+ y + z = 0. Hallar:

W =(x+ y)−2 + (y + z)−2 + (x+ z)−2

(2x)−2 + (2y)−2 + (2z)−2

a) 2 b) 1/2 c) 4d) 1/4 e) 1

14. Sabiendo que: a− b = b− c = 7√7.

Determine el valor numerico de:

(a− c)7 + (b− c)7 + (a− b)7

70a) 13 b) 10 c) 2d) 16 e) 12


15. Dadas las condiciones: a2 + b2 + c2 = 2 ∧(a + b+ c)(1 + ab + ac + bc) = 32. Calcule:a+ b+ ca) 64 b) 3

√32 c) 16

d) 4 e) 2

16. Siendo a 6= b 6= c ∧a+ b+ c =

1

(a− b)(b− c)+

1

(b− c)(c− a)+

1

(c− a)(a− b).

Determine el valor numerico de:E = (a+ b)3 + (b+ c)3 + (c+ a)3 + 3abca) 1 b) 0 c) 3d) (a+ b)/c e) −1

17. Siendo a3 + b3 + c3 = 4abc. Ademas:a2+ b2+ c2 = ab+ac+ bc+1 ∧ abc 6= 0.

Reducir: W =

�

b+ c

a+

a+ c

b+

a+ b

c

�

−�

1

a+

1

b+

1

c

�

(abc)

a) 1 b) 3 c) 0d) −2 e) −3

18. Si se cumple que: a3+b3+c3 = 0, simplificar:3abc

a(b− a) + b(c− b) + c(a− c); abc 6= 0

a) ab+ bc+ ac b) abcc) a+ b+ c d) 0e) a2 + b2 + c2

19. Siendo: a + 4b + 9c = 0. Segun ello re-

ducir:(a− 2b)2

ab+

(2b− 3c)2

bc+

(3c − a)2

aca) −36 b) 14 c) −14d) abc e) a+ b+ c

20. Si:√x+ a+ b−

√x− a− b = a+ b. Calcu-

lar E =√x− a− b+

√x+ a+ b

a) a+ b b) a− b c) 0d) 2 e) ab

21. Siendo: a + b+ c = ab+ bc+ ca = abc = 1.

Evalue: E =ab

c+

bc

a+

ca

ba) 0 b) −1 c) 1d) 2 e) −2

22. Si 2x = a + b + c, ademas se cumple que−x2 + M = (x − a)2 + (x − b)2 + (x − c)2

Hallar: “M”a) a+ b+ c b) 0

c) ab+ bc+ ac d) 1e) a2 + b2 + c2

23. Si x =√2− 1.

Calcular: S = x5 − 5x3 + 2x2 + x+ 1a) 2

√2 b)

√2/3 c)

√2

d)√2 + 1 e) 1

24. Sabiendo que:1

x+

1

y=

4

x+ y; xy 6= 0.

Hallar: W = n−1

Ê

xn + yn

(x+ y)n

a) 1/2 b) 2 c) 1d) 3 e) 1/3

25. Hallar la raız cuadrada de: (a + b + c)4 −4(ab+ bc+ ac)(a2 + b2 + c2 + ab+ ac+ bc)a) b2 + ac b) ab+bc+ca c) a2 + bcd) a2+b2+c2 e) c2 + ab

26. Calcule el valor de x2 + y2 si:ax+ by = 8ay − bx = 6a2 + b2 = 5a) 16 b) 20 c) 18d) 24 e) 25

27. Si a+ b+ c = 1a2 + b2 + c2 = 2a3 + b3 + c3 = 3Hallar: abca) 1 b) 1/2 c) −1/2d) 1/3 e) 1/6

28. Si a, b, c ∈ R ∧ a2+b2+c2 = ab+bc+ca.Hallar el valor de:

A = n−1

s

an + bn + cn

(a+ b+ c)n

a) 1 b) 2 c) 1/3d) 3 e) 1/2

29. Si: ax+ by + cz = 6ay − bx = az − cx = bz − cy = 2Ademas: x + y + z = xy + yz + xz = 4.Determine: a2 + b2 + c2

a) 6 b) 5 c) 7d) 8 e) 9

30. Si: x+1

x= 1, el valor de E = 5

r

x5 +1

x5es:

a) −2 b) −1 c) 2d) 1 e) 3

1. Si a+ b+ c = a2 + b2 + c2 = 1, hallar:

W =a3 + b3 + c3 − 3abc

a4 + b4 + c4 − 4abc

a) 0 b) 1 c) −2d) −1 e) 2

2. Si se cumple que1

x=

1

y+

1

z, ademas

x = y + z + 2, entonces: x2 + y2 + z2 esigual a:a) 0 b) −2 c) −4d) 2 e) 4

3. Si (1 + xy−1)(1 + yz−1)(1 + zx−1) = 7, ha-

llar: W = 3È

(x+ y + z)(x−1 + y−1 + z−1)a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

4. Calcular E = 3√a3 − 3ab+ b3, si (a+ b)(a+

1) = b, siendo a 6= 0.a) a+ b b) b c) ad) a− b e) a2

5. Si

8

>

<

>

:

a2b2 + a2c2 + b2c2 = 19

a4 + b4 + c4 = 83

ab+ ac+ bc = 7

Hallar: E =a3 + b3 + c3 − 11

abc+ 3a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

6. Si 9x2 +4y2 + z2 = 6xy+3xz+2yz. Deter-

minar el valor de E =(x+ y + z)2

x2 + y2 + z2

a) 43/49 b) 121/49 c) 29/49d) 8/49 e) 3/49

7. Si la diferencia de dos numeros es 4 y lasuma de sus cuadrados es 24. La diferenciade sus cubos es:a) 92 b) 90 c) 100d) 96 e) 112

8. Si

8

>

<

>

:

a3 + b3 + c3 = 86

ab+ ac+ bc = 3

abc = 2Hallar el grado absoluto del monomio:

M(x, y, z) = 2ab3c2xaybzc

a) 2 b) 3 c) 5

d) 4 e) 6

9. Reducir:E =(x− y)3 + (y − z)3 + (z − x)3

(x− y)(y − z)(z − x)a) 3 b) 2 c) 4d) 1 e) 0

10. Si se cumple:9

Ê

a2

b2+ 9

É

a

c+

9

Ê

b2

c2= 0.

Hallar: E =

�

a

bb

c

�

a) 3 b) 2 c) 1/2d) 1 e) 1/3

11. Calcular:

R =

q

4√x+

È√x− 1 +

q

4√x−

È√x− 1

È

4√x+ 1

a) 1 b)√2 c)

√x

d) 2 e) 4√x

12. Si a−1 + b−1 + c−1 = d−1. Calcular el valor

de: E =1

2

�

bd+ ad

ad− ac

�

c

ba) 2 b) −1 c) −2d) 1 e) −1/2

13. Si: TA+AR+ TR = 3A+ T +R = 5E +A = 6EA = 10Hallar: T 2 +A2 +R2 + E2 +A2

a) 34 b) 36 c) 35d) 37 e) 38

14. Hallar el valor de: E =

√a+ x+

√a− x√

b+ y +√b− y

Sabiendo que x =2ab

b2 + 1; y =

2ab

a2 + 1

Ademas(a+ b)(ab+ 1)

(a− b)(ab− 1)=

5

3, a, b > 1

a) 2 b) 8 c) 10d) 1 e) 5

15. Si se cumple: x3 +1

y3= y3 +

1

z3= 1


Hallar (xyz)102 − 1a) 2 b) −1 c) 1d) 0 e) −2

16. Reducir: E =(a+ b)6 − (a− b)6

(a2 + 3b2)(3a2 + b2).

a) 1 b) 4ab c) 2abd) 2a2b2 e) 8

17. Si se cumple que:a2 + ab+ ac− 3a = 4b2 + bc+ ab− 3b = 11c2 + ac+ bc− 3c = 13Hallar el valor numerico de a+ b+ ca) 5 b) 6 c) 9d) 8 e) 7

18. Senalar el valor de la expresion:�

a2 + b2 − c2

ab

�2

+

�

b2 + c2 − a2

bc

�3

+

�

a2 + c2 − b2

ac

�4

+

�

a2 + b2 + c2

ab+ ac+ bc

�5

Para a+ b+ c = 0a) 20 b) 15 c) −20d) −10 e) −15

19. Si a + b + c = 5; a2 + b2 + c2 = 7;a3 + b3 + c3 = 26;

Hallar el valor de: W =abc

ab+ ac+ bca) 4/3 b) 2/3 c) 1/2d) 1/3 e) 1

20. Sabiendo que: (a + 2)(b + 2)(c + 2) = 50;a2 + b2 + c2 = 13; a+ b+ c = 5;Hallar el valor de: abca) 13 b) 11 c) 12d) 10 e) 14

21. Sabiendo que:�

a

b

�n

+ 4

�

b

a

�n

= 621.

Hallar el valor de: E =an + 2bn√

anbn

a) 625 b) 25 c) 5d) 1/5 e) 1/25

22. Si: a3 + b3 = 18 y ab = 1. Hallar el valorde: E = a2 + b2

a) 6 b) 5 c) 8d) 1 e) 7

23. Si a+b+c =1

(a− b)(b− c)+

1

(b− c)(c− a)+

1

(c− a)(a− b). Halle:

a2

b+ c+

b2

a+ c+

c2

a+ ba) −3 b) −1/2 c) 0d) 1 e) 3

24. Si: a2 + b2 = 2a(b + c).

Reducir: W =c2(c+ 4a− 2b)

c2 + (a− b)(a− b+ 2c)a) c b) 1 c) bd) 0 e) a+ b

25. Si: (a + b + c + d)(a − b − c + d) =(a − b + c − d)(a + b − c − d); ademas:a =

√2; b = 3

√2; c = 6

√2. Calcular “d”

a) 0 b) 3 c) 2d) 1 e) 4

26. Si:√x+ b+

√x− b = b ; x ≥ b > 0.

Calcular G =√x+ b−

√x− b

a) 1 b) 2 c) 3d) 0 e) 4

27. Si a + b = −2 ; ab = 4 ; a2 + b2 + ab = 0.Hallar: W = a5 + b5

a) 32 b) −64 c) 0d) 64 e) −32

28. Si√a + 4

√a2 + b2 + 6

√a4 + b4 + c4 = 0,

hallar:(a2 + b2 + c2)(a3 + b3 + c3)(a5 + b5 + c5 − 1)a) 32 b) 64 c) 0d) 100 e) 25

29. Si a+b+c = 5√2 y (a+b+c)3 = a3+b3+c3.

Hallar: a5 + b5 + c5

a) 1 b) 4 c) 0d) 2 e) 5

30. Si a = π; b = e y c = −π − e. Hallar:5Y

k=2

[ak + bk + ck − kabc]

a) 2 b) 4 c) 1d) 0 e) 5

31. Si√a5× a6× a7× a8 + 1 = 2161.

Calcular: W = a+ aa+ aaa+ aaaa+ . . .| {z }

a terminos

a) 4963 b) 4936 c) 4836d) 4736 e) 4856



1. Dos numeros reales cumplen con: x2 +2y2 + 2 = 2x − 2xy, entonces el valor de

E =3xy

x2 + y3sera:

a) −1 b) −2 c) 1d) 2 e) 1/4

2. Si: a + b − 6 = ab − 1 = 1, el valor deE = a+ a2 + a3 + b3 + b2 + b es igual a:a) 153 b) 253 c) 53d) 103 e) 353

3. Si: a− b− c = 2, y ab+ac = bc entoncesa2 + b2 + c2 es igual a:a) 2 b) −4 c) 4d) −2 e) 1

4. Si: x 6= ±1, simplificar A2B2 donde:

A =(x+ 1)2(x2 − x+ 1)2

(3x3 + 3)2

B =(x− 1)2(x2 + x+ 1)2

(3x3 − 3)2

a) 3−8 b) (x3 + 1)4 c) 38

d) (x+ 1)4 e)x3 + 1

x3 − 1

5. Six

2y+

2y

x= 2, el valor de E =

�

x

y

�8

es:

a) 1 b) 64 c) 16d) 256 e) 1/256

6. Si b3 = 1; b 6= 1, simplificar:

W =

�

b5 + 1

b4

�3

a) 1 b) −1 c) 2d) −2 e) 4

7. Si a2 + b2 + c2 = 3; y ab + ac + bc = 2,hallar el valor de: W = (a+2b+3c)2+(2a+3b+ c)2 + (3a+ b+ 2c)2

a) 108 b) 27 c) 12d) 36 e) 86

8. Sea P (x) = (x+ 1)(x− 1)(x2 + x+ 1)(x2 −x+1); halle el valor numerico de P (x) para

x =È

4 +√15−

È

4−√15

a) 63 b) 124 c) 215d) 342 e) 511

9. Si se verifica que:a+ b+ c

a+ b− c− a+ b− c

a+ b+ c=

b+ c− a

a+ c− b− a− b+ c

b+ c− a; determinar el valor

de: W =a2

a2 + b2 − c2

a) 1/2 b) 1/4 c) −1/2d) 2 e) −2

10. Si se tiene que

x =

√2 +

√3 +

√5√

2, y =

√2 +

√3−

√5√

2;

el valor de W = x

Ê

y2 − 1

6− x2es:

a)√3 b) 2 c)

√2

d) 1 e)√6

11. Si 5a+ 5c+ ac = 0, calcular el valor de:

G =5ac

(a+ 5)(5 + c)(a+ c)

a) 0 b) −1 c) 1d) 2 e) 3

12. Si F (x) =6

Ê

x10 + 5x5 + 1

x5, calcular:

F (2 +√3)

a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 3

13. Si se cumple que:ax+ by + cz = 6ay − bx = az − cx = bz − cy = 2Ademas: x+ y + z = xy + yz + xz = 4Determine: a2 + b2 + c2

a) 5 b) 7 c) 6d) 8 e) 9

14. Si se cumple que:(x+ a)(x+ b)(x+ c) = x3 + 3x2 + 3x+ 2

obtener el valor de: W =a2 + b2 + c2

abca) 3/2 b) 5 c) −1/2d) −1 e) 1

15. Sabiendo que: (x + y)6 = 64x3y3. Calcular

el valor de: W = x2012 − y2012 +(x+ 2y)2

xya) 1 b) 4 c) 6d) 9 e) xy


16. Si: a3 + b3+ c3 = a2+ b2+ c2+26 = a+ b+

c+ 36 = 43. Calcular N =a+ b+ c

a−1 + b−1 + c−1a) 1 b) 21/4 c) 1/2d) 2 e) 1/4

17. Si x+1

x= 3, el valor de E = x3 −x−3 es:

a) 11√5 b) 6

√5 c) 4

√5

d) 13√5 e) 8

√5

18. Calcular (x − 3y)2 − 4y(2y − x) + 8, si sesabe que: x− y = 8a) 32 b) 40 c) 72d) 64 e) 90

19. Si1

a+

1

b=

1

a+ b, calcular el valor de:

W =(a+ b)6 − 6(a6 + b6)

(ab)3

a) −11 b) −7 c) −3

d) 5 e) 9

20. Si a+ b = 4; ab = 3, calcular: W =a3 + b3

a2 + b2

a) 7/4 b) 3/7 c) 5d) 14/5 e) 9

21. Si x+ x−1 = 3, hallar el valor de:x6 + 1

x5 + xa) 6/7 b) 18/7 c) 9/7d) 27/7 e) 31/7

22. Si√a+ x+

√a− x = 2x, calcular:

W =√a+ x−

√a− x; x 6= 0

a) x b) 0 c) 2d) a e) 1

23. Si a+ 2b+ 3c = 1,5x simplifique:

W =(x− a)2 + (x− 2b)2 + (x− 3c)2

2(a2 + 4b2 + 9c2)

a) 1/3 b) 1 c) 1/2d) 2 e) 3

24. Si x2 + 3x = −3, calcular el valor de:

W =x

x+ 1+

1

x+ 2

a) 2 b) 1 c) 3d) 5 e) 8

25. Si se cumple que:ab(a+ b) = 3a2b2(a2 + b2) = 7Calcular: W = a4b4(a4 + a2b2 + b4)a) 45 b) 21 c) 49d) 48 e) 64

26. Siendo a =√5+2 y b =

√5−2, calcular:

W =a2(b2 + 1)

1 + a2+

b4(a4 + 1)

1 + b4

a) −1 b) 2 c) 1/4d) 4 e) 1/2

27. Si r4 − r2 + 1 = 0, el valor de r7 − 1

r7es:

a) −7 b) −2i c) 0d) 7 e) −i

28. Si xy + xz + xw+ yz + yw+ zw = 0, hallar

(x2 + y2)(x2 + z2)− (y2 +w2)(z2 + w2)

(x+ y + z + w)2

a) 1 b) x2w2 c) x2 − w2

d) y2 + z2 e) y2 − z2

29. Si√a5× a6× a7× a8 + 1 = 701.

Calcular: W = a+ aa+ aaa+ aaaa

a) 2468 b) 2648 c) 2684d) 2846 e) 2222

30. Si 12n√a+ 12n

√b+ 12n

√c = 0. Calcular:

W =2 6n√ab+ 2 6n

√bc+ 2 6n

√ac

3n√a+ 3n

√b+ 3n

√c

a) 0 b) 4 c) 2d) 1 e) 16

31. Si se cumple que:a3+b3+c3 = a2+b2+c2+1 = a+b+c+2 = 3.Hallar: abca) 1 b) 1/6 c) −1/2d) 1/3 e) 1/2

32. Si se cumple que:a3 + b3 + c3 = 2(a+ b)(b+ c)(a+ c)a+ b+ c = 1.

Hallar el valor de: E =1 + 5abc

ab+ ac+ bca) 1 b) 3 c) 9d) 7 e) 5



1. Sabiendo que: 2(x+2)(x−3) = (x+5)(x−2),determine el valor numerico de:W = (x− 1)(x − 2)(x− 3)(x− 4)− 15a) 48 b) 33 c) 15d) 63 e) 64

2. Si: (x+a)(x+ b)(x+ c) = x3+3x2+3x+2,calcular el valor de:

E =a3 + b3 + c3

a2 + b2 + c2 − 1

a) 27 b) 18 c) 9d) 6 e) 3

3. Sea “S” la suma de dos numeros, y “P” suproducto. Expresar la suma de los cubos dedichos numeros en funcion de “S” y “P”a) s2 − sp b) s(s2 − sp)c) s(s2 − 3p) d) s2 + spe) s2(s− p)

4. Siendo: F (x) = x3 − 125 − 15x2 + 75x, de-termine el valor de: F (5 + 3

√7)

a) 7 b) 1 c) −1

d) 3√7 e) 5

5. Hallar el valor numerico de:W = 8

√2× 4× 10× 82× 6562 + 1

a) 1 b) 81 c) 3d) 9 e) 27

6. Sabiendo que:a

b+

b

a= 18, calcular:

a− b√ab

a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

7. Siendo ab = 3√121 − 3

√11 + 1, ademas

a2 + b2 = 1 + 3√11. Determine el valor

numerico de: E = (a− b)4 − (a+ b)4

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) −96

8. Si: x3 = y3, x 6= y, hallar el valor de:

E =−3xy

(y − x)2

a) 1/3 b) −1/3 c) 1d) 1/2 e) 3

9. Sabiendo que:a =

√5 + 2

√3− 1

b = 2√7−

√5 + 3

c =√7 +

√3 + 1

Hallar:

E =a+ b+

È

(a+ b)2 − c2 + c

a+ b+È

(a+ b)2 − c2 − c

a)√3 b)

√2 + 3 c) 2

d)√5 e)

√7

10. Sabiendo que x =8È

2 +√3; y =

8È

2−√3,

calcular el valor numerico de:

W =È

(x2 + y2)2 − x2y2È

x4 − x2y2 + y4

a)√3 b)

√2 c) 1

d)√5 e)

√7

11. Calcular: E = 3

s

1 +2√7

3√3+ 3

s

1− 2√7

3√3

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5

12. Simn

m2 + n2=

1√5, hallar:

E =�

m

n

�2

−�

n

m

�2

, si m > n

a)√3 b) 5 c) 2

d) 5√5 e)

√5

13. Si se sabe que n + n−1 = 1; calcular(n3 − n−3)3

a) −1 b) 3 c) 0d) −2 e) 2

14. Si 3

É

a

b+ 3

r

b

a= 3, con a > b. Calcular el

valor de: E =É

a

b−r

b

a.

a) 4 b) 18 c) 16d) 9 e) 3

15. Si√x +

1√x

=√7, con x > 0. Calcular el

valor de: E = x3 + x−3.a) 116 b) 113 c) 120d) 110 e) 115


16. Si a, b ∈ R tal que a2 + b2 = 4, encontrar elmaximo valor de: a+ b.a)

√2 b) 2

√2 c) 2

d) 3√2 e)

√6

17. Sabiendo que: (x − 2)(x − 1) = 1, calcular:(x8 + x)(x3 + x2)

13x7; con x > 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

18. Si (x+ 1)(y + 1) = (x+ y)2 + 1, el valor de

E =x2(x− 1)

y2(y − 1)es:

a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) 5

19. Sabiendo que:

4È

a2 − 6√b+

6√a+ 2b+ c−

√a = 0

entonces el valor de:

W =(a2 + b2 + c2)(a3 + b3 + c3)

a5 + b5 + c5

ademas a, b, c ∈ R+

a) 6/5 b) 3/2 c) 2/3d) 5/6 e) 1

20. Si: F (x) =√x2 + x−2 + 2, calcular el valor

de F (2 +√3)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

21. Sabiendo que 2n√a+ 2n

√b+ 2n

√c = 0, calcular:

E = n

Ê

a√bc

+ n

s

b√ac

+ n

Ê

c√ab


a) 1 b) 3 c) 2d) 9 e) 4

22. Sabiendo que(

a+ b+ c = 33√a2 +

3√b2 +

3√c2 = 2

calcular el valor de:

( 3√a+ 3

√b+ 3

√c)(− 3

√ab− 3

√bc− 3

√ac+ 2)

− 3√abc+ 1

a) 1 b) 2 c) 9d) 4 e) 3

23. Sabiendo que 12√a+ 12

√b+ 12

√c = 0, calcular:

E =2 6√ab+ 2 6

√bc+ 2 6

√ac

3√a+ 3

√b+ 3

√c


a) 3 b) 2 c) 1d) 5 e) 4

24. Sabiendo que:a = 3

√7−

√7 + 1

b = 1− 3√7− 2

√7

c = 3√7− 2

Indicar el valor de:

W =a7 + b7 + c7

(a5 + b5 + c5)(a2 + b2 + c2)

a) 7/10 b) 21/5 c) 5/21d) 10/7 e) 21/3

25. Si se sabe que:

4x2 + 4y2 + 9z2 = 4xy + 6xz + 6yz

calcular el valor de:10

Ê

(x+ y + z)10

z10

a) 3 b) 5 c) 1d) 4 e) 2

26. Calcular el valor den

Ê

�

1 + a

1− a

�2

− n

r

1 + a

1− a,

sabiendo que: a =(√5 + 1)n − 2n

(√5 + 1)n + 2n

a) 4 b) 1 c) 2d) 5 e) 3

27. Si 4(x4 + 1) = 5x2, x 6= 0, entonces el valorde: x−1 + x es:a)

√13 b)

√13 + 1 c) 2

√13

d)√13/4 e)

√13/2

28. Si (a− b)2 + (b+ c)2 = 0, hallar el valor de:

E =(a+ b+ 2c)3 + (3a+ b+ 4c)4 + 4

(a+ 3b+ 4c+ 1)7

a) 64 b) 49 c) 4

d) 25 e) 16

29. Calcular x5y−4z−1, si se cumple que:x2 + 2y2 = 2x(y + z)− 2z2

a) 32 b) 30 c) 64d) 34 e) 36

Capıtulo 5:

DIVISION ALGEBRAICA

Objetivos

z Conocer y aplicar los distintos metodos de division algebraica como la regla de Ruffini y de

Horner.

z Hallar residuos de manera inmediata, relacionando con la division aritmetica.

z Obtener cocientes de ciertas divisiones notables.

z Aplicar el algoritmo de la division en funcion a los grados de los polinomios.

5.1. Definicion:

Es la operacion que consiste en hallar una expresion denominada cociente, dadas otras dos deno-

minadas dividendo y divisor.

D(x) = d(x).q(x) + r(x) oD(x)

d(x)= q(x) +

r(x)

d(x)

Donde:D(x): Dividendo d(x): divisor

q(x): cociente r(x): resto o residuo

Si el residuo es cero entonces la division es exacta, es decir: D(x) = d(x).q(x)

Propiedades de los grados:

En toda division el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

[q(x)]o = [D(x)]o − [d(x)]o

En toda division el grado del dividendo es mayor que el grado del divisor.

En toda division el grado del divisor es mayor que el grado del residuo.

El grado maximo que puede tomar el residuo sera uno menos que el grado del divisor (a excepcion

de los polinomios homogeneos). [r(x)]omax = [d(x)]o − 1

97


En la division de dos polinomios homogeneos, el cociente y el residuo tambien son polinomios

homogeneos, pero el GA del dividendo es igual al GA del residuo.

Casos que se presentan en la division:

1. Division de monomios.

Ejemplo 5.1.1. Dividir:

a)42x5y4z3

−3x2y3z2= −14x3yz

b)15x7/2y5/4

3x3/4y1/2= 5x11/4y3/4

c)−24ambn

6ab2= −4am−1bn−2

Nota: La division de monomios es siempre exacta.

2. Division de un polinomio entre un monomio.

Se utiliza la siguiente propiedad

a+ b+ c

m=

a

m+

b

m+

c

mpropiedad distributiva

Ejemplo 5.1.2. Dividir:16x5 + 6x10 − 3x+ 9

4x3

16x5 + 6x10 − 3x+ 9

4x3=

16x15

4x3+

6x10

4x3+

−3x+ 9

4x3= 4x12 +

3

2x7 +

−3x+ 9

4x3Donde:

Dividendo = D(x) = 16x15 + 6x10 − 3x+ 9

Divisor = d(x) = 4x3

Cociente = q(x) = 4x12 +3

2x7

Resto = r(x) = −3x+ 9

3. Division de dos polinomios.

Se puede utilizar cualquiera de los siguientes metodos:

⊛ Metodo clasico o division normal

⊛ Metodo de coeficientes separados

⊛ Metodo de Guillermo Horner

⊛ Metodo de Paolo Ruffini

Los mas usados son los dos ultimos metodos.


5.2. Metodo clasico o division normal:

Este un metodo nos permite encontrar el cociente y el resto de dividir dos polinomios. Para dividir

dos polinomios mediante el metodo clasico se procede del modo siguiente:

Se ordenan y completan los polinomios en forma descendente con respecto a una sola letra o

variable. En caso existan dos o mas letras, se asume a una de ellas como variable y las demas

pasan a ser constantes. Si faltara uno o mas terminos, estos se completan con ceros.

Se divide el primer termino del dividendo entre el primero del divisor, obteniendose ası el primer

termino del cociente, luego este resultado se multiplica por cada uno de los terminos del divisor

y lo que se obtiene se resta del dividendo.

Se baja el termino siguiente del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el

residuo sea de grado menor que el divisor. Si la division es exacta su residuo sera cero.

Ejemplo 5.2.1. Hallar el cociente y el residuo de dividir (4x2 − 4 + x4 + 8x)÷ (x2 + x+ 1)

Solucion:

Completando y ordenando el dividendo:

x4 + 0x3 + 4x2 + 8x − 4 x2 + x + 1

−x4 − x3 − x2 x2 − x + 4

−x3 + 3x2 + 8x

x3 + x2 + x

4x2 + 9x − 4

−4x2 − 4x − 4

5x − 8

Cuadro 5.1: Metodo clasico

obteniendose:

Q(x) = x2 − x+ 4

r(x) = 5x− 8

5.3. Metodo de coeficientes separados

El procedimiento es analogo al anterior, solo que aquı se trabaja con los coeficientes.



Solucion:

Completando y ordenando el dividendo:

1 0 4 8 −4 1 1 1

−1 −1 −1 1 −1 4

−1 3 8

1 1 1

4 9 −4

−4 −4 −4

5 −8

Cuadro 5.2: Metodo de coeficientes separados

obteniendose:

Q(x) = x2 − x+ 4

r(x) = 5x− 8

5.4. Metodo de Guillermo Horner

Es un metodo de coeficientes separados que permite encontrar el cociente y el resto de dividir dos

polinomios.

Esquema:

Procedimiento a seguir:

d D I V I D E N D O

ivisor

C O C I E N T E resto

Cuadro 5.3: Esquema de Horner

Los dos polinomios deben estar completos y ordenados respecto a una variable, si faltara algun

termino se completara con CERO.

En caso existan dos o mas variables se asume a una de ellas como tal y las demas haran el papel

de numeros o constantes.


Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primero del divisor, obteniendose el primer

coeficiente del cociente.

Este resultado se multiplica por los demas coeficientes del divisor (que han cambiado de signo)

obteniendose la primera fila de resultados parciales. Estos resultados se escriben a partir de la

segunda columna.

Se reduce la segunda columna y el resultado se divide entre el primero del divisor, obteniendose

el segundo coeficiente del cociente.

Se repite este proceso a partir del tercer paso, hasta que los resultados parciales lleguen a la

ultima columna del dividendo.


Solucion:

Ordenando y completando se tiene:x4 + 0x3 + 4x2 + 8x− 4

x2 + x+ 1Dividiendo por el metodo de Horner

1 1 0 4 8 -4

-1 -1 -1

-1 1 1

-4 -4

1 -1 4 5 -8

Cuadro 5.4: Metodo de Horner

obteniendose:

Q(x) = x2 − x+ 4

r(x) = 5x− 8

5.5. Metodo de Paolo Ruffini

Es una regla practica para obtener el cociente y el resto de la division de un polinomio P (x) entre

un polinomio de la forma (ax± b) o transformable a esta forma. Se considera como un caso particular

del metodo de Horner

Esquema:


El dividendo debe ser completo y ordenado respecto a una variable, si faltara algun termino se

completara con CERO.


D I V I D E N D O

x = ∓b/a

C O C I E N T E resto

Cuadro 5.5: Esquema de Ruffini

Se resuelve la ecuacion que se obtiene al igualar el divisor a cero, es decir ax ± b = 0, luego el

valor de x se coloca en el angulo inferior izquierdo, segun se muestra en el esquema 5.5.

Se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por el valor despejado de la variable

y el resultado se coloca debajo del coeficiente que sigue del dividendo.

Se suman las cantidades de la segunda columna, obteniendose el segundo termino del cociente.

Se procede como en el caso anterior, hasta llegar al ultimo termino del dividendo.

El residuo de la division es la suma de cantidades de la ultima columna.

Ejemplo 5.5.1. Hallar el cociente y el residuo de dividir (5x4 − x3 + 7x2 − 9)÷ (x+ 1)

Solucion:

Completando y ordenando el dividendo se tiene:5x4 − x3 + 7x2 + 0x− 9

x+ 1Dividiendo por el metodo de Ruffini

5 -1 7 0 -9

−1 -5 6 -13 13

5 -6 13 -13 4

Cuadro 5.6:

obteniendose:

Q(x) = 5x3 − 6x2 + 13x− 13

r(x) = 4

Ejemplo 5.5.2. Hallar el cociente y el residuo de dividir (6x4 − 7x3 + 10x2 − 9)÷ (2x− 1)

Solucion:

Completando y ordenando el dividendo se tiene:6x4 − 7x3 + 10x2 − 9

2x− 1Dividiendo por el metodo de Ruffini


6 -7 10 0 -9

1

23 -2 4 2

6 -4 8 4 -7

÷ 2 3 -2 4 2 -7

Cuadro 5.7:

obteniendose:

Q(x) = 3x3 − 2x2 + 4x+ 2

r(x) = −7

Observacion 5.5.1. Cuando el coeficiente principal del divisor es diferente de la unidad, entonces el

cociente que se obtiene no es el verdadero (cociente falso), luego para obtener el verdadero cociente se

debe dividir los coeficientes del cociente falso entre el coeficiente principal del divisor.

5.6. Teorema del resto

Este teorema nos permite hallar el resto de una division de dos polinomios en forma directa, sin la

necesidad de efectuar dicha operacion. El divisor debe ser de la forma lineal ax± b o transformable

a ella.


Se resuelve la ecuacion que se obtiene al igualar el divisor a cero, es decir ax±b = 0, obteniendose

x = ∓b/a.

El valor hallado se reemplaza en el dividendo, obteniendose de esta manera el residuo de la

division.

R = D

�

∓ b

a

�

Demostracion. Usando el algoritmo de la division

D(x) = d(x)Q(x) +R

pero como d(x) = ax± b, luego:

D(x) = (ax± b)Q(x) +R

finalmente reemplazando x = ∓b/a, y efectuando se tiene:

D

�

∓ b

a

�

=

�

a

�

∓ b

a

�

± b

�

Q

�

∓ b

a

�

+R


∴ R = D

�

∓ b

a

�

Ejemplo 5.6.1. Calcular el resto de dividir:5x4 − 20x2 − x+ 3

x+ 2

Solucion:

Se iguala a cero el divisor: x+ 2 = 0 ⇒ x = −2.

este valor se reemplaza en el dividendo D(x) = 5x4 − 20x2 − x+ 3, obteniendose:

R = D(−2) = 5(−2)4 − 20(−2)2 − (−2) + 3

∴ R = 5

Ejemplo 5.6.2. Hallar el resto en(5x4 + 7x2 + 5)2 + (5x4 + 7x2 + 7)3 + 8

5x4 + 7x2 + 8

Solucion:

haciendo un cambio de variable: 5x4 + 7x2 = y, se obtiene:(y + 5)2 + (y + 7)3 + 8

y + 8Se iguala a cero el divisor: y + 8 = 0 ⇒ y = −8.

este valor se reemplaza en el dividendo D(x) = (y + 5)2 + (y + 7)3 + 8, obteniendose:

R = D(−8) = (−8 + 5)2 + (−8 + 7)3 + 8

∴ R = 16

Una breve historia de Rene Descartes

Figura 5.1: Rene Descartes

Nacio: 31 de Marzo de 1596 en La Haye, Touraine, FranciaFallecio: 11 de Febrero de 1650 en Estocolmo, SueciaDescartes tiene fama de filosofo y el intelecto mas grande de los que contribuyeron a crear la

llamada “Edad de la Razon”.Descartes nacio en una familia francesa noble en la Turena, y fue el tercero y ultimo hijo de la

primera esposa de su padre, quien murio poco despues del nacimiento de Rene. Su padre era un hombre


de raro sentido comun que hizo todo lo posible por compensar a sus hijos la perdida de su madre. Unaya excelente ayudo al debil y enfermizo Rene a sobrevivir; y crecio para convertirse en un nino palidoy serio, que siempre deseaba conocer la causa de todas las cosas que existıan bajo el Sol.

Debido a la mala salud de su hijo, su padre aplazo la educacion formal hasta que llego a la edadde ocho anos. Entonces escogio el colegio jesuita de La Fleche como la escuela ideal. El rector seencarino en seguida con el palido y confiado nino.

Evidentemente, decidio que necesitaba ayudar a fortalecer el cuerpo del pequeno si querıa educarsu mente. Como Rene parecıa requerir mas descanso que los ninos normales de su edad, se le permitıalevantarse tan tarde como quisiera antes de reunirse con sus condiscıpulo. Durante su vida, Descartessiguio esta costumbre de levantarse tarde despues de pasar tranquilamente la manana en silenciosameditacion. Curso estudios normales de logica, etica, metafısica, historia, ciencias y literatura. Luegose dedico a trabajar independientemente en el algebra y geometrıa, que se convirtieron en sus materiasfavoritas “debido a la certidumbre de sus pruebas”. Prosiguio sus estudios en la Universidad de Poitiers,donde curso las materias de derecho. En cuanto recibio su diploma, “abandono del todo el estudio delas letras y resolvio no aspirar ya a ninguna otra ciencia que no fuera el conocimiento de sı mismo ode los grandes libros del mundo”. Siguiendo este proposito, fue a Parıs para divertirse con los juegosde azar. Pronto se canso de ellos y se retrajo al mundo de la erudicion. Paso dos anos siguientes en lasoledad, estudiando matematicas. A la edad de veintidos anos se ofrecio como voluntario en el ejercitodel prıncipe Mauricio de Nassau.

Despues de ingresar en el ejercito, fue enviado a Breda, en Holanda. Un dıa, cuando se reunıauna multitud frente a un cartel, pidio a un anciano caballero que se lo tradujera. Este leyo el problemamatematico contenido en el cartel y el reto para resolverlo. Al punto, Descartes procedio a resolver elproblema para el caballero, el cual era Isaac Beeckman, uno de los mas grandes matematicos y doctoresde Holanda. Beeckman comprendio en seguida que Descartes no era un soldado comun y se convirtio ensu amigo y mentor. A Descartes lo entusiasmo tanto esta amistad accidental, que menos de cuatromeses despues informo a su amigo el descubrimiento de una nueva manera de estudiar la geometrıa.

Lo inquietaron los metodos de los geometras griegos para llegar a sus ingeniosas pruebas sin unsistema fundamental de ataque y se propuso corregirlos mediante el manejo de lıneas y figuras tridi-mensionales en una grafica. Dibujaba la grafica marcando unidades en una lınea horizontal (eje x)y una lınea vertical (eje y); ası, cualquier punto de la grafica podıa describirse con dos numeros. Elprimer numero representaba una distancia en el eje x y el otro numero representaba una distancia enel eje y. Aunque conservaba las reglas de la geometrıa euclidiana, combinaba el algebra y la geometrıa,consideradas entonces como independientes, para formar una nueva disciplina matematica llamadageometrıa analıtica.

En el 1629 decidio irse a vivir a Holanda, allı estudio otras cosas aparte de filosofıa y las ma-tematicas, comprendiendo la optica, la fısica, la quımica, la anatomıa y la medicina. En 1634 aun nopublicaba nada, pero seguıa dedicado a incorporar todos sus conocimientos, desde la astronomıa hastala anatomıa humana, en un impresionante tratado que se llamaba El mundo. Todo Parıs esperabacon gran curiosidad la obra maestra de Descartes pero este se entero de que la Inquisicion condeno aGalileo por atreverse a defender la teorıa copernicana de que el Sol era el centro del Universo.

El 8 de Junio de 1637 Descartes dio al mundo su geometrıa analıtica como un apendice modestode su obra maestra Discurso del metodo.

Al propalarse la fama de Descartes, la realeza comenzo a cortejarlo. Carlos Y de Inglaterra y LuisXIII de Francia invitaron al famoso filosofo a adornar sus respectivas cortes. En 1646, Descartesvivıa en feliz aislamiento en Egmond, Holanda, meditando, cuidando su pequeno jardın y sosteniendocorrespondencia con intelectuales de Europa, cuando la reina Cristina de Suecia le suplico que fuera asu corte. Descartes partio en el otono de 1649. Todo podrıa haber resultado perfecto para Descartes siCristina no hubiera insistido en hacer que le ensenara filosofıa a partir de las cinco de la manana en


un aposento grande y frıo. Descartes era demasiado bien educado para quejarse de esta desagradablecircunstancia, aunque siempre odiaba el frıo y rara vez se levantaba antes del mediodıa. Despues de tresmeses de estas espantosas clases antes del amanecer, enfermo de gravedad y murio de una enfermedadrespiratoria, que probablemente fue pulmonıa. Diecisiete anos mas tarde, su cadaver volvio a Parıs,donde fue sepultado en lo que hoy es el panteon.

5.7. Divisibilidad algebraica

Se dice que un polinomio es divisible entre otro cuando al dividirlos resulta como cociente una

expresion algebraica entera y residuo cero.

Principios Fundamentales:

1. Si un polinomio D(x) es divisible por otro polinomio d(x), existe otro polinomio Q(x) tal que:

D(x) = d(x) ·Q(x)

2. Si P (x) es divisible entre (x− a) entonces: P (a) = 0.

3. Si un polinomio P (x) es divisible separadamente entre (x± a), (x± b)y(x± c), entonces P (x) es

divisible por el producto: (x± a)(x± b)(x± c); siendo a 6= b 6= c.

4. Si un polinomio es divisible entre el producto de varios binomios, sera divisible separadamente

por cada uno de ellos.

5. Si al dividir un polinomio entre varias expresiones por separado, se obtiene el mismo resto,

entonces se cumplira que dicho polinomio dividido entre el producto de ellos dara el mismo

resto.

6. En toda division, si al dividendo y divisor se le multiplica por una misma cantidad, el resto

quedara multiplicado por dicha cantidad.

Para determinar el resto verdadero se divide el resto obtenido entre la cantidad por la cual se

multiplico el dividendo y divisor.

En general:

D(x) = d(x)Q(x) +R(x)

multiplicando por “m”

mD(x) = md(x)Q(x) +mR(x)

Resto Verdadero =Resto Obtenido

m=

mR(x)

m= R(x)


7. En toda division, si al dividendo y divisor se le divide por una misma cantidad, el resto que-

dara dividido por dicha cantidad.

Para determinar el resto verdadero se multiplica el resto obtenido entre la cantidad por la cual

se dividio el dividendo y divisor.

En general:

D(x) = d(x)Q(x) +R(x)

dividiendo entre “m” :D(x)

m=

d(x)

mQ(x) +

R(x)

m

Resto Verdadero = (Resto Obtenido)(m) =R(x)

m(m) = R(x)

5.8. Cocientes notables

Son casos especiales de division algebraica exacta, entre divisores binomicos, que presentan la

forma:xn ± yn

x± y

donde “x” y “y” son las bases; n ∈ N

Estudio de los cuatro casos

CASOS Desarrollo del Cociente Notable (CN) Condicion (r = 0)

xn − yn

x− yxn−1 + xn−2y + xn−3y2 + . . .+ yn−1 C.N. ∀n ∈ N

xn − yn

x+ yxn−1 − xn−2y + xn−3y2 − . . .− yn−1 C.N. ∀n par

xn + yn

x+ yxn−1 − xn−2y + xn−3y2 − . . .+ yn−1 C.N. ∀n impar

xn + yn

x− yNo es C.N.

Condicion necesaria y suficiente para obtener un C.N.

xm ± yn

xp ± yqes CN ⇐⇒ m

p=

n

q= Numero de terminos NT )

Formula del Termino General:

En la division:xm ± yn

xp ± yq


un termino de lugar k (termino cualquiera) del cociente esta dado por la formula:

Tk = (signo)(yq)NT−k(xp)k−1

Reglas para determinar el signo

a) Si el divisor es de la forma (x− y), todos los terminos del CN son positivos.

b) Si el divisor es de la forma (x+ y), se tiene que:

Los terminos de lugar impar del desarrollo del cociente notable son positivos.

Los terminos de lugar par del desarrollo del cociente notable son negativos.

Formula del Termino General (contado de derecha a izquierda)

Tk←= (signo)(xp)NT−k(yq)k−1

donde Tk←: termino de lugar k contado a partir del termino final.

Observacion 5.8.1.

Si el numero de terminos NT de un CN es par, existe dos terminos centrales en su desarrollo,

cuyos lugares son:

k1 =n

2k2 =

n

2+ 1

Si el numero de terminos NT de un CN es impar, existe un termino central en su desarrollo,

donde el lugar es:

k =n+ 1

2



SOL: Division algebraica y cocientes notables 5.1.

1. Determinar el mınimo valor de “n”, si la

division:18x6y2n−2 − 9x7y9 + 27x5y2n

3x4ynes

exacta; ademas el cociente es un polinomioentero (solo considere n = impar)a) 2 b) 3 c) 4d) 8 e) 9

Solucion Dividiendo termino a termino

18x6y2n−2 − 9x7y9 + 27x5y2n

3x4yn

6x2yn−2 − 3x3y9−n + 9xyn

este cociente debe ser un polinomio, enton-ces:

n− 2 ≥ 0; 9− n ≥ 0; n ≥ 0

n ≥ 2; n ≤ 9; n ≥ 0

intersectando se tiene:

0 2 9• • •


n = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

por lo tanto el mınimo valor impar para nes 3.

Alternativa: b

2. Hallar la suma de coeficientes del cociente

de4x4 + 3x3 + 2

x2 + 4a) 3 b) 16 c) 7d) 9 e) −9

SolucionUsando el metodo de Horner

1 4 3 0 0 2

0 0 −16−4 0 −12

0 64

4 3 −16 −12 68

luego el cociente es Q(x) = 4x2 + 3x − 16cuya suma de coeficientes es: Q(0) = −9

Alternativa: e

3. Calcular: a2 + b2 si la division:ax4 + bx3 + 10x2 − 6x+ 9

x2 − x+ 3, es exacta.

a) 16 b) 11 c) 13d) 14 e) 10

SolucionComo la division es exacta, podemos inver-tir el orden:

9− 6x+ 10x2 + bx3 + ax4

3− x+ x2

usando el metodo de Horner

3 9 −6 10 b a

1 3 −3−1 −1 1

2 −2

3 −1 2 0 0

ahora, como el residuo es 0 entonces b = −3y a = 2. Por lo tanto a2 + b2 = 13.

Alternativa: c

4. Que valor debe tener “k” para que el poli-

nomio 5x3−k(x2+x−1) tenga como divisora 5x2 + 2x− 4?a) 8 b) 2 c) 4d) −8 e) 16

SolucionQue 5x3 − k(x2 + x− 1) tenga como divisora 5x2 + 2x− 4 significa que la division

5x3 − kx2 − kx+ k

5x2 + 2x− 4

es exacta, y usando el metodo de Horner

5 5 −k −k k

−2 −2 4

4 2k+45 −4k+8

5

1 −k+25 2 0

luego k − 4k + 8

5= 0 de donde k = 8


Alternativa: a

5. En una division efectuada por el metodo deHorner, se obtuvo este esquema:

a 6 e f g h j

b 2 -2 4c 3 -3 6d 1 -1 2

2 3 1 -4 -2 5

Determinar la suma de coeficientes del divi-dendoa) −4 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

SolucionCompletando el esquema se tiene:

3 6 7 2 −6 −7 3

1 2 −2 4−1 3 −3 62 1 −1 2

2 3 1 −4 −2 5

Por lo tanto la suma de coeficientes del di-videndo es:

Σ = 6 + 7 + 2− 6− 7 + 3 = 5

Alternativa: d

6. Encontrar la relacion necesaria por cumplir-se de manera que el polinomio: (a2−b2)x3+2b(a − b)x2 + 4abx + b(2b − a) sea divisibleentre: (a+ b)x+ b− aa) a2 + b2 = 2ab b) a2 + b2 = abc) a/b+ b/a = −1 d) a2 − b2 = abe) a2 + b2 = −2ab

SolucionDada la division

(a2 − b2)x3 + 2b(a− b)x2 + 4abx+ b(2b− a)

(a+ b)x+ b− a

usaremos el metodo de Ruffini:

a2 − b2 2ab− 2b2 4ab 2b2 − ab

a−ba+b (a− b)2 (a− b)2 a2 − b2

a2 − b2 a2 − b2 (a+ b)2 0

luego a2−ab+b2 = 0, de donde: a2+b2 = ab

Alternativa: b

7. Si al dividir 8x3 + 4x2 − 6mx + 15 entrex − 0,5 se obtiene como cociente un poli-nomio Q(x) tal que Q(1) = 56. Calcular elresto de la division:a) 16 b) 40 c) 25d) 38 e) 35

SolucionDada la division

8x3 + 4x2 − 6mx+ 15

x− 0,5

usaremos el metodo de Ruffini:

8 4 −6m 15

1

24 2 20

8 4 40 35

el termino independiente del cocienteQ(0) = 40, puesto que Q(1) = 56. LuegoR = 35

Alternativa: e

8. Efectuar4x3 − 3x2 + 5

x+ 1y dar como respues-

ta la suma de coeficientes del cociente.a) −7 b) 7 c) 4d) 14 e) 18

SolucionUsaremos el metodo de Ruffini:

4 −3 0 5

−1 −4 7 −7

4 −7 7 −2

luego la suma de coeficientes del cociente es:Q(1) = 4

Alternativa: c

9. En una division por el metodo de Ruffini seconoce parte del esquema utilizado:

1 6 b 12 e

-2 a -8 c -4

1 4 5 d 0


Hallar a+ b− c+ d− ea) 19 b) 17 c) 18d) 16 e) 20

SolucionDado el esquema

1 6 b 12 e

−2 a −8 c −4

1 4 5 d 0

y siguiendo la division por el metodo de Ruf-fini tenemos:

1 6 13 12 4

−2 −2 −8 −10 −4

1 4 5 2 0

luego a = −2, b = 13, c = −10, d = 2,e = 4, por lo tanto a + b − c + d − e =−2 + 13 + 10 + 2− 4 = 19

Alternativa: a

10. Si el cociente notablex5a+2b − ya+4b+1

xa − yb−1

tiene 7 terminos, hallar: W =√AB,

donde: A = (a− 1)(a− 2)(a− 3);B = (b− 1)(b− 2)(b − 3)a) 6 b) 36 c) 1d) 3 e) 12

SolucionEn todo cociente notable se cumple que:

5a+ 2b

a=

a+ 4b+ 1

b− 1= NT

5a+ 2b

a=

a+ 4b+ 1

b− 1= 7

luego:5a+ 2b

a= 7 entonces a = b

ademas:a+ 4b+ 1

b− 1= 7 de donde:

a = 4 y b = 4, reemplazando se tiene:A = 3× 2× 1 = 6B = 3× 2× 1 = 6por lo tanto W =

√AB =

√36 = 6

Alternativa: a


CAP 04: Division algebraica y cocientes notables 5.1.

1. Determinar el mınimo valor de “n”, si la

division:18x6y2n−2 − 9x7y9 + 27x5y2n

3x4ynes

exacta; ademas el cociente es un polinomioentero (solo considere n = impar)a) 2 b) 3 c) 4d) 8 e) 9

2. Hallar la suma de coeficientes del cociente

de4x4 + 3x3 + 2

x2 + 4a) 3 b) 16 c) 7d) 9 e) −9

3. Calcular: a2 + b2 si la division:ax4 + bx3 + 10x2 − 6x+ 9

x2 − x+ 3, es exacta.

a) 16 b) 11 c) 13d) 14 e) 10

4. Que valor debe tener “k” para que el poli-nomio 5x3 − k(x2 + x− 1) sea divisible por5x2 + 2x− 4?a) 8 b) 2 c) 4d) −8 e) 16


a 6 e f g h j

b 2 -2 4c 3 -3 6d 1 -1 2

2 3 1 -4 -2 5

Determinar la suma de coeficientes del divi-dendoa) −4 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

6. Encontrar la relacion necesaria por cumplir-se de manera que el polinomio: (a2−b2)x3+2b(a − b)x2 + 4abx + b(2b − a) sea divisibleentre: (a+ b)x+ b− aa) a2 + b2 = 2ab b) a2 + b2 = abc) a/b+ b/a = −1 d) a2 − b2 = abe) a2 + b2 = −2ab

7. Si al dividir 8x3 + 4x2 − 6mx + 15 entrex − 0,5 se obtiene como cociente un poli-nomio Q(x) tal que Q(1) = 56. Calcular el

resto de la division:a) 16 b) 40 c) 25d) 38 e) 35

8. Efectuar4x3 − 3x2 + 5

x+ 1y dar como respues-

ta la suma de coeficientes del cociente.a) −7 b) 7 c) 4d) 14 e) 18

9. En una division por el metodo de Ruffini seconoce parte del esquema utilizado:

1 6 b 12 e

-2 a -8 c -4

1 4 5 d 0

Hallar a+ b− c+ d− ea) 19 b) 17 c) 18d) 16 e) 20

10. Que valor debera tomar “k” para que la di-vision (0,5x3+0,4x2+0,3x+k)÷(0,2+0,1x)sea exacta?a) 8 b) 2 c) 1d) 3 e) 5

.

11. Hallar la suma de coeficientes del cocien-te, disminuido en su resto; del cociente de6x36 + 17x27 − 16x18 + 17x9 + 12

3x9 + 1a) 8 b) 4 c)−4d) −6 e) −8

12. Hallar “m” sabiendo que el resto de dividir(m+1)x3 +2x2 − 4x+m entre (x+2) es 1a) −1 b) 3/2 c) −2d) 2 e) 1

13. Encontrar el residuo de dividirx18

x2 + x+ 1a) x+ 1 b) x− 1 c) 1d) 0 e) x

14. Calcular a y b, si la division:

3x3 − 11x2 + (a− 1)x− b

3x2 − 2x+ 1

es exacta: Dar como respuesta aba) 24 b) 3 c) 8d) 16 e) 11


15. Hallar el residuo que se obtiene al dividir elpolinomio (

√3−

√2)x5−2

√2x3−2

√3x+6,

entre x−√3−

√2.

a) 3√2 b) 2

√3 c)

√3 + 2

d) 5 e)√2 +

√3

16. Sabiendo que 2x5−8x4+9x3+mx2+nx+pes divisible entre: 2x3 − 6x2 +7x+1. Hallar3m+ n+ pa) 5 b) 1 c) 2d) 4 e) −1

17. Calcular mn+pn si el resto de la division:

mx4 + nx3 + px2 + 6x+ 6

2x2 − 5x+ 2es −5x+8 y que la suma de los coeficientesdel cociente es 4.a) 45 b) 31 c) 34d) 10 e) 36

18. El resto de la division(x− y)29 − (y − x)27

(x− y + 1)2 + 2(y − x)a) x− y b) 2x− 2y c) 0d) −2y e) 2x

19. El resto de dividir:P (x) = (x4n + x2n + 6)3n+2 + (x2n + xn +1)(x2n − xn + 1) + 3entre Q(x) = x4n + x2n + 5 es:a) 0 b) 1 c) 5d) −5 e) 2

20. Un polinomio P (x) de tercer grado tienesiempre el mismo valor numerico 1 parax = −2 ; −3 ; −4. Sabiendo que al dividirloentre x − 1 el residuo es 121. Calcular elresto de dividirlo entre (x− 2).a) 122 b) 119 c) 239d) 241 e) 242

21. Un polinomio de cuarto grado en “x”, cuyocoeficiente principal es la unidad, es divisi-ble con (x2 − 1) y por (x − 4). Al dividirlocon (x + 3) da como resto 56. Calcular elresto de dividirlo con (x− 2).a) −16 b) −24 c) −20d) −12 e) 4

22. Si el polinomio P (x) al dividirlo entre (x−2)da resto 5, y la suma de los coeficientes delpolinomio cociente es 7. Hallar P (1).a) 4 b) 3 c) −3d) −4 e) −2

23. Calcular la suma de los coeficientes del po-linomio P (x) si se sabe que es de tercergrado, su coeficiente principal es la unidad,es divisible entre (x− 2)(x + 1) y carece determino cuadratico.a) 1 b) −3 c) −4d) 2 e) 4

24. Siendo “A” el termino que debe suprimirsea: a9 + a6b4 + a4b6 + a3b8 + b12 para que seaun cociente notable; senale el equivalente de:(A−1)(A2+A+1)(A12 +A9+A6+A3+1)a) a60b90 − 1 b) a60b90 c) a90b60−1d) a45b120 − 1 e) −1

25. Identifique las divisiones notables queoriginaron los cocientes.A = x16 − x12y8 + x8y16 − x4y24 + y32

B = x15 − x10y10 + x5y20 − y30

y senale la suma de ambos dividendos iden-tificados.a) x20 b) 2y40 c) y40

d) 2x20 e) 2(x20 + y40)

26. Si el cociente notable originado al dividirx9m + y8n

x2n + y4mtiene “k” terminos; hallar “k”.

a) 7 b) 3 c) 9d) 11 e) 15

27. El grado absoluto del sexto termino

del siguiente cociente notablex3n+9 + y3n

x3 + y2

a) 9 b) 20 c) 18d) 10 e) 19

28. Calcular ab sabiendo que el tercer termino

del cociente notablexa+b − ya+b

xa−b − ya−bes x60y40.

a) 600 b) −2400 c) 3500d) 35 e) 4200

29. Si el cociente notablex5a+2b − ya+4b+1

xa − yb−1

tiene 7 terminos, hallar: W =√AB,

donde: A = (a− 1)(a− 2)(a− 3);B = (b− 1)(b− 2)(b − 3)a) 6 b) 36 c) 1d) 3 e) 12



1. Si un polinomio 3x5+6x3−3x se divide en-tre x+ 1 se obtiene un cociente de grado mcon termino constante b y residuo a. Hallarm+ b+ a.a) 6 b) 4 c) 10d) 12 e) 8

2. Al efectuar la division

x5 + 3x3 + x2 + ax+ b

x3 + 2x+ 1

deja un residuo de 3x+ 2. Hallar a− b.a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 2

3. Si la division del polinomio P (x) = (x +2)16 + 2(x+ 2)12 + 3(x+ 2)4 + x2 + 4x+mentre el polinomio Q(x) = x2 + 4x + 5 dejacomo residuo 33, hallar el valor de k = 5

√m

a) 10 b) 8 c) 2d) 4 e) 6

4. Si la division:Ax4 +Bx3 − 2x2 − 3x− 2

4x2 + x+ 1es

exacta, calcular ABa) 84 b) −84 c) 64d) 48 e) 74

5. Calcular los valores de a y b si el polinomioax5 + bx4 + 3x3 + 4x2 + 6x + 6 es divisiblepor x3 + 2.a) 3 y 4 b) 1 y 3 c) 1 y 2d) 2 y 3 e) 1 y 4

6. El producto de coeficientes del po-linomio cociente de la division3x5 − 5x4 + 3x3 − 5x2 + 3x− 2

3x− 5es:

a) 3 b) 1 c) 9d) 4 e) 15

7. Por cuanto hay que dividir al polinomio:x4 + x2 + x + 2, para que el cociente seax2 − x+ 1 y el residuo x+ 1.a) x2 + 1 b) x2 − 1 c) x2 + xd) x2 + x− 1 e) x2 + x+ 1

8. En la division

x4 − 2√6x3 + 6x2 +

√6x− 12

x−√6

el coeficiente del termino lineal del cocientees:a) −

√6 b)

√6 c) 0

d) 1 e) 6

9. Dar el mayor coeficiente del dividendo en lasiguiente division por Horner

3 a b c d e

f 4 -12g 6 -18

-14 42

2 3 -7 6 8

a) 38 b) 25 c) 35d) 20 e) 40

10. Si al dividir el polinomio y5−5ay+4b entre(y − k)2 da un cociente exacto. Hallar b− aen funcion de k.a) k5 − k2 b) k5 + k c) k5 + k4

d) k5 − k4 e) k5 + k3

11. Si x24 + ax + b es divisible entre (x − 1)2,calcular: b− a.a) 50 b) 47 c) 48d) 49 e) 46

12. Del esquema de division por Ruffini

a b c d e f

-1 1 3 5 7 9

m n r s t 0

Determinar la suma de coeficientes del po-linomio dividendo.a) 100 b) 50 c) 160d) −100 e) −50

13. Hallar el residuo en la siguiente division:

[3 + (x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4)]5

x(x+ 5) + 5

a) 0 b) 16 c) 32d) 1024 e) 64

14. Al dividir 8x5 + 14x4 +5x3 + 16x2 +3x+ 2entre 4x2 + x + 3 se obtiene como residuo(5m + 4n)x + (m + 2n), hallar el valor demm/n

a) 1/4 b) 4 c) 2d) 1/2 e) 1


15. Obtener el resto de la division siguiente:

βx5α−3 + αβx2β−7 + 10

α3x+ 3α− β

sabiendo que el dividendo es ordenado ycompleto.a) 20 b) 15 c) 10d) 18 e) 16

16. Al dividir P (x) entre (x − 1)3 da como co-ciente una potencia de (x+2) y como resto(x − 5)2. Si se divide P (x) entre (x − 2) elresto que se obtiene es 73. La potencia de(x+2) en el cociente de la primera divisiones:a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

17. En una division de dos polinomios, eltermino independiente del dividendo es 4veces mas que el termino independiente delresto, y el termino independiente del cocien-te es el doble del termino independiente deeste ultimo. El valor del termino indepen-diente del divisor es:a) 1 b) 5/2 c) 3d) 4 e) 2

18. Un polinomio P (x) de cuarto grado en x,cuyo coeficiente principal es 2, es divisiblepor (x2 − 4) y (x − 3), y al dividirlo por(x+1) da como residuo 12. Halle el residuoal dividir P (x) por (x− 1).a) 25 b) 26 c) 30d) 29 e) 28

19. Un polinomio P (x), divisible entre (xn−1 +1), tiene por termino independiente −3 ypor grado “n”, se sabe que al dividirlo sepa-radamente entre (x− 1) y (x− 3), los restosobtenidos son −2 y 732 respectivamente. Elvalor de “n” es:a) 6 b) 7 c) 5d) 4 e) 3

20. Que condicion debe cumplirse para que elpolinomio x3 + px + q sea divisible por unpolinomio de la forma: x2 +mx− 1?.a) p = q2 − 1 b) p = q2 + 1c) p = −q d) p = −q2 − 1e) p = q2

21. Determinar un polinomio monico de cuartogrado que sea divisible separadamente porx2 − 3x + 2; x2 − 4; x2 + x − 2 y alser dividido entre x − 3 deja un resto iguala 100, luego indique el residuo de dividirdicho polinomio entre x+ 1.a) 18 b) 36 c) 34d) 72 e) 48

22. Hallar n para que la divisionx5n+3 − y5n+30

xn−1 − yn+2

origine un cociente notable.a) 11 b) 9 c) 7d) 5 e) 3

23. Si xay24 es el termino central del desarrollo

del cociente notablex75 − yb

xc − y2; el valor de

a+ b+ c es:a) 49 b) 73 c) 89d) 85 e) 91

24. Hallar el cociente notable que dio origen a:x300 − x290y20 + x280y40 . . . Dar comorespuesta el numero de terminos.a) 31 b) 30 c) 28d) 27 e) 26

25. Si la divisionx15m+50 − y15m−10

xm+1 − ym−2genera un

cociente notable, indicar el lugar que ocupael termino de grado absoluto 76.a) 15 b) 10 c) 13d) 20 e) 17

26. La suma de todos los exponentes de las

variables del desarrollo dex100 − y100

x4 − y4, es:

a) 2500 b) 2400 c) 2600d) 2700 e) 2800

27. Si A es el penultimo termino del cocientex40 − 1

x8 − 1, senale el termino que sigue en el

cociente notable: A+ x6y3 + · · ·a) x4y4 b) x3y4 c) x4y2

d) x4y5 e) x4y6

28. Se desea saber el numero de terminos

del cocientexα − 1

x− 1si se cumple que:

T10T50T100 = x236

a) 130 b) 135 c) 132d) 134 e) 131



1. Calcular el cociente de la siguiente division:

5ax+5 − 11ax+4 + 18ax+3 − 5ax+2 + 3ax+1

5ax+3 − ax+2 + ax+1

a) a2 + 2a+ 3 b) a2 − 2a+ 3c) a2 − 2a− 3 d) a2 + 3a+ 2e) a2 + a+ 3

2. Calcular el valor de “a”, si la division:6x5 + 5x4 + 23x2 − 30x3 + ax+ 3

2x2 + 5x− 3; es exac-

taa) 11 b) −8 c) 5d) −5 e) −11

3. Calcular (A + B), si en la division:x4 + 2x3 − 7x2 +Ax+B

x2 − 3x+ 5el resto es un

polinomio identicamente nulo.a) 17 b) 15 c) 31d) 28 e) 33

4. ¿Cuanto debe ser el valor de “m” del trino-mio 3x2+mx+9 con la condicion de que aldividir este por (x + 2); de el mismo restoque la division de 2x3 + 3x + 3 por dichobinomio?a) 20 b) 15 c) 9d) −6 e) 18

5. Si al dividir el polinomio nx5−(n2−2n)x4+3x3 + 6x2 − (3n2 − 5n)x + n2 − 13 entrex − n + 2, se obtiene un cociente Q(x) yun resto R. Sabiendo que Q(1) + R = 0.Calcular R.a) 2 b) 3 c) 17d) −9 e) 9

6. Al dividir xn+1−6xn+8 entre (x+1), sien-do “n” impar, se obtiene un cociente cuyasuma de coeficientes es:a) n b) −6n c) 6nd) 14n e) 8n

7. Hallar el valor de mn si la division del poli-nomio x4 +2x2 +mx+n entre el polinomiox2 − 2x+ 3 es exacta.a) 6 b) 5 c) 3d) 4 e) 0

8. Hallar m + n, sabiendo que la division3x5 +mx3 + nx2 − x+ 2

x2 + 3da un residuo de

5x− 10a) 1 b) 5 c) 11d) 7 e) 4

9. La diferencia entre el mayor y menor coefi-

ciente del cociente12x4 − 8x3 + 15x2 − x− 6

3x− 2es:a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 5

10. Si el polinomio 3x3−9x2+kx−12 es divisi-ble por x− 3 entonces, tambien es divisiblepor:a) 3x+ 4 b) 3x2−x+4 c) 3x2 − 4d) 3x2 + 4 e) 3x− 4

11. Indique el termino independiente del cocien-te al dividir el polinomioP (x) = x5 + (

√2 +

√3)x4 − (

√3−

√6)x3 −

2x2 + (√3 + 4)x +

√3 entre el polinomio

Q(x) = x+√3

a) 2 b) 4 c) −√3

d) 3 e)√2

12. Hallar el valor de a2 + ab + b2 para que aldividir ax4 + bx− 3 entre x2 − 1 se obtengaun cociente exacto.a) 3 b) 6 c) −2d) −6 e) 9

13. Calcular el resto enx3

2n − 1

x3n + 1, si “n” ∈ N.

a) 1 b) 0 c) −2d) 2 e) −1

14. Calcular el residuo de la siguiente division:(x− 1)7 − (x− 2)7 − 1

x2 − 3x+ 2a) 0 b) x− 2 c) 1d) x− 1 e) −1

15. Hallar el resto en la division:x3

(x+ 1)(x+ 2)a) 7x+ 5 b) 7x+ 2 c) 6x− 1d) 7x+ 6 e) 3x− 1

16. Hallar el resto de la division:


(x+ 1)35 + 7(x+ 1)28 + 3(x+ 1)17 + 3

x2 + 2x+ 2a) 2x b) 2x+ 12 c) 2x+ 5d) 2x− 12 e) 2x+ 7

17. Si el resto de:(x2 + nx+

√2)3 − x2 − 2

x−√2

es

60, determine na)

√2 + 1 b) 1−

√2 c) 2

√2

d)√2 + 2 e)

√2− 1

18. El resto de la division

(x− 5)3(x+ 4)2(x3 − 3x− 17)n

(x− 3)(x+ 4)(x− 5)es:

a) 28 b) 28x2 + 28x− 560c) 28x2 − 28x− 560 d) 28x2 − 28x+ 560e) 28x2 + 28x+ 560

19. Si la divisionax3 + bx2 + cx+ d

x2 + n2es exacta,

calcular el valor de: W =

�

ad

bc

�2

a) 1 b) 4 c) 36

d) 9 e) 25

20. Si el polinomio 2x5 + x4 + ax2 + bx + c, es

divisible por x4 − 1, hallara+ b

a− b.

a) 3/2 b) −3/2 c) 2/3

d) −1 e) −2/3

21. Al dividir P (x) entre x2 + x+ 1, se obtuvocomo resto x+1, y al dividir entre x2−x+1,se obtuvo como resto x−1. Calcular el restode dividir P (x) entre x4 + x2 + 1.a) x3 b) x3 + x c) x

d) x3 − x e) x2 + x

22. Un polinomio monico de noveno grado tieneraız cubica exacta, ademas es divisible se-paradamente por (x− 1) y (x− 2). Hallar elresiduo de dividir el polinomio entre (x− 4)si el termino independiente de dicho polino-mio es −216.a) 36 b) 72 c) −72d) −48 e) 216

23. Hallar un polinomio P (x) de segundo gradodivisible por (2x+ 1); sabiendo ademas quesu coeficiente principal es 4 y que al ser di-vidido por (x− 2) el resto es 5, reconocer el

menor coeficiente de P (x).a) −5 b) −3 c) −4d) 4 e) 2

24. Hallar el lugar que ocupa el termino degrado 101 en el desarrollo de: M(x, z) =x180 − z80

x9 − z4

a) 15 b) 13 c) 11d) 17 e) 19

25. En el cociente notable que se obtiene de:x4m − x4b

x2 − x−3el decimo termino contado a par-

tir del final es independiente de x. ¿Cuantosterminos racionales enteros contiene dichocociente notable?a) 6 b) 9 c) 8d) 7 e) 10

26. Hallar el valor numerico del termino centraldel desarrollo de:

(x+ y)100 − (x− y)100

x3y + xy3

para x = 3, y = 2√2.

a) 2 b) 8 c) 6d) 4 e) 10

27. El cociente dexm − yn

xa − ybtiene 12 terminos.

Si el cuarto termino contiene a x de grado16 y a+ b = 5, hallar n.a) 24 b) 48 c) 18d) 42 e) 36

28. Hallar “n” en:(a+ 2b)n − bn

a+ b, si el penulti-

mo termino de su desarrollo es ab5 + 2b6

a) 11 b) 13 c) 7d) 5 e) 9

29. Hallar el numero de terminos fraccionarios

del cociente notablex90 − x−60

x3 − x−2a) 12 b) 15 c) 17d) 20 e) 18

30. En el cociente notable

√x35 − 3

√x35

√x− 3

√x

¿Cuantos terminos son racionales?a) 8 b) 25 c) 12d) 6 e) 5



1. Indicar la suma de coeficientes del cocientey residuo al dividir:

x4 − x3 − 13x2 − 30x− 15

x2 + 3x+ 5

a) −9 b) 14 c) 10d) 13 e) 1

2. En la division de P (x) = 2x4+7x3+16x2+Ax + B entre Q(x) = 2x2 + 3x + 4, se ob-tiene como residuo 13x+ 3. Indicar el valorde A+Ba) 15 b) 30 c) −30d) −15 e) 45

3. ¿Que valor debe asumir “m” para que lasuma de coeficientes del cociente de la di-vision de P (x) = 2x4 − 5x3 + x2 + 3x + mentre Q(x) = x− 2, sea igual al resto.a) −2 b) 1 c) −1

d) 2 e) 0

4. Hallar el coeficiente del termino cuadraticoen el cociente de:

6x6 − 3x5 + 4x3 + 10x2 − 8x+ 4

2x− 1

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 0

5. Calcular el resto en:

x27 + 243x22 + x+ 4

x+ 3

a) −2 b) −1 c) 0d) 1 e) 2

6. Hallar “k” si la division:

a3 + b3 + c3 − kabc

a+ b+ c

es exactaa) 1 b) 3 c) 2d) 0 e) 4

7. Al dividir el polinomio P (x) = abx5+b2x4+bcx3 − abx + acx2 + c2 entre el polinomioQ(x) = ax2 + bx+ c se obtiene un resto de

acx; calcular: W =b(a+ c)

aca) 0 b) 1 c) −2d) −3 e) −1

8. Hallar el valor de: E = 81m + n, si la divi-sion de (x2 − x+ 2)5 −m(x− 2)4(x+ 1)4 +nx3(x− 1)3 entre x3 + 1, es exactaa) 12 b) −1 c) 1d) −10 e) −4

9. Calcular el residuo de la division

(x+ 2)4(x+ 6)(x− 3)

(x+ 2)3(x+ 3)

a) 18(x + 2)3 b) −18 c) 27d) −18(x+2)3 e) −27(x+ 2)3

10. Calcular n si el residuo de la division(x+ 3)n(x+ 1)n + nx(x− 1)(x+ 5) + 1

(x+ 2)2

es 2(1− 18x); n es para) 2 b) 5 c) 3d) 4 e) 1

11. Hallar el resto en la division

ax3a + bx3b+1 + cx3c+2

x2 + x+ 1

a) (a− b)x+ b− c b) (b− c)x+ a− cc) (c− a)x+ a− b d) (a− b)x+ c− ae) (b− c)x+ a− b

12. Determine el resto en la division,

x15 + x14 + x13 + · · ·+ x2 + x+ 1

(1 + x2)(1 + x)

a) x+ 1 b) x2 + 1 c) 2x27d) 2x e) 0

13. Calcular el residuo de la division, n ∈ N

(x− 1)2n+1 − (x− 2)4n+1

x2 − 3x+ 2

a) x− 1 b) x− 2 c) 1d) 0 e) −1

14. El cociente de dividir un polinomio de tercergrado entre 2x−1 es x2+2x−3 y el residuoal dividir dicho polinomio entre 2x+1 es 1.Hallar el resto obtenido de dividir el mismopolinomio entre 2x− 1a) −6,5 b) −2,5 c) −3,5d) −5,5 e) −1,5


15. Hallar el polinomio P (x) de segundo gradodivisible por 2x + 1, sabiendo que su coe-ficiente principal es 4 y que al ser divididoentre x − 2 su residuo es 5. Determinar elmenor coeficiente de P (x)a) 4 b) −3 c) −5d) −4 e) 2

16. Un polinomio de cuarto grado es divisibleseparadamente por (x+3), (x+2) y (x+5);ademas al ser dividido por (x+1) se obtienecomo residuo 32. Si el termino independien-te de P (x) es −240. Hallar su coeficienteprincipal.a) 40 b) −12 c) 30d) −80 e) −40

17. Siendo A el decimosexto termino del cocien-te:

a100 − 1

a5 − 1proporcione el termino central del cociente

A11 + b44

A+ b4

a) a100b10 b) a100b15 c) −a100b10

d) −a100b25 e) −a100b20

18. Indique cual es el numero de terminos en:· · · − a63b15 + a56b18 · · · sabiendo que es eldesarrollo de un cociente notable.a) 11 b) 12 c) 15d) 14 e) 13

19. Halle el termino independiente respecto a xen el cociente notable generado por:

(√x+ y)n − yn√

x

si t(10−n) = y9−n

a) 5y4 b) y8 c) 3y4

d) y4 e) −3y4

20. Si el cociente notablex8 − 1

xm − 1tiene 4 termi-

nos; calcule: m9 +m8 +m7 + · · · +m+ 3a) 1004 b) 1024 c) 1016d) 1025 e) 1000

21. Calcular el mınimo valor de “k”, de maneraque en el C.N. (n = impar):

ann+1

+ bnn

an + b

el grado absoluto del termino que ocupa lu-gar “k” excede en (4n−4) al grado absolutodel termino que ocupa el lugar “k” contadodesde la derecha.a) n+ 3 b) 12 c) 2n − 1d) 11 e) 27

22. Hallar el quinto termino del CN:

xm+1 − ym+h−33

xk−2 − yh−3

sabiendo que los exponentes de “x” dismi-nuyen de 4 en 4 y los de “y′′ aumentan de 1en 1a) x16y10 b) x14y12 c) x12y16

d) x20y14 e) x20y4

23. Si se sabe que en la division de:F (x) = axn+(3a−b)xn−1+(5a−3b)xn−2+(7a− 5b)xn−3 + · · · de (n+1) terminos por(ax − b), el residuo es: 11a; a 6= b. Halle elvalor de “n”a) 4 b) 6 c) 5d) 3 e) 7

24. En el cociente notablex413 − y295

x7 − y5uno de

los terminos de su desarrollo es:

a) x357y35 b) x410y5 c) y94

d) x404y7 e) x392y11

25. Hallar el primer termino del CN

(x+ y + z)3 − (x+ y − z)3

z

a) x+ y + z b) 2(x+ y + z)c) x+ y − z d) 2(x+ y + z)2

e) x+ y

26. Sabiendo que al dividir

x2n − y2

n

x3m−1 − y3m−1

el segundo termino de su cociente es x16y8.¿Cuantos termino posee el cociente notable?a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 6



1. Hallar el residuo en:

x4 + 2x3 −m2x2 +mx−m

x−m+ 1

a) 1 b) −1 c) 0d) 2 e) −2

2. En la division exacta:

Ax4 +Bx3 + 13x2 + 11x+ 3

x2 + 2x+ 3

determinar ABa) 10 b) 12 c) 16d) 20 e) 14

3. Calcular el resto en:

(x− 1)4n(x3 + 8)(x− 4)

x2 − 2x+ 2

a) 20 b) 40 c) −20d) 14 e) −10

4. Indique el resto en:

x4 + 2x3 − x2 − x+√2

x−√2 + 1

a) 1 b) 0 c) −1d) 2 e) −2


a 6 e f g h j

b 2 -2 4c 3 -3 6d 1 -1 2

2 3 1 -4 -2 5

Hallar D(1)+d(1), siendoD(x) el dividendoy d(x) el divisora) 5 b) 9 c) 8d) 6 e) 10

6. Hallar “a” para que la suma de coeficientesdel cociente sea 161 y el residuo 16 en lasiguiente division:

ax51 + 2bx+ 2b− a

x− 1

a) 2 b) 3 c) 4d) −4 e) −2

7. Si el residuo de la divisionP (x)

x+ 1es 3. Cal-

cular el residuo de[P (x)]4

x+ 1a) 12 b) x c) 1d) 41 e) 81

8. Calcular: ab√3b− a; sabiendo que al dividir

ax2 − ax − 2b entre ax + b se obtuvo comoresto 2b y ademas el termino independientedel cociente es −4aa) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

9. Determinar el resto que se obtiene al dividirel resto de:mx4m + nx4n+1 + px4p+2 + qx4q+3

(x+ 1)(x2 + 1)

por x+ 1, para todo m,n, p, q 6= 0.a) m−n+p−q b) 1 c) m2 + n2

d) 0 e) mnpq

10. Calcular el resto de dividir:

16x4n+2 + 8x3n+1 − 54xn+2 − 6xn − 9

2xn − 3

a) 27x− 13 b) 27x c) 27d) 27x− 18 e) 18

11. Hallar el resto de la division:

(x+ 1)35 + 7(x+ 1)28 + 3(x+ 1)17 + 3

x2 + 2x+ 2

a) 2x b) 2x+ 12 c) 2x+ 5d) 2x− 12 e) 2x+ 7

12. Al dividir un polinomio P (x) entre (2x+aa)se obtiene como residuo −1 y un cocienteentero cuya suma de coeficientes es 5. De-terminar el valor de “a”, si al dividir P (x)entre (x− 1) se obtiene como residuo 29.a) 4 b) 3 c) −4d) −2 e) 2

13. Si el residuo de la division del polinomioP (x) entre x+ 4 es 7 y la suma de los coe-ficientes del cociente es 6. Hallar el residuode dividir P(x) entre x− 1a) 0 b) 30 c) 37d) 7 e) 51


14. ¿Que relacion existe entre: a, b y m, si la

divisiona(x4a)m − b(xb)4m

ax2 − bes exacta?

a) 2am = 2bm+ 1 b) 2am = 2b+ 1c) 2am = b d) 2am = 2bm− 1e) 2am = b+ 1

15. Un polinomio de cuarto grado cuyo coefi-ciente principal es 3 es divisible entre x2+1y ademas la suma de sus coeficientes es nu-la. Si al dividir P (x) entre x − 2 se obtuvocomo residuo 50. Hallar el residuo de dividirP (x) entre x2 − 1a) 2x b) x+ 1 c) −2xd) 2x− 2 e) 2x+ 1

16. Determinar un polinomio monico de cuartogrado que sea divisible separadamente entrex2−3x+2, x2−4, x2+x−2; y al se divididoentre (x − 3) deja un residuo igual a 100.Indicar el residuo de dividir dicho polinomioentre (x+ 1).a) 18 b) 36 c) 34d) 72 e) 48

17. Un polinomio P (x) de tercer grado tienesiempre el mismo valor numerico 1 parax = −2,−3,−4, sabiendo que al dividirloentre (x − 1) el residuo es 121. Calcular elresto de dividirlo entre (x− 2).a) 122 b) 119 c) 239d) 242 e) 241

18. Hallar el penultimo termino del cociente no-

table generado por:x40 + y10

x4 + y

a) x9y8 b) x4y8 c) −x4y8

d) x8y9 e) −x8y9

19. Hallar el lugar que ocupa el termino de gra-

do 101 en el desarrollo del CN:x180 − y80

x9 − y4

a) 15 b) 13 c) 11d) 17 e) 19

20. Uno de los terminos del desarrollo del CN:

(x+ y)n − yn

x

es (x + y)25y13. Hallar el lugar que ocupadicho termino contado a partir del final.a) 24 b) 25 c) 27

d) 26 e) 28

21. Si xpy28; x16y2(p−6) son terminos equidistan-tes de los extremos en el cociente notable

xm − yn

x4 − y7

Calcular el valor de m+ n+ p.a) 225 b) 235 c) 245d) 257 e) 322

22. Hallar el valor numerico para x = −1 deltermino de lugar 31 del cociente notable:

(x+ 3)36 − x36

2x+ 3

a) 128 b) 64 c) 144d) 16 e) 32

23. El termino central del cociente notableax − by

a7 − b3es azb48. Calcular el valor de

x− y + z.a) 343 b) 159 c) 244d) 197 e) 315

24. La suma de todos los exponentes de las va-

riables del desarrollo de:x100 − y100

x4 − y4es:

a) 2400 b) 2500 c) 2600d) 2700 e) 2800

25. Sabiendo que al dividirx2

n − y2n

x3m−1 − y3m−1, el

segundo termino de su cociente es x16y8.¿Cuantos terminos posee el cociente nota-ble?a) 7 b) 3 c) 5d) 4 e) 6

26. Calcular el numero de terminos del desarro-llo del C.N. que tienen los terminos conse-cutivos · · · + x70y12 − x63y15 + · · ·a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

27. Calcular el numero de terminos fracciona-rios en el cociente notable:

x90 − x−60

x3 − x−2

a) 10 b) 20 c) 15d) 18 e) 12



1. Si al dividir ax4 + bx− 3 entre x2 − 1 se ob-tiene un cociente exacto. Hallar a2+ab+b2.a) 3 b) 9 c) 6d) −6 e) −2

2. Calcular el valor de “a” para el cual el tri-nomio x7+ax+b sea divisible entre (x+1)2.a) −5 b) −4 c) −6d) −8 e) −7

3. En la division exacta:

6x4 + 4x3 − 5x2 − 10x+ a

3x2 + 2x+ b

Hallar a2 + b2.a) 625 b) 25 c) 650d) 620 e) 600

4. El termino independiente del cociente de:

(√3−

√2)x5 − 2

√2x3 − 2

√3x+ 12 + 2

√6

x−√3−

√2

es:a)

√2−

√3 b)

√3 +

√2 c)

√3 + 1

d)√3− 2 e)

√2 + 1

5. Calcular el valor de m+n+ p sabiendo queel polinomio: 6x6+11x5−10x4+8x3+mx2+nx+ p es divisible entre: 3x3 + x2 + x+ 2.a) −4 b) 7 c) 5d) −1 e) −9

6. Del esquema de Ruffini:

A B C P

1 1 2 3

A D E 0

Determinar la suma de los coeficientes deldividendo.a) 1 b) 0 c) 3d) 2 e) −1

7. Hallar el residuo de la siguiente division:

x4 − (b+ 2)x3 + bx2 + x+ b2 + b

x− 1− b

a) 1 b) 2 c) −1d) −2 e) 0

8. Hallar el resto de la division:x3

(x+ 1)(x+ 2)a) 7x+ 5 b) 7x+ 2 c) 7x+ 6d) 6x− 1 e) 3x− 1

9. Hallar “n” si la division:

12x30 + 16x29 + 9x+ n

3x+ 4

es exacta.a) 12 b) 8 c) 10d) 6 e) 16

10. Hallar el resto en:

(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 4x)− 81

(x+ 4)(x − 5) + 15

a) 21 b) 27 c) 29d) 24 e) 25

11. En la division

x4 − 2√6x3 + 6x2 +

√6x− 12

x−√6

el coeficiente del termino lineal del cocientees:a) −

√6 b) 0 c) 1

d)√6 e) 6

12. Hallar el valor de mn si al dividir el polino-mio x4 + 2x2 + mx + n entre el polinomiox2 − 2x+ 3, resulta un cociente exacto.a) 6 b) 5 c) 3d) 4 e) 0

13. El coeficiente del termino lineal del cocienteque resulta al dividir: 6x3 − 19x2 +19x− 16entre 3x− 2 es:a) 1 b) 3 c) −5d) 4 e) −4

14. Calcular ab si el polinomio P (x) = x3+ax+bes divisible por (x− 1)2

a) 9 b) 6 c) 16

d) 12 e) 25

15. ¿Que valor debe asumir “m” para que la su-ma de coeficientes del cociente de la division:

2x4 − 5x3 + x2 + 3x+m

x− 2


sea igual al resto.a) −2 b) 2 c) 1d) −1 e) 0

16. Indicar la suma de coeficientes del cocientey residuo al dividir:

x4 − x3 − 13x2 − 30x− 15

x2 + 3x+ 5

a) −9 b) 14 c) 10d) 13 e) 1

17. En la division

3x31 + n(x+ 2)

x− 1

determine el resto si se sabe que la suma decoeficientes del cociente es 120.a) 24 b) 42 c) 48d) 54 e) 84

18. Hallar a+ b+ c+ d+ e+ f , si en la division

21x6 + ax4 + bx5 + cx3 + dx2 + ex+ f

3x3 + x2 − x− 2

el cociente tiene coeficientes que van dismi-nuyendo de 2 en 2 y un residuo igual a 3.a) −4 b) 2 c) −2d) 4 e) −3

19. Calcular el resto de la division:

(x− y)29 − (y − x)27

(x− y + 1)2 + 2(y − x)

a) 0 b) 2x− 2y c) 2xd) −2y e) x− y

20. En la division:

x5(x+ 3)5 + (x+ 1)(x+ 3) + 7

(x+ 1)(x+ 2)− 3

indicar el termino independiente del residuo.a) 4 b) 6 c) 8d) 12 e) 10

21. De la division

xn−2 − (n+ 3)x+ 4n− 1

x− 1

la suma del termino independiente del co-ciente y el residuo vale 105, ¿De que gradoes el cociente?a) 25 b) 52 c) 32d) 55 e) 60

22. ¿Cual es el resto que se obtiene al dividir2x119 + 1 entre x2 − x+ 1?a) 3− x b) 2x− 3 c) 3 + 2x2

d) 2x2 − 3 e) 3− 2x

23. Si el cociente notablex8 − 1

xa + 1tiene 4

terminos, entonces el valor de la suma:a9 + a8 + a7 + · · ·+ a2 + a+ 3a) 1024 b) −1024 c) 1025d) −1025 e) 1026

24. ¿Que lugar ocupa en el desarrollo del C.N.

x160 − y280

x4 − y7

el termino con grado absoluto igual a 252?a) 33 b) 31 c) 32d) 30 e) 34

25. Hallar el numero de termino del C.N.

x3n+9 + y6n+11

xn−1 + y2n−3

a) 9 b) 6 c) 8d) 7 e) 4

26. Determinar el valor de “m” en el C.N.

x5m−1 − y12m−5

xm−5 − ym−1

a) 10 b) 8 c) 7

d) 6 e) 12

27. Sean:A = x20n + x19n + · · ·+ x2n + xn + 1B = x20n − x19n + · · ·+ x2n − xn + 1Hallar el numero de terminos de AB.a) 20 b) 42n c) 40d) 42 e) 21

28. Sabiendo que xay24 es el termino central

del desarrollo del cociente notablex75 − yb

xc − y2.

Calcular: a+ b+ c.a) 10 b) 40 c) 89d) 59 e) 99

29. Si xm−8 entre x−2 es una division notableexacta, calcule el valor numerico de:

m39 −m38 +m37 − · · · −m2 +m− 1

m35 −m30 +m25 − · · · −m10 +m5 − 1

a) 61 b) 121 c) 216d) 125 e) 142

Capıtulo 6:

FACTORIZACION

Objetivos

z Expresar un polinomio como un producto indicado de otros polinomios de menor grado.

z Adquirir habilidades en el manejo de los diferentes casos de factorizacion.

z Identificar los diferentes casos de factorizacion para aplicarlo en la solucion de ejercicios.

6.1. Introduccion

Ası como los numeros naturales pueden ser expresados como producto de dos o mas numeros

primos, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o mas factores primos.

Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la

expresion es irreducible, solo puede expresarse como el producto del numero 1 por la expresion original.

La factorizacion es un procedimiento inverso la multiplicacion algebraica, y es de suma importancia

puesto que permite simplificar fracciones algebraicas, resolver ciertas clases de ecuaciones e inecua-

ciones, tambien nos permite analizar el dominio de una funcion y en general, dentro del proceso de

solucion de problemas de diferentes temas de la matematica, ayuda sistematicamente, a encontrar la

solucion buscada.

La factorizacion es una operacion que consiste: Dado un polinomio P (x) hallar dos o mas polinomios

de menor grado llamados factores de P (x) dados que multiplicados entre sı nos de P (x).

6.2. Definicion

Es el proceso que tiene por objeto transformar una expresion algebraica o trascendente, en una

multiplicacion de potencias de sus factores primos de la misma especie.

Hallar el producto y descomponer en factores primos son dos operaciones inversas, es decir:

Polinomio sobre un Campo:

125


factorizacion

multiplicacion

(x+ 3)(x+ 2) = x2 + 5x+ 6

Figura 6.1: Factorizacion

Se dice que un polinomio esta definido sobre un campo numerico, cuando los coeficientes de dicho poli-

nomio pertenecen al conjunto numerico asociado a dicho campo. Se consideran tres Campos: Racional

(Q), Real (R) y Complejo (C).

Ejemplo 6.2.1.

P (x) = 2x2 − x+ 6 esta definido en Q, R y C.

Q(x) =√5x3 − 5x+

√7 esta definido en R y C pero no en Q.

T (x) = x2 + 7ix− 9 esta definido solo en C

Definicion 6.2.1. Un factor es una expresion no constante que forma parte de una multiplicacion

que conduce a una cierta expresion dada.

Definicion 6.2.2. Un factor primo es aquel factor que no puede descomponerse mas, es decir no acepta

transformacion o multiplicacion indicada de dos o mas polinomios no constantes, pertenecientes a dicho

campo numerico. Todo factor primo presenta como unico divisores a el mismo y a la unidad.

Ejemplo 6.2.2. Factorizar: P (x) = x4 − 4

Solucion:

De acuerdo al campo numerico se tiene que:

x4 − 4 = (x2 + 2)(x2 − 2) 2 factores primos cuadraticos en Q.

x4 − 4 = (x2 + 2)(x +√2)(x−

√2) 3 factores primos, uno cuadratico y dos lineales en R.

x4 − 4 = (x+√2i)(x−

√2i)(x+

√2)(x−

√2) 4 factores primos lineales en C.

Nota 6.2.1.

La multiplicacion de los factores debe dar la expresion dada.

Un polinomio siempre se factorizara en el campo de los numeros racionales salvo se indique lo

contrario.


6.3. Criterios de factorizacion

Existen varios criterios de factorizacion de un polinomio, la utilizacion de los mismos esta en

relacion de la naturaleza del polinomio.

6.3.1. Criterio del factor comun

Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro terminos o mas. No aplica para mono-

mios.

El factor comun es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los terminos. Puede

ser un numero, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresion algebraica (encerrada

en parentesis) o combinaciones de todo lo anterior.

De los coeficientes de los terminos, se extrae el MCD (Maximo Comun Divisor) de ellos.

De las letras o expresiones en parentesis repetidas, se extrae la de menor exponente.

Se extrae el factor comun de cada una de las expresiones, el otro factor se obtiene dividiendo

cada uno de los terminos del polinomio entre el factor comun extraıdo.

Ejemplo 6.3.1.

3x+ 3y = 3(x+ y)

10a− 15b = 5(2a− 3b)

mp+mq −mr = m(p+ q − r)

−7x3 + 8x2 − 4x+ 11 = −(7x3 − 8x2 + 4x− 11)

x(a+ 1)− t(a+ 1) + 5(a+ 1) = (a+ 1)(x− t+ 5)

12c3d4f2 − 18c2df2 + 30c5d3f2h = 6c2df2(2cd3 − 3 + 5c3d2h)

6.3.2. Criterio del factor comun por agrupacion de terminos

Se forman grupos de igual numero de terminos, buscando que exista alguna familiaridad entre

los terminos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes).

La agrupacion se hace colocando parentesis.

Deben cambiarse los signos de los terminos encerrados en el parentesis si este queda precedido

por signo negativo.


Se extrae factor comun de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresion

encerrada en parentesis).

Por ultimo, se extrae factor comun de toda la expresion (es decir, nuevamente se aplica el criterio

anterior; en esta ocasion, el factor comun es una expresion encerrada en parentesis).

Ejemplo 6.3.2. Factorizar: px+mx+ py +my

Notese que no existe factor comun en este polinomio de cuatro terminos.

Entonces, formamos grupos de dos terminos: (px+mx) + (py +my)

Extraemos factor comun de cada grupo formado: x(p +m) + y(p+m)

Por ultimo, extraemos factor comun de toda la expresion: (p+m)(x+ y)

6.3.3. Criterio de las identidades

En este criterio debe tenerse en cuenta los diferentes casos vistos en productos notables.

Ejemplo 6.3.3. Factorizar: x4 + x2y2 + y4

Para factorizar este polinomio se debe usar la identidad de Argand:

x4 + x2y2 + y4 = (x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2)

6.3.4. Criterio de las aspas

Se presentan los siguientes casos

Aspa simple

Se utiliza para factorizar expresiones de la forma:

P (x) = Ax2n +Bxn + C

P (x, y) = Ax2n +Bxnym + Cy2m

o cualquier otra expresion transformable a una de las formas anteriores.

El metodo consiste en descomponer los terminos extremos, de tal manera que al multiplicar en

aspa y sumar los resultados, resulte el termino central, luego los factores se toman sumando en forma

horizontal.

Donde:

Bxnym = A2C1xnym +A1C2x

nym

luego la factorizacion del polinomio estarıa dada por:

P (x, y) = (A1xn + C1y

m)(A2xn + C2y

m)


P (x, y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m

A1xn

A2xn

C1ym

C2ym

=

=

A2C1xnym

A1C2xnym

Bxnym

Figura 6.2: Aspa simple

Ejemplo 6.3.4. Factorizar: P (x) = 6x2 − 5x− 6

P (x) = 6x2 − 5x − 6

3x

2x

2

−3

=

=

4x

−9x

−5x

Luego P (x) = 6x2 − 5x− 6 = (3x+ 2)(2x − 3)

Aspa doble


P (x, y) = Ax2n +Bxnym + Cy2m +Dxn +Eym + F

o cualquier otra expresion transformable a esta.

El metodo consiste en ordenar el polinomio en la forma establecida, si en caso falte uno o mas

terminos, estos se completaran con ceros. Luego formamos tres aspas como en el esquema (6.3) de la

siguiente manera:

Un aspa con los terminos: Ax2n, Bxnym y Cy2m, obteniendose que:

Bxnym = A1C2xnym +A2C1x

nym

Un aspa con los terminos: Cy2m, Eym y F obteniendose que:

Eym = C1F2ym + C2F1y

m

Un aspa con los terminos: Ax2n, Dxn y F obteniendose que:

Dxn = A1F2xn +A2F1x

n


P (x, y) = (A1xn + C1y

m + F1)(A2xn + C2y

m + F2)


Ax2n + Bxnym + Cy2m + Dxn + Eym + F

A1xn

A2xn

C1ym

C2ym

F1

F2

Figura 6.3: Aspa doble

Aspa doble especial


P (x) = Ax4n +Bx3n + Cx2n +Dxn + E

P (x, y) = Ax4n +Bx3nym + Cx2ny2m +Dxny3m + Ey4m

o cualquier otra expresion transformable a una de las formas anteriores.

El metodo consiste en ordenar el polinomio en la forma establecida, si en caso falte uno o mas

terminos, estos se completaran con ceros. Luego formamos tres aspas como en el esquema (6.4) de la

siguiente manera:

Un aspa con los terminos: Ax4n y Ey4m, obteniendose que:

Fx2ny2m = A1E2x2ny2m +A2E1x

2ny2m

luego obtenemos el termino:

Gx2ny2m = Cx2ny2m − Fx2ny2m

Un aspa con los terminos: Ax4n, Bx3nym y Gx2ny2m obteniendose que:

Bx3nym = A1G2x3nym +A2G1x

3nym

Un aspa con los terminos: Gx2ny2m, Dxny3m y Ey4m obteniendose que:

Dxny3m = G1E2xny3m +G2E1x

ny3m


P (x, y) = (A1x2n +G1x

nym + E1y2m)(A2x

2n +G2xnym + E2y

2m)


Ax4n + Bx3nym + Cx2ny2m + Dxny3m + Ey4m

A1x2n

A2x2n

G1xnym

G2xnym

E1y2m

E2y2m

A2E1x2ny2m

A1E2x2ny2m

Fx2ny2m

Gx2ny2m

Figura 6.4: Aspa doble especial

Aspa triple

6.3.5. Criterio de los divisores binomios

Este criterio se utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado, siempre y cuando admita por

lo menos un factor lineal de la forma ax± b.

Este metodo se fundamenta en el siguiente principio: “Si un polinomio se anula para x = ±a; uno

de sus factores sera (x∓ a)”.

Ejemplo 6.3.5. En el polinomio: P (x) = x3 − 3x − 2, observamos que P (2) = 0, entonces diremos

que 2 es una raiz de P (x).

Para determinar los posibles ceros o raıces racionales (PCR) de un polinomio P (x) de coeficientes

enteros

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an ; a0 · an 6= 0

se utilizara el siguiente criterio:

PCR = ±�

Divisores de |an|Divisores de |a0|

�

6.3.6. Criterio de los artificios

Son metodos practicos que se utilizan para factorizar expresiones particulares, estructurando los

terminos de la expresion de modo que sea factorizable por alguno de los metodos conocidos. Ası tene-

mos:

z Cambio de variable

Consiste en transformar, equivalentemente, mediante un cambio adecuado, un problema opera-

tivo en otro mas simplificado.

z Sumas y restas

Consiste en sumar y restar simultaneamente una misma expresion o descomponer algun termino

del polinomio, de tal modo que una expresion aparentemente no factorizable se transforme en


otra que se factorice.

En particular:

• Si la expresion es un polinomio de grado par, se tratara de formar un trinomio cuadrado

perfecto para luego llevarlo a una diferencia de cuadrados.

• Si la expresion es un polinomio de grado impar, se tratara de formar una suma o diferencia

de cubos.

z Polinomios recıprocos

Son aquellos polinomios que tienen por caracterıstica: si una raız cualquiera es α la otra necesa-

riamente es α−1 con α 6= 0, y tienen la siguiente forma:

P1(x) = ax+ a

P2(x) = ax2 + bx+ a

P3(x) = ax3 + bx2 + bx+ a

P4(x) = ax4 + bx3 + cx2 + bx+ a...

Nota 6.3.1.

• Todo polinomio de grado impar se anula para 1 o −1.

• Sea P (x) un polinomio de grado impar entonces (x− 1) o (x+ 1) sera uno de sus factores.


CAP 05: Factorizacion 6.1.

1. Dado el polinomio factorizadoP (x, y) = 3xy2(x2 + 1)2(xy + 2)3(x2 + xy +y2). Indicar:

El numero de factores primos.

El numero de factores primos lineales.

El numero de factores primos cuadrati-cos.

El numero de factores primos mono-mios.

El numero de factores primos bino-mios.

El numero de factores primos trino-mios.

a) 5, 3, 2, 2, 1, 2 b) 5, 2, 3, 2, 2, 1c) 4, 1, 3, 2, 1, 2 d) 4, 3, 1, 2, 2, 3e) 4, 2, 2, 3, 1, 1

2. Uno de los factores primos deP (x, y) = x2 + 2x+ 4y + 2y2 + 3xy es:a) x− y − 2 b) x+ y c) x− 2yd) x− y + 2 e) x+ y + 2

3. Al factorizarP (x) = (2x2 − 3x− 5)2 − (x2 − 3x− 4)2

se obtiene un factor de la forma (x + m)2.El valor de m es:a) 2 b) 3 c) 1d) −1 e) −2

4. Al factorizar P (x) = x3 − 4x2 + x + 6 seobtiene (x − m1)(x − m2)(x − m3). Hallarm1 +m2 +m3

a) 4 b) 2 c) 3d) 1 e) 5

5. Al factorizarF (x) = 1+ x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3), se obtie-ne que uno de los factores primos es de laforma (px2+qx+r). Entonces p2+q2+r2 es:a) 8 b) 10 c) 12d) 11 e) 14

6. Al factorizar E = x4+6x3+13x2+12x+4.La suma de los terminos independientes desus factores primos es:a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 1

7. La suma de los factores primos lineales de:F = x2(y−z)−y2(z−x)+z2(x+y)−2xyz es:a) x+ y b) x+ y − zc) 2y d) 2x

e) 2x+ 2y − 2z

8. Al factorizar a2n+1 − 1. Uno de los factores

primos es:a) a2n + 1 b) a2

n − 1 c) a2n+ 1

d) an − 1 e) a2n − 1

9. Uno de los factores primos binomios de laexpresion E = x4 + 2x3 − 4x2 + 8x− 32 es:a) x2 + 4 b) x2 + 2 c) x2 + 3d) x2 + 1 e) x2 + 5

10. Hallar la raız cuadrada de la expresion:K = (a2+ab+bc+ca)(bc+ca+ab+b2)(bc+ca+ ab+ c2)a) (a− b)(a− c)(b− c)b) (a+ b)(a+ c)(b − c)c) (a+ b)(a− c)(b+ c)d) (a+ b)(a+ c)(b + c)e) (a− b)(a− c)(b− c)

11. La expresion identica a:P (a) = 40 + (a− 1)(a− 3)(a+ 4)(a+ 6) es:a) (a2 + 3a+ 8)(a2 + 3a+ 14)b) (a2 +3a− 14)(a2 + 3a− 8)c) (a2 − 3a+ 14)(a2 − 3a− 8)d) (a2 − 3a− 8)(a2 +3a− 14)e) (a2 − 3a− 14)(a2 + 3a+ 8)

12. Dadas las expresiones M = 6x2 + x − 12y N = 10x2 + 13x − 3. El factor primocomun de M y N es:a) 5x− 1 b) 3x+ 2 c) 2x+ 5d) 3x− 4 e) 2x+ 3

13. Al factorizar: E = 2x2+xy−y2−3x+3y−2.Se obtiene como uno de sus factores primoslineales:a) 2x+y−1 b) x− y+ 2 c) 2x−y+1d) x+ y+ 2 e) 2x−y−1

14. El factor primo cuadratico que resulta al fac-torizar la expresion P (x) = 2x3−x2−x− 3es:a) x2+x+1 b) x2+x−1 c) 2x2−x+1d) x2−x−1 e) 2x2−x+1


15. Si P (x) = (x2 + 4x+ 2)(x2 + 4x+ 6) + 4 sefactoriza como m(x+2)n. Los valores de my n son respectivamente:a) m = 2, n = 3 b) m = 2, n = 4c) m = 3, n = 4 d) m = 1, n = 4e) m = 1, n = 3

16. El numero de factores primos lineales deP (x, y) = (x2 − y2)2 − [(x+ y)2]2 es:a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5

17. El valor numerico de uno de los factores pri-mos de E = 22n − 2n+1 − 3 para n = 2 es:a) 2 b) 9 c) 4d) 3 e) 5

18. La suma de los factores primos deF (x) = (x − 2)(x − 2 + p + q) + pq para

x = −p+ q

2es:

a) −2 b) 2 c) −4d) −5 e) 4

19. Factorizar : (x+y)x2+(x2+z2)xy+(x+y)z2

e indicar un factor primo.a) x2 + z2 b) x+ xy c) x2 + zd) x+ y e) x+ y + z

20. Dar el numero de factores primos de:P (x) = (3x+ 4)(3x − 1)(x− 1)(3x + 2) + 7a) 1 b) 5 c) 3d) 2 e) 4

21. Al factorizar: P (x) = x4−x3−6x2+4x+8.Se obtiene una expresion de la forma

(x+ a)(x+ b)(x+ c)n. Hallara+ b+ c

na) 0 b) 1/2 c) 5/2d) 1 e) 4

22. La suma de los coeficientes de un factor pri-mo de: 12x2 − 6xy − 14x+ 9y − 6, es:a) 0 b) 7 c) 4d) 2 e) 5

23. Hallar el F.P. repetido de:(x+ y)3 − (x+ y + z)z2 + z(x+ y)2

a) x+ y b) x+ y − z c) x+ y + zd) x− z e) x− y − z

24. Factorizar:(x+ y)4 − 2(y2 + z2)(x+ y)2 + (y2 − z2)2

y calcular la suma de sus factores primos.a) 4x+ 4y b) 4x+ 4y + 2zc) 4x− 4y d) 4x+ 4y + 4ze) 4x− 4z

25. Determinar el numero de F.P. cuadraticosque se obtiene al factorizar x10 + x8 + 1a) 0 b) 1 c) 4d) 2 e) 3

26. Hallar la suma de los F.P. de primer grado,del polinomio: (x+ 3)4 − x2(x+ 6)2 − 81a) x2 + x b) 2x+ 6 c) x2 + 6xd) 19x+ 6 e) 6x− 1

27. Determinar la suma de los terminos in-dependientes de los factores primos de:(x2 − 25)(x2 + 8x)− (8x+ 9)(25 − x2)a) 19 b) 50 c) 0d) 34 e) 9

28. Indicar el grado de uno de los factores pri-mos de: x21 + y21 + x10y10(xy + 1)a) 2 b) 6 c) 11d) 8 e) 16

29. Determinar el numero de factores primosde: P (x, y) = 2x3 + y3 − x2y − 2xy2

a) 3 b) 2 c) 4d) 1 e) 5

30. La suma de los terminos independientes desus factores primos de 12x3+16x2−7x−6 es:a) 1 b) 5 c) 3d) 2 e) 4

31. La suma de los coeficientes de un factor pri-mo de P (x, y) = 49x4 − 11x2y2 + 25y4 es:a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5

32. El numero de factores primos cuadraticosde (x+2)2(x+1)(x+3)−5x(x+4)−27 es:a) 1 b) 5 c) 3d) 4 e) 2

33. Factorizar 23n − 6 + 26n+1 y hallar el valornumerico de un factor primo, para n = 2/3.a) 1 b) 2 c) 5d) 3 e) 4



1. La suma de los terminos independientes delos F.P. de x14 +x12 +x10 + . . .+x2 +1, es:a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

2. Determinar el coeficiente que se obtiene alfactorizar (3x+ 2y + 3z)3 + (3x− 2y + 3z)3

a) 12 b) 45 c) 24d) 30 e) 18

3. Al factorizar 21x4−20x3+35x2−10x+4. Elresiduo de dividir el factor primo de mayorvalor numerico para x = 0, entre (x−1), es:a) 0 b) 2 c) 5d) 4 e) 7

4. El numero de factores primos de m32 − n32

es:a) 6 b) 12 c) 4d) 8 e) 2

5. Determinar “k”, si el polinomio:x4 − (5− k2)x3 + k2x+ (3k + 1)x+ 2x2 + 7es factorizable :a) 1 b) −5 c) −2

d) 2 e) 7

6. Hallar la raız cuadrada de:P (x) = (x+ 3)(x− 3)(x + 2)(x− 4) + 9a) x− 9 b) x2−x−9 c) x2−x+9d) x2 − 9 e) x− 2

7. Factorizar P (x) = x3 − 10x2 + 31x − 30 yhallar el mayor valor numerico de los facto-res primos cuando se reemplaza x por −2.a) −7 b) 5 c) −5d) 0 e) −4

8. Hallar la diferencia entre los F.P. de:x(x− a) + y(y − a) + 2xya) 2x b) 2y c) ad) 0 e) −2x

9. La suma de coeficientes de un F.P. de:(x2 + 3x+ 2)(x2 + 7x+ 12) + x(x+ 5) es:a) 14 b) 8 c) 10d) 12 e) 6

10. Luego de factorizar:P (x, y) = x2y2 + 2x2y + xy2 + 2xy indique

el valor de verdad o falsedad de cada una delas proposiciones:

Un factor primo es: (x+ 1) o (y + 2)

La suma de coeficientes de un factorprimo es 3

xy es un factor primo de P (x, y)

xy es un factor primo cuadratico

a) VVVV b) VVVF c) FFFVd) VVFF e) FFFF

11. Indique el numero de factores primoscuadraticos de x8y+x7+2x6y+2x5+x4y+x3

a) 1 b) 2 c) 0d) 3 e) 4

12. Uno de los factores primos dea2b3+a4b−ab4−b2a3−ab2−a3+b3+ba2 es:a) ab+ 1 b) a+ b c) abd) ab− 2 e) a2 + b2

13. Determinar el numero de factores primoscuadraticos de: P (x) = x5 + x+ 1a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

14. Calcular el numero de factores primoscuadraticos al factorizarP (x) = x4 + 13x3 + 45x2 + 20x+ 2.a) 2 b) 0 c) 1d) 3 e) 4

15. Determinar la suma de los factores primosde: x3 − 2x2 − 15x−√

a x2 + 2√a x+15

√a

a) 3x− 2−√a b) 3x− 2 +

√a

c) 3x+ 3−√a d) 3x+ 2−√

ae) 3x+ 2 +

√a

16. Senalar el numero de factores primos deP (x, y) = xy4 − 5x2y3 + 4x3y2 − 20x4ya) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

17. Al factorizar: x4 + 2x3 − x − 6 obtenemos:a) (x2 − x+ 3)(x2 − x− 2)b) (x2 − x+ 3)(x2 + x+ 2)c) (x2 + x+ 3)(x2 − x− 2)d) (x2 + x− 3)(x2 − x+ 2)e) (x2 + x− 3)(x2 + x+ 2)


18. Hallar el valor numerico de uno de los fac-tores primos para x = y = 1 de:P (x, y) = 1+2x2−6x2y2−4x3y−y4−4xy3

a) 1 b) 7 c) 6d) 4 e) 5

19. Hallar el valor numerico de uno de los fac-tores primos para x = 3 de:P (x) = x4 + 4x5 − (x6 − 1)2

a) 29 b) 37 c) 9d) 19 e) 31

20. Un factor primo deac+ ad+ acd− bc− bd− bcd es:a) a+ c b) a+ d c) b+ cd) a− b e) c− d

21. Indicar el numero de factores primos de:a3b4c2 + a2b5c2 + a3b3c3 + a2b4c3.a) 2 b) 5 c) 3d) 9 e) 14

22. Dar el numero de factores primos cuadrati-cos en la expresion: a3b3 + a2b2c + a2b2d +a2b2e+ abcd+ abce+ abde+ cde.a) 1 b) 2 c) 5d) 4 e) 3

23. Factorizar E = a3+9b3+3(a2b+ab2) y darla suma de coeficientes de un factor primo.a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 16

24. Senalar la suma de los factores primos de:(x2 + y2 + x− y)(x2 + y2 − x+ y)− 4x2y2.a) 3x+ y b) x+ 3y c) x− 2yd) x+ y +2 e) x− y + 1

25. Indicar un factor primo de:[(x− y + z)(x− y − z) + 1]2 − 4(x− y)2.a) x+ y + z + 1 b) x− y + z + 2c) x− y + z d) x− y + z + 1e) z + y − x+ 2

26. Factorizar P (x) = x5 + x4 + x2 + x + 2 eindicar el valor de verdad o falsedad de unade las proposiciones:

Un factor primo es x3 − x + 2 ox2 + x+ 2.

Existen dos factores primos.

La suma de coeficientes de un factorprimo monico es 1.

a) VVV b) VVF c) VFFd) FFV e) FFF

27. Indicar el numero de factores primos de:P (x) = x12 + x8 + x4.a) 10 b) 3 c) 5d) 9 e) 4

28. Indique la suma de los factores primos de:P (x, y) = 8x3 − y3 + 4x2y − 2xy2 − 2x+ y.a) 6x− y b) x+ 6y c) 6x+ yd) 2x− 3y e) 5x− 2

29. Despues de factorizarP (x) = (x− 2)2(x2 − 4x+ 6)− 15 senale elfactor primo que tiene mayor suma de coe-ficientes.a) x2 − 4x+ 9 b) x2 − 4x+ 1c) x2 − 4x+ 3 d) x2 − 4x− 7e) x2 − 4x+ 4

30. Indicar un factor primo de:P (x, y) = (x+ 1)(x+ 4) + 9y − 9y2.a) x+ 2y + 1 b) x− 3y − 5c) x+ 4y − 6 d) x+ 3y + 1e) 2x+ 3y + 5

31. Luego de factorizarP (x) = x6−9x4+x3−21x2−12, el numerode factores primos es:a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

32. Factorice 4(x2+y4+z6)+17(y2+z3)x+8y2z3

y senale la suma de coeficientes de un factorprimo.a) 7 b) −1 c) 1d) −7 e) 9

33. Factorizar P (x) = x4+5x3+13x2+17x+12e indicar un factor primo.a) x2 + 3x− 4 b) x2 + 2x+ 2c) x2 + 3x+ 4 d) x2 + 2x+ 4e) x2 + 3x+ 3

34. La suma de los coeficientes de un factor pri-mo de x3 − 3xy + y3 + 1 es:a) 3 b) 2 c) 1d) 5 e) 4



1. El factor primo repetido de la expresion(x2 + 1) + (x2 + 2) + (x2 + 3) + . . .+ (x2 +(4x+ 1)) una vez factorizado es:a) x2 + 1 b) x+ 1 c) x− 1d) x− 2 e) x+ 2

2. El factor primo que no corresponde a la ex-presion P (x, y, z) = x6y+x4z3−x6z+y6z−x4y2z − x2y5 − y4z3 + x2y4z es:a) x2 + y2 b) x+ yc) x2 − yz − z2 d) x− y

e) y + z

3. Despues de factorizarP (x, y, z, w) = (x2 + y2 + z2 −w2 − 2xy)2 −4z2(x − y)2 el factor primo que no corres-ponde a la expresion es:a) x− y + z − w b) x− y + z +wc) x+ y − z − w d) x− y − z +we) x− y − z − w

4. Despues de factorizar en 2 factores primos,la expresion P (x) = x2n+1 − xn − x + 1,el valor numerico del factor primo de ma-yor grado para x = 2 es 257. El valor de n es:a) 7 b) 6 c) 8d) 9 e) 10

5. Indicar el numero de factores primos de:x4y2z7 + xy2z7 + 3x3y2z7 + 3x2y2z7

a) 5 b) 2 c) 3d) 4 e) 1

6. Indicar el numero de factores primos de:P (x) = (x2 + x4)2 + (x3 + x5)2

a) 3 b) 2 c) 5d) 6 e) 8

7. Al factorizar la siguiente expresion:P (x) = 3ax4 + bx3 + cx2 + (3a− 1)x+ aobtenemos 2 factores primos que difieren en2 unidades, calcular (a+ b+ c).a) 39 b) 32 c) 34d) 33 e) 31

8. Indique la suma de coeficientes de un factorprimo de:30pa2x6+18a2mpx5+45a2mx6+27a2m2x5

a) 6 b) 4 c) 8d) 7 e) 10

9. Hallar la suma de los factores primos de:E = b2 + c2 − a2 − d2 + 2ad+ 2bca) 2(b+ c) b) 2(a+ c) c) 2(a+ b)d) 2(c+ d) e) 0

10. Despues de factorizar P (x, y) = 27x3 − 8y3,la suma de coeficientes del factor primo tri-nomio es:a) 10 b) 5 c) 20d) 19 e) 0

11. Si x2 + mx + 9 es un trinomio cuadradoperfecto (m > 0), senale la suma de termi-nos cuadraticos de los factores primos en:m(a4b4 + c4) + 13a2b2c2

a) 5a2 b) 5c2 c) 5b2

d) 5a2b2 e) 2a2b2

12. Proporcione la suma de factores primos de:(a2 − c2 + b2 + 2ab+ 1)2 − 4(a+ b)2.a) 2(a+ b) b) 2(b+ c)c) 2(a+ b− c) d) 4(b+ c)e) 4(a+ b)

13. En cuantos factores primos se descompone:F (a, b) = 64a7b7 − ab13

a) 3 b) 12 c) 6d) 10 e) 14

14. Cuantos factores primos lineales tiene la ex-presion: (x+ 2)4 + (x+ 5)2 − 6(x+ 2)− 9a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4

15. Cual es el menor termino independiente, enuno de los factores primos de:P (x) = (x2 − 5)x2 + 4a) 1 b) −3 c) −4d) −2 e) 2

16. Indique un factor primo de:P (x) = 2(x+21)2+(x+20)2− (x+19)2−1a) x+ 19 b) x+ 20 c) x+ 21d) x− 22 e) x− 23

17. Senalar uno de los factores primos de:P (x) = (x2 + 7x+ 5)2 + 3x2 + 21x + 5a) x+ 2 b) x+ 5c) x2 + 2 d) x2 + 7x+ 3e) a, b y d


18. Senalar un factor primo de:E(x, y) = 12x2−7xy−10y2+59y−15x−63a) 3x+ 2y + 9 b) 4x+ 5y − 7c) 4x− 5y + 7 d) 3x− 2y − 9e) todos

19. Factorizar:M = 6x2 − 20y2− 14z2 +7xy+38yz− 17xze indique la suma de coeficientes de un fac-tor primo.a) 1 b) 8 c) 14d) 6 e) 4

20. Dado el polinomio:P (x) = c(c− 1)x4 +(2c2 − c+1)x3 +(3c2 −2)x2+(2c2 + c+1)x+ c(c+1). Dar la sumade coeficientes de los terminos lineales desus factores primos.a) 5c2 b) 3c c) 2c2

d) 2c e) −2c

21. Al factorizar: f(x) = 2x4+3x3−x2+7x−3se obtiene un factor primo de la forma:ax2 + bx− c. Calcular “a+ b+ c”.a) 2 b) 4 c) 3d) 5 e) 6

22. Sea el polinomio: P (x) = x4 − 3x2 − 6x− 8.Determinar el valor numerico de un factor

primo cuando x =1

2+

r

21

4a) 0 b) 4 c) 2d) 3 e) 1

23. Senalar el factor primo cuadratico de mayorsuma de coeficientes en:P (x) = x4 − 4x3 + 11x2 − 14x+ 10a) x2 + 3x+ 2 b) x2 − 4x− 2c) x2 − 2x+ 5 d) x2 + 4x+ 2e) x2 − 2x+ 2

24. Factorizar M(x) = 2x4 + 5x3 − x2 − 5x+ 2y senale un factor primo.a) x+ 2 b) 2x+ 1c) x− 1 d) x2 + x+ 1

e) x2 − x+ 1

25. Factorizar:P (x) = x4 +m4 − 4xm(x2 +m2) + 5x2m2

e indicar la suma de sus factores primos.a) (x+m)2 b) (x+m)2

c) 2(x+m)2 d) 2(x−m)2

e) 3(x+m)2

26. Indicar el numero de factores primos linea-les en: P (x) = x6 + 7x5 + 15x4 + 11x3 −8x2 − 18x− 8a) 0 b) 3 c) 2d) 1 e) 4

27. Senalar un factor primo de:P (x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + 97x2 + 41x+ 6a) x− 1 b) x− 2 c) 3x− 1d) 3x2+7x+2 e) 2x+ 1

28. Factorizar: M(x) = 81x7 + 4x3 e indicar elnumero de factores primos lineales.a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) 5

29. Luego de factorizar: P (x, y) = x5+x4y+y5

senale un termino de un factor primo.a) −xy2 b) x3y2 c) x2y3

d) −x3y3 e) x4y

30. Senale la suma de coeficientes de un factorprimo de: P (x, y) = x13+2x8−x7+2x2+4a) 8 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

31. Factorizar y dar la suma de factores primoslineales de: E(x, y) = x3y2 − x3z2 + y3z2 −x2y3 + x2z3 − y2z3

a) x+ y b) 2(x− z)c) 2(x+ z) d) 2(x+ y + z)e) 2(x− y)

32. Indique el numero de factores primos de:P (x) = x20(x27 + x20 + 1) + x7(x20 + 1) + 1a) 5 b) 6 c) 7d) 9 e) 8

33. Cual no es un factor primo de: P (a, b, c) =a5bc3+a3b5c+ab3c5−a5b3c−a3bc5−ab5c3

a) c+ b b) c− bc) a+ b+ c d) ae) a− b

34. En 8x2 − Mx − 15, hallar M de modo quesus factores primos sumen algebraicamente9x− 2a) −37 b) −35 c) 5d) 37 e) 24



1. Factorizar: 7xn−1 − 4xn−3 + 3xn−2, conn ≥ 3 ∧ n ∈ N y senalar la suma decoeficientes de uno de los factores primos.a) 6 b) 2 c) 8d) 12 e) 4

2. Senale el termino independiente de un F.P.de: xyz3+8yz2− 8y2z3+x2yz+8xy−x2−8xy2z − xz2

a) 3 b) 4 c) 2d) −2 e) −1

3. Factorice: (a − b)2(c − d)2 + 2ab(c − d)2 +2cd(a2 + b2) e indique un factor primoa) a− b b) a+ b c) a2 + b2

d) c− d e) c2 − d2

4. Factorice: P (x) = (x− 3)(x− 2)(x− 1)x− 3e indique el factor primo que posee menorvalor numerico para cualquier valor de x.a) x2 − 3x− 1 b) x2−3x+1

c) x2 − 3x− 3 d) x2−3x+3e) x2 + 3x− 1

5. Para que valor de n el siguiente trinomionx6 + 8

√n+ 9x3y + 25y2 es un cuadrado

perfectoa) 12 b) 13 c) 14d) 16 e) 15

6. Al factorizar: (x−5)(x−7)(x+6)(x+4)−504uno de los factores primos lineales es:a) x− 5 b) x+ 7 c) x+ 6d) x− 2 e) x+ 3

7. Factorice e indique el numero de factoresprimos lineales de: P (x, y, z) = x2y2z2 +x2yz + xy2z + xyz2 + xy + xz + yz + 1.a) 4 b) 1 c) 2d) 3 e) 0

8. Factorice e indique el numero de factoresprimos cuadraticos de: P (x, y) = x4y4 +x3y3 + x3y2 + x2y + x2y3 + xy2 + xy + 1.a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

9. Factorice e indique el numero de factoresprimos lineales de: P (x, y, z) = x2y2z +

x3y2z + xyz + x2yz + xy + x2y + x+ 1.a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4

10. Hallar la suma de los factores primos de:[(x− y + z)(x− y − z) + 1]2 − 4(x− y)2.a) x+ y b) 4x+ 4y c) x− yd) 4x− 4y e) 2x+ y

11. Luego de factorizarE(x, y, z) = (x+ y)2 + (x− z)2 − 5(y + z)2

indique la suma de los cuadrados de los coe-ficientes de un F.P.a) 49 b) 6 c) 7d) 4 e) 27

12. Senale el termino de mayor grado de un fac-tor primo del polinomio P (x) = x7 − 2x5 +3x4 − 3x2 + 3x− 1a) x2 b) x6 c) x4

d) x5 e) x3

13. Indicar el valor de verdad de cada una delas proposiciones con respecto al polinomio:P (x) = x5 − 5x4 − x3 + 16x2 − 11x+ 2.

Un factor primo es cubico de terminoindependiente 2.

−5x es un termino de un factor primo.

−3x es un termino de un factor primocuadratico.

a) VVV b) VFF c) FVFd) VVF e) FVV

14. Factorice e indique el numero de factoresprimos de: (1 + x+ x2 + · · ·+ xn)2 − xn

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5

15. Factorize P (x) = x8−12x4+16 e indiqueel producto de los terminos de un factorprimo.a) 4x6 b) −4x6 c) x6

d) 8x6 e) 2x6

16. Indicar el numero de F.P. lineales de:P (x) = x7−20x5−2x4+64x3+40x2−128.a) 3 b) 4 c) 1d) 2 e) 5


17. Al factorizar el polinomio:P (x) = (1+x+x2 +x3+x4+x5)2−x5, unfactor primo es:a) (1 + x+ x2 + x3 + x4)b) (1− x+ x2 − x3 + x4)c) (1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6)d) (1− x+ x2 − x3 + x4 − x5 + x6)e) a y c

18. Hallar el numero de factores primos de:P (x) = 16x6 − 24x4 + 9x2 − 1.a) 4 b) 3 c) 2

d) 5 e) 6

19. La factorizacion de la suma de los factoresprimos de P (x) = 6x5 +9x4 +14x3 +4x2 −3x − 2 es de la forma a(2x + 1)(x + 1).Calcular el valor de “a”.a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5

20. Indicar un F.P. cuadratico en:P (x) = (2x+ 1)7 + 4x(x+ 1) + 2a) 4x2 + x+ 1 b) 4x2 + x+ 3c) x2 − 5x+ 1 d) 4x2 + 6x+ 3e) 2x2 + x+ 2

21. Proporcionar un factor primo de:P (x) = x10 + x2 + 1.a) x4 − x2 + 1 b) x6 − x4 + 1c) x5 + x+ 2 d) x8 − x− 1e) x2 − x− 1

22. Indicar el numero de factores primos de:P (x) = x5 + 3x4 − 17x3 − 27x2 + 52x+ 60a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

23. Hallar “a” para que el polinomio pue-da descomponerse en 2 factores primos:3x2 − (a+ 1)y2 − (a+ 4)y − (1 + a)a) 1 b) 3 c) 2d) −2 e) −4

24. La suma de los coeficientes de un F.P. de:(x+y−2z)3+(x+z−2y)3+(y+z−2x)3 es:a) 0 b) 1 c) −2

d) 2 e) −1

25. Uno de los F.P. cuadraticos de:P (x) = x5 + x3 + x2 + 2x+ 1, es:a) x2 − x− 1 b) x2 − x+ 1 c) x2 + 3d) x2 + x+ 1 e) x2 + 1

26. Al factorizar27x5 − 27x4 − 18x3 + 10x2 + 7x+ 1se obtiene una expresion de la forma(x− 1)α(γx+ 1)β . Hallar α · β · γ.a) 9 b) 18 c) 12d) 24 e) 8

27. Indicar el numero de FP. lineales de:(x+ y)3 − x3 − y3.a) 1 b) 2 c) 5d) 4 e) 3



30. Identifica un factor primo del siguiente po-linomio: P (x) = a2x2 − 8acx+ 16c2 − 25b2

a) x+ ac b) x− b+ acc) ax+ 4c− 5b d) ax−4c+5be) ax− c+ 5b

31. Si un F.P. de: P (m,n) = m3 + 3m2n +6mn2 + 18n3 es de la forma: am+ bn. Cal-cular:

√a+ b

a) 4 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

32. Hallar la suma de coeficientes de un factorprimo de: P (x) = x3(3x+1)3−(6x+1)2−15a) 1 b) 2 c) 5d) 3 e) 7

33. Hallar el numero de factores primos linealesde: P (x, y) = (x+2y)2−2xy(3x−4xy+6y)a) 4 b) 3 c) 0d) 1 e) 2

34. Hallar el numero de factores primos linea-les de: P (x, y) = (x+y)3+3xy(1−x−y)−1a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 0

35. Indicar el producto de los terminos de unfactor primo de: P (x) = x8+x6−x4−5x2+4a) 4x3 b) 8x3 c) 16x3

d) 2x3 e) 12x3



1. La suma de los factores primos dea+ b− a3 + ab2 + a2b− b3 es:a) a− b+ 2 b) a+ b+ 2 c) a+ bd) a− b− 1 e) a+ b+ 1

2. Senale el coeficiente del termino lineal deuno de los factores primos de:x2(x2 − 4x+ 11)− 14x+ 10a) 2 b) −1 c) 0d) 1 e) −2

3. Al factorizar el polinomio: (x4 + x3 + x2 +x+1)2−x4, uno de sus factores primos tienecomo suma de coeficientes a:a) 6 b) 4 c) 2d) 7 e) 8

4. Al factorizar: x4 + 6x3 + 13x2 + 12x+ 4, lasuma de los terminos independientes de susfactores primos es:a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 1

5. Dado el polinomio 135x3 + 3x2 − 11x + 1,hallar el mayor coeficiente principal de unode los factores irreductibles:a) 10 b) 27 c) 5d) 9 e) 3

6. Indique la diferencia de los factores primosde: x4 − 3x2y2 + y4

a) 42xy b) 2xy c) 24xyd) 18xy e) 9xy

7. Indicar la suma de los terminos lineales delos factores primos de:Q(x) = (x2 + 1)(x2 − 4)− x(1− x2) + 6a) 4x b) 2x c) xd) 0 e) 3x

8. Indicar la suma de los coeficientes de losterminos cuadraticos de los factores primosde:W (x) = 4(2x+1)(x+1)(2x+3)(x+2)−3a) 6 b) 20 c) 8

d) 10 e) 5

9. Factorizar: 4x4−29x2+25 e indicar el nume-ro de factores primos:a) 4 b) 2 c) 3d) 5 e) 1

10. Factorizar: x8−12x4+16 e indicar el nume-ro de factores primosa) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

11. Factorizar: 2x5 + x4 + x3 + x + 1, luego elfactor primo de mayor grado es:a) x3 − x2 + 1 b) 2x3 − x2 + 1c) x3 − x2 + 1 d) x3 + 1e) 2x3 + 3x+ 1

12. Factorizar: P (x, y, z) = x3y2z+x2y+x2yz+x+x2y2z+xy+xyz+1 e indicar el numerode factores primos lineales.a) 5 b) 2 c) 3d) 4 e) 1

13. Factorizar: a4 + 4b4 e indicar el numero defactores primos.a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

14. Factorice el polinomio: x5 − 3x3 − x2 + 1 eindique la suma de los terminos lineales delos factores primos.a) 0 b) x c) 2x

d) 1 e) x2

15. Factorice la siguiente expresion: x7+x5+1.El valor numerico de uno de los factoresprimos cuando x = 1, es:a) 6 b) 4 c) 5d) 3 e) 7

16. El numero de factores primos enx6 − 9x4 + x3 − 21x2 − 12, es:a) 3 b) 2 c) 4d) 1 e) 5

17. La suma de coeficientes de un factor primoen 16a4 + 31a2b4 + 25b8, es:a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

18. Al factorizar el polinomio: x4 − 7x3 +5x2 +7x−6, se obtiene una expresion de la forma(x+ a)(x+ b)(x+ c)2, hallar a+ b+ c.a) −2 b) −3 c) −6d) −5 e) −4


19. Al factorizar el polinomio x4 + y4 − 7x2y2,la suma de los factores primos es:a) 2x2 + 2y2 b) x2 + y2 c) x2 − y2

d) 2x2 − 2y2 e) y2 − x2

20. Uno de los factores primos de la expresion:(a+ b)(a+ c)− (b+ d)(c+ d), esa) a− b+ c+ d b) a+ b− c+ dc) a+ b+ c− d d) a+ b+ c+ de) a− b− c+ d

21. Al factorizar 22x+8 − 32(2x) + 1, se obtiene(ab+x − c)d, el valor de a+ b+ c+ d es:a) 4 b) 9 c) 6d) 8 e) 5

22. Hallar x + 6, siendo x el valor que anula alpolinomio: x2x − 2xx − 8a) −5 b) −2 c) 15d) −8 e) 8

23. El cuadrado del coeficiente del terminolineal de un factor primo en: 1+x(x+1)(x+2)(x+ 3), es:a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25

24. Un factor primo de (a+b+c)3−(a3+b3+c3),es:a) a+ c b) a2 + b2 + c2

c) a− b d) a− b− ce) a+ b+ c

25. La suma de coeficientes de los termi-nos lineales de los factores primos de:x4 − 7x3 + 5x2 + 7x− 6a) 0 b) 5 c) 1d) 3 e) 4

26. El coeficiente del termino cuadratico delfactor primo en: 10x3 − 9x2 + 17x− 6 es:a) 6 b) 2 c) 8d) 7 e) 9

27. La suma de todos los factores primos de laexpresion: x6 − x2 − 8x− 16 es:a) 2x b) 2x2 c) 3x+ 2d) 2x− 4 e) 2x3

28. Hallar la suma de los factores primoscuadraticos de: x14 + x4 + 1a) 2 b) 2x2 c) 2x2 + 2d) x2 e) 3

29. Dado el polinomio: P (x) = x5+5x4+7x3−x2 − 8x − 4, factorizar y hallar la suma delos factores primos repetitivos.a) 2x+ 3 b) x+ 2 c) x+ 1d) x− 1 e) 3x+ 2

30. La suma de coeficientes de un factor primode la expresion: a3 + 9b3 + 3(a2b+ ab2), es:a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 16

31. Luego de factorizar: x6 − x4 +2x2 − 1, indi-que la suma de los terminos independientesde los factores primos.a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) −1

32. Luego de factorizar el polinomio: x13+x8−x6−x2−2x−1, hallar la suma de coeficien-tes de los terminos lineales de los factoresprimos.a) 1 b) 2 c) −1d) −2 e) 0

33. El valor numerico de uno de los facto-res primos cuando x = 1, del polinomio:x5 + x3 + x2 + 2x+ 1, es:a) 1 b) −1 c) 2d) 0 e) −2

34. Senale un factor primo de la expresion:xn+2 + x3 − xn − x+ x2 − 1a) x+ 1 b) xn + x− 1 c) x2 + 1d) x e) xn + 1

35. Factorizar: (x− 1)6 − (x− 1)3 − 2 y senalarun factor primo.a) x+ 1 b) x2 + 3x− 1c) x2 − 3x− 3 d) x2 − 3x+ 3e) x2 − 2x+ 3

36. Factorice 28xy − 44y2 − 23y + 35x + 40 eindique la diferencia del doble del factor pri-mo binomio con el triple del factor trinomio.a) 41y − 4x− 14 b) 41y − 21x− 14c) 21x− 40y − 14 d) 15x− 21y + 16e) 15x− 21y − 16

37. Un factor primo del polinomio:x2 + (b+ c+ 2d)x+ d2 + (b+ c)d+ bc, es:a) x− 2c b) x+ 2d c) x+ b+ cd) x+ c e) x+ b+ d



1. Factorice: x5−2x4−x+2, y senale el factorprimo de menor termino independiente.a) x− 1 b) x− 2 c) x+ 1d) x+ 3 e) x− 3

2. Factorizar: 30x3 + 19x2 − 1 y dar un factorprimo.a) 3x− 1 b) 2x− 1 c) 5x+ 1d) x+ 5 e) 5x− 1

3. Factorizar x4 − 2(y2 + z2)x2 + (y2 − z2)2 ydar como respuesta la suma de sus factoresprimos.a) x+ y + z b) xyz c) 4xd) 3y e) 2z

4. Indique el numero de factores primos quecontiene el polinomio: x5+4x4−10x2−x+6a) 4 b) 2 c) 3

d) 1 e) 5

5. Al factorizar: (x+ 1)5 + 4(x+ 1)4 − 10x2 −21x− 5 la suma de los factores primos es:a) 5x+ 24 b) 5x+ 9 c) 3x+ 9d) 4x+ 9 e) 4x+ 24

6. Indicar un factor primo del polinomio:x2(3y − x)2 + 2xy2(3y − x)− 8y4

a) x+ 2y b) x− 4y c) x+ 4y

d) 2x+ y e) 2x− y

7. Indique la suma de los factores primoscuadraticos de: x8 − 5x6 − 7x4 + 41x2 − 30a) 3x2 − 3 b) 3x2 + 1 c) 3x2 + 3d) 3x2 − 1 e) 3x2 − 4

8. Factorizar:x2(x8 + 1) + x6 + (x2 − 1)(1 + x2 + x4)y dar como respuesta el numero de factoresprimos.a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

9. Factorizar: 2x4+x3−16x2+8x−1 y senalarla suma de coeficientes de un factor primo.a) 3 b) 2 c) 4d) 5 e) 1

10. Hallar la suma de los factores primos de:x4 + 5x3 − 7x2 − 29x+ 30a) 3x− 4 b) 3x+ 4 c) 4x− 5d) 4x+ 5 e) 4x+ 8

11. Factorizar: 4x5 − 29x3 − 24x2 + 7x + 6 ydar como respuesta el numero de factoresprimos.a) 1 b) 5 c) 3d) 7 e) 4

12. El numero de factores primos lineales dex6 + 7x5 + 15x4 + 11x3 − 8x2 − 18x− 8 es:a) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 3

13. Factorice: 3x3 + 11x2 + 28x+ 30 y de comorespuesta la suma de los termino indepen-dientes de sus factores primos.a) 5 b) 9 c) 11

d) 7 e) 3

14. Indicar la suma de coeficientes de un factorprimo de: x4−x2y+5yz2−x2z2−2y2−2z4

a) 0 b) 1 c) −1d) 2 e) 3

15. El numero de factores primos lineales dexyz3 − 3y2z3 −xz2 +3yz2 +x2yz− 3xy2z−x2 + 3xy es:a) 0 b) 2 c) 5d) 1 e) 3

16. La diferencia de sus factores primos de:x4 + (1 + x4)(1 + x2)2 es:a) x b) 2x c) 4xd) 5x e) 3x

17. Un factor primo de:2x2 + 1− (4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4) es:a) x2 − y2 + 1 b) x2 − 2xy − 1c) 2xy − 2y2 − 1 d) 1 + 2xy + 2y2

e) 1− 2xy − y2

18. Proporcionar la suma de coeficientes de unfactor primo de: P (x) = ax4 + (a2 − 1)x3 +(a2 + 1)x− ax2 − aa) 2a+ 12 b) a+ 20 c) 2a− 1d) a+ 16 e) 9a− 1

19. Factorizar: P (x) = 12abx2− 16a2x− 12ab+9b2x e indique la suma de coeficientes desus factores primos.a) 6b b) −3b c) 4bd) 3b− 4a e) 4a+ 3b


20. Indicar un factor primo binomio de:64a7b7 − ab13

a) 2a+ b2 b) 2a+ 1 c) b+ 1d) 2a− b e) a− b

21. Si x+1 es un factor primo de: x2+cx−2,y 2x − 1 factor primo de: dx2 + 5x − 4,entonces el valor de d/c es:a) 80 b) −6 c) 4d) 21 e) 1/2

22. La suma de coeficientes de un factor primo:6x4 − 31x3 + 25x2 − 13x+ 6a) 11 b) 8 c) 9d) 10 e) 7

23. El numero de factores primos lineales delpolinomio x4 − 8x2 − 12x− 5, es:a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5

24. Hallar la suma de factores primos de:4x4 + 3x2y2 + y4

a) 4x2 + 2y2 b) x2 + y2 c) 2x2

d) 2y2 e) x+ y

25. El numero de factores primos lineales delpolinomio (x+ y)4 + x4 + y4, es:a) 2 b) 3 c) 1d) 0 e) 4

26. Un factor primo de x7 + x5 − 1 es:a) x2 + x− 1 b) x2 − x+ 1c) x5 + x2 − 1 d) x2 − x− 1e) x2 + x+ 1

27. El mayor grado de un factor primo enx2y2 + xy3 + x2y, es:a) 1 b) 5 c) 3d) 4 e) 2

28. El numero de factores primos lineales dex6y + x4z3 − x6z + y6z − x4y2z − x2y5 −y4z3 + x2y4z es:a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

29. El numero de factores primos lineales deP (a, b, c, d) = bd(a2 + c2) + bc(a2 + d2) +ad(b2 + c2) + ac(b2 + d2) es:a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5

30. Indicar el numero de factores primos de:P (x) = x8 + 6x6 + 33x4 + 68x2 + 144a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

31. El numero de factores primos lineales dex3 + x2y + x3y − y2x− y3 − y3x es:a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

32. Determinar el numero de factores primoscuadraticos de:P (x, y) = (xy+1)4+(x2y2−1)2+(xy−1)4

a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 0

33. El numero de factores primos lineales deP (x, y) = (xy + 1)6 − (xy − 1)6 es:a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 0

34. El numero de factores primos lineales deP (x, y) = xy(xy+x+ y+2)+x+ y+1 es:a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 0

35. Indicar un factor primo de: (x−a)3(b−c)3+(x− b)3(c− a)3 + (x− c)3(a− b)3

a) x+ c b) x+ b c) a+ cd) x− a e) b+ c

36. Indicar un factor primo de: x3(z − y2) +y3(x− z2) + z3(y − x2) + xyz(xyz − 1)a) x− y2 b) x− z2 c) x+ y2

d) y − z2 e) z − x2

37. El numero de factores primos lineales de(x+ y + z)(xy + xz + yz)− xyz es:a) 2 b) 0 c) 1d) 4 e) 3

38. Indicar el numero de factores primos de:x8 + 4x10 − (x12 − 1)2

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 0

39. Indicar el numero de factores primos de:P (a, b) = a4bc− a2bc3 + a3b2c− a3c3

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

40. Senale la suma de coeficientes de un factorprimo de: x13 + 2x8 − x7 + 2x2 + 4a) 8 b) 6 c) 5d) 4 e) 3

Capıtulo 7:

MAXIMO COMUN DIVISOR.

MINIMO COMUN MULTIPLO.

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Objetivos

z Determinar el maximo comun divisor y mınimo comun multiplo de 2 o mas polinomios.

z Decomponer una fraccion algebraica en suma de fracciones parciales.

7.1. Maximo Comun Divisor MCD

El MCD de dos o mas expresiones algebraicas enteras, es otra expresion algebraica entera de mayor

coeficiente numerico y mayor grado contenida un numero exacto de veces en cada una de las expresiones

dadas.

7.2. Mınimo Comun Multiplo MCM

El MCM de dos o mas expresiones algebraicas enteras, es la menor expresion algebraica entera y

de menor coeficiente que contiene exactamente a cada una de las expresiones dadas.

Propiedades

Si dos o mas expresiones algebraicas son primas entre si, entonces, el MCM es el producto de

ellas y el MCD es la unidad.

Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras; entonces: MCD(A,B)×MCM(A,B) = A×B

145


Para calcular el MCD y el MCM de varias expresiones, se debe tener en cuenta el siguiente proce-

dimiento:

Se factorizan cada una de las expresiones dadas.

El MCD esta dado por el factor o producto de factores comunes afectados de sus menores

exponentes.

El MCM esta dado por el producto de factores comunes y no comunes afectados de sus mayores

exponentes.

7.3. Fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas racionales son expresiones de la formaP (x)

Q(x), donde P (x) y Q(x) son

polinomios, siendo Q(x) 6= 0.

Ejemplos:−2x+ 1

3x2 − 16,x3 − 5x+ 2

7x+ 1

Propiedad: Si a los terminos de una fraccion algebraica se les multiplica o divide por una misma

cantidad distinta de cero, se obtiene otra fraccion equivalente. Ası;

a

b=

ak

bk=

a÷ k

b÷ k, k 6= 0

Clasificacion:

1. Fraccion Propia: Cuando el grado del numerador es menor que el grado del denominador.

Ejemplos:4x+ 1

x2 − 5x+ 6,x2 − 5x+ 9

2x4 + 1

2. Fraccion Impropia: Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denomina-

dor.

Ejemplos:x2 − 5x+ 6

4x2 − 8x+ 1,

x4 + 1

x2 − 5x+ 9

3. Fracciones Homogeneas: Cuando tienen el mismo denominador.

Ejemplos:4x+ 1

x2 − 5x+ 6,x3 − 5x+ 9

x2 − 5x+ 6

4. Fracciones Heterogeneas: Cuando tienen diferente denominador.

Ejemplos:4x+ 1

2x4 + 1,

x+ 9

x2 − 15x− 7

5. Fraccion Irreductible: Cuando el numerador y denominador no tienen factores comunes.

Ejemplos:3x2 + 1

2x4 + 11,x5 + 9x− 1

x2 − 15x− 7


6. Fraccion Reductible: Cuando el numerador y denominador tienen factores comunes, luego pueden

ser simplificadas o reducidas, considerando como valores admisibles de la fraccion reducida a los

valores admisibles de la fraccion original.

Ejemplos:x2 − x− 6

x2 − 8x+ 15se puede reducir a

x+ 2

x− 5

7. Fracciones Equivalentes: Dos fracciones son equivalentes si toman los mismos valores numericos

para todos los valores admisibles de sus variables.

Ejemplo:x+ 1

x− 1,x2 + 2x+ 1

x2 − 1

Estas fracciones obtienen los mismos valores numericos, para todo valor real de x, con excepcion

de ±1.

8. Fraccion Compueta: Cuando el numerador y/o denominador poseen a su vez otras fracciones

algebraicas.

Ejemplos:6x+ 1

5x+4x+ 2

3x− 2

x2 − 1

9. Fraccion de valor constante: Cuando asume el mismo valor numerico para cualquier conjunto

de valores admisibles asignados a sus variables. Sia1x+ b1xy + c1y + d1a2x+ b2xy + c2y + d2

es una fraccion de valor

constante k, entonces se cumple que:a1a2

=b1b2

=c1c2

=d1d2

= k.

SAimplificacion de fracciones:

Para simplificar una fraccion se sigue los siguientes pasos:

a. Se factorizan el numerador y denominador de la fraccion.

b. Se eliminan los factores comunes hasta obtener una fraccion irreductible.

7.4. Fracciones Parciales

Para descomponer una fraccion racionalP (x)

Q(x)en sus fracciones parciales, se debe cumplir las

siguientes condiciones:

La fraccionP (x)

Q(x)debe ser propia e irreductible.

El denominador Q(x) debe ser factorizable.

Se presentan los siguientes casos:

Caso I: Cuando el denominador Q(x) es el producto de factores lineales distintos, es decir

Q(x) = (a1x+ b1)(a2x+ b2) . . . (akx+ bk)

en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1, A2, . . ., Ak tales que:

P (x)

Q(x)=

A1

a1x+ b1+

A2

a2x+ b2+ · · ·+ Ak

akx+ bk

Caso II: Cuando el denominador Q(x) es el producto de factores lineales, algunos de los cuales se

repiten, es decir Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (ax + b)k, entonces la

descomposicion en fracciones parciales contiene k terminos de la forma:

A1

ax+ b+

A2

(ax+ b)2+ · · ·+ Ak

(ax+ b)k

Caso III: Cuando el denominador Q(x) contiene factores cuadraticos irreductibles, ninguno de los

cuales se repite, es decir si Q(x) contiene los factores cuadraticos no repetido de la forma (a1x2+

b1x+c1)(a2x2+b2x+c2) . . . (akx

2+bkx+ck), donde ∆ = b2i −4aici < 0 para todo i = 1, 2, . . . , k,

entonces la descomposicion en fracciones parciales es de la forma:

A1x+B1

a1x2 + b1x+ c1+

A2x+B2

a2x2 + b2x+ c2+ · · · + Akx+Bk

akx2 + bkx+ ck

Caso IV: Cuando el denominador Q(x) es el producto de factores cuadraticos irreductibles, algunos

de los cuales se repiten, es decir Q(x) tiene un factor cuadratico repetido k veces de la forma

(ax2 + bx + c)k, entonces la descomposicion en fracciones parciales contiene k terminos de la

forma:A1x+B1

ax2 + bx+ c+

A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ · · · + Akx+Bk

(ax2 + bx+ c)k


CAP 06: MCD Y MCM - Fracciones algebraicas 7.1.

1. El MCM de los siguientes polinomios:P1 = x4 + x2y2 + y4

P2 = x2 + xy + y2

P3 = x6 − y6 es:a) x6 + y6 b) x6 − y6

c) x9 + y9 d) x9 − y9

e) x12 − y12

2. Hallar el MCD de:P1 = 2x4 + x3 + 3x2 + x+ 1P2 = 2x4 − x3 + 3x2 − x+ 1a) 2x2 − x+ 1 b) x2 + x+ 1c) 2x2 + x+ 1 d) 2x2 + 1e) x2 + 1

3. El MCM de dos polinomios A y B esx3 − x2 − 4x + 4 y su MCD es x2 + x − 2.Hallar el numero de factores primos de AB.a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

4. Si el MCD de P (x) = x4 − 9x2 + ax + by Q(x) = x4 + 2x3 − 7x2 + cx + d es(x− 2)(x− 3). Hallar el grado del MCM dedichos polinomios.a) 6 b) 4 c) 10d) 8 e) 2

5. El producto de P (x) por Q(x) es (x2 − 1)2

y el cociente de su MCM y su MCD esx2− 2x+1. Hallar el MCD de P (x) y Q(x).a) ±(x+ 2) b) ±(x− 1)c) ±(x− 2) d) ±(x+ 1)e) 1

6. Hallar el termino lineal del MCD de:A = x4 + x3 − 6x2 − 5x− 1B = x4 − 7x2 + 1a) x b) 3x c) 2xd) −3x e) −2x

7. Si MCM(A,B) es MCD(A,B) veces elMCM(C,D). Hallar E = (a + b + c)a+c,siendoA = (x+ 4)(x2 − ax+ 4x− 4a)B = 2x2 + 8x− bx− 4bC = 2x2 − 3x+ 2cx− 3cD = x2 + 2cx+ c2

a) 1/3 b) 3 c) 9d) 4 e) 1

8. Dados los monomios: A = 12xn−1ym+1;B = 16xn+1ym−1. Si MCM(A,B) = αxay4

y MCD(A,B) = βx5yb.

Calcular E =β + b+ n

α+ a−ma) 7/3 b) 26/7 c) 3/13d) 13/7 e) 1/2

9. Sabiendo que (MCM)(MCD) de dos poli-nomios es x5 − x3, y la suma de ambospolinomios es x3 + x. Determinar el MCMde dichos polinomios.a) x4 − x2 b) x2 c) x2 + 1d) x2 − 1 e) x4

10. El MCD de:A = x10 + x2 + x8 + x6 + 1 + x4

B = x10 + x2 − 1 es:a) x5 + x− 1 b) x2 + x− 1c) x4 + x2 + 1 d) x4 − x2 + 1e) x2 − x+ 1

11. Sean P (x) = Ax2 + 2x−B yQ(x) = Ax2 − 4x+BSi (x−1) es el MCD de P y Q. Hallar A+Ba) −2 b) 4 c) 0d) 2 e) −1

12. El MCD de los polinomios:A = 2x3 − 11x2 + 10x+ 8B = 2x3 + x2 − 8x− 4C = 6ax2 + 11ax+ 4aa) 2x− 1 b) x+ 1 c) x+ 2d) x− 1 e) 2x+ 1

13. Cuantos factores primos de segundo gradoposee el MCM de P = x4 + x2 + 1 yQ = x4 + 2x3 + x2 − 1a) 2 b) 1 c) 3d) 5 e) 4

14. El producto de dos expresiones es (x3−1)2 yel cociente de su MCM y su MCD es (x−1)2.Determinar el MCDa) x2+x+1 b) x− 1 c) x2 −x+1d) x+ 1 e) x2 − 1

15. Sean A = 2x4 − x3 − 3x2 + 3x− 9B = 10x3 − 9x2 + 17x− 6El resto de dividir el MCD de A y B entre


(x+ 1) es:a) 3 b) −3 c) −6d) 6 e) 8

16. El MCD de P (x) = 8x3 + 10x2 − 11x+ 2 yQ(x) = 8x3 + 2x2 − 5x+ 1 es:a) (4x+1)(2x− 1) b) (4x−1)(2x−1)c) (4x+1)(2x+1) d) (4x+3)(2x−1)e) (4x+1)(2x+3)

17. El termino independiente del cociente queresulta de dividir el MCM de:A = x2 + 5x+ 6 ; B = 2x2 + 12x+ 18C = 4x2 + 4x− 24 entre su MCD es:a) 50 b) 36 c) 40d) 45 e) −48

18. Si el MCM de los polinomios:P (x) = x2 + x− 2 ; Q(x) = x2 − x− 2R(x) = x4 + 5x2 + 4Es equivalente a x8 +Ax6+Bx4+Cx2+DDeterminar A+B + C +Da) −3 b) 2 c) −1d) 3 e) 0

19. Si el MCM de dos polinomios A y B esx40+x20+1 y su MCD es x30+x20−x10+2.La suma de los coeficientes de un factor pri-mo de AB es:a) 3 b) 8 c) 9d) 0 e) 10

20. Si P (x) = x4 + x3 + x2 + x+ 1. El MCD deP (x) y P (x2) es:

a) x10 − 1 b)x− 1

x+ 1c)

x+ 1

x− 1

d) P (x) e) x10 + 1

21. El MCM de:A(x) = x2 − 4x+ 3B(x) = x2 + 4x+ 3C(x) = x4 − 10x2 + 9D(x) = x3 − 9x+ x2 − 9 es:a) (x2 − 9)(x4 − 1) b) (x2 − 9)(x2 − 1)c) (x2 − 9)(x+ 1) d) (x2 − 9)(x2 + 1)e) (x2 + 9)(x2 − 1)

22. Si a + b + c = 0, simplificar la expresionW = P.Q, donde:

P =b− c

a+

c− a

b+

a− b

cy

Q =a

b− c+

b

c− a+

c

a− ba) 7 b) 8 c) 10

d) 5 e) 9

23. Simplificar:2x4 + 3x3 − 13x2 + 13x− 21

2x3 − 5x2 + 5x− 6y

dar como respuesta la diferencia entre elnumerador y denominador (en ese orden)a) x2−x+5 b) 2x+ 3 c) x2 +x− 5d) 2x− 3 e) x2− x− 5

24. Si x− y = y − z =√2. Calcular

P =x3 + y3 + z3 − 3xyz

x+ y + za) 6 b) 4 c) 10d) 8 e) 2

25. Calcular E =(y − 1)2

(y − 1)2 − z2+

x− 1

x− y, sa-

biendo que: x+ y + z2 = xy + 1 ; y 6= 1a) 0 b) 3 c) 2d) 1 e) 4

26. Sabiendo que x + y + z = 0, simplifica la

fraccion: M =(x2 + y2 + z2)2

x4 + y4 + z4

a) 5 b) 2 c) 3d) 4 e) 1

27. Descomponer en fracciones parciales11x− 26

2x2 − 11x− 21y dar como respuesta la

suma de numeradoresa) 10 b) 2 c) 7d) 14 e) 8

28. Descomponer en fracciones parciales5x2 + 7x+ 2

x3 − 8y dar como respuesta uno de

los numeradores de dichas fraccionesa) −3 b) 4 c) 2x+ 5d) 2x− 5 e) 3x− 5

29. Si2x2 − 3x+ 7

x(x− 3)(x − 4)=

A

x+

B

x− 3+

C

x− 4entonces el valor de A+B + C, es:a) 2 b) 6 c) 4d) 8 e) 0

30. Hallar la suma de los numeradores de las

fracciones parciales de:3x2 − 2x+ 1

x3 − 2x2 − x+ 2.

a) 1 b) 2 c) 5d) 3 e) 0



1. Determinar elMCM

MCDde las expresiones:

P = x3 + 6x2 + 11x + 6Q = x3 + 5x2 + 7x+ 3R = x3 + 2x2 − 5x− 6

a) x3 + x2 − 4x+ 4b) x3 + x2 − 4x− 4c) x3 − x2 − 4x− 4d) x3 − x2 + x+ 1e) x2 + x+ 1

2. El termino independiente del cociente queresulta de dividir el MCM de:A = x2 + 5x + 6; B = 2x2 + 12x + 18 yC = 4x2 + 4x− 24 entre su MCD es:a) 45 b) 36 c) 40d) 50 e) −48

3. Si el MCM de los polinomios:P (x) = x2 + x− 2 ; Q(x) = x2 − x− 2R(x) = x4 + 5x2 + 4es equivalente a x8+Ax6+Bx4+Cx2+D.Determinar: A+B + C +Da) 0 b) 2 c) −1d) 3 e) −3

4. Sabiendo que el MCD de los polinomiosP (x) = 2x3 − x2 + 3x+ aQ(x) = x3 + x2 + r es: x2 − x+ 2.Hallar a−1 + r−1.a) 3/4 b) 3/2 c) 1/2d) 4/3 e) 2/3

5. El producto de dos polinomios es (x2+2xy−4+y2)2 y el cociente de su MCM y su MCDes (x+ y)2 + 4(x+ y + 1). Hallar (MCD)2

a) (x+y+1)2 b) (x+y+2)2 c) 0d) (x+y−2)2 e) 1

6. Reducir: M = 1 +1

1 +1

1 +1

ma) 0 b) (2+3m)/(1+2m)c) −m d) 1e) m

7. Encontrar la suma de coeficientes del MCDde los polinomios: A = x3 − 3x+ 2,

B = x4 − 2x2 + 1a) 4 b) 2 c) −1d) −2 e) 0

8. Sean los polinomios P (x) = x2 + 2x − 3 yQ(x) = x2 + αx + 3. Si el MCM(P,Q) =x3 − x2 − 9x+ 9. Luego el MCD(P,Q) es:a) x+ 1 b) x+ 3 c) x− 1d) x− 3 e) 12x

9. Si ab+ bc+ ac = 0, al simplificar

E =a2x+ b+ c

a3x− bc+b2x+ a+ c

b3x− ac+c2x+ a+ b

c3x− abse obtiene:a) 0 b) 1 c) abd) ac e) bc

10. Simplificar:x3 − 12x+ 16

x4 − 15x2 + 28x− 12y propor-

cionar la suma de los coeficientes del deno-minador resultante.a) 6 b) 5 c) 4d) 2 e) 3

11. Cual debe ser el valor de “a” para que la

fraccionx3 − ax2 + 19x− a− 4

x3 − (a+ 1)x2 + 23x− a− 7ad-

mita simplificacion.a) 7 b) 8 c) 5d) 15 e) 6

12. Simplificar(x8 − 1)(x3 − 7x+ 6)

(x2 − 4x+ 4)(x3 + x2 − 5x+ 3).

Senalando el denominador resultante.a) x2 + 1 b) x+ 2 c) x− 1d) x− 3 e) x− 2

13. Encontrar el valor de (A− 1)(B − 2), sa-

biendo que:√A =

x+ y

x− y; B =

x2 + y2

xya) 3 b) 5 c) 4d) 1 e) 2

14. Al simplificar:

E =x(y2 + z2 − x2) + y(z2 + x2 − y2)

z2 − x(x− 2y)− y2, se

obtiene.a) x+ y b) x+ y − zc) x− z + y d) x+ y + ze) x2 + y2 + z2

15. Simplificar: E =(x2 + 1)2 + (x+ 1)4

x4 + 1 + 2x(x+ 1)2

a) 1 b) x2 + 1 c) 1/2d) 2 e) x+ 1

16. Simplificar:

E =

3 +12xy

4x2 − 2xy + y2�

8x3 − y3

8x3 + y3

�

�

2y

y − 2x− 1

�

a) 3 b) −3 c) −2d) 2 e) −1

17. Efectuar:1

(a− b)(a− c)+

1

(b− a)(b− c)+

1

(c− a)(c− b)

a) a+ b+ c b) a+ b+ c− 1c) abc− 1 d) 1

e) 0

18. Al simplificar:(1 + ab)(1 + ac)

(a− b)(c − a)+

(1 + ab)(1 + bc)

(b− a)(c− b)+

(1 + ac)(1 + bc)

(a− c)(c − b)a) 3 b) a+ b+ cc) 1 d) ac+ bc+ cae) 3 + ab+ bc+ ac

19. Al simplificar la fraccion reductible se ob-

tiene:x2 + (2a+ 1)x+ 12

x2 + 2ax+ 8

a)x+ 3

x+ 2b)

x+ 2

x− 1c)

x+ 2

x+ 3

d)x− 3

x+ 2e)

x− 3

x− 2

20. Dado que:2x+ 8

x2 + 2x− 3<>

n

x− 1+

k

x+ 3.

Encontrar el valor de “n− k”a) 5 b) 1 c) 0

d) 3 e) 4

21. Si:2x2 − 3x+ 7

x3 − 7x2 + 12x=

A

x+

B

x− 3+

C

x− 4.

Entonces el valor de A+B + C, es:a) 4 b) 2 c) 6d) 8 e) 0

22. Si a, b y c estan relacionados por la igualdad1

b+ c+

1

b− c+

1

b− a+

1

b+ a= 0. El valor

de la expresion:c+ a

a+ b+

c+ a

b+ c, se reduce a:

a) 0 b) 1 c) −1d) −2 e) 2

23. Descomponer en fracciones parciales a4x2 − 15x+ 8

x3 − 3x2 + 4y dar como respuesta la su-

ma de los numeradores.a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 2

24. Una de las fracciones parciales en las que se

descomponex2 − 4x− 5

(x2 + 3)(x − 1), es:

a)3x− 1

x2 + 3b)

3x+ 1

x− 1 c)3x+ 1

x2 + 3

d)2

x− 1e)

2

x2 + 3

25. Descomponer en fracciones parciales:x2 − 2x+ 3

(x+ 1)3y dar como respuesta la su-

ma de los numeradores.a) 2 b) 11 c) 4d) 3 e) 9

26. Six+ 2

2x2 − 7x− 15=

A

x− 5+

B

2x+ 3; en-

tonces el valor de A/B es:a) −2 b) −7 c) −5d) −8 e) −4

27. Si2x2 + 4x− 1

(x2 + x+ 1)2=

Ax+B

x2 + x+ 1+

Cx+D

(x2 + x+ 1)2;

entonces el valor de2A+ 3B

2C +Des:

a) 2 b) 4 c) 5d) 8 e) 6


fracciones parciales de:5

(x+ 1)5 − x5 − 1a) 3 b) 2 c) −1d) 1 e) 0

29. Si7x+ 3

x3 + 2x2 − x− 2=

A

x− 1+

B

x+ 2+

C

x+ 1. Hallar: W =

A3 +B3 + C3

ABCa) 3 b) 2 c) 1d) 5 e) 0



1. Sean los polinomios:P (x) = Ax2 + 2x−BQ(x) = Ax2 − 4x+BA y B enteros positivos, si x3 − x2 − 9x+ 9es el MCM de P (x) y Q(x). Hallar B2 −Aa) 5 b) 8 c) 15d) 12 e) 9

2. Sabiendo que el MCD de los polinomios:P (x) = 5x3 + 2x2 − αx+ βQ(x) = 7x3 − 5x2 + 2qx− p

es 2x2 + x+ 1. Hallar W =α

β(2q − p)a) 7/5 b) 9/5 c) 1/3d) 1/4 e) −9/5

3. El producto de dos polinomios es x4+ax3+(b − a2)x2 − a3x − ba2 y el cociente de suMCM y su MCD es x3+2ax2+(b+a2)x+ab.Hallar el cuadrado de su MCDa) 2x3 + 1 b) x+ a c) x− ad) x3 + 1 e) x2 + 2

4. El producto de dos polinomios es (64x6−1)2

y el cociente de su MCM y su MCD es(8x3 + 1)2. Hallar el MCDa) 8x3 − 1 b) 2x3 − 1 c) 8x2 + 1d) x− 1 e) 8x3 + 1

5. Hallar el MCD de:A = x

√x− y

√y + x

√y − y

√x

B = x2 − 2xy + y2

C = x+ y − 2√xy

a)√x+

√y b) x− y c) xy

d)√x−√

y e) xy + 1

6. Hallar el MCM

�

MCD(A,B), (x − 1)

�

sien-

do:A = x5 + x+ 1B = x4 + 2x3 + x2 − 1a) x+ 1 b) x3 − 1 c) x2 − 1d) x− 1 e) x+ 2

7. Hallar la suma de los terminos independien-tes del MCM con su MCD, siendo:A = ax2+(a+b)xy+by2+(c+b)y+(a+c)x+cB = acx2 + (ac+ bc)xy + bcy2 + bcy + acxa) 3 b) 0 c) 2d) 4 e) 1

8. Hallar el termino independiente del produc-to del MCM con su MCD, siendo:A = (abx+ c)3 + (cx+ b)3 + (cbx+ a)3

B = (abx − 1)4 + (x2 + abcx + 1)4 + (x3 +cx+ 2)4

a) a3 + b3 + c3 b) 9(a3 + b3 + c3)c) 18(a3 + b3+ c3) d) abce) a+ b+ c

9. Hallar la suma de coeficientes de uno de losfactores primos del MCM[MCD(A,B), C],siendo:A = (x5 + x+ 1)(x5 + x− 1)B = ((x2 + x)2 − 1)(x3 + 1)C = (x3 + 1)(x3 − 1)a) 1 b) 9 c) 5d) 4 e) −3

10. Hallar el grado del MCD de:A = x3 + y5 + z9 + x2(y + z) + y4(x+ z) +z8(x+ y)B = x3 + y6 + z11 + x2(y2 + z3) + y4(x +z3) + z8(x+ y2)a) 10 b) 9 c) 7d) 8 e) 6

11. Hallar el MCD de:A = xy+1 + y2x+1 + y2xx+ yxy + x+ yB = xy+3 − y2x+3 + y2xx3 − y3xy + x3 − y3

a) x+ yx b) xy + y2x + 1c) xy − 1 d) xy + xy

e) x+ y

12. Si M(x) es el mınimo comun multiplode los polinomios A(x) y B(x). Ademas

P (x) =A(x)B(x)

M(x). Hallar el resto de divi-

dir P (x) entre (x− 3n), siendo:A(x) = x4 − nx3 − 7n2x2 + n3x+ 6n4

B(x) = x3 + 4nx2 + n2x− 6n3

a) 0 b) 6n2 c) −6n2

d) 12n2 e) 10n2

13. En los polinomiosP (x) = (x− 2)[x2 + b(x+ 3) + 3x];Q(x) = (x+ 3)[x2 + a(x− 2)− 2x]el termino independiente del MCM P (x)y Q(x) es 60 y el coeficiente de x3 alefectuar P (x)Q(x) ÷ MCD es 31, calcule


a−1 + b−1 − 1, a 6= b.a) −3 b) 4 c) −4d) 3 e) 6

14. Dados los polinomios:A = 2[(x2 + 5x− 3)(x3 − 3) + 5x2 + 2]x+ 2B = (8x4 − 2x3 + 9x2 + 5x− 7)x+ 3Hallar el termino independiente del produc-to del MCM y MCD.a) 6 b) −2 c) 3d) −3 e) 1

15. Que clase de fraccion es: (x−1 + y−1)−1?a) Entera b) Propiac) Homogenea d) Impropiae) Compuesta


2+

1

6+

1

12+ · · ·+ 1

n2 + n

a)n

n− 1b)

n

n+ 1c) 1

d)n

n+ 2e)

n+ 1

n+ 2

17. Sia

a+ 1+

b

b+ 1=

a+ b

2. Determinar el

valor de: E =ab+ a+ 2

b+ 1+

ba+ b+ 2

a+ 1a) 1 b) 2 c) 8d) 6 e) 4

18. Hallar el equivalente de

W =ab+ a+ n

b+ 1+

bc+ b+ n

c+ 1+

ac+ c+ n

a+ 1.

Si se verifica que:a

a+ 1+

b

b+ 1+

c

c+ 1=

a+ b+ c

na) n b) 2n c) 3nd) n/3 e) 6n

19. Hallar (a + b) si se sabe que la fraccion:(a− 2)x+ (b− 2a+ 1)y + 4b

5x+ 2y + 12es constante.

a) −2/3 b) −1/3 c) 2/3d) 1/3 e) 1

20. Sean F (x) =4xm + 23

x2 − 4x+ 4y W (x) =

xn + nx+ 1

(x− p)2dos fracciones homogeneas tal

que F (x) es propia y W (x) es impropia, en-tonces el valor mınimo de m+ n+ p es:a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 6

21. A partir de2n− 2xy

x− y=

y(x− y) + n

x+ y=

x− y

2, determinar el equivalente de:

x

y+

y

xa) n2 − 1 b) 6 c) 2n− 1

d) 2n+ 1 e) 2


fracciones parciales de:3x2 − 3x+ 2

x3 − 2x2 − x+ 2a) 0 b) 2 c) 1

d) −1 e) 3


fracciones parciales de:4x2 − 1

x3 + 4x2 + x− 6a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

24. La fraccion5x− 11

2x2 + x− 6se obtuvo sumando

las fraccionesA

x+ 2y

B

2x− 3, los valores de

A y B son:

a) 3 ; −1b)−11 ; −5x

c) −1 ; 3

d) 5x ; −11 e) 5 ; −11

25. El numerador de una de las fracciones par-

ciales de4x2 − 15x+ 8

x3 − 3x2 + 4es:

a) 5 b) 4 c) −4d) 3 e) 7

26. Si la fraccion algebraicax2 + 3

x3 − 2x2 + xse

descompone en tres fracciones parciales denumeradores A,B y C, halle ABCa) 5 b) −24 c) 24d) −12 e) 9

27. Calcular el valor numerico de:

E =

1 +1 +

1 + x

1− 3x

1− 3�

1 + x

1− 3x

�

1− 3

2

6

6

4

1 +1 + x

1− 3x

1− 3�

1 + x

1− 3x

�

3

7

7

5

para x =5

4

a) 1 b) 2 c) 1/3d) 1/4 e) 5/4



1. Se sabe que el MCD de los monomios:P (x, y, z) = 12xn−1ym−1zp−1

Q(x, y, z) = 18xnymzp

R(x, y, z) = 24xn−2ym+1zp+1

es: 6x2y3z3. Entonces el valor de:mp

na) 2 b) 64 c) 3d) 4 e) 5

2. Hallar el MCD de los polinomios:P (x) = 6x2(x+ 1)3(x− 1)3

Q(x) = 8x3(x+ 1)4(x+ 2)3

R(x) = 12x2(x+ 1)2(x+ 3)2

a) 2x2 − 4x+ 2 b) x(x+ 1)c) (x+ 1)(x− 1)2 d) 2x3

e) 2x2(x+ 1)2

3. Hallar MCD de los polinomios:P = 15x2 +19xy − 10y2 +2xz +24yz − 8z2

Q = 21x2+44xy+15y2−23xz−21yz+6z2

R = 12x2−13xy−55y2+13xz+57yz−14z2

a) 3x2 + 2y − 4z b) 5x− 2y + 4zc) 3x+ 5y − 2z d) 3x2 − 5y + 2

e) 7x+ 32

4. El numero de factores primos que tie-ne el MCM(A,B,C) de −A = 9 − x2;B = x2−15x+36; C = x4−5x3+5x2−6 es:a) 5 b) 6 c) 3d) 2 e) 4

5. Si el MCD(P,Q) es (x− 4)(x + 5) con:P (x) = x4 + 2x3 − 25x2 +mx+ n;Q(x) = x4 − 27x2 + px+ q.Ademas M(x) =MCM(P,Q). Calcular M(0)a) 640 b) −20 c) −640d) −720 e) 720

6. Cual es el grado del MCM de los siguientespolinomios:P = 1 + x+ x2 + · · ·+ x5

Q = 1 + x+ x2 + · · ·+ x7

R = 1 + x+ x2 + · · ·+ x11

a) 12 b) 15 c) 13d) 14 e) 11

7. Establecer el valor de verdad de las siguienteproposiciones:

3x+ 1

x2 + 5y

2

3xson fracciones propias.

3x2 + 5

5x2 + 3y

x5 + 2x+ 7

x2 + 3son fraccio-

nes impropias.

Las componentes de una fraccion alge-braica son EARE.

Las fracciones algebraicas que tienendenominador de igual grado, se deno-minan fracciones homogeneas.

a) VFFV b) VFVF c) VVFFd) FVVF e) VVVF

8. Hallar el verdadero valor numerico de:x5 − 1

x3 − 1cuando x se aproxima a 1

a) 2/5 b) 3/5 c) 5/3d) 0 e) 1

9. Hallar el verdadero valor numerico de:3√x− 1√x− 1

cuando x se aproxima a 1

a) 2/3 b) 1/3 c) 3/2

d) 0 e) 1

10. Sabiendo que la siguiente fraccionmx+ n

px+ q,

es independiente de “x”, luego se puede de-cir que el valor de la expresion:

(m+ p)(n+ q)

m+ n+ p+ q− mn

m+ n− pq

p+ q

es igual:a) −1 b) 1 c) 2d) 0 e) −2

11. Si: x2 +mx− 6 es el MCD del numerador ydenominador de:

3x3 − 2x2 − (a+ 2)x− 6

3x3 − 5x2 − (a− 1)x+ b

Hallar la fraccion equivalente irreductible.

a)3x− 1

3x− 2b)

3x+ 1

3x− 2c)

3x− 1

3x+ 2

d) 1/2 e) 2

12. Calcule el valor de “a” para que la fraccion:

F =x2 − (a+ 1)x+ 2

x2 + ax− 3


admita simplificaciona) 4 b) 6 c) 8d) 16 e) 2

13. Si P (x) = (x+ 3)[x2 + (a− 2)x− 2a]Q(x) = (x− 2)[x2 + (b+ 3)x+ 3b]Sabiendo que el termino independiente delMCM es 120 y el coeficiente de x3 al efectuarP (x)Q(x)÷MCD es 2, calcular: a−1+ b−1,si: a 6= ba) 0,5 b) 0,15 c) −0,05d) 1 e) 1,5

14. Reducir:

2

6

6

6

6

6

4

5

x+ 5

x+ 5

x+ 5

3

7

7

7

7

7

5

�

x4 − x3

x4 − 1

�

a) 5 b) 10 c) 1d) 2 e) x− 1

15. Calcule el valor de y�

x

1 + x+

z

1 + z

�

+

x

�

y

1 + y+

z

1 + z

�

+ z

�

x

1 + x+

y

1 + y

�

Si:1

xz+

1

yz+

1

xy= −(xyz)−1; x, y, z 6= 0.

a) 0 b) −1 c) 2d) 1 e) −2

16. Hallar el equivalente de la expresion:

1− 2

1 +2

x

y+

y

x

+

�

x− y

x+ y

�2

a) 2

�

x+ y

x− y

�2

b) 0 c)x+ y

x− y

d) x/y e) 2

�

x− y

x+ y

�2

17. Si se cumple que a =x2 − y2

x2 + y2; b =

y2 − z2

y2 + z2;

c =z2 − x2

z2 + x2. Ademas

x4 + y4

(x2 + y2)2+

y4 + z4

(y2 + z2)2+

z4 + x4

(z2 + x2)2= 4

Calcular: a2 + b2 + c2.a) 3 b) 12 c) 7d) 9 e) 5

18. Si (ab)2+(bc)2+(ac)2 = (abc)2. Simplificar:

1

a2+

1

b2+ 1

2c2 − 1+

1

b2+

1

c2+ 1

2a2 − 1+

1

c2+

1

a2+ 1

2b2 − 1

a) 0 b) abc c) 1d) a2+b2+c2 e) a+ b+ c

19. Dada la expresion K =x6 − 64

32 + x5, si x = −2,

entonces el valor de K es:a) −12/5 b) 12 c) 5d) 5/12 e) 12/5

20. Efectuar y simplificar:2

6

6

6

4

�

a

b

�2x

+

�

b

a

�2y

�

a

b

�x

+

�

b

a

�y

3

7

7

7

5

÷

2

6

6

6

4

�

b

a

�2x

+�

a

b

�2y

�

b

a

�x

+�

a

b

�y

3

7

7

7

5

a)�

a

b

�x+y

b)

�

b

a

�x−yc)

�

b

a

�x+y

d)�

a

b

�x−ye) 1

21. Al simplificar k = (1 + 1−1)(1 + 2−1)(1 +3−1) . . . (1 + n−1), obtenemos:a) n2 b) n+ 1 c) n2 + 1d) n− 1 e) n2 − 1

22. Calcular la suma de los numeradores de lasfracciones parciales de:

9x2 − 34x+ 29

x3 − 6x2 + 11x− 6

a) 7 b) 8 c) 12d) 6 e) 9

23. Si se tiene que:

2x3 + 7x+ 3

x3 + x2 + x+ 1=

Ax− 1

x+ 1+

x+B

x2 + 1

Hallar ABa) 7 b) 9 c) 8

d) 6 e) 12

24. Al descomponerx3 + x2 + 3x+ 15

x4 − 10x2 + 9en frac-

ciones parciales, una de ellas es:

a)5

4x− 12b)

−2

x− 1 c)4

x− 9

d)5

x− 3e)

3

4x+ 1



1. Hallar el MCD de los polinomios:P (x) = 6x2(x+ 1)3(x− 1)3

Q(x) = 8x(x+ 1)2(x+ 2)R(x) = 12x2(x+ 1)2(x+ 3)2

a) x2 − x+ 1 b) 2x(x+ 1)2

c) x2 + x d) x3 + x+ 1e) (x+ 1)(x− 1)2

2. Hallar el MCD de los polinomios:P (x) = 3x3 + x2 − 8x+ 4Q(x) = 3x3 + 7x2 − 4a) x2 + x+ 1 b) 3x2 − 4x+ 4

c) x2 − 4 d) x2 + 4x+ 2e) 3x2 + 4x− 4

3. Hallar el numero de factores primos linealesdel MCD de P (x) = (x2+x−2)2(x2+5x+6)y Q(x) = (x− 1)(x2 + 2x− 3)2

a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

4. Hallar el MCD de los polinomios:P (x) = 2x4 − x3 − 3x2 + 3x− 9Q(x) = 10x3 − 9x2 + 17x− 6a) 2x2 − x+ 3 b) 3x2 + 2x− 1c) 3x2 − x+ 3 d) x2 − x+ 1e) x2 + x+ 3

5. Hallar el MCD de los polinomios:P (x) = x4 + xy3 + x3y + y4

Q(x) = 3x3 + 5x2y + xy2 − y3

R(x) = x4 + 3x3y + 3x2y2 + xy3

a) x+ y b) x2 + y2 c) x2 − y2

d) (x+ y)2 e) 2x+ y

6. Hallar el MCD de los polinomios:P (x) = x5 + 3x4 + 6x3 + 4x2 + 8x+ 5Q(x) = x4 + 2x3 + 3x2 − 2x+ 5a) x2 − 3x+ 5 b) x2 + 3x+ 5c) x2 + x+ 1 d) x2 − x+ 2e) x2 + 3x− 5

7. Si el MCD de A = x(x+1)(x−2)(x−1)−24,y B = x3 − 3x + 2 es igual a cero. El valorde “x” es:a) 1 b) −1 c) 2d) 3 e) −2

8. Si el MCD de P (x) = 6x4−x3+x2+ax+b,y Q(x) = 6x4 − 13x3 + 15x2 + cx+ d es

(2x− 1)(3x− 2). Hallar el grado del MCMde dichos polinomios.a) 10 b) 4 c) 6d) 8 e) 2

9. Si el MCD de P (x) = x3+8x2+(a+3)x+21,y Q(x) = x4 + 6x3 + 13x2 + 4bx + 15 esx2 + x+ 3. Hallar a+ b.a) 12 b) 6 c) 9d) 3 e) 15

10. Determinar el numero de factores pri-mos que admite el cociente que se obtie-ne al dividir el MCM con el MCD deP (x, y) = (xy+1)4+(x2y2−1)2+(xy−1)4,y Q(x, y) = (xy + 1)6 − (xy − 1)6.a) 4 b) 3 c) 1d) 2 e) 5

11. Hallar el numero de factores primos linealesdel MCM de:P (x, y) = xy(xy + x+ y + 2) + x+ y + 1Q(x, y) = xy[x(x+1)+y(x+1)+1]+x2+x+yR(x, y) = (x2y−x+x2−y+xy2−y2)(x+1)a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

12. Si la fraccion

(4a+ b)x5 + 3c(2a− 1)x2y3 + 5dy4

(a− 2b)x5 − 7c(b+ 1)x2y3 + 10dy4

es independiente de x e y; el valor de a−b es:a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

13. Sabiendo que la fraccionax+ b

cx+ des indepen-

diente de x entonces el valor de la expresion

W =

�

a+ b

c+ d+

2ad

bc− a

c

�

2ad

bc

a) −1 b) 2 c) 4d) 0 e) 1

14. Al simplificar la fraccion;

ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2)

ab(x2 − y2) + xy(a2 − b2)

la suma del numerador y denominador es:a) 2ax b) 2by c) axd) ay e) 2(ax+ by)


15. Simplificar:x5 − 25x3 + x2 − 25

x5 − 16x3 + x2 − 16

a)x+ 5

x+ 4b)

x2 + 25

x2 + 16c)

x− 5

x− 4

d)x2 − 25

x2 − 16e)

x− 25

x+ 16

16. Si: A =x2 − y2 − z2 + 2yz

y2 + z2 + 2yz − x2

B =y2 + z2 − x2

2yz. Calcular:

A+B

AB − 1a) 0 b) −1 c) 1d) x+ y − z e) x− y + z

17. Encontrar el valor dea+ b

b+ c+

a+ b

a+ c+

b+ c

a+ b+

b+ c

a+ c+

a+ c

a+ b+

a+ c

b+ c, sabiendo

que: a+ b+ c = 0a) 0 b) −1 c) 3d) 1 e) −3

18. Calcular W =x2 − y2

z2, si se cumple:

x+ y + z

x+ y − z+

x+ z − y

y + z − x=

y + z − x

x+ z − y+

y + x− z

y + x+ za) 1 b) x c) −1d) y e) 0

19. Simplificar:

mnp(a+ b+ c)(ab + ac+ bc)

abc(m+ n+ p)(mn+ pm+ pn)

sabiendo que: am = bn = cpa) 1 b) mnp

abcc) abc

mnp

d) 0 e) 2

20. Simplificar:

ax(ax+ 1)(ax + 2)(ax+ 3) + 1

(1 + ax)(1 + 2ax)(1 + 3ax) + a4x4

a) ax+1ax+2 b) a+x

a+2x c) x+ax+2a

d) 1 e) a/x

21. Simplificar:

E =1

1 + a+

2

1 + a2+

4

1 + a4− 8

1− a8

a) (a2 − 1)−1 b) (a− 1)−1 c) (a+ 1)−1

d) (a2 + 1)−1 e) 2

22. Si: x+ y + z = xyz, simplificar:

E =1− xy

x(x+ y)+

1− xz

z(x+ z)+

1− yz

y(y + z)

a) −2 b) 2 c) 0d) 1 e) −1

23. Efectuar:

a2b2

(a− c)(b− c)+

b2c2

(b− a)(c− a)+

a2c2

(c− b)(a− b)

a) a+ b+ c b) abcc) a2 + b2 + c2 d) ab+ bc+ ace) 1

24. Hallar la suma de los numeradores de lasfracciones parciales de:

3x3 − x2 + 12x− 8

x4 − 5x2 + 4

a) 3 b) 4 c) 2d) 1 e) 0

25. Al descomponer en fracciones parciales

4x2 − 2x+ 4

2x2 − x− 1

el numerador de una de las fracciones es:a) 1 b) 5 c) 3d) 2 e) 7

26. Al descomponer en fracciones parciales

2x2 + 4x+ 1

(x2 + x+ 1)2

la suma de sus numeradores es:a) 2x+ 2 b) 2x+ 1 c) 2x− 1d) 2x e) x+ 2

27. Hallar la suma de los numeradores de lasfracciones parciales de:

8x+ 2

4x3 + 4x2 − x− 1

a) 0 b) 1 c) −1d) −2 e) 2



1. Hallar el grado del MCM de los polinomios:P (x) = x4 + x2a2 + a4

Q(x) = x4 − ax3 − a3x+ a4

a) 5 b) 6 c) 4d) 7 e) 8

2. Si el MCD deP (x) = x5 − 3x4 + 3x3 − 2x2 + ax+ b yQ(x) = x5 − 3x4 + x3 + 2x2 + cx+ des (x− 1)(x − 2). Hallar el grado del MCMde dichos polinomios.a) 6 b) 2 c) 10

d) 5 e) 8

3. Hallar el MCD de:A = 5x3 − 5x2 + 2x− 2B = 2x3 + 2x2 − 2x− 2C = x4 + x3 − x2 − xa) x2 − 1 b) x− 2 c) x− 1d) x− 3 e) x2 + 1

4. Hallar las suma de los coeficientes del MCDde los polinomios:P (x) = x4 + x3 + x2 + 2x+ 1Q(x) = x5 + 2x3 + x2 + x+ 1a) 3 b) 5 c) 7d) 1 e) 2

5. Determinar la suma de coeficientes del MCDde: P (x) = x5 + x+1 y Q(x) = x5 + x4 + 1a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

6. Hallar el MCM de los polinomios:P (x) = 10x2(x3 + 3x2 + 3x+ 1)3

Q(x) = 15x(x2 + 2x+ 1)2

R(x) = 5x2 + 5xa) x2 − x+ 1 b) 30x2(x+ 1)9

c) 2x(x+ 1)2 d) 25x(x+ 1)9

e) (x+ 1)(x− 1)2

7. Sean los polinomios:P (x) = x4+mx−9x2+n y otro Q(x) cuyoMCD es x2 − 5x+ 6, hallar m/na) 1 b) −3 c) 3d) −1 e) −1/3

8. Hallar el valor numerico del MCD de lospolinomios:P (x) = x6 + 2x5 + x4 + x+ 1

Q(x) = 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x + 2 parax =

√2 + 1

a)√2− 1 b) 3 c) 5 + 3

√2

d) 1 +√2 e) 2 + 3

√2

9. Hallar el MCD de:P (x, y) = xy(xy + x+ y + 2) + x+ y + 1Q(x, y) = xy[x(x+1)+y(x+1)+1]+x2+x+yR(x, y) = (x2y−x+x2−y+xy2−y2)(x+1)a) x+ 1 b) x+ y c) y + 1d) xy + 1 e) x− 1

10. Si en la expresionx+ 2

x− 2; cada x se reempla-

za porx+ 2

x− 2; el valor que resulta al sustituir

despues x por 1/3 es:a) −11/13 b) 17/3 c) −17/3d) −3/17 e) 3/17


a2 +√2 b2

2b2 − a2 +√2(a2 − b2)

a) a(√2 + b) b)

√2 + 1 c) 1

d) b(√2 + a) e) ab

√2


A =

2

6

4

x+ 1

x− 1−x− 1

x+ 1x+ 1

x− 1+x− 1

x+ 1

3

7

5

�

x2 + 1

2a2 + 2b÷ 2x

a2 + b

�

B =1

x+ 2− x2 + 2

x− x− 2

x+ 1

Hallar ABa) 1 b) 4 c) 2d) 1/4 e) 1/2

13. Si 3xyz = 4(x + y + z) = 24, proporcionarel equivalente de:

E =2

x

�

64− x2

yz − 1

�

+2

y

�

64− y2

zx− 1

�

+2

z

�

64− z2

xy − 1

�

a) 48 b) 28 c) 60d) 74 e) 54


14. Si la fraccion

(a− 3)x+ (2a− 5b+ 3)y + (5b− 2)

3x− 5y + 3

adopta un valor constante para cualquiervalor de x e y. Hallar el valor constante.a) −7/8 b) 1/8 c) −21/8d) −3/8 e) 1

15. Reducir la expresion: E =1

c(c− a)(c− b)+

1

a(a− b)(a− c)+

1

b(b− c)(b− a)a) abc b) 1/a c) 1/bd) 1/abc e) a+ b+ c

16. Reducir la expresion: E =(x− b)(x− c)

(a− b)(a− c)+

(x− a)(x− c)

(b− a)(b− c)+

(x− b)(x− a)

(c− b)(c− a)a) abc b) 1 c) 0d) a+ b+ c e) 1/abc

17. Conociendo que:

x2 + y2

x+ y+

y2 + z2

y + z+

x2 + z2

x+ z= xyz

determinar el valor numerico de:

W =y

xz(x+ y)+

z

xy(y + z)+

x

yz(x+ z)

a) 1 b) 3 c) 1/3d) 6 e) 1/2

18. La suma de todos los valores de n que hacen

que la fraccionx8 + 50x− 1

xn + xn−2no sea propia

es:a) 38 b) 45 c) 35d) 30 e) 55

19. Si despues de simplificar la expresion:

E =x6 − 243 + x5 − 243x

x5 − 81 + x4 − 81x

N es el valor de esta para x = 3 y D es elvalor para x = −1, hallar N −Da) 7/10 b) 10/7 c) 10d) 7 e) 1

20. Hallar el valor que toma la expresion:

E =x8 − 2x+ 1

x5 − 2x+ 1cuando x se aproxima a 1

a) 1/2 b) 1 c) 3/2d) 2 e) 8/5

21. Dada la fraccion:

E =x3 + x2 − 16x+ 20

x3 − x2 − 8x+ 12

hallar el valor deE cuando x se aproxima a 2a) 2 b) 7/5 c) 7d) 5 e) 5/7


E =x2y + 2xy2 − x2 − 3xy − 2y2 + x+ 2y

x2y + xy2 − x2 − 2xy − y2 + x+ y

cuando x e y se aproximan a 1a) 1/2 b) 2 c) 3d) 1 e) 3/2

23. Si la fraccionx3 − 2x2 + 6x+ 1

x4 − 5x2 + 4se puede

expresar como

A

x− 1+

B

x+ 1+

C

x− 2+

D

x+ 2

hallar el valor de W = A+B + C +Da) 4 b) 3 c) 1d) 2 e) 0


3x3 + 12x2 + 15x− 2

x3 + 5x2 + 9x+ 5=

Ax− 1

x+ 1+

x+B

x2 + 4x+ 5

hallar el valor de A+Ba) 6 b) −4 c) 0d) 4 e) −6

25. Hallar la suma de los numeradores de lasfracciones parciales de

9

x3 + 3x2 − 4

a) −2 b) 2 c) 0d) −3 e) 1

26. Hallar la suma de los numeradores de lasfracciones parciales de

2x3 + x2 + 2x− 1

x4 − 1

a) −3 b) 3 c) 0d) 2 e) 1

Capıtulo 8:

POTENCIACION

Objetivos

z Calcular cualquier termino de la expresion de (x+ a)n contando de derecha a izquierda o vice-

versa.

z Diferenciar la utilidad de una ordenacion, permutacion o combinacion que estan relacionados

con el factorial.

8.1. Factorial de un numero

El factorial de un numero natural n, denotado por n!, se define como el producto que se obtiene

luego de multiplicar los numero naturales consecutivos desde 1 hasta n,

n! = 1× 2× 3× 4× · · · × (n− 1)× n

n! = n× (n− 1)× (n− 2) · · · × 2× 1

La multiplicacion anterior se puede simbolizar tambien utilizando el operador productorio:

n! =nY

k=1

k

Tambien es posible definirlo mediante la relacion de recurrencia

n! =

8

<

:

1 si, n = 0

(n− 1)! × n si, n > 0

Ejemplo: 5! = 5× 4× 3× 2× 1 = 120

La notacion actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.

161

8.1.1. Numero combinatorio

Dados los numeros naturales m y n, se define el numero combinatorio como:

Cnr =

n!

r!(n− r)!

El numero combinatorio de n en r es el numero de elecciones distintas de r elementos que se pueden

hacer de entre un conjunto de n elementos. En otras palabras, es el numero de subconjuntos de r

elementos que tiene un conjunto de n elementos.

Propiedades:

1) Cn1 = n

2) Cnn = 1

3) Cn0 = 1

4) Cnr = Cn

n−r

5) Cnr + Cn

r+1 = Cn+1r+1

6) Cnr =

n

rCn−1r−1

7) Cnr =

n

n− rCn−1r

8) Cnr =

n− r + 1

rCnr−1

9) Cnp = Cn

q ⇔

8

<

:

p = q

p+ q = n

10) Cn0 + Cn

1 + Cn2 + · · ·+ Cn

n = 2n

8.1.2. Coeficiente binomial

Si n ∈ R, r ∈ Z+0 , entonces:

�

n

r

�

=n(n− 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)

r!

Si n, r ∈ Z+0 y r ≤ n, entonces:

�

n

r

�

= Cnr

8.2. Analisis combinatorio

Por Analisis Combinatorio o Combinatoria, se entiende aquella parte del algebra que se ocupa del

estudio y propiedades de los grupos que pueden formarse con elementos dados, distinguiendose entre

sı:

por el numero de elementos que entran en cada grupo.

por la clase de elementos.

por el orden de colocacion.


El numero de elementos de que se dispone para formar las distintas agrupaciones se llama base y el

numero de elementos que intervienen en cada agrupacion se denomina orden.

Las agrupaciones de orden 1 se denominan monarias, las de orden 2 binarias, las de orden 3,

ternarias, etc.

Los m elementos de que se dispone para formar los grupos pueden ser distintos o bien puede haber

algunos iguales. En el primer caso, las agrupaciones formadas se llaman ordinarias, las formadas en el

segundo supuesto se denominan agrupaciones con repeticion

8.2.1. Principios fundamentales

En la mayorıa de los problemas de analisis combinatorio se observa que una operacion o actividad

aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha

operacion.

Para dichos casos es util conocer determinadas tecnicas o estrategias de conteo que facilitaran el

calculo senalado.

El analisis combinatorio tambien se define como una manera practica y abreviada de contar; las

operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.

Ejemplo:

Senalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un numero determinado de prendas

de vestir.

Ordenar 5 artıculos en 7 casilleros.

Contestar 7 preguntas de un examen de 10.

Designar 5 personas de un total de 50 para integrar una comision.

Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas.

Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales.

1. Principio de la adicion: Si un evento “A” ocurre de “m” maneras diferentes y otro evento “B”

ocurre de “n” maneras diferentes, siendo ambos mutuamente excluyentes (No pueden ocurrir A

y B simultaneamente); entonces la ocurrencia de los eventos: “A o B” sucede de m + n maneras

diferentes.

2. Principio de la multiplicacion: Si un evento “A” puede ocurrir de “m” maneras diferentes

y despues de haber ocurrido cualquiera de ellos, otro evento “B” puede ocurrir de “n” maneras

diferentes, entonces la ocurrencia de los eventos: “A y B” sucede de m× n maneras diferentes.

Segun los criterios empleados para la formacion, las agrupaciones pueden ser de tres tipos:

Permutaciones

Variaciones

Combinaciones


8.2.2. Permutaciones

Es el arreglo u ordenacion de todos los elementos de un conjunto, donde un arreglo se diferencia

de otro por el orden de ubicacion de sus elementos.

Para n objetos diferentes, el numero de permutaciones Pn esta dado por:

Pn = n!

Permutacion circular

Es el arreglo que se puede hacer con los elementos de un conjunto, distribuidos alrededor de una

curva cerrada de forma circular El numero de permutaciones circulares de n elementos, esta dado por:

Pcn = (n− 1)!

Permutacion con repeticion

El numero de permutaciones de n objetos en el que se repiten alguno de ellos esta dado por:

Pn{k1,k2,k3,...km} =

n!

k1!× k2!× k3!× . . . kn!

Donde:

k1, k2, k3, . . . km : Numero de veces que se repite cada elemento.

k1 + k2 + k3 + . . .+ km = n : Numero total de elementos.

8.2.3. Variaciones

Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en “k”,

teniendo en cuenta el orden de sus elementos. El numero de variaciones esta dado por:

V nk =

n!

(n− k)!; n > k

Notese que una variacion es un caso particular de una permutacion.

8.2.4. Combinaciones

Son arreglos u ordenaciones que pueden formarse con “n” elementos tomados de “k” en “k”, de

modo que dos arreglos cualesquiera difieren por lo menos en un elemento. El numero de combinaciones

esta dado por:

Cnk =

n!

k!(n − k)!; n > k


8.3. Binomio de Newton

El binomio de Newton es una formula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de

un binomio elevado a una potencia cualquiera. Es decir, se trata de una formula para desarrollar la

expresion:

(a+ b)n

Como una aplicacion de las propiedades de los numeros combinatorios podemos escribir el siguiente

triangulo aritmetico conocido como el triangulo de Tartaglia o triangulo de Pascal:�

0

0

�

�

1

0

� �

1

1

�

�

2

0

� �

2

1

� �

2

2

�

�

3

0

� �

3

1

� �

3

2

� �

3

3

�

�

4

0

� �

4

1

� �

4

2

� �

4

3

� �

4

4

�

�

5

0

� �

5

1

� �

5

2

� �

5

3

� �

5

4

� �

5

5

�

Desarrollando se tiene:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

El triagulo de Tartaglia resulta muy util cuando hay que hallar todos los numeros combinatorios del

mismo orden.

Si n es un numero entero positivo entonces se generan los siguientes desarrollos:

(a+ b)1 =

�

1

0

�

a+

�

1

1

�

b = a+ b

(a+ b)2 =

�

2

0

�

a2 +

�

2

1

�

ab+

�

2

2

�

b2 = a2 + 2ab+ b2

(a+ b)3 =

�

3

0

�

a3 +

�

3

1

�

a2b+

�

3

2

�

ab2 +

�

3

3

�

b3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

...


Generalizando; obtenemos:

(a+ b)n =

�

n

0

�

an +

�

n

1

�

an−1b+

�

n

2

�

an−2b2 + . . . +

�

n

n

�

bn

Observacion 8.3.1. Dado el binomio de Newton:

(axp + byq)n (8.1)

se tiene que:

El numero de terminos del desarrollo es: NT = n+ 1

Si p = q = 1, el desarrollo es un polinomio completo, ordenado y homogeneo.

Si p = q, el desarrollo es un polinomio ordenado y homogeneo.

Si p 6= q, el desarrollo es un polinomio ordenado.

Suma de coeficientes del desarrollo del binomio de Newton esta dada por:

X

coef = (a+ b)n

Suma de exponentes del desarrollo del binomio de Newton esta dada por:

X

expo =(p + q)n(n+ 1)

2

Si u y v son los lugares de dos terminos equidistantes, entonces: u+ v = n+ 2

El numero de terminos racionales fraccionarios NTRF del desarrollo de un binomio, esta dado

por:

NTRF = NTR−NTRE

donde NTR indica el numero de terminos racionales y NTRE el numero de terminos racionales

enteros.

El numero de terminos irracionales NTI del desarrollo de un binomio, esta dado por:

NTI = NT−NTR

donde NT indica el numero de terminos y NTR el numero de terminos racionales.

La formula para calcular un termino cualquiera del desarrollo del binomio (axp + byq)n esta dado

por:

Tk+1 = Cnk (ax

p)n−k(byq)k (8.2)

En donde k + 1 es el lugar del termino pedido.

Si el binomio es de la forma (axp − byq)n, entonces

Tk+1 = (−1)kCnk (ax

p)n−k(byq)k (8.3)

si se quiere calcular un termino cualquiera contado desde el extremo final se usa la siguiente formula

Tk+1←

= Cnk (by

q)n−k(axp)k

Para calcular el termino central, se debe tener en cuenta que:

Tc =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

Si NT es impar : Tc =NT+1

2

Si NT es par :

8

<

:

Tc1 = NT2

Tc2 = NT2 + 1

El desarrollo del binomio de newton cuando el exponente n no es un numero entero positivo viene

dado por:

(1 + x)n =

�

n

0

�

+

�

n

1

�

x+

�

n

2

�

x2 +

�

n

3

�

x3 + · · ·

donde |x| < 1

Cuando el exponente n no es un entero positivo, el numero de terminos es ilimitado.

Para calcular un termino cualquiera de la expresion (1 + x)n se calcula ası:

Tk+1 =

�

n

k

�

xk

Dado un polinomio elevado a una potencia cualquiera:

(a1 + a2 + · · ·+ ar)n

se tiene que el numero de terminos esta dado por:

NT = Cn+r−1n =

(n + r − 1)!

n!(r − 1)!


CAP 07: Potenciacion 8.1.


E = nn!

(1−n)

s

(n!)n!n−n!

(n!n−1)n·n!

!

a) (n− 1)!n b) (n!)n! c) 1d) nn·n! e) nn

2. Hallar el valor de “n” en:2(2!) + 4(2!) + 6(3!) + . . .+ 2n(n!) = 10080a) 9 b) 8 c) 7d) 5 e) 6

3. Calcular: n(n − 1)! + (n + 1)! + (n − 1)! =

xn(n!)�

1 +1

n

�2

a) n− 1 b) n2 c) 1d) n e) n+ 1

4. Resolver:

C184 +C18

5 + C196 + C20

13 + C2113 + C22

14

C217 + C21

13

a) 2 b) 5 c) 4d) 1 e) 0


Cx1 +Cx

2 +Cx+1x−2 +Cx+2

x−2 +Cx+3x−2 = Cx+5

6 − 1

a) 5 b) 4 c) 6d) 2 e) 8

6. Calcular mn en:

C5040 +C49

39 + C4838 + . . .+ C11

1 + 1 = Cm+n2n

a) 20 b) 620 c) 31d) 600 e) 640

7. Resolver:

�

x+ 3x

�

+

�

x+ 3x+ 1

�

�

x+ 2x

�

+

�

x+ 2x+ 1

� = 2

a) 6 b) 3 c) 4

d) 14 e) 2

8. Reducir: E =V x5 · V x

6

Cx5 · Cx

6 (120 · 720)a) 6 b) 5 c) 1d) 120 e) 2

9. Reducir: E =�

1

7! + 8!+

1

9!

�−1

a) 8! b) 8 c) 9d) 7 e) 9!

10. Si se cumple que:(x+ 3)3(x+ 1)!

(x+ 1)! + (x+ 2)! + (x+ 3)!= 5

Hallar el valor de E = xx√10x− 4

a) 5 b) 6 c) 4d) 2 e) 7

11. Calcular el valor de n en:

1× 3× 5× 7× . . .× (2n− 1) =40!

220(20)!a) 40 b) 20 c) 19d) 41 e) 39

12. Hallar el valor de x eny!(x!)!

(x!)!È

y!720= y!y! . . . y!| {z }

719 veces

a) 2 b) 6 c) 4d) 5 e) 3

13. Dar la suma de los valores de “x” que satis-face la ecuacion:(x+ 3)! = (x2 + 3x+ 2)(x2 + 3x)a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14. Calcular el valor de n en:2+2(2!)+3(3!)+ . . .+(n+3)[(n+3)!] = 60!a) 56 b) 59 c) 58d) 57 e) 60

15. Calcular x+ y en la secuacion:(720! + 1)! − ((6!)!)!

(720! − 1)!= ((x!)!)y!

a) 4 b) 5 c) 9d) 8 e) 6

16. Si se cumple queCx−57

Cx−84

= 16. El valor de

“x” es:a) 18 b) 21 c) 19d) 20 e) 16

17. Hallar el valor de x enC2xx+1 + C2x

x−1C2xx+2 + C2x

x−2= 4

a) 1 b) 8 c) 4d) 5 e) 2


18. Sabiendo que�

x! + 33

�

−�

x! + 22

�

=

�

x! + 21

�

.

Calcular el valor de E = x!È

x!− ((x!)!)!

a) 2 b) 1 c) 0d) 3 e) 4

19. Calcular Cxy en:

�

x+ y + 3

x− y + 1

�

−�

x+ y + 2

x− y

�

=

�

16

11

�

a) 66 b) 11 c) 10d) 16 e) 69

20. Hallar el valor de “x” que satisface la si-guiente igualdad V x

2 · Cx2 = 450

a) 4 b) 5 c) 8d) 6 e) 7

21. Para que valor de “n” los coeficientes de losterminos quinto, sexto y septimo del desa-rrollo de (1 + a)n forman una progresionaritmetica.a) 8 b) 14 c) 10d) 12 e) 13

22. Hallar el termino central del desarrollo de�

x −2√x+ 5

s

x−2√x

�m

Sabiendo que el coeficiente del quintotermino es al coeficiente del tercero como14 es a 3.a) 200 b) 240 c) 260d) 280 e) 252

23. Hallar “n” en (x4 + y2)n, si la suma de losgrados absolutos de todos sus terminos es1260.a) 40 b) 30 c) 20d) 50 e) 70

24. Un termino del desarrollo de

�

ab

c2+ c 4

√bc

�n

es tal que los exponentes de a, b y c son 3enteros consecutivos creciente. Calcular elnumero de terminos.a) 6 b) 12 c) 3d) 13 e) 18

25. Que valor debe asignarse a “m” de modoque la multiplicacion de los terminos cen-

trales del desarrollo de:

�

800√x

m−394+ x−2

�17

resulte constantea) 1614 b) 1824 c) 2024d) 1994 e) 1673

26. Si en el desarrollo de la potencia (a+b)27, losterminos que ocupan las posiciones: (p3+2)y (3p2+3p+1), equidistan de los extremos.calcular el coeficiente del termino de posi-cion “p”.a) 36 b) 27 c) 9d) 18 e) 45

27. Dar la suma de los lugares que estan ocu-pando los terminos independientes de “x” enlos desarrollos de (x3+x−2)10 y (x4+x−2)12

a) 9 b) 22 c) 15

d) 20 e) 16

28. De cuantas maneras se pueden elegir 2 omas corbatas de una coleccion que contiene8?a) 120 b) 197 c) 247d) 237 e) 127

29. En la seccion de un hospital se disponen de12 enfermeras, de cuantas maneras puedehacerse una seleccion de 5 de modo que:

Una Enfermera se incluye siempre.

Una Enfermera se excluye siempre.

a) 330 y 462 b) 120 y 152 c) 186 y 312d) 140 y 130 e) 412 y 343

30. De cuantas maneras distintas puede ir unapersona de la ciudad A a la ciudad E.

A

B

C

D

E

a) 25 b) 26 c) 23d) 24 e) 22



1. Hallar el valor de “n” en:(n!− 4)[(4 + n!)n! + 16] − 2

(n!− 1)2= 6

a) 8 b) 3 c) 5d) 6 e) 2

2. Hallar n si se cumple la siguiente igualdad:25[(4!)!]2 + (n!)2 = 50 · (4!)![n!− 2!3!(4!)!]a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

3. Indicar el valor equivalente a:

14!B =20!

15× 5!+

20!

6!+

21!

7!+

22!

8!+

23!

9!

a) C239 b) C25

9 c) C249

d) C269 e) 1

4. Calcular “n+ k” sabiendo que:

7

�

22

2k

�

= 11

�

21

2k − 1

�

3

�

4n

3

�

= 28

�

2n

2

�

a) 9 b) 8 c) 7d) 10 e) 11

5. Hallar “n” en:(n!)2

(2n)!

�

2n+ 1

n+ 1

�

=41

21

a) 18 b) 19 c) 21d) 20 e) 22

6. Calcular S = 210+10× 29+45× 28+120×27 + · · ·+ 20 + 1a) 39 b) 310 c) 37

d) 38 e) 311

7. Simplificar: E =C185 + C18

6 + C197 + C20

8

C218 + C21

13

a) 5 b) 8 c) 3/4d) 7 e) 1/2

8. Calcular el valor de “a” que verifiquela igualdad (C54

a−5 + C54a−7)

2 + (C5459−a −

C5461−a)

2 = 4C5459−aC

54a−7

a) 23 b) 13 c) 33d) 11 e) 9

9. Hallar “n” enCn1 + 2Cn

2 + 3Cn3 + · · ·+ nCn

n = 80a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 4

10. Calcular el menor valor de “n + k” en:n− 4

5Cn4 + Cn

6 =10

10− kC9k

a) 11 b) 12 c) 14d) 13 e) 15

11. Determinar el equivalente de:

W = Cn0 +

Cn1

2+

Cn2

3+

Cn3

4+ · · ·+ Cn

n

n+ 1

a)2n+1 + 1

n+ 1b)

2n+1 − 1

n+ 1c)

2n+2 + 1

n

d)2n−2 − 1

ne)

2n+1 + n

n+ 1

12. Hallar “x” e “y” respectivamente, en:�

x

5

�

+2

�

x

6

�

+

�

x

7

�

+

�

x+ 2

8

�

=

�

y

y − 13

�

a) 16 ; 18 b) 8 ; 11 c) 20 ; 40d) 21 ; 24 e) 18 ; 21

13. Determinar el valor de ”x” en la siguienteecuacion Cx+3

4 + Cx+3x−2 = Cx+5

x−1 − 1, el valorde E = x2 + 1 es:a) 2 b) 10 c) 5d) 17 e) 8

14. Si la suma de los grados de todos los termi-nos de (x2 + y5)n es 252. Hallar la suma decoeficientes mas el numero de terminos.a) 265 b) 521 c) 256d) 247 e) 625

15. Hallar el valor de “n”, si el ter-cer termino del desarrollo del binomio�

3È

x√x− 1

3È

x√x

�n

contiene a x3/2

a) 5 b) 6 c) 8d) 7 e) 10

16. En el binomio (x3+2y2)7, senale el cocientedel coeficiente del quinto termino del desa-rrollo entre el numero de terminos.a) 35/8 b) 70 c) 8/35d) 35 e) 60

17. Si el decimo termino del desarrollo de(x2a+xw)n es x36, halle el valor de w+n+1.a) 12 b) 13 c) 4d) 9 e) 14


18. Al desarrollar la potencia (x+7)k los termi-nos de lugares 7 y 8 tienen coeficientes igua-les. Halle el valor de k + 1.a) 9 b) 6 c) 8d) 7 e) 10

19. El termino independiente en el desarrollo de�

3x3

4+

1√3x2

�10

es:

a) 315/128 b) −128/325 c) 821/523d) 325/128 e) 128/325

20. Hallar el numero de terminos irracionalesen el desarrollo de ( 4

√x+ 3

√x)48

a) 43 b) 24 c) 34d) 44 e) 45

21. En el desarrollo de

�

5√x+

13√x

�120

. De-

terminar el numero de terminos racionales(TR), racionales enteros (TRE), racionalesfraccionarios (TRF) e irracionales (TI).a) 9,4,5,110 b) 9,4,5,112c) 10,6,4,110 d) 10,5,4,110e) 10,4,6,112

22. En el desarrollo de�

3x3 +1

x

�n

la suma de

coeficientes de su desarrollo es 234. ¿Que lu-gar ocupa un termino que contiene a x ele-vado a un exponente igual al numero de sulugar.a) 34 b) 13 c) 12d) 10 e) 11

23. Alessandra desea viajar de Lima a Cuzcoy tiene a su disposicion 4 lıneas aereas y 6terrestres. ¿De cuantas maneras diferentespodra viajar?a) 24 b) 6 c) 10d) 16 e) 8

24. Si hay 5 candidatos para presidente y 4 pa-ra alcalde. ¿De cuantas maneras se puedenelegir estos dos cargos?a) 20 b) 9 c) 18d) 24 e) 16

25. De mi casa al CPU hay 8 caminos, decuantas maneras puedo ir y regresar, si deregreso no puedo usar el camino de ida?a) 64 b) 35 c) 48d) 56 e) 16

26. Una persona tiene para vestirse 5 pantalo-nes; 4 camisas y 3 pares de zapatos. ¿Decuantas maneras se podra vestir?a) 56 b) 60 c) 48d) 52 e) 64

27. Alessandra tiene para vestir; 4 blusas, 3pantalones; 2 faldas y 6 pares de zapatos.¿De cuantas formas se podra vestir?a) 96 b) 48 c) 144d) 100 e) 120

28. Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres enuna fila de modo que los hombres y muje-res esten intercalados. ¿De cuantas formaspodran hacerlo?a) 96 b) 120 c) 144

d) 180 e) 128

29. En una reunion conmemorativa donde secelebra el nacimiento del ilustre Nishi-ren Daishonin se observo 36 apretonesde mano. ¿Cuantas personas hay en dichareunion?a) 9 b) 8 c) 12d) 10 e) 7

30. ¿De cuantas formas se puede ubicar 6 ninosen una fila; si dos de ellos deben estar siem-pre juntos.a) 210 b) 320 c) 180

d) 240 e) 280

31. En un equipo de futbol se cuenta con8 alumnos, 5 hombres y 3 mujeres. Sedesea formar grupos mixtos de 6 alumnos.¿Cuantos grupos se podran formar?a) 8 b) 28 c) 45d) 38 e) 35

32. En cierto examen un estudiante debe con-testar 8 de 10 preguntas.

Cuantas maneras de escoger tiene?

Cuantas maneras puede escoger, si lastres primeras son obligatorias?

Dar como respuesta la suma de estos resul-tados:a) 56 b) 106 c) 76d) 96 e) 66



1. Hallar el valor de p, sabiendo que:(p+ 5)! = 40320a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

2. Hallar el valor de a, en:(a− 5)!.(a− 6)!

(a− 5)!− (a− 6)!= 720(a2 − 12a+ 35)

a) 11 b) 12 c) 13

d) 15 e) 14

3. Calcular el valor de x+ y, en:x(y!)!(x− 1)!(y!)! = 120720

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

4. El valor de “m” que satisface la siguiente

igualdad�

5040!719!�6!

= 5039!(m!)!7!(m!)! es:

a) 6 b) 3 c) 4d) 5 e) 2

5. Calcular el valor de:P = C9

1 + C92 +C9

4 +C93 +C9

8 +C99

a) 210 b) 240 c) 220d) 265 e) 255

6. Calcular “n” en la igualdad:

3Cn+12 + Cn+2

2 = 28

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

7. Calcular “k” en: 1 +Cn+3n+2 = Cn+4

k−7+n

a) 11 b) 8 c) 7d) 9 e) 10

8. Calcular “n” en:Cn7 + 2Cn

8 + 2Cn9 + Cn

10 = Cn+18 + Cn+2

3n−26a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 9

9. Calcular el valor de “k” en:

Cn−1k−1 .C

n+1k+1 − Cn

k .Cn−1k−1

�

Cnk

�2 − Cn+1k+1 .C

n−1k−1

= 8

a) 8 b) 6 c) 10d) 4 e) 14

10. El equivalente a

�

−4

3

�

es:

a) 18 b) 20 c) −18d) −20 e) 24

11. En el desarrollo de la expresion(a2 + a)n(a2 − 1)n+2(1 − a−1)n, se obtiene21 terminos en total. Determinar el valor den.a) 15 b) 9 c) 12d) 11 e) 13

12. Hallar el septimo termino en el desarrollo

del binomio:�

49x6 +1

7x

�10

a) −10902x18 b) 10209x18 c) 10902x18

d) −10209x18 e) 10290x18

13. Hallar el numero de terminos del desarrollode: (x+ y + z + w)12

a) 400 b) 100 c) 455d) 200 e) 300

14. Hallar el valor de “m”, sabiendo que la di-ferencia entre los grados absolutos de losterminos noveno y quinto del desarrollo delbinomio: (x3 + ym)n es 8a) 5 b) 3 c) 1d) 7 e) 4

15. Calcular el cuarto termino del siguientedesarrollo: (1 + x)−1

a) x3 b) −x4 c) x4

d) −x3 e) x5

16. Hallar el termino central del desarrollo del

binomio:�

a

x−√

x�16

a) x4 b) 12870a8

x4c) 6240a8

d) 12870a8x4 e) 760a8x4

17. Determinar el lugar que ocupa el terminoque contiene a a7 del desarrollo del binomio:

�

3

4

3√a2 +

2

3

√a�12

a) 5◦ b) 4◦ c) 3◦

d) 2◦ e) 7◦


18. Sabiendo que el desarrollo de (x + y)n tie-ne 25 terminos y que ademas la suma desus coeficientes es 4 veces la suma de loscoeficientes del desarrollo de (x + y)m. Elnumero de terminos del ultimo desarrollo es:a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

19. Hallar el termino decimotercero del desa-

rrollo de

�

9x− 1√3x

�m

, sabiendo que el

coeficiente binomial del tercer termino deldesarrollo es 105.a) 455x−3 b) 2x3 c) 455x3

d) x3 e) 455

20. En el desarrollo de la quinta potencia de unbinomio se verifica que el cuarto termino es−80a4b6x4 y el ultimo −32b10. Hallar dichobinomio.a) ax+ 2b b) ax2 − 2bc) a2x+ b2 d) a2x2 − 2b2

e) ax4 − b

21. Dado el binomio

�√x+

15√x

�50

, determinar

el valor de verdad de las siguientes proposi-ciones:

El numero de terminos racionales es 6.

El numero de terminos racionales ente-ros es 4.

El numero de terminos racionales frac-cionarios es 2.

El numero de terminos irracionales es45.

a) VFFV b) VVVV c) VFVFd) FVVF e) FVFV

22. En el desarrollo de x(1+x)n cada coeficien-te se divide por el exponente de la “x” a lacual pertenece este coeficiente. Entonces lasuma obtenida es igual a:a) 2n + 1 b) 2n − 1

c) 2n+1 − 1 d)2n+1 + 1

n+ 1

e)2n+1 − 1

n+ 1

23. Simplificar la expresion (A−B)60, donde:

A =a+ 1

a4/5 − a3/5 + a2/5 − a1/5 + 1

B =(b2/7 − 1)b1/7

b2/7 − b1/7

ademas a, b ∈ R − {0; 1}. Determinar eltermino del desarrollo en el cual el valorabsoluto de sus grados relativos son iguales,dicho lugar es:a) 15◦ b) 20◦ c) 36◦

d) 40◦ e) 45◦

24. Con los dıgitos {1, 2, 3, 4, 5}, Cuantos nume-ros pares de 3 cifras distintas se pueden for-mar?.a) 24 b) 60 c) 30d) 36 e) 48

25. Con los dıgitos {2, 4, 6, 8, 9}, Cuantos nume-ros impares se pueden formar sin que se re-pitan las cifras?.a) 20 b) 60 c) 73d) 65 e) 81

26. ¿Cuantos numeros de tres cifras di-ferentes pueden formarse con las cifras{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; mayores que 300 y me-nores que 800.a) 180 b) 210 c) 240d) 120 e) 410

27. Alessandra y sus 9 amigos desean ordenarsepara tomarse una foto. Si entre ellos hay unapareja de enamorados que no desea separar-se, ¿de cuantas maneras pueden ordenarse?.a) 9! b) 8! c) 3× 9!d) 3× 8! e) 2× 9!

28. En un corral hay 10 jaulas diferentes, sehan comprado 10 aves: 3 gallinas, 4 pavosy 3 patos. ¿De cuantas maneras distintas sepuede colocar un ave en una jaula, de modoque se diferencien en una especie?a) 6! b) 7! c) 4200d) 6!(7!) e) 2400

29. Hallar el numero de formas diferentes enque pueden sentarse 4 hombres y 3 mujeresen una fila de 7 sillas, si las mujeres debenser contiguas.a) 6! b) 5! c) 4!d) 8! e) 9!

W =1001! + 1002!

1001!+

1002! + 1003!

1002!−

1003! + 1004!

1003!a) 1000 b) 1002 c) 1001d) 1003 e) 1004

2. Se define la operacion ∗ como:

a ∗ b =(

(a! + b)! a ≥ b

(a+ b!)! a < b

Calcular el valor de:2 ∗ (1 ∗ 0)1 ∗ (0 ∗ 1)

a) −1 b) 0 c) 1/2

d) 1 e) 3

3. Simplificar: K =13 · 14 . . . . . . 60

20 · 21 · 22 . . . . . . 60

a)19

12b) 19! c)

19!

12!d) 12! e) 19!− 12!

4. Resolver la ecuacion expresada:

(n+ 3)!(n + 5)!

(n+ 3)! + (n+ 4)(n + 3)!= 120

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Calcular “n” si:(n+ 1)!n!

(n + 1)! − n!= 99(n − 2)!

a) 40 b) 20 c) 30d) 10 e) 50


E =1111!+3 · 511! · 2!11! · 9!12!

9!11(11!) · 11!11! · 11a) 11 b) 121 c) 113

d) 11! e) 22

7. Simplificar la expresion: E =2C15

8 + 8C157

2C157

a) 7 b) 3 c) 4d) 6 e) 5

8. La simplificacion de:

E =C2010 · C26

20 − C199 · C26

6

C255 · C19

9 + C256 · C19

10

es :

a) C276 b) C30

6 c) C2626

d) C265 e) C23

6

9. Si n ∈ N tal que:C2n+11 +C2n+1

2 +C2n+13 + . . .+C2n+1

2n+1 = 31Entonces el valor de “n” es:a) 2 b) 4 c) 3d) 5 e) 1

10. La simplificacion de:

E =Cnk−3 + 3Cn

k−2 + 3Cnk−1 + Cn

k

Cn+3k

es :

a) 7 b) 2 c) 5d) 1 e) 9

11. Si:(2n)!

(2n − 2)!− n!

(n− 2)!= 70. Calcular el

valor de “n”a) 1 b) 5 c) 3d) 7 e) 9

12. Resolver:Cn2 · Cn−2

4

Cn−13

=n

4

a) 4 b) 5 c) 8d) 7 e) 6

13. Resolver:1

Cn5

=2

Cn6

a) 20 b) 18 c) 17d) 16 e) 15

14. Si se cumple la siguiente igualdad:Cn−1n−4 + Cn−1

n−3 = 84 el valor de “n” es:

a) 9 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

15. Al efectuar:

1 + 14Cn1 + 36Cn

2 + 24Cn3

Cn1 + 14Cn

2 + 36Cn3 + 24Cn

4

+ 1

Se obtiene:

a)n4 + 1

n4b)

n4

n4 + 1

c)�

n

n+ 1

�4

d)�

n+ 1

n

�4

e)n

n+ 1


16. Calcular el grado absoluto del vigesimo

termino de la expresion de:�

πx7 −√3y2

�28

a) 100 b) 101 c) 102d) 103 e) 104

17. Si el desarrollo de (6x4 − 8)n la suma delos coeficientes es 1024. ¿Cual es el gradoabsoluto del termino central?a) 10 b) 50 c) 30d) 40 e) 20

18. El termino independiente en el desarrollo

del binomio:�

xa +1

x3

�7

, con a ∈ 〈0, 15〉a) 35 b) 45 c) 21d) 63 e) 7

19. En el desarrollo del binomio:(xa + yb)m; x, y ∈ R el termino decimo es:220x33y126, calcular: E = a+ b+m.a) 37 b) 27 c) 17d) 7 e) 4

20. Si el unico termino central de la expansion:

H(x; y) =�

3x2 − 2y

x

�n

, es de sexto grado.

¿Que exponente tendra “y” en ese termino?a) 6 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

21. Determine el valor de “k” en:(2k − 6)!

(k − 3)!1 · 3 · 5 · 7 . . . (2k − 7)= 2048

a) 7 b) 14 c) 11

d) 9 e) 16

22. Si el desarrollo del binomio:�

axa + bxb�n

,los terminos de lugares (a+3) y (b−1) equi-distan de los extremos; ademas la suma detodos los coeficientes es 27, hallar la sumade todos los exponentes de variable en sudesarrollo:a) 20 b) 15 c) 16d) 14 e) 18

23. Se desea ubicar a un grupo de estudiantes dela UNPRG, formado por tres hombres y tresmujeres de un modo tal que ellas queden al-ternadas con ellos. Averiguar el numero deformas si:

Se sientan en fila.

Se sientan alrededor de una mesa cir-cular.

a) 30; 36 b) 120; 72 c) 72; 12d) 72; 36 e) 36; 12

24. ¿De cuantas maneras podra ser elegido eldelegado y subdelegado del aula constituidode 20 alumnos, bajo la condicion de que ca-da alumno pueda ser elegido solo a uno deestos cargos?a) 380 b) 190 c) 20!d) 19! e) 760

25. Determinar el numero de permutaciones di-ferentes que serıan posible formarse con lasletras de la palabra “QUEQUE”a) 420 b) 120 c) 720d) 90 e) 30

26. En un hospital se tiene 5 medicos especia-listas en nefrologıa y 4 enfermeras se deseaescoger un grupo de 4 personas para una in-tervencion quirurgica al rinon en la sala decirugıa del nosocomio ¿De cuantas manerasse podra realizar esto, si en cada grupo debehaber a lo mas 2 medicos nefrologos pararealizar la intervencion?a) 55 b) 80 c) 85d) 135 e) 150

27. • BA•

• CF•

• D• E

De la figura halle la diferencia entre el nume-ro de triangulos y el numero de rectas quepueden trazarse.a) 10 b) 6 c) 1d) 2 e) 5

28. Cuantos numeros de 3 cifras que sean paresexisten?a) 450 b) 540 c) 720d) 210 e) 120

29. ¿Cuantas permutaciones pueden formarsecon las letras de la palabra BEBETO, sidebe empezar con O y terminar en T?a) 3! b) 4! c) 2!d) 6! e) 9!



1. Si(n+ 2)!

n!= 5 +

(n+ 12)!

(n+ 11)!, halle el valor

de (n3 − 1); n ∈ Na) 0 b) 26 c) 7d) 63 e) 124

2. Determine el valor de “n” en:

36

2

6

6

4

0!

2!+

1!

3!+

2!

4!+

3!

5!+ · · ·

| {z }

n terminos

3

7

7

5

= n2 + n

a) 4 b) 8 c) 6d) 7 e) 5

3. Determinar el valor de:

E =1313!+1(12!)14!

(13)13!(12!)13(13!)+13!+ 13

a) 13 b) 12! c) 26d) 13! e) 12(13!)

4. Calcular: A =nX

k=1

kCnk

a) n2n−1 b) 2n c) n2n

d) n e) n2n+1

5. Hallar “n” en:nX

k=1

kCnk = 80

a) 7 b) 6 c) 8d) 5 e) 4

6. Reducir: W =n+1X

k=1

Cnk−1k

a) 2n+1+1n+1 b) 2n+1−1

n+1c) 2n+2+1

n

d) 2n−2−1n e) 2n+1+n

n+1

7. Simplificar: W =50X

k=1

kC50k

C50k−1

a) 498 b) 1010 c) 1143d) 1345 e) 1275

8. Hallar el valor de n ∈ N en:30X

k=0

�

30

k

�

3k +20X

k=0

�

20

k

�

7k = 82nX

k=0

�

2n

k

�

a) 20 b) 25 c) 29d) 30 e) 32

9. Si:

�

3x+ 1

5y − 3

�

=

�

x2 − 87

2(y + 1)

�

; el valor de

(x+ y) es:a) 16 b) 13 c) 11d) 18 e) 21

10. Sabiendo que el sexto termino del desarrollode (x2 − 2y)n, es: −1792x2n−10y5. El valorde n es:a) 6 b) 7 c) 9d) 8 e) 10

11. Al desarrollar el binomio

�

xm

yn−10+

yn+20

x

�n

;

se obtiene un solo termino central cuya par-te literal es x60y600, determine el valor de:E = m+ na) 25 b) 44 c) 38d) 49 e) 60

12. El valor que debe tomar k para que losterminos de lugares (k2 + 8) y 6k, del desa-rrollo de (x2 + y3)193, equidisten de los ex-tremos es:a) 19 b) 13 c) 15d) 17 e) 11

13. En el desarrollo de

3√x2

y5+

y7

x

!n

se tienen

dos terminos consecutivos, donde el prime-ro de ellos es independiente de x y el otroindependiente de y. Los lugares que ocupanestos son respectivamente:a) 22 y 23 b) 23 y 24 c) 25 y 26d) 24 y 25 e) 26 y 27

14. Sabiendo que el desarrollo de (x + y)n tie-ne 25 terminos y que ademas la suma desus coeficientes es 4 veces la suma de loscoeficientes del desarrollo de (x + y)m. Elnumero de terminos del ultimo desarrollo es:a) 23 b) 22 c) 21d) 24 e) 25

15. Indicar valor de “n” que hace que el desa-

rrollo de�

x3 +1

x2

�n

contenga unicamente

15 terminos racionales enteros.a) 21 b) 22 c) 25d) 24 e) 23


16. El valor positivo de n para que los termi-nos de lugares 9 y 7 en el desarrollo de�

√13

2x+ y2

�n

posean igual coeficiente es:

a) 7 b) 20 c) 14d) 8 e) 21

17. Los lugares de los dos terminos consecuti-vos en el desarrollo de (x+ y)24 que tomanlos mismos valores numericos para x = 2;y = 8, son:a) 15 y 16 b) 18 y 19 c) 19 y 20d) 21 y 22 e) 20 y 21

18. Si el termino central del desarrollo(xn + x−n)4n es C4n

12−n. El valor de estetermino es:a) 18720 b) 17820 c) 12870d) 12780 e) 12 800

19. Si en el desarrollo de la potencia (a+b)27, losterminos que ocupan las posiciones: (p3+2)y (3p2+3p+1), equidistan de los extremos.calcular el coeficiente del termino de posi-cion “p”.a) 27 b) 36 c) 9

d) 18 e) 45

20. Encontrar el numero total de enteros po-sitivos que pueden formarse utilizando losdıgitos {1, 2, 3, 4} si ningun dıgito debe re-petirse cuando se forma un numero.a) 12 b) 24 c) 48

d) 64 e) 96

21. Una caja contiene focos; 2 de 25 vatios; 3de 50 vatios y 4 de 100 vatios. ¿De cuantasmaneras pueden escogerse 3 de ellos?a) 21 b) 24 c) 42d) 84 e) 48

22. ¿De cuantas maneras pueden distribuirseentre 9 personas; 3 medallas de oro, 2 deplata y 4 de bronce (en ese orden), si a cadapersona le corresponde una medalla?a) 90 b) 630 c) 310d) 180 e) 1260

23. Un estudiante tiene 10 libros de Matemati-ca y el otro tiene 8 libros de Fısica. ¿De

cuantas formas pueden intercambiar dos li-bros de uno por dos del otro?.a) 315 b) 310 c) 1260d) 610 e) 810

24. Se tiene un examen que consta de 10 pre-guntas, de las cuales hay que elegir 7, si lasdos primeras son obligatorias, determine decuantas maneras puede escoger sus pregun-tas.a) 56 b) 36 c) 42d) 48 e) 24

25. Si solo se consideran las letras a, b, c, d, ey f ¿Cuantas placas para automovil puedehacerse si cada placa consta de dos letrasdiferentes seguidas de 3 dıgitos diferentes?a) 24400 b) 18600 c) 13500d) 21600 e) 42200

26. Una clınica tiene 25 empleados profesio-nales, 4 de ellos son medicos cirujanos. Decuantas maneras pueden formarse grupos detres profesionales donde por lo menos unode ellos sea medico cirujanoa) 1330 b) 970 c) 840d) 966 e) 960

27. Nueve personas abordan un tren que tie-ne 3 vagones, cada pasajero escoge alea-toriamente el vagon. ¿De cuantas maneras2 pasajeros van en un vagon, 3 en el otrovagon y 4 en el vagon restante?a) 7560 b) 3780 c) 5040d) 6300 e) 1260

28. ¿De cuantas maneras diferentes se puede irde M a N sin retroceder?

N

M

a) 160 b) 120 c) 155d) 145 e) 165



1. Simplificar

4!× 25!− ((4!)!)! × 5!

5!× (4!)! − 4!× (24!)!

a) 1 b) 5 c) 4d) 2 e) 3

2. Indicar el valor de sumar las dos ultimas ci-fras de N , siendo:

N = 1! + 2! + 3! + 4! + · · ·+ 38!

a) 7 b) 8 c) 9d) 12 e) 4

3. Siendo α una solucion de la ecuacion:

(x+ 3)!2 + (x+ 2)!

(x+ 4)!=

1

x+ 3

Calcular el valor de αα.a) 1/27 b) −1/27 c) 1/4d) −1/4 e) 1

4. Al resolver la ecuacion

n

n− 3

�

n− 1

3

�

+�

4 +n+ 2

n− 1

�

�

n+ 1

3

�

= 64

El valor de n es:a) 4 b) 8 c) 2d) 5 e) 7

5. Si se cumple que:(n!)2

(2n)!

�

2n+ 1

n+ 1

�

=41

21. El

valor de n es:a) 21 b) 19 c) 18d) 20 e) 22

6. Si se cumple la siguiente igualdad:�

Cx−1x−4 + 2Cx−1

x−3 + Cx−1x−2

2

�

! = 120

El valor de x es:a) 6 b) 4 c) 5d) 3 e) 2

7. Calcular el valor de n+ k en:

Cn+1k+1 + Cn

k +

�

n− k + 2

n+ 1

�

Cn+1k−1 = C30

13

a) 40 b) 44 c) 47d) 50 e) a y b

8. Simplificar:

W = 3

s

1 + 7Cn1 + 12Cn

2 + 6Cn3

Cn1 + 6Cn

2 + 6Cn3

a) nn+1 b) n2+1

n2 c) n+1n

d) n2

n2+1 e) n3+1n3

9. Simplificar:

�

Cn+1k+1 − Cn

k

�

Cn−1k−1

(Cnk )

2 − Cn+1k+1C

n−1k−1

a) k b) n c) n− kd) k + 1 e) n+ 1

10. Si los coeficientes binomiales:

�

4

x2 − x

�

y�

4

2x− 2

�

equidistan de los extremos en el

desarrollo de un binomio elevado a un ex-ponente n ∈ N. Hallar x.a) 4 b) 5 c) 6d) 2 e) 8

11. Si x27y6 es la parte literal de uno de losterminos del desarrollo de (x3 + y2)n. Elnumero de terminos del desarrollo es:a) 14 b) 13 c) 12d) 11 e) 10

12. Sabiendo que la suma de los exponentesde x de todos sus terminos del desarrollode (x3 − 5x−2)10n es 3 240. EL numero determinos de su desarrollo es:a) 31 b) 51 c) 61d) 91 e) 81

13. Senale el numero de terminos racionales en-teros contenidos en el desarrollo del binomio( 3È

x2y +√xy)18.

a) 3 b) 5 c) 4d) 6 e) 7

14. ¿Cuantos terminos de la expansion de:( 3√3 +

√2)12 son naturales?

a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) 5

15. Hallar el termino independiente de x en�√

x+14√x

�9

a) 210 b) 126 c) 36d) 84 e) 120


16. En el desarrollo de (x4 + x−3)2n−1 uno delos terminos centrales es independiente dex. Halle el numero de terminos.a) 6 b) 8 c) 7d) 9 e) 10

17. Hallar el numero de terminos irracionalesdel desarrollo de ( 4

√x+ 3

√x)48

a) 41 b) 42 c) 43d) 45 e) 44

18. Teniendo en cuenta el desarrollo de la ex-

presion

�√x+

13√x

�56

indique el valor de

verdad de las siguientes proposiciones:

El numero de terminos irracionales es47.

El numero de terminos fraccionarios es4.

No tiene termino independiente.

a) FFF b) FVV c) VVVd) VVF e) VFV

19. El termino independiente en el desarrollodel binomio (xa+x−3)7, con a ∈ 〈0, 15〉, es:a) 35 b) 21 c) 45d) 63 e) 7

20. Hallar el lugar que ocupa el termino inde-pendiente del desarrollo de

�

2x− 9

x

�Cn0 +Cn

1 +Cn2 +···+Cn

n

a) 2n−1 − 1 b) 2n−1 + 1 c) 2n

d) 2n−1 e) 2n + 1

21. ¿De cuantas maneras distinta podra viajarGoku desde la ciudad A a la ciudad D comomuestra la figura?.

5

2 3 4

A B C D

a) 14 b) 44 c) 120d) 29 e) 24

22. Seis personas se ubican alrededor de unamesa circular. ¿De cuantas formas podranubicarse si 3 de ellas deben estar siemprejuntas?a) 48 b) 56 c) 96d) 72 e) 36

23. En un jardın juegan 7 ninos y 5 ninas. ¿Decuantas formas se pueden escoger 4 ninos y3 ninas?a) 240 b) 180 c) 350d) 320 e) 300

24. Alessandra tiene 10 amigos, desea invitar auna reunion solo a 3 de ellos. ¿De cuantasmaneras puede invitar, si entre las 10 perso-nas hay 2 matrimonios y cada pareja asistenjuntas?a) 32 b) 16 c) 8d) 64 e) 128

25. ¿Cuantos equipos de futbol se podran for-mar con 15 jugadores?a) V 15

11 b) 15! c) 14!d) C15

4 e) 11!

26. Con 5 oficiales y 9 soldados. ¿Cuantos gru-pos de 6 pueden formarse de manera que encada grupo entre por lo menos 3 oficiales?a) 630 b) 1029 c) 1000d) 360 e) 580

27. Tres viajeros llegan a cierto pueblo en el cualhay siete lugares dedicados al alojamiento.¿De cuantas maneras pueden elegir susrespectivos establecimientos debiendo estarcada uno en lugares exclusivos?a) 120 b) 24 c) 110d) 180 e) 210

28. En una clınica una enfermera necesita eva-luar 8 de 10 historias clınicas.

Cuantas maneras de evaluar tiene?

De cuantas maneras puede evaluar, silas tres primeras son obligatorias?

Dar como respuesta la suma de estos resul-tados:a) 56 b) 76 c) 66d) 96 e) 106

Capıtulo 9:

RADICACION

Objetivos

z Utilizar los radicales para afianzar la similitud con la potenciacion como operacion inversa de esta.

z Transformar los radicales dobles a simples.

z Resolver operaciones con exponentes fraccionarios, utilizando la racionalizacion como herramienta

de simplificacion.

9.1. Introduccion

Las raıces cuadradas son expresiones matematicas que surgieron al plantear diversos problemas

geometricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a.

C., que copia textos mas antiguos, muestra como los egipcios extraıan raıces cuadradas. En la antigua

India, el conocimiento de aspectos teoricos y aplicados del cuadrado y la raız cuadrada fue al menos

tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados alrededor del 800–500 a. C. (posiblemente mucho antes).

Un metodo para encontrar muy buenas aproximaciones a las raıces cuadradas de 2 y 3 es dado en el

Baudhayana Sulba Sutra. Aryabhata en su tratado Aryabhatiya, dio un metodo para encontrar la raız

cuadrada de numeros con varios dıgitos.

Los babilonios aproximaban raıces cuadradas haciendo calculos mediante la media aritmetica reite-

radamente. En terminos modernos, se trata de construir una sucesion a0, a1, a2, a3, . . . dada por:

an+1 =1

2

�

an +a

an

�

Puede demostrarse que esta sucesion matematica converge an → √a (como valor inical a0 puede

tomarse con buena aproximacion el entero mas cercano al valor de la raız cuadrada). Las raıces cua-

dradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matematicas, siendo particularmente investigadas

181


durante el periodo pitagorico, cuando el descubrimiento de que la raız cuadrada de 2 era irracional

(inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matematica de

la epoca.

Posteriormente se fue ampliando la definicion de raız cuadrada. Para los numeros reales negativos,

la generalizacion de la funcion raız cuadrada de estos da lugar al concepto de los numeros imaginarios

y al cuerpo de los numeros complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus

raıces (teorema fundamental del algebra). La diagonalizacion de matrices tambien permite el calculo

rapido de la raız de una matriz.

Inicialmente mostraron su utilidad para la resolucion de problemas trigonometricos y geometricos,

como la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitagoras. Posteriormente fueron ganando utilidad

para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, siendo una de las

herramientas matematicas mas elementales hoy en dıa.

Definicion 9.1.1. Es la operacion que consiste en hallar una expresion llamada raiz conocidas otras

dos: ındice y radicando; tal que, dicha raız elevada al ındice resulte el radicando; es decir:

n√A = r si y solo si A = rn

Donde: r es la raız, n es el ındice, y A es el radicando o cantidad subradical

si n es par entonces A ≥ 0 y r ≥ 0

Ademas, si r es la raız, se presentan los siguientes casos en n√A:

Par√N◦ Positivo = +r

Par√N◦ Negativo = N◦ Imaginario

Impar√N◦ Positivo = +r

Impar√N◦ Negativo = −r

9.2. Clasificacion de los radicales

1. Radicales Homogeneos: Son aquellos que tienen igual ındice. Ejemplo: 3 5√14, 7 5

√11, 9 5

√2

2. Radicales Semejantes: Son aquellos que tienen igual ındice y la misma cantidad subradical.

Ejemplo: 2 3√5, 6 3

√5, 4 3

√5

Principio fundamental:

Si n√am = r, entonces pn

√apm = r


Homogenizacion de radicales:

Para homogenizar radicales con ındices diferentes, se calcula el MCM de los ındices, el cual sera el

nuevo ındice y luego se utiliza el principio fundamental.

Raız de un monomio

Para extraer la raız enesima de un monomio, se extrae la raız del coeficiente y luego se dividen los

exponentes de las partes literales entre el ındice de la raız.

Raız de un polinomio

Procedimiento para extraer la raız cuadrada de un polinomio:

El polinomio radicando generalmente debe ser completo y ordenado en una variable, si faltara

algun termino se puede completar con ceros

Se agrupan a los terminos del polinomio de dos en dos a partir del ultimo termino.

Se extrae la raız cuadrada al primer termino del polinomio, este sera a su vez el primer termino

de la raız cuadrada del polinomio, luego este se eleva al cuadrado y el reultado se resta del

polinomio.

Se bajan los dos siguientes terminos del polinomio, seguidamente se duplica la raiz encontrada,

luego se divide el primer de los bajados entre este y el resultado sera el segundo termino de la

raiz, a este valor obtenido se adiciona la raiz la raız duplicada y todo ello queda multiplicado

por el segundo termino de la raiz para luego restarlo del polinomio.

Se baja los dos terminos siguientes y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el residuo

sea de grado menor que la raız o el residuo sea un polinomio identicamente nulo.

9.3. Radicales Dobles

Son radicales que tiene la forma:È

A±√B;È

A±√B ±

√C ±

√D


CAP 08: Radicacion 9.1.

1. Efectuar:�

4

q

a3b55√b4 · 5

È

ab2√a�2

÷ 20√a53b42

a) a b) b/a c) bd) a/b e) 1

2. Hallar: E = y 3√2

x√2+ 2 y

√2

y−2√8 − 3√2

x√y−1

si son radicales semejantes:a) 4 3

√4 b) 16 3

√2 c) 8 3

√2

d) 8 3√4 e) 16 3

√4

3. Si P (x) = 16x4 + mx3 + nx2 − 216x + 81,posee raız cuadrada exacta, determinar“m+ n”.a) 320 b) −120 c) 120d) −320 e) 12

4. Resolver:

−2È

18 + 2√32

�

È

17 + 12√2

È

3 +√8

+ 3

�

x = 1

a) 1 b) 16 c) 30d) 10 e) 18

5. Simplificar (A+B)6 donde:

A =2

È

2 +√3− 2È

2−√3

B =

√3

È

2 +√3+

√3

È

2−√3

a) 2 b)√2 c) 16

d) 8 e)√6

6. Reducir:

È

26 +√675 −

È

26−√675

3È

26 +√675 +

3È

26−√675

a)

√50

2b)

5√2

4c)

√50

3

d)

√50

16e)

√40

7. Simplificar:

Ê

(1 +√2)2 + (1−

√2)2

2·È

3−√8

È

8 + 4√3− 4

È

49 + 20√6

a)√3 +

√2 b) 2 c)

√3 + 1

d)√2 e) 1

8. Efectuar :12È√

3 +√2

4È√

3 +√2

3È√

3−√2

a)√3 +

√2 b)

√3−

√2 c) 1

d)√2 e) 2

9. Hallar el valor numerico de:

P (x) =(x2 + 2x+ 1)n + (x2 − 2x+ 1)n

(x2 + 2x+ 1)n − (x2 − 2x+ 1)n

para x =n√2 + 1

n√2− 1

a) 5/3 b) 2/3 c) 4/3d) 1 e) 2

10. El equivalente de:È

5x− 2 + 2√6x2 − 7x− 3, es

√ax+ b +√

cx− a; siendo a, b y c numeros naturales.Calcular a+ b+ c.a) 3 b) 9 c) 8d) 6 e) 7

11. Simplificar:

( 6√x− 6

√y)(

√x+

√y)(

3√x2 + 3

√xy + 3

È

y2)3√x− 6

√xy + 3

√y

a) x+ y b) x− y c)√x−√

yd)

√x+

√y e) 3

√x− 3

√y

12. Efectuar:

3

r

2

3− 4 3

r

9

4+ 6 3

r

16

81+ 8 3

r

1

12− 3

√18

a) 1 b) 3√18 c) 3

√2

d) 3√3 e) 0

13. Simplificar:

1È

5−√6 +

√10−

√15

+1−

È

4−√15√

6

a)√5 +

√2 +

√3 b)

√3 +

√2

c) 1 d)√5 +

√2−

√3

e) 5 +√3

14. El valor que toma9√x+ 1− 1

3√x+ 1− 1

, cuando x

se aproxima a 0 es:a) 1/3 b) 0 c) 1d) 3 e) −1


15. Racionalizar:2(√15−

√7)√

3 +√5 +

√7 + 1

, indicar la

suma de los radicandosa) 1 b) 8 c) 0d) 16 e) 2

16. El factor racionalizante de1

3√3 + 3

√9− 2

,

es de la forma a3√n2 − b 3

√n + c. Hallar

a+ b+ c+ na) 1 b) 2 c) 5d) 9 e) 12

17. Racionalizar y dar la suma de los denomi-nadores de:

1√15 +

√5−

√3− 1

+1

3√18− 3

√30 + 3

√50

a) 18 b) 38 c) 16d) 54 e) 24

18. Transformar en radicales simples la expre-

sionÈ

A+√B siendo:

A = 3x+ 3y + 1 yB = 60xy − 40y2 − 36x+ 104y − 48Senalar uno de sus terminos:a)

√2y + 3 b)

√2y − 4 c)

√5y − 3

d)√5y + 4 e)

√10y − 1

19. Hallar x+ y + z, si:2(√x−√

y) = x− y3(√y −√

z) = y − z5(√z −√

x) = z − x ; x 6= y 6= za) 13 b) 26 c) 14d) 38 e) 29

20. Calcular el resto que se obtiene al di-vidir el resto de la raız cuadrada de:x6 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 5x+ 2 entre x+ 3a) 17 b) −5 c) 8d) −2 e) 7

21. Determinar:

E =

√2− 1

−2 +1

−2 +1

−2 +1√2− 1

a) −1 b) 1 c)√2

d)√2− 1 e) 2

22. Simplificar:a

3√ab4 + b

3√a4b+ 8

3√a4b4 − 3ab 3

√ab

a) 7ab b) a c) 7ab√ab

d) 3√ab e) 7ab 3

√ab

23. Simplificar:nÈ

2−√3 · 2n

q

È

2 +√3 · 4n

È

(2 +√3)3

a)√3 b) 3 c) 1

d) 2 e) 4

24. Simplificar:nÈ√

3 +√2 · 2n

È

5− 2√6

a) 1 b) n√b c) 2

d) n√a e) 6

25. Determinar (m+ n) para que el polinomio:9x4 +12x3 − 2x2 +mx+ n tenga raız cua-drada exacta.a) 4 b) 6 c) −2d) −3 e) −5

26. Reducir√1− x2+(1−x)

r

1 + x

1− x− 2(1+x)

r

1− x

1 + xa) 2

√1− x b) 0 c)

√1 + x

d)√x e)

√1− x

27. Si x ≥ 0, reducir:1

È

x+ 2 + 2√x+ 1−

È

x+ 2− 2√x+ 1

a) 2 b) 4 c) 1/3d) 1/4 e) 1/2

28. Calcular el valor de a + b, en la igualdad:È

3 +√10 +

È

−3 +√10

√2È

3 +√10

=√a−

√b.

a) 5 b) 9 c) 7d) 3 e) 1

29. Hallar “a”, si: ax2 + 8√a+ 9x + 25 es un

trinomio cuadrado perfecto.a) 16 b) 15 c) 2d) 8 e) 14

30. Indicar la raız cuadrada de la expresion:1 + (x+ 2)(x+ 3)(x+ 4)(x + 5)a) x2 + 1 b) x2 + x+ 1c) x2 + 6x+ 12 d) x2 + 7x+ 11e) x2 + 2

31. Simplificar A−B siendo:

A =

r

1 +1

x+

1

x2+

r

1− 1

x+

1

x2

B =2√

x2 + x+ 1−√x2 − x+ 1

a) x2 b) 0 c) 1d) x e) x+ 1



1. Ordenar de menor a mayor: 8√8, 4

√4, 16

√16.

a) 16√16, 4

√4, 8

√8 b) 16

√16, 8

√8, 4

√4

c) 8√8, 16

√16, 4

√4 d) 8

√8, 4

√4, 16

√16

e) 4√4, 8

√8, 16

√16

2. Efectuar:6√a2

6√ab4

È

a3√b2.

a) a3b2 b) ab2 c) a2b

d) a 3√b e) ab

3. Simplificar W =x2 + x

√x2 + 1 + 1√

x2 + 1 + x, donde

x =È√

5− 1.

a)√5 b) 3

√5 c) 4

√5

d) 5√5 e) 6

√5

4. Extraer la raız cuadrada del polinomio:4x4 + 12x3 + 13x2 + 11x + 8. Luego cal-cule: Σcoef(raız) + Σcoef(resto)a) 18 b) 12 c) 6d) 24 e) 30

5. Calcular el resto que se obtiene al di-vidir el resto de la raiz cuadrada de:x6 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 5x+ 2 entre x+ 3.a) 17 b) −5 c) 8d) −2 e) 7

6. Calcular el valor de m2 + n2 + p2 si la raizcuadrada del polinomio mx6 + nx5 + px4 +12x3 − x2 + 7 arroja por resto 5x2 − 2.a) 9 b) 33 c) 63d) 17 e) 64

7. Si al extraer la raiz cuadrada de P (x) =x6 + x4 + ax2 + b, se obtiene como residuo(P (

√x)− ax− x3). Hallar a.

a) 1 b) 1/2 c) 3/4d) 1/4 e) 5/4

8. Calcular W =2nÈ

7− 4√3

nÈ√

3 + 2 + 1a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

9. Efectuar W =

È√3 +

√2

4È

5− 2√6

2+ 3

a) 7/2 b) 1 c) 3/2d) 1/2 e) 4

10. SiÈ

a+ 4√b+ 2 =

√a− 2+

√2b , a, b ∈ N,

a > b; descomponer en radicales simples:È

a+ b+ 2√a+ 6b

a) 1 +√2 b) 2 +

√3 c)

√7 + 1

d)√7 +

√2 e)

√2 + 7

11. Al descomponerq

5 +È

(n− 1)! en sumade radicales simples, el producto de las can-tidades subradicales es (n − 2)!. Cual es elvalor de n?.a) 8 b) 5 c) 2d) 9 e) 1

12. Transformar en radicales simples la expre-

sion:È

A+B√5, donde A = 1 + 3 + 5 +

· · · + 59 y B = 1 + 3 + 5 + · · · + 39. Senaleuno de sus terminos.a) 50 b) 80 c) 10

d) 90 e) 20

13. Hallar la raız cuadrada de:21− 4

√5 + 8

√3− 4

√15

a) 2 +√3−

√5 b) 2 +

√5

c) 2−√5 + 2

√3 d)

√5−

√2

e) 1

14. Si el residuo deÈ

(x+ 1)4 + 4(x+ 1)3 − 2(x+ 1)2 − 11x esequivalente a mx+ n. Calcular mn.a) 3 b) 2 c) −4d) 1 e) −3

15. Si se cumple que:È√

3 +√30 + 7 +

√10 =

√a +

√b +

√c,

donde a, b y c > 0. Evaluar: Q =4abc

5a) 1 b) 2 c) 0d) 3 e) 30

16. La expresion

W =È√

4x5 + 4x4 + 4 + x3 + x2 + 2 sepuede expresar como:

a)√x2 + x+ 1 +

√x2 − x+ 1

b)√x2 + x+ 1 +

√x3 − x+ 1

c)√x2 + 3x+ 1 +

√x2 − 3x+ 1

d)√x3 + 1 +

√x2 + 1

e)√x2 + 2x+ 1 +

√x3 + x+ 1


17. Si se sabe que:n√a+ 1

n√a− 1

=

n

r

1

c+ 2

n

r

1

c− 2

. Hallar

el valor de n√ac.

a) 1/4 b) 3/4 c) 1/8d) 3/2 e) 1/2

18. Reducir:q

4√8−

È√2 + 1

q

4√8 +

È√2− 1−

q

4√8−

È√2− 1

a) 1/2 b)√2 c)

√2

2

d)4√2

2e) 4

√8

19. El termino independiente del denominador

racionalizado de4√x+ 2√

x− 4√x− 6

es:

a) −81 b) 3 c) 81

d) −100 e) −50

20. Si a4 = 17 + 12√2. Hallar a−1.

a) 2√2 b) 1 +

√3 c) 1 +

√2

d)√2− 1 e) 1

21. Reducir E =4È

17 + 12√2− 4

È

17− 12√2.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

22. Halle el equivalente de:

1È

5−√6 +

√10−

√15

+1−

È

4−√15√

6

a)√3 +

√2 b) 5 +

√3

c)È√

5 +√2 d)

√5 +

√2 +

√3

e) 1

23. Al transformar:È

3x− 1 +√A+

√B +

√C, con x ≥ 3,

donde A = 4x2 − 4x − 24, B = 4x2 + 8x yC = 4x2 − 12x; uno de los radicales simpleses:a)

√3− x b)

√x+ 3 c)

√x− 3

d)√x− 1 e)

√x+ 1

24. Simplificar:È

21 + 2√35− 6

√5− 6

√7−

È

12 + 2√35

a) −3 b) −1 c) 0d) 1 e) 4

25. Si se verifica la siguiente igualdad:√2

É

3 +

q

5−È

13 +√48 = 4

√a+ 4

√b

descompongaÈ

a+√32b en radicales sim-

ples con a > b.a) 3

√2 + 1 b)

√2 + 1 c)

√2 + 2

d) 2√2 + 1 e) 2

√2 + 2

26. Hallar el valor de: W = x3 + 3x + 9, para

x =3È√

2 + 1− 3È√

2− 1a) 3 b) 11 c) 7d) 9 e) 5

27. Racionalizar:2

3√25− 3

√15 + 3

√9, y dar co-

mo respuesta el denominadora) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 4

28. Sabiendo que a, b, c > 0. Ademasc+

√ab = b+

√ac. Racionalizar:

A =(√ac−

√bc)2

3È

a√a− b

√b− 3

√abc

a) c b)√b c) c

√c

d)√c e) a

√b

29. Hallar el denominador racionalizado de

13√49− 3

√7− 6

a) 300 b) 150 c) 200d) 100 e) 50

30. Calcular A y B de la igualdad:È

11√2− 12 = 4

√A− 4

√B

Senalando el valor de: 4È

A/B

a)√2 b) 4

√2 c) 3

√2

d)3√2

2e) 4

√3


1

1 +√6 +

√7

a) 14 b) 12 c) 13d) 11 e) 10


2q

6x+ 2y + 2È

8x2 + 6xy + y2 − 4x− 4

a) x b) x− 1 c) x+ 1d) x+ 3 e) x+ 2



1. El valor de F =4È

28 + 16√3 +

È

8−√60

4È

17 + 4√18 +

È

7−√40

a) 3 b) 1 c) 4

d) 5 e) 6

2. Efectuar

(√3− 2)

¨ √1, 5√

1, 5 −√0, 5

+0, 5√

0, 75 + 0, 5

«

a)√3− 1 b) 1 +

√3 c) 1 + 3

√3

d) 1− 3√3 e) 1−

√3

3. Simplificar para n ≥ 2 la expresion:

L =n+ 2 +

√n2 − 4

n+ 2−√n2 − 4

+n+ 2−

√n2 − 4

n+ 2 +√n2 − 4

a) 1 b) n2 c) nd) 1/n e) 2n

4. Efectuar:1√

a2 − 1

�

a+√a2 − 1

a−√a2 − 1

− a−√a2 − 1

a+√a2 − 1

�

Si: |a| 6= 1a) 4a b) a2 c) ad) 2a e) a4

5. Hallar m y n si la raız cuadrada de:P (x) = 16x4 − 32x3 + 24x2 + mx + n, esexacta:a) −8 ; −1 b) −6 ; −8 c) −6 ; 8d) −8 ; 1 e) −8 ; −6

6. Calcular a + b si la raız cuadrada deP (x) = 9x4 + ax3 + bx2 − 67x + 54 dejaun resto de 3x+ 5a) 36 b) 37 c) 13d) 42 e) 45

7. Si al extaer la raız cuadrada de:P (x) = x6 + x4 + ax2 + b.Se obtiene como residuo [P (

√x)− ax− x3].

Hallar “a”a) 1 b) 1/2 c) 3/4d) 1/4 e) 5/4

8. Simplificar:È

9− 4√2 + 2

È

3 +√8 +

È

12 + 8√2

È

13 + 4√10−

È

11 − 2√10 +

È

15− 10√2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Calcule el cubo de:4È

17 + 12√2

a) 7 + 5√2 b) 12 + 6

√2 c) 8 + 4

√2

d) 7 + 6√2 e) 9 + 5

√2

10. Descomponer en radicales simples:

E =

q

3−√3−

È

4−√12

a)√2 + 1 b)

√3 + 1 c)

√2− 1

d)√3− 1 e) 2

11. Hallar m de modo que se cumpla:1

È

11− 2√m

=3

È

7− 2√10

+4

È

8 + 4√3

a) 20 b) 30 c) 25d) 35 e) 40

12. Indique el valor mas simple de:4È

31 + 8√15− 4

È

31− 8√15

4È

23 + 8√7− 4

È

23− 8√7

a)√2 b)

√6 c)

√2/2

d)√3/3 e)

√3

13. Indicar el producto de los radicales simples

que se obtiene al transformar:È

5√6− 12

a) −12 b)√6 c) −6

d) 12 e) −√6

14. Al transformar:È

A+√B +

√C +

√D,

donde A = 3x − 1, B = 4x2 − 4x − 24,C = 4x2 + 8x, D = 4x2 − 12x, con x ≥ 3,uno de los radicales simples es:a)

√x b)

√x+ 3 c)

√3− x

d)√x− 2 e)

√x+ 1

15. Si se verifica lo siguiente:√2

É

3 +

q

5−È

13 +√48 = 4

√a+ 4

√b

DescompongaÈ

a+√32b , en radicales sim-

ples a > ba) 3

√2 + 1 b)

√2 + 1 c)

√2 + 2

d) 2√2 + 1 e) 2

√2 + 2

16. Efectuar:E = 3

√2 · 3È√

3 + 1 · 6È

16− 2√48

a) 6√2 b) 2 c)

√2

d)√3 e) 1

17. Si n > 0, descomponer en radicales simples:È

1 + 2 + 3 + . . .+ 2n+ 2n√2n

a)√2 +

√n b)

√2 + n

c)√2n +

√n d) n+

√n

e)√n+ n

√2

18. Hallar la raız cuadrada de:16 +

√80 +

√112 +

√140

a)√2+

√6+

√10 b)

√1+

√5+

√10

c)√4 +

√5 +

√7 d)

√3 +

√5 +

√8

e)√5 +

√8 +

√6

19. Exprese en forma de radicales simples la

expresion:È

7 +√10−

√14−

√35 y senale

el producto de los radicandos.a) 8, 75 b) 4, 25 c) 6, 05d) 7, 25 e) 1, 25

20. Teniendo presente que:q

2È

7 + 4√3 +

4È

17 +√288 =

È

A+√B +

√C +

√D

Evaluar: S =

r

BC

AD.

Donde: A < B < D < Ca) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 1/2

21. Teniendo en cuenta que:

x =

s

2, 5 +√6

2, 5−√6

e y =1

x. Indique el valor

numerico de E = 5x2 + 7xy + 5y2

a) 10 b) 497 c) 47d) 97 e) 503

22. Al racionalizar y simplificar la fraccion:24x4y3

5È

120x2y7el denominador de la fraccion

resultante es:a) 1 b) xy c) 8d) 2 e) 5

23. Hallar ab en la siguiente igualdad:È

3 +√10 +

È

−3 +√10

√2È

3 +√10

=√a−

√b;

a, b > 0a) 5 b) 100 c) 25d) 32 e) 2

24. El equivalente de:5

3√49 + 3

√14 + 3

√4+

93√49− 3

√14 + 3

√4es:

a) 2 3√7 b) 3

√7 + 3

√2 c) 3

√7− 3

√2

d) 3√7 e) 1

25. Racionalizar:10

2− 3√12 + 3

√18

a) 3√5 + 2 b) 3

√9 + 1 c) 3

√9− 1

d) 3√12 + 2 e) 3

√12 + 1

26. Luego de racionalizar, indicar el denomina-dor de la fraccion:

12È

9 + 3 3√3 + 3

√9

a) 3 b) 1 c) 9d) 12 e) 6

27. Al racionalizar:2√15−

√28

1 +√3 +

√5 +

√7.

Se obtiene:

a)√3 +

√5 +

√7− 1

b)√3 +

√5−

√7 + 1

c) 4 +√7−

√3

d) 1 +√3 +

√7−

√5

e)√3 +

√5−

√7− 1

28. El denominador racionalizado que se obtie-

ne de: A =1

3√x+ 3

√y − 3

√x+ y

, es

a) xy(x− y) b) xy(x+ y)c) 3xy(x+ y) d) 3xy(x− y)e) 3(x+ y)

29. Racionalice:4N

5√15 − 5

√7

e indique su deno-

minador racionalizado, siendo N irracionala) 2 b) 8 c) 4d) 6 e) 1

30. Dada le expresion numerica:

L =2 3√3√

3 + 3√3transforme y racionalice.

a) 6√9 +

6√35 + 6

√3− 6

√27− 3

√4− 1

b) 6√27− 3

√9− 3

√3 + 6

√3−

√3− 1

c) 6√27 + 3

√9−

√3 + 6

√3− 3

√3 + 1

d) 6√243 − 3

√9 +

√3− 3

√3 + 6

√3− 1

e) 6√243− 3

√9−

√3− 3

√3− 6

√3− 1

31. Reducir:

È

26− 15√3

√50−

È

38 + 5√3

a)√3 b)

√3/3 c) 2

√3

d) 2√3/3 e) 3



1. Reducir la expresion:

33√3 3√33 3

√3 33√33

11√33

2 33√81 33

√94

a) 11√3 b) 11

√33

2c) 33

√3

d) 33 e) 33√33

2. Al extraer la raız cuadrada del polinomio:P (x) = 3x2−2x3−6x+x4+3, se obtiene unresto R(x). Entonces, el resto de la divisionR(x)

x+ 1es:

a) −2 b) 4 c) 9d) 7 e) 6

3. Si al extraer la raız cuadrada del polinomio:P (x) = 4x4−12x3+13x2+ax+b se obtuvode resto: R(x) = (b−a)x−3a. calcular: a+ba) 4 b) 2 c) 3d) 1 e) 0

4. Al simplificar: E =È

5−√24 −

È

20−√384 +

È

7 + 4√3 −

√2, se obtie-

ne:a) 2 b)

√2 c)

√3

d) 3 e) −√2

5. Simplificar:È

20√6 + 49 − 4

È

441 + 180√6

a) 3 +√6 b) 3−

√6 c) 8 +

√6

d) 2 +√6 e) 2−

√6

6. Al transformar el radical dobleÈ

3x− 1 +√8x2 + 4x− 24, a radicales sim-

ples, uno de ellos es:a)

√2x+ 3 b)

√x+ 2 c)

√x+ 3

d)√3x+ 2 e)

√3x− 2

7. Transformar a radicales simples:È

16 +√140 −

√80−

√112

a)√5 +

√3−

√2 b)

√2 +

√7−

√5

c)√2 +

√3−

√7 d)

√5−

√7 + 2

e)√5 +

√7− 2

8. Hallar el valor de “x”, si:È

x+ 2 + 2√2x =

È

11 + 3√8 + 2

a) 5 b) 15 c) 25d) 10 e) 20

9. Hallar el valor de:W =

È

a+√4a− 4 +

È

a−√4a− 4, si

a > 2a) 2

√a− 1 b) −2

√a− 2 c) −2

d) 2 e) 2√a

10. Calcular “m”, si se cumple que:É

6 + 2m

q

10 + 2È

8− 2√7 =

√7 + 1

a) 5 b) 4 c) 3d) 1 e) 2

11. El valor de la siguiente expresion:√2√3

�

2 +√3√

3 + 1+

2−√3√

3− 1

�

es:

a)√3 b)

√2 c) 1

d) −√2 e) −

√3

12. Si se racionaliza el denominador de la expre-

sion: E =x− 5√

x− 4−√3x− 14

, se obtiene

una nueva expresion cuyo valor para x = 5es:a) −2 b) −1/2 c) 0d) 2 e) −1

13. Racionalizar:4

3√9− 3

√3 + 1

indicando el de-

nominador final.a) 2 b) 3 c) 1d) 4 e) 5

14. El denominador de:3

1 +√2−

√3

al racio-

nalizar es:a) 4 b) 6 c) 5d) 7 e) 8

15. Hallar uno de los radicales simples de la

expresion:È

a2 + 1− 2√a3 − 2a2 + 3a− 2;

a > 1a)

√a2 − a+ 1 b)

√a2 + a− 2

c)√a− 2 d)

√a2 − a+ 2

e)√a+ 1

16. Si: x =

√3 +

√2√

3−√2; y =

√3−

√2√

3 +√2. Entonces:

E = 10x2 − 18xy + 10y2 es igual a:a) 980 b) 962 c) 960d) 972 e) 952


17. Efectuar:�

È

6 + 3√2−

È

6− 3√2�4 �

2 +√2�2

a) 124 b) 120 c) 116d) 140 e) 144

18. Indicar el denominador racionalizado:

987...21

9√98 − 9

√97+ · · · + 1

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 15

19. Reducir:4

1 + 3√5 + 3

√25

+6

1− 3√5 + 3

√25

a) 2 3√5 b) 3

√5 + 1 c) 3

√5− 1

d) 3√5 e) 10 3

√5

20. Simplificar W =

È

3−√5

√2 +

È

7− 3√5

a)√22

b)√5 c)

√52

d) 1√5

e) 1

21. Despues de racionalizar:

E =5

3√10− 3

√3− 3

√6 + 3

√20 + 3

√5− 3

√12

dar como respuesta el denominador:a) 8 b) 2 c) 4d) 6 e) 1

22. Despues de racionalizar:

E =2

4√512 − 4

√384 + 4

√288− 4

√216

dar como respuesta el denominador:a) 7 b) 3 c) 4d) 5 e) 1

23. Hallar el resto de dividir el resto de extraerla raiz cuadrada de P (x) = x6+4x5+10x4+20x3 + 26x2 + 20x+ 10 entre x+ 2.a) 5 b) 4 c) 6d) 3 e) 7

24. Hallar la expresion mas simple de:� √

x√y + 1

−√y − 1√x

�� √x√

y − 1−

√y + 1√x

�

−�

x

y − 1+

y − 1

x

�

a) −2 b) x c)√x

d)√y e) 1

25. Simplificar para x > 2:

E =

s

�

1− 2√x− 1

1 +√x− 1

�

�

È

x+ 2√x− 1

È

x− 2√x− 1

�

a) 1 b) x c)√x− 1

d) i e) x− 1

26. Hallar la raız cuadrada, si 2a >√3b > 0 de:√

3b+ b2 + 2b√2a+

È

3b+ 4a2 − 4a√3b

a)√2a+

√b b) b+

√2a

c) b+√3b d)

√2a+

√3b

e) 1

27. Hallar B/A de la expresion si x > 2 y A esexpresion entera.q

(x− 2)(2x − 7) + 2È

(x− 2)3(x− 5) =

A+√B

a) x− 2 b) x− 3 c) 2x− 7d) 2x− 6 e) x− 5

28. Reducir:

s

�

aÈ

4 a√16�a(b+1).

b√

ab−b2

a) 1 b) 2a c) 2a+2

d) 2 e) 4

29. Reducir:s

8 +

Ê

8−√29 + 1

2−

s

7−Ê

7−√29− 1

2a) 1 b) 1/2 c)

√29

d)√29/2 e) 2

30. Racionalizar6

2 +√2− 4

√2. Dar el denomi-

nador:a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

31. Racionalizar W =1

x 3√x+ y 3

√y + 3

È

x2y2, e

indicar el denominador racionalizadoa) x2 + y2 b) x2 − y2 c) x+ yd) x− y e) x2 + 2y2

32. Al racionalizar y simplificar la expresion:

3x− 6

1−√4x− 7

y luego al evaluar para x = 2, el valor quese obtiene es:a) 1/2 b) 1 c) 3/4d) 1/4 e) −4/3



1. Hallar la raız cuadrada del polinomio:P (x) = x4 − 8x3 + 24x2 − 11x + 23 y darcomo respuesta la suma de coeficientes delresto.a) 14 b) 28 c) 2

d) −14 e) 12

2. Si la raız cuadrada del polinomio: P (x) =4x4 + ax3y + 5x2y2 + bxy3 + y4 es exacta,calcular el valor de ab.a) 6 b) 1 c) 4d) 16 e) 8

3. Extaer la raız cuadrada del polinomio:P (x) = 49x6 + 42x5 − 61x4 − 16x3 − 5 ydar como respuesta la suma de coeficientesdel resto.a) 31 b) 27 c) −27d) −21 e) −37

4. Si la raız cuadrada del polinomio: P (x) =4x30−4x16+12x15−6x+mx2+9 es exacta,el valor de m es:a) 1 b) 4 c) 6

d) 8 e) 2

5. Halla el valor de a para que el polinomio:P (x) = 4x2n−12xn+1+anxn+9x2−6nx+n2

tenga raiz cuadrada exacta.a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 6

6. Al simplificar la expresion E =È

5−√24−

È

20−√384 +

È

7 + 4√3−

√2 se obtiene:

a)√2 b) 2 c)

√3

d) 3 e) −√2

7. Simplificar la expresion E =√x, donde x =

È

16 +√192 +

È

25 +√96 +

È

17 +√288

a)√6 +

√3 +

√2 b)

√5 +

√3 +

√2

c)√5 +

√2 + 1 d)

√5 +

√3 + 1

e)√3 +

√2 + 1

8. Transformar en radicales simples4È

17 +√288

a)√3 +

√2 b)

√3 + 1 c)

√2 + 1

d)√3 + 3 e)

√5 + 2

9. Efectuar:

q

10−È

49−√2400

a)√3 +

√2 b)

√3 + 1 c)

√2 + 1

d)√3 + 1 e)

√3−

√2

10. El valor de4È

17 + 6√8 +

È

27− 10√2 es

equivalente a:a) 6 +

√2 b)

√2 +

√3 c) 4

d) 6 e) 8

11. Hallar x en:

È

x+ 1− 2√x

È

5 + 2√6

=√3−

√2

a) 2 b) 4 c) 10d) 6 e) 8

12. Hallar el valor de x en:È

3 +√5−

È

3−√5 = 4

È

x+ 1 + 2√x

a) 6 b) 7 c) 5

d) 8 e) 1

13. Reducir:È

18 +√252 +

√72 +

√56 −

È

13−√112 +

√56−

√32

a) 2 b) 3 c) 5d) 1 e) 4

14. Hallar el valor de:E =

3È

20 + 14√2 +

3È

20− 14√2

a) 4 b) 2 c) 9d) 8 e) 10

15. El valor de E = x3 + 3x+ 9 para

x =3È√

2 + 1− 3È√

2− 1 es:a) 3 b) 5 c) 7d) 11 e) 9

16. Si

r

7 + 4

É

5 + 2

q

9 + 2È

7− 2√6 se pue-

de expresar como√a+

√b, a > b, calcular

el valor de a+ ba) 3 b) 11 c) 7d) 9 e) 5

17. Si los terminos de la expresion algebraicaE(x) = 5 n

√3x− 8 m2√

ax+ 3, 2 4È

(b− 2)xson semejantes y ademas todos los radican-dos existen en R; hallar nm2 + aba) 15 b) 16 c) 30d) 36 e) 31


18. Reducir:

n

Ê

1

5,4321+ n

Ê

1

543,21

n

Ê

1

54,321+ n

Ê

1

5432,1

a) 1 b) n√54321 c) n

√10

d) n√0,1 e) n

√0,54321

19. Si: m+ n = 2mn; reducir:4m − 4n

n√2m − m

√2n

a) 2 b) 1 c) −1/8d) −4 e) 1/2

20. Racionalice:1√

2− 5√5; senale su denomina-

dor racionalizado.a) 1019 b) −3 c) 999d) 7 e) 27

21. Hallar el denominador racionalizado de:

210√109 +

10√108 +

10√107 + . . . + 10

√10 + 1

a) 1 b) 9 c) 3

d) 2 e) 6

22. Racionalice e indicar el denominador en:

29√98 − 9

√97 +

9√96 − . . .− 9

√9 + 1

a) 10 b) 4 c) 1d) 3 e) 5

23. Reducir:

�

√3 i√

3 i− 1

�2

+

�

√3 i√

3 i+ 1

�2

a) −3/4 b) 1/2 c) 3/4

d) 4/3 e) −4/3

24. Simplificar:

18X

k=1

1√k + 1 +

√k + 2

!−1

a)

√20 +

√2

18b)

√20−

√2

18

c)

√19 +

√3

16d)

√19−

√3

16

e) 1

25. En la siguiente igualdad:

1È

11− 2√n=

3È

7− 2√10

+4

È

8 + 2√12

hallar el valor de na) 10 b) 20 c) 40d) 30 e) 50

26. Indicar el denominador racionalizado de:6√27

3− 6√9

a) 2 b) 8 c) 6d) 1 e) 4

27. Hallar el denominador racionalizado de:8

(1 + 5√2 + 5

√4 + 5

√8)2 − 5

√8

a) 0 b) 8 c) 6d) 1 e) 7

28. Hallar el denominador racionalizado de:

1

3 3√3 + 3

√36 + 2 3

√2

a) 3 b) 7 c) 5d) 6 e) 4

29. Racionalizar e indicar el denominador de:

6√a+ 6

√b

�

6√a− 6

√b� �

3√a+ 3

√b�

con a, b ∈ R+

a) a2 − b2 b) a+ b c) a3 + b3

d) a3 − b3 e) a− b


x−√x− 2

x− 4

y luego al evaluar para x = 4, el valor quese obtiene es:a) 1/2 b) 1 c) 1/4d) 3/4 e) 5/4


3√x+ 22− 3

√4x+ 7√

x+ 11−√6x− 14

y luego al evaluar para x = 5, el valor quese obtiene es:a) 8/27 b) 8/45 c) 8d) 45/8 e) 3/5

32. Al racionalizar y simplificar la expresion:√x2 − 2x+ 6−

√x2 + 2x− 6

x2 − 4x+ 3

y luego al evaluar para x = 3, el valor quese obtiene es:a) 5 b) 1/2 c) −1/2d) 1 e) −1/3



1. Reducir la expresion:

E = a 20√aa − b

5c√4 + c

10b√2b

si son radicales semejantes.a) 4 8

√4 b) 4 10

√2 c) 2 10

√2

d) 20√2 e) 10

√4


W = b34√a13b+

4√a2b8 −

√ab4 + a3

4√ab13

a) 4√ab b) 2a 4

√ab

c) a3b3 4√ab d)

√ab

e) 2a3b34√ab

3. Calcular el valor de n en:2

4

q

23È

3 4√4

4q

43È

3√2

3

5

n

=3√3

6√2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

4. Efectuar:

4È√

3−√2È√

3 +√2

8È√

3−√2

8È√

3 +√2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Simplificar la siguiente expresion:q

È

9−√80 −

È

12 +√140 +

È

16 +√252

a) 3 b) 2 c) 0d) 1 e) −2

6. Si el radical doble:q

ax+ 2by +È

(6ab− 2c)xy

puede ser descompuesta en radicales sim-ples, la relacion correcta entre a, b y c es:a) c = 3ab b) c = −ab c) c = abd) c = −2ab e) c = a+ b

7. Al descomponer en radicales simplesÈ

6 +√8−

√12−

√24, resulta:

a) 1−√2 +

√3 b)

√6 +

√3 +

√2

c) 1−√2−

√3 d)

√2 +

√3− 1

e) 1 +√2−

√3


W =È

24 +√180−

√72−

√360

a)√2(√5 +

√2 + 3)

b)√3(√5−

√2− 1)

c)√3(√5−

√2 + 1)

d)√2(√5−

√2 + 1)

e)√3(√3 +

√2− 1)

9. Calcularm+n en:È

10−√84+

È

5 +√24+

È

7−√40 =

È

m+√4n

a) 47 b) 45 c) 42d) 49 e) 51

10. Efectuar:

nÈ√

3 + 13nÈ

3√3− 5

2

6

4

3n√2

3n√2 . . .

3n√2

| {z }

(3n−2) veces

3

7

5

a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

11. En la igualdadÈ

5x− 2− 2√6x2 − 7x− 3 =√

ax+ b+√cx− a, el valor de: E = a+b+c

a) 8 b) 6 c) 4d) 2 e) 1

12. Simplificar:È

2x− 1 + 2√x2 − x− 2 −

È

2x− 3 + 2√x2 − 3x+ 2

a)È

2 + 2√x2 + 1 b)

√x2 − x+ 1

c)√2 + 2x d)

√3x− 1

e)È

2x− 2√x2 − 1

13. Hallar el denominador racionalizado de la

fraccion24x4y3

5È

120x2y7

a) 1 b) 2 c) 5d) 4 e) 3

14. Simplificar la siguiente expresion:(12 − 2

√35)(

√7 +

√5)√

7−√5

a) 2 b) 44 c) 12d) 4 e) 144

15. Si el polinomio: P (x) = ax4 + bx3 + 6x2 −4x+ 1 es un cuadrado perfecto. Hallar aba) 4 b) 3 c) −2d) −4 e) 2

16. Hallar la raız cuadrada de: P (x) = x6 +2x5 + 3x4 + 8x3 + 7x2 + 6x+ 9 y dar comorespuesta la suma de coeficientes de dicharaız.a) 3 b) 6 c) 1d) 2 e) 4

17. Si:È

a+ 2√b =

7√8− 1

+2√3 + 1

, donde a

y b son numeros racionales calcular el valorde a+ ba) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 35

18. Simplificar la expresion

W =

�

e2 − e− 2 + (e− 1)√e2 − 4

e2 + e− 2 + (e+ 1)√e2 − 4

�

r

e+ 2

e− 2

sabiendo que: e = 2,718281 . . .a) 3 b) 2 c) 1

d) 4 e) 5

19. Al transformar a radicales simples:È

(1 +√n) + (2 +

√n) + · · ·+ (n+

√n)

donde n ∈ N, se obtiene:

a) n√2+√n√2

b)√2n2 + 1

2

c) n2 + 2

√n√2

d)√2n2 − 1

2

e)√2

20. Efectuar:√6

√2−

È

2−√3+

√6

√2 +

È

2 +√3

a) 1 b)√3 c)

√3−

√2

d) 2√3 e)

√3 +

√2

21. El residuo de extraer la raız cuadrada deax4 + (b+1)x3 +13x2 +8x+25 es 2x+24,calcular: aba) 40 b) 44 c) 30d) 35 e) 42

22. Simplificar:

1 +

√3

2

1 +

Ê

1 +

√3

2

+1−

√3

2

1 +

Ê

1−√3

2a) 1/3 b) (5

√3)/3

c) (5√3− 3)/3 d)

√3− 2

e) (5√3− 6)/3

23. Transformar a radicales simples la

expresion: W =

q

3 +È

5 + 2√3 +

q

3−È

5 + 2√3− 1

a)√3− 1 b) 1 c)

√3

d)√3 + 1 e) 2

√3

24. Racionalizar:3√3√

3 + 6√9

e indicar su deno-

minador.a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 5

25. Hallar la suma de los denominadores luego

de racionalizar las expresiones:N1

7√5 + 7

√4;

N220√8− 20

√3;

N3√3 + 3

√2

a) 10 b) 17 c) 20d) 37 e) 27

26. Racionalizar:1

3√75 + 3

√30 + 3

√12

indicando

el denominador resultante.a) 3 b) 9 c) 2d) 1 e) 11

27. Indicar el producto de los radicales simples

de:È

8√12− 24

a) 8 b) 12 c) 6d) −6 e) −12

28. Si se tiene

q

2È

7 + 4√3 +

4È

17 +√288 =

È

A+√B +

√C +

√D, evaluar:

r

BC

ADdonde A < B < D < Ca) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 1/2

29. Evaluar la funcion F (x) =5√x4 + 16− 2√x+ 7− 3

cuando x se aproxima a 2a) 12/5 b) 12 c) 5

d) 5/12 e) 8


E =4√x+ 3

√x+

√x− 3

x− 1

cuando x se aproxima a 1a) 1/2 b) 5/12 c) 3/2d) 13/12 e) 7/12

Capıtulo 10:

MATRICES Y DETERMINANTES

Objetivos

z Conocer y aplicar las principales tecnicas de calculo matricial.

z Operar con las matrices para aplicarlas en la solucion de sistemas lineales.

z Ordenar los datos adecuadamente en la formulacion de un problema.

z Manejar los determinantes como elemento de calculo en la resolucion de los sistemas lineales.

10.1. Matrices

10.1.1. Algo de historia

El primero que empleo el termino “matriz” fue el matematico ingles James Joseph Sylvester en el

ano 1850.

Sin embargo, hace mas de dos mil anos los matematicos chinos habıan descubierto ya un metodo de

resolucion de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al metodo de Gauss y por lo tanto empleaban

tablas con numeros.

Pero hasta el Siglo XIX no se desarrolla en las matematicas el Algebra de matrices. A este desarrollo

contribuyo de forma decisiva el matematico ingles Arthur Cayley. En 1858 publico unas “Memorias

sobre la teorıa de matrices” en la que daba la definicion de matriz y las operaciones suma de matrices,

de producto de un numero real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz.

Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a traves de la de determinante y tambien como una forma

conveniente de expresar transformaciones geometricas.

197


10.1.2. Introduccion

Las matrices aparecen por primera vez hacia el ano 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desa-

rrollo inicial de la teorıa se debe al matematico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce

la notacion matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n

incognitas.

Las matrices se utilizan en el calculo numerico, en la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales,

de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Ademas de su utilidad para el estudio

de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometrıa, estadıstica,

economıa, informatica, fısica, etc...

La utilizacion de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de

programacion, ya que la mayorıa de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas

en filas y columnas: hojas de calculo, bases de datos,...

Ademas de su utilidad para el estudio de los sistemas de ecuaciones, las matrices aparecen de

manera natural en geometrıa, estadıstica, economıa, etc.

Nuestra cultura esta llena de matrices de numeros: El horario de los trenes de cada una de las

estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los dıas

de la semana es otra, etc.

Las tablas de sumar y multiplicar, la disposicion de los alumnos en clase, las casillas de un tablero

de ajedrez, las apuestas de la loto, los puntos de un monitor de ordenador, son otros tantos ejemplos

de la vida cotidiana de matrices.

Actualmente, muchos programas de ordenador utilizan el concepto de matriz. Ası, las Hojas de

Calculo funcionan utilizando una inmensa matriz con cientos de filas y columnas en cuyas celdas se

pueden introducir datos y formulas para realizar calculos a gran velocidad. Esto requiere utilizar las

operaciones con matrices.

Definicion 10.1.1. Una matriz es un ordenamiento rectangular de elementos dispuestos en filas y

columnas.

Aquı un ejemplo en sus distintas presentaciones:2

6

4

2 0 −1

a√2 π

3

7

5

�

2 0 −1

a√2 π

Ǳ

2 0 −1

a√2 π

Esta matriz posee dos filas y tres columnas.

Es importante adquirir el habito de enunciar siempre filas antes de columnas.


Los elementos aij pueden ser numeros reales, numeros complejos o cualquier objeto no numerico, como

por ejemplo la posicion de las fichas en el tablero del ajedrez o los apellidos de personas cuando son

codificadas en orden alfabetico.

Notacion General: Se simboliza cada elemento con subındices de la forma aij , donde i representa la

fila donde se encuentra y j la columna.

Ası la matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son aij es:

A =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

a11 a12 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . a2j . . . a2n...

......

...

ai1 ai2 . . . aij . . . ain...

......

...

am1 am2 . . . amj . . . amn

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

que abreviadamente se representa por:

A = (aij)m×n , donde m,n ∈ N

siendo i = 1; 2; 3; . . . ;m ; j = 1; 2; 3; . . . ;n y podemos leer ası:

A es la matriz de m filas y n columnas. aij es un elemento de la matriz A.

Si aij ∈ K(K = R o K = C) entonces definimos una matriz Am×n como una aplicacion de I × J en K.

I × J −→ K

(i, j) −→ aij

con 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n donde a cada pareja (i, j) le corresponde un solo elemento aij ∈ K.

10.1.3. Orden de una Matriz

El orden de una matriz es la multiplicacion indicada del numero de filas por el numero de columnas

de dicha matriz, ası si la matriz tiene m filas y n columnas diremos que la matriz es de orden m× n.

Ejemplo 10.1.1. La matriz

�

4 2 −5

7 1 −3

Ǳ

tiene 2 filas y 3 columnas, entonces decimos que es de

orden 2× 3.

El conjunto de matrices m × n con elementos aij ∈ K se denota por Km×n. Es decir Km×n =

{(aij)m×n/aij ∈ K}Si K = R, entonces Rm×n = {(aij)m×n/aij ∈ R}Si K = C, entonces Cm×n = {(aij)m×n/aij ∈ C}


10.1.4. Igualdad de Matrices

Dos matrices del mismo orden son iguales si todos sus elementos de la misma posicion son respec-

tivamente iguales.

Ası, sean las matrices A = (aij)m×n ∧ B = (bij)m×n

A = B ↔ aij = bij , ∀i, j , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n

Ejemplo 10.1.2. Halle el valor de: (2x− y) + (2z − w). Si las matrices:

�

2x+ y 2z + w

x− 2y z − 2w

Ǳ

y

�

4 5

−1 0

Ǳ

son iguales.

Solucion

De la igualdad de matrices�

2x+ y 2z + w

x− 2y z − 2w

Ǳ

=

�

4 5

−1 0

Ǳ

Se tiene:

2x+ y = 4 ∧ x− 2y = −1 entonces x = 7/5 , y = 6/5

Ası mismo:

2z + w = 5 ∧ z − 2w = 0 entonces z = 2 , w = 1

Luego el valor de : (2x− y) + (2z − w) es:

�

2�

7

5− 6

5

��

+ (2(2) − 1) =8

5+ 3 =

23

5

10.1.5. Matrices Especiales

a. Matriz Cuadrada: Una matriz A es cuadrada cuando el numero de filas es igual al numero de

columnas. Am×n es cuadrada si y solo si m = n, en este caso se dice que A es de orden n × n o

simplemente de orden n y se representa por An.

A =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n...

......

. . ....

an1 an2 an3 · · · ann

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

(10.1)

Ejemplo 10.1.3. La matriz A =

2

6

4

2 −1

3 5

3

7

5

es cuadrada de orden 2.

Diagonal Principal: Es una matriz cuadrada A = (aij)n×n, la diagonal principal es el conjunto

de elementos aij tales que i = j. Ası en:

A =

�

2 3 −5

7 9 8

1 −4 0

�

la diagonal principal es la terna (2 9 0) y la diagonal secundaria es la terna (1 9 − 5).

En la matriz cuadrada 10.1, la diagonal principal es: (a11 a22 a33 . . . ann)

Tipos de matrices cuadradas:

Las matrices cuadradas pueden ser:

a.1 Matriz Triangular: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima o por

debajo de la diagonal principal son ceros. Estas a su vez pueden ser:

a.1.1 Matriz Triangular Superior : Una matriz cuadrada A = (aij)n×n es triangular superior si

aij = 0 ∀i > j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal

principal son ceros.

T =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

a11 a12 a13 · · · a1n

0 a22 a23 · · · a2n

0 0 a33 · · · a3n...

......

. . ....

0 0 0 · · · ann

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A


�

3 5 0

0 7 0

0 0 0

�

es triangular superior.

a.1.2 Matriz Triangular Inferior : Una matriz cuadrada A = (aij)n×n es triangular inferior si

aij = 0 ∀i < j, esto es, cuando los elementos que se encuentran por encima de la diagonal

principal son ceros.

T =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

a11 0 0 · · · 0

a21 a22 0 · · · 0

a31 a32 a33 · · · 0...

......

. . ....

an1 an2 an2 · · · ann

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A


�

16 0 0

1 16 0

3 2 π

�

es triangular inferior.

a.2 Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran por encima y por

debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir aij = 0 si i 6= j.

D =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

a11 0 0 · · · 0

0 a22 0 · · · 0

0 0 a33 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · ann

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

Ejemplo 10.1.6. Las matrices

�

3 0

0 4

Ǳ

,

�

π 0 0

0 e 0

0 0 α

�

son diagonales.

a.3 Matriz Escalar: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal principal

de toda matriz diagonal son iguales.

E =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

α 0 0 · · · 0

0 α 0 · · · 0

0 0 α · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · α

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

En forma general:

En es escalar si aij =

8

>

<

>

:

α, si i = j

0, si i 6= j

�

2 0

0 2

Ǳ

,

�

3 0 0

0 3 0

0 0 3

�

son escalares

a.4 Matriz Identidad: Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentran en la diagonal

principal de toda matriz escalar son iguales a 1.

I =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

1 0 0 · · · 0

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

En forma general:

In es identidad si aij =

8

>

<

>

:

1, si i = j

0, si i 6= j

b. Matriz Rectangular: Son aquellas matrices donde el numero de filas es distinta al numero de

columnas. Esto es: la matriz A = (aij)m×n es rectangular si m 6= n.

Ejemplo 10.1.8.�

3 0

2 4

1 2

�

3×2

;�

2 3 1 −1

�

1×4

c. Matriz Nula: Es aquella matriz cuadrada o rectangular en donde todos sus elementos son nulos,

es decir, una matriz A = (aij)m×n es nula si aij = 0 ∀i, j.

Ejemplo 10.1.9.�

0 0

0 0

Ǳ

;

�

0 0 0

0 0 0

Ǳ

10.1.6. Operaciones con Matrices

Ası como en cualquier conjunto numerico, en el conjunto de matrices tambien se definen ciertas

operaciones, obviamente, bajo determinadas condiciones.

a. Adicion y sustraccion de matrices


Sean las matrices A = (aij)m×n ∧ B = (bij)m×n

La suma A + B de las matrices A y B de orden m× n es una matriz C = (cij)m×n de orden

m× n, de tal modo, que cada elemento cij es igual a la suma: aij + bij .

Ası: A+B = (aij)m×n + (bij)m×n = (aij + bij)m×n

La resta A − B de las matrices A y B de orden m× n es una matriz D = (dij)m×n de orden

m× n, de tal modo, que cada elemento dij es igual a la resta: aij − bij .

Ası: A−B = (aij)m×n − (bij)m×n = (aij − bij)m×n

Ejemplo 10.1.10. Sean: A =

�

2 4

3 −1

Ǳ

; B =

�

5 7

−9 16

Ǳ

, entonces:

A+B =

�

2 4

3 −1

Ǳ

+

�

5 7

−9 16

Ǳ

=

�

2 + 5 4 + 7

3− 9 −1 + 16

Ǳ

⇒ (A+B) =

�

7 11

−6 15

Ǳ

A−B =

�

2 4

3 −1

Ǳ

−

�

5 7

−9 16

Ǳ

=

�

2− 5 4− 7

3− (−9) −1− 16

Ǳ

⇒ (A−B) =

�

−3 −3

12 −17

Ǳ

Definicion 10.1.2. La operacion binaria que hace corresponder a cada par de matrices A y B

una tercera matriz C llamada suma de A y B, esto es:

+ : Mm×n ×Mm×n −→ Mm×n

(A,B) −→ +(A,B) = A+B = C

Propiedades:

i. La adicion es interna o cerrada en Mm×n es decir: (A+B) ∈ Mm×n ∀ A,B ∈ Mm×n, por

definicion de la adicion de matrices.

ii. La adicion en Mm×n es asociativa, es decir: (A+B)+C = A+(B+C), ∀ A;B;C ∈ Mm×n.

Veamos:

Sean A = (aij)m×n ; B = (bij)m×n ; C = (cij)m×n

⇒ (A+B) + C = ((aij)m×n + (bij)m×n + (cij)m×n)

⇒ (aij + bij + cij)m×n = (aij)m×n + (bij + cij)m×n = A+ (B + C)

iii. Existe en Mm×n una unica matriz identidad o neutro aditivo denotado por 0; llamada

matriz nula donde todos sus elementos son ceros; esto es: ∀ A ∈ Mm×n, ∃ 0 ∈ Mm×n tal

que A+ 0 = 0 +A = A


iv. Toda matriz A ∈ Mm×n tiene un simetrico aditivo dado por −A ∈ Mm×n; esto es: ∀A ∈ Mm×n , ∃ (−A) = (−aij)m×n tal que A+ (−A) = (aij)m×n + (−aij)m×n = 0m×n

Con estas propiedades queda garantizado que (Mm×n ; +) tiene estructura de grupo. Ademas:

v. La adicion en Mm×n es conmutativa, es decir: A + B = B + A, ∀ A;B ∈ Mm×n, ası:

A+B = (aij)m×n + (bij)m×n ⇒ (aij + bij)m×n= (bij + aij)m×n

⇒ (bij)m×n + (aij)m×n = B +A

Mediante esta quinta propiedad diremos que (Mm×n ; +) es un grupo abelino o conmutativo.

b. Multiplicacion de matrices

b.1. Multiplicacion de un escalar por una matriz

Cuando un escalar multiplica a una matriz, cada elemento de la matriz queda multiplicado

por dicho escalar. Ası: Sea A = (aij)m×n ⇔ αA = (αaij)m×n. Donde “α” es un escalar

Ejemplo 10.1.11. Sea: A =

�

4 3

2 1

Ǳ

⇒ 5A =

�

5(4) 5(3)

5(2) 5(1)

Ǳ

⇒ 5A =

�

20 15

10 5

Ǳ

Definicion 10.1.3. La operacion binaria que hace corresponder a cada par de elementos,

un escalar α y una matriz A, una matriz C llamada producto de α y A, esto es:

· : K×Mm×n −→ Mm×n

(α,A) −→ ·(α,A) = αA

Propiedades:

i. Propiedad distributiva: α(A+B) = αA+ αB, ∀ A,B ∈ Mm×n; ∀ α ∈ K

ii. Propiedad distributiva: (α+ β)A = αA+ βA, ∀ A ∈ Mm×n; ∀ α;β ∈ K

iii. Propiedad asociativa: α(βA) = (αβ)A, ∀ A ∈ Mm×n; ∀ α;β ∈ K

Por tanto: Si K = R entonces (Mm×n,+, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los

numeros reales.

Si K = C entonces (Mm×n,+, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los numeros

complejos.

b.2. Multiplicacion de una matriz fila por una matriz columna


Sean las matrices: A =�

a1 a2 a3 · · · an

�

1×n; B =

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

b1

b2

b3...

bn

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

n×1Definimos: AB = (a1b1 + a2b2 + a3b3 + · · · + anbn)1×1. Es decir:

AB =nX

k=1

akbk

Ejemplo 10.1.12. Sean: A =�

1 3 5

�

; B =

�

7

−2

4

�

entonces: AB = (1)(7) + (3)(−2) + (5)(4) = 21

b.3. Multiplicacion de dos matrices

Dados dos matrices A = (aij)m×n ; B = (bjk)n×p existe una tercera matriz C = (cik)m×p

que representa el producto de multiplicar las matrices A y B; donde cik es el producto de

multiplicar la fila i de la primera matriz por la columna k de la segunda matriz.

Definicion 10.1.4. La operacion binaria que hace corresponder a cada par de matrices A

y B, una matriz C llamada producto de A y B, esto es:

· : Mm×n ×Mn×p −→ Mm×p

(A,B) −→ ·(A,B) = AB

Nota: La multiplicacion de una matriz A y la matriz B existe si y solo si el numero de

columnas de la primera matriz es igual al numero de filas de la segunda matriz.

Es decir:

AB = (cik)m×p / cik =nX

j=1

aij · bjk

Ejemplo 10.1.13. Sean las matrices: A =

�

4 3 2

5 1 9

Ǳ

2×3

; B =

�

5 4 1

7 9 3

2 1 2

�

3×3La matriz C producto de A y B sera de orden 2× 3 de la siguiente forma.

C =

�

c11 c12 c13

c21 c22 c23

Ǳ

. Hallando cada uno de los elementos:

c11 = (4)(5) + (3)(7) + (2)(2) = 45


c12 = (4)(4) + (3)(9) + (2)(1) = 45

c13 = (4)(1) + (3)(3) + (2)(2) = 17

c21 = (5)(5) + (1)(7) + (9)(2) = 50

c22 = (5)(4) + (1)(9) + (9)(1) = 38

c23 = (5)(1) + (1)(3) + (9)(2) = 26

entonces: C =

�

45 45 17

50 38 26

Ǳ

Nota: La multiplicacion de matrices no necesariamente es conmutativa.

b.4. Multiplicacion de matrices por bloques

Existen situaciones en las que es conveniente manejar las matrices como bloques de matrices

mas pequenas, llamadas submatrices, y despues multiplicar bloque por bloque en lugar

de componente por componente. Resulta que la multiplicacion en bloques es muy similar a

la multiplicacion normal de matrices.

Ejemplo 10.1.14. Considere el producto:

AB =

0

B

B

B

B

B

B

B

�

1 −1 2 4

2 0 4 5

1 1 2 −3

−2 3 5 0

1

C

C

C

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

B

B

B

�

1 4 3

2 −1 0

−3 2 1

0 1 2

1

C

C

C

C

C

C

C

A

El lector debe verificar que este producto este definido. Ahora se hace una particion de estas

matrices mediante lıneas punteadas.

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

1 −1 | 2 4

2 0 | 4 5

−− −− | −− −−1 1 | 2 −3

−2 3 | 5 0

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

1 4 | 3

2 −1 | 0

−− −− | −−−3 2 | 1

0 1 | 2

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

=

�

C | D

−− | −−E | F

��

G | H

−− | −−J | K

�

Existen otras maneras de formar la particion. En este caso C =

�

1 −1

2 0

Ǳ

,

K =

�

1

2

Ǳ

, etc. Ahora suponiendo que todos los productos y las sumas de las matrices


estan definidos, se puede multiplicar normalmente para obtener

AB =

�

C D

E F

Ǳ�

G H

J K

Ǳ

=

�

CG+DJ | CH +DK

−−−− | − − −−EG+ FJ | EH + FK

�

Ahora: CG =

�

1 −1

2 0

Ǳ�

1 4

2 −1

Ǳ

=

�

−1 5

2 8

Ǳ

DJ =

�

2 4

4 5

Ǳ�

−3 2

0 1

Ǳ

=

�

−6 8

−12 13

Ǳ

y

CG+DJ =

�

−7 13

−10 21

Ǳ

. De manera similar, EH =

�

1 1

−2 3

Ǳ�

3

0

Ǳ

=

�

3

−6

Ǳ

,

FK =

�

2 −3

5 0

Ǳ�

1

2

Ǳ

=

�

−4

5

Ǳ

y EH + FK =

�

−1

−1

Ǳ

.

El lector debe verificar que CH +DK =

�

13

20

Ǳ

y EG+ FJ =

�

−3 4

−11 −1

Ǳ

de manera que

AB =

�

CG+DJ | CH +DK

−−−− | − − −−EG+ FJ | EH + FK

�

=

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

�

−7 13 | 13

−10 21 | 20

−− −− | −−−3 4 | −1

−11 −1 | −1

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

=

0

B

B

B

B

B

B

B

�

−7 13 13

−10 21 20

−3 4 −1

−11 −1 −1

1

C

C

C

C

C

C

C

A

Esta es la misma respuesta que se obtiene si se multiplica AB directamente.

Cuando se hace una prticion de dos matrices y, como ene el ejemplo anterior, todos los

productos de submatrices estan definidos, entonces se dice que la particion es conformante.

Propiedades

i. Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C, donde A ∈ Mm×p, B ∈ Mp×q, C ∈ Mq×n.

En efecto:

A(BC) =pX

k=1

aik(BC)kj =pX

k=1

aik(qX

l=1

bklclj) =pX

k=1

qX

l=1

aik(bklclj) =pX

k=1

qX

l=1

(aikbkl)clj


=qX

l=1

pX

k=1

(aikbkl)clj =qX

l=1

(pX

k=1

aikbkl)clj =qX

l=1

(AB)ilclj = (AB)C

ii. Propiedad asociativa: A(B + C) = AB +AC, donde A ∈ Mm×p, B;C ∈ Mp×n.

En efecto:

A(B + C) =pX

k=1

aik(B + C)kj =pX

k=1

aik(bkj + ckj) =pX

k=1

(aikbkj + aikckj) =pX

k=1

aikbkj +

pX

k=1

aikckj = AB +AC

iii. Propiedad no conmutativa: AB 6= BA

iv. AB = 0 no implica que A = 0 o B = 0

v. AB = AC no implica que B = C

vi. Elemento neutro: ∀ A ∈ Mn×n, ∃ In ∈ Mn×n tal que IA = AI = A.


�

3 2

4 1

Ǳ

; B =

�

3 7

1 5

Ǳ

; Veamos AB y BA.

AB =

�

3 2

4 1

Ǳ�

3 7

1 5

Ǳ

=

�

11 31

13 33

Ǳ

y BA =

�

3 7

1 5

Ǳ�

3 2

4 1

Ǳ

=

�

37 13

23 7

Ǳ

De donde observamos que: AB 6= BA.


�

3 5

6 10

Ǳ

; B =

�

5 10

−3 −6

Ǳ

;

Veamos AB.

AB =

�

3 5

6 10

Ǳ�

5 10

−3 −6

Ǳ

=

�

0 0

0 0

Ǳ

Vemos que AB = 0, pero no implica que A o B sean matrices nulas.


�

1 1

0 0

Ǳ

, B =

�

2 3

5 8

Ǳ

, C =

�

5 8

2 3

Ǳ

Veamos AB y AC.

AB =

�

1 1

0 0

Ǳ�

2 3

5 8

Ǳ

=

�

7 11

0 0

Ǳ

y AC =

�

1 1

0 0

Ǳ�

5 8

2 3

Ǳ

=

�

7 11

0 0

Ǳ

Se observa que AB = AC sin embargo B 6= C.

Definicion 10.1.5.


� Si AB = BA, se dice que las matrices A y B son matrices conmutables.

� Si AB = −BA , se dice que las matrices A y B son matrices anticonmutables.

Nota: Si A es una matriz cuadrada de orden n y B = aA+bI donde a y b son escalares entonces

A y b son conmutables.

c. Potenciacion de matrices Sea A una matriz cuadrada y n ∈ N/n ≥ 2; entonces se define:

An = A.A.A.A · · ·A| {z }

“n′′ veces

Ejemplo 10.1.18. Si A =

�

1 3

2 4

Ǳ

entonces A2 =

�

1 3

2 4

Ǳ�

1 3

2 4

Ǳ

=

�

7 15

10 22

Ǳ

Nota: La potenciacion de matrices es conmutativa. De donde se tendra.

a. (k.A)n = kn. An

b. Si A es una matriz cuadrada entonces AmAn = AnAm/m;n ∈ N

c. Si A y B conmutan entonces Am y Bn conmutan siendo m, n naturales.

d. Si A es una matriz cuadrada (Am)n = Amn = (An)m; m; n ∈ N.

10.1.7. Traza de una matriz

Dada la matriz cuadrada, se llama traza a la suma de los elementos de la diagonal principal y se

denota por traz ası:

Sea A = (aij)n × n ⇒ Traz(A) =nX

i=1

aij

Ejemplo 10.1.19. Sea A =

�

5 9 0

0 7 4

9 −5 −2

�

⇒ Traz(A) = 5 + 7− 2 = 10

Teorema 10.1.1. Sean las matrices cuadradas A y B del mismo orden y λ un escalar.

Traz(A±B) = Traz(A)± Traz(B)

En efecto: Sean A = (aij)m×n ; B = (bij)m×n ⇒ A±B = (aij ± bij)m×n

Traz(A±B) =nX

i=1

(aij ± bij) =nX

i=1

(aij)±nX

i=1

(bij) = Traz(A)± Traz(B)


Traz(λ ·A) = λTraz(A)

En efecto: λ ·A = (λaij)m×n

⇒ Traz(λA) =nX

i=1

λaij = λnX

i=1

aij = λ · TrazA

Traz(AB) = Traz(BA)

En efecto: Traz(AB) =nX

i=1

cij , donde cij =nX

j=1

aijbj i entonces

Traz(AB) =nX

i=1

�

nX

j=1

aijbj i

�

⇒nX

j=1

nX

i=1

bjiaij

!

= Traz(BA)

10.1.8. Transpuesta de una matriz

Definicion 10.1.6. Sea A ∈ Mm×n, se llama transpuesta de A y se denota porAt a la matriz resultante

de cambiar, ordenadamente, las filas por las columnas de la matriz A de tal manera, que si llamamos

A = (aij) y At = (a′ij) tenemos:

a′ij = aji, 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n

por lo que si A ∈ Mm×n ⇒ At ∈ Mn×m.

Ejemplo 10.1.20. Dada la matriz A =

�

1 2 3

4 7 2

Ǳ

entonces At =

�

1 4

2 7

9 2

�

Teorema 10.1.2.

(A±B)t = At ±Bt, A,B ∈ Mm×n.

(At)t = A, A ∈ Mm×n.

(λA)t = λAt ; A ∈ Mm×n, λ es un escalar

(AB)t = Bt · At, A ∈ Mm×n, B ∈ Mn×p.

10.1.9. Matriz simetrica

Una matriz cuadrada diremos que es simetrica si y solo si es igual a su transpuesta.

A es simetrica ⇐⇒ A = At


�

5 7

7 4

Ǳ

;

�

−10 1 2

1√2 −3

2 −3 π

�

son matrices simetricas


10.1.10. Matriz antisimetrica

Una matriz cuadrada sera antisimetrica si y solo si es igual al negativo de su transpuesta.

A es antisimetrica ⇐⇒ A = −At


�

0 5

−5 0

Ǳ

se tiene que

At =

�

0 −5

5 0

Ǳ

= (−1)

�

0 0

−5 0

Ǳ

= −A

entonces A es antisimetrica.

Observacion 10.1.1. Todos los elementos de la diagonal principal de una matriz antisimetrica son

iguales a cero y los elementos simetricos respecto a la diagonal principal son opuestos o en forma

equivalente: aij = −aji

Teorema 10.1.3. Toda matriz cuadrada se puede escribir como la adicion de una matriz simetrica y

otra antisimetrica

Demostracion

Observe las matrices A+At y A−At. Veamos que:

(A+At)t = At + (At)t = At +A = A+At ⇒ A+At es simetrica

(A−At)t = At − (At)t = At −A = −(A−At) ⇒ A−At es antisimetrica

y como: A =A+At

2| {z }

simetrica

+A−At

2| {z }

antisimetrica

podemos expresar la matriz A como una adicion de una matriz simetrica y otra antisimetrica.

10.1.11. Matriz involutiva

Una matriz cuadrada es involutiva si y solo si su cuadrado es igual a la identidad, es decir: A2 = 1.


�

−1 −1

0 1

Ǳ

. Veamos:

A2 = A.A =

�

−1 −1

0 1

Ǳ�

−1 −1

0 1

Ǳ

=

�

1 0

0 1

Ǳ

= I entonces A2 = I ⇔ A es involutiva.


10.1.12. Matriz nilpotente

Una matriz cuadrada A se dice nilpotente de ındice k si Ak = 0; donde 0 es una matriz nula;

ademas Ak−1 6= 0.


�

1 1 3

5 2 6

−2 −1 −3

�

. Veamos:

A2 = A.A =

�

1 1 3

5 2 6

−2 −1 −3

��

1 1 3

5 2 6

−2 −1 −3

�

=

�

0 0 0

3 3 9

−1 −1 −3

�

A3 = A.A =

�

1 1 3

5 2 6

−2 −1 −3

��

0 0 0

3 3 9

−1 −1 −3

�

=

�

0 0 0

0 0 0

0 0 0

�

Entonces A es una matriz nilpotente de ındice de nilpotencia 3.

10.1.13. Matriz idempotente

Una matriz cuadrada A se llama idempotente si y solo si A2 = A

Ejemplo 10.1.25. Veamos la matriz A =

�

3 2

−3 −2

Ǳ

, donde:

A2 = A.A =

�

3 2

−3 −2

Ǳ�

3 2

−3 −2

Ǳ

=

�

3 2

−3 −2

Ǳ

, obteniendose que A2 = A

luego diremos que A es una matriz indepotente.

10.1.14. Matriz conjugada

Sean a y b numeros reales e i =√−1; la expresion z = a+ bi representa un numero conplejo. Los

numeros complejos de la forma a+ bi y a− bi se llaman conjugados y cada uno de ellos es conjugado

del otro. Si z = a+ bi, su complejo conjugado se representa por z = a+ bi.

Sean z1 = a + bi y z2 = z1 = a − bi; entonces, z2 = z1 = a− bi = a + bi, es decir, el conjugado del

conjugado de un numero complejo z es el mismo.

Si z1 = a+ bi y z2 = c+ di se tiene


z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i y z1 + z2 = (a + c) − (b + d)i = (a − bi) + (c − di) = z1 + z2, es

decir, el conjugado de la suma de dos numeros complejos es igual a la suma de los conjugados.

z1 · z2 = (ac− bd)+ (ad+ bc)i y z1 · z2 = (ac− bd)− (ad+ bc)i = (a− bi)(c− di) = z1 · z2, estoes, el conjugado del producto de dos numeros complejos es igual al producto de los conjugados.

Sea A una matriz cuyos elementos son numeros complejos; la matriz obtenida a partir de A

sustituyendo cada elemento por su conjugado se llama matriz conjugada de A y se representa

por A (conjugada de A).

Ejemplo 10.1.26. Si A =

2

6

4

1 + 2i i

3 2− 3i

3

7

5

sera A =

2

6

4

1− 2i −i

3 2 + 3i

3

7

5

Sean A y B las matrices conjugadas, respectivamente de A y B, y k un escalar cualquiera; entonces

se tiene que:

Teorema 10.1.4.

(A) = A.

(kA) = k ·A

(A+B) = A+B.

(AB) = A · B.

(A)t = (At).

donde la transpuesta de A se denota por At(y se lee transpuesta de la conjugada de A). Algunas

veces se emplea la notacion A∗.

10.1.15. Matriz hermitiana

Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama hermitiana o hermıtica si dicha matriz

es igual a la transpuesta de su matriz conjugada, es decir:

Sea A = (aij)n×n es hermitiana si A = (aij)tn×n. De donde se concluye que los elementos de la diagonal

principal son necesariamente reales.

Ejemplo 10.1.27. Sea la matriz: A =

�

5 4 + i

4− i 1

Ǳ

⇔ A =

�

5 4− i

4 + i 1

Ǳ

(A)t =

�

5 4 + i

4− 1 1

Ǳ

, como: (A)t = A ⇒ A es una matriz hermitiana.


Propiedades

Sea A = B+iC, donde A es hermitiana y B y C reales, entonces B es simetrica y C antisimetrica.

En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.

10.1.16. Matriz antihermitiana

Dada una matriz cuadrada de elementos complejos se llama antihermitiana si es igual al negativo

de la transpuesta de su matriz conjugada. Es decir:

Si A = (aij)n×n ∧ (A)t = −((aij))tn×n ⇒ A es antihermitiana.

De donde se cuncluye que los elementos de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo 10.1.28. Sea A =

�

0 4 + 5i

−4 + 5i 0

Ǳ

⇒ A =

�

0 4− 5i

−4− 5i 0

Ǳ

⇒ (A)t =

�

0 −4− 5i

4− 5i 0

Ǳ

= (−1)

�

0 4 + 5i

−4 + 5i 0

Ǳ

= −A

luego se dira que la matriz A es antihermitiana.

Teorema 10.1.5. Sea A una matriz cuadrada de elementos complejos.

A+ (A)t es hermitiana.

A− (A)t es antihermitiana.

Teorema 10.1.6. Toda matriz cuadrada de elementos complejos se puede escribir como la adicion de

una matriz hermitiana y otra antihermitiana.

10.1.17. Matriz ortogonal

Sea la matriz cuadrada An = [aij ]. A es ortogonal sı y solo si A−1 = At, A es no singular

Propiedades

A es ortogonal ⇔ AAt = In.

Si A y B son ortogonales ⇒ AB es ortogonal.

Las matrices ortogonales, representan transformaciones en espacios vectoriales reales llamadas jus-

tamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfimos internos del espacio


vectorial en cuestion. Suelen representar rotaciones y son usadas extensivamente en computacion grafi-

ca. Por sus propiedades tambien son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en fısica se las usa en

la formulacion de ciertas teorıas de campos.

10.1.18. Matriz positiva

Sea A ∈ Rn×n, A es positiva sı, y solo si XAtX > 0 ∀ X ∈ Rn , X 6= 0.

10.2. Determinantes

10.2.1. Algo de historia

Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que lasmatrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu, JiuzhangSuanshu o Los nueve capıtulos del arte matematico.) fueron los primeros en utilizar las tablas denumeros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminaciongaussiana.

Primeros calculos de determinantes

En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solucion de un sistema deecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardan en 1545 en su obra Ars Magnapresentado como una regla para la resolucion de sistemas de dos ecuaciones con dos incognitas. Estaprimera formula lleva el nombre de regula de modo.

El japones Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma epoca que el alemanLeibnizLa aparicion de determinantes de ordenes superiores tardo aun mas de cien anos en llegar.Curiosamente el japones Kowa Seki y el aleman Leibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simulta-neamente.

Leibniz estudio los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales. Al no disponer de la notacionmatricial, representaba los coeficientes de las incognitas con una pareja de ındices: ası pues escribıaij para representar ai,j. En 1678 se intereso por un sistema de tres ecuaciones con tres incognitasy obtuvo, para dicho ejemplo, la formula de desarroyo a lo largo de una columna. El mismo ano,escribio un determinante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo. Leibniz no publico este trabajo,que parecio quedar olvidado hasta que los resultados fueron redescubiertos de forma independientecincuenta anos mas tarde

En el mismo periodo, Kowa Seki publico un manuscrito sobre los determinantes, donde se hallanformulas generales difıciles de interpretar. Parece que se dan formulas correctas para determinantes detamano 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes de tamano superior. El descubrimientose queda sin futuro a causa del cierre de de Japon al mundo exterior. Este aislamiento debido a losshoguns, se ve reflejado en la expulsion de los Jesuitas en 1638.

Determinantes de cualquier dimension

Gabriel Cramer obtuvo las primeras formulas generales de calculo de los determinantes. En 1748,un postumo tratado de algebra de MacLaurin recupera la teorıa de los determinantes al contener laescritura correcta de la solucion de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incognitas.


En 1750, Cramer formula las reglas generales que permiten la resolucion de un sistema de n ecua-ciones con n incognitas, aunque no ofrece demostracion alguna. Los metodos de calculo de los de-terminantes son hasta entonces delicados debido a que se basan en la nocion de signatura de unapermutacion.

Los matematicos se familiarizan con este nuevo objeto a traves de los artıculos de Bezout en 1764,de Vandermonde en 1771 (que proporciona concretamente el calculo del determinante de la actualMatriz de Vandermonde). En 1772, Laplace establece las reglas de recurrencia que llevan su nombre.En el ano siguiente, Lagrange descubre la relacion entre el calculo de los determinantes y el de losvolumenes.

Gauss utiliza por primera vez el termino ✭✭ determinante ✮✮, en las Disquisitiones arithmeticae en1801. Lo empleaba para lo que hoy dıa denominamos discriminante de una cuadrica y que es un casoparticular de determinante moderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinantede un producto.

Aparicion de la nocion moderna de determinante

Cauchy fue el primero en emplear el termino determinante con su significado moderno. Se encargo derealizar una sıntesis de los conocimientos anteriores y publico en 1812 la formula del determinante deun producto. Ese mismo ano Binet ofrecio una demostracion para dicha formula. Paralelamente Cauchyestablece las bases del estudio de la reduccion de endomorfismos.

Con la publicacion de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle, Jacobiaporta a la nocion una gran notoriedad. Por primera vez presenta metodos sistematicos de calculo bajouna forma algorıtmica. Del mismo modo, hace posible la evaluacion del determinante de funciones coninstauracion del jacobiano.

El cuadro matricial es introducido por los tabajos de Cayley y Sylvester. Cayley es ademas elinventor de la notacion del determinante mediante dos barras verticales y es quien establecio la formulade calculo de la inversa.

La teorıa se ve reforzada por el estudio de determinantes que poseen propiedades de simetrıaparticular y por la introduccion del determinante en los nuevos campos de las matematicas, como esel caso del wronskiano en las ecuaciones diferenciales lineales.

Definicion 10.2.1. El determinante es una funcion que, aplicada a una matriz cuadrada, la transforma

en un escalar.

Notacion: Sea A una matriz cuadrada, el determinante de la matriz A se representa por |A| o det(A).

Sea Mn×n el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n; entonces la definicion queda de la

siguiente manera.

| | : Mn×n −→ R o C

A −→ |A|

Determinante de una matriz de orden uno

Se llama determinante de una matriz de primer orden, formada por el elemento a11, al propio

elemento a11.

Ejemplo 10.2.1. Sea: A = (3) ⇒ |A| = 3


Determinante de una matriz de orden dos

Sea la matriz A =

�

a11 a12

a21 a22

�

se define el determinante de A como:

|A| = a11 · a22 − a21 · a12


�

3 2

1 4

�

⇒ |A| = 3(4) − 2(1) = 10

Determinante de una matriz de orden tres

Sea: A =

�

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

�

se define el determinante de A como:

|A| = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13)− (a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11)


�

1 2 3

−1 0 4

−2 1 5

�

⇒ |A| = (0− 16− 3)− (0− 10 + 4) = −13

10.2.2. Calculo de Determinantes

a. Regla de Sarrus

Se aplica la matriz trasladando las dos primeras filas a la parte inferior y se aplican multiplica-

ciones en direcciones de las diagonales, conforme se indica.

Sea: A =

�

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

�

⇒ |A| = a13a22a31

a23a32a11

a33a12a21

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a11a22a33

a21a32a13

a31a12a23

|A| = (a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23)− (a13 a22 a31 + a23 a32 a11 + a33 a12 a21)

Ejemplo 10.2.4. Halle el determinante de: A =

�

1 2 3

−1 0 4

−2 1 5

�

|A| = (0− 16− 3)− (0 + 4− 10) = −13


b. Regla de la Estrella

Se multiplican los elementos siguientes en el esquema.

Sea: A =

�

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

�

⇒ |A| = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32)− (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12)

Ejemplo 10.2.5. Halle el determinante de: A =

�

1 2 3

−1 0 4

−2 1 5

�

|A| = (0− 16− 3)− (0− 10 + 4) = −13

10.2.3. Propiedades Generales

1. Dada una matriz cuadrada A, se tiene que: |A| = |At|.

2. Dadas las matrices cuadradas A y B y del mismo orden se tiene que: |AB| = |A||B|.

3. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas, respectivamente proporcionales; se dice

entonces que su determinante es cero.

4. Si una matriz cuadrada A posee una fila o una columna de ceros, su determinante es nulo.

5. Si se intercambian dos filas o columnas consecutivas de una matriz cuadrada, su determinante

solo cambia de signo.

6. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma una cierta cantidad de veces otra fila

o columna, entonces la matriz resultante tiene el mismo determinante.

7. Si todos los elementos de una fila o una columna se multiplican por un numero k, todo el

determinante queda multiplicado por dicho numero.

8. El determinante de una matriz diagonal, triangular inferior o triangular superior es igual al

producto de multiplicar los elementos de la diagonal principal.

9. El determinante de una matriz antisimetrica de orden impar es igual a cero.

10. El determinante de una matriz hermitiana es un numero real.

11. El determinante de una matriz ortogonal A es +1 o −1. En efecto, de las propiedades del

determinante tenemos det(A · At) = detA detAt = detA detA = (detA)2 = det I = 1, y por

tanto, detA = ±1.


12. Si A es una matriz nilpotente entonces |A| = 0. En efecto, si A es una matriz nilpotente de orden

k, Ak = 0. Por tanto |Ak| = 0, luego |A|k = 0, y en consecuencia |A| = 0.

13. Sea A una matriz de orden n; se cumple que: |kA| = kn|A|; k es una escalar.

14. El determinante de una matriz cuadrada no varıa si a una fila o una columna se le suma una

combinacion lineal de filas o columnas paralelas.

15. Si una fila o columna de la matriz cuadrada A es combinacion lineal de otras paralelas, su

determinante es nulo.

16. Si descomponemos una fila o una columna de una matriz cuadrada en suma de dos, podemos

descomponer el determinante en suma de dos determinantes de la forma:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a11 a12 · · · a1n...

......

ai1 + a′i1 ai2 + a′i2 · · · ain + a′in...

......

an1 an2 · · · ann

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a11 a12 · · · a1n...

......

ai1 ai2 · · · ain...

......


�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a11 a12 · · · a1n...

......

a′i1 a′i2 · · · a′in...

......


�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Observacion 10.2.1. No confundir con det(A+B) = det(A) + det(B), que esto no se cumple.

Observacion 10.2.2. Teniendo en cuenta la definicion del determinante, se pueden considerar dos

matrices cuadradas especiales mas:

a. Matriz Singular. Una matriz es singular si su determinante es cero; es decir:

detA = 0 ⇐⇒ A es singular

a. Matriz Regular. Una matriz es regular llamada tambien no singular si su determinante es

diferente de cero; es decir:

detA 6= 0 ⇐⇒ A es no singular

Ejemplo 10.2.6.

� Dada la matriz: A =

�

3 4

6 8

�

⇒ |A| = 24− 24 = 0

∴ A es singular

� Dada la matriz: B =

�

4 3

1 5

�

⇒ |B| = 20− 3 = 17

∴ B es no singular

10.2.4. Menores y Cofactores

Considerese la matriz cuadrada de orden n.

A =

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

a11 a12 · · · a1j · · · a1n

a21 a22 · · · a2j · · · a2n...

ai1 ai2 · · · aij · · · ain...

an1 an2 · · · anj · · · ann

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

Denotaremos por Mij a la matriz cuadrada de orden (n − 1) que resulta de eliminar la fila i y la

columna j de la matriz A luego:

I. Al determinante de la matriz Mij (|Mij |) llemara menor del elemento aij de la matriz A.

II. Se define cofactor del elemento aij denotado por Aij .

Aij = (−1)i+j |Mij |

Ejemplo 10.2.7.

Sea la matriz A =

�

3 1 4

−1 2 −3

5√2 −2

�

el menor de 3 es:

�

�

�

�

�

�

2 −3√2 −2

�

�

�

�

�

�

= −4 + 3√2

el menor de 5 es:

�

�

�

�

�

�

1 4

2 −3

�

�

�

�

�

�

= −3− 8 = −11

el menor de 2 es:

�

�

�

�

�

�

3 4

5 −2

�

�

�

�

�

�

= −6− 20 = −26

el menor de√2 es:

�

�

�

�

�

�

3 4

−1 3

�

�

�

�

�

�

= −9 + 4 = −5

Nota:

1. La diferencia entre el menor |Mij | y el cofactor Aij de un elemento aij es solamanete el signo.

Ası: Aij|{z}

cofactor

= (−1)i+j |Mij || {z }

menor

, de donde:

Aij =

8

<

:

|Mij| si i+ j es par

−|Mij| si i+ j es impar


2. El signo que relaciona a Aij y |Mij | del elemento aijde la matriz A se puede hallar en forma

practica mediante el siguiente arreglo:

2

6

6

6

6

6

6

4

+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...

......

3

7

7

7

7

7

7

5

Ası el signo de a35 es positivo puesto que (3 + 5) es par.

El signo del elemento a25 es negativo ya que (2 + 5) es impar.

10.2.5. Calculo de Determinantes por Cofactores

Teorema de Laplace:

El determinante de una matriz A = (aij)m×n es igual a la suma de los productos obtenidos de multi-

plicar los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores:

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin =nX

j=1

aijAij

|A| = a1jA1j + a2jA2j + . . .+ anjAnj =nX

i=1

aijAij

Ejemplo 10.2.8.

Calcular el determinate de:

A =

�

3 5 7

−2 0 4

1 −3 2

�

Solucion:

Elegimos la fila 2, entonces:

|A| = −(−2)

�

�

�

�

�

�

5 7

−3 2

�

�

�

�

�

�

+ 0

�

�

�

�

�

�

3 7

1 2

�

�

�

�

�

�

− 4

�

�

�

�

�

�

3 5

1 −3

�

�

�

�

�

�

⇒ |A| = 2(10 + 21) + 0− 4(−9− 5)

∴ |A| = 118

Nota: Lo mas recomendable es escoger la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros.


10.3. Matriz Inversa

10.3.1. Matriz de cofactores

10.3.2. Adjunta de una matriz

10.3.3. Metodo de Gauss Jordan

Teorema 10.3.1. Sean A y B matrices cuadradas no singulares:

(AB)−1 = B−1 ·A−1

(A−1)−1 = A

(λA)−1 = λ−1 ·A−1; λ es escalar.

|AdjA| = |A|n−1; donde n es el orden de la matriz A.

La inversa de una matriz hermitiana es tambien hermitiana.

10.4. Rango de una Matriz

10.5. Otras matrices importantes

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal

principal, y estas pueden ser nulas o no.

Toda matriz diagonal es tambien una matriz simetrica, triangular (superior e inferior) y (si las

entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

Operaciones matriciales

Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices diago-

nales. Vamos a emplear aquı la notacion de diag(a1, . . . , an) para una matriz diagonal que tiene las

entradas a1, . . . , an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces,

para la suma se tiene:

diag(a1, . . . , an) + diag(b1, . . . , bn) = diag(a1 + b1, . . . , an + bn)

y para el producto de matrices,

diag(a1, . . . , an) · diag(b1, . . . , bn) = diag(a1b1, . . . , anbn)

La matriz diagonal diag(a1, . . . , an) es invertible si y solo si las entradas a1, . . . , an son todas distintas

de 0. En este caso, se tiene

diag(a1, . . . , an)−1 = diag(a−11 , . . . , a−1n )

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n× n.

Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1, . . . , an) equivale a multiplicar la fila i-esima de

A por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1, . . . , an) equivale a multiplicar

la columna i-esima de A por ai para todo i.

Usos

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas areas del algebra lineal. Debido a la sencillez de las

operaciones con matrices diagonales y el calculo de su determinante y de sus valores y vectores propios,

siempre es deseable representar una matriz dada o transformacion lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y solo si tiene n autovectores

linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los numeros reales o complejos existen mas propiedades: toda matriz normal es

similar a una matriz diagonal (teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal

con entradas no negativas.

Matriz banda

Una matriz cuadrada se le llama Matriz Banda cuando es una matriz donde los valores no nulos

son confinados en un entorno de la diagonal principal, formando una banda de valores no nulos que

completan la diagonal principal de la matriz y mas diagonales en cada uno de sus costados.

Escrito formalmente, una matriz A = (ai,j)n×n es una matriz banda si todos sus elementos son

cero fuera de una zona diagonal cuyo rango se determina por las constantes k1 y k2:

ai,j = 0 si j < i− k1 o j > i+ k2; k1, k2 ≥ 0

Los valores k1 y k2 son el semiancho de banda izquierdo y derecho respectivamente. El ancho de banda

de una matriz es k1 + k2 + 1, y se puede definir como el numero menor de diagonales adyacentes con

valores no nulos.

Una matriz banda con k1 = k2 = 0 es una matriz diagonal.

Una matriz banda con k1 = k2 = 1 es una matriz tridiagonal; cuando k1 = k2 = 2 se tiene una

matriz pentadiagonal y ası sucesivamente.

Una matriz banda con k1 = k2 = p, dependiendo del numero p, se le puede llamar matriz p-banda,

formalmente se puede definir como

ai,j = 0 si |i− j| > p ; p ≥ 0


De una matriz banda con k1 = 0, k2 = n − 1, se obtiene la definicion de una matriz triangular

inferior. De forma similar, para k1 = n − 1, k2 = 0, se obtiene la definicion de una matriz triangular

superior.

CAP 09: Matrices y determinantes 10.1.

1. Dada la matriz A = (aij)2×3 donde

aij =

¨

i+ j , si i ≥ ji− j , si i < j

Hallar la suma de los elementos de Aa) 4 b) 5 c) 6d) 3 e) 7

2. Dada la matriz M = (mij)3×3, donde

mij =

8

>

<

>

:

ij , si i > j

i2 + j2 , si i = j

2i2 − j , si i < j

Hallar la suma de los elementos de la segun-da columna de Ma) 10 b) 12 c) 15d) 16 e) 14

3. Siendo A, B, matrices cuadradas del mismoorden senalar los valores de verdad de:

AB = BA

A+B = B +A

(A+B)2 = A2 + 2AB +B2

A(A−B) = A2 −AB

a) VVVV b) FVVV c) FVFVd) FVVF e) FFFF

4. La proposicion falsa es:a) Toda matriz escalar es identidadb) Toda matriz escalar es diagonalc) Toda matriz escalar es triangulard) Toda matriz identidad es escalare) Toda matriz diagonal es triangular

5. Dadas las matrices A =

�

1 32 0

�

;

B =

�

5 a−2 b

�

. Calcule ab, si AB = BA.

a) 6 b) −6 c) 9d) −18 e) −3

6. Si la matriz W =

2

6

4

5 a+ b 37 −2 c− 1

a− b 2 10

3

7

5

es

simetrica, hallar a+ b+ ca) 9 b) 10 c) 12d) 6 e) 8

7. Dadas las matrices A =

�

2 y − 23 x+ 1

�

;

B =

�

2 x+ 34 1

�

. Si A = BT . Calcular

la suma de los elementos de la matriz A.a) 9 b) 6 c) 11d) 12 e) 10

8. Dada la matriz A =

2

6

4

5 8 43 2 57 6 0

3

7

5

, hallar la

traza de la matriz B, que sumada con lamatriz A origine la matriz identidad.a) −1 b) 4 c) −4d) 1 e) −5

9. Sean las matrices: A =

�

x− 2y x3 x− y

�

,

B =

�

2 y + 43 4

�

y C =

�

2/3 −2−1 0

�

.

Si A = B; hallar la traza de (A+ 3C)a) 8 b) 4 c) 3d) 5 e) 2

10. Si A es una matriz de orden (m − 1) × n yB es una matriz de orden p× 5. Hallar “m”para que exista la matriz B ×Aa) 4 b) 5 c) 8d) 6 e) 7

11. Siendo A2 = B , donde :

A =

2

6

4

1 −3 −4−1 3 41 3 −4

3

7

5

, calcular la suma de

los elementos de la matriz B.a) 19 b) 12 c) 7

d) 10 e) 15

12. Si

2

6

4

2 −2 −4−1 3 41 −2 −3

3

7

5

2

=

2

6

4

x ∗ ∗∗ y ∗∗ ∗ −z

3

7

5

.

Calcular: x+ y + za) 7 b) −9 c) 9d) −8 e) 8


13. Si A es una matriz que cumple:

(A+ I)2 =

�

4 −33 2

�

(A− I)2 =

�

−1 00 −1

�

La traza de la matriz A es:a) 4 b) 1 c) 2d) 5 e) 6

14. Sea f(x) = x2 + x + 2 y A =

�

0 21 4

�

.

Hallar la traza de f(A).a) 28 b) 29 c) 26d) 22 e) 18

15. Sea la matriz A = (aij)n×n, definida poraij = |i − j| + j − i, establezca el valor deverdad de las siguientes proposiciones:

Su traza es cero

Si i > j ⇒ aij = 0

det A 6= 0

a) VVV b) FVF c) VFV

d) VVF e) FFV

16. Calcular

�

�

�

�

�

�

�

1 4 72 5 83 6 9

�

�

�

�

�

�

�

a) 2 b) 0 c) 1d) 5 e) 6

17. Hallar |M |, donde M es matriz de orden 3,tal que mij = 2i − j

a) 2 b) −2 c) 4d) −4 e) 0

18. Si se cumple

�

�

�

�

�

2 x2 −2

�

�

�

�

�

= 4.

Hallar y en

�

�

�

�

�

x −2x y

�

�

�

�

�

= 8

a) 0 b) 2 c) −4d) 1 e) 6

19. Resolver:

�

�

�

�

�

�

�

x2 2 44 3x 6x−2 x 2x

�

�

�

�

�

�

�

= x2 − 100

a) ±10 b)√10 c) 5

d)√5 e) 25

20. Reducir:

�

�

�

�

�

�

�

1 1 11 1 + x 11 1 1 + y

�

�

�

�

�

�

�

a) x b) y c) x+ yd) xy e) x− y

21. Calcular:

E =

Ì

�

�

�

�

�

a+ b 2b2a a+ b

�

�

�

�

�

+

Ì

�

�

�

�

�

a− b −2b2a a− b

�

�

�

�

�

a) a b) 2a c) a+ bd) a− b e) b

22. Resolver:

�

�

�

�

�

�

�

1 3 x5 −8 155 15 5x

�

�

�

�

�

�

�

= x2 − 28

a)√8 b)

√7 c) 3

√7

d) 4√7 e) 2

√7

23. SiPm

n =

�

�

�

�

�

m√2 2

3 n√3

�

�

�

�

�

, hallar “k” si:

P12+

P23+

P34+2

P10 = k

P41

a) 1 b) 2 c) 5d) 4 e) 3

24. Hallar:

�

�

�

�

�

�

�

m+ 3a p+ 7b q + 11bm+ 5a p+ 9b q + 13bm+ 7a p+ 11b q + 15b

�

�

�

�

�

�

�

a) 0 b) a+ b c) mnpd) m+ n+ p e) ab

25. Resolver:

�

�

�

�

�

�

�

x− 1 x xx x+ 2 xx x x+ 3

�

�

�

�

�

�

�

= 0

a) 5 b) 6 c) 3d) 4 e) 2

26. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1 1 1 11 a+ 1 1 11 1 b+ 1 11 1 1 c+ 1

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 0 b) abc c)a+ b+ c

abcd) 1 e) a+ b+ c

27. Calcular

�

�

�

�

�

�

�

�

�

0 1 4 36 0 2 09 7 2 50 1 0 3

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 420 b) 120 c) 384d) 540 e) 285



1. Si la matriz

2

6

4

A+ 3 A−R− I G− 42A−G 5 I − 5G− I + 1 G+R− 1 R+ 8

3

7

5

es escalar, determine el valor de:W = A+R2 +R3 + I +A2 +G+A3.a) 4 b) 5 c) 3d) 2 e) 1


�

1 10 1

�

, hallar:

traz(A+A2 +A3 + · · ·+An).a) n b) n2 c) 0d) 2n e) 2n

3. Siendo la matriz W =

�

1 2−1 0

�

, determine

la suma de los elementos de la matriz W 3.a) 8 b) 4 c) −6d) −7 e) −2

4. Sea la matriz A =

�

2 10 3

�

, determine el pro-

ducto de la diagonal principal de la matrizB = A10.a) 610 b) 25 c) 35

d) 210 e) 310

5. Hallar p+ q + r +m+ n, si se sabe que:

W21×5Ap×10Lq×20Tr×4 = Em×7R7×n

a) 56 b) 50 c) 40d) 60 e) 20

6. Si A = (aij)2×2/iaij + jaji = i2 + j2

Calcule a11a12 + a21a22a) 1 b) 5 c) 2d) 0 e) 10

7. Si A =

2

6

4

1 −1 1−1 0 00 −1 1

3

7

5

; entonces la traza de

la matriz 2−98.A100 es:a) 2 b) 0 c) 3d) 1 e) 4

8. Sea f(x) = x2 + x + 2 y sea A =

�

0 21 4

�

.

Hallar la traza de (f(A))a) 15 b) 34 c) 28d) 14 e) 9

9. Dado el polinomio P (x) = x19 + 2x− 1 y la

matriz A =

�

1 10 1

�

. Hallar la traza de P (A)

a) 4 b) 1 c) −2d) 0 e) −1

10. Sea la matriz

2

6

4

2 1 bc 3 21 1 a

3

7

5

cuya traza es 7 y el

producto de su diagonal secundaria es −3,ademas su determinante es 10. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

a b cc c ab a a

�

�

�

�

�

�

�

a) 4 b) −2 c) −4d) 3 e) 2

11. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

4 3 212 15 1436 75 98

�

�

�

�

�

�

�

a) 284 b) 384 c) 364d) 394 e) 404

12. Si “m”, “n” y “p” son las raıces de la ecua-cion x3 + 4x+ 3 = 0. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

m n pn p mp m n

�

�

�

�

�

�

�

a) 4 b) 1 c) −1d) 7 e) 0

13. Si A =

�

3 −1 −2−2 2 −34 −1 −2

Ǳ

. Hallar |A · AT |

a) 35 b) 42 c) 49d) 45 e) 54

14. Hallar el menor elemento de la inversa de

A =

�

4 25 3

�

a) −5/2 b) −1 c) −2/5d) 3/2 e) 2


2

6

4

1 7 −20 2 40 0 3

3

7

5

, hallar:

traz(A +A−1)a) 57/6 b) 55/4 c) 33/6d) 47/6 e) 10


16. Hallar el producto de los elementos de ladiagonal principal de la matriz X, donde:�

2 51 3

�

. X =

�

4 −62 1

�

a) 0 b) 16 c) −16d) 8 e) −8

17. Sea la matriz: A =

2

6

4

1 a+ b 02 5 ab x 3

3

7

5

simetrica.

Hallar la traza de A−1a) −11 b) −2 c) −1d) −16 e) −15


�

1 23 4

�

, ella se pue-

de expresar como la suma de una matrizsimetrica B y otra antisimetrica C; luego eldeterminante de la matriz C es:a) 5/12 b) 1/8 c) 1/4d) 1/16 e) 5/18

19. Sea la expresion algebraica racional F (x) =x+ 2

x− 2; x 6= 2 y la matriz A =

�

1 −1−1 2

�

,

calcule el determinante de la matriz F (A).a) −11 b) −2 c) −1d) −15 e) −16

20. Sean las matrices:A = (aik)23×2 : aik = i+ kB = (bkj)2×41 : bkj = 2k + 3jSi C = AB de elementos de cij . Halle elelemento c34a) 134 b) 121 c) 114d) 136 e) 125

21. Si: A =

�

a 10 a

�

. Hallar el determinante de

An.a) 1 b) a2n c) 2an

d) an e) 2an+1

22. Resolver la ecuacion:

3X−2

��

3 21 4

�

−X

�

= 5

��

2 1−1 3

�

−X

�

.

Determine la traza de la matriz “X”.a) 1,6 b) 0,9 c) 0,6d) 2,3 e) 3,9

23. Dada la matriz A =�√

2 3√3 5

√5 7

√7�

.

Calcular |AT · A|.

a) 210 b) 6 c) 0d) 35 e) 21

24. Considere las siguientes matrices:A = (ai,j)4×4 / |A| = −2B = (bi,j)5×5 / |B| = −1

Calcular: W =

�

�

�

�

�

|3AT | | −B||2A−1| | − 2B|

�

�

�

�

�

.

a) −5176 b) −5184 c) 5184d) 5120 e) 5187

25. Luego de resolver la ecuacion:�

�

�

�

�

�

�

x 1 03 x 1x2 −1 x

�

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

�

0 1 xx x 3x2 −1 x2

�

�

�

�

�

�

�

, indique la su-

ma de los cuadrados de las soluciones.a) 1 b) 5 c) 7d) 6 e) 3

26. Hallar la traza de la matriz A, si se cumple

que: 2A = |A|�

3 25 4

�−1.

a) 15 b) 14 c) −14d) 20 e) −20

27. Hallar el determinante de A, si se cumple

que: A = |A|�

3 15 −2

�

.

a) −1/5 b) 11 c) 1/11d) 1/5 e) −1/11

28. Calcular20X

k=1

�

�

�

�

�

�

�

1 1 11 2 31 4 k2

�

�

�

�

�

�

�

.

a) 325 b) 2940 c) 2730d) 3320 e) 3248

29. Calcular el determinante:

�

�

�

�

�

�

�

1/2 1/2 1−1/2 1/2 02/3 1/3 1/3

�

�

�

�

�

�

�

.

a) −1/3 b) 1/3 c) −1/2d) 1/2 e) 1

30. Sea la matriz: A =

�

0 −11 1

�

; ademas el po-

linomio: F (x) = x40 − 2x15 + 1, calcular lasuma de los elementos de la matriz F (A).a) 7 b) 6 c) 8d) 5 e) 4

1. Sea la matriz cuadrada A = [aij ] de orden3, tal que:

aij =

(

ij + 1 ; si i ≥ j

ij − 2 ; si i < j

Calcular la suma de todos los elementos dela matriz “A”a) 35 b) 36 c) 37d) 38 e) 39

2. Siendo B = [bij ] una matriz cuadrada deorden 3, tal que:

bij =

(

ij ; si 1 ≤ i+ j ≤ 4

ij − 4 ; si 5 ≤ i+ j ≤ 6

Calcular la traza de la matriz “B”a) 13 b) 12 c) 8d) 9 e) 10

3. Si “T” es la matriz triangular inferior:

T =

2

6

4

a+ b a+ 6 b+ 9a− b 2a a+ b+ 152a− b 4b 7a

3

7

5

Calcular: “a− b”a) 1 b) 5 c) 3

d) 7 e) 9

4. Calcular “r + s+ t”. Si la matriz

I =

2

6

4

r − 4 a/2 b− 3a/2 s− 8 c/3b− 3 c/3 t− 9

3

7

5

es identidada) 24 b) 25 c) 26d) 27 e) 28

5. Dada la matriz nula

N =

�

a2 + ap+ q 00 b2 + bq + q

�

Hallar el valor de x =(2a+ b+ q)b

2ab+ ap+ a2

a) −1 b) 0 c) −2d) 1 e) 2

6. Determinar P + E + R + U , para que se

cumpla:

�

P E R U1 1 0 1

�

2

6

6

6

4

2 0 2 00 0 1 10 1 0 00 0 3 0

3

7

7

7

5

=

�

2 0 0 42 0 6 1

�

a) −5 b) 3 c) 5d) 0 e) −3

7. Sean las matrices: A =

�

2 −13 1

�

y

B =

�

m 1n 5

�

; si A y B son matrices conmu-

tables, calcular el valor de “m+ n”.a) 5 b) 2 c) 3d) 4 e) 1


�

−1 00 1

�

, hallar la tra-

za de: M = A+A2 +A3 +A4 + · · ·+A50.a) 25 b) 100 c) 50

d) 45 e) 65


�

2 00 −2

�

, hallar la su-

ma de los elementos la matriz:E = A+2A+3A+4A+ · · ·+nA, n ∈ Z+.a) 0 b) 2n(n+ 1) c) n(n+ 1)d) 1 e) n(n+ 1)/2

10. Calcular el determinante de:M = (AT +BT )T (A−B)+(AT −BT )T (A+B), donde:

A =

�

1/2 00 1/2

�

y B =

�

1/3 00 1/3

�

a) 20/323 b) 25/237 c) 25/323d) 25/324 e) 64/135

11. Calcular el determinante de la matriz A deorden 4, si:

aij =

(

5 ; si i < j

3 ; si i ≥ j

a) 5 b) −24 c) 15

d) −15 e) 3

12. Dada la matriz A = (aij)3×3 definida por:

aij =

(

3− aij ; si i 6= j

−aij ; si i = j

Calcule |A|.a) 7/4 b) 4/27 c) 9/4d) 17/4 e) 27/4


13. Dadoa

b=

�

�

�

�

�

a√2 2

3 b√3

�

�

�

�

�

Calcular W de modo que:

1

2+

2

3+

3

4= W

4

1− 2

0

1

a) 1 b) 2 c) 5d) 4 e) 3

14. Determine el valor de:

E =

�

�

�

�

�

�

�

a b c0 b c0 0 c

�

�

�

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�

�

�

a 2b 3c4a 5b 6c7a 8b 9c

�

�

�

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�

�

�

a 3a 1b 3b 1c 3c 1

�

�

�

�

�

�

�

a) abc b) a2b2c2

c) 1 d) 0e) a3 + b3 + c3

15. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 cuyodeterminante es igual a 4, la diferencia en-tre la suma de los elementos de la diagonalprincipal y la suma de los elementos de ladiagonal secundaria es 8. Se suma x a cadaelemento de la matriz A entonces el valorde su determinante es igual a −4. Calcularel valor de x.a) −10 b) −5 c) 4d) −1 e) 15

16. Calcular:

(a+ b+ c)

�

�

�

�

�

�

�

1 b c1 c a1 a b

�

�

�

�

�

�

�

3abc− (a3 + b3 + c3)a) −1 b) 1 c) abcd) (abc)−1 e) 0

17. Resolver la ecuacion:�

�

�

�

�

�

�

2 + x x xx 3 + x xx x 4 + x

�

�

�

�

�

�

�

= 0

a) 11/13 b) −11/13 c) −9/13d) 8/13 e) −12/13

18. Calcular el valor de x que verifica la ecua-

cion:

�

�

�

�

�

�

�

a a a−a a x−a −a x

�

�

�

�

�

�

�

= 10a3

a) 7a b) 6a c) 4ad) 5a e) 3a

19. Calcular el valor del determinante:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a2 2a+ 1 2a+ 3 2a+ 5b2 2b+ 1 2b+ 3 2b+ 5c2 2c+ 1 2c+ 3 2c+ 5d2 2d+ 1 2d+ 3 2d+ 5

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 0 b) a+ b+ c+ dc) abc d) ab+ bc+ bde) a

20. Calcular

�

�

�

�

�

�

�

�

�

15 16 17 1815 15 19 2015 15 15 2115 15 15 15

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) −1200 b) 112 c) −120

d) −360 e) 1120


�

1 32 1

�

.

Calcular: E = 4È

det(A8).

a) 5 b) 25 c) 125d) −1 e) 15

22. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

0 0 0 0 20 0 0 1 35 7 6 1 14 1 1 1 15 0 0 1 1

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 0 b) −2 c) −7d) −5 e) −10

23. Calcular:�

�

�

�

�

�

�

3 −2 151 3 51 2 93

�

�

�

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�

�

�

6 −2 152 3 52 2 93

�

�

�

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�

�

�

9 −2 153 3 54 2 93

�

�

�

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�

�

�

12 −2 154 3 58 2 93

�

�

�

�

�

�

�

+ . . . +

�

�

�

�

�

�

�

30 −2 1510 3 5512 2 93

�

�

�

�

�

�

�

a) 4096 b) 8191 c) 0d) 1 e) 3

24. Calcular el determinante de la matrizA = (aij)4×4, si se sabe que aij = i+ j − 3

a) 0 b) −1 c) 1d) −3 e) 24

25. Dada la ecuacion AX = B, calcular

Traz(XTB), donde A =

�

1 12 1

�

; B =

�

21

�

a) 0 b) 11 c) 21d) 1 e) 10




�

−1 00 1

�

, hallar la tra-

za de: M = A2 +A4 +A6 +A8 · · ·+A50.a) 25 b) 50 c) 100d) 45 e) 65

2. Si la matriz A = [aij ]5×4 tal que

aij =

(

8− aij ; si i = j

−aij ; si i 6= j, determine el va-

lor de: M = a22 + a32 − a54 − 2.a) −1 b) 0 c) 3d) 4 e) 2

3. Dada la matriz simetrica:

A =

2

6

4

1 2 bx 5 a0 2 3

3

7

5

. Determinar la traz(A.AT ).

a) 48 b) 54 c) 51d) 57 e) 32

4. Sea A =

�

8x2 24x 5

�

, donde |A| = 8. Determi-

nar el valor de:

P =�

25x2 − 1

x2

�

�

1 + x−1

x+ 2

�

.

a) 5 b) 10 c) 9

d) 11 e) 12

5. Sea: A = [aij ]n×n indicar el valor de verdadde los siguientes enunciados:

� Si A es simetrica, entonces A2 essimetrica.

� Si A es simetrica, entonces Traz(A) 6=0.

� Si A es antisimetrica, entonces A2 esantisimetrica.

a) FVF b) VFV c) FFFd) VFF e) VVV

6. Dada la matriz: A =

2

6

4

14 19 1819 41 3018 30 36

3

7

5

y sea

S una matriz triangular superior tal queA = S.ST . Halla la traza de la matriz S deelementos positivos.a) 10 b) 12 c) 14d) 9 e) 8

7. Sea B una matriz de orden 2 cuyo determi-nante es 11 y la diferencia entre la suma delos elementos de la diagonal principal y loselementos de la diagonal secundaria es 2. Sise suma “x” a cada elemento de la matrizB, su determinante resulta ser 7. Halle “x”.a) −3 b) 1 c) −1d) 2 e) −2

8. Si A =

�

1 40 1

�

es una matriz no singular.

Calcular la traza de: adj(A2 + 3A).a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 16

9. Calcular el determinante de la matriz:A = [aij ]4×4, si se sabe que: aij = i+ j − 3

a) 0 b) −1 c) 1d) −3 e) 24

10. Siendo:

�

�

�

�

�

�

�

a b cm n px y z

�

�

�

�

�

�

�

= 8;

Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

−5a 15b −5cm −3n p−x 3y −z

�

�

�

�

�

�

�

a) −72 b) −90 c) −180d) −60 e) −120

11. Efectuar:

�

�

�

�

�

�

�

1 ma mb

nb na+2b n3b

mb ma+b m2b

�

�

�

�

�

�

�

a) 3 b) 0 c) 2d) −1 e) 1

12. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1 1 1 12 3 5 74 9 25 499 28 126 344

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 120 b) 192 c) 360d) 300 e) 240

13. Hallar P (−1) + P (−3), si:

P (x) =

�

�

�

�

�

�

�

�

�

8− x 8 8 88 8− x 8 88 8 8− x 88 8 8 8− x

�

�

�

�

�

�

�

�

�


a) 998 b) 987 c) 978d) 968 e) 878


2

6

4

1/2 1/4 1/70 1/3 1/80 0 1/5

3

7

5

.

Hallar: E = traz(A−1) + det(A−1).a) 100 b) 25 c) 50d) 45 e) 40

15. Si: A =

�

−3 5−2 1

�

, B =

�

−2 74 −1

�

y

C =

�

11 110 5

�

.

Al resolver la ecuacion: 2(X + B) = 3[A −2(B − X)] + C se obtiene que el valor dex12 · x21 es:a) 63 b) 10 c) 36d) 70 e) −36

16. En un texto antiguo de Algebra se encuen-

tra la matriz A =

�

1 0 a0 b 00 c 0

Ǳ

y solo se

puede leer la segunda columna

�

326

Ǳ

de la

operacion A2−AT . Hallar�

�

�

AT�

�

�

+ traz(AT ),

siendo a, b y c numeros naturales.a) 1 b) 3 c) −2d) 2 e) −3

17. Si A + B = C =

�

5 6 32 −2 4−1 −2 3

Ǳ

, donde

A es simetrica y B es antisimetrica. Hallarla suma de los elementos de la primera filade A mas la suma de los elementos de laprimera columna de B.a) 16 b) 8 c) 10

d) 14 e) 6

18. Sea A =

�

1 200 5

�

. Si C = A50 = [cij ]2×2,

determinar: C12.a) 3× 560 b) 550 + 5 c) 551 − 5d) 565 − 5 e) 547 − 5

19. Resolver el siguiente sistema:2X + 3Y = A, 5X − 2Y = B. Con

X,Y ∈ K2×2, donde A =

�

−5 316 −6

�

y

B =

�

16 −4021 23

�

. Dar como respuesta la

traz(X + Y ).a) −2 b) 2 c) 3d) −3 e) 0

20. Calcule la matriz inversa de:

A =

�

cosα − senαsenα cosα

�

.

a)

�

senα cosαcosα − senα

�

b)

�

senα 00 − senα

�

c)

�

cosα 00 − cosα

�

d)

�

cosα senα− senα cosα

�

e)

�

senα − senαcosα cosα

�

21. Si P (x) = 2x + 3 y A =

�

2 11 1

�

, hallar

la traza de P (A−1).a) 11 b) 12 c) −2d) 2 e) −11

22. Sea la matriz A = (aij)2×2 donde

aij =

(

2i+ j si i = j

(i+ j)2 si i 6= j

Hallar la traza de A−1a) 7 b) −6/63 c) 6/63d) 1/7 e) −1/7

23. Si A =

�

2 51 3

�

, determinar la suma de los

elementos de la matriz A−2.a) −1 b) −3 c) −7d) −5 e) −9

24. Sea A =

2

6

4

2 −1 31 0 1−1 1 0

3

7

5

, hallar |A5|.

a) 32 b) −1 c) 0d) 64 e) 81

25. Dada la matriz Adj =

2

6

4

4 −8 4−7 9 −5−6 10 k

3

7

5

y

|A| = −4, hallar el valor de k.a) 6 b) 12 c) −12d) −6 e) 8



1. Dadas las matrices: A =

�

2 −13 1

�

y

B =

�

m 1n 5

�

. ¿Que valor asume m− n si A

y B son conmutables?a) 1 b) 7 c) 5

d) 3 e) 9

2. Se define P (x, y) = 2x2 − 3xy+ y2, ademas:

A =

�

−2 13 5

�

y B =

�

4 2−3 7

�

.

Hallar P (A,B) e indique su traza.a) 10 b) 21 c) 31d) 25 e) 33


�

−1 00 1

�

, hallar la tra-

za de: M = A+A3 +A5 +A7 + · · ·+A25.a) 25 b) 50 c) 0d) 10 e) 5

4. Dada la matriz A = [aij ] ∈ K10×10 tal que

aij =

(

ij −√ij + 1, i = j

max{i, j}, i 6= j

hallar la suma de elementos de la matriz A.a) 1000 b) 250 c) 500d) 100 e) 1500

5. Si A = (aij)2×2/iaij + jaij = i2 + j2

Calcule a11a12 + a21a22a) 1 b) 0 c) 2d) 5 e) 10

6. Dada la matriz: A =

�

x− 1 16 x− 2

�

de elementos no negativos, se cumple:det(A) = traz(A) − 1. Calcule la suma deelementos de A2.a) 84 b) 86 c) 87d) 88 e) 82

7. Si: A = [aij ]3×4 / aij =

(

3; si i = j

2; si i 6= j

B = [bij ]4×3 / bij =

(

i+ j; si i = j

2i− j; si i 6= j

siendo: C = AB, determine:

W =C32 − C11

C22 − C31

a) 6/7 b) 8/7 c) 9/7d) 10/7 e) 4/7

8. Si

At =

��

1 32 4

� �

3 41 5

��

2

6

6

6

6

4

�

5 21 3

�

�

4 32 1

�

3

7

7

7

7

5

−B

ademas B =

�

27 2625 24

�

y

A− (3I)t =

�

a bc d

�

− 12A−1

entonces el valor de a2 + b2 + c2 + d2 es:a) 27 b) 25 c) 18d) 21 e) 23

9. Dada la matriz:

A =

�

2 −3 −5−1 4 51 −3 −4

Ǳ

Determinar la suma de los elementos de lamatriz B = A2

a) −4 b) 0 c) 4d) 2 e) −2

10. Sea f(x) = 3x2 − 2, y sea la matriz:

A =

�

0 1 −14 −3 43 −3 4

Ǳ

Determinar la traza de: f(A)a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

11. Si A−B es una matriz nula y A+B es unamatriz escalar, donde:

A =

�

1 a+ 1 ba+ 1 1 c− 1b c− 1 1

Ǳ

B =

�

1 x yx 1 zy z 1

Ǳ


Calcular: a3 + b3 + c3

a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4

12. Calcular el determinante:�

�

�

�

�

�

�

�

�

15 16 17 1815 15 19 2015 15 15 2115 15 15 15

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 1120 b) 112 c) −120d) −1200 e) −360

13. Cuales deben ser los valores reales de “x”para que la matriz

2

6

4

x 2 02x x+ 2 x

x+ 1 3− x2 x+ 1

3

7

5

no tenga inversa?.a) {0} b) {1} c) {−2, 0, 1}d) {0, 2} e) {2}

14. Hallar el det(A) si:2

6

6

6

4

a− 1 4a+ 1 3a+ 2 2a+ 3x+ 2 3− x 1− 2x 5x− 2y + 5 3y + 6 1 + 2y 4− yz + a 3z + a+ b 2z + b 2b+ z + 1

3

7

7

7

5

a) 0 b) 3x+ a c) 5x− 2d) 3z + b e) 3y + z

15. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

0 1 1 31 0 1 01 0 8 60 0 0 −7

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 54 b) 28 c) 38d) 49 e) 12

16. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

5 4 3 2 18 8 6 4 29 9 9 6 38 8 8 8 45 5 5 5 5

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 720 b) 120 c) 825d) 5040 e) 24

17. Calcular:50X

k=1

�

�

�

�

�

k k + 1k + 2 k + 3

�

�

�

�

�

a) 50 b) −50 c) −20d) 20 e) −100

18. Calcular:

�

�

�

�

�

2x 2x+ 22x+ 4 2x+ 6

�

�

�

�

�

−�

�

�

�

�

2x+ 1 2x+ 32x+ 5 2x+ 7

�

�

�

�

�

a) 5 b) −5 c) 0d) 10 e) −10

19. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

1 1 1x x+ 1 x+ 2

x2 + k (x+ 1)2 + k (x+ 2)2 + k

�

�

�

�

�

�

�

a) 2 b) −1 c) 4

d) 0 e) 1

20. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1 2 3 42 5 7 93 8 12 164 12 21 32

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 1 b) 4 c) 20d) 2 e) 16

21. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1 2 3 4−1 −1 −1 −1−2 0 −1 −2−3 1 −1 −3

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 2 b) 0 c) 12d) 25 e) 8

22. Hallar la traza de A−1 si: A =

2

6

4

1 1 12 3 23 3 4

3

7

5

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

23. Sean: A =

�

−2 3−1 1

�

,

B =

�

−45 39 47 3 19 −15 −11−23 9 14 1 0 −8 −6

�

El mensaje M fue cifrado con la clave A, yse obtuvo el mensaje cifrado B. Encuentreel mensaje si se sabe que B = AM y que:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

– A B C D E F G H I

10 11 12 13 14 15 16 17 18

J K L M N N O P Q

19 20 21 22 23 24 25 26 27

R S T U V W X Y Z

a) ANDRES–INIESTAb) JULIO–IGLESIASc) WALTER–ARRIAGA

d) JENNIFER–LOPEZe) ANDREA–BOCELLI

1. Sea A una matriz cuadrada, se afirma que:

AAt es simetrica.

A+At es simetrica.

A−At es antisimetrica.

|AAt| = |A|2

Indicar (V) o (F) segun correspondaa) VFFV b) VVVV c) VVFFd) FVFV e) FVVF

2. Dadas las matrices A yB cuadradas del mis-mo orden, se afirma que:

det(A+B) = det(A) + det(B)

det(Am) = (det(A))m

det(A) 6= det(AT )

det(AB) = det(A) det(B)

Indicar (V) o (F) segun correspondaa) VFFV b) VFVV c) VVFFd) FVVF e) FVFV

3. Dada la matriz A = (aij)3×3 donde

aij =

(

i+ j si i ≥ j

i− j si i < j

hallar la suma de los elementos de la diago-nal secundaria de A.a) 5 b) 4 c) 6d) 3 e) 7

4. Se define la matriz A = [aij]3×3 como:

aij =

(

2i− j; si i ≤ j

i+ 2j; si i > j

y la matriz B = [bij ]3×4 con bij = i+ j − 1,siendo M = AB; determine el valor de m23

a) 25 b) 10 c) 15d) 20 e) 12

5. Si la matriz A =

�

2 a1 b

�

es involutiva.

Hallar: b− aa) 2 b) 0 c) −1d) 1 e) −2

6. Si la matriz A =

�

x −12x −x

�

es nilpotente,

determine la suma de los elementos de la

matriz A, con x 6= 0a) 1 b) 3 c) −1d) 4 e) −2

7. Si A es una matriz nilpotente de orden 2,calcular: A(I +A)5

a) I −A b) I +A c) A2

d) I +A2 e) A

8. Si A = BC y A+B = I, hallar AC − Ca) I b) −I c) −A

d) A e) C

9. Hallar Traz(A40), si: A =

2

6

4

0 1 00 0 23 0 0

3

7

5

a) 0 b) −3 c) −6d) 3 e) 6

10. Si la matriz A =

2

6

4

a+ 1 a 00 b cb 0 c+ 2

3

7

5

es

simetrica, calcula la traza de A2002

a) 1 b) 22002 c) 2d) 1 + 22002 e) 2002

11. Dada la matriz A = [aij ] ∈ K10×10 tal queaij = 2(i+ j − 1), hallar det(A).

a) 10 b) 0 c) 100d) 1000 e) 1500

12. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

4 6 616 15 1228 24 18

�

�

�

�

�

�

�

a) 4 b) 1 c) 2d) 3 e) 0

13. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1 2 3 42 5 8 113 10 14 184 15 20 25

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 8 b) 4 c) 0d) 2 e) 64

14. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

2 1 1 1 10 3 1 1 10 0 4 1 12 1 1 6 22 1 1 1 7

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) 720 b) 680 c) 200d) 580 e) 480

15. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

1 + x 1 1 11 1− x 1 11 1 1 + y 11 1 1 1− y

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) xy b) x− y c) x+ yd) x2y2 e) x3y3

16. Hallar la traza de A−1 si: A =

2

6

4

1 1 12 3 43 5 8

3

7

5

a) 8 b) 10 c) 6d) 5 e) 4

17. Calcular la traza de X en la ecuacion:

AX = AB − BX, donde: A =

�

1 23 4

�

;

B =

�

0 −2−3 −3

�

a) 18 b) 20 c) 32d) −32 e) −24

18. Dada la matriz A = (aij)3×3 definida por:

aij =

8

>

<

>

:

2− aij si i > j

3aij − 4 si i = j

12− 3aij si i < j

Calcule |AAT |.a) 9 b) 8 c) 4d) 10 e) 7

19. Sea A =

�

1 50 1

�

, calcular la traza de

Adj(A2 + 2A).a) 6 b) 4 c) 8d) 9 e) 10

20. Si

�

�

�

�

�

�

�

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

�

�

�

�

�

�

�

= x, calcular el valor de:

�

�

�

�

�

�

�

b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2b3 + c3 c3 + a3 a3 + b3

�

�

�

�

�

�

�

a) x b) 4x c) 3xd) 2x e) 5x

21. Si Adj(A) =

2

6

4

1 1 −1−10 x 27 −3 −1

3

7

5

, y |A| = 2,

hallar x.a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10


�

3 2−1 0

�

, hallar la suma

de los valores de k que satisfacen la ecua-cion: det(kI −A) = 0, donde I es la matrizidentidad.a) 1 b) 2 c) 5d) 4 e) 3

23. Hallar la traza de la matriz X en AX = B,

donde: A =

2

6

4

1 1 10 1 10 0 1

3

7

5

y B =

2

6

4

2 1 01 2 10 1 2

3

7

5

a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

24. Sea A =

�

8x2 24x 5

�

; donde |A| = 8. Determi-

nar el valor de: W = 25x2 + x−2

a) 11 b) 9 c) 13d) 10 e) 12

25. Calcular:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a+ 1 3a b+ 2a b+ 12b b+ 1 2− b 1

a+ 2 0 1 a+ 3b− 1 1 a+ 2 a+ b

�

�

�

�

�

�

�

�

�

a) a2 + b2 b) a+ b c) 1

d) 0 e) 3a+ 2b

26. Sean: A =

�

−2 1−1 1

�

,

B =

�

10 10 −39 −24 −3711 15 −19 −10 −18

�

El mensaje M fue cifrado con la clave A, yse obtuvo el mensaje cifrado B. Encuentreel mensaje si se sabe que B = AM y que:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

– A B C D E F G H I

10 11 12 13 14 15 16 17 18

J K L M N N O P Q

19 20 21 22 23 24 25 26 27

R S T U V W X Y Z

a) ALESSANDRAb) WASHINGTONc) JOSEI–TODAd) SODASTEREOe) RONALDINHO

Capıtulo 11:

ECUACIONES

Objetivos

z Comprender el concepto de ecuacion como una igualdad en la que hay que hallar el valor de la

incognita que la hace verdadera.

z Identificar la transposicion de terminos en una ecuacion como metodo para transformar una

ecuacion en otra equivalente mas sencilla.

z Identificar, plantear y resolver problemas de ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer y

segundo grado y especificar las soluciones.

11.0.1. Historia de las ecuaciones

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los arabes, en un libro llamado Tratado

de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Algebra (del arabe algabru walmuqabalah, reduccion y cotejo).

Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontro gran dificultad, la situa-

cion fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la ecuacion general

de tercer grado: ax3+ bx2+ cx+ d = 0 requirio consideraciones bastante profundas y resistio todos los

esfuerzos de los matematicos de la antiguedad. Solo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en

la Era del Renacimiento en Italia. Aquı se presentara el ambiente en que acontecio el descubrimiento

de la solucion de las ecuaciones de tercer grado o cubicas. Los hombres que perfeccionaron las cubicas,

italianos todos, constituyeron un grupo de matematicos tan pintoresco como nunca se ha dados en la

historia. La mayorıa de ellos eran autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interes

compuesto y de seguros.

Habiendose elevado por encima del simple calculo practico, los grandes algebristas italianos cons-

tituıan en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento tanto entre

tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del Renacimiento, como

en las catedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a

239


sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sı competencias para la solucion de problemas. (Algo

muy similar a lo que hacıan los hindues siglos antes). Para hacer doblemente difıcil su deporte, algunas

veces hacıan apuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En

esta atmosfera combativa estallo la guerra en torno a la ecuacion cubica. La chispa pudo haber sido

encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publico un compendio de

algebra, la “Suma Aritmetica”. Con ella transmitio el algebra inventada hasta la fecha y termino con

la irritante observacion de que los matematicos no podrıan todavıa solucionar ecuaciones cubicas por

metodos algebraicos.

El primer hombre en recoger el desafıo de Pacioli en torno a las cubicas fue, como ya dijimos

Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llego a ser catedratico de matematicas en la

Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solucion general para todas las ecuaciones cubicas de

la forma simplificada x3 + nx = h.

Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios

durante las competencias. Pero en sus ultimos dıas confıo su solucion a un estudiante, Antonio Fior,

quien la utilizo en una disputa de algebra con un rival, Nıcolo Fontana, llamado Tartaglia o tartamudo

a causa de que padecıa este defecto.

En la epoca de la contienda con Fior, Tartaglia habıa pasado a ser uno de los mas sagaces solucio-

nadores de ecuaciones de Italia, y habıa ideado un arma secreta propia: Una solucion general para las

cubicas del tipo x3 +mx2 = h. Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos especıficos

del tipo x3 + px + q = 0, le respondio con ejemplos del tipo x3 + mx2 = n. Durante el intervalo

concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente, ocho dıas

antes de finalizar el plazo, Tartaglia habıa encontrado una solucion general para las ecuaciones del tipo

x3 + px = q y en dos horas resolvio todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabo el

tiempo y llego el dıa de hacer el computo, Tartaglia habıa solucionado los problemas de Fior y este

no habıa solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se

encontro con un rival mas fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegıtimo de un abogado y a su vez padre

de un asesino. Cardano era un astrologo que hacia horoscopos para los reyes, un medico que visitaba

a sus enfermos y un escritor cientıfico de cuya pluma emanaron montanas de libros. Fue tambien un

jugador inveterano, siempre balanceandose al borde de la prision. Pero Cardano siempre salıa bien

parado. El Santo Padre lo pensiono solucionandole ası sus problemas economicos y Cardano, a base

de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solucion de la ecuacion cubica.

Aunque Cardano juro mantener secreta la solucion de Tartaglia, la publico unos cuantos anos

despues, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado “Ars Magna” (Gran Arte).

Tartaglia, que habıa estado a punto de escribir su propio libro, paso el resto de su vida maldiciendo a

Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocıa el descubrimiento de Tartaglia. Tam-

bien en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a otro matematico: el alborotador y blasfemo

Lodovico Ferran que murio a la edad de 43 anos, envenenado por su propia hermana. Ası como Tar-


taglia habıa solucionado la cubica, de la misma forma Ferran, cuando todavıa estudiaba con Cardano,

solucion de las de cuarto grado o cuarticas (con formulas mas complicadas que las de tercer grado). Al

descubrir la obra de ambos hombres, Cardano en su “Ars Magna” pudo dar al mundo las soluciones

generales de las cubicas y las cuarticas, divulgando los dos avances del algebra mas trascendentales

desde la muerte de Diofanto, 1300 anos antes.

En el Ars Magna, Cardano acepto formalmente el concepto de los numeros negativos y enuncio las

leyes que los rigen. Tambien anticipo otro tipo nuevo de numero que denomino ficticio o sofisticado.

Tal fue la raız cuadrada de un numero negativo, que es incluso mas difıcil de comprender que un

numero negativo propiamente, ya que ningun numero real multiplicado por sı mismo da un numero

negativo. En la actualidad los matematicos llaman a la raız cuadrada de un numero negativo numero

imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un numero real, el resultado se llama numero

complejo. Los matematicos posteriores han mostrado que los numeros complejos pueden tener toda

clase de aplicaciones.

En gran parte debido a Cardano, las Matematicas salieron de su paso por las pugnas del Renaci-

miento enormemente enriquecidas. El exito de los matematicos italianos produjo un gran efecto. Era

la primera vez en que la ciencia moderna habıa sobrepasado las conquistas de los antiguos.

Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportacion habıa consistido solamente en

entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los antiguos no habıan

tenido exito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedio en el siglo XVI, un siglo antes de la

invencion de nuevas ramas de las matematicas: Geometrıa analıtica y Calculo diferencial e Integral

que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia sobre la antigua. Despues de esto, no hubo

matematico importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones

de quinto, sexto y mas alto grado en forma analoga a los italianos, es decir, encontrando una formula

general o como se dice actualmente, resolverlas por radicales. El prominente algebrista del siglo XVII,

Tschimhausen (1651–1708) creyo haber encontrado un metodo general de solucion. Su metodo estaba

basado en la transformacion de una ecuacion a otra mas simple; pero esta sola transformacion requerıa

de algunas ecuaciones auxiliares.

Mas tarde, con un analisis mas profundo se demostro que el metodo de transformacion de Ts-

chimhausen, en efecto, da la solucion de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para

una ecuacion de quinto grado se necesita resolver primero una ecuacion auxiliar de sexto grado, cuya

solucion no era conocida.

El famoso matematico frances Lagrange en su gran trabajo “Reflexiones sobre la solucion de ecua-

ciones algebraicas” publicado en 1770–1771, ( con mas de 200 paginas) crıticamente examina todas las

soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas hasta su epoca y demostro que

su exito siempre se basa en propiedades que no cumplen ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde

el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo de Lagrange, mas de dos siglos y medio habıan pasado y

nadie durante este gran intervalo habıa dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado


y mayores por radicales, esto es, de encontrar formulas que envuelven solo operaciones de suma, resta,

multiplicacion, division, exponenciacion y raıces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar

la solucion de una ecuacion en terminos de los coeficientes, esto es, formulas similares a aquella por la

que se habıa resuelto la ecuacion de segundo grado en la antiguedad y a aquellas encontradas por los

italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matematicos pensaron que sus fracasos

se debıan principalmente a su propia incapacidad para encontrar una solucion. Lagrange dice en sus

memorias:

“El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es mas alto que el cuarto es uno

de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de resolverlos”.

Lagrange avanzo bastante en la teorıa de las ecuaciones algebraicas formalizando el trabajo anterior a

su epoca y descubriendo nuevas relaciones entre esta teorıa y otras como la teorıa de las permutaciones.

Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema permanecio sin solucion y constituıa,

en palabras del mismo Lagrange, “Un reto para la mente humana”.

Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matematicos cuando en 1824 vino a

la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 – 1829), en el cual

se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuacion se tomaban simplemente como letras,

entonces no existe ninguna expresion algebraica con dichos coeficientes que fuera solucion de la ecuacion

correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de los mas grandes matematicos de todos los

paıses para resolver ecuaciones de grado mayor que cuatro por radicales no fue coronado por el exito

por la sencilla razon de que este problema simplemente no tiene solucion.

Esas formulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para ecuacio-

nes de grado mayor no existen tales formulas Pero eso no es todo aun. Un resultado extremadamente

importante en la teorıa de las ecuaciones algebraicas esperaba todavıa ser descubierto. El hecho es que

hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que sı se pueden resolver por radicales,

y muchas de ellas son exactamente las que son importantes para resolver problemas concretos de la

realidad.

Resumiendo, despues del descubrimiento de Abel la situacion era la siguiente: Aunque la ecuacion

general de grado mayor que 4 no se podıa resolver por radicales, hay un numero ilimitado de ecuaciones

de grado mayor a cuatro que sı se pueden resolver por radicales. La pregunta era ¿cuales ecuaciones

sı se pueden resolver por radicales y cuales no? o en otras palabras: ¿que condiciones debe cumplir una

ecuacion para que pueda ser resuelta por radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo

este asunto de las ecuaciones la dio el brillante matematico frances Evariste Galois. (1811–1832).

A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo en

muchas ramas de las matematicas y en particular dio la solucion al problema que quedaba pendiente

en la teorıa de las ecuaciones algebraicas en un pequeno manuscrito titulado “Memoria sobre las

condiciones para resolver las ecuaciones por radicales”, que fue escrito en treinta y un paginas casi

ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue muerto a la edad mencionada de 20


anos.

Como se puede observar, la formula de Tartaglia da la solucion de la ecuacion de tercer grado a

partir de los coeficientes y utilizando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raıces. Este tipo de

expresiones se denominan radicales. Desde la aparicion de la formula los matematicos intentaron buscar

que ecuaciones podıan resolverse por radicales. Muchos grandes matematicos atacaron el problema,

pero fallaron en resolverlo: Euler, Lagrange (alrededor de 1770), Leibiniz, etc.

En 1813, Ruffini intento demostrar que las ecuaciones de quinto grado no se pueden resolver por

radicales, pero tampoco lo consiguio. Finalmente, Abel demostro en 1824 que, efectivamente, no existe

una formula que permita resolver las ecuaciones de quinto grado.

El problema mas general fue resuelto por Evariste Galois en 1832 que aporto un metodo, conocido

como la Teorıa de Galois, que permite decidir cuando una determinada ecuacion se puede resolver por

radicales.

CONCLUSION: Existen formulas que permiten resolver las ecuaciones de segundo, tercer y

cuarto grado. Sin embargo, no existe una formula que permita resolver todas las ecuaciones de quinto

grado.

En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales cualquier

ecuacion de cualquier grado. El problema resulto ser mas difıcil y mas profundo de lo que se pensaba

en un principio y dio origen a la creacion de nuevos conceptos, importantes no solo para el algebra

sino tambien para las matematicas en general. Para la solucion practica de las ecuaciones el resultado

de todo este trabajo fue el siguiente:

Quedo claro que una formula general para las ecuaciones esta muy lejos de existir y aun en los

casos particulares en que existe, era de poca utilidad practica a causa de las operaciones sumamente

complicados que se tenıan que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan todo ese trabajo).

En vista de lo anterior, los matematicos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres direcciones

completamente diferentes, que son:

1. En el problema de la existencia de raıces (soluciones).

2. En el problema de saber algo acerca de las soluciones, solo trabajando con sus coeficientes.

3. En el calculo aproximado de las raıces o soluciones de una ecuacion.

Definicion 11.0.1.

Un enunciado es una proposicion que puede ser calificada como verdadera o falsa.

Una proposicion es toda una code enunciados conectados con ciertos sımbolos matematicos.

Los enunciados abiertos son aquellos que estan formados por variables constantes y que pueden

ser verdaderos o falsos, segun la asignacion de valores a las variables.


Definicion 11.0.2. Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas o trascendentales,

donde existe por lo menos una variable, cada una de las expresiones comparadas por la igualdad se

denominan miembros de la ecuacion.

Definicion 11.0.3. La solucion de una ecuacion es aquel valor que toma la incognita y convierte la

ecuacion en una identidad, es decir, hace verificar la igualdad.

Ejemplo 11.0.1.

3x+ 5 = 17; es una ecuacion que se verifica para x = 4.

x2 + x− 6 = 0; es una ecuacion que se verifica para x = −3 y x = 2.

11.0.2. Clasificacion de las ecuaciones

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus caracterısticas, siendo las principales:

1. Segun el Grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.

En general, una ecuacion de grado n posee n raıces o soluciones.

Ejemplo 11.0.2.

2x+ 5 = 3; es una ecuacion de primer.

x2 − 6x+ 5 = 0; es una ecuacion de segundo grado.

2. Segun sus Coeficientes: Pueden ser numericas o literales.

Ejemplo 11.0.3.

7x− 3 = 5x+ 9; es una ecuacion numerica.

ax2 + bx+ c = 0; es una ecuacion literal, con coeficientes a, b, c.

3. Segun las Incognitas: Pueden ser de una, dos, tres o mas incognitas.

Ejemplo 11.0.4.

3x− 1 = x+ 3; es una ecuacion con una incognita: x.

2x− 3y = 5; es una ecuacion con dos incognitas: x, y.

x− 3y + 2z = 7 es una ecuacion con tres incognitas: x, y, z.

4. Segun la naturaleza de las expresiones: Pueden ser:

a. Ecuacion algebraica: Que a su vez puede ser:

a.1. Ecuacion algebraica racional:

a.1.1. Ecuacion algebraica racional entera: 3x− 2 = x2 − 6

a.1.2. Ecuacion algebraica racional fraccionaria: x+ 2 = 4 +3

xa.2. Ecuacion algebraica irracional: La incognita se encuentra afectada del radical. 2x +

1 = 3√2x+ 3− x2

b. Ecuacion no algebraica o trascendente: Cuando al menos un temino de la expresion es

no algebraico o trascendente. Puede ser:

Exponencial: 3x−1 = 3x+ 2

Trigonometrica: 5 sen(3x+ 5π) = cos x

Logaritmica: 7x log2(10x − 3) =√5

Matriciales:

2

4

3 5

2 −1

3

5

2

4

x

y

3

5 =

2

4

14

5

3

5

5. Segun sus Soluciones: Pueden ser compatibles o incompatibles.

a. Ecuaciones Compatibles: son aquellas que tienen por lo menos una solucion. A su vez

estas ecuaciones se dividen en:

a.1. Ecuaciones Compatibles Determinadas: (ECD) Si tienen un numero finito o limi-

tado de soluciones.

Ejemplo 11.0.5.

◦ 3x− 1 = x+ 3 tiene una solucion.

◦ x2 − 4 = 5 tiene dos soluciones.

a.2. Ecuaciones Compatibles Indeterminadas: (ECI) Si tienen un numero ilimitado

de soluciones.

Ejemplo 11.0.6.

◦ 2x+ 3 = 1 + 2x+ 2.

◦ (x+ 1)2 − (x− 1)2 = 4x.

Nota 11.0.1. Todas las identidades o productos notables son ecuaciones compatibles

indeterminadas.

b. Ecuaciones Incompatibles: (EI) Llamadas tambien absurdas, son aquellas que no tienen

o carecen de solucion.

Ejemplo 11.0.7.

• x

5+

x

2=

7x

10+ 3.

Ecuacion

8

>

>

>

<

>

>

>

:

Compatible

8

<

:

Determinada (ECD) numero finito de soluciones

Indeterminada (ECI) infinitas soluciones

Incompatible (EI) inconsistente o absurdo. No existe solucion

Definicion 11.0.4. Dos o mas ecuaciones se dicen que son Equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Ejemplo 11.0.8. Las ecuaciones

8

>

<

>

:

3x+ 3 = 8x− 2

7x

2+ 2 =

x

15+

26

3

son equivalentes

Teorema 11.0.1. Teorema Fundamental del Algebra

Todo polinomio de grado n tiene al menos una raız, que generalmente es compleja.

Corolario 11.0.1. Todo polinomio de coeficientes numericos y grado n tiene exactamente n raıces

que pueden ser reales diferentes, iguales o complejas conjugadas.

Criterios de Solucion

� Si la ecuacion presenta a la incognita en el denominador. Se debera cuidar que su solucion no anule

el denominador. Por ejemplo, antes de resolver:x+ 1

x− 3+

x+ 5

x− 2=

2x2 − x− 11

x2 − 5x+ 6, Se debera tener

en cuenta que: x 6= 3 ∧ x 6= 2

� Si la ecuacion presenta a la incognita afectada de algun signo radical de ındice par. Se debe

proceder de la siguiente manera:

Si 2nÈ

F (x) = G(x), con n ∈ N, debe cumplirse que F (x) ≥ 0 ∧ G(x) ≥ 0.

Principios Fundamentales

� Si a los dos miembros de una ecuacion se le suma o se le resta una misma cantidad M , la igualdad

no altera (se obtiene otra ecuacion equivalente).

A = B ⇒ A±M = B ±M

� Si se multiplica a los dos miembros de una ecuacion por una misma cantidad M , se obtiene otra

ecuacion equivalente. Si M contiene a la incognita, entonces se infiltran soluciones extranas.

� Si ambos miembros de una ecuacion se dividen por una misma cantidad M 6= 0, la igualdad no

altera (se obtiene otra ecuacion equivalente). Si M contiene a la incognita, entonces se pierden

soluciones.

� Si a los dos miembros de una ecuacion se les eleva a la n–esima potencia, entonces la igualdad

no altera, pero se infiltran soluciones extranas.

� Si a los dos miembros de una ecuacion se les extrae la raız enesima, entonces la igualdad no

altera, se dice que se han perdido soluciones.


11.0.3. Ecuaciones de primer grado con una variable

Definicion 11.0.5. Las ecuaciones de primer grado con una variable son de la forma:

ax+ b = 0 (11.1)

donde a y b son co, con a 6= 0, y siendo x la incognita, por lo cual son tamben llamadas “Ecuaciones

lineales con una incognita” y que debido a las propiedades de los numeros reales se resuelve de la

siguiente manera:

ax+ b = 0 ⇐⇒ x = − b

a

Las ecuaciones lineales en el sistema cartesiano representan rectas. Una forma comun de ecuaciones

lineales es y = mx+c, donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen

(el punto donde la recta corta al eje Y ).

Ejemplo 11.0.9. Resolver 6x− 5 = 2x+ 7.

Solucion

6x− 5 = 2x+ 7

4x− 5 = 7

4x = 12

x = 3

Discusion de sus raıces

� Si a 6= 0 entonces la solucion es unica (ECD).

� Si a = 0 y b = 0 entonces la ecuacion posee infinitas soluciones (ECI).

� Si a = 0 y b 6= 0 entonces la solucion no existe (EI o absurda).

11.0.4. Sistema de ecuaciones lineales

Definicion 11.0.6. Un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales sobre el

cuerpo de los numeros reales R.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales con n incognitas puede ser escrito en forma

ordinaria como:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

......

......

......

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

(11.2)

Donde x1, . . . , xn son las incognitas y los numeros aij ∈ K son los coeficientes del sistema sobre el

cuerpo K = R o C. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notacion matricial:2

6

6

6

6

6

6

4

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

am1 am2 · · · amn

3

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

4

x1

x2...

xn

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

b1

b2...

bm

3

7

7

7

7

7

7

5

(11.3)

Si representamos cada matriz con una unica letra obtenemos:

Ax = b

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de

longitud m.

El problema de los sistemas de ecuaciones lineales es uno de los mas antiguos de la matematica y

tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de senales, estimacion, prediccion

y mas generalmente en programacion lineal ası como en la aproximacion de problemas no lineales de

analisis numerico.

Clasificacion:

De acuerdo a la solucion los sistemas se clasifican en:

a. Sistema Compatible: Es aquel sistema que tienen por lo menos una solucion. A su vez estos

sistemas se dividen en:

a.1. Sistema Compatible determinado: (SCD) Si tienen un numero finito o limitado de

soluciones.

Ejemplo 11.0.10.

◦

8

<

:

3x− y = 20

x+ 5y = 12, cuya solucion es: CS = {(7, 1)}.

Las ecuaciones se corresponden graficamente con dos rectas que se interceptan en el

punto (7, 1).

◦

8

<

:

x2 + y2 = 17

√xy + xy = 6

, cuya solucion es: CS = {(4, 1), (1, 4), (−4,−1), (−1,−4)}.

a.2. Indeterminadas: (SCI) Si tienen un numero ilimitado de soluciones.

Ejemplo 11.0.11.

◦

8

>

<

>

:

3x+ y = 4

3x

2+

y

2= 2

Las ecuaciones se corresponden graficamente con dos rectas paralelas coincidentes que

se interceptan en infinitos puntos.

◦

8

<

:

x+ y + z = 3

x− y = 1

b. Incompatibles: (EI) Llamadas tambien absurdas, son aquellas que no tienen o carecen de

solucion.

Ejemplo 11.0.12.

•

8

<

:

4x+ 2y = 5

8x+ 4y = 3

Las ecuaciones se corresponden graficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente,

Al ser paralelas, no se cortan en ningun punto, es decir, no existe ningun valor que satisfaga

a la vez ambas ecuaciones. Matematicamente un sistema de estos es incompatible cuando

el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condicion

necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero.

•

8

<

:

x2 + y2 = 2

x+ y = 4

Sistema de

ecuaciones

8

>

>

>

<

>

>

>

:

Compatible

8

<

:

Determinada (SCD) numero finito de soluciones

Indeterminada (SCI) infinitas soluciones

Incompatible (SI) inconsistente o absurdo. No existe solucion

Los sistemas incompatibles geometricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se

cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hi-

per)planos o rectas que se cortan en un unico punto. Los sistemas compatibles indeterminados se

caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o mas generalmente un hiper-

plano de dimension menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados

se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistema compatible determinado ⇐⇒ det(A) 6= 0

Metodos para resolver un sistema lineal

Los sistemas lineales han sido resueltos por diferentes metodos, siendo los mas importantes:

1. Metodo de Carl Gauss:1 Este metodo consiste en ir disminuyendo ecuaciones e incognitas

1Johann Carl Friedrich Gauss nacio en Brunswick, Alemania el 30 de abril de 1777 y murio el 23 de febrero de 1855,

fue un matematico, astronomo y fısico aleman que contribuyo significativamente en muchos campos, incluida la teorıa

de numeros, el analisis matematico, la geometrıa diferencial, la geodesia, el magnetismo y la optica. Considerado “el

prıncipe de las matematicas” y “el matematico mas grande desde la antiguedad”, Gauss ha tenido una influencia notable

en muchos campos de la matematica y de la ciencia, y es considerado uno de los matematicos que mas influencia ha

tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

hasta llegar a una sola ecuacion con la menor cantidad posible de incognitas.

Ejemplo 11.0.13. Resolver:

8

<

:

3x+ 5y = 14

2x− y = 5

Solucion:

Como 2x− y = 5, entonces despejamos y

luego y = 2x− 5 y reemplazando en la primera ecuacion se tiene:

3x+ 5(2x− 5) = 14, de donde x = 3, y ası obtenemos y = 1

∴ CS = {3; 1} �

2. Metodo de Arthur Cayley:2 Este metodo consiste en el uso de las matrices (matriz inversa)

en la resolucion de los sistemas lineales determinados.

Para resolver el sistema

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

......

......

......

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

(11.4)

se lleva a la forma matricial2

6

6

6

6

6

6

4

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...


3

7

7

7

7

7

7

5

2

6

6

6

6

6

6

4

x1

x2...

xn

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

b1

b2...

bn

3

7

7

7

7

7

7

5

(11.5)

y si la matriz de coeficientes es no singular, existira la inversa y sera aplicable ste metodo y la

solucion se obtiene con:2

6

6

6

6

6

6

4

x1

x2...

xn

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...


3

7

7

7

7

7

7

5

−1 2

6

6

6

6

6

6

4

b1

b2...

bn

3

7

7

7

7

7

7

5

luego por igualdad de matrices se obtiene la solucion del sistema.


8

<

:

3x+ 5y = 14

2x− y = 5

2Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 – Cambridge, 26 de enero de 1895) fue un matematico

britanico. Es uno de los fundadores de la escuela britanica moderna de matematicas puras. Recibio la Royal Medal en

1859 y la Medalla Copley en 1882.

Solucion:

LLevando a una ecuacion matricial se tiene:2

4

3 5

2 −1

3

5

2

4

x

y

3

5 =

2

4

14

5

3

5

de donde

2

4

x

y

3

5 =

2

4

3 5

2 −1

3

5

−1 2

4

14

5

3

5, luego

2

4

x

y

3

5 =

2

4

3

1

3

5

entonces x = 3 y y = 1.

∴ CS = {3; 1} �

3. Metodo de Gabriel Cramer:3 Este metodo utiliza los determinantes para la resolucion de

sistemas de ecuaciones lineales. Para ello el sistema (11.4) debe cumplir que el determinante de

la matriz de coeficientes de las incognitas debe ser distinto de cero.

Sea A la matriz del sistema, es decir:

A =

2

6

6

6

6

6

6

4

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...


3

7

7

7

7

7

7

5

entonces la solucion viene dada por:

xi =|Ai||A| , i = 1, 2, 3, . . . , n

con |A| 6= 0, y Ai es la matriz que se obtiene a partir de la matriz A, cambiando los elementos

de la columna i por los elementos independientes.

Denotemos por ∆S = |A| y ∆xi = |Ai|, entonces

xi =∆xi∆S


8

<

:

3x+ 5y = 14

2x− y = 5

Solucion:

∆S =

�

�

�

�

�

�

3 5

2 −1

�

�

�

�

�

�

= −13

∆x =

�

�

�

�

�

�

14 5

5 −1

�

�

�

�

�

�

= −39

3Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 – 4 de enero de 1752) fue un matematico suizo nacido en Ginebra.

∆y =

�

�

�

�

�

�

3 14

2 5

�

�

�

�

�

�

= −13

luego

x =∆x

∆S= 3

y =∆y

∆S= 1

∴ CS = {3; 1} �

4. Metodo de Gauss por matriz aumentada: Dado el sistema lineal:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

......

......

......

......

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

Llamaremos matriz aumentada a la matriz2

6

6

6

6

6

6

4

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

.... . .

......

an1 an2 · · · ann bn

3

7

7

7

7

7

7

5

luego mediante operaciones elementales por filas puede transformarse en una matriz escalonada,

la cual facilitara la solucion del sistema.


8

<

:

3x+ 5y = 14

2x− y = 5

Solucion:2

4

3 5 14

2 −1 5

3

5

F1−F2−−−−−−−−→

2

4

1 6 9

2 −1 5

3

5

F2−2F1−−−−−−−−→

2

4

1 6 9

0 −13 −13

3

5

luego el nuevo sistema sera

8

<

:

x+ 6y = 9

0x− 13y = −13, de donde y = 1 y x = 3

∴ CS = {3; 1} �

Teorema 11.0.2. Dado el sistema lineal (11.4), entonces se cumple lo siguiente:

Si ∆S 6= 0 entonces el sistema tiene solucion unica.

Si ∆S = 0 ∧∆xi = 0, para cada i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

Si ∆S = 0 ∧ ∆xi 6= 0, para algun i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema no tiene solucion.


Representacion grafica

Un sistema con n, incognitas se puede representar en el n−espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incognitas, el universo de nuestro sistema sera el plano bidimensional, mientras

que cada una de las ecuaciones sera representada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no

lo es. La solucion sera el punto (o lınea) donde intersecten todas las rectas y curvas que representan

a las ecuaciones. Si no existe ningun punto en el que intersecten al mismo tiempo todas las lıneas, el

sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solucion.

En el caso de un sistema con 3 incognitas, el universo sera el espacio tridimensional, siendo cada

ecuacion un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un unico punto, las coordenadas

de este seran la solucion al sistema. Si, por el contrario, la interseccion de todos ellos es una recta o

incluso un plano, el sistema tendra infinitas soluciones, que seran las coordenadas de los puntos que

forman dicha lınea o superficie.

Para sistemas de 4 o mas incognitas, la representacion grafica no es intuitiva para el ser humano,

por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta optica.

11.0.5. Ecuaciones de segundo grado

Una ecuacion de segundo grado o ecuacion cuadratica es una ecuacion polinomica donde el mayor

exponente es igual a dos. Normalmente, la expresion se refiere al caso en que solo aparece una incognita

y que se expresa en la forma canonica:

ax2 + bx+ c = 0 (11.6)

donde a es el coeficiente cuadratico o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal

o de primer grado y c es el termino independiente.

La ecuacion cuadratica es de vital importancia en matematicas aplicadas, fısica e ingenierıa, puesto

que se aplica en la solucion de gran cantidad de problemas tecnicos y cotidianos.

La ecuacion de segundo grado y su solucion tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para

resolverla en Babilonia y Egipto.

En Grecia fue desarrollada por el matematico Diofanto de Alejandrıa.4

La solucion de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matematico judeo

espanol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.

Los metodos para resolver ecuaciones cuadraticas son tres:

a. Metodo de factorizacion.

b. Metodo de completar cuadrados.

4Diofanto de Alejandrıa (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 - fallecido alrededor de 284/298) fue

un antiguo matematico griego. Se considera a Diofanto el padre del algebra.


c. Por formula cuadratica.

Ejemplo 11.0.17. Resolver la ecuacion:

x2 − x− 6 = 0

Solucion

Metodo de factorizacion.

x2 − x − 6 = 0

x

x

−3

+2

Luego (x− 3)(x + 2) = 0, de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3

Metodo de completar cuadrados.

x2 − x− 6 = 0

x2 − x+1

4− 1

4− 6 = 0

�

x− 1

2

�2

− 25

4= 0

�

x− 1

2+

5

2

��

x− 1

2− 5

2

�

= 0

(x− 3)(x+ 2) = 0

de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3

Por formula cuadratica.

x2 − x− 6 = 0

con a = 1, b = −1 y c = −6, entonces usamos la formula cuadratica (11.7)

x =−b±

√b2 − 4ac

2a(11.7)

donde ∆ = b2 − 4ac es conocido con el nombre de discriminante,

luego x =1±

È

1− 4(1)(−6)

2=

1±√25

2, de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3

Propiedades de las raıces

Dada la ecuacion cuadratica: ax2 + bx+ c = 0, con a 6= 0, y con raıces x1 y x2, entonces se cumple

que:

z Suma de raıces:

x1 + x2 = − b

a

z Producto de raıces:

x1.x2 =c

a

z Diferencia de raıces:

D = |x1 − x2| =√∆

a=

√b2 − 4ac

a

z Cociente de raıces:

C =x1x2

=b+

√∆

b−√∆

z Suma de inversas de raıces:1

x1+

1

x2= −b

c

z Suma de cuadrados:

x21 + x22 =b2 − 2ac

a2

z Suma de cubos:

x31 + x32 =b(3ac− b2)

a3

z Identidad de Legendre:

(x1 + x2)2 − (x1 − x2)

2 = −4c

a

z Raıces simetricas: x1 + x2 = 0, es decir b = 0

z Raıces recıprocas: x1.x2 = 1, es decir a = c

z Raıces iguales: x1 − x2 = 0, es decir ∆ = 0

z Si las ecuaciones:

8

<

:

ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0

mx2 + nx+ p, m 6= 0tienen las mismas raıces, entonces se cumple:

a

m=

b

n=

c

p

Naturaleza de las raıces

En la ecuacion de segundo grado ax2 + bx + c = 0, a 6= 0. Se llama discriminante a la expresion

∆ = b2 − 4ac.

� Si ∆ > 0 entonces las raıces x1 y x2 son reales y diferentes.

� Si ∆ = 0 entonces las raıces x1 y x2 son reales e iguales.

� Si ∆ < 0 entonces las raıces x1 y x2 son complejas y conjugadas.


Formacion de una ecuacion de segundo grado

Si x1 y x2 son las raıces de una ecuacion de segundo grado, entonces: S = x1 + x2; P = x1.x2,

luego formamos la ecuacion de segundo grado como:

x2 − Sx+ P = 0

11.0.6. Ecuacion Cubica

Llamada tambien ecuacion polinomial de grado 3 cuya forma general es:

ax3 + b2 + cx+ d = 0

con a 6= 0. Mediante el teorema fundamental del algebra, la ecuacion tiene 3 raıces denotadas por x1,

x2 y x3.

Teorema 11.0.3. Teorema de Cardano5 – Viete6

En la ecuacion ax3 + bx2 + cx+ d = 0, con a 6= 0, de raıces x1, x2 y x3 se cumple:

Suma de raıces:

x1 + x2 + x3 = − b

a

Suma de productos binarios de raıces:

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =c

a

Producto de raıces:

x1.x2.x3 = −d

a

11.0.7. Ecuacion Cuartica

Llamada tambien ecuacion polinomial de cuarto grado y toma la sigiuente forma general:

ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e = 0

con a 6= 0. Mediante el teorema fundamental del algebra, la ecuacion tiene 4 raıces denotadas por x1,

x2, x3 y x4.

Teorema 11.0.4. Teorema de Cardano

En la ecuacion ax4 + b3 + cx2 + dx+ e = 0, con a 6= 0, de raıces x1, x2, x3 y x4 se cumple:

5Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardan (24 de septiembre 1501 – 21 de septiembre 1576) fue un celebre matematico

italiano del Renacimiento, medico, astrologo, jugador de juegos de azar y filosofo.6Francois Viete fue un matematico frances (Fontenay le Comte, 1540 – Parıs, 1603). Se le considera uno de los

principales precursores del algebra.


Suma de raıces:

x1 + x2 + x3 + x4 = − b

a

Suma de productos binarios:

x1.x2 + x1.x3 + · · ·+ x3.x4 =c

a

Suma de productos ternarios:

x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + · · ·+ x2.x3.x4 = −d

a


x1.x2.x3.x4 =e

a

11.0.8. Ecuacion Bicuadrada

Es una ecuacion cuartica cuya forma general es:

ax4 + bx2 + c = 0

con abc 6= 0.

Formula general:

x = ±Ê

−b±√b2 − 4ac

2a

La ecuacion bicuadrada tiene 4 raıces x1, x2, x3 y x4 que son simetricas de a dos a dos, es decir:

x1 = −x2 y x3 = −x4. Dichas raıces cumplen la siguiente propiedad:

x4 − (α2 + β2)x2 + α2β2 = 0

donde α y β son las raıces x1 y x3 respectivamente.

11.0.9. Ecuacion Polinomial

Una ecuacion polinomial de grado n es de la forma:

a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an = 0

donde a0 6= 0.

La resolucion para las ecuaciones lineales, cuadraticas, cubicas, cuarticas y bicuadradas que ya han

sido estudiadas, pueden expresarse mediante formulas generales en terminos de sus coeficientes.

Sin embargo, no ha sido posible resolver en forma general una ecuacion de quinto grado o superior

mediante formulas generales (por radicales). Mas aun el matematico Evariste Galois7 demuestra que

7Evariste Galois (25 de octubre de 1811 al 31 de mayo de 1832) fue un joven matematico frances nacido en Bourg la

Reine. Ofrecio las bases fundamentales para la teorıa que lleva su nombre, una rama principal del algebra abstracta. Fue

el primero en utilizar el termino “grupo” en un contexto matematico.


el polinomio general de grado n ≥ 5 no es soluble por radicales, mediante la teorıa de grupos (tratado

en Algebra Moderna). Pero si los coeficientes son numericos, el valor de cualquiera de las raıces reales

puede hallarse mediante aproximaciones (visto en las aplicaciones de la derivada).

Teorema 11.0.5. Teorema de Cardano

Dada la ecuacion polinomica a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · ·+ an = 0, con a0 6= 0, de raıces x1, x2, x3,

. . . , xn se cumple:

Suma de raıces:

x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn = −a1a0

Suma de productos binarios:

x1.x2 + x1.x3 + · · ·+ xn−1.xn =a2a0

Suma de productos ternarios:

x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + · · · + xn−2.xn−1.xn = −a3a0

Suma de productos tomados de k en k:

x1.x2.x3 . . . xk + x2.x3 . . . xkxk+1 + · · · = (−1)kaka0


x1.x2.x3 . . . xn = (−1)nana0

11.0.10. Planteamiento de ecuaciones

El planteamiento de ecuaciones en matematicas responde a la necesidad de expresar simbolicamente

los problemas y los pensamientos. El primero en proponer una notacion simbolica, y no solo logica,

para explicar sus proposiciones matematicas fue el griego Diofanto de Alejandrıa, en el siglo III a.C.,

por cuya razon las primeras ecuaciones algebraicas se dieron en llamar diofanticas.

Una de las mayores aportaciones a la teorıa de las ecuaciones se debe al matematico Joseph Louis

Lagrange8, fue uno de los mayores cientıficos de su epoca y destacando tambien en otras disciplinas. Su

mayor aportacion al algebra es su famosa memoria “Sobre la revolucion de las ecuaciones numericas”,

escrita en 1767.

Las ecuaciones que estudiamos anteriormente nos pueden ayudar a modelar situaciones que pueden

reflejar el comportamiento de fenomenos fısicos o problemas que es factible encontrar en la vida diaria.

8Joseph Louis Lagrange, nacio el 25 de Enero de 1736 en Turin, Sardinia–Piedmont (actualmente Italia) y murio el 10

de Abril de 1813 en Paris, Francia. Joseph Louis Lagrange esta considerado generalmente como un matematico frances,

pero la Enciclopedia Italiana se refiere a el como un matematico italiano. En ambos casos esta justificada la pretension

puesto que Lagrange nacio en Turın y fue bautizado con el nombre de Giuseppe Lodovico Lagrangia.


Cada problema requiere el planteamiento de una ecuacion. Por tal razon, es muy importante expresar la

informacion dada en palabras en lenguaje algebraico, esto implica traducir adecuadamente el enunciado

de un problema a una expresion matematica mediante una o mas ecuaciones.

Una de las habilidades mas importantes en la resolucion de problemas es la destreza, para traducir

un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matematico. Ver el siguiente esquema:

Simbolizar

Interpretar

LeerEcuacion

(Lenguaje matematico)

Enunciado del problema

(Lenguaje comun)

Figura 11.1: Planteamiento de una ecuacion

Problemas sobre edades

En la mayor parte de problemas de la vida diaria donde se aplican las ecuaciones, vamos a encontrar,

las relacionadas a edades. Ya que es un tipo de problemas matematicos muy frecuentes y dada la

diversidad de situaciones que se presentan, existiendo ası metodos practicos de resolucion, por eso le

daremos una atencion especial.

Es conveniente para resolver estos problemas utilizar cuadros, tablas, graficos, dibujos, esquemas,

etc., que nos permitan visualizar e imaginar mejor la solucion de los mismos.

Evidentemente en estos problemas intervienen Sujetos, cuyas edades se relacionan a traves del

tiempo bajo una serie de condiciones. A continuacion trataremos sobre ellos.

I. Sujetos: Son los protagonistas del problema, que generalmente son las personas, pero algunos

problemas pueden ser animales, plantas, etc. Ejemplos:

1. La edad de Tom y la edad de Jerry suman tanto como la suma de los 6 primeros numeros

primos.

Edad de Tom: T

Edad de Jerry: J

T + J = 41

2. La edad de un arbol ebano, cuando fue talado era 94 anos mas que la edad de la planta girasol.

Edad de Girasol: G

Edad de Ebano: E

E = G+ 94


II. Tiempos: Es uno de los elementos mas importantes, ya que las condiciones del problema ocurren

en tiempos diferentes (pasado, presente y futuro) relacionadas con otras expresiones las cuales

deben interpretarse correctamente caso contrario complicarıan la resolucion de los problemas.

a) Tiempo Pasado: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:

YoTenıa

Tuve

TuTenıas

Tuviste

ElTenıa

Tuvo

Pueden darse en el problema uno o mas tiempos pasados.

b) Tiempo Presente: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:

Yo Tengo

Tu Tienes

El Tiene

c) Tiempo Futuro: Se reconocen porque se le presenta con las palabras:

YoTendre

Tenga

TuTendras

Tengas

ElTendra

Tenga

III. Edades: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Entre las edades se

establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen en un mismo

tiempo o en tiempos diferentes.

Tipos de Problemas

a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto: Cuando el enunciado de un problema nos

mencionan: “Hace...” o “Dentro de.....”, se debe tomar como punto de referencia el tiempo pre-

sente ( hoy ); a partir de allı se cuenta el tiempo transcurrido (hace... ) o el tiempo a transcurrir(

dentro de... ). Ejemplo:

Sea “x” mi edad actual, entonces dentro de “n” anos, mi edad se expresa:

Pasado Presente Futuro

Hace m anos Hoy tengo Dentro de n anos

x−m x x+ n


b) Cuando intervienen las edades de dos o mas sujetos: Para este tipo de problemas se

recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, con el proposito de razonar ordenadamente,

buscando plantear un sistema de ecuaciones y luego resolverlas para encontrar lo que me piden.

Pasado Presente Futuro

Goku a m r

Picoro b n s

Se observa:

• La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo (es la misma en

el presente, pasado y futuro). Esto es:

a− b = m− n = r − s

• “Lo anterior determina que la suma en aspa de valores extremos colocados simetricamente

son iguales.

a+ n = b+m

m+ s = n+ r

a+ s = b+ r

Relacion con el ano de nacimiento

De acuerdo a esto podemos enunciar:

Cuando una persona ya cumplio anos, se cumple:

Ano Actual = Ano de nacimiento + Edad Actual

Cuando una persona aun no cumple anos, se cumple:

Ano Actual− 1 = Ano de nacimiento + Edad Actual

Problemas sobre relojes

Una breve historia de Tartaglia

Niccolo Fontana (1500 – 13 de diciembre 1557), matematico italiano apodado Tartaglia (el tarta-mudo) desde que de nino recibio una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia, por Gaston deFoix. Huerfano y sin medios materiales para proveerse una instruccion, llego a ser uno de los prin-cipales matematicos del siglo XVI. Explico esta ciencia sucesivamente en Verona, Vicenza, Brescia yfinalmente Venecia, ciudad en la que fallecio en 1557 en la misma pobreza que le acompano toda suvida. Se cuenta que Tartaglia solo aprendio la mitad del alfabeto de un tutor privado antes de queel dinero se agotara, y posteriormente tuvo que aprender el resto por su cuenta. Sea como sea, suaprendizaje fue esencialmente autodidacto.


Figura 11.2: Tartaglia

Descubridor de un metodo para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia, en 1535su colega del Fiore discıpulo de Scipione del Ferro de quien habıa recibido la formula para resolverlas ecuaciones cubicas, le propone un duelo matematico que Tartaglia acepta. A partir de este dueloy en su afan de ganarlo Tartaglia desarrolla la formula general para resolver las ecuaciones de tercergrado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que estelogre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia.

El exito de Tartaglia en el duelo llega a oıdos de Gerolamo Cardano que le ruega que le comuniquesu formula, a lo que accede pero exigiendole a Cardano jurar que no la publicara. Sin embargo, envista de que Tarataglia no publica su formula, y que segun parece llega a manos de Cardano unescrito inedito de otro matematico fechado con anterioridad al de Tartaglia y en el que independientese llega al mismo resultado, sera finalmente Cardano quien, considerandose libre del juramento, lapublique en su obra Ars Magna (1570). A pesar de que Cardano acredito la autorıa de Tartaglia,este quedo profundamente afectado, llegando a insultar publicamente a Cardano tanto personal comoprofesionalmente. Las formulas de Tartaglia seran conocidas como formulas de Cardano

Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicacion de las ma-tematicas a la artillerıa en el calculo de la trayectorias de los proyectiles (trabajos confirmados pos-teriormente por los estudios acerca de la caıda de los cuerpos realizados por Galileo), ası como porla expresion matematica para el calculo del volumen de un tetraedro cualquiera en funcion de laslongitudes de sus lados, la llamada formula de Tartaglia, una generalizacion de la formula de Heron(usada para el calculo del area del triangulo):

V =

v

u

u

u

u

u

u

u

u

t

1

288

2

6

6

6

6

6

4

0 1 1 1 11 0 a2 b2 c2

1 a2 0 d2 e2

1 b2 d2 0 f2

1 c2 e2 f2 0

3

7

7

7

7

7

5

.

Ademas de sus trabajos matematicos, Tartaglia publico las primeras traducciones al italiano de lasobras de Arquımedes y Euclides.

CAP 10: Ecuaciones 11.1.

1. Al resolver la ecuacion√x+ 1−

√x+ 6 = 1, se obtiene:

a) 3 b) Incompatible c) ECId) ECD e) 1

2. El valor de “x” que satisface a la ecuacion:

3√x+ 1 + 3

√x− 1

3√x+ 1− 3

√x− 1

= 2

a) x < 1 b) x no existec) x ≥ 1,2 d) 1,1 < x < 1,2e) 1 ≤ x ≤ 1,1

3. Al resolver la ecuacion x −√4− x2 = −1,

se obtiene:a) Dos raıces realesb) Una raız real y una imaginariac) Una raız real solamented) Dos raıces imaginariase) Una raız imaginaria solamente

4. Que valores deben tomar p y q para que lasraıces de la ecuacion x2+px+ q = 0, seantambien p y q?a) p = 1, q = −2 b) p = 4, q = 2c) p = −2, q = 1 d) p = 3, q = 3e) No es posible

5. El valor de “q” para tener dos raıces igualesen la ecuacion x2 − 8x+ q = 0 es:a) 12 b) −16 c) 8d) 16 e) 10

6. La diferencia de las cuartas potencias de dosnumeros es 369 y el cuadrado de la suma desus cuadrados es 1681. ¿Cual es la suma dedichos numeros?a) 10 b) 9 c) 11d) 12 e) 13

7. Resolver:Ê

x2 − 2x+ 14

x2 + 4x+ 2+

Ê

x2 + 4x+ 2

x2 − 2x+ 14= 2

a) 1 b) 7/2 c) 3

d) 5/2 e) 2

8. Si “r” y “s” son las raıces de la ecuacionx2 + bx+ c = 0, el valor de

√r2 + s2 es:

a) b2 + 4c b) b− 4c2 c)√b2 − 2c

d) 2b+ c e)√b2 + 4c

9. Determinar uno de los valores de “p” en laecuacion: x2 − (3p − 2)x+ (p2 − 1) = 0.De modo que una raız sea el triple de la otra.a) 2 b) −3 c) 4d) −2 e) 3

10. Hallar la ecuacion de segundo grado si unade sus raıces es: −3 + 4ia) x2 + 3x+ 16 b) x2 + 6x− 25c) x2 + 6x− 16 d) x2 + 6x+ 25e) x2 − 3x+ 25

11. Hallar “m” si la ecuacion:x2 − bx

ax− c=

m− 1

m+ 1tiene raıces numericamente iguales pero designo contrario.

a)a+ b

a− bb)

a− b

a+ b c)c+ a

a+ b

d)a+ b

a− ce)

1

a+ b

12. Al resolver la ecuacion:1

2x+ 2+

3

2x− 2=

x+ 2

x2 − 1, se obtiene:

a) x = 1 b) x = −1 c) x = 0d) ECI e) Absurdo

13. Hallar la ecuacion de segundo grado si unade sus raıces es:

x = 2 +2

1 +2

3 +2

1 +2

3 + ...

a) x2 − 2x+ 8 = 0 b) x2 − x+ 10 = 0

c) x2 − x− 8 = 0 d) x2 + x+ 8 = 0e) x2 + x+ 6 = 0

14. Determinar el valor dem2+n2, dondem y nson las raıces de la ecuacion x2+mx+n = 0a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

15. En la ecuacion x2 − px + 36 = 0, de-termınese “p” de tal manera que se tenga1

x1+

1

x2=

5

12; x1, x2 son raıces.

a) 24 b) 25 c) 18d) 15 e) 12

16. Hallar el producto de las raıces de la ecua-

cion: 8Z32n − 8Z

−32n = 63

a) 2−4n b) 1 c) 4d) 2 e) 24n

17. Que valor debe tener “C”, en la ecuacionx2 − 8x + C = 0, para que una raız seainversa de la otra?a) 0.125 b) −0,125 c) 8d) −1 e) 1

18. Cual es la diferencia de los cuadrados de lasraıces de la ecuacion: (x− 1)2 + x2 = 1,22?a) −0,22 b) 0,6 c) 1,2d) 1,21 e) −1,21

19. Formar una ecuacion cuadratica que admitecomo raıces, la suma y el producto de lasinversas de aquella ecuacion de coeficientesracionales que tiene como una de sus raıces:5

2+

i

2a) 169y2 − 156y + 20 = 0b) y2 − 30y + 8 = 0c) 20y2 − 30y + 8 = 0d) 120y2 − 18y + 30 = 0e) 169y2 + 256y + 20 = 0

20. La raıces reales de la ecuacion

4�

x2 +1

x2

�

− 24�

x+1

x

�

+ 28 = 0. Son:

a)1 +

√21

2y

1−√21

2

b)4 +

√21

3y

4−√21

3

c)4 +

√21

4y

4−√21

4

d)5 +

√21

2y

5−√21

2

e)5 +

√21

5y

5−√21

5

21. Un padre va con sus hijos al estadio paracomprar entradas a occidente que cuesta S/.30.00, le falta dinero para 3 de ellos y tieneque comprar entradas para popular de S/.15.00. Ası entran todos y le sobra S/. 30.00.¿Cuanto eran los hijos?a) 5 b) 7 c) 9d) 3 e) 6

22. El denominador de una fraccion excede alnumerador en una unidad. Si se agrega a

ambos miembros de la fraccion una unidad,la nueva fraccion excede a la original en1/72. ¿Cual es la fraccion original?a) 3/4 b) 4/5 c) 6/7d) 5/6 e) 7/8

23. El producto de dos numeros impares es 925.Si se divide el numero mayor entre el menorse obtiene un cociente 1 y residuo 12. Hallardichos numeros.a) 25 y 35 b) 35 y 39 c) 25 y 37d) 27 y 37 e) 35 y 41

24. La suma, el producto y el cociente de dosnumeros dan un valor constante. ¿Cual esdicho valor?a) −1/2 b) 2 c) −1d) 1 e) 1/2

25. Carlos tiene hoy cuatro veces los anos quetenıa Mario cuando el tenıa 13 anos y Ma-rio tiene hoy 22 anos. ¿Cual es la edad deCarlos?a) 20 b) 12 c) 22

d) 28 e) 16

26. Calcular el valor de “u” que satisface el si-guiente sistema de ecuaciones:x+ y = 5; y + z = 8; z + u = 9;u+ v = 11; v + x = 9

a) 30 b) 4 c) 8d) −5 e) 25

27. Resolver el sistema y hallar el valor de “x”x+ y = xy y + z = 3yzz + u = 5zu u+ w = 7uw

w + x = 9wx

a) −2/3 b) 0.45 c) 1d) 2 e) 0.4

28. Resolver:

8

>

>

<

>

>

:

5

x+

3

y=

1

2

6

x− 2

y=

1

3y dar como respuesta (3x− 2y)a) 1 b) 4 c) 0d) 2 e) 6

29. Calcular “x” del sistema:x

y + z=

y

x+ z=

z

x+ y=

1

x+ y + za) 2/3 b) −1/3 c) 1/3d) −2/3 e) 2



1. Resolver:

333(x − 333) =1

333(x− 333) − x+ 333

a) 33 b) 333 c) 32d) 11 e) 111

2. Si abc 6= 0, resolver la ecuacion:x− a

bc+

x− b

ac+

x− c

ab= 2

�

1

a+

1

b+

1

c

�

a) a+ c b) abc c) b+ cd) a+ b e) a+ b+ c

3. Resolver y hallar la suma de las raıces de:

2(x2 − 6x+ 9)

x4 − 12x3 + 53x2 − 102x + 72=

1

x2 − 5x+ 6+

1

x− 3

a) 10 b) 7 c) 5d) 8 e) 14

4. Resolver:√x−

√x+ 1

2=È

x+ 1 + 2√x

a) φ b) 2 c) 3d) 4 e) 1

5. Resolver: x2 − 6x −√x2 − 6x− 3 = 5 e in-

dique sus raıces enteras.a) 2 y 3 b) −3 y 2 c) 5 y 4d) −1 y 7 e) 1 y −7

6. Resolver:√x+

È

x−√1− x = 1.

a) 0 b) 16/25 c) 1d) 0 y 16/25 e) −16/25 y 0

7. La suma de las soluciones de la ecuacion:√3x− 2−

√x+ 3 = 1, es:

a) 7 b) −6 c) 5d) −7 e) 6

8. Hallar una de las raıces de la ecuacion:√x2 − 7ax+ 10a2 −

√x2 + ax− 6a2 =

x− 2a.a) −2a b) 3a c) 2ad) −3a/10 e) −6b

9. Sea: (x+1)n2−(7x+5)n+2n+12x = 0 unaecuacion lineal en “x”. ¿Para que valor(es)de n la ecuacion tiene infinitas soluciones?a) 3 b) 2 y 3 c) 3 y 4d) 4 y 3 e) 4

10. Resuelva la ecuacion: x2 + 6px − 2k = 0.Si 3x2 + (k + a)x + 5 − k = 0 tiene raıcesrecıprocas y 6x2 + (2p − 1)x + 8 = 0 tieneraıces simetricas.a) 2 y 3 b) −3 y 2 c) 5 y 4

d) 1 y −4 e) −1 y 7

11. Si a y b son las raıces de la ecuacionx2 − 6x + c = 0; entonces el valor dea2 + b2 + 2c

9es:

a) 3 b) 4 c) 6d) −6 e) −3

12. En la ecuacion 3k2x2 − 6kx − (k + 2) = 0,k 6= 0. Si la suma de sus raıces es igual aldoble de su producto, hallar k.a) 1 b) −2 c) 0,5d) 2 e) −0,5

13. Si {a, b} es el conjunto solucion de la ecua-cion x2 − 197781x − 197771 = 0. Halle elvalor de: a2 + b2 + a2b2 + 2ab(a+ b+ 1).a) 10 b) 50 c) 100d) 5 e) 1

14. Para que valores de m la ecuacion:

(2√x)2 +

�

3√x

�2

+ 3�

1 +3

m

�

= 0, tiene

dos soluciones iguales.a) 1 o −3/5 b) 2 o −3 c) 4d) 1 e) 1 o 2

15. La suma de las raıces reales de la ecuacion

x−2(x2 − 3x+ 1)(x2 − x+ 1) +3

4= 0 es:

a) 4 b) 2 c) 3/2d) 5/2 e) 11/2

16. La suma de las raıces reales de la ecuacionx4 − 16

2− x− x5 + 32

x+ 2+ 6x3 = 0 es:

a) 8 b) 6 c) 16d) 3 e) 0

17. Si la ecuacion x2 +2(n+3)x+ (n2 +1) = 0tiene raıces reales diferentes, que valores en-teros negativos debe asumir “n”.a) {−3;−2} b) Z− c) {−4;−2}d) {} e) {−1}

18. Hallar x en:

6x+ 2a+ 3b+ c

6x+ 2a− 3b− c=

2x+ 6a+ b+ 3c

2x+ 6a− b− 3c

a) ac/b b) abc c) ab/cd) 1/abc e) ac/b2

19. Si las raıces son recıprocas, hallar la sumade las raıces de: (2n−2)x2+4x−4nx = 2−na) 2 b) 3 c) 5d) 9 e) 4

20. Si las raıces de x2 + mx + n = 0 difierenen 4 y la diferencia de cubos de estas raıceses 208. Entonces el menor valor que puedetomar E = m+ n, es:a) 16 b) 8 c) 12d) 4 e) 20

21. Hallar “m + n” si la ecuacion cuadratica:1024x2 − (nm − 8)x + n10 = 0, m,n ∈ R+

tiene raıces simetricas y recıprocas.a) 2(

√2 + 1) b) 5 c)

√2− 1

d) 4(√2 + 1) e)

√2 + 1

22. Si el conjunto solucion de la ecuacionx2 − 5x+ 1 = 0 es {α, β}, calcule:W =

1

α+ 2+

1

β + 2.

a) 3/4 b) 3/8 c) 1/7

d) 2/7 e) 3/5

23. Siendo α y β las raıces de x2 − 2x + 5 = 0,encuentre el termino independiente de laecuacion cuyas raıces son: x1 = 3α + β yx2 = α+ 3β.a) 22 b) −32 c) 32d) −22 e) 20

24. Sea la ecuacion cuadratica x2 − 3x+ 1 = 0,de raıces “x1” y “x2”, calcular:(x1 + 4)(x2 + 6)(x1 + 6)(x2 + 4).a) 1595 b) 1590 c) 2001d) 2002 e) 1045

25. Si las ecuaciones en “x”(m+ 2)x2 + (n2 + 3)x− 2 = 0(m+ 1)x2 + (n+ 1)x− 1 = 0admiten el mismo conjunto solucion, deter-mine mn.a) 4 b) 2 c) 3d) 0 e) 15

26. De la ecuacion x2 − 6x− a2 + 9 = 0, a ∈ R

Indique el valor de verdad de:

Si a = 0, entonces existe una unica so-lucion.

Si a < 0, tiene raıces no reales.

Si a 6= 0, tiene dos raıces reales y dis-tintas.

a) VVF b) VFV c) VVVd) FVF e) FFV

27. Si la ecuacion de incognita “x”:(m + n − 8)x2 + (m − n + 4)x + 5 = 0 esincompatible, calcular el valor de m+ 3n.a) 18 b) 12 c) 14d) 24 e) 20

28. Cuatro hermanos tienen 45 soles. Si el dine-ro del primero es aumentado en 2 soles, eldel segundo reducido en 2 soles, se duplicael del tercero y el del cuarto se reduce a lamitad, todos los hermanos tendran tambienla misma cantidad en soles. ¿Cuanto dinerotenıa cada uno?a) 7, 12, 6, 20 b) 6, 14, 7, 18c) 8, 12, 5, 20 d) 4, 10, 5, 26e) 7, 10, 4, 24

29. Por participar en los examenes parciales delCPU, un Decano gana el doble del sueldo deun Profesor Auxiliar y el triple del sueldode un Profesor Jefe de Practicas, si los tresjuntos perciben 3300 soles. ¿Cuanto gana elDecano?a) 1800 b) 1650 c) 2400d) 1500 e) 2750

30. Dado el sistema

¨

x+my = 1mx− 3my = 3

para que

valor de “m” el sistema no tiene solucion.a) −1 b) −2 c) −6d) −3 e) −5

31. Para que valor de a el sistema

¨

(a+ 3)x+ (2a + 3)y = 18(a− 3)x+ (a− 1)y = 6

no admite solucion.a) −2 b) −1 c) 2d) 1 e) 0



1. Marcar verdadero o falso segun correspon-da:

x2−2x−8 = 0, es una ecuacion incom-patible.√x− 1 = −8, es una ecuacion incom-

patible.

3x − 4 = x, es una ecuacion trascen-dente.

La ecuacion x2 = −1, tiene raıcessimetricas y recıprocas a la vez.

a) VVVV b) FVVV c) VFVFd) VVFF e) FFFF

2. Resolver:1

(x− 2)(x− 3)+

1

(x− 3)(x− 4)+

1

(x− 2)(x− 4)= 0

a) R b) 1 c) 3d) 4 e) φ

3. Resolver:23x− 46

253− 3x+ 6

51=

2x− 4

34a) 4/5 b) −17/5 c) −34/5d) 19/5 e) −19/5

4. Si la ecuacion3kx− 5

x− 1+

2kx− 3

x+ 1= k+ 8

se reduce a una ecuacion de primer gradoen “x”. Su solucion es igual a:a) 4/3 b) −4/3 c) −2/3d) 2/3 e) 3

5. Al resolver la ecuacion de primer grado:a2−1È

x a√x+ a2 = a, se obtiene:

a) 1 b) −a c) ad) −1 e) absurdo

6. Resolver:

x+ 1

x− 1− x− 1

x+ 1

1− x+ 1

x− 1

=1

2

a) 0,5 b) −0,2 c) 0,25d) −0,25 e) 0.6

7. ¿Cual(es) de las ecuaciones mostradas pre-sentan raıces reales:

I. 2x2 − 3x+ 1 = 0

II. 5x2 = 4x− 1

III. x2 = 5x+ 4

a) I b) II c) I, IId) Todas e) I, III

8. Si las raıces de la ecuacion:x2 − 2(m2 + 4m)x + m4 = 0, son iguales.Calcular el valor “m”.a) 1 b) 4 c) −2d) −4 e) 2

9. Si α y β son las raıces de√x− 3 = x − 3,

con α > β. Calcular el valor de: αβ

a) 64 b) 27 c) 16d) 81 e) 9

10. La naturaleza de la mayor raız de la ecua-cion: x+

√x+ 4 = 3x− 7, es:

a) Par b) Fraccionc) Irracional d) Primoe) No existe raız

11. Los valores de “x” que satisfacen la ecua-cion

√2x+ 13 =

√x+ 3 +

√x+ 6, suman:

a) −14 b) −2 c) −9d) −7 e) 7

12. Si el producto de las raıces de:4x2 − (m+2)x+ (n− 2) = 0 es igual a 2/3.¿Cual es el valor de “n”?.a) 14/5 b) 3/14 c) 3/4d) 4/3 e) 14/3

13. Al resolver

r

x− 2

x+ 3+

r

x+ 3

x− 2=

5

2, se ob-

tiene que la suma de sus raıces es igual a:a) 5/3 b) 11/3 c) −1d) 3 e) −5/3

14. Si definimos la operacion z comoa z b = a(a + 2b); a, b ∈ R. Al resolver laecuacion: 2[x z (x − 3)] = 18. La suma delos posibles valores de “x” es:a) 2 b) 1 c) 0

d) 3 e) 4

15. La suma de las raıces de la ecuacionx2 − 4x− 5

(x− 2)2=

x2 + 6x+ 10

(x+ 3)2, es:

a) 5 b) −1/2 c) 1/2d) −5 e) 1

16. Si x1 y x2 son las raıces de la ecuacion2x2 − 5x + 1 = 0, calcular el valor dex−11 + x−12 .a) 2 b) 5 c) 4d) 3 e) 1

17. Las soluciones reales de la ecuacion:�

x

x− 1

�2

+�

x

x+ 1

�2

=5

16a) ±3 b) ±2 c) ±1d) ±1/2 e) ±1/3

18. Alessandra le dicta una ecuacion cuadrati-ca a sus dos primos: Leonardo se equivocaen el termino independiente y obtiene 8 y 2;mientras que Grace se equivoca en el coefi-ciente del termino lineal y obtiene −9 y −1.¿Cual fue la ecuacion cuadratica?.

a) x2 +10x+9 = 0 b) x2−10x+16 = 0c) x2 − 10x+9 = 0 d) x2+9x− 10 = 0e) x2 − 9x− 10 = 0

19. Calcular el valor de “m” si el sistema:(

(2m− 1)x+my = 6

15x = 6− 8ypresenta infinitas soluciones.a) 8 b) −8 c) −2d) 6 e) 2

20. Si el sistema:

(

kx− 5 = −y

x+ ky = 8no admite

solucion, entonces la suma de los valoresque admite “k” es:a) b y c b) 1 c) −1

d) 0 e) 2

21. Para que valor de “n” el sistema:(

(n+ 2)x+ 6y = k

2x+ (1 + n)y = 7sera compatible de-

terminado.a) R b) R− {2,−5} c) 1d) R− {1} e) R− {1, 2}

22. Calcular x+ y en el sistema:(

(a+ b)x− (a− b)y = 4ab

(a− b)x+ (a+ b)y = 2a2 − 2b2

a) a b) b c) abd) a− b e) 2a

23. Calcular ab sabiendo que los sistemas:(

3x+ ay = 7

4x+ by = 2

(

ax+ 3y = 8

bx+ 4y = 7

son equivalentesa) 2 b) 6 c) −2d) −6 e) 12

24. Calcular el valor de: x− y+ z −w del siste-ma:8

>

>

>

<

>

>

>

:

x+ y + z = 5

x+ y + w = −1

x+ z + w = 1

y + z +w = 4

a) 3 b) −2 c) −3

d) 5 e) −1

25. Determinar una fraccion sabiendo que si alnumerador se aumenta en 2 y al denomina-dor en 1 se obtiene 1/2 y que si al numeradorse aumenta en 1 y el denominador se dismi-nuye en 2 se obtiene 3/5.a) 4/7 b) 3/7 c) 1/7d) 2/7 e) 5/7

26. Una caja vacıa pesa 50 gramos, depositamos10 esferas rojas, 5 esferas blancas y 2 esferasazules. Se sabe que una esfera blanca pesa2 gramos mas que una roja y una esferablanca tiene un peso igual a los 4/5 del pesode una azul. Cada esfera roja pesa 6 gramosy las esferas del mismo color tienen igualpeso. Evaluar el peso total en gramos de lacaja con las esferas en su interior.a) 174 b) 170 c) 155d) 185 e) 124

27. Si A le da S/ 1.00 a C, ambos tienenlo mismo, si B tuviera S/ 1.00 menos,tendra lo mismo que C y si A tuvieraS/ 5.00 mas, tendra tanto como el do-ble de lo que tiene C, ¿Cuanto tiene C?.a) S/ 10 b) S/ 8 c) S/ 7d) S/ 5 e) S/ 9

28. En el sistema de ecuaciones :8

>

<

>

:

1

x+

1

y+

1

z=

1

36. . . . . . (1)

xy + yz + xz = 9 . . . . . . (2)

¿Cual es el valor de xyz?a) 360 b) 225 c) 324d) 8 e) 9



1. Para que valores de “x” se verifica la igual-dad:

√x+ b√x− b

+

√x− a√x+ a

=

√x− b√x+ b

+

√x+ a√x− a

a) a+ b b) −ab c) abd) a− b e) 1

2. Para que valores reales de “n” la ecuacionde primer grado en “x”: (2n − 1)x + 2 =nx− 3n2, sera compatible y determinada.a) ∀n ∈ R b) 2 c) 3d) ∀n ∈ R′ e) ∀n ∈ R−{1}

3. Que valor de “x” satisface la igualdad:

x2 + ax+ b

x2 + cx+ d=

x+ a

x+ c

a)ad+ bc

b+ db)

ad

bcc)

ad− bc

b− d

d) b/d e) a/b

4. Despejar “x” de:

x3 +mx2 + nx+ p

x3 + ax2 + bx+ p=

x2 +mx+ n

x2 + ax+ b

a)b− n

m− ab)

b+ n

m+ a c)b−m

n− a

d)b+ n

m− ae)

b− n

m+ a

5. Si x1 y x2 son las raıces de la ecuacionmx2 − (m+ 1)x+m+ 2 = 0 que satisfacenla condicion (x1 + x2)

2 − (x1 − x2)2 = 8

entonces el valor de m es:a) 15 b) 12 c) 8d) 2 e) 7

6. Determinar el valor de “m”, de tal maneraque la ecuacion cuadratica en: x2 − 2(m2 −4m)x+m4 = 0, tenga sus dos raıces con unmismo valor diferente de cero.a) 1 b) 2 c) −2d) −4 e) 4

7. Indicar una raız de la ecuacion cuadratican−1È

x√x− 4n+ 1 = 0

a) 3 b) −3 c) 6

d)√3 e)

√6

8. Si las ecuaciones:(2m+ 1)x2 − (3m− 1)x+ 2 = 0(n+ 2)x2 − (2n + 1)x− 1 = 0son equivalentes; calcular el valor de “m”a) −12 b) 6 c) −9d) −16 e) −6

9. Si una raız de la ecuacion: ax2 + bx+ c = 0,

es el cuadruplo de la otra, calcularb2

aca) 25/4 b) −5/2 c) 5/4d) 5/2 e) 36/25

10. Si las ecuaciones(7a− 2)x2 − (5a− 3)x+ 1 = 08bx2 − (4b+ 2)x+ 2 = 0tienen las mismas raıces, entonces a+ b es:a) −3 b) 3 c) −1d) 5 e) 2

11. Hallar “n” si una raız de:8x2−3nx+(n−1) = 0, es el doble de la otraa) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12. Si α ∧ β son las raıces de la ecuacion:x2 − 5x − 3 = 0, calcular el valor de:α(α− 1) + β(β − 1)a) 24 b) 25 c) 28d) 27 e) 26

13. Hallar la suma de los cuadrados en las raıcesde la ecuacion: (2a+2)x2+(4−4a)x+a−2 =0, sabiendo que sus raıces son recıprocas:

a) 9 b) 8 c)82

9

d)81

9e)

9

8

14. Dar la suma de todos los valores de “a”, sila ecuacion: x2 + 2a

√a2 − 3x+ 4 = 0, tiene

raıces iguales:a) 0 b) 2 c) −2d) −4 e) 4

15. Resolver:

√x+ a+

√x− a√

x+ a−√x− a

=4x− a

2a

a)5

4b) a c)

4a

5

d)5a

4e)

4

5a

16. La suma de las raıces reales de: x4 − 13x2 +40 = 0, es:a)

√2 b) 0 c)

√5

d) 1 e) 2√2

17. Encuentre la suma de las soluciones de laecuacion: x5+3x4−7x3−21x2+12x+36 = 0a) 3 b) 2 c) 2

√3

d) 4 e) −3

18. Resolver:5√x− 3

√y = 3

25x− 9y = 81.Indicar el valor de “y”a) 15 b) 17 c) 16d) 18 e) 19

19. Resolver:

(x− 3)(x+ 5)

5(x− 5)(x+ 7)− (x− 4)(x+ 2)

4(x− 6)(x+ 4)=

−1

20

a) 11/4 b) 13/2 c) 7/3d) 13/4 e) 7/4

20. Si la ecuacion cuadratica

5x2 + (nn − 27)x + (mm + 1) = 0

tiene raıces simetricas y recıprocas, hallar elvalor de W = mn + nm.a) 15 b) 32 c) 12d) 17 e) 16

21. Hallar la ecuacion de segundo grado quetenga por coeficiente del primer termino launidad, por coeficiente del segundo termino,una de sus raıces, y por ultimo termino laotra raiz.a) x2 − x+ 2 = 0 b) x2 + x− 2 = 0c) x2 + x− 1 = 0 d) x2 − x− 2 = 0e) x2 + x+ 2 = 0

22. Cuando dos bombas actuan a la vez, tardan15 hrs. en vaciar un pozo. Si solamente ac-tuara una bomba, tardarıa 16 horas mas envaciar el pozo, que si solamente actuara laotra bomba mas potente, el vaciar el pozo.¿Cuanto demora la bomba mas veloz en va-ciar el pozo?a) 26 h. b) 28 h. c) 30 h.d) 32 h. e) 24 h.

23. Dos negociantes de vinos ingresan por lafrontera norte, portando uno de ellos 64

botellas de vino y el otro 20. Como no tie-nen suficiente dinero para pagar derechosde aduana, el primero paga con 5 botellasde vino, mas S/. 40.00 y el segundo con dosbotellas de vino, pero recibe S/. 40.00 devuelto. ¿Cual es el precio de cada botella devino?a) 110 b) 80 c) 120d) 95 e) 105

24. Un granjero amarra su caballo en la esquinade su casa. El observa que si la cuerda fue-ra alargada en 10 metros el animal podrıaabarcar cuatro veces el area original, en-tonces la longitud original de la cuerda (enmetros) es:a) 10 b) 13 c) 20d) 15 e) 18

25. De un juego de 32 cartas se sacan primero“x” cartas y tres mas, luego se saca la mitadde lo que resta y todavıa quedan 10 cartas.¿Cuantas cartas se saco la primera vez?.a) 9 b) 14 c) 8d) 12 e) 10

26. Para que valores de “m” el sistema:

(m+ 1)x+ 3y = 4m+ 3

(m+ 4)x+ 3my = 5,

tiene solucion unica?a) Para m 6= 2 , m 6= −2

b) Para m 6= 0c) Para ningun valor de md) Para todo me) m = 1 solamente


>

<

>

:

3x+ 2y − z = 4

2x+ 3y − 2z = 2

5x− y − 3z = −6

y hallar el valor de xyz.a) 1 b) 60 c) 24d) 30 e) 6

28. Calcular “x” a partir del sistema:(

4x−1 − 3y−1 = 14

6x−1 − 5y−1 = 18

a) 0,25 b) −0,25 c) 0,125d) −0,5 e) 0,5



1. Escribe verdadero (V) o falso (F) segun co-rresponda:

x2 − x− 12 = 0; es una ecuacion com-patible.4√x2 − 4x− 2 +

√2− x = 0; es una

ecuacion incompatible

7x − x + 12 = 2x + 2(2x + 6); es unaecuacion que tiene infinitas soluciones.

a) VFF b) VVV c) VFVd) VVF e) FVV

2. Resolver: x−√x2 + 25 = 5

a) 0 b) 3 c) 5d) 4 e) Absurdo

3. Resolver:2x

x− 3+ 1 =

6

x− 3a) 1 b) 2 c) φd) 4 e) 3

4. Resolver:

5

2x− 3− 3

2x2 − 3x=

5

x+

7x− 15

3x− 2x2

a) Absurdo b) 1/3 c) 2/3d) 1 e) 3/2

5. Escribe verdadero (V) o falso (F) segun co-rresponda:

2x + 6 = 4√2x+ 3; tiene raıces reales

y diferentes.√2x2 − 3x+ 2 = 1 − x; tiene raıces

reales e iguales.

1− 1

x=

x

4; tiene raıces imaginarias.

a) VVV b) FVV c) VFVd) VFF e) VVF

6. Al resolver la ecuacion, la suma de las raıcesreales de: x4 + x3 − 3x2 − 4x− 4 = 0, es:a) −2

√2 b) 0 c) −1

d) 1 e) 2√2

7. En la ecuacion: 3k2x2 − 6kx − (k + 2) = 0,k 6= 0, si la suma de sus raices es igual aldoble de su producto, hallar “k”.a) 1 b) 0,5 c) −2d) 2 e) −0,5

8. Resuelva la ecuacion: x2 + 6px− 2k = 0. Si3x2 + (k + a)x + (5 − k) = 0 tiene raıcesrecıprocas y 6x2 + (2p − 1)x + 8 = 0 tieneraıces simetricas.a) 2 y 3 b) −3 y 2 c) 1 y −4

d) −1 y 7 e) 5 y 4

9. Para que valores de “n” la ecuacion:

�

2√x�2

+

�

3√x

�2

+ 3�

1 +3

n

�

= 0

tiene 2 soluciones iguales.a) {−3/5, 1} b) {−3, 2} c) −3/5d) 1 e) {1, 2}

10. En la ecuacion: 2x2−(m−1)x+(m+1) = 0,¿Que valor positivo debe darse a “m” paraque las raıces difieran en uno?a) 9 b) −7 c) 8d) 11 e) 1

11. Hallar “p” en la igualdad: x2 − (p + 3)x +p2

4+1 = 0, si: x1 = a2a+1; x2 = a2a, donde

x1 y x2 son las raıces de la ecuacion.a) 2/3 b) −2/3 c) 3/2d) −3/2 e) 1

12. Al resolver la ecuacion: x(x− 1)(x− 2)(x−3) = 120, la suma de las raıces es:a) 3 b) −3 c) 0d) 2 e) 6

13. Al resolver la ecuacion, la suma de las raıcesde: x3+(b−3a)x2+(2a2−3ab)x+2a2b = 0,es:a) b− a b) a− b c) 3a− bd) b− 2a e) 2a− b

14. Si “a” y “b” son las raices de la ecua-cion: x2 − 6x + c = 0; entonces el valorde: (a2 + b2 + 2c)/9 es igual a:a) 4 b) 6 c) −6d) 3 e) −3

15. Determinar la ecuacion de segundo gradoy de coeficientes racionales si una de susraıces es: 2−

√3

a) x2 + 4x+ 1 = 0 b) x2 − 4x− 1 = 0c) x2 − x+ 4 = 0 d) x2 − 4x+ 1 = 0e) x2 + 4x− 1 = 0

16. Si {a; b} son las raıces de la ecuacion 4x2 −2x + 3 = 0, halle otra ecuacion cuadraticaen “y” cuyas raıces sean {2a− 1; 2b − 1}a) y2 + y + 2 = 0 b) y2 + y + 3 = 0c) y2 + y + 1 = 0 d) y2 + y + 8 = 0e) y2 + y + 7 = 0

17. Sea la ecuacion en “x”: aax2 + 9(bb − 1)x+27 = 0, de raıces recıprocas y simetricas.Halle la ecuacion cuadratica formada porlas raıces “a” y “b”a) x2 + 3x+ 4 = 0 b) x2 + 4x+ 3 = 0c) x2 − 4x− 3 = 0 d) x2 − 3x− 4 = 0e) x2 − 4x+ 3 = 0

18. Al resolver la ecuacion en “x”:

2(x+È

x2 + 7x) = 35 +√x+

√x+ 7

Determinar√x−1√2x+ 7

a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 7

19. Al resolver la ecuacion:45√8 + x

8+

45√8 + x

x=

45√x

2

se obtiene:2a

b√ac − 1

, indicar el valor de:

a+ b− ca) 5 b) 2 c) 3d) 4 e) 1

20. En la ecuacion: 5x√x− 3

4√x3 = 296, deter-

minar:√x+1√2x

a) 8 b) 5 c) 3d) 2 e) 4

21. Sea {x1, x2} el conjunto solucion de:

3√0,5x− 0,2 + 3

√0,2x− 0,5 = 3

È

2,8(x− 1)

Halle el valor de: W =x1 + 2

x2 + 2+

x2 + 2

x1 + 2a) 5/2 b) 10/3 c) 7/3d) 9/4 e) 17/4

22. Calcule “m” y “n” si las ecuaciones:(2m+ 1)x2 − (3m+ 1)x+ 2 = 0(n+ 2)x2 − (2n+ 1)x− 1 = 0presentan las mismas soluciones.a) 1 y −1 b) 2 y 1/2 c) −9 y 1/2d) 2/5 y 1 e) −7 y 9/2

23. Hallar el valor de k de modo que el sistema¨

(k − 1)x = −yx = 2y

tenga infinitas solucio-

nes.a) −1/2 b) 3/2 c) 1/2d) −3/2 e) 1

24. Calcular el valor de x+ y del sistema:8

>

>

<

>

>

:

5√x− 3√

y=

3

2

4√y− 2√

x=

1

3

a) 13 b) 10 c) 11d) 12 e) 9

25. Indicar el valor de x− y en el sistema:8

>

>

<

>

>

:

3

3x− 2y + 3+

5

x+ 4y − 7=

−4

21

7

3x− 2y + 3− 3

x+ 4y − 7=

8

15

a) 1 b) −1 c) −7d) 7 e) 14

26. Indicar el valor de “m” para que el sistema:(4−m)x+ 12y = 3(m− 3)x+ 2y = 4sea inconsistente.a) 7/22 b) 22/7 c) 15/4d) 5/9 e) 9/5

27. Dado el sistema:(a− 1)x+ 4y = 9b4x+ (a− 1)y = 36Determinar “a+ b” para que el sistema ten-ga infinitas soluciones. a, b > 0a) 7 b) 8 c) 11d) 10 e) 9

28. Dada la ecuacion: a2x2+a1x+a0 = 0, cuyo

conjunto solucion es:§

1 +1

3k + 1; 1 +

1

3k + 4

ª

Halle el valor de:

E =(3k + 1)(3k + 4)(a0 + a1 + a2)

a2a) 2 b) −1 c) 1d) −2 e) 1/2

29. Si f es una funcion de proporcionalidad di-recta y g es una funcion de proporcionalidadinversa, donde:f(1) + g(1) = 51; f(3) + g(4) = 150, 25el valor de W = f(5)× g(5) = 51 es:a) 50 b) 525 c) 750d) 1025 e) 1250



1. La solucion de la ecuacion:x+ a

a− b+

x− b

a+ b=

x+ a

a+ b+

2(x− b)

a− b

a) 2a b) 3b c) 3ad) 2b e) 4a

2. Si la ecuacion2nx− 3

x− 1+3nx− 2

x+ 1= 2n+3 se reduce a una

ecuacion de primer grado, su solucion es:a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3d) 3/2 e) 1

3. Resolver:

3

3 +3

x+3

4

=3

3 +3

x+3

5

a) 1 b) −2/3 c) φd) 1/4 e) −1

4. Resolver la ecuacion√x+ 1 −

√x− 1 = 1;

para luego indicar el valor recıproco de suraız.a) 0.8 b) 0.6 c) 0.4d) 1.25 e) 1.5

5. Resolver:√3x− 2 +

√2x− 1 =

√5x− 4 +

√4x− 3

a) 3 b) 2 c) 4d) 1 e) 5

6. Resolver la ecuacion de primer grado en x:n2−1È

x n√x+ n2 = n

a) 1 b) −1 c) nd) −n e) 2

7. Indicar el producto de las raıces de la ecua-

cion:1 + x−1

1− x−1+

1 + 2x−1

1− 2x−1=

2 + 13x−1

1 + x−1a) 4/3 b) −6 c) 5d) −5 e) 6

8. Para que valor de k, las raıces de la ecua-

cion:x2 + 3x

5x+ 2=

k − 1

k + 1son simetricas

a) 5 b) 3 c) 4d) 2 e) 1

9. Con respecto a la ecuacion: 5x2− (a+2)x+(7 − a) = 0. ¿Cual de las siguientes afirma-ciones no es correcta?a) Tiene raıces simetricas, para: a = 5b) Tiene raıces recıprocas, para: a = 2c) La suma de sus raıces es 2, para: a = 8d) Tiene una raız nula para a = 7e) Tiene raıces simetricas, para: a = −2

10. Resolver:√x2 − 12x+ 27 +

√x2 − 12x+ 35 = 2

√2

y senalar una de sus raıces.a) 4 b) 5 c) 7d) 9 e) 2

11. Calcular los valores de “a” e indicar su su-ma en la ecuacion: 2ax2+3x+a = 0, si unaraız es el doble de la otra.a) 19 b) 0 c) 23d) 2.5 e) −4

12. ¿Para que valor de n las raıces x1, x2 dela ecuacion 4x2 + nx + 5 = 0 verifican:3x1 + x2 = −8 y x1 + 3x2 = −4a) −12 b) 6 c) −6d) 18 e) 12

13. Si la ecuacion x2 + (a + b + c)x + 41 = 0,presenta raıces simetricas. Hallar:

W =3abc

a3 + b3 + c3− a2 + b2 + c2

2(ab+ ac+ bc)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

14. Si la ecuacion 6ax2 + 17ax + a2 = 1, pre-senta raıces recıprocas. Hallar W = a2+a−2

a) 38 b) 37 c) 36d) 35 e) 34

15. Al resolverx+ 1

x+ 2− x+ 3

x+ 4=

2

3, el producto

de las raıces obtenidas es:a) 6 b) 11 c) −11

d) −6 e) 13

16. La ecuacion x2− 6x+n+1 = 0, admite co-

mo raıces a x1 y x2, tal que:1

2x1+

1

2x2=

3

5;

encontrar el valor de na) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

17. Si 2 y −2 son raıces de la ecuacionx4 + ax3 + bx2 + 8x − 4 = 0, determinarel valor de a+ b.a) 0 b) −2 c) 5d) 2 e) −5

18. Si a, b son raıces de la ecuacion x2−3x = −3,calcular: W = aa+bbab

a) 3 b) −3 c) 27d) 2 e) 9

19. Si las raıces de la ecuacion 2x2 + (a− 1)x+(a + 1) = 0 son numeros enteros consecuti-vos, halle el mayor valor de “a”a) 11 b) 10 c) 15d) −1 e) −10

20. Consideremos las ecuaciones:x2 + b1x+ c1 = 0x2 + b2x+ c2 = 0tales que b2, c2 y b1, c1 son las raıces de laprimera y segunda ecuacion respectivamen-te, donde c2, b1 6= 0. Hallar:W = 3b2 + c1 + 2b1 + 3c2a) −4 b) −1 c) −2d) −3 e) 0

21. Si x1 y x2 son las raıces de la ecuacion2x2 − 2x+ 1 = 0, hallar:

W =�

x1x2

�

x2x1 −

�

x2x1

�

x1x2

a) 1 b) 0 c) 2d) −1 e) 1/2

22. Determinar el valor de k para que el siste-

ma:

8

>

<

>

:

2x− 5y + 3z = 0

x− y + z = 0

3x+ ky + z = 0sea indeterminado.a) 1 b) 9 c) 5d) 7 e) 3

23. Si el sistema(

(a+ b)x+ (a− b)y = 42

(2a+ b)x+ (3a − 2b)y = 113admite como solucion a: x = 2; y = 5. Cal-cular el valor de a− b.a) 7 b) 11 c) 10d) 3 e) 4

24. Si el sistema

(

x2 + y2 = 16

y + 5 = kx

admite una solucion unica. ¿Que valor asu-me x?a) 12/5 b) 2 c) 1/4d) 2/5 e) 11/5

25. Resolver x3 − 9x2 + kx− 24 = 0, y hallar elvalor de k si las raıces de la ecuacion estanen progresion aritmetica.a) 20 b) 18 c) 21d) 26 e) 15

26. Si x1, x2, x3 son las raıces de la ecua-cion 6x3 − αx2 − 3x + 2 = 0, calcularx−11 + x−12 + x−13

a) 2/3 b) 3/2 c) 1/3d) 1 e) 4/5

27. Un matrimonio dispone de una suma de di-nero para ir al teatro con sus hijos. Si com-pra entradas de 8 soles le faltarıa 12 soles ysi compra entradas de 5 soles le sobrarıan 15soles. ¿Cuantos hijos tiene el matrimonio?a) 5 b) 10 c) 8d) 9 e) 7

28. En el establecimiento de la senora ZoilaBaca Alegre se cuentan 27 vehıculos entreautos y bicicletas. Si en total se han contado60 llantas. ¿Cuantas bicicletas hay?a) 23 b) 25 c) 24d) 27 e) 48

29. Elton Tito se presenta a un simulacro deadmision, el numero de preguntas es 140,la calificacion es de 4 puntos por respuestacorrecta y le descuentan 1 punto por cadaincorrecta, si obtuvo 260 puntos y respon-dio todas las preguntas, ¿Cuantas no acerto?a) 60 b) 40 c) 80d) 160 e) 20

30. En una clınica japonesa, la doctora de fi-sioterapia Tezuda Torito pregunta al oto-rrinolaringologo Tezako Tumoko, por elnumero de pacientes que atendio, este res-pondio: Atendı 2 mas que la raız cuadrada,del triple de los que atendı disminuido en 2,¿Cuantos pacientes atendio?a) 4 b) 5 c) 7d) 6 e) 8

Capıtulo 12:

INECUACIONES

Objetivos

z Comparar numeros reales, usando los signos de desigualdad para expresar la relacion existente

entre ellos.

z Resolver y relacionar las inecuaciones de primer grado con una incognita con las graficas de

funciones lineales afines.

z Resolver y relacionar las inecuaciones de segundo grado con una incognita con las graficas de

las funciones cuadraticas.

El criterio de desigualdad nace tan paralelamente a la nocion de igualdad desde los intelectuales

babilonicos, aunque no se trataba con tanto interes.

Las inecuaciones se convierten en la preocupacion de los intelectuales europeos, en el siglo XVI con

Leonardo de Pisa1 entre las inecuaciones simples.

Las desigualdades o relacion de orden se convierten en una caracterıstica fundamental que diferencia

al conjunto de los numeros reales del conjunto de los numeros complejos.

12.0.11. Desigualdad

Definicion 12.0.7. Una desigualdad es una comparacion que se establece entre dos numeros reales

a, b utilizando los sımbolos de la relacion de orden, el cual puede ser verdadero o falso. a > b, a < b,

a ≥ b, a ≤ b.

1Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170 – 1250), tambien llamado Fibonacci, fue un matematico

italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeracion actualmente utilizado, el que emplea notacion

posicional (de base 10, o decimal) y un dıgito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesion de Fibonacci (surgida como

consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos).

275


Desigualdades conocidas

Los matematicos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas formulas exactas

no pueden ser facilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha puesto nombre,

como:

Desigualdad de Azuma

Desigualdad de Bernoulli

Desigualdad de Boole

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Desigualdad de Chebyshov

Desigualdad de Chernoff

Desigualdad de Cramer-Rao

Desigualdad de Hoeffding

Desigualdad de Holder

Desigualdad de las medias aritmetica y geometrica

Desigualdad de Jensen

Desigualdad de Markov

Desigualdad de Minkowski

Desigualdad de Nesbitt

Desigualdad de Pedoe

Desigualdad triangular

12.0.12. La recta real

Es muy comun manejarse en la vida cotidiana con numeros que oscilan en ciertos rangos. Muchos

fenomenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para resolverlos debemos

contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En esta seccion precisamente

aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello, en principio, daremos la nocion de

inervalo, y finalizaremos con la resolucion de inecuaciones.

Definicion 12.0.8. La recta real es una representacion geometrica del conjunto de los numeros reales.

Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente

hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia

uno a uno entre cada punto de la recta y un numero real.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 R

Figura 12.1: La Recta Real

Intervalos

Definicion 12.0.9. Los intervalos numericos en R son conjuntos de numeros reales y se representan

mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados

Intervalos acotados o finitos

Definicion 12.0.10. Un Intervalo abierto es aquel conjunto formado por todos los numeros reales x

tales que a < x < b. No estan incluıdos los extremos a y b. Se denota por 〈a, b〉 o tambien ]a, b[ de

modo que:

〈a, b〉 = {x ∈ R / a < x < b}

a b R

Observacion 12.0.1. Si a = b, entonces 〈a, b〉 = φ.

Definicion 12.0.11. Un Intervalo cerrado es aquel conjunto formado por todos los numeros reales x

tales que a ≤ x ≤ b. Estan incluıdos los extremos a y b. Se denota por [a, b] de modo que:

[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

a b R

Observacion 12.0.2. Si a = b, entonces [a, b] = {a} o {b}.

Definicion 12.0.12. Un Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha es aquel

conjunto formado por todos los numeros reales x tales que a < x ≤ b. Se denota por 〈a, b] de modo

que:

〈a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}

a b R

Definicion 12.0.13. Un Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda es aquel

conjunto formado por todos los numeros reales x tales que a ≤ x < b. Se denota por [a, b〉 de modo

que:

[a, b〉 = {x ∈ R / a ≤ x < b}

a b R

Intervalos no acotados o infinitos

Definicion 12.0.14. Los intervalo infinitos son conjuntos de numeros reales que se extienden indefi-

nidamente por la derecha o por la izquierda y tienen la forma:

� 〈a,+∞〉 = {x ∈ R / x > a}

a R

� [a,+∞〉 = {x ∈ R / x ≥ a}

a R

� 〈−∞, a〉 = {x ∈ R / x < a}

a R

� 〈−∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a}

a R

� 〈−∞,∞〉 = {x ∈ R / x ∈ R}

0 R

Operaciones con intervalos

Siendo los intervalos subconjuntos de los numeros reales, es posible realizar con ellos las pro-

piedades operativas de conjuntos, como son la union, interseccion, diferencia, diferencia simetrica, y

complementacion.

A ∪B = {x ∈ R / x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ∩B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∈ B}

Notacion Intervalo Longitud (l) Descripcion

〈a, b〉 a < x a ∞ Intervalo infinito

[a,∞〉 x ≥ a ∞ Intervalo infinito

〈−∞, a〉 x < a ∞ Intervalo infinito

〈−∞, a] x ≤ a ∞ Intervalo infinito

〈−∞,∞〉 x ∈ R ∞ Intervalo infinito

{a} x = a 0 Intervalo cerrado. Conjunto unitario

{} 6 ∃ x 6 ∃ Conjunto vacıo

Cuadro 12.1: Clasificacion de intervalos

A−B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x 6∈ B}

A∆B = {x ∈ R / x ∈ (A−B) ∨ x ∈ (B −A)}

A′ = Ac = {x ∈ R / x 6∈ A}

Nota 12.0.2. A−B = A\B

12.0.13. Inecuacion

Definicion 12.0.15. Una inecuacion es toda desigualdad condicional que contiene una o mas canti-

dades desconocidas, llamadas variables, y que solo es verdadera para determinados valores de dichas

variables.

Las inecuaciones de una variable son proposiciones que tienen la forma: p(x) > 0, p(x) < 0,

p(x) ≥ 0, p(x) ≤ 0.

Toda inecuacion se convierte en una desigualdad cierta o falsa cuando la incognita o incognitas

toman un valor real determinado.

12.0.14. Inecuaciones de primer grado

Definicion 12.0.16. Llamada tambien Inecuacion Lineal, es aquella inecuacion de la forma:

ax+ b > 0 ; ax+ b < 0

ax+ b ≥ 0 ; ax+ b ≤ 0

donde a 6= 0 y {a, b} ⊂ R

12.0.15. Inecuaciones de segundo grado

Definicion 12.0.17. Llamada tambien Inecuacion Cuadratica, es aquella inecuacion de la forma:

ax2 + bx+ c > 0 ; ax2 + bx+ c < 0

ax2 + bx+ c ≥ 0 ; ax2 + bx+ c ≤ 0

donde a 6= 0 y {a, b, c} ⊂ R

12.0.16. Inecuaciones polinomicas

Definicion 12.0.18. Las inecuaciones polinomicas tienen la forma:

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · · + an > 0

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · · + an < 0

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · · + an ≥ 0

P (x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · · + an ≤ 0

y son llamadas tambien inecuaciones de orden superior.

12.0.17. Inecuaciones racionales

Definicion 12.0.19. Una inecuacion racional es una desigualdad condicional que reducida a su mas

simple expresion tiene la forma:

P (x)

Q(x)> 0 ;

P (x)

Q(x)< 0 ;

P (x)

Q(x)≥ 0 ;

P (x)

Q(x)≤ 0

12.0.18. Ecuaciones e inecuaciones irracionales

Definicion 12.0.20. Una ecuacion irracional es aquella en que la variable aparece afectada por un

signo radical.

Propiedad 12.0.1.

√x ≥ 0, ∀x ≥ 0

√x = 0 ⇐⇒ x = 0

Teorema 12.0.6. Sean a y b numeros reales, entonces:

√a = b ⇐⇒ [ b ≥ 0 ∧ a = b2 ] (12.1)

Definicion 12.0.21. Una inecuacion irracional es aquella desigualdad en que la variable aparece

afectada por un signo radical.

Lema 12.0.1. Sean x, y, numeros reales, entonces:

0 ≤ √x ≤ √

y ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ y

0 ≤ √x <

√y ⇐⇒ 0 ≤ x < y

Teorema 12.0.7. Si n es un entero par positivo, entonces:

n√x ≤ n

√y ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ y

n√x < n

√y ⇐⇒ 0 ≤ x < y

Teorema 12.0.8. Si n es un entero impar positivo, entonces:

n√x ≤ n

√y ⇐⇒ x ≤ y

n√x < n

√y ⇐⇒ x < y

n√x ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0

n√x < 0 ⇐⇒ x < 0

Teorema 12.0.9. Sean a y b numeros reales, entonces:

√a 0 ∧ a < b2 ]

√a ≤ b ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ [ b ≥ 0 ∧ a ≤ b2 ]

√a > b ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a > b2 ) ]

√a ≥ b ⇐⇒ a ≥ 0 ∧ [ b < 0 ∨ ( b ≥ 0 ∧ a ≥ b2 ) ]

12.0.19. Inecuaciones exponenciales

Las inecuaciones exponenciales son de la forma:

bP (x) ≥ bQ(x)

bP (x) ≤ bQ(x)

bP (x) > bQ(x)

bP (x) < bQ(x)

Se presentan los siguiente casos:

Caso I: Si b > 1, entonces se cumple:

bP (x) ≥ bQ(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)

bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x)

bP (x) > bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)

bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)

Caso II: Si 0 bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)

bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)

12.0.20. Inecuaciones logarıtmicas

Las inecuaciones exponenciales son de la forma:

logb P (x) ≥ logbQ(x)

logb P (x) ≤ logbQ(x)

logb P (x) > logbQ(x)

logb P (x) < logbQ(x)

Se presentan los siguiente casos:

Caso I: Si b > 1, entonces se cumple:

logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)

logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≤ Q(x)

logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)

logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)

Caso II: Si 0 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≤ Q(x)

logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≥ Q(x)

logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)

logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)

12.0.21. Sistemas de inecuaciones

12.1. Valor Absoluto y Maximo Entero

12.1.1. Valor absoluto

El objetivo que se pretende lograr es que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que

involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son constantes

reales con a 6= 0, y x es una variable real.

Definicion 12.1.1. El valor absoluto o magnitud de X ∈ R, denotado por |x| es un numero no

negativo definido por la siguiente regla:

|x| =

8

<

:

x x ≥ 0

−x x < 0

El concepto de valor absoluto de un numero real puede generalizarse a muchos otros objetos

matematicos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

El valor absoluto esta estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma

en diferentes contextos matematicos y fısicos.

Desde un punto de vista geometrico, el valor absoluto de un numero real x corresponde a la distancia

a lo largo de la recta numerica real desde x hasta el numero cero. En general, el valor absoluto de la

diferencia de dos numeros reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de funcion distancia

o metrica se puede ver como una generalizacion del valor absoluto de la diferencia.

Proposicion 12.1.1.

I. |a| ≥ 0, para todo a ∈ R

II. |a| = 0 ⇐⇒ a = 0

III. |a|2 = a2, para todo a ∈ R

IV. |a| =√a2, para todo a ∈ R

V. |a| = | − a|, para todo a ∈ R

VI. |ab| = |a||b|, para todo a, b ∈ R

VII.

�

�

�

�

a

b

�

�

�

�

=|a||b| , para todo a, b ∈ R, b 6= 0.

VIII. |a+ b| ≤ |a|+ |b|, para todo a, b ∈ R (Desigualdad Triangular)

IX. |a− b| ≤ |a|+ |b|, para todo a, b ∈ R

X. |a| − |b| ≤ |a− b|

XI. |a| = b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ [a = b ∨ a = −b]

XII. |a| = |b| ⇐⇒ a = b ∨ a = −b

XIII. |a| ≤ b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b ≤ a ≤ b

XIV. |a| b ⇐⇒ a > b ∨ a < −b

XVII. |a| ≤ |b| ⇐⇒ a2 ≤ b2

XVIII. −|a| ≤ a ≤ |a|, para todo a ∈ R

12.1.2. Maximo entero

Definicion 12.1.2. En el sistema de numeros reales se define el maximo entero de un numero real x,

a la expresion denotada por JxK = n, donde n es el mayor entero, menor o igual a x; es decir:

JxK = n ⇐⇒ JxK = max{n ∈ Z / n ≤ x}

Ejemplo 12.1.1.

x = 2,8 entonces JxK = J2,8K = 2; porque: 2 ≤ 2,8 < 3

x = −√2 entonces JxK =

q−√2y= −2; porque: −2 ≤ −

√2 < −1

x = −7 entonces JxK = J−7K = −7; porque: −7 ≤ −7 < −6

x = π entonces JxK = JπK = 3; porque: 3 ≤ π < 4

Propiedades

1. JxK ∈ Z, ∀x ∈ R

2. JxK = x ⇔ x ∈ Z

3. JxK ≤ x < JxK + 1, ∀x ∈ R

4. JxK = n ⇔ n ≤ x < n+ 1, n ∈ Z

5. Jx+ nK = JxK + n, n ∈ Z

6. JxK ≤ n ⇔ x < n+ 1, n ∈ Z

7. JxK < n ⇔ x < n, n ∈ Z

8. JxK ≥ n ⇔ x ≥ n, n ∈ Z

9. JxK > n ⇔ x ≥ n+ 1, n ∈ Z

10. JxK + JyK < Jx+ yK, ∀x, y ∈ R

11. JxK + J−xK =

8

<

:

0 , si x ∈ Z

−1 , si x ∈ (R−Z)

12. Si x ≤ y ⇒ JxK ≤ JyK, ∀x, y ∈ R

CAP 11: Inecuaciones 12.1.

1. El mayor numero entero “m” que satisfacela desigualdad 2x2 − 4x+ 1 > 2ma) 0 b) −1 c) 1d) 2 e) −2

2. Resolver:√x2 − 5x+ 6 +

√2x2 − 5x+ 2 +√

5x− 4− x2 > 0a) 〈3, 4〉 b) 〈−∞, 2〉 ∪ [3, 4〉c) [−1/2, 4] d) [3, 5〉e) {2} ∪ [3, 4]

3. Resolver para x, y ∈ Z:x+ y > 6 ; x− y < 2 ; y < 4Indicar el valor de (y/x)a) 0.5 b) 1 c) 0.75d) 2 e) 3

4. La suma de los enteros que cumplen3x+ 4

x− 5+ 2 <

4x− 5

x− 5, tiene por valor:

a) 9 b) 12 c) 8d) 10 e) 15

5. Para cuantos valores enteros se verifica10√x2 − 5x+ 4 > − 12

√9x− 14− x2

a) 8 b) 7 c) 6d) 4 e) 5

6. Resolver:

Ê

x2 − 1

9− x2+ 2 > 0

a) [1, 8] b) 〈−3,−1]∪ [1, 3〉c) 〈−3,−1] d) 〈−2,−1]∪ [1, 5〉e) [1, 9〉

7. Resolver la ecuacion n+ |x| = 3√x; n ∈ Z+,

indicando la suma de todos los valores parala incognita x.a) 9 b) 8 c) 14d) 12 e) 5

8. Dados los conjuntos:

M =§

x ∈ R /4x− 2

2x+ 2≤ 0

ª

N = {x ∈ Q / 4x− 2 ≤ 0}Hallar M ∩Na) {x ∈ R/− 1 < x ≤ 1/2}b) {x ∈ R/− 1 ≤ x < 1/2}c) {x ∈ Q/− 1 < x ≤ 1/2}d) {x ∈ Q/− 1 ≤ x < 1/2}e) φ

9. Resolver el sistema

(x− 4)(−2x+ 1) > 0 ;x+ 1

x− 1> 2;

(x− 1)2(x− 3)(x + 4)3 < 0a) 1 < x < 3 b) x < 6 c) x > 0d) 2 < x < 5 e) 2 < x < 6

10. Cuantos enteros cumplen la inecuacion

x− 4

x− 3− x+ 4

x+ 5> 0

a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 6

11. Cuantos enteros no positivos satisfacen(x+ 3)(x3 + x− 2) ≤ 0a) 1 b) 4 c) 2d) 3 e) 0

12. Resolver: |4x− 3| > x+ 2a) 〈1/5,+∞〉b) 〈−∞, 1〉 ∪ 〈2,+∞〉c) 〈−5, 1/5〉d) 〈1/5, 5/3〉e) 〈−∞, 1/5〉 ∪ 〈5/3,+∞〉

13. Si R − T > E − T > 0 ; L + T < 2T ;L > A ; y A − W > 0. ¿Cual de estascantidades es la menor?a) R b) T c) Wd) L e) A

14. Determine el maximo valor del trinomio1 + 6x− x2

a) 10 b) 8 c) 9d) 7 e) 11

15. Resolver: |8x− 1| ≤ 5|x− 1|+ |3x+ 4|a) 〈−∞,−1〉 b) 〈−∞, 3/4〉c) 〈−∞, 1/2〉 d) Re) φ

16. Resolver: |2x|2 > x+ 3a) 〈−∞,−1〉b) 〈−∞,−3/4〉 ∪ 〈1,+∞〉c) 〈−1,+∞〉d) 〈−1, 1〉e) 〈2, 3〉

17. Resolver: |2x− 5| < 3a) 〈2, 5〉 b) 〈−1, 4〉 c) 〈2/3, 5/3〉d) 〈2, 3〉 e) 〈1, 4〉

18. La solucion de la inecuacion:

3 +x− 3

6>

x+ 5

3− 2

1

3

a) x > 18 b) x < 18 c) 〈−∞, 19〉d) 〈19,+∞〉 e) 〈−18, 19〉

19. Resolver

r

2x− 8

x− 1+

r

5− x

x+ 3≥ 0

a) 〈−3, 1〉 ∪ [4, 5] b) 〈−3, 1] ∪ 〈4, 5〉c) 〈−3, 1〉 ∪ 〈4, 5〉 d) 〈4, 5〉e) [−3, 1〉 ∪ 〈4, 5〉

20. Uno de los intervalos solucion de6

x− 1− 3

x+ 1− 7

x+ 2< 0 es:

a) R b) [−2, 5〉 c) φ

d) 〈5,∞〉 e) 〈−2, 5〉21. Asumiendo que: (5x + 1) ∈ 〈−3, 2〉 es ver-

dad, dar el conjunto solucion de:1

2x− 2a) 〈−∞, 5/8〉 b) 〈−5/8,−5/18〉c) 〈−∞,−5/18〉 d) 〈−5/8,∞〉e) 〈−18/5,−8/5〉


2<

5x+ 6

3<

9x+ 34

5a) 〈18,∞〉 b) 〈−∞, 36〉c) 〈36,∞〉 d) φe) 〈−36, 18/11〉


x− 2≥ 3

a) [2, 3] b) 〈2, 3〉 c) 〈2, 3]d) R e) φ

24. El menor numero entero T que satisface ladesigualdad −x2 + 2x− 5/2 < T ; para todovalor real x, es:a) −1 b) 0 c) 1d) 2 e) −2

25. La inecuacion: 4x − 9(2x) < −8, se satisfacesolo para valores enteros cuya suma es:a) 2 b) 4 c) 1d) 3 e) 5

26. Resolver: x2 + 10x+ 27 < 0a) R b) φ c) 〈−∞, 5〉d) 〈5,∞〉 e) 〈−∞, 5]

27. Resolver:√x2 − 7 ≥

√6x

a) 〈8,∞〉 b) 〈7,∞〉 c) φd) 〈−∞, 7〉 e) [7,∞〉

28. Resolver:x2 − 5x+ 6

x2 + x− 56≥ 0, y dar la solucion

de uno de los intervalosa) R b) 〈2, 3] c) 〈2, 3〉d) φ e) [2, 3]

29. Resover: ||x| − 5| = 2x− 3.a) 8/3 b) −3/8 c) −4d) 4 e) 3

30. Hallar un numero de dos cifras, sabiendoque la suma de ellas es mayor que 10 y quela diferencia entre la cifra de las decenas yel duplo de las unidades es mayor que 4.a) 93 b) 91 c) 90d) 92 e) 94

31. Sabiendo que un lado de un triangulo es65m, el otro 15m y el tercer lado es un nume-ro exacto de metros que termina en 5. Cal-cular cual (o cuales) puede ser la longitudde ese tercer lado.a) Solo 75 b) 55, 65, 75c) Solo 65 d) Solo 55, 65e) Solo 65, 75

32. Leonardo, Alessandra y Grace son herma-nos. Grace tiene 11 anos; Leonardo tiene 5anos mas que Alessandra, y la suma de losanos de Leonardo y Alessandra no alcanzana los de Grace. ¿Cuantos anos tiene Ales-sandra si su edad es un numero impar?a) 3 b) 2 c) 5d) 4 e) 1

33. Se desea saber el mayor numero de lapice-ros que hay en una caja, sabiendo que si aldoble del numero de estos se le disminuyeen 7, el resultado es mayor que 29 y si altriple se le disminuye en 5, el resultado esmenor que el doble del numero aumentadoen 16.a) 15 b) 16 c) 20d) 18 e) 25

34. En la librerıa de la SGI “Luchando por laPaz Mundial”, el Dr. Daisaku Ikeda obse-quia 1000 libros y le quedan mas de la mi-tad de los que tenıa. Si luego obsequia 502 lequedan menos de 500. Cuantos libros tenıa?.a) 2001 b) 2000 c) 2002d) 2008 e) 2004

1. Si a > b, resuelva: a(x+b)−b(x−a) ≥ a2+b2

e indique cuantas soluciones negativas tienela inecuacion.a) 2 b) 0 c) 1d) 4 e) 3

2. Hallar el valor de mn si la inecuacion2x2 − 2mx − n < 0, tiene como conjuntosolucion 〈−3, 5〉.a) 10 b) 30 c) 20d) 40 e) 60

3. Calcular 2a + b + c si el intervalo solucion

deax2 + (a+ b)x+ c

5x2 + 2x+ 1≤ 0, es

�

3

2, 2�

.

a) 0 b) 2 c) 1d) 4 e) 6

4. Entre que lımites debe estar comprendi-do el valor de “n” para que la inecuacion

x2 + 2nx + n >3

16, se verifique para todo

valor real?.

a)1

4< n <

3

4b)

1

4< n <

1

2

c) 2 < n < 3 d)1

4< n <

5

4

e) −1 < n < 3

5. Resolver:2

3<

x− 1

x+ 3<

7

9a) {−3} b) 〈−∞, 15〉 c) 〈−3, 15〉d) 〈9, 15〉 e) {5}

6. Dada la inecuacionx− a

x+ a<

x− b

x+ bcon

0 < b < a, su solucion es la union de dosintervalos, siendo uno de ellos.a) 〈−∞,−b〉 b) 〈−a,−b〉 c) 〈−b,+∞〉d) 〈−b, 0〉 e) 〈−a,+∞〉

7. Resuelva4

4− x− x− 2

5<

4

x, e indique un

intervalo del conjunto solucion.a) 〈−∞, 4〉 b) 〈−4, 4〉 c) 〈−4,∞〉d) 〈0,∞〉 e) 〈4,∞〉

8. Resuelva x3 +3x2 + x− 1 < 0, e indique unintervalo solucion.a) 〈−1, 1 −

√2〉 b) R− {1−

√2}

c) 〈−1,−1 +√2〉 d) 〈−∞,−1〉

e) R

9. Hallar el conjunto solucion de:5x5 + 3x4 + 2x3 − 5x2 − 3x− 2 < 0.a) 〈−∞, 1〉 b) 〈−∞,−2〉c) 〈−10,−1〉 d) 〈−∞,−3〉e) 〈−∞,−1/2〉

10. Para que valor de “n” se verifica la desigual-

dadx2 + nx− 1

2x2 − 2x+ 3< 1, ∀x ∈ R.

a) 〈−4, 2〉 b) 〈−4, 6〉 c) 〈−2, 2〉d) 〈−6, 2〉 e) 〈−3,∞〉

11. Cual es el menor valor real que puede tomar“m” en: m ≥ −x2 + 3x+ 12.a) 2 b) 14,25 c) 12d) 14 e) 12,25

12. Hallar el mayor numero “m” con la propie-dad de que m ≤ x2 + 14x + 33, para todox ∈ R.a) −4 b) −8 c) −12d) −20 e) −16

13. Al resolver la inecuacion

5x2

3 + x2+

7

6 + x2≥ 4x2

3x2 + 9− 1

2x2 + 12

el conjunto solucion es:a) Solo R+ b) Solo R− c) Todo R

d) Solo N e) Solo Z

14. Resolver(x− 5)8(x+ 1)11(x− 2)5

(2x2 + x+ 5)(x− 3)7≥ 0

a) [−1, 2] ∪ 〈3,∞〉 b) 〈−1, 2〉 ∪ 〈3,∞〉c) [−2, 1〉 ∪ 〈1, 3] d) 〈3, 5〉 ∪ 〈5,∞〉e) [−1, 2〉 ∪ [3,∞〉

15. Resolverx5(x3 − 8)3(x− 1)2

(x+ 3)2(x2 − 25)7< 0

a) 〈−5, 5〉 ∪ 〈6, 7〉b) 〈−∞,−3〉 ∪ 〈0, 3〉 ∪ [5,∞〉c) 〈−3, 0〉d) 〈−5,−3〉 ∪ 〈−3, 0〉 ∪ 〈2, 5〉e) 〈0, 1〉 ∪ 〈1, 2〉

16. Resolver:(x− 6)(x3 − 8)(x+ 3)3 3

√x− 1

x(x− 4)9(x+ 4)10(x3 − 64)√5− x

≥ 0

a) [−4,−1] ∪ 〈2, 5〉 b) [−3, 0〉 ∪ [1, 2]c) 〈−∞, 5] ∪ [6,∞〉 d) 〈−3, 0] ∪ [1, 2〉e) 〈−2, 0〉 ∪ [2, 6]

17. Luego de resolver:

(x+ 1)2(x+ 2)3(x+ 3)4(x− 4)5

44√x− 1 5

√9− x 6

√x

> 0

se tiene como conjunto solucion 〈a, b〉. Cal-cular (a+ b)a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13

18. Resolver:8√4x+ 2(x2 − 25)3 5

√2x− 8

(x+ 1)2(2x+ 5)9< 0

a) 〈−∞, 4〉 b) 〈5,+∞〉 c) 〈4, 5〉d) 〈−5,−4〉 e) 〈−4, 10〉

19. Al resolver la inecuacion:√1− x −

√1− 3x >

√3 + x −

√3− x, se

obtiene el intervalo solucion de la forma[a, b〉 ∪ 〈c, d]. Hallar (abd)c.a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) −1

20. Resolver:1√

9− x2+

1√25− x2

> 0

a) [−3, 3] b) [−5, 5] c) [−3, 5〉d) 〈−3, 3〉 e) 〈−3, 0]

21. Hallar el complemento del conjunto solucionde:

x+1√8x+3 <

x−1√322x+5

a) [−3, 0] b) [−1, 1] c) [0, 3]d) 〈−∞,−1] e) [1,∞〉

22. Resolver:�

1

16

�

(x−2)2

2(x−4)

>

�

√2

2

�4x

y dar la

suma de todos los numeros naturales quesatisfacen la relacion.a) 28 b) 10 c) 15d) 21 e) 6

23. Resolver: x2+ |x|−6 = 0, indicando la sumade las soluciones.a) 2 b) −2 c) 0d) −1 e) −3

24. Resolver: |x3 − 1| ≤ x2 + x+ 1a) 0 ≤ x ≤ 2 b) 0 ≤ x ≤ 1c) 1 ≤ x ≤ 2 d) −1 ≤ x ≤ 0e) 1 < x < 2

25. Resolver: |x− 1|2 + 2|x− 1| − 3 < 0.a) 〈−2, 0〉 b) 〈−∞,−2〉 c) 〈−2, 2〉d) 〈0, 2〉 e) 〈2,∞〉

26. Un intervalo del conjunto solucion que ve-rifica a ||x| − 2| ≤ 1 es de la forma [a, b],hallar a+ b.a) −3 b) −4 c) −2d) −1 e) 0

27. Hallar el valor de la expresion:|5x− 20| − |3x− 20|

x, si x ∈ 〈−3,−2〉.

a) 1 b) −4 c) −1d) 4 e) −2

28. Resolver:|2x− 6| − |x− 2| ≤ |2x− 4| − |x− 3|.a) 〈5/2,∞〉 b) 〈−5/2,∞〉c) [5/2,∞〉 d) 〈−∞, 5/2]e) R− {5/2}

29. Resolver: |2x+ 7| = x+ 5a) {−2,−4} b) φ c) {2, 3}d) {3, 4} e) R

30. Resolver la ecuacion: |x2−4| = 4−2x y darcomo respuesta la suma de las raıces.a) 0 b) 1 c) −1d) −2 e) 2

31. Resolver para x, y ∈ Z:5x− 3y > 2 ; 2x+ y < 11 ; y > 3Indicar el valor de: W = xya) 6 b) 12 c) 15d) 20 e) 8

32. Hallar un numero entero y positivo, sabien-do que la tercera parte del que le precededisminuido en 1 decena, es mayor que 14, yque la cuarta parte del que le sigue, aumen-tada en una decena es menor que 29.a) 72 b) 73 c) 76d) 75 e) 74

33. Un libro de Algebra tiene el triple de pagi-nas que uno de Aritmetica y entre los dostienen menos de 120 paginas. Si el libro deAlgebra tiene mas de 84 paginas. ¿Cuantaspaginas tiene el libro de Aritmetica?.a) 21 b) 20 c) 29d) 22 e) 23

34. Determinar el mayor valor de k, si la parabo-

la f(x) = x2 − 5x + 3k − 23

4intercepta al

eje X.a) 4 b) −4 c) 0d) 3 e) −∞

1. Resolver: 10 ≤ x2 − 8x + 25 ≤ 18 , y darcomo solucion uno de los intervalos.a) 〈1, 3] b) [1, 3] c) 〈1, 3〉d) R e) [0, 3]

2. Resolver:x2 − x3 − 40 + 22x

7x+ x2≥ 0 , y dar la

solucion de uno de los intervalos.a) 〈−5, 0〉 b) 〈−∞,−7] c) 〈2, 4〉d) φ e) [−5, 0〉

3. Resolver:

(

32− 12x+ x2 > 0

x2 + 22 − 13x < 0

a) 〈8, 11〉 b) 〈2, 4〉c) 〈2, 4〉 ∪ 〈8, 11〉 d) 〈−∞, 2〉e) 〈2,+∞〉

4. Resolver: x2 + 8x+ 20 > 0a) R b) 〈2,∞〉 c) 〈−∞, 2〉d) φ e) 〈0,+∞〉

5. Resolver: |x− 2| < 3xa) [0,∞〉 b) φ c) Rd) 〈1/2,∞〉 e) 〈−∞, 0]

6. El conjunto solucion de2|2x− 3| − 8 + |2x− 3|2 ≤ 0 es:a) 〈−∞, 1/2〉 b) [1/2, 5/2] c) Rd) φ e) 〈5/2,+∞〉

7. Sean: A = {x ∈ R / |x− 5| > |2x+ 3|}

B =

�

x ∈ R /1

|2x− 3| < 1

�

Hallar A ∩Ba) R+ b) 〈−8, 2〉 c) 〈−8, 3〉d) φ e) 〈−8, 2/3〉

8. El complemento de la interseccion de losconjuntos solucion de las inecuaciones:|3x− 6| > −3 ; |3x− 6| < −3 es:a) 〈2, 3] b) φ c) Rd) 〈2, 3〉 e) R+

9. Al resolver la inecuacion:�

�

�

�

�

x2 − 6x+ 7

x− 1

�

�

�

�

�

<2

x− 1se obtiene:

a) 〈1, 3〉 ∪ 〈3, 5〉 b) 〈1, 3〉c) 〈3, 5〉 d) Re) R+

10. Para todo {x, y, z} ∈ R tales que x, y, z 6= 0.Se puede afirmar que:

I. Six

y<

x

z=⇒ z < y.

II. Si x < y =⇒ x2 < y2.

III. Si x < y =⇒ 1

x>

1

y.

Son falsasa) I b) I y II c) II y III

d) Todas e) III

11. Si x ∈ 〈1, 4] entonces 1

8x+ 5∈ [a, b〉.

Hallar el valor de aba) 1/18 b) 1/481 c) 6/7d) 8/5 e) 1

12. El conjunto solucion de la inecuacionax+ b

2+ b <

bx+ a

2+ a; a < b es:

a) [3,+∞〉 b) 〈−1, 5〉 c) [2,+∞〉d) 〈1,+∞〉 e) 〈3,+∞〉

13. Hallar a + b + c, si el conjunto solucionde ax2 + bx + c ≤ 0 esta contenido en〈−∞, 2] ∩ [−1, 3].a) 1 b) 0 c) −2

d) 2 e) −1

14. Para que valores de “c” las raıces de la ecua-cion 3x2 − 10x+ c = 0 son reales.a) c ≤ 25/3 b) −1 ≤ c < 25/3c) 1 ≤ c < 9 d) 0 < c < 25/3e) 2 ≤ c < 25

15. Hallar el conjunto solucion de:(2x2 − 5x+ 6)(x2 − 102x+ 200) ≥ 0a) 〈−∞, 2] ∪ 〈100, 180〉b) [2, 3] ∪ [100,∞〉c) 〈−∞, 3] ∪ [100, 200〉d) 〈−∞, 2] ∪ [100,∞〉e) 〈−∞, 5] ∪ [100,∞〉

16. Resolver:x2 − 2x+ 3

x2 − 4x+ 3≥ −3

a) R−

b) 〈−∞, 1〉∪ [3/2, 2]∪〈3,+∞〉c) 〈−∞, 1] ∪ [3/2, 2〉d) R− {2, 3}e) R− ∪ {2, 3}

17. Al resolver la inecuacion:

x2 + x+ 1

x2 − x+ 1≥ (x2 + x+ 1)(x+ 1)

(x2 − x+ 1)(x− 6)

su conjunto solucion es de la forma x < B.El valor de B2 es:a) 4 b) 1 c) 25d) 9 e) 36

18. Resolver: 3− x <x2 + 5x

2x+ 5>

x+ 1

2a) 〈−3,−5/2〉b) 〈5/3,+∞〉c) 〈−3,−5/2〉 ∪ 〈5/3,+∞〉d) [−3,−5/2〉e) 〈5/3, 4〉

19. Si “a” es el mayor valor entero de√x+ 2 > x. Entonces a+1

√5− a es:

a) 2 b)√2 c)

√2/2

d) 1/2 e)√3/3

20. Resolver:√x2 − x− 6 < 6 − x y dar el

mayor valor entero positivo.a) 2 b) 1 c) 4d) 3 e) 5

21. El conjunto solucion de1√x+ 1

>√x− 1; es

a) 〈0, 4〉 b) [0, 2〉 c) [2, 6〉d) [3,+∞〉 e) 〈−∞, 2]

22. Al resolver(3x+1)3(x− 2)2(x+5)5(x+2)4(4− x) ≤ 0un intervalo del conjunto solucion es:a) 〈4,+∞〉 b) 〈−∞,−5]c) [−5,−1/3] d) [−5,−1/3〉e) [4,+∞〉

23. El conjunto solucion de la inecuacion:(1 − x)5(x − 2)1002(x − 4)8703(x + 2)7 < 0tiene la forma 〈a, b〉 ∪ 〈c,+∞〉. El valor deabca) 4 b) −2 c) −8d) −1 e) 1

24. Resolver: 3È

(0,5)2x−1

2 > 6È

(0,25)x+23

a) x < 7/4 b) x > 1 c) x > 2d) x < 7/2 e) x < 2

25. Resolver:3x+1q

4

�

2x+1

2x+1

�

≤2xq

8

�

3x−1

(2)(3)x+1

�

a) x ≤ 1 b) x < 1 c) x > 1d) x ≥ 1 e) x > 0

26. Encontrar la suma de los valores absolutosde las soluciones de: |x+3|− |x− 1| = x+1a) 7 b) 9 c) 8d) 10 e) 11

27. El complemento del conjunto solucion de:|2− |4− 3x|| ≥ 1 es:a) 〈1/3, 7/3〉b) 〈5/3, 7/3〉 ∪ {6/7}c) φ

d) 〈5/3,+∞〉e) 〈1/3, 1〉 ∪ 〈5/3, 7/3〉

28. Determinar la suma de las soluciones en:(x− 3)2 − 3|x− 3| − 18 = 0a) 1 b) 2 c) 6d) 4 e) φ

29. Hallar a+120; a es una solucion de la ecua-cion:|11− x|+ |3x− 15|+ |4− 4x| = |2x− 10|+5|x− 1|+ |x− 11|a) 123 b) 122 c) 120d) 124 e) 129

30. Resolver:

�

�

�

�

�

x2 + 3x+ 11

x− 2

�

�

�

�

�

< 3

a) 〈5, 10〉 b) 〈−5, 0〉 c) 〈0, 1〉d) 〈−5,−1〉 e) R.

31. Resolver: 3|x|+ |x− 2| ≤ 6a) 〈−1, 2〉 b) [−1, 2] c) 〈−1, 0]d) [2, 8] e) [1, 3]

32. El complemento del conjunto solucion de|2x+ 1| − x

x≤ 2 es:

a) 〈−1/5, 1〉 b) 〈−1, 2〉 c) [1, 3]d) 〈1,+∞〉 e) [0, 1〉

33. El cuadrado de la edad de Alessandra me-nos 3 es mayor que 120, en cambio el doblede su edad mas 5 da un numero menor que30, ¿Cual es la edad de Alessandra?a) 8 b) 3 c) 12d) 14 e) 15

34. Hallar las soluciones enteras y positivas dex, y y z en el siguiente sistema:x+ y < 6 ; y − z > 0 ; x− z > 1a) 3, 2, 1 b) 2, 2, 3 c) 3, 3, 4d) 4, 4, 2 e) 1, 3, 5

1. Si a < b, hallar el menor valor entero de x

en:ax+ b

2+ b <

bx+ a

2+ a.

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

2. Si: x ∈ [−2, 4], entonces: a ≤ 2x+ 3

x+ 3≤ b.

Indique el valor de: E = a+ 7ba) 12 b) 8 c) 7d) 13 e) 10

3. Si la solucion de la inecuacion x5 + 8x4 +12x3 − x2 − 8x− 12 > 0 es 〈a, b〉 ∪ 〈c,∞〉, elvalor de: a+ b+ ca) 7 b) −5 c) −7d) −8 e) 8

4. Hallar el menor numero entero “x” tal quex2 + 5x− 10

x2 + 2x− 8> 1

a) −3 b) −5 c) −1d) 1 e) 3

5. Calcular (a− b)2 + c, si el intervalo solu-

cion de:ax2 + (a+ b)x+ c

5x2 + 2x+ 1≤ 0, es

�

3

2, 2�

a) 103 b) 105 c) 117d) 127 e) 129

6. Si la solucion de la inecuacion 12x4−56x3+89x2 − 56x+12 < 0 es 〈a, b〉 ∪ 〈c, d〉, indicarel valor de: abcda) 2 b) 1 c) 2/3d) 3/2 e) 3

7. Hallar el conjunto solucion de:

x5 − 1

x4 + 1<

x5 − 2

x4 + 2

a) 〈−1,∞〉 b) 〈−∞, 0〉c) 〈−1, 0〉 d) 〈0,∞〉e) 〈−∞,−1〉

8. Indicar el mayor valor entero negativo delconjunto solucion de:

(x− 3)(x+ 2)2(x+ 1)(x− 4)

x(x+ 2)(x2 − 3)(x + 3)> 0

a) −2 b) −1 c) −4d) −3 e) −5

9. Si b > 0, a2 ≤ b y 1 ≤ a+√b

2√b

. Determinar

el valor de:√b+ a

a) 2a b) 2b c) 2

d) 2√ab e) 3a

10. Si |x| < 1, hallar el maximo valor deW = (x+ 2)2 + (2− x)2

a) 16 b) 12 c) 4d) 9 e) 5

11. Resolver:3√x2 − 4(x− 2)2(x3 − 13x+ 12)

(x+ 4)3(x3 + 8x2 + 4x− 48)≥ 0

a) 〈−6,−4] ∪ [−2, 1] ∪ [3,∞〉b) 〈−6,−4〉 ∪ [−2, 1] ∪ [3,∞〉c) 〈−6,−4] ∪ 〈−2, 1] ∪ [3,∞〉d) 〈−6,−4] ∪ [−2, 1] ∪ 〈3,∞〉e) 〈−6,−4] ∪ [−2, 1〉 ∪ [3,∞〉

12. Resolver:

(x− 4)6(x+ 1)5(x2 − 4)3(x2 + 9)4

(x− 1)9(x− 3)7(x2 + x+ 1)2≥ 0

a) [−2,−1〉 ∪ [1, 2] ∪ 〈3,∞〉b) 〈−2,−1〉 ∪ 〈1, 2] ∪ [3,∞〉c) 〈−∞,−1] ∪ [1, 2] ∪ 〈4,∞〉d) 〈−∞,−1] ∪ 〈1, 2] ∪ [3,∞〉e) [−2,−1] ∪ 〈1, 2] ∪ 〈3,∞〉

13. Resolver: |3x+ 5| ≤ |2x− 1|+ |x+ 6|a) 〈−∞, 0] b) 〈0,∞〉 c) Rd) [−2, 2] e) φ

14. Resolver:

2223

(x− 2)107(1− x)(3x − 1)128

3 + 3 + 3 + . . . . . . + 3 + 3 + 3| {z }

900 sumandos

≤ 0

a) 〈−∞, 1] ∪ [2,+∞〉 b) 〈−∞, 3]c) R d) φ

e) 〈−∞, 1] ∪ [3,+∞〉

15. Indicar el mayor valor entero del conjuntosolucion de:

3√x+ 5(x+ 2) 5

√x2 − 7x+ 12 4

√8− x

6√x+ 7(x− 8)3(x3 − 8)(x2 − 14x+ 48)

≤ 0

a) 9 b) 4 c) 7d) 5 e) 6

16. Al resolverx3 − x2 − 22x+ 40

x3 − 2x2 − 21x − 18< 0 se

obtiene el intervalo solucion de la forma〈W,A〉 ∪ 〈L, T 〉 ∪ 〈E,R〉. Hallar el valor de:W +A+ L+ T +E +Ra) 2 b) 3 c) −1d) 1 e) −2

17. Hallar el conjunto solucion de la inecuacionirracional:

√x2 − x− 12 ≤

√x2 − 6x+ 5

a) 〈−∞,−3] b) 〈−∞, 3] c) 〈−∞,−3〉d) 〈−∞,−5〉 e) 〈−∞, 175 ]

18. Un intervalo del conjunto solucion der

2x− 8

x− 1+

r

5− x

x+ 3≥ 0 es:

a) 〈1, 3〉 b) 〈4, 5〉 c) 〈−3, 1〉d) 〈−5, 1〉 e) 〈−4, 0〉

19. Resolver:�

1

81

�

(x− 2)2

2(x− 4) >

�

√3

3

�4x

y dar

la suma de todos los numeros naturales quesatisfacen la siguiente relacion.a) 6 b) 10 c) 15d) 21 e) 28

20. Hallar el menor numero entero que verifiquela inecuacion:

x−5√4x−4 ≥ x+1

√22x

a) 5 b) 1 c) 3d) 0 e) 7

21. Resolver la inecuacion:(x+ 1)2 + 2|x+ 1| − 8 ≤ 0a) [−1, 3] b) [−3, 1] c) [1, 3]d) [−3,−1] e) [−3, 3]

22. Resolver:8

>

<

>

:

5x− 3y > 2

2x+ y < 11

y > 3

e indique el valor de:È

x2 + y2

a) 2 b) 3 c) 4

d) 1 e) 5

23. La suma de los valores enteros de la solucionde |x3 − 1| ≤ |x2 + x+ 1| es:a) 4 b) 2 c) 3d) −2 e) −1

24. La solucion de la ecuacion ||x|−5| = 2x−3es:a) 8/3 b) −3/8 c) −4d) 4 e) 3

25. Simplificar la expresion:|6x+ 4|+ 2|2− 3x|

12xsi x ∈ 〈2, 3]a) 3 b) −3 c) −1d) 1 e) 2

26. El menor valor entero positivo de2x2 − 7|x|+ 3 = 0 es:a) 1 b) 3 c) 2d) 5 e) 4

27. Si x ∈ 〈1, 2], entonces x2 − 2x ∈ 〈m,n],hallar: n−m.a) −1 b) 0 c) 2d) −2 e) 1

28. Senale el valor de verdad:

Si x ∈ 〈2, 4〉 entonces1

2x+ 3∈

1

11,1

7

·

.

Si (x− x0) ∈ [−a, a] entoncesx ∈ [x0 − a, x0 + a].

Si [a, b] ⊂ 〈c, d〉 entonces c > a ∧ b < d.

a) FVF b) FFV c) VVFd) VVV e) VFF

29. Si A = 〈−10, 5] y B = [−3, 6〉; determinar:A ∩B y A ∪Ba) [−3, 5] y 〈−10, 6〉 b) R y φc) φ y φ d) φ y R

e) 〈−3, 5〉 y [−10, 6]

30. Si a a+ b

b

a− b>

b

a

b2

a< b

a) VFVV b) FVVV c) VVFFd) VVVF e) FVVF

31. Resolver:x+ 1

x− 1≤ x− 1

x+ 1e indique el

maximo valor entero del conjunto solucion.a) −2 b) 0 c) −1d) 2 e) 3

1. Sean a, b, c ∈ R, senalar los valores de ver-dad de las siguientes proposiciones:

Si a −b.

Si a bc.

Si a 6= 0 ⇒ a2 > 0.

Si a 0 y a2 < b ⇒ −√b < a <

√b.

a) VFVFV b) VVVVV c) VVFFVd) FVFVF e) FFVVF

2. Si: −10 < a < −5; −2 < b < −1;2 < c < 5. ¿A que intervalo perteneceab/c?a) 〈6,∞〉 b) 〈5/2, 4〉 c) 〈−1, 10〉d) 〈−4, 5/2〉 e) 〈1, 10〉

3. Hallar el producto del maximo y mınimovalor de: E = x2 + 2x− 2; si −4 ≤ x ≤ 1a) 0 b) −6 c) −18d) 6 e) −12

4. Hallar la suma de los enteros que adopta

N =3x− 5

x− 2; si x ∈ 〈−2; 1]

a) 2 b) 4 c) 0d) 1 e) 6

5. Resolver: x2 −q√

2yx − 6 < 0; e indicar

la suma de los valores enteros del conjuntosoluciona) 0 b) 1 c) −1d) 2 e) −2

6. Determinar el numero de soluciones enterasnegativas al resolver: x5+3x4−5x3−15x2+4x+ 12 > 0a) 1 b) 0 c) 2d) 3 e) 4

7. Si el conjunto solucion de la inecuacion12x4 − 56x3 + 89x2 − 56x + 12 < 0, es

de la forma 〈a, b〉 ∪ 〈c, d〉, calcular:�

�

�

�

�

a bc d

�

�

�

�

�

a) 4 b) 1 c) 2d) 3 e) 0

8. Resolver4√4− x2

3− x≥ 0

a) 〈−2, 2〉 b) 〈−2, 2] c) [−2, 2]d) [−2, 2〉 e) 〈−2, 3〉

9. Resolver:1√

9− x2+

1√16− x2

+1√

25− x2> 0

a) 〈−3, 3〉 b) [−5, 5] c) [−3, 5〉d) 〈−3, 0] e) [−3, 3]

10. Sea A el conjunto solucion de∞Y

i=1

(x−i)2 ≤ 0,

Sea B el conjunto solucion de∞Y

i=1

(x+i)2 ≤ 0

y sea C el conjunto solucion de x2 ≤ 0, cal-cular A ∪B ∪ C.a) 〈−∞, 0] b) R c) [0,∞〉d) Z e) 0

11. En |x2−x+3| ≥ x+11, el conjunto soluciones de la forma 〈−∞,−a]∪[b,+∞〉, el valorde a+ b es:a) 2 b) 6 c) −3d) 4 e) 3

12. Resolver la ecuacion n+ |x| = 3√x; n ∈ Z+

0 ,indicando la suma de todos los valores parala incognita x.a) 9 b) 8 c) 5d) 12 e) 14

13. Hallar el menor numero racional Mque satisface la siguiente desigualdad�

�

�

�

x+ 3

x− 5

�

�

�

�

≤ M , para cualquier valor x ∈ [2, 4]

a) −2/3 b) −7 c) 7

d) 2/3 e) 5/3

14. Si |x− 3| ≤ 1, hallar el numero racional M

tal que

�

�

�

�

x+ 5

x+ 1

�

�

�

�

≤ M

a) 7/3 b) 3/7 c) 5/3d) 3/5 e) 1

15. La suma de los valores enteros del conjun-to solucion de la inecuacion

È

6− |x| < x es:

a) 21 b) 20 c) 0d) 18 e) 16

16. Al resolver la inecuacion:È

15− |x| ≤È

|x| − 7, se obtiene [a, b] ∪[c, d], calcular |a+ b|+ |c+ d|a) 22 b) 52 c) 42d) 32 e) 62

17. Al resolver la inecuacion:È

|3− |x2 − 6||(x2 − 4x+ 3) < 0, se obtiene

〈a, b〉 − {√b }, hallar ab

a) 1 b) 9 c) 5d) 7 e) 3

18. Resolver:

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

x −(3x+ 1)5 x+ 2

�

�

�

�

�

7

x2 + 3x− 2 2

�

�

�

�

�

�

�

> 5

a)

®

−∞,13− 3

√61

10

¸

b)

®

−∞,13 + 3

√61

10

¸

c)

®

13− 3√61

10,13 + 3

√61

10

¸

d)

®

0,13 + 3

√61

10

¸

e)

®

13− 3√61

10, 0

¸

19. Resolver:5x− 6 > 3x− 14 ∧ 5x+ 6 < 2(x+ 12)

∧ 13x− 3

4<

x

3+ 5 +

1

12a) 〈−4, 2〉 b) R c) [−4, 2〉d) φ e) 〈−4, 2]

20. Resolver: 4 <3q

2x3È

2x 3√2x . . . < 6

a) R− {8} b) 〈8,∞〉 c) 〈−18,−8〉d) 〈8, 18〉 e) 〈−18, 8〉

21. Resover: ||x− 1| − 1| = 1.a) Infinitas soluciones.b) Tres soluciones.c) Cuatro soluciones.d) Dos soluciones.e) Solucion unica.

22. Resolver3x+ 1

x2 + 1+

x2 − 12

x2 + log 10<

1− x

x2 + tanπ/4, los

valores reales de x estan comprendidos en:a) 〈−∞,−6〉 b) 〈2,∞〉 c) 〈12,∞〉d) 〈−∞,−6] e) 〈−6, 2〉

23. Resolver: |2x+ 7| = x+ 5a) R b) φ c) {−2,−4}d) {3, 4} e) {2, 3}

24. Indicar el menor valor entero positivo del

conjunto solucion de:

�

�

�

�

|x|+ 1

|x− 1|

�

�

�

�

≤ 2x

|x|a) 3 b) 1 c) 2d) 0 e) 4

25. Hallar los valores de a de tal manera que:

−3 <x2 − (a+ 5)x+ 1

x2 + x+ 1< 3, sea cierto.

a) 〈4, 10〉 b) 〈−∞, 4〉 c) 〈0, 8〉d) 〈−10,−4〉 e) 〈−∞,∞〉

26. Si al doble de la edad de Sebastian Vettel seresta 17 anos resulta menor que 35; pero sia la mitad de la edad se suma 3 el resultadoes mayor que 15. ¿Cual es dicha edad?a) 22 b) 25 c) 23d) 24 e) 26

27. Se sabe que el cuadruple del numero de mo-nedas que hay dentro una bolsa es tal, quedisminuido en 5, no puede exceder de 31 yque el quıntuplo del mismo numero de mo-nedas aumentado en 8, no es menor que 52.¿Cual sera dicho numero?a) 7 b) 8 c) 11d) 10 e) 9

28. Tres cazadores Ricardo, Jose, Manuelreunen mas de 8 canes. Jose piensa traer4 canes mas, con la cual tendrıa mas canesque entre Ricardo y Manuel. Se sabe queJose tiene menos canes que Manuel y losque este tiene no llegan a 5. Cuantos canestiene cada cazador?a) 3, 4, 5 b) 5, 6, 7 c) 2, 3, 4d) 1, 3, 4 e) 2, 2, 3

29. Dos moviles salen simultaneamente de dosciudades distintas con igual velocidad queno llega a 60 km/h. Si entre ambos en el en-cuentro recorrieron una distancia superior a300 km. y emplearon en hacerlo menos de 3horas. ¿Cual de las alternativas propuestaspuede ser la velocidad de cada movil?a) 54 km/h b) 48 km/h c) 46 km/hd) 42 km/h e) 50 km/h

1. Dados los intervalos A = [−2, 2] yB = 〈0, 3〉, hallar (A ∩B)− (A ∪B)c

a) 〈−∞, 2] b) 〈0, 2] c) [−2,∞〉d) 〈−∞,−2] e) 〈2, 3]

2. Si: x ∈ [1, 2], entonces:1

a≤ 1

5x+ 3≤ 1

b.

Indique el valor de: E = a− ba) −5 b) −2 c) 4d) 3 e) 5

3. Si x ∈ [−3, 1], calcular b − a de mo-do que se verifique la siguiente relacion:

a ≤ x2 + 2

3≤ b.

a) 13 b) 2 c) 3d) 0 e) −4

4. Cuantos numeros enteros satisfacen a la si-guiente inecuacion:

2x− 1

3<

x− 1

5≤ x

3+ 1

a) 10 b) 9 c) 8d) 11 e) 12

5. El conjunto solucion de3x− 2

1− a< 4x + 5,

con a > 1, es de la forma x >A

B. Calcular

A+B + a.a) 2 b) 4 c) 8d) 6 e) 10

6. La suma de los numeros enteros del conjun-to solucion de la inecuacion x2 +5x+6 ≤ 0es:a) −6 b) −5 c) 6d) 5 e) −11

7. Resolver x3 < x; e indica un intervalo delconjunto soluciona) 〈−1, 0〉 b) 〈−2, 0〉 c) 〈−1, 1〉d) 〈1,∞〉 e) 〈0, 1〉

8. Determinar el valor de m + n, si la inecua-cion x2−mx+n < 0 presenta como conjuntosolucion: 〈−5, 3〉a) −13 b) −15 c) −17d) −2 e) 2

9. Halle el conjunto de valores de m para quela siguiente ecuacion no tenga soluciones

reales (m+ 5)x2 + 3mx− 4(m− 5) = 0a) 〈−4, 4〉 b) 〈−3, 3〉 c) [−4, 4〉d) 〈−2, 2〉 e) 〈−1, 1〉

10. Determine el menor valor de W , si se cum-ple: x2 − 2x+ 5 ≤ W , para todo x ∈ R

a) 7 b) 8 c) 9d) 4 e) 10

11. Despues de resolver: x3 + 4x2 − 2x− 8 < 0,senalar el mayor valor entero que verifica ladesigualdad.a) 0 b) 1 c) −2d) −1 e) 2

12. Resolver: x5+2x4−6x3−4x2+13x−6 < 0a) 〈−∞,−3〉 ∪ 〈1,∞〉b) 〈−3,−2〉 ∪ 〈1,∞〉c) 〈−3, 1〉d) 〈−2,∞〉e) 〈−∞,−3〉 ∪ 〈−2, 1〉

13. Al resolver x4 − 3x3 − 3x2 + 11x − 6 < 0,se observa que el conjunto solucion tiene lasiguiente forma 〈a, b〉−{c}, calcule: b−a+ca) 27 b) 0 c) 6d) 7 e) 3

14. Al resolverx+ 1

2− x≤ x

x+ 3, se obtuvo como

solucion: 〈−∞, a〉∪〈b,∞〉. Hallar: ab+a+ ba) −7 b) −5 c) −6d) −1 e) −8

15. Resolver:(1− x)(x+ x2)

−x2 − x+ 2≤ 0

a) 〈−∞,−2〉 ∪ 〈0, 1]b) 〈−∞, 2〉 ∪ [3, 4〉c) 〈−∞,−2〉 ∪ 〈−1, 0〉d) 〈−∞,−2〉 ∪ [−1, 0]e) φ

16. Hallar el mayor valor entero negativo delconjunto solucion de:

(x2 − 2x+ 4)7(1− x)5(2 + x)6

x4(2x+ 1)3(x+ 4)≥ 0

a) −1 b) −2 c) −3d) −4 e) −5

17. Resolver:|x|

x− 2006< 0

a) Rb) 〈−∞, 2006〉c) R− {2006}d) 〈0,∞〉 − {2006}e) 〈−∞, 2006〉 − {0}

18. Resolver: |x− 2|2 > 4|x− 2|+ 5a) 〈−∞,−7〉 ∪ 〈3,∞〉b) 〈−∞, 3〉 ∪ 〈7,∞〉c) 〈−∞,−3〉 ∪ 〈7,∞〉d) 〈−∞,−7〉 ∪ 〈−3,∞〉e) 〈−3, 7〉

19. Resolver: 2x+ 1 > |x|a) 〈−1/3,∞〉 b) 〈−1/3, 0] c) 〈0,∞〉d) [0,∞〉 e) [−1/3, 0]

20. Resolver: |x2 − 3x+ 1| > |x2 − 1|a) Rb) 〈−∞, 0〉 ∪ 〈2/3,∞〉c) 〈−∞, 0〉 ∪ 〈1, 2〉d) 〈−∞, 0〉 ∪ 〈2/3, 3/2〉e) φ

21. El conjunto solucion de la desigualdad da-da por (|x − 3| + 2)2 < 5|x − 3| + 4 tienela forma 〈a, b〉 − {c}, indicar el valor de:W = a2 + b2 + c2

a) 32 b) 29 c) 25d) 23 e) 18

22. Resuelva√x2 − x− 12+

√2x2 − 7x− 4 ≤ 0

a) {1, 2} b) {−3, 4} c)§−1

2, 4ª

d) {−2, 4} e) 4

23. Resolver: 3x ≤√x2 − 6x+ 8

a) [0, 1] ∪ [8,∞〉 b) 〈0, 2〉 ∪ 〈4,∞〉c) 〈−∞, −3+

√73

8

�

d) 〈−∞, 0] ∪ [4,∞〉e) [0, 2] ∪ [4,∞〉

24. Resolver:

r

32− 2x

x+ 2≥ √

x, e indicar

cuantos valores enteros la verifican.a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 12

25. La suma de los valores enteros positivos que

satisfacen3È

35x+1

2 <È

93x+3

5 es:a) 2 b) 3 c) 5d) 1 e) 6

26. Cuantos numeros enteros positivos cum-plen: 3

È

(0,3)2x+1 < 4È

(0,027)x−10

a) 90 b) 93 c) 81d) 94 e) 80

27. Resolver:√x2 − x+ 1 +

√x2 + x+ 1 +√

x2 − 1 ≤ 0a) {−1, 1}b) [−1, 1]c) 〈−∞,−1] ∪ [1,+∞〉d) 〈−1, 1〉e) φ

28. Resolver:xX

k=1

(6k2 − 4k + 1) ≤ 0

a) 〈−∞,−1/2] b) [−1/2,∞〉c) 〈−∞,−1/2] ∪ {0} d) 〈−2, 1/2〉e) 〈−1/2,∞〉

29. Resolver:

�

�

�

�

�

xX

k=1

(5k4 + 1)− 3x

�

�

�

�

�

> −5

a) R b) φ c) 〈−2, 1〉d) 〈−1, 2〉 e) 〈−3, 4〉

30. Si x es un numero real que verifica

(|x|+ 1)x4−5x3+3x2

> (|x|+ 1)x2−2x3

este numero pertenece al conjuntoa) 〈−∞, 1〉 ∪ 〈2,+∞〉b) 〈1, 2〉c) 〈−∞, 0〉 ∪ 〈1, 2〉d) 〈−∞, 0〉 ∪ 〈0, 1〉 ∪ 〈2,+∞〉e) 〈−∞, 0〉 ∪ 〈1, 2〉 ∪ 〈2,+∞〉

31. En un salon de clase de la UNPRG, haytantos alumnos, que si al triple se le aumen-ta 5 resulta una cantidad no menor de 93; ysi al doble se le disminuye 1, dicha cantidadresulta ser menor que 61. ¿Cuantos alumnoshay en dicho salon de clase?a) 28 b) 30 c) 29

d) 31 e) 32

32. La edad de Messi es un numero par. Si ala cuarta parte de su edad se le anade 3resulta menor que la tercera parte; mientrasque si a su mitad se le suma 5, el resultadoes menor que 28. Hallar la edad de Messisabiendo que es el mayor posible.a) 42 b) 24 c) 28d) 32 e) 44

Capıtulo 13:

LOGARITMOS

Objetivos

z Reconocer e identificar las propiedades sobre los logaritmos como operadores.

z Resolver ecuaciones exponenciales y logarıtmicas aplicando las diferentes propiedades de loga-

ritmos.

z Reconocer la grafica de una funcion exponencial y una funcion logarıtmica.

13.1. Historia de los logaritmos

El fundador de la teorıa de los logaritmos y el que les dio ese nombre fue John Napier1 (1550–

1617). Napier, ademas de aficionado a las matematicas, estaba interesado en la astrologıa. Esto le

llevo a investigar las propiedades de las figuras geometricas sobre una superficie esfericas, obteniendo

importantes resultados en la resolucion de triangulos esfericos. Sus estudios acarreaban calculos trigo-

nometricos, los cuales implican numeros con muchas cifras decimales. Tanto es ası, que se convirtio en

una prioridad buscar algun algoritmo que facilitara los calculos y ahorrara tiempo.

Napier se dio cuenta de algo que ya conocıa Arquımedes (287 a.C., 212 a.C) y despues Michel Stifel

(1487-1567):

1 2 3 4 5 6 7

2 4 8 16 32 64 128

En la primera fila de la tabla se tiene numeros naturales y en la segunda, cada numero es 2 elevado

al numero de la primera fila.

Para multiplicar dos numeros de la segunda fila: ejemplo. 8× 16, podemos sumar los dos numeros

correspondientes de la primera fila: 3 + 4 = 7 y luego buscar el numero asociado en la segunda fila:

1John Napier (Neper), baron de Merchiston (Edimburgo, 1550 al 4 de abril de 1617) fue un matematico escoces,

reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. Tambien hizo comun el uso del punto decimal en las operaciones

aritmeticas.

299

128. De esta manera, en lugar de hacer una multiplicacion, se realiza una suma, lo que es mas comodo

cuando en lugar de tener numeros tan manejables tenemos otros con muchos decimales. Parece ser que

Stifel se dio cuenta del juego que podıa dar una tabla de numeros como la anterior, sin embargo no

profundizo mas en ello. Por otro lado, carecıa aun de una herramienta: las fracciones decimales, que

no aparecieron hasta despues del ano 1600 y gracias a las cuales los logaritmos fueron tan utiles.

Definicion 13.1.1. Se llama logaritmo de un numero real positivo, en una base dada, positiva y

distinta de la unidad, al exponente a que debe elevarse la base para obtener dicho numero.

Notacion:

y = logb x ⇒ by = x

donde: x > 0; b > 0 y b 6= 1

Ejemplo 13.1.1. De acuerdo con la definicion de logaritmo, podemos establecer :

Como 35 = 243 entonces log3 243 = 5

Como 2−3 = 1/8 entonces log2(1/8) = −3

13.2. Propiedades generales:

Si los logaritmos existen en R, entonces se cumple que:

En el campo de los numeros reales no existe el logaritmo para numero negativo.

Si la base b esta entre cero y uno (0 1), los numeros comprendidos entre cero y uno tienen

logaritmos negativos y los logaritmos de numeros mayores que uno seran positivos.

13.3. Propiedades operativas:

Estas propiedades se cumplen para los infinitos sistemas de logaritmos.

1) logb 1 = 0

2) logb b = 1

3) logb an = n logb a

4) logb bn = n

5) logbm an =n

mlogb a

6) logbm bn =n

m

7) logb(xy) = logb x+ logb y

8) logb

�

x

y

�

= logb x− logb y

9) logb a =logx a

logx b

10) logb a loga c = logb c


11) logb a = logbn an 12) logb a = log n√b

n√a

13.3.1. Cologaritmo

Se define como el logaritmo en base b del inverso multiplicativo de un numero x.

cologbx = logb

�

1

x

�

= − logb x, x > 0, b > 0, b 6= 1

Se puede afirmar que si A y B son inversos entonces logbA+ logbB = 0

13.3.2. Antilogaritmo

El antilogaritmo de un numero real positivo, en una base mayor que cero y diferente de uno; se

define como el numero que dio origen al logaritmo

antilogbx = bx, b > 0, b 6= 1

El termino antilogaritmo fue adoptado como parte de la presentacion de las tablas de logaritmos con

significado equivalente a la exponenciacion.

El principio de la tabla de logaritmos, lo que parece haber sido realizado ya por Arquımedes, fue

revivido en el mundo del comercio y el comienzo de la revolucion industrial en el siglo XVII por Euler.

Propiedades:

antilogb logb a = a

logb antilogba = a

cologbantilogba = −a

13.3.3. Logaritmo natural

Se denomina sistema de logaritmos naturales, al sistema que tiene como base el numero trascendente

e definido asi: e = lımn→∞

�

1 +1

n

�n

= 2,718281

lnx = loge x, x > 0

La primera mencion del logaritmo natural fue dada por Nikolaus Mercator en su trabajo Loga-

rithmotechnia publicado en 1668, a pesar de que el profesor de matematicas John Speidell ya lo habıa

hecho en 1619 recopilando una tabla sobre valores del logaritmo natural. Fue llamado formalmente

como logaritmo hiperbolico, puesto que sus valores correspondıan con los del area hallada bajo la

hiperbola.

13.4. Inecuaciones logarıtmicas

Si b > 1 entonces:

• logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

• logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

• logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

• logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

Si 0 logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

• logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

• logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

• logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0


CAP 12: Logaritmos 13.1.

1. Calcular el valor de:E = log64 log4/9 log

√8 log

√3 3

a) 1/5 b) −1/6 c) 1/6d) 6 e) 5

2. Calcular el valor de:E = antilog125antilog3colog25antilog5 log7 49a) 6 b) 4 c) 7d) 8 e) 5

3. Resolver: log3(x + 1)2 log7 21 = 4 +

colog71

(x2 + 2x+ 1)a) 3 b) 5 c) 8d) 3/2 e) 9

4. Resolver: (log x)

colog antilog x

log log x = 0,01a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

5. Calcular el valor de “x” en x2 log x = 10xa) 2 b) 4 c) 5d) 10 e) 6

6. Calcular el valor de “x” en:3√xlogx(x

2+2)= 2 log3

√27

a) 4 b) 5 c) 3d) 8 e) 12

7. Calcular “x” en:h

4log8√3i9log27 2+1

− 27x = 0

a) 4√3 b) 3

√2 c) 3

√5

d) 1 e) 3√4

8. Calcular “x” en:2�

7loga x�

+ 5�

xloga 7�

= 343

a) a b) a− 1 c) a2

d) 2a e) a+ 1


logx

h

logx

�

logx xxxx�i

= log2 log3 log9 981

a) 2 b) 4 c) 3d) 1 e) 5

10. Calcular “x” al resolver:9logx(x

2−10x+25) = 132 logx√x−1

a) 3 b) 8 c) 5d) 4 e) 7

11. Resolver el sistema:

log√xnym = m 10log n

log xlog x

log ylog y=

�

m

n

�2

a) x = m ; y = nb) x = 10m ; y = 10n

c) x = 10m ; y = 10nd) x = m10 ; y = n10

e) x =√m ; y =

√n

12. Sabiendo que log3 a5b2 = k ; log27

a2

b= k.

Hallar: “log9 ab”a) k b) k/2 c) −kd) k/3 e) −k/3

13. Al reducir T =1 + log2 3

1− log2 3+

1 + log3 2

1− log3 2Se obtiene:a) 2 b) 1 c) 0d) 1/2 e) −3

14. Calcular el valor de: E = loga loga x ,si (a loga x)

loga x = aaa(a+1)

a) a b) 2 c) a2

d) 3a e) 3

15. Que valor de “x” cumple:logx 2 = log 2 + log2 2 + log3 2 + . . .a) 2 b) 7 c) 3d) 5 e) 9

16. Si ak =k + 1

k; ademas b =

7√104. Calcular:

E = logb a1 + logb a2 + . . . + logb a99a) 3 b) 3.5 c) 2d) 4 e) 2.5

17. Calcular x2 + 1 , si x verifica:(logx 9)

2 − 4(logx 9) + 4 = 0a) −3 b) 2 c) ±3d) 4 e) 10

18. Al resolver

1

log2 N+

1

log3 N+

1

log4 N+ . . .+

1

log1999 N

donde: N = 1999!, se obtiene:a) 1997 b) 0 c) 1d) 4 e) 1998

19. Calcular el logaritmo de am n√a en base

an m√a; con m,n > 0; a > 0 y a 6= 1

a) m/n b) m c) nd) 1 e) n/m

20. Resolver: logx(x+ 2) + logx+2 x = 2, 5

a) 1 b) 16 c) 1/2d) 2 e) 4

21. Si loga bc = xn, logb ac = yn, logc ab = zn.Calcular:

1

nnÈ

(xn + 1)−1 + (yn + 1)−1 + (zn + 1)−1

a) 1 b) n−1 c) n2

d) n−2 e) nn

22. Resolver: (x − 1)log 2+log 5 + (x +2)log 125+log 8 = 40 + x3

a) 2 b) 3 c) 2.5d) 3.5 e) 1.5

23. Calcular: E =

�

antilog

�

− ln 2

ln 10

��−1

a) 1/5 b) 1 c) 2d) 1/2 e) 5

24. Calcular el valor de “a” en: loga15

a− ln e =

log(e+5)3È

(e+ 5)−2 + coln 3√e

a) 15 b) e c) 10d) 12 e) e2


2 log x+ log(x− 4)2 = blogb(logm2)

siendo “m” el lımite al cual tiende la sumaS = 3 + 1,2 + 0,48 + . . .a) 4 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

26. Resolver:2 log 100x + log 30 + 2− log 3000 = 6− 4xa) 1/2 b) 3/4 c) 1/6d) 2/3 e) 3/2

27. Resolver el sistema

¨

y = 3e− lnx

x+ y = 4. Dar el

valor de x3 + y3

a) 25 b) 81 c) 16d) 24 e) 28

28. Si x = logb antilogbcologbantilogb

�

−1

b

�

.

Hallar el valor de:�

logb xb − cologxb

x�2

+ colog1/x�

bx2+b2

�

a) 1 b) 0 c) 2d) −1 e) b

29. Al simplificar:E = loga loga a

a + loga loga2 aa−1 +

loga loga3 aa−2 + . . . + loga logaa a

a) 0 b) 1 c) 2d) a e) aa

30. El valor de x es:logaa log

aa x− loga log

aaa x = a2 − a+ 1

a) aa b) aa√aa c) a

√a

d) aa√a e) a2

31. Resolver el sistema: xa = yb

logc

�

x

y

�

=logc x

logc yy dar el valor de y.

a) cb b) cb/(b−a) c) cb/a

d) cb−a e) ca/b

32. Calcular: E =log(c+b) a+ log(c−b) a

log(c+b) a · log(c−b) asi a2 + b2 = c2

a) −1 b) 3 c) 1d) −3 e) 2

33. Resolver: log2 x+logx 3 = log2 6 y dar comorespuesta el producto de las soluciones.a) 1 b) 2 c) 6d) 5 e) 3

34. Resolver la inecuacion:log1/2

�

x2 − 5x+ 7�

< 0

a) x < 2 ∪ x > 3 b) x > 3

c) x > 1/2 d) 〈2, 3〉e) x < 2

35. Resolver: log1/2(2x− 3) > −2

a) [2/3, 7/2〉 b) 〈2/3, 2/7]c) 〈3/2, 7/2] d) 〈3/2, 7/2〉e) [3/2,7/2]

36. log4(x− 3) ≤ log4

�

x

2+ 2

�

a) [1, 2] b) 〈3, 10] c) 〈1, 2]d) [3, 10〉 e) 〈1, 2〉



1. El equivalente de:

log2(tan 1o)3. log3(tan 2

o)4. log4(tan 3o)5 . . .

| {z }

89 factores

a) 1 b) 0 c) 1/2d) 89 e) 2

2. Calcular W = loglog6 3 log9 36

a) 3 b) 6 c) 9d) −36 e) −1

3. Reducir A = log8 16log4 3

(log2 3)−1

a) 1/3 b) 4/3 c) 2/3d) 5/3 e) 1

4. Si loga b = 2 y logb c = 3, calcularloga3(b

2c4)a) 28/3 b) 26/3 c) 23/3d) 31/3 e) 1

5. Calcular x en: 4 log7(x/2) + 3 log7(x/3) =5 log7 x− log7 27a) 3 b) 5 c) 9

d) 4 e) 0

6. Calcular x en:log(x+1)N = 0,146135 . . .log(x−1)N = 0,292270 . . .

a) 9 b) 3 c) 15d) 8 e) 12

7. Hallar la menor raız de: log xlog x−logx4 = 5a) 0.01 b) 1 c) 10d) 102 e) 0.1

8. Resolver: x+ log(1 + 2x) = x log 5 + log 72.a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Calcular: E =√5loga x + 6xloga 5

Si se sustituye “x” por 7log5 a

a) 7 b) 3 c) 4d) 6 e) 5

10. Si Ck = 1 + k−1, calcular:S = logC1 + logC2 + logC3 + . . . logC9999

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Calcule x2 enlog7(log7

5√7)−1

colog7(antilog7x)=

colog7x√x

a) 5 b) 25 c) 49d) 16 e) 4

12. Si log 3 = a; log 2 = b. Hallar el valor de:log(5!).a) 3a+ b+1 b) a− b+ 2 c) 3a−2b+1d) 2b−a+1 e) a+2b+1

13. Reducir:�

mlog2 m. logm 0,5È

0,5log2 m�logm 2

a) m b) 1/m c) m2

d) 1 e) mlogm

14. Reduzca: balog logb a

log a

a) a b) b c) abd) a2 e) b2

15. Resuelva: log5(xlog5 x) = 4, e indique la ma-

yor solucion.a) 16 b) 20 c) 28d) 25 e) 30

16. Hallar “x” en: 11(3loga x)+13(xloga 3) = 216a) 24 b) a2 c) ad) 3 e) a/3

17. Siendo {a; b; c;x; y} ⊂ R+ − {1}. Reducir:

xlogabc y

Ì

�

logy x√x

logx y√y

�ylogabc x

a) x/y b) (abc)xy c) 1

d) xy e) y/x

18. Determinar el valor lımite de:E = 51+log 2+log2 2+log3 2+...

a) 2 b) 5 c) 10d) 1 e) 0.5

19. Si f(log 5√3 x) = antilog(x − 8) + colog3x.Determinar: f(10).a) 8 b) 4 c) 2d) 10 e) 6

20. El valor numerico de

W = antilog

�− ln 2

ln 10

�

es:

a) 100 b) 0.7 c) 0.1d) 0.5 e) 210

21. Resuelva: ln

�

x2 − x+ 1

x2 + x+ 1

�

≥ 0 e indique el

menor valor entero que no es soluciona) 0 b) 1 c) −1d) 2 e) −2

22. Reducir:log4[antilog2[log2[log2[antilog 1

2(log 1

5625)]]]]

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 1

23. Si x = 2log3 a, determine el valor de(3loga x + xloga 3)0,5

a) 5 b) 8 c) 2

d) −2 e) 6

24. Si x1 y x2 son soluciones de la ecuacion25logx 3 = (x2 − 5x + 15)logx 5. Indique

x1x2x1 + x2 + 1a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

25. Resolver: logx(xx)x

x= (x2)x−2

a) 3 b) 4 c) 6d) 5 e) 7

26. Resolver: log√2

�

�

�

�

�

x2 − x− 1

x2 + x− 2

�

�

�

�

�

= 0 y senale la

mayor solucion.a) 0.5 b)

√1,5 c) −0,5

d) −√1,5 e) 1.5

27. Resolver: (log8√x)

√x

colog8 log8√x = 0,5

a) 1/2 b) −1/9 c) 1/3d) −1/3 e) 1/9

28. Indique el valor de “k” si la ecuacion:

2 ln(x+ 3) =log kx

log etiene como C.S = {b}

a) 3 b) 6 c) 12d) 4 e) 5

29. Calcule el valor de: xxxx

9

+ xxx9

+ xx9+ x9,

sabiendo que “x” verifica la ecuacion9 + logx(log9 x) = 0.a) 36 b) 3 3

√3 c) 12

d) 3√3 e) 3

√9

30. Calcular: E = αβ + 5(α− β) + 7 siα = log12 18; β = log24 54

a) 11 b) 9 c) 10d) 8 e) 12

31. Hallar “x” en: 40,5 + logx(log9 x) = 0a) 3

√9 b) 27

√9 c) 9

√9

d) 27√3 e) 9

√3

32. ¿Para que valores del parametro “a” lasraıces de la ecuacion x2 − 4x + log0,5 a = 0son reales?.

a) a ≥ 1

16b) a ≤ 1

16

c) 0 < a <1

16d) a ≥ 16

e) 0 < a ≤ 1

16

33. Luego de determinar el conjunto solucion enla desigualdad logarıtmica: log3(2x− 5) > 2indique, el mınimo valor impar de su solu-cion.a) 3 b) 5 c) 9d) 7 e) 11

34. Hallar el conjunto solucion en:log1/3(log6(x

2 − 3)) > log6 1

a) 〈−3,−√3〉 ∪ 〈

√3, 3〉

b) [−3,−2〉 ∪ 〈2, 3]c) 〈−3,−2〉 ∪ 〈2, 3〉d) 〈−3,−2] ∪ [2, 3〉e) 〈−3, 1〉 ∪ 〈2, 3〉

35. La solucion de la inecuacion logarıtmicalog3(x

2 − 2) ≤ log3 x, es de la forma 〈m,n].

Hallar:�

n

m

�2

.

a) 9 b) 16 c) 1d) 2 e) 4

36. Resolver: log2(2x− 1) > log2(x− 5)a) 〈6,∞〉 b) 〈5,∞〉 c) [7,∞〉d) [6,∞〉 e) [5,∞〉

37. Resolver: 2 log1/3 x ≥ log1/3(7x− 6)

a) R b) 〈0, 7〉 c) 〈−1, 2]d) [−4, 5〉 e) [1, 6]

38. Resolver: log1/2 |2x− 3| > −3

a) Rb) 〈−5,−10〉c) 〈−5/2, 11/2〉 − {3/2}d) 〈−1/2,−11/2〉e) R− {5/2}



1. Calcular M +N si:M = log16 4 y N = log 3√5

√5

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

2. Calcular el logaritmo de4È

7 3√7 en base

3È

7√7

a) 1/2 b) 3 c) 1d) 3/2 e) 2/3

3. Calcular: log43√32 + log

31/2√3

√3√3

+

log27√3

a) 9/2 b) 7/2 c) 5/2d) 11/2 e) 1

4. Reducir: colog2√2+antilog40,5− colog44−

antilog√34

a) −13/2 b) −13 c) −13/3d) −15/3 e) −2/13

5. Calcular: E = 25log16 12log5 4

a) 10 b) 11 c) 13d) 12 e) 15

6. Resolver: 2�

5log7 x�

+ 3�

xlog7 5�

= 125

a) 1/7 b) 49 c) 1/49d) 343 e) 27

7. Resolver: log2(9x−1+7) = 2+log2(3

x−1+1)a) {1; 3} b) {−3; 1} c) {−1; 1}d) {−2; 1} e) {1; 2}

8. Encontrar el mayor valor de “x” en:5log11(x

2−7x+21) = 3log11 25

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

9. Determinar “x” en:

log2x

�

x+1

x

�

= log( 1x)

�

x+1

x

�

a) 1/√2 b) 2

√2 c)

√2

d) 1/2√2 e) 2

10. Calcular “x+ y” en:(

2x =√y

x2 + 3(3 − log2 y) = 0

a) 54 b) 48 c) 66d) 67 e) 59

11. Resolver:10x − 10−x

10x + 10−x=

1

3a) log 4 b) log

√2 c) 2 log 2

d) 2 log 4 e) log2 2

12. Si x = 10√3; calcular “n” en:

(xn)logx 3 = 3log√3 x + 24 log4 x+1

a) 3/5 b) 9/5 c) 2/5d) −5/6 e) 6/5

13. Sea p = logan√n+

1

nloga(1 + loga n).

Reducir: pÈ

loga nn + n

a) a b) a−n c) an

d) a2/n e) n√a

14. Resolver:

�

bb logb x

�b logb x

= bb2−b

a) bb1−b

b) b1−b c) bbb

d) bb e) bb−b

15. Calcular “x” a partir de la igualdad:

4

antilog4

�

log2 32− antilog√32

log2 48 + colog23

�

=x−1√x2

De como respuesta: W =

�

2

x

�x

a) 1 b) 1/4 c) 1/2d) 2 e) 1/8

16. Resolver: (loga x)(loga x)(loga x)

...

= a

a) aaa

b) aaa−1

c) aa

d) a e) 2a

17. Reducir:log7{antilog16[log4 antilog3(log9 2+1)+ 1

4 ]+13}a) 1 b) 9 c) 3

d) 4 e) 2

18. Si logb a+ logc b = logc a. Dar la expresionequivalente a: F = loga b+ logb ca) ba b) a c) 1d) b e) ab


19. Reducir a su mınima expresion:

E =logÈ

log√a

log√log a

+ loglog a 2

a) 1 b) a c) aa

d) 2 e) a−1

20. Resolver: 7(log5 log2 log3(x+1)) log7 5 +11(log13 log2 log5 3) log11 13 = 2a) 729 b) 625 c) 343d) 624 e) 512

21. Si c + b 6= 1 y c − b 6= 1; ademasa2 + b2 = c2. Hallar:

E =2 logc−b a. logc+b a

logc−b a+ logc+b a

a) a2 + b2 b) 1 c) cd) c2 e) a2 − b2

22. El conjunto solucion de−colog(

√x+ 1 + 1)

log 3√x− 40

= 3, es:

a) {48, 35} b) {24} c) {35}d) {37} e) {48}

23. El valor de “a” en la ecuacionlog(x2 + 2ax) − log(8x − 6a − 3) = 0 talque su solucion real sea unica es:a) 7 b) 5 c) 1

d) 11 e) 14

24. Calcular: E =

Ê

22+log7 5 + 5log7 14

5log7 2

a) 3 b) 8 c) 6d) 12 e) 0

25. Hallar la suma del conjunto solucion de la

ecuacion 2logx 9 +36

3logx 4= 13

a) −6 b) 7 c) −5d) 5 e) 6

26. Calcular E = logb(−cologbantilogxb)

si antilogbcologb logb x =1

ba) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

27. Si se cumple que loga loga b− loga loga c = 1,

calcular “x” en: alogx a =logb x

logc xa) a b) 1 c) a2

d) a3 e) a−1

28. Resolver:log(4−12

√x − 1) − 1 = log(

√2√x−2 + 2) −

2 log 2a) 16 b) 96 c) 36d) 86 e) 46

29. Si logy x + logx y = 10/3 y xy = 256

con x, y ∈ (R+ − {1}). Halle T =x+ y

2a) 34 b) 31 c) 28d) 41 e) 39

30. Si x, y, z ∈ R+ −{1} tal que x, y, z estan enprogresion geometrica en ese orden, ademaslog z = 3 log x.

Simplificar W =logx 9− logy 9

logy 9− logz 9

a) 1 b) 5 c) 9d) 3 e) 7

31. Siendo “n” una solucion de la ecuacionf(x) = 2; donde n ∈ Z+ y

f(x) =1 + log2(x− 4)

log2(√x+ 3−

√x− 5)

resuelva para z la ecuacion (nz)nz=

1√2;

z ∈ Ra) 1 b) log6(1/2) c) log6 2d) 0 e) 1 + log6 2

32. Dada la ecuacion ax2 + bx + c = 0 cona, b, c > 0; b 6= 1 de raıces: logb a y logb c.Calcular (b2 − 4ac) log2a/c b

a) b2 b) c2 c) 1d) a− 1 e) a2

33. Si “x” e “y” son valores que satisfacen elsistema: ex = ye; 4x = e(4 + ln2 y),hallar xy.a) 2e3 b) 2e c) e2

d) e5 e) 1

34. Resolver: log2(2x+ 4) > log2(5x+ 3)a) 〈−3/5, 1/3〉 b) [−3/5,+∞〉c) [1/3,+∞〉 d) [−2/3, 1/3〉e) 〈−∞, 1/3]


x = 5log5√3

�

�

�

�

�

�

�

1 1 1log 2 log 20 log 200log2 2 log2 20 log2 200

�

�

�

�

�

�

�

a) 20 b) 5 c)√3

d) 2√3 e) 1



1. De las relaciones que se muestran, la inco-rrecta es:a) (log√x 3)

2 = 4 log2x 3

b) 4 logx logx y = logx logx y4

c) log xlog xlog x

= log3 xd) logx logx x

x = 1

e) antilogbantilogbb = bbb

2. Calcular el logaritmo de 1/32 en base 0.25a) 2/5 b) 5 c) 2d) −5/2 e) 5/2

3. Calcular: 3log4 5log3 4

a) 1 b) 2 c) 5d) 4 e) 3

4. Si logx 3−1 =

√3; log1/3 y =

√27. Calcular:

logy x

a) 1/9 b)√243 c) 1/3

d) 9 e)√27

5. Hallar “x” en: log( 181

) x = −0,25

a) 2 b) 5 c) 4d) 3 e) 6

6. Reducir: log xy + log x2 + log

�

x

y

�

− log x4

a) 1 b) 0 c) log xd) log y e) log xy

7. Calcular “n” en:

log n = 2 +1

2(log 18 + log 8− 2 log 25)

a) 36 b) 60 c) 42d) 54 e) 48


log

�

2 + log2

�

log4(x− 4)− 3

2

��

= 0

a) 12 b) 14 c) 20d) 18 e) 16

9. Resolver la ecuacion:È

1 + logx√27 log3 x− 1 = 0

a)√3 b)

√2 c) 1

d) −1 e) 0

10. Hallar x en:

[log[log(log x)]]

5 log[log(log x)]

log[log[log(log x)]]= 32

a) 10 b) 102 c) 1010

d) 10100 e) 101000

11. Determine el valor de “y” en:(

ex+y = 12

ex−y = 3

a) ln 4 b) ln 2 c) ln 3d) ln 6 e) ln 7

12. Calcular:

loga

s

b

Ê

xa

xb+ log

b

s

c

Ê

xb

xc+ log

c

s

a

Ê

xc

xa

a) 1 b) 2 c) 2/3d) abc e) 0

13. Hallar el valor de la expresion:E = colog5{antilog9[log3 antilog2(log4 3 +1) + 1

2 ]− 11}a) −1 b) 1 c) −2d) 2 e) 3

14. El producto de las raıces de la ecuacion(logx 3 · logx 9)−1 + (logx 9 · logx 27)−1 +(logx 27 · logx 81)−1+(logx 81 · logx 243)−1 =5−1; es:a)

√3 b) 3 c) 9

d) 1 e) 3√3

15. Resolver:log5(4

x+15×2x+27)−2 log5(2x+2−3) = 0

a) log(3/2) b) log5 3 c) log5 2d) log2 3 e) log3 2

16. El valor de n para los cuales los tres numeroslog 2, log(3n−1) y log(3n+3), consideradosen el orden indicado, forman una progresionaritmetica es:a) log2 5 b) log3 5 c) log2 3d) log3 2 e) log 5

17. Se halla el logaritmo del numero 36 en lossistemas de bases: x, x3, x9, x27, . . ., x3

ny

se suman estos logaritmos, despues se hacetender n hasta el infinito y el resultado es3. El valor de x es:a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

18. Hallar el valor de x en:

log(3x− 1)n + log[2(x− 1)]10log n

= n

a) 1 b) 3 c) 2d) 4 e) 5

19. Hallar la suma de raıces en:

(

81x2= (

√9)y

2

log9 x = 2 log9 y

a) 3/4 b) −1/2 c) 1/4d) 1/2 e) 2

20. Sean: y = 3 +

q

1È

1√1 . . .∞;

x = 32 +

q

32È

32√32 . . .∞, hallar el valor

de z = logx y.a) 0 b) 4 c) 3/2d) 1/3 e) 1/2

21. De las expresiones:

I. 00 = 1 ∧ 1∞ = 1

II. ap−q = ap − aq

III.

�

log a

log b= log a− log b

�

∧�

log�

a

b

�

= log(a− b)�

IV. log(r + s) = log r + log s

V. Si log5 3 =1

log3 5⇒ log1/2 4 < 0

Son verdaderas:a) IV y V b) Solo V c) Solo IVd) I y III e) I y IV

22. Al reducir la expresionP = log2 16− log√2 8+ log1/2 8, obtenemos:

a) −4 b) 5 c) 0d) 1 e) −5

23. Resolver:log log 3

√10

cologantilogx= colog x

√x

a) 1/2 b) 1 c) 1/3d) −1/2 e) 3

24. Calcular el valor de x en: x =colog81antilog3 log 4√2 antilog4 log1/2 antilog23

a) 6 b) 4 c) 5d) 8 e) 2

25. Resolver:

log√7x+ 4 + log100(2x+ 3) = 1 + log 1,5

a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

26. Resolver: log3(log2 y) = 1 + log3(log2 x);xy = 81, y dar el valor de: x

√y

a) 2 b) 3 c) 6d) 9 e) 27

27. Halla la suma de raıces de la siguiente ecua-

cion: log5x

�

5

x

�

+ log25 x = 1

a) 30 b) 31 c) 126/25d) 31/5 e) 151/25

28. Hallar el valor de n que satisface la siguiente

ecuacion:1

log2 x+

1

log3 x+

1

log4 x+ · · · +

1

logn x= logx 40320

a) 5 b) 6 c) 8

d) 7 e) 9

29. Resolver:

log5√−x− 16 = log5(

√−x− 4)− log5 3

a) φ b) {−25} c) {−9}d) {−16} e) {−16;−9}

30. Resolver:√x

x= x

√x

a) 1 b) 2 c) 4d) 1 y 4 e) 1 y 2

31. Resolver: 1+2 logx 2·log4(5−x) = [log4 x]−1

a) 2 y 4 b) 1 y 4 c) 1d) 2 e) 4

32. Resolver: [log3(x−1)]−1 = 2+log3(x−1)−1

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

33. Siendo a y b numeros reales positivos y dis-tintos de la unidad, tales que b

√a = b2, cal-

cular el valor de “a” en:

log2b alog3b a

log4ba

= b64

a) 4 b) 8 c) 16d) 12 e) 32



1. Hallar la base del logaritmo de 4, si este es0.4a) 16 b) 32 c) 8d) 4 e) 2

2. Hallar el numero que tiene por logaritmo−0,25 en base 1/81a) 9 b) 81 c) 27d) 1/3 e) 3

3. Hallar el valor de:E = log5 log3/2 log4 log2 256

a) 2 b) 1 c) 0d) 3 e) 4

4. Si: log2 5 = a, log5 75 = b, entonces log2 3 es:a) a(b− 2) b) 1 c) 0d) a+ b e) b− 2

5. Resolver: 102 log x = 5x − 6 Dar como solu-cion al producto de las raıces:a) 3 b) 5 c) 4d) 6 e) 2

6. Resolver: log3

�

5x− 1

3x− 5

�

= 2

a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

7. Resolver: log2 x+ log4 9− log2 6 = 3a) 8 b) 64 c) 4d) 32 e) 16

8. Al resolver: (log2 x)log2√x = 2 se obtiene

como conjunto solucion {x0}. Hallar log16 x0a) 1 b) 2 c) 1/2d) 1/4 e) 1/3

9. Resolver: logx 2 · logx/16 2 = logx/166√2

a) 64 b) 16 c) 4d) 2 e) 1

10. Si: loga loga b − loga loga c = 1. Calcular:E = loga logb a− loga logc aa) 0 b) 1 c) 2d) −1 e) 3

11. Calcular:E = antilog125antilog3colog25antilog5 log7 49a) 25 b) 5 c) 125d) 3 e) 9

12. Resolver:log

√1 + x+3 log

√1− x = log

√1− x2 +2

a) −99 b) 8 c) −2d) 10 e) φ

13. La suma de los elementos del conjunto so-lucion de la ecuacion:(logx 2)(logx/16 2) = logx/64 2

a) 6 b) 20 c) 12d) 18 e) 15

14. Hallar el producto de las tres raıces de:

xlog22 x−log2 x2−4 =

x

64a) 4 b) 4

√2 c) 16

d) 8 e) 2

15. Reducir: M =

É

log59q

27log34√

32log85√5

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/2d) 1/6 e) 3/2

16. Siendo {a, b} ∈ R+ − {1}, resolver:[b logb x]

logab x = ab−a

a) ab b) b√b

a√a c) ba

d) a√b

b√a

e) a√a

b√b

17. Si: log2b a + 1 = x logb a; con a, b > 1, cal-

cular: W =x3 − 3x

log3b a+ log3a ba) 0 b) 4 c) 2d) 3 e) 1

18. Resolver: x2 + y2 = 425log x+ log y = 2a) x = 10 ; y = 10b) x = 15 ; y = 5c) x = 20 ; y = 5d) x = −5 ; y = −20e) x = 5 ; y = 15

19. Resolver el sistema: xa = yb = zc

log x+ log y + log z =�

1

a+

1

b+

1

c

�

log a

a) x = a√a ; y = b

√a ; z = c

√a

b) x = a ; y = a ; z = a

c) x = a√a ; y = b

√b ; z = c

√c

d) x = 1/a ; y = 1/b ; z = 1/c

e) x =√a ; y =

√b ; z =

√c

20. Si logc a+ logc b = 1; con a, b, c > 0 y c 6= 1,definimos: xn = logc ac

n−1 + logc bcn−1; n ∈

N. Determinar el valor de:

S =x1 + x2 + x3 + . . .+ xn

n2

a) 15 b) 0 c) 7d) 1 e) 20

21. Calcular:

W =1

x

�

log2(92x+138x)− log2(69

x+46x)

�

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5

22. Simplificar:

G =2ln 3 + 3ln 4 + 4ln 5 + · · · 2009 terminos

3ln 2 + 4ln 3 + 5ln 4 + · · · 2009 terminos

a) 2010! b) 0 c) 2010d) 2 e) 1

23. Si: x =a− b

a+ b, y =

b− c

b+ c, z =

c− a

c+ a, hallar

log(1+x)(1+y)(1+z)(1− x)(1− y)(1− z)

a) a b) abc c) 1

d) 0 e) b

24. Si logx2 y3 log8√x = k log6

√y, x, y > 0,

calcule el valor de 22k−1a) 3 b) 2 c) 1d) 4 e) 5

25. Calcular el logaritmo en base “a” de:

x = aa

É

aaq

aaÈ

a . . . a√a

| {z }

(n−1) radicales

a)an − 1

an + 1b)

1

an

�

an − 1

a− 1

�

c)1

n

�

an − 1

an + 1

�

d)1

an−1

�

an − 1

a− 1

�

e)1

n

�

an + 1

an − 1

�

26. Resolver: log2

�

x+ 1

x− 1

�

≤ log2

�

x− 1

x+ 1

�

e

indique el maximo valor entero del conjuntosolucion.a) −1 b) −2 c) 0d) 2 e) 3

27. Al resolver el sistema:8

>

<

>

:

−2cologx+ 3 log(yz) = 11

log(xy) + 2cologz = −antilog√32

cology + 2 log(xz) = 6Indique el valor de logyz x

a) 1/5 b) 1/9 c) 1/4d) 1/2 e) 1/3

28. Sean A = 230325559 ; B = 225330595 ;C = 220324584. Hallar el numero de cifras

enteras que se obtienen al efectuarAB

C, si

log 2 = 0,301030; log 3 = 0,477121a) 72 b) 73 c) 75d) 74 e) 76

29. Si: log log log x = log(log√24√3 · log9 432 +

5log 9 · 4log 3). Calcular W = logÈ

log 5√log x

a) 0.3495 b) 0.1505 c) 0.3010d) 0.6988 e) 10000

30. Resolver: log3/4(2x− 3) > −2

a) 〈1/3 ; 33/16〉 b) 〈43/18 ; +∞〉c) 〈1/2 ; 23/18〉 d) 〈3/2 ; 43/18〉e) 〈3/2 ; +∞〉

31. Resolver: logx

�

x2 − x− 6

x+ 4

�

≤ 1; x > 1

a) [5 ; +∞〉 b) 〈3 ; +∞〉c) 〈−1 ; 2] d) 〈−1 ; 4]e) 〈0 ; 1〉

32. Si m > 1 al resolver la inecuacion: logm x+logm(x+1) < logm(2x+6) se obtiene comoconjunto solucion a uno de los intervalos dela forma: 〈a ; b〉 entonces: (b− a) es:a) −1 b) −3 c) 4d) 2 e) 3

33. Si a > 0 y b > 0, calcular el valor de x en:

a(logb log x)(loga b) + b(loga log x)(logb a)

a) 10 b) 100 c)√10

d) ab e) a+ b

34. Si log(a2+b) 2(a4 + b2 − 4) = 2, con a2 > b,

calcular el valor de W = 3È

(a2 − b)log2 25

a) 5 b) −25 c) −5d) 1/5 e) 2



1. Hallar: E =log2 4 + log1/2 4

log3 243 + log1/3 81

a) 4 b) 0 c) 4/9d) −2/3 e) 2

2. Si logb a = 4, hallar el valor de:(a logc a

2 + b4 logc b2) logb c

4

a) 4b4 b) 64b4 c) 8b4

d) 10b4 e) 40b4

3. Si x = 10√3, calcular el valor de:

W = logx(3log√3 x + 4log2 x + 6log

√6 x)

a) 1 b) 2 c) 12d) 6 e) 25

4. Si el logaritmo de 3 5√9 en base 15

√27 es

igual a

É

47 + 4

q

14 + 5È

29 + 3√x. Calcule:

(2x+ 10)logx 3

a) 4 b) 9 c) 3d) 27 e) 2

5. Calcular: log43√32+log √

3√3√3√3+log27

√3

a) 7/2 b) 9/2 c) 11/2d) 5/2 e) 1

6. Hallar el valor de: W =log3 log4

9/2√2

log3 log43/2√2

a) 21/3 b) 2 c) 2−4/9

d) 23 e) 3

7. Calcular:

loga

Ê

b

r

xa

xb+ log

b

s

c

Ê

xb

xc+ log

c

Ê

a

r

xc

xa

a) abc b) 2/3 c) 1d) 2 e) 0

8. Si logx

�

1

2

�

=√2 y log1/2 y =

√8, calcu-

le: logy x

a)√32 b) 4 c) 1/4

d) 1/2 e)√8

9. Reducir: loga

h

logaa−1È

a −a√ai

, siendo a > 1

a) −1 b) 2 c) 0d) −2 e) 1

10. Si x1 y x2 son soluciones de la ecuacion25logx 3 = (x2 − 5x + 15)logx 5, indique el

valor de W =x1x2

x1 + x2 + 1a) 5 b) 4 c) 3d) 1 e) 2

11. Si c = amn+1

m y d = b1+mn

n , donde a, b ∈R+ − {1}, ademas m,n ∈ N − {1}, calcule:logc

m√a

mn√amn2 + logd

n√b bm

a) 1/4 b) 2 c) 1d) −2 e) 1/2

12. Para que valores de a la ecuacion: log(x2 +2ax)− log(8x−6a−3) = 0 presenta solucionunica.a) {1} b) {−1,−13} c) {−13}d) {−1} e) {1, 13}

13. Resolver:log3(x+1)2 log7 21 = colog1/7(x

2+2x+1)+4

a) 1 b) 3 c) 8d) 21 e) 27

14. Resolver:

logx

�

12

x

�

− ln e = log(e+5)3È

(e+ 5)−2 +

coln 3√e

a) 12 b) 8 c) 17d) 19 e) 21

15. Hallar x en:antilogxantilog 4√2antilog23 = 81

a) 81 b) 27 c) 9

d) 3 e)√3

16. Al resolver la ecuacion: log2(x2 + 7) −

log4(3x+1) = log8(x2 − 9)3 − log4(x− 1) se

obtiene un polinomio de grado:a) 1 b) 5 c) 2d) 3 e) 4

17. Sabiendo que a y b son las raıces positivasde la ecuacion x2 − 4x + m2 = 0, hallar:W = logm ab + logm aa + logm bb + logm ba

a) −8 b) −4 c) 4d) 6 e) 8

18. Resolver: logb(x2 − 2

√ax+ 2a)loga b = 1

a) a b) a2 c)√a

d) 1/a e) 2a

19. Calcular el valor de E = logx 2È

log2 x, si:

logx

�

log3 2

log3(log√2 x)

�log2 x

+ 1 = 0

a) 4 b) 1/2 c) 2d) 1/4 e) 8

20. Resolver: logx

�

2− x

x− 5

�

> 1

a) 〈0; 3〉 b) 〈2; 1〉 c) R

d) 〈2 +√6; 5〉 e) 〈2; 2 +

√6〉

21. Resolver:

log3,43√x2 − x+ 1 ≤ log3,4

3√x+ 9

a) 〈−∞;−2] b) [−2; 4] c) [−4; 2]d) 〈−∞;−2〉 e) [4;∞〉

22. Resolver:

log0,2(2|x− 3|+ 9) > log 0, 2(|x− 3|+ 12)

a) [0; 4] b) [−6; 6] c) [−6; 0]

d) [0; 6] e) 〈0; 6〉23. Resolver el sistema:

x2 + 2y2 = 57log3(x+ y) + log1/3(y − 1) = 1

a) x = 2, y = 1 b) x = 4, y = 5c) x = 5, y = 4 d) x = −2, y = 1e) x = −1, y = 3

24. Hallar n en:

log0,b3

h

(25√81)

4√125i

4√3125= n

a) −4 b) −3 c) −2d) 2 e) 4

25. Hallar aa en: loga√0, 5 = −a1−a

a) 1/4 b) 4 c) 1/2d) 2 e) 1

26. Hallar m en: loglog7(m−2) 32 = 5

a) 35 b) 51 c) 49d) 50 e) 16

27. Resolver: logx 4 = xx2+2

a) 1/2 b) 4√2 c) 4

d) 2 e)√2

28. Si: logx 0, b1 = logy 0, 25, ademas xy = 6,calcular: logx(y + 1)a) 1/2 b) 1/9 c) 1d) 2 e) 6

29. Resolver: log2 x+ logx 2 = 2[2 − logx 2]a) {2; 8} b) {2; 4} c) {4; 8}d) {1/2; 2} e) {1/2; 4}

30. Resolver: 2log(x−1)(x−1)log 5+125log(x+2)(x+2)log 8 = x3 + 40a) 5/2 b) 2/3 c) 2d) 3/2 e) 1/2


(logx 3)(logx/3 3) + logx/81 3 = 0

a) 19/9 b) 82/9 c) 28/9d) 27/4 e) 37/9


log3x

�

3

x

�

+ log23 x = 1

a) 19/9 b) 82/9 c) 28/9d) 27/4 e) 37/9

33. Reducir:

Ê

log3 2× log3 2 + log3 7× log3 7

log25 14− 2 log5 2× log5 7a) log 6 b) log 15 c) log3 5d) 1 e) log5 3

34. Dada la ecuacion ax2 + bx + c = 0, cona, b, c > 0, b 6= 1, cuyas raıces son logb a ylogb c, calcular: (b

2 − 4ac) log2a/c b

a) a2 b) c2 c) b2

d) a− 1 e) 1

35. Reducir:

1

loga b2c2 + 2

+1

logb c2a2 + 2

+1

logc a2b2 + 2

a) 3 b) 2 c) 1d) 1/2 e) 1/3


>

<

>

:

(log12 x)

�

1

logx 2+

1

logy 2

�

= log2 x

log2 x log3(x+ y) = 3 log3 x

calcular W = loga−b a+ b

a) 2/3 b) 3/2 c) 1d) 2 e) 5/2

Capıtulo 14:

FORMULARIO

ALGEBRA

TEORIA DE EXPONENTES

Expresiones algebraicas

E

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

EA

8

>

>

<

>

>

:

EAR

8

<

:

EARE −→ Z+0

EARF −→ Z−

EAI −→ Q

ET

Teoremas de exponentes:

1) aman = am+n

2)am

an= am−n , a 6= 0

3) (a · b)n = anbn

4)

�

a

b

�n

=an

bn, b 6= 0

5)

�

am�n

= amn =

�

an�m

6)

��

am�n�p

= amnp

7) a−1 =1

a, a 6= 0

8) a−n =1

an, a 6= 0

9)

�

a

b

�−n

=

�

b

a

�n

, a 6= 0, b 6= 0

Teoremas de radicales:

Sean a, b, m, n, p ∈ R, m 6= 0, n 6= 0, p 6= 0

10) n√ab = n

√a n√b

11) n

É

a

b=

n√a

n√b, b 6= 0

12) m

È

n√a = mn

√a

13) p

q

m

È

n√a = pmn

√a

14) n√a = a1/n

15) n√am = am/n = ( n

√a)m

16) n√am

p= amp/n

17) am. n√ap = n

√amn.ap

Casos especiales:

18)m

q

xr n

È

ysp√zt = mnp

p

xrnp.ysp.zt

19)n

É

xn

q

xn

È

x . . . n√x

| {z }

m radicales

=

nm

Ê

x

nm − 1

n− 1

20)

É

x3

q

x2 4È

x3 . . .n√xn−1 =

n!√xn!−1

Ecuaciones exponenciales

1) Si ax = ay ⇒ x = y ⇔ a > 0 y a 6= 1

2) Si ax = bx ⇒ a = b ⇔ a > 0 y b > 0

3) Si xx = aa ⇒ x = a

4) Si x√x = a

√a ⇒ x = a

5) Si ax = by ⇒ x = y = 0, para todo a, b ∈ R.

315


Formas indeterminadas:

1)m

q

xn m

È

xn m√xn . . .∞ = m−1

√xn

2)m

q

xn ÷ m

È

xn ÷ m√xn ÷ . . .∞ = m+1

√xn

3)q

n(n+ 1) +È

n(n+ 1) + . . .∞ = n+ 1

4)q

n(n+ 1)−È

n(n+ 1)− . . .∞ = n

5) n√n

n√n

n√n...∞

= n

6) xxx...∞

= n ⇒ x = n√n

GRADOS

Sean los polinomios P (x) de grado m, y Q(x) de

grado n (con m > n), entonces:

Operacion Grado

P (x)±Q(x) m

P (x).Q(x) m+ n

P (x)

Q(x)m− n

[P (x)]k m.k

k

È

P (x)m

k, k 6= 0

Si P (x) es completo, entonces NT = GA+ 1

Si P (x, y) es completo, homogeneo y ordenado

entonces NT = GA+ 1

P

coef. de P (x) = P (1)

T.I. de P (x) = P (0)

PRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de un binomio

1) (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

2) (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

3) (a− b)2b = (b− a)2b

Suma por su diferencia

4) (a+ b)(a− b) = a2 − b2

5) (an + bn)(an − bn) = a2n − b2n

Cubo de un binomio

6) (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

7) (a+ b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+ b)

8) (a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

9) (a− b)3 = a3 − b3 − 3ab(a− b)

Binomio por trinomio

10) (a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3

11) (a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3

Suma y diferencia de potencias n-esimas

12) (a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−· · ·+bn−1) = an+bn

13) (a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+· · ·+bn−1) = an−bn

Cuadrado de un trinomio

14) (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

15) (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+ ac+ bc)

16) (a+ b− c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab− 2ac− 2bc

17) (a− b+ c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab+ 2ac− 2bc

18) (a− b− c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab− 2ac+ 2bc

19) (a− b− c)2 = (b + c− a)2

20) (ab+ac+ bc)2 = a2b2+a2c2+ b2c2+2abc(a+ b+ c)

Cubo de un trinomio

21) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a +

b2c+ c2a+ c2b) + 6abc

22) (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b)(a+ c)(b + c)

23) (a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) − 2(a3 +

b3 + c3) + 6abc

24) (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(ab+ ac+

bc)− 3abc

Identidades de Stevin: Producto de binomios

con un termino comun

25) (x+ a)(x + b) = x2 + (a+ b)x+ ab


26) (x− a)(x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab

27) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a+ b + c)x2 + (ab +

ac+ bc)x+ abc

28) (x − a)(x − b)(x − c) = x3 − (a+ b + c)x2 + (ab +

ac+ bc)x− abc

Identidades de Legendre

29) (a+ b)2 + (a− b)2 = 2(a2 + b2)

30) (a+ b)2 − (a− b)2 = 4ab

31) (a+ b)4 − (a− b)4 = 8ab(a2 + b2)

Identidades de Lagrange

32) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax+ by)2 + (ay − bx)2

33) (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 +

(ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2

Identidades de Argand

34) (x2 + x+ 1)(x2 − x+ 1) = x4 + x2 + 1

35) (x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

36) (x2m + xmyn + y2n)(x2m − xmyn + y2n) = x4m +

x2my2n + y4n

Identidades auxiliares

37) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab−bc− ac) (Equivalencia de Gauss)

38) a3 + b3 + c3 − 3abc =1

2(a + b +

c)�

(a− b)2 + (a− c)2 + (b − c)2�

39) (a + b + c)3 + 2(a3 + b3 + c3) = 3(a + b + c)(a2 +

b2 + c2) + 6abc

40) (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(a2 + b2 +

c2)− 3abc

41) (a− b)3+(b− c)3+(c− a)3 = 3(a− b)(b− c)(c− a)

42) (a+ b)(a+ c)(b+ c)+abc = (a+ b+ c)(ab+ bc+ ca)

43) a3 =

�

a(a+ 1)

2

�2

−�

a(a− 1)

2

�2

Igualdades condicionales

1) Si a+ b+ c = 0 entonces:

a) a2 + b2 + c2 = −2(ab+ ac+ bc)

b) a3 + b3 + c3 = 3abc

c) a4 + b4 + c4 = 2�

a2b2 + a2c2 + b2c2�

d) a5 + b5 + c5 = −5abc(ab+ ac+ bc)

e) a6 + b6 + c6 = 3(abc)2 − 2(ab+ ac+ bc)3

f) a7 + b7 + c7 = 7abc(ab+ ac+ bc)2

g)�

a2 + b2 + c2�2

= 2�

a4 + b4 + c4�

h) (ab+ ac+ bc)2 = a2b2 + a2c2 + b2c2

i)

�

a2 + b2 + c2

2

��

a3 + b3 + c3

3

�

=a5 + b5 + c5

5

j)

�

a2 + b2 + c2

2

��

a5 + b5 + c5

5

�

=a7 + b7 + c7

7

2) Si a2 + b2 + c2 = ab+ ac+ bc ⇒ a = b = c

3) Si a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a = b = c

4) Si (a+b+c)3 = a3+b3+c3 ⇒ (a+b+c)2n+1 =

a2n+1 + b2n+1 + c2n+1

COCIENTES NOTABLES

CASOS Condicion (r = 0)

xn − yn

x− yC.N. ∀n ∈ N

xn − yn

x+ yC.N. ∀n par

xn + yn

x+ yC.N. ∀n impar

xn + yn

x− yNo es C.N.

Dado el cociente notable:

xm ± yn

xp ± yq

1)m

p=

n

q= (NT)

2) Tk = (signo)(xp)NT−k(yq)k−1

3) Tk←

= (signo)(yq)NT−k(xp)k−1

4) Si NT es par, existe dos terminos centrales:

k1 =NT

2k2 =

NT

2+ 1

5) Si NT es impar, existe un termino central:

k =NT+ 1

2

MCD y MCM

A×B = MCD(A,B) ×MCM(A,B)

Siax+ by + c

px+ qy + r, es constante o independiente de

x e y, entoncesa

p=

b

q=

c

r

Si x → 1 entoncesxn − 1

xm − 1=

n

m

POTENCIACION

Coeficiente binomial

Si n ∈ R, r ∈ Z+0 , entonces:

�

n

r

�

=n(n− 1)(n− 2) . . . (n− r + 1)

r!

Si n, r ∈ Z+0 y r ≤ n, entonces:

�

n

r

�

= Cnr

Numero combinatorio

1) Cnr =

n!

r!(n − r)!

2) Cn1 = n

3) Cnn = 1

4) Cn0 = 1

5) Cnr = Cn

n−r

6) Cnr + Cn

r+1 = Cn+1r+1

7) Cnr =

n

rCn−1

r−1

8) Cnr =

n

n− rCn−1

r

9) Cnr =

n− r + 1

rCn

r−1

10) Cnp = Cn

q ⇔

8

<

:

p = q

p+ q = n

11) Cn0 + Cn

1 + Cn2 + · · ·+ Cn

n = 2n

Binomio de Newton

Dado el binomio de Newton:

(axp + byq)n

1) NT = n+ 1

2) Tk+1 = Cnk (ax

p)n−k(byq)k

3) Tk+1←

= Cnk (by

q)n−k(axp)k

4) Si NT es par, existe dos terminos centrales:

k1 = NT2 k2 = NT

2 + 1

5) Si NT es impar, existe un termino central:

k = NT+12

6) Suma de coeficientes:P

coef = (a+ b)n

7) Suma de exponentes:P

expo =(p+ q)n(n+ 1)

2

8) Si u y v son los lugares de dos terminos equidistan-

tes, entonces: u+ v = n+ 2

9) NTRF = NTR−NTRE

10) NTI = NT−NTR

Triangulo de Pascal

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

Dada la expresion:

(a1 + a2 + · · ·+ ar)n

NT = Cn+r−1n =

(n+ r − 1)!

n!(r − 1)!


Analisis combinatorio

1) Permutacion: Pn = n!

2) Permutacion circular: PCn = (n− 1)!

3) Permutacion con repeticion:

PRα1,α2,...,αmn =

n!

α1!α2! . . . αm!

4) Variaciones: V nr =

n!

(n− r)!

5) Variaciones con repeticion de n elementos tomados

de m en m: V Rmn = nm

6) Combinaciones: Cnr =

n!

r!(n− r)!

7) V nn = Pn

8) V nr = r!Cn

r

RADICACION

Radicales dobles

1)È

A±√B =

É

A+ C

2±É

A− C

2donde: C =

√A2 −B

2)È

A±√B =

È

a+ b± 2√ab =

√a±

√b, a > b

3)È

a+ b+ c+ 2√ab+ 2

√ac+ 2

√bc =

√a+

√b+

√c

Racionalizacion

Para hallar el denominador racionalizado DR

Fraccion DRN

2n√a± 2n

√b

a− b

N2n+1

√a± 2n+1

√b

a± b

N

3√a2 − 3

√ab+ 3

√b2 a+ b

N

3√a2+ 3

√ab+ 3

√b2 a− b

MATRICES Y DETERMINANTES

Matrices

AB 6= BA

(A±B)T = AT ±BT

(λA)T = λAT

((A)T )T = A

(AB)T = BTAT

Sean las matrices A,B ∈ Mn×n, se cumple:

Traz(A±B) = Traz(A)± Traz(B)

Traz(λA) = λTraz(A)

Traz(AB) = Traz(BA)

Traz(A) = Traz(AT )

A es simetrica si y solo si AT = A

A es antisimetrica si y solo si AT = −A

A es involutiva si y solo si A2 = I

A es nilpotente si y solo si Ak = 0

A es idempotente si y solo si A2 = A

Determinantes

Sean las matrices A,B ∈ Mn×n, se cumple:

|AB| = |A||B|

|AT | = |A|

|An| = |A|n

|kA| = kn|A|

Adj(A) = [cofact(A)]T

A−1 =Adj(A)

|A| ; |A| 6= 0

(AB)−1 = B−1A−1

|Adj(A)| = |A|n−1

ECUACIONES

Ecuaciones

8

>

>

<

>

>

:

E. Compatibles

8

<

:

E. C. Determinadas

E. C. Indeterminadas

E. Incompatibles

Dada la ecuacion cuadratica:

ax2 + bx+ c = 0

1) x =−b±

√b2 − 4ac

2a

2) ∆ = b2 − 4ac

3) Suma de raıces: x1 + x2 = − b

a

4) Producto de raıces: x1x2 =c

a

5) Diferencia de raıces: x1 − x2 =

√∆

a

6) Suma de inversas de raıces:1

x1+

1

x2= −b

c

7) Raıces simetricas: x1 + x2 = 0 o b = 0

8) Raıces recıprocas: x1x2 = 1 o a = c

9) Raıces iguales: x1 − x2 = 0 o ∆ = 0

10) Si ∆ > 0, las raıces son reales y diferentes.

11) Si ∆ = 0, las raıces son reales e iguales.

12) Si ∆ < 0, las raıces son complejas y conjugadas.

INECUACIONES

Desigualdades

1) Para a 0, entonces a2 < b2 < c2

Si c < 0, entonces c2 < b2 < a2

Si a < 0, ∧ c > 0, entonces

0 ≤ b2 < (max{|a|, |c|})2

Inecuaciones exponenciales

1) Si b > 1 entonces:

bP (x) > bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)

bP (x) ≥ bQ(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)

bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)

bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x)

2) Si 0 bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)

bP (x) ≥ bQ(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x)

bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)

bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)

Inecuaciones irracionales

0 ≤ x ≤ y ⇔ 0 ≤ √x ≤ √

y

0 < x < y ⇔ 0 <√x <

√y

2n√a > 0 ⇔ a ≥ 0

2n√a = 0 ⇔ a = 0

2n√a ≤ 2n

√b ⇔ 0 ≤ a ≤ b

2n+1√a ≥ 0 ⇔ a ≥ 0

2n+1√a < 0 ⇔ a < 0

2n+1√a ≤ 2n+1

√b ⇔ a ≤ b

2n√a+ 2n

√b ≥ 0 ⇔ a ≥ 0 ∧ b ≥ 0

2n√a+ 2n

√b ≤ 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0

√a ≤ b ⇔ a ≥ 0 ∧ (b > 0 ∧ a ≤ b2)

√a 0 ∧ a < b2)

√a ≥ b ⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a ≥ b2)]

√a > b ⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a > b2)]

Inecuaciones con valor absoluto

|x| =

8

<

:

x , x ≥ 0

−x , x < 0

|x| ≥ 0 ∀x ∈ R

|x| = 0 ⇔ x = 0

|x|2 = x2

|x| =√x2

|x| = | − x|

|xy| = |x||y|�

�

�

�

x

y

�

�

�

�

=|x||y| y 6= 0

|a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)

|a| = |b| ⇔ a2 = b2

|a+ b| ≤ |a|+ |b| (Desigualdad triangular)

|a| b ⇔ a > b ∨ a < −b

|a| ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ −b

LOGARITMOS

1) logb 1 = 0

2) logb b = 1

3) logb an = n logb a

4) logb bn = n

5) logbm an =n

mlogb a

6) logbm bn =n

m

7) logb(xy) = logb x+ logb y

8) logb

�

x

y

�

= logb x− logb y

9) logb a =logx a

logx b

10) logb a loga c = logb c

11) logb a = logbn an

12) logb a = log n√b

n√a

13) cologba = − logb a

14) antilogba = ba

15) antilogb logb a = a

16) logb antilogba = a

17) cologbantilogba = −a

18) ln a = loge a

19) Si b > 1 entonces:

logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ U

logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ U

logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ U

logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ U

U = P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

20) Si 0 logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ U

logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ U

logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ U

logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ U

U = P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0

RAZONAMIENTO MATEMATICO

SERIES Y SUCESIONES

1) Numero de terminos de una sumatoria.nX

k=r

ak tiene (n− r) + 1 terminos.

2)nX

k=1

cak = cnX

k=1

ak ; c: constante.

3)nX

k=r

c = c(n− r + 1) ; c: constante.


4)nX

k=r

(ak − ak−1) = an − ar−1

5)nX

k=1

(ak + bk − ck) =nX

k=1

ak +nX

k=1

bk −nX

k=1

ck

6)nX

k=1

ak =mX

k=1

ak +nX

k=m+1

ak ; ∀n > 1

7)nX

k=0

ak =n+hX

k=h

ak−h ; h ∈ Z

8)nX

k=1

k = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

9)nX

k=1

2k = 2nX

k=1

k = 2(1+2+3+ · · ·+n) = n(n+1)

10)nX

k=1

(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n− 1) = n2

11)nX

k=1

k2 = 12+22+32+ · · ·+n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

12)nX

k=1

k3 = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =

�

n(n+ 1)

2

�2

13) S = a1+a2+a3+ · · ·+an+ · · · = a11− r

, r : razon

geometrica.

14)nX

k=1

k(k+1) = 1×2+2×3+3×4+ · · ·+n(n+1) =

n(n+ 1)(n+ 2)

3

15)nX

k=1

k(k+1)(k+2) = 1× 2× 3+2× 3× 4+3× 4×

5+ · · ·+ n(n+1)(n+ 2) =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

4

16)mX

k=n

1

k(k + r)=

1

r

�

1

n− 1

m+ r

�

17)nX

k=1

1

k(k + 1)=

1

1

�

1

1− 1

n+ 1

�

18)nX

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)=

1

2

�

1

1× 2− 1

(n+ 1)(n+ 2)

�

19)nX

k=1

1

k(k + 1)(k + 2)(k + 3)=

1

3

�

1

1× 2× 3− 1

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

�

FRACCIONES

Dada la descomposicion canonica de N :

N = Aa ×Bb × Cc × · · ·

la cantidad de numeros menores que N que son PESI

con el esta dado por:

∅(N) = n(1− 1/A)(1− 1/B)(1− 1/C) . . .

Razones y proporciones:

Razon aritmetica: a− b = r

Razon geometrica:a

b= r

Tipos de proporcion:

Discreta: terminos medios diferentes

Proporcion Proporcion

aritmetica geometrica

a− b = c− da

b=

c

d

d = 4◦ diferencial d = 4◦ proporcional

de a, b y c de a, b y c

d = b+ c− a d =bc

a

Continua: terminos medios iguales

Proporcion Proporcion

aritmetica geometrica

a− b = b− ca

b=

b

c

c = 3◦ diferencial c = 3◦ proporcional

de a y b de a y b

c = 2b− a c =b2

a

b = media diferencial b = media proporcio-

de a y b nal de a y b

b =a+ c

2b =

√ac

Propiedades: Si:

a1b1

=a2b2

=a3b3

= · · · = anbn

= k

entonces:

1) a1 = b1k; a2 = b1k; a3 = b3k; . . . an = bnk


2)a1 + a2 + a3 + · · ·+ anb1 + b2 + b3 + · · ·+ bn

= k

3)am1 + am2 + am3 + · · ·+ amnbm1 + bm2 + bm3 + · · ·+ bmn

= km

4)mp

am1 + am2 + am3 + · · ·+ amnmp

bm1 + bm2 + bm3 + · · ·+ bmn= k

5)a1 × a2 × a3 × · · · × anb1 × b2 × b3 × · · · × bn

= kn

6)a1 ± b1

b1=

a2 ± b2b2

= · · · = an ± bnbn

= k ± 1

7)a1 ± b1

a1=

a2 ± b2a2

= · · · = an ± bnan

=k ± 1

k

8)a1 + b1a1 − b1

=a2 + b2a2 − b2

= · · · = an + bnan − bn

=k + 1

k − 1

Porcentajes

Propiedades:

a%N =a

100×N

(a± b)%N = a%N ± b%N

a%b = b%a

Descuentos sucesivos:

Du = 100%−(100−D1)%(100−D2)% . . . (100−Dn)%

Aumentos sucesivos:

Au = (100+A1)%(100+A2)% . . . (100+An)%−100%

Aplicaciones:

Pv = Pc+G

Pv = Pc− P

Pv = PL(100 + A1)%(100 + A2)% . . . (100 +

An)%

Pv = PL(100 − D1)%(100 − D2)% . . . (100 −Dn)%

LOGICA MATEMATICA

Variables Negacion Conjuncion Disyuncion Condicional Bicondicional Disyuncion

inclusiva exclusiva

p q ∼ p p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q p∆ q

V V F V V V V F

V F F F V F F V

F V V F V V F V

F F V F F V V F

1. Idempotencia:

a) p ∧ p ≡ p

b) p ∨ p ≡ p

2. Conmutativa:

a) p ∧ q ≡ q ∧ p

b) p ∨ q ≡ q ∨ p

c) p ↔ q ≡ q ↔ p

d) p ∆q ≡ q∆p

3. Asociativa:

a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

b) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)

d) (p ∆q)∆r ≡ p ∆(q ∆r)

4. Distributiva:

a) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

b) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

c) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r)

d) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)

5. Identidad:

a) p ∧ V ≡ V ∧ p ≡ p

b) p ∧ F ≡ F ∧ p ≡ F

c) p ∨ V ≡ V ∨ p ≡ V

d) p ∨ F ≡ F ∨ p ≡ p

6. Complemento:

a) ∼∼ p ≡ p

b) p ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ p ≡ F

c) p ∨ ∼ p ≡ ∼ p ∨ p ≡ V

d) p → p ≡ V

e) p ↔ p ≡ V

f) ∼ (p ∧ ∼ p) ≡ V

g) ∼ V ≡ F

h) ∼ F ≡ V

7. Morgan:

a) ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q

b) ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q

8. Absorcion:

a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p

b) p ∨ (p ∧ q) ≡ p

c) p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q

d) p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q

9. Implicacion:

a) p → q ≡ ∼ p ∨ q

b) p → q ≡ ∼ (p ∧ ∼ q)

c) p → q ≡ ∼ q → ∼ p

10. Doble Implicacion:

a) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

b) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)

11. Diferencia Simetrica:

a) p ∆q ≡ ∼ (p ↔ q)

b) p ∆q ≡ (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p)

12. Expansion Booleana:

a) p ≡ p ∧ (q ∨ ∼ q)

b) p ≡ p ∨ (q ∧ ∼ q)

13. Transposicion:

a) p → q ≡ ∼ q → ∼ p

b) p ↔ q ≡ ∼ q ↔ ∼ p

14. Exportacion:

a) (p ∧ q) → r ≡ p → (q → r)

b) (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) → r ≡ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧pn−1) → (pn → r)

CONJUNTOS

1) n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)

2) Numero de subconjuntos de A: n[P (A)] = 2n(A)

3) Numero de subconjuntos propios de A: 2n(A) − 1

4) Numero de subconjuntos binarios de A: Cn(A)2

5) Numero de subconjuntos ternarios de A: Cn(A)3

Leyes del algebra de conjuntos

1. Reflexivas:

a) A ∪ A = A

b) A ∩ A = A

2. Conmutativas:

a) A ∪B = B ∪ A

b) A ∩B = B ∩ A

c) A∆B = B∆A

3. Asociativas:

a) A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪ C

b) A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩ C

c) A∆(B∆C) = (A∆B)∆C

4. Distributivas:

a) A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

b) A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

c) (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

d) (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

5. Inclusion:

Si A ⊂ B entonces:

8

>

>

<

>

>

:

A ∪B = B

A ∩B = A

A−B = φ

A∆B = B −A

6. Exclusion:

Si A ∩B = φ entonces:

¨

A−B = A

A∆B = A ∪B

7. Elemento neutro:

a) A ∪ φ = A

b) A ∩ φ = φ

c) A ∪ U = U

d) A ∩ U = A

8. Complemento:

a) (A′)′ = A

b) A ∪ A′ = U

c) A ∩ A′ = φ

d) φ′ = U

e) U ′ = φ

9. Diferencia:

a) A− B = A ∩B′

b) A− B = B′ −A′

10. Diferencia simetrica:

a) A∆B = (A ∪B)− (A ∩B)

b) A∆B = (A−B) ∪ (B −A)

11. Morgan:

a) (A ∪B)′ = A′ ∩B′

b) (A ∩B)′ = A′ ∪B′

12. Absorcion:

a) A ∪ (A ∩B) = A

b) A ∩ (A ∪B) = A

c) A ∪ (A′ ∩B) = A ∪B

d) A ∩ (A′ ∪B) = A ∩B

NUMERACION8

<

:

(1a)(1b)

(1c)

. . .(1z)(n)

= n+ a+ b + c+ · · · z

8

<

:

(a1)(a1)

(a1)

. . .(a1)(n)

= akn + ak−1 + ak−2 +

· · ·+ a2 + a+ 1

Operaciones combinadas

1) N◦ mayor =S +D

2N◦ menor =

S −D

2

2) N◦ mayor =SQ

Q+ 1N◦ menor =

S

Q+ 1

3) N◦ mayor =DQ

Q− 1N◦ menor =

D

Q− 1

4) N◦ mayor =S +

√∆S

2N◦ menor =

S −√∆S

2

5) N◦ mayor =

√∆D +D

2N◦ menor =

√∆D −D

2donde:S = suma, D = diferencia, Q = cociente, P = pro-ducto, ∆S = S2 − 4P , ∆D = D2 + 4P ,

CONTEO DE FIGURAS

1. Segmentos

A B C D E F

1 2 3 4 · · · n

N◦ de segmentos =n(n+ 1)

2

2. Triangulos

1 2 3 4 · · · n

N◦ de triangulos =n(n+ 1)

2

1 2 3 4 · · · n

2

3

...

m

N◦ de triangulos =

�

n(n+ 1)

2

�

m

1 2 3 4 · · · n

2

3

...

m

N◦ de triangulos =nm(n+m)

2

3. Cuadrilateros

1 2 3 4 · · · n

2

3

4

..

.

m

N◦ de cuadrilateros =n(n+ 1)

2× m(m+ 1)

2

4. Cuadrados


1 2 3 4 · · · n

2

3

4

..

.

n

N◦ de cuadrados =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

1 2 3 4 · · · n

2

3

4

..

.

m

N◦ de cuadrados = nm + (n − 1)(m − 1) + (n −2)(m− 2) + · · ·

5. Semicırculos

N◦ semicırculos = 2(N◦ diametros)(N◦ cırculos)

DIVISIBILIDAD

1) Si A =◦n y B =

◦n ⇒ A±B =

◦n

2) Si A =◦n y B =

◦n ⇒ AB =

◦n

3) Si A =◦n+r1 ; B =

◦n+r2 ; ⇒ A+B =

◦n+r1+r2

4) Si A =◦n+r1 ; B =

◦n+r2 ; ⇒ AB =

◦n+r1r2

5) Si A =◦n1 +r; A =

◦n2 +r; ⇒ A =

◦MCD(n1, n2)+r

6) Si A =◦n ⇒ Ak =

◦n , k ∈ Z

7) Si A =◦n ⇒ kA =

◦n , k ∈ Z

8) Si A =◦n+r ⇒ Ak =

◦n+rk , k ∈ Z

9) Teorema de Wilson: Si p es un numero primo:

(p− 1)! =◦p−1

Divisores

Dado el numero

N = aαbβcγ

1) CDN = (α+ 1)(β + 1)(γ + 1)

2) CDN = 1 + CDprimos + CDcompuestos

3) SDN =aα+1 − 1

a− 1× bβ+1 − 1

b− 1× cγ+1 − 1

c− 1

4) SIDN =SDN

N

5) PDN =√NCDN

RELOJES

Hora real = Hora marcada – Adelanto

Hora real = Hora marcada + Atraso

θ = ±11m

2∓ 30H

RELACIONES Y FUNCIONES

Producto cartesiano:

Si A 6= B, entonces A×B 6= B ×A

A×B = B ×A ⇐⇒ A = B.

A× φ = φ×A = φ.

A×B = φ ⇐⇒ A = φ o B = φ.

A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)

A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

A× (B − C) = (A×B)− (A× C)

(A×B)× C 6= A× (B × C)

A ⊂ B =⇒ (A× C) ⊂ (B × C)

A ⊂ C y B ⊂ D ⇐⇒ (A×B) ⊂ (C×D)

(A′ ×B′) ⊂ (A×B)′

(A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D)

(A×B) ∪ (C ×D) ⊂ (A ∪ C)× (B ∪D)

Dominio y rango:

Dom(R) = {a ∈ A / ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R} ⊂ A

Ran(R) = {b ∈ B / ∃a ∈ A, (a, b) ∈ R} ⊂ B

Dom(R1 ∪R2) = Dom(R1) ∪Dom(R2)

Dom(R1 ∩R2) ⊂ Dom(R1) ∩Dom(R2)

Dom(R1 −R2) ⊃ Dom(R1)−Dom(R2)

Ran(R1 ∪R2) = Ran(R1) ∪ Ran(R2)

Ran(R1 ∩R2) ⊂ Ran(R1) ∩Ran(R2)

Ran(R1 −R2) ⊃ Ran(R1)− Ran(R2)

Clases de relaciones:

R es reflexiva ⇔ (x, x) ∈ R, ∀x ∈ A

R es simetrica ⇔ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ RR es transitiva ⇔ (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒(x, z) ∈ RR es de equivalencia si es reflexiva, simetrica ytransitiva.

R es antisimetrica ⇔ (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒x = y

R es de orden si es reflexiva, antisimetrica ytransitiva.

Linea recta:

R = {(x, y) / Ax+By + C = 0}m = −A/B

La parabola:

De forma implicita:

R = {(x, y) ∈ R2 /Ax2 +Dx+ Ey + F = 0}R = {(x, y) ∈ R2 /Cy2 +Dx+ Ey + F = 0}

De forma explicita:

R = {(x, y) ∈ R2 / y = ax2 + bx+ c}

vertice=

�−b

2a,4ac− b2

4a

�

Si a > 0 la grafica se orienta hacia arriba.

Si a < 0 la grafica se orienta hacia abajo.

R = {(x, y) ∈ R2 / x = ay2 + by + c}

vertice=

�−b

2a,4ac− b2

4a

�

Si a > 0 la grafica se orienta hacia la derecha.

Si a < 0 la grafica se orienta hacia la izquierda.

Completando trinomios cuadrados perfectos:

R = {(x, y) ∈ R2 / y − k = 4p(x− h)2}vertice= (h, k)

Si p > 0 la grafica se orienta hacia arriba.

Si p < 0 la grafica se orienta hacia abajo.

R = {(x, y) ∈ R2 / x− h = 4p(y − k)2}vertice= (h, k)

Si p > 0 la grafica se orienta hacia la derecha.

Si p < 0 la grafica se orienta hacia la izquierda.

La circunferencia:

R = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 +Dx+Ey+ F = 0}R = {(x, y) ∈ R2 / (x− h)2 + (y − k)2 = r2}radio= r, centro= (h, k)

La elipse:

R = {(x, y) ∈ R2 /(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1}

radio= r, centro= (h, k)

La hiperbola:

R = {(x, y) ∈ R2 /(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1}

radio= r, centro= (h, k)

PROMEDIOS

1) Promedio aritmetico:

Pa =x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn

n=

nX

i=1

xi

n

Media aritmetica: Ma =a+ b

2

Promedio aritmetico ponderado:

Pp =a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · ·+ anxn

x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn

2) Promedio geometrico:

Pg = n√x1x2x3 . . . xn

Media geometrica: Mg =√a× b

3) Promedio armonico:

Ph =n

1

x1+

1

x2+

1

x3· · ·+ 1

xn

=n

nX

i=1

1

xi

Media armonica: Mh =2ab

a+ b

Propiedades:

Ph < Pg < Pa

a× b = Ma ×Mh

M2g = Ma ×Mh

GEOMETRIA

SEGMENTOS Y ANGULOS

Segmentos

A B C DE F

x

x =AC +BD

2

A B C D

AB2+AD

2= 2(AC

2+BC

2)

Angulos

Angulo nulo o perigono: α = 0◦

Angulo convexo: 0◦ < α < 180◦

Angulo agudo: 0◦ < α < 90◦

Angulo recto: α = 90◦

Angulo obtuso: 90◦ < α < 180◦

Angulo llano: α = 180◦

Angulo concavo: 180◦ < α < 360◦

Angulo de una vuelta: α = 360◦

Angulos complementarios: α+ β = 90◦

Angulos suplementarios: α+ β = 180◦

Angulos formados por dos rectas paralelas cor-tadas por una secante

L1

L2

b1b2

b3 b4

b5b6

b7 b8

1) Angulos internos:

Alternos internos Conjugados internosb3 ∼= b6 b4 + b6 = 180◦

b4 ∼= b5 b3 + b5 = 180◦

2) Angulos externos:

Alternos externos Conjugados externosb2 ∼= b7 b2 + b8 = 180◦

b1 ∼= b8 b1 + b7 = 180◦

3) Angulos correspondientes:

b1 ∼= b5 b2 ∼= b6b3 ∼= b7 b4 ∼= b8

a

b

c

d

e

f

L2

L1

a+ b+ c = d+ e+ f

TRIANGULOS

B

A C

x

x = 90◦ +ÒB

2

B

A C

x

x = 90◦ −bA

2

B

A C

xx =

ÒB

2

B

A C

x

θ

x+ θ = 180◦

B

A C

x

θα

H M

BH = altura

BM = mediana

α > θ

x = α− θ


B

A C

x

θα

H P

BH = alturaα > θ

x =α− θ

2

B

A C

xα θ

β

x = α+ β + θ

xα β

x =α+ β

2

B

A C

x

α

β

x =α+ β

2

Triangulos rectangulos notables

a2a

a√3

60◦

30◦

aa√2

a

45◦

45◦

3a5a

4a

53◦

37◦

24a25a

7a

16◦

74◦

3a

√10a

a

18◦30′

71◦30′

a

√5a

2a

63◦30′

26◦30′

CUADRILATEROS

B

b

mm =

B + b

2

B

b

P Q PQ =B − b

2

a

b

x

α 90− α

x =a− b

2

b

a

xm n

2m 2nx =

2a+ b

3

CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO

x α

A

B

x = α

x α

A

B

x =α

2


x

α

A

P

x =α

2

x αβ

A

B

C

D

x =α+ β

2

x

αβ

A

BC

x =α− β

2

x

α

β

A

BC

Dx =

α− β

2

xα

β

A

B

x =α− β

2

β

x

αA

B x =α+ β

2

d

b

c

a

Teorema de Steiner

a− c = d− b

x

x = 90◦

b

c

R

a

Teorema de Poncelet

a+ b = c+ 2R

RELACIONES METRICAS

h

c

a b

m nB

C

A

a2 + b2 = c2

h2 = mn

a2 = cm

b2 = cn

ab = ch

1

h2=

1

a2+

1

b2

AREA DE REGIONES PLANAS

h

b

A =bh

2

l lh

l

A =l2√3

4

A =h2

√3

3

a

b

θ

A =ab

2sen θ


a

b

c

A =È

p(p− a)(p− b)(p− c)

p =a+ b+ c

2

p = semiperımetro

B

A CH P

A∆ABP

A∆PBC=

AP

PC

Mediana

A1 = A2A1 A2

Ceviana

A1

A2=

m

nA1 A2

m n

bc

bc

Baricentro

A A

A A

AA

a

b

cr A =

abc

4r

r

A = p× r

p = semiperımetro

m n

A = m× n

A

B

C

D

θ A =AC ×BD

2sen θ

B

A C

D

A =AC ×BD

2

Da

a

A =d2

2= a2

a

b

h A =

�

a+ b

2

�

h

b

h A = bh

a

b

θ

A = ab sen θ


R

A = πR2

R

R

α A =πR2α

360◦

R

R

α A =πR2α

360◦− R2 senα

2

R

rA = π(R2 − r2)

R

rα A =

π(R2 − r2)α

360◦

B

A C

A1

A2 A∆ABC = A1 +A2

GEOMETRIA DEL ESPACIO

AL : Area lateral

AT : Area total

As : Area de la superficie

Ab : Area de la basePb : Perımetro de la basea : aristah : alturaV : volumenD : diagonal

Tetraedro regular

h =a√6

3

As = a2√3

V =a3√2

12

ha

Hexaedro regular o cubo

D = a√3

V = a3

AL = 4a2

AT = 6a2

a

Prisma recto

a = h

AL = Pb × h

AT = AL + 2Ab

V = Ab × h

h

Esfera

A = 4πr2

V =4

3πr3

r

Poliedros regulares

Nombre Caras Vertices AristasTetraedro 4 4 6Exaedro 6 8 12Octaedro 8 6 12Dodecaedro 12 20 30Icosaedro 20 12 30


TRIGONOMETRIA

Razones trigonometricas

A

B

C

a

b

c

θ

sen θ =a

ccot θ =

b

a

cos θ =b

csec θ =

c

b

tan θ =a

bcsc θ =

c

a

Signos de las razones trigonometricas

Cuadrante I II III IVsenα + + – –cosα + – – +tanα + – + –cotα + – + –secα + – – +cscα + + – –

Razones trigonometricas de angulos notables

π/6 π/3 π/430◦ 60◦ 45◦ 37◦ 53◦

senα 1/2√3/2

√2/2 3/5 4/5

cosα√3/2 1/2

√2/2 4/5 3/5

tanα√3/3

√3 1 3/4 4/3

cotα√3

√3/3 1 4/3 3/4

secα 2√3/3 2

√2 5/4 4/5

cscα 2 2√3/3

√2 4/5 5/4

Razones trigonometricas de angulos cuadranta-les

0 π/2 π 3π/2 2π0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

senα 0 1 0 −1 0cosα 1 0 −1 0 1tanα 0 ∞ 0 ∞ 0cotα ∞ 0 ∞ 0 ∞secα 1 ∞ −1 ∞ 1cscα ∞ 1 ∞ −1 ∞

Identidades trigonometricas

1) Identidades recıprocas:

senx · cscx = 1

cosx · secx = 1

tanx · cotx = 1

2) Identidades de cociente:

tanx =senx

cosx

cotx =cosx

senx

3) Identidades pitagoricas:

sen2 x+ cos2 x = 1

1 + tan2 x = sec2 x

1 + cot2 x = csc2 x

Identidades auxiliares

sen4 x+ cos4 x = 1− 2 sen2 x cos2 x

sen6 x+ cos6 x = 1− 3 sen2 x cos2 x√1± 2 senx± cosx = | senx± cosx|

sec2 x+ csc2 x = sec2 x csc2 x

(senx± cosx)2 = 1± 2 senx cos x

tan2 x− sen2 x = tan2 x sen2 x

1 + senx

cosx=

cosx

1− senx

1− cosx

senx=

senx

1− cosx

Formulas elementales

1) sen(α+ β) = senα cosβ + cosα senβ

2) sen(α− β) = senα cosβ − cosα senβ

3) cos(α+ β) = cosα cosβ − senα senβ

4) cos(α− β) = cosα cosβ + senα senβ

5) tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ

6) tan(α− β) =tanα− tanβ

1 + tanα tanβ

7) cot(α+ β) =cotα cotβ − 1

cotα+ cotβ

8) cot(α− β) =cotα cotβ + 1

cotα− cotβ

9) sen(α+β+θ) = senα cosβ cos θ+cosα senβ cos θ+cosα cosβ sen θ − senα senβ sen θ

10) cos(α+β+θ) = senα cosβ cos θ−cosα senβ sen θ−senα cosβ sen θ − senα senβ cos θ

11) sen(α+ β) sen(α− β) = sen2 α− sen2 β

12) cos(α+ β) cos(α− β) = cos2 α− cos2 β


13) tanα+ tanβ =sen(α+ β)

cosα cosβ

14) tanα− tanβ =sen(α− β)

cosα cosβ

15) cotα+ cotβ =sen(α+ β)

senα senβ

16) cotα− cotβ =sen(β − α)

senα senβ

17) sen 2x = 2 senx cos x

18) sen 2x =2 tanx

1 + tan2 x

19) cos 2x = cos2 x− sen2 x

20) cos 2x = 1− 2 sen2 x

21) cos 2x = 2 cos2 x− 1

22) cos 2x =1− tan2 x

1 + tan2 x

23) tan 2x =2 tanx

1− tan2 x

24) 2 sen2 x = 1− cos 2x

25) 2 cos2 x = 1 + cos 2x

26) 8 sen4 x = 3− 4 cos 2x+ cos 4x

27) 8 cos4 x = 3 + 4 cos 2x+ cos 4x

28)√1 + sen 2x = | senx+ cosx|

29)√1− sen 2x = | senx− cosx|

30) cotx+ tanx = 2 csc 2x

31) cotx− tanx = 2 cot 2x

32) 1 + sec 2x =tan 2x

tanx

33)�

�

�

senx

2

�

�

�

=

É

1− cosx

2

34)�

�

�

cosx

2

�

�

�

=

É

1 + cosx

2

35)�

�

�

tanx

2

�

�

�

=

É

1− cosx

1 + cosx

36)�

�

�

cotx

2

�

�

�

=

É

1 + cosx

1− cosx

37) tanx

2= cscx− cotx

38) cotx

2= cscx+ cotx

39) cotx

2+ tan

x

2= 2 cscx

40) cotx

2− tan

x

2= 2 cotx

41)�

�

�

senx

2+ cos

x

2

�

�

�

=√1 + senx

42)�

�

�

senx

2− cos

x

2

�

�

�

=√1− senx

43) sen 3x = 3 senx− 4 sen3 x

44) cos 3x = 4 cos3 x− 3 cosx

45) tan 3x =3 tanx− tan3 x

1− 3 tan2 x

46) sen 3x = senx(2 cos 2x+ 1)

47) cos 3x = cosx(2 cos 2x− 1)

48) 4 senx sen(60− x) sen(60 + x) = sen 3x

49) 4 cosx cos(60− x) cos(60 + x) = cos 3x

50) tanx tan(60− x) tan(60 + x) = tan 3x

Transformaciones trigonometricas

1) Si x > y, entonces:

senx+ sen y = 2 senx+ y

2cos

x− y

2

senx− sen y = 2 cosx+ y

2sen

x− y

2

cosx+ cos y = 2 cosx+ y

2cos

x− y

2

cos y − cosx = 2 senx+ y

2sen

x− y

22 senx cos y = sen(x+ y) + sen(x− y)

2 cosx sen y = sen(x+ y)− sen(x− y)

2 cosx cos y = cos(x + y) + cos(x− y)

2 senx sen y = cos(x− y)− cos(x + y)

2) Si x+ y + z = 180◦, entonces:

senx+ sen y + sen z = 4 cosx

2cos

y

2cos

z

2

cosx+ cos y + cos z − 1 = 4 senx

2sen

y

2sen

z

2

3) Si x+ y + z = 360◦, entonces:

2 senx+ sen y + sen z = 4 senx

2sen

y

2sen

z

2

cosx+cos y+cos z+1 = −4 cosx

2cos

y

2cos

z

2

Triangulos oblicuangulos:

1) Ley de senos:

A

B Ca

bca

senA=

b

senB=

c

senC


A

B Ca

bc

r

a

senA=

b

senB=

c

senC= 2r

2) Ley de cosenos:

A

B Ca

bc

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

b2 = a2 + c2 − 2ac cosB

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC

3) Ley de tangentes:

A

B Ca

bc

a+ b

a− b=

tan A+B2

tan A−B2

b+ c

b− c=

tan B+C2

tan B−C2

a+ c

a− c=

tan A+C2

tan A−C2

4) Ley de proyecciones:

A

B Ca

bc

a = b cosC + c cosB

b = a cosC + c cosA

c = a cosB + b cosA

Razones trigonometricas de los semiangulos in-ternos: A

B Ca

bc

P = semiperımetro.

P =a+ b + c

2

senA

2=

r

(P − b)(P − c)

bc

senB

2=

r

(P − a)(P − c)

ac

senC

2=

r

(P − a)(P − b)

ab

cosA

2=

r

P (P − a)

bc

cosB

2=

r

P (P − b)

ac

cosC

2=

r

P (P − c)

ab

Ley de cosenos para un cuadrilatero inscripti-ble:

A

B

C

Da

b

c

d

cosA =a2 + d2 − b2 − c2

2(ad+ bc)

cosB =a2 + b2 − c2 − d2

2(ab+ cd)

cosC =b2 + c2 − a2 − d2

2(ad+ bc)

cosD =c2 + d2 − a2 − b2

2(ab+ cd)

FISICA

Analisis Dimensional

L : LongitudM : MasaT : Tiempoθ : Temperatura termodinamica

I : Intensidad de corriente electricaJ : Intensidad luminosaN : Cantidad de sustancia


Cinematica

MRU:

d = vt

MRUV:

v = v0 + at

v2 = v20 + 2ad

d = v0t+12 at

2

r = r0 + v0t +12 at

2, r indica el eje de movi-miento.

dn = v0 +12 a(2n− 1), distancia recorrida en el

enesimo segundo.

Caıda libre:

v = v0 ± gt

v2 = v20 ± 2gh

h = v0t+12 gt

2

h =�v0 + v

2

�

t

hn = v0 ± 12 g(2n− 1)

tvuelo =2v0g

, tiempo de vuelo

hmax =v202g

, altura maxima

Movimiento parabolico:

v0x = cte

vx = v0x = v0 cos θ, componente horizontal dela velocidad es constante

x = (v0 cos θ)t, desplazamiento horizontal

A =v20 sen 2θ

g, alcance horizontal

T =2v0 sen θ

g, tiempo de vuelo

|ay| = cte

v0y = v0 sen θ, componente vertical de la velo-cidad

vy = v0 sen θ − gt, velocidad vertical

y = v0t sen θ − 12 gt

2, desplazamiento vertical

QUIMICA

Elementos

S=Sımbolo G=Grupo Pe=PerıodoA=Atomo M=Masa P=ProtonesN=Neutrones E=Electrones F=Familia

Gases

Elemento S Elemento S Elemento SHidrogeno H Nitrogeno N Oxıgeno OFluor F Cloro Cl Helio HeNeon Ne Argon Ar Cripton KrXenon Xe Radon Rn

S G Pe A M P N EH 1 1 1 1 1 0 1N 15 2 7 14 7 7 7O 16 2 8 16 8 8 8F 17 2 9 19 9 10 9Cl 17 3 17 36 17 19 17He 18 1 2 4 2 2 2Ne 18 2 10 20 10 10 10Ar 18 3 18 40 18 22 18Kr 18 4 36 84 36 48 36Xe 18 5 54 131 54 77 54Rn 18 6 86 222 86 136 86

Lıquidos

Elemento S Elemento S Elemento SCesio Cs Francio Fr Mercurio HgGalio Ga Bromo Br

S G Pe A M P N ECs 1 6 55 133 55 78 55Fr 1 7 87 223 87 136 87Hg 12 6 80 201 80 121 80Ga 13 4 31 70 31 39 31Br 17 4 35 80 35 45 35

Preparados de transicion

Elemento S Elemento SRutherfordio Rf Dubnio DbSeaborgio Sg Tecnecio TcBohrio Bh Hassio HsMeitnerio Mt Darmstadtio DsRoentgenio Rg Copernicio CnUnuntrio Uut Ununcuadio UuqUnunpentio Uup Ununhexio UuhUnunseptio Uus Ununoctio Uuo


S G Pe A M P N ERf 4 7 104 261 104 157 104Db 5 7 105 262 105 157 105Sg 6 7 106 263 106 157 106Tc 7 5 43 99 43 56 43Bh 7 7 107 262 107 155 107Hs 8 7 108 265 108 157 108Mt 9 7 109 266 109 157 109Ds 10 7 110 271 110 161 110Rg 11 7 111 272 111 161 111Cn 12 7 112 272 112 160 112Uut 13 7 113 283 113 170 113Uuq 14 7 114 285 114 171 114Uup 15 7 115 288 115 173 115Uuh 16 7 116 289 116 173 116Uus 17 7 117 291 117 174 117Uuo 18 7 118 293 118 175 118

Preparados lantanidos y actınidos

Elemento S Elemento SPrometio Pm Neptunio NpPlutonio Pu Americio AmCurio Cm Berkelio BkCalifornio Cf Einstenio EsFermio Fm Mendelevio MdNobelio No Laurencio Lr

S Pe A M P N EPm Lantanido 61 147 61 86 61Np Actınido 93 237 93 144 93Pu Actınido 94 244 94 150 94Am Actınido 95 243 95 148 95Cm Actınido 96 247 96 151 96Bk Actınido 97 247 97 150 97Cf Actınido 98 251 98 153 98Es Actınido 99 252 99 153 99Fm Actınido 100 257 100 157 100Md Actınido 101 258 101 157 101No Actınido 102 259 102 157 102Lr Actınido 103 262 103 159 103

Solidos alcalinos y alcalinoterreos

Elemento S Elemento S Elemento SLitio Li Sodio Na Potasio KRubidio Rb Berilio Be Magnesio MgCalcio Ca Estroncio Sr Bario BaRadio Ra

S G Pe A M P N ELi Alcalino 2 3 7 3 4 3Na Alcalino 3 11 23 11 12 11K Alcalino 4 19 39 19 20 19Rb Alcalino 5 37 86 37 49 37Be Alcalinoterreo 2 4 9 4 5 4Mg Alcalinoterreo 3 12 24 12 12 12Ca Alcalinoterreo 4 20 40 20 20 20Sr Alcalinoterreo 5 38 88 38 50 38Ba Alcalinoterreo 6 56 137 56 81 56Ra Alcalinoterreo 7 88 226 88 138 88

Solidos de la familia del escandio, titanio y va-nadio

Elemento S Elemento S Elemento SEscandio Sc Itrio Y Lantano LaActinio Ac Titanio Ti Circonio ZrHafnio Hf Vanadio V Niobio NbTantalio Ta

S F Pe A M P N ESc Escandio 4 21 45 21 24 21Y Escandio 5 39 89 39 50 39La Escandio 6 57 139 57 82 57Ac Escandio 7 89 227 89 138 89Ti Titanio 4 22 48 22 26 22Zr Titanio 5 40 91 40 51 40Hf Titanio 6 72 179 72 105 72V Vanadio 4 23 50 23 27 23Nb Vanadio 5 41 93 41 52 41Ta Vanadio 6 73 181 73 108 73

Dedicatoria

Para mis padres, Martha y Elıas; parami adorable esposa, Flor Angela y pa-ra los mas grandes tesoros de mi vida,mis hijas Alessandra Anghely y StefanyGrace.

Indice alfabetico

aspa simple, 128

binomio, 33binomio por trinomio, 77

campo numerico, 126cocientes notables, 107constante, 31cuadrado de un

binomio, 76trinomio, 77

cubo de unbinomio, 77trinomio, 78

cuerpo, 205

determinantes, 216diagonal principal, 201diferencia de cuadrados, 77divisibilidad algebraica, 106

ecuacionbicuadrada, 257cubica, 256cuartica, 256cuadratica, 253de primer grado, 247lineal, 247polinomial, 257

ecuaciones exponenciales, 36espacio vectorial, 205expresion algebraica , 31

irracional, 33racional, 33racional entera, 33racional fraccionaria, 33

expresion trascendente, 33

formula cuadratica, 254factor, 126factor comun, 127

factor primo, 126factorizacion, 125

grado, 55grado

absoluto, 55

relativo, 55

identidades deArgand, 79Lagrange, 78Legendre, 78

igualdades condicionales, 79intervalo, 277

abierto, 277cerrado, 277

semiabierto, 277semicerrado, 277

metodo deHorner, 100Ruffini, 101

matrizantihermitiana, 215antisimetrica, 212

banda, 224conjugada, 213cuadrada, 200diagonal, 202, 223escalar, 202hermıtica, 214hermitiana, 214

idempotente, 213identidad, 203involutiva, 212nilpotente, 213nula, 203orden de una, 199ortogonal, 215

positiva, 216

338


rectangular, 203regular, 220simetrica, 211singular, 220transpuesta, 211traza de una, 210triangular, 201triangular superior, 201

monomio, 33multinomio, 33

notacion matematica, 31

polinomio , 33completo, 57entero, 58equivalente, 58homogeneo, 56identico, 58identicamente nulo, 58monico, 58ordenado, 57valor numerico, 59

productos notables, 76

Rene Descartes, 104

suma y diferencia de potencias n-esimas, 77

termino algebraico, 31terminos semejantes, 32Tartaglia, 261teorema del resto, 103trinomio, 33trinomio cuadrado perfecto, 76

valor absoluto, 283variable, 31

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