«Un redondelcon muchas cosas dentro».Eso es un conjunto

Amparo Moreno,Gerardo Echeita,Elena Martín yCristina del Barrio *Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad Autónoma de Madrid

La introducción de la llamada matemá-tica moderna en las escuelas, a partir delos años 6o, obedeció, enti?. otras razo-nes, al sentimiento de que los niños nollegaban a aprender las estructuras mate-máticas elementales a través de la ense-ñanza de la matemática tradicional. Enconcreto, se supuso que la enseñanza dela teoría de conjuntos podía ser un instru-mento útil para que los niños adquirieran,de forma más adecuada, la noción denúmero y comprendieran mejor las ope-raciones aritméticas elementales.

Al comenzar la investigación 1 que estetrabajo recoge en parte, nuestro objetivono era entrar en la polémica matemáticatradicional-matemática moderna, que yahabía sido profusamente tratada con an-terioridad (Freudenthal, 1963; Dieudon-né, 1973; Kline, 1973). Nuestro interés secentraba en examinar la comprensión quetenían los niños de algunas nociones dela teoría de conjuntos. El análisis ibaencaminado a estudiar la evolución en esacomprensión y a detectar las principalesdificultades que los sujetos podían encon-trar en el curso de la misma.

Es bien sabido, a partir de las investi-gaciones realizadas por la escuela de Gi-nebra (Piaget e Inhelder, 1941; Piaget ySzeminska, 1941), que los conceptos ló-

gico-matemáticos (por ejemplo, la conser-vación de materia, las clases y relaciones),en un primer momento, no son tales, sinoque aparecen ligadas a situaciones concre-tas y a aspectos perceptivos de la situa-ción. Así, nuestro estudio estaba dirigidoa descubrir si el contexto físico en el queaparecen las nociones de la teoría deconjuntos es también relevante para lacomprensión que tienen los niños de ellas.

Por otra parte, nos pareció también degran interés el intentar comprobar si eldesarrollo de la conducta clasificatoria,operación lógica elemental que se cons-truye espontáneamente, seguía el mismocurso que la noción de conjunto, fruto deun aprendizaje escolar, y si los sujetosestablecían alguna relación entre ambas.

Por último, intentábamos conocer silos niños veían alguna utilidad (o pensa-ban que se perseguía algún fin concreto)cuando se les pedía que aprendieran loscontenidos de la teoría de conjuntos.Como apuntan diferentes autores (Do-naldson, 1978; Istomina, 1975), cuando setrabaja con niños preescolares y en losprimeros años de la enseñanza primaria,un aspecto esencial que debe tenerse encuenta es que los motivos e intencionespara realizar una tarea sean inteligibles yhumanamente comprensibles. Los adul-

* Dirección de los autores: ICE de la UAM. Cantoblanco. 28034 Madrid.

tos, y sólo cierto porcentaje de determi- nada cultura (Cole, 1971), estamos acos-

tumbrados a trabajar abstrayendo el con-junto de motivaciones concretas, pero losniños no tienen por qué funcionar igualque nosotros.

Según nuestra hipótesis, la compren-sión de las nociones de la teoría deconjuntos resultaría muy difícil para lossujetos menores de 1 2 Ó 13 años, y ellono sólo por las limitaciones que imponeel desarrollo evolutivo a los sujetos (véa-se la correspondencia que establece Co-llis, 198oa, entre estadios del desarrollo yaprendizaje de las matemáticas), sino tam-bién por el tipo de enseñanza que serealiza, en general, de estas nociones.A nuestro entender, intentar enseñar teo-ría de conjuntos a los niños durante laEGB supone caer en dos de los erroresmás graves que afectan a la enseñanza delas matemáticas.

En primer lugar, la matemática es unadisciplina abstracta y formal y las relacio-nes entre los elementos matemáticos sonrelaciones entre abstracciones. Pero, co-mo afirma Collis (1980), ese sistema for-mal no existe para el niño; para él sóloexiste la experiencia y su pensamientoopera sobre ella. Cuando intentamos quelos niños aprendan teoría de conjuntosestamos pidiéndoles que tomen concien-cia de esas operaciones, de su pensamien-to y, por tanto, que asimilen uno de losdesarrollos últimos, más abstractos y for-males, de la teoría matemática. Estamosexigiendo a los sujetos que comiencenpor elaborar un código formal y, portanto, libre de contexto, cuando éste de-bería ser el último paso y no el primero,máxime cuando la teoría psicológica su-giere que la mayor parte de los preado-lescentes y, por supuesto, de los niñosmenores de siete u ocho años encuentrangrandes dificultades en esta tarea (Collis,1975; Hughes, 1983).

En segundo lugar, la matemática, engeneral, y la teoría de conjuntos, enparticular, se enseña como si se tratara deconocimiento físico en vez del conoci-miento lógico-matemático que es. SegúnPiaget (1977), existen dos tipos de expe-riencia: la experiencia física, que acumulaconocimientos acerca de las propiedadesde los objetos sobre, los que actúa, y laexperiencia lógico-matemática, que acu-mula conocimientos, no de los objetos,

7o sino de las acciones mismas del sujeto y

de sus resultados. Accedemos a la expe-riencia física a través de la abstracciónempírica, que extrae las propiedades delos objetos (color, peso, material, etc.);accedemos a la experiencia lógico-mate-mática por medio de la abstracción reflexi-va, que se realiza a partir de la propiaacción, extrayendo las características deésta, e implica la construcción de relacio-nes entre objetos (orden, inclusión, inver-sión, etc.) y, por tanto, la organización delos mismos. Por supuesto, una clase deabstracción no puede darse sin la otra.

El concepto de número o el conceptode conjunto no pueden extraerse simple-mente de una observación de la realidad,ya que no son propiedades de los objetos,sino que el niño debe construirlos coor-dinando las relaciones simples que hacreado él mismo antes entre los objetos(véase Kamii, 1982, para una exposiciónmás detenida de la diferencia entre cono-cimiento lógico-matemático y conoci-miento físico y social).

Sin embargo, frecuentemente, los librosde texto y los profesores enseñan susejercicios matemáticos basándose en laexperiencia física. Como resultado de estaenseñanza y del momento evolutivo, losniños permanecen centrados en estos as-pectos físicos de la situación, teniendoproblemas para llegar a una construcciónlógico-matemática.

Para comprobar si se daba esta apoya-tura física en la comprensión de algunasnociones matemáticas, diseñamos otrastareas referidas al conocimiento de figu-ras geométricas en distintas posiciones ya la definición y reconocimiento de ángu-los. Su análisis y resultados aparecen enotro lugar, centrándonos a continuaciónen los referentes a la comprensión dealgunas nociones de la teoría de conjuntos.

METODOLOGIA

Sujetos.—La investigación se llevó acabo con una muestra total de 6o niñosentre seis y once años, tomándose cinconiños por edad en cada uno de los cen-tros elegidos, dos colegios de Madrid,uno nacional y otro privado. En nuestroanálisis no hemos considerado, sin embar-go, la clase social. Por lo que respecta alsexo, se han elegido indistintamente ni-ños y niñas, procurando que hubiera,

aproximadamente, la mitad por cadacurso.

Tenemos entonces la siguiente distri-bución:

5 sujetos x 6 edades x z centros..6o sujetos

Material.—La entrevista no es estricta-mente verbal, sino que, además, incluyeel manejo de un material concreto parauna tarea manipulativa de formación deconjuntos. El material lo constituían lossiguientes elementos:

Formas geométricas

Triángulo pequeño azul.Triángulo pequeño rojo.Círculo amarillo pequeño.Círculo amarillo grande.Rectángulo pequeño azul.Rectángulo pequeño amarillo.Cuadrado grande rojo.

Dados

3 verdes.4 azules.

amarillo.rojo.

descripción pormenorizada de este mé-=Es-e-tirara:todo.

La entrevista, de carácter individual,tenía una duración aproximada de veinteminutos y comenzaba con una charlainformal para establecer un clima relaja-do. Además de grabarse "en un magnetó-fono, dos ayudantes recogían todo lorealizado durante la entrevista. El proto-colo final se realizaba conjuntamente apartir de las dos fuentes.

Las preguntas que se hicieron a losniños se exponen a continuación, tenien-do siempre en cuenta que la flexibilidaddel método utilizado hace que la entrevis-ta de un sujeto y otro no sean idénticas,ya que, según el rumbo que sigue elpropio pensamiento del niño, se profun-diza sobre nuevos aspectos que no esta-ban previstos en el cuestionario inicial.

Se comenzaba preguntando por la de-finición de ciertas nociones de la teoría deconjuntos. También se le pedía al sujetoque representara gráficamente esas nocio-nes y, en el caso del conjunto, se leplanteaban las situaciones del mismo con-junto que había dibujado, pero rodeadopor un diagrama cuadrado —en lugar delhabitual redondo— o del conjunto sinrodear, preguntándole si en ambos casosse trataba de conjuntos.

Animales

2 leones, verde y rojo.2 jirafas, verde y azul.2 cabras, verde y azul.

hipopótamos, amarillo y gris.elefante.

z caballos, verde y amarillo.oso hormiguero.pantera.

Números

Pequeñas cartulinas con un númeroimpreso en cada una: 4 «unos», 5 «doses»,

«treses».

Varias cuerdas.

Procedimiento.—Hemos seguido el mé-todo clínico de Piaget por considerarlo elmás adecuado para este tipo de estudiossobre el pensamiento infantil. Véase laIntroducción a Piaget (1926) para una

Las preguntas eran las siguientes:

¿Has estudiado conjuntos?¿Sabes qué es un conjunto? Dibujo de un

conjunto.Representación del conjunto dentro de un

cuadrado.Representación del conjunto sin línea.¿Por qué se necesita que el conjunto esté

rodeado?¿Qué es el conjunto: la línea o los elementos?¿Qué es un subconjunto?¿Qué es la unión de conjuntos? Dibujo.¿Qué es la intersección de conjuntos? Dibujo.¿Qué es un elemento?

A continuación, se le pedía que forma-ra conjuntos con el material que teníamosencima de la mesa, una vez que habíaobservado sus características: forma, co-lor, tamaño, etc. Disponíamos de unoscordeles que servían para rodear el mate-rial por si los niños querían utilizarloscomo representación del diagrama.

Después de esta tarea, se le presenta-ban al sujeto dos conjuntos, formado 71-

cada uno de ellos por cinco elementos iguales (por ejemplo, cinco animales y

cinco dados) y se le preguntaba si ambosconjuntos se parecían en algo, a fin dever si reconocía la equivalencia numérica.A continuación se hacían preguntas acer-ca de otros puntos de la entrevista ydespués se volvían a presentar dos con-juntos coordinables o equivalentes, eneste caso formados por cuatro elementosdistintos (por ejemplo, una cabra, uncuadrado, un número y un dado, y unleón, dos números y un círculo) paracomprobar si el niño tenía adquirida lanoción y era capaz de generalizarla a otrasituación.

Por último, planteábamos a los sujetosvarias preguntas sobre la existencia deconjuntos en la realidad, sobre la utilidadde su aprendizaje y su relación con lasmatemáticas:

¿En esta habitación hay conjuntos?¿Cuando estáis en el recreo, formáis un

conjunto? ¿Los árboles son un conjunto?¿Para qué sirven los conjuntos?¿Los conjuntos tienen que ver algo con las

matemáticas?¿Se pueden sumar y restar conjuntos?

Análisis.—Hemos analizado las res-puestas de forma cualitativa intentandodescribir la secuencia evolutiva que se daen la comprensión de las diferentes no-ciones.

de ((conjunto», las respuestas que dabanlos niños pueden dividirse en cuatro cate-gorías:

i) No saben qué es un conjunto o setrata de respuestas tautológicas.

ji) La definición hace hincapié en lanecesidad del diagrama de Euler, confun-diendo la noción con su representación.Aquí se encontrarían definiciones de con-junto, tales como «un redondel con cosasdentro» o «un grupo de elementos rodea-dos». Naturalmente, estas dos respuestasno implican el mismo nivel de compren-sión, pero comparten ambas la necesidadsine que non de que exista algo que rodeelos elementos para que haya un conjunto.

iii) Las definiciones por el ejemplo,denominadas así por Piaget (1924), sonmenos evolucionadas que las definicioneslógicas en las que se tienen en cuenta losatributos del concepto, pero suponen yaun primer manejo de éste. Con todo, losejemplos que nos han dado los niños noson igualmente correctos. No podemosequiparar las dos respuestas siguientes:

AZ (6; 5): «Por ejemplo, tienes muchoscaramelos y los metes en un conjunto».

GAR (9; 14): «Los animales son unconjunto, un conjunto de animales».

iv) Los sujetos señalan que la carac-terística principal de un conjunto es serun grupo o reunión de cosas, que puedentener o no una propiedad en común, y nonecesitan «estar encerrados» en algo paraformar un conjunto.

Estas diferentes clases de respuestas sedistribuyen según las edades. Los niñosentre 6 y 8 arios, o bien no saben o bienincluyen en su definición la referencia auna línea concreta que rodee los elemen-tos. A los 9 años, 4. 0 de EGB, se puedenencontrar respuestas de los cuatro tiposantes citados. Y es a los io y i i arioscuando el sujeto se despega de algunosaspectos concretos de la noción de con-junto, como el diagrama, y pasa a nocio-nes más elaboradas: «Conjunto es unacolección de objetos de la misma clase» o«una reunión de objetos y cosas». Essorprendente que las respuestas referen-tes a la necesidad del diagrama siguenapareciendo a los 9, io y u años.

Una progresión semejante en las res-puestas se encuentra cuando insistimos ypreguntamos a los niños qué es realmente lo

Nos ocuparemos, en primer lugar, dela definición y reconocimiento de algunasnociones de la teoría de conjuntos. Pasa-remos luego a analizar cómo los niñosforman conjuntos con un material deter-minado para finalizar resumiendo quéutilidad ven en el estudio de estos conte-nidos.

RESULTADOS

Conjunto.—Dentro de las preguntas so-bre la noción de conjunto podemos dis-tinguir: a) las relativas a la «definición»,en las que al niño se le pedía una defini-ción verbal y un dibujo del conjunto, y(b) las relativas al ((reconocimiento», diri-gidas a que el niño juzgara si el dibujo deunos elementos dentro de un cuadrado ode los elementos solos formaban un con-junto.

72 a) Por lo que se refiere a la definición

que forma el conjunto: la línea cerrada, loselemelitub o ambas cosas. Para la mayoríade los niños de 6 y 7 años, el conjunto esel redondel. Esta respuesta desaparece enlas siguientes edades: los niños mayoresseñalan que el conjunto es ambas cosas oestá formado por los elementos. El dia-grama sirve para evitar confusiones a lahora de representar conjuntos, pero no loconstituye.

b) En cuanto al reconocimiento del con-junto en las dos situaciones antes mencio-nadas (elementos dentro del cuadrado yelementos solos), comprobamos que losniños aceptaban con mayor facilidad quese tratara de un conjunto si los elementosestaban dentro de un cuadrado que si noexistía ninguna línea que los rodeara.Sólo los más pequeños (entre 6 y 8 años)negaban que los elementos dentro de uncuadrado formaran un conjunto. Sin em-bargo, la mayoría de los sujetos desde 1.0hasta 6. 0 de EGB, de 6 a i i arios, seresisten a aceptar que los elementos porsí solos formen un conjunto. De 4.0 a 6.0,entre 9 y u arios, más del 5o por i oo delos niños siguen afirmando que si no haydiagrama no hay conjunto, lo que ponede relieve el apego a una configuraciónperceptiva determinada.

En resumen, podemos observar que lasecuencia que se da en la construcción deesta noción es la siguiente: en un primermomento, conjunto y redondel son equi-valentes. Posteriormente, para que hayaun conjunto es necesario, además de lalínea cerrada, unos elementos que lo for-men. Por último, la existencia de ungrupo de elementos es condición suficien-te para que podamos hablar de conjunto.Se ha pasado de la centración en unarepresentación concreta al logro de unanoción abstracta.

Otras nociones de la teoría de conjun-tos.—Las respuestas a las preguntas rela-tivas a qué era un elemento, un subcon-junto, o la unión y la intersección reflejanigualmente el desconocimiento que losniños muestran con respecto a estos con-tenidos escolares. Hasta los 9 arios aproxi-madamente, los sujetos confunden en mu-chas ocasiones elemento, conjunto y sub-conjunto, y sus definiciones ponen unavez más de manifiesto el apego a losaspectos perceptivos de estas nociones,ante la incapacidad de asimilarlas de unamanera abstracta. Así, por ejemplo, ladiferencia entre lo que es un elemento y

lo que no, reside únicamente en la situación de «estar dentro» del diagrama o la iltscrIturie

cuerda, y un conjunto y un subconjuntose distinguen exclusivamente por su for-ma o su tamaño.

Por lo que respecta a la unión y laintersección, resulta bastante descorazo-nador que tan sólo un zo por ioo de lossujetos muestren una comprensión más omenos adecuada de lo que significan. Elresto de la muestra tan sólo recuerda lossignos mediante los que se representan( Uyn ) o el dibujo de los diagramas, lamayor parte de las veces confundiendouna y otra situación. Incluso cuando larepresentación es correcta, al profundizarmínimamente en las respuestas del sujetose conserva una falta total de compren-sión, como en el caso de este niño:

HER (8; lo):

—¿Te acuerdas de lo que es la inter-sección?

—Sí, dos redondeles que se unen (lo dibuja).

—¿Este, por qué está en el medio?

—Porque es la intersección.—¿Y en vez de éste (0) podría estar

éste (Q)?

—No.—¿Por qué?

—No sé.

—¿Por qué ése es la intersección? ¿Quéquieres decir con eso?

—Porque no pueden estar todos aquí yninguno aquí.

—¿Pero ése (0) está ahí por algo envez de ése (Q) o ése (0)?

—Sólo pueden estar uno o dos.—¿Tres no?

—No.—¿Pero éste (O ), por qué está en vez

de estar el triángulo solo?

—Porque... No sé. 73

saltaw

74

Sin embargo, es prácticamente seguroque la mayoría de estos niños, que no soncapaces de explicar lo que es la unión ola intersección, realizarían perfectamenteuna adición de clases en la tarea declasificación y podrían señalar el resulta-do final, y si algún elemento estaba repe-tido en los dos grupos. Es la falta deconexión entre estas acciones, que el niñorealiza normalmente, y los contenidos dela teoría de conjuntos lo que dificulta suaprendizaje.

Conjuntos coordinables.—Nos han pareci-do especialmente relevantes los resultadosque hemos encontrado en la parte de laprueba que trataba el tema de los conjun-tos coordinables o equivalentes.

Uno de los objetivos al introducir lateoría de conjuntos es que los niñosdeberían llegar al concepto de númeroabstrayéndolo del hecho de que en dosconjuntos equivalentes el único atributocomún es justamente la cantidad de ele-mentos que. los componen.

Se podría esperar, por el nivel deabstracción que esto exige, que no iba aser un proceso que los niños realizaran

'fácilmente y, de hecho, los resultados denuestra investigación ponen de manifies-to ese fracaso. Hasta los 9 arios aproxima-damente, los niños, en general, son inca-paces de reconocer como característicacomún de los conjuntos el número deelementos, incluso cuando se lo sugería-mos al ir quitando un elemento de cadauno de los dós conjuntos.

La mayoría de los niños aluden a atri-butos como el colór y el tamaño de losobjetos para explicar por qué son igualeslos conjuntos, o al hecho de que los dostienen cuerdas y elementos. Todas estasrazones que los niños señalan tan sóloexigen una abstracción empírica sóbre larealidad, mientras que el número supon-dría ya la abstracción reflexiva, al serproducto de nuestras acciones de contarelementos y comparar la suma de losmismos en uno y otro conjunto.

El resultado dé esta prueba pone enduda una vez más la validez de la teoríade conjuntos para la introducción delconcepto de número, ya que muchos deestos niños habían alcanzado esta noción,pero a través de otro tipo de experienciasde cuantificación, en situaciones máspróximas a ellos.

Formación de conjuntos con un materialdeterminado.—Para esta tarea, todo el ma-terial estaba disgregado sobre la mesadesde el inicio de la entrevista con elniño, quien, al entrar en la habitación, seencontraba con un montón desordenadode diferentes objetos.

Al comenzar la tarea preguntábamos alsujeto si conocía cada una de las cosasque había sobre la mesa, lo que nos servíapara adoptar su propia nomenclatura du-rante el resto de la entrevista (por ejem-plo, «cuadraditos» para los dados, «redon-deles» para los círculos, «tiras)> para losrectángulos). Le preguntábamos despuéssi con ellos se podía formar algún conjun-to, pidiéndole que hiciera cuantos pudie-ra. Mientras los iba formando nos asegu-rábamos del nombre que daba a cada unoy de la razón de que los rodeara o no conlas cuerdas.

A continuación le planteábamos la po-sibilidad de hacer otros conjuntos distin-tos con el material, si espontáneamenteno había considerado más que un solocriterio de clasificación.

Se han analizado dos aspectos en estatarea: a) la necesidad de utilizar cuerdas yb) los criterios que tienen en cuenta losniños para formar los conjuntos. En esteúltimo se observa un claro desarrollo deunas edades a otras, mientras que en elprimero, como veremos a continuación,el cambio es más lento.

La necesidad de utilizar cuerdas que ro-deen los conjuntos es producto de latendencia a considerar el conjunto comoalgo que tiene forma redonda. Esta ten-dencia, prácticamente unánime en los tresprimeros cursos (sujetos entre 6 y 8años), persiste en la mitad de los niños delos tres últimos (sujetos entre 9 y it años).

En los más pequeños, esto les lleva adisponer de modo espontáneo el materialen forma circular. Cogen algunos objetos,normalmente de una misma clase, y hacencon ellos un círculo que a veces tienealgo dentro. Esta conducta, que sigueapareciendo entre los de 8 años, es seme-jante a la de los sujetos que identifican elconjunto con el círculo de las figurasgeométricas. El siguiente ejemplo ilustraeste tipo de conducta:

SER (6; 6):

--¿Con estas cosas se pueden hacerconjuntos?

—Sí, con este (círculo pequeño)._ es unconjunto, pero sin esto (sólo la tapa).

—¿Por qué es un conjunto?

—Porque es redondito.

—¿Hay alguna cosa más que pudieraser un conjunto?

—Sí, esto (círculo grande).

—Y esto, ¿qué es?

—Animales.

—¿Y se puede hacer un conjunto?

—No, porque no tienen forma de conjunto.(Dice que con dos jirafas sólo no puedehacer un conjunto.)

—Esto, ¿qué es?

—Esto son cubos.

—¿Hay más cubos?

—Sí.

—¿Podrían ser un conjunto?

—Sí. (Dispone los cubos formando uncírculo.)

—¿Por qué los has colocado así?

—Porque si no, no era un conjunto.

—¿Y hay algo dentro?

— No.

—¿No hace falta?

—No.

—¿Y esto es un conjunto? (dos trián-gulos)

—No.

—¿Y si les pongo esto? (los rodea conuna cuerda).

—Ahora sí.

Sólo la mitad de los mayores conside-ran innecesario rodear los objetos conuna cuerda y explican que a veces sedibujan así por motivos de clasificación,nombrando varias formas de representa-ción además de los diagramas de Euler,como el diagrama lineal y las llaves.

Con respecto al criterio de formación delos conjuntos se pueden distinguir cincocategorías generales de clasificación:

I. Ausencia de criterio.—Los sujetos deesta categoría no tienen en cuenta unapropiedad común a todos los elementos

que reúnen en un conjunto. Había dosconductas incluidas en esta categoría, quesuelen aparecer a veces en un mismosujeto.

La primera se refiere a lo que hemosllamado elementos mezclados y en ella es lacuerda lo que define el conjunto, dentrode la cual pueden meter cualquier objetode los que hay sobre la mesa (cuadrados,cabras y números), habiendo elementoscomunes a varios conjuntos (caballo endos conjuntos distintos).

La segunda conducta que refleja unaausencia de criterio es la denominada decriterio variable. Consiste en que el sujetoagrupa, por ejemplo, unos elementos porel color (jirafa, triángulo y dado azules);otros, por el tamaño (círculo amarillo ycuadrado rojo grande); otros, por uncriterio específico distinto (dos triángu-los, de distinto color y tamaño). Estaactuación pone de manifiesto la dificultaddel niño para tener en cuenta a la veztodo el material y aplicarle un criterio declasificación: por ejemplo, tipo de objeto(animales, figuras geométricas, dados, nú-meros) y luego otro al mismo material:por ejemplo, color (elementos rojos, ama-rillos, azules, verdes, blancos, grises).

La ausencia de criterio caracteriza a losconjuntos que forman los niños de 6años, aunque sigue apareciendo aislada-mente todavía en los de lo años. Lasubcategoría más frecuente es la de ele-mentos mezclados, lo que coincide con eluso de las cuerdas, como elemento quedefine el conjunto de objetos dispares, ycon la definición de conjunto como dia-grama.

II. Conjuntos paralelos.—Esta catego-ría supone ya un inicio de criterio: setiene en cuenta una propiedad común atodos los elementos de cada conjuntoformado, pero hacen varios conjuntossemejantes: por ejemplo, varios de «ani-males». Hemos incluido en esta categoríaa aquellos sujetos que hacen conjuntosincompletos, dejando fuera elementos quesegún el criterio elegido deberían entraren los conjuntos formados, porque reflejala misma dificultad para manejar la exten-sión de la clase. Esta categoría correspon-de a los sujetos entre 6 y 8 años.

III. Conjuntos por la propiedad específi-ca.—Los niños forman conjuntos consi-derando sólo la propiedad más inmediata,menos extensa, de los elementos que

U--;"7:tura.1Escritora:

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agrupa. Así dividen, por ejemplo, las figuras geométricas en triángulos, círcu-

los, etc., o según su color; los animales,según su especie, resistiéndose . a abstraerla propiedad más general de varios ele-mentos. La mitad de los niños de segun-do curso (siete arios) manifiesta esta con-ducta y aparece de modo aislado en losdemás cursos.

IV. Conjuntos por la propiedad general demodo ocasional.—Los niños de esta catego-ría forman un(os) conjunto(s) según unapropiedad general, pero no otros; porejemplo, muchos sujetos agrupan todoslos animales bajo esta denominación (consubconjunto o no), pero vuelven a estra-tegias anteriores con el resto del materialy así forman conjuntos paralelos, mezclanelementos o aplican una propiedad espe-cífica. O bien, hacen clases generalesiniciales con todos los elementos, perovuelven a conductas anteriores cuando seles pide otra posibilidad de clasificación.Puede ocurrir también que comiencenpor clases específicas o conjuntos parale-los y luego lleguen a abstraer propiedadesgenerales en unos casos, pero no en otros.

Esta categoría es característica de lossujetos entre 9 y io arios.

V. Conjuntos según la propiedad generalcon subconjuntos.—En este caso, los sujetosson capaces de distinguir propiedades dedistinto grado de abstración en los con-juntos, incluyendo en éstos subconjuntos.Domina ya, por tanto, la extensión ycomprensión de la clase y es notoriatambién la facilidad para pensar en otrocriterio de clasificación. Algunos sujetosagrupan objetos aparentemente dispares.Sin embargo, a diferencia de los niñospequeños para quienes su inclusión den-tro de la cuerda les haría ser automática-mente un conjunto, estos sujetos definenéste por una propiedad que se abstrae delos objetos, como en el caso de MOR (i i;lo), quien después de reunir las figurasgeométricas, dados, animales y números,mezcla elementos de cada uno de éstos ylo llama el conjunto «de juguetes».

76

La utilidad de los conjuntosy su relación con las matemáticas

, Entre otros, uno de los objetivos deeste trabajo era estudiar la «utilidad» quelos niños conceden a los conjuntos y si

aprecian que existe algún tipo de relaciónentre éstos y , las «otras» matemáticas,aspectos éstos de los que se han ocupadotambién otros estudios (Sastre y More-no, 198o).

Hace tiempo que sabemos que paraque se produzca un aprendizaje «signifi-cativo» (Novak, 1977) debe existir unapredisposición del alumno hacia la tareade aprendizaje, disposición que es difícilmantener si ésta no conecta con los inte-reses del sujeto o si la nueva informaciónque ha de asimilarse no tiene relación conla estructura cognitiva del sujeto.

La escuela, además, no puede vivirencerrada en sí misma, sino que ha deasegurar la funcionalidad de los aprendi-zajes que en ella se desarrollan y, por ello,que sirvan tanto para preparar al sujetopara la vida como para estimular sudesarrollo intelectual y social. Por eso,nos parecía importante saber si los suje-tos aprecian la utilidad de tantas horascomo invierten «haciendo conjuntos» y sihan encontrado en ellos un camino másfácil para comprender algunos conceptosmatemáticos que se introducen posterior-mente en las programaciones escolares.

El análisis de las respuestas de losniños no puede ser más aclaratorio. Queestas enseñanzas debían servir para quelos niños fueran capaces de aplicar a larealidad un método de análisis lógico-ma-temático se aprecia sólo en un 30 por joodel total de las respuestas. El resto, fun-damentalmente hasta los 9 años, no soncapaces de transferir estos contenidos fue-ra del contexto escolar.

PEI (7; 1):

—¿Por qué estudias conjuntos?

—Porque los profesores los estudian depequeños y luego se los enseñan a los niños.

Lo que se estudia y se hace en laescuela es, para muchos niños, algo quesirve «para estudiar» y «para aprender»,es decir, actitudes cuya finalidad y utili-dad descansa en su propia contemplación.Si el estudio de tantos conjuntos sirvieraal menos para introducir mejor algunosconceptos matemáticos posteriores, notodo el esfuerzo sería baldío. Sin embar-go, de los 43 sujetos a los que se les hapreguntado si había alguna relación entrelos conjuntos y las operaciones de sumay resta, 38 afirmaron que no veían ningu-na relación, salvo la de que las dos cosas

estaban en el libro de matemáticas. Queel 62 por loo de las respuestas obtenidasaludan a razones –de este tipo como todaconexión entre las matemáticas y los con-juntos es suficientemente indicativo delfracaso de este aprendizaje.

Siempre podemos pensar que pregun-tas como, ¿para qué sirven los conjuntos?sitúan el problema en el plano de lareflexión abstracta, no siempre posiblepara muchos niños. Para evitar el quedar-nos en un plano de reflexión abstracta,pedíamos a los sujetos que nos indicasenqué conjuntos se podrían hacer con loselementos de su entorno. Los resultados,sin embargo, parecen confirmar las ideasque venimos manteniendo. Por una par-te, no sólo un grupo importante de niños(entre 6 y 7 arios) es incapaz de ver laposibilidad de formar conjuntos con losobjetos de la habitación, sino que más del5 o por ioo de los sujetos hasta 8 ariosconsideran necesaria la presencia del cír-culo, la cuerda o algo que encierre losobjetos para considerarlos como un con-junto, tendencia que, en parte, se mantie-ne hasta los u y 12 años.

REM (lo; 9):

—¿Los coches en la autopista formanun conjunto?

—Sí.

—¿Y están encerrados en algo?

—Sí, en la autopista.

—¿Y muchos aviones en el cielo es unconjunto de aviones?

—Sí.

—¿Y están encerrados en algo?

—Sí, están encerrados en el mundo.

—¿Siempre tienen que estar encerradospor algo?

—Sí.

—¿Y hay un conjunto de estrellas?

—Sí, ya que están encerradas en el cielo.

Esto que, sin duda, podría ser unbrillante ejercicio de imaginación, no cree-mos que sea el objetivo que se persiguiócuando se introdujo la teoría de conjun-tos en la escuela como fundamento deuna Matemática Moderna.

CONCLUSIONES

Los resultados de nuestro estudio sonbastante claros y no permiten hacernosmuchas ilusiones de lo que aprenden losniños de la teoría de conjuntos. O bienno aprenden nada, o aprenden mal. Estosresultados eran de esperar conociendo laevolución de la mente del niño. Esteasimila lo que se le enseña, modificandoy adecuándolo a sus estructuras intelec-tuales, que se hacen patentes a través deesas deformaciones.

Las ideas sobre lo que es un conjuntoson un ejemplo más de la dificultad quetienen los niños para acceder a nocionesabstractas que requieran poner en funcio-namiento la abstracción reflexiva para sucomprensión. Ante esta ausencia de ope-raciones de segundo grado o reflexiónsobre las propias acciones —en este caso,sobre las acciones de considerar unosobjetos y otros y reunirlos en virtud deun criterio—, el sujeto se queda sólo conel , conocimiento que le proporciona laabstracción directa o empírica sobre losobjetos, es decir, el conocimiento de suspropiedades físicas perceptibles; en nues-tro caso, la forma habitualmente redondade la representación del conjunto.

La noción de conjunto, por su elevadonivel de generalidad, resulta de las másabstractas de las matemáticas. Por otraparte, las nociones de la teoría de conjun-tos son, en su mayoría, relativas; porejemplo, el subconjunto, que sólo lo escon referencia a un conjunto. Una reu-nión de elementos tiene la propiedad deconjunto si el que lo crea —material omentalmente— los considera reunidos yque el sujeto tome conciencia de suspropias acciones supone una abstracciónrefleja. Esto es lo que persigue la ense-ñanza de la teoría de conjuntos. En lugarde ello, se dota a estas nociones decaracterísticas concretas y absolutas queocultan sus verdaderas características.

La primera confusión se refiere a lapropia noción de conjunto, que se iden-tifica con la línea que rodea los elemen-tos, tanto a la hora de definir conjuntoscomo de formarlos a partir de un materialdado (casi un 75 por ioo de la muestra«necesita» utilizar cuerdas) o de identifi-car conjuntos en la realidad. Los elemen-tos son algo que se da por añadidura. 77

Sólo a partir de los io y ti arios aparecenEE scrItara, definiciones más abstractas. Lo mismo

puede decirse de las restantes nociones,como subconjunto, elemento, y las ope-raciones de unión e intersección. Encon-tramos en ellas el mismo fenómeno deestar apegado el sujeto a característicasperceptivas y a formas de presentaciónanecdótica, que es el único aspecto queretiene.

Igualmente sorprendente resulta la des-conexión entre las nociones de la teoríade conjuntos y otras nociones matemáti-cas. Para muchos profesores resulta difícilestablecer esta conexión,' que tambiénfalta en los libros de texto, donde sepresentan por separado. Si esto es así, esde esperar que tampoco los alumnos en-tiendan la relación entre teoría de conjun-tos y matemáticas. Ni siquiera se dancuenta de la relación entre conjunto ynúmero, y de que los conjuntos coordi-nables tienen el mismo número de elemen-tos, buscando semejanzas en la forma ocolor de los elementos. Qué decir de lautilidad y aplicabilidad de los conjuntos.Para un 70 por ioo de la muestra, carecende ellas.

Es evidente, pues, que la mayoría nollega a ver el conjunto como una opera-ción mental, no necesariamente práctica,sobre objetos (no necesariamente reales),que pueden estar alejados en el espacio yen el tiempo. Esto es difícil de entenderpara niños que se encuentran en unaetapa de pensamiento concreto, ya quetienen que realizar materialmente dichaoperación y están más centrados en elaspecto físico de su resultado.

La introducción de la teoría de conjun-tos en la enseñanza básica se debe enparte a una interpretación errónea de lateoría de Piaget. Este sostiene que elniño, en su desarrollo más o menos es-pontáneo, realiza clasificaciones sirvién-dose de una serie de operaciones quedescribe la teoría de conjuntos. Pero notiene por qué tomar conciencia simultá-neamente de esas operaciones, lo que selograría más tarde en el desarrollo.

Es de esperar que estos resultados, quesólo apoyan lo que otros autores ya handemostrado, estimulen nuevas investiga-ciones y un replanteamiento de qué ense-ñar de matemáticas en EGB y cómohacerlo.

Notas1 Este trabajo recoge parte de los resultados del proyecto de investigación «La conexión de la enseñanza

de las Matemáticas y la Física en la segunda etapa de EGB», dirigido por Juan Delval. Dicha investigaciónfue financiada con cargo al IX Plan Nacional de Investigación de la Red INCIE - ICES de 1979, año enque se inició.

Resumen

Se examina la comprensión infantil de algunas nociones de la teoría de conjuntos en una muestra de sesenta niñosmadrileños entre y 1, años de edad. El análisis se centra en la definición) reconocimiento de conjuntos por parte de losniños, la formación de conjuntos a partir de un material dado) la conciencia de la utilidad de los conjuntos) su relacióncon otras áreas de las Matemáticas. Los resultados indican que más del jo % de los sujetos identifica el conjunto ton eldiagrama que lo representa) son incapaces de aplicar esas nociones a problemas concretos. Se interpretan estas dificultadesa la luz de la descripción piagetiana de los dos tipos de abstracción —empírica) reflexiva—,j los dos tipos deconocimiento —físico) lógico-matemático--- a que dan lugar.

Summar'

Children's understanding of some notions of set theo py is examined in a sample of 6o children. The analysis focuseson children's definition and identification of sets; sets' construction with a given material; and the awareness of the utilityof them and their rea/ion lo ober domains in Mathematies. Results show that more than jo % of the sample identifiesthe set with ¿be diagram representing it, and is unable to apio!) , tbose notions lo specific situation,. These difficulties areinterpreted in terms of the piagetian description of two types of abstraen«, —empirical and reflective-- and the tinotypes of knowledge that they lead to physical and logico-mathematiral.78

Résumé .1falElisorltaraz

On examine la compréhension de quelques notions de la théorie des ensemble: che fenfant, dans une échantillon de6o enjaule avec un áge compris entre 6 el 11 ans. L'analyse est centré sur la définition el réconaissante d'ensembles parles enfants, la forma/ion d'ensembles á partir ¿'un materiel donné el la conscience de futilité des ensembles el leur relationavec d'autres aspects des Mathématiques. Les résultats indiquent_queplus de ;o % des sujete identifie !ensemble avec lediagramme qui le représente, el qu'ils ne peuvent pas appliquer ces 'ration: á des problemes concrete. On interprete cenesdifficultés á la lumiére de la description piagetienne des deux ypes d'abstraction —empirique el réfléchissante-- el lesdeux types de connaissance —physique el logico-mathématique-- qui s'en decoulent.

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