TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

Bài giảng môn học: Vật lý đại cương A2

Tác giả: Nguyễn Phƣớc Thể 0

dTRƢỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

KHOA – KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN - VẬT LÝ

BÀI GIẢNG MÔN HỌC

VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A2

Dùng cho sinh viên hệ đại học

các ngành kỹ thuật



GIỚI THIỆU

Vật lý học là môn học nghiên cứu về tất cả các dạng vận động của vật chất từ vĩ

mô đến vi mô. Những thành tựu vật lý học ngày hôm nay chúng ta sử dụng và đang hiểu

đƣợc đƣợc là sản phẩm tƣ duy của loài ngƣời và cả các nhà bác học lớn. Chƣơng trình vật

lý đại cƣơng có mục tiêu truyền đạt đến cho các bạn sinh viên chúng ta một cách nhìn

tổng quát nhất về các dạng vận động của vật chất, các hiện tƣợng, các lý thuyết vật lý mà

đó là cơ sở trong việc nắm bắt đƣợc sự vận động của vật chất. Song song với đó thì

chƣơng trình này cũng là cơ sở cho hoạt động nghiên cứu khoa học và ứng dụng trong

khoa học, kỹ thuật và đời sống. Ta biết rằng, trong phần vật lý đại cƣơng A1, đối tƣợng

nghiên cứu là những vấn đề cơ bản về cơ học và nhiệt học. Trong phần vật lý đại cƣơng

A2 chúng ta sẽ tìm hiểu thêm về dao động, trƣờng tĩnh điện, từ trƣờng, quang sóng,

quang lƣợng tử và cơ học lƣợng tử. Tuy nhiên, việc biên soạn nội dung bài giảng này

nằm trong đề cƣơng và thời gian đƣợc phân bố cho môn học nên không thể chuyển tải hết

tất cả các vấn đề của vật lý học mà là những vấn đề tổng quan nhất cho từng đối tƣợng

đƣợc nghiên cứu. Trên cơ sở tập bài giảng này các bạn sinh viên tìm đọc thêm các tài liệu

tham khảo, các giáo trình vật lý của các tác giả khác trong và ngoài nƣớc để có thêm

nhiều thông tin mới phục vụ cho công tác học tập và nghiên cứu của mình. Đây là tập bài

giảng dùng cho sinh viên tại trƣờng Đại Học Duy Tân sử dụng. Tuy nhiên tập tài liệu này

không thể tránh khỏi những thiếu sót mong quý đồng nghiệp, các đọc giả và các bạn sinh

viên góp ý để đƣợc hoàn thiện hơn.



MỤC LỤC

CHƢƠNG 1: TRƢỜNG TĨNH ĐIỆN ...................................................................... 7

I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU .......................................................................... 7

II. NỘI DUNG ................................................................................................ 7

§1. TƢƠNG TÁC ĐIỆN - ĐỊNH LUẬT COULOMB ............................................. 7

1. Tƣơng tác điện ....................................................................................................... 7

2. Thuyết điện tử - Định luật bảo toàn điện tích ........................................................ 7

3. Định luật Coulomb ................................................................................................. 8

4. Nguyên lý chồng chất các lực điện ........................................................................ 9

§2. ĐIỆN TRƢỜNG ................................................................................................ 11

1. Khái niệm điện trƣờng ......................................................................................... 11

2. Vectơ cƣờng độ điện trƣờng ................................................................................ 11

3. Vectơ cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một điện tích điểm ................................ 12

4. Véctơ cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một hệ vật mang điện - Nguyên lý chồng

chất điện trƣờng ....................................................................................................... 13

§3. ĐIỆN THÔNG ................................................................................................... 16

1. Đƣờng sức điện trƣờng ........................................................................................ 16

2. Véctơ cảm ứng điện ............................................................................................. 17

3. Điện thông ............................................................................................................ 18

§5. ĐỊNH LÝ ÔXTRÔGRATXKI - GAUSS (O - G) ............................................. 20

1. Thiết lập định lý ................................................................................................... 20

2. Phát biểu định lý .................................................................................................. 21

3. Ứng dụng định lý O-G ......................................................................................... 21

4. Dạng vi phân của định lý O – G .......................................................................... 23

§6. CÔNG CỦA LỰC TĨNH ĐIỆN - ĐIỆN THẾ .................................................. 24

1. Công của lực tĩnh điện ......................................................................................... 24

2. Thế năng của điện tích trong điện trƣờng ............................................................ 25

3. Điện thế – Hiệu điện thế ...................................................................................... 26

CÂU HỎI LÝ THUYẾT.......................................................................................... 28

BÀI TẬP .................................................................................................................. 29

CHƢƠNG 2: .....................................TỪ TRƢỜNG ............................................. 36

I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU ..................................................................................... 36

II. NỘI DUNG ......................................................................................................... 36



§1. TƢƠNG TÁC TỪ CỦA DÕNG ĐIỆN - ĐỊNH LUẬT AMPÈRE .................. 36

1. Thí nghiệm về tƣơng tác từ .................................................................................. 36

2. Định luật Ampe (Ampère) về tƣơng tác giữa hai dòng điện ............................... 37

§2. VECTƠ CẢM ỨNG TỪ, VECTƠ CƢỜNG ĐỘ TỪ TRƢỜNG ..................... 39

1. Khái niệm từ trƣờng ............................................................................................. 39

2. Các đại lƣợng đặc trƣng cho từ trƣờng ................................................................ 40

3. Xác định vectơ cảm ứng từ và vectơ cƣờng độ từ trƣờng ................................... 41

§3. TỪ THÔNG - ĐỊNH LÝ ÔXTRÔGRATSKI- GAUSS ĐỐI VỚI TỪ

TRƢỜNG ................................................................................................................. 45

1. Đƣờng cảm ứng từ ............................................................................................... 45

2. Từ thông ............................................................................................................... 46

3. Định lý Oxtrogratxki - Gauss đối với từ trƣờng .................................................. 48

§4. ĐỊNH LÝ AMPÈRE VỀ DÕNG ĐIỆN TOÀN PHẦN .................................... 49

1. Lƣu số của vectơ cƣờng độ từ trƣờng .................................................................. 49

2. Định lý Ampère về dòng điện toàn phần ............................................................. 49

3. Ứng dụng định lý Ampère ................................................................................... 53

§5. TÁC DỤNG CỦA TỪ TRƢỜNG LÊN DÕNG ĐIỆN ..................................... 54

1. Lực Ampère ......................................................................................................... 54

2. Tƣơng tác giữa hai dòng điện thẳng song song dài vô hạn ................................. 55

3. Tác dụng của từ trƣờng đều lên mạch điện kín ................................................... 56

4. Công của lực từ .................................................................................................... 57

§6 TÁC DỤNG CỦA TỪ TRƢỜNG LÊN HẠT ĐIỆN CHUYỂN ĐỘNG ........... 58

1. Lực Lorentz .......................................................................................................... 58

2. Chuyển động của hạt điện trong từ trƣờng đều ................................................... 59

CÂU HỎI LÝ THUYẾT.......................................................................................... 61

BÀI TẬP .................................................................................................................. 62

CHƢƠNG 3:.......................................DAO ĐỘNG ............................................... 68

I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU ..................................................................................... 69

II. NỘI DUNG ......................................................................................................... 69

§1. DAO ĐỘNG CƠ ĐIỀU HÕA .......................................................................... 69

1. Hiện tƣợng .......................................................................................................... 69

2. Phƣơng trình dao động điều hòa ......................................................................... 70

3. Khảo sát dao động điều hòa ................................................................................ 71

4. Năng lƣợng dao động điều hòa ........................................................................... 72

§ 2. DAO ĐỘNG CƠ TẮT DẦN ........................................................................... 73

1. Hiện tƣợng .......................................................................................................... 73

2. Phƣơng trình dao động tắt dần ............................................................................ 73

3. Khảo sát dao động tắt dần ................................................................................... 74

§3. DAO ĐỘNG CƠ CƢỠNG BỨC ...................................................................... 75



1. Hiện tƣợng .......................................................................................................... 75

2. Phƣơng trình dao động cƣỡng bức.................................................................. 75

§4. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ ĐIỀU HÕA ................................................................ 76

1. Mạch dao động điện từ LC .................................................................................. 77

2. Thiết lập phƣơng trình dao động điện từ điều hòa .............................................. 78

§5. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ TẮT DẦN................................................................... 79

1. Mạch dao động điện từ RLC ................................................................................ 79

2. Phƣơng trình dao động điện từ tắt dần................................................................. 79

§6 DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ CƢỠNG BỨC ........................................................ 81

1. Hiện tƣợng ........................................................................................................... 81

2. Phƣơng trình dao động điện từ cƣỡng bức ......................................................... 81

§7 . TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ............................................................................... 82

1. Biểu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay ................................................... 83

2. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phƣơng cùng tần số ................................ 83

CÂU HỎI LÝ THUYẾT.......................................................................................... 84

BÀI TẬP .................................................................................................................. 84

CHƢƠNG 4:......................THUYẾT TƢƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN ................... 90

I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU ..................................................................................... 90

II. NỘI DUNG ......................................................................................................... 90

§1. CÁC TIÊN ĐỀ EINSTEIN ................................................................................ 90

1. Nguyên lí tƣơng đối ............................................................................................. 90

2. Nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng .................................................... 91

§2. ĐỘNG HỌC TƢƠNG ĐỐI TÍNH – PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ ................. 91

1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tƣơng đối Einstein ............. 91

2. Phép biến đổi Lorentz .......................................................................................... 92

§3. CÁC HỆ QUẢ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ ......................................... 93

1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả .............................................. 94

2. Sự co lại của độ dài (sự co ngắn Lorentz) ........................................................... 94

3. Sự giãn của thời gian ........................................................................................... 95

4. Phép biến đổi vận tốc ........................................................................................... 96

§ 4. ĐỘNG LỰC HỌC TƢƠNG ĐỐI ..................................................................... 97

1. Phƣơng trình cơ bản của chuyển động chất điểm ................................................ 97

2. Động lƣợng và năng lƣợng .................................................................................. 98

3. Các hệ quả ............................................................................................................ 99

CÂU HỎI LÍ THUYẾT ......................................................................................... 100

BÀI TẬP ................................................................................................................ 100

CHƢƠNG 5:.......... GIAO THOA ÁNH SÁNG - NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG ....... 104

I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU ................................................................................... 104



II. NỘI DUNG ....................................................................................................... 105

§1. CƠ SỞ CỦA QUANG HỌC SÓNG ............................................................... 105

1. Một số khái niệm cơ bản về sóng ...................................................................... 105

2. Thuyết điện từ về ánh sáng của Maxwell .......................................................... 106

3. Quang lộ ............................................................................................................. 106

4. Định lí Malus về quang lộ ................................................................................. 106

5. Hàm sóng ánh sáng ............................................................................................ 107

6. Cƣờng độ sáng .................................................................................................................... 107

7. Nguyên lí chồng chất các sóng .......................................................................... 107

8. Nguyên lí Huygens ............................................................................................ 108

§2. GIAO THOA ÁNH SÁNG .............................................................................. 108

1. Định nghĩa .......................................................................................................... 108

2. Khảo sát hiện tƣợng giao thoa ........................................................................... 109

§3. GIAO THOA DO PHẢN XẠ - THÍ NGHIỆM Loyd ..................................... 111

§4. ỨNG DỤNG HIỆN TƢỢNG GIAO THOA ................................................... 112

1. Khử phản xạ các mặt kính ................................................................................. 112

2. Giao thoa kế Rayleigh (Rêlây) .......................................................................... 113

3. Giao thoa kế Michelson (Maikenxơn) ............................................................... 113

CÂU HỎI LÍ THUYẾT ......................................................................................... 114

BÀI TẬP ................................................................................................................ 115

§5. HIỆN TƢỢNG NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG ....................................................... 116

1. Hiện tƣợng nhiễu xạ ánh sáng ........................................................................... 116

2. Nguyên lí Huygens - Fresnel ............................................................................. 116

§6. NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG CỦA SÓNG PHẲNG ............................................ 117

1. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp ....................................................... 117

2. Nhiễu xạ của sóng phẳng truyền qua cách tử phẳng ......................................... 119

3. Nhiễu xạ trên tinh thể......................................................................................... 120

CÂU HỎI LÍ THUYẾT ......................................................................................... 121

BÀI TẬP ................................................................................................................ 121

CHƢƠNG 6: QUANG HỌC LƢỢNG TỬ .......................................................... 126

I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU ................................................................................... 126

II. NỘI DUNG ....................................................................................................... 127

§1. BỨC XẠ NHIỆT ............................................................................................. 127

1. Bức xạ nhiệt là gì ? ............................................................................................ 127

2. Các đại lƣợng đặc trƣng của bức xạ nhiệt cân bằng .......................................... 127

3. Định luật Kirchhoff ............................................................................................ 129

§2. CÁC ĐỊNH LUẬT PHÁT XẠ CỦA VẬT ĐEN TUYỆT ĐỐI ...................... 130

1. Định luật Stephan-Boltzmann ............................................................................ 130

2. Định luật Wien ................................................................................................... 131



3. Sự khủng hoảng ở vùng tử ngoại ....................................................................... 131

§3. THUYẾT LƢỢNG TỬ CỦA PLANCK & THUYẾT PHOTON CỦA

EINSTEIN .............................................................................................................. 132

1. Thuyết lƣợng tử của Planck ............................................................................... 132

2. Thành công của thuyết lƣợng tử năng lƣợng ..................................................... 132

3. Thuyết photon của Einstein ............................................................................... 133

4. Động lực học photon .......................................................................................... 134

§4. HIỆN TƢỢNG QUANG ĐIỆN ....................................................................... 135

1. Định nghĩa .......................................................................................................... 135

2. Các định luật quang điện và giải thích............................................................... 136

§5. HIỆU ỨNG COMPTON ................................................................................. 138

1. Hiệu ứng Compton ............................................................................................. 138

2. Giải thích bằng thuyết lƣợng tử ánh sáng .......................................................... 138

CÂU HỎI LÍ THUYẾT ......................................................................................... 140

BÀI TẬP ................................................................................................................ 141

CHƢƠNG 7: CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 146

I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU ................................................................................... 146

II. NỘI DUNG ....................................................................................................... 146

§1. LƢỠNG TÍNH SÓNG HẠT CỦA VI HẠT ................................................... 146

1. Lƣỡng tính sóng hạt của ánh sáng ..................................................................... 146

2. Giả thuyết de Broglie (Đơbrơi) .......................................................................... 148

3. Thực nghiệm xác nhận tính chất sóng của các hạt vi mô ............................... 148

§2. NGUYÊN LÝ BẤT ĐỊNH HEISENBERG .................................................... 149

§3. HÀM SÓNG .................................................................................................... 151

1. Hàm sóng ........................................................................................................... 152

2. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng ......................................................................... 152

3. Điều kiện của hàm sóng ..................................................................................... 153

§4. PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER .............................................................. 153

§5. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER .............................. 155

1. Hạt trong giếng thế năng .................................................................................... 155

2. Hiệu ứng đƣờng ngầm ....................................................................................... 158

3. Dao động tử điều hòa lƣợng tử .......................................................................... 162

CÂU HỎI LÍ THUYẾT ......................................................................................... 163

BÀI TẬP ................................................................................................................ 163



CHƢƠNG 1Equation Chapter 1 Section 1

TRƢỜNG TĨNH ĐIỆN

I. MỤC ĐÍCH - YÊU CẦU

1. Nắm vững định nghĩa và hiểu đƣợc ý nghĩa vật lý cùng đơn vị đo của các đại

lƣợng: véctơ cƣờng độ điện trƣờng, điện thế, hiệu điện thế, điện thông.

2. Hiểu và vận dụng đƣợc định luật Coulomb, định lý Ôxtrôgratxki – Gauss,

nguyên lý chồng chất điện trƣờng để giải các bài toán tĩnh điện.

3. Nhớ và vận dụng đƣợc biểu thức mô tả mối quan hệ giữa véctơ cƣờng độ điện

trƣờng và điện thế.

II. NỘI DUNG

§1. TƢƠNG TÁC ĐIỆN - ĐỊNH LUẬT COULOMB

1. Tƣơng tác điện

Cho đến ngày nay, tất cả chúng ta đều công nhận rằng trong tự nhiên tồn tại hai

loại điện tích, điện tích dƣơng và điện tích âm. Thực nghiệm xác nhận rằng giữa các điện

tích có tồn tại tƣơng tác, đƣợc gọi là tương tác điện. Các điện tích cùng dấu thì đẩy nhau,

các điện tích trái dấu thì hút nhau.

2. Thuyết điện tử - Định luật bảo toàn điện tích

Từ thế kỷ thứ 6 trƣớc công nguyên, ngƣời ta đã thấy rằng hổ phách cọ xát vào

lông thú, có khả năng hút đƣợc các vật nhẹ. Cuối thế kỷ 16, Gilbert (ngƣời Anh) nghiên

cứu chi tiết hơn và nhận thấy rằng nhiều chất khác nhƣ thủy tinh, lƣu huỳnh, nhựa cây v

v... cũng có tính chất giống nhƣ hổ phách và gọi những vật có khả năng hút đƣợc các vật

khác sau khi cọ xát vào nhau, là những vật nhiễm điện hay vật tích điện. Các vật đó có

điện tích.



Ta cũng có thể làm cho một vật nhiễm điện bằng cách đặt nó tiếp xúc với một vật

khác đã nhiễm điện. Ví dụ ta treo hai vật nhẹ lên hai sợi dây mảnh, rồi cho chúng tiếp xúc

với thanh êbônít đã đƣợc cọ xát vào da, thì chúng sẽ đẩy nhau. Nếu một vật đƣợc nhiễm

điện bởi thanh êbônít, một vật đƣợc nhiễm điện bởi thanh thủy tinh, chúng sẽ hút nhau.

Điều đó chứng tỏ điện tích xuất hiện trên thanh êbônit và trên thanh thủy tinh là các loại

điện tích khác nhau. Bằng cách thí nghiệm với nhiều vật khác nhau ta thấy chỉ có hai loại

điện tích. Ngƣời ta qui ƣớc gọi loại điện tích xuất hiện trên thanh thủy tinh sau khi cọ xát

vào lụa là điện tích dƣơng, còn loại kia là điện tích âm. Giữa các vật nhiễm điện có sự

tƣơng tác điện: những vật nhiễm cùng loại điện thì đẩy nhau, những vật nhiễm điện khác

loại thì hút nhau.

Thuyết điện tử

Điện tích trên một vật bất kỳ có cấu tạo gián đoạn, độ lớn của nó luôn bằng một số

nguyên lần điện tích nguyên tố. Điện tích nguyên tố âm là điện tích của electron (điện tử)

có giá trị bằng 191,6.10e C , khối lƣợng của electron bằng

319,1.10em kg .

Nguyên tử của mọi nguyên tố đều gồm một hạt nhân và những êlectrôn chuyển

động xung quanh hạt nhân. Hạt nhân nguyên tử gồm những proton mang điện dƣơng và

những notron không mang điện. Ở trạng thái bình thƣờng, số proton và số êlectrôn trong

nguyên tử là bằng nhau. Do đó nguyên tử trung hòa về điện. Nếu nguyên tử mất một hay

vài êlectrôn, nó sẽ mang điện dƣơng và trở thành ion dƣơng. Nếu nguyên tử thu thêm

êlectrôn, nó sẽ tích điện âm và trở thành ion âm. Quá trình nhiễm điện của các vật thể

chính là quá trình các vật thể ấy thu thêm hay mất đi một số êlectôn hoặc ion.

Thuyết dựa vào sự chuyển dời của electron để giải thích các hiện tƣợng điện đƣợc

gọi là thuyết điện tử. Theo thuyết này, quá trình nhiễm điện của thanh thủy tinh khi xát

vào lụa chính là quá trình electron chuyển dời từ thủy tinh sang lụa: thủy tinh mất

electron, do đó mang điện dƣơng; ngƣợc lại lụa nhận thêm electron từ thủy tinh chuyển

sang nên lụa mang điện âm, độ lớn của điện tích trên hai vật luôn bằng nhau nếu trƣớc đó

cả hai vật đều chƣa mang điện.

Đơn vị đo điện tích là Coulomb, kí hiệu là C . Độ lớn của điện tích đƣợc gọi là

điện lƣợng.

Định luật bảo toàn điện tích. “Các điện tích không tự sinh ra mà cũng không tự mất đi,

chúng chỉ có thể truyền từ vật này sang vật khác hoặc dịch chuyển bên trong một vật mà

thôi”. Nói một cách khác: “Tổng đại số các điện tích trong một hệ cô lập là không đổi”.

3. Định luật Coulomb

Khi khảo sát tƣơng tác giữa các điện tích, nếu chỉ quan tâm đến sự tƣơng tác mà

không quan tâm đến kích thƣớc của điện tích đó, xem điện tích tƣơng tác nhƣ các điện

tích điểm, thì lực tƣơng tác này tuân theo định luật Coulomb:

“Lực tương tác giữa hai điện tích điểm đứng yên trong chân không có phương

nằm trên đường thẳng nối hai điện tích, có chiều hướng xa nhau nếu hai điện tích cùng



dấu và hướng vào nhau nếu hai điện tích trái dấu, có độ lớn tỉ lệ thuận với tích độ lớn

của hai điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng”.

1 2 1 2

2 2

. .

4o

o

q q q qF k

r r (1.1)

Trong đó: 12 2 28,86.10 C /Nm

o (hay F/m): hằng số điện.

9 2 21

9.10 Nm /C4

o

k : hệ số tỷ lệ.

Khi viết dƣới dạng véctơ, ta qui ƣớc gọi véctơ khoảng cách giữa hai điện tích là r có

phƣơng nằm trên đƣờng thẳng nối hai điện tích đó, có chiều hƣớng về điện tích mà ta

muốn xác định lực tác dụng lên điện tích ấy và có độ lớn bằng khoảng cách giữa hai điện

tích điểm. Khi đó lực tƣơng tác giữa hai điện tích 1 2,q q đƣợc biểu diễn trên Hình 1 và

công thức véctơ sau đây:

1 2 1 22 3

. .o

q q q qrF k k r

rr r (1.2)

Nếu hai điện tích điểm 1 2,q q đƣợc đặt trong một môi trƣờng bất kỳ thì lực tƣơng tác giữa

chúng giảm đi lần so với lực tƣơng tác giữa chúng trong chân không:

1 23

.o

q qF k r

r (1.3)

là một đại lƣợng không thứ nguyên đặc trƣng cho tính chất điện của môi trƣờng và

đƣợc gọi là độ thẩm điện môi tỉ đối (hay hằng số điện môi) của môi trƣờng. Trong chân

không thì 1, còn trong không khí 1.

4. Nguyên lý chồng chất các lực điện

Xét một hệ điện tích điểm 1 2, ,

nq q q đƣợc phân bố rời rạc trong không gian và

một điện tích điểm oq đặt trong không gian đó. Gọi

1 2, , ,

nF F F lần lƣợt là các lực tác

dụng của 1 2, ,

nq q q lên điện tích

oq thì tổng hợp các lực tác dụng lên

oq là :

Hình 1.1 Lực tƣơng tác giữa các điện tích điểm.

Hai điện tích cùng dấu

Hai điện tích trái dấu



1 2

1

n

n ii

F F F F F (1.4)

trong đó, các lực iF đƣợc xác định theo (1.3).

Đối với hai vật mang điện có dạng bất kỳ, để xác định lực tƣơng tác tĩnh điện giữa

chúng, ngƣời ta xem mỗi vật mang điện nhƣ một hệ vô số các điện tích điểm đƣợc phân

bố rời rạc. Nếu điện tích đƣợc phân bố liên tục trong vật thì việc lấy tổng trong (1.4)

đƣợc thay bằng phép tích phân theo toàn bộ vật:

F dFtoaøn vaät (1.5)

Ví dụ: Hai điện tích điểm dƣơng có điện lƣợng 2 1

9q q đặt cố định cách nhau một

khoảng a trong môi trƣờng bất kì. Hỏi phải đặt một điện tích điểm Q ở đâu, có dấu và

độ lớn nhƣ thế nào để Q ở trạng thái cân bằng? Q phải mang dấu gì để trạng thái cân

bằng là bền?

Bài giải

Lực do 1q tác dụng lên Q là: 1

1 13

1

.q QF k r

r

Lực do 2q tác dụng lên Q là: 2

2 23

2

.q QF k r

r

Hợp lực tác dụng lên Q là: 1 21 2 1 23 3

1 2

. .q Q q QF F F k r k r

r r

Điều kiện để Q đứng yên (cân bằng) là 0F hay 1 2

0F F , tức là:

1 2F F hay 1 2

1 23 3

1 2

. .q Q q Qk r k rr r

Vì 1q và

2q cùng dấu nên

1r và

2r phải ngƣợc chiều nhau (với mọi Q ), nghĩa là

điện tích điểm Q phải đặt tại điểm M nằm trên đoạn thẳng nối 1q và

2q và nằm ở giữa

hai điện tích ấy.

Nếu 0Q : nó cùng bị 1q ,

2q đẩy; nếu 0Q nó cùng bị

1q ,

2q hút. Từ điều

kiện cân bằng ta có:

1 22 2

1 2

. .q Q q Qk kr r



Suy ra:

2

2 2 2 22

1 1 11

9 3r q r q

q r qr

Từ 1 2r r a và 2

1

3r

r, ta tìm đƣợc

1 4

ar và

2

3

4

ar .

Kết luận: Điện tích Q có thể dƣơng, âm và có độ lớn tùy ý.

- Nếu 0Q : Khi lệch khỏi M, hợp lực kéo nó trở lại (trạng thái cân bằng bền).

- Nếu 0Q : Khi lệch khỏi M, hợp lực đẩy nó đi tiếp (trạng thái cân bằng không

bền).

Ngoài ra, nếu 1 2

0, 0q q muốn có trạng thái cân bằng bền thì Q phải là điện

tích dƣơng và nếu 1 2q q thì

1 2r r .

§2. ĐIỆN TRƢỜNG

1. Khái niệm điện trƣờng

Các điện tích tuy ở cách xa nhau, không tiếp xúc với nhau nhƣng vẫn tƣơng tác

đƣợc với nhau là vì không gian xung quanh mỗi điện tích tồn tại một môi trƣờng vật chất

đặc biệt gọi là điện trường. Điện trƣờng có vai trò truyền dẫn tƣơng tác giữa các hạt

mang điện. Khi có điện tích thì xung quanh điện tích xuất hiện điện trƣờng. Điện trƣờng

đƣợc nhận biết bằng cách khi đặt bất kì một điện tích nào vào điện trƣờng thì điện tích đó

đều bị tác dụng của một lực điện.

2. Vectơ cƣờng độ điện trƣờng

a. Định nghĩa

Để đặc trƣng cho độ mạnh yếu của điện trƣờng cả về

phƣơng, chiều và độ lớn tại một điểm trong điện trƣờng,

ngƣời ta đƣa ra một đại lƣợng gọi là vectơ cƣờng độ điện

trƣờng, ký hiệu là E :

F

Eq

(1.6)

Từ biểu thức ta thấy nếu chọn 1q thì E F . Do đó ta có định nghĩa vectơ

cƣờng độ điện trƣờng.

Định nghĩa: Vectơ cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng đặc trưng

cho điện trường về phương diện tác dụng lực, có giá trị bằng lực tác dụng lên một đơn vị

điện tích dương đặt tại điểm đó và có hướng là hướng của lực này.

Hình 1.2 Lực điện trƣờng

tác dụng lên điện tích q.



Trong hệ đơn vị SI, cƣờng độ điện trƣờng có đơn vị đo là Vôn/mét: (V/m).

b. Lực điện trƣờng tác dụng lên điện tích điểm

Nếu biết cƣờng độ điện trƣờng E tại một điểm M trong điện trƣờng thì khi đặt

một điện tích q vào điểm đó, nó bị điện trƣờng tác dụng một lực:

F qE (1.7)

- Nếu 0q thì F cùng chiều với E .

- Nếu 0q thì F ngƣợc chiều với E

3. Vectơ cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một điện tích điểm

Xét một điện tích điểm có trị đại số Q . Trong không gian bao quanh nó sẽ xuất

hiện điện trƣờng. Ta hãy xác định véctơ cƣờng độ điện trƣờng E tại một điểm M cách

điện tích Q một khoảng r . Muốn vậy tại điểm M ta đặt một điện tích điểm q có trị số đủ

nhỏ. Khi đó theo định luật Coulomb, lực tác dụng của điện tích Q lên điện tích q bằng:

3

QqF k r

r

Hình 1.3 Cƣờng độ điện trƣờng gây bởi một điện tích điểm.

Kết hợp với biểu thức (1.6), ta có vectơ cƣờng độ điện trƣờng do điện tích điểm Q gây ra

tại điểm A là:

3

QE k r

r (1.8)

với r là bán kính vectơ hƣớng từ điện tích Q đến điểm A.

Nhận xét:

- Nếu 0Q thì E r : E hƣớng ra xa điện tích Q .

- Nếu 0Q thì E r : E hƣớng vào điện tích Q .



- Về độ lớn: 2

QE k

r: Cƣờng độ điện trƣờng tại điểm A tỉ lệ thuận với độ lớn

của điện tích Q và tỉ lệ nghịch với bình phƣơng khoảng cách từ điểm đang xét đến điện

tích Q .

4. Véctơ cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi một hệ vật mang điện - Nguyên lý

chồng chất điện trƣờng

a. Cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi hệ điện tích điểm phân bố rời rạc

Xét hệ điện tích điểm 1 2, , ,

nQ Q Q đƣợc phân bố rời rạc trong không gian. Để

xác định véctơ cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp E tại một điểm M nào đó của không gian,

ta đặt tại M một điện tích q . Khi đó theo (1.4) lực tổng hợp tác dụng lên điện tích q

bằng:

1 2

1

n

n ii

F F F F F

trong đó iF là lực tác dụng của điện tích

iQ lên điện tích q . Kết hợp biểu thức (1.6),

vectơ cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp tại M bằng:

1 1

1 n ni

ii i

FFE F

q q q

Cũng theo (1.6) thì mỗi số hạng ii

FE

q chính là véctơ cƣờng độ điện trƣờng do

điện tích iQ gây ra tại M nên:

1

n

ii

E E (1.9)

Biểu thức (1.9) là biểu thức toán học của nguyên lý chồng chất điện trường đƣợc phát

biểu nhƣ sau:

“Véctơ cường độ điện trường gây ra bởi một hệ điện tích điểm bằng tổng các

véctơ cường độ điện trường gây ra bởi từng điện tích điểm của hệ”.

b. Cƣờng độ điện trƣờng gây bởi hệ điện tích điểm phân bố liên tục

Xét một vật mang điện có kích thƣớc bất kỳ và điện tích phân bố liên tục trên vật

này. Rõ ràng ta có thể xem vật nhƣ một hệ điện tích điểm đƣợc phân bố liên tục trong

không gian. Do đó để tính cƣờng độ điện trƣờng gây bởi vật này ta tƣởng tƣợng chia vật

thành nhiều phần nhỏ sao cho điện tích dQ trên mỗi phần đó có thể xem là điện tích



điểm. Nếu gọi dE là véctơ cƣờng độ điện trƣờng gây ra bởi điện tích dQ tại điểm M

cách dQ một khoảng r thì véctơ cƣờng độ điện trƣờng do vật mang điện gây ra tại điểm

M đƣợc xác định tƣơng tự theo công thức

(1.5)

.

3

rE dE k dQ

rcaû vaät caû vaät

(1.10)

Ta xét một số trƣờng hợp cụ thể sau đây:

Nếu vật là sợi dây (L) với mật độ điện tích dài (C/m) thì điện tích trên một vi phân

độ dài dl là dQ dl . Khi đó:

3

L L

dlE dE k r

r (1.11)

Nếu vật mang điện là một mặt S với mật độ điện tích mặt (C/m2) thì điện tích trên

một vi phân diện tích dS là dQ dS . Khi đó:

3

S S

dSE dE k r

r (1.12)

Nếu vật mang điện là một khối có thể tích V với mật độ điện tích khối (C/m3) thì

điện tích trong một thể tích vi phân dV là dQ dV . Khi đó:

3

V V

dVE dE k r

r (1.13)

Ví dụ: Một vòng tròn làm bằng một dây dẫn

mảnh bán kính R mang điện tích dƣơng Q

phân bố đều trên dây. Hãy xác định cƣờng độ

điện trƣờng tại điểm M nằm trên trục của

vòng dây, cách tâm một đoạn h .

Bài giải

Cƣờng độ điện trƣờng do vòng dây gây ra tại

một điểm nào đó bằng tổng các cƣờng độ điện

trƣờng dE do các phân tử điện tích dQ nằm

trên vòng dây gây ra. Tại điểm M cƣờng độ

điện trƣờng do phần tử điện tích dQ gây ra

là:

Hình 1.4 Điện trƣờng gây bởi vòng dây

tròn tích điện đều.



3

dQdE k r

r

Theo nguyên lý chồng chất, cƣờng độ điện trƣờng tại M bằng:

3M

dQE dE k r

rvoøng voøng

Phân tích vectơ dE thành hai thành phần t

dE và n

dE . Vì các điện tích dQ phân

bố đối xứng qua điểm O nên tổng các thành phần t

dE bằng không. Do đó ta có:

M nE dE

voøng

Vì các vectơ n

dE cùng phƣơng, chiều nên ME có điểm đặt tại M, có phƣơng

trùng với trục vòng dây và chiều hƣớng ra xa vòng dây. Về độ lớn thì: M nE dE

voøng

.

Theo hình 1.4 ta có cosn

dE dE ( là góc giữa dE và OM ). Điện trƣờng

gây bởi dQ tại M bằng:

2

dQdE k

r

và 2 2

cosh h

r R h nên:

2 2 3/2( )n

hdE k dQ

R h.

Do đó:

2 2 3/2( )M n

hE dE k dQ

R hvoøng voøng

hay

2 2 3/2( )M

hQE k

R h

Nhận xét:

Tại tâm vòng dây: 0h , do đó 0OE .

Ở nơi khá xa vòng dây: h R : r h , 2M

QE k

h.

Nếu vòng dây tích điện âm ( 0Q ) thì ME có chiều hƣớng vào tâm O của vòng dây

và có độ lớn: 2 2 3/2( )M

hQE k

R h.



§3. ĐIỆN THÔNG

1. Đƣờng sức điện trƣờng

Để mô tả dạng hình học của điện trƣờng

ngƣời ta dùng đƣờng sức điện trƣờng. Theo định

nghĩa, đƣờng sức điện trƣờng là một đƣờng cong

mà tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với

phƣơng của véctơ cƣờng độ điện trƣờng E tại

điểm đó, còn chiều của nó là chiều của véctơ

cƣờng độ điện trƣờng (hình 1.5).

Ngƣời ta qui ƣớc vẽ số đƣờng sức điện trƣờng qua một đơn vị diện tích đặt vuông

góc với đƣờng sức tỉ lệ với độ lớn của cƣờng độ điện trƣờng tại điểm đang xét. Tập hợp

các đƣờng sức điện trƣờng đƣợc gọi là phổ đƣờng sức điện trƣờng hay điện phổ. Với qui

ƣớc đó, qua điện phổ nếu chỗ nào mật độ đƣờng sức lớn (dày) thì nơi đó điện trƣờng

mạnh, còn nơi nào mật độ đƣờng sức nhỏ (thƣa) thì nơi ấy điện trƣờng yếu.

(a) (b) (c)

(d) (e)

Hình 1.6 Điện phổ.

Hình 1.5 Đƣờng sức điện trƣờng.



Hình biểu diễn điện phổ của một điện tích điểm dƣơng (hình a), điện phổ của một

điện tích điểm âm (hình b), điện phổ của điện trƣờng đều (hình c), điện phổ của một hệ

hai điện tích điểm âm bằng nhau nhƣng trái dấu (hình d) và điện phổ của một hệ hai điện

tích điểm dƣơng bằng nhau (hình e).

Nhận xét:

Đƣờng sức điện trƣờng xuất phát từ điện tính dƣơng, tận cùng trên điện tích âm.

Đƣờng sức của điện trƣờng tĩnh là những đƣờng cong hở.

Các đƣờng sức điện trƣờng không cắt nhau vì tại mỗi điểm trong điện trƣờng

véctơ E chỉ có một hƣớng xác định.

2. Véctơ cảm ứng điện

Sự gián đoạn của đƣờng sức điện trƣờng

Ta biết rằng cƣờng độ điện trƣờng E phụ thuộc vào môi trƣờng (tỉ lệ nghịch với

hằng số điện môi ). Do đó khi đi qua mặt phân cách của hai môi trƣờng, cƣờng độ điện

trƣờng E biến thiên đột ngột nên điện phổ bị gián đoạn ở bề mặt phân cách hai môi

trƣờng.

Hình 1.7 Sự gián đoạn của điện phổ.

Trên hình 1.7 là điện phổ của một điện tích điểm q đặt ở tâm một mặt cầu S,

bên trong S là chân không ( 1), còn bên ngoài S là môi trƣờng có hằng số điện môi

2 . Ta thấy qua mặt phân cách S, số đƣờng sức giảm đi 2 lần, tức là điện phổ bị gián

đoạn trên mặt S. Sự gián đoạn này không thuận lợi cho các phép tính về điện trƣờng. Để

khắc phục điều này, ngƣời ta khử sự gián đoạn đó bằng cách đƣa vào một đại lƣợng vật

lý khác không phụ thuộc vào tính chất của môi trƣờng đƣợc gọi là véctơ cảm ứng điện D.

Trong môi trƣờng là đồng nhất, đại lƣợng:

o

D E (1.14)



đƣợc gọi là véctơ cảm ứng điện.

Ví dụ vectơ cảm ứng điện D do điện tích điểm q gây ra tại một điểm cách q một

khoảng r đƣợc xác định bởi:

34

qD r

r

Tại mỗi điểm trong điện trƣờng, giá trị D chỉ phụ thuộc vào q , tức là nguồn sinh ra điện

trƣờng mà không phụ thuộc vào tính chất của môi trƣờng.

Tƣơng tự đƣờng sức điện trƣờng, ngƣời ta định nghĩa và mô tả điện trƣờng bằng

đƣờng cảm ứng điện. Khi đó, phổ các đƣờng cảm ứng điện là liên tục trên mặt phân cách

giữa các môi trƣờng (hình 1.8).

Hình 1.8 Sự liên tục của phổ đƣờng cảm ứng điện.

3. Điện thông

a. Định nghĩa

Điện thông qua một điện tích S đặt trong điện trƣờng chính là thông lƣợng của

véctơ cảm ứng điện gởi qua diện tích S đó.

b. Biểu thức điện thông

Hình 1.9 Điện thông của điện trƣờng đều.

Xét diện tích phẳng S đặt trong điện trƣờng đều có các đƣờng cảm ứng điện thẳng

song song cách đều nhau (hình 1.9). Gọi n là vectơ pháp tuyến của mặt S, n hợp với



véctơ cảm ứng điện một góc . Theo định nghĩa, điện thông e gởi qua mặt S là đại

lƣợng có trị số bằng số đƣờng cảm ứng điện gửi qua mặt S đó.

Gọi Sn là hình chiếu của S lên phƣơng vuông góc với các đƣờng cảm ứng điện. Từ

hình Hình9 ta thấy số đƣờng cảm ứng điện gửi qua hai mặt S và Sn là nhƣ nhau, nên điện

thông gửi qua S cũng chính là điện thông gởi qua Sn. Do đó:

e nDS

(1.15)

Gọi nD là hình chiếu của D lên phƣơng n và cos

nS S nên:

cose nDS D S DS (1.16)

trong đó S là vectơ diện tích hƣớng theo pháp tuyến n của S và có độ lớn bằng diện tích

S đó.

Nếu điện trƣờng là bất kỳ và mặt S có hình dạng tùy ý (hình 10) thì ta chia diện

tích S thành những diện tích vô cùng nhỏ dS sao cho vectơ cảm ứng điện D tại mọi

điểm trên diện tích dS có thể xem là bằng nhau. Khi đó điện thông vi phân gởi qua dS

đƣợc tính theo (1.16) là:

e

d DdS (1.17)

Điện thông gửi qua toàn mặt S là:

e e

S S

d DdS (1.18)

Hình 1.10 Điện thông qua diện tích dS.

Chú ý: Điện thông là một đại lƣợng đại số, dấu của nó phụ thuộc vào trị số của góc

(nhọn hay tù).



§5. ĐỊNH LÝ ÔXTRÔGRATXKI - GAUSS (O - G)

1. Thiết lập định lý

Hình 1.11 Điện thông qua mặt kín S.

Xét một điện tích điểm dƣơng q đặt cố định tại điểm O. Điện tích q tạo ra một trƣờng

tĩnh điện xung quanh nó. Tƣởng tƣợng một mặt cầu S (tâm O, bao quanh q ) có bán kính

r . Qui ƣớc chiều dƣơng của pháp tuyến n trên mặt cầu hƣớng ra ngoài. Vì lý do đối

xứng nên:

Vectơ D có độ lớn nhƣ nhau tại mọi điểm trên mặt cầu S.

D n nên n

D D .

Điện thông qua mặt cầu S là:

( ) ( ) ( )

. .e n

S S S

DdS D dS D dS DS (1.19)

Với 24S r ;

0 24

qD E

r. Do đó:

2

2.4 0

4e

qr q

r

Ta thấy rằng điện thông là dƣơng khi đƣờng sức đi ra khỏi mặt kín S. Khi 0q

thì D dS nên:

2

2. .4 0

4e

qD S r q q

r

Điện thông là âm vì đƣờng sức đi vào mặt kín S.

Nhận xét:

e không phụ thuộc vào r , nghĩa là điện thông là nhƣ nhau đối với các mặt cầu có

bán kính khác nhau.



Nếu S là mặt kín có hình dạng bất kỳ bao quanh điện tích q thì kết quả thu đƣợc vẫn

không đổi.

Nếu S không bao quanh q thì 0e

vì số đƣờng cảm ứng điện đi vào S bằng với số

đƣờng cảm ứng điện đi ra khỏi S.

Nếu bên trong S có nhiều điện tích thì điện thông qua S bằng tổng đại số các điện

thông thành phần:

( )

.i

iS

DdS q

2. Phát biểu định lý

“Điện thông qua một mặt kín bằng tổng đại số các điện tích nằm trong mặt kín đó”.

( )

.e i

iS

DdS q (1.20)

3. Ứng dụng định lý O-G

Khi gặp các bài toán mà điện trƣờng có tính đối xứng cao nhƣ: đối xứng cầu, đối

xứng trụ, đối xứng phẳng, để tính E hoặc D ta sử dụng định lý O-G theo trình tự sau:

Xác định các yếu tố đối xứng của hệ để từ đó có thể suy ra đƣợc hƣớng của vectơ E

(hoặc D ) ở mỗi điểm và sự biến thiên của nó.

Chọn một mặt kín – gọi là mặt Gauss – chứa điểm mà ở đó ta cần xác định vectơ E

(hoặc D ). Chú ý chọn mặt kín sao cho nó có tính đối xứng cao.

Tính điện thông e qua mặt Gauss theo công thức (1.19), sau đó áp dụng công thức

của định lý Ostrogradski – Gauss, ta sẽ đƣợc biểu thức liên hệ giữa cƣờng độ điện

trƣờng E và điện tích của hệ.

Bài toán ví dụ 1:

Xác định cƣờng độ điện trƣờng E gây bởi một

khối cầu rỗng tâm O, bán kính R, tích điện đều với mật

độ điện khối 0 tại một điểm ở bên ngoài và tại một

điểm ở bên trong khối cầu đó.

Bài giải

Để có thể áp dụng định lý O-G, ta thực hiện theo

trình tự nhƣ đã nêu ở trên:

- Vì khối cầu có tính đối xứng tâm nên các vectơ

D sẽ có phƣơng xuyên tâm và vuông góc với mặt cầu

tại mỗi điểm. Do đó ta có nD D const .

N M

rr

R

Hình 1.12 Khối cầu tích điện.



- Chọn một mặt cầu S đi qua điểm cần tính cƣờng độ điện trƣờng và đồng tâm với

khối cầu tích điện.

- Tính điện thông theo công thức (1.19):

2. .4

e n n

S S

DdS D dS D r

Áp dụng định lý O – G: e i

i

q , ta đƣợc:

2.4

n ii

D r q Q

+ Trƣờng hợp r R : trong mặt S không có chứa điện tích, do đó 0Q nên:

0 0nD E

+ Trƣờng hợp r R :

2 34

.43n i

i

D r q Q R

Suy ra:

3

23

RD

r (1.21)

và:

3

23o o

D RE

r (1.22)

Kết luận: Đối với những điểm bên trong mặt cầu mang điện đều, điện trƣờng tại đó bằng

không. Còn đối với những điểm bên ngoài mặt cầu, điện trƣờng tại đó giống hệt điện

trƣờng gây bởi một điện tích điểm q đặt tại tâm mặt

cầu đó.

Bài toán ví dụ 2:

Xác định điện trƣờng của một mặt phẳng vô hạn tích

điện đều với mật độ điện mặt 0 .

Bài giải

- Vì tính chất vô hạn của mặt tích điện và sự phân

bố đều điện tích nên điện trƣờng do nó gây ra là điện

trƣờng đều; có vectơ cảm ứng điện vuông góc với mặt

tích điện.

- Để xác định véctơ cảm ứng điện D tại một điểm

M, ta vẽ mặt kín S (mặt Gauss) nhƣ sau: Vẽ qua M

một mặt trụ kín mà điểm M thuộc vào một trong hai

+

M

Hình 1.13 Mặt phẳng vô hạn

tích điện.



mặt đáy có diện tích là S , cả hai mặt đáy cùng song song và cách đều mặt phẳng tích

điện, còn các đƣờng sinh thì vuông góc với mặt phẳng (hình 1.13).

- Áp dụng công thức (1.19):

( )

. . .n n

S

DdS D dS D dSmaët beân hai ñaùy

Với hai mặt đáy, ta có 1

D n nên nD D const ; còn với mặt bên thì

2D n , 0

nD . Do đó:

( )

. . .2n

S

DdS D dS D Shai ñaùy

Điện tích trong mặt trụ là : .i

i

q S . Theo định lý O-G ta đƣợc:

.2 .D S S

Suy ra:

2

D và 2

o o

DE (1.23)

Nhận xét:

Các vectơ D và E không phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng nên

điện trƣờng ở đây là điện trƣờng đều: E const .

Điện trƣờng do mặt phẳng hữu hạn tích điện đều tạo ra ở những vị trí rất gần mặt đó

cũng đƣợc xem nhƣ là đều. Nếu mặt phẳng tích điện âm thì kết quả thu đƣợc cũng

nhƣ vậy song các vectơ D và E lại hƣớng vào mặt phẳng tích điện.

4. Dạng vi phân của định lý O – G

Định lý O-G đƣợc biểu diễn theo công thức (1.20) nêu lên mối quan hệ giữa cảm

ứng điện D tại những điểm trên mặt kín S với các điện tích iq phân bố rời rạc trong thể

tích V giới hạn bởi mặt kín S đó.

Nếu điện tích trong thể tích V đƣợc phân bố liên tục với mật độ điện tích khối

( , , )x y z thì mối liên hệ giữa vectơ D tại một điểm bất kỳ ( , , )x y z trong điện trƣờng

với mật độ điện tích khối cũng tại điểm đó đƣợc mô tả bằng định lý O – G dạng vi

phân là:

divD (1.24)

với toán tử div đƣợc biểu diễn trong hệ tọa độ Đềcác nhƣ sau:

div yx zDD D

Dx y z



§6. CÔNG CỦA LỰC TĨNH ĐIỆN - ĐIỆN THẾ

1. Công của lực tĩnh điện

Xét điện tích điểm q đặt trong điện trƣờng tĩnh gây bởi điện tích điểm Q đứng

yên. Dƣới tác dụng của lực tĩnh điện (lực Coulomb)

điện tích q di chuyển theo một đƣờng cong MN

(hình 1.14). Ta sẽ tính công của lực tĩnh điện sinh ra

trong quá trình dịch chuyển này.

Giả sử ở thời điểm t điện tích q có vị trí là

điểm A trên quỹ đạo MN. Tại đó véctơ cƣờng độ

điện trƣờng của trƣờng tĩnh điện (do điện tích Q

tạo ra) xác định bởi 3

QE k r

r, còn lực tĩnh điện

tác dụng lên điện tích q sẽ là:

3

qQF qE k r

r

Sau thời gian dt , điện tích q thực hiện

chuyển dời vô cùng nhỏ tới điểm B trên quỹ đạo.

Véctơ dịch chuyển ds AB . Trên chuyển dời vô cùng nhỏ này có thể xem nhƣ

E const , do đó công nguyên tố của lực tĩnh điện F trong chuyển dời vi phân này

đƣợc tính là:

3 3

. . . . . .cosqQ qQ

dA F ds qE ds k r ds k r dsr r

hay:

2

.cosqQ

dA k dsr

Mặt khác, từ hình vẽ ta có thể xem B’B = dr AA’ = .cosds , nên

2

qQdA k dr

r. Vậy công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển của điện tích q từ M

đến N sẽ bằng:

2

N N

MN

M M

qQ drA dA k

r

hay:

Hình 1. 14 Điện tích điểm +q dịch

chuyển trong điện trƣờng của điện

tích điểm +Q.



1 1

MNM N

qQA k

r r (1.25)

Thay vì điện tích Q , bây giờ tạo ra trƣờng tĩnh điện là một hệ điện tích điểm

đứng yên 1 2, , ,

nQ Q Q . Bằng cách áp dụng nguyên lý chồng chất điện trƣờng và cách

tính tƣơng tự nhƣ trên, ta sẽ thu đƣợc kết quả:

1

1 1ni

MNi iM iN

qQA k

r r (1.26)

Vậy: “Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển điện tích điểm q0 trong một điện

trƣờng bất kỳ không phụ thuộc vào dạng của đƣờng cong dịch chuyển mà chỉ phụ

thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của chuyển dời”.

Nhận xét:

Công MNA không phụ thuộc vào dạng đƣờng cong MN mà chỉ phụ thuộc vào vị trí

,M Nr r của điện tích q so với điện tích Q .

Nếu q dịch chuyển theo một đƣờng cong kín (M Nr r ) thì công của lực tĩnh điện

. 0A q E dS hay . 0E dS .

Kết luận:

Trƣờng tĩnh điện là trƣờng thế, lực tĩnh điện là lực thế.

Lƣu số của véctơ cƣờng độ điện trƣờng (tĩnh) dọc theo một đƣờng cong kín bằng

không.

2. Thế năng của điện tích trong điện trƣờng

Ta đã biết trong cơ học, khi dịch chuyển một chất điểm giữa hai vị trí trong trƣờng

thế thì công của lực thế sẽ bằng độ biến thiên thế năng giữa hai điểm đó.

Trong điện học cũng vậy, khi dịch chuyển một điện tích điểm q trong điện trƣờng

gây bởi điện tích điểm Q giữa hai điểm M và N và vì trƣờng tĩnh điện là trƣờng thế nên

công của lực tĩnh điện cũng bằng độ biến thiên thế năng giữa hai điểm M, N:

.N

MN M N

M

A qE ds W W (1.27)

Kết hợp với (1.25), ta có:

1 1

M NM N

qQW W k

r r (1.28)



Vì MW chỉ phụ thuộc vào tọa độ điểm M, không phụ thuộc tọa độ điểm N;

NW

chỉ phụ thuộc tọa độ điểm N nên (1.28) có thể đƣợc viết lại:

M N o o

M N

qQ qQW W k W k W

r r

Suy ra:

M oM

N oN

qQW k W

rqQ

W k Wr

; với oW là hằng số tùy ý.

Tổng quát, thế năng tƣơng tác của điện tích q với điện tích Q bằng:

o

qQW k W

r (1.29)

Chọn gốc thế năng của điện tích q sao cho thế năng của nó bằng không khi q ở xa vô

cùng so với điện tích Q . Lúc đó 0oW . Suy ra:

qQ

W kr

(1.30)

Nhận xét:

Nếu q và Q cùng dấu: thế năng tƣơng tác của chúng là dƣơng, còn nếu khác dấu, thế

năng tƣơng tác của chúng là âm.

Thế năng tƣơng tác của điện tích q khi trong điện trƣờng của hệ n điện tích điểm

1 2, , ,

nQ Q Q (qui ƣớc thế năng ở vô cùng bằng không 0W ) là:

1

ni

i i

qQW k

r (1.31)

3. Điện thế – Hiệu điện thế

a. Điện thế

Các biểu thức (1.30) và (1.31) cho thấy tỉ số W

q không phụ thuộc vào độ lớn của

điện tích q mà chỉ phụ thuộc vào các điện tích gây ra điện trƣờng và vào vị trí của điểm

đang xét trong điện trƣờng. Từ đó ta định nghĩa:



Định nghĩa: Điện thế của điện trường tại một điểm bằng tỷ số giữa thế năng của

điện tích điểm q tại điểm đang xét và điện tích q đó.

W

Vq

(1.32)

gọi là điện thế của điện trƣờng tại điểm đang xét. Đơn vị điện thế là Vôn (V).

Biểu thức tính điện thế của điện trƣờng cho một số trƣờng hợp:

Điện thế trong điện trƣờng do một điện tích điểm Q tạo ra:

Q

V kr

(1.33)

Điện thế trong điện trƣờng do một hệ điện tích điểm tạo ra:

ii

i i i

QV V k

r (1.34)

Điện thế trong điện trƣờng bất kỳ:

.g

M

M

V E ds (1.35)

trong đó, g là điểm đƣợc chọn làm gốc thế năng.

b. Hiệu điện thế

Thay các biểu thức (1.30), (1.32) vào (1.25) ta đƣợc:

( )MN M NA qV V (1.36)

Vậy: “Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển điện tích điểm q từ điểm M tới

điểm N trong điện trường bằng tích số của điện tích q với hiệu điện thế giữa hai điểm M

và N đó”.

Từ (1.36) suy ra:

MNM N

AV V

q (1.37)

Nếu lấy 1q đơn vị điện tích thì:

M N MNV V A (1.38)

nghĩa là: “Hiệu điện thế giữa hai điểm M và N trong điện trƣờng là một đại lƣợng

bằng công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển một đơn vị điện tích dƣơng từ

điểm M đến điểm N”.

Mặt khác, nếu lấy 1q đơn vị điện tích và chọn điểm N ở xa vô cực thì

M MV V A , mà qui ƣớc 0 0

NW V nên

M MV A , nghĩa là: “Điện



thế tại một điểm trong điện trƣờng là một đại lƣợng về trị số bằng công của lực tĩnh

điện trong sự dịch chuyển một đơn vị điện tích dƣơng từ điểm đó ra xa vô cùng”.

Chú ý:

Trong kỹ thuật, đại lƣợng hiệu điện thế đƣợc sử dụng nhiều hơn đại lƣợng điện thế.

Vì giá trị của hiệu điện thế không phụ thuộc vào cách chọn gốc tính điện thế (hoặc

thế năng). Do vậy ngƣời ta thƣờng chọn điện thế của đất hoặc của những vật nối đất

bằng không. Khi đó nói điện thế của một điểm nào đó chính là nói về hiệu điện thế

giữa điểm đó với đất.

Một vật tích điện Q đƣợc phân bố liên tục, khi đó muốn tính điện thế tại một điểm nào

đó trong điện trƣờng do Q tạo ra thì thay cho công thức (1.34) ta sẽ dùng công thức

sau đây:

k dQ

Vr

toaøn boä vaät

(1.39)

Một dạng khác của công thức (1.36) là:

.N

M N

M

V V E ds

CÂU HỎI LÝ THUYẾT

1. Nếu các electron trong một kim loại nhƣ đồng có thể chuyển động tự do, chúng thƣờng

bị chặn lại ở bề mặt kim loại. Tại sao chúng không chuyển động tiếp và rời khỏi kim

loại?

2. Một điện tích điểm chuyển động vuông góc với đƣờng sức trong một điện trƣờng. Có

lực tĩnh điện nào tác dụng lên nó không?

3. Hai điện tích điểm chƣa biết độ lớn và dấu ở cách nhau một khoảng d. Điện trƣờng

bằng không ở một điểm nằm trên đƣờng thẳng nối chúng. Ta có thể kết luận nhƣ thế nào

về các điện tích?

4. Bạn quay một lƣỡng cực điện sao cho hai đầu của nó hoán vị cho nhau trong một điện

trƣờng đều. Công mà bạn thực hiện phụ thuộc nhƣ thế nào vào sự định hƣớng ban đầu

của lƣỡng cực đối với điện trƣờng.

5. Một mặt bao trọn một lƣỡng cực điện. Điện thông qua mặt này bằng bao nhiêu?

6. Một quả bóng cao su hình cầu có một điện tích đƣợc phân bố đều trên mặt của nó. Khi

quả bóng đƣợc bơm lên, cƣờng độ điện trƣờng thay đổi nhƣ thế nào cho các điểm (a) bên

trong quả bóng, (b) ở bề mặt quả bóng và (c) ở ngoài quả bóng?

7. Electron có xu hƣớng chuyển động đến nơi có điện thế cao hay điện thế thấp?

8. Hai mặt đẳng thế khác nhau có thể cắt nhau không?



9. Phân biệt giữa hiệu điện thế và hiệu thế năng. Cho các phát biểu trong đó mỗi thuật

ngữ đó đƣợc dùng một cách chính xác.

10. Làm thế nào anh (chị) có thể khẳng định điện thế trong một miền cho trƣớc của

không gian có cùng một giá trị trong toàn miền đó?

BÀI TẬP

Bài tập 1: Tại các đỉnh A, B, C của một hình tam giác ngƣời ta lần lƣợt đặt các điện tích

điểm: 8

13.10q C ,

8

25.10q C ,

8

310.10q C . Cho biết AC = 3cm, AB

= 4cm, BC = 5cm. Các điện tích đều đƣợc

đặt trong không khí.

Xác định lực tác dụng tổng hợp lên

điện tích đặt tại A.

Bài giải

Theo đề, ta nhận thấy: BC2 = AC

2 + AB

2,

suy ra ABC vuông tại A. Lực tĩnh điện do

các điện tích 2q và

3q tác động lên

1q có phƣơng chiều nhƣ hình vẽ và có độ lớn:

8 82 1 9 3

21 2 2 2

5.10 .3.109.10 8,44.10

. (4.10 )

q qF k N

AB

8 83 1 9 2

31 2 2 2

10.10 .3.109.10 3.10

. (3.10 )

q qF k N

AC

Tổng hợp lực: 21 31

F F F có phƣơng chiều nhƣ hình vẽ và có độ lớn:

2 2 3 2 2 2 2

21 31(8,44.10 ) (3.10 ) 3,1.10F F F N

Bài tập 2: Cho một dây dẫn thẳng dài vô hạn tích điện đều q đặt trong không khí. Tính

cƣờng độ điện trƣờng tại một điểm M cách dây một

khoảng là r .

Bài giải

A

B C

q3 q2

q1



Giả sử dây tích điện dƣơng. Gọi mật độ điện dài là 0 . Trên dây, xét đoạn dx

rất nhỏ cách H một khoảng x . Điện tích trên đoạn dây dx là:

dq dx

Điện tích này có thể coi là điện tích điểm và nó gây ra tại M một điện trƣờng có

vectơ cƣờng độ là dE có phƣơng chiều nhƣ hình vẽ, có độ lớn:

2 2

0

1

4 ( )

dqdE

r x

Cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp tại M là: E dE

Do tính đối xứng nên vectơ cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp có phƣơng vuông góc

với dây điện, tức là trùng với phƣơng HM. Chiếu biểu thức của E lên phƣơng này, ta

đƣợc:

.cosn

E dE dE với 2 2

cosr

r x

Khi đó :

3

2

1 cos

4o

E dE dqr

Mặt khác: dq dx ; .x r tg , suy ra d

dx rc 2

os

. Cuối cùng, ta đƣợc:

/2

/2

cos .4 2

o o

E dr r

Trƣờng hợp tổng quát, do có thể âm hay dƣơng nên:

| |

2o

Er

Bài tập tự giải 1. Tìm lực hút giữa hạt nhân và electron trong nguyên tử hydro. Biết rằng bán kính

nguyên tử hydro là 0,5.10-8

cm, điện tích của electron e = -1,6.10-19

C.

Đáp số 89,23.10F N

2. Một electron khối lƣợng m chuyển động đều trên một quỹ đạo tròn bán kính r quanh

hạt nhân nguyên tử hydro. Xác định vận tốc chuyển động của electron trên quỹ đạo.



Cho e = -1,6.10-19

C, m = 9,1.10-31

kg, khoảng cách trung bình từ electron đến hạt nhân

là r = 5.10-9

cm.

Đáp số 61,6.10v m/s.

3. a. Tìm tỷ số giữa lực hút tĩnh điện và lực hấp dẫn giữa hạt nhân và electron trong

nguyên tử hydro. Biết rằng bán kính nguyên tử hydro là r = 0,5.10-8

cm; điện tích của

electron là e = -1,6.10-19

C, của proton là 1,6.10-19

C; khối lƣợng của electron là me =

9,1.10-31

kg, của proton là mp = 1,67.10-27

kg.

b. Xác định vận tốc chuyển động của electron trên quỹ đạo bán kính r.

HD: Fhd = G:m1:m2

r 2 ; G = 6:67x10¡ 11N m2=kg2

Đáp số

a. 2,2.1039

lần.

b. 62,3.10v m/s

4. Để cân khối lƣợng một vật, một bạn sinh viên làm nhƣ sau: Cho hai vật giống nhau

tích điện bằng nhau sau đó đặt trong một cối dạng bán cầu cách điện. Tại vị trí cân

bằng các điện tích tạo với tâm bán cầu một tam giác đều cạnh R. Xác định khối lƣợng

các điện tích biết R = 2 mm và q = 2,5 C .

5. Hai quả cầu đặt trong chân không có cùng bán kính r = 1mm và cùng khối lƣợng

đƣợc treo ở hai đầu sợi dây sao cho mặt ngoài của chúng tiếp xúc nhau. Sau khi

truyền cho mỗi quả cầu một điện tích qo = 4.10-7

C, chúng đẩy nhau và góc giữa hai

sợi dây bây giờ bằng 60o.

a. Tính khối lƣợng của các quả cầu nếu khoảng cách từ điểm treo đến tâm quả cầu

bằng l = 20cm.

b. Nhúng toàn bộ hệ thống trên vào dầu hỏa có 2 . Góc của hai sợ dây bây giờ

chỉ bằng 54o. Tìm khối lƣợng riêng của dầu.

Đáp số

a. 36,3.10m kg

b. 1

550kg/m3

6. Hai viên bi nhỏ giống hệt nhau, có điện tích q1 = - 2.10-6

C và q2 = 4.10-6

C đặt cách

nhau một khoảng r trong chân không thì chúng hút nhau một lực F = 0,8N.

a. Tính khoảng cách r.

b. Cho chúng tiếp xúc nhau rồi đƣa về vị trí cũ thì chúng sẽ đẩy nhau hay hút nhau

với lực F’ bằng bao nhiêu?

Đáp số

a. 30r cm

b. ' 0,1F N

7. Một con lắc lò xo có khối lƣợng m = 50g,

hệ số đàn hồi 4 N/m đặt dọc trên một mặt

ngang (bỏ qua ma sát.)



Toàn bộ hệ thống đặt trong điện trƣờng đều có cƣờng độ 5000 V/m. Hỏi vật dịch ra

một đoạn bằng bao nhiêu so với trƣờng hợp không có điện trƣờng. Biết vật nhiễm

điện tích 10-8

C.

8. Hệ điện tích định xứ trên các trục tọa độ nhƣ

hình vẽ. Xác định:

a. lực điện trƣờng tác dụng lên các điện tích đặt

trên trục x. b. Cƣờng độ điện trƣờng tại điểm đặt các điện

tích trên trục x trong hình vẽ bên.

9. Một electron bay vào trong điện trƣờng đều

nhƣ chỉ ra trong hình vẽ, với v0 = 6

3.10 /m s và 200 /E V m. Chiều dài của môi

trƣờng theo phƣơng ngang là l = 0.1m. a)

Tìm gia tốc của electron trong điện trƣờng

b) Lập phƣơng trình chuyển động của

electron và tìm thời gian để electron chuyển

động trong trƣờng này

10. Đặt 4 điện tích +q giống nhau ở bốn đỉnh của

một hình vuông cạnh a. Hỏi phải đặt điện tích

điểm Q ở đâu, có độ lớn và dấu nhƣ thế nào

để cả 5 điện tích đó đều đứng yên?

Đáp số: 2 2 1

4Q q tại tâm hình vuông.

11. Có hai điện tích điểm q1 = 8.10-8

C và q2 = -3.10-8

C đặt

cách nhau một khoảng d = 10cm trong không khí (hình

vẽ).

a. Tính cƣờng độ điện trƣờng gây bởi các điện tích

đó tại các điểm A, B, C. Cho biết: MN = d = 10cm, MA

= 4cm, MB = 5cm, MC = 9cm, NC = 7cm.

b. Tính lực tác dụng lên điện tích q = -5.10-10

C đặt tại C.

Đáp số

a. 452,5.10

AE V/m;

427,6.10BE V/m;

49,34.10CE V/m

b. 41,42.10

C CF qE N

12. Một quả cầu kích thƣớc không đáng kể tích điện treo trên một sợi dây dài l cách điện

rồi mắc vào một dây kim loại (dài vô hạn) tích điện cùng dấu với quả

cầu. Xác định góc lệch của sợi dây biết quả cầu bị đẩy ra một đoạn 2cm.

Khối lƣợng quả cầu là 500g, điện tích trên quả cầu là 0,5 C và mật độ

điện tích trên dây là 810 / .C cm

Đáp số: 05 8' , l = 230mm.

C

N A M B

q1 q

A

A’



13. Trên hình bên AA’ là một mặt phẳng vô hạn tích điện đều với mật độ điện mặt 94.10 C/cm

2 và B là một quả cầu tích điện cùng dấu với điện tích trên mặt phẳng.

Khối lƣợng của quả cầu m = 1g, điện tích của nó bằng q = 10-9

C.

Hỏi sợi dây treo quả cầu lệch đi một góc bằng bao nhiêu so với phƣơng thẳng đứng.

Đáp số

13o

14. Một vòng tròn bán kính R = 5cm làm bằng một dây dẫn mảnh mang điện tích q =

5.10-8

C và đƣợc phân bố đều trên dây.

a. Xác điện cƣờng độ điện trƣờng tại:

+ Tâm vòng dây.

+ Một điểm M nằm trên trục của vòng dây cách tâm một đoạn h = 10cm.

b. Tại điểm nào trên trục của vòng dây cƣờng độ điện trƣờng có trị số cực đại?

Tính trị số cực đại đó.

Đáp số

a. 0Etaâm

; 4

2 2 3/21,6.10

( )M

qhE k

R hV/m

b. 2 4

max 2

23,5.10 7,06.10

2 3 3

R qh m E k

RV/m

15. Tìm lực tác dụng lên một điện tích điểm 95

.103

q C đặt ở tâm nửa vòng xuyến

bán kính ro = 5cm tích điện đều với điện tích Q = 3.10-7

C. Coi nhƣ hệ đặt trong chân

không.

Đáp số

3

21,14.10

2o o

qQF N

r.

16. Một đĩa tròn bán kính a = 8cm tích điện đều với mật độ điện mặt 3 210 /C m .

a. Xác định cƣờng độ điện trƣờng tại một điểm trên trục của đĩa và cách tâm đĩa

một đoạn b = 6cm.

b. Chứng minh rằng nếu b 0 thì biểu thức thu đƣợc sẽ chuyển thành biểu thức

tính cƣờng độ điện trƣờng gây bởi một mặt phẳng vô hạn tích điện đều.

c. Chứng minh rằng nếu b a thì biểu thức thi đƣợc chuyển thành biểu thức tính

cƣờng độ điện trƣờng gây bởi một điện tích điểm.

Đáp số



a. 2 2

11 226

2 1 /o

Ea b

V/m

b. Khi 0b thì 2o

E

c. Khi b a , áp dụng công thức gần đúng: 2

22 2

11

21 /

a

ba b, ta đƣợc:

24o

qE

b.

17. Xác định cƣờng độ điện trƣờng tại các điểm bên trong và bên

ngoài của hai mặt phẳng tích điện rộng vô hạn nhƣ hình vẽ.

Biết 5 24.10 / .C m

Đáp số: Bên trong: 64,6.10 / .V m

Bên ngoài: 0.

18. Xác định vectơ cảm ứng điện D do một dây thẳng dài vô hạn,

tích điện đều, mật độ điện dài 0 gây ra tại điểm cách dây

một khoảng x.

Đáp số

2D

x

19. Hai điện tích định xứ trên các trục tọa độ nhƣ hình vẽ. Xác định: (a) Cƣờng độ điện trƣờng và điện thế tại P.

(b) Xác định độ biến đổi thế năng để 1 điện tích q = 3 C dịch chuyển từ P đến vô

cực.



20. Tính công cần thiết để dịch chuyển một điện tích 71.10

3q C từ một điểm M cách

quả cầu tích điện bán kính r = 1cm một khoảng R = 10cm ra xa vô cực. Biết quả cầu

có mật độ điện mặt 1110 C/cm2.

Đáp số

( )M N

A qV V ;

24

4 ( )Mo

rV

r R; 0NV V .

Do đó: 73,24.10A J .

21. Hệ điện tích định xứ trên mặt phẳng tạo ra một hình tam

giác đều nhƣ hình vẽ bên. Xác định:

a. Cƣờng độ điện trƣờng tại tâm P của hình tam giác. b. Xác định điện thế tại P và tại gốc tọa độ.

22. Ba điện tích điểm q1 = +12.10-9

C, q2 = -6.10-9

C, q3 = +5.10-9

đặt tại ba đỉnh của một

tam giác đều có cạnh a = 20cm trong không khí. Xác định điện thế tại tâm của tam

giác đó.

Đáp số

857,2V (V).

23. Một vòng dây bán kính 4cm tích điện đều với điện tích Q = 81.10

9C. Tính điện thế

tại:

a. Tâm vòng dây.

b. Một điểm M trên trục vòng dây, cách tâm vòng dây một đoạn h = 3cm.

Đáp số

a. 250OV V/m

b. 200MV V/m



CHƢƠNG 2 Equation Chapter 2 Section 1

TỪ TRƢỜNG


1. Nắm đƣợc các khái niệm của các đại lƣợng: vectơ cảm ứng từ, vectơ cƣờng độ

từ trƣờng, từ thông...

2. Hiểu và ứng dụng đƣợc định luật Ampe, định lý O – G đối với từ trƣờng, định

lý về dòng điện toàn phần.

3. Xác định đƣợc lực tƣơng tác giữa các dòng điện.

II. NỘI DUNG

§1. TƢƠNG TÁC TỪ CỦA DÕNG ĐIỆN - ĐỊNH LUẬT AMPÈRE

1. Thí nghiệm về tƣơng tác từ

a. Tƣơng tác từ giữa các nam châm

Hai thanh nam châm đƣợc đặt gần nhau thì chúng có thể hút hoặc đẩy nhau tùy

theo vị trí tƣơng đối giữa các cực. Nếu hai cực cùng dấu thì chúng sẽ đẩy nhau và ngƣợc

lại nếu hai cực trái dấu thì chúng sẽ hút nhau. Ngoài ra các thanh nam châm còn có thể

hút đƣợc vụn sắt. Các tính chất đó của nam châm đƣợc gọi là từ tính. Tƣơng tác giữa các

nam châm đƣợc gọi là tương tác từ.

b. Tƣơng tác giữa dòng điện với nam châm

Đặt một kim nam châm gần một dây dẫn, song

song với dây dẫn chƣa có dòng điện (a). Khi

cho dòng điện chạy qua, kim nam châm quay

lệch đi so với phƣơng ban đầu (b). Nếu đổi

chiều dòng điện, kim nam châm cũng lệch

nhƣng theo chiều ngƣợc lại (c).

Hình 2.1 Tác dụng của dòng

điện lên kim nam châm.



Nhƣ vậy, thí nghiệm chứng tỏ dòng điện cũng có từ tính như nam châm, nghĩa là

dòng điện có thể hút hoặc đẩy nam châm và ngƣợc lại nam châm cũng có thể hút hoặc

đẩy dòng điện.

Thay dây dẫn bằng một cuộn dây dẫn có dòng điện chạy qua, ta cũng thu đƣợc kết

quả tƣơng tự (hình 2.2a).

Hình 2.2

Hai dây dẫn thẳng song song nhau, ở gần nhau, khi trong chúng có dòng điện cùng

chiều chạy qua thì chúng hút nhau (hình 2.2b), khi trong chúng có dòng điện chạy ngƣợc

chiều nhau thì chúng đẩy nhau (hình 2.2c).

Hai ống dây điện cũng hút nhau hoặc đẩy nhau tuỳ theo dòng điện ở hai đầu của

chúng cùng chiều hay ngƣợc chiều nhau. Mỗi cuộn dây nhƣ vậy tƣơng đƣơng với một

nam châm: đầu cuộn dây nào mà khi nhìn vào, ta thấy có dòng điện chạy ngƣợc chiều

quay của kim đồng hồ thì đó là cực bắc (N) của nam châm (hình 2.2d), còn ngƣợc lại thì

đó là cực nam S (hình 2.2e). Vì thế ngƣời ta gọi ống dây có dòng điện là nam châm điện.

Kết luận: Tương tác giữa các dòng điện cũng là tương tác từ.

2. Định luật Ampe (Ampère) về tƣơng tác giữa hai dòng điện

Để thuận lợi cho việc xác định lực từ, Ampère đƣa ra khái niệm phần tử dòng

điện, gọi tắt là phần tử dòng. Phần tử dòng điện là một đoạn rất ngắn của dòng điện. Về

mặt toán học, ngƣời ta biểu diễn nó bằng một vectơ Idl nằm ngay trên phần tử dây dẫn,

có phƣơng chiều là phƣơng chiều của dòng điện, và có độ lớn Idl (hinh 2.3).

Hình 2.3 Phần tử dòng điện.

Giả sử xét hai dòng điện hình dạng bất kỳ, có cƣờng độ lần lƣợt là 1I và

2I . Trên

hai dòng điện đó, ta lấy hai phần tử dòng bất kỳ 1 1I dl và

2 2I dl (Hình 2.4) có vị trí tƣơng

ứng là O và M.



Hình 2.4 Tƣơng tác giữa phần từ dòng 1 1I dl và phần tử dòng

2 2I dl .

Từ gốc O của 1 1I dl , vẽ vectơ OM r đến gốc của

2 2I dl . Gọi góc giữa

1 1I dl và

r là 1. Vẽ mặt phẳng (P) chứa

1 1I dl và điểm M, tại M vẽ vectơ pháp tuyến n của (P)

và gọi góc giữa n và 2 2I dl là

2. Lực tƣơng tác giữa

1 1I dl và

2 2I dl đƣợc xác định bằng

định luật Ampere:

Định luật: Lực từ dF do phần tử dòng điện 1 1I dl tác dụng lên phần tử dòng điện

2 2I dl cùng đặt trong chân không có:

+ Phương vuông góc với mặt phẳng chứa n và 2 2I dl .

+ Chiều là chiều sao cho 3 vectơ 2 2I dl , n và dF theo thứ tự đó lập thành tam

diện thuận.

+ Độ lớn:

1 1 1 2 2 22

.sin . .sinI dl I dldF k

r (2.1)

trong đó 4ok gọi là hệ số tỷ lệ;

74 .10o

H

m: hằng số từ.

Do đó, (2.1) có thể đƣợc viết:

1 1 1 2 2 22

.sin . .sin

4oI dl I dl

dFr

(2.2)

Nếu hai dòng điện đƣợc đặt trong môi trƣờng thì lực từ tƣơng tác giữa chúng sẽ

tăng lên lần:



1 1 1 2 2 22

.sin . .sin.

4oI dl I dl

dFr

(2.3)

trong đó, là một số không thứ nguyên, phụ thuộc vào tính chất của môi trƣờng bao

quanh các phần tử dòng, đƣợc gọi là độ từ thẩm của môi trƣờng hay là độ từ thẩm tỉ đối

của môi trƣờng so với chân không. Để đơn giản, ta gọi là độ từ thẩm của môi trƣờng. Với

chân không 1, với không khí 1.

Vì 1 1 1 1 1

. .sinI dl r n I dl ; 2 2

( )I d n dF , do đó có thể viết lại hệ thức

của định luật dƣới dạng vectơ:

2 2 1 1

34oI dl I d r

dFr

(2.4)

Một cách tƣơng tự, lực 'dF do phần tử 2 2I dl tác dụng lên phần tử dòng

1 1I dl là:

1 1 2 2

3

''

4oI dl I d r

dFr

(2.5)

Trong công thức này, vectơ 'r r , cùng độ lớn nhƣng ngƣợc chiều với r .

Nhận xét:

Trong định luật Ampère, phần tử dòng đóng vai trò tƣơng tự nhƣ điện tích điểm

trong định luật Coulomb.

§2. VECTƠ CẢM ỨNG TỪ, VECTƠ CƢỜNG ĐỘ TỪ TRƢỜNG

1. Khái niệm từ trƣờng

Khi xét sự tƣơng tác giữa các dòng điện, chúng ta đặt ra một số câu hỏi nhƣ sau: khi

một dây dẫn có dòng điện đƣợc đặt gần một dòng điện khác thì giữa chúng có lực tƣơng

tác; nhƣng tại sao lại có lực tƣơng tác đó? Lực tƣơng tác truyền từ dòng điện này sang

dòng điện khác nhƣ thế nào và khi chỉ có một dòng điện thì trong không gian quanh nó

có gì biến đổi không? Câu trả lời cũng giống nhƣ với tƣơng tác tĩnh điện. Sở dĩ giữa hai

dòng điện có tƣơng tác từ vì xung quanh mỗi dòng điện đều có từ trường. Khi có một

dòng điện đặt trong từ trƣờng thì dòng điện đó chịu tác dụng lực của từ trƣờng và thông

qua từ trƣờng; lực từ đƣợc truyền đi với vận tốc hữu hạn.

Từ trƣờng xuất hiện xung quanh dòng điện ngay cả khi không có mặt những dòng

điện khác. Khi đó trong không gian xung quanh dòng điện có những biến đổi nhất định.

Vậy: “Từ trƣờng là một dạng vật chất mà biểu hiện cụ thể của nó là tác dụng

của lực từ lên dòng điện hay nam châm đặt trong nó”.



2. Các đại lƣợng đặc trƣng cho từ trƣờng

a. Vectơ cảm ứng từ – Định luật Biot – Savart – Laplace

Hình 2.5 Cảm ứng từ gây bởi phần tử dòng.

Xét từ trƣờng do phần tử dòng Idl gây ra tại một điểm M cách nó một đoạn r (Hình

2.5). Từ biểu thức định luật Ampère về tƣơng tác giữa hai phần tử dòng điện, ta có nhận

xét: vectơ:

3

.4o Idl r

dBr

(2.6)

chỉ phụ thuộc vào:

Phần tử dòng điện Idl , là phần tử gây ra từ trƣờng.

Bán kính vectơ r và , tức là vào vị trí điểm M trong từ trƣờng của Idl .

Nhƣ vậy, vectơ dB đƣợc xác định theo (2.6) là vectơ đặc trƣng về mặt tác dụng

lực cho từ trƣờng tại điểm M gây bởi phần tử dòng Idl , và đƣợc gọi là vectơ cảm ứng từ

do phần tử dòng Idl gây ra tại M. (2.6) đƣợc gọi là định luật Biot – Savart – Laplace,

đƣợc phát biểu nhƣ sau:

Định luật: Vectơ cảm ứng từ dB do phần tử dòng điện Idl gây ra tại điểm M

cách điểm đặt của phần tử dòng điện một bán kính vectơ r là:

3

.4o Idl r

dBr

(2.7)

Vectơ này có:+ Điểm đặt tại M.

+ Phương vuông góc với mặt phẳng ( , )r dl .

+ Chiều sao cho các vectơ r , dl , dB tạo thành tam diện thuận.

+ Độ lớn:

2

.sin( , ).

4o Idl r dl

dBr

(2.8)

Đơn vị của cảm ứng từ là Tesla (T).



Ngƣời ta cũng có thể xác định chiều của vectơ dB bằng qui tắc vặn nút chai nhƣ

sau: “Đặt cái vặn nút chai theo phương của dòng điện, nếu quay cái vặn nút chai sao cho

nó tiến theo chiều của dòng điện thì chiều quay của nó sẽ chỉ chiều của vectơ cảm ứng từ

tại điểm đó” (Hình 2.6).

Hình 2.6 Xác định dB theo quy tắc vặn nút chai.

b. Nguyên lý chồng chất từ trƣờng

Vectơ cảm ứng từ B do một dòng điện chạy trong một dây dẫn dài hữu hạn gây ra

tại một điểm M bằng tổng hợp các vectơ cảm ứng từ dB do tất cả các phần tử dòng của

dòng điện đó gây ra tại điểm đƣợc xét:

B dBcaû doøng

(2.9)

Nếu từ trƣờng do nhiều dòng điện gây ra thì theo nguyên lý chồng chất từ trƣờng:

“Vectơ cảm ứng từ tại một điểm M trong từ trường do nhiều dòng điện gây ra bằng tổng

hợp các véctơ cảm ứng từ do tất cả các dòng điện gây ra tại điểm đó”.

1 2

1

n

n ii

B B B B B (2.10)

c. Vectơ cƣờng độ từ trƣờng

Ngƣời ta định nghĩa vectơ cƣờng độ từ trƣờng H nhƣ sau:

o

BH (2.11)

Vectơ H không phụ thuộc vào , nghĩa là vectơ cƣờng độ từ trƣờng đặc trƣng

cho từ trƣờng do riêng dòng điện gây ra và không phụ thuộc vào tính chất của môi trƣờng

chứa dòng điện. Do đó cƣờng độ từ trƣờng không biến đổi đột ngột khi chuyển từ môi

trƣờng này sang môi trƣờng khác.

Trong hệ đơn vị SI, đơn vị cƣờng độ từ trƣờng là Ampe/met (A/m).

3. Xác định vectơ cảm ứng từ và vectơ cƣờng độ từ trƣờng



a. Từ trƣờng của dòng điện thẳng

Bài toán: Cho một dây dẫn thẳng dài tiết diện nhỏ có dòng điện I chạy qua. Xác định

cảm ứng từ gây bởi dây dẫn tại một điểm M cách dây một khoảng R .

Bài giải

Hình 2.7 Xác định vectơ cảm ứng từ của dòng điện thẳng.

Theo định luật Biot-Savart-Laplace, vectơ cảm ứng từ dB do phần tử dòng điện Idl gây

ra tại điểm M có phƣơng vuông góc với mặt phẳng chứa M và Idl và có độ lớn:

2

.sin.

4o Idl

dBr

Theo nguyên lý chồng chất từ trƣờng, vectơ B do dòng điện trong đoạn mạch AB

gây ra tại M bằng tổng hợp các vectơ dB do tất cả các phần tử dòng của đoạn AB gây ra:

B dBcaû doøng

(2.12)

Trong trƣờng hợp này, tất cả các vectơ dB có cùng phƣơng chiều (vuông góc với

mặt phẳng hình vẽ và hƣớng vào), nên B cũng có phƣơng chiều nhƣ dB và có độ lớn:

2

.sin

4oI dl

B dBr

Ta lại có: 2

cotgsin

Rl R dl d ; và

sin

Rr . Thay vào biểu thức

cảm ứng từ tổng hợp, ta đƣợc:

O M

I

R



2

1

sin .4oI

B dR

hay:

1 2

(cos cos )4oI

BR

(2.13)

trong đó 1 và

2 là góc giữa các bán kính vectơ từ hai đầu dòng điện đến điểm M.

Nếu dòng điện thẳng dài vô hạn thì: 1

0 , 2

. Do đó ta có:

2oI

BR

(2.14)

Suy ra:

2

IH

R (2.15)

Trong hệ đơn vị SI, ngƣời ta dựa vào công thức (2.15) để định nghĩa đơn vị của

cƣờng độ từ trƣờng là A/m. Trong công thức (2.15), nếu cho 1I A, chu vi đƣờng tròn

bán kính R bằng 2 1R mét thì:

1

11

Ampe AH

met m

Vậy: “Ampe trên mét là cƣờng độ từ trƣờng sinh ra trong chân không bởi

một dòng điện có cƣờng độ 1 ampe, chạy qua một dây dẫn thẳng dài vô hạn, tiết

diện tròn, tại các điểm của một đƣờng tròn đồng trục với dây đó và có chu vi bằng

1 mét”.

b. Dòng điện tròn

Bài toán: Xác định từ trƣờng của một dòng điện không đổi chạy qua một dây dẫn có

dạng một đƣờng tròn bán kính R tại điểm M trên trục của đƣờng tròn và cách tâm vòng

tròn một khoảng h .

Bài giải

Hình 2.8 Dòng điện tròn.

R

O

r

M

h

I



Theo công thức (2.12) vectơ cảm ứng từ B :

34

o Idl rB dB

r

Phần tử dòng điện Idl vuông góc với r nên 90o . Vì tính chất đối xứng nên

ta luôn tìm đƣợc một cặp hai phần tử dòng điện đối xứng qua tâm gây ra các cảm ứng từ

có cùng độ lớn, đồng phẳng và đối xứng qua trục của vòng dây. Kết quả vectơ cảm ứng

từ tổng hợp của từng cặp phần tử là một vectơ nằm trên trục của vòng dây và vectơ cảm

ứng từ B do cả dòng điện tròn gây ra tại M cũng nằm trên trục đó, có độ lớn:

n

B dBcaû doøng ñieän

Cảm ứng từ do Idl gây ra tại M là:

2 2

.sin. .

4 4o oIdl Idl

dBr r

Gọi n

dB là hình chiếu của vectơ dB lên trục của dòng điện và là góc hợp bởi

dB với trục đó và cosR

r, ta có:

3

.cos .4o

n

IRdB dB dl

r

Lấy tích phân cho cả dòng điện hai vế biểu thức trên với chú ý 2

0c¶ dßng ®iÖn

R

dl dl

, ta đƣợc:

2

3

( )

2oR I

Br

Thay 2R S và

2 2 1/2( )r R h vào biểu thức trên, ta đƣợc:

2 2 3/22 ( )oIS

BR h

Gọi .S n S là vectơ nằm trên trục dòng điện tròn có chiều tiến của vặn nút chai

khi quay nó theo chiều dòng điện, có độ lớn bằng diện tích S dòng điện. Khi đó

n B . Suy ra:



2 2 3/22 ( )oIS

B nR h

Đặt .mP I S . Vectơ

mP đƣợc gọi là mômen từ của dòng điện tròn có độ

lớn .mP I S . Vậy,

2 2 3/2

.2 ( )o m

PB

R h (2.16)

Khái niệm vectơ mômen từ vẫn áp dụng đúng cho một dòng điện kín bất kỳ.

§3. TỪ THÔNG - ĐỊNH LÝ ÔXTRÔGRATSKI-GAUSS ĐỐI

VỚI TỪ TRƢỜNG

1. Đƣờng cảm ứng từ

Trong từ trƣờng, vectơ cảm ứng từ thay đổi theo vị trí, để có một hình ảnh khái quát

nhƣng cụ thể về từ trƣờng, ngƣời ta đƣa ra khái niệm về đƣờng cảm ứng từ.

Định nghĩa: Đường cảm ứng từ là đường cong vẽ ra trong từ trường sao cho tiếp tuyến

tại mọi điểm của nó trùng với phương của vectơ cảm ứng từ tại những điểm ấy, chiều của

đường cảm ứng từ là chiều của vectơ cảm ứng từ.

Tính chất:

Các đƣờng cảm ứng từ không cắt nhau. Giống nhƣ với đƣờng sức điện trƣờng, ta có

thể vẽ các đƣờng cảm ứng từ sao cho mật độ của chúng cho biết độ lớn của cảm ứng

từ tại mỗi điểm.

Hình 2.9 Từ phổ: a) của dòng điện thẳng, b) của dòng điện tròn,

c) của ống dây điện.



Khác với đƣờng sức điện, các đường cảm ứng từ là những đường cong kín, nghĩa là

không có điểm xuất phát và không có điểm tận cùng. Vì vậy, từ trƣờng đƣợc gọi là

một trường xoáy.

Ngƣời ta qui ƣớc vẽ số đƣờng cảm ứng từ qua một đơn vị diện tích vuông góc với

phƣơng của vectơ cảm ứng từ có trị số tỷ lệ với độ lớn B của vectơ B . Nếu gọi d số

đƣờng cảm ứng qua diện tích n

dS vuông góc với vectơ cảm ứng từ B thì theo qui ƣớc

trên ta viết đƣợc:

.n

d BdS (2.17)

Tập hợp các đƣờng cảm ứng từ của một từ trƣờng đƣợc gọi là từ phổ. Để có từ phổ

của một dòng điện thẳng, ta rắc vụn sắt nhỏ lên trên một tấm bìa cứng có dòng điện

xuyên qua vuông góc với bìa. Dƣới tác dụng của từ trƣờng do dòng điện gây ra, các vụn

sắt sẽ trở thành những thanh nam châm nhỏ. Gõ nhẹ vào tấm bìa, các nam châm nhỏ sẽ

sắp xếp lại theo phƣơng của vectơ cảm ứng từ và cho ta hình ảnh của từ phổ. Từ phổ cho

ta biết một cách khái quát nhƣng cũng tƣơng đối đầy đủ sự biến đổi của từ trƣờng từ điểm

này qua điểm khác. Hình 2.10 cho ta từ phổ của một số dòng điện: thẳng, tròn, ống dây

điện.

Từ trường đều là từ trƣờng trong đó vectơ B có phƣơng chiều và độ lớn nhƣ nhau

tại mọi điểm trong từ trƣờng. Nhƣ vậy, theo qui ƣớc về cách vẽ đƣờng cảm ứng từ, từ

trƣờng đều có các đường cảm ứng từ song song và cách đều nhau.

2. Từ thông

Ta giả sử xét một diện tích rất nhỏ dS sao cho có thể coi vectơ cảm ứng từ

B tại mọi điểm của diện tích ấy là không đổi (từ trƣờng đều).

Theo định nghĩa: Từ thông gửi qua diện tích dS là đại lƣợng có trị số tỷ lệ với

số đƣờng cảm ứng từ gửi qua diện tích ấy.

Theo qui ƣớc (2.17) và theo định nghĩa của từ thông, ta có thể viết biểu thức từ

thông gửi qua diện tích dS:

.m n

d BdS (2.18)

Hình 2.10 Định nghĩa từ thông qua diện tích dS.



Từ Hình 2.10 ta thấy n

dS cũng chính là hình chiếu của diện tích dS lên phƣơng

vuông góc với vectơ B , do đó:

.cosn

dS dS (2.19)

Gọi n là vectơ pháp tuyến đơn vị của diện tích dS , góc ( , )B n cũng bằng

góc giữa diện tích dS và hình chiếu n

dS của nó lên phƣơng vuông góc với các đƣờng

cảm từ B . Từ (2.18) và (2.19) ta có:

. .cos .m

d BdS BdS (2.20)

Nhƣ vậy, từ thông có thể dƣơng và cũng có thể âm hoặc bằng không tuỳ theo góc

giữa B và dS :

Nếu 90o thì 0m

d

Nếu 90o thì 0m

d

Nếu 90o thì 0m

d

Mặt khác, .cosnB B là hình chiếu của vectơ B lên phƣơng của pháp tuyến

n , do đó (2.20) cũng có thể viết lại:

. .cos . .m n

d BdS B dS BdS (2.21)

Từ thông toàn phần qua toàn bộ diện tích S là:

( )

.m

S

BdS (2.22)

Nếu S là một mặt phẳng vuông góc với các đƣờng cảm ứng từ ( 0) và từ

trƣờng là đều ( )B const thì ta có:

( ) ( )

. .m

S S

BdS B dS B S (2.23)

Trong hệ đơn vị SI, đơn vị của từ thông là Vêbe, ký hiệu là Wb. Từ đơn vị Vêbe,

ngƣời ta định nghĩa đơn vị cảm ứng từ Tesla nhƣ sau: nếu 1m

Wb , 21S m ,

0 thì:

2 2

11 1

1m

n

Wb WbB Tesla

S m m

Vậy: Tesla (T) là cảm ưng từ của một từ trường đều gửi qua mỗi mét vuông diện

tích phẳng vuông góc với các đường sức của nó một từ thông đều 1Wb.



3. Định lý Oxtrogratxki - Gauss đối với từ trƣờng

Để tìm định lý Oxtrogratxki - Gauss đối với từ trƣờng, ngƣời ta tính từ thông qua

một mặt kín S bất kỳ đặt trong từ trƣờng đó (hình 2.11).

Hình 2.11 Xác định từ thông gửi qua một mặt kín.

Ngƣời ta qui ƣớc, đối với mặt kín, chiều dƣơng của pháp tuyến là chiều hƣớng ra ngoài

mặt đó. Do đó, từ thông ứng với đƣờng cảm ứng từ đi vào mặt kín là âm ( 90o nên

cos 0); từ thông ứng với đƣờng cảm ứng đi ra khỏi mặt kín là dƣơng ( 90o nên

cos 0). Do các đƣờng cảm ứng khép kín nên số đƣờng đi vào mặt kín S bằng số

đƣờng ra khỏi mặt kín. Nhƣ vậy từ thông đi vào S có trị số bằng từ thông ra khỏi mặt S

nhƣng ngƣợc dấu nhau, nên:

Từ thông toàn phần gửi qua mặt kín bất kỳ luôn luôn bằng không.

( )

. 0S

BdS (2.24)

Định lý O-G nói lên tính chất xoáy của từ trƣờng, các đường cảm ứng từ là những

đường cong kín. Nhƣ vậy trong thiên nhiên không tồn tại các hạt "từ tích".

Trong giải tích toán, ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng:

( ) ( )

. div .S V

BdS BdV (2.25)

trong đó V là thể tích giới hạn bởi mặt kín S. Từ (2.24) và (2.25) ta suy ra:

( )

div . 0V

BdV

Vì thể tích V đƣợc chọn bất kỳ nên:

div 0B (2.26)

Đây là biểu thức vi phân của định lý O – G đối với từ trƣờng.



§4. ĐỊNH LÝ AMPÈRE VỀ DÕNG ĐIỆN TOÀN PHẦN

1. Lƣu số của vectơ cƣờng độ từ trƣờng

Xét một đƣờng cong (C) nằm trong một từ trƣờng bất kỳ. Lấy trên đƣờng cong đó

một đoạn vô cùng nhỏ dl , lập một vectơ dl có độ dài bằng dl , có phƣơng trùng với

phƣơng của đoạn dl , có chiều trùng với chiều dịch chuyển trên đƣờng cong (C) (Hình

2.13). Ngƣời ta gọi dl là vectơ dịch chuyển. Lƣu số của vectơ cƣờng độ từ trƣờng, ký

hiệu là mC đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

Định nghĩa: Lưu số của vectơ cường độ từ trường dọc theo đường cong kín (C) là

đại lượng về giá trị bằng tích phân của .H dl dọc theo toàn bộ đường cong đó:

( ) ( )

. . .cosm

C C

C H dl H dl (2.27)

trong đó là góc hợp bởi hai vectơ H và dl .

Hình 2.12 Xác định lƣu số của vectơ cƣờng độ từ trƣờng.

Khi góc là góc nhọn, tức là nếu chiều dịch chuyển trên đƣờng cong (C) thuận với

chiều của các đƣờng sức thì lƣu số có giá trị dƣơng (hình 2.12a).

Khi góc là góc tù, tức là chiều dịch chuyển trên đƣờng cong (C) ngƣợc chiều với

các đƣờng sức từ thì lƣu số có giá trị âm (hình 2.12b).

2. Định lý Ampère về dòng điện toàn phần

Xét từ trƣờng gây bởi một dòng điện thẳng dài vô hạn có cƣờng độ I . Lấy một

đƣờng sức nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với dòng điện và một đƣờng cong (C)

(đƣờng liền nét) có dạng bất kỳ cũng nằm trong mặt phẳng (P) (hình 2.13).



Hình 2.13 Chứng minh định lý về dòng điện toàn phần.

Tại điểm M bất kỳ trên đƣờng cong (C), cách dòng điện một khoảng r , vectơ

cƣờng độ từ trƣờng tại M có trị số:

2

IH

r

Lƣu số của véctơ cƣờng độ từ trƣờng dọc theo (C) là:

( ) ( ) ( )

.cos. . .cos

2C C C

I dlH dl H dl

r

Nhƣng .cos .dl MK r d , thay vào biểu thức trên, ta đƣợc:

( ) ( )

.2

C C

IH dl d (2.28)

Nhận xét:

Nếu (C) là đường cong bao quanh dòng điện, theo biểu thức (2.28) ta có:

( ) ( )

. .22 2

C C

I IH dl d I (2.29)

- Kết quả sẽ là I nếu chiều lấy tích phân trên đƣờng cong (C) cùng chiều đƣờng

sức từ.

- Kết quả sẽ là I nếu chiều lấy tích phân trên đƣờng cong (C) ngƣợc chiều đƣờng

sức từ.

Nếu đƣờng cong (C) không bao quanh dòng điện, ta chia đƣờng cong thành hai phần

1a2 và đoạn 2b1 bằng hai tiếp tuyến O1 và O2 vạch từ dòng điện đến đƣờng cong.

Góc giữa O1 và O2 là (hình 2.15).



Hình 2.14 Đƣờng cong không kín bao quanh dòng điện.

Trên đoạn 1a2, góc giữa H và dl là góc nhọn, ta có:

1 2 0a

d d

Trên đoạn 2b1, góc giữa H và dl là góc tù, ta có:

0

2 1b

d d

Kết quả lƣu số của vectơ cƣờng độ từ trƣờng dọc theo đƣờng cong kín không bao

quanh dòng điện là:

( ) 1 2 2 1

. ( ) ( ) 02 2

C a b

I IH dl d d

Vậy:

( )

. 0C

H dl (2.30)

Khi từ trƣờng gây bởi một dòng điện có hình dạng bất kỳ và đƣờng cong kín (C)

có hình dạng tuỳ ý, các công thức (2.29) và (2.30) vẫn nghiệm đúng.

Trƣờng hợp từ trƣờng gây bởi nhiều dòng điện, có cƣờng độ lần lƣợt là 1 2, , ,

nI I I , thì

theo nguyên lý chồng chất từ trƣờng, ta có thể viết:

1 2 n

H H H H

Thay tổng này vào biểu thức tích phân (2.29), ta đƣợc:

1 2

1( ) ( )

. ( )n

n iiC C

H dl H H H dl I

Biểu thức này là định lý về dòng điện toàn phần (định lý Ampère) phát biểu nhƣ

sau:

Định lý: Lưu số của vectơ cường độ từ trường dọc theo một vòng của đường cong

kín (C) bất kỳ bằng tổng đại số cường độ của các dòng điện xuyên qua diện tích giới hạn

bởi đường cong đó:



1( )

.n

iiC

H dl I (2.31)

trong đó iI sẽ có dấu dƣơng nếu nó có chiều sao cho đƣờng sức từ trƣờng do nó gây ra

cùng chiều với chiều dịch chuyển của đƣờng cong (C), nếu ngƣợc lại thì iI sẽ có dấu âm.

Ý nghĩa của định lý:

Trong điện trƣờng tĩnh, tích phân

( )

. 0C

E dl , các đƣờng sức điện trƣờng là những

đường cong không kín, điện trƣờng là trường thế.

Trong từ trƣờng tích phân 1( )

.n

iiC

H dl I nói chung là khác không. Điều này có

nghĩa là từ trƣờng không phải là trƣờng thế, mà là một trường xoáy.

Chú ý:

Trong tổng các dòng điện, không cần chú ý đến những dòng điện không xuyên qua

diện tích giới hạn bởi đƣờng cong kín.

Ví dụ (Hình 2.16) xuyên qua đƣờng cong (C) có các dòng điện: I1 = 4A, I2 = 2A, I3 = 3A,

I4 = 5A. Áp dụng định lý Ampère ta tính đƣợc:

( )

. 4 2 3 3C

H dl A

Nếu đƣờng cong kín bao quanh dòng điện nhiều lần thì phải chú ý đến dấu của cƣờng

độ dòng điện đối với mỗi vòng dịch chuyển trên đƣờng cong đó.

Hình 2.15 Thí dụ tính lƣu số của vectơ cƣờng độ từ trƣờng.



Hình 2.16 Đƣờng cong bao quanh dòng điện nhiều lần.

Ví dụ hình 2.16a, ta đƣợc:

( )

. 2C

H dl I

Ví dụ hình 2.16b, ta đƣợc:

( )

. 0C

H dl

3. Ứng dụng định lý Ampère

Định lý về dòng điện toàn phần cho phép ta tính đƣợc một cách nhanh chóng cƣờng

độ trƣờng H và cảm ứng từ B của một số dòng điện. Muốn vậy, ta thực hiện theo trình

tự các bƣớc sau:

Chọn một đƣờng cong kín (C) và tính lƣu số của vectơ cƣờng độ từ trƣờng H dọc

theo (C).

Tìm tổng số cƣờng độ dòng xuyên qua (C).

Cân bằng hai biểu thức để rút ra H và từ đó có thể tính đƣợc B .

a. Cuộn dây hình xuyến

Hình 2.17 Cuộn dây hình xuyến.

Áp dụng định lý về dòng điện toàn phần ta tính đƣợc cƣờng độ từ trƣờng tại một điểm

trên đƣờng tròn tâm O bán kính R (1 2R R R ) của cuộn dây hình xuyến có n vòng

(Hình 2.17) quấn sít nhau, dòng điện có cƣờng độ I , sẽ bằng:



2

nIH

R (2.32)

và cảm ứng từ B :

2o

nIB

R (2.33)

b. Ống dây thẳng dài vô hạn

Hình 2.18 Ống dây điện thẳng dài vô hạn.

Từ biểu thức (2.32) và (2.33) có thể suy ra cƣờng độ từ trƣờng tại mọi điểm bên trong

ống dây thẳng dài vô hạn (Hình 2.18) đều bằng nhau và bằng:

o

H n I (2.34)

và cảm ứng từ B :

o o

B n I (2.35)

trong đó on là số vòng dây trên một đơn vị dài của ống dây. Trong thực tế, những ống

dây có chiều dài lớn hơn mƣời lần đƣờng kính của nó đều có thể coi gần đúng là ống dây

dài vô hạn, và có thể coi từ trƣờng trong nó là đều.

§5. TÁC DỤNG CỦA TỪ TRƢỜNG LÊN DÕNG ĐIỆN

1. Lực Ampère

Một phần tử dòng điện Idl đặt ở điểm M trong từ trƣờng có cảm ứng từ B , theo

định luật Ampe nó sẽ chịu tác dụng một lực:

dF Idl B

Hình 2.19 Lực từ tác dụng lên phần tử dòng điện.



Từ lực này gọi là lực Ampe có:

+ Điểm đặt: tại phần tử Idl .

+ Phƣơng: vuông góc với mặt phẳng (Idl ,B ).

+ Chiều: sao cho ba vectơ dl , B , dF theo thứ tự đó hợp thành một tam diện

thuận.

+ Độ lớn:

. . .sindF I dl B (2.36)

Để xác định chiều của lực Ampère ngƣời ta còn dùng qui tắc bàn tay trái nhƣ sau:

Đặt bàn tay trái sao cho các đường sức từ xuyên vào lòng bàn tay, dòng điện đi từ cổ tay

đến đầu các ngón tay, thì chiều của ngón tay cái choãi ra chỉ chiều của từ lực.

2. Tƣơng tác giữa hai dòng điện thẳng song

song dài vô hạn

Cho hai dòng điện thẳng song song dài vô

hạn nằm cách nhau một khoảng d , có cƣờng độ

lần lƣợt là 1 2,I I cùng chiều chạy qua. Dòng điện

1I gây ra một từ trƣờng

1B .

Theo công thức (2.14), tại vị trí đặt dòng

2I vectơ cảm ứng từ do

1I gây ra có phƣơng

vuông góc với mặt phẳng chứa hai dây dẫn, có chiều tuân theo qui tắc vặn nút chai, có độ

lớn bằng:

1 12

oB Id

Từ trƣờng B tác dụng lên một đoạn dây có chiều dài l của dòng điện2I một lực:

2 2 1F I l B

Lực 2F có phƣơng vuông góc với dòng

2I , có chiều hƣớng về

1I và có trị số:

2 1 2

. .2oF I I ld

(2.37)

Nhƣ vậy dòng 1I hút dòng

2I và lý luận tƣơng tự ta sẽ thấy dòng

2I hút dòng

1I

một lực cùng phƣơng ngƣợc chiều với 1F với

1 2F F . Nếu hai dòng điện ngƣợc chiều

thì chúng sẽ đẩy nhau.

Hình 2.20 Tƣơng tác giữa hai dòng

điện song song.



3. Tác dụng của từ trƣờng đều lên mạch điện kín

Xét một khung dây dẫn kín hình chữ nhật ABCD có các cạnh là a và b . Dòng

điện chạy trong khung có cƣờng độ I . Khung đựơc đặt trong từ trƣờng đều B có

phƣơng vuông góc với các cạnh AB,CD. Giả sử khung không bị biến dạng và chỉ có thể

quay xung quanh trục đối xứng của nó. Ban đầu, mặt khung không vuông góc với từ

trƣờng, vectơ mômen từ của nó hợp với vectơ B một góc (2.21a).

Hình 2.21 Từ trƣờng tác dụng lên khung dây điện kín.

Nhờ qui tắc bàn tay trái ta xác định đƣợc:

- Các từ lực tác dụng lên hai cạnh AD và BC triệt tiêu nhau.

- Từ lực F tác dụng lên cạnh thẳng đứng AB hƣớng về phía trƣớc, còn lực

'F tác dụng lên cạnh thẳng đứng CD hƣớng ra phía sau. Hai lực này luôn

vuông góc với các cạnh AB, CD và với vectơ B , hợp với các cạnh AD, BC

một góc , có độ lớn ' . .F F I aB .

Các lực này tạo thành một ngẫu lực có mômen M làm khung quay quanh trục

cho đến khi 0 , lúc đó mặt khung vuông góc với B , vectơ mômen từ mp của dòng

điện cùng phƣơng chiều với vectơ B .

Để xét tác dụng của các lực này, trên hình 2.21b ta ghép đầu A của cạnh AD với đầu B

của cạnh BC, đầu C của cạnh BC với đầu D của cạnh AD. Gọi d là khoảng cách giữa hai

lực:

.sind b

Mômen ngẫu lực đối với trục quay có độ lớn bằng: .F dM . Ta suy ra:

. .sin . . . .sin . . .sin

. .sinm

F b I a Bb I S B

p B

M

trong đó .mp I S là độ lớn của vectơ mômen từ của khung dây. Vectơ mômen ngẫu

lực M có phƣơng vuông góc với hai vectơ B và mp , có chiều hƣớng lên trên. Do đó ta

có thể viết:



mp BM (2.38)

Công của mômen ngẫu lực khi quay đi một góc d :

. . .sin .m

dA d p B dM (2.39)

Dấu trừ “-” thể hiện ngẫu lực thực hiện công dƣơng ( 0)dA khi giảm

( 0)d ; còn khi ngẫu lực làm cho góc tăng ( 0)d thì nó sinh công cản

( 0)dA . Do đó, công của mômen ngẫu lực thực hiện khi làm cho khung ở trạng thái

ứng với góc lệch về vị trí cân bằng ( 0) là:

00. .sin . . .cos . 1 cos

m m mA p B d p B p B (2.40)

Công này bằng độ giảm năng lƣợng (thế năng) của khung dây điện trong từ

trƣờng:

0

. .cos . .cos0m m m mW W p B p B

Ta suy ra năng lƣợng của khung dây điện ứng với góc là:

. .cos .m m mW p B p B (2.41)

Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng các kết quả thu đƣợc ở trên đúng đối với một

mạch điện kín có hình dạng bất kỳ.

4. Công của lực từ

Khi dòng điện chuyển động trong từ trƣờng, từ lực tác dụng lên dòng điện sẽ thực

hiện công. Để tính công này, ta xét một thanh kim loại AB, dài l có thể trƣợt trên hai

dây kim loại song song của một mạch điện. Giả sử mạch điện này nằm trong một từ

trƣờng đều và vuông góc với véctơ cảm ứng từ B của từ trƣờng (Hình 2.22).

Hình 2.22 Dòng điện dịch chuyển trong từ trƣờng.

Lực từ tác dụng lên thanh AB có độ lớn:

. .F I l B Khi thanh dịch chuyển một đoạn nhỏ dr , công của lực Ampere là:

. . . . . .dA Fdr I l Bdr I BdS

Mặt khác: .m

BdS d là từ thông gửi qua diện tích bị quét. Vì vậy ta có:

I

I

+ -

A

B

A’

B’



.m

dA I d

Giả sử thanh AB dịch chuyển một đoạn hữu hạn đến A’B’ và coi nhƣ dòng điện

qua thanh không đổi thì công của lực Ampere là:

2 2

2 1

1 1

.m m m m

A I d I d I

trong đó 1m,

2m là từ thông gửi qua diện tích lúc đầu và lúc cuối của đoạn dịch chuyển.

Vậy:

2 1m m

A I (2.42)

Ngƣời ta đã chứng minh đƣợc rằng các công thức trên cũng đúng cho mạch điện bất kỳ

dịch chuyển trong một từ trƣờng bất kỳ. Do đó:

“Công của lực từ trong sự dịch chuyển một mạch điện bất kỳ trong từ

trƣờng bằng tích giữa cƣờng độ dòng điện trong mạch và độ biến thiên của từ thông

gửi qua diện tích mạch đó.”

§6 TÁC DỤNG CỦA TỪ TRƢỜNG LÊN HẠT ĐIỆN

CHUYỂN ĐỘNG

1. Lực Lorentz

Một điện tích q chuyển động trong từ trƣờng B với vận tốc là v sẽ chịu tác dụng

bởi lực Lorentz đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

F qv B (2.43)

Lực này có:

+ Điểm đặt: tại điện tích q .

+ Phƣơng: vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai vectơ ,B v .

+ Chiều: sao cho ba vectơ , ,B v F tạo thành một tam diện thuận.

+ Độ lớn:

. . .sinF q v B (2.44)

trong đó là góc hợp bởi hai vectơ v và B .



Hình 2.23 Lực Lorentz.

Từ (2.44) ta thấy lực Lorentz vuông góc với vận tốc chuyển động của hạt nên công

thực hiện bởi lực này luôn bằng không.

2. Chuyển động của hạt điện trong từ trƣờng đều

Xét chuyển động của hạt chuyển động với vận tốc v có khối lƣợng m , điện tích

q ( 0)q trong từ trƣờng đều không đổi, có cảm ứng từ B . Vì lực Lorentz luôn vuông

góc với vectơ vận tốc v và không thực hiện công nên động năng của hạt không biến đổi,

độ lớn của vận tốc cũng không đổi, nó chỉ làm cho phƣơng của vectơ vận tốc thay đổi.

Nhƣ vậy, lực Lorentz đóng vai trò của lực hứơng tâm:

2

. . .sinL

vF q v B m

R (2.45)

Ta xét hai trƣờng hợp sau đây.

a. Vận tốc của hạt vuông góc với cảm ứng từ

Trong trƣờng hợp này, vì v B nên Lorentz làm cho hạt chuyển động trong mặt

phẳng vuông góc với vectơ cảm ứng từ B với quỹ đạo tròn bán kính R .

Theo (2.45), ta có:

2

L

vF qvB m

R

Suy ra:

mv

RqB

(2.46)

Chu kỳ quay của hạt:

2 2R m

Tv qB

(2.47)

Tần số quay:



2 qB

T m (2.48)

Hình 2.24 Chuyển động của hạt điện trong từ trƣờng, v B .

a) trƣờng hợp q > 0; b) trƣờng hợp q < 0.

Nhận xét:

Các biểu thức (2.47) và (2.48) cho thấy chu kỳ và tần số quay không phụ thuộc

vào bán kính R và vận tốc v của hạt.

b. Vận tốc của hạt hợp với cảm ứng từ một góc

Trong trƣờng hợp này, có thể phân tích vectơ v thành hai thành phần: v vuông góc với

B và //v song song với B :

//

v v v (2.49)

Thành phần vuông góc buộc hạt điện chuyển động theo quỹ đạo tròn với bán kính:

mv

RqB

(2.50)

Còn thành phần song song //v làm cho hạt chuyển động theo phƣơng của cảm ứng

từ B với vận tốc //v .

Hình 2.25 Chuyển động của hạt điện trong từ trƣờng, trƣờng hợp ( , )v B .

Vậy hạt tham gia đồng thời hai chuyển động, kết quả là quỹ đạo của hạt là đƣờng

xoắn ốc, có bán kính nhƣ (2.50), bƣớc của quỹ đạo xoắn ốc bằng:

//.h v T (2.51)

Thực tế, chuyển động của hạt điện trong từ trƣờng có nhiều ứng dụng: để tạo ra

vận tốc rất lớn của hạt điện trong các máy gia tốc hạt (cyclotron) trong việc nghiên cứu



hạt nhân nguyên tử và các hạt cơ bản và các ứng dụng khác; Máy chọn vận tốc để đo tỉ số

e/m của electron mà Joseph Jonh Thomson tạo ra năm 1897 đã dựa trên sự chuyển động

trong từ trƣờng của các hạt điện có vận tốc khác nhau; Dựa trên hiện tƣợng chuyển động

của hạt điện trong từ trƣờng, năm 1879, Edwin H.Hall lần đầu tiên dùng dấu của hiệu

điện thế Hall để xác định dấu của hạt điện chuyển động tạo nên dòng điện và ông đã

chứng tỏ rằng các hạt điện chuyển động tạo nên dòng điện trong kim loại là các hạt mang

điện âm. v.v...


1. Nêu thí nghiệm để minh hoạ tƣơng tác giữa dòng điện và nam châm, giữa dòng điện

và dòng điện.

2. Phát biểu định luật Ampère, viết biểu thức dB gây bởi phần tử dòng Idl tại một điểm

trong từ trƣờng của nó. Nêu rõ phƣơng chiều và độ lớn của dB .

3. Phát biểu nguyên lý chồng chất từ trƣờng. Áp dụng nguyên lý này nhƣ thế nào để tính

từ trƣờng gây bởi các dòng điện.

4. Tính cảm ứng từ B và cƣờng độ từ trƣờng H gây bởi dòng điện thẳng nói chung, dòng

điện thẳng dài vô hạn, bởi dòng điện tròn.

5. Xác định cảm ứng từ B gây bởi điện tích q chuyển động với vận tốc v.

6. Định nghĩa đƣờng sức từ và từ phổ. Nêu tính chất của phổ đƣờng sức từ. Vẽ phổ các

đƣờng sức của từ trƣờng gây bởi một vài dòng điện.

7. Định nghĩa từ thông, rút ra định lý O-G đối với từ trƣờng.

8. Tại sao nói từ trƣờng có tính chất xoáy? Viết biểu thức toán học thể hiện

tính chất xoáy của từ trƣờng.

9. Định nghĩa lƣu số của vectơ cƣờng độ từ trƣờng H . Thiết lập định lý Ampère. Cho ví

dụ minh hoạ định lý này.

10. Ứng dụng định lý Ampère về dòng điện toàn phần để tính cƣờng độ từ trƣờng H (và

tính B) tại một điểm bên trong cuộn dây hình xuyến. Từ đó suy ra biểu thức của cƣờng độ

từ trƣờng H và cảm ứng từ B gây bởi ống dây điện thẳng dài vô hạn.

11. Viết biểu thức lực Ampère của từ trƣờng B tác dụng lên phần tử dòng điện Idl . Nêu

rõ phƣơng chiều độ lớn của lực này.

12. Tìm lực tác dụng giữa hai dòng điện thẳng song song dài vô hạn cùng chiều và ngƣợc

chiều nhau.

13. Tính công của từ lực khi làm di chuyển một mạch điện kín trong từ trƣờng.

14. Tìm từ lực tác dụng lên hạt điện q chuyển động trong từ trƣờng (lực Lorentz).

15. Hạt điện q chuyển động với vận tốc v có quỹ đạo nhƣ thế nào trong từ trƣờng

B const ? Xét trƣờng hợp v B , và trƣờng hợp v hợp với B một góc .



BÀI TẬP

Thí dụ 1: Hai dòng điện thẳng dài vô hạn có cƣờng độ dòng điện I1

= I2 = 5A đƣợc đặt vuông góc nhau và cách nhau một đoạn AB =

2cm. Chiều các dòng điện nhƣ hình vẽ.

Xác định vectơ cƣờng độ từ trƣờng tại M nằm trong mặt

phẳng chứa I1 và vuông góc với I2, cách dòng điện I1 một đoạn MA

= 1cm.

Bài giải

Để xác định vectơ cƣờng độ từ trƣờng tổng hợp tại M, trƣớc hết ta xác định vectơ cƣờng

độ từ trƣờng do từng dòng điện gây ra tại M.

Vectơ cƣờng độ từ trƣờng 1H do

1I gây ra tại M có:

- Điểm đặt: tại M.

- Phƣơng: vuông góc với mặt phẳng 1

( , )I MA .

- Chiều: hình vẽ.

- Độ lớn:

11 2

579,6

2 . 2 .10

IH

MAA/m

Vectơ cƣờng độ từ trƣờng 2H do

2I gây ra tại M có:


- Phƣơng: vuông góc với mặt phẳng 2

( , )I MA .

- Chiều: hình vẽ.

- Độ lớn:

22 2

526,5

2 . 2 .3.10

IH

MBA/m

Cƣờng độ từ trƣờng tổng hợp H có:


- Phƣơng: hợp với 1H 1 góc 2

1

tg 0,33H

H.

- Chiều: nhƣ hình vẽ.

- Độ lớn:

2 2

1 283,9H H H A/m

Thí dụ 2: Xác định cƣờng độ từ trƣờng tại các điểm nằm bên trong và bên ngoài của một

dây dẫn hình trụ đặc dài vô hạn có dòng điện và cƣờng độ I chạy qua. Cho biết bán kính

tiết diện vuông góc của hình trụ là R.

Bài giải

M A B

I2

I1

M A B

I2

I1



Dòng điện có tính đối xứng trụ nên đƣờng cảm ứng là những đƣờng tròn nằm trong mặt

phẳng vuông góc với dòng điện có tâm trên trục dây dẫn. Vectơ cảm ứng từ B tại mỗi

điểm tiếp tuyến với đƣờng cảm ứng và có độ lớn nhƣ nhau.

Chọn đƣờng cong kín (C) trùng với một đƣờng sức từ và đi qua điểm cần tính

cƣờng độ từ trƣờng. Với cách chọn vậy nên H và dl cùng phƣơng cùng chiều. Mặt

khác, do tính đối xứng trục của từ trƣờng nên H const dọc theo đƣờng cong (C).

Theo định lý Ampe ta có:

( )

.i

iC

H dl I

với i

i

I là tổng đại số các cƣờng độ dòng điện nằm trong diện tích giới hạn bởi đƣờng

cong (C).

Vế trái của biểu thức trên có giá trị:

( ) ( ) ( )

. . .2C C C

H dl H dl H dl H r

Vế phải bằng:

i r

i

I I

Suy ra:

2rI

Hr

a) Trường hợp một điểm A nằm bên ngoài dòng điện I (thuộc (C)) cách trục dây dẫn một

đoạn r R .

Với cách chọn nhƣ vậy, toàn bộ dòng điện I xuyên qua (C) nên: rI I . Ta suy

ra:

2

IH

r và

2o

IB

r

Vậy, bên ngoài dây dẫn, cảm ứng từ tỷ lệ nghịch với khoảng cách đến trục.

b) Trường hợp một điểm A nằm bên trong dòng điện I (thuộc (C)) cách trục dây dẫn một

đoạn r R .

A

I

r

R



Với cách chọn nhƣ vậy, chỉ một phần dòng điện I xuyên qua (C). Giả sử dòng điện

là phân bố đều trên tiết diện dây, ta có mật độ dòng là:

2

IJ

R

Do đó, cƣờng độ dòng điện bên trong diện tích giới hạn bởi đƣờng cong (C) là:

22

2 2' . .

I rI J S r I

R R

Suy ra:

2

2.2 '

rH r I I

R

hay

22

IrH

R và

22o

IrB

R

Vậy, bên trong dây dẫn, cảm ứng từ tỷ lệ thuận với khoảng cách đến trục.

Bài tập tự giải

1. Tính cƣờng độ từ trƣờng của một dòng điện dài vô hạn tại một điểm cách dòng điện

2cm, biết cƣờng độ dòng điện I = 5A.

Đáp số: H = 39,8A/m

2. Hai dây dẫn thẳng dài vô hạn vuông góc nhau và nằm

trong hai mặt phẳng vuông góc. Trên các dây dẫn có các

dòng điện I1 = 2A và I2 = 3A chạy qua (hình bên).

Xác định vectơ cƣờng độ từ trƣờng tại các điểm M1 và M2.

Khoảng cách giữa 2 dây dẫn AB = 2cm, AM1 = AM2 =

1cm.

Đáp số

HM1 = 35,6A/m; HM2 = 57,4A/m

3. Hình dƣới vẽ mặt cắt vuông góc của hai dòng điện thẳng song song dài vô hạn và

ngƣợc chiều nhau. Khoảng cách giữa 2 dòng điện AB = 10cm. Cƣờng độ của các

dòng điện lần lƣợt: I1 = 20A; I2 = 30A. Xác định cƣờng độ từ trƣờng tại M1, M2 và M3

biết AM1 = 2cm, AM2 = 4 cm, BM3 = 3cm.

4. Cho 3 dòng điện cùng cƣờng độ 0.4 A đặt song

song với nhau nhƣ hình vẽ. Xác định cƣờng độ từ

trƣờng tại A, B và C biết a = 2 cm.

I1

A M1 M2 M3

I2

B

M1 A B

I2

I1

M2



5. Hình bên biểu diễn tiết diện của 3 dòng điện thẳng song song

dài vô hạn. Cƣờng độ các dòng điện lần lƣợt bằng: I1 = I2 = I; I3

= 2I. Biết AB = BC = 5cm.

Tìm trên đoạn AC điểm có cƣờng độ từ trƣờng tổng hợp bằng

không.

Đáp số

3,3x AM cm , M nằm trong đoạn AB.

6. Một dòng điện cƣờng độ I = 6A chạy trong một dây dẫn điện

uốn thành hình vuông ABCD có cạnh a = 10cm. Xác định

vectơ cảm ứng từ B và cƣờng độ từ trƣờng H tại tâm O của

mạch điện đó. Đáp số

5

1 1 1.2cos 4. 6,67.10

4 .oI

B B B TOM

;

53,50 /H A m .

7. Cho một dòng điện dài vô hạn uốn vuông góc nhƣ hình

vẽ. Xác cảm ứng từ tại P biết x = 10 cm và cƣờng độ

dòng điện là 2A. 8. Một dây dẫn đƣợc uốn thành một hình tam giác đều,

mỗi cạnh là a = 50cm. Dòng điện chạy trong dây dẫn đó có cƣờng độ I=3,14 A. Xác

định vectơ cảm ứng từ B và cƣờng độ từ trƣờng H tại tâm của tam giác đó.

Đáp số 51,13.10 ; 9 /B T H A m

9. Một dây dẫn đƣợc uốn thành một hình thang cân, có

dòng điện cƣờng độ I = 6,28A chạy qua (hình vẽ). Tỉ

số chiều dài hai đáy bằng 2. Cho biết đáy bé của hình

thang l = 20cm, khoảng cách từ A tới đáy bé b = 5cm.

Tìm cảm ứng từ tại điểm A – là giao điểm của đƣờng

kéo dài của hai cạnh bên.

Đáp số 5

2 2. 1,1.10

4 4

oI l

B Tb l b

10. Cho một dòng điện uốn nhƣ hình vẽ bên. Xác định

cƣờng độ từ trƣờng tại P biết cƣờng độ dòng điện

có giá trị 0.5A và a = 20 cm, b = 40 cm. 11. Cho dòng điện cƣờng độ 7.00 A nhƣ hình

vẽ. Xác định cƣờng độ từ trƣờng tại tâm

I1

A

I3

C

I2

B

D

E B

C

A l

b



của đƣờng tròn bán kính 5 cm và chiều dài đoạn thẳng là 40 cm. 12. Một khung dây hình vuông abcd mỗi cạnh l = 2cm, đƣợc đặt

gần dòng điện thẳng dài vô hạn AB cƣờng độ I = 30A. Khung

abcd và dây AB cùng nằm trong một mặt phẳng, cạnh ad song

song với dây AB và cách dây một đoạn r = 1cm (hình bên).

Tính từ thông gửi qua khung dây.

Đáp số 8ln 13,2.10 ( )

2oIl r l

Wbr

13. Trên một vòng dây dẫn bán kính R = 10cm có dòng điện cƣờng độ I = 1A chạy qua.

Tìm cảm ứng từ B:

a. Tại tâm O của vòng dây.

b. Tại một điểm trên trục của vòng dây và cách tâm O

một đoạn h = 10cm.

Đáp số

25

3/22 2

.2,3.10

2

oI R

B TR h

14. Một đoạn dây khối lƣợng m = 0.2 kg dài l = 20 cm đặt

trên hai chấn song. Giả sử thanh chuyển động từ trong từ

trƣờng hƣớng ra nhƣ hình vẽ. Xác định lực tác dụng lên

đoạn dòng điện và gia tốc của nó biết B = 2T, I = 0,5A.

Bỏ qua ma sát. 15. Một thanh kim loại khối lƣợng m đặt trên hai chấn

song cách điện, hệ thống đặt trong từ trƣờng nhƣ

hình vẽ bên.

a) Xác định lực từ tác dụng lên thanh biết B = 2T, m

= 0.2 kg, d = 50 cm.

b) Gia tốc của thanh, bỏ qua ma sát.

Biết dòng điện có cƣờng độ 0,5A.

16. Đặt một thanh kim loại chiều dài là 20 cm trên hai thanh

của một khung chử U cách điện trong từ trƣờng nhƣ

hình vẽ bên, khối lƣợng của thanh là m = 100 g. Xác

định chiều dòng điện, giá trị của cảm ứng từ để thanh

không chuyển động. Biết hệ số ma sát của thanh với các

chấn song là 0.1, khối lƣợng qủa nặng M = 200 g. Cƣờng độ dòng điện qua thành là 50 mA. ĐS: B = 190 T.

17. Giả sử hệ thống tàu điện ngầm có 8 dòng

điện cƣờng độ I chạy ngang qua các thanh ray có

chiều dài 2,2 m. Từ trƣờng có chiều từ trên

xuống, vuông góc với mặt ngang có giá trị 4T.

I

r

a b

c d

A

I

B l



Hỏi dòng điện có cƣờng độ bao nhiêu thì tàu chuyển động thẳng đều biết tàu có khối

lƣợng 2 tấn và hệ số ma sát với đƣờng ray là 0,1.

ĐS: 28,4 A

18. Cạnh một dây dẫn thẳng dài trên có dòng điện cƣờng độ I1 = 30A chạy qua, ngƣời ta

đặt một khung dây dẫn hình vuông có dòng điện cƣờng độ I2 = 2A. Khung và dây dẫn

thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng. Khung có thể quay quanh một trục song song

với dây dẫn và đi qua các điểm giữa của hai cạnh đối diện của khung. Trục quay cách

dây dẫn một đoạn b = 30mm. Mỗi cạnh khung có bề dài a = 20mm. Tìm:

a. Lực f tác dụng lên khung.

b. Công cần thiết để quay khung 180o xung quanh trục của nó.

Đáp số

a.

261 2

22

. 6.102

4

oI I a

F Na

b

b. 2 2 1m m

A I

Với 1 1

. .cos . .cos180m

BS BS ; 2 2

. .cos . .cos0m

BS BS

Suy ra: 22A I , với 1 ln

2oI l r l

r

Cuối cùng: 73,3.10A J

19. Một electron trong đèn hình tivi chuyển động tới trƣớc

ống với tốc độ 8.106 m/s dọc theo trục x nhƣ hình vẽ.

Từ trƣờng tạo ra trong ống có chiều hợp với trục x một

góc 600 (trong mặt phẳng xy) và giá trị 0.025T.

a) Tính lực từ tác dụng và gia tốc của electron.

b) Tìm chu kỳ quay, bán kính quỹ đạo và bƣớc xoắn

ốc.

ĐS: a. 2,8.10-14

N; 3.1016

m/s2

b. 1,43.10-9

s; 1,6 cm; 5,7cm

20. Một electron chuyển động trong một từ trƣờng đều cảm ứng từ B = 5.10-3

T, theo

hƣớng hợp với đƣờng sức từ trƣờng một góc α = 60o. Năng lƣợng của electron bằng

W = 1,64.10-16

J. Trong trƣờng hợp này quỹ đạo của electron là một đƣờng đinh ốc.

Tìm:

a. Vận tốc của electron.

b. Bán kính của vòng đinh ốc và chu kỳ quay của electron trên quỹ đạo.

c. Bƣớc của đƣờng đinh ốc đó.

Đáp số

a. 71,9.10 /v m s

b. 2R cm ; 97.10T s



c. 5h cm

21. Một electron đƣợc tăng tốc bởi hiệu điện thế U = 103V bay vào trong một từ trƣờng

đều vuông góc với phƣơng chuyển động của nó. Cảm ứng từ 31,19.10B T . Tìm:

a. Bán kính cong của quỹ đạo êlectron.

b. Chu kỳ quay của electron trên vòng tròn.

Đáp số

a. 29.10R m

b. 83.10T s 22. Cho dòng điện có cƣờng độ 7A nhƣ hình vẽ. Xác định cảm ứng từ tại tâm O của vòng

dây. Bán kính vòng tròn là 20cm. Dây dẫn dài vô hạn. Tìm cảm ứng từ tổng hợp tại điểm O.

23. Một khung dây tròn gồm 24 vòng dây, mỗi vòng dây

có dòng điện 0,5A chạy qua. Theo tính toán thì cảm ứng từ ở

tâm khung dây bằng 6,3.10-5T. Nhƣng khi đo thì cảm ứng từ

ở tâm chỉ có 4,18.10-5T. Kiểm tra lại các vòng dây thấy có

một số vòng dây bị quấn nhầm, chiều quấn của các vòng dây

này ngƣợc chiều quấn của đa số các vòng trong khung dây.

a. Có bao nhiêu vòng dây bị quấn nhầm.

b. Tính bán kính của khung.

24. Trong thí nghiệm xác định giá trị của cảm ứng từ, các

electron đƣợc gia tốc từ trạng thái đứng yên với hiệu điện thế

350V. Các electron chuyển động theo đƣờng tròn. Biết bán kính

quỹ đạo đo đƣợc là 7.5 cm và cảm ứng từ vuông góc với chùm

electron. (a) Giá trị của cảm ứng từ là bao nhiêu? (b) Xác định

vận tốc góc của electron.


DAO ĐỘNG

O

I



Dao động là một dạng chuyển động rất hay gặp trong đời sống, trong kỹ thuật và có

rất nhiều ứng dụng quan trọng. Dao động có thể là cơ học nhƣ lắc lò xo, con lắc đồng hồ,

… dao động của các đại lƣợng điện nhƣ dòng điện trong mạch, điện thế ở hai đầu tụ điện,

điện tích trên bản tụ,... Điều đặc biệt là, đối với chuyển động này thì hệ phải có một vị trí

cân bằng bền, vật dao động thì vật chuyển động qua lại vị trí cân bằng đó. Khi vật rời

khỏi vị trí cân bằng bền thì luôn có một lực kéo vật về vị trí cân bằng bền gọi là lực hồi

phục. Khi hệ chuyển động đến vị trí cân bằng thì quán tính làm cho hệ tiếp tục vƣợt qua

vị trí cân bằng đó. Trong phạm vi nghiên cứu ở đây, chúng ta đề cập đến hai loại dao

động đó là dao động cơ học và dao động điện từ. Dao động điện từ là một loại dao

động về mặt hình thức tƣơng tự nhƣ dao động cơ học. Còn về bản chất, dao động điện từ

là một sự biến thiên tuần hoàn theo thời gian của các đại lượng điện và từ. Ví dụ: Đó là

các đại lƣợng nhƣ cƣờng độ dòng điện trong mạch điện xoay chiều, điện tích trên các bản

của tụ điện,... Trên cơ sở của việc khảo sát dao động, chúng ta nắm bắt đƣợc thông tin về

chuyển động của đối tƣợng. Vấn đề chúng ta quan tâm đối với một chuyển động là

phƣơng trình chuyển động, qua đó chúng ta có thể biết đƣợc thông tin về vị trí, vận tốc và

gia tốc của vật và chúng ta cũng biết chính xác về năng lƣợng mà hệ có đƣợc.


1. Nắm vững kiến thức về dao động cơ học, dao động điện từ.

2. Biết cách thiết lập các biểu thức về dao động điều hòa, tắt dần và cƣỡng bức của

các loại dao động trên.

3. Nắm đƣợc phƣơng pháp tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phƣơng cùng tần

số.

II. NỘI DUNG

§1. DAO ĐỘNG CƠ ĐIỀU HÕA

1. Hiện tƣợng

Trong cuộc sống thƣờng ngày ta thƣờng gặp các

dao động nhƣ dao động của con lắc nhƣ con lắc lò

xo, con lắc vật lý hay con lắc toán học. Để nắm bắt

M

O

x

O

a

)

b

) Hình 3.1 Con lắc lò xo.



đƣợc cách khảo sát một dao động cơ học ta xét một con lắc lò xo (hình 1-1), con lắc này

gồm một quả cầu nhỏ khối lƣợng m gắn với một đầu lò xo. Đầu còn lại của lò xo đƣợc

giữ cố định. Quả cầu trƣợt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Khi kéo quả cầu ra

khỏi vị trí cân bằng O một đoạn OM x , lực đàn hồi xuất hiện kéo quả cầu ngƣợc

chiều với độ dời. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, với độ dời x nhỏ, độ lớn của lực kéo tỉ

lệ với độ dời:

F kx (3.1)

trong đó: là hệ số đàn hồi, dấu trừ chứng tỏ rằng lực và độ dời ngƣợc chiều

nhau.

Nếu thả quả cầu ra cho vật chuyển động tự do và bỏ qua sức cản của môi trƣờng (ma

sát, không khí,…), quả cầu sẽ chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng mãi mãi dƣới tác

dụng của lực . Chuyển động đó đƣợc gọi là dao động điều hòa.

2. Phƣơng trình dao động điều hòa

Theo phƣơng trình cơ bản của động học chất điểm ta có

(3.2)

Trong đó,

(3.3)

Thay (3.3) vào (3.2) ta đƣợc:

hay

(3.4)

Ở đây k và m là các hằng số dƣơng nên ta đặt:

Vậy, phƣơng trình (3.4) thành:

(3.5)

Ta đƣợc một phƣơng trình vi phân thuần nhất của với hệ số không đổi gọi là

phương trình vi phân của dao động điều hòa. Giải phƣơng trình này, ta đƣợc:

0cos( )x A t (3.6)

F

F

k F x

F

ma F kx

2

2dv d x

adt dt

2

2d xm kxdt

2

2 0d x k

xmdt

2o

km

22

2 0od x

xdt

x



Trong đó: - gọi là biên độ cực đại.

- )( 0 t gọi là pha dao động.

- là pha ban đầu của dao động.

- là tần số góc của dao động.

Nhƣ vậy, Dao động điều hòa là dao động trong đó độ dời là một hàm số sin cos của

thời gian.

3. Khảo sát dao động điều hòa

Từ phƣơng trình dao động ta sẽ biết tọa độ của quả cầu tại thời điểm bất kỳ.

Biên độ cực đại A có giá trị:

(3.7)

- Tần số góc:

(3.8)

- Vận tốc và gia tốc của con lắc lò xo dao động điều hòa:

)sin( 00 tAdt

dxv (3.9)

)cos( 002 tA

dt

dva (3.10)

Thay (3.6) vào (3.10) ta đƣợc:

Vậy gia tốc luôn ngược chiều và tỉ lệ với độ dời.

Các phƣơng trình (3.6), (3.9), (3.10) là các hàm tuần hoàn theo chu kỳ:

0

0

2

T (3.11)

0A

o

x t

maxA x

okm

2oa x



gọi là chu kỳ dao động của con lắc. Đó là khoảng thời gian ngắn nhất để vật từ một

trạng thái nào đó trở lại trạng thái ấy.

Số dao động trong một đơn vị thời gian gọi là tần số của dao động và đƣợc xác định:

0

0

1

2f

T

(3.12)

4. Năng lƣợng dao động điều hòa

Dao động là một dạng chuyển động cơ, vì vậy năng lƣợng dao động là cơ năng đƣợc

tính bằng tổng động năng và thế năng của con lắc:

(3.13)

Động năng của con lắc tại thời điểm :

)(sin2

1

2

10

220

22 tAmnvEd (3.14)

Động năng cực đại của vật là

220

2

2

1

2

1kAAmEd . (3.15)

oT

d tE E E

t

Hình 3.2a Biểu diễn đồ thị của x

theo thời gian .

Hình 3.2b Biểu diễn đồ thị của v

theo thời gian .

Hình 3.2c Biểu diễn đồ thị của a

theo thời gian .



Trong đó, 02mk .

Ta biết rằng thế năng của một con lắc lò xo là:

2

2

1kxEd . (3.16)

Nhƣ vậy,

)(cos2

10

220

2 tAmEt . (3.17)

Khi vật có ly độ cực đại thì thế năng, 220

2

2

1

2

1kAAmEt .

Nhƣ vậy, năng lƣợng của dao động điều hòa là:

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

2 2 2

0

1 1sin ( ) cos ( )

2 2

1 1

2 2

dE E Et

m A t m A t

m A kA

.

Năng lƣợng này đƣợc bảo toàn trong quá trình dao động: Có sự chuyển hóa giữa động

năng và thế năng trong quá trình chuyển động nhƣng năng lƣợng của hệ luôn bảo toàn.

Đặc biệt, năng lƣợng của dao động điều hòa tại mọi thời điểm luôn bằng động năng cực

đại và bằng thế năng cực đại của vật trong quá trình dao động.

§ 2. DAO ĐỘNG CƠ TẮT DẦN

1. Hiện tƣợng

Một vật thực hiện quá trình dao động điều hòa là một quá trình lý tƣởng, thực tế bất

cứ một vật dao động nào cũng chịu tác dụng của của lực cản mà kết quả làm cho vật dao

động với biên độ giảm dần. Dao động nhƣ vậy gọi là dao động tắt dần.

Xét một hệ dao động chịu tác dụng của lực cản của môi trƣờng. Thực nghiệm chứng tỏ

rằng, lực cản của môi trƣờng ngƣợc chiều với chuyển động và tỉ lệ với vận tốc hệ:

.vF r (3.18)

trong đó là hệ số tỉ lệ gọi là hệ số cản của môi trƣờng.

2. Phƣơng trình dao động tắt dần

r



Ta hãy thiết lập phƣơng trình dao động tắt dần của con lắc lò xo. Trong trƣờng hợp

này, hợp lực tác dụng lên quả cầu:

(3.19)

Phƣơng trình cơ bản của chuyển động trong trƣờng hợp này là

(3.20)

hay

2

2

d x dxm r kx

dt dt

2

20

d x r dx kx

dt m dt m . (3.21)

Đặt,

m

r2 . (3.22)

Phƣơng trình (3.21) trở thành:

02 02

2

2

xdt

dx

dt

xd (3.23)

(3.23) gọi là phương trình vi phân của dao động tắt dần. Theo toán học giải tích, khi

, nghiệm phƣơng trình này có dạng:

0. cos( )tx A e t (3.24)

Đây là biểu thức độ dời của dao động tắt dần. Hằng số gọi là tần số góc của dao động

tắt dần:

2 2

0 . (3.25)

Chu kỳ T của dao động tắt dần là:

2 2

0

2 2T

. (3.26)

3. Khảo sát dao động tắt dần

Đặt,

0.tA A e (3.27)

gọi là biên độ dao động tắt dần. Biên độ này giảm

theo quy luật hàm mũ. Đồ thị dao động tắt dần đƣợc

cho ở hình 1.2.

cF F kx rv

ma kx rv

o

Hình 3.3 Đồ thị dao động tắt dần.



Để đặc trƣng cho mức độ tắt dần của dao động, ngƣời ta đƣa ra một đại lƣợng gọi là giảm

lượng lôga:

Giảm lượng lôga có trị số bằng lôga tự nhiên của tỷ số giữa hai giá trị liên tiếp của

hai biên độ dao động cách nhau một khoảng thời gian bằng một chu kỳ T.

Ta có biểu thức:

T

Tt

t

eeA

eA

TtA

tA

lnln)(

)(ln

)(

0

0 ,

hay

T . (3.28)

Biên độ dao động giảm dần là do năng lƣợng của hệ trong quá trình dao động giảm dần

do phải thắng công các lực cản.

§3. DAO ĐỘNG CƠ CƢỠNG BỨC

1. Hiện tƣợng

Giả sử ta cung cấp năng lƣợng cho hệ dao động để bù lại những phần năng lƣợng đã

mất thì dao động của hệ sẽ không tắt dần nữa, dao động của hệ sẽ đƣợc duy trì. Thêm vào

đó, với một hệ nhất định ta có thể cƣỡng bức cho vật dao động điều hòa với một chu kỳ

và tần số xác định. Để làm đƣợc điều này ta tác dụng lên hệ một ngoại lực, lực này phải

là lực tuần hoàn tFF cos0 . Công do lực này sinh ra sẽ có trị số bằng phần năng lƣợng

bù đắp cho hệ. Dao động điều hòa của hệ dƣới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn gọi là

dao động cưỡng bức.

Khi tác dụng ngoại lực tuần hoàn lên hệ, hệ bắt đầu dao động. Thực nghiệm chứng tỏ

rằng trong giai đoạn đầu, dao động của hệ khá phức tạp. Nó là chồng chất của hai dao

động: dao động riêng tắt dần dưới tác dụng của nội lực và dao động cưỡng bức dưới tác

dụng của ngoại lực tuần hoàn. Sau một thời gian đủ lớn (gọi là thời gian quá độ), dao

động tắt dần coi nhƣ không còn nữa; khi đó dao động của hệ chỉ là dao động cƣỡng bức

dƣới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn. Dao động cưỡng bức có chu kỳ bằng chu kỳ của

ngoại lực tuần hoàn tác dụng.

2. Phƣơng trình dao động cƣỡng bức



Ta hãy đi tìm phƣơng trình dao động cƣỡng bức của một con lắc lò xo. Lực tác dụng

lên quả cầu gồm: lực đàn hồi F kx , lực cản cF rv và ngoại lực tuần hoàn. Ta

xét trƣờng hợp ngoại lực tuần hoàn này là hàm cos của thời gian t :

0 cosF F t (3.29)

Chu kỳ dao động của ngoại lực là:

(3.30)

Theo định luật II Newton, đối với quả cầu ta có:

0 os ,ma kx rv F c t

hay

2

02os

d x r dx km x F c t

dt m dt m

Hay,

2

2 002

2 os .Fd x dx

x c tdt dt m

(3.31)

Đây là phương trình vi phân của dao động cưỡng bức, là một phƣơng trình vi phân

không thuần nhất.

Sau thời gian quá độ, dao động tắt dần coi nhƣ không còn nữa. Vật lúc này dao động

cƣỡng bức dƣới tác dụng của ngoại lực F . Dao động cƣỡng bức là dao động hình sin có

chu kỳ . Biểu thức của dao động cƣỡng bức đó là:

os( )x Ac t (3.32)

Trong đó A và đƣợc tính theo công thức:

0

2 2 2 2 2

0( ) 4

FA

m

; và

2 2

0

2tg

.

Nhận xét, biên độ dao động cƣỡng bức phụ thuộc vào tần số của ngoại lực cƣỡng bức.

Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng, khi 2 2

0 2 thì biên độ của dao động đạt cực

đại, 0ax 2 2

02m

FA

m

. Hiện tƣợng biên độ của dao động đạt cực đại khi tần số của

ngoại lực đạt đến giá trị này gọi là hiện tƣợng cộng hƣởng. Tần số 2 2

0 2

gọi là tần số cộng hƣởng.

§4. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ ĐIỀU HÕA

2



1. Mạch dao động điện từ LC

Dao động điện từ đơn giản nhất là dao động trên mạch LC, là một mạch điện

gồm một tụ điện có điện dung C , một cuộn dây có

hệ số tự cảm L . Bỏ qua điện trở trong mạch. Đầu

tiên ta đóng khóa K để tích điện cho tụ điện C

từ nguồn điện đến điện tích oQ , hiệu điện thế trên

hai đầu bản tụ là oU . Sau đó, ngắt khóa K, tụ điện bắt

đầu phóng điện cho cuộn dây. Trong mạch có biến

thiên tuần hoàn theo thời gian của cƣờng độ dòng điện i , điện tích q trên bản tụ điện, hiệu điện thế giữa hai

bản tụ, năng lƣợng điện trƣờng của tụ điện, năng

lƣợng từ trƣờng của ống dây ... Do đó, các dao động

này đƣợc gọi là các dao động điện từ điều hoà. Mặt khác trong mạch chỉ có mặt các

yếu tố riêng của mạch nhƣ tụ điện C và cuộn cảm L, nên các dao động điện từ này đƣợc

gọi là các dao động điện từ điều hòa.

Ta xét chi tiết hơn quá trình dao động của điện tích ở mạch trên. Tại thời điểm 0t , điện tích của tụ là

oQ , hiệu điện thế giữa hai bản là /

o oU Q C , năng lƣợng điện

trƣờng của tụ điện có giá trị cực đại bằng:

2

(max) 2o

e

QE

C (3.33)

Cho tụ phóng điện qua cuộn cảm L. Dòng điện do tụ phóng ra tăng dần từ không,

do sự thay thay đổi của dòng điện trong cuộn cảm làm cho từ thông gửi qua cuộn cảm L

tăng dần. Trong cuộn cảm xuất hiện dòng điện tự cảm ngƣợc chiều với dòng điện do tụ C

phóng ra, nên dòng điện tổng hợp trong mạch tăng dần, điện tích trên hai bản tụ giảm

dần. Trong khoảng thời gian này, năng lƣợng điện trƣờng của tụ điện 2 / 2eE q C giảm

dần, còn năng lƣợng từ trƣờng trong lòng ống dây 2 / 2mE Li tăng dần. Nhƣ vậy, có sự

chuyển hoá dần từ năng lƣợng điện trƣờng sang năng lƣợng từ trƣờng.

Khi tụ C phóng hết điện tích, năng lƣợng điện trƣờng 0eE , dòng điện trong mạch đạt

giá trị cực đại oI , năng lƣợng từ trƣờng trong ống dây đạt giá trị cực đại

2

(max)/ 2

m oE LI . Sau đó cuộn dây đóng vai trò nhƣ một nguồn điện và tích điện cho

tụ điện. Vì vậy, dòng điện trong mạch giảm dần từ giá trị oI về không, đồng thời với quá

trình này thì điện tích trên hai bản tụ điện tăng dần từ không đên giá trị cực đại oQ . Về

Hình 3.4 Mạch dao động

điện từ điều hòa



mặt năng lƣợng thì năng lƣợng điện trƣờng tăng dần đến giá trị cực đại 2

(max)/ 2

e oE Q C , còn năng lƣợng từ trƣờng giảm dần về không. Nhƣ vậy có sự

chuyển hoá từ năng lƣợng từ trƣờng thành năng lƣợng điện trƣờng. Quá trình cứ tiếp tục

xảy ra trên mạch với năng lƣợng điện từ E trên mạch không đổi. Một dao động điện từ

nhƣ vậy gọi là dao động điện từ điều hòa. Để có thể hiểu đầy đủ về mặt dao động này,

chúng ta tiến hành khảo sát dao động của mạch trên cơ sở giải tích toán học nhƣ sau:

2. Thiết lập phƣơng trình dao động điện từ điều hòa

Ta biết rằng, trong quá trình dao động điện từ với mạch LC lý tƣởng thì không có

sự mất mát năng lƣợng trong mạch, nên năng lƣợng điện từ của mạch không đổi:

e mE E E const

(3.34)

Chú ý 2

2e

qE

C và

2

2m

LiE , ta có:

2 2

2 2

q Liconst

C (3.35)

Lấy đạo hàm cấp hai cả hai vế theo thời gian và chú ý /dq dt i , ta đƣợc:

2

2

10

dii

LCdt

Đặt 21oLC

, ta đƣợc:

22

20

o

dii

dt (3.36)

Đó là phƣơng trình vi phân cấp hai thuần nhất có hệ

số không đổi. Nghiệm tổng quát của (3.36) có dạng:

cos( )o o

i I t

(3.37)

trong đó oI là biên độ của cƣờng độ dòng điện, pha ban đầu dao động,

o là tần số

góc riêng của dao động:

Hình 3.5 Đồ thị biểu diễn

dao động điều hòa.



1o LC

(3.38)

Từ đó tìm đƣợc chu kỳ dao động riêng oT của dao động điện từ điều hoà:

2

2o

o

T LC

Nhƣ vậy, điện tích của tụ điện, hiệu điện thế giữa hai bản tụ… cũng biến thiên với thời

gian theo những phƣơng trình có dạng tƣơng tự nhƣ (3.37).

§2. DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ TẮT DẦN

1. Mạch dao động điện từ RLC

Một mạch điện chỉ có điện dung và cuộn cảm là một mạch lý tƣởng và không thể

thực hiện đƣợc trong thực tế. Cuộn dây bao giờ cũng đƣợc

chế tạo bởi vật liệu dân (dây dẫn kim loại) nên luôn có điện

trở trong trên mạc. Với sự có mặt của điện trở thì sẽ có sự

toả nhiệt trên điện trở R, nên giá trị cực đại của các đại

lƣợng nhƣ 0 0 0, , ,...I Q U không đƣợc bảo toàn theo thời gian

mà giảm dần theo thời gian. Do đó, loại dao động này đƣợc

gọi là dao động điện từ tắt dần. Mạch dao động RLC trên

đƣợc gọi là mạch dao động điện từ tắt dần.

2. Phƣơng trình dao động điện từ tắt dần

Do trong mạch có điện trởR , nên trong thời gian dt phần năng lƣợng toả nhiệt

trên điện trở 2Ri dt bằng độ giảm năng lƣợng điện từ dE của mạch. Theo định luật bảo

toàn và chuyển hoá năng lƣợng, ta có:

2dE Ri dt (3.39)

Thay 2 2

2 2

q LiE

C vào (3.39), ta có:

Hình 3.6. Mạch dao

động điện từ tắt dần.



2 22

2 2

q Lid Ri dtC

(3.40)

Chia cả hai vế của phƣơng trình (3.40) cho dt , sau đó lấy đạo hàm theo thời gian và

thay dq

idt

, ta thu đƣợc:

q diL Ri

C dt (3.41)

Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của (3.41) theo thời gian và thay dq

idt

, ta thu đƣợc:

2

2

10

d i R dii

L dt LCdt (3.42)

Đặt, 2R

L, 21

oLC, ta thu đƣợc phƣơng trình:

22

22 0

o

d i dii

dtdt (3.43)

Đó là phƣơng trình vi phân cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi. Với điều kiện của các

hệ số tắt đủ nhỏ sao cho o

hay

21

2

R

LC L thì nghiệm tổng quát của phƣơng

trình (3.43) có dạng:

cos( )t

oi I e t (3.44)

trong đó oI , là hằng số tích phân phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, còn là tần số góc

của dao động điện từ tắt dần và có giá trị:

21

2 o

R

LC L (3.45)

Chu kỳ dao động điện từ tắt dần:

2 2 2

2 2 2

1

2o

TR

LC L

(3.46)



Nhƣ vậy, chu kỳ dao động tắt dần lớn hơn chu kỳ dao động riêng trong mạch. Đại

lƣợng t

oI e là biên độ của dao động tắt dần. Nó giảm dần với thời gian theo qui luật

hàm mũ. Tính chất tắt dần của dao động điện từ đƣợc đặc trƣng bằng một đại lƣợng gọi là

lượng giảm lôga, ký hiệu bằng chữ . Đại lƣợng này cũng đƣợc xác định tƣơng tự nhƣ

trong dao động cơ học tắt dần.

§6 DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ CƢỠNG BỨC

1. Hiện tƣợng

Trong mạch dao động điện từ LRC nối tiếp luôn xảy ra quá trình mất mát năng

lƣợng do tỏa nhiệt tuân theo định luật Jun-Lenx trên điện trở làm mạch dao động tắt dần.

Muốn mạch tiếp tục dao động ta phải cung cấp năng lƣợng cho mạch bằng cách mắc nối

tiếp vào mạch một nguồn điện xoay chiều có suất điện động . Tuy nhiên,

với ngƣồn dao động nhƣ thế này thì mạch sẽ dao động với tần số góc bằng tần số của

nguồn điện. Dao động điện từ nhƣ vậy gọi là dao động điện từ cƣỡng bức.

2. Phƣơng trình dao động điện từ cƣỡng bức

Trong thời gian , nguồn cung cấp cho mạch một năng lƣợng là . Năng

lƣợng này bằng độ tăng năng lƣợng điện từ và phần năng lƣợng chuyển thành nhiệt

Jun-Lenx . Theo định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lƣợng, ta có:

(3.47)

E E sino t

dt EIdtdW

2RI dt

E

2 22

2 2LI qd RI dt Idt

C

E sinodI qL RI tdt C

~

L

C

q

R

I

Hình 3.7 Mạch dao động điện

từ cƣỡng bức.



Đạo hàm hai vế theo t và thay , ta đƣợc:

(3.48)

Nghiệm của phƣơng trình có dạng:

(3.49)

Trong đó,

0 00

2

2 1I

ZR L

C

và

với 2

2 1Z R L

C

gọi là tổng trở mạch dao động. Đặt và

thì và gọi là cảm kháng và dung kháng của mạch. Nhƣ vậy,

2 2( )L CZ R Z Z (3.50)

Từ biểu thức (3.50), ta thấy rằng đạt giá trị cực đại khi 1

0.LC

Suy ra,

2

0

10 .chhay

LC

Hiện tƣợng này gọi là hiện tƣợng cộng hƣởng điện. Như vậy, hiện tượng cộng hưởng

điện xảy ra khi tần số góc của nguồn xoay chiều có giá trị bằng tần số góc riêng của

mạch dao động.

Trong thực tế, muốn tạo ra cộng hƣởng điện, ta sử dụng các phƣơng pháp sau:

- Thay đổi tần số góc nguồn xoay chiều sao cho bằng tần số góc riêng .

- Thay đổi hệ số tự cảm và điện dung của mạch dao động sao cho .

Hiện tƣợng cảm ứng điện từ đƣợc ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật vô tuyến và điều

khiển. Tuy nhiên chúng ta không xét đến các vấn đề này.

§7 . TỔNG HỢP DAO ĐỘNG

dqI

dt

E

2

2 cosod I dI IL R t

dt Cdt

E2

22 2 coso

od I dI

I tdt Ldt

coso tI I

1R

tgL

C

LZ L

1CZ C LZ CZ

oI

o

L C o



Vấn đề đặt ra là có rất nhiều trƣờng hợp mà một vật sẽ chịu tác động đồng thời của

hai (hoặc nhiều hơn) dao động điều hòa cùng bản chất. Chúng ta sẽ tìm cách cách xác

định dao động tổng hợp đó. Phƣơng pháp tổng quát nhất và thƣờng sử dụng trong khảo

sát các dao động tổng hợp là phƣơng pháp giản đồ véctơ quay. Tuy nhiên, trong trƣờng

hợp đặc biệt là các dao động cùng phƣơng, cùng tần số và cùng biên độ thì sẽ tiện lợi hơn

nếu chúng ta dùng phƣơng pháp lƣợng giác. Tuy nhiên, ở đây chúng ta chỉ trình bày về

cách tổng hợp bằng phƣơng pháp giản đồ véctơ quay.

1. Biểu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay

Xét một dao động điều hòa theo phƣơng trục Ox. Dao động

đƣợc biểu diễn bằng phƣơng pháp vectơ quay nhƣ sau:

Chọn Ox làm gốc, chọn một chiều quay dƣơng. Vẽ

một vectơ gốc O có chiều dài không đổi, có độ dài

tƣơng ứng bằng biên độ A. Phƣơng chiều của hợp

với Ox một góc . quay quanh O theo

chiều dƣơng với vận tốc không đổi và có trị số bằng

tần số góc .

Tại mọi thời điểm, hình chiếu của lên trục Ox

bằng

2. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phƣơng cùng tần số

Xét 2 dao động

Dao động tổng hợp là

trong đó

(3.51)

và

cos tx A

A

A

,Ox A A

A

cos tx A

1 1 1

2 2 2

cos

cos

x A t

x A t

1 2 cosx x x A t

2 21 2 1 2 2 12 cosA A A AA

O

Hình 3.8 Biểu diễn dao động

điều hòa bằng vectơ quay.



(3.52)

Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số là một dao động điều hòa

có cùng phương, cùng tần số với các dao động thành phần. Biên độ và pha ban đầu đƣợc

xác định bởi các công thức (3.51) và (3.52).


1. Thiết lập phƣơng trình dao động điện từ điều hoà riêng không tắt cho dòng điện:

cos( )o o

i I t .

2. Viết biểu thức tần số và chu kỳ của dao động riêng không tắt.

3. Mô tả mạch dao động điện từ tắt dần. Thiết lập biểu thức của dòng điện trong mạch

dao động điện từ tắt dần.

4. Viết biểu thức tần số và chu kỳ của mạch dao động điện từ tắt dần. So sánh chu kỳ dao

động tắt dần với chu kỳ dao động riêng.

5. Mô tả mạch dao động điện từ cƣỡng bức. Thiết lập biểu thức của dòng điện trong mạch

dao động điện từ cƣỡng bức. Nêu ý nghĩ của các đại lƣợng có trong biểu thức.

6. Hiện tƣợng cộng hƣởng là gì? Khi nào xảy ra hiện tƣợng cộng hƣởng?

7. Viết phƣơng trình dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phƣơng, cùng

tần số. Khi nào thì biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại và cực tiểu?

8. Viết phƣơng trình dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng tần số có phƣơng

vuông góc với nhau. Với điều kiện nào thì dao động tổng hợp có dạng đƣờng thẳng, elip

vuông, đƣờng tròn?

BÀI TẬP

Bài tập 1: Một mạch dao động điện từ điều hòa gồm một cuộn dây thuần cảm có độ tự

cảm L = 5.10-2

H và một tụ điện có điện dung C = 2.10-6

F, tụ đƣợc tích điện tới điện thế

cực đại Uo = 120V. Tính:

a. Tần số dao động của mạch.

b. Năng lƣợng điện từ của mạch.

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sincos cos

A Atg

A A



c. Dòng điện cực đại trong mạch.

Bài giải

a. Tần số dao động của mạch:

2 6

1 1 1500

2 2.3,14. 5.10 .2.10f HzT LC

b. Năng lƣợng dao động của mạch: 2 6 21 1.2.10 .120 0,014

2 2oE CU J

c. Dòng điện cực đại trong mạch:

2 6 22 2

2

1 1 2.10 .1200,76

2 2 5.10o

o o o

CUE CU LI I A

L

Bài tập 2: Một mạch dao động điện từ gồm một tụ điện có điện dung 7C F , cuộn

dây có hệ số tự cảm 0,23L H và điện trở 40R . Ban đầu điện tích trên hai bản tụ

45,6.10oQ C . Tìm:

a. Chu kỳ dao động điện từ trong mạch.

b. Lƣợng giảm lôga của mạch dao động điện từ tƣơng ứng.

c. Phƣơng trình biến thiên theo thời gian của cƣờng độ dòng điện trong mạch và

hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện.

Bài giải

a. Vì điện trở 40 0R nên dao động điện từ trong mạch là dao động điện từ tắt

dần. Phƣơng trình dao động của điện tích trên tụ có dạng:

cos( )to

q Q e t

Lúc 0t thì ( 0)cos

t o oq Q Q . Suy ra 0 . Phƣơng trình đƣợc viết lại:

costo

q Q e t

Chu kỳ dao động của mạch:

3

2 2

6

2 2.3,148.10

1 1 40

2 2.0,230,23.7.10

T sR

LC L

b. Lƣợng giảm lôga của dao động điện từ trong mạch:



340.8.10

0,72 2.0,23

RTT

L

c. Phƣơng trình biến thiên theo thời gian của cƣờng độ dòng điện và hiệu điện thế giữa

hai bản tụ điện:

87

2250 (rad/s)

0,44 sin250 (A)t

Tdq

i e tdt

8780 cos250 (V)tq

u e tC


1. Một con lắc lò xo có khối lƣợng 100 g dao động điều hòa với biên độ 10 cm.

Cứ mỗi phút vật thực hiện 150 dao động toàn phần.

a. Lập phƣơng trình dao động, lấy gốc thời gian là lúc li độ cực đại.

b. Xác định năng lƣợng và hệ số đàn hồi của lò xo.

c. Vẽ đồ thị dao động trong 2 chu kỳ.

2. Một con lắc lò xo có khối lƣợng 100 g dao động điều hòa với lực đàn hồi cực đại 0. 5

N và năng lƣợng toàn phần 0.25j.

Lập phƣơng trình dao động, lấy gốc thời gian là lúc li độ cực đại. Vẽ đồ thị dao động

trong 2 chu kỳ.

3. Một con lắc lò xo có khối lƣợng 100 g, hệ số đàn hồi 0.4 N/cm. Vật dao động trong

môi trƣờng có hệ số cản 2kg/s.

a. Lập phƣơng trình dao động, lấy gốc thời gian là lúc li độ cực đại bằng 20 cm.

b. Xác định giãm lƣợng loga và vẽ đồ thị dao động trong 2 chu kỳ.

c. Sau bao lâu thì năng lƣợng dao động giãm còn một nữa.

4. Một vật dao động với phƣơng trình: 0.25e os 4 .4

tx c t cm

a. Xác định giãm lƣợng loga và vẽ đồ thị dao động trong 2 chu kỳ.

b. Sau bao lâu thì biên độ dao động giãm còn một nữa.

5. Một con lắc lò xo có khối lƣợng 500 g, hệ số đàn hồi 0.5 N/cm dao động trong môi

trƣờng có hệ số cản 0.5 kg/s.



a. Xác định chu kỳ và giảm lƣợng loga của hệ.

b. Sau bao lâu thì năng lƣợng giãm đi 90%.

c. Ngƣời ta tác dụng một lực cƣỡng bức 2 os20F c t N vào hệ thì phƣơng trình dao

động của hệ nhƣ thế nào?.

d. Với tần số nào của ngoại lực cƣỡng bức thì biên độ đạt giá trị cực đại và giá trị đó

bằng bao nhiêu biết lực cƣỡng bức cực đại bằng 4N.

6. Một mạch dao động điện từ điều hòa gồm một tụ điện có điện dung 2C F và một

cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 0,5L H . Tụ đƣợc tích điện đến hiệu điện thế cực

đại 100oU V . Tìm:

a. Năng lƣợng điện từ của mạch.

b. Dòng điện cực đại trong mạch.

Đáp số: a. 210 JE ; b. 0,2A

oI

7. Một mạch dao động điện từ điều hòa gồm một tụ điện có điện dung 0,25C F và

một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 1,015L H . Điện tích cực đại trên hai bản tụ

2,5oQ C . Tìm:

a. Chu kỳ, tần số dao động của mạch.

b. Năng lƣợng điện từ của mạch.

c. Dòng điện cực đại trong mạch.

Đáp số: .

a. 316f Hz

b 612,5.10 JE

c 35.10 A

oI

8. Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm một cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm L

= 1H và một tụ điện có điện tích trên hai bản tụ biến thiên điều hòa theo phƣơng trình 55.10cos400 (C)q t .

a. Tìm điện dung của tụ.

b. Tìm năng lƣợng điện từ của mạch.

c. Viết phƣơng trình biến thiên theo thời gian của cƣờng độ dòng điện trong mạch.



Đáp số: a. 61

.101,6

C F ; b. 42.10 JE ; c. 22.10 sin400 (A)i t

9. Một mạch dao động điện từ điều hòa gồm tụ điện có điện dung 76,3.10C F và

một dây thuần cảm có hệ số tự cảm L. Phƣơng trình biểu diễn sự biến thiên theo thời gian

của cƣờng độ dòng điện trong mạch 0,02sin400 (A)i t . Tìm:

a. Chu kỳ, tần số dao động.

b. Hệ số tự cảm L.

c. Năng lƣợng điện trƣờng cực đại và năng lƣợng từ trƣờng cực đại.

d. Hiệu điện thế cực đại trên hai bản tụ.

Đáp số:

a. 35.10T s ; 200f Hz .

b. 1L H

c. 4 4

(max) (max)1,97.10 J, 1,97.10 J

e mE E

d. 25,2 (V)oU

10. Một mạch dao động điện từ điều hòa gồm tụ điện có điện dung 79.10C F và

cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm L. Hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện biến thiên điều

hòa theo phƣơng trình 450cos10 (V)u t . Tìm:

a. Tìm chu kỳ và tần số dao động.

b. Tìm hệ số tự cảm L.

c. Phƣơng trình biến thiên của cƣờng độ dòng điện trong mạch theo thời gian.

d. Năng lƣợng điện từ của mạch.

Đáp số:

a. 4 32.10 ; 5.10T s f Hz

b. 310L H

c. 41,4 sin10 ( )i t A

d. 20,11.10 JE

11. Một mạch dao động gồm tụ điện có điện dung 60,4.10C F , một cuộn dây có hệ

số tự cảm 210L H và điện trở 2R .



a. Tìm chu kỳ và tần số dao động của mạch.

b. Sau thời gian một chu kỳ hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện giảm đi bao nhiêu

lần.

Đáp số:

a. 44.10 , 2500T s f Hz

b. 1,04t

t T

U

U

12. Một mạch dao động gồm tụ điện có điện dung 91,1.10C F , cuộn dây có độ tự

cảm 55.10L H và lƣợng giảm lôga 0,005 . Tìm thời gian để năng lƣợng điện từ

trong mạch giảm đi 99%. Coi gần đúng chu kỳ dao động của mạch 2T LC .

Đáp số: 36,8.10t s

13. Một mạch dao động điện từ gồm tụ điện có điện dung 60,2.10C F , một cuộn

dây có độ tự cảm 35,07.10L H và điện trở R. Tìm:

a. Lƣợng giảm lôga, biết hiệu điện thế trên hai bản tụ giảm đi 3 lần sau 10-3

s. Coi

gần đúng chu kỳ dao động của mạch theo công thức 2T LC .

b. Điện trở R của mạch.

Đáp số

a. 42.10T s ;

41

3

ln2.10 ln 3

0,2210

oU

TU

t

b. 2

11,1L

RT

14. Một mạch dao động điện từ điều hoà gồm một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 53.10L H và một tụ điện. Mạch dao động cộng hƣởng với bƣớc sóng 750m .

Tìm điện dung của tụ điện. Cho 83.10 m/sc .

Đáp số: 82 0,52.10T LC C F

c




THUYẾT TƢƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN

Thuyết tƣơng đối đƣợc coi là đỉnh cao nhất của cơ học cổ điển nhƣng đồng thời

cũng là một bộ phận không thể thiếu đƣợc trong vật lý hiện đại. Trong quan điểm của cơ

học cổ điển (cơ học Newton) thì không gian, thời gian và vật chất không phụ thuộc vào

chuyển động; không gian và thời gian là tuyệt đối, kích thƣớc và khối lƣợng của vật là

bất biến. Các học thuyết vật lý đã đƣợc xây dựng dựa trên nền cơ học Newton đã giải

thích một cách khoa học và chặt chẻ các hiện tƣợng, các vận động của vật chất ở mức độ

vĩ mô xung quanh ta. Tuy nhiên, cùng với sự phát triển của khoa học và kỹ thuật mà các

hiện tƣợng vật lý ngày càng mới và phát sinh nhiều vấn đề mâu thuẫn với các lý thuyết đã

biết đó. Vào cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ 20, với những thiết bị quan sát hiện đại ngƣời ta

gặp những vật chuyển động nhanh với vận tốc cỡ vận tốc ánh sáng trong chân không

(3.108

m/s), khi đó xuất hiện sự mâu thuẫn với các quan điểm của cơ học Newton: Không

gian, thời gian và khối lƣợng của vật khi chuyển động với vận tốc gần bằng vận tốc ánh

sáng thì phụ thuộc vào chuyển động của vật. Năm 1905, Einstein đã đề xuất lí thuyết

tƣơng đối của mình. Lí thuyết tƣơng đối đƣợc xem là một lí thuyết tuyệt đẹp về không

gian và thời gian. Lí thuyết đó đã đứng vững qua nhiều thử thách thực nghiệm trong suốt

hơn 100 năm qua. Lí thuyết tƣơng đối dựa trên hai nguyên lí: nguyên lí tƣơng đối và

nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng.


1. Hiểu đƣợc ý nghĩa của nguyên lí tƣơng đối Einstein, nguyên lí về tính bất biến

của vận tốc ánh sáng.

2. Hiểu và vận dụng đƣợc phép biến đổi Lorentz. Tính tƣơng đối của không gian,

thời gian.

3. Nắm đƣợc khối lƣợng, động lƣợng tƣơng đối tính, hệ thức Einstein và ứng

dụng.

II. NỘI DUNG

§1. CÁC TIÊN ĐỀ EINSTEIN

1. Nguyên lí tƣơng đối



“ Mọi định luật vật lí đều nhƣ nhau trong các hệ qui chiếu quán tính”.

Galileo đã thừa nhận rằng những định luật của cơ học hoàn toàn giống nhau trong

mọi hệ qui chiếu quán tính. Einstein đã mở rộng ý tƣởng này cho toàn bộ các định luật

vật lí trong các lĩnh vực điện từ, quang học...

2. Nguyên lí về sự bất biến của vận tốc ánh sáng

“Vận tốc ánh sáng trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quán tính.

Nó có giá trị bằng c = 3.108

m/s và là giá trị vận tốc cực đại trong tự nhiên”.

§2. ĐỘNG HỌC TƢƠNG ĐỐI TÍNH – PHÉP BIẾN ĐỔI

LORENTZ

1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tƣơng đối Einstein

* Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K', trong đó hệ K' chuyển động thẳng đều với vận

tốc V so với hệ K. Để tiện lợi ta xét chuyển động dọc theo phƣơng x. Theo phép biến đổi

Galileo trong cơ học cổ điển, thời gian diễn biến của một quá trình vật lí trong các hệ qui

chiếu quán tính K và K’ đều nhƣ nhau: t = t’. Khoảng cách giữa hai điểm 1 và 2 nào đó

đo đƣợc trong hai hệ K và K’ đều bằng nhau:

2 1 2 1

/

' ' '

trong K trong K .

l x x l x x

Vận tốc v của chất điểm chuyển động trong hệ K

bằng tổng các vận tốc v' của chất điểm đó trong

hệ K’ và vận tốc V của hệ K' đối với hệ K:

v= v'+V

Tất cả các kết quả trên đây đều đúng đối với

v << c. Nhƣng chúng mâu thuẫn với lí thuyết

tƣơng đối của Einstein. Theo thuyết tƣơng đối:

thời gian không có tính tuyệt đối, khoảng thời

gian diễn biến của một quá trình vật lí phụ thuộc

vào các hệ qui chiếu. Đặc biệt khái niệm đồng

thời phụ thuộc vào hệ qui chiếu, tức là các hiện

tƣợng xảy ra đồng thời ở trong hệ qui chiếu quán

tính này sẽ không xảy ra đồng thời ở trong hệ qui chiếu quán tính khác. Để minh họa

chúng ta xét ví dụ sau:

Hình 4.1



Hai hệ qui chiếu quán tính K và K’ với các trục tọa độ x, y, z và x’, y’, z’. Hệ K’

chuyển động thẳng đều với vận tốc V so với hệ K theo phƣơng x. Từ một điểm A bất kì,

trên trục x’ có đặt một bóng đèn phát tín hiệu sáng theo hai phía ngƣợc nhau của trục x.

Đối với hệ K’ bóng đèn là đứng yên vì nó cùng chuyển động với hệ K’. Trong hệ K’ các

tín hiệu sáng sẽ tới các điểm B và C ở cách đều A cùng một lúc. Nhƣng trong hệ K, điểm

B chuyển động đến gặp tín hiệu sáng, còn điểm C chuyển động ra xa khỏi tín hiệu sáng,

do đó trong hệ K tín hiệu sáng sẽ đến điểm B sớm hơn đến điểm C. Nhƣ vậy trong hệ K,

các tín hiệu sáng tới điểm B và điểm C không đồng thời.

Định luật cộng vận tốc, hệ quả của nguyên lí tƣơng đối Galileo cũng không áp dụng

đƣợc. Theo định luật này thì ánh sáng truyền đến B với vận tốc c +V > c, còn ánh sáng

truyền đến C với vận tốc c – V < c. Điều này mâu thuẫn với nguyên lí thứ 2 trong thuyết

tƣơng đối Einstein.

* Cũng có một mâu thuẫn đơn giản mà tất cả chúng ta đều biết nhƣng có điều rất ít để ý

khi khảo sát chuyển động nhƣ sau:

Ta biết, 0v= v +at. Nhƣ vậy, với một giá trị a xác định (khác không), tức là chuyển động

có gia tốc của một vật. Cho thời gian vt , nhƣ vậy, vật đó có thể đạt tới

vận tốc là . Ta chƣa đề cập đến việc có hay không tồn tại vận tốc bằng mà ở đây ta

thấy rằng đã vi phạm thuyết tƣơng đối của Einstein ( 8

maxv 3.10 /m s .)

2. Phép biến đổi Lorentz

Để giải quyết mâu thuẫn này, Lorentz tìm ra phép biến đổi các tọa độ không gian và

thời gian khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác phù hợp hoàn toàn với

thuyết tƣơng đối của Einstein. Phép biến đổi này đƣợc gọi là phép biến đổi Lorentz.

Giả sử tại thời điểm t = 0, hai gốc O trong hệ quy chiếu quán tính K trùng với gốc

O’ trong hệ quy chiếu quán tính K’. K' chuyển động thẳng đều so với K với vận tốc V

theo phƣơng x. Theo thuyết tƣơng đối thời gian không có tính chất tuyệt đối mà phụ

thuộc vào hệ qui chiếu, nghĩa là t ≠ t’.

Giả sử tọa độ x’ là hàm của x và t theo phƣơng trình:

x’ = f(x,t) (4.1)

Để tìm dạng của phƣơng trình trên ta hãy viết phƣơng trình chuyển động của hai gốc tọa

độ O và O’. Đối với hệ K, gốc O’ chuyển động với vận tốc V. Ta có:

x = V.t hay x – V.t = 0 (4.2)

x là tọa độ của gốc O’ trong hệ K. Đối với hệ K’, gốc O’ đứng yên, do đó tọa độ x’ của

nó sẽ là:

x’ = 0 (4.3)

Phƣơng trình (4.1) cũng phải đúng đối với điểm O’, điều đó có nghĩa là khi ta thay x’ = 0

vào phƣơng trình (4.1) thì phải thu đƣợc phƣơng trình (4.2), muốn vậy thì:

x’ = α(x – V.t) (4.4)



trong đó α là hằng số. Đối với hệ K’, gốc O chuyển động với vận tốc –V. Nhƣng đối với

hệ K, gốc O là đứng yên. Lập luận tƣơng tự nhƣ trên ta có

x = β( x’ + Vt’ ) (4.5)

trong đó β là hằng số. Theo tiên đề thứ nhất của Einstein thì mọi hệ qui chiếu quán tính

đều tƣơng đƣơng nhau, nghĩa là từ (4-4) có thể suy ra (4-5) và ngƣợc lại bằng cách thay

V→ -V, x ↔x’, t ↔ t’. Suy ra: . β = α

Theo tiên đề hai: x = c.t → t = x/c

x’ = c.t’ → t’ = x’/c

Thay t và t’ vào (4.4) và (4.5) ta có:

x’ = α(x –V.x

c); x = α(x’ +

V.x'

c)

Nhân vế với vế của hai hệ thức trên, sau đó rút gọn ta nhận đƣợc:

2

2

1

v1

c

.

Thay α vào các công thức trên ta nhận đƣợc các công thức của phép biến đổi Lorentz.

Phép biến đổi Lorentz:

2

2

x-V.'

V1

c

tx

; 2

2

x'+V.

V1

c

tx

. (4.6)

Và,

2

2

2

Vt-

c'V

1c

x

t

; 2

2

2

Vt'+ '

c

V1

c

x

t

. (4.7)

Vì hệ K’ chuyển động dọc theo trục x nên y = y’ và z = z’.

Từ kết quả trên ta nhận thấy nếu c → ∞ (tƣơng tác tức thời) hay khi V ⁄c → 0 (sự

gần đúng cổ điển khi V << c) thì:

x’ = x –Vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t

x = x’ +Vt, y = y’, z = z’, t = t’

nghĩa là chuyển về phép biến đổi Galileo.

Khi V > c, tọa độ x, t trở nên ảo, do đó không thể có các chuyển động với vận tốc

lớn hơn vận tốc ánh sáng.

§3. CÁC HỆ QUẢ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ



1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả

Giả sử trong hệ quán tính K có hai biến cố A1(x

1, y

1, z

1, t

1) và biến cố A

2(x

2, y

2, z

2,

t2) với x1 ≠ x2. Chúng ta hãy tìm khoảng thời gian t’2 - t′1 giữa hai biến cố đó trong hệ K'

chuyển động đều đối với hệ K với vận tốc V dọc theo trục x. Từ các công thức biến đổi

Lorentz ta có

2 1 2 12

2 12

2

V( )

c' '

1

t t x x

t tV

c

. (4.8)

Từ (4.8) ta suy ra rằng những biến cố xảy ra đồng thời ở trong hệ K (t1

= t2) sẽ

không đồng thời trong hệ K’ vì t’2 - t′1 ≠ 0, chỉ có một trƣờng hợp ngoại lệ là khi hai biến

cố xảy ra đồng thời tại những điểm có cùng giá trị của x (y có thể khác nhau). Nhƣ vậy

khái niệm đồng thời là một khái niệm tƣơng đối, hai biến cố xảy ra đồng thời ở trong một

hệ qui chiếu quán tính này nói chung có thể không đồng thời ở trong một hệ qui chiếu

quán tính khác.

Nhìn vào công thức (4.8) ta thấy giả sử trong hệ K: t2

- t1> 0 (tức là biến cố A

1 xảy

ra trƣớc biến cố A2), nhƣng trong hệ K’: t’

2 - t’

1 chƣa chắc đã lớn hơn 0, nó phụ thuộc vào

dấu và độ lớn của 2 12

V( )

cx x . Nhƣ vậy trong hệ K’ thứ tự của các biến cố có thể bất kì.

Tuy nhiên điều này không đƣợc xét cho các biến cố có quan hệ nhân quả với nhau.

Mối quan hệ nhân quả là mối quan hệ có nguyên nhân và kết quả. Nguyên nhân bao giờ

cũng xảy ra trƣớc, kết quả xảy ra sau. Nhƣ vậy: Thứ tự của các biến cố có quan hệ nhân

quả bao giờ cũng đƣợc đảm bảo trong mọi hệ qui chiếu quán tính. Thí dụ: viên đạn đƣợc

bắn ra (nguyên nhân), viên đạn trúng đích (kết quả). Gọi A1(x

1, t

1) là biến cố viên

đạn bắn ra và A2(x

2, t

2) là biến cố viên đạn trúng đích. Trong hệ K: t

2 > t

1. Gọi u là vận

tốc viên đạn và giả sử x2

> x1, ta có x

2 - x

1 = u(t

2-t

1). Thay vào (4-8) ta có:

2 1 22 1 2 12

2 12 2

2 2

VV ( ) 1( )cc' '

1 1

t t ut t u t t

t tV V

c c

. (4.9)

Ta luôn có u << c, do đó nếu t2

> t1

thì ta cũng có t’2

> t’1. Trong cả hai hệ K và K’ bao

giờ biến cố viên đạn trúng đích cũng xảy ra sau biến cố viên đạn đƣợc bắn ra.

2. Sự co lại của độ dài (sự co ngắn Lorentz)



Xét hai hệ qui chiếu quán tính K và K'. Hệ K' chuyển động thẳng đều với vận tốc V

so với hệ K dọc theo trục x. Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ K’ đặt dọc theo trục

x’, độ dài của nó trong hệ K’ bằng: 0 2 1' 'l x x . Gọi l là độ dài của thanh trong hệ K. Từ

phép biến đổi Lorentz ta có:

2 22

2

2

x -V.'

V1

c

tx

; 1 11

2

2

x -V.'

V1

c

tx

.

Ta phải xác định vị trí các đầu của thanh trong hệ K tại cùng một thời điểm: t2

= t1, do đó,

2

2 12 1 0 022

2

x - V' ' 1

cV1

c

xx x l l l

(4.10)

Hệ K' chuyển động so với hệ K, nếu ta đứng ở hệ K quan sát thì thấy thanh chuyển động

cùng hệ K'. Chiều dài của thanh ở hệ K nhỏ hơn chiều dài của nó ở trong hệ K'.

Vậy: “độ dài (dọc theo phƣơng chuyển động) của thanh trong hệ qui chiếu mà thanh

chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên”.

Nói một cách khác khi vật chuyển động, kích thƣớc của nó bị co ngắn theo phƣơng

chuyển động.

Ví dụ: một vật có vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng V=260000 km/s thì 2

2

V1 0,5

c khi đó 00,5l l kích thƣớc của vật sẽ bị co ngắn đi một nửa. Nếu quan sát

một vật hình hộp vuông chuyển động với vận tốc lớn nhƣ vậy ta sẽ thấy nó có dạng một

hình hộp chữ nhật, còn một khối cầu sẽ có dạng hình elipxoit tròn xoay.

Nhƣ vậy kích thƣớc của một vật sẽ khác nhau tuỳ thuộc vào chỗ ta quan sát nó ở

trong hệ đứng yên hay chuyển động. Điều đó nói lên rằng không gian có tính tƣơng đối,

nó phụ thuộc vào chuyển động. Khi vật chuyển động với vận tốc nhỏ (V << c), từ (4-10)

ta có 0l l , ta trở lại kết quả của cơ học cổ điển, không gian đƣợc coi là tuyệt đối, không

phụ thuộc vào chuyển động.

3. Sự giãn của thời gian

Xét hai hệ qui chiếu quán tính K, K’. Hệ K’ chuyển động đều với vận tốc V so với

hệ K dọc theo trục x. Ta đặt một đồng hồ đứng yên trong hệ K’. Xét hai biến cố xảy ra tại

cùng một điểm A trong hệ K’. Khoảng thời gian giữa hai biến cố trong hệ K’ là

2 1' ' 't t t . Khoảng thời gian giữa hai biến cố trong hệ K là 2 1t t t . Từ phép biến đổi

Lorentz ta có:



1 12

12

2

Vt' + '

c

V1

c

x

t

; 2 22

22

2

Vt' + '

c

V1

c

x

t

.

2 11 2 2 1

2

2

' '' '

V1

c

t tx x t t t

.

Hay,

2

2

V' 1 .

ct t t (4.11)

Nhƣ vậy: “ Khoảng thời gian Δt’ của một quá trình trong hệ K’ chuyển động bao

giờ cũng nhỏ hơn khoảng thời gian Δt của quá trình đó xảy ra trong hệ K đứng yên.”

Ví dụ: nếu con tàu vũ trụ chuyển động với vận tốc V=260000 km/s thì Δt’=0,5.Δt,

tức là nếu khoảng thời gian diễn ra một quá trình trên con tàu vũ trụ là 5 năm thì ở mặt

đất lúc đó thời gian đã trôi qua là 10 năm. Đặc biệt nếu nhà du hành vũ trụ ngồi trên con

tàu chuyển động với vận tốc rất gần với vận tốc ánh sáng V=299960 km/s trong 10 năm

để đến một hành tinh rất xa thì trên trái đất đã 1000 năm trôi qua và khi nhà du hành quay

trở về trái đất, ngƣời đó mới già thêm 20 tuổi, nhƣng trên trái đất đã 2000 năm trôi qua.

Có một điều cần chú ý là để đạt đƣợc vận tốc lớn nhƣ vậy thì cần tốn rất nhiều năng

lƣợng, mà hiện nay con ngƣời chƣa thể đạt đƣợc. Nhƣng sự trôi chậm của thời gian do

hiệu ứng của thuyết tƣơng đối thì đã đƣợc thực nghiệm xác nhận.

Nhƣ vậy khoảng thời gian có tính tƣơng đối, nó phụ thuộc vào chuyển động.

Trƣờng hợp vận tốc chuyển động rất nhỏ V << c, từ công thức (5-11) ta có Δ t' ≈ Δt, ta

trở lại kết quả của cơ học cổ điển, ở đây khoảng thời gian đƣợc coi là tuyệt đối, không

phụ thuộc vào chuyển động.

4. Phép biến đổi vận tốc

Giả sử v là vận tốc của chất điểm đối với hệ quán tính K, v’ là vận tốc đối với hệ

quán tính K’. Hệ K’ chuyển động thẳng đều đối với hệ K dọc theo phƣơng x. Ta hảy tìm

quy luật liên hệ vận tốc trong các hệ quán tính K và K’.

2

2

dx-V.'

V1

c

dtdx

; 2

2

2

Vdt

c'V

1c

dx

dt

.

xx

x2 2

v -Vdx' dx-Vdtv' = =

V Vdt'dtdx 1- v

c c

(4.12)



2 2

y2 2

y

x2 2

V Vdy 1- v 1-

c cdy'=dy v' = =

V Vdt- dx 1- v

c c

(4.13)

2 2

2 2

x2 2

V Vdz 1- v 1-

c cdz'=dz v' = =

V Vdt- dx 1- v

c c

z

z (4.14)

Các công thức trên biểu diễn quy luật tổng hợp vận tốc trong thuyết tƣơng đối. Trƣờng

hợp V/c << 1, thì x xv' = v V , y yv' = v và v' = vz z nhƣ cơ học cổ điển.

Nếu xv c thì xv' c điều đó chứng minh tính bất biến của vận tốc ánh sáng trong chân

không đối với hệ quy chiếu quán tính.

§ 4. ĐỘNG LỰC HỌC TƢƠNG ĐỐI

1. Phƣơng trình cơ bản của chuyển động chất điểm

Theo thuyết tƣơng đối, khi một vật chuyển động với vận tốc thì khối lƣợng của vật

phụ thuộc vào vận tốc:

0

2

2

v1

c

mm

, (4.15)

trong đó mo là khối lƣợng nghĩ của chất điểm. Nhƣ vậy, khối lƣợng có tính tƣơng đối, nó

phụ thuộc hệ quy chiếu. Phƣơng trình biểu diễn định luật II Newton dv

. .dt

F m a m

không thể mô tả chuyển động của chất điểm với vận tốc lớn đƣợc. Để mô tả chuyển động

cần có phƣơng trình khác tổng quát hơn. Theo thuyết tƣơng đối phƣơng trình đó có dạng

d( .v)

dt

mF . (4.16)

Khi v<< c, m0 = m = const.



Phƣơng trình (4.16) gọi là phƣơng trình cơ bản của động lực học tƣơng đối tính đối

với chuyển động của chất điểm.

2. Động lƣợng và năng lƣợng

Động lƣợng của một vật bằng,

0

2

2

mp = mv = v

v1-

c

(4.17)

Khi v << c ta trở về biểu thức động lƣợng 0p = m v . Ta hảy tính năng lƣợng của vật, theo

định luật bảo toàn năng lƣợng thì độ tăng năng lƣợng của vật bằng công của ngoại lực tác

dụng lên vật:

dE=dA= F.ds .

Để đơn giản ta xét trƣờng hợp ngoại lực F trùng phƣơng với độ dời ds , khi đó:

0

2

2

m vddE = dA = F.ds= ds

dt v1-

c

. (4.18)

Mặt khác, từ công thức (4.15) ta có

0

3/22

2

2

m vdvdm=

vc 1-

c

(4.19)

Ta đƣợc, 2dE =dm.c

Hay, 2E= m.c +C . Do, m = 0 thì E = 0 nên C = 0. Vậy,

2E = m.c (4.20)

Công thức (4.20) gọi là hệ thức Einstein.

Ý nghĩa của hệ thức Einstein: Khối lƣợng là đại lƣợng đặc trƣng cho mức quán tính của

vật, năng lƣợng đặc trƣng cho mức độ vận động của vật. Nhƣ vậy, hệ thức Einstein nối

liền hai tính chất của vật chất: quán tính và mức độ vận động. Hệ thức đó cho ta thấy rõ,

trong điều kiện nhất định, một vật có khối lƣợng nhất định thì cũng có năng lƣợng nhất

định tƣơng ứng với khối lƣợng đó.



3. Các hệ quả

a. Năng lƣợng nghĩ của vật

2

0E = m .c .

Khi chuyển động thì vật có động năng Eđ. Do đó,

2 2

0m.c = m .c Eđ .

2 2 2

0 02

2

1 E m.c -m .c m .c -1

v1-

c

đ

. (4.21)

Khi v << c thì, 1/2

2 2

2 22

2

1 v 1 v1- 1 ...

c 2 cv1-

c

Suy ra,

22 2

0 02

1 v 1E m .c 1 -1 m .v

2 c 2đ

.

Ta thu đƣợc biểu thức động năng trong cơ học cổ điển.

b. Liên hệ giữa năng lƣợng và động lƣợng của vật

2 20

2

2

E = m.c .

1

mc

v

c

Bình phƣơng hai vế ta đƣợc,

22

0 2m .c E 1

v

c

.

Thay 2E = m.c và p=m.v vào ta đƣợc:

2 2 4 2 2

0E =m .c p c . (4.22)

Đây là biểu thức liên hệ giữa năng lƣợng và động lƣợng.



CÂU HỎI LÍ THUYẾT

1. Cho biết giới hạn ứng dụng của cơ học cổ điển.

2. Phát biểu hai tiên đề Einstein

3. Viết công thức của phép biến đổi Lorentz.

4. Giải thích sự co ngắn của độ dài và sự giãn của thời gian.

5. Phân tích tính tƣơng đối của sự đồng thời giữa các biến cố có quan hệ nhân quả với

nhau.

6. Dựa vào phép biến đổi Lorentz, chứng tỏ trật tự kế tiếp về thời gian giữa cac biến cố

có quan hệ nhân quả với nhau vẫn đƣợc tôn trọng.

7. Chứng tỏ cơ học Newton chỉ là trƣờng hợp giới hạn của thuyết tƣơng đối Einstein khi

v << c hay coi c lớn vô cùng.

8. Viết biểu thức chứng tỏ trong thuyết tƣơng đối Einstein, khối lƣợng m của một vật

tăng lên khi chuyển động.

9. Từ công thức cộng vận tốc trong thuyết tƣơng đối, tìm lại định luật cộng vận tốc trong

cơ học Newton.

10. Viết và nêu ý nghĩa của hệ thức Einstein về năng lƣợng. 11. Từ hệ thức 2E = m.c , tìm

lại biểu thức của động năng của một vật chuyển động với vận tốc v << c trong cơ học cổ

điển.

BÀI TẬP

Thí dụ 1. Vật chuyển động phải có vận tốc bằng bao nhiêu để ngƣời quan sát đứng ở hệ

quy chiếu trái đất thấy chiều dài của nó giảm đi 75%.

Bài giải: Chiều dài của vật chuyển động đƣợc xác định theo công thức 2

0 2

v1

cl l .

Theo giả thuyết ta có,

2

0

2

0 0

2

8

v0,75 0,25 1 0,25

c

v1 0,25 0,968

c

v = 2,9.10 m/s.

l l l

l l



Thí dụ 2. Tìm vận tốc của hạt Mêzôn để năng lƣợng toàn phần của nó lớn gấp 10 lần

năng lƣợng nghĩ của nó.

Bài giải:

Theo thuyết tƣơng đổi thì, 2

0 0

2 2 20

2 2 2

m v E E 1E 10

Ev v v1- 1- 1-

c c c

E

8v0,995 v 2,985.10 m/s.

c

Vậy, vận tốc của Mêzôn là 2,985.108 m/s.


1. Vật chuyển động phải có vận tốc bằng bao nhiêu để ngƣời quan sát đứng ở hệ quy

chiếu trái đất thấy chiều dài của nó giảm đi còn một nữa.

Đáp số: 2,59.108 m/s.

2. Một tàu vũ trụ dài 120 m và rộng 20m trong khi đứng yên đối với quan sát viên. Nếu

tàu bay với vận tốc 0.99c so với quan sát đứng yên đó thì độ dài quan sát viên đo đạc

đƣợc là bao nhiêu.

3. Một sự kiện xảy ra trong hệ quy chiếu O tại tọa độ x = 100 km và thời gian t = 200 µs.

Hỏi sự kiện đó có tọa độ bao nhiêu trong hệ quy chiếu O’ chuyển động dọc theo trục x

của hệ O với vận tốc V = 0,95 c. Giả sử khi t = t’ = 0 thì x = x’.

4. Hệ quy chiếu O’ chuyển động với vận tốc V = 0,6c so với hệ quy chiếu O. Hai sự

kiện đƣợc ghi nhận. Trong hệ O sự kiện 1 xảy ra tại x = 0 và t = 0 còn sự kiện 2

xảy ra tại x = 3 km và t = 4 µs. Hãy xác định thời gian của hai sự kiện này trong

hệ O’.

5. Ngƣời quan sát trong hệ quy chiếu O nhìn thấy chớp sáng màu đỏ ở vị trí cách

ông ta 1200 m rồi sau đó một chớp sáng màu xanh cách 480 m theo cùng chiều

với chớp sáng đỏ. Ông ta đo đƣợc khoảng thời gian giữa hai chớp sáng là 5 µs.

Hãy tính:

a. Vận tốc tƣơng đối của hệ quy chiếu O’ so với hệ O, trong đó ngƣời quan sát

thứ hai nhìn thấy hai chớp sáng đỏ và xanh xảy ra ở tại cùng một vị trí.

b. Thứ tự các chớp sáng mà ngƣời quan sát trong hệ O’ nhìn thấy.

c. Khoảng thời gian giữa hai chớp sáng mà ngƣời quan sát trong hệ O’ đo đƣợc.



6. Hạt mêzôn trong các tia vũ trụ chuyển động với vận tốc bằng 0,95 lần vận tốc ánh

sáng. Hỏi khoảng thời gian theo đồng hồ ngƣời quan sát đứng trên trái đất ứng với

khoảng “thời gian sống” một giây của hạt mêzôn.

Đáp số: 3,2s.

7. Tƣởng tƣợng một moto chuyển động với tốc độ 0.8c vƣợt qua một quan sát viên bên

đƣờng. Nếu quả bóng với với tốc tộ 0.7c và cùng

chiều so với moto thì tốc độ quả bóng với quan

sát viên là bao nhiêu?

9. Một electron khối chuyển động với tốc độ

0.750c. Tìm động lƣợng tƣơng đối và so sánh nó

với động lƣợng dạng cổ điển.

10. Hai tàu vũ trụ A và B chuyển động theo

hai chiều ngƣợc nhau. Một quan sát trên trái đất

đo đƣợc tốc độ của tàu A là 0.75c và tàu B là 0.85c. Tìm vận tốc của tàu B khi quan sát ở

tàu A.

11. Một chớp sáng đỏ tại vị trí x = 4m và thời gian 10 ns và chớp sáng xanh tại vị trí 12 m và

thời điểm 9 ns trong hệ quy chiếu đứng yên. Hệ quy chiếu chuyển động ban đầu có góc tọa độ

trùng với hệ đứng yên, xác định vận tốc của hệ quy chiếu chuyển động so với hệ đứng yên để

hai chớp sáng xảy ra cùng vị trí trong hệ chuyển động. (a) Tìm vị trí của hai chớp sáng trong hệ

chuyển động và (b) thời điểm xảy ra chớp sáng đỏ trong hệ chuyển động?

12. Một hạt vũ trụ bay về phía trái đất theo trục trái đất đến cực bắc với vận tốc

0,8c. Một hạt vũ trụ khác bay về phía

trái đất theo trục trái đất ngƣợc chiều

với

hạt thứ nhất đến cực nam với vận tốc

0,6c. Hãy tính vận tốc tƣơng đối giữa

hạt thứ nhất và hạt thứ hai.

13. Khối lƣợng của electron bằng hai lần

khối lƣợng nghĩ của nó. Tìm vận tốc chuyển động của electron.

Đáp số: 2,59.108 m/s.

14. Hạt electron phải chịu một hiệu điện thế tăng tốc U bằng bao nhiêu để vận tốc của nó

bằng 95% vận tốc ánh sáng.

Đáp số: 1,1.106 V.

15. Khối lƣợng hạt α tăng thêm bao nhiêu nếu tăng vận tốc của nó từ 0 đến 0,9 lần vận tốc

ánh sáng. Cho biết khối lƣợng nghĩ của hạt α là 6,6444.10 -27 kg.

Đáp số:2,3 lần.

16. Tìm hiệu điện thế tăng tốc U mà proton vƣợt qua để cho kích thƣớc của nó trong hệ

qui chiếu gắn với trái đất giảm đi còn một nữa. Cho mp = 1,67.10

-27

kg.

Đáp số: 9.108 V.



17. Hỏi vận tốc của hạt phải bằng bao nhiêu để động năng của hạt bằng năng lƣợng nghỉ.

Đáp số: 2,6.108 m/s.

18. Khối lƣợng của hạt electron chuyển động lớn gấp hai lần khối lƣợng của nó khi đứng

yên. Tìm động năng của hạt.

Đáp số: Eđ = 8,2.10

-14

J

19. Để động năng của hạt bằng một nửa năng lƣợng nghỉ của nó thì vận tốc của hạt phải

bằng bao nhiêu?

Đáp số: 2,22.108 m/s.

20. Khi năng lƣợng của vật biến thiên 4,19J thì khối lƣợng của vật biến thiên bao nhiêu?

Đáp số: 174,65.10 .kg

21. Một hạt tƣơng đối tính khối lƣợng m1 bay đến va chạm với hạt khối lƣợng m2 đứng

yên trong phòng thí nghiệm.

a. Nếu hạt mới sinh ra có khối lƣợng nghĩa M đƣợc tạo thành do va chạm dẫn tới sự

hủy hạt tới và hạt bia thì động năng của hạt tới là bao nhiêu? Hảy xác định giá trị khả

dĩ của M.

b. Tốc độ của hạt mới tạo thành là bao nhiêu nếu xét trong hệ quy chiếu phòng thí

nghiệm.

ĐS: a. Eđ = M 2¡ (m1¡ m2)2

2m2c2

b. 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2

[ 2( ) ( )M M m m m mV c

M m m

22. Một photon tia X (ký hiệu ) có bƣớc

sóng 0 0,125nm và một electron

chuyenr động với vận tốc không đổi va

chạm với nhau. Sau và chạm ta đƣợc

electron đứng yên và photon ' (xem

hình vẽ). Biết góc hợp bởi phƣơng truyền của

photon với phƣơng truyền của ' bằng 060 . Tính bƣớc sóng debroglie của electron

trƣớc va chạm. cho khối lƣợng nghĩa của electron 319,1.10m kg , hằng số Planck 346,625.10 /h J s và vận tốc ánh sáng là c = 3.10

8 m/s.

ĐS: 0 0,124nm

23. Thành và Nam cùng ở trên một con tàu vũ trụ (một ngƣời ngồi ở phía đầu tàu, ngƣời

còn lại ngồi ở phía đuôi tàu). Khoảng cách l0 giữa hai ngƣời ở trên tàu là 2m. Một

ngƣời quan sát thấy tàu đang chuyển động

thẳng với tốc độ không đổi theo chiều dƣơng

của trục Ox. Anh ta ghi nhận đƣợc tọa độ

không thời gian của Nam (N) và Thành (T)

nhƣ trong giản đồ bên. Ngƣời ngồi ở đầu tàu



là ai? Tốc độ v của tàu đối với ngƣời quan sát bằng bao nhiêu?

ĐS: v = 0,8 c


GIAO THOA ÁNH SÁNG - NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG

Quang học sóng là phần vật lý nghiên cứu về ánh sáng theo quan điểm ánh sáng là

các sóng. Sự ra đời của lý thuyết đã giải thích rõ ràng các hiện tƣợng quang học nhƣ

giao thoa ánh sáng, nhiễu xạ ánh sáng, phân cực ánh sáng,... Ngƣời đầu tiên đề ra thuyết

sóng ánh sáng là nhà vật lí ngƣời Hà Lan Christian Huygens năm 1687. Theo Huygens,

ánh sáng là sóng đàn hồi truyền trong một môi trƣờng đặc biệt gọi là “ête vũ trụ” lấp đầy

không gian. Thuyết sóng ánh sáng đã giải thích đƣợc các hiện tƣợng của quang hình học

nhƣ phản xạ, khúc xạ ánh sáng. Vào đầu thế kỉ thứ 19, dựa vào thuyết sóng ánh sáng

Fresnel đã giải thích các hiện tƣợng giao thoa, nhiễu xạ ánh sáng. Đến năm 1865, dựa

vào những nghiên cứu lí thuyết của mình về trƣờng điện từ và sóng điện từ, Maxwell đã

xây dựng thuyết điện từ về sóng ánh sáng và đã giải thích đƣợc rất nhiều các hiện tƣợng

liên quan đến ánh sáng. Trong tiết này chúng ta sẽ nghiên cứu về một số những khái niệm

cơ bản của sóng ánh sáng và các nguyên lí nhƣ nguyên lí chồng chất các sóng, nguyên lí

Huygens là cơ sở của quang học sóng.


1. Nắm đƣợc cở sở trong việc nghiên cứu quang học sóng.

2. Xác định đƣợc dao động sáng tổng hợp tại một điểm nào đó.

3. Khảo sát đƣợc nhiễu xạ qua một khe hẹp và cách tử, nhiễu xạ trên tinh thể.

4. Ứng dụng đƣợc các lý thuyết sóng trong việc khảo sát nhiễu xạ và giao thoa ánh

sáng.



II. NỘI DUNG

§1. CƠ SỞ CỦA QUANG HỌC SÓNG

1. Một số khái niệm cơ bản về sóng

Sóng là quá trình truyền dao động trong không gian và theo thời gian. Dựa vào tính

chất truyền sóng mà ta chia sóng thành hai loại: sóng ngang và sóng dọc.

Đối với các loại sóng nói chung và sóng cơ học nói riêng, không gian có sóng

truyền qua đƣợc gọi là trường sóng. Tập hợp những điểm dao động cùng pha trong

trƣờng sóng gọi là Mặt sóng. Mặt giới hạn giữa phần môi trƣờng mà sóng đã truyền qua

và chƣa truyền tới gọi là mặt đầu sóng. Nếu sóng có mặt đầu sóng là mặt cầu thì đƣợc gọi

là sóng cầu, nếu mặt đầu sóng là mặt phẳng thì đƣợc gọi là sóng phẳng. Đối với môi

trƣờng đồng chất và đẳng hƣớng, nguồn sóng nằm ở tâm của mặt sóng cầu, tia sóng

(phƣơng truyền sóng) vuông góc với mặt đầu sóng (hình 5.1). Nếu nguồn sóng ở rất xa

phần môi trƣờng mà ta khảo sát thì mặt sóng là những mặt phẳng song song, các tia sóng

là những đƣờng thẳng song song với nhau và vuông góc với các mặt sóng (hình 5-2).

Dựa theo sự lan truyền sóng, ngƣời ta chia sóng cơ học thành hai loại: sóng ngang

và sóng dọc.

- Sóng ngang: là sóng có phƣơng dao động của các phần tử môi trƣờng vuông góc với

phƣơng truyền sóng (sóng nƣớc, sóng truyền trên dây khi rung nhẹ một đầu).Sóng ngang

xuất hiện trong các môi trƣờng có tính đàn hồi về hình dạng (môi trƣờng vật rắn).

- Sóng dọc: là sóng có phƣơng dao động của các phần tử môi trƣờng trùng với phƣơng

truyền sóng (sóng dao động của lò xo). Sóng dọc xuất hiện trong các môi trƣờng chịu

biến dạng về thể tích (môi trƣờng vật rắn và môi trƣờng khí).

Hình 5.1a Sóng cầu. Hình 5.1b Sóng phẳng.



2. Thuyết điện từ về ánh sáng của Maxwell

Theo lý thuyết điện từ của Maxwell thì bản chất của ánh sáng là các sóng điện từ,

đó là các dao động điện từ biến thiên lan truyền trong không gian theo thời gian. Sóng

ánh sáng là sóng ngang, bởi vì trong sóng điện từ vectơ cƣờng độ điện trƣờng E và vectơ

cảm ứng từ B luôn dao động vuông góc với phƣơng truyền sóng. Khi ánh sáng truyền đến

mắt thì chỉ có thành phần điện trƣờng gây ra cảm giác sáng. Do đó vectơ cƣờng độ điện

trƣờng E trong sóng ánh sáng gọi là vectơ sáng. Ngƣời ta biểu diễn sóng ánh sáng bằng

dao động của vectơ sáng E vuông góc với phƣơng truyền sóng.

Mỗi sóng ánh sáng có bƣớc sóng 0 xác định gây nên cảm giác sáng về một màu

sắc xác định và gọi là ánh sáng đơn sắc. Tập hợp các ánh sáng đơn sắc có bƣớc sóng nằm

trong khoảng từ 0,38 m đến 0,76 m tạo thành ánh sáng trắng.

3. Quang lộ

Xét hai điểm A, B trong một môi trƣờng đồng tính chiết suất n, cách nhau một đoạn

bằng d. Thời gian ánh sáng đi từ A đến B là v

dt trong đó v là vận tốc ánh sáng trong

môi trƣờng.

Định nghĩa: Quang lộ giữa hai điểm A, B là đoạn đƣờng ánh sáng truyền đƣợc trong

chân không trong một khoảng thời gian t với t là thời gian cần thiết để sóng ánh sáng đi

đƣợc quãng đƣờng d trong môi trƣờng chiết suất n.

.

.v

c dL c t = n.d. (5.1)

Chiết suất n = c/ v với c là vận tốc ánh sáng trong chân không.

Nhƣ vậy, nếu ánh sáng truyền qua nhiều môi trƣờng chiết suất n1, n

2, n

3 ... với các

quãng đƣờng tƣơng ứng d1, d

2, d

3 ... thì quang lộ sẽ là

.i i

i

L n d . (5.2)

Nếu ánh sáng truyền trong môi trƣờng mà chiết suất thay đổi liên tục thì ta chia

đoạn đƣờng AB thành các đoạn nhỏ ds sao cho chiết suất không thay đổi trên mỗi đoạn

nhỏ đó và quang lộ sẽ là

.

B

A

L n ds . (5.3)

4. Định lí Malus về quang lộ

Hình 5-2 Các loại mặt trực giao.



Định lí Malus: Quang lộ của các tia sáng giữa hai mặt trực giao của một chùm sáng thì

bằng nhau.

Mặt trực giao là mặt vuông góc với các tia của một chùm sáng.

Nhƣ vậy, nếu chùm sáng là đồng qui thì mặt trực giao là các mặt cầu đồng tâm, còn

nếu là chùm sáng song song thì mặt trực giao là các mặt phẳng song song.

5. Hàm sóng ánh sáng

Xét một sóng ánh sáng phẳng đơn sắc truyền

theo một phƣơng x xác định với vận tốc v trong môi

trƣờng chiết suất n. Giả sử tại O phƣơng trình của

dao động sáng là:

( ) osx O Ac t . (5.4)

Sau thời gian thì dao động sáng truyền đến điểm M cách O một đoạn d, phƣơng trình

dao động sáng tại M là:

2

( ) os ( ) os ( ) os( )L L

x M Ac t Ac t Ac tc

, (5.5)

trong đó là thời gian ánh sáng truyền từ O đến M, L là quang lộ trên đoạn đƣờng

OM, λ là bƣớc sóng ánh sáng trong chân không, A là biên độ dao động và 2 L

là pha

ban đầu. Phƣơng trình (5.5) đƣợc gọi là hàm sóng ánh sáng.

6. Cƣờng độ sáng

Cƣờng độ sáng là đại lƣợng đặc trƣng cho độ sáng tại mỗi điểm trong không gian có

sóng ánh sáng truyền qua. Cƣờng độ sáng tại một điểm là đại lƣợng có trị số bằng

năng lƣợng trung bình của sóng ánh sáng truyền qua một đơn vị diện tích đặt vuông

góc với phƣơng truyền sáng trong một đơn vị thời gian.

Vì mật độ năng lƣợng của sóng điện từ tỉ lệ thuận với bình phƣơng biên độ của

véctơ cƣờng độ điện trƣờng nên cƣờng độ sáng tại một điểm tỉ lệ với bình phƣơng biên

độ dao động sáng tại điểm đó: 2I kA , k: Hệ số tỉ lệ. Khi nghiên cứu các hiện tƣợng giao

thoa, nhiễu xạ đặc trƣng cho tính chất sóng của ánh sáng, ngƣời ta chỉ cần so sánh cƣờng

độ sáng tại các điểm khác nhau mà không cần tính cụ thể giá trị của cƣờng độ sáng, do đó

qui ƣớc lấy k = 1: 2I A (5.6)

7. Nguyên lí chồng chất các sóng

x O M



“Khi hai hay nhiều sóng ánh sáng gặp nhau thì từng sóng riêng biệt không bị các

sóng khác làm cho nhiễu loạn. Sau khi gặp nhau, các sóng ánh sáng vẫn truyền đi như

cũ, còn tại những điểm gặp nhau dao động sáng bằng tổng các dao động sáng thành

phần”.

8. Nguyên lí Huygens

" Mỗi điểm trong không gian nhận được sóng sáng từ

nguồn sáng thực S truyền đến đều trở thành nguồn sáng

thứ cấp phát sóng sáng về phía trước nó".

Nguyên lí Huygens đƣợc mô tả đơn giản trên hình 5-

3 nhƣ sau: Sóng phẳng đƣợc phát ra từ nguồn sáng ở vô

cùng tới mặt AB, tất cả các điểm trên mặt sóng AB đều trở

thành các nguồn sáng thứ cấp.

§2. GIAO THOA ÁNH SÁNG

1. Định nghĩa

Hiện tƣợng giao thoa ánh sáng là hiện tƣợng gặp nhau của hai hay nhiều sóng ánh

sáng kết hợp, kết quả là trong trƣờng giao thoa sẽ xuất hiện những vân sáng và những vân

tối xen kẽ cách đều nhau. Tuy nhiên, không phải bất kỳ các sóng ánh sáng nào cũng xảy

ra hiện tƣợng giao thoa mà các sóng phải thỏa mãn điều kiện giao thoa. Hiện tƣợng giao

thoa chỉ xảy ra đối với sóng ánh sáng kết hợp.

Sóng ánh sáng kết hợp là những sóng có cùng tần số và hiệu pha không thay đổi theo

thời gian.

Để tạo ra sóng ánh

sáng kết hợp thì phải tuân

theo nguyên tắc là từ một

sóng duy nhất tách ra

thành hai sóng riêng biệt,

sau đó cho chúng gặp nhau

thì sẽ xảy ra hiện tƣợng giao

thoa. Có nhiều dụng cụ để

tạo ra sóng ánh sáng kết hợp

Hình 5-3

Hình 5.4 Giao thoa khe Young



nhƣ khe Young, gƣơng Fresnel,…

2. Khảo sát hiện tƣợng giao thoa

a. Điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa

Xét hai nguồn sóng ánh sáng đơn sắc kết hợp S1

và S2 đƣợc tạo bởi khe Young.

Phƣơng trình dao động sáng của chúng tại vị trí của S1

và S2

là:

1 1

2 2

( ) os

( ) os

x s Ac t

x s A c t

Tại M ta nhận đƣợc hai dao động sáng từ các nguồn trên truyền tới:

11 1

22 2

2os

2os

Lx A c t

Lx A c t

L1 và L

2 lần lƣợt là quang lộ trên đoạn đƣờng r

1 và r

2 tƣơng ứng.

Dao động sáng tại M là tổng hợp của hai dao động cùng phƣơng, cùng tần số (xem

bài 7 chƣơng 3). Biên độ dao động sáng tổng hợp tại M phụ thuộc vào hiệu pha của hai

dao động.

Nếu hai dao động cùng pha, hiệu pha 2k , thì biên độ dao động sáng tổng hợp

tại M sẽ có giá trị cực đại và cƣờng độ sáng tại điểm M là cực đại, đó cũng là cực đại

giao thoa. Nhƣ vậy để có cực đại giao thoa thì:

2 1

2 1

2( ) 2L L k

L L k

với k = 0, 1, 2, … (5.7)

Nếu hai dao động ngƣợc pha, hiệu pha (2 1)k , thì biên độ dao động sáng

tổng hợp tại M sẽ có giá trị cực tiểu và do đó cƣờng độ sáng cực tiểu, đó gọi là cực tiểu

giao thoa. Nhƣ vậy để có cực tiểu giao thao thì:

2 1

2 1

2( ) (2 1)

1

2

L L k

L L k

với k = 0, 1, 2, … (5.8)

b. Xác định vị trí của các vân giao thoa



Hệ thống khe Young nhƣ hình vẽ, đƣợc đặt trong không khí. Xét điểm M trên màn

quan sát E cách điểm O một khoảng là y. Từ S2

kẻ S2H S

1M. Vì

1 2S S l rất nhỏ và

khoảng cách D từ khe đến màn E lớn nên 1 2 1 .sin .tanS H r r l l . Trong khi

đó,

2 1

lyr r

D (5.9)

Ta đang xét trong không khí nên L2- L

1

r2 - r

1. Từ điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa

ta dễ dàng tính đƣợc vị trí các vân sáng (ứng

với cực đại giao thao) và vân tối (ứng với cực

tiểu giao thao).

* Nhƣ vậy, để có vân sáng thì:

2 1Sly

r r kD

.

Vị trí các vân sáng (khoảng cách từ đó đến vân sáng trung tâm O trên màn quan sát):

S

k Dy

l

với k = 0, 1, 2, … (5.10)

* Để có vân tối thì:

2 1

1

2

Slyr r k

D

.

Vị trí các vân tối (khoảng cách từ đó đến vân sáng trung tâm O trên màn quan sát):

1

2t

Dy k

l

với k = 0, 1, 2, … (5.11)

Từ các công thức (5.10) và (5.11) ta thấy ảnh giao thoa trên màn E có các đặc điểm:

- Với k = 0 thì ys = 0, tức là gốc O trùng với vân cực đại giao thoa. Vân này đƣợc

gọi là vân cực đại giữa.

- Các vân cực đại giao thoa ứng với k = 1, 2, … và các vân cực tiểu giao thoa

nằm xen kẽ cách đều nhau cả hai phía đối với vân cực đại giữa. Đối với vân sáng, bậc

giao thoa trùng với k . Đối với vân tối, khi k > 0 bậc giao thoa trùng với k+1, khi k < 0

bậc giao thoa trùng với k .

* Khoảng cách giữa hai vân sáng kế tiếp:

Hình 5-5 Vị trí vân giao thoa

r1

r2



1k k

Di y y

l

(5.12)

Tƣơng tự, khoảng cách giữa hai vân tối kế tiếp cũng bằng D

il

. Đại lƣợng i đƣợc gọi

là khoảng vân.

c. Hệ vân giao thoa khi dùng ánh sáng trắng

Nếu nguồn sáng S1

và S2

phát ánh sáng trắng gồm mọi ánh sáng đơn sắc có bƣớc

sóng 0,38 0,76m m , thì mỗi ánh sáng đơn sắc sẽ cho một hệ vân giao thoa có màu sắc

riêng và độ rộng i khác nhau. Tại gốc tọa độ O, mọi ánh sáng đơn sắc đều cho cực đại,

nên vân cực đại giữa là một vân sáng trắng, hai mép viền màu (trong tím, ngoài đỏ).

Những vân cực đại khác ứng với cùng một giá trị của k là những vân có màu sắc khác

nhau nằm chồng lên nhau tạo thành những vân sáng nhiều màu sắc. Các vân này càng bị

nhòe dần khi xa vân sáng trắng ở trung tâm.

§3. GIAO THOA DO PHẢN XẠ - THÍ NGHIỆM Loyd

Trong nghiên cứu hiện tƣợng giao thoa do phản xạ Lloyd đã làm thí nghiệm sau:

Dùng một gƣơng phẳng G đƣợc bôi đen mặt sau (chiết suất của thủy tinh lớn hơn chiết

suất của không khí ntt

> nkk

.) Đặt một

nguồn sáng S rộng và cách xa gƣơng

phẳng. Màn E đƣợc đặt vuông góc với

gƣơng. Một điểm M trên màn E sẽ nhận

đƣợc hai tia sáng từ S gửi đến. Tia

truyền trực tiếp SM và tia SIM phản xạ

trên gƣơng, sau đó đến M. Hai tia này

giao thoa với nhau.

Theo lí thuyết: nếu 2 1 2 1r r L L k thì điểm M sáng, nếu

2 1 2 1

1

2r r L L k

thì điểm M sẽ tối. Kết quả lại thấy rằng: những điểm mà

theo lí thuyết tính toán là sáng thì lại là tối và ngƣợc lại. Điều này chỉ có xảy ra khi pha

dao động của hai tia sáng trong trƣờng hợp này không phải là 2 1

2( )L L

mà phải

là 2 1

2( )L L

. Tia SM truyền trực tiếp từ nguồn đến điểm M thì quang lộ không

thể thay đổi, nên chỉ có tia phản xạ trên gƣơng mới thay đổi, nghĩa là sau khi phản xạ trên

Hình 5-6 Mô tả thí nghiệm Loyd.



gƣơng thì pha dao động của nó sẽ thay đổi một lƣợng . Thêm vào đó, thực nghiệm

kiểm chứng rằng, trong tất cả các trƣờng hợp ánh sáng tới từ môi trƣờng chiết suất lớn

hơn sang môi trƣờng chiết suất bé hơn thì kết quả trên luôn luôn đúng. Trƣờng hợp mặt

phản xạ là môi trƣờng có chiết suất nhỏ hơn môi trƣờng ánh sáng tới, (ví dụ ta cho ánh

sáng truyền trong môi trƣờng thủy tinh đến mặt phân cách giữa thủy tinh và không khí rồi

phản xạ lại) khi đó pha dao động và quang lộ của tia phản xạ không có gì thay đổi.

Kết luận: Khi phản xạ trên môi trƣờng chiết quang hơn môi trƣờng ánh sáng tới, pha dao

động của ánh sáng thay đổi một lƣợng , điều đó cũng tƣơng đƣơng với việc coi tia phản

xạ dài thêm một đoạn 2

.

§4. ỨNG DỤNG HIỆN TƢỢNG GIAO THOA

Hiện tượng giao thoa có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật

và đời sống. Ở đây chúng ta xét một vài ứng dụng như sau.

1. Khử phản xạ các mặt kính

Khi một chùm sáng rọi vào mặt thấu kính hay lăng kính thì một phần ánh sáng sẽ

bị phản xạ trở lại. Ánh sáng phản xạ này sẽ làm ảnh bị mờ. Để khử phản xạ, ngƣời ta phủ

lên thủy tinh một màng mỏng trong suốt, có chiều dày d và chiết suất n. Khi chiếu chùm

tia sáng song song theo phƣơng vuông góc với màng mỏng thì có sự giao thoa của hai tia

phản xạ, tia thứ nhất phản xạ trên mặt giới hạn giữa màng mỏng-thủy tinh và tia thứ hai

phản xạ trên mặt phân cách giữa không khí-màng mỏng. Chiết suất n và bề dày d của

màng đƣợc chọn sao cho hai tia phản xạ ngƣợc pha nhau. Gọi nkk

và ntt

là chiết suất của

không khí và chiết suất của thủy tinh thì nkk < n < ntt. Hiệu quang lộ của hai tia phản xạ

thỏa mãn điều kiện cực tiểu giao thoa:

12 2

2 2 2L nd nd k

.

Suy ra,

1

2d k

n

, (5.12)

λ là bƣớc sóng ánh sáng trong chân không. Độ dày nhỏ nhất của màng mỏng là:

min4

dn

. (5.13)



Ta thấy không thể khử đồng thời mọi ánh sáng phản xạ có bƣớc sóng khác nhau.

Trong thực tế thƣờng chọn bề dày d thỏa mãn điều kiện (5.13) ứng với ánh sáng màu

xanh lục 0,55 m là ánh sáng nhạy nhất với mắt ngƣời.

2. Giao thoa kế Rayleigh (Rêlây)

Giao thoa kế Rayleigh là dụng cụ dùng để đo chiết suất (hay nồng độ) của chất lỏng

và chất khí với độ chính xác

cao. Mô hình của giao thoa

kế Rayleigh đƣợc trình bày

trên hình 5.7.

Ánh sáng đơn sắc từ

nguồn S sau khi qua thấu

kính hội tụ L1

và hai khe S1,

S2

bị tách thành hai chùm

tia song song. Hai chùm đó

sẽ giao thoa với nhau trên mặt phẳng tiêu của thấu kính hội tụ L2. Nhờ thị kính L ta có thể

quan sát đƣợc hệ thống vân giao thoa đó.

Trên đƣờng đi của hai chùm tia ban đầu ta đặt hai ống chiều dài d đựng cùng một

chất lỏng chiết suất no đã biết. Ghi hệ thống vân giao thoa trên màn quan sát. Sau đó thay

chất lỏng trong một ống bằng chất lỏng cần nghiên cứu. Vì chiết suất của chất lỏng đựng

trong hai ống bây giờ khác nhau nên hiệu quang lộ của hai chùm tia bị thay đổi một

lƣợng

2 1 0( )L L L n n d . (5.14)

n là chiết suất của chất lỏng cần đo. Kết quả là hệ thống vân giao thoa bị dịch chuyển.

Đếm số vân giao thoa bị dịch chuyển ta có thể tính đƣợc chiết suất của chất lỏng. Ta biết

rằng khi hiệu quang lộ thay đổi một bƣớc sóng thì hệ thống vân dịch chuyển một khoảng

vân. Do đó nếu hệ thống vân giao thoa dịch chuyển m khoảng vân thì hiệu quang lộ sẽ

thay đổi một khoảng bằng:

0( ) .L n n d m (5.15)

Từ đó suy ra chiết suất của chất lỏng cần đo là:

0.

mn n

d

(5.16)

Ta cũng có thể đo chiết suất một chất khí bằng cách sử dụng giao thoa kế Rayleigh,

so sánh chất khí đó với một chất khí có chiết suất biết trƣớc.

3. Giao thoa kế Michelson (Maikenxơn)

Hình 5-7 Giao thoa kế Rayleigh



Giao thoa kế Michelson dùng để đo độ dài các vật với độ chính xác cao. Hình 5.8 trình

bày mô hình của giao thoa kế Michelson .Ánh sáng từ nguồn S chiếu tới bản bán mạ P

(đƣợc tráng một lớp bạc rất mỏng) dƣới góc 45o

. Tại đây ánh sáng bị tách thành hai tia:

tia phản xạ truyền đến gƣơng G1

và tia khúc xạ truyền đến gƣơng G2. Sau khi phản xạ

trên hai gƣơng G1

và G2

các tia sáng

truyền ngƣợc trở lại, đi qua bản P và tới

giao thoa với nhau ở kính quan sát. Vì tia

thứ nhất chỉ đi qua bản P một lần còn tia

thứ hai đi qua P ba lần nên hiệu quang lộ

của hai tia lớn, vân giao thoa quan sát

đƣợc là những vân bậc cao, nên nhìn

không rõ nét. Để khắc phục điều này

ngƣời ta đặt bản P’ giống hệt P nhƣng

không tráng bạc trên đƣờng đi của tia thứ

nhất.

Nếu ta dịch chuyển gƣơng G2

song song với chính nó dọc theo tia sáng

một đoạn bằng nửa bƣớc sóng thì hiệu

quang lộ của hai tia sẽ thay đổi một bƣớc

sóng, kết quả hệ vân giao thoa sẽ thay đổi một khoảng vân. Vậy muốn đo chiều dài của

một vật ta dịch chuyển gƣơng G2

từ đầu này đến đầu kia của vật và đếm số vân dịch

chuyển. Nếu hệ thống vân dịch chuyển m khoảng vân thì chiều dài của vật cần đo là:

2

ml

. (5.17)

Giao thoa kế Michelson dùng để đo chiều dài với độ chính xác rất cao, tới phần trăm

micrômet (10-8

m).


1. Nêu định nghĩa hiện tƣợng giao thoa ánh sáng, điều kiện giao thoa ánh sáng. Thế nào

là sóng ánh sáng kết hợp ?

2. Tìm điều kiện cực đại, cực tiểu giao thoa. Xác định vị trí các vân giao thoa cực đại và

cực tiểu, bề rộng của các vân giao thoa.

3. Mô tả hiện tƣợng giao thoa khi dùng ánh sáng trắng.

4. Mô tả và nêu ứng dụng của giao thoa kế Rayleigh.

5. Mô tả và nêu ứng dụng của giao thoa kế Milchelson.

S2

S1

Hình 5-8 Giao thoa kế Michelson



BÀI TẬP

Thí dụ 1: Hai khe Young cách nhau một khoảng l = 1mm, đƣợc chiếu bằng ánh sáng

đơn sắc có bƣớc sóng λ = 0,6μm. Màn quan sát đƣợc đặt cách mặt phẳng chứa hai khe

một đoạn D = 2m.

a.Tìm khoảng vân giao thoa.

b. Xác định vị trí của ba vân sáng đầu tiên ( coi vân sáng trung tâm là vân sáng bậc

không).

c. Xác định độ dịch của hệ vân giao thoa trên màn quan sát nếu trƣớc một trong hai

khe đặt một bản mỏng song song, trong suốt có bề dày e =2μm, chiết suất n = 1,5.

Bài giải

a. Khoảng vân giao thoa: 6

3

0,6.10 .21,2

10

Di mm

l

.

b. Vị trí của vân sáng đƣợc xác định bởi công thức:

. ; 0, 1, 2,...s

Dy k k i k

l

Vì vậy,

1

2

3

1,2

22,4

33,6

s

s

s

Dy mm

l

Dy mm

l

Dy mm

l

c. Độ dịch chuyển của hệ vân:

Khi đặt bản mỏng trong suốt trƣớc một trong hai khe, hiệu quang lộ giữa các tia

sáng từ hai khe đến một điểm trên màn thay đổi. Muốn biết hệ vân dịch chuyển nhƣ thế

nào, ta phải tính hiệu quang lộ của hai tia sáng tại một điểm trên màn. Từ hình vẽ ta có

hiệu quang lộ

2 1 2 1 2 1( ) ( 1)L L r r e ne r r n e .

Mà 2 1

'y lr r

D , do đó

2 1

'( 1)

y lL L n e

D .

Vị trí vân sáng đƣợc xác định bởi điều kiện:

2 1

' ( 1)( 1) 's

y l k D n eDL L n e k y

D l l



Vị trí vân tối đƣợc xác định bởi điều kiện:

2 1

' 1 1 ( 1)( 1) '

2 2s

y l D n eDL L n e k y k

D l l

Ta đã biết

1;

2s t

k D Dy y k

l l

Hệ vân dịch chuyển một khoảng: 6

3

3

( 1) (1,5 1)2.10 2' 2.10 .

10s s

n eDy y y m

l

§5. HIỆN TƢỢNG NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG

1. Hiện tƣợng nhiễu xạ ánh sáng

Chiếu ánh sáng từ nguồn S truyền qua một lỗ tròn nhỏ trên màn P. Sau P đặt màn

quan sát E, trên màn E ta nhận đƣợc hình tròn sáng đƣờng kính B’D’ đồng dạng với lỗ

tròn BD. Theo định luật truyền thẳng của ánh

sáng, nếu thu nhỏ lỗ tròn P thì hình tròn sáng

trên màn E nhỏ lại. Thực nghiệm chứng tỏ

rằng khi thu nhỏ lỗ tròn đến một mức nào đó

thì trên màn E xuất hiện những vân tròn sáng

tối xen kẽ nhau. Trong vùng tối hình học

(ngoài B’D’) ta cũng nhận đƣợc vân sáng và

trong vùng sáng hình học (vùng B’D’) cũng có

vân tối. Tại C có thể nhận đƣợc điểm tối hay

sáng phụ thuộc vào kích thƣớc của lỗ tròn và

khoảng cách từ màn E đến màn P. Nhƣ vậy

ánh sáng khi đi qua lỗ tròn đã bị lệch khỏi phƣơng truyền thẳng.

Định nghĩa: Hiện tƣợng tia sáng bị lệch khỏi phƣơng truyền thẳng khi đi gần các chƣớng

ngại vật có kích thƣớc nhỏ đƣợc gọi là hiện tƣợng nhiễu xạ ánh sáng.

Chƣớng ngại vật có thể là các khe hẹp, lỗ tròn,… có kích thƣớc cùng cỡ bƣớc sóng

của ánh sáng chiếu tới.

Hiện tƣợng nhiễu xạ ánh sáng có thể giải thích dựa vào nguyên lí Huygens-Fresnel.

2. Nguyên lí Huygens - Fresnel

Hình 5.9 Mô tả nhiễu xạ ánh sáng



- Mỗi điểm trong không gian được sóng ánh sáng từ nguồn thực gửi đến đều trở

thành nguồn sáng thứ cấp phát sóng ánh sáng về phía trước.

- Biên độ và pha của nguồn thứ cấp là biên độ

và pha do nguồn thực gây ra tại vị trí của nguồn thứ

cấp.

Theo nguyên lí Huygens–Fresnel, khi ánh sáng

chiếu đến lỗ tròn, các điểm trên lỗ tròn đều trở

thành nguồn thứ cấp phát sóng cầu thứ cấp. Bao

hình của các mặt sóng cầu thứ cấp là mặt sóng. Ở

mép của lỗ tròn mặt sóng bị uốn cong và tia sóng

luôn vuông góc với mặt sóng, do đó ở mép biên các

tia sóng bị đổi phƣơng so với phƣơng của sóng tới (hình 5-10)

§6. NHIỄU XẠ ÁNH SÁNG CỦA SÓNG PHẲNG

1. Nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp

Để tạo ra chùm sáng song song, ngƣời ta đặt nguồn sáng S tại tiêu điểm của thấu

kính hội tụ Lo. Chiếu chùm

sáng đơn sắc song song bƣớc

sóng λ vào khe hẹp có bề

rộng b (hình 5.11). Sau khi đi

qua khe hẹp, tia sáng sẽ bị

nhiễu xạ theo nhiều phƣơng.

Tách các tia nhiễu xạ theo

một phƣơng nào đó chúng

sẽ gặp nhau ở vô cùng. Muốn

quan sát ảnh nhiễu xạ chúng

ta sử dụng thấu kính hội tụ L, chùm tia nhiễu xạ sẽ hội tụ tại điểm M trên mặt phẳng tiêu

của thấu kính hội tụ L. Với các giá trị khác nhau chùm nhiễu xạ sẽ hội tụ tại các điểm

khác nhau. Tùy theo giá trị của điểm M có thể sáng hoặc tối. Những điểm sáng tối này

nằm dọc trên đƣờng thẳng vuông góc với chiều dài khe hẹp và đƣợc gọi là các cực đại và

cực tiểu nhiễu xạ.

Vì ánh sáng gửi đến khe là sóng phẳng nên mặt phẳng khe là mặt sóng, các sóng thứ

cấp trên mặt phẳng khe dao động cùng pha. Xét các tia nhiễu xạ theo phƣơng 0 ,

chúng hội tụ tại điểm F. Mặt phẳng khe và mặt quan sát là hai mặt trực giao do đó theo

Hình 5.10

Hình 5.11 Nhiễu xạ qua một khe hẹp.



định lí Malus, các tia sáng gửi từ mặt phẳng khe tới điểm F có quang lộ bằng nhau và dao

động cùng pha nên chúng tăng cƣờng nhau. Điểm F rất sáng và đƣợc gọi là cực đại giữa.

Xét trƣờng hợp ≠ 0. Áp dụng ý tƣởng của phƣơng pháp đới cầu Fresnel ta vẽ các

mặt phẳng 0 1

, ,... vuông góc với chùm tia nhiễu xạ và cách đều nhau một khoảng

λ/2, chúng sẽ chia mặt khe thành các dải sáng nằm song song với bề rộng của khe hẹp. Bề

rộng của mỗi dải là 2sin

l

2 sin.

b bn

l

(5.18)

Theo nguyên lí Huygens, những dải này là nguồn sáng thứ cấp dao động cùng pha

(vì nằm trên cùng một mặt sóng) và phát ánh sáng đến điểm M. Vì quang lộ của hai tia

sáng từ hai dải kế tiếp đến điểm M khác nhau λ/2 nên dao động sáng do hai dải kế tiếp

gửi tới M ngƣợc pha nhau và chúng sẽ khử nhau. Kết quả là nếu khe chứa số chẵn dải (n

= 2k) thì dao động sáng do từng cặp dải kế tiếp gây ra tại M sẽ khử lẫn nhau và điểm M

sẽ tối và là cực tiểu nhiễu xạ. Điều kiện điểm M tối là:

n 2 sin

2 ,b

k

hay,

sin ; 1, 2,...k

kb

(5.19)

Nếu khe chứa một số lẻ dải

(n = 2k+1) thì dao động sáng do

từng cặp dải kế tiếp gửi tới điểm

M sẽ khử lẫn nhau, còn dao động

sáng do dải cuối cùng gửi tới thì

không bị khử. Kết quả điểm M sẽ

sáng và đƣợc gọi là cực đại nhiễu

xạ bậc k. Cƣờng độ sáng của các

cực đại này nhỏ hơn rất nhiều so

với cực đại giữa. Điều kiện điểm

M sáng là:

n 2 sin

2 1,b

k

hay,

1sin ; 1, 2, 3,...

2k k

b

(5.20)

Đồ thị phân bố cƣờng độ sáng trên màn quan sát cho bởi hình 5.14.

Hình 5-12



Nhận xét: các cực đại nhiễu xạ bậc k = 1, 2, 3,...nằm xen giữa các cực tiểu nhiễu

xạ và phân bố đối xứng ở hai bên cực đại giữa. Cực đại giữa có bề rộng gấp đôi các cực

đại khác. Theo tính toán lí thuyết, cƣờng độ sáng của các cực đại nhiễu xạ tuân theo hệ

thức sau

0 1 2: : :... 1:0,045:0,016:...I I I

2. Nhiễu xạ của sóng phẳng truyền qua cách tử phẳng

Cách tử phẳng là một hệ nhiều khe hẹp giống nhau có độ rộng b, nằm song song

cách đều trên cùng một mặt phẳng. Khoảng cách d giữa hai khe kế tiếp đƣợc gọi là chu kì

của cách tử.

Số khe hẹp trên một đơn vị chiều dài: 1

nd

.

Xét một cách tử phẳng có n khe hẹp. Bề rộng của một khe là b, chu kì của cách tử

là d. Chiếu chùm sáng đơn sắc song song

bƣớc sóng λ vuông góc với mặt cách tử.

Vì các khe có thể coi là nguồn kết hợp, do

đó ngoài hiện tƣợng nhiễu xạ gây bởi một

khe còn có hiện tƣợng giao thoa gây bởi

các khe. Do đó ảnh nhiễu xạ qua cách tử

sẽ phức tạp hơn nhiều so với ảnh nhiễu xạ

qua một khe hẹp. Ta sẽ khảo sát ảnh

nhiễu xạ qua cách tử:

* Tất cả n khe hẹp đều cho cực tiểu

nhiễu xạ tại những điểm trên màn ảnh

thỏa mãn điều kiện:

sin ; 1, 2,...k kb

Những cực tiểu này đƣợc gọi là cực tiểu chính.

* Xét phân bố cƣờng độ sáng giữa hai cực tiểu chính:

Hiệu quang lộ của hai tia sáng xuất phát từ hai khe kế tiếp đến điểm M là

2 1 sinL L d . Nếu hiệu quang lộ đó bằng số nguyên lần bƣớc sóng

2 1 sinL L d m thì dao động sáng do hai tia đó gây ra tại M cùng pha và tăng cƣờng

lẫn nhau. Kết quả điểm M sáng. Các điểm đó đƣợc gọi là cực đại chính. Vị trí các cực đại

chính là:

sin ; 0, 1, 2,...m md

(5.21)

Hình 5-13



Số nguyên m là bậc của cực đại chính. Cực đại chính giữa (m = 0) nằm tại tiêu

điểm F của thấu kính. Vì d > b nên giữa hai cực tiểu chính có thể có nhiều cực đại chính.

Ví dụ: k = 1 và d/b = 3 . Do m kd b

, nên 3

dm k

b nghĩa là m = 0, ±1, ± 2. Nhƣ

vậy giữa hai cực tiểu chính có 5 cực đại chính.

- Xét phân bố cƣờng độ sáng giữa hai cực đại chính:

Tại điểm chính giữa hai cực đại chính kế tiếp, góc nhiễu xạ thỏa mãn điều kiện:

1sin ; 0, 1, 2,...

2m m

d

(5.22)

Tại các điểm này, hiệu quang lộ của hai tia gửi từ hai khe kế tiếp có giá trị là:

1.sin

2d m

. Đây là điều kiện cực tiểu giao thoa, hai tia đó sẽ khử lẫn nhau. Tuy

nhiên điểm chính giữa đó chƣa chắc đã tối. Để minh họa cụ thể ta xét hai trƣờng hợp đơn

giản sau:

+ Nếu số khe hẹp n = 2 (số chẵn) thì các dao động sáng do hai khe hẹp gửi tới sẽ

khử nhau hoàn toàn và điểm chính giữa đó sẽ tối. Điểm tối đó đƣợc gọi là cực tiểu phụ.

+ Nếu số khe hẹp n = 3 (số lẻ) thì các dao động sáng do hai khe hẹp gửi tới sẽ khử

nhau, còn dao động sáng do khe thứ ba gây ra không bị khử. Kết quả là giữa hai cực đại

chính là một cực đại. Cực đại này có cƣờng độ khá nhỏ, nên đƣợc gọi là cực đại phụ. Rõ

ràng giữa cực đại phụ này và hai cực đại chính hai bên phải có hai cực tiểu phụ.

Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng, nếu cách tử có N khe hẹp thì giữa hai cực đại

chính sẽ có N-1 cực tiểu phụ và N-2 cực đại phụ. Hình 5.13 biểu diễn ảnh nhiễu xạ qua

ba khe hẹp.

Cách tử phẳng có thể dùng để đo bƣớc sóng ánh sáng, ứng dụng trong máy đơn

sắc... Từ công thức (5.21) nếu ta biết đƣợc chu kì của cách tử, bằng cách đo góc ứng

với cực đại chính bậc m ta có thể xác định đƣợc bƣớc sóng ánh sáng.

3. Nhiễu xạ trên tinh thể

Các nguyên tử (phân tử hay ion) cấu tạo nên vật rắn tinh thể đƣợc sắp xếp theo

một cấu trúc tuần hoàn gọi là mạng tinh thể, trong đó vị trí của các nguyên tử (phân tử

hay ion) gọi là nút mạng. Khoảng cách giữa các nút mạng, đặc trƣng cho tính tuần hoàn,

đƣợc gọi là chu kì của mạng tinh thể. Chiếu lên tinh thể một chùm tia Rơnghen, mỗi nút

mạng trở thành tâm nhiễu xạ và mạng tinh thể đóng vai trò nhƣ một cách tử với chu kì là

chu kì của mạng tinh thể. Chùm tia Rơnghen sẽ nhiễu xạ theo nhiều phƣơng, tuy nhiên

chỉ theo phƣơng phản xạ gƣơng (phƣơng mà góc phản xạ bằng góc tới), cƣờng độ của tia



nhiễu xạ đủ lớn để ta có thể quan sát đƣợc ảnh nhiễu xạ. Những tia nhiễu xạ này sẽ giao

thoa với nhau và cho cực đại nhiễu xạ nếu hai tia nhiễu xạ kế tiếp có hiệu quang lộ bằng

số nguyên lần bƣớc sóng

2 1 2 sinL L L d k .

Hay,

sin2

k

d

, (5.23)

d là khoảng cách giữa hai mặt phẳng nguyên tử của vật rắn tinh thể (chu kì mạng tinh

thể). Công thức (5.23) gọi là công thức Vulf-Bragg. Đây là công thức cơ bản để phân tích

cấu trúc của vật rắn tinh thể bằng tia Rơnghen. Nếu biết bƣớc sóng của tia Rơnghen và đo

góc ta có thể xác định đƣợc chu kì d của mạng tinh thể.


1. Nêu định nghĩa hiện tƣợng nhiễu xạ ánh sáng. Dùng nguyên lí Huygens giải thích định

tính hiện tƣợng nhiễu xạ.

2. Phát biểu nguyên lí Huygens-Fresnel.

3. Trình bày phƣơng pháp đới cầu Fresnel.

4. Giải thích hiện tƣợng nhiễu xạ ánh sáng qua lỗ tròn nhỏ. Xét các trƣờng hợp lỗ tròn

chứa một số lẻ đới cầu, một số chẵn đới cầu, đặc biệt chứa một đới cầu và hai đới cầu.

5. Mô tả hiện tƣợng nhiễu xạ ánh sáng qua một khe hẹp. Tìm điều kiện cực đại, cực tiểu

nhiễu xạ. Vẽ ảnh nhiễu xạ của sóng phẳng qua một khe hẹp.

6. Định nghĩa cách tử phẳng và nêu ứng dụng của cách tử.

7. Trình bày nhiễu xạ của tia X trên tinh thể. Công thức Vulf- Bragg. Nêu ứng dụng của

hiện tƣợng nhiễu xạ tia X.

BÀI TẬP

Thí dụ 1: Một chùm tia sáng đơn sắc có bƣớc sóng λ =

0,5μm đƣợc chiếu vuông góc với một khe hẹp chữ nhật

có bề rộng b = 0,1mm, ngay sau khe hẹp đặt một thấu

kính hội tụ. Tìm bề rộng của vân cực đại giữa trên màn

quan sát đặt tại mặt phẳng tiêu của thấu kính và cách

thấu kính D = 1m.

Bài giải: Bề rộng của vân cực đại giữa là khoảng cách

giữa hai cực tiểu nhiễu xạ đầu tiên ở hai bên cực đại

giữa. Độ lớn của góc nhiễu xạ φ ứng với các cực tiểu

nhiễu xạ đó là: sin kb

.



Từ hình vẽ ta thấy

6

3

2 tan 2 sin

2 2.1.0,5.101 .

0,1.10

l D D

Dl cm

b

Thí dụ 2: Cho một chùm tia sáng đơn sắc song song có bƣớc sóng λ = 0,5μm, chiếu vông

góc với mặt của một cách tử phẳng truyền qua.

Ở sát phía sau của cách tử ngƣời ta đặt một thấu

kính hội tụ có tiêu cự f = 50cm. Khi đó trên màn

quan sát đặt tại mặt phẳng tiêu của thấu kính, hai

vạch quang phổ bậc nhất cách nhau một khoảng

a = 10,1cm. Xác định:

a. Chu kỳ cách tử và số khe trên 1cm chiều

dài của cách tử.

b. Số vạch cực đại chính trong quang phổ

nhiễu xạ.

Bài giải

a.Vị trí các cực đại chính trong quang phổ nhiễu xạ xác định bởi công thức:

sin ; 0, 1, 2,...m md

Do vậy vị trí hai vạch cực đại chính của quang phổ bậc nhất ứng với góc lệch φ1 bằng:

sind

, vì φ

1 rất nhỏ nên 1 1sin tan .

Từ hình vẽ ta có,

11tan

O 2

M F L

F f

So sánh 1sin với 1tan ta có chu kỳ cách tử:

2 6

2

2 2.50.10 .0,5.104,95 .

10,1.10

fd m

L

Số khe trên 1cm chiều dài của cách tử: 1

2020nd

khe/cm

b. Từ công thức: sin md

, mà sin 1 nên 9,9

dm

. Vì m nguyên nên có thể lấy

các giá trị: 0, 1,2 ,3 ,4, 5, 6, 7, 8, 9.

Do đó các vạch cực đại chính tối đa trong quang phổ nhiễu xạ của cách tử bằng:



ax 2.9 1 19mn vạch.


1. Màn quan sát đặt cách hai khe 1.2 m. Khoảng cách hai khe là 0.03 mm. Vị trí vân

sáng bậc hai là 4.5 cm tính từ vân trung tâm. Xác định bƣớc sóng của ánh sáng và

khoảng vân..

2. Hai khe Young cách nhau một khoảng l = 1mm, đƣợc chiếu bằng ánh sáng đơn

sắc, hệ vân giao thoa quan sát đƣợc trên màn có khoảng vân i = 1,5mm. Khoảng cách từ

màn quan sát đến mặt phẳng chứa hai khe D = 3m. Tìm:

a. Bƣớc sóng của ánh sáng chiếu tới.

b. Vị trí của vân sáng thứ ba và vân tối thứ tƣ.

Đáp số

a. 0,5 m .

b. 3 44,5 ; 5,25 .s ty mm y mm


sắc có bƣớc sóng chƣa xác định. Màn quan sát đƣợc đặt cách mặt phẳng chứa hai khe

một đoạn D = 2m. Khoảng cách từ vân sáng thứ nhất đến vân sáng thứ bảy là 7,2mm.

Tìm:

a. Bƣớc sóng của ánh sáng chiếu tới.

b. Vị trí của vân tối thứ ba và vân sáng thứ tƣ.

c. Độ dịch chuyển của hệ vân giao thoa trên màn quan sát, nếu đặt trƣớc một trong hai

khe một bản mỏng song song, trong suốt, chiết suất n =1,5, bề dày e = 0,02mm.

Đáp số:

a. 0,6 m .

b. 3 43 ; 4,8 .t sy mm y mm

c. 22.10 .y m


sắc có bƣớc sóng λ = 0,6μm. Màn quan sát đƣợc đặt cách mặt phẳng chứa hai khe một

đoạn D = 1m.

a. Tìm vị trí vân sáng thứ tƣ và vân tối thứ năm.

b. Đặt trƣớc một trong hai khe một bản mỏng song song, trong suốt, chiết suất n = 1,5, hệ

vân giao thoa trên màn quan sát dịch một khoảng 2mm. Tìm bề dày của bản mỏng.

Đáp số

a. 5 41,35 ; 1,2 .t sy mm y mm

b. 68.10 .y m




sắc bƣớc sóng λ = 0,5μm. Màn quan sát đƣợc đặt cách mặt phẳng chứa hai khe một đoạn

D = 2m.

a. Tìm khoảng vân giao thoa.

b. Đặt trƣớc một trong hai khe một bản mỏng song song, trong suốt, bề dày e = 12 μm, hệ

vân giao thoa trên màn quan sát dịch một khoảng 6mm. Tìm chiết suất của bản mỏng.

Đáp số

a. 310 .i m

b. 1,25n

6. Để đo chiếc suất của một môi trƣờng ngƣời ta làm nhƣ sau. Sử dụng hệ thống hai

khe Young có khoảng cách hai khe là 0.2 mm. Ban đầu ngƣời ta đo trong chân không thì

vị trí vân sáng bậc 2 là 3mm. Sau đó ngƣời ta đổ chất cần đo vào khoảng giữa hai vân

sáng đến màng thì đo đƣợc vị trí vân sáng bậc 2 là 2 mm. Tính chiếc suất của môi trƣờng.

7. Trong thí nghiệm giao thoa Young, hai khe cách nhau 0.150 mm, và đƣợc chiếu đồng

thời hai ánh sáng đơn sắc với bƣớc sóng λ1 = 540 nm và λ2 = 450 nm. Màn quan sát cách hai

khe 1.40 m. Tính khoảng cách nhỏ nhất từ vân sáng trung tâm để hai vân sáng trùng nhau


sắc có bƣớc sóng chƣa biết. Khi hệ thống đặt trong không khí cho khoảng cách giữa hai

vân sáng liên tiếp i = 0,6mm. Màn quan sát đƣợc đặt cách mặt phẳng chứa hai khe D =

1m.

a. Tìm bƣớc sóng của ánh sáng chiếu tới.

b. Nếu đổ vào khoảng giữa màn quan sát và mặt phẳng chứa hai khe một chất lỏng thì

khoảng cách giữa hai vân sáng liên tiếp i’

= 0,45 mm. Tìm chiết suất của chất lỏng.

Đáp số

a. 0,6 .m

b. 4

3n .

9. Chiếu một chùm tia sáng đơn sắc song song vuông góc với một khe hẹp. Bƣớc

sóng ánh sáng bằng 1/6 bề rộng của khe hẹp. Hỏi cực tiểu nhiễu xạ thứ ba đƣợc quan sát

dƣới góc lệch bằng bao nhiêu?

Đáp số: φ = 300

10. Ánh sáng đơn sắc phát ra từ laser He-Ne ( 632.8 nm) đƣợc chiếu thẳng góc tới một cách

tử có 6 000 khe trên cm. Tìm góc cho cực đại nhiễu xạ bậc 1, bậc 2 và bậc 3.

11. Một chùm tia sáng đơn sắc song song bƣớc sóng λ = 0,589μm chiếu thẳng góc với

một khe hẹp có bề rộng b = 2μm. Hỏi những cực tiểu nhiễu xạ đƣợc quan sát dƣới những

góc nhiễu xạ bằng bao nhiêu? (so với phƣơng ban đầu)

Đáp số:: 0 0 0

1 2 317 8'; 36 5'; 62



12. Ba vạch phổ bậc nhất với các góc 10.09°, 13.71°, và 14.77° trong phổ nhiễu xạ qua cách

tƣ. (a) Nếu cách tử có 3660 khe trên cm thì bƣớc sóng với các góc đó là bao nhiêu? (b) Các góc

ứng với quang phổ bậc 2 của các ánh sáng trên là bao nhiêu?

13. Một chùm tia sáng đƣợc rọi vuông góc với một cách tử. Biết rằng góc nhiễu xạ đối

với vạch quang phổ λ1

= 0,65μm trong quang phổ bậc hai bằng φ1

= 450

. Xác định góc

nhiễu xạ ứng với vạch quang phổ λ2

= 0,5μm trong quang phổ bậc ba.

Đáp số: 0

2 54 40'

14. Cho một chùm tia sáng đơn sắc song song có bƣớc sóng λ = 0,7μm chiếu vuông

góc với mặt của một cách tử truyền qua. Trên mặt phẳng tiêu của thấu kính hội tụ đặt ở

sát phía sau cách tử, ngƣời ta quan sát thấy vạch quang phổ bậc ba lệch 0

2 48 36' . Xác

định:

a. Chu kỳ cách tử và số khe trên 1cm chiều dài của cách tử.

b. Số cực đại chính nằm trong khoảng giữa hai cực tiểu chính bậc nhất trong ảnh nhiễu

xạ. Cho biết mỗi khe của cách tử có độ rộng b = 0,7μm, 0sin 48 36' 0,75 .

Đáp số:

a. 3571 khe/cm

b. Vậy giữa hai cực tiểu chính bậc nhất có 7 cực đại chính.

15. Cho một cách tử phẳng có chu kỳ cách tử d = 2μm. Sau cách tử đặt một thấu kính

hội tụ, trên màn quan sát đặt tại mặt phẳng tiêu của thấu kính ngƣời ta quan sát thấy

khoảng cách giữa hai quang phổ bậc nhất ứng với bƣớc sóng λ1 = 0,4044μm và λ

2 =

0,4047μm bằng 0,1mm. Xác định tiêu cự của thấu kính.

Đáp số: f = 0,65 m

16. Một chùm ánh sáng trắng song song chiếu vuông góc vào mặt một cách tử phẳng.

Cho biết trên mỗi milimet chiều dài của cách tử có n = 50 khe. Phía sau cách tử đặt một

thấu kính hội tụ. Xác định hiệu số các góc nhiễu xạ ứng với vạch đỏ có bƣớc sóng λ1

=

0,76μm nằm ở cuối quang phổ bậc nhất và vạch tím có bƣớc sóng λ2

= 0,4μm nằm ở đầu

quang phổ bậc hai.

Đáp số: 2 1 7' .

17. Cho một chùm tia sáng đơn sắc song song chiếu vuông góc vào mặt của một cách

tử phẳng có chu kỳ d = 2μm. Xác định bậc lớn nhất của các vạch cực đại trong quang phổ

nhiễu xạ cho bởi cách tử đối với ánh sáng đỏ có bƣớc sóng λ1

= 0,7μm và đối với ánh

sáng tím có bƣớc sóng λ2 = 0,42μm.

Đáp số:

Đối với ánh sáng đỏ: 1( ax) 2mm



Đối với ánh sáng tím: 2( ax) 4mm

18. Chiếu một chùm ánh sáng đơn sắc bƣớc sóng λ = 0,62μm tới một cách tử có chu

kỳ 0.1 mm. Sau cách tử đặt một thấu kính hội tụ có tiêu cực 500 mm. Màn quan sát đặt

trên mặt tiêu của thấu kính. Xác định khoảng cách giữa hai cực đại nhiễu xạ bậc 1 và có

bao nhiêu cực đại nhiễu xạ quan sát đƣợc. Nếu thay cách tử trên bằng cách tử có chu kỳ

bằng 0.15 mm thì khoảng cách giữa hai cực đại bậc 1 bằng bao nhiêu?

19. Laze He-Ne phát ánh sáng đỏ có bƣớc sóng =630nm. Nếu ánh sáng này chiếu vuông

góc vào cách tử nhiễu xạ có 2000 vạch/cm thì có thể quan sát đƣợc bao nhiêu cực đại, kể cả cực

đại trung tâm, trên màn hình đặt xa đằng sau cách tử?

ĐS: 15.


QUANG HỌC LƢỢNG TỬ

Trong phần trƣớc, chúng ta đã dùng lý thuyết sóng để giải thích các hiện tƣợng

quang học nhƣ giao thoa, nhiễu xạ ánh sáng. Đó là một số hiện tƣợng trong rất nhiều các

hiện tƣợng khác liên quan đến ánh sáng cũng giải thích đƣợc dựa vào thuyết này. Điều đó

chứng tỏ rằng, ánh sáng có bản chất sóng. Tuy nhiên, vào cuối thế kỉ 19 đầu thế kỉ 20

ngƣời ta đã phát hiện những hiện tƣợng quang học mới mà lý thuyết sóng ánh sáng không

thể nào giải thích đƣợc nhƣ hiện tƣợng quang điện, hiệu ứng Compton, tính phóng xạ,…

Điều đó nói lên một sự thât bại của vật lý cổ điển, ngành Vật lý đứng trƣớc một thử thách

mới, đòi hỏi phải xây dựng một lý thuyết mới nhằm giải quyết những bế tắc trên. Ngƣời

đầu tiên đƣa ra một lý thuyết mới về ánh sáng đó là thuyết lƣợng tử của Planck. Tháng 12

năm 1900, Planck tại Viện Hàn lâm khoa học Berlin, planck đã đƣa ra một lý thuyết mới

về ánh sáng đó là thuyết lƣợng tử ánh sáng. Sau đó lý thuyết này đƣợc Einstein hoàn

thiện và đƣợc công bố vào năm 1905 gọi là thuyết photon. Theo các lý thuyết mới này,

ánh sáng có bản chất hạt. Phần quang học nghiên cứu ánh sáng dựa vào hai thuyết trên

gọi là quang học lƣợng tử. Trong chƣơng này chúng ta sẽ nghiên cứu về các hiện tƣợng

bức xạ nhiệt, hiệu ứng quang điện, hiệu ứng Compton cùng với thuyết lƣợng tử của

Planck và thuyết photon của Einstein.




1. Biết rõ đƣợc bản chất hiện tƣợng bức xạ nhiệt. Các định luật phát xạ của vật đen

tuyệt đối. Sự bế tắc của thuyết sóng ánh sáng trong việc giải thích về sự bức xạ nhiệt của

vật đen tuyệt đối.

2. Nắm đƣợc thuyết lƣợng tử của Planck và thành công của nó trong việc giải

thích các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối.

3. Nắm đƣợc thuyết photon của Einstein và giải thích các định luật quang điện,

hiệu ứng Compton. .

II. NỘI DUNG

§1. BỨC XẠ NHIỆT

1. Bức xạ nhiệt là gì ?

Bức xạ là hiện tƣợng mà một vật thể nào đó phát ra các sóng điện từ và sóng điện

từ đó lan truyền trong không gian. Qúa trình phát và lan truyền sóng điện từ là qúa trình

lan truyền năng lƣợng, nhƣ vậy các vật phát sóng điện từ phải chuyển đổi một dạng năng

lƣợng nào đó thành năng lƣợng sóng.

Có nhiều dạng bức xạ khác nhau do những nguyên nhân khác nhau gây ra: ví dụ

do tác dụng nhiệt (miếng sắt nung đỏ, dây tóc bóng đèn cháy sáng), do tác dụng hóa học

(phốt pho cháy sáng trong không khí), do biến đổi năng lƣợng trong mạch dao động điện

từ... Tuy nhiên phát bức xạ do tác dụng nhiệt là phổ biến nhất và đƣợc gọi là bức xạ

nhiệt.

Định nghĩa: Bức xạ nhiệt là sự phát xạ ra sóng điện từ của tất cả các vật mà có một nhiệt

độ lớn hơn độ không tuyệt đối .

Khi vật phát ra bức xạ, năng lƣợng của nó giảm và nhiệt độ của nó cũng giảm

theo. Ngƣợc lại nếu vật hấp thụ bức xạ, năng lƣợng của nó tăng và nhiệt độ của nó tăng.

Trong trƣờng hợp nếu phần năng lƣợng của vật bị mất đi do phát xạ bằng phần năng

lƣợng vật thu đƣợc do hấp thụ, thì nhiệt độ của vật sẽ không đổi theo thời gian và bức xạ

nhiệt của vật cũng không đổi. Bức xạ nhiệt trong trƣờng hợp này đƣợc gọi là bức xạ

nhiệt cân bằng và trạng thái này đƣợc gọi là trạng thái cân bằng nhiệt động.

2. Các đại lƣợng đặc trƣng của bức xạ nhiệt cân bằng

a. Năng suất phát xạ toàn phần

Xét một vật bị kích thích nhiệt ở nhiệt độ T không đổi (hình 6.1). Diện tích dS của

vật phát xạ trong một đơn vị thời gian một năng lƣợng toàn phần Td

. Đại lƣợng,

Hình 6-1



TT

dR

dS

(6.1)

đƣợc gọi là năng suất phát xạ toàn phần của vật ở nhiệt độ T.

Năng suất phát xạ toàn phần là năng lƣợng bức xạ toàn phần do vật phát ra trong một đơn

vị diện tích trong một đơn vị thời gian ở nhiệt độ T.

Đơn vị của năng suất phát xạ toàn phần RT

trong hệ đơn vị SI là oát trên mét vuông

(W/m2

).

b. Hệ số phát xạ đơn sắc

Bức xạ toàn phần do vật phát ra ở nhiệt độ T nói chung bao gồm nhiều bức xạ ứng

với một tần số v hoặc bƣớc sóng xác định gọi là bức xạ đơn sắc. Năng lƣợng bức xạ

phân bố không đồng đều cho tất cả mọi bức xạ có bƣớc sóng khác nhau.

Đại lƣợng

,

TT

dRr

d

(6.2)

đƣợc gọi là hệ số phát xạ đơn sắc của vật ở nhiệt độ T ứng với bƣớc sóng λ. Nó phụ

thuộc vào bản chất và nhiệt độ của vật và phụ thuộc bƣớc sóng λ của bức xạ đơn sắc do

vật phát ra.

Đơn vị của hệ số phát xạ đơn sắc: W/m3

.

Bằng thực nghiệm ta có thể xác định đƣợc ứng với bức xạ đơn sắc bƣớc sóng λ của

vật phát ra ở nhiệt độ T, từ đó ta sẽ xác định đƣợc năng suất phát xạ toàn phần:

,

0

T T TR dR r d

(6.3)

c. Hệ số hấp thụ đơn sắc

Giả sử trong một đơn vị thời gian, chùm bức xạ đơn sắc có bƣớc sóng nằm trong

khoảng từ λ đến λ+dλ gửi tới một đơn vị diện tích của vật một năng lƣợng ,Td nhƣng

vật đó chỉ hấp thụ một phần năng lƣợng ,' Td . Tỉ số

,

,

,

' T

T

T

da

d

. (6.4)

đƣợc gọi là hệ số hấp thụ đơn sắc của vật ở nhiệt độ T ứng với bƣớc sóng λ. Nó phụ

thuộc vào bản chất và nhiệt độ của vật, phụ thuộc vào bƣớc sóng λ của chùm bức xạ đơn

sắc gửi tới.



Thông thƣờng vật không hấp thụ hoàn toàn năng lƣợng của chùm bức xạ gửi tới, do

đó , 1Ta . Những vật mà

, 1Ta với mọi nhiệt độ T và mọi bƣớc sóng λ đƣợc gọi là vật

đen tuyệt đối. Trong thực tế không có vật đen tuyệt đối mà chỉ có những vật có tính chất

gần với tính chất của vật đen tuyệt đối, ví dụ bồ hóng, than bạch kim...Để tạo ra vật đen

tuyệt đối ngƣời ta dùng một cái bình rỗng cách nhiệt, có khoét một lỗ nhỏ, mặt trong phủ

một lớp bồ hóng. Khi tia bức xạ lọt qua lỗ vào bình, nó sẽ bị phản xạ nhiều lần trên thành

bình, mỗi lần phản xạ năng lƣợng của nó lại bị bình hấp thụ một phần. Kết quả có thể coi

là tia bức xạ đã bị hấp thụ hoàn toàn.

3. Định luật Kirchhoff

Giả sử đặt hai vật có bản chất khác nhau trong một bình cách nhiệt. Các vật này sẽ

phát xạ và hấp thụ nhiệt. Sau một thời gian trạng thái cân bằng nhiệt động sẽ đƣợc thiết

lập, hai vật sẽ cùng ở một nhiệt độ T nhƣ trong bình. Ở trạng thái cân bằng thì hiển nhiên

vật nào phát xạ mạnh thì cũng phải hấp thụ bức xạ mạnh. Từ nhận xét đó Kirchhoff đã

đƣa ra định luật mang tên ông nhƣ sau:

“Tỉ số giữa hệ số phát xạ đơn sắc và hệ số hấp thụ đơn sắc ,Ta của một vật bất

kì ở trạng thái bức xạ nhiệt cân bằng không phụ thuộc vào bản chất của vật đó, mà

chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ T của nó và bƣớc sóng λ của chùm bức xạ đơn sắc”.

Nghĩa là,

,

,

,T

T

a

T

rf

a

(6.5)

trong đó ,Taf

là hàm số chung cho mọi vật nên đƣợc gọi là hàm phổ biến. Vì vật đen

tuyệt đối có hệ số hấp thụ đơn sắc bằng 1 nên hàm phổ biến chính là hệ số phát xạ đơn

sắc của vật đen tuyệt đối. Làm thí nghiệm với mô hình của vật đen tuyệt đối ngƣời ta

xác định đƣợc ,Taf

. Hình 6.2 là đồ thị của hàm

phổ biến , Taf

theo bƣớc sóng λ ở nhiệt độ T.

Đƣờng cong này đƣợc gọi là đƣờng đặc trƣng

phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối. Năng suất

phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối đƣợc xác

định theo công thức (6.3) sẽ có trị số bằng toàn

bộ diện tích giới hạn bởi đƣờng đặc trƣng phổ

phát xạ và trục hoành λ trên hình 6.2.

Hình 6.2 Đƣờng đặc trƣng phổ

phát xạ của vật đen tuyệt đối.



§2. CÁC ĐỊNH LUẬT PHÁT XẠ CỦA VẬT ĐEN TUYỆT ĐỐI

Trong cuộc sống thƣờng ngày ta thấy rằng, màu sắc của các vật thay đổi khi

nhiệt độ tăng. Ví dụ, một vật thể nóng đỏ phát ra chủ yếu ở các bƣớc sóng dài

(đỏ và màu da cam) của miền phổ có thể nhìn thấy. Nếu nhiệt độ của nó tăng

lên thì bắt đầu chuyển sang màu xanh lá cây và màu xanh, và nếu tiếp tục tăng

nhiệt độ thì xuất hiện màu trắng đối với mắt ngƣời, gọi là nhiệt độ nóng trắng.

1. Định luật Stephan-Boltzmann

Một kết quả thực nghiệm mô tả đặc trƣng của phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối

theo các nhiệt độ khác nhau đƣợc cho trong bên dƣới. Qua đồ thị ta thấy rằng, khi nhiệt

độ tăng thì diện tích giữa đƣờng đặc trƣng phổ phát xạ và trục hoành λ cũng tăng theo.

Nhƣ vậy năng suất phát xạ toàn

phần của vật đen tuyệt đối phụ

thuộc vào nhiệt độ của vật.

Stephan (bằng thực nghiệm) và

Boltzmann (bằng lý thuyết) đã

tìm ra sự phụ thuộc này và đã

thiết lập đƣợc định luật Stephan-

Boltzmann.

Định luật Stephan-Boltzmann:

Năng suất phát xạ toàn phần của

vật đen tuyệt đối tỉ lệ thuận với

lũy thừa bậc bốn của nhiệt độ

tuyệt đối của vật đó:

4

TR T (6.6)

trong đó, σ = 5,6703.10-8

W/m2

K4

gọi là hằng số Stephan-Boltzmann.

Nhiệt độ của lò bếp gấp khoảng hai lần nhiệt độ phòng tính theo nhiệt độ

tuyệt đối (600 K so với 300 K) tỏa một lƣợng năng lƣợng trên mỗi đơn vị diện tích

gấp có tỷ lệ là 16 lần. Nhiệt độ của dây tóc trong bóng đèn sợi đốt - khoảng 3.000

K, hoặc 10 lần nhiệt độ phòng-tỏa nhiều năng lƣợng cho mỗi đơn vị diện tích gấp

10.000.



2. Định luật Wien

Nhiệt bức xạ phát ra bởi một vật thể ở nhiệt độ bất kỳ bao gồm một loạt các tần số. Việc

phân bổ tần số đƣợc suy ta từ hàm phổ biến của Planck của vật thể đen tuyệt đối bức xạ.

Trên hình trên ta thấy rằng, mỗi đƣờng đặc trƣng phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối ở một

nhiệt độ T nhất định đều có một cực xác định ứng với bƣớc sóng λmax

xác định, khi nhiệt

độ tăng thì bƣớc sóng λmax

giảm. Tuy nhiên, thực nghiệm cũng kiểm chứng đƣợc rằng,

đối với vật đen tuyệt đối thì ở một nhiệt độ T xác định thì bức xạ có bƣớc sóng λmax

là

bức xạ mang nhiều năng lƣợng nhất. Ví dụ, ở nhiệt độ nóng trắng là 2000 K, 99%

năng lƣợng bức xạ vẫn còn trong vùng hồng ngoại.

Năm 1817 Wien đã tìm ra định luật gọi là định luật Wien: “Đối với vật đen tuyệt

đối, bước sóng λmax

của chùm bức xạ đơn sắc mang nhiều năng lượng nhất tỷ lệ nghịch

với nhiệt độ tuyệt đối của vật đó”.

axm

b

T (6.7)

b = 2,898.10-3

m.K và đƣợc gọi là hằng số Wien.

Trong đồ thị bức xạ, giá trị cao đỉnh cho mỗi đƣờng cong di chuyển sang trái theo

chiều tăng nhiệt độ, điều này hoàn toàn phù hợp với định luật Wien.

3. Sự khủng hoảng ở vùng tử ngoại

Theo quan niệm của vật lí cổ điển thì khi các nguyên tử, phân tử phát xạ hoặc hấp

thụ năng lƣợng thì phát xạ hoặc hấp thụ một cách liên tục, trên cơ sở đó Rayleigh-Jeans

đã tìm đƣợc hàm phổ biến nhƣ sau:

2

, 2

2v T B

vf k T

c

(6.8)

trong đó Bk là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối, ν là tần số của bức xạ đơn sắc

(tần số và bƣớc sóng liên hệ với nhau qua công thứcc

v

).

Theo công thức (6.8), ,v Tf tỉ lệ với lũy thừa bậc 2 của ν, nên sẽ tăng rất nhanh khi ν

tăng (tức λ giảm). Công thức này chỉ phù hợp với thực nghiệm ở vùng tần số nhỏ (bƣớc

sóng lớn), còn ở vùng tần số lớn (bƣớc sóng nhỏ), tức là vùng sóng tử ngoại, nó sai lệch



rất nhiều. Đó là, từ công thức (6.8) ta có thể tính đƣợc năng suất phát xạ toàn phần của

một vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T:

2

, 2

0 0

2!B

T v T

k TR f dv v dv

c

Thêm vào đó, từ công thức trên ta thấy rằng, năng suất phát xạ toàn phần của một vật tỷ

lệ bậc nhất với T. Tuy nhiên, thực nghiệm lại cho thấy rằng, năng suất phát xạ toàn phần

của vật đen tuyệt đối tỷ lệ bậc bốn với nhiệt độ T và hoàn toàn xác định đƣợc đối với mọi

bức xạ, kể cả các bức xạ thuộc vùng tử ngoại. Bế tắc này tồn tại suốt trong khoảng thời

gian dài cho đến cuối thế kỷ 19 và đƣợc gọi là sự khủng hoảng ở vùng tử ngoại.

Để giải quyết những bế tắc trên, Planck đã phủ định lí thuyết cổ điển về bức xạ và đề ra

một lí thuyết mới gọi là thuyết lƣợng tử năng lƣợng.

§3. THUYẾT LƢỢNG TỬ PLANCK & THUYẾT PHOTON

CỦA EINSTEIN

1. Thuyết lƣợng tử của Planck

Trái với lý thuyết cổ điển, planck cho rằng, các nguyên tử và phân tử phát xạ hay

hấp thụ năng lƣợng bức xạ điện từ thì phát xạ hay hấp thụ một cách gián đoạn. Nghĩa là

phần năng lƣợng đƣợc phát xạ hay hấp thụ luôn là bội số nguyên của một lƣợng năng

lƣợng nhỏ xác định gọi là lƣợng tử năng lƣợng. Một lƣợng tử (quantum) năng lƣợng

của bức xạ điện từ đơn sắc tần số ν, bƣớc sóng λ là:

hc

hv

. (6.9)

trong đó h = 6,625.10-34

J.s là hằng số Planck, c là vận tốc ánh sáng trong chân không.

Trên cơ sở đó, Planck đã tìm ra công thức của hàm phổ biến, tức là hệ số phát xạ

đơn sắc của vật đen tuyệt đối nhƣ sau:

2

, 2

2

1B

v T hv

k T

v hvf

ce

. (6.10)

trong đó k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt độ tuyệt đối. Công thức này đƣợc gọi là công

thức Planck.

2. Thành công của thuyết lƣợng tử năng lƣợng



* Công thức Planck cho phép ta vẽ đƣợc đƣờng đặc trƣng phổ phát xạ của vật đen tuyệt

đối phù hợp với kết quả thực nghiệm ở mọi vùng nhiệt độ và mọi vùng tần số khác nhau.

* Từ công thức Planck ta có thể suy đƣợc công thức của Rayleigh và Jeans và các công

thức thể hiện các định luật của vật đen tuyệt đối. Trong miền tần số nhỏ sao cho

Bhv k T thì 1B

hv

k T

B

hve

k T . Do đó công thức Planck sẽ thành:

2

, 2

2v T B

vf k T

c

, ta lại

thu đƣợc công thức của Rayleigh và Jeans.

* Từ công thức Planck ta tìm đƣợc định luật Stephan-Boltzmann:

Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối tại một nhiệt độ T nào đó bằng:

2

, 2

0 0

2

1B

T v T hv

k T

v hvR f dv dv

ce

. (6.11)

Đặt B B

h hx

k T k Tdx d

, thế vào (6.11) ta đƣợc

4 4 3 4 4 4

3 2 3 2

0

2 2

1 15

B BT x

k T x k TR dx

h c e h c

(ta sử dụng tích phân Gauss:

3 4

01 15x

xdx

e

)

Cuối cùng ta đƣợc trong đó 4

TR T , σ=5,6703.10-8

W/m2

.K4

. Đây chính là định luật

Stephan-Boltzmann.

* Từ công thức Planck ta tìm đƣợc định luật Wien

Nếu ta lấy đạo hàm của fν,T

theo ν và cho nó triệt tiêu rồi tìm νmax

(hay λmax

) tại các nhiệt

độ khác nhau, kết quả thu đƣợc là λmax.T =2,8978.10-3

mK. Đây chính là định luật

Wien.

3. Thuyết photon của Einstein

Thuyết lƣợng tử của Planck đã nêu lên đƣợc một quan điểm hiện đại trong nhận

thức của con ngƣời về năng lƣợng. Nghĩa là, năng lượng điện từ phát xạ hay hấp thụ có

những giá trị gián đoạn, chúng luôn là bội nguyên của lượng tử năng lượng ε. Ta nói

rằng năng lƣợng điện từ phát xạ hay hấp thụ bị lƣợng tử hoá. Nhƣng thuyết lƣợng tử của

Planck chƣa thực sự nêu rõ đƣợc bản chất gián đoạn của bức xạ điện từ. Năm 1905, dựa

trên thuyết lƣợng tử về năng lƣợng của Planck, Einstein đã xây dựng nên thuyết lƣợng tử



ánh sáng (hay thuyết photon) mang đầy đủ các thông tin về phần lƣợng tử năng lƣợng

này.

Nội dung thuyết photon của Einstein:

a. Bức xạ điện từ gồm vô số những hạt rất nhỏ gọi là lƣợng tử ánh sáng hay photon.

b. Với mỗi bức xạ điện từ đơn sắc nhất định, các photon đều giống nhau và mang một

năng lƣợng xác định bằng

hchv

(6.12)

c. Trong môi trƣờng chân không mọi photon đƣợc truyền đi với cùng vận tốc c = 3.108

m/s.

d. Khi một vật phát xạ hay hấp thụ bức xạ điện từ có nghĩa là vật đó phát xạ hay hấp thụ

các photon.

e. Cƣờng độ của chùm bức xạ tỉ lệ với số photon phát ra từ nguồn trong một đơn vị thời

gian.

Thuyết photon của Einstein đã giải thích đƣợc các hiện tƣợng thể hiện bản chất hạt

của ánh sáng nhƣ hiện tƣợng quang điện, hiệu ứng Compton,...

4. Động lực học photon

Để hiểu đầy đủ về hạt photon ngƣời ta xây dựng thuyết động lực học photon và đã đƣợc

ứng dụng trong các nghiên cứu khoa học về sau về ánh sáng. Những quan điểm chính của

nó là:

* Năng lƣợng của photon ứng với một bức xạ điện từ đơn sắc tần số v là:

hv . (6.13)

* Khối lƣợng của photon,

2 2

hv hm

c c c

. (6.14)

Theo thuyết tƣơng đối,

0

2

2

v1

mm

c

.

Do đó, vận tốc của photon bằng c, do đó photon có khối lƣợng nghỉ bằng 0

* Động lƣợng của photon,



h

p mc

. (6.15)

Nhƣ vậy động lƣợng của photon tỉ lệ thuận với tần số và tỉ lệ nghịch với bƣớc

sóng của bức xạ điện từ.

§4. HIỆN TƢỢNG QUANG ĐIỆN

1. Định nghĩa

Hiện tƣợng bắn các electron từ một

tấm kim loại ra khỏi bề mặt khi rọi vào tấm

kim loại đó một bức xạ điện từ thích hợp

đƣợc gọi là hiện tƣợng quang điện. Các

electron bắn ra đƣợc gọi là các quang electron.

Để nghiên cứu hiện tƣợng quang điện

ngƣời ta đã làm thí nghiệm với tế bào quang

điện nhƣ sau:

Xét một tế bào quang điện gồm một bình

chân không có hai bản cực làm bằng kim loại:

bản cực dƣơng anốt A và bản cực âm catốt K. Catốt làm bằng kim loại ta cần nghiên cứu.

Tế bào quang điện đƣợc mắc nhƣ hình vẽ. Nhờ biến trở ta có thể thay đổi hiệu điện thế U

giữa A và K về độ lớn và chiều.

* Khi D đến vị trí C: UAK

= 0

* Khi D bên phải C: A+ , K-, UAK

> 0

* Khi D bên trái C: A- , K+, UAK

< 0

Khi rọi chùm bức xạ điện từ đơn sắc bƣớc sóng thích hợp vào catốt K, chùm

ánh sáng này sẽ giải phóng các electron khỏi mặt bản cực âm K. Dƣới tác dụng của điện

trƣờng giữa A và K, các quang electron sẽ chuyển động về cực dƣơng anốt, tạo ra trong

mạch dòng quang điện. Điện thế G đo cƣờng độ dòng quang điện còn vôn kế V sẽ đo

hiệu điện thế UAK

giữa A và K. Thay đổi UAK

ta đƣợc đồ thị dòng quang điện nhƣ hình

6.5.

* UAK

> 0: Khi UAK

tăng thì I tăng theo, khi UAK

đạt đến một giá trị nào đó cƣờng độ

dòng quang điện sẽ không tăng nữa và đạt giá trị Ibh

,

đƣợc gọi là cƣờng độ dòng quang điện bão hòa.

Hình 6.4 Thí nghiệm quang điện.

Hình 6.5 Đặc trƣng Vol -

Ampe



* Khi UAK

= 0 cƣờng độ dòng quang điện vẫn có giá trị I0. Điều đó chứng tỏ quang

electron bắn ra đã có sẵn một động năng ban đầu ≠ 0.

* Để triệt tiêu dòng quang điện ta phải đặt lên A - K một hiệu điện thế ngƣợc Uc sao

cho công cản của điện trƣờng ít nhất phải bằng động năng ban đầu cực đại của các

electron bị bứt khỏi bản K, nghĩa là:

2

0 ax

1v

2c e meU m ,

Uc đƣợc gọi là hiệu điện thế cản.

2. Các định luật quang điện và giải thích

Từ các kết quả thí nghiệm ngƣời ta đã tìm ra ba định luật sau đây gọi là ba định luật

quang điện. Các định luật này chỉ có thể giải thích đƣợc dựa vào thuyết photon của

Einstein.

a. Phƣơng trình Einstein

Khi có một chùm ánh sáng thích hợp rọi đến catốt, các electron tự do trong kim loại

hấp thụ photon. Mỗi electron hấp thụ một photon và sẽ nhận đƣợc một năng lƣợng bằng

hv . Năng lƣợng này một phần chuyển thành công thoát Ath

electron ra khỏi kim loại,

phần còn lại chuyển thành động năng ban đầu của quang electron. Động năng ban đầu

càng lớn khi electron càng ở gần mặt ngoài kim loại, vì đối với các electron ở sâu trong

kim loại, một phần năng lƣợng mà nó hấp thụ đƣợc của photon sẽ bị tiêu hao trong quá

trình chuyển động từ trong ra mặt ngoài kim loại. Nhƣ vậy động năng ban đầu sẽ cực đại

đối với các electron ở sát mặt ngoài kim loại. Theo định luật bảo toàn năng lƣợng,

Einstein đã đƣa ra phƣơng trình cho hiệu ứng quang điện

2

0 axv

2

e mth

mhv A . (6.16)

Phƣơng trình này đƣợc gọi là phƣơng trình Einstein.

b. Định luật về giới hạn quang điện

Phát biểu: Đối với mỗi kim loại xác định, hiện tượng quang điện chỉ xảy ra khi bước sóng

λ của chùm bức xạ điện từ rọi tới nhỏ hơn một giá trị xác định λ0, λ0 gọi là giới hạn

quang điện của kim loại đó.



Giới hạn quang điện phụ thuộc vào bản chất của kim loại làm catốt. Định luật này

nói lên điều kiện cần để có thể xảy ra hiện tƣợng quang điện. Ở đây cần nhấn mạnh rằng,

nếu chùm sáng tới có bƣớc sóng λ > λ0 thì dù cƣờng độ sáng rất mạnh, nó cũng không thể

gây ra hiện tƣợng quang điện.

Giải thích:

Trong phƣơng trình Einstein (6.16), vì

2

0 axv0

2

e mm và đặt

0

0

th

hcA hv

thì

0 0

0

0

0

.

hv v v

hv hv

Nghĩa là chùm ánh sáng gây ra hiệu ứng quang điện phải có bƣớc sóng λ nhỏ hơn

một giá trị xác định λo

= hc/Ath

. λo

chính là giới hạn quang điện và rõ ràng nó chỉ phụ

thuộc vào công thoát Ath

, tức là phụ thuộc vào bản chất kim loại làm catốt.

c. Định luật về dòng quang điện bão hoà

Phát biểu:

Cường độ dòng quang điện bão hoà tỉ lệ với cường độ của chùm bức xạ rọi tới.

Giải thích: Cƣờng độ dòng quang điện tỉ lệ với số quang electron thoát ra khỏi catốt đến

anốt trong một đơn vị thời gian. Dòng quang điện trở nên bão hoà khi số quang electron

thoát khỏi catốt đến anốt trong đơn vị thời gian là không đổi. Số quang electron thoát ra

khỏi catốt tỉ lệ với số photon bị hấp thụ. Số photon bị hấp thụ lại tỉ lệ với cƣờng độ của

chùm bức xạ. Do đó cƣờng độ dòng quang điện bão hoà tỉ lệ thuận với cƣờng độ chùm

bức xạ rọi tới.

d. Định luật về động năng ban đầu cực đại của quang electron

Phát biểu: Động năng ban đầu cực đại của quang electron không phụ thuộc vào cƣờng độ

chùm bức xạ rọi tới mà chỉ phụ thuộc vào tần số của chùm bức xạ đó.

Giải thích:

2 2

0 ax 0 ax0

2

0 ax0

0

v v.

2 2

v( ).

2

( ).

e m e mth

e m

ch

m mhv A hv

mh v v

eU h v v



Ta thấy rằng động năng ban đầu cực đại của quang electron chỉ phụ thuộc vào tần số

của chùm bức xạ điện từ, mà không phụ thuộc vào cƣờng độ của bức xạ đó.

Thuyết photon đã giải thích đƣợc tất cả các định luật quang điện, nó đã hoàn thiện

quan niệm lƣợng tử về ánh sáng từ đó làm cơ sở cho nghiên cứu động học photon. Theo

Einstein, ánh sáng có bản chất hạt và hạt đó là photon, mỗi photon có một năng lƣợng ε =

hν và động lƣợng p = h/λ.

§5. HIỆU ỨNG COMPTON

1. Hiệu ứng Compton

Thí nghiệm Compton: Cho một chùm tia X bƣớc sóng λ chiếu vào graphit hay

paraphin...Khi đi qua các chất này tia X bị tán xạ

theo nhiều phƣơng. Trong phổ tán xạ, ngoài vạch

có bƣớc sóng bằng bƣớc sóng λ của chùm tia X

chiếu tới còn có những vạch ứng với bƣớc sóng λ′

> λ (Hình 6.6). Thực nghiệm chứng tỏ rằng bƣớc

sóng λ không phụ thuộc cấu tạo của các chất đƣợc

tia X rọi đến mà chỉ phụ thuộc vào góc tán xạ θ.

Độ tăng của bƣớc sóng Δλ = λ'- λ đƣợc xác định

bởi biểu thức:

22 sin2

c

(6.17)

trong đó c = 2,426.10-12

m là một hằng số chung cho mọi chất, đƣợc gọi là bƣớc sóng

Compton.

Theo lí thuyết sóng thì khi tia X truyền đến thanh graphít nó làm cho các hạt mang

điện trong thanh (ở đây là electron) dao động cƣỡng bức với cùng tần số của tia X, do đó

các bức xạ tán xạ về mọi phƣơng phải có cùng tần số với bức xạ tới. Nhƣ vậy lí thuyết

sóng điện từ cổ điển không giải thích đƣợc hiện tƣợng Compton.

2. Giải thích bằng thuyết lƣợng tử ánh sáng

Chúng ta có thể coi hiện tƣợng tán xạ tia X

nhƣ một va chạm hoàn toàn đàn hồi giữa một

photon và một electron trong chất mà tia X chiếu tới

( Hình 6.7). Trong phổ tán xạ, những vạch có bƣớc

Hình 6.6 Thí nghiệm Compton

Hình 6 .7 Va chạm đàn hồi

giữa phôtôn và electrôn.



sóng bằng bƣớc sóng của tia X chiếu tới tƣơng ứng với sự tán xạ của tia X lên các

electron ở sâu trong nguyên tử, các electron này liên kết mạnh với hạt nhân, còn vạch có

bƣớc sóng λ’ > λ tƣơng ứng với sự tán xạ tia X lên các electron liên kết yếu với hạt nhân.

Năng lƣợng liên kết của các electron này rất nhỏ so với năng lƣợng của chùm tia X chiếu

tới, do đó các electron đó có thể coi nhƣ tự do. Vì đây là va chạm đàn hồi giữa photon và

electron tự do nên ta sẽ áp dụng hai định luật bảo toàn năng lƣợng và bảo toàn động

lƣợng cho hệ kín “tia X - e-

". Giả thiết trƣớc va chạm electron (e-

) đứng yên. Tia X có

năng lƣợng lớn, khi tán xạ trên electron tự do tia X sẽ truyền năng lƣợng cho electron nên

sau va chạm vận tốc của electron rất lớn, do đó ta phải áp dụng hiệu ứng tƣơng đối tính

trong trƣờng hợp này. Chúng ta xét động lƣợng, năng lƣợng của hạt photon và electron

trƣớc và sau va chạm:

Trƣớc va chạm: e-

đứng yên : Năng lƣợng : m0c2

Động lƣợng : 0.

Photon : Năng lƣợng : .E hv

Động lƣợng : .hv h

p mcc

Sau va chạm: Photon tán xạ: Năng lƣợng : ' '.E hv

Động lƣợng : '

' .'

hv hp

c

e-

: Năng lƣợng : 20

2

2

.v

1

mc mc

c

Động lƣợng : 0

2

2

v v,v

1

e

mp m

c

(mo là khối lƣợng nghỉ của e

-

)

Theo định luật bảo toàn năng lƣợng và động lƣợng:

2 2

0 ' .hv m c hv mc (6.18)

' .ep p p (6.19)

Gọi θ là góc giữa p và p’. Sau khi biến đổi các biểu thức (6.18) và (6.19) và sử dụng công

thức liên hệ giữa năng lƣợng và động lƣợng trong cơ học tƣơng đối tính, ta đƣợc:

2 2

0 ( ') '(1 os ) 2 '(sin ).2

m c v v hvv c hvv

(6.20)

Thay c

v

vào biểu thức trên ta đƣợc:



2 2

0

2' sin 2 sin .

2 2c

h

m c

(6.21)

Đại lƣợng Δλ = λ' - λ là độ biến thiên của bƣớc sóng trong tán xạ, nó chỉ phụ thuộc vào

góc tán xạ mà không phụ thuộc vào vật liệu làm bia.

Chú ý: Khi photon vào sâu trong nguyên tử và va chạm với các electron liên kết mạnh với

hạt nhân, ta phải coi va chạm này là va chạm của photon với nguyên tử (chứ không phải

với electron), công thức (6.21) vẫn đúng nhƣng phải thay khối lƣợng của electron bằng

khối lƣợng của nguyên tử, nó lớn hơn nhiều lần so với khối lƣợng của electron. Do đó

hầu nhƣ không có sự thay đổi bƣớc sóng. Nhƣ vậy trong bức xạ tán xạ có mặt những

photon với bƣớc sóng không đổi.

Qua hiệu ứng Compton ngƣời ta chứng minh đƣợc hạt photon có động lƣợng h

p

. Động lƣợng là một đặc trƣng của hạt. Nhƣ vậy tính chất hạt của ánh sáng đã đƣợc xác

nhận trọn vẹn khi dựa vào thuyết photon giải thích thành công hiệu ứng Compton.


1. Định nghĩa bức xạ nhiệt cân bằng.

2. Viết biểu thức và nêu ý nghĩa của các đại lƣợng: năng suất phát xạ toàn phần, hệ số

phát xạ đơn sắc, hệ số hấp thụ đơn sắc của bức xạ nhiệt cân bằng ở nhiệt độ T.

3. Định nghĩa vật đen tuyệt đối.

4. Phát biểu định luật Kirchhoff. Nêu ý nghĩa của hàm phổ biến. Vẽ đồ thị đƣờng đặc

trƣng phổ phát xạ của vật đen tuyệt đối.

5. Phát biểu các định luật phát xạ của vật đen tuyệt đối .

6. Nêu quan niệm cổ điển về bản chất của bức xạ. Viết công thức của Rayleigh-Jeans.

Nêu những khó khăn mà công thức đó gặp phải đối với hiện tƣợng bức xạ nhiệt.

7. Phát biểu thuyết lƣợng tử của Planck. Viết công thức Planck. Nêu những thành công

của thuyết lƣợng tử.

8. Định nghĩa hiện tƣợng quang điện. Phát biểu ba định luật quang điện.

9. Phát biểu thuyết photon của Einstein. Vận dụng thuyết photon để giải thích ba định

luật quang điện.

10. Trình bày nội dung hiệu ứng Compton. Trong hiệu ứng này, chùm tia X tán xạ lên

electron tự do hay liên kết ?

11. Giải thích hiệu ứng Compton.



12. Tại sao coi hiệu ứng Compton là một bằng chứng thực nghiệm xác nhận trọn vẹn tính

hạt của ánh sáng.

BÀI TẬP

Thí dụ 1: Hỏi nhiệt độ của lò nung bằng bao nhiêu cho biết mỗi giây lò phát ra một năng

lƣợng bằng 8,28 calo qua một lỗ nhỏ có kích thƣớc bằng 6,1cm2

. Coi bức xạ đƣợc phát ra

từ một vật đen tuyệt đối.

Bài giải:Năng suất phát xạ toàn phần của vật đen tuyệt đối: , 4R T là năng suất do một

đơn vị diện tích phát ra trong một đơn vị thời gian, nên R liên hệ với công suất phát xạ là:

P = R.S . Vậy,

4 48 4

8,28.4,181004 .

5,67.10 6,1.10

pT K

S

Thí dụ 2: Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A = 5eV. Tìm:

a. Giới hạn quang điện của tấm kim loại đó.

b. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electron khi catôt đƣợc chiếu bằng ánh sáng

đơn sắc bƣớc sóng λ = 0,2μm.

c. Hiệu điện thế hãm để không có một electron nào đến đƣợc anôt.

Bài giải

a. Giới hạn quang điện của catốt: 34 8

7

0 19

6,625.10 .3.102,58.10 .

5.1,6.10th

hcm

A

b. Vận tốc ban đầu cực đại của các electron:

2 2

0 ax 0 ax0 0 ax

34 819 6

0 ax 31 6

v v 2v

2 2

2 6,625.10 .3.10v 5.1,6.10 0,65.10 / .

9,1.10 0,2.10

e m e mth m th

e

m

m m hchv A hv A

m

m s

c. Hiệu điện thế hãm:

112th h th

hc hcA eU A V

e

.

Thí dụ 3: Photon mang năng lƣợng 0,15MeV đến tán xạ trên electron tự do. Sau khi tán

xạ bƣớc sóng của chùm photon tán xạ tăng thêm Δλ = 0,015A0

. Xác định bƣớc sóng của

photon và góc tán xạ của photon.

Bài giải:



34 812

13

2 2 0

6,625.10 .3.108,28.10 .

0,15.1,6.10

' 2 sin sin 0,31 sin 0,556 67 33'2 2 2 2

c

c

hv hcm


1. Tìm công suất bức xạ của một lò nung, cho biết nhiệt độ của lò bằng t = 7270

C, diện

tích của cửa lò bằng 250cm2

. Coi lò là vật đen tuyệt đối.

Đáp số: 1417,5 w.

2.Vật đen tuyệt đối có dạng một quả cầu đƣờng kính d = 10cm ở nhiệt độ T không đổi.

Tìm nhiệt độ T, cho biết công suất bức xạ ở nhiệt độ đã cho bằng 12kcalo/phút.

Đáp số: 828 K.

3. Nhiệt độ của sợi dây tóc vonfram của bóng đèn điện luôn biến đổi vì đƣợc đốt nóng

bằng dòng điện xoay chiều. Hiệu số giữa nhiệt độ cao nhất và thấp nhất bằng 800

, nhiệt

độ trung bình bằng 2300K. Hỏi công suất bức xạ biến đổi bao nhiêu lần, coi dây tóc bóng

đèn là vật đen tuyệt đối.

Đáp số: max

min

1,5p

p lần

4. Nhiệt độ của vật đen tuyệt đối tăng từ 1000 K đến 3000 K. Hỏi:

a. Năng suất phát xạ toàn phần của nó tăng bao nhiêu lần?

b. Bƣớc sóng ứng với năng suất phát xạ cực đại thay đổi bao nhiêu lần?

Đáp số:

a. 2

1

R

R81 lần

b. 1

2

m

m

= 3 lần

5. Một vật đen tuyệt đối ở nhiệt độ T1

= 2900 K. Do vật bị nguội đi nên bƣớc sóng ứng

với năng suất phát xạ cực đại thay đổi Δλ = 9μm. Hỏi vật lạnh đến nhiệt độ bằng bao

nhiêu?

Đáp số:

6. Tìm giới hạn quang điện đối với các kim loại có công thoát 2,4eV, 2,3eV, 2eV.

Đáp số: 7 7 7

01 02 035,18.10 ; 5,4.10 ; 6,21.10m m m

7. Giới hạn quang điện của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện λ0

= 0,5μm.

Tìm:

a. Công thoát của electron khỏi tấm kim loại đó.



b. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electron khi catôt đƣợc chiếu bằng ánh

sáng đơn sắc bƣớc sóng λ = 0,25μm.

Đáp số: a. 39,75.10-20

J.

b. 9,3.105 m/s.

8. Chiếu một bức xạ điện từ đơn sắc bƣớc sóng λ = 0,41μm lên một kim loại dùng làm

catôt của tế bào quang điện thì có hiện tƣợng quang điện xảy ra. Nếu dùng một hiệu điện

thế hãm 0,76V thì các quang electron bắn ra đều bị giữ lại.Tìm:

a. Công thoát của electron đối với kim loại đó.

b. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electron khi bắn ra khỏi catôt.

Đáp số: a. 36,32.10-20

J.

b. 5,2.105 m/s.

9. Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A= 2,48eV. Tìm:

a. Giới hạn quan điện của tấm kim loại đó.

b.Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electron khi catôt đƣợc chiếu bằng ánh


v. Hiệu điện thế hãm để không có một electron nào đến đƣợc anôt.

Đáp số:

a. 0 0,5 .m

b. 6

0 axv 0,584.10 /m m s

c. 0,97V

10. Khi chiếu một chùm ánh sáng có bƣớc sóng λ = 0,234μm vào một kim loại dùng làm

catốt của tế bào quang điện thì có hiện tƣợng quang điện xảy ra. Biết tần số giới hạn của

catôt ν0= 6.10

14

Hz. Tìm:

a. Công thoát của electron đối với kim loại đó.

b. Hiệu điện thế hãm để không có một electron nào đến đƣợc anôt.

c. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electron.

Đáp số: a. 2039,75.10 .thA J

b. 2,83 J.

c. 106 m/s.



11. Khi chiếu một chùm ánh sáng vào một kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện

thì có hiện tƣợng quang điện xảy ra. Nếu dùng một hiệu điện thế hãm 3V thì các quang

electron bắn ra đều bị giữ lại. Biết tần số giới hạn của catôt ν0= 6.10

14

Hz. Tìm:

a. Công thoát của electron đối với tấm kim loại đó.

b. Tần số của ánh sáng chiếu tới.

c. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electron khi bắn ra từ catôt.

Đáp số:

a. 2039,75.10 .thA J

b. 13,25.1014

Hz

c. 106 m/s.

12. Công thoát của kim loại dùng làm catốt của tế bào quang điện A = 2,15eV. Tìm:

a. Giới hạn quang điện của tấm kim loại đó.

b. Vận tốc ban đầu cực đại của các quang electron khi catôt đƣợc chiếu bằng ánh


c. Hiệu điện thế hãm để không có một electron nào đến đƣợc anôt.

Đáp số:

a. 0 0,578 .m

b. 0,37. 106 m/s.

c. 0,39V

13. Tìm động lƣợng, khối lƣợng của photon có tần số ν = 5.1014

Hz.

Đáp số: p = 1,1.10-27

kg.m/s; m = 3,7.10-36

kg.

14. Tìm năng lƣợng và động lƣợng của photon ứng với bƣớc sóng λ = 0,6μm.

Đáp số: 193,3.10 .J ; P = 1,1.10-27

kg.m/s.

15. Tìm năng lƣợng và động lƣợng của photon ứng với bƣớc sóng λ = 10-12

m.

Đáp số: 1419,88.10 .J ; P = 6,62.10-22

kg.m/s.

16. Photon có năng lƣợng 250keV bay đến va chạm với một electron đứng yên và tán xạ

Compton theo góc 1200

. Xác định năng lƣợng của photon tán xạ.

Đáp số: 12' 8,64.10 .m

Năng lƣợng của photon tán xạ: 2,3.10-14

J.

17. Photon ban đầu có năng lƣợng 0,8MeV tán xạ trên một electron tự do và thành

photon ứng với bức xạ có bƣớc sóng bằng bƣớc sóng Compton. Tính:

a. Góc tán xạ.

b. Năng lƣợng của photon tán xạ.



Đáp số:

a. 50011’.

b. 0,2MeV.

18. Tính năng lƣợng và động lƣợng của photon tán xạ khi photon có bƣớc sóng ban đầu λ

= 0,05.10-10

m đến va chạm vào electron tự do và tán xạ theo góc (a) 600

, v à (b) 900

.

Đáp số:

a. Năng lƣợng của photon tán xạ: 3,2.10-14

J.

Động lƣợng p’ = 10-22

kgm/s.

b. Năng lƣợng của photon tán xạ: 2,68.10-14

J.

Động lƣợng p’ = 0,89.10-22

kgm/s.

19. Trong hiện tƣợng tán xạ Compton, bức xạ Rơngen có bƣớc sóng λ đến tán xạ trên

electron tự do. Tìm bƣớc sóng đó, cho biết động năng cực đại của electron bắn ra bằng

0,19MeV.

Đáp số: 0

0,037 A

20. Tìm động lƣợng của electron khi có photon bƣớc sóng λ = 0,05A0

đến va chạm và tán

xạ theo góc θ = 900.

Lúc đầu electron đứng yên.

Đáp số: 1,6.10-22

kg.m/s




CƠ HỌC LƢỢNG TỬ

Cơ học lƣợng tử là một lý thuyết Vật lý nghiên cứu sự vận động của vật chất trong

thế giới vi mô, các hạt trong thế giới đó gọi là vi hạt. Vấn đề ở đây là các quy luật vận

động của vi hạt không tuân theo các quy luật cổ điển. Chỉ có cơ học lƣợng tử mới giải

quyết một cách sâu sắc các quy luật và chính xác các hiện tƣợng này. Trên cơ sở các

nghiên cứu theo lý thuyết cơ học lƣợng tử chúng ta sẽ thu đƣợc những thông tin về quy

luật vận động vật chất, giải thích các hiệu ứng, các hiện tƣợng xảy ra trong nguyên tử,

phân tử, hạt nhân,... Vật lý lƣợng tử nói chung và cơ học lƣợng tử nói riêng là một nội

dung khá phức tạp. Để hiểu đầy đủ về cơ nó chúng ta cần dành thời gian và công sức

nghiên cứu. Trong chƣơng này sẽ trình bày một số vấn đề cơ bản về cơ học lƣợng tử, là

nền tảng trong việc nghiên cứu vi hạt.


1. Nắm đƣợc giả thuyết de Broglie về lƣỡng tính sóng - hạt của vi hạt.

2. Hiểu và vận dụng đƣợc hệ thức bất định Heisenberg.

3. Nắm bắt đƣợc biểu thức của hàm sóng ψ và phƣơng trình Schrodinger.

4. Vận dụng đƣợc phƣơng trình Schrodinger để giải quyết đƣợc một số bài toán cơ

học lƣợng tử đơn giản nhƣ hạt trong giếng thế, hiệu ứng đƣờng ngầm, dao động tử điều

hòa lƣợng tử.

II. NỘI DUNG

§1. LƢỠNG TÍNH SÓNG HẠT CỦA VI HẠT

1. Lƣỡng tính sóng hạt của ánh sáng

Các chƣơng trƣớc đây ta đã nghiên cứu về ánh sáng. Trên cơ sở sử dụng lý thuyết

sóng để giải thích đƣợc các hiện tƣợng giao thoa, nhiễu xạ. Điều đó chứng tỏ rằng ánh

sáng có tính chất sóng. Tuy nhiên, một số hiện tƣợng thì không thể giải thích đƣợc bằng



lý thuyết sóng mà phải xem nhƣ ánh sáng là các hạt (photon) để giải thích nhƣ hiện tƣợng

bức xạ nhiệt, hiện tƣợng quang điện, hiệu ứng Compton. Nhƣ vậy ta công nhận rằng ánh

sáng cũng thể hiện tính chất hạt. Tuy nhiên, với một ánh sáng đơn sắc xác định thì ta

công nhận ánh sáng vừa có tính chất sóng, vừa có tính chất hạt là luận điểm hợp lý

nhất và cho đến ngày nay khoa học công nhận điều này và gọi là lƣỡng tính sóng hạt

của ánh sáng.

Lƣỡng tính sóng hạt của ánh sáng đƣợc Einstein nêu trong thuyết photon: ánh sáng

đƣợc cấu tạo bởi các hạt photon, mỗi hạt mang năng lƣợng E hv và động lƣợng h

p

.

Ta thấy các đại lƣợng đặc trƣng cho tính chất hạt (E, p) và các đại lƣợng đặc trƣng

cho tính chất sóng (λ, ν) liên hệ trực tiếp với

nhau. Chúng ta sẽ thiết lập hàm sóng cho hạt

photon.

Xét một chùm ánh sáng đơn sắc, song

song. Giả sử mặt sóng là các mặt phẳng

vuông góc với phƣơng truyền sóng. Nếu dao

động sáng tại O là:

os2x Ac vt (7.1)

thì biểu thức dao động sáng tại mọi điểm trên

mặt sóng đi qua điểm M cách mặt sóng đi

qua O một đoạn d là:

2

( ) os2 ( ) os2 ( ) os( )d d d d

x t Ac v t Ac vt Ac tc c

(7.2)

trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không, λ là bƣớc sóng ánh sáng trong chân

không:c

cTv

, với T là chu kì , ν là tần số của sóng ánh sáng. Từ hình 7.1 ta có:

. os .d r c r n (7.3)

n : vectơ pháp tuyến đơn vị. Thay (7.3) vào (7.2) ta nhận đƣợc:

.( ) os2 ( )

d r nx t Ac vt

c

(7.4)

Phƣơng trình (7.4) là hàm sóng phẳng đơn sắc. Sử dụng kí hiệu cho hàm sóng

và biểu diễn nó dƣới dạng hàm phức ta có:

0

.exp 2 ( )

r ni vt

(7.5)

Thay , ,2

E h hv p

h vào (7.5) ta đƣợc:

Hình 7.1 Sự truyền sóng phẳng

ánh sáng.



( . )

0 ei

Et p r

(7.6)

2. Giả thuyết de Broglie (Đơbrơi)

Giả thuyết de Broglie:

* Nếu một vi hạt tự do có năng lƣợng E, động lƣợng p xác định thì tƣơng ứng với

một sóng phẳng đơn sắc xác định.

* Năng lƣợng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng tƣơng ứng thông qua

hệ thức:

.E h v hay E .

* Động lƣợng của vi hạt liên hệ với bƣớc sóng của sóng tƣơng ứng theo hệ thức:

hp hay p k

,

trong đó k là vectơ sóng, có phƣơng và chiều là phƣơng và chiều truyền sóng, có độ lớn

2k

. Sóng de Broglie là sóng vật chất, sóng của các vi hạt.

3. Thực nghiệm xác nhận tính chất sóng của các hạt vi mô

a. Nhiễu xạ của electron qua khe hẹp:

Cho chùm electron đi qua một khe

hẹp (hình vẽ 7.2). Trên màn huỳnh quang

ta thu đƣợc hình ảnh nhiễu xạ giống nhƣ

hiện tƣợng nhiễu xạ của ánh sáng qua một

khe hẹp. Nếu ta cho từng electron riêng biệt

đi qua khe trong một thời gian dài để số

electron đi qua khe đủ lớn, ta vẫn thu đƣợc

hình ảnh nhiễu xạ trên màn huỳnh quang.

Điều này chứng tỏ mỗi hạt electron riêng

lẻ đều có tính chất sóng. Điều này khẳn

định rằng, giả thuyết của De Broglie là

đúng.

b. Nhiễu xạ của electron trên tinh thể

Hình 7.2 Nhiễu xạ của electrôn qua

một khe hẹp



Thí nghiệm của Davisson và Germer quan sát đƣợc hiện tƣợng nhiễu xạ của

electron trên mặt tinh thể Ni (hình 7.3). Khi cho một

chùm electron bắn vào mặt tinh thể Ni, chùm e-

sẽ tán

xạ trên mặt tinh thể Ni dƣới các góc khác nhau. Trên

màn hình ta thu đƣợc các vân nhiễu xạ. Hiện tƣợng

xảy ra giống hệt hiện tƣợng nhiễu xạ của tia X trên

mặt tinh thể Ni. Tinh thể Ni nhƣ một cách tử nhiễu

xạ. Hiện tƣợng electron nhiễu xạ trên cách tử chứng

tỏ bản chất sóng của chúng. Thay Ni bằng các tinh thể

khác, tất cả các thí nghiệm đều xác nhận chùm

electron gây hiện tƣợng nhiễu xạ trên tinh thể. Các vi

hạt khác nhƣ notron, proton cũng gây hiện tƣợng

nhiễu xạ trên tinh thể.

Các kết quả thí nghiệm trên đều xác nhận tính chất sóng của vi hạt và do đó chứng

minh sự đúng đắn của giả thuyết de Broglie.

Cuối cùng, ta phải nhấn mạnh về nội dung giới hạn của giả thiết de Broglie. Bƣớc

sóng de Broglie tỉ lệ nghịch với khối lƣợng của hạt:

v

h h

p m

do đó đối với những hạt thông thƣờng mà khối lƣợng rất lớn, thậm chí là vô cùng lớn so

với khối lƣợng của electron chẳng hạn thì bƣớc sóng de Broglie tƣơng ứng có giá trị vô

cùng bé và không còn ý nghĩa để mô tả tính chất sóng nữa. Nhƣ vậy, khái niệm lƣỡng

tính sóng hạt thực sự chỉ thể hiện ở các hạt vi mô mà thôi và sóng de Broglie có bản chất

đặc thù lƣợng tử, nó không tƣơng tự với sóng thực trong vật lí cổ điển nhƣ sóng nƣớc hay

sóng điện từ...

§2. NGUYÊN LÝ BẤT ĐỊNH HEISENBERG

Do có lƣỡng tính sóng hạt nên qui luật vận động của vi hạt trong thế giới vi mô

khác với qui luật vận động của hạt trong thế giới vĩ mô. Vì vậy đòi hỏi phải xây dựng

một lý thuyết mới và công cụ toán học mới cho phù hợp với quy luật vận động của nó.

Một qui luật mà tất cả các vi hạt đều phải tuân theo có là nguyên lý bất định Heisenberg.

Hinh 7.3 Nhiễu xạ của

Electrôn trên tinh thể.



. xx p h (7.6)

Để chứng minh hệ thức này chúng ta trở lại hiện tƣợng nhiễu xạ của chùm vi hạt

qua một khe hẹp có bề rộng b.

Sau khi qua khe hạt sẽ bị nhiễu xạ

theo nhiều phƣơng khác nhau, tuỳ

theo góc nhiễu xạ , mật độ hạt

nhiễu xạ trên màn sẽ cực đại hoặc

cực tiểu. Xét tọa độ của hạt theo

phƣơng x, nằm trong mặt phẳng khe

và song song với bề rộng khe. Tọa

độ x của hạt trong khe sẽ có giá trị

trong khoảng từ 0 đến b (0 x b ).

Nói cách khác, vị trí của hạt trong

khe đƣợc xác định với độ bất định

x b .

Sau khi hạt qua khe, hạt bị nhiễu xạ, phƣơng động lƣợng p thay đổi. Hình chiếu của

p theo phƣơng x sẽ có giá trị thay đổi trong khoảng 0 sinxp p , nghĩa là sau khi đi

qua khe, hạt có thể rơi vào cực đại giữa hoặc cực đại phụ và xp đƣợc xác định với một

độ bất định nào đó. Xét trƣờng hợp hạt rơi vào cực đại giữa 1sinxp p ,

1 là góc ứng

với cực tiểu thứ nhất: 1sinb

. Do đó ta có:

1. . .sinx p b p p .

Theo giả thuyết de Broglie h

p

. Thay vào biểu thức trên ta nhận đƣợc hệ thức

bất định Heisenberg:

. xx p h .

Lý luận tƣơng tự ta cũng thu đƣợc:

. yy p h

. zz p h .

Hệ thức bất định Heisenberg là một trong những định luật cơ bản của cơ học lƣợng

tử. Hệ thức này chứng tỏ vị trí và động lƣợng của hạt không đƣợc xác định chính xác một

cách đồng thời. Vị trí của hạt càng xác định thì động lƣợng của hạt càng bất định và

ngƣợc lại.

Hình 7.4 Nhiễu xạ qua một khe



Ví dụ: Trong nguyên tử e-

chuyển động trong phạm vi 10-10

m. Do đó độ bất định về

vận tốc là:

346

31 10

6.625.107.10 /

9.1.10 .10

xx

e e

p hv m s

m m x

.

Ta thấy khá lớn cho nên vx , electron

không có vận tốc xác định, nghĩa là không

chuyển động theo một quĩ đạo xác định trong nguyên tử. Điều này chứng tỏ rằng trong

thế giới vi mô khái niệm quĩ đạo không có ý nghĩa.

Ví dụ: Ta xét hạt trong thế giới vĩ mô khối lƣợng của hạt m = 10-15

kg, độ bất định về vị

trí 810x m . Do đó độ bất định về vận tốc là

3411

15 8

6.625.106.6.10 /

10 .10

xx

e e

p hv m s

m m x

.

Nhƣ vậy đối với hạt vĩ mô Δx và Δvx đều nhỏ, nghĩa là vị trí và vận tốc có thể đƣợc

xác định chính xác đồng thời.

Theo cơ học cổ điển, nếu biết đƣợc toạ độ và động lƣợng của hạt ở thời điểm ban

đầu thì ta có thể xác định đƣợc trạng thái của hạt ở các thời điểm sau. Nhƣng theo cơ học

lƣợng tử thì toạ độ và động lƣợng của vi hạt không thể xác định đƣợc đồng thời, do đó ta

chỉ có thể đoán nhận khả năng vi hạt ở một trạng thái nhất định mà thôi. Nói cách khác vi

hạt chỉ có thể ở một trạng thái với một xác suất nào đó. Nghĩa là sự vận động của vi hạt

tuân theo qui luật thống kê.

Ngoài hệ thức bất định về vị trí và động lƣợng, trong cơ học lƣợng tử ngƣời ta còn

tìm đƣợc hệ thức bất định giữa năng lƣợng và thời gian:

.E t h . (7.7)

Trạng thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn

và ngƣợc lại, nếu năng lƣợng của hệ ở một trạng thái nào đó càng xác định thì thời gian

tồn tại của hệ ở trạng thái đó càng dài. Nhƣ vậy trạng thái có năng lƣợng bất định là trạng

thái không bền, còn trạng thái có năng lƣợng xác định là trạng thái bền.

§3. HÀM SÓNG

Có nhiều phƣơng pháp toán học mô tả cơ học lƣợng tử, chúng tƣơng đƣơng với

nhau. Một trong những phƣơng pháp đƣợc dùng nhiều nhất đó là lý thuyết biến đổi, do

Paul Dirac phát minh ra nhằm thống nhất và khái quát hóa hai phƣơng pháp toán học



trƣớc đó là cơ học ma trận (của Werner Heisenberg) và cơ học sóng (của Erwin

Schrödinger).

Theo phƣơng pháp toán học mô tả cơ học lƣợng tử này thì các trạng thái lƣợng tử của

một hệ lƣợng tử sẽ mã hóa xác suất mà các tính chất, hay quan sát có thể đo đƣợc. Các

quan sát có thể là năng lƣợng, vị trí, mô men, mô men góc. Các quan sát có thể là liên tục

(ví dụ vị trí của các hạt) hoặc rời rạc (ví dụ năng lƣợng của điện tử trong nguyên tử

hydrogen).

Nói chung, cơ học lƣợng tử không cho ra các giá trị xác định các quan sát. Thay vào đó,

nó tiên đoán một phân bố xác suất, tức là, xác suất để thu đƣợc một kết quả khả dĩ từ một

phép đo nhất định. Các xác suất này phụ thuộc vào trạng thái lƣợng tử ngay tại lúc tiến

hành phép đo. Tuy nhiên vẫn có một số các trạng thái nhất định liên quan đến một giá trị

xác định của một quan sát cụ thể. Các giá trị đó đƣợc biết với cái tên là hàm riêng, hay

còn gọi là trạng thái riêng của quan sát đó.

1. Hàm sóng

Để xác định trạng thái của vi hạt, ta phải dùng một khái niệm mới đó là hàm sóng.

Theo giả thuyết de Broglie chuyển động của hạt tự do có năng lƣợng E và động

lƣợng p thì đƣợc mô tả bởi hàm sóng tƣơng tự nhƣ sóng ánh sáng phẳng đơn sắc:

0 0exp ( . ) exp ( . )i

Et p r i t k r

. (7.8)

Trong đó ,E p k và 0 là biên độ đƣợc xác định bởi:

22

0 * , (7.9)

* là liên hợp phức của .

Nếu hạt vi mô chuyển động trong trƣờng thế, thì hàm sóng của nó là một hàm

phức tạp của toạ độ r và thời gian t ,

( , ) ( , , , )r t x y z t .

2. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng

Xét chùm hạt photon truyền trong không gian. Xung quanh điểm M lấy thể tích bất

kì (hình 7.5) ΔV

* Theo quan điểm sóng: Cƣờng độ sáng tại M tỉ lệ với bình

phƣơng biên độ dao động sáng tại M: 2

0I

Hình 7.5



* Theo quan điểm hạt: Cƣờng độ sáng tại M tỉ lệ với năng lƣợng các hạt trong đơn vị thể

tích bao quanh M, nghĩa là tỉ lệ với số hạt trong đơn vị thể tích đó.Từ đây ta thấy rằng số

hạt trong đơn vị thể tích tỉ lệ với 2

0 . Số hạt trong đơn vị thể tích càng nhiều thì khả

năng tìm thấy hạt trong đó càng lớn. Vì vậy có thể nói bình phƣơng biên độ sóng 2

tại

M đặc trƣng cho khả năng tìm thấy hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M . Do đó 2

là

mật độ xác suất tìm hạt và xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian là2

V

dV . Khi

tìm hạt trong toàn không gian, chúng ta chắc chắn tìm thấy hạt. Do đó xác suất tìm hạt

trong toàn không gian là 1:

2

1V

dV . (7.10)

Đây chính là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng.

Tóm lại:

- Để mô tả trạng thái của vi hạt ngƣời ta dùng hàm sóng ψ.

- 2

biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái đó.

- không mô tả một sóng thực trong không gian. Ý nghĩa vật lý của hàm

sóng là thống kê, nó đặc trƣng cho xác suất tìm thấy hạt trong một miền nào

đó.

3. Điều kiện của hàm sóng

- Hàm sóng phải hữu hạn. Điều này đƣợc suy ra từ điều kiện chuẩn hoá, hàm sóng

phải hữu hạn thì tích phân mới hữu hạn.

- Hàm sóng phải đơn trị, vì theo lí thuyết xác suất: mỗi trạng thái chỉ có một giá trị

xác suất tìm hạt.

- Hàm sóng phải liên tục, vì xác suất 2

không thể thay đổi nhảy vọt.

- Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục.

§4. PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Hàm sóng de Broglie mô tả chuyển động của vi hạt tự do có năng lƣợng và động

lƣợng xác định:



0 exp ( . ) ( )expi

i t k r r Et

, (7.11)

trong đó

0( ) exp

ir pr

, (7.12)

là phần phụ thuộc vào tọa độ của hàm sóng. Ta có thể biểu diễn ( )r trong hệ tọa độ Đề

các nhƣ sau:

0( ) exp ( )x y z

ir p x p y p z

(7.13)

Lấy đạo hàm x

, ta đƣợc:

( )x

ip r

x

.

Lấy đạo hàm bậc hai của theo x:

2 2 22

2 2 2( ) ( )x

x

i pp r r

x

. (7.14)

Ta cũng thu đƣợc kết quả tƣơng tự cho các biến y và z.

Trong đó Δ là toán tử Laplace, trong hệ toạ độ Đề các thì toán tử này là:

2 2 2

2 2 2( ) ( )r r

x y z

, (7.15)

ta đƣợc:

2 2 2 2

2 2( ) ( ) ( )x x xp p p pr r r

(7.16)

Gọi Eđ là động năng của hạt, ta viết đƣợc:

22 21

E v 2 E2 2

đ đ

pm hay p m

m

Thay p2

vào (7.16) và chuyển sang vế trái ta thu đƣợc:

2

2( ) E ( ) 0đ

mr r (7.17)

Phƣơng trình (7.17) đƣợc gọi là phƣơng trình Schrodinger cho vi hạt chuyển động tự do.

Nếu vi hạt không tự do, nghĩa là vi hạt chuyển động dƣới tác dụng của một trƣờng lực thế

có thế năng U không phụ thuộc thời gian. Năng lƣợng của vi hạt là E = Eđ

+ U. Thay Eđ

=

E - U vào (7.17) ta đƣợc:



2

2( ) [E ( )] ( ) 0đ

mr U r r (7.18)

Biết dạng cụ thể của ( )U r , giải phƣơng trình Schrodinger ta tìm đƣợc ( )r và E,

nghĩa là xác định đƣợc trạng thái và năng lƣợng của vi hạt. Ta giới hạn chỉ xét hệ là kín

hay đặt trong trƣờng ngoài không biến thiên theo thời gian. Năng lƣợng của hệ khi đó

không đổi và trạng thái của hệ đƣợc gọi là trạng thái dừng. Phƣơng trình (7.18) đƣợc gọi

là phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng.

Cho đến nay ta vẫn xét hạt chuyển động với vận tốc v << c, do đó phƣơng trình

(7.18) mô tả chuyển động của vi hạt phi tƣơng đối tính, có khối lƣợng nghỉ khác không.

Phƣơng trình Schrodinger mô tả sự vận động của vi hạt, nó có vai trò tƣơng tự nhƣ

phƣơng trình của các định luật Newton trong cơ học cổ điển. Một điểm cần chú ý là,

phƣơng trình Schrodinger không đƣợc chứng minh. Nó đƣợc xây dựng trên cơ sở hàm

sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng và giả thuyết sóng-hạt de Broglie, do đó đƣợc coi nhƣ

một tiên đề. Việc mở rộng phƣơng trình Schrodiger cho hạt tự do sang trƣờng hợp hạt

chuyển động trong trƣờng thế cũng đƣợc coi là một sự tiên đề hóa. Dƣới đây là những

ứng dụng phƣơng trình Schrodinger trong những bài toán cụ thể nhƣ hạt trong giếng thế,

hiệu ứng đƣờng ngầm...

§5. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER

1. Hạt trong giếng thế năng

Trong những bài toán thực tế, ta thƣờng gặp những trƣờng hợp hạt chỉ chuyển động

trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ nhƣ

electron trong mạng tinh thể hay nuclôn trong hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt ở trong

giếng thế năng.

Ta hãy xét trƣờng hợp hạt nằm trong giếng thế năng

có thành cao vô hạn và chuyển động theo một phƣơng

x bên trong giếng thế (hình 7.6). Thế năng U đƣợc

xác định theo điều kiện:

0 0

0,

khi x aU

khi x x a

Nhƣ vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do

và không thể vƣợt ra ngoài giếng.

Phƣơng trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U

= 0) một chiều (chiều x) có dạng:

Hình 7-6 Giếng thế năng



2

2 2

( ) 2( ) 0

d x mEx

dx

(7.19)

Đặt 2

2

2mEk , ta có:

22

2

( )( ) 0

d xk x

dx

(7.20)

Nghiệm của phƣơng trình (7.20) có dạng

( ) sin cosx A kx B kx (7.21)

A, B là những hằng số đƣợc xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài thì hạt chỉ

ở trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế bằng không và hàm

sóng trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta suy ra

(0) 0 , ( ) 0a : Thay điều kiện này vào (7.21) ta có,

(0) sin(0) 0 0A B B

Và ( ) sin 0a A ka .

Vì B = 0 nên để tồn tại hàm sóng thì 0A , do đó:

sin 0 sin sin ; 1,2,...ka ka n n

Suy ra,

; 1,2,...n

k na

(7.22)

Nhƣ vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng:

( ) sinn

x A xa

, (7.23)

thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa

(7.10) của hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng nên xác suất tìm thấy hạt trong giếng

là chắc chắn:

2

0

( ) 1

a

x dx

Thế ( ) sinn

x A xa

vào ta đƣợc

2 22 22

0 0 0

2( ) sin 1 cos 1

2 2

a a an A n A a

x dx A x dx x dxa a

Do đó, 2

Aa

.

Nhƣ vậy hàm sóng đƣợc xác định hoàn toàn:



2( ) sinn

nx x

a a

(7.24)

Năng lƣợng của hạt trong giếng thế cũng đƣợc tìm thấy khi ta thay biểu thức (7.22) vào

2

2

2mEk ta đƣợc

2 2

2

22nE n

ma

(7.25)

Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau:

a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng ( )x

b. Năng lƣợng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến thiên

gián đoạn. Ta nói rằng năng lƣợng đã bị lƣợng tử hóa.

Với n = 1 ta có mức năng lƣợng cực tiểu 2 2

1 22E

ma

ứng với hàm sóng

1

2( ) sinx x

a a

, hàm sóng lúc này mô tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt.

Hàm sóng 1( )x khác không tại mọi điểm trong giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí

biên (Hình 7.7).

Khoảng cách giữa hai mức năng lƣợng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n +

1 bằng: 2 2

1 2(2 1)

2n n nE E E n

ma

(7.26)

nE càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi

mô, sự lƣợng tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electron 31m 9,1.10 kg , a ~

Hình 7.7 Hạt trong giếng thế năng một chiều,

cao vô hạn.



5.10-10

m thì ΔE ~ 1eV, khoảng cách giữa En+1

và En tƣơng đối lớn, năng lƣợng bị lƣợng tử

hóa. Nhƣng nếu xét một phân tử có m ~10-28

kg chuyển động trong miền a ~ 10cm thì

khoảng cách giữa các mức năng lƣợng ΔE~ 10-20

eV khá nhỏ. Trong trƣờng hợp này có

thể coi năng lƣợng của phân tử biến thiên liên tục.

c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng:

2 22

( ) sinn

nx x

a a

(7.27)

Mật độ xác suất cực đại khi: sin 1n

xa

. Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất

tại: (2 1) 0, 1, 2,...2

ax m a m

n

Ví dụ: Khi n = 1, xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/2 là lớn nhất. Khi n = 2 xác suất

tìm thấy hạt ở điểm x=a/4 và x=3a/4 lớn nhất...

Mật độ xác suất cực tiểu khi: sin 0n

xa

. Do đó xác suất tìm thấy hạt nhỏ nhất tại

max a

n . Các kết quả đƣợc biểu diễn trên hình 7.7.

2. Hiệu ứng đƣờng ngầm

Ta xét hạt mang năng lƣợng E, chuyển động

theo phƣơng x từ trái sang phải đập vào hàng rào thế

năng nhƣ hình 7.8. Theo quan điểm của cơ học cổ

điển, nếu E < Uo

hạt không thể vƣợt qua hàng rào.

Theo quan điểm của cơ học lƣợng tử ta sẽ thấy hạt

vẫn có khả năng xuyên qua hàng rào thế năng. Hiện

tƣợng xuyên qua hàng rào thế năng nhƣ vậy đƣợc gọi

là hiệu ứng đƣờng ngầm.

Chúng ta sẽ nghiên cứu trƣờng hợp hàng rào thế năng dạng đơn giản nhƣ hình 7.8:

0

0 0

0

0

x

U U x a

x a

(7.28)

Phƣơng trình Schrodiger đối với các miền nhƣ sau:

Hình 7.8 Hàng rào thế



Miền I:

221

1 12

( )( ) 0

d xk x

dx

với

2

1 2

2mEk

Miền II:

222

2 22

( )( ) 0

d xk x

dx

với

2

1 02

2( )

mk U E (7.29)

Miền III:

223

1 32

( )( ) 0

d xk x

dx

.

Trong miền I có cả sóng tới và sóng phản xạ. Nghiệm ψ1

trong miền này có dạng:

1 1

1 1 1( ) ik x ik xx Ae B e (7.30)

Số hạng thứ nhất của vế phải biểu diễn sóng tới truyền từ trái sang phải. Số hạng thứ hai

của vế phải biểu diễn sóng phản xạ trên mặt hàng rào thế năng, truyền ngƣợc trở lại từ

phải sang trái.

Nghiệm tổng quát trong miền II là:

2 2

2 2 2( ) ik x ik xx A e B e (7.31)

Nghiệm tổng quát trong miền III có dạng:

1 1( ) ( )

1 3 3( ) ik x a ik x ax A e B e (7.32)

Số hạng thứ nhất của phƣơng trình (7.32) biểu diễn sóng xuyên qua hàng rào và truyền từ

trái sang phải. Số hạng thứ hai biểu diễn sóng phản xạ từ vô cực về, nhƣng sóng này

không có, nên ta có thể cho B3 = 0.

Hệ số truyền qua hàng rào D đƣợc định nghĩa là tỷ số giữa số hạt xuyên qua đƣợc

hàng rào và số hạt đi tới hàng rào. Và số hạt lại tỷ lệ với bình phƣơng của biên độ sóng.

Biên độ sóng tới hàng rào là A1

và biên độ sóng xuyên qua hàng rào là A3, do đó ta có

2

3

2

1

AD

A (7.33)

Hệ số phản xạ R đƣợc định nghĩa là tỷ số giữa số hạt phản xạ và số hạt đi tới hàng

rào, do đó ta có:

2

1

2

1

BR

A (7.34)

trong đó B1

là biên độ sóng phản xạ trên mặt hàng rào. Do điều kiện bảo toàn số hạt, ta

phải có 2 2 2

3 1 1A B A .

Do đó,

1D R (7.35)



Để tính đƣợc hệ số D và R ta phải tính đƣợc các biên độ sóng. Muốn vậy ta dựa vào

điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó tại các vị trí biên (x = 0 và x = a). Từ

các điều kiện biên:

1 2

1 2

2 3

2 3

(0) (0)

' (0) ' (0)

( ) ( )

' ( ) ' ( )

a a

a a

(7.36)

ta rút ra các hệ thức sau

1 1 2 2A B A B (7.37)

1 1 1 2 2 2( ) ( )ik A B k A B (7.38)

2 2

2 2 3

k a k aA e B e A

(7.39)

2 2

2 2 2 1 3( )k a k a

k A e B e ik A

(7.40)

Từ (7.39) và (7.40) ta có thể biểu thị A2, B

2 qua A

3:

2

2 3

1

2

k ainA A e

(7.41)

2

2 3

1

2

k ainB A e

(7.42)

Trong đó:

1

2 0

k En

k U E

Vì 1 1in in , nên ta suy ra 2 2A B . Do đó, có thể đặt B2=0. Từ (7.37) và (7.38) ta

rút ra đƣợc A1 theo A

2, sau đó sử dụng (7.41) ta tính đƣợc:

2

1 3

1 1

2 2

k ain inA A e

n

. (7.43)

Từ đây ta thu đƣợc hệ số truyền qua:

2

2 223

2 22

1

16

1

k aA nD e

A n

. (7.44)

Nếu

2

22

16

1

n

n vào cỡ 1 (U

0 vào cỡ 10E) thì có thể viết:

22k aD e .

Hay,



0

2exp 2 ( )

aD m U E

m

(7.45)

Từ (7.45) ta nhận thấy rằng, ngay khi năng lƣợng E của hạt nhỏ hơn thế năng của

rào (E < U0) thì D vẫn luôn luôn khác không, nghĩa là vẫn có hạt xuyên qua rào. Nếu D

lớn, hạt xuyên qua rào nhiều và ngƣợc lại, nhƣng luôn khác 0.

Ví dụ hạt electron m = 9,1.10-31

kg. Nếu U0

- E ~ 1,3.10-31

J, ta có đƣợc sự phụ thuộc

của D vào bề rộng của hàng rào thế năng theo bảng sau:

Hệ số D có giá trị đáng kể khi a nhỏ, nghĩa là hiệu ứng đƣờng ngầm chỉ xảy ra rõ rệt

trong kích thƣớc vi mô. Hiệu ứng đƣờng ngầm là một hiện tƣợng thể hiện rõ tính chất

sóng của vi hạt, điều này không thể có đối với hạt vĩ mô.

Hiệu ứng đƣờng ngầm cho phép ta giải thích nhiều hiện tƣợng gặp trong tự nhiên.

Ví dụ hiện tƣợng phát electron lạnh, hiệu ứng phân rã hạt α...

Hiện tƣợng phát electron lạnh: electron muốn thoát ra khỏi kim loại cần có đủ năng

lƣợng thắng công cản, vƣợt qua hàng rào thế năng Uo, nhƣ vậy ta cần phải nung nóng

kim loại. Tuy nhiên, vì có hiệu ứng đƣờng

ngầm, nên ngay ở nhiệt độ thƣờng, dù E <

Uo, vẫn có khả năng electron thoát ra ngoài

kim loại. Hiện tƣợng này đƣợc gọi là hiện

tƣợng phát electron lạnh.

Hiện tƣợng phân rã α cũng đƣợc giải thích

tƣơng tự. Hạt nhân nguyên tử gồm có các

hạt proton (p) và notron (n). Trong hạt nhân

các hạt p và n tƣơng tác với nhau bằng lực

hạt nhân, cho nên có thể xem nhƣ chúng

nằm trong giếng thế năng. Hạt α gồm hai hạt

p và hai hạt n, mặc dù năng lƣợng của hạt α

nhỏ hơn độ cao rào thế nhƣng do hiệu ứng đƣờng ngầm, hạt p và n của hạt α vẫn có thể

bay ra khỏi hạt nhân, hiện tƣợng này gọi là hiện tƣợng phân rã α (hình 7.9).

a[m] 10-10

1,5.10-10

2.10-10

5.10-10

D 0,1 0,03 0,008 5.10-7

Hình 7-9 Hiện tƣợng

phân rã α



3. Dao động tử điều hòa lƣợng tử

Một vi hạt thực hiện dao động nhỏ điều hòa xung quanh vị trí cân bằng là một ví dụ

về dao động tử điều hòa lƣợng tử. Dao động của nguyên tử trong phân tử, dao động của

các iôn xung quanh nút mạng tinh thể... đều là những ví dụ về dao động tử điều hòa. Dao

động tử điều hòa là một hiện tƣợng rất quan trọng của vật lí nói chung và cơ học lƣợng tử

nói riêng.

Ta xét vi hạt dao động (một chiều) trong trƣờng thế năng. Trong phần dao động ta

đã biết thế năng của dao động điều hòa một chiều bằng:

2 2 21

2U kx m x (7.46)

trong đó m là khối lƣợng của vi hạt, ω là tần số góc của dao động. Phƣơng trình

Schrodinger cho dao động tử điều hòa có dạng:

2 2 2

2 2

2( ) 0

2

d m m xE

dx

(7.47)

Giải phƣơng trình (7.47) và tìm đƣợc biểu thức năng lƣợng của dao động tử điều

hòa:

1( )

2nE n với n = 0,1,2... (7.48)

Ta thấy năng lƣợng của dao động tử chỉ lấy những giá trị gián đoạn, có nghĩa rằng

năng lƣợng của dao động tử đã bị lƣợng tử hóa. Năng lƣợng thấp nhất của dao động tử

điều hòa ứng với n = 0.

02

E

Năng lƣợng này đƣợc gọi là năng lƣợng “không”. Năng lƣợng “không” liên quan

đến dao động “không” của dao động tử, nghĩa là khi T = 0K, dao động tử vẫn dao động.

Điều này đã đƣợc thực nghiệm xác nhận trong thí nghiệm tán xạ tia X. Tia X bị tán xạ là

do các dao động nguyên tử trong mạng tinh thể gây ra. Theo cơ học cổ điển, khi nhiệt độ

càng giảm, biên độ dao động của các nguyên tử giảm đến không, do đó sự tán xạ của ánh

sáng phải biến mất. Nhƣng thực nghiệm chứng tỏ, khi nhiệt độ giảm, cƣờng độ tán xạ

tiến tới một giá trị giới hạn nào đó. Điều đó có nghĩa rằng, ngay cả khi T→ 0, sự tán xạ

ánh sáng vẫn xảy ra và các nguyên tử trong mạng tinh thể vẫn dao động, tƣơng ứng với

một năng lƣợng Eo

nào đó. Nhƣ vậy thực nghiệm đã xác nhận sự đúng đắn của cơ học

lƣợng tử.

Sự tồn tại của năng lƣợng “không” cũng phù hợp với hệ thức bất định Heisenberg.

Thực vậy, nếu mức năng lƣợng thấp nhất của dao động tử bằng 0, nhƣ thế có nghĩa là hạt

đứng yên và vận tốc và tọa độ của vi hạt đƣợc xác định đồng thời (đều bằng 0), điều này

mâu thuẫn với hệ thức bất định. Sự tồn tại của mức năng lƣợng “không” của dao động tử

điều hòa là một trong những biểu hiện đặc trƣng nhất của lƣỡng tính sóng-hạt của vi hạt.




1. Phát biểu giả thuyết de Broglie về lƣỡng tính sóng hạt của vi hạt.

2. Viết biểu thức hàm sóng cho vi hạt và nêu ý nghĩa của các đại lƣợng có trong biểu thức

đó.

3. Viết phƣơng trình Schrodinger cho vi hạt tự do và vi hạt chuyển động trong trƣờng lực

thế. Nêu ý nghĩa các đại lƣợng có trong phƣơng trình.

4. Hãy nêu bản chẩt và ý nghĩa thống kê của hàm sóng. Các điều kiện của hàm sóng.

5. Phát biểu và nêu ý nghĩa của hệ thức bất định Heisenberg cho vị trí và động lƣợng.

8. Phát biểu và nêu ý nghĩa của hệ thức bất định cho năng lƣợng.

7. Phân tích tại sao trong cơ học lƣợng tử khái niệm quĩ đạo của vi hạt không còn có ý

nghĩa. Khái niệm quĩ đạo của vi hạt đƣợc thay thế bằng khái niệm gì ?

8. Hãy tìm biểu thức của hàm sóng và năng lƣợng của vi hạt trong giếng thế năng một

chiều, có chiều cao vô cùng.

9. Định nghĩa dao động tử điều hòa lƣợng tử. Viết phƣơng trình Schrodinger và biểu thức

năng lƣợng của dao động tử điều hòa. Từ đó rút ra biểu thức của “năng lƣợng không”,

nêu ý nghĩa của biểu thức này.

BÀI TẬP

Thí dụ 1: Electron chuyển động tƣơng đối tính với vận tốc 2.108

m/s. Tìm:

1. Bƣớc sóng de Broglie của electron.

2. Động lƣợng của electron.

Bài giải

1. ¸p dụng cơ học tƣơng đối tính:

2

2120

20

2

(1 )

; 2,72.10v v

(1 )

e

e

v

mh h cm m

m mv

c

.

2. Động lƣợng của electron: 222,44.10 . /h

p kg m s

.

Thí dụ 2: Động năng của electron trong nguyên tử hiđrô có giá trị vào cỡ 10eV. Dùng hệ

thức bất định hãy đánh giá kích thƣớc nhỏ nhất của nguyên tử.

Bài giải: Theo hệ thức bất định Heisenberg: . xx p h

Giả sử kích thƣớc của nguyên tử bằng , vậy vị trí của electron theo phƣơng x xác

định bởi: 02

lx , nghĩa là

2

lx



Từ hệ thức bất định ta suy ra: 2

x

hl

p

Mặt khác xp p mà 2 Ee đp m , trong đó Eđ

là động năng.

Vậy giá trị nhỏ nhất của kích thƣớc nguyên tử: 10

min

21,24.10

2 Ee đ

hl m

m

.


1. Electron phải có vận tốc bằng bao nhiêu để động năng của nó bằng năng lƣợng của

photon có bƣớc sóng λ = 5200A0

.

Đáp số: 5v=9,2.10 /m s

2. Tìm vận tốc của electron để động lƣợng của nó bằng động lƣợng của photon có bƣớc

sóng λ = 5200A0

.

Đáp số: v=1400 /m s

3. Tìm động lƣợng của electron chuyển động với vận tốc v = 0,8 c.

Đáp số: 22p=3,64.10 /kgm s

4. Tìm bƣớc sóng de Broglie của:

a. Electron đƣợc tăng tốc bởi hiệu điện thế 1V, 100V, 1000V.

b. Electron đang chuyển động tƣơng đối tính với vận tốc 108

m/s.

Đáp số:

a. 10 10 10

1 2 312,25.10 ; 1,225.10 ; 0,338.10m m m .

b. 110,69.10 m .

5. Xác định bƣớc sóng de Broglie của electron có động năng

a. Eđ = 100eV.

b. Eđ= 3MeV

Đáp số:

a. = 1,23.10-10

m.

b. = 0,82.10-10

m.

8. Electron có bƣớc sóng de Broglie λ = 8.10-10

m. Tìm vận tốc chuyển động của electron.

Đáp số: v = 0,12.107 m/s.

7. Electron không vận tốc ban đầu đƣợc gia tốc bởi một hiệu điện thế U. Tính U biết rằng

sau khi gia tốc hạt chuyển động ứng với bƣớc sóng de Broglie 10-10

m.

Đáp số: U= 150 V .



8. Một hạt mang điện đƣợc gia tốc bởi hiệu điện thế U = 200V, có bƣớc sóng de Broglie

λ = 0,0202.10-8

m và điện tích về trị số bằng điện tích của electron. Tìm khối lƣợng của

hạt đó.

Đáp số: m=1,87.10-27

kg.

9. Electron có động năng Eđ

= 15eV, chuyển động trong một giọt kim loại kích thƣớc d =

10-8

m. Xác định độ bất định về vận tốc của hạt đó.

Đáp số: 0,88 %

10. Hạt vi mô có độ bất định về động lƣợng bằng 1% động lƣợng của nó. Xác định tỷ số

giữa bƣớc sóng de Broglie và độ bất định về toạ độ của hạt.

Đáp số: 100x

.

11. Viết phƣơng trình Schrodinger đối với hạt vi mô:

a. Chuyển động một chiều trong trƣờng thế 2

2

kxU .

b. Chuyển động trong trƣờng tĩnh điện Coulomb 2

04

ZeU

r .

Đáp số: a.

2 2

2 2

2( ) 0

2

d m kxE

dx

.

b.

2 2

2 2

0

2( ) 0

4

d m ZeE

dx r

.

12. Dòng hạt có năng lƣợng E xác định

chuyển động theo phƣơng x từ trái sang

phải đến gặp một hàng rào thế năng xác

định bởi:

0 0

0 0

0

khi xU

U khi x E U

Xác định hệ số phản xạ và hệ số truyền qua

hàng rào thế đối với electron đó.

Hƣớng dẫn và giải

Giải phƣơng trình Schrodinger ở hai miền I và II. Trong miền I hàm sóng 1( )x thoả

mãn:

2

112 2

20ed m

Edx

Đặt 2

2

2mE k , nghiệm của phƣơng



trình: 1

ikx ikxAe Be

Số hạng Aeikx

mô tả sóng truyền từ trái sang phải (sóng tới), số hạng Be-ikx

mô tả sóng

truyền từ phải sang trái (sóng phản xạ trong miền I).

Trong miền II, hàm sóng thoả mãn: 2

20 22 2

20ed m

E Udx

Đặt 2

1 02

2 emk E U phƣơng trình có nghiệm tổng quát:

2

ikx ikxCe De . Trong

miền II chỉ có sóng truyền từ trái sang phải nên D = 0. Vậy 2

ikxCe . Để tìm A, B, C ta

viết điều kiện liên tục của hàm sóng và của đạo hàm cấp 1 của hàm sóng:

1 21 2

(0) (0)(0) (0),

d d

dx dx

Ta đƣợc: 1

1

, ( )A B k

A B C k A B k CA B k

.

Hệ số phản xạ:

22

0122

1

211 0

1 11

1 1 1

UkB k k EkR

kk k UAk E

.

Hệ số truyền qua: 1

2

2

41

( )

kkD R

k k

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN

Documents

Transcript of TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN