الجامعة المستنصرية

كلية التربية

قسم الفيزياء

األولى: المرحلة

الدراسة الصباحية

الرياضيات: المادة

TRIGONOMETRIC FUNCTION INTEGRALS

1. The Integrals of sinu and cosu.

d

dxsinu = cosu

du

dx

.1 cosudu = sinu + c

d

dxcosu = −sinu

du

dx

.2 sinu du = −cosu + c

EXAMPLES

.1 cos3x dx =sin3x

3+ c

.2 sin7x dx = −cos7x

7+ c

.3 sin(3x − 1) dx = −cos(3x−1)

3+ c

قاتالعالاذا كانت الدالة اسية ومشتقة داخل القوس متوفرة عندها نستخدم

If the function is exponential and derived function is

available then we use the following rules.

.1 sinn aucosaudu =sinn+1au

n+1 a+ c

.2 cosn ausinaudu =−cosn+1au

n+1 a+ c

EXAMPLES

.1 sin73x cos3x dx =sin83x

(8)(3)+ c =

sin83x

24+ c

.2 sin2x cos32xdx = −cos42x

(4)(2)+ c = −

cos42x

8+ c

.3 sinx cosx dx = sinx −1 cosx dx =sin2x

2a+ c

كانت الدالة اسية والمشتقة غير متوفرة نتبع مايلياذا

نستخدمزوجيعدداالسوكانمتوفرةغيروالمشتقةاسيةالدالةكانتاذا.1

العالقات

1. cos2x =1

2+

1

2cos2x

2. sin2x =1

2−

1

2cos2x

EXAMPLES

.1 sin2x dx = 1

2−

1

2cos2x dx

=1

2dx −

1

2 cos2x dx =

x

2−

1

2

sin2x

2+ c

=x

2−

sin2x

4+ c

.2 cos23x dx = 1

2+

1

2cos2(3x) dx

=1

2dx +

1

2 cos6x dx =

x

2+

1

2

sin6x

6+ c

=x

2+

sin6x

12+ c

دمنستخفرديعدداالسوكانمتوفرةغيروالمشتقةاسيةالدالةكانتاذا.2

العالقات

sin2x + cos2x = 1sin2x = 1 − cos2xcos2x = 1 − sin2x

EXAMPLES

.1 sin3 xdx = sin2x sinxdx = 1 − cos2x sinxdx

= sinxdx − cos2x sinxdx = −cosx +cos3x

3+ c

.2 cos3 2xdx = cos22x cos2xdx

= 1 − sin22x cos2xdx

= cos2xdx − sin22x cos2xdx

=cos2x

2−

cos32x

3 2+ c

=cos2x

2−

sin32x

6+ c

.3 sin5 xdx = sin) x)2 sinxdx = 1 − cos2x 2 sinxdx

= sinx − 2cos2xsinx + cos4xsinx dx

= sinxdx − 2 cos2xsinxdx + cos4xsinxdx

= −cosx +2cos3x

3−

cos5x

5+ c

.4 sin4 xdx = 2(sin2) dx = )1

2−

1

2cos2x)2 dx

= 1

4−

2

4cos2x +

1

4cos22x dx

=1

4dx −

1

2 cos2xdx +

1

4 cos22x dx

=x

4−

sin2x

4+

1

4

1

2+

1

2cos4x dx

=x

4−

sin2x

4+

x

8+

sin4x

32+ c

.5 cos4 3xdx = cos) 3x)2 dx = )1

2+

1

2cos2(3x)) 2

=1

4dx +

1

2 cos6x dx +

1

4 cos26x dx

=x

4+

sin6x

12+

1

4

1

2+

1

2cos12x dx

=x

4+

sin6x

12+

1

4

x

2+

1

2

sin12x

12+ c

=3x

8+

sin6x

12+

sin12x

96+ c

التاليةاذا كان السؤال حاصل ضرب دالتين عندها نتبع العالقات . 1

تالعالقاحسبونحلمرتبةاالقلالفردياالسنفكعندهافرديةاالسس:اوال

الفردية

EXAMPLE: sin3xcos5xdx = sin2 x sinx cos5xdx

= 1 − cos2x sinxcos5xdx

= cos5x sinxdx − cos7 x sinx dx

= −cos6x

6+

cos8x

8+ c

حسبالفردياالسنفكعندهازوجيواالخرفردياالسيناحدكانذا:ثانيا

الفرديةالعالقات

EXAMPLE: sin5xcos2xdx = sin2) x)2sinx cos2xdx

= 1 − cos2x 2 sinxcos2xdx

= 1 − 2cos2x + cos4x sinxcos2xdx

= cos2 xsinxdx-2 cos4 xsinxdx + cos6 x sinxdx

= −cos3x

3+

2cos5x

5−

cos7x

7+ c

القاتالعنستخدمعندهامختلفةوالزوايادالتينضربحاصلالسؤالكاناذا.2

التالية

.1 sinmx sin nx dx

2. sinmx cos nx dx

3. cosmx sin nx dx

1. sinmx sin nx =1

2cos m − n x −

1

2cos m + n x

2. sinmx cos nx =1

2sin m − n x +

1

2sin m + n x

3. cosmx cos nx =1

2cos m − n x +

1

2cos m + n x

EVALAUTE

.1 sin7x cosxdx = 1

2sin + sin8x dx

= −1

2

cos6x

6−

1

2

cos8x

8+ c

= −cos6x

12−

cos8x

16+ c

.2 sin7xcos3xdx = 1

2sin 7 − 3 xdx +

1

2sin 7 + 3 xdx

= 1

2sin4xdx +

1

2sin10xdx = −

1

2

cos4x

4+

1(−

2

cos10x

10+ c

= −cos4x

8−

cos10x

20+ c

.3 cos2xcos3xdx = 1

2cos 3 − 2 x + cos 3 + 2 xdx

= 1

2cosxdx +

1

2cos5xdx =

sinx

2+

1

2

cos5x

5+ c

=sinx

2+

sin5x

10+ c