Théorèmes de Sylow génériques pour les groupes réductifs sur les corps finis

Math. Ann. 292, 241-262 (1992) Mm-'hemtische Annam ~) Springer-Verlag 1992

Th6or6mes de Sylow g6n6riques pour les groupes r6ductifs sur les corps finis*

Michel Brou~ 1 et Gunter Mal le 2

1 Ecole Normale Sup~rieure, D.M.I., 45 rue d'Ulm, F-75005 Paris, France 2 I.W.R., Im Neuenheimer Feld 368, W-6900 Heidelberg, Allemagne

Requ le 25 juillet 1991

Introduction

Soit G u n groupe lin6aire alg6brique connexe r6ductif d6fini sur une cl6ture alg6brique du corps fini Fq, muni d'une isog6nie F : G ~ G d6finissant une structure rationnelle sur Fq. Pour un type donn6, l'ordre du groupe fini G vest un polyn6me en q, dont la d6composition en facteurs irr6ductibles dans Z[q] ne contient que des puissances de q et de polyn6mes cyclotomiques ~a(q).

Les sp6cialistes de la th6orie des groupes finis savent bien que, pour l'6tude des groupes finis G v, il faut souvent consid6rer ~a(q) "comme un nombre premier". Ce point de vue a ~t6 r6cemment confort6 par les ph6nom6nes constat6s en 6tudiant les repr6sentations modulaires des groupes G v. Soit en effet ~ un nombre premier ne divisant pas q, divisant l'ordre du groupe fini G v, et "assez grand". On sait maintenant que, par bien des aspects, l'6tude des repr6sentations de G v sur un anneau f-adique ne d6pend que du facteur cyclotomique de G r divis6 par Y, et non de E lui-m~me. Certains auteurs, comme Boyce (cf. [Boy]), ont introduit la notion de ~d(q)-d6faut (num6rique) d'un caract6re.

L'objet du pr6sent article est de donner des fondations rigoureuses fi ces intuitions. Nous y 6tablissons en effet l'existence d'une th6orie des ~d(q)-sous- groupes de G, analogue ~ celle des p-sous-groupes des groupes finis (cf. th6or6me 3.4). On constatera en particulier que les ~d(q)-sous-groupes sont tous "ab61iens 616mentaires". La plupart de ces r6sultats restent valables pour les groupes "tordus" (groupes de Ree, Tits, Suzuki), en rempla9ant les polyn6mes cyclotomiques par des polynbmes convenables (produits de polynbmes cyclotomiques sur Z[I /~ ] ou 7Z.[l/~]).

Le langage des donn6es radicielles (cf. [De], ou encore [Ti]) nous a paru particuli6rement bien adapt6. Dans ce cadre, les "th6or+mes de Sylow" se r6duisent

des r6sultats d'alg6bre lin6aire sur la repr6sentation naturelle d'un groupe de Weyl, dont la base est un article de Springer [Sp2]. Certains r6sultats pr6sent6s ici

* ~t Jacques Tits

242 M. Brou6 et G. Malle

(en particulier dans les parties 1. et 2.) ne sont que des reformulations de r6sultats classiques. I1 nous a paru utile de les inclure dans ce texte, pour sa compr6hension et sa coh6rence.

Dans un deuxi6me article, nous appliquerons les notions introduites ici h la th6orie des repr6sentations du groupe G v.

1 Donn~es radicielles completes

A Notation et dOfinition

Soit F = (X, R, Y, R v) une donn6e radicielle de rang r (selon la d6finition de [De]). On rappelle ce que cela signifie: (dr.1) X et Y sont des Z-modules libres de rang r, munis d'une dualit6 X x Y ~ Z notre (x, y) ~ (x, y) . (dr.2) R et R v sont des sous-ensembles finis de, respectivement, X et Y, munis d'une bijection R ~ R v, n o t 6 e , ~ c~ v. (dr.3) Soit a e R . On a ( ~ , , v ) = 2 . Soit s, l 'automorphisme d'ordre 2 de X d6fini par s,(x) = x - (x, a v )~, et soit s v l 'automorphisme de Y d6duit par transposition [on a alors sV(y)=y-(~,y)aV]. Alors s,(R)=R et sV(RV)=R v.

On d6signe par Wr (ou plus simplement par W) le groupe engendr6 par less v, sous-groupe du groupe des automorphismes de Y (op&ant ~ gauche sur Y). Par dualit6, le groupe W op+re h droite sur X et W peut ainsi &re aussi d6fini comme un groupe d'automorphismes (~ droite) de X. Soit Q(R) le sous-Tl-module de X engendr6 par R; le groupe W op6re fid61ement sur Q(R) (cf. [De, 1.2.7]), et W s'identifie au groupe de Weyl d6fini par le syst+me de racines R dans ff)|

ComplOment. On note Xz l 'orthogonal de Q(R v) dans X. On a Xz n Q(R)= {0}. On note P(R) le dual de Q(R v ) dans ~ | X, i.e., P(R) est l'ensemble des 616ments X e X tels que, pour tout ctv e R v, on ait (Z, �9 v ) e Z. On dit que F est "h d6riv6 adjoint" si X=Xz~Q(R), et on dit que F est "h d6riv6 simplement connexe" si P(R)CX + ( ~ |

On fait les hypoth6ses suivantes. (drc.g) - cas g~n~ral - On note t~* un automorphisme d'ordre fini de X et l'on

note ~b, son transpos6, automorphisme de m~me ordre de Y. On suppose qu'il existe une permutation a de R telle que, pour tout ~ ~ R, on ait q~*(o(ct))= ~ et ~b,(~ v) = (a(0t)) v, ou bien

(drc.t2, drc. t3)- cas tordus- Soit pun nombre premier 6gal ~t 2 ou 3. On suppose que Res t une union disjointe de syst6mes de racines de type A 1 • A 1, qualifi6s de "distingu6s", dans chacun desquels sont choisies une racine dite "courte" et une racine dite "longue", et de syst+mes irr6ductibles du type �9 B z o u F 4 s i p = 2 , �9 G 2 si p = 3.

On note q~* un automorphisme

transpos6, automorphisme de m~me propri6t6s suivantes.

d'ordre fini de Z [ ] / p - 1 ] | X, ~b, son

ordre de Z [ V p - l ] Q z Y , poss6dant les

Th6or~mes de Sylow g6n6riques 243

�9 Les automorphismes ~b .2 et 1 / ~ * stabilisent tous deux X dans Z[~/p - ' ] | �9 I1 existe une permutation a de R qui permute entre eux les syst6mes distingu6s A1 x A1, et qui est telle que

~b*(a(~))=l/pa, q~,(~v)=(V~)-l(a(~))v pour a courte,

~b*(a(~))=(]/~)-l~, q~,(av)=l/~(a(a)) v pour a longue.

Tout 616ment de W satisfait/l (drc.g) ([De, 1.2.9]). De plus, si q~* satisfait/t (drc.g) [resp. (drc.tp)], ~b* normalise le groupe W, et tout 61~ment de la classe ~b*W satisfait aussi/L (drc.g) [resp. (drc.tp)].

Commentaire. Dans ce qui suit, on 6crira toujours ~b*w et w~b, (dans cet ordre), en consid6rant que ~b*w op~re/l droite sur X, tandis que wq~, op6re/t gauche sur Y, de sorte que ~b*w et wq~, sont adjoints. Par abus de notation, il nous arrivera cependant (comme ci-dessus) d'6crire /l gauche l'op6ration de q~*, ou plus g~n6ralement de q~*w, sur X.

Exemples. (Cas g~n&al): Prendre pour a l'identit6, ou une permutation de R d6finie par un automorphisme du diagramme de Dynkin.

(Cas 2-tordu): Supposons R de type B z et X engendr6 par R. Soit {al, a2} une base de R, off al est courte et a2 est longue. Les autres racines positives sont alors ct x + a 2 et 2cq + ~2. Soit a l'involution qui 6change respectivement ~1 et ~t 2, ~a + 0~ 2 et 2cq + ct2, d6finie par sym6trie sur les racines n6gatives. L'application ~b* d6finie par ~ b * ( c q ) = ~ - ~ 2 et ~b*(ct2)=]/2~ satisfait aux conditions (t2)ci-dessus.

(Cas 3-tordu): Supposons R de type G2 et X engendr6 par R. Soit {~, az} une base de R, off cq est courte et ~z est longue. Les autres racines positives sont alors cq +~2, 2a~ +~2, 3~1 + ~z, 3cq-k-2~ 2. Soit a l'involution qui 6change respectivement ~ et ~2, ~1 +a2 et 3cq +~z, 2~tl +~2 et 3cq +2~2, d6finie par sym6trie sur les racines n6gatives. L'application ~b* d6finie par ~b*(~)= [ / ~ - ~ 2 et tk*(~2)= I/~al satisfait aux conditions (t3) ci-dessus.

On note alors ~ = (F, qS*W). Une telle paire est appel6e "donn6e radicielle compl6te".

Morphismes de donn~es radicielles completes

Commentaire. La d6finition qui suit n'est donn6e que dans un but de coh6rence de l'exposition. Elle ne servira pas dans la suite: nous n'utiliserons que des sous- donn6es toriques, et des sous-donn6es de Levi (correspondant respectivement aux sous-tores et / l leurs centralisateurs dans les groupes alg6briques associ6s).

Soient II; = (F, ~b* W) et iI~'= (F', ~b'* W') deux donn~es radicielles compl6tes. Un morphisme de donn6es radicielles completes f : ~1'--,~ est la donn6e d'un 616ment de W'\Homz(X,X')/W, d6sign6 dans ce qui suit par un repr6sentant f * dans Homz(X, X'), d'adjoint not6 f , e Homz(Y', Y), tels que les conditions suivantes soient satisfaites (mr.1) L'image de f , est un sous-module pur de Y (mr.2) f , est injectif sur R' v, et f,(R' v) est un sous-syst6me de racines de R v ; si o~ v =f,(a 'v) on a f*(a)=a'. (mr.3) il existe we W e t w'e W' tels que ck*'w'f*w=f*dp*.


B Les sous-donn~es toriques et les sous-donn~es de Levi

D6finition 1.1. (1) Une donn6e radicielle compl6te est dite torique si R = 0. (2) Spit ~ = (F, (p* W) une donn6e radicielle complete. Une sous-donn6e torique de II~ consiste en un triplet (X', Y',(c~*w)lx,), ofl (a*w est un 616ment de (p'W, X' est un quotient de X par un sous-module pur stable par (p'w, Y' est le dual de X' dans Y, et (~b*w)l x, d6signe l'automorphisme de X' induit par (p*w.

On appelle "sous-syst6me parabolique" de R tout sous-ensemble R~ de R tel que R 1 = Rc~XI od X~ est un sous-module pur de X (cf. [De, Sect. 3.4]). Dans ce cas, on note R~' l'image de R1 par la bijection v. L'ensemble R v est alors aussi l'intersection de R v avec un sous-module pur Y1 de Y. Spit W 1 le sous-groupe de W engendr6 par les s~ pour ~eR~. Pour we W, les conditions suivantes sont 6quivalentes [De, 3.4.10]:

(i) we I411, (ii) w op6re trivialement sur l 'orthogonal de I11 dans X,

(iii) pour tout aeR, ~. w - a e Q |

D6finition 1.2. Spit ~ = ((X, R, Y, R v), (p. W) une donn6e radicielle compl6te. Une sous-donn~e de Levi L de ~ est une donn6e radicielle complete (A, (P*w Wa) telle que �9 ~b*w est un 616ment de (k'W, �9 A est une donn6e radicielle de la forme (X, R', Y, R' v), off R' (resp. R' v) est un sous-syst6me parabolique de R (resp. R v) stable par (p*w (resp. wtp.), et W aest le groupe de Weyl de A.

La d6monstration de la proposition suivante est facile et laiss6e au lecteur (elle utilise les propri6t6s des sous-syst6mes paraboliques et de leurs groupes de Weyl rappel6es ci-dessus).

Proposition 1.3. Spit ~ = ((X, R, Y,, R v), (p'W) une donn~e radicielle complete. (1) Spit S=(X ' , Y', (qb*W)lx,) une sous-donn~e torique de ffL Alors S d~finit une

sous-donnke de Levi de ~ , appel~e " centralisateur de S dans q;" et notre C$(S), de la manidre suivante: C~(S)= (A, (k*wWa) avec A = (X, R', Y, R TM) oft R' est l'ensemble des ~t e R orthogonales ~t Y'.

(2) Spit L=(A,c~*wWa) une sous-donn~e de Levi de ~ , oft A= ( X ,R ' , Y,R'V). Alors L d~finit une sous-donnde torique de IB, appelde le "centre de 1I," et notre Z(ll .), de la manidre suivante: Z(ll,)=(X', Y',(c~*w)lx, ) oft Y' est l'orthogonal de R' dans Y

(3) On a C~(Z(ll.))=1I..

Remarque. Les sous-donn6es toriques maximales sont les sous-donn6es de Levi minimales.

Spit q;=(F, (p'W) une donn6e radicielle complete et spit II,=(A, c~*wWa) une sous-donn6e de Levi de tB. Le sous-groupe des 616ments de W qui stabilisent A coincide avec le normalisateur du sous-groupe parabolique Wa, et on pose

W~(ll,) : = Nw(Wa, ~o*wWa)/W a .

Ainsi le groupe W~(lI,) est le groupe des automorphismes de 1[, induit par les 616ments de W.

Par exemple, si T = (X, Y, ~b*w) est une sous-donnSe torique maximale de ~ , on voit que W~;(~) = Cw(~o*w).

Lemmel.4. Soit ~=(X',Y',(c~*wo)lx, ) une sous-donn~e torique de ~ , et soit II,=C~(~). On pose l[,=(A,q~*woWa). Soit Nw(S) l'ensemble des w~ W tels que

Th6or6mes de Sylow g6n6riques 245

w . Y ' = Y ' et (WWoC~.w-x)lr,=(WoC~,)lr,. Alors Nw(S)/WACW~(L ). Si de plus S = Z(L) alors Nw(S)/W A = W~OL).

D~monstration. Posons A = (X, R', Y, R' v). Si l'616ment w e W stabilise Y', il stabilise l 'orthogonal de Y' dans X, donc stabilise R', et par cons6quent normalise WA. Si de plus w centralise la restriction de w0tk, ~t Y', on voit que WWo~b.w- l~b, lw o i induit l'identit6 sur Y', donc appartient ~ W A, ce qui prouve que we Nw(W a, c~*woWa).

Supposons maintenant que S = Z(L), et soit we Nw(W a, (a*woWa). Comme w stabilise R, il stabilise l 'orthogonal Y' de R dans Y Puisque

WWo4~,w-14~;, ~Wo ~ e W~,

il en r6sulte que

WWor

op6re trivialement sur Y', et donc w e Nw(S ). []

C Polyn6mes et s~ries de Poincar~ associds aux donn~es radicielles complOtes et aux sous-donndes de Levi

GOnOralitds

Nous aurons besoin des quelques consid6rations 616mentaires qui suivent. Soit G u n groupe fini, soit K un corps, et soit M = O M" un KG-module

n > 0

gradu6. On appelle caractbre gradud de M la s6rie formelle ZM(x) (~t coefficients dans l 'anneau des fonctions centrales sur G ~ valeurs dans K et en l'ind6termin6e x) d6finie par la formule

Xu(x) :g ~ ~ tr(g; M")x ", n > 0

ou encore XM(X)= ~ Zu.X ~. n>=0

Soit H u n sous-groupe distingu6 de G. Pour tout KG-module E, la conjugaison par les 616ments de G d~finit sur HOmKn(E, M) une structure naturelle de K(G/H)- module gradu&

Lemme 1.5. Le caractdre gradu~ de ce K(G/H)-module gradud se calcule par la formule suivante

1 tr(g; nomrn(E, M)) = ~It-I h~n ~ tr((gh)- 1; E) tr(gh; M).

D~monstration. On se ram6ne & v6rifier que, si E est un KG-module, pour tout g e G o n a

1 t r (g;En)= ~ h~n ~ tr(gh;E),

ce qui est imm6diat. []

246 M. Brou6 et G. MaUe

Polyn6mes et s~ries associ~s dune donn~e radicelle complOte

Soit ~ = ( ( X , R , Y, RV), q~*W) une donn6e radicielle compl6te. On sait que le cardinal de R e s t un nombre pair; on le d6signe par 2N.

Soit V=C) | Y On note SV= Q S"V l'alg6bre sym6trique de V, consid6r6e n_>0

comme ~W(~b,) -module gradu6. Ainsi l'alg6bre des points fixes par W, not6e (SV) w, a une structure naturelle de

O(~b,)-module gradu6. D'apr6s le lemme 1.5 ci-dessus, son caract6re gradu6 est donn6 par la formule

1 tr((a*;(sv)W)= ~ l w~w y" tr(w(a,; SV)

soit encore w 1 1

tr(tp,;(SV) )= ~ ,,~w detv(1 - xwc~,)"

Plus g6n6ralement, d'apr6s les remarques ci-dessus, pour tout t~W(~b,)- module E, on d6finit un ~(q~,) -module gradu6 S~V: = Hom~w(E, SV). D'apr6s le lemme 1.5, la valeur en ~b, de son caract6re gradu6 est donn6e par les formules:

1 tr(tp,;SEV)= ~ ] w~wZ tr((wda,)-l;E)tr(wcp,;SV),

soit encore 1 zE((w4,)- 1)

tr(4~,; SE V) = ~ w~w detv(1 - xwda,)"

On note Pc,(x) : = tr(tp,; $1 V) (1 d6signe ici le caractSre trivial du groupe W(~b,)). On note IwSV l'id6al de SV engendr6 par les 616ments de (SV) w sans terme constant. Alors, par un th~or+me de Chevalley (cf. [Ch2], ou [Bou, 5.2, th6or+me 2]), l'alg~bre quotient RV: = SV/IwSV est de dimension finie, et on a

n = N

RV= 0 R"V. On voit RV comme un ~W(~b,)-module gradu& On rappelle (cf. n = O

[Bou, 5.2]) que, vu comme ~W-module, RV est isomorphe au module rSgulier

I1 rSsulte, par exemple, de [-Bou, 5.2] que RV| west isomorphe/t SV en tant que ~W(q~,)-module gradu6. Pour tout QW(tp , ) -module E, on note REV: = Hom~w(E, RV), et pour tout entier n, R"EV: = Horn~w(E, R"V), et on a

n = N

tr(~b,;REV)= F. tr(da,;R"EV)x". n = O

On a l'isomorphisme suivant de ~(q~,)-modules gradu6s:

SEV ~ -- REVQ~(SV) w .

La proposition suivante r6sulte des isomorphismes pr6c6dents. Dans le cas off tp, = Id, on retrouve la proposition 2.6 de [Sp2].

Proposition 1.6. Pour tout ~W( d~,)-module E, on a

1 Zr((w~b,)- 1) (,=N , \ 1 1 ]W] w~W detv(1- xwc~,) = ..~=o tr((a*; REV)x ) ~ w~w de tv (1 -xw(a , ) '

soit encore t r ($ , ; SEV) = tr(q~,; REV)P,(x).


Remarque. Si E est rationnel sur Q [resp. sur tl~([/~) dans les cas tordus (tp)], on voit qu'il en est de mSme de R~V, et par cons6quent on a alors tr(~b,; R~V)eZ[x] (resp. Z[Vp ] [x] dans les cas (tp)).

Fonctions centrales sur une donn& radicielle complete, polynOmes et s~ries associ& d une sous-donn& de Levi

On appelle fonction centrale sur ~ toute fonction W-invariante (~t valeurs dans ~) sur la classe ~ gauche W~b,. On note ffcg(~) l'espace vectoriel des fonctions centrales sur ~. Pour a et ct'e ffc~(IB), on note

1 ' "= E ~(w4~,)~'(w~.).

<~'~>~" IWl w~w

Prolong6e par z6ro en dehors de Wq~,, une fonction centrale ct sur ~ est consid6r6e comme fonction centrale sur le groupe W(q~,), et s'6crit donc comme combinaison lin6aire des caract6res irr6ductibles de W(q~,). R6ciproquement, tout caract6re de W(f f , ) d6finit (par restriction ~ la classe ~t gauche W~b,) une fonction centrale sur ~.

l~tendant par lin6arit6 les formules du paragraphe pr6c6dent, on pose alors

~(w4,,) ~(x)" = (~, Zsv)* = ~ ~ w detv(1 - xw~b,)'

n = N , ~ n R.(x). = (~, Z~v)* = Y, r.,.x

n = O

of 1 1 �9 n - • ~(wq~,)tr(wqS,,R V).

r. , . IWl wEw

Noter que P~.E(x) = tr(q~,; SE, V) et R~(x) = tr(q5,; RE, V ). La proposition 1.6 peut se reformuler de la mani6re suivante:

Proposition 1.6'. Pour route fonction eentrale cc sur I1~, on a l~(x)= R~(x)P~(x).

Soit L=(A,(o*wWa) une sous-donn6e de Levi de ~ , et soient e e ~ c g ( ~ ) et fle ~cg(L); on note Res~te la restriction de e fi la tranche Waw~b,, et on note I n d ~

1 1 la fonction centrale sur ~ d6finie par Ind~fl(uqS,) = ~ ~w ~(vuda,v- ) ofa "~(xc~,)

=//(x~b,) si xeWaw, et j~(x~b,)=0 si xCWaw; il est facile de voir qu'on a la r6ciprocit6 de Frobenius: (cq I n d , / / ) , = (Res~e, fl)L-

Soit 1L la fonction centrale sur L qui prend la valeur 1 sur chaque 616ment de la classe ~ gauche WAW4,. I1 r6sulte des formules pr6c6dentes que PL(x) = ( l t , Xsv)t, puis que puis que

p lnd~_l t t ~ - - ( Ind[ 1 t , Xsv )~ = P~(x).

n I n d ~ l l L t On note I , , t (x) : = ~ , txJ. On voit que n = N

I, ,L(x)= Y~ tr(w~b,;(R"v)W~)x ", n = O

et que I~ t(x)~ Z[x] (resp. Z[[/~] Ix] dans les cas (tp)). De la proposition 1.6', on d~duit alors


Proposition 1.7. Pour toute sous-donnde de Levi ]L de ~ , on a

PL(x) = 1r L(x)Pr

Calcul de P~(x), ordre polynomial

On note 9.1r l'id6al de (SV) w form6 des 616ments sans terme de degr6 0. On sait (cf. par exemple [-St]) que 9.Ir est un espace vectoriel de dimension r. II est clair que cet espace est muni d'une action naturelle de (~b, > (en fait, comme ci-dessus, d'une action de (q~,> modulo W).

Soit {S~ ..... S,} une famille d'616ments homog~nes de 9.1r de degr6s respectifs dl . . . . , dr, dont l'image dans 9J~/9~ est une base de cet espace sur laquelle qS, est diagonal, de valeurs propres respectives e~,-.-, er. Alors la famille {(d1,~1) . . . . . (dr, er)} ne d6pend que de ~ (cf. [Sp2, 6.1]).

Comme les espaces consid6r6s ci-dessus sont tous d6finis sur R, le d6terminant de ~b, dans son action sur 92r 2 (i.e., e 1-.. er) vaut + 1. On pose ~r = ( - 1)% 1 .-- e,-

Remarque. On peut d6montrer (cf. [St, 2.9]) que si ~b, est tel que W n ( t p , ) = {1 }, alors {ca . . . . , er} est le spectre de tk, dans son action sur V. En particulier, on voit que e ~ = ( - 1)' detv~b,.

Soit alors T = (X, Y, tp*w) une sous-donn6e torique maximale de ~. On a ~r = det v w.

La d6monstration du r6sultat suivant est facile et laiss6e au lecteur (et, par ailleurs, bien connue).

j=r 1 j=r l Proposition 1.8. On a Pc(x) = JI]= 1 1 - ejx aj =ecj I]--1 xaJ-e /1 .

D6finition 1.9. On appelle ordre polynomial de �9 et on note Or le poly- nbme ecxN/Pr

Remarque. Introduisons les notations suivantes

�9 pS(x): = t r ( tk , ;SV)= ~ tr(c~,;snV)x ", n = 0

n = r

�9 pA(x):= • (--1)"tr(c~,;A"V)x", n = 0

n = N

�9 l ~ g ( x ) : = t r ( ~ , ; R V ) = Y. tr(dp,;R"V)x". n = 0

On sait que pS(x)P~(x)= 1. D'apr+s 1 isomorphisme S V _ RV| rappel6 ci-dessus, on volt done que

N A reg 0r162 Pr (x).

Supposons les hypotheses (drc.g) (cas g6n6ral) satisfaites. La d6composition de l'ordre polynomial en polyn6mes irr6ductibles de Z[x] r6sulte de la proposition 1.8 ci-dessus et de l'appendice 2. Pour tout entier positif d, on note ~d(X) le d-i~me polyn6me cyclotomique.

Proposition 1.10. Dans le cas gdndral (drc.g), on a Or = x N l-I Od(X) a(d), Otl a(d) est le nombre d'entiers j (1 <j < r) tels que ~j = exp(2rridjd), a

Le r6sultat suivant est, pour l'essentiel, une reformulation de la proposition 1.7 ci-dessus.


Proposition 1.11. Soit ~ une donnde radicielle compldte. (1) Pour toute sous-donnde de Levi L de ff~, le polyn6me OL(X) divise le polyn6me

O~(x) dans Z[x] (resp. Z[l /p] Ix] dans les cas (tp)). (2) Pour toute sous-donn~e torique S de (I~, le polyn6me Os(x ) divise le polynOme

Oc(x) dans Z[x] (resp. z [ V p ] Ix] dans les cas (tp)).

La proposition suivante donne une autre expression pour le calcul de P~(x), que nous utiliserons ci-dessous (d6monstration du lemme 3.7).

Remarquons que Vest rationnel [ou d6fini sur ~(~/p) dans les cas tordus], donc que det(w~b,)= _+ 1. Conform6ment aux notations introduites ci-dessus, on pose

1 detv(w~b,) P~tV(x): ~ w~w detv(1 - xw~),)"

On a

pdetv r 1 1 ( x ) = ( - 1) ~ 1 ,~rv detv(x-(wd?,)-1)"

P~et(x) = ( - - I )%~xNP~(x) ,

Proposition 1.12. On a

d'ofi

1 1 = x 2 N "

O~(x)" ~ l w~w d e t v ( x - (w~b,)-1)

Ddmonstration. La premi6re formule r6sulte de la proposition 1.6 ci-dessus et de [Sp2, 2.9]. La deuxi6me est alors imm6diate.

2 Les groupes r6ductifs finis associ6s

Soit p un nombre premier, et soit FZp une cl6ture alg6brique du corps/L p 616ments Fp. On sait, depuis les travaux de Chevalley, Tits, Grothendieck, Demazure (cf. par exemple [-Ti], ou [St, 12.1]), qu'une donn6e radicielle F d6finit un couple (G, T), off G est un groupe lin6aire alg6brique connexe r6ductif d~fini sur lFp et Tes t un tore maximal de G, de sorte que F soit la donn6e radicielle associ6e au couple (G, T). Le couple (G,T) est d6fini fi une unique classe d'isomorphismes modulo les automorphismes int6rieurs induits par T pr6s.

Dans les cas particuliers (t2) et (t3), on suppose en outre que p e s t 6gal respectivement/t 2 ou 3. On d6signe par q une puissance de p dans le cas g6n6ral, une puissance impaire de V2 dans le cas particulier (t2), une puissance impaire de 1/~ dans le cas particulier (t3).

Soit ~ = ( F , ~b*W) une donn~e radicielle compl6te. La donn6e de (p* et de q d6finit un p-morphisme F : F ~ F au sens de [Ch] (voir par exemple [De, Sects. 6 et 7], ou [Sp, Chap. 11]).

En effet, on d6finit F * : X ~ X par la formule F* =q(k*, et F , : Y ~ Y par la formule F , = qq~,. On v6rifie alors (voir [Sp, Chap. 11]) que pour tout ~ e R il existe une puissance de p [une puissance impaire de VP dans le cas (tp)], not6e q,, teUe que F*(a(oO) = q~ et F , (a v) = q~(a(a)) v.


Ainsi (voir par exemple [Sp, Chap. 11]), la donn6e de ~ , ~b* et q d6finit un triplet (G, T, F) constitu6 d'un groupe lin6aire alg6brique r6ductif connexe G sur Fp, muni d'un endomorphisme surjectif F : G ~ G dont le groupe des points fixes G vest fini, et d'un tore F-stable T. Un tel triplet est bien d6fini aux automorphismes int6rieurs induits par T pr6s.

I1 r6sulte du th6or6me de Lang que si on remplace ~b* par tk*w, le triplet (G, T, F) est remplac6 par un triplet (G,T, Fg), off g est un 616ment de G tel que g - 1F(g) appartienne ~ NG(T) et soit d'image w dans W, et off Fg : G ~ G est la transmu6e de F par la conjugaison par g [i.e., Fg(h)=gF(g-lhg)g-1 pour tout h ~ G]. Ainsi, une donn6e radicielle compl6te d6finit un triplet (G, T, F) unique ~t automorphismes int6rieurs pr6s.

On note, par abus de notation, IF(q)= G r. Si deux donn6es radicielles compl6tes ~ et t/~' sont isomorphes, pour tout q

comme ci-dessus deux paires (G, F) et (G', F') correspondantes sont isomorphes, et en particulier les groupes finis IF(q) et I/;'(q) sont isomorphes.

Si ~=(F,~b*W), et si I I~-:=(F,-~b*W), on pose par abus de notation IF_,(- q): = ~-(q). On voit que si le groupe de Weyl contient - 1, on a ~ = II;-, et en particulier les groupes ~(q) et ~J(-q) sont isomorphes.

Remarque. Si Res t simple, et de type diff+rent des types A,, D2,+ 1, E6, son groupe de Weyl contient - 1 .

Exemples. (1) Si F est une donn6e radicielle de GLr (on prend X = u r muni du produit scalaire canonique, et

R=R v ={(ei-ej)[(1 <i,j<r)(i4=j)}

ou {el,e 2 .. . . ,e,} est la base canonique de 7Zy) et si ~b*=Id, alors pour tout q puissance d'un nombre premier, on a C_ffq)= GL,(q), et ~J ( -q )= U,(q) (le groupe des matrices carr6es r • r ~t coefficients dans Fq2 d'inverse 6gal fi la transpos6e- conjugu6e). On note donc G L , ( - q ) = U~(q).

(2) Supposons ~=(F,~b*) torique, et supposons que ~b* est d6fini par une matrice de permutation d'ordre r. Alors, pour e = ___ 1, tl3(~q) est isomorphe GL1 ((eq)r) (groupe cyclique d'ordre [(eq)~- 11).

(3) Les hypoth6ses (t2) et (t3) permettent d'obtenir respectivement pour ~J(q) les groupes "tordus" ZB2(q2 ), 2F4(q2) (q puissance impaire de V~), et 2G2(q2 ) (q

puissance impaire de [/~3), ainsi que leurs sous-tores et sous-groupes de Levi. Soit ~ = ((X, R, Y, R v), ~b*W) une donn6e radicielle compl6te. Supposons fix6

tk* dans la classe ~b*W, et choisis un nombre premier pe t un entier alg6brique q comme ci-dessus. On note G le groupe lin6aire alg6brique correspondant, Tle tore maximal et F : G ~ G l'isog6nie associ6s. �9 Soit S=(X', Y',(c~'w)lx,) une sous-donn6e torique de ~. Alors S d6finit une classe de Gr-conjugaison de sous-tores de G de la mani6re suivante. Soit n e NG(T ) un 616ment d'image w dans W. La donn6e de S d6finit un sous-tore S~ de T stable par l'action de nF. D'apr6s le th6or6me de Lang, il existe g e G tel que g- IF(g) = n. On pose S=gS,~. On v6rifie que S est stable par F, et que la classe de GV-conjugaison de S ne d6pend que de S. �9 Soit Sun sous-tore F-stable de G. Alors S d6finit une classe de W-conjugaison de sous-donn6es toriques de ~ , de la mani6re suivante. Comme les tores F-stables maximaux de G sont des tores maximaux, il existe g e G tel que gT soit F-stable et s c a r . Alors g-IF(g)~NG(T) et on note w son image dans W. On identifie


g • Hom(Sg, F ; ) ~t une image de X, et on note X': =Hom(S ,Fp ), et de m~me on identifie Hom(F~, S g)/t un sous-groupe de Y, et on note Y' : = Hom(F~, Sg). A S on associe alors la classe de W-conjugaison de la sous-donn6e torique S de ~ d6finie par S = (X', Y', (~b*w)lx,), dont on v6rifie qu'elle ne d6pend que de S.

On appelle "sous-groupe de Levi" d'un groupe lin6aire alg6brique connexe r6ductif G tout centralisateur dans G d'un sous-tore de G. Ainsi, les sous-groupes de Levi sont des groupes lin6aires alg6briques connexes; ce sont les compl6ments de Levi des sous-groupes paraboliques de G. I1 y a une bijection naturelle entre l'ensemble des sous-groupes de Levi de G e t un sous-ensemble de l'ensemble des sous-tores de G (l'ensemble des centres des sous-groupes de Levi).

Le th6or6me suivant est essentiellement une reformulation de r6sultats classiques. I1 est une cons6quence de la description qui pr6c6de.

Th6or~me 2.1. Soit II;=(F, qS*W) une donnde radicielle compldte. Choisissons, comme ci-dessus, q~* et q, donc un triplet (G, T, F).

(1) La correspondance ddfinie ci-dessus est une bijection entre les classes de W-conjugaison de sous-donndes toriques de ~ et les classes de GF-conjugaison de sous-tores F-stables de G.

(2) Cette correspondance induit une bijection entre les classes de W-conjugaison de sous-donndes de Levi L de llj et les classes de GF-conjugaison de sous-groupes de Levi F-stables de G.

(3) Si II, et L sont respectivement une sous-donnde de Levi de IIj et un sous-groupe de Levi de G dont les classes sous W et G e se correspondent, on a un isomorphisme W,(L)-- NcFIL)/L e .

Remarque. Ainsi en particulier (avec les abus de notation autoris6s) L(q) est un sous-groupe - bien d6fini/l automorphismes int6rieurs pr6s - du groupe ~J(q).

Ordres des groupes finis associ~s

Le r6sultat suivant est bien connu (cf. par exemple [St, Chap. 11]).

Th6or6me 2.2. Pour tout q comme ci-dessus rordre du groupe IF(q) est dgal ~t Odq).

Remarques. (1) I1 r6sulte de la d6finition de Pe~(x) que P , - ( x ) = P , ( - x ) . On en d6duit donc que Oa;- (x )=( - l ) 'O~( -x ) , et par cons6quent que I~-,(-q)l = (-- 1)'O,(-- q),

Soit L une sous-donn~e de Levi de ~. (2) Des th6or~mes 2.1 et 2.2 (dont on utilise ici les notations) on d6duit que si L

est un sous-groupe de Levi de G correspondant fi L, alors INcF(L)I = I W,(L)lOL(q). (3) Puisque W , - ( L - ) = W,(L), on voit aussi que (avec des notations 6videntes)

lIFt(- q) : N,(_ q)(L-)[ = O,( - q)/(I W,(L)IOL( -- q)).

3 Les ~a(x)-groupes et les th6or~mes de Sylow

La plupart des r6sultats pr6sentbs ci-dessous sont g6n6raux et s'appliquent, con- venablement 6nonc6s, aux cas "tordus" comme cas au g6n6ral. Cependant, dans un but de simplification et de clarification de l'expos6, nous les ~nonqons et


d6montrons d'abord en supposant les hypothdses (drc.g) (cas g~n&al) satisfaites. Nous traitons les cas "tordus" d la fin de ce paragraphe.

A Ordres et exposants des tores

Soit S = (X, Y, q~*) une donn6e torique. On appelle exposant polynomial de S et on note Es(x) le polyn6me minimal de ~b*.

On d6finit l'ensemble d'entiers D(S) par la formule Es(x)= I] ~d(X). L'ordre d~D(S)

polynomial de S est alors de la forme Os(x) = 1-[ ~d(X) a(d) O[.l a(d) > 1 pour tout d E D(S). d~O(s)

Lemme 3.1. Soit S = ( X , Y, ~b*) une donnOe torique, d' exposant polynomial Es(x ), et d" ordre polynomial Os(x)= I-I ~d(x) ata).

d~O(S) (1) Eexposant du groupe fini S(q) divise Es(q). (2) Soit O' un sous-ensemble de D(S). Il existe une unique sous-donnOe S' de S

telle que Os,(X ) = I] q~(x) ata). d e D '

Ddmonstration. (1) On sait (cf. par exemple [DeLu, 5.2]) que SV--- Y/(qc~.- I)Y. I1 suffit donc de v6rifier que Es(q) annule le module Y/(q(a. - 1)Y. Cela r6sulte du fait que Es(x) annule ~b, 1

(2) Pour tout ensemble fini d'entiers D on note ~o(x): = [I ~d(X). On pose deD

Y'=ker~o,(~b,), et on note X' le quotient de X par l 'orthogonal de Y'. Soit S '= (X ' , Y',tk~x,): cette sous-donn6e satisfait aux conditions de l'6nonc6. []

Remarques. (1) Soit D"= D(S)\D', et soit S" la sous-donn6e d'exposant polynomial �9 o,,(x). En g6n6ral, les sous-groupes correspondants S'(q) et S"(q) ont une intersection non triviale, et le groupe S'(q)S"(q) qu'ils engendrent est un sous- groupe propre de S(q) (consid6rer par exemple le cas off S(q) = GL 1 (q2), D' = {1 } et D"= {2}).

(2) Nous verrons ci-dessous (proposition 3.3) que si Es(x) est irr6ductible, l 'exposant du groupe fini S(q) est 6gal ~t Es(q). Cette 6galit6 n'est pas vraie en g6n6ral. Consid&ons par exemple (nous nous permettons ici des abus de notation et de langage 6vidents) le groupe G = 2.U4(3).2, i.e., le groupe not6 "2.G.21" dans [Atlas, p. 52-53] [un groupe "entre SU4(3) et PGU4(3)"]. Ce groupe a un tore maximal I" tel que O~x)= ~(x)~4(x), d'o6 Ex(3)= 20. Cependant le groupe G n'a pas d'+16ment d'ordre 20 (cf. [Atlas, p. 52-53]). Pour des exemples plus g6n6raux, on peut se reporter ~t la th+se de Gager [Ga].

B Les ~a(x)-groupes

D6finition 3.2. (1) Une ~d(x)-donn6e torique est une donn6e torique (X, q~*) telle que ~d(~b*) = 0.

(2) Un couple (S, F) d6fini comme ci-dessus par le choix de q et d'une ~d(X)- donnSe torique est appel6 ~d(x)-groupe.


Remarque. Un nombre premier pe t une puissance q de p 6tant donn6s, les (x - l)- groupes [noter que x - 1 = ~ ( x ) . . . ] sont simplement les tores (sur ]~) d6ploy6s sur ~q.

Proposition 3.3. Soit S = (X, ~b*) une ~ d(X)-donnde torique de rang r. Soit p un nombre premier et soit q une puissance de p. Soit (S, F) le ~a(x)-groupe ainsi ddtermin~. Alors (notant ~o(d)=deg~a(x))

(1) ~o(d)l r, (2) le groupe des points fixes ~(q)= S ~est d'ordre q~u(q)r/r (3) S est produit direct de r/~o(d) tores F-stables, dont le groupe des points fixes

par F est cyclique d'ordre qba(q).

D~monstration. Posons S=(X, Y). Par extension des scalaires, ~b* d6finit un endomorphisme du Q-espace vectoriel Q| D'apr6s la formule donnant l'ordre polynomial, on voit que Os(x) est 6gal au polyn6me caract6ristique de cet endomorphisme. Comme le polyn6me minimal de cet endomorphisme est ~d(x), qui est irr6ductible dans Q[x], on voit que Os(x) est une puissance de ~d(X), ce qui prouve que

(1) ~o(d) divise r, (2) S(q) est d'ordre #d(x) r/*~). Soit ~ une racine primitive d-i6me de l'unit6. En dbfinissant la multiplication par

dans le Z-module X comme l'op6ration de q~*, on munit X d'une structure de Z[(]-module projectif de type fini. Comme l'anneau 2~I-(-1 est un anneau de Dedekind, un tel module est somme directe de modules projectifs de rang 1; en d'autres termes, X est somme directe de sous-Z-modules stables par (k* et de rang tp(d) sur Z, ce qui d~montre que S est produit direct de r/q~(d) tores F-stables pour chacun desquels le groupe des points fixes par F est d'ordre ~d(q).

I1 reste donc fi d6montrer que si S est un tore d'ordre polynomial #d(x), alors S F est cyclique. Soit S = ( X , Y, ~b*) la donn6e torique correspondante. Comme ci- dessus, on peut voir Y comme un id6al dans Z[~], off ~ = exp(2ni/d), et q~* comme la multiplication par ~, et alors S F ~- Y/(q- ~- ~)Y I1 suffit de v6rifier que l'exposant de y/(q_ ~-1)y est divisible par ~d(q). Or s in ~ Z est tel que n YC ( q - ~-1)y, on voit (utilisant le fait que Z[~] est un anneau de Dedekind) que n est divisible par ( q - ~) dans ~[~]. I1 reste donc ~ d6montrer que s in est divisible par ( q - 0 dans 7Z[~], alors n est divisible par ~(q) dans ~. Ceci r6sulte du fait que ~[~] = ~[x]/~a(x): en effet, si n = (q-x)P(x)mod q'~(x), la substitution de q ~ x montre que ~(q) divise n. []

Remarque. Soit S une ~d(x)-donn6e torique. Alors S - est une Ca(-x)-donn6e torique, i.e., (cf. appendice 2) �9 une ~a(x)-donn6e torique si d est divisible par 4, �9 une ~d/2(x)-donn6e torique si d - 2 m o d 4 , �9 une ~2a(x)-donn6e torique si d est impair.

De plus, comme q~(d) divise le rang r de S et que q~(d) est pair si d > 2, on voit que Os-(x) = O s ( - x ) p o u r d > 2 [et Os-(X)= ( -1 ) rOs( -x ) pour d = 1 ou 2].

Soit G u n groupe lin6aire alg6brique connexe r~duetif sur une cl6ture alg6brique de Fp, et muni d'une isog6nie F : G ~ G telle que G F soit fini (endomorphisme de Frobenius d6finissant sur G une structure rationelle sur Fq). Un ~a(x)-sous-groupe de (G, F) est un tore de G, stable par F, dont la donn6e torique correspondante est une ~d(x)-donn6e torique.


C Les th~or~mes de Sylow

Le r6sultat suivant est l'analogue complet des th6or6mes de Sylow pour les groupes finis. Pour bien marquer cette analogie, nous l'6nonqons en termes de �9 a(x)-sous-groupes et non de ~a(x)-sous-donn6es toriques (ce qui est 6quivalent d'apr6s le th6or6me 2.1 ci-dessus).

I1 est 6galement une g6n6ralisation de l'6nonc6 affirmant que, dans un groupe lin6aire alg6brique connexe r6ductif G sur F~ muni d'une structure rationnelle sur Fq, les sous-tores d6ploy6s maximaux sont tous conjugu6s par le groupe des points rationnels de G (cf. [BoTi, 4.21]).

Th6or6me 3,4. Soient ~ une donn~e radicielle complete, pet q comme ci-dessus, (G, F) la paire correspondante. Soit d un entier positif.

(1) Si qbd(X ) divise O~(x), il existe des ~d(x)-sous-groupes non triviaux de G. (2) Soit S u n ~d(x)-sous-groupe maximal de G, correspondant ?t une donn~e

torique S. Alors Os(x ) est ~gal d ~d(x) a(d), contribution de ~g(x) ?t O~(x). (3) Deux t~a(x)-sous-groupes maximaux de (G, F) sont conjugu~s par G F. (4) Soit Sun ~ a(x)-sous-groupe maximal de Get soit L = CG(S), de sous-donn~e de

Levi correspondante L. Alors

ING~(S)I = I WdL)lOdq) , et O~(x)/([W~(ll~)lOL(x)) = 1 mOd~d(X);

on voit donc en particulier que IGV:NGF(S)I = 1 mod~d(q).

Nous appelons ~a(x)-sous-donn~es de Sylow de ~ [resp. ~d(X)-SOUs-groupes de Sylow de G]les ~d(x)-sous-donnSes toriques maximales de ~ [resp. les ~a(x)-sous- groupes maximaux de G].

D~monstration. Supposons que ~ = ((X, R, Y, R v), ~b* W). Pour tout entier d et tout 615ment w de W, on d6signe par Y(r d) le noyau de l'endomorphisme ~d(wr de Y, et par X(~*w, d) le quotient de X par l'orthogonal de Y(r d). I1 est clair que Y(~b*w, d) est un sous-module pur de Y et donc que

(X(r d), Y(dp*w, d), (q~*W)lx(~,w,d))

est une sous-~d(x)-donn6e torique de (~, d6sign6e dans ce qui suit par S(~b*w, d). On pose V = t ~ | et V(r174 On note encore w~b,

l'endomorphisme de V d6fini par extension des scalaires. Soit ( = exp(2ni/d). Pour tout entier j, on note V(r (J) l'ensemble des vecteurs

propres de w~b, pour le valeur propre (J. On a ainsi

dim V(~*w, (J) = dim V(c~*w, 0 Vj e (Z/dZ) • ,

V(r | V(r j e (Z /dZ) ~

I1 r~sulte de [Sp2, 3.4 et 6.2], et de la proposition 1.10 ci-dessus (dont on utilise ici les notations) que

(S1) max dim V(r ~) = a(d), (weW)

($2) pour tout we W, il existe w'~ W tel que dimV(r et

V(r Oc v(~*w', O,

($3) Si Wl, w2 ~ W sont tels que dim V(r D ~) = dim V(r ()--- a(tO, il existe w~ W tel que w. V(dp*wl,()= V(r O.


L'assertion (S1) montre que si a(d)+ O, il existe w ~ W tel que S(r d) soit de rang a(d)~p(d), d'ofl r6sulte en particulier l'assertion (1) du th6or6me.

Si V(49*w, ~) C V(4~*w', ~), on a V(c~*w, (J) C V(c~*w', ~J) pour tout j ~ (71/dZ) • et par cons6quent �9 V(r V(~*w',d), d'ofi Y(qb*w,d)c Y(r �9 Wt~),]ytdp, w,d) = W~), ly t~b,w,d) .

L'assertion ($2) montre donc que pour tout w e W, il existe w'e W tel que S(~b*w', d) soit de rang a(d)qg(d) et S(r d) soit contenu dans S(q~*w', d), ce qui d6montre l'assertion (2) du thbor6me.

Pour la m~me raison, l'assertion ($3) montre que si w~ et w2 sont deux 616ments de W tels que $(~b*w~, d) et ~ b * w 2, d) soient de rang a(d)~p(d), il existe w e W tel que

S ( w - l dp*wl w, d) = S(qS*w2, d),

ce qui d6montre l'assertion (3) du th6or+me. La d6monstration de l'assertion (4) se fait grace au th6or6me 2.1 (3), et ~t la s6rie

de r6sultats auxiliaires suivants (proposition 3.5 et lemme 3.7).

Proposition 3.5. Soit S une ~d(x)-sous-donn~e torique de ~ . On pose L : = C~(S), et on note 2N(~) (resp. 2N(~,)) le nombre de racines de ~ (resp. L ) . Alors 2N(t~) = 2N(L) modd.

D~monstration. Elle rbsulte du lemme 616mentaire suivant

Lemme 3.6. Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur ~ , et soit ~2 une partie f inie du dual V* de V. Soit gun ~l~ment d'ordre f ini de GLQ(V) dont le transpos~ g* stabilise ~2. Pour tout entier d, on note (2(g, d) l'ensemble des Ol~ments de Q qui sont orthogonaux au sous-espace ker@d(g ). Alors Jr21 = 1~2(g, d)] modd.

DOmonstration du lemme 3.6. Le groupe cyclique engendr6 par g* op6re sur Q\~(g, d). I1 suffit de d6montrer que chaque cycle de g* sur cet ensemble est d'ordre multiple de d. Soit donc ~ ~ t2\t2(g, d), d6finissant l'616ment (non nul) &dans le dual de ker Od(g ). Puisque ~a(x) est irr6ductible dans ~ [x ] , le polyn6me minimal de g* en 05 est ~a(x), et par suite l'ordre de l'orbite de o3 sous g* est multiple de d. On en d6duit que l'ordre de l'orbite de co sous g* est a fortiori multiple de d. []

Lemme 3.7. Soit S une q) a(x)-sous-donn~e torique de rang maximal dans ~ , et soit l I = C~(S). On a alors la congruence suivante dans JE[x]:

O.(x)/O~(x) - I W~(L)Ix 2N(*)- 2~(~) rood (bn(x).

D~monstration du lemme 3.7. On sait, d'apr~s la proposition 1.12, que

x2N(~) - 1 O~(x) - ~ 1 w~W det(x-(r

On voit donc que

x 2 ~ - O~(x) F~ det(x - (q~*w)- ~) mod 4~e(x),

off la somme est prise sur les w e W tels que V(~)*w, d) soit de dimension maximale. Ces sous-espaces sont permut6s transitivement par W [cf. ($3) ci-dessus]. Soit V(4~*wo, d) l'un d'entre eux, soit N la sous-~e(x)-donn~e torique d6finie par

= (X(~b*Wo, d), Y(~)*Wo, d), (~b*wo)lx(r


On pose IL: = C~(S)= :(A, Cb*woWa). Rappelons que l 'on note Nw(S ) l 'ensemble des w e W tels que

w. Y(ck*wo, d)= Y(4)*wo, d) et (WWo4),w-1)lr~e~,wo, d)=(WoCk,)lr(4,,wo,d).

Puisque dans ce cas tout 616ment w e W tel que w. Y((o*wo, d)= Y(O*wo, d) appar t ien t fi Nw(S), on a alors

1 x 2N(*) - I W: Uw(S)lO~(x) L w~wo det(x - (~b*w)- 1) mod q~d(X),

Off "W ~ WO" signifie que V(c~*w, d) = V(4)*w o, d). �9 D 'apr6s l 'assert ion ($3) ci-dessus, les 616ments w ~ w0 sont ceux tels que Wo tw op6re t r ivialement sur V(c~*wo, d), i.e., sont les 616ments de la classe WoWA. O n voit donc que

1 1 I WAIx2N(L)/OL(X).

w ~LWo det(x --(qS*w)- 1) = W LWA de t (x - - ((a'WoW)- 1)

�9 D 'aprSs le l emme 1.4, on sait que Nw(~)C Nw(L). V6rifions l ' inclusion inverse. Soit Y' l ' o r thogona l de R' dans Y Le groupe Nw(ll.)/WA opSre sur Y', et centralise (woq~,)lr'. I1 stabilise donc les espaces caract6ristiques de (Woqb,)ly,, et en part iculier Y(~P*Wo, d). Ceci &ablit bien que Nw(IL) = Nw(~). O n a donc en part iculier INw(~)l = I Wal I W, fL)I.

Le lemme 3.7 r6sulte bien de ce qui pr6c6de. [ ]

Compl~ments : autres congruences

Supposons d ' a b o r d que S est une qbd(X)-SOus-donn~e tor ique maximale telle que C, (S) soit une donn6e torique'lF, cor respondan t ~ l'616ment wq5 de WqS,. L'616ment w~b, est alors un 616ment rOgulier au sens de [Sp2, 6.4]. Dans le cas part iculier off q~, = 1, on sait d 'apr6s [Sp2, 4.10], que l 'ordre d de w divise 2N, et que ew = ( - l)2N/d, d'ofi on d6duit facilement

x N = ew m o d ~j(X).

Cette congruence se g6n6ralise sous la forme suivante (pour les nota t ions utilis6es ici, on peut se repor ter fi la p ropos i t ion 1.6' ci-dessus).

Proposit ion 3.8. Soit ~ une fonction centrale sur IF,. Soit L l e centralisateur d'une @d(x)-sous-donn~e torique maximale. On a

R~,(x) =- R~eS~-'(x) m o d eb a(x).

En particulier, pour ~ = detv, on a ec, xN~)=--e~x N(L) modq~d(x).

D~monstration. Par d6finition de l 'ordre po lynomia l (cf. d6finition 1.9), et grace/L la propos i t ion 1.6', on voit que

O,(x)P~(x) = ~xN(~)R~(x).

En d6veloppant P~(x), et en suivant la d6mons t ra t ion du lemme 3.7 ci-dessus, on obtient

( 1 ~(x)~e~xN,L)R~e~,~(x)mod~a(x). ec'xN(q;)R*(x) = I W.]L)I uLtxl /


Appliquant 3.7, (4), on voit donc que

e~xN~) R~;(x) =-- eL xU(L) R ~ ( X ) mod ~be(x).

Prenant d'abord c~ = 1~, et puisque R~;~(x) = 1, on voit que e~x ~'~ = eL x~L), d'of~ on d6duit l'assertion annonc6e. []

D Le cas d= 1

D6finition 3.9. Soit ~ une donn6e radicielle compl6te. On appelle sous-donn6es de Levi d-d6ploy6es de ~ les centralisateurs des eba(x)-sous-donndes toriques de ~. Si (G, F) est la paire associ~e ~ ~ et au choix d'un hombre q, on appelle sous-groupes de Levi d-d6ploy6s de G les centralisateurs des q~a(x)-sous-groupes de G.

D'apr6s [BoTi, Sect. 4], les sous-groupes de Levi 1-d6ploy6s sont les compl6- ments de Levi des sous-groupes paraboliques F-stables de G.

Les tores maximaux quasi-dOploy6s

Soit ~=( (X, R, y, RV), qS*W) une donn6e radicielle compl+te. On dit qu'une sous-donn6e torique maximale T = ( X , Y, qS*w) de ~ est quasi-

d6ploy6e si qS*w stabilise un syst6me de racines simples de R. Le r6sultat suivant est bien connu - tout au moins une lois traduit en termes de groupes alg6briques (unicit6 ~ conjugaison rationelle pr6s des tores maximaux quasi-d6ploy6s).

Proposition 3.10. I1 existe des sous-donn6es toriques maximales quasi-d6ploy6es, et elles sont routes conjugudes entre elles par W..

Ddmonstration. Nous la donnons ici pour m6moire. Soit H u n syst6me de racines simples dans R. L'image de/7 par ~b* est un autre

syst6me simple de R, ndt6 H'. Soit w l'616ment de W qui envoie H' sur H. On voit ainsi que ~b*w stabilise H, donc que la donn6e torique maximale Tw--(X, Y, ~b*w) est quasi-d6ploy6e.

Si T w, est aussi quasi-d6ploy6e, ~b*w' stabilisant le syst6me simple H', et si w" est l'616ment de W qui envoie H sur H', on voit que (~b*w) w'' stabilise aussi/7. On en d6duit que (~b*w)- l(q~*w')W" stabilise H. Comme cet 616ment appartient h W, il vaut 1, ce qui ach6ve la d6monstration. []

Proposition 3.11. Les centralisateurs des ( x - 1)-sous-donndes de S ylow sont les sous- donnOes toriques maximales quasi-dOploydes.

Ddmonstration. Soit T une sous-donn6e torique maximale quasi-d6ploy6e. Soit So (cf. lemme 3.1) la (x-1)-sous-donn6e de Sylow de •. Nous allons d'abord d6montrer que C~(So)=T.

Supposons I" = (X, Y,, ~b*), et supposons que ~b* stabilise le syst6me simple H. Le centralisateur de So est une sous-donn6e de Levi dont le syst6me de racines est form6 des racines orthogonales ~ ker(~b. - 1). I1 suffit doric de v6rifier qu'aucune racine n'est orthogonale ~ ker(~b. - 1). Or l'orthogonal (dans X) de ker(~b. - 1) est l'image de (~b*-1). Puisque q~* stabilise H, l'image de (~b*-1) est constitu6e d'616ments dont la somme des coefficients dans leur d6composition sur H est nulle: ce n'est le cas d'aucune racine, ce qui 6tablit l'assertion annonc6e.


I1 en r6sulte que si S est une (x-1)-sous-donn6e de Sylow contenant 5;o, son centralisateur est aussi I". Par suite 5;=5;o, ce qui d6montre la proposition 3.11, puisque aussi bien les (x - 1)-sous-donn6es de Sylow que les sous-donn6es toriques maximales quasi-d6ploy6es forment une seule classe sous l'action de W. []

E ComplOments

Le th~orOme de Burnside

On a vu que les ~d(X)-SOUs-groupes de Sylow de G sont "ab61iens 616mentaires" [produit directs de sous-groupes cycliques d'ordres ~d(X)]. I1 doit en r6sulter, comme pour un groupe fini fi p-sous-groupes de Sylow ab61iens, que leur normalisateur "contr61e la fusion des q~d(x)-sous-groupes". C'est l'objet de la proposition suivante (analogue du th6or6me de Burnside pour les groupes finis).

Proposition 3.12. Soit S u n ~d(X)-SOUs-groupe de Sylow de G. Soit S' un sous-tore F-stable de S et soit g ~ G t tels que S '~ C S. Alors il existe n ~ Ncv(S) et z ~ CcF(S') tels que g = zn.

D~monstration. On voit que S e t ~ sont deux ~bd(X)-SOUs-groupes de Sylow de Cr Ils sont donc conjugu6s dans CcF(S' ), ce qui 6tablit la proposition. []

Remarques. (a) Le groupe des points rationnels d'un ~bd(X)-SOUs-groupe de Sylow de G n'est pas en g6n6ral un sous-groupe de Hall de G ~.

(b) M~me si q~d(q) est une puissance d'un nombre premier, le groupe des points rationnels d'un Cbd(X)-SOUs-groupe de Sylow n'est pas en g6n6ral un sous-groupe de Sylow de G F (consid6rer par exemple le cas q = 3, d= 1).

(c) Le groupe des points rationnels d'un ~bd(x)-sous-groupe non trivial peut ~tre trivial (q = 2, d = 1).

Les deux premiers ph6nom6nes cit6s ci-dessus se produisent pour des nombres premiers qui divisent l'ordre du groupe de Weyl, alors que le dernier se produit pour q "petit". Dans le cas g6n6rique, on obtient le r6sultat bien connu suivant, grace fi la proposition 3.3 et au th~or~me 3.4.

Corollaire 3.13. Soit E un nombre premier qui divise ]~-(q)[, mais ne divise ni l' ordre de de W(qb,) ni q.

(1) l l existe un et un seul d tel que ~d(X)] O~(X) et E] ~d(q)" (2) Tout f-sous-groupe de Sylow de (F_~(q) est contenu dans rensemble des points

rationnels d'un ~ d(x)-sous-groupe de S ylow de G. En particulier, les (-sous-groupes de Sylow de ~(q) sont isomorphes fi (7l/fa7Z) X ... X (7Z/fa7/) (a(d) facteurs), off a(d) est la q~d(x)-valuation de O$(x), et off a est la f-valuation de ~d(q).

Mentionnons pour terminer quelques propri6t6s 616mentaires des Cbd(X)-SOUS- groupes. �9 Si deux ~d(X)-SOUs-groupes commutent, ils engendrent un q~d(x)-sous-groupe. En effet, ils engendrent un tore S. Soit Sd l'unique ~d(X)-SOUs-groupe de Sylow de S. On voit que Sd contient les deux ~(x)-sous-groupes initiaux, donc S = S d. �9 La composante connexe de l'intersection de deux ~d(X)-SOUs-groupes est un ~d(X)-sous-groupe.


F Le cas des groupes tordus

Soit q; = ((X, R, Y, R v), ~b* W) une donn6e radicielle compl6te "tordue". Ainsi (pour p -- 2 ou 3) ~b, op6re sur Y': = 7Z[~p- 1] | y, de sorte que ]/pq~, stabilise Y Si q est une puissance impaire de l/p, on voit que q~b* stabilise aussi Y

Les sous-donn6es toriques de ~ correspondent aux sous-espaces de Q(l/p) | Y, rationnels sur Q, et stables par un endomorphisme de la forme qw(~, (i.e., stables par wl//p~b,) pour w ~ W.

Les polynOmes (tp)-cyclotomiques

Soit P(x) ~ (I)(]/p) [x]. On note P(x) le conjugu6 de P(x) par l'616ment non trivial de Gal((0(]//p)/Q); on remarque que P ( - x ) = P(x) si et seulement si P(Vpx)~ Z[x] . L'espace kerP(w~b,) est rationnel (et stable par qwcb,) si et seulement si P(-x) =P(x). Les polynSmes introduits ci-dessous ont d6j~ 6t6 consid6r6s dans ce contexte par Springer [Sp3].

D6finition 3.14. On appelle polyn6mes (tp)-cyclotomiques les polynSmes ~U(x) qui sont minimaux (pour la relation de divisibilit6) parmi les polynSmes non constants poss6dant les propri6t6s suivantes: �9 7~(x) est produit de polynSmes cyclotomiques sur Z[l /p] , �9 V ( - x ) = ~(x).

Ces polynSmes sont d6crits dans l'appendice 2. Si ~(x) est un polynSme (tp)-cyclotomique, on d6finit, comme en 3.2 ci-dessus,

les ~(x)-donn6es toriques [et les 7~(x)-groupes]. Nous laissons le soin au lecteur de v6rifier que les assertions (1) et (2) de la

proposition 3.3, ainsi que le th6orSme 3.4 (th6or6me de Sylow), restent valables dans les cas (tp) en y rempla~ant les polynSmes cyclotomiques par les polynSmes (tp)-cyclotomiques, ainsi que les propositions 3.10, 3.11, 3.12 et le corollaire 3.13 [h condition de consid6rer les 7J(x)-sous-donn6es dans les 6nonc6s 3.12 et 3.13, et les (x 2-1)-sous-donn6es dans 3.11]. C'est ainsi que �9 dans le cas 2G2(q) (q puissance impaire de ]//3), le groupe G a des sous-tores F-stables d'ordres polynomiaux respectifs (x 2-1) , (x 2+ 1), (x 2+x]/3+1), (x 2 - xl/~ + 1), �9 dans le cas 2F4(q) (q puissance impaire de V~), le groupe G a des sous-tores F-stables d'ordres polynomiaux respectifs

(x2 - 1) 2 , (x2 + 1) z , (x2 + x]//2 + 1) 2 , ( x 2 - xV2 + 1) 2 , ( x 4 - x2 + 1),

(x4+x3V +x2+x +l), (x'-x31/i+x2-x + 1).

L'assertion (3) de la proposition 3.3, par contre, ne se g6n6ralise pas. C'est ainsi que le groupe des points rationnels du (x a + l)-sous-groupe de Sylow dans le cas 2 6 2 ( q ) , d'ordre polynomial (x 2 + 1), n'est pas cyclique [c'est un produit direct d'un groupe d'ordre 2 par un groupe cyclique d'ordre (qZ+ 1)/2].


Appendice 1: Exemples de normalisateurs de ~d(x)-sous-groupes de Sylow

Cas de GL.

Soit d ~ n. Effectuons la division euclidienne de n par d : n =dm + r, off r < d. Les groupes de points rationnels des sous-groupes de Levi d-d6ploy6s [centralisateurs darts GL.(q) des ~bd(X)-SOUs-groupes de Sylow] sont de la forme

GLI(q d) x . . . x GLI(q d) x GL~(q)

[m facteurs GL1 (qd)]. Le normalisateur dans GL.(q) d'un ~d(X)-SOUs-groupe de Sylow est produit

semi-direct de son centralisateur par un groupe isomorphe fi Gal(lFq~/IF~)/~.

Cas des groupes exceptionnels pour les d non r~guliers

Nous pr6sentons ici les q~d(x)-sous-groupes de Sylow dans le cas off G est simple et de type exceptionnel, i.e., Q(R) = X et le diagramme de Dynkin de Rest connexe et de type exceptionnel.

Choisissons qS* et q, et soit dun entier tel que ~d(X) lOdx). Soit Sun ~d(X)-SOUS- groupe de Sylow de G (cf. th6or6me 3.4).

Si S n'est contenu que dans un seul tore maximal F-stable T de G, i.e., si le centralisateur de la sous-donn6e torique correspondante S est une sous-donn6e torique (maximale, ou encore une sous-donn6e de Levi minimale), not6e C~(S) = (X, Y, qS*w), on a alors NGF(S ) = NGF(T ) et NGF(T)/T r '~ Cw(wq~.). La structure de NG~(T) est donc connue. De tels 616ments wqS. sont appel6s r(guliers par Springer [-Sp2].

Dans la table ci-dessous sont pr6sent6s les cas (~, d) or) I1~ est exceptionnel, et o/1 les q~d(X)-SOus-donn6es de Sylow de I~ sont de la forme S = (X', Y', ((o*W)Lx,) avec w~b. non r6gulier.

Pour les cas E7 et E8, on peut se reporter / t [Der] , oO sont d6crits les centralisateurs de tousles 616ments semi-simples, et o15 l'616ment wes t donn6 explicitement. Nous avons simplifi6 la table en omettant syst6matiquement les cas qui peuvent ~tre d6crits,/t partir de ceux pr6sent6s, en changeant q en - q. Les tores y sont d6sign6s par leur ordre polynomial en q, qui les caract6rise ~t isomorphisme pr6s.

Le cas (E7,4) m6rite d'etre not6: le groupe NG~(S)/S vest produit semi-direct d'un sous-groupe distingu6 H par le groupe sym6trique ~3, of 1 H est produit direct d'un "groupe de Levi" de type 3. A1 par un groupe "non connexe", et oil ~a agit simultan6ment sur ces deux composants. Un tel ph6nom6ne se retrouve fr6quem- ment dans les cas des groupes de type D,. Cet exemple montre que la structure de NGF(S)/S F peut ~tre plus compliqu6e que celle constat6e dans le cas de GL..

d CGF(S ) NG~(S)/S r

E 6 5 (qS _ 1). Al(q) (q - 1). A,(q) �9 Z , E 7 4 (q2 4-1) 2. Al(q) 3 (Al(q) 3. [16]). 6 3

5 (qS _ 1). A2(q) ( q - 1). AE(q)" Z lo 8 (q'* + 1)- Al(q2) �9 Al(q) A 1(q2) �9 Al(q) �9 Zs

12 (q4 q2 + 1). Al(q 3) Al(q3)" Z le E s 7 ( q T - 1). Al(q) (q-1).Al(q).Z14

9 (q6 + q3 + l ) . A2(q) A2(q) �9 Z~ s


Appendice 2: Quelques remarques sur les polyn6mes cyelotomiques

Soit x une ind6termin~e. Pou r tout entier positif n, on d6signe par ~b,(x) le n-i6me po lyn6me cyclotomique, d6fini induct ivement pa r la formule x " - 1 = I ] ~d(X).

din (1) Le changement de x en - x pe rmute entre eux les po lyn6mes

cyclotomiques:

~ a ( - x) = ~2d(X) pour d impair et d > 1,

cbn(- x)= q~a(X) pour d divisible par 4.

(2) S i p est un n o m b r e premier, on a

{ q~,(xP)=q,,(x)~p,(x) si p~n ~b,(x p)= ~p,(x) si pin.

On en d6duit le calcul de ~, (x") pour deux entiers positifs quelconques n et m. Posons m = m,m',, off m', est premier avec n, et off t ous l e s nombres premiers qui divisent m, divisent aussi n. On a alors

�9 ,(x m) = II ~,~~ dlm;~

(3) Soient d et e deux entiers distincts de p.p.c.m, not6 d v e et de p.g.c.d, not6 d A e. Soit q un entier, et soit ~ un n o m b r e divisant fi la fois ~a(q) et ~be(q). Alors ( divise fi la fois d v e et qa ̂ e_ 1.

Grace fi la d6rivation de la formule x" - 1 = H ~a(x), on voit en effet qu'il existe din

deux po lyn6mes fi coefficients entiers Ua,e(x) et U~,a(X) tels que

O a. e( X )~ d(X) + U e. a(x)q~e(X) = ( d v e)x ~d v e)-

D o n c ( divise (d v e)q (a v e)- 1 D'au t re par t il existe deux po lyn6mes fi coefficients entiers, not6s Va(x) et Ve(X),

tels que

x ~ ^ ~ - 1 = V~(x)(x a - 1)+ Ve(x)(x e - 1),

d'ofl on d6duit que E divise qa^e_l . []

Polyn6mes cyclotomiques sur Z[I /~- 1] (p = 2 ou 3)

(1) Le po lyn6me cyclo tomique ~a(x) se d6compose dans 7 / I l l p - 1] si et seulement si 4pLd. C'est ainsi que

~4,(x) = (x 2 + x l fp + 1)(x 2 - x l / p + 1),

ou encore que

eb24(x)=(x4 + x31f2 + x2 + xl/2 + 1)(x4-x31f2 + x 2 - x ] / ~ + 1),

2,(x)=(x 4 + x ~ + 1)(x ~ - x ~ + 1).

Pour 4pld, on note 7Sa(X) et ~a(x) les deux diviseurs irr6ductibles de ~a(X) dans

�9 [ ~ - ' ] [x]. (2) P o u r P ( x ) e Q ( l / p ) [ x ] , on note P(x) le t ransform6 de P(x) pa r

l ' au tomorph i sme de Galois qui ~change I /P et - V P '

262 M. Broue et G. Malle

Les p o l y n 6 m e s P ( x ) e 2~[1/7-1] [x] poss6dan t les propri6t6s suivantes : �9 P ( - - x ) = P ( x ) ,

�9 P(x) est p rodu i t de po lyn6mes cyc lo tomiques de Z [ / 7 - 1 ] Ix] sont les p rodu i t s des po lyn6mes suivants: �9 ~d(X 2) pou r 4/~d, �9 ~a(x) p o u r 41d, 4p,~d, �9 7*d(x ) et IPd(X ) pour 4pld, 8p,~d, �9 ~d(X) pour 8pld.

Ainsi, p o u r p = 2, on a pa r exemple les po lyn6mes

( / ) l ( X 2 ) = X2 - - 1 , ~z~3(xZ)=x4-[-X2Ar

q~4(x) = x z + 1 . . . . , Us(X) = x 2 + x l f 2 + 1,

~Ps(x) = x 2 - x l / 2 + 1 . . . . . ~ 1 6 ( x ) = x 8 + 1, . . . .

Remerciements. Nous remercions le M.S.R.I. de Berkeley pour son hospitalite pendant relaboration d'une partie de ce travail. Le second auteur remercie rEcole Normale Superieure pour son hospitalite pendant la redaction de cet article, et remercie la Deutsche Forschungs- gemeinschaft pour son soutien financier.

Nous sommes redevables ~t Jean Michel de son aide, ses suggestions, et d'ameliorations apportees fi la redaction de ce travail.

Bibliographic

[Atlas]

[BoTi]

[Bou] [Boy]

[Ch]

[Ch2]

[DeLu]

[De]

[Der]

[Ga]

[Sp]

[Sp2]

[Sp3]

[st]

[Ti]

Conway, J.H., Curtis, R.T., Norton, S.P., Parker, R.A., Wilson, R.A.: Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press 1985 Borel, A., Tits, J.: Groupes r6ductifs. Publ. Math., Inst. Hautes Etud. Sci. 27, 55151 (1965) Bourbaki, N.: Groupes et alg6bres de Lie, Chap. 4, 5 et 6. Paris: Hermann 1968 Boyce, R.: Cyclotomic polynomials and irreducible representations of finite groups of Lie type. Manuscrit non public ChevaUey, C.: Classification des groupes de Lie algebriques. Semin. C. Chevalley. Paris: Ecole Normale Superieure 1958 Chevalley, C.: Invariants of finite groups generated by reflections. Am. J. Math. 77, 778-782 (1955) Deligne, P., Lusztig, G.: Representations of reductive groups over finite fields. Ann. Math. 103, 103 161 (1976) Demazure, M.: Donnees radicielles, expos6 XXI, Schemas en groupes III, dirige par M. Demazure et A. Grothendieck. (Lect. Notes Math., vol. 153) Berlin Heidelberg New York: Springer 1970 Deriziotis, D.I.: The centralizers of semi-simple elements of the Chevalley groups E7 and Es. Tokyo J. Math. 6, 191-216 (1983) Gager, P.C.: Maximal tori in finite groups of Lie type. Thesis, University of Warwick, 1973 Springer, T.A.: Linear algebraic groups. (Prog. Math., vol. 9, Coates, J., Helgason, S. eds.) Boston: Birkh~iuser 1981 Springer, T.A.: Regular elements of finite reflection groups. Invent. Math. 25, 159-198 (1974) Springer, T,A.: The order of a finite group of Lie type. In: Amitsur, S.A. et al. (eds.) Algebraists' homage: Papers in ring theory and related topics. (Contemp. Math., vol. 13, pp. 81-89) Providence: Am. Math. Soc. 1982 Steinberg, R.: Endomorphisms of linear algebraic groups. Mem. Am. Math. Soc. 80, Chap. 11 (1968) Tits, J.: Uniqueness and presentation of Kac-Moody groups over fields. J. Algebra 105, 542-573 (1987)

Théorèmes de Sylow génériques pour les groupes réductifs sur les corps finis

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