TESIS ANALISIS KEMAMPUAN REPRESENTASI ...

TESIS

ANALISIS KEMAMPUAN REPRESENTASI MATEMATIS MAHASISWA

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SANATA DHARMA

UNTUK MATERI PERMUTASI DAN KOMBINASI SETELAH

MAHASISWA MENGALAMI PROSES PEMBELAJARAN DENGAN

MENGGUNAKAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK

ZACHARIAS ANGELIUS KRISNADI WARA SABON

191442108

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2021

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

TESIS






Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Derajat Magister

Pendidikan Program Magister Pendidikan Matematika


191442108

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM MAGISTER


FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN


YOGYAKARTA

2021


ii

TESIS






Dipersiapkan dan ditulis oleh:


191442108

Telah disetujui,

Pada tanggal 5Juli 2021

Dosen Pembimbing

Dr. Hongki Julie, M.Si.


iii

TESIS






Dipersiapkan dan ditulis oleh:


191442108

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

Pada tanggal Senin 5 Juli 2021

dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S. Pd. ...................

Sekretaris : Dr. Hongki Julie, M.Si. ...................

Anggota : Dr. Hongki Julie, M.Si. ...................

Anggota : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S. Pd. ...................

Anggota : Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan ...................

Yogyakarta, 5 Juli 2021

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

Dekan

Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si.


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Semuanya akan selesai dengan tepat waktu atau di waktu yang tepat”

-Eka Prijatma-

.


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sungguh bahwa tesis yang saya tulis ini tidak memuat

karya atau bagian karya orang lain, kecuali telah disebutkan dalam kutipan daftar

pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta,5 Juli 2021

Penulis,

Zacaharias Angelius Krisnadi Wara Sabon


vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Zacharias Angelius Krisnadi Wara Sabon

NIM : 191442108

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma Karya Ilmiah saya yang berjudul: “Analisis

Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa S1 Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma untuk Materi Permutasi dan Kombinasi setelah

Mahasiswa Mengalami Proses Pembelajaran dengan Menggunakan

Pendidikan Matematika Realistik”.

Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas dan

mempublikasikannya di internetatau media lain untung kepentingan akademis

tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalty kepada saya selama

tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebernarnya.


Yang menyatakan,

Zacharias Angelius Krisnadi Wara Sabon


vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur atas berkat dan karunia kepada Tuhan Yesus Kristus sehingga

penulis dapat menyelesaikan penelitian dan penyusunan tesis ini dengan baik guna

memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister pendidikan pada

Program Magister Pendidikan Matematika. Penyusunan Tesis ini tidak lepas dari

batuan berbagai pihak. Untuk itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan

banyak terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, M.Si. selaku Dekan Fakultas Keguruan dan

Ilmu Pendidikan.

2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Ketua Program Studi Magister

Pendidikan Matematika.

3. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku dosen pembimbing tesis dan sekaligus

dsoen pengampu mata kuliah Teori Peluang yang telah mengijinkan penulis

melakukan penelitian di kelas yang diampu, serta meluangkan waktu, tenaga,

dan pikiran dalam membimbing, memberikan kritik dan saran yang

bermanfaat bagi penulis.

4. Bapak Wara Sabon Dominikus dan Ibu Rosario Bura Balamiten selaku orang

tua penulis dan Maria Rosa Mistika Wara Sabon, Angelicus R. Felixiano

Wara Sabon dan seluruh keluarga yan telah memberikan dukungan dalam

bentuk apapun.

5. Yustina Dwi Astuti, M.Pd selaku partner yang selalu mandampingi dan

memberikan dukungan dalam bentuk apapun.

6. Sahabat penulis yaitu kakak-kakak dan adik-adik di kost pak kuat yang selalu

memberikan dukungan dan selalu menyemangati.

7. Teman-teman S2 Pendidikan Matematika Angkatan 2019 dan sekitarnya

yang tidak dapat disebutkan satu persatu, yang telah membantu dan

mendukung penulis dari awal perkuliahan sampai terselesaikan tesis ini.

8. Semua pihak yang secara langsung maupun tidak langsung memberi

dukungan, bimbingan, doa serta motivasi kepada penulis.

.


viii

Penulis menyadari bahwa tesis ini jauh dari kata sempurna, oleh karena itu penilis

mengharapkan saran dan kritik yang membangun. Akhir kata penuulis

mengucapkan terima kasih.


Penulis

Zacharias Angelius Krisnadi Wara Sabon


ix

ABSTRAK

Sabon, Zacharias Angelius Krisnadi Wara. 2021. Analisis Kemampuan Representasi

Matematis Mahasiswa S1 Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma untuk

Materi Permutasi dan Kombinasi Setelah Mahasiswa Mengalami Proses

Pembelajaran dengan Menggunakan Pendidikan Matematika Realistik. Tesis.

Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian ini bertujuan untuk (1) mendeskripsikan langkah-langkah merencanakan

dan membelajarkan materi permutasi dan kombinasi dengan menggunakan pendekatan

PMR di dalam mata kuliah Teori Peluang dan (2) mendeskripsikan kemampuan

representasi matematis setelah mahasiswa mengalami proses pembelajaran dengan

menggunakan pendekatan PMR di dalam mata kuliah Teori Peluang. Jenis penelitian yang

digunakan adalah penelitian desain. Subjek penelitian adalah mahasiswa Pendidikan

Matematika Universitas Sanata Dharma yang mengikuti mata kuliah Teori Peluang kelas

A dan kelas B. Metode pengumpulan data yang digunakan adalah catatan lapangan dan

dokumentasi, tes tertulis, dan wawancara. Instrumen pengumpulan data yang digunakan

adalah catatan lapangan, lembar tes tertulis, lembar pedoman wawancara, dan Hypothetical

Learning Trajectory (HLT). Teknik analisis data yang digunakan adalah reduksi data,

penyajian data, dan kesimpulan.

Penelitian ini menghasilkan rancangan lintasan belajar dalam materi Permutasi dan

Kombinasi menggunakan Pendidikan Matematika Realistik (PMR) berdasarkan lima

karakteristik PMR yang diujicobakan pada kelas uji coba dan direvisi untuk diterapkan

pada kelas penelitian. Langkah-langkah membelajarkan materi Permutasi dan Kombinasi

menggunakan PMR sebagai berikut. Langkah 1, peneliti menyiapkan bahan ajar yang

digunakan. Langkah 2, peneliti mengirimkan file yang berisikan aktivitas ke dalam

whatsapp group. Langkah 3, mahasiswa diberikan waktu sekitar 20-35 menit untuk

berdiskusi dalam kelompok. Langkah 4, peneliti secara acak menunjuk kelompok untuk

mengirimkan hasil diskusi kelompok kedalam grup besar. Langkah 5, peneliti mengajak

mahasiswa untuk berdiskusi. Langkah 6, peneliti melakukan penegasan untuk hasil diskusi

kelompok yang dikirimkan. Langkah 7, peneliti meminta mahasiswa untuk menyimpulkan

apa saja yang telah dipelajari. Langkah 8, peneliti meminta mahasiswa untuk melakukan

kesimpulan untuk masing-masing aktivitas yang telah dikerjakan. Dalam penelitian ini,

langkah-langkah ini diterapkan dalam dua pertemuan secara daring melalui grup WhatsApp

dengan membentuk grup besar dan beberapa grup kecil untuk berdiskusi dari masing-

masing kelompok yang terbentuk di dalam kelas besar berdasarkan karakteristik PMR,

yaitu: penggunaan konteks, penggunaan model untuk matematisasi progresif, pemanfaatan

hasil konstruksi, interaktivitas, dan keterkaitan.

Berdasarkan hasil tes untuk kelas ujicoba, peneliti dapat menyimpulkan bahwa ada

(1) 28 mahasiswa yang mampu untuk membuat gambar sebagai representasi dari masalah

yang dihadapi; (2) 27 mahasiswa yang mampu untuk membuat persamaan atau model

matematis dari dari masah yang dihadapi, (3) 42 mahasiswa yang mampu untuk

menyelesaikan masalah yang dihadapi dengan melibatkan ekspresi matematis, dan (4) 42


x

mahasiswa mampu untuk menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah dengan kata-

kata untuk menarik kesimpulan. Berdasarkan hasil tes untuk kelas penelitian, peneliti dapat

menyimpulkan bahwa ada (1) 36 mahasiswa yang mampu untuk membuat gambar sebagai

representasi dari masalah yang dihadapi; (2) 34 mahasiswa yang mampu untuk membuat

persamaan atau model matematis dari dari masah yang dihadapi, (3) 44 mahasiswa yang

mampu untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi dengan melibatkan ekspresi

matematis, dan (4) 44 mahasiswa mampu untuk menuliskan langkah-langkah penyelesaian

masalah dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan.

Kata kunci: Pendidikan Matematika Realistik, kemampuan representasi matematis dan

penelitian desain.


xi

ABSTRACT

Sabon, Zacharias Angelius Krisnadi Wara. 2021. Analysis of Mathematical

Representation Ability of Undergraduate Students of Mathematics Education at

Sanata Dharma University for Permutations and Combinations after Students

Experience the Learning Process Using Realistic Mathematics Education. Thesis.

Master of Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and

Natural Sciences Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata

Dharma University, Yogyakarta.

This study aims were to (1) describe the steps for planning and teaching permutations

and combinations using the PMR approach in the Probability Theory course and (2)

describe the mathematical representation ability after students experience the learning

process using the PMR approach in the Probability Theory course. The type of research

used was a design research. The research subjects were students of Mathematics Education

at Sanata Dharma University who took the Probability Theory courses for class A and class

B. The data collection methods used were a field note and documentation, a written test,

and an interview. The data collection instruments used were field notes, a written test sheet,

an interview guide sheet, and Hypothetical Learning Trajectory (HLT). Data analysis

techniques used were data reduction, data presentation, and conclusions.

This study resulted in a learning trajectory design in Permutations and Combinations

using Realistic Mathematics Education (PMR) based on five characteristics of Realistic

Mathematics Education which were tested in the pilot class and revised to be applied to the

research class. The steps for teaching Permutations and Combinations using Realistic

Mathematics Education were as follows. Step 1: the researcher prepared the teaching

materials used. Step 2: the researcher sent a file containing activities to the whatsapp group.

Step 3: students were given about 20 – 35 minutes to discuss in whatsapp groups. Step 4:

the researcher randomly appointed a group to send the results of the group discussion into

a large group. Step 5: the researcher invited students to discuss. Step 6: the researcher

confirmed the results of the group discussions that were sent. Step 7: the researcher asked

students to conclude what they had learned. Step 8: the researcher asked students to make

conclusions for each activity that has been done. In this study, these steps were applied in

two online meetings through WhatsApp groups by forming large groups and several small

groups to discuss from each group formed in large classes based on the characteristics of

Realistic Mathematics Education, namely: use of context, use of models for progressive

mathematization, utilization of construction results, interactivity, and intertwining.

Based on the test results for the test class, the researcher could conclude that there

were (1) 28 students who were able to make pictures as representations of the problems

they face; (2) 27 students who were able to make equations or mathematical models of the

problems encountered, (3) 42 students who were able to solve the problems encountered

by involving mathematical expressions, and (4) 42 students were able to write down the

steps for solving problems with words to draw conclusions. Based on the test results for

the research class, the researcher could conclude that there were (1) 36 students who were

able to make pictures as representations of the problems they face; (2) 34 students who

were able to make equations or mathematical models of the problems encountered, (3) 44

students who were able to solve the problems encountered by involving mathematical

expressions, and (4) 44 students were able to write down the steps for solving problems

with words to draw conclusions.


xii

Keywords: Realistic Mathematics Education, Mathematical Representation Ability and

Design Research.


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ....................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH UNTUK

KEPENTINGAN AKADEMIS ............................................................................. vi

KATA PENGANTAR .......................................................................................... vii

ABSTRAK ............................................................. Error! Bookmark not defined.

ABSTRACT ........................................................................................................... xi

DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii

DAFTAR TABEL ................................................................................................. xv

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xvi

DAFTAR BAGAN .............................................................................................. xix

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 10

C. Tujuan Penelitian ....................................................................................... 10

D. Manfaat Penelitian ..................................................................................... 10

E. Batasan Istilah ........................................................................................... 11

F. Kebaruan Penelitian .................................................................................. 11

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................... 13

A. Pendidikan Matematika Realistik (PMR) ................................................. 13

B. Kemampuan Representasi Matematis ....................................................... 18

C. Penelitian Desain ....................................................................................... 21

D. Permutasi dan Kombinasi .......................................................................... 23

E. Penelitian yang Relevan ............................................................................ 27

F. Kerangka Berpikir ..................................................................................... 31

BAB III METODE PENELITIAN........................................................................ 35

A. Jenis Penelitian .......................................................................................... 35


xiv

B. Subjek dan Objek Penelitian ..................................................................... 35

C. Waktu dan Tempat Penelitian ................................................................... 35

D. Bentuk Data ............................................................................................... 36

E. Metode Pengumpulan Data ....................................................................... 36

F. Instrument Pengumpulan Data .................................................................. 38

G. Validasi Instrumen dan Validasi Data ....................................................... 55

H. Teknik Analisis Data ................................................................................. 56

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .............................................................. 59

A. Kelas Uji Coba .......................................................................................... 59

1. Deskripsi Rancangan Lintasan Belajar ................................................... 59

2. Deskripsi Implementasi Pembelajaran ................................................... 68

3. Deskripsi Hasil Tes tertulis .................................................................. 116

4. Deskripsi Hasil Tes Tertulis dan Hasil Wawancara ............................. 152

B. Kelas Penelitian ....................................................................................... 226

1. Deskripsi Rancangan Lintasan Belajar ................................................. 226

2. Deskripsi Implementasi Pembelajaran ................................................. 226

3. Deskripsi Hasil Tes tertulis .................................................................. 274

4. Deskripsi Hasil Tes Tertulis dan Hasil Wawancara ............................. 311

C. Refleksi .................................................................................................... 386

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 392

A. Kesimpulan .............................................................................................. 392

B. SARAN ................................................................................................... 401

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 402

LAMPIRAN ........................................................................................................ 405


xv

DAFTAR TABEL

Tabel 2. 1 Indikator Kemampuan Representasi Matematis menurut Surya, Edi dan

Siti. N. I (2016: 172) ............................................................................. 20

Tabel 3. 1 Kisi-Kisi Catatan Lapangan ................................................................. 38

Tabel 3. 2 Kisi-kisi Tes Tertulis Mahasiswa ......................................................... 39

Tabel 3. 3 Kisi-kisi Lembar Pedoman Wawancara ............................................... 40


xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. 1 Masalah Pertama ................................................................................ 4

Gambar 1. 2 Salah satu contoh jawaban mahasiswa yang masuk ke dalam kelompok

pertama ............................................................................................ 4

Gambar 1. 3 Contoh Jawaban Mahasiswa dalam Kelompok Kedua ...................... 5

Gambar 1. 4 Masalah Kedua ................................................................................... 7

Gambar 1. 5 Salah satu contoh jawaban mahasiswa di kelompok jawaban pertama

untuk Masalah Kedua ...................................................................... 7

Gambar 3. 1 Aktivitas Pertemuan 1 ...................................................................... 52

Gambar 3. 2 Aktivitas Pertemuan 2 ...................................................................... 54

Gambar 4. 1 Masalah Pertemuan 1 ....................................................................... 60

Gambar 4. 2 Masalah Pertemuan 2 a .................................................................... 62

Gambar 4. 3 Masalah Pertemuan 2 b .................................................................... 62

Gambar 4. 4 Masalah Pertemuan 2 c .................................................................... 63

Gambar 4. 5 Uji Pemahaman Kemampuan Representasi ..................................... 66

Gambar 4. 6 Masalah Pertemuan 1 ....................................................................... 69

Gambar 4. 7 Pekerjaan Mahasiswa Masalah 1 (1) ............................................... 74

Gambar 4. 8 Pekerjaan Mahasiswa Masalah 1 (2) ................................................ 75

Gambar 4. 9 Pekerjaan Mahasiswa Aktivitas 1 .................................................... 77

Gambar 4. 10 Pekerjaan Mahasiswa Aktivitas 2 (1) ............................................. 79





Gambar 4. 15 Representasi Untuk 2 orang Duduk di Meja Bundar ..................... 81

Gambar 4. 16 Penjelasan Gambar 4.15 ................................................................. 82

Gambar 4. 17 Representasi 3 Orang Duduk di Meja Bundar ............................... 83

Gambar 4. 18 Representasi 4 Orang Duduk di Meja Bundar ............................... 83

Gambar 4. 19 Penjelasan Rumus 𝑛 Orang Duduk di Meja Bundar ...................... 85

Gambar 4. 20 Lembar Kerja Mahasiswa............................................................... 94

Gambar 4. 21 Penjelasan Mahasiswa Aktivitas 3 ................................................. 96

Gambar 4. 22 Penjelasan Mahasiswa Aktivitas 4 ................................................. 97

Gambar 4. 23 Jawaban Aktivitas 3 ..................................................................... 103



Gambar 4. 26 Pennjelasan 𝐶32 × 𝐶11 ............................................................... 111

Gambar 4. 27 Soal Uji Pemahaman .................................................................... 115

Gambar 4. 28 Soal Tes Uji Pemahaman ............................................................. 117

Gambar 4. 29 Hasil Pekerjaan Mahasiswa Masalah Pertama Kelompok Jawaban

Pertama ........................................................................................ 118


Kedua ........................................................................................... 121


xvii


Ketiga .......................................................................................... 124

Gambar 4. 32 Hasil Pekerjaan Mahasiswa Masalah Kedua Kelompok Jawaban

Pertama ........................................................................................ 126


Kedua ........................................................................................... 128


Ketiga .......................................................................................... 131

Gambar 4. 35 Hasil Pekerjaan Mahasiswa Masalah Ketiga Kelompok Jawaban

Pertama ........................................................................................ 134


Kedua ........................................................................................... 136

Gambar 4. 37 Hasil Pekerjaan Mahasiswa Masalah Keempat Kelompok Jawaban

Pertama ........................................................................................ 139


Kedua ........................................................................................... 142


Ketiga .......................................................................................... 145


Keempat ....................................................................................... 148


Gambar 4. 42 Hasil Pekerjaan S1 Masalah Pertama ........................................... 154

Gambar 4. 43 Hasil Pekerjaan S1 Masalah Kedua ............................................. 161

Gambar 4. 44 Hasil Pekerjaan S1 Masalah Ketiga ............................................. 166

Gambar 4. 45 Hasil Pekerjaan S1 Masalah Keempat ......................................... 172









Gambar 4. 54 Masalah Pertemuan 1 ................................................................... 228

Gambar 4. 55 Pekerjaan Mahasiswa Masalah 1................................................. 235

Gambar 4. 56 Pekerjaan Mahasiswa Aktivitas 1 ................................................ 238

Gambar 4. 57 Pekerjaan Mahasiswa Aktivitas 2 (1) ........................................... 240



Gambar 4. 60 Masalah Pertemuan 2 ................................................................... 254





xviii




Pertama ........................................................................................ 276


Kedua ........................................................................................... 279


Ketiga .......................................................................................... 282


Keempat ....................................................................................... 284


Pertama ........................................................................................ 286


Kedua ........................................................................................... 288


Ketiga .......................................................................................... 291


Pertama ........................................................................................ 294


Kedua ........................................................................................... 296


Pertama ........................................................................................ 299


Kedua ........................................................................................... 302


Ketiga .......................................................................................... 305


Keempat ....................................................................................... 308















xix

DAFTAR BAGAN

Bagan 2. 1 Kerangka Berpikir ............................................................................... 34


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Proses pembelajaran pada pendidikan di Indonesia sebagian besar

masih berorientasi pada guru, dimana guru sebagai satu-satu sumber

informasi mengenai materi yang baru sementara siswa sebagai obyek untuk

menerima informasi yang dianggap penting dari materi-materi yang

disampaikan oleh guru serta tidak berani mengeluarkan ide-ide pada saat

pembelajaran berlangsung. Hal tersebut mengakibatkan lemahnya proses

pembelajaran di dalam kelas, yang mengakibatkan siswa kurang berperan

aktif. Pada generasi sekarang ini, siswa dituntut untuk bisa menyesuaikan diri

dengan perkembangan zaman yang ada. Kemampuan yang dibutuhkan saat

ini bukan hanya mereka yang mampu memahami atau menyelesaikan ilmu

pengetahuan tertentu saja, akan tetapi lebih dalam dari itu. Saat ini, siswa

dituntut untuk memanfaatkan pengetahuannya secara optimal agar lebih

cerdas dan kritis dalam menerima dan mengolah informasi yang diperoleh.

Pengetahuan yang diperoleh siswa sangat banyak, dengan banyaknya

pengetahuan yang diperoleh juga akan menyebabkan siswa tidak mampu

untuk mengingat semua pengetahuan yang diperoleh.

Dalam NCTM (2000: 7) berkaitan dengan proses pembelajaran yang

lebih menekankan pada lima standar proses yaitu pemecahan masalah

(problem solving), penalaran dan bukti (reason and proof), komunikasi

(communication), koneksi (connections), dan representasi (representation).

NCTM (2000:280) menyatakan representasi matematis merupakan pusat

pembelajaran matematika. Selaras dengan yang dinyatakan dalam NCTM,

dalam Permendiknas No. 22 Th 2006 tentang standar isi menyatakan bahwa

kemampuan representasi harus dikuasai siswa, kemampuan representasi ini

merupakan kemampuan menafsirkan masalah dengan menampilkan sesuatu

berupa simbol-simbol, tabel, diagram atau media lainnya yang bertujuan

untuk memperjelas permasalahan. Sering kali dalam mempelajari pelajaran

matematika di sekolah atau perkuliahan ada beberapa kemampuan yang harus


2

dimiliki oleh siswa atau mahasiswa yang sering kali tidak mendapat perhatian

khusus untuk meningkatkan kemampuan tersebut. Menurut Gordah, E. K dan

Syarifah Fadilla (2014: 340), proses pembentukkan kemampuan representasi

matematis dalam pembelajaran seringkali hanya sebagai pelengkap dalam

menyelesaikan masalah matematika. Hal inilah yang menyebabkan

kemampuan representasi dari siswa dan mahasiswa terbatas. Kemampuan

representasi matematis seharusnya dilatih dan dikembangkan di dalam proses

pembelajaran matematika. Jika kemampuan representasi matematis yang

dimiliki oleh siswa dan mahasiswa sangat terbatas, maka proses siswa dan

mahasiswa di dalam memecahkan masalah hanya didominasi representasi

simbolik, tanpa memperhatikan representasi bentuk lain. Untuk kemampuan

representasi matematis sendiri masih rendah. Hal ini sesuai dengan hasil studi

Novikasari, Ifda dan Wahyuni (2019: 175) yang mengungkapkan bahwa pada

umumnya kemampuan mahasiswa dalam representasi matematis masih

rendah. Hasil ini sejalan dengan hasil penelitian dari Yerizon (2014: 375)

yang memperoleh hasil bahwa mahasiswa masih kesulitan dalam kemampuan

representasi terutama pada bagian merepresentasikan sebuah grafik.

Rendahnya kemampuan representasi matematis peserta didik akan

mempengaruhi mahasiswa dalam menyelesaikan masalah yang diberikan

serta kualitas belajar mahasiswa yang akan berdampak pada rendahnya nilai

yang diperoleh.

Menurut hasil penelitian Lestari, K. E dan Mokhammad R. Y (2017:

29) diperoleh bahwa mahasiswa mengalami kesulitan dalam menunjukkan

bahwa mereka mampu merepresentasikan gambar, teks tertulis, persamaan

atau ekspresi matematis. Sejalan dengan penelitian tersebut, penelitian yang

dilakukan oleh Gordah, E. K dan Syarifah Fadilla (2014: 340) memperoleh

hasil bahwa mahasiswa masih kesulitan dalam menjembatani representasi-

representasi dan mahasiswa belum cukup fleksibel untuk berpindah dari satu

representasi ke representasi lainnya. Menurut Effendi (2012) penyebab

rendahnya kemampuan representasi mahasiswa adalah proses pembelajaran

yang dilakukan oleh Peneliti di kelas masih cenderung berpusat pada Peneliti,


3

sehingga mahasiswa cenderung pasif dalam menerima perkuliahan yang

diberikan, kurangnya rasa tanggung jawab dalam diri mahasiswa yang

mengakibatkan mahasiswa malas dan enggan dalam memecahkan masalah

dan menyelesaikan soal yang diberikan. Soal-soal yang diberikan Peneliti

masih sebatas hanya soal-soal perhitungan rutin yang kurang memberikan

kesempatan kepada mahasiswa untuk menganalisis dan melatih kemampuan

representasi matematis yang dimiliki oleh mahasiswa. Kecenderungan

mahasiswa di dalam mengikuti perkuliahan hanya sekedar mencatat,

membaca, dan menulis tanpa mengamati permasalahan yang ada di

lingkungan sekitarnya sehingga tidak terlatih untuk menyelesaikan

permasalahan hidup sehari-hari yang berhubungan dengan konsep

matematika dan representasi matematis yang dimiliki mahasiswa.

Menurut Tarigan (2006: 4), pendekatan Pendidikan Matematika

Realistik (PMR) merupakan pendekatan yang ditujukan untuk pengembangan

pola pikir praktis, logis, kritis, dan jujur dengan berorientasi pada penalaran

matematika dalam menyelesaikan masalah. Sejalan dengan apa yang

disampaikan oleh Rasyid (2017: 1591) bahwa pendekatan PMR sejalan

dengan teori konstruktivisme yang menekankan pada kegiatan siswa untuk

mempraktekkan apa yang dipelajari dan membangun konsep bahan ajar yang

dipelajarinya tersebut. Proses pembelajaran dalam teori ini bersifat konkret

serta erat kaitannya dengan alam dan lingkungan sekitar, sehingga dengan

pendekatan PMR ini cocok untuk meningkatkan kemampuan representasi

matematis yang dimiliki mahasiswa.

Peneliti memberikan dua masalah yang terkait dengan materi kaidah

pencacahan kepada para mahasiswa yang pernah mengambil mata kuliah

Teori Pelung di Program Studi Pendidikan Matematika untuk melihat sejauh

mana kemampuan representasi mereka untuk materi tersebut setelah

mengikuti perkuliahan tersebut. Berikut masalah pertama yang diberikan

beserta dengan deskripsi hasil dari pekerjaan mahasiswa:


4

Masalah Pertama

Gambar 1. 1 Masalah Pertama

Ada 2 kelompok jawaban dari mahasiswa untuk masalah pertama.

Berikut proses pembahasan dari setiap kelompok jawaban:

1. Kelompok jawaban pertama

Ada 2 mahasiswa yang jawabannya masuk ke dalam kelompok

pertama. Berikut adalah salah satu contoh jawaban mahasiswa yang ada

di kelompok jawaban pertama:

Gambar 1. 2 Salah satu contoh jawaban mahasiswa yang masuk

ke dalam kelompok pertama

Mahasiswa menggunakan strategi filling slot untuk

menyelesaikan masalah ini. Mahasiswa menggunakan tiga slot, karena

bilangan yang akan dibentuk terdiri dari tiga angka. Slot pertama

menyatakan banyak angka yang dapat menempati tempat pertama,

yaitu ada satu. Slot kedua menyatakan banyak angka yang dapat

menempati tempat kedua, yaitu ada satu. Slot ketiga menyatakan

banyak angka yang dapat menempati tempat ketiga, yaitu ada tujuh.

Jadi, banyak bilangan terdiri dari tiga angka yang dapat dibentuk dari

angka 1, 2, …, 9 ada sebanyak 1 x 1 x 7 = 7 bilangan. Cara penyelesaian

yang dilakukan masih belum benar, karena mahasiswa masih kurang

memperhatikan apa yang ditanyakan pada soal. Seharusnya mahasiswa

dalam mengerjakan membagikan kedalam beberapa kasus lagi yaitu:

1). angka 3 pada tempat ratusan, 4 pada temat puluhan dan 7 angka

lainya pada tempat satuan, 2). angka 4 pada tempat ratusan, 3 pada

Terdapat kartu bilangan 1, 2, …, 9. Masing-masing kartu hanya tersedia satu.

Seorang siswa ingin membentuk bilangan yang terdiri dari 3 angka. Ada berapa

susunan bilangan yang mungkin dibuat, jika kartu bilangan 3 dan 4 harus selalu

berdampingan?


5

temat puluhan dan 7 angka lainya pada tempat satuan, 3). 7 angka pada

tempat ratusan, angka 3 pada tempat puluhan, dan 4 pada temat satuan,

dan 4). 7 angka pada tempat ratusan, angka 4 pada tempat puluhan, dan

3 pada temat satuan. Dalam menyelesaikan masalah yang diberikan

mahasiswa masih kesulitan dalam membuat persamaan atau model

matematis dan melibatkan ekspresi matematis dalam menyelesaikan

masalah yang diberikan.

Berdasarkan kelompok jawaban pertama dapat disimpulkan

bahwa mahasiswa mengalami kesulitan dalam proses

merepresentasikan soal yang diberikan seperti membuat model

matematis dari soal dan melibatkan ekspresi matematis.

2. Kelompok jawaban kedua (tolong revisi sesuai dengan catatan di atas)


kedua. Berikut adalah salah satu contoh jawaban mahasiswa yang ada

di kelompok jawaban kedua:

Gambar 1. 3 Contoh Jawaban Mahasiswa dalam Kelompok Kedua

Penyelesaian yang dilakukan mahasiswa untuk kelompok

jawaban 2 terlihat mahasiswa mengerjakan dengan membagi menjadi

beberapa kasus yaitu kasus pertama bilangan 3 menempati nilai tempat

ratusan, 4 menempati nilai tempat puluhan dan 1,2,5,6,7,8,9 menempati

nilai tempat satuan, posisi 3 dan 4 bertukar 4 menempati nilai tempat


6

ratusan, 3 menempati nilai tempat puluhan dan 1,2,5,6,7,8,9 menempati

nilai tempat satuan, selanjutnya 1,2,5,6,7,8,9 menempati nilai tempat

ratusan, 3 dan 4 saling bertukar untuk menempati nilai tempat puluhan

dan satuan. Hanya saja dalam menuliskan dalam bentuk matematika

mahasiswa masih keliru, yang menyebabkan bilangan 3 dan 4 akan

muncul 2 kali.

Langkah pengerjaan yang dilakukan mahasiswa masih belum

benar, hal ini dikarenakan mahasiswa dalam mengerjakan tidak

membagikan kedalam beberapa kasus. Seharusnya mahasiswa

membagi menjadi beberapa kasus yaitu: 1). angka 3 pada tempat

ratusan, 4 pada temat puluhan dan 7 angka lainya pada tempat satuan,

2). angka 4 pada tempat ratusan, 3 pada temat puluhan dan 7 angka

lainya pada tempat satuan, 3). 7 angka pada tempat ratusan, angka 3

pada tempat puluhan, dan 4 pada temat satuan, dan 4). 7 angka pada

tempat ratusan, angka 4 pada tempat puluhan, dan 3 pada temat satuan.

Untuk kelompok jawaban yang kedua ini, masih kurang 2 kasus lagi

yang belum ditulis.

Berdasarkan kelompok jawaban 2 diperoleh kesimpulan bahwa

mahasiswa masih mengalami kekeliruan dalam menginterpretasikan

bentuk matematika yang telah ditulis yaitu 2 × 2 × 7 yang

menyebabkan angka 3 dan 4 kan muncul 2 kali, sedangkan yang

diminta oleh soal bilangan hanya dapat dipergunakan satu kali. Di sini

terlihat bahwa mahasiswa masih sulit untuk merepresentasikan soal

yang diberikan seperti membuat model matematis dari soal dan

melibatkan ekspresi matematis.

Berdasarkan kelompok jawaban dari masalah 1 dapat

disimpulkan bahwa kesulitan yang dialami mahasiswa dalam

menyelesiakan masalah yang diberikan mungkin terjadi karena

kemampuan representasi matematis mahasiswa masih rendah yang

akan menyebabkan mahasiswa kesulitan dalam merepresentasikan soal


7

yang diberikan dan dalam proses yang melibatkan ekspresi matematis

dari soal yang diberikan.

Masalah Kedua

Gambar 1. 4 Masalah Kedua

Ada 1 kelompok jawaban dari mahasiswa untuk masalah kedua. Berikut

proses pembahasan dari setiap kelompok jawaban:

1. Kelompok Jawaban Pertama


kedua. Berikut adalah salah satu contoh jawaban mahasiswa yang ada

di kelompok jawaban kedua:

Gambar 1. 5 Salah satu contoh jawaban mahasiswa di kelompok

jawaban pertama untuk Masalah Kedua

Penyelesaian yang dilakukan mahasiswa untuk kelompok

jawaban pertama, terlihat mahasiswa menyelesaikan dengan mendata

apa yang diketahui dari soal untuk diselesaikan. Terlihat perbedaan

Disebuah toko terdapat 5 nomor undian, dari 5 undian tersebut akan

diambil 2 pemenanng.

a. Banyak kemungkinan susunan pemenang, jika diambil satu demi satu.

b. Banyaknya kemungkinan susunan pemenang, jika diambil 2 sekaligus.


8

untuk cara menyelesaian jawaban a dan b. Pada bagian a mahasiswa

juga keliru dalam menggunakan rumus dari kombinasi yang seharus

𝐶(𝑛,𝑟) =𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)! Mahasiswa malah mengerjakan dengan cara 𝐶(𝑛,𝑟) =

𝑛!

𝑟!!

.

Langkah kerja yang dilakukan siswa untuk menyelesaikan

masalah a masih keliru dalam penulisan rumus dari kombinasi dan salah

menggunakan teknik dalam menghitung. Seharusnya untuk

menyelesaiakan masalah a menggunakan teknik permutasi bukan

kombinasi, walaupun dalam menyelesaikan masalah a mahasiswa

menuliskan menggunakan kombinasi tapi rumus yang ditulis adalah

rumus dari permutasi.

Berdasarkan kelompok jawaban tersebut terlihat bahwa

mahasiswa masih kesulitan dalam melakukan membedakan

penggunaan penyelesaian masalah dengan menggunakan kombinasi

atau permutasi. Hal ini dapat terjadi karena kemampuan representasi

yang dimiliki mahasiswa telah masih rendah dalam melibatkan ekpresi

matematis, sehingga pada saat menhubungkan apa yang

direpresentasikan dengan konsep dalam matematika masih keliru atau

tidak tepat.

Berdasarkan kelompok jawaban dari masalah 2 dapat

disimpulkan bahwa mahasiswa masih mengalami kesulitan untuk

merepresentasikan soal yang diberikan dan dalam proses yang

melibatkan ekspresi matematis dari soal yang diberikan.

Dari jawaban mahasiswa terhadap dua soal yang diberikan peneliti

kepada mahasiswa yang sudah mengambil mata kuliah Teori Peluang

diperoleh hasil bahwa mahasiswa masih kesulitan dalam merepresentasikan

soal yang diberikan menjadi bentuk simbol atau gambar dan mahasiswa juga

masih kesulitan untuk melibatkan ekspresi matematis yang sesuai dengan apa

yang ditanyakan oleh masalah yang diberikan.


9

Berdasarkan hasil wawancara dengan Peneliti yang pernah mengampu

mata kuliah Teori Peluang diperoleh bahwa kesulitan yang paling sering

dialami mahasiswa pada materi kaidah pencacahan yaitu ketika mereka

menerjemahkan maksud soal yang diberikan ke dalam simbol matematika

yang sesuai dan merepresentasikan hal yang diketahui dari soal atau pun

proses penyelesaian yang dibuatnya kedalam bentuk gambar atau bentuk lain.

Selain itu juga, mahasiswa masih kesuliatan dalam memilih teknik permutasi

atau kombinasi yang harus digunakan dalam menyelesaikan masalah yang

diberikan yang menyebabkan sering tertukar dalam milih teknik permutasi

atau kombinasi dalam menyelesiakan masalah yang diberikan dan mahasiswa

juga masih kesulitan dalam menuliskan langkah-langkah dari penyelesain

yang diberikan secara runtut dan tepat.

Dari hasil penelitian yang dilakukan oleh Rasyid, A. N dan Santi Irawati

(2017: 1590-1595) diperoleh kesimpulan bahwa pendekatan PMR dapat

meningkatkan kemampuan representasi matematis siswa. Mereka juga

memperoleh hasil bahwa terjadi peningkatan kemampuan representasi

matematis mahasiswa setelah diampu dengan menggunakan pendekatan

RME, yaitu dari kategori cukup baik menuju kategori sangat baik. Sejalan

dengan penelitian yang dilakukan Novikasari, Ifda dan Wahyuni (2019: 167-

176) diperoleh hasil bahwa terdapat peningkatan kemampuan representasi

matematis pada mahasiswa yang mengalami pembelajaran dengan

menggunakan pendekatan PMR. Serta penelitian yang dilakukan oleh

Marilonga (2019) memperoleh hasil bahwa kemampuan representasi

matemaris yang dimiliki oleh siswa mengalami peningkatan, setelah

pembelajaran dilakukan dengan menggunakan pendekatan PMR.

Dari hasil penelitian-penelitian yang telah diilakukan, dapat dikatakan

bahwa pendekatan PMR dapat meningkatkan kemampuan representasi

matematis mahasiswa dalam merepresentasikan masalah dalam bentuk verbal

dan simbol yang membantu dalam proses memecahkan masalah matematika

maupun masalah kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan

menggunakan matematika. Oleh karena itu, peneliti akan mencoba


10

menyelesaikan masalah-masalah yang ditemukan peneliti terkait dengan

kemampuan representasi mahasiswa yang sudah mengikuti mata kuliah Teori

Peluang dengan menggunakan pendekatan PMR.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan urain dari latar belakang penelitian, maka disusun

rumusan masalah dalam penelitian ini sebagai berikut:

1. Bagaimana langkah-langkah merencanakan dan membelajarkan materi

permutasi dan kombinasi dengan menggunakan pendekatan PMR di

dalam mata kuliah Teori Peluang?

2. Bagaimana kemampuan representasi matematis setelah mahasiswa

mengalami proses pembelajaran dengan menggunakan pendekatan

PMR di dalam mata kuliah Teori Peluang?

C. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah yang ditentukan, maka tujuan dari

penelitian ini adalah:

1. Mendeskripsikan langkah-langkah merencanakan dan membelajarkan

materi permutasi dan kombinasi dengan menggunakan pendekatan

PMR di dalam mata kuliah Teori Peluang.

2. Mendekripsikan kemampuan representasi matematis setelah

mahasiswa mengalami proses pembelajaran dengan menggunakan

pendekatan PMR di dalam mata kuliah Teori Peluang.

D. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagi Mahasiswa

a. Mahasiswa memperoleh pengalaman baru dalam belajar matematika

yang efektif, menarik, dan menyenangkan serta mudah memahami

materi yang dipelajari.

b. Mampu meningkatkan kemampuan representasi matematis dan hasil

belajar yang baik pada mata kuliah Teori Peluang.

c. Meningkatkan kerja sama siswa dalam kelompok


11

2. Bagi Peneliti

a. Peneliti dapat menerapkan pendekatan matematika realistik untuk

meningkatkan kemampuan dan hasil belajar mahasiswa.

b. Peneliti diharapkan tidak takut lagi untuk menerapkan model-

model/strategi-strategi pembelajaran yang inovatif.

c. Dari penelitian yang dilakukan diperoleh pengalaman mengajar

matematika dengan pendekatan pembelajaran yang efektif.

E. Batasan Istilah

Dalam penelitian ini ada beberapa istilah yang perlu dijelaskan agar

tidak menimbulkan pengertian yang berbeda-beda. Istilah-istilah tersebut

yaitu:

1. Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik

Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik adalah suatu pendekatan

dalam pembelajaran matematika yang memiliki karakteristik sebagai

berikut: (1) pengguunaan konteks, (2) penggunaan model untuk

matematisasi progresif, (3) pemanfaatn hasil konstruksi siswa, (4)

interaktivitas, dan (5) keterkaitan.

2. Kemampuan Representasi Matematis

Kemampuan representasi matematis merupakan kemampuan yang

dimiliki seseorang untuk mengungkapkan suatu ide matematis dalam

bentuk kata-kata, gambar dan simbol.

F. Kebaruan Penelitian

Dalam penelitian yang dilakukan Helmi Saleha (2019), peneliti

menggunakan metode eksperimen dengan model One group pre-test post-test

design. Data yang diperoleh pada penelitian ini yaitu data pre-test dengan

bentuk datanya berupa data kuantitaif, selanjutnya untuk data kuantitif

tersebut akan dilakukan analisis deskriptif. Analisis deskriptif meliputi dua

hal yaitu: untuk memperoleh gambaran umum tentang penggunaan

pendekatan RME dan kemampuan representasi yang dimiliki oleh siswa.


12

Analisis yang telah diperoleh tersebut, selanjutnya akan digunakan untuk

analisis statistik inferensial untuk membuktikan kebeneran hipotesis yang

telah diajukan.

Penelitian yang dilakukan oleh Novikasari Ifada dan Wahyuni (2019)

menggunakan 2 siklus. Siklus 1 terdiri dari: 1. menyusun rencana

perkuliahan; 2. melakukan pembelajaran dengan pendekatan PMR; 3.

observasi; 4. refleksi. Dari siklus pertama yang dilakukan tersebut kemudian

dilakukan revisi atas pendekatan pembelajaran yang dilakukan. Bentuk data

yang digunakan yaitu data kuantitatif yang diperoleh dari tes yang diberikan

setelah melakukan pembelajaran dengan PMR.

Penelitian yang dilakukan oleh Yusuf Cantika. Dkk (2018) ini berjenis

penelitian deskriptif dengan desan penelitian one group pretest-posttest

design. Desain penelitiannya yaitu sebelum perlakuan diberikan, terlebih

dahulu subjek penelitian diberi pretest (tes awal) dan di akhir pembelajaran

subjek penelitian diberi posttest (tes akhir). Bentuk data yang digunakan yaitu

data kuantitatif yang diperoleh dari tes yang diberikan sebelum dan setelah

melakukan pembelajaran dengan PMR.

Kebaruan dalam penelitian ini yang membedakan dengan penelitian

Helmi Saleha (2019,), Novikasari Ifada dan Wahyuni (2019), dan Yusuf

Cantika, dkk. (2018) yaitu terletak pada metode penelitian dan teknik

analsisis data. Pada penelitian yang telah dilakukan menggunakan metode

penelitian kuantitatif dan kualitatif, sedangkan pada penelitian ini

menggunakan penelitian desain yang meliputi tiga tahapan yaitu: persiapan

uji coba desain, uji coba desain, dan analisis retrospektif. Data yang diperoleh

dalam penelitian ini berupa data kualitatif, sehingga untuk teknik analisis data

yang digunakan sesuai dengan model miles dan Huberman (1984) dalam

Sugiyono (2016:92-99) yaitu reduksi data, penyajian data dan kesimpulan.


13

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Pendidikan Matematika Realistik (PMR)

Pada bagian ini, akan dijelaskan beberapa hal mengenai pendidikan

matematika realistik. Diantaranya pengertian dan karakteristik dari

Pendidikan Matematika Realistik.

1. Pengertian PMR (Pendidikan Matematika Realistik)

Pendidikan Matematika Realistik (PMR) merupakan suatu

pendekatan yang di adopsi dari pendekatan Realistic Mathematic

Education (RME) yang dikembangkan oleh Hans Freudenthal di

Belanda pada tahun 1970. Pendidikan Matematika Realistik adalah

suatu teori tentang pembelajaran matematika yang salah satu

pendekatan pembelajarannya menggunaka konteks dunia nyata untuk

mencapai tujuan pembelajaran (Fathurrohman, 2015:185).

Menurut Van dan Hauvel-Punhuizen dalam (Wijaya, 2012:20)

penggunaan kata “realistic” sebenarnya berasal dari bahasa Belanda

“Zich realiseren” yang memiliki arti “untuk dibayangkan atau “to

imagine. Van dan Hauvel-Punhuizen juga menjelaskan bahwa

penggunaan kaa realistik itu tidak hanya mau menunjukan adanya suatu

koneksi atau hubungan dengan dunia nyata, melainkan lebih mengacu

kepada fokus pendidikan matematika realistik dalam menentukan

sebuah tindakan untuk memberikan penekanan menggunkana suatu

situasi yang bisa dibayangkan oleh siswa.

Pendekatan matematika realistik merupakan suatu pendekatan

dalam belajar matematika yang dikembangkan untuk lebih

mendekatkan matematika kepada siswa Aisyah (2007:1). Masalah-

masalah nyata dari kehidupan sehari-hari yang dimunculkan akan

digunakan sebagai titik awal dalam memulai pembelajaran matematika.

Penggunaan masalah realistik ini bertujuan untuk menunjukan bahwa

matematika sebenarnya dekat dengan kehidupan sehari-hari siswa.


14

Hadi (2005) menjelaskan bahwa dalam matematika realistik

dunia nyata digunakan sebagai titik awal untuk mengembangkan ide

dan konsep matematika. Penjelasan yang lebih lanjut mengenai

pembelajaran matematika realistik ini berawal dari kehidupan siswa

yang dapat dipahami oleh siswa, nyata, dan terjangkau oleh imajinasi

siswa, dan dapat dibayangkan sehingga mudah bagi siswa untuk

mencari kemungkinan penyelesaian dengan kemampuan matematis

yang telah dimiliki siswa.

2. Karakteristik PMR (Pendidikan Matematika Realistik)

Karakteristik PMR yang disampaikan oleh Treffers (dalam,

Wijaya 2012: 21-22) sebagai berikut:

a. Penggunaan konteks: yaitu sebagai titik awal dalam pembelajaran,

konteks tidak harus berupa masalah dunia nyata namun bisa dalam

bentuk permainan, alat peraga atau situasi lain selama hal terbsebut

bermakna dan bisa dibayangkan dalam pikiran siswa.

Melalui penggunaan konteks, siswa diikut sertakan secara

aktif untuk melakukan kegiatan eksplorasi terhadap sebuah

masalah. Hasil eksplorasi siswa tidak hanya bertujuan untuk

menemukan jawaban ahkir dari permasalahan yang diberikan

tetapi diarahkan untuk mengembangkan berbagai strategi

penyelesaian masalah yang bisa digunakan. Manfaat lain

pengunaan konteks diawal pembelajaran untuk meningkatkan

motivasi dan keterkaitan siswa dalam belajar matematika (De

Lange, 1987).

b. Pengunaan model untuk matematisasi progresif: yaitu penggunaan

model berfungsi sebagai jembatan dari pengetahuan dan

matematika tingkat konkrit menuju pengetahuan tingkat formal.

Hal yang perlu dipahami dari kata “model” adalah bahwa

”model” tidak merujuk pada alat peraga. “Model” merupakan suatu

alat “vertical” yang digunakan dalam matematika yang tidak bisa

dilepaskan dari proses matematisasi (matematisasi horizontal dan


15

matematisasi vertikal) karena model merupakan tahapan proses

transisi level informal menuju level matematika formal.

c. Pemanfaatan hasil konstruksi siswa: mengacu pada pendapat

Freudenthal bahwa matematika tidak diberikan kepada siswa

sebagai suatu produk yang siap dipakai tetapi sebagai suatu konsep

yang dibagun oleh siswa, maka dalam pendidikan matematika

realistik siswa ditempatkan sebagai subjek belajar. Siswa memiliki

kebebasan untuk mengembangkan strategi pemecahan masalah

sehingga diharapkan akan diperoleh strategi yang bervariasi. Hasil

kerja dan konstruksi siswa selanjutnya digunakan untuk landasan

pengembangan konsep matematika,

d. Interaktivitas: yaitu proses belajar siswa bukan suatu proses

individu melainkan proses sosial sehingga proses belajar siswa

akan menjadi lebih singkat dan bermakna ketika siswa saling

mengkomun[ikasikan hasil kerja dan gagasan mereka.

Pemanfaatan interaksi dalam pembelajaran matematika bermanfaat

dalam mengembangkan kemampuan kognitif dan afektif siswa

secara simultan.

e. Keterkaitan: yaitu konsep-konsep dalam matematika tidak bersifat

parsial, namun banyak konsep matematika yang memiliki

keterkaitan. Oleh karena itu, konsep-konsep matematika tidak

dikenalkan kepada siswa secara terpisah atau terisolasi satu sama

lain. Pendidikan matematika realistik menempatkan keterkaitan

antar konsep matematika sebagai hal yang harus dipertimbangkan

dala proses pembelajaran. Melalui keterkaitan, pembelajaran

matematika diharapkan bisa mengenalkan dan membangun lebih

dari satu konsep matematika secara bersamaan.

Adapun pendapat yang di sampaikan oleh Hobri (dalam Ningsih

2014; 78-79) mengenai karakteristik PMR sebagai berikut:

a. Menggunakan masalah kontekstual (the use of contex).


16

Pembelajaran dimulai dengan menggunakan masalah kontekstual

sebagai titik tolak atau titik awal untuk belajar. Masalah

kontekstual yang menjadi topik pembelajaran harus merupakan

masalah sederhana yang dikenali siswa.

b. Menggunakan model (use models, bridging by verti instruments).

Model disini sebagai suatu jembatan antara real dan abstrak yang

membantu siswa belajar matematika pada level abstraksi yang

berbeda. Istilah model berkaitan dengan model situasi dan model

matematik yang dikembangkan oleh siswa sendiri (self develop

models). Peran self develop models merupakan jembatan bagi

siswa dari situasi real ke situasi abstrak atau dari matematika

informal ke matematika formal. Artinya siswa membuat model

sendiri dalam menyelesaikan masalah. Pertama model situasi yang

dekat dengan dunia nyata siswa. Generalisasi dari formalisasi

model tersebut akan berubah menjadi model-of masalah tersebut.

Melalui penalaran matematik model-of akan bergeser menjadi

model-for masalah yang sejenis. Pada akhirnya, akan menjadi

model matematika formal.

c. Menggunakan kontribusi siswa (student contribution).

Kontribusi yang besar pada proses belajar mengajar diharapkan

datangnya dari siswa. Hal ini berarti semua pikiran (konstruksi dan

produksi) siswa diperhatikan.

d. Interaktivits (interactivity).

Interaksi antarsiswa dengan guru merupakan hal yang mendasar

dalam PMR. Secara eksplisit bentuk-bentuk interaksi yang berupa

negosiasi, penjelasan, pembenaran, setuju, tidak setuju, pertanyaan

atau refleksi digunakan untuk mencapai bentuk formal dari bentuk-

bentuk informal siswa.

e. Terintegrasi dengan topik lainnya (intertwining).

Dalam PMR pengintegrasian unit-unit matematika adalah esensial.

Jika dalam pembelajaran kita mengabaikan keterkaitan dengan


17

bidang yang lain, maka akan berpengaruh pada pemecahan

masalah. Dalam mengaplikasikan matematika, biasanya

diperlukan pengetahuan yang lebih kompleks.

Berdasarkan pendapat para ahli yang telah dijelaskan di atas,

maka dalam penelitian ini akan menggunakan karaktersitik PMR

menurut Traffers, yang sesuai dengan materi yang akan digunakan

dalam penelitian ini yaitu permutasi dan kombiasi. Berikut karakteristik

PMR yang akan digunakan:

a. Pengunaan konteks

b. Penggunaan model untuk matematisasi progresif

c. Pemanfaatan hasil konstruksi

d. Interaktivitas

e. Keterkaitan

Dari 5 karekteristik PMR yang akan digunakan dalam penelitian

ini, selanjutnya akan disesuiakan dengan HLT. Dimana HLT yang akan

dibuat menyesuaikan kondisi pembelajaran saat ini yaitu pembelajaran

online. HLT yang akan dibuat, dalam proses pembelajaranya akan

memuat 5 karakteristik dari PMR misalnya dalam bagian pembuka

akan memuat karakteristik pertama, bagian inti akan memuat

karakteristik pertama sampai kelima, dan bagian penutup akan memuat

karakteristik keempat dan kelima. Penjelasan mengenai karaktersitik

dalam pembelajaran online yaitu untuk karakteristik PMR yang

pertama penggunaan konteks akan muncul pada saat, pemberian

masalah kontekstual yang diberikan di grup WhatsApp yang akan

digunakan sebagai gambaran atau dasar untuk mengajarkan suatu

materi. Untuk karakteristik PMR yang kedua penggunaan model untuk

matematisasi progresif, mahasiswa akan membuat model atau bentuk

matematika dari masalah kontekstual yang diberikan dalam kelompok

kecil yang telah dibagikan, masing-masing mahasiswa membuat model.

Untuk karakteristik PMR yang ketiga pemanfaatan hasil konstruksi

pada bagian ini, hasil model yang telah dibuat mahasiswa diharapkan


18

dapat menyelesaian model tersebut dan model tersebut akan dibahas

dalam kelompok kecil dengan cara masing-masing mahasiswa

mengirimkan foto model yang telah dibuat kedalam grup, setelah itu

melakukan diskusi terhadap masing-masing model yang telah dikirim.

Untuk karakteristik PMR keempat interaktivitas mahasiswa melakukan

komunikasi atau diskusi baik dalam anggota kelomopok, antar

kelompok atau dengan Peneliti untuk menyepakati, berdiskusi atau

bertanya mengenai langkah atau proses dalam menyelesaiakan masalah

yang diberikan apakah sudah benar atau masih ada kekeliruan. Untuk

karakteristik PMR yang kelima keterkaitan, mahasiswa dalam proses

menyelesaiakn masalah yang diberikan boleh mengaitakan dengan

pengetahuan atau materi apa saja yang dapat membantu menyelesaikan

masalah yang diberikan bertujuan agar mahasiswa yakin dengan

penyelesaian yang mereka lakukan.

Berdasarkan pendapat para ahli yang telah dijelaskan diatas,

dapat ditarik sebuah benang merah untuk menyatakan bahwa

pendekatan Pendidikan Matematika Realistik (PMR) merupakan suatu

pendekatan dalam pembelajaran matematika yang lebih

menitikberatkan pembelajaran pada hal-hal yang kontekstual atau bisa

dibayangkan, bertujuan untuk mempermudah siswa untuk menerima

dan memahami suatu materi.

B. Kemampuan Representasi Matematis

1. Pengertian Kemampuan Representasi

Menurut Jones dan Knuth (dalam Sabarin: 2014:33), representasi

merupakan suatu model atau bentuk pengganti dari suatu masalah yang

digunakan untuk menumukan suatu solusi. Masalah-masalah yang

sering kita jumpai dapat direpresentasikan dengan obyek, gambar, kata-

kata atau simbil matematik. Dalam matematika, representasi adalah

hubungan yang sangat umum yang mengekspresikan kesamaan antar

objek.


19

Menurut Rahmi dalam (Hutagaol: 2013) kemampuan representasi

adalah kemampuan siswa mengkomunikasikan ide/gagasan

matematika yang dipelajari dengan cara tertentu. Ragam representasi

yang sering digunakan dalam mengkomunikasikan ide-ide matematis

antara lain: diagram (gambar) atau sajian benda konkrit, tabel chart,

pernyataan matematika, teks tertulis, ataupun kombinasi dari

semuanya.

Selanjutnya menurut Santri (2017) mengatakan bahwa

kemampuan representasi matematis merupakan suatu kemampuan

matematika dengan pengungkapan ide-ide matematika (masalah,

pernyataan, definisi, dan lain-lain) dalam berbagai cara. Sejalan dengan

NCTM dalam (Marwan: 2017) mengatakan bahwa kemampuan

representasi merupakan translasi suatu masalah suatu masalah atau ide

dalam bentuk baru, termasuk di dalamnya dari gambar atau model fisik

ke dalam bentuk simbol, kata-kata atau kalimat.

Berdasarkan beberapa urain di atas mengenai kemampuan

representasi matematis dapat disimpulkan kemampuan representasi

matematis adalah kemampuan matematika dalam mengubah suatu

masalah menjadi bentuk simbol (gambar, diagram, kata-kata dan lain-

lain).

2. Indikator Kemampuan Representasi Matematis

Kemampuan representasi matematis siswa dapat di ukur melalui

beberapa indikator kemampuan representasi matematis. Indikator

representasi matematis siswa menurut Surya, Edi dan Siti. N. I (2016:

172) adalah sebagai berikut:

a. Representasi visual.

b. Persamaan atau ekspresi matematis.

c. Kata-kata atau teks tertulis.

Indikator diatas kemudian disajikan dalam bentuk tabel 2.1 untuk

mempermudah membaca indikator kemampuan pemahaman

representasi matematis.


20

Tabel 2. 1 Indikator Kemampuan Representasi Matematis menurut

Surya, Edi dan Siti. N. I (2016: 172)

No Representasi Bentuk-bentuk operasional

1 Representasi visual

a. Diagram, tabel, atau

grafik

• Menyajikan kembali data atau

informasi dari suatu representasi

diagram, grafik, atau tabel

• Menggunakan representasi visual

untuk menyelesaikan masalah

b. Gambar

• Membuat gambar pola-pola geometri

• Membuat gambar untuk memperjelas

masalah dan memfasilitasi

penyelesaiannya

2 Persamaan atau ekspresi

matematis • Membuat persamaan atau model

matematika dari representasi lain

yang diberikan

• Membuat konjektur dari suatu pola

bilangan

• Menyelesaikan masalah dengan

melibatkan ekspresi matematis

3 Kata-kata atau teks tertulis • Membuat situasi masalah

berdasarkan data atau representasi

yang diberikan

• Menuliskan interpretasi dari suatu

representasi

• Menuliskan langkah-langkah

penyelesaian masalah matematika

dengan kata-kata

• Menyusun cerita yang sesuai dengan

suatu representasi yang disajikan

• Menjawab soal dengan menggunakan

kata-

Lesh, Post & Behr (dalam Kurniawati, 2019: 14) mengatakan ada

5 representasi yang dapat digunakan dalam pendidikan mtametika

yaitu: representasi objek dunia nyata, representasi konkrit, representasi

simbol aritmatika, representasi bahasa verbal, dan representasi gambar

atau grafis.

Menurut NCTM (2000), indikator kemampuan representasi

matematis yaitu:


21

a. Menciptakan dan menggunakan representasi untuk mengorganisir,

mencatat dan mengkomunikasikan ide-ide matematika

b. Memilih, menerapkan, dan menterjemahkan representasi

matematika untuk memecahkan masalah

c. Menggunakan representasi untuk memodelkan dan

menginterpretasikan fenomena fisik, sosial, dan fenomena

matematika

Dari beberapa pendapat indikator kemampuan representasi

matematis diatas peneliti akan menggunakan indikator yang sesuai,

dengan materi yang digunakan yaitu permutasi dan kombinasi:

a. Membuat gambar sebagai representasi dari masalah yang dihadapi.

b. Membuat persamaan atau model matematis dari dari masah yang

dihadapi.

c. Menyelesaikan masalah yang dihadapi dengan melibatkan ekspresi

matematis.

d. Menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah dengan kata-

kata untuk menarik kesimpulan

C. Penelitian Desain

Dalam Prahmana (2017: 13) Graveimejer dan Van Erder

menyatakankan bahwa design research merupakan suatu metode penelitian

yang bertujuan mengembangkan local instruction theory (LIT) dengan kerja

sama antara peneliti dan tenaga pendidik untuk meningkatkan kualitas

pembelajaran. LIT merupakan sebuah teori tentang proses pembelajaran yang

mendeskripsikan lintasan belajar pada suatu topik tertentu dengan melakukan

aktivitas yang mendukung Graveimejer dan Van Erder dalam Prahmana

(2017: 21).

Secara garis besar LIT merupakan produk akhir dari hyppthetical

Learning Trajectory (HLT) yang telah dirancang, diimplementasikan, dan

dianalisis hasil pembelajarannya (Prahmana, 2017: 21). Menurur Prahmana

(2017: 20) HLT dapat di artikan sebagi suatu hipotesis atau prediksi


22

bagaimana pemikiran dan pemahaman mahasiswa yang berkembang dalam

aktivitas pembelajaran.

Penelitian ini terdiri dari tiga tahap sesuai dengan tahapan penelitian

desain menurut Plomp dalam (Rudhito, 2019: 42-50) yaitu tahap persiapan

penelitian, tahap percobaan desain, tahap analisis retrospektif.

1. Tahap Persiapan Penelitian

Persiapan untuk uji coba desain dimulai dengan mengklarifikasi

indikator yang akan dicapai oleh siswa, kemudian peneliti menetapkan

tujuan pembelajaran dan menentukan titik awal pembelajaran, lalu

peneliti membuat suatu instrumen dari desain yang akan di uji coba.

Instrumen yang digunakan berisi tujuan pembelajaran, kegiatan

pembelajaran, dan hipotesis proses belajar bagaimana proses

pembelajaran yang terjadi untuk menduga bagaimana siswa berpikir

dan akan berkembang dalam konteks kegiatan pembelajaran serta

topangan apa yang harus diberikan guru kepada siswa yang terangkum

dalam sebuah HLT (Hypothectical Learning Trajectory).

2. Tahap Percobaan Desain

Tujuan dari percobaan desain adalah menguji dan meningkatkan

dugaan teori pembelajaran yang sudah dikembangkan pada tahap awal,

dan untuk mengembangkan penggunaan desain tersebut.

3. Tahap Analisis Retrospektif

Tujuan dari analisis retrospektif adalah untuk melihat perkembangan

HLT. Kegiatan yang dilakukan pada tahap ketiga ini adalah

mendeskripsikan proses pembelajaran yang terjadi di kelas dan melihat

apakah desain yang sudah dibuat dapat berkontribusi dalam proses

belajar.


23

D. Permutasi dan Kombinasi

1. Permutasi menurut Julie, Hongki. Dkk. (2017)

a. Definisi dan Notasi Faktorial

Definisi Faktorial

𝑛 Faatorial adalah hasil kali dari 1, 2, 3, …, 𝑛 dengan ∈ ℕ dan

dinotasikan dengan 𝑛!.

0! Didefinisikan sebagai 0! = 1

b. Permutasi dan Banyaknya Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu

kumpulan benda/objek yang diambil sebagian/seluruhnya dengan

memperhatikan urutan.

Banyaknya permutasi adalah banyaknya susunan yang dapat

dibentuk dari suatu kumpulan benda/objek yang diambil

sebagian/seluruhnya dengan memperhatikan urutan.

Sifat 1: banyaknya permutasi dari 𝒏 benda yang berlainan

adalah 𝒏!

c. Permutasi 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang berbeda

Permutasi 𝑟 unsur yang diambil dari 𝑛 unsur yang berbeda adalah

susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda/objek

yang diambil sebagian dengan memperhatikan urutan. Sifat 2:

banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang

berbeda dapat dinotasikan dengan 𝑃(𝑛,𝑟) didefinisikan sebagai

berikut: 𝑷(𝒏,𝒓) =𝒏!

(𝒏−𝒓)!

Untuk membangun konsep serta mengkonstruksi pengetahuan

mahasiswa mengenai permutasi dan permutasi 𝑟 unsur yang

diambil dari 𝑛 unsur yang berbeda maka mahasiswa harus

mengerjakan masalah berikut:


24

d. Permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama

Cara menghitung banyaknya permutasi yang memuat unsur yang

sama adalah 𝑃 =𝑛!

𝑘! dan selanjutnya cara menghitung banyaknya

permutasi yang memuat unsur yang sama, unsur yang sama dan

unsur yang sama adalah 𝑃 =𝑛!

𝑘!𝑙!𝑚!

Untuk membangun konsep permutasi yang memuat beberapa unsur

yang sama maka diberikan beberapa masalah yang akan membantu

dalam membangun konsep tersebut:

Masalah 1

Didalam sebuah kantong terdapat 3 bola hijau, 4 bola merah,

dan 2 bola putih. Dari dalam kantong tersebut akan diambil dua

bola. Bola-bola tersebut diambil satu demi satu tanpa

pengembalian. Tentukan ada berapa banyak kemungkinan hasil

dari percobaan pengambilan tersebut

Masalah 2

Terdapat kartu bilangan 1,2,…9 . Masing-masing kartu hanya

tersedia satu.

a. Seorang siswa ingin membentuk bilangan yang terdiri dari

9 angka. Ada berapa susunan bilangan yang mungkin

dibuat oleh siswa tersebut?

b. Seorang siswa ingin membentuk bilangan yang terdiri dari



c. Seorang siswa ingin membentuk bilangan yang terdiri dari



d. Seorang siswa ingin membentuk bilangan yang terdiri dari




25

e. Permutasi siklis

Permutasi siklis merupakan suatu susunan yang memiliki kasus

khusus yaitu terletak pada susunan yang terbentuk melingkar. Cara

untuk menghitung permutasi siklis yaitu (𝑛 − 1)!

Untuk membangun konsep permutasi siklis maka diberikan

beberapa masalah yang akan membantu dalam membangun konsep

tersebut:

2. Kombinasi menurut Julie, Hongki. Dkk. (2017)

a. Partisi atau Sekatan

Partisi atau Sekatan adalah suatu cara yang dilakukan untuk

mengelompokkan beberapa benda/objek kedalam beberapa

sel/kamar. Cara untuk menghitung banyak cara untuk

menyekat/mempartisi 𝑛 objek berbeda ke dalam 𝑟 sel yang masing-

Masalah 3

Berapa banyak susunan huruf yang terdiri atas 4 huruf yang

disusun dari kata APA?

Masalah 4


disusun dari kata SAYA?

Masalah 5


disusun dari kata AREMA

Masalah 6

Ada orang, yaitu Dodi dan Adi akan menempati 2 buah kursi yang

mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang dapat

dibentuk?

Masalah 7

Ada orang, yaitu Dewi, Dian dan Boy akan menempati 3 buah

kursi yang mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang

dapat dibentuk?

Masalah 8

Ada orang, yaitu Bella, Ayu, Putri dan Agus akan menempati 4

buah kursi yang mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan

yang dapat dibentuk?


26

masing terdiri dari masing yang terdiri dari 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, … , 𝑛𝑟 adalah 𝑛!

𝑛1!.𝑛2!𝑛3!…𝑛𝑟! dengan 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯ = 𝑟

Untuk membangun konsep partisi atau sekatan maka diberikan

beberapa masalah yang akan membantu dalam membangun konsep

tersebut:

b. Kombinasi dan Banyaknya Kombinasi

Kombinasi adalah partisi atau sekatan yang terdiri atas 2 sel,

dimana sel pertama terdiri dari 𝑟 elemen dan sel kedua terdiri dari

𝑛 − 𝑟 elemen. Banyaknya kombinasi 𝑟 objek yang diambil dari 𝑛

objek yang dinotasikan dengan 𝐶(𝑛,𝑟) adalah 𝐶(𝑛,𝑟) =𝑛!

(𝑛−𝑟)!𝑟!

Masalah 9

Ani, Dita dan Febby akan menginap disuatu hotel. Ada dua kamar

yang tersedia. Kamar pertama dapat memuat dua orang,

sedangkan kamar kedua dapat memuat satu orang. Ada berapa

banyak cara untuk menempatkan ketiga orang tersebut kedalam

dua kamar?

Masalah 10

Adit, Dion, Bayu dan Ferri akan menginap disuatu hotel. Ada dua

kamar yang tersedia. Kamar pertama dapat memuat tiga orang,

sedangkan kamar kedua dapat memuat satu orang. Ada berapa


dua kamar?

Masalah 11

Anita, Vero, Bella dan Ria akan menginap disuatu hotel. Ada dua

kamar yang tersedia. Kamar pertama dapat memuat dua orang,

sedangkan kamar kedua dapat memuat dua orang. Ada berapa


dua kamar?

Masalah 12

Dodi, Andre, Rey, Joko dan Pura akan menginap disuatu hotel.

Ada dua kamar yang tersedia. Kamar pertama dapat memuat dua

orang, sedangkan kamar kedua dapat memuat tiga orang. Ada

berapa banyak cara untuk menempatkan ketiga orang tersebut

kedalam dua kamar?


27

E. Penelitian yang Relevan

Beberapa penelitian mengenai Pendidikan Matematika Realistik dan

Kemampuan representasi matematis sudah banyak dilakukan hanya saja

untuk jenjang kuliah masih jarang dilakukan. Berikut beberapa penelitian

yang relevan mengenai PMR dan Kemampuan representasi matematis, antara

lain:

1. Penelitian yang dilakukan oleh Helmi Saleha dkk (2019)

Penelitian ini dilatarbelakangi oleh kesulitan yang dialami siswa

dalam merepresentasikan soal yang diberikan ke dalam bentuk simbol

atau ekspresi matematika. Hal ini didukung dengan obeservasi dan tes

Masalah 13

Dalam sebuah pertemuan dihadiri dua orang. Berapa banyak jabat

tangan yang terjadi jika setiap peserta pertemuan harus berjabat

tangan?

Masalah 14

Dalam sebuah pertemuan dihadiri tiga orang. Berapa banyak jabat

tangan yang terjadi jika setiap peserta pertemuan harus berjabat

tangan?

Masalah 15

Dalam sebuah pertemuan dihadiri empat orang. Berapa banyak

jabat tangan yang terjadi jika setiap peserta pertemuan harus

berjabat tangan?

Masalah 16

Dalam sebuah pertemuan dihadiri lima orang. Berapa banyak


berjabat tangan?

Masalah 17

Dalam sebuah pertemuan dihadiri sembilan orang. Berapa banyak


berjabat tangan?

Masalah 18

Dalam proses pembelajaran yang dilakukan dosen akan

memberikan sebuah tugas kelompok. Kelompok tersebut harus

beranggotakan 3 mahasiswa dari 3 laki-laki dan 5 perempuan.

Berapa banyak susunan kelompok yang dapat dibuat oleh dosen,

jika dosen menginginkan dalam setiap kelompok terdapat paling

sedikit ada 1 mahasiswa perempuan?


28

awal yang dilakukan yaitu dari 78 orang siswa yang mengikuti tes awal

yang diberikan hanya 24 orang yang tuntas dan 54 siswa lainnya tidak

tuntas.

Tujuan dari penelitian yang dilakukan yaitu meningkatkan

kemampuan representasi matematis dari siswa dengan menggunakan

pendekatan PMR. Penelitian yang dilakukan ini berjenis metode

eksperimen dengan menggunakan model One group pre-test post-test

design. Untuk total subjek dari penelitian yaitu 78 siswa kelas X, hanya

saja dilakukan pemilihan subjek berdasarkan cluster/gugus sehingga

diperoleh subjek penelitiannya di kelas X IPA-2 yang berjumlah 26

orang. Dari subjek yang telah dipilih tersebut akan mengalami proses

pembelajaran dengan pendekatan PMR dan akan diamati dampak dari

pendekatan tersebut terhadap kemampuan representasi matematis

siswa.

Proses penelitian yang dilakukan yaitu metode eksperimen

dengan menggunakan model One group pre-test post-test design yaitu

terdapat pretest sebelum diberi perlakuan sehingga hasil perlakuan

dapat diketahui lebih akurat, karena dapat membandingkan dengan

keadaan sebelum perlakuan. Instrumen yang digunakan Instrumen

penelitian yang digunakan untuk mengumpulkan data RME adalah

dengan menggunakan lembar observasi yang terdiri dari 9 item. Dalam

mengumpulkan data kemampuan representasi matematis siswa sebelum

dan sesudah menggunakan PMR adalah dengan menggunakan tes yang

terdiri dari 4 soal. Data yang telah terkumpul kemudian akan dianalisis

data dengan 2 (dua) cara, yaitu: analisis deskriptif untuk memperoleh

gambaran umum tentang kedua variabel penelitian yaitu: penggunaan

pendekatan PMR (variabel X) dan kemampuan representasi matematis

siswa sebelum dan sesudah menggunakan pendekatan PMR (variabel

Y). Penggunaan analisis statistik inferensial untuk membuktikan

kebenaran hipotesis yang diajukan atau dibuat.


29

Peneliti menyimpulkan bahwa ada peningkatan kemampuan

representasi matematis siswa. Nilai ketuntasan sebelum pembelajaran

dengan PMR sebesar 56,73 sedangkan setelah pembelajaran dengan

PMR menjadi 68,16.

2. Penelitian yang dilakukan oleh Novikasari Ifada dan Wahyuni (2019)

Penelitian ini dilatarbelakangi oleh kesulitan yang dialami

mahasiswa calon guru dalam merepresentasikan soal yang diberikan

kedalam bentuk symbol atau ekspresi matematika lainnya. Hal ini

didukung dengan penelitian yang telah dilakukan oleh penulis juga

bahwa aplikasi dari pengembangan pembelajaran di perguruan tinggi

juga masih menjadi tantangan. Akibatnya rendahnya kemampuan

representasi yang dimiliki mahasiswa.

Tujuan dari penelitian yang dilakukan yaitu meningkatkan

kemampuan representasi matematis dari mahasiswa dengan

menggunakan pengaplikasian PMR. Penelitian yang dilakukan ini

berjenis penelitian tindakkan kelas. Untuk total subjek dari penelitian

yaitu 32 mahasiswa calon guru. Dari subjek yang telah dipilih tersebut

akan mengalami proses pembelajaran dengan menggunakan

pengaplikasian PMR dan akan diamati dampak dari pendekatan

tersebut terhadap kemampuan representasi matematis siswa.

Proses penelitian dilakukan dengan menggunakan 2 siklus. Siklus

1 terdiri dari: 1. menyusun rencana perkuliahan; 2. melakukan

pembelajaran dengan pendekatan PMR; 3. observasi; 4. refleksi. Dari

siklus pertama yang dilakukan tersebut kemudian dilakukan revisi atas

pendekatan pembelajaran yang dilakukan. Revisi rancangan dari siklus

1 sebagai berikut: 1. mempersiapkan alat-alat aau media pembelajaran

yang digunakan; 2. menambah jumlah pertanyaan sebagai pemicu rasa

ingin tahu siswa; 3. mempersiapkan instrument observasi dan

instrument tes 4. mempersiapkan daftar nilai. Tujuannya yaitu agar

pembelajaran dengan pendekatan PMR pada siklus 2 lebih baik.


30

Peneliti menyimpulkan bahwa ada peningkatan kemampuan

representasi matematis siswa. Nilai ketuntasan yang diperoleh sebelum

pembelajaran dengan PMR sebesar 18,75 sedangkan setelah

pembelajaran dengan PMR menjadi 75,31.

3. Yusuf Cantika N. dkk (2018)

Penelitian yang dilakukan ini dilatar belakangi oleh rendahnya

kemampuan representasi matematis yang dimiliki oleh siswa. Soal yang

diberikan pada tes awal memuat indikator memecahkan masalah dan

representasi matematis, sebagian besar siswa mengalamai kesulitan

pada bagian representasi matematis. Hal ini didukung dengan

kemampuan tes awal yang diberikan kepada 25 orang siswa dengan

hasil hanya 5 orang yang tuntas atau melewati KKM sedangkan 20

orang tidak tuntas. Kesenjangan antara harapan peneliti dengan

kenyataan yang ada inilah yang akan menjadi masalah yang akan diteliti

nantinya.

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kemampuan matematis

siswa setelah diterapkan model pembelajaran Realistic Mathematics

Education (RME). Penelitian yang dilakukan ini berjenis penelitian

deskriptif dengan desan penelitian one group pretest-posttest design.

Desain penelitiannya yaitu sebelum perlakuan diberikan, terlebih

dahulu subjek penelitian diberi pretest (tes awal) dan di akhir

pembelajaran subjek penelitian diberi posttest (tes akhir). Subjek dalam

penelitian ini adalah berjumlah 25 orang.

Hasil penelitian yang diperoleh yaitu mengalami peningkatan

pada nilai tes yang diberikan yang sebelumnya pada pretest dengan

rata-rata kelas 23, setelah melakukan pembelajaran dengan mengunaka

RME mengalami peningkatan menjadi 62. Dari hasil yang diperoleh

dapat disimpulkan bahwa pembelajaran menggunakan model RME

dapat meningkatkan kemampuan representasi matematis siswa.


31

F. Kerangka Berpikir

Berdasarkan hasil tes awal yang diperoleh kepada mahasiswa yang

telah mengambil mata kuliah teori peluang dan hasil wawancara yang

dilakukan terhadap Peneliti pengampu mata kuliah teori peluang, peneliti

memperoleh data bahwa mahasiswa masih mengalami kesulitan dalam

merepresentasikan soal yang diberikan menjadi bentuk simbol atau gambar

dan mahasiswa juga masih kesulitan untuk melibatkan ekspresi matematis

yang sesuai dengan apa yang ditanyakan oleh masalah yang diberikan. Selain

itu juga, mahasiswa masih mengalami kesulitan dalam memilih teknik

permutasi atau kombinasi yang harus digunakan dalam menyelesaikan

masalah yang diberikan yang menyebabkan sering tertukar dalam milih

teknik permutasi atau kombinasi dalam menyelesiakan masalah yang

diberikan. Hal ini disebabkan karena masih rendahnya kemampuan

representasi matematis yang dimiliki mahasiswa, pada materi permutasi dan

kombinasi dan mahasiswa juga masih kesulitan dalam menuliskan langkah-

langkah dari penyelesain yang diberikan secara runtut dan tepat.

Dari penelitian Yusuf Cantika N, dkk (2018) yang menerapkan

pendekatan PMR didalam pembelajaran materi menyelesaikan soal cerita

SPLDV untuk siswa kelas VIII diperoleh hasil bahwa peningkatan

interpretasi siswa berada di kategori sedang. Dari penelitian Helmi Saleha

dkk (2019) yang menerapkan pendekatan PMR di dalam pembelajaran materi

sistem persamaan linear untuk siswa kelas X-IPA diperoleh hasil bahwa nilai

ketuntusan setelaha pembelajaran dengan PMR mengalami peningkatan dari

rata-rata 56,73 menjadi 68,16%. Dari penelitian Novikasari Ifada dan

Wahyuni (2019) yang menerapkan pendekatan PMR di dalam pembelajaran

materi trigonometri untuk mahasiswa calon guru di MI STAIN Purwokerto

diperoleh hasil bahwa mahasiswa mengalami peningkatan nilai ketuntasan

dari rata-rata 18,75% menjadi 73,31%. Jadi, berdasarkan beberapa penelitian

yang telah dilakukan diatas dapat disimpulkan bahwa proses pembelejaran

yang menggunakan pendekatan PMR akan meningkatkan kemampuan

representasi matematis yang dimiliki siswa.


32

PMR memiliki 5 karaktersitik yaitu: (1) pengunaan konteks, (2)

penggunaan model untuk matematisasi progresif, (3) pemanfaatan hasil

konstruksi siswa, (4) interaktivitas, dan (5) keterkaitan. Dari lima

karakteristik yang dimiliki oleh PMR tersebut ternyata dapat dikaitkan

dengan indikator kemampuan representasi matematis yaitu (1) membuat

gambar sebagai representasi dari masalah yang dihadapi, (2) membuat

persamaan atau model matematis dari masalah yang dihadapi, (3)

menyelesaikan masalah yang dihadapi dengan melibatkan ekspresi

matematis, dan (4) menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah

dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan.

Peneliti akan mendesain pembelajaran untuk materi permutasi dan

kombinasi dengan menggunakan pendekatan PMR. Karaktersitik pertama

dari PMR penggunaan konteks, dengan adanya suatu masalah kontekstual

yang diberikan kepada mahasiswa akan melatih mahasiswa untuk membuat

gambar atau representasi dari masalah yang diberikan, membuat persamaan

matematis, menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis

dan menuliskan langkah-langkah penyelesaian dengan kata-kata untuk

menarik kesimpulan. Karaktersitik kedua dari PMR penggunaan model untuk

matematisasi progresif, mahasiswa membuat model dari masalah kontekstual

yang diberikan membuat persamaan matematis, menyelesaikan masalah

dengan melibatkan ekspresi matematis dan menuliskan langkah-langkah

penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan. Karakteristik

ketiga dari PMR pemanfaatan hasil konstruksi, hasil konstruksi berupa model

matematis yang diperoleh dari masalah kontekstual yang diberikan,

selanjutnya akan diselesaikan dengan melibatkan ekspresi matematis dan

menuliskan langkah-langkah penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik

kesimpulan. Karakteristik keempat interaktivitas, pada tahap ini terjadi

komunikasi antar mahasiswa-mahasiswa, mahasiswa-Peneliti yang bertujuan

untuk mengecek apakah proses dalam membuat gambar atau representasi dari

masalah yang diberikan, membuat persamaan matematis, menyelesaikan

masalah dengan melibatkan ekspresi matematis dan menuliskan langkah-


33

langkah penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan sudah

tepat atau masih ada kekeliruan. Karakteristik kelima keterkaitan dalam tahap

ini mahasiswa bisa menghubungkan hasil gambar atau representasi dari

masalah yang diberikan, membuat persamaan matematis, menyelesaikan

masalah dengan melibatkan ekspresi matematis dan menuliskan langkah-

langkah penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan dengan

materi lain atau konsep lain dari matematika yang sesuai.

Berdasarkan penjelesan di atas diperoleh bahwa pembelajaran dengan

menggunakan karakteristik PMR melibatkan indikator dari kemampuan

representasi matematis mahasiswa, yang berarti pembelajaran dengan

menggunakan karakteristik PMR membantu meningkatkan kemampuan

representasi matematis mahasiswa.


34

Bagan 2. 1 Kerangka Berpikir

Masalah Karakteristik

PMR

Indikator Kemampuan

Representasi Matematis

Mahasiswa masih kesulitan

dalam merepresentasikan soal

yang diberikan menjadi bentuk

simbol atau gambar

Pengunaan konteks

Penggunaan model

untuk matematisasi

progresif

Pemanfaatn hasil

konstruksi siswa

Inteaktivitas

Keterkaitan

Membuat gambar sebagai

representasi dari masalah

yang dihadapi.

Membuat persamaan atau

model matematis dari dari

masalah yang dihadapi

Menyelesaikan masalah yang

dihadapi dengan melibatkan

ekspresi matematis.

Menuliskan langkah-langkah

penyelesaian masalah dengan

kata-kata untuk menarik

kesimpulan

Mahasiswa kesulitan untuk

melibatkan ekspresi matematis

yang sesuai dengan apa yang

ditanyakan

Mahasiswa kesulitan dalam

memilih teknik permutasi atau

kombinasi yang harus

digunakan dalam menyelesaikan

masalah yang diberikan

Mahasiswa juga masih kesulitan

dalam menuliskan langkah-

langkah dari penyelesain yang

diberikan secara runtut dan

tepat.


35

BAB III

METODE PENELITIAN

A. Jenis Penelitian

Jenis penelitian ini merupakan penelitian desain. Cobb dkk dalam

Indriani (2009: 45) mendefinisikan penelitian desain sebagai penelitian yang

bertujuan untuk menghasilkan dampak dari aktifitas pembelajaran yang

dirancang dan untuk mengetahui bagaimana proses pembelajaran tersebut

dapat berjalan. Pada penelitian ini, peneliti merancang dan mengembangkan

HLT untuk membelajarkan materi permutasi dan kombinasi pada mata kuliah

Teori Peluang dengan menggunakan pendekatan PMR. HLT tersebut

kemudian diimplementasikan di dalam proses pembelajaran kemudian dilihat

dampak dari HLT tersebut terhadap kemampuan representasi matematis dari

mahasiswa. Oleh karena itu, di dalam penelitian ini, peneliti menggunakan

jenis penelitian desain yang meliputi tiga tahapan menurut Plomp dalam

(Rudhito, 2019: 42-50) yaitu persiapan uji coba desain, uji coba desain dan

analisis retrospektif.

B. Subjek dan Objek Penelitian

Subjek dalam penelitian ini adalah mahasiswa S1 Program Studi

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang mengambil mata

kuliah Teori Peluang di kelas A dan B yang merupakan matakuliah wajib bagi

mahasiswa semester 3.

Objek dalam penelitian ini adalah lintasan belajar atau HLT yang

digunakan untuk membelajarkan materi kaidah pencacahan dengan

menggunakan pendekatan PMR dan kemampuan representasi mahasiswa

pada materi kaidah pencacahan setelah proses pembelajaran dilakukan.

C. Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan pada mahasiswa S1 Program Studi

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang mengambil mata

kuliah pengantar teori peluang, akan dibagi menjadi 2 kelas yaitu kelas uji


36

coba dan kelas penelitian. 2 kelas tersebut terbagi menjadi kelas A dan B,

untuk kelas B digunakan sebagai kelas uji coba dikarenakan jadwal untuk

kelas B lebih awal dan kelas A sebagai kelas penelitian. Penelitian ini akan

dilaksanakan pada ahkir bulan Agustus 2020 s.d Oktober 2020.

D. Bentuk Data

Bentuk data dalam penelitian ini adalah data kualitatif yang diperoleh

dari hasil observasi, tes, wawancara dan dokumentasi dengan subjek peneliti

yang dianalisis berdasarkan ketentuan dalam penelitian kualitatif. Data tertuis

siswa akan dideskripsikan berdasarkan karakteritik PMR dan indikator

kemampuan representasi matematis

E. Metode Pengumpulan Data

Metode pengumpulan data yang digunakan dalam penelitian ini adalah:

1. Catatan Lapangan dan Dokumentasi

Menurut Idrus (2007:85), catatan lapangan merupakan catatan

yang ditulis secara rinci, cermat, luas dan mendalam. Catatan lapangan

yang dibuat oleh peneliti dalam penelitian ini bertujuan untuk mencatat

dengan rinci langkah-langkah pembelajaran dengan menggunakan

pendekatan PMR.

Dokumentasi dalam penelitian ini berupa foto, video dan rekaman

audio. Dokumentasi ini dilakukan saat peneliti melakukan proses

pembelajaran pada materi kaidah pencacahan. Tujuan dari dokumentasi

yang dilakukan yaitu untuk merekam segala aktivitas yang terjadi

selama pembelajaran baik Peneliti ataupun mahasiswa.

2. Tes Tertulis

Tes tertulis ini diberkan untuk mengetahui bagaimana

kemampuan representasi matematis subjek penelitian setelah mengikut

proses pembelajaran dengan menggunakan pendekatan PMR. Dari hasil

tes tersebut akan dikelompokkan berdasarkan jawab yang sama,


37

kemudian akan dideskripsikan dari kelompok-kelompok jawaban

tersebut.

3. Wawancara

Wawancara merupakan teknik pengumpulan data melalui

komunikasi langsung dengan pihak penanya dan pihak yang ditanya

Sudjana (2008:194). Wawancara dilakukan untuk mengkonfirmasi

kembali kebenaran informasi yang telah diperoleh atau yang belum

diperoleh dan untuk mendapatkan informasi yag lebih mendalam

mengenai kemampuan representasi matematis. Dalam mengumpulkan

data dan pemilihan subjek untuk diwawancara menggunakan yang ada

pada Arikunto (2018:287) dengan pengelompokkan atas 3 ranking yaitu

kelompok atas, sedang dan bawah. Dalam menentukan kelompok

tersebut digunakan dengan mencari standar deviasi dengan cara:

𝑆𝐷 = √∑𝑋2

𝑁− (

∑𝑋

𝑁)

2

Dengan:

SD = standar deviasi

𝑁 = Banyaknya data

∑𝑋2

𝑁= tiap skor dikuadratkan lalu dijumlahkan kemudian dibagi 𝑁

dibagi 𝑁

(∑𝑋

𝑁)

2

= semua skor dijumlahkan, dibagi 𝑁, lalu dikuadratkan

Setelah menemukan nilai dari SD maka akan dicari batas bawah dan

atas kelompok sedang, yaitu: mean-SD dan mean + SD. Jadi jika

dikelompokkan kedalam 3 ranking akan menjadi:

a. Kelompok atas : Semua siswa yang skornya lebih besar dari

𝑚𝑒𝑎𝑛 + 𝑆𝐷

b. Kelompok sedang: Semua siswa yang skornya antara 𝑚𝑒𝑎𝑛 − 𝑆𝐷

dan 𝑚𝑒𝑎𝑛 + 𝑆𝐷


38

c. Kelompok bawah: Semua siswa yang skornya lebih kecil dari

𝑚𝑒𝑎𝑛 − 𝑆𝐷

Berdasarkan 3 ranking yang telah ditentukan maka akan dipilih dua

mahasiswa yang akan diwawancarai yang mewakili kelompok ranking

tersebut.

F. Instrument Pengumpulan Data

1. Catatan Lapangan

Catatan lapangan yang dibuat oleh peneliti dicatat berdasarkan

kejadian yang terjadi selama proses pembelajaran berlangsung

berdasarkan pada karakteristik dari PMR. Berikut adalah kisi-kisi

catatan lapangan yang dibuat oleh peneliti.

Tabel 3. 1 Kisi-Kisi Catatan Lapangan

No

Karakteristik PMR

Deskripsi

Kegiatan

Peneliti

Deskripsi

Kegiatan

Mahasiswa

1. Pengunaan Konteks

2. Penggunaan Model

untuk Matematisasi

Progresif

3. Pemanfaatan Hasil

Konstruksi Siswa

4. Interaktivitas

5. Keterkaitan


39

2. Lembar Tes Tertulis

Sebelum membuat tes tertulis, peneliti menyusun kisi-kisi tes

tertulis sebagai berikut:

Tabel 3. 2 Kisi-kisi Tes Tertulis Mahasiswa

Kompetensi dasar:

1. Mahasiswa mampu merepresentasikan apa yang diketahui dari soal

kedalam bentuk gambar, simbol, atau kata-kata.

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan apa yang telah direpresentasikan dari

soal

Indikator Kemampuan

Representasi

Matematis

Indikator Soal Soal Tes

Menggambar sebagai

representasi dari soal

Mahasiswa mampu

menggunakan

representasi visual

untuk

menggambarkan

apa yang diketahui

dari masalah

tersebut

1. Sebuah dealer mobil

memberikan hadiah

kejutan bagi konsumen

yang membeli sebuah

mobil baru di dealer

tersebut. Setiap konsumen

yang mendapat hadiah

kejutan dapat mengambil

dua kartu undian dari

sebuah kantung. Di dalam

kantung tersebut terdapat

20 kartu undian, di mana 5

kartu berisi hadiah mobil,

8 kartu berisi hadiah

motor, dan sisanya tidak

berisi hadiah. Tentukan

ada berapa banyak

kemungkinan hasil dari

percobaan pengambilan

hadiah kejutan dari

seorang konsumen di toko

tersebut jika pengambilan

dilakukan satu demi satu

tanpa pengembalian!

2. Ada enam kartu bilangan,

yaitu 2, 5, 0, 3, 7, dan 1.

Dari kartu-kartu tersebut

akan dibuat suatu bilangan

yang terdiri dari 3 angka.

a. Ada berapa susunan

angka yang dapat

dibuat jika tiap kartu

Mahasiswa mampu

menyajikan

kembali data atau

informasi dari suatu

representasi

Membuat Persamaan

atau model matematis

Mahasiswa mampu

menentukan konsep

matematika yang

akan digunakan

Mahasiswa mampu

membuat hubungan

dari gambar yang

telah dibuat dengan

data yang diketahui

Menyelesaikan

masalah dengan

melibatkan ekspresi

matematis

Mahasiswa mampu

melakukan

perhitungan dengan

menggunakn

konsep atau rumus

yang sesuai

Mahasiswa mampu

menggunakan

strategi yang tepat

dalam


40

menyelesaikan

masalah

bilangan hanya dapat

dipergunakan satu

kali?

b. Ada berapa susunan

angka yang dapat



dipergunakan satu

kali dan bilangan

yang dibentuk adalah

bilangan ganjil?

c. Ada berapa susunan

angka yang dapat



dipergunakan satu

kali dan bilangan

yang dibentuk adalah

bilangan genap?

Menyederhanakan

langkah-langkah

penyelesaian masalah

dengan kata-kata atau

teks tertulis untuk

menarik kesimpulan.

Mahasiswa mampu

menuliskan

langkah-langkah

penyelesaian

Mahasiswa mampu

menyimpulkan dari

gambar atau

representasi yang

telah dibuat

3. Lembar Pedoman Wawancara

Pedoman wawancara dibuat bertujuan untuk membantu peneliti

saat melakukan wawancara. Wawancara ini akan menggali informasi

mengenai kemampuan representasi matematis dan mengkonfirmasi

jawaban mahasiswa yang akan dikembangkan lenih lanjut dengan

menggunakan hasil tes tertulis mahasiswa. Berikut kisi-kisi untuk

pedoman wawancara.

Tabel 3. 3 Kisi-kisi Lembar Pedoman Wawancara

Indikator

Kemampuan

Representasi

Indikator Soal Nomor

Butir Pertanyaan

Menggambar

sebagai

representasi

dari soal

1. Menggunakan

representasi

visual untuk

menggambarka

n apa yang

diketahui dari

Sebuah dealer

mobil memberikan

hadiah kejutan bagi

konsumen yang

membeli sebuah

mobil baru di dealer

1.

Coba kalian

gambarkan

secara visual apa

yang kalian

pahami dari


41

masalah

tersebut.

tersebut. Setiap

konsumen yang

mendapat hadiah

kejutan dapat

mengambil dua

kartu undian dari

sebuah kantung. Di

dalam kantung

tersebut terdapat 20

kartu undian, di

mana 5 kartu berisi

hadiah mobil, 8

kartu berisi hadiah

motor, dan sisanya

tidak berisi hadiah.

Tentukan ada

berapa banyak

kemungkinan hasil

dari percobaan

pengambilan

hadiah kejutan dari

seorang konsumen

di toko tersebut jika

pengambilan

dilakukan satu demi

satu tanpa

pengembalian!

masalah

tersebut!

2. Menyajikan

kembali data

atau informasi

dari suatu

representasi.

2.

Bagaimana

kalian

merepresentasik

an kalimat

masalah berikut

“di dalam

kantung tersebut

terdapat 20 kartu

undian, di mana

5 kartu berisi

hadiah mobil, 8

kartu berisi

hadiah motor,

dan sisanya tidak

berisi hadiah”

dan

“pengambilan

dilakukan satu

demi satu tanpa

pengembalian”.

3. Mampu

menjelaskan

kembali

masalah yang

diberikan

dengan

menggunakan

kata-kata sendiri

3.

Coba kamu

menceritakan

kembali maksud

dari masalah

satu tersebut

dengan

menggunakan

kata-kata

sendiri?

Membuat

Persamaan

atau model

matematis

1. Menentukan

strategi atau

konsep

matematika

yang akan

digunakan

4.

Konsep

matematika apa

saja yang dapat

digunakan untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut?

Jelaskan

mengapa konsep

tersebut dapat

dipergunakan

untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut!


42

5.

Jelaskan

bagaimana

rencana kamu

untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut!

2. Mampu

membuat

hubungan dari

gambar yang

dibuat dengan

data yang

diketahui 6.

Apa hubungan

antara konsep

matematika

tersebut dengan

gambaran visual

yang sudah

kalian

gambarkan

untuk

menggambarkan

hal-hal yang

diketahui dari

masalah

tersebut?

7.

Buatlah model

matematika dari

apa yang

diketahui dari

masalah

tersebut!

Menyelesaik

an masalah

dengan

melibatkan

ekspresi

matematis

1. Melakukan

perhitungan

dengan

mengunakan

konsep atau

rumus yang

sesuai

8.

Bagaimana

perhitungan

yang kamu buat

terkait dengan

konsep yang

sudah kalian

utarakan tadi?

2. Mengunakan

strategi yang

tepat dalam

menyelesaikan

masalah 9.

Bagaimana cara

kalian untuk

menerapkan

rencana yang

sudah kalian

buat untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut?

10.

Mengapa

mengunakan

strategi tersebut


43

untuk

menyelesaikan

masalah ?

Menyederha

nakan

langkah-

langkah

penyelesaian

masalah

dengan kata-

kata atau teks

tertulis untuk

menarik

kesimpulan.

1. Menulis

langkah-

langkah

penyelesaian 11.

Tolong jelaskan

kembali

langkah-langkah

yang kalian

lakukan dalam

menyelesaikan

masalah tersebut

2. Menjawab soal

dengan

menggunakan

kata-kata atau

teks

12.

Apa kesimpulan

yang kalian

peroleh dari

proses

penyelesaian

yang sudah

kalian lakukan?

Menggambar

sebagai

representasi

dari soal

1. Menggunakan

representasi

visual untuk

menggambarka

n apa yang

diketahui dari

masalah

tersebut.

Delapan orang

mahasiswa akan

berjalan-jalan ke

Malioboro. Untuk

itu, mereka

memesan dua grab

mobil. Mobil

pertama dapat

memuat 6 orang,

sedangkan mobil

kedua hanya dapat

memuat 4 orang.

Ada berapa cara

untuk

menempatkan

kedelapan

mahasiswa tersebut

ke dalam kedua

mobil?

1.

Coba kalian

gambarkan

secara visual apa

yang kalian

pahami dari

masalah

tersebut!

2. Menyajikan

kembali data

atau informasi

dari suatu

representasi.

2.

Bagaimana

kalian

merepresentasik

an kalimat

masalah berikut

“Delapan orang

mahasiswa akan

berjalan-jalan ke

Malioboro.

Untuk itu,

mereka

memesan dua

grab mobil.

Mobil pertama

dapat memuat 6

orang,

sedangkan mobil

kedua hanya

dapat memuat 4

orang..


44

3. Mampu

menjelaskan

kembali

masalah yang

diberikan

dengan

menggunakan

kata-kata sendiri

3.

Coba kamu

menceritakan

kembali maksud

dari masalah dua

tersebut dengan

menggunakan

kata-kata

sendiri?

Membuat

Persamaan

atau model

matematis

1. Menentukan

strategi atau

konsep

matematika

yang akan

digunakan

4.

Konsep

matematika apa

saja yang dapat

digunakan untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut?

Jelaskan

mengapa konsep

tersebut dapat

dipergunakan

untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut!

5.

Jelaskan

bagaimana

rencana kamu

untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut!

2. Mampu

membuat

hubungan dari

gambar yang

dibuat dengan

data yang

diketahui 6.

Apa hubungan

antara konsep

matematika

tersebut dengan

gambaran visual

yang sudah

kalian

gambarkan

untuk

menggambarkan

hal-hal yang

diketahui dari

masalah

tersebut?

7.

Buatlah model

matematika dari


45

apa yang

diketahui dari

masalah

tersebut!

Menyelesaik

an masalah

dengan

melibatkan

ekspresi

matematis

1. Melakukan

perhitungan

dengan

mengunakan

konsep atau

rumus yang

sesuai

8.

Bagaimana

perhitungan

yang kamu buat

terkait dengan

konsep yang

sudah kalian

utarakan tadi?

2. Mengunakan

strategi yang

tepat dalam

menyelesaikan

masalah

9.

Bagaimana cara

kalian untuk

menerapkan

rencana yang

sudah kalian

buat untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut?

10.

Mengapa

mengunakan

strategi tersebut

untuk

menyelesaikan

masalah ?

Menyederha

nakan

langkah-

langkah

penyelesaian

masalah

dengan kata-

kata atau teks

tertulis untuk

menarik

kesimpulan.

1. Menulis

langkah-

langkah

penyelesaian

11.

Tolong jelaskan

kembali

langkah-langkah

yang kalian

lakukan dalam

menyelesaikan

masalah tersebut

2. Menjawab soal

dengan

menggunakan

kata-kata atau

teks

12.

Apa kesimpulan

yang kalian

peroleh dari

proses

penyelesaian

yang sudah

kalian lakukan?

Menggambar

sebagai

1. Menggunakan

representasi

Ada 6 orang, yaitu

Dion, Joko, Zack, 1.

Coba kalian

gambarkan


46

representasi

dari soal

visual untuk

menggambarka

n apa yang

diketahui dari

masalah

tersebut.

Laurent, Priska, dan

Yustina yang akan

makan siang

bersama di sebuah

rumah makan. Meja

di rumah makan

tersebut berbentuk

lingkaran. Ada

berapa susunan

tempat duduk yang

dapat terjadi untuk

keenam orang

tersebut dan jika

Priska tidak ingin

duduk berdekatan

dengan Yustina?

secara visual apa

yang kalian

pahami dari

masalah

tersebut!

2. Menyajikan

kembali data

atau informasi

dari suatu

representasi.

2.

Bagaimana

kalian

merepresentasik

an kalimat

masalah berikut

“Ada 6 orang,

yaitu Dion, Joko,

Zack, Laurent,

Priska, dan

Yustina yang

akan makan

siang bersama di

sebuah rumah

makan. Meja di

rumah makan

tersebut

berbentuk

lingkaran

kemudian

menentukan

berapa susunan

tempat duduk

yang dapat

terjadi untuk

keenam orang

tersebut dan jika

Priska tidak

ingin duduk

berdekatan

dengan Yustina?

”.

3. Mampu

menjelaskan

kembali

masalah yang

diberikan

dengan

menggunakan

kata-kata sendiri

3.

Coba kamu

menceritakan

kembali maksud

dari masalah dua

tersebut dengan

menggunakan

kata-kata

sendiri?


47

Membuat

Persamaan

atau model

matematis

1. Menentukan

strategi atau

konsep

matematika

yang akan

digunakan

4.

Konsep

matematika apa

saja yang dapat

digunakan untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut?

Jelaskan

mengapa konsep

tersebut dapat

dipergunakan

untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut!

5.

Jelaskan

bagaimana

rencana kamu

untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut!

2. Mampu

membuat

hubungan dari

gambar yang

dibuat dengan

data yang

diketahui 6.

Apa hubungan

antara konsep

matematika

tersebut dengan

gambaran visual

yang sudah

kalian

gambarkan

untuk

menggambarkan

hal-hal yang

diketahui dari

masalah

tersebut?

7.

Buatlah model

matematika dari

apa yang

diketahui dari

masalah

tersebut!

Menyelesaik

an masalah

dengan

melibatkan

1. Melakukan

perhitungan

dengan

mengunakan

8.

Bagaimana

perhitungan

yang kamu buat

terkait dengan


48

ekspresi

matematis

konsep atau

rumus yang

sesuai

konsep yang

sudah kalian

utarakan tadi?

2. Mengunakan

strategi yang

tepat dalam

menyelesaikan

masalah

9.

Bagaimana cara

kalian untuk

menerapkan

rencana yang

sudah kalian

buat untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut?

10.

Mengapa

mengunakan

strategi tersebut

untuk

menyelesaikan

masalah ?

Menyederha

nakan

langkah-

langkah

penyelesaian

masalah

dengan kata-

kata atau teks

tertulis untuk

menarik

kesimpulan.

1. Menulis

langkah-

langkah

penyelesaian

11.

Tolong jelaskan

kembali

langkah-langkah

yang kalian

lakukan dalam

menyelesaikan

masalah tersebut

2. Menjawab soal

dengan

menggunakan

kata-kata atau

teks

12.

Apa kesimpulan

yang kalian

peroleh dari

proses

penyelesaian

yang sudah

kalian lakukan?

Menggambar

sebagai

representasi

dari soal

1. Menggunakan

representasi

visual untuk

menggambarka

n apa yang

diketahui dari

masalah

tersebut.

Ada enam kartu

bilangan, yaitu 2, 5,

0, 3, 7, dan 1. Dari

kartu-kartu tersebut

akan dibuat suatu

bilangan yang

terdiri dari 3 angka.

Ada berapa susunan

angka yang dapat

dibuat jika tiap

1.

Coba kalian

gambarkan

secara visual apa

yang kalian

pahami dari

masalah

tersebut!

2. Menyajikan

kembali data 2.

Bagaimana

kalian


49

atau informasi

dari suatu

representasi.

kartu bilangan

hanya dapat

dipergunakan

satu kali, kartu

bilangan hanya

dipergunakan

satu kali dan

bilangan yang

dibentuk adalah

bilangan ganjil,

dan kartu bilangan

hanya dapat

dipergunakan

satu kali dan

bilangan yang

dibentuk adalah

bilangan genap?

merepresentasik

an kalimat

masalah berikut

“Ada enam kartu

bilangan, yaitu

2, 5, 0, 3, 7, dan

1. Ada berapa

susunan angka

yang dapat

dibuat jika tiap

kartu bilangan

hanya dapat

dipergunakan

satu kali,

membentuk

bilangan ganjil,

dan

membentuk

bilangan genap

? ”

3. Mampu

menjelaskan

kembali

masalah yang

diberikan

dengan

menggunakan

kata-kata sendiri

3.

Coba kamu

menceritakan

kembali maksud

dari masalah dua

tersebut dengan

menggunakan

kata-kata

sendiri?

Membuat

Persamaan

atau model

matematis

1. Menentukan

strategi atau

konsep

matematika

yang akan

digunakan

4.

Konsep

matematika apa

saja yang dapat

digunakan untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut?

Jelaskan

mengapa konsep

tersebut dapat

dipergunakan

untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut!

5.

Jelaskan

bagaimana

rencana kamu


50

untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut!

2. Mampu

membuat

hubungan dari

gambar yang

dibuat dengan

data yang

diketahui 6.

Apa hubungan

antara konsep

matematika

tersebut dengan

gambaran visual

yang sudah

kalian

gambarkan

untuk

menggambarkan

hal-hal yang

diketahui dari

masalah

tersebut?

7.

Buatlah model

matematika dari

apa yang

diketahui dari

masalah

tersebut!

Menyelesaik

an masalah

dengan

melibatkan

ekspresi

matematis

1. Melakukan

perhitungan

dengan

mengunakan

konsep atau

rumus yang

sesuai

8.

Bagaimana

perhitungan

yang kamu buat

terkait dengan

konsep yang

sudah kalian

utarakan tadi?

2. Mengunakan

strategi yang

tepat dalam

menyelesaikan

masalah 9.

Bagaimana cara

kalian untuk

menerapkan

rencana yang

sudah kalian

buat untuk

menyelesaikan

masalah

tersebut?

10.

Mengapa

mengunakan

strategi tersebut

untuk

menyelesaikan

masalah ?


51

Menyederha

nakan

langkah-

langkah

penyelesaian

masalah

dengan kata-

kata atau teks

tertulis untuk

menarik

kesimpulan.

1. Menulis

langkah-

langkah

penyelesaian

11.

Tolong jelaskan

kembali

langkah-langkah

yang kalian

lakukan dalam

menyelesaikan

masalah tersebut

2. Menjawab soal

dengan

menggunakan

kata-kata atau

teks

12.

Apa kesimpulan

yang kalian

peroleh dari

proses

penyelesaian

yang sudah

kalian lakukan?

4. HLT (Hypothetical Learning Trajectory)

Peneliti mendesain pembelajaran berupa HLT untuk sebagai

panduan dalam melaksanakan proses pembelajaran dengan

menggunakan pendekatan PMR. Dalam HLT terdapat langkah-langkah

pembelajaran yang harus dilakukan oleh guru dalam melaksanakan

pembelajaran. Melalui HLT, peneliti bisa melakukan dugaan-dugaan

atas respon yang diberikan oleh mahasiswa selama pembelajaran. HLT

yang dibuat ini akan digunakan untuk pembelajaran via daring, dengan

fokus pembelajaran daring menggunakan media whatsapp.

HLT yang dibuat akan disesuaikan dengan 5 karakteristik dari

PMR yang digunakan. HLT yang dibuat ini akan terbagi menjadi 3

bagian besar yaitu pembukaan, inti dan penutup. Dalam bagian

pembukaan akan berisi perkenalan materi yang akan dipelajari pada

pertemuan hari ini, bagian inti memuat beberapa masalah yang akan

diberikan kepada mahasiswa untuk menyelesaiakan masalah tersebut.

Proses penyelesaian dari masalah tersebut akan diselesaiakan dalam 2

kelompok, yaitu kelompok besar dan kelompok kecil. Kelompok besar

melibatkan 1 kelas dan kelompok kecil hanya beranggotakan 4-5 orang


52

saja, dan bagian penutup memuat kesimpulan dari pembelajaran yang

dilakukan. HLT yang dibuat akan digunakan untuk 2 kali pertemuan.

Pada pertemuan pertama mahasiswa akan diminta untuk

menyelesaikan masalah yang diberikan dalam kelompok-kelompok

kecil yaitu masalah 1, aktivitas 1 dan aktivitas 2.

Gambar 3. 1 Aktivitas Pertemuan 1

Selama proses diskusi dalam kelompok kecil tersebut, Peneliti

membantu jika ada kelompok yang masih mengalami kesulitan. Proses

diskusi dalam kelompok kecil selesai, maka kelompok yang telah

ditunjuk untuk mempresentasikan atau menjelasakan bagaimana

kelompok mereka dalam menyelesaikan masalah dan aktivitas yang

diberikan, di kelompok besar. Bentuk penjelasan dari kelompok untuk

menjelasakan masalah dan aktivitas yang telah dikerjakan yaitu

berbentuk gambar hasil pekerjaan dan voice recorder yang dikirim


53

digrup besar. Untuk pertemuan kedua mahasiswa akan menyelesaikan

masalah yang diberikan dalam kelompok-kelompok kecil yaitu

aktivitas 3, aktivitas 4, dan aktivitas 5


54

Gambar 3. 2 Aktivitas Pertemuan 2

Selama proses diskusi dalam kelompok kecil tersebut, Peneliti

membantu kelompok yang masih mengalami kesulitan. Proses diskusi

dalam kelompok kecil selesai, maka kelompok yang telah ditunjuk

untuk mempresentasikan atau menjelasakan bagaimana kelompok


55

mereka dalam menyelesaikan masalah dan aktivitas yang diberikan, di

kelompok besar. Bentuk penjelasan dari kelompok untuk menjelasakan

masalah dan aktivitas yang telah dikerjakan yaitu berbentuk gambar

hasil pekerjaan dan voice recorder yang dikirim di grup.

G. Validasi Instrumen dan Validasi Data

1. Validasi Instrumen Penelitian

Instrument yang digunakan dalam penelitian ini yaitu tes tertulis

dan pedoman wawancara. Proses dalam melakukan validasi yaitu

menggunakan validasi ahli, untuk tes tertulis divalidasi oleh Peneliti

pembimbing dan Peneliti mata kuliah teori peluang dan untuk pedoman

wawancara dilakukan validasi ahli oleh Peneliti pembimbing.

2. Validasi Data Penelitian

Data penelitian yang telah diperoleh akan di uji validitas atas data

yang telah diperoleh dengan menggunakan cara triangulasi. Triangulasi

dalam pengujian kredibilitas ini dapat diartikan sebagai proses

pengecekan data dari berbagai sumber dengan berbagai cara dan

berbagai waktu, sehingga diperoleh triangulasi sumber, trangulasi

teknik pengumpulan data, dan waktu Sugiyono (2016; 125).

Dalam penelitian yang dilakukan triangulasi yang digunakan

yaitu triangulasi teknik pengumpulan data. Triangulasi teknik

pengumpualan data dalam penelitian ini dilakukan dengan cara

mengecek data yang diperoleh kepada sumber yang sama dengan

menggunaan teknik yang berbeda. Dokumen yang digunakan dalam

penelitian ini yaitu data yang diperoleh dari hasil tes terkait kemampuan

representasi matematis. Selanjutnya akan dicek kembali dengan

wawancara terhadap subjek yang telah ditentukan berdasarkan

kelompok yang telah dibuat yaitu: kelompok atas, sedang dan rendah.


56

H. Teknik Analisis Data

Teknik analisis data yang digunakan adalah Analisis Selama Di

Lapangan Model Miles dan Huberman (1984) dalam Sugiyono (2016:92-99).

Analisis data dalam penelitian kualitatif, dilakukan pada saat pengumpulan

data berlangsung, dan setelah selesai pengumpulan data dalam suatu periode

yang terlah ditentukan. Terdapat model interaktif dalam analisis data yaitu:

1. Data Reduction (Reduksi Data)

Data yang diperoleh dari hasil observasi, wawancara dan

kuisioner sangat banyak untuk itu maka perlu dicatat secara rinci dan

teliti. Namun pada bagian ini banyak data yang telah terkumpul, dipilih

sesuai dengan kebutuhan penelitian, sehingga data yang tidak

dibutuhkan untuk penelitian bisa dihilangkan atau di hapus. Dalam

artian data yang dipilih harus sesuai dengan tujuan penelitian.

Dalam mereduksi data peneliti harus cermat memilih data sesuai

dengan kebutuhan dari penelitian yang dilakukan. Adapun reduksi data

yang akan dilakukan yaitu:

a. Data Catatan Lapangan

Data proses pembelajaran diperoleh dari hasil pelaksanaan

pembelajaran dengan menggunakan HLT yang dirancang dengan

menerapkan PMR pada materi kaidah pencacahan. Pembelajaran

yang dilakukan akan dicatat untuk semua informasi yang diperoleh

selama pembelajaran. Berdasarkan catatan lapangan, proses

pembelajaran yang telah dilaksanakan akan direduksi dengan

mengklasifikasi data yang telah diperoleh dengan karakteristik

PMR yaitu (1) penggunaan konteks, (2) penggunaan model untuk

matematisasi progresif, (3) pemanfaatan hasil konstruksi siswa, (4)

interaktivitas, (5) keterkaitan.

b. Data Hasil Tes

Hasil tes yang diperoleh selanjutnya akan direduksi dan dianalsis

dengan memperhatikan indikator dari kemampuan representasi

matematis yaitu: (1) membuat gambar sebagai representasi dari


57

soal yang diberikan, (2) membuat persamaan atau model matematis

dari soalyang diberikan, (3) menyelesaikan masalah dengan

melibatkan ekspresi matematis, dan (4) menuliskan langkah-

langkah penyelesain masalah dengan kata-kata untuk menarik

kesimpulan.

c. Data Wawancara

Wawancara dilakukan untuk mengklarifikasi jawaban mahasiswa

di dalam mengerjakan tes tertulis. Subjek dalam penelitian ini

dipilih menggunakan apa yang disampaikan Arikunto (2018:287)

dengan pengelompokkan subjek penelitian menjadi tiga kelompok.

yaitu kelompok atas, sedang dan bawah. Dari hasil wawancara

berupa rekaman akan dibuat transkip dan direduksi berdasarkan

indikator kemampuan representasi matematis.

2. Data Display (Penyajian Data)

Data yang telah direduksi kemudian siap untuk ditampilkan

dalam beberapa bentuk uraian singkat, bagan, hubungan antar kategori,

flowchart dan sejenisnya. Penyajian data ini juga membantu kita untuk

menentukan kesimpulan dari data yang telah direduksi tersebut.

Penyajian data yang dibuat dalam penelitian ini yaitu: (1) data proses

pembelajaran dianalisis menggunakan 5 karakteristik PMR yaitu:

penggunaan konteks, penggunaan model untuk matemasi progresif,

pemanfaatan hasl konstruksi siswa, interaktivitas dan keterkatian, dan

(2) data hasil tes dan wawancara dianalisis berdasarkan indikator

kemampuan representasi matematis, yaitu (1) membuat gambar

sebagai representasi dari masalah yang dihadapi, (2) memmbuat

persamaan atau model matematis dari masalah yang dihadapi, (3)

menyelesaikan masalah yang dihadapi dengan melibatkan ekspresi

matematis, dan (4) menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah

yang dihadapi dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan.


58

3. Kesimpulan

Pada bagian ini data yang telah disajikan dapat dibuat kesimpulan

untuk penelitian ini. Kesimpulan dalam penelitian kualitatif ini

merupakan temuan baru yang sebelumya belum pernah ada. Temuan

tersebut dapat disajikan berupa deskripsi atau gambar yang sebelumya

belum jelas menjadi jelas.

.


59

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Kelas Uji Coba

1. Deskripsi Rancangan Lintasan Belajar

Pada penelitian ini, peneliti merancang linatasan belajar untuk

pembelajaran pada mata kuliah teori peluang pada materi permutasi dan

kombinasi kepada mahasiswa semester II Program Studi Pendidikan

Matematika, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Lintasan belajar

yang dibuat akan berisikan tentang langkah-langkah pembelajaran dan

topangan-topangan apa saja yang akan diberikan. Rancangan lintasan

belajar ini disusun dengan tujuan agar mahasiswa dapat menyelesaikan

masalah terkait kemampuan representasi matematisi mahasiswa mengenai

materi permutasi dan kombinasi menggunakan pendekatan Pendidikan

Matematika Realistik (PMR) dengan memperhatikan lima karakteristik

PMR yaitu: penggunaan konteks, penggunaan model untuk matematisasi

progresif, pemanfaatan hasil konstruksi siswa, interaktivitas, dan

keterkaitan. Peneliti merencanakan akan mengadakan pembelajaran

sebanyak 3 kali pertemuan. Pertemuan pertama, mahasiswa diberikan 1

masalah dan 2 aktivitas, melakukan proses diskusi dan menyelesaikan

masalah yang diberikan dalam kelompok kecil, kemudian membahas hasil

diskusi di grup kelas. Pertemuan kedua, mahasiswa diberikan 3 aktivitas,

melakukan proses diskusi dan menyelesaikan masalah yang diberikan

dalam kelompok kecil, kemudian membahas hasil diskusi di grup kelas.

Pertemuan ketiga, mahasiswa akan mengikuti tes tertulis. Berikut

deskripsi dari rancangan lintasan belajar yang dilakukan untuk tiga

pertemuan secara lebih terperinci:

a. Rancangan Lintasan Belajar Pertemuan 1

Pada pertemuan pertama ini, kegiatan pembelajaran yang

direncanakan untuk dilakukan peneliti maupun mahasiswa pada

pertemuan pertama adalah sebagai berikut:


60

1) Penggunaan konteks

a) Peneliti mengawali pembelajaran dengan mengucap salam dan

mengecek keadaan mahasiswa sebelum memulai pembelajaran

serta menyampaikan agenda pembelajaran hari ini di WhatsApp

Group.

b) Peneliti mengirimkan file ke WhatsApp Group yang berisi

masalah 1, Aktivitas 1 terdiri dari masalah 2-4 dan aktivitas 2

masalah 5-7 dan meminta kelompok yang telah ditentukan untuk

menyelesaikan masalah yang diberikan dalam kelompok.

Gambar 4. 1 Masalah Pertemuan 1


61

2) Penggunaan model untuk matematisasi progresif, pemanfaatan hasil

konstruksi siswa, dan interaktivitas

a) Peneliti memberikan waktu sekitar 15–20 menit untuk berdiskusi

dalam kelompok.

b) Peneliti menunjuk kelompok secara acak yang mengerjakan

masalah 1, aktivitas 1 dan aktivitas 2 untuk mengirimkan hasil

diskusi kelompok kedalam grup besar berupa foto dan penjelasan

mengenai cara menyelesaikan masalah tersebut.

c) Peneliti mengajak mahasiswa berdiskusi untuk membahas hasil

diskusi dari kelompok yang telah mengirimkan hasil ke grup.

d) Peneliti melakukan penegasan untuk hasil diskusi kelompok yang

dikirimkan, jika terjadi kekeliruan dalam pengerjaan.

e) Peneliti meminta mahasiswa untuk menyimpulkan apa saja yang

telah dipelajari pada pertemuan hari ini.

b. Rancangan Lintasan Belajar Pertemuan 2

Pada pertemuan kedua ini, kegiatan pembelajaran yang

direncanakan untuk dilakukan peneliti maupun mahasiswa pada

pertemuan pertama adalah sebagai berikut:

1) Penggunaan Konteks

a) Peneliti mengawali pembelajaran dengan mengucap salam dan

mengecek keadaan mahasiswa sebelum memulai pembelajaran

serta menyampaikan agenda pembelajaran hari ini di WhatsApp

Group

b) Peneliti mengirimkan file kedalam WhatsApp Group yang berisi

aktivitas 3 terdiri dari masalah 8-11, Aktivitas 4 terdiri dari

masalah 12-16 dan aktivitas 2 masalah 17-19 dan meminta

kelompok yang telah ditentukan untuk menyelesaikan masalah

yang diberikan dalam kelompok.


62

Gambar 4. 2 Masalah Pertemuan 2 a

Gambar 4. 3 Masalah Pertemuan 2 b


63

Gambar 4. 4 Masalah Pertemuan 2 c

2) Penggunaan model untuk matematisasi progresif, pemanfaatan hasil

konstruksi siswa, dan interaktivitas

a) Peneliti memberikan waktu sekitar 25-35 menit untuk berdiskusi

dalam kelompok.

b) Peneliti menunjuk kelompok secara acak yang mengerjakan

aktivitas 3, aktivitas 4 dan aktivitas 5 untuk mengirimkan hasil



c) Peneliti mengajak mahasiswa berdiskusi untuk membahas hasil


d) Peneliti melakukan penegasan untuk hasil diskusi kelompok yang

dikirimkan, jika terjadi kekeliruan dalam pengerjaan

e) Peneliti meminta mahasiswa untuk menyimpulkan apa saja yang

telah dipelajari pada pertemuan hari ini


64

f) Peneliti mengingatkan mahasiswa untuk mempersiapkan diri,

karena pada pertemuan selanjutnya akan diadakan uji

pemahaman mahasiswa terkait materi yang telah dipelajari.

Berdasarkan uraian mengenai langkah-langkah pembelajaran

yang dilakukan oleh peneliti dan mahasiswa, maka terdapat kegiatan

pembelajaran yang diilakukan oleh peneliti berdasarkan karakteristik

dari PMR yaitu (1) penggunaan konteks terlihat ketika diberikan

aktivitas 3, aktivitas 4 dan aktivitas 5; (2) penggunaan model untuk

matematisasi progresif terlihat ketika mahasiswa menyelesaikan

masalah kontekstual yang diberikan dengan membuat model dan

menentukan penyelesaian; (3) pemanfaatan hasil konstruksi siswa

terlihat ketika proses diskusi yang dilakukan didalam kelompok untuk

menyelesaiakan masalah yang diberikan berdasarkan pengetahuan awal

yang dimiliki, proses diskusi untuk menentukan model dari masalah

kontekstual, menentukan langkah-langkah penyelesaian dan menarik

kesimpulan berdasarkan model yang telah dibuat serta langkah-langkah

matematika; (4) interaktivitas terlihat ketika peneliti meminta

mahasiswa untuk melakukan diskusi kelas atas penyelesesain yang

dilakukan terhadap masalah yang diberikan. Diskusi kelas yaitu peneliti

meminta kelompok yang telah dipilih untuk menjelaskan dan

mempresentasikan pekerjaan dari kelompoknya untuk teman-teman

yang lain. Setelah selesai mempresentasikan dan menjelaskan ada sesi

diskusi atau tanya jawab untuk hal-hal yang dianggap masih belum

jelas; dan (5) keterkaitan terlihat ketika mahasiswa menyelesaikan

aktivitas 3, 4 dan 5 dapat diselesaiakan dengan menggunakan materi

yang sebelumnya dipelajari yaitu filling slot, selanjutnya untuk konsep

untuk aktivitas 3 dapat digunakan juga untuk membantu menyelesaikan

aktivitas 4 dan 5.


65

c. Rancangan Lintasan Belajar Pertemuan 3

Pada pertemuan ketiga, peneliti akan mengadakan tes untuk

mengetahui pemahaman mahasiswa mengenai materi yang telah

diajarkan pada pertemuan sebelumnya. Berikut adalah kegiatan

pembelajaran yang dilakukan pada pertemuan ketiga.

1) Peneliti mengawali pembelajaran dengan mengucap salam dan

mengecek keadaan mahasiswa serta menyampaikan agenda

pembelajaran hari ini di WhatsApp Group.

2) Peneliti memberikan tes mengenai permutasi dan kombinasi, soal

dikirim di Whatsapp Group, dan meminta mahasiswa untuk

mencermati aturan pengerjaan tes yang sudah diberikan agar tidak

terjadi kesalahan dalam pengerjaan dan pengumpulan. Tes diberikan

hari rabu, 16 September 2020, berikut soal tes yang diberikan:


66

Gambar 4. 5 Uji Pemahaman Kemampuan Representasi

Berdasarkan uraian mengenai langkah-langkah pembelajaran

yang dilakukan oleh peneliti dan mahasiswa, maka terdapat kegiatan

yang diilakukan oleh peneliti untuk mengetahui kemampuan

representasi matematis mahasiswa setelah melakukan pembelajaran

menggunakan pendekatan PMR.

Soal nomor 1 mengukur 4 kemampuan indikator kemampuan

representasi: 1). Menggambar sebagai gambar sebagai representasi dari

masalah yang dihadapi, 2). Membuat persamaan atau model matematis

dari dari masah yang dihadapi. 3). Menyelesaikan masalah yang

dihadapi dengan melibatkan ekspresi matematis, dan 4). Menuliskan


67

langkah-langkah penyelesaian masalah dengan kata-kata untuk menarik

kesimpulan.







kesimpulan.







kesimpulan.







kesimpulan.


68

2. Deskripsi Implementasi Pembelajaran

Proses pembelajaran akan dianalisis dan dideskripsikan berdasarkan

kegiatan atau usaha yang dilakukan peneliti berdasarkan 5 karakteristik

PMR yaitu penggunaan konteks, penggunaan model untuk matematisasi

progresif, pemanfaatan hasil konstruksi siswa, interaktivitas dan

keterkaitan.

a. Implementasi Pembelajaran Pertemuan 1

Pada pertemuan 1, pertemuan 1 dilaksanakan secara daring melalui

media WhatsApp, dimana pada aplikasi WhatsApp sudah dibuat grup.

Grup tersebut terdiri dari 2 grup yaitu satu grup besar yang

beranggotakan seluruh mahasiswa ditambah Peneliti dan 12 grup kecil

beranggotakan 4-5 mahasiswa ditambah Peneliti. Berikut adalah

aktivitas pembelajaran yang dilakukan pada pertemuan 1:

1) Peneliti mengawali pembelajaran dengan mengucapakan salam

dan mengecek keadaan mahasiswa kurang lebih 3 menit.

Peneliti: Selamat pagi teman-teman, bagaimana keaadan

kalian? Saya berharap kalian semua dalam keadaan

sehat

M1 Selamat pagi pak, Puji Tuhan sehat.

M2 Pagi pak, sehat pak.

M3 Selamat pagi pak, saya baik. Semoga Bapak juga

sehat.

Sebelum memulai pembelajaran, peneliti menyampaikan agenda

pembelajaran hari ini yaitu mahasiswa melalui pemberian masalah

dapat memahami dan menjelaskan definisi dari permutasi, apa

yang dimaksud dengan permutasi siklis dan apa yang dimaksud

dengan permutasi berulang.

2) Peneliti mengirimkan file ke WhatsApp Group yang berisi masalah

1, aktivitas 1 terdiri dari masalah 2–4, dan aktivitas 2 terdiri dari

masalah 5–7. Peneliti meminta kelompok yang telah ditentukan

untuk menyelesaikan masalah yang diberikan dalam kelompok. Di


69

akhir pembelajaran, mahasiswa diminta untuk mengumpulkan

hasil diskusi setiap kelompok via email. Pembagian kelompok

untuk mengerjakan masalah dan aktivitas dibagi sebagai berikut:

Masalah 1 dikerjakan kelompok 1, 4, 8, dan 9, aktivitas 1

dikerjakan kelompok 3, 5, 7, dan 11, aktivitas 2 dikerjakan

kelompok 2, 6, 10, dan 12. Berikut file yang dikirimkan ke

whatsapp group.


Peneliti: Silahkan berdiskusi dalam kelompok yang telah

dibuat ya. Nanti saya juga akan mengikuti diskusi,

didalam kelompok kalian.

M1: Baik pak.

M2: Pak mau bertanya, apakah kami boleh berdiskusi

dengan video call?

Peneliti: Boleh, tapi hasil diskusi dikirim di grup diskusi kalian

ya.

M2 Baik pak.


70

Berdasarkan masalah yang diberikan pada pertemuan ini,

diharapkan mahasiswa terlibat secara aktif dalam mengeksplore

masalah yang diberikan secara berkelompok, selanjutnya

mahasiswa dapat menemukan penyelesaian yang dari masalah

yang diberikan. Hal ini sesuai dengan karakteristik dari PMR yang

pertama yaitu: pengunaan konteks. Pengunaan konteks ini

diharapkan dapat membuat mahasiswa lebih bersemangat dalam

mengikuti pembelajaran karena masalah yang diberikan

merupakan masalah dalam kehidupan sehari-hari atau kontekstual.

3) Peneliti memberikan waktu sekitar 15 – 20 menit untuk berdiskui

dalam kelompok. Selama proses diskusi peneliti ikut membantu

dan mengawasi jalannya proses diskusi didalam grup kecil. Peneliti

membantu mahasiswa dengan memberikan pertanyaan menuntun,

yang akan menuntun mahasiswa untuk menemukan ide dari

masalah yang dibahas seperti informasi apa saja yang dapat

diperloleh dari masalah yang diberikan. Salah satu contoh

percakapan di whatsapp grup kecil.

Masalah 1

Peneliti: Bagaimana untuk masalah 1 ada yang ingin

ditanyakan?

M1: M1: ada pak, masih binggung maksud soalnya pak.

M2: M2: iya pak sama

Peneliti: Peneliti: yang diketahui disoal apa saja?

M3: M3: ada 3 jenis bola pak, bola hijau, kuning dan

biru.

Peneliti: Peneliti: iya benar, terus ada informasi lain?

M1: Ada pak, jumlah bola hijau 2, bola kuning 3 dan

bola biru 4.

M2: Banyaknya jumlah bola berbeda-beda.

Peneliti: Peneliti: ada lagi?

M3: Cara pengambilannya satu demi satu tanpa

dikembalikan.

Peneliti: Peneliti: iya benar. Kalau begitu ada berapa banyak

kemungkinan yang terjadi?

M1 & M2: Bentar pak, masih hitung.

M3: 72 pak


71

M4: 72 kemungkinan pak

Peneliti: Peneliti: Apa saja kemungkinannya ?

M3: Terambil pertama bola hijau 1 dan pengambilan

kedua ada 8 ada kemungkinan bola yang terambil.

Peneliti: Peneliti: apakah terambil bola hijau 1 pada

pengambilan pertama dan bola hijau 2 di

pengambilan kedua, sama dengan terambil bola

hijau 2 pada pengambilan pertama dan bola hijau

1 di pengambilan kedua merupakan kejadian yang

sama atau berbeda?

M1: Beda pak

M2: Sama pak

Peneliti: Peneliti: hayo sama atau beda ?

M3: Kalau menurut saya beda pak, karena diambilnya

satu persatu. Jadi kejadian H1H2 dan H2H1

berbeda pak.

Peneliti: Bagaimana yang lain paham ?

M1&M2: Paham pak

Peneliti: Kalau begitu silahkan tulis yang rapih ya.

Dari dialog di atas, peneliti menyimpulkan bahwa untuk masalah 1

mahasiswa mengawali dengan mencari informasi apa saja yang

diketahui yaitu jumlah bola dan cara pengambilan bola serta

mahasiswa dapat membedakan kejadian yang terjadi dan

menghitung banyaknya kemungkinan yang terjadi dan mahasiswa

dapat mengetahui definisi dari permutasi.

Aktivitas 1

Peneliti Bagaimana untuk aktivitas 1 ada yang perlu

ditanyakan?

M1: Belum ada pak.

M2: Ada pak, masih binggung pak. Di bagian susunan

yang terbentuk dari kata APA.

Peneliti: Binggungnya dimana?

M3: Binggung dibagian ahkirnya pak, untuk pemberian

indeksnya pak. Saya peroleh A1PA2, A2PA1, A1A2P,

A2A1P, dan PA1A2, PA2A1. Apakah seperti ini pak ?

Peneliti: Ada yang punya pendapat lain, atau sama ?

M1: Kalau dari saya hanya 3 pak, AAP, PAA, dan APA.

Peneliti: Kok bisa?

M1: Iya pak, karena huruf yang diberikan tidak ada

indeks, atau umumnya huruf tidak menggunakan


72

indeks pak. Makanya A1PA2, A2PA1 menjadi APA,

A1A2P, A2A1P menjadi AAP, dan PA1A2, PA2A1

menjadi PAA.

Peneliti: Oke, ada yang ingin ditanyakan lagi? Jika tidak

mohon diselesaikan dan ditulis dengan rapih ya.

M1&M2 Tidak ada pak, baik pak.

M3 Belum ada pak, baik pak.

Dari dialog di atas, peneliti menyimpulkan bahwa untuk aktivitas

1 mahasiswa dapat membedakan pengunaan indkes dalam

menyusun sebuah kata dari beberapa huruf yang sama. Penggunaan

indkes digunakan ketika dari soal huruf yang diberikan sudah

diberikan indeks dan mahasiswa sudah memahami permutasi

berulang

Aktivitas 2

Peneliti: Bagaimana untuk aktivitas 2 ada yang perlu

ditanyakan?

M1&M2: Sejauh ini belum pak

M3: Masih binggung pak, untuk masalah 6 pak.

Peneliti: Binggungnya dibagian mana?

M3: Untuk posisinya pak, saya bingungg pak.

Peneliti: Teman-teman ada yang bisa membantu?

M1: Kalau saya buat gambar lingkaran dulu pak,

kemudian satu orang saya jadiin patokannya pak.

Peneliti: Maksdunya patokkan ?

M1: Satu orang yang jadi patokan itu saya gak pindah

posisinya dan untuk menghitung banyak

kemungkinan dimulai dari orang yang menjadi

patokannya pak.

M2: Saya juga seperti itu pak.

Peneliti: Bagaimana M3 sudah paham?

M3: Sudah pak, saya baru mencoba cara seperti yang

disebut M2.

Peneliti: Oke baik, masih ada pertanyaan? Jika tidak mohon

diselesaikan dan ditulis dengan rapih ya.

Dari dialog di atas, peneliti menyimpulkan bahwa untuk aktivitas

2 mahasiswa sudah memahami cara menentukan banyak cara orang


73

ketika disuruh duduk melingkar dan mahasiswa sudah bisa

memahami permutasi siklis.

Berdasarkan diskusi yang dilakukan mahasiswa dalam

menyelesaikan masalah 1, aktivitas 1, dan aktivitas 2 yang

diberikan dan model yang diperoleh dari masalah kontekstual yang

ada, terjadi sebuah proses matematisasi dari pengetahuan

matematika tingkat konkret mahasiswa menuju matematika tingkat

formal. Hal ini sesuai dengan karakteristik PMR yang kedua yaitu:

penggunaan model untuk matematisasi progresif.

Pengunaan model mengartikan suatu bentuk representasi dari

masalah yang diberikan. Hal ini bertujuan untuk meningkatkan

kemajuan pengatahuan mahasiswa, mengubah masalah kontekstual

yang diberikan menjadi sebuah model matematika. Dari masalah

1, mahasiswa diminta untuk menentukan banyaknya kemungkinan

pengambilan yang terjadi dan mahasiswa harus membuat sketsa

atau gambar yang dapat mewakili masalah yang diberikan, diawali

dengan membedakan warna bola, menghitung jumlah bola dari

masing-masing warna, memberikan indeks terhadap masing-

masing bola, mengetahui cara pengambilan yang dilakukan, dan

menghitung banyak kemungkinan yang dapat terjadi. Dari aktivitas

1, mahasiswa diminta untuk menyusun huruf dari susunan huruf

yang diberikan dan mahasiswa harus mendata huruf yang diketehui

terlebih dahulu sebelum menyusun huruf tersebut menjadi

beberapa susunan huruf. Dari aktivitas 2, mahasiswa diminta untuk

menentukan banyaknnya susunan yang terjadi saat duduk di meja

bundar dan mahasiswa harus mendata banyaknya orang yang akan

duduk di meja tersebut serta menggambar lingkaran sebagai bentuk

representasi dari meja bundar, kemudain melakukan perhitungan

banyaknnya susunan yang dapat dibentuk.

4) Peneliti menunjuk kelompok secara acak yang mengerjakan

masalah 1, aktivitas 1 dan aktivitas 2 untuk mengirimkan hasil


74

diskusi kelompok ke dalam grup besar berupa foto dan penjelasan

mengenai cara menyelesaikan masalah tersebut. Untuk membahas

masalah 1, Peneliti meminta, kelompok 9 untuk mengirimkan hasil

pekerjaan dan penjalasan kedalam grup kelas, untuk membahas

aktivitas 1 Peneliti meminta kelompok 7 untuk mengirimkan hasil

pekerjaan dan penjalasan kedalam grup kelas, dan untuk

membahas aktivitas 2 Peneliti meminta, kelompok 6 untuk

mengirimkan hasil pekerjaan dan penjalasan kedalam grup kelas.

5) Peneliti mengajak mahasiswa berdiskusi untuk membahas hasil


Masalah 1

Gambar 4. 7 Pekerjaan Mahasiswa Masalah 1 (1)


75

Gambar 4. 8 Pekerjaan Mahasiswa Masalah 1 (2)

Peneliti: Baik, mari kita lihat cara 1, mengapa tidak ada

kejadian H1H1?

M1: Karena tanpa pengembalian

M2: Tidak ada kejadian H1H1 karena syarat pada

permasalahan yaitu tanpa pengembalian, sehingga

tidak mungkin bola akan terambil 2 kali

M3: Karena diambil satu persatu tanpa pengembalian

pak

M4: Karena tanpa pengembalian bola pak. Artinya

sudah tidak ada bola H1 jika sudah diambil

Peneliti: Ok benar ya, tidak mungkin karena diambil satu

demi satu dan tidak dikembalikan. Pertanyaan

selanjutnya apakah H1H2 dengan H2H1, satu

kejadian atau 2 kejadian?

M5: 2 kejadian pak

M6: 2 kejadian berbeda pak.

Peneliti: Mengapa?

M7: 2 kejadian pak, karena pengambilan dilakukan satu

persatu tidak sekaligus.

M8: Karena diambil satu persatu pak.


76

M9: Kasus 1 yang terambil pertama itu H1, yang temabil

kedua H2. Kasus 2 yang terambil pertama H2, yang

terambil kedua H1.

Peneliti: Ok benar ya. Hal ini bisa berbeda karena,

pengambilan yang dilakukan satu demi satu tanpa

pengembalian. Selanjutnya mari kita lihat cara

kedua, mengaapa bisa menggunakan permutasi?

M10: Karena memperhatikan urutan pengambilan pak.

M11: Karena pengambilan satu per satu tanpa

pengembalian, sehingga memperhatikan urutan.

Peneliti: Ok benar ya, Mengapa 9P2?

M12: Akan diambil 2 dari 9 bola pak.

M13: Karena total bola ditas ada 9 dan yang akan diambil

2 bola pak.

Peneliti: Oke yak arena ditas ada 9 bola dan akan diambil 2.

Oke mari kita lihat cara ketiga ya, dengan

menggunakan filling slot. Mengapa ada 2 slot?

M14: Karena ada dua bola yang diambil pak.

M15: Karena bola yang akan diambil berjumlah 2 pak

jadi untuk menentukan kemungkinannya memakai

2 slot.

Peneliti: Ok, mengapa untuk slot kedua tinggal 8 bola ya?

M15: Karena 1 bola sudah diambil di pengambilan

pertama dan tidak dikembalikan pak.

M16: Karena untuk pengambilan pertama sudah diambil

satu bola dan tidak dikembalikan, sehingga tinggal

8 bola yang tersisa pak.

M17: Karena sudah terambil 1 di slot pertama, sehingga

tinggal (9-1) bola bulan untuk slot kedua.

Berdasarkan dialog di atas yang dilakukan dalam membahas

masalah 1, dapat disimpulkan bahwa (1) mahasiswa dapat

menentukan semua informasi dari masalah yang diberikan yaitu

jumlah bola yang ada serta cara pengambilan bola tersebut, (2)

mahasiswa dapat membedakan bentuk kejadian yang dihasilkan

berdasarkan cara pengambilan kejadian, (3) mahasiswa mampu

menyelesaikan masalah dengan beberapa cara yang berbeda-beda

serta mampu mempertanggung jawabkan atau menjelaskan apa

yang mereka kerjakan dan (4) mahasiswa dapat menjelaskan

dengan detail mengenai kejadian yang dihasilkan dari cara

pengambilan yang dilakukan.


77

Aktivitas 1

Gambar 4. 9 Pekerjaan Mahasiswa Aktivitas 1

Peneliti: Masalah 2 berapa banyak susunan huruf yang terdiri

atas 3 huruf yang disusun dari kata APA?

M1: Ada 3 pak

M2: Ada 3 huruf pak .

Peneliti: Apa saja?

M3: AAP. APA, dan PAA

Peneliti: Ada yang tahu mengapa dibagi 2!?

M4: Karena ada unsu yang sama pak.

M5: Karena ada dua huruf yang sama pak, yaitu A.

Peneliti: Apakah susunannya tidak seperti ini A1PA2, A2PA1,

dst? Mengapa?

M6: Karena didalam soal tidak diketahui indeksnya, jadi

A1 dan A2 dihitung satu.

M7: Karena di soal tidak terdapat indkesnya pak

M8: Karena tidak terdapat indeks setiap hurufnya pak.

Peneliti:

Ok benar ya, di dalam soal A nya tidak berindeks, jadi

dianggap sama. Nah, sekarang ke masalah 3 dan 4.

Mengapa dibagi 2!?

M8: Dibagi 2 karena ada huruf yang sama pak


78

M9: Sama pak, karena ada dua huruf atau unsur yang sama.

M10: Karena pada masalah 3 dan masalah 4 terdapat 2 huruf

yang sama pak, yaitu huruf A.

Peneliti: Oke benar ya, pada masalah 3 dan masalah 4, SAYA

dan AREMA hanya ada dua huruf yang sama yaitu

huruf A.

Berdasarkan dialog diatas yang dilakukan dalam membahas

aktivitas 1, dapat disimpulkan bahwa (1) mahasiswa dapat

menentukan semua informasi yang dibutuhkan untuk

menyelesaiakan masalah yang diberikan yaitu kata yang terbentuk

untuk setiap hurufnya tidak memiliki indkes, (2) mahasiswa dapat

menentukan langkah penyelesaian sesuai dengan masalah yang ada

dengan mengabaikan indkes pada huruf karena pada soal yang

diberikan huruf tersebut tidak memiliki indeks, dan (3) mahasiswa

dapat menjelasakan dengan detail mengenai langkah penyelesaian

yang digunakan dan mempertanggung jawabkan apa yang telah

mereka kerjakan.


79

Aktivitas 2

Gambar 4. 10 Pekerjaan Mahasiswa Aktivitas 2 (1)



80




81


Peneliti: Sebelum membahas masalah 5, 6, dan 7. Coba

perhatikan gambar berikut:

Gambar 4. 15 Representasi Untuk 2 orang Duduk di Meja

Bundar

Peneliti: Dari susunan diatas, dihitung satu susunan atau dua

susunan?

M1: Satu pak

M2: Satu susunan pak.(7 mahasiswa menjawab)

Peneliti: Mengapa satu?

M3: Karena terdapat pada satu lingkaran.

M4: Satu susunan pak, karena susuana AB sama halnya

dengan BA karena membentuk lingkaran.


82

M5: Kalau kita mulai dari A dan searaj jarum jam maka

keduannya sama pak.

Gambar 4. 16 Penjelasan Gambar 4.15

Peneliti: Benar ya satu susunan. Coba perhatikan gambar

diatas. Untuk 1 susunan satu, jika pengamat melihat

dari atas, maka susunan yang diperoleh adalah AB,

untuk susunan 2, jika pengamat melihat dari bawah,

maka susunan yang diperoleh adalah BA, padahal

susunan duduk yang dilihat sama.

M6: Jadi sama karena tergantung melihatnya darimana

ya pak?

Peneliti: Ya benar. Karena itu, di dalam permutasi siklis ada

dua asumsi yang harus kita pegang yaitu apa?

M7: Menurutnya asumsi yang kita pegang yaitu satu

objek tetap ditempat dan susunannya searah jarum

jam atau berlawanan.

Peneliti: Oke ya, jadi ada dua asumsi yaitu: kita harus

megawali dari satu orang yang sama, setelah itu

susunannya searah jarum jam. Nah ini, dua asumsi

yang harus kalian pegang ya ketika susunannya

melingkar.

M8: Baik pak

M9: Ya baik pak

Peneliti: Pada kasus 2 orang tadi, kita menganggap A selalu

jadi yang pertama, setelah itu searah jarum jam,

sehingga hanya diperoleh AB.

M10: Baik pak

M11: Baik pak


83

Gambar 4. 17 Representasi 3 Orang Duduk di

Meja Bundar

Peneliti: Perhatikan 6 susunan berikut,ada 2 atau 6 susunan?

Mengapa?

M12: 2 susunan pak

M13: 2 susunan pak. Karena 4 susunan lainnya dianggap

sama dengan 2 susunan yang sudah terbentuk.

M14: Menurut saya 2 susunan pak. Susunan pertama ABC

searah jarum jam. Susunan kedua ACB berlawanan

jarum jam.

Peneliti: 2 susunan itu apa saja?

M15: ABC dan ACB

M16: ACB dan ABC

M17: ACB dan ABC pak

Peneliti: Oke benar ya, ada dua susunan yaitu ABC dan ACB

Gambar 4. 18 Representasi 4 Orang Duduk di

Meja Bundar


84

Peneliti: Nah sekarang 4 susunan diatas ada 4 atau 1 susunan?

Mengapa?

M18: Satu susunan pak.

M19: Satu susunan pak

M20: Satu susunan pak hanya ABCD

Peneliti: Mengapa?

M21: Karena jika diputar searah jarum jam maupun

berlawanan jarum jam kedudukannya tetap sama.

Peneliti: Oke benar ini alasannya “karena jika diputar searah

jarum jam maupun berlawanan jarum jam

kedudukannya tetap sama.” Nah sekarang kalau

yang duduk melingkar ada 4 orang, maka ada berapa

susunan yang dapat terbentuk?

M22: 6 pak

M23: 6 susunan pak.

Peneliti: Oke benar ya, ada 6 susunan. Bagaimana jika

sekarang yang duduk n orang berapa susunan yang

terjadi?

M24: (𝑛 − 1)! Pak

M25: (𝑛 − 1)!

M26: Ada (𝑛 − 1)! Kemungkinan pak

Peneliti: Darimana ya kok bisa (𝑛 − 1)!?

M27: Dari sini pak, diperoleh (𝑛 − 1)!


85

Gambar 4. 19 Penjelasan Rumus 𝒏 Orang

Duduk di Meja Bundar

Peneliti: Peneliti: ok ya benar ya. Jadi ada (𝑛 − 1)!

Berdasarkan dialog diatas diskusi yang dilakukan dalam

membahas aktivitas 2, dapat disimpulkan bahwa (1) peneliti

menuntun mahasiswa untuk membangun konsep dari duduk

melingkar dengan memberikan contoh dari yang sederhana,

selanjutnya mahasiswa dapat menentukan semua informasi yang

dibutuhkan untuk menyelesaiakan masalah yang diberikan, (2)

mahasiswa membuat representasi dari masalah yang diberikan

dengan menggambar lingkaran yang merepresentasikan meja yang


86

melingkar, (3) mahasiswa dapat menentukan syarat yang harus

digunakan untuk menyelesaiakan masalah yang berkaitan dengan

duduk di meja bundar atau duduk melingkar yaitu patokan dan

searah atau berlawanan jarum jam, dan (4) mahasiswa mampu

menemukan bentuk umum dengan bantuan beberapa masalah yang

berkaitan dengan duduk di meja bundar atau duduk melingkar.

Berdasarkan transkrip percakapan untuk penjelasan masalah 1,

aktivitas 1, dan aktivitas 2, maka terlihat bahwa mahasiswa dalam

menyelesaikan masalah yang diberikan selalu diawali dengan

mengumpulkan informasi apa saja yang diperoleh dari masalah

yang diberikan, mahasiswa saling berdiskusi dalam kelompok

untuk menyelesaiakan masalah yang diberikan, dan mahasiswa

mampu menjelaskan apa yang telah dikerjakan dengan detail. Hal

ini sesuai dengan karekteristik dari PMR yang ke 3 dan ke 4 yaitu

pemanfaatan hasil konstruksi siswa, dan interkativitas.

Pemanfaatan hasil konstruksi siswa ini digunakan sebagai salah

satu landasan yang digunakan untuk mengembangkan kemampuan

siswa, dimana hasil konstruksi yang digunakan untuk masalah 1

dapat menjadi dasar untuk menyelesaikan aktivitas 1 dan aktivitas

2. Sedangkan untuk pemanfaatan untuk interkativitas bermanfaat

untuk mengembangkan kemampuan kognitif dan afektif dari

mahasiswa. Dari interaksi-interaksi yang dilakukan oleh

mahasiswa-mahasiswa dan mahasiswa-Peneliti, diharapakan dapat

membantu mahasiswa untuk mengkonstruksi pengetahuannya.

6) Peneliti melakukan penegasan untuk hasil diskusi kelompok yang

dikirimkan, jika terjadi kekeliruan dalam pengerjaan ataupun ada

masalah lain yang ingin ditanyakan. Untuk masalah 1 tidak ada

yang perlu didiskusikan lebih lanjut, namun untuk aktivitas 1 dan

2, ada diskusi mengenai masalah yang lebih luas.

Aktivitas 1

Peneliti: Baik ada pertanyaan?


87

M1: Pak saya mau tanya, kalau yang sama lebih dari 2?

Contoh AAAAABBCCC ini bagaimana pak

penyelesaiannya?

Peneliti: Kata yang dibentuk terdiri dari berapa huruf?

M2: 10 pak

M3: 10 huruf pak

M4: Terdiri dari 10 huruf pak

Peneliti: Ok, jika terdiri dari 10 huruf, maka ini benar atau tidak 10!

5!2!3!?

M5: Menurut saya benar pak.

M6: Menurut saya benar pak

M7: Benar pak, kalau menurut saya

Peneliti: Mengapa benar?

M8: Menurut saya benar pak, karena terdapat 5 huruf A

yang sama, 2 huruf B yang sama, dan 3 huruf C yang

sama.

M9: Benar karena terdapat 10 huruf yang terdiri dari 5

huruf A, 2 huruf B, dan 3 huruf C.

Peneliti: Oke benar ya, karena semua ada 10 huruf, A nya 5, B

nya 2, dan C nya 3. Oke ada pertanyaan lagi?

M10: Saya masih sedikit binggung pak, kenapa huruf yang

sama ini dijadikan pembagi.

Peneliti: Baik, kalau begitu mohon diperhatikan sekarang

kalau dari kata MAMA ada berapa kata terdiri dari 3

huruf yang dapat dibuat?

M11: 6 pak

M12: 6 pak didapat dari 4!

2!2!

M13: 4!

2!2! Didapat 6 kemungkinan

Peneliti: Coba ditunjukan, apa saja?

M14: MAMA, MAAM, MMAA, AMAM, AMMA,

AAMM

M15 AAMM, MMAA, AMAM, MAAM, MAMA,

AMMA

Peneliti: Perhatikan, kata yang dibuat terdiri dari 3 huruf,

bukan 4. MAMA, MAAM, MMAA, AMAM,

AMMA, AAMM ini benar jika yang diminta terdiri

dari 4 huruf.

M16: MMA, MAM, AMM, AAM, AMA, MAA

M17: MAM, MAA, MMA, AMM, AAM

Peneliti: Coba bandingkan punya M16 dan M17? Mana yang

kalian Setujui?

M18: Punya M16 pak.

M19: Yang MMA, MAM, AMM, AAM, AMA, MAA ini

pak


88

M20: Punya M17 kurang AMA pak, jadi yang M16 lebih

tepat.

Peneliti: Dapat dibentuk 6 kata yang terdiri dari 3 huruf dari

kata MAMA, dengan 4.3.2

2!2!= 6 kata.

Dari dialog di atas, peneliti dapat menyimpulkan bahwa

mahasiswa mulai mengembangkan pengetahuan yang dimiliki,

untuk menyelesaikan masalah yang serupa namun tidak sama. Hal

ini terlihat dari masalah yang diberikan dimodifikasi lagi yang

menyebabkan mahasiswa harus memodifikasi pengetahuan yang

dimiliki untuk menyelesaiakn masalah yanag diberikan.

Aktivitas 2

Peneliti: Baik ada pertanyaan?

M1: Pak aku masih binggung, jika ada masalah, ada orang

yang tidak mau duduk bersama. Itu penyelesaiannya

seperti apa pak?

Peneliti: Oke saya carikan dulu contoh soalnya. Misalkan A, B,

C, dan D duduk melingkar, dan A dan B tidak mau

berdampingan, maka ada berapa kemungkinan

susunan yang mungkin?

Peneliti: Tadi kita sudah peroleh jika 4 orang duduk melingkar,

maka ada berapa kemungkinan tadi?

M2: Ada 6 kemungkinan pak

M3: 6 kemungkinan pak

Peneliti: Nah,dari 6 kemungkinan tadi, ada berapa

kemungkinan A dan B duduk berdampingan?

M4: 2 pak

M5: 4 pak

Peneliti: 2 atau 4? 6 susunan itu kan ABCD, ABDC, ACBD,

ACDB, ADBC, ADCB dari 6 susunan tersebut mana

yang AB berdekatan?

M6: ABCD dan ABDC

M7: ABDC dan ABCD

M8: ABCD, ABDC, ADCB, dan ACDB

M9: ABCD, ABDC, ACDB, dan ADCB karena duduk

melingkar pak.

Peneliti: Oke benar ya, ABCD, ABDC, ADCB, dan ACDB

karena duduk melingkar, A dan B berdekatan.

Sehingga yang tidak berdekatan ada berapa ?

M10: Ada 2 pak


89

M11: Ada dua pak

M12 ACBD dan ADBC, jadi ada 2 pak.


mahasiswa ingin mencoba menyelesaikan masalah yang telah

dimodifikasi atau tidak sama dengan yang diberikan pada saat

latihan. Hal ini menunjukan bahwa mahasiswa ingin

mengembangakn pengetahuan yang sudah dimiliki ke

permasalahan yang lebih kompleks.

Berdasarkan diskusi yang dilakukan untuk aktivitas 1 dan

aktivitas 2, maka dapat disimpulkan bahwa (1) mahasiswa

memiliki pemikiran yang kritis, kritis dalam hal mengembangkan

soal dari masalah yang diberikan, (2) mahasiswa lebih tertantang

ketika soal yang dibuat tidak ada di dalam buku sumber, dan (3)

mahasiswa hanya mau menguji pemahaman yang telah dia miliki

sudah sesuai atau tidak dengan memberikan masalah yang

kompleks. Hal ini sesuai dengan karakteristik PMR yang ke-3, dan

ke-4 yaitu: pemanfaatan hasil konstruksi mahasiswa, dan

interaktivitas. Mahasiswa sudah mempunyai konstruksi mengenai

konsep dari masalah yang dikerjakan, namun mahasiswa masih

kurang yakin dengan konstruksi yang telah dibuat, sehingga

mahasiswa memilih untuk mengembangkan sebuah masalah yang

serupa untuk menguji hasil konstruksi yang sudah dia miliki

apakah sudah tepat atau belum.

7) Peneliti meminta mahasiswa untuk menyimpulkan apa saja yang

telah dipelajari pada pertemuan hari ini berdasarkan masing-

masing masalah dan aktivitas yang telah dilakukan.

Masalah 1

M1: Dari masalah 1 dapat disimpukan bahwa untuk

menyelesaikan masalah yang cara pengambilan satu

persatu dan tanpa pengembalian dapat menggunakan

permutasi.


90

M2: Dengan cara pengambilan satu persatu dan tanpa

pengembalian dapat menggunakan permutasi dan bisa

menggunakan filling slot.


mahasiswa dapat membuat kesimpulan menyelesaikan masalah

yang berkaitan dengan cara pengambilan satu persatu dan tanpa


menggunakan filling slot dengan bahasanya sendiri berdasarkan

pengalaman dalam menyelesaikan masalah yang telah dikerjakan.

Aktivitas 1:

M1: Dari aktivitas 1 dapat disimpulkan bahwa dalam

menentukan banyaknya susunan terbentuk dari 𝑛

huruf dari suatu kata, harus mencari tahu terlebih

dahulu susunan secara total terlebih dahulu, kemudian

dibagi dengan huruf yang sama.

M2: Untuk mencari banyak susunan kata dengan jumlah

kata yang ingin disusunan jumlahnya sama banyak

dengan kata yang diberikan dapat menggunakan 𝑛!

𝑚!𝑜!.𝑑𝑠𝑡 dimana 𝑛 merupakan banyak kata dan 𝑚, 𝑜

merupakan banyak kata yang sama.



yang berkaitan dengan banyaknya susunan susunan kata dengan

jumlah kata yang ingin disusunan jumlahnya sama banyak dengan

kata yang diberikan dapat menggunakan 𝑛!

𝑚!𝑜!.𝑑𝑠𝑡 dengan bahasanya

sendiri berdasarkan pengalaman dalam menyelesaikan masalah

yang telah dikerjakan.

Aktivitas 2:

M1: Dari aktivitas 2 dapat disimpulkan bahwa untuk

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan duduk

melingkar dapat menggunakan permutasi siklis (𝑛 −1)! Dengan 𝑛 merupakan jumlah orang


91

M2: Lebih mudah, jika digambarkan dulu ilustrasi duduk

melingkar. Agar tidak keliru dalam melakukan

perhitungan.



yang berkaitan dengan banyaknya susunan duduk melingkar dapat

diselesaikan dengan (𝑛 − 1) kemudain mahasiswa menjelaskan

menggunakan bahasanya sendiri berdasarkan pengalaman dalam

menyelesaikan masalah yang telah dikerjakan.

Proses di atas memunculkan karakteristik ke-5 dari PMR yaitu:

keterkaitan. Melalui keterkaitan dalam pembelajaran kali ini

diharapakan mahasiswa dapat membangun beberapa konsep

sekaligus dari beberapa masalah atau aktivitas yang diberikan

terkait materi permutasi.

Berdasarkan uraian mengenai implementasi langkah-langkah

pembelajaran yang dilaksanakan pada pertemuan 1 berdasarkan

karakteristik PMR, yaitu:

1) Penggunaan konteks tahap ini muncul pada bagian pemberian

masalah 1, aktivitas 1 dan aktivitas 2

2) Pengunaan model untuk matematisasi progresif tahap ini

muncul pada bagian diskusi mahasiswa dalam kelompok untuk

membuat model dari masalah 1, aktivitas 1, dan aktivitas 2.

3) Pemanfaatan hasil konstruksi siswa tahap ini muncul pada

bagian mahasiswa menyelesaiakan model yang telah dibuat dari


4) Interaktivitas tahap ini muncul pada bagian mahasiswa

melakukan diskusi antara mahasiswa-mahasiswa, dan

mahasiswa-peneliti

5) Keterkaitan tahap ini muncul mahasiswa dapat menyimpulan

tujuan dari masing-masing masalah 1, aktivitas 1 dan aktivitas 2.


92

b. Implementasi Pembelajaran Pertemuan 2


mengecek keadaan mahasiswa kurang lebih 2 menit.

Peneliti: Selamat pagi teman-teman, bagaimana keaadan

kalian? Saya berharap kalian semua dalam keadaan

sehat

M1: Selamat pagi pak, Puji Tuhan sehat.

M2: Pagi pak, sehat pak.

M3: Selamat pagi pak, saya baik. Semoga Bapak juga

sehat.

(beberapa respon mahasiswa)

Sebelum memulai pembelajaran serta menyampaikan agenda

pembelajaran hari ini yaitu: Mahasiswa melalui pemberian

masalah dapat memahami dan menjelaskan sekatan atau partisi

dan definisi dari kombinasi dan banyaknya kombinasi dari


2) Peneliti mengirimkan file kedalam WhatsApp Group yang berisi

aktivitas 3 terdiri dari masalah 8-11 yang akan dikerjakan

kelompok 3, 6, 10, dan 12, Aktivitas 4 terdiri dari masalah 12-16

yang akan dikerjakan kelompok 1, 4, 7, dan 9 dan aktivitas 2

masalah 17-19 yang akan dikerjakan kelompok 2, 5, 8, dan 11.

Serta meminta kelompok yang telah ditentukan untuk

menyelesaikan masalah yang diberikan dalam kelompok. Berikut

file yang dikirimkan ke whatsapp.


93


94

Gambar 4. 20 Lembar Kerja Mahasiswa

Peneliti: Silahkan berdiskusi dalam kelompok yang sama ya,

seperti pertemuan sebelumnya ya. Nanti saya juga akan

mengikuti diskusi, didalam kelompok kalian.

M1 Baik pak.

Peneliti Proses diskusinya seperti pertemuan sebelumnya ya,

hasil diskusi jangan lupa dituliskan dengan rapih.

M2 Baik pak.



masalah yang diberikan dan dikerjakan secara berkelompok,

selanjutnya mahasiswa dapat menemukan penyelesaian dari

masalah yang diberikan. Hal ini sesuai dengan karakteristik dari

PMR yang pertama yaitu: pengunaan konteks. Pengunaan

konteks ini diharapkan dapat membuat mahasiswa lebih

bersemangat dalam mengikuti pembelajaran karena masalah yang

diberikan merupakan masalah dalam kehidupan sehar-hari atau

kontekstual.

3) Peneliti memberikan waktu sekitar 25-35 menit untuk berdiskusi

dalam kelompok. Selama proses diskusi Peneliti ikut membantu

dan mengawasi jalannya proses diskusi didalam grup kecil.


95

Peneliti membantu mahasiswa dengan memberikan pertanyaan

menuntun, yang akan menuntun mahasiswa untuk menemukan

ide dari masalah yang dibahas seperti informasi apa saja yang

dapat diperloleh dari masalah yang diberikan. Salah satu contoh

percakapan di whatsapp grup kecil.

Aktivitas 3

M1 Ini tidak memperhatikan urutan cuy.

Peneliti Tau dari mana tidak memperhatikan urutan?

M2 Karena didalam kamar yang pertama, dapat

digunakan oleh dua orang

Peneliti Yang tidak memperhatikan urutanya apa?

M3 Misalnya ani dita, dengan dita ani sama saja. Jadi

tidak memperhatikan urutannya pak.

Peneliti Kalau begitu, ada berapa banyak cara untuk

menempatkan ketiga orang tersebut kedalam dua

kamar?

M4 Ada 3 kemungkinan kak, yaitu : (1) ani dita, desi, (2)

ani desi, dita (3) desi dita, ani

Peneliti Yakin tidak ada yang lain?

M5 Yakin pak

M6 Yakin pak, saya sependapat dengan m4.

M7 Pak kalau, pakai feeling slot bisa?

Peneliti Dicoba

M8 Jadi slot ada dua pak lalu untuk slot pertama berisi 3

kemungkinan karena ada 3 orang, kemudian di slot

kedua tinggal satu kemungkinan. Karena pada slot

pertama 2 orang telah terpilih sehingga hanya

menyisakan 1 orang saja.

Peneliti Coba kamu gambarkan atau jelaskan yang kamu

maksud biar lebih jelas

M9 Baik pak


96

M10:

Gambar 4. 21 Penjelasan Mahasiswa Aktivitas 3

Apakah seperti ini pak?

Peneliti Apakah feeling slot berlaku untuk masalah

berikutnya? Kalau seperti itu, nanti toga

kemungkinan itu kan hanya untuk kamar pertama,

sedangkan ketika menyusun kamar pertama, maka

kamar kedua terpengaruh juga. Nah sebaiknya bisa

tidak pakai filling slot?

M11 Menurut saya, untuk kasus selanjutnya sepertinya

tidak bisa pak

Peneliti Ya, karena tempat pertama itu sebenarnya

berpengaruh ke tempat kedua, maka tidak bisa

menggunakan filling slot ya.

M12 Baik pak

M13 Baik pak, terimakasih

M14 Ternyata begitu ya pak, baik pak terimakasih

Peneliti Ok dicoba lagi ya.

Dari dialog di atas, peneliti menyimpulkan bahwa untuk

aktivitas 3 mahasiswa mengawali dengan memberikan dugaan

awal atas cara penyusunan didalam kamar bisa diselesaiakn

menggunakan filling slot hanya saja setelah berdiskusi didalam

kelompok penyelesaian menggunakan filling slot tidak dapat

digunakan untuk menyelesaikan masalah selanjutnya karena

tempat pertama itu sebenarnya berpengaruh ke tempat kedua,

maka tidak bisa menggunakan filling slot ya

Aktivitas 4

M1 Yang masalah 12 itu banyaknya jabat tangan ada 1

ga sih?


97

M2 Menurutku sih 1 ya

Peneliti Bisa ditunjukkan satu kali jabat tangannya?

M3 A dan b berjabat tangan. Ada satu kali jabat tangan

Peneliti Sama enggak dengan ba?

M4 Sama

M5 Sama pak, karena orangnya ya sama a dan b

M6 Sama pak, karena tidak memperhatikan urutan

Peneliti Oke ya. Kalau tiga orang ada berapa jabat tangan

yang terjadi?

M7 3 pak

M8 3 pak ab, bc, dan ac

M9 3 pak

Peneliti Mengapa 3?

M10 Karena ab sama dengan ba dan seterusnya pak

M11 Karena ab sama saja dengan ba dan berlaku untuk

yang lain.

Peneliti Coba dibuat diagramnya?

M12:

Gambar 4. 22 Penjelasan Mahasiswa Aktivitas 4

Seperti ini pak?

Peneliti Gambar ini maksudnya bagaimana, bisa dijelaskan?

M13 A berjabat tangan dengan b, a berjabat tangan

dengan c dan b berjabat tangan dengan c

Peneliti Oke benar ya

M14 Kalau pakai kombinasi 3c2?

Peneliti Mengapa?

M15 Dari 3 orang dilakukan jabat tangan, berjabat tangan

itu hanya dilakukan 2 orang, tidak kurang atau tidak

lebih.dan dalam jabat tangan tidak memperhatikan

urutan. Jadi menggunakan kombinasi

Peneliti Ok, mengapa urutan tidak diperhatikan?


98

M16 Karena orang pertama dan orang kedua kalau

bersalaman sama dengan orang kedua bersalaman

dengan orang pertama pak, jadi tidak memperhatikan

urutan.

M17 Karena ketika ab berjabat tangan itu dah sama saja

ba berjabat tangan

M18 Karena dalam bersalaman itu dibutuhkan 2 orang

pak. Ketika a sudah berjabat tangan dengan b, maka

otomatis b sudah berjabat tangan dengan a. Jadi sama

aja

Peneliti Ok benar ya, silahkan dilanjutkan dan rapihkan ya



awal atas jawaban dari masalah yang diberikan, kemudian

mahasiswa menunjukan dan menjelaskan jawaban yang telah

diperoleh serta masing-masing memberikan pendapat mengenai

jawaban yang telah diperoleh. Dari hal tersebut diketahui bahwa

mahasiswa sudah memahami maksud dari soal berserta cara yang

digunakan dalam menyelesaikan masalah tersebut.

Aktivitas 5

M1 Masalah 17 pakai kombinasi enggak teman-

teman?

M2 Iya menurutku juga pakai kombinasi.

M3 Sepertinya iya deh?

Peneliti Peneliti: mengapa pakai kombinasi?

M4 Karena tidak memperhatikan urutan pak

M5 Karena diambil 2 bola sekaligus

Peneliti Mengapa diambl 2 bola sekaligus menggunakan

kombinasi?

M6 Karena misakan pengambilan bola h1k1 dan

k1hi dianggap sama.

Peneliti Oke benar ya. Lanjutkan

M7 Teman-teman masalah 18 pakai kombinasi juga

ya?

M8 Menurutku juga iya, kombinasi 4 dari 8

M9 Sepertinya begitu

Peneliti Mengapak pakai kombinasi 4 dari 8?

M10 Karena dalam mengerjakan soal tidak

memperhatikan urutan pak, misalnya dia


99

mengerjakan nomor 4, 5, 6, 7 atau 5, 4, 7, 6

dianggap sama ( karena mengerjakan nomor 4-

7) apakah begitu pak?

M11 Karena menurut saya, di dalam soal diminta

mencari kemungkinan banyaknya pilihan soal

yang dikerjakan mahasiswa pak. Jadi kita

mencari kemungkinan 4 soal pilihan dari 8 soal

pilihan yang tersedia.

M12 Mengapa kombinasi 4 dari 8? Karena 4 soal

sudah wajib dikerjakan. Sehingga tinggal 8 soal

yang tersisa, dan soal yang harus dikerjakan ada

8, karena 4 soal sudah dikerjakan maka tinggal

4 pak.

Peneliti Oke benar ya. Silahkan dilanjutkan, dan

dilengkapi ya



awal atas cara penyelesaian menggunakan kombinasi, selanjutnya

mahasiswa menjelaskan alasan mengapa bisa diselesaiakn

menggunakan kombinasi. Dari hal tersebut diketahui bahwa

mahasiswa sudah bisa menentukan perbedaan penggunaan

kombinasi atau permutasi dari masalah yang diberikan.

Berdasarkan hasil diskusi yang dilakukan didalam kelompok

untuk membahas aktivitas 3, akktivitas 4, dan aktivitas 5, langkah

penyelesaian untuk masing-masing masalah diselesaikan dengan

terstruktur diawali dengan informasi yang diketahui dari soal

serta dugaan awal atas cara penyelesaiannya, apa yang ditanyakan

dan penyelesaian yang harus dilakukan. Dalam menyelesaikan

aktivitas 3, mahasiswa mengawali dengan mencari informasi apa

saja yang diketahui yaitu ketentuan penempatan didalam kamar,

cara menempatkan didalam kamar dan menghitung banyak cara

menempatkan orang didalam kamar. Untuk aktivitas 4,

mahasiswa dapat menyelesaikan kombinasi dengan tepat. Untuk

aktivitas 5, mahasiswa dapat menyelesaiakan banyaknya

kombinasi dengan tepat.


100


menyelesaikan masalah yang diberikan dan model yang diperoleh

dari masalah kontekstual yang ada, terjadi sebuah proses

matematisasi dari pengetahuan matematika tingkat konkret

mahasiswa menuju matematika tingkat formal. Hal ini sesuai

dengan karakteristik PMR yang kedua yaitu: penggunaan model

untuk matematisasi progresif.



kemajuan pengatahuan mahasiswa, mengubah masalah

kontekstual yang diberikan menjadi sebuah model matematika.

Dari aktivitas 3, mahasiswa diminta untuk menentukan

banyaknya cara menempatkan sejumlah mahasiswa kedalam

kamar dan mahasiswa membuat sketsa atau gambar yang dapat

mewakili masalah yang diberikan, diawali dengan memberikan

indeks terhadap masing-masing nama, mengetahui cara

menempatkan kedalam kamar, dan menghitung banyak cara yang

dapat terjadi. Dari aktivitas 4, mahasiswa diminta untuk

menentukan banyak jabat tangan yang terjadi dari 𝑛 orang yang

hadir dan mahasiswa harus menyelesaikan sesuai masalah yang

diberikan karena masing-masing masalah jumlah orang berbeda-

beda, sebelum menentukan banyak jabatan yang terjadi jika setiap

orang harus berjabat tangan. Dari aktivitas 5 mahasiswa harus

mengumpulkan informasi apa saja yang diketahui dari masalah

yang diberikan, menentukan teknik yang sesuai dengan yang

ditanyakan pada soal dan menyelesaikan masalah sesuai dengan

informasi yang diperoleh.




mengenai cara menyelesaikan masalah tersebut. Untuk


101

membahas aktivitas 3, Peneliti meminta, kelompok 10 untuk

mengirimkan hasil pekerjaan dan penjalasan kedalam grup kelas,

untuk membahas aktivitas 4 Peneliti meminta kelompok 1 untuk

mengirimkan hasil pekerjaan dan penjalasan kedalam grup kelas,

dan untuk membahas aktivitas 5 Peneliti meminta, kelompok 5

untuk mengirimkan hasil pekerjaan dan penjalasan kedalam grup

kelas.



Aktivitas 3


102


103

Gambar 4. 23 Jawaban Aktivitas 3

Peneliti Baik mari kita cermati masalah 8 ya. Dari jawaban

yang ditulis ada 3 kemungkinan. Pertanyaan saya,

mengapa A2-A1 tidak ada didalam kemungkinan

kamar 1?

M1 Karena sudah ada A1-A2 pak

M2 Karena A2-A1 sama dengan A1-A2 pak

M3 Karena A2-A1 sama saja dengan A1-A2

Peneliti Apakah arti dari A2-A1 sama dengan arti dari A1-A2?

Mengapa sama?

M4 Sama pak, penempatan A1A2 dan A2A1 tidak ada

posisi atau jabatan tertentu yang membedakan

M5 Karena urutan tidak diperhatikan pak

M6 Sama pak, karena dalam penentuan tidk terkait dengan

posisi

Peneliti Benar ya, karena ini kasus penempatan didalam

kamar, tidak memperhatikan cara masuk atau posisi


104

penempatan di tempat tidurnya. Oke, mengapa pada

kasus ini menggunakan kombinasi?


M8 Karena kombinasi tidak memperhatikan urutan pak

M90 Karena tidak memperhatikan urutan pak.

Peneliti Benar ya. Mengapa menggunakan 3C1? Apakah benar

menggunakan 3C1?

M10 Itu salah tulis pak, seharusnya 3C2.

Peneliti Mengapa 3C2?

M11 Seharusnya 3C2 pak, karena diambil 2 orang dari 3

orang pak untuk ditempatkan pada kamar 1 yang

memuat 2 orang.

M12 Karena dikamar 1 akan diambil 2 orang dari 3 orang

pak.

M13 Karena diambil 2 dari 3 orang pak.

Peneliti Ok ya, seharusnya 3C2 karena kita akan menempatkan

2 orang dari 3 orang didalam kamar pertama. Terus

yang 1C1 darimana?

M14 Dikamar 2 memuat 1 orang dan sisanya tinggal 1 jadi

1C1

M15 Karena sudah diambil 2 orang maka 3 − 1 tinggal 2

orang yang tersisa, sehingga menjadi 1C1.

Peneliti Oke benar ya. Terus mengapa 3C2 dikalikan dengan

1C1, kenapa tidak dijumlahkan?

M16 Karena pada soal meminta cara pemilihan penempatan

orang untuk 2 kamar, secara tidak langsung kata

penghubung yang digunakan adalah dan, sehingga

dikalikan

M17 Karena penghubung antara kedua kamar tersebut

menggunakan kata ‘dan’. Sehingga dikalikan

M18 Karena dalam soal menggunakan kata hubung dan,

sehingga menggunakan prinsip perkalian.

Peneliti Oke ya, karena yang dicara kan banyaknya

menempatkan ketiga orang tersebut dikamar pertama

dan kedua.



menentukan langkah penyelesaian sesuai dengan masalah yang

ada dengan menggunakan kombinasi karena pada masalah

penempatan orang kedalam kamar yang dikerjakan urutan tidak

di perhatikan, dan (2) mahasiswa dapat menjelasakan dengan


105

detail mengenai langkah penyelesaian yang digunakan dan

mempertanggung jawabkan apa yang telah mereka kerjakan.

Aktivitas 4



106

Peneliti Baik teman-teman, mengapa kasus ini

menggunakan kombinasi?

M1 Karena tidak memperhatikan urutan


Peneliti Mengapa tidak memperhatikan urutan?

M3 Karean dalam 1 kali jabat tangan terdapat 2 orang.

M4 Karena jabat tangan AB sama halnya dengan BA

M5 Karena tidak memperhatikan urutan saat berjabat

tangan pak, misalkan orang pertama memulai jabat

tangan dengan orang kedua, sama saja dengan

orang kedua memulai jabat tangan dengan orang

pertama.

M6 Karena jika A bersalaman dengan B maka sama

saja dengan B bersalaman dengan A

Peneliti Ok benar ya, jadi paad kasus AB dan BA adalah

sama, karena kejadiannya A dan B saling berjabat

tangan, sehingga tidak bisa pandang urutannya.

Bagaimana jika ada 𝑛 orang, berapa banyak jabat

tangan yang terjadi?

M7 𝑛C2 pak

Peneliti Mengapa?

M8 Karena dalam berjabat tangan tidak mungkin

dilakukan sendirian. Pasti dilakukan dua orang pak.

M9 Karena jika berjabat tangan pasti hanya 2 orang

pak.

Peneliti Ok ya, karena ada 𝑛 orang dan setiap kali

diasumsikan ada dua yang berjabat tangan.




ada dengan menggunakan kombinasi karena pada masalah jabat

tangan yang dikerjakan urutan tidak di perhatikan, (2) mahasiswa

dapat menjelasakan dengan detail mengenai langkah

penyelesaian yang digunakan dan mempertanggung jawabkan

apa yang telah mereka kerjakan, dan (3) mahasiswa dapat

membuat bentuk umum penyelesaian untuk 𝑛 orang yang berjabat

tangan.


107

Aktivitas 5


108


Peneliti: Kita cermati masalah 17. Mengapa menggunaka

kombinasi?

M1: Karena diambil sekaligus dimana tidak

memperhatikan urutan

Peneliti: Oke benar ya. Mengapa 9C2?

M2: Karena akan diambil 2 bola dari 9 bola yang

tersedia pak

M3 Dari total 9 bola akan diambil 2 bola pak

Peneliti Oke ya, karena dari 9 bola diambil 2 bola

sekaligus. Masalah 18 mengapa menggunakan

kombinasi?

M4 Karena soal 5-12 dapat dikerjakan secara acak

dan tidak memperhatikan urutan.

M5 Karena dalam pengerjaan soal tidak

memperhatikan urutan pak

Peneliti 8C4 itu menyatakan apa?


109

M6 Memilih 4 soal dari 8 soal

M7 Akan dipilih 8 4 dari 8 soal sisa pak

Peneliti Mengapa yang dipilih hanya 8, kan soalnya ada

12?

M8 Karena total soal ada 12, tetapi 4 soal sudah wajib

dikerjakan, jadinya 12 − 4 = 8 pak

M9 Karena dari 12 soal yang wajib dikerjakan ada 4

soal jadinya sisanya yang dapat dipilih 8.

M10 Karena nomor 1-4 wajib dikerjakan, sehingga

tesisa 8 soal yang bebas dikerjakan dengan

memilih 4 diantara 8 soal tersebut.

Peneliti Nah itu alasannya, karena soal nomor 1-4 wajib

kerjakan, sehingga kita hanya bisa memeilih 4

soal dari 8 soal yang tersisa. Ok lanjut masalah 19

mengapa menggunakan kombinasi?

M11 Karena tidak memperhatikan urutan dan tidak ada

posisi atau jabatan pak

M12 Karena Peneliti memilih mahasiswa tidak


M13 Karena dalam pembentukan kelompok tidak

memperhatikan urutan, missal terbentuk

kelompok yang berangotakan 2 laki-laki dan 1

perempuan akan sama dengan terbentuknya

kelompok yang beranggota 1 perempuan dan 2

laki-laki.

Peneliti: Oke ya, karena di dalam kelompok yang dibentuk

tidak ada faktor urutan.




ada dengan menggunakan kombinasi karena pada masalah yang

dikerjakan urutan tidak di perhatikan, (2) mahasiswa dapat

menjelaskan dengan detail mengenai langkah penyelesaian yang

digunakan dan mempertanggung jawabkan apa yang telah mereka

kerjakan, dan (3) mahasiswa mampu menemukan menganalisis

masalah yang diberikan dan dikaitkan dengan teknik yang

digunakan yaitu kombinasi.

Berdasarkan transkrip percakapan untuk penjelasan aktivitas

3, aktivitas 4, dan aktivitas 5, maka terlihat bahwa mahasiswa


110

dalam menyelesaikan masalahnya yang diberikan selalu diawali

dengan mengumpulkan informasi apa saja yang diperoleh dari

masalah yang diberikan, mahasiswa saling berdiskusi dalam

kelompok untuk menyelesaiakan masalah yang diberikan, dan

mahasiswa mampu menjelaskan apa yang telah dikerjakan

dengan detail. Hal ini sesuai dengan karekteristik dari PMR yang

ke 3 dan ke 4 yaitu Pemanfaatan Hasil Konstruksi Siswa dan

Interkativitas. Pemanfaatan hasil konstruksi siswa ini digunakan

sebagai salah satu landasan yang digunakan untuk

mengembangkan kemampuan siswa, dimana hasil konstruksi

yang digunakan untuk aktivitas 3 dapat menjadi dasar untuk

menyelesaikan aktivitas 4 dan aktivitas 5. Sedangkan untuk

pemanfaatan untuk interkativitas bermanfaat untuk

mengembangkan kemampuan kognitif dan afektif dari

mahasiswa. Dari interaksi-interaksi yang dilakukan oleh

mahasiswa-mahasiswa dan mahasiswa-Peneliti, diharapakan

dapat membantu mahasiswa untuk mengkonstruksi

pengetahuannya.



masalah lain yang ingin ditanyakan. Namun untuk aktivitas 4 dan

5 tidak terjadi pembahasan yang lebih lanjut. Untuk aktivitas 3

ada diskusi mengenai masalah yang lebih luas.

Aktivitas 3

Peneliti: Ok, untuk masalah 8 apakah boleh saya selesaikan

dengan cara demikian 3!

2!1!? Kalau boleh mengapa, jika

tidak mengapa?

M1: Saya rasa tidak bisa pak, karena 3!

2!1!. Memiliki arti 3C1,

sedangkan kombinasi yang digunakan adalah 3C2.

M2: Tidak boleh, karena pada masalah 8 memilih 3 orang

dikamar 1 dan 1 orang dikamar 2, bukan memelih 3

orang untuk satu kamar saja.


111

Peneliti : Coba apa definsi 3C2?

M3: Memilih 2 orang dari 3 orang, dengan tidak

memperhatikan susunan yang ada.

M4: Dipilih 2 dari 3 orang tanpa memperhatikan urutan pak,

untuk menempati kamar 1

M5: Definisi 3C2 yaitu menyusun 2 objek dari 3 objek tanpa

memperhatikan urutannya.

Peneliti: Benar. Berapa nilai 3C2?

M6: Nilainya 3 pak

M7: 3 pak

M8: Nilai dari 3C2 yaitu 3 pak.

Peneliti: Coba tuliskan prosesnya M8?

M9: 3!

2!(3−2)!=

3!

2!1!

Peneliti: Benar ya. Coba sekarang tuliskan proses dari 1C1?

M10: 1!

1!(1−1)!=

1!

1!0!

M11: Gini pak 1!

1!(1−1)!=

1!

1!0!= 1

Peneliti: Nah, coba sekarang kalikan dengan 3C2

M12: 3 pak

M13: Jika dikalikan hasilnya 3 pak

M14: 3C2.3C1 = 3.1 = 3

Peneliti: Kalau kalian kalikan, maka diperoleh proses dibawah.

Gambar 4. 26 Pennjelasan 𝑪𝟑

𝟐 × 𝑪𝟏𝟏

Nah coba lihat hasil diatas, kan sama dengan 3!

2!1!. Jadi

boleh tidak kalau saya lengsung menuliskan hasilnya

adalah 3!

2!1!

M15: Menurut saya boleh pak

M16: Boleh pak

M17: Kalau dilihat dari segi proses operasi sama pak. Jadi

sepertinya bisa langsung dituliskan.


112

Peneliti : Kalau boleh 3!

2!1!, dari kasus ini, 3! Menyatakan apa, 2!

Menyatakan apa, dan 1! Menyatakan apa?

M18: 3! Menyatakan jumlah susunan dari 3 orang, lalu 2! Menyatakan susunan dari 2 orang dalam 1 kamar dan 1! Menyatakan susunan 1 orang dalam 1 kamar.

M19: 3! Menyatakan jumlah keseluruhan orang. 2! Kapasitas

kamar 1, dan 1! Kapasistas kamar 2

M20: 2 menyatakan banyaknya orang yang menempati kamar

1. 1 menyatakan banyaknya orang yang menempati

kamar 2.

Peneliti: Yang dikatakan M20 sudah benar. Namun lebih

tepatnya pada kasus ini, 3!

2!1!, menyatakan 3 orang mau

disekat ke dalam 2 kamar, dimana kamar pertama berisi

2 orang dan kamar kedua berisi 1 orang.


mahasiswa sudah mampu menjelaskan bilang yang dituliskan itu

merepresentasikan sesuatu misalnya dalam penyelesaian masalah

diatas 3! menyatakan jumlah susunan dari 3 orang, lalu 2!

menyatakan susunan dari 2 orang dalam 1 kamar dan 1!

menyatakan susunan 1 orang dalam 1 kamar. Hal ini menunjukan

bahwa mahasiswa ingin mengembangakn pengetahuan yang

sudah dimiliki ke permasalahan yang lebih kompleks. Hal ini

sesuai dengan karakteristik PMR yang ke 3 yaitu: Pemanfaatan

Hasil Konstruksi Mahasiswa. Mahasiswa sudah mempunyai

konstruksi mengenai konsep dari masalah yang dikerjakan,

namun mahasiswa masih kurang yakin dengan konstruksi yang

telah dibuat, sehingga pada saat diskusi yang dilakukan

mahasiswa masih sedikit mengalami kebinggungan.


telah dipelajari pada pertemuan hari ini berdasarkan masing-

masing masalah dan aktivitas yang telah dilakukan.


113

Aktivitas 3

M1: Yaitu mengetahui banyaknya cara menyekat/ partisi 𝑛

objek yang berbeda kedalam 𝑟 sel yang masing-masing

terdiri dari 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ = 𝑟 atau dapat ditulis

𝑛!

𝑛1!𝑛2!…𝑛𝑟!



yang berkaitan dengan dengan banyaknya cara menyekat/ partisi

𝑛 objek yang berbeda kedalam 𝑟 sel yang masing-masing terdiri

dari 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ = 𝑟 atau dapat ditulis 𝑛!

𝑛1!𝑛2!…𝑛𝑟! bahasanya

sendiri berdasarkan pengalaman dalam menyelesaikan masalah

yang telah dikerjakan.

Aktivitas 4

M1: Kombinasi adalah sekatan yang hanya memiliki

tepat dua sekat

M2: Mempelajari kombinasi adalah partisi yang terdiri

atas 2 sekatan, dimana sekatan pertama terdiri dari 𝑟

elemen dan sekat kedua terdiri dari 𝑛 − 𝑟 elemen.


mahasiswa dapat membuat kesimpulan dari masalah yang

diberikan yaitu kombinasi adalah sekatan yang hanya memiliki

tepat 2 sekat dengan bahasanya sendiri berdasarkan pengalaman

dalam menyelesaikan masalah yang telah dikerjakan.

Aktivitas 5

M1 Mempelajari cara menghitung banyaknya kombinasi.

M2 Menghitng banyaknya suatu kejadian tertentu

menggunakan kombinasi


mahasiswa dapat memahami penggunaan kombinasi dalam


114

menyelesaiakn masalah yang diberikan dengan adanya latihan

tersebut akan membuat mahasiswa lebih memahami dan

memaknai kombinasi.

Berdasarkan kesimpulan yang diperoleh dari aktivitas 3,

aktivitas 4, dan aktivitas 5, dapat disimpulkan bahwa (1)

mahasiswa sudah dapat menyimpulkan tujuan yang ingin dicapai

untuk masing-masing masalah atau aktivitas. Hal ini sesuai

dengan karakteristik ke 5 dari PMR yaitu: Keterkaitan. Melalui

keterkaitan dalam pembelajaran kali ini diharapakan mahasiswa

dapat membangun beberapa konsep sekaligus dari beberapa

masalah atau aktivitas yang diberikan terkait materi permutasi.




1) Penggunaan konteks tahap ini muncul pada bagian pemberian,




membuat model dari aktivitas 3, aktivitas 4, dan aktivitas 5





melakukan diskusi antara mahasiswa-mahasiswa, dan mahasiswa-

peneliti


tujuan dari masing-masing aktivitas 3, aktivitas 4, dan aktivitas 5.


115

c. Implementasi Pembelajaran Pertemuan 3

1) Dosen mengawali pembelajaran dengan mengucap salam dan


pembelajaran hari ini di WhatsApp Group .

2) Dosen memberikan tes mengenai permutasi dan kombinasi, soal



terjadi kesalahan dalam pengerjaan dan pengumpulan. Tes

diberikan hari rabu, 16 September 2020, berikut soal tes yang

diberikan:

Gambar 4. 27 Soal Uji Pemahaman


116

Jadi, untuk implementasi pembelajaran pada pertemuan 3 kegiatan

yang dilakukan oleh peneliti yaitu untuk mengetahui kemampuan


dengan menggunakan pendekatan PMR.

3. Deskripsi Hasil Tes tertulis

Peneliti mengadakan tes tertulis pada tanggal 16 September 2020

setelah proses pembelajaran yang telah dilakukan kepada mahasiswa

semester 3 Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Sanata

Dharma, Yogyakarta pada mata kuliah teori peluang pada materi

permutasi dan kombinasi menggunakan pendekatan PMR. Tujuan dari tes

tertulis adalah untuk mengetahui kemampuan representasi matematis

mahasiswa, dan masalah yang diberikan berupa permasalahan yang

berkaitan dengan permutasi dan kombinasi dalam kehidupan sehari-hari.

Peneliti memberikan 4 masalah yang terkait dengan permutasi dan

kombinasi dalam tes tersebut dan soal tesnya adalah sebagai berikut:


117

Gambar 4. 28 Soal Tes Uji Pemahaman

Berikut ini akan disajikan hasil tes mahasiswa yang akan

dideskripsikan berdasarkan kemampuan representasi matematis matematis

pada kelompok jawaban yang sama.

Masalah Pertama

Hasil tes pada masalah pertama ada tiga kelompok jawaban mahasiswa.

Paparan untuk tiap kelompok jawaban akan dideskripsikan sebagai

berikut:

a. Kelompok Jawaban Pertama Masalah Pertama

Ada 15 mahasiswa menyelesaikan masalah satu dengan cara sebagai

berikut:


118

Gambar 4. 29 Hasil Pekerjaan Mahasiswa Masalah Pertama

Kelompok Jawaban Pertama

Mahasiswa dalam kelompok jawaban yang pertama ini

menyelesaikan masalah yang diberikan dengan terlebih dahulu

memperhatikan cara pengambilan undian tersebut, selanjutnya


119

mengelompokkan atau membaginya menjadi sembilan kasus yaitu: (1)

terambil pertama dan kedua tidak mendapat hadiah, (2) terambil

pertama dan kedua mendapatkan hadiah motor, (3) terambil pertama

dan kedua mendapatkan hadiah mobil, (4) terambil pertama tidak

berhadiah dan terambil kedua mendapatkan hadiah motor, (5) terambil

pertama tidak berhadiah dan terambil kedua mendapatkan hadiah

mobil, (6) terambil pertama motor dan terambil kedua mendapatkan

hadiah mobil, (7) terambil pertama mendapatkan hadiah motor dan

terambil kedua tidak berhadiah, (8) terambil pertama mendapatkan

hadiah mobil dan terambil kedua tidak berhadiah, dan (9) terambil

pertama mendapatkan hadiah mobil dan terambil kedua tidak

berhadiah. Setelah pembagian kasus selesai mahasiswa menghitung

banyaknya cara yang mungkin untuk sembilan kasus tersebut, cara yang

dipergunakan untuk menghitung banyaknya kejadian di setiap kasus

yaitu menggunakan permutasi dikarenakan pada proses pengambilan

undian tidak berlaku pengembalian dan pengambilan dilakukan satu per

satu sehingga cocok jika dipergunakan permutasi dan menggunakan

prinsip perkalian karena terdapat kata hubung dan yang memisahkan

masalah satu dengan masalah berikutnya dalam kasus yang sama.

Proses selanjutnya yang dilakukan mahasiswa adalah

menjumlahkan banyak cara yang telah diperoleh dari sembilan kasus

tersebut untuk memperoleh kesimpulan akhir yaitu banyaknya

kemungkinan dari percobaan pengambilan hadiah kejutan dari seorang

konsumen pada toko tersebut sebanyak sembilan kasus:

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3 +


𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 7 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 8 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 9

Jadi, berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa pada masalah

pertama dapat disimpulkan bahwa (1) mahasiswa dalam menyelesaikan

masalah pertama mampu merepresentasikan cara pengambilan undian

tersebut yang dibagi-bagi menjadi sembilan kasus berdasarkan apa


120

yang telah diketahui. Mahasiswa juga sudah bisa menentukan cara apa

yang digunakan untuk menghitung banyak kemungkinan, yang sesuai

dengan pengambilan satu per satu dan tanpa pengembalian yaitu

menggunakan permutasi, (2) mahasiswa mampu membuat model

matematis dari informasi yang telah diperoleh yaitu cara pengambilan

satu per satu dan tanpa pengembalian mengunakan metode permutasi

dan kata hubung dan yang memisahkan kejadian satu dengan kejadian

yang lain yang berada pada kasus yang sama itu menggunakan konsep

perkalian sehingga diperoleh 𝑃𝑟𝑛 ×.𝑃𝑟

𝑛 (3) mahasiswa sudah melibatkan

ekspresi matematis yaitu menggunakan 𝑃𝑟𝑛 yang merepresentasikan

sebagai permutasi dan × yang merepresentasikan sebagai kata hubung

dan yang memisahkan kejadian yang satu dengan yang lain. Setelah

mahasiswa melibatkan ekspresi matematis dalam penyelesaian masalah

yang dibuat. (4) mahasiswa dalam menuliskan langkah-langkah

penyelesaian masalah matematika, sudah menggunakan kata-kata atau

teks tertulis. Sehingga secara keseluruhan mahasiswa sudah dapat

menentukan banyaknya kemungkinan dari percobaan pengambilan

hadiah kejutan dari seorang konsumen pada toko. Kesimpulan yang

diperoleh untuk kelompok jawaban pertama adalah mahasiswa sudah

dapat memenuhi empat indikator kemampuan representasi matematis.

b. Kelompok Jawaban Kedua Masalah Pertama

Ada lima mahasiswa yang menjawab masalah pertama sebagai berikut:


121


Kelompok Jawaban Kedua

Mahasiswa dalam kelompok jawaban yang kedua ini

menyelesaiakan masalah yang diberikan dengan terlebih dahulu


mengelompokkan atau membaginya menjadi enam kasus yaitu: (1)

terambil pertama dan kedua memperoleh hadiah mobil, (2) terambil

pertama dan kedua memperoleh hadiah motor, (3) terambil pertama dan

kedua tidak berhadiah, (4) terambil pertama memperoleh hadiah mobil

dan terambil kedua memperoleh hadiah kedua motor, (5) terambil

pertama memperoleh hadiah mobil dan terambil kedua tidak berhadiah,

dan (6) terambil pertama memperoleh hadiah motor dan terambil kedua


122

tidak berhadiah. Setelah pembagian kasus selesai mahasiswa

menghitung banyaknya cara yang mungkin untuk keenam kasus

tersebut, cara untuk menghitung yaitu menggunakan permutasi

dikarenakan pada proses pengambilan undian tidak berlaku

pengembalian dan pengambilan dilakukan satu per satu sehingga cocok

untuk menggunakan permutasi dan menggunakan prinsip perkalian

karena ada kata hubung dan yang memisahkan masalah satu dengan

masalah berikutnya untuk kasus yang sama.

Proses selanjutnya yang dilakukan mahasiswa yaitu

menjumlahkan banyak cara yang telah diperoleh dari enam kasus



konsumen pada toko tersebut sebanyak enam kasus:



Jadi, berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa pada masalah



tersebut yang dibagi-bagi menjadi enam kasus berdasarkan apa yang

telah diketahui, hanya saja dalam melakukan pendataan ke dalam

beberapa kasus ada tiga kasus yang terlewatkan dalam pendataan yang

dilakukan yaitu (1) terambil pertama memperoleh hadiah motor dan

terambil kedua memperoleh hadiah mobil, (2) terambil pertama tidak

berhadiah dan terambil memperoleh hadiah kedua motor, dan (3)

terambil pertama tidak berhadiah dan terambil memperoleh hadiah

kedua mobil. Tiga kasus ini bisa terlewatkan dalam proses pendataan

dikarenakan mahasiswa menganggap kejadian terambil pertama

memperoleh hadiah mobil dan terambil kedua memperoleh hadiah

motor sama dengan terambil pertama memperoleh hadiah motor dan

terambil kedua memperoleh hadiah mobil. Mahasiswa juga sudah bisa

menentukan cara apa yang digunakan untuk menghitung banyak


123

kemungkinan, yang sesuai dengan pengambilan satu per satu dan tanpa

pengembalian yaitu menggunakan permutasi, (2) dari jawaban

mahasiswa mampu membuat model matematis dari informasi yang

telah diperoleh yaitu cara pengambilan satu per satu dan tanpa

pengembalian mengunakan metode permutasi dan kata hubung dan

yang memisahkan kejadian satu dengan kejadian yang lain yang berada

pada kasus yang sama itu menggunakan konsep perkalian sehingga

diperoleh 𝑃𝑟𝑛 ×.𝑃𝑟

𝑛 (3) berdasarkan penyelesaian yang dilakukan

mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis yaitu menggunakan

𝑃𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai permutasi dan × yang

merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang memisahkan kejadian

yang satu dengan yang lain. Setelah mahasiswa melibatkan ekspresi

matematis dalam penyelesaian masalah yang dibuat. (4) mahasiswa

dalam menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah matematika,

sudah menggunakan kata-kata atau teks tertulis. Sehingga secara

keseluruhan mahasiswa sudah dapat menentukan banyaknya


konsumen pada toko. Kesimpulan yang diperoleh untuk kelompok

jawaban kedua adalah mahasiswa sudah dapat memenuhi keempat



124

c. Kelompok Jawaban Ketiga Masalah Pertama

Ada 22 mahasiswa yang menjawab masalah pertama dengan cara

sebagai berikut:


Kelompok Jawaban Ketiga

Mahasiswa dalam kelompok jawaban yang ketiga ini



langsung menggunakan cara permutasi untuk menghitung banyaknya

kemungkinan yang terjadi. Mahasiswa langsung menggunakan

permutasi karena berdasarkan informasi yang diperoleh dari soal yaitu

pengambilan dilakukan satu per satu tanpa pengembalian.

Proses selanjutnya yang dilakukan mahasiswa adalah langsung

menghitung menggunakan rumus dari permutasi yaitu 𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛−𝑟)!

Dengan 𝑛 = 20 dan 𝑟 = 2. 𝑛 merepresentasikan banyaknya kartu

undian (mobil. Motor, dan tidak berhadiah) dan r merepresentasikan

kartu yang akan diambil.

Jadi berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa untuk masalah



125


tersebut yang dikerjakan tanpa pembagian kasus melainkan hanya satu

kasus saja yaitu pengambilan dua kartu undian yang akan diambil satu

persatu tanpa pengembalian dari jumlah 20 kartu undian (delapan kartu

berhadiah motor, lima kartu berhadiah mobil, dan tujuh kartu tidak

berhadiah). Mahasiswa juga sudah bisa menentukan cara apa yang

digunakan untuk menghitung banyak kemungkinan, yang sesuai


menggunakan permutasi, (2) mahasiswa mampu membuat model


satu per satu dan tanpa pengembalian mengunakan metode

permutasi𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛−𝑟)! (3) mahasiswa sudah melibatkan ekspresi

matematis yaitu menggunakan 𝑃𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai

permutasi, 𝑛 merepresentasikan sebagai total jumlah kartu undian, dan

𝑟 merepresentasikan jumlah kartu yang akan diambil. Setelah







diperoleh untuk kelompok jawaban pertama adalah mahasiswa sudah

dapat memenuhi empat indikator kemampuan representasi matematis

Jadi, dari tiga kelompok jawaban untuk masalah satu, dapat

disimpulkan bahwa 42 mahasiswa sudah dapat melakukan membuat

gambar sebagai representasi dari masalah yang dihadapi, membuat

persamaan atau model matematis, menyelesaiakan masalah melibatkan

ekspresi matematis, dan menuliskan langkah-langkah penyelesaian

dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan


126

Masalah Kedua

Hasil tes pada masalah kedua ada tiga kelompok jawaban mahasiswa.


berikut:

a. Kelompok Jawaban Pertama Masalah Kedua

Ada 27 mahasiswa yang menyelesaikan masalah kedua dengan cara

sebagai berikut:

Gambar 4. 32 Hasil Pekerjaan Mahasiswa Masalah Kedua




mengelompokkan atau membaginya menjadi 3 kasus yaitu: (1) mobil

pertama memuat 6 orang dan mobil kedua memuat 2 orang, (2) mobil

pertama memuat 5 orang dan mobil kedua memuat 3 orang, dan (3)

mobil pertama memuat 4 orang dan mobil kedua memuat 4 orang.

Setelah pembagian kasus selesai mahasiswa menghitung banyaknya


127

cara yang mungkin untuk 3 kasus tersebut dengan menggunakan

kombinasi. Alasan mahasiswa menggunakan kombinasi adalah misal:

di mobil pertama berisikan ABCD, maka kejadian ini akan sama dengan

jika mobil berisi BCDA karena orang-orang yang berada di dalam

mobil sama. Karena masalah ini tidak memperhatikan urutan, maka

untuk mencari banyak susunan adalah dengan menggunakan

kombinasi. Selain menggunakan kombinasi, untuk mencari banyaknya

susunan di mobil pertama dan kedua, mahasiswa menggunakan prinsip

perkalian karena ada kata hubung dan yang memisahkan mobil pertama

dan mobil kedua.


menjumlahkan banyak cara yang telah diperoleh dari ketiga kasus

tersebut untuk memperoleh kesimpulan akhir yaitu banyaknya cara

menempatkan 8 mahasiswa ke dalam dua mobil sebanyak tiga kasus:


Jadi, berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa pada masalah kedua

disimpulkan bahwa (1) mahasiswa dalam menyelesaiakan masalah

kedua mampu merepresentasikan cara menempatkan delapan orang ke

dalam mobil yang bagi-bagi menjadi tiga kasus. Mahasiswa juga

mampu menentukan cara apa yang digunakan untuk menghitung

banyaknya car acara menempatkan delapan orang ke dalam dua mobil,

yaitu menggunakan kombinasi, (2) mahasiswa mampu membuat model

matematis dari informasi yang telah diperoleh yaitu cara menempatkan

delapan orang ke dalam mobil yaitu mengunakan metode kombinasi

dan kata hubung dan yang memisahkan mobil pertama dengan mobil

kedua menggunakan konsep perkalian sehingga diperoleh 𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛 (3)


𝐶𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai kombinasi dan × yang

merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang memisahkan mobil

pertama dengan mobil kedua. Setelah mahasiswa melibatkan ekspresi



128



keseluruhan mahasiswa sudah dapat menentukan banyaknya cara

menempatkan delapan mahasiswa kedalam dua mobil. Kesimpulan

yang diperoleh untuk kelompok jawaban pertama masalah kedua adalah

mahasiswa dapat memenuhi empat indikator kemampuan representasi

matematis.

b. Kelompok Jawaban Kedua Masalah Kedua

Ada empat mahasiswa yang menjawab masalah sebagai berikut:






129

mengelompokkan atau membaginya menjadi tiga kasus yaitu: (1) mobil

pertama memuat enam orang dan mobil kedua memuat dua orang, (2)

mobil pertama memuat lima orang dan mobil kedua memuat tiga orang,

dan (3) mobil pertama memuat empat orang dan mobil kedua memuat

empat orang. Alasan mahasiswa menggunakan kombinasi adalah misal:

di mobil pertama berisikan ABCD, maka kejadian ini akan sama dengan

jika mobil berisi BCDA karena orang-orang yang berada di dalam

mobil sama. Karena masalah ini tidak memperhatikan urutan, maka

untuk mencari banyak susunan adalah dengan menggunakan

kombinasi. Selain menggunakan kombinasi, untuk mencari banyaknya

susunan di mobil pertama dan kedua, mahasiswa menggunakan prinsip

perkalian karena ada kata hubung dan yang memisahkan mobil pertama

dan mobil kedua.


menjumlahkan banyak cara yang telah diperoleh dari 3 kasus tersebut

untuk memperoleh kesimpulan akhir yaitu banyaknya cara

menempatkan 8 mahasiswa kedalam dua mobil sebanyak 3 kasus:

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3 + . Hanya

saja dalam proses perhitungan menggunakan kombinasi mahasiswa

masih keliru dalam menentukan banyaknya kombinasi di kasus 1

mahasiswa menulis bentuk kombinasi 𝐶66 ×.𝐶2

4, seharusnya yang harus

ditulis mahasiswa 𝐶68 ×.𝐶2

2, begitu pun dengan kasus 2 bentuk

kombinasi yang ditulis mahasiswa 𝐶56 ×.𝐶3

4, seharusnya yang harus

ditulis mahasiswa 𝐶58 ×.𝐶3

3 dan di kasus 3 mahasiswa menulis bentuk

kombinasi 𝐶46 ×.𝐶4

4, seharusnya yang harus ditulis mahasiswa 𝐶48 ×.𝐶4

4



kedua mampu merepresentasikan cara menempatkan delapan orang

kedalam dua mobil yang bagi-bagi menjadi tiga kasus. Mahasiswa juga

mampu menentukan cara apa yang digunakan untuk menghitung

banyaknya cara menempatkan delapan orang ke dalam dua mobil, yaitu


130

menggunakan kombinasi hanya saja dalam menentukan bentuk dari

kombinasi mahasiswa masih mengalami kekeliruan, (2) mahasiswa

mampu membuat model matematis dari informasi yang telah diperoleh

yaitu cara menempatkan delapan orang ke dalam mobil yaitu

mengunakan metode kombinasi dan kata hubung dan yang memisahkan

mobil pertama dengan mobil kedua menggunakan konsep perkalian

sehingga diperoleh 𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛 , hanya saja dari model matematis yang

dibuat mahasiswa masih tidak tepat (3) mahasiswa sudah melibatkan

ekspresi matematis yaitu menggunakan 𝐶𝑟𝑛 yang merepresentasikan

sebagai kombinasi dan × yang merepresentasikan sebagai kata hubung

dan yang memisahkan mobil pertama dengan mobil kedua. Mahasiswa

melibatkan ekspresi matematis dalam menyelesaikan masalah tersebut.

(4) mahasiswa dalam menuliskan langkah-langkah penyelesaian

masalah matematika, sudah menggunakan kata-kata atau teks tertulis.

Oleh karena itu, secara keseluruhan mahasiswa sudah dapat

menentukan banyaknya cara menempatkan delapan mahasiswa ke

dalam dua mobil. Kesimpulan yang diperoleh untuk kelompok jawaban

kedua masalah kedua adalah mahasiswa memenuhi tiga indikator

kemampuan representasi matematis, yaitu membuat gambar sebagai

representasi matematis, menyelesaiakan masalah melibatkan ekspresi

matematis, dan menuliskan langkah-langkah penyelesaian dengan kata-

kata untuk menarik kesimpulan.


131

c. Kelompok Jawaban Ketiga Masalah Kedua

Ada 11 mahasiswa yang menyelesaikan masalah kedua dengan cara

sebagai berikut:




menyelesaiakan masalah yang diberikan tidak membagi menjadi

beberapa kasus melainkan langsung dikerjakan. Mahasiswa dalam

kelompok yang ketiga ini hanya menuliskan kembali kapasitas dari

mobil pertama dan kedua. Selanjutnya mahasiswa menghitung

banyaknya cara yang mungkin untuk menempatkan pada mahasiswa

tersebut ke dalam mobil adalah dengan menggunakan kombinasi,

karena misal jika di mobil pertama berisikan ABCD, maka kejadian

tersebut akan sama dengan kejadian BCDA. Oleh karena itu, untuk

meraka yang berada di dalam mobil yang sama, tidak memperhatikan

urutan dan cocok untuk menggunakan kombinasi. Selain itu, untuk

menghitung banyaknya susunan untuk mobil pertama dan kedua,

mahasiswa menggunakan prinsip perkalian karena ada kata hubung dan

yang memisahkan banyak susunan di mobil pertama dan mobil kedua.


132

Proses selanjutnya yang dilakukan mahasiswa menghitung

banyaknya susunan yang mungkin dengan menggunakan model

matematis 𝐶68 × 𝐶4

8. Model matematis yang dibuat oleh mahasiswa

tidak tepat, karena mahasiswa yang sudah dimasukkan ke dalam mobil

pertama tidak perlu dimasukkan ke dalam mobil kedua, karena tidak

mungkin satu orang ikut dalam dua mobil. Karena itu, model matematis

yang tepat adalah 𝐶68 × 𝐶2

2,


disimpulkan bahwa (1) mahasiswa dalam menyelesaikan masalah

kedua tidak mampu merepresentasikan cara menempatkan delapan

orang ke dalam mobil pertama dan kedua. Mahasiswa sudah mampu

menentukan cara apa yang digunakan untuk menghitung banyaknya

cara menempatkan delapan orang ke dalam dua mobil, yaitu

menggunakan kombinasi hanya saja dalam menentukan bentuk dari

kombinasi mahasiswa masih belum tepat, (2) mahasiswa mampu

membuat model matematis dari informasi yang telah diperoleh yaitu

cara menempatkan 8 orang ke dalam mobil yaitu mengunakan metode

kombinasi dan kata hubung dan yang memisahkan mobil pertama

dengan mobil kedua menggunakan prinsip perkalian sehingga

diperoleh 𝐶𝑟𝑛 × 𝐶𝑟

𝑛, hanya saja dari model matematis yang dibuat

mahasiswa masih tidak tepat karena mahasiswa tidak memperhatikan

bahwa kejadian pertama akan mempengaruhi kejadian kedua, (3)


𝐶𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai kombinasi dan × yang

merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang memisahkan mobil

pertama dengan mobil kedua. Mahasiswa sudah melibatkan ekspresi



sudah menggunakan kata-kata atau teks tertulis. Olah karena itu, secara

keseluruhan mahasiswa sudah dapat menentukan banyaknya cara

menempatkan delapan mahasiswa ke dalam dua mobil. Kesimpulan


133

yang diperoleh untuk kelompok jawaban ketiga masalah kedua adalah

mahasiswa dapat mencapai dua indikator kemampuan representasi

matematis. yaitu menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi



Jadi, dari tiga kelompok jawaban untuk masalah dua, dapat

disimpulkan bahwa dari 42 mahasiswa terbagi menjadi : 27 mahasiswa

mampu membuat gambar sebagai representasi dari masalah yang dihadapi,

23 mahasiswa mampu membuat persamaan atau model matematis, 42

mahasiswa mampu menyelesaiakan masalah melibatkan ekspresi

matematis, dan 42 mahasiswa mampu menuliskan langkah-langkah

penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan

Masalah Ketiga

Hasil tes pada masalah ketiga ada dua kelompok jawaban mahasiswa.


berikut:

a. Kelompok Jawaban Pertama Masalah Ketiga

Ada 38 mahasiswa menyelesaikan masalah ketiga dengan cara sebagai

berikut:


134

Gambar 4. 35 Hasil Pekerjaan Mahasiswa Masalah Ketiga


Mahasiswa dalam kelompok jawaban yang pertama ini,

mahasiswa menyelesaiakan masalah yang diberikan untuk bagaian a

dengan menggunakan rumus dari pemutasi siklis, yaitu menghitung

banyaknya susunan orang duduk melingkar, dan untuk bagian b

mahasiswa terlebih dahulu menganggap bahwa dua orang yang selalu

duduk berdampingan itu dihitung satu, sehingga banyak orang yang

awalnya dari 6 sekarang menjadi 5 saja kemudian 2 orang yang mau

duduk berdampingan itu dihitung menjadi 2 faktorial yang artinya

mereka selalu berdampingan karena posisi duduk melingkar contoh:

ABCD itu berbeda dengan BACD, namun A dan B selalu

berdampingan makanya harus dikalikan 2 faktorial untuk menentukan

2 orang yang selalu duduk berdampingan.

Proses selanjutnya yang dilakukan mahasiswa yaitu melakukan

perhitungan untuk masalah a dengan mneggunakan rumus permutasi

siklis yang telah diketahui yaitu (𝑛 − 1)! Untuk 𝑛 sama dengan banyak

orang yang akan duduk melingkar yaitu enam orang untuk bagian b


135

mahasiswa tinggal mengurangkan hasil perhitungan enam orang duduk

melingkar dangan dua orang yang selalu duduk berdampingan yaitu

(𝑛 − 1)! 2!.

Jadi, berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa pada masalah ketiga


ketiga mampu merepresentasikan susunan dari enam orang yang akan

duduk melingkar dan dari enam orang tersebut ada dua orang yang tidak

mau duduk berdampingan. Mahasiswa juga mampu menentukan cara

apa yang digunakan untuk menghitung banyaknya susunan dari enam

orang yang akan duduk melingkar dan dari enam orang tersebut ada dua

orang yang tidak mau duduk berdampingan , yaitu menggunakan

permutasi siklis, (2) mahasiswa mampu membuat model matematis dari

informasi yang telah diperoleh yaitu susunan dari enam orang yang

akan duduk melingkar dan dari enam orang tersebut ada dua orang yang

tidak mau duduk berdampingan yaitu mengunakan permutasi siklis

Untuk enam orang yang akan duduk melingkar (𝑛 − 1)! = (6 − 1)!

dan dari enam orang tersebut ada 2 orang yang tidak mau duduk

berdampingan(𝑛 − 1)! − (𝑛 − 1)! × 2! = (6 − 1)! − (5 − 1)! × 2!,

(3) mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis yaitu

menggunakan (𝑛 − 1)! yang merepresentasikan sebagai permutasi

siklis dan × yang merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang

memisahkan lima orang yang duduk melingkar dan dua orang tersebut

selalu berdampingan. Setelah mahasiswa melibatkan ekspresi



sudah menggunakan kata-kata atau teks tertulis. Oleh karena itu, secara

keseluruhan mahasiswa sudah dapat menentukan susunan dari enam


orang yang tidak mau duduk berdampingan. Kesimpulan yang

diperoleh untuk kelompok jawaban pertama masalah ketiga adalah


136

mahasiswa dapat mencapai empat indikator kemampuan representasi

matematis.

b. Kelompok Jawaban Kedua Masalah Ketiga

Ada empat mahasiswa yang mengerjakan masalah ketiga dengan cara

sebagai berikut:




menyelesaikan masalah yang diberikan untuk bagaian a dengan

langsung menggunakan rumus dari pemutasi siklis yaitu menghitung


mahasiswa tidak menganggap bahwa dua orang yang selalu duduk

berdampingan itu dihitung satu, melainkan mahasiswa langsung

mengurangkan saja hasil dari 6 orang yang duduk melingkar dengan 2

orang yang tidak mau duduk berdampingan.


137




orang yang akan duduk melingkar yaitu enam orang. Untuk bagian b,

mahasiswa tinggal mengurangkan hasil perhitungan enam orang duduk

melingkar dengan dua orang yang selalu duduk berdampingan yaitu

(𝑛 − 1) = (6 − 1)! Dikurangi dengan dua orang yang tidak mau duduk

berdampingan.

Jadi, berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa pada masalah ketiga


ketiga mampu merepresentasikan susunan dari enam orang yang akan

duduk melingkar, serta masih belum tepat dalam membuat representasi

dari enam orang tersebut ada dua orang yang tidak mau duduk

berdampingan. Mahasiswa juga mampu menentukan cara apa yang

digunakan untuk menghitung banyaknya susunan dari enam orang yang

akan duduk melingkar, yaitu menggunakan permutasi siklis, namun

masih keliru untuk menentukan cara dari enam orang tersebut ada dua

orang yang tidak mau duduk berdampingan, (2) mahasiswa mampu

membuat model matematis dari informasi yang telah diperoleh untuk

susunan dari enam orang yang akan duduk melingkar yaitu

mengunakan permutasi siklis, Untuk enam orang yang akan duduk

melingkar (𝑛 − 1)! = (6 − 1)! , namun dari enam orang tersebut ada

dua orang yang tidak mau duduk berdampingan masih keliru dalam

proses pembuatan model matematisnya. (3) mahasiswa sudah

melibatkan ekspresi matematis yaitu menggunakan (𝑛 − 1)! yang

merepresentasikan sebagai permutasi siklis dan tanda operasi × yang

merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang memisahkan lima

orang yang duduk melingkar dan dua orang tersebut selalu

berdampingan. Mahasiswa telah melibatkan ekspresi matematis dalam

penyelesaian masalah yang dibuat. (4) Mahasiswa dalam menuliskan

langkah-langkah penyelesaian masalah matematika, sudah


138

menggunakan kata-kata atau teks tertulis. Oleh karena itu, secara

keseluruhan mahasiswa sudah dapat menentukan susunan dari enam


orang yang tidak mau duduk berdampingan. Kesimpulan yang

diperoleh untuk kelompok jawaban kedua masalah ketiga adalah

mahasiswa dapat mencapai dua indikator kemampuan representasi

matematis yaitu menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi



Jadi, dari dua kelompok jawaban untuk masalah tiga, dapat







Masalah Keempat

Hasil tes pada masalah keempat ada empat kelompok jawaban mahasiswa.


berikut:

a. Kelompok Jawaban Pertama Masalah Keempat

Ada empat mahasiswa yang menyelesaikan masalah keempat dengan

cara sebagai berikut:


139

Gambar 4. 37 Hasil Pekerjaan Mahasiswa Masalah Keempat



menyelesaiakan masalah yang diberikan untuk bagian a dengan

mengunakan metode filling slot yaitu menghitung banyaknya susunan

3 angka dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0, dan 7, dan bagian b menggunakan

metode filling slot yaitu menghitung banyaknya susunan tiga angka

ganjil dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0, 7, dan 1, dan bagian c menggunakan

metode filling slot yaitu menghitung banyaknya susunan tiga angka


140

genap dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0, 7, dan 1. Mahasiswa menggunakan

metode filling slot karena dari soal diberitahu bahwa setiap kartu hanya

dapat digunakan satu kali.


perhitungan untuk masalah a dengan menggunakan filling slot untuk

slot pertama berisikan 5 kartu bilangan karena untuk membentuk 3

angka, angka nol tidak dapat menempati slot pertama sehingga slot

pertama berisikan 5 angka. Untuk slot kedua masih berisikan 5 angka

karena total ada 6 kartu, 1 kartu sudah digunakan untuk slot pertama

sehingga slot kedua berisi 5 kartu. Untuk slot ketiga berisi 4 karena di

slot kedua sudah digunakan satu kartu. Setelah diterapkan metode

filling slot untuk bagian a diperoleh banyak bilangan yang dapat dibuat

adalah 5 × 5 × 4 = 100 angka.

Untuk masalah b, mahasiswa menggunakan filling slot karena ada

suatu bilangan ganjil yang terdiri dari tiga yang akan dibuat, maka slot

ketiga yang harus disi terlebih dahulu karena untuk mendapatkan

bilangan itu ganjil atau genap ditentukan dari bilangan yang menempati

tempat terakhir. Untuk slot ketiga akan berisi empat angka, kemudian

untuk slot pertama berisi empat angka karena angka nol tidak dapat

menempati slot pertama dan satu angka sudah digunakan di slot ketiga.

Untuk slot kedua berisi empat angka karena dari enam angka, satu

angka sudah digunakan di slot pertama dan slot ketiga. Oleh karena itu,

dengan metode filling slot untuk bagian c diperoleh banyaknya susunan

bilangan yang diperoleh ada 4 × 4 × 4 = 64 angka ganjil.

Untuk bagian c, mahasiswa menggunakan filling slot karena ada

suatu bilangan genap yang terdiri dari tiga angka yang akan dibuat,

maka yang harus diisi terlebih dahulu adalah tempat terakhir karena

untuk mendapatkan bilangan itu ganjil atau genap ditentukan dari

bilangan yang menempati tempat terakhir. Mahasiswa membagi

penyelesaikan menjadi dua kasus agar tidak membingungkan yaitu (1)

di slot terakhir berisikan kartu dua, dan (2) slot terakhir berisikan kartu


141

nol. Untuk kasus pertama, slot ketiga berisi satu angka, slot pertama

berisi lima angka, dan slot kedua berisi empat angka. Untuk kasus

kedua, slot ketiga berisi satu angka, slot kedua berisi empat angka,

karena untuk membentuk tiga angka, kartu 0 tidak bisa di slot pertama

dan slot kedua, sehingga berisi empat angka. Oleh karena itu, dari kasus

pertama diperoleh banyak susunan bilangan adalah 5 × 4 × 1 = 20 dan

dari kasus kedua diperoleh banyak susunan bilangan adalah 4 × 4 ×

1 = 16. Jadi, banyak angka genap yang dibentuk adalah banyak kasus

pertama + banyak kasus kedua = 20 + 16 = 36

Jadi, berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa pada masalah keempat


keempat mampu merepresentasikan susunan tiga angka dari enam

kartu, untuk bilangan ganjil dan genap. Mahasiswa juga mampu


susunan tinggal angka dari enam kartu, untuk bilangan ganjil dan genap

yaitu menggunakan filling slot, (2) mahasiswa mampu membuat model

matematis dari informasi yang telah diperoleh yaitu banyaknya

bilangan yang terdiri dari tiga angka yang akan terbentuk dari enam

kartu, untuk bilangan ganjil dan genap. Untuk banyaknya susunan

bilangan terdiri dari tiga angka yang dapat disusun dari 6 kartu yaitu

5 × 5 × 4 = 100, banyaknya susunan bilangan yang terdiri dari tiga

angka dan ganjil adalah 4 × 4 × 4 = 64, dan banyaknya susunan

bilangan yang terdiri dari tiga angka dan genap untuk kasus pertama

menjadi 5 × 4 × 1 = 20 dan untuk kasus kedua menjadi 4 × 4 × 1 =

16, sehingga total susunan bilangan yang terdiri dari tiga angka dan

genap adalah banyak kasus pertama + banyak kasus kedua = 20 +

16 = 36, (3) mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis yaitu

menggunakan slot pertama, kedua, dan ketiga yang merepresentasikan

metode filling slot dan × yang merepresentasikan sebagai kata hubung

antara slot pertama dan slot kedua, dan slot kedua dan slot ketiga.

Mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis dalam menyelesaikan


142

masalah yang dibuat, (4) mahasiswa dalam menuliskan langkah-

langkah penyelesaian masalah matematika, sudah menggunakan kata-

kata atau teks tertulis. Oleh karena itu, mahasiswa sudah dapat

menentukan susunan bilangan yang terdiri dari tiga angka dari 6 kartu,

susunan bilangan yang terdiri dari tiga angka danbilangan ganjil, dan

susunan bilangan yang terdiri dari tiga angka dan genap. Kesimpulan

yang diperoleh untuk kelompok jawaban pertama masalah keempat

adalah mahasiswa dapat mencapai empat indikator kemampuan

representasi matematis.

b. Kelompok Jawaban Kedua Masalah Keempat

Ada satu mahasiswa yang menyelesaikan masalah keempat dengan cara

sebagai berikut:




143


menyelesaiakan masalah yang diberikan untuk bagaian a dengan


3 angka dari kartu 2 , 5, 3, 0,7, bagian b menggunakan metode filling

slot yaitu menghitung banyaknya susunan 3 angka ganjil dari kartu 2 ,

5, 3, 0,7,1, dan bagian c menggunakan metode filling slot yaitu

menghitung banyaknya susunan 3 angka genap dari kartu 2 , 5, 3, 0,7,1

. Menggunakan metode filling slot karena dari soal diberitahu bahwa

setiap kartu hanya dapat digunakan satu kali.



slot pertama berisikan 5 kartu karena untuk membentuk 3 angka, angka

nol tidak dapat menempati slot pertama sehingga slot pertama berisikan

5 angka, untuk slot kedua masih berisikan 5 angka karena total ada 6

kartu, 1 kartu sudah digunakan untuk slot pertama sehingga slot kedua

berisi 5, dan untuk slot ketiga berisi 4 karena dislot kedua sudah

digunakan satu kartu. Sehingga penempatan filling slot untuk bagian a

menjadi 5 × 5 × 4 = 100 angka yang dapat terbentuk

Untuk masalah b menggunakan filling slot karena 3 angka ganjil

yang akan dibentuk maka slot ketiga yang harus disikan terlebih dahulu

karena untuk menentukan bilangan itu ganjil atau genap dilihat dari

nilai tempat terakhir, maka slot ketiga akan berisi 4 angka, kemudian

untuk slot pertama berisikan berisikan 4 angka karena angka nol tidak

dapat menempati slot pertama dan 1 angka sudah digunakan di slot

ketiga, dan untuk slot kedua berisikan 4 angka karena dari 6 angka 1

angka sudah digunakan dislot pertama dan slot ketiga. Sehingga

penempatan filling slot untuk bagian b menjadi 4 × 4 × 4 = 64 angka

ganjil yang dapat terbentuk

Untuk bagian c menggunakan filling slot karena 3 angka genap


khusus pada bagian c ini mahasiswa tidak melakukan pembagian


144

menjadi 2 kasus. Mahasiswa langsung menempatkan 2 kartu yang

genap pada slot terakhir, karena untuk menentukan bilangan itu ganjil

atau genap dilihat dari nilai tempat terakhir, kemudian untuk slot

pertama berisikan berisikan 4 angka karena angka nol tidak dapat

menempati slot pertama dan 1 angka sudah digunakan di slot ketiga,

dan untuk slot kedua berisikan 4 angka karena dari 6 angka 1 angka

sudah digunakan dislot pertama dan slot ketiga. Namun karena tidak

adanya pembagian kasus maka akan ada angka 4 yang terlewatkan yaitu

210, 230, 250, dan 270

Jadi berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa pada masalah

keempat disimpulkan bahwa (1) mahasiswa dalam menyelesaiakan

masalah keempat mampu merepresentasikan susunan 3 angka dari 6



susunan3 angka dari 6 kartu, untuk bilangan ganjil dan genap yaitu

menggunakan filling slot, (2) dari jawaban mahasiswa mampu


banyaknya 3 angka yang akan terbentuk dari 6 kartu, untuk bilangan

ganjil dan genap. Untuk bilangan 3 angka yang dapat disusun dari 6

kartu yaitu 5 × 5 × 4 = 100 angka yang dapat terbentuk, untuk

bilangan ganjil 4 × 4 × 4 = 64 angka yang dapat terbentuk, dan untuk

bilangan genap 4 × 4 × 2 = 32 angka yang akan terbentuk, (3)

berdasarkan penyelesaian yang dilakukan mahasiswa sudah melibatkan

ekspresi matematis yaitu menggunakan slot pertama, kedua dan ketiga

yang merepresentasikan sebagai filling slot dan × yang

merepresentasikan sebagai kata hubung antara slot pertama dan slot

kedua, dan slot kedua dan slot ketiga. Setelah mahasiswa melibatkan

ekspresi matematis dalam penyelesaian masalah yang dibuat. (4)

mahasiswa dalam menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah

matematika, sudah menggunakan kata-kata atau teks tertulis. Sehingga

secara keseluruhan mahasiswa sudah dapat menentukan susunan 3


145

angka dari 6 kartu yang terbentuk, untuk bilangan ganjil dan genap.

Kesimpulan yang diperoleh untuk kelompok jawaban pertama masalah

keempat memenuhi empat indikator kemampuan representasi

matematis.

c. Kelompok Jawaban Ketiga Masalah Keempat

Ada lima mahasiswa yang menyelesaikan masalah keempat dengan







146


3 angka dari kartu 2 , 5, 3, 0,7, bagian b menggunakan metode filling



menghitung banyaknya susunan 3 angka genap dari kartu 2 , 5, 3, 0,7,

1 . Menggunakan metode filling slot karena dari soal diberitahu bahwa











Pada masalah b menggunakan filling slot karena pemahaman dari

mahasiswa mengenai angka ganjil itu masih keliru maka dalam

menempatakan 4 kartu yang ganjil itu ditempat di slot pertama bukan

di slot ketiga, untuk slot kedua berisikan 3 angka saja, dsn slot kedua

berisikan 2 angka saja. Hal ini mengartikan bahwadalam menyusun 3

angka ganjil mahsiswa hanya menggunakan 4 angka ganjil saja yang

menyebabkan slot 2 hanya berisi 3 kartu dan slot ketiga berisikan 2

kartu saja Sehingga penempatan filling slot untuk bagian b menjadi

4 × 3 × 2 = 24 angka ganjil yang dapat terbentuk

Pada bagian c menggunakan filling slot karena pemahaman dari

mahasiswa mengenai angka genap itu masih keliru maka dalam

menempatakan 2 kartu yang genap itu ditempat di slot pertama bukan

di slot ketiga karena nol tidak dapat dapat ditempatkan dilsot pertama

maka dislot pertama hanya beriskan 1 angka saja yaitu 2 , untuk slot

kedua berisikan 1 angka saja, dan slot kedua berisikan 0 angka saja. Hal


147

ini mengartikan bahwa dalam menyusun 3 angka genap mahsiswa

hanya menggunakan 2 angka genap saja yang menyebabkan slot 2

hanya berisi 1 kartu dan slot ketiga berisikan 0 kartu saja Sehingga

penempatan filling slot untuk bagian b menjadi 1 × 1 × 0 = 0 tidak

angka genap yang terbentuk




kartu, namun untuk bilangan ganjil dan genap mahasiswa masih tidak

membuat representasi yang benar. Mahasiswa juga mampu menentukan

cara apa yang digunakan untuk menghitung banyaknya susunan 3 angka

dari 6 kartu, untuk bilangan ganjil dan genap yaitu menggunakan filling

slot, (2) dari jawaban mahasiswa mampu membuat model matematis

dari informasi yang telah diperoleh yaitu banyaknya 3 angka yang akan

terbentuk dari 6 kartu, namun model matematis untuk bilangan ganjil

dan genap mahasiswa masih mengalami kekeliruan. Untuk bilangan 3

angka yang dapat disusun dari 6 kartu yaitu 5 × 5 × 4 = 100 angka

yang dapat terbentuk, untuk bilangan ganjil 4 × 3 × 2 = 24 angka

yang dapat terbentuk, dan untuk bilangan genap 1 × 1 × 0 = 0 tidak ada

angka yang akan terbentuk, (3) berdasarkan penyelesaian yang

dilakukan mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis yaitu

menggunakan slot pertama, kedua dan ketiga yang merepresentasikan

sebagai filling slot dan × yang merepresentasikan sebagai kata hubung


Setelah mahasiswa melibatkan ekspresi matematis dalam penyelesaian

masalah yang dibuat. (4) mahasiswa dalam menuliskan langkah-


kata atau teks tertulis. Sehingga secara keseluruhan mahasiswa sudah

dapat menentukan susunan 3 angka dari 6 kartu yang terbentuk, untuk

bilangan ganjil dan genap. Kesimpulan yang diperoleh untuk kelompok

jawaban ketiga masalah keempat memenuhi dua indikator kemampuan


148

representasi matematis yaitu menyelesaiakan masalah melibatkan



d. Kelompok Jawaban Keempat Masalah Keempat

Ada 32 mahasiswa yang menyelesaikan masalah keempat dengan cara

sebagai berikut:

`


Kelompok Jawaban Keempat

Mahasiswa dalam kelompok jawaban yang kempat ini



149


3 angka dari kartu 2, 5, 3, 0,7, bagian b menggunakan metode filling








slot pertama berisikan 6 kartu karena untuk membentuk 3 angka,

mahasiswa masih kurang teliti dalam membaca soal yang menyebabkan

angka nol dapat menempati slot pertama sehingga slot pertama

berisikan 6 angka, untuk slot kedua masih berisikan 5 angka karena

total ada 6 kartu, 1 kartu sudah digunakan untuk slot pertama sehingga

slot kedua berisi 5, dan untuk slot ketiga berisi 4 karena dislot kedua

sudah digunakan satu kartu. Sehingga penempatan filling slot untuk

bagian a menjadi 6 × 5 × 4 = 120 angka yang dapat terbentuk

Pada masalah b menggunakan filling slot karena pemahaman dari

mahasiswa mengenai angka ganjil itu masih keliru maka dalam


di slot ketiga, untuk slot kedua berisikan 4 angka saja, dan slot kedua

berisikan 5 angka saja. Hal ini mengartikan bahwa dalam menyusun 3

angka ganjil mahasiswa menggunakan 6 angka yang menyebabkan slot

2 hanya berisi 5 kartu dan slot ketiga berisikan 4 kartu saja Sehingga



Pada bagian c menggunakan filling slot karena pemahaman dari



di slot ketiga karena kurang teliti maka nol dapat ditempatkan dislot

pertama maka dislot pertama beriskan 2 angka, untuk slot kedua


150

berisikan 5 angka saja, dan slot kedua berisikan 4 angka saja. Hal ini

mengartikan bahwa dalam menyusun 3 angka genap mahsiswa hanya

menggunakan 2 angka genap saja yang menyebabkan slot 2 hanya

berisi 1 kartu dan slot ketiga berisikan 0 kartu saja Sehingga

penempatan filling slot untuk bagian c menjadi 2 × 5 × 4 = 40 tidak

angka genap yang terbentuk



masalah keempat tidak mampu merepresentasikan susunan 3 angka dari

6 kartu, dan untuk bilangan ganjil dan genap mahasiswa masih tidak


cara apa yang digunakan untuk menghitung banyaknya susunan3 angka








yang dapat terbentuk, dan untuk bilangan genap 2 × 5 × 4 = 20 tidak

ada angka yang akan terbentuk, (3) berdasarkan penyelesaian yang












151

jawaban keempat masalah keempat memenuhi dua indikator

kemampuan representasi matematis yaitu menyelesaiakan masalah

melibatkan ekspresi matematis, dan menuliskan langkah-langkah

penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan.

Jadi, dari empat kelompok jawaban untuk masalah empat, dapat

disimpulkan bahwa dari 42 mahasiswa terbagi menjadi: 5 mahasiswa







152

4. Deskripsi Hasil Tes Tertulis dan Hasil Wawancara

Peneliti mengadakan tes tertulis pada tanggal 16 September 2020

setelah proses pembelajaran yang telah dilakukan kepada mahasiswa



permutasi dan kombinasi menggunakan pendekatan PMR. Tes tertulis

dilakukan pada pertemuan ketiga dengan tujuan untuk mengetahui

kemampuan representasi matematis mahasisiwa, masalah yang diberikan

berupa permasalahan yang berkaitan dengan permutasi dan kombinasi

dalam kehidupan sehari-hari. Peneliti memberikan 4 masalah yang terkait

dengan permutasi dan kombinasi sebagai berikut:



153

Berikut akan dideskripsikan analisis jawaban hasil tes mahasiswa

berdasarkan pengelompokan terhadap tiga kategori yaitu pengelompokan

kategori atas, sedang dan bawah. Pemilihan hasil jawaban mahasiswa

berdasarkan klasifikasi batas interval nilai (Arikunto, 2018) yang

diperoleh mahasiswa. Cara menentukan pengelompokan hasil tes dalam

penelitian ini adalah menggunakan rata-rata dan standar deviasi. Menurut

Arikunto (2018:287), yang dimaksudkan penentuan mahasiswa dengan

standar deviasi adalah penentuan kedudukan dengan membagi hasil tes

mahasiswa atas kelompok-kelompok. Setiap kelompokknya akan dibatasi

oleh suatu standar deviasi tertentu.

Hasil pengelompokan di kelas Uji Coba, berdasarkan proses

pengelompokan atas 3 ranking:

1) Mencari nilai rata-rata dan simpangan baku(standar deviasi)

Nilai rata-rata kelas Uji Coba: 72,98

Standar deviasu kelas Uji Coba: 13,60

2) Menentukan batas-batas kelompok

Kelompok atas

Mean + SD = 72.98 + 13.60 = 86.58

Artinya mahasiswa yang tergolong kelompok atas yaitu mahasiswa

yang memiliki nilai diatas 86.58. Diperoleh 5 mahasiswa yang berada

di kategori atas

Kelompok sedang

Mean - SD sampai Mean + SD = 59.37 sampai 86.58

Artinya mahasiswa yang tergolong kelompok sedang yaitu mahasiswa

yang memiliki nilai pada 59.37 sampai 86.58. Diperoleh 30 mahasiswa

yang berada di kategori sedang

Kelompok bawah

Mean - SD = 72.98 - 13.60 = 59.38

Artinya mahasiswa yang tergolong kelompok bawah yaitu mahasiswa

yang memiliki nilai dibawah 59.38. Diperoleh 7 mahasiswa yang

berada di kategori atas


154

Berikut ini disajikan hasil tes mahasiswa yang dideskripsikan

berdasarkan kemampuan representasi matematis menurut kategori atas,

sedang dan bawah berdasarkan ketiga masalah yang diberikan dan

deskripsinya adalah sebagai berikut:

a. Deskripsi Hasil Tes dan Wawancara S1

Deskripsi Hasil Tes dan Wawancara S1 untuk Masalah

Pertama

1) Deskripsi Hasil Tes S1 untuk Masalah Pertama

Berikut jawaban S1 untuk masalah pertama

Gambar 4. 42 Hasil Pekerjaan S1 Masalah Pertama

Mahasiswa S1 menyelesaikan masalah yang diberikan dengan

terlebih dahulu memperhatikan cara pengambilan undian tersebut,

selanjutnya mengelompokkan atau membaginya menjadi sembilan


155

kasus yaitu: (1) terambil pertama dan kedua tidak mendapat hadiah,

(2) terambil pertama dan kedua mendapatkan hadiah motor, (3)

terambil pertama dan kedua mendapatkan hadiah mobil, (4)

terambil pertama tidak berhadiah dan terambil kedua mendapatkan

hadiah motor, (5) terambil pertama tidak berhadiah dan terambil

kedua mendapatkan hadiah mobil, (6) terambil pertama motor dan

terambil kedua mendapatkan hadiah mobil, (7) terambil pertama

mendapatkan hadiah motor dan terambil kedua tidak berhadiah, (8)

terambil pertama mendapatkan hadiah mobil dan terambil kedua

tidak berhadiah, dan (9) terambil pertama mendapatkan hadiah

mobil dan terambil kedua tidak berhadiah. Setelah pembagian

kasus selesai mahasiswa menghitung banyaknya cara yang

mungkin untuk sembilan kasus tersebut, cara yang dipergunakan

untuk menghitung banyaknya kejadian di setiap kasus yaitu

menggunakan filling slot dikarenakan pada proses pengambilan

undian tidak berlaku pengembalian dan pengambilan dilakukan

satu per satu sehingga cocok jika dikerjakan menggunakan filling

slot dan menggunakan prinsip perkalian karena terdapat kata

hubung dan yang memisahkan kejadian satu dengan kejadian

berikutnya dalam kasus yang sama.


menjumlahkan banyak cara yang telah diperoleh dari sembilan

kasus tersebut untuk memperoleh kesimpulan akhir yaitu

banyaknya kemungkinan dari percobaan pengambilan hadiah

kejutan dari seorang konsumen pada toko tersebut sebanyak

sembilan kasus: 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 +



𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 9


156

Jadi, berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa S1 pada masalah

pertama dapat disimpulkan bahwa

a) Mahasiswa mampu merepresentasikan cara pengambilan

undian tersebut yang dibagi-bagi menjadi sembilan kasus

berdasarkan apa yang telah diketahui.

b) Mahasiswa sudah bisa menentukan cara apa yang digunakan

untuk menghitung banyak kemungkinan, yang sesuai dengan

pengambilan satu per satu dan tanpa pengembalian yaitu filling

slot.

c) Mahasiswa mampu membuat model matematis dari informasi

yang telah diperoleh yaitu cara pengambilan satu per satu dan

tanpa pengembalian mengunakan filling slot dan kata hubung

dan yang memisahkan kejadian satu dengan kejadian yang lain

yang berada pada kasus yang sama itu menggunakan konsep

perkalian sehingga diperoleh 𝑠𝑙𝑜𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 × 𝑠𝑙𝑜𝑡 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎.

d) Mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis yaitu × yang

merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang memisahkan

kejadian yang satu dengan yang lain. Setelah mahasiswa

melibatkan ekspresi matematis dalam penyelesaian masalah

yang dibuat.

e) Mahasiswa dalam menuliskan langkah-langkah penyelesaian

masalah matematika, sudah menggunakan kata-kata atau teks

tertulis.

f) Mahasiswa sudah dapat menentukan banyaknya kemungkinan

dari percobaan pengambilan hadiah kejutan dari seorang

konsumen pada toko.

Jadi, untuk masalah pertama, S1 sudah dapat memenuhi

empat indikator kemampuan representasi matematis.


157

2) Deskripsi Hasil Wawancara S1 untuk Masalah Pertama

Berikut hasil wawancara S1 untuk masalah pertama:

P Coba kalian gambarkan secara visual apa yang kalian

pahami dari masalah tersebut!

S1 Yang saya pahami yaitu kita diminta untuk

menghitung banyaknya kemungkinan pengambilan

hadiah dari seseorang, hadiah tersebut diambil

dalam sebuah kantung. Saya menggambar kantong

yang berisi kartu didalamnya tapi tidak saya

sertakan di pekerjaan saya takut mengotori.

P Bagaimana kalian merepresentasikan kalimat

masalah berikut “di dalam kantung tersebut terdapat

20 kartu undian, di mana 5 kartu berisi hadiah

mobil, 8 kartu berisi hadiah motor, dan sisanya

tidak berisi hadiah” dan “pengambilan dilakukan

satu demi satu tanpa pengembalian”?

S1 Saya merepresentasikannya 20 kartu yang terdiri

dari 5 Mo (Mobil), 8 Mt(Motor), dan 7 Tb (kartu

tidak berhadiah), misal sudah terambil kartu

pertama Mo dan kedua Mo maka bentuk

matematisnya 5 × 4 karena kartu pertama tidak

dikembalikan. Itu saya menggunakan filling slot

dimana 𝑠𝑙𝑜𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 5 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑙𝑜𝑡 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 4. Namun

dalam pengerjaannya saya tulis lengkap tidak saya

singkat ketika membagi kasus takut membuat

binggung saat mengkoreksi pekerjaan saya.

P Coba kamu menceritakan kembali maksud dari masalah-

masalah tersebut dengan menggunakan kata-kata sendiri?

S1 Maksud dari soal itu yaiu menghitung banyaknya

cara percobaan pengambilan 2 kartu yang dilakukan

satu demi satu tanpa pengembalian, dimana disoal

diketahui banyak kartu 20 dimana 5 kartu berisi

mobil, 8 kartu berisi motor dan 7 kartu zonk

P Konsep matematika apa saja yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah tersebut? Jelaskan mengapa

konsep tersebut dapat dipergunakan untuk menyelesaikan

masalah tersebut!

S1 Dilihat dari pertanyaan pada soal yang diberikan,

karena diambil satu demi satu tanpa pengembalian

maka kemungkinan yang terjadi adalah

memperhatikan urutan. Maksudnya terambil

pertama Mobil dan terambil kedua Motor akan

berbeda dengan terambil pertama Motor dan

terambil kedua Mobil. Sehingga saya menggunakan

konsep filling slot, sebenarnya bisa menggunakan


158

konsep permutasi juga tapi saya lebih memilih

menggunakan filling slot karena itu paling mudah

bagi saya. Seperti yang saya jelaskan tadi karena

terambil pertama Mobil dan terambil kedua Motor

akan berbeda dengan terambil pertama Motor dan

terambil kedua Mobil. Sehingga dapat diselesikan

menggunakan filling slot atau permutasi. Saya

menggunakan filling slot karena menurut saya lebih

mudah menggunakan filling slot

P Jelaskan bagaimana rencana kamu untuk

menyelesaikan masalah tersebut!

S1 Rencana saya, membaca terlebih dahulu apa saja

yang diketahui dari soal kemudian disesuaikan

konsep apa yang cocok untuk menyelesaikan

masalah tersebut.

P Apa hubungan antara konsep matematika tersebut

dengan gambaran visual yang sudah kalian

gambarkan untuk menggambarkan hal-hal yang

diketahui dari masalah tersebut?

S1 Hubunganya yang dari apa yang diketahui dari soal

bisa direpresentasikan menjadi lebih sederhana

dalam penulisan. Contohnya tadi Motor bisa

diwakilkan dengan MT, Mobil bisa diwakilkan Mo

dan tidak berhadiah Tb. Bentuk representasi tiap

orang berbeda-beda.

P Buatlah model matematika dari apa yang diketahui dari

masalah tersebut!

S1 Modelnya yaitu saya kaitkan dengan konsep filling

slot, misalnya terambil motor pada pengambilan

pertama dan terambil mobil pada pengambilan

kedua maka model yang akan terbentuk 8 × 5 itu

untuk satu contoh kasusnya. Kasus lainnya juga

berlaku demikian.

P Bagaimana perhitungan yang kamu buat terkait dengan

konsep yang sudah kalian utarakan tadi?

S1 Tinggal hitung aja, eheheheheh kan sudah dibuat

modelnya

P Bagaimana cara kalian untuk menerapkan strategi yang

kamu pilih dalam menyelesaikan masalah tersebut?

S1 Caranya ya itu membaca terlebih dahulu informasi

yang diketahui kemudian sesuaikan informasi

tersebut dengan konsep yang sudah kita punya atau

ketahui.

P Mengapa mengunakan strategi tersebut untuk

menyelesaikan masalah?


159

S1 Karena apa yang diketahui pada soal sesuai dengan

konsep yang dimiliki

P Coba menjelaskan kembali langkah-langkah

penyelesaian masalah tersebut

S1 Yang pertama saya lakukan mengidentifikasi

masalah dengan menuliskan apa yang dikethui, apa

yang ditanya, kemudain saya menjawab dengan

membagi beberapa kasus. Tepatnya ada 9 kasus,dan

saya mengerjakan kasus-kasus tersebut

menggunakan filling slot, kemudian dari kasus-

kasus tersebut dijumlahkan sehingga jumlahan

tersebut merupakan banyaknya kemungkinan yang

terjadi dalam pengambilan 2 dua kartu yang

dilakukan pengambilan satu demi satu tanpa

pengembalian.

P Apa kesimpulan yang kalian peroleh dari proses

penyelesaian yang sudah kalian lakukan?

S1 Banyaknya kemungkinan pengambilan kartu yang

dapat dilakukan ada 380 cara

P Selain 380 cara adakah kesimpulan lain yang dapat

kamu sampaikan?

S1 Mungkin untuk kesimpulan yang dapat saya ambil

yaitu dapat menggunakan filling slot dengan

membagi menjadi beberapa kasus, kemudian kasus

tersebut dijumlahkan untuk memperoleh banyak

kemungkin cara yang terjadi.

Berdasarkan hasil wawancara terhadap mahasiswa S1

pada masalah pertama diperoleh kesimpulan bahwa

a) Mahasiswa mampu untuk membuat gambaran visual dari

permasalahan yang ada.

b) Mahasiswa mampu memahami masalah dengan menggambar

kotak yang berisi undian namun tidak dituliskan

dipekerjaannya takut mengotori.

c) Mahasiswa mampu untuk merepresentasikan masalah tersebut

yaitu cara pengambilan satu per satu dan tanpa pengembalian

menggunakan filling slot dan kata hubung dan yang

memisahkan kejadian satu dengan kejadian yang lain yang

berada pada kasus yang sama itu menggunakan konsep

perkalian sehingga diperoleh 𝑠𝑙𝑜𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 × 𝑠𝑙𝑜𝑡 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎.


160

Mahasiswa dapat membuat model dari masalah yang

diberikan.

d) Mahasiswa sudah mampu menjelaskan ekspresi matematis

dalam penyelesaian masalah, yaitu × yang merepresentasikan

sebagai kata hubung dan yang memisahkan kejadian pertama

dengan kejadian kedua.

e) Mahasiswa sudah mampu melibatkan ekspresi matematis

dalam penyelesaian masalah yang dibuat.

f) Mahasiswa sudah dapat menjelaskan langkah demi langkah

untuk menyelesaikan permasalahan yang ada.

Jadi, dari hasil wawancara tersebut, peneliti dapat menyimpulkan

bahwa S1 sudah mencapai empat indikator kemampuan

representasi untuk masalah pertama.

Dari hasil tes dan wawancara S1, peneliti dapat

menyimpulkan bahwa S1 sudah memenuhi empat indikator dari

kemampuan representasi yaitu (1) membuat gambar sebagai

representasi dari masalah yang diberikan, (2) membuat persamaan

atau model matematis, (3) menyelesaikan masalah melibatkan

ekspresi matematis, dan (4) menuliskan langkah-langkah

penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan. Jadi,

dari tes tertulis dan hasil wawancara tersebut, peneliti dapat

menyimpulkan bahwa S1 sudah mencapai empat indikator

kemampuan representasi untuk masalah pertama.

Deskripsi Hasil Tes dan Wawancara untuk S1 untuk Masalah

Kedua

1) Deskripsi Hasil Tes S1 untuk Masalah Kedua

Berikut jawaban S1 untuk masalah kedua


161

Gambar 4. 43 Hasil Pekerjaan S1 Masalah Kedua

Mahasiswa menyelesaikan masalah yang diberikan dengan

terlebih dahulu mengelompokkan atau membaginya menjadi 3

kasus yaitu: (1) mobil pertama memuat 6 orang dan mobil kedua

memuat 2 orang, (2) mobil pertama memuat 5 orang dan mobil

kedua memuat 3 orang, dan (3) mobil pertama memuat 4 orang dan

mobil kedua memuat 4 orang. Setelah pembagian kasus selesai

mahasiswa menghitung banyaknya cara yang mungkin untuk 3

kasus tersebut dengan menggunakan sekatan atau partisi. Alasan

mahasiswa menggunakan sekatan karena dari delapan mahasiswa

akan dilakukan penyekatan kedalam dua mobil yang berbeda.




menempatkan 8 mahasiswa ke dalam dua mobil sebanyak tiga

kasus: 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3


162


kedua disimpulkan bahwa

a) Mahasiswa dalam menyelesaiakan masalah kedua mampu

merepresentasikan cara menempatkan delapan orang ke dalam

mobil yang bagi-bagi menjadi tiga kasus.

b) Mahasiswa juga mampu menentukan cara apa yang digunakan

untuk menghitung banyaknya acara menempatkan delapan

orang ke dalam dua mobil, yaitu menggunakan kombinasi.


yang telah diperoleh yaitu cara menempatkan delapan orang

ke dalam mobil yaitu mengunakan metode sekatan atau partisi

sehingga diperoleh 𝑛!

𝑚1!𝑚2!.

d) Mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis yaitu

menggunakan 𝑛!

𝑚1!𝑚2! yang merepresentasikan sebagai partisi

atau sekatan dan 𝑛 yang merepresentasikan sebagai banyaknya

mahasiswa, 𝑚1 merepresentasikan sebagai banyaknya

mahasiswa dimobil pertama dan 𝑚2 merepresentasikan

sebagai banyaknya mahasiswa dimobil kedua. Setelah

mahasiswa melibatkan ekspresi matematis dalam

penyelesaian masalah yang dibuat.



tertulis.

f) Mahasiswa sudah dapat menentukan banyaknya cara

menempatkan delapan mahasiswa kedalam dua mobil.

Jadi, untuk masalah kedua, S1 sudah dapat memenuhi empat



163

2) Deskripsi Hasil Wawancara S1 untuk Masalah Kedua

Berikut hasil wawancara S1 untuk masalah Kedua



S1 Ini saya tidak gambarkan dipekerjaan saya ya kak,

saya menggambar di kertas coret-coret saya, jadi

saya menggambar 2 kotak terus kotak tersebut saya

isikan maximal kapasitas mobil 6 dan 4


masalah berikut “Delapan orang mahasiswa akan

berjalan-jalan ke Malioboro. Untuk itu, mereka

memesan dua grab mobil. Mobil pertama dapat

memuat 6 orang, sedangkan mobil kedua hanya

dapat memuat 4 orang.”?

S1 Saya merepresentasikan menjadi 2 kotak yang

berisikan angka 6 dan 4 yang mewakili kapasitas

mobil tersebut, selanjutnnya 8 orang yang mau ke

malioboro itu kalau tidak salah saya representasikan

dengan abjad a-h. Saya juga tidak menuliskan di

lembar kerja, takut mengotori.



S1 Ada delapan mahasiswa yang akan dimasukan

kedalam 2 mobil. Setiap mobil memiliki kapasistas

yang berbeda kapasitias mobil pertama enam orang

dan kapasistas mobil kedua empat orang. Yang

ditanyajan bagaimana caranya kita menampatkan

delapan mahasiswa tersebut ke dua mobil yang

kapasitasnya berbeda.




masalah tersebut!

S1 Saya menggunakan konsep sekatan, dimana ada

delapan orang yang akan disekat kedalam dua mobil.

Menurut saya itu lebih mudah dibandingkan

menggunakan kombinasi walaupun hasilnya nanti

sama dan menurut saya lebih efisien dan efektif.



S1 Kalau rencana saya masih sama seperti mengerjakan

masalah pertama yaitu, membaca terlebih dahulu

apa saja yang diketahui dari soal kemudian

disesuaikan konsep apa yang cocok untuk

menyelesaikan masalah tersebut.


164





S1 Sebenarnya hubunganya gambar yang dibuat itu

hanya membantu sih, dalam proses pengerjaan

karena kalau tidak digambar hanya dibayangkan

mungkin lebih susah.


masalah tersebut!

S1 Karena menggunakan konsep sekatan maka

modelnya 𝑛!

𝑚1!𝑚2!, modelnya seperti itu.



S1 Tinggal disubstitusikan saja apa yang diketahui

pada masing-masing kasus ke dalam model yang

telah dibuat.



S1 Sama seperti masalah 1, caranya ya itu membaca

terlebih dahulu informasi yang diketahui kemudian

sesuaikan informasi tersebut dengan konsep yang

sudah kita miliki


menyelesaikan masalah ?

S1 Saya memilih sekatan atau partisi karena menurut

saya lebih efektif dan efisien walaupun hasilnya

akan sama ketika menggunakan kombinasi.



S1 Yang pertama saya lakukan mengidentifikasi

masalah dengan menuliskan apa yang diketahui, apa

yang ditanya, kemudain saya menjawab dengan

membagi beberapa kasus. Tepatnya ada 3 kasus,dan

saya mengerjakan kasus-kasus tersebut

menggunakan sekatan atau partisi, kemudian dari

kasus-kasus tersebut dijumlahkan sehingga

jumlahan tersebut merupakan banyaknya

kemungkinan yang terjadi dalam delapan mahasiswa

kedalam dua mobil yang berbeda kapasistas.



S1 Untuk mengetahui banyaknya kemungkinan

menempatkan delapan mahasiswa kedalam dua

mobil yaitu menjumlahkan ketiga kasus tersebut


165

sehingga diperoleh 152 cara. Cara menyelesaiakn

bisa menggunakna kombinasi atau sekatan.


pada masalah kedua diperoleh kesimpulan bahwa




2 kotak: masing-masing kotak berisi angka 6 dan 4 yang

mewakili kapasitas mobil berisi undian namun tidak dituliskan

dipekerjaannya takut mengotori.


yaitu cara menempatkan delapan orang mahasiswa kedalam

dua mobil mengunakan sekatan atau partisi. Mahasiswa dapat

membuat model dari masalah yang diberikan 𝑛!

𝑚1!𝑚2!.


dalam penyelesaian masalah, yaitu 𝑛!

𝑚1!𝑚2! yang

merepresentasikan sebagai sekatan atau partisi yang membagi

mobil pertama dan mobil kedua.







representasi untuk masalah kedua.







166




Ketiga

1) Deskripsi Hasil Tes S1 untuk Masalah Ketiga

Berikut jawaban S1 untuk masalah ketiga

Gambar 4. 44 Hasil Pekerjaan S1 Masalah Ketiga

Mahasiswa menyelesaikan masalah yang diberikan untuk

bagian a dengan menggunakan rumus dari pemutasi siklis, yaitu

menghitung banyaknya susunan orang duduk melingkar, dan

untuk bagian b mahasiswa terlebih dahulu menganggap bahwa

dua orang yang selalu duduk berdampingan itu dihitung satu,

sehingga banyak orang yang awalnya dari 6 sekarang menjadi 5

saja kemudian 2 orang yang mau duduk berdampingan itu dihitung

menjadi 𝑃22 yang artinya mereka selalu berdampingan karena

posisi duduk melingkar contoh: ABCD itu berbeda dengan

BACD, namun A dan B selalu berdampingan makanya harus


167

dikalikan 2 faktorial untuk menentukan 2 orang yang selalu duduk

berdampingan.


melakukan perhitungan untuk masalah a dengan mneggunakan

rumus permutasi siklis yang telah diketahui yaitu (𝑛 − 1)! Untuk

𝑛 sama dengan banyak orang yang akan duduk melingkar yaitu

enam orang untuk bagian b mahasiswa tinggal mengurangkan

hasil perhitungan enam orang duduk melingkar dengan dua orang

yang selalu duduk berdampingan yaitu (𝑛 − 1)! × 𝑃22.


ketiga disimpulkan bahwa:

a) Mahasiswa dalam menyelesaikan masalah ketiga mampu

merepresentasikan susunan dari enam orang yang akan duduk

melingkar dan dari enam orang tersebut ada dua orang yang

tidak mau duduk berdampingan.

b) Mahasiswa mampu menentukan cara apa yang digunakan

untuk menghitung banyaknya susunan dari enam orang yang

akan duduk melingkar dan dari enam orang tersebut ada dua

orang yang tidak mau duduk berdampingan, yaitu

menggunakan permutasi siklis.


yang telah diperoleh yaitu susunan dari enam orang yang akan

duduk melingkar dan dari enam orang tersebut ada dua orang

yang tidak mau duduk berdampingan yaitu mengunakan

permutasi siklis Untuk enam orang yang akan duduk

melingkar (𝑛 − 1)! = (6 − 1)! dan dari enam orang tersebut

ada 2 orang yang tidak mau duduk berdampingan (𝑛 − 1)! −

(𝑛 − 1)! × 𝑃22 = (6 − 1)! − (5 − 1)! × 2.


menggunakan (𝑛 − 1)! yang merepresentasikan sebagai

permutasi siklis, 𝑃22 yang merepresentasikan sebagai dua


168

orang selalu berdampingan dan × yang merepresentasikan

sebagai kata hubung dan yang memisahkan lima orang yang

duduk melingkar dan dua orang tersebut selalu berdampingan.

Setelah mahasiswa melibatkan ekspresi matematis dalam




tertulis.

f) Mahasiswa sudah dapat menentukan susunan dari enam orang

yang akan duduk melingkar dan dari enam orang tersebut ada

dua orang yang tidak mau duduk berdampingan.

Jadi, untuk masalah ketiga, S1 sudah dapat memenuhi empat


2) Deskripsi Hasil Wawancara S1 untuk Masalah Ketiga

Berikut hasil wawancara S1 untuk masalah ketiga:



S1 Saya tidak menggambarkan secara visual, saya lebih

kepada membayangkan saja


masalah berikut “Ada 6 orang, yaitu Dion, Joko,

Zack, Laurent, Priska, dan Yustina yang akan makan

siang bersama di sebuah rumah makan. Meja di rumah

makan tersebut berbentuk lingkaran kemudian

menentukan berapa susunan tempat duduk yang dapat

terjadi untuk keenam orang tersebut dan jika Priska

tidak ingin duduk berdekatan dengan Yustina?

S1 Saya lebih membayangkan saja, meja yang berbentuk

lingkaran kemudian enam orang yang akan duduk

melingkar dan dua yang tidak mau duduk melingkar

itu dipisahkan.



S1 Jadi ada 6 orang yang akan makan bersama dan duduk

dimeja berbentuk lingkaran, kita diminta untuk

menentukan banyaknya susunan yang akan terbentuk


169

dari 6 orang tersebut dan banyaknya susunan jika ada

dua orang yang tidak mau berdekatan




masalah tersebut!

S1 Konsep yang digunakan yaitu permutasi siklis, karena

disoal diketahui dudul di meja yang berbentuk

lingkaran.



S1 Kalau rencana saya masih sama seperti mengerjakan

masalah pertama yaitu, membaca terlebih dahulu apa

saja yang diketahui dari soal kemudian disesuaikan

konsep apa yang cocok untuk menyelesaikan masalah

tersebut.


dengan apa yang sudah dibayangkan untuk

menggambarkan hal-hal yang diketahui dari masalah

tersebut?

S1 Hubungannya, apa yang saya bayangkan itu sesuai

dengan konsep dari permutasi siklis.


masalah tersebut!

S1 Model untuk bagian a (𝑛 − 1)! dan untuk bagian b

(𝑛 − 1)! × 𝑃22



S1 Perhitungan yang saya buat yaitu tinggal

mensubtisukan apa yang sudah kita ketahui kedalam

model yang telah dibuat






sudah kita miliki



S1 Karena disoal diketahui merka duduk di meja

berbentuk lingkaran, maka menggunakan permutasi

siklis

P Coba menjelaskan kembali langkah-langkah penyelesaian

masalah tersebut

S1 Yang pertama saya lakukan mengidentifikasi masalah

dengan menuliskan apa yang diketahui, apa yang


170

ditanya, kemudain saya menjawab dengan

menggunakan permutasi siklis , untuk bagian a

langsung saja dimasukkan ke rumus (𝑛 − 1)! dan

untuk b jumlah dari susunan enam orang duduk

melingkar tersebut dikurang dengan lima orang yang

duduk melingkar dikalikan dengan 2 orang yang

selalu bersama. Maka diperoleh susunan 2 orang yang

tidak mau duduk berdekatan.



S1 Jika ada masalah orang duduk melingkar dapat

menggunakan konsep permutasi siklis dan jika ada

dua orang yang tidak mau berdampingan maka kita

harus mencari susunan semua orang duduk melingkar

kemudain dikurangkan dengan dua orang tersebut

selalu duduk berdampingan.


pada masalah ketiga diperoleh kesimpulan bahwa


permasalahan yang ada dengan membayangkan atau

mengimajinasi dalam pikiran.

b) Mahasiswa mampu memahami masalah dengan

membayangkan atau mengimajinasi enam orang orang yang

akan duduk melingkar dan dua orang yang tidak mau duduk

berdekatan


yaitu cara menempatkan enam orang duduk melingkar dengan

menggunakan permutasi siklis Mahasiswa dapat membuat

model dari masalah yang diberikan.


dalam penyelesaian masalah, yaitu (𝑛 − 1)! Yang

merepresentasikan sebagai permutasi siklis, 𝑃22 Yang

merepresentasikan sebagai dua orang selalu berdampingan dan

× yang merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang


171

memisahkan lima orang yang duduk melingkar dan dua orang

tersebut selalu berdampingan.







representasi untuk masalah ketiga.









Keempat

1) Deskripsi Hasil Tes S1 untuk Masalah Keempat

Berikut jawaban S1 untuk masalah Keempat:


172

Gambar 4. 45 Hasil Pekerjaan S1 Masalah Keempat

Mahasiswa menyelesaikan masalah yang diberikan untuk

bagian a dengan mengunakan metode filling slot yaitu menghitung

banyaknya susunan 3 angka dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0, dan 7,

dan bagian b menggunakan metode filling slot yaitu menghitung

banyaknya susunan tiga angka ganjil dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0,

7, dan 1, dan bagian c menggunakan metode filling slot yaitu

menghitung banyaknya susunan tiga angka genap dari kartu

bilangan 2, 5, 3, 0, 7, dan 1. Mahasiswa menggunakan metode

filling slot karena dari soal diberitahu bahwa setiap kartu hanya

dapat digunakan satu kali.


melakukan perhitungan untuk masalah a dengan menggunakan

filling slot untuk slot pertama berisikan 5 kartu bilangan karena


173

untuk membentuk 3 angka, angka nol tidak dapat menempati slot

pertama sehingga slot pertama berisikan 5 angka. Untuk slot

kedua masih berisikan 5 angka karena total ada 6 kartu, 1 kartu

sudah digunakan untuk slot pertama sehingga slot kedua berisi 5

kartu. Untuk slot ketiga berisi 4 karena di slot kedua sudah

digunakan satu kartu. Setelah diterapkan metode filling slot untuk

bagian a diperoleh banyak bilangan yang dapat dibuat adalah

5 × 5 × 4 = 100 angka.

Untuk masalah b, mahasiswa menggunakan filling slot

karena ada suatu bilangan ganjil yang terdiri dari tiga yang akan

dibuat, maka slot ketiga yang harus disi terlebih dahulu karena

untuk mendapatkan bilangan itu ganjil atau genap ditentukan dari

bilangan yang menempati tempat terakhir. Mahasiswa melakukan

pembagian kasus dalam penyelesaian untuk bilangan 3 angka

ganjil yaitu kasus pertama bilangan 3 angka ganjil 1, kasus kedua

bilangan 3 angka ganjil 3, kasus ketiga bilangan 3 angka ganjil 5,

dan kasus keempat bilangan 3 angka ganjil 7. Untuk slot pertama

berisi empat angka karena angka nol tidak dapat menempati slot

pertama dan satu angka sudah digunakan di slot ketiga. Untuk slot

kedua berisi empat angka karena dari enam angka, satu angka

sudah digunakan di slot pertama dan slot ketiga. Sehingga untuk

kasus pertama = 4 × 4 × 1 = 16, kasus kedua = 4 × 4 × 1 =

16, kasus ketiga = 4 × 4 × 1 = 16, dan kasus keempat =

4 × 4 × 1 = 16. Oleh karena itu, dengan metode filling slot untuk

bagian b diperoleh banyaknya susunan bilangan yang diperoleh

ada 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3 +

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 4 = 16 + 16 + 16 + 16 = 64 angka ganjil.

Untuk bagian c, mahasiswa menggunakan filling slot karena

ada suatu bilangan genap yang terdiri dari tiga angka yang akan

dibuat, maka yang harus diisi terlebih dahulu adalah tempat

terakhir karena untuk mendapatkan bilangan itu ganjil atau genap


174

ditentukan dari bilangan yang menempati tempat terakhir.

Mahasiswa membagi penyelesaikan menjadi dua kasus agar tidak

membingungkan yaitu (1) di slot terakhir berisikan kartu dua, dan

(2) slot terakhir berisikan kartu nol. Untuk kasus pertama, slot

ketiga berisi satu angka, slot pertama berisi lima angka, dan slot

kedua berisi empat angka. Untuk kasus kedua, slot ketiga berisi

satu angka, slot kedua berisi empat angka, karena untuk

membentuk tiga angka, kartu 0 tidak bisa di slot pertama dan slot

kedua, sehingga berisi empat angka. Oleh karena itu, dari kasus

pertama diperoleh banyak susunan bilangan adalah 5 × 4 × 1 = 20

dan dari kasus kedua diperoleh banyak susunan bilangan adalah

4 × 4 × 1 = 16. Jadi, banyak angka genap yang dibentuk adalah

banyak kasus pertama + banyak kasus kedua = 20 + 16 = 36

Jadi, berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa S1 pada

masalah keempat disimpulkan bahwa

a) Mahasiswa dalam menyelesaikan masalah keempat mampu

merepresentasikan susunan tiga angka dari enam kartu, untuk

bilangan ganjil dan genap.


untuk menghitung banyaknya susunan tinggal angka dari

enam kartu, untuk bilangan ganjil dan genap yaitu



yang telah diperoleh yaitu banyaknya bilangan yang terdiri

dari tiga angka yang akan terbentuk dari enam kartu, untuk

bilangan ganjil dan genap. Untuk banyaknya susunan bilangan

terdiri dari tiga angka yang dapat disusun dari 6 kartu yaitu

5 × 5 × 4 = 100, banyaknya susunan bilangan yang terdiri

dari tiga angka dan ganjil adalah 4 × 4 × 4 = 64, dan

banyaknya susunan bilangan yang terdiri dari tiga angka dan

genap untuk kasus pertama menjadi 5 × 4 × 1 = 20 dan untuk


175

kasus kedua menjadi 4 × 4 × 1 = 16, sehingga total susunan

bilangan yang terdiri dari tiga angka dan genap adalah banyak

kasus pertama + banyak kasus kedua = 20 + 16 = 36.


menggunakan slot pertama, kedua, dan ketiga yang

merepresentasikan metode filling slot dan × yang

merepresentasikan sebagai kata hubung antara slot pertama

dan slot kedua, dan slot kedua dan slot ketiga.

e) Mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis dalam

menyelesaikan masalah yang dibuat.

f) Mahasiswa dalam menuliskan langkah-langkah penyelesaian


tertulis.

g) Mahasiswa sudah dapat menentukan susunan bilangan yang

terdiri dari tiga angka dari 6 kartu, susunan bilangan yang

terdiri dari tiga angka dan bilangan ganjil, dan susunan

bilangan yang terdiri dari tiga angka dan genap.

Jadi, untuk masalah keempat, S1 sudah dapat memenuhi


2) Deskripsi Hasil Wawancara S1 untuk Masalah Keempat

Berikut hasil wawancara S1 untuk masalah keempat :



S1 Saya hanya membayangkan bahwa dari 6 kartu yang

ada akan disusun menjadi 3 angka, genap dan ganjil


masalah berikut “Ada enam kartu bilangan, yaitu 2,

5, 0, 3, 7, dan 1. Ada berapa susunan angka yang

dapat dibuat jika tiap kartu bilangan hanya dapat

dipergunakan satu kali, membentuk bilangan ganjil,

dan membentuk bilangan genap ? ”

S1 Saya merepresentasikannya menjadi 3 kotak, dimana

3 kotak tersebut akan berisi 1 angka yang hanya bisa

digunakan satu kali.


176



S1 Terdapat 6 kartu 2, 5, 0, 3, 7, dan 1 yang akan disusun

menjadi 3 angka. Kemudian yang ditanyakan bagian

a banyaknya susunan dari angka-angka tersebut,

angka tersebut tidak boleh berulang, bagian b

banyaknya susunan bilangan ganjil,angka tersebut

tidak boleh berulang, dan bagian c banyaknya

susunan bilangan genap, angka tersebut tidak boleh

berulang




masalah tersebut!

S1 Karena angka-angkanya tidak boleh berulang dapat

menggunakan permutasi atau filling slot. Dalam

kesempatan kali ini saya menggunakan filling slot

karena lebih mudah untuk kasus ini.



Kalau rencana saya masih sama seperti mengerjakan

masalah pertama yaitu, membaca terlebih dahulu apa

saja yang diketahui dari soal kemudian disesuaikan

konsep apa yang cocok untuk menyelesaikan masalah

tersebut


masalah tersebut!

Untuk bagian a 5 × 5 × 4 = 100, bagian b kasus

pertama = 4 × 4 × 1 = 16, kasus kedua = 4 × 4 × 1 =16, kasus ketiga = 4 × 4 × 1 = 16, dan kasus keempat =4 × 4 × 1 = 16 , total angka ganjil menjadi kasus 1 +

banyak kasus 2 + banyak kasus 3 + banyak kasus 4= 16 +16 + 16 + 16 = 64 angka ganjil, bagian c kasus pertama

menjadi 5 × 4 × 1 = 20 dan untuk kasus kedua menjadi

4 × 4 × 1 = 16 total angka genap menjadi banyak kasus

pertama + banyak kasus kedua = 20 + 16 = 36 angka

genap

P Mengapa kasus b dan c dibagi menjadi beberapa

kasus?

S1 Karena untuk menghindari kesalahan, karena ada

angka nol maka harus berhati-hati karena angka nol

tidak dapat ditempatkan dibagian depan maka harus

dibagi menjadi beberap kasus.




177

S1 Perhitunganya tinggal dihitung saja karena angkanya

sudah ada






sudah kita miliki



S1 Saya menggunakan filling slot karena saya rasa lebih

mudah, sebenarnya bisa menggunakan permutasi.


masalah tersebut

S1 Yang pertama saya lakukan mengidentifikasi masalah

dengan menuliskan apa yang diketahui, apa yang

ditanya, kemudain saya menjawab dengan

menggunakan filling slot , untuk bagian a langsung

saja menggunakan filling slot, untuk bagian b dan

bagian c harus diperhatikan bahwa ada angka nol.

Sehingga untuk membentuk bilangan ganjil dan

genap sebaiknya digunakan pembagian kasus

sehingga meminimalisir kesalahan. Setalah

pembagian kasus tersebut dijumlahkan untuk

memperoleh bilangan ganjil dan bilangan genap.



S1 Dari masalah ini dapat diselesaikan menggunakan

permutasi atau filling slot. Jika menemukan masalah

seperti ini dan ada kartu nol sebaiknya dikerjakan

dengan pembagian kasus agar menghindari

kekeliruan dalam pengerjaan.


pada masalah keempat diperoleh kesimpulan bahwa


permasalahan yang ada dengan mengerjakan menggunakan

pembagian slot


membayangkan atau mengimajinasi pembagian slot-slot untuk

3 angka.


178


yaitu susunan 3 angka dari 6 kartu yang ada untuk bilangan

ganjil dan genap. Mahasiswa dapat membuat model dari



dalam penyelesaian masalah, yaitu menggunakan slot pertama,

kedua, dan ketiga yang merepresentasikan metode filling slot

dan × yang merepresentasikan sebagai kata hubung antara slot

pertama dan slot kedua, dan slot kedua dan slot ketiga. .







representasi untuk masalah keempat.








Jadi, dari hasil tes tertulis dan wawancara, S1 sudah

mencapai empat indicator untuk masalah pertama hingga

keempat. (Apakah benar demikian?)


179

b. Deskripsi Hasil Tes dan Wawancara S2


Pertama





180

Mahasiswa dalam kelompok jawaban kategori sedang ini



mengelompokkan atau membaginya menjadi enam kasus yaitu:

(1) terambil pertama dan kedua memperoleh hadiah mobil, (2)

terambil pertama dan kedua memperoleh hadiah motor, (3)

terambil pertama dan kedua tidak berhadiah, (4) terambil pertama

memperoleh hadiah mobil dan terambil kedua memperoleh

hadiah kedua motor, (5) terambil pertama memperoleh hadiah

mobil dan terambil kedua tidak berhadiah, dan (6) terambil

pertama memperoleh hadiah motor dan terambil kedua tidak

berhadiah. Setelah pembagian kasus selesai mahasiswa

menghitung banyaknya cara yang mungkin untuk keenam kasus

tersebut, cara untuk menghitung yaitu menggunakan permutasi

dikarenakan pada proses pengambilan undian tidak berlaku

pengembalian dan pengambilan dilakukan satu per satu sehingga

cocok untuk menggunakan permutasi dan menggunakan prinsip

perkalian karena ada kata hubung dan yang memisahkan masalah

satu dengan masalah berikutnya untuk kasus yang sama.


menjumlahkan banyak cara yang telah diperoleh dari enam kasus


kemungkinan dari percobaan pengambilan hadiah kejutan dari

seorang konsumen pada toko tersebut sebanyak enam kasus:




masalah pertama dapat disimpulkan bahwa

a) Mahasiswa dalam menyelesaikan masalah pertama mampu

merepresentasikan cara pengambilan undian tersebut yang

dibagi-bagi menjadi enam kasus berdasarkan apa yang telah


181

diketahui, hanya saja dalam melakukan pendataan ke dalam

beberapa kasus ada tiga kasus yang terlewatkan dalam

pendataan yang dilakukan.

b) Mahasiswa juga sudah bisa menentukan cara apa yang

digunakan untuk menghitung banyak kemungkinan, yang

sesuai dengan pengambilan satu per satu dan tanpa

pengembalian yaitu menggunakan permutasi.



tanpa pengembalian mengunakan metode permutasi dan kata

hubung dan yang memisahkan kejadian satu dengan kejadian

yang lain yang berada pada kasus yang sama itu menggunakan

konsep perkalian sehingga diperoleh 𝑃𝑟𝑛 ×.𝑃𝑟

𝑛.


menggunakan 𝑃𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai permutasi

dan × yang merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang

memisahkan kejadian yang satu dengan yang lain. Setelah





tertulis.



konsumen pada toko.




182


Berikut hasil wawancara S2 untuk masalah pertama:



S2 Kalau saya kemarin waktu mengerjakan saya

menggambarkan kotak (yang berisi angka 5, 7, dan 8)

itu mewakili banyaknya jenis hadiah, ini saya

gambarkan di coret-coretan.



20 kartu undian, di mana 5 kartu berisi hadiah mobil,

8 kartu berisi hadiah motor, dan sisanya tidak berisi

hadiah” dan “pengambilan dilakukan satu demi satu

tanpa pengembalian”?

S2 Saya representasi sesuai dengan gambar yang saya

buat yaitu kotak (yang berisi angka 5, 7, dan 8) itu

mewakili banyaknya jenis hadiah, ini saya gambarkan

di coret-coretan.



S2 Maksud dari soal itu, intinya kita diminta mengitung

banyaknya cara terambil hadiah undian dari sebuah

kotak yang sudah berisikan hadiah.




masalah tersebut!

S2 Konsep yang digunakan yaitu permutasi karena yang

saya tau masalah ini memperhatikan urutan dan sifat

kalau enggak salah kalau ada kata penghubung “dan”

itu dikalikan untuk kata penghubung “atau”

dijumlahkan.



S2 Kalau rencana saya, untuk soal cerita karena panjang

saya langsung mencari tahu apa yang ditanyakan dari

soal, kemudian baru mencari apa yang diketahui.

Selanjutnya saya akan mencari materi yang dipelajari

sebelum tes apakah ada soal yang sama atau serupa

kalau ada tinggal saya kerjakan.






183

S2 Hubungannya mungkin karena pengambilan undian

dilakukan satu per satu dan tanpa pengembalian

berarti itu akan menyebabkan pengambilam

memperhatikan urutan dan cocok diselesaikan

menggunakan permutasi


masalah tersebut!

S2 Modelnya tinggal disubstitusikan kedalam rumus

permutasi yang sudah diketahui saja.



S2 Perhitungannya tinggal hitung saja, kan model

matematikanya sudah ada.



S2 Kalau cara saya, itu membaca apa yang ditanyakan

terlebih dahulu, kemudian baru mencari yang

diketahui selanjutnya dari apa yang diketahui kita

cocoknya dengan kriteria dari materi-materi yang

sudah dipelajari



S2 Karena informasi yang diketahui sesuai dengan

materi yang telah dipelajarri


masalah tersebut

S2 Langkah- langkah penyelesain yang saya lakukan

yaitu membaca yang ditanyakan, kemudian mencari

informasi yang diketahui. Selanjutnya pada masalah

ini saya membagi-bagi menjadi beberapa kasus

kemungkinan yang dapat terjadi, mencocokkan apa

yang dikethui dengan konsep yang sudah dipelajari,

kemudian tinggal melakukan substitusi ke konsep dan

melakukan perhitungan.



S2 Menurut saya untuk soal seperti ini harus dilihat

terlebih dahulu apa yang ditanyakan, melihat aturan

matematika, terus tinggal mengikuti alur pengerjaan

sesuai dengan apa yang kita pelajari.


184






kotak yang berisi undian namun tidak dituliskan

dipekerjaannya.



dilakukan di kotak yang telah digambar menggunakan

permutasi dan kata hubung dan yang memisahkan kejadian

satu dengan kejadian yang lain yang berada pada kasus yang

sama itu menggunakan konsep perkalian sehingga diperoleh

𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛 1 × 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛 2. Mahasiswa dapat

membuat model dari masalah yang diberikan.


dalam penyelesaian masalah, yaitu menggunakan 𝑃𝑟𝑛 yang

merepresentasikan sebagai permutasi dan × yang


kejadian pertama dengan kejadian kedua.





Jadi, dari hasil wawancara tersebut, peneliti dapat


kemampuan representasi untuk masalah kedua.






185




Jadi, dari tes tertulis dan hasil wawancara tersebut, peneliti

dapat menyimpulkan bahwa S2 sudah mencapai empat indikator



Kedua






mengelompokkan atau membaginya menjadi 3 kasus yaitu: (1)

mobil pertama memuat 6 orang dan mobil kedua memuat 2 orang,

(2) mobil pertama memuat 5 orang dan mobil kedua memuat 3


186

orang, dan (3) mobil pertama memuat 4 orang dan mobil kedua

memuat 4 orang. Setelah pembagian kasus selesai mahasiswa

menghitung banyaknya cara yang mungkin untuk 3 kasus tersebut

dengan menggunakan kombinasi. Alasan mahasiswa

menggunakan kombinasi adalah misal: di mobil pertama berisikan

ABCD, maka kejadian ini akan sama dengan jika mobil berisi

BCDA karena orang-orang yang berada di dalam mobil sama.

Karena masalah ini tidak memperhatikan urutan, maka untuk

mencari banyak susunan adalah dengan menggunakan kombinasi.

Selain menggunakan kombinasi, untuk mencari banyaknya

susunan di mobil pertama dan kedua, mahasiswa menggunakan

prinsip perkalian karena ada kata hubung dan yang memisahkan





cara menempatkan 8 mahasiswa ke dalam dua mobil sebanyak tiga

kasus: 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 +

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3.


kedua kategori sedang disimpulkan bahwa



mobil yang bagi-bagi menjadi tiga kasus. Mahasiswa juga

mampu menentukan cara apa yang digunakan untuk

menghitung banyaknya car acara menempatkan delapan orang

ke dalam dua mobil, yaitu menggunakan kombinasi.

b) Mahasiswa mampu membuat model matematis dari informasi


ke dalam mobil yaitu mengunakan metode kombinasi dan kata

hubung dan yang memisahkan mobil pertama dengan mobil


187

kedua menggunakan konsep perkalian sehingga diperoleh

𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛

c) Mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis yaitu

menggunakan 𝐶𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai kombinasi


memisahkan mobil pertama dengan mobil kedua.

d) Mahasiswa dalam menuliskan langkah-langkah penyelesaian


tertulis.

e) Mahasiswa sudah dapat menentukan banyaknya cara



indikator kemampuan representasi matematis


Berikut hasil wawancara S2 untuk masalah kedua



S2 Saya lupa untuk nomor 2 ini, saya

menggambarkan atau hanya membayangkan

saja. Nampaknya saya hanya membayangkan







S2 Ini saya bayangkan delapan orang akan di

masukan kedalam dua mobil yang kapasistasnya

beda-beda, karena kapasitasnya beda-beda pasti

akan terbagi menjadi beberapa kasus

penyelesaian.

P Coba kamu menceritakan kembali maksud dari

masalah-masalah tersebut dengan menggunakan kata-

kata sendiri?

S2 Ada delapan mahasiswa yang ingin jalan-jalan

dan mereka memesan dua grab mobil, dari grab

mobil tersebut kapasistas untuk mengangkutnya


188

itu beda-beda, berapa banyak cara atau susunan

yang dapat terbentuk agar delapan orang

tersebut dapat diangkut untuk pergi jalan-jalan.

P Konsep matematika apa saja yang dapat digunakan

untuk menyelesaikan masalah tersebut? Jelaskan

mengapa konsep tersebut dapat dipergunakan untuk


S2 Kalau konsep mungkin menggunakan kombinasi

karena dalam menyusun mahasiswa tidak




S2 Kalau rencana saya, untuk soal cerita karena

panjang saya langsung mencari tahu apa yang

ditanyakan dari soal, kemudian baru mencari apa

yang diketahui serta syarat dari masalah ini yaitu

kapasistas mobil beda-beda. Selanjutnya saya

akan mencari materi yang dipelajari sebelum tes

apakah ada soal yang sama atau serupa kalau ada

tinggal saya kerjakan.

P Apa hubungan antara konsep matematika

tersebut dengan gambaran visual yang sudah

kalian gambarkan untuk menggambarkan hal-hal

yang diketahui dari masalah tersebut?

S2 Hubungannya mungkin karena menampatkan

mahasiswa kedalam mobil berarti itu tidak

memperhatikan urutan makanya saya


P Buatlah model matematika dari apa yang diketahui

dari masalah tersebut!

S2 Modelnya tinggal menggunakan rumus

kombinasi

P Bagaimana perhitungan yang kamu buat terkait

dengan konsep yang sudah kalian utarakan tadi?

S2 Tinggal dihitung saja, karena model

matematikanya sudah ada

P Bagaimana cara kalian untuk menerapkan strategi

yang kamu pilih dalam menyelesaikan masalah

tersebut?

S2 Cara yang saya lakukan sama seperti

menyelesaikan masalah 1 yaitu itu membaca apa

yang ditanyakan terlebih dahulu, kemudian baru

mencari yang diketahui selanjutnya dari apa

yang diketahui kita cocoknya dengan kriteria

dari materi-materi yang sudah dipelajari


189



S2 Karena informasi atau syarat yang diketahui dari

masalah sesuai dengan materi yang telah

dipelajari



S2 Langkah- langkah penyelesain yang saya

lakukan yaitu membaca yang ditanyakan,

kemudian mencari informasi yang diketahui.

Karena pada masalah ini kapasitas mobilnya

tidak sama maka saya kerjakan dengan

membaginya menjadi beberapa kasus. Kemudian

kasus-kasus yang telah dibagi tersebut saya

kerjakan menggunakan kombinasi. ,



S2 Kesimpulanya banyaknya kemungkinan

menempatkan delapan mahasiswa kedalam dua

mobil yaitu menjumlahkan ketiga kasus tersebut

sehingga diperoleh 154. Untuk soal yang

berhubungan dengan angkut mengakut

menggunakan mobil bisa dikerjakan

menggunakan kombinasi dan jangan lupa untuk

teliti untuk membaca soal. Kalau saya biar aman

mungkin bisa membagi kasus dalam proses

pengerjaannya.



a) Mahasiswa tidak membuat gambaran visual dari permasalahan

yang ada, melainkan hanya membayangkan.


membayangkan delapan orang akan di masukan kedalam

dua mobil yang kapasistasnya beda-beda, karena

kapasitasnya beda-beda pasti akan terbagi menjadi

beberapa kasus penyelesaian.




190

dua mobil mengunakan kombinasi. Mahasiswa dapat

membuat model dari masalah yang diberikan 𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛


dalam penyelesaian masalah, yaitu 𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛 yang

merepresentasikan sebagai kombinasi.
















Ketiga




191


Mahasiswa dalam kelompok jawaban sedang ini,

menyelesaiakan masalah yang diberikan terlebih dahulu

memisalkan enam orang tersebut menjadi huruf abjad dari A-F.

Penyelesaian untuk bagian a dengan menggunakan rumus dari

pemutasi siklis, yaitu menghitung banyaknya susunan orang

duduk melingkar, dan untuk bagian b mahasiswa terlebih dahulu

menganggap bahwa dua orang yang selalu duduk berdampingan

itu dihitung satu, sehingga banyak orang yang awalnya dari 6

sekarang menjadi 5 saja kemudian 2 orang yang mau duduk

berdampingan itu dihitung menjadi 𝑃22 yang artinya mereka selalu

berdampingan karena posisi duduk melingkar contoh: ABCD itu

berbeda dengan BACD, namun A dan B selalu berdampingan


192

makanya harus dikalikan 2 faktorial untuk menentukan 2 orang

yang selalu duduk berdampingan.





enam orang untuk bagian b mahasiswa tinggal mengurangkan


yang selalu duduk berdampingan yaitu (𝑛 − 1)! × 2!


masalah ketiga disimpulkan bahwa








orang yang tidak mau duduk berdampingan, yaitu








ada 2 orang yang tidak mau duduk berdampingan (𝑛 − 1)! −

(𝑛 − 1)! × 𝑃22 = (6 − 1)! − (5 − 1)! × 2,



permutasi siklis, 2! yang merepresentasikan sebagai dua orang


193

selalu berdampingan dan × yang merepresentasikan sebagai

kata hubung dan yang memisahkan lima orang yang duduk

melingkar dan dua orang tersebut selalu berdampingan.



tertulis.





indikator kemampuan representasi matematis


Berikut hasil wawancara S2 untuk masalah ketiga



S2 Saya tidak mengambarkan, saya hanya

membayangkan atau menghayal saja enam orang

akan duduk melingkar, nah kekurangnya itu kadang

bisa salah.




siang bersama di sebuah rumah makan. Meja di

rumah makan tersebut berbentuk lingkaran

kemudian menentukan berapa susunan tempat duduk

yang dapat terjadi untuk keenam orang tersebut dan

jika Priska tidak ingin duduk berdekatan dengan

Yustina?

S2 Saya hanya membayangkan saja enam orang akan

duduk melingkar dan ada dua orang yang tidak mau

duduk berdekatan.



S2 Maksud dari soal itu, ada enam orang yang akan

makan bersama, merak akan duduk dimeja

melingkar. Kita diminta menhitung banyaknya

susunan yang akan terbentuk dan ada dua orang


194

yang tidak mau duduk berdampingan atau

berdekatan.




masalah tersebut!

S2 Konsep yang digunakan yaitu permutasi siklis,

karena sudah ada rumusnya kalau orang duduk

melingkar langsung menggunakan permutasi siklis.






yang diketahui serta syarat dari masalah ini itu

duduk melingkar. Selanjutnya saya akan mencari

materi yang dipelajari sebelum tes apakah ada soal

yang sama atau serupa kalau ada tinggal saya

kerjakan.





S2 Hubungannya itu kalau menurut saya karena duduk

melingkar pasti menggunakan permutasi siklis.


masalah tersebut!

S2 Model matematikanya tingaal substisusikan ke

dalam rumus permutasi siklis kalau enggak salah (𝑛 − 1)!



S2 Tinggal melakukan perhitungan matematika seperti

biasa dari model yang sudah ada.



S2 Cara yang saya lakukan sama seperti menyelesaikan

masalah 1 yaitu itu membaca apa yang ditanyakan




sudah dipelajari



S2 Karena informasi atau syarat yang diketahui dari

masalah sesuai dengan materi yang telah dipelajari


195





informasi yang diketahui. Selanjutnya pada masalah

ini ternyata menggunakan permutasi siklis untuk

jawaban a, dan untuk jawaban b saya memisalkan

dua orang yang tidak mau berdekatan itu menjadi

satu orang saja, kemudian saya hitung menggunakan

permutasi sikilis dan saya kalikan 2! Yang artinya 2

orang tersebut bisa jadi urutanya BA dan AB maka

dikalikan 2!. P Apa kesimpulan yang kalian peroleh dari proses


S2 Untuk menyelesaikan soal cerita seperti ini cara

saya mengerjakan salah sih, seharusnya mencari apa

yang diketahui terlebih dahulu bukan yang

ditanyakan. Kalau disoal matematika ditanyakan

orang duduk melingkar bisa langsung menggunakan

rumus permutasi siklis, untuk orang yang duduk

melingakar dan berdampingan itu bisa dijadiin satu

dulu, kemudian hitung formasi terlebih dahulu

kemudian dikalikan 2.






membayangkan enam orang akan duduk melingkar dan

ada dua orang yang tidak mau duduk berdekatan.



menggunakan permutasi siklis. Mahasiswa dapat membuat



dalam penyelesaian masalah, yaitu (𝑛 − 1)! yang

merepresentasikan sebagai permutasi siklis, 2! yang

merepresentasikan sebagai dua orang selalu berdampingan.


196







kemampuan representasi untuk masalah ketiga.









197


Keempat


Berikut jawaban S2 untuk masalah keempat


Mahasiswa dalam kelompok jawaban kategori sedang

yang keempat ini menyelesaiakan masalah yang diberikan untuk

bagaian a dengan mengunakan metode filling slot yaitu

menghitung banyaknya susunan 3 angka dari kartu 2, 5, 3, 0,7,

bagian b menggunakan metode filling slot yaitu menghitung

banyaknya susunan 3 angka ganjil dari kartu 2 , 5, 3, 0,7,1, dan

bagian c menggunakan metode filling slot yaitu menghitung


198

banyaknya susunan 3 angka genap dari kartu 2 , 5, 3, 0,7, 1 .

Menggunakan metode filling slot karena dari soal diberitahu

bahwa setiap kartu hanya dapat digunakan satu kali.



filling slot untuk slot pertama berisikan 6 kartu karena untuk

membentuk 3 angka, mahasiswa masih kurang teliti dalam

membaca soal yang menyebabkan angka nol dapat menempati slot

pertama sehingga slot pertama berisikan 6 angka, untuk slot kedua

masih berisikan 5 angka karena total ada 6 kartu, 1 kartu sudah

digunakan untuk slot pertama sehingga slot kedua berisi 5, dan

untuk slot ketiga berisi 4 karena dislot kedua sudah digunakan satu

kartu. Sehingga penempatan filling slot untuk bagian a menjadi

6 × 5 × 4 = 120 angka yang dapat terbentuk.

Untuk masalah b menggunakan filling slot karena angka

ganjil, maka dalam menempatakan 4 kartu yang ganjil itu ditempat

di slot ketiga, untuk slot pertama berisikan 5 angka karena

mahasiswa tidak memperhatikan bahwa nol tidak dapat

menempatai slot pertama, dan slot kedua berisikan 4 angka.

Sehingga penempatan filling slot untuk bagian b menjadi

5 × 4 × 4 = 80 angka ganjil yang dapat terbentuk.

Untuk bagian c menggunakan filling slot karena angka

genap yang akan dibentuk maka slot ketiga harus diisikan terlebih

dahulu, sehingga untuk slot pertama seharusnya berisikan 4 angka

karena angka nol tidak dapat menempati slot pertama hanya

karena pemahaman dari mahasiswa mengenai angka nol masuh

keliru yang menyebabkan slot pertama berisikan 5 angka dan slot

kedua berisikan 4 angka Sehingga penempatan filling slot untuk

bagian c menjadi 5 × 4 × 2 = 40 tidak angka genap yang

terbentuk.


199

Jadi berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa S2 pada masalah

keempat disimpulkan bahwa:

a) Mahasiswa dalam menyelesaiakan masalah keempat tidak

mampu merepresentasikan susunan 3 angka dari 6 kartu, dan

untuk bilangan ganjil dan genap mahasiswa masih tidak

membuat representasi yang benar.


untuk menghitung banyaknya susunan3 angka dari 6 kartu,

untuk bilangan ganjil dan genap yaitu menggunakan filling

slot.


yang telah diperoleh yaitu banyaknya 3 angka yang akan

terbentuk dari 6 kartu, namun model matematis untuk bilangan

ganjil dan genap mahasiswa masih mengalami kekeliruan.

Untuk bilangan 3 angka yang dapat disusun dari 6 kartu yaitu

6 × 5 × 4 = 120 angka yang dapat terbentuk, untuk bilangan

ganjil 5 × 4 × 4 = 80 angka yang dapat terbentuk, dan untuk

bilangan genap 5 × 4 × 2 = 20 tidak ada angka yang akan

terbentuk.


menggunakan slot pertama, kedua dan ketiga yang

merepresentasikan sebagai filling slot dan × yang







tertulis.

g) Mahasiswa sudah dapat menentukan susunan 3 angka dari 6

kartu yang terbentuk, untuk bilangan ganjil dan genap.


200

Jadi untuk masalah keempat S2 memenuhi dua indikator

kemampuan representasi matematis yaitu menyelesaiakan

masalah melibatkan ekspresi matematis, dan menuliskan langkah-

langkah penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik

kesimpulan.


Berikut hasil wawancara S2 untuk masalah keempat



S2 Saya menggambarkan menjadi 3 kotak atau slot

yang akan diisikan enam kartu tersebut





dipergunakan satu kali, membentuk bilangan

ganjil, dan membentuk bilangan genap? ”

S2 Saya merepresentasikanya dengan menggambarkan

tiga kotak atau slot



S2 Jadi dari masalah ini, terdapat enam kartu yang akan

disusun menjadi 3 angka dengan tiap kartu tersebut

hanya digunakan satu kali, dimana kita diminta

untuk membuat susunan 3 angka dari enam kartu, 3

angka genap, dan 3 angka ganjil yang dapat

terbentuk.




masalah tersebut!

S2 Konsep matematika yang digunakan yaitu filling

slot atau membuat kotak-kotak sesuai dengan apa

yang diminta oleh soal. Saya pahamnya cara ini

makanya saya menyelesaikan menggunakan cara

seperti ini dan menggunakan konsep perkalian kalau

enggak salah karena memisahkan slot pertam, slot

kedua dan slot ketiga.




201




yang diketahui. Selanjutnya saya akan mencari

materi yang dipelajari sebelum tes apakah ada soal

yang sama atau serupa kalau ada tinggal saya

kerjakan





S2 Hubungannya mungkin karena akan membuat 3

angka makanya sesuai dengan slot-slot yang dibuat.


masalah tersebut!

S2 Model yang akan terbentuk yaitu banyak kartu di

slot pertama × banyak kartu di slot kedua× banyak

kartu di slot ketiga



S2 Tinggal saya hitung biasa, kan model

matematikanya sudah ada.



S2 Kalau cara saya, itu membaca apa yang ditanyakan




sudah dipelajari



S2 Karena saya pahamnya menggunakan cara slot-slot





informasi yang diketahui. Namun pada masalah ini

saya sempat kebinggungan, karena dalam enam

kartu tersebut ada kartu 0, dan disoal diminta

susunan 3 angka dari enam kartu tersebut. Saya

awalnya ragu bawah angka nol tidak mungkin dapat

ditempatkan di slot pertama hanya karena ini kartu

maka saya menempatkan angka nol di slot pertama.

Kemudain saya menjawab dengan menggunakan

filling slot, untuk bagian a, b, dan c langsung saja



202



S2 Pertama kita harus memperhatikan apa yang diminta

dari soal, kedua harus memperhatikan lagi angka

yang diberikan jangan sampai terkecoh dengan

angka nol dan ketiga amati perintah yang diminta

dengan lebih teliti.




permasalahan yang ada dengan mengerjakan menggunakan

pembagian slot.


menggambarkan pembagian slot-slot untuk 3 angka.





d) mahasiswa sudah mampu menjelaskan ekspresi matematis


kedua, dan ketiga yang merepresentasikan metode filling slot

dan × yang merepresentasikan sebagai kata hubung antara slot

pertama dan slot kedua, dan slot kedua dan slot ketiga.







kemampuan representasi untuk masalah keempat.

Dari hasil tes dan wawancara S2, terdapat perbedaan

kemampuan indikator yang dipenuhi oleh S2 untuk hasil tes S2


203

hanya memenuhi 2 indikator saja, melainkan setelah diwawancara

ternyata S2 memenuhi empat indikator. Jadi peneliti dapat







c. Deskripsi Hasil Tes dan Wawancara S3


Pertama





204

Mahasiswa dalam kelompok jawaban kategori bawah ini



langsung menggunakan cara permutasi untuk menghitung

banyaknya kemungkinan yang terjadi. Mahasiswa langsung

menggunakan permutasi karena berdasarkan informasi yang

diperoleh dari soal yaitu pengambilan dilakukan satu per satu

tanpa pengembalian.


langsung menghitung menggunakan rumus dari permutasi yaitu

𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛−𝑟)! Dengan 𝑛 = 20 dan 𝑟 = 2. 𝑛 merepresentasikan

banyaknya kartu undian (mobil. Motor, dan tidak berhadiah) dan

r merepresentasikan kartu yang akan diambil.


pertama dapat disimpulkan bahwa:



dikerjakan tanpa pembagian kasus melainkan hanya satu kasus

saja yaitu pengambilan dua kartu undian yang akan diambil

satu persatu tanpa pengembalian dari jumlah 20 kartu undian.







tanpa pengembalian mengunakan metode permutasi𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛−𝑟)! .


menggunakan 𝑃𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai permutasi,


205

𝑛 merepresentasikan sebagai total jumlah kartu undian, dan 𝑟

merepresentasikan jumlah kartu yang akan diambil. Setelah





tertulis.



konsumen pada toko.






S3 Saya waktu itu menggambar kotak itu saya anggap

sebagai kantong plastik dan saya tuliskan masing-

masing banyaknya hadiah dalam kotak tersebut.




mobil, 8 kartu berisi hadiah motor, dan sisanya tidak

berisi hadiah” dan “pengambilan dilakukan satu

demi satu tanpa pengembalian”?

S3 Sama seperti pertanyaan sebelumnya, waktu itu

menggambar kotak itu saya anggap sebagai kantong

plastik dan saya tuliskan masing-masing banyaknya

hadiah dalam kotak tersebut.



S3 Setiap konsumen mendapatkan 2 kartu undian,

dalam satu kantong terdapatt 20 katu undian yang

berisi 5 hadiah mobil, 8 motor dan 7 sisinya kosong.

Selanjutnya kita diminta menentukannya banyaknya

kemungkinan dari hasil percobaan pengambilan

hadiah dari seorang konsen di toko tersebut, jika

pengambilannya dilakukan satu demi satu tanpa

pengembalian.


206




masalah tersebut!

S3 Menggunakan permutasi karena pengambilan satu

per satu dan tidak dikembalikan



S3 Rencana yang saya buat yaitu membaca soal,

menulis yang diketahui, yang ditanyakan dan saya

kerjakan





S3 Menurut saya hubungannya karena diambil satu-

satu dari kotak dan tanpa pengembalian makanya

pakai permutasi


masalah tersebut!

S3 Model matematika tinggal menggunaka rumus

permutasi yaitu 𝑃𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai

permutasi, 𝑛 merepresentasikan sebagai total jumlah kartu

undian, dan 𝑟 merepresentasikan jumlah kartu yang akan

diambil



S3 Tinggal menghitung, karena angkanya sudah

dimasukkan kedalam rumus permutasi



S3 Cara yang saya lakukan yaitu menuliskan yang

diketahui, yang ditanyakan dan langsung

mengerjakan dari informasi yang ada.



S3 Menggunakan strategi tersebut karena itu cara

paling mudah untuk memahami apa yang harus kita

lakukan dalam menyelesaikan soal



S3 Langkah-langkah yang saya lakukan yaitu

menuliskan yang diketahui, yang ditanyakna,

kemudian saya kerjakan hal ini saya lakukan untuk

semua soal yang akan saya kerjakan. pada kasus ini

saya menggunakan permutasi karena di soal


207

diketahui pengambilan dilakukan satu per satu dan

tanpa pengembalian makanya saya menggunakan

permutasi.



S3 Saya dapat simpulkan bahwa banyaknya

kemungkinan percobaan yang dilakukan satu demi

satu tanpa pengembalian pada soal ini yaitu 380

susunan, kesimpulan lain kalau ada soal yang

diketahui pengambilan dilakukan satu demi satu

tanpa pengembalian bisa dikerjakan menggunakan

permutasi






menggambar kotak yang berisi undian.

c) Mahasiswa mampu untuk merepresentasikan masalah

tersebut yaitu menggambar kotak itu saya anggap

sebagai kantong plastik dan saya tuliskan masing-

masing banyaknya hadiah dalam kotak tersebut


dalam penyelesaian masalah, yaitu 𝑃𝑟𝑛 yang

merepresentasikan sebagai permutasi, 𝑛 merepresentasikan

sebagai total jumlah kartu undian, dan 𝑟 merepresentasikan

jumlah kartu yang akan diambil







representasi untuk masalah pertama.


208












Kedua





209

Mahasiswa dalam kelompok jawaban kategori bawah

ini menyelesaikan masalah yang diberikan dengan terlebih

dahulu melakukan permisalan terhadap delapan mahasiswa

tersebut dengan abjad a-h, kemudain mahasiswa akan

mengerjakannya dengan menggunakan kombinasi. Karena

dalam menyusun kedalapan mahasiswa tersebut kedalam

mobil tidak memperhatikan urutan misalnya mobil pertama

berisikan abcd, akan sama dengan abdc sehingga sangat

cocok untuk menyelesaikan dengan kombinasi. Mahasiswa

juga masih keliru dalam menggunakan prinsip perkalian

atau penjumlahan dalam penyelesaian masalah yang

diberikan, mahasiswa menggunakan prinsip penjumlahan

dalam menyelesaiakan masalah ini, seharusnya prinsip

perkalian yang digunakan karena memisahkan antara mobil

pertama dan mobil kedua, bukan memilih mobil pertama

atau kedua.


menghitung bentuk dari kombinasi yang telah dibuat,

karena tidak melakukannya dalam pembagian kasus maka

hanya dilakukan perhitungan satu kali, yaitu 𝐶68 +.𝐶2

8 untuk

memperoleh banyaknya cara menempatkan delapan mahasiswa

kedalam dua mobil.


kedua dapat disimpulkan bahwa

a) Mahasiswa dalam menyelesaikan kedua ini tidak mampu

menempatkan delapan orang kedalam dua mobil,

b) Mahasiswa mampu membuat model matematis dari informasi

yang telah yaitu cara menempatkan delapan orang ke dalam

mobil yaitu mengunakan metode kombinasi.

c) Mahasiswa malah menggunakan atau yang memisahkan mobil

pertama dengan mobil kedua, menggunakan konsep


210

penjumlahan sehingga diperoleh 𝐶𝑟𝑛 +.𝐶𝑟

𝑛. Secara garis besar

mahasiswa tidak dapat membuat model matematis dari

masalah yang diberikan,



dan + yang merepresentasikan sebagai kata hubung atau yang

memisahkan mobil pertama dengan mobil kedua. Mahasiswa

melibatkan ekspresi matematis dalam menyelesaikan masalah

tersebut.



tertulis. Oleh karena itu, secara keseluruhan mahasiswa sudah

dapat menentukan banyaknya cara menempatkan delapan

mahasiswa ke dalam dua mobil.

Jadi, untuk masalah kedua, S3 sudah dapat memenuhi dua

indikator kemampuan representasi matematis yaitu

menyelesaiakan masalah melibatkan ekspresi matematis, dan

menuliskan langkah-langkah penyelesaian dengan kata-kata untuk

menarik kesimpulan.





S3 Saya tidak menggambarkannya, tetapi delapan

orang tersebut saya misalkan menjadi huruf A-H







S3 Saya merepresentasikan ada dua mobil terus akan

diisi oleh 6 orang mobil pertama dan mobil kedua

berisi 2 orang. Karena total orang ada 8.


211



S3 Maksud dari soal delapan orang akan pergi jalan-

jalan, mereka memesan dua grab mobil yang akan

digunakan. Kapasistas masing-masing mobil

tersebut beda-beda selanjutnya diminta menghitung

banyaknya cara atau susunan yang dapat terbentuk.




masalah tersebut!

S3 Konsep kombinasi yanhg digunakan karena dalam

penyusunan orang tidak memperhatikan urutan.



S3 Rencana saya yaitu memisalkan delapan orang

tersebut menjadi abjad dari A-H, kemudian saya

tinggal menghitung menggunakan kombinasi karena

disusun didalam mobil tidak memperhatikan urutan.





S3 Karena delapan orang tersebut jika disusun dalam

mobil tidak memperhatikan urutan makanya



masalah tersebut!

S3 Modelnya yaitu sesuai dengan rumus kombinasi



S3 Tinggal saya menghitung dari model yang sudah ada



S3 Cara saya yaitu, memisalkan delapan orang tersebut

dengan abjad A-H, kemudian tinggal saya hitung

menggunakan kombinasi karena tidak

memperhatikan urutan



S3 Karena dalam menyusun orang didalam mobil tidak

memperhatikan urutan makanya menggunakan

kombinasi




212

S3 Langkah-langkah penyelesaian yang saya lakukan

yaitu menuliskan yang diketahui, yang ditanyakan,


semua soal yang akan saya kerjakan. Pada kasus ini

saya menggunakan kombinasi karena dalam

menyusun mahasiswa didalam mobil tidak




S3 Kesimpulan yang dapat saya ambil yaitu banyaknya

cara menempatkan kedelapan mahasiswa kedalam

dua mobil yaitu 56 dan untuk soal seperti ini bisa

diselesaikan dengan kombinasi



a) Mahasiswa tidak membuat gambaran visual dari


b) Mahasiswa merepresentasikan ada dua mobil terus akan

diisi oleh 6 orang mobil pertama dan mobil kedua

berisi 2 orang. Karena total orang ada 8


tersebut yaitu cara menempatkan delapan orang mahasiswa

kedalam dua mobil mengunakan kombinasi karena dalam

penyusunan orang tidak memperhatikan urutan.

d) Mahasiswa mampu menjelaskan ekspresi matematis dalam

penyelesaian masalah yang menggunakan kombinasi karena

dalam penyusunan orang tidak memperhatikan urutan

e) Mahasiswa sudah dapat menjelaskan langkah demi langkah



menyimpulkan bahwa S3 sudah mencapai dua indikator

kemampuan representasi untuk masalah kedua yaitu



213


menarik kesimpulan.


menyimpulkan bahwa S3 sudah memenuhi dua indikator dari

kemampuan representasi yaitu (3) menyelesaikan masalah



kesimpulan.

Jadi, dari tes tertulis dan hasil wawancara tersebut,

peneliti dapat menyimpulkan bahwa S3 sudah mencapai dua

indikator kemampuan representasi untuk masalah kedua yaitu



menarik kesimpulan.


214


Ketiga





menyelesaikan masalah yang diberikan dengan memisalkan enam

orang tersebut sesuai dengan huruf awal dari nama mereka.

Penyelesaian untuk bagaian a dengan langsung menggunakan

rumus dari pemutasi siklis yaitu menghitung banyaknya susunan

orang duduk melingkar, dan untuk bagian b mahasiswa

beranggapan bahwa karena dua orang tidak mau berdekatan maka

empat orang mahasiswa yang harus berpindah





enam orang. Untuk bagian b, mahasiswa tinggal menghitungnya


215

mengunakan rumus permutasi siklis karena hanya 4 orang yang

akan berpindah maka (𝑛 − 1) = (4 − 1)!



a) Mahasiswa dalam menyelesaiakan masalah ketiga mampu


melingkar, serta masih belum tepat dalam membuat

representasi dari enam orang tersebut ada dua orang yang tidak

mau duduk berdampingan.



akan duduk melingkar, yaitu menggunakan permutasi siklis,

namun masih keliru untuk menentukan cara dari enam orang

tersebut ada dua orang yang tidak mau duduk berdampingan


yang telah diperoleh untuk susunan dari enam orang yang akan

duduk melingkar yaitu mengunakan permutasi siklis, Untuk

enam orang yang akan duduk melingkar (𝑛 − 1)! = (6 − 1)!

, namun dari enam orang tersebut ada dua orang yang tidak

mau duduk berdampingan masih keliru dalam proses

pembuatan model matematisnya.



permutasi siklis



tertulis.





216

Jadi, untuk masalah ketiga, S3 sudah dapat memenuhi dua


menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi matematis, dan


menarik kesimpulan.





S3 Saya tidak mengambarkan saya langsung

mengerjakan, karena saya tau langkah apa yang

harus saya lakukan.









Yustina?

S3 Jadi karena duduk melingkar saya ingat, bahwa

dapat diselesaikan menggunakan permutasi siklis



S3 Di soal diketahui ada enam orang yang akan makan,

meraka akan duduk di meja melingkar. Disoal juga

ada dua pertanyaan yaitu susunan dari enam orang

tersebut duduk melingkar dan susunan dari enam

orang tersebut jika Priskan tidak mau berdekatan

dengan Yustina.




masalah tersebut!

S3 Konsep yang saya gunakan yaitu permutasi siklis,

karena duduknya melingkar



S3 Rencana saya yaitu memisalkan enam orang tersebut

menjadi insial dari nama depan mereka , kemudian


217

saya tinggal menghitung menggunakan permutasi

siklis, karena diketahui mereka akan duduk

melingkar.





S3 Saya tidak tau hubunganya karena saya tidak

menggambar pada saat mengerjakan


masalah tersebut!

S3 Modelnya yaitu dengan permutasi sikils



S3 Tinggal saya hitung karena modelnya sudah ada



S3 Saya menggunakan strategi membaca soal,

kemudian saya sesuaikan dengan materi apa yang

cocok untuk menyelesaikan soal ini.



S3 Karena agar informasi yang mendun=kung proses

penyelesaian soal tidak ada yang terlewatkan



S3 Langkah-langkah penyelesaian yang saya lakukan

yaitu menuliskan yang diketahui, yang ditanyakan,


semua soal yang akan saya kerjakan. Pada soal ini

untuk bagian a karena enam orang pindah maka saya

mengunakan permutasi siklis (𝑛 − 1)! dengan 𝑛 = 6

diperoleh 120 susunan, pada bagian b karena Priska

tidak ingin duduk berdekatan dengan Yustima maka

yang berpindah hanya empat orang saja sehingga

𝑛 = 4 maka permutasi siklisnya (𝑛 − 1)! Diperoleh

6 susunan.



S3 Kesimpulanya yang saya ambil untuk bagian a

diperoleh 120 susunan dan bagian b 6 susunan. Serta

jika menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

duduk melingkar bisa menggunakan permutasi siklis


218


pada masalah ketiga diperoleh kesimpulan bahwa:


permasalahan yang ada karena mahasiswa tau langkah

apa yang harus saya lakukan.

b) Mahasiswa mampu memahami masalah enam orang orang

yang akan duduk melingkar dan dua orang yang tidak mau

duduk berdekatan.


tersebut yaitu cara menempatkan enam orang duduk

melingkar dengan menggunakan permutasi siklis Mahasiswa

dapat membuat model dari masalah yang diberikan.

d) Mahasiswa tidak mampu menjelaskan ekspresi matematis

yang digunakan dalam penyelesaian masalah.







kemampuan representasi untuk masalah ketiga yaitu


menuliskan langkah-langkah penyelesaian dengan kata-kata

untuk menarik kesimpulan.






kesimpulan.


219


dapat menyimpulkan bahwa S3 sudah mencapai dua indikator

kemampuan representasi untuk masalah ketiga yaitu



menarik kesimpulan.


Keempat





220

Mahasiswa dalam kelompok jawaban kategori bawah yang

kempat ini menyelesaiakan masalah yang diberikan untuk bagaian

a dengan mengunakan metode filling slot yaitu menghitung

banyaknya susunan 3 angka dari kartu 2, 5, 3, 0,7, bagian b

menggunakan metode filling slot yaitu menghitung banyaknya

susunan 3 angka ganjil dari kartu 2 , 5, 3, 0,7,1, dan bagian c


susunan 3 angka genap dari kartu 2 , 5, 3, 0,7, 1 . Menggunakan

metode filling slot karena dari soal diberitahu bahwa setiap kartu

hanya dapat digunakan satu kali.











6 × 5 × 4 = 120 angka yang dapat terbentuk.

Untuk masalah b menggunakan filling slot karena

pemahaman dari mahasiswa mengenai angka ganjil itu masih

keliru maka dalam menempatakan 4 kartu yang ganjil itu ditempat

di slot pertama bukan di slot ketiga, untuk slot kedua berisikan 4

angka saja, dan slot kedua berisikan 5 angka saja. Hal ini

mengartikan bahwa dalam menyusun 3 angka ganjil mahasiswa

menggunakan 6 angka yang menyebabkan slot 2 hanya berisi 5

kartu dan slot ketiga berisikan 4 kartu saja Sehingga penempatan

filling slot untuk bagian b menjadi 4 × 5 × 4 = 80 angka ganjil

yang dapat terbentuk.


221

Untuk bagian c menggunakan filling slot karena pemahaman

dari mahasiswa mengenai angka genap itu masih keliru maka

dalam menempatakan 2 kartu yang genap itu ditempat di slot

pertama bukan di slot ketiga karena kurang teliti maka nol dapat

ditempatkan dislot pertama maka dislot pertama beriskan 2 angka,

untuk slot kedua berisikan 5 angka saja, dan slot kedua berisikan

4 angka saja. Hal ini mengartikan bahwa dalam menyusun 3 angka

genap mahsiswa hanya menggunakan 2 angka genap saja yang

menyebabkan slot 2 hanya berisi 1 kartu dan slot ketiga berisikan

0 kartu saja Sehingga penempatan filling slot untuk bagian c

menjadi 2 × 5 × 4 = 40 tidak angka genap yang terbentuk.


keempat disimpulkan bahwa


mampu merepresentasikan susunan 3 angka dari 6 kartu, dan

untuk bilangan ganjil dan genap mahasiswa masih tidak

membuat representasi yang benar.


untuk menghitung banyaknya susunan 3 angka dari 6 kartu,


slot.








bilangan genap 2 × 5 × 4 = 20 angka yang akan terbentuk.




222



dan slot kedua, dan slot kedua dan slot ketiga. Setelah





tertulis.

f) Mahasiswa sudah dapat menentukan susunan 3 angka dari 6


Jadi, untuk masalah keempat, S3 sudah dapat memenuhi dua




menarik kesimpulan.


223


Berikut hasil wawancara S3 untuk masalah keempat :



S3 Saya tidak mengambarkan apa-apa, saya langsung

mengerjakan


masalah berikut “Ada enam kartu bilangan, yaitu

2, 5, 0, 3, 7, dan 1. Ada berapa susunan angka yang



ganjil, dan membentuk bilangan genap ? ”

S3 Intinya itu enam kartu tersebut akan dibuat 3

angka, berarti harus menggunakan slot-slot untuk

mengisi kartu-kartu tersebut.


masalah tersebut dengan menggunakan kata-kata

sendiri?

S3 Dikethuai terdapat 6kartu 2, 5, 0, 3, 7 dan 1. Pada

soal diminta untuk bagian a menyusun susunan 3

angka kartu hanya dapat digunakan satu kali, untuk

bagian b susunan 3 angka ganjil kartu hanya dapat

digunakan satu kali, dan untuk bagian c susunan 3

angka genap kartu hanya dapat digunakan satu

kali.

P Konsep matematika apa saja yang dapat digunakan

untuk menyelesaikan masalah tersebut? Jelaskan

mengapa konsep tersebut dapat dipergunakan untuk


S3 Konsep yang saya gunakan yaitu dengan konsep

filling slot.



S3 Rencana yang saya lakukan yaitu mengerjakan

sesuai dengan pertanyaan, tentunya untuk bagian

a, b , dan c sudah saya buatkan slot-slotnya

sehingga nanti tinggal diisikan slot-slot tersebut.





S3 Karena ada tiga angka berarti menggunakan filling

slot


masalah tersebut!


224

S3 Model matematika akan terbentuk, sesuai dengan

banyak kartu yang ditempati untuk masing-masing

slot. Untuk bagian a akan terbentuk 6 × 5 × 4=

120, bagian b bilangan ganjil 4 × 5 × 4 = 80 angka

yang dapat terbentuk, dan untuk baian c bilangan genap

2 × 5 × 4 = 20 angka yng terbentuk



S3 Tinggal saya hitung dari model yang telah

diperoleh



S3 Saya langsung menggunakan filling slot karena

sesuai dengan cara penyelesian menggunakan

filling slot.



S3 Karena menempatkan 3 angka dalam kotak sesuai

dengan cara penyelesaian filling slot




yaitu membaca yang ditanyakan, kemudian

mencari informasi yang diketahui. Namun pada

masalah ini saya tidak memperhatikan atau tidak

teliti mengenai angka nol. Yang menyebabkan

kesalahan dalam pengerjaan untuk bagian a, b, dan

c. Kemudian saya menjawab dengan menggunakan

filling slot, untuk bagian a, b, dan c langsung saja

menggunakan filling slot



S3 Kesimpulannya yaitu harus berhati-hati lagi dalam

membaca dan memhami soal, karena tidak teliti

akan menyebabkan kesalahan seperti yang ssaya

lakukan yaitu angka nol dapat menempati slot

pertama






225

b) Mahasiswa mampu memahami masalah dengan pembagian

slot-slot untuk untuk mengisi kartu-kartu tersebut.


tersebut yaitu kartu-kartu tersebut harus diisikan

kedalam slot-slot.


dalam penyelesaian masalah, yaitu menggunakan slot

pertama, kedua, dan ketiga yang merepresentasikan metode

filling slot.







kemampuan representasi untuk masalah keempat yaitu


menuliskan langkah-langkah penyelesaian dengan kata-kata







kesimpulan.

Jadi, dari tes tertulis dan hasil wawancara tersebut,

peneliti dapat menyimpulkan bahwa S3 sudah mencapai dua

indikator kemampuan representasi untuk masalah keempat yaitu



menarik kesimpulan.


226

B. Kelas Penelitian

1. Deskripsi Rancangan Lintasan Belajar

Deskripi rencana pembelajaran yang dilakukan untuk kelas

penelitian dan uji coba untuk pertemuan pertama dan kedua secara garis

besar sama. Namun ada perbedaan, yaitu pada bagian mahasiswa

mengirimkan foto dan penjelasan memgenai penjelasan terhadap masalah

yang dikerjakan didalam kelompok. Pada kelas uji coba tidak

diberitahukan secara jelas untuk penjelasan yang dikirimkan kedalam grup

itu berupa apa sedangkan pada kelas penelitian penjelasan yang dikirimkan

kedalam grup itu berupa voice recorder. Tujuannya yaitu ketika

mahasiswa mengalami kesulitan untuk mengerjakan masalah yang serupa,

mahasiswa dapat memutar kembali penjelasan yang telah dikirimkan.

2. Deskripsi Implementasi Pembelajaran

Proses pembelajaran akan dianalisis dan dideskripsikan berdasarkan

kegiatan atau usaha yang dilakukan peneliti berdasarkan 5 karakteristik

PMR yaitu yaitu penggunaan konteks, penggunaan model untuk

matematisasi progresif, pemanfaatan hasil konstruksi siswa, interaktivitas

dan keterkaitan.

a. Implementasi Pembelajaran Pertemuan 1

Pada pertemuan 1, pertemuan 1 dilaksanakan secara daring melalui

media WhatsApp, dimana pada aplikasi WhatsApp sudah dibuat grup.

Grup tersebut terdiri dari 2 grup yaitu satu grup besar yang

beranggotakan seluruh mahasiswa ditambah Peneliti dan 11 grup kecil

beranggotakan 4-5 mahasiswa ditambah Peneliti. Berikut adalah

aktivitas pembelajaran yang dilakukan pada pertemuan 1:

1) Peneliti mengawali pembelajaran dengan mengucapakan salam dan


Peneliti: Peneliti: Selamat pagi teman-teman, bagaimana keaadan

kalian? Saya berharap kalian semua dalam keadaan sehat




227

M3: Selamat pagi pak, saya baik. Semoga Bapak juga sehat.

Sebelum memulai pembelajaran, peneliti menyampaikan agenda

pembelajaran hari ini yaitu mahasiswa melalui pemberian masalah

dapat memahami dan menjelaskan definisi dari permutasi, apa yang

dimaksud dengan permutasi siklis dan apa yang dimaksud dengan

permutasi berulang.

2) Peneliti mengirimkan file ke WhatsApp Group yang berisi masalah

1, aktivitas 1 terdiri dari masalah 2 – 4, dan aktivitas 2 terdiri dari

masalah 5 – 7. Peneliti meminta kelompok yang telah ditentukan

untuk menyelesaikan masalah yang diberikan dalam kelompok. Di

akhir pembelajaran, mahasiswa diminta untuk mengumpulkan hasil

diskusi setiap kelompok via email. Pembagian kelompok untuk

mengerjakan masalah dan aktivitas dibagi sebagai berikut: Masalah

1 dikerjakan kelompok 1, 5, 7, dan 10, aktivitas 1 dikerjakan

kelompok 2, 4, 9, dan 11, aktivitas 2 dikerjakan kelompok 3, 6, dan

8. Berikut file yang dikirimkan ke whatsapp group


228


Peneliti: Silahkan berdiskusi dalam kelompok yang telah dibuat ya.

Nanti saya juga akan mengikuti diskusi, didalam

kelompok kalian.

M1: Baik pak.

M2: Pak saya mau bertanya, apakah kami boleh berdiskusi

dengan video call?

Peneliti: Boleh, tapi hasil diskusi dikirim di grup diskusi kalian ya.

M2: Baik pak.



masalah yang diberikan secara berkelompok, selanjutnya mahasiswa

dapat menemukan penyelesaian yang dari masalah yang diberikan.

Hal ini sesuai dengan karakteristik dari PMR yang pertama yaitu:

pengunaan konteks. Pengunaan konteks ini diharapkan dapat

membuat mahasiswa lebih bersemangat dalam mengikuti


229

pembelajaran karena masalah yang diberikan merupakan masalah

dalam kehidupan sehari-hari atau kontekstual.

3) Peneliti memberikan waktu sekitar 15 – 20 menit untuk berdiskui

dalam kelompok. Selama proses diskusi peneliti ikut membantu dan

mengawasi jalannya proses diskusi didalam grup kecil. Peneliti


yang akan menuntun mahasiswa untuk menemukan ide dari masalah

yang dibahas seperti informasi apa saja yang dapat diperloleh dari

masalah yang diberikan. Salah satu contoh percakapan di whatsapp

grup kecil.

Masalah 1

M1: Masalah 1 menggunakan kombinasi ya?

Peneliti: Mengapa menggunaka kombinasi?

M2: Karena kombinasi dari sekumpulan unsur yang berbeda

adalah cara pengambilan unsur-unsur tersebut tanpa

pengambalian dengan tidak memperhatikan urutannya.

Unsur-unsur tersebut adalah 2 bola hijau, 3 bola kuning,

dan 4 bola biru.

Peneliti: Biar lebih yakin dan jelas coba didata saja, tiap bola

diberi indeks misalnya H1, H2, … Dst. Kalau sudah bisa

dicocokan lebih cocok menggunakan kombinasi atau

permutasi

M1: H1H2 apakah tidak termasuk?

M3: Oh iya, bentar-bentar aku tambahin.

M2: Apa karena diambil satu demi satu maka menggunakan

permutasi?

M3: Pegambilan 2 bola (diambil satu-satu) berarti nanti kalau

yang terambil(Hijau Kuning) dan (Kuning Hijau) berarti

2 kejadian berbeda, sehingga menggunakan permutasi

karena urutannya diperhatikan. Bukan begitu pak?

Peneliti: Iya betul. Kalau begitu coba perhatikan kejadian H1H2

sama artinya dengan H2H1 atau tidak ?

M1: Menurut saya sama pak

M2: Kejadian yang sama

M3: Sama pak

Peneliti: Mengapa sama? cara mengambilnya bagaimana?

M1 Satu demi satu tanpa pengembaliabn pak.

Peneliti: Satu demi satu tanpa pengembalian, apa artinya H1H2?

M2: Bola pertama yang terambil adalah bola hijau 1 dan bola

kedua yang terambil adalah bola hijau 2

Peneliti: Kalau H2H1 artinya?


230

M1: Yang terambil pertama bola hijau 2, yang terambil kedua

bola hijau 1

Peneliti: Kalau begitu sama tidak arti dari H1H2 dan H2H1

M1: Berbeda pak

M2: Kejadiannya berbeda pak

M3: Berbeda pak

Peneliti: Sampai sini pahamkan?

M1&

M2&M

3:

Paham pak.

Peneliti: Kalau paham silahkan tulis yang rapih ya.

Dari dialog di atas, peneliti menyimpulkan bahwa untuk masalah 1

mahasiswa mengawali dengan mencari informasi apa saja yang

diketahui yaitu jumlah bola dan cara pengambilan bola serta

mahasiswa dapat membedakan kejadian yang terjadi dan

menghitung banyaknya kemungkinan yang terjadi dan mahasiswa

dapat mengetahui definisi dari permutasi.

Aktivitas 1

M1: Itu pake kombinasi keknya deh.

M2: Emang bisa pakai kombinasi?

M1: Bisa keknya

M3: Bisa.

M2: Binggung eee

Peneliti: Kalau binggung coba didata saja dulu kemungkinannya.

M2: Susunannya PAA, APA, dan AAP pak

Peneliti: Ada pendapat lain?

M3: A-A-A, A-A-P, A-P-A, A-P-P, P-A-A, P-P-A, P-A-P, P-

P-P. Saya dapatnya itu pak, tapi belum tentu benar ya

Peneliti: Huruf A nya ada berapa dan huruf P nya ada berapa?

Setiap huruf asumsinya hanya bisa dipakai satu kali.

M2: A ada 2 dan P ada 1.

Peneliti: Betul ya M2, jadi berapa susunan?

M3 12 pak.

Peneliti: Mengapa 12?

M3 Karena A ada 4 kemungkinan susunan pak, begitu juga

dengan dengan P dan A yang lain.

Peneliti: Coba didata dulu ya. Ingat ya, kata yang disusun dibentuk

dari 3 huruf.


231

Dari dialog di atas, peneliti menyimpulkan bahwa untuk aktivitas 1

mahasiswa dapat membedakan pengunaan indkes dalam menyusun

sebuah kata dari beberapa huruf yang sama. Penggunaan indkes

digunakan ketika dari soal huruf yang diberikan sudah diberikan

indeks dan mahasiswa sudah memahami permutasi berulang

Aktivitas 2

Peneliti: Peneliti: bagaimana untuk aktivitas 2 ada yang perlu

ditanyakan?

M1&M2: Sejauh ini belum pak

M3: Masih binggung pak, untuk masalah 6 pak.

Peneliti: Binggungnya dibagian mana?

M2: Ada 6 pak?

Peneliti: Peneliti: mengapa 6?

M2:

Apakah seperti ini pak?

M1: Saya juga seperti itu pak

Peneliti: Apakah disoal diberikan indeks?

M1: Tidak pak

M2: Tidak ada indeks pak

M3: Tidak diberikan indeks pak. Berarti susunannya 3 pak

Peneliti: Nah benar ya, Oke, ada yang ingin ditanyakan lagi? jika

tidak mohon diselesaikan dan ditulis dengan rapih ya.

M1&M2

:

Tidak ada pak, baik pak.

M3: Belum ada pak, baik pak.


232

M3:

Punya saya seperti ini pak tapi masih ragu

M1: Bukannya AD dan DA itu berbeda ya?

Peneliti: Mengapa berbeda?

M1: Cara duduknya yang berbeda pak. Walaupun Cuma 2

orang mungkin terlihat sama, tapi bukanya AD dengan

DA itu berbeda ya? Soalnya kalau AD itu A yang duduk

dikursi pertama sedangkan DA itu D yang duduk di

kursi pertama.

Peneliti: Bagaimana teman-teman?

M2: Kalau menurut saya sama pak, karna AD selalu

berdampingan jadi ditulis DA juga bisa.

M1: Menurut saya sama pak, soalnya duduknya melingkar

dan selalu duduk berdampingan.

Peneliti: Ok, kalau begitu apa pengaruh duduk melingkar

terhadap susunan?

M3: Menurut saya sama pak, semisal jika posisi duduknya

kita anggap searah jarum jam maka susunan AD dan

DA akan sama.

M2: Pengaruh duduk melingkar pak, apabila ada kejadian

yang sama maka dianggap 1.

M3: Kalau saya memandang duduk melingkir searah jarum

jam.

Peneliti: Oke baik, ada satu lagi yang harus diperhatikan. Ada

yang tau?

M1: Tentukan satu orang yang menjadi patokkannya pak.

Peneliti: Peneliti: maksudnya patotkan apa ya?

M2: Saya membantu menjelaskan pak, mungkin yang

dimaksdukan patokan itu orang yang posisinya tidak

berpindah pak dan akan digunakan menghitung

banyaknya kemungkinan dimulai dari orang yang

menjadi patokkan.

M1: M1: iya maksud saya begitu.

Peneliti: Oke baik, masih ada pertanyaan? Jika tidak mohon

diselesaikan dan ditulis dengan rapih ya.


233


aktivitas 2 mahasiswa masih mengalami kesulitan dalam

menentukan cara orang ketika disuruh duduk melingkar. Terjadi

diskusi antara peneliti dan mahasiswa didalam kelompok untuk

membantu mahasiswa dalam memahami konsep yang dibutuhkan

untuk menentukan banyaknya cara orang duduk melingkar, setelah

proses diksusi ahkirnya mahasiswa bisa memahami syarat apa saja

yang ditbutuhkan untuk menentukan banyaknya cara orang duduk

melingkar.





mahasiswa menuju matematika tingkat formal. Hal ini sesuai dengan

karakteristik PMR yang kedua yaitu: penggunaan model untuk

matematisasi progresif.




yang diberikan menjadi sebuah model matematika. Dari masalah 1,

mahasiswa diminta untuk menentukan banyaknya kemungkinan

pengambilan yang terjadi dan mahasiswa harus membuat sketsa atau

gambar yang dapat mewakili masalah yang diberikan, diawali

dengan membedakan warna bola, menghitung jumlah bola dari

masing-masing warna, memberikan indeks terhadap masing-masing

bola, mengetahui cara pengambilan yang dilakukan, dan menghitung

banyak kemungkinan yang dapat terjadi. Dari aktivitas 1, mahasiswa

diminta untuk menyusun huruf dari susunan huruf yang diberikan

dan mahasiswa harus mendata huruf yang diketehui terlebih dahulu

sebelum menyusun huruf tersebut menjadi beberapa susunan huruf.

Dari aktivitas 2, mahasiswa diminta untuk menentukan banyaknnya


234

susunan yang terjadi saat duduk di meja bundar dan mahasiswa harus

mendata banyaknya orang yang akan duduk di meja tersebut serta

menggambar lingkaran sebagai bentuk representasi dari meja

bundar, kemudain melakukan perhitungan banyaknnya susunan

yang dapat dibentuk.

4) Peneliti menunjuk kelompok secara acak yang mengerjakan masalah

1, aktivitas 1 dan aktivitas 2 untuk mengirimkan hasil diskusi

kelompok ke dalam grup besar berupa foto dan penjelasan mengenai

cara menyelesaikan masalah tersebut. Untuk membahas masalah 1,

Peneliti meminta, kelompok 10 untuk mengirimkan hasil pekerjaan

dan penjalasan kedalam grup kelas, untuk membahas aktivitas 1

Peneliti meminta kelompok 4 untuk mengirimkan hasil pekerjaan

dan penjalasan kedalam grup kelas, dan untuk membahas aktivitas 2

Peneliti meminta, kelompok 8 untuk mengirimkan hasil pekerjaan

dan penjalasan kedalam grup kelas.




235

Masalah 1

Gambar 4. 55 Pekerjaan Mahasiswa Masalah 1

Peneliti: Baik, mari kita lihat cara 1, yang dengan filling slot,

mengapa tempatnya ada 2 slot?

M1: Karena ada dua pengambilan bola pak

Peneliti: Peneliti: bagaimana cara pengambilan dua bola

tersebut?

M2: Karena diambil satu persatu tanpa pengembalian pak

Peneliti: Peneliti:ok ya, mengapa slot pertama berisi 9?

M3: Karena jumlah bola masih full yaitu 9 bola

M4: Karena jumlah bola ada 9 pak

Peneliti: Peneliti: ok ya, mengapa di slot kedua jadi 8 bola?

M5: 8 karena diambil satu tanpa pengembalian pak

M6: Karena sudah diambil 1 pak dan tidak dikembalikan lagi

M7: Karena diambil 1 tanpa pengembalian.

Peneliti: Peneliti: oke, jadi seluruhnya ada berapa? Tempat

pertama ada 9 bola, tempat kedua ada 8 bola.

M8: 72 pak

M9: 9 × 8 = 72 pak

Peneliti: Oke benar ya. Selanjutnya mari kita lihat cara ke 2

mengapa tidak ada kejadian H1H1?


236

M10: Karena suda diambil di pengambilan pertama jadi di

pengambilan kedua H1 sudah tidak ada.

M11: Karena pengambilan tidak dikembalikan lagi sehingga

tidak bisa terambil bola kedua dengan bola yang sama.

M12: Karena H1 sudah terambil pak.

Peneliti: Ok benar ya, tidak mungkin karena diambil satu demi

satu dan tidak dikembalikan. Pertanyaan selanjutnya

apakah H1H2 dengan H2H1, merupakan kejadian yang

sama? Mengapa?

M13: Berbeda pak, karena kalau H1H2 berarti yang diambil

pertama itu H1 tapi kalu H2H1 berarti itu yang diambil

pertama H2.

M14: Berbeda pak, karena H1H2 berarti yang terambil

pertama H1 tapi kalu H2H1 berarti terambil pertama

H2.

Peneliti: Apa yang membuat kejadian tersebut berbeda?

M15: Pengambilannya satu persatu

M16: Karena pengambilannya

M17: Pengambilannya satu persatu yang membuat beda pak.

Peneliti: Ok benar ya. Hal ini bisa berbeda karena, pengambilan

yang dilakukan satu demi satu tanpa pengembalian.

Selanjutnya mari kita lihat cara kedua, mengaapa bisa

menggunakan permutasi?

M18: Karena memperhatikan urutan pak, tadi sudah diketahui

bhawa H1H2 berbeda dengan H2H1, jadi

memperhatikan urutannya.

M19: Karena memperhatikan urutan.

Peneliti: Apa yang membuat percobaan ini memperhatikan

urutan?

M20: Pengambilan satu-persatu pak

M21: Cara pengambilan dilakukan dengan satu per satu

M22: Pengambilannya dilakukan satu per satu.

Peneliti: Masih kurang lengkap ya, seharusnya pengambilan satu

demi satu tanpa pengembalian. Menggunakan

permutasi karena memperhatikan urutan,

memperhatikan urutan karena pengambilan dilakukan

satu persatu dan tidak dikembalikan. Kalau begitu

mengapa 9P2?

M23: Mau diambil 2 bola dari 9 bola

M24: 9 banyaknya bola, 2 itu bola yang diambil

M25: Jumlah bola ada 9 dan akan diambil 2 bola

Peneliti: Peneliti: oke benar ya, meskipun diambilnya satu

persatu maka yang dilihat adalah banyaknya akumulasi

bola yang diambil yaitu 2. Jadi 9P2


237

Berdasarkan dialog di atas yang dilakukan dalam membahas

masalah 1, dapat disimpulkan bahwa (1) mahasiswa dapat

menentukan semua informasi dari masalah yang diberikan yaitu

jumlah bola yang ada serta cara pengambilan bola tersebut, (2)


berdasarkan cara pengambilan kejadian, (3) mahasiswa mampu

menyelesaikan masalah dengan beberapa cara yang berbeda-beda

serta mampu mempertanggung jawabkan atau menjelaskan apa yang

mereka kerjakan dan (4) mahasiswa dapat menjelaskan dengan detail

mengenai kejadian yang dihasilkan dari cara pengambilan yang

dilakukan.


238

Aktivitas 1


Peneliti: Masalah 2 berapa banyak susunan huruf yang terdiri atas

3 huruf yang disusun dari kata APA?

M1: Ada 3 pak

M2: Ada 3 huruf pak .

Peneliti: Apa saja?

M3: AAP. APA, dan PAA

Peneliti: Ada yang tahu mengapa dibagi 2!?

M4: Karena ada unsu yang sama pak.

M5: Karena ada dua huruf yang sama pak, yaitu A.

Peneliti: Apakah susunannya tidak seperti ini A1PA2, A2PA1,

dst? Mengapa?


239

M6: Karena didalam soal tidak diketahui indeksnya, jadi A1

dan A2 dihitung satu.

M7: Karena di soal tidak terdapat indkesnya pak

M8: Karena tidak terdapat indeks setiap hurufnya pak.

Peneliti: Ok benar ya, di dalam soal A nya tidak berindeks, jadi

dianggap sama. Nah, sekarang ke masalah 3 dan 4.

Mengapa dibagi 2!?

M9: Dibagi 2 karena ada huruf yang sama pak

M10: Sama pak, karena ada dua huruf atau unsur yang sama.

M11: Karena pada masalah 3 dan masalah 4 terdapat 2 huruf

yang sama pak, yaitu huruf A.

Peneliti: Oke benar ya, pada masalah 3 dan masalah 4, SAYA dan

AREMA hanya ada dua huruf yang sama yaitu huruf A.



menentukan semua informasi yang dibutuhkan untuk

menyelesaiakan masalah yang diberikan yaitu kata yang terbentuk

untuk setiap hurufnya tidak memiliki indkes, (2) mahasiswa dapat


dengan mengabaikan indkes pada huruf karena pada soal yang

diberikan huruf tersebut tidak memiliki indeks, dan (3) mahasiswa

dapat menjelasakan dengan detail mengenai langkah penyelesaian

yang digunakan dan mempertanggung jawabkan apa yang telah

mereka kerjakan.


240

Aktivitas 2



241




242

Peneliti: Peneliti: sebelum membahas masalah 5, 6, dan 7. Coba

perhatikan gambar berikut:

Peneliti: Dari susunan diatas, dihitumh satu susunan atau dua

susunan?

M1: Satu pak

M2: Satu susunan pak.(7 mahasiswa menjawab)

Peneliti: Mengapa satu?

M3: Karena terdapat pada satu lingkaran.

M4: Satu susunan pak, karena susuanan ab sama halnya dengan

ba karena membentuk lingkaran.

M5: Kalau kita mulai dari a dan searaj jarum jam maka

keduannya sama pak.

Benar ya satu susunan. Coba perhatikan gambar diatas.

Untuk 1 susunan satu, jika pengamat melihat dari atas,

maka susunan yang diperoleh adalah ab, untuk susunan 2,

jika pengamat melihat dari bawah, maka susunan yang

diperoleh adalah ba, padahal susunan duduk yang dilihat

sama.

Peneliti:

M6: Jadi sama karena tergantung melihatnya darimana ya pak?

Peneliti: Ya benar. Karena itu, di dalam permutasi siklis ada dua

asumsi yang harus kita pegang yaitu apa?

M7: Menurut saya asumsi yang kita pegang yaitu satu objek

tetap ditempat dan susunannya searah jarum jam atau

berlawanan

M8: Harus pilih salah satu menjadi patokan pak.

M9: Yang menjadi patokan sebaiknya dimulai dengan orang

yang sama pak.


243

Peneliti: Peneliti: oke ya, jadi ada dua asumsi yaitu: kita harus

mengawali dari satu orang yang sama, setelah itu

susunannya searah jarum jam. Nah ini, dua asumsi yang

harus kalian pegang ya ketika susunannya melingkar.

M10: Baik pak

M11: Ya baik pak

Peneliti: Pada kasus 2 orang tadi, kita menganggap a selalu jadi yang

pertama, setelah itu searah jarum jam, sehingga hanya

diperoleh ab.

M12: Baik pak

M13: Baik pak

Peneliti:

:

Dianggap ada 2 atau 6 susunan? Mengapa?

M14: 2 susunan pak

M15: 2 susunan pak. Karena 4 susunan lainnya dianggap sama

dengan 2 susunan yang sudah terbentuk.

M16: M16: menurut saya 2 susunan pak. Susunan pertama abc

searah jarum jam. Susunan kedua acb berlawanan jarum

jam.

Peneliti: Peneliti: 2 susunan itu apa saja?

M17: Abc dan acb

M18: Acb dan abc

M19: Acb dan abc pak

Peneliti: Oke benar ya, ada dua susunan yaitu abc dan acb


244

Peneliti:

Peneliti: nah sekarang 4 susunan diatas ada 4 atau 1

susunan? Mengapa?

M20: Satu susunan pak.

M21: Satu susunan pak

M22: Satu susunan pak hanya abcd

Peneliti: Mengapa?

M23: Karena jika diputar searah jarum jam maupun berlawanan

jarum jam kedudukannya tetap sama.

Peneliti: Oke benar ini alasannya “karena jika diputar searah jarum

jam maupun berlawanan jarum jam kedudukannya tetap

sama.” Nah sekarang kalau yang duduk melingkar ada 4

orang, maka ada berapa susunan yang dapat terbentuk?

M24: 6 pak

M25: 6 susunan pak.

Peneliti: Oke benar ya, ada 6 susunan. Bagaimana jika sekarang

yang duduk n orang berapa susunan yang terjadi?

M26: (𝑛 − 1)! Pak

M27: (𝑛 − 1)! M28: Ada (𝑛 − 1)! Kemungkinan pak

Peneliti: Darimana ya kok bisa (𝑛 − 1)!?

M29: 1 nya itu si patokannya pak. Jadi yang bakal berubah

susunannya itu selain patokknya sehingga jumlah orangnya

dikurangi 1 pak.

Peneliti: Peneliti: ok ya benar ya. Jadi ada (𝑛 − 1)!

Berdasarkan dialog diatas diskusi yang dilakukan dalam

membahas aktivitas 2, dapat disimpulkan bahwa (1) peneliti

menuntun mahasiswa untuk membangun konsep dari duduk

melingkar dengan memberikan contoh dari yang sederhana,

selanjutnya mahasiswa dapat menentukan semua informasi yang

dibutuhkan untuk menyelesaiakan masalah yang diberikan, (2)


245

mahasiswa membuat representasi dari masalah yang diberikan

dengan menggambar lingkaran yang merepresentasikan meja yang

melingkar, (3) mahasiswa dapat menentukan syarat yang harus

digunakan untuk menyelesaiakan masalah yang berkaitan dengan

duduk di meja bundar atau duduk melingkar yaitu patokan dan

searah atau berlawanan jarum jam, dan (4) mahasiswa mampu

menemukan bentuk umum dengan bantuan beberapa masalah yang

berkaitan dengan duduk di meja bundar atau duduk melingkar.

Berdasarkan transkrip percakapan untuk penjelasan masalah 1,

aktivitas 1, dan aktivitas 2, maka terlihat bahwa mahasiswa dalam

menyelesaikan masalah yang diberikan selalu diawali dengan

mengumpulkan informasi apa saja yang diperoleh dari masalah yang

diberikan, mahasiswa saling berdiskusi dalam kelompok untuk

menyelesaiakan masalah yang diberikan, dan mahasiswa mampu

menjelaskan apa yang telah dikerjakan dengan detail. Hal ini sesuai

dengan karekteristik dari PMR yang ke 3 dan ke 4 yaitu

pemanfaatan hasil konstruksi siswa, dan interkativitas.

Pemanfaatan hasil konstruksi siswa ini digunakan sebagai salah satu

landasan yang digunakan untuk mengembangkan kemampuan

siswa, dimana hasil konstruksi yang digunakan untuk masalah 1

dapat menjadi dasar untuk menyelesaikan aktivitas 1 dan aktivitas 2.

Sedangkan untuk pemanfaatan untuk interkativitas bermanfaat


mahasiswa. Dari interaksi-interaksi yang dilakukan oleh mahasiswa-

mahasiswa dan mahasiswa-Peneliti, diharapakan dapat membantu

mahasiswa untuk mengkonstruksi pengetahuannya.



masalah lain yang ingin ditanyakan. Untuk masalah 1 dan aktivitas

2 tidak ada yang perlu didiskusikan lebih lanjut, namun untuk

aktivitas 1, ada diskusi mengenai masalah yang lebih luas.


246

Aktivitas 1

M1: Pak saya mau tanya, untuk yang susunan huruf. Mungkin

tidak kalau pertanyannya: ada berapa sususunan kata

yang terdiri dari 3 huruf dari kata kamu?

Peneliti: Mungkin saja: nah ada masalah dari teman kalian , jika

dari kata KAMU dibuat kata terdiri dari 3 huruf, ada

berapa susunan yang dapat dibentuk?

M2: 4 × 3 × 2 pak? Pakai filling slot?

Peneliti: Bagaimana yang lain setuju?

M3: Pake permutasi pak 𝑛 = 4 pak.

Peneliti: Kata yang akan disusun hanya 3 huruf ya. Ok ya, karena

KAMU ada 4 huruf yang berbeda, sedangkan yang dibuat

kata terdiri 3 huruf, maka jika paai filling slot, tempat

pertama ada 4, kedua ada 3, dan ketiga hanya 2, itu

berlaku jika diasumsikan hanya boleh dipakai satu kali.

Nah jika diasumsikan tiap hururf pada kata KAMU boleh

dipakai semua secara berulang, maka ada berapa susunan

kata tiga hururf yang bisa dibuat?

M4: 4 × 4 × 4 pak

M5: 4 × 4 × 4

Peneliti: Oke ya benar, karena boleh berulang dan ada 4 huruf,

maka 4 × 4 × 4.

M6: Pak semisal seperti kata MAMA, banyak susunan kata

yang terdiri dari 3 huruf bagaimana ya pak?

M7: Kalau seperti itu bisa pake permutasi dari 𝑛 unsur yang

sama. 4!

2!2!= 2susunan, MAMA, dan AMAM

Peneliti: Yang ditanyakan kata yang terdiri dari 3 huruf saja ya.

M8: Oh ya pak, kurang fokus sepertinya butuh aqua.

M9: Susunan kata yang mungkin MAM, MMA, AAM, AMA.

Hanya itu saja bukan ya?

M10: MAA

Peneliti: Ayo ada yang kurang tidak?

M11: AMM

Peneliti: Nah ada lagi, jadi berapa susunan?

M12: 6 pak

M13: Sepertinya 6 kemungkinan pak

M14: B ar jelas coba menggunakan diagram ranting

Peneliti: Bisa ditampilkan?


247

M15:

Peneliti: Oke benar ya, tapi hati-hati ada yang disilang.

M16: AAA dan MMM disilang karena huruf A dan M cuman

ada 2.

Peneliti: Benar ya, hati-hati jika menggunakan diagram pohon ya.

Bisa tidak kalau saya menjawabnya 4×3×2

2!2! ?

M17: Bisa pak

M18: Bisa pak.

Peneliti: Peneliti: kenapa bisa ?

M19: Karena hanya terdiri dari 3 slot dari 4 huruf dan ada 2

huruf A dan 2 huruf M.

M20: 3 slot dari 4 huruf maka 4 × 3 × 2, 2 M maka 2! dan 2 A

maka 2!. Hurus yang sama dijadikan pembagi.

Peneliti: Peneliti: oke saya jelaskan lagi ya. Kan disitu hururf yang

mau dibuat ada 3, maka dianggap ada 3 slot, slot pertama

kna bisa diisi 4 kemungkinan, tempat kedua 3, dan tempat

ketiga ada 2. Kemudian karena M dan A ada dua, maka

dibagi 2! 2! Jelas belum ya?

M21: Jelas pak

M22: Sudah jelas pak.

M23: Pak saya mau bertanya lagi ? kalau soal saya seperti ini

dan jawaban yang saya buat apakah sudah benar?


248

Peneliti: Hurufnya ada AABBBCDE, maka ada berapa kata yang

terdiri dari 3 huruf yang bisa dibuat?

M24: 8×7×6

2!3! pak

M25: Sama caranya pak

Peneliti: Peneliti: mengapa seperti itu?

M26: slotnya ada 3. Kalau hurufnya tidak boleh berulang

berarti slot pertama 8, slot kedua 7, dan slot ketiga 6.

Karena A nya ada A dan B nya ada 3 maka dibagi 2! 3! pak.

Peneliti: Peneliti: oke benar ya, sejauh ini ada pertanyaan ?

M26: Belum pak

M27: Belum ada pak.


mahasiswa mulai mengembangkan pengetahuan yang dimiliki

dengan memberikan masalah yang serupa namun tidak sama. Hal

ini terlihat dari masalah yang diberikan dimodifikasi lagi oleh

mahasiswa yang menyebabkan mahasiswa harus memodifikasi

pengetahuan yang dimiliki untuk menyelesaiakn masalah yang

diberikan dan menunjukan mahasiswa sudah menguasai

pengetahuan yang dimiliki dengan baik.

Berdasarkan diskusi yang dilakukan untuk aktivitas 1, maka

dapat disimpulkan bahwa (1) mahasiswa memiliki pemikiran yang

kritis, kritis dalam hal mengembangkan soal dari masalah yang

diberikan, (2) mahasiswa lebih tertantang ketika soal yang dibuat

tidak ada di dalam buku sumber, dan (3) mahasiswa hanya mau

menguji pemahaman yang telah dia miliki sudah sesuai atau tidak

dengan memberikan masalah yang kompleks. Hal ini sesuai dengan

karakteristik PMR yang ke-3, dan ke-4 yaitu: pemanfaatan hasil

konstruksi mahasiswa, dan interaktivitas. Mahasiswa sudah

mempunyai konstruksi mengenai konsep dari masalah yang

dikerjakan, namun mahasiswa masih kurang yakin dengan

konstruksi yang telah dibuat, sehingga mahasiswa memilih untuk

mengembangkan sebuah masalah yang serupa untuk menguji hasil

konstruksi yang sudah dia miliki apakah sudah tepat atau belum.


249


telah dipelajari pada pertemuan hari ini berdasarkan masing-masing

masalah dan aktivitas yang telah dilakukan.

Masalah 1

M1 Dari masalah 1 dapat disimpukan bahwa dalam

menyelesaikan masalah yang cara pengambilan satu

persatu dan tanpa pengembalian dapat menggunakan

permutasi.

M2: Dengan cara pengambilan satu persatu dan tanpa


juga menggunakan filling slot.



yang berkaitan dengan cara pengambilan satu persatu dan tanpa

pengembalian dapat menggunakan permutasi dan bisa menggunakan

filling slot dengan bahasanya sendiri berdasarkan pengalaman dalam


Aktivitas 1:

M1 Dari aktivitas 1 dapat disimpulkan bahwa dalam

menentukan banyaknya susunan terbentuk dari 𝑛 huruf

dari suatu kata, harus mencari tahu terlebih dahulu

susunan secara total terlebih dahulu, kemudian dibagi

dengan huruf yang sama.

M2: Untuk mencari banyak susunan kata dengan jumlah kata

yang ingin disusunan jumlahnya sama banyak dengan


𝑚!𝑜!.𝑑𝑠𝑡 dimana

𝑛 merupakan banyak kata dan 𝑚, 𝑜 merupakan banyak

kata yang sama.



yang berkaitan dengan banyaknya susunan susunan kata dengan

jumlah kata yang ingin disusunan jumlahnya sama banyak dengan


250


𝑚!𝑜!.𝑑𝑠𝑡 dengan bahasanya

sendiri berdasarkan pengalaman dalam menyelesaikan masalah yang

telah dikerjakan.

Aktivitas 2:

M1: Dari aktivitas 2 dapat disimpulkan bahwa untuk

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan duduk

melingkar dapat menggunakan permutasi siklis (𝑛 − 1)! Dengan 𝑛 merupakan jumlah orang

M2: Lebih mudah, jika digambarkan dulu ilustrasi duduk

melingkar. Agar tidak keliru dalam melakukan

perhitungan, serta harus ingat 2 prinsip yang kita pegang

yaitu kesepatakan arah dan siapa yang dijadikan patokan.



yang berkaitan dengan banyaknya susunan duduk melingkar dapat

diselesaikan dengan (𝑛 − 1) kemudian dijelaskan menggunakan

bahasanya sendiri berdasarkan pengalaman dalam menyelesaikan

masalah yang telah dikerjakan.

Proses di atas memunculkan karakteristik ke-5 dari PMR

yaitu: keterkaitan. Melalui keterkaitan dalam pembelajaran kali ini

diharapakan mahasiswa dapat membangun beberapa konsep

sekaligus dari beberapa masalah atau aktivitas yang diberikan terkait

materi permutasi.




1) Penggunaan konteks tahap ini muncul pada bagian pemberian

masalah 1, aktivitas 1 dan aktivitas 2



membuat model dari masalah 1, aktivitas 1, dan aktivitas 2.


251






mahasiswa-peneliti


tujuan dari masing-masing masalah 1, aktivitas 1 dan aktivitas 2.


252

b. Implementasi Pembelajaran Pertemuan 2



Peneliti: Selamat pagi teman-teman, bagaimana keaadan kalian?

Saya berharap kalian semua dalam keadaan sehat



M3: Selamat pagi pak, saya baik. Semoga Bapak juga sehat.

(beberapa respon mahasiswa).

Sebelum memulai pembelajaran serta menyampaikan agenda

pembelajaran hari ini yaitu: Mahasiswa melalui pemberian masalah

dapat memahami dan menjelaskan sekatan atau partisi dan definisi

dari kombinasi dan banyaknya kombinasi dari masalah yang

diberikan.

2) Peneliti mengirimkan file kedalam WhatsApp Group yang berisi

aktivitas 3 terdiri dari masalah 8-11 yang akan dikerjakan kelompok

2, 5, 10, dan 11, Aktivitas 4 terdiri dari masalah 12-16 yang akan

dikerjakan kelompok 1, 6, 8, dan 9, dan aktivitas 2 masalah 17-19

yang akan dikerjakan kelompok 3, 4, dan 7. Serta meminta

kelompok yang telah ditentukan untuk menyelesaikan masalah yang

diberikan dalam kelompok. Berikut file yang dikirimkan ke

whatsapp.


253


254


Peneliti: Silahkan berdiskusi dalam kelompok yang sama ya,

seperti pertemuan sebelumnya ya. Nanti saya juga akan

mengikuti diskusi, didalam kelompok kalian.

M1: Baik pak.

Peneliti: Proses diskusinya seperti pertemuan sebelumnya ya,

hasil diskusi jangan lupa dituliskan dengan rapih.

M2: Baik pak.



masalah yang diberikan dan dikerjakan secara berkelompok,

selanjutnya mahasiswa dapat menemukan penyelesaian dari masalah

yang diberikan. Hal ini sesuai dengan karakteristik dari PMR yang

pertama yaitu: pengunaan konteks. Pengunaan konteks ini

diharapkan dapat membuat mahasiswa lebih bersemangat dalam

mengikuti pembelajaran karena masalah yang diberikan merupakan

masalah dalam kehidupan sehar-hari atau kontekstual.

3) Peneliti memberikan waktu sekitar 25-35 menit untuk berdiskusi

dalam kelompok. Selama proses diskusi Peneliti ikut membantu dan

mengawasi jalannya proses diskusi didalam grup kecil. Peneliti



255

yang akan menuntun mahasiswa untuk menemukan ide dari masalah

yang dibahas seperti informasi apa saja yang dapat diperloleh dari

masalah yang diberikan. Salah satu contoh percakapan di whatsapp

grup kecil.

Aktivitas 3

M1: Punyaku gini

M2: Punyaku ini


256

M3: Punyaku caranya gini

M4: Ya kayaknya aku salah.

M2: Berarti pakai kombinasi ya?

M1: Bisa gak sih, soalnya gak memperhatikan urutan.

M4: Menurutku sih bisa, soalnya ini gak memperhatikan

urutan.

M2: AB sama aja BA kan, itu kan orang jadinya sama.

M1: Yuk lanjut masalah selanjutnya.

Peneliti: Sudah paham belum?

M1: Sudah pak

M2: Sejauh ini sudah pak

Peneliti: Kalau sudah coba lanjutkan ya masalah selanjutnya.


aktivitas 3 mahasiswa mengawali dengan memberikan dugaan awal

atas cara penyusunan didalam kamar dengan mengirimkan hasil

pekerjaan mereka masing-masing kedalam grup dimana rata-rata

pekerjaan melakukan pendataan, kemudain dari pekerjaan mereka

dilakukan diskusi untuk cara yang sesuai atau cocok yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Dari hasil diskusi

untuk masalah tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan

kombinasi.


257

Aktivitas 4

Peneliti: Peneliti: ayo teman-teman mulai berdiskusi.

M1: Pak yang masalah 12, orangnya ada 2, sementara berjabat

tangan dilakukan 2 orang, jadi berjabat tangan hanya

terjadi 1 kali, gitu gak pak?

Peneliti: Bagaimana pendapat yang lain? Misalkan orangnya A

dan B, maka bagaimana susunan jabat tangannya ?

M2: Susunannya A-B dan B-A. begini pak?

M3: A dan B berjabat tangan. Ada satu kali jabat tangan

Peneliti: AB sama enggak dengan BA?

M1: Sama

M4: Sama pak, karena orangnya ya sama A dan B

Peneliti: Oke benar ya. Kalau tiga orang bagaimana?

M1: 3 pak

M2: 3 pak AB, BC, dan AC

M3: 3 pak, berarti boleh menggunakan kombinasi pak?

Peneliti: Mengapa boleh?

M1: Karena tidak memperhatikan urutan pak

M3: Karena mendapatkan banyaknya susunan dari 𝑛 orang,

tanpa memperhatikan urutan.

Peneliti: Mengapa tidak memperhatikan urutan pak?

M2: Karena orang yang saling berjabat tangan.

M3: Karena orang pertama dan orang kedua kalau bersalaman

sama dengan orang kedua bersalaman dengan orang

pertama pak, jadi tidak memperhatikan urutan.

Peneliti: Peneliti: ok benar ya, silahkan dilanjutkan dan rapihkan

ya



atas jawaban dari masalah yang diberikan, kemudian mahasiswa

menunjukan dan menjelaskan jawaban yang telah diperoleh serta

masing-masing memberikan pendapat mengenai jawaban yang telah

diperoleh. Dari hal tersebut diketahui bahwa mahasiswa sudah

memahami maksud dari soal berserta cara yang digunakan dalam

menyelesaikan masalah tersebut.


258

Aktivitas 5

M1: Masalah 17 pakai kombinasi enggak teman-teman?

M2: Iya menurutku juga pakai kombinasi.

M3: Sepertinya iya deh?

Peneliti: Mengapa pakai kombinasi?


M1: Karena diambil 2 bola sekaligus

Peneliti: Mengapa diambl 2 bola sekaligus menggunakan

kombinasi?

M2: M2: karena misakan pengambilan bola H1K1 dan K1HI

dianggap sama.

Peneliti: Oke benar ya. Lanjutkan

M3: Teman-temana masalah 18 pakai kombinasi juga ya?

M4: Menurutku juga iya, kombinasi 4 dari 8

M1: Sepertinya begitu

Peneliti: Mengapa pakai kombinasi 4 dari 8?

M2: Karena dalam mengerjakan soal tidak memperhatikan

urutan pak, misalnya dia mengerjakan nomor 4, 5, 6, 7

atau 5, 4, 7, 6 dianggap sama (karena mengerjakan nomor

4-7) Apakah begitu pak?

M1: Karena masih kurang 4 pak soal yang harus dikerjakan

dari 8 soal yang tersisa pak.

M4: Mengapa kombinasi 4 dari 8? Karena 4 soal sudah wajib

dikerjakan. sehingga tinggal 8 soal yang tersisa, dan soal

yang harus dikerjakan ada 8, karena 4 soal sudah

dikerjakan maka tinggal 4 pak.

Peneliti: Oke benar ya. Silahkan dilanjutkan, dan dilengkapi ya



atas cara penyelesaian menggunakan kombinasi, selanjutnya

mahasiswa menjelaskan alasan mengapa bisa diselesaiakn

menggunakan kombinasi. Dari hal tersebut diketahui bahwa

mahasiswa sudah bisa menentukan perbedaan penggunaan

kombinasi atau permutasi dari masalah yang diberikan.

Berdasarkan diskusi yang terjadi didalam kelompok untuk

aktivitas 3, aktivitas 4 dan aktivitas 5 dan pemberian arahan yang

diberikan peneliti selama proses diskusi, maka dapat disimpulkan

bahwa mahasiswa didalam masing-masing kelompok dapat

menyelesaikan permasalahan yang diberikan dimana untuk aktivitas


259

3 mahasiswa dapat mengetahui maksud dari sekatan atau partisi,

aktivitas 4 mahasiswa sudah bisa memahami kombinasi adalah

partisi yang terdiri dari 2 sekatan, dan aktivitas 5 mahasiswa sudah

banyaknya kombinasi.

Berdasarkan hasil diskusi yang dilakukan didalam kelompok

untuk membahas aktivitas 3, akktivitas 4, dan aktivitas 5, langkah

penyelesaian untuk masing-masing masalah diselesaikan dengan

terstruktur diawali dengan informasi yang diketahui dari soal, apa

yang ditanyakan dan penyelesaian yang harus dilakukan. Dalam

menyelesaikan aktivitas 3, mahasiswa mengawali dengan mencari

informasi apa saja yang diketahui yaitu ketentuan penempatan

didalam kamar, cara menempatkan didalam kamar dan menghitung

banyak cara menempatkan orang didalam kamar. Untuk aktivitas 4,

mahasiswa dapat menyelesaikan kombinasi dengan tepat. Untuk

aktivitas 5, mahasiswa dapat menyelesaiakan banyaknya kombinasi

dengan tepat.





mahasiswa menuju matematika tingkat formal. Hal ini sesuai dengan

karakteristik PMR yang kedua yaitu: penggunaan model untuk

matematisasi progresif.




yang diberikan menjadi sebuah model matematika. Dari aktivitas 3,

mahasiswa diminta untuk menentukan banyaknya cara

menempatkan sejumlah mahasiswa kedalam kamar dan mahasiswa

membuat sketsa atau gambar yang dapat mewakili masalah yang

diberikan, diawali dengan memberikan indeks terhadap masing-


260

masing nama, mengetahui cara menempatkan kedalam kamar, dan

menghitung banyak cara yang dapat terjadi. Dari aktivitas 4,

mahasiswa diminta untuk menentukan banyak jabat tangan yang

terjadi dari 𝑛 orang yang hadir dan mahasiswa harus menyelesaikan

sesuai masalah yang diberikan karena masing-masing masalah

jumlah orang berbeda-beda, sebelum menentukan banyak jabatan

yang terjadi jika setiap orang harus berjabat tangan. Dari aktivitas 5

mahasiswa harus mengumpulkan informasi apa saja yang diketahui

dari masalah yang diberikan, menentukan teknik yang sesuai dengan

yang ditanyakan pada soal dan menyelesaikan masalah sesuai

dengan informasi yang diperoleh.




mengenai cara menyelesaikan masalah tersebut. Untuk membahas

aktivitas 3, Peneliti meminta, kelompok 2 untuk mengirimkan hasil

pekerjaan dan penjalasan kedalam grup kelas, untuk membahas

aktivitas 4 Peneliti meminta kelompok 9 untuk mengirimkan hasil

pekerjaan dan penjalasan kedalam grup kelas, dan untuk membahas

aktivitas 5 Peneliti meminta, kelompok 7 untuk mengirimkan hasil

pekerjaan dan penjalasan kedalam grup kelas.




261

Aktivitas 3


262

Gambar 4. 61 Pekerjaan Mahasiswa

Aktivitas 3

Peneliti: Baik mari kita cermati masalah 8 ya. Susunan kamar 2

Ani, kamar 1 Desi, Dita sama tidak dengan Susunan

kamar 2 :Ani, kamar 1 : Dita, Desi ?

M1: Sama pak

M2: Sama

Peneliti: Mengapa sama?

M3: Karena orangnya sama pak jadi dianggap 1

M4: Sama pak, karena dsei dan dita berada di satu kamar.

M5: Karena urutan tidak diperhatikan pak

M6: Sama pak, karena dalam penentuan tidk terkait dengan

posisi

Peneliti: Benar ya, karena ini kasus penempatan didalam kamar,

tidak memperhatikan cara masuk atau posisi


263

penempatan di tempat tidurnya jadi urutan Desi, Dita

dan Dita, Desi sama saja.. Oke, mengapa pada kasus ini

menggunakan kombinasi?


M8: Karena kombinasi tidak memperhatikan urutan pak

M9: Karena tidak memperhatikan urutan pak.

Peneliti: Benar ya. Mengapa menggunakan 3C2?

M10: Jumlah orangnya dan 2 adalah jumlah orang yang bisa

masuk dikamar 1.

M11: Seharusnya 3C2 pak, karena diambil 2 orang dari 3

orang pak untuk ditempatkan pada kamar 1 yang

memuat 2 orang.

Peneliti: Ok benar ya . Terus yang 1c1menyatakan apa?

M12: Sisa dari 3 orang kan 1 orang akan dimasukkan kekamar

yang kapasitasnya 1

M13: Dikamar 2 memuat 1 orang dan sisanya tinggal 1 jadi

1C1

M14: Karena sudah diambil 2 orang maka 3 − 1 tinggal 2

orang yang tersisa, sehingga menjadi 1C1.

Peneliti: Oke benar ya. Terus mengapa 3C2 dikalikan dengan

1C1, kenapa tidak dijumlahkan?

M15: Karena prinsip perkalian dan penjumlahan pak

M16: Karena menyatakan dan pak

Peneliti: Lengkapnya bagaimana kok bisa tiba-tiba muncul dan?

M17: 3C2 × 1C1 = kan berarti 2 orang ddan 1 orang pak

jumlah orangnya kan 3

M28: Kamar 1 ada …… dan kamar 2. Gitu pak?

Peneliti: Kurang lengkap ya, lengkapnya. Banyaknya cara

memasukkan 2 orang di kamar dua dan I orang di kamar

pertama. Ok silahkan dilanjutkan lagi ya




dengan menggunakan kombinasi karena pada masalah penempatan

orang kedalam kamar yang dikerjakan urutan tidak di perhatikan,

dan (2) mahasiswa dapat menjelasakan dengan detail mengenai

langkah penyelesaian yang digunakan dan mempertanggung

jawabkan apa yang telah mereka kerjakan.


264

Aktivitas 4

Gambar 4. 62 Pekerjaan Mahasiswa

Aktivitas 4


265

Peneliti: Baik teman-teman, mengapa kasus ini bisa menggunakan

kombinasi?

M21: Karena tidak memperhatikan urutan

M2: Karena tidak memperhatikan urutan pak, dalam berjabat

tangan

Peneliti: Mengapa tidak memperhatikan urutan?

M3: Karena dalam 1 kali jabat tangan terdapat 2 orang.

M4: Karena jabat tangan AB sama halnya dengan BA

M5: Karena tidak memperhatikan urutan saat berjabat tangan

pak, misalkan orang pertama memulai jabat tangan

dengan orang kedua, sama saja dengan orang kedua

memulai jabat tangan dengan orang pertama.

M6: Karena jika A bersalaman dengan B maka sama saja

dengan B bersalaman dengan A

Peneliti: Ok benar ya, kalau ada tiga yang akan jabat tangan ada

berapa kemungkinan?

M7: 3 pak

M8: 3 pak

Peneliti: Darimana 3?

M9: AB, BC, dan AC

M10: BA, BC dan CA

Peneliti: Oke benar ya, kalau 4?

M11: AB, AC, AD, BC, BD, dan CD

M12: DC, DB, DA, CB, CA, dan BA

Peneliti: Ok, kalau 10 orang?

M13: 45 pak

M14: 10!

8!2!= 45

M15: 10C2 = 45

Peneliti: Oke benar ya, 10C2= 45. Nah kalau ada n orang, ada

berapa jabat tangan yang terjadi?

M16: 𝑛𝐶2

M17: 𝑛!

2!(𝑛−2)!

Peneliti: Oke benar ya.




dengan menggunakan kombinasi karena pada masalah jabat tangan

yang dikerjakan urutan tidak di perhatikan, (2) mahasiswa dapat

menjelasakan dengan detail mengenai langkah penyelesaian yang



266

kerjakan, dan (3) mahasiswa dapat membuat bentuk umum

penyelesaian untuk 𝑛 orang yang berjabat tangan.

Aktivitas 5



267

Peneliti: Kok disusunan tersebut tidak ada H2H1 ya, kenapa?

M1: Karena diambil sekaligus dimana tidak memperhatikan

urutan, H1H2=H2H1.

M2: Karena H1H2=H2H1

Peneliti: Kenapa sama?

M3: Karena pengambilan 2 sekaligus

M4: Karena pengambilannya bareng

M5: Karena pengambilan 2 sekaligus pak

Peneliti: Oke benar ya, karena pengambilannya 2 sekaligus. Kalau

begitu bisa tidak pakai kombinasi?

M6: Bisa pak

M7: Bisa Pak

Peneliti: Kombinasi berapa?

M8: 9C2

M9: 9C2 pak

M10: 9C2

M11: 2 dari 9 pak

Peneliti: Ok 9 dari mana? Dua dari mana?

M12: Dari jumlah bola keseluruhan

M13: 9 jumlah bolanya. 2 yg diambil

M14: 9 dari banyak bola dan 2 yang diambil

Peneliti: Ok benar ya, lanjut masalah selanjutnya. Kok masalah 18

pakai kombinasi ya?

M15: Tidak memperhatikan urutan yang di kerjakan pak

M16: Karena milih soalnya bebas pak nggak memperhatikan

urutan gitu

Peneliti: Ok benar ya. Tapi kok kombinasinya 8C4 ya, kan soalnya

ada 12? Mengapa tidak 12C4?

M17: Kan itu pak ada 4 soal yang wajib d kerjakan gitu pakk

M18: Kan sudah dikurangi yang wajib dikerjakan pak, jadi yg

tersisah 8 soal pak

M19: Karena 4 soal sudah wajib dikerjakan, jadi tinggal 8 soal

lagi pak

M20: Yang 4 soal wajib dikerjakan, jadi tersisa 8 soal

Peneliti: Ya benar ya, karena 4 soal wajib dikerjakan, sehingga

tinggal 8 yang bisa dipilih dan dari 8 wajib milih 4.




dengan menggunakan kombinasi karena pada masalah yang

dikerjakan urutan tidak di perhatikan, (2) mahasiswa dapat


268

menjelaskan dengan detail mengenai langkah penyelesaian yang


kerjakan, dan (3) mahasiswa mampu menemukan menganalisis

masalah yang diberikan dan dikaitkan dengan teknik yang digunakan

yaitu kombinasi.

Berdasarkan diskusi yang dilakukan dalam membahas


menentukan semua informasi dari masalah yang diberikan, (2)


berdasarkan cara penempatan kejadian, (3) mahasiswa mampu

menyelesaikan masalah dengan informasi yang diperoleh dan (4)

mahasiswa dapat menjelaskan dengan detail mengenai kejadian

yang dihasilkan.

Berdasarkan transkrip percakapan untuk penjelasan aktivitas

3, aktivitas 4, dan aktivitas 5, maka terlihat bahwa mahasiswa dalam

menyelesaikan masalahnya yang diberikan selalu diawali dengan

mengumpulkan informasi apa saja yang diperoleh dari masalah yang

diberikan, mahasiswa saling berdiskusi dalam kelompok untuk

menyelesaiakan masalah yang diberikan, dan mahasiswa mampu

menjelaskan apa yang telah dikerjakan dengan detail. Hal ini sesuai

dengan karekteristik dari PMR yang ke 3 dan ke 4 yaitu

Pemanfaatan Hasil Konstruksi Siswa dan Interkativitas.

Pemanfaatan hasil konstruksi siswa ini digunakan sebagai salah satu

landasan yang digunakan untuk mengembangkan kemampuan

siswa, dimana hasil konstruksi yang digunakan untuk aktivitas 3

dapat menjadi dasar untuk menyelesaikan aktivitas 4 dan aktivitas 5.

Sedangkan untuk pemanfaatan untuk interkativitas bermanfaat


mahasiswa. Dari interaksi-interaksi yang dilakukan oleh mahasiswa-

mahasiswa dan mahasiswa-Peneliti, diharapakan dapat membantu

mahasiswa untuk mengkonstruksi pengetahuannya.


269



masalah lain yang ingin ditanyakan. Namun untuk aktivitas 4 dan 5

tidak terjadi pembahasan yang lebih lanjut. Untuk aktivitas 3 ada

diskusi mengenai masalah yang lebih luas.

Aktivitas 3

Peneliti: Apakah masalah 8 bisa diselesaikan dengan 3!

2!1!. Kalau

bisa mengapa, jika tidak bisa mengapa?

M1: Bisa pak

M2: Bisa pak, karena masalah 8 tidak memperhatikan

urutan.

Peneliti: Mengapa bisa, coba tunjukkan prosesnya sehingga bisa

dikerjakan dengan 3!

2!1!?. Apakah 3C2 × 1C1 =

3!

2!1!, jika

iya tunjukkan, jika tidak tunjukkan.

M3: Yah tidak sama sih pak, kebetulan hasilnya sama.

Peneliti: Kalau begitu coba tulis proses perkalian dari 3C2×1C1

M4: 3C2×1C1= 3!

2!1!×

1!

0!1!

Peneliti: Coba diperhatikan ya

Jadi 3C2 × 1C1 sama tidak dengan 3!

2!1!

M5: Sama pak

M6: Sama pak

Peneliti: Kalau begitu 3!

2!1!, dari kasus ini, 3! Menyatakan apa, 2!

Menyatakan apa, dan 1! Menyatakan apa?

M7: 3! Menyatakan jumlah susunan dari 3 orang, lalu 2! Menyatakan susunan dari 2 orang dalam 1 kamar dan

1! Menyatakan susunan 1 orang dalam 1 kamar.

M8: 3! Menyatakan jumlah keseluruhan orang. 2! Kapasitas

kamar 1, dan 1! Kapasistas kamar 2

Peneliti: Jadi 3! Menyatakan banyaknya orang yang akan dibagi,

2! Menyatakan yang masuk kamar dua, dan 1!

Menyatakan banyaknya orang yang masuk ke kamar 1.


270

Oke inilah yang didalam teori peluang yang disebut

sekatan.

M9: Berarti kalau missal mau dituliskan langung, gak perlu

tulis 3C2 gitu pak?

Peneliti: Iya boleh tulis langsung, jadi itu sudah merupakan hasil

perkalian 3C2 dan 1C1. Boleh, karena ini menggunakan

konsep sekatan.


mahasiswa sudah mampu menjelaskan bilang yang dituliskan itu

merepresentasikan sesuatu misalnya dalam penyelesaian masalah

diatas 3! menyatakan jumlah susunan dari 3 orang, lalu 2!

menyatakan susunan dari 2 orang dalam 1 kamar dan 1! menyatakan

susunan 1 orang dalam 1 kamar. Hal ini sesuai dengan karakteristik

PMR yang ke 3 yaitu: Pemanfaatan Hasil Konstruksi Mahasiswa.

Mahasiswa sudah mempunyai konstruksi mengenai konsep dari

masalah yang dikerjakan, dengan adanya diskusi yang dilakukan

akan semakin memperkuat pengetahuan yang dimiliki mahasiswa

mengenai konsep sekatan.


telah dipelajari pada pertemuan hari ini berdasarkan masing-masing

masalah dan aktivitas yang telah dilakukan.

Aktivitas 3

M1 Mengetahui banyaknya cara menyekat/ partisi 𝑛 objek

yang berbeda kedalam 𝑟 sel yang masing-masing terdiri

dari 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ = 𝑟 atau dapat ditulis 𝑛!

𝑛1!𝑛2!…𝑛𝑟!



yang berkaitan dengan dengan banyaknya cara menyekat/ partisi 𝑛

objek yang berbeda kedalam 𝑟 sel yang masing-masing terdiri dari

𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ = 𝑟 atau dapat ditulis 𝑛!

𝑛1!𝑛2!…𝑛𝑟! bahasanya sendiri


271

berdasarkan pengalaman dalam menyelesaikan masalah yang telah

dikerjakan.

Aktivitas 4

M1: Kombinasi adalah sekatan yang hanya memiliki tepat

dua sekat

M2: Mempelajari kombinasi adalah partisi yang terdiri atas

2 sekatan, dimana sekatan pertama terdiri dari 𝑟 elemen

dan sekat kedua terdiri dari 𝑛 − 𝑟 elemen.


mahasiswa dapat membuat kesimpulan dari masalah yang diberikan

yaitu kombinasi adalah sekatan yang hanya memiliki tepat 2 sekat

dengan bahasanya sendiri berdasarkan pengalaman dalam


Aktivitas 5

M1: Mempelajari cara menghitung banyaknya kombinasi.


mahasiswa dapat memahami penggunaan kombinasi dalam

menyelesaiakn masalah yang diberikan dengan adanya latihan

tersebut akan membuat mahasiswa lebih memahami dan memaknai

kombinasi.

Berdasarkan kesimpulan yang diperoleh dari aktivitas 3 ,

aktivitas 4, dan aktivitas 5, dapat disimpulkan bahwa (1) mahasiswa

sudah dapat menyimpulkan tujuan yang ingin dicapai untuk masing-

masing masalah atau aktivitas. Hal ini sesuai dengan karakteristik ke

5 dari PMR yaitu: Keterkaitan. Melalui keterkaitan dalam

pembelajaran kali ini diharapakan mahasiswa dapat membangun

beberapa konsep sekaligus dari beberapa masalah atau aktivitas yang

diberikan terkait materi permutasi.


272




1) Penggunaan konteks tahap ini muncul pada bagian pemberian,




membuat model dari aktivitas 3, aktivitas 4, dan aktivitas 5






mahasiswa-peneliti


tujuan dari masing-masing aktivitas 3, aktivitas 4, dan aktivitas

c. Implementasi Pembelajaran Pertemuan 3

1) Dosen mengawali pembelajaran dengan mengucap salam dan


pembelajaran hari ini di WhatsApp Group .

2) Dosen memberikan tes mengenai permutasi dan kombinasi, soal



terjadi kesalahan dalam pengerjaan dan pengumpulan. Tes diberikan

hari rabu, 16 September 2020, berikut soal tes yang diberikan:


273


Jadi, untuk implementasi pembelajaran pada pertemuan 3 kegiatan

yang dilakukan oleh peneliti yaitu untuk mengetahui kemampuan


dengan menggunakan pendekatan PMR.


274

3. Deskripsi Hasil Tes tertulis

Peneliti akan mengadakan tes tertulis pada tanggal 16 September

2020 setelah proses pembelajaran yang telah dilakukan kepada mahasiswa




akan dilakukan pada pertemuan ketiga dengan tujuan untuk mengetahui







275

Berikut ini akan disajikan hasil tes mahasiswa yang akan

dideskripsikan berdasarkan kemampuan representasi matematis matematis

pada kelompok jawaban yang sama.

Masalah Pertama

Hasil tes pada masalah pertama ada tiga kelompok jawaban mahasiswa.


berikut:

a. Kelompok Jawaban Pertama Masalah Pertama

Ada 21 mahasiswa menyelesaikan masalah pertama dengan cara

sebagai berikut:


276




277




mengelompokkan atau membaginya menjadi 9 kasus yaitu: (1) terambil

pertama dan kedua tidak mendapat hadiah, (2) terambil pertama dan

kedua motor, (3) terambil pertama dan kedua mobil, (4) terambil

pertama tidak berhadiah dan terambil kedua motor, (5) terambil

pertama tidak berhadiah dan terambil kedua mobil, (6) terambil pertama

motor dan terambil kedua mobil, (7) terambil pertama motor dan

terambil kedua tidak berhadia, (8) terambil pertama mobil dan terambil

kedua tidak berhadiah, dan (9) terambil pertama mobil dan terambil

kedua tidak berhadiah. Setelah pembagian kasus selesai mahasiswa

menghitung banyaknya cara yang mungkin untuk 9 kasus tersebut, cara

untuk menghitung yaitu menggunakan permutasi dikarenakan pada

proses pengambilan undian tidak berlaku pengembalian dan

pengambilan dilakukan satu per satu sehingga cocok untuk

menggunakan permutasi dan berdasarkan 9 kasus tersebut juga

menggunakan konsep perkalian dimana terdapat kata hubung danyang

memisahkan masalah satu dengan masalah berikutnya yang berada

pada kasus yang sama.



untuk memperoleh kesimpulan ahkir yaitu banyaknya kemungkinan

dari percobaan pengambilan hadiah kejutan dari seorang konsumen

pada toko tersebut sebanyak 9 kasus: 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 +



𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 8 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 9





278

tersebut yang dibagi-bagi menjadi 9 kasus berdasarkan apa yang telah

diketahui. Mahasiswa juga sudah bisa menentukan cara apa yang

digunakan untuk menghitung banyak kemungkinan, yang sesuai


menggunakan permutasi, (2) dari jawaban mahasiswa mampu membuat

model matematis dari informasi yang telah diperoleh yaitu cara

pengambilan satu per satu dan tanpa pengembalian mengunakan

metode permutasi dan kata hubung dan yang memisahkan kejadian satu

dengan kejadian yang lain yang berada pada kasus yang sama itu

menggunakan konsep perkalian sehingga diperoleh 𝑃𝑟𝑛 ×.𝑃𝑟

𝑛 (3)



sebagai permutasi dan × yang merepresentasikan sebagai kata hubung

dan yang memisahkan kejadian yang satu dengan yang lain. Setelah







diperoleh untuk kelompok jawaban pertama memenuhi empat indikator

kemampuan representasi matematis


279

b. Kelompok Jawaban Kedua Masalah Pertama

Ada empat mahasiswa menyelesaikan masalah pertama dengan







mengelompokkan atau membaginya menjadi 6 kasus yaitu: (1) terambil

pertama dan kedua mobil, (2) terambil pertama dan kedua motor, (3)

terambil pertama dan kedua tidak berhadiah, (4) terambil pertama mobil

dan terambil kedua motor, (5) terambil pertama mobil dan terambil


280

kedua tidak berhadiah, dan (6) terambil pertama motor dan terambil

kedua tidak berhadiah,. Setelah pembagian kasus selesai mahasiswa

menghitung banyaknya cara yang mungkin untuk 6 kasus tersebut, cara

untuk menghitung yaitu menggunakan permutasi dikarenakan pada

proses pengambilan undian tidak berlaku pengembalian dan

pengambilan dilakukan satu per satu sehingga cocok untuk

menggunakan permutasi dan berdasarkan 6 kasus tersebut juga

menggunakan konsep perkalian dimana terdapat kata hubung danyang

memisahkan masalah satu dengan masalah berikutnya yang berada

pada kasus yang sama.



untuk memperoleh kesimpulan ahkir yaitu banyaknya kemungkinan

dari percobaan pengambilan hadiah kejutan dari seorang konsumen

pada toko tersebut sebanyak 9 kasus: 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 +

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢ℎ 3 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 4 +

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 5 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 6




tersebut yang dibagi-bagi menjadi 6 kasus berdasarkan apa yang telah

diketahui, hanya saja dalam melakukan pendatan kedalam beberapa

kasus ada 3 kasus yang terlewatkan dalam pendataan yang dilakukan

yaitu (1) terambil pertama motor dan terambil kedua mobil, (2) terambil

pertama tidak berhadiah dan terambil kedua motor, dan (3) terambil

pertama tidak berhadiah dan terambil kedua mobil. 3 kasus ini bisa

terlewatkan dalam proses pendataan mungkin dikarenakan mahasiswa

menganggap kejadian terambil pertama mobil dan terambil kedua

motor sama dengan terambil pertama motor dan terambil kedua mobil.

Mahasiswa juga sudah bisa menentukan cara apa yang digunakan

untuk menghitung banyak kemungkinan, yang sesuai dengan


281

pengambilan satu per satu dan tanpa pengembalian yaitu menggunakan

permutasi, (2) dari jawaban mahasiswa mampu membuat model


satu per satu dan tanpa pengembalian mengunakan metode permutasi

dan kata hubung dan yang memisahkan kejadian satu dengan kejadian

yang lain yang berada pada kasus yang sama itu menggunakan konsep

perkalian sehingga diperoleh 𝑃𝑟𝑛 ×.𝑃𝑟

𝑛 (3) berdasarkan penyelesaian

yang dilakukan mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis yaitu

menggunakan 𝑃𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai permutasi dan ×

yang merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang memisahkan

kejadian yang satu dengan yang lain. Setelah mahasiswa melibatkan




secara keseluruhan mahasiswa sudah dapat menentukan banyaknya



jawaban pertama memenuhi empat indikator kemampuan representasi

matematis.


282

c. Kelompok Jawaban Ketiga Masalah Pertama

Ada 17 mahasiswa menyelesaikan masalah pertama dengan cara

sebagai berikut:






langsung menggunakan cara permutasi untuk menghitung banyaknya

kemungkinan yang terjadi. Mahasiswa langsung menggunakan

permutasi karena berdasarkan informasi yang diperoleh dari soal yaitu

pengambilan dilakuakn satu per satu tanpa pengembalian sehingga

mahasiswa langsung mengunakan permutasi.

Proses selanjutnya yang dilakukan mahasiswa yaitu langsung

menghitung menggunakan rumus dari permutasi yaitu 𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛−𝑟)!

Dengan 𝑛 = 20 dan 𝑟 = 2. 𝑛 merepresentasikan banyaknya kartu

undian(mobil. Motor, dan tidak berhadiah) dan r merepresentasikan

kartu yang akan diambil.




283


tersebut yang dikerjakan tanpa pembagian kasus melainkan hanya 1

kasus saja yaitu pengambilan 2 kartu undian yang akan diambil satu

persatu tanpa pengembalian dari jumlah 20 kartu undian (8 kartu motor,

5 kartu mobil, dan7 kartu tidak berhadiah).Mahasiswa juga sudah bisa

menentukan cara apa yang digunakan untuk menghitung banyak

kemungkinan, yang sesuai dengan pengambilan satu per satu dan tanpa

pengembalian yaitu menggunakan permutasi , (2) dari jawaban

mahasiswa mampu membuat model matematis dari informasi yang

telah diperoleh yaitu cara pengambilan satu per satu dan tanpa

pengembalian mengunakan metode permutasi𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛−𝑟)! (3)



sebagai permutasi, 𝑛 merepresentasikan sebagai total jumlah kartu

undian, dan 𝑟 merepresentasikan jumlah kartu yang akan diambil.





dapat menentukan banyaknya kemungkinan dari percobaan

pengambilan hadiah kejutan dari seorang konsumen pada toko.

Kesimpulan yang diperoleh untuk kelompok jawaban pertama

memenuhi empat indikator kemampuan representasi matematis.


284

d. Kelompok Jawaban Keempat Masalah Pertama

Ada tiga mahasiswa menyelesaikan masalah pertama dengan cara

sebagai berikut:





memperhatikan cara pengambilan undian tersebut. Mahasiswa

langsung menggunakan proses penjumlahan untuk kemungkinan

kejadian pengambilan kartu pertama dan kartu kedua berdasarkan

informasi yang diperoleh dari soal yaitu pengambilan dilakuakn satu

per satu tanpa pengembalian.

Proses selanjutnya yang dilakukan mahasiswa yaitu langsung

menghitung banyaknya kemungkingan terambil kartu pertama pada

kejadian pertama yaitu ada 20 kartu selanjutnya karena pengambilan

tanpa pengembalian maka untuk pengambilan kartu kedua tersisa 19

kartu. Untuk banyaknya pengambilan kartu pertama dan kartu kedua

sebanyak 20 + 19 = 39 cara.




285

masalah pertama tidak mampu merepresentasikan cara pengambilan

undian tersebut. Mahasiswa juga masih keliru dalam menentukan cara

apa yang digunakan untuk menghitung banyak kemungkinan, yang

sesuai dengan pengambilan satu per satu dan tanpa pengembalian, (2)

dari jawaban mahasiswa tidak mampu membuat model matematis dari

informasi yang telah diperoleh yaitu cara pengambilan satu per satu dan

tanpa pengembalian .(3) berdasarkan penyelesaian yang dilakukan

mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis yaitu + yang

merepresentasikan sebagai penjumlahan yang membedakan kasus

pengambilan pertama dan kedua. Hanya saja ekspresi yang digunakan

masih tidak tepat seharusnya ekpresi yang digunakan yaitu × yang

merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang memisahkan kejadian

yang satu dengan yang lain. Setelah mahasiswa melibatkan ekspresi




keseluruhan mahasiswa tidak dapat menentukan banyaknya



jawaban kempat tidak memenuhi empat indikator kemampuan

representasi matematis

Jadi, dari tiga kelompok jawaban untuk masalah satu, dapat

disimpulkan bahwa 42 mahasiswa sudah dapat melakukan membuat

gambar sebagai representasi dari masalah yang dihadapi, membuat

persamaan atau model matematis, menyelesaiakan masalah melibatkan


dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan dan tiga mahasiswa tidak

dapat melakukan membuat gambar sebagai representasi dari masalah yang

dihadapi, membuat persamaan atau model matematis, menyelesaiakan

masalah melibatkan ekspresi matematis, dan menuliskan langkah-langkah



286

Masalah Kedua

Hasil tes pada masalah kedua ada tiga kelompok jawaban mahasiswa.


berikut:

a. Kelompok Jawaban Pertama Masalah Kedua

Ada 36 mahasiswa menyelesaikan masalah kedua dengan cara

sebagai berikut:






287






cara yang mungkin untuk 3 kasus tersebut, cara untuk menghitung yaitu

menggunakan kombinasi dikarenakan pada misal: di mobil pertama

berisikan ABCD akan sama dengan BCDA dikarenakan meraka berada

didalam mobil yang sama, sehingga tidak memperhatikan urutan dan

cocok untuk menggunakan kombinasi dan berdasarkan 3 kasus tersebut

juga menggunakan konsep perkalian dimana terdapat kata hubung dan

yang memisahkan mobil pertama dan mobil kedua.



untuk memperoleh kesimpulan ahkir yaitu banyaknya cara


𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 + 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3 +

Jadi berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa pada masalah kedua


kedua mampu merepresentasikan cara menempatkan 8 orang kedalam

mobil yang bagi-bagi menjadi 3 kasus. Mahasiswa juga mampu

menentukan cara apa yang digunakan untuk menghitung banyaknya car

acara menempatkan 8 orang ke dalam dua mobil, yaitu menggunakan

kombinasi, (2) dari jawaban mahasiswa mampu membuat model

matematis dari informasi yang telah diperoleh yaitu cara menempatkan

8 orang kedalam mobil yaitu mengunakan metode kombinasi dan kata

hubung dan yang memisahkan mobil pertama dengan mobil kedua

menggunakan konsep perkalian sehingga diperoleh 𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛 (3)





288

dan yang memisahkan mobil pertama dengan mobil kedua. Setelah





menentukan banyaknya cara menempatkan 8 mahasiswa kedalam dua

mobil. Kesimpulan yang diperoleh untuk kelompok jawaban pertama

masalah kedua memenuhi empat indikator kemampuan representasi

matematis

b. Kelompok Jawaban Kedua Masalah Kedua

Ada lima mahasiswa menyelesaikan masalah kedua dengan cara

sebagai berikut:




289








cara yang mungkin untuk 3 kasus tersebut, cara untuk menghitung yaitu

menggunakan kombinasi dikarenakan pada misal: di mobil pertama

berisikan ABCD akan sama dengan BCDA dikarenakan meraka berada

didalam mobil yang sama, sehingga tidak memperhatikan urutan dan

cocok untuk menggunakan kombinasi dan berdasarkan 3 kasus tersebut

juga menggunakan konsep perkalian dimana terdapat kata hubung dan

yang memisahkan mobil pertama dan mobil kedua.



untuk memperoleh kesimpulan ahkir yaitu banyaknya cara


𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 + 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3 . Hanya saja dalam proses

perhitungan menggunakan kombinasi mahasiswa masih keliru dalam

menentukan banyaknya kombinasi di kasus 1 mahasiswa menulis

bentuk kombinasi 𝐶66 ×.𝐶2

4, seharusnya yang harus ditulis mahasiswa

𝐶68 ×.𝐶2

2, begitu pun dengan kasus 2 bentuk kombinasi yang ditulis

mahasiswa 𝐶56 ×.𝐶3

4, seharusnya yang harus ditulis mahasiswa 𝐶58 ×.𝐶3

3

dan di kasus 3 mahasiswa menulis bentuk kombinasi 𝐶46 ×.𝐶4

4,

seharusnya yang harus ditulis mahasiswa 𝐶48 ×.𝐶4

4



kedua mampu merepresentasikan cara menempatkan 8 orang kedalam

mobil yang bagi-bagi menjadi 3 kasus. Mahasiswa juga mampu



290


kombinasi hanya saja dalam menentukan bentuk dari kombinasi

mahasiswa masih mengalami kekeliruan, (2) dari jawaban mahasiswa


yaitu cara menempatkan 8 orang kedalam mobil yaitu mengunakan

metode kombinasi dan kata hubung dan yang memisahkan mobil

pertama dengan mobil kedua menggunakan konsep perkalian sehingga

diperoleh 𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛 , hanya saja dari model matematis yang dibuat

mahasiswa masih tidak tepat (3) berdasarkan penyelesaian yang


menggunakan 𝐶𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai kombinasi dan ×

yang merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang memisahkan

mobil pertama dengan mobil kedua. Setelah mahasiswa melibatkan




secara keseluruhan mahasiswa sudah dapat menentukan banyaknya

cara menempatkan 8 mahasiswa kedalam dua mobil. Kesimpulan yang

diperoleh untuk kelompok jawaban kedua masalah kedua memenuhi

tiga indikator kemampuan representasi matematis yaitu membuat

gambar sebagai representasi matematis, menyelesaiakan masalah




291

c. Kelompok Jawaban Ketiga Masalah Kedua

Ada empat mahasiswa menyelesaikan masalah ketiga dengan





menyelesaiakan masalah yang diberikan tidak membagi menjadi

beberapa kasus melainkan langsung dikerjakan. Mahasiswa dalam

kelompok yang ketiga ini hanya menuliskan kembali kapasitas dari

mobil pertama dan kedua. Selanjutnya mahasiswa menghitung

banyaknya cara yang mungkin untuk kasus tersebut, cara untuk

menghitung yaitu menggunakan kombinasi dikarenakan pada misal: di

mobil pertama berisikan ABCD akan sama dengan BCDA dikarenakan

meraka berada didalam mobil yang sama, sehingga tidak

memperhatikan urutan dan cocok untuk menggunakan kombinasi dan

berdasarkan kasus tersebut juga menggunakan konsep perkalian

dimana terdapat kata hubung dan yang memisahkan mobil pertama dan

mobil kedua.


292


perhitungan terhadap kasus yang telah dibuat. Hanya saja dalam proses

pengerjaan mahasiswa tidak membagikan kedalam beberapa kasus

yang menyebabkan perhtiungan juga tidak tepat dan dalam pengubahan

menjadi model matematis juga masih keliru, mahasiswa menuliskan

𝐶68 ×.𝐶4

8, dalam model matematis yang dibuat masih kurang tepat

karena kejadian pertama akan mempengaruhi kejadian kedua maka

model matematis yang akan terbentuk seharusnya menjadi 𝐶68 ×.𝐶2

2,



kedua tidak mampu merepresentasikan cara menempatkan 8 orang

kedalam mobil pertama dan kedua. Mahasiswa juga mampu



kombinasi hanya saja dalam menentukan bentuk dari kombinasi

mahasiswa masih mengalami kekeliruan, (2) dari jawaban mahasiswa


yaitu cara menempatkan 8 orang kedalam mobil yaitu mengunakan

metode kombinasi dan kata hubung dan yang memisahkan mobil

pertama dengan mobil kedua menggunakan konsep perkalian sehingga

diperoleh 𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛 , hanya saja dari model matematis yang dibuat

mahasiswa masih tidak tepat karena mahasiswa tidak memperhatikan

bahwa kejadian pertama akan mempengaruhi kejadian kedua (3)




dan yang memisahkan mobil pertama dengan mobil kedua. Setelah






293

menentukan banyaknya cara menempatkan 8 mahasiswa kedalam dua

mobil. Kesimpulan yang diperoleh untuk kelompok jawaban ketiga

masalah kedua memenuhi dua indikator kemampuan representasi

matematis yaitu menyelesaiakan masalah melibatkan ekspresi



Jadi, dari tiga kelompok jawaban untuk masalah dua, dapat







Masalah Ketiga

Hasil tes pada masalah pertama ada dua kelompok jawaban mahasiswa.


berikut:

a. Kelompok Jawaban Pertama Masalah Ketiga

Ada 26 mahasiswa menyelesaikan masalah ketiga dengan cara

sebagai berikut:


294







mahasiswa terlebih dahulu menganggap bahwa dua orang yang selalu

duduk berdampingan itu dihitung satu, sehingga jumlah orang yang

awalnya dari 6 sekarang menjadi 5 saja kemudian 2 orang yang mau

duduk berdampingan itu dihitung menjadi 2 faktorial yang artinya

mereka selalu berdampingan karena posisi duduk melingkar contoh:


295

ABCD itu berbeda dengan BACD, namun A dan B selalu

berdampingan makanya harus dikalikan 2 faktorial untuk menentukan

2 orang yang selalu duduk berdampingan.




orang yang akan duduk melingkar yaitu 6 orang untuk bagian b

mahasiswa tinggal mengurangkan hasil perhitungan 6 orang duduk

melingkar dangan 2 orang yang selalu duduk berdampingan yaitu

(𝑛 − 1)! 2!.

Jadi berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa pada masalah ketiga


ketiga mampu merepresentasikan susunan dari 6 orang yang akan

duduk melingkar dan dari 6 orang tersebut ada 2 orang yang tidak mau

duduk berdampingan. Mahasiswa juga mampu menentukan cara apa

yang digunakan untuk menghitung banyaknya susunan dari 6 orang

yang akan duduk melingkar dan dari 6 orang tersebut ada 2 orang yang

tidak mau duduk berdampingan , yaitu menggunakan permutasi siklis,

(2) dari jawaban mahasiswa mampu membuat model matematis dari

informasi yang telah diperoleh yaitu susunan dari 6 orang yang akan

duduk melingkar dan dari 6 orang tersebut ada 2 orang yang tidak mau

duduk berdampingan yaitu mengunakan permutasi siklis Untuk 6 orang

yang akan duduk melingkar (𝑛 − 1)! = (6 − 1)! dan dari 6 orang

tersebut ada 2 orang yang tidak mau duduk berdampingan(𝑛 − 1)! −

(𝑛1 − 1)! × 2! = (6 − 1)! − (5 − 1)! × 2! (3) berdasarkan

penyelesaian yang dilakukan mahasiswa sudah melibatkan ekspresi

matematis yaitu menggunakan (𝑛 − 1)! yang merepresentasikan

sebagai permutasi siklis dan × yang merepresentasikan sebagai kata

hubung dan yang memisahkan 5 orang yang duduk melingkar dan 2

orang tersebut selalu berdampingan. Setelah mahasiswa melibatkan



296



secara keseluruhan mahasiswa sudah dapat menentukan susunan dari 6

orang yang akan duduk melingkar dan dari 6 orang tersebut ada 2 orang

yang tidak mau duduk berdampingan. Kesimpulan yang diperoleh

untuk kelompok jawaban pertama masalah ketiga memenuhi empat


b. Kelompok Jawaban Kedua Masalah Ketiga

Ada 19 mahasiswa menyelesaikan masalah ketiga dengan cara

sebagai berikut:






297



mahasiswa sudah menganggap bahwa dua orang yang selalu duduk

berdampingan itu dihitung satu, hanya saja mahasiswa masih lupa

untuk mengalikan dengan 2!




orang yang akan duduk melingkar yaitu 6 orang untuk bagian b

mahasiswa tinggal mengurangkan hasil perhitungan 6 orang duduk

melingkar dengan 2 orang yang selalu duduk berdampingan yaitu hasil

(𝑛 − 1) = (6 − 1)! Dikurangkan (𝑛 − 1) = (5 − 1)! orang yang

selalu duduk berdampingan.

Jadi berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa pada masalah ketiga


ketiga mampu merepresentasikan susunan dari 6 orang yang akan

duduk melingkar, serta masih keliru dalam membuat representasi dari

6 orang tersebut ada 2 orang yang tidak mau duduk berdampingan.

Mahasiswa juga mampu menentukan cara apa yang digunakan untuk

menghitung banyaknya susunan dari 6 orang yang akan duduk

melingkar , yaitu menggunakan permutasi siklis, namun masih keliru

untuk menentukan cara dari 6 orang tersebut ada 2 orang yang tidak

mau duduk berdampingan, (2) dari jawaban mahasiswa mampu

membuat model matematis dari informasi yang telah diperoleh untuk

susunan dari 6 orang yang akan duduk melingkar yaitu mengunakan

permutasi siklis, Untuk 6 orang yang akan duduk melingkar (𝑛 − 1)! =

(6 − 1)! , namun dari 6 orang tersebut ada 2 orang yang tidak mau

duduk berdampingan masih keliru dalam proses pembuatan model

matematisnya karena mahasiswa lupa untuk mengalikan 2! dari model

matematis yang dibuat, (3) berdasarkan penyelesaian yang dilakukan



298

(𝑛 − 1)! yang merepresentasikan sebagai permutasi siklis dan × yang

merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang memisahkan 5 orang

yang duduk melingkar dan 2 orang tersebut selalu berdampingan.





dapat menentukan susunan dari 6 orang yang akan duduk melingkar dan

dari 6 orang tersebut ada 2 orang yang tidak mau duduk berdampingan.

Kesimpulan yang diperoleh untuk kelompok jawaban kedua masalah

ketiga memenuhi dua indikator kemampuan representasi matematis

yaitu menyelesaiakan masalah melibatkan ekspresi matematis, dan


menarik kesimpulan.

Jadi, dari dua kelompok jawaban untuk masalah dua, dapat

disimpulkan bahwa dari 45 mahasiswa terbagi menjadi 26 mahasiswa







299

Masalah Keempat

Hasil tes pada masalah pertama ada empat kelompok jawaban mahasiswa.


berikut:

a. Kelompok Jawaban Pertama Masalah Keempat

Ada 24 mahasiswa menyelesaikan masalah keempat dengan cara

sebagai berikut:










300





perhitungan untuk masalah a dengan menggunakan feeling slot untuk











nilai tempat terahkir, maka slot ketiga akan berisi 4 angka, kemudian





penempatan filling slot untuk bagian a menjadi 4 × 4 × 4 = 64 angka




khusus pada bagian c ini mahasiswa melakukan pembagian menjadi 2

kasus agar tidak membingungkan yaitu untuk kasus pertama dislot

terahkir berisikan kartu 2 dan kasus kedua slot terahkir berisikan kartu

0. Dari kasus yang telah dibagikan tersebut maka untuk kasus pertama

slot ketiga berisikan 1 angka, slot pertama 5 angka dan slot kedua 4

angka, dan kasus kedua slot ketiga 1 angka, slot kedua 4 angka karena

untuk membentuk 3 angka kartu 0 tidak bisa di slot pertama dan slot


301

kedua 4 angka. Sehingga kasus pertama menjadi 5 × 4 × 1 = 20 dan

kasus kedua menjadi 4 × 4 × 1 = 16, total angka genap yang terbentuk

yaitu kasus pertama + kasus kedua = 20 + 16 = 36












bilangan ganjil 4 × 4 × 4 = 64 angka yang dapat terbentuk , dan untuk

bilangan genap kasus pertama menjadi 5 × 4 × 1 = 20 dan kasus kedua

menjadi 4 × 4 × 1 = 16, total angka genap yang terbentuk yaitu kasus

pertama + kasus kedua = 20 + 16 = 36, (3) berdasarkan

penyelesaian yang dilakukan mahasiswa sudah melibatkan ekspresi

matematis yaitu menggunakan slot pertama, kedu dan ketiga yang

merepresentasikan sebagai filling slot dan × yang merepresentasikan

sebagai kata hubung antara slot pertama dan slot kedua, dan slot kedua

dan slot ketiga. Setelah mahasiswa melibatkan ekspresi matematis

dalam penyelesaian masalah yang dibuat. (4) mahasiswa dalam

menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah matematika, sudah

menggunakan kata-kata atau teks tertulis. Sehingga secara keseluruhan

mahasiswa sudah dapat menentukan susunan 3 angka dari 6 kartu yang

terbentuk, untuk bilangan ganjil dan genap.. Kesimpulan yang

diperoleh untuk kelompok jawaban pertama masalah keempat

memenuhi empat indikator kemampuan representasi matematis.


302

b. Kelompok Jawaban Kedua Masalah Keempat

Ada 14 mahasiswa menyelesaikan masalah keempat dengan cara

sebagai berikut:















303






















genap pada slot terahkir, karena untuk menentukan bilangan itu ganjil

atau genap dilihat dari nilai tempat terahkir, kemudian untuk slot

pertama berisikan berisikan 4 angka karena angka nol tidak dapat

menempati slot pertama dan 1 angka sudah digunakan di slot ketiga,

dan untuk slot kedua berisikan 4 angka karena dari 6 angka 1 angka

sudah digunakan dislot pertama dan slot ketiga. Namun karena tidak

adanya pembagian kasus maka akan ada angka 4 yang terlewatkan yaitu

210, 230, 250, dan 270




304
























matematis


305

c. Kelompok Jawaban Ketiga Masalah Keempat

Ada dua mahasiswa menyelesaikan masalah keempat dengan cara

sebagai berikut:




















306

















genap pada slot terahkir, karena untuk menentukan bilangan itu ganjil

atau genap dilihat dari nilai tempat terahkir, kemudian untuk slot

pertama berisikan berisikan 5 angka karena mahasiswa beranggapan

bahwa angka nol dapat menempati slot pertama dan 1 angka sudah

digunakan di slot ketiga, dan untuk slot kedua berisikan 4 angka karena

dari 6 angka 1 angka sudah digunakan dislot pertama dan slot ketiga.

Namun karena tidak adanya pembagian kasus maka akan ada angka 4

yang terlewatkan yang seharusnya itu hanya 2 angka saja dikarenaka

nol menempati slot pertama yaitu 012, 032, 052, dan 072.








307




















matematis


308

d. Kelompok Jawaban Keempat Masalah Keempat

Ada lima mahasiswa menyelesaikan masalah keempat dengan

















309

nol dapat menempati slot pertama sehingga slot pertama berisikan 5

angka, untuk slot kedua masih berisikan 5 angka karena total ada 6





Untuk masalah b menggunakan filling slot karena pemahaman

dari mahasiswa mengenai angka ganjil itu masih keliru maka dalam


di slot ketiga, untuk slot kedua berisikan 4 angka saja, dan slot kedua

berisikan 5 angka saja. Hal ini mengartikan bahwa dalam menyusun 3

angka ganjil mahasiswa hanya menggunakan 6 angka ganjil saja yang

menyebabkan slot 2 hanya berisi 5 kartu dan slot ketiga berisikan 4

kartu saja Sehingga penempatan filling slot untuk bagian b menjadi

4 × 5 × 4 = 80 angka ganjil yang dapat terbentuk

Untuk bagian c menggunakan filling slot karena pemahaman dari



di slot ketiga karena nol tidak dapat ditempatkan dislot pertama maka

dislot pertama beriskan 1 angka, untuk slot kedua berisikan 5 angka

saja, dan slot kedua berisikan 4 angka saja. Sehingga penempatan filling

slot untuk bagian c menjadi 1 × 5 × 4 = 20 tidak angka genap yang

terbentuk.



masalah keempat tidak mampu merepresentasikan susunan 3 angka dari

6 kartu, dan untuk bilangan ganjil dan genap mahasiswa masih tidak


cara apa yang digunakan untuk menghitung banyaknya susunan3 angka




310






yang dapat terbentuk, dan untuk bilangan genap 2 × 5 × 4 = 20 tidak

ada angka yang akan terbentuk, (3) berdasarkan penyelesaian yang











jawaban keempat masalah keempat memenuhi dua indikator

kemampuan representasi matematis yaitu menyelesaiakan masalah



Jadi, dari empat kelompok jawaban untuk masalah dua, dapat

disimpulkan bahwa dari 45 mahasiswa terbagi menjadi 38 mahasiswa







311

4. Deskripsi Hasil Tes Tertulis dan Hasil Wawancara

Peneliti akan mengadakan tes tertulis pada tanggal 16 September

2020 setelah proses pembelajaran yang telah dilakukan kepada mahasiswa




akan dilakukan pada pertemuan ketiga dengan tujuan untuk mengetahui







312

Berikut akan dideskripsikan analisis jawaban hasil tes mahasiswa

berdasarkan pengelompokan terhadap tiga kategori yaitu pengelompokan

kategori atas, sedang dan bawah. Pemilihan hasil jawaban mahasiswa

berdasarkan klasifikasi batas interval nilai yang diperoleh mahasiswa.

Cara menentukan pengelompokan hasil tes dalam penelitian ini adalah

menggunakan rata-rata dan standar deviasi. Menurut Arikunto (2018:287),

yang dimaksudkan penentuan mahasiswa dengan standar deviasi adalah

penentuan kedudukan dengan membagi hasil tes mahasiswa atas

kelompok-kelompok. Setiap kelompokknya akan dibatasi oleh suatu

standar deviasi tertentu.

Hasil pengelompokan di kelas Uji Coba, berdasarkan proses

pengelompokan atas 3 ranking:

1) Mencari nilai rata-rata dan simpangan baku(standar deviasi)

Nilai rata-rata kelas Uji Coba: = 84,93

Standar deviasi kelas Uji Coba:= 14,42

2) Menentukan batas-batas kelompok

Kelompok atas

Mean + SD = 84,93 + 14,42 = 99,35

Artinya mahasiswa yang tergolong kelompok atas yaitu mahasiswa

yang memiliki nilai diatas 99,35. Diperoleh 10 mahasiswa yang berada

di kategori atas

Kelompok sedang

Mean - SD sampai Mean + SD = 70,51 sampai 99,35

Artinya mahasiswa yang tergolong kelompok sedang yaitu mahasiswa

yang memiliki nilai pada 70,51 sampai 99,35. Diperoleh 28 mahasiswa

yang berada di kategori sedang

Kelompok bawah

Mean - SD = 84,93 - 14,42 = 70,51

Artinya mahasiswa yang tergolong kelompok bawah yaitu mahasiswa

yang memiliki nilai dibawah 70,51. Diperoleh 7 mahasiswa yang

berada di kategori atas


313

Berikut ini disajikan hasil tes mahasiswa yang dideskripsikan

berdasarkan kemampuan representasi matematis menurut kategori atas,

sedang dan bawah berdasarkan ketiga masalah yang diberikan dan

deskripsinya adalah sebagai berikut:

a. Deskripsi Hasil Tes dan Wawancara S4


Pertama





314

Mahasiswa dalam kelompok jawaban kategori atas ini

menyelesaikan masalah yang diberikan dengan terlebih dahulu


mengelompokkan atau membaginya menjadi empat kasus yaitu:

(1) terambil pertama dan kedua mendapatkan hadiah, (2) terambil

pertama mendapat hadiah dan terambil kedua tidak mendapatkan

hadiah, (3) terambil pertama tidak mendapatkan hadiah dan

terambil kedua mendapatkan hadiah, (4) terambil pertama dan

kedua tidak mendapatkan hadiah dan terambil kedua mendapatkan

hadiah motor, Setelah pembagian kasus selesai mahasiswa

menghitung banyaknya cara yang mungkin untuk sembilan kasus

tersebut, cara yang dipergunakan untuk menghitung banyaknya

kejadian di setiap kasus yaitu menggunakan filling slot dikarenakan

pada proses pengambilan undian tidak berlaku pengembalian dan

pengambilan dilakukan satu per satu sehingga cocok jika

dikerjakan menggunakan filling slot dan menggunakan prinsip

perkalian karena terdapat kata hubung dan yang memisahkan

kejadian satu dengan kejadian berikutnya dalam kasus yang sama.


menjumlahkan banyak cara yang telah diperoleh dari sembilan

kasus tersebut untuk memperoleh kesimpulan akhir yaitu

banyaknya kemungkinan dari percobaan pengambilan hadiah

kejutan dari seorang konsumen pada toko tersebut sebanyak

sembilan kasus: 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 +

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 4 +





dibagi-bagi menjadi empat kasus berdasarkan apa yang telah

diketahui.


315




pengembalian yaitu menggunakan filling slot,



tanpa pengembalian mengunakan filling slot dan kata hubung

dan yang memisahkan kejadian satu dengan kejadian yang lain

yang berada pada kasus yang sama itu menggunakan konsep

perkalian sehingga diperoleh 𝑠𝑙𝑜𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 × 𝑠𝑙𝑜𝑡 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎,

d) Mahasiswa sudah melibatkan ekspresi matematis yaitu × yang


kejadian yang satu dengan yang lain. Setelah mahasiswa

melibatkan ekspresi matematis dalam penyelesaian masalah

yang dibuat.



tertulis.



konsumen pada toko.




316


Berikut hasil wawancara S4 untuk masalah pertama



S4 Saya mengambarkan kotak yang berisi angka 5, 12,

dan 7.







S4 Saya merepresentasikan mengambarkan kotak yang

berisi angka 5, 12, dan 7 yang mewakili banyaknya

jenis kartu motor, mobil dan tidak berhadiah



S4 Maksud dari soal yaitu diminta untuk menghitung

banyaknya kemungkinan terambilnya hadiah yang

ada pada kantung tersebut.




masalah tersebut!

S4 Konsep matematika yang dapat digunakan yaitu

menggunakan filling slot karena sesuai dengan apa

yang diketahui dan konsep penjumlahan yang

memisahkan kasuh pertama atau kasus kedua atau

kasus ketiga atau kasus keempat



S4 Rencana yang saya lakukan yaitu membaca soal dan

melihat konteks, kemudian menuliskan yang

diketahui, dan saya membagi menjadi 4 kasus yang

dapat terjadi yaitu 1). Pengambilan pertama dan

kedua mendapat hadiah, 2). Pengambilan pertama

hadiah dan pengambilan kedua tidak berhadiah, 3).

Pengambilan pertama tidak berhadiah dan

pengambilan kedua medapat hadiah, dan 4).

Pengambilan pertama dan kedua tidak mendapat

hadiah






317

S4 Hubunganya yaitu karena pengambilan satu persatu

undian dari kantung makanya menggunakan filling

slot


masalah tersebut!

S4 Model yang terbentuk yaitu dari masing-masing

kasus: 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎: 13 × 12, 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 ∶ 13 ×7, 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎: 7 × 13, 𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 𝑘𝑒𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡 ∶ 7 ×6



S4 Tinggal melakukan perhitungan terhadap model

yang sudah dibuat



S4 Caranya yaitu menuliskan diketahui terlebih dahulu,

kemudian yang ditanyakan. Saya juga

memperhatikan konteks apa yang harus diperhatikan

yaitu undian dan pengambilan satu persatu tanpa

pengembalian. Berdasarkan apa yang telah

diketahui tersebut maka saya memutusakn untuk




S4 Karena dari soal ini terkait undian makanya saya

membagi menjadi beberapa kasus dalam proses

penyelesaiannya.






yaitu undian dan pengambilan satu persatu tanpa

pengembalian. Kemudian saya membagi menjadi 4

kasus dalam proses penyelesaiannya. Berdasarkan

apa yang telah diketahui tersebut maka saya

memutuskan untuk menggunakan filling slot.

Setelah menghitung 4 kasus tersebut, akan

dijumlahkan untuk memperoleh banyak

kemungkinan pengambilan undian yang dilakukan.



S4 Jika menemukan soal yang berkonteks undian cara

yang paling efektif menggunakan filling slot.

Karena pengambilan satu per satu , yang kedua ada


318

berapa jenis kartu didalam soal tersebut sehingga

kita bisa mengelompokan atau tidak.






kotak yang berisi. angka 5, 12, dan 7 yang mewakili

banyaknya jenis kartu motor, mobil dan tidak berhadiah.



menggunakan filling slot dan kata hubung atau yang

memisahkan kasus pertama atau kasus kedua atau kasus

ketiga atau kasus keempat. Mahasiswa dapat membuat



dalam penyelesaian masalah, yaitu + yang merepresentasikan

sebagai kata hubung atau yang memisahkan yang memisahkan

kasus pertama atau kasus kedua atau kasus ketiga atau

kasus keempat.













319








Kedua





320




mobil pertama memuat 6 orang, (2) mobil pertama memuat 5 orang

dan, dan (3) mobil pertama memuat 4 orang. Dari pembagian kasus

tersebut mahasiswa tidak memperhatikan mobil kedua karena pasti

susunan dari orang yang berada pada mobil dua hanya satu

susunan. Setelah pembagian kasus selesai mahasiswa menghitung

banyaknya cara yang mungkin untuk 3 kasus tersebut dengan

menggunakan kombinasi. Alasan mahasiswa menggunakan

kombinasi adalah misal: di mobil pertama berisikan ABCD, maka

kejadian ini akan sama dengan jika mobil berisi BCDA karena

orang-orang yang berada di dalam mobil sama. Karena masalah ini

tidak memperhatikan urutan, maka untuk mencari banyak susunan

adalah dengan menggunakan kombinasi.




menempatkan delapan mahasiswa ke dalam dua mobil sebanyak

tiga kasus: 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 +

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3 .







untuk menghitung banyaknya cara menempatkan delapan





321

ke dalam mobil yaitu mengunakan metode kombinasi

sehingga diperoleh 𝐶𝑟𝑛.


menggunakan 𝐶𝑟𝑛 yang merepresentasikan sebagai kombinasi.

Setelah mahasiswa melibatkan ekspresi matematis dalam




tertulis.






Berikut hasil wawancara S4 untuk masalah kedua:



S4 Saya tidak menggambarkan secara visual, hanya

saya membayangkan 2 mobil dan delapan orang

mahasiswa.







S4 Saya merepresentasikan dengan membayangkan 2

mobil dan delapan orang mahasiswa.



S4 Jadi disoal nomor 2. Ada delapan mahasisw ayang

ingin jalan-jalan menggunakan 2 mobil, dimana

daya tampung masing-masing mobil itu berbeda.

Yang ditanyakan ada berapa cara untuk

menempatkan delapam orang tersebut kedalam dua

mobil.


322




masalah tersebut!

S4 Konsep yang saya gunakan yaitu kombinasi karena

dalam menampatkan orang didalam mobil tidak

memperhatikan urutan dan konsep penjumlah yang

digunakan untuk menjumlahkan kasus pertama,

kedua dan ketiga.



S4 Saya mengunakan kombinasi karena tidak

memperhatikan urutan, jadi maksdunya sesuai

dengan aturan yang diketahui pada soal.





S4 Mungkin hubungannya karena menampatkan orang

dididalam mobil jadi tidak memperhatikan urutan

dan cocok menggunakan kombinasi.


masalah tersebut!

S4 Modelnya yaitu 𝑐68, 𝑐5

8, 𝑐48, setekah itu pakai prinsip

penjumlahan sehingga 𝑐68 + 𝑐5

8 + 𝑐48



S4 Tinggal mengitung saja



S4 Caranya yaitu mendata semua informasi yang

diketahuai dari soal, kemudian cocoknya dengan

konsep yang sudah kita miliki.



S4 Saya menyelesaiakan masalah dengan terlebih

dahulu mencari apa yang diketahui, terus aturan

yang ada. Terus saya menggunakan kombinasi

karena dalam penyusuanan mahasiswa didalam

mobil tidak memperhatikan urutan serta

menggunakan konsep penjumlahan untuk

menambahkan masing-masing kasus yang telah

dibagi.




323




yaitu delapan orang akan disusunkedalam 2 mobil.

Kemudian saya membagi menjadi 3 kasus dalam

proses penyelesaiannya. Berdasarkan apa yang telah

diketahui tersebut maka saya memutuskan untuk

menggunakan kombinasi. Setelah menghitung 3

kasus tersebut, akan dijumlahkan untuk memperoleh

banyakcara untuk menampatkan delapan mahasiswa

tersebut.



S4 Sama, dilihat dulu konteksnya. Jika menemukan

soal yang berkonteks memuat berapa-berapa,

sebaiknya dilakukan pembagian kasus, biar bisa

tercover semua jawaban kita di kasus-kasus

tersebut, karena ini bukan konteks undian maka bisa

menggunakan kombinasi.



a) Mahasiswa mampu membuat gambaran visual dari

permasalahan yang ada, dengan membayangkan masalah

tersebut.


membayangkan 2 mobil dan delapan orang mahasiswa.



dua mobil mengunakan kombinasi dan konsep penjumlahan.


dalam penyelesaian masalah, yaitu 𝐶𝑟𝑛 yang

merepresentasikan sebagai kombinasi dan + yang

merepresentasikan sebagai kata hubung atau yang digunakan

untuk menjumlahkan kasus pertama, kedua dan ketiga




324














325


Ketiga




Mahasiswa dalam kelompok jawaban kategori atas ini,

mahasiswa menyelesaiakan masalah yang diberikan untuk bagaian

a dengan menggunakan rumus dari pemutasi siklis, yaitu

menghitung banyaknya susunan orang duduk melingkar, dan untuk

bagian b mahasiswa terlebih dahulu menganggap bahwa dua orang


326

yang selalu duduk berdampingan itu dihitung satu, sehingga

banyak orang yang awalnya dari 6 sekarang menjadi 5 saja

kemudian 2 orang yang mau duduk berdampingan itu dihitung

menjadi 2 faktorial yang artinya mereka selalu berdampingan

karena posisi duduk melingkar contoh: ABCD itu berbeda dengan



berdampingan.





enam orang untuk bagian b mahasiswa tinggal mengurangkan hasil

perhitungan enam orang duduk melingkar dangan dua orang yang

selalu duduk berdampingan yaitu (𝑛 − 1)! 2!.


ketiga disimpulkan bahwa








orang yang tidak mau duduk berdampingan , yaitu








327


ada 2 orang yang tidak mau duduk berdampingan(𝑛 − 1)! −

(𝑛 − 1)! × 2! = (6 − 1)! − (5 − 1)! × 2!, (3)



permutasi siklis dan × yang merepresentasikan sebagai kata

hubung dan yang memisahkan lima orang yang duduk




tertulis.










S4 Saya tidak menggambarkan, karena saya sudah

terbiasa menyelesaikan soal yang seperti ini.









S4 Saya langsung kepikiran bahwa untuk masalah ini

diselesaikan menggunakan permutasi siklis.




328

S4 Maksdunya yaitu kita diminta menentukan susunan

duduk melingkar untuk enam orang yang akan duduk,

dan ada dua orang yang tidak mau berdekatan.




masalah tersebut!

S4 Konsep yang digunakan yaitu mengunakan rumus (𝑛 − 1)!, dengan 𝑛 itu sebagai banyak mahasiswa

yang akan duduk melingkar



S4 Rencana yang saya buat yaitu langsung menggunakan

permutasi siklis, karena model soalnya itu sudah saya

sering jumpai saat latihan jadi tinggal diaplikasiin

aja.





S4 Karena sudah sering menemui jadi langsung saja

menggunakan (𝑛 − 1)! Untuk menyelesaikan masalah

tersebut.


masalah tersebut!

S4 Model matematika yang terbentuk yaitu untuk bagian

a (𝑛 − 1)!, dan untuk bagian b 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑎 − (5 − 1)! ×2!, saya mengalikan 2! karena merepresentasikan sebagai

dua orang selalu berdampingan



S4 Untuk bagian a tinggal substisusikan saja, namun

untuk bagian b harus mencari komplen dari ketika

Priska selalu duduk berdekatan dengan yustina,

kemudian untuk memperoleh jawaban bagian b yaitu

hasil hitungan 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝒂 − 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑛𝑦𝑎



S4 Saya menyesuaikan dengan soal yang ditanyakan,

karena sudah sering menjumpai soal seperti ini maka

saya sudah tau langkah apa yang harus saya lakukan.

P Mengapa bagian b mengunakan strategi tersebut untuk


S4 Karena untuk bagian b, kita harus teliti dalam

membaca soal yang ditanyakan itu tidak ingin duduk

berdekatan bukan selalu duduk berdekatan. Dengan


329

begitu langkah atau strategi yang kita pilih harus

disesuaikan dengan apa yang ditanyakan.


masalah tersebut


kemudian yang ditanyakan. Saya juga memperhatikan

konteks apa yang harus diperhatikan yaitu enam

orang yang akan duduk di melingkar disebuah warung

makan. Kemudian langsung menghitung untuk bagian

a menggunakan rumus permutasi sikilis dan untuk

bagian b harus memahami dulu apa yang ditanyakan

sehingga untuk jawaban b dapat diselesiakan dengan

hasil hitungan 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝒂 − 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑛𝑦𝑎



S4 Sama, dilihat dulu konteks soalnya. Kalau misalnya

sudah ada duduk melingkar, sejauh ini yang saya

pahami dapat diselesaikan dengan permutasi siklis.

Misalakan ada pertanyaan seperti Priska tidak ingin

duduk berdekatan dengan yustina, maka kita harus

mencari Priska dan Yustina selalu duduk berdekatan.

Kemudian tinggal banyak susunan dikurangkan

dengan Priska dan Yustina selalu berdekatan.




yang ada, karena mahasiswa sudah terbiasa

menyelesaikan soal yang seperti ini.

b) Mahasiswa mampu memahami masalah yang diberikan karena

sudah terbiasa mengerjakan soal yang seperti ini.



menggunakan permutasi siklis Mahasiswa dapat membuat





merepresentasikan sebagai dua orang selalu berdampingan dan


330

× yang merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang

memisahkan lima orang yang duduk melingkar dan dua orang

tersebut selalu berdampingan.
















331


Keempat






mengunakan metode filling slot yaitu menghitung banyaknya


332

susunan 3 angka dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0, dan 7, dan bagian b


susunan tiga angka ganjil dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0, 7, dan 1,

dan bagian c menggunakan metode filling slot yaitu menghitung

banyaknya susunan tiga angka genap dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0,

7, dan 1. Mahasiswa menggunakan metode filling slot karena dari

soal diberitahu bahwa setiap kartu hanya dapat digunakan satu kali.





pertama sehingga slot pertama berisikan 5 angka. Untuk slot kedua


digunakan untuk slot pertama sehingga slot kedua berisi 5 kartu.

Untuk slot ketiga berisi 4 karena di slot kedua sudah digunakan

satu kartu. Setelah diterapkan metode filling slot untuk bagian a

diperoleh banyak bilangan yang dapat dibuat adalah 5 × 5 × 4 =

100 angka.

Untuk masalah b, mahasiswa menggunakan filling slot karena

ada suatu bilangan ganjil yang terdiri dari tiga yang akan dibuat,

maka slot ketiga yang harus disi terlebih dahulu karena untuk

mendapatkan bilangan itu ganjil atau genap ditentukan dari

bilangan yang menempati tempat terakhir. Untuk slot ketiga akan

berisi empat angka, kemudian untuk slot pertama berisi empat

angka karena angka nol tidak dapat menempati slot pertama dan

satu angka sudah digunakan di slot ketiga. Untuk slot kedua berisi

empat angka karena dari enam angka, satu angka sudah digunakan

di slot pertama dan slot ketiga. Oleh karena itu, dengan metode

filling slot untuk bagian c diperoleh banyaknya susunan bilangan

yang diperoleh ada 4 × 4 × 4 = 64 angka ganjil.


333

































334

















tertulis.



terdiri dari tiga angka danbilangan ganjil, dan susunan








S4 Saya tidak menggambarkan secara visual, karena

saya sudah tau apa yang harus saya lakukan





335




S4 Ketika membaca soal ini, saya langsung tau bahwa

soal ini dapat diselesaikan menggunakan filling slot



S4 Jadi ada 6 kartu bilangan, kita diminta menyusun

bilangan 3 angka, bilangan 3 angka yang terbentuk

itu ganjil, dan bilangan 3 angka genap. Dengan tiap

kartu hanya dapat digunakan satu kali




masalah tersebut!

S4 Saya menggunakan filling slot karena sepemahaman

saya, susunan tiap kartu yang digunakan hanya satu

kali itu cocok menggunakan filling slot dan untuk

bagian kalau enggak salah saya menggunakan

konsep penjumlahan karena ada dua kasus.



S4 Rencana yang saya lakukan yaitu membaca soal,

karena sudah pernah mengerjakan soal seperti ini

waktu latihan maka saya langsung menggunakan

filling slot.





S4 Mungkin ya, hubungannya itu karena akan dibuat 3

angka jadi cocok dengan filling slot karena akan ada

slot pertama, slot kedua dan slot ketiga.


masalah tersebut!

S4 Untuk bagian a 5 × 5 × 4 = 100, bagian b 4 × 4 ×4 = 64 bilangan ganjil yang terbentuk bagian c saya

membagi kasus, karena ada angka nol yang dapat

menyebabkan rancu dalam perhitungan, sehingga untuk

kasus pertama menjadi 5 × 4 × 1 = 20 dan untuk kasus

kedua menjadi 4 × 4 × 1 = 16 total angka genap menjadi

banyak kasus pertama + banyak kasus kedua = 20 +16 = 36 angka genap




336

S4 Tinggal saya hitung seperti biasa, kan modelnyua

sudah ada



S4 Saya menyesuaikan dengan soal yang ditanyakan,

karena sudah sering menjumpai soal seperti ini

maka saya sudah tau langkah apa yang harus saya

lakukan.


menyelesaikan bagian b dan c?

S4 Karena dengan strategi tersebut dapat menghindari

kesalahan dalam proses pengerjaan. Terutama pada

bagian c saya membagi menjadi 2 kasus karena ada

angka nol takut rancu dalam perhitungannya.



S4 . Caranya yaitu menuliskan diketahui terlebih

dahulu, kemudian yang ditanyakan. Saya juga


yaitu akan disusuna bilangan 3 angka dari 6 kartu

tanpa pengulangan. Kemudian langsung menghitung

untuk bagian a menggunakan filling slot, untuk

bagian b harus mengisi slot terahkir terlebih dahulu

karena bilangan ganjil itu dilihat dari angka

satuannya, untuk bagian c juga sama mengisi pada

slot terahkir terlebih dahulu karena bilangan ganjil

itu dilihat dari angka satuannya, namun saya bagi

kasus karena ada angka nol yang bisa membuat

rancu dalam proses penyusunan 3 bilangan genap.



S4 Pokoknya dalam menyelesiakan masalah susunan

bilangan itu lebih diselesaikan menggunakan filling

slot, perlu diperhatikan untuk angkanya kalau ada

angka nol sebaiknya lebih hati-hati karena angka nol

tidak dapat menempati slot pertama dan untuk

menyusun angka ganjil atau genap harus disi slot

terahkirnya terlebih dahulu.




yang ada karena mahasiswa sudah tau apa yang harus

mahasiswa lakukan.


337

b) Mahasiswa mampu memahami masalah ketika membaca soal

bahwa soal ini dapat diselesaikan dengan menggunakan filling

slot .







kedua, dan ketiga yang merepresentasikan metode filling slot.















b. Deskripsi Hasil Tes dan Wawancara S5


Pertama




338






banyaknya kemungkinan yang terjadi dan menggunakan filling

sloti. Mahasiswa menyelesaikan menggunakan 2 cara yaitu


339

permutasi dan filling slot karena berdasarkan informasi yang

diperoleh dari soal yaitu pengambilan dilakukan satu per satu tanpa

pengembalian.



𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!


banyaknya kartu undian (mobil. Motor, dan tidak berhadiah) dan r

merepresentasikan kartu yang akan diambil. Untuk menggunakan

filling slot mahasiswa langsung mengerjakan untuk slot pertama 20

kartu undian dan slot kedua 19 kartu undian.

Jadi berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa S5 untuk masalah






satu persatu tanpa pengembalian dari jumlah 20 kartu undian

(delapan kartu berhadiah motor, lima kartu berhadiah mobil,

dan tujuh kartu tidak berhadiah).




pengembalian yaitu menggunakan permutasi dan filling slot.



tanpa pengembalian mengunakan metode permutasi 𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛−𝑟)! dan untuk filling slot 𝑠𝑙𝑜𝑡 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 × 𝑠𝑙𝑜𝑡 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎



𝑛 merepresentasikan sebagai total jumlah kartu undian, 𝑟


340

merepresentasikan jumlah kartu yang akan diambil dan ×

yang merepresentasikan sebagai kata hubung dan yang

memisahkan kejadian yang satu dengan yang lain pada metode

filling slot.



tertulis.



konsumen pada toko.







S5 Saya tidak menggambar, tapi memisalkan hadiah

tersebut dengan memberi indkes







S5 Saya memisalkan hadiah tersebut dengan memberi

indkes



S5 Maksud dari soal itu, kita diminta menghitung

banyaknya kemungkinan pengambilan hadiah yang

dilakukan dari sebuah kantong yang telah berisi

hadiah, dimana akan dilakukan pengambilan

sebanyak dua kali dan pengambilan dilakukan satu

per satu dan tanpa pengembalian




masalah tersebut!


341

S5 Konsep yang saya gunakan yaitu menggunakan

permutasi karena memperhatikan urutan dan

menggunakan filling slot dan permutasi, karena

pengambilan dilakukan dua kali, satu demi satu dan

tanpa pengembalian makanya bisa menggunakan

filling slot dan permutasi.



S5 Rencana yang saya lakukan yaitu memisalkan

hadiah tersebut dengan indkes, kemudian lihat kata

kunci dari soal yaitu pengambilan satu persatu dan

tanpa pengembalian. Dari kata kunci tersebut saya

sesuaikan lagi dengan konsep matematika yang

sudah saa pelajari





S5 Mungkin hubungannya karena sudah ada indkes

berarti nanti waktu diambil akan memperhatikan

urutan sehingga bisa diselesiakan dengan permutasi

atau filling slot


masalah tersebut!

S5 Modelnya untuk permutasi 𝑃220 dan untuk filling slot

20 × 19, × yang merepresentasikan sebagai kata hubung

dan yang memisahkan kejadian pertama dengan kejadian

kedua kalau enggak salah gitu penjelasannya.



S5 Karena modelnya sudah ada tinggal dihitung



S5 Caranya yaitu cari dulu kata kunci dari soal. Dari

soal ini kata kuncinya pengambilan dilakukan satu

persatu tanpa pengembalian.



S5 Karena kata kunci dari soal sesuai dengan konsep

matematika atau dapat diselesaiakan dengan

permutasi atau filling slot.



S5 Langkah-langkah sebelum mengerjakan saya

membuat indkes untuk masing-masing hadiah,

setelah itu saya mencari kata kunci dari soal ini


342

yaitu pengambilan dilakukan satu persatu dan tanpa

pengembalian



S5 Kesimpulan yang saya peroleh yaitu untuk

menyelesikan soal sebaiknya kita cari terlebih

dahulu kata kunci dari soal, selanjutnya bisa kita

sesuaikan dengan konsep matematika yang sudah

kita pelajari. Contohnya itu pada masalah ini dapat

diselesaikan dengan 2 cara yaitu permutasi dan

filling slot dengan banyaknya cara yaitu sama-sama

memperoleh 380 cara.




yang ada, melainkan hanya memberikan indeks pada masing-

masing hadiah

b) Mahasiswa mampu memahami masalah dengan memberikan

indeks pada masing-masing hadiah



dapat diselesaiakan menggunakan filling slot dan permutasi


diberikan.


dalam penyelesaian masalah, yaitu × yang merepresentasikan

sebagai kata hubung dan yang memisahkan kejadian pertama

dengan kejadian kedua.






343















Kedua




344

















345








menempatkan 8 mahasiswa ke dalam dua mobil sebanyak tiga

kasus: 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 +

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3







untuk menghitung banyaknya car acara menempatkan delapan








𝑛







tertulis.


346









S5 Saya nampaknya tidak menggambarkan mobil tapi

saya bayangkan dua mabil yang akan disikan oleh

delapan mahasiswa dan saya kalau tidak salah

memisalkan delapan mahasiswa tersebut menjadi

abjad A-H







S5 Saya bayangkan dua mabil yang akan disikan oleh

delapan mahasiswa dan saya kalau tidak salah

memisalkan delapan mahasiswa tersebut menjadi

abjad A-H



S5 Maksud dari soal itu kita diminta untuk mencari

banyaknya cara untuk menampatkan delapan

mahasiswa yang ingin berjalan-jalan kedalam dua

mobil yang memiliki kapasistas berbeda-beda.




masalah tersebut!

S5 Konsep yang saya gunakan yaitu kombinasi karena

melakukan penyusunan delapan orang tersebut

kedalam dua mobil tidak memperhatikan urutan dan

konsep perkalian yang digunakan untuk

menghubungkan mobil pertama dan mobil kedua.



S5 Rencana yang saya lakukan yaitu memisalkan

delapan mahasiswa tersebut dengan indkes,


347

kemudian lihat kata kunci dari soal yaitu

menempatkan delapan orang kedalam dua mobil

yang berkapasitas beda-beda, karena kapasitas

mobil berbeda-beda maka akan dibagikan menjadi

beberapa kasus. Dari kata kunci tersebut saya

sesuaikan lagi dengan konsep matematika yang

sudah saya pelajari





S5 Mungkin hubungannya karena yang di indkeskan itu

mahasiswa jadi dalam penyusunan dalam mobil

tidak memperhatikan urutan.


masalah tersebut!

S5 Model matematika umunya 𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛, sehingga untuk

soal ini model yang terbentuk yang terbentuk yaitu

(𝑐48. 𝑐4

4) + (𝑐58. 𝑐3

3) + (𝑐68. 𝑐2

2)



S5 Tinggal hitung kan modelnya sudah ada



S5 Caranya yaitu cari dulu kata kunci dari soal. Dari

soal ini kata kuncinya akan disusun kedalam dua

mobil yang kapasitasnya berbeda-beda





kombinasi



S5 Langkah-langkah sebelum mengerjakan saya

membuat indkes untuk delapan mahasiswa, setelah

itu saya mencari kata kunci dari soal ini yaitu akan

disusun kedalam dua mobil yang kapasitasnya

berbeda-beda. Berarti untuk soal ini harus bagi

kasus, agar semua kemungkin yang dapat terjadi

tidak ada yang terlewatkan







348



diselesaikan dengan kombinasi dan konsep

perkalian





b) Mahasiswa mampu memahami masalah dengan membayangkan

delapan orang akan di masukan kedalam dua mobil dan

saya memisalkan delapan mahasiswa tersebut menjadi

abjad A-H


yaitu cara menempatkan delapan orang mahasiswa kedalam dua

mobil mengunakan kombinasi dan konsep perkalian yang

digunakan untuk menghubungkan mobil pertama dan

mobil kedua. Mahasiswa dapat membuat model dari masalah

yang diberikan 𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛



𝑛 yang

merepresentasikan sebagai kombinasi dan yang memisahkan


e) Mahasiswa sudah mampu melibatkan ekspresi matematis dalam










349







350


Ketiga




Mahasiswa dalam kelompok jawaban kategori sedang ini,

mahasiswa menyelesaiakan masalah yang diberikan untuk bagaian

a dengan menggunakan rumus dari pemutasi siklis, yaitu

menghitung banyaknya susunan orang duduk melingkar, dan untuk

bagian b mahasiswa terlebih dahulu menganggap bahwa dua orang


351

yang selalu duduk berdampingan itu dihitung satu, sehingga

banyak orang yang awalnya dari 6 sekarang menjadi 5 saja

kemudian 2 orang yang mau duduk berdampingan itu dihitung

menjadi 2 faktorial yang artinya mereka selalu berdampingan

karena posisi duduk melingkar contoh: ABCD itu berbeda dengan



berdampingan.





enam orang untuk bagian b mahasiswa tinggal mengurangkan hasil

perhitungan enam orang duduk melingkar dangan dua orang yang

selalu duduk berdampingan yaitu (𝑛 − 1)! 2!.


ketiga disimpulkan bahwa








orang yang tidak mau duduk berdampingan , yaitu

menggunakan permutasi siklis,







352


ada 2 orang yang tidak mau duduk berdampingan(𝑛 − 1)! −

(𝑛 − 1)! × 2! = (6 − 1)! − (5 − 1)! × 2!.



permutasi siklis dan × yang merepresentasikan sebagai kata

hubung dan yang memisahkan lima orang yang duduk




tertulis











S5 Nampaknya untuk masalah ini waktu itu, saya

mengambarkan lingkaran terus saya tuliskan huruf A-

H









S5 Saya mengambarkan lingkaran terus saya tuliskan

huruf A-H


353



S5 Maksud dari soal ini kita diminta mencari enam orang

yang akan makan disebuah warung makan dan akan

duduk di sebuah meja yang berbentuk lingkaran.

Berapa banyak susunana yang dapat terbentuk dari

enam orang tersebut, jika dua orang tidak mau duduk

berdekatan




masalah tersebut!

S5 Konsep matematika yang digunakan yaitu permutasi

siklis karena duduk melingkar.



S5 Rencana yang saya lakukan melihat kata kunci dari

soal yaitu enam orang tersebut akan duduk melingkar.

Dari kata kunci tersebut saya sesuaikan lagi dengan

konsep matematika yang sudah saya pelajari





S5 Karena duduk melingkar, jadi langsung saja

menggunakan permutasi siklis


masalah tersebut!

S5 Model matematika yang terbentuk yaitu untuk bagian

a (𝑛 − 1)! Dan bagian b harus memisalkan dua orang

yang duduk berdekatan itu menjadi satu kemudian

cari permutasi siklisnya dikalikan dua, jadi untu

model bagian b yaitu hasil dari bagian a (𝑛 − 1)! −(5 − 1)! × 2!



S5 Perhitungan yang saya lakukan yaitu tinggal hitung

bagian a dan hitung berlawanan dari pertanyaan b

kemudian untuk menjawan bagian b hasil bagian a

dikurang berlawanan dari bagian b



S5 Caranya yaitu cari dulu kata kunci dari soal. Dari soal

ini kata kuncinya akan duduk di meja yang berbentuk

lingkaran


354





permutasi siklis


masalah tersebut

S5 Langkah-langkah sebelum mengerjakan saya mencari

kata kunci dari soal yaitu akan duduk di meja yang

berbentuk lingkaran. Berarti untuk soal ini dapat

diselesaikan dengan permutasi siklis. Untuk caranya

tinggal masukkan banyak orang yang akan duduk

melingkar kedalam rumus permutasi siklis untuk

bagian a yaitu (𝑛 − 1)! = (6 − 1)! = 5! Dan bagian b

5! − ((5 − 1)! × 2! = 120 − (4! × 2) = 120 − 48 = 72




menyelesikan soal sebaiknya kita cari terlebih dahulu

kata kunci dari soal, selanjutnya bisa kita sesuaikan

dengan konsep matematika yang sudah kita pelajari.

Contohnya itu pada masalah ini dapat diselesaikan

dengan permutasi siklis.



a) Mahasiswa membuat gambaran visual dari permasalahan yang

ada yaitu lingkaran terus saya tuliskan huruf A-H


lingkaran terus saya tuliskan huruf A-H



menggunakan permutasi siklis. Mahasiswa dapat membuat





merepresentasikan sebagai dua orang selalu berdampingan.


355
















356


Keempat







susunan 3 angka dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0, dan 7, dan bagian b



357

susunan tiga angka ganjil dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0, 7, dan 1,

dan bagian c menggunakan metode filling slot yaitu menghitung

banyaknya susunan tiga angka genap dari kartu bilangan 2, 5, 3, 0,

7, dan 1. Mahasiswa menggunakan metode filling slot karena dari

soal diberitahu bahwa setiap kartu hanya dapat digunakan satu kali.





pertama sehingga slot pertama berisikan 5 angka. Untuk slot kedua


digunakan untuk slot pertama sehingga slot kedua berisi 5 kartu.

Untuk slot ketiga berisi 4 karena di slot kedua sudah digunakan

satu kartu. Setelah diterapkan metode filling slot untuk bagian a

diperoleh banyak bilangan yang dapat dibuat adalah 5 × 5 × 4 =

100 angka.

Untuk masalah b, mahasiswa menggunakan filling slot karena

ada suatu bilangan ganjil yang terdiri dari tiga yang akan dibuat,

maka slot ketiga yang harus disi terlebih dahulu karena untuk

mendapatkan bilangan itu ganjil atau genap ditentukan dari

bilangan yang menempati tempat terakhir. Untuk slot ketiga akan

berisi empat angka, kemudian untuk slot pertama berisi empat

angka karena angka nol tidak dapat menempati slot pertama dan

satu angka sudah digunakan di slot ketiga. Untuk slot kedua berisi

empat angka karena dari enam angka, satu angka sudah digunakan

di slot pertama dan slot ketiga. Oleh karena itu, dengan metode

filling slot untuk bagian c diperoleh banyaknya susunan bilangan

yang diperoleh ada 4 × 4 × 4 = 64 angka ganjil.





358

































359














tertulis.



terdiri dari tiga angka danbilangan ganjil, dan susunan








S5 Saya tidak menggambarkan sepertinya, soalnya

waktu ujian ini saya baru saja mengerjakankan soal

yang serupa dengan ini








360

S5 Saya sudah tau, bahwa soal ini akan saya selesaikan

dengan filling slot



S5 Jadi maksud dari soal ini kita diminta untuk

menentukan banyaknya susunan 3 angka yang akan

terbentuk dari 6 kartu bilangan yaitu 2, 3, 5, 7, 1,

dan 0. Susunan 3 angka yang akan terbentuk yaitu

untuk bilangan ganjil dan genap dimana kartu hanya

bisa digunakan satu kali.




masalah tersebut!

S5 Konsep matematika yang saya gunakan yaitu konsep

filling slot, karena akan disusun bilangan 3 angka

dan itu tentunya itu membutuhkan slot dan konsep

penjumlahan untuk bagian c untuk menjumlahkan

dua kasus yang dibagikan



S5 Sebenarnya karena sudah mengerjakannya

sebelumnya, ya rencana saya mengikuti cara pada

pekerjaan yang sudah saya kerjakan.





S5 Hubungannya yaitu karena akan menyusun 3 angka

maka harus menggunakan filling slot


masalah tersebut!

S5 Model matematika yang terbentuk untuk bagian a

5 × 5 × 4 = 100, bagian b 4 × 4 × 4 = 64 bilangan

ganjil yang terbentuk bagian c saya membagi kasus,

karena ada angka nol yang dapat menyebabkan kekeliruan

dalam perhitungan, sehingga untuk kasus pertama

menjadi 5 × 4 × 1 = 20 dan untuk kasus kedua menjadi

4 × 4 × 1 = 16 total angka genap menjadi banyak kasus

pertama + banyak kasus kedua = 20 + 16 = 36 angka

genap



S5 Perhitungan yang saya lakukan tinggal menghitung

dari model matematika yang telah dibuat


361



S5 Sebenarnya strategi yang saya gunakan ini

mengikuti pada latihan soal yang serupa.



S5 Selain mengikuti pada latihan soal yang serupa, saya

menggunakan filling slot karena ini cara yang sesuai

untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan menyusun angka



Langkah-langkah sebelum mengerjakan saya

mencari kata kunci dari soal yaitu akan disusun 3

angka dari 6 kartu yang hanya dapat digunakan satu

kali. Berarti untuk soal ini dapat diselesaikan

dengan filling slot, untuk bagian b dan c dalam

menyusun bilangan 3 angka ganjil atau genap diisi

dimulai dari slot ketiga. Jika sudah tinggal lakukan

perhitungan biasa terhadap slot-slot yang telah

terisikan.








diselesaikan dengan feleing slot, serta jika akan

menyusun bilangan 𝑛 angka pun harus

memperhatikan dengan teliti unuk angka nol, karena

angka nol tidak dapat menempati slot pertama.




yang ada karena baru saja mengerjakankan soal yang

serupa dengan ini

b) Mahasiswa mampu memahami masalah karena soal ini baru

saja dikerjakankan waktu saat latihan


yaitu akan diselesaiaknan menggunakan metode filling slot.


362


diberikan.



kedua, dan ketiga yang merepresentasikan metode filling slot .
















363

c. Deskripsi Hasil Tes dan Wawancara S6


Pertama








banyaknya kemungkinan yang terjadi. Mahasiswa langsung

menggunakan permutasi karena berdasarkan informasi yang

diperoleh dari soal yaitu pengambilan dilakukan satu per satu tanpa

pengembalian.


364



𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!


banyaknya kartu undian (mobil. Motor, dan tidak berhadiah) dan r

merepresentasikan kartu yang akan diambil.

Jadi berdasarkan hasil pekerjaan mahasiswa S6 untuk masalah






satu persatu tanpa pengembalian dari jumlah 20 kartu undian

(delapan kartu berhadiah motor, lima kartu berhadiah mobil,

dan tujuh kartu tidak berhadiah).







tanpa pengembalian mengunakan metode permutasi 𝑃𝑟𝑛 =

𝑛!

(𝑛−𝑟)!



𝑛 merepresentasikan sebagai total jumlah kartu undian, dan 𝑟

merepresentasikan jumlah kartu yang akan diambil.



tertulis.


365



konsumen pada toko.







S6 Saya waktu mengerjakan menggambar kotak di

kertas buram kalau tidak salah, itu mewakili plastik,

kemudian dalam kotak tersebut saya menuliskan

angka 5, 8, dan 7 itu mewakili banyaknya jenis

hadiah.







S6 Saya merepresentasikan dengan kotak, didalam

kotak tersebut saya menuliskan angka 5, 8, dan 7 itu

mewakili banyaknya jenis hadiah



S6 Jadi sebuah toko akan mengadakan undian. Yang

akan di undikan itu ada 5 mobil, 8 motor dan 7 tidak

berhadiah. Bagiamana kita menghitung banyaknya

percobaan hadiah yang dapat terjadi, jika

pengambilan dilakukan satu per satu dan tanpa

pengembalian




masalah tersebut!

S6 Konsep yang saya gunakan yaitu dengan permutasi

dan filling slot. Karena dari soal diketahui bahwa

percobaan dilakukan satu persatu tanpa

pengembalian.




366

S6 Rencana yang saya lakukan yaitu membaca apa yang

diketahui pada soal, kemudian dari apa yang sudah

saya ketahui saya coba kaitkan dengan materi -

materi yang telah dipelajari





S6 Mungkin hubunganya karena diambil satu per satu

tanpa pengembalian dari kantong makanya dapat

dikerjakan menggunakan filling slot dan permutasi


masalah tersebut!

S6 Modelnya untuk permutasi 𝑃220 dan untuk filling slot

20 × 19



S6 Karena modelnya sudah ada tinggal saya hitung



S6 Cara yang saya lakukan yaitu membaca apa yang

diketahui di soal, kemudian saya coba mencari cara

yang cocok untuk apa yang dikethaui



S6 Karena sesuai dengan apa yang diketahui



S6 Langkah-lagkah yang saya lakukan yaitu membaca

apa yang dikethuai dari soal, kemudian saya

mengerjakan menggunakan filling slot saja, namun

ketika saya piker lagi harusnya bisa menggunakan

permutasi karena pengambilan dilakukan satu

persatu tanpa pengambalian makanya saya

mengerjakan menggunakan permutasi.



S6 Kesimpulannya yaitu untuk masalah yang ada

keterangan pengambilan dilakukan satu per satu

tanpa pengembalian dapat dikerjakan dengan du

acara yaitu permutasi dan filling slot.




367




kotak yang berisi undian di kertas buram.


dengan kotak, didalam kotak tersebut saya menuliskan

angka 5, 8, dan 7 itu mewakili banyaknya jenis hadiah.

d) Mahasiswa mampu membuat model matematis dari

masalah tersebut model matematika yang terbentuk yaitu

modelnya untuk permutasi 𝑃220 dan untuk filling slot

20 × 19

e) Mahasiswa sudah mampu menjelaskan ekspresi matematis

dalam penyelesaian masalah, yaitu permutasi dan filling slot.

Karena dari soal diketahui bahwa percobaan dilakukan

satu persatu tanpa pengembalian

f) Mahasiswa sudah mampu melibatkan ekspresi matematis dalam


g) Mahasiswa sudah dapat menjelaskan langkah demi langkah













368





Kedua














369













cara menempatkan delapam mahasiswa ke dalam dua mobil

sebanyak tiga kasus: 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 1 + 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 2 +

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 3 , namun dalam proses perhitungan mahasiwa

masih mengalami kekeliruan dalam menghitung banyaknya kasus

kedua.


masalah kedua disimpulkan bahwa





untuk menghitung banyaknya car acara menempatkan delapan








𝑛.


370







tertulis.



Kesimpulan yang diperoleh untuk kelompok jawaban kategori

bawah masalah kedua adalah mahasiswa dapat memenuhi

empat indikator kemampuan representasi matematis







S6 Saya tidak menggambarkan, tapi saya hanya

membayangkan saja delapan orang akan dimasukan

kedalam dua mobil yang memiliki daya tampung

yang berbeda-beda







S6 Delapan orang akan dimasukan kedalam dua mobil

yang memiliki daya tampung yang berbeda-beda



S6 Maksud dari soal yaitu ada delapan mahasiswa yang

ingin jalan-jalan ke malioboro, mereka memesan 2

grab mobil. Tenyata maksimum dari mobil pertama

hanya dapat menampung 6 orang dan mobil kedua


371

hanya empat orang. Ditanyakan berapa banyak

susunan yang dapat terbentuk?




masalah tersebut!

S6 Kalau saya melihat dua konsep yaitu konsep

kombinasi dan konsep penjumalahan. Konsep

kombinasi karena dalam menyusun delapan orang

kedalam dua mobil itu tidak memperhatikan urutan

dan untuk konsep penjumlahan karena dalam

pengerjaaan akan dibagi menjadi beberapa kasus,

sehingga untuk menarik kesimpulan harus

dijumlahkan semua



S6 Rencana yang saya lakukan yaitu mencari informasi

yang diketahui, kemudian karena ini masalah

menempatkan delapan orang kedalam mobil tentu

tidak memperhatikan urutan maka dapat diselesiakn

dengan kombinasi, setelah itu saya membagi kasus

karena kapasitas dari masing-masing mobil berbeda,

bagi kasus dibuat agar menghindari ada susunan

yang terlewatkan





S6 Hubungannya mungkin karena ini menyusun orang

kedalam mobil berarti tidak memperhatikan urutan

berarti dapat diselesaikan menggunakan kombinasi.


masalah tersebut!

S6 Model matematika yang terbentuk yaitu (𝑐48. 𝑐4

4) +(𝑐5

8. 𝑐33) + (𝑐6

8. 𝑐22)



S6 Perhitunganya tinggal hitung seperti biasa, kan

modelnya sudah ada, seingat saya pada bagian ini

saya kurang teliti dalam menghitung makanya hasil

ahkirnya salah.



S6 Strategi yang saya gunakan yaitu membaca apa yang

diketahui terlebih dahulu, kemudian pada soal ini


372

saya membagi menjadi beberapa kasus dalam

menyelesaikan masalah.



S6 Saya membagi kasus, agar tidak ada masalah yang

telewatkan pada saat perhitungan.



S6 Langkah-lagkah yang saya lakukan yaitu membaca

apa yang diketahui dari soal, kemudian saya

mengerjakan menggunakan kombinasi,karena dalam

menyusun orang dalam mobil tidak memperhatikan

urutan. Kemudian saya membagi kasus dalam

perhitungan, karena kapasistas mobil berbeda-beda

sebaiknya dibagikan menjadi beberapa kasus agar

waktu perhitungan tidak ada yang terlewatkan.



S6 Kesimpulan yang saya peroleh yaitu, dalam

menyusun delapan orang kedalam dua mobil yang

berbeda kapasitas menghasilkan 210 cara.

Sebaiknya dalam menyelesaikan soal seperti ini

harus bagi menjadi beberapa kasus agar tidak ada

yang terlewatkan saat melakukan perhitungan.






membayangkan delapan orang akan dimasukan kedalam

dua mobil yang memiliki daya tampung yang berbeda-

beda.



dua mobil mengunakan kombinasi. Mahasiswa dapat

membuat model dari masalah yang diberikan 𝐶𝑟𝑛 ×.𝐶𝑟

𝑛


373


masalah tersebut model matematika yang terbentuk

yaitu (𝑐48. 𝑐4

4) + (𝑐58. 𝑐3

3) + (𝑐68. 𝑐2

2)



𝑛 yang

merepresentasikan sebagai kombinasi dan + sebagai konsep

penjumlahan karena dalam pengerjaaan akan dibagi

menjadi beberapa kasus, sehingga untuk menarik

kesimpulan harus dijumlahkan semua

f) Mahasiswa sudah mampu melibatkan ekspresi matematis















374


Ketiga





menyelesaikan masalah yang diberikan untuk bagaian a dengan

langsung menggunakan rumus dari pemutasi siklis yaitu

menghitung banyaknya susunan orang duduk melingkar, dan

untuk bagian b mahasiswa menyelesaiakanya dengan

menggunakan permutasi yaitu dari enam orang yang duduk

melingkar ada dua orang yang tidak ingin berdekatan






375

enam orang. Untuk bagian b, mahasiswa tinggal mengurangkan


yang tidak ingin duduk berdekatan yaitu (𝑛 − 1) = (6 − 1)! − 𝑃26



a) Mahasiswa dalam menyelesaiakan masalah ketiga mampu


melingkar, serta masih belum tepat dalam membuat

representasi dari enam orang tersebut ada dua orang yang tidak

mau duduk berdampingan.



akan duduk melingkar, yaitu menggunakan permutasi siklis,

namun masih keliru untuk menentukan cara dari enam orang

tersebut ada dua orang yang tidak mau duduk berdampingan,


yang telah diperoleh untuk susunan dari enam orang yang akan

duduk melingkar yaitu mengunakan permutasi siklis, Untuk

enam orang yang akan duduk melingkar (𝑛 − 1)! = (6 − 1)!

, namun dari enam orang tersebut ada dua orang yang tidak

mau duduk berdampingan masih keliru dalam proses

pembuatan model matematisnya.



permutasi siklis.



tertulis.





376

Jadi untuk masalah ketiga S6 memenuhi dua indikator

kemampuan representasi matematis yaitu menyelesaiakan

masalah melibatkan ekspresi matematis, dan menuliskan langkah-


kesimpulan.





S6 Saya tidak menggambarkan apa-apa









Yustina?

S6 Saya tidak merepresentasikan apa-apa, saya

langsung pakai rumus aja. Soalnya akan duduk di

meja yang berbentuk lingkaran



S6 Jadi ada enam orang yang akan makam bersama-

sama, mereka akan duduk di meja berbentuk

lingkaran. Berapa susunan yang dapat terbentuk dari

enam orang tersebut dan jika ada dua orang dai

mereka yang tidak mau duduk berdekatan.




masalah tersebut!

S6 Konsep matematika yang saya gunakan yaitu

permutasi siklis (𝑛 − 1)! karena di soal diketahui

bahwa mereka akan duduk dimeja yang berbentuk

lingkaran dan saya menggunakan permutasi juga

karena ada dua orang yang tidak mau duduk

berdekatan




377

S6 Rencana saya tinggalkan masukan saja ke rumus

yang sudah ada yaitu (𝑛 − 1)! P Apa hubungan antara konsep matematika tersebut




S6 Hubungannya mungkin karena duduk melingkar

makanya menggunakan permutasi siklis


masalah tersebut!

S6 Model matematikanya (𝑛 − 1)! Untuk bagian a dan

untuk bagian b 𝑷𝟐𝟔



S6 Perhitungannya tinggal menghitung dari model yang

sudah ada



S6 Saya memilih strategi tersebut karena dari soal

sudah jelas mereka akan duduk melingkar dan yang

saya ingat dan pelajari kalau ada soal yang duduk

melingkar langsung saja menggunakan permutasi

siklis



S6 Karena sesuai dengan apa yang diketahui



S6 Langkah-langkah yang saya lakukan yaitu

langusung menggunakan rumus dari permutasi

siklis, karena yang saya ingat dan tahu bahwa kalau

duduk melingkar langsung saja pakai permutasi

siklis.



S6 Kesimpulan yang saya peroleh yaitu untu menyusun

enam orang yang akan duduk melingkar akan

membentuk 120 susunnan dan untuk dua orang yang

tidak mau berdekatan yaitu 120 − 30 = 90 𝑠𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛.

Untuk masalah duduk melingkar jangan ragu untuk





378


yang ada.

b) Mahasiswa mampu memahami masalah dengan langsung

pakai rumus aja. Soalnya akan duduk di meja yang

berbentuk lingkaran.

c) Mahasiswa tidak merepresentasikan masalah tersebut,

mahasiswa langsung menggunakan rumus aja. Soalnya

akan duduk di meja yang berbentuk lingkaran



yaitu model matematikanya (𝑛 − 1)! Untuk bagian a dan

untuk bagian b 𝑷𝟐𝟔



merepresentasikan sebagai permutasi siklis, permutasi yang

merepresentasikan sebagai ada dua orang yang tidak mau

duduk berdekatan.






menyimpulkan bahwa S6 sudah mencapai tiga indikator

kemampuan representasi untuk masalah ketiga yaitu membuat

persamaan atau model matematis, menyelesaikan masalah






ternyata S6 memenuhi tiga indikator. Jadi peneliti dapat


379

menyimpulkan bahwa S6 sudah memenuhi tiga indikator dari

kemampuan representasi yaitu (2) membuat persamaan atau

model matematis, (3) menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi

matematis, dan (4) menuliskan langkah-langkah penyelesaian



Keempat




Mahasiswa dalam kelompok jawaban yang kempat ini



susunan 3 angka dari kartu 2, 5, 3, 0, 1, 7 bagian b menggunakan


380

metode filling slot yaitu menghitung banyaknya susunan 3 angka

ganjil dari kartu 2 , 5, 3, 0,7, 1, dan bagian c menggunakan metode

filling slot yaitu menghitung banyaknya susunan 3 angka genap

dari kartu 2 , 5, 3, 0,7, 1 . Menggunakan metode filling slot karena

dari soal diberitahu bahwa setiap kartu hanya dapat digunakan satu

kali.











6 × 5 × 4 = 120 angka yang dapat terbentuk

Untuk masalah b mahasiswa mengerjakan

menggunakan filling slot, mahasiswa sudah menempatkan 4

kartu ganjil di slot ketiga, mungkin karena kurangnya

pemahamannya dari mahasiswa yang menyebabkan untuk

slot pertama berisikan 2 kartu, dan slot kedua berisi 1 kartu.

Hal ini disebabkan karena mahasiswa beranggapan bahwa

karena dari 6 kartu 4 kartu sudah digunakan di slot ketiga

maka sisa 2 kartu, kemudian 2 kartu tersebut digunakan

untuk slot pertama dan kedua. Sehingga penempatan filling

slot untuk bagian b menjadi 2 × 1 × 4 = 8 angka ganjil yang

terbentuk.

Untuk masalah c mahasiswa mengerjakan

menggunakan filling slot, mahasiswa sudah menempatkan 2

kartu genap di slot ketiga, mungkin karena kurangnya


381

pemahamannya dari mahasiswa yang menyebabkan untuk

slot pertama berisikan 4 kartu, dan slot kedua berisi 3 kartu.

Hal ini disebabkan karena mahasiswa beranggapan bahwa

karena dari 6 kartu 2 kartu sudah digunakan di slot ketiga

maka sisa 4 kartu, kemudian 3 kartu tersebut digunakan

untuk slot pertama dan kedua. Sehingga penempatan filling

slot untuk bagian c menjadi 4 × 3 × 2 = 24 angka genap

yang terbentuk.




mampu merepresentasikan susunan 3 angka dari 6 kartu, untuk

bilangan ganjil dan genap mahasiswa masih tidak membuat

representasi yang benar.


untuk menghitung banyaknya susunan 3 angka dari 6 kartu,


slot.








bilangan genap 4 × 3 × 2 = 24 angka yang akan terbentuk.







382



tertulis.

f) Mahasiswa sudah dapat menentukan susunan 3 angka dari 6


Jadi, untuk masalah keempat, S6 sudah dapat memenuhi dua




menarik kesimpulan.





S6 Saya langsung menggambar kotak yang mewakili 3

angka yang akan disusun.







S6 Saya merepresentasikan kotak yang mewakili 3

angka yang akan disusun.



S6 Maksud dari soal tersebut yaitu kita diminta

membentuk bilangan 3 angka dari enam buah kartu

yaitu 2, 5, 7, 0, 1, dan 3, jika bilangan 3 angka yang

disusun genap atau ganjil. Dimana dalam menyusun

bilangan 3 angka tersebut, kartu hanya bisa

digunakan satu kali.




masalah tersebut!

S6 Konsep matematika yang digunakan yaitu filling

slot karena untuk menyusun 3 angka perlu

penempatan dimasing-masing slot


383



S6 Rencana yang saya lakukan untuk bagian a yaitu

langsung menempatkan banyaknya kartu sesuai

slotnya, untuk bagian b saya menempatkan kartu

yang bilangan ganjil terlebih dahulu di slot ketiga,

kemudian kartu sisa untuk slot pertama dan kedua,

dan untuk bagian c saya menempatkan kartu yang

bilangan genap terlebih dahulu di slot ketiga,

kemudian kartu sisa untuk slot pertama dan kedua





S6 Karena menentukan bilangan 3 angka itu sama saja

seperti mengisi kotak-kotak maka sesuai dengan

konsep filling slot,


masalah tersebut!

S6 Model matematika yang terbentuk untuk bagian a

6 × 5 × 4 = 120, bagian b 2 × 1 × 4 = 8 bilangan

ganjil yang terbentuk bagian c 4 × 3 × 2 = 24



S7 Tinggal saya hitung saja dari model yang sudah saya

buat



S6 Cara saya karena ini menyusun bilangan 3 angka

saya yakin menggunakan filling slot



S6 Karena kriteria dari soal cocok ketika mengguakan

filling slot



S6 Saya menjawab dengan menggunakan filling slot,

untuk bagian a langsung saja menggunakan filling

slot, untuk bagian b saya menempatkan empat kartu

bilang ganjil dislot ketiga, karena sudah digunakan

empat maka untuk slot pertama tinggal dua kartu

dan slot kedua satu kartu, dan bagian c saya

menempatkan dua kartu bilang genap dislot ketiga,

karena sudah digunakan dua maka untuk slot

pertama tinggal empat kartu dan slot kedua tiga

kartu


384



S6 Kesimpulan yang saya peroleh yaitu untuk bagian a

saya peroleh 120 susunan, untuk bagian b saya

peroleh 8 susunan bilangan 3 angka genap dan untuk

bagian c saya memperoleh 24 susunan bilangan 3

angka ganjil.



a) Mahasiswa menggambar kotak yang mewakili 3 angka

yang akan disusun sebagai gambaran visual dari



menggambar kotak yang mewakili 3 angka yang akan

disusun.


tersebut yaitu kotak yang mewakili 3 angka yang akan

disusun.



untuk bagian a 6 × 5 × 4 = 120, bagian b 2 × 1 × 4 = 8

bilangan ganjil yang terbentuk bagian c 4 × 3 × 2 = 24


dalam penyelesaian masalah, yaitu menggunakan slot

pertama, kedua, dan ketiga yang merepresentasikan metode

filling slot.








385

kemampuan representasi untuk masalah keempat yaitu



menarik kesimpulan.




ternyata S6 memenuhi empat indikator. Jadi peneliti dapat








386

C. Refleksi

Penghujung semester 2 saya merasa deg-degan atau khawatir

dikarenakan akan melakukan Praktik Pembelajaran Patematika (PPM) yang

akan dilakukan pada mahasiswa S1 sekaligus saya akan melakukan penelitian

untuk penulisan tugas ahkir saya atau Thesis. Hal ini berbeda ketika waktu

praktik pengalaman lapangan atau PPL yang hanya mengajarkan siswa S1.

Letak perbedaannya pada tingkat kedalaman materi yang diajarakan, tentu

saja untuk mahasiswa materi yang diajarkan harus lebih mandalam. Ditambah

lagi akan ada pengambilan data saat praktik mengajar untuk keperluan

penulisan Thesis, hal ini membuat saya harus berhati-hati karena kalau mau

lulus tepat waktu jangan menyia-nyiakan kesempatan ini. . Dalam pemilihan

mata kuliah yang akan diajarkan waktu PPM saya menyesuaikan dengan

thesis yang saya susun, dimana akan mengetahui lebih dalam kemampuan

representasi matematika dari mahasiswa. Berdasarkan hal tersebut maka saya

memilih untuk melakukan PPM pada mata kuliah Teori Peluang yang sangat

dekat dengan kehidupan sehari-hari, kurang lebih masih memiliki hubungan

dengan kemampuan representasi baik secara kata, tulisan ataupun gambar.

Proses yang saya lalui sebelum PPM, dilalui dengan menyiapkan

berbagai hal yang perlu diperhatiakn sebelum PPM yaitu menghubungi dosen

pengampu mata kuliah Teori Peluang untuk meminta rencana pembelajaran

semester (RPS) dan membahas apa saja yang harus dipersiapakan sebelum

melakukan PPM. Dari pembahasanyang dilakukan bersama dosen pengampu

mata kuliah Teori Peluang, saya mendapatkan materi untuk penelitian thesis

pada materi permutasi dan kombanasi, setelah melihat RPS ternyata akan

dilakukan pada pertemuan ke 3 dan ke 4. Tentu persiapan yang saya lakukan

harus lebih ekstra karena dalam 1 minggu terdapat 3 kali perkuliahan,

sehingga secara otomatis pada minggu kedua saya sudah melakukan

penelitian untuk thesis. Hal-hal yang dibutuhkan seperti, rencana

pembelajaran atau HIPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY (HLT), serta

masalah-masalah yang akan digunakan dan tes pemahaman harus segera

disiapkan. Awalnya saya sangat pesimis bahwa dapat menyelesaikan semua


387

yang dibutuhkan dalam waktu yang singkat. Berkat bantuan dosen

pembimbing thesis saya sekaligus dosen pengampu mata kuliah yang selalu

menyemangati saya dan memberikan saya semangat agar dapat

menyelesaiakn semuanya itu. Puji Tuhan, berkat dukungan tersebut semua

persiapan yang saya butuhkan untuk penelitian thesis dapat terselesaikan

dengan tepat waktu.

Semua bentuk persiapan untuk penelitian thesis saya sudah saya

siapkan, namun ada beberapa hal yang saya takuti yang yaitu: apakah

kehadiran saya dalam proses pembelajaran dapat diterima dengan baik oleh

mahasiswa?, apakah waktu pembelajaran, mahasiswa dapat mengikuti

dengan baik?, apakah saya bisa menjalani komunikasi dengan baik dengan

mahasiswa?. Ketakutan itu muncul karena saya merasa kurang percaya diri

untuk melakukan praktik pembelajaran. Namun, semuanya itu dapat teratasi

berkat dukungan dari orang sekitar saya.

Pada tanggal 31 Agustus 2020, merupakan pertemuan pertama untuk

kegiatan PPM. Pertemuan pertama ini diawali dengan dosen

memperkenalkan diri kepada mahasiswa dan mengenalkan saya kepada

mahasiswa bahwa saya akan membantu selama satu semester untuk mata

kuliah Teori Peluang. Perkenalan berjalan baik, karena pada semester

sebelumnya saya sudah pernah melakukan penelitian di kelas mereka, jadi

tidak terlalu canggung atau aneh.

Dua atau tiga hari sebelum penelitian, saya menghubungi dosen

pengampu mata kuliah untuk membahas HLT yang telah dibuat apakah sudah

sesuai atau harus ada yang diperbaiki lagi. HLT yang telah saya buat direvisi

pada bagian menambahkan kemungkinan-kemungkinan yang dapat muncul

dari masalah yang diberikan dan topangan-topangan yang diberikan harus

lebih realistik dan sesuai dengan masalah yang ada. Proses revisi yang

dilakukan hanya satu kali dan HLT untuk penelitian sudah siap untuk

digunakan. Hal yang saya takutkan pada saat penelitian nanti yaitu saya tidak

bisa melakukan pembelajaran sesuai dengan HLT yang telah dibuat.


388

Tiba pada hari saya melakukan penelitian pada pertemuan pertama,

saya merasa agak deg-deg karena takut tidak dapat mengontrol jalannya

pembelajaran dengan baik. Semua yang telah saya siapkan sempat berjalan

tidak sesuai dengan rencana pembelajaran yang telah saya buat. Namun lagi-

lagi dosen pengampu mata kuliah saya membantu saya untuk mengontrol

pembelajaran yang saya lakukan dan pada ahkirnya saya bisa melanjutkan

pembelajaran dengan baik hingga ahkir. Dari sini saya sadar bahwa, tugas

dosen itu tidaklah mudah. Untuk mengajarkan mahasiswa dengan

bermodalkan pintar saja tidak cukup ada faktor lain yang sangat penting yaitu

kemampuan berkomunikasi. Cara berkomunikasi yang baik akan sangat

mendukung dalam proses pembelajaran, apalagi kemampuan tiap mahasiswa

untuk memahami penjelasan itu berbeda-beda. Sehingga kemampuan

berkomunikasi sangat dibutuhkan untuk proses pembelajaran.

Pertemuan kedua saya lakukan dengan lebih percaya diri, karena

setelah pertemuan pertama saya sudah tau hal apa saja yang harus saya

perbaiki. Pertemuan kedua ini berjalan dengan lancar dengan berjalan sesuai

dengan rencana yang telah dibuat pada HLT, namun masih belum bisa

mengatur waktu dengan baik yang menyebabkan pembelajaran molor 5-10

menit. Dari pertemuan kedua ini saya memperoleh sesuatu yaitu apa yang

direncanakan kadang tidak sesuai rencana, jangan kecewa tetap semangat.

Pertemuan ketiga ini merupakan pertemuan yang digunakan untuk

mencoba uji pemahaman atas pembelajaran yang dilakukan pada dua

pertemuan selanjutnya. Berdasarkan uji pemahaman yang dilakukan ternyata

memiliki perbedaan nilai untuk kelas A dan Kelas B, dari hal tersebut saya

cukup tidak puas karena rata-rata kelas untuk kelas B tidak sebagus di kelas

A. Saya juga menyadari bahwa memang proses pembelajaran yang dilakukan

pada kelas A dan kelas B, dimana pembelajaran pada kelas A memang lebih

aktif.

Mahasiswa semester 3 angkatan 2019 merupakan mahasiswa yang rata-

rata tahun lahirnya sudah mulai dari tahun 2000-2001. Walaupun umur kita

berbeda 3 sampai 4 tahun yang menyebabkan mahasiswa tidak merasa malu


389

untuk bertanya ketika mahasiswa mengalami kesulitan dalam proses

pembelajaran. Mahasiswa juga sangat ramah dan peduli terhadap sekitar.

Walaupun tidak pernah bertemu mereka secara tatap muka, namun saya yakin

mereka sangat ramah terlihat dari respon mereka pada grup.

Selama proses pembelajaran yang dilakukan, setelah penelitian untuk

thesis saya. Saya selalu dilibatkan dalam proses pembelajaran yang

berlangsung, seperti membantu dosen untuk menuntun mahasiswa dalam

grup kecil dan memeriksa hasil pekerjaan kelompok dari mahasiswa. Disini

saya merasa sangat bangga karena dipercaya untuk mendampingi mahasiswa

dari awal semester sampai ahkir semester. PPM ini juga membuat

pengetahuan yang saya miliki ini semakin bertambah, terlebih pada materi

kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi. Merupakan materi-materi yang

sangat dekat dalam kehidupan sehari-hari, hal ini memunculkan pertanyaan

dalam otak saya, apakah semua materi dalam matematika dapat dikaitkan

dengan kehidupan sehati-hari? Apakah matematika itu terbentuk dari

kebiasaan kita sehari-hari?

Proses pelaksanaan PPM dari awal hingga ahkir saya sadar bahwa

untuk menjadi dosen itu tidaklah mudah. Harus memperhatikan dan

mempersiapkan diri dengan lebih ekstra, terutama pada bagian penyesuain

diri dengan perubahan lingkungan atau zaman. Mau tidak mau, suka tidak

suka, kita sebagai pengajar nantinya harus bisa mengikuti perkembangan

zaman. Agar peran kita sebagai pengajar atau dosen tidak tergantikan oleh

teknologi.

Proses pembelajaran yang dilakukan via daring sudah dioptimalkan

sebaik mungkin, namun masih saja beberapa faktor yang mempengaruhi

pembelajaran via daring yaitu kuota dan jaringan. Ditambah lagi faktor

internal dari mahasiswa yang bisa saja menghambat proses pembelajaran via

daring seperti malas. Cara mengatasi masalah malas yang ada pada

mahasiswa itu kembali lagi kedalam diri masing-masing mahasiswa.

Seberapa niat, mahasiswa tersebut dalam mengikuti perkuliahan atau faktor

eksternal yaitu motivasi yang diberikan oleh dosen. Pembelajaran via daring


390

memanglah sulit untuk memperoleh hasil yang optimal, karena dipengaruhi

oleh banyak faktor baik internal mahasiswa atau eksternal dan secara teknis.

Menurut saya pribadi, PPM ini sangat berguna untuk melatih para

mahasiswa S2 yang akan menjadi dosen untuk mengetahui apa saja yang

perlu dipersiapkan, dibutuhkan dan diperhatikan. Mengingat perkembangan

jaman yang cepat akan menyebabkan apa yang dibutuhkan mahasiswa jaman

sekarang dan jaman dulu itu berbeda. Setelah melaksanakan PPM ini, saya

ingin ketika saya menjadi dosen nanti, saya bisa mengikuti perkembangan

jaman dengan baik dan menjadi dosen yang dekat dengan mahasiswa, seperti

yang dilakukan dosen pengampu mata kuliah saya. Dia sangat luar biasa

pengertian, penyebar dan selalu punya cara untuk mencairkan suasana. Untuk

saat ini beliau merupakan dosen favorit saya.

Secara garis besar untuk proses PPM berjalan dengan baik, walaupun

tidak selalu seperti yang direncanakan yang penting tujuannya tercapai yaitu

saya memperoleh data untuk penelitian dan mahasiswa mengerti akan

pembelajaran yang saya lakukan.

Data penelitian telah terkumpul sekarang muncul masalah lagi yaitu

mengolah data penelitian tersebut agar bisa dituangkan dengan baik dan rapih

untuk dijadikan sebuah Thesis. Data penelitian sudah saya miliki, namun niat

untuk mengelolah data tersebut masih belum tampak. Saya juga sadar bahwa,

kurangnya tujuan atau motivasi yang membuat saya ingin cepat lulus itu

masih rendah atau bahkan tidak ada sehingga saya malas untuk mengolah data

tersebut.

Proses pengolahan data yang saya lakukan memang sangat tidak

dimaksimal dikarenakan saya hanya mengerjakan itu hanya 1-2 jam saja

kadang kurang. Partner saya Yustina sudah lulus di bulan Mei, namun saya

juga belum tergerak untuk rajin menyelesaiakan mengolah data tersebut. Ada

satu momen yang membuat saya kaget dan tersentak kalau tidak salah ahkir

bulan Juni ini. Saya menerima telepon dari bapak saya, inti dari telopon

tersebut adalah ada lowongan pekerjaan yang mau buka cepat lulus biar bisa

bantu “logistic” itu simbol untuk keuangan. Dari kata-kata tersebut secara


391

seketika membuat saya merenung bahwa sudah lebih dari 23 tahun menjadi

beban keluarga, mungkin ini saatnya bisa membantu dan berguna buat orang

tua. Semenjak itu saya langsung semangat untuk mengerjakan. Saya juga

sadar bahwa memang apappun yang kita kerjakan harus ada motivasi atau

tujuan yang ingin kita capai.


392

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dibahas dan telah dianalisis

pada bab IV oleh peneliti, selanjutnya diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Peneliti merancang lintasan belajar dalam materi Permutasi dan

Kombinasi bagi mahasiswa Pendidikan Matematika semester 1 dengan

merencanakan dan mengimplementasikan pembelajarannya secara

daring menggunakan WhatsApp Group diterapkan dalam dua pertemuan

dengan membentuk grup besar dan beberapa grup kecil untuk berdiskusi

dari masing-masing kelompok yang terbentuk di dalam kelas besar

berdasarkan karakteristik PMR, yaitu: penggunaan konteks, penggunaan

model untuk matematisasi progresif, pemanfaatan hasil konstruksi,

interaktivitas, dan keterkaitan.

a. Berikut ini penerapan karakteristik PMR yang telah

direncanakan oleh peneliti yaitu:

1) Pada pertemuan pertama dengan melakukan langkah-langkah

berdasarkan Karakteristik 1 Penggunaan konteks dengan

peneliti memulai pembelajaran dengan mengucap salam WhatsApp

Group, kemudian peneliti mengirimkan file yang berisi masalah

dan beberapa aktivitas mengenai definisi permutasi, permutasi

berulang dan permutasi siklis yang akan didiskusikan di dalam

kelompok, dan Karakteristik 2 Penggunaan Model Untuk

Matematisasi Progresif, Karakteristik 3 Pemanfaatan Hasil

Konstruksi Siswa, dan Karakteristik 4 Interaktivitas terdiri dari

aktivitas diskusi dalam kelompok, dimana kelompok secara acak

diminta untuk merepresentasikan hasil diskusinya dan

mengirimkan hasil hasil diskusi kelompok ke dalam grup besar

berupa foto dan penjelasan mengenai cara menyelesaikan masalah

tersebut, sehingga peneliti dapat melakukan penegasan.

Selanjutnya Karakteristik 5 Keterkaitan peneliti meminta


393

mahasiswa untuk menyimpulkan pertemuan hari ini mengenai

definisi permutasi, permutasi berulang dan permutasi siklis.

2) Pada pertemuan kedua dengan melakukan langkah-langkah

berdasarkan Karakteristik 1 Penggunaan konteks dengan

peneliti memulai pembelajaran dengan mengucap salam WhatsApp

Group, kemudian peneliti mengirimkan file yang berisi masalah

dan beberapa aktivitas mengenai sekatan atau partisi, kombinasi,

banyaknya kombinasi yang akan didiskusikan di dalam kelompok,

dan Karakteristik 2 Penggunaan Model Untuk Matematisasi

Progresif, Karakteristik 3 Pemanfaatan Hasil Konstruksi

Siswa dan Karakteristik 4 Interaktivitas terdiri dari aktivitas

diskusi dalam kelompok, dimana kelompok secara acak diminta

untuk merepresentasikan hasil diskusinya dan mengirimkan hasil

hasil diskusi kelompok ke dalam grup besar berupa foto dan

penjelasan mengenai cara menyelesaikan masalah tersebut,

sehingga peneliti dapat melakukan penegasan. Selanjutnya

Karakteristik 5 Keterkaitan peneliti meminta mahasiswa untuk

menyimpulkan pertemuan hari ini mengenai sekatan atau partisi,

kombinasi, banyaknya kombinasi.

3) Pada pertemuan ketiga akan dilaksanan tes tertulis untuk melihat

kemampuan representasi matematis mahasiswa setelah mengalami

proses pembelajaran dengan menggunakan karakteristik dari

Pendidikan Matematika Realistik (PMR).

b. Berikut adalah langkah-langkah yang telah diimplementasikan

oleh peneliti yaitu:

1) Peneliti menyiapkan bahan ajar yang digunakan.

Peneliti menyiapkan terlebih dahulu menyiapkan HLT yang

didalamnya terdapat bahan ajar berupa PPT pembelajaran dan

aktivitas belajar dalam memahami materi permutasi dan

kombinasi.

2) Peneliti mengirimkan file yang berisikan aktivitas ke dalam


394

WhatsApp Group.

Peneliti meminta kelompok yang telah ditentukan untuk

menyelesaikan masalah yang diberikan dalam kelompok kecil

3) Mahasiswa diberikan waktu sekitar 20-35 menit untuk berdiskusi

dalam kelompok.

Selama proses diskusi yang terjadi di dalam grup kecil, peneliti ikut

membantu dan mengawasi jalannya proses diskusi didalam grup

kecil. Peneliti membantu mahasiswa dengan memberikan

pertanyaan menuntun, yang akan menuntun mahasiswa untuk

menemukan ide dari masalah yang dibahas seperti informasi apa

saja yang dapat diperloleh dari masalah yang diberikan

4) Peneliti secara acak menunjuk kelompok untuk mengirimkan hasil

diskusi kelompok kedalam grup besar.

Hasil diskusi yang akan dikirim berupa foto dan penjelasan


5) Peneliti mengajak mahasiswa untuk berdiskusi.

Diskusi yang dilakukan ini bertujuan untu mengecek apakah

pekerjaan yang dilakukan mahasiswa sudah tepat atau masih ada

yang perlu diperbaiki lagi.


dikirimkan.

Penegasan ini dilakukan jika terjadi kekeliruan dalam pengerjaan

ataupun ada masalah lain yang ingin ditanyakan dari pekerjaan

mahasiswa.


telah dipelajari.

Peneliti meminta mahasiswa untuk melakukan kesimpulan untuk

masing-masing aktivitas yang telah dikerjakan.

Berdasarkan implementasi pembelajaran yang dilakukan dengan

menggunakan karakteristik dari PMR dapat disimpulkan sebagai berikut:

a) Penggunaan konteks karakteristik ini muncul pada bagian peneliti


395

memberikan mahasiswa aktivitas untuk dikerjakan.

b) Pengunaan model untuk matematisasi progresif karakteristik ini


membuat model dari aktivitas yang diberikan.

c) Pemanfaatan hasil konstruksi siswa karakteristik ini muncul pada



d) Interaktivitas karakteristik ini muncul pada bagian mahasiswa

melakukan diskusi antara mahasiswa-mahasiswa, dan mahasiswa-

peneliti

e) Keterkaitan karakteristik ini muncul saat mahasiswa dapat

menyelesaikan aktivitas-aktivitas yang ada dan dapat diselesaiakan

dengan menggunakan materi yang telah dipahami sebelumnya.

2. Peneliti meninjau kemampuan representasi matematis mahasiswa setelah

mengalami proses pembelajaran dengan menggunakan Pendidikan

Matematika Realistik dari hasil tes tertulis berdasarkan

pengelompokkan jawaban adalah sebagai berikut`

Kelas Uji coba

a) Untuk masalah pertama diperoleh hasil sebagai berikut: ada 42 atau

100% mahasiswa yang mampu memenuhi empat indikator yaitu: (1)

membuat gambar sebagai representasi dari masalah yang diberikan,

(2) membuat persamaan atau model matematis, (3) menyelesaikan

masalah melibatkan ekspresi matematis, dan (4) menuliskan

langkah-langkah penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik

kesimpulan.

b) Untuk masalah kedua diperoleh hasil sebagai berikut: ada 27 atau

64.29% mahasiswa mampu memenuhi empat indikator yaitu: (1)






396

kesimpulan, 4 atau 9.52% mahasiswa mampu memenuhi tiga

indikator yaitu: (1) membuat gambar sebagai representasi dari

masalah yang diberikan, (2) menyelesaikan masalah melibatkan


penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan, dan 11

atau 26.19% mahasiswa mampu memenuhi dua indikator yaitu: (1)

menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi matematis, dan (2)


menarik kesimpulan.

c) Untuk masalah ketiga diperoleh hasil sebagai berikut: ada 38 atau






kesimpulan, dan 4 atau 9.52% mahasiswa mampu memenuhi dua

indikator yaitu: (1) menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi



d) Untuk masalah keempat diperoleh hasil sebagai berikut: ada 5 atau






kesimpulan, dan 37 atau 88.10% mahasiswa mampu memenuhi dua





397

Kelas Penelitian

a) Untuk masalah pertama diperoleh hasil sebagai berikut: ada 42 atau

93.33% mahasiswa memenuhi empat indikator yaitu: (1) membuat

gambar sebagai representasi dari masalah yang diberikan, (2)

membuat persamaan atau model matematis, (3) menyelesaikan



kesimpulan, dan 3 atau 6.67% mahasiswa tidak memenuhi empat

indikator yaitu: 1) membuat gambar sebagai representasi dari

masalah yang diberikan, (2) membuat persamaan atau model

matematis, (3) menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi



b) Untuk masalah kedua diperoleh hasil sebagai berikut: ada 36 atau

80% mahasiswa memenuhi empat indikator yaitu: (1) membuat





kesimpulan., 5 atau 11.11% mahasiswa memenuhi tiga indikator

yaitu: (1) membuat gambar sebagai representasi dari masalah yang

diberikan, (2) menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi


dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan, dan 4 atau 8.89%

mahasiswa memenuhi dua indikator yaitu: (1) menyelesaikan



kesimpulan.

c) Untuk masalah ketiga diperoleh hasil sebagai berikut: ada 26 atau




398




kesimpulan, dan 19 atau 42.22% mahasiswa memenuhi dua




d) Untuk masalah keempat diperoleh hasil sebagai berikut: ada 40 atau






kesimpulan, dan 5 atau 11.11% mahasiswa memenuhi dua indikator

yaitu: (1) menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi matematis,

dan (2) menuliskan langkah-langkah penyelesaian dengan kata-kata


3. Peneliti meninjau kemampuan representasi matematis mahasiswa setelah

mengalami proses pembelajaran dengan menggunakan karakteristik

Pendidikan Matematika Realistik berdasarkan hasil tes tertulis dan

wawancara terhadap 6 subjek adalah sebagai berikut:

Kelas Uji coba

a) Untuk masalah pertama diperoleh hasil sebagai berikut: semua

subjek mencapai keempat indikator yaitu: (1) membuat gambar

sebagai representasi dari masalah yang diberikan, (2) membuat

persamaan atau model matematis, (3) menyelesaikan masalah

melibatkan ekspresi matematis, dan (4) menuliskan langkah-langkah


b) Untuk masalah kedua diperoleh hasil sebagai berikut: subjek 1 dan

subjek 2 mencapai keempat indikator yaitu: (1) membuat gambar



399



penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan.dan

subjek 3 hanya mencapai indikator ke-3 dan 4 yaitu: (3)



menarik kesimpulan.

c) Untuk masalah ketiga diperoleh hasil sebagai berikut: subjek 1 dan

subjek 2 mencapai keempat indikator yaitu: (1) membuat gambar




penyelesaian dengan kata-kata untuk menarik kesimpulan, dan

subjek 3 hanya mencapai indikator ke-3 dan 4 yaitu: (3)



menarik kesimpulan.

d) Untuk masalah keempat diperoleh hasil sebagai berikut: subjek 1

dan subjek 2 mencapai keempat indikator yaitu: (1) membuat





kesimpulan, dan subjek 3 hanya mencapai indikator ke-3 dan 4 yaitu:

(3) menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi matematis, dan (4)


menarik kesimpulan.

Kelas Penelitian

a) Untuk masalah pertama diperoleh hasil sebagai berikut: semua

subjek mencapai keempat indikator yaitu: (1) membuat gambar



400




b) Untuk masalah kedua diperoleh hasil sebagai berikut: semua subjek

mencapai keempat indikator yaitu: (1) membuat gambar sebagai





c) Untuk masalah ketiga diperoleh hasil sebagai berikut: subjek 4 dan

subjek 5 mencapai keempat indikator dan subjek 6 hanya mencapai

indikator ke-2, 3, dan 4 yaitu: (2) membuat persamaan atau model

matematis, (3) menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi



d) Untuk masalah keempat diperoleh hasil sebagai berikut: subjek 4

dan subjek 5 mencapai keempat indikator yaitu: (1) membuat





kesimpulan.dan subjek 6 hanya mencapai indikator ke-3 dan 4 yaitu:

(3) menyelesaikan masalah melibatkan ekspresi matematis, dan (4)


menarik kesimpulan.


401

B. SARAN

Berdasarkan kesimpulan hasil penelitian, ada beberapa saran yang

dapat diberikan oleh peneliti sebagai berikut:

1. Untuk Para Pendidik

Pendidik harus mau untuk belajar lebih giat untuk mempelajari dan

menguasai platform pembelajaran online agar pembelajaran yang

dilakukan tidak membosankan.

2. Untuk Mahasiswa

Mahasiswa diharapkan harus lebih aktif dalam pembelajaran yang

dilakukan baik secara online atau tatap muka.


402

DAFTAR PUSTAKA

Aisyah, Nyimas. (2007). Pengembangan Pembelajaran Matematika SD. Jakarta:

Dirjen Dikti Depdiknas.

Arikunto, S. (2018). Dasar-dasar Evaluasi Pendidikan Edisi 3. Jakarta: Bumi

Aksara

Effendi, L. A. (2012). Pembelajaran Matematika Dengan Metode Penemuan

Terbimbing Untuk Meningkatkan Kemampuan Representasi dan

Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP. Jurnal UPI Volume 13, No. 2.

Fathurrohman, Muhammad. (2015). Model-Model Pembelajaran Inovativ.

Yogyakarta: AR-RUZZ MEDIA.

Gordah, E. K dan Syarifah Fadilla (2014). Pengaruh Penggunaan Bahan Ajar

Kalkulus Diferensial Berbasis Pendekatan Open Ended Terhadap

Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa. Jurnal Pendidikan dan

Kebudayaan Vol 20, Nomor 3, September 2014, (340-352).

Hadi, Sutarto. (2005). Pendidikan Matematika Realistik dan Implementasinya.

Banjarmasin: Penerbit Tulip.

Hudiono. (2005). Meningkatkan Kemampuan Representasi MultipelMatematis,

Pemecahan Masalah Matematis, dan Self Esteem SMP Melalui

Pembelajaran denan Pendekatan Open Ended. Disertasi :Pontianak.

Hutagaol, K. (2013). Pembelajaran Kontekstual untuk Meningkatkan Representasi

Matematis Siswa Sekolah Menengah Pertama. Jurnal Ilmiah Program Studi

Matematika STKIP Siliwangi Bandung, 2 (1), ( 85-99).

Julie, Hongki. Dkk. (2017) Buku Ajar Teori Peluang. Yogyakarta: Sanata Dharma

University Press.

Lestari, K. E dan Mokhammad R. Y (2017). Analisis Kemampuan Representasi

Matematis Mahasiswa pada Mata Kuliah Geometri Transformasi

Berdasarkan Latar Belakang Pendidikan Menengah. Jurnal Matematika

Integratif. Vol 13. No 1, April 2017, ( 28-33).

Marwan, S dan M. Duskri. (2017). Kemampuan Representasi Matematis Siswa

SMP Melalui Pendekatan Matematika Realistik. Beta Jurnal Tadris

Matematika.Vol. 10 No.1 Mei (2017), (51-69).


403

Marilonga, F. X. (2019). Analisis Kemampuan Representasi Siswa Kelas VIII SMP

Kanisius Kalasan Dengan Pendekatan Pembelajaran Matematika Realistik

Pokok Bahasan Lingkaran. Disertasi: Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

NCTM. (2000). Principles and Standars for School Mathematics.USA: NCTM.

Novikasari, Ifda dan Wahyuni (2019). Aplikasi Realistic Mathematics Education

(RME) Model STAD Untuk Meningkatkan Kemampuan Representasi Dan

Penalaran Matematis Mahasiswa PGMI. Jurnal Keilmuan dan

Kependidikan Dasar. Vol 11, No 02, Juli-Desember 2019,(167- 176)

Permendiknas. (2016). Permendiknas No. 22 Tahun 2016 Tentang Standar Isi.

Prahmana C.I, Rully. (2017). Design Research: (Teori dan Implementasinya: Suatu

Pengantar). Depok: Rajawali Pers. 13

Rasyid, A. N dan Santi Irawati (2017) Penerapan Realistic Mathematics Education

Meningkatkan Kemampuan Representasi Matematis Siswa. Jurnal

Pendidikan: Teori, Penelitian dan Pengembangan. Vol 2, Nomor 12 Bulan

Desember 2017, (1590-1595).

Rezeki, Sri. (2017). Meningkatkan Kemampuan Representasi Matematis Siswa

Melalui Penerapan Model Pembelajaran Novick. Jurnal SAP, Vol. 1, No.3,

April 2017.

Rudhito, Andy.M. (2019). Dasar-dasar Penelitian Desaian untuk Pendidikan.

Yogyakarta: DEEPUBLISH.

Sabirin, M. (2014). Representasi dalam Pembelajaran Matematika. JPM IAIN

Antasari. 1(2), (33-44).

Santri, Fatrima. S. (2017). Kemampuan Representasi Matematis dan Kemampuan

Pembuktian Matematika. Jurnal Edumath. Volume 3 No. 1 Januari 2017,

(49-55).

Sugiyono. 2016. Memahami penelitian Kualitatif. Bandung: ALFABETA

Surya, E. dan Siti N. I. (2016). Mathematical Representation Ability In Private

Class XI SMA YPI Dharma Budi Sidamanik. Jurnal Saung Guru: Vol VIII

No.2 April. UPI Kampus Tasikmalaya, (170-174).


404

Tarigan, D. (2006). Pembelajaran Matematika Realistik. Jakarta: Departemen

Pendidikan Nasional Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Direktorat

Ketenagaan.

Wijaya, Ariyadi. (2012). Pendidikan Matematika Realistik, Suatu Alternatif

Pendekatan Pembelajaran Matematika.Yogyakarta : Graha Ilmu

Yerizon. (2014). Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa Pada Mata

Kuliah Kalkulus Peubah Banyak. Prosiding SEMIRATA 2014 bidang MIPA

BKS-PTN-BARAT. Insititut Pertanian Bogor. (371-375)

Yusuf Cantika N. dkk. (2018) Penerapan Model Pembelajaran Realistik

Mathematics Education (RME) terhadap Peningkatan Kemampuan

Representasi Matematis Siswa. Delta-Pi: Jurnal Matematika dan

Pendidikan Matematika Vol 7 No.2, Oktober 2018. Program Studi

Pendidikan Matematika FKIP Unkhair.


405

LAMPIRAN

HIPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY

MATERI PERMUTASI DAN KOMBINASI

PADA MAHASISWA S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA


Disusun untuk Memenuhi

Penelitian Thesis

Dosen Pengampu: Dr. Hongki Julie, M.Si.

Oleh:

Zacharias Angelius Krisnadi Wara Sabon (191442108)

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA


FAKULTAS KEDOSENAN DAN ILMU PENDIDIKAN


YOGYAKARTA


406

2020

HYPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY

Mata Kuliah : Teori Peluang

Materi : Permutasi dan Kombinasi

Semester : III (Tiga) (pertemuan 1)

Indikator Pencapaian Kompetensi :

3.3.1 Mampu menjelaskan definisi permutasi dari masalah yang telah diberikan.

3.3.2 Mampu menjelaskan definisi banyaknya permutasi dari maslaah yang telah diberikan.

3.3.3 Mampu menjelaskan definisi dari permutasi 𝑟 unsur yang diambil 𝑛 unsur yang berbeda.

Tujuan pembelajaran adalah:

Mahasiswa melalui pemberian masalah dapat menjelaskan definisi permutasi dari masalah yang telah diberikan serta definisi banyaknya permutasi

dari maslaah yang telah diberikan dan permutasi 𝑟 unsur yang diambil 𝑛 unsur yang berbeda.

Metode pembelajaran:

Menggunakan Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik Indonesia

Karakteristik PMRI

Menurut Treffers (dalam, Wijaya 2012: 21-22 ):

1. Penggunaan Konteks

2. Menggunakan Model untuk Matematisasi Progresif

3. Pemanfaatan Hasil Kontruksi Siswa

4. Interaktivitas

5. Ketererkaitan


407

Mathematics Problem / Activity

Kegiatan

(Tahapan

PMRI)

Proses Pembelajaran Kemungkinan Respon Mahasiswa Alternatif Kegiatan (Topangan)

Pendahuluan Dosen mengucap salam, mengecek kehadiran

mahasiswa dan mengkondisikan suasana belajar.

Mahasiswa antusias menjawab salam

dari dosen.

Dosen merespon dengan ramah kepada

mahasiswa.

Ada mahasiswa tidak antusias

menjawab salam dari dosen.

Dosen mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang

mengaitkan pengetahuan sebelumnya .

“Apa yang kalian ingat tentang masalah-masalah

yang diberikan pada pertemuan sebelumnya?”

Dosen memberitahu bahwa materi itu ada

hubungannya dengan materi yang akan dipelajari

nanti.

Mahasiswa antusias menjawab

pertanyaan yang diberikan dosen.

Dosen memberikan penjelasan kembali

mengenai masalah-masalah yang telah

diberikan dengan meminta mahasisa untuk

membuka catatan mereka pada pertemuan

sebelumnya. Ada mahasiswa tidak antusias

menjawab pertanyaan yang diberikan

dosen.

Dosen menyampaikan tujuan pelajaran dan garis

besar cakupan materi dan kegiatan yang akan

dilakukan.


Mahasiswa melalui pemberian masalah dapat

menjelaskan definisi permutasi dari masalah yang

telah diberikan serta permutasi 𝑟 unsur yang

diambil 𝑛 unsur yang berbeda dan permutasi yang

memuat beberapa unsur yang sama.

Mahasiswa menyimak dan mencatat apa

yang disampaikan oleh dosen.

Dosen memperjelas tujuan pembelajaran

sambil memberi motivasi dan semangat

kepada mahasiswa. Bahwa materi yang akan

dipelajari ini akan menjadi dasar untuk

materi-materi selanjutnya, maka ayo

memperhatikan dan aktif dalam

pembelajaran yang dilakukan.

Ada mahasiswa yang hanya menyimak

dan tidak mencatat apa yang

disampaikan oleh dosen.

Ada mahasiswa yang tidak

memperhatikan apa yang disampaikan

oleh dosen.

Dosen memulai pelajaran dengan meminta

mahasiswa mengerjakan masalah yang diberikan

secara individu.

Mahasiswa antusias mengerjakan

masalah yang diberikan secara individu

Dosen meminta mahasiswa untuk

mengerjakan masalah yang diberikan dibuku

catatan masing-masing, karena apa yang

dipelejari hari ini akan menjadi dasar untuk

pertemuan-pertemuan selanjutnya.

Mahasiswa tidak antusias dengan



408

Dosen menyampaikan tujuan diberikannya

masalah yaitu dari masalah yang diberikan akan

membantu dalam mencapai tujuan pembelajaran.

Mahasiswa memperhatikan apa yang


Dosen kembali mempertegas kepada setiap

mahasiswa maksud dan tujuan dalam

pengerjaan masalah yang diberikan. Ada mahasiswa yang tidak


oleh dosen

Masalah 1

Dalam sebuah tas terdapat 2 bola hijau, 3 bola kuning dan 4 bola biru. Dari dalam tes tersebut akan diambil dua bola. Bola-bola tersebut

akan diambil satu demi satu tanpa pengembalian. Tentukan ada berapa banyak kemungkinan hasil dari percobaan pengambilan tersebut!

Eksplorasi masalah 1

Dosen memberikan mahasiswa masalah 1.

Penggunaan konteks dalam aktivitas yang

dilakukan siswa pada tahap eksplorasi mengenai

banyaknya kemungkinan percobaan dalam

masalah 1 sesuai dengan karakteristik pertama

dalam PMRI, sehingga nantinya siswa dapat

melibatkan dirinya dalam kegiatan belajar dan

dunia nyata dalam pembentukan konsep).

Mahasiswa sudah memahami maksud

dan tujuan masalah 1

Dosen memberikan apresiasi dengan

memberikan pertanyaan menuntun seperti

coba bertanya “langkah penyelesaian yang

harus dilakukan seperti apa?”

Mahasiswa belum memahami maksud

dari masalah 1

Dosen memberikan bantuan berupa

pertanyaan menuntun seperti:

Diambil satu demi satu tanpa pengembalian

itu artinya apa? Bolanya makin sedikit atau

bagaimana?

Jika mahasiswa masih kesulitan dosen

meminta mahasiswa untuk membuka catatan

atau meminta salah satu teman yang lain

untuk menjelaskan.

Diskusi kelas

Langkah selanjutnya untuk menjawab masalah 1

yaitu berapa banyak kemungkin dari hasil

percobaan pengambilan tersebut. Dosen meminta

salah satu mahasiswa untuk mengirimkan hasil

pekerjannya ke grup untuk melakukan diskusi

terhadap penyelesaian masalah yang diberikan.

Ada mahasiswa yang sudah berinisiatif

untuk mengirimkan hasil pekerajannya

untuk disharekan ke grup tanpa di

tunjuk oleh dosen.

Dosen memberikan apresiasi dan penguatan

lalu melanjutkan pelajaran.


409

Mahasiswa tidak ada yang merespon

apa yang diperintahkan oleh dosen

Kepada mahasiswa yang tidak percaya diri

dosen memberikan dorongan dan motivasi

“ayo berani saja, tidak harus takut salah

karena kita semua di sini belajar”. Jika tidak

ada yang merespon maka dosen meminta

secara acak kepada mahasiswa untuk

mengirimkan hasil pekerjaanya ke grup.


410

Setalah ada mahasiswa yang telah mengirimkan

jawabanya di grup dosen bertanya kepada

mahasiswa “apakah ada yang memiliki cara lain

untuk menyelesaikan masalah 1? Jika ada mohon

dikirimkan juga ke grup, biar dibahas bersama-

sama.

Ada mahasiswa yang merespon bahwa

cara yang dikerjakan tidak sama dengan

temannya.


mengirimkan apa yang dikerjakan digrup

untuk dibahas bersama-sama.









411

Dosen memberi dorongan atau arahan kepada

mahasiswa untuk mencari informasi yang tepat,

melaksanakan percobaan dan mencari penjelasan

dan solusi untuk masalah yang diberikan. Jika ada

mahasiswa yang belum memahami maksud dari

masalah yang diberikan, dosen akan menjelaskan

secara personal kepada anak tersebut.

Diharapkan mahasiswa yang sudah memahami

masalah yang diberikan akan mencari informasi

yang dibutuhkan, melakukan percobaan, mencari

penjelesan dan solusi untuk masalah yang

diberikan. Sedangkan mahasiswa yang belum

memahami soal akan mengalami kesulitan untuk

mengumpulkan informasi.

.

.


412

Dosen mengamati hasil pekerjaan apa yang telah

dikirimkan oleh mahasiswa di grup.

Mahasiswa diharapkan dapat membuat diagram

pohon atau menggunakan filling slot yang

berisikan kemungkinan-kemungkinan dari bola

yang akan terambil.

(Jawaban yang dibagikan di grup)

Dosen meminta mahasiswa untuk menjelaskan

hasil tulisannya dengan melakukan voice record

atau dengan mengetik sekaligus baru dikirim.

Pada tahap ini dalam diskusi kelas terjadi

penggunaan model dalam aktivitas yang

dikembangkan sendiri oleh siswa, sebagai

jembatan antara level pemahaman yang satu ke

level pemahaman yang lainnya dengan

menggunakan diagram yang telah dibuat oleh

siswa sesuai dengan karakteristik kedua dalam

PMRI, sehingga nantinya siswa dapat

menjembatani level pemahaman yang dimiliki

sebelumnya dengan pemahaman yang baru.

Dalam membangun pengetahuan baru siswa

berdasarkan proses pemahaman siswa sesuai

dengan karakteristik ketiga dalam PMRI,

sehingga nantinya siswa dapat memanfaatkan

hasil konstrustivisme pengetahuan siswa.

Mahasiswa menjelaskan diagram

pohon yang telah dikirimkan di grup.

Dosen memberikan apresiasi dan

mengkonfirmasi kepada mahasiswa lainnya

apakah sudah paham atau masih ada yang

ingin ditanyakan dari penjelasan teman atas

hasil pekerjaannya. Dosen mempersilahkan

jika ada mahasiswa lain yang ingin bertanya.

Dosen meminta mahasiswa yang lainnya untuk

mendengarkan voice record atau penjelasan yang

telah dikirim ke grup.

Ada mahasiswa yang memperhatikan

penjelasan temannya.

Kepada mahasiswa yang tidak

memperhatikan dosen mengkondisikan grup

apabila ada mahasiswa yang tidak

memperhatikan penjelasan dengan cara


413


mendengarkan atau membaca

penjelasan dari temannya.

bertanya kesiapan dari mahasiswa apakah

pembelajaran dapat dilanjutkan ? “. Kepada

mahasiswa yang belum memperhatikan,

dosen mencoba untuk memanggil nama

mahasiswa tersebut dan menanyakan,

“apakah kamu sudah paham? Atau

mengalami kesulitan dalam memahami apa

yang dituliskan?”

Dari hasil pekerjaan mahasiswa yang dikirimkan

di grup dan dosen bertindak sebagai mediator,

untuk mencapai ke tujuan dari masalah 1 adalah

mengetahui banyaknya kemungkinan dari

percobaan pengambilan bola.


ada didalam grup dan yang akan


Dosen mengamati aktivitas mahasiswa dalam

menarik kesimpulan dari aktivitas yang

dilakukan.

Dosen memberikan pertanyaan menuntun yang

digunakan untuk mengaitkan materi yang satu

dengan materi yang lainnya berdasarkan proses

pemahaman mahasiswa, sehingga nantinya

mahasiswa dapat menggunakan hasil konstruksi

antara materi yang ada untuk memecahkan

masalah diantaranya:

1. Dari jawaban yang ada di grup apakah untuk

menyelesaikan masalah 1 hanya dapat

diselesaikan dengan satu cara?

Guru memberikan pertanyaan menuntun yang


Mahasiswa dapat mengikuti pertanyaan

menuntun yang diutarakan oleh dosen.

Mahasiswa diarahkan dapat menyimpulkan

banyaknya percobaan yang dilakukan baik

menggunakan diagram pohon atau filling slot

akan sama banyak.

Mahasiswa tidak mengikuti pertanyaan



memperhatikan dan mengikuti pembelajaran

dengan baik, jika ada yang kurang jelas

mahasiswa bisa bertanya kepada temannya

ataupun kepada dosen.


414


pemahaman siswa sesuai dengan karakteristik


menggunakan hasil saling keterkaitan antara

materi yang ada untuk memecahkan masalah.

Mahasiswa dapat memahami bahwa

untuk menyelesaikan masalah 1 dapat

dilakukan dengan 2 cara yang berbeda.

Untuk mahasiswa yang sudah dapat

menyimpulkan masalah 1, dosen

memberikan apresiasi atau timbal balik.

Masalah 2

Misalkan terdapat kartu bilangan 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Masing-masing kartu bilangan hanya tersedia satu.

a. Seorang siswa ingin membentuk bilangan yang terdiri dari 6 angka. Ada berapa susunan bilangan yang mungkin dibuat oleh siswa

tersebut?

b. Seorang siswa ingin membentuk bilangan yang terdiri dari 5 angka. Ada berapa susunan bilangan yang mungkin dibuat oleh siswa

tersebut?

c. Seorang siswa ingin membentuk bilangan yang terdiri dari 4 angka. Ada berapa susunan bilangan yang mungkin dibuat oleh siswa

tersebut?

Sebelum mahasiswa melakukan explorasi

masalah 2, dosen membuat mahasiswa kedalam

kelompok yang beranggotakan 4-5 orang

(menyesuaikan jumlah mahasiswa). Tujuan

dibentuknya kelompok supaya dalam kelompok

Mahasiswa sangat antusias ketika

dibagikan dalam kelompok kecil.

Semoga dengan adanya kelompok kecil ini

kalian lebih saling mendukung dan

mensupport satu sama lain dalam

menyelesaikan masalah 2 dengan baik.


415

kecil ini mahasiswa bisa bertukar pikiran dengan

teman sehingga dapat mengekplore masalah 2

dengan luas.

Ada mahasiswa yang tidak menyukai

teman kelompok yang telah dibagikan

Dosen memberikan motivasi bahwa kita

harus saling menghargai satu sama lain

dengan adanya grup kecil ini semoga bisa

saling mendukung dan mensupport satu

sama lain.

Eksplorasi masalah 2

Dosen memberikan mahasiswa masalah 2.

Penggunaan konteks dalam aktivitas yang

dilakukan siswa pada tahap eksplorasi mengenai

banyaknya kemungkinan percobaan dalam

masalah 1 sesuai dengan karakteristik pertama


melibatkan dirinya dalam kegiatan belajar dan

dunia nyata dalam pembentukan konsep).

Mahasiswa sudah memahami maksud

dari masalah 2

Dosen memberikan apresiasi dan meminta

mahasiswa untuk memulai aktivitasnya

dalam kelompok kecil.

Mahasiswa belum memahami maksud

dari masalah 2

Dosen memberikan bantuan berupa

pertanyaan menuntun seperti:

Apakah untuk menyelesaikan masalah 2

dapat menggunakan cara yang sama dengan

masalah 1?

Jika mahasiswa masih kesulitan dosen

meminta mahasiswa untuk membuka catatan

atau meminta teman dalam kelompok untuk

menjelaskan.

Diskusi Kelompok

Dosen memberikan mahasiswa waktu untuk

berdiskusi dalam kelompok untuk menentukan

cara penyelesain masalah 2

Seluruh mahasiswa dapat menentukan

banyaknya kemungkinan yang dapat

tersusun.

Dosen memberikan apresiasi dan melihat

hasil diskusi dalam kelompok dan sesekali


416

mengarahkan kelompok bila masih ada

sedikit kekeliruan.

Mahasiswa tidak dapat menentukan

banyaknya kemungkinan yang dapat

tersusun.

Jika mahasiswa mengalami kesulitan dosen

meminta mahasiswa lain dalam kelompok

untuk menjelaskan mahasiswa yang masih

mengalami kesulitan. Jika masih tidak

memahami penjelasan dari temannya dosen

meminta mahasiwa untuk memperhatikan

cara penyelesaian untuk masalah 1

Diskusi Kelas

Masing-masing kelompok telah berhasil

menentukan banyaknya kemungkinan yang dapat

tersusun. “Bagaimana cara yang dilakukan dalam

menentukan banyaknya kemungkinan yang dapat

tersusun?”

Mahasiswa menjawab dengan cara

yang sama dalam menyelesaikan

masalah 1.

Dosen bertanya lagi, “Adakah cara lain yang

dilakukan untuk menyelesaikan masalah 2?

Jika tidak ada dosen melanjutkan

pembelajaran.

Dosen meminta salah satu perwakilan dari

masing-masing kelompok untuk mengirimkan

hasil pekerjaannya ke dalam grup.

Salah satu kelompok mahasiswa

langsung mengirimkan hasil diskusi

mereka kedalam grup dengan inisitaif

tanpa ditunjuk oleh dosen.

Dosen memberi apresiasi.


417


apa yang diperintahkan oleh dosen.


guru memberikan dorongan dan motivasi









untuk menyelesaikan masalah 2? Jika ada mohon


sama.




dan solusi untuk masalah yang diberikan. Jika ada

mahasiswa yang belum memahami maksud dari

masalah yang diberikan, dosen akan menjelaskan

secara personal kepada anak tersebut.









cara yang dikerjakan tidak sama dengan

temannya.












418

Dosen mengamati hasil pekerjaan apa yang telah

dikirimkan oleh mahasiswa di grup.

Mahasiswa diharapkan dapat menggunakan

filling slot yang berisikan kemungkinan-

kemungkinan dari bola yang akan terambil dan

sudah mulai muncul penulisan lain dalam bentuk

fakorial.

Mahasiswa menjelaskan cara

penyelesaian menggunakan filling slot

yang telah dikirimkan di grup.


mengkonfirmasi kepada mahasiswa lainnya

apakah sudah paham atau masih ada yang

ingin ditanyakan dari penjelasan teman atas

hasil pekerjaannya. Dosen mempersilahkan

jika ada mahasiswa lain yang ingin bertanya.

Jawaban yang dikirimkan mahasiwa di

grup masih belum diubah kedalam

penulisan menggunakan factorial.

Dosen bertanya kepada mahasiswa “apakah

dari hasil banyaknya kemungkinan dari

percobaan ini bisa disajikan dalam bentuk

lain? Jika tidak ada mahasiswa yang bisa

menyajikan dalam bentuk lain, maka dosen

memberikan bantuan yaitu “coba ubahlah

jawaban dari banyaknya kemungkinan

percobaan kedalam bentuk factorial”

(Jawaban yang dibagikan di grup)

Dosen meminta mahasiswa untuk menjelaskan

hasil tulisannya dengan melakukan voice record

atau dengan mengetik sekaligus baru dikirim.

Pada tahap ini dalam diskusi kelas terjadi

penggunaan model dalam aktivitas yang

dikembangkan sendiri oleh siswa, sebagai

jembatan antara level pemahaman yang satu ke

level pemahaman yang lainnya dengan

menggunakan diagram yang telah dibuat oleh

siswa sesuai dengan karakteristik kedua dalam

PMRI, sehingga nantinya siswa dapat

menjembatani level pemahaman yang dimiliki

sebelumnya dengan pemahaman yang baru.

Dalam membangun pengetahuan baru siswa

berdasarkan proses pemahaman siswa sesuai

dengan karakteristik ketiga dalam PMRI,


419

sehingga nantinya siswa dapat memanfaatkan

hasil konstrustivisme pengetahuan siswa.

Dosen meminta mahasiswa yang lainnya untuk

mendengarkan voice record atau penjelasan yang

telah dikirim ke grup.

Ada mahasiswa yang memperhatikan

penjelasan temannya.


memperhatikan dosen mengkondisikan grup

apabila ada mahasiswa yang tidak

memperhatikan penjelasan dengan cara

bertanya kesiapan dari mahasiswa apakah

pembelajaran dapat dilanjutkan ? “. Kepada

mahasiswa yang belum memperhatikan,

dosen mencoba untuk memanggil nama

mahasiswa tersebut dan menanyakan,

“apakah kamu sudah paham? Atau

mengalami kesulitan dalam memahami apa

yang dituliskan?”


mendengarkan atau membaca

penjelasan dari temannya.

Dari hasil pekerjaan mahasiswa yang dikirimkan

di grup dan dosen bertindak sebagai mediator,

untuk mencapai ke tujuan dari masalah 2 adalah

mengetahui banyaknya kemungkinan dari

percobaan penyusunan kartu dan dapat diubah

kedalam bentuk factorial.


dgrup dan yang akan disampaikan oleh

dosen.

Dosen mengamati aktivitas mahasiswa dalam

menarik kesimpulan dari aktivitas yang

dilakukan.

Dosen meminta mahasiswa untuk menyimpulkan

dari masalah 1 dan masalah 2 dengan

memberikan pertanyaan menuntun yang



pemahaman mahasiswa, sehingga nantinya

mahasiswa dapat menggunakan hasil konstruksi

Mahasiswa dapat mengikuti pertanyaan


Mahasiswa diarahkan dapat menyimpulkan

definisi dari permutasi, banyak permutasi dan

banyaknya permutari 𝑟 unsur yang diambil 𝑛

unsur.

Mahasiswa tidak mengikuti pertanyaan



memperhatikan dan mengikuti pembelajaran

dengan baik, jika ada yang kurang jelas


420

antara materi yang ada untuk memecahkan

masalah diantaranya:

1. Dari masalah 1 dan masalah 2 apa yang dapat

disimpulkan untuk menjawab tujuan

pembelajaran?

Guru memberikan pertanyaan menuntun yang



pemahaman siswa sesuai dengan karakteristik


menggunakan hasil saling keterkaitan antara

materi yang ada untuk memecahkan masalah.

mahasiswa bisa bertanya kepada temannya

ataupun kepada dosen.

Mahasiswa dapat memahami bahwa

untuk menyelesaikan masalah 1 dan

masalah 2 digunakan untuk

menemukan definisi dari permutasi,

banyak permutasi dan banyaknya

permutari 𝑟 unsur yang diambil 𝑛

unsur.

Untuk mahasiswa yang sudah dapat

menyimpulkan masalah 1 dan masalah 2,

dosen memberikan apresiasi atau timbal

balik.

Penutup Pada tahap ini dosen membantu atau

membimbing siswa untuk melakukan refleksi

atau evaluasi terhadap proses dan hasil

penyelidikan yang mereka lakukan. Kemudian

pemahaman mahasiswa serta kesimpulan.

Kegiatan guru pada langkah ini adalah:

1. Guru memberikan siswa kesempatan untuk

membuat kesimpulan, guru mengantar

dengan membuat pertanyaan.

2. Guru menyampaikan rencana pembelajaran

pertemuan berikutnya.

Siswa belum dapat menyimpulkan

proses pembelajaran sesuai dengan

tujuan pembelajaran.

Bagi mahasiswa yang belum dapat

menyimpulkan proses pembelajaran guru

mengingatkan peserta didik langkah-langkah

pembelajaran dari awal sampai akhir. Apa

saja yang telah dikerjakan dan tujuan

pembelajaran. “apakah yang kalian pelajari

pada hari ini?” “apa saja informasi yang

kalian dapatkan?

Siswa belum dapat menyimpulkan

proses pembelajaran yang telah

berjalan.


421

Mata Pelajaran : Teori Peluang


Semester : III (tiga) (pertemuan 2)


3.3.4 Mampu menjelaskan definisi dari permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama.

3.3.5 Mampu menjelaskan apa yang dimaksud dengan permutasi siklis.

3.3.6 Mampu menjelaskan apa yang dimaksud dengan permutasi berulang.


Mahasiswa melalui pemberian masalah dapat memahami dan menjelaskan definisi dari permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama, apa

yang dimaksud dengan permutasi siklis, dan apa yang dimaksud dengan permutasi berulang.



Karakteristik PMRI

Menurut Treffers ( dalam, Wijaya 2012: 21-22 ):




4. Interaktivitas

5. Ketererkaitan


422


Kegiatan

(Tahapan

PBM)





dari dosen.

Dosen merespon dengan ramah kepada

mahasiswa.



Dosen mengajukan pertanyaan-pertanyaan

mengenai apa saja yang dipelajari pada

pertemuan sebelumnya



Dosen memberikan penjelasan ulang


pertemuan sebelumnya yaitu mengenai

bilangan prima dan komposit serta beberapa

teroema dan dugaan-dugaan bilangan prima. Ada mahasiswa tidak antusias


dosen.



dilakukan.


Mahasiswa melalui pemberian masalah

dapat memahami dan menjelaskan definisi

dari permutasi yang memuat beberapa unsur

yang sama, apa yang dimaksud dengan

permutasi siklis, dan apa yang dimaksud

dengan permutasi berulang.

Mahasiswa menyimak dan mencatat

apa yang disampaikan oleh dosen.

Dosen memperjelas tujuan pembelajaran

sambil memberi motivasi dan semangat

kepada mahasiswa. Ada mahasiswa yang hanya menyimak





oleh dosen.


mahasiswa untuk focus kepada kelompok yang

sama dengan pertemuan sebelumnya.

Mahasiswa antusias untuk menuju

kelompoknya

Dosen membantu mengarahkan mahasiswa

ke dalam kelompoknya minggu lalu.

Mahasiswa tidak antusias menuju

kelompoknya minggu lalu

Dosen memberikan LKM kepada masing-masing

kelompok yang telah dibagikan.

Mahasiswa dalam kelompok kecil

mulai membahas LKM yang diberikan

Dosen memperjelas kepada mahasiswa

untuk masing-masing masalah dari LKM


423

LKM tersebut terbagi menjadi 3 aktivitas yang

berisi masalah-masalah yang bertujuan untuk

membantu menjawab tujuan pembelajaran pada

pertemuan hari ini.

Ada kelompok yang tidak memahami

LKM yang diberikan.

Masalah 3

Sebelum mahasiswa mulai melakukan diskusi

untuk menyelesaikan masalah pada LKM yang

diberikan. Dosen mengingatkan kembali, apa

yang telah dipelajari pada pertemuan sebelumnya

akan digunakan untuk membantu menyelesaikan

masalah pada LKM yang diberikan.

Mahasiswa dengan semangat

menjawab baik pak, tidak lupa pak.


memuji mahasiswa yang aktif menjawab

Mahasiswa menjawab, lupa pak materi

yang diajarka pada pertemuan

sebelumnya.

Dosen meminta mahasiswa untuk melihat

history chat di grup WA, bagi mahasiswa

yang lupa untuk materi yang dipelajari

pertemuan sebelumnya atau meminta teman

satu kelompok untuk menjelaskan kembali

kepada anggota kelompok yang lupa.

Diskusi Kelompok


berdiskusi dalam kelompok untuk mengerjakan

LKM yang diberikan.

Seluruh mahasiswa dalam kelompok

dapat mengerjakan LKM yang

diberikan.

Dosen memberikan apresiasi dan melihat

hasil diskusi dalam kelompok dan sesekali

mengarahkan kelompok bila masih ada

sedikit kekeliruan.

Mahasiswa mengalami kesulitan

dalam mengartikan soal yang

diberikan, hal ini menyebabkan

representasi matematis yang dibuat

juga masih keliru.

Jika mahasiswa mengalami kesulitan dosen

meminta mahasiswa lain dalam kelompok

untuk menjelaskan mahasiswa yang masih

mengalami kesulitan. Jika masih tidak

memahami penjelasan dari temannya dosen

akan menjelaskan dengan bahasa lebih

sederhana maksud dari masalah yang ada

pada LKM

Diskusi Kelas

Dosen memfasilitasi mahasiswa untuk

menyelesaikan masalah yang diberikan dalam

Aktivitas 1





424

kelompok. Jika masih kesulitan bisa bertanya

pada dosen dengan demikian mahasiswa dalam

kelompok berdiskusi untuk mencari solusi dari


Dari LKM yang telah diberikan dosen meminta

salah satu perwakilan kelompok untuk

mengirimkan hasil diskusi aktivitas 1 ke dalam

grup kelas.















untuk menyelesaikan aktivitas 1? Jika ada mohon


sama.




dan solusi untuk masalah yang diberikan. Jika

ada mahasiswa yang belum memahami maksud

dari masalah yang diberikan, dosen akan

menjelaskan secara personal kepada anak

tersebut.









cara yang dikerjakan tidak sama

dengan temannya.





425

Dari hasil pekerjaan mahasiswa yang telah

dikirimkan ke grup, dosen meminta perwakilan

kelompok yang telah mengirimkan jawabanya

untuk menjelaskan cara menyelesaikan masalah-

masalah yang ada pada aktivitas 1 dan tujuan dari

aktivitas 1.

Dosen meminta mahasiswa untuk melakukan

penjelasan melalui video, chat atau voice record.

Diharapkan dari aktivitas 1 mahasiswa telah

berhasil menemukan rumus umum untuk

permutasi yang memuat beberapa unsur yang

sama.

Dari penjelasan mahsiswa mengenai

aktivitas 1 sudah sesuai dengan apa

yang diharapkan.

Dosen memberikan apresiasi kepada

kelompok mahasiswa yang berhasil

menjelaskan tujuan dari aktivitas 1

Masih ada mahasiswa yang tidak

memahami penjelasan dari kelompok

yang menjelaskan.

Dosen meminta mahasiswa lain dari

kelompok yang mengirimkan jawaban

tersbut, untuk memberikan penjelasan

dengan bahasa yang lebih sederhana. Jika

masih tidak mengerti dosen meminta teman

kelompok dari mahasiswa yang tidak

mengerti untuk menjelaskan kepada

temannya.

Atau dosen melakukan penjelasan kembali

dari masalah-masalah yang telah

diselesaikan tersebut apakah bisa diubah

atau dituliskan dalam bentuk factorial.




grup kelas. Kelompok yang mengirimkan

diharapakan kelompok yang belum mengirimkan

hasil pekerjaan pada aktivitas 1.

Aktivitas 2














426








sama.








tersebut.










dengan temannya.









aktivitas 2.



yang diharapkan.





427





permutasi siklis



yang menjelaskan.








temannya.










hasil pekerjaan pada aktivitas 1 dan aktivitas 2.

Aktivitas 3


















untuk menyelesaikan masalah pada aktivitas 3?

Jika ada mohon dikirimkan juga ke grup, biar

dibahas bersama-sama.



dengan temannya.

Setalah ada mahasiswa yang telah

mengirimkan jawabanya di grup dosen

bertanya kepada mahasiswa “apakah ada

yang memiliki cara lain untuk

menyelesaikan aktivitas 2? Jika ada mohon

dikirimkan juga ke grup, biar dibahas

bersama-sama.

𝑃 = (𝑛 − 1)!

𝑛 menyatakan banyaknya data


428








tersebut.








Dosen memberi dorongan atau arahan

kepada mahasiswa untuk mencari informasi

yang tepat, melaksanakan percobaan dan

mencari penjelasan dan solusi untuk

masalah yang diberikan. Jika ada mahasiswa

yang belum memahami maksud dari

masalah yang diberikan, dosen akan


tersebut.

Diharapkan mahasiswa yang sudah

memahami masalah yang diberikan akan

mencari informasi yang dibutuhkan,

melakukan percobaan, mencari penjelesan

dan solusi untuk masalah yang diberikan.

Sedangkan mahasiswa yang belum

memahami soal akan mengalami kesulitan

untuk mengumpulkan informasi.



kelompok yang telah mengirimkan jawabannya




yang diharapkan.





429


aktivitas 3.





permutasi berulang



yang menjelaskan.








temannya.





Penarikan Kesimpulan

Dosen meminta atau menunjuk mahasiswa

secara acak untuk menyampaikan apa saja yang

telah dipelajari pada pertemuan ini.

Salah satu mahasiswa langsung

menjawab yang dipelajari hari ini yaitu

permutasi yang memuat beberapa

unsur yang sama, permutasi siklis dan

permutasi berulang.

Dosen memberi apresiasi atas keberanian

mahasiswa tersebut, karena sudah berani

menjawab apa yang dipelajari pada

pertemuan hari ini.

𝑃 = 𝑛𝑘

𝑛 menyatakan banyaknya unsur yang

diulang

𝑘 menyatakan banyaknya pengulangan


430

Mahasiswa harus diminta atau

ditunjuk dari kelompoknya masing-

masing sebagai perwakilan

kelompoknya untuk menyampaikan

apa saja yang dipelajari pada

pertemuan ini.




karena kita semua di sini masih belajar”

Pada tahap ini dosen membantu atau

membimbing mahasiswa untuk melakukan

refleksi atau evaluasi terhadap proses dan hasil



Kegiatan dosen pada langkah ini adalah:

1. Dosen memberikan mahasiswa kesempatan

untuk membuat kesimpulan, dosen

mengantar dengan membuat pertanyaan.

2. Dosen menyampaikan terima kasih atas

partisipasi dan keaktifan selama

pembelajaran.

3. Dosen meningatkan bahwa, untuk pertemuan

selanjutnya akan membahas tentang materi

keombinasi.

Mahasiswa belum dapat

menyimpulkan proses pembelajaran

sesuai dengan tujuan pembelajaran.


menyimpulkan proses pembelajaran dosen

mengingatkan mahasiswa langkah-langkah

pembelajaran dari awal sampai akhir. Apa

saja yang telah dikerjakan dan tujuan

pembelajaran. “apakah yang kalian pelajari

pada hari ini?” “apa saja informasi yang

kalian dapatkan?



yang telah berjalan.

Penutup


431

Mata Pelajaran : Teori Peluang


Semester : III (tiga) (pertemuan 3)


3.3.7 Mampu menjelaskan apa yang dimaksud dengan sekatan atau partisi.

3.3.8 Mampu menjelaskan definisi dari kombinasi dan banyaknya kombinasi dari masalah yang diberikan.


Mahasiswa melalui pemberian masalah dapat memahami dan menjelaskan sekatan atau partisi dan definisi dari kombinasi dan banyaknya

kombinasi dari masalah yang diberikan.



Karakteristik PMRI

Menurut Treffers (dalam, Wijaya 2012: 21-22):




4. Interaktivitas

5. Ketererkaitan


432


Kegiatan

(Tahapan

PBM)





dari dosen.

Dosen merespon dengan ramah

kepada mahasiswa.



Dosen mengajukan pertanyaan-pertanyaan


pertemuan sebelumnya



Dosen memberikan penjelasan ulang

mengenai apa saja yang dipelajari

pada pertemuan sebelumnya yaitu

mengenai bilangan prima dan

komposit serta beberapa teroema dan

dugaan-dugaan bilangan prima.



dosen.



dilakukan.


Mahasiswa melalui pemberian masalah

dapat memahami dan menjelaskan sekatan

atau partisi dan definisi dari kombinasi dan

banyaknya kombinasi dari masalah yang

diberikan.

Mahasiswa menyimak dan mencatat

apa yang disampaikan oleh dosen.

Dosen memperjelas tujuan

pembelajaran sambil memberi

motivasi dan semangat kepada

mahasiswa. Ada mahasiswa yang hanya menyimak





oleh dosen.


mahasiswa untuk focus kepada kelompok yang

sama dengan pertemuan sebelumnya.

Mahasiswa antusias untuk menuju

kelompoknya

Dosen membantu mengarahkan

mahasiswa ke dalam kelompoknya

minggu lalu. Mahasiswa tidak antusias menuju

kelompoknya minggu lalu

Dosen memberikan LKM kepada masing-masing

kelompok yang telah dibagikan.

LKM tersebut terbagi menjadi 2 aktivitas yang

berisi masalah-masalah yang bertujuan untuk

Mahasiswa dalam kelompok kecil

mulai membahas LKM yang diberikan

Dosen memperjelas kepada

mahasiswa untuk masing-masing

masalah dari LKM Ada kelompok yang tidak memahami

LKM yang diberikan.


433

membantu menjawab tujuan pembelajaran pada

pertemuan hari ini.

Sebelum mahasiswa mulai melakukan diskusi

untuk menyelesaikan masalah pada LKM yang

diberikan. Dosen mengingatkan kembali, apa

yang telah dipelajari pada pertemuan sebelumnya

akan digunakan untuk membantu menyelesaikan

masalah pada LKM yang diberikan.

Mahasiswa dengan semangat

menjawab baik pak, tidak lupa pak.


memuji mahasiswa yang aktif

menjawab

Mahasiswa menjawab, lupa pak materi

yang diajarka pada pertemuan

sebelumnya.


melihat history chat di grup WA, bagi

mahasiswa yang lupa untuk materi

yang dipelajari pertemuan

sebelumnya atau meminta teman satu

kelompok untuk menjelaskan

kembali kepada anggota kelompok

yang lupa.

Diskusi Kelompok


berdiskusi dalam kelompok untuk mengerjakan

LKM yang diberikan.

Seluruh mahasiswa dalam kelompok

dapat mengerjakan LKM yang

diberikan.


melihat hasil diskusi dalam kelompok

dan sesekali mengarahkan kelompok

bila masih ada sedikit kekeliruan.

Mahasiswa mengalami kesulitan

dalam mengartikan soal yang

diberikan, hal ini menyebabkan

representasi matematis yang dibuat

juga masih keliru.

Jika mahasiswa mengalami kesulitan

dosen meminta mahasiswa lain dalam

kelompok untuk menjelaskan

mahasiswa yang masih mengalami

kesulitan. Jika masih tidak memahami

penjelasan dari temannya dosen akan

menjelaskan dengan bahasa lebih

sederhana maksud dari masalah yang

ada pada LKM

Diskusi Kelas

Dosen memfasilitasi mahasiswa untuk

menyelesaikan masalah yang diberikan dalam

kelompok. Jika masih kesulitan bisa bertanya

pada dosen dengan demikian mahasiswa dalam

Aktivitas 4







434

kelompok berdiskusi untuk mencari solusi dari





grup kelas.




percaya diri guru memberikan

dorongan dan motivasi “ayo berani

saja, tidak harus takut salah karena

kita semua di sini belajar”. Jika tidak

ada yang merespon maka dosen

meminta secara acak kepada

mahasiswa untuk mengirimkan hasil

pekerjaanya ke grup.






sama.








tersebut.










dengan temannya.


mengirimkan apa yang dikerjakan

digrup untuk dibahas bersama-sama.


435






aktivitas 4.





permutasi yang memuat beberapa unsur yang

sama.



yang diharapkan.






yang menjelaskan.




dengan bahasa yang lebih sederhana.

Jika masih tidak mengerti dosen

meminta teman kelompok dari

mahasiswa yang tidak mengerti untuk

menjelaskan kepada temannya.






hasil pekerjaan pada aktivitas 4.

Aktivitas 5









percaya diri guru memberikan



kita semua di sini belajar”. Jika tidak

𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑠𝑖 =𝑛!

𝑛1! 𝑛2! … 𝑛𝑟!

𝑛 menyatakan banyak objek

𝑛1! 𝑛2! … 𝑛𝑟! menyatakan banyak objek

yang dibagi kedalam 𝑟 bagian


436

ada yang merespon maka dosen

meminta secara acak kepada

mahasiswa untuk mengirimkan hasil

pekerjaanya ke grup.




untuk menyelesaikan aktivitas ? Jika ada mohon


sama.








tersebut.










dengan temannya.


mengirimkan apa yang dikerjakan

digrup untuk dibahas bersama-sama.


437






aktivitas 2.





permutasi siklis



yang diharapkan.






yang menjelaskan.




dengan bahasa yang lebih sederhana.

Jika masih tidak mengerti dosen

meminta teman kelompok dari

mahasiswa yang tidak mengerti untuk

menjelaskan kepada temannya.

Penarikan Kesimpulan

Dosen meminta atau menunjuk mahasiswa

secara acak untuk menyampaikan apa saja yang

telah dipelajari pada pertemuan ini.

Salah satu mahasiswa langsung

menjawab yang dipelajari hari ini yaitu

permutasi yang memuat beberapa

unsur yang sama, permutasi siklis dan

permutasi berulang.

Dosen memberi apresiasi atas

keberanian mahasiswa tersebut,

karena sudah berani menjawab apa

yang dipelajari pada pertemuan hari

ini.

𝐶(𝑛,𝑟) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!

𝑛 menyatakan banyaknya objek

𝑟 menyatakan banyaknya objek yang

diambil dari 𝑛


438

Mahasiswa harus diminta atau ditunjuk

dari kelompoknya masing-masing

sebagai perwakilan kelompoknya

untuk menyampaikan apa saja yang

dipelajari pada pertemuan ini.


percaya diri dosen memberikan



kita semua di sini masih belajar”

Penutup Pada tahap ini dosen membantu atau

membimbing mahasiswa untuk melakukan

refleksi atau evaluasi terhadap proses dan hasil



Kegiatan dosen pada langkah ini adalah:

1. Dosen memberikan mahasiswa kesempatan

untuk membuat kesimpulan, dosen

mengantar dengan membuat pertanyaan.

2. Dosen menyampaikan terima kasih atas

partisipasi dan keaktifan selama

pembelajaran.

Dosen meningatkan bahwa, untuk pertemuan

selanjutnya akan diberikan tes untuk mengukur

pemahaman mahasiswa untuk materi permutasi

dan kombinasi.



sesuai dengan tujuan pembelajaran.



dosen mengingatkan mahasiswa

langkah-langkah pembelajaran dari

awal sampai akhir. Apa saja yang

telah dikerjakan dan tujuan

pembelajaran. “apakah yang kalian

pelajari pada hari ini?” “apa saja

informasi yang kalian dapatkan?


440

LEMBAR KERJA MAHASISWA

“PERMUTASI”

PERTEMUAN I

Masalah 1

Dalam sebuah tas terdapat 2 bola hijau, 3 bola kuning dan 4 bola biru. Dari dalam tes tersebut akan diambil dua bola. Bola-bola tersebut

akan diambil satu demi satu tanpa pengembalian. Tentukan ada berapa banyak kemungkinan hasil dari percobaan pengambilan tersebut!

Aktivitas 1

Masalah 2

Berapa banyak susunan huruf yang terdiri atas 3 huruf yang disusun dari kata APA?

Masalah 3

Berapa banyak susunan huruf yang terdiri atas 4 huruf yang disusun dari kata SAYA?

Masalah 4

Berapa banyak susunan huruf yang terdiri atas 5 huruf yang disusun dari kata AREMA?

Aktivitas 2

Masalah 5

Ada orang, yaitu Dodi dan Adi akan menempati 2 buah kursi yang mengelilingi meja

bundar. Ada berapa susunan yang dapat dibentuk?

Masalah 6

Ada orang, yaitu Dewi, Dian dan Boy akan menempati 3 buah kursi yang mengelilingi

meja bundar. Ada berapa susunan yang dapat dibentuk?

Masalah 7

Ada orang, yaitu Bella, Ayu, Putri dan Agus akan menempati 4 buah kursi yang

mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang dapat dibentuk?


441

LEMBAR KERJA MAHASISWA

“SEKATAN(PARTISI) DAN KOMBINASI”

PERTEMUAN II

Aktivitas 3

Masalah 8

Ani, Dita dan Desi akan menginap dis uatu hotel. Ada dua kamar yang tersedia. Kamar

pertama dapat memuat dua orang, sedangkan kamar kedua dapat memuat satu orang. Ada

berapa banyak cara untuk menempatkan ketiga orang tersebut kedalam dua kamar?

Masalah 9

Adit, Dion, Bayu dan Feri akan menginap di suatu hotel. Ada dua kamar yang tersedia.

Kamar pertama dapat memuat tiga orang, sedangkan kamar kedua dapat memuat satu

orang. Ada berapa banyak cara untuk menempatkan ketiga orang tersebut kedalam dua

kamar?

Masalah 10

Anita, Vero, Bela dan Ria akan menginap di suatu hotel. Ada dua kamar yang tersedia.

Kedua kamar dapat memuat dua orang. Ada berapa banyak cara untuk menempatkan

ketiga orang tersebut kedalam dua kamar?

Masalah 11

Dodi, Andre, Rey, Joko dan Pura akan menginap di suatu hotel. Ada dua kamar yang

tersedia. Kamar pertama dapat memuat dua orang, sedangkan kamar kedua dapat memuat

tiga orang. Ada berapa banyak cara untuk menempatkan ketiga orang tersebut kedalam

dua kamar?


442

Aktivitas 4

Masalah 12

Dalam sebuah pertemuan dihadiri dua orang. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi jika

setiap peserta pertemuan harus berjabat tangan?

Masalah 13

Dalam sebuah pertemuan dihadiri tiga orang. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi jika


Masalah 14

Dalam sebuah pertemuan dihadiri empat orang. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi jika


Masalah 15

Dalam sebuah pertemuan dihadiri lima orang. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi jika


Masalah 16

Dalam sebuah pertemuan dihadiri sembilan orang. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi

jika setiap peserta pertemuan harus berjabat tangan?


443

Aktivitas 5

Masalah 17

Dalam sebuah tas terdapat 2 bola hijau, 3 bola kuning dan 4 bola biru. Dari dalam tas tersebut akan

diambil dua bola sekaligus Tentukan ada berapa banyak kemungkinan hasil dari percobaan

pengambilan tersebut!

Masalah 18

Dosen meminta mahasiswa untuk mengerjakan 8 soal dari 12 soal yang diberikan. Jika soal nomor

1 sampai 4 wajib dikerjakan, maka tentukan banyak pilihan bagi mahasiswa tersebut untuk

mengerjakan soal yang diberikan!

Masalah 19

Dalam proses pembelajaran mata kuliah Teori Peluang, dosen akan memberikan sebuah tugas

untuk dikerjakan secara berkelompok. Kelompok tersebut harus beranggotakan 3 mahasiswa dari

3 laki-laki dan 5 perempuan. Berapa banyak susunan kelompok yang dapat dibuat oleh dosen, jika

dosen menginginkan dalam setiap kelompok terdapat paling sedikit ada 1 mahasiswa perempuan?


444

Lembar Kerja Mahasiswa yang diwawancarai



445




446



447




448



449



450



451




452



453



454



455



456



457



458



459



460



461




462




TESIS ANALISIS KEMAMPUAN REPRESENTASI ...

Documents

Transcript of TESIS ANALISIS KEMAMPUAN REPRESENTASI ...