Target Coverage in Image-Guided Stereotactic Body Radiotherapy of Liver Tumors

Clases de MatemáticaProfesora: Romero Alejandra

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Nociones de límites

El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del cálculo y es imprescindible para darsolución a problemas tales como:

calcular la razón de cambio instantánea entre dos magnitudes.

hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado dela misma.

determinar el área limitada por una curva.

El concepto de límite se presenta primero de manera intuitiva y luego formalmente.

Noción intuitiva de límite

Ejemplo. Dada la función f : R → R / f(x) = x2 - 3x,

¿Cómo se comportan los valores de la función en las proximidades de x = -1? ¿qué sucede con f(x) cuando x tiende a –1?

Para responder a estas preguntas, se puede analizar qué valores toma la función en valores próximos a -1por derecha y por izquierda. Para ello, es conveniente la confección de una tabla donde se calculan lasimágenes de los valores de x considerados:

x -1,01 -1,001 -1,0001 ... -1 ... -0,9999 -0,999 -0,99

f(x) 4,0501 4,005001 4,00050001 ... 4 ... 3,99950001 3,995001 3,9501

Puede observarse que cuando x se aproxima a -1 por valores menores que él, los valores dela función se aproximan a 4. De la misma manera, cuando se eligen valores de x que seaproximan a -1 por valores mayores que él, la función se aproxima a 4. Los valores de lafunción están próximos a 4 para valores de x suficientemente cercanos a -1. No interesa elvalor de la funcióncuando x es igual a –1.



gráficamente:

Se expresa de la siguiente manera: "el límite de la función (x2 - 3x) es 4 cuando x tiende a -1".

Simbólicamente: .

¿No es posible calcular el valor de la función directamente en x = -1 y evitar la construcción de la tabla?

En este ejemplo se puede calcular la imagen de la función en x = -1.

f(-1) = (-1)2 - 3.(-1) = 4, valor que coincide con el límite, pero esto no sucede para todas las funciones.

Ejemplo.

Sea la función f(x) = cuyo dominio es D = {x / x ∈

R ∧

x ≠

1}. ¿A qué valor se acerca f(x) cuando x seaproxima a 1?

Como x = 1 no pertenece al dominio de la función f(1) no está definida. Por este motivo, es necesarioaveriguar cuál es el valor al que se aproximan las ordenadas de la función para aquellos valores de lasabscisas próximos a 1. Con este objetivo, se construye una tabla de valores de f en la que x se acerca a 1 porvalores menores que él, es decir, mediante números reales que están a su izquierda y otra tabla en la que xse acerca a 1 por valores mayores, es decir, que están a su derecha.

x < 1 x > 1

x f(x)

0,9 5,7

0,95 5,85

0,99 5,97

0,995 5,985

0,999 5,997

x f(x)

1,1 6,3

1,05 6,15

1,01 6,03

1,005 6,015

1,001 6,003



Se observa que cuando x se acerca a x = 1 por derecha o izquierda, los valores de la función se aproximan aseis (tienden a 6).

Esto se expresa de la siguiente manera:

= 6 y se lee: "límite de la función f(x) cuando x tiende a 1 es igual a 6".

La función no está definida en x = 1, pero sin embargo, cuando x toma valores cada vez más próximos a uno,tanto por izquierda como por derecha, el valor al que tiende la función es seis.Entonces:• El número al cual tiende f(x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda y simbólicamente se

escribe: = 6, se llama límite lateral por izquierda.• El número al cual tiende f(x) cuando x se aproxima a 1 por la derecha y simbólicamente se

escribe: = 6, se llama límite lateral por derecha.

• Como ambos límites laterales son iguales se expresa: = 6

Notaciones

límite de una función

límite lateral por izquierda

límite lateral por derecha

Nota. Una función puede tener límite en un punto y no estar definida en ese punto.

Noción intuitiva de límite.

Se dice que el límite de la función f(x) cuando x tiende al número real "a" es igual al número real L si alaproximarse x a "a" por la izquierda y por la derecha, siendo x →a, resulta que f(x) se aproxima o incluso es

igual a L. Se escribe: .

Ejemplo.

Sea la función f : R R definida por f(x)→ = . Grafíquela y determine los límites cuando x → 0+ yx 0→ -. Extraiga conclusiones.



La gráfica es:

Observando la gráfica se concluye que:· cuando x se acerca a 0 por derecha, es decir, por valores mayores que él, las imágenes tienden a 1.

Entonces: .· si x se acerca a 0 por números menores que él, es decir, por izquierda, las imágenes tienden a -1.

Entonces = -1.

Como los límites laterales son distintos, no existe el límite de f(x) para x → 0.

Ejemplo. Sea la función g : R - {2} R / x→ → .

Grafique la función, halle los límites cuando x → 2+ , x → 2 - y extraiga conclusiones.La gráfica es:

Cuando x se aproxima a 2 por valores menores, es decir por la izquierda, lo que corresponde al primer tramode la función, las imágenes tienden a 1.

Entonces:

Cuando x se aproxima a 2 por valores mayores, es decir por la derecha, lo que corresponde al segundo tramode la función, las imágenes también tienden a 1.

Entonces:

Como los límites laterales existen y son iguales



Ejemplo. Sea la función h : R R / h(x)→ = . Grafique la función y determine la imagen del 1y los límites cuando x→1+ y x → 1 - .

Gráficamente:

La imagen del 1 es 3, es decir: h(1) = 3.

Observando la gráfica se calculan los límites

laterales: y .

Como los límites laterales existen y son iguales, se concluye

que: .

Ejemplo. Sea la función m: R →

R / m(x) = . Grafique la función y halle la imagen del 3 ylos límites cuando x →3+ y x → 3 - .

Gráficamente: La imagen de 3 es: m(3) = 2 + 3 = 5.Observando la gráfica, cuando x se aproxima a 3 por izquierda,las imágenes tienden a 5. Lo mismo ocurre cuando x se acerca a 3por derecha.

Entonces, y Como los límites laterales existen y son iguales, se concluye que

.

Resumen. El límite de una función en un punto puede o no existir. Si existe, su valores independiente de lo que ocurre con la función en el punto. En las siguientes tablas

se analizan distintas situaciones:



la función no estádefinida en a, a ∉ Df

la función está definidaen a, existe f(a).

la función está definidaen a, existe f(a).

En estos tres ejemplos se observa que el límite de la función f(x) cuando x tiende a "a" es el número L independientemente del comportamiento de la función en el punto.

no existe

la función estádefinida en a, existe

f(a) =

no existe

la función no estádefinida en a, a ∉Df

no existe la función está definida

En estos tres ejemplos seobserva que a medida que x seaproxima a "a" por izquierda ypor derecha los valores de f(x)no se aproximan a un mismo

valor determinado. Se dice queno existe el límite de f(x) cuando

x tiende a "a"independientemente del



en a, existe f(a). comportamiento de la funciónen el punto.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

DEFINICIÓN:

El límite de una función es el valor al que se le acercan las imágenes “y” CUANDO LOS ORÍGENES “x” seacercan al valor X0. Es decir el valor que tiene la imagen cuando los originales tienden a X0.

Definición formal:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L ↔ para todo existe un tal que para todo

número real x en el dominio de la función .

Se dice que el límite de una función∃⟺existen los límites laterales. O sea se cumple que:

limx→a+¿f (x)= lim

x→a−¿f(x)¿

¿ ¿

¿= L Siendo “L” un número.

Por lo tanto el límite debe cumplir las siguientes propiedades:

Unicidad: Si una función tiene límite en un punto, entonces ese límite es único.

Existencia: para que exista el límite, los límites laterales deben ser iguales.

Límites laterales



Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera

x → a- significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

x a→ + significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

Límite lateral por izquierda

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a - d < x < a Þ

Límite lateral por derecha

si dado e > 0, $ d > 0 tal que

si a < x < a + d Þ

Observación. Una función tiene límite si los límites laterales son iguales, es decir, cuando

Ejemplo:



En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino asu alrededor. Es decir en un entorno reducido a él.

2.

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Propiedades y Álgebra de límites

Propiedades inmediatas

a) Si f es la función identidad f(x) = x, entonces para cualquier valor a se verifica que .

b) El límite de la función constante f(x) = c es la misma constante, cualquiera sea el valor al que

tiende.

c) El límite cuando x →a de una función polinómica p(x), es igual al valor numérico del polinomio para x = a.

Es decir,

http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.2%20Propiedades%20y%20Algebra%20de%20l%EDmites.htm#alge

http://www.fca.unl.edu.ar/Limite/2.2%20Propiedades%20y%20Algebra%20de%20l%EDmites.htm#propi



b) Cuando x se aproxima a 1 por derecha, debe tenerse en cuenta el segundo tramo, es

decir: c) Los límites laterales obtenidos en (a) y (b) son iguales, entonces el límite de f(x) para x tendiendo a 1 existe y

es -1. Por lo tanto: d) Cuando x se aproxima a 3 por izquierda, debe tenerse en cuenta el segundo tramo, es

decir:

Otras propiedades

K es un número cualquiera.

limx→a

K=K.

El límite de la suma es la suma de los límites

limx→a

[f (x )+g(x)]=limx→a

f(x)+limx→a

g(x)

El límite de la resta es la resta de los límites.

limx→a

[f (x )−g(x)]=limx→a

f(x)−limx→a

g(x)

El límite de un producto es el producto de los límites.

limx→a

[f (x )∗g(x)]=limx→a

f(x)∗limx→a

g(x)

El límite de un cociente es el cociente de los límites.

limx→a [f(x)

g(x) ]=limx→a

f(x)

limx→a

g(x) Si lim

x→ag(x)⧧0

El límite de una raíz es:

limx→a

n√f(x)=n√limx→af(x) si “n” es par y f(x) ≥0

Límite de un logaritmo.

limx→a

[logaf(x)]=loga[limx→af(x)]

Límite de una potencia

limx→a

[f (x )g (x) ]=limx→a

f (x)limx→a

g(x)

Límite de una función.



limx→a

g∗[f (x )]=g∗limx→a

f(x) g puede ser una raíz, log, sen, cos, tag, etc.

Calcular un l ímiteSi f(x) es una función como, pol inómica, racional, exponencial logarítmica, radical, etc.y además está defi nida en el punto “a” entonces se cumple que:

limx→a

f(x)=f(a) o sea para calcular el límite bastará con evaluaren “a” la función.

Ejemplo f (x)¿√x2+3x−√x2+x⇒lim

x⟶1f (x)=¿lim

x⟶1√x2+3x−√x2+x=lim

x⟶1√12+3x−√12+1=2−√2¿

Cálculo del límite en una función defi nida a trozosEn primer lugar tenemos que estudiar los l ímites laterales en los puntos de unión de losdiferentes trozos.S i coinciden, este es el valor del l ímite.S i no coinciden, el l ímite no existe.

.

En x = 1, los l ímites laterales son:−

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1 .

En x = 1, los l ímites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como no coinciden los l ímites laterales no t iene l ímite en x = 1.



Operaciones con infinito

Debemos señalar que estas indicaciones no son operaciones propiamente dichas, sino simplemente unrecurso para ayudarnos a resolver límites. Debemos tener claro que infinito no es un número.No distinguimos entre + y para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:∞ −∞La regla de los signos y que a-n = 1/a n

Sumas con infi nitos Infi nito más, menos un número

∞±k=∞ Infi nito más infi nito

∞+∞=∞ Infi nito menos infi nito

∞−∞=indeterminadoProductos con infi nitos

Infi nito por un número

∞∗(±k )=±∞ si k≠0

Infi nito por infi nito

∞∗∞=∞ Infi nito por cero

∞∗0=indeterminadoCocientes con infi nito y cero

Cero dividido un número 0k=0

Un número dividido cero k0

=∞

Un número dividido infi nito k∞

=0



Infi nito dividido un número ∞k

=∞

Cero dividido por infi nito 0∞

=0

Infi nito divido por cero ∞0

=∞

Cero dividido por cero 00=indeterminado

Infi nito dividido infi nito ∞∞

=indeterminado

Potencias con infi nito

Un número elevado a cero k0=1

Cero a la cero 00=indeterminado

Infi nito elevado a la cero ∞0=indeterminado

Cero elevado a un número

0k{0sik>0∞sik<0

Un número elevado a infi nito

k∞={∞sik>10sik<1

Cero elevado a la infi nito 0∞=0

Infi nito a la infi nito ∞∞=∞

Uno elevado a infi nito 1∞=indeterminado



Límites infi nitos

Analicemos, a partir de su gráfi ca, la existencia de los l ímites.

si x → 0+ los valores de la función crecen indefi nidamente.

si x → 0 - los valores de la

función decrecen indefi nidamente

si x → 1+ los valores de la función decrecen indefi nidamente.


función crecen indefi nidamente.

Las dos ramas de la curva se acercan cada vez más al eje y a medida que x se aproxima a cero.Para esta gráfi ca la recta x = 0 es asíntota vertical.

Las dos ramas de la curva se acercan cada vez más a la recta x = 1 a medida que x se aproxima a ese valor.Para esta gráfi ca la recta x = 1 es asíntota vertical.

si x → 0+ los valores de la función crecen indefi nidamente.


función crecen indefi nidamente.

si x → 0+ los valores de la función decrecen indefi nidamente.


función decrecen



indefi nidamente.

Para esta gráfi ca la recta x = 0 es asíntota vertical.

Para esta gráfi ca la recta x = 0 es asíntota vertical.

El comportamiento de estas funciones no puede describirse con la idea y el concepto del ímite que se ha estudiado hasta ahora.

Anal izando nuevamente la función y = , se observa en la gráfi ca que cuando x → 0+ , losvalores de f crecen más al lá de todo tope. Por lo tanto f no t iene l ímite cuando x → 0+ . Sinembargo resulta conveniente decir que f (x) se aproxima a ∞ cuando x → 0+ . Se

escribe .

Esto no signifi ca que el l ímite existe ni que +∞ es un número real, sino que expresa que la función se hace tan grande como deseamos escogiendo x sufi cientemente cercano a cero.

Resumen

Simbólicamente se escribe: Gráfi camente:

para indicar que los valores de la función crecen indefi nidamente (sin tope) cuando x se acerca a "a" por izquierda y por derecha.

para indicar que los valores de lafunción decrecen indefi nidamente (sin tope) cuando x se aproxima a "a" por valores menores y mayores que él .



para indicar que los valores de la función crecen indefi nidamente cuando x se aproxima a "a" por valores menores que él .

para indicar que los valores de la función decrecen indefi nidamente cuando x se aproxima a "a" por valores mayores que él .

para indicar que los valores de la función decrecen indefi nidamente cuando x se acerca a "a" por valores menores que él.

para indicar que los valores de la función crecen indefi nidamente cuando x se acerca a "a" por valores mayores que él.

Nota. Cuando se refi ere a l ímites infi nitos en realidad no son l ímites sino que proporcionan símbolos y un lenguaje úti les para describir el comportamiento de funciones cuyos valores se hacen arbitrariamente grandes (posit ivos o negativos ).

Ejemplo. Sea la gráfi ca de la función f(x) = :



Observando la gráfi ca se puede escribir : y

Ejemplos. Determine los siguientes l ímites

a) b) c)

a) = Cuando x 3 el denominador t iende a cero y la expresión t iende a→ .∞

Cuando x se aproxima a 3 por derecha, la expresión es negativa pues el numerador es negativo y cada uno de los factores del denominador es posit ivo. Por lo tanto, e l l ímite es -∞ .

b) = Cuando x → 3 el denominador t iende a cero y la expresión t iende a ∞ .

Cuando x se aproxima a 3 por izquierda, la expresión es posit iva, pues el numerador es negativo, el factor (x + 3) es posit ivo y (x - 3) negativo. Por lo tanto, el l ímite es +∞ .c) El l ímite para x → 3 no existe.

Límites en el infi nito

Anal izaremos el comportamiento de las funciones defi nidas gráfi camente cuando x crece indefi nidamente y cuando x decrece indefi nidamente

a) Si x crece indefi nidamente la funciónf(x) se acerca a 0b) Si x decrece indefi nidamente, los valores de la función se acercan a 0.

a) S i x crece indefi nidamente la funciónf(x) se acerca a 2.b) S i x decrece indefi nidamente, los valores de la función se acercan a 2.

La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función.

La recta y = 2 es asíntota horizontal dela función.



a) Si x crece indefi nidamente la funciónf(x) se acerca a 2.b) Si x decrece indefi nidamente, los valores de la función se acercan a -2.

a) S i x crece indefi nidamente la funciónf(x) se aproxima a 3.b) S i x decrece indefi nidamente, los valores de la función se aproximan a -1.

Las rectas y = 2 e y = -2 son asíntotas horizontales de la función.

Las rectas y = 3 e y = -1 son asíntotas horizontales de la función.

En el primer ejemplo anotamos .

Recordemos que ∞ no representa un número. La expresión anterior expresa que el l ímite de f (x) cuando x crece o decrece indefi nidamente es cero.El comportamiento de funciones que se aproximan a un número cuando la variable crece o decrece indefi nidamente (x +→ ∞ , x → - ) se indica de la siguiente manera:∞

Simbólicamente se escribe Gráfi camente:

para indicar que la función t iende a L cuando los valores de x crecen indefi nidamente.

para indicar que la función t iende a L cuando los valores de x decrecen indefi nidamente.



Ejemplo. Calcule .

Cuando x toma valores grandes, es pequeño. Tomando x sufi cientemente grande,

puede hacerse tan pequeño como queramos. Por lo tanto .

Por otra parte y como el l ímite de la diferencia es la diferencia de los l ímites

resulta: = 3 – 0 = 3 Problema . Se proyecta que dentro de t años, la población de cierto pueblo será

p(t) = miles de personas. ¿Qué se espera que suceda con la población a medida que el t iempo transcurre indefi nidamente? Solución. Para determinar el comportamiento de la función cuando el t iempo transcurre

indefi nidamente se debe calcular el l ímite .

Cuando t +→ ∞ , también t +1→ +∞ y , por lo tanto, → 0.

En consecuencia = 20. Esto expresa que a medida que el t iempo transcurre, la población t iende a estabi l izarse en 20 000 personas.

Límites infi nitos en el infi nito

En la siguiente tabla se presenta el anál is is del comportamiento de funciones que creceno decrecen indefi nidamente cuando la variable también crece o decrece sin tope.

f (x) crece indefi nidamente amedida que x crece

indefi nidamente. f (x) crece indefi nidamente a

medida que x decreceindefi nidamente

f (x) decrece indefi nidamente amedida que x crece

indefi nidamente. f (x) decrece indefi nidamente a




f (x) crece indefi nidamente amedida que x crece



f (x) crece indefi nidamente amedida que x decrece


medida que x creceindefi nidamente.

Estas funciones presentan comportamientos que no pueden describirse con la idea y elconcepto de l ímite estudiado. Por lo tanto, debe extenderse dicho concepto para

interpretar y s imbolizar estas si tuaciones.

S imbólicamente se escribe: Gráfi camente

para indicar que la función decreceindefi nidamente cuando la variable crece

indefi nidamente.

para indicar que la función creceindefi nidamente cuando la variable decrece

indefi nidamente.

para indicar que la función decreceindefi nidamente cuando la variable decrece.

para indicar que la función creceindefi nidamente cuando la variable crece.



Recordemos que en cualquiera de los l ímites , ,

, , es importante tener en cuenta que +∞ o -∞ no son números. En estoscasos se dice que el l ímite no existe.

La expresión signifi ca que si x → +∞ ; f (x) → +∞ .Esto signifi ca que si x es posit ivo y grande, su correspondiente imagen f (x) también es posit iva y grande.

Ejemplo. Discuta el comportamiento de la función y = para x → + y para x∞ → -∞ .Grafi que.

Cuando x → +∞ , x 3 +→ ∞ y por lo tanto +→ ∞ . Se puede

escribir

Cuando x → –∞ , x 3 → –∞ y por lo tanto → – . Luego∞

Su gráfi ca es

Indeterminaciones

Límites Indeterminados

En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones enlos que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones del tipo

00, ∞∞,0∗∞,∞−∞,0∞,∞0,1∞ .

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser 0, ∞ , -∞ , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.



Indeterminación ∞∞

Para resolver la indeterminación infi nito dividido infi nito podemos uti l izar uno de estosdos métodos:

1. Comparación de infi nitos

f (x) es un infi nito de orden superior a g(x) s i :

f (x) es un infi nito de orden inferior a g(x) s i :

f (x) es un infi nito de igual orden a g(x) s i :

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinitode orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la demayor base es un infinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es uninfinito de orden superior a cualquier potencia de x.

Las potencias de x son infinitos de orden superior a lasfunciones logarítmicas.



Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la mismabase son infinitos del mismo orden.

Observación: ¿Qué signifi ca orden de una función?SENCILLAMENTE QUE UNA FUNCIÓN CRECE MÁS RAPIDO QUE OTRA. NO QUE UN INFINITO SEA MÁS GRANDE‼

Ejemplos

Hal lar los l ímites por comparación de infi nitos:

1.

2.

3.

2º Método

Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

Limite cuando x→∞1. Si el numerador t iene exponente mayor que el denominador entonces el l ímite

t iende a infi nito.

Ejemplo:

2. Si el numerador es menor que el denominador, entonces el l ímite t iende a cero.



3. Si t ienen numerador y denominador igual grado, entonces el l ímite es igual al cociente del coefi ciente del término con el grado mayor del pol inomio.

Ejemplo:

limx⟶∞

4x3+2x2−5x5−37x3−5x4+6x2−4x5=

54

justificaci ó n : al tener el mismo grado , el l í mite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado

En resumen:

a) el cociente de los coefi cientes de los términos de mayor grado de la función polinómica del numerador y la del denominador, si ambas tiene el mismo grado.

b) +∞ ó –∞ si el grado de la función del numerador es mayor que el de la del denominador.

c) 0 si el grado de la función del numerador es menor que el de la del denominador.

Límite de una función polinómica

El l ímite de una función polinómica en el infi nito, es igual al l ímite del término de mayor grado. Dada una función polinómica de grado n > 0,

p(x) = a 0 xn + a 1 xn - 1 + a 2 xn - 2 + . . .+ a n

se cumple

Para demostrar esta afi rmación escribimos:

p(x) = a 0 xn + a 1 xn - 1 + a 2 xn - 2 + . . .+ a n = . xn

Entonces el



Como = a0 podemos asegurar

que:

Ejemplo. Hal le .

Por lo anal izado anteriormente

Nota. En el cuadro siguiente se muestran las dist intas posibi l idades con respecto al l ímiteen el infi nito de una función pol inómica.

El coefi ciente principal es posit ivo.

p(x)→ -∞ cuando x → -∞

p(x)→ +∞ cuando x → +∞

El coefi ciente principal es negativo.

p(x) +→ ∞ cuando x -→ ∞

p(x) -→ ∞ cuando x → +∞

El coefi ciente principal es posit ivo.

p(x) +→ ∞ cuando x -→ ∞

p(x)→ +∞ cuando x → +∞

El coefi ciente principal es negativo.

p(x)→∞ cuando x -→ ∞

p(x)→ - cuando x∞ → +∞

Nota. Determinar si una función tiene o no límite en el infi nito es úti l para analizar el comportamiento asintótico de su gráfi ca.



La indeterminación 00

Para salvar indeterminaciones de este t ipo, es posible reducir el cociente planteado aotro cuyo denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador,cancelando luego los factores comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factorcomún mult ipl icando el numerador y el denominador por la expresión conjugada de laque se presenta en uno de el los.

Ejemplo. Hal le

Al susti tuir, resulta y lo que genera una indeterminación

del t ipo .

S in embargo, como si x≠

3, resulta que la función coincide con la función (x + 3) salvo en x = 3.

Como interesa anal izar el comportamiento de la función para valores de x próximos a 3

(por izquierda y por derecha), es posible determinar el comportamiento de anal izando el de la función (x + 3) .

Por lo tanto puede decirse que

Nota. Existe algo sospechoso en este ejemplo. Si e l 3 no estaba en el dominio antes desimplifi car, pero sí lo estaba después de simplifi car, la función seguramente hacambiado.

Al decir mentimos un poco. Lo que en realidad quisimos decir es que esas

dos expresiones son iguales en donde están defi nidas. En real idad y x + 3 son

dist intas. La diferencia entre el las es que x = 3 no pertenece al dominio de pero sí



al dominio de x+3. Puesto que ignora cualquier valor que f pueda tomar x = 3,eso no interesa. Desde el punto de vista del l ímite en 2 esas funciones sí son iguales.

Ejemplo. Calcule el valor de .

Al susti tuir la variable por 1, tanto el numerador como el denominador se anulan y se

genera la indeterminación . Se factorizan el numerador y el denominador y, para x ≠

1,se simplifi can los factores comunes:

Ejemplo. Hal le el valor de .

Reemplazando la variable por 3 se obtiene la indeterminación . Para resolver estel ímite, se racional iza el denominador mult ipl icando el numerador y el denominador porla expresión conjugada de la del denominador y resulta:

Ejemplo. Determine el l ímite .

Al susti tuir, resulta y lo que genera una indeterminación

del t ipo .



Si x →3, el denominador t iende a cero. Si x se aproxima a 3 por derecha o por izquierda,en cualquiera de los casos el denominador es posit ivo por estar elevado al cuadrado.Como el numerador negativo ( -1), se concluye que el l ímite es - .∞

La indeterminación

Los procedimientos algebraicos para salvar una indeterminación de este t ipo, sedesarrol lan en los siguientes ejemplos:

Ejemplo. Determine el valor de .

Al reemplazar la variable por 2 resulta ¿ ∞−∞ , que es una indeterminación.

Resolviendo la diferencia se obtiene:

Cuando x se aproxima a 2 por derecha, el numerador t iende a –3 y el denominador a 0por valores mayores que él . Por lo tanto, la expresión resulta negativa y el l ímite es -∞.

= -∞

Ejemplo. Calcule

No es posible escribir = ∞ -∞, ya que esa diferencia esindeterminada.

Se expresa la función de la siguiente manera: = –∞

ya que x→+∞

y (2 – x 3 )→−∞

Ejemplo. Hal le



( Indeterminado)

La expresión

Por lo tanto:

La indeterminación

Para salvar una indeterminación de este t ipo, se pueden realizar dist intos procedimientosalgebraicos. Algunos de el los se desarrol lan en los siguientes ejemplos.

Ejemplo. Hal le

Cuando x →

–3, x 2 + 6x +9 →

0 y , por lo tanto ,indeterminado.

Sin embargo, s i x →

- 3.

Por lo tanto:

Ejemplo. Calcule

Como y , resulta , indeterminado.

En este caso = , s i x →

0.

Ejemplo. Halle

, indeterminado, ya que y .

S in embargo, s i x →

2.



Por lo tanto:

Un límite importante

Se puede demostrar que

Al evaluar el numerador y el denominador en x = 0, se obtiene la indeterminación .Para resolverlo, no pueden uti l izarse las técnicas v istas anteriormente, pero sin embargo,

el existe y vale 1.

Sea un ángulo cuya medida en radianes sea x, 0 < x < .

Observando la gráfi ca resulta:sen x < x < tg xComo sen x ¹ 0, div idiendo por sen x se obtiene:

Dado que ,

resulta: 1 <

Por lo tanto: Þ

S i se hace tender x a cero, y al estar comprendido entre dosexpresiones que t ienden a 1 cuando x ® 0, también deberá tender a 1. Por lo

tanto: .Para que esta demostración pueda generalizarse falta analizar qué es lo que ocurre paravalores negativos de x.Se designa con ( - x) a los valores negativos de x.Como senx es una función impar, sen(-x) = -senx.

Por lo tanto: Þ

Nota. El cociente es tanto más cercano a 1 cuanto más próximo a 0 se considere elvalor de x.Esto permite geométricamente interpretar que para medidas de arcomuy pequeñas, sus correspondientes valores de sen x sonaproximadamente iguales a x.



Ejemplo. Hal le el valor de

Al evaluar numerador y denominador en cero, resulta la indeterminación . Pararesolver este l ímite, se trata de escribir el cociente de manera tal de poder apl icar el

teorema anterior:

Por propiedad de l ímite,

Además, s i x → 0, 2x también t iende a cero y por lo tanto:

En consecuencia,

Ejemplo. Calcule el valor de Susti tuyendo la variable por 0 resulta una indeterminación.

Uti l izando la identidad es posible transformar el cociente de manera tal depoder apl icar el teorema anterior.Por lotanto:

Hal lando el primer l ímite En el segundo l ímite mult iplicamos y dividimos por 2 y teniendo en cuenta que si t → 0

también 2t → 0 resulta que:

Entonces: = 5.2 = 10

Ejemplo. Hal le

Reemplazando la variable por el valor al cual t iende resulta la indeterminación .Apl icando diferencia de cuadrados en el denominador y teniendo en cuenta que si xt iende a 3 entonces x - 3 t iende a 0 resulta:



JERCICIOS INTEGRADORES

1) S i y , hal le :

a) b)

2) Para cada una de las siguientes gráfi cas de funciones, determine si existe o no ell ímite para x tendiendo a 2. Just ifi que la respuesta. En caso de exist ir , hal le el valor.

a)

b)

c)

d)

3) Dada la función f : R → R / f (x) = grafi que y determine:

a) b) c) d) e) f)

4) Defi na gráfi camente una función f: [ -3, 5] → R tal que:

f ( -1) = f (1) = f (4) = 3, y .

5) Defi na gráfi camente una función g : R → R tal que: , yg(0) = 2.

6) Calcule los siguientes l ímites:



a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

7) Halle los valores de a y b de modo que: .

RESPUESTAS

1)a) 7 b)

2)a) No existe porque los l ímites laterales son dist intos (por izquierda es -¥ y porderecha, 3).

b) -1 ya que los dos l ímites laterales son iguales a ese valor.

c) No existe porque los l ímites laterales son dist intos (por izquierda es 2 y por derecha,1) .

d) 1 ya que los dos l ímites laterales son iguales a ese valor.

3)

a) -1

b) -1

c) -1

d) 2

e) 7

f) No existe

6)a) b)

c) 0 d) -1 e) 5



f) g) +∞ h) +∞ i) 0

7) a = -2, b = 10

JERCICIOS DE REPASO

1) Dada f(x) indique si son verdaderas o falsas las afi rmaciones. Just ifi que.

a) Si

b) Si

c) Si

d) Si f (x 0 ) no está defi nida entonces el no existe.

e) Si f (x) es una función pol inómica entonces

2) Calcule los siguientes l ímites:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j )



k) l )

m) n)

ñ) o)

p) q)

r) s)

t) u)

v) w)

x) y)

3) Hal le los siguientes l ímites

a) b)

4) Para cada una de las siguientes funciones, hal le

a) f (x) = 4 - x b) f (x) = 2x + 3

c) f (x) = x 2 - 3 d) f (x) = x 2+ x + 1

5) Dada f( t ) = 3t-5 y g(t ) =6t-9 , determine:



a) b) c)

d) e) f)

6) Sea la función y = f (x) defi nida por el s iguiente gráfi co:

Calcule:

a) b) c)

d) e) f)

g)

h)

i )

j )

k)

7) Sea la función y = f (x) defi nida por el gráfi co:

Determine:

a) b) c)

d) e)

f)

g) h)

i)

j) k)

l)



8) Defi na gráfi camente una función f: [0, 6] ® R tal que f (0) = f (2) = f (4) = f (6) = 2 y

que y

9)i) Grafi que la función f : R → R :

i i ) Hal le:

a) b) c) d) f (0)

e) f) g) h) f (1)

10) Determinar el valor de k, sabiendo que existe el l ímite para x → x 0 .

a) b)

11) Grafi que:

a) Una función f (x) que no esté defi nida en x = x 0 y exista el .

b) Una función f (x) que esté defi nida en x = x 0 , exista el , exista el yambos l ímites sean diferentes.

c) Una función f (x) que esté defi nida x = x 0 pero que el l ímite sea infi nito.

RESPUESTAS

1)a) Falso. La existencia de l ímite cuando x t iende a x 0 no asegura la existencia de laimagen en ese punto.

b) Verdadero.

c) Falso. S i los l ímites laterales en un punto son dist intos el l ímite en ese punto noexiste.

d) Falso. La no existencia de la imagen en x = x 0 no asegura la no existencia de l ímite endicho valor.



e) Verdadero.

2)a) 2b)

c) 4 d) e)f) 0

g) 4a 3

h) i) j ) k) 9 l) +∞

m) 0 n) 2 ñ) -1 o) 8 p) 2q)

r)s) 4 t) 1

u) v) 1 w) 1

x) 2 y) 0

3)a) 2x b) 4x+5

4)a) -1 b) 2 c) 2x d) 2x+1

5)a)+∞ b) 6 c) 0 d) +∞ e) 0 f) 0

6)a)3 b) 2c) noexiste

d) -∞ e) +∞ f) +∞

g) +∞ h) 0 i) 1 j ) 1 k) 1

7)a) 2 b) 3 c) 0 d) 0 e) 2 f) 2

g) +∞ h) -∞ i) noexiste j ) - k) - l) -

9)i)

ii )a) 0

e) 1

b) 0

f) 2

c) 0

g) no existe

d) 0

h) 2

10)a) k = - 6 b) k = -2

Target Coverage in Image-Guided Stereotactic Body Radiotherapy of Liver Tumors

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