T h is d is sertat io n has b een - OhioLINK ETD Center

T h i s d i s s e r t a t i o n h a s b e e n 6 2 - 2 1 4 7 m i c r o f i l m e d e x a c t l y a s r e c e i v e d

L A R A - T O M A S , M A N R IQ U E , 1 9 3 3 - R E S E A R C H O N T H E T I M E - D E P E N D E N T D E F O R M A T IO N O F C L A Y SOILS U N D E R S H E A R S T R E S S .

T h e O h io S t a t e U n i v e r s i t y , P h . D . , 1961 E n g i n e e r i n g , c i v i l

University Microfilms, Inc., Ann Arbor, Michigan

R E S E A R C H O N TH E T I M E - D E P E N D E N T D E F O R M A T I O N

O F C L A Y SOILS U N D E R S H E A R S T R E S S

D IS S E R T A T I O N

P r e s e n t e d in P a r t i a l F u l f i l l m e n t o f the R e q u i r e m e n t s f o r the D e g r e e D o c t o r o f P h i l o s o p h y in the G r a d u a t e S c h o o l o f

T h e O hio S ta te U n i v e r s i t y

B y

M a n r i q u e L a r a - T o m a s , B. S. , M. Sc.

The O hio S ta te U n i v e r s i t y

1961

A p p r o v e d by

A d v i s e r

D e p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g

ACKNOWLEDGMENTS

The a u t h o r w i s h e s to e x p r e s s h i s th an ks to P r o f e s s o r R o b e r t F.

B a k e r f o r h i s a d v i c e an d g u id a n c e on the c o n t e n t o f th i s d i s s e r t a t i o n .

T h e f o l l o w i n g m e m b e r s of th e s t a f f o f the T r a n s p o r t a t i o n

E n g i n e e r i n g C e n t e r p r o v i d e d t e c h n i c a l a s s i s t a n c e :

M r. A r m o n d o D i a z , R e s e a r c h A s s i s t a n t

M r. H a s a n A. H e j a z i , R e s e a r c h A s s i s t a n t

M r. R. P. K h e r a , R e s e a r c h A s s i s t a n t

T he m a n u s c r i p t w a s p r e p a r e d by M r s . H a r r i e t t D. B a s k i n

The g r a p h s and r e p r o d u c t i o n w e r e m a d e by M r. E u g e n e H a y n e r and

h i s s ta f f .

ii

CONTENTS

Page

A C K N O W L E D G M E N T S ................................................................................... i i

F I G U R E S ................................................................................................................................. v

T A B L E S .................................................................................................................................. v i i

N O T A T I O N S ................................................................................................................. v i i i

I N T R O D U C T I O N ...................................................................................................... 1

I R H E O L O G Y

G e n e r a l ...................................................................... 5S t r e s s ............................................................................................... 5S t r a i n ................................................................................................. 9T h e R h e o l o g i c a l E q u a t i o n s . .... .............................. 11E l a s t i c i t y ......................................................................................... 12R e s o l u t i o n of T e n s o r s ........................ 13V i s c o s i t y ................................................ 16V i s c o e l a s t i c B o d i e s ................................................................. 17R h e o l o g i c a l M o d e l s .......................... 19O p e r a t o r E q u a t i o n s ................................................................. 20M e c h a n i c a l P r o p e r t i e s ........................................................ 20C r e e p B e h a v i o r and C r e e p T e s t s ................................... 22C r e e p f r o m R h e o l o g i c a l M o d e l s ................................... 25V i s c o e l a s t i c S t r e s s A n a l y s i s ................ 28

II SOIL M E C H A N IC S

P h y s i c a l C o m p o s i t i o n o f S o i l s ......................................... 30S o i l D e f o r m a t i o n T h e o r i e s ................................................. 34

III P U R P O S E A N D P R O C E D U R E S

P u r p o s e ............................................................................................ 47G e n e r a l ................................................................................ 47P r o c e d u r e ....................................................................................... 50M a t e r i a l s U s e d ................................................... 51P r e p a r a t i o n of S a m p l e s ....................... 51A p p a r a t u s ......................................................................................... 56

i i i

CONTENTS (contd)

P age

IV E X P E R I M E N T A L R E S U L T S

R e p r e s e n t a t i o n o f D a t a ......................................................... 63T y p i c a l R e s u l t s ........................................................................... G4F l o w and V i s c o s i t y ................................................................... 74I n s t a n t a n e o u s D e f o r m a t i o n ................................................. 78R ate o f S t r a i n .............................................................................. 78S t i f f n e s s C u r v e s ........................................ 84R e s u l t s f r o m R e p e a t e d L o a d T e s t s .............................. 87E f f e c t o n I n s t a n t a n e o u s D e f o r m a t i o n ........................... 88R e c o v e r a b l e D e f o r m a t i o n , ................................................. 97E f f e c t o f M o i s t u r e C o n te n t and D e n s i t y ................... 106C o m p a r i s o n o f R e s u l t s

W ith in S o i l s ; B e t w e e n S o i l s . ................................. 125

V D ISCUSSIO N O F R E S U L T S

L i m i t a t i o n s o f R e s u l t s ......................................................... 128A p p l i c a t i o n s ................................................... 140

VI C O N C L U S I O N S .................................................................................. 148

A P P E N D I X I R E S O L U T I O N O F T E N S O R S ................................... 152

A P P E N D I X II R H E O L O G IC A L M O D E L S .......................... 155

R E F E R E N C E S ......................................................................................................... 163

A U T O B I O G R A P H Y .............................................................................................. 170

iv

4

F IG U R E S

F igure Page

1 C o m p o n e n t s o f s t r e s s t e n s o r ............................. 7

2 S t a n d a r d c r e e p t e s t ...................... 24

3 V i s c o s i t y C h a r a c t e r i s t i c s ........................................................ , 40

4 G r a in S iz e a n a l y s i s of s o i l s u s e d ................... HI;

5 C o m p a c t i o n t a m p e r and m o l d s ........................ 1

6 M o i s t u r e - d e n s i t y c u r v e s ................................................

7 T o r s i o n a p p a r a t u s ...................................................... 57

8 G e o m e t r y o f a t w i s t e d c y l i n d e r .................................. . ■ 58

9 S t r e s s d i s t r i b u t i o n in t o r s i o n ........................... 61

10 M o i s t u r e and d e n s i t y o f s a m p l e s u s e d .................

11 T y p i c a l c r e e p b e h a v i o r ......................................... vL2

12 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s . S t r e s s = 520 g / c m . 67

13 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s . S t r e s s = 610 g / c m ^ . . 682

14 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s . S t r e s s = 6 9 6 g / c m . . 692

15 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s . S t r e s s = 783 g / c m . . 702

16 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s . S t r e s s - 870 g / c m . . 71

17 A d j u s t e d t i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ............... 72

18 F l o w c u r v e s .................................................................... 75

19 V i s c o s i t y c u r v e .................................... 76

20 S t r e s s - s t r a i n diagram*, s o i l 8 H .................... 79

21 Log- r a te o f s t r a i n v s . l o g . o f t i m e ; s o i l 8H. . . . 81

22 L og . r a te o f s t r a i n v s . t i m e ; s o i l 8H ....... 82

23 S t i f f n e s s c u r v e s ; s o i l 8H .................................... 85

24 S t i f f n e s s c u r v e s o f t h r e e r h e o l o g i c a l m o d e l s . . . . 86

v

FIGURES (contd)

F igu re Page

25 T i m e - r e l a t i v e d e f o r m a t i o n c u r v e s . S t r e s s =520 g / c m ^ ........................... 89

26 T i m e - r e l a t i v e d e f o r m a t i o n c u r v e s .S t r e s s = 6 1 0 g / c m ^ ...................................... 90

27 T i m e - r e l a t i v e d e f o r m a t i o n c u r v e s .S t r e s s = 6 9 6 g / c m ^ ......................................................... 91

2 8 T i m e - r e l a t i v e d e f o r m a t i o n c u r v e s .S t r e s s a 783 g / c m ^ . . ..................................... 92

29 T i m e - r e l a t i v e d e f o r m a t i o n c u r v e s .S t r e s s = 87 0 g / c m ^ ......................................................... 93

30 E f f e c t o f l o a d r e p e t i t i o n o n the m a g n i t u d e o f th ei n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n . S t r e s s = 870a n d 783 g / c m ^ ................................ . 95

31 E f f e c t o f l o a d r e p e t i t i o n o n the m a g n i t u d e o f thei n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n . S t r e s s e s =6 9 6 , 6 1 0 , and 520 g / c m ^ ............................. 96

32 T y p i c a l d i s t r i b u t i o n and d e n s i t y f u n c t i o n s ................. 99

33 D i s t r i b u t i o n o f r e t a r d a t i o n t i m e s .................................... 100

34 A s s u m e d d i s t r i b u t i o n of r e t a r d a t i o n t i m e s .............. 102

35 M o d e l ........................... 105

36 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ; s o i l s F - 2 a n d F - 3 . . . 107

37 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ; s o i l s E - 4 a n d E - 5 . . . 108

38 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ; s o i l N - 6 ............................... 109

39 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ; s o i l s N - 7 a n d N - l l . . 110

40 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ; s o i l s R - 2 an d R - 6 . . . I l l

41 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ; s o i l R - 8 ............................... 112

42 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ; s o i l s R - 3 and R - l . . . 113

43 T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ; s o i l s A - l an d A - 2 . . . 114

vi

115

11C

117

113

119

1 21

122

133

134

143

160

161

162

a g e

15

FIGURES (contd)

T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ; s o i l s B - 5 and B - l . . .

T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s ; s o i l C - 3 ..............................

S t r a i n r a te ; s t i f f n e s s c u r v e s ; s o i l No- 7. . . . . . . .

S t r a i n r a te ; s t i f f n e s s c u r v e s ; s o i l No. 8 .......

S t r a in ra te ; s t i f f n e s s c u r v e s ; s o i l No- 9 ....

S t r e s s - s t r a i n c u r v e s ; s o i l No . 7. . . ........................

S t r e s s - s t r a i n c u r v e s ; s o i l No . 9- ..............................

D i s t r i b u t i o n o f r e t a r d a t i o n t i m e s ................ .. ................

T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s a n d m o d e l a p p r o x i m a t i o n ........................................................................... . . .

S lo p e p r o b l e m . ........................... .. ........................................

C r e e p o f a M a x w e l l m o d e l .............................. .....................

C r e e p o f a K e l v i n m o d e l .........................................................

C r e e p o f a B u r g e r m o d e l ......................................................

T A B L E S

R e l a t i o n B e t w e e n th e E l a s t i c C o n s t a n t s

X, y , z o r X j , x ^ , x^

r , 0, z

N O T A T I O N S

R e c t a n g u l a r C a r t e s i a n C o o r d i n a t e s

C y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s

ij

<r , <r , tr o r c , a , <r x x yy z z x y z

o r * 1 1 ' * 2 2 ’ * 3 3

o , a , a , o r t , t , t x y x z y z x y x z y z

° r * 1 2 ’ * 2 1 ’ * 2 3

T i m e

S t r e s s , n o r m a l S t r e s s

S h e a r s t r e s s

S t r e s s t e n s o r

N o r m a l c o m p o n e n t s o f s t r e s s in

C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s

C o m p o n e n t s o f s h e a r i n g s t r e s s e s in

C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s

o’ , o- » <r r 9 zR a d i a l t a n g e n t i a l a x i a l n o r m a l s t r e s s e s

H y d r o s t a t i c p r e s s u r e

S t r a i n

E n g i n e e r i n g s h e a r s t r a i n o r unit s h e a r s t r a i n

ij

e , e , e o r e , e , e x x yy z z x y z

S t r a i n T e n s o r

S t r a i n on th e (x, y , z) o r (1, 2, 3) a x e s

° r C1 1 ’ e 2 2 ’ C33

e , e , e r 0 zS t r a i n in r a d i a l , t a n g e n t i a l and

a x i a l d i r e c t i o n

v iii

NOTATIONS (contd)

Y o u n g ' s m o d u l u s , r i g i d i t y , an d m o d u l u s , r e s p e c t i v e l y

P o i s s o n ' s r a t i o

L a m e ' s c o n s t a n t s

C o m p o n e n t s o f d i s p l a c e m e n t

C o m p o n e n t s o f v e l o c i t y

D e v i a t o r o f s t r e s s

D e v i a t o r o f s t r a i n

C r e e p fu n c t io n

V i s c o s i t y c o n s t a n t s

A r e a

M o m e n t , to r q u e

A n g l e of t w i s t

D e n s i t y

G r a v i t y a c c e l e r a t i o n

W e i g h t p e r un i t v o l u m e

S p e c i f i c g r a v i t y

S t i f f n e s s

Y i e l d v a lu e

IN T R O D U C T IO N

T h e s y s t e m a t i c s tu d y o f th e p h y s i c a l an d m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s

o f s o i l s , e m b o d i e d in th e s c i e n c e c a l l e d S o i l M e c h a n i c s , i s r e l a t i v e l y

n e w , d a t in g b a c k to on ly a few d e c a d e s . B e f o r e that t i m e , th e k n o w l

e d g e in the f i e l d c o n s i s t e d m a i n l y in p i l e - d r i v i n g f o r m u l a e and t h e o r i e s

o f e a r t h p r e s s u r e s a g a i n s t r e t a i n i n g w a l l s .

A s th e p r o b l e m s w i th s o i l s b e c a m e m o r e i n v o l v e d , the n e e d fo r

a s y s t e m a t i c s t u d y o f the m e c h a n i c a l and p h y s i c o - c h e m i c a l p r o p e r t i e s

o f s o i l s w a s a p p a r e n t , and e f f o r t s to r e m e d y the s i t u a t i o n s t a r t e d both

in th e U n i t e d S t a t e s and in E u rop e- T h e s e e f f o r t s h a v e p r o d u c e d a

t r e m e n d o u s a r r a y o f u s e f u l i n f o r m a t i o n . H o w e v e r , the d e v e l o p m e n t

o f S o i l M e c h a n i c s a s a new a p p l i e d s c i e n c e i s f a r f r o m c o m p l e t e , and

t h e r e a r e t o d a y w i d e a r e a s of d i s a g r e e m e n t b e t w e e n i n v e s t i g a t o r s

w o r k i n g on c e r t a i n s u b j e c t s .

In a v e r y g e n e r a l w a y , S o i l M e c h a n i c s p r o b l e m s c a n be c l a s s i

f i e d in to t w o c a t e g o r i e s : 1) p r o b l e m s d e a l i n g w i t h th e i n t e r a c t i o n b e

t w e e n a s t r u c t u r e and i t s fou n d a t io n and 2) p r o b l e m s i n v o l v i n g the

s t a b i l i t y o f a s o i l m a s s .

In the f i r s t typ e o f p r o b l e m , f a i l u r e o r c o l l a p s e o f the s o i l

s t r u c t u r e i s s e l d o m a d e t e r m i n i n g f a c t o r . P e r m i s s i b l e s e t t l e m e n t or

1

2

d e f o r m a t i o n u n d e r lo a d i s r a t h e r the l i m i t i n g c r i t e r i a . F o u n d a t io n s

fo r s e v e r a l t y p e s of s t r u c t u r e s , s u c h a s b u i ld in g s a n d b r i d g e s a r e but

a few e x a m p l e s of s t r u c t u r e s d e s i g n e d p r i m a r i l y a c c o r d i n g to th e e x

c e s s i v e d e f o r m a t i o n o r s e t t l e m e n t c r i t e r i a .

In s t a b i l i t y p r o b l e m s , the p r i m a r y c o n s i d e r a t i o n i s th e d a n g e r

o f f a i l u r e o r c o l l a p s e o f a s o i l s t r u c t u r e . T he d e s i g n of e m b a n k m e n t s ,

e a r t h d a m s , f o u n d a t io n s , and s o for th a r e a few e x a m p l e s o f s t r u c t u r e s

d e s i g n e d a c c o r d i n g to th e s t a b i l i t y c r i t e r i a .

The d e s i g n o f s o i l s t r u c t u r e s and fo u n d a t io n s g e n e r a l l y p r e

s u m e s a k n o w l e d g e o f c e r t a i n m e c h a n i c a l , p h y s i c a l , and p h y s i c o

c h e m i c a l p r o p e r t i e s o f s o i l s . The m o s t i m p o r t a n t a r e t h e s e :

I. S t r e s s - s t r a i n c h a r a c t e r i s t i c s

A. S h a p e o f the s t r e s s - s t r a i n d i a g r a m ; v a l u e o f t a n g e n t o r s e c a n t m o d u l u s

B. B e h a v i o r u n d e r d i f f e r e n t s t r e s s c o n d i t i o n s ( t r i a x i a l , u n c o n f in ed c o m p r e s s i o n , s h e a r s t r e s s e s )

II. C o m p r e s s i b i l i t y c h a r a c t e r i s t i c s

A. Void r a t io

B. P e r m e a b i l i t y

C. C o n s o l i d a t i o n c o n s t a n t s

III. In d e x p r o p e r t i e s

A. G r a in s i z e d i s t r i b u t i o n

B. S p e c i f i c g r a v i t y

C- A b s o r p t i o n

D. C o n s i s t e n c y l i m i t s : 1) s e m i - s o l i d , 2) p l a s t i c , 3) l iq u id

E. M o i s t u r e c o n t e n t

IV. S t r e n g t h p r o p e r t i e s

A. S t r e n g t h p a r a m e t e r s

B. B e h a v i o r n e a r f a i l u r e load

V. C h e m i c a l p r o p e r t i e s

A. A c t i v i t y o f c l a y m i n e r a l s

B. S o l u b i l i t y

C. A c id i t y ; a l k a l i n i t y

It i s a d i f f i c u l t t a s k to d e c i d e w h i c h f a c t o r s a r e r e l e v a n t in a n y

p a r t i c u l a r p r o b l e m ; n e v e r t h e l e s s , it c a n be s a i d that i n t e r a c t i o n p r o b

l e m s a r e g e n e r a l l y s o l v e d b y u s i n g a s t r e s s - s t r a i n a n a l y s i s and c o m

p r e s s i b i l i t y i n f o r m a t i o n , w h i l e s t a b i l i t y p r o b l e m s a r e s o l v e d by u s i n g

p r i m a r i l y s t r e n g t h p r o p e r t i e s o f the m a t e r i a l . T h i s d i s s e r t a t i o n d e a l s

a l m o s t e x c l u s i v e l y w i th the s t r e s s - s t r a i n p r o p e r t i e s o f s o i l s .

A k n o w l e d g e o f s t r e s s - s t r a i n p r o p e r t i e s o f s o i l s i s e x t r e m e l y

i m p o r t a n t , b e c a u s e s e v e r a l p r o b l e m s in S o i l M e c h a n i c s c a n n o t be s o l v e d

4

r i g o r o u s l y u n l e s s a p a r t i c u l a r r e l a t i o n i s a s s u m e d to e x i s t b e t w e e n

s t r e s s e s and s t r a i n s . The r e s p o n s e o f a s o i l m a s s to s t r e s s i s v e r y

c o m p l e x . The r e a s o n s fo r th is a r e v a r i o u s , but it i s p r i n c i p a l l y due

to the c o m p l e x m a k e - u p o f s o i l s .

T h is d i s s e r t a t i o n w i l l p r e s e n t an a p p r o a c h to the e v a l u a t i o n of

the s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p s o f s o i l s b a s e d on the c o n c e p t s o f the

s c i e n c e of r h e o lo g y -

C H A P T E R I

R E V IE W O F R H E O L O G Y

G e n e r a l

In a v e r y g e n e r a l s e n s e , r h e o l o g y i s that b r a n c h o f p h y s i c s th at

s t u d i e s the f low and d e f o r m a t i o n of m a t t e r . In a d e f o r m a b l e m e d i u m ,

n e i g h b o r i n g p a r t i c l e s m a y m o v e r e l a t i v e to one a n o t h e r u n d e r the a c t

io n o f e x t e r n a l f o r c e s . The a c t i o n s o f the e x t e r n a l f o r c e s a r e t r a n s

m i t t e d th r o u g h o u t th e m e d i u m in the f o r m o f i n t e r n a l a c t i o n s and r e

a c t i o n s b e t w e e n p a r t i c l e s . T he i n t e r n a l f o r c e p e r unit a r e a a c t i n g

a c r o s s a n y g i v e n s u r f a c e in the m a t e r i a l i s d e s i g n a t e d a s a s t r e s s

and the a c c o m p a n y i n g unit d e f o r m a t i o n o f th e m e d i u m a s a s t r a i n .

In o r d e r to e s t a b l i s h a d e f i n i t i o n o f r h e o l o g y , in t e r m s of

p h y s i c a l q u a n t i t i e s , it i s n e c e s s a r y to a n a l y z e f u r t h e r the c o n c e p t s o f

s t r e s s a n d s t r a in .

S t r e s s

T he c o n c e p t o f s t r e s s c a n be a c c e p t e d a s a f u n d a m e n t a l n o t io n

d e r i v e d f r o m e x p e r i e n c e . The not ion i s s i m p l y that o f m u t u a l a c t i o n

b e t w e e n tw o b o d i e s in c o n t a c t , o r b e t w e e n tw o p a r t s of the s a m e b od y

s e p a r a t e d by an i m a g i n a r y s u r f a c e . A d i s t i n c t i o n i s e s t a b l i s h e d b e

t w e e n t w o t y p e s o f f o r c e s : the "body f o r c e s " and the " s u r f a c e f o r c e s

6

o r t r a c t i o n s . " T h e f o r m e r i s c o n c e i v e d a s b e i n g due to d i r e c t a c t i o n

a t a d i s t a n c e ( g r a v i t a t i o n a l f o r c e s , e l e c t r o m a g n e t i c f o r c e s , e tc . ) and

t h e l a t t e r to c o n t a c t a c t io n . F o r a m o r e c o m p l e t e d i s c u s s i o n o f the

n o t i o n o f s t r e s s , the r e a d e r i s r e f e r r e d to L o v e ’ s t r e a t i s t (^) .

F o r th e c o m p l e t e s p e c i f i c a t i o n o f th e s t a t e o f s t r e s s in a body

i t i s n e c e s s a r y to know the f o r c e p e r unit a r e a a c r o s s e v e r y p la n e

d r a w n t h r o u g h a n y p o in t , and t h e ' d i r e c t i o n and m a g n i t u d e o f the f o r c e .

In g e n e r a l , t h e r e a r e s u r f a c e s t r e s s e s (or t r a c t i o n s ) o f two

t y p e s a c t i n g on the s u r f a c e o f an e l e m e n t o f v o l u m e ; t h o s e a c t i n g n o r

m a l to the s u r f a c e a r e c a l l e d d i r e c t s t r e s s e s ( t e n s i o n o r c o m p r e s s i o n ) ;

t h o s e a c t i n g p a r a l l e l to a s u r f a c e a r e t e r m e d s h e a r i n g s t r e s s e s .

W h e r e th e s t r e s s d i s t r i b u t i o n i s u n i f o r m , o r in the n e ig h b o r h o o d

o f a p o in t , th e m a n n e r in w h i c h the d i r e c t and s h e a r i n g s t r e s s e s v a r y

w i t h the d i r e c t i o n o f a p l a n e p a s s i n g t h r o u g h a p o in t i s d e s c r i b e d by

the g e n e r a l t r a n s f o r m a t i o n r e l a t i o n s h i p s fo r a s y m m e t r i c t e n s o r o f

r a n k tw o (£ , 3j.

C o n s i d e r a s m a l l t e t r a h e d r o n (F ig . 1) d r a w n a r o u n d the n e i g h

b o r h o o d o f a p o in t 0 of a b o d y u n d e r s t r e s s . On an e l e m e n t o f s u r f a c e

dA in th e m e d i u m , the a c t i o n of the m a t t e r on o n e s i d e of the e l e m e n t

U n d e r l i n e d n u m b e r s in p a r e n t h e s e s r e f e r to th e R e f e r e n c e s a t the end o f th e d i s s e r t a t i o n .

7

Z(3)

Y(2)

Fig. 1. - Components of stress tensor.

upon that on th e o t h e r s i d e i s r e p r e s e n t e d b y a f o r c e v e c t o r T^dA; the

n o r m a l u n i t v e c t o r Vn i n d i c a t e s th e p o s i t i v e d i r e c t i o n o f th e e l e m e n t

dA. T he f o r c e v e c t o r T dA d e p e n d s not o n ly on dA but a l s o o n then

no r i e n t a t i o n o f dA, th a t i s , on V . C o n s i d e r i n g th e e q u i l i b r i u m o f the

s m a l l t e t r a h e d r o n , i t i s e a s y to s h o w that T i s a l i n e a r , h o m o g e n e o u s

nfu n c t io n of V :

T = <r V n ns (1)

cr i s s y m m e t r i c in n and s and d e p e n d s o n l y on the c o o r d i n a t e s ns

a t the poin t; i t i s a t e n s o r o f ran k tw o , and i t i s c a l l e d the s t r e s s t e n -

2s o r . It h a s N c o m p o n e n t s , w h e r e N i s the n u m b e r of c o o r d i n a t e s . In

t h r e e d i m e n s i o n a l s p a c e , the s t a t e o f s t r e s s w i t h i n an i n f i n i t e s i m a l

s m a l l v o l u m e e l e m e n t i s thus c o m p l e t e l y d e f i n e d b y the s p e c i f i c a t i o n

2of 3 = 9 q u a n t i t i e s , the c o m p o n e n t s o f the s t r e s s t e n s o r .

In C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s (x, y , z) th e c o m p o n e n t s o f th e s t r e s s

t e n s o r a r e

jcr t tx x x y x z

a = < t a tn s \ y x y y y z

\

( 2 )

T Uz x z y z z

The e q u a t i o n s o f m o t i o n of th e e l e m e n t c a n be d e r i v e d (3, 4).

L e t F , be the b o d y f o r c e v e c t o r p e r unit o f m a s s ; the f o r c e a c t

i n g on th e e l e m e n t o f v o l u m e dV i s the F . p d V , w h e r e p i s the d e n s i t y

of the m e d i u m . If a i s th e a c c e l e r a t i o n v e c t o r th e n , i t c a n b e s h o w ni

that

cr + p F = pa (3)ij - J i i

w h e r e cr i s the c o v a r i a n t d e r i v a t i v e o f the s t r e s s t e n s o r <r.. (3).i j . j iJ “

E q u a t io n s 1 and 3 s p e c i f y the s t a t e of s t r e s s a t a po in t in a

body.

In the p r e c e d i n g r e m a r k s c o n c e r n i n g the a n a l y s i s o f s t r e s s ,

n o th in g w a s s a i d in r e g a r d to the m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f the s t r e s s e d

b od y o r m e d i u m ; i t i s p e r f e c t l y g e n e r a l and a p p l i e s to a l l kind o f b o d i e s .

E q u a t i o n s 3 c a n be r e d u c e d to t h r e e in d e p e n d e n t e q u a t io n s w i t h s i x

u n k n o w n s (the c o m p o n e n t s o f the s y m m e t r i c s t r e s s t e n s o r ) . T h u s ,

th e y f o r m a " s t a t i c a l l y i n d e t e r m i n a t e " s y s t e m . In o r d e r to s p e c i f y

u n a m b i g u o u s l y th e s t a t e o f s t r e s s in a b o d y , u s e h a s to be m a d e of

the d e f o r m a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s of the s t r e s s e d body-

S t r a in

F o r the d e f i n i t i o n o f d e f o r m a t i o n or d i s p l a c e m e n t tw o p o s i t i o n s

o f the m a t e r i a l b o d y , o n e i n i t i a l and o n e t e r m i n a l , m u s t be c o n s i d e r e d .

T h e r e a r e tw o m o d e s o f d e f i n i t i o n of th e d e f o r m a t i o n o f a c o n t in u o u s

10

m e d i u m . In L a g r a n g i a n c o o r d i n a t e s the i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s a r e th e

p o s i t i o n s x . o f the m a s s p o i n t s in th e u n s t r a i n e d s t a t e ; th e d e r i v a t i v e s

o f the d i s p l a c e m e n t s a r e d e t e r m i n e d a t t h e s e p o s i t i o n s . In E u l e r i a n

c o o r d i n a t e s th e in d e p e n d e n t v a r i a b l e s a r e t h e d i s p l a c e m e n t u ̂ w h i c h

d e f in e th e p o s i t i o n s o f t h e p o in t s in th e d e f o r m e d s t a t e , and the d e r i v a

t i v e s a r e d e t e r m i n e d at the p o s i t i o n s (x + u )• W hen the d i s p l a c e m e n t s1 1

a r e s o s m a l l that p r o d u c t s o f d e r i v a t i v e s c a n b e n e g l e c t e d , th e d i f f e r

e n c e b e t w e e n t h e s e tw o m o d e s o f d e f i n i n g s t r a i n v a n i s h e s . It i s c o n

v e n i e n t to r e s t r i c t the a n a l y s i s o f s t r a i n to i n f i n i t e s i m a l s t r a i n , b e

c a u s e th e e q u a t io n s for i n f i n i t e s i m a l s t r a i n a r e l i n e a r , an d thus t h e y

p e r m i t the a p p l i c a t i o n o f the p r i n c i p l e o f s u p e r p o s i t i o n o f e f f e c t s .

It c a n be s h o w n (2 ̂ _3, 9) th a t the i n f i n i t e s i m a l s t r a i n t e n s o r

c a n b e d e f i n e d a s

. 9u. 9u.*=.. = 7 b r - 1 + j - 1 ) Wi i 2 dx . dx,

J i

w h e r e

e . . = s t r a i n t e n s o rij

u. = d i s p l a c e m e n t v e c t o rl

x = c a r t e s i a n c o o r d i n a t e i

T he d e f i n i t i o n in e q u a t io n 4 a p p l i e s o n l y to i n f i n i t e s i m a l s t r a i n

e x p r e s s e d in c a r t e s i a n c o o r d i n a t e s . F o r m o r e g e n e r a l e x p r e s s i o n s ,

s e e r e f e r e n c e s (2, 3, 9).

11

In m a t r i x f o r m

! e e ex x x y x z

i

e . = , e e e (5)ij y x y y y z (

\

e e ez x z y z z

In o r d e r to p r o g r e s s f u r t h e r in th e s t u d y o f r h e o lo g y » p a r t i c u

l a r r e l a t i o n s m u s t b e a s s u m e d b e t w e e n the s t r e s s and s t r a i n t e n s o r s .

T h is i s d o n e in the n e x t s e c t i o n .

T he R h e o l o g i c a l E q u a t i o n s

The r h e o l o g i c a l b e h a v i o r o f a m a t e r i a l o r r h e o l o g i c a l e q u a t io n

of s t a t e i s g i v e n by an e q u a t io n o f the ty p e

= 0 ( 6 )R e . a . . ij ij

w h e r e R i s c a l l e d th e r h e o l o g i c a l fu n c t ion . R e i n e r (5) h a s d i s c u s s e d

s p e c i a l f o r m s of e q u a t io n 6,

e . . - 0 (7)ij

and

. s 0 (8)ij

E q u a t io n 8 he d i s m i s s e s a s i m p r a c t i c a l , but e q u a t io n 7 c o r r e s

p on d s to th e b e h a v i o r of a r ig id b o d y o f c l a s s i c a l m e c h a n i c s that

R e i n e r c a l l s a n " E u c l i d e a n " b o d y . He a l s o d i s c u s s e s the m a t e r i a l

12

w h o s e b e h a v i o r i s o p p o s i t e th a t o f th e r ig id body; i- e. , a m a t e r i a l that

c a n b e d e f o r m e d w i t h i n f in i t e e a s e . T h is m a t e r i a l w i l l h a v e n o r e s i s t

a n c e w h a t s o e v e r to the a p p l i c a t i o n o f s h e a r s t r e s s e s , bu t i f the m a

t e r i a l i s s u b j e c t e d to e q u a l p r e s s u r e f r o m a l l s i d e s i t w i l l r e s i s t . The

s t a t e o f s t r e s s on an e l e m e n t o f the b od y i s

1 0 o'*

cr = - p ^ O 1 0

0 0

(9)

w h e re

cr = a = o Z _ P a n d t - t - t = 0 .x x y y z z x y x z y z

If th e u n i f o r m p r e s s u r e p d o e s not c h a n g e the v o l u m e o f the

b o d y , th e m a t e r i a l i s i n c o m p r e s s i b l e . It c o r r e s p o n d s to the i d e a l

l iq u id s t u d i e s in h y d r o d y n a m i c s . ( S e e , f o r e x a m p l e , L a m b (7). ) T h is

l iq u id h a s b e e n c a l l e d th e 11 P a s c a l i a n ,: l iq u id by R e i n e r

E l a s t i c i t y

A v e r y s i m p l e f o r m o f th e r h e o l o g i c a l e q u a t io n r e s u l t s w h e n a

l i n e a r r e l a t i o n i s a s s u m e d to e x i s t b e t w e e n the c o m p o n e n t s of th e

s t r e s s t e n s o r an d the c o m p o n e n t s o f th e s t r a i n t e n s o r -

In t e n s o r n o t a t io n the l i n e a r r e l a t i o n i s g i v e n b y

„km . . . .cr. . = C .. e, (10)

ij ij km

w h e r e a r e c o n s t a n t s -ij

E q u a t io n 10 i s a m a t h e m a t i c a l e x p r e s s i o n o f l i n e a r i t y b e t w e e n

c o m p o n e n t s o f s t r e s s and c o m p o n e n t s o f s t r a i n and c o n s t i t u t e the s o -

c a l l e d " g e n e r a l i z e d H o o k e ' s Law" f o r an a n i s o t r o p i c m a t e r i a l . The

81 c o n s t a n t s C . a r e c a l l e d m o d u l i o f e l a s t i c i t y , ij

It c a n b e s h o w n ( L o v e , r e f e r e n c e th a t the e x i s t e n c e o f a

s t r a i n e n e r g y fu n c t io n r e q u i r e s a s y m m e t r y o f t h e s e c o e f f i c i e n t s , and

th u s , the n u m b e r o f c o n s t a n t s r e d u c e s to Z \ ■ F i n a l l y , fo r an h o m o

g e n e o u s and i s o t r o p i c m a t e r i a l , the n u m b e r o f in d e p e n d e n t c o n s t a n t s

r e d u c e s to Z.

i s c a l l e d the c u b i c a l d i l a t a t i o n and

6 i s th e K r o n e c k e r d e l ta .ij

R e s o l u t i o n o f T e n s o r s

The s t r a i n t e n s o r c a n b e d i v i d e d in to a v o l u m e t r i c c h a n g e w i t h

out d i s t o r t i o n , e , and in a c h a n g e in s h a p e at c o n s t a n t v o l u m e , e' .

F o r d e t a i l s , s e e A p p e n d ix I.

o Z lie + X. A 6 . ,ij H

( 1 1 )

w h e r e p, X. a r e c a l l e d L a m e ' s c o n s t a n t s of e l a s t i c i t y ,

A = e ( 1 2 )

S i m i l a r l y , the s t r e s s t e n s o r c a n be d i v i d e d in to a v o l u m e t r i c

o r i s o t r o p i c c o m p o n e n t , a ^ , and a d e v i a t o r i c c o m p o n e n t crl̂ - .

v ij 3 kk ij<14)

cr! . = o . . - - <j 6. , ij ij 3 kk ij

It h a s b e e n found c o n v e n i e n t in r h e o l o g i c a l s t u d i e s (j>, 6, 8) to

s e p a r a t e th e s t r e s s and s t r a i n t e n s o r s in to i t s d e v i a t o r i c and i s o t r o p i c

c o m p o n e n t s a n d to s t u d y t h e m s e p a r a t e l y .

H o o k e ’s L aw f o r a n i s o t r o p i c , h o m o g e n e o u s m a t e r i a l e x p r e s s e d

in t e r m s o f the d e v i a t o r i c and v o l u m e t r i c c o m p o n e n t s o f the s t r e s s and

s t r a i n t e n s o r s c a n be e x p r e s s e d a s f o l l o w s

<o ). . = K(e ) . .v ij v ij

(o ' ) . . = Z G (e ') . .ij IJ

(15)

w h e r e

K = b u lk m o d u l u s o f e l a s t i c i t y

G = s h e a r m o d u l u s o f e l a s t i c i t y

T h e c o n s t a n t s K an d G h a v e b e e n c o n s i d e r e d to b e the f u n d a

m e n t a l c o n s t a n t s o f e l a s t i c i t y ( R e i n e r a n d F r e u d e n t h a l , R e f e r e n c e s EL

6). A l l the o t h e r c o n s t a n t s a r e " d e r iv e d " c o n s t a n t s . T a b l e 1 g i v e s

th e r e l a t i o n b e t w e e n L a m e ' s c o n s t a n t s X, p , th e f u n d a m e n t a l c o n s t a n t s ,

K, G, an d the d e r i v e d c o n s t a n t s E , v.

15

T A B L E 1

R E L A T I O N B E T W E E N T H E E L A S T I C C O N S T A N T S

C o n s t a n t \ , \x K, ii h1. v E , v E, n

L a m e ’s C o n s t a n t X

\ v 2 K - ~ H-v E f ( E - 2^)

1 - Z v {1+VX1-2V1) 3fi - E

L a m e ' s C o n s t a n t FF = G

S h e a r M o d u lu sH- H- 2 + Zv V

B u lk M od u lu s K

3X +Z\ iK

2 jjl( 1 + w) E E^l

3 3 { l - 2 v ) 3 { l - 2 v ) 3 (3fj. - E)

Y o u n g 's M od u lu s E

(3 X +2^)X. + jjl ^

9Kja3K+n

2(l+v)p. E E

P o i s s o n ' s R at ioV

\ 3K-2p.2(X +f ) 6K+2^ V V

16

V i s c o s i t y

Up to n o w o n l y T h e o l o g i c a l e q u a t i o n s d e p e n d e n t on s t r e s s e s

an d s t r a i n s h a v e b e e n c o n s i d e r e d . F o r c e r t a i n k in d s o f m a t e r i a l s ,

th e r h e o l o g i c a l b e h a v i o r i s no t o n ly d e p e n d e n t upon s t r e s s e s and

s t r a i n s but a l s o upon the r a t e of s t r a i n a n d the ra te a t w h i c h s t r e s s e s

a r e p r o d u c e d . In a n a l o g y w i t h e l a s t i c b o d i e s (9h the r a t e o f d e f o r

m a t i o n t e n s o r c a n be d e f i n e d a s

d e . . 8 v. 8 v.-iL = e. . = d, . = 4 ( — ^ + (16)

dt ij ij 2 8 x . 8x,J J i

w h e re

d . , = r a t e o f d e f o r m a t i o n t e n s o rij

v. = v e l o c i t y v e c t o rl

x = C a r t e s i a n c o o r d i n a t e i

T he m o s t g e n e r a l f o r m o f a l i n e a r r e l a t i o n b e t w e e n the c o m p o n e n t s

o f th e s t r e s s t e n s o r and th e c o m p o n e n t s o f the ra te o f d e f o r m a t i o n

t e n s o r i s

klo . . = B K1 di , (17)

ij ij kl

klw h e r e B . . a r e 81 " v i s c o s i t y " c o n s t a n t s . F o r h o m o g e n e o u s , i s o t r o p i c

l i q u i d s , u s i n g the s a m e a r g u m e n t a s b e f o r e

a . , = 2Tid.. + \ * 6 d. . (18)U ij ij ij

w h e r e “H, X * a r e c o e f f i c i e n t s o f v i s c o s i t y o f the fluid.

17

S e p a r a t i n g the s t r e s s t e n s o r and the r a t e o f d e f o r m a t i o n t e n s o r

in to i t s i s o t r o p i c a n d d e v i a t o r i c c o m p o n e n t s

(u ) .. = ~ ‘C , 6 . . = n <d )• •v ij 3 kk ij v v ij

o-'. = 2r|d'1J u

w h e r e

r| = c o e f f i c i e n t o f v o l u m e v i s c o s i t y v

r| = c o e f f i c i e n t o f s h e a r v i s c o s i t y

V i s c o e l a s t i c B o d i e s

(19)

C e r t a i n b o d i e s h a v e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s th a t ca n b e a p p r o x i

m a t e d b y a c o m b i n a t i o n o f the i d e a l b e h a v i o r o f th e e l a s t i c b o d y and

the v i s c o u s flu id . S e v e r a l v i s c o e l a s t i c b o d i e s a r e d i s c u s s e d in A p

p e n d ix II.

T he v i s c o e l a s t i c b o d y w a s o r i g i n a l l y p r o p o s e d by J a m e s C.

M a x w e l l in h i s f a m o u s p a p e r "On the D y n a m i c a l T h e o r y o f G a s e s "

( 10). U s i n g h i s o w n w o r d s :

A d i s t o r t i o n o r s t r a i n of s o m e kind w h i c h w e m a y c a l l e i s p r o d u c e d in th e b o d y by d i s p l a c e m e n t . A s t a t e o f s t r e s s o r e l a s t i c f o r c e , w h i c h w e m a y c a l l <r, i s thus e x c i t e d . The r e l a t i o n b e t w e e n th e s t r e s s an d the s t r a i n m a y b e w r i t t e n <x = Ee, w h e r e E i s the c o e f f i c i e n t g f e l a s t i c i t y fo r th a t p a r t i c u l a r kind o f s t r a in . In a s o l i d b o d y f r e e f r o m v i s c o s i t y , a w i l l r e m a i n = E e and d a / d t = E d e /d t . If, h o w e v e r , the b o d y i s v i s c o u s , tr

18

w i l l not r e m a i n c o n s t a n t , but w i l l t e n d to d i s a p p e a r a t a ra te d e p e n d in g on the v a l u e of cr, an d on the n a t u r e o f the body. If w e s u p p o s e t h i s r a te p r o p o r t i o n a l to cr, the eq u a t io n m a y b e w r i t t e n

dcr _ „ _dedt dt " T

w h i c h w i l l i n d i c a t e the a c t u a l p h e n o m e n a in an e m p i r i c a l m a n n e r . F o r i f e be c o n s t a n t

- t / T cr - a e .

s h o w in g the cr g r a d u a l l y d i s a p p e a r s .

M a x w e l l s u g g e s t e d the d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n g i v e n a b o v e to r e

p r e s e n t the p r o p e r t i e s o f s o f t m a t e r i a l s , s u c h a s p itch . He o b s e r v e d

that f o r the a p p l i c a t i o n o f a lo a d o f v e r y s h o r t d u r a t i o n , t h e s e m a t e r

i a l s c o u l d be c o n s i d e r e d a s p e r f e c t l y e l a s t i c b o d i e s , but th a t e v e n the

s m a l l e s t load , w h e n a p p l i e d for a n e x t e n d e d l e n g t h o f t i m e , w o u l d

c a u s e f lo w to take p l a c e , the m a t e r i a l th en b e h a v i n g l ik e a v i s c o u s

l iq u id .

It m u s t be p o in t e d out th at the b e h a v i o r r e p r e s e n t e d b y c o m

b i n a t i o n s of e l a s t i c an d v i s c o u s b o d i e s , a p p l i e s o n l y to c o m p o n e n t s

of s t r e s s and c o m p o n e n t s o f s t r a i n and not to th e s t r e s s and s t r a i n

t e n s o r s . T h u s , th e e q u a t io n s d i s c u s s e d in the f o l l o w i n g p a r a g r a p h s

a r e g i v e n in t e r m s o f c o m p o n e n t s o f s t r e s s (cr, t ) and c o m p o n e n t s of

s t r a i n (e,

R h e o l o g i c a l M o d e l s

A c o n v e n i e n t w a y to r e p r e s e n t v i s c o e l a s t i c b e h a v i o r i s by the

s o - c a l l e d r h e o l o g i c a l m o d e l s ( s e e R e f e r e n c e s 5, 6, 11, 12). If e l a s

t i c b e h a v i o r i s r e p r e s e n t e d b y a s p r i n g (cr = Ec ) and v i s c o u s b e h a v i o r

w a y s , a v a r i e t y o f v i s c o e l a s t i c b e h a v i o r b e h a v i o r c a n be r e p r e s e n t e d

( s e e A p p e n d ix II). S u p p o s e that two e l e m e n t s a r e j o i n e d in s e r i e s .

T h en , th e s t r e s s i s th e s a m e in both e l e m e n t s and the s t r a i n i s the

T h is i s the s a m e e q u a t io n p r o p o s e d by M a x w e l l .

The v i s c o e l a s t i c b o d y d e s c r i b e d by e q u a t io n 21 h a s b e e n c a l l e d

a " M a x w e l l l iq u id . " S o m e a u t h o r s (N ada i , R e f e r e n c e ii, p. 4 2 1 ) h a v e

o b j e c t e d to the t e r m i n o l o g y i n t r o d u c e d by r h e o l o g i s t s ( R e i n e r , R e f e r

e n c e 5) and to th e a s s o c i a t i o n o f the n a m e s o f c e r t a i n i n v e s t i g a t o r s

w i t h m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f m a t e r i a l s (H o o k e s o l i d , N e w t o n l iq u id ,

M a x w e l l l iq u id , e tc . ).

by a d a s h p o t (cr = "He), th en by c o m b i n i n g both e l e m e n t s in d i f f e r e n t

s i m p l e a d d i t io n o f th e s t r a i n on e a c h e l e m e n t !

ededt E T|

cr cr — + — (2 0 )

r e l a x a t i o n t i m e , r a t i o o f v i s c o s i t y to e l a s t i c c o n s t a n t , the

e q u a t io n c a n b e r e w r i t t e d

cr (21 )

20

T h is w r i t e r a g r e e s w i t h D r . N a d a i ' s o b j e c t i o n s , but b e c a u s e

of th e l a c k o f p r o p e r t e r m i n o l o g y in the f i e l d o f m e c h a n i c s o f m a t e r

i a l s , th e n o m e n c l a t u r e s u g g e s t e d by R e i n e r and o t h e r s w i l l b e u s e d

h e r e .

O p e r a t o r E q u a t io n s

A n o t h e r c o n v e n i e n t w a y to r e p r e s e n t s t r e s s - s t r a i n - t i m e r e l a

t i o n s i s b y m e a n s o f the s o - c a l l e d “o p e r a t o r e q u a t i o n s . t: T h e s e e q u a

t io n s a r e o f th e fo rm !

n ~n m „ mo o o e

2 A n -------- = 2 B m ----- - (22)n=o 9 tn m = o 9 tm

T h e y h a v e b e e n d i s c u s s e d e x t e n s i v e l y m the l i t e r a t u r e ( s e e S c h i f m a n ,

1 1 ). A c t u a l l y , the o p e r a t o r and m o d e l r e p r e s e n t a t i o n s a r e e q u i v a l e n t ,

and in t h e o r y it i s a l w a y s p o s s i b l e to go f r o m o n e f o r m to the o th er .

A s an e x a m p l e , the M a x w e l l v i s c o e l a s t i c b od y h a s an e q u a t io n

o f the f o r m

E dt ET ~ at

The c o r r e s p o n d i n g c o n s t a n t s in the o p e r a t o r e q u a t io n a r e

A _ 1 • A _ 1 - 11 E ’ o ‘ E T q

M e c h a n i c a l P r o p e r t i e s -, T e s t s

The m e c h a n i c a l b e h a v i o r o f r e a l m a t e r i a l s c a n be a p p r o x i

m a t e d b y the s o - c a l l e d v i s c o e l a s t i c b o d i e s o r v i s c o e l a s t i c o p e r a t o r s .

21

It i s i m p o r t a n t to d i s c u s s n o w the v a r i o u s p r o c e d u r e s a v a i l a b l e to

s t u d y the m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f m a t e r i a l s . :

T h e c h o i c e o f m e t h o d o r m e t h o d s o f t e s t to b e u s e d for a p a r

t i c u l a r m a t e r i a l d e p e n d p r i m a r i l y on the s t r u c t u r e and c o n s i s t e n c y o f

th e m a t e r i a l and i t s u s e o r in t e n d e d p u r p o s e . But th e p r i n c i p l e s i n

v o l v e d in t e s t i n g a r e g e n e r a l l y the s a m e fo r a l l m a t e r i a l s . F o u r

d i f f e r e n t c a s e s c a n be d i s t i n g u i s h e d :

1) A c o n s t a n t l o a d (or a c o n s t a n t s t r e s s ) i s a p p l i e d to a s a m p l e

o f m a t e r i a l . The d e f o r m a t i o n i s o b s e r v e d a s a f u n c t io n o f t i m e . T h i s

i s the s o - c a l l e d c r e e p t e s t . R e s p o n s e to c r e e p o f s e v e r a l v i s c o e l a s t i c

m o d e l s i s g i v e n in R e f e r e n c e 1 1 .

2) A c o n s t a n t d e f o r m a t i o n ( s t r a in ) i s a p p l i e d s u d d e n l y to the

m a t e r i a l . The l o a d (or s t r e s s ) n e c e s s a r y to k e e p the d e f o r m a t i o n

c o n s t a n t i s r e c o r d e d a s a f u n c t io n of t i m e ( R e l a x a t i o n T e s t - - R e f e r

e n c e 11 g i v e s r e l a x a t i o n r e s p o n s e of s e v e r a l v i s c o e l a s t i c b o d i e s ) .

3) A c o n s t a n t r a t e of d e f o r m a t i o n i s a p p l i e d to a m a t e r i a l : the

s t r e s s and s t r a i n c h a n g e w i t h t i m e ( s t r e s s - s t r a i n c u r v e ) . Or a c o n

s ta n t s t r e s s r a t e i s a p p l i e d , the s t r a i n and s t r e s s c h a n g e w i th t i m e .

4) A s t r e s s v a r y i n g s i n u s o i d a l l y w i t h t i m e i s a p p l i e d to a body .

T he s t r a i n a l s o c h a n g e s w i t h t i m e , n o t n e c e s s a r i l y s in u s o id a l ly ' , o r ,

th e s t r a i n i s a p p l i e d v a r y i n g s i n u s o i d a l l y , an d the s t r e s s i s o b s e r v e d

22

a s a f u n c t io n o f t i m e . T h is m e t h o d h a s b e e n c a l l e d the " d y n a m ic "

t e s t , b e c a u s e g e n e r a l l y th e s t r e s s i s a p p l i e d by m e a n s o f s o m e s o r t

o f e l e c t r i c a l o r m e c h a n i c a l v i b r a t o r w h i c h p r o d u c e s m e c h a n i c a l v i

b r a t i o n in the s p e c i m e n .

A d e s c r i p t i o n of s e v e r a l t e s t m e t h o d s u s e d in i n d u s t r y c a n be

found in D r . H e t e n y i ' s b o o k (13). In S o i l M e c h a n i c s , t e s t o f t y p e s 1

an d 3 h a v e b e e n w i d e l y u s e d ; th e c o n s o l i d a t i o n t e s t d e v i s e d b y T e r z -

a g h i i s a t y p i c a l c r e e p t e s t in w h i c h a c o n s t a n t l o a d i s a p p l i e d to a

s p e c i m e n and th e d e f o r m a t i o n o b s e r v e d w i th t i m e .

C r e e p t e s t w i l l be g i v e n m o r e a t t en t io n h e r e . D e s c r i p t i o n o f

o t h e r t y p e s o f t e s t s c a n be found in R e f e r e n c e s jj, 13, 14.

C r e e p B e h a v i o r and C r e e p T e s t s

In a m a t e r i a l that e x h i b i t s v i s c o e l a s t i c b e h a v i o r , th e a p p l i c a

t io n o f a c o n s t a n t lo a d p r o d u c e s a d e f o r m a t i o n w h i c h i s not c o n s t a n t

but w h i c h i n c r e a s e s g r a d u a l l y w i th t i m e . Such b e h a v i o r h a s b e e n

o f t e n d e s c r i b e d a s " c r e e p , " " p l a s t i c i t y , " or " f low. " If the l o a d i s

r e m o v e d , the s p e c i m e n d o e s no t r e t u r n i m m e d i a t e l y to i t s o r i g i n a l

s t a t e o f d e f o r m a t i o n ; i t i s found that the s p e c i m e n h a s t a k e n a s e t o r

r e s i d u a l d e f o r m a t i o n w h i c h , in m a n y c a s e s , w i l l d i s a p p e a r w i th t i m e .

A s t a n d a r d c r e e p t e s t in s h e a r c a n be d e s c r i b e d , w i t h the a id

o f F i g u r e 2, a s f o l l o w s :

A s a m p l e o f m a t e r i a l i s s u b j e c t e d to a c o n s t a n t s t r e s s r d u r in g a

p e r i o d o f t i m e t, a f t e r w h i c h the s t r e s s i s ta k e n a w a y . The m a g n i t u d e

23

o f the d e f o r m a t i o n i s o b s e r v e d a s a f u n c t io n of t i m e

1) d u r in g th e p e r i o d , 0 t t

2 ) a f t e r th e p e r i o d , t > t

T he f o l l o w i n g q u a n t i t i e s a r e o f p a r t i c u l a r i m p o r t a n c e :

a) The m a g n i t u d e o f the d e f o r m a t i o n at th e en d o f the p e r i o d ,

o r to t a l d e f o r m a t i o n \

b) The m a g n i t u d e of th e d e f o r m a t i o n p r e s e n t a lo n g t i m e a f t e r

the s t r e s s i s t a k e n a w a y , or p e r m a n e n t d e f o r m a t i o n , y

c ) The i n s t a n t a n e o u s m a g n i t u d e o f the d e f o r m a t i o n , p r e s e n t

i m m e d i a t e l y a f t e r l o a d i n g an d i m m e d i a t e l y a f t e r u n lo a d in g , w h i c h i s

c a l l e d the e l a s t i c d e f o r m a t i o n , y „ . F i g u r e 2 s h o w s in g r a p h i c a l f o r mJLt

a t y p i c a l r e s u l t o f a c r e e p t e s t .

A t a n y t i m e t < to

y T = y E + ^ p ( t * + YR (t> (Z4)

It c a n be s e e n that \ D (t) i s a d e f o r m a t i o n th a t i s r e c o v e r e dR

T

T he e l a s t i c d e f o r m a t i o n i s p r o p o r t i o n a l to the s t r e s s y = — ; the

w i t h t i m e . It h a s b e e n c a l l e d a " t i m e d e p e n d e n t e l a s t i c d e f o r m a t i o n - "T

ofE “ E

T tp e r m a n e n t d e f o r m a t i o n i s l i n e a r l y p r o p o r t i o n a l w i t h t i m e V^tt) = — ~ ■

R e w r i t i n g e q u a t i o n 24 the d e f o r m a t i o n a t a n y t i m e t < t w i l l b e g iv e n

b y

\ { t ) = t + ^ ( t ) ] (25)O I . T|

w h e r e ^ t ) i s c a l l e d the c r e e p f u n c t io n , and T ^ { t ) = \ D (t).R

Shea

r D

efor

mat

ion

Y Sh

ear

Stre

ss

T

24

Time t

" ' T ' "Instantaneous

Delayed

Time t

STANDARD EXPERIMENT

Fig. 2. - Standard creep test.

The t h r e e d e f o r m a t i o n s n e e d not a l w a y s b e p r e s e n t . In s o m e

m a t e r i a l s , i f the a p p l i e d s t r e s s e s do not p r o d u c e c e r t a i n c h a n g e s

w i t h i n t h e m a t e r i a l , th e to t a l d e f o r m a t i o n i s r e c o v e r e d w i t h t i m e . In

o t h e r w o r d s , v = o and e q u a t io n 28 r e d u c e s to P

VT = VE + V R . <26)

In s o m e m a t e r i a l s , th e p e r m a n e n t d e f o r m a t i o n c a n be m a d e to

d i s a p p e a r , w i th the a p p l i c a t i o n o f r e p e a t e d l o a d s ; t h i s b e h a v i o r h a s

b e e n found in s e v e r a l t e x t i l e f i b e r s , and w a s c a l l e d by L e a d e r m a n ( 1 5 )

" m e c h a n i c a l c o n d i t io n in g . "

C r e e p f r o m R h e o l o g i c a l M o d e l s

T he r h e o l o g i c a l m o d e l s ( R e f e r e n c e s J_l_, 1 2 , and A p p e n d i x II)

p r o v i d e a c o n v e n i e n t f r a m e w o r k to s t u d y the t i m e - d e p e n d e n t d e f o r m a

t io n o f c e r t a i n m a t e r i a l s . F o r e x a m p l e , th e K e l v i n b o d y ( fo r a d e f i

n i t i o n s e e A p p e n d i x II) h a s th e f o l l o w i n g r e s p o n s e u n d e r a c o n s t a n t

s t r e s s , a° t

t K (t) = ^ (1 7 e n ) (27)

The b o u n d a r y c o n d i t i o n s fo r e a r eK

26

It c a n be s e e n th a t the K e l v i n b o d y r e p r e s e n t s a s o l i d b o d y ,

b e c a u s e th e t i m e - d e p e n d e n t d e f o r m a t i o n r e a c h e s a l i m i t fo r v e r y

g r e a t v a l u e s o f t i m e , i . e. , t h e r e i s n o f lo w . F u r t h e r m o r e , the K e l

v in b o d y i s a n e l a s t i c s o l i d b e c a u s e i t r e c o v e r s th e o r i g i n a l d e f o r m a

t io n a f t e r r e m o v a l o f the lo a d . A c t u a l l y , th e d e f o r m a t i o n i s r e c o v e r e d

c o m p l e t e l y o n ly a f t e r i n f i n i t e t i m e ; th e e l a s t i c i t y o f the K e l v i n b o d y i s

t h e n o f a d e l a y e d o r r e t a r d e d n a t u r e .

T he c o n s t a n t h a s d i m e n s i o n s o f t i m e ; i t h a s b e e n c a l l e d

(5) the " r e t a r d a t i o n " t i m e . T he c o n s t a n t s T^ an d d e f i n e c o m p l e t e

l y the K e l v i n body .

The M a x w e l l b o d y ( fo r a d e f i n i t i o n s e e A p p e n d i x II) h a s th e f o l

lo w i n g r e s p o n s e u n d e r a c o n s t a n t s t r e s s , v

T h e M a x w e l l b o d y d e s c r i b e s th e b e h a v i o r o f a l iq u id m a t e r i a l ,

b e c a u s e th e t i m e - d e p e n d e n t d e f o r m a t i o n i n c r e a s e s w i t h o u t l i m i t , and

i t i s no t r e c o v e r e d a f t e r r e m o v a l o f s t r e s s . T he M a x w e l l b o d y e x

h i b i t s a l s o the p h e n o m e n a o f s t r e s s r e l a x a t i o n d e s c r i b e d b e f o r e . The

c o n s t a n t s T^ and E^ d e f i n e c o m p l e t e l y t h e M a x w e l l body; T^ h a s b e e n

c a l l e d th e " r e l a x a t i o n " t i m e (5).

27

The c o m b i n a t i o n in s e r i e s o f a M a x w e l l a n d K e l v i n b od y p r o

d u c e s a n e w r h e o l o g i c a l m o d e l , w h i c h h a s b e e n n a m e d the B u r g e r

m o d e l ( s e e A p p e n d i x II). The r e s p o n s e o f th e B u r g e r body u n d e r c o n

s t a n t s t r e s s cr i s° t _

£ t = e k + e m = " o [ ^ + T + l ^ < 1 - e T » ] < 2 9 >

F o l l o w i n g th e s t a t e d n o m e n c l a t u r e , i t c a n be s e e n th a t the B u r g e r

m o d e l e x h i b i t s a l l t h r e e t y p e s of d e f o r m a t i o n d e s c r i b e d in F i g u r e 2cr

oee = e 2

cr t oc.

pt t

£ = (1 - e ^1 ) w i th ^Ct) = -=!- {1 - e ^1 )R Ej Ej

If s e v e r a l K e l v i n m o d e l s a r e jo in ed in s e r i e s , t h e n th e to ta l s t r a i n i s

e q u a l to the s u m m a t i o n o f a l l the in d iv id u a l s t r a i n s o f e a c h m o d e l .

n —^ = * ( t ) = 2 ^ (1 - e Tn ) (30)cr J n̂

If an i n f i n i t e n u m b e r o f K e l v i n e l e m e n t s a r e j o i n e d in s e r i e s , the to t a l

d e f o r m a t i o n i s e q u a l to

t_

= M t ) = / ° ° A F (u>) (1 - e W)duj (31)o

w h e r e A i s a c o n s t a n t an d F(co) i s the d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n of the

r e t a r d a t i o n t i m e s .

28

S e v e r a l e q u a t io n s h a v e b e e n p r o p o s e d a t o n e t i m e o r a n o t h e r t o

r e p r e s e n t th e t i m e - d e p e n d e n t d e f o r m a t i o n o f r e a l m a t e r i a l s ( s e e L ead -

e r m a n , R e f e r e n c e 1 5 ). T h e s e e m p i r i c a l e q u a t i o n s a r e g e n e r a l l y e x

p o n e n t ia l , l o g a r i t h m i c , and p o l y n o m i a l in typ e . T h e m o d e l o r o p e r a t o r

e q u a t io n s a r e g e n e r a l l y l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s . T h e l a t t e r f o r m

i s p r e f e r a b l e for r e a s o n s p r e s e n t e d in the n e x t s e c t i o n .

V i s c o e l a s t i c S t r e s s A n a l y s i s

F o r a l i n e a r v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l , w h i c h o b e y s t h e p r i n c i p l e

o f s u p e r p o s i t i o n , and th at h a s a s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p e x p r e s s i b l e

in t e r m s o f a l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t io n w i th r e s p e c t to t i m e ( o p e r

a t o r e q u a t i o n s o r r h e o l o g i c a l m o d e l s ) th en u n d e r c e r t a i n c i r c u m s t a n c e s

th e s t r e s s and d e f o r m a t i o n a n a l y s i s o f a s y s t e m c a n b e t r e a t e d in t e r m s

of the a n a l o g o u s e l a s t i c p r o b l e m h a v i n g the s a m e g e o m e t r y a n d b o u n d

a r y c o n d i t i o n s .

In th e l a s t few y e a r s , s e v e r a l p a p e r s h a v e b e e n p u b l i s h e d d e a l

ing w i th s t r e s s a n a l y s i s in v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l s (2 1 , 2 3 , 2 5 , 2 8 ).

F u r t h e r m o r e , s e v e r a l c o n t r i b u t i o n s h a v e b e e n p r e s e n t e d to t h e a n a l y

s i s o f i n t e r a c t i o n p r o b l e m s in e n g i n e e r i n g , s u c h a s e l a s t i c p l a t e s on

v i s c o e l a s t i c s u b g r a d e s (2 0 , 2 4 , 2 6 ); v i s c o e l a s t i c p l a t e s on v i s c o e l a s

t i c s u b g r a d e s (27); i n f i n i t e b e a m on v i s c o e l a s t i c s u b g r a d e (22) , e tc .

29

V i s c o e l a s t i c b o d i e s o f the K e lv in a n d / o r M a x w e l l type h a v e

b e e n u s e d m o s t l y in the p a p e r s m e n t i o n e d b e f o r e . The m e t h o d o f solur

t io n c o n s i s t s in the a p p l i c a t i o n o f the L a p l a c e t r a n s f o r m to th e v i s c o

e l a s t i c o p e r a t o r ; t h i s r e m o v e s th e t i m e d e p e n d e n c e and c o n v e r t s the

p r o b l e m into a n a s s o c i a t e d e l a s t i c p r o b l e m . O n c e the e l a s t i c p r o b

l e m i s s o l v e d , s t a n d a r d m e t h o d s o f i n v e r s i o n of the L a p l a c e t r a n s f o r m

a r e a p p l ie d (if p o s s i b l e ) , and th is t r a n s f o r m a t i o n i n t r o d u c e s the s t r e s s

e s and d e f l e c t i o n s a s fu n c t io n s o f t i m e .

If v i s c o e l a s t i c s t r e s s a n a l y s i s i s g o in g to be u s e d to s o l v e

c e r t a i n i n t e r a c t i o n p r o b l e m s in s o i l m e c h a n i c s , th en i t i s n e c e s s a r y

to i n v e s t i g a t e the r e s p o n s e o f s o i l s to d i f f e r e n t s t r e s s c o n d i t i o n s and

to r e p r e s e n t th e s t r e s s - s t r a i n t i m e b e h a v i o r b y m e a n s o f o p e r a t o r

e q u a t io n s or r h e o l o g i c a l m o d e l s . V e r y l i t t l e e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e

h a s b e e n p u b l i s h e d d e a l i n g w i th th e d e t e r m i n a t i o n o f v i s c o e l a s t i c

o p e r a t o r s o f s o i l s .

C H A P T E R II

SOIL M E C H A N IC S

P h y s i c a l C o m p o s i t i o n o f S o i l s

S o i l s f o r m a v e r y c o m p l e x s y s t e m , a g i v e n v o l u m e o f s o i l c o n

s i s t i n g o f s o l i d , l iq u id and g a s e o u s m a t e r i a l , c a l l e d p h a s e s . T he

s o l i d p h a s e i s g e n e r a l l y m i n e r a l , a l t h o u g h o r g a n i c m a t t e r in d i f f e r e n t

s t a g e s o f d e c o m p o s i t i o n , a s w e l l a s l i v e o r g a n i s m s , m i g h t b e p r e s e n t .

The m i n e r a l p o r t io n c o n s i s t s o f p a r t i c l e s o f v a r y i n g s i z e s , s h a p e s , and

c h e m i c a l c o m p o s i t i o n . T he l iq u id p h a s e i s g e n e r a l l y w a t e r w h i c h f i l l s

th e o p e n s p a c e s b e t w e e n the s o l i d p a r t i c l e s . F i n a l l y , g a s c a n b e found

e i t h e r d i s s o l v e d in th e l iq u id p h a s e , o r in p a r t l y s a t u r a t e d s o i l s , o c c u

p y in g th e p o r e s p a c e b e t w e e n the s o i l p a r t i c l e s w h i c h i s n o t f i l l e d w i t h

w a t e r .

T he p h y s i c a l an d i h e m i c a l r e l a t i o n s h i p s a m o n g the s o l i d , l iquid ,

and g a s e o u s p h a s e s a r e a f f e c t e d b y t h e i r ow n r e s p e c t i v e p r o p e r t i e s and

by t e m p e r a t u r e and p r e s s u r e .

The f a c t that s o m e o f t h e s e p h y s i c a l f a c t o r s a r e i n t i m a t e l y

c o n n e c t e d w i th th e s t r u c t u r e o f a s o i l m a s s , a n d th a t t h e y a f f e c t n o t

a b l y the m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f s o i l s , h a s b e e n r e c o g n i z e d e v e r

s i n c e the f i r s t s e r i o u s i n v e s t i g a t o r s on s o i l m e c h a n i c s s t a r t e d to

p u b l i s h the r e s u l t s o f t h e i r p i o n e e r w o r k .

A c c o r d i n g to T e r z a g h i (3 1 , 32) , th e f a c t o r s w h i c h c a u s e the

d i f f e r e n c e i n b e h a v i o r b e t w e e n s o i l s c a n be a s s e m b l e d in to t h r e e

g r o u p s : 1) th e f o r c e s a c t i n g a t th e p o i n t s of c o n t a c t b e t w e e n the s o i l

g r a i n s , 2) t h e s t r a i n e f f e c t p r o d u c e d in s o i l s b y e x t e r n a l f o r c e s , an d

3) the e f f e c t o f t i m e on the d e v e l o p m e n t o f s t r a i n s .

One f a c t o r upon w h i c h s o i l b e h a v i o r d e p e n d s i s s i z e o f i n d i

v id u a l g r a i n s , b e c a u s e s i z e u s u a l l y d e t e r m i n e s th e ty p e o f f o r c e s a c t

i n g a t po in t o f c o n t a c t b e t w e e n grains . , an d t h e s e f o r c e s in tu rn d e t e r

m i n e the ty p e o f s o i l s t r u c t u r e o b t a in e d n a t u r a l l y u n d e r p r o c e s s e s o f

s e d i m e n t a t i o n , o r a r t i f i c i a l l y in m a n - m a d e s t r u c t u r e s . A h y p o t h e s i s

on th e s t r u c t u r e o f n a t u r a l s e d i m e n t s h a s b e e n d e s c r i b e d b y C a s a -

g r a n d e (33) a n d by T e r z a g h i (31). T h e y a s s u m e d th a t t h e r e a r e e s

s e n t i a l l y t h r e e f u n d a m e n t a l t y p e s o f s o i l s t r u c t u r e , a c c o r d i n g to the

f o r c e s a c t i n g d u r in g s e d i m e n t a t i o n p r o c e s s e s . T h e s e t h r e e t y p e s o f

s t r u c t u r e s t h e y d e s i g n a t e d a s

1) S i n g l e - g r a i n e d s t r u c t u r e

2) H o n e y c o m b s t r u c t u r e

3) F l o c c u l e n t s t r u c t u r e

A d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e s e s t r u c t u r e s a n d th e f a c t o r s w h i c h

c o n t r i b u t e to t h e i r d e f o r m a t i o n c a n be found in th e l i t e r a t u r e (31, 33 ,

32

S i n g l e - g r a i n e d s t r u c t u r e s a r e c h a r a c t e r i s t i c s t r u c t u r e s o f

sa n d s a n d s i l t m a s s e s ; h o n e y c o m b and f l o c c u l e n t s t r u c t u r e s a r e c h a r

a c t e r i s t i c s t r u c t u r e s o f v e r y f in e c l a y s .

M o r e r e c e n t l y , th e T e r z a g h i and C a s a g r a n d e c o n c e p t s c o n c e r n

in g s o i l s t r u c t u r e h a v e b e e n m o d i f i e d , n o t a b ly b y L a m b e (41 ), Tan (72),

R o s e n q v i s t (73) and o t h e r s . T h e s e n e w c o n c e p t s c l a i m that th e c l a y

m i n e r a l s a r e a r r a n g e d in u n s t a b l e " c a r d h o u s e " s t r u c t u r e s . T an (7 2 )

p r e s e n t e d a s c h e m a t i c p i c t u r e o f a t h r e e - d i m e n s i o n a l c l a y m i n e r a l

n e t w o r k , in w h i c h c o n t a c t s e x i s t b e t w e e n a c o r n e r o f o n e m i n e r a l and

the p l a n e o f the o th er . B y m e a n s o f th e e l e c t r o n m i c r o s c o p e , i t h a s

b e e n s h o w n that s o m e u n d i s t u r b e d m a r i n e c l a y s r e a l l y c o r r e s p o n d to

the c a r d h o u s e s t r u c t u r e s t r u c t u r e s u g g e s t e d b y Tan.

T h e d i f f e r e n c e in s t r u c t u r e b e t w e e n s a n d s an d c l a y s s u g g e s t s

a l o g i c a l d i v i s i o n b e t w e e n the m e c h a n i c a l b e h a v i o r an d p h y s i c a l p r o p

e r t i e s o f s o i l s , and t h e i r g r a i n s i z e and s t r u c t u r e . S a n d s , o r m o r e

g e n e r a l l y , c o h e s i o n l e s s m a t e r i a l s , e x h i b i t a s t r u c t u r e r a n g i n g b e t w e e n

two e x t r e m e l i m i t s : the d e n s e g r a n u l a r and the l o o s e g r a n u l a r s t r u c

tu re . T h e in d iv id u a l s a n d g r a i n s a r e , r e l a t i v e l y s p e a k i n g , s o b ig that

i n t e r m o l e c u l a r f o r c e s ( a t t r a c t i v e a n d r e p u l s i v e ) a r e n e g l i g i b l e in c o m

p a r i s o n w i t h the w e i g h t o f the s i n g l e g r a i n s . T h u s , the m o s t i m p o r t -

and f o r c e a c t i n g b e t w e e n s a n d p a r t i c l e s i s the g r a v i t y f o r c e ; i t s e f f e c t

i s r e p r e s e n t e d b y the f r i c t i o n a l r e s i s t a n c e b e t w e e n g r a i n s .

33

R e l a t i v e d e n s i t y ( for a d e f i n i t i o n s e e p. 2 6 , R e f e r e n c e 3 4 )

a p p e a r s to b e a good i n d e x o f th e p h y s i c a l and m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s

of c o h e s i o n l e s s s o i l s . R e c e n t l y , r e l a t i v e d e n s i t y h a s b e e n c o r r e l a t e d

w ith th e a n g l e of i n t e r n a l f r i c t i o n , fo u n d a t io n s t r e n g t h , p e r m e a b i l i t y ,

and t r i a x i a l s h e a r s t r e n g t h o f s a n d s (3 5 , 3 6 , 3 7 , 3 8 , 3 9 , 4 0 ).

B e c a u s e of the r e l a t i v e s t a b i l i t y o f the g r a n u l a r s t r u c t u r e ,

e x c e s s i v e s e t t l e m e n t s in s a n d s a r e s e l d o m a p r o b l e m , e x c e p t p e r h a p s

w h e n v i b r a t i o n s or s h o c k s a r e a f a c t o r .

In v e r y f i n e - g r a i n e d c o h e s i v e s o i l s , the i n t e r p a r t i c l e f o r c e s

p la y a f u n d a m e n ta l r o l e in e s t a b l i s h i n g th e m e c h a n i c a l b e h a v i o r o f

t h e s e s o i l s . The p o r o u s ( c a r d h o u s e ) s t r u c t u r e s a r e m o r e c o m p r e s s

i b l e th an t h e g r a n u la r s t r u c t u r e a n d m o r e o v e r , du e to the lo w p e r m e

a b i l i t y o f c l a y m a s s e s , the d e f o r m a t i o n of s a t u r a t e d s o i l s u n d e r lo a d

i s v e r y s t r o n g l y t i m e - d e p e n d e n t . F u r t h e r m o r e , c l a y s o i l s w h i c h h a v e

b e e n f o r m e d b y n a tu ra l s e d i m e n t a t i o n in a p e r i o d o f y e a r s o r p e r h a p s

c e n t u r i e s , d e v e l o p a c e r t a i n s t r u c t u r e o r v e r y s t a b l e p a r t i c l e a r r a n g e

m e n t . (Natural , s ta b le c l a y s e x i s t v e r y o f t e n a t m o i s t u r e c o n t e n t s

g r e a t e r th an or equal to the l iq u id l i m i t o f the r e m o l d e d s o i l - ) P r e

s u m a b l y e v e n the b e s t s a m p l i n g t e c h n i q u e u s e d w i l l a f f e c t t h e n a t u r a l

s t r u c t u r e o f a c lay; t h u s , i t i s v e r y d i f f i c u l t to u n d e r t a k e c o m p r e h e n s

i v e l a b o r a t o r y s t u d ie s on u n d i s t u r b e d c l a y s .

34

C o m p a c t e d o r d i s t u r b e d c l a y s h a v e b e e n u s e d r e c e n t l y f o r

l a b o r a t o r y s t u d ie s o f the f u n d a m e n ta l b e h a v i o r o f f i n e - g r a i n e d s o i l s .

L a m b e (41 , 42) s u g g e s t s that t h e r e a r e s o m e f u n d a m e n t a l s i m i l a r i t i e s

b e t w e e n the s t r u c t u r e o f c o m p a c t e d a n d n a t u r a l c l a y s . T h e r e f o r e ,

s t u d i e s on c o m p a c t e d c l a y s c a n i m p r o v e the k n o w l e d g e of p r o p e r t i e s

of n a t u r a l c l a y s . On the o t h e r h an d , c o m p a c t e d c l a y s a r e u s e d e x

t e n s i v e l y in e n g i n e e r i n g s t r u c t u r e s , and t h e i r s t u d y d e s e r v e s th e

a t t e n t i o n o f the i n v e s t i g a t o r s on s o i l m e c h a n i c s .

The c o n c e p t s o f c o l l o i d a l c h e m i s t r y h a v e b e e n u sed r e c e n t l y to

e x p l a i n the c o m p o s i t i o n and b e h a v i o r o f c o m p a c t e d c l a y (4 1 , 4 2 , 4 3 ,

44). T h i s a p p r o a c h i s m o r e q u a l i t a t i v e than q u a n t i t a t i v e , b e c a u s e

m o s t p r i n c i p l e s o f c o l l o i d a l c h e m i s t r y w e r e d e v e l o p e d for d i l u t e s o i l s

(d i lu te s u s p e n s i o n s o f c l a y in w a t e r ) , w h i l e fo r c o m p a c t e d c l a y , the

s o i l p h a s e i s g e n e r a l l y l a r g e r than the w a t e r p h a s e

S o i l D e f o r m a t i o n T h e o r i e s

The f i r s t s u c c e s s f u l a t t e m p t to e x p l a i n , a t th e p h e n o m e n o l o g i

c a l l e v e l , the t i m e - d e p e n d e n t d e f o r m a t i o n o f c l a y s i s due to T e r z a g h i

and h i s c o n s o l i d a t i o n th e o r y . S i n c e t h e t h e o r y h a s b e e n d e s c r i b e d in

d e t a i l e l s e w h e r e (32, 3 4 ) , o n ly a b r i e f o u t l in e w i l l b e p r e s e n t e d h e r e .

It w a s p o in te d out b e f o r e th a t a g iv e n s o i l m a s s f o r m s a m u l t i

p h a s e s y s t e m c o n s i s t i n g o f m i n e r a l m a t t e r e n c l o s i n g voids . T h e v o ids

in tu rn c o n ta in l iq u id , g a s , o r a c o m b i n a t i o n o f b o t h . O r g a n ic m a t t e r

i s not c o n s i d e r e d to e x i s t .

35

A g i v e n v o l u m e e l e m e n t of s o i l u n d e r t r i - d i m e n s i o n a l s t r e s s

c o n d i t i o n s w i l l c h a n g e in v o l u m e . A c c o r d i n g to T e r z a g h i , the c h a n g e

in v o l u m e i s due to t h r e e p r i n c i p a l f a c t o r s :

1) C o m p r e s s i o n o f the s o l i d m a t t e r

2.) C o m p r e s s i o n o f w a t e r and a i r w i t h in the v o i d s

3) E s c a p e o f w a t e r and a i r f r o m th e v o id s

B e c a u s e of the h ig h bulk m o d u l u s o f w a t e r and th e p r e s u m a b l y

high bu lk m o d u l u s of m i n e r a l m a t t e r , the c h a n g e in v o l u m e du e to c o m

p r e s s i o n o f m i n e r a l and w a t e r i s p r o b a b l y v e r y s m a l l , The s t r e s s e s

g e n e r a l l y a p p l i e d to s o i l m a s s e s a r e , in a n y c a s e , v e r y low. T e r z a ghi

n e g l e c t s c o m p l e t e l y t h e i r e f f e c t in h i s t h e o r y , and fo r a c o m p l e t e l y

s a t u r a t e d m a s s the c h a n g e in v o l u m e i s a t t r ib u t e d o n ly to the f low o f

w a t e r out o f the v o id s

In p a r t i a l l y s a t u r a t e d s o i l s the p r o b l e m i s m o r e c o m p l e x ; a i r

i s h ig h ly c o m p r e s s i b l e and , f u r t h e r m o r e , i t h a s the a b i l i t y to go in t o

s o lu t io n . T h e v o l u m e c h a n g e , t h e r e f o r e , c a n n o t be a t t r i b u t e d o n l y to

f lo w o f w a t e r out o f the m a s s -

The T e r z a g h i c o n s o l i d a t i o n t h e o r y a p p l i e s o n l y to s a t u r a t e d

s o i l m a s s e s . The f u n d a m e n t a l id e a o f th e t h e o r y i s to a p p l y the la w

o f flu id f lo w in a p o r o u s m e d i u m ( D a r c y ' s Law) to o b ta in th e t i m e r a t e

o f c h a n g e o f v o l u m e (E q u a t io n o f C o n t in u i t y ) and to e q u a t e t h i s e x p r e s s

i o n to the r a t e of v o l u m e c h a n g e o f the m a s s e x p r e s s e d in t e r m s o f the

36

r a te o f c h a n g e o f v o id r a t io . On d i m e n s i o n a l f low o f w a t e r i s a s s u m e d

and g r e a t l y i d e a l i z e d s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s a r e a l s o in t r o d u c e d . ( F o r

d e t a i l s , s e e R e f e r e n c e 34^ pp. 2 0 8 - 2 3 8 ) .

In s p i t e o f the i d e a l r e l a t i o n s i n t r o d u c e d in the t h e o r y , it p r o

v id e d not o n l y m e a n s to e s t i m a t e s e t t l e m e n t o f s t r u c t u r e s , but a l s o it

h e l p e d to e x p l a i n s e v e r a l p h e n o m e n a e n c o u n t e r e d in fo u n d a t io n e n g i

n e e r i n g and a l s o h e l p e d to e x p l a i n the s h e a r r e s i s t a n c e o f c o h e s i v e

s o i l s .

It i s o n l y n a t u r a l fo r s o m e d i s c r e p a n c i e s to e x i s t b e t w e e n the

t i m e - s e t t l e m e n t c u r v e s c a l c u l a t e d a c c o r d i n g to T e r z a g h i ' s t h e o r y

and the o b s e r v a t i o n s in the l a b o r a t o r y o r in the f i e ld The m a j o r

d i s c r e p a n c y h a s b e e n t e r m e d s e c o n d a r y o r s e c u l a r t i m e e f f e c t - It

g e n e r a l l y c o n s i s t s o f the o b s e r v a t i o n o f f u r t h e r t i m e - d e p e n d e n t d e f o r

m a t i o n a f t e r the w a t e r in the s a m p l e (or s o i l m a s s ) h a s a t t a in e d

e q u i l i b r i u m ; a c c o r d i n g to th e T e r z a g h i t h e o r y a l l v o l u m e c h a n g e s h o u ld

end by t h i s t i m e . H o w e v e r , o b s e r v a t i o n s h a v e s h o w n that t h e r e i s a

f u r t h e r d e f o r m a t i o n that v a r i e s , a p p r o x i m a t e l y , l i n e a r l y w i th the l o g a

r i t h m o f t i m e . It h a s b e e n g e n e r a l l y a d m i t t e d that s e c o n d a r y t i m e

e f f e c t s a r e due to p h e n o m e n a a s s o c i a t e d w i t h p l a s t i c o r v i s c o u s f low

o f the c l a y m a s s . R e c e n t l y , M a n d e l (45) and Tan T j o n g - K i e (46) h a v e

p r e s e n t e d c o n s o l i d a t i o n t h e o r i e s w h i c h ta k e in to a c c o u n t ' t h e v i s c o u s

37

c h a r a c t e r o f s o i l m a s s e s . O t h e r i n v e s t i g a t o r s , l ik e C a r r i l l o (4 7 ) an d

B i o t (48) h a v e e x t e n d e d th e t h e o r y to t h r e e d i m e n s i o n s , but t h e y h a v e

f a i l e d to ta k e in to a c c o u n t the s e c o n d a r y e f f e c t s and th e v i s c o e l a s t i c

c h a r a c t e r i s t i c s o f s o i l m a s s e s .

C l a y i s o n e o f th e o l d e s t k n e a d a b l e m a t e r i a l s kn ow n , but th e

s c i e n t i f i c s t u d y o f p l a s t i c i t y of c l a y i s o n ly in i t s b e g in n in g . S e v e r a l

s t u d i e s h a v e b e e n p r e s e n t e d d e a l i n g w i t h the p l a s t i c p r o p e r t i e s o f c l a y s

f r o m th e p o in t o f v i e w o f th e c e r a m i c in d u s t r y . N o r t o n (3 0 ) d e s c r i b e s

a m e t h o d ( t o r s i o n o f c l a y c y l i n d e r s ) to m e a s u r e the w o r k a b i l i t y o f

c l a y - s o i l s . S c o t t - B l a i r u s e d e x t r u s i o n t e s t s on c y l i n d r i c a l s a m p l e s

to m e a s u r e th e f l o w p r o p e r t i e s o f c l a y p a s t e s .

It i s a w e l l k n ow n fa c t that c l a y s o i l s c a n h a v e a c o n s i s t e n c y

r a n g i n g f r o m v e r y h a r d and b r i t t l e (d ry , c o m p a c t s o i l ) th rou gh s o f t ,

p l a s t i c , and l i q u i d p h a s e s at h i g h e r m o i s t u r e c o n t e n t s . The s o i l

s c i e n t i s t A t t e r b e r g p r o p o s e d an e m p i r i c a l m e t h o d o f m e a s u r i n g the

s e m i - s o l i d and l i q u i d s t a t e s o f c l a y s in t e r m s of the m o i s t u r e c o n t e n t .

The A t t e r b e r g m e t h o d s w e r e l a t e r s t a n d a r d i z e d by A. C a s a g r a n d e (32).

J u r g e n s o n (5 3 , 5 4 ) u s e d a s q u e e z i n g c o m p r e s s i o n t e s t in w h i c h

a c l a y s a m p l e w a s c o m p r e s s e d b e t w e e n tw o rough p a r a l l e l p l a t e s a s a

m e a n s o f o b t a i n i n g th e s h e a r r e s i s t a n c e o f c l a y s . A. C a s a g r a n d e ,

c o m m e n t i n g on D r . J u r g e n s o n ' s p a p e r (53) , w r o t e :

In h i s p a p e r on the s h e a r i n g r e s i s t a n c e of c l a y s , Dr.J u r g e n s o n h a s p r e s e n t e d a w e a l t h o f n e w m a t e r i a l andi d e a s . O f g r e a t s i g n i f i c a n c e i s h i s d e v e l o p m e n t of a

n ew t y p e of s h e a r i n g t e s t , b a s e d on P r o f e s s o r H encky 's t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n of p l a s t i c f low . In m y o p in io n t h i s n e w m e t h o d , w h i c h w a s n a m e d by the a u t h o r s q u e e z in g t e s t , w i l l b e c o m e an i m p o r t a n t a id not o n l y f o r the r e s e a r c h w o r k e r , but a l s o for r o u t i n e t e s t i n g o f s o i l s f o r e n g i n e e r i n g p u r p o s e s . It m a y b e c o m e e s p e c i a l l y u s e f u l f o r s o i l c l a s s i f i c a t i o n e i t h e r in c o n j u n c t i o n w i th the l i q u i d l i m i t t e s t o r by r e p l a c i n g the l iq u id l i m i t t e s t e n t i r e l y .

It c a n b e s e e n that the e a r l y w o r k e r s in the f i e l d o f s o i l m e c h

a n i c s thought a b o u t u s i n g the c o n c e p t s a d v a n c e d by th e n e w s c i e n c e of

r h e o l o g y in c o n n e c t i o n w i th s t r e n g t h c h a r a c t e r i s t i c s o f s o i l s and in

c o n n e c t i o n w i t h the d e f i n i t i o n of the p l a s t i c s t a t e in c l a y s .

S e v e r a l a t t e m p t s h a v e b e e n m a d e to m o d i f y th e T e r z a g h i c o n

s o l i d a t i o n t h e o r y in an e f f o r t to b r in g th e t h e o r e t i c a l r e s u l t s in t o b e t t e r

a g r e e m e n t w i t h the e x p e r i m e n t a l e v id e i : e .

Tan ( 1 8 ) h a s p r e s e n t e d a r e v i e w o f d i f f e r e n t c o n s o l i d a t i o n

t h e o r i e s . H e p r o p o s e d a n e w t h e o r y b a s e d on the a s s u m p t i o n th a t

the s o i l s k e l e t o n b e h a v e s a s a M a x w e l l body . T h is a s s u m p t i o n i s

b a s e d on th e r e s u l t s o f a n u m b e r of t o r s i o n - c r e e p t e s t s run b y T a n at

th e S o i l s M e c h a n i c s L a b o r a t o r y of D e l f t T e c h n i c a l U n i v e r s i t y (19) .

S e v e r a l v a lu a b le c o n t r i b u t i o n s to the r h e o l o g i c a l s tu d y o f c l a y s

w e r e p r e s e n t e d in the f i r s t v o l u m e s o f th e J o u r n a l o f R h e o l o g y ( l a t e r

a b s o r b e d b y t h e J o u r n a l o f A p p l i e d P h y s i c s ) .

D r . H. H e n c k y i s a n o t e d a u t h o r i t y on t h e o r i e s of p l a s t i c f lo w o f m a t e r i a l s .

39

S c o t t B l a i r (5 1 ) w o r k i n g f r o m th e p o in t of v i e w o f the a g r o n o

m i s t ! d e s c r i b e d t e s t s run o n a "tube p l a s t o m e t e r " u s i n g c l a y s u s p e n

s i o n s . He a p p l i e d p r e s s u r e to the c l a y p a s t e and f o r c e d i t to f low in a

s m a l l tube . He found f i v e s t a g e s in th e f l o w c u r v e s ( s e e F i g u r e 3)

d e f i n e d by th e f o l l o w i n g c h a r a c t e r i s t i c s :

I. Up to a c e r t a i n s t r e s s , E, , t h e r e i s no flow at a l l The

s t r e s s E, h a s b e e n c a l l e d th e " f i r s t y i e l d v a lu e "

II P lu g f low; the m a t e r i a l n e a r th e tube w a l l d o e s not m o v e

at a l l .

III. M ix e d f low ; th e c r i t i c a l s h e a r s t r e s s b e t w e e n c l a y and w a l l

i s e x c e e d e d .

IV. L i n e a r f l o w c u r v e ; c o n s i s t s o f a c o m b i n a t i o n o f plug f low

an d f low o f the c l a y s u s p e n s i o n a s a w h o l e

V. T he l a s t z o n e c o r r e s p o n d s e i t h e r to flow w ith s h e a r ra te

th in n in g o r f low w i t h s h e a r r a t e t h i c k e n i n g , d e p e n d in g on the c u r v a t u r e

o f the v i s c o s i t y c u r v e .

T he e x t r a p o l a t i o n o f th e l i n e a r f l o w c u r v e , z o n e IV into the t

a x i s p r o d u c e s the v a l u e o f t h e " sec o n d y i e l d s t r e s s , " > o r B i n g h a m

v a l u e . S c o t t B l a i r s u g g e s t e d that i t s h o u l d be c a l l e d the " s h e a r i n g

r e s i s t a n c e " o f the c l a y p a s t e .

Rate

of Pe

rman

ent

SHEA

R ST

RAIN

40

i VH I

Bingham FlowShear Rote

Thinningc o Shear Rate Thickening

SHEAR STRESS T

Fig. 3. - Viscosity characteristics

41

T e r z a g h i (56) d e s c r i b e d th e b e h a v i o r of a s a m p l e s u b j e c t e d to

an u n c o n f i n e d c o m p r e s s i o n c r e e p t e s t . He r e p o r t e d th at the f o r m o f

th e f l o w d i a g r a m w a s a p p r o x i m a t e l y the s a m e a s g i v e n in F i g u r e 3.

If th e s t r e s s a p p l i e d i s b e l o w th e y i e l d po in t (£^) v e r y l i t t l e f lo w w i l l

o c c u r . But i f the s t r e s s i s a b o v e th e y i e l d p o in t (C7) th en f low w i l l

o c c u r , that w i l l r e a c h a c o n s t a n t r a t e w i th t i m e . He c a l l e d the y i e l d

v a l u e £ the s h e a r i n g r e s i s t a n c e o f c l a y s . It i s th e m a x i m u m s t r e s s

that a p a r t i c u l a r m a t e r i a l c a n s u s t a i n w i th o u t b e c o m i n g s u b j e c t to c o n

t in u o u s d e f o r m a t i o n . He o b s e r v e d f u r t h e r th at b u i l d i n g s w h i c h h a v e

b e e n s e t t l i n g a t a u n i f o r m r a t e (at s t r e s s e s p r o d u c e d by the w e i g h t o f

th e s t r u c t u r e w h i c h a r e b e lo w th e s e c o n d y i e l d poin t) a r e m o v i n g b e

c a u s e o f f lo w o f the fou n d at ion . N o n e o f the o t h e r c a u s e s o f s e t t l e

m e n t ( c o n s o l i d a t i o n t h e o r y ) l e a d s to a s u b s i d e n c e o f a u n i f o r m ra te .

T h u s , f lo w c a n o c c u r a l s o at s t r e s s e s b e l o w th e s e c o n d y i e l d v a lu e £ ,u

b e c a u s e o f the f o r m o f the v i s c o s i t y c u r v e a g r a d u a l t r a n s i t i o n o c c u r s

b e t w e e n th e z o n e o f no f low and th e z o n e of l i n e a r f low .

T e r z a g h i s u g g e s t e d th a t , f o r the s t a b i l i t y o f the f o u n d a t io n , the

c l a y m a s s s h o u ld no t be s t r e s s e d a t v a l u e s a b o v e the s e c o n d y i e l d

v a lu e . E s s e n t i a l l y th e s a m e c r i t e r i o n fo r d e s i g n of fo u n d a t io n s i s

f o l l o w e d b y H o u s e l (5 9 ) , w h o u s e s f i e l d l o a d i n g t e s t s on p l a t e s to o b

t a i n th e c r e e p b e h a v i o r of n a t u r a l s o i l s . F o r e a c h l o a d u s e d , he p l o t s

42

th e t i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s , o r f lo w c u r v e s ; th e n , h e r e d u c e s th e

f l o w c u r v e s to 11 v i s c o s i t y ” c u r v e s . A c c o r d i n g to h i s e x p e r i e n c e , t h e

v i s c o s i t y c u r v e s a r e o f th e B i n g h a m t y p e , and the e x t r a p o l a t i o n o f th e

s t r a i g h t l i n e p a r t o f the c u r v e to c u t th e s t r e s s a x i s d e t e r m i n e s th e

y i e l d v a lu e .

T h e e x i s t e n c e o f a y i e l d v a l u e £ i s p u r e l y h y p o t h e t i c a l . It

*

s e r v e s n e v e r t h e l e s s to d e s c r i b e t h e e q u a t io n o f th e l i n e a r p a r t o f t h e

v i s c o s i t y c u r v e (Z o n e IV) a s f o l l o w s :

i (r - L ) (32)dt r\ 2

R e c e n t s t u d i e s by T an and G e u z e ( 5 0 ) h a v e s h o w n that th e s a m e

ty p e o f v i s c o s i t y c u r v e s s h o w n in F i g u r e 3 c a n be o b t a i n e d by t o r s i o n

t e s t s on c l a y c y l i n d e r s .

M o r e r e c e n t l y S c h i f f m a n n (11) h a s p r e s e n t e d a p a p e r on th e u s e

o f v i s c o e l a s t i c m o d e l s f o r s t r e s s - s t r a i n l a w s in s o i l s . F o l l o w i n g th e

t r a d i t i o n a l r h e o l o g i c a l a p p r o a c h , h e e s t a b l i s h e s s e p a r a t e e q u a t i o n s

f o r i s o t r o p i c an d d e v i a t o r i c s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s . B y r e a s o n i n g ,

h e a r r i v e s a t the c o n c l u s i o n that a f o u r - p a r a m e t e r m o d e l ( B u r g e r ' s

m o d e l ) i s a g o o d r e p r e s e n t a t i o n of the c l a y - s o i l b e h a v i o r .

F o r the v o l u m e t r i c s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s , the M a x w e l l e l e

m e n t o f th e B u r g e r ' s m o d e l r e p r e s e n t s th e p o r e f lu id , w i th v o l u m e t r i c

*v i s c o s i t y rj and flu id b u l k m o d u l u s K^. The K e l v i n s o l i d r e p r e s e n t s

t h e s o l i d ( m i n e r a l ) p a r t w i t h s o l i d v o l u m e t r i c v i s c o s i t y , h , a n d s o l i ds

b u lk m o d u l u s , K . F u r t h e r m o r e , S c h i f f m a n n a s s u m e s that the s o l i ds

b u lk m o d u l u s and the l i q u i d v o l u m e v i s c o s i t y c h a n g e w i t h p r e s s u r e :

K = K + 7 ° \ . (33)s o 3 n

w h e r e

K = so l id b u lk m o d u l u ss

K = r e s id u a l b u l k m o d u l u so

\ = s t r e s s i n c r e m e n t m o d u l u s

cr. = v o l u m e t r i c s t r e s s l i

a n d cr.,* * c - tT1 = -n e 3 (34)i o

w h e r e

*t | £ = fluid v o l u m e t r i c v i s c o s i t y

*t) = in i t ia l v o l u m e t r i c v i s c o s i t y

o

c = c o n s ta n t

cr. = v o l u m e t r i c s t r e s s n

t = t im e

B a s e d on t e s t s r e p o r t e d by G e u z e and T an (2 0 ) , S c h i f f m a n n

c o n c l u d e s th a t the s h e a r b e h a v i o r o f c l a y s o i l s i s a d e q u a t e l y d e s c r i b e d

b y a B u r g e r ' s m o d e l w i t h v a r i a b l e l iq u id v i s c o s i t y .

44

H e d i s c u s s e s a l s o th e r e s p o n s e o f s e v e r a l r h e o l o g i c a l m o d e l s

to t e s t s c o m m o n l y u s e d in s o i l m e c h a n i c s (u n c o n f in ed c o m p r e s s i o n ,

t o r s i o n s h e a r , t r i a x i a l c o m p r e s s i o n ) .

S c h m i d and K l a u s n e r ( 5 6 ) h a v e p r e s e n t e d a r e p o r t d e a l i n g w i th

the m o d e l s t h e y p r o p o s e fo r th e b e h a v i o r o f s o i l s in c o n s o l i d a t i o n and

in s h e a r . T h e y p r e s e n t e d a l s o a r h e o l o g i c a l t h e o r y of f a i l u r e for c l a y

s o i l s .*

T h e e q u a t io n s g i v e n b y K l a u s n e r a r e a g a i n t h o s e o f a B u r g e r ' s

m o d e l , bu t a p l a s t i c r e s t r a i n t i s a l s o i n c l u d e d in the m o d e l .

S e v e r a l c o n t r i b u t i o n s to th e r h e o l o g i c a l s t u d ie s o f c l a y s w e r e

p r e s e n t e d a t the F i f t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n Soil M e c h a n i c s and

F o u n d a t i o n s in P a r i s in J u ly , 1961.

J. F o l q u e (60) d e s c r i b e d an e x t e n s i v e s t u d y on c o m p a c t e d c l a y s .

He u s e d c o n s t a n t s t r a i n r a t e t e s t s , r e l a x a t i o n t e s t s , and c o n s t a n t

s t r e s s ( c r e e p ) t e s t s . The t e s t s w e r e c o n d u c t e d on a t r i a x i a l c o m p r e s

s i o n m a c h i n e . He f i t t e d to h i s data a r h e o l o g i c a l m o d e l c o n s i s t i n g of

a M a x w e l l e l e m e n t in p a r a l l e l w i t h a s p r i n g a n d a St. V e n a n t y i e ld

e l e m e n t . T h e m o d e l d e s c r i b e d r e a s o n a b l y w e l l the b e h a v i o r of the

s a m p l e u n d e r a c o n s t a n t s t r a i n r a t e and u n d e r r e l a x a t i o n t e s t s , but

f a i l e d to d e s c r i b e the b e h a v i o r u n d e r c r e e p t e s t s .

45

M. N. G o ld s t e in et a l . (6 1 ) d i s c u s s e d the a p p l i c a t i o n o f the

t h e o r i e s o f p r o b a b i l i t y and s t a t i s t i c s to th e r h e o l o g y o f s o i l s . T h e y

d e s c r i b e d th e d e f o r m a t i o n o f s o i l in c r e e p a s c o n s i s t i n g o f 1) e l a s t i c

d e f o r m a t i o n , 2) l i n e a r v i s c o u s f l o w , and 3) c r e e p fu nct ion . F o r the

r a te of c r e e p t h e y p r o p o s e d a n e q u a t io n of th e f o r m

x -a£r = c * 1

S. M a r a y a m a and T. S h ib a ta p r e s e n t e d r e s u l t s o f a n u m b e r o f

c r e e p t e s t s a n d r e l a x a t i o n t e s t s run on c l a y c y l i n d e r s , u s i n g t r i a x i a l

c o m p r e s s i o n t e s t s . T h e y p r e s e n t e d r e s u l t s o f the e f f e c t o f t e m p e r a

tu re on f lo w o f c l a y s F o r a p a r t i c u l a r t e s t t h e y found an a v e r a g e

- 5i n c r e a s e o f 2 5 x 10 in th e s t r a i n r a t e p e r d e g r e e c e n t i g r a d e

Tan T j o n g - K i e (62) p r e s e n t e d a n e w t h e o r y o f c o n s o l i d a t i o n fo r

h o m o g e n e o u s a n i s o t r o p i c c l a y s . He u s e d a n e q u a t io n o f th e f o r m p r o

p o s e d by B o l t z m a n ( s e e R e f e r e n c e 15 ) to r e p r e s e n t c l a y b e

h a v io r . He f u r t h e r s u g g e s t s t e s t m e t h o d s to o b ta in the a p p r o p r i a t e

s o i l c o n s t a n t s . T h e s e m e t h o d s a r e t r i a x i a l t e s t s , c o m p r e s s i o n c r e e p

t e s t s , and c o n s o l i d a t i o n t e s t s .

S e v e r a l o t h e r p a p e r s w e r e p r e s e n t e d w h i c h not o n l y c o n s i d e r e d

d e f o r m a t i o n p r o p e r t i e s o f c l a y s but s t r e n g t h p r o p e r t i e s a s w e l l (6 3 ,

64). F i n a l l y , a v e r y i n t e r e s t i n g c a s e o f s t r e s s a n a l y s i s and f lo w o f a

46

v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l w a s g i v e n b y S t r o g a n o v (65) . He d i s c u s s e d the

s t a b i l i t y o f an i n f i n i t e s l o p e m a d e o f a m a t e r i a l w h o s e b e h a \ i o r i s o f

the C o u l o m b ty p e {in s h e a r ) but w h i c h i n c l u d e s the e f f e c t of th e r a te o f

s t r a i n on s t r e n g t h ( T a y l o r , R e f e r e n c e 24 , p. 378) .

T o s u m m a r i z e , the a p p l i c a t i o n o f r h e o l o g i c a l c o n c e p t s to p r o b

l e m s in s o i l m e c h a n i c s h a s r e c e i v e d the a t t e n t i o n o f i n v e s t i g a t o r s in

the f i e ld . M o s t o f the c o n t r i b u t i o n s a r e of a t h e o r e t i c a l n a t u r e and

v e r y f e w e x p e r i m e n t a l r e s u l t s h a \ e b e e n p r e s e n t e d in the l i t e r a t u r e .

C H A P T E R III

P U R P O S E A N D P R O C E D U R E

P u r p o s e

The p u r p o s e of the r e s e a r c h w a s

1) To i n v e s t i g a t e the d e v i a t o r i c r h e o l o g i c a l p r o p e r t i e s o f

c e r t a i n c o h e s i v e s o i l s u n d e r c r e e p t e s t s

Z) To a p p ly c o n c e p t s of the v i s c o e l a s t i c t h e o r y in the a n a l y s i s

o f the r e s u l t s .

3) To d e v e l o p p r o c e d u r e s to fi t r h e o l o g i c a l m o d e l s to e x p e r i

m e n t a l data.

4) To i n v e s t i g a t e w h e t h e r the m a t e r i a l s t e s t e d e x h ib i t e d l i n e a r

v i s c o e l a s t i c b e h a v i o r .

5) To s tu d y the e f f e c t o f l o a d r e p e t i t i o n on th e p r o p e r t i e s

d e s c r i b e d a b o v e .

G e n e r a l

A s p r e v i o u s l y d i s c u s s e d , the r h e o l o g i c a l b e h a v i o r o f a m a t e r

i a l c a n be d e s c r i b e d by an e q u a t io n g i v i n g a r e l a t i o n b e t w e e n the c o m

p o n e n t s o f the s t r e s s and s t r a i n t e n s o r s

R[e , a. .] = 0 (48)U 1J

47

48

T h e r h e o l o g i c a l b e h a v i o r o f a p a r t i c u l a r m a t e i i a i m a y d epend

n o t o n l y upon s t r e s s e s and s t r a i n s but a l s o up on the r a t e o f s t r a i n and

th e r a t e a t w h ic h s t r e s s e s a r e a p p l i e d .

T h e c o n v e n i e n c e of s t u d y i n g the v o l u m e t r i c and d e v i a t o r i c

s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s h i p s s e p a r a t e l y w a s a l s o d i s c u s s e d , a n d four

c o n v e n i e n t w a y s to s tu d y the r h e o l o g i c a l b e h a v i o r o f a m a t e r i a l w e r e

d e s c r i b e d 1) the c r e e p t e s t , 2) the r e l a x a t i o n t e s t , 3) the s t r e s s -

s t r a i n t e s t , and 4) th e d y n a m i c t e s t - Of t h e s e t e s t s , the c r e e p b e

h a v i o r w a s m o r e c a r e f u l l y d e s c r i b e d and a n a l y z e d .

T he s t a n d a r d type of c r e e p e x p e r i m e n t r e c o m m e n d e d by the

r h e o l o g i s t s B u r g e r and S c o t t - B l a i r w i l l b e u s e d in the p r e s e n t i n v e s t i

g a t i o n ( s e e F i g u r e 2). This e x p e r i m e n t s p e c i f i e s that a s h e a r s t r e s s

m u s t b e a p p l i e d to a s a m p l e o f the m a t e r i a l b e i n g i n v e s t i g a t e d , but

th e e x a c t n a t u r e o f the s h e a r s t r e s s i s no t s p e c i f i e d . The m e c h a n i c a l

b e h a v i o r o f s o i l s i s v e r y c o m p l i c a t e d . It i s n e c e s s a r y to k e e p the

s t a t e o f s t r e s s (on a n y p a r t i c u l a r t e s t u s e d ) a s s i m p l e a s p o s s i b l e .

C o m p r e s s i o n t e s t s on c y l i n d r i c a l s p e c i m e n s a p p e a r to b e a v e r y s i m p l e

t e s t to u s e for c l a y s ; but c o m p r e s s i o n t e s t s h a v e the f o l l o w i n g d i s a d

v a n t a g e s : 1) s i m p l e c o m p r e s s i o n o f c y l i n d r i c a l s p e c i m e n s c o r r e s

p o n d s to a s t a t e o f s t r e s s that h a s d e v i a t o r i c and i s o t r o p i c c o m p o n

e n t s , a n d 2) the c o m p r e s s i o n t e s t c a n b e run e s s e n t i a l l y u n d e r two

49

d i f f e r e n t c o n d i t i o n s : a) d r a i n a g e of w a t e r c a n be c o m p l e t e l y p r e v e n t e d

{u n d ra in ed t e s t ) , o r b) d r a i n a g e can b e p e r m i t t e d ( d r a i n e d t e s t ) . If

d r a i n a g e i s p r e v e n t e d , the s t a t e of s t r e s s i s s i m p l e r b e c a u s e t h e r e i s

n o t r a n s f e r o f s t r e s s e s b e t w e e n the l i q u i d and the s o l i d p h a s e s . But

du e to the c o m p l i c a t e d (and p e r h a p s n o n h o m o g e n e o u s ) s t r e s s d i s t r i b u

t io n found on a c o m p r e s s i o n t e s t , the f lu id p a r t c o u l d m o v e f r o m r e g

i o n s o f h igh h y d r o s t a t i c p r e s s u r e to r e g i o n s of low h y d r o s t a t i c p r e s s u r e .

T o r s i o n s h e a r i s a p u re d e v i a t o r of s t r e s s , s o t h e r e a r e n o h y d r o s t a

tic p r e s s u r e s t h r o w n into t h e w a t e r , a t l e a s t at s m a l l d e f o r m a t i o n s ;

at l a r g e d e f o r m a t i o n s , h y d r o s t a t i c p r e s s u r e s p r o b a b l y h a v e o n l y a

s e c o n d a r y e f f e c t . The s t r e s s d i s t r i b u t i o n in t o r s i o n o f a s o l i d c y l i n

d e r i s d e p e n d e n t on the s t r e s s - s t r a i n c h a r a c t e r i s t i c s o f th e m a t e r i a l .

But i f h o l l o w c y l i n d e r s o f s o i l a r e u s e d , the s t r e s s d i s t r i b u t i o n i s

n e a r l y c o n s t a n t a l o n g the t h i c k n e s s o f t h e tu be - - th e d e g r e e o f a p

p r o x i m a t i o n d e p e n d s on th e t h i c k n e s s o f t h e w al l .

T o r s i o n a l s h e a r c r e e p t e s t s on h o l l o w c l a y c y l i n d e r s w e r e

s e l e c t e d a s th e m o s t s u i t a b l e to i n v e s t i g a t e the r h e o l o g i c a l b e h a v i o r

o f c l a y s .

P r o c e d u r e

T he m a t e r i a l s u s e d w e r e m o l d e d and t e s t e d a t d i f f e r e n t m o i s

t u r e c o n t e n t and d i f f e r e n t d e n s i t i e s ; th e s a m e type of k n e a d in g c o m

p a c t i o n m e t h o d w a s u s e d to p r e p a r e a l l s a m p l e s . C o n t r o l l e d v a r i a b l e

w e r e

1) S o i l Typea) D e n s i t yb) M o i s t u r e Content

Z) E x t e r n a l V a r i a b l e sa) S t r e s s l e v e lb) T i m e s t r e s s w a s a c t i n gc) Load r e p e t i t i o n

O b s e r v e d o r d e p e n d e n t v a r i a b l e s w e r e

1) T o t a l d e f o r m a t i o n a s a f u n c t io n o f t im e .

Z) E l a s t i c ( i n s t a n t a n e o u s ) d e f o r m a t i o n .

3) R e c o v e r y a f t e r r e m o v a l o f s t r e s s .

4) P e r m a n e n t d e f o r m a t i o n .

The r e s u l t s i n d i c a t e d p r i m a r i l y th e v a r i a t i o n in (a) i n s t a n

t a n e o u s e l a s t i c d e f o r m a t i o n , (b) r e c o v e r a b l e d e f o r m a t i o n , (c) p e r

m a n e n t d e f o r m a t i o n , w i t h s o i l d e n s i t y a n d m o i s t u r e c o n t e n t , w i th

s t r e s s l e v e l , w i t h t i m e s t r e s s in a c t i n g , and w i th load r e p e t i t io n -

M a t e r i a l s U s e d

T h r e e d i f f e r e n t m a t e r i a l s w e r e u s e d in the i n v e s t i g a t i o n ;

a B e d f o r d s h a l e d e r i v a t i v e f r o m C o l u m b u s , O h io , r e f e r r e d to a s

S o i l No 7; and s o i l N o s . 8 and 9 , w h i c h a r e h e a v y c l a y s , o b t a in e d

f r o m th e Ohio D e p a r t m e n t o f H i g h w a y s . G r a in s i z e a n a l y s i s , A t t e r -

b e r y l i m i t s , and s p e c i f i c g r a v i t y o f the t h r e e d i f f e r e n t s o i l s a r e g iv e n

in F i g u r e 4.

P r e p a r a t i o n o f S a m p l e s

S p e c i a l m o l d s w e r e c o n s t r u c t e d at the T r a n s p o r t a t i o n E n g i

n e e r i n g C e n t e r to p r e p a r e h o l l o w c l a y s a m p l e s F i g u r e 5 g i v e s the

d i m e n s i o n s and c h a r a c t e r i s t i c s o f the m o l d s , At the b e g i n n i n g , t h r e e

d i f f e r e n t m e t h o d s o f c o m p a c t i o n w e r e u se d ; (a) s t a t i c , (b) c o n s o l i

d a t io n , and (c) k n e a d in g . L a t e r , m e t h o d s (a) and {b) w e r e a b a n d o n e d ,

p r i m a r i l y b e c a u s e o f the n o n - u n i f o r m i t y in d e n s i t y o b t a in e d u n d e r

s t a t i c l o a d , and b e c a u s e of the l e n g t h of t i m e n e c e s s a r y to c o m p a c t

s a m p l e s u n d e r c o n s o l i d a t i o n - R e s u l t s o f k n e a d in g c o m p a c t i o n t e s t s

a r e g i v e n in F i g u r e 6 for s o i l s N o s . 7, 8, and 9- A l l t h r e e s o i l s w e r e

c o m p a c t e d in a s t a n d a r d H a r v a r d M in ia t u r e C o m p a c t i o n m o l d , u s in g

a 4 0 - l b t a m p e r , 10 l a y e r s , 20 t a m p s p e r l a y e r ; th e p a r t i c u l a r c u r v e

o b t a i n e d in th i s f a s h i o n h a s b e e n d e s i g n a t e d by a A in F i g u r e 6, and

w a s c a l l e d " m i n i a t u r e , 4 0 - lb - 11 ■

52

T he t a m p e r u s e d w a s the s t a n d a r d t a m p e r u s e d w i th the H a r

v a r d M i n i a t u r e A p p a r a t u s , a s d e s c r i b e d e l s e w h e r e (58) . To p r e p a r e

th e h o l l o w s a m p l e s , the m o l d and t a m p e r s h o w n in F i g u r e 5 w e r e u s e d .

The c o m p a c t i v e e n e r g y w a s v a r i e d u n t i l a c o m p a c t i o n c u r v e w a s o b

t a i n e d at a p a r t i c u l a r e n e r g y that f o l l o w e d the s t a n d a r d m i n i a t u r e

c u r v e r a t h e r c l o s e l y . F o r a l l t h r e e s o i l s i t c o r r e s p o n d e d to the f o l

l o w i n g p r o c e d u r e : c o m p a c t h o l l o w s a m p l e s u s i n g a 2 0 - l b . t a m p e r , in

10 l a y e r s , 20 t a m p s p e r l a y e r , e x c e p t th a t a f t e r e a c h l a y e r w a s c o m

p a c t e d w i th th e t a m p e r , a l o a d o f 40 pou n d s w a s a p p l i e d f i v e t i m e s to

e a c h l a y e r b y m e a n s o f a r i n g , to s m o o t h up the s u r f a c e o f t h e s o i l .

F o r c o m p a r i s o n , r e s u l t s o f A S T M D - 6 9 8 s t a n d a r d m o i s t u r e - d e n s i t y

t e s t a r e in c lu d e d ; the c u r v e o b t a in e d w a s a l w a y s l o w e r than th e c u r v e

o b t a in e d w i th the m i n i a t u r e c o m p a c t o r .

T h e s o i l u s e d to p r e p a r e the s a m p l e s w a s a i r - d r i e d and p u l

v e r i z e d to p a s s th e No- 10 s i e v e (2. 0 m m . ). To p r e p a r e a s a m p l e ,

the n e c e s s a r y a m o u n t o f w a t e r w a s a d d e d and m i x e d , a n d th e s o i l w a s

p l a c e d in s e a l e d j a r s and k ep t in the m o i s t r o o m fo r a f e w d a y s for

c u r in g . A f t e r c u r i n g , the s a m p l e s w e r e c o m p a c t e d and e x t r a c t e d

f r o m the m o l d , an d c o v e r e d f i r s t w i t h a l a y e r o f v a s e l i n e , and th en

w it h a l a y e r o f h o t p a r a f f in . T he p u r p o s e o f the v a s e l i n e w a s t w o - f o l d :

to p r e v e n t m o i s t u r e l o s s a n d to p r e v e n t th e p a r a f f in f r o m s t i c k i n g to

the s o i l and f o r m i n g a " r e i n f o r c i n g " l a y e r o r m e m b r a n e that w i l l t e n d

to v a r y the s t r e n g t h and d e f o r m a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f the c l a y - s a m p l e .

53| i m ri.........So*I No 7 ( Bedford Shot*)

* 3 8 0 PL *22 0

L G - 2 0 3KX>

HXou*

ocy 6 0z

HZIdO£TId0.

20

0001001OIAMETER in mm

Soil No6( Ytl low Cloy) Ll ‘ 595

100G - 2 7 4

xo

crzu.h£ 4 0oa:LlIq.

20o By Sieve * By Hydrometer

001 0001DIAMETER in mm

Soil No9<Red Cloy) Ll -5 0 .7 PL * 2 3 4 G * 2 8 3

100

U.

© By Sieve * By Hydrometer20

0001001DIASCTER in mm

Fig. 4. - Grain size analysis of soils used

5/16

1/4 -3 / 3 2

1/4' 1/4'

Porus Bronze Core

Steel Mold<M

Steel Base

C\J

5/16

MOLD For Hollow Cylinders

Fig. 5. - Compaction tamper and molds.

(M

H /2 Diom.

• Threods for Nuts Above Spring

1/8 Hole for Pin Under Spring

-l/4"D iam .

COMPACTING ROD

DRY

DEN

SITY

in

LB/C

U

FT

Soil No9 (Red O a y )

130

Q Stanford .o M iniature lH ollow,20 ) a M intotur*(Solid,4 0 * )

£ 105

ICO

90

MOISTURE CONTENT m PER CENT

35

Sod No8 ( Yellow Cloy)130

□ Standardo Miniature ( Hollow,2Q# )A UiNmlidfB / Cnlifl AO \

I—Li. 120

a>C

110tnzLUa

ICO

95

9014 16 18 20 22 24 26 28 3C MOSTURE CONTENT in PER CENT

140\ S =

Soil No 7(Bedford Shale)135

o Standard o Hol low* Mintohjre.40130

25

120

MO

100

MOISTURE CONTENT in PER CENT

Fig. 6. - Moisture-density curves.

tntn

A p p a r a t u s

T h e a p p a r a t u s u s e d in the i n v e s t i g a t i o n i s s h o w n in F i g u r e 7.

It c o n s i s t s o f a l o w e r p l a t e o r d i s c f i x e d r i g i d l y to a m e t a l l i c b a s e .

The c l a y s a m p l e i s f i x e d to the l o w e r p la t e by m e a n s o f a h o t m i x t u r e

o f r e s i n . ( S h e l l ' s E p o n 82 8 and G e n e r a l M i l l s ' V e r s a m i d 115 w e r e

u s e d s u c c e s s f u l l y to a t t a c h the s a m p l e to the l o w e r d i s c ) . T h e c l a y

s a m p l e i s f i x e d a l s o to the u p p e r d i s c ; w h i l e the l o w e r d i s c w a s f i x e d

in h e i g h t and a n g u l a r p o s i t i o n , the u p p e r d i s c w a s f r e e to r o t a t e . Two

h o r i z o n t a l l o a d s P w e r e a p p l i e d to th e t o r s i o n d i s c by a c o m b i n a t i o n

o f w e i g h t s and p u l l e y s . T he n o r m a l l o a d p r o d u c e d by th e w e i g h t o f

th e u p p e r d i s c w a s e l i m i n a t e d by m e a n s o f a n o t h e r c o m b i n a t i o n o f

w e i g h t s and p u l l e y s .

T h e s h e a r d e f o r m a t i o n (a n g le o f t w i s t p e r unit l e n g th ) w a s

m e a s u r e d b y m e a n s o f a m i c r o m e t e r d ia l . The f o r c e p r o d u c e d by the

s p r i n g in the d ia l w a s c o u n t e r a c t e d b y p l a c i n g a s i m i l a r d i a l d i r e c t l y

o p p o s i t e to the f i r s t d ia l . In F i g u r e 8, l e t AZ be a s m a l l e l e m e n t of

th e s a m p l e b e i n g t w i s t e d b y a c o n s t a n t t o r s i o n a l m o m e n t the m o m

e n t i n d u c e s s h e a r s t r e s s e s in the c r o s s - s e c t i o n a l p la n e o f th e s a m p l e ,

g in p o l a r c o o r d i n a t e s n o ta t io n . L e t u, v, w b e the c o m p o n e n t s o f

th e d i s p l a c e m e n t in th e r a d i a l , t a n g e n t i a l , and " z" d i r e c t i o n . T h en

f r o m the d e f i n i t i o n o f s t r a i n ,

57

Deformation Dial

Torsion Disc

Resin

Hollow Soil Cylinder

C\J

roA

Base

11/16

TORSION A PAR A T US

Fig. 7. - Torsion apparatus.

58

♦ z

A Z

Fig. 8. - Geometry of a twisted cylinder

59

F o r a c i r c u l a r c r o s s - s e c t i o n , t h e r e i s no w a r p i n g o f th e c r o s s - s e c t i o n

in the d i r e c t i o n o f th e z c o o r d i n a t e . T h e r e f o r e , e q u a t io n 35 r e d u c e s

to

\ = . j p (36)z 9 d z

B ut Av = rA4>, o r 9 v = r3<t>

s o that f i n a l l y

V „ r f (37)z 9 o z

3<bw h e r e 4> i s th e a n g l e o f t w i s t , a n d i s the c h a n g e in a n g l e o f t w i s t

v Z

p e r unit l e n g th .

A c t u a l l y , the d i a l r e a d i n g in th e t e s t d o e s not m e a s u r e A<t>t but

A s , the i n c r e m e n t in a r c . If AS i s m e a s u r e d R u n i t s o f d i s t a n c e a w a y

f r o m the c e n t e r , then

A SA* = (38)

and

AS 1^ e = r T T ■ s z - 1391

w h e r e r i s th e a v e r a g e r a d iu s o f th e c r o s s - s e c t i o n and AZ in the a v e r

a g e s p e c i m e n h e igh t . F o r a l l t e s t s r i s the s a m e ; f o r a n y p a r t i c u l a r

t e s t R and AZ c a n be m e a s u r e d , and AS i s o b s e r v e d (d ia l r e a d in g )

a s a fu n c t io n o f t i m e .

60

E q u a t io n 39 i n d i c a t e s that th e s h e a r d e f o r m a t i o n c h a n g e s a lo n g

the t h i c k n e s s of the w a l l . If the a v e r a g e r a d iu s o f the c r o s s - s e c t i o n

i s u s e d , th e n the s h e a r s t r a i n o b t a i n e d i s an a v e r a g e s h e a r s t r a i n ;

the m a x i m u m and m i n i m u m v a l u e s w i l l o c c u r at the o u t e r and i n n e r

w a l l s r e s p e c t i v e l y .

D i f f e r e n t s t r e s s d i s t r i b u t i o n s in t o r s i o n , for a n e l a s t i c m a t e r

i a l , for a p e r f e c t l y p l a s t i c m a t e r i a l , and for a " g e n e r a l " m a t e r i a l

that i s not e l a s t i c o r p e r f e c t l y p l a s t i c , but w h i c h h a s a c o n t i n u o u s l y

s lo p in g s t r e s s - s t r a i n c u r v e , a r e s h o w n in F i g u r e 9. It c a n b e s e e n

f r o m the f i g u r e th a t , f o r a h o l l o w c y l i n d e r , a u n i f o r m s t r e s s d i s t r i b u

t io n c a n b e a s s u m e d w i t h o u t s e r i o u s e r r o r , p r o v i d e d the w a l l t h i c k n e s s

i s s u f f i c i e n t l y s m a l l . On th e o t h e r han d , the t h i c k n e s s o f the w a l l s

m u s t be s u f f i c i e n t l y g r e a t to p r e v e n t b u c k l in g o r c o l l a p s e o f the s o i l

s a m p l e .

A s s u m i n g th a t th e s h e a r s t r e s s t i s u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d

a c r o s s the t h i c k n e s s o f th e tu b e , the f o l l o w i n g r e l a t i o n i s found to

e x i s t b e t w e e n the t o r s i o n a l m o m e n t M-p* the g e o m e t r y o f the c y l i n d e r

( F i g u r e 8) and the s h e a r s t r e s s :

2M ._ (4 0 )

Z° ir [r + r . ] [r - r . ] o 1 o 1

61

S O L I D CYLINDER

Elastic General

HOLLOW CYUNDER

X

Elastic Plastic

/

i n —

General

Fig. 9. - Stress distribution in torsion.

62-

If a t r i a n g u l a r d i s t r i b u t i o n of s t r e s s i s a s s u m e d ( c o r r e s p o n d

i n g to th e e l a s t i c c a s e , F i g u r e 9 \ the f o l l o w i n g e x p r e s s i o n i s found for

th e m a x i m u m s h e a r s t r e s s :

2M r[T ] = , T ° (41)

z 0 m a x r 4 4 ,n [ r o - r. ]

T he p e r c e n t a g e d i f f e r e n c e b e t w e e n (41) and (40) i s g i v e n by:

T ̂ “ t T J - r . (r - r . )z 9 z 0 m a x l o l[ t J r (r + r . )z 0 m a x o o l

(42)

In th e p r e s e n t c a s e ,

r . = 1 . 0 3 cm - i

r = 1 . 6 7 c m - o

P e r c e n t d i f f e r e n c e = - —^ x 100 = 15. 3 p e r c e n t

A c t u a l l y , the t r u e s t r e s s d i s t r i b u t i o n in the s a m p l e i s s o m e

w h e r e in b e t w e e n the v a l u e s g i v e n by e q u a t i o n s 40 a n d 41 j s u b s t i t u t i n g

the v a l u e s of th e r a d i i in e q u a t i o n 4 0 and e x p r e s s i n g th e r e s u l t s in

the m e t r i c s y s t e m , the f o l l o w i n g e q u a t io n i s o b t a in e d f o r the s h e a r

s t r e s s

T [ g / c m 2 ] = 0. 137 M t [ g - c m ] . (43)

*

C H A P T E R IV

E X P E R I M E N T A L R E S U L T S

T he m o i s t u r e c o n t e n t and d r y d e n s i t y o f a l l the s a m p l e s u s e d

in the e x p e r i m e n t s a r e g i v e n in F i g u r e 10. F o r e a c h one o f th e t h r e e

s o i l s , t h r e e p o in t s w e r e s e l e c t e d f r o m the m o i s t u r e - d e n s i t y c u r v e

and s p e c i m e n s w e r e c o m p a c t e d at t h e s e m o i s t u r e s and d e n s i t i e s The

p o in t s w e r e g e n e r a l l y l o c a t e d , o n e v e r y n e a r th e o p t i m u m w a t e r c o n

ten t and the o t h e r tw o at a p p r o x i m a t e l y 2 p e r c e n t a b o v e and b e l o w

o p t i m u m m o i s t u r e c o n t e n t E a c h c o m b i n a t i o n w a s c a l l e d a s e r i e s ,

and d i f f e r e n t l e t t e r s w e r e u s e d to d e s i g n a t e the d i f f e r e n t s e r i e s The

t y p i c a l r e s u l t s p r e s e n t e d c o r r e s p o n d to s e r i e s H, s o i l N u m b e r 8-

R e p r e s e n t a t i o n o f Data

A l l e x p e r i m e n t a l data a r e p r e s e n t e d in g r a p h i c a l f o r m in

F i g u r e s 36 to 48 The t y p i c a l t i m e - d e f o r m a t i o n t e s t s that w i l l b e d i s

c u s s e d a r e p r e s e n t e d in a s e m i - l o g a r i t h m i c p lo t F i g u r e 11 i l l u s t r a t e s

the ty p e o f c u r v e s w h i c h s h o u ld r e s u l t f r o m c r e e p t e s t s in v i s c o e l a s

t ic m a t e r i a l s . C u r v e a c o r r e s p o n d s to a m a t e r i a l w h i c h e x h i b i t s

i n s t a n t a n e o u s e l a s t i c i t y , f lo w , and d e l a y e d e l a s t i c i t y . C u r v e b r e p r e

s e n t s a m a t e r i a l w h i c h h a s e l a s t i c and d e l a y e d e l a s t i c b e h a v i o r on ly .

T he f u n d a m e n t a l d i f f e r e n c e b e t w e e n the tw o c u r v e s i s th e p r e s e n c e of

a l i m i t i n g d e f o r m a t i o n for m a t e r i a l b , and th e u n l i m i t e d d e f o r m a t i o n

(f low) o f m a t e r i a l a6 3

64

W h e n e x p e r i m e n t a l r e s u l t s a r e a n a l y z e d i t i s i m p o r t a n t to

c o m p a r e the c r e e p c u r v e s w i th the c u r v e s in F i g u r e 11. E v i d e n c e

a v a i l a b l e in the s o i l m e c h a n i c s l i t e r a t u r e (ZO, 6 6 ) s u g g e s t s that c l a y s

a p p r o a c h (u nder c r e e p t e s t s ) a c o n s t a n t r a t e of d e f o r m a t i o n (f low) and

t h a t f a i l u r e i s the o n ly l i m i t i n g c o n d i t io n . The s i g m o i d a l s h a p e o f the

d e f o r m a t i o n - l o g t i m e c u r v e s s h o u ld not b e e x p e c t e d to a p p e a r e x c e p t

p e r h a p s a t v e r y low s t r e s s e s .

T y p i c a l R e s u l t s

F i g u r e s 1Z to 16 i l l u s t r a t e r e s u l t s o b ta in e d f r o m t o r s i o n

s h e a r c r e e p t e s t s . E a c h f i g u r e c o r r e s p o n d s to r e s u l t s o b t a in e d f r o m

t e s t i n g s e v e r a l s a m p l e s a t the s a m e s t r e s s l e v e l , but u s i n g d i f f e r e n t

t i m e s o f l o a d i n g for e a c h t e s t . It i s r e a s o n a b l e to e x p e c t that a l l the

c u r v e s ( fo r th e s a m e s t r e s s but d i f f e r e n t t i m e s ) s h o u ld f a l l one on top

o f the o t h e r , o r a t l e a s t , that th e y s h o u ld be v e r y c l o s e l y s p a c e d t o

g e t h e r . F r o m the t y p i c a l r e s u l t s p r e s e n t e d in F i g u r e s 1Z to 16 it c a n

b e s e e n that th e c u r v e s d id not f a l l v e r y c l o s e l y t o g e t h e r . T he v a r i a

t io n b e t w e e n c u r v e s c a n be e x p e c t e d to be a r e s u l t o f 1) s a m p l e v a r i

a n c e in m o i s t u r e c o n t e n t and d e n s i t y , Z) v a r i a t i o n in m e a s u r e m e n t s

(A Z ; AS; t i m e ) , and 3) e x p e r i m e n t a l e r r o r . A n a v e r a g e c u r v e i s

n e e d e d to c o m p a r e the e f f e c t of l o a d on d e f o r m a t i o n . T he a v e r a g e

c u r v e w a s o b t a in e d in the f o l l o w i n g w a y : fo r 0 •< t < 5 m i n u t e s , t h e

130

128

126

124

122

120

118

I 16

114

112

no

108

106

104

102

100

98

96

94

Series E

SHALESeries

Series F

S eries A

Series BSeries C RED SO/L

S eries NSeries R

YELLOW SOIL

Series H

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24MOISTURE CONTENT in PerC ent

ig. 10. - Moisture and density of samples used

Curve aCurve b

-Q5 0 ILog t

Fig. 11. - Typical creep behavior.o>Cl

SHEA

R ST

RAIN

*1

0

7 0 0

LEGENDFirst Lood

Series H.Soii # 8 r =102 4 5 lb/ft* w = 2 4 l6 % , w, =2205%

T = 5 2 0 g/cm*

Average5 mmI5min30minGOmin.120 mn.300mm

6 0 0

5 0 0

400

3 0 0 7 —

200

I 00

IQOOO30 3000 3 10001 0 3 to01 3TIME in M inutes

Fig. 12. - Time-deformation curves. Stress = 520g/cm2

O'-j

SHEA

R ST

RAIN

*1

0'

700

6 0 0

5 0 0

4 0 0

300

200

100

L I 1 111 LLEGENDF>f»t Load

Soria* H ,Soil*B r • 102 9 l b / f l \ w * 23 7 2 % ; w* 21.7%

T ■6l0g/e*

Avoragt— .....—...... — 9 mm

15 mid 30 mm 60 m VI

120 min300m m

+..+.4.144

3 10

TIME in Minuto*

300 IPOO 3 0 0 0 (OpOO

Fig. 13. - Time-deformation curves. Stress = 610g/cn/

CD00

SHEA

R ST

RAIN

«

10

7 0 0

6 0 0

500

400

300

2 0 0

100

LEGENDAveroge

— ..... - 5 min ----- 15 min

30 min 6 0 mm

I i 1 m 111 t i i ! ;First Lood

S*ri« H ,S o il 8 1r = l02 48 lb/ft* 24 07% 21 23% *

T s 6 9 6 g/cm ' j !

1 --------- 1— r TT

— 120 min 300min

10 30

TIME in Minutes

1000 3p0 0 lOpOO

Fig. 14. - Time-deformation curves. Stress = 696g/cm^

osCO

SHEA

R ST

RAIN

«

10

7 0 0

6 0 0

5 0 0

4 0 0

3 0 0

200

100

Fir»t Lood S»ri«*H.Soil # 8

r < 102 16 Ih /f l; w « 24.11%: w, • 2169%T *783g/cmLEGEND

A verage5 rrnn I5min 30 min 60 min I20mtn 300min

3 10 30

TIME in Minut**

I jOOO 3000 10000

oFig. 15. - Time-deformation curves. Stress = 783g/cm

SHEA

R ST

RAIN

I

10

7 0 0

6 0 0

5 0 0 ------

4 0 0

300

200

100

First u n d Series H, So il# 8

r * 102 16 lb /f t‘1»i*23.53%,«iF=22 23% T * 8 7 0 g/cm *

LEGENDAverage 5mm15 min 30m in

60mm120 min 3 0 0 min

TIME in Minutes

Fig. 16. - Time-deformation curves. Stress = 870g/cm?

IQOOO

SHEA

R ST

RAIN

x

10

700

600

T*783 g/cm

. 500

T * 696 g/cm1400

300

200

100

01 03 0.3 3 10 30 100 300 1000TIME in Minutes

Fig. 17. - Adjusted time-deformation curves

I V

73

a v e r a g e c u r e i s o b t a i n e d by a d d in g th e r e s u l t s o b t a in e d f r o m e a c h

t e s t and d i v i d i n g by th e n u m b e r o f t e s t s ; th e s a m e p r o c e d u r e c o u ld

not be u s e d fo r t > 5 m i n u t e s , b e c a u s e s o m e o f the t e s t s w e r e not c o n

t in u e d a t t i m e s g r e a t e r than 5, 15, 3 0 , 6 0 , 120 m i n u t e s r e s p e c t i v e l y .

F o r t> 5 m i n u t e s the a v e r a g e c u r v e w a s c a l c u l a t e d a s s u m i n g th a t th e

r a t io b e t w e e n the 300 m i n u t e c u r v e an d the a v e r a g e c u r v e for t > 5

m i n u t e s w a s the s a m e a s the r a t io b e t w e e n the tw o c u r v e s for t < 5

m i n u t e s . The a v e r a g e c u r v e s a r e p r e s e n t e d in F i g u r e 17. In a t y p i

c a l c r e e p t e s t , the l o a d w a s a p p l i e d f o r a c e r t a i n t i m e and th en r e

m o v e d and the s a m p l e w a s a l l o w e d to r e c o v e r ; the r e c o v e r y c u r v e s

a r e a l s o g i v e n in F i g u r e s 12 to 16. A l l th e s a m p l e s u s e d w e r e f r e s h

s a m p l e s ; the s o i l u s e d w a s No- 8, s e r i e s H, and a l l the i n f o r m a t i o n

w ith r e g a r d to d e n s i t y an d m o i s t u r e c o n t e n t i s g i \ en in e a c h c u r v e .

T h e f in a l m o i s t u r e c o n t e n t a f t e r the s a m p l e w a s t e s t e d i s a l s o g i v e n

(W^). T he s a m p l e s w e r e t e s t e d at th e f o l l o w i n g s t r e s s e s :

2t = 520 , 6 1 0 , 6 9 6 , 7 8 3 , and 870 g / c m .

. 2F o r s t r e s s e s l e s s than 520 g / c m , the a p p a r a t u s w a s not

s u f f i c i e n t l y s e n s i t i v e to d e t e c t a c c u r a t e l y th e d e f o r m a t i o n p r e s e n t ;

, 2fo r s t r e s s e s g r e a t e r than 870 g / c m , the s a m p l e f a i l e d in t e n s i o n . A

p a r t i c u l a r s t r e s s w a s a p p l i e d on d i f f e r e n t f r e s h s a m p l e s f o r 5, 15, 30,

6 0 , 120, a n d 300 m i n u t e s ; the lo a d ( s t r e s s ) w a s t h e n r e m o v e d , the

74

s a m p l e a l l o w e d to r e c o v e r f o r a c e r t a i n p e r i o d o f t i m e a f t e r w h i c h

th e l o a d w a s a p p l i e d a g a in . T h e c o m p l e t e l o a d i n g - u n l o a d i n g c y c l e w a s

r e p e a t e d s i x o r m o r e t i m e s . The r e s u l t s f r o m r e p e a t e d lo a d t e s t s

w i l l be p r e s e n t e d l a t e r .

N o n e o f th e c u r v e s p r e s e n t e d in F i g u r e 17 s u g g e s t s the s i g

m o i d a l s h a p e o f a c u r v e d i s c u s s e d b e f o r e e x c e p t p e r h a p s th e c u r v e

. Zf o r t = 520 g / c m , and on ly to a v e r y s m a l l d e g r e e . T h is i n d i c a t e s

the p r e s e n c e o f f l o w . The f lo w o r p e r m a n e n t s e t c a n be o b s e r v e d a l s o

f r o m the r e c o v e r y c u r v e s .

F l o w and V i s c o s i t y

The p e r m a n e n t d e f o r m a t i o n w a s o b s e r v e d to d e p e n d u p on the

s t r e s s l e v e l and upon the t i m e the s t r e s s w a s a c t i n g If the p e r m a

nen t d e f o r m a t i o n i s p lo t t e d a g a i n s t t i m e o f lo a d in g : a f a m i l y o f c u r v e s

r e s u l t s ; e a c h c u r v e c o r r e s p o n d i n g to a d i f f e r e n t s t r e s s T h e s e a r e

th e s o - c a l l e d 11 f lo w c u r v e s . M The f low c u r v e s o b t a in e d f r o m th e u n

lo a d c u r \ e s a r e i l l u s t r a t e d in F i g u r e 18. It i s o b s e r v e d that the f low

c u r v e s a p p r o a c h a u n i f o r m s l o p e at t i m e s g r e a t e r than abou t 100

m i n u t e s ; th e f low c u r v e s c a n thus be r e d u c e d to a v i s c o s i t y c u r v e , or

c u r v e g i v i n g the r e l a t i o n b e t w e e n the r a t e of p e r m a n e n t s h e a r s t r a i n

to s h e a r s t r e s s . The r a t e o f s h e a r s t r a i n w a s c a l c u l a t e d a s s u m i n g

that th e f lo w c u r v e had a c o n s t a n t s l o p e f r o m t = 100 m in . to t = 300

m in- F i g u r e 19 i l l u s t r a t e s the v i s c o s i t y c u r v e o b t a in e d f r o m th e f low

Per

man

ent

Shea

r ST

RAIN

>1

0

4 0 0

Flow Curves Series H , S o il# 8

3 0 0

200

100

0 50 250 3 0 0100 150 200 3 5 0

TIME in M inutes

Fig. 18. - Flow curves.

-4en

10 Se

c

N *■ 60 [ 60

12

I I

10

9

8

7

V-. 8 .55 -5 .1510

T j = 0.34 x I0 ,s poises

Fig. 19. - Viscosity curve.

5 7 8

T dynes/ c n f x I0B

10

-ao>

77

c u r v e s . The f l o w o r the v i s c o s i t y c u r v e s s u g g e s t s a B i n g h a m ty p e of

f low , w i t h a B i n g h a m y ie ld v a l u e (or s e c o n d y i e l d v a lu e ) o f ab ou t

5 2 13t, = 5. 1 x 10 d y n e s / c m and a v i s c o s i t y o f a b o u t q = 0. 34 x 10

p o i s e s .

VSo. e i m p o r t a n t than the B in g h a m o r s e c o n d y i e l d v a lu e i s

the f i r s t y i e ld v a l u e . The f i r s t y i e l d v a lu e , has the c h a r a c t e r

i s t i c that for s t r e s s e s b e low i t , t h e r e i s no f l o w p r e s e n t and the b e

h a v i o r i s e l a s t i c . R e c e n t l y , S c h i f f m a n (11) h a s q u e s t i o n e d the e x i s t

e n c e o f the f i r s t y i e l d v a lu e an d h a s p r o p o s e d a v i s c o s i t y c u r v e that

s t a r t s a t the o r i g i n ( s h o r t , d a s h e d l in e , F i g u r e 19)-

It i s v e r y u n fo r tu n a te in d e e d that t h e a p p a r a t u s u s e d in th is

i n v e s t i g a t i o n w a s not s u f f i c i e n t l y s e n s i t i v e to d e t e c t the d e f o r m a t i o n

, 2p r e s e n t at s t r e s s e s b e lo w 520 g / c m ■ T h u s , no c o n t r i b u t i o n c o u ld be

m a d e to the s o l u t i o n o f the p r o b l e m of the s h a p e o f the i n i t i a l p a r t of

the v i s c o s i t y c u r v e .

F o r s t r e s s e s g r e a t e r than 870 g / c m , the v i s c o s i t y c u r v e

c o u ld n o t be e x t e n d e d b e c a u s e m o s t of the s a m p l e s f a i l e d a f e w m i n

utes a f t e r lo a d in g . T h e fact that the s a m p l e s f a i l e d i n d i c a t e that the

v i s c o s i t y c u r v e a b o v e that s t r e s s ex h ib i t a b e h a v i o r kn ow n a s " r a te of

s h e a r th inning" ( s e e F i g u r e 3, p. 40).

I n s t a n t a n e o u s ( E l a s t i c ) D e f o r m a t i o n

T h e i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n w a s d e f i n e d a s the d e f o r m a t i o n

p r e s e n t one s e c o n d a f t e r the a p p l i c a t i o n of the lo a d ; w i t h the p a r t i c u

l a r a p p a r a t u s u s e d i t w a s p r a c t i c a l l y i m p o s s i b l e to ta k e a n y r e a d i n g s

at t i m e s s m a l l e r than o n e s e c o n d . The d e f i n i t i o n o f i n s t a n t a n e o u s

d e f o r m a t i o n i s thus m o r e a m a t t e r of c o n v e n i e n c e than of a f u n d a

m e n t a l n a t u r e .

A g r a p h i l l u s t r a t i n g the r e l a t i o n b e t w e e n s t r e s s and i n s t a n

t a n e o u s d e f o r m a t i o n i s s h o w n in F i g u r e 20 fo r s o i l s e r i e s H. The

2s t r e s s - s t r a i n c u r v e i s l i n e a r up to a s t r e s s of 6 9 6 g / c m The t a n

g e n t to th e c u r v e in th e l i n e a r r a n g e i s e q u a l to the s h e a r m o d u l u s

and h a s a m a g n i t u d e o f G = 1320 K g / c m F o r s t r e s s e s h i g h e r than

26 96 g / c m , th e s t r e s s - s t r a i n d i a g r a m i s n o l o n g e r l i n e a r . F i g u r e 20

a l s o i l l u s t r a t e s the r e s u l t s o b t a in e d f r o m s e r i e s N and R.

Rate o f S t r a in

E a r l y d u r in g the e x p e r i m e n t a l p a r t of t h i s in \ e s t i g a t i o n , the

q u e s t i o n w a s a s k e d a s to how l o n g th e s a m p l e s s h o u l d b e a l l o w e d to

r e c o v e r a f t e r r e m o v i n g the l o a d If th e r a t e o f s t r a i n i s c a l c u l a t e d

and a g r a p h i s c o n s t r u c t e d s h o w i n g th e r e l a t i o n b e t w e e n the r a t e o f

s t r a i n and t i m e , th en p r e s u m a b l y t h i s g r a p h c o u l d b e u s e d to d e t e r

m i n e w h e t h e r o r not th e r a t e o f d e f o r m a t i o n i s g o i n g to r e a c h z e r o

a s a l im i t -

SHEA

R ST

RESS

g/

cm

79

500

1400

Slope *1780 Kg/cm _1300

1200I 1 0 0

1000

9 0 0

8 0 0

7 0 0

6 0 0

5 0 0

4 0 0 7 3 ^ Slope * 1320 Kg/cm

O Series N A S eries R □ Series H

3 0 0

L l200 T 7• t t

I U - -00

0 10 20 3 0 4 0 5 0 6 0 70 80 9 0 100 IInstontoneous SHEAR STRAIN xIO"8

Fig. 20. - Stress-strain diagram; soil 8H.

80

T h e l o g a r i t h m o f the s t r a i n r a t e w a s p l o t t e d v e r s u s the l o g a

r i t h m o f t i m e . T y p i c a l r e s u l t s a r e i l l u s t r a t e d in F i g u r e 21. It i s

i n t e r e s t i n g to kn ow th a t e s s e n t i a l l y th e s a m e r e s u l t s w e r e o b t a i n e d

f r o m the u n lo a d o r f r o m the l o a d p a r t o f the c u r v e . T h e s e r e s u l t s

i n d i c a t e that the p h e n o m e n a o f ra te o f c r e e p d e f o r m a t i o n and r a t e o f

r e c o v e r y o f d e f o r m a t i o n c a n be d e s c r i b e d , a s a f i r s t a p p r o x i m a t i o n ,

by the s a m e e m p i r i c a l e q u a t io n . G e n e r a l l y it w a s s h o w n that i f th e

f i r s t o b s e r v a t i o n ( c o r r e s p o n d i n g to th e i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n ) i s

o m i t t e d , a s t r a i g h t l i n e f i t s the r e s t o f th e e x p e r i m e n t a l p o in t s q u i t e

c l o s e l y . T h is c o r r e s p o n d s to an e q u a t i o n o f the ty p e

= a t ‘ n (44)dt

I n t e g r a t i n g , th e f o l l o w i n g e q u a t i o n i s o b t a i n e d

-n + 1\ ( t ) = y o + —— — (45)- n + 1

E q u a t io n 4 4 i n d i c a t e s that th e r a te of s h e a r s t r a i n w i l l r e a c h

z e r o o n l y fo r t = ° ̂ F o r th at r e a s o n , th e c u r v e s c o u l d not be u s e d to

p r e d i c t f o r how l o n g the s a m p l e s s h o u l d b e a l l o w e d to r e c o v e r . E q u a

t io n 4 5 i s a c r e e p e q u a t i o n o f the f o r m d i s c u s s e d b y L e a d e r m a n (15).

It c a n b e u s e d to r e p r e s e n t th e c r e e p b e h a v i o r of th e s o i l s t e s t e d ,

p r o v i d e d that the t i m e i n t e r v a l s a r e w i t h i n the r a n g e u s e d in the

e x p e r i m e n t s .

STRA

IN

RATE

,M

irv’

« 10

'

81

iqooo

3,000

1,000

300

10018.111

30

0 3

*1 r*8?0ond 783 j/crrf •I T-693 j/c m ' *T"S20and6l0g/crrf01

03

30 100 300 1,000 3000 10,0000 3 10301 I01 03

TIME m Minutes

Fig. 21. - Log. rate of strain vs, log. of time; soil 8H.

100

■SE3utI/I<*

ioxH

c

03

500 300100 150 200 250 450350TIME in Minutes

Fig. 22. - Log. rate of strain v s. tim e; so il 8H.00to

It i s m o r e c o n v e n i e n t to d e v e l o p e q u a t i o n s o f th e f o r m a d v a n c e d

by th e t h e o r y of v i s c o e l a s t i c i t y . F o r i n s t a n c e , t h e v i s c o e l a s t i c e q u a

t io n o f a B u r g e r ' s m o d e l i s o f th e f o r m

v(t) = ~ + -£r {1 - e ' t'/'Tl} (46)2 2 . E 1

a n d

d v _ a a - t / T— - ---- + — e 1dt q qi2

(47)

If the v a l u e s o f ff and q f r o m t y p i c a l r e s u l t s a r e s u b s t i t u t e d

in e q u a t io n 4 7 , th e r a t i o tr/Tq ̂ i s found to b e v e r y s m a l l and c a n be

n e g l e c t e d a s a f i r s t a p p r o x i m a t i o n .

T h u s

ST = TT e ' ' / T l <48)dt q

A p p ly in g l o g a r i t h m s to e q u a t io n 4 8 , the f o l l o w i n g e x p r e s s i o n i s o b t a in e d

1 ny = l n - f - - -= r (49)1 1

T h u s , i f the l o g a r i t h m o f the r a t e o f s t r a i n i s p lo t t e d v e r s u s

t i m e , a s t r a i g h t l i n e s h o u l d b e o b t a in e d . In F i g u r e Z Z , an e q u a t io n of

th e f o r m

84

i s p lo t t e d , and a n a v e r a g e c u r v e o b t a in e d f r o m the e x p e r i m e n t a l p o in t s

i s a l s o p lo t te d . It i s o b s e r v e d th at t h e r e i s a b r e a k on the e x p e r i

m e n t a l p o in t s at v a l u e s o f t o f a b o u t 60 m i n u t e s . T h i s i n d i c a t e s that

the B u r g e r ' s m o d e l i s not a g o o d r e p r e s e n t a t i o n o f th e e x p e r i m e n t a l

p o in t s and that p r e s u m a b l y s e v e r a l v a l u e s f o r the r e t a r d a t i o n t i m e

s h o u ld be c o n s i d e r e d .

It w a s a l s o a p p a r e n t f r o m F i g u r e 21 that the r a te o f s t r a i n

w a s d e p e n d e n t on s t r e s s l e v e l . F o r the p a r t i c u l a r t e s t s a n a l y z e d ,

2the data c o u l d be g r o u p e d in t h r e e l i n e s : One fo r t = 520 and 6 1 0 g / c m ,

, 2 2 one fo r t = 696 g / c m , and a t h i r d fo r t = 783 and 8 7 0 g / c m .

S t i f f n e s s C u r v e s

T he t e r m s t i f f n e s s w a s i n t r o d u c e d b e f o r e a s th e q u o t i e n t o f

s t r e s s to s t r a i n a t a n y t i m e (29).

s <t> = ^ (51)

At t = 1 s e c . , y = y , and S = G. At a n y o t h e r t i m e , t > 1 s e c . theii*

s t r e s s - s t r a i n r a t io w i l l b e s m a l l e r th a n G.

S(t) < G

F o r a l i n e a r v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l , the s t i f f n e s s s h o u l d be

i n d e p e n d e n t o f s t r e s s . If the l o g a r i t h m o f S i s p lo t t e d a g a i n s t l o g a

r i t h m o f t i m e , a s m o o t h c u r v e r e s u l t s ( F i g u r e 23). It i s o b s e r v e d

STIF

FNES

S m

Kg/

cm

10 ,000

6,000

3,000

X = 520 and 610 K g/cm 1

1,000

6 00

X = 783 and STOg/cnV3 0 0

■

00

60

30

100 6 0.101 0.3 0.603 3 6 10 6 0 10030 300 600

TIME in M inutes

Fig. 23. - Stiffness curves; soil 8H.

STIF

FNES

S , K

g/cm

86

I, OCX), 000

300,000

100,000

{ + fi-+++t ■ t" * f __n™'T •I—̂ f—I ■■

30,000.Kelvin

i +4 -H - ■

10,0004 t t f*

-t t m-h4 * . +4+

3,000

,000

300

100

30

10,00030 100 300100 301 I0301TIME in Minutes

Fig. 24. - St i f fness curves of three rheological m od e ls .

87

th a t the r e s u l t s do no t fa l l on the s a m e a v e r a g e c u r v e , i n d i c a t i n g that

th e m a t e r i a l t e s t e d i s n o t p e r f e c t l y l i n e a r , but o n ly to a s m a l l d e g r e e .

T h e s t i f f n e s s c u r v e c o u ld be u s e d to o b ta in a r h e o l o g i c a l e q u a t io n th at

w o u l d fit th e e x p e r i m e n t a l p o in ts -

F o r c o m p a r a t i v e p u r p o s e s , the s t i f f n e s s c u r v e s o b t a in e d f r o m

s e v e r a l r h e o l o g i c a l m o d e l s a r e i l l u s t r a t e d in F i g u r e 24. It i s e a s i l y

o b s e r v e d that none of the m o d e l s g i v e a s a t i s f a c t o r y c u r v e that c o u l d

b e u s e d to r e p r e s e n t th e e x p e r i m e n t a l s t i f f n e s s c u r v e o f F i g u r e 23

R e s u l t s f r o m R e p e a t e d L oad T e s t s

F i g u r e s 25 to 29 p r e s e n t the r e s u l t s o f r e p e a t e d t e s t s on -

s a m p l e s fo r t = 300 m i n u t e s and t = 520 to 870 g / c m , r e s p e c t i v e l y .

F o r c o m p a r i s o n , the c u r v e s h a v e b e e n p lo t t e d i n d e p e n d e n t l y o f e a c h

o t h e r , a s s u m i n g that a f t e r e a c h l o a d c y c l e the i n i t i a l d e f o r m a t i o n i s

z e r o . The d e f o r m a t i o n c o m p u t e d on t h i s b a s i s h a s b e e n c a l l e d the

" r e l a t i v e d e f o r m a t i o n . " It i s e a s i l y o b s e r v e d that lo a d r e p e t i t i o n

c h a n g e s the s h a p e , and m a g n i t u d e of th e c r e e p c u r v e . T h e r h e o l o g i

c a l m o d e l f i t t e d to the e x p e r i m e n t a l p o in t s w i l l be d i s c u s s e d l a t e r .

F o r the f i r s t l o a d i n g , the lo a d c u r v e i s v e r y s h a r p and the

m a g n i t u d e o f the to ta l d e f o r m a t i o n i s a l s o g r e a t . T h e u n lo a d p a r t

i n d i c a t e s th e p r e s e n c e o f a l a r g e p e r m a n e n t d e f o r m a t i o n (or f low) .

T h e c r e e p c u r v e for th e s e c o n d l o a d i n g i s m o r e g e n t l e and the

88

r e c o v e r y a f t e r u n load i s s u b s t a n t i a l . T h e f o l l o w i n g l o a d i n g c y c l e s

a c c e n t u a t e s f u r t h e r t h i s e f f e c t , and fo r th e fi f th and s i x t h l o a d s the

r e c o v e r y i s a l m o s t c o m p l e t e . T h is i n d i c a t e s the p r e s e n c e o f the p h e

n o m e n o n c a l l e d " m e c h a n i c a l c o n d i t i o n i n g , ( s e e L e a d e r m a n (1 5)-

E f f e c t o f R e p e a t e d L oad T e s t s on I n s t a n t a n e o u s D e f o r m a t i o n

The e f f e c t of lo a d r e p e t i t i o n on the i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n

/ 2i s i l l u s t r a t e d on F i g u r e s 30 and 31. F o r s t r e s s e s o f 520 and 610 g / c m ,

t h e r e i s no s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e b e t w e e n th e lo a d and u n lo a d i n s t a n

t a n e o u s d e f o r m a t i o n , and f u r t h e r m o r e , the m a g n i t u d e o f th e i n s t a n

t a n e o u s d e f o r m a t i o n i s not a f f e c t e d by l o a d r e p e t i t i o n an d the v a r i a t i o n

/ 2p r e s e n t i s a p p a r e n t l y p u r e l y a m a t t e r o f c h a n c e F o r ̂ - 696 g / c m ,

th e i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n h a s the t e n d e n c y to b e c o m e s m a l l e r w i t h

l o a d r e p e t i t i o n ; a l s o , the i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n o b t a i n e d in the

u n lo a d p a r t h a s a t e n d e n c y to b e s m a l l e r than the c o r r e s p o n d i n g

/ 2l o a d i n g p a r t F o r t = 870 g / c m , the a f o r e m e n t i o n e d t e n d e n c y i s

c l e a r l y sh o w n : the g r e a t e s t c h a n g e in the m a g n i t u d e o f th e i n s t a n t a n

e o u s d e f o r m a t i o n o c c u r s a f t e r the f i r s t l o a d i n g . A f t e r that , the

c h a n g e in m a g n i t u d e i s l e s s p r o n o u n c e d , and it i s e i t h e r an i n c r e a s e

o r d e c r e a s e .

A l l the s a m p l e s l o s t s o m e m o i s t u r e by e v a p o r a t i o n d u r in g

th e t i m e th e y w e r e t e s t e d . C o n s i d e r a t i o n w a s g i v e n to h o w m u c h o f

Fig. 25. - Time-relative deformation curves. Stress =

89R elative SHEAR STRAIN x 10'*

CJltooeravoBto

c<6

LO AD IN G

UNLOAD

R elative SHEAR STRAIN x 10

250

Fig- 26. - Time-relative deformation curves.

Stress = 6l0g/cm'

R e la t iv e SHEAR STRAIN x 1 0 "

i*01

to

LOADING

UNLOADI t

06 Relative SHEAR STRAIN xIO"

250

Relat

ive

SHEA

R ST

RAIN

x

10

Series F, Soil*8 T =696g/cm* 200

1504 0 0

1003 5 0

503 0 0

250

200 ^ “

150

100

IpOO 3P00 IOPOO01 03 0 1 0 3 10 30 100 3003

TIME in Minutes

oFig. 27. - T im e-relative deformation curves. Stress = 696g/cm

Rela

tive

SHEA

R ST

RAIN

* 10

Rela

tive

SHEA

R ST

RAIN

x

10'

4

300

Series F, Soi1# 8 T = 783g/cm *

250

2004 0 0

Q- 150350

100- 3 0 0

502 5 0

'g _ M o d e l200 Q>---

150

100

50

0301 0.3 300 (POO 3,000 10,0000.1 10 303 100TIME in Minutes

Fig. 28. - Tim e-relative deformation curves. Stress = 783g/cm2 toto

Rela

tive

SHEA

R ST

RAIN

x

10

Relative SHEAR STRAIN k 10

*3rfqtoCO

iH»—•3(DI

r-t-!-*•<CDa®o'36

Oc•1<;toCD

H<000DO

00-ao0QoBto

ro

LOADING

H.1-1- w 00 v>

m

3

3

Ci.

UNLOAD

ro

Relotive SHEAR STRAIN *10'*S6

th e v a r i a t i o n in i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n w i t h l o a d r e p e t i t i o n i s r e a l l y

c a u s e d b y s t r u c t u r a l e f f e c t s , an d how m u c h i s due to m o i s t u r e l o s t .

. 2It w a s s h o w n b e f o r e that , f o r s t r e s s e s o f 52 0 and 6 10 g / c m , t h e r e i s

no s i g n i f i c a n t c h a n g e in the m a g n i t u d e o f th e i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a

t io n w i th l o a d r e p e t i t i o n . T h e m o i s t u r e l o s t in the s a m p l e s w a s 0. 8

p e r c e n t and 1. 6 p e r c e n t r e s p e c t i v e l y . It c a n be i n f e r r e d , th en , that

a m o i s t u r e l o s s o f 1. 6 p e r c e n t had no a p p a r e n t e f f e c t on the m a g n i

tu de o f the i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n . F o r s t r e s s e s e q u a l to 696

2g / c m , the s a m p l e l o s t 1. 27 p e r c e n t w a t e r ; the i n s t a n t a n e o u s d e f o r

m a t i o n h a d a t e n d e n c y to d e c r e a s e w i t h l o a d r e p e t i t i o n . B e c a u s e it

w a s s h o w n b e f o r e that a m o i s t u r e l o s s o f 1. 6 p e r c e n t h a d no a p p a r

ent e f f e c t on the m a g n i t u d e o f the i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n , it c o u l d

be c o n c l u d e d that th e t e n d e n c y s h o w n by th e c r e e p c u r v e f o r a s t r e s s

2o f 696 g / c m w a s due to o t h e r f a c t o r s th an m o i s t u r e l o s s . T he s a m e

/ 2a r g u m e n t a p p l i e s to the s a m p l e t e s t e d a t a s t r e s s e q u a l to 870 g^cm ,

w h i c h h a d a m o i s t u r e l o s s o f a b o u t 1. 2 p e r cen t . On th e o t h e r han d ,

/ 2th e s a m p l e s t e s t e d at s t r e s s e s e q u a l to 783 g / c m l o s t 2. 1 5 p e r c e n t

w a t e r . F o r t h i s c a s e i t w a s no l o n g e r p o s s i b l e to d i s m i s s the e f f e c t

o f m o i s t u r e l o s s a s i n s i g n i f i c a n t . T h e t e n d e n c y o f the i n s t a n t a n e o u s

d e f o r m a t i o n to d e c r e a s e in m a g n i t u d e w i t h l o a d r e p e t i t i o n i s p r o b a b l y

a s s o c i a t e d w i th the m o i s t u r e l o s s .

Fig. 30. - Effect of load repetition on the magnitude of the instantaneous de

formation. Stresses = 870 and

783 g/cm2

INSTANTANEOUS OEFORMATlONx 10 *— N

o o o o o o

r\>

u>M

20

roUla)

LOAD R

EP

ET

ITIO

N

INSTANTANEOUS DEFORMATION x 1 0 '*

0 0 8 S 0 8 0 0 S 0

INSTANTANEOUS DEFORMATION x 10

o o o £ ! $ < £ 8 c > § < §

roro

z o01o>O 01

H * O

II■c2SX>o

■

k

orob»t*

* H v> m «.» s .

* ♦

it

ro01**

V>en

S o il* 8r = 1 0 2 .5 l b / f t ’ , * = 2 4 .2 5 % -.wF«2 2 .1 %

r= 783gA :nf; t*300m in .90z0

180

§ 7 0U.UJQ 6 0

O 50 uj

40z?z<COz

LOADUNLOAD

3 0

20

2 3 64 5LOAD REPETITION

150

140 Soil ̂ 8y * 102.7lb/ft*; w = 2 3 ,4 % , wp= 2 2 2 %

r = 8 7 0 g/cm*; t*300m in130

120HItoxo 100

2 9 0(E £- 8 0 UJoco 7 0

3 6 0UJ

I 5 0

to 4 0 z

LOADUNLOAD

3 0

20

2 4 53 6LOAD REPETITION

Fig. 31. - Effect of load repetition on the magnitude of the instantaneous deformation. Stresses= 696, 610 and 520 g/cm^

97

The t e s t s d e s c r i b e d b e f o r e w e r e the l o n g e s t in durat ion , s o m e

t e s t s l a s t i n g fo r m o r e t h a n a week . T h e e f f e c t of m o i s t u r e l o s s c a n

b e e x p e c t e d to b e m o r e p r o n o u n c e d th a n in any o t h e r t e s t s . It c a n b e

s a i d that a m o i s t u r e l o s s o f 1. 6 per c e n t or l e s s d id not a f f e c t the

m a g n i t u d e o f the i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n .

R e c o v e r a b l e D e f o r m a t i o n (or R e ta rd ed E l a s t i c i t y )

The d e la y e d e l a s t i c d e f o r m a t i o n can be r e p r e s e n t e d by a

co n t in u o u s d i s t r ib u t io n o f r e t a r d a t io n t i m e s

*<T) = f a F(T ) {1 - e ' ty/T} d T (52)o

w i t h

r ^ F t T ) d T = 1 (53)o

w h e r e F (T ) i s the n o r m a l i z e d d i s t r i b u t i o n function. The only p r o b

l e m is to find the c o r r e c t f o r m for F ( T ) . A l f r e y (6 8 ) g i v e s an a p

p r o x i m a t e m e t h o d of o b t a i n i n g the d i s t r i b u t i o n and d e n s i t y function.

F r e u d e n t h a l (7 0 ) s u g g e s t s a n o t h e r m e t h o d in w h ic h a p a r t i c u l a r and

a r b i t r a r y f o r m is a s s u m e d for F(T) a n d the i n t e g r a t i o n of equat ion

52 i s p e r f o r m e d and th e d a ta a r e f i t ted b y the s e l e c t i o n o f a p p r o p r i

a t e c o n s ta n t s -

In the s i m p l e c a s e F(T) = C o n s t a n t , the i n t e g r a t i o n of e q u a

t i o n 52 l e a d s to an i n f i n i t e s e r i e s ; for e a c h o b s e r v a t i o n at any t i m e t,

98

the s e r i e s m u s t be a d d e d and e v a l u a t e d . The n u m b e r o f o b s e r v a t i o n s

o f a t y p i c a l t e s t i s n e a r l y 25: t h i s m e a n s that fo r e a c h p a r t i c u l a r t e s t ,

at l e a s t 25 in f in i t e s e r i e s m u s t b e e v a lu a te d to o b t a in a n e x p r e s s i o n

for t h e d e l a y e d e l a s t i c i t y . O b v i o u s l y the n e c e s s a r y w o r k i s lo n g and

t e d i o u s .

W i e c h e r t (15) d i s c u s s e d a s p e c i a l d i s tr ib u t io n f u n c t i o n of the

n o r m a l f o r m

F ( T ) d T = e - b V < i s (54)

(T)w h e r e z = 1 n ------- (w h e r e r i s t h e r e t a r d a t io n c o r r e s p o n d i n g to the

m o d e ) . T h e r e i s a n in f in i t e s e t o f r e t a r d a t io n fu n c t io n s ^(t) g i v e n b y

the d i s t r i b u t i o n , a c c o r d i n g to t h e v a lu e c h o s e n fo r the 11 c o e f f i c i e n t o f

c o n c e n t r a t i o n , ” b. An in f in i t e v a l u e of the c o e f f i c i e n t of c o n c e n t r a t i o n

c o r r e s p o n d s to a s i n g l e r e t a r d a t i o n t im e . F o r p u r p o s e o f i l l u s t r a t i o n ,

two t y p i c a l d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s a r e p r e s e n t e d in F i g u r e 32. In o r d e r

to f it th e e x p e r i m e n t a l data w i th a n equat ion s u c h a s e q u a t i o n 52, the

f o l l o w i n g p r o c e d u r e w a s e s t a b l i s h e d : the d e f o r m a t i o n r e c o v e r y a f t e r

u n lo a d in g w a s t a b u la te d and the c o m p l i a n c e J = \ / t w a s c o m p u t e d .

The c o m p l i a n c e J i s the i n v e r s e o f the s t i f f n e s s S d e f in e d b e f o r e ,

e x c e p t fo r the fa c t th a t the s h e a r s t r a i n y u s e d to c o m p u t e th e c o m

p l i a n c e did not i n c l u d e the i n s t a n t a n e o u s and th e p e r m a n e n t p a r t of the

*U)

Density Function

3 -

2 - -

FW1 - -

Distribution Function

Density Functionb-o

I--

X0 ba

Fig. 32. - Typical distribution and density functions «>

(X)

J

Log X

-50

.450.9

4008

F (x) Distribution Function07 35

0 6

2505f(x)Desity Function

Continuous.-Discontinuous0 4 20

0.3

0 2

0 1 05

T#* I Minute

003 01 300001 03 03 3 10 100 Ipoo 3000 10,0000.1 30

X 't /T ,

Fig. 33. - Distribution of retardation tim es 100

1 0 1

d e f o r m a t i o n . T he v a l u e s o f J o b t a i n e d w e r e t h e n n o r m a l i z e d , that i s ,

e a c h v a lu e o f J w a s d i v i d e d b y th e m a x i m u m v a lu e o f J. The m a x i

m u m v a l u e o f J w a s o b t a in e d a f t e r a r e c o v e r y o f 1140 m i n u t e s . If the

n o r m a l i z e d v a lu e o f J i s p lo t t e d v e r s u s l o g a r i t h m o f t i m e , a s i g m o i d a l

c u r v e w i l l r e s u l t . T o o b ta in th e v i s c o e l a s t i c s p e c t r u m an a p p r o x i

m a t e m e t h o d d e s c r i b e d by A l f r e y (68) w a s u s e d . A c c o r d i n g to the

p r o p o s e d s t a n d a r d n o m e n c l a t u r e fo r v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l s (7 1 ) the

r e t a r d a t i o n s p e c t r u m L(t) i s d e f i n e d by

t oo - 1 / T"1M t) = \ T - 7 , . (1 - e ( L ( T ) d l n T (55)

I iV T]

The m e t h o d p r o p o s e d b y A l f r e y g i v e s an a p p r o x i m a t i o n to the

fu n c t io n ( log T) w h e r e L ( lo g T) d l o g T = J ( T ) d T . T he m e t h o d c o n

s i s t s o f p lo t t in g the c u r v e J v e r s u s l o g T, the s l o p e o f th is c u r v e i s

o b t a i n e d a n d p lo t te d a g a i n s t l o g T. T he c u r v e o b t a in e d , c a l l e d L' ( log

T) i s a f a i r a p p r o x i m a t i o n to th e a c t u a l d i s t r i b u t i o n fu n c t io n L ( log T),

a c c o r d i n g to A l f r e y .

F i g u r e 33 p r e s e n t s the r e s u l t s o b t a in e d f r o m a t y p i c a l 1 140

m i n u t e s r e c o v e r y t e s t on s o i l No. 8. F i r s t , the d i s t r i b u t i o n fu n c t io n

F(x ) w a s p lo t t e d a g a i n s t x , w h e r e x = t / T and T = 1 m i n u t e . N e x t ,o o

the s l o p e w a s c o m p u t e d and t h e d i s c o n t i n u o u s fu n c t io n (x) w a s p lo t t e d

a g a i n s t x , w h e r e x = T / r . T h e h i s t o g r a m o b t a in e d r e s e m b l e s a

F(x)

L og X

5 0

45i i w0.9

F(x) 4 00 8

Three Element Model Approximation toF(x)

0 7 35

3 00 6

2505

200 4

0 3

02

T ,» 156 3

v 4T, * 0 1 2 8 4 05

1,000 3 0 0 0 0 ,0 0 0 30,000 0 0 ,0 0 00 0 3 100 30001 0 3 0.1 3001 0 3 10 30

X * t / T , , T/r —

Fig. 34. - Assumed distribution of retardation times

102

103

n o r m a l d i s t r i b u t i o n e x c e p t th a t th e t a i l to the r ig h t i s v e r y long . F i n

a l l y , a c o n t i n u o u s d e n s i t y f u n c t io n w a s a p p r o x i m a t e d t h r o u g h the points.

T he m o d e r w a s eq u a l to 1. 8 m in . A s a f i r s t a p p r o x i m a t i o n the r e

t a r d e d e l a s t i c i t y c o u ld b e r e p r e s e n t e d b y a K e lv in m o d e l w i t h r e t a r

d a t io n t i m e e q u a l to T = 1 8 m in .

A c t u a l l y , the d e n s i t y f u n c t io n f(x) i n d i c a t e s how th e r e t a r d a

t io n t i m e s a r e c h a n g in g w i th t i m e . B e c a u s e it i s c u m b e r s o m e to w o r k

w ith the c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n , it i s c o n v e n i e n t to u s e th e h i s t o g r a m

a s a d i s c r e e t d i s t r i b u t i o n o f r e t a r d a t i o n t i m e s , r e p l a c i n g a c e r t a i n

a r e a u n d er the fu n c t io n f(x) by i n d i v i d u a l c o n s t a n t s p r o p o r t i o n a l to the

a r e a r e p l a c e d .

In F i g u r e 34, a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n fu n c t io n h a s b e e n f i t t ed

to the data. T he e q u a t io n o b t a i n e d i s F ( x ) = 0. 2 1 6 0 7 + 0. 3 5 9 2 8 w i th

f(x) = 0. 2 1 6 0 7 . T h e d e n s i t y f u n c t io n f(x) w a s d i v i d e d b y t h r e e , and

e a c h a r e a s u b s t i t u t e d by a s i n g l e c o n s t a n t . T h e y c o r r e s p o n d toT T . T

1 2 3 = 0. 1284 m i n ; ------ = 4. 4 8 m i n . ; and ----- = 156. 3 m in . , e a c hr r r

w i th a w e i g h t e q u a l to 1 / 3 . T h i s t h r e e e l e m e n t m o d e l a p p r o x i m a t i o n

to F(x) i s p l o t t e d a l s o in F i g u r e 34 , s h o w i n g a v e r y g o o d a g r e e m e n t

w ith the u n i f o r m (c o n t in u o u s ) d i s t r i b u t i o n .

T h u s , the r e t a r d e d e l a s t i c i t y c a n b e r e p r e s e n t e d b y a

r h e o l o g i c a l m o d e l c o n s i s t i n g o f a s e t of K e lv in e l e m e n t s j o i n e d in

104

s e r i e s . If a cont inuous d istr ibution o f 3 o f retardation t im es i s a s s u m e d ,

an infinite num ber of Kelvin e l e m e n ts ^ will r e su l t ; if a un iform (or d i s

c re te ) d is tr ibut ion i s used , a finite n u n r m n / Timber of Kelvin e l e m e n ts w i l l

result . By the addition of a M axwel l e l =9 e lement (with variable v i s c o s i t y )

the instantaneous e la s t i c and the v i s c o u r o : o u s deformation can be r e p r e

sented in the model. Figure 35 i l lustr^. “ i t X rates the complete m o d e l o b

tained. The e la s t i c deformation of th e ^ m e model , both instantaneous and

delayed , w a s computed and plotted in E9C * Figures 25 to 29- The curve

from the m od el showed very good a g r e s t * e e m e n t with the ex p er im en ta l

points , at l e a s t for load repet i t ions a f t c i l _ f t e r the f i r s t cyc le of loading.

For the f i r s t loading c y c le , the e f f e c t c* J t of v i s c o s i t y is very s trong and

the s im p l i f ie d m o d e l without v i s c o u s fl* J l flow did not fit the e x p e r im en ta l

points w e l l . On the other hand, it c a n n _ n be s e e n from the unload c u r v es

that the d i f fe re n c e be tw een the m o d e l a _ e L and the ex p er im en ta l cu rve for

the f ir s t unload is n ea r ly constant. T h f - f T X h i s in d ica te s that the only d i f f e r

e n ce be tw een the m od el and the e xp er ir tr i*«r im en ta l c u r v e is the value of

flow, y = .P *1

F in a l ly , it is in tere s t in g to n n m n n o t e that though the re tard ed

e la s t i c i t y w a s obtained from unload v a l d £ v -a lu es , it f it the load cu rv e quite

w ell .

105

I

J

J

Fig. 35. - Model.

106

E f f e c t c. ' M o i s t u r e C o n t e n t and D e n s i t y

O n e o f the o b j e c t i v e s o f th e r e s e a r c h w a s to s t u d y th e e f f e c t

o f m o i s t u r e c o n t e n t and d e n s i t y on th e r h e o l o g i c a l p r o p e r t i e s of the

s o i l s s tu d ie d . It w a s p r o p o s e d that fo r e a c h s o i l t h r e e p o in t s w o u ld

b e s e l e c t e d on the m o i s t u r e - d e n s i t y c u r v e and that s a m p l e s w o u ld b e

c o m p a c t e d a t t h e s e c o m b i n a t i o n s o f m o i s t u r e and d e n s i t i e s . It w a s

o b s e r v e d a t th e t i m e o f t e s t i n g th a t m o s t o f the s a m p l e s c o m p a c t e d

on the d r y s i d e o f o p t i m u m w e r e s o m e w h a t b r i t t l e and w e a k , and t h e y

g e n e r a l l y f a i l e d d u r in g t e s t i n g at v e r y lo w s t r e s s e s . F o r s o i l No. 7,

n o d r y s p e c i m e n c o u ld be t e s t e d a t s t r e s s e s g r e a t e r than o r e q u a l to

2520 g / c m i f o r s o i l No- 9 , o n l y o n e d r y s p e c i m e n w a s t e s t e d ( a t

, 26 9 6 g / c m }; o n l y th e d r y s e r i e s f o r s o i l N o 8 c o u l d be f i n i s h e d s a t i s

f a c t o r i l y .

T h u s , o n l y the e f f e c t o f d e n s i t y and m o i s t u r e of s a m p l e s

c o m p a c t e d at o p t i m u m and on th e w e t s i d e o f o p t i m u m c a n be d i s

c u s s e d e x c e p t fo r s o i l No 8.

T h e b e s t w a y to c o m p a r e t e s t r e s u l t s i s to r e d u c e the o b s e r

v a t i o n s to s t i f f n e s s c u r v e s ; in t h i s f a s h i o n i t i s p o s s i b l e to c o m p a r e

n o t o n l y the m a g n i t u d e of s t i f f n e s s but a l s o the v i s c o e l a s t i c l i n e a r i t y

o f the m a t e r i a l .

Toto

l SH

EAR

S

TR

AIN

* 10

'

500

Somple F-2 r *122.7 lb/ft*, w* 14 55%, r*696 g/cm'450

400

350

300

250

200

50

100

5 0

0301 01 0 3 30103

1,000Sample F -3 I I I

r* 122 5 lb / f t \w 1454%, r-870g/cm * Failure900

600

700

600

500

400

300

200 LOADINGUNLOAD

100

03 0.3 301 ai 10 30

TIME in Minutes

Fig. 36. - Time-deformation curves; so ils F -2 and F-3.

Pig. 37. - Time-deformation curves; soils E-4 and E-5.

Total SHEAR STRAIN x 10"— ro

I I ̂ i

s3C3

+ t

I to

o>

Total SHEAR STRAIN xIO*1

801

Tota

l SH

EAR

STRA

IN

x 10

109

5 0 0

4 5 0Sampl* N -6

r* 110.1 lb ./f ts; w *18.8% , w *18.36%t * I 9 i q n / r m >

4 0 0

3 5 0

3 0 0

2 5 0

200

150

100

LOADINGUNLOAD5 0

030100.3 303 0 1.01

TIME in Minutt*

Fig. 38. - Time-deformation curves; soil N-6

Tota

l SH

EAR

STR

AIN

* 10

'

Sample N - ll r -H O Ib ./f t * . w -1 8 5 3 % ,* *1782%

T * 1392 g/cm*

Sample N - 7 r - HO Ib / f t ’ w* I8 2 5 % ,w r * l9 4 l%

T * 8 7 0 g/cm*

LOADINGUNLOAD

Sample N -12 7■ 1102 lb /ft ’; w* 1855% ; 172%

T«696g /crrfI I I i

Sample N - IO r * 110 lb / f t ’ w * I8 7 % ,w ,* l6 9 3 %

r * 1 0 4 4 g/cm*

T IM E in Minutes

Fig. 39. - Time-deformation curves; soils N-7 and N-ll.

©

Tota

l SH

EAR

STR

AIN

x

10'

Tota

l SH

EAR

STR

AI

N x

10

2 0 02 0 0

180Sample R - 6

) ' ' l 0 7 4 l b / f l * w * l 7 3% ,» v * l6 7 % T - I 2 l 9 g / c m *

Sample R- 2 y - 108 5 lb / f t ’, w 1 18 12%, w = l6 8 %

T - I044g /cm * 160160

LOADINGUNLOAD

140140m

120120

100100

8 08 0

6 06 0

k.

4 0 4 0

2020

0 33 0 01

T IM E in Minutes

0 3 3 100 3 0101

Fig. 40. - Time-deformation curves; so ils R-2 and R-6

111

Tota

l SH

EAR

STRA

IN

x 10

112

200

Sample R - 8 7*109 lfa/ft* w 16 .5% , t -I390g/cm '160

■ 6 0

140

m120

100

8 0 i r

60

4 0

LOADINGUNLOAO

20

30030.1 10301TIME in Minutes

Fig. 41. - Time-deformation curves; soil R-8,

Tot

al

SHEA

R

STRA

IN

*10

ZOO

ISO

Sample R - 3 r =1092 lb / f t * ; w= 15 9 % , **,= 16 5 %

T = 6 9 6 g/cm*160

140

120

100 -i-rt

8 0

6 0

4 0

20 i -f -i t f

00 3 10 3 00 3 30101

2 0 0

180

160

140

120

100

8 0

6 0

4 0

20

01T IM E in Minutes

Fig. 42. - Time-deformation curves; so ils B -3 and R -l.

rrr

iSample R - l

r = 109 I lb / f t * ,w * l6 .5 % ,w r= l7 4 %

T *8 7 0 g /c m *

HI

! I :I : i !

i m i LOADING :

UNLOAD

113

Tot

al

SHEA

R ST

RAIN

x

10

1

2 5 0

200

150

100

5 0

i i f m rSam ple A -2

r = 117 lb /ft* w* 16% , w = l5 .6% \ r = l0 4 4 g /c m *

100

5 0

01

Sam ple A -3r - 117 IbV ft, w* I 5 9 5 % ,w,*I5 3 % ;

8 7 0 a >tm '

[ ( | ■ i ; 3and4Sam ple A -6 r

r» 16 9 l b / f t ’ , w 16 3 % , w* 15 6%T * 6 9 6 g/cm r

I I I4 an d 5

- 100

10 30 01

TIME in M inutes

Fig. 43. - Time-deformatian curves; so ils A - l and A -2.

r~rrn

Sam ple A - I 7*1175 lb/fl*w= 15 8 5 % ,wr* 153%

T* I2l9g/cm *......................... I

5 0 0

4 5 0

4 0 0

3 5 0

3 0 0

2 5 0

| ; Failure

LOADING UNLOAD

- 200

150

100

Tot

al

SHEA

R ST

RAIN

x

10'

Tota

l SH

EAR

STRA

IN

x 10

I ISam ple B -5

r - l 15.2 lb /fl* w = I 7 9 % , <*,= 1742% T -8 7 0 g /c m *

200

150

100

H i t H - 4- \ ;Sam ple B -4

x* 115 lb /f t’, w ■ 18 0 3 % , m* 1701%

3 a n d 4

T * 6 9 6 g/cm

3 0 0

2 5 0

200

150

100

5 0

5 0 0

3 0 01

TIME in M inutes

Sam ple B -l ; t * 115 9 Ib./ft’, w* 1 7 5 % ; w '1 5 8 %

T* 1219 g/cm*

i f+H | i " H

3 5 0 T

LOADING - UNLOAD

r " t t + t t

Fig. 44. - Time-deformation curves; so ils B-5 and B - l

U1

Toto

l SH

EAR

STRA

IN

x I

Tota

l SH

EAR

STRA

IN

xlO

'°150

Sample C - 3125

LOADINGUNLOAD100

5 0

m

m25 t r

.01 0 3 0.30.1 10 3 03TIME in Minutes

Fig. 45. - Time-deformation curves; soil C-3.

116

STRA

IN

RATE

,Min

.*'x

10

'* ;

STIF

FNE

SS,

Kg/

cm

117

10,000

First Loading Soil# 7

3,000

1,000«

Stiffness3 0 0

100 - e -

30

Strain Rate

Series F Series E

° T * 6 9 6 g / c m ' — f • T * 6 9 6 g /cm 'A ^ S T O g / c m * * T * 8 7 0 g /cm 'a T» I044g/cm‘ I I I I 111

0 3

1003003 0 1 0.3.01

TIME in Minutes

Fig. 46. - Strain rate; stiffness curves; soil No. 7..

STRA

IN

RATE

, M

inH

x I0

'\ ST

IFF

NES

S, K

g/cm

118

10,000

3 ,0 0 0

1,000

3 0 0

100

30

10

3

I

0 3

First Looding , Soi 1*0

Stiffness

a T s8 7 0 g /cm * ■ T= 1044 g/cm' ♦ T= 1219 g/cm▼ T* 1390 g/cm

T=870g/cm* T~ 1044 g /cm 1 T= 1219 g/cm ' T - 1390 g/cm '

.03 01 0 3 I 3 10 30 100TIME in Minutes

Fig. 47. - Strain rate; stiffness curves; soil No. 8.

STRA

IN

RATE

,

Min

r'xK

r*

; ST

IFFN

ESS

. K

g/cm

119

10,000

3 ,0 0 0

1,000

3 0 0

100

First Loading ,S o it*9

Stiffness

Strain Rate

Series B

T= 696 g/cm* r= 8 7 0 g/cm*

e T= 10 4 4 g/cm* T= 12 19 g /c m

Series A

o T - 6 9 6 g /c m 'a T"*870g/cm 0 T= I 0 4 4 g/cm*

T= 12 I 9 g /cm

Series C ▼ T=696 g/cm*

0 3

0 .3 I 3

TIME in Minutes

100

Fig. 48. - Strain rate; stiffness curves; soil No. 9.

1 2 0

T i m e - d e f o r m a t i o n c u r v e s fo r s o i l No. 8 a r e p r e s e n t e d in

F i g u r e s 38 to 42; th e c o r r e s p o n d i n g s t i f f n e s s c u r v e s a r e p r e s e n t e d in

F i g u r e 47 . It c a n be s e e n th at h i g h e r v a l u e s f o r s t i f f n e s s a r e o b t a i n e d

w ith th e s a m p l e s c o m p a c t e d d r y o f o p t i m u m . T h e l o w e s t v a l u e s c o r

r e s p o n d to th e s a m p l e s c o m p a c t e d w e t o f o p t i m u m and f i n a l l y i n t e r

m e d i a t e v a l u e s w e r e o b t a i n e d f r o m s a m p l e s c o m p a c t e d at o p t i m u m .

F o r c o m p a r a t i v e p u r p o s e s , the f o l l o w i n g v a l u e s w e r e o b t a in e d f o r the

t a n g e n t m o d u l u s ( s t r e s s - i n s t a n t a n e o u s s t r a i n c u r v e ) .

2S o i l S e r i e s 8H (wet) G = 1320 K g / c m

2S o i l S e r i e s 8 N ( o p t im u m ) G = 1780 K g / c m

2S o i l S e r i e s 8R (dry) G = 2 4 9 0 K g / c m

A c h a n g e o f a b o u t 4 to 5 p e r c e n t in m o i s t u r e c o n t e n t , c o r r e s p o n d

ing to the d i f f e r e n c e in m o i s t u r e c o n t e n t o f s e r i e s H and R, r e d u c e d

th e v a l u e o f the i n s t a n t a n e o u s s h e a r m o d u l u s a b o u t 50 p e r c e n t . It

c a n be o b s e r v e d that th e s t i f f n e s s c u r v e s f o r a n y s o i l s e r i e s w e r e not

s t r i c t l y i n d e p e n d e n t o f s t r e s s . M o s t o f the t i m e s the s c a t t e r i n g o f the

p o in t s w a s not s i g n i f i c a n t and a n a v e r a g e c u r v e c o u l d b e u s e d to r e

p r e s e n t the s t i f f n e s s . S o m e t i m e s the s c a t t e r i n g w a s m o r e p r o n o u n c e d

and it w a s o b s e r v e d in t h e s e c a s e s th a t th e w h o l e c a u s e o f s c a t t e r i n g

w a s p e r h a p s a s i n g l e t e s t that f o r o n e r e a s o n o r a n o t h e r d id n o t f o l

lo w the g e n e r a l b e h a v i o r of the r e s t o f t h e s o i l s a m p l e s in th e s e r i e s .

1300

1200

11 0 0

1000

9 0 0

8 0 0

7 0 0

6 0 0

5 0 0

4 0 0

3 0 0

200

1 0 0

0

o

*0 /

/ / /

*

4/ /f

SI20<D Kg/cm*4 Slope5 i J

/ f O Series EA Lj :>ertes r

/

t10 20 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 100 110 120 130 140 150 160 170

Instantaneous SHEAR STRAIN x 10’ ®

ig. 49. - Stress-strain curves; so il No. 7

121

SHEA

R ST

RESS

g/

cm

122

1500

1400

1300

1200

I 100

1000

9 0 0

8 0 0

7 0 0

6 0 0* Slope * 1680 Kg/cm

5 0 0

S lo p e8 2 6 6 0 Kg/cm4 0 0

3 0 0O Series 9A □ Series 9 B200

00

00 K) 2 0 30 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 100 110 120

Instontoneous SHEAR STRAIN x 10~8

Fig. 50. - Stress-strain curves; soil No. 9

123

In o t h e r w o r d s , the s c a t t e r i n g c a n be a t t r ib u t e d to o t h e r f a c t o r s

( c h a n g e in m o i s t u r e c o n t e n t , s a m p l e v a r i a n c e , e x p e r i m e n t a l e r r o r s ,

e tc . ) o t h e r than n o n l i n e a r i t y . T h e s t i f f n e s s c u r v e s i n d i c a t e d th a t

l i n e a r v i s c o e l a s t i c b e h a v i o r c o u l d b e a s s u m e d to h o ld , a s a f i r s t

a p p r o x i m a t i o n .

T h e r a te o f s t r a i n w a s a l s o a f f e c t e d b y m o i s t u r e c o n t e n t and

d e n s i t y . F o r the s a m e s t r e s s , the s a m p l e s c o m p a c t e d w e t o f o p t i

m u m d e f o r m e d m o r e r a p i d l y than the s a m p l e s c o m p a c t e d d r y o r at

o p t i m u m m o i s t u r e c o n t e n t ; the s a m p l e s c o m p a c t e d d r y d e f o r m e d at

t h e m i n i m u m r a t e , and th e s a m p l e s c o m p a c t e d a t o p t i m u m h a d i n t e r

m e d i a t e v a l u e s fo r th e r a te o f s h e a r s t r a i n T h e s e s u g g e s t s th a t the

r a t e of s t r u c t u r a l c h a n g e i s g r e a t e r f o r the w e t t e r s a m p l e s . T h e

r e s u l t s o b t a i n e d f r o m s o i l No- 9 i n d i c a t e d th e s a m e q u a l i t a t i v e f o r m

o f t e s t r e s u l t s ( s e e F i g u r e 48) . T h e s t i f f n e s s c u r v e s d e c r e a s e d in

v a l u e w i t h i n c r e a s e in m o i s t u r e c o n t e n t ; the f o l l o w i n g v a lu e s w e r e

o b t a i n e d f o r th e i n s t a n t a n e o u s s h e a r m o d u l u s :

S o i l S e r i e s 9 B (wet) G = 1680 K g / c m ^

S o i l S e r i e s 9 A ( o p t im u m ) G =■ 2660 K g / c m ^

S o i l S e r i e s 9C (dry ) G = 2 4 0 0 K g / c m ^

T h e v a l u e g i v e n fo r s e r i e s C w a s o b t a i n e d f r o m a s i n g l e

s a m p l e w h i c h faiFed a few m i n u t e s a f t e r l o a d i n g a t a s t r e s s e q u a l to

124

/ 26 9 6 g / c m . A l l the o t h e r r e s u l t s a r e a v e r a g e v a l u e s f r o m s e v e r a l

t e s t s . T h u s , the v a l u e fo r s e r i e s C d o e s not h a v e th e w e i g h t that the

o t h e r v a l u e s h a v e , and i s s u b j e c t to q u e s t io n . On th e o t h e r h a n d , i t

c o u l d v e r y w e l l i n d i c a t e th a t the s a m p l e i s w e a k e n i n g d u e to th e a b

s e n c e o f e n o u g h w a t e r to d e v e l o p c o h e s i v e f o r c e s .

T h e r a te o f s t r a i n c u r v e s a r e a f f e c t e d in the s a m e w a y a s

d e s c r i b e d b e f o r e ; that i s , the h i g h e s t r a te o f s t r a i n i s o b t a i n e d f r o m

t h e w e t s a m p l e s , th e l o w e s t f r o m th e d r y s a m p l e s , and i n t e r m e d i a t e

v a l u e s fo r s a m p l e s c o m p a c t e d a t o p t im u m . In s p i t e o f d i f f e r e n c e s in

m i n e r a l c o m p o s i t i o n and s t r u c t u r e , t e s t r e s u l t s f r o m s o i l n u m b e r 7

g a v e i d e n t i c a l q u a l i t a t i v e r e s u l t s to t h o s e d e s c r i b e d b e f o r e s o i l s

n u m b e r 8 and n u m b e r 9 ( F i g u r e 46) .

T h e v a l u e s o b t a i n e d for the i n s t a n t a n e o u s m o d u l u s w e r e :

2S o i l S e r i e s 7 E ( o p t i m u m ) G = 1200 K g / c m

S o i l S e r i e s 7 F (w et ) G = Not d e f i n e d , but s m a l l e r/ 2 than 1200 K g / c m

S o i l S e r i e s 7D (d ry ) G = Not d e f i n e d

T h u s , fo r s o i l s e r i e s 7 v e r y l i t t l e i n f o r m a t i o n c o u l d be o b

t a i n e d a b o u t th e m a g n i t u d e o f the i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n . In a

q u a l i t a t i v e m a n n e r , th e r e s u l t s w e r e the s a m e a s b e f o r e , i . e . , the

s t i f f n e s s d e c r e a s e d in m a g n i t u d e w i t h i n c r e a s e in m o i s t u r e c o n t e n t ,

a n d th e r a t e o f s t r a i n w a s h i g h e s t in the w e t s a m p l e s , l o w e s t in the

d r y s a m p l e s .

C o m p a r i s o n o f R e s u l t s B e t w e e n S o i l s

F i g u r e 5 p r e s e n t s d a ta on s o m e p r o p e r t i e s o f th e s o i l s u s e d

and i t c a n b e s e e n that a l l t h r e e s o i l s h a v e c o m p a r a b l e a m o u n t s o f

p a r t i c l e s f i n e r th a n the No. 2 0 0 m e s h s i e v e . A l t h o u g h s o i l No. 7 h a s

th e h i g h e s t q u a n t i ty of f i n e r m a t e r i a l , it h a s th e l o w e s t p l a s t i c i t y in d e x .

T h is s u g g e s t s th at s o i l No. 7 h a s p r o b a b l y the m i n i m u m a m o u n t o f

c l a y m i n e r a l s o f th e t h r e e s o i l s . S o i l s No. 8 and No. 9 h a v e v e r y

l i t t l e d i f f e r e n c e in g r a i n s i z e d i s t r i b u t i o n an d p l a s t i c i t y . T h e o n ly

m a r k e d d i f f e r e n c e s e e m s to b e th e h ig h s p e c i f i c g r a v i t y o f s o i l No. 9;

th e d e e p r e d c o l o r of t h i s s o i l and the h igh v a l u e o f s p e c i f i c g r a v i t y

i n d i c a t e the p r e s e n c e o f i r o n m i n e r a l s .

It w a s s o m e w h a t d i f f i c u l t to c o m p a r e t e s t r e s u l t s b e t w e e n

s o i l s b e c a u s e not a s i n g l e s a m p l e w a s c o m p a c t e d a t th e s a m e d e n s i

t i e s a n d / o r m o i s t u r e content -

T h e r e w a s , n e v e r t h e l e s s , o n e s e t o f s o i l s e r i e s th a t c o u l d

b e c o m p a r e d b e c a u s e th e m o i s t u r e c o n t e n t w a s w i t h in 1. 5 p e r c e n t

v a r i a t i o n b e t w e e n s o i l s . T h i s s e t c o r r e s p o n d s to s e r i e s F f o r s o i l

No. 7 (w = 14. 5 p e r c e n t ) , s e r i e s C fo r s o i l No- 9 (w = 15 p e r c e n t ) ,

and s e r i e s R f o r s o i l No. 8 (w = 16 p e r c e n t ) . T he o n l y s t r e s s th at

2w a s c o m m o n to a l l s e r i e s i s 696 g / c m .

126

T h e v a l u e s o b t a i n e d f r o m s o i l s No. 8 an d No. 9 s h o w e d very-

l i t t l e v a r i a t i o n in t h e m a g n i t u d e o f s t i f f n e s s an d s t r a i n r a t e b e t w e e n

t h e t w o s o i l s . E v e n the v a l u e o f t h e i n s t a n t a n e o u s m o d u l u s w a s a l -

2 2 m o s t i d e n t i c a l (G = 2 2 4 5 K g / c m ; GQ = 2 4 0 0 K g / c m ). B e c a u s e

8 7

s o i l No. 8 had a b o u t o n e p e r c e n t m o r e m o i s t u r e than s o i l No. 9 , it

c a n b e s a i d that the n e t e f f e c t w a s a s m a l l e r v a l u e fo r G •o

T h e f lo w v a l u e s fo r both s o i l s w e r e a l s o v e r y s i m i l a r and

th e r e c o v e r y o f d e f o r m a t i o n a f t e r the f i r s t l o a d c y c l e w a s a l m o s t c o m

p l e t e . S o i l No- 7 on t h e o t h e r h a n d , g a v e v e r y l o w v a l u e s o f s t i f f n e s s

Za n d i n s t a n t a n e o u s m o d u l u s (G^ = 9 9 4 K g / c m ).

T he r a t e o f s t r a i n w a s h i g h e r than fo r s o i l s No. 8 •and No- 9,

the f lo w w a s a l s o h i g h e r and l e s s r e c o v e r y w a s o b s e r v e d a f t e r un load .

T o s u m m a r i z e , the f o l l o w i n g e f f e c t s s e e m to a p p l y fo r t h o s e

s o i l s c o m p a r e d :

1) The i n s t a n t a n e o u s m o d u l u s for c o n s t a n t m o i s t u r e c o n t e n t

i n c r e a s e s w i th d e n s i t y , e x c e p t p e r h a p s at v e r y lo w m o i s t u r e co n te n t .

2) The m a g n i t u d e o f th e p e r m a n e n t d e f o r m a t i o n w a s found

to b e a p p r o x i m a t e l y i n d e p e n d e n t o f d e n s i t y f o r s o i l s No. 8 and No- 9.

F o r s o i l No. 7, the f l o w w a s v e r y h ig h , i n d i c a t i n g th e h ig h d e g r e e o f

d i s r u p t u r e of th e o r i g i n a l s o i l s t r u c t u r e .

127

3) T he r a t e o f s t r a i n w a s found to b e a b o u t th e s a m e f o r

s o i l s No. 8 and No. 9; it w a s h i g h e r fo r s o i l No. 7, both d u r in g l o a d

in g a n d d u r in g u n lo a d in g . In s p i t e of the f a c t that the r a t e o f r e c o v e r y

w a s h i g h e r fo r s o i l No- 7, th e p e r m a n e n t d e f o r m a t i o n w a s a l s o h i g h e r ,

a s i n d i c a t e d a b o v e .

A l th o u g h o n ly o n e s e t o f p o in t s w a s c o m p a r e d fo r a l l t h r e e

s o i l s , i t w a s c l e a r that th e t h r e e e x h i b i t e d the s a m e c r e e p b e h a v i o r

in a q u a l i t a t i v e s e n s e and that th e t h r e e d i f f e r e n t k in d s o f d e f o r m a t i o n

p o s t u l a t e d by th e v i s c o e l a s t i c t h e o r y w e r e p r e s e n t .

C H A P T E R V

D IS C U SSIO N O F R E S U L T S

L i m i t a t i o n s o f R e s u l t s

A s p e c i f i c t e s t i n g c o n d i t i o n c a n o n ly g i v e the r e s p o n s e o f a

m a t e r i a l w i t h in the r a n g e o f th is c o n d i t io n . A c o n s t a n t s t r e s s t e s t

w i l l g i v e i n f o r m a t i o n on c r e e p b e h a v i o r of s o i l s o n l y w i t h in t h e t i m e

s c a l e u s e d . T he p r a c t i c a l t i m e l i m i t s in the p r e s e n t c a s e a r e 1) the

t i m e r e q u i r e d to i n d u c e the i n i t i a l s t r e s s , and 2) th e p e r i o d o f o b s e r

v a t io n . If the m a t e r i a l i s t e s t e d a t a d i f f e r e n t t i m e s c a l e , a v a r i a t i o n

in th e c o m p u t e d p a r a m e t e r s w i l l p r o b a b l y r e s u l t . F o r i n s t a n c e , d y

n a m i c t e s t s on s o i l s h a v e b e e n r e p o r t e d in the l i t e r a t u r e th a t h a v e

r e s u l t e d in v a l u e s fo r th e i n s t a n t a n e o u s m o d u l u s t e n to o n e h u n d r e d

t i m e s the v a l u e s o b t a i n e d f r o m s t a t i c t e s t s . R e c e n t d y n a m i c t e s t

r u n s b y P a p a z i a n on b i t u m i n o u s c o n c r e t e (6 7 ) h a v e i n d i c a t e d th at the

s t r e s s - s t r a i n r a t io i n c r e a s e s v e r y s h a r p l y a t t i m e s o f l o a d i n g s m a l l e r

than a s e c o n d . It i s a p p a r e n t , t h e r e f o r e , that o n l y b y a c o m b i n a t i o n

of e x p e r i m e n t s in w h i c h the a p p l i e d s t r e s s (or s t r a i n ) i s v a r i e d b e

t w e e n w i d e l i m i t s , c a n the fu ll s p e c t r u m of m a t e r i a l b e h a v i o r b e

e v a l u a t e d .

128

129

The r e s u l t s o f th e e x p e r i m e n t s ( f i r s t load) i n d i c a t e d th a t the

c r e e p b e h a v i o r o f c l a y s o i l s u n d e r c o n s t a n t s h e a r s t r e s s c a n be r e p r e

s e n t e d e i t h e r b y a n e x p o n e n t i a l e q u a t io n (e q u a t io n 59) o r b y a T h e o l o g i

c a l m o d e l . T h e l a t t e r m e t h o d i s p r e f e r r e d b e c a u s e o f th e i m p l i c a t i o n s

d i s c u s s e d in the s e c t i o n on R h e o lo g y - It w a s found th a t a m o d e l c o n

s i s t i n g o f t h r e e K e l v i n e l e m e n t s , c o n n e c t e d in s e r i e s to a M a x w e l l

e l e m e n t , g a v e a good a p p r o x i m a t i o n to the e x p e r i m e n t a l c r e e p c u r v e s .

If the lo a d i s r e p e a t e d , the e f f e c t in th e m o d e l i s to i n c r e a s e th e v a l u e

o f the v i s c o s i t y o f the M a x w e l l e l e m e n t ; a f t e r 3 o r 4 l o a d r e p e t i t i o n s

the p e r m a n e n t d e f o r m a t i o n due to the v i s c o u s f low c o u l d b e n e g l e c t e d .

T h is e f f e c t w a s o b s e r v e d f o r a l l s t r e s s e s u s e d .

F o r s o i l No. 8 , s e r i e s H, th e f o l l o w i n g v a l u e s w e r e o b t a in e d

( F i g u r e 34):

G = 1320 K g / c m

r| = 0. 34 x 10 ̂ p o i s e s = 0. 58 x 10^c m

T ^ = 0. 1 2 8 4 x 1 . 8 = 0. 232 m i n u t e s

T^ = 4. 4 8 x 1. 8 = 8. 07 m i n u t e s

T^ = 156. 3 x 1. 8 = 282 m i n u t e s

Gn = 930 K g / c m 2

T i s th e r e l a x a t i o n t i m e o f the nth K e l v i n e l e m e n t ; e a c h K e l v i n e l e - n

m e n t h a d a w e i g h t o f o n e - t h i r d . T h is m e a n s that th e e l a s t i c p a r t o f

130

th e K e lv in e l e m e n t h a s th e s a m e v a l u e f o r a l l t h r e e m o d e l s . The

e l a s t i c m o d u l u s G i s c a l l e d the r e t a r d e d m o d u l u s . T he v a lu e g i v e nn

a b o v e i s a n a v e r a g e v a l u e f o r a l l t e s t s ; a c t u a l l y t h e v a lu e of the r e

t a r d e d m o d u l u s c h a n g e d w i t h l o a d r e p e t i t i o n an d w i t h s t r e s s . T h e

2 2 m i n i m u m v a lu e w a s o f 537 K g / c m ( 1 s t l o a d , s t r e s s = 870 g / c m ),

the m a x i m u m w a s 1420 K g / c m ^ (6th l o a d i n g , s t r e s s = 610 g / c m )■

It w a s o b s e r v e d that the b i g g e s t c h a n g e in the m a g n i t u d e of the r e

t a r d e d m o d u l u s o c c u r r e d a f t e r the f i r s t l o a d i n g , and that g e n e r a l l y

th e r e t a r d e d m o d u l u s i n c r e a s e d w i th l o a d r e p e t i t i o n . F o r s t r e s s e s

. 2o f 870 to 61 0 g / c m , the v a l u e o f the r e t a r d e d m o d u l u s did no t c h a n g e

m u c h a f t e r the 2nd, 3 r d , a n d 4th l o a d i n g ; i t i n c r e a s e d c o n s i d e r a b l y

d u r in g the 5th a n d 6th l o a d i n g , i n d i c a t i n g that s o m e c h a n g e had o c

c u r r e d in th e s a m p l e .

It w a s s h o w n b e f o r e th at a l o s s o f m o i s t u r e o f about 2 p e r

c e n t did no t c h a n g e the m a g n i t u d e o f the i n s t a n t a n e o u s d e f o r m a t i o n

a p p r e c i a b l y ; f u r t h e r m o r e , r e s u l t s f r o m 1 5 - m i n u t e t e s t s i n d i c a t e d

that m o r e than o n e p e r c e n t w a t e r i s l o s t b e f o r e th e s a m p l e i s t e s t e d

(d ur ing s e a l i n g , s t o r i n g , p r e p a r i n g th e s a m p l e f o r t e s t i n g , e tc . ).

T h u s , a s l i t t l e a s o n e p e r c e n t m o i s t u r e l o s s d u r i n g r e c o v e r y a p p e a r s

to h a v e a p r o n o u n c e d e f f e c t on th e m a g n i t u d e o f t h e r e t a r d e d m o d u l u s .

T h e s t r u c t u r a l e f f e c t k n o w n a s t h i x o t r o p i c h a r d e n i n g i s a l s o p r e s e n t -

131

/ 2F o r s t r e s s e s e q u a l to 520 g/ c m th e v a l u e o f the r e t a r d a t i o n

m o d u l u s d id n o t c h a n g e m u c h d u r i n g th e load c y c l e s , i n d i c a t i n g th at

v e r y l i t t l e s t r u c t u r a l c h a n g e o c c u r r e d .

It m u s t be e m p h a s i z e d th a t a c c o r d i n g to c o n c e p t s of r h e o l o g y ,

good a g r e e m e n t b e t w e e n th e t h e o r e t i c a l m o d e l a p p r o x i m a t i o n to th e

c r e e p c u r v e and e x p e r i m e n t a l r e t a r d a t i o n c u r v e s c a n b e e x p e c t e d

o n ly i f the s p e c t r u m o f r e t a r d a t i o n t i m e s c o i n c i d e s w i t h th e t i m e

ra n g e o f c r e e p t e s t s . S i n c e r e s u l t s i n d i c a t e d th a t a f a i r a g r e e m e n t

e x i s t e d f o r the v a l u e s on y e l l o w c l a y , the r e t a r d a t i o n s p e c t r u m w a s

p r o b a b l y o f l i m i t e d e x t e n t , w i t h m i n o r c o n t r i b u t i o n s o u t s i d e the t i m e

r a n g e u s e d . It m u s t be e m p h a s i z e d th a t the r h e o l o g i c a l m o d e l u s e d

w a s c o m p u t e d f r o m r e c o v e r y t e s t s t h a t l a s t e d m o r e th a n 1000 m i n

u t e s ; o n e c a n e x p e c t th a t a f t e r th a t t i m e a l l the r e t a r d e d d e f o r m a t i o n

w a s r e c o v e r e d . The q u e s t i o n th e n a r i s e s a s to h o w m o d e l s c a n b e

f i t t e d to t e s t s in w h i c h th e t i m e o f r e c o v e r y i s s h o r t , and the r e c o v

e r y o f d e f o r m a t i o n p r o b a b l y n o t c o m p l e t e d . T h i s s e e m s to b e th e

c a s e in the 1 5 - m i n u t e t e s t s .

R h e o l o g i c a l m o d e l s c a n b e f i t t e d in t h o s e c a s e s , i f th e f o l

lo w in g p r o c e d u r e i s f o l l o w e d :

1) A s s u m e that th e r e c o v e r y a f t e r u n lo a d i s c o m p l e t e .

2) C a l c u l a t e th e n o r m a l i z e d v a lu e of th e c o m p l i a n c e , b y th e

d iv i d in g o f th e v a l u e s o f J b y the l a s t v a lu e o f J o b s e r v e d .

3) P r o c e e d th e n to o b ta in t h e d i s t r i b u t i o n o f r e t a r d a t i o n t i m e s a s b e f o r e .

132

T h is p r o c e d u r e w a s u s e d to f i t th e r e s u l t s o f 1 5 - m i n u t e t e s t s

w it h a m o d e l a n d v e r y g o o d a g r e e m e n t w a s found b e t w e e n the e x p e r i

m e n t a l c u r v e s and the c u r v e s c a l c u l a t e d f r o m the m o d e l ; t y p i c a l

r e s u l t s a r e s h o w n in F i g u r e 51. T h e m o d e l o b t a i n e d c a n b e u s e d o n l y

to p r e d i c t d e f o r m a t i o n w i t h in th e t i m e r a n g e u s e d in th e t e s t s : th e

s a m e s t a t e m e n t h o l d s t r u e fo r th e m o d e l o b t a in e d f r o m the 1 0 0 0 - m i n

u te r e c o v e r y t e s t s . E v e n i f o n e i s t e m p t e d to e x t r a p o l a t e the r e s u l t s

to g r e a t e r t i m e i n t e r v a l s , the e f f o r t s w i l l m e e t w i t h d i s a p p o i n t i n g

r e s u l t s ; th e n a t u r e o f the e x p o n e n t i a l f u n c t i o n s u s e d to e x p r e s s the

r e s u l t s i s s u c h that t h e y a f f e c t th e r e s u l t s o n l y w i t h i n a s h o r t i n t e r

v a l o f t i m e c e n t e r e d a r o u n d th e v a l u e o f e a c h r e t a r d a t i o n t i m e T .n

F o r i n s t a n c e , fo r the f i r s t f e w s e c o n d s o f l o a d a p p l i c a t i o n , o n l y the

f i r s t K e l v i n m o d e l , w i t h a r e t a r d a t i o n t i m e e q u a l to Ma few s e c o n d s , "

c o n t r i b u t e s to d e f o r m a t i o n - A s t i m e p a s s e s , the e f f e c t of t h i s f i r s t

m o d e l r e m a i n s c o n s t a n t and i n s t e a d , a s e c o n d K e l v i n e l e m e n t w i l l

c o n t r i b u t e to d e f o r m a t i o n . T h u s , w h e n the l a s t K e l v i n e l e m e n t h a s

b e e n a c t i v a t e d , the d e f o r m a t i o n w i l l r e m a i n c o n s t a n t w i t h t i m e .

T a k in g a s p e c i f i c e x a m p l e , the r e t a r d e d d e f o r m a t i o n o f a 1 5 - m i n u t e

t e s t , a c c o r d i n g to th e m o d e l , i s c o n s t a n t a f t e r 15 m i n u t e s and s t a y s

c o n s t a n t f o r a n y v a l u e o f t > 1 5 m i n u t e s .

133

Series N I I 111-----------------T = 6 9 6 -1 0 4 4 -12 9 kg/cm

0 .9'Distribution Function

Fix)

One Element Approximation to F ix ) — 7

0.8

Two Element Approximation to F i x ) i — t--0 7

0.6X F(x) Density Function Discontinuous" - - fC o n t in u o u s

o

0 .5u.

Uniform Density Function0 4

0 3

0.2

Mode r

*01181 °* l Min.=0.6

0.01 0 .0 3 0.1 0 .3 1.0 3 0 10 3 0 100

Fig. 51. - Distribution of retardation times.

Rel

otiv

e SH

EAR

S

TRA

IN

*10

134

100

9 0

S e r ie s N

T * 6 9 6 g /c m6 0

3 ,4 and 5

7 0Model With One Retardation Time

6 0M o d e l With Two Retardation Times

5 0

4 0

3 0

20

3 0 100103 00 . 3 1.00 0 3 0.1

T IM E in Minutes

Fig. 52. - Time-deformation curves and model approximation.

135

T he p r e v i o u s d i s c u s s i o n a p p l i e s o n l y to th e r e t a r d e d d e f o r m a

t ion . On th e o t h e r hand th e m o d e l f o r v i s c o u s f lo w i m p o s e s no l i m i t

on the m a g n i t u d e o f the d e f o r m a t i o n .

If th e r e s u l t s a r e to b e e x t r a p o l a t e d to c o v e r w i d e r t i m e i n

t e r v a l s , t h e n , i t i s n e c e s s a r y to run m o r e t e s t s a t c o r r e s p o n d i n g

v a l u e s o f t i m e , and a d i s t r i b u t i o n f u n c t io n i s c a l c u l a t e d i n c l u d i n g th e

new p o i n t s , a n d a n e w m o d e l i s f i t t ed .

T h e f a c t that r h e o l o g i c a l m o d e l s c o u l d b e u s e d to f i t e v e n the

r e s u l t s f r o m s h o r t d u r a t io n t e s t s i s i m p o r t a n t fo r t h e s o l u t i o n o f c e r

ta in i n t e r a c t i o n p r o b l e m s in s o i l m e c h a n i c s . T y p i c a l o f t h i s p r o b l e m

i s the p a v e m e n t p r o b l e m . In a h i g h w a y p a v e m e n t , th e l o a d i s a p p l i e d g

g e n e r a l l y v e r y ra p id ly . It i s i m p o r t a n t to kn ow the v a r i a t i o n o f th e

m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f p a v e m e n t c o m p o n e n t s w i t h t i m e ; i f t h e s e

p r o p e r t i e s a r e g i v e n a s r h e o l o g i c a l m o d e l s , th en i t i s p o s s i b l e in

s o m e c a s e s to u s e f o r m u l a e a n d p r o c e d u r e s d e v e l o p e d e l s e w h e r e (2 7 ,

2 8 ) in an a t t e m p t to d e s i g n t h e p a v e m e n t s t r u c t u r e .

L i m i t i n g th e d i s c u s s i o n to v e r y f i n e - g r a i n e d s o i l s , a p o s s i b l e

e x p la n a t io n o f t h e m e c h a n i c a l b e h a v i o r o f th e c l a y s t e s t e d c a n be found

in the n e w c o n c e p t s ab o u t s t r u c t u r e o f c l a y s . U s i n g c o n c e p t s f r o m

c o l l o i d a l c h e m i s t r y , s e v e r a l a u t h o r s (4 1 , 7 2 , 7 3 ) h a v e d e s c r i b e d th e

f o r c e s a c t i n g b e t w e e n c l a y m i n e r a l s . T h e m o s t i m p o r t a n t f o r c e s

136

a r e : p r i m a r y v a l e n c e b o n d s , w h i c h h o ld a t o m s t o g e t h e r ; h y d r o g e n

b o n d s , o r a f o r c e w h i c h r e s u l t s f r o m the a t t r a c t i o n , b y tw o o t h e r

a t o m s , o f an h y d r o g e n a t o m ; s e c o n d a r y v a l e n c e f o r c e s , o r van d e r

W a a ls f o r c e s , that a c t b e t w e e n u n i t s o f m a t t e r , an d w h i c h a r e e l e c

t r i c a l in n a t u r e . T he t w o f o r m e r f o r c e s a r e to o s t r o n g to b e a f f e c t e d

by s t r e s s e s n o r m a l l y a p p l i e d to s o i l s t r u c t u r e s ; th e l a t t e r f o r c e s a r e

m o r e i m p o r t a n t b e c a u s e t h e y l i m i t the s t r e n g t h o f th e c l a y and a r e

r e s p o n s i b l e for the w a t e r - h o l d i n g c a p a c i t y o f s o i l s .

C o m p a c t e d c l a y d e v e l o p s an i n i t i a l s t r u c t u r e w h i c h d e p e n d s

on s e v e r a l v a r i a b l e s , s u c h a s ty p e o f c o m p a c t i o n , n a t u r e and a m o u n t

o f l iq u id u s e d , and o t h e r s . T h i s i n i t i a l s t r u c t u r e c a n be c h a n g e d to a

m o r e s t a b l e s t r u c t u r e b y s o m e f a c t o r su c h a s s t r e s s , s t r a i n , t i m e ,

e n v i r o n m e n t c h a n g e s , d i s t u r b a n c e s , e tc .

T i m e - d e p e n d e n t d e f o r m a t i o n s on f ine c l a y s p r o b a b l y r e s u l t

f r o m p a r t i c l e r e a l i g n m e n t ; s o m e o f t h e s e c h a n g e s c o u l d be r e v e r s i b l e .

The f o l l o w i n g c o n c e p t s , q u oted f r o m S a l a s (76 ) , a r e p r e s e n t e d h e r e

b e c a u s e t h e y o f f e r a g o o d t h e o r e t i c a l b a c k g r o u n d to e x p l a i n the n a t u r e

of the m e c h a n i c a l b e h a v i o r o f s o i l s . W r i t in g a b o u t the v i s c o e l a s t i c

b e h a v i o r o r s o i l s and a b o u t the p r e s e n c e o f t r u e e l a s t i c b e h a v i o r in

c l a y s , S a l a s s t a t e s th a t :

T h i s ran ge o f t r u e e l a s t i c i t y c o u ld c o r r e s p o n d to the s t r e s s e s w h i c h a r e not a b l e to a l t e r th e s t r u c t u r e o f

I

137

c l a y . The p a r t i c l e s m o v e o n e w i t h r e s p e c t to th e o t h e r s , but t h e y do n o t l o s e t h e i r b o n d s , th a t i s , t h e y do no t g e t f a r t h e r a p a r t th an the d i s t a n c e c o r r e s p o n d i n g to the s h a l l o w m i n i m u m o f p o t e n t ia l .B ut a f t e r th e e l a s t i c i t y l i m i t i s s u r p a s s e d , the b o n d s b e g i n s l i d i n g a n d b r e a k i n g . S o m e o f the b o n d s f o r m a g a i n i n s t a n t a n e o u s l y in o t h e r p o i n t s , d u e to th e a t t r a c t i v e f o r c e s b e t w e e n p a r t i c l e s . In th e e v e n t th a t the n u m b e r o f b on d s c r e a t e d e q u a l s o r e x c e e d s the n u m b e r o f b o n d s b r o k e n , the m a t e r i a l r e m a i n s u n a l t e r e d o r p r a c t i c a l l y u n a l t e r e d , f r o m a s t a t i s t i c a l p o in t o f v i e w , in s p i t e o f the f a c t that i t h a s u n d e r g o n e a g r e a t d e f o r m a t i o n w h i c h i s n o t r e c o v e r a b l e .

If t h i s i s not t h e c a s e , that i s , i f th e n u m b e r o f b o n d s w h i c h b r e a k i s m u c h g r e a t e r th a n the n u m b e r o f b o n d s c r e a t e d , the s t r u c t u r e d i s i n t e g r a t e s , the d e f o r m a t i o n i s a c c e l e r a t e d , r e s u l t i n g in w h a t i s c a l l e d r u p t u r e .

The w r i t e r s h a r e s , in p a r t , the v i e w s e x p r e s s e d by M r. S a l a s

w ith the e x c e p t i o n that w h a t th e l a t t e r h a s i n t e r p r e t e d a s t r u e e l a s

t i c i t y i s not r i g o r o u s l y tr u e . T h e e l e c t r i c a l b o n d s a r e f o r c e s o f

a t t r a c t i o n o r r e p u l s i o n w h i c h in a v e r y e l e m e n t a r y f a s h i o n , c o u l d b e1

r e p r e s e n t e d by a n i n v e r s e e x p o n e n t i a l la w . If t h e s e f o r c e s a r e r e - •

s p o n s i b l e fo r e l a s t i c b e h a v i o r , th e n c l e a r l y t h e y c a n n o t g i v e e l a s t i c i t y

o f the l i n e a r t y p e ( l i n e a r s t r e s s - s t r a i n d i a g r a m ) . R a t h e r than l i n e a r

b e h a v i o r , the w r i t e r p o s t u l a t e s th a t e l a s t i c i t y o f the d e l a y e d o r r e

t a r d e d ty p e i s th e o n e p r e s e n t , a t s t r e s s e s b e l o w th e y i e l d i n g of the

e l e c t r i c a l b o n d s ; the s m a l l d e f o r m a t i o n s p r e s e n t w i l l be t i m e - d e p e n d

en t , but r e c o v e r a b l e , but the s t r e s s - s t r a i n d i a g r a m w i l l not n e c e s s

a r i l y b e a s t r a i g h t l in e .

138

T h e f low and p e r m a n e n t s e t p r e s e n t a f t e r th e f i r s t l o a d c a n

b e a t t r i b u t e d to the b r e a k i n g o f b o n d s and to th e i r r e v e r s i b l e r e a r

r a n g e m e n t o f c l a y s t r u c t u r e . F o r s o i l s e r i e s 8H, v e r y l i t t l e to ta l

d e f o r m a t i o n and p e r m a n e n t s e t c o u l d be o b s e r v e d a t s t r e s s e s e q u a l to

. 2520 g / c m . The v i s c o s i t y c u r v e r e v e a l e d f u r t h e r m o r e that f lo w s t a r t -

/ 2ed a t s t r e s s e s l o w e r than 520 g / c m , but the m a g n i t u d e o f t h i s f i r s t

y i e l d v a l u e , b e l o w w h i c h no p e r m a n e n t s e t i s p r e s e n t ; c o u ld no t be

d e t e c t e d w i th the a p p a r a t u s u s e d . F o r s t r e s s e s a b o v e 520 g / c m ,

f low o c c u r s in a p r o n o u n c e d w a y . If the l o a d i s r e p e a t e d , th e f lo w

s e e m s to g e t s m a l l e r and s m a l l e r , u n t i l it p r a c t i c a l l y d i s a p p e a r s .

T h is s u g g e s t s that e n o u g h b on d s a r e b e i n g f o r m e d a f t e r the f i r s t lo a d

to c o m p e n s a t e fo r the b on d s b r o k e n d u r in g the f i r s t l o a d , and that

v e r y few s t r u c t u r a l c h a n g e s o c c u r a f t e r the f i r s t lo a d . At v e r y h igh

s t r e s s e s , t h e s e b o n d s c o u ld no t b e r e p l a c e d a s f a s t a s t h ey w e r e

b r o k e n , an d th e s a m p l e e v e n t u a l l y f a i l ed .

It w a s o b s e r v e d that the s a m e c o n d i t i o n i n g e f f e c t to o k p l a c e

in s a m p l e s c o m p a c t e d d r y o f o p t i m u m , but at s t r e s s e s w h i c h w e r e

l o w e r than the s t r e s s e s r e p o r t e d a b o v e . L a m b e (41 , p. 703) s t a t e s

that s a m p l e s c o m p a c t e d d r y o f o p t i m u m , h a v e s t r u c t u r e s that a r e

m o r e g r e a t l y c h a n g e d than s t r u c t u r e s of s a m p l e s c o m p a c t e d w e t of

o p t i m u m . The e x p e r i m e n t a l r e s u l t s on c o n d i t i o n i n g e f f e c t s a r e in

a g r e e m e n t w i th P r o f e s s o r L a m b e ’ s o b s e r v a t i o n s .

139

T o s u m m a r i z e , th e c r e e p b e h a v i o r and m e c h a n i c a l c o n d i t i o n

in g c a n b e e x p l a i n e d in th e f o l l o w i n g w a y : The c l a y s u f f e r s c o n s i d e r

a b l e d i s t o r t i o n a n d d e f o r m a t i o n w h i l e i n t h e p r o c e s s o f c o m p a c t i o n .

T h is e f f e c t i s m o r e p r o n o u n c e d on s a m p l e s c o m p a c t e d w e t of o p t i m u m

C o m p a c t i o n p r o b a b l y f o r c e s th e s a m p l e t o at ta in a c e r t a i n s t r u c t u r e

that i s n o t s t a b l e or in e q u i l i b r i u m w i t h w a t e r c o n t e n t a n d p a r t i c l e

s p a c i n g an d o r i e n t a t io n . W h e n the f i r s t l o a d i s a p p l i e d , s e v e r a l o f th e

b o n d s a r e b r o k e n and the s a m p l e c h a n g e s to w a rd a m o r e s t a b l e d i s p o

s i t i o n ( s t r u c t u r e ) . The m e c h a n i c a l c o n d i t i o n i n g i s c a u s e d by a r e a r

r a n g e m e n t o f s o i l p a r t i c l e s to a m o r e s t a b l e s t r u c t u r e th a n the o r i g i

n a l o n e . A s t a b l e s t r u c t u r e p r o b a b l y d e p e n d s upon m o l d i n g w a t e r

c o n t e n t , e n e r g y , and ty p e o f c o m p a c t i o n , a s w e l l a s u p o n s t r e s s a p

p l i e d . A f t e r t h e f i r s t l o a d i n g c y c l e i s a p p l i e d , v e r y l i t t l e c h a n g e i s

o b s e r v e d i n t h e p a t tern o f d e f o r m a t i o n , i n d i c a t i n g t h a t a m o r e s t a b l e

s t r u c t u r e h a s b e e n a t t a in e d a n d that e q u i l i b r i u m h a s b e e n r e a c h e d

b e t w e e n th e n u m b e r of b o n d s b r o k e n a n d th e n u m b e r o f b o n d s b e i n g

f o r m e d .

R e t u r n i n g to P r o f e s s o r S a l a s ' r e m a r k s , h e s t a t e s that i f

e q u i l i b r i u m i s r e a c h e d b e t w e e n the n u m b e r of b on ds b r o k e n and t h e

n u m b e r o f b o n d s f o r m e d , v e r y l i t t l e s t r u c t u r a l c h a n g e o c c u r s in s p i t e

o f the f a c t th a t l a r g e p e r m a n e n t d e f o r m a t i o n s a r e p r e s e n t . The

140

r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e s u g g e s t that o n e im p o r t a n t c h a n g e did o c c u r

a f t e r t h e f i r s t load w a s a p p l i e d ; n a m e l y , the e l i m i n a t i o n o f the p e r

m a n e n t d e f o r m a t i o n d u r i n g s u b s e q u e n t lo a d in g c y c l e s . The c l a y s a m

p l e s c o u l d n o t be c o n s i d e r e d to be s t r u c t u r a l l y the s a m e a s b e f o r e

l o a d i n g , b e c a u s e s o m e i r r e v e r s i b l e c h a n g e s had t a k e n p l a c e . A f t e r

the s e c o n d lo a d in g , the s a m p l e s did r e m a i n u n a l t e r e d f r o m a s t a t i s t i

c a l p o in t o f v ie w . It w a s f u r t h e r m o r e e s t a b l i s h e d th a t the m a g n i t u d e

of the i n s t a n t a n e o u s s h e a r m o d u lu s a n d the r e t a r d e d s , , e a r m o d u l u s

did not v a r y a p p r e c i a b l y a f t e r the f i r s t l o a d in g c y c l e . In t e r m s o f th e

m o d e l r e p r e s e n t a t i o n , t h i s i n d i c a t e s th a t a s i m p l e r m o d e l , c o n s i s t

ing of a n e l a s t i c s p r i n g c o n n e c t e d in s e r i e s to t h r e e {or m o r e ) K e l v i n

e l e m e n t s , w i l l be an a d e q u a t e r e p r e s e n t a t i o n o f th e e x p e r i m e n t a l

poin ts .

A p p l i c a t i o n s

K e e p i n g in m i n d the l i m i t a t i o n s of the r e s u l t s o b t a in e d , th e

f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n s a r e p r e s e n t e d .

If a n e l a s t i c m a t e r i a l i s d e f o r m e d w i th no v o l u m e c h a n g e ,

then the b e h a v i o r in s h e a r i s s u f f i c i e n t to d e f in e th e m e c h a n i c a l p r o p

e r t i e s o f th e m a t e r i a l . T h e e a r l y i n v e s t i g a t o r s in th e f i e l d o f r h e o l o g y

m a d e t h e s a m e a s s u m p t i o n fo r v i s c o e l a s t i c b o d i e s . F u r t h e r m o r e ,

th e y p o s t u l a t e d that, a s a f i r s t a p p r o x i m a t i o n , th e r h e o l o g i c a l

141

b e h a v i o r o f m a t e r i a l s u n d e r i s o t r o p i c s t r e s s c o u l d b e c o n s i d e r e d a s

p e r f e c t l y e l a s t i c . F o r s o m e d e n s e m a t e r i a l s s u c h a s s t e e l a n d o t h e r s ,

th i s a s s u m p t i o n i s p r o b a b l y j u s t i f i e d , b e c a u s e a t w o r k in g c o n d i t i o n s

the s t r e s s e s a p p l i e d a r e no t h igh e n o u g h to c a u s e d e n s i f i c a t i o n o r , in

m o r e g e n e r a l t e r m s , v o l u m e f lo w . F o r p o r o u s m a t e r i a l s , o f w h i c h

s o i l s a r e a t y p i c a l e x a m p l e , v o l u m e flow i s p r o b a b l y too im p o r t a n t

to b e n e g l e c t e d . F u r t h e r m o r e , in m u l t i p h a s e s y s t e m s , and a g a i n

s o i l s a r e a n e x c e l l e n t e x a m p l e o f s u c h a s y s t e m , an i s o t r o p ic s t r e s s

a p p l i e d to th e s o l i d p h a s e c a u s e s t h e o t h e r p h a s e to be e i t h e r d i f f u s e d

in t o the s y s t e m o r e j e c t e d f r o m it . O nly in v e r y s p e c i a l c a s e s w i l l

s o i l s b e s u b j e c t e d to s t r e s s e s w h i c h w i l l a p p r o a c h the co n d i t io n o f a

p u r e s t r e s s d e v i a t o r .

O n e o f t h e s e f e w c a s e s i s p r o b a b ly the s t r e s s c o n d i t io n s

p r e v a l e n t in an i n f i n i t e s l o p e . A l t h o u g h the s t r e s s con d it ion s a r e not

th a t o f a p u r e d e v i a t o r o f s t r e s s , e x p e r i e n c e h a s in d ic a te d that , at

th e v e r g e o f f a i l u r e , t h e s h e a r p r o p e r t i e s of t h e s o i l s are the o n e s

w h i c h w i l l g o v e r n b e h a v i o r . F o r th at p a r t i c u l a r co n d i t io n the s o i l

c o u l d b e c o n s i d e r e d to b e of an i n c o m p r e s s i b l e n a t u r e .

A n a l y t i c a l s o l u t i o n s h a v e b e e n p r e s e n t e d for the f low o f an

i n c o m p r e s s i b l e v i s c o e l a s t i c l a y e r o f a m a t e r i a l o n an i n c l in e d p la n e

142

(6 5 , 7 5 ). I f th e v i s c o e l a s t i c m a t e r i a l i s a s s u m e d to b e o f the B i n g h a m

t y p e , w i t h a B i n g h a m f lo w v a l u e e q u a l to t , th e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n

i s o b t a in e d fo r th e c r i t i c a l h e i g h t :

T

h * = ------------------------------------------------------------------------------ (56)y s i n a

w h e r e

y = w e i g h t p e r u n it v o l u m e

a = s l o p e a n g le

h# = c r i t i c a l h e i g h t

F o r y < h* ( F i g u r e 53) t h e r e i s no f low . If y = h * the s l o p e

f l o w s . It c a n be r e a d i l y s e e n th a t t h i s i s the s a m e e x p r e s s i o n g i v e n

in on e o f the l e a d i n g s o i l m e c h a n i c s t e x t s ( T a y l o r , pp. 4 3 0 ) . T a y l o r

u s e d a d i f f e r e n t n o t a t io n ; the e x p r e s s i o n he g i v e s f o r th e " a l l o w a b l e

height" i s

2 •H = -A BZL-J. ,57)y ta n l - ta n <p, a

If the f o l l o w i n g v a l u e s a r e s u b s t i t u t e d

H c o s i = h*

c d - To

* d = 0

a = i

th en e q u a t io n 57 r e d u c e s to e q u a t i o n 56.

143

n,

X

Fig. 53 . - Slope problem

14*'

T h e c o i n c i d e n c e in th e r e s u l t s i s n o t s u r p r i s i n g ; i t i n d i c a t e s

that i f th e f r i c t i o n a l c h a r a c t e r i s t i c s o f th e m a t e r i a l a r e n e g l e c t e d

[0 = 0] and i f the B i n g h a m f lo w v a l u e i s e q u a t e d to th e d e v e l o p e d c o

h e s i o n , th en the tw o p r o b l e m s a r e one an d t h e s a m e . T h e a d v a n t a g e

o f f e r e d by the a n a l y s e s p r e s e n t e d in (65) i s that an e x p r e s s i o n c a n b e

found f o r the v e l o c i t y o f f lo w f o r a s l o p e h i g h e r than the c r i t i c a l . T he

e x p r e s s i o n i s

tiV^ = 1 / 2 y s i n a (h - y ) - t (h - y) (58)

w h e r e

"H = c o e f f i c i e n t of v i s c o s i t y

V = v e l o c i t y o f f low x

A s s u m e , f o r . e x a m p l e , th e f o l l o w i n g v a lu e s :

t = 1000 lb. / sq . ft.o

y = 100 lb. / cu. ft.

a = 3 0 °

10000th e " ” * = lOOYY/Z = Z° H -

2 2nV = 25(h - 20 ) - 1 0 0 0 (h - 20)

o

TiV = 25(h - 2 0 ) 2 o

A s s u m i n g

t| = 0. 71 x 1 0 10 — y - e — - 0. 34 x 1 0 13 p o i s e sft

h = 40'

th en

V = 0. 141 x 10 f t / s e c - 2. 2 i n / y e a ro

T h u s , a n i n f i n i t e s l o p e of th e m a t e r i a l , w i t h th e p r o p e r t i e s

g i v e n a b o v e w i l l c r e e p a t a r a te o f a b o u t 2 i n c h e s p e r y e a r . A b a s i c

d i f f e r e n c e d o e s e x i s t b e t w e e n th e v i s c o e l a s t i c s o l u t i o n and the t r a

d i t i o n a l s o i l m e c h a n i c s a p p r o a c h . T h e v i s c o e l a s t i c y i e l d v a l u e , t ,

i s o n l y a f lo w y i e l d v a l u e , w h e r e t h e s o i l m e c h a n i c s c o h e s i o n i s a

r u p t u r e v a l u e . The v i s c o e l a s t i c s l o p e w i l l f lo w (not n e c e s s a r i l y w i t h

r u p t u r e ) a t s t r e s s e s a b o v e th e y i e l d v a l u e ; th e s o i l m e c h a n i c s s l o p e

w i l l f a i l a t s t r e s s e s a b o v e th e d e v e l o p e d c o h e s i o n .

It i s i n t e r e s t i n g to r e m e m b e r th a t the s l o w c r e e p o f s l o p e s

h a s b e e n o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y (77) . It w i l l b e i n t e r e s t i n g to

c o r r e l a t e the a c t u a l f i e l d o b s e r v a t i o n s w i t h v a l u e s c o m p u t e d u s i n g

e q u a t i o n 5 8 and v i s c o s i t y v a l u e s o b t a i n e d in the l a b o r a t o r y . B e c a u s e

o f th e d i f f i c u l t y w h i c h w o u l d b e e x p e r i e n c e d in t e s t i n g u n d i s t u r b e d

s o i l s a m p l e s in the f o r m o f h o l l o w c y l i n d e r s , the f o l l o w i n g a l t e r n a

t i v e m e t h o d s c o u l d b e u s e d .

14*

T e s t s o l i d c y l i n d e r s in t o r s i o n a n d a s s u m e a t r i a n g u l a r

( e l a s t i c ) d i s t r i b u t i o n o f s h e a r s t r e s s in th e c r o s s s e c t i o n a l a r e a of

th e s a m p l e , a n d ob ta in th e v i s c o s i t y c u r v e s in t e r m s o f a n a v e r a g e

s h e a r s t r e s s ; o r t e s t the s o l i d s a m p l e in c o m p r e s s i o n , o b t a in th e

c o e f f i c i e n t o f v i s c o s i t y in c o m p r e s s i o n and c o n v e r t to s h e a r v i s c o s i t y

b y a s s u m i n g t h a t the u n c o n f i n e d c o m p r e s s i o n t e s t i s a c o n s t a n t v o l u m e

t e s t .

It m u s t be m e n t i o n e d h e r e that a m o r e c o m p l i c a t e d c a s e of

f l o w o f an i n f i n i t e s l o p e h a s b e e n a n a l y z e d r e c e n t l y b y S t r o g a n o v (65).

He a s s u m e s a n e q u a t io n f o r t h e s o i l o f the t y p e

t = (p. + <0 tan 4* + q e (59)l

w h e r e

p. tan<)> = C

q = v i s c o s i t y

e = s t r a i n r a t e

E q u a t io n 59 h a s b e e n p r e s e n t e d e a r l i e r by T a y l o r , p. 378.

F u r t h e r m o r e , h e s o l v e s the p r o b l e m of the i n f i n i t e s l o p e

w i t h a u n i f o r m s u r c h a r g e o v e r p a r t of i t s l e n g t h ( s e e F i g u r e 53).

A g a i n the e x p r e s s i o n he o b t a i n s for the c r i t i c a l h e ig h t c a n b e r e d u c e d

to T a y l o r ' s e x p r e s s i o n

{(p. + p) tan <t> - t }h * = —y i ------------------------— (60)

\ ( s i n a - c o s a tan <p)

147

w h e r e p , t a r e th e c o m p o n e n t s o f the a p p l i e d p r e s s u r e ( F i g u r e 53)-

If p = t = 0 , th en

p. t a n 9h * = --------------— r r (61)y ( s in a - c o s a tan 9)

T he e x p r e s s i o n he o b t a i n s f o r th e v e l o c i t y i s :

2 2n V x = { . i n a - c o . a t a n + H h - y } - { (p ̂ +p) tan 9 - t } { h - y }

(62 )

It m u s t b e e m p h a s i z e d th at th e s o l u t i o n s p r e s e n t e d c o r r e s p o n d to

i n f i n i t e , u n i f o r m s l o p e s . T h e c a s e o f a d i s c o n t i n u o u s s l o p e i s m u c h

m o r e d i f f i c u l t to s o l v e .

C H A P T E R VI

C O N C L U S IO N S

T h e f o l l o w i n g t e n t a t i v e c o n c l u s i o n s a r e a d v a n c e d :

1) T he c r e e p b e h a v i o r o f s o i l s u n d e r c o n s t a n t t o r s i o n a l

s h e a r s t r e s s c a n be d e s c r i b e d , u s i n g c o n c e p t s of the v i s c o e l a s t i c

t h e o r y , a s c o n s i s t i n g o f

a) E l a s t i c ( I n s t a n t a n e o u s ) d e f o r m a t i o n

b) F l o w

c) R e t a r d e d e l a s t i c d e f o r m a t i o n

2) R h e o l o g i c a l m o d e l s c a n b e f i t t e d to th e data o b t a in e d , The

m o d e l fo r r e t a r d e d e l a s t i c i t y w a s o b t a in e d f r o m a d i s t r i b u t i o n f u n c t io n

o f r e t a r d a t i o n t i m e s .

/

3) T he p r i n c i p l e o f s u p e r p o s i t i o n c a n b e a s s u m e d to h o ld ,

a s a f i r s t a p p r o x i m a t i o n , f o r a l l th e s t r e s s e s u s e d .

4) T he f o l l o w i n g e q u a t i o n g i v e s a v e r y g o o d a p p r o x i m a t i o n

to the e x p e r i m e n t a l r e s u l t s

Y(t) = T {>_ + _L + £ p J _ (1 . ,-«/Tn)}n=l

148

149

5) T he r e p e t i t i o n o f l o a d s c h a n g e d th e m e c h a n i c a l b e h a v i o r

o f a l l s o i l s s t u d i e d in th e f o l l o w i n g m a n n e r :

a) The i n s t a n t a n e o u s m o d u l u s w a s not s ig n i f i ca n t ly -

a f f e c t e d

b) The d e l a y e d m o d u l u s e x p e r i e n c e d a n i n c r e a s e in

v a lu e w i t h l o a d r e p e t i t i o n

c ) T h e v a l u e o f the v i s c o s i t y i n c r e a s e d v e r y s h a r p l y

w it h l o a d r e p e t i t i o n , and in th e l a s t l o a d c y c l e s

i t d id n o t a p p e a r to h a v e a n y e f f e c t on d e f o r m a

t io n ( T) oo)

T h e m a t e r i a l s s t u d i e d s h o w e d a n a p p r o x i m a t e l y l i n e a r v i s c o

e l a s t i c b e h a v i o r . T h i s m e a n s th a t c o n c e p t s b a s e d on v i s c o e l a s t i c

s t r e s s a n a l y s i s c o u l d be u s e d to s o l v e c e r t a i n t y p i c a l s o i l m e c h a n i c s

p r o b l e m s . T h e p r o b l e m o f th e i n f i n i t e dope w a s a n a l y z e d in th a t

f a s h i o n an d a v e l o c i t y o f f lo w w a s c o m p u t e d , u s i n g f o r m u l a e d e v e l

o p e d e l s e w h e r e . F o r the p a r a m e t e r s a s s u m e d , the c o m p u t e d v e l o c i t y

had a m a g n i t u d e o f ab o u t tw o i n c h e s p e r y e a r . A m e t h o d w a s a l s o

s u g g e s t e d to e v a l u a t e the f lo w c h a r a c t e r i s t i c s o f u n d i s t u r b e d s o i l s .

T h e s e l a t t e r v a l u e s c o u l d b e u s e d to t e s t th e v a l i d i t y o f th e f o r m u l a e

f o r s l o p e f lo w b y m e a n s o f a c o m b i n a t i o n o f l a b o r a t o r y t e s t s and

f i e l d o b s e r v a t i o n s .

150v

It i s the w r i t e r ' s b e l i e f that th e c o n c e p t s a d v a n c e d b y v i s c o

e l a s t i c t h e o r i e s c a n i m p r o v e th e u n d e r s t a n d i n g a n d th e s o l u t i o n o f the

f o l l o w i n g s o i l m e c h a n i c s p r o b l e m s :

a) I n t e r a c t i o n b e t w e e n s u b g r a d e an d p a v e m e n t s t r u c t u r e . B y

d e v e l o p i n g a m o d e l f o r s u b g r a d e b e h a v i o r s o l u t i o n s c a n p r e s u m a b l y

b e o b t a i n e d to g iv e a n i n d i c a t i o n o f the l e v e l of s t r e s s and s t r a i n in

the p a v e m e n t c o m p o n e n t s , an d h o w t h e s e v a l u e s c h a n g e w i t h t i m e .

b) The lo n g t e r m s t a b i l i t y a n d f lo w o f s l o p e s , a s p r e v i o u s l y

d i s c u s s e d .

c ) D e s i g n o f f o u n d a t io n s in p a r t l y s a t u r a t e d s o i l s , w h e r e

th e c o n s o l i d a t i o n t h e o r y d o e s not ap p ly . T h e m e t h o d s s u g g e s t e d by

T e r z a g h y (5 6 ) and H o u s e l (5 9 ) c o u ld b e u s e d a s th e b a s i s f o r a d e s i g n

m e t h o d .

F i n a l l y , th e f o l l o w i n g r e c o m m e n d a t i o n s w i t h r e g a r d to fu tu r e

s t u d i e s a r e g iv e n :

1) C o n t in u a t io n o f f u n d a m e n t a l s t u d i e s , u s i n g d e v i a t o r i c

s t r e s s e s o n l y , but w i t h an a p p a r a t u s s u f f i c i e n t l y s e n s i t i v e to d e t e c t

the p r e s e n c e o f the f i r s t y i e l d v a lu e (if any) . At th e s a m e t i m e ,

t o r s i o n t e s t s s h o u ld b e run u s i n g s o l i d c l a y s a m p l e s , an d the r e s u l t s ,

b a s e d on a n " a v e r a g e " s h e a r s t r e s s in th e s o l i d s a m p l e , s h o u ld be

c o m p a r e d w i t h r e s u l t s o b t a i n e d f r o m h o l l o w s a m p l e s . S o m e o t h e r

151

typ e o f a s i m p l e t e s t , s u c h a s u n c o n f in e d c o m p r e s s i o n o r d i r e c t s h e a r

t e s t s , s h o u ld be u s e d a n d r e s u l t s c o m p a r e d w i th th e r e s u l t s o b t a in e d

f r o m h o l l o w s a m p l e s . A l s o , a p r o c e d u r e m u s t be d e v i s e d to a v o i d

the m o i s t u r e l o s s in s a m p l e s .

2) U n d e r t a k i n g a n e w s e r i e s o f t e s t s w i th d i f f e r e n t s t r e s s

c o n d i t i o n s . S t r e s s - s t r a i n t e s t s , r e l a x a t i o n t e s t s , d y n a m i c t e s t s ,

and o t h e r s c o u ld be u s e d . T he r e s u l t s w o u l d i n d i c a t e w h e t h e r a p a r

t i c u l a r m a t e r i a l h a s a d i f f e r e n t r e s p o n s e to e v e r y l o a d i n g c o n d i t io n .

3) Running o f c o n s o l i d a t i o n t e s t s to s t u d y th e c o m p r e s s i b i l i t y

c h a r a c t e r i s t i c s of p a r t i a l l y s a t u r a t e d s o i l s . T h e s e t e s t s c o u l d v e r y

w e l l be run w i th a t r i a x i a l c h a m b e r .

4) T e s t i n g o f s o i l s u n d e r t r i a x i a l c o n d i t i o n s w h i c h s i m u l a t e

a c t u a l s t r e s s c o n d i t i o n s , s h o u ld b e the u l t i m a t e o b j e c t i v e o f a l l

i n v e s t i g a t i o n s . A l l the o t h e r t e s t s p r e s e n t e d e a r l i e r a r e u s e d s o l e l y

to h e l p d e v e l o p an u n d e r s t a n d i n g o f the m o r e c o m p l i c a t e d b e h a v i o r

w h i c h i s n o doubt p r e s e n t u n d e r t r i a x i a l c o n d i t i o n s .

A P P E N D I X I

R E S O L U T I O N O F T E N S O R S

C u b i c a l D i l a t a t i o n

If a p a r a l l e l e p i p e d o f e l a s t i c m a t e r i a l i s s u b j e c t e d to a

u n i f o r m p r e s s u r e (or t e n s i o n ) cr = cr = <r = - p (or + p) , t h e n a l lx x y y z z

the e d g e s a r e c o n t r a c t e d in the s a m e p r o p o r t i o n and t h e r e i s no d i s

t o r t i o n o f the bod y , j u s t a c h a n g e in v o l u m e w i l l o c c u r . L e t l ^ ,

and I b e the o r i g i n a l l e n g t h s o f th e e d g e s of th e body . Upon d e f o r - z

m a t i o n the e d g e s h a v e l e n g t h s f (1 + e ), I ( 1 + e ), and I (1 + e ).X X X y y y z Z Z

T h e c h a n g e 6V in th e v o l u m e V of th e e l e m e n t i s

F o r i n f i n i t e s i m a l s t r a i n , th e p r o d u c t s o f the c o m p o n e n t s o f

s t r a i n c a n be n e g l e c t e d , and

6V - I I I (1 + e )(1 + e ) ( l + e ) - i f f x y z X X yy z z x y z

(63)

6V - I I I (e + ex y z x x y y

(64)

Thus

A V= A = e + e + ex x y y zz

(65)V e kk

F o r t h i s r e a s o n A i s c a l l e d the " c u b i c a l d i l a t a t io n . "

S t r a i n D e v i a t o r

T h e s t r a i n d e v i a t o r e 1. . i s d e f i n e d b y1J

153

that i s

, 1 f , , » 2 y y z ze = e - — (e + e + e ) = - e - ‘ 1 - ——x x x x 3 x x y y z z 3 x x 3 3

e , e, x x , 2 z ze' = - — r- + - e - — r-y y 3 3 y y 3

t - 6 x x 6 y y 2— r - 3 ' r . . (67)

e 1 = e x y x y

etc -

It c a n be e a s i l y s e e n th a t th e c u b i c a l d i l a t a t i o n (or v o l u m e

c h a n g e ) o f the s t r a i n d e v i a t o r i s z e r o

A* = e' + e 1 + e' = 0 (68)x x y y zz

T h u s , a g e n e r a l s t a t e o f h o m o g e n e o u s s t r a i n in a n e l a s t i c

b o d y c a n b e d i v i d e d in t o a v o l u m e c h a n g e w i th o u t d i s t o r t i o n p lu s a

c h a n g e in s h a p e a t c o n s t a n t v o l u m e .

S t r e s s D e v i a t o r

K e e p in g a p a r a l l e l i s m w i t h th e s t r a i n d e v i a t o r , th e s t r e s s

d e v i a t o r i s d e f i n e d a s

1<J". . - cr_. - — o". . 6̂ (69)

ij "ij 3 ~ k k ' i j

T h u s , a g e n e r a l s t a t e o f h o m o g e n e o u s s t r e s s c a n b e d i v i d e d

in to a n i s o t r o p i c o r v o l u m e t r i c s t r e s s p lu s a s t r e s s d e v i a t o r . A

g e n e r a l i z e d s t a t e o f s t r e s s c a n a l w a y s b e r e d u c e d to t h r e e p r i n c i p l e

s t r e s s e s

ta l 0 0 '

o-.. = 1J

0 "2 0 f0\

0^3 ;

T h u s , th e s t r e s s d e v i a t o r c a n be r e d u c e d a l w a y s to t h r e e

c o m p o n e n t s\

A P P E N D I X II

R H E O L O G I C A L M O D E L S

T h e s c - c a l l e d r h e o l o g i c a l m o d e l s a r e o b t a in e d b y c e r t a i n

c o m b i n a t i o n s o f tw o i d e a l b o d i e s : th e e l a s t i c b o d y and the v i s c o u s

l iq u id . T he s t r e s s - s t r a i n e q u a t io n o f a n e l a s t i c b o d y i s of the f o r m

o- = Ee (72)

w h e r e cr an d e a r e c o m p o n e n t s o f the s t r e s s and s t r a i n t e n s o r s , i . e. ,

t h ey a r e s c a l a r s .

T h e v i s c o u s l i q u i d h a s a s t r e s s - s t r a i n e q u a t io n o f the f o r m

- * <«>

If a c o n s t a n t s t r e s s cr i s a p p l i e d to t = t , the l iq u id w i l lo o

f low at a c o n s t a n t r a t e

c = e + ^ t (74)o n

w h e r e e i s the d e f o r m a t i o n p r e s e n t a t t = t .o o

B a s e d in e q u a t i o n s 72 and 7 4 , a d e f i n i t i o n o f an i d e a l s o l i d

b od y a n d an i d e a l l iq u id b o d y c a n b e e s t a b l i s h e d . An i d e a l s o l i d b o d y

i s d e f i n e d a s a b o d y that w i l l r e a c h , w h e n s u b j e c t e d to s t r e s s e s , a

c o n s t a n t d e f o r m a t i o n . A n i d e a l l iq u id s u b j e c t e d to s t r e s s w i l l d e f o r m

w it h o u t l i m i t .

1 55

M a x w e l l B o d y

S u p p o s e that a n e l a s t i c e l e m e n t i s j o i n e d in s e r i e s w i t h a

v i s c o u s e l e m e n t . Then* th e s t r e s s i s th e s a m e in both e l e m e n t s and

t h e to t a l s t r a i n e i s the a d d i t io n o f the s t r a i n in e a c h e l e m e n t

A l s o

c = t — + e . (75)E 1

£ = U +£* (76)E l

w h e r e

e = to t a l s t r a i n

e = —- = e l a s t i c s t r a i n

2e, = v i s c o u s s t r a i n , w i t h e = ----t l t,2

S u b s t i t u t in g th e v a l u e s c o r r e s p o n d i n g to an d , the f o l l o w i n g

e q u a t io n i s o b t a in e d

e = - + - (77)

2 2

If a c o n s t a n t s t r e s s i s a p p l i e d to a M a x w e l l b o d y , th en e q u a t i o n 77

w i l l b e

i ^I n t e g r a t in g

cr t

1 57O'

at t = 0 , e = c = ■=t ’ , and ° 2

cr cr t

* = i r + T - (8 0 )2 '2

E q u a t io n 80 i s p l o t t e d in F i g u r e 54. It c a n b e s e e n th a t the

M a x w e l l b o d y i s a l iq u i d , i. e . , i t w i l l f l o w w i t h no l i m i t , u n d e r a

v e r y s m a l l s t r e s s .

K e l v i n B o d y

If an e l a s t i c e l e m e n t i s j o i n e d in p a r a l l e l to a v i s c o u s e l e

m e n t , th e t o t a l s t r e s s w i l l b e e q u a l to the s u m m a t i o n o f th e s t r e s s in

e a c h e l e m e n t , and th e s t r a i n w i l l b e the s a m e in b o th e l e m e n t s

o- = a + 0- (8 1)E t

w h e r e

<r = to t a l s t r e s s

c r _ = s t r e s s in the e l a s t i c e l e m e n t cr = cE,E 1

= s t r e s s in th e v i s c o u s e l e m e n t cr = eT|^

S u b s t i t u t in g in e q u a t io n 81 , the f o l l o w i n g e q u a t io n i s o b t a i n e d

cr = E^e + r^e (82)

158

If a c o n s t a n t s t r e s s <r i s a p p l i e d to a K e l v i n b o d y , e q u a t i o no

82 w i l l be

o r

w i th

cr = E t + T) e o i l

^o c , • (83)— =-=r + e’’i T i

— = T E 1

S o l v i n g e q u a t io n 8 3 , the f o l l o w i n g e x p r e s s i o n i s o b t a i n e d

cr _t_£ = ■=? + C e ' I , (84)

E 1 1O’

At t = 0 , c = c , and C = c - -=r~ o o Ej

F i n a l l y

E = ^ (85>

E q u a t io n 85 i s p r e s e n t e d in g r a p h i c a l f o r m in F i g u r e 55. It

c a n b e s e e n th at the d e f o r m a t i o n a p p r o a c h e s a f in a l v a l u e w i t h t i m e .

A l s o , i f the l o a d i s r e m o v e d , the d e f o r m a t i o n i s c o m p l e t e l y r e c o v e r e d

(at t = °°). T h u s , th e K e l v i n b o d y i s a s o l i d , and f u r t h e r m o r e , i t

e x h i b i t s r e t a r d e d e l a s t i c b e h a v i o r . T h e c o n s t a n t T^ h a s d i m e n s i o n s

o f t i m e , and i s c a l l e d th e r e t a r d a t i o n t i m e .

159

B u r g e r M o d e l

If a M a x w e l l an d K e l v i n b o d i e s a r e j o i n e d in s e r i e s , a n e w

m o d e l r e s u l t s ; i t h a s b e e n c a l l e d th e B u r g e r m o d e l . D ue to the

s e r i e s a r r a n g e m e n t , th e s t r e s s i s th e s a m e in both e l e m e n t s , an d the

to t a l s t r a i n i s the a d d i t io n o f the s t r a i n in e a c h e l e m e n t . U n d e r a

c o n s t a n t s t r e s s cr , the B u r g e r b o d y w i l l d e f o r m a c c o r d i n g to th eo

f o l l o w i n g e q u a t io n

cr cr t a t-

* • 1 ? + V + E f * >1 w J.

F i g u r e 56 s h o w s in g r a p h i c a l f o r m th e r e s u l t s o f c r e e p u n d e r c o n

s t a n t s t r e s s o f a B u r g e r m o d e l . It c a n b e s e e n th at th e c r e e p b e h a v

i o r o f a B u r g e r m o d e l c o r r e s p o n d s to th e t y p i c a l c r e e p b e h a v i o r o u t

l i n e d in S e c t i o n 1, F i g u r e 2. T h e B u r g e r m o d e l e x h i b i t s a l l t h r e e

k in d s o f d e f o r m a t i o n d i s c u s s e d a b o v e : e l a s t i c , r e t a r d e d e l a s t i c ,

and flow.

160

TI ME , t

t an

Fig. 54. - Creep of a Maxwell model.

161

cn </> LUorHV )

J

TI ME , t

T I M E , t

Fig. 55. - Creep of a Kelvin model.

COCO

CO

TIME f t

CO

- t / T ,

TIME, t

Fig. 56. - Creep of a Burger model.

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