SUPERPOSICIÓN DE ONDAS

*SUMA DE ONDAS DE DIFERENTE FRECUENCIA

*ONDAS PERIÓDICAS ARMÓNICAS

BATIDOS

Consideremos la perturbación compuesta procedente deunacombinación de las ondas

E1=E01cos (k 1 x−w1 t)y

E2=E01cos (k 2 x−w2 t)

La ondanetaE=E01[cos (k1 x−w 1t)+cos(k2 x−w2 t )]Puede formularse denuevo como

E=2E01cos12[(k1+k2) x−(w1+w2) t ] xcos

12[(k1−k2) x−(w1−w2) t ]

Usando laidentidad

cos a+cosb=2cos12(a+b)cos

12(a−b)

Definimos ahora las cantidades w y k que son la frecuencia angular promedio y elnúmero de propagación promedio ,respectivamente.Del mismomodo ,wm y kmdesignanla frecuencia de modulación y el número de propagación promedio de modulación. Sea

w≡12(w1+w2) wm≡

12(w1−w2)

k≡12(k 1+k2) km≡

12(k1−k2)

y por lotanto

E=2 E01 cos (kmx−wm t)cos (k x−w t)

La perturbacióntotal puede considerarse comounaonda viajerade frecuenciaw que tiene unaamplitud variable enel tiempoomoduladaE0(x , t)talque

E( x , t)=E0(x ,t )cos (k x−w t)donde

E0(x , t)=2E01 cos(km x−wm t)

Enlas aplicaciones que nos interesanw1 y w2 serán siemprebastante elevadas. Además , si soncomparables entre sí ,w1≈w2,entonces w≫wm y E0(x , t)cambiarán lentamente ,mientras que E (x ,t )variarámuy rápidamente( figura7.13) .

La irradiancia es proporcional a

E² 0(x , t)= 4E²01 cos² [km x−wmt ]o

E² 01( x , t)= 2 E² 01 [1+cos (2km x−2wmt )] .

E² 0(x , t)oscila alrededor de unvalor de 2E²01 conuna frecuencia angular de 2wmo simplemente (w1−w2)quesedenomina frecuencia de batido.Dicho de otra forma , E0 varía segúnla frecuencia de modulación mientras que E² 0

varía el doble de este valor , esdecir , la frecuencia debatido.

Losbatidos se observaron por vez primeraen1955cuando Forrester ,Gudmundsen y johnson emplearonla luz conel finde obtener dos ondasde frecuencia ligeramente diferente recurriendo al efecto Zeeman. El campo se ajustóespecialmente de talmanera que v1−v2= 10¹⁰Hz , lo cual corresponde aunaseñal demicroondas de 3cm.

La corriente fotoeléctrica registrada tenía la forma de la curva E² 0(x )de la figura7.13d.

VELOCIDAD DE GRUPO

Larelaciónespecífa entre w y k define v , la velocidad de fase de unaonda. Enunmedio nodispersivo como el vacío v= w /ky undiagramade wcontra k esuna línea recta; la frecuancia y lalongitud deonda varían para que v permanezcacte.

TodaslasOEM se desplazan con lamisma velocidad de fase enun medionodispersivomientras queenunmedio dispersivodepende de su frecuencia.

Cuando varias ondasse combinan para formar una perturbacón compuesta , laenvolvente de modulación se desplazaráauna velocidad distintade lade las ondasconstitutivas. De este fenómeno podemosapreciar la realaciónimportante entre la velocidad de grupo

y la velocidad de fase.

La perturbación

E (x ,t )= E0(x , t)cos (k x−w t ) (A)

enuna onda portadora (w)de altas frecuenciasmoduladaen amplitud por una función coseno.Supongamos que la onda enla figura 7.13bno estuvieramodulada , esdecir , E0= cte. Cada pequeñacresta de la ondade transmisión viajaría a la derechaconuna velocidad de

fase habitual. Dicho deotro modo ,

v=−(∂ψ/∂ t)x(∂ψ/∂ x)t

De la ecuación(A) la fase viene dada por ψ= (k x−w t) , por lo tanto

v= w / k

Esta es la velocidad de fase de la onda portadora. Si la ondaestámodulada las crestas simplemente cambian periódicamentede amplitud conforme van viajando.

Otromovimiento a tener encuenta esel de la propagaciónde la envolvente demodulación. De la figura 7.13a supongamosque las ondas constitutivas , E1(x , t) y E2(x , t) , avanzan conlamisma velocidad , v1 = v2.

Laresultante de la superposición es unadistribuciónestacionaria debatidos. La rapidez dedesplazamiento de laenvolventedemodulación se denomina velocidad de grupo (v g).

En este caso la velocidad de grupo esigual a la velocidad de fase de la onda portadora(w /k ) . Dichode otra formav g=v=v1=v2. Esto se aplicaa mediosno dispersivos donde la velocidad fásicaesindependiente de lalongitud de

ondade tal forma que las dos ondas puede tener lamisma velocidad.

Parauna soluciónde aplicaciónmásgeneral examinemos la expresión para la envolventede modulación :

E0(x , t)= 2 E01 cos(km x−wmt )

La velocidad de la ondaesta dada por laecuacion

v=−(∂ψ/∂ t)x(∂ψ/∂ x)t

Lamodulación avanza aunavelocidad que dependede la fase de la envolvente (km x−wm t) , y

v g=wm

km

o v g=(w1−w2)

(k1−k2)=

(Δw)

(Δ k )

Comow puede depender de lalongitud de ondaesto esw (λ )se denomina relación dedispersión.Cuando la gammade frecuenciaΔw ,centradaalrededor de w ,es pequeña ,Δw /Δ k esaproximadamente igual a la derivadade la relaciónde dispersión , esdecir

v g=(dwdk

)w

(B)

Lamodulación oseñal se propaga conuna velocidad de fase , v , de la portadora. Laecuación anterior es válidapara cualquiergrupo de ondas superpuestas siempreque su gama de frecuencia sea estrecha.

Enambos casosla pendiente de la rectaque uneal origen concualquier punto de la curva esla velocidad de fasea esafrecuencia y la pendiente de la curvaenese punto representala velocidad de grupo parala serie deondas

componentes queestán centradas en w.

En la dispersiónnormal , las ondas sinusoidales de frecuencias altas tienenunos índicesmas amplios y viajanmas lentosque las ondas de baja frecuencia. Asimismo la pendiente de la curvade dispersión (vg)esmenosmarcadaque la de

la línea(v ); esdecir , v g<vmientras queen la dispersión anómalav g>v.Ya quew= kv , laecuación para la velocidad de grupoes

vg= v+kdvdk

Por consiguiente , enmediosno dispersivos donde v esindependiente de λ , dv /dk= 0 y v g= v.

Concretamente enel vacíow= kc , v= c y vg= c. Enmediosdispersivos (v1≠v2, como en la figura7.15) , donde n(k)es conocida ,w= kc /n , siendoútil volver a formular v g como

v g=cn−kcn²

dndk

o v g= v (1−kndndk

)

Paramedios enregionesde dispersión normal , el índice derefracciónaumentacon la frecuancia(dn/dk>0) y , por coniguientev g<v.Claramente ,debería definirse tambiénun índicede refracciónde grupo

ng= c /v g

quedebería distinguirse de n.

Es posible crear un pulso ondulatorio de lamisma clase que el de la figura7.16sumando convenientemente unnúmero elevado de sinusoides de frecuencia , amplitud

y fase correcta.

Aquí elmedio tienedispersión normal , y la velocidad de fasese tomará como velocidad de la onda portadora , es decir , de la onda aproximadamente

sinusoidal de frecuencia w. Lascrestas de la onda portadora se desplazanmás rápidamente queel pulso enconjunto. A pesar deque cada pico de la onda

portadora cambia dealtura amedida que va progresando a través de la pulsación ,v (w)esla velocidad de cualquier pico semejante. Por el contrario ,

la envolvente de modulaciónse desplaza aunavelocidad vg(w)= (dw /dk )wque , eneste caso particular , es igual auncuarto de v (w) .

ONDAS PERIÓDICAS ARMÓNICAS

la figura7.17muestra una perturbacióndebida a la superposiciónde dos ondasarmónicas condiferentes amplitudes y longitudes

de onda

SERIE DE FOURIER

De la imagenanterior podemosnotar que unasuperposión de variasondas sinusoidales es unconjunto de información.

Sintetizandoesta información podriamos describir algunos perfiles de ondamuy interesantes(JeanBaptiste Joseph,Barón de Fourier) .

Teoremade fourier :Una funcion f (x)conun periodo espacial λ puede sintetizarse por la sumade funcionesarmónicas cuyaslongitudes de onda sonsubmúltiplos enteros de λ (λ ,λ /2,λ /3,etc.)

La fórmulamatemática de larepresentación enserie de Fourier es :

f (x )= C0+C1 cos (2 πλx+ε1)+C2 cos(2 π

(λ /2)x+ε2)+ ⋯ (℘)

donde los valoresC sonconstantes y f (x) puede corresponder aunaonda viajera f (x−vt) . Si la función sintetizadaconsta deunnúmero infinitode términosde tal forma que intersecten la funciónarmónica enunnúm.infinito de puntos ,

la serie será idéntica a f (x) .

Por lo general , es más convenientereescribir la ecuación (℘) recurriendo a la identidad trigonométrica

Cm cos (mkx−εm)= Am cosmkx+Bm senmkx

donde k= 2π /λ , siendoλ la longitud de ondade f (x) , Am= Cmcosεm y Bm=−Cm senεm .

Por consiguiente

f (x )=A0

2+∑

m=1

∞

Amcosmkx+∑m=1

∞

Bm senmkx (Ζ)

El proceso paraestablecer los coeficientes A0 , Am y Bm para una función periódica f (x )se denomina Análisisde Fourier

Paradeducir un cojuntode ecuaciones para los coeficientes integramos (℘) por ejemplo enel intervalo de0 hastaλ

yaque encualquier intervalo .

∫0

λ

senmkx dx=∫0

λ

cosmkx dx= 0

El término diferente de ceroaconsiderar es

∫0

λ

f ( x)dx=∫0

λ A0

2dx= A0

λ2

y entonces

A0=2λ∫

0

λ

f (x)dx

Para definir Am y Bmusaremos la ortogonalidad de las funciones sinusoidales , es decir , el echo deque

∫0

λ

senakx cos bkx dx = 0

∫0

λ

cos akx cosbkx dx= λ2

δab

∫0

λ

sen akx senbkx dx= λ2

δab

dondeδab esdenominadadelta de Kronecker.

Paracalcular Ammultiplicamos la ecuación (Ζ) por cos Lkx donde Lesunnúmero entero positivo , y sucesivamente integremossobre un periodo espacial. Solamente sobrevive el término parael cual L= m ,encuyocaso

∫0

λ

f (x)cosmkxdx =∫0

λ

Amcos² mkxdx = λ2Am

Por tanto Am =2λ∫

0

λ

f (x)cosmkxdx . (1)

Del mismomodomultiplicando la ecuación (Ζ) por sen Lkx e integrando llegamos a

Bm=2λ∫

0

λ

f (x) senmkx dx . (2)

En resumenuna función periódica f ( x) puede representarse comounserie de Fourier

f (x)=A0

2+∑

m=1

∞

Amcosmkx +∑m=1

∞

Bm senmkx (Ζ)

donde , conociendo f (x) , los coeficientes se calculanusando las expresiones(1) y (2) .

Calcular la serie de Fourier correspondiente a una onda cuadrada.

f (x)= +1 cuando0< x <λ /2−1 cuando λ /2< x <λ

Como f ( x) es impar , Am= 0, y

Bm=2λ ∫

0

λ/2

(+1) senmkx dx +2λ ∫

λ /2

λ

(−1)senmkx dx

por lo tanto

Bm=1

(mπ)[−cosmkx]0

(λ /2 )+

1(mπ)

[cosmkx](λ /2 )

(λ)

Recordando quek= 2 π/λ , tendremos

Bm=2

(m π)(1−cosmπ)

Loscoeficientes de Fourier son por consiguiente

B1=4π , B2= 0 , B3=

43

π , B4= 0 , B5=45

π , ...

Siendo la serie requeridasimplemente

f (x) =4π (sen kx +

13sen3kx +

15sen5kx + ⋯)

Representación gráfica deunascuantas sumas parciales de la serieamedidaque el númerode terminosaumenta.