Linearização dos coeficientes de reflexão de ondas qP em meios anisotrópicos

Brazilian Journal of Geophysics, Vol. 19(1), 2001

Received September 15, 2000 / Accepted March 25, 2001

Research Article

LINEARIZAÇÃO DOS COEFICIENTES DE REFLEXÃODE ONDAS qP EM MEIOS ANISOTRÓPICOS

Ellen N. S. Gomes1, João S. Protázio1, Jessé C. Costa1 & Ivan A. SimõesFilho2

Os coeficientes de reflexão de onda qP em uma interface plana que separadois meios anisotrópicos dependem dos parâmetros elásticos dos meiosenvolvidos de maneira não linear. Aproximações lineares para arefletividade de ondas qP pressupondo fraco contraste de impedância efraca anisotropia levam a uma forma simples para se fazer à análise deAVO/AVD. Neste trabalho a solução das equações de Zoeppritz é rescritaexplicitamente em função de matrizes de impedância e polarização. Alémdisso, utilizando-se esta abordagem, é apresentada uma metodologia geralmais simples para se obter as formas linearizadas. Estas formas linearizadaspara os coeficientes de reflexão da onda qP e das ondas convertidas parauma onda qP incidente apresentam resultados muito próximos daformulação exata para ângulos de incidência menores que 300

considerando-se um contraste de impedância moderado e anisotropia emlimites geologicamente aceitáveis.

Palavras-chave : Anisotropia; AVO/AVD.

LINEARIZED REFLECTION COEFFICIENTS FOR qP WAVES INANISOTROPIC MEDIA - The reflection coefficients at a planar interfaceseparating two anisotropic media have a nonlinear dependence on theelastic parameters and densities of both media. Linear approximationson the elastic parameters for the qP wave reflectivity are more convenientfor AVO/AVD analysis. We present the solution of the Zoeppritz equationsin terms of impedance and polarization matrices. Using this approachand assuming weak impedance contrast and weak anisotropy, a simplederivation of linearized approximations for qP the reflectivity is presentedfor general anisotropy. The linear approximations of reflectioncoefficients, qP and converted waves, for qP incidence are very close tothe exact results for incidence angles up to 30 degrees consideringmoderate impedance contrast and anisotropy.

Key words: Anisotropy; AVO/AVD.

1Universidade Federal do Pará-UFPA2Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

48 Coeficiente de Reflexão de Ondas qP

Revista Brasileira de Geofísica, Vol. 19(1), 2001

INTRODUÇÃO

As propriedades elásticas das rochas nasubsuperfície podem ser estimadas através do estudodas amplitudes das ondas refletidas utilizando-se aanálise da amplitude versus afastamento (AVO) eamplitude versus direção (AVD). Essas análises têmsido importantes no prognóstico de contrasteslitológicos ou de conteúdo de fluidos das formações.Em meios com fraturamento pode-se, por exemplo,determinar a orientação de planos de fratura que emgeral indicam a direção de maior permeabilidade queé essencial à caracterização de reservatórios dehidrocarbonetos.

Os primeiros trabalhos sobre o assunto levaramem consideração apenas meios acústicos ou elásticosisotrópicos (Ostrander, 1984). Novas técnicas deaquisição de dados em 3-C (três componentes) e ocomportamento efetivamente anisotrópico de meiosfraturados (Schoenberg & Douma, 1988) e finamenteestratificados (Postma, 1955) em regime quaseestático estimularam a incorporação de anisotropiana análise de AVO/AVD. Modelos interpretativos queadmitem anisotropia apresentam expressões analíticasdas amplitudes que dependem de forma não lineardos parâmetros elásticos do meio o que torna a análisedestas expressões complexa. Devido a estadificuldade, formas linearizadas para as amplitudestêm sido utilizadas.

Várias abordagens têm sido propostas parasimplificar a expressão exata do coeficiente de reflexãode uma onda qP supondo uma onda qP incidente.Para meios fracamente anisotrópicos com alto graude simetria e baixo contraste, os principais trabalhosforam de Thomsen (1986; 1993) e Banik (1987). Umaaproximação foi apresentada por Zillmer et al. (1997)considerando meios fracamente anisotrópicos econtrastes arbitrários. Entretanto, essa formaaproximada é ainda muito complexa. Vavrycuk &Psencik (1998) a particularizaram considerandopequenos contrastes entre as propriedades elásticasdo meio obtendo uma fórmula mais simples tanto parao coeficiente de reflexão como para o coeficiente detransmissão de uma onda qP considerando uma ondaqP incidente.

Neste artigo faz-se uma extensão do trabalho deSchoenberg & Protázio (1992), no qual uma

formulação matricial para o cálculo exato doscoeficientes de reflexão para meios anisotrópicos compelo menos um plano de simetria foi apresentado.Estende-se esta formulação determinando-se oscoeficientes de reflexão e transmissão exatos entremeios anisotrópicos arbitrários. Além disso, a partirdesta formulação, em que as equações de Zoeppritz,são escritas de forma particionada, é obtida uma formalinearizada para os coeficientes de reflexão da ondaqP e de suas convertidas considerando uma ondaincidente qP. A grande vantagem deste método é asimplificação da obtenção das linearizações. Faz-setambém uma avaliação destas aproximações a partirde dados sintéticos mostrando-se que as fórmulaslinearizadas produzem resultados muito próximosdaqueles obtidos com a formulação exata paraincidências de até 300 que é a faixa usada na prospeçãosísmica.

METODOLOGIA

Neste trabalho, as matrizes são representadaspor letras maiúsculas e em negrito e os vetores sãorepresentados por letras minúsculas e em negrito,utiliza-se a notação indicial e a convenção da soma(Aki & Richards, 1980) em todo o texto e as exceçõesa estas regras serão indicadas explicitamente. Alémdisso, será utilizada a notação P, S e T para as ondasqP, qS1 e qS2 (Helbig, 1994).

Sejam dois meios anisotrópicos quaisquerseparados por uma interface plana x3 = 0 com aincidência ocorrendo no meio superior e a transmissãoocorrendo no meio subjacente. Como estamosconsiderando que as medidas serão feitas longe dafonte e para intervalos de tempo muito pequenos, umaboa aproximação para o espalhamento é considerarque as ondas incidentes, refletidas e transmitidas sãoondas planas cujo campo de deslocamento é descritopor :

[ ]).(expA),( tit −= xsnxu αααα ω , (1)

sendo u o vetor de deslocamento, αn o vetor

polarização, αA a amplitude da onda, αs o vetorvagarosidade, ω é a freqüência e x é o vetor posição

E. N. S. Gomes, J. S. Protázio, J. C. Costa & I. A. Simões Filho 49


espacial (Musgrave, 1970). O subscrito α refere-seàs ondas P, S e T, assim classificadas de acordo comsua velocidade de propagação.

Utilizando a lei de Hooke generalizada econsiderando que na interface o campo dedeslocamento e a tração são contínuos, os coeficientesde reflexão e transmissão das ondas espalhadas sãodeterminados pelo sistema matricial:

=+=+

tZrZiZtNrNiN

tri

tri , (2)

em que i corresponde à amplitude da onda incidente,r à amplitude da onda refletida e t à amplitude daonda transmitida. As matrizes kN e kZcorrespondem às matrizes de polarização eimpedância da onda incidente (k = i), refletida (k = r)e transmitida (k = t) respectivamente, as componentesdestas matrizes são obtidas por αα = mm nN ,

ααα = jlljm3m nscZ e jkl3c representa ascomponentes do tensor elástico do meio. Nestetrabalho as componentes do tensor elástico serãorepresentadas utilizando a notação reduzida (Helbig,1994) em que ljkmc será substituído por pqC .

Explicitamente os coeficientes r e t são dadospor :

( ) ( )( ) ( ) .111

111

iNNZZNNZZTt

iNNZZNNZZiRr

irritrrt

ittirttr

−−−

−−−

−−−=≡

−−=≡

i(3)

As fórmulas (2) e (3) generalizam para meiosanisotrópicos arbitrários os resultados obtidos porSchoenberg & Protázio (1992) para o caso de meioscom pelo menos um plano horizontal de simetriaespecular.

A partição do sistema de equações de Zoepprittz(2) através das matrizes de impedância e polarizaçãopermite se obter uma solução explicita para as matrizesde reflexão e transmissão o que não é possível com aabordagem usual (Vavrycuk & Psencik , 1998). Asmatrizes R e T contêm todas as informações sobre asamplitudes envolvidas no espalhamento.

As amplitudes das ondas incidente, refletida etransmitidas são representados pelos vetores αi=i ,

αr=r e αt=t , respectivamente. Os coeficientes de

reflexão de uma onda incidente P, PPR , SPR e TPRsão obtidos de (3) em que:

[ ]

==

TTTSTP

STSTSP

PTPSPP

RRRRRRRRR

R βαR . (4)

Um dos possíveis problemas nesta formulação éque nas direções onde ocorre as singularidades nãose pode determinar as matrizes de polarização(representadas por N). Entretanto pode-se sempreescolher vetores de polarização linearmenteindependentes de tal forma que se possa determinaras matrizes de polarização inversíveis e desta forma osistema (2) terá solução não trivial.

Na formulação exata dos coeficientes de reflexãoos parâmetros elásticos dos meios aparecem de formanão linear o que torna a análise das propriedadesdestes meios a partir de AVO/AVD bastantecomplexa. Uma alternativa para simplificar a análiseé linearizar estes coeficientes. Neste trabalho alinearização dos coeficientes PPR , SPR e TPR é feitaem duas etapas. Primeiramente, tomam-se pequenasperturbações dos parâmetros elásticos 33C e 55C emtorno de um meio de referência isotrópico homogêneo.

Assim, sendo ( )γρ e )(jmC γ a densidade e os

parâmetros elásticos dos meios incidente ( =γ 1) esubjacente ( =γ 2), definem-se:

( )( )

( )γγ

γ

ρ=α 33C, (5)

( )( )

( )γγ

γ

ρ=β 55C , (6)

como as velocidades do meio isotrópico superior(onde ocorre a incidência) e do meio subjacente (ondeocorre a transmissão). A densidade e as velocidadesdo meio isotrópico de referência são então dadas por:



( ) ( )( )2

21 ρ+ρ=ρ , ( )

2

)2()1( α+α=α e

( ) ( )( )2

21 β+β=β . (7)

A seguir os outros parâmetros elásticos dos meiosisotrópicos resultantes da primeira perturbação sãotambém perturbados com 33C e 55C mantidos agoraconstantes.

Desta forma têm-se meios que respondem comomeios fracamente anisotrópicos.

Perturbando o sistema linear (2), as fórmulaslinearizadas dos coeficientes são então dadas pelaresolução do sistema:

( ) ( )( ) ( ).~~2~~~~

~~2~~~~

11

11

NNZZTNNZZ

NNZZRNNZZ

∆−∆−=−

∆−∆=−−−

−−

rrtrrt

ttrttr

δ

δ

(8)

As matrizes kZ~ e kN~ , correspondem àsmatrizes de impedância e de polarização associadasà reflexão (k = r) e transmissão (k = t) do meioisotrópico de referência. Os contrastes médios entreas matrizes de polarização e de impedância dos meiosincidente e subjacente são dados pelas matrizes

2/)( it NNN δδ −=∆ e 2/)( it ZZZ δδ −=∆ ,respectivamente. As matrizes de reflexão etransmissão perturbadas Rδ e Tδ são dadas por :

=

TTTSTP

STSTSP

PTPSPP

RRRRRRRRR

δδδδδδδδδ

δR , (9)

=

TTTSTP

STSTSP

PTPSPP

TTTTTTTTT

δδδδδδδδδ

δT

. (10)

Na determinação da aproximação linear para oscoeficientes de reflexão para incidência P, PPRδ ,

SPRδ e TPRδ , apenas a primeira coluna da matriz

NNZZ ∆−∆ −1~~tt é utilizada em conseqüência da

regra de Cramer (Hoffman & Ray, 1971).O coeficiente linearizado de uma onda P refletida

considerando uma onda P incidente é então dado por:

(11)

em que (ISO)PPRδ representa a perturbação isotrópica

do coeficiente PPRδ .O coeficiente linearizado da onda S refletida

considerando uma onda P incidente é dado por:



,

(12)

em que (ISO)SPRδ representa a perturbação isotrópica

do coeficiente SPRδ .O coeficiente linearizado de uma onda T

considerando uma onda P incidente é dado por:

(13)

em que: ϕ é o ângulo que determina o azimute, θ é

o ângulo de incidência, αβ=κ é a razão entre as

velocidades da onda longitudinal e cisalhantes do meio

isotrópico de referência, θκ−=θ 22 sen1)(K é oco-seno do ângulo de reflexão da onda convertida S,

θθ+θκ=θω cos)(Ksen)( 2 e

θκ+θ=θη cos)(K)( .As perturbações isotrópicas são dadas por:

θ∆κ−θαα∆+∆=δ 222)ISO(

PP senGG4tan

ZZR ,(14)

e

(15)

em que : αρ=Z é a impedância acústica do meio

isotrópico de referência, 2G βρ= é o módulo decisalhamento do meio de referência.

A perturbação isotrópica para a onda refletidaT é nula uma vez que não há conversão de onda Ppara onda T no caso isotrópico. Para maiores detalhessobre as fórmulas linearizadas ver apêndice A.

TESTES

Nesta seção avaliamos as aproximações em umconjunto de modelos geologicamente plausíveis. Aabordagem proposta apresenta limitações quandoaplicados a problemas reais por causa das hipótesessimplificadas. Será feita uma análise de sensibilidade



à violação das hipóteses de baixo contraste e fracaanisotropia. Os resultados obtidos foram satisfatórios.

As formas linearizadas dos coeficientes dereflexão PPR , SPR e TPR foram avaliadas da seguinteforma. Primeiro, os coeficientes obtidos através dasequações de Zoeppritz e as aproximações linearesforam representados em estereogramas. A seguir émostrado o estereograma do erro. Para o caso doscoeficientes RPP e RSP determinou-se o erropercentual relativo em geral, em alguns casos optou-se por determinar o erro absoluto de SPR e para ocoeficiente RTP determinou-se erro absoluto. Adeterminação do erro absoluto ao invés do errorelativo deve-se ao fato de que no caso da onda T,nos planos de simetria não há conversão de onda Pem T, o que torna a fórmula do erro relativo para esteúltimo coeficiente inválida e para alguns casos da ondaS o coeficiente de RSP assume grandes valores quandocomparados com os outros valores assumidos poreste coeficiente invalidando o erro relativo nestescasos. Nos estereogramas, os coeficientes foramcalculados para ângulos de incidência de até 400, apartir da normal à interface plana que separa os meiose para uma variação azimutal de 3600 .

O modelo I caracteriza-se pela fraca anisotropiae baixos contrastes entre os parâmetros elásticos dosmeios envolvidos e corresponde ao modelo A-Capresentado em Vavrycuk & Psencik(1998). O meioincidente é isotrópico com densidade

3I g/cm65,2=ρ e as velocidades das ondas P e S

são dadas por km/s00,4I =α , km/s31,2I =β ,respectivamente. O meio subjacente é um TIH (meiotransversalmente isotrópico com eixo de simetriahorizontal (ver Musgrave, 1970) e corresponde aomeio efetivo associado a um sistema de inclusõeselipsoidais paralelas em uma formação isotrópica,segundo Hudson (1982). O meio isotrópico dereferência tem densidade 3

ref g/cm60,2=ρ e asvelocidades das ondas P e S são dadas por

km/s00,4ref =α e km/s31,2ref =β ,respectivamente. A razão de aspecto dos elipsóidesé de 10-4 e a densidade de fraturamento de 0,05. Estemeio é caracterizado pelo tensor elástico:

(16)

Neste modelo verifica-se que as fórmulaslinearizadas dos coeficientes de reflexão RPP, RSP eRTP apresentam-se muito próximas da formulaçãoexata para ângulos de incidência de até 300, uma vezque os erros relativos dos coeficientes linearizadosRPP e RSP são inferiores à 6% e 10% respectivamen-te enquanto que a forma linearizada RTP apresenta erroabsoluto da ordem de 0,001. Isto já era esperadouma vez que este modelo obedece aos pressupostosconsiderados na derivação destas linearizações.

O modelo II caracteriza-se pela forte anisotropiae fraco contraste dos parâmetros elásticos. O meioincidente é isotrópico com densidade de

3I g/cm20,2=ρ e as velocidades das ondas P e S

dadas por km/s23,4I =α , km/s73,2I =βrespectivamente. O meio subjacente é um TIH quecorresponde às propriedades de um folhelho comforte anisotropia (Thomsen, 1986), e que foi giradode 300 em relação ao eixo x e 600 em relação ao eixoz e tem como tensor elástico:

(17)

A formulação exata de PPR é dada pela figura1. A formulação linearizada (Fig. 2) apresenta-semuito próxima da formulação exata para incidênciasde até 300, já que o erro relativo para essas incidênciasé inferior a 7 % (Fig. 3). Verifica-se que o coeficienteRPP exato e linearizado não atestam o mergulho. Istomostra que em modelos com mergulho este coefi-ciente não possui informações sobre o mesmo. Essetipo de informação é obtido através das ondas con-vertidas. Na figura 4 tem-se a formulação exata docoeficiente RSP e verifica-se que a formulaçãolinearizada (Fig. 5) apresenta-se muito próxima da



Figura 1 – Estereograma com o coeficiente de reflexão RPP exato. O azimute varia de 00 até 3600 e está representado no contorno da figura.A incidência varia de 00 até 400 a partir da normal à interface que separa os planos, representada na figura pelos números internos aodiagrama. A escala de cinza mostra o valor absoluto do coeficiente. Verifica-se pela figura que este coeficiente tem simetria ortorrômbica oque mostra que o coeficiente é insensível ao mergulho.

Figura 2 - Aproximação linear do coeficiente de reflexão RPP. Como na formulação exata, a forma linearizada é insensível ao mergulho.



Figura 3 – Erro percentual relativo da aproximação linear de RPP. De acordo com o erro verifica-se bom ajuste da forma linearizada paraincidências de até 300.

Figura 4 - Coeficiente de reflexão RRSP exato. Este coeficiente mostra-se sensível ao mergulho.



Figura 5 – Aproximação linear do coeficiente de reflexão RSP. Formulação mostra-se sensível ao mergulho mostrando a consistência dalinearização.

Figura 6 – Erro absoluto da aproximação linear RSP. A escala foi mudada em relação as figuras 4 e 5 para melhor visualização do erro. Tem-se um bom ajuste (erro inferior a 0,005) da forma linearizada com relação à formulação exata para incidências de até 150.



Figura 7 – Coeficiente de reflexão RTP exato. Não há conversão de onda T no único plano de simetria do meio com mergulho.

Figura 8 – Aproximação linear do coeficiente RTP. A forma linearizada mostra que não há conversão de onda P em onda T no único planode simetria o que mostra a consistência da formulação linear.



exata com erros absolutos em torno a 0,005 paraincidências de até 150 (Fig. 6). Para o caso do coefi-ciente RTP verifica-se pela formulação exata (Fig. 7)que não há conversão de onda T no plano de simetriae em regiões próximas a esse plano. A formulaçãolinearizada apresenta bons resultados para incidênciasde até 300 (Fig. 8). O erro absoluto para essasincidências é menor que 0,02 (Fig. 9). Conclui-se quepelo menos para este modelo a forte anisotropia nãocompromete as aproximações.

O modelo III caracteriza-se por forte contrastee fraca anisotropia. O meio incidente é isotrópico comdensidade de 3

I g/cm0,2=ρ e velocidades das

ondas P e S são de km/s5,2I =α e

km/s20,1I =β , respectivamente. O meio subjacente

tem densidade de 3g/cm6,2=ρ e o tensor elásticoé dado por (16). O erro relativo da forma linearizadade RPP só é aceitável para incidências subnormais(incidências menores que 150) e nestas incidências oerro é menor que 3% . Para incidências maiores oerro é superior a 10%. Na forma linearizadas RSPverifica-se que para incidências maiores que as

subnormais o erro relativo é superior a 15% e para aforma linearizada e RTP para incidências de até 150 oerro absoluto é menor que 0,02. Conclui-se que paraeste modelo as formas linearizadas só são razoáveispara incidências subnormais.

O modelo IV caracteriza-se por apresentar fortecontraste e forte anisotropia. O meio incidente é umisotrópico cuja densidades é 3

I g/cm80,1=ρ e as

velocidades das ondas P e S são km/s00,2I =α e

km/s20,1I =β respectivamente. O meio subjacente

é um TIH com densidade 3g/cm59,2=ρ e o tensorelástico é dado por (17). Da mesma forma que omodelo anterior às aproximações linearizadas sóapresentam bom ajuste para incidências subnormais.

Foram feitos testes considerando o meioincidente anisotrópico. Quando o meio de incidênciatem simetria azimutal os resultados não diferiram dosmodelos que foram apresentados, isto é, paramodelos que obedecem aos pressupostos de fracocontraste e fraca anisotropia os resultados daslinearizações ajustam-se de forma satisfatória àformulação exata apresentando erros aceitáveis em

Figura 9 – Erro absoluto da aproximação linear RTP. A escala foi mudada em relação as figuras 7 e 8 para melhor visualização do erro. Oserros nas regiões com incidência de até 300 são inferiores a 0,02. O ângulo de incidência está variando de 00 até 400 a partir da normal àinterface que separa os planos, representada na figura pelos arcos internos ao diagrama.



relação ao nível de ruído associado à atual tecnologiade estimativa destes coeficientes. Quando o meio deincidência não apresenta simetria azimutal asaproximações não são satisfatórias pois o pressupostoda direção de polarização das ondas S e T em SV eSH respectivamente, não é válido. Para anisotropia econtrastes moderados as linearizações aindaapresentam-se satisfatórias para incidências de até300, considerando forte contraste e forte anisotropiaas aproximações são aceitáveis apenas paraincidência subnormal.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

As aproximações lineares para RPP, RSP e RTPapresentam um bom desempenho quando os modelosobedecem aos pressupostos utilizados naslinearização, ou seja, baixos contrastes e fracaanisotropia. Mesmo para modelos que violam umadestas condições as aproximações ainda são válidasdesde que as incidências sejam próximas da normal àinterface. Nos testes realizados verificou-se que:

Na violação dos pressupostos utilizados naobtenção das linearizações as aproximaçõesapresentam melhor desempenho quando a hipótesede fraca anisotropia é violada do que quando ahipótese de fraco contraste é violada.

O coeficiente RPP mostrou-se insensível aomergulho das fraturas.

Em todos os exemplos excluiu-se as regiõesmuito próximas a ângulos críticos onde ocomportamento da refletividade é altamente não linearcomo já havia sido observado em modelos isotrópicospor Castagna (1992).

CONCLUSÕES

Neste trabalho foi apresentada uma metodologiapara a determinação da fórmula exata dos coeficientesde reflexão e transmissão para meios anisotrópicosarbitrários através das matrizes de impedância epolarização. A partir desta formulação obteve-se umaaproximação para os coeficientes de reflexão de umaonda P incidente considerando-se contraste fracoentre as propriedades físicas do meio e fracaanisotropia.

A metodologia apresentada para a determinaçãoda formula exata dos coeficientes de reflexão etransmissão possui vantagens computacionais uma vezque todas as características do espalhamento podemser obtidas de operações com matrizes de terceiraordem. A representação dos coeficientes deespalhamento utilizando de matrizes de polarização eimpedância tem vantagens analíticas pois a partir destaformulação pôde-se determinar explicitamente asmatrizes de reflexão e transmissão.

Nas linearizações do coeficiente PPR verificou-se que algumas informações sobre os meios nãopodem ser recuperadas, enquanto que, aslinearizações dos coeficientes SPR e TPR possueminformações sobre todos os parâmetros elásticos domeio. Assim as formas linearizadas são importantesna caracterização de ambigüidades para o problemade inversão destes coeficientes de reflexão. Alémdisso, estas linearizações possuem a vantagem depermitir uma análise mais simples de como osparâmetros ou combinação de parâmetros quecaracterizam os meios influenciam nestes coeficientes.

A metodologia proposta pode ser aplicadamesmo em casos de contraste moderado deimpedância e anisotropia dentro dos limites esperadosem rochas sedimentares. Verificou-se ainda que omaior contraste entre os meios deteriora mais asaproximações que a presença de maior anisotropia.

As aproximações apresentadas neste trabalho,foram obtidas a partir dos pressupostos de fracocontraste entre as propriedades elásticas dos meios eanisotropia fraca. Entretanto os limites de validadedestas fórmulas não podem ser caracterizados a partirde sua dedução. Uma analise que estabeleça esseslimites é necessária para se determinar a sua utilizaçãona interpretação de AVO/AVD.

A partir destas fórmulas linearizadas pode-seestimar as propriedades de meios na subsuperfíciecomo por exemplo à orientação do plano de fratura eassim caracterizar a direção de maior permeabilidade.

APÊNDICE A

A linearização dos coeficientes de reflexão deuma onda incidente P foi feita no plano de azimute



zero ( 0=ϕ ) e posteriormente estendidas paraazimutes arbitrários através de rotação em torno doeixo vertical x3. Para tornar mais claro as fórmulasapresentadas nesta seção optamos por indicar o tipode onda na forma de sobrescrito.

Considerando a equação (8) é necessário

determinar a matriz ( )rttr NNZZ ~~~~ 1−− no meioisotrópico de referência e a primeira coluna da matriz

de perturbação ( )NNZZ ∆−∆ −1~~tt . A avaliação desta

última expressão requer a determinação dasperturbações da polarização da onda P incidente,

Pnδ , e da perturbação da terceira componente da

vagarosidade da onda P incidente, P3sδ , em cada um

dos meios.

Determinação da matriz ( )rttr NNZZ ~~~~ 1−−

As velocidades e a densidade do meio isotrópico

de referência são dadas por (7) e αα = mm n~N~ ,

ααα = jlmjl3m n~s~c~Z~ são as matrizes de polarizaçãoe impedância para o meio isotrópico de referência.

A matriz de polarização associada a transmissãono meio de referência isotrópico foi escolhida naforma:

−−=

θκθ

θθ

sen0cos010

)(0sen~

K

tN

, (18)

em que escolhemos para polarização da onda T nomeio de referência a direção perpendicular ao planosagital (Helbig, 1994), onda SH, e a polarização daonda S é perpendicular a direção de incidência daonda P no plano sagital, onda SV. Esta escolha éarbitrária e pode não ser a mais conveniente quandoo meio de incidência é anisotrópico e não apresentasimetria azimutal. Como o meio de referência éisotrópico e portanto possui plano de simetriaespecular, a matriz de polarização das ondas refletidasneste meio é obtida através da reflexão de (18) emrelação a interface.

Com estas escolhas obtêm-se:

(19)

Determinação perturbações Pnδ e P3sδ .

As perturbações da direção de polarização Pnδe da componente vertical da vagarosidade da onda P

incidente P3sδ em cada meio são obtidas a partir da

equação de Christoffel ,Pk

Plkl nn ρ=Γ . (20)

A perturbação de primeira ordem da matriz deChistoffel é dada por:

Pk

pk

Plkl

Plkl nnnn ρδ+δρ=Γδ+δΓ , (21)

em que klΓδ é a matriz de Christoffel perturbada e

ρδ é a perturbação da densidade.

A perturbação P3sδ é obtida efetuando o produto

interno de (21) com o vetor de polarização Pkn o que

resulta na relação:

δρ=Γδ Pjkj

Pk nn . (22)

A perturbação klΓδ é dada pela expressão:

jmkmljjmkmljjmkmljkl sscsscssc δ+δ+δ=Γδ , (23)

em que kmljcδ são as perturbações do meio emrelação ao meio de referência. Utilizando (22) e (23)

podemos obter imediatamente P3sδ .

O cálculo de Pnδ é obtido através do sistemaformado pelo produto interno de (21) com os vetoresde polarização S

kn e Tkn respectivamente e da

condição de normalização Pn , conforme mostradoabaixo :



( )( )

=δδρ+Γδ=δδρ−Γδρ+Γδ=δδρ−Γ

0nnnnnnnnnnnnnn

Pk

Pk

Pl

Tk

Plkl

Tk

Plklkl

Tk

Pl

Sk

Plkl

Sk

Plklkl

Sk

(24)

em que ijδ é o delta de Kronecker. Da solução dosistema linear acima tem-se a perturbação dapolarização para uma onda incidente P.

A seguir, conhecidos P3sδ e Pnδ a primeira

coluna da matriz de impedância perturbada é avaliadaem cada meio através da expressão:

(25)

em que: λ e µ são os parâmetros de Lamé.

Finalmente os coeficientes linearizados PPRδ , SPRδ

e TPRδ são então obtidos da primeira equação dosistema (8).No caso de um azimute arbitrário ϕ em relação aoeixo 1x , os parâmetros elásticos são obtidos a partir

da rotação em torno do eixo vertical 3x (Helbig,1994). E os coeficientes de reflexão linearizadosconsiderando uma onda P incidente para o caso geralsão então dados pelas equações (11), (12) e (13).Nestas expressões as perturbações nos parâmetroselásticos foram separadas em duas componentes

aniskmlj

isokmljkmlj ccc δ+δ=δ

em que isokmljcδ é um tensor isotrópico e anis

kmljcδ definea parte anisotrópica da perturbação nos parâmetroselásticos.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao apoio do programaFINEP/CNPq/Pronex em Engenharia de reservatórios pelainfra-estrutura computacional e ao professor Ivan Psensickpela revisão do manuscrito e discussão deste trabalho.

REFERÊNCIAS

Aki, K.& Richards, P.G, 1980. QuantitativeSeismology: Theory and methods, volume 1. W.H. Freeman and Co., San Francisco

Banik, N. C., 1987. An effective anisotropyparameter in transversely isotropic media.Geophysics, 52: 1654-1664.

Castagna, J., 1992. AVO Analysis- Tutorial andReview. In Castagna, J.P. & Backus, M. M.(Eds). Offset-dependent reflectivity-Theory andpractice AVO analysis: Soc. Expl. Geophys. 3-35.

Helbig, K., 1994. Foundations of Anisotropy forExploration Seismics. Handbook of GeophysicalExploration, vol 22, Ed. Pergamon

Hoffman, K. & Ray, K., 1971. Álgebra Linear.Polígono (ed.).

Hudson, J. A., 1982. Wave speeds and attenuationof elastic waves in material containing cracks.Geophys. J. R. Astr Soc., 64: 133-150.

Musgrave, M. J. P., 1970. Crystal Acoustics.Holden-Day Inc. San Francisco.

Ostrander, W. J., 1984. Plane-wave reflectioncoefficients for gas sand at non normal angles ofincidence. Geophysics, 49: 1637-1648.

Postma, G. W., 1955. Wave propagation in stratifiedmedium. Geophysics, 20(4): 780-806.

Schoenberg, M. & Douma, J., 1988. Elastic wavepropagation in media with parallel fractures andaligned cracks. Geophysics, 56: 1331-1348.

Schoenberg, M. & Protázio, J.S., 1992. ZoeppritzRationalized and Generalized to Anisotropy.Journal of Seismic Exploration, 1: 125-144.

Thomsen, 1986. Weak elastic anisotropy.Geophysics, 51: 1954-1966

Thomsen, 1993. Weak elastic anisotropic reflection.In Castagna, J. P. & Backus, M. M. (Eds.) Offset-dependent reflectivity-Theory and practice AVOanalysis: Soc. Exp. Geophys. 103-111.

Vavrycuk, V. & Psencik, I., 1998. PP-Wavereflection coefficients in weakly anisotropic elasticmedia. Geophysics, 63 (6):, 2129-2141.

Zillmer, M., Gajewsky, D. & Kashtan, B. M.,1997. Reflection coefficients for weak anisotropicmedia. Geophys. J. Internat, 129: 389-398.

Linearização dos coeficientes de reflexão de ondas qP em meios anisotrópicos

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