Solutions de l’Equation de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP) pour certaines formes d’interactions

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Solutions de l’Equation deDuffin-Kemmer-Petiau (DKP) pour certaines

formes d’interactions

Abdelmalek Boumali 1

1. [email protected], [email protected]

Dédicace

A mes parents,

A mon épouse Ismahen,

A ma fille Selsabil,

Je dédié cet humble travail.

Boumali Abdelmalek i

Remerciements

Je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à Monsieur Chetouani Lyazid, Professeur

à l’Université de Constantine, qui m’a proposé ce sujet. Sa grande disponibilité et son aide

constante m’ont permis de mener à terme ce travail.

J’exprime mes remerceiments à Monsieur Bouloudroua Moncef, Maître de Conférence à

l’Université d’Annaba, pour l’honneur qu’il me fait en présidant le jury de ma thèse.

Messieurs Réda Attalah, Maître de Conférence à l’Université d’Annaba, et Tahar Boud-

jedaa, Maître de Conférence à l’Université de Jijel, ont accepté d’être examinateurs de cette

thèse. Je leur exprime à tous deux ma sincère reconnaissance.

Je remercie également Monsieur Djemel Amor, Professeur à l’Université de Constantine,

d’avoir bien voulu participer au jury.

Que mes collègues et notament, Chemam Rafik , Souad Hachani et Dilmi Samia trouvent

ici mes vifs remerciements.

Enfin, je remercie tout particulièrement ma femme Ismahen, pour sa patience, son en-

couragement, et son soutien moral tout au long de ce travail.

Boumali Abdelmalek ii

Table des matières

Dédicace i

Remerciements ii

Liste des Tableaux v

Table des Figures vi

Les Chapitres

1 Introduction 1

2 L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau 4

2.1 L’équation libre de Duffin-Kemmer-Petiau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 L’équation de DKP en présence d’une interaction électromagnétique . . . . . . 7

2.3 L’invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Les matrices βµ dans la théorie de Duffin-Kemmer-Petiau . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1 Le nombre des représentations irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2 La représentation des βµ : matrices de Kemmer . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 La formulation Hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1 cas libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.2 en présence d’une interaction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Cas ou la masse est nulle : formalisme de Harish-Chandra . . . . . . . . . . 17

iii

TABLE DES MATIÈRES

3 L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulom-

bien 18

3.1 Cas des particules de spin-0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1 Cas du potentiel d’Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1.1 le potentiel (AB) à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1.2 le potentiel (AB) à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.2 Cas du potentiel Coulombien (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.3 Cas de la combinaison des deux potentiels : (AB) plus Coulomb . . . . 30

3.1.3.1 Cas de la dimension deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.3.2 Cas de la dimension trois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Particules de spin-1 dans le potentiel d’Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1 le potentiel (AB) à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.2 le potentiel (AB) à trois dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Discussion des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 L’Oscillateur de Duffin-Kemmer-Petiau 46

4.1 Construction du potentiel de l’oscillateur de DKP . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Les spectres d’énergies pour les particules de spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . 47


5 L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein 54

5.1 Équation DKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Solutions de l’équation de DKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.1 spin-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.2 spin-0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


6 Conclusion 69

A Conventions et notations 75

Boumali Abdelmalek iv

TABLE DES MATIÈRES

B L’effet du potentiel d’Aharonov-Bohm 77

C Le critère de Pauli 82

D L’oscillateur de Dirac 83

E L’équation de Dirac et le paradoxe de Klein 86

F La liste des articles 91

Boumali Abdelmalek v

Liste des tableaux

Table page

2.2 Dénombrement des différents éléments linéairement indépendant. . . . . . . . . 11

vi

Table des figures

Figure page

B.1 L’effet d’Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

E.1 Le schéma de la barrière potentiel dans la théorie de Dirac . . . . . . . . . . . . 87

vii

Chapitre 1

Introduction

Dans les années 30 1, le succès qu’a connu l’équation de Dirac, régissant le mouvement des

particules relativiste de spin-1/2, a donné à certains scientifiques le désir d’avoir une équation

relativiste covariante de premier ordre pour le cas des particules de spin 0 et 1. Cette équation

est semble t-il mieux adaptée que les équations de Klein-Gordon (KG) de second ordre relatives

aux particules de spin-0, et à celle de l’équation de Proca qui décrit les particules de spin-1.

La première tentative a été initié par De Broglie. Il a espéré avoir un photon ayant une

masse non nulle au repos. De Broglie a basé ses investigations sur un type d’équation de premier

ordre contenant des matrices 16× 16. Ces matrices sont construites à partir des matrices γ de

l’équation de Dirac. Il espérait, en combinant deux leptons, obtenir un photon massive.

C’est Petiau (1936), un de ses étudiants, qui, en modifiant l’algèbre de De Broglie, était

le premier qui à établir une algèbre pour les matrices 16 × 16. Il imposa sur ces matrices la

relation suivante [2]

βµβνβλ + βλβνβµ = βµδνλ + βλδνµ. (1.1)

Cette algèbre, d’après Géhéniau [1], se décompose en trois représentations de dimensions 5, 10

et 1. La dimension 1 n’ayant pas de signification physique.

Malheureusement, les travaux de Petiau étaient inconnues pour la plupart des chercheurs de

son époque, et spécialement par Kemmer, et donc ces modifications n’a pas connu tout l’intérêt

qu’elle méritait. Ce sont les travaux de Proca qui ont inspiré Kemmer [3, 4], et Duffin [6].

1. Pour plus d’information sur l’historique de l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau, consultez l’article deKrajcik and Nieto [1].

1

Chapitre 1. Introduction

Kemmer s’est rendu compte que les équations de Proca pouvaient s’écrire comme un ensemble

d’équations couplées de premier ordre. Aussi, il réalise que les formes des équations dont ils

ont été en question sont de type matricielles 5× 5 et 10× 10 et correspondent respectivement

à des particules de spin-0 et spin-1, et ceci sans la connaissance des règles de commutation

auxquelles obéissent ces matrices.

Cependant, c’est d’abord Duffin [6], un mathématicien, et ensuite Kemmer [3], qui ont

préféré l’utilisation d’une équation de premier ordre de forme semblable à celle de Dirac avec

des règles de commutation pour les matrices β comme pour le cas des matrices γ. Ces matrices

satisfont à l’équation (1.1) : Duffin [6], en premier lieu, a formulé une équation relativiste

covariante de premier ordre pour les particules ayant un spin 0 et 1, et ça dans un formalisme

des matrices β vérifiant les règles de commutations données par Petiau. Kemmer, par la suite,

a soumis son article sur la théorie de méson, comportant les différents propriétées de cette

équation dans une méthode similaire à celle utiliser dans l’équation de Dirac. Son article est

devenue une référence principale dans l’étude des particules bosoniques.

Finalement, l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP), dont la forme est covariante [3,

4, 6–9], est devenue, donc, l’équation fondamentale pour la description du mouvement des

particules scalaires et vectorielles. Cette équation est, de par sa forme, semblable à celle de

Dirac où les matrices γ de Dirac ont été remplacées par les matrices β avec une algèbre plus

compliquée que celle relative aux γ.

Cependant, malgré que l’équation de DKP décrit le mouvement des particules scalaires avec

un spin-0, elle n’est pas tout à fait équivalente à celle de Klein-Gordon (KG) sauf pour le cas

libre. Ce qui explique le peu d’intérêt qu’a suscité cette équation et la préférence de l’utilisation

des équations de (KG) et de Proca.

C’est à partir des années 70 qu’il y a eu un regain d’intérêt pour cette équation et notamment

dans les études relatives à la brisure de symétrie ainsi qu’aux processus hadroniques.

En présence d’interactions, les équations de DKP et de KG donnent évidemment des ré-

sultats différents et dans ce contexte, il a été proposé des modèles pour la description des

interactions méson-noyau en se basant sur l’équation de DKP pour expliquer certains résultats

Boumali Abdelmalek 2

Chapitre 1. Introduction

expérimentaux. De plus, des méthodes d’approximation développées dans le contexte du pro-

cessus de diffusion nucléon-noyau ont été ainsi généralisées, de manière analogue à ce qui a été

fait avec l’équation de Dirac, aux processus de diffusion méson-noyau. Cette équation de DKP

a été en outre considérée dans l’étude du processus de diffusion deutéron-noyau, à cause du

spin-1 du deutéron [10,11], produit du couplage des deux spin-1/2 relatifs aux deux nucléons.

A titre d’information, pour illustrer l’importance de cette équation (l’équation de DKP),

citons les travaux où elle a été fait appel : la théorie de QCD (quantum chromo-dynamics) [12],

l’approche causale dans un espace-temps courbé [13], la covariance Galiléenne à cinq-dimensions

[14], la covariance de la dynamique hamiltonienne [15], la diffusion de K+- noyau [16], la

discussion de paradoxe de Klein [17,18], la discussion de “Klein Tunnelling” dans le traitement

du potentiel de Woods-Saxon (Boutabia et al) [17] , et enfin l’étude sur la condensation de

Bose-Einstein [19].

Dans cette thèse organisée comme suit : nous étudions d’abord dans le deuxième chapitre les

propriétés algébriques de l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau. Ensuite, nous traitons, dans le

troisième chapitre, l’équation de DKP dans un potentiel de Coulomb en présence du potentiel

d’Aharonov-Bohm en considérant un espace à deux puis à trois dimensions.

Nous consacrons le quatrième et cinquième chapitre respectivement à la résolution du pro-

blème de l’oscillateur de Dirac et à la discussion du fameux paradoxe de Klein lorsque l’équation

de DKP est en présence d’un potentiel pseudo-vecteur de type saut (step potential).

Enfin, nous concluons cette thèse par cinq annexes.


Chapitre 2

L’équation deDuffin-Kemmer-Petiau

Pour plus d’information sur l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP), voir l’article de

Kemmer [3].

2.1 L’équation libre de Duffin-Kemmer-Petiau

Nous savons que les mésons sont des particules possédant une masse m et une charge ±e.

Leur mouvement est régi par l’équation d’onde suivante :

(∂µβµ + κ)ψ = 0, (2.1)

où β sont des matrices qui vérifient les relations suivantes

βµβνβρ + βρβνβµ = βµδνρ + βρδνµ, (2.2)

avec

κ =mc

~, ∂µ =

∂

∂xµ, x4 = ict, (2.3)

sont des notations 1. Notons que ces matrices n’ont pas d’inverse.

A partir de l’équation (2.2) nous avons

β4 = η4β4 = β4η4, (2.4)

1. La convention de sommation sur les indices répétés est systématiquement utilisée.

4

Chapitre 2. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau

η4βk + βkη4 = 0, (k = 1, 2, 3) , (2.5)

β34 = β4, (2.6)

avec

η4 = 2β24 − 1, η2

4 = 1. (2.7)

D’après (2.6), les opérateurs β24 et

(1− β2

4

)serons considérés comme des opérateurs de projec-

tion.

Conjuguons maintenant l’équation (2.1)

∂µψ†βµ − κψ† = 0, (2.8)

où

ψ† = iψ∗η4. (2.9)

Les deux équations fondamentales (2.1) et (2.8) peuvent être trouvées à partir de la densité

lagrangienne définie par

L =−i~c

2

(∂µψ̄βµψ − ψ̄βµ∂µψ

)+mψ̄ψ. (2.10)

avec ψ̄ = ψ†η4.

Multiplions (2.1) et (2.8) par ∂ρβρβν , nous obtenons

∂µψ = ∂νβνβµψ, (2.11)

∂µψ† = ∂νψ

†βµβν . (2.12)

Ainsi, les équations (2.11) et (2.12) sont les conséquences de (2.1) et (2.8) et non des conditions

initiales.

De (2.1) et (2.8), nous obtenons l’équation de continuité suivante

∂µsµ = 0, (2.13)

ou

sµ = ψ†βµψ, (2.14)



peut s’interpréter comme un quadrivecteur densité-courant. L’équation de conservation, ex-

traite de l’équation de DKP, nous permis d’établir l’existence d’un courant, et d’une densité

s0 = s4/i qui n’est pas définie positive. Suivant Pauli et Weisskopf [21], dans le cas de l’équation

de Klein Gordon, une ré-interprétation est, ainsi, nécessaire.

Calculons, maintenant, le tenseur énergie-impulsion Tµν : pour cela, prenons l’expression

générale de ce tenseur (Derendinger [21]) :

Tµν =∂L∂∂µψ

∂νψ − δµνL. (2.15)

En utilisant (2.10), le calcul de Tµν donne

Tµν =c

2

[ψ†βν

~i∂µψ −

(~i∂µψ

†)βνψ

]. (2.16)

A partir des équations (2.1) et (2.2), nous avons

∂Tµν∂xν

= 0, (2.17)

qui est un tenseur conservé.

La forme globale du tenseur Tµν , défini par (2.16), n’est pas entièrement symétrique. La

symétrisation de ce tenseur ce fait par la même méthode utilisée dans le cas de l’électron comme

suit :

A partir des équations (2.1) et (2.2), nous obtenons

ψ†βν∂µψ = ψ†βνδρµ∂ρψ = ψ† (βνβµβρ + βρβµβν − δµνβρ) ∂ρψ. (2.18)

Posons que

Θµν =−mc2

i

[ψ† (βµβν + βνβµ)ψ − δµνψ†ψ

], (2.19)

alors,

Tµν = Θµν +~c2i

d

dxρψ† (βρβµβν − βνβµβρ)ψ, (2.20)

avec∂Θµν

∂xν= 0. (2.21)

Ce tenseur a une importante propriété : la composante temporelle Θ44 = −mc2ψ∗ψ < 0, et

par conséquence la densité d’énergie ε = −Θ44, est essentiellement positive.



La valeur moyenne de l’impulsion totale, peut être donnée en fonction de l’opérateur Θ, A

partir de (2.20), par

p̄µ =1

ic

∫Θµ4dV. (2.22)

Soit, l’opérateur Pik (Pauli 1941), dont

Pik = −Pki =1

ic

∫(xiΘk4 − xkΘi4) dV. (2.23)

D’après (2.20), nous avons

xiΘk4 = xiTk4 −~c2ixi

d

dxρψ† (βρβkβ4 − β4βkβρ)ψ. (2.24)

En insérant (2.24) dans (2.23), nous obtenons la forme finale de Pik comme suit :

Pik =1

i

∫ψ†β4

(xi

~i∂k − xk

~i∂i

)ψ +

~i

∫ψ†β4

βiβk − βkβii

ψdV. (2.25)

Le premier terme de (2.25) est le terme habituel du moment orbital, par contre le deuxième

terme, défini par

Sik =βiβk − βkβi

i. (2.26)

apparaît comme un terme de spin. La similarité avec le cas de l’électron est étroite : dans la

théorie de Dirac, le spin s’écrit par

1

4i(γiγk − γkγi) . (2.27)

D’après (2.26), ce terme possède les propriétés suivante :

– l’opérateur de spin Sik commute avec β4,

– la relation S3ik = Sik, conduit à des valeurs propres 0 , ±1, résultat bien attendu pour le

cas de la théorie du méson.

2.2 L’équation de DKP en présence d’une interaction élec-tromagnétique

En présence d’une interaction électromagnétique le changement que nous devons opérer est

simple. Il suffit d’effectuer la substitution suivante

∂µ −→ ∂−µ = ∂µ −ie

~cΦµ, (2.28)



lorsque la dérivation est appliquée sur ψ et

∂µ −→ ∂+µ = ∂µ +

ie

~cΦµ, (2.29)

lorsque la dérivation est appliquée sur ψ†.

Les deux équations, (2.1) et (2.8), se transforment à

∂−µ βµψ + κψ = 0, (2.30)

∂+µ ψ†βµ − κψ† = 0. (2.31)

Ces deux équations décrivent le mouvement des particules en présence d’une interaction élec-

tromagnétique.

Remarquons que l’introduction d’une interaction électromagnétique n’affecte pas le dévelop-

pement décrit dans la section précédente : la définition du tenseur sµ reste toujours applicable

ainsi que la définition du tenseur symétrique énergie-impulsion Θµν .

Pour le tenseur antisymétrique Tµν , il s’écrit par

Tµν =c

2

[ψ†βν

~i∂−µ ψ −

(~i∂+µ ψ†)βνψ

]. (2.32)

Ainsi, au lieu des équations (2.17) et (2.21), on obtient les équations suivantes

∂Tµν∂xν

=∂Θµν

∂xν= eFµνsν , (2.33)

avec

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (2.34)

est le tenseur électromagnétique. Aussi, d’après (2.25), seul le moment angulaire est modifié

en remplaçant l’opérateur ∂µ par ∂−µ . Le terme de spin reste inchangeable.

Soit le commutateur suivant

∂∓µ ∂∓ν − ∂∓ν ∂∓µ = ∓ ie

~cFµν . (2.35)

D’après (2.11) et (2.12), nous trouvons

∂−µ ψ = ∂−ν βνβµψ +ie

2mc2Fνρ (βρβµβν − δρµβν)ψ, (2.36)



∂+µ ψ = ∂+

ν ψ†βµβν +

ie

2mc2Fνρψ

† (βνβµβρ − βνδµρ) . (2.37)

et donc

∂−µ ∂−µ ψ = κ2ψ +

ie

~cFµνβµβνψ +

ie

2mc2∂−µ Fνρ (βρβµβν − δρµβν)ψ, (2.38)

∂+µ ∂

+µ ψ = κ2ψ − ie

~cFµνψ

†βνβµ +ie

2mc2∂+µ Fνρψ

† (βνβµβρ − βνδµρ)ψ. (2.39)

Le premier terme dans (2.38) ou (2.39) est un terme d’interaction électromagnétique avec un

moment magnétique et électrique, par contre, le deuxième terme, il s’interprète de la façon

suivante :

Définissons d’abord le moment magnétique par [21]

Mik =e

2

∫(xisk − xksi) dV. (2.40)

et décomposons le en deux parties : le moment orbital plus le moment relatif au spin.

D’après (2.30) et (2.31),

sµ = ψ†βµψ =1

2κ

(∂+ν ψ†βνβµ − ψ†βµβν∂−ν ψ

), (2.41)

et d’après (2.36) et (2.37), nous avons

sµ =1

2κ

[(∂+µ ψ†)ψ − ψ†∂−µ ψ +

d

dxνψ† (βνβµ − βµβν)ψ − ie

mc2Fνρψ

†βνβµβρψ

], (2.42)

alors

Mik =e

2mc

[1

i

∫ψ†(xi

~i∂−k − xk

~i∂−i

)ψdV +

~i

∫ψ†βiβk − βkβi

iψdV

](2.43)

+e2~

4m2c31

i

∫Fµνψ

†βµ (βkxi − βixk)βνψdV. (2.44)

Nous reconnaissons le moment orbital (premier terme) et le terme (deuxième terme) relatif au

spin, qui fait apparaître l’expression

Sik =βiβk − βkβi

i, (2.45)

similaire1

4i(γiγk − γkγi) , (2.46)



relative à l’électron de Dirac. Par comparaison avec la théorie de l’électron, il y a cependant dans

l’expression de spin l’absence du facteur 2 relatif à l’anomalie gyromagnétique. Le troisième

terme, qui est nouveau, nous remarquons d’abord, lorsque le champ est absent qu’il est nul.

Ce terme peut s’interpréter, physiquement, comme étant la polarisation.

2.3 L’invariance relativiste

L’invariance relativiste pour l’équation de DKP se démontre de la même façon utilisée pour

montrer l’invariance de l’équation de Dirac.

En effet considérons une transformation infinitésimale dans l’espace à quatre dimensions

choisie comme suit

x′µ = xµ + εµνxν , (2.47)

avec εµν = −ενµ.

Suite au changement de repère, la fonction d’onde se transforme comme suit

ψ′ = Sψ,(ψ†)′

= ψ†S−1, (2.48)

avec

S = 1 +1

2εµνtµν , et tµν = −tνµ. (2.49)

Il y a invariance si tµν sont connectés aux βµ par une relation de la forme

βµtνρ − tνρβµ = δµνβρ − δνρβµ, (2.50)

où les tµν sont choisis par

tµν = βµβν − βνβµ = iSµν . (2.51)

Pour démontrer (2.51), permutons les indices ν et ρ dans (2.2), et en effectuons une soustraction

avec l’équation originale, alors nous obtenons

βµ (βµβν − βνβµ)︸︷︷︸tµν

− (βµβν − βνβµ)︸︷︷︸tµν

βµ = δµνβρ − δνρβµ, (2.52)

et l’invariance est ainsi établie.



Élément Nb des éléments de ce type Élément Nb des éléments de ce typeI 1 ηµβνβρβσ 12βµ 14 ηµην 6βµβν 12 ηµηνβρ 12βµβνβρ 12 ηµηνβρβσ 12βµβνβρβσ 6 ηµηνηρ 4

ηµ 4 ηµηνηρβσ 4ηµβν 12 ηµηνηρησ 1ηµβνβρ 24 Nb total 126

Table 2.2 – Dénombrement des différents éléments linéairement indépendant.

2.4 Les matrices βµ dans la théorie de Duffin-Kemmer-Petiau

2.4.1 Le nombre des représentations irréductibles

Nous savons que dans le cas de l’équation de Dirac, les matrices γ admettent une seule

représentation irréductible. Pour le cas de l’équation de DKP (2.2), nous avons des matrices βµ

vérifiant une certaine relation plus compliquée que celle relative aux matrices γ. Pour trouver

les différentes représentations irréductibles, il faut d’abord chercher le nombre de quantités

linéairement indépendantes qui, dans le cas de l’équation de Dirac, le nombre est de 16 .

Soit la relation suivante

ηµ = 2β2µ − 1, (2.53)

la composante η4 ayant déjà introduite (2.7), nous pouvons montrer les égalités suivantes

β3µ = βµ, η

2µ = 1, (2.54)

ηµην − ηνηµ = 0, ηµβν + βνηµ = 0, (µ 6= ν) (2.55)

βµ = ηµβµ = βµηµ. (2.56)

A partir de ces équations, nous formons une liste d’éléments linéairement indépendants (voir

Tab. 2.2). En tout il y a 126 éléments linéairement indépendants formés à partir des matrices

βµ. Parmi ces éléments il y a ceux qui commutent entre eux [22].



D’après Kemmer, il y en a trois qui sont définis comme suit

I = matrice unité, (2.57)

M =∑µ

ηµ −∑µ<ν

ηµην , (2.58)

et N = η1η2η3η4

(1−

∑µ

ηµ

). (2.59)

Alors trois représentations irréductibles de dimensions n1, n2, n3 sont présentent.

Or suivant la théorie des groupes [22], on a la relation suivante

n21 + n2

2 + n23 = 126. (2.60)

Cette équation nous permis d’avoir les dimensions de ces représentations : on a donc le choix

suivant

n1 = 10, n2 = 5, n3 = 1, avec 102 + 52 + 12 = 126. (2.61)

Nous avons donc trois représentations irréductibles de dimensions 10, 5, 1, qui décrivent cha-

cune, une situation physique bien déterminée. La dimension 1 est un cas trivial qui n’a pas

d’intérêt physique.

2.4.2 La représentation des βµ : matrices de Kemmer

Comme il a été mentionné auparavant, il existe trois représentations irréductibles pour les

matrices βµ : pour la représentation de dimension 10, nous avons

β1 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 −1 0 0 0 0 0−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

, β2 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 −1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 0 0 0 0 0

,

(2.62)



β3 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 −10 0 0 0 0 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −1 0 0 0 0 0 0 0

, β4 =

0 0 0 0 0 0 −i 0 0 00 0 0 0 0 0 0 −i 0 00 0 0 0 0 0 0 0 −i 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0i 0 0 0 0 0 0 0 0 00 i 0 0 0 0 0 0 0 00 0 i 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

,

(2.63)

par contre, pour la représentation de dimension 5, nous avons

β1 =

0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 00 1 0 0 0

, β2 =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 00 0 1 0 0

, (2.64)

β3 =

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 0

, β4 =

0 0 0 0 −i0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0i 0 0 0 0

. (2.65)

On peut voir que ces matrices sont dans des formes complètement irréductibles, et dont chaque

matrice de même ordre peut être écrite comme une combinaison linéaire des quatre matrices βµ

et leurs multiplications. Parmi les trois représentation irréductible, la troisième a peu d’intérêt

physique, par contre les deux autres donnent la théorie possible des mésons : la représentation

de dimension dix, conduit à la théorie bien connue de Proca, par contre, la représentation de

dimension cinq conduit à la théorie de Klein-Gordon (KG), où la théorie scalaire.

Faisons, ici, la remarque suivante : il apparaît étrange, pour le cas de la théorie scalaire,

l’existence d’un opérateur de spin Sµν = i (βµβν − βνβµ) : Suivant (2.25), la quantité β4Sik,

donne une valeur estimée égale à zéro, ce qui est évident dans la théorie scalaire. D’un autre

côte, le deuxième terme, dans (2.43) ne s’annule pas : alors, pour la théorie scalaire, et dans la

région relativiste, un moment magnétique existe toujours.

Belinfante [23], a par ailleurs montré que la théorie à 16 composantes peut être obtenu en



définissant des matrices

β′µ =1

2(γµ ⊗ I + I ⊗ γµ) . (2.66)

Ces matrices vérifient bien les relations de commutations de Duffin.

Alors, la théorie basée sur l’équation suivante

∂

∂xµ(γµ ⊗ I + I ⊗ γµ)ψ + κψ = 0, (2.67)

est ainsi équivalente à celle exposée jusqu’ici, mais avec des matrices β dans une représentation

réductible.

Une étude plus approfondie, basée sur (2.66), et aussi sur le fait que la fonction d’onde ψ

se transforme en un produit de deux fonctions d’onde de Dirac, montre que (2.67) donne la

théorie de Proca ainsi que la théorie scalaire avec en plus l’équation κψ16 = 0. Autrement dit,

chacune des trois représentation irréductible de βµ est contenue une fois dans une représentation

particulière de β′µ.

Belinfante [23] avait aussi fixé la représentation en postulant que ψ se comporte en un

produit symétrique de deux fonctions d’onde de Dirac. Cette procédure est équivalente à la

réduction des β′µ et à la restriction des considérations à la représentation de rang 10 seulement :

Belinfante, ainsi, avait étudié seulement la formulation de la théorie de Proca.

Pour terminer, il est important de noter, aussi, que la formulation décrite, jusqu’ici, a une

certaine ressemblance avec celle de Dirac

∂µγµψ + κψ = 0, (2.68)

et non avec son alternative1

c∂tψ + ∂kαkψ + iκγ4ψ = 0. (2.69)

Par contre, en prenant

Aµ =1

2(αµ ⊗ I + I ⊗ αµ) , (α4 = γ4) , (2.70)

alors, nous obtenons1

c∂tψ + ∂kAkψ + iκA4ψ = 0. (2.71)

C’est l’équation d’onde fondamentale relative au méson.



2.5 La formulation Hamiltonienne

2.5.1 cas libre

Multiplions (2.1) par β4 :

∂4β24ψ + ∂kβ4βkψ + κβ4ψ = 0, (2.72)

ainsi que (2.11), par 1− β24

∂4

(1− β2

4

)ψ − ∂kβkβ4ψ = 0. (2.73)

Faisons la somme des deux équations, nous obtenons

1

c∂tψ + ∂k

(βkβ4 − β4βk)

iψ + iκβ4ψ = 0. (2.74)

Les matrices(βkβ4 − β4βk)

i, (2.75)

sont donc les analogues de (2.69) des matrices αk de la théorie de Dirac.

Alors

H0 =c~i∂k

(βkβ4 − β4βk)

i+mc2β4, (2.76)

est, par conséquent, H0 est l’hamiltonien relatif à la théorie de méson. Cet hamiltonien n’est

pas hermétique à l’exception le cas ou les matrices β vérifient les deux relations suivantes :

β0† = β0, βk† = −βk. (2.77)

Alors, l’équation (2.74) devient

i~∂ψ

∂t=(−~cβ̃k∂k +mc2β4

)ψ ≡ H0ψ, (2.78)

avec β̃k = βkβ4 − β4βk.

Comme

E =1

i

∫ψ†(−~i

∂

∂t

)ψdV =

1

i

∫ψ†β4HψdV, (2.79)

H0 représente, donc, la forme possible de l’opérateur de l’énergie.

Remarquons que l’équation (2.74) ne contient pas toutes les informations sur l’équation

d’onde originale (2.1) : lors de la multiplication par β4, la partie de (2.1), relative à la valeur



propre 0 de β4, a été supprimée. Cette partie omise peut être fixée en multipliant (2.1) par

1− β24 . Nous obtenons alors

∂kβkβ24ψ +

(1− β2

4

)κψ = 0, (2.80)

équation où le temps ne figure pas. Cette équation peut être considérée comme une condition

initiale que doit satisfaire la fonction d’onde, alors que les équations (2.74) et (2.80), sont

équivalentes à (2.1).

Prenons, maintenant, le conjugué hermétique de (2.84), donc

i~∂0ψ† = −~c∂kψ†β̃k +mc2ψ†β4. (2.81)

Multiplions, l’équation (2.78) à gauche par ψ†, (2.81) à droite par ψ, et en sommant les résultats,

nous trouvons l’équation de continuité comme suit

∂0

(ψ†ψ

)+ ∂k

(ψ†β̃kψ

)= 0, (2.82)

où sk = ψ†β̃kψ est le quadrivecteur densité-courant avec s4 = ψ†ψ > 0.

2.5.2 en présence d’une interaction électromagnétique

En présence d’une interaction électromagnétique, l’hamiltonien (2.76) se modifie et devient

H =c~i∂k

(βkβ4 − β4βk)

i+mc2β4 −

ie

κFνρ (βρβ4βν − δρ4βν) . (2.83)

Alors l’équation de Schrödinger est

i~∂ψ

∂t=

(−~cβ̃k∂k +mc2β4 −

ie

κFνρ (βρβ4βν − δρ4βν)

)ψ ≡ (H0 +HI)ψ, (2.84)

De même, la condition (2.80), change et devient

∂−k βkβ24ψ +

(1− β2

4

)κψ = 0. (2.85)

Une propriété intéressante de l’hamiltonien, donné par (2.83), est la suivante : pour une onde

plane avec

E = c(p2 +m2c4

) 12 , (2.86)

on a la relation suivante

H3ψ = E2Hψ. (2.87)

Cette équation donne, comme valeurs propres de l’opérateur H, les valeurs 0 et ±E.



2.6 Cas ou la masse est nulle : formalisme de Harish-Chandra

Pour les particules bosoniques de spin 0 et 1, et ayant une masse nulle, Chandra [24] a

montré qu’on peut reformulé l’équation de DKP pour ce type de particules sans passer à la

limite m −→ 0.

En effet, suivant (3.37), au lieu de prendre l’équation (2.1), considérons l’équation [24]

iβµ∂µψ +mΓψ = 0, (2.88)

avec Γ est une matrice ayant les propriétés suivantes

Γ2 = Γ, (2.89)

Γβµ + βµΓ = βµ. (2.90)

Multiplions (2.88) à gauche par 1− Γ,

iβµ∂µ (Γψ) = 0, (2.91)

et encore (2.88) par ∂λβλβν à gauche. Il vient

∂λβλβν (Γψ) = ∂ν (Γψ) , (2.92)

et suivant (2.91) et (2.92), nous obtenons

� (Γψ) = 0. (2.93)

C’est ainsi que d’après (2.93), la fonction d’onde (Γψ) est solution libre d’une équation de type

Klein-Gordon sans masse.


Chapitre 3

L’équation de DKP en présence despotentiels d’Aharonov-BohmCoulombien

Il s’agit dans ce chapitre de solutionner l’équation de DKP en présence de deux potentiels :

le potentiel Coulombien (C) et le potentiel d’Aharonov-Bohm (AB).

Ce chapitre a fait l’objet de trois publications ; deux nationales dans la : Revue Scientifique

de l’Université de Constantine (2002 et 2003), et une internationale dans le : Canadian Journal

of Physics (2004).

3.1 Cas des particules de spin-0

3.1.1 Cas du potentiel d’Aharonov-Bohm

L’équation libre de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP) est la suivante

(iβκ∂κ − µc2

)ψ = 0. (3.1)

Dans le cas des bosons scalaires où vectoriels de masse µ, l’équation de DKP (3.1) relativiste

libre s’écrit encore : (c−→β · −→p + µc2

)ψ = i~β0 ∂ψ

∂t, (3.2)

où les matrices βκ avec (κ = 0, 1, 2, 3), obéissent aux relations suivantes [6]

βκβνβλ + βλβνβκ = gκνβλ + gνλβκ, (3.3)

18

Chapitre 3. L’équation de DKP en présence des potentiels d’Aharonov-Bohm Coulombien

avec gκν est le tenseur métrique relatif à l’espace-temps de Minkowski.

Rappelons que les βκadmettent deux représentations irréductibles non triviales :

– une de dimension 5 pour les particules de spin-0

– et une autre de dimension 10 pour les particules de spin-1.

Limitons nous, dans notre cas, aux particules de spin-0 soumises à l’action du potentiel

d’Aharonov-Bohm. Les matrices βκ nous les choisissons suivant [25,26] comme suit

β0 =

(v 0̃

0T 0

);βi =

(0̂ ρi

−ρiT 0

)avec i = 1, 2, 3, (3.4)

avec

v =

(0 11 0

); ρ1 =

(−1 0 00 0 0

); ρ2 =

(0 −1 00 0 0

); ρ3 =

(0 0 −10 0 0

), (3.5)

où 0̃, 0̂, 0 sont des matrices nulles de dimensions respectives 2 × 3, 2 × 2, 3 × 3. L’état ψ qui

décrit l’évolution du système est un spineur de dimension 5

ψ (r) =

(ψupperiψlower

), ψupper ≡

(φϕ

), ψlower ≡

A1

A2

A3

. (3.6)

Pour une particule sans spin et de charge q et interagissant avec le potentiel d’Aharonov-Bohm

(AB) [27], l’équation (3.1) devient

(cβ(−→p − q

c

−−→AB)

+ µc2)ψ = β0Eψ, (3.7)

En utilisant les définitions des matrices β, (3.7) se réduit, pour la composante φ, à l’équation

suivante (c2(−→p − q

c

−−→AB)2

−(E2 −

(µc2)2))

φ = 0. (3.8)

Nous pouvons alors distinguer deux cas.

3.1.1.1 le potentiel (AB) à deux dimensions

Notre potentiel d’Aharonov-Bohm (AB) [27–30] nous le choisissons à deux dimensions.

Il a pour composantes

(AB)x = − Φ

2π

y

r2, (AB)y =

Φ

2π

x

r2. (3.9)



La composante A3 est par conséquent nulle.

Introduisons ce vecteur dans l’équation (3.8), nous avons(− ~2

2µ

(−→∇r − i

qΦ

2π~c−→∇θ)2

− 1

2µc2

(E2 −

(µc2)2))

φ = 0. (3.10)

Dans les coordonnées polaires, ce potentiel s’écrit par

−−→AB =

Φ

2π

−→∇θ, avec

−→∇θ =

1

r−→e θ. (3.11)

Posons

Φ = m0Φ0, (3.12)

oùqΦ

2π~c= m0 et Φ0 =

hc

q. (3.13)

Comme conséquence de (3.13), le flux magnétique du potentiel d’Aharonov-Bohm (AB) est

proportionnel à Φ0.

Évaluons l’expression suivante (−→∇r − i

qΦ

2π~c−→∇θ)2

. (3.14)

En coordonnée polaire, elle s’écrit comme suit(−→∇r − i

qΦ

2π~c−→∇rθ

)2

=

(∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r

)+

1

r2

(∂

∂θ− im0

)2

. (3.15)

En utilisant le résultat de l’équation (3.15), l’équation relative au potentiel (AB) devient(d2

dr2+

1

r

d

dr+

1

r2(∂

∂θ− im0)2 +

E2 −(µc2)2

(~c)2

)φ = 0. (3.16)

Passons à la résolution de cette équation.

Décomposons la solution en un produit de parties radiale et angulaire

φ (r, θ) = R (r) Θ (θ) . (3.17)

Trouvons d’abord la partie angulaire



Expression de la partie angulaire L’équation de DKP, dans ce cas, est la suivante(d2

dr2+

1

r

d

dr+

1

r2(∂

∂θ− im0)2 +

E2 −(µc2)2

(~c)2

)φ = 0. (3.18)

Cherchons la partie angulaire solution de

d2Θ (θ)

dθ2− 2i (m0)

dΘ (θ)

dθ+(m2 −m2

0

)Θ (θ) = 0. (3.19)

L’équation (3.19) est une équation différentielle du deuxième ordre facile à résoudre. Sa solution

globale est

Θ (θ) = ei(m−m0)θ. (3.20)

Alors

φm (r, θ) = R (r) ei(m−m0)θ. (3.21)

Notons que la condition habituelle R(0) = 0, exceptée pour m = m0, doit être vérifiée.

Expression de la partie radiale L’équation à résoudre est la suivante

d2R (r)

dr2+

1

r

dR (r)

dr+

(E2 − µ2c4

(~c)2 − m20

r2

)R (r) = 0. (3.22)

PosonsqΦ

2π~c= m0 = m+ ν, (3.23)

où m est un entier et 0 ≤ ν ≤ 1. Dans ce cas la, le flux Φ n’étant pas un multiple entier de Φ0.

Alorsd2R (r)

dr2+

1

r

dR (r)

dr+

(E2 −

(µc2)2

(~c)2 −(m+ ν

r

)2)R (r) = 0. (3.24)

Notons par

k2 =E2 − µ2c4

(~c)2 , p = m−m0, (3.25)

l’équation (3.24) devient

d2R (r)

dr2+

1

r

dR (r)

dr+ (k2 − p2

r2)R (r) = 0. (3.26)

Introduisons la nouvelle variable z = kr, et multiplions par z2, (3.26) devient

z2 d2R (r)

dz2+ z

dR (r)

dz+ (z2 − p2)R (r) = 0. (3.27)



L’équation (3.27) se met sous la forme

x2y′′ + xy′ + (x2 − n2)y = 0, (3.28)

avec

n = p = m+ ν. (3.29)

Cette équation admet pour solution les fonctions de Bessel Jp. Ces fonctions de Bessel de

premier espèce d’ordre p ont comme développement la série suivante

Jm+ν (kr) =

∞∑s=0

(−1)s

s! (s+m+ ν + 1)

(kr

2

)|m+ν+2s|

. (3.30)

Distinguons alors deux cas :

Si p n’est pas entier, alors Φ ne l’est pas aussi : nous avons donc deux solutions Jp (kr) et

J−p (kr) linéairement indépendantes, et la solution générale est une combinaison de ces deux

solutions

aJp (kr) + bJ−p (kr) ,

avec a et b des constantes arbitraires. Avec la fonction de Neumann d’ordre p

Np (kr)=Jp (kr) cos pπ − J−p (kr)

sin pπ. (3.31)

la partie radiale lui est directement reliée

Rm (r) = CNm+ν (kr) . (3.32)

Maintenant, si p est entier, alors Φ est aussi entier ( ν = 0) : les deux solutions sont reliées par

la relation suivante :

J−p (kr) = (−1)pJp (kr) , (3.33)

et la partie radiale est simplement

Rm (r) = CJ|m+ν| (kr) . (3.34)

La solution générale est

ψm (r, θ) =

φEµc2φ

−(

~cµc2

)(−→∇ − i qΦ

2π~c−→∇rθ

)φ

, (3.35)



avec

i−→Am (r, θ) = i

A1

A2

0

≡ −~camµc2

∂∂r

1r

(∂∂θ − i (m+ ν)

)∂∂θ

0

φm (r, θ) . (3.36)

L’énergie de la particule et le vecteur−→k sont reliés par

E = ±√

(~ck)2

+ (µc2)2. (3.37)

avec

k2 =(p~

)2

, (3.38)

3.1.1.2 le potentiel (AB) à trois dimensions

La particule dans ce cas est soumise à l’action d’un potentiel-vecteur crée par un solénoïde

de longueur infinie. Le flux étant toujours Φ. Supposons que (OZ) est l’axe du solénoïde.

En coordonnées sphériques, nous choisissons le potentiel (AB) comme suit [28]

Ar = 0, Aθ = 0, Aϕ =Φ

2πr sin θ(3.39)

D’après (3.16) et (3.39), nous obtenons− (~c)2

(d2

dr2+

2

r

d

dr

)+ c2

(−→L

r

)2φ =

(E2 −

(µc2)2)

φ, (3.40)

avec−→L = −→r ∧

(−i~−→∇ − q

c

−−→AB). (3.41)

est le moment angulaire.

Le carré−→L 2, et sa composante suivant (OZ), sont définis par

−→L 2 = −~2

[1

sin θ

d

dθ

(sin θ

d

dθ

)+

1

sin θ

(d

dϕ− im0

)2], (3.42)

Lz = −i~(d

dϕ− im0

). (3.43)

Alors, l’équation (3.40) devient[d2

dr2+

2

r

d

dr+

1

r2

(1

sin θ

d

dθ

(sin θ

d

dθ

)+

1

sin θ

(d

dϕ− im0

)2)

+E2 −

(µc2)2

(~c)2

]φ = 0.

(3.44)



Cherchons évidemment pour cette équation la solution, sous une forme séparable, comme suit

φ (r, θ, ϕ) = R (r) Θ (θ) Φ (ϕ) . (3.45)

Expression de la partie radiale Reportons (3.45) dans (3.44), nous avons, pour la com-

posante radiale R (r), l’équation différentielle suivante[d2

dr2+

2

r

d

dr+

(E2 −

(µc2)2

(~c)2 − l (l + 1)

r2

)]R (r) = 0, (3.46)

avec l (l + 1) sont les valeurs propres de l’opérateur L2.

Changeons de notations et posons :

ξ = kr, k2 =E2 − µ2c4

(~c)2 , (3.47)

alors (3.46) devient [d2

dξ2+

2

ξ

d

dξ+

(1− l (l + 1)

ξ2

)]R (ξ) = 0. (3.48)

La solution générale est donnée par

Rl (r) = ajl (kr) + bηl (kr) . (3.49)

où a et b sont deux constantes. Deux possibilités [31] se présentent, cependant pour la compo-

sante φ.

Si la particule est libre dans tout l’espace, incluant l’origine r = 0, alors la fonction d’onde

doit être finie partout et particulièrement au point r = 0. Par conséquent, il est nécessaire que

b = 0 et donc

Rl (r) = ajl (kr) . (3.50)

Par contre, si la particule, à l’extérieur d’une sphère de rayon ρ0, est libre, dans ce cas a

et b sont différents de zéro 1. Pour les fixer , il faut utiliser la condition de continuité sur la

surface de la sphère.

Dans notre cas, les solutions auront forme suivante

Rl (r) = anormjl (kr) . (3.51)

1. ici la solénoïde est supposé avoir un rayon finie



Expression de la partie angulaire La fonction d’onde doit évidemment vérifier la condi-

tion au bord suivante

ψ (r, θ, ϕ) |θ=0,π= 0. (3.52)

Suivant Krestzschmer et Chang [28,32], désignons par χlλ (θ, ϕ) les fonctions propres de Lz et

L2 et par λ~ et l (l + 1) ~2 leurs valeurs propres.

Alors, on a

Lzχlλ (θ, ϕ) = λ~χlλ (θ, ϕ) , L2χlλ (θ, ϕ) = l (l + 1) ~2χlλ (θ, ϕ) (3.53)

avec

λ = m−m0, m = 0,±1,±2, ..., (3.54)

et

l = |λ|+ k, k = 0, 1, 2, ..., (3.55)

D’après les deux équations (3.54) et (3.55), on peut apercevoir que les deux valeurs propres de

L2et Lz dépendent de m0 : c-a-d : dépend du flux magnétique Φ due au potentiel (AB).

Chun [28], a montré que les relations habituelles du moment cinétique

−→L ∧−→L = i~

−→L , (3.56)

qui conduit à

[Lz, L±] = ±~L±, (3.57)

avec [L2, L±

]= 0,

où les opérateurs d’échelles L± sont L± = Lx ± iLy, peuvent être remplacées, dans le cas du

potentiel d’Aharonov-Bohm, par

−→L ∧−→L = i~

−→L + iq~−→r

(−→r · −→B) , (3.58)

dont−→B =

Φ

πr2δ(cos2 θ − 1

)−→u z. (3.59)



est le champ magnétique. Notons que le deuxième terme additif de l’équation (3.58) est nul

lorsque la position est perpendiculaire au champ.

En utilisant la relation suivante [28]

δ(cos2 θ − 1

)=

[δ (cos θ − 1) + δ (cos θ + 1)]

2, (3.60)

l’équation (3.58) se transforme à

−→L ∧−→L = i~

−→L + 2iq~m0δ

(cos2 θ − 1

)−→u z.Ainsi, les relations de commutations relatives au moments angulaire se modifient en présence

du potentiel d’Aharonov-Bohm (AB). Suivant Chun [28], elles sont les suivantes

[Lz, L±] = ±~L±,[L2, L±

]= ∓2m0~2

(L±δ

(cos2 θ − 1

)+ δ

(cos2 θ − 1

)L±). (3.61)

Les fonctions d’ondes χlλ (θ, ϕ) s’écrivent comme suit [28],

χlλ (θ, ϕ) = cl,λP−|λ|l (cos θ) ei(mϕ), (3.62)

où P |λ|l (cos θ) sont les polynômes de Légendre. La constante de normalisation cl,λest donnée

par

cl,λ = exp

(iπ

2λ+

iπ

2|λ|){

2l + 1

4π

Γ (l + |λ|+ 1)

Γ (l − |λ|+ 1)

} 12

, (3.63)

Supposons que le flux n’est pas un entier : c’est à dire m0 6= k ou k est un entier. Alors, d’après

le signe de λ, nous avons deux solutions différentes correspondant aux deux sous espaces S+ et

S− de l’espace d’Hilbert total S . Par conséquence, nous obtenons deux solutions radiales (Eq.

(3.51)) qui différent suivant les valeurs des deux constantes l et λ. Suivant cette distinction,

les solutions sont alors

– dans le sous espace S+, où λ1 = m−m0 > 0 et l1 = λ1 +k , la partie angulaire et radiale

prennent la forme suivante

χl1λ1(θ, ϕ) = cl1,λ1

P−|λ1|l1

(cos θ) ei(mϕ), (3.64)

Rl1 (r) = anormjl1 (kr) . (3.65)



Le spineur total est

ψl1λ1 (r, θ, ϕ) =

1Eµc2

−i cµc2

(−→p − qc

−−→AB)φλ1l1 (r, θ, ϕ) , (3.66)

avec

φλ1l1 (r, θ, ϕ) = anormcl1,λ1jl (kr)P−|λ1|l1

(cos θ) ei(mϕ), (3.67)

– dans le sous espace S−, où λ2 = m − m0 < 0 et l2 = −λ2 + k. la partie angulaire et

radiale sont


P−|λ2|l2

(cos θ) ei(mϕ), (3.68)

Rl2 (r) = anormjl2 (kr) . (3.69)

Le spineur total s’écrit par

ψl2λ2(r, θ, ϕ) =

1Eµc2φ

−i cµc2

(−→p − qc

−−→AB)φ

φλ2l2 (r, θ, ϕ) , (3.70)

avec

φnλ2l2 (r, θ, ϕ) = anormcl2,λ2jl2 (kr)P

−|λ2|l2

(cos θ) ei(mϕ). (3.71)

Pour les deux cas, l’énergie E a la forme suivante

E = ±√

(~ck)2

+ (µc2)2, (3.72)

−→k , étant le vecteur d’onde de la particule incidente, dont

k2 =(p~

)2

. (3.73)

3.1.2 Cas du potentiel Coulombien (C)

Considérons l’équation de DKP dans un potentiel Coulombien :

(cβ−→p + µc2

)ψ = i~β0 (E − qV )ψ. (3.74)

Il est facile d’obtenir une équation d’onde par rapport à la composante φ comme suit(− ~2

2µ∇2 − 1

2µc2

((E − qV )

2 −(µc2)2))

φ = 0. (3.75)



D’après (3.75), la particule de spin-0 dans le potentiel Coulombien se comporte de la même

façon qu’une particule non relativiste de spin-1/2 dans un champ central.

La fonction d’onde φ se sépare en un produit

φ (r, θ, ϕ) = R (r)Y (θ, ϕ) , (3.76)

de deux fonctions angulaire (les harmoniques sphériques) Y (θ, ϕ), fonctions propres de L2, et

radiale R(r).

En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ), l’hamiltonien de système est

H = − ~2

2µ

((1

r2

∂

∂r

(r2 ∂

∂r

))+

1

r2L2

)+ U (r) . (3.77)

Alors l’équation pour la partie radiale est[− ~2

2µr2

d

dr

(r2 d

dr

)+

λ~2

2µr2+ U (r)

]R (r) = 0. (3.78)

La partie angulaire a pour solution [31,33]

Y ml (θ, ϕ) =

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!(−1)

meimϕPml (cos θ) . (3.79)

Par contre, pour la partie radiale, R (r) satisfait à

1

r2

d

dr

(r2 dR (r)

dr

)+

− l (l + 1)−(qk~c

)2

r2− 2qkE

(~c)2r−(µc2)2 − E2

(~c)2

R (r) = 0. (3.80)

Pour trouver la solution, introduisons la variable sans dimension ρ = ξr, et faisons les change-

ments suivantes

ξ2 =4((µc2)2 − E2

)(~c)2 , γ =

qk

~c, ζ =

2Eγ

~cξ. (3.81)

Alors, (3.80) devient

1

ρ2

d

dρ

(ρ2 dR (r)

dρ

)+

[− l (l + 1)− γ2

ρ2− ζ

ρ− 1

4

]R (r) = 0. (3.82)

Effectuons, encore, un autre changement

R (r) = ρae−ρ2w (ρ) , (3.83)



nous trouvons alors, pour w (ρ), l’équation suivante

d2w

dρ2+dw

dρ

[2 (a+ 1)

ρ− 1

]+

[a (a− 1)

ρ2− ζ + a

ρ− l (l + 1)− γ2

ρ2

]w = 0. (3.84)

Fixons a par

a (a− 1) = l (l + 1)− γ2, (3.85)

ou bien

a =1

2±

((l +

1

2

)2

− γ2

) 12

. (3.86)

Utilisons la condition (3.85), et multiplions (3.84) par ρ, l’équation (3.84) se transforme à

ρd2w

dρ2+dw

dρ[2 (a+ 1)− ρ]− [ζ + a]w = 0. (3.87)

L’équation (3.87) admet alors comme solution une fonction hypergéométrique confluente

w (ρ) = Nnorm1F1 (ζ + a; 2 (a+ 1) ; ρ) . (3.88)

A la limite ρ → ∞, la partie radiale doit satisfaire la condition suivante R (ρ) → 0. Alors,

la fonction w (ρ), dans (3.83) est donc une série convergente. Cette condition est satisfaite

seulement si

ζ + a = −n, (3.89)

avec n un entier positif. La constante a, d’après (3.86), est choisi comme suit

a =1

2−

((l +

1

2

)2

− γ2

) 12

. (3.90)

La fonction d’onde w (ρ) s’écrit, enfin, par

w (ρ) = Nnorm1F1 (−n; 2 (a+ 1) ; ρ) , (3.91)

avec Nnorm est une constante de normalisation, qui est égale à

Nnorm =Γ (2a+ 3 + n)

Γ (2a+ 3)×

((n− 2a− 1)

4π (n!)3

(2n− 2a− 1)

) 12

. (3.92)

Le spectre des énergies est donc

E = µc2[1 +

γ2

ζ2

]− 12

, (3.93)



ou encore

En = µc2

1 +γ2(

n+ 12 −

((l + 1

2

)2 − γ2) 1

2

)2

− 1

2

. (3.94)


ψnlm (r, θ, ϕ) =

1E−q krµc2

− cµc2−→p

φ, (3.95)

avec

φnlm (r, θ, ϕ) = Nnormρae−

ρ2 1F1 (−n; 2 (a+ 1) ; 2ρ)Y ml (θ, ϕ) . (3.96)

3.1.3 Cas de la combinaison des deux potentiels : (AB) plus Coulomb3.1.3.1 Cas de la dimension deux

La partie radiale relative à la particule de spin-0 dans le champ combinaison de (AB) plus

Coulomb à deux dimensions est

d2R(r)

dr2+

1

r

dR(r)

dr+

[2µ

~2

(E2 −

(µc2)2

2µc2

)− 2µ

~2

(2qκE

2µc2

)1

r−

(m+ ν)2 −

(qκ~c)2

r2

]R(r) = 0,

(3.97)

Passons à la variable sans dimension ρ

ρ = ξr, (3.98)

avec

ξ2 =4((µc2)2 − E2

)(~c)2 , γ =

qκ

~c, ζ =

2Eγ

~cξ, (3.99)

nous obtenons l’équation

d2R (ρ)

dρ2+

1

ρ

dR (ρ)

dρ+

[−1

4+ζ

ρ− (m+ ν)

2 − γ2

ρ2

]R (ρ) = 0. (3.100)

Effectuons encore le changement suivant

R (ρ) = e−ρ2 ρbu (ρ) . (3.101)

Après un simple calcul sur les dérivées, (3.97), devient

d2u (ρ)

dρ2+du (ρ)

dρ

[−1 +

2b

ρ

]+ u (ρ)

[− bρ− ζ

ρ+b (b− 1)

ρ2− (m+ ν)

2 − γ2

ρ2

]= 0. (3.102)



D’après (3.102), b satisfait à

b (b− 1) = (m+ ν)2 − γ2. (3.103)

c’est à dire

b =1

2

(1±

√1 + 4

((m+ ν)

2 − γ2))

. (3.104)

En multipliant, (3.102) par ρ, nous avons

ρd2u (ρ)

dρ2+ (2b− ρ)

du (ρ)

dρ− (b+ ζ)u (ρ) = 0. (3.105)

Cette équation admet comme solution, une fonction de type hypergéométrique confluente

u (ρ) = N ′norm1F1 (b+ ζ; 2b; ρ) . (3.106)

Pour que R (ρ) → 0 pour ρ → ∞, il est aussi nécessaire que u (ρ) soit une série convergente.

Cette condition est satisfaite aussi pour

ζ + b = −n, (3.107)

avec n un entier positif. Ainsi b doit être négatif, et s’écrit par

b =1

2

(1−

√1 + 4

((m+ ν)

2 − γ2))

. (3.108)

Le spectre d’énergie est le suivant

Enm = µc2

1 +γ2(

n+ 12 −

12

√1 + 4

((m+ ν)

2 − γ2))2

− 1

2

. (3.109)

A partir de (3.109), nous constatons la dépendance de l’énergie de la particule avec les para-

mètres du potentiel d’Aharonov-Bohm (AB) et du potentiel Coulombien. Nous pouvons faire

trois remarques, sur le spectre d’énergie

– en l’absence du potentiel (AB), ν = m0 = 0, la forme de l’énergie (3.109) se réduit à

celle d’une particule relativiste dans un potentiel Coulombien à deux dimensions.

– si ν = 0 et m0 6= 0, alors la quantité qΦ2π~c prend des valeurs entiers différentes de zéros.

Dans ce cas, les énergies sont les mêmes.



– en supprimant le potentiel Coulombien V = 0, nous obtenons le spectre relatif à (AB).

La composante φ est donc

φnm (r, θ) = N ′norm1F1 (−n; 2b; ρ) e−ρ2 ρbei(m−m0)θ, (3.110)

et par conséquence, le spineur total est

ψnm (r, θ) =

1(

E−q krµc2

)−(

~cµc2

)(−→∇ − i qΦ

2π~c−→∇rθ

)φ. (3.111)

3.1.3.2 Cas de la dimension trois

L’équation dans ce cas est

c2(−→p − q

c

−−→AB)2

φ =(

(E − qV )2 −

(µc2)2)

φ. (3.112)

Cette équation, comme dans le cas de la dimensions deux, décrit le mouvement de la particule

dans un potentiel combiné (AB) plus (C). La solution est évidemment le produit de deux

parties, radiale et angulaire

φ (r, θ, ϕ) = R (r) Θ (θ) Φ (ϕ) . (3.113)

La partie radiale obéit à d2

dr2+

2

r

d

dr+E2 −

(µc2)2

(~c)2 − 2qE

(~c)2

1

r−l (l + 1)−

(qk~c

)2

r2

R (r) = 0. (3.114)

Résolvons, maintenant, l’équation(3.114). Pour cela, en utilisant la variable sans dimension

ρ = ξr, et en posant que

ξ2 =4((µc2)2 − E2

)(~c)2 , γ =

qk

~c, ζ =

2Eγ

~cξ> 0,

l’équation (3.114) devient

1

ρ2

d

dρ

(ρ2 dR (r)

dρ

)+

[− l (l + 1)− γ2

ρ2− ζ

ρ− 1

4

]R (r) = 0. (3.115)

En faisant les mêmes changements que dans le cas du potentiel Coulombien, nous trouvons

une équation différentielle par rapport à w (ρ), définie par (3.83), comme suit

ρd2w

dρ2+dw

dρ[2 (a+ 1)− ρ]− [ζ + a]w = 0. (3.116)



La solution de cette équation est la suivante

w (ρ) = C1F1 (−n; 2 (a+ 1) ; ρ) (3.117)

avec a est

a =1

2−

((l +

1

2

)2

− γ2

) 12

, (3.118)

et C est une constante de normalisation.

De la même façon que dans le cas du potentiel Coulombien, (3.114) nous donne un spectre

d’énergie comme suit :

En = µc2

1 +γ2(

n+ 12 −

((l + 1

2

)2 − γ2) 1

2

)2

− 1

2

. (3.119)

Contrairement au cas de la dimension deux (3.109), le spectre d’énergie, d’après (3.119), dé-

pend uniquement des paramètres du potentiel de Coulomb : il y’a une absence apparente des

paramètres du potentiel d’Aharonov-Bohm. Cette dépendance de (AB) apparaît en utilisant

les règles de commutations globalisées de Chun [28] : d’après Chun, les valeur propre l , dans

l’équation (3.119), ont une dépendance avec le flux magnétique Φ.

Elles suivent la relation suivante

l = |m−m0|+ κ avec κ = 0, 1, 2, ... (3.120)

Le spectre d’énergie (3.119) devient

Enm = µc2

1 +γ2(

n+ 12 −

(((|m−m0|+ κ) + 1

2

)2 − γ2) 1

2

)2

− 1

2

. (3.121)

Le spectre, d’après (3.121), dépend ainsi de tous les paramètres.

La partie radiale est

Rn (r) = Cρae−ρ2 1F1 (−n; 2 (a+ 1) ; ρ) . (3.122)



Expression de la partie angulaire Pour la partie angulaire les solutions sont les mêmes

que dans le cas du potentiel d’Aharonov-Bohm. En considérant le signe de la constante λ,

nous avons alors deux solutions différentes, correspondantes aux deux sous espaces S+ et S−

de l’espace d’Hilbert total S. Par conséquence, nous obtenons deux solutions radiales (3.122)

suivant les valeurs des deux constantes l et λ

– dans le sous espace S+, où λ1 = m − m0 > 0 et l1 = λ1 + k , les parties angulaire et

radiale ont les formes suivantes


P−|λ1|l1

(cos θ) ei(mϕ), (3.123)

Rn (r) = Cρa1e−ρ2 1F1 (−n; 2 (a1 + 1) ; ρ) , (3.124)

avec

a1 =1

2−

((l1 +

1

2

)2

− γ2

) 12

. (3.125)


ψnl1λ1(r, θ, ϕ) =

1Eµc2

−i cµc2

(−→p − qc

−−→AB)φnλ1l1 (r, θ, ϕ) , (3.126)

dont

φnλ1l1 (r, θ, ϕ) = cl1,λ1Cρa1e−

ρ2 1F1 (−n; 2 (a1 + 1) ; ρ)P

−|λ1|l1

(cos θ) ei(mϕ). (3.127)

– dans le sous espace S−, où λ2 = m−m0 < 0 et l2 = −λ2 + k, nous obtenons


P−|λ2|l2

(cos θ) ei(mϕ), (3.128)

Rn (r) = Cρa2e−ρ2 1F1 (−n; 2 (a2 + 1) ; ρ) , (3.129)

avec

a2 =1

2−

((l2 +

1

2

)2

− γ2

) 12

. (3.130)

Le spineur est

ψnl2λ2(r, θ, ϕ) =

1Eµc2φ

−i cµc2

(−→p − qc

−−→AB)φ

φnλ2l2 (r, θ, ϕ) , (3.131)



dont

φnλ2l2 (r, θ, ϕ) = cl2,λ2Cρa2e−

ρ2 1F1 (−n; 2 (a2 + 1) ; ρ)P

−|λ2|l2

(cos θ) ei(mϕ). (3.132)

3.2 Particules de spin-1 dans le potentiel d’Aharonov-Bohm

Pour le cas des bosons vectoriels de masse µ, l’équation DKP relativiste libre est la suivante(cβ · −→p + µc2

)ψ = i~β0 ∂ψ

∂t. (3.133)

En présence du potentiel d’Aharonov-Bohm (AB), l’équation de DKP devient(cβ ·

(−→p − q

c

−−→AB)

+ µc2)ψ = β0Eψ, (3.134)

où les matrices β ont la forme suivantes [25,26]

β0 =

0T 0 0 0

0T

0 I 0

0T

I 0 0

0T

0 0 0

, βi =

0 0 ei 0

0T

0 0 −isi−eT 0 0 0

0T −isi 0 0

, (3.135)

avec si les matrices habituelles relatives au spin-1,

Sx =1√2

0 1 01 0 10 1 0

, Sy =1√2

0 −i 0i 0 −i0 i 0

, Sz =

1 0 00 0 00 0 −1

. (3.136)

I et 0 sont respectivement les matrices identité et nulle .

L’état du système ψ est un spineur de dimension dix. Il s’écrit comme suit

ψ (r) =(iϕ−→A (r)

−→B (r)

−→C (r)

)T, (3.137)

avec

−→A ≡

(A1 A2 A3

)T,−→B ≡

(A1 A2 A3

)T,−→C ≡

(A1 A2 A3

)T. (3.138)

Par un calcul simple, nous trouvons les relations suivantes

µc2ϕ = ic(−→p − q

c

−−→AB)−→B, (3.139)

µc2−→A = E

−→B − c

(−→p − q

c

−−→AB)∧−→C , (3.140)

µc2−→B = E

−→A + ic

(−→p − q

c

−−→AB)ϕ, (3.141)

µc2−→C = −c

(−→p − q

c

−−→AB)∧−→A. (3.142)



3.2.1 le potentiel (AB) à deux dimensions

Pour ce cas, le potentiel (AB) a pour composantes

(AB)x = − Φ

2π

y

r2, (AB)y =

Φ

2π

x

r2(3.143)

Considérons la composante ϕ en premier lieu.

La composante ϕ Multiplions (3.140) et (3.141) par −→p − qc

−−→AB, et éliminons les composantes

−→A et

−→B, alors [

c2(−→p − q

c

−−→AB)2

−(E2 −

(µc2)2)]

ϕ = 0. (3.144)

ou encore (d2

dr2+

1

r

d

dr+

1

r2(∂

∂θ− im0)2 +

E2 −(µc2)2

(~c)2

)ϕ = 0. (3.145)

Avec la forme séparable

ϕ (r, θ) = R (r) Θ (θ) , (3.146)

nous obtenons pour la partie angulaire(∂

∂θ− im0

)2

Θ (θ) = −m2Θ (θ) , (3.147)

équation dont la solution générale est

Θ (θ) = ei(m−m0)θ. (3.148)

Ainsi, l’équation (3.146) devient

ϕm (r, θ) = R (r) ei(m−m0)θ. (3.149)

Pour la partie radiale, R(r) obéit à

d2R (r)

dr2+

1

r

dR (r)

dr+

(E2 −

(µc2)2

(~c)2 −(mr

)2)R(r) = 0. (3.150)

Comme dans le cas de spin-0, et en utilisant (3.24) et (3.25), (3.150) se ramène à

z2 d2R (r)

dz2+ z

dR (r)

dz+ (z2 − p2)R (r) = 0, (z = kr) , (3.151)



dont la solution est

Jm+ν (kr) =

∞∑s=0

−1s

s! (s+m+ ν + 1)

(kr

2

)|m+ν+2s|

. (3.152)

La partie radiale est alors

Rm (r) = anormJm+ν (kr) . (3.153)

Enfin, la composante ϕ est

ϕm (r, θ) = anormJm+ν (kr) ei(m−m0)θ. (3.154)

La composante−→A Pour la composante

−→A , multiplions (3.142) par −→p − q

c

−−→AB,(−→p − q

c

−−→AB)∧−→C = − 1

µc

(−→p − q

c

−−→AB)∧(−→p − q

c

−−→AB)∧−→A. (3.155)

Multiplions aussi (3.139 ) par −→p − qc

−−→AB, nous obtenons(−→p − q

c

−−→AB)−→A =

E

µc2

(−→p − q

c

−−→AB)−→B =

E

µc2(−iµc)ϕ = − iE

cϕ. (3.156)

Avec l’identité vectorielle bien connue

−→p ∧ −→p ∧−→A = −→p

(−→p −→A)− (−→p 2)−→A, (3.157)

nous avons

µc2−→A = E

−→B−c

(−→p − q

c

−−→AB)∧−→C = E

−→B+

1

µ

[(−→p − q

c

−−→AB)(−→p − q

c

−−→AB)−→A −

(−→p − q

c

−−→AB)2−→

A

].

(3.158)

Avec (3.156), l’équation (3.158) se transforme à

µc2−→A = E

−→B − iE

µc

(−→p − q

c

−−→AB)ϕ− 1

µ

(−→p − q

c

−−→AB)2−→

A. (3.159)

Utilisons le lien entre−→B et

−→A , il vient

µc2−→A = E

(E

µc2−→A +

i

µc

(−→p − q

c

−−→AB)ϕ

)− iEµc

(−→p − q

c

−−→AB)ϕ− 1

µ

(−→p − q

c

−−→AB)2−→

A, (3.160)

ou encore

µc2−→A =

E2

µc2−→Aϕ− 1

µ

(−→p − q

c

−−→AB)2−→

A. (3.161)



Alors, (3.161) se réduit à(c2(−→p − q

c

−−→AB)2

−(E2 −

(µc2)2))−→

A = 0, (3.162)

avec

~AT =(A1 A2 A3

). (3.163)

L’équation (3.162) peut être réduite, pour une seule composante A1, comme suit(c2(−→p − q

c

−−→AB)2

−(E2 −

(µc2)2))

A1 = 0. (3.164)

Après un développement simple, nous obtenons(d2

dr2+

1

r

d

dr+

1

r2(∂

∂θ− im0)2 +

E2 −(µc2)2

(~c)2

)A1 = 0, (3.165)

où la composante A3 est nulle. La composante A2 suit la même équation différentielle que la

composante A1.

Remarquons que (3.165) a la même forme que celle relative à la composante ϕ, alors

A1m (r, θ) = ϕm (r, θ) , (3.166)

ou encore

A1m (r, θ) = anormJm+ν (kr) ei(m−m0)θ. (3.167)

La composante finale de ~A, s’écrit, alors, par :

−→Am (r, θ) =

110

anormJm+ν (kr) ei(m−m0)θ. (3.168)

Pour les autres composantes, ~B et ~C, nous pouvons les déduire à partir des solutions relatives

aux deux composantes−→A et ϕ. Elles ont, alors les suivantes

La composante−→B Connaissant les solutions des composantes ϕ (r, θ) et A (r, θ), les com-

posantes de−→B sont

B1m (r, θ) =E

µc2A1m (r, θ) + ~c

∂ϕm (r, θ)

∂r, (3.169)

B2m (r, θ) =E

µc2A1m (r, θ) +

~cr

(∂

∂θ− i qΦ

2π~c

)ϕm (r, θ) , (3.170)

B3m (r, θ) = 0. (3.171)



La composante−→C Pour la composante

−→C , en utilisant (3.142), nous trouvons

C1m (r, θ) = 0, (3.172)

C2m (r, θ) = 0, (3.173)

C3m (r, θ) =i~µc

(∂

∂r− 1

r

(∂

∂θ− i qΦ

2π~c

))A1m (r, θ) . (3.174)

3.2.2 le potentiel (AB) à trois dimension

Dans ce cas, la particule se trouve en présence d’un potentiel vecteur crée par un solénoïde de

longueur infinie. Le flux étant Φ = m0Φ0 avec Φ0 = hc/q. Utilisons les coordonnées sphériques

en prenant pour axe OZ , l’axe du solénoïde.

Choisissons alors les composantes du potentiel (AB) comme suit

Ar = 0, Aθ = 0, Aϕ =Φ

2πr sin θ(3.175)

La composante ϕ Comme dans le cas de la dimension deux, et en suivant la même démarche,

nous avons [c2(−→p − q

c

−−→AB)2

−(E2 −

(µc2)2)]

ϕ = 0. (3.176)

L’équation (3.176) est semblable à celle trouvée pour le cas de spin-0, alors− (~c)2

(d2

dr2+

2

r

d

dr

)+ c2

(−→L

r

)2

−(E2 −

(µc2)2)ϕ = 0, (3.177)

En coordonnées sphérique, elle devient[d2

dr2+

2

r

d

dr+

1

r2

(1

sin θ

d

dθ

(sin θ

d

dθ

)+

1

sin θ

(d

dϕ− im0

)2)

+E2 −

(µc2)2

(~c)2

]ϕ = 0.

(3.178)

Séparons la partie radiale de celle qui est angulaire :

Pour la partie radiale, nous avons[d2

dr2+

2

r

d

dr− j (j + 1)

r2+E2 −

(µc2)2

(~c)2

]Rj (r) = 0, (3.179)

avec j (j + 1) est les valeurs propres de l’opérateur J2.



Posons

ξ = kr, k2 =E2 − µ2c4

(~c)2 , (3.180)

alors, l’équation (3.176) devient[d2

dξ2+

2

ξ

d

dξ+

(1− j (j + 1)

ξ2

)]R (ξ) = 0. (3.181)

Cette équation admet deux solutions indépendantes

jj (ξ) =

√π

2ξJj+ 1

2(ξ) = (−1)

j

(d

dξ

)j (sin ξ

ξ

), (3.182)

ηj (ξ) = (−1)j+1

√π

2ξJ−j− 1

2(ξ) = (−1)

j+1

(d

dξ

)j (cos ξ

ξ

). (3.183)

Les jj (ξ) (3.182) sont les fonctions de Bessel sphériques. La solution, pour un j fixé, est alors

Rj (r) = ajj (kr) + bηj (kr) . (3.184)

où a et b sont deux constantes qui se fixent par les conditions aux limites ainsi que par la

condition de normalisation.

Dans notre cas, nous avons

Rj (r) = anormjj (kr) , (3.185)

anorm étant une constante de normalisation.

Pour la partie angulaire, et comme dans le cas de la dimension deux , les solutions nous les

choisissons suivant le signe de la constante λ. Nous avons alors deux situations correspondantes

aux deux sous espaces S+ et S− de l’espace total S.

– dans le sous espace S+, ou λ1 = m − m0 > 0 et l1 = λ1 + k, les parties angulaire et

radiale sont

χj1λ1(θ, ϕ) = cj1,λ1

P−|λ1|j1

(cos θ) ei(mϕ), (3.186)

Rj1 (r) = anormjj1 (kr) . (3.187)

La composante ϕ est donc

ϕnj1m (r, θ, ϕ) = cj1,λ1anormjj1 (kr)P−|λ1|j1

(cos θ) ei(mϕ), (3.188)



avec

|l1 − 1| ≤ j1 ≤ l1 + 1. (3.189)

– dans le sous espace S−, ou λ2 = m −m0 < 0 et l2 = −λ2 + k, les parties angulaire et

radiale sont

χj2λ2 (θ, ϕ) = cj2,λ2P−|λ2|j2

(cos θ) ei(mϕ), (3.190)

Rj2 (r) = anormjj2 (kr) . (3.191)

Alors, la composante ϕ s’écrit comme suit :

ϕnj2m (r, θ, ϕ) = cj2,λ2anormjj2 (kr)P−|λ2|j2

(cos θ) ei(mϕ), (3.192)

avec

|l2 − 1| ≤ j2 ≤ l2 + 1. (3.193)

La composante−→A Avec la même démarche utilisée dans le cas de la dimension deux pour

les composantes de−→A (voir (3.155) à (3.160)), nous obtenons l’équation(

c2(−→p − q

c

−−→AB)2

−(E2 −

(µc2)2))−→

A = 0, (3.194)

qui, après réduction, pour la seule composante A1, nous avons[c2(−→p − q

c

−−→AB)2

−(E2 −

(µc2)2)]

A1 = 0. (3.195)

ou encore − (~c)2

(d2

dr2+

2

r

d

dr

)+ c2

(−→L

r

)2

−(E2 −

(µc2)2)A1 = 0. (3.196)

Les deux autres composante, A2 et A3, suivent la même équation différentielle que la compo-

sante A1.

En coordonnées sphériques, l’équation (3.196) devient[d2

dr2+

2

r

d

dr+

1

r2

(1

sin θ

d

dθ

(sin θ

d

dθ

)+

1

sin θ

(d

dϕ− im0

)2)

+E2 −

(µc2)2

(~c)2

]A1 = 0.

(3.197)

Cherchons la solution sous une forme séparable comme suit

A1 (r, θ, ϕ) = R (r) Θ (θ) Φ (ϕ) = R (r)χ (θ, ϕ) . (3.198)



Pour la partie radiale, elle vérifie l’équation suivante(d2

dr2+

2

r

d

dr− j (j + 1)

r2+E2 −

(µc2)2

(~c)2

)Rj (r) = 0, (3.199)

Posons que

ξ = kr, k2 =E2 − µ2c4

(~c)2 , (3.200)

alors, l’équation (3.199) se réécrit par une autre façon comme suit[d2

dξ2+

2

ξ

d

dξ+

(1− j (j + 1)

ξ2

)]Rj (ξ) = 0,

dont la solution est

Rj (r) = anormjj (kr) , (3.201)

Pour la partie angulaire, suivant le signe de λ, nous avons

– dans le sous espace S+, où λ1 = m − m0 > 0 et l1 = λ1 + k, les parties angulaire et

radiale ont les formes suivantes


P−|λ1|j1

(cos θ) ei(mϕ), (3.202)

Rj1 (r) = anormjj1 (kr) . (3.203)

La solution, pour la composante A1, est alors

(A1)nj1m (r, θ, ϕ) = cj1,λ1anormjj1 (kr)P−|λ1|j1

(cos θ) ei(mϕ). (3.204)

– dans le sous espace S−, où λ2 = m −m0 < 0 et l2 = −λ2 + k, les parties angulaire et

radiale sont les suivantes


P−|λ2|j2

(cos θ) ei(mϕ), (3.205)

Rj2 (r) = anormjj2 (kr) . (3.206)

La solution est alors

(A1)nj2m (r, θ, ϕ) = cj2,λ2anormjj2 (kr)P

−|λ2|j2

(cos θ) ei(mϕ). (3.207)

Les deux autres composantes (A2)nj2m (r, θ, ϕ)et (A2)nj2m (r, θ, ϕ) ont la même forme que

(A1)nj2m (r, θ, ϕ).

Pour les autres composantes, ~B et ~C, les solutions sont résumées comme suit :



Composante−→B Cette composante peut être déterminées à partir des composantes ϕ (r, θ, φ)

et A (r, θ, φ).

Alors, ces composantes sont

– pour le sous espace S+, où λ1 = m−m0 > 0 et l1 = λ1 + k,

B1 (r, θ, φ) =E

µc2A1 (r, θ, ϕ)− i~c ∂

∂rϕ (r, θ, ϕ) , (3.208)

B2 (r, θ, φ) =E

µc2A1 (r, θ, ϕ)− i~c1

r

∂

∂θϕ (r, θ, ϕ) , (3.209)

B3 (r, θ, φ) =E

µc2A1 (r, θ, ϕ)− ic

(~∂

∂φ+q

c

Φ

2πr sin (θ)

)ϕ (r, θ, ϕ) . (3.210)

– pour le sous espace S−, où λ2 = m−m0 < 0 et l2 = −λ2 + k,

B1 (r, θ, φ) =E

µc2A1 (r, θ, ϕ)− i~c ∂

∂rϕ (r, θ, ϕ) , (3.211)

B2 (r, θ, φ) =E

µc2A1 (r, θ, ϕ)− i~c1

r

∂

∂θϕ (r, θ, ϕ) , (3.212)

B3 (r, θ, φ) =E

µc2A1 (r, θ, ϕ)− ic 1

r sin (θ)

(~∂

∂φ+q

c

Φ

2π

)ϕ (r, θ, ϕ) . (3.213)

Composante−→C Pour la composante

−→C , en utilisant (3.142), nous avons

– pour le sous espace S+, où λ1 = m−m0 > 0 et l1 = λ1 + k.

C1 (r, θ, φ) =i~µc

(1

r

∂

∂θA3 +

1

r sin θ

(~∂

∂φ+q

c

Φ

2π

)A2

), (3.214)

C2 (r, θ, φ) =i~µc

(1

r sin θ

(~∂

∂φ+q

c

Φ

2π

)A1 −

∂

∂rA3

), (3.215)

C3 (r, θ, φ) =i~µc

(∂

∂rA2 −

1

r

∂

∂θA1

). (3.216)

– pour le sous espace S−, où λ2 = m−m0 < 0 et l2 = −λ2 + k.

C1 (r, θ, φ) =i~µc

(1

r

∂

∂θA3 +

1

r sin θ

(~∂

∂φ+q

c

Φ

2π

)A2

), (3.217)

C2 (r, θ, φ) =i~µc

(1

r sin θ

(~∂

∂φ+q

c

Φ

2π

)A1 −

∂

∂rA3

), (3.218)

C3 (r, θ, φ) =i~µc

(∂

∂rA2 −

1

r

∂

∂θA1

). (3.219)



3.3 Discussion des résultats

Avant de discuter les résultats relatifs aux particules de spin 0 et 1, donnons, d’abord,

un aperçu sur le problème du critère de l’admissibilité de la fonction d’onde posé par l’effet

d’Aharonov-Bohm 2, et qui a donné lieu a de nombreux travaux [34–41].

Henneberg [35], en se basant sur le critère de Pauli (voir l’annexe E), a conclu que l’effet

du potentiel (AB), s’il existe, ne peut pas être interprété comme une dispersion. Ainsi l’effet

(AB) n’aurait aucune influence sur le système physique, et il peut être considéré comme jouant

un rôle purement mathématique 3. Cependant, en 1982, une série d’expériences menées par des

Japonais [44], a mis en évidence la réalité physique de l’effet du potentiel (AB).

Par ailleurs, Kretzschmar [32] a étudié le problème des valeurs propres du moment angulaire

(KAM) 4 de l’électron, en présence de l’effet de (AB). Il a surtout montré que l’espace Hilbert

total relatif aux fonctions propres du (KAM ), à cause de cet effet, se subdivise en deux sous-

espaces. Cette décomposition étant due essentiellement à la brisure de la symétrie dans le

mouvement de la particule autour du flux crée par le solénoïde 5. On dit que l’espace est

multiplement connexe.

A cause de cette asymétrie, et suite à cet effet physique de (AB), le critère de Pauli n’est

plus valable. Ainsi suivant Kretzschmar [32], le (KAM ) de la particule suit d’autres relations

de commutation que celle habituelles.

Revenons aux particules de spin-0 dans les cas des dimensions deux et trois.

Avec le potentiel (AB), le spectre obtenu est un spectre relative à une particule relativiste

libre. Sa dépendance par rapport aux paramètres du potentiel (AB) est direct pour le cas de

la dimensions deux, contrairement au cas de la dimension trois, où elle n’est pas évidente.

Lorsqu’il y a présence de (AB) en plus de Coulomb, le spectre, dans le cas de la dimension

deux, dépend des paramètres des deux potentiels.

Par contre, dans le cas de la dimension trois, cette dépendance semble perdue : elle est uni-

quement avec ceux du potentiel Coulombien. Cette situation s’explique en prenant les relations

2. en particulier, le cas à trois dimensions3. voir l’annexe B4. Kinetic Angular Momentum5. la région où le champ magnétique existe étant inaccessible à la pénétration



des commutations données par Chun [29] au lieu des relations habituelles.

Pour le cas des particules de spin-1, la fonction d’onde a été déterminée et il a été trouvé

que le spectre d’énergie dépend directement des paramètres du potentiel (AB). Pour le cas de

la dimension trois, la dépendance du spectre n’est pas explicite. Les règles de commutations

globales de Chun [29], nous permet d’envisager cette dépendance par rapport aux paramètres

du potentiel (AB).

Le cas combiné, c-a-d., le potentiel Coulombien en présence du potentiel (AB) n’est pas

considéré ici à cause de la situation confuse entre [25] et [47], pour le cas du potentiel Coulom-

bien : le spectre dans [47] est exacte contrairement dans [25] ou il a une forme approximative.


Chapitre 4

L’Oscillateur deDuffin-Kemmer-Petiau

Ce chapitre a fait l’objet d’une publication internationale dans : Physics. Letters A (2005).

Pour la compréhension physique de l’oscillateur de DKP , voir l’annexe D.

4.1 Construction du potentiel de l’oscillateur de DKP

L’équation de Kemmer est la suivante

(βµpµ −Mc) ΨK = 0, (4.1)

avec M est la masse totale des deux particules de spin-1/2.

Les matrices de Kemmer βµ (µ = 0, 1, 2, 3) sont des matrices 16× 16, satisfont à la relation

de Duffin

βµβνβλ + βλβνβµ = gµνβλ + gλνβµ, (4.2)

avec

βµ = γµ ⊗ I + I ⊗ γµ. (4.3)

Ici, I est une matrice d’identité 4× 4, γµ sont les matrices de Dirac, et ⊗ indique un produit

direct.

En présence du potentiel relatif à l’oscillateur de Dirac, l’opérateur −→p , dans l’équation de

Kemmer (4.1), est remplacé par−→p − iMωB−→r , où le terme additionnel est linéaire par rapport

à r.

46

Chapitre 4. L’Oscillateur de Duffin-Kemmer-Petiau

Ainsi, l’équation de Kemmer, pour une interaction de ce type d’oscillateur, est la suivante

[(γ0 ⊗ I + I ⊗ γ0

)E − c (γo ⊗−→α +−→α ⊗ γo) · (−→p − iMωB−→r )−Mc2γ0 ⊗ γ0

]ΨK = 0, (4.4)

avec ω est la fréquence d’oscillateur.

Dans ce travail, nous avons choisi l’opérateur B = γ0⊗γ0 (avecB2 = 1) au lieu de η0 utilisé

dans [25]. Cette forme de B nous est suggérée par le travail de Dvoeglazov [45].

Dans ce qui suit, nous nous concentrons sur les solutions de l’équation (4.4).

4.2 Les spectres d’énergies pour les particules de spin-1

L’état stationnaire ΨK de (4.4) est une fonction d’onde possédant 16 composante.

Il est le suivant

ΨK = ΨD ⊗ΨD =(ψ1 ψ2 ψ3 ψ4

)T, (4.5)

où ΨD est la solution de l’équation de Dirac.

Reportons ΨK de (4.5) dans (4.4), nous obtenons, alors quatre équations algébriques

(2E −Mc2

)ψ1 − c−→σ · (−→p + iMω−→r )ψ2 − c−→σ · (−→p + iMω−→r )ψ3 = 0, (4.6)

−c−→σ · (−→p − iMω−→r )ψ1 +Mc2ψ2 + c−→σ · (−→p − iMω−→r )ψ4 = 0, (4.7)

−c−→σ · (−→p − iMω−→r )ψ1 +Mc2ψ3 + c−→σ · (−→p − iMω−→r )ψ4 = 0, (4.8)

c−→σ · (−→p + iMω−→r )ψ2 + c−→σ · (−→p + iMω−→r )ψ3 −(2E +Mc2

)ψ4 = 0. (4.9)

D’après ces équations, nous avons

ψ2 = ψ3, ψ1 =2c−→σ · (−→p + iMω−→r )

2E −Mc2ψ2, ψ4 =

2c−→σ · (−→p + iMω−→r )

2E +Mc2ψ2. (4.10)

Éliminons ψ1, ψ3, ψ4 en faveur de ψ2,[−2c2−→σ . (−→p − iMω−→r )−→σ . (−→p + iMω−→r )

2E −Mc2+

2c2−→σ . (−→p − iMω−→r )−→σ . (−→p + iMω−→r )

2E +Mc2+Mc2

]ψ2 = 0.

(4.11)

En utilisant les relations bien connues

(−→σ · −→a )(−→σ · −→b ) = −→a ·

−→b + i−→σ ·

(−→a ×−→b ) , [−→r ,−→p ] = 3i~, (4.12)



le terme −→σ · (−→p − iMω−→r )−→σ · (−→p + iMω−→r ) devient

−→σ · (−→p − iMω−→r )−→σ · (−→p + iMω−→r ) = p2 +M2ω2r2 + 3Mω~ + 2Mω−→σ ·−→L , (4.13)

avec−→L = −→r ×−→p étant le moment angulaire orbital.

L’équation (4.12) peut être réécrite sous une autre forme :

−→σ · (−→p − iMω−→r )−→σ · (−→p + iMω−→r ) = p2 +M2ω2r2 + 3Mω~ +4Mω

~−→L · −→s , (4.14)

avec−→s = ~2−→σ est l’opérateur spin-1/2.

Donc, la fonction d’onde ψ2, vérifiée la relation suivante[c2(p2 +M2ω2r2 + 3Mω~ +

4Mω

~−→L .−→s

)−

(E2 −

(Mc2

2

)2)]

ψ2 = 0. (4.15)

Nous pouvons voir que le terme p2+M2ω2r2+3Mω~+ 4Mω~−→L ·−→s de l’équation (4.15) commute

avec le moment angulaire totale−→J =

−→L +

−→S , avec

−→S étant le spin total.

En coordonnées sphériques, la fonction d’onde ψ2 se décompose comme suit [31]

ψ2 (r, θ, ϕ) =∑υ

〈1lυ,m− υ | jm〉χ1υYl,m−υ (θ, ϕ)Fnl (r) ≡ Fnl (r)Yjlm (θ, ϕ) , (4.16)

dont

Yjlm (θ, ϕ) =∑υ

〈1lυ,m− υ | jm〉χ1υYl,m−υ (θ, ϕ) , (4.17)

où Yl,m−υsont les harmoniques sphériques et 〈1lυ,m− υ | jm〉 les coefficients de Clebesch-

Gordan (CG).

La fonction χ1υ est une fonction de spin pour les trois projections υ = 1, 0,−1, c.-à-d [31]

χ11 =

100

, χ10 =

010

, χ1−1 =

001

. (4.18)

Comme, l’opérateur 4−→L · −→s , avec

4−→L .−→s = J2 − L2 − S2, (4.19)

a pour valeur propre

~2 [j (j + 1)− l (l + 1)− 2] , ou S = 1, (4.20)



alors, en insérant (4.16) dans (4.15), et en faisant le changement suivant

Fnl (r) = Rnl (r) /r, (4.21)

nous donne l’équation d’ondes radiale suivante d2

dr2− M2ω2r2

~2− l (l + 1)

r2− 3Mω

~− Mω

~(j (j + 1)− l (l + 1)− 2) +

E2 −(Mc2

2

)2

~2c2

Rnl (r) = 0.

(4.22)

Cette équation s’écrit encore par{d2

dr2− M2ω2r2

~2− l (l + 1)

r2+

2M

~2ζ

}Rnl (r) = 0, (4.23)

avec

ζ =E2 −

(Mc2

2

)2

2Mc2− 3~ω

2− ~ω

2(j (j + 1)− l (l + 1)− 2) . (4.24)

Notons que l’équation (4.24) est semblable à l’équation de Schrödinger en présence d’un oscil-

lateur non-relativiste tridimensionnelle. Elle décrit le mouvement d’une particule de la masse

M dans un potentiel ou un puits d’un oscillateur sphérique φ (r) = Mω2r2/2 [31].

La fonction Rnl (r), et par conséquentFnl (r), est la fonction d’onde radiale de l’état quan-

tique tridimensionnel défini par le nombre radial de quantum n et par le nombre angulaire

orbital l.

Dans le but de résoudre l’équation (4.23), nous avons adopté les nouvelles variables sans

dimensions ξ et ε, défini par

ξ =r

a, ε =

ζ

~ω, (4.25)

dont a =√

~Mω a la dimension d’une longueur.

Alors, l’équation (4.23) se transforme à(d2

dξ2− ξ2 − l (l + 1)

ξ2+ 2ε

)R (ξ) = 0. (4.26)

Introduisons la nouvelle variable z = ξ2, et soit la fonction W (z), relié à R (ξ) par,

R (ξ) = e−z2 zκW (z) , (4.27)



Nous avons alors [zd2

dz2+

(2κ+

1

2− z)d

dz+ n

]W (z) = 0, (4.28)

avec les paramètres κ et n tels que

4κ

(κ− 1

2

)= l (l + 1) ,

ε

2− κ− 1

4= n. (4.29)

D’après l’équation (4.29), nous déduisons que

κ =1

2(l + 1) . (4.30)

La solution de l’équation (4.28) est donc

W (z) = λnorm1F1

(−n; 2κ+

1

2; z

), (4.31)

où 1F1

(−n; 2κ+ 1

2 ; z)est la fonction hypergéométrique.

A la limite où z → ∞, la fonction d’onde radiale R (ξ) tends vers zéro. Pour cela, W (z)

doit être une fonction convergeante. Cette condition n’est satisfaite que si n est un nombre

entier positif [31].

La fonction d’onde ψ2 correspondante est

(ψ2)njlm (r, θ, ϕ) =λnorm

ξe−

ξ2

2 ξl+11F1

(−n; l +

3

2; ξ2

)Yjlm (θ, ϕ) , (4.32)

avec λnorm est un facteur de normalisation.

La substitutions des équations (4.25), (4.29) et (4.30) dans (4.24 ), donnent les valeurs

propres suivantes Enj

E2nj − (m∗)

2c4

2m?c2= 2~ω

[2n+ l + 2 +

1

2(j (j + 1)− l (l + 1))

]. (4.33)

avec m? = M2 est la masse de la particule de spin-1/2.

Rappelons que la parité de la fonction d’onde sphérique Yjlm est égale à (−1)j si l = j et à

(−1)j+1 si l = j ± 1. Par conséquent, les équations (4.32) et (4.33) peuvent être découplées en

deux parties liés aux parités (−1)j et (−1)

j+1. Nous appelons (−1)j les solutions de natural-

parity states , et (−1)j+1 les solutions de unatural-parity states.



– Pour le cas de natural-parity states, les valeurs propres ENj sont

E2Nj − (m∗)

2c4

2m?c2= 2~ω (N + 2) , (4.34)

où N = 2n+ j est le nombre quantique principal.

On peut voir, d’après (4.34), que les niveaux de l’oscillateur sont équidistants et dégénérés.

La fonction d’onde associée est

(ΨK)njjm (r, θ, ϕ) =

2c−→σ ·(−→p +iMω−→r )

2E−Mc2

11

2c−→σ ·(−→p +iMω−→r )2E+Mc2

λnorm

ξe−

ξ2

2 ξj+1 ×1 F1

(−n; j +

3

2; ξ2

)Yjjm (θ, ϕ) .

(4.35)

Dans la limite classique, en utilisant la relation E = ε+m∗c2, et dans la limite non-relativiste

ε << m∗c2, l’équation (4.34) se transforme en

E2Nj − (m∗)

2c4

2m?c2∼= ε ' 2~ω (N + 2) (4.36)

– Pour la cas de unnatural-parity states, les niveaux d’énergies ENj sont

E2Nj − (m∗)

2c4

2m?c2= 2~ω (N − j + 2) if l = j + 1, (4.37)

E2Nj − (m∗)

2c4

2m?c2= 2~ω (N + j − 1) , if l = j − 1. (4.38)

D’après les équations (4.37) et (4.38), les niveaux de l’oscillateur, dans les deux cas, sont

équidistants. Pour une valeur donnée de N − j (N + j), nous notons clairement que tous

les énergies ont une dégénérescence infinie. Ces niveaux, pour un nombre défini N − j (N +

j), sont appelés la couche de l’oscillateur [25]. La fonction d’onde totale correspondante est

(ΨK)nj±1jm (r, θ, ϕ).

Considérons, maintenant, la limite non-relativiste. Alors, les équations (4.37) et (4.38), se

transforment à

E2Nj − (m∗)

2c4

2m?c2∼= ε ' 2~ω (N − j + 2) if l = j + 1, (4.39)

E2Nj − (m∗)

2c4

2m?c2∼= ε ' 2~ω (N + j − 1) , if l = j − 1. (4.40)

D’après ces deux équations, on peut voir que nos valeurs propres sont semblables à ceux d’un

oscillateur non-relativiste à trois dimensions.




Dans ce chapitre, nous avons résolu l’équation de Kemmer (ou de DKP), en présence de

l’oscillateur de Dirac, et en suivant la même démarche que celle utilisée par Moshinsky et

Szczepaniak [46] pour les particules de spin-1/2.

D’après les deux équations (4.37) et (4.38), notre spectre est semblable à celui de [46].

Dans la limite classique, ce spectre se réduit à celle d’un spectre d’un oscillateur harmonique

tridimensionnelles.

Ce potentiel a fait l’objet, par ailleurs, d’une étude faite par Nedjadi et Barrett [25]. Ces

auteurs ont déterminé, pour le cas des particules de spin-1, les états et le spectres de ces

particules. Ils ont, en particulier, trouvé, dans leurs spectre, un terme supplémentaire 4 (Eqs.

(37a) et (37b) dans [25]), qui n’a aucune interprétation physique évidente. Nos calculs ne font

pas apparaître ce terme.

Ce désaccord apparaît aussi dans d’autres travaux : Avec le potentiel Coulombien, l’analyse

décrite dans [25, 47], a, en effet, donné des résultats différents. A la différence de Nedjadi et

de Barrett [25], qui ont trouvé pour le spectre une forme approximative, Gönen et al [47] ont

montré que le spectre se détermine exactement.

En ce qui concerne la différence entre nos résultats et ceux obtenus dans [25], faisons trois

remarques .

Premièrement, la particule massive de spin-1, que nous considérons ici, constitue d’un sys-

tème de deux-particules de spin-1/2, au lieu d’une simple particule de spin-1. Donc, l’équation

de Kemmer est une équation de type de Dirac mais pour deux particules.

Deuxièmement, les matrices β, définies par βµ = γµ ⊗ I + I ⊗ γµ, satisfont aux règles de

commutation de Duffin. Elles sont dans leur représentation réductible, et chacune des trois re-

présentations inequivalentes de βµ est contenue juste une fois dans la représentation particulière

βµ.

Troisièmement, la fonction d’onde ΨK est supposée comme le produit de deux fonctions de

Dirac ΨD, et l’opérateur B est choisi comme le produit direct de deux opérateurs γ0, au lieu

η0 utilisé dans [25].



Selon ces arguments, et bien que nous ayons commencé par la même équation, nous obtenons

des résultats qui sont différents de ceux de [25].

Citons aussi d’autres études effectuées pour le cas de cet oscillateur, mais en utilisant un

autre formalisme :

Moshinsky et del Sol Mesa [48] ont trouvé, pour des particules de spin-1, une équation

séculaire du sixième ordre par rapport à l’énergie. Les solutions de leur équation algébrique

donnent un spectre assez compliqué.

D’autre part, Dvoeglazov [45] donne, pour ce type de particules, un spectre non quanti-

fié. La comparaison de nos résultats avec ceux de [45, 48] semble difficile. Malheureusement,

et dans notre meilleurs connaissances, nous ne disposons pas, pour le moment, de données

expérimentales pour pouvoir comparer se déterminer.

Récemment, Kulikov et al [49], ont publiés une méthode alternative concernant l’oscillateur

de DKP. Ces auteurs utilisent la même équation de démarrage que celle dans [25], mais en

prenant, lors de la substitution dans le moment ~p, l’opérateur −→p − imωK−→r au lieu de −→p −

imωη0−→r . La forme de K est choisie comme suit :

K = b1η0 + b2η5, (4.41)

dont

η0 = 2(β0)2 − 1, (4.42)

η5 = −(

2(β0)2 − 1

)(2(β1)2

+ 1)(

2(β2)2

+ 1)(

2(β3)2

+ 1). (4.43)

Leurs études donnent un spectre exacte, simple et non compliqué, contrairement dans [25].


Chapitre 5

L’équation deDuffin-Kemmer-Petiau et leparadoxe de Klein

Dans ce chapitre nous discutons le paradoxe de Klein bien connue dans l’équation de Dirac

(voir l’annexe E).

5.1 Équation DKP

L’équation libre de DKP est

(iβµ∂µ −m) Ψ = 0. (5.1)

En présence d’une interaction U , elle devient

(iβµ∂µ −m− U) Ψ = 0. (5.2)

La forme générale de l’opérateur U contient deux scalaires, deux vecteurs et deux tenseurs.

Comme dans le cas de l’équation de Dirac [50, 51], la forme la plus générale du terme U

est [10,11]

U (r) = S (r) + PSp (r) + βµVµ (r) + βµPVpµ (r) , (5.3)

où P est un projecteur. Suivant la valeur de spin, cet opérateur a la forme suivante :

– si la particule est de spin-0, cet opérateur est P =diag(

1 1 0 0 0)[10].

– par contre, si le spin est égale à 1, P = diag(

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0)[11].

54

Chapitre 5. L’équation de Duffin-Kemmer-Petiau et le paradoxe de Klein

Dans une forme dépendant du temps, l’équation (5.2) s’écrit par

(β0E + i

−→β ·−→∇ −m− U

)Ψ = 0. (5.4)

Si U possède une symétrie sphérique, il s’écrira, alors, dans une autre façon par [10]

U (r) = S (r) + PSp (r) + β0V 0 (r)−−→β · −→r V r (r) + β0PV 0

p (r)−−→β · −→r PV rp (r) . (5.5)

Effectuons, maintenant, le changement suivant [10] :

Ψ = exp

−i ∞∫r

[V r (r′) + PV rp (r′)

]dr′

ψ. (5.6)

Cette transformation sert à faire disparaître la partie spatiale de (5.5).

En Insérant les équations (5.5) et (5.6) dans (5.4), nous obtenons une autre équation d’onde

par rapport à la nouvelle fonction d’onde ψ comme suit :

[β0(E − V (r)− PV 0

p (r))

+ i−→β ·−→∇ − (m+ S (r) + PSp (r))

]ψ = 0. (5.7)

Comme résultat de (5.7), le terme d’interaction U à considérer est

U (r) = S (r) + PSp (r) + β0V (r) + β0PV 0p (r) . (5.8)

Notons que, d’après (5.7), la fonction d’onde ψ de (5.7) ne diffère de la fonction d’onde Ψ de

(5.4) que par un facteur de phase, et par conséquence le comportement physique est le même

pour les deux fonctions d’ondes.

Notre but principal, dans ce qui suit, est de résoudre l’équation (5.7), en présence d’un

potentiel pseudo-vecteur de type saut (step potential).

Avant de continuer notre étude, discutons brièvement les travaux de [17,18] sur les solutions

de l’équation de DKP dans un potentiel vecteur de type saut : Ghose (2003) [18] et Chetouani

[17], en comparant leurs équations avec l’équation (5.7), n’ont considéré que le terme β0V .

Ces travaux ont donné des résultats différents : dans [18], le paradoxe de Klein est absent, par

contre, il persiste toujours dans [17].

Dans notre cas, nous nous sommes concentré sur le deuxième terme β0PV 0p .



La forme du potentiel V 0p est la suivante

V 0p (x) = V0θ(x). (5.9)

où θ(x) est la fonction de Heaviside. Notons que, pour ce potentiel, l’équation de DKP, avec les

conditions aux limites habituelles, à savoir la continuité de la fonction d’onde, ainsi que de sa

dérivée ψ (0+) = ψ (0−) et ψ′ (0+) = ψ′ (0−), conduit à une solution triviale et non physique

ψ = 0. La même situation est trouvée dans [17].

Pour trouver les bonnes conditions aux limites considérons le potentiel ayant la forme

suivante

V 0p (x) =

V0

2

(1 + tanh

(x

2ρ

)), (5.10)

où V0 et ρ sont des paramètres positifs. A la limite où ρ→ 0, on obtient

limρ→0

Vp (x)→ V0(x). (5.11)

Le choix de ce potentiel, forme une bonne approximation pour le cas du potentiel pseudo-

vecteur. Sa valeur croît de 0 pour x = −∞ à V0 pour x = +∞, et son principal domaine se

réduit à l’intervalle −2ρ < x < 2ρ, ou, V 0p (−2ρ) = 0.1192V0 et V 0

p (2ρ) = 0.8807V0. Ce type

de choix est utilisé, aussi, par [17,52].

Résolvons l’équation (5.7) en présence du potentiel pseudo-vecteur ayant une forme définie

par (5.10).

Pour cela, dans le cas unidimensionnelle, et en se limitant au terme β0PV 0p , l’équation

(5.7) se réduit à (β0(E − PV 0

p (x))

+ iβ1 · ∂∂x−m

)ψ (x, t) = 0. (5.12)

Le potentiel étant indépendant du temps, considérons alors les états stationnaires. Choisissons,

alors, pour ψ (x, t), la forme suivante e−iEtφ (x), où φ est solution de l’équation suivante(β0(E − PV 0

p (x))

+ iβ1 · ddx−m

)φ (x) = 0. (5.13)

Dans ce qui suit, nous intéressons aux solutions de cette équation afin de trouver les coefficients

de réflexion et de transmission R et T , de discuter la possibilité de l’existence de paradoxe de

Klein dans les bosons.



5.2 Solutions de l’équation de DKP

5.2.1 spin-1

Démarrons de l’équation suivante(β0 (E − PVp(x)) + iβ1 · d

dx−m

)φ (x) = 0. (5.14)

D’après Kozak et al [11], les matrices 10× 10 satisfont à l’algèbre définie par (2.2).

Elles sont les suivantes

βµ =

(0 aµ

bµ 0

), (5.15)

avec aµ des matrices 4× 6, et bµ des matrices 6× 4.

Les matrices aµ sont

a0 =

0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

, a1 =

1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 −10 0 0 0 1 0

, (5.16)

a2 =

0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 0

, a3 =

0 0 1 0 0 00 0 0 0 −1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0

, (5.17)

par contre les matrices bµ sont reliées à aµ par

bµ = gµµaTµ . (5.18)

La fonction d’onde φ (x) a dix composantes

φ =(φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 φ7 φ8 φ9 φ10

)T (5.19)

Dans notre cas, seul les matrices β0 et β1 interviennent. Il est facile de voir que trois compo-

santes φ3, φ4et φ5 sont seulement indépendantes, et satisfont aux équations suivantes(d2

dx2+ E (E − Vp)−m2

)Θ = 0, (5.20)

avec

ΘT =(φ3 φ4 φ5

). (5.21)



Les autres composantes sont

φ1 =i

m∂xφ3, φ2 =

E

mφ3, φ6 =

E − Vpm

φ3, φ7 =E − Vpm

φ3, φ8 = 0,

φ9 = − i

m∂xφ3, φ10 = − i

m∂xφ3 (5.22)

D’après (5.20), résolvons l’équation relative à φ3.(d2

dx2+ E (E − V )−m2

)φ3 = 0 (5.23)

Les composantes φ4 et φ5, admettent les mêmes solutions que φ3.

Faisons le changement de variable suivant

y =1

2

(1− tanh

(x

2ρ

)), (5.24)

avec x ∈ [0,∞]→ y ∈ [0, 1].

Suivant (5.24), la fonction d’onde φ3 vérifié

y2 (1− y)2 ∂

2φ3

∂y2+ y (1− y) (1− 2y)

∂φ3

∂y+ ρ2

{E [(E − V0 (1− y))]−m2

}φ3 = 0.

La solution de cette équation est de type hypergémétrique. Elle s’écrit comme suit

φ3 (x) = yλ (1− y)κ

2F1 (κ+ λ, λ+ κ+ 1; 1 + 2λ; y) , (5.25)

dont

κ2 = ρ2(m2 − E2

), (5.26)

λ2 = ρ2(m2 − E (E − V0)

). (5.27)

Les solutions pour φ4 (x) et φ5 (x), sont(φ4

φ5

)=

(11

)yλ (1− y)

κ2F1 (κ+ λ, λ+ κ+ 1; 1 + 2λ; y) . (5.28)

Pour les autres composantes, nous avons

φ2 =E

myλ (1− y)

κ2F1 (κ+ λ, λ+ κ+ 1; 1 + 2λ; y) , (5.29)

(φ6

φ7

)=

(E−V0(1−y)

mE−V0(1−y)

m

)yλ (1− y)

κ2F1 (κ+ λ, λ+ κ+ 1; 1 + 2λ; y) , (5.30)



φ1

φ9

φ10

=

i((κ+λ)y−λ)

mρ

− i((κ+λ)y−λ)mρ

− i((κ+λ)y−λ)mρ

yλ (1− y)κ

2F1 (κ+ λ, λ+ κ+ 1; 1 + 2λ; y) + (5.31)

i(κ+λ)(λ+κ+1)

(1+2λ)mρ

− i(κ+λ)(λ+κ+1)(1+2λ)mρ

− i(κ+λ)(λ+κ+1)(1+2λ)mρ

y (1− y) yλ (y − 1)κ

2F1 ((κ+ λ) + 1, (λ+ κ+ 1) + 1; (1 + 2λ) + 1; y) ,

(5.32)

φ8 = 0. (5.33)

Ici, nous avons utilisés la propriété connue des fonctions hypergéométriques

d2F1 (a, b; c; y)

dy=ab

c2F1 (a+ 1, b+ 1; c+ 1; y) . (5.34)

Pour déterminer les coefficients de réflexion R et de transmission T , relativement au potentiel

(5.10), étudions, d’abord le comportement asymptotique à x→ ±∞ de la fonction d’onde.

Lorsque x→ +∞( y → 0), et d’après les équations (5.25), (5.28) jusqu’à (5.33), la fonction

d’onde transmise (x > 0) est

φtr (x) = e−λxρ

(− iλmρ

Em 1 1 1 E−V0

mE−V0

m 0 iλmρ

iλmρ

)T, (5.35)

où les limites

limy→0

yλ = e−λxρ , lim

y→0(1− y)

κ= 1, lim

y→02F1 (a, b; c; y) = 1, (5.36)

ont été utilisées.

Pour x→ −∞(y → 1), utilisons encore la propriété connue des fonctions hypergéométriques

[17]

2F1 (a, b; c; y) = A2F1 (a, b; a+ b− c+ 1; 1− y)+B(1−y)c−a−b2F1 (c− a, c− b; c− a− b+ 1; 1− y) ,

(5.37)

où A et B sont des constantes définies par

A =Γ (c) Γ (c− a− b)Γ (c− a) Γ (c− b)

, (5.38)

B =Γ (c) Γ (a+ b− c)

Γ (a) Γ (b). (5.39)



Alors φ3

φ4

φ5

=

Aeκxρ +Be−

κxρ

Aeκxρ +Be−

κxρ

Aeκxρ +Be−

κxρ

, (5.40)

φ2 =E

m

(Ae

κxρ +Be−

κxρ

), (5.41)(

φ6

φ7

)=E

m

(Ae

κxρ +Be−

κxρ

Aeκxρ +Be−

κxρ

), (5.42)

φ1

φ9

φ10

=iκ

mr

Be−κxρ −Ae

κxρ

Aeκxρ −Be−

κxρ

Aeκxρ −Be−

κxρ

, (5.43)

φ8 = 0. (5.44)

Nous avons, aussi, utilisé les limites suivantes

limy→1

yλ = 1, limy→1

(1− y)κ

= eκxρ , lim

y→1(1− y)

−κ= e

−κxρ , lim

y→02F1 (a, b; c; 1− y) = 1. (5.45)

Avec (5.40) jusqu’à (5.44), nous pouvons séparer φ (x) en deux fonctions d’onde : une incidente

φinc (x) et une autre réfléchie φref (x).

Donc,

φref (x) = Aeκxρ

(− iκmρ

Em 1 1 1 E

mEm 0 iκ

mρiκmρ

)T, (5.46)

φinc (x) = Be−κxρ

(iκmρ

Em 1 1 1 E

mEm 0 − iκ

mρ − iκmρ

)T. (5.47)

Il est facile maintenant de déterminer les coefficients de réflexion et de transmission.

En effet, en utilisant la définition du quadrivecteur densité-courant, le coefficient de réflexion

R et le coefficient de transmission T sont respectivement

R =

∣∣∣∣JrefJinc

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣Γ (λ+ κ) Γ (λ+ κ+ 1)

Γ (λ− κ+ 1) Γ (λ− κ)

∣∣∣∣2 , (5.48)

T =

∣∣∣∣ JtrJinc

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣λκ∣∣∣∣ ∣∣∣e− xρ (λ∗+λ)

∣∣∣ ∣∣∣∣ 1

B

∣∣∣∣2 =

∣∣∣∣λκ∣∣∣∣ ∣∣∣e− xρ (λ∗+λ)

∣∣∣ ∣∣∣∣Γ (λ+ κ+ 1) Γ (λ+ κ)

Γ (1 + 2λ) Γ (2κ)

∣∣∣∣2 , (5.49)

où

Jinc =2iκ

mρ|B|2 , Jref =

2iκ

mr|A|2 et Jtr =

2iλ

mρ. (5.50)



Passons, maintenant, au potentiel de type saut (step). Pour cela faisons tendre ρ→ 0 dans les

calculs précédents.

Alors, nous avons

limρ→0

y (x > 0) = 0, (5.51)

limρ→0

y (x < 0) = 1. (5.52)

Comme conséquence, nous aurons :

pour le cas x < 0 φ3

φ4

φ5

=

111

Aeκxρ +Be−

κxρ , (5.53)

φ2 =E

m

(Ae

κxρ +Be−

κxρ

), (5.54)(

φ6

φ7

)=E

m

(Ae

κxρ +Be−

κxρ

Aeκxρ +Be−

κxρ

), (5.55)

φ1

φ9

φ10

=iκ

mr

Aeκxρ −Be−

κxρ

−Aeκxρ +Be−

κxρ

−Aeκxρ +Be−

κxρ

, (5.56)

φ8 = 0, (5.57)

par contre, pour le cas x > 0, nous obtenons φ3

φ4

φ5

= e−λxρ

111

, (5.58)

φ2 =E

me−

λxρ , (5.59)(

φ6

φ7

)=

(E−V0

mE−V0

m

)e−

λxr , (5.60)

φ1

φ9

φ10

=

−iλmρiλmρiλmρ

e−λxρ , (5.61)

φ8 = 0, (5.62)

avec

λ = −iρk, (5.63)

κ = −iρk1. (5.64)



D’après (5.26), (5.27 ), (5.63) et (5.64), nous avons

k21 = E2 −m2, (5.65)

k22 = E (E − V0)−m2. (5.66)

Le vecteur d’onde k2 peut, aussi, se réécrit sous la même suivante [50,51] :

k22 = (E − V ′)2 − (m∗)

2 (5.67)

où

m∗ =

√m2 + (V ′)

2, avecV ′ =

V0

2(5.68)

est une masse effective.

Nous avons finalement les fonctions d’onde pour le potentiel pseudo-vecteur comme suit :

– la fonction d’onde transmise (x > 0)

φtr (x) = eik2x(−k2m

Em 1 1 1 E−V0

mE−V0

m 0 k2m

k2m

)T, (5.69)

– le fonction d’onde incidente (x < 0)

φinc (x) = Beik1x(−k1m

Em 1 1 1 E

mEm 0 k1

mk1m

)T, (5.70)

– et, enfin, la fonction d’onde réfléchie(x < 0)

φref (x) = Ae−ik1x(

k1m

Em 1 1 1 E

mEm 0 −k1m −k1m

)T. (5.71)

Notons que, dans le cas x < 0, le spineur φ décrit une fonction d’onde incidente se déplaçant

vers la droite (k1est un nombre réel), et une fonction d’onde réfléchie se déplaçant vers la

gauche.

De l’autre côté, pour x > 0, le spineur φ décrit alors une fonction d’onde transmise se

déplaçant vers la droite si k2 est un nombre réel, par contre, si k2 n’est pas réel, la fonction

d’onde décroît d’une manière exponentielle.

Les coefficients de réflexion et de transmission peuvent être alors facilement déterminés.

Ils sont les suivants



R =


∣∣∣∣ =

∣∣∣∣AB∣∣∣∣2 =

∣∣∣∣k1 − k2

k1 + k2

∣∣∣∣2 , (5.72)

T =


∣∣∣∣ =k2

k1

∣∣∣∣ 1

B

∣∣∣∣2 =4k1k2

(k1 + k2)2 , (5.73)

avec

Jinc = −2k1

m|B|2 , Jref =

−2k1

m|A|2 et Jtr =

−2k2

m. (5.74)

Les expressions de R et T ont été obtenues en utilisant les relations suivantes [17]

limρ→0

A =k1 − k2

2k1, limρ→0

B =k1 + k2

2k1. (5.75)

5.2.2 spin-0

La fonction d’onde φ a cinq composantes

φ =(φ1 φ2 φ3 φ4 φ5

)T, (5.76)

où φ1 vérifié (d2

dx2+ (E − V0 (1− y))

2 −m2

)φ1 = 0. (5.77)

Les matrices β0 et β1 utilisées sont ceux de [25].

Les autres composantes se déduisent facilement. Ils sont comme suit :

φ2 =E − V0 (1− y)

mφ1, φ3 =

i

m∂xφ1, φ4 = φ5 = 0 (5.78)

Comme φ1 a pour solution

φ1 (x) = yµ (1− y)ν

2F1

(µ+ ν +

1

2− υ0

2, µ+ ν +

1

2+υ0

2; 1 + 2ν; y

), (5.79)

alors, suivant une écriture compacte, on a que φ1

φ2

φ3

=

[1

2

(1− tanh

(x

2ρ

))]ν [1

2

(1 + tanh

(x

2ρ

))]µ(5.80)

[2F1

(α, β; γ;

1

2

(1− tanh

(x

2ρ

)))K (x) +2 F1

(α+ 1, β + 1; γ + 1;

1

2

(1− tanh

(x

2ρ

)))L (x)

](5.81)



φ4 = φ5 = 0, (5.82)

avec

K (x) =

1

E−V02 (1+tanh( x2ρ ))

m−i(ν−µ+ν2 (1−tanh( x

2ρ )))mρ

,L (x) =

00

−iβ(1−tanh( x2ρ ))(1+tanh( x

2ρ ))mργ

, (5.83)

et

µ2 = ρ2(m2 − E2

), (5.84)

ν2 = ρ2(m2 − (E − V0)

2), (5.85)

υ20 = (1− 2ρV0) (1 + 2ρV0) (5.86)

Étudions, maintenant, le comportement asymptotique ±∞ de la fonction d’onde .

Pour x→ +∞( y → 0), la fonction d’onde transmise est

φtr (x) = e−νxρ

(1 E−v0

m−iνmρ 0 0

)T, (5.87)

où les limites suivantes ont été utilisées

limy→0

yν = e−νxρ , lim

y→0(1− y)

µ= 1, lim

y→02F1 (a, b; c; y) = 1. (5.88)

Pour x→ −∞(y → 1), nous avons les fonctions d’ondes suivante comme suit :

– la fonction d’onde incidente

φinc (x) = Be−µxρ

(1 E

m−iµmρ 0 0

)T, (5.89)

– la fonction d’onde réfléchie

φref (x) = Aeµxρ

(1 E

m−iµmρ 0 0

)T, (5.90)

Aussi, nous avons utilisé les limites

limy→1

yν = 1, limy→1

(1− y)µ

= eµxρ , lim

y→1(1− y)

−µ= e

−µxρ , (5.91)

et la relation bien connue

2F1 (a, b; c; y) = A2F1 (a, b; a+ b− c+ 1; 1− y)+B(1−y)c−a−b2F1 (c− a, c− b; c− a− b+ 1; 1− y)

(5.92)



où

A =Γ (c) Γ (c− a− b)Γ (c− a) Γ (c− b)

, (5.93)

B =Γ (c) Γ (a+ b− c)

Γ (a) Γ (b), (5.94)

sont deux constantes.

Les coefficients de réflexion R et de transmission T sont respectivement

R =


∣∣∣∣ =

∣∣∣∣AB∣∣∣∣2 =

∣∣∣∣∣Γ(ν + µ+ υ0

2 + 12

)Γ(ν + µ− υ0

2 + 12

)Γ(ν − µ+ υ0

2 + 12

)Γ(ν − µ− υ0

2 + 12

) ∣∣∣∣∣2

(5.95)

T =

∣∣∣∣JtransJinc

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣νµ∣∣∣∣ ∣∣∣e− xρ (ν∗+ν)

∣∣∣ ∣∣∣∣ 1

B

∣∣∣∣2 =

∣∣∣∣νµ∣∣∣∣ ∣∣∣e− xρ (ν∗+ν)

∣∣∣ ∣∣∣∣∣Γ(ν + µ+ υ0

2 + 12

)Γ(ν + µ− υ0

2 + 12

)Γ (1 + 2ν) Γ (2µ)

∣∣∣∣∣2

(5.96)

où nous avons d’abord déterminé les courants

Jinc =2iµ

mre−

xρ (µ∗+µ) |B|2 , Jref =

2iµ

mre−

xρ (µ∗+µ) |A|2 et Jtr =

2iν

mρe−

xρ (ν∗+ν). (5.97)

A la limite ρ→ 0, comme dans le cas du spin-1, nous avons

– pour x > 0,

φtr (x) = eik2x(

1 E−V0

m−k2m 0 0

)T(5.98)

– et pour x < 0,

φinc (x) = Beik1x(

1 Em

−k1m 0 0

)T, (5.99)

φref (x) = Ae−ik1x(

1 Em

k1m 0 0

)T, (5.100)

dont

ν = −iρk2, (5.101)

µ = −iρk1 (5.102)

D’après (5.84 ), (5.85 ), (5.101) et (5.102), on a

k21 = E2 −m2 (5.103)

k22 = (E − V0)

2 −m2. (5.104)



Dans le cas limite, les coefficients de réflexion R et de transmission T sont finalement

R =


∣∣∣∣ =

∣∣∣∣AB∣∣∣∣2 =

∣∣∣∣k1 − k2

k1 + k2

∣∣∣∣2 , (5.105)

T =


∣∣∣∣ =k2

k1

∣∣∣∣ 1

B

∣∣∣∣2 =4k1k2

(k1 + k2)2 . (5.106)


Dans ce chapitre, nous avons déterminé les coefficients de réflexion et de transmission

pour l’équation de DKP en présence d’un potentiel pseudo-vecteur de type saut (step) afin de

discuter l’existence du paradoxe de Klein.

Les résultats trouvés, pour les cas de spin 0 et 1, sont les suivants

– Spin-1 :

D’après (5.65), k1 est toujours réel. Par contre, d’après (5.67), k2 est réel si E < V ′ −m∗ ou

E > V ′ +m∗, et il est imaginaire, si V ′ −m∗ < E < V +m∗. Donc, nous obtenons

pour le cas de la bande des énergies, E < V ′−m∗ou E > V ′+m∗, k2 étant réel, nous avons

donc

R+ T = 1 (5.107)

D’après (5.65) et (5.66), nous pouvons voir que k2 < k1. Alors, R est inférieur à 1 (R < 1), et

par conséquent le paradoxe de Klein est absent.

pour le cas de la bande des énergies V ′ −m∗ < E < V ′ + m∗, k2 est imaginaire, avec k1

toujours réel, nous avons

R = 1, T = 0 et T +R = 1 (5.108)

D’après (5.108), il y a, ici, une réflexion totale.

– Spin-0 :

Suivant (5.103), k1 est réel. Par contre d’après (5.104), k2 est réel si V0 < E−m ou V0 > E+m,

et il est imaginaire, si E −m < V0 < E + m. Nous pouvons voir suivant V0, que k2 est, soit

réel, soit imaginaire .

Nous distinguons trois régions :



1. région où le potentiel est faible V0 < E −m,

2. région où le potentiel est tel que E −m < V0 < E +m ,

3. et la région où le potentiel est intense V0 > E −m.

Dans la région où le potentiel est intense, l’énergie cinétique E − V0 est négative : ce qui du

point de vue classique n’est pas acceptable. Comme la vitesse du groupe est égale à k2/E−V0,

elle est donc dirigée dans le sens inverse de k2, si k2 > 0. Nous devons, alors, choisir k2 < 0

afin que la vitesse de groupe soit positive.

Étudions les différents cas d’intensité du potentiel :

1. cas de la région où le potentiel est faible,V0 < E−m, (k2 est réel et positif), nous obtenons

R+ T = 1 (5.109)

D’après (5.103) et (5.104), nous avons k2 < k1. Le coefficient R est inférieur à 1 : dans

ce cas il n’y a pas de paradoxe de Klein.

2. cas de la région où le potentiel est tel que, E − m < V0 < E + m, (k1est réel, k2 est

imaginaire). Nous avons

R = 1, T = 0 et T +R = 1 (5.110)

Nous avons une réflexion totale.

3. cas de la région où le potentiel est intense V0 > E−m, (k2 est réel mais de signe négatif).

Dans ce cas nous voyons à partir de

R =

∣∣∣∣k1 + k2

k1 − k2

∣∣∣∣2 , (5.111)

T =4k1k2

(k1 − k2)2 . (5.112)

que

T < 0, R > 1, R+ T = 1 (5.113)

Donc, suivant (5.111) et (5.112), nous constatons que : le coefficient de réflexion dépasse la

valeur limite qui est l’unité, et que le coefficient de transmission est négatif. Nous reconnaissons

encore le paradoxe de Klein. De la même manière que dans les équation de Klein Gordon et



de Dirac nous pouvons encore réinterpréter le paradoxe en faisant intervenir des paires de

particules et antiparticules.

Les antiparticules attirés par le potentiel créent un courant de charge négatif se déplaçant

vers la droite. Il vont alors donner un coefficient de transmission négatif.

Les particules, par contre, sont réfléchies par la barrière du potentiel, qui, ajoutées avec

celles incidentes, vont contribuer pour donner un courant plus grand que celui incident. Ce qui

explique ainsi le R > 1.

Finalement, en étudiant l’équation de DKP, en présence d’un potentiel pseudo-vecteur de

type saut (step), nous avons montré

1. que le paradoxe de Klein est absent dans le cas des particules de spin-1,

2. par contre, il persiste toujours pour le cas des particules de spin-0.


Chapitre 6

Conclusion

Dans ce travail, nous avons étudié le mouvement des particules de spin 0 et 1 décrit par

l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP), qui est une équation d’onde de premier ordre,

covariante et semblable à celle de Dirac.

Nous pouvons voir dans cette thèse que notre travail a consisté essentiellement à trouver des

solutions pour l’équation de DKP pour des particules en mouvement sous l’action de certaines

interactions. A cause d’une certaine équivalence avec celle de (KG), cette équation n’a pas

suscité d’intérêt qu’elle méritait vu le peu de travaux qui lui ont été consacrée par comparaison

à celle de Dirac. A notre connaissance, ce sont Nedjadi et al [25, 26], les premiers qui se sont

intéressés à trouver des solutions pour cette équation de DKP avec le potentiel de Coulomb

ainsi qu’avec l’oscillateur de Dirac.

Dans notre cas, nous avons déterminé les solutions de cette équation pour des particules

soumises à l’action des potentiels suivants

– celui du potentiel d’Aharonov-Bohm,

– celui de l’oscillateur de Dirac,

– et enfin un potentiel pseudo-vecteur de type saut (step potential).

Ce type d’interaction, dans cette thèse, a été choisi d’abord pour la simplicité de leurs formes,

et pour l’importance qu’elles ont plus particulièrement en physique nucléaire, et enfin pour

le fait que les équations de (KG) et de Dirac admettent des solutions analytiques et de plus

exactes.

69

Chapitre 6. Conclusion

Résumons ce qui a été obtenu dans cette thèse :

Pour le potentiel d’Aharonov-Bohm, dont l’effet est connu tant du point de vue théorique

qu’expérimental, et dans le cas du spin-0, nous avons trouvé que le spectre d’énergie dépend

de ses paramètres du potentiel de manière assez compliquée lorsque l’espace est de dimensions

trois.

Dans le cas où l’espace est à deux dimensions, les paramètres du potentiel apparaissent

directement dans l’expression de l’énergie .

Les fonctions d’onde obtenues sont exactes pour les deux cas, et le spectre d’énergie a été

en outre obtenu exactement.

Pour le cas combiné, c’est à dire, le potentiel de Coulomb plus le potentiel (AB), et pour

des particules de spin-0 se déplaçant dans un espace à deux dimensions, le spectre d’énergie

est aussi exact et la dépendance avec les paramètres des deux potentiels est claire.

Par contre, dans le cas où l’espace est à trois dimensions, cette dépendance est évidente

lorsque les règles de commutations globalisées de Chun sont utilisées.

Pour les particules de spin-1, nous obtenons des résultats similaires 1.

Concernant l’oscillateur de Dirac, nous avons supposé, ici, que la particule est formée à

partir de deux particules de spin-1/2. Le spectre d’énergies obtenu est exact et il a été trouvé

qu’il a une certaine ressemblance avec celui relatif aux particules de spin-1/2. Le cas non-

relativiste a été aussi étudié.

Enfin le potentiel pseudo-vecteur de type saut a été considéré : nous avons déterminé les

solutions de l’équation de DKP pour ce type de potentiel en passant par un autre plus lisse

(smooth potential) afin d’éviter le problème de raccordement. Les coefficient de transmission

et de réflexion ont été ainsi obtenus et ont permis de montrer qu’il n’y a pas de paradoxe pour

des particules de spin-1, contrairement au cas des particules de spin 0.

Pour conclure, nous envisageons de poursuivre nos travaux sur l’équation de DKP en consi-

dérant d’autres formes de potentiels tout en essayant de trouver d’autres méthodes de résolu-

tion.

1. le cas combiné, pour les particules de spin-1, n’est pas traité, due à la situation confuse entre les deuxétudes [25,47].


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Annexe A

Conventions et notations

Dans la littérature, on trouve deux notations, concernant le calcul tensorielle :

1. la première est celle utilisée par Kemmer, Pauli et Sakurai, et qui est comme suit :

{γµ, γν} = 2δµν , (A.1)

avec

µ, ν = 1, . . . 4, γ†µ = γµ; (A.2)

γ5 = γ1γ2γ3γ4 =1

4!εµνλσγµγνγλγσ; (A.3)

{γ5, γµ} = 0, (A.4)

et

µ = 1, . . . 4, γ†5 = γ5, γ25 = 1; (A.5)

a · b = −→a ·−→b + a4b4 = −→a ·

−→b − a0b0, aµ = (−→a , a4) = (−→a , ia0) ; (A.6)

γk = −iβαk =

(0 −iσkiσk 0

), (k = 1, 2, 3) , (A.7)

γ4 = β =

(1 00 −1

), γ5 = −

(0 11 0

), (A.8)

σµν =1

2i[γµ, γν ] = −iγµγν (µ 6= ν) , (A.9)

σij = −γ5αk =

(σk 00 σk

)(ijk cyclique) , (A.10)

75

Chapitre A. Conventions et notations

σk4 = −σ4k = −γ5σij = αk =

(0 σkσk 0

), (ijk cyclique) , (A.11)

iγ5γk =

(σk 00 −σk

), iγ5γ4 = i

(0 1−1 0

). (A.12)

pour une particule relativiste libre, l’équation de Dirac est(γµ

∂

∂xµ+mc

~

)ψ = 0. (A.13)

2. Par contre, la deuxième notation est utilisée par Messiah [53], Bjorken [54] et Dirac [55] :

elle est comme suit :

{γµ, γν} = 2gµν , µ, ν = 0, 1, 2, 3; (A.14)

gµν = gµν , g00 = 1, gkk = −1, gµν = 0 if µ 6= ν ; (A.15)

γ0† = γ0, γk† = −γk; (A.16)

a · b = aµbµ = a0b0 −−→a ·−→b , aµ = (a0,

−→a ) , (A.17)

aµ = gµνaν = (a0,−−→a ) ; (A.18)

γ0 = β =

(1 00 −1

), γk = βαk =

(0 σk−σk 0

). (A.19)

pour une particule relativiste libre, l’équation de Dirac est(−iγµ ∂

∂xµ+mc

~

)ψ = 0. (A.20)


Annexe B

L’effet du potentield’Aharonov-Bohm

En 1959, Aharonov et Bohm ont analysé le rôle joué par les potentiels vectoriel et scalaire

en mécanique quantique.

Dans cette annexe, nous présentons cet effet qui a été considéré dans l’équation de DKP.

Rappelons les équations de Maxwell,

−→∇ ×

−→B = ∂t

−→E , (B.1)

−→∇ ×

−→E = −∂t

−→B, (B.2)

−→∇ ·−→B = 0, (B.3)

−→∇ ·−→E = 0. (B.4)

Avec les deux potentiels, vecteur−→A (−→r , t), et scalaire φ (−→r , t), nous pouvons tirer le champ

magnétique par−→B =

−→∇ ×

−→A, (B.5)

et le champ électrique par−→E = −

−→∇φ− 1

c∂t−→A. (B.6)

Nous pouvons voir qu’avec la transformation de gauge sur−→A (−→r , t) et φ (−→r , t), donne

−→A −→

−→A′ =

−→A +

−→∇Λ, (B.7)

77

Chapitre B. L’effet du potentiel d’Aharonov-Bohm

φ −→ φ′ = φ− 1

c∂tΛ, (B.8)

les champs−→E et

−→B , restent inchangés, et par conséquent, la jauge Λ (−→r , t), physiquement, n’a

aucune influence.

Considérons le cas où Λ (−→r , t) = Λ (−→r ), et−→E =

−→B = 0.

Par une transformation de gauge, telle que

−→A′ =

−→∇Λ, (B.9)

φ′ = φ = 0. (B.10)

nous pouvons annuler les deux potentiels−→A et φ.Ainsi, lorsque il n’y a pas de champ , un

potentiel vecteur−→A′existe toujours.

Plaçons dans le cas non relativiste . L’hamiltonien d’un système quantique H, est [33]

H =1

2m

(~i

−→∇ − e

c

−→A

)2

+ eφ. (B.11)

L’équation de Schrödinger est la suivante

1

2m

(~i

−→∇ − e

c

−→A

)2

ψ + V ψ = Eψ, (B.12)

avec V = eφ. Nous supposons que−→A et V sont indépendants du temps.

Dans la région libre (−→B = 0), la solution, où

−→A (−→r ) 6= 0, est la suivante

ψ (−→r ) = exp

[ie

~c

∫ s(−→r )−→A(−→r′)· d−→s′

]ψ0 (−→r ) , (B.13)

avec ψ0 (−→r ) est la solution de l’équation de Schrödinger avec V mais−→A (−→r ) = 0.

L’intégrale peut être prise le long de n’importe quel chemin s (−→r ) jusqu’à au point où −→r

se confond avec lui même et que −→rot(−→A)

= 0.

En effet, suivant (B.13), notons d’abord que(~i

−→∇ − e

c

−→A

)ψ = exp

(ie

~c

∫ s(−→r )−→A(−→r′)· d−→s′

)[(~i

−→∇ − e

c

−→A

)ψ0 + ψ0 (−i~)

(ie

~c

)−→A (−→r )

]

= exp

(ie

~c

∫ s(−→r )−→A(−→r′)· d−→s′

)(−i~−→∇ψ0

).



Nous trouvons alors(~i

−→∇ − e

c

−→A

)2

ψ = exp

(ie

~c

∫ s(−→r )−→A(−→r′)· d−→s′

)(−~2∇2ψ0

)= 2m (E − V )ψ (B.14)

Ainsi, ψ (−→r ) obéit à l’équation de Schrödinger avec−→A (−→r ) 6= 0, tandis que ψ0 (−→r ) suit aussi

l’équation de Schrödinger dont−→A (−→r ) = 0etV 6= 0.

Utilisons (B.9), la fonction d’onde (B.13), suite à la transformation de jauge, devient

ψ′ = exp

(ie

~c

∫ s(−→r )−→∇Λ

(−→r′)· d−→s′

)ψ = exp

(ieΛ (−→r )

~c

)ψ0 (−→r ) (B.15)

Considérerons maintenant l’exemple d’un faisceau d’électrons qui traverse deux fentes, où

un solénoïde a été mise .

Dans la région de l’interférence, la fonction d’onde s’écrit comme suit

ψ = ψ01 exp

(ie

~c

∫ s(−→r )

Path 1

−→∇Λ

(−→r′)· d−→s′

)+ ψ0

2 exp

(ie

~c

∫ s(−→r )

Path 2

−→∇Λ

(−→r′)· d−→s′

)(B.16)

Dans la région où il y a interférence il existe un effet observable lorsque{cossin

}[e

~c

∮ −→A · d−→s

]=

{cossin

}[e

~c

∫ −→B · −→n dS

](B.17)

=

{cossin

}eΦ

~c(B.18)

où l’intégrale porte sur une courbe fermée par le chemin 1 et par chemin 2 dans la direction

opposée. Le flux Φ du champ magnétique est calculé à travers la courbe fermée par les chemins

1 et 2.

Ce résultat est remarquable : classiquement, le comportement dynamique de l’électron

dépend de la force Lorentz qui est nulle quand les électron se déplace dans la région libre ;

mais en mécanique quantique, nous observons des effets qui dépendent du module du champ

magnétique dans une région qui n’est pas accessible à l’électron.

D’après (B.17), la différence de phase le long des deux chemins est

∆ = Λ2 − Λ1 =e

~cΦ. (B.19)

Cette différence de phase dépend du flux magnétique enfermé entre les deux chemins 1 et 2.



Figure B.1 – L’effet d’Aharonov-Bohm



Ainsi la particule détecte la présence d’un champ magnétique à l’intérieur de la région

interdite et le potentiel−→A′, suite à la transformation de jauge devient, en mécanique quantique,

observable.


Annexe C

Le critère de Pauli

La relation fondamentale de commutation du moment canonique ~M , qui est bien connue,

est la suivante [28]

~M × ~M = i~ ~M. (C.1)

Cette relation conduit à

[Mz,M±] = ±~M±, (C.2)

et [M2,M±

]= 0, (C.3)

où les deux opérateurs d’échelle M± sont

M± = Mx ± iMy. (C.4)

Cette relation de commutation (C.1) est basée sur ces relations de commutations où Pauli

(1939) [21] impose la condition suivante “the appropriate eigenfunctions be those which are

square integrable and are closed under the operation of the ladder operator ”.

Cette restriction est nommée par Henneberg [35] et Roy [37] comme le critère de Pauli

Alors les relations de commutations définies par l’équation (C.1) sont nécessaires pour que le

critère de Pauli soit applicable.

82

Annexe D

L’oscillateur de Dirac

Dans cette annexe, nous donnons quelques indications sur cet oscillateur.

Pour le cas du spin-1/2, l’équation de Dirac avec l’oscillateur est la suivante [46]

[c−→α ·

(−→p −imωγ0−→r)

+mc2γ0]ψ = Eψ, (D.1)

où m est la masse, ω > 0 la fréquence, et

−→α =

(0 −→σ−→σ 0

), γ0 =

(1 00 −1

), (D.2)

les matrices de Dirac, −→σ étant les matrices de Pauli. L’hamiltonien correspondant à (D.1) est

H0 = c−→α ·(−→p −imωγ0−→r

)+mc2γ0 (D.3)

Sous une forme covariante, elle s’écrit aussi[γµpµ −m+

( ge4m

)σµνFµν

]ψ = 0, (D.4)

avec

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, σµν =i

2[γµ, γν ] , γµ =

(γ0, ~γ

)(D.5)

est le tenseur électromagnétique, et

Aµ =1

4

[2xµ (u · x)− x2uµ

], (D.6)

est le quadripotentiel associé à l’oscillateur de Dirac, et g = 2m/e est le moment magnétique

anomale.

83

Chapitre D. L’oscillateur de Dirac

L’équation (D.4), est similaire à l’équation de Dirac pour des particules neutres ayant

un moment magnétique anomale µ. Elle suit l’équation de Dirac-Pauli comme suit (Pauli

1941) [56] : [γµpµ +

( µ

2m

)σµνFµν −m

]Ψ = 0. (D.7)

Le terme µ2σ

µνFµν s’écrit comme suit (C-Lin Hoa et al) [56]

µ

2σµνFµν = i~α ~E − ~Σ ~B, (D.8)

avec

~α = γ0~γ, Σk =1

2εkijσij , (D.9)

dont εkij est un tenseur anti-symétrique avec ε123 = 1.

Soit maintenant,

Ψ (~r, t) = e−iεrφ (~r) , (D.10)

alors, l’équation (D.7) devient

Hφ = εφ, (D.11)

avec

H = c−→α · −→p +icµ~γ ·−→E − µcγ0~Σ ~·B +mc2γ0, (D.12)

Si nous posons ~B = ~0, alors

H = c−→α · −→p +icµ~γ ·−→E +mc2γ0. (D.13)

En comparant l’équation (D.3) avec (D.13), on peut voir, que l’oscillateur de Dirac est simple-

ment un cas particulier des particules neutres de Dirac dans un champ électrique extérieur, et

ça, en prenant la transformation

µ~E → mω~r. (D.14)

Donc, nous pouvons interpréter l’oscillateur Dirac comme étant une interaction linéaire d’une

particule ayant un moment magnétique anomale avec un champ électrique variable [57].

Pour le cas de l’équation de Duffin-Kemmer-Petiau, nous avons l’équation suivante [58](c−→β ·(−→p −imωη0−→r

)+mc2

)ψ = β0Eψ. (D.15)


Chapitre D. L’oscillateur de Dirac

avec η0 =(β0)2 − 1.

Cette équation peut être encore écrite sous une forme covariante [58](βµpµ −m+

(λe

4m

)ΣµνFµν

)ψ = 0, (D.16)

où λ = 2m$2/e est maintenant le moment magnétique anomale, et Σµνest le tenseur du

deuxième ordre anti-symétrique défini comme suit

Σµν ={β0, i [βµ, βν ]

}. (D.17)

β étant les matrices définies par (2.2).

Par comparaison au cas de spin-1/2 (D.16), et comme Σµν est un tenseur de spin, nous

pouvons alors, par analogie avec le cas de l’électron, donner la même interprétation physique

pour cet oscillateur que celle donnée pour le cas de spin-1/2.


Annexe E

L’équation de Dirac et le paradoxede Klein

En 1928, Klein [59] a calculé les coefficients de réflexions et de transmissions pour le cas

d’un l’électron dans un potentiel de type saut . Ce potentiel est défini comme suit :

V (x) = V, x > 0, V (x) = 0, x < 0. (E.1)

Dans le cas unidimensionnelle, et en utilisant l’équation de Dirac, nous adoptons les relations

suivantes [60]

γ0 = σz, γ1 = iσx. (E.2)

Le choix de (2.2) vérifié bien la relation de commutation bien connue

γiγj + γjγi = 2gij . (E.3)

L’hamiltonien de l’équation Dirac libre est

H0 = −σyp+ σzm. (E.4)

L’équation de Dirac libre est (σx

∂

∂x− Eσz +m

)ψ = 0. (E.5)

Dans le but de solutionner l’équation (E.5), faisons le choix de ψ comme suit(AB

)eikx−iEt (E.6)

86

Chapitre E. L’équation de Dirac et le paradoxe de Klein

Figure E.1 – Le schéma de la barrière potentiel dans la théorie de Dirac



Substituons l’équation (E.6) dans (E.5), nous obtenons alors

A = ik, B = E −m (E.7)

avec

E2 = k2 +m2. (E.8)

En présence du potentiel saut, l’hamiltonien H0 se modifié et devient

H = −σyp+ V + σzm, (E.9)

avec V est la composante zéro du Aµ 1. L’équation de Dirac libre, en présence de V , se trans-

forme à (σx

∂

∂x− (E − V (x))σz +m

)ψ = 0. (E.10)

Supposons l’onde se propage de gauche vers la droite.

Pour le cas x < 0, l’onde correspondante est(ik

E −m

)eikx +B

(−ikE −m

)e−ikx, (E.11)

par contre, pour le cas x > 0, l’onde est

F

(ip

V − E −m

)e−ipx. (E.12)

Le cas x > 0, correspond à des états (voir fig. C1), par contre, quand V −m > m, il y’a un

chevauchement entre les deux bandes concernant les deux types des particules : les électrons à

gauche, et les trous à droite.

La condition de continuité à x = 0, donne

ik (1−B) = −ipF

(E −m) (1 +B) = (V − E −m)F. (E.13)

Définissons la constante κ par

1−B1 +B

=−pk

E −mV − E −m

. (E.14)

1. la charge de l’électron est prise égale à -1.



Afin de déterminer les coefficients de réflection et de transmission, le calcul de ja densité du

courant, définie par J = ψ†αψ, est obligatoire.

D’après Klein, les coefficients de réflexion et de transmission Rs et Ts, pour le cas V > 2m

(voir fig. C1), sont

Rs =

(1− κ1 + κ

)2

, (E.15)

Ts =4κ

(1 + κ)2 , (E.16)

dont

κ =p

k

E +m

E +m− V. (E.17)

Ainsi, l’équation (E.14), peut se réécrire, en fonction du paramètre κ, comme suit

1−B1 +B

=1

κ. (E.18)

A partir de (E.14), si E < V −m, κ < 0 : alors, Rs > 0 et Ts < 0, ce qui est paradoxale : il

y’a plus de particules réfléchies, par ce potentiel, que des particules incidentes. Cette situation

fut nommée par le paradoxe de Klein.

Pour l’enlèvement de ce problème, définissons, pour le cas x > 0, le moment de la particule

p par

p2 = (E − V )2 −m2. (E.19)

La vitesse du groupe vg correspondante est

vg =dE

dp=

p

E − V. (E.20)

Ainsi, vg étant toujours positive, alors p < 0. D’après (E.19), on écrit

p = −√

(E − V )2 −m2. (E.21)

Ce choix de signe pour p, donne des coefficients Rs et Ts, positives, et satisfont à la relation

suivante Rs + Ts = 1.

Le cas ou la barrière potentiel V est très large, V → +∞, pour une énergie E fixe, donne

un autre phénomène intéressant : on peut apercevoir que le coefficient de transmission Ts

tends vers une limite non nulle. Un résultat interdit dans la mécanique classique, par contre,



en mécanique quantique relativiste, les fermions ont un pouvoir de pénétration à travers une

barrière potentiel. Ce phénomène est nommé comme Klein tunnelling [60].


Annexe F

La liste des articles

Notre travail a donné lieu à deux publications internationales:

1. A. Boumali and L. chetouani, Exact solutions of the Kemmer equation for a Dirac oscil-

lator, Phys. Lett. A, 346,261 (2005).

2. A. Boumali, Particule de spin-0 dans un potentiel d’Aharonov-Bohm, Can. J. Phys,

82,67 (2004).

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Solutions de l’Equation de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP) pour certaines formes d’interactions

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Transcript of Solutions de l’Equation de Duffin-Kemmer-Petiau (DKP) pour certaines formes d’interactions