ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

1

گاز الکترون در دو و سه بعد می آموزیم:ی که مطالب

مسئله گاز الکترونی در دو و سه بعد -

و انرژی برای ابعاد پایین تر kچگالی حالت ها درفضای -

الکترون در دوبعدگاز

دربسیاری ازموارد سیستم های فیزیکی در دو بعد جای گرفته اند.

به عنوان مثال

گرافین که یک الیه تک اتمی از اتمهای کربن می باشدکه به صورت شبکه النه زنبوری کنار هم قرارگرفته اند

دو,سه چهار و پنج گروه جدول تناوبی می توان ویا چاه پتانسیل نیمه رسانا که با ترکیب اکثر نیمه رساناها گروه

ساخت:

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

2

گاز الکترون در یک بعد

دربسیاری ازموارد سیستم های فیزیکی دریک بعد نیز جای گرفته اند.به مثال های زیر توجه کنید:

الکترون در فلزات دو بعدی:مدل الکترون آزاد

شرودینگر مستقل از زمان داده می شود:حالت کوانتومی یک الکترون با استفاده از معادله

فرض کنید صفحه فلزی به ابعاد زیر داریم:

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

3

با استفاده از مدل سامرفلد:

قرار گرفته اند که پتانسیل درون صفحه صفر و پتانسیل بیرون صفحه بی نهایت فرض می الکترون ها درون یک صفحه دو بعدی -

شود:

با معادله شرودینگر توصیف می شود.حالت الکترون های درون صفحه -

شرایط مرزی بورن ون کارمن در دو بعد

باید معادله زیر را حل کنیم:

با شرایط مرزی:

جواب معادله به صورت زیر است:

ازشرایط مرزی بردارهای مجاز را بدست آورد:

شرایط مرزی بورن ون کارمن در دو بعد

روش اندیس گزاری:

متناسب برچسب زده می شوند: kانرژی های الکترونی با بردار موجهمه حالت هاو

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

4

بهنجارش:

تابع موج بهنجار است:

تعامد)ارتگنالیتی(:

تابع موج دوحالت مختلف بر هم عمودند:

ویژه حالت تکانه:

سینوسی این است که توابع موج تخت ویژه توابع عملگر یکی دیگر از فواید استفاده از ویژه تابع های امواج تخت بجای توابع

تکانه نیز هستند:

سرعت:

ویژه توابع سرعت به صورت زیر است:

kحالت ها در دوبعد در فضای

kتجسم فضای

دو بعدی نقطه ای مشخص کرد.حالت های مجاز کوانتومی را می توان با استفاده از یک شبکه

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

5

kچگالی حالت ها در فضای

با مشاهده شکل باال به نتیجه می توان رسید که در کوچکترین حجم شکل تنها یک نقطه می تواند جای گیرد ازاینرو داریم:

پس نقطات به ازای واحد حجم عبارتند از:

1-مای صفرددر دوبعد گاز الکترون آزاد در الکترون در درون صفحه قراردارند. Nفرض می کنیم که -

حال چگونه می توان شروع به شمارش حالت های مجاز کرد؟ -

0Tفرض می کنیم - K بدهد.و ما به دنبال شماتیک پر شدن الکترون ها که انرژی در حالت پایه را

حالت کوانتوم انرژی به صورت زیر است:

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

6

: استراتژی

هر نقطه از شبکه فقط دو الکترون می تواند جای دهد)یکی اسپین باال ودیگر پایین(. -

بردار شعاعی افزایش می یابد تا دایره ایشروع به پر کردن الکترون هادرنقاط می کنیم )با دو الکترون در هر نقطه( در ناحیه -

الکترون را جای دهیم. Nزمانیکه تمام

به شعاعی که آنرا نامی,آنگاه تمام الکترون ها درون دایره ای زمانیکه تمامی نقاط پر شدند - Fk .گذاری میکنیم قرار دارند

2-صفردمای در دوبعد گاز الکترون آزاد در درهرنقطه دو الکترون جای دارد )یکی اسپین باال ودیگری پایین( -

تمام الکترون ها درون کره ای با شعاع -

Fk :قرار دارند. مساحت این کره به صورت زیر است

عبارتند از:دایره ای تعداد نقاط در این صفحه

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

7

نیز به صورت زیر است: دایره ایتعداد حالت ها کوانتومی مجاز )بالحاظ اسپین( در این صفحه

الکترون درون صفحه باشد. Nاین مقدرباید برابر تعداد کل

چگالی الکترون ها نیز برابر :

و بردار فرمی نیز برابر:

3-صفردمای در دوبعد گاز الکترون آزاد در فرمی)از الکترون( اشغال هستند. دایرههمه نقاط درون -

ه فرمی خالی هستند.دایره ای همه نقاط خارج از -

تکانه فرمی:

بزرگترین تکانه الکترون برابر است با:

توان یافت:این تکانه را تکانه فرمی گویند.تکانه فرمی را نیز درصورت داشتن چگالی الکترونی به صورت زیر می

انرژی فرمی :

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

8

بزرگترین انرژی الکترون عبارت است از:

به این انرژی انرژی فرمی میگویند:

وهمچنین می توان نوشت:

یا

سرعت فرمی:

به بزرگترن سرعت الکترون سرعت فرمی می گویند واز فرمول زیر بدست می آید:

1-صفردمای غیر در دوبعد گاز الکترون آزاد در ابطه زیر را برای نقاط بر حجم بخاطر می آوریم:ر

عناصر حجمی را به صورت زیر درنظر می گیریم

پس تعداد نقاط بر واحد حجم در فضای برابر می شود با:

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

9

را می توان با انتگرال روی حجم جایگزین کرد: kجمع بر روی تمام نقاط در فضای

ازاینرو داریم:

)حال سوال این است تابع )f k چیست؟

2-غیر صفردمای در دوبعد گاز الکترون آزاد در

)احتمال )f k که الکترون در حال کوانتومی با بردارk دیراک داده می شود:–باشد با توزیع فرمی

که

از اینرو

چگالی حالت ها:

مانند انتگرال انرژی درفضا -مشکل و پیچیده است.ما نیاز داریم آن را به شکل ساده تری درآوریم kانتگرال حجمی فضای

برای اینکار داریم: -مکان

و

ازاینرو:

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

10

3-دردمای غیر صفر دوبعد گاز الکترون آزاد در داریم:

که

. تعداد بر ژول سانتی متر مربع استتابع چگالی حالت است. و واحد آن

)ضرب )g E dE نشان دهنده چگالی حالت های موجود در بازه انرژی( )E dE 2برcm .فلز است

4-صفردردمای غیر دوبعد گاز الکترون آزاد در داریم:

که

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

11

این معادله برای را می توان به صورت انتگرال حاصلضرب دو تابع درنظر گرفت:

0Tبررسی حالت K :

0Tکه با مقایسه با معادله ای که در K 0پیش از این بدست آوردیم به این نتیجه می رسیم که در دمایT K سطح فرمی

fE با انرژی فرمیfE .برابر است

5-صفردردمای غیر دوبعد گاز الکترون آزاد در

0Tبرای حالت K :

را از رابطه زیربدست می آوریم: Tاز آنجا که چگالی حامل ها را مشخص است و با دما تغییری نمی کند ,سطح فرمی در دمای

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

12

دما, به طور عمومی سطح فرمی تابعی از دما ست و با افزایشfE .معادله باال جواب صحیح باوارون کردنکاهش می یابد

بدست می آید.با استفاده از: و

داریم:

در دو بعد فرمیونی)الکترون(انرژی کل برای یک گاز

برای یک گاز الکترون را می توان به صورت زیر نشان داد: Uانرژی کل

با تبدیل انتگرال فضا به انرژی داریم:

نیز به صورت زیر در می آید: uچگالی انرژی

0Tفرض می کنیم K :

از آنجا که

داریم:

1-میدان الکتریکیدر دو بعدی گاز الکترونی

تابع توزیع الکترون در فضای زمانیکه میدان صفر باشد به صورت زیر است:

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

13

فضای زمانیکه میدان صفر نباشدبه صورت زیر است: تابع توزیع الکترون در

در حضور میدان الکتریکی بردار موج همه الکترون ها به مقدار یکسانی جابجا می شوند ,مقدار جابجا بردار موج کل توزیع

الکترون ها به صورت زیرجابجا می شود.

2-الکتریکیمیدان در دو بعدی گاز الکترونی

جابجایی می شود صفر نیست دیگر پس داریم kتابع توزیع الکترونی در فضا در حضور میدان

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

14

چگالی جریان عبارت است از:

با دادن جابجایی در متغیر های انتگرال داریم:

که

است. -واحد آن در دوبعد را سیمتز می نامبم-همان نتیجه درود با واحدی دیگر

بعدی:مدل الکترون آزاد یکالکترون در فلزات

حالت کوانتومی یک الکترون با استفاده از معادله شرودینگر مستقل از زمان داده می شود:

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

15

فرض کنید صفحه فلزی به ابعاد زیر داریم:

با استفاده از مدل سامرفلد:

رض می شود:بی نهایت ف میله صفر و پتانسیل بیرون میلهقرار گرفته اند که پتانسیل درون بعدیمیله یک الکترون ها درون یک -

با معادله شرودینگر توصیف می شود.میله حالت الکترون های درون -

شرایط مرزی بورن ون کارمن در دو بعد

باید معادله زیر را حل کنیم:

با شرایط مرزی:

جواب معادله به صورت زیر است:

ازشرایط مرزی بردارهای مجاز را بدست آورد:

kدر فضای یک بعدحالت ها در

kتجسم فضای

بعدی نقطه ای مشخص کرد. یکحالت های مجاز کوانتومی را می توان با استفاده از یک شبکه

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

16

kچگالی حالت ها در فضای

شکل تنها یک نقطه می تواند جای گیرد ازاینرو داریم: طولبا مشاهده شکل باال به نتیجه می توان رسید که در کوچکترین

عبارتند از: طولپس نقطات به ازای واحد

1-مای صفرددر بعدیک گاز الکترون آزاد در اسپین باال ودیگری پایین(درهرنقطه دو الکترون جای دارد )یکی -

فاصله تمام الکترون ها درون -

Fk به صورت زیر است: فاصلهین قرار دارند. طول ا

عبارتند از: ناحیهتعداد نقاط در این

نیز به صورت زیر است:ناحیه تعداد حالت ها کوانتومی مجاز )بالحاظ اسپین( در این

الکترون درون صفحه باشد. Nمقدرباید برابر تعداد کلاین

چگالی الکترون ها نیز برابر :

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

17

و بردار فرمی نیز برابر:

2-صفردمای در بعدیک گاز الکترون آزاد در همه نقاط درون ناحیه فرمی)از الکترون( اشغال هستند. -

فرمی خالی هستند. همه نقاط خارج از ناحیه -

تکانه فرمی:

بزرگترین تکانه الکترون برابر است با:

این تکانه را تکانه فرمی گویند.تکانه فرمی را نیز درصورت داشتن چگالی الکترونی به صورت زیر می توان یافت:

انرژی فرمی :

بزرگترین انرژی الکترون عبارت است از:

میگویند:به این انرژی انرژی فرمی

وهمچنین می توان نوشت:

یا

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

18

سرعت فرمی:

به بزرگترن سرعت الکترون سرعت فرمی می گویند واز فرمول زیر بدست می آید:

1-صفردمای غیر در بعدیک گاز الکترون آزاد در بخاطر می آوریم: رابطه زیر را برای نقاط برطول

را به صورت زیر درنظر می گیریم طولبعناصر

در فضای برابر می شود با: طولپس تعداد نقاط بر واحد

را می توان با انتگرال روی حجم جایگزین کرد: kجمع بر روی تمام نقاط در فضای

ازاینرو داریم:

)حال سوال این است تابع )f k چیست؟

2-غیر صفردمای در دوبعد گاز الکترون آزاد در

)احتمال )f k که الکترون در حال کوانتومی با بردارk دیراک داده می شود:–باشد با توزیع فرمی

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

19

که

از اینرو

چگالی حالت ها:

مانند انتگرال انرژی درفضا -مشکل و پیچیده است.ما نیاز داریم آن را به شکل ساده تری درآوریم kانتگرال حجمی فضای

برای اینکار داریم: -مکان

و

ازاینرو:

3-دردمای غیر صفر بعدیک گاز الکترون آزاد در داریم:

که

. تابع چگالی حالت است. و واحد آن تعداد بر ژول سانتی متر است

)ضرب )g E dE نشان دهنده چگالی حالت های موجود در بازه انرژی( )E dE برcm .فلز است

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

20

4-دردمای غیر صفر بعدیک گاز الکترون آزاد در داریم:

که

تابع درنظر گرفت:این معادله برای را می توان به صورت انتگرال حاصلضرب دو

0Tبررسی حالت K :

0Tکه با مقایسه با معادله ای که در K 0پیش از این بدست آوردیم به این نتیجه می رسیم که در دمایT K سطح فرمی

fE با انرژی فرمیfE .برابر است

5-صفردردمای غیر بعدیک گاز الکترون آزاد در

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

21

0Tبرای حالت K :

را از رابطه زیربدست می آوریم: Tاز آنجا که چگالی حامل ها را مشخص است و با دما تغییری نمی کند ,سطح فرمی در دمای

به طور عمومی سطح فرمی تابعی از دما ست و با افزایش دما,

fE .کاهش می یابد

بعد یکفرمیونی)الکترون( درانرژی کل برای یک گاز

برای یک گاز الکترون را می توان به صورت زیر نشان داد: Uانرژی کل

با تبدیل انتگرال فضا به انرژی داریم:

نیز به صورت زیر در می آید: uچگالی انرژی

0Tفرض می کنیم K :

از آنجا که

داریم:

1-میدان الکتریکیدر بعدی یک گاز الکترونی

تابع توزیع الکترون در فضای زمانیکه میدان صفر باشد به صورت زیر است:

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

22

تابع توزیع الکترون در فضای زمانیکه میدان صفر نباشدبه صورت زیر است:

در حضور میدان الکتریکی بردار موج همه الکترون ها به مقدار یکسانی جابجا می شوند ,مقدار جابجا بردار موج کل توزیع

الکترون ها به صورت زیرجابجا می شود.

2-الکتریکیمیدان در بعدی یک گاز الکترونی

جابجایی می شود صفر نیست دیگر پس داریم kدر حضور میدان تابع توزیع الکترونی در فضا

جریان عبارت است از:

ارسالن اختر -بعد سه و دو در الکترون گاز

23

با دادن جابجایی در متغیر های انتگرال داریم:

که

است. -سیمتز می نامبم نیزبعد رایک واحد آن در -همان نتیجه درود با واحدی دیگر