SMA/MA - Rangkuman Matematika
20
[email protected] MATEMATIKA BAB 1 EKSPONEN DAN LOGARITMA A. EKSPONEN Definisi Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan bulat posif (bilangan asli), maka: ... = × × × × × n a a a a a a Dengan: a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen 1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif Jika m, n, dan p adalah bilang bulat posif, , ab R ∈ , maka: a. m n mn a a a + × = b. : , 0 - = ≠ m n mn a a a a c. ( ) n m mn a a = d. ( ) m n p mp np ab a b = e. , 0 p m mp n np a a b b b = ≠ f. 0 1 a = , 0 a ≠ g. 1 n n a a - = , 0 a ≠ 2. Persamaan Eksponen a. () () () () fx gx a a fx gx = ⇒ = b. () () () 0 fx fx a b fx = ⇒ = c. ( ) ( ) () () gx hx f x f x = maka: n g(x) = h(x) n f(x) = 1 n f(x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/ ganjil n f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama posif 3. Pertidaksamaan Eksponen Jika () () fx gx a a > maka berlaku: n f(x) > g(x) , untuk a > 1 n f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1 B. BENTUK AKAR Sifat-sifat Bentuk Akar a. n n a a = b. a b ab ⋅ = ⋅ c. a a b b = d. m n m n a a = e. 1 1 1 a a a a a a = × =
Transcript of SMA/MA - Rangkuman Matematika
MATEMATIKA
BAB 1 EKSPONEN DAN LOGARITMA
A. EKSPONENDefinisi Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan bulat positif (bilangan asli), maka:
...= × × × × ×na a a a a a
Dengan:a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen
1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat PositifJika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, ,a b R∈ , maka:
a. m n m na a a +× =
b. : , 0−= ≠m n m na a a a
c. ( )nm mna a=
d. ( )m n p mp npa b a b=
e. , 0pm mp
n np
a ab
b b
= ≠
f. 0 1a = , 0a ≠
g. 1n
na
a− = , 0a ≠
2. Persamaan Eksponen
a. ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= ⇒ = b. ( ) ( ) ( ) 0f x f xa b f x= ⇒ =c. ( ) ( )( ) ( )g x h xf x f x= maka:
n g(x) = h(x)n f(x) = 1n f(x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/
ganjiln f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif
3. Pertidaksamaan Eksponen
Jika ( ) ( )f x g xa a> maka berlaku:n f(x) > g(x) , untuk a > 1n f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1
B. BENTUK AKARSifat-sifat Bentuk Akar
a. nn a a=
b. a b a b⋅ = ⋅
c. a abb
=
d. mnmn a a=
e. 1 1 1a
aaa a a
= × =
C. LOGARITMALogaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
loga cb c a b= ⇔ =Di mana:
1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 1a< < atau a > 1,
2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan b > 0,
3. c dinamakan hasil logaritma.
1. Sifat-Sifat LogaritmaDalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut.
a. loga cb c a b= ⇔ =
b. log log loga a ab c bc+ =
c. log log loga a a bb c
c− =
d. log logna m am
b bn
= ⋅
e. log
loglog
pa
p
bb
a= , dengan 0 1 1p p< < ∨ >
f. 1log
loga
bb
a=
g. loga ba b=
h. log log log loga b c ab c d d⋅ ⋅ =
2. Persamaan Logaritmalog ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x= ⇒ =
3. Pertidaksamaan Logaritma
Jika log ( ) log ( )a af x g x≤ , maka berlaku:I. Syarat Basis:
1. Untuk 0 < a < 1
( ) ( )f x g x≥2. Untuk a > 1
( ) ( )f x g x≤II. Syarat Numerus:
1. ( ) 0f x >2. ( ) 0g x >
BAB 2 PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRATA. PERSAMAAN KUADRATBentuk umum persamaan kuadrat adalah
+ + =2 0ax bx c
dengan a, b, c bilangan real dan ≠ 0a .
1. Jenis-jenis Akar
Persamaan kuadrat + + =2 0ax bx c mempunyai:1. akar real jika ≥ 0D , 2. akar real berlainan jika > 0D , 3. akar real kembar jika = 0D , 4. akar imajiner/ khayal jika < 0D , dengan = −2 4D b ac .
2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar
Diketahui 1 2 dan x x adalah akar-akar dari persamaan
kuadrat + + =2 0ax bx c , maka:
−+ =1 2
bx x
a⋅ =1 2
cx x
a− =1 2
Dx x
a
( )( )( )( ) ( )
22 21 2 1 2 1 2
2 21 2 1 2 1 2
33 31 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2
3
1 1
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x
+ = + − ⋅
− = + −
+ = + − ⋅ +++ =⋅
3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Diketahui persamaan kuadrat + + =2 0ax bx c de-
ngan 1 2 dan x x akar-akarnya, maka sifat akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui:
1. Kedua akarnya positif, jika:
+ > ⋅ > ≥1 2 1 20 ; 0 ; D 0x x x x
2. Kedua akarnya negatif, jika:
+ < ⋅ > ≥1 2 1 20 ; 0 ; D 0x x x x
3. Kedua akarnya berlainan tanda, jika:
⋅ <1 2 0 ; D > 0x x
4. Kedua akarnya berlawanan, jika:
+ =1 2 0x x
5. Kedua akarnya berkebalikan, jika:
⋅ =1 2 1x x
4. Menentukan Persamaan KuadratPersamaan kuadrat baru yang akarnya α dan
θadalah
( )α β α β− + + ⋅ =2 0x x
B. FUNGSI KUADRAT
Fungsi f yang didefinisikan sebagai = + +2( )f x ax bx c
di mana ∈, ,a b c R dan ≠ 0a didefinisikan sebagai fungsi kuadrat.
1. Hubungan a, b, c, dan D
Fungsi kuadrat = + +2( )f x ax bx c didapat hubungan:a. “a” menentukan keterbukaan kurva.
i. a > 0 ⇒ parabola terbuka ke atas.ii. a < 0 ⇒ parabola terbuka ke bawah.
a > 0a < 0
b. Jika ⋅ > 0a b maka puncak berada di sebelah kiri sumbu y.Jika ⋅ < 0a b maka puncak berada di sebelah kanan sumbu y.
c. “c” menentukan titik potong dengan sumbu y.i. c > 0 ⇒ parabola memotong sumbu y positif.ii. c = 0 ⇒ parabola memotong sumbu y di (0, 0).iii. c < 0 ⇒ parabola memotong sumbu y negatif.
d. “ = −2 4D b ac ” menentukan titik potong dengan sumbu x.
i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di
dua titik.ii. D = 0 ⇒ parabola menyinggung sumbu x.iii. D < 0 ⇒ parabola tidak memotong sumbu x.
2. Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat 2( )f x ax bx c= + + mempunyai:
1. Sumbu simetri: −=2
bx
a
2. Nilai ekstrem: −=
− −
2 44 4D b ac
a a Nilai ekstrem maksimum jika a < 0. Nilai ekstrem minimum jika a > 0.
3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat
a. Diketahui titik puncak ( , )p px y dan titik lain
= − +2( )p py a x x y
b. Diketahui titik potong dengan sumbu x, 1( ,0)x dan
2( ,0)x serta titik lain
= − −1 2( )( )y a x x x x
c. Diketahui tiga titik pada parabola
= + +2y ax bx c
4. Definita. Definit Positif
Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif untuk semua x disebut definit positif. Syarat:D < 0 dan a > 0
b. Definit Negatif Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif
untuk semua x disebut definit negatif. Syarat:
D < 0 dan a < 0
BAB 3 PERTIDAKSAMAAN
A. SIFAT UMUMSifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c, dan d ∈R adalah sebagai berikut.1. a > b maka a + c > b + c2. a > b, c > d maka a + c > b + d3. a > b, b > c maka a > c4. a > b, c > 0 maka a c > b c5. a > b, c < 0 maka a c < b c
6. a > b, a > 0, b > 0 maka 2a > 2b
7. a > b, a < 0, b < 0 maka 2a < 2b
8. ab
> 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0
B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAANn Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan
tanda pada ruas yang paling kanan.n Pangkat genap memiliki tanda yang sama.n Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.
C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKARLangkah penyelesaian:1. Kuadratkan kedua ruas.2. Syarat di dalam akar harus ≥ 0.
D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI MUTLAK
Nilai mutlak untuk x RÎ didefinisikan:
jika 0
jika 0
0 jika 0
x x
x x x
x
ì >ïïïï= - <íïïï =ïîBeberapa sifat penyelesaian pertidaksamaan mutlak:1. x a a x a£ Û- £ £2. atau x a x a x a³ Û £- ³3. ( ) ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( )) 0f x g x f x g x f x g x£ Û + - £
4. ( )( )
f xk
g x£ ( ( ) ( ))( ( ) ( )) 0f x k g x f x k g xÛ - × + × £
BAB 4 LOGIKA MATEMATIKA
A. DEFINISI
n Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
n Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya.
Beberapa operator yang digunakan dalam logika.
NoOperator
ArtiNama Lambang
1 Negasi ~ Tidak, bukan
2 Konjungsi Ù dan, tetapi
3 Disjungsi ∨ atau
4 Implikasi Þ jika...maka
5 Biimplikasi Û jika dan hanya jika
B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN
p q ~ p p ∧ q p ∨ q pÞ q p Û qB B S B B B B
B S S S B S S
S B B S B B S
S S B S S B B
C. NEGASI/INGKARANNo Pernyataan Negasi/Ingkaran
1 p qÙ p qÚ
2 p qÚ p qÙ
3 p qÞ p qÙ
4 p qÛ p qÙ p qÚ p qÙ q
D. EKUIVALENSI
Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama.Contoh: p q q p p q⇒ ≡ ⇒ ≡ ∨
E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
n Konvers dari implikasi pÞ q adalah qÞ pn Invers dari implikasi pÞ q adalah ~ pÞ ~ qn Kontraposisi dari implikasi pÞ q adalah ~ qÞ ~ p
F. PENARIKAN KESIMPULAN
(B)
(B)
(B)
p q
p
q
Þ
\
(B)
(B)
(B)
p q
q
p
Þ
\
(B)
r (B)
(B)
p q
q
p r
ÞÞ
\ Þ
Modus Ponens Modus Tollens Sillogisme
BAB 5 SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS
A. SISTEM PERSAMAANSistem persamaan dapat diselesaikan dengan:n Metode eliminasin Metode substitusin Metode campuran
B. PERSAMAAN GARIS
1. Melalui titik ( )1 1, x y dengan gradien m, berlaku:
1 1( )y y m x x− = −
2. Garis yang melalui ( )1 1, x y dan ( )2 2, x y , berlaku:
1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
− −=
− −
3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a) berlaku:
y
a
bx
ax + by = a.b
C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS
Diketahui garis 1 1:g y m x c= + dan garis
2 2:h y m x c= + makan Garis g dan h sejajar jika 1 2m m=
n Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika
1 2 1m m× =-n Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut
sebesar a dengan
1 2
1 2
tan1
m m
m ma
-=
+ ×
A. SISTEM PERSAMAANSistem persamaan dapat diselesaikan dengan:n Metode eliminasin Metode substitusin Metode campuran
B. PERSAMAAN GARIS
1. Melalui titik dengan gradien m, berlaku:
2. Garis yang melalui dan , berlaku:
3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a) berlaku:
C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS
Diketahui garis dan garis
makan Garis g dan h sejajar jika
BAB 6 STATISTIKA DAN PELUANG
A. STATISTIKA
1. Rata-rata/mean ( x )Data tunggal:
1 2 1... =+ + += =∑
n
in i
xx x x
xn n
n = banyak data,xi = data ke-i,i = 1, 2, 3, …, n.
Data kelompok:
1 1 2 2 1
1 2
1
...
...=
=
+ + += =+ + +
∑
∑
n
i in n i
nn
ii
f xf x f x f x
xf f f
f
fi = banyak data xi,
1 2 ...= + + + nn f f f .
2. Modus (Mo)Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak atau data yang paling sering muncul.n Data tunggal:
Contoh: Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7.Modus dari data tersebut adalah 7.
n Data kelompok:
1
1 2
= + +
bd
Mo t cd d
tb = tepi bawah kelas modusd1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnyad2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyac = panjang kelas
3. Median (Me/Q2)Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau kuartil tengah.Data tunggal:
Jika n ganjil maka: 12+= nMe x
Jika n genap maka: 1
2 2
2
++
=n nx x
Me
Data kelompok:
12
2 bk
n fMe Q t c
f
− = = +
∑
tb = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q2
∑ f = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me
fk = frekuensi kelas yang memuat Me
4. KuartilNilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi 4 bagian.Data kelompok:
Kuartil bawah (Q1): ( )1
4 11 1
1
− = +
∑b
n fQ t c
f
Kuartil atas (Q3): ( )3
4 33 3
3
− = +
∑b
n fQ t c
f
Dengan:tb1 /tb3 = tepi bawah kelas yang memuat Q1 /Q3
( )∑ 1f / ( )∑ 3
f = jumlah frekuensi sebelum Q1/Q3
f1 / f3 = frekuensi kelas yang memuat Q1/Q3
5. Jangkauan (J)n Jangkauan atau range dirumuskan dengan:
max min= −J x x
n Jangkauan antarkuartil (H):
3 1= −H Q Q
n Jangkauan semi antarkuartil (Qd):
3 11
( )2
= −dQ Q Q
6. Simpangan rata-rata (SR)Data tunggal:
1
| |=
−=∑
n
ii
x x
SRn
Data kelompok:
1
1
| |=
=
−=∑
∑
n
i ii
n
ii
f x x
SR
f
7. Ragam/variansi (R)Data tunggal:
2
2 1
| |=
−= =
∑n
ii
x x
R Sn
Data kelompok:
2
2 1
1
| |n
i ii
n
ii
f x x
R S
f
=
=
−= =
∑
∑
8. Simpangan baku/deviasi standar (S)Data tunggal:
1
| |=
−=
∑n
ii
x x
Sn
Data kelompok:
1
1
| |=
=
−=
∑
∑
n
i ii
n
ii
f x x
S
f
9. Perubahan dataBila masing-masing data diubah dengan nilai yang sama, berlaku
Perubahan data
Ukuran pemusatan
Ukuran penyebaran
+-x:
+-x:
TETAPTETAP
x:
Catatan:- Yang termasuk ukuran pemusatan adalah: x , Mo,
Me, Q1 .- Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H,
Qd, S, R.
B. PELUANG
Aturan PerkalianMisalkan terdapat n tempat tersedia dengan:n A1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
pertama.n A2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat
kedua setelah tempat pertama terisi.n A3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga
setelah tempat pertama dan kedua terisi.
n An adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n – 1) terisi.
Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah:
A1 × A2 × A3 × ... × In
Notasi Faktorial
n! = 1 × 2 × 3 × ... (n – 1) × n1! = 0! = 1
dengan n bilangan asli
1. Permutasin Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah
cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (AB ≠ BA)
n Rumus dan notasi yang digunakan dalam permutasi adalah:- Banyaknya permutasi n unsur yang diambil
dari n unsur adalah P(n, r) = n!- Banyaknya permutasi r unsur yang diambil
dari n unsur:
!( , )
( )!=
−n
P n rn r
n Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang sama, n unsur yang sama dan unsur yang sama adalah:
!! ! !k
m n⋅ ⋅cara
n Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur adalah
(n – 1)!
2. Kombinasin Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan
cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan-nya (AB = BA).
n Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan
dengan nCk atau ( , )C n k .n Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n
unsur adalah
!( , )
( )! !n
C n kn k k
=−
3. Peluang KejadianPeluang kejadian A ditulis P(A), ditentukan dengan rumus:
n(S) = banyaknya anggota semestan(A) = banyaknya anggota AP(A) = peluang kejadian A
( )( )
( )n A
P An S
=
4. Peluang Komplemen Suatu KejadianMisalkan Ac adalah komplemen kejadian A, maka
( ) 1 ( )cP A P A= −
5. Frekuensi Harapan Suatu KejadianFrekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah
FH(A) = n × P(A)
6. Peluang Kejadian Majemuka. Gabungan Dua Kejadian Untuk setiap kejadian A dan B berlaku
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
b. Kejadian Saling Lepas Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling
lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang
berakibat ( )P A B∩ = 0, sehingga
( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +
c. Kejadian Saling BebasA dan B disebut dua kejadian saling bebas bila kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian lainnya.
( ) ( ) P(B)P A B P A∩ = ⋅
BAB 7 TRIGONOMETRIDalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan:
B C
A
c
xa
b
sin
cos
tan
bx
ca
xcb
xa
=
=
=
A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA0o 30o 45o 60o 90o
Sin 0 ½ ½ 2 ½ 3 1
Cos 1 ½ 3 ½ 2 ½ 0
Tan 0 13 3 1 3 ~
B. SUDUT-SUDUT BERELASIy
Kuadran ISemua positifSin, Cosec
positif
Tan, CotPositif
Cos, Sec Positif
Kuadran II
Kuadran III Kuadran IV
0o
90o
180o
360o
sin(90 ) cos
sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
cos(90 ) sin
tan(90 ) cot
tan(90 ) cot
o
o
o
o
o
o
a a
a a
a a
a a
a a
a a
- =
+ =
- =
+ =-
- =
+ =-
sin(180 ) sin
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
cos(180 ) cos
tan(180 ) tan
tan(180 ) tan
o
o
o
o
o
o
a a
a a
a a
a a
a a
a a
- =
+ =-
- =-
+ =-
- =-
+ =
sin(270 ) cos
sin(270 ) cos
cos(270 ) sin
cos(270 ) sin
tan(270 ) cot
tan(270 ) cot
o
o
o
o
o
o
a a
a a
a a
a a
a a
a a
- =-
+ =-
- =-
+ =
- =
+ =-
sin(360 ) sin
sin(360 ) sin
cos(360 ) cos
cos(360 ) cos
tan(360 ) tan
tan(360 ) tan
o
o
o
o
o
o
a a
a a
a a
a a
a a
a a
- =-
+ =
- =
+ =
- =-
+ =
C. IDENTITAS TRIGONOMETRIDalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat:
1. sintan
cosx
xx
= 4. 2 2tan 1 secx x+ =
2. 2 2sin cos 1x x+ = 5. 1
seccos
xx
=
3. 1sec
sinco x
x= 6. 2 21 cot cosx ec x+ =
D. ATURAN SINUS DAN COSINUS
A B
C
b
c
a
sin sin sina b c
A B C= =
Pada setiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan sinus, yaitu:
Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan
cosinus, yaitu:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C
= + -
= + -
= + -
E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGAJika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan:
A B
C
b
c
a
1sin
21
sin21
sin2
L bc A
L ac B
L ab C
=
=
=
F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
2 2
2
2
2
sin2 2sin cos
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2tan tan2
1 tan
x x x
x x x
x
x
xx
x
=
= −
= −
= −
=−
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
tan tantan ( )
1 tan tantan tan
tan ( )1 tan tan
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
A BA B
A BA B
A BA B
+ = +− = −+ = −− = +
++ =− ⋅
−− =+ ⋅
G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS1 1
sin sin 2sin ( )cos ( )2 21 1
sin sin 2cos ( )sin ( )2 21 1
cos cos 2cos ( )cos ( )2 21 1
cos cos 2sin ( )sin ( )2 2
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
+ = + −
− = + −
+ = + −
− = − + −
2sin cos sin( ) sin( )
2cos sin sin( ) sin( )
2cos cos cos( ) cos( )
2sin sin cos( ) cos( )
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
= + + -= + - -= + + -
- = + - -
H. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI
a. Sinus
1 1
sin sin
.360 atau (180 ) .360o o o
x
x k x k
αα α=
= + = − +
b. Cosinuscos cos
.360 o
x
x k
αα=
= ± +
c. Tantan tan
.180 o
x
x k
αα
=
= +
k = ..., –1, 0, 1, 2, …
BAB 8 DIMENSI TIGA
A. JARAKn Jarak Antara Dua Titik
Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan kedua titik itu.
A B
Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara titik A dan titik B.
n Jarak Titik ke GarisAdalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis.
A
g
B
AB menunjukkan jarak antara titik A dan garis g yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak lurus g.
n Jarak antara Titik dengan BidangAdalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik proyeksinya pada bidang.
B. SUDUTn Sudut Dua Garis Bersilangan
Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara melukis sudut antara garis g dan h adalah:- lukis garis g’ yang sejajar g dan memotong h,- sudutnya = sudut antara garis g’ dan h.
n Sudut Antara Garis g dan Bidang VLangkah:- proyeksikan garis g ke bidang V, sebut
hasilnya g’,- sudutnya = sudut antara garis g dan g’.
n Sudut Antara Dua BidangLangkah:- tentukan perpotongan antara bidang V dan
W sebut l,- lukis garis di bidang V tegak lurus l, sebut g,- lukis garis di bidang W tegak lurus l, sebut h,- sudutnya = sudut antara garis g dan h.
Jarak antara P dan bidang ditun-jukkan oleh garis m yang tegak lurus bidang.
BAB 9 LINGKARANLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
A. PERSAMAAN LINGKARANn Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari
jari = r.y
xr
(0, 0)
2 2 2x y r+ =
n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari = r.
y
x
r
(0, 0)
(a, b)( ) ( )2 2 2− + − =x a y b r
n Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan menyinggung sumbu x:
y
x
r(0, b)
( ) ( )2 2 2x a y b b− + − =
n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, 0) dan menyinggung sumbu y:
y
xr(a, 0)
( ) ( )2 2 2x a y b a− + − =
n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan menyinggung garis px + qy + r = 0.
ypx + qy + r = 0
x
d(a, b) ( ) ( )2 2 2x a y b d− + − =
Dengan 2 2
ap bq rd
p q
+ +=
+. Jari-jari lingkaran
adalah d.
1. Persamaan Umum Lingkaran2 2 0x y Ax By C+ + + + =
Pusat ,2 2A B − −
dan jari-jari 2 2
4 4A B
r C= + −
2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaanL: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik A(x1, y1). Kedudukan titik A(x1, y1) terhadap lingkaran L adalah:
K = x12 + y1
2 + 2ax1 + 2by1 + c
n K > 0 maka titik A(x1, y1) berada di luar lingkaran.
n K < 0 maka titik A(x1, y1) berada di dalam lingkaran.
n K = 0 maka titik A(x1, y1) berada pada lingkaran.
B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN
1. Diketahui titik singgungnya ( )1 1,x yn Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +
y2 = r2 di titik (x1, y1). Rumus: 2
1 1 x x y y r+ =
n Persamaan garis singgung pada lingkaran
( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = di titik (x1, y1). Rumus:
( )( ) ( )( ) 21 1x a x a y b y b r− − + − − =
n Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) pada lingkaran: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0. Rumus:
1 1 1 1 ( ) ( ) 0x x y y a x x b y y c+ + + + + + =
2. Diketahui gradien mn Persamaan garis singgung dengan gradien m
pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan jari–jari r.Rumus:
21= ± +y mx r m
n Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Rumus:
( ) 21− = − ± +y b m x a r m
C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARANDiberikan garis g: y = mx + n dan lingkaran:
2 2 2 x≡ + =L y r . Hubungan antara garis g dan lingkaran L dapat diselidiki dengan cara: n Substitusi garis g ke L.n Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi,
yaitu:1. D > 0, maka garis memotong lingkaran pada
dua titik,2. D = 0, maka garis memotong lingkaran pada
satu titik (garis menyinggung lingkaran),3. D < 0, maka garis tidak menyinggung lingkaran.
1 2 3
BAB 10 SUKU BANYAKBentuk umum:
f(x) = anxn + an-1x
n-1 + an-2xn-2+ ... + a1x + a0,
dengan an ≠ 0, n bilangan cacah. an, an-1, an-2, ... , a1, a0 disebut koefisien-koefisien suku banyak dari masing-masing peubah (variabel) x yang merupakan konstanta real dan an ≠ 0. Sedangkan a0 disebut suku tetap (konstanta).
A. NILAI SUKU BANYAK
Nilai dari f(k) dapat dicari dengan:1. Cara Substitusi
Jika f(x) = x4 – 2x3 + x + 5 maka nilai suku banyak tersebut untuk x = 1 adalah
f(1) = (1)4 – 2.( 1) 3 + 1 + 5 = 52. Metode Horner
Jika ax3 + bx2 + cx + d adalah suku banyak maka f(h) diperoleh cara sebagai berikut.
a
a ah3 + bh2 + ch + d
ah3 + bh2 + ch
ah2 + bh + c
ah2 + bh
ah + b
ah h b c d
+
Berarti kalikan dengan h
B. PEMBAGIAN SUKU BANYAKJika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x), secara matematis pembagian ini dapat ditulis:
f(x) = h(x) g(x) + s(x)
Keterangan: f(x) = yang dibagi à berderajat ng(x) = pembagi à berderajat kh(x) = hasil bagi à berderajat (n – k)s(x) = sisa à berderajat (k – 1)Catatan: k < n
C. TEOREMA SISAn Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – a) maka
sisanya = f(a).n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x + a) maka
sisanya = f(–a).
n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (ax – b) maka sisanya = f( b
a).
n Jika (x – a) habis dibagi/faktor dari suku banyak f(x) maka f(a) = 0.
D. TEOREMA FAKTOR
n Jika f(a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat nol suku banyak f(x), maka (x – a) adalah faktor dari suku banyak f(k).
n Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan f(b) = 0, maka f(x) habis dibagi (x – a) (x – b).
n Jika (x – a) adalah faktor dari f(x), maka x = a adalah akar dari f(x).
E. OPERASI AKAR-AKAR PADA SUKU BANYAKn Fungsi derajat tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
1.
2.
3. . .
bx x x
ac
x x x x x xa
dx x x
a
+ + = −
+ + =
= −
n Fungsi derajat empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
1 2 3 3
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 3 4 1 2 4 2 3 4
1 2 3 4
1.
2.
3.
4. . . .
bx x x x
ac
x x x x x x x x x x x xa
dx x x x x x x x x x x x
ae
x x x xa
+ + + = −
+ + + + + =
+ + + = −
=
BAB 11 FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain ditulis : f A B→ .
A. FUNGSI KOMPOSISI
f(x)x g(f(x))
gof
f
A B C
g
( )( ) ( )( )=g f x f f x
Sifat-sifat fungsi komposisi:n f g g f≠
n ( )f g h = ( )f g h f g h=
n I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka
berlaku I f f I= dan 1 1f f f f I− −= =
B. FUNGSI INVERSSuatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x)
dinotasikan 1( )f x− .
f(x)x
f-1
f
A B
Sehingga jika f(x) = y maka f-1 (y) = x. Fungsi invers berlaku:
-1( ) ( )= ⇔ =f a b f b a
Rumus,
( ) ( )1ax b dx bf x f x
cx d cx a-+ - +
= Þ =+ -
C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI
f(x)x g(f(x))
gof
(gof)-1
f
A B C
g
Sifat:
( ) ( ) ( )( )1 1 1g f x f g x− − −=
BAB 12 LIMITA. TEOREMA LIMIT
n Jika f(x) = k, maka limx a→
f(x) = k, dengan k konstanta, k dan a∈ real
n Jika f(x) = x, maka limx a→
f(x) = a
n limx a→
{ f(x) ± g(x)} = limx a→
f(x) ± limx a→
g(x)
n limx a→
k. f(x) = k. limx a→
f(x), k konstanta
n limx a→
{ f(x). g(x)} = limx a→
f(x). limx a→
g(x)
n lim ( )( )
lim , lim ( ) 0( ) lim ( )
→
→ →→
= ≠x a
x a x ax a
f xf xg x
g x g x
n { } { }lim ( ) lim ( )n
n
x a x af x f x
→ →=
Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain ditulis .
A. FUNGSI KOMPOSISI
Sifat-sifat fungsi komposisi:n
n
n I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka
berlaku dan
B. FUNGSI INVERSSuatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x)
dinotasikan .
A. TEOREMA LIMIT
n Jika f(x) = k, maka f(x) = k, dengan k konstanta, k dan a real
n Jika f(x) = x, maka f(x) = a
n { f(x) g(x)} = f(x) g(x)
B. LIMIT ALJABAR
1. Bentuk 00
a. Dengan pemfaktoran.b. Dengan aturan L’Hospital diperoleh:
( ) '( ) '( )lim lim
( ) '( ) '( )x a x a
F x F x F aG x G x G a→ →
= =
2. Bentuk tak tentu ∞∞
1
1
...lim
...
n n
m mx
ax bx cL
px qx r
−
−→∞
+ + + =+ + +
n Untuk n = m a
Lp
⇒ =
n Untuk n > m L⇒ = ∞
n Untuk n < m 0L⇒ =
3. Bentuk tak tentu ∞ − ∞
Rumus cepat:
( )2 2lim ( )2
( )
( )
x
b qax bx c px qx r Jika a p
aJika a p
Jika a p
®¥
-+ + - + + = =
= >=- <
C. LIMIT TRIGONOMETRI
0
0
0
0
sinlim 1
lim 1 sintan
lim 1
lim 1tan
x
x
x
x
xxx
xx
xx
x
→
→
→
→
=
=
=
=
0
sin lim
sin ( )lim
( )
x
x a
mx mnx n
m x a mn x a n
→
→
=
− =−
Beberapa rumus bantu:
1. sin 2 x + cos 2 x = 12. sin 2x = 2 sin x cos x
3. cos 2x = cos 2 x – sin 2 x
4. 1 – cos 2x = 2 sin 2 x
5. 1 + cos 2x = 2cos 2 x
BAB 13 TURUNANA. DEFINISI
0
( ) ( )' '( ) lim
h
f x h f xy f x
h→
+ −= =
B. RUMUS DASAR
1. Turunan suatu konstanta c.
Jika y = c maka y’ = 0
2. Turunan perkalian fungsi dan konstanta.
Jika y = c f(x) maka y’ = c f’ (x)
3. Turunan penjumlahan/pengurangan fungsi.
Jika y = u(x) ± v(x) maka y’ = u’(x) ± v’(x)
4. Turunan perkalian fungsi.
Jika y = u(x).v(x) maka y’ = u’(x).v(x) + u(x) v’(x)
5. Turunan pembagian fungsi.
Jika ( )( )
u xy
v x= maka
2
'( ). ( ) ( ). '( )'
( )u x v x u x v x
yv x
−=
6. Turunan fungsi komposisi (dalil rantai).
Jika y = f(g(x)) adalah .dy dy dgdx dg dx
=
7. Turunan fungsi pangkat.
Jika f(x) = ax n maka f’(x) = a.n x n 1−
Turunan Trigonometri
n f(x) = sin ax, maka f’(x) = a cos axn f(x) = cos ax, maka f’(x) = –a sin ax
n f(x) = tan ax, maka f’ (x) = a sec 2 ax
C. PENERAPAN TURUNAN
n Gradien (m) garis singgung di titik ( 1 1,x y ) pada kurva f(x)
( 1 1,x y ) m = f’(x)
f(x)
Gradien = nilai turunan pertama f(x) ketika x = x1.
m =f ’(x1)
Persamaan garis singgungnya:
1 1( )y y m x x− = −
n Interval fungsi naik dan interval fungsi turun
Kurva naik jika: f’(x) > 0Kurva turun jika: f’(x) < 0
n Keadaan stasionerBila keadaan stasioner terjadi di titik 1 1( , )x y maka f’(x1) = 0. 1 1( )y f x= disebut nilai stasioner.Jadi nilai maksimal/minimum adalah . 1 1( , ( ))x f xCatatan: Titik stasioner sama artinya dengan titik puncak/titik balik.
BAB 14 INTEGRALIntegral adalah anti turunan.
( ) ( )f x dx f x C′ = +∫
A. RUMUS DASAR
1. + =∫a dx ax C
2. 11, syarat 1
1n nx dx x C n
n+= + ≠ −
+∫
3. 1
lndx x Cx
= +∫
4. sin cosx dx x C= − +∫5. cos sinx dx x C= +∫6. 11
in os in1
m ms x c xdx s x Cm
+= ++∫
7. 11 sin cos
1m mcos x x dx x C
m+−= +
+∫
8. ( )( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫B. INTEGRAL SUBSTITUSI
( ) ( ) 1( )'( ) ( )
1
nn f x
f x f x dx Cn
+
⋅ = ++∫
C. INTEGRAL PARSIAL
UdV UV VdU= −∫ ∫D. LUAS DAERAH
( )
( )2 1
b
atas bawaha
b
a
L y y dx
L y y dx
= −
= −
∫
∫
( )
( )2 1
d
kanan kiric
d
c
L x x dy
L x x dy
= −
= −
∫
∫
Integral adalah anti turunan.
A. RUMUS DASAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
B. INTEGRAL SUBSTITUSI
E. VOLUME BENDA PUTAR
Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada p x q≤ ≤ , maka volume benda putar yang dibatasi oleh y1 dan y2 bila diputar terhadap sumbu x.
2 22 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
q
p
q
jauh dekatp
V y y dx
V y y dx
π
π
= −
= −
∫
∫
Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r x s≤ ≤ , maka volume benda putar yang dibatasi oleh x1 dan x2
terhadap sumbu y.
2 22 1
2 2
( ) ( )
( ) ( )
s
r
s
jauh dekatr
V x x dy
V x x dy
π
π
= −
= −
∫
∫
BAB 15 PROGRAM LINEARProgram linear adalah salah satu bagian dari matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai persoalan sehari-hari, di mana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linier yang mempunyai banyak penyelesaian, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimum).n Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model
matematika kendala/syarat/masalah berupa sis-tem pertidaksamaan linear.
n Hasil yang optimum ditentukan dengan terlebih dahulu membuat model matematika. Sasaran pro-gram berupa sebuah fungsi linier yang disebut fungsi sasaran/tujuan/objektif.
A. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIANDaerah (himpunan) penyelesaian pertidaksamaan
0Ax By C+ + ≥ atau 0Ax By C+ + ≤ dapat ditentukan sebagai berikut.n Jadikan A (koefisien x) bernilai positif.n Jika tanda pertidaksamaan ≥ , maka daerah pe-
nyelesaian di sebelah kanan garis 0Ax By C+ + = .n Jika tanda pertidaksamaan ≤ , maka daerah
penyelesaian di sebelah kiri garis 0Ax By C+ + = .
s
B. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIFHasil optimum terletak pada/di sekitar titik pojok atau pada garis batas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan, dengan demikian nilai optimum (maksimum/minimum) fungsi objektif dapat ditentu-kan dengan:Penggunaan Garis Selidik
Jika fungsi objektif ( , )f x y Ax By C= + + , maka garis selidiknya adalah Ax By C k+ + = . n Nilai maksimum terjadi di titik pojok/garis
batas paling kanan yang dilintasi garis selidik.n Nilai minimum terjadi di titik pojok/garis
batas paling kiri yang dilintasi garis selidik.Pengujian Titik Pojok
Jika fungsi objektif ( , )f x y Ax By C= + + disubstitusi dengan seluruh koordinat titik pojok, maka hasil yang terbesar/terkecil merupakan nilai optimum dari fungsi objektif tersebut.
BAB 16 BARISAN DAN DERETA. BARISAN ARITMATIKA
Barisan dengan selisih di antara dua suku yang berurutan besarnya sama.Contoh: 2, 4, 6, 8, ... à selisih 2.
Jika 1 2 3, , ,..., nU U U U merupakan suku-suku pada barisan aritmatika maka:
n Suku pertama = 1U a=
n Beda ⇒ 2 1 3 2 ...b U U U U= − = − = 1n nU U −= −n Suku ke-n
( 1)nU a n b= + −
n Jumlah n suku pertama ( )nS
(2 ( 1) )2n
nS a n b= + − atau ( )
2n n
nS a U= +
B. BARISAN GEOMETRI
Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan adalah sama.Contoh: 1, 2, 4, 8, ... à rasio 2
Jika 1 2 3, , ,..., nU U U U merupakan suku-suku pada barisan geometri, maka:
n Suku pertama = 1U a=
n Rasio ⇒ 32
1 2 1
... n
n
UU Ur
U U U −
= = = =n Suku ke-n
1nnU a r −= ⋅
n Jumlah n suku pertama ( )nS
( )1
1
n
n
a rS
r
−=
− atau
( )1
1
n
n
a rS
r
−=
−
C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
n Rumus jumlah deret geometri tak hingga:
1a
Sr∞ =
−
n Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil:
21ganjil
aS
r=
−
n Jumlah tak hingga dari suku-suku genap:
21genap
arS
r=
−
n Rasio deret geometri tak hingga: genap
ganjil
Sr
S=
Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen jika 1 1 1r r− < < ⇔ < .
BAB 17 MATRIKSMatriks adalah kumpulan elemen–elemen yang disusun dalam baris dan kolom.Contoh:
11 1
1
n
m mn
a a
A
a a
=
Dengan:a11: anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1amn: anggota matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n
Ordo dari matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan kolom. Pada matriks A, karena banyak baris = m dan banyak kolom = n, maka matriks A memiliki ordo m × n, dan ditulis Amn.
Kesamaan MatriksDua buah matriks dikatakan sama jika:1. ordonya sama2. anggota yang seletak harus sama
A. BARISAN ARITMATIKA
Barisan dengan selisih di antara dua suku yang berurutan besarnya sama.Contoh: 2, 4, 6, 8, ... à selisih 2.
Jika merupakan suku-suku pada barisan aritmatika maka:
n Suku pertama =
n Beda n Suku ke-n
n Jumlah n suku pertama
B. BARISAN GEOMETRI
Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan adalah sama.Contoh: 1, 2, 4, 8, ... à rasio 2
Jika merupakan suku-suku pada barisan geometri, maka:
Matriks adalah kumpulan elemen–elemen yang disusun dalam baris dan kolom.Contoh:
Dengan:a11: anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1amn: anggota matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n
Contoh:
1 2 3
4 5 6
a a aA
a a a
=
1 2 3
4 5 6
b b bB
b b b
=
Jika A = B, maka a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3, a4 = b4, a5 = b5, a6 = b6
Transpose MatriksJika pada satu matriks baris diubah menjadi kolom dan kolom diubah menjadi baris, maka akan didapat satu matriks baru yang disebut transpose matriks.
Transpose matriks A = At = AT
B. DETERMINANDeterminan hanya dimiliki matriks-matriks persegi.
n Matriks 2 × 2: a b
Ac d
=
Determinan matriks A: det A A ad bc= = −
n Matriks 3 × 3: a b c
B d e f
g h i
=
Determinan matriks B:
det B B= = a b c
d e f
g h i
a b c
d e f
g h i
+ + +
– – –
= (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)
C. INVERSn Suatu matriks mempunyai invers jika
determinannya tidak nol.
1 1
a b d bA A
c d c aad bc− −
= ⇒ = −− n Matriks A disebut matriks singular jika det A = 0
n ( ) 11A A−− =
n1 1 − −⋅ = ⋅ =A A A A I
Dengan: 2 2 3 3
1 0 01 0
0 1 00 1
0 0 1xI I×
= =
, I = matriks
identitas.
BAB 18 VEKTORVektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Notasi vektor: , , a b c , dan seterusnya.
a dibaca “vektor a”.
( )2 1 2 1 2 1, ,AB B A x x y y z z= − = − − −
2 2 2( , , )B x y z1 1 1( , , )A x y z
Vektor posisi adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah pusat koordinat.Vektor posisi dari titik A adalah OA a= .
Sehingga dari definisi vektor posisi AB b a= − .Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama.
A. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR
1. ( )1
1 2 3 1 2 3 2
3
, ,
a
a a i a j a k a a a a
a
= + + = =
2. Panjang vektor a dinotasikan sebagai
2 2 21 2 3a a a a= + +
3. Jika ( )1 2 3, ,a a a a= dan ( )1 2 3, ,b b b b= maka
( )1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b a b+ = + + +
4. Jika k adalah skalar, dan ( )1 2 3, ,a a a a= maka
( )1 2 3, ,ka ka ka ka=
Vektor Satuann Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu
satuan.
n Vektor satuan searah sumbu x adalah ( )1, 0, 0=idan vektor satuan searah sumbu y adalah
( )0, 1, 0=j dan vektor satuan searah sumbu z
adalah ( )0, 0, 1=k .
n Vektor satuan dari a adalah a
a.
Rumus Pembagian Ruas Garis
Jika p
adalah vektor posisi dari titik P yang membagi garis AB dengan perbandingan
: :AP PB m n= , maka
. .m b n ap
m n+=+
B. PERKALIAN TITIK/SKALAR (DOT PRODUCT)
n Diketahui ( )1 2 3, ,a a a a= dan ( )1 2 3, ,b b b b= maka
1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b= ⋅ + ⋅ + ⋅
n Diketahui a , b dan ( ),a b α∠ = maka
.. . .cos cos
.
a ba b a b
a bθ θ= ⇔ =
C. PROYEKSI
a bc
a bc
a bc θ
Bila c
adalah vektor proyeksi pada maka:a b
n Besar c
(panjang vektor proyeksi pada a b
):
.cos
a bc a
bθ= =
n Vektor c
proyeksi vektor pada a b
:
2
..
a bc b
b
=
BAB 19 TRANSFORMASI GEOMETRIJika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks
T
a bM
c d
=
maka ( , ) '( ', ')TMP x y P x y→ dengan
'
'
x a b x
y c d y
=
A. TRANSLASITranslasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Jika sembarang titik P(x,y) ditranslasi dengan matriks T
= a
b
, maka '
'
x x a
y y b
= +
. Jadi '( , )P x a y b+ + .
B. REFLEKSI/PENCERMINAN
n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan P’(x, –y).
x( , ) '( , )sumbuP x y P x y→ −
Matriks transformasinya adalah 1 0
0 1
−
n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y menghasilkan bayangan P’(–x, y).
y( , ) '( , )sumbuP x y P x y→ −
Matriks transformasinya adalah 1 0
0 1
−
n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y = x menghasilkan bayangan P’(y, x).
y x( , ) '( , )garisP x y P y x=→
Matriks transformasinya adalah 0 1
1 0
Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks
maka dengan
A. TRANSLASITranslasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.
Jika sembarang titik P(x,y) ditranslasi dengan matriks T
= , maka . Jadi .
n Pencerminan titik P(x,y) terhadap garis y = –x menghasilkan bayangan P’(–y, –x)
y x( , ) '( , )=−→ − −garisP x y P y x
Matriks transformasinya adalah 0 1
1 0
− −
n Matriks refleksi terhadap garis y = x + k ' 0 1 0
' 1 0
x x
y y k k
= + − n Matriks refleksi terhadap y = –x + k
' 0 1 0
' 1 0
x x
y y k k
− = + − −
n Refleksi terhadap garis x = h( , ) '(2 , )x hP x y P h x k=→ −
n Refleksi terhadap garis y = k( , ) '( ,2 )y kP x y P x k y=→ −
n Refleksi terhadap garis x = h lalu y = k,( , ) '(2 ,2 )x h y kP x y P h x k y= =→ − −
n Pencerminan terhadap dua garis yang saling berpotongan
Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan yaitu garis 1 1 1 y m x c= + dan 2 2 2 y m x c= + akan menghasilkan rotasi dengan:a. pusat di titik potong dua garis, b. besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat
sudut antara kedua garis,c. arah rotasi sama dengan arah dari garis
pertama ke garis kedua.Jika α sudut yang dibentuk antara garis
1 1 1 y m x c= + dan 2 2 2 y m x c= + , maka
1 2
1 2
tan1
m m
m mα −=
+ ⋅.
C. ROTASIRotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, berlaku sebaliknya.n Rotasi dengan pusat (0, 0) sebesar α
' cos sin
' sin cos
x x
y y
α αα α
− =
n Rotasi dengan pusat (a,b) sebesar α
' cos sin
' sin cos
x a x a
y b y b
α αα α
− − − = − −
D. DILATASI
Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor dilatasi (faktor skala).n Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k
adalah0
0
k
k
n Dilatasi dengan pusat (0, 0) dengan faktor skala k' 0
' 0
x k x
y k y
=
n Dilatasi dengan pusat (a, b) dengan faktor skala k' 0
' 0
x a k x a
y b k y b
− − = − −
E. KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika transformasi 1T bersesuaian dengan matriks 1M
dan transformasi 2T bersesuaian dengan matriks 2M ,
maka transformasi 1T lalu transformasi 2T ditulis 2 1T T
bersesuaian dengan matriks 2 1M M⋅ .
