DIKTAT BAHAN KULIAH

MATEMATIKA LANJUT

SIP 612162 BOBOT 3(3-0)

SEMESTER II

OLEH

YOHANNES

NIP. 195204071986031001

JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMPUNG

AGUSTUS 2012

i

KATA PENGANTAR

Matematika Lanjut adalah lanjutan dari mata kuliah Matematika. Mata kuliah Ini juga

masih merupakan ilmu dasar dalam bidang keteknik-sipilan. Banyak permasalahan teknik sipil

yang lebih rumit dapat diatasi dengan pendekatan matematika lanjut ini. Oleh karena itu

penguasaan bidang ilmu ini juga sangat penting bagi mahasiswa teknik sipil.

Diktat ini disusun sesuai dengan kurikulum 2012 bagi mahasiswa S1 Teknik Sipil

Fakultas Teknik Universitas Lampung untuk memudahkan pemahaman dalam perkuliahan,

walaupun tidak menutup kemungkinan dipergunakan juga oleh para alumni atau teknisi yang

berkepentingan dengan masalah matematika. Diktat ini berisi penjelasan singkat mengenai

konsep matematika lanjut disertai tuntunan praktis dalam contoh-contoh perhitungan. Rumus-

rumus yang ditampilkan tidak diuraikan penjabarannya secara rinci namun hanya dibahas

penggunaannya saja. Oleh karena itu, jika ingin mempelajari Matematika Lanjut lebih

mendalam, dianjurkan mempelajari buku teks lainnya.

Terima kasih penulis sampaikan kepada para rekan dosen dan mahasiswa yang

memberi saran dan kritik demi penyempurnaan buku ini. Semoga diktat ini bermanfaat.

Bandarlampung, 16 September 2012

Penulis,

Yohannes

ii

DAFTAR ISI

Halaman

JUDUL

Kata Pengantar …………………………………………… i

Bab I Integral Tak Tentu

1.1. Pengertian Integral …………………………………………… 1

1.2. Integral Parsial …………………………………………… 4

1.3. Integral Fungsi Rasional …………………………………………… 4

1.4. Integral Fungsi Trigonometri …………………………………………… 6

1.5. Integral dengan Substitusi Trigonometri …………………………… 7

1.6. Integral dengan Substitusi Khusus …………………………………… 9

Tugas Mandiri Bab I …………………………………………… 12

BAB II Integral Tertentu

2.1 Pengertian Integral Tertentu …………………………………………… 14

2.2 Perhitungan Luas …………………………………………… 15

2.3 Volume Benda Putar …………………………………………… 16

a. Metode Cakram …………………………………………… 16

b. Metode Kulit …………………………………………… 18

2.4 Panjang Busur Kurva Datar …………………………………………… 19

2.5 Luas Permukaan Benda Putar …………………………………………… 20

Tugas Mandiri Bab II …………………………………………… 22

BAB III Integral Lipat

3.1 Integral Lipat Dua …………………………………………… 24

3.2 Luas Daerah Tertutup …………………………………………… 26

3.3 Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub …………………………… 27

3.4 Integral Lipat Dua Pada Ruang 3D ………………………………………… 28

3.5 Integral Lipat Tiga …………………………………………… 29

Tugas Mandiri Bab III …………………………………………… 30

Sumber Pustaka .......………………………………………………................… 31

1

BAB I

INTEGRAL TAK TENTU

1.1 Pengertian Integral

Anti-derivatif

Jika F(x) adalah fungsi dengan turunannya F’(x) = f(x) pada interval tertentu dari sumbu x, maka anti-

derivatif atau disebut sebagai integral tak tentu dari f(x) diberikan oleh persamaan:

∫ f(x) dx = F(x) + C

dengan C adalah konstanta sembarang yang disebut juga konstanta integral.

Jadi anti-derivatif atau anti-diferensial adalah proses menemukan anti-turunan dari suatu fungsi. Integral

tak tentu dari suatu fungsi bersifat tidak unik.

Rumus dasar integral

Karena integral adalah operasi kebalikan dari diferensial, maka rumus integral dapat diperoleh dari rumus

diferensial.

Berikut adalah rumus dasar integral dimana x, u dan v merupakan fungsi, a adalah bilangan konstanta

dan C adalah konstanta integrasi

a. Rumus Dasar Integral

1. Fungsi Aljabar

1. ∫ dx = x + C

2. ∫ (u + v) dx = ∫ u dx + ∫ v dx

3. ∫ au dx = a ∫ u dx, a konstan

4. ∫ xa dx = 1a

1+

xa+1 + C, a ≠ – 1

5. ∫x1

dx = ln | x | + C

6. ∫ ax dx = aln

xa+ C, a > 0 dan a ≠ 1

7. ∫ ex dx = ex + C

Contoh: Hitunglah integral berikut

1. ∫ 3 dx Jawab : ∫ dx = 3x + C

2. ∫ (x2 + 5x – 2) dx Jawab : ∫ (x2 + 5x – 2) dx = ∫ x2 dx + ∫ 5x dx – ∫ 2 dx = 31

x3 + 25

x2 – 2x + C

3. ∫ 3(4x + 5) dx Jawab : ∫ 3(4x + 5) dx = 3 ∫ (4x + 5) dx = 3(2x2 + 5x + C = 6x2 + 15 x + C

4. ∫ x3 dx Jawab : ∫ x3 dx = 13

1+

x3+1 + C = 41

x4 + C

5. ∫x1

dx Jawab : ∫ x1

dx = ln |x| + C

6. ∫ 6x dx Jawab : ∫ 6x dx = 6ln

x6+ C

7. ∫ ex dx Jawab : ∫ ex dx = ex + C

2

8. ∫ (1 – x) x dx Jawab : ∫ (1 – x) x dx = ∫ ( x – x x dx = ∫ (x1/2 – x3/2) dx

= 2/3 x3/2 – 2/5 x5/2 + C = 2/3 x x – 2/5 x2 x + C

9. ∫ (x3 + 2)2 3x2 dx Jawab : misal u = x3 + 2, maka du = 3x2 dx

∫ (x3 + 2)2 3x2 dx = ∫ u2 du = 31 u3 + C =

31 ( x3 + 2)3 + C

10. ∫ 3)23x(

dx2x8

+ Jawab : misal u = x3 + 2, maka du = 3x2 dx atau x2 dx = 1/3 du

∫3)23x(

dx2x8

+ = ∫

3u

du3/18 = 38 ∫

3u

du = 38 (

21− ) u-2 + C

= – 2u3

4 + C =

2)23x(3

4

+− + C

2. Fungsi Trigonometri

1. ∫ sin x dx = – cos x + C

2. ∫ cos x dx = sin x + C

3. ∫ tan x dx = – ln cos x + C

4. ∫ cot x dx = ln sin x + C

5. ∫ sec x dx = ln sec x + tan x + C

6. ∫ csc x dx = ln csc x – cot x + C

7. ∫ sec2x dx = tan x + C

8. ∫ csc2x dx = – cot x + C

9. ∫ sec x tan x dx = sec x + C

10. ∫ csc x cot x dx = – csc x + C

Contoh: Hitunglah integral berikut

1. ∫ sin x dx Jawab : ∫ sin x dx = – cos x + C

2. ∫ cos x dx Jawab : ∫ cos x dx = sin x + C

3. ∫ sin 2x dx Jawab : misal 2x = u maka turunannya 2 dx = du atau dx = ½ du

Jadi ∫ sin 2x dx = ∫ sin u ½ du = ½ ∫ sin u du = – ½ cos u + C = – ½ cos 2x + C

4. Buktikan bahwa ∫ tan x dx = – ln cos x + C

Jawab : ∫ tan x dx = ∫xcosxsin

dx misal: cos x = u, turunannya – sin x dx = du

Jadi ∫xcosxsin dx = ∫ –

udu

= – ln | u | + C = – ln | cos x | + C (Terbukti)

5. Buktikan bahwa ∫ sec x dx = ln sec x + tan x + C

Jawab : ∫ sec x dx = ∫ xcos

1

dx = ∫

xcos1

xcosxcos

xsin1xsin1

++

dx = ∫

x2cos

xsin1+xsin1

xcos+

dx

Misal u = xcosxsin1+

maka

du = x2cos

)xsin)(xsin1(xcosxcos −+− dx =

x2cos

x2sinxsinx2cos ++

dx =

x2cos

xsin1+dx

3

Jadi ∫ sec x dx = ∫ x2cos

xsin1+xsin1

xcos+

dx = ∫ du u1

= ∫

u1

du = ln | u | + C

= ln | xcosxsin1+

| + C = ln | xcosxsin

xcos1 + | + C = ln | sec x + tan x | + C (terbukti)

6. Buktikan bahwa ∫ sec2x dx = tan x + C

Jawab : misal u = tan x = xcosxsin

maka du = x2cos

x2sinx2cos +

dx =

x2cos

1dx = sec2x dx

Jadi ∫ sec2x dx = ∫ du = u + C = tan x + C (Terbukti)

7. Buktikan bahwa ∫ sec x tan x dx = sec x + C

Jawab : ∫ sec x tan x dx = ∫ xcosxsin

xcos1

dx = ∫ x2cos

xsindx

Misal u = cos x maka du = – sin x dx atau sinx dx = – du

Jadi ∫ sec x tan x dx = ∫ x2cos

xsindx = – ∫

2u

1

du =

u1

+ C

= xcos

1 + C = sec x + C (terbukti)

8. Fungsi Dalam Bentuk Pecahan atau Akar

1. ∫2x2a

dx

− = arc sin

ax

+ C

2. ∫2x2a

du

+ =

a1

arc tan ax

+ C

3. ∫2a2xx

dx

− =

a1

arc sec ax

+ C

4. ∫2a2x

dx

− = C

axax

lna21 +

+−

5. ∫2x2a

dx

− = C

axax

lna21 +

−+

6. ∫2a2x

dx

+ = ln (x + 2a2x + ) + C

7. ∫ 2a2x

dx

−= ln x + 2a2x − + C

8. ∫ 2x2a − dx = 21 x 2x2a − +

21 a2 arcsin

ax

+ C

9. ∫ 2a2x + dx =21 x 2a2x + +

21 a2 ln | x + 2a2x + | + C

10. ∫ 2a2x − dx = 21 x 2a2x − –

21 a2 ln | x + 2a2x − | + C

4

Contoh: Buktikan hasil integral berikut

1. ∫ 2x2a

dx

− = arc sin

ax

+ C

Jawab : misal x = a sin u maka dx = a cos u du

sin u = ax

maka u = arc sin ax

2x2a − = u2sin2a2a − = )u2sin1(2a − = u2cos2a = a cos u

∫ 2x2a

dx

− = ∫

ucosaduucosa = ∫ du = u + C = arc sin

ax

+ C (terbukti)

1.2 Integral Parsial

Jika u dan v merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, maka

d(uv) = u dv + v du

u dv = d(uv) – v du

∫ u dv = uv – ∫ v du adalah rumus integral parsial

Contoh : Hitung integral berikut

1. ∫ x ln x dx Jawab :

misal u = ln x maka du = x1

dx dan dv = x dx maka v = 2x21

∫ u dv = uv – ∫ v du

∫ x ln x dx = ln x. 2x21 – ∫ dx

x1

.2x21 = 2x

21 ln x – ∫ dxx

21 = 2x

21 ln x – 2x

41 + C

2. ∫ x sin x dx Jawab :

misal u = x maka du = dx dan dv = sin x dx maka v = – cos x

∫ x sin x dx = x (– cos x) – ∫ – cos x dx = – x cos x + sin x + C

1.3 Integral Fungsi Rasional

Fungsi polinomial dalam x adalah fungsi dengan bentuk

nax1na.............2nx2a1nx1anx0a +−++−+−+

dengan semua a kontanta dan a0 ≠ 0, dan n bilangan asli termasuk nol.

Fungsi H disebut fungsi rasional jika H(x) = )x(Q)x(P

dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomial.

Jika derajat P(x) lebih rendah daripada derajat Q(x), maka H(x) disebut rasional sejati.

Jika derajat P(x) lebih tinggi daripada derajat Q(x), maka H(x) disebut rasional tidak sejati.

a. Rasional Sejati

Untuk mengintegrasikan fungsi rasional sejati, maka bentuk )x(Q)x(P

harus diubah menjadi jumlah dari

bagian yang lebih sederhana. Penyebut diubah dengan menguraikan/memfaktorisasi Q(x) dalam

hasil kali faktor linier atau kuadratis.

5

KASUS 1: Hasil pemfaktoran Q(x) semuanya dapat dibuat linier dan tak berulang, atau

Q(x) = (x – a1) (x – a2) ……………. ..... (x – an) maka dibuat menjadi

)x(Q)x(P

= )1ax(

A−

+ )2ax(

B−

+ ...................... + )nax(

N−

KASUS 2: Faktor Q(x) semua linier tapi ada yang berulang

Q(x) = (ax + b) (ax + b) ……………. ..... (ax + b)n maka dibuat menjadi

)x(Q)x(P

= )bax(

A+

+ 2)bax(

B

+ + ...................... +

n)bax(

N

+

KASUS 3: Faktor Q(x) ada yang linier dan kuadratis, dimana faktor kuadratis tidak berulang. Setiap

faktor kuadratis cbx2ax ++ pada penyebut yang tidak dapat diringkas, dibentuk menjadi

cbx2ax

BAx

++

+ dengan A dan B konstanta yang harus ditentukan.

Contoh : Hitung integral fungsi berikut

1. ∫ x22x3x

1x

−−

− dx =

Jawab: Ubahlah fungsi tersebut menjadi pecahan terpisah:

x22x3x

1x

−−

− = )1x)((2x(x

1x+−

− =

xA

+ 2x

B−

+ 1x

C+

= )1x)((2x(x

)2x(Cx)1x(Bx)1x)(2x(A+−

−++++−

Carilah nilai konstanta A, B, dan C dengan pemecahan berikut

x – 1 = A (x – 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x – 2)

= Ax2 – Ax – 2A + Bx2 + Bx + Cx2 – 2Cx

= (A + B + C) x2 + (– A + B – 2C) x – 2A = 0x2 + x – 1

Selesaikan persamaan berikut

a. A + B + C = 0

b. – A + B – 2C = 1 diperoleh A = 21 , B =

61 , C =

32− , sehingga

c. – 2A = 1

∫ x22x3x

1x

−−

− dx = ∫ (x2

1 +

)2x(61−

–)1x(3

2+

) dx

= 21 lnx +

61 lnx – 2 –

32 lnx + 1 +

61 ln C

= 61 (3 lnx + lnx – 2 – 4 lnx + 1 + ln C ) =

61 ln

4)1x(

)2x(3Cx

+

−

2. ∫3)2x(2x

13x

−

− dx

Jawab : Ubahlah menjadi pecahan terpisah.

catatan: Untuk penyebut dengan faktor berpangkat n dibuat n pecahan dengan pangkat n, n -1,

……… dan seterusnya,

6

3)2x(2x

13x

−

− =

2x

A + x

B + 3)2x(

C

− +

2)2x(

D

− +

)2x(

E

−

= 3)2x(2x

2)2x(2Ex)2x(2Dx2Cx3)2x(Bx3)2x(A

−

−+−++−+−

3)2x(2x

13x

−

− =

3)2x(2x

2)2x(2Ex)2x(2Dx2Cx3)2x(Bx3)2x(A

−

−+−++−+−

x3 – 1 = A(x – 2)3 + Bx (x – 2)3 + Cx2 + Dx2 (x – 2) + Ex2 (x – 2)2

= A(x3 – 6x2 + 12x – 8) + Bx(x3 – 6x2 + 12x – 8) + Cx2 + Dx3 – 2Dx2 + Ex2(x2 – 4x + 4)

= Ax3 – 6Ax2 + 12Ax – 8A + Bx4 – 6Bx3 + 12Bx2 – 8Bx + Cx2 + Dx3

– 2Dx2 + Ex4 – 4Ex3 + 4Ex2

= (B + E)x4 + (A – 6B + D – 4E)x3 + (–6A + 12B + C – 2D + 4E)x2

+ (12A – 8B)x – 8A = 0x4 + x3 + 0x2 + 0x – 8A

Maka

a. B + E = 0 diperoleh:

b. A – 6B + D – 4E = 1 A = 81 , B =

163 , C =

47

c. – 6A + 12B + C – 2D + 4E = 0 D = 45 , E = –

163

d. 12A – 8B = 0

e. – 8A = – 1

Jadi, ∫3)2x(2x

13x

−

− dx

= ∫

2x8

1 + x16

3 + 3)2x(4

7

− +

2)2x(4

5

− –

)2x(16

3

−

= – x8

1 +

163 ln x –

2)2x(8

7

− –

)2x(45−

– 163 ln x – 2 + C

b. Rasional Tidak Sejati

Untuk menyelesaikan integral fungsi rasional tidak sejati, pembilang dibagi penyebut sehingga

membentuk rasional sejati, lalu dintegrasikan sesuai petunjuk di atas. Untuk mengubah fungsi

rasional tidak sejati menjadi fungsi rasional sejati dapat dilihat pada contoh berikut

Contoh: 42x

1x32x104x

−

++− = 42x

23x3)62x)(42x(

−

−+−− = 42x

23x3

42x

)62x)(42x(

−

−+−

−− = 42x

23x362x

−

−+−

1.4 Integral Fungsi Trigonometri

Untuk mengerjakan integral fungsi trigonometris, terkadang harus mengubah fungsi tersebut dengan

menggunakan persamaan-persamaan trigonometri.

Contoh: Hitung integral berikut

1. ∫ sin2x dx = ∫ 21 (1 – cos2x) dx =

21 x –

41 sin 2x + C

2. ∫ cos5x dx = ∫ cos4x cos x dx = ∫ (1 – sin2x)2 cos x dx = ∫ (1 – 2sin2x + sin4) cos x dx

= ∫ cos x dx – ∫ 2sin2x cos x dx + ∫ sin4x cos x dx

7

= sin x – ∫ 2sin2x cos x dx + ∫ sin4x cos x dx + C

misal u = sin x maka du = cos x dx

– ∫ 2sin2x cos x dx = – 2 ∫ u2 du = – 32 u3 + C = –

32 sin3x + C

∫ sin4x cos x dx = ∫ u4 du = 51 u5 + C =

51 sin5x + C

Jadi ∫ cos5x dx = sin x – 32 sin3x +

51 sin5x + C

3. ∫ sin2x cos3x dx = ∫ sin2x cos2x cos x dx = ∫ sin2x (1 – sin2x) cos x dx = ∫ (sin2x – sin4x) cos x dx

misal u = sin x maka du = cos x dx

∫ (sin2x – sin4x) cos x dx = ∫ (u2 – u4) du = 31 u3 –

51 u5 =

31 sin3x –

51 sin5x + C

1.5 Integral Dengan Substitusi Trigonometri

Fungsi yang mengandung salah satu dari bentuk 222 xba − , 222 xba + , atau 222 axb − dan

tidak memiliki faktor irasional lainnya dapat ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri menggunakan

variabel baru sebagai berikut:

BENTUK SUBSTITUSI DIPEROLEH

1. 2x2b2a − x = ba sin u a u2sin1− = a cos u

2. 2x2b2a + x = ba tan u a u2tan1+ = a sec u

3. 2a2x2b − x = ba sec u a 1u2sec − = a tan u

Contoh: Hitung integral berikut

1. ∫ x

2x49 − dx Jawab:

Soal ini mempunyai bentuk 222 xba − maka gunakan substitusi x =

ba

sin u

atau x = 23

sin u dan dx =23

cos u du

sehingga 2x49 − = u2sin99 − = u2cos9 = 3 cos u

∫ x

2x49 − dx

= ∫

usin23

ucos3 (23

cos u du) = 3 ∫ usinu2cos du = 3 ∫

usinu2sin1− du

= 3 ∫ (usin

1– sin u) du = 3 ∫ csc u du – 3 ∫ sin u du

= 3 lncsc u – cot u + 3 cos u + C

karena x = 23

sin u maka sin u = 3x2 (lihat gambar di samping)

didapat csc u =x2

3, cot u =

x2

x49 2−, cos u =

3

x49 2−

u

2x49 −

2x 3

8

∫ x

2x49 − dx

= 3 lncsc u – cot u + 3 cos u + C

= 3 ln

x23

– x2

2x49 − + 3 3

2x49 − + C

= 3 ln x2

2x493 −− + 2x49 − + C

2. ∫ 2x42x

1

+ dx Jawab:

Soal ini mempunyai bentuk 2x2b2a + maka gunakan substitusi x =

ba tan u

substitusi : x = 2 tan u, dx = 2 sec2 u du,

2x4 + = u2tan44 + =

2 sec u

tan u = 2x

, sin u = 2x4

x

+

∫2x42x

1

+ dx = ∫

usec2u2tan4

duu2sec2 =

41∫

u2tan

usecdu =

41∫

u2sin

u2cosucos

1 du

= 41∫

u2sin

ucosdu misal p = sin u maka dp = cos u du sehingga

= 41∫

u2sin

ucosdu =

41∫

2p

1dp = –

41

p1

+ C = – usin4

1 + C = – x4

2x4 + + C

3. ∫

252x

1

− dx Jawab :

Soal ini mempunyai bentuk 2a2x2b − maka gunakan substitusi x =

ba sec u

substitusi : x = 5 sec u maka dx = 5 sec u tan u du

252x − = 25u2sec25 − = u2tan25 = 5 tan y,

sec u = 5x

dan tan u = 5

25x2 −

∫

252x

1

− dx = ∫

utan5utanusec5

du = = ∫ sec u du = lnsec u + tan u + C

= ln5x +

5

252x − + C = ln

5

25xx 2 −+ + C

= lnx + 25x2 − – ln 5 + C = lnx + 25x2 − + C

Catatan : karena – ln 5 adalah konstan maka digabung dengan C

u

2x4 + x

2

u

x

5

252x −

9

1.6 Integral Dengan Substitusi Khusus

Jika fungsi mempunyai bentuk sebagai berikut:

A. n bax + maka substitusi ax + b = un akan mengubahnya menjadi rasional.

Contoh:

Hitung ∫2x)2x(

1

+− dx Jawab:

Substitusi x + 2 = u2, maka x = u2 – 2 , dx = 2u du. dan u = 2x +

∫2x)2x(

1

+− dx = ∫

u)42u(

duu2

−

= 2 ∫)42u(

du

−= 2 ∫

)2u)(2u(du

−+

= 2 ∫ ()2u(4

1+

− + )2u(4

1−

) du = 2.41

( – lnu + 2 + lnu – 2) + C

= 2u2u

ln21

+− + C =

22x

22xln

21

++

−+ + C

B. 2xpxq ++ maka substitusi q + px + x2 = (u – x)2 akan mengubahnya menjadi rasional.

Contoh:

Hitung ∫ 2x2xx

1

++ dx Jawab:

Substitusi x2 + x + 2 = (u – x)2, maka x2 + x + 2 = u2 – 2ux + x2

disederhanakan menjadi x + 2ux = u2 – 2 didapat x = u2122u

+−

dan x2 + x + 2 = (u – x)2 atau u – x = 2x2x ++ maka u = 2x2x ++ + x

dx = 2)u21(

2)22u()u21(u2

+

−−+ du =

2)u21(

42u22u4u2

+

+−+

du = 2)u21(

4u22u2

+

++

du

2x2x ++ = 2)xu( − = u – x = u –

u2122u

+− =

u2122u2u2u

++−+ =

u212u2u

+++

∫ 2x2xx

1

++ dx

= ∫

u212u2u

u2122u

du2)u21(

4u22u2

+++

+−

+

++

= ∫

2)u21(

4u22u22u23u4u

du2)u21(

4u22u2

+

−−−++

+

++

= ∫

2)u21(

4u23u4u

du2)u21(

4u22u2

+

−−+

+

++

= ∫ )22u()2u2u(

du)2u2u(2

−++

++ = 2 ∫ 22u

du

− = 2 ∫

)2u()2u(

du

−+

)2u()2u(

1

−+ =

)2u(

A

++

)2u(

B

− =

)2u()2u(

)2u(B)2u(A

−+

++− =

)2u()2u(

)2BuB2AAu

−+

++−

10

= )2u()2u(

)2B2A(u)BA(

−++−++

= )2u()2u(

1u0

−++

Dari A + B = 0 dan (– A + B) 2 = 1 diperoleh A =

22

1− dan B = 22

1 maka

)2u()2u(

1

−+ =

)2u(22

1

+− +

)2u(22

1

− =

22

1 (2u

1

+− +

2u

1

−)

= 2 ∫ )2u()2u(

du

−+ = 2 ∫

22

1 (2u

1

+− +

2u

1

−) du =

2

1∫ (

2u

1

−–

2u

1

+) du

= 2

1 (ln |u – 2 | – ln |u + 2 |) = 2u

2uln

2

1

+

− + C =

2x2x2x

2x2x2xln

2

1

++++

−+++ + C

C. 2xpxq −+ = )x()x( −β+α maka substitusi q + px – x2 = (α + x)2 u2 atau

q + px – x2 = (β – x)2 u2 akan mengubahnya menjadi rasional

Contoh:

Hitung ∫ 3)2xx45(

x

−− dx Jawab:

5 – 4x – x2 = (5 + x) (1 – x) maka substitusi (5 + x) (1 – x) = (1 – x)2 u2

5 + x = (1 – x) u2 sehingga 5 + x = u2 – xu2 diperoleh (1 + u2) x = u2 – 5 atau x = 2u1

52u

+

−

dan dx = 2)2u1(

u2)52u()2u1(u2

+

−−+ du = 2)2u1(

u103u23u2u2

+

+−+ du =

2)2u1(

duu12

+

Karena 5 – 4x – x2 = (1 – x)2 u2

maka 2xx45 −− = (1 – x) u = ( 1 – 2u1

52u

+

− ) u = 2u1

52u2u1

+

+−+ u = 2u1

u6

+

Jadi ∫ 3)2xx45(

x

−− dx = ∫

3)2u1

u6(

2)2u1(

u122u1

52u

+

++

−

du = ∫

3)2u1(

3u216

3)2u1(

u603u12

+

+

−

du

= ∫ 3u216

)52u(u12 − du = ∫ 2u18

52u − du = 181∫

2u

51( − ) du =

181

(u + u5

) + C

Karena 5 – 4x – x2 = (1 – x)2 u2

maka u2 = 2)x1(

2xx45

−

−−=

2)x1(

)x1)(x5(

−

−+

= x1x5

−+

dan u = x1x5

−+

sehingga ∫ 3)2xx45(

x

−− dx =

181

(u + u5

) + C = 181

(u

52u +) + C

11

= 181

(

x1x5

x1x55

x1x5

−+

−−+

−+

) + C = 2xx459

x25

−−

− + C

D. m xn x( − , maka substitusi x = um jika m > n akan mengubahnya menjadi rasional.

Contoh:

Hitung ∫ x4x

1

− dx Jawab:

Substitusi x = u4, maka dx = 4u3 du, x = u2, dan 4 x = u

∫ x4x

1

− dx = ∫

u2u

3u4

− du = 4 ∫

1u

2u−

du = 4 ∫ 1u

1)12u(−

+− du = 4 ∫ )

1u1

1u12u

(−

+−−

du

= 4 ∫ )1u

11u(

−++ du = 4 (

21

u2 + u + lnu – 1) + C

= 2 x + 4 4 x + ln ( 4 x – 1)4 + C

E. Substitusi x = 2 arc tan u akan mengganti setiap fungsi rasional dalam sin x dan cos x menjadi

fungsi rasional dalam u karena

sin x = 2u1

u2

+, cos x =

2u1

2u1

+

− , dx = 2u1

du2

+

Setelah diintegrasi, gunakan u = tan 2x

untuk kembali ke variabel aslinya.

Contoh:

Hitung ∫ xcosxsin1

1−+

dx Jawab

substitusikan sin x = 2u1

u2

+, cos x =

2u1

2u1

+

− , dx = 2u1

du2

+

∫ xcosxsin1

1−+

dx = ∫

2u1

2u12u1

u21

2u1

2

+

−−+

+

+ du = ∫

2u1

2u12u1

u22u1

2u1

2u1

2

+

−−+

++

++ du

= ∫

2u1

)u1(u2

2u1

2

+

++ du = ∫

)u1(u1+

du = ∫ )u1

1u1

(+

− du = lnu – ln1+u + C

= ln u1

u+

+ C = ln

2x

tan1

2x

tan

+ + C

1 + u2

1 – u2

2u

x

12

TUGAS MANDIRI BAB I

Tugas Subbab 1.1

Hitung integral berikut

1. ∫ 4

23x

dx2x

+ 4. ∫

3x

3)22x( + dx

2. ∫ 2x21x3 − dx 5. ∫ (x-2 + x-1)2 dx

3. ∫ x

2)x1( + dx 6. ∫ (x – 3)5 dx

Tugas: Buktikan hasil integral berikut

1. ∫ cot x dx = ln sin x + C

2. ∫ csc x dx = ln csc x – cot x + C

3. ∫ csc2x dx = – cot x + C

4. ∫ csc x cot x dx = – csc x + C

Tugas: Buktikan hasil integral di atas no. 2 – 10

Tugas Subbab 1.2

Hitung integral berikut dengan menggunakan metode integral parsial

1. ∫ x cos x dx 4. ∫ x sin2 x dx

2. ∫ x x1+ dx 5. ∫ (x + a) sin ax dx

3. ∫ x2 sin x dx

Tugas Subbab 1.3

1. ∫+−−

+

1x2x3x

dx)5x3( 4. ∫

++

+++

)32x()12x(

dx)3x2x3x(

2. ∫−

−−−2x3x

dx)1x3x4x( 5. ∫− 3)x1(

dx4x

3. ∫+

+2)12x(

dx)32x2(

Tugas Subbab 1.4

1. ∫ dxx4tan 3. ∫ dxx32cosx34sin 5. ∫ dxx5cosx3sin

2. ∫ dxx23cot 4. ∫ − dxxcos1 6. ∫ dxx2cosx4cos

13

Tugas Subbab 1.5

1. ∫− 2x1

dx 3. ∫

− 6x1

dx2x 5. ∫−

+2xx4

dx)2x(

2. ∫−12xx

dx 4. ∫

−

+2x1

dx)3x( 6. ∫

+12x

dx

Tugas Subbab 1.6

1. ∫ + dxx1x 6. ∫+ )x2cos1(xcos

dxxsin 11. ∫

+ )x1(x

dx

2. ∫+ 2/5)2x1(

dx 7. ∫

−dx

3)x1(

4x 12. ∫+++ 4

1x1x

dx

3. ∫+−−

+

1x2x3x

dx)5x3( 8. ∫

++

+++

)32x()12x(

dx)3x2x3x( 13. dxxcos1xcosxsin

∫ −

4. ∫−

−−−2x3x

dx)1x3x4x( 9. ∫− x1x

dx 14. ∫+ x1

dx2x

5. ∫+

+dx

2)12x(

32x2 10. ∫ − dx3x15x 15. ∫ dxxsin

14

BAB II

INTEGRAL TERTENTU

2.1 Pengertian Integral Tertentu

Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval tertutup [a, b] maka integral tertentu f(x) dari a ke b dinyatakan

oleh ∫b

adx)x(f , dimana f(x) disebut integran, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas.

Jika fungsi f(x) kontinyu pada interval tertutup [a, b], maka f(x) dapat diintegralkan pada [a, b].

Jika f(x) dan g(x) kontinyu pada interval integrasi a ≤ x ≤ b, dan k = konstanta, maka berlaku :

1. ∫a

adx)x(f = 0

2. ∫b

adx)x(f = – ∫

a

bdx)x(f

3. ∫b

adx)x(fk = k ∫

b

adx)x(f

4. { }∫ ±b

adx)x(g)x(f = ∫

b

adx)x(f ± ∫

b

adx)x(g

5. ∫c

adx)x(f + ∫

b

cdx)x(f = ∫

b

adx)x(f jika a < c < b

6. Jika F(u) = ∫u

0dx)x(f , maka

du)u(Fd = f(u)

7. ∫b

adx)x(f = F(x)

b

a = F(b) – F(a)

8. ∫b

adx)x(f ≥ ∫

b

adx)x(g , jika f(x) ≥ g (x) dalam interval [a, b]

Contoh soal

1. Hitung ∫3

1dx2x Jawab: ∫

3

1dx2x =

3

1

3x31

= 31 [33 – 13] =

326 = 8

32

2. Hitung ∫ +3

0dxx1x Jawab: Substitusi: 1 + x = u2, maka x = u2 – 1, dx = 2 u du, dan x1+ = u.

∫ +3

0dxx1x = ∫ −

2u

1u)duu2(u)12u( = 2 ∫ −

2u

1udu)2u4u( = 2

2u

1u

3u315u

51

−

= 3

0

2/3)x1(322/5)x1(

52

+−+ = 2/3)1(322/5)1(

522/3)4(

322/5)4(

52 +−−

= 64/5 – 16/3 – 2/5 + 2/3 = 116/15

15

3. Hitung ∫−

+4

3dx2x Jawab : Fungsi f(x) = x + 2 dapat ditulis f(x) =

−<+−−≥+

2xjika)2x(

2xjika2x

∫−

+4

3dx2x = ∫

−

−+−

2

3dx)2x( + ∫

−+

4

2dx)2x( =

2

3x22x

21

−

−

−− +

4

2x22x

21

−

+ = 1/2 + 18 = 37/2

2.2 Perhitungan Luas

Aplikasi integral untuk perhitungan luas dinyatakan dalam persamaan berikut:

Luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan y = g(x) dalam

interval [a, b] sepanjang sumbu X dinyatakan sbb.:

∫ −=b

adx)}x(g)x(f{A

Luas daerah yang dibatasi oleh fungsi x = f(y) dan x = g(y) dalam

interval [c, d] sepanjang sumbu Y dinyatakan sbb.:

∫ −=d

cdy)}y(g)y(f{A

Contoh soal:

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – x dan y = 0

Jawab:

Fungsi y = x3 – x dan y = 0 berpotongan di titik x = 1,

x = 0, dan x = – 1. Terdapat 2 luasan yang simetris.

Luas = – 2 ∫ −−1

0dx}0)x3x{( = – 2

1

0

2x214x

41

−

= – 2 (1/4 – 1/2) = – 2. (– 1/4) = 1/2 satuan luas

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y2 + 1 dan x = 5

Jawab:

Kurva x = y2 + 1 dan x = 5 berpotongan di (5, 2) dan (5, – 2).

Luas = ∫ −d

cdy)}y(g)y(f{ = 2 ∫ +−

2

0dy)}12y(5{

= 22

0

3y31y4

− = 2 (8 – 8/3) = 32/3

y = x3 - x

– 1

1 0 X

Y

Luas 1

Luas 2

x = y2 + 1

0 1

2

– 2 x = 5

X

Y

Luas

y = f (x)

y = g (x)

X

Y

Luas

a b

x = f (y)

x = g (y) X

Y

Luas

d

c

16

2.3 Volume Benda Putar

Pengertian Benda Putar

Benda putar terbentuk oleh perputaran suatu luasan bidang terhadap sebuah garis sebidang yang

disebut sumbu putar. Sumbu putar dapat menyinggung keliling luasan bidang, atau tidak memotong

luasan tersebut sama sekali. Penentuan volume benda putar dapat dihitung dengan dua metode, yaitu

metode cakram (disc) dan metode kulit (shell).

a. Metode Cakram

Dalam metode cakram dikenal dua keadaan yaitu: (1). Sumbu putar merupakan batas luasan bidang, dan

(2) Sumbu putar bukan merupakan batas luasan bidang.

Sumbu putar merupakan batas luasan bidang

Rumus volume benda putar:

a. yang dibatasi kurva y = f(x) dan sumbu X, dengan sumbu

putar sumbu X

V = π [ ]∫b

adx2)x(f

b. yang dibatasi kurva x = g(y) dan sumbu Y, dengan sumbu

putar sumbu Y

V = π [ ]∫d

cdy2)y(g

Sumbu putar bukan merupakan batas luasan bidang

Rumus volume benda putar: a. yang dibatasi kurva y = f1 (x) dan y = f2 (x), dengan

sumbu putar sumbu X

V = π [ ] [ ]∫

−

b

adx2)x(1f

2)x(2f

b. yang dibatasi kurva x = g1 (y) dan x = g2 (y), dengan

sumbu putar sumbu Y

V = π [ ] [ ]∫

−

d

cdy2)y(1g2)y(2g

y = f(x)

X

b a

Y

Volume benda putar

x = g (y)

X

d

c

Y

Volume ben- da putar

X

Volume benda putar

y = f2 (x)

b a

Y

y = f1 (x)

x = g2 (y)

X

d

c

Y

Volume ben- da putar

x = g1 (y)

17

Contoh :

1. Hitung volume yang terbentuk karena perputaran terhadap sumbu X dari daerah yang dibatasi oleh

parabola y = x2 + 1 dan garis y = x + 3

Jawab:

Perpotongan parabola y = x2 + 1 dan garis y = x + 3

diberikan oleh: x2 + 1 = x + 3 → x2 – x – 2 = 0

atau (x – 2) (x + 1) = 0. Jadi x = – 1 dan x = 2.

Jadi volume benda putar tsb:

V = π [ ] [ ]∫

−

b

adx2)x(1f

2)x(2f = π ∫−

+−+

2

1dx2)12x(2)3x(

V = π ∫−

++−−

2

1dx8x62x4x = π

2

1x82x33x

315x

51

−

++−−

V = π

−++−++−− )83

31

51()1612

38

532( = 117/5 π satuan volume

2. Tentukan volume benda putar yang terbentuk oleh perputaran terhadap garis x = – 4 dari daerah

yang dibatasi oleh dua parabola x = y – y2 dan x = y2 – 3

Titik potong kurva x = y – y2 dan x = y2 – 3 adalah:

y2 – 3 = y – y2 → 2 y2 – y – 3 = 0

(y + 1) (y – 3/2) = 0. Jadi titik potong Q untuk y = – 1,

x = – 2, dan P untuk y = 3/2, x = – 3/4

Volume benda putar antara kedua kurva pada sumbu putar x =

xp adalah

V = π [ ] [ ]∫

+−−+−

d

cdy2)y(1gpx2)y(2gpx

V = π ∫−

−+−

−+

2/3

1dy232y422yy4

= π ∫−

++−−2/3

1dy)15y82y93y2( = π

2/3

1y152y43y34y

21

−

++−− = 875/32 π satuan volume

y = x2 + 1

y = x + 3

X

Y

P

Q

x = y – y2 x = y2 – 3

x = – 4 Y

X (0, 0)

P

Q

y = 3/2

y = – 1

18

b. Metode Kulit

Jika suatu bidang yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b dan

sumbu X diputar terhadap sumbu Y, maka akan membentuk

benda dengan volume:

V = ∫πb

adx)x(fx2

Jika suatu bidang yang dibatasi oleh x = g(x), y = c, y = d dan

sumbu Y diputar terhadap sumbu X, maka akan membentuk

benda dengan volume:

V = ∫πd

cdy)y(gy2

Contoh:

1. Suatu daerah yang dibatasi parabola y = x2, sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap sumbu Y

sebagai sumbu putar. Tentukan volume benda akibat putaran tersebut.

Jawab:

V = ∫πb

adx)x(fx2 = ∫π

2

0dx2xx2

= ∫π2

0dx3x2 =

2

0

4x412

π =

π 42

412 = 8π

2. Suatu daerah dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 1 dan x = 2 diputar terhadap garis y = – 2 sebagai

sumbu putar. Tentukan volume benda yang terbentuk karena perputaran itu.

Jawab:

Kurva y = x2 diubah menjadi x = ± y namun karena daerah yang

dimaksud terdapat dalam kuadran I maka digunakan x = y .

Batasnya c = 1 dan d = 4. Diputar terhadap y = –2 maka y → y + 2

dan g(y) → 2 – g(y) = 2 – y sehingga

V = ∫πd

cdy)y(gy2 = ∫ −+π

4

1dy)y2()2y(2

= ∫ +−+−π4

1dy)42/1y2y22/3y(2 =

4

1y42/3y

342y2/5y

522

+−+−π = π

537

2

y = x2

Y

X

0

Daerah

1

2

y = x2 Y

X 0

y = – 2

(2, 4)

Daerah

y = 1

4

a b

y = f(x) Y

X Daerah

c

d x = g(y)

Y

X

Daerah

19

3. Hitung volume torus yang terbentuk oleh perputaran lingkaran x2 + y2 = 4 terhadap garis x = 3

sebagai sumbu putar.

Jawab:

Fungsi tersebut diubah menjadi y = ± 2x4 −

V = ∫−

−π2

2dxy2)x3(2 = ∫

−−−π

2

2dx2x4)x3(4

= ∫−

−π2

2dx2x412 - ∫

−−π

2

2dx2x4x4

= 2

2

2/32x434

2x

arcsin22x42x

12−

−π+

+−π = 24 π2

4. Daerah yang dibatasi parabola y = – x2 – 3x + 6 dan garis x + y – 3 = 0 diputar terhadap

a. garis x = 3 b. garis y = 0

Hitung volume benda yang terjadi akibat perputaran tersebut.

Jawab:

Kedua kurva itu berpotongan di P(1, 2) dan Q (–3, 6)

a. Menggunakan metode kulit

V = ∫−

−−π1

3dx)2y1y()x3(2

= ∫−

+−−+−−−π

1

3dx)3x()6x32x()x3(2

= ∫−

+−−−π1

3dx)3x22x()x3(2

= ∫−

+−−π1

3dx)9x92x3x(2 = π

3256

b. Menggunakan metode cakram

V = ∫−

−π

1

3dx2)2y(2)1y( = ∫

−

+−−+−−π

1

3dx2)3x(2)6x32x(

= ∫−

+−−+π1

3dx)27x302x43x64x( = π

151792

2.4 Panjang Busur Kurva

Teorema. Jika fungsi f dan turunannya f’ kontinu dalam interval tutup [a,

b] maka panjang busur dari kurva y = f(x) mulai dari titik (a, f(a)) sampai

titik (b, f(b)) adalah: S = ∫

+b

adx

2

dxdy

1

X

Y

0

x = 3

2 – 2

X

Y

P

Q

O

X = 3

y = – x2 – 3x + 16

X

Y y = f(x)

a b

20

Teorema. Jika fungsi g dan turunannya g’ kontinu dalam interval tutup [c,

d] maka panjang busur dari kurva x = g(y) mulai dari titik (c, g(c)) sampai

titik (d, g(d) adalah: S = ∫

+

d

cdy

2

dydx

1

Jika A dan B adalah dua titik pada kurva didefinisikan oleh persamaan

parameter x = f(t) dan y = g(t) dan jika persyaratan kontinu memenuhi,

maka panjang busur AB adalah: S = ∫

+

2t

1tdt

2

dtdy2

dtdx

Contoh soal:

1. Hitung panjang busur kurva y = 3/2x dari titik (1, 1) sampai titik (8, 4)

Jawab y = 3/2x maka dxdy = 3/1x

32 − =

3/1x3

2 dan

2

dxdy

= 3/2x9

4

Panjang busur s = ∫

+b

adx

2

dxdy

1 = ∫ +8

1dx

3/2x9

41 = ∫

+8

1dx

3/1x

43/2x9

31

misal u = 9 3/2x + 4, du = 6 3/1x− dx → 6

du = 3/1x

dx untuk x = 1, u = 13, untuk x = 8, u = 40, maka

s = ∫40

13du2/1u

181

=

2/3u32

181 = )2/3132/340(

271 − = 7,6

2. Hitung panjang busur kurva x = 3 2/3y – 1 dari y = 0 sampai y = 4

Jawab dydx = 2/1y

29

maka 2

dydx

= y

481

sehingga

Panjang busur s = ∫

+

d

cdy

2

dydx

1 = ∫ +4

0dyy

481

1 = ∫ +4

0dyy814

21

misal u = 4 + 81y, du = 81 dy, untuk y = 0, u = 4, dan untuk y = 4, u = 328, jadi

∫328

4du2/1u

811

21

= 328

4

2/3u32

1621

= (243

1 2/342/3328 − ) = )18282(243

8 −

2.5 Luas Permukaan Benda Putar Jika sebuah kurva y = f(x) yang kontinu pada interval a ≤ x ≤ b diputar terhadap

x = g(y) X

Y

c

d

y = f(x)

X

Y

a b

c

d

x = g(y) X

Y

c

d

a b

(a) (b)

21

Y

X

A O B

Y

O

X

3

x = 3

a. sumbu X, luas permukaan putar adalah ∫ +π=b

adx2)

dxdy

(1y2xA atau ∫ +π=d

cdy2)

dydx

(1y2xA

b. sumbu Y, luas permukaan putar adalah ∫ +π=b

adx2)

dxdy

(1x2yA atau ∫ +π=b

ady2)

dydx

(1x2yA

Jika fungsi tersebut dalam bentuk parameter x = f(t) dan y = g(t) maka luas perputaran karena fungsi

tersebut

a. diputar terhadap sumbu X adalah: ∫ +π=b

adt2)

dtdy

(2)dtdx

(y2xA

b. diputar terhadap sumbu Y adalah: ∫ +π=b

adt2)

dtdy

(2)dtdx

(x2yA

Contoh soal :

1. Hitung luas permukaan bola berjari-jari r.

Jawab

Kalau busur AB diputar terhadap sumbu X maka luas permukaan

putar adalah permukaan bola. x = r cos θ dan y = r sin θ dan

θddx = – r sin θ dan

θddy = r cos θ

∫ +π=b

adt2)

dtdy

(2)dtdx

(y2xA = ∫π

θθ+θ−θπ=0

d2)cosr(2)sinr()sinr(2xA

= ∫π

θθπ0

dr)sinr(2 = ∫π

θθπ0

dsin2r2 = [ ]π

θ−π0

cos2r2 = 2π r2 (– cos π + cos 0) = 4π r2

2. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran y2 = 12 x dari x = 0 sampai x

= 3 terhadap sumbu X

Jawab

y2 = 12 x maka 2y dy = 12 dx → dxdy =

y6

∫ +π=b

adx2)

dxdy

(1y2xA = ∫ +π3

0dx2)

y6

(1y2

= ∫ +π3

0dx262y2 = ∫ +π

3

0dx36x122 = 24(2 2 - 1) π

22

TUGAS MANDIRI BAB II

Tugas Subbab 2.1

1. ∫ +2

0dx52xx 3. ∫

−−

2

12 9x

dx 5. ∫ ++−

−

4

2

2 dy)8y2y(

2. ∫ +

−

−

10

6 2xdx

4. ∫ −4

0

2 dx)xx4(

Tugas Subbab 2.2

1. y = x3, y = 0, x = 1, dan x = 3 6. 2y2 = x + 4 dan x = y2

2. y = 2 – x2 dan y = – x 7. x = 4y – y3 dan x = 0

3. y = x2 dan y = x 8. y2 = 2x – 2 dan y = x – 5

4. y + x2 = 6 dan y + 2x – 3 = 0 9. y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x

5. y – x = 6, y – x3 = 0, dan 2y + x = 0 10. y = x2 dan y = – x2 + 4x

Tugas Subbab 2.3

1. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan 4x2 + 9y2 = 36 terhadap sumbu

X. Gunakan metode cakram. Jawab: 16π

2. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan yang dibatasi x = 9 – y2 dan

x – y – 7 = 0 terhadap sumbu X = 4. Gunakan metode kulit. Jawab: π5

153

3. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan y2 = x4 (1 – x2) terhadap sumbu

X. Jawab: 4π/35

4. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan yang dibatasi x2 – y2 = 16, y =

0, x = 8 terhadap sumbu Y. Jawab: 128 π 3

5. Hitung volume benda putar yang terbentuk karena perputaran luasan yang dibatasi y = x2, y = 4x –

x2 terhadap garis Y = 6. Jawab: 64 π / 3

Tugas Subbab 2.4

2. Hitung panjang busur kurva x = t2, y = t3 dari t = 0 sampai t = 4. Jawab: 8/27 )13737( −

3. Hitung panjang busur kurva 24 xy = x4 + 48 dari x = 2 sampai x = 4. Jawab : 17/6

4. Hitung panjang busur kurva x = 2 cos α + cos 2α + 1

y = 2 sin α + sin 2α Jawab : 16

5. Hitung panjang busur kurva x = a cos3 α di kuadran 1

y = a sin3 α Jawab : 3a/2

23

Tugas Subbab 2.5

1. Hitung luas permukaan benda yang terbentuk jika busur sikloida dengan persamaan x = a(θ – sin θ)

dan y = a(1 – cos θ) diputar terhadap sumbu X. Jawab 64/3 π a2.

2. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran elips 14

2y16

2x =+ .

Jawab

π+π

9

3418

3. Hitung luas permukaan benda yang terbentuk jika kardioda dengan persamaan x = 2 cos θ – cos 2θ

dan y = 2 sin θ – sin 2θ diputar terhadap sumbu X. Jawab 128π/5.

4. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran y = mx dari x = 0 sampai x = 3

terhadap sumbu X. Jawab 2m1m9 +π

5. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran y = 3x31 dari x = 0 sampai x =

3 terhadap sumbu Y. Jawab [ ]829(ln82921 ++π

6. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran x = a (θ – sin θ), y = a (1 –

cos θ) terhadap sumbu X. Jawab 3

2a64 π

7. Hitung luas permukaan benda putar yang terbentuk karena perputaran kurva

8a2 y2 = a2 x2 – x4 terhadap sumbu X. Jawab π a2/4.

24

BAB III

INTEGRAL LIPAT

3.1 Integral Lipat Dua

Terdapat suatu daerah tertutup S yang dibatasi oleh kurva K1 dan K2

seperti pada gambar. Daerah S tersebut dapat dibagi dalam n

bagian garis sejajar sumbu X dan n bagian garis sejajar sumbu Y

sehingga terdapat banyak segiempat kecil dengan panjang sisi ∆xi

dan ∆yi dimana

∆xi = xi – xi-1 dan ∆yj = yj – yj-1

Jika terdapat fungsi z = f(x, y) yang kontinu di semua titik di dalam

daerah tertutup S maka untuk per sub bagian segiempat diperoleh

perkalian f(xi, yj) ∆xi ∆yj di titik (xi, yj) pada segiempat tersebut.

Untuk seluruh daerah S diperoleh hasil penjumlahan sebagai berikut: ∑=

m

1j∑=

n

1if(xi, yj) ∆xi ∆yj

Untuk n → ∞ dan m → ∞ diperoleh

∞→∞→

mn

lim ∑=

m

1j∑=

n

1i f(xi, yj) ∆xi ∆yj = ∫∫ f(x,y) dx dy

disebut "integral lipat dua dari fungsi f(x, y) pada daerah tertutup S"

Cara menghitung integral lipat dua

a. Untuk ∫∫ f(x,y) dx dy = ∫ [ ∫ f(x,y) dx] dy artinya diintegralkan dulu terhadap x lalu terhadap y

b. Untuk ∫∫ f(x,y) dy dx = ∫ [ ∫ f(x,y) dy] dx artinya diintegralkan dulu terhadap y lalu terhadap x

Cara menentukan batas integral

a. Untuk kurva seperti gambar berikut

Batas integral untuk sumbu X

sebelah kiri x1 = f1 (y) dan sebelah kanan x2 = f2 (y)

Batas integral untuk sumbu Y

sebelah bawah y1 = c dan sebelah atas y2 = d

d f2(y)

Bentuk integralnya ∫∫ f(x,y) dx dy = ∫ ∫ f(x,y) dx dy

S c f1(y)

Y

c

d

S

X segi empat

K1 K2

Y

c

d

S

X

x2 = f2 (y)

x1 = f1 (y)

s

s sy sx

s sx sy

25

b. Untuk kurva seperti gambar berikut

Batas integral untuk sumbu X

sebelah kiri x1 = a dan sebelah kanan x2 = b

Batas integral untuk sumbu Y

sebelah atas y2 = f2 (x) dan sebelah bawah y1 = f1 (x)

b f2(x)

Bentuk integralnya ∫∫ f(x,y) dy dx = ∫ ∫ f(x,y) dy dx

S a f1(x)

Contoh

2 y2 2 y2 2 y2 2

1. Hitung ∫ ∫ (2x + 3y) dx dy Jawab: ∫ ∫ (2x + 3y) dx dy = ∫ [ x2 + 3yx ] dy = ∫ (y4 + 3y3 – y2 – 3y2) dy

1 y 1 y 1 y 1

= 2

1

3344

435

51 yyy

−+ =

5487

34

43

51

332

532 )()12( =−+−−+

2. Hitung ∫∫ x dx dy pada daerah yang dibatasi parabola x = 6y – y2 dan x = y2 – 2y

Jawab:

Titik potong kedua parabola adalah

6y – y2 = y2 – 2y → 2y2 – 8y = 0 → 2y(y – 4) = 0

untuk y = 0 maka x = 0 dan untuk y = 4 maka x = 8

Jadi titik potongnya di (0, 0) dan (8, 4)

Batas integral untuk X,

seb. kiri x = y2 – 2y dan seb. kanan x = 6y – y2

Batas integral untuk Y,

seb. bawah y = 0 dan seb. atas y = 4

Jadi ∫∫ x dx dy = ∫4

0∫−

−

2yy6

y22y

x dx dy = ∫−−

4

0

2yy6

y22y]2x

21 dy = ∫

4

021 y6 – y2)2 – (y2 – 2y)2 dy

= ∫4

0

2y3221 – 8y3) dy =

21 [

332 y3 – 2y4]

4

0 =

3256

3. Hitung ∫∫ (x + y) dy dx pada daerah yang dibatasi parabola y = 6x – x2 dan garis lurus y = x

Jawab:

Titik potong parabola dan garis tersebut:

6x – x2 = x → x2 – 5x = 0 → x(x – 5) = 0 → x = 0 dan x = 5

Jadi titik potongnya di (0, 0) dan (5, 5) . Lihat gambar.

Batas integral untuk X : kiri x = 0 dan kanan x = 5

Batas integral untuk Y : atas y = 6x – x2 dan bawah y = x

∫∫ +S

dxdy)yx( = ∫ +∫− 2xx6

x

5

0dxdy)yx( = ∫ +

−5

0

xx6

x

221 dx]yxy[

2

Y

a b

S

X

y2 = f2 (x)

y1 = f1 (x)

x = 6y – y2 x = y2 – 2y

-1 3 5 8 9

1 2 3 4 5

y = 6x – x2

0 3 5 6

9

5

y = x

1

26

= ∫ +−+−+−5

0

2212432

2132 dx)}xx()xx12x36(xx6{

= ∫ =+−5

04

62522

453421 dx)xx7x(

3.2 Luas Daerah Tertutup

Terdapat suatu daerah tertutup S yang dibatasi oleh kurva K1 dan K2

seperti pada gambar. Daerah S tersebut dapat dibagi dalam n

bagian garis sejajar sumbu X dan n bagian garis sejajar sumbu Y

sehingga terdapat banyak segiempat kecil dengan panjang sisi ∆xi

dan ∆yi dimana

∆xi = xi – xi-1 dan ∆yj = yj – yj-1

Luas segiempat kecil tersebut = ∆xi ∆yj

Luas pendekatan seluruh daerah S didapat dari hasil penjumlahan: ∑=

∆∆∑=

n

1ijyix

m

1j

Untuk n → ∞ dan m → ∞ diperoleh ∑=

∆∆∑=

∞→∞→

n

1ijyix

m

1jmnlim = ∫∫

Sdydx

Ternyata luas suatu daerah tertutup adalah harga integral lipat dua dimana f(x, y) = 1

Jadi luas daerah tertutup S adalah L = ∫∫S

dydx

Contoh:

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 2 – x2 dan garis y = x

Jawab:

Titik potong parabola dan garis tersebut:

2 – x2 = x → x2 + x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1) = 0 → x = 1 dan x = – 2

Jadi titik potongnya di (1, 1) dan (– 2, – 2) . Lihat gambar.

Batas integral untuk X : kiri x = – 2 dan kanan x = 1

Batas integral untuk Y : atas y = 2 – x2 dan bawah y = x

∫∫S

dxdy = ∫−

∫−

2x2

xdxdy

1

2 = ∫

−

−1

2dx

2x2

x]y[

= ∫−

−−1

2dx)x2x2( =

627 satuan luas

Y

c

d

S

X segi empat

K1 K2

y = 2 – x2

(1,1)

(-2, -2)

y = x

(0, 0)

(0,2)

(-1,1)

27

3.3 Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub

Misal S daerah tertutup pada bidang datar yang dibatasi kurva K.

Daerah subbagian ∆Sk dibatasi lingkaran dengan jari-jari ri dan

ri + ∆ ri dan dua garis θj dan θj + ∆θj.

Luas ∆Sk = luas DOC – luas AOB = j2ir2

1j

2)irir(21 θ∆−θ∆∆+

= j2ir2

1jirir θ∆∆+θ∆∆

Jika terdapat fungsi F(r, θ) dalam S maka terbentuk:

F(r, θ) [ ri ∆ri ∆θj + 21 ∆ri

2 ∆θj ]

Untuk n → ∞ dan m → ∞ diperoleh F(ri, θj) [ ri ∆ri ∆θj + 21 ∆ri

2 ∆θj ] = ∫∫ F(r, θ) r dr dθ

Bentuk ∫∫ F(r, θ) r dr dθ disebut "integral lipat dua fungsi F(r, θ) pada daerah S"

Jika F(r, θ) = 1 maka luas daerah tertutup S adalah L = ∫∫ r dr dθ

Contoh :

1. ∫θ

θθ∫π cos

0ddrsinr

0 = ∫

πθ

θθ

0d

cos

0]sin2r[

21 = ∫

πθθθ

0dsin2cos

21 =

31

0

3cos61 =

π

θ−

2. ∫θ

θ∫π cos4

2ddr3r

2

0 = ∫

πθ

θ2

0d

cos4

2]4r[

41 = ∫

πθ−θ

2

0d)44cos64(

karena )12(cos212cos +θ=θ dan

2)12(cos414cos +θ=θ = )12cos222(cos

41 +θ+θ = )12cos2)14(cos

21(

41 +θ++θ

maka = ∫π

θθ++θ2

0d)2cos32204cos8( = 10 π

3. Hitung luas daerah yang berada di luar lingkaran r = 2 dan di dalam kardioda r = 2(1 + cos θ)

Jawab:

Titik potong kurva: 2(1 + cos θ) = 2 → cos θ = 0 → θ = 2π±

Luasan yang dicari, PQSRP, simetris terhadap sumbu X

Jadi luas daerah PQSRP:

L = ∫θ+

θ∫π )cos1(2

2ddrr

2

02 = ∫

πθ

θ+2

0d

)cos1(2

2]2r[

L = ∫π

θθ+θ2

0d)2coscos2(4 = π+=

π

θ+θ+θ 8

2

02sin

41

21sin24 satuan luas

kurva K ∆Sk

∆ri

∆θj

O

ri + ∆ri ri

θj + ∆θj

θj

A

B C

D

m Σ

n Σ lim

n→∞ m→∞

S

S

S

O R Q X

Y

P

S

28

3.4 Integral Lipat Dua Pada Ruang 3D

a. Volume Benda

Andaikan fungsi f(x, y) kontinu dan berharga tunggal untuk x dan y

dalam S maka S = f(x, y) menyatakan suatu luasan. Luasan ini

dipotong oleh silinder sejajar sumbu-Z dengan alas S dan atas S'.

Ditarik garis-garis sejajar sumbu-Y dengan jarak ∆x dan juga ditarik

garis-garis sejajar sumbu-X dengan jarak ∆y. Melalui garis-garis

tersebut dibuat bidang-bidang datar yang masing-masing sejajar

bidang YOZ dan XOZ. Terjadilah prisma-prisma tegak kecil, misalnya

ABCD.PQRT yang mempunyai volume = f(x,y) ∆x ∆y

Jumlah seluruh volume prisma kecil tersebut = ∑ ∑ f(x,y) ∆x ∆y yang merupakan pendekatan

volume silinder. Jika diambil ∆x→ 0 dan ∆y→ 0 maka didapat:

0y0x

lim

→∆→∆

∑ ∑ f(x,y) ∆x ∆y = ∫∫ f(x,y) dx dy

Jadi volume benda berbentuk silinder : V = ∫∫S

f(x,y) dx dy

Contoh:

Hitung volume benda yang dibatasi silinder x2 + y2 = 4, bidang y + z = 4 dan bidang z = 0

Jawab: Volume yang akan dihitung terletak di bawah permukaan z = 4 – y dan di atas bidang

XOY sedangkan di kiri kanan dibatasi silinder x2 + y2 = 4

V = ∫

−

−−

∫−

2y4

2y4

dydxz2

2 = ∫

−

−−

−∫−

2y4

2y4

dydx)y4(2

2= ∫

−−∫

−

2y4

0dydx)y4(

2

22

V = dy

2y4

0x)y4(

2

22

−−∫

− = dy2y4)y4(

2

22 −−∫

−

Misal: y = 2 sin A, maka = 2y4 − = A2sin44 − = 2 cos A dan dy = 2 cos A dA

Batas y = – 2 menjadi A = – 2π

dan y = 2 menjadi A = 2π

. Sehingga volume menjadi

V = dAAcos2Acos2)Asin24(2

2

2 −∫

π

π− = dAA2cos)Asin24(

2

2

8 −∫

π

π−

Y

S A B

S'

C D

P Q R T

X

Z

Y

X

Z

29

V = dAA2cos2

2

32 ∫

π

π−– dAA2cosAsin

2

2

16 ∫

π

π− = dA)1A2(cos

2

2

16 +∫

π

π−+ AcosdA2cos

2

2

16 ∫

π

π−

V = 2

2

AA2sin2116

π

π−+ +

2

2

3cos3

16π

π− = 16(0+

2π

– 0 +2π

) + 3

16 (0 – 0) = 16π

3.5 Integral Lipat Tiga

Integral lipat 3 ∫∫∫R

dV)z,y,x(f dari suatu fungsi 3 variabel bebas terhadap daerah tertutup R,

bervolume V, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan pengembangan dari integral tunggal

dan lipat dua.

Jika f(x, y, z) = 1, maka integral menjadi ∫∫∫R

dV adalah volume daerah R

Dalam sistem koordinat kartesian, integral lipat tiga menjadi:

∫∫∫R

dV)z,y,x(f = dxdydz)z,y,x(f)y,x(2z

)y,x(1z

)x(2y

)x(1y

b

a∫∫∫

Contoh :

1. Hitunglah dydzdxxz21

)2x16(

2z16

0

4

0

2

0−∫

−∫∫

π

Jawab: dydzdxxz21

)2x16(

2z16

0

4

0

2

0−∫

−∫∫

π

= dyzdz)2x16(d21

)2x16(

2z16

0

4

0

2

021 −−∫

−∫∫

π

−

= dyzdz

2z16

0

23

)2x16(32

4

0

2

021

−−∫∫

π

− = dyzdz}23

)24(23

)2z{(4

0

2

031 −∫∫

π

−

= dyzdz)343z(4

0

2

031 −∫∫

π

− = dydz)z344z(4

0

2

031 −∫∫

π

− = dy4

0)

2

0

2z2

345z51(

31∫

π

−−

= dy)2

0 2

545

54(31∫

π

−− = dy)2

0 21

51(

3

54∫

π

−− = dy2

010

54∫

π

= [ ] 2

0y

10

54

π

= 210

54 π = π5

256

30

TUGAS MANDIRI BAB III

Tugas Subbab 3.1

1. Hitung ∫∫S

x dydxye pada daerah yang dibatasi sumbu x, sumbu y, x = 1 dan garis y = x

2. Hitung ∫∫S

2 dxdyxy pada daerah yang dibatasi parabola y = x2, garis lurus y = x, x = 1 dan x = 2

3. Hitung a. ∫+

∫x2

x2

3

1dxdy

)yx(

1 e. ∫∫

π ysin

00dydx

b. ∫∫π

π

3

2

y

0yx dydxcos f. ∫ +∫

− 2x1

0

221

0dxdy)yx(

c. ∫ −−∫− 2x1

0

221

0dxdyyx1 g. ∫∫

1

y

21

0dydxxsin

d. ∫ θ∫θ−π cos1

00ddrr h. ∫∫

π 22 x

0xy

1dxdysin

Tugas Subbab 3.2

Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva di bawah ini menggunakan integral lipat dua

1. y = 4x – x2 dan y = x 3. y2 = 4x dan x = 12 + 2y – y2 5. y2 = 9 + x dan y2 = 9 – 3x

2. y2 = 4x dan 2x – y = 4 4. y2 = 2x dan x2 + y2 = 4x

Tugas Subbab 3.3

Hitung luas dengan integral lipat dua untuk soal berikut:

1. Luas daerah di dalam lingkaran x = 3 cos θ dan di luar lingkaran r = cos θ

2. Luas daerah di dalam kardioda r = 1 + cos θ dan di luar parabola r (1 + cos θ) = 1

3. Luas daerah yang dibatasi oleh lemniskat r2 = a2 cos 2θ

Tugas Subbab 3.4

1. Hitung volume benda di depan bidang YOZ dan dibatasi oleh y2 + z2 = 4 dan y2 + z2 + 2x = 16

2. Hitung volume benda di bawah 4z = 16 – 4x2 – y2 di atas z = 0 dan di dalam silinder x2 + y2 = 2x

3. Hitung volume benda di kuadran satu terletak di dalam y2 + z2 = 9 dan di luar y2 = 3x

Tugas Subbab 3.5

1. Hitunglah ∫∫∫R

dV)x(f dengan f(x) = x2 + y2 + z2 dan R adalah daerah

yang dibatasi oleh x + y + z = 10, x = 0, y = 0, dan z = 0

2. Hitunglah volume dari R yang dibatasi oleh silinder z = 4 – x2 dan

bidang-bidang x = 0, y = 0, y = 6, dan z = 0

3. Hitung integral lipat tiga dari f(x, y, z) = z terhadap daerah R yang terletak di kuadran pertama

dan dibatasi oleh bidang-bidang x + y = 2 dan 2y + x = 6, dan silinder y2 + z2 = 4