Синиша Црвенковић, Даниел А. Романо и Милован Винчић:...

ISSN (p) 2303-4890, ISSN 1986–518X ISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA doiSrpska ...... http://www.imvibl.org/dmbl/meso/imo/imo2.htm

Vol. VI (2014), Broj 11, 1-16 Originalni istraživački članak

Један примјер генеричке декомпозиције концепта експоненцијалне функције

Синиша Црвенковић Департман за математику, Универзитет у Новом Саду 21000 Нови Сад, Трг Доситеја Обрадовића 4, Србија,

e-mail: [email protected]

Даниел А. Романо Педагошки факултет Бијељина,

Универзитет у Источном Сарајеву 76300 Бијељина, Семберских ратара б.б., БиХ

e-mail: [email protected]

Милован Винчић

Економски факултет Бања Лука, Универзитет у Бањој Луци 78000 Бања Лука, Мајке Југовића 4, БиХ

Сажетак. У овом тексту, конструишући једну од могућих генереричких декомпозиција концепта експоненцијалне функције у оквирима АПОС теорије, анализирамо развој напреднијег математичког мишљења. Кључне ријечи и фразе: експоненцијална функција, АПОС теорија, Пијажеова рефлективна апстракција, генеричка декомпозиција Abstract. In this paper we analize development of advanced mathematical thinking constructing a generic decomposition of the exponential function notion into APOS theory. Key words and phrases: exponential function, APOS theory, Piaget’s reflective abstraction, generic decomposition Mathematics Subject Classification (2010): 97C30, 97C70, 97D20, 97D70 ZDM Subject Classification (2010): C30, C70, C90, D20, D70

1. Увод

Џер Конфреј је први описао студентске рефлексије на концепт експоненцијалне функције унутар академских енциклопедијских курсева [6] (Confrey, 1991), да би у текстовима [7] (Confrey (1994), [8] (Confrey and Smith (1994) и [9] (Confrey and Smith, 1994), продубио и проширио своја прва истраживања. Истовремено Џејмс Ран и Бери Берндес повезују та разматрања са студентским концептима логаритама [23] (Rahn and Berndes, 1994). Подстакнута тим истраживањима, Патриција Фостер у тексту [15] (Forster, 1998) понудила је сагледавање проблема студентских концепата експоненцијалне функције унутар конструктивистичке теорије математичког образовања. Ослањајући се на претходна набројана истраживања, Гунтер Турнер [27] (Turner, 2001) и Питер Бергер [2] (Berger and Turner, 2002) изложили су своје виђење студентских менталних репрезентација концепата експоненцијалне функције. Одмах потом, Кејт Вебер [29] и [30] (Weber, 2002, 2002a) изложила је студентско разумијевање, али и развој тог разумијевања, експоненцијалне и логаритамске функције. У свим тим текстовима није понуђена наставничко виђење генеричке декомпозиције концепта експоненцијалне функције која би омогућавала ученичко / студентско дубље разумијевање тог концепта.

IMO, Vol. V(2014), Broj 11 С.Црвенковић, Д.А.Романо и М. Винчић

2

У овом тексту, у оквирима АПОС теорије, ми нудимо једну могућу генеративну декомпозицију концептуализације појма експоненцијалне функције. То реализујемо постепеним уопштавањем придруживања expa: N R до функције expa: R R посредством функција expa: Z R и expa: Q R. Ослањајући се на текстове Ивана Елстека [14] (Elstak, 2007), Мајкла Воскоглуа [28] (Voskoglou, 2013) и рад Лиз Билс и Дејвида Тола [3] (Bills and Tall, 1998), као свој допринос овим настојањима, обједињујући појединачне доприносе поменутих аутора, нудимо концепт функције expa: R R, описане једначином expa(x) = ax, детерминишући степен ax посредством супремума (ако је 1 а) и инфимума (у случају да је 0 а 1) у уређеном пољу R реалних бројева посебно изабраног скупа {a r : rQ r x}. Текст, иако намјењен студентима другог и трећег циклуса на студијском програму 'Методика наставе математике' и 'Истраживање математичког образовања', може корисно послужити и другим читаоцима који су заитересовани да се ближе упознају са елементима АПОС теорије и њеном примјеном у развоју концепта експоненцијалне функције унутар епистемолошког аспекта.

2. АПОС Теорија

Према тврдњи, изложеној у тексту [13] (Dubinsky and McDonald, 2002), развој једне теорије или модела у математичком образовању требало би да буде прихватљив покушај да се разумије математика и како се математика може научити али и шта школски образовни програми могу да помогну у том учењу. Приступ, који је изложен, фокусира се на то како теорије математичког образовања могу да помогну да поближе разумијемо процесе учења прихватајући објашњења феномена које можемо посматрати када ученици / студенти настоје да изграде своје разумијевање математичких појмова, њихових међусобних односа, процеса са њима и математичких процедура. Модели и/или теорије математичког образовања би требало да омогућавају [13] (Dubinsky and McDonald, 2002):

- подршку прогнозама, - омогућавају да у оквирима својих прихватљивих категоријалних појмова нуде

образложења појава и процеса подучавања и учења, - да се теоријски концепт може примјенити на широк спектар појава у домену, - помоћ у организовању нечијег размишљања о сложеним и међусобно повезаним појавама и

процесима у домену разумијевања математичког образовања, - да се анализом прикупљених података о некој појави или процесу у математичком

образовању екстрахују релевантни закључци, и - језик за размјену идеја о подучавању и учењу.

У овом раду, ми описујемо АПОС теорију као основни алат за наше разумијевање математичког образовања универзитетског првог циклуса. Главни елементи ове теорије, према [25] (Slavickova, 2009) ослањају се на Пијажеове резултате о важности процеса апстракције у ученичком / студентком учењу математике. Ова конструктивистичка теорија, према Луису Редфорду ([22], Radford, 2008), уважава слиједеће принципе: П1. Знање се не добија пасивно, већ у његовој изградњи учествује особа која учи; П2. Функција сазнања је прилагодљива и односи се на организацију искуства а не на

откривање онтологије реалности; П3. Субјект који сазнаје не само да конструише своје властито знање већ то чини на

својствен начин. С друге стране, може се рећи да је АПОС теорија заснована на слиједећој хипотези: 'Индивидуално математичко знање засновано је на ученичким, односнио студентким рефлексијама у настојањима да разумију неку математичку ситуацију или проблем и пронађу њено рјешење. При томе, до изражаја долази социјални контекст у конструисању или реконструисању


3

ових активности, процеса и објеката који се појављују у тој ситуацији или проблему. Сем тога, особа која учи организује их у шемама /шаблонама у одговарајућим позицијама у вези са поменутом ситуацијом или проблемом.' 2.1. Основни елементи AПОС теорије Аутори АПОС теорије су Ед Дубински и његове колеге (погледати, на примјер: [12], Dubinsky 1991; [11], Czarnocha et all 1999; [13], Dubinsky and McDonald 2002). Име ове теорије састоји се од првих слова слиједећих термина: Акција, Процеси, Објекти и Шеме (Actions, Processes, Objects, and Schemes). Објаснићемо ове термине према доступној литератури [1] (Arnawa et all 2007), [4] (Brijlall and Maharaj 2008), [10] (Cottrill at all. 1996), [16] (Gilmore and Inglis 2008), [19] (Hatfield 2013), [20] (Maharaj 2010), [26] (Tall 2008) и [28] (Voskoglou 2013): Акција је трансформација објеката, уочених од стране појединца, у суштини спољна и као захтев, било експлицитно или из меморије, корак-по-корак упутства о томе како да се изврши операција. Када се акција понавља а индивидуалне рефлексије у односу на тај акт се појављују, тада се може направити интерна ментална конструкција, коју називамо процес, а особа која проводи активности је у могућности да размишља о томе као о обављању уоченог процеса. Објекат је изграђен током процеса када појединац постане свјестан процеса као категорије и прихвати да нека трансформација може деловати на објекат. Коначно, шема за одређени математички концепт је појединачна колекција састављена од акције, процеса, објеката, али и других шема које су повезане посредством неких општих принципа те формирају оквир у уму појединца у који се третирана ситуација може уклопити. Овај оквир мора бити кохерентан у смислу да даје, експлицитно или имплицитно, начин одређивања које појаве су у оквиру шеме а који нису. Овакам приступ подразумијева да сви субјекти у њој могу да се репрезентују у терминима акција, процеса, објеката и шема. Ове четри компоненте - акција, процес, објекат и шема, овдје су представљене у једном хијерархиском низу. Аутори овог теоријског приступа сматрају да је сваки појединачни конструкт у овом низу мора бити конструисан пре слиједећег. У стварности ситуација није баш линеарна. Наиме, када се разматра концептуализација неког појма, његов развој али и његово кориштење у неким процесима, тј. увезивању са другим категоријалним концептима, ситуација је знатно сложенија будући да може постојатио повратни утицај. АПОС теорија се може користити директно у анализи података који су дибијени истраживањем. У детаљнијим анализама, могу се упоређивати процјене успјешности ученика / студената у вези са компетенцијама за рјешавање неког математичког проблема или задатка са ученичким / студентким менталним конструкцијама изграђеним при томе. У овим анализама појављује се простор за трагањем зашто је неко од учесника за које се утврђују математичке компетенције нешто урадио на својствен начин другачији од осталих учесника у том поступку. АПОС теорија омогућава анализирање разлика указивањем на менталне конструкције активности, процеса, објеката, или кориштених шема, кориштених или конструисаних током ученичких / студентских активнсоти на рјешавању њиховог проблема. АПОС теорија омогућава процјењивање употребљивости таквих посебних колекција {акција, процес, објект, шема}. Детаљно описивање употребљених или за ту сврху конструисаних менталних објеката, које су аутори овог аспекта назвали 'генеричка декомпозиција', у терминима менталних конструката јесте један од начина формирања хипотеза о томе како се уче математички концепти при датом рјешавању постављеног проблема или задатка. Ове дескрипције такође обезбијеђују посебан језик – језик којим су се учесници процеса рјешавања проблема користили – у којем се могу, на прихватљив начин, говорити о формирању хипотеза.


4

АПОС теорија је настала као покушај да се разумију механизам 'одговарајуће апстракције', коју је својевремено увео Пијаже да опише развој логичког мишљења код дјеце, с намјером да се идеја прошири на више напреднијих математичких концепата ([12], Dubinsky 1991). Овај теоријски оквир се састоји, између осталог, од слиједеће три битно важне компоненте:

- теоријска анализа одређеног математичког концепта, - развој и имплементација наставних третмана (користећи више стандардних и

нестандардних методичких стратегија, као што су, на примјер, кооперативно учење и изградње математичких појмова на рачунару) на овај теоријској анализи, и

- прикупљање и анализу података ради тестирања и усавршавање како почетне теоријске анализу тако и инструкцијских опредјељења.

Овај циклус се понавља онолико пута колико је потребно да се разумије епистемологија концепта и да се добију ефикасне методичке стратегије за помоћ ученицима / студентима при учењу. Теоријска анализа на почетку се заснова на општим принципијелно-филозофским концептима АПОС теорије али и истраживачких разумевања математичког концепта о коме је ријеч. После једног или више понављања циклуса и ревизије, у теоријску анализу треба укључити и податке добијене од ученика / студената током процеса учења концепата о којима је ријеч. Теоријска анализа садржи претпоставку, у облику генеричке декомпозиције, скуп менталних конструкција које изграђују ученици / студенти током настојања да разумију математичке концепте којим се подучавају, или самостално уче. такође је базиран на фине структуре анализа описаних горе од података добијених од ученика који покушавају да науче или који су научили концепт. Теоријска анализа предлаже, у облику генеричке декомпозиције, скуп менталних конструкција које ученик / студент може учинити како би разумио математичке концепт који проучава. За детаљнији опис примјене овог приступа погледати текстове [1] (Arnawa, 2007), [4] (Brijlall and Maharaj, 2008), [10] (Cottrill et all, 1996), [13] (Dubinsky and McDonald, 2002), [16] (Gilmore and Inglis, 2008), [19] (Hatfield, 2013), [20] (Maharaj, 2010), [25], (Slavickova, 2009), [26] (Tall, 1999) и [28] (Voskoglou, 2013). 2.2. Профињење АПОС теорије Као што је већ поменуто, ова теорија нам помаже да анализирамо добијене податке посматрања појава у математичком образовању. Посматрајући неку одређену појаве у математичком образовању и, ослањајући се на ову теорију, кроз анализирање прикупљених података посматрања, настојимио као истраживачи појава у математичком образовању, да профинимо алате ове математичке теорије које смо претходно примјенили. Према мишљењу знатног броја истраживача математичког образовања (погледати, на примјер, текстове: [13] (Dubinsky and McDonald, 2002), [4-5] (Brijlall and Maharaj, 2008, 2011), [19] (Hatfield, 2013), [21] (Mybert et all, 2013) и [28] (Voskoglou, 2013)), промјене које се могу регистровати су слиједеће: Уобичајено, генеричка декомпозиција са почетка неке конкретне теоријске анализе се мијења под утицајем анализа добијених података посматрања. Може се десити, иако ријетко, да се профини комплетна теорија. У свом тексту [13] (Dubinsky and McDonald, 2002), Ед Дубински и Мајкл Макдоналд наводе неколико примјера профињења комплетне теорије у околностима посматрања неких специфичних појава. У сваком од ових примјера, начин разумијевања шема, као што је понуђено горе, није могао да обезбиједи задовољавајуће објашњење добијених података посматраних појава, па је допуњен тзв. 'тријада конструктом' {Intra, Inter, Trans}. Тријада механизам се састоји од поменуте три фазе додатног разматрања веза између појединих конструкција унутар шема, као и међусобне повезаности ових веза. Интра-фаза развоја шеме се карактерише фокусом на индивидуалне акције, процеса и објеката у изолацији од других


5

когнитивних ставки сличне природе. На пример, у концепту функције, посматрач на Интра-нивоу, може имати тенденцију да се фокусира на једну конкретну функцију и разне активности које се могу реализовати са њом. Интер-фаза се карактерише изградњом односа и трансформација између ових когнитивних субјеката. У случају посматрања неке функције, посматрач може анализирати активности истог типа над колекцијом датих функција. Коначно, у фази Транс се може конструисати, имплицитно или експлицитно, основна структура која репрезентује везе уочене у Интер-фази али и разумијевање и прихватање капацитета изграђене шеме. На пример, при посматрању концепта конкретне функције, могу се разматрати што је могуће више различитих трансформација ове класе функција уочавајући алгебарске структуре које гради ова класа функција.

3. Концепт Пијaжеове рефлективне апстракције у напреднијем математичком мишљењу Наш циљ у овом поглављу је истакнемо колико концепт Пијажеове рефлективне апстракције може бити моћно средство у проучавању напреднијег математичког мишљења. Тај концепт доприноси нашем разумијевању шта је математичко размишљање, и како, и који подстицаји могу помоћи, али и да се пружи теоријски оквир за то резоновање. Рефлективна апстракција је концепт који је увео Пијаже да опише изградњу логичко-математичке структуре код појединца током његовог когнитивног развоја. Пијаже разликује три главне врсте апстракције. Емпиријска апстракција деривира знање од особина објеката. Према Пијажеу, ова врста апстракције доводи до екстракције заједничких својстава објеката и екстензионалне генерализације. Псеудо-емпиријска апстракција је између емпиријске и рефлектујуће апстракције. На примјер, када посматрамо обострано-једнозначну коресподенцију између два скупа чији су елементи уређени неком међусобном релацијом. Знање добијено из ове ситуације може се сматрати емпиријско зато што постоји веза са објектима, али је њихова конфигурација у простору оно што је значајно те захтијева не самo преузимање визуелизацијом већ и унутрашњим разумијевањeм њихових међусобних односа што сугерише да није само емпиријска апстракција. Коначно, рефлективна апстракција се деривира из онога што Пијаже зове општа унутрашња интроспекција и, као таква, његов извор је потпуно унутрашњи објект. Ми знамо много примјера рефлективне апстракције. На примјер, активности на формирању парова или уређених парова. Ова врста апстракције доводи до веома различитих врста генерализација. Примјер за то је концепт Еуклидског прстена који је свакако апстракција и генерализација. Пијаже је идентификова пет врста конструкција при развоју логичко-математичког мишљења. То су: интериоризација, координација, енкапсулација, генерализација, и преокрет / обрат. У циљу дубљег упознавања са овим теоријским конструктима сугеришемо читаоцу да на примјер погледа текст [13] (Dubinsky, 1991).

4. Примјена АПОС теорије на концепт експоненцијалне функције Експоненцијалне функције су концепт који игра важну улогу у енциклопедијским математичким курсевима универзитетског образовања, укључујући диференцијални и интегрални рачун, диференцијалне једначине, али и комплексну анализу. Нажалост, то је појам са којим студенти имају значајних потешкоћа. Истраживачи математичког образовања и универзитетски предавачи разних енциклопедијских курсева математике (као шро су, на примјер, курсеви Математика 1, Математика 2 и Математика 3 на Машинском факултету) уочили су потребу да се побољша начин на који студенти уче и


6

разумијевају експоненцијалне функције. Многи од њих својевремено су предлагали алтернативне технике у циљу квалитетнијег студентског разумијевања концепта ове функвије. (Ради илустрације, погледати слиједеће текстове: [9] (Confrey and Smith, 1995), [23] (Rahn and Berndes, 1994), [15] (Forster, 1998). Осим ових наставних техника, наша претрагa литературе нашла је слиједећа истраживања о експоненцијалним функцијама: [2] (Berger and Turner, 2002), [6-7] (Confrey, 1991, 1994), [8-9] (Confrey and Smith, 1994, 1995), [15] (Forster, 1998), [23] (Rahn and Berndes, 1994), [27] (Turner, 2001), [29-30] (Weber, 2002, 2002а). Недовољно се зна како студенти изграђују своје менталне конструкције при разумијевању концепата степеновања са реалним бројевима и експоненцијалних функција дефнисаних у пољу реалних бројева. У овом дијелу ове студије понудићемо наше виђење како студенти изграђују свој властити концепт поменутих појава. 4.1. Теоријска анализа – наставнички аспект У овом тексту, ми нудимо једну могућу декомпозицију концептуализације појма експоненцијалне функције постепеним уопштавањем придруживања expa: N R до функције expa: R R посредством функција expa: Z R и expa: Q R ослањајући се на текст Ивана Елстека [14] (Elstak, 2007), о студентском разумијевању степеновања са рационалним експонентима, текст Мајкла Воскоглуа [28] (Voskoglou, 2013), у којем је примјенио АПОС теорију у подучавању студената ирационалним бројевима, и рад Лиз Билс и Дејвида Тола [3] (Bills and Tall, 1998), о ефективним дефиницијама најмање горње границе скупа. Као свој допринос овим настојањима, обједињујући појединачне доприносе поменутих аутора, нудимо концепт функције expa: R R, описане једначином expa(x) = ax, детерминишући степен ax посредством супремума и инфимума у пољу R посебно изабраног скупа {a r : rQ r x} реалних бројева. Наравно, то нам омогућава концепција наставног програма курса Математика 1 на Машинском факултету у Бањој Луци гдје претходно, у теми Скупови бројева, студенти буду упознати са фундаменталном разликом између поља R и поља Q : (а) У пољу Q постоје одозго (одоздо) ограничени подскупови који немају супремум (инфимум) у том пољу; и (б) У пољу R сваки одозго (одоздо) ограничен подскуп има супремум (инфимум) у том пољу. У овом одјељку, предлажемо скуп специфичних менталних конструкција за које претпостављамо да се конструишу у студентским умовима у настојањима да разумију степеновање. Како је то уобичајено у нашој наставној пракси, студентима прво експонирамо потенцирање и експоненцијалну функцију детерминисану на полупрстену N природних бројева: Корак 1: Нека је дат реалан број а и природан број n. Подсјећамо да се степен аn дефинише на

слиједећи начин: а1 = а, а2 = а а, ..., аn = а а ... а (при чему ових фактора има n) уз претходно прихватање да студенти разумију множење реалних бројева. Подсјећамо, такође, да за степеновање реалног броја а природним експонентима задовољава слиједеће једнакости:

(m)(n)(am an = am+n), (m)(n)(m n am : an = am - n), (m)(am bm = (a b)m), (m)(am : bm = (a : b)m).

Уочимо одмах да вриједи: (1) 1 а (n)(m)(m n am an).

Претходна импликацију је директна последица слиједећег низа импликација: 1 а а а2 а2 а3 ... аk аk+1 ,

односно продужене неједнакости 1 а а а2 а2 а3 ... аk аk+1 ...


7

Покажимо, сада, да вриједи (2) 0 а 1 (n)(m)(m n am an).

Имамо 0 а 1 1

(nN)(mN)(m n ( )m (

)n) (nN)(mN)(m n an am).

Одавде добијамо продужену неједнакост 0 ... аk ... а2 а 1.

Корак 2: Детерминишемо функцију expa: N R као придруживање описано једначином

expa(n ) = an, односно табелом

n 1 2 3 ... n n+1 ...

an a

a2

a3

... an

an+1

...

Наша функција expa: N R има слиједеће особине:

(m)(n)(expa(m + n) = expa(m) expa(n)), и

(m)(n)( m n expa(m - n) = expa(m) : expa(n)).

Степеновање као акција. Акција је поновљиво ментална трансформација која било којем природном броју n придружује реалaн број an. У овом случају, не очекују се неке сметње у прихватању будући да множење реалног броја а самим собом n пута је нешто што студенти без већих потешкоћа могу да рачунају (са или без калкулатора). У циљу каснијег прихватања особина експоненцијалних функција, неопходно је више пута репродуковати од студената прихваћена својства степена са природним изложиоцима. Степеновање као процес. Понављање активности – одређивање скупа {a1, a2, a3, ..., an, ...} вриједности степена an за неке конкретне бројеве а као и његово табеларно или графичко приказивање, рецимо {21, 22, 23, ..., 2n, ...}, или {101, 102, 103, ..., 10n, ...} – отвара могућност студентима да прихвате процес придруживања n an :

n 1 2 3 ... n n+1 ...

2n 2

4

8

... 2n

2n+1

...

и n 1 2 3 ... n n+1 ...

10n

10

100

1000 ...

10n

10n+1 ...

Експресија активности степеновања као резултат процеса – прихватање егзистенције функције

expa: N R може се сматрати окончаним, а индивидуална студентска когнитивна раван (у којој је смјештено разумијевање процеса n an и гледање на њега као једaн објект) конструисана када тај студент почне исказивати свој однос према процесу придруживања n an као према једном објекту. Нашим прихватањем побројаних претходно поменутих сазнања о студентском прихватању степеновања реалног броја а природним изложиоцима као јединственом цјеловитом објекту,


8

процјењујемо да је формирана шема (активност, процес, објект). О шеми не траба мислити као о заокруженој конструкцији. Постојање шеме је неодвојива од њене континуиране изградње и реконструкција. Посредством шеме, настоји се илустровати неколико ствари истовремено: описати шта је тамо, описати шта се дешава, описати како су ствари изграђене. Додатна сложеност се огледа у томе да шема бије линеарна већ кружни систем са повратним утицајима. Шему можемо илустовати на слиједећи начин:

AКЦИЈА. Студент описује степеновање конкретног реалног броја а природним изложиоцем n

Поунутрашњење

ПРОЦЕС. Студент препознаје постојање процеса

(а, n) an

ОБЈЕКТ. Студент на процес (а, n) an гледа као на јединствен цјеловит објект.

Шема 1. Кораци студентског разумијевања степеновања и постојање функције expa: N R

(Заобљеном стралицом су илустровани Пијажеови процеси рефлективне апстракције.) Слиједећи наш корак је проширење дефинице степеновања реалног броја цијелим експонентом: Корак 3: Нека је дат позитиван реалан број а (различит од броја 1) и цијели број z. Подсјећамо

да се степен аz реалног вроја а са цијелим експонентом z дефинише на слиједећи начин:

а0 = 1, а-k = (при чему je k природан број) ослањајући се на студентско прихватање степеновања реалног броја а природним

бројем k. Корак 4: Детерминишемо функцију expa: Z R као придруживање описано једначином

expa(z) = az . За очекивати је да овако конструисана функција наслеђује особине функције коју проширује. Треба показати да су формуле (1') 1 а (nZ)(mZ)(m n am an) и (2') 0 а 1 (nZ)(mZ)(m n am an) ваљане формуле. Будући да се ексклузивна дисјункција (z Z)(z 0 z = 0 0 z) прихвата као ваљана, довољно је формуле (1') и (2') показати за непозитивне цијеле бројеве. Прво, имамо: (а) -n 0 1 a 0 n 1 a (б) -n 0 0 a 1 0 n 1 a-1 1 an 1 (a-1)n


9

a-n 1 = a0 1 a-n a-n 1 = a0 . Друго, ослањајући се на већ прихваћене тврдње (1) и (2), имамо

(1') 1 а (nN)(mN)(m n am an) (nN)(mN)(-n -m a-n a-m)

односно (2') 0 а 1 (nN)(mN)(m n am an)

(nN)(mN)(-n -m a-n a-m). Степеновање као акција. Акција је поновљиво ментална трансформација која било којем цијелом броју z придружује реалан број az. У овом случају, очекују се сметње у прихватању будући да детерминација објекта az није понуђена само једном једначином већ са три различита описа у зависности од значења цијелог броја z: (а) Ако је z 0, тј. ако је z = n N, тада је az = an = а а ... а (при чему ових фактора има n); (б) Ако је z = 0, тада је az = a0 = 1; и (в) Ако је z 0, тј. ако је z = - n (n N), тада је а-n = . У циљу каснијег прихватања особина експоненцијалних функција са доменом Z , прстеном цијелих бројева, неопходно је више пута репродуковати израчунавања степена са конкретном базом и различитим цијелим бројевима као изложиоцима, као што су на примјер степени 2-5 , ( )-3. Степеновање као процес. Понављање активности – одређивање скупа {..., a-m, ..., a-2, a-1, 1, ..., a1, a2 , ..., am, ...} вриједности степена az за неке конкретне бројеве а као и његово табеларно или графичко приказивање, рецимо

{..., 2-n , ..., 2-1, 20, 21, ..., 2n, ...},

z ... -n ... -2 -1 0 1 2 3 ... n n+1 ...

2z

... 1

2 ... 1

2

12

1

2

4

8

... 2n

2n+1

...

или {..., 10-n , ..., 10-1, 100, 101, ..., 10n, ...}

– отвара могућност студентима да прихвате процес придруживања z az . Сасвим умјесно је поставити пирање: Да ли ученици / студенти гледају на степеновања реалног броја са негативним изложиоцима као на процес или на процедуру? Ослањајући се на своја властита искустава, многи наставници су склонији вјеровању да ученици / студенти детерминацију степена az реалног броја а са цијелим експонентом доживљавају више као рецепт за израчунавања у сваком конкретном случају него као на процес. Постоје и истраживања о ученичким / студентским дилемама у вези са овим (погледати, на примјер, [24] (Sfard, 1991)). Наставници би у овом тренутку подучавања требало да уз више понављања процедура израчунавања степена почињу захтијевати од ученика / студената да праве разлику између виједности степена az и процеса z az. Генерализација. До тренутка формирања дидактичке ситуације са захтјевом да ученици / студенти прихвате придруживање (а, z) az као објект, ученичко / студентско разумијевање концепта expa: N R засновано је њиховом прихватању рачунских операција и радњи са бројевима на интуитивном нивоу схватања. Наравно, пуно разумијевања експоненцијалне функције expa: Z R подразумева прихватање постојања концепта на који, иако настаје генерализацијом експоненцијалне функције expa: N R проширивањем домена са полупрстена N природних


10

бројева до прстена Z цијелих бројева, још увијек гледају двојако – превасходно као на процедуру израчунавања и, послије дуже рада са њом, као на јединствен објект. Нашим прихватањем побројаних претходно поменутих сазнања о студентском прихватању степеновања реалног броја а цијелим изложиоцима као јединственог цјеловитог објекта, процјењујемо да је формирана шема ((Шема 1), активност, процес, објект). Шему можемо илустовати на слиједећи начин:

expa: N R

Шема 1.

Eкстензија (проширење) функције

expa: N R . уопштавањем промјеном домене N до домене Z

Студент препознаје постојање процеса (а, z) az

Студент на процес (а, z) az гледа као на јединствен цјеловит објект.

Шема 2. Кораци студентског разумијевања степеновања и постојање функције expa: Z R

(Заобљеном стралицом су илустровани Пијажеови процеси рефлективне апстракције.)

Даље, ову функцију, описану једначином expa(z) = az (z Z) треба проширити тако да домен нове функције буде поље Q рационалних бројева. У том циљу, потребно је да се разумије значење концепта степеновање реалног броја а рационалним експонентом r али и ознака ar (rQ). Корак 5: Нека је дат позитиван реалан број а (различит од броја 1) и рационалан број r = ,

при чему је m цијели број а n природан број. Подсјећамо да степен аr дефинишемо на слиједећи начин:

аr = 푎 = √푎 уз претходно прихваћену предпоставку да ученици / студенти разумију концепт 'n-тог аритметичког коријена ненегативног реалног броја 푎 ' и да знају његове

особине.


11

Степеновање и корјеновање као акција. Поступак рачунања n-тог аритметичког коријена ненегативног реалног броја 푎 је нешто што ученици / студенти прихватају са повећаном суздржаношћу. Они интуитивно осјећају да је то процедута за коју знају да се може обавити али захтијева знатнији интелектуални напор него је то до сада био случај када се рачунао степен са цијелим експонентом. Они са знатним одобравањем прихватају помоћна стедства, као што је калкулатор или рачунар, у том рачунању. Искуства већине наставника сугеришу да иако је неопходно више пута понављати неке од поступака рачунања, увијек се констатује да постоји дио ученичке / студентске популације која иако деклеративно исказују да прихвата постојање поступка (а,r) ar не могу да поузданије опишу на шта конкретно мисле када се говори о том процесу. Да је проблем студентског разумијевања степеновања реалних бројева рационалним изложиоцима присутан проблем у академској настави, погледати текст [14] (Elstak, 2007). Ученици, наравно, знатно суздржаније прихватају појам корјена него појам степена. Степеновање као процес. Понављање активности – мисаоно заокруживање скупа {a r: r Q} вриједности степена ar за неке конкретне бројеве а као и његовим дјелимичним табеларним приказивањем, али и интуитивном интерполацијом тог дискретног графичког приказа отвара могућност студентима да прихвате постојање процеса r ar .

Генерализација. Иако је прихватање постојања придруживања r ar још увијек у домени аритметичког резоновања, ученичко / студентско промишљање о процесу придруживања r ar као о јединственом објекту битно зависи од њиховог доживљавања скупа Q рационалних бројева. Ученици, а почесто и студенти са доста суздржаности прихватају да је скуп Q густ у себи, тј. да између свака два различита рационална броја лежи бесконачно пребројиво много различитих рационалних бројева. Вјерујемо да ученичка популација, али и већи дио студентске популације, прихвата гледање на процесе (а, r) ar као на јединствени објект због сталног и упорног инсистирања њихових наставника. Ови истраживачи су мишљења да је неопходно да ученици / студенти буду у таквим дидактичком миљеу у којем њихови наставници непрекидно и упорно инсистирају на њиховом прихватању придруживања (а, r) ar као јединственог и цјеловитог објекта. Наравно, пуно разумијевања експоненцијалне функције expa: Z R је добра основа од које тада ученици / студенти интуитивном интерполацијом вриједности ове функције стичу дојам о томе како би могло да изгледа придруживање (а, r) ar . Корак 4: Детерминишемо функцију expa: Q R као придруживање описано једначином

expa(r) = ar .

Прихватање постојања концепта на који, иако настаје генерализацијом експоненцијалне функције expa: Z R проширивањем домена са прстена Z цијелих бројева до поља Q рационалних бројева, ученици / студенти још увијек гледају знатно амбивалентно. Сви досадашни кораци засновани су на аритметичким компетенцијама студената тј. разумијевања концепата степенована реалног броја природним, цијелим, односно рационалним бројем. Потпуно је оправдано очекивање да се особине (а) Ако је 1 а, тада је функвија expa: Z R монотоно растућа; и (б) Ако је 0 а 1, тада је функција expa: Z R монотоно опадајућа. функције expa: Z z az R наслеђује функвија expa: Q R. Према томе, вриједи: (а') Ако је 1 а, тада је функвија expa: Q R монотоно растућа; и (б') Ако је 0 а 1, тада је функција expa: Q R монотоно опадајућа. Нашим прихватањем побројаних претходно поменутих сазнања о студентском (не)прихватању степеновања реалног броја а рационалним изложиоцима као јединственог цјеловитог објекта,


12

процјењујемо да је формирана шема ((Шема 2), активност, процес, објект). Шему илуструјемо на слиједећи начин:

Шема 1

expa: Z R

Шема 2

Eкстензија (проширење) функције expa: Z R

уопштавањем промјеном домене Z до домене Q

Студент препознаје постојање процеса (а, r) ar

Студент на процес (а, r) ar гледа као на јединствен цјеловит објект

Шема 3. Кораци студентског разумијевања степеновања и постојање функције expa: Q R

(Заобљеном стралицом на лијевој страни су илустровани Пијажеови процеси рефлективне апстракције.)

Угаоном стрелицом на десној атрани шеме означена је интра-фаза када студент не прихвата, или прихвата са великом суздржаношћу, постојање процеса (а, r) ar. Заобљеном стрелицом на десној страни означена је интер-фаза када је студент способан да уочава разлике између различитих процеса (а, r) ar због разликовања реалних бројева као база различитих експоненцијалних функција.

Слиједећи корак треба да буде проширење функције expa: Q R до функције expa: R R. Дакле, треба детерминисати степен ax позитивног реалног броја а реалним експонентом x. Будући да је реалан број x рационалан или ирационалан, довољно је да опишемо концепт степенаовања ax позитивног реалног броја а ирационалним бројем x. (О примјени АПОС теорије на подучавање студената ирационалним бројевима, погледати текст [28] (Voskoglou, 2013)). Анализирајмо скуп {a r : rQ r x} у R. За 0 а 1, то је одоздо ограничен подскуп, а за 1 а то је одозго ограничен подскуп. Како је поље R реалних бројева комплетно, то за скуп {a r : rQ r x} R постоји једнозначно одређен инфимум (највећа доња граница) inf{a r : rQ r x} (за 0 а 1) и


13

супремум (најмања горња граница) sup{a r : rQ r x} (за 1 а). (Проблеми студентског (не-) разумијевања најмање горње границе илустровани су у тексту [3], (Bills and Tall, 1998)). Концепт степеновања ax позитивног реалног броја а ирационалним експонентом x детерминишемо помоћу овог инфимума односно супремума. Ако је 0 а 1, дефинишемо ax = inf{a r : rQ r x}, а ако је 1 а дефинишемо ax = sup{a r : rQ r x}. Ово нам омогућава да дефинишемо експоненцијалну функцију на читавом пољу R реалних бројева. Овако конструисано проширење наравно наслеђује особине функције коју проширује. Нашим прихватањем побројаних претходно поменутих сазнања о студентском прихватању степеновања реалног броја а ирационалним изложиоцима као јединственог цјеловитог објекта, процјењујемо да је формирана шема ((Шема 3), активност, процес, објект). Шему илуструјемо на слиједећи начин:

Шема 1.

Шема 2.

expa: Q R

Шема 3.

Eкстензија (проширење) функције

expa: Q R уопштавањем промјеном домене Q до домене R

Шема 4. Кораци студентског разумијевања степеновања и постојање функције expa: R R

Угаоном стрелицом (на десној страни шеме) означена је интра-фаза када студент не прихвата, или прихвата са великом суздржаношћу, постојање процеса (а, x) ax. Ово прихватање, процјењујемо, засновано је на студентском претходном прихватању скупа R реалних бројева као колеквивитета са једним врло специфичним својством којим се алгебарска структура овог уређеног поља разликује од алгебарске структуре уређеног поља Q рационалних бројева. Заобљеном стрелицом на истој страни означена је интер-фаза када је студент способан да уочава разлике између различитих процеса (а, x) ax због разликовања реалних бројева као база различитих експоненцијалних функција.

Студент препознаје постојање процеса

(а, x) ax

Студент на процес (а, x) ax гледа као на јединствен цјеловит објект


14

Коисимо се приликом да читaоце овог текста подсјетимо на конструкте горња / доња граница те појмове супремум, односно инфимум подскупа А у уређеном пољу R. За број m кажемо да је доња граница за скуп А ако вриједи (aA)(m a). За доњу границу m за скуп А кажемо да је највећа доња граница за скупа А ако за сваку другу границу n за скуп А вриједи n m . За ову границу кажемо да је инфимум скупа А и oзначавмо je sa infA. Aналогно, за број q кажемо да је горња граница за скуп А ако вриједи (aA)(a q). За горњу границу q кажемо да је најмања горња граница за скуп А ако за сваку другу горњу границу r за скуп А вриједи q r . Ову границу називамо супремум скупа А и означавамо je са supA. Ефективан рад са концептима sup и inf није једноставан и захтијева знатне интелектуалне напоре који, вјерујемо, превазилазе способности беликог броја студентске популације која се уписује на Машински факултет. Будући да је ова популација знатно дуже сусреће са уређеним пољем рационалних бројева, ако прихватимо да су им конвергенције низова рационалних и реалних бројева прихватљивији, тада можемо детерминисати експоненцијалну функцију expa: R R на слиједећи начин: Нека је x произвољан реалан број, а {rn : n N} низ рационалних бројева који конвергита ка реалном броју x, и нека је а 1 реалан број. Можемо дефинисати

푎 = lim → 푎 , ослањајући се на тврдњу: Тврдња. Ако низ {rn : n N} низ рационалних бројева конвергира, онда низ {푎 ∶ 푛 ∈ 푵}, за 1 а, такође конвергира. Ако је 0 а 1, тада је 1 a-1 , па постоји lim → (푎 ) , према претходно поменутој тврдњи, и вриједи

ax = (lim → (푎 ) )-1.

Оваква концептуализација експоненцијалне функције ослања се на претходно студентско прихватање појма реалног броја као класе међусобно еквивалентних фундаменталних низова рационалних бројева и својство поља R реалних бројева да је сваки фундаменталан низ у том пољу конвергентан. Дакле, било који од два поменута процеса да смо изабрали – посредством супремума, односно инфимума или посредством конвергентних низова реалних бројева, стављајући студенте у позицију да треба да прихвате овако дизајниран концептом експоненцијалне функције, очигледно је да ће то снажни утицати на развој њиховог напреднијег математичког мишљења.

5. Резиме Експоненцијалне функције су прилично важни математички концепти који играју централну улогу у студентском овладавању напреднијег математичког мишљења. С друге стране, наша искуства нам говоре да значајан број ученичке популације која уписује техничке факултете у нас са том концептима, али и процесима са тим концептима, има озбиљних потешкоћа. У овом извештају нудимо опис АПОС теорије која омогућава универзитетским наставницима да, проучаваjићи студентске потешкоће, дубље разумију како студенти уче и при том како настоје разумијети концепт експоненцијалних функција. Наставничко анализирање прикупљених података при посматрању описаних студентских потешкоћа, отвара могућност да детерминишући скупове исправних и неисправних студентских менталних конструкција о експоненцијалним функцијама, направе профињења својих инструкција. Дакле, у контексту АПОС теорије, ми можемо анализирати очекиване студентске потешкоће разумијевања ових појмова. У овом раду, такође, предвиђамо менталне конструкције које студенти могу изградити да би развили своје разумијевање експоненцијалне функције.


15

Наравно, истраживачима математичког образовања али и реализаторима наставе математике на универзитетима у нас још увијек остаје отворен читав низ питања не само о студентским знањима и разумијевањима концепата експоненцијалних функција већ и о неким специфичностима везаних за њих. Нека од тих пирања су:

- На који начин се учeницима средњих школа у нашем образовном систему презентује концепт експоненцијалне функције?

- Какав је број е? Како се до њега долази? Како га представљати ученицима и студентима? Са колико децимала броја е ученици, односно студенти јесу, или треба да буду, фамилијарни? Зашто је функција expe: R R важна?

- Која својства експоненцијелних функција треба презентовати ученицима средњих школа а која студентима универзитета?

- Да ли треба да постоје, какве и зашто, разлике у репрезентацијама ових функција на различитим студијским групама универзитету на којима се студенти подучавају енциклопенијским курсевима математике?

- Какве су менталне репрезентације ових функција студената различитих универзитетских студијских програма?

Литература

[1] I Made Arnawa, Utari Sumarno, Bana Kartasasmita and Edy Tri Baskoro (2007), Applying the APOS theory to

improve students ability to prove in Elementary abstract algebra, J. Indones. Math. Soc. (MIHMI), 13(1) (2007), 133-148.

[2] Peter Berger and Gunter Turner (2002) : Some characteristic of mental representations of exponential functions – A case study with prospective teachers; In: D.S.Mewborn, P.Sztajn, D.Y.White, H.G.Wiegel, R.L,Bryant, K.Nooney (Eds.), Proceedings of the 24th Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Athens, GA, October 26-29, 2002). Volume 1, (pp. 223-231)

[3] Liz Bills and David Tall (1998), Operable Definitions in Advanced Mathematics: The Case of the Least Upper Bound, In: A.Olivier and K.Newstead (Eds.), Proceedings of the 22nd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 12-17 July 1998, Stellenbosch, South Africa, Volume 2, (pp. 104–111).

[4] Deonarain Brijlall and Aneshkumar Maharaj (2008), Applying APOS theory as a theoretical framework for collaborative learning in teacher education, In: The Teaching and Learning of Mathematics at University Level New ICMI Study Series, http://tsg.icme11.org/document/get/857

[5] Deonarain Brijlall and Aneshkumar Maharaj (2011), A Framework for the Development of Mathematical Thinking With Teacher Trainees: The Case of Continuity of Functions, US-China Education Review B, 5 (2011), 654-668

[6] Jere Confrey (1991). The concept of exponential functions: A student's perspective. In L. Steffe (Ed.), Epistemological foundationsof mathematical experience, New York: Springer. (pp.124-159).

[7] Jere Confrey (1994). Splitting, similarity and rate of change: a new approach to multiplication and exponential functions. In G. Harel and J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning, NY: SUNY (pp. 293-330).

[8] Jere Confrey and Erick Smith (1994), Exponential functions, rates of change, and the multiplicative unit, Educational Studies in Mathematics, 26 (2-3), 135-164

[9] Jere Confrey and Erick Smith (1995), Splitting, covariation, and their role in the development of exponential functions, Journal of Research in Mathematics Education, 26 (1), 66-86.

[10] Jim Cottrill , Devilyna Nichols , Keith Schwingendorf , Karen Thomas and Draga Vidakovic (1996): Understanding the limit concept: Beginning with a coordinated process schema, Jounal of Mathematical Behavior, 15(2)(1996), 167–192

[11] Bronislaw Czarnocha, Ed Dubinsky, Vrunda Prabhu and Draga Vidakovic (1999). One theoretical perspective in undergraduate mathematics education research. In: Orit Zaslaysky (Ed.) Proceedings of the 23rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Haifa, Istael, Volume 1, 95-110


16

[12] Ed Dubinsky (1991), Reflective abstraction in advanced mathematical thinking. In: D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking , Dordrecht, The Netherlands: Kluwer. 1991, (pp. 231–250).

[13] Ed Dubinsky and Michael A. McDonald (2002), APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research, The Teaching and Learning of Mathematics at University Level New ICMI Study Series,Volume 7, 2002, (pp. 275-282)

[14] Iwan R. Elstak (2007), College students’ understanding of rational exponents: A teaching experiment, Ph.Dissertation, The Ohio State University .

[15] Patricia A. Forster (1998), Exponential functions: Teaching for insight with a constructivist approach, Australian Senior Mathematics Journal, 12(2), 13-19.

[16] Camilla Gilmore and Matthew Inglis (2008), Process and Object based thinking in Aritmetic, In: Olimpia Figueras José, Luis Cortina, Silvia Alatorre, Teresa Rojano and Armando Sepúlveda (Eds.), Proceedings of the Proceedings of the Joint Meeting of PME 32 and PME-NA XXX, Morelia, México, July 17-21, 2008, Vol. 3, (pp. 73-80)

[17] Gerard A. Goldin and Nicolas Herscovics (1991), Toward a conceptual-representational analysis of the exponential function. In F. Furinghetti (Ed.), Proceedings of the Fifteenth PME Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education: Assisi, Italy, June 29-July 4, Volume 2 (pp. 64-71).

[18] Gerard Golding and John O’Donoghue (2005), Using topic maps to support adults’ mathematics learning, In: Marj Horne & Beth Marr (Eds.), Proceedings of the Adults Learning Mathematics (ALM) 12th Annual International Conference the Annual International Conference, Melbourne, 3rd – 7th July, 2005. (pp. 120-128)

[19] Neil J. Hatfield (2013), The Action, Process, Object, and Schema Theory for sampling, In: (Eds.) S. Brown, G. Karakok, K. H. Roh, and M. Oehrtman, Proceedings of the 16th Annual Conference on Research in Undergraduate Mathematics Education, 2013, Denver, Colorado. Volume 2, (pp. 356-362)

[20] Aneshkumar Maharaj (2010), An APOS Analysis of Students’ Understanding of the Concept of a Limit of a Function, Pythagoras, 71, 41-52

[21] Zingiswa Mybert, Monica Jojo , Aneshkumar Maharaj and Deonarain Brijlall (2013), From Human Activity to Conceptual Understanding of the Chain Rule, REDIMAT- Journal of Research in Mathematics Education, 2(1)(2013), 77-99.

[22] Luis Radford (2008). Theories in Mathematics Education: A Brief Inquiry into their Conceptual Differences. Working Paper. Prepared for the ICMI Survey Team 7.

Превод на српски језик: Луис Редфорд: Теорије у математичком образовању, Једна краткa студија о њиховим концептуалним разликама, ИМО, Вол. I (2009), Број 1, 11-22.

[23] James R. Rahn and Barry A. Berndes (1994), Using logarithms to explore power and exponential functions, Mathematics Teacher, 87(3), 161-170.

[24] Аna Sfard (1991), On the dual nature of mathematical conceptions, Educational Studies in Mathematics, 22(1), 1-36.

[25] Mаria Slavickova (2009), Using graphic calculus on Calculus lessons, Acta Didactica Universitatis Comenianae Mathematics, 9, 109−122

[26] David Tall (1999), Reflections on APOS theory in Elementary and Advanced Mathematical Thinking, In: O. Zaslavsky (Ed.), Proceedings of the 23rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Haifa, Israel, 1999, Volume 1, (pp. 111–118).

[27] Gunter Turner (2001), Mental Representations- The Interrelationship of Subject Matter and Pedagogical Content Knowledge - The Case of Exponential Functions, In: R.Speiser, C.A.Maher, C.N.Walter (Eds.), Proceedings of the 23rd Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology ofMathematics Education (Snowbird, Utah, October 18-21, 2001), Volume 1 (pp. 321-330)

[28] Michael Gr. Voskoglou (2013), An Application of the APOS/ACE Approach in Teaching the Irrational Numbers, Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education, 8(1), 30-47

[29] Keith Weber (2002), Students’ understanding of exponential and logarithmic functions, ERIC Document Reproduction Service No. ED477690)

[30] Keith Weber (2002а): Developing students’ understanding of exponents and logarithms, In: In: D.S.Mewborn, P.Sztajn, D.Y.White, H.G.Wiegel, R.L,Bryant, K.Nooney (Eds.), Proceedings of the 24th Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Athens, GA, October 26-29, 2002). Volume 2, (pp. 1019-1031)

Приспјело у редакцију 27.11.2013. Доступно на интернету 03.02.2014.

Синиша Црвенковић, Даниел А. Романо и Милован Винчић:...

Documents

Transcript of Синиша Црвенковић, Даниел А. Романо и Милован Винчић:...