Real Number

Real Number

By… Kru_Nantha Nguantad

28/06/58 Kru_Nantha 1

จ ำนวนจรง (Real Number)

ควำมเปนมำของจ ำนวนจรง จ ำนวนทมนษยคดขนเปนครงแรกไดแก จ ำนวนทเรยกวำ จ ำนวนนบ (Counting Number) หรอ จ ำนวนธรรมชำต (natural number) ตอไปใช N = I+ = { 1,2,3,... } เมอมนษยรจก กำรบวก กำรลบกำรคณ จะพบวำเซตของจ ำนวนนบเพยงพอทจะใชในกำรบวกและกำรคณ กลำวคอ ผลคณและผลบวกของจ ำนวนนบกยงเปนจ ำนวนนบอย คณสมบตดงกลำวเรำจะเรยกวำ จ ำนวนนบมคณสมบตปดของกำรบวก และกำรคณ


เซตของจ ำนวนนบเรมไมเพยงพอทจะใช เมอมนษยรจกกำรลบและกำรหำร ท ำใหมนษยรจกใชจ ำนวนในขอบเขตทกวำงขวำงขน ไดแก จ ำนวนศนย และจ ำนวนเตมลบ ซงเรำแทนดวย I0 และ I- เมอมนษยรจกกำรหำรกพบวำจ ำนวนเตม ไมเพยงพอแกกำรใช จงไดพฒนำเปนจ ำนวนอกชนดหนง ซงเรยกวำ จ ำนวนตรรกยะ

จ ำนวนตรรกยะ ( Rational number)

หมำยถงจ ำนวนทเขยนในรปเศษสวน 𝒂

𝒃 โดยท 𝑎 และ 𝑏 เปนจ ำนวนเตม

และ 𝑏 0

ถำ 𝑎 เปนจ ำนวนเตมใดๆ พบวำ 𝒂 = 𝒂

𝟏 จ ำนวนเตมทกจ ำนวน

เปนจ ำนวนตรรกยะ ให Q แทนเซตของจ ำนวนตรรกยะ นนคอ

Q = { n n = 𝒂

𝒃 เมอ 𝑎 I และ 𝑏 I โดยท 𝑏 0 }


ผลบวกของจ ำนวนตรรกยะเปนจ ำนวนตรรกยะ

แสดงวำจ ำนวนตรรกยะมคณสมบตปดของกำรบวก

ผลคณของจ ำนวนตรรกยะเปนจ ำนวนตรรก

แสดงวำจ ำนวนตรรกยะมคณสมบตปดของกำรคณ

Q แทนจ ำนวนตรรกยะ I แทนจ ำนวนเตม

N แทนจ ำนวนนบ I- แทนจ ำนวนเตมลบ

P แทนจ ำนวนเฉพำะ I+ แทนจ ำนวนเตมบวก

I0 แทนจ ำนวนเตมศนย


จ ำนวนอตรรกยะ ( Irrational number ) หมำยถงจ ำนวนทไมสำมำรถ เขยนเปนเศษสวนของจ ำนวนเตม

โดยทตวสวนไมเทำกบศนยแตสำมำรถเขยนเปนทศนยมไมรจบ


ผงโครงสรำงจ ำนวนจรง


กำรเทำกนในระบบจ ำนวนจรง

1. คณสมบตของกำรสะทอน ( Reflexire Property ) ถำ a เปนจ ำนวนจรงใดๆ และ a = a 2. คณสมบตกำรสมมำตร ( Symmetrie Property ) ถำ a = b แลว b = a 3. คณสมบตกำรถำยทอด ( Transitive Property ) ถำ a = b และ b = c แลว a = c 4. คณสมบตของกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a = b แลว a+c = b+c 5. คณสมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a = b แลว ac = bc


กำรบวกในระบบจ ำนวนจรง

นยำม ในระบบจ ำนวนจรง เรยกจ ำนวนจรงทมคณสมบต เมอบวกกบจ ำนวนจรงใดๆ แลวไดผลลพธเปนจ ำนวนจรงนนวำ “เอกลกษณกำรบวก”

นยำม ในระบบจ ำนวนจรง อนเวอรสกำรบวกของจ ำนวนจรงใด หมำยถง จ ำนวนจรงจ ำนวนหนง ซงบวกกบจ ำนวนจรงจ ำนวนนน จะมผลลพธเทำกบเอกลกษณกำรบวก เชน a+b = 0 = b+a ดงนน อนเวอรสกำรบวกของ a คอ b


คณสมบตของกำรบวกของจ ำนวนจรง

1. คณสมบตปดของกำรบวก

ถำ a และ b แลว a + b

2. คณสมบตกำรสลบทของกำรบวก

ถำ a และ b แลว a+b = b+a

3. คณสมบตกำรเปลยนกลมของกำรบวก

ถำ a , b และ c แลว (a+b)+c = a+(b+c)

4. คณสมบตกำรมเอกลกษณกำรบวก

มจ ำนวนจรง 0 ซง a+0 = 0+a = a ส ำหรบ a ทกจ ำนวน

* เอกลกษณกำรบวก คอ 0

5. คณสมบตอนเวอรสกำรบวก

ส ำหรบจ ำนวน a แตละจ ำนวน จะมจ ำนวนจรง (-a) ซง

a + (-a) = (-a) + a = 0

* เรยก (-a) วำเปนอนเวอรสกำรบวกของ a


กำรคณในระบบจ ำนวนจรง

ในระบบจ ำนวนจรง กำรคณมคณสมบตเหมอนกบกำรบวก กลำวคอ มคณสมบตปด กำรสลบท กำรเปลยนกลม กำรมเอกลกษณ และกำรมอนเวอรส

นยำม ในระบบจ ำนวนจรง เรยกจ ำนวนจรงทไมเทำกบศนย ซงมสมบตวำ เมอคณกบจ ำนวนจรงจ ำนวนใดกตำม ผลคณจะเทำกบจ ำนวนจรงจ ำนวนนนวำ “เอกลกษณกำรคณ” นนคอ 1 เปนเอกลกษณกำรคณของ นยำม ในระบบจ ำนวนจรง อนเวอรสกำรคณของจ ำนวนจรง a 0 หมำยถง จ ำนวนจรงทเมอคณกบ a แลวไดผลลพธเทำกบ 1 ( เอกลกษณกำรคณ ) นนคอ อนเวอรสกำรคณของ a เรยกแทนดวย a-1 ได aa-1 = 1 = a-1a


คณสมบตกำรคณของจ ำนวนจรง

1. คณสมบตปดของกำรคณ : ถำ a และ b แลว ab

2. คณสมบตกำรสลบทกำรคณ : ถำ a และ b แลว ab = ba 3. คณสมบตกำรเปลยนกลมกำรคณ : ถำ a , b , c แลว (ab)c = a(bc)

4. คณสมบตกำรมเอกลกษณกำรคณ : ม 1 เปนเอกลกษณกำรคณ 5. คณสมบตกำรมอนเวอรสของกำรคณ : ถำ a โดยท a 0 แลวจะม a-1 6. คณสมบตกำรแจกแจง : ถำ a , b , c

a(b+c) = ab + ac (a+b)c = ac + bc


Ex. 1 ในเซต ถำก ำหนดกำรด ำเนนกำร ดงน a b = 𝒂+𝒃

𝟑

เมอ a , b

1. เซต สอดคลองกบคณสมบตปด หรอไม


2. เซต สอดคลองกบคณสมบตสลบท หรอไม


3. เซต สอดคลองกบคณสมบตเปลยนกลม หรอไม


4. ในเซต มเอกลกษณกำร หรอไม


5. ในเซต อนเวอรสของกำร หรอไม


Ex. 2 ในเซต ถำนยำมกำรด ำเนนกำรดงน a b = 𝑎𝑏

4

เมอ a , b ขอควำมใดถกผด

ก. เซต สอดคลองกบคณสมบตปดของ


ข. เซต สอดคลองกบคณสมบตสลบทของ


ค. เซต สอดคลองกบคณสมบตเปลยนกลมของ


ง. มเอกลกษณของกำร ใน


จ. ใน กบ ถำ a 0 แลวสำมำรถหำอนเวอรสของ a ได


คณสมบตของระบบจ ำนวนจรง

จำกขำงตนเรำกลำวถงคณสมบตของจ ำนวนจรงมำบำงแลว ตอไปนจะเปนกำรสรป กลำวคอ ถำให a และ b และ c แลว 1. คณสมบตปดของกำรบวก คอ a+b 2. คณสมบตสลบทกำรบวก คอ a+b = b+a 3. คณสมบตเปลยนกลมกำรบวก คอ (a+b)+c = a+(b+c) 4. คณสมบตกำรมเอกลกษณกำรบวก คอ มจ ำนวน 0 ซง 0+a = a = a+0 5. กำรมอนเวอรสกำรบวก คอ ส ำหรบจ ำนวนจรง a จะมจ ำนวนจรง - a ซง a+ ( -a ) = 0 = ( -a ) + a


6. คณสมบตปดกำรคณ คอ ab

7. คณสมบตสลบทกำรคณ คอ ab = ba

8. คณสมบตสลบทกำรคณ คอ (ab)c = a(bc)

9. คณสมบตเอกลกษณกำรคณ คอ จะมจ ำนวนจรง 1 0

ซง 1a = a = a1

10. คณสมบตอนเวอรสกำรคณ คอ ส ำหรบจ ำนวนจรง a 0

จะมจ ำนวนจรง a-1 ซง aa-1=1= a-1a

11. กำรแจกแจง คอ a(b+c) = ab+ac หรอ (a+b)c = ac+bc


จำกคณสมบตดงกลำวทง 11 ขอแลว ถำเรำพจำรณำเฉพำะ +

จะมคณสมบตเพมอก 3 ขอ คอ

12. คณสมบตไตรวภำค (Trichotomy)

ถำ a เปน ใดๆแลวขอตอไปนขอใดขอหนงเปนจรงเพยงขอเดยว

คอ 1.) a = 0 2.) a + 3.) -a +

ในกรณท a + เรยก a เปนจ ำนวนจรงบวก

เรยกเซต + วำเซตของจ ำนวนจรงบวก

ในกรณท –a + เรยก a เปนจ ำนวนจรงลบ เซตของจ ำนวนจรงลบเขยนแทนดวย -


13. คณสมบตปดของกำรบวกบน +

ถำ a + และ b + แลว a+b +

14. คณสมบตปดของกำรคณบน +

ถำ a + และ b + แลว ab +

15. คณสมบตควำมบรบรณ (completeness)


สงเพมเตมในระบบจ ำนวนจรง

ทฤษฎบทท 1 ( กฎกำรตดออกของกำรบวก )

ก ำหนดให a,b และ c เปนจ ำนวนจรง (1). ถำ a+b = a+c แลว b = c ( กฎกำรตดออกทำงซำย ) (2). ถำ a+c = b+c แลว a = b ( กฎกำรตดออกทำงขวำ )

ทฤษฎบทท 2 ก ำหนดให a และ b เปนจ ำนวนจรง

(1). ถำ a+b = a แลว b = 0 (2). ถำ b+a = a แลว b = 0


ทฤษฎบทท 3 ถำ a และ b เปนจ ำนวนจรง และ a+b = 0 แลว (1). b = -a (2). a = -b ทฤษฎบทท 4 ถำ a เปนจ ำนวนจรงแลว -(-a) = a ทฤษฎบทท 5 กฎกำรตดออกของกำรคณ ก ำหนดให a,b และ c เปนจ ำนวนจรง

(1). ถำ ab = ac และ a 0 แลว b = c ( ตดออกซำย ) (2). ถำ ac = bc และ c 0 แลว a = b ( ตดออกขวำ ) 28/06/58 Kru_Nantha 27

ทฤษฎบทท 6 ถำ a เปนจ ำนวนจรงใดๆ แลว

(1). a0 = 0 (2). 0a = 0

ทฤษฎบทท 7 ถำ a เปนจ ำนวนจรงใดๆ แลว

(1). (-1)a = -a (2). a(-1) = -a

ทฤษฎบทท 8 ให a และ b เปนจ ำนวนจรง และ a 0

(1). ถำ ab = a แลว b = 1 (2). ถำ ba = a แลว b = 1


ทฤษฎบทท 9 ถำ a และ b เปนจ ำนวนจรง และ ab=1 แลว

(1) b = a-1

(2) a = b-1

ทฤษฎบทท 10 ให a และ b เปนจ ำนวนจรง

ถำ ab = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0

ทฤษฎบทท 11 ให a และ b เปนจ ำวนจรง

ถำ a 0 และ b 0 แลว ab 0



ถำ a 0 และ b 0 แลว (ab)-1 = a-1 b-1

ทฤษฎบทท 13 ถำ a เปนจ ำนวนจรง และ a 0 แลว a-1 0

ทฤษฎบทท 14 ถำ a เปนจ ำนวนจรง และ a 0 แลว ( a-1 )-1 = a ทฤษฎบทท 15 ถำ a และ b เปนจ ำนวนจรง แลว (1). a(-b) = -ab (2). (-a)b = -ab (3). (-a)(-b) = ab 28/06/58 Kru_Nantha 30


(1). ถำ a = b แลว -a = -b

(2). ถำ -a = -b แลว a = b



กำรลบและกำรหำรจ ำนวนจรง

กำรลบจ ำนวนจรง

นยำม ให a และ b เปนจ ำนวนจรงใดๆ a - b = a+(-b)

ไมวำ b ใดๆ จะตองม -b เสมอ

a+(-b) คอ มคณสมบตปดของกำรลบ

• ทฤษฎบทท 17 ถำ a , b และ c เปนจ ำนวนจรงแลว

(1). a(b-c) = ab - ac ( กำรแจกแจงทำงซำย )

(2). (a - b)c = ac - bc ( กำรแจกแจงทำงขวำ )

ทฤษฎบทท 18 ให a , b และ c เปน ใดๆ

(1). ถำ a-b = a-c แลว b = c ( กำรตดออกทำงซำย )

(2). ถำ a-b = c-b แลว a = c ( กำรตดออกทำงขวำ )


กำรหำรของจ ำนวนจรง

บทนยำม ให a และ b เปนจ ำนวนจรงโดยท b 0 แลว

𝒂

𝒃 = a(b-1)

ทฤษฎบทท 19 ถำ a , b และ c เปนจ ำนวนจรงโดยท b 0 , c 0

แลว

𝒂

𝒃 =

𝒂𝒄

𝒃𝒄 =

𝒄𝒂

𝒄𝒃


ทฤษฎบทท 20 ถำ a , b และ c เปนจ ำนวนจรงโดยท b 0 แลว

𝒄(𝒂)

𝒃 =

𝒄𝒂

𝒃

ทฤษฎบทท 21 ถำ a และ b เปนจ ำนวนจรงโดยท b 0 แลว

- 𝒂𝒃

= − 𝒂

𝒃


ทฤษฎบทท 22 ถำ a , b และ c เปนจ ำนวนจรง โดยท b 0 และ c 0 แลว

𝑎𝑏—𝑐

= 𝑎

𝑏𝑐

ทฤษฎบทท 23 ถำ a และ b เปนจ ำนวนจรง โดยท a 0 และ b 0 แลว

(𝒂

𝒃)−𝟏 =

𝒃

𝒂


ทฤษฎบทท 24 ถำ a, b, c และ d เปนจ ำนวนจรง โดยท b 0

และ d 0 แลว

𝒂𝒃 + 𝒄

𝒅 = 𝒂𝒅+𝒃𝒄

𝒃𝒅

ทฤษฎบทท 25 ถำ a , b , c และ d เปนจ ำนวนจรง โดยท b 0 ,

d 0 แลว

𝒂𝒃

− 𝒄

𝒅 =

𝒂𝒅−𝒃𝒄

𝒃𝒅


ทฤษฎบทท 26 ถำ a , b , c และ d เปนจ ำนวนจรง โดยท b 0 , d 0 แลว

( 𝒂

𝒃 ) (

𝒄

𝒅 ) =

𝒂𝒄

𝒃𝒅

ทฤษฎบทท 27 ถำ a , b , c และ d เปนจ ำนวนจรง โดยท b 0 , c 0 แลว d 0 แลว

( 𝒂

𝒃 )

— = 𝒂𝒅

𝒃𝒄

( 𝒄

𝒅 )


กำรแกสมกำรพหนำมทมตวแปรเดยว

สมกำรพหนำม ( Polynomial equation) ทมตวแปรเดยว หมำยถง สมกำรทอยในรป an xn + an-1 xn-1 + +a1x + a0 = 0 เมอ an , an-1,,.... a1 , a0 เปนคำคงท x เปนตวแปร และ n เปนจ ำนวนเตมบวก หรอ ศนย ถำ an 0 จะเรยกสมกำรพหนำมนวำ “เปนพหนำมดกร n” เชน 1. 3x + 5 = 0 เปนสมกำรพหนำมดกร 1 2. x2 + 4x + 4 = 0 เปนสมกำรพหนำมดกร 2 3. 4x3 + 5x 2 – 3x + 5 = 0 เปนสมกำรพหนำมดกร 3 ทบทวนสตร a2 - b 2 = a3 - b3 = a3 + b3 =



Ex. 1 จงแกสมกำรพหนำมโดยกำรแยกตวประกอบของ x2 + x - 6 = 0

Ex. 2 จงแกสมกำรพหนำมโดยใชก ำลงสองสมบรณ x2 - 2x - 1 = 0


Ex. 3 จงแกสมกำรพหนำมโดยใชสตร 3x2 - 4x - 5 = 0


กำรหำรสงเครำะห ( Synthetic division )

กำรหำรสงเครำะหเปนเรองของกำรหำรพหนำม (ของตวแปร x) ทมดกรมำกกวำ หรอเทำกบ 1 ดวยพหนำมทอยในรป x - a เมอ a 0 เชน

2𝑥3− 𝑥2 − 8𝑥 + 15

𝑥 −2


สรปขนตอนกำรหำรสงเครำะห สมมตให P(x) เปนพหนำมทมดกรมำกกวำหรอเทำกบ 1 ถำตองกำรหำร P(x) ดวย x - a เมอ a 0 ดวยวธกำรหำรสงเครำะห จะมวธกำรดงน 1. เขยนสมประสทธของพจนตำงๆ ของ P(x) ( เรยงล ำดบก ำลง ของ x จำกมำกไปหำนอย ถำพจนใดไมมใหถอวำสมประสทธเปน 0 ) 2. เขยน a เปนตวหำร 3. จ ำนวนแรกในแถวท 3 จะเทำกบจ ำนวนแรกในแถวท 1 4. น ำ a คณกบจ ำนวนแรกของแถวท 3 น ำผลคณไปใสในต ำแหนงทสองของแถวทสอง 5. บวกจ ำนวนในแถวท 1 และแถวท 2 ในต ำแหนงท 2 น ำผลบวกใสในต ำแหนงเดยวกนของแถวท 3


น ำ a คณกบจ ำนวนในต ำแหนงท 2 ของแถวท 3 น ำผลคณไปใสในต ำแหนงท 3 ของแถวท 2 บวกจ ำนวนในแถวท 1 และ 2 ในต ำแหนงท 3 น ำผลมำใสในต ำแหนงเดยวกนของแถวท 3 ท ำเชนนตอไปเรอยๆ จนหมดทกต ำแหนง

1. จ ำนวนแตละจ ำนวนในแถวท 3 (ยกเวนจ ำนวนสดทำย ) เปนสมประสทธของผลหำร ซงเปนพหนำมทมดกรนอยกวำดกรของ P(x) อย 1

2. จ ำนวนสดทำยในแถวท 3 เปนเศษจำกกำรหำร


Ex. 1 จงใชกำรหำรสงเครำะหหำค ำตอบของ

1) (3x3 - x2 + 2x + 7) (x + 2)


2) (2x3 + 5x2 - 4x - 5) (x + 𝟏

𝟐 )


3) (6x3 - 14x2 +16x + 8) (x - 𝟏𝟑 )


4) (x3 + x2 - 18x + 18) ÷ (x – 3)


กำรแกสมกำรพหนำมโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ

ถำก ำหนดพหนำม P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 และ c เปนจ ำนวนจรง จะใช P(c) แทนจ ำนวนทไดจำกกำรแทนตวแปร x ใน P(x) ดวยจ ำนวนจรง c นนคอ P(c) = ancn + an-1cn-1 +....+ a1c + a0 เชน P(x) = 2x4 + 4x3 - 6x2 + 2x - 3 P(1) = P(-2) = P(3) = 28/06/58 Kru_Nantha 50

ทฤษฎบทท 28 ถำให 𝑷(𝒙) และ 𝒒(𝒙) เปนพหนำมโดยท 𝒒(𝒙) 𝟎 แลวจะมพหนำม 𝑺(𝒙) และ 𝒓(𝒙) ซงท ำให 𝑷(𝒙)

𝒒(𝒙) = 𝑺(𝒙) +

𝒓(𝒙)

𝒒(𝒙) หรอ 𝑷(𝒙) = 𝑺(𝒙)𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)

โดยท 𝒓(𝒙 = 𝟎 หรอ 𝒓(𝒙) เปนพหนำมทมดกรนอยกวำดกรของ 𝒒(𝒙)

พหนำม 𝑺(𝒙) เรยกวำ ผลหำร พหนำม 𝒓(𝒙) เรยกวำ เศษของผลหำร

ถำ 𝒓(𝒙) = 𝟎 เรยกกำรหำร 𝑷(𝒙)

𝒒(𝒙) วำเปนกำรหำรลงตว


Ex. 1 จงหำผลหำรของ ( x3 + x2 - 18x +18) ÷ ( x – 3)


Ex. 2 จงหำผลหำรของ (3x4 + 2x2 + 3x – 5) ÷ (x + 1)


ทฤษฎบทท 29 ( ทฤษฎบทเศษเหลอ : Remainder theorem )

ถำหำรพหนำม P(x) ดวย x - a เมอ a เปนจ ำนวนจรงแลว

เศษจำกกำรหำรจะเทำกบ P(a)

ดงนน ถำตองกำรเศษจำกกำรหำรพหนำม P(x) ดวย x - a

เรำจะมวธกำรหำรได 2 วธ คอ

1.) ใชกำรหำรสงเครำะห

2.) ใชทฤษฎบทเศษเหลอ ค ำนวณหำ P(a)


Ex. 3 จงหำเศษจำกกำรหำร x4 - 5x3 + 2x2 x +2 ดวย x - 3


Ex. 4 จงหำเศษจำกกำรหำร x3 x2 x 15 ดวย x 3


Ex. 5 ก ำหนด P(x) = x3+ 6x2- 2kx - 3 จงหำจ ำนวนจรง k ทท ำให P(x) หำรดวย x + 3 ลงตว



นยำม พหนำม q(x) เปนตวประกอบของพหนำม P(x)

กตอเมอ มพหนำม S(x) ซงท ำให P(x) = q(x) S(x)

เชน ก ำหนด P(x) = x3+ 2x2 - 5x - 6

= 𝑥 −2 (𝑥+3)

𝑥+1

ทฤษฎบทท 30 ( ทฤษฎบทตวประกอบ : factor theorem )

ก ำหนดพหนำม P(x) และ a เปนจ ำนวนจรง

1. ถำ x - a เปนตวประกอบของ P(x) แลว P(a) = 0

2. ถำ P(a) = 0 แลว x - a เปนตวประกอบของ P(a)

ในกรณทตองกำร ตรวจสอบวำ (x - a) เปนตวประกอบ

ของพหนำม P(x) เรำจะมวธกำรหำ

ซง P(x) = (x- a) ( S(x) ) ม 2 วธคอ

1. ใช ท.บ. เศษเหลอ

2. กำรหำรสงเครำะห


Ex. 1 ก ำหนดให P(x) = 3x5 - 5x3+ 2

(1) จงแสดงวำ x - 1 เปนตวประกอบของ P(x)

( ใชกำรหำรสงเครำะห และทฤษฎเศษเหลอ)


(2) จงหำพหนำม S(x) ซงท ำให P(x) = S(x) (x - 1)


Ex. 2 ก ำหนดให P(x) = x3- 6x2+ 11x - 6 จงแสดงวำ (x - 4) ไมเปนตวประกอบ P(x)


Ex. 3 ก ำหนดพหนำม P(x) = 3x3 - 4x2 - 3x + 4

(1) จงแสดงวำ (x + 1) เปนตวประกอบของ P(x)


(2) จงแยกตวประกอบของ P(x)


Ex. 4 ก ำหนด P(x) = 2x4+ 3x3 - 16x2 - 8x + 24

(1) จงแสดงวำ x - 2 เปนตวประกอบของ P(x)


(2) จงแสดงวำ x + 3

2 เปนตวประกอบของ P(x)


(3) จงแกสมกำร 2x4 + 3x3 - 16x2 - 8x + 24 = 0


Ex. 5 ก ำหนด P(x) = 2x4 - 9x3 + ax2 + bx +10

จงหำจ ำนวนจรง a และ b ซงท ำให x2 - 3x + 2 เปนตวประกอบของ P(x)


ทฤษฎบทท 31 (ทฤษฎบทตวประกอบจ ำนวนตรรกยะ

: rational factor theorem)

ก ำหนดพหนำม P(x) = anxn + a n-1xn-1 +....+ a1 x + a0

โดยท an , an-1 ,..., a1 , a0 เปนจ ำนวนเตม และ n เปนจ ำนวนเตมบวก และ a 0

ถำ x - 𝑐

𝑑 เปนตวประกอบของ P(x) เมอ c และ d เปนจ ำนวนเตม

ซง d 0 และ ห.ร.ม ของ c , d เทำกบ 1 แลว

c เปนตวประกอบของ a0 (c หำร a0 ลงตว)

d เปนตวประกอบของ an (d หำร an ลงตว


หมำยเหต

1. ท.บ.31 เพยงแตบอกวำถำ ( 𝑥 - 𝑐

𝑑 ) เปนตวประกอบของ P(x) แลว c จะ

หำร a0 ลงตวและ d จะหำร an ลงตวเทำนน

2. ถำ c หำร a0 ลงตว และ d หำร an ลงตวจะสรปวำ ( 𝑥 - 𝑐

𝑑 ) เปนตว

ประกอบของ P(x) ไมได

3. พหนำม P(x) อำจจะไมมตวประกอบในรป ( 𝑥 - 𝑐

𝑑 ) ซง c หำร a0 และ

d หำร an ลงตวกได เชน P(x) = x2+ 2 จะไดจ ำนวนเตม c ทหำร 2 ลงตว ไดแก........................................... จะไดจ ำนวนเตม d ทหำร 1 ลงตว ไดแก..........................................

ดงนน จ ำนวนตรรกยะ 𝑐

𝑑 ไดแก

จะพบวำ P ( 𝑐

𝑑 ) 0 แสดงวำ P(x) ไมมตวประกอบ ( 𝑥 -

𝑐

𝑑 ) เลย


ขนตอนกำรหำจ ำนวนตรรกยะ

1. หำ 𝑐

𝑑 เมอ c หำร a0 ลงตว และ d หำร an ลงตว ห.ร.ม.

ของ c และ d เทำกบ 1

2. หำ P( 𝑐

𝑑 ) เพอทดสอบวำ (𝑥 -

𝑐

𝑑 ) เปนตวประกอบของ P(x)หรอไมโดย

ถำ P ( 𝑐

𝑑 ) = 0 จะได (𝑥 -

𝑐

𝑑 ) เปนตวประกอบ P(x)

ถำ P ( 𝑐

𝑑 ) 0 จะได (𝑥 -

𝑐

𝑑 ) ไมเปนตวประกอบ P(x)

ในกรณทม ( 𝑐

𝑑 ) ซงท ำให (𝑥 -

𝑐

𝑑 ) เปนตวประกอบของ P(x) แลว

จะได P(x) = (𝑥 - 𝑐

𝑑 ) S (𝑥)

ซงกำรหำ S (𝑥) กม 2 วธ คอ หำรยำว หำรสงเครำะห 28/06/58 Kru_Nantha 71

Ex. 1 จงแยกตวประกอบของ 3x3 - 10x2+ 9x - 2


Ex. 2 1. จงแยกตวประกอบของ 2x3 +5x2 - 4x - 3


2. จงแกสมกำร 2x3 +5x2 - 4x - 3 = 0


Ex. 3 จงแกสมกำร 3x3 + 5x2 + 8x + 4 = 0


ทฤษฎบทท 32 ก ำหนดพหนำม P(x) = xn + an-1 xn-1 +....+ a1 x + a0

เมอ an-1 , an-2,....,a1 , a0 เปนจ ำนวนเตมและ n เปนจ ำนวนเตมบวก

ถำ x - a เปนตวประกอบของ p(x) เมอ a เปนจ ำนวนตรรกยะ

แลว a จะตองเปนจ ำนวนเตม และ a หำร a0 ลงตว


Ex. 4 จงหำค ำตอบและเซตค ำตอบของสมกำร x3 + x2 - 8x - 12 = 0


Ex. 5 จงหำค ำตอบและเซตค ำตอบของสมกำร x3 - 5x2 - 2x +10 = 0


Ex. 6 จงหำค ำตอบและเซตค ำตอบของสมกำร x4 - 2x3 + 2x -1 = 0



Ex. 7 จงหำค ำตอบและเซตค ำตอบของสมกำร x4- 4x3 + 6x2- 4x + 1 = 0

Ex. 8 จงหำค ำตอบและเซตค ำตอบของสมกำร x5 - x3 - 2x2 - 12x - 8 = 0


กำรไมเทำกน (Inequality) นยำม 1.) เรยก a วำเปนจ ำนวนจรงศนย กตอเมอ a = 0

2.) เรยก a วำเปนจ ำนวนจรงบวก กตอเมอ a +

3.) เรยก a วำเปนจ ำนวนจรงลบ กตอเมอ - a +

นยำม เรยก a เทำกบ b กตอเมอ a - b = 0 สญลกษณ a = b

เรยก a มำกกวำ b กตอเมอ a - b + สญลกษณ a > b

เรยก a นอยกวำ b กตอเมอ b - a + สญลกษณ a < b

นยำม a > b กตอเมอ b < a


คณสมบตไตรวภำค ถำ a และ b เปนจ ำนวนจรงสองจ ำนวนใดๆแลว ขอตอไปนขอใดขอหนง และเพยงขอเดยวเทำนน จะตองเปนจรง

1. a = b

2. a > b

3. a < b


ทฤษฎบทท 33 (คณสมบตทวำดวยจ ำนวนจรงบวกและลบ เปรยบเทยบเทำกบ 0 )

ก ำหนดให a เปนจ ำนวนจรง

1. a เปนจ ำนวนจรงบวก กตอเมอ a > o

2. a เปนจ ำนวนจรงลบ กตอเมอ a < o

ทฤษฎบทท 34 ก ำหนดให a และ b เปนจ ำนวนจรง

1. a > b กตอเมอ a - b > 0

2. a < b กตอเมอ a-b < 0


ทฤษฎบทท 35

1. ถำ a > 0 และ b > 0 แลว ab > 0

2. ถำ a < 0 และ b < 0 แลว ab > 0

3. ถำ a > 0 และ b < 0 แลว ab < 0

4. ถำ a < 0 และ b > 0 แลว ab < 0



ถำ ab > 0 แลว (a>0 และ b>0) หรอ (a<0 และ b<0)


ถำ ab < 0 แลว (a>0 และ b<0) หรอ (a<0 และ b>0)


ทฤษฎบทท 38 1. ถำ a > 0 แลว a-1 > 0

2. ถำ a < 0 แลว a-1 < 0

ทฤษฎบทท 39 คณสมบตกำรถำยทอด

ถำ a > b และ b > c แลว a > c

ทฤษฎบทท 40 (คณสมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน)

ถำ a > b และ c เปนจ ำนวนจรงใดๆแลว a + c > b + c


ทฤษฎบทท 41 (คณสมบตกำรลบดวยจ ำนวนทเทำกน)

ถำ a > b และ c เปนจ ำนวนจรงใดๆแลว a - c > b – c

ทฤษฎบทท 42 (คณสมบตกำรตดออกของกำรบวก)

ถำ a + c > b + c แลว a > b

ทฤษฎบทท 43 (คณสมบตกำรตดออกของกำรลบ)

ถำ a - c > b - c แลว a > b


ทฤษฎบทท 44 (คณสมบตกำรคณดวยจ ำนวนจรงบวก)

ถำ a > b และ c > 0 แลว ac > bc

ทฤษฎบทท 45 (คณสมบตกำรคณดวยจ ำนวนจรงลบ)

ถำ a > b และ c < 0 แลว ac < bc

ทฤษฎบทท 46 (คณสมบตกำรตดออกของกำรคณ)

1. ถำ ac > bc และ c > 0 แลว a > b

2. ถำ ac > bc และ c < 0 แลว a < b


ทฤษฎบทท 47 (คณสมบตกำรบวกของกำรไมเทำกน)

ถำ a < b และ c < d แลว a + c < b + d

ทฤษฎบทท 48 (คณสมบตกำรลบของกำรไมเทำกน)

ถำ a <b และ c < d แลว a - d < b – c

ทฤษฎบทท 49 (คณสมบตกำรคณของกำรไมเทำกน)

1. ถำ a,b,c,d เปนจ ำนวนจรงบวก และ a < b,c < d แลว ac < bd

2. ถำ a,b,c,d เปนจ ำนวนจรงลบ และ a < b,c < d แลว ac > bd


ทฤษฎบทท 50 (คณสมบตกำรไมเทำกนของอนเวอรส)

ถำ ab > 0 และ a < b แลว a-1 > b-1

ทฤษฎบทท 51 คณสมบตกำรหำรของกำรไมเทำกน

1. ถำ a,b,c,d เปนจ ำนวนจรงบวก และ a < b,c < d แลว 𝒂

𝒅

𝒃

𝒄

2. ถำ a,b,c,d เปนจ ำนวนจรงลบ และ a < b,c < d แลว 𝒂

𝒅

𝒃

𝒄


นยำม ก ำหนดให a และ b เปนจ ำนวนจรง

(1) a b หมำยถง a < b หรอ a = b (aไมมำกกวำ b)

(2) a b หมำยถง a > b หรอ a = b (aไมนอยกวำ b)

นยำม ก ำหนดให a,b และc เปนจ ำนวนจรง

(1) a b c หมำยถง a b และ b c





ทฤษฎบทท 52 ถำ a และ b เปนจ ำนวนจรงและ a b

แลวจะมจ ำนวนจรง c ซง a c b

ทฤษฎบทท 53 ถำ a และ b เปนจ ำนวนจรงและ a b

แลวจะมจ ำนวนตรรกยะ c ซง a c b


ชวง ( Interval ) ชวงเปนชอทใชเรยกสบเซตของเซต ซงมลกษณะหรอเงอนไข

ของเซตเปนกำรเฉพำะ ชวงมหลำยประเภท ดงตอไปน

ชวงเปด ( open interval )

นยำม ก ำหนดให a , b และ a b

ชวงเปด (a,b) หมำยถง เซตของจ ำนวนจรงทอยระหวำง a และ

นนคอ (a,b) = { x a x b }


Ex.1 ก ำหนดคำตอไปน จงเขยนในรปของเซตแบบบอกเงอนไข พรอมทงวำดรปประกอบ

(1) (1,4)


(2) (2,5)

(3) (-6,1)


Ex 2 ก ำหนด A = (-2,1) , B = (-1,6) , C = (3,7) จงหำ

(1) AB

(2) AC


(3) BC

(4) AB


(5) AC


ข. ชวงปด (closed interval)


ชวงปด [a,b] หมำยถง เซตของจ ำนวนจรงตงแต a ถง b

นนคอ [a,b] = { x a x b }

Ex. 3 ก ำหนด A = [-5,0] , B = [-1,4] , C = (1,6) จงหำ

(1) AB

28/06/58 Kru_Nantha 100

(2) AC

(3) BC

28/06/58 Kru_Nantha 101

(4) AB

(5) BC

28/06/58 Kru_Nantha 102

(6) AC

28/06/58 Kru_Nantha 103

ค.ชวงครงเปด ( Half Open interval )


1. ชวงครงเปด (a,b] หมำยถง เซตของจ ำนวนทมำกกวำ a แตนอยกวำหรอเทำกบ b

2. ชวงครงเปด [a,b) หมำยถง เซตของจ ำนวนจรงทมำกกวำหรอเทำกบ a แตนอยกวำ b

นนคอ 1. (a,b] = { x a x b }

2. [a,b) = { x a x b }

28/06/58 Kru_Nantha 104

Ex. 4 ก ำหนดให A = [-5,4) , B = (-1,7] , C = (-1,2) จงหำ

(1) AB

28/06/58 Kru_Nantha 105

(2) AB

(3) BC

28/06/58 Kru_Nantha 106

(4) BC

(5) AC

(6) AC

28/06/58 Kru_Nantha 107

ง. ชวงอนนต ( Infinite interval )

นยำม ก ำหนดให a

(1.) ชวงอนนต (a,) หมำยถง เซตของจ ำนวนจรงทมำกกวำ a

(a,) = { x x a }

(2.) ชวงอนนต [a,)หมำยถง เซตของจ ำนวนจรงทมำกกวำหรอเทำกบ a

[a,) = { x x a }

(3.) ชวงอนนต (-,a) หมำยถง เซตของจ ำนวนจรงทนอยกวำ a

(-,a) = { x x a }

(4.) ชวงอนนต (-,a] หมำยถงเซตของจ ำนวนจรงทนอยกวำหรอเทำกบ a

(-,a] = { x x a }

28/06/58 Kru_Nantha 108

5. ชวงอนนต (-,) หมำยถง เซตของจ ำนวนจรง (-,) =

Ex. 5 ก ำหนด A = (-2,) , B = (-,3] , C = (-4,6] จงหำ

(1) AB

(2) AB

28/06/58 Kru_Nantha 109

28/06/58 Kru_Nantha 110

(3) BC

(4) BC

28/06/58 Kru_Nantha 111

(5) AC

(6) AC

(7) A - C

(8) C - A

28/06/58 Kru_Nantha 112

(9) B - C

(10) C - B

28/06/58 Kru_Nantha 113

(11) A - B

(12) B - A

28/06/58 Kru_Nantha 114

Ex. 6 ก ำหนดให A = { x -4 x และ x 3 }

B = { x x -2 และ x 5 }

C = { x x -1 และ x 2 } จงหำผลลพธ

28/06/58 Kru_Nantha 115

กำรแกอสมกำร

นยำม อสมกำรใน x หมำยถง ประโยคทมตวแปร x ทวำดวยกำรไมเทำกน

เชน 1. 2x -1 4x - 9 เปนอสมกำรใน x

2. 3y2- 5y y - 3 เปนอสมกำรใน y

3. z3+ 5z2- 9 0 เปนอสมกำรใน z

28/06/58 Kru_Nantha 116

นยำม ก ำหนดเอกภพสมพทธ U และ P(𝑥) เปนอสมกำรใน 𝑥 จ ำนวนจรง a U จะเรยก a วำเปน ค ำตอบของ P(𝑥) กตอเมอน ำ a ไปแทน 𝑥 แลวท ำใหอสมกำร P(a) เปนจรง

Ex.1 ก ำหนดให U = เซตจ ำนวนจรง และก ำหนดอสมกำรใน 𝑥 ดงน

P(𝑥) 2𝑥 + 1 3𝑥 - 2

จงหำ (1). P(4)

(2). P(2)

(3). P ( 2

9 )

28/06/58 Kru_Nantha 117

Ex. 2 ก ำหนดอสมกำรใน x ดงน P(x) x2- 2x - 2 0

จงตรวจสอบดวำ จ ำนวนจรง 0 , -1 , 1 , 32 และ 2 เปนค ำตอบ

ของอสมกำร P(x) หรอไม

28/06/58 Kru_Nantha 118

28/06/58 Kru_Nantha 119

นยำม ก ำหนดเอกภพสมพทธ U และ P(𝑥) เปนอสมกำรใน 𝑥 เซตค ำตอบของอสมกำร P(𝑥) หมำยถง เซตของค ำตอบทงหมดของอสมกำร P(𝑥)

นยำม กำรแกอสมกำร หมำยถง กำรหำเซตค ำตอบของอสมกำร

Ex. 3 ก ำหนดเอกภพสมพทธ U = { -2 ,-1, 0, 1, 2, 3 } และ

ก ำหนดอสมกำร P(𝑥) : 2 x2 - 5x -12 0 จงหำเซตค ำตอบของอสมกำร

คณสมบตหลกทใชในกำรแกอสมกำร คอ คณสมบตกำรไมเทำกน ไดแก

1. คณสมบตกำรบวกดวยจ ำนวนเทำกน

2. คณสมบตกำรลบดวยจ ำนวนทำกน

3. คณสมบตกำรคณดวยจ ำนวนจรงบวก

4. คณสมบตกำรคณดวยจ ำนวนจรงลบ

28/06/58 Kru_Nantha 120

กำรแกอสมกำรก ำลงหนง

อสมกำรก ำลงหนง เปนอสมกำรทมตวแปรยกก ำลงหนง

และ สำมำรถจดอสมกำรในรป

ax b

ax b

ax b

ax b

โดยท x เปนตวแปร และ a,b เปนคำคงตว

28/06/58 Kru_Nantha 121

Ex.1 จงแกอสมกำรพรอมทงเขยนเสนจ ำนวน

(1.) 2x + 5 x + 8

28/06/58 Kru_Nantha 122

(2.) 𝑥

2 - 3 +

2𝑥 −1

3 -1

28/06/58 Kru_Nantha 123

(3.) 𝒙 −𝟑

𝟐

𝑥

3 + 1

28/06/58 Kru_Nantha 124

(4.) 15 3x + 3 21

28/06/58 Kru_Nantha 125

(5.) x+ 2 3 - 4x 3 - x

28/06/58 Kru_Nantha 126

(6.) 3 - 2x x + 1 2x - 3

28/06/58 Kru_Nantha 127

กำรแกอสมกำรก ำลงสอง

อสมกำรก ำลงสอง หมำยถง อสมกำรทอยในรป Ax2 + Bx + c 0

Ax2 + Bx + c 0

Ax2 + Bx + c 0, 0

โดยท x เปนตวแปร และ A , B , C เปนคำคงตว เมอ A 0

กำรแกอสมกำรก ำลงสองท ำไดหลำยวธ เชน แยกตวประกอบ

และ ก ำลงสองสมบรณ

28/06/58 Kru_Nantha 128

1. กำรแกอสมกำรก ำลงสองโดยกำรแยกตวประกอบ จำกคณสมบตของกำรไมเทำกนจะไดวำ

ax + b = 0 กตอเมอ x = - 𝑏

𝑎

ax + b 0 กตอเมอ x - 𝑏

𝑎

ax + b 0 กตอเมอ x - 𝑏

𝑎

28/06/58 Kru_Nantha 129

Ex. 1 จงพจำรณำเครองหมำย 4x + 8 และ 2x - 10

28/06/58 Kru_Nantha 130

ก ำหนดอสมกำรก ำลงสองใน x Ax2 + Bx + c 0

Ax2 + Bx + c 0

Ax2 + Bx + c 0

Ax2 + Bx + c 0

เมอ A, B, C เปนคำคงตว และ A 0 ( ถำ A 0 ใหคณดวย - 1 )

28/06/58 Kru_Nantha 131

ขนตอนกำรแสดงอสมกำรก ำลงสองใน x ขนท 1. แยกตวประกอบ

Ax2 + Bx + c = ( ax + b ) ( cx + d )

( ในทน a, c เปน + )

ขนท 2. ใชทฤษฎบทท 36

ถำ ab 0 แลว (a 0 และ b 0) หรอ (a 0 และ b 0)

ใชทฤษฎบทท 37

ถำ ab 0 แลว (a 0 และ b 0) หรอ (a 0 และ b 0

28/06/58 Kru_Nantha 132

Ex.1 จงแกอสมกำร x2 - 3x - 4 0

28/06/58 Kru_Nantha 133

28/06/58 Kru_Nantha 134

Ex.2 จงแกอสมกำร 5x2 + 13x 6

Ex.3 จงแกอสมกำร 2 - 3x - 2x2 0

28/06/58 Kru_Nantha 135

Ex. 4 จงแกอสมกำร 2x 3 - x2

28/06/58 Kru_Nantha 136

Ex. 5 จงแกอสมกำร 3x2 - 2 - x - 3x2

28/06/58 Kru_Nantha 137

2. กำรแกอสมกำรก ำลงสอง โดยกำรท ำใหเปนก ำลงสองสมบรณ

ก ำหนดอสมกำรก ำลงสองใน x ซงมสมประสทธของพจน x2 เทำกบ 1 (ถำไมเทำตองท ำเปน 1 )

ดงน x 2 + bx + c 0

x 2 + bx + c 0

x 2 + bx + c 0

x 2 + bx + c 0

แลวท ำเปนก ำลงสองสมบรณ

28/06/58 Kru_Nantha 138

Ex. 1 จงแกอสมกำร x2 + 5x + 10 0

28/06/58 Kru_Nantha 139

Ex. 2 จงแกอสมกำร 3x2 + 5x + 9 0

28/06/58 Kru_Nantha 140

คณสมบตกำรไมเทำกน

ก ำหนดให a เปนจ ำนวนจรงบวก

x2 a กตอเมอ - 𝑎 x 𝑎

x2 a กตอเมอ - 𝑎 x 𝑎

x2 a กตอเมอ x - 𝑎 หรอ x 𝑎

x2 a กตอเมอ x - 𝑎 หรอ x 𝑎

28/06/58 Kru_Nantha 141

Ex. 3 จงแกอสมกำร 4 + 5x − 3x2 0

28/06/58 Kru_Nantha 142

Ex. 4 จงแกอสมกำร

1.) x2 - 2x - 5

3 0

28/06/58 Kru_Nantha 143

2.) 3x2 - 6x - 6 0

28/06/58 Kru_Nantha 144

3.) 3x2 + 6x - 5 0

28/06/58 Kru_Nantha 145

กำรแกอสมกำรในรปแบบอนๆ

Ex. 5 จงแกอสมกำร ( x + 2 ) ( x - 1 ) ( 2x - 9 ) 0

28/06/58 Kru_Nantha 146

28/06/58 Kru_Nantha 147

Ex. 6 จงแกอสมกำร x3- x2- 4x + 4 0

อสมกำรบำงอสมกำรอำจอยในรปเศษสวน โดยทตวสวนมตวแปร

ซงกำรแกอสมกำรประเภทน ตองใชคณสมบตตอไปน

1. 𝑎

𝑏 0 กตอเมอ ab 0

2. 𝑎

𝑏 0 กตอเมอ ab 0

3. 𝑎

𝑏 0 กตอเมอ ab 0 และ b 0

4. 𝑎

𝑏 0 กตอเมอ ab 0 และ b 0

28/06/58 Kru_Nantha 148

Ex.1 จงแกอสมกำร 2𝑥+1

𝑥−3 0

28/06/58 Kru_Nantha 149

Ex. 2 จงแกอสมกำร 3𝑥−10

𝑥+3 0

28/06/58 Kru_Nantha 150

Ex. 3 จงแกอสมกำร 1−2𝑥

3𝑥+4 0

28/06/58 Kru_Nantha 151

28/06/58 Kru_Nantha 152

Ex. 4 จงแกอสมกำร (𝑥+5)(𝑥−4)

2𝑥+1 0

Ex. 5 จงแกอสมกำร 2

𝑥−2

4

𝑥

28/06/58 Kru_Nantha 153

Ex. 6 จงแกอสมกำร 𝑥2+𝑥

𝑥−1

2

𝑥−1

28/06/58 Kru_Nantha 154

Ex. 7 จงแกอสมกำร 𝑥3−5𝑥2 − 𝑥 + 5

𝑥2− 4𝑥 + 5 0

28/06/58 Kru_Nantha 155

Ex. 8 จงแกอสมกำร -2 𝑥−1

𝑥+1 2

28/06/58 Kru_Nantha 156

หลกกำรแกอสมกำรทมตวประกอบซ ำ

ถำ a และ b เปนจ ำนวนจรง และ m เปนจ ำนวนเตมบวกโดยท m 1 จะไดวำ

กรณท 1 m เปนจ ำนวนค

1. abm 0 กตอเมอ a 0 และ b 0

2. abm 0 กตอเมอ a 0 และ b 0

กรณท 2 m เปนจ ำนวนค

1. abm 0 กตอเมอ ab 0

2. abm 0 กตอเมอ ab 0

28/06/58 Kru_Nantha 157

กรณพเศษ 3. abm 0 กตอเมอ abm 0 หรอ abm = 0

4. abm 0 กตอเมอ abm 0 หรอ abm = 0

28/06/58 Kru_Nantha 158

Ex. 1 จงแกอสมกำร (1.) (x - 3)(x + 2)6 0

28/06/58 Kru_Nantha 159

(2.) (x - 3)(x + 2)6 0

28/06/58 Kru_Nantha 160

Ex. 2 จงแกอสมกำร (𝑥+4)(𝑥+1)(𝑥−2)3

𝑥 (𝑥 −5)2 0

28/06/58 Kru_Nantha 161

Ex. 3 จงแกอสมกำร (𝑥+3)4(𝑥+1)

(𝑥 −2)(𝑥 −4)5 0

28/06/58 Kru_Nantha 162

กำรแกอสมกำรทมเครองหมำยรำกทสองไมเปนลบ คณสมบต 1. ถำ 0 a b แลว a2 b2

2. ถำ 0 a b แลว a2 b2

28/06/58 Kru_Nantha 163

Ex. 1 จงแกอสมกำร (1.) 20 − 4𝑥 -2

28/06/58 Kru_Nantha 164

(2.) 20 − 4𝑥 -2

28/06/58 Kru_Nantha 165

Ex. 2 จงแกอสมกำร 3𝑥 + 2 7

28/06/58 Kru_Nantha 166

Ex. 3 จงแกอสมกำร 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 5

28/06/58 Kru_Nantha 167

Ex. 4 จงแกอสมกำร 𝑥 − 2 x4

28/06/58 Kru_Nantha 168

คำสมบรณ (Absolute Value)

นยำม ก ำหนดให a เปนจ ำนวนจรง คำสมบรณของ a

เขยนแทนดวยสญลกษณ a

ซงนยำมดงน a = a เมอ a ≥ 0

a = - a เมอ a 0

28/06/58 Kru_Nantha 169

ทฤษฎบทท 54 ถำ a แลว a 0

ทฤษฎบทท 55 ถำ a แลว a a และ a -a

ทฤษฎบทท 56 ถำ a แลว a=-a

ทฤษฎบทท 57 ถำ a และ b แลว a-b = b-a

นยำม ก ำหนดให a และ b

a - b หมำยถง ระยะทำงระหวำง a และ b บนเสนจ ำนวนจรง

ทฤษฎบทท 58 ถำ a , b แลว ab = a b

ทฤษฎบทท 59 ถำ a และ b โดยท b 0

แลว𝑎

𝑏= 𝑎

𝑏

28/06/58 Kru_Nantha 170

ทฤษฎบทท 60 ถำ 𝑎 และ 𝑏

แลว 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏

ทฤษฎบทท 61 ถำ 𝑎 และ b

แลว 𝑎 - 𝑏 𝑎 - 𝑏


แลว 𝑎 - 𝑏 𝑏 - 𝑎


แลว 𝑎 - 𝑏 𝑎 - 𝑏

ทฤษฎบทท 64 ถำ 𝑎 แลว 𝑎 2 = 𝑎2

ทฤษฎบทท 65 ถำ 𝑎 แลว 𝑎2 = 𝑎

28/06/58 Kru_Nantha 171

ขอสงเกต 1. ถำ ab 0 แลว a + b = a + b

2. ถำ ab 0 แลว a + b a + b

EX จงพจำรณำวำถกหรอผด

1. ถำ a b แลว a b

2. ถำ 0 a b แลว a b

3. ถำ a b 0 แลว a b

4. ถำ a2 b2 แลว a b

5. ถำ a2 b2 แลว a b

28/06/58 Kru_Nantha 172

สมกำรในรปแบบคำสมบรณ

ทฤษฎบทท 66 ก ำหนดให a 0 แลว x จะไดวำ

x = a กตอเมอ x = a หรอ x = -a

Ex. 1 จงแกสมกำร 4x - 2 = 10

28/06/58 Kru_Nantha 173

Ex. 2 จงแกสมกำร 3 + 2x = -2

28/06/58 Kru_Nantha 174

Ex. 3 จงแกสมกำร 3x + 4 = 2

x

28/06/58 Kru_Nantha 175

ทฤษฎบทท 67 ก ำหนดให a และ b จะไดวำ a = b กตอเมอ a = b หรอ a = -b Ex. 4 จงแกสมกำร 1 + 2x = 3x - 4

28/06/58 Kru_Nantha 176

Ex. 5 จงแกสมกำร x2+ 3x - 6 = 2x + 6

28/06/58 Kru_Nantha 177

ทฤษฎบทท 68 ก ำหนดให a และ b จะไดวำ a = b กตอเมอ (a+b)(a - b) = 0 Ex.6 จงแกสมกำร 1 + 2x = 3x - 4

28/06/58 Kru_Nantha 178

Ex. 7 จงแกสมกำร x2+ 3x - 6 = 2x + 6

28/06/58 Kru_Nantha 179

Ex. 8 จงแกสมกำร 𝟓−𝟑𝒙

𝒙+𝟐 = 2

28/06/58 Kru_Nantha 180

ทฤษฎบทท 69 ก ำหนดให a และ b จะไดวำ

a = b กตอเมอ b 0 และ a2 = b2

Ex. 3 จงแกสมกำร จงแกสมกำร x = x + 1

28/06/58 Kru_Nantha 181

Ex. 10 จงแกสมกำร 2x + 1 = 3x - 5

28/06/58 Kru_Nantha 182


a = b กตอเมอ b 0 และ (a+b)(a-b) = 0

Ex. 11 จงแกสมกำร 4x - 3 = x + 5

28/06/58 Kru_Nantha 183

Ex. 12 จงแกสมกำร x + 1 - 6x - 2 = 3x + 7

28/06/58 Kru_Nantha 184

Ex. 13 จงแกสมกำร 2 - 5x = 2 - 5x

28/06/58 Kru_Nantha 185

Ex. 14 จงแกสมกำร 3x - 4 = 4 - 3x

28/06/58 Kru_Nantha 186

Ex. 15 จงแกสมกำร x + 9 = x + 9

28/06/58 Kru_Nantha 187

Ex. 16 จงแกสมกำร 2x - 5 = 2 x + 5

28/06/58 Kru_Nantha 188

Ex. 17 จงแกสมกำร 6 x 2 – 17 x + 5 = 0

28/06/58 Kru_Nantha 189

Ex. 18 จงแกสมกำร x + 4 - 2 - 5x = -1

28/06/58 Kru_Nantha 190

Ex. 19 จงแกสมกำร 2 + 3x + 3 - 2x = 9

28/06/58 Kru_Nantha 191

Ex.20 จงแกสมกำร x + 1 + x + 2 + x - 1 = 5

28/06/58 Kru_Nantha 192

อสมกำรในรปของคำของสมบรณ


(1) a b กตอเมอ -b a b

(2) a b กตอเมอ -b a b

28/06/58 Kru_Nantha 193

Ex. 1 จงแกอสมกำร 3x - 5 4

28/06/58 Kru_Nantha 194

Ex. 2 จงแกอสมกำร 2x + 6 0

28/06/58 Kru_Nantha 195

Ex. 3 จงแกอสมกำร 5x + 9 - 3

28/06/58 Kru_Nantha 196

Ex. 4 จงแกอสมกำร 5x - 4 2x + 3x

28/06/58 Kru_Nantha 197


(1) a b กตอเมอ a -b หรอ a b

(2) a b กตอเมอ a -b หรอ a b

28/06/58 Kru_Nantha 198

Ex. 5 จงแกอสมกำร 7x + 1 0

28/06/58 Kru_Nantha 199

Ex. 6 จงแกอสมกำร 4x - 9 -3

28/06/58 Kru_Nantha 200

Ex. 7 จงแกอสมกำร x - 5 x + 3

28/06/58 Kru_Nantha 201

Ex. 8 จงแกอสมกำร 2x + 7 5 + 2x

28/06/58 Kru_Nantha 202

Ex. 9 จงแกอสมกำร 2x - 1 x + 3

28/06/58 Kru_Nantha 203

Ex. 10 จงแกอสมกำร 2 5x - 6 8

28/06/58 Kru_Nantha 204

Ex. 11 จงแกอสมกำร x 𝟒𝒙+𝟓𝟐

5

28/06/58 Kru_Nantha 205

Ex. 12 จงแกอสมกำร 1+2𝑥

6+3𝑥

1

3

28/06/58 Kru_Nantha 206


(1) a b กตอเมอ a2 b2

(2) a b กตอเมอ a2 b2

28/06/58 Kru_Nantha 207

Ex. 13 จงแกอสมกำร 3x - 1 2x - 5

28/06/58 Kru_Nantha 208

28/06/58 Kru_Nantha 209

Ex. 14 จงแกอสมกำร 𝑥+1

𝑥+2 2

Ex. 15 จงแกอสมกำร 𝑥2 −5𝑥 −4

𝑥2+𝑥 −2 1

28/06/58 Kru_Nantha 210

Ex. 16 จงแกอสมกำร x - 1 + 2x + 3 4

28/06/58 Kru_Nantha 211

Ex. 17 จงแกอสมกำร 𝒙+𝟏 + 5𝟐−𝒙

6

28/06/58 Kru_Nantha 212

Ex. 18 จงแกอสมกำร 2 + 3x - x - 4 5

28/06/58 Kru_Nantha 213

Ex. 19 จงแกอสมกำร 3𝑥 −2

𝑥+1−1 5

28/06/58 Kru_Nantha 214

Ex. 20 จงแกอสมกำร 𝒙

𝒙−5 1

28/06/58 Kru_Nantha 215

สจพจนควำมบรบรณ

(Axiom of Completeness ) นยำม ก ำหนดให S

จ ำนวนจรง a เปนคำขอบเขตบน ( upper bound ) ของ S กตอเมอไมมจ ำนวนจรงใดใน S ทมคำมำกกวำ a

นนคอ a เปนคำขอบเขตบนของ S กตอเมอ x a ส ำหรบทก x S

28/06/58 Kru_Nantha 216

Ex. 1 ก ำหนดให S = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7} จงหำขอบเขตบน

Ex. 2 ก ำหนดให S = {1 , 2 , 3 , ... } จงหำขอบเขตบน

28/06/58 Kru_Nantha 217

Ex.3 ก ำหนดให S = {1

2 , 1

3 , 1

4 , 1

5 , .... } จงหำขอบเขตบน

Ex.4 ก ำหนดให S = [ 5 , 8 ] จงหำขอบเขตบน

28/06/58 Kru_Nantha 218

Ex.5 ก ำหนดให S = ( 3 , 4 ) จงหำขอบเขตบน

28/06/58 Kru_Nantha 219

นยำม ก ำหนดให S จะกลำววำ S มขอบเขตบน กตอเมอมจ ำนวนจรง a ทเปนคำขอบเขตบนของ S

* ถำ a เปนขอบเขตบนของ S แลว จ ำนวนจรงทกจ ำนวนทมำกกวำ a จะเปนคำขอบเขตบนของ S ดวย

นยำม ก ำหนดใหจ ำนวนจรง a เปนคำขอบเขตบนของ S จะกลำววำ a เปนคำขอบเขตบนนอยสดของ S กตอเมอไมมขอบเขตบนของ S ทนอยกวำ a

28/06/58 Kru_Nantha 220

Ex.6 ก ำหนด S = [-2,5] จงหำขอบเขตบนและขอบเขตบนนอยสด

28/06/58 Kru_Nantha 221

Ex.7 ในระบบจ ำนวนจรง จงพจำรณำเซต S ในขอตอไปนวำมขอบเขตบนหรอไม ถำมแลวมขอบเขตบนนอยสดหรอไม

(1) S =

(2) S = { 1 , 1

2 ,

1

3 ,

1

4 ,

1

5 , .... }

28/06/58 Kru_Nantha 222

(3) S = { x x = 1

𝑛+1 เมอ 𝑛 I+ }

28/06/58 Kru_Nantha 223

(4) S = { x x = 1 + 2−𝑛 ; 𝑛 I+,0 }

28/06/58 Kru_Nantha 224

(5) S = { x x = 1 – 2-n ; n I+,0 }

28/06/58 Kru_Nantha 225

(6) S = { x Q x2 < 5 }

28/06/58 Kru_Nantha 226

(7) S = {1,2,3} (-,)

28/06/58 Kru_Nantha 227

(8) S = {0,1,2,3} (-, 2 )

28/06/58 Kru_Nantha 228

(9) S = {0,1,2,3,4} (0,)

28/06/58 Kru_Nantha 229

28/06/58 Kru_Nantha 230

ตอไปนในระบบจ ำนวนจรง ถำ S และ

S โดยท S มขอบเขตบน แลว S จะมขอบเขตบนนอยสด จะเรยกวำ สจพจนของควำมบรบรณ

28/06/58 Kru_Nantha 231

ขอใหนกเรยนทกคนโชคด

28/06/58 Kru_Nantha 232

Real Number

Documents

Transcript of Real Number