86 Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles

Propriétés des angles dans les triangles

Faire la preuve des propriétés des angles dans les triangles et résoudre des problèmes à l’aide de ces propriétés.

ANALYSE d’un problèmeTrois tuiles triangulaires congruentes se touchent par un sommet différent. Diko a remarqué que les angles de ces sommets semblent former une ligne droite.

180°

BUTMATÉRIEL NÉCESSAIRE

• unlogicieldegéométriedynamique,ouuncompas,unrapporteurd’angleetunerègle

• desciseaux

2.3

Peux-tu prouver que la somme des mesures des angles intérieurs de tout triangle égale 180°?

A. Trace un triangle acutangle RIZ. Construis une droite PQ passant par le sommet Z et parallèle à RI.

B. Identifie les paires d’angles égaux dans ton schéma. Explique comment tu sais que les mesures des angles de chaque paire sont égales.

C. Quelle est la somme des mesures de /PZR, /RZI et /QZI ? Explique comment tu le sais.

D. Explique pourquoi /ZRI 1 /RZI 1 /RIZ 5 180°.E. À la question A, le choix du sommet par lequel tu as fait passer

la droite parallèle est-il important ? Explique ta réponse à l’aide d’exemples.

F. Répète les questions A à E, d’abord en traçant un triangle obtusangle, puis un triangle rectangle. Tes résultats sont-ils les mêmes que ceux qui se rapportent au triangle acutangle ?

?

P Z

R I

Q

EXPLORATIONSurunefeuilledepapierrectangulaire,tracedeslignesàpartirdedeuxsommetsversunpointsituésurlecôtéopposé.Découpelafeuillelelongdeslignesdemanièreàformerdeuxtrianglesrectanglesetuntriangleacutangle.• Queremarques-tuausujet

destroistriangles?• Peux-tuutiliserlesrelations

entrelesanglespourmontrerquelasommedesmesuresdesanglesintérieursdetouttriangleacutangleforméainsiégale180°?

Q

872.3 Propriétés des angles dans les triangles

RéflexionG. Pourquoi l’approche de Diko n’est-elle pas considérée comme une

preuve ? H. Tes résultats sont-ils suffisants pour prouver que la somme des mesures

des angles intérieurs de tout triangle égale 180° ? Explique ta réponse.

APPLICATION des calculsexemple 1 Déterminer des mesures d’angle à l’aide

de la somme des angles

Dans le schéma ci-contre, /MTH est un angle extérieur du ^MAT. Calcule les mesures des angles intérieurs inconnusdu ^MAT.

La solution de Serge

/MTA 1 /MTH 5 180° /MTA 1 1155°2 5 180° /MTA 5 25°

/MAT 1 /AMT 1 /MTA 5 180° /MAT 1 140°2 1 125°2 5 180° /MAT 5 115°

Les mesures des angles MTA et MAT sont respectivement 25° et 115°.

À toi de jouer!Si tu connais un angle intérieur et un angle extérieur d’un triangle, peux-tu toujours calculer les autres angles intérieurs du triangle ? Explique ta réponse à l’aide de schémas.

A

M

40°

155°T H

/MTAet/MTHsontsupplémentairespuisqu’ilsformentunelignedroite.

Lasommedesmesuresdesanglesintérieursdetouttriangleégale180°.

88 Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles

/det/csontsupplémentaires.Jemanipulecesanglesafind’isoler/d.

exemple 3 Résoudre des problèmes par raisonnement

Détermine les mesures de /NMO, /MNO et /QMO.

M

N P

R

L Q67°

20°

39° O

/d 1 /c 5 180° /d 5 180° 2 /c

/a 1 /b 1 /c 5 180° /a 1 /b 5 180° 2 /c

/d 5 /a 1 /b

La mesure d’un angle extérieur d’un triangle est égale à la somme des mesures des deux angles intérieurs non adjacents.

À toi de jouer!Prouve que /e 5 /a 1 /b.

e

a

c bd

angles intérieurs non adjacents

Lesdeuxanglesd’untrianglequin’ontpaslemêmesommetqu’unangleextérieur.

/Aet/Bsontlesanglesintérieursnonadjacentsàl’angleextérieurACD.

A

B C D

exemple 2 Déterminer, par raisonnement, la relation entre les angles extérieurs et intérieurs d’un triangle

Détermine la relation entre un angle extérieur d’un triangle et ses angles intérieurs non adjacents .

La solution de Joanna

a

c bd

Jedessineuntrianglecomportantunangleextérieur.Jenommelesmesuresdesanglesa,b,cetd.

Puisque/det(/a 1 /b)sontégauxà180° 2 /c,envertudelapropriétédetransitivité,ilsdoiventêtreégauxl’unàl’autre.

Lasommedesmesuresdesanglesintérieursdetouttriangleégale180°.

892.3 Propriétés des angles dans les triangles

La solution de Tyler

MN est une sécante des segments de droite parallèles LQ et NP.

/MNO 1 20° 5 67° /MNO 5 47°

/NMO 1 /MNO 1 39° 5 180° /NMO 1 147°2 1 39° 5 180°

/NMO 1 86° 5 180° /NMO 5 94°

/NMO 1 /QMO 1 67° 5 180° 194°2 1 /QMO 1 67° 5 180°

161° 1 /QMO 5 180° /QMO 5 19°

Les mesures des angles sont/MNO 5 47° ; /NMO 5 94° ; /QMO 5 19°.

La solution de Dominique

/NMO 1 /MNO 1 39° 5 180° /NMO 1 /MNO 5 141°

1/NMO 1 /QMO2 1 1/MNO 1 20°2 5 180° /NMO 1 /MNO 1 /QMO 5 160°

1141°2 1 /QMO 5 160° /QMO 5 19°

/NMO 1 /QMO 1 67° 5 180° /NMO 1 119°2 1 67° 5 180°

/NMO 5 94°

/NMO 1 /MNO 5 141° 194°2 1 /MNO 5 141°

/MNO 5 47°

Voici les mesures des angles : /QMO 5 19° ; /NMO 5 94° ; /MNO 5 47°.

À toi de jouer!Dans le schéma de l’Exemple 3, QP iMR. Détermine les mesures de /MQO, /MOQ, /NOP, /OPN et /RNP.

Puisque/LMNet/MNPsontdesanglesalternes-internesentredessegmentsdedroiteparallèles,ilssontégaux.

Lasommedesmesuresdesanglesintérieursd’untriangleégale180°.

Comme/LMN,/NMOet/QMOformentunelignedroite,lasommedeleursmesureségale180°.

Lasommedesmesuresdesanglesintérieursd’untriangleégale180°.

Jefaislasubstitutiondelavaleurde/NMO 1

/MNOdansl’équation.

Comme/LMN,/NMOet/QMOformentunelignedroite,lasommedeleursmesureségale180°.

Lesanglesforméspar(/NMO 1 /QMO)et(/MNO 1 20°)sontdesanglesinternesdumêmecôtédelasécanteMN.PuisqueLQ iNP,cesanglessontsupplémentaires.

MNcoupelessegmentsdedroiteparallèlesLQetNP.

90 Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles

VÉRIFIE ta compréhension 1. Harrison a tracé un triangle. Il en a mesuré les trois angles intérieurs.

Quand il a additionné les mesures de ces angles, la somme était de 180°. Cela prouve-t-il que la somme des mesures des angles intérieurs de tout triangle égale 180° ? Explique ta réponse.

2. Marcel dit qu’il est possible de tracer un triangle à deux angles droits. Es-tu d’accord ? Explique ta réponse.

3. Calcule les angles inconnus suivants. a) /YXZ, /Z b) /A, /DCE

Mise en APPLICATION 4. Connaissant la valeur de /Q,

écris une expression pour la mesure de l’un des deux autres angles.

Y

64°

Z

W X101°

A

49° B134°

CD

E

R S

Q

En résumé

Idée principale

• Tupeuxfairelapreuvedespropriétésdesanglesintérieursd’untriangleàl’aided’autrespropriétésquiontdéjàétéprouvées.

Ce qu’il faut savoir

• Pourtouttriangle,ilestprouvéquelasommedesanglesintérieurségale180°.

• Ilestprouvéquelamesuredetoutangleextérieurd’untriangleestégaleàlasommedesmesuresdesdeuxanglesintérieursnonadjacents.

A

B

C

A

D B C

/A1 /B1 /C 5 180°

/DBA5 /BAC1 /ACB

a fb e

yc d

x z

912.3 Propriétés des angles dans les triangles

5. Prouve que /A 5 30°.

6. Calcule les mesures des angles extérieurs d’un triangle équilatéral. 7. Prouve que SY i AD.

8. Chaque sommet d’un triangle a deux angles extérieurs, comme dans le schéma ci-contre.a) Formule une conjecture à propos de la

somme des mesures de /a, /c et /e.b) Ta conjecture s’applique-t-elle à la somme

des mesures de /b, /d et /f   ? Explique ta réponse.

c) Prouve ou réfute ta conjecture. 9. La figure DICO est un parallélogramme.

Benji a déterminé la mesure des angles intérieurs inconnus de la figure DICO.Paula dit qu’il a fait une erreur.

B

C D A

S Y

N

A D127°

29°

98°

D100°

O

CI35°

La solution de Benji Énoncé Justification/DOI 5 /OIC/DOI 5 35°/IDO 5 /DIC

/DOI et /OIC sont des angles alternes-internes. /IDO et /DIC sont des angles correspondants.

/DIO 1 /OIC 5 100° /DIO 5 65° /IOC 5 65°

/DIO et /IOC sont des angles alternes-internes.

/ICO 5 180° 2 1/OIC 1 /IOC2/ICO 5 180° 2 135° 1 65°)/ICO 5 80°

La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle égale 180°.

Je redessine le schéma en y ajoutant les mesures d’angle que j’ai trouvées.

a) Explique comment tu sais que Benji a fait une erreur. b) Corrige la solution de Benji.

D100° 35°

65°

O

80°C

65°

I35°

92 Chapitre 2 Propriétés des angles et des triangles

10. Prouve que le quadrilatère MATH est un parallélogramme.

11. Un manufacturier a conçu une chaise de parterre comme celle ci-contre. Détermine les mesures de /a, /b, /c et /d.

12. a) Tim affirme que FG n’est pas parallèle à HI parce que /FGH Z /IHJ. Es-tu d’accord ? Justifie ta réponse.

b) De quelle autre façon pourrais-tu justifier ta réponse ? Donne des explications.

13. Sers-toi des données connues pour déterminer les mesures de /J, /JKO, /JOK, /KLM, /KLN, /M, /LNO, /LNM, /MLN, /NOK et /JON.

14. Calcule les mesures des angles intérieurs du ^FIN.

15. a) Calcule les mesures de /AXZ, /XYC et /EZY.

b) Calcule la somme de ces trois angles extérieurs.

M45°

A

H70°

T

65°45°

115°

cd

ba30°

50°75°

55°

F

G

J

I

H

110°

140°J K L

ON

P

M

A

F 115° NB149°

I

AX 35˚ 50˚

C

EZ

Y

16. MO et NO sont des bissectrices d’angles. Prouve que /L 5 2/O.

Conclusion 17. Explique comment le fait de tracer une droite parallèle à un côté d’un

triangle peut t’aider à prouver que la somme des angles intérieurs du triangle égale 180°.

Prolongement 18. Donné : AE est une bissectrice de /BAC. Le ^BCD est isocèle. Prouve que /AEB 5 45°.

19. Le ^LMN est un triangle isocèle dans lequel LM 5 LN. ML est prolongé jusqu’au point D et forme l’angle extérieur DLN. Sachant que LR i MN, où N et R sont du même côté de MD, prouve que /DLR 5 /RLN.

M N P

OL

aa b b

A

D

E

B Cy

x x

y

932.3 Propriétés des angles dans les triangles