Presentación de PowerPoint - U-Cursos

D.Sáez. EL4004 Fund. Control de Sistemas. U. Chile 1

Métodos Clásicos para el Diseño

de Controladores:

en el Dominio de la Frecuencia

Elaborado por: D. Sáez

R. Cárdenas

Colaboradores: G. Sáez & S. Sippa


Análisis en Frecuencia

Si

amplitud frecuencia amplitud frecuencia

t)(Au(t) 0sin α)t(By(t) 0sin

)( jGAB )( jG

G(s) js u y


Análisis en Frecuencia

Caso general

real imaginario

)()()( jXRjG

)()()()()(

jGjGjGjG ejj

)(

)(tan)()( 1

R

XjGj

22 )()()( XRjG


Diagrama de Bode

Ganancia logarítmica

)(log20)( 10 jGA Bd

)(

)(tan)( 1

R

X


Diagrama de Bode

Ejemplo:

1

1)(

TssG

1

1)(

TjjG

2

210 )(1log10)(1

1log20)( T

TA


Diagrama de Bode

Si

frecuencia de corte

T

dBAT

TAT

dBAT

1

3)2log(10)(1

)log(20)(1

0)1log(10)(1


Diagrama de Bode

A()

()

T

10dB 0dB 3

T

1

T

1

T

10

T

0.1

20

T

0.1

º45

º90


Diagrama de Bode

Definiciones:

En los diagramas de Bode, las razones de frecuencia

se expresan en términos de octavas o décadas.

• Una octava es una banda de frecuencia de 1 a

21, en donde 1 es cualquier frecuencia

• Una década es una banda de frecuencia de 1 a

101, en donde, 1 es cualquier frecuencia.


Diagrama de Bode

Construcción de Diagrama de Bode

Factores básicos de

Ganancias K.

1. Factores de integral y de derivada

2. Factores de primer orden

3. Factores cuadráticos

)( jG

1)( j1)1( j

12

21

nn

jj


Diagrama de Bode

1. Ganancia K

KjG )(

0)(

log20)(

dBKA

dBcte

0

)(


Diagrama de Bode

2. Factores de de integral y de derivada

(polos y ceros en el origen).

1)( j

jjG

1)(

dBj

A log201

log20)(

º90)(

dec

dB20pendiente


Diagrama de Bode

Polo en el origen

20

0º

-90º

-180º

1

dec

dB20

pendiente

)A( )(


Diagrama de Bode

Polos en origen múltiples: Nj

jG)(

1)(

dBNj

AN

log20)(

1log20)(

dec

dBNpendiente

N

20

90)(


Diagrama de Bode

Cero en origen jjG )(

dec

dBpendiente

dBjA

20

º90)(

log20log20)(


Diagrama de Bode

)A(

Cero en el origen

40

20

0

-20

-40

0.1 1 10 100 0.1 1 10 100

)(

dec

dpendiente B20

º90


Diagrama de Bode

Ceros en origen múltiples NjjG )()(

dec

dBNpendiente

N

dBNjA N

20

90)(

log20)(log20)(


Diagrama de Bode

40

0

1 10

log40)(log20:Ej 2 j

dec

dB40


Diagrama de Bode

3. Factores de primer orden

(Polos o ceros en eje real)

1)1( Tj

TjjG

1

1)(

221log201

1log20)( T

TjA


Diagrama de Bode

• Polo en el eje real

º90)( log20)(1

º0)( 01log20)(1

dBTAT

dBAT


Diagrama de Bode

Angulo de fase exacto del factor es:

si

y

Tj1

1

T 1tan

T

1 º451tan 1

dBA 32log20)(


Diagrama de Bode

-10

-45º

-20 -90º

dB

T

1

T

10

T

1

T

10

exacta

curva


Diagrama de Bode

Cero en eje real:

TjjG 1)(

TjTjA

1

1log201log20)(


Diagrama de Bode

si

º45)( 32log20)(1

º90)( log20)(1

º0)( 01log20)(1

dBAT

dBTAT

dBAT


Diagrama de Bode

20

90º

10 45º

dB

T

0

T

1

T

10T

10

T

1


Diagrama de Bode

para Sistemas Discretos

Transformación Bilineal:

w2

T1

w2

T1

Z


Plano s Plano z Plano w

wfrecuencia

Diagrama de Bode



Con con

: frecuencia

El diagrama de Bode de G(j) se realiza

con el mismo procedimiento que para

sistemas continuos.

)j(G)w(G jw

Diagrama de Bode



Diagrama de Bode

Ejemplo:

8187.08187.1

)01752.001873.0(2)(

2

zz

zzG

w1.01

w1.01

w2

T1

w2

T1

z

2.0T


)1j(j

10

j1

300

j12

)j(G

)1w(w

10

w1

300

w12

)w(G

Diagrama de Bode



1 10 100 300 1000

decdB20

decdB40

decdB20

dB26

dB20

• Bode en Amplitud

• Graficar Bode en fase

Diagrama de Bode



Sistemas de Fase Mínima

y de Fase No Mínima

Los funciones de transferencias que no tienen

polos ni ceros en el semiplano derecho del

plano s son funciones de transferencias de

fase mínima.

Las funciones de transferencias que tienen

polos y/o ceros en el semiplano derecho del

plano s son funciones de fase no mínima.


Ejemplos: Fase mínima y fase no mínima

1

1jwT1

jwT1)jw(G

1

2jwT1

jwT1)jw(G

1TT0

Τ

1

1Τ

1

1Τ

1

Τ

1




Las dos funciones de transferencias tienen la

misma característica de magnitud, pero tienen

diferente característica de ángulo de fase.

º90

º180

1Τ

1

Τ

1

)jw(1G

)jw(G2

w



Sistema

de fase no mínima


Sistemas con Retardo

Diagrama de Bode

El retardo tiene un comportamiento de fase no

mínima y tiene un atraso de fase excesivo sin

atenuación en frecuencias altas.

Páde:

Retardo:

2sT

2sT

sT

d

dd

1

1e

eTj

)j(G


dB 01wTsinjwTcos)jw(G

radianes wT)jw(G

Sistemas con Retardo

Diagrama de Bode


Estabilidad Relativa

• Margen de ganancia: Recíproco de la ganancia

|G(j)| para la frecuencia en el ángulo de fase

alcanza -180º (v=0). Se refiere a cuánto se debe

aumentar la ganancia para que G(j) pase por u=-1.

dBjωG20log

jωG

1M.G. 1

1


Estabilidad Relativa • Margen de fase: Se define como el ángulo de fase a

través del cual debe girar el LG G(j) para que el

punto de magnitud unitaria |G(j)|=1 pase a través del

punto (-1,0) en el plano G(j). Fase adicional que se

necesita antes de que el sistema se vuelva inestable.

|G(j2) | = 1 R(2), X(2)

2

22

ωR

ωXarctan180ºΔ


Diagrama de Bode

-180º

-90º

0º

A() dB

log()

Margen de ganancia

Margen de fase

0 dB

()

2 1

Relación entre y MF para un

Sistema de Segundo Orden IDEAL

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

Coeficiente de amortiguamiento

Mar

gen

de f

ase

(g

rado

s)

(MF en grados)/100

Para MF < 55


Estabilidad Relativa

• Para un sistema estable el Margen de ganancia

(M.G.) indica cuanto puede incrementarse la

ganancia antes de que el sistema se vuelva

inestable.

• Para un sistema inestable, el M.G. indica cuánto

debe disminuir la ganancia para que el sistema sea

estable.


Unidad 4:

Técnica de Control

en el Dominio de la Frecuencia:

Diseño de Controladores

Elaborado por: D. Sáez

Colaboradores: G. Sáez & S. Sippa


Compensador de Adelanto de Fase

αT

1s

T

1s

K1αTs

1TsαKsG ccC

αT

1polo

T

1cero

0<<1

α1

α1arcsinmax

Tα

1ωm Margen de

fase máximo

D.Sáez. EL4004 Fund. Control de

Sistemas. U. Chile

Compensador de Adelanto de Fase

• Diagrama de Bode, si =0.1

T

0.1

90º

-10

-20

A() dB

0

T

1

T

10

T

100

mωT

10

()

T

100

T

10

T

1

T

0.1

polo cero

m

Tabla de Valores Máximos

dependiendo del valor de α

α

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fase

(grados)

90

54.9

41.8

32.6

25.4

19.5


Compensador de Retraso de Fase

T

1s

T

1s

K1Ts

1TsKsG CCC

T

1polo

T

1cero

>1

1

1arcsinmax T

1ωm

Margen de

fase máximo


Compensador de Retraso de Fase

-90º

10

20

A() dB

0

mωT

10

()

1

T

1

10T cero polo

m

• Diagrama de Bode, si =10.

Compensación

• La compensación por adelanto y atraso

considerando fase máxima es un buen

método de compensación. Como todos los

métodos tiene sus problemas y es que no es

posible fijar todos los parámetros.

• Por ejemplo supongamos una malla en

adelanto con α=0.1, y queremos inyectar

máxima fase en =25rads-1.

125

9.7/1

12.0

9.54

rad

T

T

m

m

Resultados Obtenidos

El cero quedo localizado en 7.9 y el polo en 79.

La fase es lo mas importante ya que la ganancia puede

ser modificada por el controlador

Compensación Donde Solamente la

Posición del Cero es Importante


No siempre se debe inyectar la fase máxima del compensador

Existen otras alternativas. Por ejemplo:

)10(

1

sPlanta

Se debe diseñar un controlador para una frecuencia de cruce de

15 rads-1 y un margen de fase de 60 grados.

Receta 1: 8.03.06.1 paracBW

Receta 2: 6.00100/ MF

-40

-30

-20

-10

0

10

Magnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


Frecuencia de Cruce 11.3rad/s

MF=131.7 grados

Bode a lazo abierto (no sirve de mucho)

Bode planta+integrador

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Magnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Cruce en 1.43rad/s

15rad/s

MF=34 grados

Falta agregar el cero


26tan

aa

s

as c

Incluido

Por agregar

a 31

Sistema con polo y cero incluido


-40

-20

0

20

40

60M

agnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

102

103

-125

-120

-115

-110

-105

-100

-95

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

15 rad/s, 5.65db

120 grados

Ajuste de la ganancia del controlador


5217.065.5)log(20 kdbkc

Sistema Compensado


-60

-40

-20

0

20

40

60M

agnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

102

103

-125

-120

-115

-110

-105

-100

-95

-90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Bode a lazo cerrado


-50

-40

-30

-20

-10

0

10M

agnitu

de (

dB

)

100

101

102

103

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Diseño por Cancelación

En general las reglas de cancelación de polos y

ceros del sistema siguen siendo las mismas

utilizadas al diseñar con el método del lugar de la

raíz. La cancelación debe eliminar el polo mas

lento del sistema y no se pueden cancelar polos o

ceros que se encuentren en el semiplano derecho.


La dificultad se encuentra en que los

métodos de respuesta de frecuencia no

necesitan el conocimiento de la función de

transferencia de la planta.

Si no se tiene esta función de transferencia

se deben utilizar algunos procedimientos

básicos de identificación de sistemas para

encontrar la ubicación del polo a cancelar.

Diseño Por Cancelación • Para plantas tipo cero de primer orden, el polo del

sistema se encuentra en aquella frecuencia donde la

función de transferencia tiene un módulo que es un

70.7% del valor en corriente continua. Por ejemplo la

planta tipo cero de primer orden:

as

a)s(G

707.0

aa

a

aj

a)j(G

22a

• En vez del módulo de la función también puede utilizarse la fase. El polo dominante se encuentra cuando la fase es aproximadamente 45 grados.

• El identificar el polo dominante por la fase o el módulo también puede aplicarse en sistemas tipo cero de alto orden pero donde existe claramente existe un polo dominante.

Diseño Por Cancelación

• Por ejemplo, supongamos que se desea diseñar un controlador para la planta:

• Se desea implementar el controlador por cancelación. El sistema a lazo cerrado debe tener una frecuencia de cruce de 21.5rads-1 con un margen de fase de 59.2 grados.

Diseño Por Cancelación

10s

10)s(G

Diagrama de Bode


• El primer paso en el diseño es colocar un

integrador en el sistema para obtener cero error

en estado estacionario a entrada escalón. El

margen de fase obtenido es de 25 grados y se

necesita un MF de 59.19 grados. Es decir se

debe inyectar 34.19 grados. Para esto se debe

utilizar una red en adelanto de la forma:

Diseño de Bode con Integrador

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg);

Mag

nitu

de (

dB)

-80

-60

-40

-20

0

20

10-1

100

101

102

-180

-160

-140

-120

-100

-80

MF25

c21.4rads-1

Elección de la Red en Adelanto Por

Cancelación

as

10sGLead

Cancelación del

Polo dominante de

La planta

Elemento para completar

la malla lead-lag

19.34)a/47.21(tan)10/47.21(tan 11

Frecuencia de

cruce

Polo de la malla

En adelanto Fase entregada por

El cero

El valor de a obtenido es 35.9656.

Diagrama compensado (Falta calcular la ganancia)

Relación entre los Diagramas de Bode,

Lugar de la Raíz y Respuesta en el

Tiempo

• Recuerde, para un sistema de segundo orden IDEAL, el margen de fase y el coeficiente de amortiguamiento están relacionado con una relación no lineal, pero que puede ser linealizada a tramos (piece-wise linearisation). La demostración se encuentra en algunos libros y en alguno de mis apuntes.

A Lazo Cerrado También se Pueden

Extraer Conclusiones

Frequency (rad/sec)

Mag

nit

ud

e (

dB

)

-40

-30

-20

-10

0

10

10 0 10 2

20 log10(Mp)

r

-3db

B

En ancho de banda B nos indica que tan rápido es un sistema. Recuerde que eso

Depende también de la potencia que puede entregar el actuador con que cuenta

el sistema de control

En ancho de banda B también nos entrega una noción de que tan ruidoso es un

sistema. A mayor ancho de banda mas componentes de ruido pueden ingresar al

lazo cerrado. No incremente innecesariamente el ancho de banda.

Máximo Peak en el dominio de la

frecuencia

Frequency (rad/sec)

Mag

nit

ud

e (

dB

)

-40

-30

-20

-10

0

10

10 0 10 2

20 log10(Mp)

r

-3db

B

707.0

12

1

2

pM

El máximo peak en el dominio de la frecuencia, a lazo cerrado, está

correlacionado con el coeficiente de amortiguamiento y con el

máximo sobrepaso de la respuesta en el tiempo.

Ancho de banda y frecuencia de

cruce

• Empíricamente se puede demostrar que la frecuencia de corte y el ancho de banda están relacionados por:

• Al igual que en lugar de la raíz, el sistema de segundo orden es también la base para el diseño de controladores en el dominio de la frecuencia. El sobrepaso en el dominio de la frecuencia nos entrega otro dato interesante.

8.03.06.1 paracB

El sobrepaso en el dominio de la frecuencia y del tiempo, como una función del

coeficiente de amortiguamiento, se muestran en la siguiente tabla:

Tabla I. Sobrepaso en el dominio de la frecuencia y el tiempo.

Coeficiente de amortiguamiento

Sobrepaso en el dominio de la

frecuencia (Mp)

Sobrepaso en el dominio del

tiempo. (Mt)

0.7 1.0002 1.0460

0.6 1.0417 1.0948

0.5 1.1547 1.1630

0.4 1.3639 1.2538

0.3 1.7471 1.3723

0.2 2.5516 1.5266

0.1 5.0252 1.7292

En general existe una correlación entre el sobrepaso en el dominio de la frecuencia y el

sobrepaso en el dominio del tiempo para el sistema de segundo orden.

Recuerde: Sistema de segundo orden ideal.

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