I. Latar Belakang

Ilmu geodesi merupakan ilmu yang digunakan untuk berbagai

kepentingan pengukuran kebumian, termasuk kepentingan

pengukuran geofisika. Geofisika yang merupakan ilmu cabang

dalam mempelajari mengenai kebumian. Dengan kata lain bahwa

geofisika merupakan studi tentang bumi dengan menggunakan

metode fisika kuantitatif, khususnya dengan seismic pantul dan

bias, gravitasi, kemagnitan, kelistrikan, dan radioaktif.

Meski dalam geofisika terdapat berbagai metode

pengukuran, seperti metode gravitasi, kemagnitan, geolistrik,

seismic, radioaktif, dan georadar. Namun dalam kaitannya

dengan geodesi, metode yang lebih sering dimanfaatkan adalah

metode gravitasi. Metode gravitasi atau gaya berat merupakan

metode dalam melakukan pengukuran perbedaan densitas (rapat

massa) batuan sehingga dapat didefinisikan model geoidnya.

Jika diperoleh nilai lebih besar maka akan memiliki nilai

gravitasi yang besar pula. Metode ini dimanfaatkan untuk

kegiatan survey mineral logam dan panas bumi dengan

mengunggunakan alat Gravitemeter.

Gravimetri dalam bidang geofisika adalah metode survei

geodetik yang berkaitan dengan penentuan medan gravitasi bumi.

Biasanya metode gravimetri digunakan untuk penentuan undulasi

geoid. Penentuan undulasi geoid dengan metode gravimetrik

didasarkan atas data anomali gaya berat hasil pengukuran gaya

berat. Terdapat beberapa pendekatan yang dapat dipakai dalam

penentuan nilai undulasi geoid diantaranya dengan pendekatan

Stokes. Sedangkan penentuan undulasi geoid dengan metode

astrogeodetik ditentukan dengan berdasarkan data komponen

defleksi vertikal titik-titik di permukaan bumi. Pada

perhitungan undulasi ini digunakan pendekatan Stokes untuk

menekankan adanya nilai gangguan potensial gaya berat.

II. RUMUSAN MASALAH

Permasalahan yang muncul dari latar belakang penelitian

yang telah dijabarkan sebelumnya adalah “ Berapa nilai

undulasi dari hasil hitungan Gaya Berat menggunakan persamaan

Stokes? ”

III. TUJUAN

Tujuan dilaksanakannya perhitungan penelitian ini adalah

sebagai berikut :

1. Mengetahui berapa nilai undulasi daerah penelitian.

2. Melakukan perhitungan undulasi dari data gaya berat.

IV. DASAR TEORI

Gaya Berat

Gaya Berat adalah resultan dari gaya gravitasi Bumi

dengan gaya sentripugal Bumi. Penyelidikan gaya berat

dimaksudkan untuk membuat peta anomali gaya berat dengan

tujuan mengetahui pola penyebaran batuan dan kondisi geologi

serta struktur daerah tersebut, berdasarkan sebaran pola

anomalinya.  Metoda gaya berat pada dasarnya adalah mengukur

besaran densitas batuan. Inhomogenitas batuan pembentuk

litosfer akan memberikan kontras densitas batuan yang

merupakan sasaran dalam pengukuran dengan metode ini, dimana

keterdapatan struktur maupun perubahan jenis batuan baik

secara vertikal maupun horisontal terdeteksi. Metoda gaya

berat merupakan salah satu metoda penyelidikan dengan

menggunakan hukum Newton II tentang gracitasi, yang mengukur

adanya perbedaan kecil dari massa bumi yang besar. Perbedaan

terjadi karena distribusi massa yang tidak meratanya

distribusi massa jenis batuan. Adanya perbedaan massa jenis

batuan dari suatu tempat dengan tempat lain, akan menimbulkan

medan gaya berat yang tidak merata, dan perbedaan inilah yang

terukur di permukaan bumi. Karena perbedaan gaya berat di

suatu tempat dengan tempat lain relatif kecil, maka diperlukan

alat ukur yang peka terhadap perbedaan tersebut dan alat

tersebut disebut gravimeter. Hasil pengukuran gaya berat

kemudian dikoreksi dengan berbagai koreksi yaitu koreksi

pasang surut, koreksi drift, koreksi udara bebas, koreksi

Bouguer, koreksi medan dan koreksi lintang sehingga

menghasilkan suatu nilai anomali Bouguer.

Hukum Newton II menyatakan bahwa gaya tarik menarik

antara dua benda yang masing-masing mempunyai massa m1 dan m2

dengan jarak r, dirumuskan sebagai berikut:

                 G m1m2

   F(r) =         R2

Dimana

:F = Gaya (Newton)

R =Jarak antara dua massa

benda (meter)

m1,m

2= Massa benda (kg)

G =

=

Konstata umum gayaberat

6.67 x 10-11m3/kg det3

Penentuan Geoid

Pengukuran gaya berat untuk membuat model geoid dengan

cara terestris menggunakan alat gravimeter adalah pengukuran

gaya berat langsung di permukaan bumi.  Alat gravimeter

ditempatkan di titik-titik ukur dan kemudian dilakukan

pembacaan.  Pada pengukuran ini salah satu stasiun pengamatan

biasanya sudah harus diketahui harga gaya beratnya (pengukuran

gaya berat relatif). Pada stasiun yang telah diketahui harga

gaya beratnya dilakukan pembacaan skala mikrometer, kemudian

gravimeter dipindahkan ke stasiun berikutnya dan dilakukan

pembacaan mikrometer, sehingga melalui pembacaan mikrometer

diketahui perubahan gaya berat antara dua stasiun yang telah

dilakukan pengukuran tersebut. Pada pengukuran gaya berat

untuk pembuatan model geoid secara terestris dengan

menggunakan instrumen gravimeter akan bermasalah jika daerah

observasi cukup luas dengan kondisi topografi yang sulit

dijangkau seperti hutan belantara, pengunungan, gunung es, dan

juga lautan yang luas.  Hal ini akan memakan waktu yang sangat

lama dan tenaga yang cukup besar, yang berarti biaya yang

dikeluarkan akan sangat besar pula. Ada dua macam data yang di

dapatkan yaitu :

a. Stokes

Formula ini didasarkan pada pendekatan bola dari bidang

ellipsoid referensi yang

menyebabkan kesalahan relative berkisar 3.10-3 meter dan

kesalahan absolute berkisar satu meter. Formula ini juga

mensyaratkan semua massa yang terletak di luar geoid

direduksi dan anomaly gaya berat direduksi ke permukaan

geoid. Dengan asumsi bahwa nilai sebaran dari densitas

topografi dan gradient gaya berat dari geoid ke

permukaan tanah diketahui.

b. Molodensky

1. Teknik penentuan geoid berdasarkan teknologi satelit

a. Dinamik

b. Geometric

1. Teknik kombinasi menggunakan data heterogen

a. Metode kombinasi sederhana

b. Metode kombinasi lanjut

Perhitungan Undulasi dengan Persamaan Stokes

Persamaan dari Integral stokes digunakan untuk menghitung

parameter gelombang pendek undulasi (N2). Persamaan dari

Integral Stokes adalah (Heinskanen & Moritz hal 107, 1967).

Nilai undulasi dapat diperoleh diperoleh dengan persamaan

dibawah ini (Hoftman- Morizt):

Dari sumber yang lain perhitungan undulasi menggunakan

persamaan dibawah ini [Nico Sneew hal 132, 2006] :

Koreksi Hasil Observasi

Seperti yang telah disebutkan di atas bahwa, gaya berat

di permukaan bumi dipengaruhi oleh 5 faktor. Sedangkan dalam

melakukan survei gaya berat diprioritaskan satu faktor saja

yaitu variasi densitas bawah permukaan, sehingga pengaruh 4

faktor lainnya (lintang, ketinggian, topografi, pasang surut)

harus direduksi atau dihilangkan. Untuk kesalahan yang

disebabkan oleh alat, dapat digunakan koreksi apungan.

a. Koreksi Lintang ( Latitude )

Koreksi lintang merupakan koreksi terhadap titik

pengukuran terhadap kutub bumi. Jadi di setiap lintang

yang berbeda memiliki medan gravitasi berbeda antara medan

gravitasi pada saat pengukurannya dengan medan gravitasi

normal.

dimana

b. Koreksi Elevasi ( Free-Air Correction)

Koreksi ini merupakan koreksi terhadap pengaruh ketinggian

pengukuran terhadap medan gravitasi bumi. Di setiap titik

dengan ketinggian berbeda memiliki medan gravitasi

berbeda.

dimana

c. Koreksi Bouguer

Koreksi massa lapisan yang diasumsikan berada diantara

titik amat dengan bidang referensi. Koreksi Bouger adalah

koreksi akibat pengaruh ketinggian, tapi massa dibawah

permukaan diperhatikan nilainya.

d. Koreksi Topografi ( Terrain )

Koreksi topografi adalah koreksi pengaruh topografi

terhadap gaya berat pada titik amat, akibat perbedaan

ketinggian antara titik observasi dengan base. Massa di

bawah permukaan tidak diperhatikan.

e. Koreksi Pasang Surut

Bumi, bulan, dan matahari mengalami gaya tarik menarik,

tarik menarik itulah yang menyebabkan naik turunnya gaya

sehingga permukaan bumi mempunyai nilai medan gravitasi

yang berubah. Koreksi pasang surut digunakan untuk

menghilangkan pengaruh gaya tarik menarik tersebut.

dimana

f. Koreksi Apungan ( Drift )

Jadi pada saat pengukuran gaya berat dengan alat

gravimeter, perpindahan alat dari titik satu ke titik lain

mengalami perubahan kondisi ( disebabkan berbagai macam

hal ), nah perubahan kondisi serta perpindahan alat

tersebut menyebabkan terjadinya kesalahan, misalnya

pembacaan titik nol, atau mungkin setting alat pada saat

pengukuran belum tepat.

dimana

V. METODOLOGI

Berikut ini merupakan diagram alir pengolahan data gaya

berat:

Perhitungan Undulasi dengan Metode Stokes

1. Menghitung nilai g

a. Koreksi pasut : diketahui dari alat gravimeter

b. Pasut Terkoreksi = Gravimeter ke-i + Koreksi Pasut

c. Menghitung Koreksi Drift dengan rumus :

d. Menghitung Selisih

Rumus : Drift Terkoreksi ke-i – nilai absolute Dn

Terkoreksi titik awal

e. Menghitung g observasi

Rumus : gobs = gstasiun + selisih

Dsn=tsn−tBtB'−tB

(GB'−GB)

f. Menghitung Koreksi Lintang

Rumus : Gaya Berat Normal

Rumus : Gaya Berat di ellipsoida

g. Menghitung Nilai Anomali Gaya Berat

Rumus : g = gobs – Gh (h)

2. Menghitung nilai g1

3. Menghitung nilai g2

4. Menghitung nilai N1

Dalam penentuan kontribusi dari model geopotensial

menentukan fungsi legendre bola harmonic Plm (cos ϑ)

dilakukan dengan tahapan :

a. Menghitung polinom legendre zona harmonik

b. Menghitung fungsi legendre associated Plm (t)

Gn (γ0)=978032.7 ( 1+0.0053024 sin2ϕ−0.0000058 sin22ϕ)

Gh (γh )=Gn−(( 3.0877x10−3−4.3x10−6sin2ϕ)h+0.72x10−6xh2)

5. Menghitung nilai N2

6. Menghitung nilai N

N = N1 + N2

Langkah – Langkah Perhitungan

a. Menghitung Koreksi Drift dan Drift Terkoreksi Menghitung Koreksi Drift

Keterangan :

Dn : Koreksi drift pada titik-n

tn : Waktu pembacaan pada titik-n

tB : Waktu pembacaan di titik ikat

pada awal looping

tB’ : Waktu pembacaan di titik ikat

pada akhir looping

gB : Nilai pembacaan di titik ikat pada

awal looping

gB’ : Nilai pembacaan di titik ikat pada akhir looping

Contoh Hitungan Drift :

- Drift Base (titik 1) = (0.222379−0.222379)(0.299465−0.222379)

x (1703.08-

1702.97) = 0

- Drift Titik 2 = (0.226452−0.222379)(0.299465−0.222379)

x (1703.08-

1702.97) = 0.005811321

Menhgitung Drift Terkoreksi :

DnT= Dn + gB

Keterangan

Dn T : Drift Terkoreksi pada titik-n

Dn : Koreksi Drift pada titik-n

gB : Nilai pembacaan gravitasi pada titik-n

Contoh Hitungan Drift :

- Drift Terkoreksi pada Base (titik 1)= 0 + 1702.97= 1702.97- Drift Terkoreksi Titik 2 = 0.005811321+ 1701.256667 =

1701.250856

b. Perhitungan SelisihS = DnT- DnT ‘

Keterangan

Dn T : Drift Terkoreksi pada titik-n

Dn T ‘ : Drift Terkoreksi pada titik-base

S: Selisih pada Titik-n

Contoh Hitungan Selisih :

S pada Base : 1702.97-1702.97 = 0S pada Titik2 : 1701.250856-1702.97 = -1.719144321

c. Perhitungan Gaya Berat Observasi (gobs )

gobs = 978098.542 + S

Keterangan :

S : Selisih pada Titik-n

gobs : Gaya Berat Observasi pada Titik-n

Contoh Hitungan gobs :

gobs Base : 978098.542 + 0 = 978098.542

gobs Titik2 : 978098.542 + -1.719144321 =

978096.8229

d. Perhitungan Gaya Berat Normal (go)

Keterangan :

go= Gayaberat normal di ellipsoidϑ = Koordinat lintang gedetik

Contoh Hitungan go :

go Base : 9.780327x(1+0.0053024x Sin2 (-7.007874244 )-

0.0000058x Sin2 (2x-7.007874244 ))x100000 = 978109.5618

mGal

go Titik2 : 9.780327x(1+0.0053024x Sin2 (-7.0154919220.0000058x

Sin2 (2x-7.015491922))x100000 = 978109.7282 mGal

e. Perhitungan Gaya Berat terhadap Titik Elipsoid (gh)

Keterangan :

go= Gayaberat normal di ellipsoid

ϑ = Koordinat lintang gedetikgh = Gayaberat terhadap Titik Elipsoid

h = Tinggi Geodetik

Contoh Hitungan gh :

gh Base : 978109.5618-(3.0877 x10-3 - 4.3x10-6 x sin2(-7.007874244) x 120.125+0.72x10-6 x 120.1252 = 978109.2013 mGal

gh Titik2 : 978109.7282-(3.0877 x10-3 - 4.3x10-6 x sin2(-7.015491922) x 130.16+0.72x10-6 x 130.162 = 978109.3385 mGal

f. Menghitung Anomali Gaya Berat (Δg)

Δg = gobs - gh

Keterangan :

gh = Gayaberat terhadap Titik Elipsoidgobs = Gaya Berat ObservasiΔg = Anomali Gaya Berat

Contoh Hitungan Δg :

Δg Base : 978098.542 - 978109.2013 = -10.65927706 mGal

Δg Titik2 : 978096.8229 - 978109.3385= -12.51561083 mGal

g. Menghitung Plm (cos ϑ) dan Legendre Faktorial

Menghitung polinom legendre zona harmonik

Menghitung fungsi legendre associated Plm (t)

Contoh perhitungan di matlab untuk mencari nilai plm/

persamaan legendre :a.Menyimpan nilai Co-Lintang dengan format .txt dan save

dengan nama Co-Lintang.txt.

b.Membuat rumus pada Matlab dan Copy-kan ke command window

pada Matlab dengan menginputkan Co-Lintang.txt dan

HasilPLM pada bagian Save Enter.

c.Hasil Plm (cos ϑ)

h. Menghitung P̅lm (cos θ)

P̅lm (cos θ) = Plm (cos θ) x Legendre Faktorial

Contoh Hitungan :

P̅lm (cos θ) = -4.78E-01 x 2.236067977 = 1.07P̅lm (cos θ) = 3.63E-01 x 1.290994449 = 4.69E-01

i. Menghitung nilai g1

Hasil Hitungan (terlampir).

j. Menghitung g2

g2 = g - g1

Contoh Hitungan :

g2 Base : -0.000106593 - 0.000708766 = -0.000815359 m/s2

g2 Titik 2 : -0.000125156 - 0.000713172 = -0.000838328 m/s2

k. Menghitung Undulasi (N)

Menghitung N1

Hasil Hitungan (terlampir)

Menghitung N2

Δg=γ∑l=2

L∑m=0

lPlm(cosθ)(l−1)(ΔClmcosmλ+ΔSlmsinmλ )

N1=R∑l=2

L∑m=0

lPlm(cosθ)(ΔClmcosmλ+ΔSlmsinmλ )

N2=R

4πλ∬σ0St (ψ)Δg2dσ

Rumus dari integral stokes :

(ψ) = arc cos ( cosλ΄ .cos λ . cos (΄-) + sin λ΄ . sin λ )

Kemudian dicari

S(ψ) = 1/S – 6S + 1 – 5 Cos ψ – 3 cos ψ ln (S+S2)

Dengan S= sin (0.5*ψ)

Kemudian kalikan S(ψ) dengan g2 dan rumus sehingga

didapatkan nilai N2

Hasil Hitungan (terlampir).

l. Menghitung nilai Undulasi (N)

N = N1 + N2

Contoh Hitungan :

N Base : 27.01400295 + -0.056969059 = 26.95703389 mN Titik2 : 27.03393906 + -0.060884 = 26.97305506 m

VI. HASIL

Hasil dari perhitungan data gaya berat dengan persamaan

stokes ini diperoleh nilai N1 dan N2. Hasil perhitungan

tersebut kami lampirkan.

VII. KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Setelah melakukan perhitungan data gaya berat dengan menggunakan persamaan Stokes, maka ditarik kesimpulan sebagai berikut :

1. Jumlah titik yang dipakai pada perhitungan ini adalah 18 titik. Dari data gaya berat tersebut kemudian dihitung undulasinya menggunakan persamaan Stokes.

R4 π γ

2. Nilai undulasi dari hasil hitungan data gaya berat di

daerah penelitian berkisar antara 26.9570339 hingga

27.1957297.

3. Nilai geoid di daerah penelitian terletak antara

26.9570339 hingga 27.1957297 diatas ellipsoid.

Saran

Dalam perhitungan data gaya berat untuk mencari nilaiundulasi, kami menyarankan sebagai berikut :

1. Perlu dilakukan pengukuran gayaberat dengan daerah yang

lebih luas dengan tingkat kerapatan yang baik.

2. Dalam melakukan perhitungan sebaiknya kita memperbanyak

referensi mengenai metode yang akan digunakan dalam

perhitungan.

DAFTAR PUSTAKA

Model Geopotensial Global : http://icgem.gfz-

potsdam.de/ICGEM/

Official Website EGM96:

http://cddis.nasa.gov/926/egm96/gendesc.html

Spider Web :

http://www.bpnri-cors.net/spiderweb/frmIndex.aspx

http://www.geodesi.undip.ac.id/