O2-PLS, a two-block (X-Y) latent variable regression (LVR) method with an integral OSC filter
Transcript of O2-PLS, a two-block (X-Y) latent variable regression (LVR) method with an integral OSC filter
������� � ��� ��� ����� ��� ������ � ��������������� ���� �� �� ������ ��! " ��#
Johan Trygg1* and Svante Wold2
1Institute for Molecular Bioscience, University of Queensland, Australia2Research Group for Chemometrics, Institute of Chemistry, Umea University, Umea, Sweden
�������� �� �� ����� ���� �� �� �� ���� ����
$�� ������ ���� �� ����� %��� �� ����� &���� ��� �'(���� &��)������ � ��� ��(�(���
����� &�� ����� �&&�����* $�� ��&������ �% �� ���������� ����+ �Y$X� �� &���� �( �� �� ����� ��� �� &�� ����� �� � �� �� ��(�(�� ����� �� ��� X �� Y* ��(�(�� ����� �� X ��� Y� �� �%��� �� �� �,������ �������� �% X ��� Y� �� ����� , ����� �� �� Y ��� X�* -+��& �� ���&�������&, ��� ( � ���� ���� ��% �� ����� �%%���* .% ��(�(�� ����� �� &����� �� X� �� �+����� ��� ������ � ���������� ����� ���� �� �*�* ���� � ���� ������ ������ �� ��� ������&���
���� ��,�� �� %��� ���&����* $��� ������� , �%%��� �� ����&������ �% �� � &��������
�(�� �� ������ �� �� ����* $�� ������ ���� �� � � �� &�� ��� ��� X �� Y �� ��� ��
������ �������� ����� ��������� ���!� %� �� �� ��&����� �� ��(�(�� ����� �� X �� Y %���
���� )��� ��� ���������� (�� �� �� &�� ����� �� � * $��� �� � � � ������ �(���� �%
&�� ����� ���&����� �� %( ������ �� ��� ������&�� ���� �� � �� �� �&&��(��, � ����&��
�� ��(�(�� �����* .� ��� � ��� �� � ���( �� �+��& �� ������ �� ��� ���� ���, ���� ��
&�� ������ �% �* /������ �� ����&������ �% �� &�� ����� �� � � �� � ��� , ��&���� ��
������� ����(�� ��(�(�� ����� �� &�����* .� �� 0.� �+��& �� ������ ����� � � ����� ���
&��� �� ���� ��� �%%�� �� �� ��(�(�� ����� ���&�����* .� �� ���( �� �+��& � �� ������
& � �% ������� ����(� &�� ��� �������� �u �� u��� ���� ��� &�� ������* $�� ������&�� ��� �� ��� ������ &���� � ��� ����&������ �% �� �����,��� ��� ,�� �� X �� Y* !�&,����� �112
3��� 4� �, 5 ����� � *
6-�4��7�8 ������� ������ �� �� �������� ����������� � �� ��� ������ ������������� ��������������� �����
�� ����� � ���
9* .0$��7:!$.�0
���� �������� �!�! "#�$ "%�& ��� �'���� �����'�� �!�!
()$ �)& ��'��*�� ��� +��*�� �, ����� ��� +�� '�
�'���� ���-� ��� �+ �����$ ����������$ +��� ��� �����
�������! #� ������ � ������� ��� �� '��� .�/ �!�! ��� ���
���� �*���� ���0�� ���� � �� �� � �� ��� ���&& ��� �+ ��
��� � ������� � *�� � � ��� ���� ��� �� 1��� '� ���� �-��
���� ��$ '� �� ��2 �$ ��� ���� ������ ��� �!�! ������ ���
����& �+ '� ����, ��$ '� �� ��2 �! 3'��� �� '��� ��, ����
�� ��� � ��+�� � '�� ���� �� ������ � ������ ��� �+
�������$ �!�! ������ ��� "#� ���+���� +��� "%� ���� ��!
3'�� ����� *�� � , �+ ��+���� �������' �� � ��*���� ������
�� ������ � ����! �+ �� � �� ��� ����� �� ������ �� � ��
�&$ 1'��� � �� ��� ����� �� ��+���� �� �,� ��� �� ����� ���
�+ � �� �&$ 1'��' �� �� �������, ������� �� 1� ' � �� �&!
42������ �� ���� ������, ��� �������� ��� ��� �� �++�� �$ ��
1��� �� ���� �� �+ ����� ��� �� �5��1� ���� � �� �! % '��
������� ���� �'�1� .�$�/ '� '��� ���� ����, �++�� '�
�� ����� � ��� �+ '� �2�� ��� �� �� �������� ���������� �6�&
�� '���$ �!�! ��� ��� � '�� �� '��� 1� ' ������� �������
���$ ��� �������� ������ ��� ����� ������2� ,! ����������
���� �� '���$ �������� ������ ����$ ��� �� ������ ���� .7/
��� �� '������ ������ ������ ��� ��)& +�� ��� .�$����/$ ���
�� ������� � ������� '�� � �� ��� �����! 3'�� ����������
���� �� '�� +����1�� �, 1������5 ����������8������+����
���& ��������! 9�1����$ ���� �+ '��� �� '��� ��,
������ ��� ���� ����� ��� +��� �! ���� � '��� +��� �
������ ���, '� � �� ��� ����� '� ��� ��� '� ������ ���
�����$ ��� '�� ����� � ��������� ����� ������2� , ��� ���
���� ���� �� 1���� ������ ����!
%� ����� � ��� �+ �6� ����� ������ ��� ��' �� ������
��� �������� �� ���5�� � '��� ������������� ����������
�����! � ���� � �� ��� ����� �� � �������'�� '� ������
*)������������� �: ;! 3�,��$ ��, '� (���8(�'����� <������ =����>$ %�� � � +�� #������� <���������$ ?������� , �+ @��������$ <�������@�A 7�>�$ � �����!4�����: 0! �,��B���!*!��!�CA����� �� � ���+����� ;�'� =! #��(�����: � ������� �+ �� ������ �� � �� ���� ������� ��� ��� ��� �������� �+ '� +�� '9�����D��������!)�� ��� 8���� �������: E� ��� ���� D��������� =���� ���!)�� ��� 8���� �������: �1����' "� ��� ������� �������' )����� "=�&!
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �!
;�?�"� �= )94#�#43�%)�J. Chemometrics ����� 9;: ���G7�����'�� ������ �� D���, %� ��������� 111!�� ���������!1���,!���&! A�%: ��!����8���!>>�
������� ��������������$ ��� '�� �������� �� '� �� ����� ��
��� +�� �2�� ��� �6� ������! 3'� ������ �� '�� '�� ��
�� ����� ��) +�� �� '� ������ �� '� � �� ��� ����� �� �
��� � +��� '��� 0��� H�I ������� ��� ��� �� '� ������ ���
�����! 3'�� ����� � � ������� ����� �+ ������ ���
�������� � 1� ' +�� ������������� �������������� ���
���� �� ����� �� , � �� ����� '� � �� ��� �����!
�* $/-���
������ ���������� ���� �� 1� �� � �� ����� � �� �& ��� �
���& � ���' � '��! ������ '� � ��� � ��� �����
��� ����$ '� ���������� ����� ��� �� �2������� ��
�'� � �< ���9��� < ���& �� '� ���������� ���++����� �� ��2! ����
�� ��� � �+ < �� �������$ ��������� �� ' � ���� +� � � ���
���� ������ ���� +�� + �� �5��1� ,3! %� ���� ���$ '�
���������� ���++����� ��� ��� �'��� �� �� ����� ����!
����� �+ ��++���� ������ ���������� �� '��� ��� ���������$
��� 1� ' ��++���� 1�,� �+ +������ <! 3'��� ������ �&
�� ���� ������ ���������� #��&$ �& ����� ���������� ��&$
��� '� �� �� �������� ���������� �6�& �� '��� ��' �� �&
��������� �������� ����,��� �)�& ��� �& ��� ��� ����
�*���� ���0�� ���� � �� �� � �� ��� ���&!
�*9* =( �& � ����� ���������� �=��� �� �� ������������ ����3���� ������,$ '� ��� +��*�� �, ��� �� '�� +�� +������ <
�� '� #�� �� '��$ 1'���
< � ��3�����3� ���3'�� ������-�� '� �*���� �� �+ '� �������� ��� ��
�*������ � ��2���-��� '� +� � �! 3'�� ����� '� ���
����� ��� �� � '� �������� 1� ' � �� ������� �� '� �� ��� �
�+ <! %+ '��� �� ����� �� �$ '��� 1��� �� ����+� ��� '�
���������� 1��� ������ ���� ������ ����! ��� ������,$ '�
�� '�� ��*���� '� '� � �� ��2 �� �+ +�� ���5$ �!�! �3�&��
�2�� �! %+ � �� ���5���+����� $ � ��1��� �� ���� ������
���������� �� ����� ���������� ��� �� �������$ 1'��� � ��
'� ����� ������ ��:
< � ��3�� �.����3� ���
�*�* ���� ������ � ���������� ����� ���� �3'� ���� �����,��� ����� ��� �+ '� �6� �� '���$ �!�!
�)� ��� ���$ �� '� '� �,� �� �� ������� ����
��������� ��� �� ������ �, � ����� ����� �+ �� �� ���������
�6�& .��$��/! 3'� ����� �+ ������ � 1'��' '� �6� ������
������ �� ������ ���, ���, ��++���� +��� ���� �����
���������� ������ 1� ' ���������� ������ �� ���������!
3'� �6� ������ ��� ���� � '����� ���,$ �������� � ���
������� �� ������ �� ��������� �� � ������ ��� � ����' +���
1��� 1�,$ '���� '��� 1��� ��! 3'� ��� ����� +�� � �� ��2
� �� �2������� �,
� � $�3 � - �7��'� � $!3 ���
9��� $ �� �& �� '� ����� �� ��2$ � �� �& �� '� �������
�� ��2 �+ �$ - �� �& �� '� ������� �� ��2 �+ �$ ���! ���&
�� '� ������� ��� �� �+ �! 3'� ���� ���� ���5 �+ '� �,� �� ��
�$ 1'��' �� ����, ��' ������� '�� � ��� �� �� ��� �� ��
��� �+ '� ����,���! ?���� '� ��� ��� ���� �+ 9�J�5������
.��/$ '� �� ���� ������ ���������� #��& ��� �����
���������� ��& �� '��� ��� ���� �� �2������� �� �� �6�
�����!
� � ����������� �� ��� �������6� �� '��� ������� � ���� �� ����� � ��� �+ '� �����
��� � � ������ ���$ �!�! ������$ �������� ��� ��������! 3'�� ��
� ����� ����� ��� �������� 1� ' �������0�� ��� �����������
��5� �� '��� ��' �� ����� �� 1��5�! 3'� ������ �+
�� ����� � ��� �+ ���0�� ��������� ������ �� ����� �, ���5��
� '� ������������� �������������� 1'��' ��+���� 1'�
��������� ��������& ��� ����� �� ��� '�1 '�, ���� � �
��++���� ����� ���� �� '� ������$ ��� ���� �����! ������
������� �������������� ����� '� � �� ��2 � ���0�� ��
�� � � ����� ��� �� �� �*�� � � ������� ��� �� $ ���
���0�� ��� '� ���� �� ��2 � �� � �*��� $ �!�!
� �3�3 � � ��3 �G�3'��� 1� � ��� ��� ���� ���� � '� "%��� �� '�� +�� �)
.�7$��/! 3'� �) �������� � ��1�,� '��� �������������
��������������! "� �$ '�1����$ '� '� ��� ��� ��� ���
�� �������� �, �� ����� $ ���4 �� ������,�� �� =���� �$ �!�!
4 � �3$�$3$��� � $ � �4��434��� �>�3'� ���, ��*������ �� '� �� ' $ ��� 4 ��� �+ +�� ���5!
3'�� ���� ���� � �� ������������� ��������������! 3'� �6�
�� '��� ���� � 1� �� ����� � ��� �$ �� �� '�� � ��� �'� !
������������� �������������� �� '�� ��+���� �� ���� '�
���� $&
4 � �3$�$3$��� � $ � �4��434��� �K�
! � �3'� $�$3$��� � $ � �'� !��!3!��� �L�
1'��� �'� M $!3! =���� � �������� � ����'���� ���� �� ���
�+ 4*� ���� K& ��� L&! �6� ������ 1��� �� '��� ��'
������������� �������������� �� �� � ���� 1'��� � ����
���� � �� ��� ����� .�G/$ �2��� +�� ������������ ���
��� �)� ������$ �!�! 1'�� � 1�� ���� �� �� ��������� �
�� �2������� �� ������ .�>/! A���� � '��$ '� �� ����� � ���
�+ �� ��������� ��� �� �)� ������ '�� +����1�� �,
������, � �) ��� � ������ � �� ��2!
���������� ���� � � � � ���, '� �������, �����,��� ����� ��� �� � ��� � �� ��+� �� �
Figure 1. Score–loading correspondence for a matrix X betweena score matrix T and its corresponding loading matrix W.
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
�7 ;! 3�,�� ��� �! D���
������ ������ ��� �����! � '��' '� � �� ��� ����� �� �
��� �� ���� �+ '� ����� �+ �$ � �� ������ +�� ������ ��� �+ �!
� ���� �� '� � �� ��� ����� �� ������ �� $ � �� �������� �
����� ��� ������ � �� '� ���� +��'��� �� '� ������� ��
����� ��� �� �! 3'�� �� '� ������ 1', ��� �� �)� ��� '�����
� �� ��� ����� �� ������ ����! 9�1����$ � �� ��� �����
���� ������ '� ������������� ��������������! � ������ ��
'� � ��� ���� � �� ��� ����� �� '� '� ����� �+ ��� ��
�)� �������� � �� '��'�� '�� '� ���� ���� ���5 �+ �3�&!
���$ �� ��� � �� ��� ����� �� � ����� � �� �������$ ���,
'� � �� ��� ����� �� � ��� ��� �, '� ����� �� ��2 $!
���� �������� =���� �! ������������� ��������������
��*���� '� ��� '��� �� ����� 4$ $$ !& '��� +�� ���5
�1��� � '� �� ��2 ���������! D'�� $ ��� ���� � �� ���
����� +��� �$ '�� ! 1��� �� ���5���+����� ��� '�
���������� � ����� �� !3!&��! 3'� ������� �+ �� ��2
��������� �+ ! �� �� '� ���� �+ '�� �������$ '� ��
�����, ������ �, ���� ��������-�� ������� �+ !$ � �� '�� �
�� '� �����*���� �+ '����� � �� ��� ����� �� $! ���$ �� �
'� �2�� ��� �6� �� '��� �� �� ����� � +��� � � �����
� +��� �! 3'�� ���� �� �++�� '� ������� ������ ���� �+ � �
������ '� �� ����� � ��� �+ 1'� �� ����� ������ �� �+ �$ ��
1��� �� �'�1� �� �� �� �2������!
�*2* �������� ����� ��������� ���!� " ���%� �LLK$ D��� �� �� .�/ �����'�� '� �������� ����� ��
�� '������ ������ ������ ���! 3'� ��0�� ��� 1�� � N���� ��
� +�� �� '� ������� +��� '� ���� ��� �� ��2 �& ���, '�
��� '� ��+��� ��, �� ����� �� � �O! % 1�� +����1�� �, �
����� �+ ��++���� ��) +�� ��� .�$G���/! �������� �� �� .�K/$
(������'�� ��� �������� .�L/ ��� 3�,�� .��/ '��� �����1��
��� �������� ��++���� ��) �� '���! 3'� ��) ��������
�'��� +�+�� '��� ��*������ � ���� ������,: �
� �'��� ��� ��� �����& �,� ��� �� ����� ��� �� ��
� �'��� �� ������ ���� �, � �� ����� � �� ������� � + ��
�� �&�
� �'��� �� �� '������ � �!
3'��� ��*������ � +� '� ������� ��� �+ � �� ��� �����
�� �! 3'� '� ��) +�� �� ��� �� ��� �� � ������������� � ��
����� � �6� �������� � ������ '� � �� ��� ����� �� �!
3'� �������$ ��������������� ��) ����� �+ � ��� ��
�2������� �,
� � ���&3��� � - ����
1'��� ��� M ���� ��� �3��� M �! 9��� ���$ &��� ��� ���
�������� '� ������ ��) �������� ! - �� '� ��)�+�� ����
�� ��2 ����*�� �, ��� �� '� �6� �����! #��� '�� ���
��) �������� ��� �� ���� �+��� ��� ������� +��� �! =��
���� ����� ��) �������� � '� +�� �� �� ������� � '� -
�� ��2! 3'� ��) �������� �� ������� � '� � ������ ���
�������� $ �� � '�� 1� �� � �+ ������� ��� ���$ � 1� ' '�
��++������ '� '� ����� ��� �� ��� �� �� '������ � �!
)���������� �� 1��� '� ���� � �+ ��++���� ��) +�� ��� ���
�+ �� ���� 1� ' ������ � '� ����� �+ ��) �������� �
�������! 9�1����$ ��' ����������� ��� ��++��� � ��5�$
������ ��� ��) �������� ��� �� ������� +��� ��++����
�� ��������� ������ ��� ������!
$� %#� &���'(� ������ )�" &�����3'� ��� ��� ��) �� '��� ��� �� ������� �������' � +���
'� ��) �������� ! =��� � �� �� ����, ���� I��� '������
����� ��� �� ��� 1�� +��� ��� '�� ��� � +��� ���$
����, �, ����� �+ �) �� ���8�)� ����������! %� ����� �
����� ����+� ���$ '�� �������' ���� �+��� ��) �������� �
'� ��� �� ����������, � ��� �, I��� '������ .�$K/! 31�
��++���� � �� ����� ��� �����,��!
�& �, �� ���� ��� �� �� �� '�������-�� � �$
��� M � � �3�&���3$ ��� '�� � �� ���������
��� �� �)� ���������� ����� �� ��� � ������ ���
+��� �! 3'� �������-�� ���������� ���++����� ��� �� �+
'� ����� �� '�� '� ��� ��� ��! 3'�� �� '� �������'
��� �, D��� �� �� .�/ ��� �0�J���� �� �� .>/!
�& )����� �� � ��� +��� �� '�������-�� � � ���� � ���
�� �)� ���������� �����$ ��� '�� �) �� ���+�����
�� '� I��� '������ � �� ��2! 3'� +��� �) ������
��� ����� '� I��� '������ ����� ��� �� ���! 3'�� �� '�
�������' ��� �� '� ���) .�/ ��� A��) .K/ �� '���!
� '��' '� ������ �+ ��) +�� ����� �� �����$ '� ��0�� ���
+�� ��� �+ '� ��) +�� �� 1�� ����� �2����� �, � � ��! 3'�� '��
��� � � ����� �+ ��++���� ��) �� '��� ��������� �������$
���' 1� ' � ��++���� +����� ��� ���� �� ���� ������+�! %�
������ ������ �, 3�,��$ 9�J�5������ ��� =���� '� ��)
��0�� ��� +�� ��� 1�� �������� ��� '�, �����+�����,
���� �� � '� ����� ���� �+ '� ������� ��� �� ��2 �+ �
��� � ��+���� �� �3�& �� ���� ��� � '� ��) +�� ��!
$ %#� ���������� �����* +�%�, � � ��� ������� ������������ ���� �3�& �$�& �� '� ������� ��� �� ��2 �+ � ���& ��� � ���&!
�3�& ��� �� ���5���+����� ! % �� '�� ����������� � ��
�) � ��������� �3�& �� � �� �� '������� ����� �� $ '�
������� �� ��2 4 �$ & ��� '� ������������� ����� �� ��2
! �$ �&:
�)��3�� � !43 ����3'� �3�& ������� ��� �� ��2 '�� � ����� ���� ��� � ��)
+�� ���! �, ��1 ��� �� �� � �� '������ � '� ������ �+ 4
'� �) ������� �� ��2 �+ �3�& �� 4*� ��� ��&&$ '���
���� �� 3���$ 1��� ,���� � ����� ��� �� ��� M ���� �� '����
��� � �! 9����$ �, �� '�������-��� � � 4$ 1� ��
-HI � �� $43 1'��� $ � �4 �����, ��� �� �� '� ��1 ����� �+ -HI �$ �& �� � �� �� ��� 3
���
��� ��! -HI ���� �� ��� ��� ��� � �� ��� ����� �� � 1� '
Figure 2. Score–loading correspondence for the latent variableregression (LVR) models involves two matrices X and Yhat andtheir score matrix T with its corresponding loading matrices Wand C.
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
������ ��
������� ��� �+ '� 1�� '� ����$ 1� ���� �����, ������ '�
������������� ��� +���� ��� ������ � � ��� �� �)� �����!
9�1����$ '� ��1 ����� ��, ��1 �� ������ ������� ���
'����+& �+ -HI ���� ��� ��� ��� �� �� ������ ��� ��� '� ���
�� ��� � ������ � �� ��� ����� +��� �! 3'�� �++��� '�
��������� , �+ ���� ��� �����+�����, �������� ��) +�� ���! "� �
'� '� ������ �� '� -HI ������� �� ��2 ��� �� '������ �
��� ������ �� �! 3'�� ����� '� ��� ����� ��� �� � �������,
�����,��� 1� ' � '�� ���� ��� ��� �� $ ��� '� '�
������� ��� �� ��2 �3�&$ �� �� '�� '� �) �������� � �+ �
4&$ ��+���� ��� ������ ��� �������� �! <, ������,$ '� ����
'���� +�� '� � �� ��2 ��� � � �� ����� >HI$ : ��� !!
$$ %#� ���� �'(� ������ )�" &�����$$� )�" ���#�� +-�.�������� � � /��� ,! 3�5���
����� ��� �+ '�� ���� $ =���� .G/$ 9�J�5������ .��/ ���
��������, ��� .��/ �����P����� �� '� ������ �) �������
��� �� �+ -HI! 3'�� ��2���-�� '� ���� �+ ��� M ����$ 1� '
����� M �! 9�1����$ ��2���-��� '� ���� �+ ��� �� ��
�*������ � �������� '� ������ I��� '������ ��������
����&3���� +��� �!
$$ )'0�� +%�1(( � ��!,! ����� �,$ � 1�� �'�1� �,
3�,�� .��/ '� +�� ������ ��� �6� ������ ��' �� ���$ ���,
'� � �� ��� ����� ��� ��� �� '� ����� �� ��2 $ ����� �
�� �������! 3'���+��� �� ��) P� �� 1�� �������� �����P�
����, � ������ '� � �� ��� ����� �� $ )������� '�
+����1��� ��� ����:
��2�$3����� � ��2�$3������
����� � �� �3��� � 1 ����
<, ������, 1� ' '� ��0�� ��� +�� ��� �+ ��� � ��2���-�
H�I ����������$ '� ��2���� �*���� ���������� ��� ��
��� M ���� 1� ' ������ � $ �� +��� �� '� �������� ��
������� �� 1� ' '� ������ ���������$ ����
�-3HI$$
3-HI���� � ���� ��7�=�� � ������ , ��� ��$ ��� �� �� +�� '� ��++������ ��� ��
&�& �� 1��� '� P�� ��� �������� ��������$
��� M ���� M � &�&8�&��$ �� �'�1� �� ��+������ .�/!
3'�� ����� ������, 1� ' ��� ����1�� '��� � �� ��������
�� � � ',���� ��� �� '��$ �� '������ ���0�� ���� � �� ��
� �� ��� �����& .�/$ 1'��' �� �� �� �� ��'�����,!
2* =-$/�7
����� �� � ������� ��� �+ � �������� ��) +�� �� ��� '�
� ������ ��� �� '�� '� ��*�� ����, �2 ��� � ������ ���
�������� � +��� �! � �2������� �������$ '� ������ ���
�������� � ��� ����� �,
�)��3�� � !43 ����4��' ��� �������� �� '� ������ �) �������� �3& �+
'� ��+�� �� �3�&! 3'�� �� '� �������' �+ '� �%#���
�� '�� �+ �� ;��� .��/$ ������ ������� ���� � � ���
���������� ���� ���� +�� � ������ ,&! "�1$ ��� ��� ��������
'� �� ��� � ��� �) �������� � �+ �3�& ��� �2 ��� ��
���� ������, ��� ��� �� '� "%��� ��� �� '��$ ��
�'�1� ����1!
2*9* <���� ��� &�� ����� ���� �! �) �3�& �����4 =���� �) �������� �������� �+
�3�&
�! $ M �4 )����� � '� ����� �� ��2 $
�! ! M �3$ $3$&�� ?�� ���� �*���� � �� ��� � �
�������� !
7! �'� M $!3 ������ �
#���� �+ � � � � $43 � -HI ��G������� ��� �+ � � �'� � $!3 ��>�
3'��� � ��� ��� ��� ���� ���� � '� "%��� ��� �� '�� +��
������ ��� '� +��� ��� �������� $ �2��� '� � �� ��2 4
�� ��� ��� ��� �+ � ������ ��� ��! �� ����� ��� �� � �������,
�����,��� 1� ' � �� ��� ��� �� $$ ������ '� ������ �+ -
��� �� '������ � '� ������ �+ �! 9�1����$ '�� ���� ��
����, �� �� ���� ������ ��� �����! 3'�� �� '�� 1��� ���,
1��5 1��� �� '��� �� � ���� 1'��� '� � �� ��2 ���� ��
��� ��� � �� ��� ����� ��� ����� �� � �� ��$ ����
�����+�����,$ 1'�� � �� ��� ����� �� � '�� �� ����
��� ��� �� $!
2*�* $�� ������ ���� ?� ����� ��� ���� �� �� ������ ��! " ��3'� ��) +�� �� �� '� ����� �� '�� 1�� ���� �� �� +�� '�
�����+�� ������ �+ �������� � �� ��� ����� �� � +��� '�
����� �� ��2 $! 3'� ������� ��� �+ '� ��) +�� �� ��� '�
����� ��� �������' ���� �� �� � ��1 �� '�� ������ ������
.��/$ ���� ��� � '� ������ �������� , � �����! 3'� �����
��� ������ �� '��� ��� ���� ���� +�� ������ 1� ' � ������ ,
��� ��! ������ ������ � �� ������ � � ��++���� �, '��
� '�� �6� �� '���! 3'�� �� ������ '� ������� ��� �� ��2
�3�& ���� �� � �� ' � ��� �! % ��� '���+��� '�����
� �� ��� ����� �� �� ' �� �����! 3'� ����� �+ � ������� '�
���� �+ � �� ��� ����� �� �$ 1'��' �� ����� �� +��
��������� '� *��� , �+ '� ������ ��� ����� �� �! <�����
� �� ��� ����� �� ������� +��� �� ' � ��� �$ ������ ��
������ ��� �� �� ' 1�,�$ �� �! ��'��� �� �������1 �+ '�
������ ����� �� ����� �� =���� � 1'��� '� ������ �����
'�� ��� ������ ��� �������� +�� �� ' � ��� �! 3'� �����
�+ � �� ��� ����� �������� � ��� �� ��++���� �� '� 1�
�� �����$ �� ������,��!
$� )'0�� ��(����#� +�� ����������� � /�(��� 2,�! .!$7$4/ M �) �3�& )����� � � �) �������� � �+
�3�&! ! M �� '������� �����
�� ��2$ 7 M ������� ����
�� ��2$ 4 M �� '������� �������
�� ��2
�! $ M �4 � ����� �� ��2 $
�! I��� � �)�-3HI$� %+ ��,$ ��*�� ����, ������
� �� ��� ����� �I���&3I����
+��� �! D'�� ����$ ����� � �� �
� ��� � '� ����� �� ��2 $!
-HI M ��:!3&
7! : M �! � ����� �� ��2 :
�! �H��� � �)�>3HI:� %+ ��,$ ��*�� ����, ������
� �� ��� ����� �(H���&3H����
+��� �! D'�� ����$ ����� � �� 7
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
�G ;! 3�,�� ��� �! D���
� ��� � '� ����� �� ��2 :!
>HI M ��:!3&
G! <?M :3:&��:3$ ������ : 1� ' � ���� �*����
�� '��
<3M $3$&��$3: ������ $ 1� ' � ���� �*����
�� '��
� "� �: �+ '� ���5 � �+ '� �) �+ �3�& �� ������� '�� '�
��������� ���5$ �!�! � ��8��� � ��� ����,$ � ��� �$ � ��� 7
���� � �������� � �'��� �� ����� �� ����� � � �� G!
%+ � ��� � ��� ��� � ���� ���� �+ �����$ '� ����� �+
��������� �������� � �� � �� �$ �$ ��� �� +��� ����� �� �
������ ����� ��� .�7/! � ��� ���� �� +��� +��� � ������
������ �� ��� ����� �� 1��� �3�& ��� �3! %� � ��� � ��� 7
'� ��) +�� �� �� ��������, ���, �+ � �� ��� ����� �� ������
�� �� '�� $ �� :! %� +�� $ � ���� ������ ��� ��� +�� I��� ��
�H���& �2�� � ���, �+ $ �� :& ��� ���� � �� ��� �����! %+ ���
���� �� �2�� $ '��
� 4$ <3! ��� $ '��� ������������� ���������������
� $ ���� �� ��� ��� � �� ��� ����� +��� ��
� $ �������� � ���� ������ ������ ��� ����� �+ �! 3'� ���
��� ������ '� �� ������ ��� � ����' +��1���! "� � ��� ����
��� ���+����� �� 1��� '� � ��� '� � ����5! ���� '�
��� ��� �) ����� �+ �3�& �� 5��1�$ ��� ��+���� ���
������ � �� ' ����� '� � �� ��� ����� ��� � ������
'� � '�� �� ��2 �� 5��1�! 4��' �� ��2 �� �������
������ ��,$ �� ��� ��� � � '�� �6� �� '���!
$ %#� )'0�� �����3'�� �� ���� � �� � +�� �� ����,��� ����� 1'��� '� ����� ���
�� � ��� � �� ������ �� �� � � ��� ������ �� � ��� � ���
��� � �����+�� +�� � ��� � ������ ����,!
#���� �+ � � � � $43 � $I����3I��� � - ��K�
#���� �+ � � � � :!3 �:H����3H��� � > ��L�
%���� ���� ��� 3��? � $ � :<? �/3? ����%���� ���� ��� ?��3 � : � $<3 �/?3 ���������� ��� �+ � � �'� � $<3!
3 ���������� ��� �+ � � �'� � :<?4
3 ����$ �$�& ���: �$�& �������� '� ����� �� ����� +�� � ���
Figure 3. O2-PLS provides a model of both X and Y. Each model can have a different number ofstructured noise components, but the jointly correlated X–Y components (T,U) will always be ofthe same rank. It is also predictive in both ways.
Figure 4. Illustration of the steps involved in the O2-PLS algorithm which separates the structurednoise in X and Y from the joint X–Y correlated variation. T and U will always be of full and equalrank. The number of structured noise components in X and Y may differ.
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
������ �>
� ������ ����, 1� ' � �������� �! 4 �$�& ��� ! �$�& ���
'� 0��� �� '������� ������� �� �����! - �$�& ��� > �$�&
��� '� ������� �� ����� +�� � ��� � ������ ����,! 3'� �����
���� ���� +�� � ��� � ��� ����� �� 4*� ���� ��& ��� ��&
������ ����, ��� '� ������ ��� �*� ���� �+ � ��� � ���
����� �� 4*� ���� ��& ��� ��& ������ ����,! �I��� ��3& ��
'� ������� �� ��2 1� ' 3 I��� '������ �������� � ���
$I��� ��3& �� '� ������������� I��� '������ ����� �� ��2!
�H��� �$3,& �� '� ������� �� ��2 1� ' 3, H��� '������
�������� � ��� :H��� �$3,& �� '� ������������� H�
�� '������ ����� �� ��2! % �� ����������� � ����,-� ���
�� ����� '� I��� '������ ��� H��� '������ ����� ��� ��
�������� �� ��+������ .��/! 3'� ������ �� $I��� ���
�� '������ � ���' � '�� �� ��� '� ������ �� :H���&$ �
'��� ������������� �������� ��� ��! "� � '� '� �������
�� ����� - ��� > ��, � ��� ��� ��� � �� ��� ����� ��� ���
�� +� '�� ���������� �� � �) �������� �! � '��' ��
��+������� '� ������ ��� �����$ � �++�� � '� �������
������� ��� ��' �� � ���� �� �� ���! "� � '� $I��� ���
:H��� �� �� ��� ��� � � '� ������ ��� �+ � ��� �
������ ����,! 9�1����$ '�, ��� � ��� ��� �+ '� ����� ���
'� ����� �� � �� ����� !
$$ ����� ( ����3'� ������ �� '�� �� ����� �� '� "%��� �� '�� +��
���� � ���$ ��� '���� ������ ��� ���� ���� 1� '
������ � ���� � �+ ������� �� �! 9�1����$ ������
��*���� '� '� ������� ��� �� ��2 �3�&$ �� �� '�� � �
��������� �������� �$ ,����� '� ��2��� ���������� 1� '
� �� �& �� '� ���� ��� $ ��:& �� ��2� ��� � ��� �$ � ��� 7 ��
'� ������ ������ '�! 3'�� 1��� �� �� '� ���� �+ � �� �
��� ���� ������� �� �! =�� �2�����$ +�� � '� ������� �� ��2
-HI M �� $43 1��� �� '��� ������ �� '������ � �! ���
1�, � ������� 4 �� � ����� '� ������ ��� �+ '�
���������� �� ��2 ���� '� ��� �� -HI ������� �� ��2 ��
�3-HI&! � �� ��� ����� +�� '� ������� ������ � ���� ��
�!�! '� �������� �+ '� ������������� ����� ��� ����
��������! 3'�� ��� �� ' ���������� �� ����� ��� '�� ��
�3�& M �3�& � �3-HI& ��� ��� � '� -HI �� ��2! % ��� �
� �� '� �� �� �+ '� �� �+ �*���� ��������$ �� �3-HI&8
�� �3�& � ��&$ �� ������� '�� � ����� '���'���! �!�! �!��!
����� '� ���� � ��� +�� '� � �� ��2 ��� � � ! �� ��2 �
������� � 1� ' � ��� -HI 1� ' >HI!
@* -�A=��-�
31� �2������ 1��� ������ �� � '�1 ������ '������
� �� ��� ����� �� �� ' � ��� � �������� 1� ' � ������
��� ��� ������� �6� �� '���&!
@*9* ���( �� �+��& �3� ��� �2 �� ���� � '� ����������$ '� I���������� ���
������� ��$ ����, ��� �� � ��� ���������� ! 3'�� ��++���
+��� ���� ����� �� ������ � ������� ��� �2������ 1'��� '�
I���������� ��� ������ ��*�$ �2�� ��� ���������� ! 3'�
� � ��+3� � ��+
3� � ��+
3� �� ��2 � M >�$ � M ���& ��� ����
'��� ��++���� ����, ��$ ���' 1� ' � ��*� ���+���! 3'� � ���,
3� � ��,
3� � �G,
3� �� ��2 � M >�$ � M ��& ���� '�� '���
��++���� ����, �� 1� ' ��*� ���+���� ��� ��++���� +���
'� H����+����! 3'� � ��� � ���+���� ��� ��� �� �� =����� ��
��� �� ������ ����,! 3'� ������ �� ��� ��� ��� +�� ���
����, �� ��� ���� ��� ���� ��� �� '������ � ���' � '�� ��
���' �� ��2� '�1����$ ��� �+ '� ������ �� ��� ��� ��� �� �
��� � �� ���� ���� ��&! %� ���� ���$ ������ ����� 1�� �����
� ���' �� ��2 � ����� +�� ��� �Q �+ '� ����� ���!
@*�* B��(� �� ( ��� �+��& �3'�� �� � �� .�/ 1�� ������ �� � 5-� "����$ �J ���5$ �1����!
"%� �� � 1��� ������ �� �� ����� �������� ������ ���� ��
����� � ������ '� ������� ������� , +�� ���' �'�� ! 3'�
������� , ��������� +�� ���� �� � � ������ ������ �� +��
'� ��� ����� �� �'! 4��' "%� ���� �� � � ����& 1��
������� �� '� 1������� ' ������ 7����K�� ��! "%�
���� �� 1��� ������� �� �K� ����� �������� �'�� �
� M �K� � ����& ��� '��� ������� ��� � M �K� � �& 1���
������� 1� ' � ��+������ �� '��! 3'� �� � 1��� ���� �� �
Figure 5a. The profiles of the three analytes in X used in thesimulated example. The analyte with the full line has an identicalconcentration vector to one of the analytes in Y (Figure 5b). Theprofiles of the three analytes in Y used in the simulated example.The analyte with the full line has an identical concentration vectorto one of the analytes in X (Figure 5a).
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
�K ;! 3�,�� ��� �! D���
� ������� ��� �� �+ ��� ������� ��� � ������ ��� �� �+ '�
��������� G� �������!
C* ��>$4A�-
�� ������ ���� 1��� ���� 1� ' ���'����������� ��+ 1���
�� #3�<� �, #� 'D��5� ���������������&! ���
���� � 1��� ������ �� 1� ' �%#)�� �! �� ��+ 1��� �,
?�� ���� < ������ ��������&! 3'� ����� � � �� ���
������ �� ��� ����� �� '� ������2!
D* �-�:�$�
D*9 ���( �� �+��& ������+��� ������������ ��� .��/ ���������� '��� ���
�������� �! �����, �+ '� � ������ ��� ����� ���� �
�� ����� �� 3���� %! L�Q �+ '� ����� ��� �� � 1�� �������!
"� � '� '�� ���� �� ������ � '� L�Q �+ � �� ������� ��
1� ' �! 7LQ �+ �1�� ������� �, � ��� 1� ' ���� ������ ���
����� ,$ �� ������ �� �, '� ������������ ��� ������ ��
4�I'� ! =�� '� ������ �����$ ������������ ��� ����������
��� ������ ��� H�I �������� ��� 1� I��� '������
�������� � +�� � ��� ��� H��� '������ �������� +�� �!
�����, �+ '� ������ �������� ���� � �� ����� �� 3����
%%! 3'� � �� �2������� ����� ��� �+ � +�� '� ������ ����� ��
������� � '� +�� '� ��� �����$ �������� '� ������ ��
����� ��� �+ �! 9�1����$ �� ���� �� ��� '� �����
�������� � ��++��$ �� '� ������ ����� ������ �� ������� ��
��� ����������� �� � �� ��� �����& ����� ��� �� ���'
�� ��2! � ������,�� �� 3���� %%$ '� � �� ��� ����� �� �
���� � � G�Q �+ '� � �� ����� ��� �� �! 3'� ���, �����
��Q �+ '� ����� ��� �� � �� �������, ������� �� 1� ' �! 3'��
��+���� ��� �� �� �������� �, '� � ������ ��� �����!
3'� ������ �� ������ ����� ���� ����� ��+���� ���! =��� $
'� �2������� ����� ��� �+ � �� ����� K�Q$ 1'��' �� +�� ����
'�� 1'� '� � �� ��2 ���� ����� �+ �! 3'� ������ +�� '��
�'�������� �� �+ ����� '� � �� ��� ����� �� ������ ��
�$ '���� � ����� �� ��� � ����� '� ����� ���! 3'��� 1��
��Q � �� ��� ����� ������� �� � ��IH�&! 3'�� ��������
����� �� ���� ��������� '� H������$ ������ � ���' ��
���1�� �� � ��� ����� '����� ���, 7�Q ������ ��� ����� , �+
�! 9�1����$ ����������� '� ����� ��Q ��I����& �+ '�
����� ��� �� � ��� �� ������� �, �$ '�� 7�Q ������ ���
����� , �������� � ���� ������ ��� ����� �+ '� ��Q �+ �!
3'� ���� ���� +�� '� I������ '����� N���,O �>Q ������ ���
����� , 4�H'� & � 1'��� ���, ��Q �+ � �� � ��� ������ ����
��H����&!
<� ' ��� ��� ������ '��� �� ���������� ���++�����
��� ���$ ��� +�� ���' I���������! 3'� ���++����� ��� �� +��
I��������� �� ���5 ��2��� +�� ����, �� ��� =���� ��& +��
��� ��� ������ �� ��� �� �� =����� G� ��� G� ������ ����,!
"� � '� '� ���������� ���++����� � +�� ������ ���, ������
'� ������ ��� �������� � �� �$ �� '� � �� ��� �����!
4��� '��' '� 1� �� '��� '��� ������� ������� ����
��� ��� ����� ,$ '� ���������� ���++����� ���+���� ��� ������,
��++���� ! ��� ���� �� +�� �� � � �� ��� ����� +��� �!
Table I. Summary of PLS model for simulated example
� ����� )���! ��H���� ��HI� ��H ��I'� 4�I'�
� � � �!GL �!�7 �!��
� � � �!K> �!�� �!��
2 � � 1*EC 1*@E 1*@2
Table II. Summary of O2-PLS model for simulated example
� ����� )���! ��H���� ��HI� ��H ��I'� 4�I'�
� �!G� � �!G� �!�7 �!��
� �!77 �!�L �!K� �!�G �!��
2 1*2� 1*D2 1*EC 1*@E 1*@C
� ����� )���! ��I���� ��IH� ��I ��H'� 4�H'�
� �!G� � �!G� �!�G �!��
� 1*C9 1*29 1*F� 1*2� 1*�;
Figure 6a. The normalized PLS regression coefficients forY-variable 25. Structured noise in X negatively influences theinterpretation, because the coefficient profile should be similar tothe analyte in Figure 5a (full line). Figure 6b. The normalizedO2-PLS regression coefficients for Y-variable 25. O2-PLSseparately models the structured noise in X and therefore theinterpretation of the regression coefficients is similar to theanalyte in Figure 5a (full line).
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
������ �L
3'���+��� � '�� � � ������ ���� ���� � �� '� ����������
���++����� � �� ����� � ������ � '� � �� ��� ����� �� �
'� 1��� � '��1��� ���� ����, �++�� ������ ����! 9�1�
����$ '�� �������� '� *��� , �+ �� ����� � ��� ��� ������
������� ��������������$ �� ���� �� =���� G�! % �� ����
�� �1�� ', '� 1'��� '� ��� ����, � '�� � � ���5
��2��� � H��������� �� ��� =���� ��& '� ��� ����������
���++����� � ����� '� � ���� ��� ������� ��� �2�� �$
�� '��' � ���� �� ! ������ ������ ��, ������ '�
� �� ��� ����� ��� ������� �� ����� ���! 3'� ������
���+��� �� =���� G� �� ������, ������� � '� ��� ����, �
���+��� ����� �� �� =���� ��!
� ��� ����� �������$ '� 1� �� '��� '��� ������� �������
������������ �� ������ ���� �+ �$ �� �2��� ��! %� � ���� �����
������ ��� ����� �� �� 1� ' +�1 ���������� I����������$
'� ������� ������ ��� ����� � ���� �� ��� � �+ '� *��� , �+
'� ����� ����� 1� ' �� ��������������� �� ��� �+ ����� ��
I����������! 9�1����$ �� '�� �2�����$ � ������ � �+ �������
��++���� ����, �� ����� ��� '�� 1� ' ���,��� ������ ���
��� ���+����! % '�� �� ������� ��$ ����, ��� �� � ���
���������� ���������$ 1'��' ��5�� � �+ �� �� ���� � �'�1
��������������� �� ��� �$ ������$ ��������� �� 1'��'
�������� ��� ��� �$ ��++���� � �� ��� ����� ����� ���� 1���
��������, �++�� '� ��� ��� � � �� ����� � ���! � ��
�2����� �+ '��$ '� ������ �� ����� �������� ����� �+ I�
�������� �K +�� '� ��� ����� ��� ��� �� �� =���� >!
9�1����$ +�� ������ '��� �� �� ���� � ��� ������ �
,����������! %�� ���$ '� ��� ��+���� ��� ��� +�� '��
������ �� '� �������� ����� ������ �� : ������! 3'�
������ ����������� ��� �� ��� �� =���� K ������� � ���� +�
�� 1��� '� 1� ������� �� ����, �� �� � ��� �! 3'�
�� ����� � ��� �+ '� ��������� �� � ��� � ���� �� � '� :
������ �� +��� �� '� ������������� ��������� ��� =����� L�
��� L�! =�� � '� ������������� ������� ��� �� �� '� 4
�� ��2 �� ������ �, '� ����� ����� �� '� <3 �� ��2! =�� �
������ ������ ��� �������� $ �� �� '�� �2�����$ 53 �� �
������! � �2��� ��$ �� ����� � ��� �+ '� 1� � �� ���
����� $I����I���3& �������� � �+ � ���� �+��� '� � '�� 1�
����, �� �� � ��� ���5�� ���+���� �� =���� ��&! 3'� ������
� �� ��� ����� �������� �+ � 1�� � ��2 �+ '� 1�
����, �� �� � ��� ���5�� ���+���� �� =���� ��&! ������
1��5� �� 1��� +�� '� �� � ��� 1'��� ���, ��� �� +�1
���������� I���������� �2�� $ �� �'�1� �� '� "%� �2�����!
��� ���, ������ � ���� � �� '� +��� �������� � '���+���
'�� �� ��� ��������, ���� �� �2�� +�� ��� �� � '�� �������
�� '���! 3'� �������� �� � +�� '� ������ ����� �������
���� �++����� � ���� �� �� ��� '�� ��� ������! %� � �������
+��'��� '� ������ ������ ��� ����� �+ � ��� �� ����,-��
��� �� ����� ��$ �� '��' '�� �� �� �'�1� '���!
D*� B��(� �� ( ��� �+��& �)����������� ��� ���������� +��� ��� �������� �!
�����, �+ '� ��� ����� �� ����� �� 3���� %%%! LL!GQ �+
'� ����� ��� �� � 1�� �������$ � �� ��+���� ��� �2�� � ��
'�1 ��' �+ '� ����� ��� �� � �� ������� �� 1� ' �!
�����, �+ '� ������ ����� �� ����� �� 3���� %6! "� I�
����� �� �'�1�$ �� '� � �� ��2 ���, '�� ��� ��������! 3'�
������ ����� '�� ��� ������ ��� �������� ��� +��
� �� ��� ����� �������� � �� �! 3'� � �� ��� �����
���� � � K>Q �+ '� � �� ����� ���$ ��� '� ������� ��
����� ��� ���, ��Q! 3'� � ����� ��0��� , �+ '� ����� ��� �� �
�� �� ���� �� � �! 3'� ������ ���� �+ ��� ��� ������ ���
���� ���� +�� �������I ������$ �� �� ���� �'�1� �� 3����� %%%
��� %6! 3'� ������, ����� ��� 1� ' ������ �� '�� �2�����
Figure 7. Predicted versus observed scatter plot for the PLSmodel Y-variable 18. These plots are of little value to interpretwhen there is structured noise in Y.
Figure 8. Predicted versus observed scatter plot of the u scoresfor the O2-PLS model. It reveals a good fit between the twocorrelated analytes given by their corresponding loadings for Xand Y shown in Figure 9. It is the most informative plot whenstructured noise is present in Y. This plot is not available for PLS,because PLS does not model Y in the same way.
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
G� ;! 3�,�� ��� �! D���
�� '� ������ ��� �+ � �� ��� ����� �� � +��� '� ������� ��
������ ���& ����� ��� �� �! 3'� +��� 1� � �� ��� �����
�������� �������� �I���& ��� ��� �� �� =����� �� �& ���
�� �&! 3'� +��� ������� ��� ��$ =���� �� �&$ ������ >7Q �+ �
��� ��������� � � ���� 1� �� ���5! 3'� ������ �������
��� ��$ =���� �� �&$ �� � �������� �++�� �������� 1� ' '�
1� �� ���5$ �������� ��� LQ �+ '� H������ ���! ��� ���� ��
�2����� �, ����� '� � �� ��� ����� �� �! 3'� ���� �+ '�� ��
��� ������, ���� �� '� +��� 1� ��� �������� ���������
��� =���� ��! 3'� 1� �� ������ ����� �L������� �� '��
'�����, ��+������ '� +��� 1� ��� �������� �$ �� '��'
��� �+ '� ����� ��� '�� �� ������� ��� � �$ �� �'�1�
������� �� =���� �� �&!
3'� ���������� ���++����� � +�� '� ��� ��� ������ ������
��� �'�1� �� =����� ��� ��� ��� ������ ����,! 3'�, ���
������, ��++���� ! 3'� ������ ���������� ���++����� ��� �� ��
���� ���� � '� +��� ��� ������� ��� �� � ���, +�� �������I
������&! 3'� ��++������� �� '� ���������� ���++����� � �����
������ � �� ��� ����� �� � +����� ��� � �� � � � �� � � �
�'��� �� =���� ���! 3'�� �� ��*���� �� ����� � ������ �
'� � �� ��� ����� ��� ���� ����� � ������ ����! 9�1����$
'�� ���� ����, �++�� � '� �� ����� � ���$ ������ � +����� '�
���������� ���++����� � � �������� �� ��-� ��� +�� � �
����� -���! 3'�� �� ��� ������, ���� ����� '� 1� ��
������ �L������� ��& 1'��� '� ������ � �� ��� �����
�������� 1�� +���� ��� =���� �� �&!
;* !�0!�:�.�0
3'� �� ����� � ��� �+ �6� ����� ������ ��� �� ���5�� � '�
������ �+ ������������� ��������������! �+ �� � �� ���
�����$ ��+���� �� �,� ��� �� ����� ��� �� ������� +�� '�
������ ��� �+ �$ �� ������ �� �! 42������ �+ ��' ����� ����
�� ���� ������, ��� �� ���������$ ��� �� �++�� � ��� ���� ��
�+ ����� ���! � �� ��� ����� ������ '� �������������
�������������� +�� � '�� �6� �� '��� ��� '� �������
�� �� ����� �� ����� � ���! % ���� ��������� '� ����� �+
������ ��� �������� �! ������ ������ �� '� � �� ���
����� �� �� ' � ��� � +��� '� 0��� H�I ������� ��� ��� ��
'� ������ ��� �����! 3'�� ����� � � ������� ����� �+
������ ��� �������� � ��� ������������� ��������������!
=� '������$ ������ �� ���������, �� �� +�� �� � ����
1'��� � ���� ������ � �+ ���,$ ����, ��� ������� ��
���������! 3'� ������� ��� �� ��2 �3�& ���,� � ��� ��� ���
�� '� ������ �� '��! % �� ����� �, ���5�� � '� ������ ���
�������� � ��� '� � �� ��� ����� �� �� ' � ��� �!
%� '� ����� �� �2����� �����$ � 1�� �'�1� '�1 '�
�������� ����� ������ �� ��� � �+ ��������� I����������
��� ���� ��+���� ��� 1'�� � �� ��� ����� �� ������ �� �!
3'� �������� ����� ������ �� ��� �+ '� ������ ?�������
�������� � ���� ������ ��� ����� �� 1��� '� ������� ��
����, �� �� � ��� �! % � ������������� �������� ��������
���� �� ����� � ��� �� �� ' � ��� �! %� '� "%� �2����� '�
������ ���������� ���++����� � 1��� ���� �� ����� ���� '��
Figure 9a. The corresponding O2-PLS loading vector in X for theu scores in Figure 8 reveals good similarity to the pure profile inFigure 5a (full line). Figure 9b. The corresponding O2-PLSloading vector in Y for the u scores in Figure 8 reveals goodsimilarity to the pure profile in Figure 5b (full line).
Table III. Summary of PLS model for ground cellulose example
)���! ��H���� ��HI� ��H ��I'� 4�I'� �#�4�
� � � �!�� �!7� �!�G �K�
� � � �!L7 �!7K �!7> �K�
� � � �!LL �!�L �!�7 �GK
7 � � �!LL� �!G> �!G� �G�
C � � 1*EED 1*;@ 1*D; 9C9
Table IV. Summary of O2-PLS X model for ground celluloseexample
)���! ��H���� ��HI� ��H ��I'� 4�I'� �#�4�
� �!�� � �!�� �!7� �!�G �K�
� �!�� �!>7 �!L� �!7K �!7> �K�
� �!�G �!K� �!LL �!�L �!�7 �GK
7 �!�7 �!KG �!LL� �!G> �!G� �G�
C 1*92 1*F; 1*EED 1*;@ 1*D; 9C9
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
������ G�
'� ��� ���++����� �$ ��� '� ������ � �� ��� �����
�������� � �������� � � ���� 1� �� ���5 ��� � ��������
�++�� !
3'� ���� ��� ��� ��� �+ ������ �� '� � ������ �� ' �
��� �$ ������ �� '� � �� ��� ����� ��� '� '���
�����,��� �������� � '��� '� ���� ���5! 3'�� ��������
+� '�� ����� ������ �+ 1'� ��������� ��� ����� �� +��
1'� ��� �+ '� �����$ �� � '� ������ ��� �����$ '�
� �� ��� ����� ����� �� '� ��������! ������ �'���
����� ������� �� �� �����5 ��� '������'���� ��������
1'��� ���, '� ������� �� ����� ��� �� �+ �� ���� ! ���$ ���
��� ���� ����� �� '� ����� ��������� �������� ���������
�, ;���5�� ��� #��(����� .�G$�>/! % �� ���� ���� �������� �
���� �� � N��� ��O �������� �� ��2 � �� ����� 1'��� �
��� ����, �� �� ���������! %� ��+������ .��/ � �� ��������� '�1
� �� � � '� ��������� �������� � �� � �� � �������+�
�������� � ��� �� �� �! %� ����������� ����,��� ��������$
� �� ���� �� �� ���� ���, ��������� �8�&! ������
1��� '�� +��� '� ����� ���� �� � '� ������ � ���
������� '� �����!
A���� � ������#��, '��5� ��� �� � A� 9����5 � �$ ��� � 5-� "����
+�� ��������� '� "%� �� � �� ! =�������� ����� +��� '�
E� ��� ���� D��������� =���� ��� ��� '� �1����'
"� ��� ������� �������' )����� "=�& �� ��� �+��,
��5��1������!
A��-07.�
3'� +����1��� ����� � � �� ��� '��� ���� ������ ��!
A*9* ��� �� � �������#������ ����� ��� �+ �:
��H � � ��
�-����
�� ��7�
Figure 10. The first two (largest) O2-PLS structured noise loadings from the NIR example are displayed. (a) Thefirst loading vector reveals a strong water peak around 1900 nm. It accounts for 74% of the total variation in X.(b) The second loading vector is a baseline offset combined with the water peak and represents 9% of the Xvariation.
Figure 11. The first two PLS component loadings (p1,p2) of the NIR example. The water region around 1900–2000 nm heavily influences the first two PLS components, although most of that variation has no correlation withY.
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
G� ;! 3�,�� ��� �! D���
������ �� ����� ��� �+ �:
��I'� � � ��
�$!3 � �����
�� ����
)����������� �� ������ ���� �+ �:
4�I'� � � ��
�$��!3�� � ����
��� ��G�
A*�* ������ �� � �������#������ ����� ��� �+ �:
��H � � ��
�-����
�� ��>�
#������ ����� ��� �+ �:
��I � � ��
�>����
�� ��K�
������ �� ����� ��� �+ �:
��H'� � � ��
�:<?43 � ����
��� ��L�
������ �� ����� ��� �+ �:
��I'� � � ��
�$<3!3 � ����
��� ����
)����������� �� ������ ���� �+ �:
4�H'� � � ��
�:��<?��43�� � ����
��� ����
)����������� �� ������ ���� �+ �:
4�I'� � � ��
�$��<3��!3�� � ����
��� ����
#������ � �� ��� ����� ����� ��� �+ �:
��HI� ��
�$I����3I������
��� ����
#������ � �� ��� ����� ����� ��� �+ �:
��IH� ��
�:H����3H������
��� ��7�
#������ 0��� H�I ������� ��� �+ �:
��H���� ��
�$43����
�� ����
#������ 0��� H�I ������� ��� �+ �:
��I���� ��
�:!3����
�� ��G�
�->-�-0!-�
�! #�� ��� 9 ��� "��� 3!������������ "���6����� ��� ���&!D���,: )'��'�� ��$ �LL7!
�! 3�,�� ; ��� D��� �! �� '������ ���0�� ���� � �� �� � �� ���$ �����! ! "#���������� ����� 9D: ��L���K!
�! D��� �$ 3�,�� ;$ <������ ��� � � 9! ���� ����� ���������� � �� ��� ��������! "#���������� � ���� ��6�1�� ����� CF: �������!
7! (����� � ��� #�� ��� 9! �������-� ��� ��� ��� �������� ��� +�� �������+����� ���� �� �+ ��� ! ������������� �LK�� 2E: 7L�����!
�! D��� �$ � � 9$ �������� = ��� �J '��� ;! �� '������������ ������ ��� �+ �������+����� ���� ��! "#����������� ���� ��6 �1�� �LLK� @@: �>���K�!
G! =���� 3! �� �� '������ ������ ������ ���! "#����������� ���� ��6 �1�� ����� C1: 7>���!
>! �0�J���� ;$ �������� �$ ;���+��� #$ E������ 9 ��� D����! � ����� ��� �+ �� '������ ������ ������ ��� ������� � ������� ��� ����+�� �+ ���� ��+����� ���� ��! "#���'������� � ���� ��6 �1�� �LLK� @@: ��L��77!
K! D�� ��'�� ;$ �� ;��� � ��� ������ E! A���� �� '������ ������ ������ ���! "#���������� � ���� ��6�1�� ����� CD: �����!
L! 4��5���� �$ 3�,�� ;$ ;�'������ 4$ <�� � ��� D��� �!�� '������ ������ ������ ���$ 1����� ����,���$ ����� ������ � ������� ��� �+ �������� �� ������� R���������� �� �! � �� "#�� ���� ����� @�1: �K���L�!
��! 9�J�5������ ! 6������� ��� ���� ����� ��� �� �������������! "#���������� � ���� ��6 �1�� ����� CC: ����K!
��! D��� 9! ��+ ��������! 3'� ����� ������ ��� �����2 �������! %� �1����� � ��� � ������ )6�������� $ ���! �$
Figure 12a. The PLS regression coefficient vectors of the NIR example. PLS rotates the regression coefficientsto cancel out the structured noise in X. This causes fluctuations around zero and negatively affects theinterpretation. This is most clearly observed around the water region (1900–2000 nm) where the largeststructured noise component was found (see Figure 10(a)). Figure 12b. The O2-PLS regression coefficientvectors of the NIR example. O2-PLS separately models the structured noise in X and therefore no rotation of theregression coefficients is needed as with PLS. This makes the interpretation easier.
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
������ G�
;�J���5�� E�($ D��� 9 ���&! "�� '�9������: �� ������$ �LK�� ����!
��! E���'��� �#! 3'� �� �� ��������! "#���������� � ������6 �1�� �LL�� 9@: ���!
��! 9�J�5������ ! ��� ���������� �� '���! ! "#�����������LLK� �: ������K!
�7! D��� 9! "�������� �� ��� ��� �, � ��� ��� ���� �*�������������! %� �������# 0����� � ����������$ A���� = ��!&!D���,: "�1 I��5$ �LGG� 77��777!
��! 9�J�5������ ! 0�������� ���#��� � ���� �� � � %��# ��'�(1$ ���! �$ <���� 3'���,! 3'�� �����'���: )����'����$�LLG!
�G! 4���� �! ��� ������������� �������������� ��� � ����� '������ +�� ���-� ���! ! "#���������� ����� 9D: �GK��>�!
�>! <�2 (4�$ 9� �� D( ��� 9� �� ;�! ���������� ���7*������ ����! D���,: "�1 I��5$ �L>K!
�K! �������� �$ E�� � 3 ��� #��(����� ;=! � ����� ���� ��� �+ �� '������ ������ ������ ��� ������ '�� ��� '����'���� ���� ���! ! "#���������� ����� 9D: �>G��KK!
�L! (������'�� 9) ��� �������� )! ���������� �+�� '������ ������ ������ ��� ��� �� ����, � �������������� �� '���! 3'���� ���� ��� �2������� �� � �,!"#���������� � ���� ��6 �1�� ����� CD: >��K�!
��! 3�,�� ;! 0������ ���� ������������ ������! 0#3 %#����$?���S ?������� ,$ ����� �L��7 ������������� ������ �� ������� ������������ �������������������������&!
��! ��� )�! 3'� �� ��� �� ����� � ��� �+ ����������������� ����,��� �� ������� �������'! �� �#1� ��LG7� �D: ��L���K!
��! A� ;��� �! �%#���: �� �� ���� ��� �������' � ��� ������� �*���� ����������! "#���������� � ���� ��6 �1���LL�� 9F: �����G�!
��! 3�,�� ;! ������ +�� *��� � ��� ��� *�� � � ��� ����,����� �� ������ � ������� ���! ! "#���������� ����� 9D: �K���L�!
�7! ;��5��� ;4! � 8���� 9���� �� 0�� ����� "���� � ��! D���,:"�1 I��5$ �LL�!
��! D��� �! )����������� ��, �� ��� ��� �+ '� ����� �+�������� � �� +�� �� ��� ��������� �������� � ������!%��# �������� �L>K� �1: �L>�7��!
�G! ;���5�� )# ��� #��(����� ;=! ����� ������ '���'�� ������ � � � �� ���� ����,��� �+ ������� �� �! ��"-7 !!�LLK� @@: ��������K!
�>! ;���5�� )# ��� #��(����� ;=! %��� ���� ������� ���� �+����� ������ '���' '� ��������� �+ �� �� ��������������! "#���������� � ���� ��6 �1�� ����� C1: �LL����!
)��,���' � ���� ;�'� D���, F ����$ � �! ! "#���������� ����� 9;: ���G7
G7 ;! 3�,�� ��� �! D���