ECUACIONES DIFERENCIALES

Prof. Isidoro Ruiz Arango

Pro

f. Is

ido

ro R

uiz

Ara

ngo

Objetivos de la clase:

Identificar una ecuación diferencial.

Modelar aplicaciones de las

ecuaciones diferenciales.

Diferenciar las clases de ecuación

diferencial, por tipo, orden y

linealidad.

Comprobar las soluciones de las

ecuaciones diferenciales.

Resolver situaciones problemáticas

relativas a las EDO.

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Reseña Histórica:

Las ecuaciones diferenciales (ED) fueron tratados al inicio

por Newton para estudiar el movimiento planetario, fue

progresando a medida a medida que se afianza en la

ciencia natural en especial en la física con problemas

importantes como la ley de movimiento de Newton,

ecuaciones de Euler para la hidrodinámica, la ecuación de

calor por fourier,etc.

Actualmente las ED no sólo se

utilizan en el campo de la física,

sino también en la ingeniería, en la

química, economía, agronomía,

biología, etc. De ahí que su estudio

sea indispensable para toda la

ciencia natural.

¿Qué es una ecuación diferencial?

¿Cómo se resuelve semejante ecuación?

Esta expresión es una ecuación diferencial

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21.0)( xexy Como sabemos: es una función

diferenciable en (-, ).

En efecto, su derivada resulta: 20,10,2. . xdy

x edx

Ahora reemplazamos el valor inicial de y

´ 0,2. .dy

y x ydx

…Imaginemos que nos dan directamente esta ecuación.

¿Qué función representa y(x)?

Es una ecuación que contiene derivadas de una o más

variables dependientes, con respecto a una o más

variables independientes.

yxdx

dy 2.0

variable dependiente

variable independiente

Definición de ecuación diferencial: P

rof.

Isid

oro

Ru

iz A

ran

go

' 2 0y x ( )dy

k a ydx

x.dx – y.dy=0 dy=3dx

En todos los casos la incógnita es y = f(x)

Modelos de ecuaciones diferenciales

La rapidez con que un cuerpo se calienta es

proporcional a la diferencia entre la temperatura

del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente Ta

)( TTKdt

dTa

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Donde K es el coeficiente

de transmisión de calor que

depende del material

Ejemplo (1):

El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la

figura:

to R

C v(t)

+

-

+

- -

Vs(t)

)(1

)(1)(

tVRC

tvRCdt

tdvs

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Ejemplo (2):

Ejemplo (3)

El movimiento de un péndulo simple está

gobernado por la ecuación

Donde

0 mgsenklml

2

2

,dt

d

dt

d

m

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Ejemplo (4)

Las coordenadas (x,y) de los puntos de la curva

que refleja en forma paralela los rayos que salen

de un punto fijo en el origen cumplen con:

y

yxx

dx

dy22

x

y

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)()()(' 2 xfyxqyxpy

0y'y)y1(''y 2

dt

dpFext

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Otros Ejemplos: )x(qy)x(p

dx

dyEcuación lineal de primer orden:

Ecuación de Riccati:

1)(' 223 xyxsenyxyEn particular:

Ecuación de Van der Pol:

Segunda Ley de Newton:

….

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NOTACIONES IMPORTANTES Recordemos que las derivadas ordinarias según Leibniz

se denotan con: 2 3 4

2 3 4, , , ,.....

dy d y d y d y

dx dx dx dx(Muestra las dos variables)

En notación prima: y´, y´´, y´´´, y(4), y(5),….

(No se muestra las variables independientes)

Notación punto (Newton): y, y, y, y,....

Por ejemplo: 2

32d s

dt será 32s

Notación subíndice:

Ejemplo:

t

u

t

u

x

u

2

2

2

2

2

será: 2xx tt tu u u

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CLASIFICACIÓN GENERAL

Las ED se clasifican por tipo, orden y linealidad.

1. Clasificación por Tipo: a)Ecuación diferencial ordinaria (EDO):

Es una ecuación que contiene sólo derivadas

ordinarias de una o más variables dependientes

respecto a una sola variable independiente.

5 ey dx

dy x

Ejemplos: 2

26 0

d y dyy

dx dx

yx dt

dy

dt

dx 2

Una EDO puede contener más

de una variable dependiente.

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b)Ecuación diferencial parcial (EDP): Es una ecuación que contiene derivadas parciales de

una o más variables dependientes respecto de dos o

más variables independientes.

Ejemplos:

02

2

2

2

y

u

x

u

t

u

t

u

x

u

2

2

2

2

2

EDP de una variable dependiente u y

dos variables independientes x, y.

EDP de una variable dependiente u y

dos variables independiente x, t.

u v

y x

EDP de dos variables dependientes u, v y dos variables independientes y, x.

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2. Clasificación por Orden:

Orden: Se llama ED de orden “n” a toda ecuación que

incluye a la derivada cuyo mayor orden es “n”.

Grado: El grado de una ED es el de la derivada de

mayor orden, una vez que dicha ecuación haya sido

racionalizada.

Ejemplos:

2

21) 1

d y dy

dt dt que equivale a:

22

21

d y dy

dt dt

orden 2 grado 2

32

4

22) 5( ) 2 0

d y dyx

dx dx

orden 2 grado 3

12 2

2 23) ( )

y yz

x y

orden 2 grado 1

735) 2

5

2

22

4

4

x

dx

dy

dx

yd

dx

yda

3

2

22

6

2

2

7)

dx

ydx

dx

dyx

dx

ydb

17) 2 xdx

dyc

32

2

)dx

dyx

dx

ydd

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Ejercicios: Determinar el orden y el grado de las siguientes

ecuaciones:

87) 5

3

xxy

dx

dye

A veces escribiremos las EDO en forma diferencial

Por ejemplo, supongamos que y es la variable

dependiente y x la independiente en la EDO en forma

diferencial:

0'4

'

04)(

xyxy

dx

dyy

xdydxxy

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Nota Importante:

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy

0) , ,' , ,(

variables2

)(

n

nyyyxF

) , ,' , ,(

variables1

)1(

n

n

n

n

yyyxfdx

yd

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Forma general de orden “n” de una EDO:

Forma normal de orden “n” de una EDO:

Por ejemplo, las formas general y normal de la EDO

x, y xy’ 4

: 04

(x – y)Forma general F(x, y, y’) y’ -

x

:4

(x – y)Forma normal y’ f(x, y)

x

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3. Clasificación por Linealidad:

Se dice que una EDO de orden n es lineal si F (en la

forma general) es lineal en y, y’, y”, …, y(n) (o sea cada

una de las derivadas es de grado 1).

0)()()()()( 011

1

1

xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

O bien:

)()()()()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

Dos casos importantes para nosotros serán las EDO

lineales de primer y segundo orden.

)()()( 01 xgyxadx

dyxa

)()()()( 012

2

2 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

(primer orden)

(segundo orden)

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¡Importante!: En una EDO lineal de orden n:

1) y, y’, y”, …, y(n) son de primer grado.

2) Los coeficientes a0, a1, …, dependen solo de la

variable independiente x.

Por ejemplo:

1) 4 0xy’ y x Es una EDO lineal de

primer orden

2) " 2 ´ 0y y y Es una EDO lineal de

segundo orden

3

33) 5 xd y dy

x y edx dx

Es una EDO lineal de

tercer orden

Lineal con coeficientes variables:

Cuando enfatiza el hecho de que al menos uno

de los coeficientes a0(x),...,an(x) NO es constante.

:)()()()()( 011

1

1 seráxgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

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Dado la ecuación :

Lineal homogénea:

Cuando el término independiente g(x) es nulo.

Lineal con coeficientes constantes:

Cuando los coeficientes a0(x),...,an(x) son

constantes.

xeyyy 2')1(1)

0seny)32

2

dx

yd

0)4 2

4

4

ydx

yd

Si no es lineal, es no lineal

El coeficiente depende de y.

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Observación:

Ejemplos de EDO no lineales:

3

32) (2 3) 5 0

d y dyy y

dx dx

Función no lineal de y.

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Ejercicios:

Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales

son ¿Lineales o no lineales?

)(1

)(1)(

tVRC

tvRCdt

tdvs1)

0 mgsenklml 3)

)( TTKdt

dTa 2)

1)(' 223 xyxsenyxy5)

y

yxx

dx

dy22

4)

0y'y)y1(''y 2 6)

Comprobación de una solución.

Y la igualdad se cumple para todo x de (-, )

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Comprobar que la función indicada es la solución de

la EDO dada en el intervalo (-, ):

(1) dy/dx = xy1/2. Solución: y = x4/16.

Solución:

Existe la derivada dy/dx = x3/4 para todo x de (-, ).

4164

33 xx

dx

dyLado izquierdo :

4416

322/142/1 xx

xx

xxy

Lado derecho :

iguales

Nota: La función y(x) = 0 también es la solución tanto de este ejemplo como del anterior en el intervalo (-, ). Se conoce como solución trivial.

0)(2)2(2 xxxxx xeexeexeyyy

xxeyyyy ;02(2) P

rof.

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iz A

ran

go

Solución:

Derivando la solución dos veces:

y' = xex + ex

y'' = xex + 2ex :

Reemplazando en la ecuación:

Muchas Gracias

por su atención…