Definicion

En optimización matemática, el término algoritmo simplex habitualmente se refiere a un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones...

El método Simplex,

Es un método cuantitativo de optimización matemática utilizado habitualmente para solucionar problemas de programación lineal. La programación lineal es una herramienta matemática mediante la cual se resuelve un problema matemático, planteado en forma de inecuaciones, éstas son aquellas que se plantean en forma de desigualdades. El método Simplex busca el máximo para la función lineal planteada, la función objetivo.

Los problemas más comunes en los que se suele emplear el método simplex para obtener la solución más adecuada se muestran en la siguiente lista:

– Problema de la dieta.

– Problemas de transporte de tropas.

– Problema del transporte de mercancías.

– Problema de los árboles frutales.

– Problema de la asignación del personal.

– Problemas del camino mínimo.

– Problemas de localización.

– Problema de inversión en bolsa.

Ahora vamos a desarrollar uno de los problemas anteriormente expuestos, el problema de inversión en bolsa.

Supongamos que tenemos 4 valores en bolsa por los que tenemos que decidir cuánto invertir en cada uno: RBS, CHB, MFM y ACM. Se dispone de un capital de 1.000.000 € para invertir, y las condiciones son las siguientes:

– Un máximo de 125.000€ se pueden invertir en ACM y un máximo de 100.000 € en MFM.

– Existe una restricción de no invertir más de 1/4 del dinero total en CHB debido al riesgo que conlleva la inversión en este valor.

– Para el valor RBS, se determina que la inversión realizada en este valor ha de ser por lo menos 3 veces lo invertido en CHB. Además, la inversión en MFM y ACM, ha de de ser por lo menos, la mitad de lo invertido en RBS y CHB.

Los retornos de la inversión se terminan que son los siguientes:

– RBS: 10%.

– CHB: 20%.

– MFM: 11%.

– ACM: 9%.

La forma óptima de maximizar las ganancias, sería programando como sigue:

Las variables de decisión serán:

CHB, RBS, MFM y ACM.

Las restricciones a la hora de la inversión se muestran a continuación, planteando como inecuaciones o ecuaciones de desigualdad.

CHB+RBS+MFM+ACM≤1.000.000.

MFM≤100.000.

ACM≤125.000

CHB≤250.000

3*CHB-RBS≤0. (Inversión en RBS, al menos 3 veces de lo invertido en CHB).

0,5*CHB+0,5*RBS-MFM-ACM≤0 (Inversión en MFM y ACM, al menos la mitad de lo invertido en CHB y RBS).

Además, habrá que expresar que todas las variables, es decir, las decisiones de inversión, no pueden tener un valor negativo:

CHB, RBS, MFM,ACM≥O.

y para plantear la función objetivo a maximizar, se ha de plantear la ecuación con sus rentabilidades multiplicadas por los valores:

max Z=0,1*RBS+0,2*CHB+0,11*MFM+0,09*ACM.

La solución maximizada de la ecuación atendiendo a las restricciones impuestas por las inecuaciones se obtendrá mediante la introducción de la ecuación en una tablea Excel y planteando la búsqueda de objetivo o con la función Solver.

Investigación 1El método simplex

Introducción sobre el método simplex para el análisis de una toma de decisión

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.

PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX

Esta es la forma estándar del modelo:

Función objetivo: c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xnSujeto a: a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1

a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2...am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bmx1,..., xn ≥ 0

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.2. Todas las restricciones son de igualdad.3. Todas las variables son no negativas.4. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

Cambio del tipo de optimización.Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como está, pero

deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condición de parada (deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función objetivo sean todos menores o iguales a 0), así como para la condición de salida de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de minimizar la función F por el de maximizar F·(-1).

Ventajas: No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condición de salida de filas, ya que se mantienen.

Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todas sus variables básicas positivas, y además las restricciones sean de desigualdad "≤", al hacer el cambio se quedan negativas y en la fila del valor de la función objetivo se quedan positivos, por lo que se cumple la condición de parada, y por defecto el valor óptimo que se obtendría es 0.

Solución: En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la solución quedara por encima de 0, alguna restricción debería tener la condición "≥", y entonces entraríamos en un modelo para el método de las Dos Fases.

Conversión de signo de los términos independientes (las constantes a la derecha de las restricciones)

Deberemos preparar nuestro modelo de forma que los términos independientes de las restricciones sean mayores o iguales a 0, sino no se puede emplear el método

Simplex. Lo único que habría que hacer es multiplicar por "-1" las restricciones donde los términos independientes sean menores que 0.

Ventaja: Con ésta simple modificación de los signos en la restricción podemos aplicar el método Simplex a nuestro modelo.

Inconvenientes: Puede resultar que en las restricciones donde tengamos que modificar los signos de las constantes, los signos de las desigualdades fueran ("=", "≤"), quedando ("=","≥") por lo que en cualquier caso deberemos desarrollar el método de las Dos Fases. Este inconveniente no es controlable, aunque nos podría beneficiar si sólo existen términos de desigualdad ("≤","≥"), y los "≥" coincidieran con restricciones donde el término independiente es negativo.

Todas las restricciones son de igualdad.Si en nuestro modelo aparece una inecuación con una desigualdad del tipo "≥",

deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de exceso si, con la restricción si ≥ 0. La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y restando en las inecuaciones.

Surge ahora un problema, veamos cómo queda una de nuestras inecuaciones que contenga una desigualdad "≥" :a11·x1 + a12·x2 ≥ b1 a11·x1 + a12·x2 - 1·xs = b1

Como todo nuestro modelo, está basado en que todas sus variables sean mayores o iguales que cero, cuando hagamos la primera iteración con el método Simplex, las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero, y el resto el valor que tengan. En este caso nuestra variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomará el valor -b1. No cumpliría la condición de no negatividad, por lo que habrá que añadir una nueva variable, xr, que aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en la inecuación de la restricción correspondiente. Quedaría entonces de la siguiente manera:a11·x1 + a12·x2 ≥ b1 a11·x1 + a12·x2 - 1·xs + 1 ·xr = b1

Este tipo de variables se les llama variables artificiales, y aparecerán cuando haya inecuaciones con desigualdad ("=","≥"). Esto nos llevará obligadamente a realizar el método de las Dos Fases, que se explicará más adelante.

Del mismo modo, si la inecuación tiene una desigualdad del tipo "≤", deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de holgura si, con la restricción si "≥" 0 . La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en las inecuaciones.

A modo resumen podemos dejar esta tabla, según la desigualdad que aparezca, y con el valor que deben estar las nuevas variables.

Tipo de desigualdad Tipo de variable que aparece

≥ - exceso + artificial

= + artificial

≤ + holgura

DESARROLLANDO EL MÉTODO SIMPLEXUna vez que hemos estandarizado nuestro modelo, puede ocurrir que necesitemos

aplicar el método Simplex o el método de las Dos Fases. Véase en la figura como debemos actuar para llegar a la solución de nuestro problema.

Explicaremos paso a paso los puntos de cada método, concretando los aspectos que hay que tener en cuenta.

Método Simplex- Construcción de la primera tabla: En la primera columna de la tabla aparecerá

lo que llamaremos base, en la segunda el coeficiente que tiene en la función objetivo cada variable que aparece en la base (llamaremos a esta columna Cb), en la tercera el término independiente de cada restricción (P0), y a partir de ésta columna aparecerán cada una de las variables de la función objetivo (Pi). Para tener una visión más clara de la tabla, incluiremos una fila en la que pondremos cada uno de los nombres de las columnas. Sobre ésta tabla que tenemos incluiremos dos nuevas filas: una que será la que liderará la tabla donde aparecerán las constantes de los coeficientes de la función objetivo, y otra que será la última fila, donde tomará valor la función objetivo. Nuestra tabla final tendrá tantas filas como restricciones.

TablaC1 C2 ... Cn

Base Cb P0 P1 P2 ... PnPi1 Ci1 bi1 a11 a12 ... a1nPi2 Ci2 bi2 a21 a22 ... a2n... ... ... ... ... ... ...Pim Cim bim am1 am2 ... amnZ Z0 Z1-C1 Z2-C2 ... Zn-Cn

Los valores de la fila Z se obtienen de la siguiente forma: El valor Z0 será el de sustituir Cim en la función objetivo (y cero si no aparece en la base). El resto de columnas se obtiene restando a este valor el del coeficiente que aparece en la primera fila de la tabla.

Se observará al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla, en la base estarán las variables de holgura.

- Condición de parada: Comprobaremos si debemos de dar una nueva iteración o no, que lo sabremos si en la fila Z aparece algún valor negativo. Si no aparece ninguno, es que hemos llegado a la solución óptima del problema.

- Elección de la variable que entra: Si no se ha dado la condición de parada, debemos seleccionar una variable para que entre en la base en la siguiente tabla. Para ello nos fijamos en los valores estrictamente negativos de la fila Z, y el menor de ellos será el que nos de la variable entrante.

- Elección de la variable que sale: Una vez obtenida la variable entrante, obtendremos la variable que sale, sin más que seleccionar aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea el menor de los estrictamente positivos (teniendo en cuenta que sólo se hará cuando Pj sea mayor de 0). La intersección entre la columna entrante y la fila saliente nos determinará el elemento pivote.

- Actualización de la tabla: Las filas correspondientes a la función objetivo y a los títulos permanecerán inalterados en la nueva tabla. El resto deberá calcularse de dos formas diferentes:

Si es la fila pivote cada nuevo elemento se calculará:

Nuevo Elemento Fila Pivote = Elemento Fila Pivote actual / Pivote.

Para el resto de elementos de filas se calculará:

Nuevo Elemento Fila = Elemento Fila Pivote actual - (Elemento Columna Pivote en la fila actual * Nuevo Elemento Fila).

Método de las Dos FasesÉste método difiere del Simplex en que primero hay que resolver un problema

auxiliar que trata de minimizar la suma de las variables artificiales. Una vez resuelto este primer problema y reorganizar la tabla final, pasamos a la segunda fase, que consiste en realizar el método Simplex normal.FASE 1

En esta primera fase, se realiza todo de igual manera que en el método Simplex normal, excepto la construcción de la primera tabla, la condición de parada y la preparación de la tabla que pasará a la fase 2.

- Construcción de la primera tabla: Se hace de la misma forma que la tabla inicial del método Simplex, pero con algunas diferencias. La fila de la función objetivo cambia para la primera fase, ya que cambia la función objetivo, por lo tanto aparecerán todos los términos a cero excepto aquellos que sean variables artificiales, que tendrán valor "-1" debido a que se está minimizando la suma de dichas variables (recuerde que minimizar F es igual que maximizar F·(-1)).

La otra diferencia para la primera tabla radica en la forma de calcular la fila Z. Ahora tendremos que hacer el cálculo de la siguiente forma: Se sumarán los productos Cb·Pj para todas las filas y al resultado se le restará el valor que aparezca (según la columna que se éste haciendo) en la fila de la función objetivo.

TablaC0 C1 C2 ... Cn-k ... Cn

Base Cb P0 P1 P2 ... Pn-k ... PnPi1 Ci1 bi1 a11 a12 ... a1n-k ... a1nPi2 Ci2 bi2 a21 a22 ... a2n-k ... a2n... ... ... ... ... ... ... ... ...Pim Cim bim am1 am2 ... amn-k ... amnZ Z0 Z1 Z2 ... Zn-k ... Zn

Siendo Zj = Σ(Cb·Pj) - Cj y los Cj = 0 para todo j comprendido entre 0 y n-k (variables de decisión, holgura y exceso), y Cj = -1 para todo j comprendido entre n-k y n (variables artificiales).

- Condición de parada: La condición de parada es la misma que en el método Simplex normal. La diferencia estriba en que pueden ocurrir dos casos cuando se produce la parada: la función toma un valor 0, que significa que el problema original tiene solución, o que tome un valor distinto, indicando que nuestro modelo no tiene solución.

- Eliminar Columna de variables artificiales: Si hemos llegado a la conclusión de que el problema original tiene solución, debemos preparar nuestra tabla para la segunda fase. Deberemos eliminar las columnas de las variables artificiales, modificar la fila de la función objetivo por la original, y calcular la fila Z de la misma forma que en la primera tabla de la fase 1.

IDENTIFICANDO CASOS ANÓMALOS Y SOLUCIONESObtención de la solución: Cuando se ha dado la condición de parada, obtenemos

el valor de las variables básicas que están en la base y el valor óptimo que toma la función que están en la base mirando la columna P0. En el caso de que estemos minimizando, se multiplicará por "-1" el valor óptimo.

Infinitas soluciones: Cumplida la condición de parada, si se observa que alguna variable que no está en la base, tiene un 0 en la fila Z, quiere decir que existe otra solución que da el mismo valor óptimo para la función objetivo. Si estamos ante este caso, estamos ante un problema que admite infinitas soluciones, todas ellas comprendidas dentro del segmento (o porción del plano, o región del espacio, dependiendo del número de variables del problema) que define Ax+By=Z0. Si se desea se puede hacer otra iteración haciendo entrar en la base a la variable que tiene el 0 en la fila Z, y se obtendrá otra solución.

Solución ilimitada: Si al intentar buscar la variable que debe abandonar la base, nos encontramos que toda la columna de la variable entrante tiene todos sus elementos negativos o nulos, estamos ante un problema que tiene solución ilimitada. No hay valor óptimo concreto, ya que al aumentar el valor de las variables se aumenta el valor de la función objetivo, y no viola ninguna restricción.

No existe solución: En el caso de que no exista solución, seguro que tendremos que realizar las dos fases, por lo que al término de la primera sabremos si estamos en tal situación.

Empate de variable entrante: Se puede optar por cualquiera de ellas, sin que afecte a la solución final, el inconveniente que presenta es que según por cual se opte se harán más o menos iteraciones. Se aconseja que se opte a favor de las variables básicas, ya que son aquellas las que quedarán en la base cuando se alcance la solución con estos métodos.

Empate de variable saliente: Se puede nuevamente optar por cualquiera de ellas, aunque se puede dar el caso degenerado y entrar en ciclos perpetuos. Para evitarlos en la medida de lo posible, discriminaremos a favor de las variables básicas haciendo que se queden en la base. Ante el caso de estar en la primera fase (del método de las Dos Fases), se optará por sacar en caso de empate las variables artificiales.

Curiosidad Fase 1: Al finalizar la fase 1, si el problema original tiene solución, todas las variables artificiales, en la fila Z deben tener el valor "1".

¿Pivote puede ser 0?: No, ya que siempre se realizan los cocientes entre valores no negativos y mayores que cero.

Investigación 2

En el tema anterior, explicamos cómo el método gráfico puede ser usado para resolver problemas de Programación Lineal con dos variables de decisión. Sin embargo, la gran mayoría de los problemas de Programación Lineal contienen más de dos variables de decisión y no se pueden resolver con el método gráfico, por lo que se requiere un proceso de solución algebraico llamado Método Simplex.

Para ayudarte a entender cómo el Método Simplex nos ayudará a resolver problemas de Programación Lineal, usaremos el siguiente ejemplo:

Calculadoras del Sur importa componentes electrónicos que son usados para ensamblar dos diferentes tipos de calculadoras: Científica y Financiera. La administración de Calculadoras del Sur está interesada en desarrollar un plan de producción semanal para ambos tipos de calculadoras.

Las calculadoras de tipo científica generan una ganancia de $50 por unidad y las de tipo financiera $40 por unidad. Para la producción de la siguiente semana, se tiene disponible un máximo de 150 horas en el área de ensamblado. Cada unidad de tipo científica requiere de 3 horas para ser ensamblada y cada unidad de tipo financiera 5 horas. Adicional a esto, Calculadoras del Sur sólo tiene en inventario 20 carcasas para las calculadoras de tipo financiera. Por otra parte, solamente se tienen 300 metros cuadrados en la planta para producir las calculadoras y se sabe que para ensamblar una calculadora de tipo científica se requieren 8 metros cuadrados y para las de tipo financiera 5 metros cuadrados.

10.1 Formular la solución simplex inicial

Para formular este problema, se usarán las siguientes variables de decisión:

 

La cual queda de la siguiente forma:

 sujeto a:

  

 

Para preparar nuestro problema de programación lineal y usar el método simplex, agregaremos las variables de holgura (una por cada ecuación) para convertirlo de forma estándar:

 sujeto a:

   

Una vez convertido nuestro problema de Programación Lineal a la forma estándar, toca el turno a preparar la tabla inicial a la cual le llamaremos Tableau Simplex, para la cual usaremos el siguiente formato:

Donde

   =  valor de la variable j en la función objetivo   =  valor del lado derecho la restricción i =  coeficiente asociado con a la variable j en la restricción i

Por lo que la tabla de nuestro problema quedaría de la siguiente manera:

Debido a que el Método Simplex es una serie de pasos iterativos, agregaremos dos columnas más, los cuales llamaremos Básicas y  . La columna Básicas pondremos las variables básicas (en este primer paso las de holgura) y en la columna   pondremos los valores de la función objetivo de dichas variables.

Con esta tabla podemos observar que tenemos la primera posible solución factible, donde   y   toman el valor de cero y las variables de holgura  , ,  .

Por supuesto esta primera opción la podemos mejorar, por lo que para poder encontrar la mejor solución agregamos 2 renglones al final de la tabla. El primer renglón lo llamaremos  , la cual representa el decremento en el valor de la función objetivo que resultaría si una unidad de la variable correspondiente a la columna j se convierte ahora en básica. El segundo renglón lo llamaremos  , el cual representa el cambio neto en el valor de la función objetivo si una unidad de la variable correspondiente a la columna j es considerada en la solución.

Para obtener los valores de  , sumaremos los productos de multiplicar la columna   por los coeficientes de cada columna j, los cuales se muestran a continuación:

    

Debido a que el coeficiente de la función objetivo   es   , el valor de  . Esto significa que el resultado neto de traer una unidad de   a las variables básicas habrá un incremento en la ganancia de $50.

Haciendo los mismos pasos, la tabla queda de la siguiente manera:

Para finalizar nuestra tabla, agregamos el valor de la función objetivo actual en la esquina inferior derecha de la tabla, el cual se obtiene sumando los productos de los valores de la columna   por los valores correspondientes de las variables básicas, es decir:

Nuestra tabla inicial, quedaría de la siguiente manera:

La cual nos indica que la primer solución básica factible( ,     ,  ,  ) nos da una ganancia de $0.

¿Cómo mejorar esta solución?

Para poder mejorar la solución a nuestro problema, primero debemos seguir los siguientes dos pasos:

1. Identificar la variable de decisión que se convertirá en básica.2. Identificar la variable de decisión que ya no será básica.

Para el primer paso, identificaremos cuál de las variables en el renglón   tiene el valor más grande, en este caso la variable    aporta mayor ganancia al valor de nuestra función objetivo. Con esto sabemos que la variable que debe convertirse en básica es   .

Para el segundo paso, identificaremos cuál de las variables básicas actuales tiene la menor afectación al agregar una unidad de la variable seleccionada en el paso anterior, por lo que deberá de salir mediante la siguiente fórmula:

Donde j representa el número de la columna en la que se encuentra la variable que hemos identificado que será básica.

Para nuestro problema quedaría de la siguiente manera:

De la tabla anterior identificamos que la variable que entrará es   porque tiene mayor aportación a la función objetivo y la que dejará de ser básica será   por ser la que tiene mayor afectación por el cambio.

En la tabla se circuló el coeficiente   , la cual corresponde a la columna de la variable que entrará a nuestras variables básicas y a el renglón de la variable básica que dejará de serlo, a esta coordenada le llamaremos elemento pivote.

Pasos para obtener la siguiente tabla

Para obtener la siguiente tabla debemos buscar que nuestro elemento pivote tome el valor de 1 y que los coeficientes que se encuentran arriba o debajo de nuestro elemento pivote tomen el valor de cero, es decir, para nuestro problema buscaremos que la columna de donde se identificó nuestra nueva variable básica quede de la siguiente manera:

001

Para hacer que el valor de   sea igual a 1, dividiremos todo el renglón 3 por el valor del elemento pivote, es decir:

 

Para hacer que el valor de   sea igual a cero, lo multiplicaremos el reglón previamente obtenido por el valor del coeficiente de  , es decir:

Obtenemos entonces que:

Y se lo restamos al primer renglón, es decir:

Por lo que obtenemos:

Debido a que el valor de   ya es cero, no será necesario realizar los pasos anteriores. En caso que el valor fuera mayor a cero sí se tendrían que seguir los pasos anteriores para hacer que este coeficiente tome el valor de 0.

Teniendo estas nuevas ecuaciones listas, podemos obtener casi lista nuestra segunda tabla, la cual se ve de la siguiente manera:

Lo que resta hacer para terminar nuestra segunda tabla es obtener los valores de ,   y el valor de la función objetivo, los cuales se obtienen de la siguiente manera:

 

   

Para obtener el valor de la función objetivo multiplicaremos:

Por lo que nuestra tabla queda de la siguiente manera:

10.2 Procedimientos de solución simplex

Como lo mencionamos al comienzo de este tema, el Método Simplex es un método que conlleva una serie de iteraciones por lo que para obtener la mejor solución por este medio repetir los siguientes pasos:

1. Identificar el valor    más grande (variable que entra). 

2. Identificar la razón de cambio más pequeña de la columna en la que se

encuentra el valor más grande de   (columna j) usando la fórmula   (variable que sale).

3. Identificar el elemento pivote, el cual se encontrará en la posición de la columna del valor más alto de   y en el renglón de la razón de cambio más pequeña. 

4. Hacer que el valor del elemento pivote sea igual 1, mediante la siguiente fórmula:

5. Hacer que los valores arriba o abajo del elemento pivote sean igual a 0 mediante la siguiente fórmula:

6. Obtener los valores de 

7. Calcular los valores de 

8. Calcular el valor de la función objetivo.

9. Si todos los valores de las columnas en el renglón  , la solución es óptima, si no regresar al paso 1.

Realizando estos pasos, obtenemos que la tabla final queda de la siguiente manera:

 

Interpretación

Para que la compañía Calculadoras del Sur pueda maximizar la ganancia por producir calculadoras de tipo científica y financiera, deberá producir 30 calculadoras científicas y 12 financieras, lo que le dará a la empresa una utilidad de $1980 a la semana. También se puede identificar que  , es decir que habrá 8 carcasas de calculadoras financieras sin usarse.

Debido a que   y  , significa que se usará todo el tiempo de ensamble y espacio en la planta disponible, por lo que la administración deberá tener mucho cuidado para que así suceda, de lo contrario no se obtendrá la ganancia establecida y por lo tanto se deberá analizar nuevamente el problema.