MÉTODO SIMPLEX EN

PROGRAMACIÓN LINEALING. KARINA CRUZ OSCANOA

MÉTODO SIMPLEX

Ejemplo de Simplex:Vamos a resolver el siguiente problema:

Maximizar Z = f(x1,x2) = 3x1 + 2x2

Sujeto a: 2x1 + x2 ≤ 18

2x1 + 3x2 ≤ 42

3x1 + x2 ≤ 24

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

Se consideran los siguientes pasos:

1. Convertir las desigualdades en igualdades:

Se introduce una variable de holgura por cada una de las

restricciones, este caso s1, s2, s3 para convertirlas en igualdades

y formar el sistema de ecuaciones estandar. Usando en

simplex el siguiente criterio:

Signo: Introducir

≤ sn

FORMA ESTANDAR:

2x1 + x2 + s1 = 18

2x1 + 3x2 + s2 = 42

3x1 + x2 + s3 = 24

2. Igualar la función objetivo a cero y despues agregar la variables de

holgura del sistema anterior:

Z - 3 x1 - 2 x2 = 0

Para este caso en particular la funcion objetivo ocupa la

ultima fila del tablero, pero de preferencia siempre se

devera de colocar como la primer fila

Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de Fo

para convertirlo en negativo y cuando maximizamos

tomamos el valor (+) negativo de Fo para convertirlo en

positivo.

3. Escribir el tablero inicial simplex:

En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las

filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada

restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo:

Tablero Inicial

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución

X1 X2 S1 S2 S3

S1 2 1 1 0 0 18

S2 2 3 0 1 0 42

S3 3 1 0 0 1 24

Z -3 -2 0 0 0 0

4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base

A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base,

(FLECHA ROJA PARTE SUPERIOR), observamos la ultima fila, la cual

muestra los coeficientes de la función objetivo y escogemos la

variable con el coeficiente más negativo (en valor absoluto).

En este caso, la variable x1 de coeficiente - 3.

Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan lacondición anterior, entonces se elige cualquiera de ellos.

Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo,

significa que se ha alcanzado la solución óptima.

Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación

del método del simplex, es que en la última fila no haya elementosnegativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color azulado).

B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base,

(FLECHA ROJA COSTADO IZQUIERDO) se divide cada término de la

última columna (valores solución) por el término correspondiente de la

columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero.

Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho

cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a

cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.

El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al

menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de

holgura que sale de la base, S3. Esta fila se llama fila pivote (en color

azulado).

Iteración No. 1

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 S1 S2 S3

S1 2 1 1 0 0 18 18/2 = 9

S2 2 3 0 1 0 42 42/2 = 21

S3 3 1 0 0 1 24 24/3 = 8

Z -3 -2 0 0 0 0

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera

de las variables correspondientes pueden salir de la base.

C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento

pivote operacional, 3, este indica que la variable de decisión X1 entra y la

variable de holgura S3 sale.

5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex.

Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los

coeficientes de la fila por el pivote operacional “3”, ya que este se debe

convertir en 1.

A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los

restantes términos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos

coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.

Resultado de Iteración No. 1

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 S1 S2 S3

S1 0 1/3 1 0 -2/3 2 f(S1) – 2 f(X1)

S2 0 7/3 0 1 -2/3 26 f(S2) – 2 f(X1)

X1 1 1/3 0 0 -1/3 8 (1/3) X1

Z 0 -1 0 0 1 24 f(Z) + 3 f(X1)

Como en los elementos de la última fila hay un numero negativo, -1, significa

que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es x2, por ser la columna pivote que

corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos los términos

de la columna solución entre los términos de la nueva columna pivote:

y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la fila pivote y la

variable de holgura que sale es S1.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Y se opera de forma análoga a la anterior iteración

Iteración No. 2

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 S1 S2 S3

S1 0 1/3 1 0 -2/3 2 2/(1/3) = 6

S2 0 7/3 0 1 -2/3 26 26/(7/3) = 78/7

X1 1 1/3 0 0 -1/3 8 8/(1/3) = 24

Z 0 -1 0 0 1 24

Resultado de Iteración No. 2

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 3 0 -2 6 3X2

S2 0 0 -7 0 4 12 f(S2) – (7/3) f(X2)

X1 1 0 -1 0 1 6 f(X1) – (1/3) f(X2)

Z 0 0 3 0 -1 30 f(Z) + f(X2)

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1,

significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que

repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es S3, por ser la variable que

corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la

última columna entre los términos correspondientes de la

nueva columna pivote:

6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6]

y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de

holgura que sale es S2.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla:

Iteración No. 3

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 3 0 -2 6 No se toma por

ser negativo

S2 0 0 -7 0 4 12 12/4 = 3

X1 1 0 -1 0 1 6 6/1 = 6

Z 0 0 3 0 -1 30

Resultado de Iteración No. 3

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución Operación

X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 -1/2 0 0 12 f(X2) + 2 f(S3)

S3 0 0 -7/4 0 1 3 (1/4) S3

X1 1 0 -3/4 0 0 3 f(X1) – f(S3)

Z 0 0 5/4 0 0 33 f(Z) + f(S3)

Tablero Final

Base Variable de

decisión

Variable de holgura Solución

X1 X2 S1 S2 S3

X2 0 1 -1/2 0 0 12

S3 0 0 -7/4 0 1 3

X1 1 0 -3/4 0 0 3

Z 0 0 5/4 0 0 33

Como todos los coeficientes de la fila de la

función objetivo son positivos, hemos llegado a

la solución óptima.

Los solución óptima viene dada por el valor

de Z en la columna de los valores solución, en

nuestro caso: 33.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1, Una pequeña empresa petrolera es dueña de dos refinerías. La refinería "I" cuesta 20.000 dólares por día en costo de operación y produce 400 barriles de petróleo de alto octanaje, 300 de medio octanaje y 200 de bajo octanaje por día. La refinería "II" tiene 25.000 dólares de costos operativos diarios y puede producir 300 barriles de alto octanaje, 400 barriles de medio octanaje y 500 barriles de bajo octanaje por día. La compañía tiene órdenes por 25.000 barriles de alto octanaje, 27.000 barriles de medio octanaje y 30.000 barriles de bajo octanaje. Formular un modelo de Programación Lineal que determine la cantidad de días que la compañía debe mantener las refinerías funcionando para minimizar los costos y satisfacer la demanda

EJERCICIOS PROPUESTOS

2, Un agricultor dispone de 150 acres de tierra fértil para los cultivos A y B. El costo de A es de $40 el acre, mientras que el cultivo de B cuesta $60 el acre. El agricultor tiene un máximo de $7400 disponibles para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20 horas de trabajo y cada

acre del cultivo B, 25. El agricultor dispone de un máximo de 3300 horas de trabajo.

Si espera lograr una ganancia de $150 por acre del cultivo A y $200 por acre del cultivo B,

¿cuántos acres de cada cultivo debe plantar para maximizar su ganancia?

EJERCICIOS PROPUESTOS

3, Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas

disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con

anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera que se limitará a

producir éstos. Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7

horas del tiempo disponible, mientras el modelo II requiere 1 unidad de

madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80,

respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea

maximizar su ingreso en la venta?