Método de reducción

Método de reducción

Mostrar cómo reducir una matriz y uRlizar la reducción de matrices para

resolver un sistema lineal.


Éste método es un método por el cual las matrices pueden uRlizarse para resolver un sistema de ecuaciones lineales, donde primero resolveremos un sistema por media del método usual de eliminación. Después obtendremos la misma solución uRlizando matrices.


Consideremos el sistema

3x – y = 1 (1) x + 2y = 5 (2)

que consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x y y. Aunque este sistema puede resolverse por varios métodos algebraicos, lo resolveremos por un método que es adaptable con facilidad a matrices.

Método de reducción Por razones que mas adelante serán obvias. empezamos por reemplazar la ecuación (1) por la ecuación (2) y la ecuación (2) por la (1), así obtenemos el sistema e quivalente,2

3x – y = 1 (4) x + 2y = 5 (3)

MulRplicando ambos miembros de la ecuación (3) por -‐3 se obRene

-‐3x – 6y = -‐15.

sumando los miembros izquierdo y derecho de la ecuación (3) a los correspondientes de la ecuación (4), se obRene un sistema equivalente en el que x se elimina de la segunda ecuación

-‐3x – 6y = -‐15 (3) 3x – y = 1 (4)

0x – 7y = -‐14 con ello se obRene un sistema equivalente en el que x se elimina de la segunda ecuación

x + 2y = 5 (5) 0x – 7y = -‐14 (6)


Ahora eliminaremos y de la primera ecuación. MulRplicando ambos términos de la ecuación (6) por -‐1/7


-‐1/7 (0x – 7y = -‐14) = 0x – y = 2

Se obRene el siguiente sistema de ecuaciones

x + 2y = 5 (7) 0x + y = 2 (8)

Método de reducción De la ecuación (8) obtenemos, y = 2, -‐2(0x + y = 2)

0x -‐ 2y = -‐4 Sumando los miembros de -‐2y = -‐ 4 a los correspondientes de la ecuación (7),

obtenemos el sistema equivalente

x + 2y = 5 (7)

0x -‐ 2y = -‐4

x + 0y = 1 0x + y = 2

por lo tanto x = 1; y = 2

De modo que el sistema inicial está resuelto

y al mulRplicar la ecuación (8) por -‐2 obtenemos…

Observe que en la solución del sistema original, estuvimos reemplazando de manera sucesiva a este por un sistema equivalente, que se obtenga al realizar una de las tres operaciones siguientes (llamadas operaciones elementales) que dejan la solución sin cambio: 1.  intercambio de dos ecuaciones. 2.  Suma de un múlRplo constante de los miembros de

una ecuación a los correspondientes miembros de otra ecuación.

3.  MulRplicación de una ecuaci6n por una constante diferente de cero.

Antes de mostrar un método matricial para resolver el sistema original

3x – y = 1 x + 2y = 5

debemos escribir la matriz de coeficientes para el sistema

Otra matriz asociada con este sistema es la llamada matriz aumentada, que esta dada por

La primera y segunda columnas son la primera y segunda columnas. respecRvamente, de la matriz de coeficientes. Las entradas en la tercera columna corresponden a los términos constantes del sistema:

El procedimiento que se uRlizó para resolver el sistema original incluye varios sistemas equivalentes. A cada uno de estos sistemas podemos asociar su matriz aumentada.

B puede obtenerse a parRr de A por intercambio del primero y segundo renglones de A.

Esta operación corresponde al intercambio de dos ecuaciones en el sistema original.

C puede obtenerse a parRr de B, sumando a cada entrada del segundo renglón de B -‐3 veces la correspondiente entrada del primer renglón de B:

Esta operación se describe como la suma de -‐ 3 veces el primer renglón de B con el segundo renglón de B.

D puede obtenerse a parRr de C mulRplicando cada entrada del segundo renglón de C por –(1/7).

Esta operación se describe como la mulRplicación del segundo renglón de C por –(1/7).

E puede obtenerse a parRr de D, sumando -‐2 veces el segundo renglón de D al primer renglón de D.

Observamos que E, que en esencia proporciona la solución que se obtuvo a parRr de A al realizar de manera sucesiva una de las tres operaciones matriciales, llamadas operaciones elementales sobre renglones

Operaciones elementales sobre renglones

1.  Intercambio de dos renglones de una matriz.

2. Suma de un múlRplo de un renglón de una

matriz a un renglón diferente de esa matriz.

3. MulRplicación de un renglón de una matriz

por un escalar diferente de cero.

Cuando una matriz pueda obtenerse a parRr de otra por una o mas de las operaciones elementales sobre renglones, decimos que las matrices son equivalentes. Así, A y E son equivalentes. Cuando se describan operaciones elementales sobre renglones, por conveniencia uRlizaremos la notación siguiente:

Notación Operación sobre Renglón correspondiente

Ri Rj Intercambiar los renglones Ri y Rj kRi MulRplicar el renglón Ri por la constante k

kRi + Rj Sumar k veces el renglón Ri al renglón Rj (pero el renglón Ri permanece igual)

-‐4R1 + R2

Por ejemplo podemos escribir

Ahora estamos preparados para describir un procedimiento matricial para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Primero, formamos la matriz aumentada del sistema; después, por medio de operaciones elementales sobre renglones, determinamos una matriz equivalente que indique claramente la solución. Siendo más específicos; una matriz que indique claramente la solución. Esta es una matriz, llamada matriz reducida, que se define como sigue:

En otras palabras, para resolver el sistema debemos encontrar la matriz reducida tal que la matriz aumentada del sistema sea equivalente a ella. En nuestro estudio anterior de operaciones elementales sobre renglones, la matriz

es una matriz reducida

Matriz reducida Se dice que una matriz es reducida si saRsface lo siguiente: 1.  Si un renglón no consiste solamente en ceros,

entonces la primera entrada diferente de cero en el renglón, llamada la entrada principal, es 1, mientras que todas las demás entradas en la columna en la que el 1 aparece son ceros.

2.  En cada renglón, la primera entrada diferente de cero esta a la derecha de la primera entrada diferente de cero de cada renglón arriba de él.

3.  Todos los renglones que consistan únicamente en ceros están en la parte inferior de la matriz.

Matriz reducida (ejemplo) Determinar si cada matriz que se muestra a con?nuación es reducida o no

Reducción de matrices (ejemplo I)

Reducir la matriz

Estrategia: para reducir la matriz, debemos hacer que la entrada principal sea 1 en el primer renglón, un 1 en el segundo renglón y así sucesivamente, hasta llegar a renglones de ceros, si los hay. Además, debemos trabajar de izquierda a derecha ya que el 1 inicial en cada renglón debe encontrarse a la izquierda de los otros unos iniciales en los renglones de abajo.

Solución de un sistema por reducción (ejemplo II)

U?lizando la reducción de matrices, resolver el sistema

Solución de un sistema por reducción (ejemplo III)


Forma paramétrica de una solución (ejemplo IV)


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