Menentukan Transformasi Bidang

LAPORAN HASIL PRAKTIKUM

GEOMETRI BIDANG

A. JUDUL PRAKTIKUM

Praktikum geometri bidang ini berjudul: “Menentukan

Transformasi Bidang”.

B. TUJUAN PRAKTIKUM

Praktikum ini bertujuan untuk mengetahui hasil

transformasi suatu bidang, serta mengetahui sifat-

sifat transformasi bidang tersebut dengan menggunakan

alat peraga.

C. LANDASAN TEORI

Transformasi geometri adalah suatu pemetaan satu-

satu dan onto dari sembarang titik di suatu bidang ke

titik lain di bidang tersebut. Titik lain di bidang

itu disebut bayangan atau peta. Perubahan karena

transformasi geometri ini dapat berupa perubahan

letak, perubahan penyajian, maupun perubahan bentuk.

Bentuk-bentuk transformasi geometri yang dibahas

dalam praktikum ini adalah:

1. Refleksi (Pencerminan)

1

Refleksi (pencerminan) merupakan suatu

transformasi yang memindahkan tiap titik pada suatu

bidang dengan menggunakan sifat-sifat bayangan pada

suatu cermin. Garis yang berfungsi sebagai cermin

pada proses refleksi ini disebut sebagai garis

invarian atau sumbu simetri atau sumbu refleksi. Sifat-

sifat yang biasanya terdapat dalam pencerminan ini

adalah:

1) Jarak titik asal ke cermin sama dengan jarak

bayangan ke cermin.

2) Garis yang menghubungkan titik asal dan

bayangannya tegak lurus terhadap cermin.

2. Translasi (Pergeseran)

Translasi (pergeseran) adalah transformasi

(perubahan) setiap titik dengan jarak dan arah yang

tetap. Translasi dinyatakan dengan T=(ab) dengan amenyatakan jarak dan arah perpindahan secara

horizontal dan b menyatakan jarak dan arah

perpindahan secara vertikal. Jika titik A (x,y )

ditranslasikan oleh T=(ab) akan diperoleh bayanganA' (x',y') dengan x'=x+a dan y'=y+b.

3. Dilatasi (Perkalian)

2

Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang

mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil)

suatu bangun geometri tanpa mengubah bentuk dan

ukuran sudut-sudut dari bangun geometri tersebut.

Dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi dan faktor

skala (faktor dilatasi). Sebuah dilatasi yang

berpusat di O (0,0) dengan faktor skala k dinotasikan

oleh [O (0,0 ),k ], dan sebuah dilatasi yang berpusatdi P (a,b) dengan faktor skala k dinotasikan oleh

[P (a,b ),k ]. Jika suatu bangun yang mempunyai luas Ldidilatasikan dengan faktor skala k maka luas

bangun hasil dilatasi adalah L'=k2×L.Salah satu alat yang dapat digunakan sebagai alat

dilatasi adalah pantograf. Pantograf biasanya

digunakan oleh arsitek atau animator untuk

memperbesar atau memperkecil gambar tanpa mengubah

bentuk gambar tersebut.

D. PEMBUATAN ALAT PERAGA

1. Alat dan Bahan

1) Cermin 1 buah

2) Cutter 1 buah

3) Double tip 3 buah

4) Gunting 1 buah

5) Isolasi 2 buah

6) Jarum Pentul 2 lingkar

3

7) Kardus Ukuran Besar 1 buah

8) Kertas HVS Ukuran A4 2 lembar

9) Kertas Karton Berwarna 1 lembar

10) Kertas Karton Putih

1 lembar

11) Kertas Origami 1

bungkus

12) Meja 1 buah

13) Paku 1 batang

14) Palu 1 buah

15) Papan Styrofoam Berwarna

Sama 3 buah

16) Papan Tulis 1 buah

17) Pena Berwarna 1 set

18) Penggaris 1 buah

19) Pensil 1 buah

20) Spidol Hitam 1 buah

2. Cara Pembuatan

1) Papan Koordinat Cartesius

4

(1)Siapkan 2 buah papan Styrofoam yang berwarna

sama, lalu rekatkan keduanya dengan

menggunakan double tip. Setelah rekat, lapisi

bekas rekatan tersebut dengan isolasi untuk

memperkuatnya.

(2)Beri garis vertikal dan horizontal dengan

ukuran 3×3 cm dengan menggunakan pena

berwarna hingga terbentuk persegi-persegi

kecil.

(3)Lapisi garis horizontal dan vertikal yang

terletak pada pertengahan papan Styrofoam

dengan spidol, sehingga menjadi sumbu x dansumbu y pada papan koordinat Cartesius yangdibuat.

(4)Untuk pemberian angka-angka titik koordinat,

telah disiapkan sebelumnya angka-angka yang

telah di ketik lalu diprint di kertas HVS.

5

Kemudian angka-angka tersebut dipotong kecil-

kecil dan potongannya ditempel pada titik

koordinat yang telah di tandai sebelumnya.

(5)Kemudian, lapisi potongan angka-angka yang

telah ditempel tersebut dengan isolasi untuk

memperkuatnya.

2) Papan Tulis sebagai Tempat Dilatasi

(1)Siapkan 1 buah papan Styrofoam dan 1 lembar

kertas karton berwarna putih.

(2)Buatlah pola pada kertas karton dengan ukuran

yang sama dengan papan Styrofoam dan kemudian

guntinglah pola tersebut.

(3)Tempelkan kertas karton yang telah dipotong

pada bagian berwarna dari papan Styrofoam

dengan menggunakan double tip. Setelah

tertempel, lapisi bagian tepi papan Styrofoam

dengan isolasi untuk memperkuatnya.

3) Bidang Persegi yang akan Direfleksikan

6

(1)Buatlah pola persegi pada kardus, dengan

ukuran 9×9 cm sebanyak 2 buah lalu potonglahdengan cutter.

(2)Lapisi setengah bagian dari kardus tersebut

dengan kertas origami dan lapisi setengah

bagian yang lain dengan kertas origami yang

memiliki warna berbeda.

(3)Tulislah tanda A, B, C dan D pada salah satu

persegi yang ada dan tanda A', B', C', dan D'

pada persegi yang lain sesuai dengan gambar

di atas.

(4)Lapisi persegi yang telah selesai dibuat


4) Bidang Persegi yang akan Ditranslasikan

7


ukuran 9×9 cm sebanyak 2 buah lalu potonglahdengan cutter.

(2)Lapisi kardus tersebut dengan kertas origami

yang memiliki warna yang sama.

(3)Tulislah tanda A, B, C dan D pada salah satu

persegi yang ada dan tanda A', B', C', dan D'

pada persegi yang lain sesuai dengan gambar

di atas.



5) Bidang Segitiga yang akan Ditranslasikan

8

(1)Buatlah pola segitiga pada kardus, dengan

ukuran alas 9 cm dan tinggi 9 cm sebanyak 2

buah lalu potonglah dengan cutter.

(2)Lapisi kardus tersebut dengan kertas origami

yang memiliki warna yang sama.

(3)Tulislah tanda A, B, dan C pada salah satu

segitiga yang ada dan tanda A', B', dan C'

pada segitiga yang lain sesuai dengan gambar

di atas.



6) Bidang Persegi yang akan Didilatasikan

9


ukuran 12×12 cm sebanyak 1 buah lalu

potonglah dengan cutter.

(2)Lapisi kardus tersebut dengan kertas origami,

dan Anda dapat menambahkan hiasan jika Anda

ingin.



7) Pantograf

10

(1)Buatlah pola persegi panjang pada kardus

dengan ukuran 3×50 cm sebanyak 4 buah, 3×35cm sebanyak 2 buah, 3×20 cm sebanyak 2 buah,6×15 cm sebanyak 1 buah, serta pola persegiberukuran 3×3 cm sebanyak 7 buah.

(2)Potonglah semua pola yang ada dengan

menggunakan cutter.

(3)Rekatkan 2 buah persegi panjang yang

berukuran 3×50 cm agar pantograf yang dibuatmenjadi lebih kuat. Lakukan hal yang sama

pada persegi panjang berukuran 3×35 cm dan3×20 cm.

(4)Tumpuk dan rekatkan ke-7 persegi yang

berukuran 3×3 cm.(5)Lapisi semua kardus yang telah selesai

dipotong dan disatukan dengan menggunakan

kertas karton berwarna.

(6)Buatlah pola persegi pada persegi panjang

berukuran 3×50 cm, 3×35 cm, dan 3×20 cm

dengan menggunakan pena berwarna seperti pada

gambar di atas.

(7)Lapisi semua bagian pantograf dengan isolasi

untuk memperkuatnya.

(8)Lubangi titik tengah tiap kotak persegi yang

telah digambar pada keempat persegi panjang

11

dengan menggunakan paku, gunakan pensil dan

pena berwarna untuk memperbesar lubang.

(9)Rangkai tiap bagian pantograf seperti pada

gambar di atas, dengan menggunakan pena

berwarna sebagai ganti dari baut yang

menghubungkan tiap bagian pantograf.

E. LANGKAH-LANGKAH PRAKTIKUM


1) Peganglah sebuah cermin dan hadapkan salah satu

persegi yang telah dipersiapkan sebagai objek

refleksi di hadapan cermin tersebut, hingga

bayangan persegi tersebut terlihat pada cermin.

2) Kemudian, letakkan papan koordinat yang telah

dibuat sebelumnya pada papan tulis, dan rekatkan

dengan double tip.

3) Letakkan persegi ABCD yang telah dipersiapkan

pada bagian kiri papan koordinat dan gunakan

jarum pentul untuk menahan persegi tersebut.

4) Dengan menggunakan sumbu y sebagai cermin,

letakkan persegi A'B'C'D' pada bagian kanan

papan koordinat dengan jarak yang sama terhadap

sumbu y seperti persegi ABCD.5) Ulangi langkah 4 dengan menggunakan sumbu x

sebagai sumbu simetri.

12

Refleksi (pencerminan) dengan sumbu y sebagai sumbu

simetri

Refleksi (pencerminan) dengan sumbu x sebagai sumbu

simetri


1) Letakkan persegi ABCD yang telah dipersiapkan

pada papan koordinat yang digunakan pada

praktikum refleksi sebelumnya dan tahan dengan

jarum pentul.

2) Letakkan persegi A'B'C'D' di atas persegi ABCD.

13

3) Jika ingin mentranslasikan persegi ABCD dengan

T=(75), geser persegi A'B'C'D' sejauh 7 kotak kekanan dan 5 kotak ke atas.

4) Setelah persegi A'B'C'D' berhenti, tahan persegi

tersebut pada tempat berhentinya dengan

menggunakan jarum pentul.

5) Ulangi langkah 1 sampai 4 dengan menggunakan

segitiga ABC dan segitiga A'B'C' dengan T=( 5−11).

Translasi (pergeseran) persegi ABCD dengan T=(75)

14

Translasi (pergeseran) segitiga ABC dengan T=( 5−11)


1) Letakkan papan tulis yang sebelumnya telah

dibuat dari papan Styrofoam pada meja.

2) Untuk memperbesar persegi, letakkan pantograf

dan persegi yang telah dipersiapkan sebelumnya

seperti pada gambar di bawah, dengan merekatkan

bagian persegi panjang yang berukuran 6×15 cmpada papan dengan menggunakan isolasi.

3) Mulailah proses dilatasi dengan menggerakkan

pena berwarna yang ada pada ujung pantograf

(yang dilingkari pada gambar di bawah) mengikuti

bentuk persegi seirama dengan pena yang berada

di dekat persegi. Ingatlah bahwa hanya pena

berwarna yang dilingkari saja yang tutupnya

dibuka.

15

4) Untuk memperkecil persegi, ulangi langkah 3

dengan mengubah posisi pantograf dan persegi

seperti pada gambar di bawah

dan menggerakkan pena berwarna yang dilingkari

pada gambar dibawah.

16

F. ANALISIS HASIL PRAKTIKUM


Pada percobaan refleksi dengan menggunakan

cermin, dapat kita lihat bahwa bayangan persegi

yang dipantulkan akan berlawanan dengan persegi

aslinya. Warna-warna yang sama akan saling

berhadapan dengan jarak yang sama terhadap

permukaan cermin.

Hal ini juga terjadi pada percobaan refleksi

dengan menggunakan papan koordinat cartesius. Warna

hijau yang pada benda persegi ABCD terletak di

sebelah kanan menjadi terletak di sebelah kiri pada

persegi A'B'C'D'. Posisi tanda A, B, C, dan D juga

berbeda dengan A', B', C', dan D'. Akan tetapi,

jarak persegi ABCD dan persegi A'B'C'D' terhadap

sumbu simetri sama.

17

Untuk lebih jelasnya, dapat kita lihat pada tabel

berikut:

Hasil

Pengamatan

Pencerminan pada

Sumbu yPencerminan pada

Sumbu xPersegi

ABCD

Persegi

A'B'C'D'

Persegi

ABCD

Persegi

A'B'C'D'

Letak Bagian

Berwarna HijauKiri Kanan Atas Bawah

Letak Bagian

Berwarna KuningKanan Kiri Bawah Atas

Koordinat titik

A/ A'(-5, 5) (5, 5) (-5, 2) (-5, -2)

Koordinat titik

B/ B'(-2, 5) (2, 5) (-5, 5) (-5, -5)

Koordinat titik

C/ C'(-2, 2) (2, 2) (-2, 5) (-2, -5)

Koordinat titik

D/ D'(-5, 2) (5, 2) (-2, 2) (-2, -2)

Dari tabel di atas dapat kita lihat bahwa

refleksi (pencerminan) memiliki beberapa ciri khas,

yaitu terjadi perubahan letak antara benda yang

direfleksikan dengan bayangan hasil refleksi, dan

adanya jarak yang tetap antara benda nyata dan

hasil refleksinya terhadap sumbu simetri.

18


Pada percobaan translasi, persegi dan segitiga

yang digeser hanya mengalami perubahan posisi saja,

tanpa perubahan letak titik-titik A, B, C, dan D.

Hal ini berbeda dengan percobaan refleksi

sebelumnya. Titik-titik A, B, C, dan D yang digeser

juga mengalami perubahan yang sama, sebesar

pergeseran yang telah ditentukan.

Jika kita perhatikan, hasil pergeseran persegi

dan segitiga yang kita lakukan pada praktikum ini

sama dengan hasil translasi dengan menggunakan

rumus yang telah disebutkan sebelumnya. Untuk lebih

jelasnya, perhatikan tabel berikut:

Hasil

Pengamat

an

Translasi Persegi dengan

T=(75)Translasi Segitiga dengan

T=( 5−11)

Persegi

ABCD

Persegi

A'B'C'D

'

Hasil

Perhitung

an Rumus

Segitig

a ABC

Segitig

a

A'B'C'

Hasil

Perhitung

an Rumus

Koordina

t titik

A/ A'

(-4,-1) (3, 4)x'=−4+7=3

y'=−1+5=4(-3, 5) (2, -6)

x'=−3+5=2

y'=5−11=−6

19

Koordina

t titik

B/ B'

(-1, -

1)(6, 4)

x'=−1+7=6

y'=−1+5=4(0, 5) (5, -6)

x'=0+5=5

y'=5−11=−6

Koordina

t titik

C/ C'

(-1, -

4)(6, 1)

x'=−1+7=6

y'=−4+5=1(-3, 8) (2, -3)

x'=−3+5=2

y'=8−11=−3

Koordina

t titik

D/ D'

(-4, -

4)(3, 1)

x'=−4+7=3

y'=−4+5=1- - -

Dari tabel diatas dapat kita lihat bahwa

translasi pada hakikatnya adalah menggeser bidang

sejauh jarak tertentu tanpa mengubah hal lain, atau

menambahkan titik koordinat bidang tersebut dengan

jarak translasi yang telah ditentukan.


Pada percobaan dilatasi dengan menggunakan

pantograf yang memiliki skala 3, maka akan

diperoleh hasil yang berukuran 3 kali lebih besar

untuk perbesaran dan 3 kali lebih kecil untuk

pengecilan. Bentuk benda yang mengalami dilatasi

tetap atau tidak mengalami perubahan, hanya

ukurannya saja yang berubah.

Hasil dilatasi ini juga sesuai dengan hasil yang

didapat bila kita menggunakan rumus dilatasi,

20

dimana panjang bidang serta luas bidang tersebut

sama. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel

berikut:

Hasil

Pengamata

n

Perbesaran Persegi (3×) Pengecilan Persegi (13 ×)

Perseg

i ABCD

Persegi

A'B'C'D

'

Hasil

Perhitunga

n Rumus

Perse

gi

ABCD

Perseg

i

A'B'C'

D'

Hasil

Perhitungan

Rumus

Panjang

sisi AB/

A' B'

12 cm 36 cm 3×12=36 12 cm 4 cm 13×12=4

Panjang

sisi AB/

A' B'

12 cm 36 cm 3×12=36 12 cm 4 cm 13×12=4

Panjang

sisi AB/

A' B'

12 cm 36 cm 3×12=36 12 cm 4 cm 13×12=4

Panjang

sisi AB/

A' B'

12 cm 36 cm 3×12=36 12 cm 4 cm 13×12=4

Luas

Persegi

ABCD/

A' B' C'

144

cm2

1.296

cm2

32×144=1.296 144

cm2

16 cm2

(13 )2

×144=16

21

D'

Besar ∠ A 90˚ 90˚ 90˚ 90˚ 90˚ 90˚

Besar ∠ B 90˚ 90˚ 90˚ 90˚ 90˚ 90˚

Besar ∠ C 90˚ 90˚ 90˚ 90˚ 90˚ 90˚

Besar ∠ D 90˚ 90˚ 90˚ 90˚ 90˚ 90˚

Dari tabel diatas dapat kita lihat bahwa hasil

pengukuran pada gambar yang dihasilkan dengan

penggunaan pantograf sama dengan hasil dilatasi

yang didapatkan dengan penggunaan rumus. Percobaan

yang telah dilakukan juga memperlihatkan bahwa

bentuk persegi ABCD tidak mengalami perubahan,

hanya ukurannya saja yang berubah. Akan tetapi,

yang mengalami perubahan hanya panjangnya saja,

ukuran sudutnya tidak mengalami perubahan.

G. KESIMPULAN

Dari praktikum yang telah dilakukan dan analisis

hasil praktikum di atas, dapat disimpulkan bahwa:

Refleksi (pencerminan) adalah suatu bentuk

transformasi yang memiliki fungsi yang sama seperti

cermin, atau dengan kata lain memantulkan suatu

benda. Dalam pencerminan, bayangan yang dihasilkan

akan terbalik dengan benda yang di refleksikan. Akan

tetapi, ukuran benda tersebut akan sama, dan jarak

22

benda dan bayangannya terhadap sumbu simetri juga

akan sama.

Translasi (pergeseran) adalah suatu bentuk

transformasi yang berfungsi untuk menggeser atau

memindahkan suatu objek tanpa mengubah bentuk objek

tersebut atau mengubah posisi komponen-komponen objek

tersebut. Translasi juga dapat dilakukan dengan cara

menambahkan posisi bidang tersebut pada titik

koordinat dengan jarak translasi yang telah

ditentukan.

Dilatasi (perkalian) adalah suatu bentuk

transformasi yang berfungsi untuk merubah ukuran

suatu benda, baik memperbesar atau memperkecilnya.

Dalam dilatasi, bayangan yang dihasilkan akan

memiliki bentuk yang sama dengan benda aslinya.

Posisi komponen-komponen dan besar sudutnya pun akan

sama, karena yang mengalami perubahan hanyalah

ukurannya saja. Ukuran bayangan dilatasi dapat

diperoleh dengan mengalikan ukuran benda aslinya

dengan skala dilatasi yang telah ditentukan.

23

DAFTAR KEPUSTAKAAN

Astuti, Anna Yuni. & Miyanto. 2011. PR Matematika untuk

SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Alam Kelas XII. Klaten:

Intan Pariwara.

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah dan

Keguruan UIN Sultan Syarif Kasim Riau. Modul

Praktikum Geometri.

Noormandiri, B.K. & Endar Sucipto. 2003. Buku Pelajaran

Matematika untuk SMU Jilid 3 Kelas 3 Program IPA Semester 1

dan 2. Jakarta: Erlangga.

Sukino. 2007. Matematika Jilid 3A untuk SMA kelas XII Semester 1.

Jakarta: Erlangga.

24

LAMPIRAN

DOKUMENTASI

Berbagai objek transformasi yang digunakan dalam praktikum

25

Anggota Kelompok V (dari kiri ke kanan): Ridha Herlina, Dea Afrilieni

Putri, Raja Hafizah, Tri Tasia Nurbastin, Alfina Hadiarti Darwis, dan

Aulia Ma’ruf

26

Menentukan Transformasi Bidang

Documents

Transcript of Menentukan Transformasi Bidang